Tema 6 Indice La Juntura p-n A. B.
Introducción. Introducción. La Juntura abrupta PN en equilibrio. equilibrio . 1) Estructura y densidades de carga. 2) Aproximación de Deplexión. 3) Campos y Potenciales.
C. La Juntura abrupta polarizada: 1) 2) 3) 4)
El efecto de la polarización en el diagrama de bandas. Concentración de portadores en el borde de la región de carga espacial. Derivación de las características de tensión-corriente. La capacidad de la juntura como función de la tensión de polarización.
D. Ruptura Ruptura::
El mecanismo de avalancha. El mecanismo Zener.
E. Contactos Metal-Semiconductor en los diodos Schottky. Schottky. F. Los diodos reales y su modelización. modelización. Apéndice: La ecuación de Poisson y la región de carga espacial. espacial .
1
A) Introducción. En este capítulo utilizaremos los conceptos introducidos en los anteriores II, III y V para desarrollar un modelo físico para el diodo de juntura pn. La Figura 1 muestra los componentes más sim ples para una juntura pn: Dos piezas del mismo semiconductor, una de tipo ti po n y la otra de tipo p, ambas uniformemente dopadas. p
n p
n
Figura 1: Una juntura abrupta idealizada. Si estas dos piezas son colocadas en contacto íntimo, forman lo que se llama una “Juntura Abrupta” (se dice abrupta porque el tipo de dopante cambia bruscamente en la región de interfase). De hecho, las junturas reales no se forman simplemente adhiriendo las dos piezas de la manera indicada. Las superficies de cada una de las muestras perfectamente pulidas son rugosas en la escala atómica y generalmente están cubiertas de óxidos y contaminantes provenientes del ambiente. Muchas junturas pn son producidas por difusión a alta temperatura de dopantes donadores (aceptores) en la superficie de un material tipo p (n). Eventualmente, la condición N D>NA se consigue cerca de la superficie y esa porción de muestra se transforma de tipo p a tipo n (de la misma manera ocurre para el caso de NA>ND consiguiéndose una región de tipo p a partir de una muestra tipo n). Se produce entonces una juntura “gradual” dado que la transición de n a p se va efectuando gradualmente. Es posible obtener junturas prácticamente abruptas utilizando técnicas de crecimiento epitaxial de cristales (esto es: se hace crecer una delgada capa de material nuevo sobre la base cristalina de substrato) o mediante técnicas de aleación (se coloca una delgada capa de dopante sobre la su perficie del substrato cristalino, luego se lo calienta cal ienta hasta el e l punto de fusión y entonces se lo enfría rápidamente para evitar su difusión. Estudiaremos las junturas abruptas ya que son de tratamiento más sencillo que las gra duales. Debe remarcarse con énfasis el hecho de que una juntura no es la unión o soldadura de dos semiconductores de distinta contaminación. No existe ninguna forma de unir dos barras de distinta naturaleza y que se forme una juntura. El cristal debe ser un único monocristal al cual se le han agregado las impurezas que corresponden mediante métodos adecuados. En general las impurezas se agregan después del crecimiento del cristal pero es posible agregarlas durante su formación. La perfección de la red cristalina hace a la calidad fundamental de la juntura y esa perfección debe ser la máxima en el plano metalúrgico y zonas adyacentes. Esta afirmación es la que determina que no puedan crearse junturas a partir de la unión de dos cristales ya formados. Cuando el nivel de dopantes donadores N D del lado n de una juntura pn es igual al nivel de do pantes aceptores ac eptores N A del lado p decimos que la juntura es simétrica. Y cuando N D (del lado n) es mucho mayor que N A (del lado p) tenemos una juntura n + p donde n + indica material tipo n fuertemente dopado. De manera similar ocurre cuando N A(del lado p) >> ND(del lado n) resulta una juntura p +n. La utilidad de estos términos se verá en la próxima sección. Debemos notar que una juntura pn no es más que un caso particular de perfil dopante nouniforme y como tal puede ser analizado mediante las ideas descriptas en el capítulo V y veremos que este análisis coincide con el comportamiento de un diodo para las características I-V de la juntura pn en cuestión. De hecho, con ciertas restricciones, el análisis nos llevara a derivar la ecuación del diodo ideal. Si bien las junturas pn reales raramente obedecen la ecuación del diodo 2
ideal cuantitativamente sobre amplios rangos de la característica I-V, nuestro análisis simplificado, no obstante, es muy utilizado para ilustrar los principios de operación sin requerir de una matemática complicada. Si tenemos dos materiales como los de la Figura 1, antes de ser unidos para formar la juntura ambos se encuentran en estado de equilibrio y son eléctricamente neutros. Si el contenido de dopantes es grande comparado con n i podemos decir que p i ≈ NA, n ≈ ni2/NA << p para el caso de un material tipo p, y n i ≈ ND, p ≈ ni2/ND << n para un material tipo n. Cuando las dos piezas se juntan se establecen importantes gradientes en la región de interfase del lado p y del n lo que causa que los electrones se difundan desde desde la región n hacia la región p y los huecos vayan de la región p a la región n. Esto causa que la región p esté cargada negativamente y la región n sea positiva. Esta separación de cargas causa los efectos interrelacionados descriptos en el capítulo anterior, es decir: aparece una diferencia de potencial a través de la interfase, un campo eléctrico que se opone a una mayor difusión y la curvatura de la s bandas de energía. La Figura 2 muestra el proceso de formación de la juntura desde el punto de vista de las bandas de energía. p n
EF EF
x
x
Figura 2: Diagrama de energía de bandas de una juntura ju ntura pn, antes del contacto y luego del contacto. Antes del contacto el nivel de Fermi está cerca de la banda de valencia del lado p y cerca de la banda de conducción del lado n. Luego de que se produjo el contacto, y una vez establecido e stablecido el equilibrio la EF debe ser constante en toda la estructura y las bandas de energía se curvan como se ve en la Figura, alineándose respecto de EF. Podemos reconocer, por ahora, la Figura 2 y vemos que la región n se encuentra a un potencial positivo respecto re specto de la región p, es decir que existe e xiste un campo eléctrico en el sentido de –x que está confinado en la vecindad de la juntura y hay muy pocos portadores de cargas libres en la región de alto campo eléctrico. Una imagen de esto se puede observar en la Figura 3: Ψ(x)
Región p
Región n
x
Figura 3: formas del potencial electrostático y del campo eléctrico en una juntura pn abrupta. volver al indice 3
B) La Juntura abrupta PN en equilibrio. 1) Estructura y densidades de carga. La Figura 4 nos muestra la concentración de impurezas, N D y NA, como función de la distancia x, perpendicular a la juntura en una juntura pn. Suponemos que ambos lados de la juntura están descompensados y que N A es ligeramente mayor que N D. N ND Región p
Región n
x
Figura 4: Perfil de impurezas para una juntura pn abrupta.
-NA
De la Figura 2 podemos deducir que la concentración de electrones y huecos varían como se ve en la Figura 5. La notación non y p on indican la concentración de electrones y huecos en el lado n en estado de equilibrio; de la misma manera nombramos a nop y pop refiriéndonos al lado p. Con el fin de ilustrar, hemos considerado NA(lado p) = 1016cm-3 y ND(lado n) = 5 x 10 15cm-3, siendo ni = 1010cm-3.
Figura 5: variación de n y p como función de x en la juntura abrupta pn.
ℓ 0 0 ≈ ℓ ℓ ℓ
ℓ 0 ≫ 0 0 ≈
Comparando las Figuras 4 y 5 se puede ver que en la región > en el lado n y en la región < en el lado p, se preserva la neutralidad de carga espacial.( de esta manera, por ejemplo, tenemos que = + 0 para > puesto que y .) En la región < < tenemos una deplexión de los portadores de cargas móviles y aparece entonces una carga neta espacial debido a los donadores y aceptores remanentes. Es decir que si nosotros dibujamos la densidad de carga neta ρ como una función de la distancia x obtendremos algo como la Figura 6.
Figura 6: Densidad de carga espacial como función de x en la juntura pn
Al comparar las Figuras 4, 5 y 6 debemos notar que la 4 y 6 están dibujadas en escalas lineales, mientras que la 5 está en escala logarítmica. Si se dibujara la fig.:5 en escala lineal, las concentraciones de electrones y huecos caerían muy bruscamente de modo que las densidades de portadores minoritarios no se verían. 4
Dando la densidad de carga como una función de x podemos calcular el campo eléctrico, E x(x) y el potencial electrostático ( ). Desafortunadamente (como veremos) la densidad de carga que vemos en la Figura 6 es muy complicada para obtener una solución analítica directa. La conexión entre la densidad de carga y el campo c ampo eléctrico nos la provee la ley l ey de Gauss:
=
(1)
o, si deseamos trabajar con potenciales, mediante la ecuación de Poisson:
=
(2)
Si ρ es una función simple, integrable, de x podemos integrar cualquiera de las dos (1) o (2). Pero cuando ρ es una función complicada de x o cuando (como en nuestro caso) depende de ψ la integración puede resultar imposible. volver al indice
2) Aproximación de Deplexión. La densidad de carga de la Figura 6 nos sugiere una aproximación que podemos tomar como:
ℓ ℓ ℓ ⎩ ℓ 0
( )=
<
<
<0
(3) 0< < 0 > Esta es una aproximación lineal por tramos que nos permite integrar cualquiera de las dos ecuaciones (2) o (3). Tal aproximación desprecia lo que sucede en las delgadas regiones de transición cercanas a x = n y x = − p que son intermediarias entre el material de carga neutra (llamado
+
material de sustrato) y el material cercano a la juntura que está vaciado de portadores de cargas móviles (llamada región de deplexión, capa de deplexión o región de carga espacial). En la Figura 7 apreciamos una forma esquemática de la estructura idealizada.
Figura 7: aproximación de deplexión en la juntura pn. Antes de que las piezas que forman la juntura fueran juntadas, ambas mantenían su neutralidad de cargas y, dado que no ha sido adicionada o quitada ninguna carga, la neutralidad debe mantenerse en la estructura compuesta. Esto no significa que tal neutralidad de carga se sostenga localmente en cualquier región de la estructura. De hecho, queda claro que en la región de deplexión no se mantiene tal neutralidad. Dado que la estructura es en su totalidad neutra, podemos concluir que una cantidad de carga negativa libre en la región p debe tener una cantidad exactamente igual de cargas positivas en la región n. Si las dos regiones están uniformemente dopadas surge que: 5
ℓ ℓ =
(4)
De esta ecuación surge que: en una juntura n+ p N D>>NA implica que l p >> ln y la región de de plexión, entonces, se ubica casi totalmente en la región p. Similarmente para una juntura p+n, ln >> l p .
Pregunta: Nos parece que hemos perdido algunos electrones y huecos en el proceso de formación de la juntura. Antes del contacto conta cto tenemos exactamente exactame nte suficientes electrones el ectrones y huecos para neutralizar todos los donadores y aceptores. Luego del contacto nos quedamos con regiones neutras y regiones que contienen carga espacial. Claramente hay ahora además una muy poca cantidad de electrones y huecos que alcanzan la neutralidad en cualquier punto. Dónde se fueron estos portadores perdidos?. volver al índice
3) Campos y Potenciales. Habiendo expresado la densidad de portadores de cargas según la ecuación (3) podemos calcular el campo eléctrico propio según la ecuación (1). En las regiones x < − p y x > + n no existe densidad de carga neta y (en ausencia de una fuente de polarización externa) tampoco hay campo eléctrico. Entonces tenemos inmediatamente: x < − p (5) E x ( x ) = 0 para x > + n Para − p ≤ x ≤ 0 tenemos:
ρ ( x) = −qN A dE x ( x)
=−
qN A
ε
dx E x ( x) = −
qN A
x + K
ε donde K es una constante de integración. Podemos evaluar K utilizando la condición de contorno E x = 0 para x = − p y obtenemos: E x ( x) = −
qN A
ε
(
p
+ x ) para − n ≤ x ≤ 0
(6)
para 0 ≤ x ≤ n tenemos:
ρ ( x ) = + qN D dE x ( x) dx E x ( x) =
=
qN D
ε
qN D
ε
x + K
Nuevamente, la constante la obtenemos de la condición E x = 0 para x = n y nos queda: 6
E x ( x) = −
qN D
ε
( n − x ) para
0 ≤ x ≤p
(7)
De esta manera el e l campo eléctrico nos queda como en la Figura 8.
Figura 8: E x ( x ) en función de d e la aproximación de deplexión. Puesto que hemos considerado ρ ( x ) como constante lineal por tramos E x ( x ) será lineal tam bién. No hemos usado la aproximación a proximación de deplexión y nos veríamos forzados a efectuar efectua r integración numérica encontrando leves alinealidades del campo eléctrico en inmediaciones de − p y n como se observa en la Figura 3. Para nuestros propósitos la aproximación mostrada en la Fi-
gura 8 es perfectamente adecuada. El valor máximo de E x se tiene en x=0 y viene dado por:
E max = −
qN D n
=−
qN A p
(8) ε ε Si observamos la ecuación 4, es evidente que las dos expresiones para E max son equivalentes. Dado que ψ ( x) está relacionado con E ( x) mediante: E x ( x) = −
dψ ( x) dx
(9)
Podemos calcular ψ ( x) integrando las ecuaciones (5), (6) y (7). De las ecuaciones (5) y (9) se desprende que ψ ( x) es constante en las regiones del sustrato por lo que podemos escribir:
y
ℓ ℓ ( )=
=
( )=
=
.
.
<
(10)
<+
(11)
Para − p ≤ x ≤ 0 Tenemos: x
ψ ( x) = ψ p −
∫
Ex ( x) dx
− p
7
reemplazando el campo eléctrico por su valor queda:
ψ ( x) = ψ ( p) +
x
qN A
ε
∫ (
p
+ x)dx
− p
que integrado entre los extremos nos da: qN 2 ψ ( x) = ψ + A p + x p 2ε
(
)
(12)
Para 0 ≤ x ≤ n Tenemos: x
∫
ψ ( x ) = ψ 0 − E x ( x )dx 0
Reemplazando el campo eléctrico por su valor y considerando que qN 2 ψ (0) = ψ + A p p 2ε
queda: qN qN 2 ψ ( x) = ψ + A p + D p ε 2ε
x
∫ (
n
− x ) dx
0
que integrado nos da: qN qN qND 2 2 2 ψ ( x) = ψ + A p − D ( n − x ) + n p 2ε 2ε 2ε
Como todavía tenemos que ψ ( x) = ψ para
(13)
x ≥ n
n
Podemos reemplazar x = n en la ecuación e cuación 13 y nos queda:
ψ
n
= ψ + p
qN A
2ε
p
2
+
qND
2ε
2
n
La diferencia de potencial en la región de deplexión será entonces:
ψ = ψ − ψ n p 0
(14)
o bien:
ψ = 0
q
( N 2ε A
2 p
+ N D2n )
(15)
La variación de ψ como una función de x es mostrada en la Figura Figura 9.
8
Figura 9: ψ ( x) como función de x en la aproximación de la deplexión. Una vez que tenemos ψ ( x) , se puede dibujar el diagrama de bandas de energía, lo que podemos observar en la Figura 10:
Figura 10: Diagrama de bandas de energía para una juntura abrupta en equilibrio. Varios puntos deben considerarse respecto del análisis efectuado: 1 -- Si el análisis parece dificultoso o enmarañado es solamente porque se ha desarrollado E x ( x ) y ψ ( x) en forma detallada. Ahora, esto lo hicimos solamente para ilustrar el método mediante el cual el problema problema puede ser resuelto formalmente y ver que no tenemos que “adivinar” o “estimar la curvatura de las bandas: esas cosas pueden ser calculadas. De ahora en más, no utilizaremos las expresiones analíticas de E x ( x ) y ψ ( x) . Todo lo que necesitamos conocer son las formas, y expresiones que relacionan a
E max y ψ con N A , N D y ni . 0 2 -- Podríamos haber obtenido una expresión para ψ con los métodos desarrollados en el tema 0 V. Y lo hubiéramos hecho así: n , p ,
p0 p = ni e
n0 n = ni e
−
−
qψ p kT
qψ n kT
= N A
= ND
y, en consecuencia: 9
ψ 0 = ψ n − ψ p =
kT q
N A N D 2 n i
ln
(17)
3 -- La ecuación (8) puede ser utilizada para rescribir la (15) como: 1
ψ 0 = − E max ( n + p )
(18)
2
esto, se reconoce como el área bajo la curva triangular de E x ( x ) . (Tiene esto sentido físicamente?) 4 -- Hemos tomado ψ n y ψ p como constantes pero no hemos especificado, aún, sus magnitudes absolutas. Dado que son potenciales ambos, las magnitudes absolutas son arbitrarias, pero estamos de acuerdo con la convención por la que tomamos ψ =0 para materiales intrínsecos. Aplicando esta convención tenemos (recordemos la ecuación 22: ψ = −
ψ = +
kT q
ln
n0 ni
kT q
ln
p0 ni
y la ec. 23:
del tema 5 que definen el potencial en cualquier punto del cristal sabiendo que
para un material intrínseco ψ =0)
ψ p = −
kT q
ln
N A ni
y
ψ n = +
kT q
ln
N D ni
Entonces ψ p es una cantidad negativa, ψ n es positiva y ψ =0 en cualquier lugar cerca de x=0. En una juntura simétrica ψ =0 para x=0 mientras que en una juntura asimétrica el punto para el que ψ =0 se desplaza hacia la región menos dopada. 5—Podemos resumir los resultados diciendo que una barrera de energía existe en la interfase entre las regiones p y n de una juntura abrupta. Esto se ve en la Figura 10 donde también observamos que la altura de esta barrera es q ψ 0 . Para diodos de Si, a T = 300ºK, ψ 0 = 0,5 a 0,8 V de manera que q ψ 0 = 0,5 a 0,8 eV. Los electrones cercanos a la base de la banda de conducción deberán remontar la barrera para alcanzar la región p mientras que los huecos (o huecos) deberán descender la barrera para alcanzar la región n (recordemos que la energía de los huecos se incrementa descendiendo en el diagrama de bandas. En el equilibrio la altura de estas barreras es la justa para prevenir cualquier flujo neto de cargas (electrones o huecos) a través de la juntura. volver al indice
10
C) La Juntura abrupta polarizada. volver al indice
1) El efecto de la polarización en el diagrama de bandas. En la sección anterior hemos visto que existe un potencial propio del sistema ψ 0 y su correspondiente barrera de energía q ψ 0 en la interfase de una juntura abrupta. En el equilibrio la barrera previene cualquier flujo f lujo de carga neta ne ta a través de dicha juntura. Una mejor visión de esta situación puede ser conseguida si superponemos la distribución de electrones y huecos g(E)f(E) en el diagrama de bandas. En la Figura Figura 11 lo primero que notamos notamos es que la barrera de energía es solamente para portadores mayoritarios. Un portador minoritario aproximándose desde el lado p, por ejemplo, se deslizará desliza rá (será acelerado por el campo ca mpo propio del sistema) hacia el lado n. Estos portadores minoritarios están representados representa dos por las áreas sombreadas A y D de la Figura 11. Otra cosa para destacar es que la barrera solamente es efectiva para detener a la mayoría de los portadores solamente si la energía cinética de éstos es menor que el alto de la barrera. En la Figura 11 se observa también que la mayoría de los portadores están por debajo del tope de la barrera pero solamente algunos (las áreas sombreadas en B y C) tienen suficiente energía cinética para moverse a través de la región de deplexión en contra del campo eléctrico. En equilibrio el área A es igual al área B y no hay flujo electrónico neto.
Similarmente las áreas C y D son simétricas y en consecuencia no hay flujo neto de huecos. Gráficamente esto muestra el significado del término neto. En equilibrio un pequeño número de electrones y huecos se están moviendo constantemente en un sentido de la región de deplexión mientras que otro tanto lo hace en el sentido inverso. De manera que el flujo neto es cero. Consideremos ahora qué ocurre si alteramos este balance aplicando una tensión externa a la juntura. La juntura tiene aún el potencial interno ψ 0 por el cual el lado p está a un potencial negativo respecto del lado n. Existen dos posibles posibles polaridades para la tensión externa. Esta tensión puede ayudar a ψ 0 haciendo la barrera más alta o puede oponerse a ψ 0 haciendo más pequeña esta barrera. Cuando la tensión externa ayuda a ψ 0 se dice que la juntura está polarizada en inversa mientras que cuando se opone a ψ 0 se dice que la juntura está polarizada en directa. Estos dos casos están graficados grafica dos en las Figuras 12 y 13:
11
Figura 12: La juntura bajo polarización inversa. La barrera se hace más alta (comparada con la fig. 11 ) en una cantidad igual a qVe. Las áreas A y D son ahora más grandes que las áreas B y C respectivamente.
Figura 13: La juntura polarizada en directa. La barrera se hace más baja en la cantidad qVe y las áreas B y C son más grandes que las áreas A y D respectivamente.
Antes de discutir las Figuras 12 y 13 es necesario comentar un punto delicado respecto de los diodos polarizados. Cuando se conecta una fuente externa, se rompe la situación de equilibrio y estrictamente hablando no se pueden utilizar más los conceptos de equilibrio tales como energías de Fermi. No obstante, los cálculos detallados muestran que el incremento del campo eléctrico causado por una polarización externa no es muy grande y la distribución de portadores en el desequilibrio es muy similar a la distribución de Fermi y, entonces, los conceptos de Energía de Fermi permanecen válidos en las regiones del substrato. En la región de carga espacial (zona de deplexión) la distribución de portadores no puede ser aproximada mediante una simple distribución de Fermi y en consecuencia se debe reexaminar este concepto. No profundizaremos a este respecto y simplemente dibujaremos los niveles de Fermi en las regiones p y n (substrato) y conectaremos estos niveles mediante una línea de interpolación a través de la región de deplexión. Otro problema que ocurre es que cuando se polariza la juntura las dos regiones p y n tienen portadores de cargas libres y como se vio vio en el tema 1 obedecen a la ley de Ohm es decir que cuando fluye corriente debe aparecer alguna caída de tensión en las regiones del sustrato p y n Ahora bien, como la corriente es pequeña y los portadores libres son muy mu y pocos en la región de carga espacial, esta zona de deplexión tiene una mucho mayor resistividad que las otras regiones de la juntura y en consecuencia podemos hacer la aproximación de que toda la tensión externa aplicada aparece en la región de deplexión y que la caída de tensión en las zonas p y n son desprecia bles. Bajo estas condiciones fueron dibujadas las Figuras 12 y 13. 13. Consideremos ahora la Figura 12: En ella se observa una juntura polarizada en inversa y adoptamos la siguiente convención para el signo de Ve:
� >0 <0
ó ó
(18)
12
Comparando las Figuras 11 y 12 vemos que la aplicación de una tensión de polarización en inversa incrementa la altura de la barrera de q ψ 0 a q(ψ 0 -Ve). La consecuencia más importante de este incremento es que se desacomoda el balance entre las áreas A y B y las áreas C y D permitiendo que fluya una corriente neta a través de la juntura. Claramente se ve que las áreas A y D son mucho más grandes que las B y C y en consecuencia habrá un flujo neto de electrones desde la izquierda a la derecha y huecos desde la derecha a la izquierda (tengamos en cuenta que estor gráficos de las ecuaciones de estado g(E)f(E) no están hechos a escala). Todos estos diagramas tienden a mostrar un decaimiento exponencial de f(E) que sería muy pequeño si lo dibujamos a escala. Entonces cuando aplicamos una polarización inversa las áreas sombreadas B y C se hacen extremadamente pequeñas al cambiar la altura de las bandas. También, al aplicar una pequeña polarización inversa rápidamente alcanzamos el punto en el que la corriente consiste totalmente de electrones en e n el área A y huecos en el e l área D. Debemos notar que esta corriente es muy pequeña ya que las áreas A y D corresponden a densidades de portadores minoritarios minoritarios las que son muy pequeñas. Podemos Podemos concluir entonces entonces que la polarización inversa produce una corriente constante, muy pequeña (independiente (i ndependiente del valor de polarización) y corresponde a la corriente de saturación inversa Is definida en el tema IV. Es fácil de ver ahora qué ocurre cuando polarizamos la juntura en directa. De acuerdo a nuestra convención de signos ahora V e es mayor que cero y entonces q( ψ 0 -Ve) resulta más chica que q ψ 0 y la barrera se reduce como se muestra en e n la Figura 13. Las áreas A y D permanecen pequeñas mientras que las áreas B y C se hacen exponencialmente crecientes a medida que Ve aumenta. Como V e en magnitud se aproxima a ψ 0 , la barrera se hace extremadamente baja y fluye una gran corriente. Entonces, sin hacer ningún cálculo podemos ver que la juntura p-n tiene una característica característica I-V como la de un diodo; es decir al ser polarizada en inversa fluye una muy baja corriente independiente de la tensión de polarización y al ser polaripolarizada en directa fluye una corriente que que se incrementa exponencialmente exponencialmente con la tensión de polapolarización. La Figura 14 14 muestra la correspondencia entre la juntura p-n p-n y el símbolo del diodo que ya conocemos. Podemos identificar el lado P como el ánodo del diodo y el lado n de la juntura como el cátodo del mismo.
Polarización Inversa
Polarización Directa
Figura 14: Correspondencia de terminales y regiones entre una juntura p-n y un d iodo.
No hay necesidad de repetir el análisis de los casos polarizados. Dado que Ve simplemente se agrega o se opone a ψ 0 podemos utilizar los términos ya deducidos reemplazando ψ 0 con ψ 0 -Ve de manera que bajo los efectos de polarización tendremos:
13
ℓ 22 − + (
=
)
(
ℓ 22 − + (
=
)
(
22 − + =
(
)
(19)
(20)
)
)
(21)
Podemos notar aquí que con la polarización directa los tres términos se hacen muy pequeños mientras que en condiciones de polarización polarizac ión inversa se hacen muy grandes. volver al indice
2) Concentración de portadores en el borde de la región de carga espacial. La Figura 15 introduce una notación que usaremos en esta sección: Los planos x = − p y x = n que definen los bordes de la región de deplexión son denominados ahora “a” y “b” respectivamente. Las regiones p y n tienen longitudes w p y wn y terminan en contactos Ohmicos. Ohmicos. Por ahora podemos decir que los contactos óhmicos que se forman están definidos de acuerdo a las siguientes propiedades:
Figura 15: diagrama de contactos en la juntura p-n 1- Un contacto Ohmico en un material tipo n puede aceptar o entregar al semiconductor cualquier flujo requerido de electrones. Las características I-V de este contacto es lineal para cualquier sentido de la corriente. 2- Un contacto óhmico en un material tipo p puede aceptar o entregar al semiconductor cualquier flujo requerido de huecos (o huecos). Dado que muchos metales que son usados para hacer contactos conducen solamente por flujo de electrones, esto hace que el contacto pueda remover electrones desde el semiconductor (actuando como una fuente de huecos que se mueven en dicho semiconductor semiconductor p) o adicionando electrones al semiconductor semiconductor con lo que se recombinan actuando como un sumidero para los huecos. En este caso también las características I-V son lineales. 3- Cualquier barrera que pueda existir entre el metal y el semiconductor es independiente de la tensión y corriente de polarización. Como ya se vio, esto significa que el contacto óhmico es incapaz de causar excesos de densidades de portadores por inyección o extracción de porta14
dores minoritarios. Entonces, una condición de enlace para contactos óhmicos es que las densidades en exceso se desvanecen aquí. En equilibrio (sin polarización) la concentración de electrones y huecos justo en los puntos x=a y x=b vienen dadas por: qψ p
n(a) = nop = ni e kT qψ n
n(b) = non = ni e kT p(a) = pop = ni e p(b) = pon = ni e
−
−
qψ p kT qψ n kT
(22)
Puesto que ψ 0 = ψ n − ψ p podemos escribir las siguientes relaciones:
n(a ) n(b)
=
nop non
=e
−
qψ 0 kT
(23)
y
p (b ) p (a )
=
pon pop
=e
−
qψ 0 kT
(24)
Para ψ 0 = 0,6 V y kT= 0,025 eV las ecuaciones anteriores dan e -24 es decir unos 10 -10. Entonces, como era de esperar, la relación de concentración concentración de portadores minoritarios de un un lado de de la región de deplexión a los portadores mayoritarios del otro lado es un número número muy pequeño en el equilibrio. Cuando se aplica una polarización ψ 0 es reemplazado por ψ 0 -Ve y esto se traduce en
n(a ) n(b )
=
p (b ) p (a )
=
pon pop
=e
−
q (ψ 0 −V e ) kT
Al no existir la condición de equilibrio estas relaciones no son iguales a
(25)
nop non
y
pon pop
. Además las
relaciones dependen exponencialmente de la polarización Siendo muy grande para polarización directa y muy pequeña para inversa. Usando las ecuac. 23 y 24 para eliminar ψ 0 de la ecuac. 25 nos queda:
n( a ) n(b)
=
nop non
qV e
e kT
(26)
y
p (b ) p (a )
=
pon pop
qV e
e kT
(27)
15
Como ya se ha dicho, todo este análisis es válido para bajos niveles de corriente (pequeñas desviaciones de la condición de equilibrio) y bajo estas condiciones la mayoría de las concentraciones de portadores no es perturbada significativamente. De esta manera tenemos:
n(b) ≈ non p (a ) ≈ pop
(28)
entonces las ecuaciones ecuaci ones 26 y 27 resultan: qV e
n(a ) = nop e kT
(29)
qV e
p (b) = pon e kT
(30)
Estas ecuaciones nos dejan ver claramente los efectos de la polarización. Para polarización directa Ve es mayor que cero y la concentración de portadores minoritarios en los bordes de la región de deplexión n(a) y p(b) se incrementan sobre su valor de equilibrio nop y p on . Esto es llamado inyección de portadores minoritarios. Bajo polarización inversa n(a) y p(b) decrecen y entonces decimos que toma lugar una extracción de portadores minoritarios. Las ecuaciones (29) y (30) pueden ser expresadas en términos del exceso de densidades (recordar el tema III) en los puntos a y b: n(a) = n0 p + n′( a)
qV n′ ( a ) = n0 p e kT − 1 e
(31)
p (b) = p0 n + p′(b)
y:
qV p′(b) = p0b e kT − 1 e
(32)
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3) Derivación de las características de tensión-corriente. Hemos establecido que la densidad de portadores en exceso en los bordes de la región de carga especial depende exponencialmente de la tensión aplicada. Queda por relacionar la densidad de corriente con la densidad de portadores en exceso. Dado que la corriente es contínua nos podemos concentrar en la densidad de corriente en la región “b” que será: J (b) = J e (b) + Jh (b) = qn( b)µe E + qDe
dn dx
+ qp( b)µ h E − qDh b
dp dx
b
como n >> p y µe ≈ µ h podemos considerar que el tercer término es despreciable dado que es mucho más pequeño que el primero. Entonces la densidad de corriente de huecos total en el punto b resulta:
16
J h (b) = − qDh
dp dx
= − qDh b
dp′ dx
b
Ahora bien, si la región n es suficientemente angosta de manera que la recombinación sea pequeña y si el contacto óhmico del lado derecho en x=w no permite que exista exceso de densidad de portadores de carga la distribución de p′( x) puede ser aproximada mediante una línea recta como en la Figura 16.
Consecuentemente: J h (b) = qDh
p′(b) wn
(33)
La componente electrónica en “b” es mucho más difícil de obtener dado que ambos, el campo y la difusión contribuyen. De todos modos la corriente electrónica en el punto “a” es por analogía justamente: n′(a) (34) J e ( a) = qDe w p
y si la región de carga espacial está suficientemente cercana tanto que la recombinación es des preciable entonces: J e (b) = J e ( a) Entonces de las ecuaciones (31) y (34) obtenemos:
qDe n0 p qDh p0 n qV kT + − 1 J = J e (a ) + J h (b ) = e w p w n e
(35)
Esta ecuación se identifica claramente como la ecuación del diodo ideal:
qV J = J s e kT − 1
(36)
qDe n0 p qDh p0 n J s = w p + wn
(37)
e
donde:
Hemos remarcado en el tema 4 que Js es fuertemente dependiente de la temperatura y la ecuación 37 nos revela la razón:
p0 n ≈
ni2
2
ni
n0 p ≈ y N D N A 2 entonces Js es proporcional a ni y ésta es altamente dependiente de la temperatura. volver al indice
17
4) La capacidad de la juntura como función de la tensión de polarización. La capacidad puede ser definida como la constante de proporcionalidad entre la carga incremental adicionada a la estructura y la tensión diferencial aplicada a ésa estructura: C =
dQ dV
entonces, cada vez que cambia la polarización de la estructura resulta un cambio en la carga almacenada en ésa estructura y podemos definir y calcular, entonces, la capacidad. Esto resulta evidente para una juntura p-n dado que un cambio en la polarización resulta en un cambio en el ancho de la región de deplexión. Causando el correspondiente cambio en la cantidad total de la carga espacial. Esto se ilustra en la Figura 17:
Figura 17: Modificación del ancho de la región de deplexión como consecuencia del aumente de la tensión de polarización. La forma más sencilla de obtener una expresión para la capacidad de la juntura es considerar las regiones p y n como conductoras y la región de deplexión como aisladora de espesor = n + p y constante dieléctrica ε . Si la sección transversal del diodo es A la estructura puede ser aproximada a un capacitor de placas planas paralelas cuya capacidad es: C =
ε A
(39)
Ya vimos que:
=
2ε (ψ 0 − V e )
N D + N A
q
N D N A
(40)
De manera que podemos escribir la capacidad como dependiente de la polarización según: C=A
ε qN D N A
1
2 ( N D + N A )
ψ 0 − V e
(41)
18
La Figura 18 muestra la capacidad como función de la tensión Ve:
Notemos que C(V e) es una función monótonamente monótonamente decreciente para la polarización inversa y es monótonamente creciente para la polarización directa. Este es un resultado general que se verifica también para junturas no-abruptas y para perfiles dopados no-uniformes. En V e = ψ 0 la ecuación 41 resulta divergente. Si la capacidad del diodo fuese medida para pequeños valores de polarización directa se vería que que crece rápidamente en las cercanías de V e = ψ 0 . Una sencilla reflexión nos muestra que este resultado no es significativo para nuestro modelo. Para polarización directa y para tensiones tan grandes como ψ 0 el diodo puede conducir grandes corrientes y no se comporta solamente como un capacitor. Este régimen requiere de un análisis mucho más profundo que no consideraremos ahora. Lo que sí es importante es que para pequeños valores de polarización directa y para todos los de polarización inversa el diodo sí es un capacitor dependiente de la tensión. te nsión. Este hecho hace a los diodos muy utilizados como elementos de sintonía para receptores de radio, por ejemplo. Un diodo que es utilizado como capacitor variable recibe el nombre de Diodo Varactor o Diodo Varicap. La dependencia precisa de la capacidad con la tensión puede ser ajustada dentro de ciertos límites regulando los perfiles dopantes ND(x) y NA(x). Y esta operación puede ser simplificada mediante el uso de diodos n + p o p+n. En un diodo p +n, por ejemplo, N A >> N D y la ecuación 40 se reduce re duce a:
=
2ε (ψ 0 − V e ) qN D
(42)
que depende solamente de N D y no de N A. Entonces si NA es lo suficientemente grande, solamente el perfil de ND debe ser ajustado para un valor específico de C(Ve). El proceso también puede ser efectuado de otra manera: Si uno mide C(V e) para un diodo n + p o p+n, es posible calcular el perfil desconocido de dopante necesario ND(x) o NA(x) para la región menos dopada. Esta técnica de caracterización se conoce con el nombre de Perfilado C-V. Queda claro de la ecuación 41 y de la Figura 18 que la capacidad de una juntura p-n no es constante puesto que depende de la tensión de polarización. Esto contrasta con los capacitores normales para los que la carga carga almacenada varía con la tensión aplicada mientras que la capacidad es constante.. Además la capacidad de la juntura tiene una dependencia no-lineal con la tensión aplicada. Para ver el significado de esto recordemos la corriente que circula por el capacitor: i = C
dV dt
Si C es una función analítica de V podemos desarrollarla en Serie de Taylor Taylor respecto de un punto de operación y tendremos: 19
C (V ) = C0 + C1V + C2V 2 + ...
donde los C i son coeficientes de expansión. Supongamos ahora que V es una tensión de alterna de la forma V = V0 senω t Entonces, en virtud de la no-linealidad de C(V), la corriente tendrá componentes proporcionales 2
sen ω t
a Y mediante la identidad trigonométrica:
sen A = 2
1 2
(1 − cos 2 A)
vemos que la corriente tendrá una componente de frecuencia 2ω . Entonces los elementos no-lineales pueden ser utilizados en la construcción de dobladores de frecuencia. Si dos señales de alterna de frecuencias diferentes son superpuestas se obtendrá una corriente de la forma: 2 2 2 (V1senω1t + V2 senω2 t ) 2 = V1 sen2ω1t + 2V1V2 senω2 tsenω1t + V2 se sen ω2 t es fácil de ver que esto nos dará corrientes con componentes de frecuencias 2ω1 , 2ω 2 , ω1 + ω 2 , y ω1 − ω 2 . Las últimas dos frecuencias son las componentes mezcladas y tienen múltiples aplicaciones en la electrónica de comunicaciones. Los dobladores y mezcladores no pueden ser realizados mediante elementos puramente lineales. volver al indice
D) Ruptura. Como ya se vio vio en el tema IV los diodos diodos pueden soportar arbitrariamente altas tensiones de polarización inversa. Para una cierta tensión crítica VB conocida como tensión de ruptura el diodo comienza a conducir corriente. Existen dos mecanismos fundamentales por los cuales se produce la ruptura pero ambos están relacionados con la existencia de campos eléctricos extremadamente grandes en la región de de plexión. volver al indice
El mecanismo de avalancha. La región de deplexión aún contiene algunos electrones y huecos generados térmicamente. Además, debido a la polarización inversa existen algunos algunos electrones y huecos que son difundidos desde las regiones p y n hacia la región de agotamiento. Estos portadores son acelerados por el campo eléctrico de la región de deplexión y, cuando el campo es muy grande pueden adquirir adquirir muy alta velocidad. De hecho, para campos suficientemente grandes los portadores adquieren suficiente energía cinética como para romper los enlaces covalentes al colisionar con los átomos de la estructura cristalina. Cada enlace roto contribuye con, al menos, un par electrón-hueco adicional los que son nuevamente acelerados causando también ruptura de enlaces. El resultado es una reacción en cadena o efecto “avalancha” en el que la concentración de portadores (y por lo tanto la corriente) rápidamente toma altos valores. El hecho de que una mínima cantidad de energía bien definida se requiera para romper los enlaces nos da un umbral y un campo eléctrico crítico para la ruptura de avalancha. Este hecho nos da cuenta para la forma brusca que se observa para la avalancha en las características I-V de un diodo. Desde el punto de vista de la conservación de la energía se podría suponer que cualquier portador energético rompería un enlace 20
siempre que posea una energía cinética mayor o igual que Eg. esto no es cierto generalmente . En las colisiones, se deben conservar ambas, la energía mecánica y el momento; Cuando se considera la conservación del momento, la condición de umbral requiere que la energía cinética sea mayor o igual que AEg donde A es generalmente >1 y vale a proximadamente 1,5 para el Si. volver al indice
El mecanismo Zener. Para bajos niveles de dopantes (digamos N D o NA ≤ 10 cm− ) la ruptura ocurre generalmente por el mecanismo de avalancha pero per o para diodos altamente altame nte dopados un segundo efecto efe cto debe de be ser considerado. Ya vimos que la región de deplexión tiene un ancho dado por: 18
=
3
2ε (ψ 0 − V e )
N D + N A
q
N D N A
(43)
Y el campo eléctrico en la juntura, Emax está dado por:
E max =
2q (ψ 0 − V e )
N A N D
ε
N A + N D
(44)
Entonces para valores suficientemente grandes de NA y N D, será muy pequeño y E max se hará muy grande aún para valores modestos de tensión de polarización. El ancho de la región de de plexión se hace tan pequeño, entonces, que los portadores pueden viajar a través tr avés de ella teniendo t eniendo una insignificante probabilidad de colisionar con los átomos del cristal como para iniciar iniciar una avalancha. A estos niveles de dopantes, Emax se hace tan grande que comienza a polarizar los enlaces, “estirándolos”, llevando los electrones hacia el lado + y los átomos hacia el lado – del cristal. Cuando este estiramiento no se soporta, se rompe el enlace generándose un par de electrones-huecos y en consecuencia una corriente de ruptura. Para que el efecto Zener tenga lugar las bandas deben estar muy curvadas en una dist ancia muy pequeña, como se ve en la Figura 19. Notemos que cuando las bandas están está n fuertemente fuerteme nte curvadas, Eg(x) permanece constante pero la banda de valencia electrónica en x1 está separada por una muy pequeña distancia de la banda de conducción para el estado de igual energía, en x2. Esto se puede ver mediante las ideas dadas por la mecánica cuántica que establecen que en los estados por x 1 y x2 separados por una barrera (la banda prohibida) un electrón en x 1 puede pasar por un túnel a través de la barrera y alcanzar x 2 siempre que la barrera sea suficientemente delgada.
Figura 19: Una ilustración ilustración del efecto túnel en un Zener. Zener. Una forma alternativa de ver el efecto Zener, Zener, es, en vez de decir que los enlaces son estirados y rotos es decir que el elevado campo eléctrico permite que los electrones atraviesen la banda prohibida mediante un túnel creándose un par electrón-hueco. Con este punto de vista estamos en condiciones de comprender el funcionamiento de diodos es peciales entre los que podemos citar el Diodo Túnel. 21
La Figura 20 nos muestra la tensión de ruptura como función del nivel de dopantes para diodos planares abruptos de Si a 300ºK. Como ya se mencionó, el efecto Zener de avalancha se hace significante solamente a altos niveles de dopado. En base a esto podemos decir que cualquiera de los llamados diodos reguladores Zener con tensiones de ruptura superiores a los 7-8 V son diodos de avalancha. Para otros materiales que no sean Si los mismos mecanismos de ruptura se aplican pero las tensiones de ruptura para los distintos niveles de dopantes variarán con el tamaño de la banda prohibida.
Figura 20 Tensión de ruptura Vs. Concentración de dopantes a 300ºK. Una expresión universal aproximada para V B es:
Eg V B (Vo Volt ltio ioss ) = 60 1,1
3/ 2
3/ 4
1016 N i
(45)
donde Eg está dado en eV y N en cm -3. Para Si con N=10 16cm-3 nos da: VB=60 V. Lo que concuerda con la Figura 20. volver al indice
E) Contactos Metal-Semiconductor en los diodos Schottky. Queda claro que para poder utilizar cualquier dispositivo semiconductor es necesario establecer algún contacto entre un metal y el semiconductor con el fin de permitir el flujo de corriente. Normalmente esto se efectúa mediante la deposición de relativamente grandes áreas metálicas directamente en contacto con el semiconductor y luego uniendo estas áreas con los conductores metálicos necesarios.
Figura 21: Método típico para conectar terminales a un dispositivo semiconductor En esta sección analizaremos qué ocurre con el comportamiento de la interfase metalsemiconductor y nos referiremos a esta interfase como contacto metal-semiconductor. En el Tema V vimos que existe un potencial interno o potencial de contacto entre dos materiales diferentes. 22
Nos referimos a materiales diferentes cuando éstos poseen energías de Fermi Ef distintas antes del contacto. Cuando tales materiales son puestos en contacto, las cargas móviles fluyen desde el material de más alta Ef al de más bajo valor. De lo que resulta una alineación de las energías de Fermi y la aparición aparici ón del potencial interno. La Figura 22 ilustra este e ste proceso para un contacto metal-semiconductor metal-semi conductor tipo n. En el dibujo de la Figura 22 hemos hemos asumido que la energía de Fermi Fermi del metal tiende a un valor de energía ubicado en algún lugar de la banda prohibida del semiconductor. Esta es la situación actual para muchos pares comunes de metal-semiconductor. Como se ve en la Figura 22, los electrones son transferidos desde el semiconductor al metal, dando al metal una carga neta negativa y dejando atrás, en el semiconductor, donadores ionizados positivos. Este problema puede ser resuelto analíticamente mediante la misma formulación matemática que fue utilizada para la juntura p-n. El resultado es la formación de una región de deplexión cuyo ancho viene dado por: n
=
2ε V bi qN D
(46)
donde V bi es llamado “potencial interno” que es similar a ψ 0 en una juntura p-n. En principio V bi debería obtenerse a partir de la diferencia inicial de las energías de Fermi. En la práctica, ello depende de las propiedades electrónicas de la superficie del semiconductor y de la la preparación de la superficie del metal antes de la deposición metálica. 2 Típicamente, qVbi ≈ Eg para semiconductores tipo n. 3
Figura 22 a : Metal y semiconductor antes del contacto. La flecha indica el flujo de electrones luego del contacto para reestablecer el equilibrio. En la Figura 22b. Podemos ver que una barrera existe en la interfase metal-semiconductor. Igual que en la juntura p-n podemos subir o bajar esta barrera aplicando una polarización externa.
23
Figura 22 b : Diagramas de bandas de energía ilustrando la Formación de un contacto metal-semiconductor. En la Figura 23 se ven los dos modos de polarización del contacto metal-semiconductor y se puede observar que este contacto actúa como un Diodo Schottky
Figura 23: Diodo de barrera Schottky bajo polarización. La barrera en la interfase metal-semiconductor es llamada barrera Schottky y los contactos así formados metal-semiconductor son utilizados como diodos y llamados Diodos Schottky. Tales diodos pueden ser producidos con materiales tipo p o tipo n pero generalmente son más eficientes los del tipo n. 1 En un diodo Schottky tipo p, el potencial interno V bi es típicamente qVbi ≈ Eg , esto hace que 3 la barrera sea solamente la mitad de alto que para materiales tipo n, y su eficacia y comportamiento como diodo se reduce. De todas maneras algunas explicaciones han sido propuestas para las variaciones observadas en el alto de la barrera Schottky, ningún modelo ha sucedido a la investigación experimental y se mantiene la investigación activa en el área (hablamos del año 1978). Hemos establecido que uno de las más importantes características de los diodos Schottky es que son dispositivos de portadores mayoritarios. Esto y sus consecuencias pueden ser entendidas comparando los diodos Schottky con los diodos di odos de juntura pn. En un diodo pn la polarización directa causa la inyección de portadores minoritarios que varían exponencialmente con la tensión aplicada a la juntura. Si la tensión de juntura es desconectada bruscamente, la corriente no cae instantáneamente a cero cer o pero decae exponencialmente hasta que todos los portadores minoritarios inyectados se hayan recombinado. Entonces, la corriente decae 24
con un tiempo característico igual a la vida media de los portadores minoritarios. Esto es llamado el efecto de “almacenamiento de carga”, y el tiempo requerido para neutralizar la carga almacenada es llamado “tiempo de almacenamiento” o “tiempo de recuperación” del diodo. Un diodo de Si pn diseñado específicamente para recuperación rápida, puede requerir varios nanosegundos para que la corriente decaiga desde 100 mA hasta menos de 1 mA. La gran superficie de la juntura de colector de un transistor de potencia puede exhibir efectos de almacenamiento de carga que persisten por cientos de milisegundos. Consideraremos ahora el comportamiento contrastante de un diodo Schottky. La Figura 23.a muestra el diagrama de energía de bandas para un diodo Schottky (en un semiconductor tipo n) bajo polarización directa. Notemos que de manera diferente a la juntura pn las barreras de electrones y huecos no son simétricas. si métricas. En particular par ticular la barrera que impide la inyección electrónica en el metal adquiere un máximo abrupto en la interfase y luego cae, es decir, tiene un espesor finito. En modelos más detallados se ve que esta barrera electrónica está algo redondeada en la cima y es levemente menor que la mostrada en la Figura 23.a. El espesor finito de la barrera electrónica permite que una cantidad significativa si gnificativa de electrones e lectrones atraviese a traviese por efecto e fecto túnel desde el semiconductor hacia el metal. Esto, combinado con una altura de barrera menor para la inyección Electrónica permite que la mayoría de la corriente sea transportada por electrones y que esa corriente se haga significativa a menores valores de polarización que para la juntura pn. Típicamente los valores de tensión de arranque para diodos Schottky de Si están en el orden de los 0,3 a 0,4 V (comparado con los 0,6 V para diodos pn) Consideremos ahora que ocurre con los electrones inyectados una vez que están en el metal; dado que no hay banda prohibida en el espectro de niveles de energía de un metal, los electrones no tienen que esperar a encontrar huecos para recombinarse; ellos rápidamente pierden el exceso de energía a través de colisiones (proceso que es denominado “Termalización”) y unifican así la distribución térmica de electrones en el metal. Este proceso requiere solamente algunos picosegundos para efectuarse y es extremadamente rápido comparado con la recombinación. Cuando una polarización externa es desconectada, la corriente en el diodo Schottky cae mucho más rápido que un diodo pn. La característica I-V de un diodo Schottky cuidadosamente construido puede ser representada exactamente por la ecuación del diodo ideal:
qV I = I s e kT − 1 Dado que la barrera se reduce para la inyección de portadores mayoritarios, la corriente de saturación inversa, I s , es típicamente varios órdenes de magnitud más grandes que para el diodo de juntura pn de dimensiones comparables, lo que se ilustra en la Figura 24.
Figura 24: Comparación entre las características I-V de un diodo pn y uno Schottky. El diodo Schottky tiene una menor tensión de arranque y una mayor corriente corriente de saturación inversa.
25
Ocurre ahora que los contactos Schottky no sean los adecuados para la aplicación mencionada en el principio de la sección: posibilitar el flujo de corriente en el dispositivo. Para este propósito necesitamos contactos Ohmicos con características I-V simétricas. La Ecuación 44 provee una pista de cómo los contactos Ohmicos pueden ser obtenidos. Si la superficie del semiconductor está fortísimamente dopada, n será muy pequeño y la barrera Schottky muy delgada. A niveles dopantes > 10 19 cm -3 la barrera es suficientemente delgada para que los portadores puedan tunelizarla en cualquier dirección igual para muy pequeños valores de polarización y entonces el comportamiento Ohmico es obtenido. La estrategia para la formación de contactos Ohmicos entonces, es dopar la superficie semiconductora fuertemente con dopantes mayoritarios en el área donde el contacto va a ser formado. La Figura 25 muestra la transición desde el estado de diodo al comportamiento Ohmico como una función del nivel de dopante de la superficie.
Figura 25: Las características I-V para un contacto Metal-Semiconductor como una función del nivel de dopante bajo el metal. El nivel dopante se incrementa de A a C. volver al indice
F) Los diodos reales y su modelización. Al final del Capítulo 4 algunas cuestiones fueron expuestas las que no tenían respuesta sin ver la estructura interna y mecanismo de operación de un diodo; no responderemos a todas esas preguntas en detalle pero proveeremos respuesta parcial a las que nos muestra como comprender al dispositivo mediante mejores modelos. Refiriéndonos al Capítulo 4 las respuestas son: 1-- Tanto como la dependencia de temperatura de cualquier parámetro dependiente de la temperatura, el modelo debe permanecer válido. El parámetro más dependiente de la temperatura es n i . Otros parámetros que necesitan ser revisados son µn , µ p , De , Dh , ψ 0 y VB . Para grandes desviaciones de la temperatura ambiente uno podría esperar que E g decrezca linealmente con una relación de aproximadamente 10-4 eV/ºK, a pesar de la pequeña caída de Eg la tensión de ruptura se incrementa con el aumento de temperatura. Debido al incremento de n i la corriente de saturación inversa Is se incrementa también con la temperatura. 2-- El efecto más obvio que puede ser tomado en cuenta cuando se considera la respuesta en alterna de un diodo es la capacidad de la región de deplexión. En el capítulo IV hemos considerado al diodo como un circuito abierto para la polarización inversa. En este capítulo hemos visto que un mejor circuito equivalente equivalente consistiría en un capacitor C(Ve) C(Ve) para polarización inversa. inversa. Esto
26
1 para jω C señales de frecuencia ω . Obviamente a suficientemente altas frecuencias Z se hace muy pequeño y el diodo conduce en la dirección inversa de polarización (acompañado, por supuesto, de un cambio de fase de 90º representado por “j” de la ecuación). Bajo polarización directa el diodo comienza a conducir corriente contínua y puede ser modelizado mediante una conductancia como se discutió en el tema IV sección D. Para baja frecuencia de operación este modelo simple es adecuado pero a altas frecuencias la capacidad de la región de deplexión debe ser incluida en paralelo con la conductancia causando que la corriente alterna se retrase respecto de la tensión. De De la discusión en la sección E podemos podemos esperar otro retraso causado por el almacenamiento de cargas; este efecto puede ser modelado agregando otro capacitor llamado “capacitancia de difusión”. Entonces obtenemos un razonablemente completo equivalente circ uital mostrado en la Figura 26. los valores de los parámetros circuitales g (conductancia directa), C (capacitancia de deplexión), Cd (capacitancia de difusión), dependen del punto de operación del diodo. Una resistencia serie Rs ha sido agregada para tener en cuenta la resistencia de contactos y la resistencia de la estructura semiconductora no deplectada. nos deja un circuito abierto para la contínua pero nos da una impedancia finita Z =
Figura 26: Circuito equivalente para un diodo. 3-- Los modelos son válidos para cualquier semiconductor utilizado proveyendo los apropiados parámetros de los materiales (Eg, ni , µ e , µ h , etc.). 4-- La ecuación 35 de este tema nos da la densidad de corriente de saturación, Js, en términos de los parámetros fundamentales. La corriente de saturación, Is, es justamente Is = AIs donde A es la sección transversal del diodo. Como se vio en el Capítulo 4, Vo del modelo lineal por tramos es arbitraria pero está relacionada claramente con ψ 0 la cual depende de N D, NA, y ni . La tensión de ruptura depende de Eg y del nivel de dopantes. La Figura 20 nos muestra que es posible obtener tensiones de ruptura de hasta 1000V con diodos levemente dopados. Los valores entre 400 y 500 V son de rango común y para obtener diodos de más de 1000V se pueden colocar en serie. El valor de Is depende de varios parámetros incluyendo el área y la temperatura. 5 y 6 – Estas respuestas solamente pueden ser resueltas comparando el comportamiento medido de un diodo real con los valores calculados o predichos. volver al indice
27
Apéndice: La ecuación de Poisson y la región región de carga carga espacial La forma diferencial de la Ley de Gauss es:
∇ • E =
ρ ε
(1)
Esta ecuación nos dice que las fuentes del campo eléctrico E son las cargas contenidas en la densidad de carga ρ ; es decir: las líneas de campo eléctrico comienzan y terminan solamente en cargas y no en los lugares en que ρ =0. Combinando la ecuación (1) con la definición del potencial electrostático:
E = = −∇Ψ
(2)
nos da:
∇2 Ψ = −
ρ ε
(3)
Esta es conocida como la Ecuación de Poisson. En general, ambos, ρ y Ψ son funciones de tres coordenadas espaciales y ρ puede ser también función de Ψ . Por esto la ecuación de Poisson suele ser muy difícil y hasta imposible de resolver exactamente. A pesar de los problemas prácticos que plantea el intentar resolver la ecuación de Poisson, es una ecuación importante de la electrostática y frecuentemente nos provee del punto de partida para atacar problemas de la física de los semiconductores.. Como un ejemplo, consideremos el problema electrostático de una juntura pn. No podemos pensar en encontrar la neutralidad de carga espacial en todos los puntos, de manera que podemos escribir la siguiente expresión para la densidad de carga espacial neta: ρ ( x) = q ( po + N D − no − N A ) (4) Sabemos que ND y NA son funciones de x pero p o y no varían dependiendo del valor local que toma Ψ ( x) . De hecho: hemos visto en el tema V las ecuaciones que dan ambos valores: qΨ
qΨ − po = ni e kT no = ni e
+
kT
(5)
de manera que la ecuación (3) para el caso unidimensional viene dada como:
+ − ( ) ( ) (6) N x N x D A 2 dx En principio, esta ecuación puede ser resuelta para Ψ ( x) y con Ψ ( x) podemos obtener E(x), 2
d ψ
− q = − `ni e ε
qψ ( x ) kT
−`ni e
−
qψ ( x ) kT
no(x), po(x), etc. Pero desafortunadamente, la ecuación (6) no puede ser resuelta exactamente por lo que hay que recurrir a la solución computacional (numérica) o efectuar aproximaciones. Las soluciones numéricas del problema de la juntura abrupta nos da resultados tales como los graficados en las Figuras 2,3,5 y 6 del tema VI y también provee la justificación a la aproximación de la deplexión. Evidentemente, la dificultad para resolver la ecuación (6) se radica en las exponenciales del lado derecho. De las soluciones numéricas, sabemos que se pueden identificar cinco regiones en la juntura pn: 28
1. Un volumen neutro en la región p. 2. Una región de transición alrededor de x ≈ − p (donde
p
no tiene un significado preciso
todavía). 3. Una región de carga espacial alrededor de x=0. 4. Una segunda región de transición alrededor de x ≈ p 5. Un Volumen neutro en la región n. Estas regiones se pueden observar en la Figura 1. Región p
Región n
Figura 1: Ilustración de las 5 regiones en una juntura pn y las correspondientes densidades de carga determideterminadas por la solución numérica de la ecuación (6). Si comparamos esta Figura con las ecuaciones (4) o (6) se ve que solamente las regiones II y IV tendremos dificultades. En estas regiones las exponenciales no pueden ser canceladas o nos quedan extremadamente pequeñas y ello nos conduce a una ecuación diferencial no lineal de segundo orden para resolver. Es posible, frecuentemente hacer aproximaciones que linealizan la ecuación y podemos entonces conseguir resultados analíticos aproximados. Para ilustrar esta posibilidad, consideremos la naturaleza de la solución en los bordes de las regiones II y IV. Ψ = Ψ p En la región I tenemos Ψ = Ψ p = cte En la región II se inicia inic ia el cambio. Hagamos: Ψ ( x) = Ψ p + φ ( x) donde φ ( x ) representa la pequeña desviación inicial de Ψ = Ψ p . Entonces, la ecuación (6) nos quedará: d Ψ p 2
dx
2
2
+
d φ ( x) dx
2
q
= − ni e ε
−
qΨ p x
2
−
e
qφ kT
− N A
Como hemos dicho que φ es pequeño, podemos escribir:
∗∗ ∅ ≪
1
de manera que : 29
−
qφ
qφ e kT ≈ 1 − kT
por lo que tenemos: d Ψ p 2
dx
2
2
+
d φ ( x) dx
2
q
= − ni e ε
−
qΨ p x
q2φ − qΨ ni e kT − NA + kT
p
2
pero:
d 2 Ψ p dx 2
q
= − ni e ε
−
q Ψ p kT
− N A
y:
− ne i
qΨ
p kT = p ≈ N A
Entonces: 2
d φ dx 2
2
q N A
=
φ ε kT
(7)
esta es una ecuación lineal que puede ser resuelta para φ ( x) . La ecuación (7) suele ser escrita como: 2
d φ dx
2
=
φ
(8)
ε kT q 2 N A
(9)
2
L D
donde:
L D =
es llamada Longitud Longitud extrínseca de Debye. Habiendo investigado la transición entre las regiones IV y V se han encontrado similares resultados con ND sustituido por N A en la ecuación (9). Las soluciones para la ecuación (8) son exponenciales de la forma:
φ ∝ e
±
x
L D
Entonces, cuando Ψ empieza a desviarse del valor constante, lo hace exponencialmente (muy rápidamente) con una longitud característica LD. La Tabla I nos da algunos valores para L D en Si a 300ºK. De esta tabla se ve que para niveles normales de dopantes (digamos ≥ 1015 cm-3) LD es una distancia extremadamente corta.
ND o NA (cm-3) 1013 1014
LD 1,5µ 0,4µ 30
1015 1016 1017 1018
0,15µ 400 150 40
Nuestras soluciones son solamente sola mente válidas para pequeños valores de φ , pero ello sugiere que las regiones de transición II y IV son muy angostas. Soluciones numéricas confirman este hecho revelando que los anchos de estas secciones están entre 3 y 5 longitudes de Debye. Hemos visto que los anchos de la región de deplexión del lado p estaba dado por:
p
=
2εψ 0
N D
q
N A ( ND + N A )
y también sabemos que:
ψ 0 =
kT q
ln
N A N D 2
ni
y además
L D =
ε kT q 2 N A
Combinando estas ecuaciones y asumiendo que N D = NA podemos escribir: p
L D 15
-3
Entonces, si NA = 10 cm
= n
10
-3
y ni = 10 cm
N A ni
= 2,3log
N A ni
(un caso malo) mal o) obtendremos:
p
L D
Para altos niveles de dopantes, LD se hace más y más despreciable respecto de
≈ 11,5 . p
y la aproxima-
ción de deplexión se hace más razonable.
Titulo Original:
Lecture Notes ECE240 – Electronic Devices - J.D. Wiley and J. E. Nordman Compaginado, editado y traducido por: Lic. Eduardo J. Ricciardi Profesor Adjunto de Física Del Estado Sólido 2do Cuatrimestre - Año 2014.
31