Un LE LEV VAN ANT TAMIE AMIENT NTO O TOPOG OPOGRA RAFI FICO CO se refi refier eree al conj conjun unto to de operaciones puestas en practica directamente sobre el terreno; para determinar las posiciones de los puntos de interés y su correspondiente representación en un plano. Bajo fines específicos: Conocer la superficie de un polígono; Conocer el desnivel entre puntos; Conocer la orientación de líneas; Determinar volúmenes de materiales; Etc., etc. • • • • •
Para determinar determinar la tolerancia se requiere realizar medidas por repetición en direcciones opuestas y por pares (ida y vuelta). Formula: donde: T: tolerancia, en metros, e: error de condición, cometido en una puesta de cinta, en metros, L: promedio de medidas, en metros, l: longitud de la cinta empleada, en metros.
Para determinar determinar la tolerancia se requiere realizar medidas por repetición en direcciones opuestas y por pares (ida y vuelta). Formula: donde: T: tolerancia, en metros, e: error de condición, cometido en una puesta de cinta, en metros, L: promedio de medidas, en metros, l: longitud de la cinta empleada, en metros.
Para realizar levantamientos, es necesario construir una POLIGONAL DE APOY APOYO O. Que consiste en una sucesión de líneas que conecta n puntos fijos. La característica principal de estos Levantamientos es que se utiliza solo cinta como instrumento. Los objetivos principales son conocer las distancias directamente (en campo) y ángulos, superficies, perímetros, etc.; indirectamente (en gabinete). Existen Poligonales CERRADAS (Cuando el punto inicial y final coinciden) o ABIERTAS (Cuando los extremos no coinciden) CLASIFICACION DE LEVANTAMIENTOS CON CINTA :
Triangulación por diagonales diagonale s Triangulación por radiaciones Lados de liga Prolongación de alineamientos Coordenadas
ERRO ERROR R ANGU ANGULA LAR R
El error angular se refiere a la variación o diferencia de la suma de los ángulos interiores calculados, contra la condición geométrica. TOLERAN TOLERANCI CIA A ANGULA ANGULAR R
Inde Indepe pend ndie ient ntem emen ente te del del inst instru rume ment nto o o proc proced edim imie ient nto o to topo pogr gráf áfic ico o utilizado; la tolerancia angular se determina por la formula: Ta=Toleranci a=Tolerancia a Angular Angul ar a=Aproximación a=Aproximación del instrumento en minutos de arco n=numero de vértices de la poligonal Para Para levantamientos con cinta, ci nta, a se considera a = 1° CORREC CORRECCIO CION N ANGULA ANGULAR R
Consiste en repartir el error en partes iguales a cada uno de los ángulos calculados; siempre y cuando se cumpla que:
ERROR
LINEAL
En levantamientos con cinta el Error lineal se determina gráficamente y de la misma manera se corrige durante la construcción del plano; siempre y cuando: TOLERANCIA
LINEAL
Se determina a partir de las formulas:
Si el error de cierre no rebasa la tolerancia establecida, se procede a compensar el error gráficamente.
La poligonal se dibuja a partir de los valores de ángulos interiores y distancias de los lados; utilizando instrumentos de dibujo: Lápiz, escuadras, escalímetros, transportador, etc. Marcamos el punto de partida, medimos los valores de los ángulos, las distancias y vamos marcando loas ubicaciones de los vértices de la poligonal. L1
α1
Error de cierre lineal
L2 α2
L5 L3
α4 α3
Error, Tolerancia, Corrección
1
Poligonal sin compensar 0
Error de cierre lineal El error de cierre lineal (E) se mide y se compara con la tolerancia de acuerdo a la escala
Luego calculamos el error por metro (e):
2
4
Error
3
Perímetro
Luego se calculan las correcciones parciales para cada vértice; considerando que los errores son proporcionales a las longitudes de los lados. Se debe cumplir que: C1+C2+…+Cn=eL
Error, Tolerancia, Corrección Por los vértices de la poligonal se trazan paralelas en la dirección del error pero en sentido contrario
Sobre cada paralela, se toma la longitud correspondiente a cada corrección; C1 para el vértice 1 y se coloca el 1’ ; C2 para el 2 y se coloca el 2’ ; y a s í sucesivamente hasta llegar al 0’ .
Uniendo los puntos encontrados 0 ’, 1’, 2’, 3’ y 4’ ; encontramos una nueva poligonal que corresponde a la poligonal compensada.
Precisión del Levantamiento La Precisión nos indica el Error relativo del levantamiento y se calcula dividiendo el Error de cierre lineal entre el total medido; es decir el perímetro
Generalmente la Precisión se expresa como:
Lo cual significa que en nuestro Levantamiento habrá una unidad de error lineal por cada cierto número de unidades lineales medidas.
Los Levantamientos con transito buscan obtener series de mediciones directas de ángulos y direcciones (Taquímetro - brújula) y distancias (cinta). Existen varios métodos. Ángulos Interiores Ángulos exteriores Conservación de Azimutes Deflexiones Etc. A partir de la información levantada en campo se hace la construcción de la planilla de calculo para llegar a determinar las coordenadas de los puntos observados y finalmente hacer la construcción del modelo espacial.
Determinación de Error Angular y Error Lineal en una planilla de calculo Est.
P.V.
Dist.
Angulo Observado
Angulo Compensado
A
N
-
0°’
0°’
B
C
A
B
203.750
178° ’
178° ’
C
181.000
14° ’
14° ’
3
51.580
137° ’
137° ’
2
48.800
234°’
234°’
A
52.350 108° ’
108° ’
4
48.950
200° ’
200° ’
B
203.750
57° ’
57° ’
1
23.390
229° ’
229° ’
Suma angular= 179° 59’ Condición angular= 180° 00’ Error angular= 00° 01’
180° 00’
CALCULO DE PROYECCIONES ORIGINALES DE LA POLIGONAL Est
P.V.
Dist.
A
N
-
B
C
A
R.M.C.
N(+)
S(-)
E(+)
W(-)
203.68772 --
5.03731
--
39.79216
--
35.71157
B
203.750
S 01° ’ E
--
C
181.000
N 12° ’ E
176.57175
3
51.580
S 43° ’ E
37.21801
2
48.800
S 52° ’ W
A
52.350
N 58°’ W
29.51574 --
4
48.950
N 33° ’ E
B
203.750
S 01° ’ E
1
23.390
N 08° ’ W
Sumas
27.18381 40.99077
38.86208 --
26.75554 203.68772
5.03731
23.10943
203.75557
44.73883
3.61195
203.68772
Ey = 0.06784 Ex = 0.09064
44.82947
44.73883
AJUSTE LINEAL Est
P.V.
A
N
B
C
N(+)
S(-)
E(+)
W(-)
B
--
5.03731
--
C
176.57175
203.68772 --
39.79216
--
3
37.21801
35.71157
2
29.51574 --
A 4
A
B 1
Sumas
27.18381 40.99077
Ey = 0.06784 Ex = 0.09064
+0.03392
-0.00510
-0.02940
-0.04027
-0.00453
+0.04527
0.06784
0.09064
38.86208 --
44.73883
5.03731
23.10943
203.75557
Cx
26.75554 203.68772
Cy
3.61195
203.68772
44.82947
44.73883
Ky = 0.00016651 Kx = 0.00101197
PROYECCIONES CORREGIDAS Est
P.V.
N(+)
S(-)
E(+)
W(-)
A
N
--
203.72164 --
5.03221
--
39.75189
--
3
37.21801
35.71157
2
29.51574 --
B B
C
C
A 4
A
27.17929 40.99077
B 1
Sumas
176.54235
--
5.03221
23.10943
203.72164
44.78410 26.75554
203.72164
38.86208
3.61195
203.72164
44.78410
44.78410
CALCULO DE COORDENADAS Proyecciones Corregidas Est
P.V.
A
N
N(+)
--
B B
C
A
S(-)
203.72164 -176.54235
C 3
37.21801
2
29.51574 --
A
27.17929 4 40.99077
B 1
203.72164 23.10943
Practica?
E(+)
W(-)
Est
Norte (Y)
Este (X)
A
500.000
500.000
5.03221
--
B
296.278
505.032
39.75189
--
C
472.821
544.784
3
259.060
540.744
266.763
466.170
44.78410
2 A
500.000
500.000
26.75554
4
513.811
571.540
B
296.278
505.032
1
523.109
496.388
35.71157 38.86208
--
5.03221 3.61195
La Estación Total esta dotada de los medios para obtener las mediciones de distancias y ángulos; almacenarlos y procesarlos para obtener coordenadas en tiempo real de los puntos observados. (Planilla de calculo). ¿Como validar la precisión de las observaciones? La validación debe ser en tiempo real y los mas típico es: 1. Obtener los valores de coordenadas de un punto A a partir de una Estación X. 2. Obtener los valores de coordenadas del punto A partir de una Estación Y (diferente a la anterior). 3. Comparar los valores resultantes que en teoría deben coincidir. 4. La diferencia entre éstos es el error relativo, el cual debe ser del orden de mm y depende del criterio del operador repetir la medición. 5. Una buena medida para aumentar la precisión es medir por repeticiones y obtener Valores Mas Probables para cada medición.
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Como ya se ha visto, una de las acciones aplicadas en levantamientos para mejorar la calidad de las precisiones obtenidas es realizar series de observaciones y obtener los VMP en base a la media aritmética. Obs.
Magnitud x
1
25.20
2
25.00
3
24.70
4
25.30
5
25.00
6
25.20
x=25.06666667
Las medidas por repetición o en serie, incluye una nueva variable implícita que es la propia repetición o el numero de observaciones; la cual debe ser considerada en el calculo del estimador. (VMP)
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Como ya se ha visto, una de las acciones aplicadas en levantamientos para mejorar la calidad de las precisiones obtenidas es realizar series de observaciones y obtener los VMP en base a la media aritmética. Obs.
Magnitud x
1
25.20
2
25.00
3
24.70
4
25.30
5
25.00
6
25.20
x=25.06666667
Sin embargo esto no siempre es así, pues depende de las características de la magnitud medida, la repetición puede considerarse una ponderación el cual asigne un valor de peso a una medida mayor o menor que otra
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Observe el siguiente esquema que representa la medición de un ángulo por repeticiones Del esquema: N veces Angulo A
Valor
1A
47° ’
2A
94°’
3A
142°’
¿Cuál es el VMP?
47°21’ 40’
¿Cuál las mediciones independientes tiene mayor peso? ¿Por qué?
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Si calculamos el VMP por ponderación de pesos … Del esquema: N veces Angulo A
Valor
1A
47° ’
2A
94°’
3A
142°’
Ponderación de pesos: 6A
¿Cuál es el VMP por peso? VMP aritmético
284° ’
47°21’ 50’
47°21’ 40’
¿Cuál es Valor Verdadero?
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Existen otros casos de mediciones por repetición donde la ponderación toma un sentido regulador de la medición diferente. Observe el siguiente registro:
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación
Según el registro, los valores tomados en campo son: Hora, Latitud y Longitud en 10 repeticiones.
Se pretende determinar el VMP de la posición (φ,λ) ¿Cuál seria el proceso por el método aritmético? Y por ponderación, ¿Cuál es la variable para ponderar?
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación
La variable a ponderar es el tiempo , bajo la premisa teórica en Geodesia Satelital de que entre mas tiempo una coordenada no varíe en una posición, mayor será su probabilidad de ser el Valor Verdadero. Entonces, ¿cuál seria el proceso a seguir? Determinar el tiempo transcurrido entre una posición y otra (equivalente al peso) y ponderar (Multiplicar) cada posición por el tiempo transcurrido.
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación
∑ 995.21694
∑ 175.95000
VMP aritmético? =
λ =
1
1 λ
=
=
.
.
= °′ ."
= °′ ."
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Determinar el tiempo transcurrido entre una posición y otra (equivalente al peso) y ponderar (Multiplicar) cada posición por el tiempo transcurrido.
∑ 995.21694
∑ 175.95000
VMP por Ponderación de tiempo? =
λ =
1 ∆∗ 1 ∆ 1 ∆∗λ 1 ∆
=
=
. .
= °′ ."
. .
= °′ ."
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Método Aritmético Ponderación
ρ
λ
°′ ."
°′ ."
°′ ."
°′ ."
Que diferencia existe?... Es mucho?... Es poco?... Para evaluar la magnitud, realizamos una transformación de coordenadas al sistema UTM por el método Coticcia-Surace Método
N
E
Aritmético
1945455.014
444646.7299
Ponderación
1945455.036
444646.9168
0.02200 m.
0.18690 m.
Diferencia
Es mucho?... Es poco?...
Medidas por repetición y calculo de VMP por Ponderación Método Aritmético Ponderación
ρ
λ
°′ ."
°′ ."
°′ ."
°′ ."
Que diferencia existe?... Es mucho?... Es poco?... Para evaluar la magnitud, realizamos una transformación de coordenadas al sistema UTM por el método Coticcia-Surace Método
N
E
Aritmético
1945455.014
444646.7299
Ponderación
1945455.036
444646.9168
0.02200 m.
0.18690 m.
Diferencia
Es mucho?... Es poco?...
En Levantamientos Topográficos, observamos: Direcciones Distancias Las cuales transformamos a través de la aplicación de ecuaciones (Modelos), obteniendo Coordenadas (Parámetros) LevantamientoObservaciones
Pero… LAS ERRORES
Transformación-Planilla Coordenadas Cartesianas
MEDICIONES
(OBSERVACIONES)
SIEMPRE
TIENEN
Los métodos de ajuste CAMBIAN (corrigen o modifican) las observaciones iniciales de forma que sean consistentes entre si y con las ECUACIONES DEL UN MODELO. El ajuste por MÍNIMOS CUADRADOS está diseñado de tal forma que los cambios de las observaciones sean los MÍNIMOS; haciendo mínima la SUMA DE LAS CORRECCIONES.
Modelo Teórico Observaciones
Cualquier proceso de cálculo topográfico requiere un NÚMERO MÍNIMO DE OBSERVACIONES para ser resuelto. En la siguiente figura, conocidas A, B y C; ¿como encontrar el valor de P? A B
P(X,Y)??
¿Cual es el mínimo de observaciones necesarias para conocer P? Podemos observar el mínimo de direcciones(2) y obtenemos una solución para P. Pero si hacemos una observación más tendremos 3 posibles soluciones para P.
C
A B
P(X,Y) ??
Si hacemos sólo el mínimo de observaciones y cometemos un error en alguna de ellas, el resultado final no será correcto. EL PROCESO DE CÁLCULO NO NOS AVISA DE ELLO. Si hacemos más del mínimo, estaremos en situación de REDUNDANCIA, pero a cambio tendremos más de una solución para el problema. Es necesario conocer la CALIDAD (PRECISIÓN + EXACTITUD) de los resultados; y además se requiere que el AJUSTE sea una técnica SENCILLA DE APLICAR Y DE CARÁCTER GENERAL.
Una serie de datos de campo puede ajustarse a un Valor Mas Probable a partir de un modelo teórico o función. En principio, se desconoce la ecuación que genera los datos, dicha función será el equivalente al Valor Mas Probable, aunque no es un Valor, sino un modelo que genera un valor; es decir una ecuación que grafica los datos y describe su comportamiento. En Geomática, es muy común desarrollar estudios territoriales donde se involucran variables corelacionadas entre si. Elevación y Temperatura (A menor elevación mayor temperatura) Iluminación y Reflectancia (A mayor reflectancia mayor iluminación) (A mayor elevación mayor precipitación) Elevación y Precipitación Etc.
Para aplicar el método de mínimos cuadrados, lo que se requiere es tener una serie de datos conformado por 2 variables relacionadas entre si de manera lineal. [Pares ordenados (x,y)] Para el caso de teoría de los errores, una de estas variables es el numero de observaciones y la otra variable es la propia medición. Obs.
Magnitud x
1
25.20
2
25.00
3
24.70
4
25.30
5
25.00
6
25.20
Se trata entonces en principio de encontrar una grafica que haga mínimo el error, para lo cual: 1 – Ordenamos los datos 2 – Encontramos el VMP 3 – Encontramos el error individual 4 – Encontramos el error cuadrado 5 – Graficamos error - observaciones
Ordenamos los datos Obs.
Magnitud x
Residual o Desviación
Error Cuadrado
1
24.70
-0.366666667
0.134444444
2
25.00
-0.066666667
0.004444444
3
25.00
-0.066666667
0.004444444
4
25.20
0.133333333
0.017777778
5
25.20
0.133333333
0.017777778
6
25.30
0.233333333
0.054444444
VMP = 25.066666667
Error residual
Error Cuadrático
¿En que punto el error cuadrado es mínimo?
Graficamos error - observaciones ERROR CUADRATICO 0.16
Se trata entonces de conocer la observación que hace mínimo el error cuadrado.
0.14 0.12 0.1 0.08
Y=f(x)
0.06
Lo cual es posible si se conoce la ecuación de la grafica
0.04 0.02 0 24.70
25.00
25.00
25.20
ERROR CUADRATICO
25.20
25.30
Ejercicio - Tarea Para la siguiente serie de observaciones de superficie Obs.
Serie 1 (Has)
Serie 2 (Has)
1
93
96
2
93
98
3
98
103
4
98
93
5
97
94
6
95
98
Determinar 1. VMP 2. Error Mínimo Cuadrado 3. Graficar error – observación 4. De acuerdo a la grafica, cual observación hace mínimo el error?
Cuando se tienen una serie de datos y se desconoce la función que los ha generado y se desea saber cuál es ésta. Lo primero que se debe hacer es graficar los puntos según sea el caso, para conocer su comportamiento. Considere la siguiente serie. N 1 2 3 4 5 6 7 Sumas
X=tiempo 0.0585 0.0975 0.137 0.176 0.215 0.254 0.293 1.231
Y= velocidad 108 151 192 236 300 287 356 1630
El diagrama de dispersión es un diagrama matemático que usa coordenadas cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un conjunto de datos. Los datos se muestran como un conjunto de puntos, cada uno con el valor de una variable que determina la posición en el eje horizontal y el valor de la otra variable determinado por la posición en el eje vertical.
Cuando se tienen una serie de datos y se desconoce la función que los ha generado y se desea saber cuál es ésta. Lo primero que se debe hacer es graficar los puntos según sea el caso, para conocer su comportamiento. Considere la siguiente serie. Diagrama de dispersión Tiempo – Velocidad: N 1 2 3 4 5 6 7 Sumas
X=tiempo 0.0585 0.0975 0.137 0.176 0.215 0.254 0.293 1.231
Y= velocidad 108 151 192 236 300 287 356 1630
400 350 300 250
d a d i c 200 o l e V
150
100 50 0 0
0.05
0.1
Tiempo 0.15 0.2
0.25
0.3
0.35
Diagrama de dispersión Tiempo – Velocidad: N 1 2 3 4 5 6 7 Sumas
X=tiempo 0.0585 0.0975 0.137 0.176 0.215 0.254 0.293 1.231
Y= velocidad 108 151 192 236 300 287 356 1630
400 350 300 250
d a d i c 200 o l e V
150
100 50 0 0
0.05
0.1
Tiempo 0.15 0.2
0.25
0.3
0.35
Como puede observarse en el diagrama de dispersión, existe una correlación entre las variables velocidad - tiempo y una tendencia en la posición de los puntos. Esta tendencia es posible modelar a través de una Regresión Lineal
La regresión lineal consiste en encontrar una ecuación de una recta de la forma Y=mx + b; donde: m=Pendiente de la recta; b=Intersección de la recta con el eje Y
La ecuación debe ser tal que se ajuste lo mejor posible a la distribución de los datos
Modelo Teórico Observaciones
Los datos de la observaciones normalmente están conformados a lo largo de una recta.
Y=mx+b
La recta Y=mx+b hace mínimas las distancias.
Las ecuaciones que hay que aplicar para ajustar datos mediante el método de mínimos cuadrados de un conjunto de i=1,2,...,n datos de observaciones agrupados en pares ordenados (Xi,Yi) de medidas a lo largo de una recta Y=mx+b son: Pendiente m
Donde: (Xi,Yi) pares ordenados N=Numero de pares
Intersección b
Las ecuaciones que hay que aplicar para ajustar datos mediante el método de mínimos cuadrados de un conjunto de i=1,2,...,n datos de observaciones agrupados en pares ordenados (Xi,Yi) de medidas a lo largo de una recta Y=mx+b son: Pendiente m
Donde: (Xi,Yi) pares ordenados N=Numero de datos
Intersección b
Siguiendo con el ejemplo N 1 2 3 4 5 6 7 Sumas
X=tiempo Y= velocidad 0.0585 108 0.0975 151 0.137 192 0.176 236 0.215 300 0.254 287 0.293 356
1.231
1630
X al Cuadrado 0.00342225 0.00950625 0.018769 0.030976 0.046225 0.064516 0.085849
X*Y 6.318 14.7225 26.304 41.536 64.5 72.898 104.308
0.2592635
330.5865
Pendiente m
=
. . . . = .
Siguiendo con el ejemplo N 1 2 3 4 5 6 7 Sumas
X=tiempo Y= velocidad 0.0585 108 0.0975 151 0.137 192 0.176 236 0.215 300 0.254 287 0.293 356
1.231
1630
X al Cuadrado 0.00342225 0.00950625 0.018769 0.030976 0.046225 0.064516 0.085849
X*Y 6.318 14.7225 26.304 41.536 64.5 72.898 104.308
0.2592635
330.5865
Intersección b
b=
. −.. . −.2
= . 659
Siguiendo con el ejemplo N 1 2 3 4 5 6 7 Sumas
X=tiempo Y= velocidad 0.0585 108 0.0975 151 0.137 192 0.176 236 0.215 300 0.254 287 0.293 356
1.231
1630
X al Cuadrado 0.00342225 0.00950625 0.018769 0.030976 0.046225 0.064516 0.085849
X*Y 6.318 14.7225 26.304 41.536 64.5 72.898 104.308
0.2592635
330.5865
400
y = 1027x + 52.248
350
Ecuación de la Recta de regresión
300 250
d a d i c 200 o l e V
= . + . 659
150
100 50 0 0
0.05
0.1
Tiempo 0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
