Universidad Universid ad Nacional de Colombia- Sede Medell´ Medell´ın, Escuela Escuel a de Matem´ aticas aticas Ecuaciones Diferenciales (1000007), Taller 4 . Semestre 02-2016, 29 de Agosto a 2 de Septiembre de 2016 1. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a raz´on on de 3 galones/minuto y cuando la soluci´on on est´a bien revuelta, sale a la misma raz´on. on. Determine una ecuaci´ on on diferencial que exprese la cantidad A (t) de sal que hay en el tanque en el instante t. ¿Cu´anto anto vale A (0)? 2. Suponga que una soluci´on o n salina con 2 kilogramos de sal por litro se introduce en un tanque que contiene contiene inicial inicialmen mente te 500 litros litros de agua y 50 kilogramo kilogramoss de sal. La soluci´on on entra al tanque a raz´ on on de 5 litros/minu litros/minuto. to. La mezcla se mantiene uniforme uniforme revolvi´ endola, endola, y sale del tanque a raz´ on on de 5 litros/minuto. (a) Determine Determine la concentraci´ concentracion, o´n, en kilogramos/li kilogramos/litro, tro, de sal en el tanque despu´es es de 10 minutos. (b) Despu´ Despu´es es de 10 minutos, aparece un derrame en el tanque y comienza comienza a salir del tanque otro litro por minuto, ¿ cu´al al ser´a la concentraci´ on, en kilogramos/litro de on, sal en el tanque despu´ despu´es es de 20 minutos minutos a partir del inicio del derrame? 3. Un tanque con capacidad de 200 galones contiene inicialmente 50 galones de agua con 1 10 libras de sal. Al tanque entra agua con una concentraci´ on on de sal de libras de t + 50 sal por gal´on on a raz´on on de 4 galones por minuto y la mezcla resultante sale del tanque a raz´on on de 3 galones por minuto. a. (7%) Halle el volumen de la mezcla en el instante t, antes de que la mezcla se derrame. b. (18%) (18%) Encuen Encuentre tre la cantid cantidad ad de sal present presentee en el tanque tanque en el momento momento que la mezcla comienza a derramarse. 4. Suponga que un tanque contiene inicialmente 300 galones de agua en el cual se han disuelto disuelto 50 libras de sal. Se bombea otra disoluci´ on salada en el tanque a una velocidad on de 3 galones por minuto y cuando la disoluci´ on esta bien mezclada, se bombea hacia on afuera a una velocidad de 3.5 galones por minuto. Si la concentraci´ on on de la disoluci´on on entrante es de 2 lb/gal, determine una ecuaci´ on diferencial para la cantidad A (t) de on sal presente en el tanque en el instante t. 5. Un cuerpo de masa m cae desde el reposo en un medio que presenta una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad. Determine la relaci´ on on entre la velocidad v y el tiempo t. Determine la velocidad l´ımite. 6. Un cuerpo de masa M se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuentre el tiempo que transcurre hasta que la veloci velocidad dad del cuerpo alcance alcance el 80% de su veloci velocidad dad l´ımite. ımite. (Suponer (Suponer que la aceleraci´on on de la gravitaci´on on es constante)
7. Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0 . Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variaci´ on del campo gravitacional con la altura, encontrar la menor velocidad inicial v 0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v 0 se le llama velocidad de escape. 8. En el interior de la tierra la fuerza de gravedad es proporcional a la distancia del centro. Si se perfora un orificio que atraviese la tierra de polo a polo y se lanza una piedra en el orificio con velocidad v0 , ¿con qu´e velocidad llegar´a al centro? 9. Hallar la ecuaci´on de todas las curvas que tienen la propiedad de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre los ejes coordenados. 10. Una curva pasa por el origen en el plano xy, al primer cuadrante. El a´rea bajo la curva de (0, 0) a (x, y ) es un tercio del ´area del rect´ angulo que tiene esos puntos como v´ertices opuestos. Encuentre la ecuaci´ on de la curva. 11. Hallar la ecuaci´on de todas las curvas que tienen la propiedad de que la distancia de cualquier punto al origen, es igual a la longitud del segmento normal a la curva, en el punto y el intercepto con el eje x. 12. Algunas enfermedades (como la fiebre tifoidea) son propagadas en gran medida por portadores, individuos que pueden transmitir la enfermedad aunque no presentan s´ıntomas evidentes. Sean x y y , respectivamente, la proporci´ on de individuos susceptibles y portadores en la poblaci´on. Suponga que se identifican los portadores y se retiran de la poblaci´on a una raz´on β , de modo que dy = β y. dt
Suponga tambi´ en que la enfermedad se propaga a una raz´ on proporcional al producto de x y y ; entonces dx = dt
−αxy.
(a) Determine y en cualquier instante sujeta a la condici´ on y (0) = y 0 (b) Determine x en cualquier instante sujeta a la condici´ on x (0) = x 0 (c) Encuentre la proporci´ on a la poblaci´ on que escapa de la epidemia, al hallar el valor l´ımite de x cuando t tiende a infinito. 13. En hidrodin´ amica, la ley de Torricelli establece que la rapidez v de salida del agua a trav´es de un agujero de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno de agua hasta una profundidad h es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso una gota de agua), que est´a cayendo libremente desde un altura h, esto es v = 2gh, donde g es la aceleraci´ on de la gravedad. Suponga que un tanque lleno de agua se vac´ıa a trav´ es de un agujero, bajo la influencia de la gravedad. Se quiere encontrar la profundidad, area del agujero es Ah (en h, del agua que queda en le tanque en el instante t. Si el ´ 2 pies ) y la rapidez del agua que sale del tanque es v = 2gh (en pies/seg), entonces el
√
√
√
volumen del agua que sale del tanque, por segundo es Ah 2gh (en pies3 /seg). As´ı, si V (t) denota el volumen de agua en el tanque en el instante t, entonces dV = dt
−A
h
√
2gh
Suponga que est´ a saliendo agua de un tanque a trav´es de un agujero circular de area ´ a en el fondo. Cuando el agua sale a trav´ es del agujero, la fricci´ on y la Ah que est´ contracci´ on de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por segundo a cAh 2gh, donde c (0 < c < 1) es una constante emp´ırica. Determine una ecuaci´ on diferencial para la altura h del agua en el instante t para un tanque c´ ubico de 10 pies de arista y radio del agujero 2 pulgadas.
√
14. Un tanque semiesf´erico tiene un radio de 1 pie; el tanque est´ a inicialmente lleno de agua y en el fondo tiene un orificio de 1 pulg. de di´ ametro. Calcule el tiempo de vaciado. 15. Considere un tanque en forma de ortoedro de base cuadrada cuyos lados miden 4 m y su altura 2m. Dentro de ese tanque se pone un tanque en forma de semiesfera de radio 2m (parte interior de la semiesfera). El espacio que se encuentra fuera de la semiesfera y dentro del tanque de base cuadrada, se llena completamente de liquido y por un peque˜ no agujero en la base cuadrada se permite la salida del liquido por efecto de la gravedad. Si despu´es de una hora el nivel del liquido ha disminuido tres cuartos de la altura total del tanque, determinar el tiempo necesario para que el tanque quede completamente desocupado. Recuerde que un ortoedro es un paralelep´ıpedo en que todas sus caras son rect´ angulo. 16. Un tanque tiene forma de paralelepipedo cuya caras laterales son tri´ angulos equilateros 8 3 de lado pies y ancho 32 3 pies. El tanque est´a inicialmente lleno de agua y en el 3 1 fondo tiene un orificio de a´rea igual a pie2. Calcule el tiempo de vaciado del tanque. 6
√
√
17. Un piloto A de carreras ha permanecido 3 millas adelante de su archienemigo B durante cierto tiempo. A s´ olo dos millas antes de la meta, el piloto A se qued´ o sin gasolina y comenz´o a desacelerar a una raz´ on proporcional al cuadrado de su velocidad restante. Una milla despu´es, la velocidad del piloto A se habia reducido exactamente a la mitad. Si la velocidad del piloto B permaneci´o constante, qui´en gano la carrera? d2 y 18. Encuentre la funci´ on y = f ( x) cuya segunda derivada es 2 = 12x 2 en cada punto dx (x, y ) sobre su gr´afica y y = x +5 es tangente a la gr´afica en el punto correspondiente a x = 1.
−
−
19. Halle un posible valor de x0 para que la gr´afica de la soluci´ on del problema de valor inicial y + 2 y = 3x 6, y (x0 ) = 0, ′
sea tangente al eje x en (x0 , 0) .
−
20. Cuando se combinan ciertas sustancias qu´ımicas, la velocidad con que se forma un nuevo compuesto se describe por la ecuaci´ on diferencial aut´ onoma dx = k (α dt
− x) (β − x) ,
donde k > 0 es una constante de proporcionalidad y β > α > 0. En este caso x (t) representa la cantidad de gramos del nuevo compuesto que se forma hasta el tiempo t. (a) ¿Puede pronosticar el comportamiento de x cu´ando t
→ ∞?
(b) Si α = β y x (0) = α < 0 , ¿cu´al es el comportamiento de x cu´ando t
→ ∞?
21. Un paracaidista que pesa 180 libras (incluyendo el equipo) cae verticalmente desde una altura de 5000 pies, y abre su paraca´ıdas despu´es de 10 segundos de ca´ıda libre. Suponga que la fuerza de resistencia al aire es de 0.7 v cuando paraca´ıdas esta cerrado y de 12 v cuando el paraca´ıdas esta abierto, en donde la velocidad v se da en pies por segundo.
||
||
(a) Encuentre la velocidad del paracaidista al abrirse el paraca´ıdas. (b) Halle la distancia que cae antes de que se abra el paraca´ıdas. (c) ¿Cu´al es la velocidad l´ımite vl despu´es de que se abre el paraca´ıdas? (d) Estime cu´anto tiempo permanece el paracaidista en el aire despu´es de que el paraca´ıdas se abre. 22. Halle la ecuaci´on de las trayectorias ortogonales de la familia de curvas y 2 = cx 3.
Halle tambi´en la ecuaci´ on de la trayectoria ortogonal que pasa por el punto (1, 2) . 23. Halle la ecuaci´on de las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 + ( y
− c)
2
= c 2 .
24. Suponga que en el campus de la Universidad hay un estudiante portador del virus de la gripa. En la Universidad hay 1000 estudiantes y se supone que todos permanecen aislados en el campus universitario. Si se supone que la rapidez a la que se disemina el virus es proporcional tanto al n´ umero N de estudiantes infectados como al n´ umero de estudiantes sanos, determine la cantidad de estudiantes infectados despu´es de 6 d´ıas si adem´as se observa que a los 4 d´ıas se encuentran 50 estudiantes infectados.
