SOLUCIONARIO VIBRACIONES

PROBLEMA 01: En la figura se muestra un esquema simplificado de un submarino para cálculos simples de movimiento longitudinal. La masa del casco y la estructura exterior es m (m/2 por mitad) y la masa del compartimento es mc=m/9. El casco y el compartimiento están separados por resortes de constante k, y la constante de los resortes del casco es ks=9k. Determinar: a) Las frecuencias naturales y los modos de vibración del submarino. b) La respuesta en el tiempo el submarino, considerando que cuando t=0, xs=xc=δ0 Solución 1:

Tenemos de datos:

Energía cinética: ̇ Energía potencial:

Utilizando las ecuaciones de LaGrange: ̇ Obtenemos: ̈

̇

̇

̈ ̈ Siendo su forma matricial: ̈ ̈ ][ ] ̈

[

[

][ ]

Remplazando los datos: ⁄ |

⁄

| ⁄

Considerando:

⁄

|

|

|

|

Obtenemos las Frecuencias naturales.

√ ⁄ √ ⁄

Modos de vibración:

[ [

]

]

Para

Para

Para

[

]

[

]

[

]

√ ⁄

√ ⁄

PROBLEMA 02:

Datos: M=1500 kg;

=0.6 m;

=1.2 m;

=

=5.9 N/m;

=

Análisis de energías: ̇

Luego:

̇

̇

=4.9 N/m; g=9.81 m/

̇ ̇

̇

Reemplazamos

y agrupamos convenientemente los términos

̇ ̇

̇

Calculamos:

Y reemplazamos

;

en :

Coordenadas:

(

) ̇

̇ ̇

(

→

̇

)

̈

̈ ̈

→

( ̇

(1)

)

̇

→

………

̇

̈

→

( ̇

)

……….

̈

(2)

( ̇ ̇

) (

→

̈

→

̇

̇

)

̈

……….

(3)

De (1), (2) y (3): ̈ ][ ̈ ] ̈

[

[

][

]

De: det(-w2*M+K)=0 |

|

W1=0.0144 rad/s W2=0.0195 rad/s W3=0.0324 rad/s

Calculo de los modos de vibración: Para W 1: *

+

*

+

*

+

[ ]

PROBLEMA 03:

En la figura se muestra dos robustos muelles de longitud L=2m y constante elástica km=900n/m, empotrados en su extremo izquierdo, y en el otro extremo se colocan dos masas puntuales m1=90 kg y m2= m1/2. Las cuales se conectan por un resorte de constante elástica k2=km/2. A su vez, en el punto medio del muelle superior se conecta un resorte de constante elástica k1=9km. El sistema se libera del reposo descendiendo las masas las longitudes δ1=9mm y δ2=4.5mm. Despreciando el peso y la curvatura de los muelles durante su deflexión inicial y vibración, calcular: a) Las frecuencias naturales de vibración del sistema. b) Los modos de vibración correspondientes. c) La ecuación de movimiento de cada masa.

Solución 3:  

Las condiciones iniciales (fuerzas de gravedad y deformaciones iniciales) son compensadas con las deformaciones iniciales del dato. Consideramos el efecto físico equivalente de los muelles (como la fuerza de 2 resortes aplicados a su masa respectiva)

DCL :

K1(X1/2) KmX1 O

m1

m1

K2(X1-X2)

K2(X2-X1) m2

KmX2

Dónde:

⁄ ⁄

Aplicando:

∑

a m2 se tiene: ̈

Aplicando ∑

a m1 se tiene ̈

Siendo su forma matricial: ̈ ][ ] ̈

[

[

̈ +[ ] ̈

*

]* +

*

+* +

Calculo de las frecuencias: |

|

b) Calculo de los modos de vibración: Para *

+[ [

]

*

+

]

* +

Para [

][ [

]

*

]

* +

+

PROBLEMA 04:

Exponga en palabras suficientes, e ilustrando con ejemplos, en que consisten las siguientes técnicas de mantenimiento predictivo, indicando sus ventajas y desventajas, según corresponda: a) Monitoreo vibracional Consiste en observar el comportamiento de los motores o sistemas mecánicos que se quieren analizar monitorizando las frecuencias de su vibración. b) Termografía Es un método del mantenimiento preventivo donde se observa que zonas del sistema mecánico esta sometido a mayores esfuerzos y puede fallar. c) Tribología La tribología se encarga del estudio de los desgastes por fricción y la forma de disminuir los mismos mediante lubricación. Es menester del mantenimiento preventivo observar el desgastes de los sistemas mecánicos a fin de prevenir fallas. El desgaste de las piezas puede alterar las frecuencias de vibración de sistemas mecánicos. d) Ultrasonido Es un método que nos permite observar el desgaste de las piezas mecánicas pero en el interior de las mismas a modo de una ecografía. El fallo en el interior de las piezas observando anomalías en la vibración del sistema mecánico.