versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA PROFESIONAL DE
INGENIERIA CIVIL
SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS EXAMEN CURSO
: MECANICA DE SUELOS
ALUMNA
: PATRICIA A. COSSI AROCUTIPA
CÓDIGO
:
DOCENTE
: MOQUEGUA - PERU 2007
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
Propiedades índices de los suelos a. RELACIONES PARA EL PESO UNITARIO HUMEDO ( ):
DEMOSTRACIÓN 1. Demostrar:
1 w G S
W
1 e
Respuesta:
De la ecuación [A.4] se tiene:
W S
W W
[1.1]
V
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S V S
[1.2]
Considerando V S 1 (Estrategia):
S
W S
[1.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S G S W
[1.4]
Sustituyendo la ecuación [1.4] en [1.3]: W S
G S W
[1.5]
De la ecuación [A.1] y la estrategia se tiene:
1 V V De la ecuación [A.12] y la estrategia se tiene: V
[1.6]
e V V
[1.7]
Reemplazando la ecuación [1.7] en [1.6]: V
1 e
[1.8]
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
w W S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[1.9]
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
Propiedades índices de los suelos a. RELACIONES PARA EL PESO UNITARIO HUMEDO ( ):
DEMOSTRACIÓN 1. Demostrar:
1 w G S
W
1 e
Respuesta:
De la ecuación [A.4] se tiene:
W S
W W
[1.1]
V
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S V S
[1.2]
Considerando V S 1 (Estrategia):
S
W S
[1.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S G S W
[1.4]
Sustituyendo la ecuación [1.4] en [1.3]: W S
G S W
[1.5]
De la ecuación [A.1] y la estrategia se tiene:
1 V V De la ecuación [A.12] y la estrategia se tiene: V
[1.6]
e V V
[1.7]
Reemplazando la ecuación [1.7] en [1.6]: V
1 e
[1.8]
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
w W S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[1.9]
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
Reemplazando la ecuación [1.5] en la ecuación [1.10]: W W
w G S W
[1.10]
Reemplazando Reemplazando las ecuaciones [1.5], [1.8] y [1.10] en la ecuación [1.1]:
w G S 1W e G S W Factorizando Gs w :
1 w G
Patricia A.C.-ING.CIVIL
S
W
1 e
[email protected]
[A.18]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 2. Demostrar:
G
S e W
S
1 e
Respuesta:
De la ecuación [A.4] se tiene:
W S
W W
[2.1]
V
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S V S
[2.2]
Considerando V S 1 (Estrategia) se tiene:
S
[2.3]
S GS W
[2.4]
W S
De la ecuación [A.7] se tiene:
Sustituyendo la ecuación [2.4] en [2.3]: W S
G S W
[2.5]
De la ecuación [A.1] se tiene: V
[2.6]
1 V V
De la ecuación [A.12] y la estrategia: [2.7]
e V V
Reemplazando la ecuación [2.7] en [2.6]: V
1 e
[2.8]
De la ecuación [A.11] se tiene: V W
S r V V
[2.9]
Reemplazando la ecuación [2.7] en la ecuación [2.9]: V W
S r e
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[2.10]
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W V W
[2.11]
Reemplazando la ecuación [2.10] en la ecuación [2.11]: W W
W S e
[2.12]
Reemplazando las ecuaciones [2.5], [2.8] y [2.12] en la ecuación [2.1]:
GS
W W S e 1 e
Factorizando w:
G
S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
S e W 1 e
[email protected]
[A.19]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 3. Demostrar:
1 w G S
1
wG
W
S
S
Respuesta:
De la ecuación [A.4] se tiene:
W S
W W
[3.1]
V
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S V S
[3.2]
Considerando V S =1 (Estrategia): W S
S
[3.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS W
[3.4]
Sustituyendo la ecuación [3.4] en [3.3]: W S
G S W
[3.5]
De la ecuación [A.1] se tiene: V
1 V V
[3.6]
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
w W S
[3.7]
Remplazando la ecuación [3.5] en [3.7]: W W
w G S W
[3.8]
De la ecuación [A.11] se tiene: V
V
V W
[3.9]
S r
De la ecuación [A.6] se tiene: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
V
W
I ng. Civil - UJCM
W W
[3.10]
W
Reemplazando la ecuación [3.8] en [3.10]:
VW
w G S W
W
V W
w GS
[3.11]
Reemplazando la ecuación [3.11] en [3.9]: VV
w G S
[3.12]
S r
Reemplazando la ecuación [3.12] en [3.6]: V
w G S
1
[3.13]
S r
Reemplazando las ecuaciones [3.5], [3.8] y [3.13] en [3.1]:
w GS Ww GGS W 1
S
S r
Factorizando Gs w:
w 1 G 1
Patricia A.C.-ING.CIVIL
w S
W
[A.20]
W
S r
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 4. Demostrar:
GS W 1 n 1 w
Respuesta:
De la ecuación [A.4] se tiene:
W W
W S V
[4.1]
Considerando V = 1 (Estrategia): [4.2]
W W W S De la ecuación [A.1] se tiene: V S
V V V
V S
1 n
[4.3]
De la ecuación [A.13] y la estrategia se tiene: [4.4]
n V V
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
w W S
[4.5]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS w
[4.6]
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S V S
[4.7]
Reemplazando las ecuaciones [4.3] y [4.6] en [4.7]: W S
G S W 1 n
[4.8]
Reemplazando la ecuación [4.8] en [4.5]: W W
w G S W 1 n
[4.9]
Reemplazando las ecuaciones [4.8] y [4.9] en la ecuación [4.2]:
w G S W 1 n G S W 1 n
G S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
W 1 n (1 w )
[email protected]
[A.21] UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 5. Demostrar:
G S W 1 n n S W
Respuesta:
De la ecuación [A.4] se tiene:
W W
W S V
[5.1]
Considerando V = 1 (Estrategia):
W W W S
[5.2]
De la ecuación [A.13] y la estrategia se tiene: n V V
[5.3]
De la ecuación [A.1] se tiene: V S
V V V
1 n
[5.4]
V W
Sn
[5.5]
W W
W S n
[5.6]
V S
De la ecuación [A.11] y la ecuación [5.3]: V W S r
n
De la ecuación [A.6]: W W
W V W
De la ecuación [A.5]: W S
S V S
[5.7]
De la ecuación [5.7]:
S GS W
[5.8]
Reemplazando la ecuación [5.8] y [5.4] en [5.7]: W S
G S W 1 n
[5.9]
Reemplazando las ecuaciones [5.6] y [5.9] en la ecuación [5.2] se tiene:
G S W 1 n n S W Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[A.22] UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
b. RELACIONES PARA EL PESO UNITARIO SECO ( d ):
DEMOSTRACIÓN 6. Demostrar:
d
1 w
Respuesta:
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
W S
[6.1]
V
De la ecuación [A.4] se tiene:
W S
W W
V
W S
V
W W
[6.2]
V
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
[6.3]
w W S
Reemplazando las ecuaciones [6.3] y [6.1] en [6.2]:
W S
w
W S
V
d w d
V
Despejando d :
d 1 w
d
1 w
[A.23]
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 7. Demostrar:
d
W 1 e
GS
Respuesta:
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
W S
[7.1]
V
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S V S
[7.2]
Considerando Vs = 1 (Estrategia): W S
S
[7.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS W
[7.4]
Sustituyendo la ecuación [7.4] en [7.3]: W S
G S W
[7.5]
De la ecuación [A.1] y la estrategia: V
1 V V
[7.6]
De la ecuación [A.12] y la estrategia: e V V
[7.7]
Reemplazando la ecuación [7.7] en [7.6]: V
1 e
[7.8]
Reemplazando las ecuaciones [7.5] y [7.8] en la ecuación [7.1]:
d
G S W
[A.24]
1 e
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 8. Demostrar:
d G S W (1 n)
Respuesta:
De la ecuación [A.8]:
d
W S
[8.1]
V
Considerando V 1 (Estrategia): [8.2]
d W S De la ecuación [A.13] y la estrategia: n V V
[8.3]
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S V S
[8.4]
De la ecuación [A.1]: V S
1 V V
[8.5]
Reemplazando la ecuación [8.3] y la estrategia en [8.5]: V S
1 n
[8.6]
Reemplazando la ecuación [8.6] en [8.4]: W S
S 1 n
[8.7]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS W
[8.8]
Reemplazando la ecuación [8.8] en [8.7]: W S
G S W 1 n
[8.9]
Reemplazando la ecuación [8.9] en la ecuación [8.2]:
d G S W (1 n )
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[A.25]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 9. Demostrar:
d
W w G S 1 S GS
Respuesta:
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
W S
[9.1]
V
De la ecuación [A.5]: W S
S V S
[9.2]
Considerando V S 1 (Estrategia): W S
[9.3]
S
De la ecuación [A.7] se tiene: [9.4]
S GS W Sustituyendo la ecuación [7.4] en [7.3]: W S
[9.5]
G S W
De la ecuación [A.1] se tiene: V
[9.6]
1 V V
De la ecuación [A.11] se tiene: V W V V
[9.7]
S
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
w W S
[9.8]
Reemplazando la ecuación [9.5] en [9.8]: W W
w G S W
[9.9]
De la ecuación [A.6] se tiene: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
V
W
I ng. Civil - UJCM
W W
[9.10]
W
Sustituyendo la ecuación [9.9] en [9.10]: VW
w GS
W
W
V W
w G S
[9.11]
Sustituyendo la ecuación [9.11] en la ecuación [9.7]: V W V V
S
V V
w G S S
[9.12]
Reemplazando la ecuación [9.12] en [9.6]: V V
w G S 1 S
[9.13]
Reemplazando las ecuaciones [9.5] y [9.13] en la ecuación [9.1]: G S
d
1
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[A.26]
W
w G S S
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 10. Demostrar:
e S d 1 e W w
Respuesta:
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
W S
[10.1]
V
De la ecuación [A.5]: W S
S V S
[10.2]
Considerando V S 1 (Estrategia): W S
S
[10.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS W
[10.4]
Sustituyendo la ecuación [10.4] en [10.3]: W S
G S W
[10.5]
De la ecuación [A.1] se tiene: V
1 V V
[10.6]
De la ecuación [A.12] se tiene: e V V
[10.7]
Reemplazando la ecuación [10.7] en la ecuación [10.6]: V
1 e
[10.8]
De la ecuación [A.11] se tiene: V W
S V V
[10.9]
Reemplazando la ecuación [10.7] en la ecuación [10.9]: V W
S e
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[10.10]
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
V W W
[10.11]
Reemplazando la ecuación [10.10] en la ecuación [10.11]: W W
S e W
[10.12]
De la ecuación [A.14] se tiene: W S
W W
[10.13]
w
Reemplazando la ecuación [10.12] en la ecuación [10.13]: WS
S e W
[10.14]
w
Reemplazando las ecuaciones [10.8] y [10.14] en la ecuación [10.1]: S e W d w 1 e
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[A.27]
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 11. Demostrar:
d Sat e W 1 e
Respuesta:
De la ecuación [A.8]:
d
W S
[11.1]
V
De la ecuación [A.1] Considerando V S 1 (Estrategia) se tiene:
1 V V
V
[11.2]
De la ecuación [A.12] se tiene: e V V
[11.3]
Reemplazando la ecuación [11.3] en la ecuación [11.2]:
1 e
V
[11.4]
De la ecuación [A.9] se tiene: W
Sat W W W S
Sat
V
V
[11.5]
V
Reemplazando la ecuación [11.1] en [11.5]
Sat
W W
d
[11.6]
V
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W V W
[11.7]
Donde V V = V W (Suelo saturado): W W
W V V
[11.8]
Reemplazando la ecuación [11.3] en la ecuación [11.8]: W W
W e
[11.9]
Reemplazando las ecuaciones [11.4] y [11.9] en [11.6]:
d
Sat
Patricia A.C.-ING.CIVIL
W e e
[email protected]
[A.28]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 12. Demostrar:
d Sat n W
Respuesta:
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
W S
[12.1]
V
Considerando V 1 (Estrategia): [12.2]
d W S De la ecuación [A.13] se tiene: n V V
[12.3]
De la ecuación [A.9] se tiene:
W S
W W
Sat
W W Sat
S
[12.4]
W
V
Reemplazando la ecuación [12.2] en la ecuación [12.4]:
Sat d W W
[12.5]
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W V W
[12.6]
Donde V V = V W (Suelo saturado): W W
[12.7]
W V V
Reemplazando la ecuación [12.3] en [12.7]: W W
[12.8]
W n
Reemplazando la ecuación [12.8] en la ecuación [12.10]:
d Sat W n
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[A.29]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 13. Demostrar:
d
Sat
W G S
G
S
1
Respuesta:
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
W S
[13.1]
V
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
[13.2]
S V S
Considerando V S 1 (Estrategia): W S
S
[13.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS W
[13.4]
Sustituyendo la ecuación [13.4] en [13.3]: W S
G S W
[13.5]
De la ecuación [A.1] es tiene: V
1 V V
[13.6]
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W V W
[13.7]
Donde V V = V W (Suelo saturado): W W
W V V
[13.8]
Reemplazando las ecuaciones [13.5] y [13.6] en la ecuación [13.1]:
d
W 1 V V
GS
[13.9]
De la ecuación [A.9]: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Sat W S W W
Sat W S W W
V
V
[13.10]
V Reemplazando la ecuación [13.1] en la ecuación [13.10]:
Sat d
W W
[13.11]
V
Reemplazando las ecuaciones [13.8] y [13.6] en la ecuación [13.11]:
Sat d W V V 1 V V Sumando y restando
[13.12]
W en la ecuación [13.12]:
Sat d W V V W W 1 V V
[13.13]
Resolviendo:
Sat
d
Sat
d
W V V W W V V W 1 V V W
1 V
[13.14]
W
V
Multiplicando y dividiendo el término del medio por GS (ecuación [13.9]):
Sat
d
Sat
d
W
1 V
V
W
GS
1 V V
GS GS
1 GS
W
[13.15] W
Reemplazando la ecuación [13.9] en la ecuación [13.15]:
Sat d W
d
GS
[ 1 3 . 1 6 ]
Factorizando γd de la ecuación [13.16]:
Sat
1 W d 1 G S
[13.17]
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Resolviendo:
Sat
G S 1 W d G S
[13.18]
Despejando γd de la ecuación [13.18]: GS
G
Sat S
W 1
d
[13.19]
Ordenando la ecuación [13], [19]:
d
Sat
W G S
[A.30]
G 1 S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
c. RELACIONES PARA EL PESO UNITARIO SATURADO ( γSat ):
DEMOSTRACIÓN 14. Demostrar:
Sat (G S e) W 1 e
Respuesta:
De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat W S W W
[14.1]
V
De la ecuación A.5: W S
S
[14.2]
V S
Considerando V S 1 (Estrategia): W S
S
[14.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS W
[14.4]
Sustituyendo la ecuación [14.4] en [14.3]: W S
G S W
[14.5]
De la ecuación [A.1] se tiene: V
1 V V
[14.6]
De la ecuación [A.12] es tiene: e V V
[14.7]
Reemplazando la ecuación [14.7] en [14.6]: V
1 e
[14.8]
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W
[14.9]
V W
Donde Vv = Vw (Suelo saturado): Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
W W
W
I ng. Civil - UJCM
[14.10]
V V
Reemplazando la ecuación [14.7] en la ecuación [14.10]: W W
W
[14.11]
e
Reemplazando las ecuaciones [14.5], [14.8] y [14.11] en [14.1]:
Sat GS W W 1 e
e
Sat (G S e ) W 1 e
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[14.12]
[A.31]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 15. Demostrar:
Sat 1 n G S n W
Respuesta:
De la De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat W S W W
[15.1]
V
Considerando V = 1 (Estrategia): [15.2]
Sat W S W W De la ecuación [A.13] se tiene: n V V
[15.3]
De la ecuación [A.5]: W S
S
[15.4]
V S
De la ecuación [A.1] se tiene: V S
1 V V
[15.5]
Reemplazando Reemplazando la ecuación [15.3] y la estrategia en [15.5]:
1 n Reemplazando la ecuación [15.6] en [15.4]: V S
W S
S 1 n
[15.6] [15.7]
De la ecuación [A.7]:
S GS W
[15.8]
Reemplazando Reemplazando la ecuación ecuación [15.8] en [15.7]: W S
G S W 1 n
[15.9]
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W
[15.10]
V W
Donde V V = V W (Suelo saturado): Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
W W
W
I ng. Civil - UJCM
[15.11]
V V
Reemplazando la ecuación [15.3] en [15.11]: W W
W
[15.12]
n
Reemplazando las ecuación [15.7] y [15.12] en [15.2]:
Sat G S W 1 n W
n
[15.13]
Factorizando γW en la ecuación [15.13]:
Sat 1 n G S n W
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[A.32]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 16. Demostrar:
Sat 1 wSat G G S W 1 wSat S
Respuesta:
De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat W S W W
[16.1]
V
De la ecuación [A.5] se tiene: W S
S
[16.2]
V S
Considerando V S 1 (Estrategia): W S
S
[16.3]
De la ecuación [A.7] se tiene:
S GS W
[16.4]
Sustituyendo la ecuación [16.4] en [16.3]: W S
G S W
[16.5]
De la ecuación [A.1] se tiene: V
1 V V
[16.6]
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
w W S
[16.7]
Reemplazando la ecuación [16.5] en [16.7]: W W
w G S W
[16.8]
De la ecuación [A.6] se tiene: V
W
W W
[16.9]
W
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Reemplazando la ecuación [16.8] en [16.9]: VW
wSat G S W
W
V W
V
wSat G S
[16.10]
Donde V V = V W (Suelo saturado): V V
wSat
GS
1 wSat
GS
[16.11]
Reemplazando las ecuaciones [16.5], [16.8] y [16.12] en [16.1]:
Sat
GS W
wSat G S W 1 wSat G S
1 w Sat G Sat 1 w Sat S W G S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[16.12]
[A.33]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 17. Demostrar:
e 1 wSat W wSat 1 e
Sat
Respuesta:
De la De la ecuación [A.9] se tiene:
W W V S V W
(17.1)
W S
Sat
Considerando V S 1 (Estrategia):
Sat W S W W 1 V W
[17.2]
De la ecuación [A.12] se tiene: e V V
[17.3]
Donde V v = V w (Suelo saturado): e V W
[17.4]
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W
V W
W W
W S
W
e
[17.5]
De la ecuación [A.14] se tiene: wSat
W W W S
W W wSat
[17.6]
Reemplazando la ecuación [17.5] en la ecuación [17.6]: W
S
W e
[17.7]
wSat
Reemplazando las ecuaciones [17.4], [17.5] y [17.7] en [17.2]:
1 wW e e 1 e Sat Sat W
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[17.8]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
e
I ng. Civil - UJCM
Sat
e e w 1 W Sat W w 1 e Sat
Sat
1 w
w Sat 1 e
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[A .3 4]
Sat
W
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 18. Demostrar:
Sat
1 Sat W n w Sat
Respuesta:
De la De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat W S W W
[18.1]
V
Considerando V 1 (Estrategia):
Sat W S W W
[18.2]
De la ecuación [A.13] se tiene: n V V
[18.3]
Donde V V V W (Suelo saturado): [18.4]
n V W
De la ecuación [A.6] y la ecuación [18.4] se tiene: W W
W
V W
W W
W
n
[18.5]
De la ecuación [A.14] se tiene: WS
W W
[18.6]
wSat
Reemplazando la ecuación [18.5] en la ecuación [18.6]: W
S
W n
[18.7]
wSat
Reemplazando las ecuaciones [18.5] y [18.7] en la ecuación [18.2]:
Sat
W
n
w Sat
W
1 w Sat W w Sat
Sat n Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[18.8]
[A.35]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 19. e Demostrar: Sat d W 1 e
Respuesta:
De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat W S V
W W V
[19.1]
Reemplazando la ecuación [A.8] en la ecuación [19.1] se tiene:
Sat d
W W
[19.2]
V
Considerando V S 1 (Estrategia) y reemplazando en la ecuación [A.1]: V
1 V V
[19.3]
De la ecuación [A.12] y la estrategia se tiene: e V V
[19.4]
Reemplazando la ecuación [19.4] en la ecuación [19.3]: V
1 e
[19.5]
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W
[19.6]
V W
Donde V V = V W (Suelo saturado) entonces: W W
W
[19.7]
V V
Reemplazando la ecuación [19.4] en la ecuación [19.7]: W W
W
[19.8]
e
Reemplazando las ecuaciones [19.5] y [19.8] en la ecuación [19.2]: e
W Sat d 1 e
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[A.36]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 20. Demostrar:
Sat d n W
Respuesta:
De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat
W S V
W W V
[20.1]
Reemplazando la ecuación [A.8] en [20.1]:
Sat d
W W
[20.2]
V
Considerando V = 1 (Estrategia):
Sat d W W
[20.3]
De la ecuación [A.13] y la estrategia se tiene: n V V
[20.4]
Donde VV = VW (Suelo saturado): n V W
[20.5]
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W
V W
W W
W
n
[20.6]
Reemplazando la ecuación 20.6 en la ecuación 20.3:
Sat d n W
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[A.37]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 21. Demostrar:
Sat
1 1 d W G S
Respuesta:
De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat W S W W De la ecuación [A.5]: W S
S
[21.1]
V
V
[21.2]
V S
Considerando Vs =1 (Estrategia): W S
[21.3]
S
De la ecuación [A.7]: [21.4]
S GS W Sustituyendo la ecuación [21.4] en [21.3]: W S
[21.5]
G S W
De la ecuación [A.1] y la estrategia se tiene: V
[21.6]
1 V V
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W
[21.7]
V W
Donde V V V W (Suelo saturado): W W
W
[21.8]
V V
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
W S
[21.9]
V
Reemplazando las ecuaciones [21.5] y [21.6] en la ecuación [21.9]:
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
d
I ng. Civil - UJCM
G S W 1 V V
[21.10]
Reemplazando la ecuación [21.9] en la ecuación [21.1]:
Sat d
W W
[21.11]
V
Reemplazando las ecuaciones [21.8] y [21.6] en la ecuación [21.11]:
Sat d W V V 1 VV
[21.12]
Sumando y restando γw en la ecuación [21.12]:
Sat d W V V W W 1 V V
Sat
d
W W 1 V V
[21.13]
Multiplicando y dividiendo el término del medio por GS :
Sat
d
W
GS
1 V V
1
G S
[21.14] W
Reemplazando la ecuación [21.10] en la ecuación [21.14]:
Sat d W
d
GS
Sat
1 1 d W G S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[A.38]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 22. Demostrar:
Sat d 1 wSat
Respuesta:
De la ecuación [A.9] se tiene:
Sat W S W W
[22.1]
V
V
Reemplazando la ecuación [A.8] en [22.1] se tiene:
Sat d
W W
[22.2]
V
De la ecuación [A.14] se tiene: W W
wSat
[22.3]
W S
Reemplazando la ecuación [22.3] en la ecuación [22.2]:
Sat
d
W S V
[22.4]
w Sat
Reemplazando la ecuación [A.8] en la ecuación [22.4]:
Sat d d wSat Sat d
Patricia A.C.-ING.CIVIL
1 w Sat
[email protected]
[A.39]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
c. OTRAS RELACIONES:
DEMOSTRACIÓN 23. En un suelo parcialmente saturado se conocen el índice de vacíos (e), la gravedad específica ( G s) y el grado de saturación (S ). Suponiendo que el gas no disuelto esta uniformemente distribuido en la masa de suelo, encuentre el peso unitario (), el peso unitario sumergido (′) y el peso unitario seco (d) en función de las cantidades conocidas y haciendo uso de un esquema adecuado. Respuesta:
Datos: e ; GS ; S = ? ; ’ = ?
; d = ?
De la ecuación [A.19] o demostración 2: W G S 1Se e
[23.1]
De la ecuación [A.24] o demostración 7:
G S W 1 e
d
[23.2]
De la ecuación [A.10] se tiene:
´ W
[23.3]
Reemplazando la ecuación [23.1] en [23.3]:
´
G
S
S e W W 1 e
´ G S 11ee S 1
Patricia A.C.-ING.CIVIL
W
[email protected]
[24.4]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 24. En una muestra de suelo parcialmente saturado se conoce el peso específico ( ), el contenido de agua (ω) y el valor de la gravedad específica (G s). Encuentre el peso específico seco ( d), la relación de vacíos (e) y la saturación (S ), en función de las cantidades conocidas, utilizando un esquema adecuado. Respuesta:
Datos
; ω ; GS S=? ; e=? ;
d = ?
De la ecuación [A.23] o demostración 6 se tiene:
d
[24.1]
1 w
De la ecuación [A.18] o demostración 1:
1 w1 GeS
W
[24.2]
Despejando e:
e 1 w G S W e
1 w G S
W
[24.3]
De la ecuación [A.20] o demostración 3:
1 w GS 1
W
[24.4]
w G S S
Despejando S de la [24.4]:
w GS S 1 w GS W w GS S
S
1 w G
W
S
w G S 1 w G S W
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[24.5]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 25. Demostrar que para un suelo se cumple la siguiente relación:
G s
1
d
G s
Respuesta:
De la ecuación [A.30] o demostración 13:
d
W GS
Sat
G
1
GS
1
S
G d
G
W S
1
S
Despejando ( - w):
G S
d
De la definición del peso unitario sumergido se tiene:
´
GS
1
G S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[25.1]
d
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
DEMOSTRACIÓN 26. Para las características de un suelo dado, Demostrar: GS
Sat wSat Sat W
Respuesta:
De la ecuación [A.33] o demostración 16:
sat
1 w sat G s w sat G s 1 w
[26.1]
Resolviendo:
sat sat w sat G S G S W w sat G S W
[26.2]
Factorizando GS en la ecuación [26.2]:
Sat G S W
wSat
W Sat
wSat
[26.3]
Despejando GS en la ecuación [26.3]: GS
Sat W wSat W Sat wSat
[26.4]
Ordenando la ecuación [26.4]: G S
Sat W w Sat Sat W
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
[26.5]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
1.4. Problemas. PROBLEMA 1. Una muestra de suelo de 1.21 Kg. tiene un volumen de 600 cm3 y un contenido de humedad de 10.2%. Usando las definiciones, calcule: a) La densidad () b) El peso específico húmedo ( ) c) El peso específico seco (d).
Datos: M =
1.21 Kg ; V = 600 cm3 ; w = 10.2%
PASO 1 Determinación de la densidad del suelo. De la ecuación [A.15] se tiene:
M
V
Reemplazando valores:
1210 600
2.02 g / cm 3
PASO 2 Determinar el peso específico húmedo. De la ecuación [A.4] y [A.16]: W
M g
M g V
Reemplazando valores:
1.21 Kg 9.81 m / seg 3 600 cm3 1 m 3 100 cm
2
Cambiando unidades:
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
19783.5 PASO 3.
I ng. Civil - UJCM
N
19.78
kN m3
m3
Determinar el peso específico seco. De la ecuación [A.23]:
d
1 w
Reemplazando valores:
d 19.78
1 0.102
Patricia A.C.-ING.CIVIL
d 17.95
[email protected]
kN m 3
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 2. Un suelo está constituido por 10% de aire, 30% de agua y 60% de partículas de suelo en volumen. ¿Cuál es el grado de saturación ( S ), el índice de vacíos (e), y la porosidad (n)?.
Datos: V a = 10 U
3
; V W = 30 U
3
; V S = 60 U
3
PASO 1 Determinar el grado de saturación. De la ecuación [A.11] se tiene: S
V W
S
V W
V W
V a
V V
Reemplazando valores: S
30 30 10
S
e
e 0.667
0.75
PASO 2 Determinar el índice de vacíos. De la ecuación [A.12] se tiene: e
V V V S
Reemplazando valores: e
10 30 60
V W
V a
V S
PASO 3 Determinar la porosidad del suelo. De la ecuación [A.13] se tiene: n
V V
n
V a
V W V
V
Reemplazando valores: n
10 30 100
n 0.40
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 3. Si el suelo del problema 2 tiene una gravedad específica de 2.69, determine su contenido de humedad (w), su peso unitario seco (d ) y su peso unitario húmedo ().
Datos: 3
3
S = 0.75 0.75 ; e = 0.667 0.667 ; n = 0.40 ; GS = 2.69 2.69 ; V a = 10 U ; V W = 30 U ; V S = 60 U
3
PASO 1 Determinar el contenido de humedad del suelo. De la ecuación [A.14] se tiene: w
W W
[3.1]
W S
De la ecuación [A.6] se tiene: W W
W
[3.2]
V W
De la ecuación [A.5]: W S
S V S
[3.3]
De la ecuación [A.7]:
S G S W
[3.4]
Sustituyendo la ecuación [3.4] en [3.3]:
G S W V S Sustituyendo la ecuación [3.2] en [3.5]:
[3.5]
W S
w
V W W G S V S W
V W W G S V S
w
w 0.186
[3.6]
Reemplazando valores:
30
w 2.69 60
w 18.6 %
PASO 2 Determinar el peso específico seco del suelo. Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
versidad d JoséCar l os M ar i átegui ” Â U ni versida
I ng. Civil - UJCM
Reemplazando Reemplazando la ecuación [A.8] en [3.5] se tiene:
G S W V S d
[3.7]
V
Reemplazando valores: 9.81 60 d 2.69 100
d 15.83
kN / m
3
PASO 3 Determinar el peso específico húmedo del suelo. De la ecuación [A.4] se tiene:
W S V W W
[3.8]
Reemplazando Reemplazando la ecuación [3.2] y [3.5] en [3.8]:
W V W G S W V S
V
W
G S V S
W
V
V
Reemplazando valores:
30 2.69 60 4.81 100
Patricia A.C.-ING.CIVIL
18.77
[email protected]
3 kN / m
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 4 Se tiene un suelo que tiene un contenido de humedad del 5%, determine que cantidad de agua se debe añadir para que este suelo alcance el 9% de contenido de humedad, un peso unitario de 19 kN/m3 y tenga un volumen final de 1 m3.
Datos: wo
= 5% ; w f = 9% ; γ = 19 kN/m3 ; V f = 1 m3 ; ∆V W = ?
PASO 1. Determina el peso de los sólidos, peso del agua inicial y final. De la ecuación [A.14] se tiene: WW f
W S
w f
[4.1]
W W
W S
w0
[4.2]
0
De la ecuación [A.4] se tiene:
f
W S
W W
f
V
W S
W W f f
V
[4.3]
Reemplazando la ecuación [4.1] en [4.3]: W S
W S w f f
[4.4]
V
Despejando W S :
1 w
W S
f
f
V
f V f 1 w
W S
W S
17.43
[4.5]
Reemplazando valores en la ecuación [4.5]:
W S
19 1 1 0.09
kN
Reemplazando el valor W S en la ecuación [4.2]:
17.43 0.05
W
0
W
0
0.8715
kN
Reemplazando el valor de W Wo en la ecuación [4.1]: W
f
17.43 0.09
Patricia A.C.-ING.CIVIL
W
f
1.569
[email protected]
kN
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PASO 2. Determinar la cantidad de agua agregada a la muestra de suelo. La diferencia de los pesos de agua final e inicial, es el peso de la cantidad de agua que se añade al suelo:
W W WW W W f
0
Reemplazando los valores hallados:
W W 1.569 0.8715
W W 0.697 kN
[4.6]
W W W V W
[4.7]
De la ecuación [A.6]:
W
W W W
Despejando ∆V W de la ecuación [4.7]:
V W W W
[4.8]
W
Reemplazando ∆W W en la ecuación [4.8]:
V W 0.697 9.81
V W 0.071081
m
3
Cambiando unidades:
V 0.071081
3
m
1000 lt
V W 71.081 lt
3 1m
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 5. De un proceso de secado en horno para determinar el contenido de humedad, se obtienen los siguientes resultados: Número de lata Peso lata (g) Peso suelo húmedo + lata(g) Peso suelo seco + lata (g)
0.35 43.27 183.28 180.52
0.50 58.95 216.21 213.05
0.40 50.23 173.96 171.50
Determinar el contenido de humedad de la muestra. Estrategia: El peso del agua y el peso de los sólidos se pueden determinar fácilmen te mediante las
siguientes ecuaciones. Una vez hallados estos pesos es posible hallar el contenido de humedad del suelo. W W = Peso del agua = (Peso lata + suelo húmedo) – (Peso lata + suelo seco) W S = Peso del suelo = (Peso lata +suelo seco) – (Peso lata) w = Contenido de humedad = W W / W S A continuación se realiza la siguiente tabla que resume los resultados obtenidos y la humedad promedio que se utiliza para otros cálculos: Número de lata Peso lata (g) Peso suelo húmedo + lata (g) Peso suelo seco + lata (g) Peso del agua (g) Peso suelo seco (g) Contenido de humedad (%) Contenido de humedad promedio
Patricia A.C.-ING.CIVIL
0.35 0.50 0.40 43.27 58.95 50.23 183.28 216.21 173.96 180.52 213.05 171.5 2.76 3.16 2.46 137.25 216.21 121.27 2.01 2.05 2.03 (2.01 + 2.05 + 2.03) / 3 = 2.03%
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 6. Un suelo tiene un contenido de humedad (w) igual al 28.5% y un peso de 123.6 g. ¿Cuál es el peso seco del material?
Datos: w 28.5 %
; W 123.6 g ; W S ?
De la ecuación [A.14]: w
W W
[6.1]
W S
De la ecuación [A.3]: W W
W W S
[6.2]
Reemplazando la ecuación [6.2] en [6.1]: w
W
W S
[6.3]
W S
Despejando W S de la ecuación [6.3]: W S w W
W S
W S w W S
W
W S
w 1 W
W
S
W
w 1
[6.4]
Reemplazando valores en la ecuación [6.4]: WS
123.6 0.285 1
Patricia A.C.-ING.CIVIL
WS
96.187 g
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 7. El suelo del problema 6 ocupa un volumen de 69.3 cm3. Si las partículas del suelo tienen una gravedad específica de 2.65, determine cual es su porosidad (n), índice de vacíos ( e) y su grado de saturación (S ).
Datos: w = 28.5% ; W = 123.6 g ; W S = 96.187 g ; V = 69.3 cm3 ; GS = 2.65
PASO 1 Determinar la porosidad del suelo. De la ecuación [A.13] se tiene: n
V V
[7.1]
V
De la ecuación [A.1] se tiene: V V
[7.2]
V V S
Reemplazando la ecuación [7.2] en la ecuación [7.1]: n
V
V S
[7.3]
V
De la ecuación [A.4] se tiene:
W V
Reemplazando valores se tiene:
123.6
69.3
1.78 g / cm 3
De la ecuación [A.3] se tiene: W W
[7.4]
W W S
Remplazando datos: W W
123.6 96.187
W W
27.413 g
De la ecuación [A.7] se tiene: [7.5]
S GS W Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Reemplazando datos: S 2.65 1 gf / cm 3
S 2.65 gf / cm 3
De la ecuación [A.5] se tiene: V
S
W S
[7.6]
S
Reemplazando datos: VS
96.187 2.65
V S
36.30
V V
33
cm
3
Reemplazando V S en la ecuación [7.2]:
69.3 36.30
V V
cm 3
Reemplazando V V y V en la ecuación [7.1]: n
33 69.3
n 0.476
n
47.6 %
S
83.1 %
PASO 2 Determinar el índice de vacíos del suelo: De la ecuación [A.12] se tiene: e
V V
e
e 90,91%
V S e 0.90909
33 36.30
PASO 3 Determinar el grao de saturación del suelo. De la ecuación [A.6] se tiene: V
W
W W
W
Reemplazando datos: V
W
27.413 1
V W
27.413
cm 3
Reemplazando V V y V W en la ecuación [A.11]: S
27.413 33
Patricia A.C.-ING.CIVIL
S
0.831
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
Patricia A.C.-ING.CIVIL
I ng. Civil - UJCM
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 8. Se tiene una muestra de suelo de 1 m3 con un contenido de humedad de 7%, gravedad específica de 2.65 y un grado de saturación de 40%. Determinar: a. El peso unitario húmedo (), el peso unitario seco (d ) y el peso unitario saturado ( sat ). b. Si se añaden 80 litros de agua a la muestra, cual será su peso unitario húmedo ( ) y su peso
unitario seco(d )
PASO 1 Determinar el peso específico húmedo del suelo. De la ecuación [A.20] se tiene:
1 w G
s
1
w
w G s S
Reemplazando valores se tiene:
1 0.07 2.65 9.8 0.07 2.65 1
18.98 kN/m 3
0.4
PASO 2 Determinar el peso específico seco del suelo. De la ecuación [A.23] se tiene:
d
1 w
18.98 d
d 17.74 kN/m 3
1 0.07
PASO 3 Determinar el peso específico saturado del suelo. De la ecuación [A.38] se tiene:
sat
1 1 d W G s
Reemplazando datos:
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
1
17.74 9.8 Sat 1 2.65
Sat 20.85 kN/m 3
PASO 4 Determinar el peso específico húmedo después de agregar 80 litros de agua. De la ecuación [A.14] se tiene:
w W S
W W
W
0.07 W S
0
[8.1]
De la ecuación [A.4] y V=1 m3:
W W 1 m3
W S
0
W W S
[8.2]
W 0
Remplazando la ecuación [8.1] en la ecuación [8.2]:
W S 0,07 W S
[8.3]
Despejando W S en la ecuación [8.3]:
W S 1 0.07
W
S
1 0.07
[8.4]
Reemplazando γ en la ecuación [8.4]: 18.98 1.07
WS
17.74 kN
W S
Remplazando la ecuación [8.5] en la ecuación [8.1]: W
0
0.07 17.74
W
0
1.242 kN
El peso del agua final será igual al peso del agua inicial de la muestra más el peso del agua añadida, entonces reemplazando valores en esa ecuación se tiene: W
f
W f
W V W 0
1.242 0.08 9.8
W 2.026 kN f
[8.5]
Utilizando la misma relación de la ecuación [8.2] para el peso final se tiene: [8.6] W W final V final El volumen final de la muestra será el mismo que el inicial ya que el volumen de agua ocupará parte del volumen de aire que tenía la muestra: W S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
f
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
V final 1 m 3
V Inicial
W s
W wf final
final 17.74 2.026
final 19.76 kN/m3
[8.7]
PASO 4 Determinar el peso específico seco del suelo. De la ecuación [A.14]: w f
WW f W
S
Reemplazando datos: w
2.026
100
w f
11.42 %
[8.8]
f
17.74
De la ecuación [A.23] se tiene:
final d ( final )
[8.9]
1 w
Reemplazando las ecuaciones [8.9] y [8.10] en la ecuación [8.11]:
19.76 d ( final ) 1 0.1142
d ( final ) 17.74 kN/m3
[8.10]
El peso unitario seco de un suelo es constante siempre y cuando no exista un incremento de energía mecánica, ya que el volumen de sólidos se considera incompresible.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 9. Indicar clara y detalladamente un procedimiento para determinar el índice de vacíos de un suelo fino en laboratorio. De la ecuación [A.12]: e
V V
[9.1]
V S
Procedimiento a seguir: Se debe determinar el volumen de la muestra. V Se debe secar en un horno para obtener el peso de los sólidos WS Se determina la gravedad específica de la muestra GS Con estos datos obtenidos de ensayos de laboratorio se puede hallar el índice de vacíos del suelo: De la ecuación [A.7] se tiene: [9.2]
S G S W De la ecuación [A.5] se tiene: V
S
W S
[9.3]
S
Reemplazando la ecuación [9.2] en [9.3] se halla V S :
V S
W S
[9.4]
GS W
De la ecuación [A.1] se halla V V: V V
V V S
[9.5]
Finalmente reemplazando las ecuaciones [9.4] y [9.5] en la ecuación [9.1] se tiene: V e
e
V
V S
e
V S
Patricia A.C.-ING.CIVIL
W S G S W W S
G S W
V GS W
W S
e
V G S W W S
1
W S
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 10. A continuación están los resultados de un análisis de tamices. Hacer los cálculos necesarios y dibujar la curva de distribución del tamaño de partículas.
U.S. Tamaño de Tamiz 4 0 20 40 60 80 10 200 Bandeja
Masa de Suelo Retenido en cada Tamiz(g) 0 40 60 89 140 122 210 56 12
Para poder determinar la curva de distribución es necesario obtener el porcentaje de suelo seco que pasa por un determinado tamiz y en función a este y la abertura del tamiz se traza la curva de distribución. U.S. Tamaño Tamiz 4 10 20 40 60 80 100 200 Bandeja
Abertura (mm.)
4.750 2.000 0.850 0.425 0.250 0.180 0.150 0.075 0.000
Masa Retenida Masa Acumulada en cada Tamiz, g. sobre cada Tamiz, g. 0 0 40 0+40 = 40 60 40+60 = 100 89 100+89 = 189 140 189+140 = 329 122 329+122 = 451 210 451+210 = 661 56 661+56 = 717 12 717+12 = 729
% que pasa 100 94.51 86.28 74.07 54.87 38.13 9.33 1.65 0
Masa acumulada sobre cada tamiz M 1 M 2 ......... M n % que pasa
Donde:
M masa acumulada 100 M
M 729 729 40 % que pasa 100 94.51 729
729 100 % que pasa 100 86.28 729 Y así sucesivamente para cada tamiz como se ven los valores hallados en la Tabla: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Distribución de tamaño de partículas 100.00
80.00
%
, a s a p e u q e j a t n e c r o P
60.00
40.00
20.00
0.00 10.00
1.00
0.10
Abertura del tamiz,
0.01
mm
De la curva se deduce que debido a la pendiente pronunciada que presenta y a su forma, que el suelo de grano grueso (gravas y arenas) y esta POBREMENTE GRADADO.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 11. Para la curva de distribución de tamaño de partículas mostrada en el anterior ejercicio. Determine: D10 , D30 , y D60 Coeficiente de Uniformidad C u. Coeficiente de Gradación C c. Para poder determinar el D 10, D30 y el D60 es necesario hacer una interpolación lineal entre los valores inferior y superior mas cercanos al porcentaje que pasa deseado y la abertura de sus tamices correspondientes. Una vez hallados estos valores mediante las ecuaciones del anexo A se hallan fácilmente estos parámetros de la curva de distribución.
PASO 1 Determinar el D10, D 30 y el D60 mediante una interpolación lineal a una escala semilogarítmica. De la ecuación de la línea recta se tiene:
X 1 Y Y 1 X 1 X 2 Y 1 Y 2 X
Haciendo cambios de variable: X = Abertura tamiz (escala logarítmica) Y = % que pasa (escala aritmética) X D 10; 30; 60 Y 10 ; 30; X 1 D1 Y 1 %1 X 2
D2
Y 2
60 %
% 2
% %1 log x % % D1 21
D x D1 D2
D x
D2 D1
log
log % 2 log %1
% log%1 D1 x
Para D10 se tiene: 0.18 0.15
D
D10
0.15 mm
10
log38.3 log9.33
log9.33 0.15
log 10
Para D30 se tiene:
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
0.18 0.15
D
D30
0.17 mm
30
I ng. Civil - UJCM
log38.3 log9.33
log
30 log9.33 0.15
Para D60 se tiene: 0.425 0.25
D
D60
0.28 mm
30
log74.07 log54.87
log
60 log54.87 0.25
PASO 2 Determinar los parámetros de la curva de distribución de tamaño de partículas. C
D
D60
C U
10
C C
2 30
D
C C
0.28 0.15
0.17 2
0.28 0.15
C U
1.91
C C
0.67
D60 D10
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 12. Se conoce que el límite líquido de un suelo es 70% y el límite plástico ha sido determinado como 50%. Se pide hallar la magnitud del límite de contracción. Para poder resolver este ejercicio es necesario utilizar el grafico de plasticidad De las ecuaciones [A.56] y [A.57] se tienen las ecuaciones de la línea A y la línea U . Línea A Línea U
IP = 0.73 (LL – 20) IP = 0.9 (LL – 8)
PASO 1 Determinar el punto de intersección de la línea A y la línea U . 0.73·( LL – 20) = 0.9·( LL – 8) 0.73· LL – 14.6 - 0.9· LL + 7.2 = 0 LL = – 43.53 IP = – 46.38 Inter sec ción
Patricia A.C.-ING.CIVIL
43.53, - 46.38
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
70 d a d i c i t s a l p e d
60 50
e c i d n Í
40 30 20
Límite de contracción
10 0
20
30
40
50
60
A
80
100
Límite líquido
LL = -43.5 IP = -46.4
PASO 2 Determinar la ecuación que se forma entre el punto de intersección y el punto A dado. Para el punto A (dato) se tienen los siguientes datos: LL = 70% LP = 50 % Entonces el índice de plasticidad será: IP = LL – LP
IP = 70 – 50 A
IP = 20
70, 20
Hallar la ecuación de la recta que pase por los puntos de intersección y A: y y
1
y 2 2
y1 X 1
X X
[12.1]
1
Haciendo cambio de variable: IP = Y LL = X
Entonces los puntos A y de intersección serán: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Inter sec ción X 1 , Y1
Inter sec ción
A
A
70, 20
43.53, - 46.38
X 2 , Y 2
Reemplazando en la ecuación [12.1] estos dos puntos se tiene: IP
46.38 20 46.38 LL 43.53 70 43.53
IP 46.38
66.38 LL 43.53 113.53
IP 0.58 LL 20.93 0
Para IP = 0 el límite líquido será igual al límite de contracción LC , entonces se tiene: 0 0.58 LC 20.93 0 LC
20.93 0.58
Patricia A.C.-ING.CIVIL
LC 35.79
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 13. Para un contenido de humedad w =35% se tiene 30 golpes en el aparato de casagrande y del ensayo de límite plástico se obtiene LP = 27%. a) Estimar el límite líquido. b) Estimar el límite de Contracción. c) Estimar el índice de liquidez para un winsitu 32.3%
a) Determinar el límite líquido. De la ecuación [A.52] se tiene: LL
Donde:
N
tg
w
25 tan = Pendiente de la línea de flujo (0.121 es una buena aproximación). N 30 w N 0.35 N
LL
30 0.121 0.35 25
LL
0.3578
b) Determinar el límite de contracción. Línea A
IP = 0.73 (LL – 20)
Línea U
IP = 0.9 (LL – 8)
PASO 1 Determinar el punto de intersección de la línea A y la línea U . 0.73·( LL – 20) = 0.9·( LL – 8) 0.73· LL – 14.6 - 0.9· LL + 7.2 = 0 LL = – 43.53 IP = – 46.38 Inter sec ción
Patricia A.C.-ING.CIVIL
43.53, - 46.38
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
70 d a d i c i t s a l p e d e c i d n Í
60 50 40 30 20
Límite de contracción
10 0
20
30
40
50
60
A
80
100
Límite líquido
LL IP
= -43.5 = -46.4
PASO 2 Determinar la ecuación que se forma entre el punto de intersección y el punto A dado. Para el punto A (dato) se tienen los siguientes datos: LL = 35.78% LP = 27% Entonces el índice de plasticidad será: IP = LL – LP IP = 35.78 – 27 A
IP = 7.78
35.78, 7.78
Hallar la ecuación de la recta que pase por los puntos de intersección y A: y y
1
y 2 2
y1 X 1
X X
[13.1]
1
Haciendo cambio de variable: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
IP = Y LL = X
Entonces los puntos A y de intersección serán:
Inter sec ción X 1 , Y1
A
43.53, - 46.38 A 35.78, 7.78
Inter sec ción
X 2 , Y 2
Reemplazando en la ecuación [17.1] estos dos puntos se tiene: IP
46.38
IP 46.38
7.78 46.38 35.78 43.53
LL
43.53
54.16 LL 43.53 79.31
IP 0.62 LL 16.65 0
Para IP = 0 el límite líquido será igual al límite de contracción LC , entonces se tiene: 0 0.62 LC 16.65 0 LC
16.65
LC
26.86
0.62
c) Determinar el índice de liquidez. De la ecuación [A.54] se tiene: LI
PL LL PL
winsitu
Reemplazando los valores hallados se tiene: LI
32.3 27 27 35.78
LI
0.6
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 14. El volumen de una muestra irregular de suelo parcialmente saturado se ha determinado cubriendo la muestra con cera y pesándola al aire y bajo agua. Se conocen: Peso total de la muestra de aire Contenido de humedad de la muestra Peso de la muestra envuelta en cera, en el aire Peso de la muestra envuelta en cera, sumergida Gravedad especifica de los sólidos Gravedad especifica de la cera
M m = 180.6 g wm = 13.6% M (m+c) = 199.3 g agua = 78.3 g M (m+c) GS = 2.71 GC = 0.92
Determinar el peso específico seco, γd y el grado de saturación, S del suelo.
PASO 1 Determinar el peso de la cera el peso seco del suelo. M cera
M mc M m 199.3 180.6 18.7
M cera
18.7 g
De la ecuación [A.14] el dato de contenido de humedad se tiene. M W
wm M S
[14.1]
De la ecuación [A.3] se tiene: M W
M m M S
[14.2]
Igualando las ecuaciones [14.1] y [14.2] se tiene: wm M S
M m M S
[14.3]
Despejando M S se tiene: M S
M m
[14.4]
1 wm
Reemplazando datos se tiene: M S
180.6 1 0.136
M S 158.98 g
PASO 2 Determinar el volumen de agua sólidos y cera:
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
De la ecuación [A.6] se tiene: V
W
W W
W
0.136 158.98 1
V W
21.62 g
De las ecuaciones [A.15] y [A.7] se tiene: GS
V
S
S W
158.98
M S
V S
VS
58.66 cm 3
[14.5]
G S w
2.71 1
Se procede de la misma manera para el volumen de la cera: V cera
M cera G w C
V cera
18.7 0.92 1
20.33 cm 3
V cera
PASO 3 Determinar el volumen de la muestra. Siguiendo el principio de Arquímedes: El volumen de la muestra con cera (volumen total, V t) es igual al volumen de agua desplazado cm3, e igual a su masa en gramos:
M t
W V t
M t
M s c M ( s c ) '
M t
199.3 78.3
V t
M t
W
[14.6]
M t 121 g
Reemplazado M t en la ecuación [14.6] se tiene: V
t
121
V t
121 cm 3
1
Entonces el volumen de la muestra será: V m
V t V cera
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
V m
I ng. Civil - UJCM
121 20.3
100.67 cm 3
V m
De la ecuación [A.8] se tiene:
d
M d
d 159.0
d
100.7
V
1.58 g/cm 3
Cambiando unidades:
d 15.49 kN/m 3 De la ecuación [A.26] se tiene: G S W
d
w G S 1 S
G S W
d
1
w G S S
Despejando S se tiene: w G S d G S W d
S
S
0.515
Patricia A.C.-ING.CIVIL
13.6 2.71 1.58 2.71 1 1.58
S
S
51.5 %
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 15. Determine el límite de contracción a partir de los siguientes datos: (1) (2) (3) (4) (5) (6)
Densidad del mercurio, Mg/m3: Masa del mercurio en el recipiente de contracción, g: Masa del recipiente, g: Masa del recipiente de contracción más la muestra húmeda, g: Masa del recipiente de contracción más la muestra seca, g: Masa del mercurio desplazado, g:
13.55 230.65 19.76 49.19 43.08 183.17
Estrategia: La determinación del límite contracción a partir de estos datos es un procedimiento de
laboratorio. El procedimiento a seguir se resume en la tabla siguiente:
Muestra Densidad del mercurio, ( ρm) Mg/m3: Masa del mercurio en el recipiente de contracción,
13.55 230.65 17.02
g:
3
Volumen inicial de muestra, (V) cm
:
Masa del recipiente, (M t) g: Masa del recipiente de contracción más la muestra húmeda, (M W) g: Masa del recipiente de contracción más la muestra seca, (Md) g: Masa del mercurio desplazado, g:
: Masa de la muestra húmeda, (M) g M
M W M t : 0 M d M t V V Masa de la muestra seca, (M0) g M 3 w M 0 100 Volumen de mercurio desplazado, (V0) cm :
0
Contenido de humedad inicial, (w ) %: V V 0 SL w Límite de contracción (SL), %:
Patricia A.C.-ING.CIVIL
M 0
[email protected]
W
19.76 49.19 43.08 183.17 29.43 23.32 13.52
26.20 100 11.18
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 16. Se requiere construir un terraplén de una carretera que tendrá las características de la figura: 15 m
2
2m
1
La longitud del terraplén será de 600 m y se desea que tenga un índice de vacíos de 0.5. Las propiedades del los dos bancos son las siguientes: Peso especifico Contenido de humedad Gravedad especifica Distancia a la obra Esponjamiento
Banco A 18.5 kN/m3 10 % 2.65 3 km 20 %
Banco B 19 kN/m3 5% 2.65 4 km 30 %
Tomar en cuenta que una vo queta tiene una capacidad de 3 m 3 y su costo por el uso es de 15 Bs. por kilómetro recorrido. a)Determinar los volúmenes a extraer, los volúmenes a transportar. b) Determinar el banco de préstamo más favorable. c)Tomando en cuenta el porcentaje de esponjamiento determinar el índice de vacíos del material suelto (extraído) para el banco de préstamo escogido.
a) Determinar los volúmenes a extraer, los volúmenes a transportar. PASO 1 Determinar el volumen del terraplén. De la definición del volumen de un trapecio se tiene:
B b H V t
V t
2
L
15 23 2 600 2
V t
22800 m 3
PASO 2 Determinar los volúmenes a extraer de cada banco de préstamo. De la ecuación [A.18] se tiene: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
1 w G
I ng. Civil - UJCM
S
w
1 e
Despejando el índice de vacíos, e:
1 w G e e A e B
S
W
1
e A
e B
1 0.1 2.65 9.81 18.5
1
1 0.05 2.65 9.81 19
1
0.55 0.44
De la ecuación [A.12] se tiene: e
V V
V S
e V S
V V
A partir de los datos e incógnitas dadas se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
e A V S V V(bancoA) e B V S V V(bancoB) e fnal V S V V(final) V terraplen S
0.55V s V vA 0.44V s V vB 0.50V s V vf 22800 s vf
V V(final)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: VS = 15200 m3 VV A = 8360 m3 VV B = 6688 m3 VV f = 7600 m3 Entonces los volúmenes a extraer para cada banco son: Banco A : V A 15200 8360 23560 m 3 Banco B : V B 15200 6688 21888 m 3 El esponjamiento es el porcentaje de volumen de aumenta el suelo al ser removido. Entonces los volúmenes a transportar serán: Banco A : V A 23560 1.20 28272.0 Banco B : V B 21888 1.30 28454.4 Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
b) Determinar el banco de préstamo más favorable. El costo de 1 volqueta de 3 m3 es de 15 Bs., entonces: Costo
15
5 Bs\km\m3
3 Costo A
5 282720 3 424080
Bs.
Costo B
5 28454.4 3 569088
Bs.
El banco de préstamo más favorable será el banco A, con un costo de transporte de 424080 Bs.
c) Determinar el índice de vacíos del material suelto para el banco de préstamo escogi do. V banco
1 f V e
1 f V
suelto
e
banco
suelto
V v ( suelto ) V s e suelto V s 1 e suelto V s V v ( banco ) V s ebanco V s 1 ebanco V s
Despejando el índice de vacíos suelto tenemos: e suelto
1 f e 1 ebanco 1
e suelto
1 0.20 1 0.55 1
e suelto
0.86
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 17. Un terraplén requiere 5000(m3) de suelo compactado .Se ha especificado el índice de vacíos del relleno compactado en 0.8.Se dispone de cuatro lugares de préstamo, como se describe en la siguiente tabla, la cual muestra los índices de vacíos del suelo y el costo por metro cúbico para mover el suelo al sitio propuesto. ¿Indique cual es el banco de prestamos mas económico para la obra propuesta. Banco de Préstamo Parotani Cliza Sacaba Punata
V
Costo ($/m3) 9 6 10 7
Índice de Vacíos 1.20 0.85 0.75 0.95
5000m 3 (Suelo Compactado)
e 0.8
PASO 1 Determinar el sistema de ecuaciones, en función de los datos e incógnitas:
eCliza
e Sacaba
V V
e Paro tan i
Paro tan i
V S
V V
Clizai
V S
Paro tan i
Sacabaai
V
120 V S V V
i
V S
eV
V S V V
V
Cliza
V V
V Paro
V tan
eV
Paro tan i
Cliza
V
eV
[1]
0.85 V S V V
[2]
0.75 V V
[3]
Clizai
Sacab a
S
V Sacavaza
S
V Sacabai
S
V V
e Punata
e Final
V V
Punata
V S
Final
e Punata V S
e
inal
V V
0.95 V S V V
[4]
0.80 V V
[5]
Punata
V
V
Punata
V F
S
V Final
S
V Final
S
V
VS V V
Final
500 VS V V
Final
VS
5000 V V
Final
[6]
Se tiene un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas para resolver:
PASO 2 Hallar las incógnitas del sistema de ecuaciones. Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
VS
2777.78 m3
V V
Paro tan i
V
za
3333.33 m3
2361 m3
De aquí tenemos los Volúmenes Totales que se necesitan: V Paro tan i V
V
2033.33 m3
V Cli
V
2638.88 m3
V
V Cli aba V Sanata V V Pu
al
2222.22 m3
I ng. Civil - UJCM
a
2777.78 3333.33
2361.11 2777.78
Sacaba ata
V Paro tan i
6111.11 m3
5138.89 m3
V
2777.78 2361.11
V Cli
4811.11 m3
2777.78 2638.88
V Sacaba
5416.66 m3
Punata
Pu
a
V Fi
V
5000 m3
Final
PASO 3 Determinar el costo de cada banco de préstamo. Banco de Préstamo Parotani Cliza Sacaba Punata
Volumen (m3) (1) 6111.11 5138.89 4611.11 5416.66
Costo (%/m3) (2) 9 6 10 7
Costo Total (%) (3) = (1) (2) 54999.99 30833.34 48111.10 37916.62 ·
El Banco de préstamo más económico es el de CLIZA.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Flujo de agua
PROBLEMA 1.
Determine la altura del máximo ascenso capilar, de dos muestras de arena. La primera consiste en una arena limpia, donde se han clasificado la mayoría de sus partículas como redondeadas, esta arena tiene una relación de vacíos de 0.60 y un d 10 = 0.05 mm. La segunda muestra consiste en una arena no limpia, contiene material rugoso, con un índice de vacíos de 0.60 y un d 10 = 0.05 mm.
PASO 1. Estimación del coeficiente C. Para el caso de la primera arena, el enunciado comenta que es una arena limpia y una buena parte de sus partículas son: redondeadas. Según la tabla D.1, puede estimarse un valor adecuado al caso de: = 30 mm2
C 1
Para el caso de la segunda arena, el enunciado comenta que la arena es no limpia, una parte significativa de la arena contiene material rugoso: Según la tabla D.1, se estima un valor de: C 2
= 50 mm2
PASO 2. Determinación del máximo ascenso capilar. El máximo ascenso capilar, para ambos suelos será: hc1
C 1
hc 2
e d 10
C 2 e d 10
Reemplazando los valores de: e = 0.6 d 10 = 0.05 mm. 2 C 1 = 30 mm 2 C 2 = 50 mm Se tendrá que: hc1
30 0.6 0.05
hc 2
50 0.6 0.05
El máximo ascenso capilar de la primera arena, será: h c1 = 1000 mm.
h c 2 = 1666.6 mm.
Comentario: Las dos arenas tienen el mismo índice de vacíos y diámetro efectivo, pero ambas
varían en la forma y limpieza de sus partículas. Los resultado muestran, que el máximo ascenso capilar es mayor en la segunda arena que en la primera; por lo cual se ve que el ascenso capilar en suelos depende de la textura de las partículas, mientras más rugoso sea el suelo mayor será el ascenso capilar Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 2. Determine el máximo ascenso capilar, en tres tubos de diámetros diferentes mostrados en la figura 4.21. La tensión superficial del agua es: T = 0.073 N/m, los tubos están limpios y los diámetros son: d 1 = 2 [mm]; d 2 = 3 [mm]; d 3 = 4 [mm]. d1
d2
d 3
h1 h2 h3
Figura 4.21. Ascenso capilar máximo en tubos de diámetro variado. PASO 1. Determinación del valor del ángulo . Para el caso de tubos limpios, el valor del ángulo siempre toma el valor de:
= 0 PASO 2. Determinación del máximo ascenso capilar. El ascenso máximo capilar en los tubos, será: hc1
4 T cos d 1
hc 2
w
4 T cos d 2 w
hc3
4 T cos d 3 w
Reemplazando los valores de:
= 0 T = 0.073 N/m. w = 9.81x103 N/m3 (expresado en N/m 3 ) -3 d 1 = 2x10 m. (convertido a metros) -3 d 2 = 3x10 m. (convertido a metros) -3 d 3 = 4x10 m. (convertido a metros) Se tendrá que: Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
hc1
4 0.073 1 2x103 9.81x103
I ng. Civil - UJCM
hc 2
4 0.073 1 3x10 3 9.81x103
hc3
4 0.073 1 4x10 3 9.81x103
Por lo tanto el máximo ascenso capilar en los tres tubos, será: -2 h c 1 = 1.4x10 m.
-3 h c 2 = 9.9x10 m.
-3 h c3 = 7.44x10 m.
: La única variación de los tres tubos de la figura 4.21, es su diámetro. De los resultados Comentario obtenidos, se concluye que mientras más pequeño sea el diámetro, mayor será el ascenso capilar.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 3. Se ha extraído una muestra de suelo compuesta de arena y arcilla, donde se realizaron diversos ensayos en los cuales se determinaron distintas características del suelo, que son: = 21.3 %, G s = 2.60, = 19.74 KN/m3 y d 10 = 0.11 mm. La rugosidad y esfericidad de las partículas del suelo han sido estimadas, ambas en el rango de: 0.3 a 0.5. Determine el máximo ascenso capilar y estime la altura del suelo saturado con agua capilar.
PASO 1. Determinación del índice de vacíos. El índice de vacíos es obtenido de la ecuación A.18, que es:
1 G
S
w
1 e
Reemplazando los valores de:
= 0.213 (convertido a decimal) = 2.60 = 19.74 KN/m3 w = 9.81 KN/m3 GS
Se tiene que: 19.74
1 0.213 2.60 9.81 1 e
El índice de vacíos será: e=
0.56
PASO 2. Estimación del coeficiente C. En el enunciado, se describe que las partículas del suelo en general tienen una rugosidad y esfericidad en el rango de: 0.3 a 0.5 en la Figura A.1. Según a esta tabla, las partículas tienen mas forma rugosa que redondeada. Ya que el suelo es arcilloso, esto da la idea de que las partículas están ligeramente sucias. En base a toda esta información, según a la tabla D.1, se estima un valor del coeficiente de: 2
C = 50 mm
PASO 3. Determinación del máximo ascenso capilar. El máximo ascenso capilar será: hc
Patricia A.C.-ING.CIVIL
C e D10
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Reemplazando los valores de: e = 0.56 d 10 = 0.11 mm. 2 C = 50 mm
Se tiene que: hc
0.5650 0.11
El máximo ascenso capilar será: h c = 811.6 mm.
PASO 4. Estimación de la altura de suelo saturado por agua capilar. Ingresando con un valor de: d 10 = 0.11 mm, en el ábaco de la figura D.1, se intercepta la curva que corresponde al: Nivel de satu ación (figura 4.22).
Figura 4.22. Determinación de la altura de suelo saturada de agua capilar. La altura de suelo saturado es: h cs = 85 mm.
Comentario: Los resultados muestran, que la altura del máximo ascenso capilar ( hc) es mucho mayor que la altura de suelo saturado de agua capilar ( hcs), debido al tamaño de las partículas. En
tubos capilares, mientras mayor sea el diámetro menor será el ascenso capilar. En suelos, mientras mayor sea el tamaño de las partículas el valor de d 10 se incrementará, ocasionando que el tamaño de los espacios vacíos entre partículas crezcan. Como consecuencia de esto, la altura máxima de asenso capilar y la altura de suelo saturado por agua capilar serán cada vez menores cuando el tamaño de las partículas del suelo sea mayor.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 4. En un suelo compuesto de arena fina limosa, se ha registrado el nivel freático a 5 [m] de profundidad. También se ha realizado un ensayo granulométrico y de gravedad específica en una muestra representativa de este suelo, los resultados de estos ensayos se muestran respectivamente en la tabla 4.3. Mediante otro ensayo se determino que el suelo tiene un d = 19.7 KN/m3, se sabe también que las partículas del suelo han sido clasificadas con una rugosidad de 0.9 y una esfericidad en el rango de 0.7 a 0.9. Determine la profundidad ( D1) del máximo ascenso capilar y la profundidad ( D2) del suelo saturado de agua capilar.
Tabla 4.3. Resultados de los ensayos de granulometría y de gravedad específica. Tamiz Nro.
Abertura [mm]
4 10 20 30 40 60 140 200 Plato
4,75 2 0,85 0,6 0,425 0,25 0,106 0,075 -------
Masa retenida [gr] 0 40,2 84,6 50,2 40 106,4 108,8 59,4 8,7
PASO 1. Determinación de la gravedad específica: El peso del frasco con agua hasta el tope sin el suelo, será: 738.5 – 103.4 = 635.1 gr. El peso de un volumen de agua igual al volumen del suelo, será: 674.3 – 635.1 = 39.2 gr. Por lo cual: GS
103.4 39.2
La gravedad específica de los sólidos, será: GS
= 2.63
Al no especificarse una temperatura en la que se realizó el ensayo, se asume que es de 20º C.
PASO 2. Determinación del índice de vacíos. Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
La ecuación A.24, relaciona: d , e y G s, que es: G d 1S ew
Reemplazando los valores de: = 2.63 d = 19.7 KN/m3 w = 9.81 KN/m3 GS
El índice de vacíos será: e = 0.3
PASO 3. Determinación del diámetro efectivo. Procesando los resultados de la tabla 4.3, se tiene que:
Tamiz Nro. 4 10 20 30 40 60 140 200 Plato
Abertura mm 4.75 2 0.85 0.6 0.425 0.25 0.106 0.075 -------
Masa retenida gr 0 40.2 84.6 50.2 40 106.4 108.8 59.4 8.7
Masa acumulada
Porcentaje que pasa
0
100.00
40.2
91.93
124.8
74.95
175
64.88
215
56.85
321.4
35.50
430.2
13.67
489.6
1.75
498.3
0.00
Interpolando las cifras correspondientes al 10 %, el diámetro efectivo será: d 10
= 8.23x10-2 mm.
PASO 3. Estimación del coeficiente C . Las partículas han sido clasificadas con una rugosidad de 0.9 y una esfericidad en el rango de 0.7 a 0.9, que según la Figura A.1 corresponde a una forma redondeada. La cantidad de material fino que se deposita en el plato (ensayo granulométrico) constituye un 1.7 % del total del suelo, lo que significa que la muestra está relativamente limpia. Según a la tabla D.1, con toda esta información se estima un coeficiente de: 2
C = 30 mm
PASO 4. Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Determinación de la profundidad máxima de ascenso capilar: El máximo ascenso capilar será: hc
C e D10
Reemplazando los valores de: e = 0.3 -2 d 10 = 8.23x10 2 C = 30 mm
mm.
Se tiene que: hc
30 0.3 8.23x10 2
El máximo ascenso capilar, será: hc
= 1215 mm.
Por lo tanto, la profundidad ( D1) de la máxima ascensión capilar en metros será: D1
= 5 – 1.215
D 1 = 3.78 m.
PASO 5. Determinación de la profundidad (D2) del suelo saturado de agua capilar. Ingresando con un valor de: d 10 = 8.23x10-2 mm, en el ábaco de la figura D.1, se intercepta la curva que corresponde al: Nivel de saturación (figura 4.23).
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Figura 4.23. Determinación de la altura de suelo saturada de agua capilar. La altura del suelo saturado de agua capilar es: h cs = 89 mm.
Por lo tanto, la profundidad (D2) del suelo saturado de agua capilar es: D1
= 5 – .089
D 1 = 4.91 m.
: El coeficiente C , depende mucho de la forma de las partículas del suelo, para esto Comentario
debe hablarse en términos de rugosidad y esfericidad. Para determinar la rugosidad y esfericidad de las partículas del suelo, se requiere de la observación microscópica, en el cual el criterio del técnico es indispensable para poder obtener una buena clasificación. En el caso de no disponerse suficiente información sobre la forma de las partículas del suelo, vale la pena tomar un valor promedio de la tabla D.1.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
Flujo en una dimensión.
PROBLEMA 5. Para la figura 4.23, determine el caudal en m 3/s/m, que circula a través del estrato permeable de suelo. Para los valores de: H = 4 m, H 1 = 2 m, h = 3.1 m, L = 30 m, = 14º y k = 0.05 cm/s.
h
Dirección H del flujo H 1
L
Figura 4.23. Flujo de agua en un estrato de suelo. PASO 1. Determinación del gradiente hidráulico y el área de la sección transversal. El gradiente hidráulico, siempre debe ser calculado con respecto a la dirección del flujo. En base a la ecuación D.4, para el caso de la figura D.22 el gradiente hidráulico será: i
L
h cos
Reemplazando los valores de: h = 3.1 m. L = 30 m. Se tiene que: i
3.1 30 cos14º
El gradiente hidráulico será:
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ” i=
I ng. Civil - UJCM
0.1
El área de la sección transversal, para 1 m, será: A = H 1· cos ·1
Reemplazando: A
= 2·cos 14º
Por lo cual, el área de la sección transversal es: A
= 1.94 m2
PASO 2. Determinación del caudal. El caudal que circula por el estrato permeable será: q = k ·i· A
Reemplazando los valores de: k = 0.05 cm/s. i = 0.1 2 A = 1.94 m
Se tiene que: q=
5x10-4·0.1·1.94
El caudal será: q = 9.7x10-5 m /s. 3
Comentario: El gradiente hidráulico y el área de la sección transversal, siempre son determinados
con respecto a la dirección del flujo.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 6. El permeámetro de la figura 4.24, tiene las siguientes dimensiones: h = 28 cm; z = 24 cm y L = 50 cm. El área de la sección transversal del permeámetro es de: 530 cm 2. Se ha determinado que el peso unitario de la arena es de: = 18 kN/m3. Manteniendo una carga hidráulica constante, pasa a través de la arena un volumen de 100 cm3 en 18 segundos. Determine la conductividad hidráulica de la arena.
h
z
L
ARENA
Figura 4.24. Permeámetro. PASO 1. Determinación del gradiente hidráulico. El gradiente hidráulico, será: i
h L
Reemplazando los valores de: h = 28 cm. (pérdida de carga) L = 50 cm.
Se tiene que: i
28 50
El gradiente hidráulico será: i=
0.56
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PASO 2. Determinación del caudal que circula. El caudal de descarga, que circula por el sistema será: q
Q t
Reemplazando los valores de: 3
Q = 100 cm t = 18 seg.
Se tiene que: q
100 18
El caudal que circula por el sistema será: q=
5.55 cm3/s.
PASO 3. Determinación de la conductividad hidráulica. La conductividad hidráulica, se determina de la ecuación: q = k ·i· A
Reemplazando los valores de: 3
q = 5.55 cm /s. i = 0.56 2 A = 530 cm
Se tiene que: 5.55 = k ·0.56·530 Despejando, la conductividad hidráulica será: -2
k = 1.86x10 cm/s. Comentario: El caudal de descarga, es calculado con la ecuación D.11 o determinado con una
relación de volumen y tiempo que este relacionada al suelo. Este caudal, será el mismo en cualquier punto del sistema, sea en el suelo o fuera de el. En el caso de no disponerse suficiente información para determinar algún valor del sistema de flujo en una dimensión, se puede recurrir a comparar caudales en dos puntos del sistema y así obtener ecuaciones útiles.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 7. En un ensayo en laboratorio, se ha determinado que la conductividad hidráulica de un suelo es:1.8x10-2 cm/s, para una temperatura del agua de 15º C. ¿Cómo debería ser considerada la conductividad hidráulica en términos corrientes de mecánica de suelos? PASO
1.
Determinación del valor del coeficiente C t . De la tabla D.8, se elige un coeficiente adecuado que corresponda a la corrección de una temperatura de 15º C, este es: C t =
1.135
PASO 2. Determinación de la conductividad hidráulica para 20 ºC. La corrección por temperatura para la conductividad hidráulica es: k 20
= C t· k T
Reemplazando el valor de: C t =
1.135
Se tiene que: k 20
= 1.135·1.8x10-2
La conductividad hidráulica para 20º C, será: -2
k 20 = 2x10 cm/s. Comentario: Al realizar un ensayo en laboratorio, las condiciones de temperatura del ambiente y
agua pueden variar de diversas maneras. Por lo cual por motivo de compatibilidad, los resultados del ensayo deben ser siempre expresados para una temperatura de 20º C. En el caso de no mencionarse alguna temperatura en que se realizo el ensayo, debe asumirse que el valor de la conductividad hidráulica corresponde a una temperatura de 20º C.
Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
 U ni versidad JoséCar l os M ar i átegui ”
I ng. Civil - UJCM
PROBLEMA 8. En una muestra representativa de suelo, se ha realizado un ensayo de conductividad hidráulica. La tabla 4.4, muestra los resultados de tres ensayos que se realizaron con esta muestra de suelo en laboratorio.
Tabla 4.4. Resultados de un ensayo de permeabilidad. Nro. Ensayo Cantidad de flujo Temperatura del agua Tiempo de recolección Diferencia de carga Diámetro del espécimen Longitud del espécimen Área del espécimen
3
cm ºC seg cm cm cm 2 cm
1 305 60 25 60 6.35 13.2 31.67
2 375 60 25 70 6.35 13.2 31.67
3 395 60 25 80 6.35 13.2 31.67
Determine: La conductividad hidráulica del suelo. PASO 1. Determinación de la conductividad hidráulica. La conductividad hidráulica será: k 1
Q1 L
k 2
h1 A t
Q2 L
k 3
h2 A t
Q3 L
h3 A t
Reemplazando los valores correspondientes a cada ensayo: 3
Q1 = 305 cm 3 Q2 = 375 cm 3 Q3 = 395 cm h1 = 60 cm. h2 = 70 cm.
h3 = 80 cm.
t = 25 seg. L = 13.2 cm. 2 A = 31.67 cm
Se tendrá que: 13.2 60305 31.67 25 Las conductividades hidráulicas serán: k1
k 1
= 8.5x10-2 cm/s.
k2
k 2
13.2 70 375 31.67 25
= 8.9x10-2 cm/s.
k3
k 3
13.2 80 395 31.67 25
= 8.2x10-2 cm/s.
PASO 2. Determinación de la conductividad hidráulica promedio. Patricia A.C.-ING.CIVIL
[email protected]
UJCM-MOQUEGUA
