DIFARINEY GONZALEZ
PROBABILIDAD UDE@
TÉCNICAS DE CONTEO
Principio de la multiplicación multiplicación
Si un experimento se puede realizar de 1 formas, y si para cada una de estas formas se puede realizar una segunda de 2 formas, y cada una de las primeras se puede efectuar de N3 formas, y así sucesivamente, entonces el número de elementos del espacio muestral será: 1 2 3 P
Muestras Ordenadas
Muestras con Repetición
En el caso que se tenga la población
En el caso en el que se quiera
determinada, N, y se quiera seleccionar
seleccionar una muestra de una
o construir una muestra, n, se dice que
población N, se dice que hay repetición
la muestra es ordenada cuando se tiene
si en la muestra es probable que se
en cuenta el orden en ue se selecciona.
re itan al unos elementos elementos de la la
Ejemplo Una constructora desea lanzar una nueva etapa de sus casas para la venta. En esta nueva etapa cada comprador tiene la ventaja de escoger el estilo de la fachada: rústico, colonial y tradicional y el número de pisos: un piso, dos pisos, tres pisos o con desniveles. ¿De cuantas formas puede un comprador ordenar una casa?
Solución Para la selección de la fachada se tienen tres posibilidades, N 1 = 3. Para la selección de los pisos se tienen cuatro posibilidades N 2 = 4. Por lo tanto, N 1 ∙ N2 = (3)(4) = 12 es decir, se tienen 12 formas distintas para ordenar una casa. En el ejemplo anterior se consideraron dos poblaciones distintas, la de fachadas y la de número de pisos. En otros casos, se puede dar que la población sea la misma para la selección de la muestra. Por ejemplo, si se quiere conformar una palabra de tres letras, al considerar la selección de la primera letra se tienen 28 posibilidades, para la selección de la segunda letra se tienen 28 posibilidades y para la selección de la tercera letra se tienen 28 posibilidades. En este caso existen el orden y hay repetición. El posible número de palabras es 28 x 28 x 28. Si se quiere conformar una placa de automóvil, la cual consta de tres letras y tres dígitos, para la selección de las letras se tienen 28 x 28 x 28 posibilidades, ya que una placa puede estar formada por tres letras iguales. Para el caso de los dígitos se tiene que, para el primer dígito se cuenta con 10 posibilidades; para el segundo dígito se cuenta con 10 posibilidades y para el tercero se cuenta con 10 posibilidades. Entonces, el número de placas distintas que se puede formar con tres letras y tres dígitos es 28 x 28 x 28 x 10 x 10 x 10.
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Permutaciones En algunos experimentos interesa tener un espacio muestral que contenga como elementos todos los posibles órdenes o arreglos de un grupo de objetos. En este tipo de espacios muestrales interesa el orden pero no la repetición. Una Permutación es un arreglo de todos, o parte de los elementos de un conjunto.
Así, si se quiere tomar una muestra de n elementos y, para la conformación del primer elemento se tienen N posibilidades en la población, para la elección del segundo elemento de la muestra se tiene N – 1 posibilidades, pues, no existe repetición; para la elección del tercer elemento se tiene N – 2 posibilidades y asi sucesivamente, el tamaño del espacio muestral será:
N! = N(N – 1) (N – 2)… (2)(1).
N! es llamado el factorial de N y NPn y representa la permutación de N en n. En el caso que N = n, entonces, la permutación
NPn =
N!
Ejemplo Se sacan tres boletos de la lotería entre 20 boletos posibles, para asignar el primero, segundo y tercer premio. Encontrar el número posible de asignación de los premios.
Solución Se tiene el caso en el que para la primera selección se cuentan 20 boletos, para la segunda selección se cuenta con 19 boletos y para la tercera selección se cuenta con 18 boletos. Nótese que existe el orden, ya que al primer seleccionado le corresponderá el primer premio, al segundo seleccionado, el segundo premio y al tercer seleccionado, el tercer premio. Además, no existe la repetición ya que un mismo boleto no puede ganar dos premios. Entonces, el número de elementos del espacio muestral es:
Combinatorias En muchos otros casos interesa el número de posibles selecciones n en la muestra N de objetos en la población, sin importar el orden. Estas selecciones se llaman combinaciones. Si se quiere tomar una muestra de n elementos en una población de N elementos y no interesa ni el orden ni la repetición, el tamaño del espacio muestral será:
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Donde,
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se llama la combinatoria de N en n.
Ejemplo Se desea formar algunos comités de profesores para la representación de los docentes ante el consejo directivo. Para la elección de los comités se tienen siete candidatos, cuatro matemáticos y tres físicos. Un comité consta de tres personas.
a. ¿Cuántos comités de tres profesores se pueden conformar? b. Si se quiere que en el comité haya dos matemáticos y un físico, ¿de cuantas formas se puede conformar los comités?
Solución a. Para la selección de los comités de tres profesores entre los siete candidatos se tiene la combinatoria
.
Se tiene 35 formas distintas de conformar el comité.
b. Para el caso de que se quieran dos matemáticos en el comité, se tiene
.
Para el caso del físico se tiene
.
Es decir, que para conformar el comité con dos matemáticos y un físico se tienen
N1 ∙ N2 = (6)(3) = 18 formas distintas.
CÁLCULO DE PROBABILIDADES Una vez clarificados los conceptos de experimento aleatorio, espacio muestral y evento es posible definir el concepto de probabilidad. Dado un experimento aleatorio con su respectivo espacio muestral, al considerar un evento E, se tiene que la probabilidad de ocurrencia de E, notada P (E) es el cociente entre el número de elementos del evento y el número de elementos del espacio muestral así:
Dos resultados inmediatos e importantes son:
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La probabilidad del evento seguro es 1 y la probabilidad del evento imposible es 0. Ya que el máximo número de elementos de cualquier subconjunto del espacio muestral es el número de elementos del espacio y el número mínimo es cero, que corresponde al conjunto vacio, entonces la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento está en el intervalo [0,1].
Ejemplo La probabilidad de que un estudiante apruebe un examen de matemáticas es de Probabilidad de que el mismo estudiante apruebe el examen de inglés es de Si la probabilidad de que apruebe uno de los dos exámenes es de
:
.
y la
a. ¿cuál es la probabilidad de que apruebe los dos exámenes? b. ¿cuál es la probabilidad de que apruebe solamente el de matemáticas? c. ¿cuál es la probabilidad de que no apruebe ninguno de los dos?
Solución Sea A el evento que consiste en aprobar el examen de matemáticas y B, el evento aprobar el examen de inglés. Se tiene entonces que, P(A)=
, P(B) = y P(AUB)= .
a. Calcular la probabilidad del evento aprobar los dos exámenes es equivalente a calcular P(A∩B). Por lo tanto, P (A∩B)=
+
- =
. Luego, la probabilidad de aprobar los
dos exámenes es del 25%.
b.
Para obtener una mejor representación de los eventos es importante elaborar el diagrama de Venn que se presenta en la figura 3. Del diagrama se tiene que la probabilidad de aprobar solamente el examen de matemáticas es de
.
c. El evento no aprobar ninguno de los exámenes, se puede considerar como el complemento del evento aprobar alguno de los dos exámenes. Por lo tanto, es equivalente a calcular:
[ ]
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En algunas ocasiones las técnicas de conteo permiten calcular las probabilidades de ocurrencia de algún evento de manera más rápida y sin tener que encontrar el espacio muestral.
Ejemplo Para participar en el consejo estudiantil, el curso 11-01 quiere confirmar un comité integrado por tres estudiantes. Para tal elección se tienen siete candidatos, tres hombres y cuatro mujeres. Si el comité se selecciona al azar, el cual es la probabilidad de que: a. Sean seleccionados dos hombres y una mujer. b. Sea seleccionado a lo sumo un hombre. c. Sean seleccionadas al menos dos mujeres.
Solución Para determinar el número de elementos del espacio muestral es necesario determinar el número de formas en que se puede conformar un comité de tres personas entre siete candidatos. Para los ejercicios a, b y c, no interesa el orden de elección y no hay repetición ya que ningún estudiante puede ser elegido dos veces. Por tanto,
Es decir, hay 35 formas distintas de conformar el comité
a. El número de formas de seleccionar dos hombres de los tres es y el número de formas de seleccionar una mujer de las cuatro es entonces, la probabilidad de ( )( ) seleccionar dos hombres es ()
b. En este caso es necesario considerar dos posibilidades: que sea seleccionado ningún hombre o que sea seleccionado un hombre. Entonces esta probabilidad es:
()() ()
()() () =
c. En este caso, que sean seleccionadas al menos dos mujeres, se interpreta como que sean seleccionadas o dos mujeres, o tres mujeres; en este caso, la probabilidad será igual a la probabilidad calculada en el literal b, es decir,
.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Dados dos eventos, A y B, se define la probabilidad condicional P(A/B), como la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ya ocurrió el evento B y se lee probabilidad de A dado B.
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Ejemplo 1 Un estudiante contesta un examen con cuatro preguntas en las cuales se puede responder falso o verdadero. ¿Cuál es la probabilidad de que conteste a la segunda pregunta verdadero dado que a la primera pregunta contesto falso? VVVV,VVVF,VVFV,VFVV, S= FVVV, VVFF, VFVF, FVVF, VFFV, FFVV, FVFV, VFFF, FVFF, FFVF, FFFV, FFFF.
Solución
Primero se debe determinar el espacio muestral. Si se considera V al contestar verdadero y F al contestar falso, entonces el espacio es el presentado a la izquierda. Se tienen dos eventos, el evento A que consiste en contestar la primera pregunta con falso y el evento B que consiste en contestar a la segunda pregunta con verdadero. De acuerdo con el enunciado, se tiene que sucedió primero el evento A, es decir, ya se contestó a la primera pregunta con verdadero y, por tanto, se debe calcular P(B/A). Se tiene que el evento A está formado por: A = {FVVV, FVVF, FVFV, FFVV, FFFV, FFVF, FVFF, FFFF}; para verificar la ocurrencia de B es necesario asumir como espacio muestral el evento A. Por lo tanto, B = {FVVV, FVVF, FVFF, FVFF}, entonces, P (B/A) =
Es decir, que la probabilidad de que el estudiante conteste la segunda pregunta verdadera dado que la primera la contesto falsa es del 50%.
Al calcular la probabilidad de un evento, dado que ha ocurrido otro, lo que se tiene realmente es una restricción en el espacio muestral. El nuevo espacio muestral estará formado por todos los elementos del evento que ha sucedido primero. Sin embargo, para realizar cálculos de probabilidad condicionales es conveniente conservar el mismo espacio muestral. Por lo tanto, se tiene la siguiente definición de probabilidad condicional:
Dados dos eventos, A y B, la probabilidad de A dado B es P(A/B) =
∩
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Ejemplo 2 La tabla 1 muestra la clasificación de 150 estudiantes de grado once en un colegio de Bogotá, de acuerdo con el género y la especialización que han escogido para cursar su media vocacional.
a. Si se selecciona un estudiante al azar y resulta ser hombre, ¿Cuál es la probabilidad de que su especialidad sea en artes? b. Si se selecciona un estudiante al azar y su especialidad es en tecnología, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Solución a. Sean los eventos A: el estudiante es
Especialización Género
Ciencias
Tecnología
Artes Totales
Hombre
25
20
46
91
Mujer
20
37
2
59
Totales
45
57
48
150
hombre y B: el estudiante tiene especialización en artes. Al seleccionar al estudiante, resulto ser hombre. Es decir, que el evento que ya ocurrió es el evento A, así que, Aes condición para que ocurra B.
La probabilidad que se debe entonces calcular es P (B/A) =
∩
Así es necesario calcular la probabilidad de la intersección de A y B. Según la tabla los estudiantes que son hombres y tienen especialización en arte son 46. Luego, P (A∩B) = P (B/A) =
, y la probabilidad de la condición es P(A) =
.
Finalmente,
Por tanto, la probabilidad de que el estudiante seleccionado tenga
especialización en artes, dado que es hombre, es del 50,5%. b. Se definen ahora los eventos A: el estudiante tiene especialización en tecnología y B: el estudiante es mujer. Se debe calcular P (B/A) = P (A∩B) =
∩
La probabilidad de que el estudiante seleccionado sea mujer, dado que pertenece a la especialización en tecnología, es del 65,9%.
En algunos casos es necesario determinar el espacio muestral de tal forma que la intersección que se presenta sea de fácil calculo.
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Ejemplo 3 La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es P(D) = 0,83; la probabilidad de que el vuelo llegue a tiempo es P(A) = 0,82; y la probabilidad de que despegue a tiempo es de 0,87. Encuentre la probabilidad de que un avión de programación regular:
a. Llegue a tiempo dado que despego a tiempo. b. Hubiera despegado a tiempo dado que llego a tiempo. Solución Otras formulas
P(A∩B)= P(B/A)P(A) P(A∩B)= P(A/B)P(B)
La información que se tiene es P(D) =0,83, P(A) =0,82, y P(DUA) = 0,87, de donde se puede obtener que P(D∩A) = 0,83 + 0,82 – 0,87 = 0,78.
a. Se debe calcular P(A/D) =
∩ . La probabilidad
de que el avión llegue a tiempo dado que despego a tiempo es de 93,9%.
b. En este caso se debe calcular P (D/A) =
∩ . La probabilidad de que
el avión hubiera despegado a tiempo dado que llego a tiempo es del 95,1%.
A partir de la probabilidad condicional se puede hallar la probabilidad de la intersección.
Ejemplo 4 Una tienda de máquinas de video reporto el año pasado que vendió el 40% de las cámaras de su último modelo. Además, se reportó que del total de cámaras del último modelo vendidas, el 58% se compraron con una garantía ampliada. Si se selecciona un cliente al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado una cámara del último modelo con la garantía ampliada?
Solución Al definir el evento A: el cliente compro una cámara del último modelo, se tiene que P(A) = 0,40. Además al definir el evento G: el cliente compra una cámara con garantía ampliada, se tiene que P(G/A) = 0,58. Al considerar el evento A ∩ G se tiene que: P(G∩A) = P(G/A)P(A) = (0,58)(0,40) = 0,232. Luego, la probabilidad de que suceda este evento es del 23,2%.
Es posible calcular la ocurrencia del complemento de un evento dado que ha sucedido a otro. Por tal razón, se puede afirmar que:
(∩) C P (A /B) =
o
∩ que P(A/B c) = ()
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Por ejemplo, para el caso de los aviones, es posible determinar la probabilidad de que un avión llegue a tiempo dado que no despego a tiempo. Para este caso, es necesario calcular: P(A/D C). Si se representan las probabilidades en un diagrama de ven, tal y como se muestra en la figura, se tiene que:
∩ P (A/DC) =
La probabilidad de que el avión llegue a tiempo dado que no despego a tiempo es del 23,5%
Una de las probabilidades más importantes de los complementos de los eventos en la probabilidad condicional es la siguiente Si A y B, son dos eventos, entonces, P (Ac/B) + P(A/B) = 1 y P(A c/B) + P(A/B) = 1
Ejemplo 5 70% de los aviones ligeros que desaparecen en vuelo son descubiertos posteriormente. De las naves descubiertas, el 60% tienen localizador de emergencia, en tanto que el 90% de los no descubiertos no tienen localizador de emergencia. Elaborar un diagrama de árbol de las probabilidades condicionales de esta situación.
Solución Se define el evento A: las naves son descubiertas, entonces, P(A) = 0,7 y P(A C) = 0,3. Si se considera el evento L: la nave tiene localizador, se tiene que P(L/A) = 0,6. De acuerdo con las propiedades del complemento de un evento, se tiene que: P (LC/A) = 1 – 0,6 = 0,4. Además, se tiene que: P (LC/Ac) = 0,9 y, por tanto, P (L/A c) = 1- 0,9 = 0,1. Las probabilidades calculadas se pueden representar mediante el diagrama con dos ramificaciones de la figura. Ya que se tienen las probabilidades condicionales y las probabilidades de cada evento, se pueden obtener las siguientes probabilidades. P(A∩L) = P(L/A)P(A) = (0,6)(0,7) = 0,42 P(A∩LC) = P(LC/A)P(A) = (0,4)(0,7) = 0,28 P(A∩L) = P(L/A C)P(AC) = (0,1)(0,3) = 0,03 P(A C∩LC) = P(LC/AC)P(AC) = (0,9)(0,3) = 0,27
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Finalmente, el diagrama de todas las probabilidades posibles, asociadas al evento A, es:
P A =0 7
P L A =0 6 C
P(L /A)=0,
C
C
P A =0 3
P L A =0 C
C
P(L /A )=0,9
P A∩L = 0 42 C
P A∩L = 0 28 C P A ∩L = 0,03
C
C
P A ∩L = 0,27
Nótese que cada rama del árbol suministra la información del evento con su probabilidad condicional y con la intersección de los eventos. Algunas conclusiones del diagrama son: la probabilidad de que el avión sea descubierto y tenga el localizador de emergencia es del 42% y la probabilidad que el avión no sea descubierto y no tenga el localizador de emergencia es de 27%. También, la probabilidad de que el avión no tenga el localizador de emergencia, dado que fue descubierto es del 40%. La probabilidad de que el avión tenga el localizador de emergencia dado que no fue descubierto es del 10%.
PRÁCTICA
1. Si R es el evento de que un convicto haya cometido un asalto a mano armada y D el evento que un convicto promueva las drogas, expresar con sus propias palabras el significado de las probabilidades.
a. P (R/D)
b. P (DC/R)
c. P (RC/DC)
2. Un profesor de matemáticas dicta una conferencia de cálculo en la mañana y otra en la tarde. Sea A el evento de que el profesor da una mala conferencia en la mañana, y B el evento que el profesor da una mala conferencia en la tarde. Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.2 y P(A∩B) = 0.1. Elaborar un diagrama de venn y calcular las siguientes probabilidades:
a. P (B/A)
b. P (BC/A)
c. P (BC/AC)
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3. Se selecciona al azar una familia que tiene dos automóviles. Sean, A: el automóvil más viejo es nacional y B: el automóvil mas nuevo es americano. Si P(A) = 0.7, P(B) = 0.5 y P(A∩B) = 0.4, calcular las siguientes probabilidades:
a. P (B/A)
c. P (BC/AC)
b. P (A/B)
4. El cuadro muestra la información de 200 personas que fueron clasificadas de acuerdo con el género y el nivel de educación.
Educación
Género Hombre Mujer
Primaria
38
45
Secundaria
28
50
Universidad
22
17
Si se selecciona aleatoriamente una persona de este grupo, encontrar la probabilidad de que: a. Sea hombre dado que su nivel de educación es primaria. b. No tenga grado profesional dado que es mujer.
5. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad particular es el 70%. Si realiza un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es del 90%. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnostico incorrecto y que el paciente lo demande?
6. En un experimento para estudiar la relación entre hipertensión y el hábito de fumar, se reunieron los siguientes datos de 180 individuos.
No fumadores Fumadores fumadores moderados empedernidos Hipertenso
21
36
30
No hipertenso
48
26
19
Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encontrar la probabilidad de que la persona: a. Experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido. b. Sea un no fumador, dado que ha presentado problemas de hipertensión.
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7. Una compañía que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y uno de lujo. El año pasado el 40% de las cámaras vendidas fueron del modelo básico. De los compradores del modelo básico, el 30% compran una cámara con una garantía ampliada, en tanto que el 50% de los compradores del modelo de lujo lo hicieron con una garantía ampliada. Elaborar un diagrama de árbol para las probabilidades condicionales.
8. Se envía a un proveedor componentes de cierto tipo, en lotes de 10 unidades. Supongamos que un 50% de estos lotes no tienen defectos, 30% tienen un componente defectuoso y un 20% tienen dos componentes defectuosos. Dos componentes de un lote se seleccionan al azar y se prueban. Elaborar un diagrama de árbol para las probabilidades asociadas de que haya 0, 1 y 2 componentes defectuosos en el lote, bajo la condición de que ningún componente probado es defectuoso.
9. La probabilidad de que la señora de la casa este cuando un representante comercial llama es de 0,6. Si se encuentra que la probabilidad de que haga la compra es de 0,4. Hallar la probabilidad de que la señora este en casa y de que realice una compra cuando el representante la llame.
