STATISTIK-PENDIDIKAN

BAB I PENDAHULUAN

STATISTIK dan STATISTIK PENDIDIKAN 1. Peng Penger erti tian an Stat Statis isti tik k

Secara etimologis kata ” Statistik ” berasal dari status (bahasa latin) yang mempunyai persamaan arti dengan kata State (bahasa Inggris) atau kata Staat (bahasa belanda) kata statistik diartikan sebagai kumpulan bahan keterangan (data), baik yang berwujud angka ( data kuantitatif) maupun yang tidak berwujud angka (data kualitatif) yang mempunyai arti penting dan kegunaan yang besar bagi suatu negara. Dalam kamus bahasa inggris ada dua macam kata statistik statistics artinya lmu statistik sedangkan kata statistic sebagai ukuran yang di peroleh atau berasal dari sampel yaitu lawan dari kata ” parameter ” yang berarti ” ukuran yang diperoleh atau berasal dari populasi ”. Di tinjau dari terminologi dewasa ini (apabila kita membaca atau mendengar) dalam istilah statistik ada beberapa macam istilah statistik yaitu : 1. Data statistik 2. Kegiatan Statistik 3. Metode Statistik 4. Ilmu Statistik 2. Peng Penggo golo long ngan an Stat Statis isti tik k

Bedasarkan Bedasarkan tingkatan pekerjaannya pekerjaannya (tahapan (tahapan yang ada dalam kegiatan statistik) statistik) statistik statistik sebagai ilmu pengetahuan dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu : a. Stat Statis isti tikk Desk Deskri ript ptif if,, yang yang dike dikena nall pula pula deng dengan an isti istila lahh stati statist stik ik Dedu Dedukt ktif, if, stat statis isti tik k sederh sederhana ana,, dan descrip descriptiv tivee statis statistic ticss adalah adalah statis statistik tik yang yang tingka tingkatt pekeraj pekerajaan aannya nya mencakup cara-cara menghipun, menyusun atau mengatur, mengolah, menyajikan, dan menganalisi data angka, agar dapat memberikan gambaran yang teratur, rigkas dan jelas. b. Statistik inerensial adalah statistik yang menyediakan aturan atau cara menarik kesimpulan yang bersifat umum. 3. Ciri Ciri Kha Khass Stat Statis isti tik k

Pada dasarnya statistik sebagai ilmu pengetahuan ada tiga ciri khusus yaitu : STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

1

a. Stat Statis isik ik sela selalu lu beke bekerj rjaa deng dengan an angk angkaa atau atau bila bilang ngan an ( dala dalam m hal hal ini ini adal adalah ah data data kuantitatif). b. Statistik bersifat objektif pengertian statistik selalu bekerja menurut data yang ada. c. Statis Statistik tik bersifat bersifat univers universal al mengan mengandun dungg penger pengertia tiann bahwa bahwa ruang ruang lingkup lingkup atau ruang ruang gerak dan bidang garapan statistik yang berlaku untuk di semua bidang kajian. 4. Perm Permas asal alah ahan an Stati Statist stik ik..

Menur Menurut ut Hana Hanant ntoo Sigi Sigit,t, B.ST B.ST,, dala dalam m buku bukuny nyaa stat statis isti tikk suatu suatu peng pengat atur uran an 1996 1996 mengemukakan ada tiga permasalahan dasar dalam statistik yaitu : a. Permas Permasalah alahan an tenta tentang ng Rata Rata-rat -rataa (Averag (Average) e) b. Permasalahan tentang pemencaran atau penyebaran (Variability) c. Permas Permasalah alahan an tentang tentang salin salingg hubung hubungan an (Korel (Korelasi asi)) Suatu persoalan statistik lainnya adalah apa yang di kenal dengan nama ” dispersi ” (dispersian) atau ” Variabilitas”. Sebuah persoalan lain lagi dari statistik adalah persoalan tentang ” korelasi ” atau ” asosiasi ” persoalan hubungan. 5. Penge Pengert rtian ian stati statist stik ik pendid pendidika ikan. n.

Telah di jelaskan bahwa istilah statistik dapat di beri pengertian sebagai data statistik , stat statis isti tikk pend pendid idik ikan an yait yaituu ilmu ilmu peng penget etah ahua uann yang yang memb membah ahas as atau atau memp mempel elaja ajari ri dan dan meng mengem emba bang ngka kann prin prinsi sipp-pr prin insi sip, p, meto metode de dan dan pros prosed edur ur yang yang perlu perlu di temp tempuh uh atau atau dipergunakan, dalam rangka megumpulkan, penyusunan, penyajian, penganalisisan bahan keterangan yang berwujud angka. 6. Fungsi Fungsi dan dan kegu kegunaan naan dalam dunia pen pendidik didikan an

Kemajuan atau perkembangan anak didik setelah mereka menempuh proses pendidikan dalam jangka waktu tertentu sebenarnya yang bersifat kualitatif, akan tetapi diubah menjadi data yang bersifat kuantitatif karena dalam kegiatan pernilaian hasil pendidikan cara yang paling umum adalah dengan menggunakan data kuantitatif , maka tidak perlu diragukan lagi bahwa statistik dalam hal ini akan a kan mempunyai fungsi yang sangat penting sebagai alat bantu, yaitu alat bantu untuk memperoleh, menganalisis dan menyimpulkan hasil yang telah di capai dalam kegiatan penilaian tersebut. a. Memp Mempero erole lehh gamb gambar aran an baik baik,, gamb gambar aran an secar secaraa khus khusus us maup maupun un gamb gambar aran an seca secara ra umum tentang suatu gejala,keadaan atau peristiwa. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

2

b. Mengikuti perkembangan atau pasang surut mengenai gejala keadaan atau peristiwa tersebut, dari waktu ke kewaktu. c. Mela Melaku kuka kann peng penguj ujia ian, n, apak apakah ah geja gejala la yang yang satu satu berb berbed edaa deng dengan an geja gejala la yang yang lain lain ataukah tidak, jika terdapat perbedaan apakah perbedaan itu merupakan perbedaan yang berarti (menyakinkan) ataukah perbedan itu terjadi hanya secara kebetulan saja. d. Mengetahui Mengetahui,, apakah gejala gejala yang yang satu ada ada hubunganny hubungannyaa dengan dengan gejala yang yang lain. lain. e. Menyusun Menyusun laporan laporan yang yang berupa berupa data data kuantitatif kuantitatif dengan dengan teratur, teratur, ringka ringkass dan jelas. jelas. f. Manarik Manarik kesimpula kesimpulann secara logis logis,, mengamil mengamil keputus keputusan an secara secara tepat dan dan mantap, mantap, serta serta dapa dapatt memp memperk erkira iraka kann atau atau mera meramal malka kann hal-h hal-hal al yang yang mung mungki kinn terja terjadi di di masa masa mendatang, dan langkah konkret apa yang kemungkinan perlu dilakukan oleh seorang pendidik. DATA STATISTIK KEPENDIDIKAN 1. Penge Pengert rtian ian data data stati statisti stik k

Data statistik adalah data statistik yang berwujudkan angka atau bilangan. Penelitian yang bersifat apegatif artinya : a. Bahw Bahwaa pene peneli litia tiann itu itu bole bolehh hany hanyaa meng mengen enai ai satu satu indi indivi vidu du saja saja,, akan akan teta tetapi pi pencatatannya harus dilakukan lebih dari satu kali. b. Bahwa penelitian atau pencatatan hanya dilakukan satu kali saja, tetapi individu yang dilihat harus lebih dari satu. 2. Pengg Penggolo olonga ngan n dat data a stat statist istik ik

a. Penggolon Penggolongan gan data data statistik statistik berdasarka berdasarkann sifatnya sifatnya ditinjau ditinjau dari segi segi sifat angkany angkanya, a, data statistik dapat dibedakan menjadi dua golongan yaitu : ♥ Data kantinyu ialah data statistik yang angka-angkanya merupakan deratan

angka yang sambung-menyambung, dengan kata lain data kantinyu ialah data yang deratan angkanya merupakan suatu kontinum. ♥ Data Diskrit ialah data statistik yang tidak mungkin berbentuk pecahan.

b. Penggolongan data statistik berdasarkan cara menyusun angkanya ada tiga macam yaitu : ♥ Data nominal ialah data statistik yang cara menyusun angkanya di dasarkan

atas penggolongan atau klasifikasi tertentu. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

3

♥ Data ordinal juga sering disebut data urut, yaitu data statistik yang cara

menyusun angkanya di dasarkan atas urutan kedudukan ( renking) ♥ Data interval ialah data statistik di mana terdapat jarak yang sama di antara

hal-hal yang sedang di selidiki atau di persoalkan. c. Penggolongan data statistik berdasarkan bentuk angkanya di bagi dua macam yaitu : ♥ Data tunggal ( ungrouped data ) ialah data statistik yang masing-masing

angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan) dengan kata lain data tunggal adalah data statistik yang angka-angkanya tidak di kelompokkan. ♥ Data kelompokan atau data bergolong (qrouped data) ialah data statistik yang

tiap-tiap unitnya terdiri dari sekelompok angka. d. Penggolongan data statistik berdasarkan Sumber ♥ Data primer adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber dari tangan

pertama(tirst baud data) ♥ Data sekunder adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber

dari tangan kedua (second bau data) e. Penggolongan data statistik berdasarkan waktu pengumpulannya dibedakan menjadi dua golongan yaitu : ♥ Data seketika ialah data statistik yang mencerminkan keadaan pada satu waktu

saya (at a point of time) ♥ Data urutan waktu ialah data statistik yang mencerminkan keadaan atau

perkembangan mengenai sesuatu hal, dari satu waktu ke waktu yang lain secara berurutan. Data urut waktu ini juga sering di kenal dengan istilah historical data.

3. Alat pengumpulan data statistik kependidikan

Di antara alat yang bisa di gunakan dalam pekerjaan pengumpulan data statistik kependidikan dapat di kemukakan di sini misalnya : a. Daftar atau daftar cek (check list) STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

4

b. Skala bertingkat (Rating Scale) c. Pedoman wawancara ( interview gulde) d. Questionnaire (daftar pertanyaan yang setiap pertanyaannya sudah di selesaikan jawabannya untuk di pilih atau di sediakan tempat untuk mengisi jawabannya. PENGUMPULAN DATA STATISTIK PENDIDIKAN

1. Prinsip pengumpulan data statisrik pendidikan adalah : ♥ Dengan waktu ♥ Tenaga ♥ Biaya ♥ Alat yang sehemat mungkin, dapat di himpun data yang lengkap dan dapat

dipercaya. a) Lengkap data. Prinsip pertama yang harus dipegang adalah dalam pengumpulan data statistik kependidikan kita harus berupaya semaksimal mungkin untuk dapat menghimpun data yang selengkap-lengkapnya. b) Tepatnya data. Prinsip kedua ialah data yang di himpun hendaknya merupakan data yang tepat, yakni tepat dalam hal : 1) Jenis atau macam datanya. 2) Waktu pengumpulannya 3) Kegunaan atau relevansinya sesuai dengan tujuan pengumpulan data atau tujuan penelitian. 4) Alat atau instrumen yang dipergunakan untuk menghimpun data. c) Kebenaran data yang di himpun. Prinsip ketiga ialah data yang di himpun hendaklah data yang benar-benar dapat di percaya atau dapat di jamin akan keselisihannya. 2. Cara mengumpulkan data statistik kependidikan

STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

5

♥ Sensus ialah cara mengumpulkan data dengan jalan mencatat atau meneliti seluruh

elemen yang menjadi objek penelitian. Kelemahannya memakan waktu, tenaga, biaya dan peralatan. ♥ Sampling ialah cara mengumpulkan data dengan jalan mencatat atau meniliti

sebagian kecil saja dari seluruh elemen yang menjadi objek penelitian. ♥ Pengamatan mendalam (systematic observtion) yaitu pengamatan terhadap objek

yang akan di catat datanya, dengan persiapan yang matang dilengkapi dengan instrumen tertent. ♥ Wawancara mendalam (systematic intervalew) yaitu mengumpulkan data

berbentuk pengajuan pertanyaan secara lisan, dan pertanyaan yang diajukan dalam wawancara itu telah di persiapkan secara tuntas, dilengkapi dengan instrumennya. ♥ Angket yaitu cara pengumpulan data berbentuk pengajuan pertanyaan tertulis

melalui sebuah daftar pertanyaan yang sudah dipersiapkan sebelumnya. ♥ Pemeriksaan dekomentasi (studi dokumenter) di lakukan dengan meneliti bahan

dokumentasi yang ada dan mempunyai relevansi dengan tujuan penelitian. ♥ Tes seperti : tes hasil belajar , tes kepribadian, tes kecerdasan, tes minet dan

perhatian. 3. Sifat data statistik a. Data statistik memiliki nilai relatif (relative value) atau nilai semu. b. Data statistik memiliki nilai nyata (true value) atau nilai sebearnya. c. Data statistik memiliki batas bawah relatif, batas atas relatif, batas bawah nyata dan batas atas nyata. d. Data statistik yang berbentuk data kelompokan memiliki nilai tengah atau titik tengah (mid point) e. Data statistik sebagai data angka, dalam proses perhitungannya tidak menggunakan sistem pecahan, melainkan menggunakan sistem desimal ( sistem perpuluhan) f. Data Statistik sebagai data angka dalam proses perhitungan menggunakan sistem pembulatan angka tertentu. 4. Beberapa macam contoh data statistik dalam dunia pendidikan adalah : a.

Data Statistik yang berkaitan dengan prestasi belajar anak didik.


6

b. Data Statistik yang berkaitan dengan keadaan anak didik. c.

Data Statistik yang berkaitan dengan staf pengajar.

d. Data Statistik yang berkaitan dengan staf administrasi. e.

Data Statistik yang berkaitan dengan anggaran pendapatan dan belanja.

f.

Data Statistik yang berkaitan dengan bidang perlengkapan.

g. Data Statistik yang berkaitan dengan bidang perpustakaan. h. Data Statistik tentang angka presensi anak didik, staf pengajar dan staf administrasi.


7

BAB II MASALAH DISTRIBUSI FREKUENS

Setiap kali kita melakukan kegiatan pengumpulan data statistik, maka pada umumnya kegiatan tersebut akan menghasilkan kumpulan data angka yang keadaanya tidak teratur, berserak dan masih merupakan bahan keterangan yang sifatnya kasar dan mentah. Dikatakan “kasar” dan “mentah”, sebab kumpulan angka dengan kondisi seperti yang disebutkan di atas belum dapat memberikan informasi secara ringkas dan jelas mengenai ciri atau sifat yang dimiliki oleh kumpulan angka tersebut. Oleh karena itu, agar data angka yang telah berhasil dihimpun itu “dapat berbicara” dan dapat memberikan informasi yang berarti, diperlukan adanya tindak lanjut atau langkah tertentu. Sebuah contoh yang dikemukakan berikut ini kiranya akan memperjelas uraian di atas. Dari sejumlah 80 orang Mahasiswa Tingkat II Fakultas Tarbiyah IAIN Sunan Kalijaga Yogyakarta, berhasil dihimpun data berupa nilai hasil Ujian Utama Semester I Tahun Akademik 1984/1985 dalam mata kuliah Statistik Pendidikan, sebagai berikut : 60

47

35

52

74

45

55

40

56

53

45

79

58

45

38

50

64

59

58

40

50

45

65

55

48

63

80

49

39

58

30

55

51

45

41

30

53

40

49

43

34

54

68

51

57

56

44

52

37

77

50

57

36

66

71

46

50

31

59

56

70

45

32

61

55

45

42

30

59

35

55

35

75

50

57

30

67

54

80

40

Dapat kita saksikan dan kita rasakan bersama bahwa data yang berupa kumpulan nilai hasil ujian semester dari 80 orang mahasiswa itu masih dalam keadaan tidak teratur dan berserak, sehingga masih sangat sulit bagi kita untuk dapat menjawab dengan cepat pertanyaan yang muncul di balik kumpulan data angka itu, seperti : a. Berapa banyak mahasiswa yang memiliki nilai tertinggi dalam ujian semester tersebut? b. Berapa banyak mahasiswa yang memiliki nilai terendah? c. Berapa banyak mahasiswa yang memperoleh nilai di atas 60? STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

8

d. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya kurang dari 60? e. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya berkisar antara 60 – 69? f. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya berkisar antara 70 – 79? g. Berapa

banyak

mahasiswa

yang

memperoleh

nilai

yang

sama?

Untuk dapat menjawab butir-butir pertanyaan seperti telah dikemukakan di atas, tindakan pertama yang harus kita lakukan adalah : menghitung frekuensi yang dimiliki oleh tiap-tiap nilai yang berada dalam deretan nilai-nilai tersebut, dan dengan jalan menghitung frekuensi yang dimiliki oleh tiap-tiap nilai itu maka lebih lanjut akan dapat kita ketahui distribusi frekuensi dari nilai-nilai hasil ujian semester yang berhasil dicapai oleh 80 orang mahasiswa tadi. PENGERTIAN VARIABEL

Kata “variabel” berasal dari bahasa Inggris variable dengan arti :”ubahan”,”faktor tak tetap”, atau “gejala yang dapat diubah-ubah”. Dalam contoh yang telah disebutkan dimuka, nilai-nilai hasil ujian semester dari sejumlah 80 orang mahasiswa itu kita sebut variable. Variabel pada dasarnya bersifat kualitatif namun dilambangkan dengan angka. Contoh

:

“Usia” adalah gejala kualitatif, akan tetapi gejala yang bersifat kualitatif itu dilambangkan dengan angka; misalnya : 17 tahun, 25 tahun, 50 tahun, dan sebagainya “Nilai Ujian” pada dasarnya adalah gejala kualitas yang dilambangkan dengan angka, seperti 5,6,7,40,75,80,100, dan sebagainya. PENGERTIAN FREKUENSI

Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti: “kekerapan”, “keseimbangan”, “keseringan”, atau “jarang-kerap”. Dalam statistik, “frekuensi” mengandung pengertian : Angka (bilangan) yang menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut; atau berapa kalikah suatu variabel (yang dilambangkan dengan angka itu) muncul dalam deretan angka tersebut. Contoh

:

Nilai yang berhasil dicapai oleh 10 orang siswa SMA dalam Tes Hasil Belajar bidang studi Ilmu Pengetahuan Alam adalah: 60 50 75 60 80 40 60 70 100 75 STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

9

Jika kita amati, maka dalam deretan nilai hasil tes tersebut,nilai 60 muncul sebanyak 3 kali; atau bahwa siswa yang memperoleh nilai 60 itu sebanyak 3 orang. Maka disini dapat kita katakan bahwa nilai 60 itu berfrekuensi 3. Nilai 70 hanya muncul sebanyak 1 kali saja; ini berarti bahwa nilai 70 itu berfrekuensi 1. Nilai 75 dicapai oleh 2 orang siswa, atau nilai 75 ada sebanyak 2 buah, disini kita katakan bahwa nilai 75 berfrekuensi 2. demikianlah seterusnya. PENGERTIAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Distribusi berarti penyaluran, pembagian, atau pencaran frekuensi dapat diberi arti penyaluran frekuensi. Dalam statistik distribusi frekuensi kurang lebih mengandung pengertian: “ suatu keadaan yang menggambarkan bagaimana frekuensi dari gejala atau variabel yang dilambangkan dengan angka itu, telah tersalur, terbagi, terpencar. Contoh

: Jika data yang berupa nilai tes hasil belajar dalam bidang studi kimia dari 10 orang

siswa SMA kita sajikan dalam bentuk tabel, maka pembagian atau pencaran frekuensinya dari nilai hasil tes itu akan tampak nyata : Nilai 100 80 75 70 60 50 40 Total

Banyaknya (orang) 1 1 2 1 3 1 1 10

TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi


10

Tabel distribusi frekuensi dapat kita beri pengertian sebagai alat penyajian data statistik yang berbentuk kolom dan lajur, yang didalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. 2.

Tabel Distribusi Frekuensi dan Macamnya

a. Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal Tabel distribusi frekunsi data tungal adalah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi dari data angka, angka data itu tidak dikelompokkelompokkan. Contoh : Distribusi frekuensi nilai tes hasil belajar dalam bidang studi kimia dari 40 orang siswa SMA Negeri kelas XI IPA Tabel II.1 Distribusi Frekuensi Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40 Orang Siswa SMA Negeri kelas XI IPA Nilai Frekuensi 8 6 7 9 6 16 5 6 Total N = 40 b. Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokkan Tabel distribusi frekuensi data kelompokkan adalah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka, dimana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka). Contoh:Tabel II.2 Distribusi frekuensi kumulatif usia 50 orang guru kimia yang bertugas di SMA Negeri Palembang. Usia 50-54 45-49 40-44 35-39 30-34 25-29 Total

Frekuensi 6 7 10 12 8 7 50 = N

c. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Dimaksud dengan tabel distribusi frekuensi kumulatif aialah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau selalu ditambah-tambahkan, baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. Contoh : STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

11

Distribusi Frekuensi Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40 Orang Siswa SMA Negeri kelas XI IPA Tabel II.3 Distribusi Frekuensi Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40 Orang Siswa SMA Negeri kelas XI IPA Nilai (X) F fk (b) fk (a) 8 6 40 = N 6 7 9 34 15 6 19 25 34 5 6 6 40 = N Total N =40 Tabel diatas dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif data tunggal, sebab data yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data yang tidak dikelompok-kelompokkkan (lihat kolom 1). Pada kolm 2 dimuat frekuensi asli (yakni frekuensi sebelum diperhitungkan frekuensi kumulatifnya). Kolom 3 memuat frekuensi kumulatif yang dihitung dari dari bawah (fk (b)). Contoh berikutnya adalah Distribusi frekuensi kumulatif usia 50 orang guru kimia yang bertugas di SMA Negeri Palembang Tabel II.4 Distribusi frekuensi kumulatif usia 50 orang guru kimia yang bertugas di SMA Negeri Palembang Usia F fk(b) fk (a) 50-54 6 50 6 45-49 7 44 13 40-44 10 37 23 35-39 12 27 35 30-34 8 15 43 25-29 7 7 50 Total 50 Tabel diatas kita namakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Kelompokkan, sebab data yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data kelompokan. Tentang keterangan atau lebih lanjut pada pokoknya sama seperti keterangan yang telah dikemukakan. d. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif. Tabel distribusi frekuensi relatif juga dinamakan tabel persentase. Dikatakan ‘frekuensi relatif’ sebab frekuensi yang disajikan di sini bukanlah frekuensi yang sebenarnya, melainkan frekuensi yang dituangkan dalam bentuk angka persenan. Contoh : 1. Jika data yang disajikan pada tabel II.1 kita sajikan kembali dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Relatif atau Tabel Persentase, maka keadaannya adalah sebagai berikut : Tabel II. 5 Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Tes Hasil Belajar Dalam Bidang Studi Kimia dari 40 Orang Siswa SMA Negeri kelas XI IPA STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

12

Nilai (X) 8 7 6 5 Total

F 6 9 19 6 N =40

Persentase(p) 15,0 22,5 47,5 15,0 ∑p = 100,0

Keterangan untuk memperoleh frekuensi relatif (angka persenan) sebagaimana tertera pada kolom 3, tabel II.5, dipergunakan rumus : P = f/N x 100% Keterangan : f = frekuensi yang seang dicari persentasenya. N = Number of Case (jumlah frekuensi/banyaknya individu) P = angka persentase e. Tabel Persentase Kumulatif Seperti halnya tabel distribusi frekuensi, tabel persentase atau tabel distribusi frekuensi relatif pun dapat diubah kedalam bentuk tabel persentase kumulatif (tabel distribusi frekuensi relatif kumulatif). Jika data yang disajikan pada tabel II.5 dan tabel II.6 kita ubah ke dalam bentuk Tabel Persentase Kumulatif, hasilnya adalah sebagai berikut : Tabel II.7. Tabel Persentase Kumulatif (Tabel distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif) Tentang Nilai Tes Hasil Belajar Kimia dari 40 Orang Siswa SMA Negeri kelas XI IPA

Nilai (X) Persentase(p) 8 15,0 7 22,5 6 47,5 5 15,0 Total ∑p = 100,0

pk (b) 100 85.0 62.5 15.0 -

pk (a) 15.0 37.5 85.0 100.0 -

Penjelasan bagaimana cara memperoleh pk (b) dan pk (a)sama seperti penjelasan yang dikemukakan pada tabel II.3. Tabel II.8 Tabel Persentase Kumulatif (Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Kumulatif) tentang usia 50 orang guru kimia yang bertugas di SMA Negeri Palembang

Usia 50-54 45-49 40-44

Persentase (p) 12.0 14.0 20.0

pk(b) 100 88 74.0


pk (a) 12.0 26.0 46.0 13

35-39 30-34 25-29 Total

24.0 16.0 14.0 ∑p = 100

54.0 30.0 14.0 -

70.0 86.0 100.0 -

CARA MEMBUAT TABEL DISTRIBUUSI FREKUENSI 1. Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal

a.

Contoh pembuatan tabel distribusi frekuensi data tunggal yang semua skornya berfrekuensi 1 (satu). Misalkan dari 10 orang mahasiswa yang menempuh ujian ulangan secara lisan dalam mata pelajaran matakuliah statistik pendidikan, diperoleh nilai sebagai berikut : No

Nama

Nilai

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Wahyu Arianto Syamsudin Abdul Wahid Dimyati Sulistyani Fathonah Nur Kholis Hamdani B. Pramono

65 30 60 45 75 40 70 55 80 50

Jadi data diatas kita tuangkan penyajiannya dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi Data tunggal, wujudnya adalah seperti Tabel II.9. Tabel II.9 Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ujian Ulangan Lisan Dalam Matakuliah Statistik Pendidkan yang diikuti 10 orang Mahasiswa. Nilai

F

65 30 60 45 75 40 70 55 80 50

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


14

Karena semua sekor (nilai) hasil ujian tersebut berfrekuensi 1, dan semua sekor nilai yang ada itu berwujud data tunggal, maka tabel diatas dinamakan : Tabel distribusi Frekuensi Data tunggal yang semua sekornya berfrekuensi 1. b. contoh pembuatan tabel distribusi frekuensi data tunggal, yang sebagian atau keseluruhan sekornya berfrekuensi lebih dari satu. Misalkan dari sejumlah 40 orang murid SMA yang menempuh ulangan harian dalam matapelajaran matematika, diperoleh nilai hasil ulangan sebagai berikut (nama murid tidak dicantumkan). 3

8

6

4

6

7

9

6

4

5

3

5

8

6

5

4

6

7

7

10

4

6

5

7

8

9

3

5

6

8

10 4

9

5

3

6

8

6

7

6

apabila data tersebut kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, maka langkah yang dapat ditempuh adalah sebagai berikut : Langkah pertama :

mencari nilai tertinggi (sekor paling tinggi = highest score = H) dan nilai terendah (sekor paling rendah = lowest score = L). Ternyata H = 10 dan L = 3 Dengan diketahuinya H dan L, maka kita dapat menyusun atau mengatur nilai hasil ulangan harian itu, dari atas ke bawah, mulai dari 10 berturut- turut ke bawah sampai dengan 3 pada kolom 1 dari tabel distribusi frekuensi yang kita persiapkan adalah seperti yang terlihat pada tabel II.10. Langkah kedua :

Menghitung frekuensi masing-masing nilai yang ada, dengan bantuan jari-jari (= tallies) ; hasilnya dimasukkan dalam kolom 2 dari tabel distribusi frekuensi yang kita persiapkan (lihat kolom 2 tabel II.10). Langkah Ketiga :

Mengubah jari-jari menjadi angka biasa, dituliskan pada kolom3 (lihat kolom 3 Tabel 2.10). setelah selesai, keseluruhan angka yang menunjukkan frekuensi masing-maing nilai yang ada itu lalu kita jumlahkan, sehingga diperoleh jumlah frekuensi (∑f) atau number of Cases = N Tabel 2.10 kita sebut tabel distribusi frekuensi data tunggal yang seluruh sekornya berfrekuensi lebih dari satu, sebab disamping seluruh sekor (nilai)nya merupakan data yang tidak dikelompokkan, maka seluruh sekor yang ada itu masing-masing berfrekuensi lebih dari satu. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

15

Tabel 2.10. Distribusi Frekuensi Nilai Hasil Ulangan Hatian Dalam Matapelajaran Matematika yang Diikuti Oleh 40 Orang Murid SMA.

Nilai (X) 10 9 8 7 6 5 4 3

Tanda/ Jari-jari/Tallies / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / Total

f 2 3 5 5 10 7 3 3 40

a. Cara Membuat Tabel distribusi Frekuensi Data Kelompokkan

Jika penyebaran angka/nilai/sekor yang akan kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi itu demikian luas atau sebar, dan penyajiannya dilakukan dengan cara seperti yang telah dikemukakan di atas, maka tabel distribusi frekuensi yang berhasil kita buat akan terlalu panjang dan memakan tempat. Disamping itu ada kemungkinan bahwa sekor yang kita sajikan frekuensinyadalam tabel ternyata berfrekuensi nol (0) karena sekor tersebut, tidak terdapat dalam deretan sekor yang kita hadapi. Untuk mencegah kejadian yang demikian itu, maka terhadap data statistik (yang berbentuk angka/sekor) itu perlu dilakukan pengelompokkan labih dahulu, dan setelah itu barulah dihitung frekuensi masing-masing kelompok nilai. Perhatikan contoh berikut ini : Misalkan dari sejumlah 80 orang siswa kleas III SMA jurusan fisika diperoleh nilai hasil EBTA (Evaluasi Belajar Tahap Akhir) dalam bidang studi Biologi, sebagai berikut (nama sengaja tidak disebut); 65

54 68 70 57 61 58 62 58 60 65 65 50 60 53 74

59

67 47 63 57 60 77 55 71 55 65 53 49 65 56 70

57 60 73 58 65 57 52 66 57 66 59 69 56 64 52 58 78 55 60 54 62 75 51 60 64 62 60 61 55 58 72 56 54 61 51 59 61 60 63 59 50 60 65 59 60 67 45 80 Maka data tersebut dibuat kedalam tabel distribusi frekuensi, dengan cara dan langkah sebagai berikut : STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

16

Langkah Pertama ;

Mencari highest score (H0 dan lowest Score (L); ternyata diperoleh H = 80 dan L = 45. Langkah Kedua ;

Menetapkan luas penyebaran nilai yang ada, atau mencari banyaknya nilai, mulai dari nilai terendah sampai dengan nilai tertinggi, yang biasa disebut Total Range atau sering disingkat dengan Range saja dan diberi lambang dengan huruf R, dengan menggunakan rumus ; R = H- L + 1 R = total range H = highest score (nilai tertinggi) L = Lowest score (nilai terendah) 1 = bilangan kosntan Diatas kita telah kita ketahui : H = 80 dan L = 45, maka dapat denganmudah diperoleh nilai R, yaitu R = 80 – 45 + 1 = 36. Angka 36 ini mengandung pengertian bahwa apabila kita menghitung banyaknya nilai mulai dari nilai terendah sampai dengan nilai tertinggi pada data yang telah dikemukakan diatas, akan diperoleh sebanyak 36 butir nilai. Karena H = 80 dan L = 45, maka kalau kita menderetkan nilai mulai dari 45 sampai dengan 80 akan terdapat 36 nilai; perhatikanlah ; 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 = 36 butir nilai. Langkah ketiga :

Menetapkan besar atau luasnya pengelompokkan data untuk masing-masing kelompok data. Yang dimaskud disini ialah : karena data berupa nilai hasil EBTA itu akan disajikan dalam bentuk data kelompokkan, maka perlu kita tetapkan dulu, masing-masing kelompokkan data (= masing-masing interval) akan terdiri dari beberapa nilai. Untuk menetapkan besar atau luas dari masing-masing interval nilai yang akan kita sajikan dalam tabel distribusi frekuensi, ada beberapa macam cara atau pedoman yang dapat dipergunakan. Salah satu diantaranya yang diperkenalkan disini ialah sebagai berikut ; R/i sebaiknya menghasilkan bilangan yang besarnya 10 s/d 20. R = total range I = interval class, yaitu luasnya pengelompokkan data yang dicari atau kelas interval. 10 s/d 20 maksudnya disini ialah bahwa jumlah kelompokkan data yang akan disajikan dalam tabel distribusi frekuensi itu sebaiknya tidak kurang dari 10 dan tidak lebih banyak dari 20. Langkah empat


17

Menetapakan bilangan dasar masing-masing interval yang dibuat dalam tabel.Para ahli statistik mengemukakan pedoman dalam menetapakan bilangan dasar,sebagai berikut : Pertama : Bilangan dasar interval itu sebaiknya adalah bilangan yang merupakan kelipatan dari i. Dengan kata lain : bilangan dasar interval itu sebaiknya dipilihkan bilangan yang dapat habis jika dibagi dengan i. Kalau pedoman ini kita terapkan pada data yang sedang kita hadapi, maka bilangan dasar interval yang memenuhi syarat bilangan : 78, 75, 72, 69, 66, 63, 60, 57, 54, 51, 48, dan 45. Kedua belas bilangan inilah yang akan mengawali tiap-tiap interval dalam tabel distribusi frekuensi yang akan kita buat. Kedua : Dalam menetapkan bilangan dasar interval itu harus diperhatikan sedemikian rupa, sehingga dalam interval yang tertinggi (interval paling atas) harus terkandung nilai tertinggi (highest score) dan dalam interval yang terendah (interval paling bawah)harus terkandung nilai terendah (lowest score). Langkah Kelima :

Mempersiapkan tabel distribusi frekuensinya, yang terdiri dari tiga kolom. Kolom 1 diisi dengan interval nilai yang banyaknya 12 baris, kolom 2 adalah kolom yang membubuhkan “tanda-tanda atau jari-jari” sebagai pertolongan dalam menghitung frekuensi, sedang kolom 3 berisi frekuensi (Perhatikanlah tabel 2.11). Tabel 2.11. Distribusi Frekuensi nilai hasil EBTA dalam bidang studi biologi dari sejumlah 80 orang siswa kelas III SMA Jurusan Fisika. Interval 78-80 75-77 72-74 69-71 66-68 63-65 60-62 57-59 54-56 51-53 48-50 45-47 Total

Tanda/Jari-jari / / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / / / /

/ / / / / / / /

/ / / / /

/ / / /

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

f 2 2 3 4 5 10 17 14 11 6 4 2 80=N

Langkah keenam :

Menghitung frekuensi dari tiap-tiap nilai yang ada, dengan bantuan ‘tanda-tanda’ atau ‘jari-jari’ seperti terlihat pada kolom 2; setelah hal itu dapat diselesaikan , selanjutnya jari-jari itu kita ubah menjadi angka biasa dan kita tuliskan pada kolom 3. Akhirnya semua STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

18

frekuensi yang telah kita tuliskan pada kolom 3 itu kita jumlahkan, sehingga diperoleh f atau N sebesar 80.

Contoh : 1) Interval 50-54 kelas intervalnya (i-nya) adalah 5 (merupakan bilangan gasal). Midpoint atau nilai tengah dari interval 50-54 adalah = (50=54) : 2 = 52 (midpoint berupa bilangan bulat) 2) Interval 50-55 kelas intervalnya adalah 6 (atau : I = 6). Jadi disini interval classnya berupa bilangan genap. Midpoint dari interval 50-55 itu adalah = (50 +55) : 2 = 52,50 (midpoint berupa pecahan). 3) interval 5-9 kelas intervalnya (i-nya) adalah 5 (merupakan bilangan gasal). Midpointnya = (5+9): 2 = 7 (merupakan bilangan bulat). 4) Interval 5-10 kelas intervalnya (i-nya)adalah 6 (merupakan bilangan genap). Midpointnya = ( 5 + 10) : 2 = 7,5 (merupakan pecahan). E. GRAFIK SEBAGAI ALAT PENGGAMBARAN DISTRIBUSI FREKUENSI

Tabel distribusi frekuensi mempunyai fungsi sebagai alat Bantu dalam penyajian data statistic, lewat kolom dan lajurnya.Tetapi,penyajian lewat table distribusi frekuensi kurang menarik karena kurang cepat dalam memberikan deskripsi data dan kadang kurang dapat dimengerti. Karena kelemahan dari table distribusi frekuensi adalah seperti penjelasan diatas,maka dalam penyajian data,dapat menggunakan grafik atau diagram. Dibandingkan dengan tabel distribusi frekuensi, grfaik memiliki keunggulan tertentu, antara lain : 1. Penyajian data statistik melalui grafik nampak lebih menarik daripada tabel distribusi frekuensi. 2. Grafik dapat dengan secara lebih cepat memperlihatkan gambaran umum dan menyeluruh tentang sesuatu perkembangan, perubahan maupun perbandingan; tidak demikian halnya dengan tabel. 3. Grafik yang dibuat menurut aturan yang tepat dan benar, akan terasa lebih jelas dan lebih dimengerti. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

19

Namun demikian grafik itu sendiri tidak dapat terhindar dari kekurangan atau kelemahan. Diantara kelemahan yang memiliki grafik dapat disebutkan di sini misalnya : 1. Membuat grafik jauh lebih sukar dan memakan waktu, biaya serta alat, tidak demikian halnya dengan tabel. 2. data yang dapat disajikan atau dituangkan dalam bentuk grafik amatlah terbatas , sebab apabila datanya banyak sekali (bermacam-macam) maka lukisan grafiknya akan menjadi terlalu ruwet dan meusingkan ; tidak seperti halnya tabel. 3. Grafik pada kebanyakkanya bersifat kurang teliti. Dalam tabel dapat dimuat angka sampai pada tingkat ketelitian yang setinggi-tingginya. Dengan demikian jelaslah bahwa baik tabel distribusi frekuensi maupun grafik, masingmasing memiliki keunggulan dan kelemahan tertentu. Pada dasarnya kelemahan yang terdapat pada tabel distribusi frekuensi merupakan keunggulan grafik, sebaliknya ; keunggulan yang dimiliki oleh tabel distribusi merupakan kelemahan grafik. Itulah sebabnya apabila didalam penyajian data statistik itu kita sajikan dalam bentuk tabel. 1. PENGERTIAN GRAFIK

Grafik tidak lain dan tidak bukan adalah alat penyajian data statistik yang tertuang dalam bentuk lukisan garis , gambar, maupun lambang. Jadi dalam penyajian data angka melalui grafik, angka itu dilukiskan dalam bentuk lukisan, garis, gambar atau lambang tertentu dengan kata lain angka itu divisualisasikan. 2. BAGIAN-BAGIAN UTAMA GRAFIK

Sebuah grafik yang lengkap umumnya terdiri dari 13 bagian. Ketiga belas bagian dimaksud adalah : a.

Nomor grafik

b.

Judul grafik

= sumbu mendatar = garis nol =

c.

Sub judul grafik

garis awal = garis mula

d.

Unit skala grafik

j.

Titik nol (titik awal)

e.

Angka skala grafik

k.

Lukisan grafis (gambar

f.

Tanda skala grafik

g.

Ordinat atau ordinal atau sumbu vertikal

h.

Koordinat

i.

Absis (sumbu horisontal)

grafik) l.

Kunci grafik

m. (garis-garis

perptolongan = garis-garis kisi) STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

Sumber grafik (sumber data) 20

Nomor grafik

Grafik no 1

Judul grafik

Jumlah staf pengajar Tetap IAIN Sunan Kalijaga Tahun Akademik 1979/1980 Menurut keadaan s/d tanggal 30 Juni 1980

Sub judul grafik Unit skala grafik Angka skala grafik Tanda skala grafik

koordinasi

orang 30

Lukisan grafis

25

ordinat

20 Titik mula (titik nol)

absis

15

Keterangan :

Fak. Adab

Fak. Syaria’ah

Fak. Dakwah

Fak. Usluhudin

10

5

Fak. Tarb.Yk

Sumber grafik

Sumber :

(sumber data)

Laporan Tahunan Rektor IAIN Sunan Kalijaga Tahun Akademik 1979/1980

0


21

3. MACAM-MACAM GRAFIK

a. Grafik Balok atau grafik batang atau Barchart. Grafik balok ini ada 6 macam yaitu : 1. Grafik balok tunggal 2. Grafik balok Ganda atau Majemuk 3. Garfik Balok Terbagi 4. Grafik Balok Vertikal 5. Grafik Balok Horisontal 6. Grafik Balok Bilateral b.Grafik Lingkaran atau Cyclegram atau diagram pastel c. Grafik Gambar atau Pictogram atau Pictograph d. Grafik Peta atau kartogram atau sta. e. Grafik Bidang f. Grafik Volume g. Grafik garis, yang dapat dibedakan menjadi 3 macam yaitu : 1. Grafik garis tunggal 2. Grafik garis majemuk atau ganda 3. Grafik Poligon atau Polygon Frequency F. CARA MELUKISKAN DISTRIBUSI FREKUENSI DALAM BENTUK GRAFIK POLIGON (POLYGON FREQUENCY)

Dari macam ragam grafik tersebut, terdapat dua jenis grafik yang sering dipergunakan dalam kegiatan analisa ilmiah, yaitu (1). Grafik Poligon atau Polygon Frequency dan (2) Grafik Histogram atau Histogram Frquency. Misalkan Data yang berupa nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi matematika yang diikuti oleh 40 orang murid SMA seperti tertera pada tabel II.10 di muka tadi kita sajikan dalam bentuk grafik poligon, maka langkah yang perlu dilakukan berturut-turut adalah sebagai berikut : a.

Membuat sumbu horisontal (absis), lambangnya X

b.

Membuat sumbu vertikal (ordinal), lambangnya Y

c.

Menempatkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y

d.

Menempatkan nilai pada absis X , berturut-turut dari kiri ke kanan, mulai dari

nilai terendah sampai dengan nilai tertinggi. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

22

e.

Menempatkan frekuensi pada ordinal Y

f.

Melukiskan grafik poligonnya GRAFIK 2.2 Poligon Frekuensi Tentang Nilai-nilai Hasil Ulangan Harian Bidang Studi Matematika Dari Sejumlah 40 Orang Murid Madrasah Ibtidaiyah

1 0

9

8

7

6 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Poligon Data Kelompokkan.Misalkan data tentang nilai hasil EBTA dalam bidang studi Biologi dari 4 sejumlah 80 orang siswa kelas III jurusan Fisika seperti yang disajikan dalam tabel II.11, akan kita sajikan dalam bentuk poligon frekuensi. Maka langkah yang perlu dilakukan secara berturut-turut adalah sebagai berikut ; 3

a. b.

Membuat sumbu horisontal (absis), lambangnya X 2

Membuat sumbu vertikal (ordinal), lambangnya Y

STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd. 1

23

0

c.

Menempatkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y

d.

Menetapkan/mencari nilai tengah (midpoint) masing-masing interval yang ada. Interval 78-80 75-77 72-74 69-71 66-68 63-65 60-62 57-59 54-56 51-53 48-50 45-47 Total

e.

F 2 2 3 4 5 10 17 14 11 6 4 2 80=N

Midpoint (X) (78+80) : 2 = 79 (75+77) : 2 = 76 (72+74) : 2 = 73 (69+71) : 2 = 70 (66+68) : 2 = 67 (63+65) : 2 = 64 (60+62) : 2 = 61 (57+59) : 2 = 58 (54+56) : 2 = 55 (51+53) : 2 = 52 (48+50) : 2 = 49 (45+47) : 2 = 46 -

Menempatkan nilai-nilai tengah dari masing-masing interval, pada absis (X).

f. Menempatkan frekuensi dari masing-masing interval, pada ordinal (Y) g.

Membuat garis perpotongan atau koordinat

h.

Melukiskan grafik poligonnya. GRAFIK 2.3 Poligon Frekuensi Tentang Nilai Hasil EBTA dalam Bidang Studi Biologi, yang Diikuti Oleh Sejumlah 80 Orang Siswa Kelas III SMA Jurusan Fisika


24

1 7

1 6

1 5

1 4

1 3

1 1 0 73

46 76

49

52

55

58

61

64

67

70

1 0

CARA MELUKISKAN DISTRIBUSI FREKUENSI DALAM BENTUK GRAFIK HISTOGRAM (HISTOGRAM FREQUENCY) 9

Grafik histogram dapat dibedakan mejadi dua macam yaitu : (1). Grafik Histogram Data tunggal 8

(2). Grafik Histogram Data kelompokkan 7

1. Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Histogram Data Tunggal. Langkah yang perlu ditempuh : a.

6

Menyiapkan sumbu horisontal (absis = X)

STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : 5Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

25

3

b.

2

c. d.

Menyiapkan sumbu vertikl (ordinal =Y) Menetapkan titik nol (perpotongan X dengan Y)

1

Menetapkan atau menghitung nilai nyata (true value) Nilai

0

(X) 10 9 8 7 6 5 4 3

f 2 3 5 5 10 7 3 3

Nilai Nyata 9.50 - 10.50 8.50 - 9.50 7.50 - 8.50 6.50 - 7.50 5.50 - 6.50 4.50 - 5.50 3.50 - 4.50 2.50 - 3.50

e. Menempatkan Menempatkan nilai nyata nyata pada masing-masin masing-masingg skores (nilai) (nilai) yang ada pada absis X f. Menempatkan Menempatkan frekuensi frekuensi tiap-tiap tiap-tiap sekor sekor (niali) (niali) yang ada ada pada ordinal ordinal Y g. Membuat Membuat garis perpoto perpotongan ngan (koordi (koordinat) nat) h. Melukiskan Melukiskan grafik histogramn histogramnya ya GRAFIK 2. 4 Histogram Frekuensi Frekuensi Tentang Tes Nilai Hasil Ulangan Harian Bidang Studi Matematika dari Sejumlah 40 Orang Murid Madrasah Ibtidaiyah


26

10

9

8

7

6 0 0.5 10.5

1.5

2.5

3.5 3. 5

4.5

5.5

6.5

7.5

8.5

9.5

5

2. Contoh Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi Dalam Bentuk Grafik Histogram Data 4 Kelompokkan.

Kita ambil kembali data nilai hasil ebta dalam bidang studi biologi, yang diikuti oleh 3 sejumlah 80 orang siswa kelas III SMA Jurusan Fisika seperti tertera pada Tabel II.10. Untuk

melukiskan grafik histogramnya, diperlukan langkah kerja sebagai berikut : a. Menyiapkan Menyiapkan sumbu sumbu horisontal horisontal (absis (absis = X) b. Menyiapkan sumbu vertikal (ordinal =Y)

2

c. Menetapkan Menetapkan titik titik nol (perpo (perpotonga tongann X dengan dengan Y) d. Menetapkan Menetapkan atau mencari mencari nilai nyata (true value) dari masing-ma masing-masing sing interval. interval.

1

0

Interval 78-80 75-77 72-74 69-71 66-68 63-65 60-62

F 2 2 3 4 5 10 17

Midpoint (X) (78+80) : 2 = 79 (75+77) : 2 = 76 (72+74) : 2 = 73 (69+71) : 2 = 70 (66+68) : 2 = 67 (63+65) : 2 = 64 (60+62) : 2 = 61


27

57-59 54-56 51-53 48-50 45-47 Total e.

14 11 6 4 2 80=N

(57+59) : 2 = 58 (54+56) : 2 = 55 (51+53) : 2 = 52 (48+50) : 2 = 49 (45+47) : 2 = 46 -

Menempatkan ni nilai ny nyata pa pada ma masing-masing in interval pa pada su sumbu

mendatar/vertikal (absis =x) f.

Menempatkan frekuensi tiap-tiap sekor (nilai) yang ada pada ordinal

Y g.

Membuat garis perpotongan (koordinat).

BAB III MASALAH RATA-RATA (AVERAGE)

1. Peng Penger erti tian an rat rataa-ra rata ta


28

Nilai rata-rata juga dikenal dengan istilah ukuran nilai pertengahan (measure of central value),sebab nilai rata-rata itu pada umumnya merupakan nilai pertengahan dari nilai – nilai yang ada.Selain itu,karena nilai rata-rata itu biasanya berposisi ada sekitar central penyebaran nilai yang ada , maka nilai rata-rata itupun yang dikenal dengan nama ukuran posisi pertengahann (measure of central position). Rata – rata tidak lain adalah : tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai wakil dari rentetan nilai rat-rata itu wujudnya hanyalah satu bilangan saja,namun dengan satu bilngan itu akan dapat tercermin gambaran secara umum yang berupa angka atau bilangan itu. 2. Ukuran rata – rata dan macamnya

Adapun macam – macam “rata-rata” atau “ukuran rata-rata” yang dimiliki oleh statistic sebagai ilmu pengetahuan ialah : 1.

rata-rata hitung atau : Nilai rata-rata hitung (Arithmetic mean,yang sering kali disingkat dengan : mean saja ) yang umumnya dilambangkan dengan huruf M atau X;

2.

Rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata pertengahan atau nilai rata-rata letak (median atau medium),yang umumnya dilambangkan dengan : mdn atau Me atau Mn ;

3.

modus atau mode, yang biasa dilambangkan dengan : Mo ;

4.

rata-rata ukur atau nilai rata-rata ukur (geometric mean),yang dilambangkan dengan GM;

5.

rata-rata harmonic atau nilai rata-rata harmonic (harmonic mean),yang biasa dilambangkan dengan HM.

1) Nilai rata-rata hitung (mean)

Dalam bahasa inggris Nilai rata-rata hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean,atau sering disingkat dengan mean saja.Mean dikenal sebagai ukuran yang menduduki terpenting jika dibandingkan dengan ukuran tendensi pusat lainnya.

a. Pengertian Mean

Secara singkat pengertian tentang mean dapat dikemukakan sebagai berikut : Mean dari sekelompok (sederetan) angka (bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan angka (bilangan) yang Ada,dibagi dengan banyaknya angka (bilangan) tersebut. b. Cara mencari Mean


29

1. Cara mencari mean untuk data tunggal Ada dua mavam cara yang dapat digunakan untuk mencari mean dari data tunggal (data yang tidak dikelompokkan),yaitu : (1) Cara mencari mean dari data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu,dan (2) Cara mencari mean dari data tunggal dimana sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu. (3) Cara mencari mean data tunggal , yang seluruh skornya berfrekuensi satu 2. Rumus yang digunakan Rumus yang digunakan untuk mencari mean data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu adalah (seperti telah dicantumkan diatas): M X

=∑

X

N

Mx

= mean yang kita cari

∑ X

= Jumlah dari skor-skor (nilai-nilai ) yang ada

N

= Number of cases (banyaknya skor-skor itu sendiri) Contoh :Jika nilai hasil ulangan dari seorang siswa MAN tadi kita hitung Mean-nya

dengan menggunakan Tabel Distrtibusi Frekuensi,maka proses perhitungannya adalah sebagai berikut : Tabel 3.1.Perhitungan

Mean nilai hasil ulangan harian dalam bidang studi Agama

Islam,PMP,Bahasa Indonesi,Bahasa Inggris,IPS Dan IPA seorang siswa Madrasah Aliyah Negeri.

X

F

9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 X 6=N 39 = ∑ Dari Tabel 3.1 talah kita peroleh : ∑ X = 39,Sedangkan N = 6.Dengan demikian : M X

=∑

X

N

=

39 6

= 6,50


30

3. Cara mencari mean data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu. - Rumus yang digunakan Karena data tunggal yang kita hitung Mean-nya sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu,maka : M X

=∑

X

N

2.Cara mencari Mean untuk data kelompok a) Mencari mean data kelompokan dengan menggunakan metode panjang -Rumus yang digunakan M X

Keterangan

=∑

fX

N

: Fx = Jumlah dari hasil perkalian antara Midpoint dari masing-masing

interval ,dengan frekuensinya. -Langkah-langkah yang harus ditempuh 1) Menetapkan (menghitung) nilai tengah (midpoint) masing-masing inteval,diberi lambang X. 2) Memperkalikan

frekuensi

masing-masing

interval,dengan

midpoint-nya,atau

dikalikan dengan X,Sehingga diperoleh Fx. 3) menjumlahkan fX,sehingga diperoleh Fx. 4) Menghitunh meannya dengan rumus : M X

b)

=∑

fX

N

Mencari mean data kelompokan dengan menggunakan metode singkat: -

Rumus yang digunakan M X

 fx '  = M '+i ∑    N 

Keterangan : M X

= mean

M = Mean terkaan atau mean tafsiran i = interval class (besar/luasnya pengelompokan data) ∑Fx’=jumlah dari hasil perkalian antara titik tengah bantuan sendiri dengan frekuensi dari

masing-masing interval -

Langkah-langkah


31

1.Mencari Mean terkaan sendiri atau mean tafsiran sendiri (yaitu M’) 2.Menetapkan x’ (titik tengah buatan sendiri) 3.memperkalikan frekuensi dari masing-masing interval ,dengan x’(jadi f dikalikan dengan x’=fx’) 4.Menghitung Mean-nya dengan menggunakan rumus. c. Penggunaan Mean

1.Bahwa data statistik yang dihadapi merupakan data yang distribusi frekuensinya bersifat normal atau simetris;setidaknya mendekati normal. 2.bahwa dalam kegiatan analis data,kita menghendaki kadar kemantapan. 3.bahwa dalam penganalisisan data selanjutnya,terhadap data yang sedang kita hadapi atau kita teliti itu,akan kita kenai ukuran-ukuran statistik selain mean. d. Kelemahan Mean

1.Karena mean itu diperoleh atau berasal dari hasil perhitungan terhadap seluruh angka yang ada,maka jika dibandingkan dengan ukuran rata-rata lainnya-perhitungannya relatif sukar. 2.Dalam perhitungan mean , sangat diperlukan ketelitian dan kesabaran. 3.sebagai salah satu ukuran rata-rata,mean kadang-kadang sangat dipengaruhi oleh angka atau nilai exstrimnya sehingga hasil yang diperoleh kadang terlalu jauh dari kenyataan yang ada. 2. Nilai rata-rata pertengahan (Median) a. Pengertian Nilai rata-rata Pertengahan (Median)

Median ialah suatu nilai atau suatu angka yang membagi suatu distribusi data kedalam dua bagian yang sama besar.dengan kata lain median adalah nilai atau angka yang diatas nilai atau angka tersebut terdapat ½ N dan dibawahnya juga terdapat ½ N. b.cara mencari nilai rata-rata pertengahan 1) Cara mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data a. Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1. - Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan number of cases –nya berupa bilangan gazal. Rumus : ( N = 2n + 1 )


32

Maka median nta terletak pada bilangan yang ke (n+1) -

Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1,dan number of cases-nya berupa bilangan genap . Rumus : ( N = 2n)

Maka median data yang demikian terletak antara bilangan yang ke-n dan ke (n+1) b. Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu.

Rumus :

 1 / 2 N − fk b   1 / 2 N − fk a    atau : Mdn = u −    fi fi    

mdn =  + 

Keterangan: Mdn : Median 

: lover limit (batas bawah nyata dari skor yang mengandung median)

fk b

: frekuensi kumulatif yang terletak dibawah skor yang mengandung median.

f i

: frekuensi asli (frekuensi dari skor yang mengandung median)

N

: Number of cases

U

: upper limit (batas atas nyata dari skor yang mengandung median).

fk a

: frekuensi kumulatif yang terletak diatas skor yang mengandung median

c.Penggunaan nilai Rata-rata pertengahan (Median)

1.

kita tidak mamiliki waktu yang cukup luas atau longgar untuk menghitung Nilai rata-rata Hitung (Mean)-nya.

2.

kita tidak ingin memperoleh nilai rata-rata dengan tingkat ketelitian yang tinggi,melainkan hanya sekedar ingin mengetahui skor atau nilai yang merupakan nilai pertengahan dari data yang sedang kita teliti.

3.

distribusi frekuensii data yang sedang kita hadapi itu bersifat asimetris (tidak normal)

4.

data yang sedang diteliti itu tidak akan dianalisis secara lebih dalam lagi dengan menggunkan ukuran statistik lainnya.

d. Kebaikan dan kelemahan Median

-Kebaikan : sebagai ukuran rata-rata ialah mediannya dapat diperoleh dalam waktu singkat,karena proses perhiyungannya sederhana dan mudah. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

33

-Kelemahan : median sebagai ukuran rata-rata sifatnya kurang teliti. 3 . Quartile

Istilah quartil atau ”Kuartil” dalam kehidupan kita sehari-hari lebih dikenal dengan istilah kuartal. Dalam dunia statistik yang dimaksud dengan kuartil ialah titikm atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam empat bagian yang sam besar yaitu masingmasing ¼ N.jadi disini akan kita jumpai tiga buah kuartil yaitu quartile pertama (Q1),Quartile kedua (Q2),Dan Quartile ketiga (Q3) Untuk mencari Q1,Q2,Q3 digunakan rumus sebagai berikut : -

Untuk data tunggal

Qn

 n / 4 N − fk b    =  +  f i  

-

Untuk data kelompokkan Qn

 n / 4 N − fk b    Xi =  +  f i  

Keterangan : Q :Quartile yang ke-n,karena titik quartile ada 3 buah, maka n diisi dengan bilangan 1,2,3 :

lower limit(batas batas nyata dari skor atau interval yang mengandung Qn).

Fkb:frekuensi kumulatif yang terleta dibawah skor i : interval class catatan : -

istilah ”skor” berlaku untuk data tunggal

-

istilah ”interval” berlaku untuk data kelompok

Diantara kegunaan quartile adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a simetrisnya suatu kurva.Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai berikut : 1) Jika Q3 – Q2 = Q2 – Q1Maka kurvanya adalah kurva adalah kurva normal 2) Jika Q3 – Q2> Q2 – Q1Maka kurvanya adalah kurva adalah kurva miring / berat kekiri (juring positif) 3) Jika Q3 – Q2< Q2 – Q1Maka kurvanya adalah kurva adalah kurva miring / berat kekanan (juring negatif). 4. DECILE


34

Desile atau desil ialah : titik atu skor atau nilai yang membagi seluruh frekuensi dari data yang kita selidiki kedalam 10 bagian yang sama besar ,yang masing-masing sebesar 1/10.jadi disini kita jumpai sebanyak 9 buah titik desile,dimana kesembilan buah titik decile itu membagi seluruh distribusi frekuensi kedalam 10 bagian yang sama besar. Lambang desil adalah D.jadi 9 buah titik desil yang dimaksud diatas adalah titik-titik D1,D2,D3,D4,D5,D6,D7,D8,D9. Rumus: -

Untuk data tunggal

Dn

 n / 10 N − fk =  +  f 

b

i

   

-

Untuk data kelompok

Dn

 n / 10 N − fk b   =  +   Xi f i  

Keterangan : Dn

= Decile yang ke-n (disini n dapat diisi dengan bilangan :1,2,3,4,5,6,7,8,atau 9)

N

= number of cases



= lower limit

Fkb

= frekuensi kumulatif terletak dibawah

Fi

= frekuensi aslinya

5. Percentile

Percentile atau percentile yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar.karena percentile sering disebut dengan “ukuran per-ratus-an. Titik yang membagi distribusi data kedalam seratu bagian yang sama besar itu ialah titik – titik P1,P2,P3,P4,P5,P6…………P99 Untuk mencari percentile digunakan rumujs sebagai berikut : -

Untuk data tunggal

P n

-

 n / 100 N − fk b   = '+  fi  

Untuk data kelompok


35

P n

 n / 100 N − fk b   = '+  Xi fi  

Kegunaan percentile dalam dunia pendidikan : 

Untuk mengubah raw score (raw data ) menjadi standard score (nilai standar).dalam dunia pendidikan salah satu standard scire sering digunakan adalah elemen points scale (skala sebelas nilai) atau dikenal pula dengan nama standard of eleven yang lazim dikenal dengan stanel.Pengubahan dari raw score menjadi stanel dilakukan denagn jalan menghitung.P 1-P3-P8-P21-P31-P6- P79 -P92-P97-P99



Percentile dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik itu memperoleh kedudukan ditengah-tengah kelompoknya.



Percentile juga dapat digunakan sebagai alat untuk menentapkan nilai batas lulus pada tes atau selektif.

5.Saling Hubungan antara Quartile-Decile dan Percentile

Hubungannnya :

6.

1. P90

= D9

2. P80

= D8

3. P75

= Q3

4. P70

= D7

5. P60

= D6

6. P50

= D5 = Q2 = Median

7. P40

= D4

8. P30

= D3

9. P25

= Q1

10. P20

= D2

11. P10

= D1

Nilai Rata-rata Ukur (Geometric Mean)

a.Pengertian Nilai rata-rata Ukur Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah : Hasil perkalian bilangan tersebut,diakar pangkatkan banyaknya itu sendiri. Dengan demikian,GM dari dua bilangan adalah sama dengan akar pangkat dua dari hasil perkalian kedua bilangan itu sendiri.GM dari 3 bilangan adalah sama dengan akar pangkat STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

36

tiga dari hasil dari perkalian ketiga bilangan itu sendiri ; demikian seterusnya ,atau secara umum dapat diformulasikan sebagai berikut : GM dari N buah bilangan adalah sama dengan akar pangkat N dari hasil perkalian bilangan-bilangan itu.Apabila bilangan-bilangan itu dilambangkan dengan X 1,X2,X3 dan Xn maka GM dapat kita formulasikan dalam bentuk Rumus: GM

= N X 1 xX 2 xX 3 .... X N

Adapun rumus untuk menghitunmg Geometric Mean dengan menggunakan Logaritma adalah sebagai berikut : log GM =

∑(log X ) N

7.Nilai rata-rata Harmonic (Harmonic Mean)

A. Pengertian Nilai rata-rata harmonic Nilai rata-rata harmonic dari sekumpulan adalah kebaliakan dari nilai rata-rata Hitung dari kebalikan bilangan yang termasuk dalam kumpulan bilangan tersebut.

BAB IV MASALAH PENYEBARAN DATA

A. PENGANTAR

Ukuran Variabilitas Data (Measures of variability) atau Ukuran Penyebaran Data (Measures of Dispersion). B. PENGERTIAN UKURAN PENYEBARAN DATA


37

Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistic yang dapat dipergunakan untuk mengetahui luas penyebaran data, atau variasi data, atau homogenitas, atau stabilitas data. C. MACAM-MACAM UKURAN PENYEBARAN DATA

Macam-macam ukuran Penyebaran Data, dari ukuran yang paling sederhana (kasar) sampai dengan ukuran yang dipandang memiliki kadar ketelitian yang tinggi, yaitu (1) Range, (2) Deviasi (yaitu Deviasi Kuartil, Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar), (3) Variance, dan (4) Ukuran Penyebaran Relatif. Ditilik segi relevansinya, maka dalam pembicaraan lebih lanjut hanya akan dikemukakan dua jenis saja, yaitu (1) dan (2) Deviasi , dan pembicaraan tentang Deviasi pun hanya dibatasi pada Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar. 1. Range

Range, yang dalam dunia statistic dikenal sebagai ukuran penyebaran data yang paling sederhana, yang karena itu juga sering disebut sebagai ukuran penyebaran data yang palin kasar. a. PengertianRange Range diberi lambing R adalah salah satu ukuran statisik yang menunjukkan jarak penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest Score) sampai skor (nilai) yang tertinggi (Highest Score). Dengan singkat dapat dirumuskan : R=H–L R = Range yang kita cari H = Skor atau nilai yang tertinggi (Highest Score) L = Skor atau nilai yang terendah (Lowest Score)

b. CaraMencariRange Tabel berikut mengemukakan salah satu contoh cara mencari range Tabel. Perhitungan Range Nilai Hasil Tes untuk 5 Macam bidang studi, yang dikuti oleh 3 orang calon yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon mahasiswa baru pada sebuah perguruan Tinggi Agama Islam

No. Nilai Yang Dicapai

H

L

R=HL


Jumla Mean h 38

Uji

Dir.

Bhs Bhs

Bhs. Ing

Nilai

PMP Islam Ind Arab g 8

4

1

85

55

75

45

65

5 7

5 5

40

325

65

2

58

65

72

60

70

2 6

8 6

14

325

65

3

65

65

65

65

65

5

5

0

325

65

Tabel diatas menunjukkan bahwa makin kecil jarak penyebaran nilai dari nilai terendah sampai nilai tertinggi akan makin homogen distribusi nilai tersebut. Sebaliknya, makin besar rangenya maka akan makin berserakan ( makin heterogenitas) nilai-nilai yang ada dalam distribusi tersebut. Selain itu, berdasar pada range kita juga dapat mengatakan bahwa kian kecil range dari suatu distribusi data, kian cenderung bagi diri kita untuk menganggap bahwa mean yang kita peroleh merupakan wakil yang representatif data yang bersangkutan; sebaliknya kian besar rangenya kita akan lebih cenderung menganggap bahwa mean yang kita peroleh sifatnya meragukan. c. Penggunaan Range Range kita gunakan sebagai ukuran, apabila didalam waktu yang sangat singkat kita ingin memperoleh gambaran tentang penyebaran data yang sedang kita selidiki dengan mengabaikan factor ketelitian atau kecermatan. d. Kebaikan dan Kelemahan Kebaikan Kebaikan Range sebagai salah satu ukuran penyebaran data ialah dengan menggunakan Range dalam waktu singkat dapat diperoleh gambaran umum mengenai luas penyebaran data yang sedang kita hadapi. Kelemahan (1) Range sifatnya sangat labil dan kurang teliti, (2) DenganmengetahuiRange nya saja, kita belum tahu secara pasti bagaimana sebenarnya bentuk Distribusi Data yang kita hadapi mulai dari nilai Terendah dan Nilai tertinggi. Karena kelemahan itulah maka sebagai salah satu ukuran penyebaran data, range sangat jarang digunakan dalam pekerjaan analisis statistic. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

39

2.

Deviasi

a.

Pengertian Deviasi Deviasi ialah selisih atau simpangan dari masing-masing skor dan interval, dari nilai

rata-rata hitungnya (deviation from the Mean). Deviasi merupakan salah satu ukuran variabilitas data yang biasa dilambangkan dengan huruf kecil dari huruf yang digunakan bagi lambing skornya. Jadi apabila skornya diberi lambing X maka deviasinya berlambangkan x, jika skornya Y maka dilambangkan deviasinya y, jika skornya Z maka lambing deviasinya z. Karena deviasi merupakan simpangan atau selisih dari masing-masing skor terhadap mean grupnya, maka sudah barang tentu akan terdapat dua jenis deviasi, (1) Deviasi yang berada diatas mean dan (2) Deviasi yang berada di bawah mean. Deviasi yang berada diatas Mean dapat diartikan sebagai “selisih lebih” karenanya deviasi semacam ini akan bertanda plus (+), dan lazim dikenal dengan istilah deviasi positif. Adapun deviasi yang berada dibawah mean dapat diartikan sebagai “Selisih kurang” oleh karena itu selalu bertanda minus (-), dilazim dikenal dengan istilah Deviasi Negatif. Guna memperjelas uraian yang telah dikemukakan diatas, marilah kita perhatikan contoh berikut ini: Skor (X) 8 7 6 5 4 ∑X = 30

M x =

∑ X = 30 = 6 N

Deviasi ( x = X − M x ) 8 – 6 = +2 7 – 6 = +1 6–6=0 5 – 6 = -1 4 – 6 = -2 ∑x = 0

Banyaknya (f) 1 1 1 1 1 N=5

5

+2 dan +1 adalah Deviasi Positif -2 dan -1 adalah Deviasi Negatif

b. 1)

Deviasi Rata-rata Pengertian Deviasi Rata-rata Deviasi rata-rata yakni Jumlah Harga mutlak deviasi dari tiap-tiap skor, dibagi dengan banyaknya skor itu sendiri. Dalam bahasa Inggris Deviasi rata-rata dikenal dengan nama Mean Deviation (diberi lambang MD) atau Average Deviation (diberi lambang AD), dalam uraian selanjutnya akan digunakan lambing AD. Deviasi rata-rata

tadi diformulasikan dalam bentuk rumus sebagai berikut : STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

40

AD

=

∑ x N

AD = Average Deviation = Deviasi rata-rata ∑x = Jumlah harga mutlak deviasi tiap-tiap skor atau interval N = Number of Cases 2)

Cara Mencari Deviasi Rata-rata

a)

Cara Mencari Deviasi rata-rata untuk Data Tunggal yang masing-masing skornya berfrekuensi Satu. M x

=

∑ X

M x

=

∑Y

N

N

b)

AD

=

∑ x

AD

=

∑ y

N

N

Cara Mencari Deviasi rata-rata untuk Data Tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu. Rumus yang digunakan adalah : AD

=

∑ fx N

AD = Average Deviation = Deviasi rata-rata ∑fx = Jumlah hasil perkalian antara deviasi tiap-tiap skor dengan frekuensi masingmasing skor tersebut N = Number of Cases c)

Cara Mencari Deviasi rata-rata untuk Data Kelompokan Deviasi rata-ratanya dapat diperoleh dengan menggunakan rumus : AD

=

∑ fx N

AD = Average Deviation = Deviasi rata-rata ∑fx = Jumlah hasil perkalian antara deviasi tiap-tiap interval (x) dengan frekuensi masing-masing interval yang bersangkutan. N = Number of Cases d). Kelemahan Deviasi rata-rata STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

41

c.

Deviasi Standar Deviasi rata-rata sebagai salah satu ukuran variabilitas data ditilik dari segi

matematika memiliki kelemahan yang sangat mendasar karena mengganggap sama antara deviasi yang bertanda “plus” dengan deviasi yang bertanda “minus”. 1)

Pengertian Deviasi Standar Deviasi standar (Standar Deviation), yang umumnya diberi lambing δ atau SD.

Deviasi Standar, karena Deviasi rata-rata yang tadinya memiliki kelemahan, telah dibakukan atau distandarisasikan, sehingga memiliki kadar kepercayaan atau reliabilitas yang mantap, oleh karena itu, dalam dunia analisis statistic Deviasi standar ini mempunyai kedudukan yang amat penting. Maka rumus umum Deviasi Standar atau SD ialah sebagai berikut :

∑ X 2

SD =

N

SD = Deviasi Standar

∑ X

2

= Jumlah semua deviasi, setelah mengalami proses pengkuadratan

terlebih dahulu. N = Number of Cases 2)

Cara Mencari Deviasi Standar

a)

Cara mencari Deviasi standar untuk data tunggal yang semua skornya berfrekuensi Satu.

∑ X 2

SD =

N


∑ X

2

= Jumlah semua deviasi, setelah mengalami proses pengkuadratan terlebih

dahulu. N = Number of Cases b)

Cara mencari Deviasi standar untuk data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu.


42

∑ fx 2

SD =

N


∑ fx

2

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing skor, dengan deviasi

skor yang telah dikuadratkan. N = Number of Cases (a) Cara mencari Deviasi Standaruntuk Data Kelompokan Deviasi standar dapat dicari dengan mengunakan dua buah rumus , yaitu rumus panjang dan rumus singkat. Rumus panjang kita pakai bila kita memiliki alat Bantu penghitungan seperti kalkulator dan sebagainya, karenaa memerlukan tingkat ketelitian dan kecermatan yang setinggi mungkin. 1)

Cara Mencari Deviasi Standar untuk Data kelompokan, dengan mengunakan

rumus panjang

∑ fx 2

SD =

N


∑ fx

2

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing skor, denagn deviasi

skor yang telah dikuadratkan. N = Number of Cases

2)

Cara mencari Deviasi standar untuk Data kelompokan, dengan menggunakan

Rumus pendek SD

=i

∑

fx

N

2

∑

 −   

2

fx 

N

   

SD = Deviasi Standar i = Kelas interval

∑ fx

2

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing interval , dengan

x 2

∑ fx = Jumlah hasil perkalian antara frekuensi masing-masing interval , dengan x


43

N = Number of Cases

d) Cara lain yang dapat dipergunakan untuk menghitung atau mencari Deviasi Standar 1) Cara lain untuk mencari Deviasi Standar Data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu. Ada tiga buah rumus dapat digunakan, yaitu : Rumus Pertama =

Rumus Kedua =

Rumus Ketiga =

∑ X

SD =

SD =

SD =

N

2 2 − M X

( N ) (∑ X 2 ) − (∑ X ) N

1

N

∑ X

N .

2

2

2

−

(∑ X )

2


∑ = Jumlah skor X setelah terlebih dahulu dikuadratkan. (∑ X ) = Jumlah seluruh skor X, yang kemudian dikuadratkan. x 2

2

M X

= Nilai rata-rata Hitung (=mean) skor X.

N = Number of Cases 2) Cara lain untuk mencari Deviasi Standar Data tunggal yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu. SD =

1

N

∑ fX

N .

2

−

(∑ fX )

2

SD = Deviasi Standar yang kita cari 1 = Bilangan Konstan (yang tidak boleh diubah-ubah

∑ fX

2

= Jumlah hasil perkalian antara frekuensi tiap-tiap skor (f) denagn skor yang

telah dikuadratkan lebih dahulu

x 2


44

(∑ fX )2 = Jumlah hasil perkalian antara frekuensi tiap-tiap skor (f) dengan masingmasing skor yang bersangkutan (X) N = Number of Cases

3) Cara lain untuk mencari mencari Deviasi Deviasi Standar Data Kelompoka Kelompokann Devia Deviasi si Stan Standa darr untu untukk data data Kelo Kelomp mpok okan an juga juga dapa dapatt ddic ddicar arii atau atau dipe diperh rhit itun ungk gkan an berdasarkan angka kasar atau skor aslinya. Adapun rumus yang digunakan digunakan adalah : SD

=

∑

2

fX

N

∑

 −   

2

fX 

N

   


∑ fX

2

= Jumlah hasil perkalian antara midpoint-2 yang telah dikuadratkan

x 2

dengan

frekuensinya masing-masing. ∑ fX = Jumlah hasil perkalian antara midpoint dengan frekuensinya masing-masing.

N = Number of Cases d.

Kegunaan Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar Baik Deviasi rata-rata maupun deviasi standar keduanya berguna sebagai ukuran

untuk untuk menget mengetahu ahuii variab variabilit ilitas as data data dan sekalig sekaligus us untuk untuk menget mengetahu ahuii homoge homogenit nitas as data. data. Deng Dengan an meng mengeta etahu huii besa besarr keci keciln lnya ya Devi Devias asii rata-r rata-rat ataa dan dan Devi Devias asii Stan Standa dar, r, kita kita dapa dapatt mengetahui pula bagaimana Variabilitas dan homogenitas data yang sedang kita selidiki. Jika deviasi rata-rata atau deviasi standar makin besar, hali ini berarti makin besarlah variabilitas datannya datannya atau semakin kurang homogen. Sebaliknya, Sebaliknya, apabila Deviasi Deviasi rata-rata atau Deviasi Deviasi Standar kecil, data yang sedang kita teliti itu makin dekat kepada sifat Homogenitas. e.

Sali aling Hubungan antara ara Deviasi Rata-ra -rata dan Devi eviasi Standar Antara Deviasi Rata-rata dan Deviasi Standar terdapat saling hubungan sebagai

berikut AD = 0,798 SD sedangkan SD = 1,253 AD Artinya : 

Bahwa besarnya Deviasi rata-rata (AD) adalah sekitar 0,798 atau 0,8 kali dari Deviasi Standar


45

Bahwa besarnya Deviasi Standar (SD) adalah sekitar



1,253 atau 1,3 kali dari Deviasi Rata-rata f.

Cata atatan Ta Tambahan Te Tentan tang Pe Penggunaan Lebih La Lanjut dar darii Mea Meann da dan De Deviasi Standar Dalam Dunia Pendidikan

Sebagai catatan tambahan perlu kiranya dikemukakan disini bahwa mean dan deviasi standar sebagai dua buah ukuran statistic yang dipandang memiliki reliabilitas yang tinggi, dapat dan sering digunakan dalam dunia pendidikan, khususnya dalam rangka Evaluasi hasil belajar anak didik. Dapat disebutkan disini misalnya: 1. Untuk Untuk menetap menetapkan kan nilai nilai batas batas lulus Aktual Aktual (minimu (minimum m Passin Passingg Level Level atau Passing Passing Grade), di mana patokan yang digunakan untuk keperluan tersebut adalah : Mean + 0,25 SD 2. Untuk mengubah mengubah Raw Score Score (Skor (Skor mentah) mentah) ke dalam dalam nilai nilai standar standar sekala sekala 5 atau huruf huruf A-B-C-D dan E. 3. Untu Untukk meng mengub ubah ah (men (mengk gkon onve vers rsik ikan an ) Raw Raw Scor Scoree menj menjad adii nial nialii Stan Standa darr Sebe Sebela lass (Eleven (Eleven point Scale = Standar Eleven = Stanel), Stanel), yaitu nilai-nilai standar standar mulai dari 0 sampai dengan 10 (=11 Nilai Standar). 4. Untu Untukk meng mengel elom ompo pokk kkan an anak anak didi didikk ke dala dalam m tiga tiga ranki ranking ng,, yait yaituu : Rank Rankin ingg Atas Atas (Kelompok anak didik yang tergolong pandai), Ranking Tengah ( Kelompok anak didik yang tergolong cukup/sedang) dan Ranking Bawah (Kelompok anak didik yang tergolong lemah/bodoh) 5. Untuk Untuk menguba mengubahh (mengk (mengkonv onvers ersika ikan) n) Raw Score Score menjadi menjadi Nilai Standar Standar z (z Score), Score), dimana z Score dapat diperoleh dengan rumus : z .Score =

X − M X SD X

6. Untuk Untuk menguba mengubahh (mengk (mengkonv onversi ersikan kan)) Raw Score Score menjad menjadii nilai nilai satndar satndar T (T Score) Score) dimana T Score itu dapat diperoleh dengan rumus :  X − M X    atau T Score = 50+10 X z Score. SD X  

T .Score = 50 +10 


46

BAB V UJI VALIDITAS DAN RELIABILITAS RELIABILITAS

VALIDITAS

A.

Pengertian Va Validitas dan dan Instrumen Secara umum valid itu sama dengan ketepatan sedangkan instrumen itu mengukur apa yang seharusnya diukur. Syarat-syarat instrument yaitu :

1) Valid STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

47

2)

Reliabel

3)

Objektif

4)

Sederhana

5)

Daya Pembeda

6)

Tingkat kesukaran

B.

Macam-macam Validitas 1.

Pengujian Tes Validitas Logis Adalah validitas yang diperoleh atas dasar hasil pemikiran, validitas yang diperoleh dengan cara berfikir secara logis. Validitas Isi (Content Validity) adalah validitas yang dilihat dari segi

•

isi tes itu sendiri sebagai alat pengukur hasil belajar. Pada validitas isi ini, sebelum kita menyusun tes terlebih dahulu membuat kisi-kisi soal. Validitas Konstruksi (Construct Validity) adalah mengukur apa yang

•

seharusnya dikonstruksi dalam pembelajaran sesuai dengan TIK dalam RP. 2.

Pengujian Tes Validitas Empiris Adalah ketepatan mengukur yang didasarkan pada hasil analisis yang bersifat empiris. Validitas ada sekarang (Concurrent Validity). Apabila hasil tes yang

•

dilakukan sesuai dengan pengalaman maka tes itu dikatakan Valid. Validitas Prediksi (Predective Validity). Suatu tes dikatakan valid

•

apabila hasilnya sesuai denagn keadaan yang sebenarnya. Misalnya : tes masuk Perguruan Tinggi, dan Tes Calon Pegawai. C.

Cara Menguji Validitas Untuk validitas isi dan validitas konstruksi cukup dikonsultasikan saja dengan minimal ddua orang pakar di bidangnya. Sedangkan untuk validitas ada sekarang dan validitas prediksi harus dilakukan uji coba. Hasilnya dikorelasikan dengan hasil tes lain yang sudah standar/hasil tes criterion.

REALIBILITAS

A.

Pengertian Realibilitas


48

Secara umum realibilitas itu sama dengan Ketetapan. Suatu instrument yang mempunyai hasil pengukuran tetap dan bias dipercaya. B.

Cara Mengukur Realibilitas Konsistensi Eksternal

•

1. Metode Test-Retest maksudnya seperangkat test yang diuji dua kali hasilnya akan dikorelasikan denagn korelasi produk moment. Pada koefisien korelasinya menunjukkan kekuatan realibitas. 2. Metode Paralel maksudnya dua test paralel yang diujikan kepad sekelompok siswa dalam waktu yang bersamaan hasilnya juga akan dikorelasikan dengan korelasi produk moment. Item-item kedua test harus berbeda, namun eqivalen dalam mengukur hal yang sama. Konsistensi Internal

•

1. Teknik belah dua (Split-half). Seperangkat tes yang diujikan kepada sekelompok siswa. Hasilnya dikorelasikan antar skor jawaban dari separuh tes tersebut yang aada dua kemungkinan yaitu skor item ganjil-genap dan skor separuh item awalseparuh item akhir. 2. Analisis diskriminasi item Untuk mencari reabilitas tes penuh digunakan rumus Spearman

r 11 =

2 r 1/21/2 (1 + r 1/21/2 )

BAB VI MASALAH PERBEDAAN ANTAR VARIABEL (TEKNIK ANALISA KOMPARASIONAL)

A. Pengertian Komparasi

Istilah “komparasi” atau “komparasional”

yang digunakan diambil dari kata

”comparison” yang berarti ”perbandingan” atau ”pembandingan”. B. Pengertian Penelitian Komparasi


49

Penelitian Komparasi menurut Dr.Ny. Suharsimi Arikunto adalah penelitian yang berusaha untuk menemukan persamaan dan perbedaan tentang benda, tentang orang, kelompok, terhadap suatu ide atau suatu prosedur kerja. Dapat juga dilaksanakan dengan maksud untuk membandingkan kesamaan pandangan dan peubahan pandangan orang, grup atau negara terhadap kasus, terhadap peristiwa atau terhadap ide. C. Teknik Analisa Komparasi dan Penggolongannya

Teknik Analisa Komparasi , yaitu salah satu teknik analisa kuantitatif atau salah stu teknik analisa statistik yang dapat dipergunakan untuk menguji hipotesa mengenai adatidaknya perbedaan antar variabel yang sedang diteliti. Jika perbedaan itu memang ada, apakah perbedaan itu merupakan perbedaan yang berarti atau meyakinkan (signifikan), ataukah bahwa perbedaan itu hanyalah secara kebetulan saja (by chance). D. Teknik Analisa Komparasi dan Penggolongannya

Teknik Analisa Komparasional dengan variabel diperbandingkan hanya dua buah saja, disebut Teknik Analisa Komparasional Bivariat (Misalnya : Apakah terdapat perbedaan

sikap keagamaan yang signifikan antara remaja yang berdomisili di lingkungan masyarakat agraris dan remaja yang berdomisili di lingkungan masyarakat industri .

Adapun apabila variabel yang diperbvandingkan itu lebih dari dua buah, maka teknik analisanya disebut : Teknik Analisa Komparasional Multivariat (Misalnya : Apakah secara signifikan terdapat perbedaan sikap sosial dan sikap keagamaan remaja yang orang tuanya berbeda status sosial dan tingkatan pendidikannya?)

BAB VII UJI “ t”

PENGERTIAN Uji T ( t Test)

Uji t atau t test adalah salah satu tes statistic yang dipergunakan untuk menguji kebenaran hipotesis nihil yang menyatakan bahwa diantara dua buah mean sample yang diambil secara random dari populasi yang sama, tidak terdapat perbedaan yang signifikan. Para ahli statistic melalui berbagai macam penelitian dan eksperimentasi pada akhirnya meyimpulkan bahwa besar kecilnya kesalahan sampling itu dapat diketahui dengan STATISTIK PENDIDIKAN 50 DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

melihat besar kecilnya angka standar yang disebut standard error of the mean (SE M), yang dapat diperoleh dengan rumus: SD

SE M =

N −1

SEM = besarnya kesesatan mean sample SD = deviasi standar dari sample yang diteliti N = number of cases (banyaknya subjek yang diteliti) 1 = bilangan konstan standard error perbedaan mean dua sample dapat diperoleh dari rumus sebagai berikut: 2

SE M 1 − M 2 =

SE M 1 + SE M 2

2

Besarnya “t” sama dengan selisih kedua mean sampel, dibagi dengan standard error perbedaan dua mean sampel; atau apabila kita formulasikan ke dalam bentuk rumus, adalah sebagai berikut: M 1

− M 2

t = SE M − M 1

2

PENGGOLONGAN TES ‘T’

Berdasarkan keadaan samplenya itu, pada umumnya para ahli statistic mengggolongkan tes ‘t’ menjadi dua macam, yaitu : 1. Tes “t” untuk sample kecil (N kurang dari 30) 2. Tes “t’’ untuk sample besar (N sama dengan atau lebih besar dari 30). Tes “t” untuk sample kecil , dibedakan menjadi dua golongan, yaitu :

PENGGUNAAN TES “T” I.

TES

“T”

UNTUK

DUA

SAMPLE

KECIL

YANG

SALING

BERHUBUNGAN 1.

Rumusnya

Rumus untuk mencari “t” atau t o dalam keadaan dua sample yang kecil (N kurang dari 30), sedangkan kedua sample satu sama lain mempunyai hubungan, adalah sebagai berikut : M D

to = SE M

D

MD = Mean of difference nilai rata-rata hitung dari beda / selisih antara skor variable I dan skor variable II, yang diperoleh dengan rumus : STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

51

∑ D

MD =

N

∑D = jumlah beda / selisih antara skor variabeel I (variable X) dan skor variable II (variable

Y), dan D dapat diperoleh dengan rumus : D=X–Y N = Number of cases = jumlah subjek yang kita teliti. SEM D = standard error (standar kesesatan) dari mean of difference yang dapat diperoleh dengan rumus : SE M = D

∑ D

D

N −1

SDD = devuasi standar dari perbedaan antara skor variable I dan skor variable II, yang dapat diperoleh dengan rumus : ( D D SD = ∑ − ∑ 2

D

N

2

)

( N )

N = number of cases a.

Tes “t” untuk sample kecil yang kedua sampelnya satu sama lain mempunyai hubungan.

b.

Tes “t” untuk sample kecil yang kedua sampelnya satu sama lain tidak ada hibungannya.

Tes “t” untuk sample besar , juga dibedakan menjadi dua

golongan, yakni :

b. Tes “t” untuk sample besar yang kedua sampelnya satu sama lain saling berhubungan. c. Tes “t” untuk sample besar yang kedua sampelnya satu sama lain tidak saling berhubungan. 1.

Langkah Perhitungannya

a. Mencari D (difference = perbedaan) antara skor variable I dan skor variable II. Jika variable I kita beri lambang X sedang variable II kita beri lambang Y, maka : D = X – Y. b. Menjumlahkan D, sehingga diperoleh ∑D (tanda plus dan minus ikut diperhitungkan).

c. Mencari mean dari difference, dengan rumus : MD =

∑ D N

d. Menguadratkan D : setelah itu lalu dijumlahkan sehingga diperoleh ∑D2.

e. Mencari deviasi standar dari difference (SDD), dengan rumus : STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

52

D SDD = ∑ N

−

(∑ D ) 2 ( N )

f. Mencari standar error dari mean of difference, yaitu : SE

M D

dengan

menggunakan rumus: SD D

SE M =

N −1

D

g. Mencari to dengan menggunakan rumus : M D

to = SE M

D

h. Memberikan interpretasi terhadap “to” dengan prosedur sebagai berikut : 1)

Merumuskan terlebih dahulu hipotesis alternative (Ha) dan hipotesis nihilnya (H0).

2)

Menguji signifikansi to, dengan cara membandingkan besarnya t o (“t” hasil observasi atau “t” hasil perhitungan) dengan t t (harga kritik “t” yang tercantum dalam table nilai “t”), dengan terlebih dahulu menetapkan degrees of freedom-nya (df) atau derajat kebebasannya (db), yang dapat diperoleh dengan rumus : df atau db = N – 1.

3)

Mencari harga kritik “t” yang tercantum pada table nilai “t” dengan berpegang pada df atau db yang telah diperoleh, baik pada taraf signifikansi 5% ataupun taraf signifikansi 1%.

4)

Melakukan pembandingan antara to dengan tt, dengan patokan sebagai berikut: (a)

Jika to lebih besar atau sama dengan t t maka hipotesis nihil ditolak; sebaliknya hipotesis alternative diterima atau disetujui. Berarti kedua variable yang sedang kita selidiki perbedaannya, secara signifikan memang terdapat perbedaan.

(b)

Jika to lebih kecil daripada tt maka hipotesis nihil diterima atau disetujui; sebaaliknya hipotesis alternative ditolak. Berarti bahwa perbedaan antara variable I dan variable II itu bukanlah perbedaan yang berarti, atau bukan perbedaan yang signifikan.

i. Menarik kesimpulan hasil penelitian. II.

TES “T” UNTUK DUA SAMPLE KECIL YANG SATU SAMA LAIN TIDAK ADA HUBUNGANNYA


53

1.

Rumusnya Rumus Pertama :

= M 1 − M 2

t t o

SE M 1 − M 2

Rumus Kedua:

t o

M 1 − M 2

= (

∑ x + ∑ x 2

1

( N 1 + N 2

2.

2)

−

2

− 2)

( N 1 + N 2 ) ( N 1. N 2 )


a. Untuk Rumus Pertama :

1)

Mencari mean variable I (variable X), dengan rumus: Mx atau M1 =

2)

N 1

Mencari mean variable II (variable Y), dengan rumus : My atau M2 =

3)

∑ x

∑Y N 2

Mencari deviasi standar skor variable X dengan rumus: y SDx atau SD1 = ∑

2

N 1

4)

Mencari standard error mean variable Y dengan rumus: y SDy atau SD2 = ∑

2

N 2

5)

Mencari standar error mean variable X, dengan rumus: SD

6)

M x

=

atauSE M 1

N 1

−1

Mencari standard error mean variable Y, dengan rumus: SD M x atauSE M 2 =

7)

SD1

SD2 N 2 −1

Mencari standard error perbedaan antara mean variable X dan mean variable Y, dengan rumus: SE M

1

8)

− M 2

=

SE M 1

2

+ SE M

2

2

Mencari to dengan rumus yang telah disebutkan di atas.


54

9)

Memberikan interpretasi terhadap to dengan prosedur sebagai berikut :

a)

Merumuskan hipotesis alternatifnya (Ha): “ada (terdapat) perbedaan mean yang signifkan antara variable X dan variable Y.”

b)

Merumuskan hipotesis nihilnya (H o): “tidak ada (tidak terdapat perbedaan mean yang signifikan antara variable X dan variable Y”).

10)

Menguji kebenaran / kepalsuan ke dalam hipotesis tersebut di atas dengan membandingkan besarnya t hasil,perhitungan (t o) dan t yang tercantum pada table nilai “t”, dengan terlebih dahulu menetapkan degrees of freedomnya atau derajat kebebasannya, dengan rumus: df atau db = (N 1 + N 2) – 2. dengan diperolehnya df atau db, maka dapat dicari harga t t pada taraf signifikansi 5% atau 1%. Jika t o sama besar atau lebih besar daripada tt maka Ho ditolak; berarti ada perbedaan mean yang signifikan di antara kedua variable yang kita selidiki. Jika t o lebih kecil daripada tt maka Ho diterima; berarti tidak terdapat perbedaan mean yang signifikan antara variable I dan variable II.

b. Untuk Rumus Kedua

1) Mencari mean variable X1 dengan rumus: M 1 =

∑ X 1 N 1

2) Mencari mean variable X2 dengan rumus: M 2

=∑

X 2

N 2

3) Mencari deviasi skor variable X 1, dengan rumus: (jumlah X 1 dan ∑X1 harus sama

dengan nol) X

= ∑ X 1 − M 1

4) Mencari skor variable X2, dengan rumus: X 2

= ∑ X 2 − M 2

x 5) Menguadratkan x1,lalu dijumlahkan; diperoleh ∑

2

1

6) Menguadratkan x2, lalu dijumlahkan; diperoleh

∑ x2

2

7) Mencari to dengan rumus seperti telah disebutkan di atas. 8) Memberikan interpretasi terhadap to dengan mempergunakan table nilai “t”, dengan cara yang sama seperti telah disebutkan di muka. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

55

9) Menarik kesimpulan. III.

TES “T” UNTUK DUA SAMPLE BESAR YANG SATU SAMA LAIN SALING BERHUBUNGAN 1.

Rumusnya t o

= M 1 − M 2 SE M 1 − M 2

2.


a. Untuk Data Tunggal (Range-Nya Kurang Dari 30)

1)

Mencari mean variable I (variable X): M 1

2)

Mencari mean variable II (variable Y): M 2

3)

Mencari deviasi standar variable I:

SD1 =

=

∑ fX N

∑ fY

=

N

∑ fx

2

N 1

∑ fx

2

4)

Mencari deviasi standar variable II:

5)

Mencari standard error mean variable I:

6)

Mencari standard error mean variable II:

7)

Mencari koefisien korelasi “r” product moment (rxy atau r 12), yang

=

SD2

N 2

SE M 1

=

SE M

=

2

SD1 N − 1 SD2 N −1

menunjukkan kuat lemahnya hubungan (korelasi) antara variable I (variable X) daaan variable II (variable Y) dengan bantuan peta korelasi (Scatter Diagram):

∑ x' y −('C )(C ) x '

r xy ataur 12

8)

N ( SD x ' )( SD y ' )

Mencari standard error perbedaan mean antara sample I dan sample II: SE M 1 − M 2

9)

=

y '

= SE M 2 + SE M 2 − ( 2.r 12 )( SE M ) ( SE M 1

2

Mencari to dengan rumus:

1

t o

= M 1

2

)

− M 2

SE M 1 − M 2


56

b. Untuk Data Kelompokan (Range Sama Atau Lebih Dari 30)

1) Mencari mean untuk variable I: M 1 = M '+i

(

∑ fX ' ) N

2) Mencari mean untuk variable II: M 2 = M '+i 3) Mencari deviasi standar variable I:

=i

SD1

4) Mencari deviasi standar variable II:

SD2

5) Mencari standard error mean variable I:

∑ fY ' ) N

∑ fx '

=i SE M 1

6) Mencari standard error mean variable II:

(

SE M 2

2

−

N

∑ fx '

(

2

−

N

∑ fx' )

2

( N ) (

∑ fx ' )

2

( N )

SD1

=

N −1 SD2

=

N −1

7) Mencari koefisien korelasi “r” product moment (r xy atau r 12), yang menunjukkan kuat lemahnya hubungan (korelasi) antara variable I dan variable II (dengan bantuan peta

korelasi), dengan rumus:

r xy ataur 12

=

∑ x' y ' −(C )(C ) x '

N ( SD x ' )( SD y ' )

y '

8) Mencari standar error perbedaan antara mean variable I dan mean variable II, dengan rumus:

SE M 1 − M 2

= SE M 2 + SE M 2 − ( 2.r 12 )( SE M 1

9) Mencari to dengan rumus:

2

t o

1

)( SE M 2 )

= M 1 − M 2 SE M 1 − M 2

selanjutnya baik untuk data tunggal maupun data kelompokan setelah diperoleh harga to, lalu diberikan interpretasi terhadap t o dengan prosedur kerja sebagai berikut: 10) Mencari df atau db dengan rumus df atau db = N – 1. 11)Berdasarkan besarnya df atau db tersebut kita cari harga kritik “t” yang tercantum dalam table nilai “t”, pada taraf signifikansi 5% dan taraf signifikansi 1%, dengan catatan: a)

Apabila to sama dengan atau lebih besar daripada t t maka

hipotesis nihil ditolak; berarti di antara kedua variable yang kita selidiki, terdapat perbedaan mean yang signifikan.


57

b)

Apabila to lebih kecil daripada t t maka hipotesis nihil diterima

atau disetujui; berarti di antara kedua variable yang kita selidiki tidak terdapat perbedaan mean yang signifikan. 12) menarik kesimpulan.

IV.

TES “T” UNTUK DUA SAMPLE BESAR YANG SATU SAMA LAIN TIDAK MEMPUNYAI HUBUNGAN 1.

Rumusnya t o

2.

= M 1

− M 2

SE M 1 − M 2


a. Mencari mean variable X (variable I), dengan rumus: M 1 = M '+i b. Mencari mean variable Y (variable II), dengan rumus: M 2 = M '+

(

∑ fx' ) ( N )

(

∑ fy ' ) ( N )

∑ fx'

2

c. Mencari deviasi standar variable I dengan rumus: d. Mencari deviasi standar variable II dengan rumus:

SD1

=i

SD2 = i

e. Mencari standard error mean variable I dengan rumus: f. Mencari standard error mean variable II dengan rumus:

SE M 1 SE M 2

−

N

∑ fy '

2

N

= =

(

−

∑ fx' )

2

( N )

(∑ fy ' ) 2 ( N )

SD1 N −1 SD2 N −1

g. Mencari standard error perbedaan mean variable I dan mean variable II dengan Rumus:

SE M 1 − M 2 =

2

SE M 1 + SE M 2

h. Mencari to dengan rumus:

t o

2

= M 1 − M 2 SE M 1 − M 2


58

BAB VIII UJI CHI KUADRAT

( χ 2 )

Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara : frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual denganfrekuensi harapan/ekspektasi 1.1.

Pengertian Frekuensi Observasi dan Frekuensi Harapan

frekuensi observasi (o)

→

nilainya didapat dari hasil percobaan

frekuensi harapan (e)

→

nilainya dapat dihitung secara teoritis


59

Bentuk Distribusi Chi Kuadrat ( ²)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif.Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(v)/degree of freedom. Bentuk Distribusi Chi Kuadrat ( ²)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif. Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(v)/degree of freedom. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama dengan pengujian beberapa proporsi. (Berbeda hanya pada penetapan Hipotesis awal dan hipotesis alternatif) 3.1

Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

A.

Uji Kebebasan :

H 0

: variabel-variabel saling bebas

H 1

: variabel-variabel tidak saling bebas

B

Uji Beberapa Proporsi :

H 0

: setiap proporsi bernilai sama

H 1

: ada proporsi yang bernilai tidak sama

3.2

Rumus Uji χ 2

Data dalam pengujian ketergantungan dan beberapa proporsi disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi. Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom

frekuensi harapan r,k

2

χ

(oij

=∑ i,j =1

=

( total kolom ) x (total baris ) total observasi

− eij ) 2 eij

derajat bebas = (r-1)(k-1) r : banyak baris STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

60

k : banyak kolom oi,j : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j

ei,j

: frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

Masih ada persoalan lain beberapa persoalan lain yang dapat diselesaikan dengan mengambil manfaat distribusi chi kuadrat diantaranya: MENGUJI PROPORSI DATA MULTINOM

Misalkan sebuah ekperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa atau kategori-kategori A1, A2,...........,Ak yang saling terpisah masing-masing dengan peluang p1 = P(A 1),........,Pk = P(Ak ). Akan diuji persamaan hipotesis Ho : Pi = Pio, i = 1, 2, ......, k, dengan Pio sebuah harga yang diketahui H1 : Pi ≠ Pio Disini , tentu saja ∑ Pi = Pio = 1 Pengujian yang ditempuh akan menggunakan data sebuah sampel acak berukuran n yang didalamnya ada O1 dari kategori kesatu (A1), O2 dari kategori kedua (A2), ....., Ok dari kategori ke k (Ak ). Dengan harga Pio yang diberikan, kita dapat menghitung masing-masing frekuensi yang diharapkan E1 = np10, E2 = np20, ...., Ek = npko. Jelas bahwa O1 + O2 + ....+ Ok = E1 + E2 + ....+Ek = n. Harga-harga O1, O2, ....., Ok merupakan nilai-nilai yang nampak sebagai hasil pengamatan sedangkan E 1, E2, .....,Ek merupakan nilai-nilai yang diharapkan terjadi atau nilai-nilai teoritik. Agar mudah diingat, adanya kategori Ai, hasil pengamatan Oi dan hasil yang diharapkan Ei dan hasil yang diharapkan Ei, sebaiknya disusun dalam daftar sebagai berikut. Kategori Pengamatan Diharapkan

A1 O1 E1

A2 O2 E2

....................... ....................... ........................

Ak Ok Ek

Untuk menguji pasangan diatas digunakan statistik :

k

( Oi − E i ) 2

1=1

E i

χ 2 = ∑


61

ternyata bahwa statistik diatas berdistribusi chi-kuadrat dengan dk = (k-1). Kriteria pengujian adalah: tolak Ho jika

χ 2

≥ χ 2 (1 − α )( k −1) dengan α = taraf nyata untuk pengujian. Dalam

hal lainnya Ho diterima. MENGUJI KESAMAAN RATA-RATA POISSON

Misalkan ada k (k ≥ 2) buah distribusi poisson dengan parameter λ1,λ2, , ......,λk. Akan diuji pasangan hipotesis. Ho : λ1 =λ2 = ......=λk H1 : paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku Dari setiap popoulasi diambil sebuah sampel acak, berukuran n1 dari populasi kesatu, n2 dari populsi kedua dan seterusnya berukuran nk dari populasi ke-k. Untuk setiap sampel dihitung banyak peristiwa yang mengikuti distribusi poisson. Jika banyak peristiwa ini dinyatakan dengan X1, X2,.......,Xk maka rata-ratanya X =

X 1

+ X 2 + ...... + X k k

statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis Ho adalah 2

χ

=∑

( xi − x ) 2 x

dari tolak Ho jika

χ 2

≥ χ 2 (1 − α )( k −1) dalam hal lainnya Ho diterima.

UJI INDEPENDEN ANTARA DUA FAKTOR

Banyak data hasil pengamatan yang dapat digolongkan kedalam beberapa faktor, karakteristik atau atribut dengan tiap faktor terdiri dari beberapa klasifikasi, kategori dan golongan atau mungkin tingkatan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena demikian akan diselidiki mengenai asosiasi. Asosiasi Antara dua Faktor dalam Daftar Kontingensi BxK

Misalkan sebuah sampel acak berukuran n telah diambil, dimana tiap pengamatan tunggal diduga terjadi karena adanya dua macam faktor, ialah faktor I dan faktor II. Faktor I terbagi atas B taraf dan faktor II terbagi atas K taraf. Banyak pengamatan yang terjadi taraf ke-i faktor ke-I (i = 1, 2,......., B) dan taraf ke-j faktor ke-II (j = 1, 2,..., k) akan dinyatakan dengan Oj. Hasilnya dapat dicatat dalam sebuah daftar kontingensi B X K DAFTAR KONTINGENSI B/K UNTUK HASIL PENGAMATAN TERDIRI ATAS DUA FAKTOR STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

62

FAKTOR II (K TARAF) 2 ...............

1 FAKTOR

O11

O12

.................

K O1K

JUMLAH N10

O2K

N20

O BK n OK

N80 n

.

I (B TARAF) JUMLAH

O21

O22

OB1 N01

OB2 N02

................. ................

Pasangan hipotesis yang akan diuji berdsarkan data seperti dalam daftar diatas adalah Ho : kedua faktor bebas statistik H1 : kedua faktor tidak bebas statistik Pengujian secara eksak sukar digunakan, karenanya disini hanya kan dijelaskan pengujian yang bersifat pendekatan. Untuk ini diperlukan frekuansi teoritik atau banyak gejala yang diharapkan terjadi yang disini akan dinyatakan dengan Eii. Rumusnya adalah: Eij = (nio x noj)/n Dengan nio = jumlah baris ke-i noj = jumlah kolom ke-j demikianlah misalnya didapat : E11 = (n10 x n01)/n

: E12 = (n10 x n02)/n

E21 = (n20 x n01)/n

: E22 = (n20 x n02)/n

Dan seterusnya. Jelas bahwa n = n 10 + n20 + .....+nBO = n01 + n02 + ....+ nOK Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis diatas adalah

χ

2

B K

= ∑ ∑ ( Oij − E ij ) / E ij 2

i = j j − 1

dan tolak Ho jika χ 2 (1 − α ){( B −1)( K −1)} dalam taraf nyata = α dan derajat kebebasan dk untuk distribusi chi kuadrat

= ( B-

K)( K – 1 ). Dalam hal lainnya kita terima hipotesis Ho. Metode Khusus untuk Daftar Kontingensi 2 x 2


63

Jika daftar kontingensi berukuran 2 x 2 maka untuk pengujian hipotesis digunakan distribusi chikuadrat dengan derajat kebebasan satu. Ternyata bahwa untuk hal ini koreksi kontiunitas perlu digunakan dan telah ditemukan dengan nama koreksi Yates, yaitu setiap harga mutlak I Oij – Eij I dikurangi dengan setengah. Hasil pengamatan yang dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi 2 x 2 adalah seperti dibawah ini. Faktor kedua Faktor

Taraf 1 Taraf 2 jumlah

Taraf 1 A

Taraf 2 B

jumlah a+b

C a+c

D b+d

c+d n

kesatu

Jelas bahwa n = a + b + c + d Rumus X2 untuk hal ini bersama-sama dengan memperhitungkan koreksi Yates tersebut diatas adalah:

2

χ

=

n( Ιad − bcΙ − −1 / 2 n)

2

( a + b)( a + c)( b + d )( c + d )

hipotesis yang akan diuji adalah: Ho : kedua faktor independen Hi : kedua faktor tidak independent Dan tolak Ho jika X χ ≥ χ (1 − α )(1) dengan α taraf nyata dan dk = 1. UJI KECOCOKAN

Untuk melakukan uji kecocokkan ini akan dibandingkan antara frekuensi hasil yang sebenarnya diamati dengan frekuensi yang diharapkan berdasarkan berdasarkan model yang diandaikan.Misalnya rata-rata µ ditakisr oleh x dan varian oleh s 2. Distribusi chikuadrat yang digunakan mempunyai dk = (k-g-1) dimana k = banyak kategori atau kelas interval dan g = banyak parameter yang ditaksir. Demikianlah misalnya untuk menguji kococokan populasi normal, karena ada dua parameteryang ditaksir, ialah µ dan varian. Maka dk untuk distribusi chikuadrat sama dengan ( k – 3 ) untuk menguji kecocokkan distribusi Poisson, distribusi chikuadrat yang digunakan akan mempunyai dk=( k – 2 ).


64

PENGGOLONGAN TES CHI KUADRAT

Cara untuki mencari atau rumus untuk menghitung chi kuadrat, ada 6 macam penggolongan, yaitu disesuaikan dengan keadaan data atau maksud penggunaannya. 1. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan frekuensi variabel tunggal. Rumusnya: Rumus yang kita pergunakan disini adalah: 2

χ

=∑

( f 0 − f t ) 2 f t

+

( f 0 − f t ) f t

+ ..................

= frekuensi yang diobservasi = frekuensi yang diperoleh dalam penelitian =

f 0

frekuensi sebagaimana yang nampak dihadapan kita. f t

= frekuensi teoritik = frekuensi yang diharapkan jika seandainya tidak terdapat perbedaan frekuensi = perbedaan tidak ada atau saam dengan nol.

2. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan frekuensi variabel ganda, di mana sel-selnya berfrekuensi 10 atau lebih dari 10. Rumusnya: Apabila variabel yang akan kita cari perbedaan frekuensinya adalah variabel ganda dan sel-selnya berfrekuensi 10 atau lebih dari 10 maka sebagaimana dikemukakan oleh Henry E. Garret,rumus yang dipergunakan adalah: χ

2

=

N ( AD − BC )

2

( A + B)( C + D)( A + C )( B + D)

N = Number of case A, B, C, D, masing-masing adalah lambang bagi sel yang terdapat pada tabel kontingensi, yaitu sel petama, kedua, ketiga, dan keempat( dengan kata lain tabel kerja kita adalah berbentuk tabel 2 x 2) 3. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan frekuensi variabel ganda, dimana terdapat sel yang berfrekuensi kurang dari 10 ( dengan koreksi Yates ) Rumusnya: Jika diantara sel-sel dalam tabel kontingensi kita terdapat sel yang berfrekuensi kurang dari 10, maka dalam perhitungan untuk memperoleh harga kai kuadrat, perlu dilakukan koreksi yaitu dengan menggunakan Rumus koreksi Yates sebagai berikut: 2

χ 2

N   N ( AD − BC ) −  2  = ( A + B)( C + D)( A + C )( B + D)

4. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes perbedaan persentase. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

65

Rumusnya; Rumus chi kuadrat yang kita perguankan disini sama dengan rumus-rumus chi kuadrat yang telah dikemukakan terdahulu. Hanya saja disini harus diingat harga chi kuadrat yang kita peroleh adalah harga hi kuadrat yang merupakan angka persentase. Karena itiu sebelum diberikan interpretasi terhadap chi kuadrat harus kita ubah terlebih dahulu kedalam bentuk ngka frekuensi dengan rumus: χ 2

= χ 2 % Χ

N

100

5. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes signifikansi korelasi. Rumus yang kita pergunakan adalah 2

χ

=∑

( f 0 − f t ) 2 f t

6. Tes chi kuadrat untuk menguji atau mengetes signifikansi Normalitas Distribusi Frekuensi. Chi kuadrat juga dapat digunakan untuk mengetes signifikansi normalitas distribusi yaitu untuk menguji hipotesa nihil yang menyatakan bahwa frekuensi yang diobservasi dari ditribusi nilai-nilai yang sedang diselidiki normalitas ditribusinya, tidak menyimpang secara signifikan dari frekuensi teiritiknya dalam distribusi normal teoritik. Dalam pembicaraan yang lalu telah dikemukakan teknik analisis komparasional yang mendasarkan diri pada perbedaan Mean antardua variabel,yang dikenal dengan Tes “t”.Seperti telah disinggung pada bagian awal buku ini selain “t” Tes,dikenal pula teknik analisis,komparasional lainnya,yaitu Tes”Kai Kuadrat” atau Chi SquareTest,yaitu teknik analisis komparasional yang mendasarkan diri pada perbedaan frekuensi dari data yang sedang kita selidiki.Namun,sebelum sampai pada pembicaraan pokok mengenai Tes Kai Kuadrat itu,terlebih dahulu akan dikemukakan sebagai contoh,masalah yang mungkin kita temui dalam kehidupan sehari-hari selaku peneliti yang memungkinkan Tes Kai Kuadrat kita butuhkan Pada taraf signifikasi 5 % : t t = 1,96; Pada taraf signifikasi 1 % : t t = 2,59. Dengan demikian t o (yaitu harga “t” yang kita peroleh dari hasil perhitungan di muka) adalah jauh lebih besar ketimbang to yaitu:1,96 < 3,99 < 2,59.Karena itu Hipotesis Nihil yang menyatakan tidak adanya perbedaan Mean Hasil Belajar..Berarti perbedaan dua Mean Sampel itu adalah perbedaan yang signifikan. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

66

BAB IX ANAVA (Analisis Varian)

a. Uji Perbedaan Rata-Rata Beberapa Sampel dengan Menggunakan ANAVA Satu Arah

Analisis varian (ANAVA) satu arah digunakan pada situasi dimana beberapa sample/sub sample dipilih secara acak dari kelompok utamanya dan seluruhnya merupakan subjek untuk mendapatkan perlakuan yang tidak sama. Perhitungan dalam ANAVA berdasarkan pada variansi (SD

kuadrat) yaitu

variabilitas ANTAR kelompok (between-groups) atau SSb, yang merupakan varian rata-rata kelompok sample terhadap keseluruhan, dan variabilitas DALAM kelompok (within-groups) atau SSw yang merupakan varian dalam masing-masing kelompok. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

67

Jumlah kuadrat penyimpangan total, atau SSt yakni jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya dirumuskan: SSt = SSb + SSw Dimana: Ho : µi = µj untuk semua i dan j Hi : µi γ µj untuk sebagian i dan j dimana i tidak sama dengan j Jika pada uji t kemungkinan error jenis I = α maka pada ANAVA kemungkinan error jenis I = 1 – (1- α) N (experimental wise alpha level) 2

ζ =

2

Σ x1 + Σ x 2 + ... + Σ x k

2

2

(n1 − 1) + (n 2 − 1) + ... + (nk − 1)

xi = (Xi - M)

Error baku rata-rata ζ M = Jika dikuadratkan: ζ M

2

ζ N

Σ( Mi − M ) 2 = k −1

Dimana: Mi = rata-rata subjek kelompok I M = rata-rata keseluruhan k = jumlah subkelompok k – 1 = df dalam penentuan varian distribusi rata-rata sebenarnya, yaitu: ζ 2 N

Σ( Mi − M ) 2 = k − 1

Atau ζ

2

=

N .Σ( Mi − M )

2

k − 1

k-1 = df dalam penentuan varian populasi σ 2 kiraan antara kelompoknya Rumus ini untuk menentukan varian sebenarnya yang diperkirakan dari variabilitas rata-rata sub-kelompoknya.


68

Varian kiraan

adalah perbandingan jumlah kuadrat skor deviasi dengan nilai

derajat bebasnya, maka N.∑(Mi - M) 2 sama dengan jumlah kuadrat untuk varian kiraan antara kelompok yang merupakan varian populasi sebenarnya, sesuai dengan variabel eksperimennya. Dalam ANAVA, varian yang merupakan hasil bagi SS dengan df dikenal sebagai deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) disingkat dengan MS. MS =

SS d K

MS b =

SS b d K −SSb

MS W =

SS W d K −SSW

Dalam ANAVA, beberapa rata-rata dibandingkan dengan serentak, sehingga distribusi F dipakai sekaligus diuji signifikansinya, dimana: F =

MS b MS w

F signifikan, maka Ho ditolak, atau F tidak signifikan, maka H o dipertahankan. Contoh 1: Kelompok 1 X X2

Kelompok 2 X X2

Kelompok 3 X X2

1

45

2025

10

100

50

2500

2

50

2500

55

3025

90

8100

3

70

4900

35

1225

40

1600

4

40

1600

50

2500

70

4900

5

40

1600

65

4225

80

6400

6

10

100

30

900

35

1225

7

30

900

45

2025

25

625

8

80

6400

40

1600

55

3025

9

35

1225

20

400

75

5625

10 ∑

20 420

400 21650

25 375

625 16625

45 565

2025 36025

Subjek

∑∑X = 1360; ∑∑X2= 74300; N = n 1 + n2 + n3 = 30; n1 = n2 = n3 = 10 Varian kiraan dalam-kelompok:

Σ x = Σ X − 2

2

(Σ x) 2 n


69

Σ x1

( 420 ) 2 = 21650 10 (375 ) 2 = 16625 10 (565 ) 2 = 36025 10

2

Σ x 2 2 Σ x3 2

= 21650 − 17640 = 4010.0 = 16625 − 14062.5 = 2562.5 = 36025 − 31922.5 = 4102.5

Jumlah kuadrat dalam-kelompok ini: SSW = ∑x12 + ∑x22 + ∑x32 = 4010.0 + 2562.5 + 4102.5 = 10675.0 Jumlah derajat bebasnya = (n1 - 1) + (n2 - 1) + (n3 - 1) = 9 + 9 + 9 = 27 Varian kiraan dalam-kelompoknya: ζ w 2 =

10675.0 27

= 395.4

Varian kiraanantara-kelompoknya dihitung sebagai berikut: M 1

= 420 = 42.0,

M 1

M 2

=

= 37.5,

M 3

=

= 56.5,

10 375

10 565 10

2

= 1764.00

M 2

2

= 1406.25

M 3

2

= 3192.25

∑ = 136.0

= 6362.50

Σ( Mi − M ) = Σ M i − 2

2

(Σ M i ) 2 K

= 6362.50 −

(136) 2 3

= 6362.50 − 6165.30 = 197.2

SSb = n ∑ (Mi - M) 2 = 10(197.2) = 1972.0 dan df = K – 1 = 2 Jadi, varian kiraan antara-kelompoknya: 2

ζ b =

N .Σ( Mi − M ) 2 K − 1

=

1972.0 2

= 986.0

ζ b 2 986.0 = = 2.45 F = 2 395.4 ζ w

F0.05 = 3.35;

F0.01 = 5.49

Jadi, F tidak signifikan, H o dipertahankan. Tabel Rangkuman Perhitungan ANAVA Satu Arah Sumber Varian

Antara-kelompok

Jumlah Kuadrat SS

1972.0

Df

MS

F

2

986.0

2.49


70

Dalam-kelompok

10675.0

Total

12647.0 F0.05 = 3.35;

27

395.4

29 F0.01 = 5.49

Asumsi Dasar ANAVA Kenormalan

Setiap nilai dalam sampel didapat dari distribusi normal, distribusi skol sampelpun akan normal. Kenormalan dapat ditingkatkan dengan memperbanyak sampel dalamkelompok, semakin besar n maka distribusi semakin normal. Apabila sampel tiap kelompok kecil dan tidak normal, maka harus dilakukan transformasi. Kesamaan Variansi

Tiap-tiap kelompok sampel harus berasal dari populasi dengan variasi yang sama. Sampel yang sama pada setiap kelompok dapat mengabaikan kesamaan variansi, tetapi jika banyaknya sampel berbeda, maka kesamaan variansi populasi sangat diperlukan, dan jika diabaikan dapat menyesatkan pengambilan keputusan. Apabila variansi berbeda dan banyaknya sampel perkelompok tidak sama, diperlukan transformasi nilai untuk penyelamatannya, misal dengan logaritma. Pengamatan Bebas

Sampel harus diambil secara acak agar pengamatan informasi independen. Uji-t setelah Uji-F ANAVA Satu Arah

Uji-t dilakukan untuk membandingkan rata-rata setiap subsampel. Pengujian ini tidak dianjurkan karena di dalam banyak uji-t yang dilakukan untuk mencapai hasil signifikan diharapkan akan terjadi kesalahan dengan persentasi tertentu setiap sampling secara acak dari populasi dengan rata-rata dan variansi yang sama. Kenyataannya dari 100 uji-t sekitar 5 mencapai signifikansi 5 % yang disebabkan karena ketidaksengajaan (bukan akibat perlakuan). Jika terdapat 7 subkelompok, misalnya, satu uji-t signifikansi pada level 0.05 sepertinya diharapkan terjadi karena ketidaksengajaan pada setiap pembandingan rata-rata subkelompoknya, dan semuanya ada (7*6)/2 = 21 pembandingan. Itulah alasan disarankannya uji-F ANAVA satu arah. Jika uji-F tidak signifikan, tidak dapat diterima secara statistik bahwa perbandingan untuk tiap pasang subkelompok signifikan pada t 0.05 maupun pada tingkat keyakinan tertentu yang lain. Jika uji-F signifikan, kemudian akan menjadi bermanfaat untuk menguji t setiap STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

71

individual guna menentukan signifikansi perbedaan antara pasangan rata-rata subkelompok, walaupun secara statistik hasilnya tidak selalu benar. Signifikansi uji-t biasanya akan didapatkan pada level lebih tinggi dari t 0.05 dan t0.01. Walaupun begitu beberapa hasil mungkin akan berguna untuk membuat hipotesis baru yang eksperimen lebih lanjutnya perlu dilakukan. Misal, jika sepasang rata-rata dari sekian banyak rata-rata memberikan hasil uji-t yang signifikan, peneliti akan dianjurkan untuk melakukan eksperimen lagi dengan menggunakan hanya kedua perlakuan tersebut untuk melihat kalau fenomenon itu dapat diulang, yaitu apakah uji-t akan tetap signifikan secara statistik dengan sampel yang baru. Dalam ANAVA satu arah yang melibatkan lebih dari dua kelompok, uji-f yang signifikan menjadikan penolakan untuk keseluruhan hipotesis perbedaan rata-ratanya. Uji-F signifikan memiliki arti bahwa paling tidak ada satu pasang rata-rata berbeda secara statistik, tetapi tidak menunjukkan pasangan mana yang berbeda secara signifikan. Uji-F dalam ANAVA adalah untuk untuk menguji keseluruhan. Sebagai hasilnya, keseluruhan uji-F tidak menarik atau tidak berguna untuk kebanyakan peneliti. Secara umum, ketertarikan para peneliti terletak pada perbedaan antara rata-rata kelompok tertentu saja. Contohnya, peneliti pasar ingin membandingkan peningkatan dalam penjualan yang disebabkan karena tiga macam rencana peningkatan: (1) membeli satu mendapatkan barang kedua dengan harga setengahnya, dan (2) membeli dua dengan harga biasa dan mendapatkan satu gratis, tentu saja yang (3) dengan harga biasanya. Keseluruhan uji-F ANAVA memberikan informasi kepada peneliti bahwa ada perbedaan penjualan di antara ketiga strategi penjualan itu. Jika uji-F signifikan, tidak dapat menjelaskan mana yang membuat berbeda. Oleh karena itu, peneliti memerlukan alat lain untuk melihat ‘data lebih mendalam’, diperkenalkanlah uji Scheffè dan uji HSD Tukey. Metode Perbandingan Ganda Uji-T Guna Pembandingan Rata-Rata

Rumus uji-t dalam perbandingan ganda adalah: t ij

=

− M j − 0 [( n i + n j ) / n i .n j ]

M i

ζ w 2

Dimana: tij = nilai t terhitung untuk membandingkan rata-rata kelompok i dengan kelompok j Mi, M j = masing-masing rata-rata kelompok i dan j ζW2 = kuadrat rata-rata untuk dalam-kelompok, dan STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

72

ni, nj = masing-masing ukuran sampel untuk kelompok i dan j. Nilai ζW2 didapatkan dari tabel rangkuman ANAVA dalam kolom ‘kuadrat rata-rata’ (MS) dan baris ‘dalam-kelompok’. Perkiraan ini didapatkan dengan mengelompokkan semua jumlah kuadratnya dan dibagi dengan kelompok derajat bebasnya. Nilai t dievaluasi pada level α, derajat bebas dan nilai kritis tertentu yang didapat dari tabel t-kritis. Untuk k kelompok akan terdapat k(k - 1)/2 pembandingan yang mungkin. Karena uji-t ganda memakai penyebut ζW2 yang sama, uji signifikansi statistiknya tidak independen, walaupun perbandingan di antara rata-rata untuk populasi terdistribusi normal adalah independen. Untuk derajat bebas yang besar, uji signifikansi biasanya dianggap independen. Pada contoh berikut, perhitungan uji-t digambarkan. Dalam masalah sebenarnya, hanya kelompok-kelompok yang dihipotesiskan berbeda yang digunakan dalam perbandingan uji-t. Uji-t perbedaan antara rata-rata subkelompok untuk data pada contoh soal sebelumnya. t 12

=

t 13

=

t 14

=

t 23

=

t 24

=

t 34

=

−18 .5 − 0 − 5 .1 = = −2.46 * 32 .1[(15 +15 ) / 15 .15 ] 4.43 13 .4 −10 .4 − 0 3.0 = =1.43 32 .1[(15 +14 ) / 15 .14 ] 4 .27 − 7 .1 13 .4 − 20 .5 − 0 = = −3.07 * * 32 .1[(15 +10 ) / 15 .10 ] 5.35 18 .5 −10 .4 − 0 8. 1 = = 3.86 * * 32 .1[(15 +14 ) / 15 .14 ] 4.43 − 2.0 18 .5 − 20 .5 − 0 = = −0.87 32 .1[(15 +10 ) / 15 .10 ] 5.35 10 .4 − 20 .5 − 0 −10.1 = = −4.30 * * 32 .1[(14 +10 ) / 14 .10 ] 5.50 13 .4

df = 22, t.05 = 2.07, t.01 = 2.82 df = 23, t.05 = 2.07, t.01 = 2.81 df = 27, t.05 = 2.05, t.01 = 2.77 df = 28, t.05 = 2.05, t.01 = 2.76 Tiga perbandingan uji-t menghasilkan perbedaan antara rata-rata yang signifikan pada level 0.01 (ditunjukkan dengan **). Sedangkan satu lagi perbedaan signifikan pada level 0.05. Kedua perbandingan lainnya gagal untuk menghasilkan perbedaan rata-rata yang signifikan. Selanjutnya untuk menentukan berapa besar nilai t untuk menunjukkan nilai signifikansi yang sebenarnya digunakan uji Scheffè (dikembangkan oleh Henry Scheffè): t’.05 = √(k-1)F.05 STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

73

t’.05 = nilai kritis t’ Scheffè k

= jumlah kelompok dalam ANAVA satu arah

F.05 = nilai F yang diperlukan untuk signifikansi dengan df(k - 1) untuk varian kiraan yang lebih besar dan df = (N – k) untuk varian kiraan lebih kecil N = ukuran sampel total Setiap dan seluruh nilai t yang didapat lebih besar dari t’. 05 dianggap signifikan pada paling tidak level 0.05. Uji ini dapat diaplikasikan sama baiknya untuk ANAVA satu arah dengan subkelompok yang ukurannya sama. Jika level t = 0.01 diharapkan, maka rumus yang digunakan adalah: t’.01 = √(k-1)F.01 Dengan memasukkan harga F .01 = 2.79 dan 4.20 yang masing-masing df-nya = 3 dan 50 untuk varian kiraan lebih besar dan kecil, maka didapatkan: t’.05 = √(k-1)F.05 = √3(2.79) = √8.37 = 2.89 t’.01 = √(k-1)F.01 = √3(4.20) = √12.60 = 3.55 Jika ini ini dibandingkan dengan nilai t pada uji-t sebelumnya maka perbandingan t 23 dan t34 masih signifikan pada level 0.01, sedangkan t 14 sekarang signifikan hanya pada level 0.05. Jadi, perbedaan rata-rata subkelompok 2 dan 3, subkelompok 3 dan 4 benar-benar signifikan pada level 0.01, dan perbedaan subkelompok 1 dan 4 berbeda secara signifikan pada level 0.05. Uji Perbandingan Ganda HSD Tukey

Perbandingan antara dua rata-rata kelompok akan signifikan jika harga absolut beda di antara kedua rata-rata lebih besar dari nilai HSD (Honestly Significant Difference). HSD = qk.v √ζW2/n qk.v = nilai ‘studentized range statistic’ ζW2 = varian kiraan kelompok n

= jumlah subjek dalam tiap kelompok Nilai q didapatkan dari tabel distribusi ‘studentized Range Statistic’. Diketahui rata-

rata k berdasarkan pada n yang sama, rentang studentized q adalah perbedaan antara rata-rata terbesar dikurangi dengan rata-rata terkecil dibagi dengan kiraan error baku. Jika besarnya k berbeda dan df serta ζW2 berasosiasi, rentang studentized dapat ditentukan. Agar dapat menggunakan tabel distribusi q, maka harus diketahui tingkat signifikansi (α), derajat bebas untuk dalam-kelompok v = (N T - k), dan jumlah kelompok (k).N T adalah jumlah total pengamatan dan n adalah ukuran sampel untuk tiap kelompok. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

74

Idealnya agar rantang studentized dapat bekerja dengan baik, kelompok yang akan dibandingkan harus memiliki ukuran yang sama. Statistik q dan HSD akan tetap dapat dilakukan jika ukuran kelompok sampel tidak terlalu berbeda satu sama lainnya, diberikan bahwa n diganti dengan nh (rata-rata harmonik jumlah pengamatan): nh

=

k

[(1 / n1 ) + (1 / n2 ) + ... + (1 / nk )]

Dimana k = jumlah kelompok dan n 1, n2, … , nk = ukuran sampel untuk tiap kelompok. Penggunaan nh tidak dapat dibenarkan jika perbedaan antara ukuran sampel besar. Menggunakan data pada soal sebelumnya yang sama, perbedaan mutlak antara rata-rata kelompok dihitung: D12 = 5.1; D13 = 3.0; D14 = 7.1; D23 = 8.1; D24 = 2.0; D34 = 10.1 Selanjutnya, menentukan derajat bebas dan k: df = NT – k = n 1 + n2 + n3 + n4 - k = 15 + 15 + 14 + 10 - k k = jumlah kelompok = 4. Jadi, df = 54-4=50. Tentukan q dengan melihat tabel untuk df = 50, k = 4, dan α = 0.05 dan 0.01, maka: q.05.50 = 3.77 (nilai terinterpolasi) q.01.50 = 4.65 (nilai terinterpolasi) sebelumnya telah dihitung ζW2 = 32.1, kemudian dihitung, nh = 4/[(1/15) + (1/15) + (1/14) + (1/10)] = 4/0.3048 = 13.123 Jadi, HSD.05 = 3.77√(32.1/13.123) = 3.77√2.4461 = 3.77.1.56 = 5.90 HSD.01 = 4.65√(32.1/13.123) = 4.65√2.4461 = 4.65.1.56 = 7.27 D23 = 8.1 dan D 34 = 10.1 > HSD. 01, perbedaaan antara rata-rata kelompok 2 dan 3 serta kelompok 3 dan 4 signifikan secara statistik pada level 0.01. D14 = 7.1 > HSD.05, perbedaan antara rata-rata kelompok 1 dan 4 signifikan secara statistik pada level 0.05. Hasil di atas ternyata konsisten dengan hasil uji Scheffè sebelumnya.


75

BAB X ANAVA DUA ARAH

ANAVA dua arah menguji pengaruh serentak dua variabel bebas atau faktor-faktor eksperimen pada suatu variabel terikat. Tiap variabel bebas memiliki dua atau lebih tingkatan (kelompok). Sebenarnya ada beberapa variasi ANAVA dua arah yang berbeda-beda. Tetapi disini hanya dibahas yang sangat sederhana dan paling sering digunakan, yaitu rancang faktorial. Jika ada p tingkat faktor eksperimen dan q tingkat faktor eksperimen lainnya, rancang ANAVA faktorial dua arah terdiri dari kombinasi pq eksperimen. Subjek harus dipilih secara acak sesuai dengan rancang eksperimen pq ini, dimana setiap subjek akan mendapatkan hanya satu kombinasi. Verifikasi Jumlah Kuadrat Interaksi

Jumlah kuadrat interaksi harus dihitung dengan cara lain guna meyakini bahwa metode perhitungan data telah memberikan hasil yang benar. Deviasi rata-rata subkelompok dari deviasi keseluruhan (Mi - M) dapat dipandang sebagai yang memiliki pengaruh baris (MRi - M), pengaruh kolom (M Ci - M), dan pengaruh interaksi. Guna mendapatkan perbedaan deviasi yang disebabkan karena interaksi, kurangkan dengan kedua pengaruh lainnya: (Mi - M) - (MRi - M) - (MCi - M) = Mi – M Ri – MCi + M (penyimpangan karena interaksi)


76

Jumlah kuadrat interaksi akan didapatkan seperti halnya jumlah skor deviasi kuadrat lainnya, yaitu dengan mengkuadratkan deviasi karena interaksi dan mengalikannya dengan jumlah kasus (n), sehingga didapatkan: k

∑ ( Mi − M

n.

Ri

− M Ci + M ) 2

1

Uji Perbandingan Ganda HSD Tukey

Penggunaan HSD Tukey pada ANAVA dua arah bergantung pada bagaimana ratarata diartikan, yaitu perbandingan didapat antara rata-rata sel individual atau antara rata-rata subkelompok (tingkatan variabel bebasnya). Perbandingan mengambil bentuk beda skor di antara rata-rata. Perbedaan skor signifikan secara statistik jika harga absolut beda di antara rata-rata lebih besar dari nilai HSD (Honestly Significant Difference). HSD = qk.v √ζW2/n qk.v = nilai ‘studentized range statistic’ ζW2 = varian kiraan kelompok n

= jumlah subjek dalam tiap kelompok Nilai q didapatkan dari tabel distribusi ‘studentized Range Statistic’ menggunakan

derajat bebas dalam kelompok (N T - k). Harga k berbeda-beda bergantung pada apakah perbandingannya adalah antara rata-rata sel individual atau rata-rata subkelompok. Harga k untuk membandingkan pasangan rata-rata tingkatan (subkelompok) yang berbeda dari variabel bebasnya sama dengan jumlah tingkatan (subkelompok) dalam variabel bebasnya (faktor eksperimen). Harga k untuk membandingkan pasangan rata-rata sel individual sama dengan jumlah total sel atau kombinasi faktor eksperimen. SIMPANGAN BAKU

Barangkali ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalah simpangan baku atau deviasi standar. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk sampel, simpangan baku diberi simbol s, sedangkan populasi diberi simbol σ (baca: sigma). Variansnya tentulah s2 untuk varians sampel dan σ 2 untuk varians populasi. Jelasnya, s dan s 2 merupakan statistik sedangkan σ dan σ 2 parameter. Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x 1, x2, … , x n, dan rata-rata ( x

), maka statistik s2 dihitung dengan:

V(5)………………………… s 2

( x =∑

i

− x)

2

n −1

Untuk mencari simpangan baku (s), dari s 2 diambil harga akarnya yang positif. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

77

BILANGAN BAKU DAN KOEFISIEN VARIASI

Misalkan kita mempunyai sebuah sampel berukuran n dengan data x 1, x2, ..., x n, sedangkan rata-ratanya =

x

, dan simpangan baku = s. Dari sini kita dapat membentuk data

baru z1, z2, …, zn dengan rumus: V(11)……………………… z i =

xi

− x s

untuk i = 1, 2, …, n

Jadi, diperoleh penyimpangan atau deviasi data dari rata-rata dinyatakan dalam satuan simpangan baku. Bilangan yang didapat dinamakan bilangan z. Variabel z 1, z 2, …, zn ternyata mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1. Dalam penggunaannya, bilangan z ini sering diubah menjadi keadaan atau model baru, atau tepatnya distribusi baru, yang mempunyai rata-rata

x

0

dan simpangan baku s 0 yang ditentukan. Bilangan yang diperoleh

dengan cara ini dinamakan bilangan baku atau bilangan standar dengan rata-rata

x

0

dan

simpangan baku s 0 dengan rumus:  xi − x    s  

V(12)……………………… z i = x 0 + s0 

Perhatikan bahwa untuk x 0 = 0 dan s 0 = 1, rumus V(12) menjadi rumus V(11), sehingga bilangan z sering pula disebut bilangan standar . ANALISIS VARIANS 1. JENIS VARIANS

Telah kita kenal beberapa jenis varians seperti varians sampel (s 2) dan varians populasi (σ2). Varians untuk sekumpulan data ini melukiskan derajat perbedaan atau variasi nilai data individu yang ada dalam kelompok atau kumpulan data tersebut. Variasi ini dihitung dari nilai rata-rata kumpulan data. Selanjutnya, kita juga telah mengenal varians sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang 2 x / n

lambang σ

2 x

σ

, untuk proporsi diberi

dan untuk statistik lainnya.

Secara umum varians dapat digolongkan ke dalam varians sistematik dan varians galat. Varians sistematik adalah varians pengukuran karena adanya pengaruh yang menyebabkan skor atau nilai data lebih condong ke satu arah tertentu dibandingkan ke arah lain. Salah satu jenis varians sistematik dalam kumpulan data hasil penelitian adalah varians antar kelompok atau kadang-kadang disebut varians eksperimental. Varians ini STATISTIK PENDIDIKAN 78 DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

menggambarkan adanya perbedaan atau variasi sistematik antara kelompok-kelompok hasil pengukuran. Dengan demikian varians ini terjadi karena adanya perbedaan antara kelompokkelompok individu. 2. ANALISIS VARIANS SATU ARAH Cara menguji kesamaan dua rata-rata populasi yang masing-masing berdistribusi independen, berdistribusi normal, dan memiliki varians yang homogen, digunakan uji t jika kedua varians tidak diketahui, dan uji z jika kedua varians diketahui. Sekarang kita akan membahas perluasannya, yaitu menguji kesamaan k, (k > 2), buah rata-rata populasi. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k, (k > 2), buah populasi yang masing-masing berdistribusi independen dan normal dengan rata-rata µ1, µ2, …, µk dan simpangan baku berturut-turut σ1, σ2, …, σk . Akan diuji hipotesis nol H 0 dengan tandingan H 1: H0 H1

: µ1 = µ2 = … = µk

: paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku

Selain asumsi kenormalan tentang populasi, untuk pengujian ini juga akan dimisalkan bahwa populasi bersifat homogen yaitu

2 σ 1

= σ 22 = ... = σ k 2 .

Dari tiap populasi secara independen kita ambil sebuah sampel acak, berukuran n 1 dari populasi pertama, n2 dari populasi kedua, dan seterusnya berukuran n k dari populasi kek.Data sampel akan dinyatakan dengan Y ij yang berarti data ke-j dalam sampel yang diambil dari populasi ke-i. Untuk memudahkan, sebaiknya data sampel disusun seperti dalam daftar berikut. Data Sampel dari k Buah Populasi Berdistribusi Normal 1

Dari Populasi Ke 2 3

….

k

Y11

Y21

Y31

….

Y12

Y 22

Y21

….

Yk1 Dat

Yk2 Y13

.

.

.

.

.

il

.

.

.

Pengamata

.

Y2n2

.

a Has


79

.

n

.

Y1n1

Y3n3

.....

J3

…..

…..

Y k

Yknk J1

Ju mlah Rat

J2

Jk Y 1 Y 2 Y 3

a-rata

Untuk menguji H O dan melawan H1 kita akan menggunakan varians antar kelompok dan varians dalam kelompok. Dengan persyaratan tentang populasi seperti tersebut di atas, ternyata bahwa rasio varians antar kelompok terhadap varians dalam kelompok membentuk statistik F, tepatnya: var ians antar kelompok

XIV(2)……………… F = var ians dalam kelompok

Statistik F inilah yang digunakan untuk menguji H 0. Jika kedua varians dalam statistik F di atas dituliskan menggunakan jumlah kuadrat, maka rumus XIV(2) untuk menguji H 0 berubah menjadi: k

∑ { ni (Y i − Y ) XIV(3)……………… F =

k

i =1 ni

∑∑ i =1

2

/(k − 1)} k

(Y ij − Y i ) / ∑ (ni − 1) 2

j =1

i =1

Dimana: Yij =

data ke-j dalam sampel ke-i i = 1,2, …, k dan j = 1,2, …, n 1 (ni = ukuran sampel dari populasi ke-i) ni

Y i =

∑

Y ij / ni

= rata-rata untuk sampel ke-i

j =1

k

Y=

ni

∑ ∑ i =1

j =1

k

Yi j

∑n

i

= rata-rata untuk semua data

i =1

Ternyata bahwa statistik di atas berdistribusi F dengan dk pembilang

υ1 = (k -

1) dan dk penyebut υ 2 = (n1 + … + n k - k). Kriteria pengujiannya adalah: tolak H 0 jika F ≥ F(1-


80

α) (υ1.υ2)

, dimana F(1-α) (υ1.υ2) didapat dari daftar distribusi F dengan peluang (1 - α) dan dk =

(υ1.υ2). Disini α = taraf nyata untuk pengujian. Untuk memudahkan perhitungan, rumus XIV(3) diubah seperlunya dan akan digunakan simbol-simbol berikut: R y

=

J2 / ∑ ni dengan J = J1 + J2 + J3 + … + Jk

Ay =

∑ (Ji / ni) - R y

∑ Y2 =

jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dari semua nilai pengamatan

Dy

∑ Y2 – R y - Ay

=

R y, Ay, Dy, dan ∑ Y2 merupakan jumlah kuadrat-kuadrat (JK) yang berturut-turut berdasarkan sumber-sumber variasi rata-rata, antar kelompok, dalam kelompok, dan total. Setiap JK sumber variasi didampingi oleh derajat kebebasan (dk). Untuk rata-rata dk = 1, untuk antar kelompok dk = (k - 1), untuk dalam kelompok dk = ∑ (n i - 1), dan untuk total dk = ∑ n i. Jika tiap JK dibagi derajat kebebasannya masing-masing, diperoleh varians untuk masing-masing sumber variasi yang disini disebut kuadrat tengah (KT) . Dengan jalan membagi KT antar kelompok dengan KT dalam kelompok, maka diperoleh harga:

XIV(4)……………….………… F =

A y / ( k −1) D y /

∑(n

i

−1)

Yang dapat digunakan untuk menguji hipotesis kesamaan beberapa rata-rata populasi. Jika harga F ini lebih besar dari F daftar dengan dk pembilang (k-1) dan dk penyebut

∑ (n i - 1)

untuk α yang dipilih, maka hipotesis nol (H 0) ditolak. Analisis untuk menguji kesamaan k buah rata-rata populasi yang dibicarakan disini dikenal dengan analisis varians satu arah karena analisisnya menggunakan varians dan data hasil pengamatan pengaruh satu faktor.


81

BAB XI STATISTIK NONPARAMETRIK

Metode statistika nonparametrik atau sering disebut pula metode statistika bebas distribusi. Beberapa metode nonparametrik yang sederhana: UJI TANDA Dalam banyak eksperimen, kita sering ingin memebandingkan pengaruh hasil dua perlakuan. Untuk data yang berpasangan satu sebagai hasil perlakukan A dan satu lagi hasil perlakuan B, ternyata untuk memebandingkan kedua hasil perlakuan itu dapat digunakan uji tanda. Uji ini sangat baik jika memiliki syarat-syarat berikut dipenuhi: 1. pasangan hasil pengamatan yang sedang dibandingkan bersifat independen 2. masing-masing pengamatan dalam tiap pasang terjadi karena pengaruh kondisi yang serupa. 3. pasangan yang berlainan terjadi karena kondisi yang berbeda sebagaimana namanya menyatakan uji tanda ini akan dilakukan berdasarkan tanda yakni + dan – yang didapat dari selisih pengamatan Xi dan Yi masing-masing terjadi karena perlakuan A dan B. Misalkan n menyatakan banyak pasangan yang menghasilkan tanda-tanda positif dan negatif setelah dihilangkan pasangan Xi = Yi. Selanjutnya misalkan h menyatakan banyak tanda + atau – yang paling sedikit. Bilangan h ini dapat dipakai untuk menguji hipotesis: Ho : tidak ada perbedaan pengaruh kedua perlakuan H1 : tidak dapat perbedaabn pengaruh kedua perlakuan Dalam hal ini pengaruh diukur oleh rata-rata sehingga sebenarnya, uji tanda ini dapat digunakan untuk menguji kesamaan dua rata-rta populasi. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

82

Untuk menolak atau menerima hipotesis Ho dalam taraf nyata 0,01 atau 0,05 sebuah daftar. Daftar tersebut berisikan harga-harga h sebagai batas kriteria pengujian untuk harga n yang didapat. Kriteria tersebut adalah tolak Ho jika harga h dari perhitugan lebih kecil atau sama dengan harga h yang didapat dari daftar untuk taraf nyata yang dipilih. Dalam hal lainnya Ho diterima. Dari daftar nampak agar supaya pengujian dapat ditentukan hasilnya, diperlukan paling sedikit n = 6. Apabila n lebih besar dari 95, maka harga h dapat dihitung dengan jalan mengambil bilangan bulat terdekat yang lebih kecil dari: 1 / 2( n −1) −k n +1

dengan k = 1,2879 untuk α = 0,01 dan k = 0,9800 untuk α = 0,05 Statistik nonparametrik adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi. Dalam statistik nonparametrik, kesimpulan dapat ditarik tanpa memperhatikan bentuk distribusi populasi. Metode statistik nonparametrik dapat digunakan untuk situasi : 1. Apabila ukuran sampel demikian kecil sehingga distribusi statistik pengambilan sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber sampel. 2. Apabila digunakan data peringkat atau ordinal . (Data ordinal hanya memberikan informasi tentang apakah suatu item lebih tinggi, lebih rendah, atau sama dengan item lainnya; data ini sama sekali tidak menyatakan ukuran perbedaan). 3. Apabila data nominal digunakan. (Data nominal adalah data di mana sebutan seperti ”laki-laki” atau ”perempuan” diberikan kepada item dan tidak ada implikasi di dalam sebutan tersebut bahwa item yang satu lebih tinggi atau lebih rendah daripada item lainnya). Metode nonparametrik yang digunakan secara meluas : UJI TANDA (SIGN-TEST)

Prosedur uji tanda didasarkan pada tanda negatif atau positif dari perbedaan antara pasangan data ordinal. Pada hakikatnya pengujian ini hanya memperhatikan arah perbedaan dan bukan besarnya perbedaan itu •

Prosedur Uji Tanda dengan Sampel Kecil a. Menyatakan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif


83

Sebagaimana halnya dalam menyatakan penguji hipotesis, langkah pertama adalah prosedur uji tanda adalah menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Pengujian tanda dua-arah (two-tailed test) ataupun satu-arah (one-tailed ) dapat dilakukan, dan fakta ini tentunya akan menentukan bentuk hipotesis alternatif. b. Memilih Taraf Nyata

Setelah menetapkan hipotesis nol dan hipotesis alternatif langkah kedua adalah menetapkan kriteria penolakan ataupun penerimaan hipotesis nol c. Menghitung Frekuensi Tanda

Langkah berikutnya menghitung tanda positif, tanda negatif dan nol d. Menentukan Tanda Beda antara Pasangan Observasi

Setelah hipotesis nol dan hipotesis alternatif ditentukan, dan taraf nyata dipilih, langkah selanjutnya ialah menghitung selisih antara satu observasi dengan observasi lainnya secara sistematis, dan kemudian mencatat apakah perbedaan tersebut positif atau negatif. e. Menentukan Probabilitas Hasil Sampel yang Diobservasi

Responden atau pasangan observasi yang relevan bagi analisis hanyalah responden atau observasi yang perbedaan rasanya (positif atau negatif) telah dicatat. f.

Penarikan Kesimpulan Statistik Tentang Hipotesis Nol

Peraturan pengambilan keputusan yang harus diikuti dalam melakukan pengujian tanda dengan sampel kecil guna mengambil keputusan statistik adalah : Menerima Ho jika α ≤ probabilitas hasil sampel atau

Menolak Ho dan menerima H1 jika α> probabilitas hasil sampel •

Prosedur Uji Tanda dengan Sampel Besar Jika jumlah sampel cukup besar, dan jika pendekatan normal dapat dipakai terhadap distribusi binomial, maka aturan pengambilan keputusan yang berlaku sesuai dengan aturan distribusi Z dimana rasio kritis (CR dari nilai Z) dihitung sebagai : 2 R − n CR = n

Dimana R = jumlah tanda positif n = jumlah pasangan observasi yang relevan UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON


84

Uji peringkat bertanda Wilcoxon digunakan jika besaran maupun arah perbedaan relevan untuk menentukan apakah terdapat perbedaan yang sesungguhnya antara pasangan data yang diambil dari satu sampel atau dua sampel yang saling terkait. Prosedur uji peringkat bertanda Wilcoxon

a. Menyatakan hipotesis dan α b. Menentukan besar dan tanda perbedaan antara pasangan data c. Menyusun peringkat perbedaan tanpa memperhatikan tanda d. Pemberian tanda atas peringkat yang telah ditetapkan e. Menjumlahkan peringkat f. Penarikan kesimpulan statistik tentang hipotesis nol PENGUJIAN MANN-WHITNEY

Pengujian Mann-whitney digunakan jika hipotesis nol yang menyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data dan di mana data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait. Prosedur pengujian Mann-Whitney

a. Menyatakan hipotesis dan α b. Menyusun peringkat data tanpa memperhatikan kategori sampel c. Menjulahkan peringkat menurut tiap kategori sampel dan menghitung statistik U. Rumus yang dapat dipakai : U = n1n2 + U = n1n1 +

n1 ( n2

+ 1)

2 n2 ( n2

+ 1)

2

− R1 atau − R2

Di mana R 1 = jumlah peringkat yang diberikan pada sampel dengan jumlah n 1 R 2 = jumlah peringkat yang diberikan pada sampel dengan jumlah n 2 d. Penarikan kesimpulan statistik mengenai hipotesis nol Aturan pengambilan keputusannya ialah : Tolak hipotesis nol jika nilai hitung U sama atau lebih kecil dari

nilai dalam tabel U.

RUNS TEST UNTUK MELIHAT KEACAKAN

Tujuan runs test (uji deret) adalah untuk menentukan apakah keacakan akan terjadi atau pakah terdapat suatu pola yang mendasri urutan data sampel. Pengujian didasarkan pada STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

85

jumlah deret dari hasil yang identik pada data berurut. Runs test merupakan prosedur pengujian hipotesis lain yang dirancang untuk membantu para pengambil keputusan. Prosedur pelaksanaan runs test adalah : a. Merumuskan hipotesis nol dan hipotesis alternatif, hipotesis Hipotesis untuk runs test adalah : H o : Data berurut DJIA yang dianalisis tersebut bersifat acak H 1 : Data berurut DJIA yang dianalisis tersebut mempunyai pola Runs test

dirancang untuk mendekati pola dalam data berurut, tetapi tidak bis

mengungkapkan hakikat dari pola tersebut. b. Menghitung jumlah deret c. Menghitung frekuensi kejadian d. Menarik kesimpulan statistik KOEFISIEN KORELASI PERINGKAT SPEARMAN

Koefisien korelasi peringkat spearman, r s, adalah ukuran erat-tidaknya kaitan antara dua variabel ordinal; artinya r s, merupakn ukuran atas kadar atau derajat hubungan antara data yang telah disusun menurut peringkat (ranked data). Koefisien korelasi (r) dihitung dengan menggunakan nilai aktual dari X dan Y. Prosedur penghitungan koefisien korelasi peringkat Spearman

a.

Menyusun peringkat data

b.

Menghitung perbedaan antara pasangan peringkat Perhitungan sistematis atas perbedaan peringkat. Perbedaan ini, yang diberikan notasi D.

c.

Menghitung r s Koefisien korelasi Spearman, yang didefinisikan sebagai berikut :

 6Σ D 2   r s = 1 -  2  ( 1 ) n n −   Untuk menghitung r s harus mengkuadratkan perbedaan antara setiap pasangan peringkat dan kemudian menjumlahkan perbedaan yang dikuadratkan tersebut yaitu ΣD2 dalam pembilang rumus diatas. Apabila r s bernilai nol maka tidak ada korelasi, seperti halnya r, jika r s adalah +1,00 atau -1,00 maka terdapat korelasi sempurna. Penguji signifikasi rs


86

Pengujian yang lebih formal bisa dilaksanakan untuk menentukan apakah benar-benar ada hubungan statistik seperti diisyaratkan oleh r s. Jika ukuran sampel lebih besar dari 10, kita bisa melakukan pengujian hipotesis dengan menghitung rasio kristis (critical ratio = CR) sebagai berikut : CR = r n

n −2 1 − r n

2

Prosedur untuk menghitung dan menguji koefisien korelasi peringkat Spearman Start Rumuskan hipotesis nol dan hipotesis alternatif Tentukan taraf nyata (α)

Kumpulkan data dan kemudian susun peringkat

Hitung perbedaan antara pasangan peringkat

Hitung

r =1s

 6Σ D 2   

Jika n > 10, hitung CR = r

n −2

Bandingkan nilai CR yang dihitung dengan nilai dari tabel tden an men unakan


Tarik kesimpulan statistic tentang Stop H0

87

UJI WILCOXON

Uji ini merupakan perbaikan dari uji tanda yang dijelaskan dalam bagian yang lalu. Dalam uji wilkcoxon bukan hanya tanda yang diperhatikan tetapi juga nilai selisih (X-Y). Caranya adalah sebagai berikut: 1. beri nomor urut untuk setiap harga mutlak selisih (Xi – Yi). Harga mutlak yang tekecil diberi nomor urut atau peringkat 1, harga mutlak selisih berikutnya diberi nomor urut Z dari akhirnya harga mutlak terbesar diberi nomor urut n. Jika terdapat selisih yang harga mutlaknya sama besar, untuk nomor urut diambil rata-ratanya, 2. untuk tiap nomor urut berikan pula tanda yang didapat dari selisih (X – Y). 3. hitunglah jiumlah urut yang bertanda positif dan jumlah nomor urut yang bertanda negatif. 4. untuk jumlah nomor urut yang didapat di 3, ambillah jumlah yang harga mutlaknya paling kecil. Sebutlah jumlah ini sama dengan yang dipakai untuk menguji hipotesis. Ho : tidak ada perbedaan pengaruh kedua perlakuan H1 : terdapat perbedaan pengaruh kedua perlakuan Untuk menguji hipotesis diatas dengan taraf nyata α = 0,01 dan α = 0,05. kita bandingkan j diatas dengan j yang diperoleh dari daftar. Jika J dari perhitungan lebih kecil atau sama dengan J dari daftar yang berdasarkan taraf nyata yang dipilih maka Ho ditolak. Dalam hal lainnya Ho diterima. KOEFISIEN KORELASI PANGKAT

Misalkan pasangan data hasil pengamatan (X 1, Y 1), (X2, Y 2),.......,(Xn, Yn) kita susun menurut urutan besar nilainya dalam tiap variabel. Nilai Xi disusun menurut urut atau peringkat 1, terbesar kedua diberi peringkat 2, terbesar ketiga diberi peringkat 3 dan seterusnya sampai kepada nilai Xi. Terkecil diberi peringkat n.Demikian pula untuk variabel Yi. Sekarang kita bentuk selisih atau beda peringkat Xi dan peringkat Yi yang data aslinya berpasangan. Sebutlah beda ini bi. Maka koefisien korelasi peringkat r antara serentetan pasangan Xi dan Yi dihitung dengan rumus: STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

88

'

r

=1−

6 ∑ bi 2

( − 1)

n n2

UJI RUNTUN

Runtun adalah barisan huruf-huruf atau tanda-tanda yang identik yang didahului atau diikuti oleh sebuah huruf atau atau sebuah tanda yang berbeda, panjang runtun ditentukan oleh banyak huruf atau tanda yang ada dalam setiap runtun. Contoh: Deretan tanda positif dan negatif berikut: ++++++ --- +++ - + terdiri atas lima runtun dimana runtun pertama panjangnya enam (++++++), runtun kedua dan ketiga masing-masing panjangnya tiga (--- dan +++) sedangkan runtun keempat dan kelima masing-masing panjamnganya satu (- dan +). Deretan bilangan ini dapat dianggap terdiri atas delapan runtun. Runtun-runtun yang didapat dari sampel II telah diberi garis dua buah untuk membedakan dengan runtun-runtun yang didapat dari sampel I yang diberi garis bawah sebuah. Dengan adanya runtun ini kita dapat menguji hipotesis tentang: A. data pengamatan telah diambil secara acak daris ebuah populasi atau sampel yang diambil darai sebuah populasi adalah acak. B. Dua sampel acak berasal dari populasi yang sama atau dua populasi mempunyai distribusi yang sama. Statistik yang digunakan untuk menguji hipotesis diatas adalah banyaknya runtun dalam deretan yang akan kita nyatakan dalam u. Untuk melakukan hipotesis yang dicantumkan di A ialah : Ho : data sampel telah diambil secara acak daris ebuah populasi melawan alternatif. H1 : data sampel diambil tidak secara acak Kita tempuh langkah sebagai berikut : 1. tuliskan data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya atau urutan terjadinya. 2. tentukan besarnya median sampel 3. data yang harganya lebih besar dari media supaya diberi tanda positif sedangkan data yang lebih kecil dari median diberi tanda negatif. 4. hitung berapa banyak data positif diberi simbol n dan berapa banyak tanda negatif diberi simbol n2. STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

89

Dengan mengambil taraf nyata 0,05 bandingkanlah harga u yang didapat dengan harga u dari daftar sebagai nilai kritis. UJI MEDIAN

Hipotesisnya yang dihadapi adalah : Ho : dua sampel acak telah diambil dari dua populasi dengan median yang sama atau telah diambil dari populasi yang sama. H1 : kedua sample itu berasal dari dua populasi dengan median yang berlainan atau dari dua populasi yang berlainan. Langkah yang harus ditempuh dalam pengujian hipotesis ini adalah 1. gabungkan kedua sampel menjadi sebuah sampel berukuran (n1 + n2) dengan n1 = ukuran sampel yang diambil dari populasi kesatu dan n2 = ukuran sampel yang diambil dari populasi kedua. 2. tuliskan ke-(n1+n2) buah data dari sampel gabungan ini menurut urutan besar nilainya 3. tentukan median dari sampel gabungan ini 4. dari setiap sampel tentukan banyak data yang ada dimuka median. Nyatakanlah hal ini dengan A1 untuk sampel I dan A2 untuk sampel II. Tentukan juga data yang ada dibawah median dan nyatakanlah hal ini dengan B, untuk sampel I dan B2 untuk sampel II. 5. bentuklah sebuah daftar kontingensi 2 x 2 seperti dibawah ini

Di atas median Di bawah median

Sampel I A1

Sampel II A2

B1

B2

Dengan menggunakan data yang telah disususn dalam daftar kontingensi tersebut untuk menguji hipotesis Ho digunakan uji chi kuadrat. Selanjutnya kita tolak hipotesis Ho jika X 2 dari perhitungan lebih besar atau sama dengan χ 2 ( 1−

α

)

dengan dk = 1 dan α = taraf nyata. Dalam hal lainnya Ho diterima.

UJI KENORMALAN


90

Misalkan kita mempunyai sampel acak dengan hasil pengamatan X 1, X2, ....,Xn. Berdasarkan sampel ini akan diuji hupotesis nol bahwa sampel tersebut berasal dari populasi berdistribusi normal melawan hipotesis tandingan bahwa ditribusi tidak normal melawan hipotesis tandingan. Untuk pengujian hipotesis nol tersebut kita tempuh prosedur berikut: 1. pengamatan X1, X2, ....,Xn dijadikan bilangan baku Z 1, Z2, ....,Zn dengan menggunakan rumus

Zi

=

X 1

− X s

(

X

dan s masing-masing merupakan rata-rata

dan simpangan baku sampel). 2. untuk tiap bilangan baku ini dan menggunakan daftar distribusi normal baku, kemudian dihitung peluang F(Zi) = P(Z≤Zi). 3. selanjutnya dihitung proporsi Z 1, Z 2, ....,Zn yang lebih kecil atau sama dengan Zi.jika proporsi ini dinyatakan oleh S(Zi). Maka: S ( Zi )

=

banyaknyaZ 1 , Z 2 ,...., Z n yang ≤ Z i n

4. hitung selisih F(Zi) – S(Zi) kemudian tentykan harga mutlaknya. 5. ambil harga yang paling besar diantara harga-harga mutlak selisih tersebut. Sebutlah harga terbesar ini Lo. Untuk menerima atau menolak hipotesis nol, kita bandingkan Lo dengan nilai kritis L yang diambil dari daftar untuk taraf nyata α yang dipilih. Kriterianya adalah tolak hipotesis nol bahwa populasi berdistribusi normal jika Lo yang diperoleh dari pengamatan melebihi L dari daftar. Dalam hal lainnya hipotesis nol diterima.


91

BAB XII REGRESI LINEAR SEDERHANA

Pengertian Regresi

Studi ketergantungan satu variabel tak bebas pada satu atau lebih variabel lain yang menjelaskan dengan tujuan untuk menaksir atau meramalkan nilai rata-rata hitung ( mean) atau rata-rata populasi variabel tak bebas, dalam pengambilan sampel berulang dari variabel yang menjelaskan (explanatory variable) Tujuan Regresi

1. Mengestimasi nilai rata-rata variabel tak bebas dan nilai rata-rata variabel bebas 2. Menguji hipotesis mengenai sifat alamiah ketergantungan (sesuai teori ekonomi) 3. Memprediksi atau meramalkan nilai rata-rata variabel tak bebas dan nilai rata-rata variabel bebas tertentu Perbedaan dengan korelasi

Korelasi : mengukur kekuatan atau tingkat hubungan antara dua variabel ( simple correlation) dan tiga variabel (multiple correlation)

Dalam analisis regresi, ada asimetris antara variabel tak bebas dan variabel bebas.variabel tak bebas bersifat acak atau stokastik dimana variabel bebas diasumsikan mempunyai nilai yang tetap dalam pengambilan sampel berulang Dalam Korelasi, ada simetris variabel tak bebas dan variabel bebas. Fungsi Regresi Populasi dan Fungsi Regresi Sampel

Contoh : Fungsi permintaan barang (Y) dengan variabel penjelas tingkat harga (X) Asumsi: data Y dan X tersedia, maka nilai yang dicari nilai pengharapan atau nilai rata-rata populasi pada berbagai tingkat harga (X) STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

92

...................... 1) Dimana

adalah rata-rata atau pengharapan Y pada berbagai X

Sedangkan dan adalah parameter atau koefisien regresi Koefisien Slope mengukur tingkat perubahan rata-rata Y per unit akibat perubahan X Persamaan 1) adalah fungsi regresi populasi dalam bentuk linier Karena data populasi sulit didapatkan sehingga diambil data sampel dari populasi dan dikembangkan konsep fungsi regresi sampel : ...................... 2) Dimana, adalah penaksir dan

adalah penaksir

dan

Tujuan mengestimasi fungsi regresi populasi dan didekati oleh fungsi regresi sampel. Dalam dunia nyata, tidak ada unsur kepastian maka perlu ditambahkan pengganggu atau faktor acak ( ) sehingga persamaan 1) dan 2) dapat ditulis kembali: Bentuk PRF stokastik Bentuk SRF stokastik SRF dapat diestimasi dengan metode OLS Unsur pengganggu : 1. Karena ketidakjelasan atau ketidaklengkapan teori 2. Ketidaktersediaan data 3. Kesalahan manusiawi 4. Kurangnya variabel pengganti 5. Prinsip Kesederhanaan 6. Kesalahan bentuk fungsi 7. Metode Kuadrat terkecil (OLS): Carl Frederich Gauss

Metode untuk menaksir parameter hubungan ekonomi SRF sebagai penaksir yang benar untuk PRF Alasan penggunaan OLS: 1. Hasil estimasi mempunyai ciri optimal 2. Prosedur perhitungan sederhana 3. Dapat digunakan dalam range hubungan ekonomi yang luas dengan tingkat ketepatan 4. Mekanisme sederhana dan mudah dimengerti 5. Komponen penting bagi teknik ekonometrik lain Pendekatan Gauss: STATISTIK PENDIDIKAN DOSEN : Prof. Dr. Fuad Abd. Rachman, M.Pd.

93

See: Dokumen dalam Word! Ciri-ciri Penaksir OLS: 1. Penaksir dinyatakan dalam besaran sampel 2. Penaksir titik dengan sampel tertentu, tiap penaksir memberikan satu nilai tunggal parameter populasi yang relevan 3. Garis regresi yang diperoleh beberapa sifat : a. Garis regresi melalui rata-rata sampel X dan Y dibuktikan dengan .......... b. Nilai rata-rata Y yang diestimasi sama dengan nilai rata-rata Y sebenarnya dimana dalam kenyataan ............ c. Nilai rata-rata residual ei=0 d. Nilai residual tidak berkorelasi dengan nilai estimasi Y e. Nilai residual ei tidak berkorelasi dengan X Asumsi Regresi Linier Klasik 1. Model regresi linier dalam parameter 2. Nilai X tetap dalam sampel yang dilakukan berulang-ulang 3. Nilai rata-rata unsur pengganggu = 0 4. Homokedastisitas tetap untuk semua pengamatan 5. Tidak ada otokorelasi antar unsur pengganggu 6. Nilai kovarian pengganggu dan X = 0 7. Jumlah observasi n harus lebih besar dari jumlah parameter yang diobservasi 8. Nilai X bervariasi 9. Spesifikasi model harus benar 10. Tidak ada multikolinearitas Apabila asumsi linier klasik dipenuhi, maka didapatkan model penaksir yang tidak bias, linier dan terbaik (best linear unbiased estimator = BLUE) 1. Linier, jika parameter suatu fungsi linier dari variabel acak Y dalam model 2. Parameter tidak bias, terutama dalam sampel besar sehingga penaksir parameter kirakira mendekati nilai parameter sesungguhnya 3. Parameter mempunyai varian minimum atau efisien 4. Nilai Statistik, Koefisien Determinasi 5. See : dokumen word!


94

STATISTIK-PENDIDIKAN

Recommend Documents