Structural Dynamics Principles / Fundamentos de la Dinámica Estructural

UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ANÁLISIS COMPARATIVO DE DINÁMICA ESTRUCTURAL SIN SOFTWARE ESPECIALIZADO: MÉTODO TIEMPO HISTORIA Y MODAL ESPECTRAL CON SIMULACIÓN DE UN SISMO REAL EN UN EDIFICIO DE CUATRO NIVELES DE LA CIUDAD DEL CUSCO.

Investigación realizada por: GOYO ALVAREZ ALVAREZ Para obtener el título profesional de INGENIERO CIVIL. Asesora de Tesis: ING. MITSY ELENA GUDIEL CÁRDENAS.

Cusco, Perú; Abril del 2013.

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“a

la

memoria

de

mis

abuelos:

Alejandrina, Graciela, Julio y Fidel; que vivan siempre en mi”

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AGRADECIMIENTOS

Agradecimiento a Dios por permitir estas circunstancias de la vida, a la Universidad Andina del Cusco, con todos los docentes que contribuyeron a mi aprendizaje, con agradecimiento especial a mi asesora de tesis Ing. Mitsy Gudiel Cárdenas por introducirme a la ingeniería sísmica, a los ingenieros: Henry Enciso Boluarte y Víctor Chacón Sánchez, por colaborar con la metodología de mi investigación. Agradecimiento también a mis padres: Dr. Gregorio Alvarez Segovia y Prof.ª Blanca Alvarez Palma, por confiar mi educación superior en la Universidad Andina del Cusco.

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RESUMEN

La presente investigación determinará la respuesta sísmica de una estructura de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco, utilizando el registro del terremoto de Ciudad de México del 19 de septiembre de 1985 como carga sísmica, y a dos métodos de dinámica estructural como herramientas de análisis. Estos dos métodos de Dinámica Estructural son: 1. Método Tiempo Historia: Específicamente el método Beta de Newmark con el acelerograma real de la carga sísmica (Terremoto de México de 1985).

2. Método Modal Espectral: Con el espectro de respuesta de aceleración absoluta real de la carga sísmica (Terremoto de México de 1985).

Se hará un análisis comparativo entre ambos métodos y se determinara los efectos y daños de la estructura. Con el propósito de conocer e ilustrar más a fondo los fundamentos de la dinámica estructural, para estos dos métodos, desarrollaremos el análisis sin uso alguno de software especializado en estructuras. Finalmente en las conclusiones y recomendaciones de esta investigación se buscara abrir y empezar un camino de investigación para la mitigación de la amenaza sísmica en la región del Cusco.

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ABSTRACT

This research will determine the seismic response of a reinforced concrete structure of four levels of the city of Cusco, using the earthquake of Mexico City on September 19, 1985; as seismic load, and two structural dynamics methods as analysis tools. These two structural dynamics methods are: 1. Time History Method: Specifically the Newmark Beta method with the real accelerogram of the seismic load (1985 Mexico Earthquake).

2. Modal Spectral Method: With the real absolute acceleration response spectrum of the seismic load (1985 Mexico Earthquake).

It will make a comparative analysis between the two methods and determine the effects and damage of the structure. In order to know and illustrate the structural dynamics principles, for these two methods, we will develop the analysis without any use of specialized software in structures. Finally in the conclusions and recommendations of this research sought to open and start a research path for mitigation of seismic hazard in the region of Cusco.

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INTRODUCCIÓN

El Perú, junto a otros países y regiones del mundo tales como los de la parte occidental de Sudamérica, países mesoamericanos, parte occidental de Estados Unidos y Canadá, el sur de Alaska, Japón, Filipinas, Malasia, Indonesia, países melanesios, y algunos polinesios; conforman geográficamente EL CINTURON DE FUEGO DEL PACIFICO, que bordea el océano pacifico desde Nueva Zelanda hasta Chile pasando por Islas Aleutianas. Franja donde se encuentran las zonas de subducción más importantes del mundo, lo que ocasiona una intensa actividad sísmica en las zonas que abarca. “Alrededor del 90% de terremotos del mundo y el 80% de los terremotos más grandes del mundo se producen a lo largo de este cinturón” (United States Geological Survey: http://www.usgs.gov/faq/index.php?action=show&cat=113#1)

Grafico 1: Cinturón de Fuego del Pacifico (fuente del grafico: http://pubs.usgs.gov/gip/dynamic/fire.html)

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Además, mas halla del peligro sísmico por la subducción de placas, la ciudad del Cusco está ubicada dentro de un sistema de fallas activas (que pueden originar sismos intraplaca) que también amenazan sísmicamente la estructura civil en la ciudad y la región. En ello la importancia de la ingeniería sísmica dentro de la ingeniería civil en el Perú y el Cusco. La presente investigación ANÁLISIS COMPARATIVO DE DINÁMICA ESTRUCTURAL SIN SOFTWARE ESPECIALIZADO: MÉTODO TIEMPO HISTORIA Y MODAL ESPECTRAL CON SIMULACIÓN DE UN SISMO REAL EN UN EDIFICIO DE CUATRO NIVELES DE LA CIUDAD DEL CUSCO, es una investigación dedicada a la comprensión y reconocimiento a los fundamentos de la dinámica estructural, la ingeniería sísmica y la naturaleza dinámica de los sismos. La presente investigación aplicó el método tiempo historia con un acelerograma de un sismo real (México D.F. de 1985), y usó el método modal espectral con espectros de respuesta de aceleración absoluta del mismo sismo, y no con espectros de diseño (de uso común); y todo esto sin uso de software especializado en estructuras para una mejor ilustración de los fundamentos de la dinámica estructural y su análisis. Dado que el cuarto nivel es una azotea, el inmueble de cuatro niveles arquitectónicos, fue idealizado para el análisis dinámico estructural modal espectral con tres grados de libertad; debido a que por encima el cuarto nivel (la azotea) no existe rigidez alguna (columnas) que se pueda unir con una cuarta masa que tampoco existe por encima del cuarto nivel. Los resultados de la investigación demostraron que el Sismo de México de 1985 no hubiera causado daños en nuestra estructura de cuatro niveles, sin embargo también demuestran que estructuras con periodos de vibración natural cercanos a los 2 s. (como edificios de más de 8 pisos o puentes) hubieran sufrido serios daños (incluso colapsado).

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Por otro lado, con respecto al análisis comparativo de los métodos, los resultados de esta investigación fueron concluir que el Método Tiempo Historia simula de manera precisa la carga dinámica sísmica, mientras que el Método Modal Espectral idealiza de mejor manera la estructura; dando finalmente como recomendación final el uso de software especializado con cargas sísmicas reales, es decir, recomendar el Método Tiempo Historia con Software especializado que idealice de manera precisa las masas y rigideces de la estructura y simule exactamente la carga sísmica.

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ÍNDICE

CARÁTULA DEDICATORIA AGRADECIMIENTOS RESUMEN ABSTRACT INTRODUCCIÓN INFORMES FAVORABLES DEL JURADO DICTAMINANTE ÍNDICE CAPITULO 1: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA…………………...……….…25 1.1. IDENTIFICACION DEL PROBLEMA……………………………………………..26 1.2. JUSTIFICACION E IMPORTANCIA DEL PROBLEMA………………………...29 1.2.1. Justificación por Conveniencia………………………………………….29 1.2.2. Justificación por Relevancia Social…………………………………….29 1.2.3. Justificación por Implicaciones Prácticas………………………………30 1.2.4. Justificación por Valor Teórico…………………………………….…….31 1.2.5. Justificación por Utilidad Metodológica………………………………...32 1.3. LIMITACIONES DE LA INVESTIGACION……………………………………….34 1.3.1. Limitación Geográfica de la Investigación……………………………..34 1.3.2. Limitaciones de la Muestra de la Investigación……………………….36 1.3.3. Limitación Científica de la Investigación……………………………….37 1.4. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACION…………………………………………...38 1.4.1. Objetivo General………………………………………………………….38

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1.4.2. Objetivos Específicos…………………………………………………….38

CAPITULO 2: MARCO TEÓRICO…………………………………………………….40 2.1. ASPECTOS TEÓRICOS PERTINENTES……………………………………….41 2.1.1. INGENIERIA SÍSMICA……………………………………………………….41 2.1.1.1. Introducción……………………………………………………………….41 2.1.1.2. Terremoto o Sismo: Definición y Origen……………………………….41 2.1.1.3. Ondas Sísmicas…………………………………………………………..41 2.1.1.4. Magnitud e Intensidad Sísmica………………………….…………...…43 2.1.1.5. Registro Sísmico………………………………………………………….44 2.1.1.5.1. Acelerograma de un Sismo……………………..………………..44 2.1.1.6. Espectros de Respuesta…………………………………..…………….45 2.1.1.6.1. Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta………….…..47 2.1.1.7. Suelos Blandos y su influencia en la Morfografía de los Espectros de Respuesta de Aceleración Absoluta……………………………………………..48 2.1.1.8. Resonancia Sísmica……………………………………………………..49 2.1.2. DINÁMICA ESTRUCTURAL…………………………………………………49 2.1.2.1. Introducción……………………………………………………………….49 2.1.2.2. Características del Problema Dinámico………………………………..49 2.1.2.3. Carga Sísmica…………………………………………………………….50 2.1.2.4. El Sistema Estructural y sus propiedades (masa y rigidez)…………51 2.1.2.4.1. El Sistema Estructural……………………………………………..51

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2.1.2.4.2. Masa…………………………………………………………………51 2.1.2.4.3. Rigidez………………………………………………………………52 2.1.2.5. Frecuencia y Periodo Natural de un Sistema Estructural……………54 2.1.2.5.1. Frecuencia Natural de un Sistema Estructural………………….54 2.1.2.5.2. Periodo Natural de un Sistema Estructural……………………...55 2.1.2.6. Grados de Libertad de un Sistema Estructural………………………..55 2.1.2.7. Discretización de un Sistema…………………………………………...56 2.1.2.7.1. Concentración de las Masas……………………………………...57 2.1.2.8. Linealidad de un Sistema Estructural…………………………………..57 2.1.2.9. Principios de Movimiento………………………………………………..57 2.1.2.9.1. Primera Ley de Newton: Ley de Inercia………………………….58 2.1.2.9.2. Segunda Ley de Newton………………………………………….58 2.1.2.9.3. Tercera Ley de Newton……………………………………………59 2.1.2.10. Fuerza Elástica………………………………………………………….59 2.1.2.11. Fuerza Inercial…………………………………………………………..59 2.1.2.12. Fuerza de Amortiguamiento…………………………………………...59 2.1.2.12.1. Amortiguación Crítica de un Sistema Estructural……………..60 2.1.2.13. Energía y Conservación de la Energía……………………………….60 2.1.2.13.1. Energía Potencial…………………………………………………60 2.1.2.13.2. Energía Cinética…………………………………………………..61 2.1.2.13.3. Conservación de la Energía……………………………………..63

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2.1.2.14. Principio de D‟Alembert………………………………………………...63 2.1.3 MÉTODO DINÁMICO ESTRUCTURAL TIEMPO HISTORIA………….…63 2.1.3.1. Introducción……………………………………………………………….63 2.1.3.2. Método Tiempo Historia: Beta de Newmark………………………..…65 2.1.3.3. Restricciones del Método………………………………………………..65 2.1.3.4. Fundamentos del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark…..…65 2.1.3.5. Procedimiento del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark…….69 2.1.4. MÉTODO DINÁMICO ESTRUCTURAL MODAL ESPECTRAL…………69 2.1.4.1. Introducción……………………………………………………………….69 2.1.4.2. Aclaración…………………………………………………………………70 2.1.4.3. Fundamentos del Método Modal Espectral……………………………70 2.1.4.3.1. Problema Característico……………………………………...….…70 2.1.4.3.2. Modos de Vibrar de la Estructura………………………………….70 2.1.4.4. Procedimiento del Método Modal Espectral…………………………..71 2.1.4.5. Restricciones del Método Modal Espectral…………………………....71 2.1.5. TERREMOTO DE MÉXICO DE 1985………………………………………72 2.1.5.1. Introducción……………………………………………………………….72 2.1.5.2. Historia y Comentarios Sobre la Importancia del Sismo……………..72 2.1.5.2.1. Historia………………………………………………………………...72 2.1.5.2.2. Comentarios sobre la Importancia del Sismo de México de 1985 ……………………………………………………………………………74 2.1.5.3. Datos Técnicos……………………………………………………..…….74

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2.1.5.4. Acelerograma del Sismo (Registro Sísmico)………………………….75 2.1.5.5. Espectro de Respuestas de Aceleraciones Absolutas del Sismo…..76 2.1.5.6. Analogías Geográficas entre Ciudad de México y Cusco…………...76 2.2. INVESTIGACIÓN ACTUAL………………………………………………………..80 2.3. DEFINICIÓN DE VARIABLES…………………………………………………….80 2.3.1. Variables Independientes……………………………………………………..80 2.3.1.1. Peso del Edificio…………………………………………………...….....80 2.3.1.2. Estructuración del Edificio………………………………………...….....80 2.3.1.3. Sismo (Carga Sísmica)………………………………………………..…81 2.3.2. Variables Independientes…………………………………………………….81 2.3.2.1. Respuesta Sísmica de la Estructura…………………………………...81 2.4. HIPÓTESIS………………………………………………………………………….82

CAPITULO 3: METODOLOGIA……………………………......................……….…83 3.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN…………………………………………………….….84 3.2. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN……………………………………..………….….84 3.3. POBLACIÓN Y MUESTRA……………………………………………………..…86 3.4. INSTRUMENTOS………………………………………………………………..…88 3.4.1. Planos…………………….…………………………………………………….88 3.4.2. Hojas de Metrado…………………………………………………………..…88 3.4.3. Hojas de Cálculo……………………………………………………………...89 3.5. PROCEDIMIENTO DE RECOLECCION DE DATOS………………………..…89 3.5.1. Partida Arquitectónica..……………………………………………………….89 3.5.2. Planos Estructurales……………...………………………………………..…89 3.5.3. Registro Sísmico (Acelerograma del Sismo de México de 1985)..……...89

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3.6. PROCEDIMIENTO DE ANALISIS DE DATOS……………...………………..…90 3.6.1.Metrado del Peso de la Estructural…………………………………..……...90 3.6.2. Idealización de tres masas y una masa total de la estructura para tres grados de libertad y un grado de libertad respectivamente……………………..91 3.6.3. Construcción de la Matriz de Masas para el Análisis Modal Espectral....92 3.6.4. Determinación de las Rigideces del Sistema Estructural………………...93 3.6.5. Construcción de la Matriz de Rigideces para El Sistema Estructural de tres grados de libertad y Rigidez Discretizada para un grado de libertad...…...98 3.6.6. Análisis Dinámico Estructural Tiempo Historia: Beta de Newmark…….101 3.6.7. Análisis Dinámico Estructural Modal Espectral…………………………..101

CAPITULO 4: RESULTADOS……………………………......................……...…..105 4.1. RESULTADOS DEL METODO TIEMPO HISTORIA..…………...……………106 4.2. RESULTADOS DEL METODO MODAL ESPECTRAL.…...….………………107 4.3. TABLA COMPARATIVA DE LOS RESULTADOS ENTRE AMBOS METODOS………………………………………………………….…………………..110 4.4. EFECTOS Y DAÑOS A LA ESTRUCTURA…………………………………....110 4.4.1. Según el Método Tiempo Historia……………..…………………………..111 4.4.2. Según el Método Modal Espectral…………………………………………111

CAPITULO 5: DISCUSIÓN……………………………..........................……...…...112 GLOSARIO……………………………………………………………………….……..117 CONCLUSIONES……………………………………………………………….……...118 RECOMENDACIONES………………………………………………………………..121 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS………………………………………………….123 ANEXOS

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ÍNDICE DE FOTOGRAFIAS:



Fotografía 1: Ciudad del Cusco, Perú (Fuente de la fotografía: http://static.flickr.com/55/127236195_7a928f244b.jpg) (Pág. 34).

ÍNDICE DE GRAFICOS:



Gráfico 1: Cinturón de Fuego del Pacifico (fuente del gráfico: http://pubs.usgs.gov/gip/dynamic/fire.html) (Pág. 6).



Gráfico 2: Flujograma del Problema de Investigación (fuente: elaboración propia) (Pág. 28).



Gráfico 3: Ubicación de la ciudad del Cusco, en el departamento del Cusco, Perú (Fuente del gráfico: http://www.go2inkas.com/userfiles/MAPA%20CUSCO.jpg) (Pág. 35)



Gráfico 4: Esboce referencial del inmueble de cuatro niveles de concreto armado (Fuente del gráfico: Planos arquitectónicos del edificio) (Pág. 35)



Gráfico 5: Representación de movimiento de ondas P y S (Internas, de cuerpo) y ondas Love y Rayleigh (superficiales) (Fuente del Gráfico: http://astrogee.tumblr.com/page/2) (Pág. 42)



Gráfico

6:

Acelerograma

de

un

sismo

dado.

(Fuente:

http://webserver2.ineter.gob.ni/geofisica/boletin/2004/10/datos%20acelerografic o0410.htm) (Pág. 45)

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

Gráfico 7: Espectros de respuesta de Aceleración Absoluta para distintos porcentajes de amortiguación de la estructura de un sismo dado. (fuente: http://aulaweb.uca.edu.ni/blogs/estructuras/files/2011/02/espectros-derespuesta-y-de-dise%C3%B1o.pdf) (Pág. 47)



Gráfico 8: Izquierda: Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas típico de suelos rocosos. Derecha: Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas

típico

de

suelos

blandos

(fuente

del

gráfico:

http://www.112rm.com/dgsce/planes/sismimur/sis_anexo_5l.html) (Pág. 48) 

Gráfico 9: Característica de una carga sísmica (dinámica) en una estructura: (fuente del gráfico: Dynamics of Structures – Clough y Penzien, 1995) (Pág. 50)



Gráfico

10:

Sistema

Estructural

a

base

de

pórticos:

(fuente:

http://helid.digicollection.org/en/d/J049s/5.html) (Pág. 51) 

Gráfico 11: Rigidez de una columna (Fuente del gráfico: Dynamics of Structures, Theory and Application to Earthquake Engineering, Anil Kumar Chopra, 2007) (Pág. 53)



Gráfico 12: Rigidez en serie y en paralelo respectivamente (Fuente: Enrique García – Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico). (Pág. 54)



Gráfico 13: Estructura de tres grados de libertad (Fuente del gráfico: Fundamentos del Análisis Dinámico de Estructuras, Rafael Salinas Basualdo). (Pág. 56)



Gráfico 14: Modelización de un Sistema de un Grado de Libertad (Fuente del Grafico: Dinámica Estructural, Mario Paz.) (Pág. 56)

18



Gráfico 15: Reología de un material, resorte duro, línea y blando (Fuente: Dinámica Estructural, Mario Paz.) (Pág. 57)



Gráfico 16: Notación para el método Tiempo Historia (Fuente: Dynamics of Structures – Clough and Penzien, 1995) (Pág. 64)



Gráfico 17: Sistema simple de ejemplo para el Método Beta de Newmark (Fuente: Diseño Sísmico de Edificios, Bazan y Meli, 2011) (Pág. 66)



Gráfico 18: Acelerograma del Sismo de México de 1985, dirección Este-Oeste (Fuente

del

gráfico:

elaboración

propia

a

partir

de

los

datos

en:

http://structuraldesign.com.ar/CursoDinamica1/Acelerogramas/acelerogramas.h tm) (Pág. 75) 

Gráfico 19: Acelerograma del Sismo de México de 1985, dirección Norte-Sur (Fuente

del

gráfico:

elaboración

propia

a

partir

de

los

datos

en:

http://structuraldesign.com.ar/CursoDinamica1/Acelerogramas/acelerogramas.h tm) (Pág. 75) 

Gráfico 20: Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas para 4% de Amortiguación de las estructuras con respecto a la amortiguación critica; del Terremoto de México de 1985 (Fuente: elaboración propia a partir del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark) (Pág. 76)



Gráfico 21: Ubicación de Ciudad de México y Distancia perpendicular Ciudad de Mexico – Litoral (Subducción Placas de Cocos-Placa Norteamericana) (Fuente: Google Earth) (Pág. 77)

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

Gráfico 22: Ubicación del Cusco y Distancia perpendicular Cusco – Litoral (Subducción Placas de Nazca - Placa Sudamericana) (Fuente: Google Earth (Pág. 78)



Gráfico 23: Perfil Longitudinal aproximado de la distancia perpendicular: Litoral (Subducción Placa de Cocos - Placa Norteamericana) – Ciudad de México (Fuente: Google Earth) (Pág. 79)



Gráfico 24: Perfil Longitudinal aproximado de la distancia perpendicular: Litoral (Subducción Placa de Nazca - Placa Sudamericana) – Cusco (Fuente: Google Earth) (Pág. 79)



Gráfico 25: Flujograma de la Investigación (Fuente del gráfico: Elaboración Propia) (Pág. 85)



Gráfico

26:

Ubicación

de

la

muestra

(Fuente

del

gráfico:

Planos

arquitectónicos del edificio) (Pág. 86) 

Gráfico 27: Esboce referencial del inmueble de cuatro niveles de concreto armado (Fuente del gráfico: Planos arquitectónicos del edificio) (Pág. 88)



Gráfico 28: Acelerograma del Terremoto de México de 1985 (Fuente: Elaboración Propia, a partir del registro sísmico (Ver Anexo) (Pág. 89)



Gráfico 29: Idealización de las masas de la estructura de tres grados de libertad (Fuente: Elaboración Propia) (Pág. 92).



Gráfico 30: Rigidez de columnas con EIv (vigas) = a infinito. (Pág.93)



Gráfico 31: Modulo de elasticidad (fuente: normas A.C.I. 318-05, Capitulo 8.5) (Pág. 93)

20



Gráfico 32: Sección Transversal Columna Tipo 1. (Fuente del Gráfico: Planos Estructurales) (Pág. 95)















Gráfico 37: Idealización de Análisis del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark. (Fuente: Elaboración Propia) (Pág. 106)



Gráfico 38: Idealización de Análisis del Método Tiempo Modal Espectral. (Fuente: Elaboración Propia) (Pág. 107)

ÍNDICE DE TABLAS: 

Tabla 1: Magnitud sísmica (Fuente: Mario Gallego, 2004) (Pág.43)



Tabla 2: Intensidad Sísmica Mercalli Modificada: Fuente elaboración propia (Pág. 44)

21



Tabla 3: Analogías geográficas entre Ciudad de México y Cusco: Fuente datos aproximados del Google Earth) (Pág. 77).



Tabla 4: Metrado de Cargas Muertas y Vivas (Permanentes y Transitorias): Fuente: Elaboración propia a partir de los planos) (Pág. 91).



Tabla 5: Calculo de Rigideces de la Columna Tipo 1. (Fuente de la Tabla: Elaboración Propia.) (Pág. 95).















Tabla 10: Rigideces del Sistema Estructural de tres grados de libertad. (Fuente: Elaboración Propia.) (Pág. 100).



Tabla 11: Datos de Entrada para el método Tiempo Historia: Beta de Newmark. (Parámetros definidos en el marco teórico) (Fuente: Elaboración Propia.) (Pág. 101).



Tabla 12: Primer Modo de Vibrar (Fuente Elaboración propia, ver anexo 4) (Pág. 102).

22



Tabla 13: Segundo Modo de Vibrar (Fuente Elaboración propia, ver anexo 4) (Pág. 103).



Tabla 14: Tercer Modo de Vibrar (Fuente Elaboración propia, ver anexo 4) (Pág. 104).



Tabla 15: Respuesta de la Estructura por el Método Tiempo Historia: Beta de Newmark) (Pág. 106).



Tabla 16: Desplazamientos Máximos por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4) (Pág. 108).



Tabla 17: Velocidades Máximas por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4) (Pág. 108).



Tabla 18: Aceleraciones Máximas por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4) (Pág. 108).



Tabla 19: Desplazamientos Máximos de Entrepiso por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4) (Pág. 109).



Tabla 20: Fuerzas Equivalente de entrepiso por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4) (Pág. 109).



Tabla 21: Momentos de Volteo Máximos de entrepiso por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4) (Pág. 109).



Tabla 22: Tabla Comparativa de los resultados de los Métodos Modal Espectral y Tiempo Historia: Beta de Newmark (Fuente: Elaboración propia) (Pág. 110).

23



Tabla 23: Tabla de deformación lateral y daños según los resultados del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark (Fuente: Elaboración propia) (Pág. 111).



Tabla 24: Tabla de deformación lateral y daños según los resultados del Método Modal Espectral (Fuente: Elaboración propia) (Pág. 111).



Tabla 25: Tabla de Ventajas y Desventajas de ambos métodos (Fuente: Elaboración propia) (Pág. 114).



Tabla 26: Periodos de vibrar obtenidos con cada método (Fuente: Elaboración propia) (Pág. 114).

24

CAPÍTULO

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

25

1.1.

IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA: La introducción del presente documento hizo grandes referencias a las

motivaciones de esta investigación, sobre todo al tomar en cuenta la importancia de la ingeniería sísmica en el Perú y la peligrosidad sísmica de la ciudad del Cusco debido no solo a la subducción, sino también a sus suelos blandos y las fallas tectónicas en la región. El ingeniero civil es el encargado del diseño estructural de las edificaciones. En nuestra sociedad, la mayoría de ingenieros civiles estructuralistas, obedecen parámetros mínimos de las normas; además, muchas veces se hace mal e indiscriminado uso del software especializado en estructuras, dejando así de lado el análisis concienzudo a mano, y la importancia de la naturaleza dinámica de los sismos, que representan una amenaza real a la estructura civil, amenazando la integridad física y económica de la sociedad en general. Antes de identificar y formular el problema de investigación, tomaremos las recomendaciones pertinentes de la metodología de investigación: Para minimizar la distorsión de la investigación, presentaremos el problema en forma de pregunta, la pregunta general tiene que aclararse y delimitarse para esbozar el área-problema y sugerir actividades pertinentes para la investigación. (Christensen, 2006), (Ferman y Levin, 1979). La pregunta (problema de la investigación) no debe utilizar términos ambiguos ni abstractos para poder orientar hacia las respuestas que se buscan en la investigación. (Hernández Samplieri, 2009).

26

Roberto Hernández Samplieri (2009), propone el siguiente método gráfico para formular el problema de la investigación:

Paso 1: Plantear los conceptos que tenemos en “la mira”: Plantear las ideas preliminares (conceptos generales) asociados a lo que queremos investigar:

Dinámica Estructural

Métodos de análisis dinámicos

Ingeniería sísmica

Estructuras de concreto armado

Los conceptos aún son muy generales, debemos acotarlos más.

Paso 2: Buscar conceptos más específicos para los conceptos generales: Especificar las ideas preliminares de lo que queremos investigar.

Fundamentos de la Dinámica Estructural

Método Tiempo Historia

Método Modal Espectral

Simulación de un sismo real

Edificio de Concreto Armado de cuatro niveles en la ciudad del Cusco

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Paso 3: Una vez precisados los conceptos, redactamos la pregunta de investigación o formulación del problema:

PROBLEMA DE LA INVESTIGACIÓN

Dinámica Estructural

Fundamentos de la Dinámica Estructural

Métodos de análisis dinámicos

Método Tiempo Historia

Método Modal Espectral

Ingeniería sísmica

Simulación de un sismo real

Estructuras de concreto armado

Edificio de Concreto Armado de cuatro niveles en la ciudad del Cusco

¿Qué resultados y conclusiones obtenemos tras un análisis comparativo sin uso de software especializado de los métodos dinámicos estructurales: Tiempo Historia y Modal Espectral simulando un sismo real en un edificio de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco?

Grafico 2: Flujograma del Problema de Investigación (fuente: elaboración propia)

28

1.2.

JUSTIFICACION E IMPORTANCIA DEL PROBLEMA: Para justificar la investigación responderemos los criterios asociados a la

Metodología de la Investigación para ameritar el fin, criterios para evaluar la importancia potencial de una investigación (Ackoff, 1973; Miller y Salkind, 2002).

1.2.1. Justificación por conveniencia: 

¿Qué tan conveniente es la investigación? ¿Para qué sirve? Esta investigación es conveniente porque servirá para entender de mejor

manera la naturaleza de los sismos, el comportamiento de las estructuras sometidas a cargas sísmicas, los fundamentos de la dinámica estructural, los métodos modal espectral, tiempo historia ,para saber qué efectos podría ocasionar el Terremoto de México de 1985 a un edificio de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco y para abrir y empezar un camino de investigación para la mitigación de la amenaza sísmica en la región del Cusco.

1.2.2. Justificación por relevancia social: 

¿Cuál es su trascendencia para la sociedad? La investigación será un aporte para la población en general; transcenderá

y aportara en el diseño responsable de estructuras civiles seguras para la sociedad (colegios, hospitales, viviendas, etc.). 

¿Quiénes se beneficiaran con los resultados de la investigación?, ¿De qué modo? La población social en general, al habitar estructuras civiles sísmicamente

seguras de una ciudad con estudios de investigación de mitigación sísmica que salvaguardan la integridad física y económica de los ciudadanos.

29



¿Qué alcance o proyección social tiene? Dado el ámbito de influencia científica de la tesis, su alcance y proyección

social podría llegar a nivel general en el estudio y desarrollo de dinámica estructural para estudiantes y profesionales de ingeniería civil, estructural y sísmica de cualquier parte del mundo.

1.2.3. Justificación por implicaciones prácticas: 

¿Ayudara a resolver algún problema real? Si, el desconocimiento de los métodos tiempo historia y modal espectral

representan un problema real, además del desconocimiento de la respuesta sísmica (desplazamientos, velocidades, aceleraciones) de una estructura de cuatro niveles de concreto armado en la ciudad del Cusco frente a un sismo como el de México D.F. de 1985 con espectros de respuesta de aceleración absoluta con morfografía anómala, característico de una zona con suelos blandos como la Ciudad de México o Cusco. 

¿Tiene

implicaciones

trascendentales

para

una

amplia

gama

de

problemas prácticos? El diseño estructural de edificaciones a cargo de profesionales de la ingeniería civil demanda diversas complicaciones y percances debido al desconocimiento del comportamiento dinámico de los sismos y los fundamentos de la dinámica estructural; la investigación trascenderá en menguar estos problemas prácticos.

30

1.2.4. Justificación por valor teórico: 

Con la investigación, ¿se llenará algún vacío del conocimiento? Al ser una investigación descriptiva, entendemos que el conocimiento se

encuentra ya en los fundamentos de la dinámica estructural, por lo cual en el aspecto científico no se llena ningún conocimiento, pero en el aspecto práctico, existe un desconocimiento de los métodos tiempo historia y modal espectral con respecto a su aplicación en una estructura de concreto armado de cuatro niveles en la ciudad del Cusco, además de aplicar los métodos con un sismo real tal como el terremoto de México de 1985. 

¿Se podrán generalizar los resultados a principios más amplios? Dada la complejidad del fenómeno de los sismos y que la ingeniería

sísmica está en constante desarrollo y actualización teórica y científica, los resultados de las investigaciones de análisis dinámico de una estructura de cuatro pisos de concreto armado con los métodos tiempo historia y modal espectral de este tipo aportan para llegar a principios más avanzados dentro de la dinámica estructural y la ingeniería sísmica. 

¿La información que se obtenga puede servir para revisar, desarrollar o apoyar una teoría? Si, para apoyar y desarrollar la teoría de la obtención de la respuesta

sísmica de una estructura de concreto armado de cuatro niveles con el uso de los métodos dinámicos tiempo historia y modal espectral con una carga sísmica de un sismo real (terremoto de México de 1985). 

¿Se podrá conocer en mayor medida el comportamiento de una o de diversas variables o la relación entre ellas? Si, en el desarrollo de la investigación conoceremos en mayor medida los

comportamientos de las diversas variables relacionadas entre sí; por ejemplo, con respecto al peso y la estructuración del edificio, veremos de qué manera la rigidez

31

y la masa afectan la frecuencia y periodo natural de vibración de la estructura como también en la respuesta máxima en el espectro de respuesta de aceleración absoluta de la estructura. 

¿Se ofrece la posibilidad de una exploración fructífera de algún fenómeno o ambiente? Si, en la investigación, al simular un sismo real (México D.F. de 1985) de

fuerte magnitud en una estructura de concreto armado de cuatro niveles en la ciudad del Cusco, del cual podremos extraer resultados y conclusiones. 

¿Qué se espera saber con los resultados que no se conociera antes? Esperamos saber el comportamiento dinámico y la respuesta sísmica de un

edificio de cuatro niveles de concreto armado de la ciudad del Cusco frente a un sismo real de características especiales como el de México D.F. de 1985 en el caso que pueda ocurrir un sismo similar en la ciudad del Cusco. 

¿Se pueden sugerir ideas, recomendaciones o hipótesis para futuros estudios? Si,

con

las

conclusiones

de

esta

investigación

se

podrán

dar

recomendaciones y plantear otras hipótesis para futuras investigaciones o estudios, además uno de los objetivos es de la investigación es abrir y empezar un camino de investigación para la mitigación de la amenaza sísmica en la región del Cusco.

1.2.5. Justificación por utilidad metodológica: 

¿La investigación puede ayudar a crear un nuevo instrumento para recolectar o analizar datos? Tomando en cuenta que la muestra (una estructura de cuatro niveles de

concreto armado en la ciudad del Cusco) de la cual recolectaremos datos, es

32

censal; tendremos que crear instrumentos que nos será útiles para rescatar toda la información necesaria, que en este caso principalmente será obtener la masa y la rigidez de la estructura. Es decir crearemos instrumentos de recolección de datos. Con respecto al análisis de datos, también crearemos instrumentos como hojas de cálculo. 

¿Contribuye a la definición de un concepto, variable o relación entre variables? Si, tanto en el marco teórico de esta investigación que ahonda y aclarará

muy bien cada variable y da conceptos más claros de parámetros del fenómeno; en la recolección y análisis de datos estableceremos también definiciones sustentadas científicamente (por ejemplo: la gravedad en el Cusco a partir de su latitud y su altura en metros sobre el nivel del mar, para después encontrar la masa de la estructura) de la futura investigación también se determinara cada variable y se relacionara con otras a fondo (por ejemplo la sinergia de la rigidez y la masa para obtener la frecuencia natural y el periodo de vibración de la estructura). 

¿Sugiere como estudiar más adecuadamente una población? Si, en el caso de un análisis de una muestra censal (una estructura de

cuatro pisos de concreto armado en la ciudad del Cusco), la futura investigación sugerirá a través de los instrumentos una recolección de datos totalmente especial para su posterior análisis dinámico; es decir, no es lo mismo hacer una recolección de datos para un análisis estructural estático que para uno dinámico, por eso especificaremos un estudio adecuado, la investigación mostrara y señalara en el análisis de datos la metodología y criterio del estudio de la población, que en este caso será una muestra censal, un edificio de concreto armado de cuatro niveles en la ciudad del Cusco.

33

1.3.

LIMITACIONES DE LA INVESTIGACION:

1.3.1. Limitación geográfica de la investigación: La presente tesis, tiene como ámbito de influencia geográfica la ciudad del Cusco, ciudad al sureste del Perú, ubicada en la vertiente oriental de la Cordillera de los Andes, en la cuenca del rio Huatanay, capital del departamento del mismo nombre. 

Ubicación: 13°32′ latitud sur, 72°00′ longitud oeste.



Altura: 3 399 metros sobre el nivel del mar.



Población: 358 052 (2007) habitantes.

(Fuente de los datos: http://www.mapsofworld.com/lat_long/peru-lat-long.html)

Fotografía 1: Ciudad del Cusco, Perú (Fuente de la fotografía: http://static.flickr.com/55/127236195_7a928f244b.jpg)

34

Grafico 3: Ubicación de la ciudad del Cusco, en el departamento del Cusco, Perú (Fuente del gráfico: http://www.go2inkas.com/userfiles/MAPA%20CUSCO.jpg):

Para la investigación se evaluara una estructura, un edificio de concreto armado de cuatro niveles ubicado en la Urb. Villa Miraflores F-14, distrito de San Jerónimo, provincia y departamento del Cusco.

Grafico 4: Esboce referencial del inmueble de cuatro niveles de concreto armado (Fuente del gráfico: Planos arquitectónicos del edificio)

35

1.3.2. Limitaciones de la muestra de la investigación: La muestra censal es una estructura de concreto armado de cuatro niveles arquitectónicos ubicado en la Urb. Villa Miraflores F-14, distrito de San Jerónimo, provincia y departamento del Cusco; como ya lo hemos mencionado; con las siguientes limitaciones: 

Estructura de concreto armado porticado, de cuatro niveles.



Área de la planta de la estructura igual a 8 por 12 metros, equivalente a 96 m2.



Resistencia a la compresión de los elementos estructurales equivalente a 210 kg/cm2.



Módulo de Elasticidad de las columnas equivalente a 57000 por la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del concreto, formula dada por el Instituto Americano del Concreto (A.C.I.), es decir equivalente a 219039.451 kg/cm2.



Módulo de Elasticidad de las losas y vigas tendiente al valor infinito (esto no aleja a los resultados de los cálculos de la realidad, sirve para discretizar el sistema).



Mampostería de la estructura tipo C: calidad de ejecución media, sin refuerzo y no diseñada para resistir fuerzas laterales.



Estructura independiente de la estructura de las escaleras para el análisis.



Gravedad en la ciudad del Cusco equivalente a 9.77264 m/s2, calculado de acuerdo a la latitud geográfica y altitud sobre el nivel del mar de la ciudad del Cusco. (fuente: http://www.metas.com.mx/utilerias/calculoacelgravedad.html).

36



Estructura idealizada con tres grados de libertad para el método modal espectral y con un grado de libertad para el método tiempo historia.



Altura de la estructura desde la base hasta el último grado de libertad de la estructura de tres grados de libertad equivalente a 9.1 m.



Relación de amortiguación con respecto al crítico de la estructura equivalente al 4% (dado el tipo de estructura y el tipo de mampostería).



Intervalo de tiempo para el análisis iterativo del método tiempo historia beta de Newmark equivalente a 0.04 s. (este valor no debe exceder el 10% del periodo natural de la estructura para que el análisis sea efectuado de manera correcta).

1.3.3. Limitación Científica de la Investigación: El ámbito de influencia científica de esta tesis pertenece a la ingeniería sísmica y estructural, el análisis estructural dinámico, haciendo énfasis en los fundamentos de la dinámica estructural y los métodos tiempo historia y modal espectral.

37

1.4.

OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN:

1.4.1. Objetivo General: Realizar un análisis comparativo de dinámica estructural sin uso de software especializado de los métodos dinámicos estructurales: tiempo historia y modal espectral con el uso de una carga sísmica real correspondiente al Terremoto de México de 1985, en un edificio de cuatro niveles de la ciudad del Cusco.

1.4.2. Objetivos Específicos: 

Objetivo Específico 1. Determinar los parámetros de la estructura de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco para su análisis sísmico dinámico.



Objetivo Específico 2. Desarrollar y aplicar el método Tiempo Historia sin uso de software especializado, en un edificio de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco, utilizando el método Beta de Newmark con un acelerograma del sismo de México D.F. de 1985.



Objetivo Específico 3. Desarrollar y aplicar el método Modal Espectral sin uso de software especializado, en el edificio de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco, utilizando espectros de respuesta del sismo de México D.F. de 1985.



Objetivo Específico 4. Analizar los resultados obtenidos: desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas cortantes y momentos de volteo; de la estructura de cuatro niveles de concreto armado de la ciudad del Cusco con ambos métodos, y realizar el análisis comparativo.

38



Objetivo Específico 5. Determinar los efectos y daños que causaría el terremoto de México D.F. de 1985 a una estructura de concreto armado de cuatro niveles de concreto armado de la ciudad del Cusco.

39

CAPÍTULO

2 MARCO TEÓRICO

40

2.1.

ASPECTOS TEORICOS PERTINENTES:

2.1.1. INGENIERIA SISMICA:

2.1.1.1.

Introducción:

Estudia y analiza los sismos y la relación entre las cargas sísmicas y la estructura, utiliza los conocimientos de tectónica de placas, origen de los sismos, magnitud de los sismos y a la dinámica estructural como principal herramienta de análisis para diseñar y ejecutar estructuras capaces de resistir los efectos de los terremotos.

2.1.1.2.

Terremoto o Sismo: Definición y Origen:

El terremoto o también llamado Sismo, es un fenómeno natural pasajero e insólito en muchas regiones del mundo, que consta de generación de aceleraciones en el suelo producto de ingentes desprendimientos de energía en la corteza terrestre en forma de ondas sísmicas causadas generalmente debido a la cinética de las placas tectónicas.

2.1.1.3.

Ondas Sísmicas:

Desprendimiento de energía producida por el sismo, que genera movimiento, velocidades y aceleraciones en el suelo, existen dos tipos de ondas sísmicas: Ondas Internas (de cuerpo) y Ondas Superficiales. Siendo las ondas Internas las más rápidas e imperceptibles, y las ondas superficiales las más lentas, pero las que generan mas aceleración en el suelo.

41

Grafico 5: Representación de movimiento de ondas P y S (Internas, de cuerpo) y ondas Love y Rayleigh (superficiales) (Fuente: http://astrogee.tumblr.com/page/2)

42

2.1.1.4.

Magnitud e Intensidad Sísmica:

La Magnitud de un sismo es una variable de medición de los sismos con respecto al desprendimiento de energía, generalmente medido en la escala de Richter o en su equivalente de kilogramos de explosivos descargados.

Magnitud Richter: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número aproximado de Terremotos al año en el mundo: >> 1,000,000 1,000,000 100,000 12,000 2,000 200 20 3 <1 << 1

Energía descargada de TNT equivalente (kg.): 1.8 56 1,800 56,000 1,800,000 56,000,000 1,800,000,000 56,000,000,000 1,800,000,000,000 56,000,000,000,000

Tabla 1: Magnitud sísmica (Fuente: Mario Gallego, 2004)

Mientras que la Intensidad sísmica es una variable de medición de los sismos con respecto a la perceptibilidad y daños ocasionados a la población y la estructura civil. Es medido generalmente de acuerdo a la Escala de Intensidad Sísmica de Mercalli Modificada.

43

Grado

Descripción

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

Muy Débil Débil Leve Moderado Poco Fuerte Fuerte Muy Fuerte Destructivo Ruinoso Desastroso Muy Desastroso Catastrófico

Tabla 2: Intensidad Sísmica Mercalli Modificada: Fuente elaboración propia

2.1.1.5.

Registro Sísmico:

El registro sísmico es un conjunto de magnitudes de aceleraciones, velocidades o desplazamientos del suelo registrados durante un evento sísmico, graficados en el primer y cuarto cuadrante de un plano cartesiano, donde las abscisas corresponden al tiempo medido en segundos y las ordenadas que son positivas y negativas corresponden a la aceleración, velocidad o desplazamiento del suelo del lugar donde se registra el sismo que puede ser una estación sismográfica.

2.1.1.5.1. Acelerograma de un Sismo: Es el registro sísmico más utilizado en la ingeniería sísmica y para efectos de análisis dinámico, representa las magnitudes de aceleración del suelo medidas en g, gal, cm/s2, m/s2 (unidades de aceleración). Es decir una serie de valores numéricos de aceleración del suelo registrados para diferentes instantes,

44

usualmente a intervalos constantes de tiempo “Δt” que varían entre 0.005 y 0.04 segundos.

Grafico 6: Acelerograma de un sismo dado. (Fuente: http://webserver2.ineter.gob.ni/geofisica/boletin/2004/10/datos%20acelerografico0 410.htm)

2.1.1.6.

Espectros de Respuesta:

Los espectros de respuesta corresponden a los valores absolutos máximos instantáneos para cada periodo de oscilación de todos los sistemas posibles que responden a un sismo dado con aceleración, velocidad y desplazamiento. Cada registro sísmico tiene un espectro de respuesta, este espectro de respuesta único para cada acelerograma del suelo, puede variar dependiendo del porcentaje de amortiguación con respecto al crítico de los sistemas estructurales. Hay

que

aclarar que

en

la

Ingeniería

Sísmica

se

trabaja

con

Desplazamientos y Velocidades Relativas, y con Aceleraciones Absolutas; esto de relativo y absoluto tiene que ver con el desplazamiento de la estructura y del suelo; hablamos de relativo cuando solo tomamos en cuenta el desplazamiento de la estructura, y de absoluto cuando tomamos en cuenta el desplazamiento total de

45

la estructura y del suelo. Esto es debido a que para la Fuerza Inercial (F=m.a), necesitamos la aceleración absoluta de la estructura incluyendo la del suelo; de lo contrario para la Fuerza Elástica (F=k.u), solo nos interesa el desplazamiento relativo (solo la estructura). Existen: 

Espectro de Respuesta de Desplazamientos Relativos (RDR).



Espectro de Respuesta de Velocidades Relativas (RVR).



Espectro de Respuesta de Pseudovelocidades Relativas (RSvR).



Espectro de Repuesta de Pseudoaceleraciones Absolutas (RSaA).



Espectro de Repuesta de Aceleración Absoluta (RAA).

Estos dos últimos son los más usados para fines de análisis dinámico estructural (específicamente para el método modal espectral) (para más información acerca de los términos ver el Glosario). La respuesta máxima de desplazamiento relativo para un periodo de frecuencia dado, es:

Umax = RDR A su vez podemos hallar RSvR y RSaA:

RSvR = RDR * RSaA = RDR *

46

Cuando los espectros de velocidad y aceleración se obtienen por estas fórmulas a partir de la Repuesta de Desplazamientos Relativos (RDR), se le antepone el prefijo Pseudo. Existe una gran variación entre la Respuesta de Velocidad Relativa (RVR) y la Repuesta de Pseudovelocidad Relativa (RSvR), por lo cual se recomienda usar el primero, obtenido de la Integral de Duhamel o de un Método Tiempo Historia. Los espectros de velocidad y aceleración sin prefijo Pseudo son los que son hallados correctamente mediante la integral de Duhamel o un método tiempo historia, en esta investigación optamos por utilizar el Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas obtenida mediante el método tiempo historia: Beta de Newmark. 2.1.1.6.1. Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta: Representa gráficamente los valores máximos de aceleración absoluta de una estructura de un grado de libertad.

Grafico 7: Espectros de respuesta de Aceleración Absoluta para distintos porcentajes de amortiguación de la estructura de un sismo dado. (fuente: http://aulaweb.uca.edu.ni/blogs/estructuras/files/2011/02/espectros-derespuesta-y-de-dise%C3%B1o.pdf)

47

2.1.1.7.

Suelos blandos y su influencia en la morfografía de los espectros de respuesta de aceleración absoluta:

En una ciudad de suelos blandos, como por ejemplo Ciudad de México o Cusco, las ondas sísmicas reducen su velocidad, esto hace que el periodo de vibración del suelo crezca, y la frecuencia de vibración del suelo decrezca. A su vez influye en la morfografía del Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta, haciendo que los máximos se vayan a periodos mayores, esto hace que las estructuras menos esperadas para ceder a un sismo sufran mayor daño por entrar en resonancia con el sismo. Lamentablemente esto ya se ha comprobado en Terremoto de México de 1985, donde las ondas sísmicas afectaron a estructuras de periodos de vibración cercanos a los 2 s; y sin hacer mayor daño a estructuras de menos de 1 s. de periodo de vibración.

Grafico 8: Izquierda: Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas típico de suelos rocosos. Derecha: Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas típico de suelos blandos (fuente: http://www.112rm.com/dgsce/planes/sismimur/sis_anexo_5l.html)

48

2.1.1.8.

Resonancia Sísmica:

Llamamos resonancia sísmica, cuando las frecuencias del suelo y de la estructura coinciden, haciendo que la fuerza inercial sea máxima y supere fácilmente a las fuerzas elásticas y de amortiguación de la estructura, pudiendo fácilmente hacer colapsar la estructura.

2.1.2. DINAMICA ESTRUCTURAL:

2.1.2.1.

Introducción:

El término “dinámico” hace énfasis en la variación con respecto al tiempo, tanto en la carga sísmica como en la respuesta de la estructura. Por ello, el análisis dinámico considera distintas fuerzas para el análisis de sistemas (como por ejemplo un edificio), fuerzas inerciales, elásticas y de amortiguación. Las estructuras, cuando están sujetas a cargas o desplazamientos sísmicos en la base, en realidad actúan dinámicamente; es decir, no basta con un análisis estático. Aparte de considerar las fuerzas elásticas, hay que considerar además las fuerzas inerciales y de amortiguamiento, y eso es lo que hace la dinámica estructural. Las aceleraciones y cargas sísmicas no son funciones matemáticas del tiempo, son complejas y aleatorias. Los registros sísmicos muestran variaciones de la aceleración en el suelo a cada ínfimo instante de tiempo. Por ello, el análisis dinámico es el más apropiado dentro del Análisis Estructural.

2.1.2.2.

Características del Problema Dinámico:

El problema dinámico tiene 2 características principales y generales: 

Naturaleza variable en el tiempo.



Consideración de la fuerza de Inercia.

49

2.1.2.3.

Carga Sísmica:

Las cargas sísmicas son cargas dinámicas con incertidumbre en las magnitudes y tiempos de ocurrencia, estas cargas resultan aleatorias y de ocurrencia al azar, por ende las cargas de inercia derivadas de su acción también resultan aleatorias. Estas cargas generan deformaciones en los elementos estructurales. Estas fuerzas pueden tener un total de seis componentes en el extremo de un elemento; tres pueden ser axiales y tres serán componentes de rotación que introducen momentos flectores o de torsión; pero que a su vez pueden ser discretizadas en un solo componente como veremos mas adelante. Un sismo genera cargas sísmicas en la base de la estructura, estas magnitudes de fuerzas que varían con el tiempo o duración del sismo son registrados por acelerogramas del suelo; y a su vez las estructuras responden con otro acelerograma de respuesta de la estructura, los cuales tienen una forma única a comparación de otras respuesta a cargas dinámicas (como por ejemplo las de cargas por explosiones, por viento, etc.) en la siguiente imagen vemos un acelerograma de respuesta de la estructura (en este caso un tanque de agua) de un sismo dado.

Grafico 9: Característica de una carga sísmica (dinámica) en una estructura: (fuente del gráfico: Dynamics of Structures – Clough y Penzien, 1995)

50

2.1.2.4.

El Sistema Estructural y sus propiedades (Masa y Rigidez):

2.1.2.4.1. El Sistema Estructural: Un Sistema Estructural es un conjunto de elementos materiales fusionados entre sí para conformar un sistema con resistencia y rigidez propia capaz de almacenar energía potencial de fuerzas externas, que le otorgue estabilidad y resistencia a ingentes deformaciones que puedan ocasionar su colapso.

Gráfico 10: Sistema Estructural a base de pórticos: (fuente: http://helid.digicollection.org/en/d/J049s/5.html)

2.1.2.4.2. Masa: En la dinámica estructural el peso y la masa no pueden confundirse; la masa corresponde al cociente del peso sobre la gravedad.

51

Es decir el peso de la estructura que corresponde a la suma de las cargas muertas y las cargas vivas (que pueden ser ajustadas por ciertas consideraciones establecidas en las normas de diseño sismoresistente) tiene que ser dividida por la gravedad, que en el caso del Cusco de acuerdo a su altitud sobre el nivel del mar y su latitud geográfica corresponde a: Gravedad en la ciudad del Cusco: 9.772746 m/s2 (fuente: http://www.metas.com.mx/utilerias/calculoacelgravedad.html) La gravedad es usualmente medida en metros sobre segundo al cuadrado, pero en el análisis estructural es más común su medida en unidades “gal”, en honor a Galileo, Entonces: 1 Gal = 0.01 m/s2 = 1 cm/s2.

2.1.2.4.3. Rigidez: En términos generales de la física, la rigidez es la capacidad que tiene la materia de almacenar energía potencial, que después será convertida en energía cinética cuando la estructura se mueva con una velocidad inversamente proporcional a la rigidez de esta. La rigidez en el caso de estructuras de concreto armado es proporcionado por todos los elementos estructurales, incluso por elementos no estructurales como la albañilería, pero en el análisis dinámico de estructuras consideramos la rigidez de las columnas y/o placas, tomando en cuenta la premisa de que el módulo de elasticidad por el segundo momento de las vigas y losas tienden a infinito.

52

Gráfico 11: Rigidez de una columna (Fuente del gráfico: Dynamics of Structures, Theory and Application to Earthquake Engineering, Anil Kumar Chopra, 2007) De esta manera la rigidez de una columna es igual a:

Donde los símbolos k, E, Ic, y h; corresponden a rigidez, modulo de elasticidad de la viga y/o losa, segundo momento de inercia de la viga y/o losa y altura de la columna; respectivamente. También hay que considerar que en una estructura de concreto armado, las columnas están en paralelo y en serie, para ello: para hallar la resultante de las rigideces en paralelo simplemente se suma, y la resultante de rigideces en serie son el inverso de la sumatoria de las inversas de las rigideces: 

Rigideces en serie:

53



Rigideces en paralelo:

Gráfico 12: Rigidez en serie y en paralelo respectivamente (Fuente: Enrique García – Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico).

2.1.2.5.

Frecuencia y Periodo natural de un Sistema Estructural:

2.1.2.5.1. Frecuencia Natural de un Sistema Estructural: Dadas la masa y la rigidez del sistema, su sinergia nos da un parámetro dinámico transcendental llamado frecuencia natural de vibración circular “ω”. Este parámetros nos permite comparar construcciones entre si de una forma abstracta, por tanto las construcciones se convierten en números que son comparables directamente, sin tener que pensar en su forma, color o dimensiones. Incluso, construcciones de forma totalmente diferente pueden tener frecuencias de vibraciones iguales. La frecuencia de un sistema estructural es:

√

54

2.1.2.5.2. Periodo Natural de un Sistema Estructural: El periodo de una estructura corresponde a la inversa de la frecuencia de la misma:

ω Generalmente las casas pequeñas tienen periodos muy bajos en el orden de 1/10 a 1/3 de segundo, mientras que los edificios de mediana altura de hasta 5 pisos, oscilan 1/3 y 3/4 de segundo. A medida crece un edificio en altura, también lo hace mucho más rápido en masa que en rigidez, por lo cual el periodo aumenta dramáticamente. El periodo de vibración del sistema puede condenar o salvar a la estructura durante un movimiento sísmico dependiendo mucho de la naturaleza del sismo. 2.1.2.6.

Grados de Libertad de un Sistema Estructural:

En dinámica estructural, el grado de libertad de una estructura, es el número

de

coordenadas

independientes

necesario

para

especificar

la

configuración o posición de un sistema en cualquier instante de tiempo. Toda estructura tiene un número infinito de grados de libertad. Sin embargo el proceso de selección o idealización de un modelo matemático apropiado permite reducir los grados de libertad a un numero discreto, en algunos casos a uno solo. Una estructura de un modelo matemático con n grados de libertad tiene n coordenadas de desplazamiento.

55

Gráfico 13: Estructura de tres grados de libertad (Fuente del grafico: Fundamentos del Análisis Dinámico de Estructuras, Rafael Salinas Basualdo).

Gráfico 14: Modelización de un Sistema de un Grado de Libertad (Fuente del Grafico: Dinámica Estructural, Mario Paz.)

2.1.2.7.

Discretización de un Sistema:

En el análisis Dinámico Estructural podemos sincretizar las estructuras para un análisis menos complejo y más simplificado, mediante la concentración de masas.

56

2.1.2.7.1. Concentración de las masas: Idealizar a las estructuras como masas concentradas con elementos de rigidez sin masa es de gran ayuda para limitar los grados de libertad del sistema. Pero esto no significa que vamos a obviar la masa de los elementos de rigidez.

2.1.2.8.

Linealidad de un Sistema Estructural:

La reología del material, en este caso el resorte “k”, nos puede indicar si es lineal o no, esto va a depender de la fuerza y del desplazamiento que produzca esta fuerza, pero podemos el material puede ser: de resorte duro, línea o blando:

Gráfico 15: Reología de un material, resorte duro, línea y blando (Fuente: Dinámica Estructural, Mario Paz.) Solamente en una reología lineal se puede definir a la Fuerza Elástica como rigidez por desplazamiento, esto lo veremos más adelante.

2.1.2.9.

Principios del Movimiento:

Establecidos por Isaac Newton a fines del siglo XVII, estos son:

57

2.1.2.9.1. Primera Ley de Newton: Ley de Inercia: Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme rectilíneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicación de cualquier tipo de fuerzas.

2.1.2.9.2. Segunda Ley de Newton: La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual a tasa de cambio del momentum (Q) del cuerpo.

Q = m.v = m.

F=

(

)

F= (

(

)

)

F=m.

F=m.x‟‟

F=m.a En resumen, Fuerza es igual a masa por aceleración.

58

2.1.2.9.3. Tercera Ley de Newton: A toda acción se opone siempre una reacción de igual magnitud (cuerpo libre).

2.1.2.10. Fuerza Elástica:

Es desarrollada por la rigidez, y es proporcional al desplazamiento de la masa.

u

Siendo Fe, k y u; la fuerza elástica, la rigidez y el desplazamiento respectivamente.

2.1.2.11. Fuerza Inercial:

Es la desarrollada por la aceleración absoluta de la masa que se mueve alrededor de su punto de equilibrio.

ü Siendo “Fi”, “m” y ü; la fuerza de inercia, masa y aceleración respectivamente.

2.1.2.12. Fuerza de Amortiguamiento:

Esta fuerza es dada por:

ů

59

Donde, “Fd”, “c”, “ů”; son la fuerza de amortiguación, el coeficiente de amortiguación, y la velocidad respectivamente. Esta fuerza es desarrollada por el amortiguador del sistema, que en el caso de un edificio de concreto armado, son amortiguadores por deformaciones elásticas, por deformaciones inelásticas, (amortiguación histerética), por la interacción suelo – estructura (amortiguación radial), por la interacción con el medio externo, en este caso el aire (amortiguación viscosa); pero en la práctica es difícil determinar el coeficiente de amortiguación de una estructura dado que presenta complicaciones y altos costos.

2.1.2.12.1.

Amortiguación critica de un sistema:

Dado por:

√ Donde, „Ccr‟, „k‟,y „m‟; son coeficiente de amortiguación critica, rigidez y masa respectivamente. Se sabe que las estructuras de concreto armado varían entre 5% a 7% del coeficiente de amortiguación critica; hablar de coeficientes de amortiguación con respecto al coeficiente critico de amortiguación es incorrecto desde el punto de vista analítico, sin embargo resulta muy útil en la práctica.

2.1.2.13. Energía y conservación de la energía:

2.1.2.13.1.

Energía Potencial:

Energía que se almacena en un cuerpo, capacidad de generar energía cinemática, existen 3 tipos de energía potencial: gravitacional, electrostática y

60

elástica, a nosotros nos compete el estudio de la energía potencial elástica; la energía potencial elástica es una magnitud escalar asociada a un campo tensorial de tensiones, es el aumento de energía interna acumulada en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

∫

{

Donde: “Ep”, “W”, “F”, “x”, “u”, “k”; son energía potencial, trabajo, fuerza, distancia en un tiempo “t”, distancia y rigidez; respectivamente.

2.1.2.13.2.

Energía Cinemática:

Para los tres casos de energía potencial, la energía cinética es la liberación de energía almacenada, reflejada en movimiento cinético:

∫

61

∫

∫

∫

{

Donde: “Ec”, “W”, “F”, “x”, “u”, “m”, “a”, “v”, ”vt”; son energía cinética, trabajo, fuerza, distancia, longitud, masa, aceleración, velocidad, y velocidad en un tiempo “t”.

62

2.1.2.13.3.

Conservación de la Energía:

La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma, entonces: la energía de la energía potencial y la energía cinética entre 2 instantes de tiempo, se mantiene constante.

(

)

Donde: “Ec”, “Ep”, “r”; son energía cinética, energía potencial, y constante respectivamente. 2.1.2.14. Principio de D’Alembert: El equilibrio estático debe cumplirse en cada instante de tiempo, es decir, incluso las fuerzas inerciales deben cumplir con el equilibrio estático en cualquier instante dado.

Donde: “F”, “m”, y “a”; son fuerza, masa y aceleración respectivamente. 2.1.3. METODO DINAMICO ESTRUCTURAL TIEMPO HISTORIA:

2.1.3.1.

Introducción:

El Método Tiempo Historia, también llamado Método paso a paso o Método Exacto por tramos; es un método muy adecuado para la respuesta no línea de la estructura porque evita cualquier superposición. Existen muchos métodos tiempo

63

historia, pero en todos ellos la carga y la historia de la respuesta son divididos en pequeños intervalos; la respuesta en cada intervalo es calculado a partir de las condiciones iniciales (desplazamiento y velocidad) que existen al inicio del intervalo y de la historia de la carga durante el intervalo. Por eso la respuesta para cada intervalo es un problema analítico independiente, y no hay necesidad de combinar contribuciones de respuesta dentro del intervalo. El comportamiento no lineal puede ser considerado fácilmente por este método, simplemente asumiendo que las propiedades estructurales permanecen constantes durante cada intervalo, y causándoles cambio acorde con cualquier forma específica del comportamiento de un intervalo al siguiente. Por lo tanto el análisis no lineal es una secuencia de análisis lineales de un sistema cambiante. También puede ser aplicado para cualquier tipo de no linealidad incluyendo cambios de masa y propiedades de amortiguación, así como también las no linealidades debido a los cambios de rigidez. El método paso a paso proporciona el único enfoque general para análisis de respuesta no lineal. Sin embargo el método es también es ideal para respuestas lineales porque los mismos algoritmos pueden ser aplicados sin tener en cuenta si la estructura tiene un comportamiento lineal o no.

Gráfico 16: Notación para el método Tiempo Historia (Fuente: Dynamics of Structures – Clough y Penzien, 1995)

64

En el grafico observamos la historia de la carga real (Actual), y la historia de la carga asumida (assumed); mientras más cortos sean los intervalos (t1 – t0), el análisis será cada vez mas exacto.

2.1.3.2.

Método Tiempo Historia: Beta de Newmark:

Para efectos de esta investigación usaremos el método Beta de Newmark. El método Beta de Newmark, es un método Tiempo Historia originalmente propuesto por Newmark (1962), aunque nos limitemos a sistemas de un grado de libertad, los conceptos y fundamentos de este método al igual que la gran parte de otros métodos Tiempo Historia se aplican al análisis paso a paso de estructuras más complejas.

2.1.3.3.

Restricciones del Método:

Es importante mencionar que este método se aplica para un solo grado de libertad, es decir, la estructura deberá ser idealizada como una sola masa concentrada con un solo movimiento horizontal posible. Aplicaremos el método Beta de Newmark con β = 1/4; esto hace la que la aceleración sea constante en un intervalo de tiempo, igual al promedio de las dos aceleraciones adyacentes.

2.1.3.4.

Fundamentos del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark:

Dado un sistema de 1 grado de libertad:

65

Gráfico 17: Sistema simple de ejemplo para el Método Beta de Newmark (Fuente: Diseño Sísmico de Edificios, Bazan y Meli, 2011)

Cuya ecuación de movimiento es:

m a + c v + k u = - m s‟‟

Donde a, v y u son la aceleración, la velocidad y el desplazamiento, respectivamente, de la masa m. Supondremos que estas tres cantidades se conocen en el instante t y usaremos el subíndice 1 para denotar sus valores en t + Δt. Se debe también cumplir:

m a1 + c v1 + k u1 = -m s‟‟1

66

Definiendo Δa = a1-a, Δv = v1-v, Δu = u1-u; y resaltando las dos últimas ecuaciones se deduce que:

m Δa + c Δv + k Δu = -m (s‟‟1 – s‟‟)

….(1)

Newmark propuso emplear las siguientes ecuaciones para calcular v1 y u1:

v1 = v +1/2 (a + βa1) Δt ….(2) u1 = u + vΔt + ½ ((1/2 – β)a + βa1) ( ) ….(3)

Usando conceptos básicos de cinemática se puede deducir como varia la aceleración con el tiempo en el lapso Δt . Por ejemplo β=1/4 corresponde a aceleración constante en dicho lapso, igual al promedio de a y a1, mientras que una variación línea de aceleración entre a y a1 conduce a β = 1/6. Tenemos ahora que resolver el sistema de tres ecuaciones simultaneas (1, 2 y 3), con tres incógnitas: a1, v1 y u1 o, de manera equivalente, Δa, Δv y Δu. En los que sigue se considera β = ¼, aunque el procedimiento es similar para cualquier otro valor de β. La ecuaciones (3) se convierte en:

u1 = u + vΔt + 1/4 (a + a1) ( ) Δu = u1 – u = vΔt + 1/4 (a + a1) ( )

….(4) ….(5)

De la ecuación (2) obtenemos:

67

Δv = v1 – v = 1/2 (a + a1).

Despejando (a + a1) Δt de esta ecuación y sustituyendo en (5) se llega a:

Δv = 2 (Δu/Δt – v) …(6)

De (5) también deducimos que:

4 (Δu – vΔt)/ Δ

= a + a1 = a1 – a + 2 a

Δa = a1 – 1 = 4 (Δu - vΔt)/ Δ - 2 a …(7)

Empleando las ecuaciones (6) y (7) para substituir Δv y Δa en (1), Δu queda como la única incógnita que se despeja con el resultado siguiente:

Δu = Δs*/k*

…(8)

Donde:

k* = k + 2 c/Δt + 4 m/Δ

….(9)

Δs* = -m(s‟‟1 – s‟‟) + (4 m/Δt + 2c) v + 2 ma ….(10)

68

2.1.3.5.

Procedimiento del Método Beta de Newmark:

Para comenzar se toma en cuenta que, usualmente, antes del temblor la masa esta en reposo, es decir que cuando t = 0, tenemos v = u = 0. Como (m a + c v + k u = -m s’’ ) se debe satisfacer en todo momento, en el primero paso el equilibrio dinámico requiere que a = -s’’(0), con lo que se conocen los valores iniciales de tres incógnitas. Cuando el intervalo de tiempo es constante, el método se aplica como sigue: a) Calcúlese k*, que se mantiene constante (ecuación (9))

b) Para cada caso:

-

b.1. Calcúlese Δs* y Δu (ecuaciones (8) y (10))

-

b.2. Determínese Δv y Δa (ecuaciones (6) y (7))

-

b.3. Calcúlese la aceleración, velocidad y desplazamiento para t1 = t + Δt a1 = a + Δa v1 = v + Δv u1 = u + Δu

c) Se prosigue al paso siguiente con a = a1, v = v1 y u = u1

2.1.4. METODO DINAMICO ESTRUCTURAL MODAL ESPECTRAL:

2.1.4.1.

Introducción:

Método que implica el uso simultaneo de modos de vibrar y espectros de diseño o espectros de respuesta, aplicable para n grados de libertad.

69

2.1.4.2.

Aclaración:

Generalmente se hace el uso del Método Modal Espectral, aplicando espectros de diseño que son los que las distintas normas de diseño sismoresistente nos dan a partir de diversos parámetros explicados en tales normas; sin embargo también se puede aplicar el método usando Espectros de Respuesta, que son los que nos brinda un sismo real; para efectos de esta investigación usaremos este método con espectros de respuesta.

2.1.4.3.

Fundamentos del Método Modal Espectral:

2.1.4.3.1. Problema Característico: El problema característico, a partir de la matriz de masa y la matriz de rigideces, nos permite calcular las frecuencias y periodos para cada modo de vibrar.

Donde: “K”, “ω”, y “M”; son la matriz de rigidez, la frecuencia natural, y la matriz de masas respectivamente.

2.1.4.3.2. Modos de Vibrar de la Estructura: Los modos de vibrar son los que nos proporciona el Problema Caracteritico, estos modos de vibrar son ortogonales con respecto a la matriz de masa y a la matriz de rigideces, además constituyen un conjunto completo, lo que significa que cualquier configuración de desplazamiento “u” puede expresarse como una conbinacion lineal de los modos.

70

(

)

Donde: “K”, “ ”, “M”; y “Z”; son la matriz de rigidez, la frecuencia natural, la matriz de masas, y la matriz de modos respectivamente.

2.1.4.4.

Procedimiento del Método Modal Espectral:

a. Calculamos los modos Ortonormales.

b. Reemplazamos los modos de vibrar por sus correspondientes formas ortonormales.

c. Calculamos los coeficientes de participación.

d. Calculamos las aceleraciones espectrales para cada modo.

e. Finalmente calculamos la respuesta de la estructura (desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas cortantes y momentos)

2.1.4.5.

Restricciones del Método Modal Espectral:

Cuando se apliqué el Método Modal Espectral, debemos considerar que la estructura se comporta elásticamente, es decir que es lineal.

71

2.1.5. TERREMOTO DE MEXICO DE 1985:

2.1.5.1.

Introducción:

El terremoto de México de 1985, corresponde a una carga dinámica sísmica, para la presente investigación hemos escogido este terremoto registrado en Ciudad de México puesto a su importancia y las similitudes entre dicha ciudad y la ciudad Cusco. 2.1.5.2.

Historia y comentarios sobre la importancia de este sismo:

2.1.5.2.1. Historia (Extraída de http://www.tembloresenmexico.com/index.php/sismo-del-85): El terremoto del jueves 19 de septiembre de 1985, conocido como el Terremoto de México de 1985 o Terremoto del '85, afectó en la zona centro, sur y occidente de México y ha sido el más significativo y mortífero de la historia escrita de México y su Capital. El Distrito Federal, fue la que resultó más afectada. Cabe remarcar que la réplica del viernes 20 de septiembre de 1985 también tuvo gran repercusión para la Ciudad de México. Este fenómeno sismológico se suscitó a las 7:19 a.m. Tiempo del Centro (13:19 UTC) con una magnitud de 8,1 (MW), cuya duración aproximada fue de poco más de dos minutos, superando en intensidad y en daños al terremoto registrado en 1957 también en la Ciudad de México. El epicentro fue localizado en el Océano Pacífico, frente a las costas del estado de Michoacán, muy cerca del puerto de Lázaro Cárdenas. Un informe del Instituto de Geofísica en colaboración con el Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México publicado el 25 de septiembre de 1985, detalla más aún que el epicentro fue localizado frente a la desembocadura del Río Balsas localizada entre los límites del estado de Michoacán y Guerrero a

72

las 07:17:48 a.m. Tiempo del Centro alcanzando la Ciudad de México a las 07:19 a.m. con una magnitud de 8,4(MW). Fue de un sismo de tipo trepidatorio y oscilatorio a la vez y registró una profundidad de 15.0 km.2 La ruptura o falla que produjo el sismo se localizó en la llamada Brecha de Michoacán, conocida así por su notable, hasta ese momento, carencia de actividad sísmica. Se ha determinado que el sismo fue causado por el fenómeno de subducción de la Placa de Cocos por debajo de la Placa Norteamericana. Una de las diversas apreciaciones en cuanto a la energía que se liberó en dicho movimiento fue su equivalente a 1114 bombas atómicas de 20 kilotones cada una. Se presentaron varias réplicas del fenómeno, siendo la más significativa la del día siguiente (20 de septiembre de 1985) reportada por el Servicio Sismológico Nacional a las 07:37:13 p.m. (01:37:13 UTC) con una magnitud de 7,3 grados en la escala de Richter.5 Por su parte, el Servicio Geológico de Estados Unidos registró una magnitud de 7,5 grados en la escala de Richter y con una profundidad de 17.6 km.6 La réplica causó daños materiales en las construcciones dañadas previamente por efecto del primer sismo, además de provocar el mayor daño estructural al sacudir construcciones endebles. Nunca se ha sabido el número exacto de víctimas debido a la censura impuesta por el gobierno de Miguel de la Madrid. Se sabe que, por medio de testimonios, la escala mercalli en Ciudad de México fue de entre IX y X. La ayuda internacional fue rechazada en un principio por el primer mandatario, e incluso se sabe que un avión con ayuda humanitaria de Caritas Internacional sobrevolaba el espacio aéreo del Aeropuerto Internacional de la Ciudad de México ya que no se le daba permiso para aterrizar. Por orden de la primera dama, el avión y la ayuda internacional lograron entrar a la ciudad para apoyar a los cuerpos de rescate mexicanos que, dada la magnitud del desastre, en ese momento no daban abasto.

73

Después de este incidente fue que el Gobierno Federal decidió aceptar la ayuda internacional al ver sobrepasada sus capacidades de reacción ante tal catástrofe. 2.1.5.2.2. Comentarios sobre la Importancia del Sismo de México de 1985: Ningún experto pensó que un sismo típico de subducción en la costa del pacifico podría causar daños tan considerables hasta 1985. El sismo de México de 1985 es, según los expertos, el episodio telúrico del cual se ha aprendido y ha aportado mas en la ingeniería sísmica. El espectro de respuesta de aceleraciones absolutas de este sismo fue totalmente anómalo a comparación de los de los sismos típicos de subducción en las costas (como ya hemos explicado en el punto 2.1.1.7; y es a partir de esto que se cambian en las normas de diseño mexicanas los espectros de diseño (ver glosario). De igual manera, ahora en el 2013, viendo los espectros de diseño (ver glosario) de la norma sismoresistente peruana, podemos decir sustentadamente, que ningún experto piensa que un sismo típico de subducción en la costa peruana podría causar daños considerables como los ocurridos en el Terremoto de México de 1985. 2.1.5.3.

Datos Técnicos (según el informe de la Universidad Nacional Autónoma de México):



Fecha y Hora: 19 de Septiembre de 1985, 7:17:48 (hora local), 13:17:48 (UTC)



Epicentro: 17°06′ latitud Norte, 102°05′ longitud Oeste. Frente a la desembocadura del rio Balsas en el océano Pacifico, en el límite de los estados mexicanos de Michoacán y Guerrero.



Hipocentro: A 15 km de profundidad del epicentro.



Duración de las aceleraciones del suelo: 180.04 s.

74



Magnitud: 8.2 ML (Escala de magnitud Sísmica de Richter).



Intensidad en Ciudad de México: X: Desastroso.

2.1.5.4.

Acelerograma del Sismo (registro sísmico):

200 100 0 -100 -200

0 5.32 10.64 15.96 21.28 26.6 31.92 37.24 42.56 47.88 53.2 58.52 63.84 69.16 74.48 79.8 85.12 90.44 95.76 101.08 106.4 111.72 117.04 122.36 127.68 133 138.32 143.64 148.96 154.28 159.6 164.92 170.24 175.56

Aceleración (gal)

Aceleración del Suelo üg Este-Oeste

Tiempo (s.)

Gráfico 18: Acelerograma del Sismo de México de 1985, dirección Este-Oeste (Fuente: elaboración propia a partir de los datos en: http://structuraldesign.com.ar/CursoDinamica1/Acelerogramas/acelerogramas.htm)

100 0 -100 -200

0 5.32 10.64 15.96 21.28 26.6 31.92 37.24 42.56 47.88 53.2 58.52 63.84 69.16 74.48 79.8 85.12 90.44 95.76 101.08 106.4 111.72 117.04 122.36 127.68 133 138.32 143.64 148.96 154.28 159.6 164.92 170.24 175.56

Aceleración (gal)

Aceleración del Suelo üg Norte-Sur

Tiempo (s.)

Gráfico 19: Acelerograma del Sismo de México de 1985, dirección Norte-Sur (Fuente: elaboración propia a partir de los datos en: http://structuraldesign.com.ar/CursoDinamica1/Acelerogramas/acelerogramas.htm)

75

2.1.5.5.

Espectro de Respuesta de Aceleración Absoluta del Sismo:

Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas (ξ=4%) Aceleracion RAA (gal)

1200 1000 800 600 400 200

0.05 0.1 0.15 0.25 0.35 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5

0

Periodo T (s.) Gráfico 20: Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas para 4% de Amortiguación de las estructuras con respecto a la amortiguación critica; del Terremoto de México de 1985 (Fuente: elaboración propia a partir del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark)

2.1.5.6.

Analogías geográficas entre Ciudad de México y Cusco:

Tanto Ciudad de México como Cusco son ciudades a mas de 300 km. (distancia ortonormal a la subducción) de distancia del litoral. Y a mas de 2000 m.s.n.m:

76

Concepto

Ciudad de Mexico

Cusco

Altitud Sobre el Nivel del mar

2240 m.

3399 m.

Distancia Ortonormal a la Subduccion

300 km

363 km

Placa de Cocos -

Placa de Nazca -

Placa Norteamericana

Placa Sudamericana

Subduccion

Tabla 3: Analogías geográficas entre Ciudad de México y Cusco: Fuente datos aproximados del Google Earth)

Gráfico 21: Ubicación de Ciudad de México y Distancia perpendicular Ciudad de Mexico – Litoral (Subducción Placas de Cocos-Placa Norteamericana) (Fuente: Google Earth)

77

Gráfico 22: Ubicación del Cusco y Distancia perpendicular Cusco – Litoral (Subducción Placas de Nazca - Placa Sudamericana) (Fuente: Google Earth)

78

Gráfico 23: Perfil Longitudinal aproximado de la distancia perpendicular: Litoral (Subducción Placa de Cocos - Placa Norteamericana) – Ciudad de México (Fuente: Google Earth)

Gráfico 24: Perfil Longitudinal aproximado de la distancia perpendicular: Litoral (Subducción Placa de Nazca - Placa Sudamericana) – Cusco (Fuente: Google Earth)

79

2.2.

INVESTIGACION ACTUAL: Se tiene total desconocimiento a cerca de las posibilidades de que se registre un

terremoto como el de México de 1985 en la ciudad del Cusco, esta investigación es el primer paso para llegar a la verdad acerca de que tan posible es que un terremoto con espectros de respuesta de aceleración absoluta anómalos y fuera del rango de alcance de las normas sismoresistentes peruanas, se pueda dar en el Cusco. Es decir, esta investigación vera las consecuencias de un terremoto tal mas allá de las posibilidades de que tal terremoto ocurra. A futuro se espera seguir un camino de investigación de la mitigación de la amenaza sísmica en la región del Cusco, que podría servir también para demás ciudades alejadas del litoral de la sierra y selva del Perú.

2.3.

DEFINICION DE LAS VARIABLES:

2.3.1. Variables Independientes:

2.3.1.1. 

Peso del Edificio:

Indicador 1: Masas de la Estructura: Se obtiene a partir del peso de la estructura, sin tomar en cuenta el peso que no otorga inercia a la misma (por ejemplo, la parte inferior de la tabiquería del primer nivel o peso de un auto estacionado en el garaje del primer nivel no otorga inercia de la estructura). Como lo hemos explicado en el punto 2.1.2.4.2, la masa será el cociente del peso de la estructura entre la gravedad, en este caso del Cusco (9.77264 m/s2) y estará dada en unidades de peso sobre aceleración (por ejemplo: kg.s2/cm).

80

2.3.1.2. 

Estructuración del Edificio:

Indicador 1: Rigideces de la Estructura: También explicado en el punto 2.1.2.4.3. Para el caso del análisis dinámico estructural, será dado por los elementos estructurales verticales llámese columnas, o placas (para el caso de sistemas estructurales de concreto armado dual) también por las losas y vigas. Esta rigidez esta en unidades de peso sobre longitud (por ejemplo kg/cm).

2.3.1.3. 

Sismo (Carga Sísmica):

Indicador 1: Acelerograma de un sismo real: registrado por una estación sismográfica, da los valores de aceleración del suelo para cada instante de tiempo de la duración del sismo, en unidades de aceleración.



Indicador 2: Espectro de Respuesta del sismo: determinado a partir del acelerograma de un sismo, representa los valores de respuestas máximas (aceleraciones, velocidades, desplazamientos) para cada periodo de vibración de las estructuras, dado en unidades de aceleración, velocidad y/o longitud.

2.3.2. Variables Dependientes:

2.3.2.1. 

Respuesta Sísmica de la Estructura:

Indicador 1: Desplazamientos de la Estructura: Respuesta frente a la carga sísmica, dado en unidades de longitud.



Indicador 2: Velocidades de la Estructura: Respuesta frente a la carga sísmica, dado en unidades de velocidad.

81



Indicador 3: Aceleraciones de la Estructura: Respuesta frente a la carga sísmica, dado en unidades de aceleración.



Indicador 4: Fuerzas cortantes de la Estructura: Respuesta frente a la carga sísmica, dado en unidades de fuerza.



Indicador 5: Momentos de la Estructura: Respuesta frente a la carga sísmica, dado en unidades de fuerza por longitud.

2.4.

HIPÓTESIS: En la medida que se evalué la estructura de cuatro niveles de concreto armado

de la ciudad del Cusco, con los métodos dinámicos tiempo historia y modal espectral, sin uso de software especializado, y se simule un sismo real; se determinaran los valores de respuesta sísmica de la estructura (desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas cortantes, momentos) con cada método, y compararemos los resultados; siendo probablemente los resultados más exactos los cuales sean del método que recree con mayor precisión las cargas sísmicas (método tiempo historia), y/o idealice de mejor manera la estructura (método modal espectral); y daremos una conclusión del daño que causo tal sismo real a la estructura.

82

CAPÍTULO

3 METODOLOGÍA

83

3.1.

TIPO DE INVESTIGACIÓN: Corresponde a una investigación cuantitativa, analizaremos los datos de manera

científica. Se establece 4 alcances de la investigación cuantitativa a realizar, estos cuatro alcances están en estricto orden: estudios exploratorios, estudios descriptivos, estudios correlacionales y estudios explicativos. (Hernandez Samplieri, 2009) Una investigación se puede caracterizar como básicamente exploratoria, descriptiva, correlacional o explicativa; pero no situarse únicamente como tal. Para esta investigación, el alcance de nuestra investigación se caracteriza básicamente por ser: Descriptiva: Será útil para mostrar con precisión los ángulos o dimensiones de un fenómeno, suceso o contexto; describiremos cada uno de nuestras variables para entenderlas y después correlacionarlas.

3.2.

DISEÑO DE INVESTIGACIÓN: Nuestro diseño de investigación es experimental, puesto a que, estamos

controlando una variable independiente (carga sísmica). Tanto para el método Tiempo Historia: Beta de Newmark y para el método Modal Espectral, manipulamos y aplicamos de manera intencional el acelerograma y el espectro de respuesta de aceleraciones absolutas para cada método respectivamente, con el objeto de analizar las consecuencias de tal manipulación sobre nuestras variables dependiente (respuesta sísmica de la estructura).

84

Gráfico 25: Flujograma de la Investigación (Fuente del gráfico: Elaboración Propia)

85

3.3.

POBLACIÓN Y MUESTRA: Dado que nuestra muestra es también nuestra población, nuestra muestra es

censal. 3.3.1. Definición de la Muestra:

Grafico 26: Ubicación de la muestra (Fuente del gráfico: Planos arquitectónicos del edificio)

La muestra censal es una estructura de concreto armado de cuatro niveles ubicado en la Urb. Villa Miraflores F-14, distrito de San Jerónimo, provincia y departamento del Cusco; como ya lo hemos mencionado; con las siguientes limitaciones: 86



Estructura de concreto armado porticado, de cuatro niveles.



Área de la planta de la estructura igual a 8 por 12 metros, equivalente a 96 m2.



Resistencia a la compresión de los elementos estructurales equivalente a 210 kg/cm2.



Módulo de Elasticidad de las columnas equivalente a 57000 por la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del concreto, formula dada por el Instituto Americano del Concreto (A.C.I.), es decir equivalente a 219039.451 kg/cm2.



Módulo de Elasticidad por segundo momento de Inercia (EI) de las losas y vigas tendiente al valor infinito (esto no aleja a los resultados de los cálculos de la realidad, sirve para discretizar el sistema).



Mampostería de la estructura tipo C: calidad de ejecución media, sin refuerzo y no diseñada para resistir fuerzas laterales.



Estructura independiente de la estructura de las escaleras para el análisis.



Gravedad en la ciudad del Cusco equivalente a 9.77264 m/s2, calculado de acuerdo a la latitud geográfica y altitud sobre el nivel del mar de la ciudad del Cusco. (fuente: http://www.metas.com.mx/utilerias/calculoacelgravedad.html).



Estructura idealizada con tres grados de libertad para el método modal espectral y con un grado de libertad para el método tiempo historia.



Altura de la estructura desde la base hasta el último grado de libertad de la estructura de tres grados de libertad equivalente a 9.3 m.

87



Relación de amortiguación con respecto al crítico de la estructura equivalente al 4% (dado el tipo de estructura y el tipo de mampostería).

Grafico 27: Esboce referencial del inmueble de cuatro niveles de concreto armado (Fuente del gráfico: Planos arquitectónicos del edificio)

3.4.

INSTRUMENTOS:

3.4.1. Planos: Tanto el plano de arquitectura como el de estructuras, son instrumentos para recolectar datos como las masas y las rigideces del sistema estructural de tres grados de libertad para el método modal espectral y de un grado de libertad para el método tiempo historia.

3.4.2. Hojas de Metrado. Instrumento para determinar las masas del sistema estructural, necesitamos hacer un metrado de los pesos de la estructura. 88

3.4.3. Hojas de Cálculo: Instrumento de suma importancia que nos ayuda a simplificar los cálculos, sobre todo para el método tiempo historia beta de Newmark, donde tenemos que iterar 4500 veces.

3.5.

PROCEDIMIENTO DE RECOLECCION DE DATOS:

3.5.1. Partida Arquitectónica de la muestra: Ver Anexo: Planos Arquitectónicos. 3.5.2. Planos Estructurales de la muestra: Ver Anexo: Planos Estructurales. 3.5.3. Registro Sísmico (Acelerograma del Sismo de México de 1985): Utilizaremos el registro de aceleración del suelo de la dirección Este-Oeste, puesto a que ha sido esta dirección critica. Ver Anexo: Registro Sísmico Terremoto de México de 1985).

200 100 0 -100 -200

0 5.48 10.96 16.44 21.92 27.4 32.88 38.36 43.84 49.32 54.8 60.28 65.76 71.24 76.72 82.2 87.68 93.16 98.64 104.12 109.6 115.08 120.56 126.04 131.52 137 142.48 147.96 153.44 158.92 164.4 169.88 175.36

Aceleración (gal)

Aceleración del Suelo üg Este-Oeste

Tiempo (s.)

Grafico 28: Acelerograma del Terremoto de México de 1985 (Fuente: Elaboración Propia, a partir del registro sísmico (Ver Anexo))

89

3.6.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS DE DATOS:

3.6.1. Metrado del peso la Estructura: Recordemos que como habíamos visto en el marco teórico, en el análisis dinámico de estructuras, necesitamos la masa de la estructura, que la obtendremos a partir del peso de la estructura, pero debemos de tomar algunos criterios: no consideramos la mayoría de pesos del primer nivel, puesto a que para un análisis dinámico no representan masa alguna que contribuya a las fuerzas inerciales con las que la estructura responda frente a un sismo. De acuerdo a la norma E-030 Consideramos a esta estructura como común, y debido a esto con una carga viva de 200 kp/m2; y para determinar el peso total del inmueble se toma la formula de la norma para estructuras comunes: Peso del Inmueble = Carga Muerta + 25% Carga Viva

90

METRADO DE CARGAS PARA EL ANALISIS SISMICO CARGAS PERMANENTES (MUERTAS) (ton) 1ER NIVEL 2DO NIVEL LOSAS 19.2434 VIGAS 15.504 COLUMNAS 10.124625 TABIQUERIA 16.3126925 18.18589875 PISOS 2.00425 TECHO

3ER NIVEL 19.2434 15.144 7.866 36.3717975 2.00425

TECHO/ACOTEA 19.2434 15.144 3.933 18.18589875 0.7756 9.4549

TOTAL 57.730 45.792 21.924 89.056 4.784 9.455

TOTAL

CARGAS TRANSITORIAS (VIVAS) (Norma E-20 R.N.E.) (ton) 1ER NIVEL 2DO NIVEL 3ER NIVEL SOBRECARGA 22.342 22.342

TECHO/AZOTEA 11.3925

PESO TOTAL DE LA ESTRUCTURAL PARA SU ANALISIS SISMICO = C.M. + 25% C.V.:

228.741

ton.f

TOTAL 56.0765

ton.f

242.760238 ton.f

Tabla 4: Metrado de Cargas Muertas y Vivas (Permanentes y Transitorias): Fuente: Elaboración propia a partir de los planos) 3.6.2. Idealización de tres masas y una masa total de la estructura para tres grados de libertad y un grado de libertad respectivamente:

Valor de las masas de la estructura (para tres grados de libertad) MASA (C.M.+0.25C.V.) MASA

g= m1 m2 88.983468 88.2207

977.264 gal m3 71.2038 kg.seg2/cm

Valor de las masas de la estructura (para un solo grado de libertad) masa total para 1 G.D.L. =

248.408 kg.seg2/cm

91

Grafico 29: Idealización de las masas de la estructura de tres grados de libertad (Fuente: Elaboración Propia) 3.6.3. Construcción de la Matriz de Masas para el Análisis Modal Espectral:

MATRIZ DE MASAS M=

m1 0 0

0 m2 0

0 0 m3

88.983468 0 0 M= 0 88.2207 0 (kg.seg2/cm) 0 0 71.2038

92

3.6.4. Determinación de las Rigideces del Sistema Estructural: Para determinar las rigideces, en este caso de las columnas de la estructura, partimos de la premisa de que, el módulo de elasticidad por el segundo momento de inercia de las Vigas y Losas, tienden a infinito, para permitir la formula siguiente:

Grafico No. 30: Rigidez de columnas con EIv (vigas) = a infinito. x Numero de Columnas Con respecto al modulo de elasticidad (E), tomamos las normas del American Concrete Institute 318-05, Capitulo 8.5:

Grafico No. 31: Modulo de elasticidad (fuente: normas A.C.I. 318-05, Capitulo 8.5)

93

Es decir, asumimos la siguiente fórmula para determinar el módulo de elasticidad del concreto:

√ f'c =

210 kp/cm2

(f‟c en unidades de libra / pulgada cuadrada) =

2987.434 psi

Es decir:

√

(f‟c en unidades de kilogramo / centímetro cuadrado)

219039.451 kg/cm2

94



Columna Tipo 1: COLUMNA TIPO 1

30 cm

25 cm

Gráfico No. 32: Sección Transversal Columna Tipo 1. (Fuente: Planos Estructurales)

DIRECCION Y # de columnas = Ic = Ec = k1 = k2 = k3 =

7 56250 3115473.3 20432.3812 52581.4868 52581.4868

cm4 psi = kp/cm kp/cm kp/cm

219039.451 kp/cm2 (primer nivel) (segundo nivel) (tercer nivel)

DIRECCION X # de columnas = Ic = Ec = k1 = k2 = k3 =

7 39062.5 3115473.3 14189.1536 36514.9214 36514.9214



Tabla No. 5: Calculo de Rigideces de la Columna Tipo 1. (Fuente: Elaboración Propia.)

95



Columna Tipo 2: COLUMNA TIPO 2 40 cm

25 cm 40 cm

15 cm # cm

15 cm



1 209114.583 3115473.3 10851.3241 27925.2208 27925.2208




1 209114.583 3115473.3 10851.3241 27925.2208 27925.2208




96




15 cm 15 cm

40 cm 25 cm

40 cm



2 209114.583 3115473.3 21702.6483 55850.4416 55850.4416




2 209114.583 3115473.3 21702.6483 55850.4416 55850.4416




97




25 cm

15 cm 40 cm 25 cm

40 cm



2 209114.583 3115473.3 21702.6483 55850.4416 55850.4416




2 209114.583 3115473.3 21702.6483 55850.4416 55850.4416




98




25 cm 40 cm 15 cm 15 cm

25 cm



1 209114.583 3115473.3 10851.3241 27925.2208 27925.2208




1 209114.583 3115473.3 10851.3241 27925.2208 27925.2208




99

3.6.5. Construcción de la Matriz de Rigideces para El Sistema Estructural de tres grados de libertad y Rigidez Discretizada para un grado de libertad:

RIGIDEZ (DIRECCION Y) 1er Nivel 85540.326

K=

2do Nivel 220132.812

3er Nivel 220132.812

kp/cm

RIGIDEZ (DIRECCION X) 1er Nivel 79297.098

K=

2do Nivel 204066.246

3er Nivel 204066.246

kp/cm

Tabla No. 10: Rigideces del Sistema Estructural de tres grados de libertad. (Fuente: Elaboración Propia.)

K=

K1+k2 -k2 0

-k2 K2+k3 -k3

0 -k3 K3

(kp/cm)

MATRIZ DE RIGIDECES (DIRECCION Y)

K=

305673.138 -220132.8 0

-220132.812 440265.623 -220132.812

0 -220132.812 220132.812

(kp/cm)

MATRIZ DE RIGIDECES (DIRECCION X) (DIRECCION CRÍTICA)

K=

283363.3 -204066.2 0

K discretizado para 1GDL=

-204066.2 408132.5 -204066.2

0 -204066.2 204066.2

(kp/cm)

44619.9 kp/cm

100

3.6.6. Análisis Dinámico Estructural Método Tiempo Historia: Beta de Newmark: DATOS DE ENTRADA k= m= c= Δt= k*=

44619.86831 248.4079665 266.3403026 0.04 678956.7997

ξ=

4%

kg/cm kg.s.2/cm kg.s./cm s. kg/cm

Tabla No. 11: Datos de Entrada para el método Tiempo Historia: Beta de Newmark. (Parámetros definidos en el marco teórico) (Fuente: Elaboración Propia.) Se procede a la Iteración (Ver en Anexo: Iteración Método Beta de Newmark). 3.6.7. Análisis Dinámico Estructural Método Modal Espectral: A partir de las matrices de masa y rigidez: matriz masas 88.98346768 0 0 [M]= 0 88.22070703 0 (kp.seg2/cm) 0 0 71.2037918

matriz rigideces 283363.3447 -204066.2463 0 [K]= -204066.2463 408132.4925 -204066.2463 (kp/cm) 0 -204066.2463 204066.2463

Y el problema característico para hallar las frecuencias y periodos naturales de los modos:

ΙK - ω^2 MΙ = 0 2.833633447-88.98346768*λ -2.040662463 0 -2.040662463 4.081324925-88.22070703*λ -2.040662463 =0 0 -2.040662463 2.040662463-71.2037918*λ

donde: λ= ω^2/100000

101

λ1= 0.00263243 λ2= 0.030461733 λ3= 0.073672458

ω1^2= 263.2430467 ω2^2= 3046.173274 ω3^2= 7367.245791

Entonces: ω1= 16.22476646 ω2= 55.19214867 ω3= 85.83266157

rad/s rad/s rad/s

T1= 0.387258906 S T2= 0.113842013 S T3= 0.073202732 s

Ahora determinamos los modos de vibrar de cada modo: MODO 1: 259939.0655 -204066.2463 0

-204066.2463 384909.0048 -204066.2463

0 -204066.2463 185322.3432

Z11 Z21 Z31

= = =

0 0 0

Z11 Z21 Z31

= = =

1 1.273797457 1.40263209

m1*

=

372.2115413

MODO ORTONORMAL 1: Z11 = 0.051832849 Z21 = 0.066024552 Z31 = 0.072702418 COEFICIENTE DE PARTICIPACION 1: p1 = 15.61368709

Tabla No. 12: Primer Modo de Vibrar (Fuente Elaboración propia, ver anexo 4)

102

MODO 2: 12304.28356 -204066.2463 0

-204066.2463 139396.9325 -204066.2463

0 -204066.2463 -12832.84136

Z12 Z22 Z32

= = =

0 0 0

Z12 Z22 Z32

= = =

1 0.060295535 -0.958812099

m2*

=

154.7633142

MODO ORTONORMAL 2: Z12 = 0.080383329 Z22 = 0.004846756 Z32 = -0.077072509 COEFICIENTE DE PARTICIPACION 2: p2 = 2.092516749

Tabla No. 13: Segundo Modo de Vibrar (Fuente Elaboración propia, ver anexo 4)

103

MODO 3: -372199.7331 -204066.2463 0

-204066.2463 -241811.1401 -204066.2463

0 -204066.2463 -320509.5892

Z13 Z23 Z33

= = =

0 0 0

Z13 Z23 Z33

= = =

1 -1.823916203 1.161274875

m3*

=

478.4872132

MODO ORTONORMAL 3: Z13 = 0.045715643 Z23 = -0.083381502 Z33 = 0.053088428 COEFICIENTE DE PARTICIPACION 3: p3 = 0.492058726

Tabla No. 14: Tercer Modo de Vibrar (Fuente Elaboración propia, ver anexo 4)

104

CAPÍTULO

4 RESULTADOS

105

4.1.

RESULTADOS DEL METODO TIEMPO HISTORIA:

Grafico 37: Idealización de Análisis del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark. (Fuente: Elaboración Propia)

RESPUESTA DE LA ESTRUCTURA u max =

1.383385109

cm

ů max =

12.2483134

cm/seg

ü max =

127.7841819

gals

ẍ max =

247.6578025

gals

V max =

61.72646139

tn

M max =

574.0560909

tn-m

Tabla 15: Respuesta de la Estructura por el Método Tiempo Historia: Beta de Newmark) 106

4.2.

RESULTADOS DEL METODO MODAL ESPECTRAL:

Grafico 38: Idealización de Análisis del Método Tiempo Modal Espectral. (Fuente: Elaboración Propia)

107

DESPLAZAMIENTOS TOTALES MAXIMOS U1 = U2 = U3 =

0.66785775 0.850634788 0.936711007

cm cm cm

Tabla 16: Desplazamientos Máximos por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4)

VELOCIDADES MAXIMAS Ủ1 = Ủ2 = Ủ3 =

10.84684966 13.80161612 15.2051657

cm cm cm

Tabla 17: Velocidades Máximas por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4)

ACELERACIONES MAXIMAS Ṻ1 = Ṻ2 = Ṻ3 =

178.0659253 224.0401456 248.0798941

cm cm cm

Tabla 18: Aceleraciones Máximas por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4)

108

DESPLAZAMIENTOS MAXIMOS DE ENTREPISO δU1 = δU2 = δU3 =

0.66785775 0.183051622 0.086561249

cm cm cm

Tabla 19: Desplazamientos Máximos de Entrepiso por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4)

FUERZAS EQUIVALENTES MAXIMAS V1 = V2 = V3 =

52.9591817 tn 37.35465727 tn 17.66422913 tn

Tabla 20: Fuerzas Equivalente de entrepiso por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4)

MOMENTOS MAXIMOS M1 = M2 = M3 =

195.9489723 100.8575746 47.69341865

tn-m tn-m tn-m

Tabla 21: Momentos de Volteo Máximos de entrepiso por el Método Modal Espectral (Fuente: Análisis Propio, Ver Anexo 4)

109

4.3.

TABLA COMPARATIVA DE LOS RESULTADOS ENTRE AMBOS METODOS: Al ver los resultados obtenidos en ambos métodos:

METODOS DINAMICOS GRADOS DE LIBERTAD DESPLAZAMIENTO MAXIMO (cm) DESPLAZAMIENTO RELATIVO MAXIMO (cm) VELOCIDAD MAXIMA (cm/s) ACELERACION MAXIMA (RELATIVA) (gal) ACELERACION MAXIMA (ABSOLUTA) (gal) FUERZA LATERIAL EQUIVALENTE (Tn) MOMENTO DE VOLTEO EQUIVALENTE (Tn.m)

METODO TIEMPO HISTORIA 1 1.383385109

METODO MODAL ESPECTRAL

0.66785775

3 0.850634788

0.936711007

1.383385109

0.66785775

0.182777038

0.086076219

12.2483134 127.7841819

10.84684966

13.80161612 No Halla

15.2051657

247.6578025

178.0659253

224.0401456

248.0798941

61.72646139

52.9591817

37.35465727

17.66422913

574.0560909

195.9489723

100.8575746

47.69341865

Tabla 22: Tabla Comparativa de los resultados de los Métodos Modal Espectral y Tiempo Historia: Beta de Newmark (Fuente: Elaboración propia)

4.4.

EFECTOS Y DAÑOS CAUSADOS A LA ESTRUCTURA:

Basándonos en un relación de desplazamiento lateral máximo sobre altura de entrepiso de 0.007 (Di/hei) (Norma Sísmica del Perú)

110

4.4.1. Según en Método Tiempo Historia:

Deformación Lateral Altura de la Estructura (Di/hei) Efectos

1.38338511 cm 910 cm 0.0015202 < 0.007 No sufre daños

Tabla 23: Tabla de deformación lateral y daños según los resultados del Método Tiempo Historia: Beta de Newmark (Fuente: Elaboración propia)

4.4.2. Según El Método Modal Espectral:

Deformacion Lateral 1ra losa Altura del primer piso (Di/hei) Observaciones


Deformacion Lateral 2da losa Altura del segundo piso (Di/hei) Observaciones


Deformacion Lateral 3ra losa Altura del tercer piso (Di/hei) Observaciones


Tabla 24: Tabla de deformación lateral y daños según los resultados del Método Modal Espectral (Fuente: Elaboración propia)

111

CAPÍTULO

5 DISCUSIÓN

112

Discusión 1: ¿Por qué la Estructura de 4 niveles fue idealizada con 3 grados de Libertad? Normalmente se tiene la idea de que para cada nivel corresponde un grado de libertad, y eso ocurre siempre y cuando la última masa sea un techo, sin embargo, dado que en el cuarto nivel se tiene una azotea, el inmueble de cuatro niveles, fue idealizado para el análisis dinámico estructural modal espectral con tres grados de libertad; debido a que por encima el cuarto nivel (la azotea) no existe rigidez alguna (columnas) que se pueda unir con una cuarta masa que tampoco existe por encima del cuarto nivel.

Discusión 2: ¿Cuál es el método más fácil de aplicar sin software especializado? El método más fácil de aplicar sin software especializado es el Tiempo Historia: Beta de Newmark.

Discusión 3: ¿Cuál de los dos métodos fue más preciso? Recreando la carga sísmica: el Método Tiempo Historia: Beta de Newmark al hacer más de 4500 iteraciones a 0.04 s de intervalo, recreo con mayor precisión la carga sísmica que el Método Modal Espectral, puesto a que este último solo recreo la carga sísmica a parir de aceleraciones espectrales asignadas para cada modo de vibrar (es decir solo tres aceleraciones espectrales). Idealizando la estructura: El Método Modal Espectral, porque tomó en cuenta tres grados de libertad, mientras que el Método Tiempo Historia solo tomó un grado de libertad, esto hace que el Método Modal Espectral idealice de manera más precisa la estructura.

113

Discusión 4: ¿Qué ventajas y desventajas tiene un método del Otro? En esta tabla mostramos las ventajas y desventajas que tiene un método del otro:

METODO: CRITERIO: IDEALIZA MEJOR LA ESTRUCTURAL IDEALIZA MEJOR LA CARGA SISMICA FACILIDAD DE APLICACIÓN SIN SOFTWARE ESPECIALIZADO FACILIDAD DE APLICACIÓN A MANO

METODO TIEMPO HISTORIA: BETA DE NEWMARK

METODO MODAL ESPECTRAL

DESVENTAJA

VENTAJA

VENTAJA

DESVENTAJA

VENTAJA

DESVENTAJA

DESVENTAJA

VENTAJA

Tabla 25: Tabla de Ventajas y Desventajas de ambos métodos (Fuente: Elaboración propia)

Discusión 5: ¿Cuáles fueron los periodos de vibrar obtenidos en ambos métodos? ¿Y por qué hay una diferencia considerable? Los periodos de vibración obtenidos en cada método fueron: PERIODOS DE VIBRAR DE LA ESTRUCTURA TIEMPO HISTORIA: BETA DE MODAL ESPECTRAL NEWMARK 1er Modo: 0.387258905835633 s 0.468811747933839 s

2do Modo: 3er Modo:

0.11384201302279 s 0.0732027318344077 s

Tabla 26: Periodos de vibrar obtenidos con cada método (Fuente: Elaboración propia)

114

Existe una cierta diferencia entre los periodos de ambos métodos, debido al grado de idealización de la estructura y a la manera de analizar el movimiento en cada método, mientras el Método Modal Espectral considera tres modos o formas de vibrar, el Método Tiempo Historia (al idealizar a la estructura como de un grado de libertad) solo analiza un modo o forma de vibrar con mayor periodo de vibración.

Discusión 6: ¿Por qué los resultados obtenidos en ambos métodos varían? (ver 4.3) El Método Tiempo Historia: Beta de Newmark, al considerar un solo grado de libertad y tener una masa que oscila con mayor amplitud, ofrece resultados más conservadores; en cambio el Método Modal Espectral, al idealizar a la estructura como tres grados de libertad y tres modos o formas de vibrar, es más preciso idealizando la estructura (las masas y las rigideces) por ello es que los resultados varían.

Discusión 7: ¿Cuál es la posibilidad de daño esperado de la estructura tras la aplicación de la carga sísmica (Terremoto de México de 1985)? Como podemos ver en el punto 4.4; al analizar los desplazamientos laterales con respecto a la altura de la estructura y bajo los parámetros de la norma de diseño sismo resistente E-030, podemos concluir que la estructura no sufre daños.

Discusión 8: ¿Por qué a pesar de ser un sismo de gran magnitud, la estructura no sufrió daños? Como podemos ver en la penltima lámina del Anexo 3: Espectro de Respuesta de Aceleraciones Absolutas, es el periodo de vibrar lo que salva a nuestra estructura. Nuestro periodo de vibrar, no mayor a 0.468811747933839 s, está muy lejos de los valores críticos de periodo de vibrar (cerca a los 2 s).

115

Esto hizo que no se entre en resonancia sísmica, y por lo tanto las respuestas sísmicas de la estructura no han sido amplificadas.

Discusión 9: ¿Podemos iniciar y abrir un camino de investigación acerca de la mitigación de la amenaza sísmica en la región del Cusco a partir de esta investigación? Consideramos que esta investigación se suma a las investigaciones preliminares para responder más preguntas de investigación tales como: ¿Qué posibilidades hay de que un terremoto como el de México de 1985 ocurra en el Cusco? ¿Específicamente que estructuras sufrirían graves daños en la ciudad del Cusco, si se da este terremoto? ¿En el pasado, en la ciudad del Cusco, se habrá dado un sismo con características espectrales similares al del Terremoto de México de 1985? ¿Qué velocidades, frecuencias y periodos de vibración natural tienen las ondas sísmicas en el suelo de la ciudad del Cusco, cuando ocurre un sismo de subducción? ¿El espectro de diseño de la norma sismo resistente peruana nos prevendría ante un sismo parecido? Sin duda hay mucho por investigar con respecto a este tema, y esperamos ser nosotros, los mismos cusqueños quienes respondamos todas estas preguntas de investigación que nuestra sociedad (la integridad física y económica de los ciudadanos) demanda.

116

GLOSARIO



Morfografía del Espectro: Descripción Grafica de la forma de un espectro.



Espectro de Diseño: Es una herramienta otorgada por normas de diseño, teniendo en cuenta la actividad sísmica de la región, las condiciones locales de la respuesta del suelo, y las características de la estructura (periodo de vibración). Para el cálculo de la aceleración espectral.



Espectro de Respuesta de Desplazamientos Relativos (RDR). Respuestas Máximas de desplazamientos para cada periodo de vibración natural de todas las estructuras posibles con respecto a un sismo dado.



Espectro de Respuesta de Velocidades Relativas (RVR). Respuestas Máximas de velocidades para cada periodo de vibración natural de todas las estructuras posibles con respecto a un sismo dado.

Nota: El resto de términos técnicos se encuentran definidos, ilustrados y explicados en el Capítulo 2: Marco Teórico.

117

CONCLUSIONES

Conclusión 1: Se ha ratificado científicamente a través de la metodología de investigación (Ver Gráfico 25: Diagrama de Flujo de la Investigación) Nuestra Hipótesis: ‘’En la medida que se evalué la estructura de cuatro niveles de concreto armado de la ciudad del Cusco, con los métodos dinámicos tiempo historia y modal espectral, sin uso de software especializado, y se simule un sismo real; se determinaran los valores de respuesta sísmica de la estructura (desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas cortantes, momentos) con cada método, y compararemos los resultados; siendo probablemente los resultados más exactos los cuales sean del método que recree con mayor precisión las cargas sísmicas (método tiempo historia), y/o idealice de mejor manera la estructura (método modal espectral); y daremos una conclusión del daño que causo tal sismo real a la estructura’’. Después de realizar los análisis dinámicos estructurales con ambos métodos (puntos 3.6.6; 3.6.7; Anexo 2 y Anexo 4) Hemos determinado la respuesta sísmica de la estructura (desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas cortantes, momentos de volteo) como podemos ver en los puntos 4.1 y 4.2; y tras hacer un análisis comparativo de ambos métodos (punto 4,3 y capitulo 5: Discusión), hemos discutido la precisión de los resultados en el capítulo 5: Discusión, y finalmente hemos determinado los daños que causaría este sismo a nuestra estructura en el punto 4.4 y en el capítulo 5: Discusión. Conclusión 2: Se ha cumplido con el Objetivo General: ‘’Realizar un análisis comparativo de dinámica estructural sin uso de software especializado de los métodos dinámicos estructurales: tiempo historia y modal espectral con el uso de una carga sísmica real correspondiente al Terremoto de México de 1985, en un edificio de cuatro niveles de la ciudad del Cusco’’. Como podemos ver en el punto 4.3 (Tabla Comparativa de los resultados entre ambos Métodos) y en el Capítulo 5: Discusión, donde hemos analizado ambos métodos y sus resultados.

118

Conclusión 3: Se ha cumplido con el Objetivo Especifico 1: „’Determinar los parámetros de la estructura de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco para su análisis sísmico dinámico‟‟. En el punto 1.3.2 hemos limitado los parámetros de la muestra; y en los puntos 3.6.2 y 3.6.5; hemos determinado las masas y rigideces de la estructura de uno y tres grados de libertad (respectivamente para cada método). Conclusión 4: Se ha cumplido con el Objetivo Especifico 2: „‟Desarrollar y aplicar el método Tiempo Historia sin uso de software especializado, en un edificio de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco, utilizando el método Beta de Newmark con un acelerograma del sismo de México D.F. de 1985’’, como podemos ver en el punto 3.6.6. y el Anexo 2: Iteración del Método Tiempo Historia Beta de Newmark. Conclusión 5: Se ha cumplido con el Objetivo Especifico 3: „’Desarrollar y aplicar el método Modal Espectral sin uso de software especializado, en el edificio de concreto armado de cuatro niveles de la ciudad del Cusco, utilizando espectros de respuesta del sismo de México D.F. de 1985’‟, como podemos ver en el punto 3.6.7 y el Anexo 4: Desarrollo a mano del Método Modal Espectral. Conclusión 6: Se ha cumplido con el Objetivo Especifico 4: „’Analizar los resultados obtenidos: desplazamientos, velocidades, aceleraciones, fuerzas cortantes y momentos de volteo; de la estructura de cuatro niveles de concreto armado de la ciudad del Cusco con ambos métodos, y realizar el análisis comparativo’’. Los resultados (puntos 4.1 y 4.2) fueron comparados en el punto 4.3. y analizados en el capítulo 5: Discusión. Conclusión 7: Se ha cumplido con el Objetivo Especifico 5: „’Determinar los efectos y daños que causaría el terremoto de México D.F. de 1985 a una estructura de concreto armado de cuatro niveles de concreto armado de la ciudad del Cusco’‟, como podemos ver en el punto 4.4 y en el capítulo 5: Discusión. Conclusión 8: La forma más exacta de análisis dinámico estructural seria combinando una buena idealización de la estructura, que en este análisis comparativo de métodos lo hizo mejor el Método Modal Espectral, (pero que para efectos prácticos lo haría mucho mejor un software especializado en estructuras); con una mejor simulación de la 119

carga sísmica, que en el caso de este análisis comparativo lo hizo mejor el Método Tiempo Historia. Conclusión 9: La recreación del Terremoto de México de 1985 en nuestra estructura de cuatro niveles de concreto armado de la ciudad del Cusco, a pesar de ser un sismo de gran magnitud, no causo daño alguno a

nuestro inmueble, puesto a que su

frecuencia y periodo natural de vibración no entraron en resonancia con los del sismo, sin provocar amplitud de la respuesta. Si nuestra estructura hubiera tenido un periodo de vibración cercano a los 2 s. hubieran entrado en resonancia con el sismo, y habría provocado

en

la

respuesta

de

la

estructura

desplazamientos,

velocidades,

aceleraciones, fuerzas equivalentes sísmicas, y momentos de volteo de hasta 6 veces mayor magnitud, dañando seriamente a la estructura. (Ver Anexo 3: Espectros de respuesta del Sismo, ultima lamina). Es decir estructuras con periodos naturales de vibración cercanos a 2 s. (puentes, edificios de más de 8 pisos) hubieran sufrido considerables daños en su estructura. Conclusión 10: El Espectro de Diseño de las norma sismo resistentes peruana resultaría inútil si el Sismo de México de 1985 se hubiera dado en la ciudad del Cusco, como podemos ver al comparar las 2 últimas laminas del Anexo 3: Espectros de respuesta del Sismo)

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RECOMENDACIONES

Recomendación 1: Investigar acerca de la velocidad, frecuencia y periodos naturales de vibración de las ondas sísmicas provenientes de subducción y de fallas activas en los suelos de la ciudad del Cusco y de ciudades con suelos blandos. Recomendación 2: Investigar la posible morfografía de un espectro de respuesta en la ciudad del Cusco y ciudades con suelos blandos. Recomendación 3: Investigar la posibilidad de ocurrencia de un sismo con características espectrales similares al del Terremoto de Ciudad de México, en la ciudad del Cusco y en ciudades de suelos blandos a mas de 100 km. de distancia ortonormal de la subducción. Recomendación 4: Determinar las frecuencias naturales de vibración de los inmuebles importantes y vulnerables en la ciudad del Cusco, tales como: Hospitales, Colegios, Universidades, Coliseos, Estadios, Casas coloniales, Casas de adobe, Restos arqueológicos, monumentos arqueológicos, etc. Recomendación 5: Implementar Estaciones sismográficas en las universidades de la Ciudad del Cusco. Recomendación 6: Incluir el curso de Dinámica Estructural en la malla curricular de estudios de escuelas de Ingeniería Civil en el Perú. Recomendación 7: No fomentar el indiscriminado uso de software especializado en estructuras sin el estudio previo de los fundamentos de la dinámica estructural. Recomendación 8: No fomentar la construcción irresponsable de inmuebles basándose en análisis económicos antes de análisis sísmicos estructurales. Recomendación 9: En lo posible, usar Espectros de respuesta dados por sismos reales en vez de espectros de diseño dado por normas.

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Recomendación 10: Para un buen análisis dinámico de una estructura se recomienda el uso de un software especializado aplicando un registro sísmico o carga sísmica, es decir un Método Tiempo Historia asistido por software especializado.

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS



AGUILAR FALCONI, Roberto. 2008. Análisis Sísmico de Edificios. Primera Edición. Quito. Ecuador. Editorial del Centro de Investigaciones Científicas, Escuela Politécnica del Ejército de Ecuador.



BAZAN, Enrique; MELI, Roberto. 2011. Diseño Sísmico de Edificios. Primera Edición. México D.F. México. Editorial Limusa.



BELTRAN, Francisco; CERROLAZA, Miguel. 1989. Análisis Dinámico de Estructuras sometidas a cargas no lineales. Primera Edición. Caracas. Venezuela. Edita: Revista Internacional de Métodos Numéricos para Calculo y Diseño en Ingeniería.



BOTERO, Eduardo; ROMO, Miguel. 2006. Modelo Bidimensional no lineal para el Análisis del comportamiento dinámico de estructuras terreas. Primera Edición. México D.F. México. Edita: Revista de Ingeniería Sísmica de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Sísmica.



CHOPRA, Anil Kumar. 1980. Dynamics of Structures, a Primer. Primera Edición. Berkeley CA. Estados Unidos. Edita: Earthquake Engineering Research Institute.



CHOPRA, Anil Kumar. 2007. Dynamic of Structures, Theory and Applications to Earthquake Engineering. Tercera Edición. Berkeley CA. Estados Unidos. Editorial Pearson.



CLOUGH, Ray W; PENZIEN, Joseph. 1995. Dynamic of Structures. Tercera Edición. Berkeley CA. Estados Unidos. Edita: Computers and Structures, Inc.



FARBIARZ F; Joseph. Año desconocido. Introducción a la Dinámica de Estructuras y al Diseño Sismoresistente. Primera Edición. Medellín. Colombia. Edita: Universidad Nacional de Colombia.



GALLEGO SILVA, Mauricio; SARRIA MOLINA, Alberto. 2006. El Concreto y los Terremotos. Primera Edición. Bogotá. Colombia. Edita: Instituto del Concreto de Colombia.

123



GOMEZ CHAVEZ, Salvador Ismael. 2007. Análisis Sísmico Moderno, Ética Aplicada. Primera Edición. México D.F. México. Editorial Trillas.



OLLER, Sergio; CAR, Eduardo. 1999. Respuesta Dinámica de las Estructuras. Primera Edición. Cataluña. España. Edita: Universidad Politécnica de Cataluña.



PAZ, Mario. 1992. Dinámica Estructural, Teoría y Cálculo. Tercera Edición. Barcelona. España. Editorial Reverté, S.A.



SALINAS BASUALDO, Rafael. 2006. Fundamentos del Análisis Dinámico de Estructuras. Primera Edición. Lima. Perú. Edita: SISMID Universidad Nacional de Ingeniería.



SAMPLIERI HERNANDEZ, Roberto; FERNANDEZ COLLADO, Carlos; BAPTISTA LUCIO, Pilar. 2010. Metodología de la Investigación. Quinta Edición. México D.F. México. Editorial Mc Graw Hill.



SARRIA MOLINA, Alberto. 2008. Terremotos e Infraestructura. Segunda Edición. Bogotá. Colombia. Edita: Universidad de los Andes de Colombia.



UNIVERSIDAD AUTONOMA DE MEXICO. 1985. El Sismo del 19 de Septiembre de 1985:Informe y Evaluación Preliminar Elaborado por el Instituto de Geofísica con la Colaboración del Instituto de Ingeniería. México D.F. México.

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Structural Dynamics Principles / Fundamentos de la Dinámica Estructural

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