Solution Manual BergenVittal-PowerSystemsAnalysis

∞ V  I  senφ   D  = S  − P  − Q

Q  =

n=1

n n

2

2

n

2

S,P,Q,D

√ 

√ 

v (t) = ( 2)120cos 2)120cos((wt + 30 ) 30  )  i (t) ( 2)10cos 2)10cos((wt  p(  p(t) S  P  Q

− 30 )  30  )

 p(t) v(t)i(t)

√ 

√ 

 p(t) ( 2)120cos(wt + 30 )( 2)10cos(wt  p(t)   (2)1200cos(wt + 30 )cos(wt

  p(t)   (2)1200

cos(30

− 30 )

− 30 )

 −(−30  ))+cos(2wt+30 −(30  )) 2

 p(t)   1200 [cos(60 ) + cos(2wt)]  p(t) 600 + 1200cos(2wt) [Watts]

V  = 120ei

π 6

I  = 10e−i



π 6

S  =  V I ∗ π π π S   = (120ei )(10ei )= 1200ei = 600 + i1039.23 [V A] P  = Re S   = 600 [Watts] Q = Imag S   = 1039.23 [V Ar] 6

6

3

{} {}

Z  = Z  =

iπ

120e 6 π 10e−i 6

V  I  π

= 12ei = 6 + i10.39 3



V   = 100 1707W 

N 

| |

−293W  S  =  P  + jQ L

 p(t) =

V m I m 2

Q

[cos(φv

 − φI ) + cos(2wt + φv + φI )] max { p(t)}  = V  2I  [cos(φv − φI ) + 1] = 1707 min { p(t)}  = V  2I  [cos(φv − φI ) − 1] =  −293 m m

m m

I m f p = cos(φv

 − φI ) 1707 =

−293 =

√ 2100I  2

m

√ 2100I  2

m

(f p + 1) (f p  1)

−

I m  = 14.14125 [A] f p = cosφ =

√ 2 2

S  = V  I  eiφ

(1) (2)

(3)

 | | | |

φ ′

φ = cos 1 (

√ 2 2

)=

π 4

φ

|I a | |I | = √ I  2 m

9.9999 = 10[A]

π

S  = V  I  eiφ = 1000ei [V A]

 | | | | S  =  |V | |I | eiφ = 707.106+ i707.106[V A]  4

Z  =

V  I 

| eiφ = R + jwL = 7.07106 + i7.07106 =  ||V  I |



L di vL (t) =  L dt i(t) = I m cos(wt + φI ) d I m sin(wt + φI )w dt i(t) =

 −

di vL (t) = L dt

vL (t) =

 pL (i) =  v L (t)i(t) =

 −LI msin(wt + φI )w

 −LI msin(wt + φI )wI m cos(wt + φI ) 2

 pL (i) = v L (t)i(t) =

−LI 

mw

2

sin(2(wt + φI )) 2

max  pL (t)  =

{

max  pL (t)  =

}

−LI 

mw

2

∗ √ 

7.07106 ( 210)2 2

{ } max { pL (t)}  = 707.106 [W ]  Q = max { pL (t)}

φ

S L  =  V I ∗  =  P L  + jQ L QL P L

= tan(cos−1 f p)

 × tan(cos−1f p) QL  =  P L × tan(cos−1 φ) = 5.101 × 106 [V Ar] QL  = P L

S T  = S L + S C  S C  = Q C  S T  = 5 + j(5.101 + QC ) QT  P T 

×106[V A]

= tan(cos−1 f pT )

QT  = P T tan(cos−1 f pT )

 ×106 [V Ar] QC  = Q T  − QL QC  = −2.679 ×106 [V Ar]  QT  = 2.4216

φ φ

S 3φ = 3S  = 3V a I a∗ 1

P 3φ  = 3P  = 3 V a I a cosφ = S 3φ cosφ

| || |

 | |

Q3φ1 P 3φ1

= tan(cos−1 (0.707)) Q3φ1 P 3φ1

=1

Q3φ = P 3φ 1

1

S 3φT  = S 3φ

 − S 3φ

1

c

φ

S 3φC = 50kVAr S 3φT   = 200 + 200i  50i 103 [V A] S 3φT 

− × = 200 + 150i×103 [V A]

tanφ = ( 150 200 ) = 0.75 F.P.T  = cos(tan−1 0.75) = 0.8

S 3φT  = 200 + 150i 103 [V A]

× 150 3 S T  = 200 3 + 3 i×10 [V A] 150 3 S T  = V a I a∗ = 200 3 + 3 i ×10 [V A] |S T | = |V a| |I a | = 2003 + 1503 i = 83.33333 ×103 [V A] √   [A] |I a | = 83.33333 440/ 3 |I a| = 328.04 [A] 

10[kW ]

V  = 416

0,9 S  =  P  + jQ I  Arg I   = 0

||

p(t)

{}

Q P 

= tan(cos−1 f p)

Q = Ptan(cos−1 f p) Q = 4.843[kVAr]

S  =  P  + jQ S  = 10 + j4.843[kV A]

|S | = |V ||I | |I | = |S | / |V | = 11.11 × 103 /416 |I | = 26.70 [V ]

S  =  P  + jQ  = V  I  ejφ

 | || |

φI  = 0

φ =  φ V 

 −  φI 

φv  =  φ = 25.84

 p(t) = V  I  [cos(25.84 )+cos(2wt + 25.84  )][ kW ]

| || |

 p(t) =11, 1111[0.9+cos(2wt + 25.84  )][ kW ]

Z  = 10e−j15 V ca  = 208e−j120 [V ] V ab  V bc  V an  V bn  V cn  I a  I b  I c

S 3φ

V ca  = 208e−j120 [V ] V ab  = 208ej120 [V ] V bc  = 208[V ]

√ 3 ej90 = 208 √ 3 j [V ] V a  = 208 √ 3 e−j30 [V ] V b  = 208 √ 3 e−j150 [V ] V c  = 208 I a  = I a  = I a  =

V a Z  V a Z  V a Z 

j 90

= √ 208e 310e−j

15

√ 3  e −j15 = 20.8

√ 3  e j105 = 20.8

√ 3  e −j135 = 20.8 S 3φ  = 3S  = 3V a I a∗ S 3φ  = 3S   = 4178.98

− i1119.7 [V A] 



Z c  =

V  Z eq

1

I  = = 3.998×10− ∗ S  =  V I   =0.1 + 5i

3

−0.2i Z L = 0.1i R = 10

Z eq  = 3.998  10−3 + i0.199 +i0.199 = 0.1  5i

−

×

I a ,I b  I c Z a  =  Z b  = i1.0 Z c i0.9 Z a  = Z b  = Z c  = i1.0

V an (0.1i + Z a )I a + 0.1iI N  V bn (0.1i + Z b )I b  + 0.1iI N  V cn (0.1i + Z b )I c  + 0.1iI N  I N  = I a  + I b  + I c

 (0.1i + Z  )  0  0

0 0 0.1i (0.1i + Z b ) 0 0.1i 0 (0.1i + Z c ) 0.1i 1 1 1

a

1

−

 I   I   I 

  (1.1i) = 0  0

 I   I   I 

 = 

a b c

In

a b c

In

I a  =

1

V a Z eq

=

0 0 0.1i (1.1i) 0 0.1i 0 (1.0i) 0.1i 1 1 1

−

−5.58 × 10−3 − i0.912314 −0.7928 + i0.4513 0.85988 + i0.49645 6.14 × 10−2 + i3.546 × 10−2

1 i1.1 i150

I b  = 0.909e I c  = 0.909ei30

 −0.909i 

 I   I   I 

a b

c

In

1

−  1   e−  e

i120

i120

0

  

 1 = e− e

i120

i120

0

  



=

 

I b I c

I a

  

4φ I a  I b  I c I d

π

V ab  =  V a V b V b  =  V a e−i V ab  =  V a (1  ( i)) = V ab  =  V a (1 + i)= 1 V a  = 1/(1 + i) = 0.5  0.5i Z eq  =  i  0.5i = 0.5i V a I a  = Zeq = 1 i = 2e−i135  I b  = 2ei135  I c  = 2ei45  I d  = 2e−i45 

−−

 −

− √   − − √  √  √ 

C  = 10 −3 [F ] R =1[Ω] V ab  = 240 [V ] w = 2π  60 V a′ b′ V ab  S 3φ

| |

·

|

| | |

2

−

1

Z d  =

1 jwC 

Z eq  = 1

=  j2.6525

 −

− j0.88419 √ 

Z Y  =  j0.88419

 −

iφ

3)e V a iφ I a  = Zeq =   (240/ 1−j0.88419   = 103.805e [A] V a′ = I a Z Y  =  j91.78eiφ V a′ b′ = I a Z Y  =  j 391.78eiφ V a′ b′  = 158.97 [V ] I b  = I a  = 103.805[A] S  =  j9527.25[V A]  S 3φ  j28581.86 [V A]

| | | |  | |  − −

 − √   −

2

1

V an  = 1 V a”b”  = 1 Z c  =  j1

 −

V a′ n  V b′ n  V c′ n V a′ b′

1 −j V a”  = √  e 3 Z Y  =  j/3

π 6

 −

V a′ n V a  = ( j0.1  j/3)I a + I a” (  j/3) V a”  = ( j0.1  j/3)I a”  + I a (  j/3)

− −

− −

 1   ( j0.1 − j/3) (− j/3)  I   √  e−  = (− j/3) ( j0.1 − j/3) I   I    1.698 − j1.176  1 3

a

π 6

a”

a  = I a” 1.188 + j3.824 j1.38 I a′ = 2.69e = 0.5094 + j2.64705 V a′ = I a′ Z Y  = 0.88235  j0.1698 0.899e−j10.89 V b′ = 0.899e−j130.89  V b′ = 0.899ej109.11  V ab′ = 30.899ej30 e−j10.89 = 1.556e−j19.10 

−

−

√ 

Z L  = j10

Z C  =  j10 I a  I cap  S 3φ

 −



Z CY    I a  =

−j10 3

V a j1+(Z L //Z CY  )

1 j1+(j10// −j310 )

=

= j0.25

V a′ = I a  (Z L //Z CY    ) = 1.25 I capY  = Z V Ca′ = j0.375

 ∗

Y 

I 

π

2π 3

apY  I cap  = I a′ b′ = c√  ei = 0.216ei 3 S 3φ  = 3S  = 3V a′ I a∗ = 0.9375 j  6

 −

Z  = 100ej V bc  V ca  I a  I b  I c V bc  V ca  I a  I b  I c

π 3

V ab  = 208



Z 

|V a′ b′ | > |V ab|

√ 3− |V  1

| > √ 3−1 |V ab| |V a′ | > |V a| |V a′b′ | > |V ab|

|V a′b′ | > |V ab|

√ 3−

1

a′ b′

V a′ =

 |V  | =  a′

  

 > 1  Z  =  R  > 1

Z  j+1+Z  R j+1+R

√ 

2

R √ (1+R) > 1 +1 2

2

R > (1 + R)2 + 1 0 > 2R + 2 R< 1

 −

Z  j+1+Z  V a Z  j+1+Z 

 |V  | a

|V a′ | > |V a |



Z  =  jX  jX j+1+R > 1

√ 



2

X √ (1+X) > 1 +1 2

2

X  > (1 + X )2 + 1 0 > 2X  + 2 X< 1

 −

X<

 −1

0  < C <

√ 

1 w

π

E a  = 2ej π E b  = 1e−j E c  = 1ejπ I a  = 1e−j10

4

2

E a S 3φ

Z  E b  + E c  = 0

−E a + I aZ  + V nn′ = 0 −E b + I b Z  + V nn′ = 0 −E c + I c Z  + V nn′ = 0 I a  + I b  + I c  = 0 E a  + E b + E c  = 0 3V nn′  + (E a  + E b  + E c ) + Z (I a + I b  + I c )= 0 3V nn′ = 0 V nn′ = 0 Z  = I b  = I c  =

V a I a V b Z  V c Z 

√ 

= 2ej55 1 −j145 = √  e 2 1 125 = √  e 2

√ 

π

π

4

2

1 j145 1 −125 S 3φ  =  S 1  + S 2 + S 3  = 2ej 1ej10 + 1e−j √  e + 1ejπ √  e 2 2

√   = 2 2ej55

S 3φ S 3φ  = 1.62 + 2.31 j

