Solucion.docx

Ejercicios 1. Variables Separables. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo).

    3    3    2  4  8 Una EDO de primer orden de variables separables tiene la forma Sustituir

 con ′ 

 ∗   

  3   23 44 8 8 Multiplicamos ambos lados por 2  3  3   3  32   2 2     22 4  4  8 Simplificar

1  3 2 2   1 4

Dividir ambos lados entre

3 ´2    1 1  3 4 3 3

Simplificar

′2    1 3 4 Reescribir en la forma estándar

2     1 3 4  ∗ ´   2  ,     1   2 3 4 Si    entonces ∫    ∫  , hasta una constante Integrar

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   14   1    1    4  1 4 4    14  4  5 4 Aplicar las propiedades propiedades de las las fracciones

   5 4    5 4  1      5 4  1 Aplicar la regla regla de la suma suma

     5 4  1   5 4 Sacar la constante

 5∗ 5 ∗   1 4  4 Aplicar integración integración por por sustitución: sustitución:    4  5∗  1   ln Aplicar la regla regla de la integración integración:: ∫   ln   5ln 5ln Sustituir en la ecuación     4  5ln 5ln  4  1 1  





5 1  2    3   3  1     5 3  1 Aplicar la regla regla de la suma suma

    5 3    1 1   5 3   5ln 5ln  3  1 1    5ln 5ln  33   Agregar una una constante constante a la la solución

 5ln 5ln  3    5ln 5ln  3      5ln 5ln  4     Combinar las constantes

5ln 5ln  3    5 5 ln  4    

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas. Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo).

    1      1  0 Ecuación Reescrita

       1  1      1  1 Se puede observar que la ecuación no es Homogénea por que contiene términos independientes independientes





Si

+− −+ = =

  0 despejamos y de ec 1

  1 1  1 Observamos que los puntos de intersección son   0 y   1 Procedemos a realizar las siguientes sustituciones

    0       1  1    Sustituyendo en la ecuación original o riginal

     1      1       1  1        1  1 Solucionando tenemos

           Ahora si la solucionamos solucionamos como homogén homogénea ea haciendo haciendo el siguiente siguiente cambio cambio

  

    

Reemplazando tenemos

              Simplificando Simplificando y factor izando términos

    1 1     1 1         1     1          1  





Solucionando integrales integrales la del lado derecho es inmediato la del lado izquierdo la fracciono

  1 1     1   ln ln      La primera integral es inmediata del modo ∫     − las dos realizo completo el  +    diferencial     1   2 tenemos −  12  2  1   ln ln   −  12 ln ln  11  ln ln   Recuperando variables primero

   −   12 ln ln  1  ln ln   Ahora recuperando nuestras variables iniciales

  ;  1 −   1  12 ln ln  1 1  1  ln ln   Solución implícita de la ecuación diferencial

Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas. Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo).

2 2     √   1    0 , ,   2 2 , ,      √   1 Primero comprobamos si es exacta si cumple que

    





Solucionando derivadas parciales

2ln 2ln  2 ∗ 1  2 2ln 2ln  2  2 Los términos no son iguales por lo cual la ecuación no es exacta, ahora procedemos a convertirla en exacta si se puede

      2ln 2ln  2  2   √   1 No da en términos de una sola variable no sirve para factor integrable

   2ln    2ln  2  2   2 2 2   1   2 2 ∗   Se obtiene un término, solo en función de una variable Con este término obtendremos el factor integrante que hará que nuestra ecuación original se convierta en exacta



   ∫ +    + =

El termino convertirá en exacta la ecuación

(2 2)    √   1 1  0 2  ln ln         √  1  1   0 , ,   2  ln ln , ,         √   1

Si es exacta cumple

 







4 ∗ ln ln 2  2  ≠    De nuevo no cumple el criterio de exactitud por lo cual la ecuación diferencial no se puede solucionar por el método de exactas

Ejercicio 4. Situación problema.

Problema: Un tanque Hemisférico posee un radio de 4 pies y en el instante inicial (t=0) está completamente lleno de un líquido acuoso que se requiere para hacer una mezcla. En ese momento; en el fondo del tanque se abre un agujero circular con diámetro de una (1) pulgada. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el líquido acuoso ac uoso del tanque?

a. 28 minutos 30 segundos b. 35 minutos 50 segundos 30 minutos 20 segundos





Esta es la formulación de la ley de Torricelli para un tanque desaguando. Método de volumen por secciones transversales

    

   

Por consiguiente

   ∗                    √ 2 2  1 Del triángulo rectángulo de la figura vemos que

      16 16 4    8 8     Y la gravedad en /  es 32 /  de nuestra ecuación obtenemos 8      24 1 √ 2.2.32 8       721  Solucionamos las integrales

16   2    1    3 5 72 Ahora con la condicional condicional inicial 0  1 Tenemos

16



2



448

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