Taller4-2010

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA Y TEXTIL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I Separata N°4 TEMA :

PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN

PROFESOR :

ING. MAURO PÉREZ

2010

TRANSPORTE

Y

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Ing. Mauro Pérez

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICAY TEXTIL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I CUARTO TALLER P1. Un fabricant fabricantee elabora elabora un producto producto en tres plantas plantas y lo distribuye distribuye al mercado mercado a través de cuatro bodegas. Se cuenta con los siguientes datos: Bodega 1 2 3 4

Precio a venta $/unidad 1.00 1.10 1.00 0.60

Planta

Costo de ($/unid) 0.40 0.35 0.45

A B C

Demanda anual (unidades) 40000 10000 20000 25000

producción Capacidad anual (unidades) 40000 30000 45000

COSTOS DE TRANSPORTE (Unidad)

Desde Hasta Planta

Bodega 1 0.20 0.20 0.45

A B C

2 0.20 0.10 0.30

3 0.30 0.35 0.20

4 0.30 0.40 0.20

a)

Determinar el programa que optimice las operac raciones que rea realiza el fabricante. Se sabe que: Pv = Pc + g (por unidad) g = Pv – Pc(#/unidad) Caso: A1  gA1 = 10 – (0.4 + 0.2) = 0.4 #unidad Así sucesivamente llenamos la tabla. Debe Hasta Plantas

A B C

1

Bodegas 2

3

0.4 0.45 0.10

0.50 0.65 0.35

0.3 0.3 0.35

4 -0.1 -0.15 -0.05

Ganancias por transportar cada unidad (#/unidad) Entonces se sabe que: Min = -Max

Des

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Bodegas

Capacida

1



d anual (unidade s)

Hasta Planta

A B C Demanda anual (unid.)

1

2

3

4

-0.4 -0.45 -0.10 40 000

-0.50 -0.65 -0.35 10 000

-0.3 -0.3 -0.35 20 000

0.1 0.15 0.05 25 000

40 000 30 000 45 000

Hallando un programa que optimice las operaciones: Maximizando ganancias

Zmax = -0.4XA1 - 0.5XA2 - -0.3XA3 + 0.1XA4 - 0.45XB1 - 0.65XB2 - 0.3XB3 + 0.15XB4 0.1XC1 + 0.35XC2 - 0.35XC3 + 0.05XC4 XA1 + AX2 + XA3 + XA4 = 40 000 XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 30 000 XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 45 000 YA1 + XB1 + XC1 = 40 000 YA2 + XB2 + XC2 = 10 000 YA3 + XB3 + XC3 = 20 000 YA4 + XB4 + XC4 = 45 000 ∀

Xij ≥ (i = A,B,C b)

B)

;

j = 1,2,3,4)

Aplicar el método Vogel para determinar la asignación óptima. Aplicando el método Vogel: Ordenados adecuadamente Desp. 1

2

Bodegas 3

-0.4 -0.45 -0.1

-0.5 -0.65 -0.35

-0.3 -0.3 -0.35

0.1 0.15 0.05

0 0 0

40 000

10 000

20 000

25 000

20 000

Hasta Plant a

A B C

Demanda

4

5

Capacid ad anual 40 000 30 000 45 000 115 000 115 000

Penalizacio nes -0.4

-0.5

0.45

0.65 0.35

-0.1

-0.3 -0.3 0.35

0.1 0.1 5 0.0 5

0

0.1

0

0.2

0

0.0 5

0.1 0 0.1 5 0.2 5

0.4

0.4

0.1

0.1

0.0 5

0.4 5 0.1

Penalizaciones 0.0

0.1

0.0


0.0

0

2



5 0.0 5 0.0 5 0.3

5

5 0.0 5

5 0.0 5 0.0 5 0.0 5 0.0 5

Matriz de asignación I: 20 000

20 000

20 000

0 40 000

10 000

0 30 000 20 000

40 000

10 000

20 000

200000

0

25 000

0

25 000

20 000

0

0

0

20 000 0

45 000

5 000

20 000 0

Costo (-Ganancia) = 20000(-0.4) + 20000(-0.45)+10000(-0.65) + 20000(-0.35) + 25000(0.05) + 20000(0) = $ - 29250 Verificando si es óptima la tabla: Zj -0.4

-0.6

-0.4

0

0

0.45 0.35 0.45

0.65 0.55 0.65

0.45 0.35 0.45

0.05 0.05

0.05 0.05

0.05

0.05

0.0 5 0 0.1

Cj – Zj >=0 0 0

0.1 0


0.1 0

0.1 0.15

0 0.2

3



0.25

0.2

0.2

0

0

Entonces es el óptimo. Con ganancia = -(-$29250) = $ 29 250 Se venderán las siguientes cantidades: 20000 productos de la planta “A” se venderán por la bodega 1

20000 productos de la planta “B” se venderán por la bodega 1 10000 productos de la planta “B” se venderán por la bodega 2 20000 productos de la planta “C” se venderán por la bodega 3 25000 productos de la planta “C” se venderán por la bodega 4

P2. Suponga que Inglaterra, Francia y España producen todo el trigo, cebada y avena en el mundo. La demanda de trigo requiere que se dediquen 125 millones de acres a la producción de este cereal. De igual manera se necesitan 60 millones de acres para cebada y 75 millones de acres para avena. La cantidad total de tierra disponible es suficiente para los tres productos en los tres países. El número de horas de mano de obra necesaria para producir un acre de trigo en los respectivos países es 18, 13 y 16 horas. La producción de un acre de cebada requiere 15, 12 y 12 horas de mano de obra en Inglaterra, Francia y España y el número de horas de mano de obra necesarias para producir un acre de avena es 12, 10 y 16 respectivamente. El costo de mano de obra por hora en los tres países respectivos es $3.00, $2.40 y $ 3.30 para la producción de trigo; $2.70, $3.00 y $ 2.80 para la producción de cebada y $2.30, $ 2.50 y $ 2.10 para la producción de avena. El problema es asignar un solo producto a uno de los países. El objetivo al hacer esta asignación es minimizar el costo total de la producción. a) Formular el problema como uno de asignación. - Número de horas de mano de obra para producir un acre de cada cereal (horas/acre): Productores Terreno Cereales Inglaterra Francia España (millones acres) 18 13 16 125 Trigo 15 12 12 60 Cebada 12 10 16 75 Avena


4



-

Costo de mano de obra por hora de cada cereal en los tres países respectivos ($/hora): Productores Cereales

Inglaterra

Francia

España

Trigo

3.00 2.70 2.30

2.40 3.00 2.50

3.30 2.80 2.10

Cebada Avena

-

Para obtener la matriz de asignación multiplicamos la primera matriz por la segunda y por los acres de terreno disponible por cada cereal, así obtenemos la matriz de asignación final: Productores Cereales

Inglaterra

Francia

España

Trigo

6 750 2 430 2 070

3 900 2 160 1 875

6 600 2 016 2 520

Cebada Avena

b) Resolver utilizando el método Húngaro. -

Restando a cada fila el mínimo número de sus elementos: Productores Cereales Inglaterra Francia España 6 750 3 900 6 600 Trigo 2 430 2 160 2 016 Cebada 2 070 1 875 2 520 Avena

3 900 2 016 1 875

Productores Cereales

Inglaterra

Francia

España

Trigo

2 850 414 195

0 144 0

2700 0 645

Cebada Avena

-

Restando a cada columna el mínimo de sus elementos: Productores Cereales Inglaterra Francia 2 850 0 Trigo 414 144 Cebada


España

2700 0

5



195 195

Avena

0 0

645 0

Productores Cereales

Inglaterra

Francia

España

Trigo

2 655 219 0

0 144 0

2700 0 645

Cebada Avena

Como el número de ceros es igual a 3(orden de la matriz) hemos llegado al óptimo. Asignaciones óptimas: X 12 = 1 X23 = 1 X31 = 1 Costo mínimo: 19 252.8 P3. Considere el siguiente problema de transporte con la tabla de costos y requerimientos que se muestren enseguida:

Origen

1 2 3 4 5

Demanda

1 13 14 3 18 30 3

Destino 2 3 4 5 6 10 22 29 18 0 13 16 21 M 0 0 M 11 6 0 9 19 23 11 0 24 34 36 28 0 5 4 5 6 2

Recurso 5 6 7 4 3

Utilice cada uno de los siguientes criterios para obtener una solución inicial BF. Compare los valores de la función objetivo para estas soluciones. a) b)

Regla de la esquina Noroeste. Método de la aproximación de Vogel.

( a ) Esquina Noroeste Se considera M = 100 Cij 13 14 3 18 30

10 13 0 9 24

22 16 100 19 34

29 21 11 23 36


18 100 6 11 28

0 0 0 0 0

6



Matriz Asignación I 3

2 3

3

3 1

5

5

4

1 4 1 5

5 6 7 4 3

2

6

2

25 25

Costo = 879

Zij 13 16 100 105 122 122

10 13 97 102 119 119

13 16 100 105 122 122

-16 -73 11 16 33 33

-81 -78 6 11 28 28

-109 -106 -22 -17 0 0

0 0 -97 -93 -95

9 0 0 -86 -88

105 94 0 7 3

99 178 0 0 0

109 106 22 17 0

5

1 4 1

2

-109 -106 -22 -17 0

Cij – Zij 0 -2 -97 -87 -92

Punto de mejora: X 31 3-X

2+X 3-X

3+X 1-X

X = 1 Matriz de Asignación II 2

3


7



2

4

1

5

1 4 1

2

16 19 6 11 28

-12 -9 -22 -17 0

COSTO = 282 Zij 13 16 3 8 25

10 13 0 5 22

13 16 3 8 25

21 24 11 16 33


8



Cij - Zij 0 -2 0 10 5

0 0 0 4 2

Mejorando Matriz 2-X 3+X 2-X 1+X

9 0 97 11 9

8 -3 0 7 3

4

X 5-X

2 81 0 0 0

12 9 22 17 0

1 4 1

2

1 4 1

2

X = 2 Matriz de Asignación III 5 0

4

3

2 3

COSTO = 276 Zij 10 13 3 8 25

10 13 3 8 25

13 16 6 11 28

18 21 11 16 33

13 16 6 11 28

-15 -12 -22 -17 0

0 0 -3 1 -1

9 0 94 8 6

11 0 0 7 3

5 84 0 0 0

15 12 22 17 0

Cij - Zij 3 1 0 10 5

Punto de mejora X 32


9



3

5 0-X X

4

2+X 3-X

1 4 1

2

1 4 1

2

X = 0 Matriz de Asignación IV 5 4 3

0

2 3

COSTO = 276 Zij 13 13 3 8 28

10 10 0 5 22

21 16 6 11 28

16 21 11 16 33

16 16 6 11 28

-15 -12 -22 -17 0

0 3 0 4 2

6 0 94 8 6

8 0 0 7 3

2 84 0 0 0

12 12 22 17 0

1 4 1

2

Cij - Zij 0 1 0 10 2

Punto optimo alternativo X 11 Matriz X alternativa X

5-X 4

3-X

0-X

2 3

X = 3

Matriz de Asignación Alternativa


10



3

2 4 3

2 3

1 4 1

2

COSTO = 276 (b) METODO VOGEL: 13 14 3 18 30

10 13 0 9 24

22 16 100 19 34

29 21 11 23 36

18 100 6 11 28

0 0 0 0 0

Penalizaciones En las filas 10 3 13 1 3 3 9 2 24 4

8 3 6 2 4

8 3

3

3

2 4

2 4

4

En las columnas 10 9 10 9 9 1 4 11

3 3 3 3 3 18

10 10 10 2 2 15

5 5 5 7 17 72

0

Matriz de asignación I 5 0

4

3

3

5

10 13

10 13

1 4

4 5 COSTO = 360 13 16

18 21


1 4 1 6

2 2

97 100

-69 72

5 6 7 4 3

11



3 -76 -59

3 -76 -59

6 -73 -56

11 -68 -51

90 11 28

62 -17 0

3 0 9 1 0 0 0 -3 94 94 85 92 89 83 90 Punto de mejora : X35

11 0 0 91 87

-79 0 -84 0 0

-69 -72 -62 17 0

1+X 4-X

1-X X 4 1

2

1 4 1

2

Matriz de asignación 5 0 4 3

Matriz de Asignación II 5 0

4

3

2 3

COSTO = 276 Esta matriz es igual a la matriz III del método de la ESQUINA NOROESTE, entonces se procederá como lo ya hecho antes.

Problema MTI posee tres plantas de ensamblado de microcomputadoras. La que se encuentra localizado en San Francisco tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades, la que esta localizada en los Ángeles tiene una capacidad mensual de 2000 unidades y la de Phoenix tiene una capacidad de producción mensual de 1700 unidades. Las microcomputadoras son vendidas a través de tiendas al menudeo. Para el mes siguiente, la tienda que se encuentra en San Diego ha hecho un pedido de 1700 unidades, la que esta en Barstow tiene un pedido de 1000 unidades, la de Tucson ha pedido 1500 unidades y la situada en Dallas tiene un pedido de 1200 unidades. El costo de envió de una microcomputadora desde cada planta de ensamblado a cada una de las diferentes tiendas se presenta en la tabal siguiente. costo de embarque (dólares/maquina)


12



Tiendas Plantas

San Diego

San Francisco Los Ángeles Phoenix

Barstow

Tucson

Dallas

3

2

6

5 4

7 6

8 5

10 3

8

Resolver el problema utilizando el método de la esquina Nor-Oeste. Solución: La suma de ofertas= 1700 + 2000 + 1700= 5400 La suma de demandas= 1700 + 1000 + 1500 + 1200 = 5400 EL SIMPLEX Min Z = 5XA1 + 3XA2 + 2XA3 + 6XA4 + 4XB1 + 7XB2 + 8XB3 + 10XB4 + 6XC1 + 5XC2 + 3XC3 + 8XC4 S.A= XA1 + XA2 + XA3 + XA4= 1700 XB1 + XB2 + XB3 + XB4= 2000 XC1 + XC2 + XC3 + XC4= 1700 XA1 + XB1 + XC1= 1700 XA2 + XB2 + XC2= 1000 XA3 + XB3 + XC3= 1500 XA4 + XB4 + XC4= 1200

Xi; j ≥ o (i= A, B, C) … (J= 1…...4)


13



SAN DIEGO A = SAN FRANCISCO B= LOS ANGELES C= PHOTENIX DEMANDA

BARTOW TUCSON DALLAS OFERTA

5

3

2

6

1700

4

7

8

10

2000

6

5

3

8

1700

1700

1000

1500

1200

METODO DE LA ESQUINA NORESTE 1

2

A

1700

B

0

3

4

OFERTAS 1700

1000

1000

C DEMANDA 1700

1000

0

500

1200

1500

1200

0

0

0

2000 1000

0

1700 1200

0

0

a.1) Matriz: I 1

2

3

A

1700

B

0

4

1000

1000 500 1200

C Evaluación de la matriz 5

8

9

14

4

7

8

13

-1

2

3

8


Cij= Ri + Kj Ecuaciones: R1 + K1= 5 R1= 1 R2 + K2= 7 R2 + K3= 8 R2= 0 R3 + K3= 3 R3 + K4= 8 R3= -5 R2 + K1= 4 Haciendo R2=0

14



Matriz Cij – Zij 0

-5

-7

-8

0

0

0

-3

7

3

0

0

La matriz no es óptima.

a.2) Mejorando la matriz 1700 - x

x

X

1000

x x = 1000

1000 - x 500 + x

1200 - x

Matriz II 1600

1000

1000

1000

0

CTR= 26 600 dólares

1500

200 5 4

6 7

8 3

R1 + K1= 5 R2 + K1= 4 R2 + K2= 7 R2 + K3= 8 R3 + K3= 3 R1 + K3= 6 R3 + K4= 8

8

R2= 0


-5

1

0

0

0

8

5

-1

-5

0

0


15



Mejorando la matriz II 1600-x

x

1000+x

1000-x

1000 X=1000

0 1500

200

Matriz III 0

700

0

1000

1700

300

0

0

0

0

1500

200

CTR= 23100 dolares

Matriz Zij 0

3

1

6

4

7

5

10

2

5

3

8

Matriz optima: 5

0

1

0

0

0

3

0

4

0

0

0

Se verifica que la Matriz de Asignación III es la óptima. CTR=23100 dólares

valor optimo.


16



Problema La Heinson Fisheries Incorporated (HFI) tiene cuartos fríos en sus almacenes localizadas en Boston, Nueva Cork y Washington D.C. , en cada almacén la HFI procesa y distribuye langostas para vendedores de pescado localizados en varias ciudades del país. La demanda semanal estimada por Pedido langostas es como sigue

Ciudad

Numero de cajas

Miami

30

Chicago

50

Philadelphia

65

Dallas

55

Los costos de transporte aéreo por caja entre las plantas y los vendedores son como sigue: Desde

Hacia

Miami

Boston

14

Nueva York

12 10

Washington DC

Chicago 16

Philadelphia

Dallas

12

20

14

10

8

16

8

15

En la próxima semana se espera tener el siguiente suministro de langostas disponible. Plantas

Suministro

Boston

100

Nueva York

40

Washington

60

Resolver el problema utilizando el método de la esquina Nor – Oeste.


17



Solución: Matriz (i) (1) Miami (A) Boston

14

(B) Nueva York

12

(C) Washington

10

Demanda

30

(2) (3) Chicago Pliladelphia 16

(4) Dallas

Oferta

12

20

100

14

10

8

40

16

8

15

60

65

55

50

La suma de ofertas: 100 + 40 + 60 =200 La suma de demandas: 30 + 50 + 65 + 55=200 Hallando la Matriz I 1

2

3

30

50

20

100

70 20

B

40

40

0

C

5

55

60

55

A

Demanda

4

30 0

50 0

65 45 5 0

55 0

1

2

3

4

30

50

20

0

0

Matriz I

A B

40

C

5

CTR=2725, 00 dólares 55


18



Evaluación de la Matriz de Asignación I Matriz Zij 1

2

3

4

A

14

16

12

19

R1=0

B

12

14

10

17

R2=-2

C

10

12

8

15

R3=-4

K1 14

K2 16

K3 12

K4 19

R1 + K1=14 Sea R1=0 R1 + K2=16 R1 + K3=12 R2 + K3=10 R3 + K3=8 R3 + K4=15


2

3

4

A

0

0

0

1

B

0

0

0

-9

C

0

4

0

0

La matriz no es óptima

Mejorando la solución Punto de Mejora (2:4) Matriz II

A

1

2

3

30

50

20

B

40-X

C

5+X

4

X=40 X 55-X


19

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICAY TEXTIL

A

1

2

3

30

50

20

4

B

CTR=2365, 00 dólares

40

C

Ing. Mauro Pérez

45

15

Evaluación de la Matriz II Matriz Zij 1

2

3

4

A

14

16

12

19

B

3

5

1

8

C

10

12

8

15

K3 12

K4 19

K1 14

K2 16

R1 + K1=14 R1=0 R1 + K2=16 R1 + K3=12 Sea R1=0 R2=-11 R2 + K4=8 R3 + K3=8 R3=-4 R3 + K4=15


2

3

4

A

0

0

0

1

B

9

9

9

0

C

0

4

0

0


La Matriz II, es la óptima.

20



Finalmente El patrón de embarque de costo mínimo es: Destinos 1 2 3 A

30

50

20

Orígenes B C

4

40 45

15

Es decir: De A se envía a 1: 30 cajas De A se envía a 2: 50 cajas De A se envía a 3: 20 cajas De C se envía a 3: 45 cajas De B se envía a 4: 40 cajas De C se envía a 4: 15 cajas. Min (z) = 30(14) + 50(16) + 20(12) + 45(8) + 40(8) + 15(15) Min z).= 2365.00 dólares Problema La Santa Bárbara Oil Company tiene refinerías en los Ángeles, Houston y St Louis. La gerencia necesita un plan de distribución óptimo entre las refinerías y lasa instalaciones regionales de almacenamiento, localizadas en Denver, Seattle, Chicago y Buffalo. Los datos siguientes son representativos para las operaciones de un mes tipico.


21



Hacia Desde

Buffalo

Seattle

Chicago

Denver

Los Ángeles

8

5

8

Houston

9

5

5

5

St. Louis

9

8

4

4

Refineria

4

Capacidad mensual disponible Costo variable (Millones de barriles) (Dólares / barriles)

Los Angeles

150

5

Houston

80

4

St. Louis

100

3

Instalacion regional De almacenamiento

Ventas mensuales (Millones de barriles)

Buffalo

50

Seattle

100

Chicago Denver

50 100

Resolver este problema utilizando el método de VOGEL.


22



Solucion: Costo total= costo de envió + costo variable (Dólares/barril) (Dólares / barril)

Demandas

Buffalo Seattle Chicago Denver

Ofertas

13

10

13

9

150

13

9

9

9

80

12

11

7

7

100

50

100

50

100

Suma de ofertas: 150 + 80 + 100 = 330 Suma de demandas: 50 + 100 + 50 + 100 = 300 Se sabe que: Demanda tiene que ser igual a la oferta por lo tanto se le adiciona columna. Ofertas

Demandas

13

10

13

9

0

150

13

9

9

9

0

80

12

11

7

7

0

100

50

100

50


100 30

23



Vogel: Mayor penalización 1

1

1

0

9

4 1

4 1

0

7

4 2

4 2

13

10

13

9

0

13

9

9

9

12

11

7

7

1

2

2

2

1 1 0

2 2 1

2 2

2 2 0

9

4

0

Para determinar la matriz asignación consideramos lo sgte: 

En la fila 2 y 3 observamos que el menor valor es cero pero esa columna ha sido cancelada ya que consumimos la demanda ( 30 dólares) en su totalidad en la posición A14. Lo que nos queda es desempacar con el sgte menor valor.

  

En la fila II tenemos un triple empate, escogemos el primero de izquierda a derecha. En la fila III tomamos el mismo criterio para eliminar el doble empate. Completando los valores obtenemos la sgte MATRIZ DE ASIGNACION. 50

20 0

0

0

30

80

0

0

0

50

50

0 50

50

100 50 20

0

0 0

100

30

50

0

0


150

120 80

0

100

50

0

0

24



Matriz Zj

Matriz Cj – Zj >=0 13

10

9

9

0

0

0

4

0

0

12

9

8

8 -1

1

0

1

1

1

11

8

7

7 -2

1

3

0

0

2

Observamos que es la tabla optima. Finalmente la distribución optima es

Los Ángeles

Buffalo

Seattle

50

20

Houston St. Louis

Chicago

Denver

Otro

50

30

80 50

50

Observamos que para llegar a tener un resultado optimo deberíamos buscar otra inslacion adicional para cumplir con las demandas requeridas. Teniendo como costo: 2720 dólares


25

Taller4-2010

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