TECNOLÓGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE POCHUTLA MECÁNICA DE SUELOS APLICADAS
CONTENIDO:
1. Distribución de esfuerzos. 1.1. Ecuaciones de Boussinesq. 1.2. Solución gráfica de Newark y gráficas de Fadum. 1.3. Esfuerzos bajo diferentes condiciones de carga. 1.4. Otras teorías. ELABORADO POR: Héctor Iván Vargas García. .
GRADO Y GRUPO 5° “B”
CARRERA: Ingeniería civil. 02 de octubre del 2017, San Pedro Pochutla Oaxaca.
1. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS. ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO Los esfuerzos dentro de un suelo se producen por el peso propio del mismo o por cargas que se encuentren sobre éste. Con la finalidad de establecer un orden en este capitulo, empezaremos por analizar los esfuerzos verticales que se generan en la masa de suelo por el peso propio de los materiales. En un suelo seco (sin N. A. F.), el esfuerzo vertical a una profundidad z puede calcularse considerando el peso del suelo que se encuentra encima de la partícula que se esté analizando. Así, considerando un suelo homogéneo con un peso específico γ constante, tendrá un esfuerzo vertical:
Si el suelo es estratificado y el peso específico de cada estrato es diferente, los esfuerzos verticales, serán la suma del peso de los diferentes estratos:
Ejemplo Determinar el esfuerzo vertical en una partícula de suelo ubicada a 8 metros de profundidad en suelos estratificados, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores:
Las cotas están en metros.
En una masa de suelo existen esfuerzos que se generan por contacto de sus partículas y cuando el nivel de aguas freáticas es alto, existen esfuerzos dentro del agua que se encuentra en sus intersticios. Por lo que es importante analizar estos esfuerzos. Si se tiene un suelo con el nivel de aguas freáticas en la superficie y a una profundidad z una partícula de suelo (para fines didácticos imaginemos un cubo de dimensiones diferenciales), la cara superior paralela a la superficie del suelo estará sometida a un peso W producto de la columna que se encuentra encima de ésta,
El suelo debajo del nivel freático se encuentra sometido a un empuje U (Principio de Arquímedes), de tal forma que el peso que aplica sobre la partícula solo el suelo, es el Peso Efectivo:
Dividiendo los pesos entre el área de la superficie de la partícula (A), obtenemos los esfuerzos verticales
En donde nos queda que el Esfuerzo Total ( σ z ) es igual al Esfuerzo Efectivo ( σ´z ) más el Esfuerzo Neutro o Presión Intersticial ( μ). Esta ecuación es válida no solo para esfuerzos verticales sino en cualquier dirección, como lo enunció el Dr. Kart Terzaghi en El Principio del Esfuerzo Efectivo, que propone que en cualquier punto de una masa de suelo saturado, el esfuerzo total en cualquier dirección es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección y la presión intersticial que es la misma en cualquier dirección.
Ejemplo Determinar los esfuerzos verticales en suelos estratificados, a las siguientes profundidades 0, 4 y 10 metros, los cuales tienen los siguientes pesos específicos y espesores:
El Nivel del Aguas Freáticas NAF se encuentra a 4 metros y γ2 es el peso específico saturado de la arcilla. Las cotas están en metros-
Esfuerzos verticales:
1.2. ECUACIONES DE BOUSINESQ Y STEINBRENNER. Boussinesq en 1883 propuso una solución al problema de determinar los esfuerzos en una partícula de suelo producto de cargas en la superficie, proponiendo un modelo que considera un medio homogéneo, elástico, isótropo y semi-infinito. El incremento de esfuerzo vertical producto de una carga puntual está dado por la ecuación:
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.
Boussinesq . Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga lineal de longitud finita está dado por la ecuación:
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.
Boussinesq. Incremento de esfuerzo vertical producto de una carga bajo la esquina de un área flexible rectangular cargada, está dado por la ecuación:
Steinbrenner. En este mismo caso existe el método de Steinbrenner, que presenta un mejor modelo del incremento de esfuerzos en el suelo a cualquier profundidad, con la siguiente ecuación (homologando la nomenclatura con el método anterior):
Dónde:
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m2, con x=2.0m y y=4.0m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.
1.2 SOLUCIÓN GRÁFICA DE NEWMARK Y GRÁFICAS DE FADUM. Newmark , Desarrolla en 1942 un método gráfico que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussinesq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de la ecuación:
Considerando una profundidad unitaria z , y determinando los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a cada 10%.
Con lo que se puede elaborar una carta de acuerdo a Newmark, dibujando circunferencias concéntricas y dividiéndolas en sectores más pequeños (en este caso a través de familias de rectas que pasan por el centro de las circunferencias), llamándole al porcentaje que representan cada uno de los sectores: valor de influencia.
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2., con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.
El incremento de esfuerzo vertical es:
Fadum, Desarrolla en 1941 un método gráfico (semi logarítmico) que permite obtener los incrementos de esfuerzos en el suelo, considerando los criterios de Boussinesq, en medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y elástico, a través de las ecuaciones presentadas en forma adimensional introduciendo los parámetros
Expresándose la fórmula para una carga lineal:
Abreviando
Expresándose la fórmula para una carga rectangular:
Abreviando
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado en la esquina de una carga rectangular de w=20 t/m2. Con x=2.0m y y=4.0m, a una profundidad de 2m.
Según gráficas
Como se puede observar el incremento de esfuerzo vertical, es el siguiente:
1.3.INCREMENTOS DE ESFUERZO VERTICAL BAJO DIFERENTES CONDICIONES DE CARGA. Carga lineal de longitud infinita , está dado por la ecuación:
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga lineal de p=20 t/m. con x=1.0m y a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.
Carga de franja de ancho finito (B) y longitud infinita.
Donde
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga de franja de carga q=10 t/m2, con un ancho B=2.0 m, a una distancia x=3.0m y a la profundidades de 1 a 10m a cada metro.
1.4. OTRAS TEORÍAS: Método 2:1 Es un método aproximado para calcular el incremento promedio del esfuerzo vertical a una profundidad z debajo de una cimentación de dimensiones B por L. Este método propone que los esfuerzos disminuyen en la masa del suelo de acuerdo a que con la profundidad la carga se reparte en una mayor área, formándose una pirámide truncada de pendiente 2:1, por lo que la formula quedaría de la siguiente forma:
Este método proporciona valores preliminares, tomando en cuenta que considera el mismo incremento de esfuerzo a la misma profundidad de cualquier punto, siempre y cuando se encuentre dentro de la pirámide, y fuera de esta no indica incrementos. Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga rectangular de w=20 t/m2. con B=2.0m y L=4.0m, a una profundidad de 2m.
Westergaard Westergaar publicó en 1938 una fórmula que se considera se ajusta más a las condiciones
elásticas de suelos estratificados. Supone que el suelo es una masa homogénea, elástica y reforzada por láminas horizontales, proponiendo la siguiente fórmula para determinar el incremento de esfuerzo vertical producido por una carga concentrada, aplicada en la superficie del suelo.
Considerando el mismo criterio de aplicación de la carga y el incremento de esfuerzo que se toma con Boussinesq.
Ejemplo Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga puntual P=25 t. con x=1.0m y y=1.4m, a la profundidades de 0 a 10m a cada metro.
Burmister Burmister estudió la distribución de esfuerzos en un sistema formado por dos capas, homogéneas, isótropas y elásticas, la primera capa horizontal y de espesor h, la segunda subyacente y semiinfinita. Se considera una frontera plana entre las dos capas, de contacto continuo y rugoso. Los estudios están enfocados al diseño de pavimentos en los cuales el módulo de elasticidad de la capa superior (E1) es mayor que el de la capa subyacente (E2), considerándose que si E1=E2, E1/E2=1, el incremento de esfuerzo vertical corresponde al calculado con las formulas de Boussinesq. Considerando una carga p aplicada en la superficie, circular y uniformemente distribuida. El incremento de esfuerzo vertical en el centro a la profundidad z, la cual es igual al r (el radio) e igual a h (espesor de la primera capa) y μ=0.5 (relación de Poisson), según Burmister, tenemos.
Fröhlich Fröhlich en 1942 investiga la distribución de esfuerzos en la masa de suelo semi infinita elástica pero no isotrópica, proponiendo para calcular el incremento de una carga concentrada en la superficie la expresión:
En donde χ es el factor de distribución de esfuerzos de Fröhlich,
BIBLIOGRAFÍA Braja M. Das Fundamentos de Ingeniería Geotecnia Thomson Learning, Mx 2001 T. William Lambe y Robert V. Whitman Mecánica de Suelos Limusa, Mx 6a reimpresión 1989 Juárez Badillo y Rico Rodriguez Mecánica de Suelos Limusa, Mx 7a reimpresión 1984
