OPĆA FIZIKA 2 odgovori na ispitna pitanja prema predavanjima prof. Emila Babića
2
OPĆA FIZIKA 2 Odgovori na ispitna pitanja
SAŽETAK Ova ˝skripta˝ predstavlja odgovore na pitanja iz kolegija Opća fizika 2, koja se sluša na istraţivaĉkom smjeru PMF-a, fiziĉkog odsjeka, u drugom semestru kod profesora Emila Babića. Pitanja moţete pronaći na http://www.phy.hr/~ebabic/pitanjaOFII.html. Osnovna literatura, koju sam koristio prilikom odgovora na ispitna pitanja, su predavanja profesora Babića, udţbenik iz Elektriciteta i Magnetizma (Berkeley) [1], udţbenik Mehanika (Berkeley) [2], razne knjige navedene u popisu literature i poneka provjera s interneta (iskljuĉivo wikipedia). Namjena ove skripte je iskljuĉivo pomoć pri usmenom ispitu, ne smije se shvatiti kao zamjena za predavanja te propisanu literaturu. Skripta podlijeţe ponekim pogreškama, no iskreno ću se potruditi da ih svedem na minimum. Skripta nije dana s namjerom bezumnoga štrebanja, jer to ne koristi nikome, pogotovo ne budućim fiziĉarima. Sve što se nauĉi iz gradiva OF2 će uvelike koristiti u daljnjem studiju. Zahvaljujem svima koji su dopustili da koristim njihove materijale u svrhu poboljšanja ove ˝skripte˝. U Zagrebu 2008.
Denis Ţoljom
Napomena: 19.08.2008. – nisu odgovorena sva pitanja i vizualni detalji poput saţetka nisu ureĊeni, moţete ih dodati, tj. napisati i poslati meni na e – mail (
[email protected]). Sve komentare i prijedloge s namjerom poboljšanja ovih odgovora takoĊem šaljite na mail. Ovaj tekst nije recenziran stoga sluţbeno nije skripta.
Literatura [1] E.M. Purcell, Elektricitet i Magnetizam, Tehniĉka knjiga, Zagreb [2] C. Kittel, W. D. Knight, M. A. Ruderman, Mehanika, Tehniĉka knjiga, Zagreb [3] D. M. Ivanović, V. M. Vuĉić, Fizika II, GraĊevinska knjiga, Beograd [4] T. Jelaković, Uvod u elektrotehiku i elektroniku, Školska knjiga, Zagreb
3
4
Sadržaj 1. Astronomska mjerenja brzine svjetlosti: Römer i Bradley. 2. Fizeauova i Foucoultova mjerenja brzine svjetlosti. 3. Michelson-Morleyevi eksperimenti. 4. Lorentzove transformacije. 5. Kontrakcija dužina i dilatacija vremena. 6. Relativističko zbrajanje brzina. 7. Relativistička količina gibanja i sila. 8. Relativistička kinetička energija. 9. Ovisnost brzine o kinetičkoj energiji elektrona. 10. Prostorno-vremenski interval i dijagrami Minkowskog. 11. Veza između ukupne energije i količine gibanja za relativističku česticu. 12. Električni naboj. Elektrizacija, dvije vrste i transport naboja. Pokusi. 13. Sačuvanje i kvantizacija električnog naboja. 14. Coulombov zakon. Pokus. Određivanje vrijednosti naboja. 15. Energija sustava naboja. Potencijalna energija. 16. Električno polje. Značenje i prikaz električnog polja. Pokusi. 17. Tok električnog polja i Gaussov zakon. 18. Primjene Gaussovog zakona za računanje električnog polja jednoliko nabijene sferne ljuske, niti i beskonačne plohe. 19. Električni potencijal. Veza sa električnim poljem. Potencijal točkastog naboja. 20. Električno polje kao gradijent potencijala. 21. Električno polje i potencijal prostorne raspodjele naboja. 22. Sila na površinski naboj. 23. Energija pridružena električnom polju. Potencijalna energija kontinuirane raspodjele naboja. 24. Divergencija vektora. Gaussov teorem za električno polje. 25. Vodiči i izolatori. Transport naboja i prodiranje električnog polja. 26. Vodič u elektrostatskom polju. Potencijal, gustoda naboja i električno polje na površini i u unutrašnjosti vodiča. 27. Princip rada gromobrana i Faradayevog kaveza. 28. Pločasti kondenzator. Izvod kapaciteta. 29. Kuglasti kondenzator. Izvod kapaciteta. 30. Spajanje kondenzatora. 31. Energija kondenzatora. 32. Prenošenje naboja i gustoda struje. 33. Stalne struje i jednadžba kontinuiteta. 34. Električna vodljivost - Ohmov zakon. 35. Model električne vodljivosti. 36. Vodljivost metala, tipovi veze između atoma u tvari. 37. Slučajevi kada Ohmov zakon ne vrijedi. 38. Energija koja se disipira pri toku struje u vodiču. 39. Izvori elektromotorne sile: van de Graffov uređaj i termočlanak. 40. Kemijski izvori elektromotorne sile: članci i baterije. 41. Kirchoffova pravila. 5
42. Naboj i struja izbijanja i nabijanja kondenzatora kroz otpornik. 43. Oerstedov pokus. Veza između struja i magneta. Sila između vodiča pod strujom. 44. Naboj koji se giba: mjerenje iznosa i invarijantnost. 45. Električno polje pločastog kondenzatora u sustavu koji se giba stalnom brzinom. 46. Električno polje točkastog naboja koji se giba stalnom brzinom. 47. Međudjelovanje naboja koji se gibaju. 48. Lorentzova sila. Sila na vodič kojim teče struja. 49. Sila kojom međudjeluju dva paralelna vodiča kojima teku struje. 50. Stokesov teorem, cirkulacija i rotor vektora. 51. Cirkulacija gustode magnetskog toka (B) oko i izvan vodiča kojim teče struja. 52. Amperov teorem (zakon). Primjena na računanje gustode magnetskog toka (B) torusa i dugačke zavojnice. 53. Biot-Savartov zakon. 54. Magnetsko polje prstena kojim teče stalna struja. 55. Magnetsko polje na osi konačne zavojnice. 56. Tok magnetskog polja kroz zatvorenu i otvorenu površinu. 57. Hallov efekt. 58. Elektromotorna sila koja se inducira u kvadratičnoj petlji koja se giba kroz nehomogeno magnetsko polje stalnom brzinom. (Pomodu Lorentzove sile) 59. Veza između elektromotorne sile i promjene toka magnetskog polja kroz kvadratičnu petlju. 60. Smjer inducirane struje u petlji: Lentzovo pravilo. 61. Energija koja se disipira u petlji kojom teče inducirana struja. 62. Primjena elektromagnetske indukcije za proizvodnju struje. (Generator) 63. Univerzalni zakon elektromagnetske indukcije. Lokalna veza E sa B. 64. Međuindukcija. Koeficijent mađuindukcije za mali prsten unutar velikog. 65. Koeficijent međuindukcije: Teorem o recipročnosti. 66. Samoindukcija. Struja nabijanja i izbijanja zavojnice. 67. Energija sadržana u magnetskom polju. 68. Gustoda struje pomaka. 69. Maxwellove jednadžbe i elektromagnetski valovi. 70. L-C sklop. 71. Prigušeni RLC sklop. 72. Rezonantni serijski RLC sklop (krug). 73. Struja i pomak u fazi u krugu sa izvorom izmjenične elektromotorne sile i zavojnicom. 74. Struja i pomak u fazi u krugu sa izvorom izmjenične elektromotorne sile i kondenzatorom. 75. Struja i pomak u fazi u serijskom RLC krugu kojim teče izmjenična struja. 76. Impedancija za otpornik, zavojnicu i kondenzator. 77. Paralelni RLC krug. 78. Snaga i energija u krugovima s izmjeničnom strujom. Efektivna vrijednost struje i napona. 79. Transformacija električnog napona i struje. 80. Trofazne struje. Spoj u zvijezdu i trokut. 81. Trofazni električni motor. Linearni motor. 82. Kapacitet pločastog kondenzatora ispunjenog dielektrikom. 83. Potencijal molekule. Dipolni moment. 84. Dipol u vanjskom električnom polju i električno polje dipola. 6
85. Polarne i nepolarne molekule i polarizacija izolatora. 86. Električno polje u izolatoru i dielektrični pomak. 87. Dielektrični proboj. Energija kondenzatora ispunjenog izolatorom. 88. Magnetska svojstva tvari. Relativna magnetska permeabilnost. 89. Molekularni prikaz dija- i paramagneta. Magnetski moment. 90. Magnetizacija, gustoda magnetskog toka i magnetska susceptibilnost para- i dijamagneta. 91. Feromagneti i magnetske domene. 92. Histereza. Meki i tvrdi feromagneti. 93. Zemljino magnetsko polje.
7
1. Astronomska mjerenja brzine svjetlosti: Römer i Bradley. Razne metode su upotrebljavane za mjerenje brzina svjetlosti. Mi ćemo razmotriti astronomsko mjerenje brzine svjetlosti. Ĉak i prije eksperimentalnog dokaza o brzini svjetlosti vjerovalo se da je ona konaĉna. Prvi eksperimentalni dokaz dao je Römer 1676. godine. Opazio je da gibanje Jupiterova mjeseca Ioa ne slijedi pravilnu satnicu. Bilo je odstupanja u vremenima boravka Ioa u sjeni Jupitera. Röemer je jednom u toku godine predskazao trenutak ulaska Ioa u sjenu 6 mjeseci kasnije, ispostavilo se da je promašio 22 minute. Pretpostavio je da je to vrijeme prolaska svjetlosti preko Zemljine putanje. Njegova prosjeĉna procjena Zemljinog promjera putanje oko Sunca bilo je , pa je tako za c dobio vrijednost:
Što je priliĉno dobro, imajući na umu vrijeme kada je eksperiment proveden. 1725. James Bradley je poĉeo promatrati zvijezdu zvanu γ Draconis. Opazio je da zvijezda u zenitu izgleda kao da se giba po gotovo kruţnoj putanji. TakoĊer je opazio da su gibanja zvijezda u drugima poloţajima bila donekle sliĉna, općenito eliptiĉna. Taj fenomen se naziva aberacija. Ona je ukazivala na to da je Sunce bolji inercijalni sustav od Zemlje, tj. da je bolje zamišljati da se Zemlja giba oko Sunca, a ne obratno. Aberaciju objašnjava analogija s padanjem kiše i širenja svjetlosti (Bradlyjevo objašnjenje se nalazi u udţbeniku iz Mehanike str. 176 ). On je dobio rezultat od . Ako to usporeĊujemo s današnjim vrijednostima to je dobar rezultat.
2. Fizeauova i Foucoultova mjerenja brzine svjetlosti. Prvo neastronomsko mjerenje brzine svjetlosti izveo je Fizeau 1849. godine . On je našao za brzinu svjetlosti u zraku (u vakuumu je c ~91km/s brţa). On je koristio nazubljen kotaĉ, za prekidanje zrake, te je na taj naĉin izmjerio vrijeme prolaza svjetlosnog bljeska preko udaljenosti od 2×8633 m. Naprava s nazubljenom ploĉom koja se vrti ubrzo je zamijenjena napravom s ogledalima koji se vrte, daje više signala i omogućava bolje fokusiranje. UreĊaj koji je Foucault upotrebljavao 1850. godine je prikazan na gornjoj slici. Njegova najbolja vrijednost za brzinu svjetlosti u zraku je . 8
3. Michelson-Morleyevi eksperimenti. Fiziĉari 19. stoljeća su pretpostavili da se svjetlost prenosi kao titraj u sredstvu, jednako kao zvuk, koji se prenosi kao titranje atoma u krutom tijelu ili fluidu. Oni su smatrali da se svjetlost širi kroz eter. Danas je to sinonim za vakuum. Glavni problem kod mjerenja brzine svjetlosti je bila ta što su tadašnji fiziĉari pokušavali izmjeriti c u relativnom gibanju pomoću Galilejevih transformacija, dok je danas opće poznato da se u tom sluĉaju koriste Lorentzove transformacije. Oĉekivali su da će brzina svjetlosti , s obzirom na pokretni prijemnik biti: (3.1) gdje je V brzina prijemnika koji se giba ka (+), ili od (-) izvora svjetla. No pokusi su pokazali da je za bilo koji sustav, bez obzira na njegovu brzinu i bez obzira na relativnu brzinu prema zamišljenom sredstvu širenja. Mnogi fiziĉari su pokušali eksperimentalno dokazati relaciju (3.1), tj. utvrditi pomak etera, ali ni jedan nije uspio pokazati gibanje Zemlje kroz eter. Sve do eksperimenata Michelsona i Morleya. Dijagram Michelson – Morley eksperimenta moţe se vidjeti na slici 3.1. Usmjerena zraka svjetlosti iz izvora S dijeli se na dva dijela s polupropusnim zrcalom . Zraka A ide do zrcala te je reflektirana nazad do ; dio se reflektira dolje. Zraka B se reflektira do zrcala idio ove reflektirane zrake je propuštena kroz i spaja se s reflektiranim dijelom zrake A. Kako su zrake A i B proizašle iz istoga izvora, one su koherentne te uslijed superpozicije interferiraju s obzirom na njihovu relativnu fazu. Ta fazna relacija je determinirana razlikom optiĉkih puteva za dvije zrake Slika 3.1.* koje ovise o gibanju aparature relativno s obzirom na eter. Pretpostavimo da se tijekom izvoĊenja eksperimenta Zemlja giba brzinom relativno s obzirom na eter. Tijekom prvog dijela gibanja svjetlosti duţ A ( slika 3.2) aparatura se giba u smjeru propagacije. Koristeći jednadţbe Galilejevih transformacija za brzinu dobivamo da je brzina svjetlosti u inercijalnom sustavu aparature jednaka ,a vrijeme potrebno da svjetlost proĊe put od do je . *Michelson – Morley aparatura (shematski dijagram). Svjetlost iz izvora S je usmjerena uz pomoć leće L i dijeli se u dvije koherentne zrake uz pomoć polupropusnog zrcala . Zrake A i B se reflektiraju nazad do i tada superponiraju u interferentnu sliku koju opaţamo uz pomoć teleskopa T. CP je kompenzacijska ploĉa izraĊena od stakla tako da zrake A i B prijeĊu jednaki optiĉki put.
9
Sliĉno tome, vrijeme potrebno da se vrati svjetlost do vrijeme proteklo tijekom povratnog puta svjetlosti
Pri ĉemu je
je
. Zbog toga je ukupno
.
Slika 3.2. PrijeĊeni put zraka A i B sa slike 1 promatrani referentnog mirujućeg sustava relativnog s obzirom na eter. Brzina aparature relativno s obzirom na eter je u.
Sada ćemo izraĉunati vrijeme za put B, prikazan na slici 3.2. Tijekom vremenskog intervala ⁄2, zrcalo se pomaknulo za udaljenost u ⁄2 prema desno. Prema tome ukupni put B je
Kako se svjetlost u eteru giba brzinom c, vrijeme koje je proteklo je
Uvrštavajući i raĉunajući, dobivamo da je
10
Kako se moţe primijetiti, postoji vremenska razlika izmeĊu puta zbog gibanja aparature relativno s obzirom na eter, dana relacijom
Kako, za sluĉaj koji ovdje promatramo, gornju jednadţbu koristeći binomni razvoj; zamjenjujemo s . Sada slijedi da je
moţemo pojednostaviti
Ako se aparatura zakrene za 90° uloga puteva A i B se zamjenjuju te prema tome je vremenska razlika negativna prijašnjoj relaciji. Totalno vrijeme promjene rezultata takve rotacije je tada dvostruka vrijednost prijašnje relacije
i korespondirajući fazni pomak izmeĊu dva vala je
gdje je T period i je valna duljina svjetlosnog vala. Da bi se minimizirale vibracije i deformacije uzrokovane naprezanjima tijekom rotacije, Michelson i Morley su ĉitavu aparaturu montirali na kamenu ploĉu koja je plutala na ţivi. Isto tako su usavršili finoću mjerenja dodavajući dodatna zrcala kako bi produljili put svjetlosti L na 11 m. Iako je faktor samo , ⁄ = 44π ⁄ 5.5 × 5× za ţutu svjetlost koja je korištena u eksperimentu. Razlika u fazi zbog rotacije od 90° same aparature je 2.5 radijana, rezultirajući u mjerljivom pomaku pruga interferencije. Rezultat eksperimenta je bilo duboko razoĉaranje: „Pomak koji se očekivao je 0.4 razmaka između susjednih pruga interferencije. Stvarni pomak je sigurno manji od dvadesetog dijela očekivanog, a možda i manji od četrdesetine.“ Još je ostala mala vjerojatnost da je eksperiment bio izveden kada je Zemlja bila skoro u mirovanju relativno s obzirom na eter. „Eksperiment ćemo ponavljati u intervalima svaka tri mjeseca, i tako će sve dvojbe biti izbjegnute.“
11
Michelson nije sudjelovao u ovim ponavljanjima eksperimenta koje su provodili Morley i D. C. Miller. Njegovo razoĉaranje s prekrasno koncipiranim i savršeno izvedenim eksperimentom je oĉito iz slijedećeg odlomka, napisanim 1902., petnaest godina nakon dogaĊaja: „Mislim da se može tvrditi da je problem, koji je doveo do pronalaska interferometra, više nego kompenziran sa činjenicom da je ovaj konkretni eksperiment dao negativni rezultat.“ Michelson –Morleyev eksperiment je postao poznat kao najpoznatiji propali eksperiment do današnjih dana.
Slika 3.3. Crteţ aparature koju su koristili Michelson i Morley 1887. (a) Izvor svjetlosti, zrcala i teleskop su montirani na 1.5 m2 kamenu ploĉu, koja je plutala na bazenu ispunjene ţivom. (b) Ovo omogućava sporu rotaciju ĉitave aparature bez uvoĊenja naprezanja. (c) Pogled odozgo na aparaturu gdje se vide dodatna zrcala koje su koristili Michelson i Morley da bi povećali optiĉki put svjetlosti. 12
4. Lorentzove transformacije Negativni rezultati Michelson – Morleyjevih pokusa su natjerali mnoge fiziĉare da pokušaju odgovoriti na pitanje zašto se ti rezultat ne poklapaju s Galilejevim transformacijama. To je trajalo sve do 1905. Godine kada je Einstein relativizirao pojmove vremena i prostora i time proširio princip relativnosti i na elektromagnetne pojave. Einstein je pomnom analizom pojmova vremena i prostora uvidio njihovu meĊusobnu povezanost. Time je uveo novi pojam: specijalna teorija relativnosti. Ona je izgraĊena na dva temeljna postulata: 1. U svim sustavima, koji miruju ili se kreću jednoliko pravocrtno, vaţe isti fizikalni zakoni. 2. Brzina svjetlosti u svim sistemima, koji se nalaze u uzajamnom jednolikom pravocrtnom kretanju, jednaka je u svim pravcima i nezavisna od kretanja sustava. Primjenjujemo iste ideje Galilejevih transformacija. Dva razliĉita sustava, S i S' se gibaju jedan u odnosu na drugoga jednolikom brzinom V. Gledamo transformacija koordinata, ali i vremena, uz ukljuĉene pretpostavke relativnosti. Postoje linearne veze zbog homogenosti i izotropnosti prostora. Ako je svjetlosni izvor u ishodištu sustava S, a valna fronta je emitirana u trenutku t=0, jednadţba kuglaste valne fronte je (4.1.) , jednadţba kuglaste fronte mora biti
U sustavu S', gdje su koordinate
(4.2.) Brzina svjetlosti je ista u obje jednadţbe. Ako pokušamo s Galilejevim transformacijama (4.3.) Zbog kontrakcija duljina vidimo da će se x – os, kako se gibamo brzinama bliţim brzinama svjetlosti, kontrahirati. Stoga pomnoţimo te transformacije s nekim faktorom da bi te jednadţbe vrijedile u Einsteinovoj kinematici. zbog ravnopravnosti sustava;
Uvrstimo
u izraz za
i imamo
13
mora biti suglasna s tim da je
au
sustavu
Ako brzinu pravocrtnog kretanja u
oznaĉimo s
jednostavno podjelimo gornje jednadţbe i imamo:
Svjetlost se giba brzinom
pa imamo nakon uvrštavanja i sreĊivanja:
Pa uz zamjenu imamo: ; uoĉite da je to ustvari – Lorentzov faktor. Ako sada to uvrstimo u prvotnu jednadţbu za transformacije koordinata pa imamo:
Ako te transformacije (Lorentzove) koristimo kod jednadţbi (4.2.) dobijemo (valnu frontu svjetlosnog signala). Ona je linearna s obzirom na x i t i svodi se na Galilejeve transformacije u sluĉaju .
14
5. Kontrakcija dužina i dilatacija vremena. Kontrakcija dužina Promatramo štap koji miruje (slika 5.1) duţ osi x u sustavu S. Kako štap miruje u S, koordinate poloţaja njegovih krajeva ne ovise o vremenu. Konvencija istovremeno odreĊivanja koordinata u sustavu iz kojeg se mjeri. Imamo (5.1.) (5.2.) Ţelimo odrediti duljinu tih štapova ako ih se promatra iz pokretnog referentnog sustava S'. Pomoću Lorentzovih transformacija gdje je dobivamo (5.3.) Odnosno
Gdje je duţina štapa u njegovom sustavu mirovanja, a L duljina štapa u sustavu koji se giba. Vidi sliku 5.2. Pojave su reverzibilne zbog ravnopravnosti sustava. No kada bi ih slikali ne bi vidjeli tu kontrakciju.
Slika 5.1. Promatramo ĉvrsti štap R1 duljine L0 u njegovom sustavu mirovanja S
Slika 5.2. Uoĉite da je na slici x1 = x'1 = 0
15
Dilatacija vremena Promatramo sukcesivne dogaĊaje (istomjesne). Upalimo i odmah ugasimo lampu . Rjeĉ dilatacija oznaĉava produţenje vremenskog intervala. Promatramo sat koji miruje u sustavu S. Rezultat mjerenja vremenskog razmaka u sustavu u kojem sat miruje oznaĉavamo s (5.4.) I zovemo još vlastito vrijeme. Sat miruje pa je
. U sustavu S' vrijedi (5.5.)
Ako u izraz (5.5) uvrstimo Lorentzove transformacije za vrijeme dobijemo (5.6.) Odnosno
U sustavu S izmjereni razmak iz sustava S' je dulji nego što to pokazuje sat u S'. Zakljuĉak koji moramo prihvatiti je sljedeći: Promatrajmo dva sustava, S i S', u jednolikom relativnom gibanju. Svaki sustav ima svog opaţaĉa sa vlastitim ujednaĉenim satovima koji miruju u tom sustavu. Ako se na odreĊenom mjestu u sustavu S dogode dva dogaĊaja razdvojena vremenskim razmakom Δt što ga mjeri opaţaĉ u S, vremenski razmak što ga mjeri opaţaĉ u S' biti će dulji. On će biti Δt'=γ Δt. Obrnuto, za dva dogaĊaja na odreĊenom mjestu u sustavu S' razdvojena vremenom Δt', opaţaĉ u sustavu S će izmjeriti dulji razmak; on će izmjeriti razmak Δt=γ Δt'. Taj efekt se naziva dilatacija vremena. Ĉini se kao da satovi koji se gibaju napreduju polaganije od onih koji miruju. Korijen prividnog paradoksa leţi u invarijantnosti brzine svjetla c. Sustav koji se giba uvijek ima kraće vrijeme ( ). Primjer dilatacije vremena: Mjerenje poluraspada µ-ona.
16
6. Relativističko zbrajanje brzina. Neka se sustav S' giba jednolikom brzinom s obzirom na sustav S. Ĉestica se giba jednolikom brzinom s komponentama u sustavu S. Kolike će biti komponente brzine ĉestice s obzirom na sustav S' ? Definicije prave brzine su iste:
(6.1.) (6.2.) (6.3.) Isto primjenjujemo za dobijemo
,
. Izraze (6.2.i (6.3. uvrstimo u (6.1.) i
Ako pobliţe promotrimo brojnik ovog razlomka, vidimo da imamo obiĉne Galilejeve transformacije, uvjet je da je brzina . Transformacije su simetriĉne, zbog , no ipak razliĉite od v'x
Vidimo da su ove transformacije razliĉite od Galilejevih: transformiraju se i v'y i v'z , one su ujedno i ovisne o v'x. Analogno imamo
Ako imamo foton njegova je brzina vx=c, a ako uvrstimo to u jednadţbu (6.5) dobijemo da je v'x=c, što je bio uvjet pri traţenju Lorentzovih transformacija.
17
7. Relativistička količina gibanja i sila. Zakoni fizike uvoĊenjem pojma relativistike su se uvelike promijenili. Svi zakoni koji su prije bili znani fiziĉarima (potvrĊeni za male brzine ) morali su se nanovo ispitati. Problem nastaje zbog kinetiĉke energije:
Zakon oĉuvanja koliĉine gibanja neće biti oĉuvana za brzine bliske brzini svjetla. Ako promatramo srazove ĉestica pri relativistiĉkim brzinama, vidimo da drugi Newtonov zakon ne moţe vrijediti ako je masa m konstantna, jer bi ubrzanje bilo jednako djeluje dovoljno dugo, brzina bila bi veća od brzine svjetla c.
, pa ako sila
Pri relativistiĉkim brzinama koristimo *
(7.1.)
Tada imamo izraz za silu
Graf 7.1. Graf relativistiĉke koliĉine gibanja 18
Posebni slučajevi Kada je sila paralelna s
, imamo dva sluĉaja:
I.
- i sile i ubrzanja su po istoj liniji.
II.
- sila ne vrši rad (relativistiĉki ili ne).
Ne moramo ga derivirati: Akceleracija teţi u 0 kada v→c. Interakcije ne obuhvaćaju objekte koji se gibaju v > c (iako ih još i ne znamo)
*Neki kaţu da je γimi relativistiĉka masa, ali to je obiĉna glupost; postoji samo jedna invarijantna masa, nikakva relativistiĉka. Povezati γi i mi je neproduktivno!
19
8. Relativistička kinetička energija. Kako definirati relativistiĉku energiju? Najbolje je sjetiti se rad – energija teorema
Ono uvijek vrijedi, naravno za relativistiĉki izraz nešto drugaĉije. Ako se sjetimo izraza za silu, koja je, po definiciji, jednaka promijeni koliĉine gibanja u vremenu, i primijenimo izraz za relativistiĉku koliĉinu gibanja dobivamo
Ako u izraz za rad uvrstimo gornji izraz dobivamo
Gdje smo uzeli u obzir da je dx/dt=v. Pretpostavimo li da brzina na gornjoj granici integrala ima vrijednost v, a na donjoj granici išĉezava, dobivamo
(8.3.) Po rad – energija teoremu to će biti kinetiĉka energija K i na grafu 8.1 je prikazano kako ona ovisi o v.
Graf 8.1.
20
Ukoliko bi gledali sluĉaj kada je
imali bi
Stoga je
Pa za male vrijednosti omjera v/c izraz
postaje
I svodi se na Newtonov rezultat.
9. Ovisnost brzine o kinetičkoj energiji elektrona. Ako promotrimo dobiveni izraz (8.3) iz prijašnjeg pitanja za kinetiĉku energiju, raspisivanjem moţemo dobiti izraz za brzinu te doći do nekih zakljuĉaka
Nakon što kvadriramo postaje
Pomnoţimo s
Vidimo da kad
i korjenujemo te dobijemo
i
, a kad
.
21
10. Prostorno-vremenski interval i dijagrami Minkowskog. U specijalnoj teoriji relativnosti jedina invarijanta je c. STR koristi 4D prostor (prostor- vremenski kontinuum)
No pojedini dijelovi nisu invarijante. Kako napraviti invarijantan 4 – vektor? Promotrimo interval izmeĊu dva dogaĊaja
Vrste intervala
Vremenski interval - mogu biti uzroĉno – posljediĉno povezani; ne simultani dogaĊaj Svjetlosni interval - opisuje širenje svjetlosti u praznom prostoru Prostorni interval – udaljenost je prevelika, ne mogu biti uzroĉno – posljediĉno povezani; simultani dogaĊaj Napomena: Vremenski intervali ostaju sukcesivni – u bilo kojem referentnom sustavu su uzroĉno posljediĉno povezani. Dok za prostorni interval nema ograniĉenja. Prikladan naĉin povezivanja tih intervala i Lorentzovih transformacija su dijagrami Minkowskog (Slike 10.1 i 10.2). Minkowski je prvi uoĉio da pojedinaĉno vrijeme i prostor (duţine) nemaju neki smisao. Nije euklidski prostor
Slika 10.1.
→ pseudo euklidski prostor (paradox blizanaca)
Slika 10.2. 22
11. Veza između ukupne energije i količine gibanja za relativističku česticu. Ovisno o sustavu će vrijediti:
Gledamo kombinaciju Promotrimo kvadrat impulsa
i E koja je invarijantna na transformaciju IS→IS'.
(11.1) Identitet (11.2) je oĉito Lorentzova invarijanta jer je 1 konstanta. Mnoţenjem s m2c4 dobivamo (11.3) Ili pomoću (11.1) (11.4). Kako je masa mirovanja 2 4 konstantna, znamo da je i m c konstanta, dakle Lorentzova invarijanta, kao što zahtijevamo. Ako ukupnu slobodnu energiju definiramo jednadţbom
Onda prema jednadţbi (11.4) je izraz (11.5) Lorentzova invarijanta. To znaĉi da će pri transformaciji iz jednog sustava u drugi i E' i p' biti jednake m2c4 iz (11.5) dobivamo
Ako imamo npr. foton, ĉija je masa 0, tada imamo izraz E= cp , što je vrlo ĉesta aproksimacija u fizici visokih energija. Svjetlost nosi koliĉinu gibanja Ako je brzina ĉestice
.
→Energija mirovanja.
23
12. Električni naboj. Elektrizacija, dvije vrste i transport naboja. Pokusi. Naboj je svojstvo elektriĉnih ĉestica; izvor i objekt elektromagnetskog meĊudjelovanja. Temeljno oĉuvano svojstvo subatomskih ĉestica koje odreĊuje njihovu elektromagnetsku interakciju. U klasiĉnom elektricitetu i magnetizmu razmatraju se elektriĉni naboji i struje te njihova meĊusobna djelovanja pretpostavljajući da se sve veliĉine mogu mjeriti nezavisno i s neograniĉenom toĉnošću. Klasiĉan znaĉi ˝nekvantan˝. Kvantni zakoni i Planckova konstanta h se zanemaruju, kao i u klasiĉnoj mehanici. Dvije ĉinjenice objašnjavaju neprekinutu vrijednost klasiĉnog opisa elektromagnetskih pojava u suvremenoj fizici. Prvo, STR nije zahtijevala ispravke klasiĉne teorije elektriciteta i magnetizma. Maxwellove jednadţbe polja (koje su nastale puno prije Lorentzovih i Einsteinovih radova) su suglasne s teorijom relativnosti. Drugo, kvantne modifikacije elektromagnetskih sila nisu vaţne na udaljenostima manjim od oko m, što je oko stotnina atomskog polumjera. Odbojne i privlaĉne sile meĊu ĉesticama u atomu opisujemo zakonima koji vrijede i za listiće elektroskopa, iako je kvantna mehanika potrebna za opis ĉestiĉnih stanja u atomskim elektriĉnim poljima. Osnovno je svojstvo elektriĉnog naboja bez sumnje to da se nalazi u dvama oblicima, koji su odavno nazvani pozitivnim i negativnim elektriĉnim nabojem. Opće pravilo glasi: Ako se dva mala elektriĉno nabijena tijela A i B meĊusobno odbijaju, i ako A privlaĉi treće elektriĉno nabijeno tijelo C, tada uvijek nalazimo da i B privlaĉi C (još uvijek ne znamo sa sigurnošću objašnjenje tog općeg pravila). Vaţna svojstva el. naboja bitna za svojstva tvari je da se elektriĉni naboj ĉuva (zakon o oĉuvanju el. naboja), i el. naboj je kvantiziran (nukleoni se sastoje od 3 kvarka...). Elektrizacija Pokusi: Trljanje emonitnog štapa i vune (-), stakleni štap i amalgamska koţa (+). Privlaĉne sile privlaĉe stiropor (+), ili ga odbijaju (-). Štap levitira komad alufolije (poprimi naboj i onda se istoimeni naboji odbijaju). Smjesa minija i sumpora minij ide na – kuglu, a sumpor na + kuglu.
Nabijemo kugle razliĉitim nabojem,
Kod posljednjeg pokusa vidjeli smo diferencijaciju naboja koja se dogaĊa zbog trenja izmeĊu ĉestica – elektriziraju se (energija sastojaka tvari mora biti negativna da bi tvar bila na okupu).
24
Graf 12.1. Mali broj elektrona će moći imati E = 0! Ti elektroni su izvor za STM (elektronski mikroskop). Elektronima treba veća energija da doĊu do vakuuma, plin će biti rjeĊi.
Ako donesemo 2 tijela u tijesan kontakt (nm) doći će do prijenosa elektrona; samo taj kontakt moramo brzo prekinuti (prijenos elektrona uzrokuje + ili -). Razlikovanje + i – naboja je stvar simetrije. Prijenos naboja; privlačenje i odbijanje Nabijena tijela ne bi trebala privlaĉiti nenabijena tijela! Uzrok tome su polarizacija i dipolni moment (pitanje 83. i 85.). Pokusi: Elektroskop (slika 12.1.) – povezali smo vlaţnim uţetom elektroskop i šipku s kuglom te nanosili naboj. Kako smo nanosili naboj šipka elektroskopa se lagano ˝penjala˝. Time smo demonstrirali brzinu transporta naboja u razliĉitim materijalima (vlaţno uţe bolje vodi naboje). Pokazujemo što znaĉi da je zrak nabijen: ukoliko elektroskopu primaknemo uţarenu spiralu njegova kazaljka će se otkloniti. Isto bi se dogodilo da upalimo šibicu jer se zrak oko elektroskopa oĉigledno ionizirao. Kad smo prstom taknuli elektroskop kazaljka se takoĊer pomaknula. Došlo je do ionizacije naboja – nema zbrajanja , nego odnošenje elektrona.
Slika 12.1. Elektroskop
25
13. Sačuvanje i kvantizacija električnog naboja. Zakon o oĉuvanju naboja glasi: ˝Ukupni se električni naboj izoliranog sustava ne mijenja˝.
Izoliran znaĉi da nema izmjene tvari kroz granicu sustava. To ne znaĉi da se naboji ne mogu stvarati. No u procesima stvaranja dolazi do ove pojave: stvaranje (poništenje) nekog broja pozitivnih el. naboja uvijek je popraćeno stvaranjem (poništenjem) istog broja negativnih naboja. Elektriĉni naboj je karakteristika subatomskih ĉestica i kvantiziran je. Kada se izraţava kao višekratnik takozvanog elementarnog naboja e, elektron ima naboj −1. Naboj elektrona iznosi pribliţno 1.6021×10-19 C. Elementarni naboj predstavlja jednu od osnovnih konstanti fizike. Millikanovi eksperimenti s kapljicama ulja (slika 13.1.), kao i mnogi drugi eksperimenti, pokazali su da se elektriĉni naboj nalazi samo kao višekratnik jedne koliĉine naboja. Tu koliĉinu, jednaku apsolutnoj vrijednosti el. naboja elektrona, nazivamo kvant elektriciteta i oznaĉavamo sa e. Ĉinjenica da je elektriĉni naboj kvantiziran jest izvan okvira klasiĉne teorije elektriciteta i magnetizma. Najĉešće ćemo je zanemarivati i pretpostavljati da toĉkast el. naboj q moţe sadrţavati bilo koju koliĉinu naboja. To nam neće ĉiniti teškoće, unatoĉ kvantiziranosti. Raspolaţemo s gustoćom naboja (volumna , plošna , linijska ).
Slika 13.1. Shema Millikanove aparature. Sam pokus koji je Millikan izveo je odveć sloţen. Millikan je morao pokus izvesti u veoma delikatnim uvjetima. Za vrijeme obavljanja pokusa aparatura je nekoliko puta bila rastavljana i ponovno sastavljana.
26
14. Coulombov zakon. Pokus. Određivanje vrijednosti naboja. MeĊusobno djelovanje elektriĉnih naboja u mirovanju opisuje se Coulombovim zakonom: ˝Dva se mirna električna naboja odbijaju ili privlače silom koja je proporcionalna umnošku njihovih naboja, a obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti između njih˝. Taj zakon se moţe napisati vektorskom jednadţbom
Coulomb je do tog rezultata došao pomoću pokusa s torzijskom vagom: Ako na tanku dugaĉku nit djelujemo momentom sile doći će do usukivanja:
Prvo je sprijeĉio rotiranje pa dodao naboj i mjerio kut otklona torzijske vage. Zatim je rotirao u suprotnom smjeru i dobio Ako smo pomakli za 2x, sila se povećala za 4x! (Ovisnost o kvadratu)
Sila ovisi o sustavu jedinica! U CGS k = 1, a u SI vakuuma, ε0 = 8.854 × 10-12 C2/Nm2 (F/m). k = 8.988× 109 (m/F)
, gdje je ε0 permitivnost 9× 109 .
Mjerenja s torzijskom vagom nisu bila precizna (5% toĉnosti), no ljudi su mu vjerovali jer je Newtonov zakon gravitacije bio poznat. 1. Vrijedi samo za mirujuće naboje U praksi to baš i nije tako. Naboji se gibaju → FL = FC + Fmag(od polja) Ograniĉenja na 3. Newtonov zakon 2. Vrijedi samo za toĉkaste ili sferno simetriĉne naboje Ako je tijelo veliko vrijedi samo na velikim udaljenostima 3. Po 3. Newtonovom zakonu → sila je jednaka Iz sile izmeĊu 2 naboja sam naboj ne moţemo saznati. Treba 3 naboja da se iz mjerenja sila i udaljenosti naĊu q1, q2, q3.
27
15. Energija sustava naboja. Potencijalna energija. Energija je koristan pojam u elektrostatici, jer su el. sile konzervativne. Ako se prisjetimo gradiva iz opće fizike 1, potencijalna energija se moţe jednoznaĉno i korisno definirati samo pomoću konzervativnih sila. Promatramo rad koji moraju vanjske sile izvršiti da bi se neki broj elektriĉno nabijenih tijela doveo u odreĊeni poloţaj. Nije vaţno pomiĉe li se probni naboj q1 prema q2 ili obrnuto. I u jednom i u drugom sluĉaju rad je vanjskih sila (koji se troši na svladavanje elektriĉnih sila meĊu nabojima q1 i q2 ) jednak integralu umnoška vanjske sile i projekcije pomaka na smjer sile:
Definiramo potencijalnu energiju (sile koje smanjuju energiju – teţi stabilnom stanju; minimalna energija)
(F je dugodoseţna ~
)
(uvrstimo u integral imamo)
i
Razlika izmeĊu elektromagnetske sile i gravitacijske je u tome što je gravitacijska – (privlaĉna), dok elmag. moţe biti + ili – (privlaĉna ili odbojna), stoga se to odraţava i na Ep (Graf 15.1.). Graf 15.1. Graf potencijalne energije 28
Potencijalna energija pripada sustavu kao cjelini. Što bi bilo kad ne bi imali toĉkaste naboje? Npr. 2 tijela (Slika 15.1.); imali bi 3 ĉlana za Ep – zbog r meĊusobnog i vlastitog r
Slika 15.1. 2 tijela na udaljenosti r.
Sustav od n-točkastih naboja Ukupna energija meĊudjelovanja je suma svih meĊudjelovanja naboja u sustavu.
Ako je i = j
sam naboj nema Ep, za i ≠ j
doĊe 2x. To je dobro za toĉkaste naboje. uĉesnika.
zato treba
,svaki ĉlan
→ funkcija od koordinata svih
parova →ponekad se i ne moţe rastaviti na parove.
Ep je energija potrebna da ˝sastavimo˝ naboje iz odnosno obaviti rad.
(sustav). Trebamo uloţiti energiju,
Primjer: Raĉun Ep kristalne rešetke. Da energija nije negativna kristalna rešetka bi se raspala. Zbog Paullijeva principa nije moguće imati 2 elektrona u istom kvantnom stanju. Zato se elektroni ne mogu sabiti u toĉku. Veza sile i Ep: Sila je negativni gradijent potencijalne energije.
29
16. Električno polje. Značenje i prikaz električnog polja. Pokusi. Traţimo najlakši naĉin raĉunanja sustava naboja. To ćemo uĉiniti tako da uvedemo koncept polja. U stvari nemamo nešto novo. Samo smo poopćili raĉunanje naboja: poljem opisujemo silu po jediniĉnom naboju, koja bi (po iznosu i smjeru) djelovala na neki ispitni naboj u bilo kojoj toĉki prostora. Naravno moramo pretpostaviti da su izvori polja na odreĊenim poloţajima. Promotrimo kako smo došli do elektriĉnog polja. U okolinu priĉvršćenog izvora (naboja q), dovedemo probni naboj naboj biti će
. Sila na probni
Podijelili smo silu na dio koji djeluje i na svojstvo okoline. Kada je q poznat, ostatak je vektorska funkcija koordinata naboja (izvora). Ne lokalnu interakciju smo sveli na lokalnu interakciju – u toĉki .
Polje komplicirane sluĉajeve meĊuĉestiĉnog djelovanja smo sveli na lokalno djelovanje u promatranoj toĉki, nije bitno gdje je q (izvor). Jedini problem je taj što je polje vektorska funkcija. Konceptualno je problem veoma pojednostavljen. Jedan od izraza za polje je i:
Na r imamo polje koje radijalno djeluje u svim smjerovima. Ako odemo na udaljenost 2r polje će biti 4x manje. Polje opisujemo silnicama. One daju samo smjer, ne i jakost polja. To dobijemo promatranjem kuta otklona u pokusu. Pokus: Imamo kuglicu obješenu na niti (probni naboj). Kada pribliţimo štap, koji nema naboja (ne moramo znati uzrok nastajanja), kuglica se otkloni za kut . Iz slike 16.1. vidimo
Slika 16.1. 30
Zbog naboja q svaka toĉka u prostoru je dobila vektorsko svojstvo – el. polje. Za toĉkasti naboj smo našli izraz za polje, no što ako imamo polje sustava toĉkastih naboja? Jednostavno zbrojimo sve doprinose
Dobro je napomenuti da je el. polje usmjereno od pozitivnog el. naboja. Raspodjele naboja: Volumna raspodjela: npr. nabijeni izolator Uzmemo mali dio s volumenom dV' na udaljenosti r' od proizvoljnog ishodišta i gustoćom naboja , pri ĉemu je V' volumen raspodjele naboja, Q ukupni naboj (Slika 16.2.). Doprinos naboja na toĉku p je
Element volumena ne moţe postati beskonaĉan, raspodjela naboja je konaĉna. Ne za raspodjela V' = konaĉno. Ta integracija ne mora biti analitiĉki rješiva.
Slika 16.2. Volumna raspodjela naboja
31
Površinska raspodjela: (Slika 16.3.) vodiĉi – samo na površini se moţe imati višak pozitivnog ili negativnog naboja.
Slika 16.3. Površinska raspodjela naboja
Linijska raspodjela: ţica (Slika 16.4.)
Slika 16.4. Linijska gustoća naboja
32
17. Tok električnog polja i Gaussov zakon. Odnos izmeĊu elektriĉnog polja i njegovih izvora moţe se izraziti na izvanredno jednostavan naĉin, koji će se pokazati veoma korisnim. U tu svrhu potrebno je uvesti novi pojam koji se naziva tok (fluks). Promatramo tok vektora kroz površinu (vektori su silnice polja). Tok definiramo kao
Gdje je projekcija površine A na smjer koji je okomit (slika 17.1.) Slika 17.1.
Orijentirana površinom – ima 2 strane (površine), a vektor ima jedan smjer – nije svejedno da li gledamo gornju ili donju površinu.
Ima iznos površine. Smjer – obilaţenje krivulje pravilom desne ruke (slika 17.2.).
Slika 17.2.
Moţemo primijeniti analogiju toka fluida (slika 17.3.)
Tok vektora brzine kroz površinu A.
Slika 17.3.
Ako je tok je 0 (skalarni umnoţak, a cos90°= 0). Problem je u tome što su vektori ĉesto vektorske funkcije, pa tok i nije tako lako naći. 33
Slika 17.4. Tok vektorske funkcije kroz proizvoljnu površinu
Ako podijelimo proizvoljnu površinu na puno malih komadića (slika 17.4.), tada tok vektorske funkcije kroz proizvoljnu površinu moţemo definirati kao
Ako je to doista kontinuirano treba nam limes
Plošni integral neke vektorske funkcije po nekoj plohi S znaĉi naprosto ovo: podijelimo plohu na male dijelove; predstavimo svaki dio, element plohe, vektorom, ĉiji je iznos jednak površini elemenata, leţi na normali i usmjeren je iz volumena obuhvaćenog plohom; za svaki element plohe izraĉunamo skalarni umnoţak vektora elementa te plohe i lokalnog vektora ; zbrojimo sve skalarne umnoške. Graniĉna vrijednost tog zbroja, kad se dijelovi plohe smanjuju ka nuli, traţeni je plošni integral, tok polja. Gaussov zakon Promotrimo najjednostavniji sluĉaj: elektriĉno polje, je polje izdvojenog toĉkastog naboja q, a zatvorena ploha je kuglina ploha polumjera r sa središtem na poloţaju naboja q. Pitamo se koliko iznosi tok elektriĉnog polja kroz kuglinu plohu? Odgovor je lak, budući da je jakost polja u svakoj toĉki kugline plohe jednak , smjer polja je radijalan (od središta za pozitivan i prema središtu za negativan naboj), a svaki je vektor elementa plohe usmjeren radijalno od središta kugle. Uzevši u obzir predznak q dobivamo
34
Ova jednadţba nam kazuje da je tok neovisan o veliĉini kugline plohe. Ako zamislimo zatvorenu plohu koja obuhvaća prvu, kuglastu plohu, ali sama nije kuglasta (slika 17.5.). Naša tvrdnja je da je tok kroz drugu plohu jednak toku kroz prvu plohu. Da bismo to dokazali, promotrimo stoţastu plohu s vrhom na poloţaju naboja q koja na kuglastoj plohi izrezuje malu plohu i nastavlja prema vanjskoj plohi na kojoj izrezuje plohu na udaljenosti R od toĉkastog naboja. Ploha
veća je od plohe : prvo zbog omjera
kvadrata udaljenosti , , i , drugo, za faktor , zbog toga što je kut , izmeĊu zrake od naboja q do te površine općenito razliĉit od 0° (koliko je kod kugline plohe). Elektriĉno polje na promatranom mjestu na vanjskoj plohi smanjeno je za faktor i radijalno je usmjereno. Oznaĉimo polje na vanjskoj plohi sa
i
, a polje na kuglinoj plohi sa
. Stoga vrijedi: Tok kroz dio vanjski plohe : Tok kroz dio kugline plohe :
Tako smo dokazali da je tok kroz dio kugline plohe jednak toku kroz pripadni dio vanjske plohe. Svaki dio vanjske plohe moţe se na taj naĉin pridruţiti dijelu kuglaste plohe pa ukupan tok kroz jednu i drugu plohu mora biti isti. Istaknimo da je druga ploha bila proizvoljne veliĉine i oblika.
Slika 17.5.
Zakljuĉujemo: Tok elektriĉnog polja kroz bilo koju zatvorenu plohu koja obuhvaća toĉkasti naboj q iznosi . Na osnovi toga moţemo izvesti i drugi zakljuĉak: tok elektrĉnog polja kroz zatvorenu plohu jednak je nuli ako ta ploha ne obuhvaća elektriĉni naboj.
35
Ako imamo više naboja tada gledamo superpoziciju naboja odnosno tada je tok
,
Gaussov zakon glasi: ˝Tok električnog polja kroz bilo koju zatvorenu plohu, tj. integral po toj plohi, jednak je ukupnom električnom naboju obuhvaćenom tom plohom podijeljenom sa ˝
Gdje smo sa V(A) oznaĉili volumen obuhvaćen plohom A. Gaussov zakon je integralni oblik Coulombovog zakona, oni su jednakovaljani zakoni elektrostatike. Gaussov zakon je opći zakon elektriciteta i magnetizma (Coulombov zakon ne vrijedi za naboje koji se gibaju). Gaussov zakon je vaţan zbog dvije stvari. Prvo, daje nam odnos polja i njegovih izvora, koji je suprotan Coulombovu zakonu. Coulombov zakon nam kaţe kako izraĉunati elektrostatsko polje i njegov razmještaj, dok Gaussovim moţemo izraĉunati koliĉine naboja i njihov razmještaj ako znamo elektriĉno polje. Drugo, matematiĉka relacija koju smo izveli predstavlja moćnu analitiĉku metodu kojom se mogu riješiti teški problemi. Mogućnost korištenja Gaussovog zakona ovisi o simetriji plohe. Što je geometrija problema veća to je integral kompliciraniji.
36
18. Primjene Gaussovog zakona za računanje električnog polja jednoliko nabijene sferne ljuske, niti i beskonačne plohe. Gaussov zakon moţemo primijeniti na izraĉunavanje polja raznih simetrija. Promotrimo neke od njih: Električno polje jednoliko nabijene sferne ljuske Promatramo raspodjele elektriĉnog naboja, u kojoj gustoća naboja ovisi samo o udaljenosti od jedne toĉke, središta raspodjele. Zbog sferne simetrije elektriĉno polje mora u svakoj toĉki biti radijalno usmjereno u odnosu na središte raspodjele. Bilo koji drugi smjer nije jednoznaĉan. TakoĊer, jakost polja mora biti jednaka u svim toĉkama kuglaste plohe polumjera , budući da su sve toĉke jednakovaljane. Oznaĉimo radijalnu jakost polja sa (pozitivna za smjer od središta, negativna za smjer prema središtu). Tok polja kroz plohu stoga je naprosto , a na osnovi Gausovog zakona znamo da taj tok mora biti jednak ukupnom naboju unutar plohe podijeljenog sa . Iz toga izlazi da je
Ako to usporedimo s poljem toĉkastih naboja, nalazimo da je polje na plohi isto kao da su svi naboji unutar u samom središtu raspodjele. Isti zakljuĉak vrijedi za kuglastu plohu unutar raspodjele naboja. Elektriĉno polje u bilo kojoj toĉki na isto je kao da su svi naboji unutar u središtu raspodjele, a naboji izvan kao da nisu prisutni. Jasno je da je polje nuntar ˝šuplje˝sferne raspodjele naboja jednako je nuli (slika 18.1.) .
Slika 18.1. Elektriĉno polje sferne raspodjele naboja.
37
Električno polje jednoliko nabijene niti Zamislimo da duţ pravca imamo rasporeĊene elektriĉno nabijene ĉestice i da su dimenzije presjeka te raspodjele zanemarive. Takva raspodjela naboja moţe se opisati pomoću koliĉine naboja po jedinici duljine, koju oznaĉavamo s i nazivamo linijska gustoća naboja. Pretpostavimo da nam je nit beskonaĉno duga i da je linijska gustoća naboja stalna. Postavimo valjkastu plohu, oko beskonaĉno, jednoliko nabijene, duge ţice, duljine L i polumjera r, ĉija je os na pravcu raspodjele, i zatvorimo je dvjema bazama (slika 18.2.) . Zbog simetrije, polje je radijalno (okomito na pravac raspodjele) pa je tok polja kroz baze jednak nuli ( je okomito na vektore polja). Tok kroz valjkastu plohu je naprosto njena površina, , pomnoţen s
, tj. s poljem na plohi. Elektriĉni naboj obuhvaćen zatvorenom plohom
(baze i plašt valjka) je odnosno
, pa je prema Gaussovom zakonu imamo
,
koju moţemo dobiti i integriranjem Coulombovog zakona.
Slika 18.2. Prikaz polja za primjenu Gaussovog zakona radi odreĊivanja polja linearne raspodjele naboja
Električno polje jednoliko nabijene beskonačne plohe Elektriĉni naboj raspodijeljen u tankom sloju naziva se plošnom raspodjelom naboja. Razmotrimo ravnu plohu beskonaĉnih dimenzija, koja ima stalnu plošnu gustoću naboja . Elektriĉno polje s jedne i druge strane ravnine, bez obzira na njegovu jakost, mora (zbog simetrije) biti okomito na ravninu raspodjele; u tom sustavu nema drugog jednoznaĉnog smjera. Zbog simetrije polje mora imati istu jakost i suprotan smjer u dvjema toĉkama koje su simetriĉne s obzirom na ravninu raspodjele.
38
Kad smo utvrdili ove ĉinjenice, Gaussov zakon nam neposredno daje rezultat za jakost polja: zamislimo cilindriĉnu plohu koja ima površinu presjeka A, ĉije su izvodnice okomite na ravninu raspodjele (slika 18.3.) . Da bismo dobili zatvorenu, plohu, poloţimo kroz toĉke (P i P') baze koje su paralelne u ravnini. Tok elektriĉnog polja kroz plašt valjka jednak je nuli ( je okomito na normalu svakog elementa plohe), a kroz baze iznosi Elektriĉni naboj unutar plohe iznosi
. Stoga je
.
odnosno
Vidimo da je jakost polja neovisna o udaljenosti od raspodjele. Gornja jednadţba se moţe izvesti tako da se izraĉuna vektorski zbroj doprinosa naboja u svim dijelovima ravninske raspodjele polju u toĉki P.
Slika 18.3. Prikaz plohe za primjenu Gaussovog zakona radi odreĊivanja polja beskonaĉne nabijene plohe.
39
19. Električni potencijal. Veza sa električnim poljem. Potencijal točkastog naboja. Elektriĉni potencijal je veliĉina kojom se izraţava elektriĉna potencijalna energija naboja u elektriĉnom polju. Potencijal je izraz analogan elektriĉnom polju. Svakoj toĉki u prostoru pridruţimo skalarno svojstvo, on ima smisla i za jedno tijelo. Potencijalna energija opisuje meĊudjelovanja i nema smisla za jedno tijelo. Ili: Potencijal U pridruţen elektriĉnom polju
ne smije se zamijeniti s potencijalnom
energijom sustava naboja koji proizvode polje . Potencijalna energija sustava naboja je ukupan rad koji treba utrošiti da se naboji iz rasporeda u kojemu su meĊusobno jako udaljeni dovedu u promatrani raspored. Promotrimo jedan sluĉaj. MeĊudjelovanje dva naboja. Probni naboj pomiĉemo iz toĉke A u toĉku B. Pomicanjem te toĉke vršimo rad, po rad – energija teoremu, . Iz slike 19.1. vidimo
Slika 19.1.
40
Budući da je krivuljni integral elektrostatskog polja neovisan o putu, moţemo ga iskoristiti za definiranje skalarne funkcije :
je rad utrošen na prenošenje nekog elektriĉnog naboja q od A do B u polju podijeljen s q (rad po jedinici naboja). Nazivamo ga još i razlikom električnog potencijala dviju toĉaka. Ukoliko imamo sluĉaj toĉkastog naboja, potencijal će biti:
Ukoliko imamo sustav više toĉkastih naboja, samo ih zbrojimo
41
20. Električno polje kao gradijent potencijala. Ako znamo elektriĉno polje, moţemo izraĉunati elektriĉni potencijal. No, obrnut put je takoĊer moguć: iz potencijala moţemo izvesti elektriĉno polje. Na osnovu jednadţbi iz prethodnog pitanja, zakljuĉujemo da je polje neka vrsta derivacije potencijala. Još u općoj fizici 1 smo nauĉili da se sila dobije kao derivacija energije (u jednodimenzionalnom sluĉaju, kod rad – energije teorema). Pošto je elektriĉno polje vektorsko polje, ta derivacija će biti nešto sloţenija. Objasnit ćemo pojam koji smo već susreli: gradijent. Neka je f (x, y, z) neprekidna funkcija koordinata x, y i z koja se moţe derivirati. Pomoću parcijalnih derivacija
moţemo u svakoj toĉki prostora naĉiniti vektor
kojemu su te derivacije x, y, odnosno z komponenta. Taj vektor naziva se gradijentom funkcije f i piše se grad f ili
:
je vektor koji opisuje promjene funkcije f u okolišu neke toĉke. Gradijent funkcije je vektor ĉiji je smjer jednak smjeru najnaglijeg porasta funkcije, a njegov iznos jednak je derivaciji funkcije po pomaku u tom smjeru. Po analogiji
, dobivamo
Negativan predznak dolazi zbog toga što je elektriĉno polje usmjereno u smjeru smanjenja potencijala, dok je vektor usmjeren u smjeru porasta U. Napomenimo to da sve toĉke koje zadovoljavaju uvijet da imaju isti potencijal predstavljene su u prostoru plohom. Te toĉke (x, y, z) ĉine tzv. ekvipotencijalnu plohu. Ako se od toĉke (x, y, z), u kojoj potencijal ima vrijednost U pomaknemo za vektor ds u toĉku (x+dx, y+dy, z+dz), u kojoj potencijal ima jednaku vrijednost (pomak u tangencijalnoj ravnini ekvipoten. plohe), promjena potencijala, biti će jednaka nuli. MeĊutim, iz tog uvjeta izlazi
.
Općenito i i nisu jednaki nuli , pa zakljuĉujemo da je elektriĉno polje (dakle i silnica polja) okomito na tangencijalnu ravninu ekvipotencijalne plohe u svakoj toĉki prostora.
*Taj izraz moţemo i
izraziti kao :
42
21. Električno polje i potencijal prostorne raspodjele naboja. Promatramo volumno (prostorno) raspodijeljeni naboj (slika 16.2.). Tada je
Odnosno
Integrira se preko volumena (integral je skalar). Vaţno za uoĉiti je, da se ova formula ne moţe koristit u sluĉaju naboja, jer volumen brţe raste nego r . koristi se samo za konaĉnu raspodjelu. Elektriĉno polje smo već raĉunali u 16. pitanju, ali nije na odmet ga ponoviti
43
22. Sila na površinski naboj. Promotrimo sljedeću raspodjelu: jednoliko površinsku raspodjelu naboja gustoće na kuglinoj površini polumjera (slika 22.1.). Ukupan naboj na plohi je . Potencijal izvan kugle je , tj. isti kao da je sa naboj u središtu kugle, dok potencijal na i unutar kugle ima stalnu vrijednost . Gradijent stalnog potencijala jednak je, oĉito, nuli (iz prijašnjih pitanja). Slika 22.1. pokazuje i ovisnosti potencijala i polja o radijusu kugle. Postavljamo si pitanje koja sila djeluje na element površinskog naboja, npr , zbog odbojne sile svih ostalih naboja na kugli? Znamo da je elektriĉno polje tik izvan kugle , dok je unutrašnje polje . Koju vrijednost polja trebamo uzeti da bismo izraĉunali silu na naboj ?
Slika 22.1.
Odgovor je . Zamislimo plošni naboj, ne kao sloj nulte debljine, već kao volumnu raspodjelu naboja u tankom sloju debljine , u kojemu je volumna gustoća stalna i upravo takva da je naboj po jedinici površine jednak . Kako je sljedi da je . Ako se sada vratimo na poĉetno pitanje, dobit ćemo ovaj odgovor: sila na površinski naboj je pa budući da je koliĉina naboja na elementu površine jednaka , dobivamo silu na element plohe dA:
Sila po jedinici površine naprosto je . Ta sila djeluje prema van zbog odbijanja istoimenih naboja ma kugli. Jasno je, ako naboji miruju, da tada moraju postojati druge sile, atomske ili molekulske, koje drţe ravnoteţu odbojnoj sili meĊu nabojima na kugli, koje nisu ukljuĉena u naša razmatranja. Kada bismo naelektrizirali gumeni balon, tada bi se zbog elektriĉne sile, koju smo izraĉunali, balon povećao (tlak nastoji raspršiti nabijenu površinu). I obrnuto, kad bismo htjeli smanjiti promjer sferne raspodjele naboja, morali bismo uloţiti rad u sustav. 44
23. Energija pridružena električnom polju. Potencijalna energija kontinuirane raspodjele naboja. Ako bismo htjeli smanjiti promjer sferne raspodjele naboja, pritom ne pritom ne mijenjajući koliĉinu naboja, morali bismo ulagati rad u sustav. Pretpostavimo da ţelimo smanjiti polumjer kugle s na . Raĉunajući samo rad koji trebamo utrošiti za svladavanje elektriĉnih sila, vidimo da moramo primjeniti prema unutrea usmjerenu silu jaĉine po jedinici površine
Izraz
je energija polja. Kada bismo stisnuli sferu, stavili bismo novo polje u
, gdje
je prethodno polje bilo jednako nuli. Pogledajmo ovaj teorem: ˝Potencijalna energija sustava naboje, tj. ukupan rad koji je potreban da se naboji sustava postave na svoja mjesta, može se izračunati pomoću električnog polja jednostavnim pridjeljivanjem energije svakom elementu volumena i integracijom po cijelom prostoru gdje imamo električno polje˝
je, oĉito, skalarna veliĉina: Premda ne moţemo osjetiti toplinu, ako se pribliţimo elektriĉnom polju, nepobitno je da elektriĉno polje nosi energiju . Gustoća energije el. polja definirana je ovako:
To je zapravo gustoća kojom je energija uskladištena u prostoru.
45
Imali smo beskonaĉnu kuglu koja je nosila naboj Vlastita potencijalna energija je:
te smo ju saţeli na radijus
.
Vidimo da je taj izraz jednak energiji polja, odnosno energija polja i potencijalna en. nabijena šuplje kugle su jednaki. Rad potreban da se izgradi polje kugle jednak je radu potrebnom da se ta kugla sagradi. To vrijedi ako se radi o jednom tijelu, ali ne i općenito! Recimo da imamo sustav dva naboja. Ukupno polje u nekoj toĉki će biti jednak sumi doprinosa dva naboja, prema tome ukupna energija polja je:
Potencijalna energija je samo energija meĊudjelovanja. Kad za energiju integriramo kvadrat polja, integriramo
i dobijemo i one vlastite energije
predstavljaju interakciju. Interakcija je u ovim ĉlanovima tipa
koje ne
.
46
24. Divergencija vektora. Gaussov teorem za električno polje. Elektriĉno polje ima odreĊen smjer i iznos u svakoj toĉki prostora (vektorska je funkcija). Nas zanima izvor elektriĉnog polja. No mi iz Gaussovog zakona ne moţemo naći izvor. Za to nam sluţi pojam divergencija. Promotrimo sljedeći sluĉaj Gledamo tokove kroz dijelove ploha (slika 24.1.). Plohu moţemo podijeliti na puno dijelova, a tok će nam biti isti.
Za toĉkaste ĉestice se zanemaruju vlastite energije jer bi u protivnom bile beskonaĉne
Slika 24.1.
To nam nije mjerilo, doprinosi nam teţe 0.
Uoĉimo da kako se površina smanjuje malom djeliću, tako se i volumen smanjuje
pa to uvrstimo u Gaussov zakon
Tok vektorske funkcije kroz A jednak je integralu divergencije po volumenu unutar plohe. Ako to primjenimo na elektriĉno polje dobivamo Gaussov teorem
Gaussov teorem nam kaţe što je izvor (ponor)
47
Divergenciju moţemo zapisati kao Kada primjenimo gradijent skalarno na vektor govorimo o divergenciji, kada ga primjenimo vektorski govorimo o rotaciji, a kada ga primjenimo na skalar imamo samo gradijent. Dodatak: (Nisu ispitna pitanja) Primjena Gaussovog teorema za raĉunanje polja – Laplaceova i Poissonova jednadţba
Ako naboj postoji
Poissonova jednadţba
Ako naboj ne postoji
Laplaceova jednadţba
U KKS Laplaceova jednadţba glasi:
Linearna diferencijalna jednadţba drugog stupnja (koristi se u teoriji polja, termiĉka ovisnost...). Rješenja su Laplaceove harmoniĉke, sferne funkcije (popriliĉno sloţeni polinomi). Stoaksov teorem Ţelimo naći lokalni kriterij da je neko vektorsko polje konzervativno. Linijski integral po putu od A do B u bilo kojem smjeru je isti Integral po zatvorenom putu išĉezava Za definirati cirkulaciju trebamo smjer obilaţenja krivulje. Uzimamo smjer suprotno od smjera kazaljke na satu za + , a obrnuto – (orijentirana površina). No to nije lokalni kriterij, ne ţelimo rješavati integrale od svih mogućih putova jer je veoma komplicirano. Sliĉno kao kod Gaussovog teorema. Podijelimo krivulju na ponište se; stoga dijelimo na puno manjih krivulja
48
Uz konaĉan
,
; duţina krivulje teţi u 0, ne dobivamo lokalno.
Površina oko krivulje teţi u nulu pa kao u gaussovom zakonu traţimo omjer ; problem je što je orijentirana površina – vektor. Taj vektor je povezan s obilaţenjem plohe i s njim se ne moţe dijeliti (dijeljenje vektorom nema smisla)! No to ne znaĉi da ne moţemo naći komponentu u tom smjeru. Definiramo rotor (engl. curl ) kao
Jediniĉni vektor oznaĉava normalu na element plohe. Smjer vektora normale, , i smjer obilaţenja krivulje K odnese se po pravilu desne ruke. Cirkulacija vektorske funkcije po zatvorenoj krivulji K jednak je toku vektorske funkcije A (povr.) su ustvari sve površine koje krivulja moţe opasati. Kriterij
konzervativna ako je
.
Maxwellove jednadţbe za elektrostatsko polje
Integralne (nelokalne) – po Gaussu
49
25. Vodiči i izolatori. Transport naboja i prodiranje električnog polja. Na predavanjima smo izvodili razne pokuse kojima smo utvrĊivali razlike izmeĊu vodiĉa i izolatora, te pokuse kojima smo ustvrdili diferencijaciju naboja te njegovo prenošenje. Razlika elektriĉnih svojstava dobrog vodiĉa i dobrog izolatora velika je kao i razlika mehaniĉkih svojstava tekućine i ĉvrste tvari. Ova usporedba nije sluĉajna. Oba svojstva ovisna su o pokretljivosti atomskih ĉestica: u sluĉaju elektriĉne vodljivosti to je pokretljivost nosilaca elektriĉnih naboja; kod mehaniĉkih svojstava to je pokretljivost atoma i molekula od kojih je sagraĊena tvar. Jedan od dobrih primjera usporedbe mehaniĉkih svojstava i elektriĉnih, je njihova ovisnost o vanjskim uvjetima, npr. toplini. Kvantitativna razlika izmeĊu izolatora i vodiĉa je: Vodljivost Za izolatore ona je , dok je kod vodiĉa ona . Kod vodiĉa se naboj veoma brzo ( s) raspodijeli po cijeloj površini. Unutar vodiĉa i izvan njega nema el. polja. Za razliku od njih, kod izolatora naboj uglavnom ostane tamo gdje je nanesen ili razdvojen, te polje prodire u homogeni izolator i prostor iza njega. Grubo reĉeno vodiĉi su tvari koje provode elektriĉnu struju (naboj), dok su izolatori tvari koje ne provode elektriĉnu struju (naboj). Primjer nekih vodiĉa su: bakrene ţice, ţeljezo, ĉelik, voda; primjer izolatora: guma, papir (suhi), drvo, plastika.
50
26. Vodič u elektrostatskom polju. Potencijal, gustoća naboja i električno polje na površini i u unutrašnjosti vodiča. Pitamo se: što moţemo reći o elektriĉnom polju unutar vodiĉa nakon što su se naboji umirili? U ravnoteţnom stanju se naboji više ne kreću. U tim uvjetima elektriĉno polje mora biti jednako nuli. Kada ono ne ni bilo jednako nuli, na pokretne nosioce naboja djelovala bi elektriĉna sila, oni bi se pokrenuli, te ne bi bili u ravnoteţnom stanju. U tom zakljuĉivanju izuzeli smo utjecaj drugih sila koje bi mogle utjecati na pomak nosioca naboja kao gravitacijska sila (preslaba da bi djelovala na atomskim razmjerima), ˝kemijska˝ sila itd. U nekim sluĉajevima javljaju se neuravnoteţene nekulonske sile koje djeluju na pokretne nosioce naboja (elektrone , ione). U elektrostatskim uvjetima nalazimo konaĉna elektriĉna polja, koja toĉno poništavaju djelovanje tih drugih sila unutar takvih vodiĉa. Ako promatramo jednoliku, izotropnu vodljivu tvar sa sigurnošću moţemo reći da u unutrašnjosti takvog vodiĉa u elektrostatskim uvjetima makroskopsko elektriĉno polje mora biti jednako nuli. Pokusima smo pokazali da se naboj na površini vodiĉa raspodijeli tako da polje unutar bude nula (pokus s nabijenim elipsoidom – sa strane ima viška naboja nego od gore). Budući da je u elektrostatskim uvjetima površina svakog vodiĉa ploha stalnog potencijala, elektriĉno polje jednako –grad U, mora biti okomito na plohu u svakoj toĉki površine vodiĉa. Na površini vodiĉa nalazimo naglu promjenu elektriĉnog polja: u vodiĉu je , a izvan njega . Skok elektriĉnog polja objašnjava se plošnom raspodjelom naboja na površini vodiĉa. Njena gustoća, , moţe se izravno izraziti elektriĉnim poljem uz površinu vodiĉa Gaussovim zakonom. Oko nekog elementa plohe zamislimo plitku zatvorenu kutiju. Tok kroz bazu kutije u vodiĉu je nula, pa zakljuĉujemo da je , gdje je okomita komponenta elektriĉnog polja na element plohe (drugih komponenta nema jer je polje uvijek okomito na površini vodiĉa). Sav naboj je na površini vodiĉa, tj. plošni integral od na cijeloj površini k-tog vodiĉa jednak je ukupnom naboju na vodiĉu, . Ova razmatranja vrijede za bilo koji takav sustav vodiĉa, naĉinjen od jednolikih, izotropnih vodljivih tvari, izoliranih i smještenih u praznom prostoru u elektrostatskim uvijetima, bez obzira na njihov oblik i razmještaj:
51
u svim toĉkama na površini k - tog vodiĉa. U svakoj toĉki izvan i neposredno uz površinu vodiĉa elektriĉno polje je okomito na površinu vodiĉa, i ima jakost gdje je površinska gustoća naboja
,
Vaţno za uoĉiti je da je polje od svih naboja u sustavu, na bliskim i dalekim tijelima od kojih površinski element sadrţi samo dio.
27. Princip rada gromobrana i Faradayevog kaveza. Prvi ˝šiljati˝ gromobran je izmislio Benjamin Franklin. On je koristio ţeljeznu šipku koja je bila zašiljena na vrhu. Njegov gromobran je ustvari ionizirao zrak oko sebe, ĉime je zrak okolo šipke postao lagano vodljiv, što je rezultiralo većom šansom da munja pogodi gromobran (u neku ruku je privlaĉilo munje). Za vrijeme nevremena (tako se pretpostavlja, toĉan uzrok i mehanizam nastanka munja nisu još razjašnjeni) padajući komadići leda i kiše se polariziraju kako prolaze kroz atmosferino prirodno elektriĉno polje, pomoću elektrostatske indukcije komadići leda se elektriĉno nabiju. Prijenosom naboja sa komadića leda i okolnih oblaka, pretpostavlja se, nastaju munje. Kako se naboj raspodjeli u el. polju na vodiĉu koji je uzemljen, na vrhu gromobrana, šiljku, je koncentracija suprotnog naboja golema, te time ˝privlaĉi˝ munje. Gromobrani su obiĉno uzemljeni tako da se 1 m u zemlju zakopa bakrena ploĉa spojena s gromobranom. Velika gustoća naboja stvara veliko polje oko šiljka te time ˝privlaĉi˝ munje.
Slika 27.1. Farradayev kavez 52
Farradayev kavez (slika 27.1.) predstavlja zaštitu od elektriĉnog polja. Sastoji se od metalne mreţe, odnosno kaveza unutar kojeg se nalazi elektriĉna oprema koja se na taj naĉin štiti od djelovanja elektriĉnog polja. Faradayevim kavezom smatra se i oprema koja sluţi u graĊevinarstvu za zaštitu objekata od udara groma - gromobran. Vanjsko statiĉko elektriĉno polje uzrokuje naboje unutar vodiĉa da se rasporede tako da poništi uĉinke polja unutar Faradayevog kaveza. TakoĊer je unutar faradayevog kaveza elektriĉno polje jednako nula. Farradayev kavez moţemo zamisliti kao šuplji vodiĉ. Vanjsko elektriĉno polje stvara silu na nosioce naboja, ĉime uzrokuje njihovo premještanje do uvjeta ravnoteţe, tj. do nestanka polja unutar vodiĉa (razmještanje traje moţda s). Ako se unutar kaveza nalazi naboj kavez će se influencirati, polje naboja će se prostirati van, osim ako ne uzemljimo kavez (slika 27.2.). Primjer: Koaksijalni kabeli, automobili, avioni, dizala mogu biti faradayevi kavezi (signali mobitela ne prolaze), antistatiĉke vrećice za drţanje raĉunalnog hardwera.
Slika 27.2.
53
28. Pločasti kondenzator. Izvod kapaciteta.
Slika 28.1. Ploĉasti kondenzator
Promotrimo dvije jednake paralelne vodljive ploĉe, postavljene na razmaku s jedna od druge, kao na slici 28.1. Neka je površina svake ploĉe A, i neka je naboj Q na jednoj, a – Q na drugoj ploĉi. Oznaĉimo potencijale na ploĉama sa , odnosno *. U podruĉju izmeĊu ploĉa, podalje od njihovih rubova, elektriĉno polje je gotovo jednoliko. Ako se pretpostavi da jest jednoliko, elektriĉno polje ima jakost . Odgovarajuća površinska gustoća naboja na unutrašnjoj strani jedne odnosno druge ploĉe iznosi:
Ako se promjene , odnosno , koje se javljaju ponajviše uz rubove ploĉa, mogu zanemariti, tada moţemo napisati jednostavan izraz za ukupan naboj na jednoj ploĉi
Oĉekujemo da je gornja jednadţba toĉnija ako je omjer razmaka ploĉa, s, i uzduţnih veliĉina ploĉa manji (zanemarujemo rubove). Naš par ploĉa je primjer elementa elektriĉnih sustava koji nazivamo kapacitor.** Kapacitor je sustav dvaju bliţih vodiĉa, koji su meĊusobno izolirani. Naboji na vodiĉima mogu se mijenjati promjenom njihovih potencijala. Nas zanima odnos izmeĊu naboja Q na jednom vodiĉu i razlike potencijala meĊu njima. Ako promatramo integral
*Potencijal moţemo i oznaĉiti s . **Umjesto rijeĉi kondenzator koristimo izraz kapacitor, jer kondenzacija znaĉi ukapljivanje. 54
Taj integral mora biti isti za bilo koju toĉku p na rubu vodiĉa.
Taj omjer ovisi o dimenzijama i obliku vodiĉa. Ekvivalentna formulacija moţe biti:
Na ploĉastom kondenzatoru vrijedi
Ako se, naravno, zanemare rubni uĉinci. Kada je na jednom vodiĉu kapacitora naboj 1C (a na drugom -1C), a razlika potencijala (napon) meĊu dvama vodiĉima kapacitora iznosi 1V, kapacitor ima kapacitet 1F. Ploĉasti kapacitor kapaciteta 1 F bio bi ogroman: ako bi ploĉe bile razmaknute 1 mm, svaka ploĉa bi morala biti površine od oko 100 . Veći kapaciteti obiĉno se izraţavaju u mikrofaradima , manji u nanofaradima ili pikofaradima Pokusi: Spojili smo jednu ploĉu s elektroskopom, dok smo drugu pribliţavali / udaljavali. Vidjeli smo da ako pribliţavamo ploĉe, listići elektroskopa se skupljaju, a ako udaljavamo ploĉe, listići se razmiĉu. Napomena: Ako izmeĊu ploĉa kapacitora stavimo neki dielektrik, on će smanjiti polje, što će rezultirati manjom razlikom potencijala i većim kapacitetom.
Gdje je relativna permitivnost vakuuma, relativna permitivnost sredstva, površina ploĉa kapacitora, a razmak izmeĊu ploĉa kapacitora.
55
29. Kuglasti kondenzator. Izvod kapaciteta. Polje je radijalno izmeĊu ljusaka, unutar svega je naravno jednak nuli, kao i izvan svega.
Slika 29.1. Kuglasti kapacitor
Gornji izraz je ispravan u dva sluĉaja, odnosno dvije granice:
Zemlja zajedno s ionosferom tvori kuglasti kapacitor zraka.
je ionizirani sloj, zbog UV-
30. Spajanje kondenzatora. Simboli kondenzatora su:
ako je nepromjenjiv, ili
ako je promjenjiv
SERIJSKI SPOJ:
Pri ĉemu je (manji od najmanjeg)
; kapacitet
se smanjuje
56
PARALELNI SPOJ:
Ali naboji neće biti jednaki
Kapacitet će biti povećan Primjena kapacitora i elektrostatike uopće Pohranjivanje goleme energije. Pomoću kapacitora i zavojnice je moguće dobiti golema magnetska polja (~100 T) – sluţi za toĉkasto varenje. Koriste se u tipkovnicama, ispravljaĉima, filtrima, dijelovima logiĉkih sklopova. U Van der Graffovom ureĊaju itd.
31. Energija kondenzatora. Razmotrimo kapacitor kapaciteta C kojemu je meĊu ploĉama razlika potencijala (napon) U. Naboj Q iznosi CU. Na jednoj ploĉi je naboj Q, a na drugoj –Q. Pretpostavimo da povećamo naboj od Q na Q+dQ tako da prenesemo naboj dQ od negativne na pozitivnu ploĉu, suprotno sili elektriĉnog polja koja djeluje na naboj dQ. Moramo utrošiti rad . Stoga za nabijanje kapacitora od stanja s nabojem do nekog konaĉnog stanja s nabojem potrebno je uloţiti energiju.
Ta je energija ˝uskladištena˝ u kapacitoru. Energiju kapacitora moţemo stoga izraziti ovako
Ranije smo našli da je kapacitet kapacitora s usporednim ploĉama površine A, koje su na razmaku s, jednak
, a elektriĉno polje izmeĊu ploĉa je
. Stoga moţemo pisati
57
32. Prenošenje naboja i gustoća struje. Elektriĉne struje su posljedica gibanja nosilaca naboja, tj. elektriĉno nabijenih elementarnih ili sloţenih ĉestica. Elektriĉna struja, npr. u nekoj ţici, mjera je koliĉine naboja koji prolazi presjekom ţice u jedinici vremena. Ona se izraţava u amperima (A). Vodiĉem teĉe struja od 1 A ako se kroz presjek vodiĉa prenosi naboj od jednog kulona u sekundi. Ako se gleda općenito, elektriĉna struja je posljedica gibanja nosilaca naboja u trodimenzionalnom prostoru (relativno gibanje naboja u odnosu na tvar). Da bismo to gibanje opisali, uvodi se pojam vektora strujne gustoće. Promotrimo komadić vodiĉa i gibanje naboja u njemu: Nosioci naboja proĊu kroz površinu A, iz volumena komadiću je
pa je
je broj nosioca naboja u jedinici volumena
, pri ĉemu je
. U tom brzina nosioca naboja, n
; u krutoj tvari je to
broj. Za sluĉaj razliĉitih nosioca naboja I nam je suma doprinosa gustoće, a broj ĉestica;
, golemi ukupni
. Definiramo gustoću struje kao lokalnu veliĉinu
Slika 32.1.
Za više nosioca
58
U praksi je posebno vaţna kod metala – slobodni elektroni su nosioci naboja. Po Paullijevom principu ti elektroni imaju razliĉite energije i razliĉite brzine; tada je
Gdje je driftna brzina ili pomaĉna brzina elektrona (veoma mala). Pozitivna gustoća elektriĉne struje ubrzava one naboje koji su +, suprotna je smjeru gibanja elektrona.
33. Stalne struje i jednadžba kontinuiteta. Stalne struje su one koje ne ovise o vremenu . Elektriĉna struja u dugom vodiĉu stalnog presjeka, kao npr. ţici, naprosto je integral strujne gustoće po presjeku vodiĉa. Struja I kroz bilo koju plohu S plošni je integral
Struja je tok vektora strujne gustoće kroz plohu S.
Slika 33.1.
59
Jednadţba kontinuiteta: koliko uĊe toliko i izaĊe. Tok kroz zatvorenu površinu je
Po Gaussovom teoremu to je
Moţemo vidjeti da li je stalna ili ne. Lokalni kriterij za stalnu struju je
Kada struja ne bi bila stalna imali bi
Opis oĉuvanja naboja – iz volumena moţe teći struja, ali samo ako se ona od negdje smanjuje.
60
34. Električna vodljivost - Ohmov zakon. Elektriĉni naboji se mogu prenositi na mnogo naĉina. Elektriĉno polje teţi pokretanju elektriĉnih naboja, i tako izaziva elektriĉnu struju. Jedno od najranijih eksperimentalnih otkrića o elektriĉnim strujama u tvarima je Ohmov zakon:
Jakost struje koja teĉe kroz vodiĉ proporcionalna je razlici potencijala U na krajevima vodiĉa. Eksperimentalno je potvrĊeno o ĉemu ovisi otpor neke tvari. Ako se vodiĉ odrţava na stalnoj temperaturi, veliĉina R u gornjoj jednadţbi, koju nazivamo otporom vodiĉa, ne ovisi o struji koja teĉe vodiĉem. Ako je vodiĉ veoma dug u odnosu na popreĉne mjere, i jednolik (npr. bakrena ţica), otpor ovisi na jednostavan naĉin o duljini i presjeku vodiĉa: proporcionalan je duljini l i obrnuto proporcionalan površini presjeka vodiĉa A. TakoĊer, otpor ovisi i o tvari od koje je naĉinjen vodiĉ. Svi ti odnosi se izraţavaju jednostavnom relacijom:
Gdje je otpornost tvari. Otpor se izraţava u omima , a otpornost u ommetrima . Te dvije jednadţbe izraţavaju osnovnu ĉinjenicu koja se moţe izreći ovako: U bilo kojoj toĉki u jednolikim ĉvrstim tvarima strujna gustoća proporcionalna je elektriĉnom polju na tom mjestu, a konstanata proporcionalnosti ovisi samo o tvari, a ne o obliku vodiĉa. To znaĉi: (34.1.) Pri ĉemu je elektriĉna vodljivost tvari. Ona je naprosto obrnuto proporcionalna vrijednost otpornosti . Gustoća el. struje je naravno u smjeru elektriĉnog polja. Napomenimo još da vodljivost tvari ne mora a priori biti skalar (moţe takoĊer biti tenzor).
61
35. Model električne vodljivosti. Jednadţba (34.1.) je samo opis opaţenih svojstava velikog broja tvari u izvjesnim podruĉjima uvjeta. Nju ne moţemo izvesti iz osnovnih zakona elektriĉnog polja. Da bismo shvatili njeno znaĉenje, moramo razumjeti procese koji se dešavaju u tvari kada se u njoj primjeni elektriĉno polje, a ti procesi mogu biti vrlo razliĉiti u raznim tvarima.
Elektroni nisu u vakuumu pa se raspršuju zbog toga imamo stalnu brzinu
ubrzavaju se samo odreĊeno vrijeme i
Pri ĉemu je vrijeme izmeĊu dva sudara Drudeovi modeli kvantne mehanike
Ovdje je transportno relativno vrijeme, a efektivna masa nosioca. Povezuje tok struje s mikroskopskim svojstvima tvari. Pokusima smo dokazali da elektroni idu brţe gdje je manji otpor (manja toplina). Dobiva se Joulova toplina (energija inducirana u vodiĉu kojim teĉe struja).
Ukupna snaga predana u jedinici volumena je tada
Snaga je:
Snaga se takoĊer moţe prikazati kao
62
Ako je razlika potencijala (napon) stalna tada je
Da li se metal zagrijava kad kroz njega teĉe struja? Naravno! To znamo iz svakodnevnih iskustava i pokusa. Primjene: Kuhala, grijalice, osiguraĉi – namjerno oslabljeni strujni krug. Problemi nastaju kod odvoĊenja struje kod npr. hidroelektrana i nuklearnih elektrana. Kako prenijeti struju na velike udaljenosti? Povećamo napon (40000 V), i uz pomoć transformatora raspodijelimo dalje ( to ćemo poliţe promatrati u daljnjim pitanjima).
63
36. Vodljivost metala, tipovi veze između atoma u tvari. Metali su najbolji poznati vodiĉi elektriĉne struje. Jednostavnu teoriju voĊenja elektriĉne struje razvili su krajem devetnaestog stoljeća Drude i drugi istraţivaĉi radi objašnjenja vodljivosti metala. Jasno je da je visoka vodljivost metala posljedica gibanja slobodnih elektrona, slobodnih u smislu da nisu vezani za jedan atom i da se mogu gibati cijelom kristalnom rešetkom. Ionska rešetka je veoma propusna za elektrone. Moţemo reći da su ioni zbijeno poredani, tako da se otprilike dotiĉu. Promjene elektriĉne potencijalne energije elektrona duţ neke putanje kroz rešetku mnogo puta su veće od njegove termiĉke kinetiĉke energije. Pokretljivost nosioca naboja u biti je odreĊena vremenom, tijekom kojeg oni dobivaju impuls u smjeru sile kojom elektriĉno polje djeluje na njih. Tip kemijske veze u atomu moţe biti ionska, kovalentna ili metalna. O njima ste uĉili u srednjoj školi. Naravno nisu sve energije elektrona u atomu jednake. Kod kovalentnih veza samo termiĉkim pobuĊenjem se elektroni mogu osloboditi iz valentne ljuske. Kod metalnih veza slobodni elektroni su ˝slijepljeni˝ za metale. Kod metala je posebno to što je broj nosioca naboja konstantan i golem te su na bilo kojoj temperaturi su u metalu valentni elektroni slobodni. Ohmov zakon vrijedi izvanredno toĉno za sve metale i za gustoće struje koje daleko nadmašuju vrijednosti koje se mogu dulje odrţavati. Vodljivost ĉistih metala raste pri sniţavanju temperature. Pri niskim temperaturama mnogi metali provode elektriĉnu struju na takav naĉin da ako se to voĊenje izrazi preko vodljivosti, onda je vodljivost beskonaĉna (to ne objašnjava ta neobiĉna svojstva). Tu pojavu nazivamo supravodljivost.
64
37. Slučajevi kada Ohmov zakon ne vrijedi. Kako moţe doći do kršenja Ohmovog zakona? Pretpostavimo da je elektriĉno polje tako jako da ioni izmeĊu sudara postiţu brzine koje su usporedive s njihovim termiĉkim brzinama.
je termiĉka brzina, a
driftna brzina. Ako su te dvije brzine sliĉne imamo
Što je oĉito ispod mm/s – razlog zašto su struje velike je jer je gustoća naboja velik.
Vrlo snaţna elektriĉna polja mogu uzrokovati ţešće promjene, kao gore navedena promjena broja nosioca. Nosioci naboja postiţu toliku energiju da su njihovi sudari s drugim atomima dovoljno ţestoki da ih mogu ionizirati. Dolazi do povećanja broja nosioca naboja i nastaje lavinski proboj koji predstavlja jako odstupanje od Ohmova zakona.
Pri ĉemu je k Boltzmannova konstanta, a T temperatura. Da bi Ohmov zakon vrijedio treba biti (37.1)
Što je oko 8 redova veliĉine manje polje nego dobiveno u (37.1.) Pretpostavimo da se polje primjeni na naš sustav vrlo kratko vrijeme. Ako je to vrijeme usporedivo, ili kraće, od svojstvenog vremena , oĉito je da moramo preinaĉiti našu teoriju.
To bi znaĉilo da na savršeno ĉistom metalu na temperaturi 0 bi otpor bio 0, no to nije supravodiĉ! 65
38. Energija koja se disipira pri toku struje u vodiču. Zbog disipacije energije polje
ne moţe osigurati kruţni tok struje.
Ne moţemo nadoknaditi gubitak bi se trebao gibati suprotno ; trebamo nekakvu neelektrostatsku silu (slika 38.1.). Za tu neelektrostatsku silu uvodimo motornu silu
=U Slika 38.1.
Imamo elektrostatske ureĊaje poput Van der Graafovog elektrostatskog generatora, Wimhurstovog stroja, dinamometra... No njihova uĉinkovitost je oko 10%, zato danas imamo mehaniĉke generatore koji su gotovo 100% uĉinkoviti. Utrošena ili disipirana energija se obiĉno javlja u obliku toplinske energije.
66
39. Izvori elektromotorne sile: Van de Graffov uređaj i termočlanak.
Slika 39.1. Van der Graffov ureĊaj
Osnovna odlika svake naprave koja daje istosmjernu elektromotornu silu jest neki mehanizam koji prenosi nosioce naboja u smjeru koji je suprotan od smjera u kojem na njih djeluje elektriĉno polje. Van der Graffov elektrostatski stroj (slika 39.1.) je takva naprava. U stalnim uvjetima elektriĉna struja teĉe kroz otpornik R u smjeru elektriĉnog polja , i u otporniku se troši energija (javlja se u obliku topline). Snaga te struje je, kao što smo pokazali, . I unutar stroja elektriĉno polje je usmjereno prema dolje. Gibanje naboja suprotno elektriĉnoj sili postiţe se tako da se na traku naĉinjenu od izolatora (obiĉno gume), koja se kruţno giba, nanose naboji, a traka se mehaniĉki pokreće. Naboji su na traci vezani pa se ne mogu pomicati u smjeru elektriĉne sile (na pozitivne naboje sila djeluje prema dolje, a na negativne prema gore). Snaţno elektriĉno polje oko vrhova ĉešljića unutar elektrode na visokom naponu ipak upija naboje. Za okretanje trake i prenošenje naboja protivno elektriĉnog polja troši se energija koju obiĉno daje elektriĉni motor, benzinski motor ili ĉovjek koji okreće ruĉicu. Van der Graffov stroj je zapravo ˝baterija˝ koja daje elektromotornu silu .
67
Termočlanak U industriji se termoĉlanci preteţito koriste kao temperaturni senzori ili detektori, a takoĊer se mogu koristiti za prenošenje toplinske potencijalne razlike u elektriĉnu potencijalnu razliku (razlika potencijala je napon). Kada spojimo dvije ţice od razliĉitih materijala (npr. bizmut i bakar), te jedan kraj zagrijavamo, postiţemo tok stalne elektriĉne struje u termoelektriĉnom krugu (slika 39.2.).
Slika 39.2. termoelektriĉni krug
Ovu pojavu je otkrio 1821. Thomas Seebeck, i stoga je ta pojava nazvana Seebeckov efekt ili termoelektriĉni efekt. Jaĉina efekta ovisi o korištenom metalu. Razliĉiti metali imaju razliĉite izlazne radove – razdvajanje naboja. Na samom spoju dolazi do pojave viška naboja.
Pri ĉemu je Seebeckov koeficijent ili termostruja . Ako i napravimo temperaturu reda 1000°C, to nam moţe dati 1V, ali i 1V u metalu moţe dati jaku struju kao što smo vidjeli s pokusom s magnetom, metalom i grijanjem. Naravno s jakom strujom javlja se i jako magnetsko polje, a korištenjem radioaktivnog materijala za zagrijavanje termoelektriĉnog kruga omogućava ne samo jaĉi, već i dugotrajniji izvor struje (koristi se u špijunskom satelitima, i ako oni padnu to moţe biti veoma opasno).
68
40. Kemijski izvori elektromotorne sile: članci i baterije. U obiĉnim baterijama kemijska energija uzrokuje gibanje nosilaca naboja kroz jedno podruĉje u kojemu se elektriĉno polje suprotstavlja njihovu gibanju. To znaĉi da npr. pozitivan nosilac naboja prelazi na mjesto višeg elektriĉnog potencijala, ako se pritom desi kemijska reakcija u kojoj se oslobaĊa veća energija od energije koja je potrebna da se ˝popne na elektriĉno brdo˝. Pogledajmo Voltin članak. On je opći naziv za kemijske naprave koje daju elektromotornu silu. Još je Galvani 1790. s pokusima na ţabama utvrdio na mogućnost kemijskog dobivanja elektriĉne struje. Volta je kasnije pokazao da je uzrok tog ˝ţivotinjskog elektriciteta˝ spoj dvaju razliĉitih metala. On je koristio serijski spoj od nekoliko ĉlanaka, svaki se ĉlanak sastojao od cinĉane i bakrene ploĉe, izmeĊu kojih je bio postavljen namoĉeni karton. Danas poznajemo mnogo razliĉitih vrsta voltinih ĉlanaka (Leclancheov ĉlanak, automobilska baterija (akumulator), Westonov standardni ĉlanak, itd.). Ako imamo umoĉena dva štapića, jedan od cinka, drugi od bakra, u otopinu kiseline ili luţine, u otopini će se dešavati kemijska reakcija (neka otopina bude sulfatna kiselina i voda ).
Pozitivni ioni će otići od negativno nabijenog štapa (Zn), cink će se otapati dok ne nastane elektrokemijski potencijal U= - 0.5V. U tom procesu dva atoma vodika ostanu slobodna, te ˝kradu˝ bakru elektron te izlaze van sve dok na bakru ne nastane razlika potencijala od U= 0.6 V . Tada je te kemijska reakcija stane. Ako ta dva štapića spojimo ţicom kemijska reakcija će se dešavati sve dok ne ponestane kiseline ili se cink ne otopi. To naravno rezultira slabljenjem baterije (cink oksidira, a vodik reducira). Jedan primjer netermodinamiĉkog kemijskog izvora je goriva ćelija. Gorive ćelije kada rade daju vodu (ne zagaĊuju), i rade na principu elektrolize vode.
69
41. Kirchoffova pravila. Još smo u srednjoj školi nauĉili Kirchoffova pravila. No prvo promotrimo na koje naĉine moţemo spajati razne elemente u strujnoj petlji, toĉnije otpornike (što smo takoĊer nauĉili u srednjoj školi): Serija (slika 41.1.)
Slika 41.1. Serijski spoj otpornika
Paralela (slika 41.2.)
Slika 41.2. Paralelni spoj otpornika
Nakon što smo pokazali spajanje otpornika moţemo ponoviti Kirchoffova pravila: 1. Zbroj iznosa struja iz svakog ĉvora mreţe (mjesta gdje se spajaju dva ili više prikljuĉnih vodiĉa) jednak je nuli (moraju se uzimati u obzir smjerovi struje: pozitivan – iz ĉvora, negativan – u ĉvor. Naravno to je poznati uvjet oĉuvanja naboja, izraţen jezikom elektriĉnih mreţa).
70
2. Zbroj napona (razlika potencijala) redom oko svake petlje mreţe (puta koji poĉinje i završava u istom ĉvoru) jednak je nuli (to je ˝mreţno˝ izraţavanje općeg pravila da je cirkulacija elektriĉnog polja,
Pri ĉemu je elektromotorna sila, a
po zatvorenoj krivulji, jednaka nuli).
napon struje petlje.
3. Struja kroz svaki otporni element jednaka je omjeru napona preko tog elementa i otpora elementa.* Kada se ova pravila za bilo koju mreţu izraze jednadţbama, dobiva se sustav toĉno toliko linearnih jednadţbi koliko je potrebno da se osigura jedno i samo jedno rješenje za struje, napone, itd. Spomenimo da sustav jednadţbi istosmjerne elektriĉne mreţe ovisi samo o topologiji mreţe, tj. o obiljeţjima slike spojeva koja ne ovise o promjenama spojnih crta.
*Zadnji Kirchoffov zakon je ustvari Ohmov zakon za strujnu petlju. 71
42. Naboj i struja izbijanja i nabijanja kondenzatora kroz otpornik. Pretpostavimo da je kapacitor kapaciteta C nabijen na napon i da se u nekom trenutku na njegove prikljuĉke spoji otpornik otpora R. Slika 42.1. prikazuje kapacitor, otpornik i prekidaĉ.
Slika 42.1.
Zamislit ćemo da se prekidaĉ zatvori u trenutku t = 0. Oĉito je da će, zbog toka struje, kapacitor postepeno gubiti svoj naboj, napon preko njegovih prikljuĉaka će se smanjiti, i zbog toga će se smanjivati i tok struje. Da bismo toĉno vidjeli što se dogaĊa, moramo napisati odnose koji vrijede za ovaj strujni krug. Oznaĉimo s Q naboj i s U napon kapacitora. U je ujedno i napon preko otpornika. Neka je I struja kruga, a uzimat ćemo da je pozitivna ako teĉe iz pozitivnog prikljuĉka kapacitora. Sve te veliĉine su funkcije vremena i meĊusobno se ovako odnose:
Vidimo da sve veliĉine opadaju na isti eksponencijalni naĉin kao na slici 42.2.
72
Ako stavimo
imamo
I isto za svaku veliĉinu u gore navedenim jednadţbama.
Slika 42.2. Eksponencijalna ovisnost
U trenutku zatvaranja prekidaĉa struja trenutaĉno naraste na i zatim se eksponencijalno smanjuje ka vrijednosti nula. Vrijeme koje oznaĉuje taj pad struje je konstanta kruga (vrijeme smirivanja / relaksacije) RC. Dimenzija te konstante je vrijeme (s).
73
43. Oerstedov pokus. Veza između struja i magneta. Sila između vodiča pod strujom. 1819./1820. Na svom predavanju iz elektriciteta Hans Christian Oersted je izveo pokus, traţeći odgovor na pitanje imaju li struja i magnetizam nekakvu meĊusobnu povezanost. Stavio je magnetsku iglu ispod ţice, usmjerenu poprijeko na ţicu. Ukljuĉivanje struje nije imalo nikakvog uĉinka. Nakon predavanja nešto ga je ponukalo da ponovi pokus, ali s paralelnom ţicom i iglom. Kad je ukljuĉio struju, igla se jako otklonila, a kad je promijenio smjer struje, igla se otklonila na drugu stranu. Oerstedov pokus je utvrdio povezanost struje i magnetizma. To je naravno imalo golem uĉinak na nastavak prouĉavanja, sada već slobodno kaţemo, elektromagnetizma. Nedugo nakon njegova otkrića slijedili su mnogi drugi pokusi. Ampere, Faraday, Maxwell, Lorentz, Thomson, Hertz i Einstein su samo ˝najzvuĉnija˝ imena meĊu istraţivaĉima elektromagnetizma. Kod promatranja veza izmeĊu struja i magneta moţemo reći sljedeće: 1. Magneti djeluju na naboje koji se gibaju i ako su slobodni 2. Struje meĊudjeluju 3. MeĊudjelovanja 1. i 2. nisu elektriĉna – ako struja ide samo kroz jednu ţicu nema meĊudjelovanja Imajući u vidu ove pretpostavke izveli smo pokuse. Kroz dvije paralelne ţice smo pustili struju i one su se, ovisno o smjeru struje, privlaĉile ili odbijale. Uoĉili smo da djeluje neka sila. Ta sila ovisi samo o gibanju naboja u vodiĉima, tj. o dvjema strujama. Ĉak smo stavili bakrenu ploĉu izmeĊu dva vodiĉa, ali se ništa nije promijenilo. Te sile, koje se javljaju kada se naboji gibaju, nazivaju se magnetske sile. Sila koju mi promatramo je Lorentzova sila
Pri ĉemu je
magnetsko polje, a
imamo i elektriĉno polje i Lorentzova)
brzina naboja (ĉestice) koja se giba. Ako još
tada je sila koja djeluje na ĉesticu superpozicija sila (Coulombova
(43.1.) Jednadţbu (43.1.) uzet ćemo kao definiciju magnetskog polja (jedinica je tesla (T) ). Magnetsko polje je vektor koji odreĊuje dio ukupne sile koja djeluje na naboj u gibanju, koji ovisi o brzini. 74
Svojstva Lorentzove sile:
Lorentzova sila ne mijenja energije. Ona samo skreće naboj (oko smjera magnetskog polja) Naĉin na koji ju mjerimo je sljedeći: Uzmemo ĉesticu poznatog naboja q. Izmjerimo silu na q u mirovanju da bismo odredili elektriĉno polje na zadanom poloţaju. Zatim izmjerimo silu na ĉesticu kad prolazi istim poloţajem brzinom . Ponovimo mjerenje sa
u
drugom smjeru. Odredimo magnetsko polje koje zadovoljava te rezultate, taj je magnetsko polje na zadanom poloţaju. Naravno to nam ne objašnjava zašto je sila proporcionalna brzini, ako znamo da elektriĉno polje ne ovisi o brzini. Sada ćemo objasniti kako do toga dolazi i zašto je to tako.
75
44. Naboj koji se giba: mjerenje iznosa i invarijantnost. Naboj se moţe mjeriti samo preko uĉinka koje on proizvodi. Toĉkasti naboj q koji miruje moţe se izmjeriti odreĊivanjem sile koja djeluje na ispitni naboj koji je na nekoj udaljenosti od q. Takva mjerenja se zasnivaju na Coluombovom zakonu, meĊutim ako se naboj giba, nemamo osnove za njegovo mjerenje. Moguće je da sila na ispitni naboj ne ovisi samo o udaljenosti od q, već i o smjeru od . TakoĊer se ne moţemo puozdati u pretpostavku da je sila uvijek u smjeru poloţajnog vektora . Da bismo obuhvatili sve mogućnosti, dogovorimo se da ćemo definirati q na osnovi prosjeĉne sile po svim smjerovima. Zamislite da se veliki broj infinitezimalnih naboja jednoliko raspodijelilo na kuglinoj plohi. U trenutku prolaska naboja q kroz središte kugle mjerimo radijalne komponente sila na svaki ispitni naboj te prosjeĉnu vrijednost iznosa tih sila upotrijebimo za izraĉunavanje q. MeĊutim, ovaj je postupak upravo ono što bismo trebali naĉiniti da se u istom trenutku odredi plošni integral polja. Ne zaboravimo da svi ispitni naboji miruju pa sila na podijeljena s iznosom daje, po definiciji, elektriĉno polje na poloţaju naboja . To ukazuje na to da Gaussov, a ne Coulombov zakon daje prirodnu (ne jedinu moguću) definiciju koliĉine naboja jedne ili više nabijenih ĉestica koje se gibaju. Tu definiciju moţemo izreći ovako: Koliĉina elektriĉnog naboja u nekom volumenu definira se pomoći plošnog integrala elektriĉnog polja po plohi S koja obuhvaća taj volumen. Ploha S miruje u nekom koordinatnom sustavu F. U bilo kojem trenutku i u bilo kojoj toĉki (x, y, z) elektriĉno polje mjeri se pomoću sile na ispitni naboj koji miruje u tom trenu na tom mjestu. Plošni integral se odreĊuje u odreĊenom trenutku t. To znaĉi da će vrijednosti polja istovremeno izmjeriti svi opaţaĉi na plohi S. Oznaĉimo taj plošni integral po plohi S i u trenutku t sa
Koliĉina naboja unutar plohe S definira se u skladu s Gaussovim zakonom: (44.1.) Ne bi bilo dobro kada bi ovako odreĊena vrijednost ovisila o izboru plohe S. Pitamo se vrijedi li Gaussov zakon kada se naboji gibaju? Na sreću vrijedi. To je eksperimentalno utvrĊeno. Formulu (44.1.) definiramo kao koliĉinu naboja u nekom volumenu.
76
Poznati su vrlo uvjerljivi dokazi da se ukupan naboj u nekom sustavu ne mijenja zbog gibanja nosilaca naboja. Primjer je neutralnost atoma i molekula. Iznos plošnog integrala u Gaussovom zakonu ovisi samo o broju i vrstama elektriĉno nabijenih ĉestica unutar plohe S, a ne o naĉinu njihova gibanja. Ako ova izreka vrijedi u jednom inercijalnom sustavu, prema postulatu relativnosti, ona mora biti istinita u svakom inercijalnom sustavu. Prema tome vrijediti će
Pri tome gledamo dva sustava, F i F', i ne smijemo predvidjeti razliku izmeĊu t i t' ( istovremeni dogaĊaji u F ne moraju biti istovremeni u F'), svaki od ta dva integrala promatramo u njegovom sustavu. Gornja je jednadţba izreka relativistiĉke invarijantnosti elektriĉnog naboja. Našu Gaussovu plohu moţemo izabrati u bilo kojem inercijalnom sustavu; plošni integral dat će iznos koji je neovisan o sustavu. To nije isto što i oĉuvanje naboja, o kojem smo raspravljali u 33. pitanju, a izraţava se jednadţbom
Oĉuvanje naboja ima ovo znaĉenje: Ako uzmemo zatvorenu plohu, koja miruje u nekom sustavu i sadrţi neku koliĉinu nabijene tvari, i ako nabijene ĉestice ne prolaze kroz tu plohu, onda je ukupan naboj unutar te plohe kroz tu plohu stalan u vremenu. Invarijantnost ima ovo znaĉenje: Ako istu koliĉinu nabijene tvari gledamo iz dva sustava izmjeriti ćemo toĉno isti iznos naboja. Energija je oĉuvana, ali nije relativistiĉka (niti nerelativistiĉka) invarijantna. Naboj jest oĉuvan i on jest relativistiĉka invarijanta. Energija je jedna komponenta ĉetverovektora impulsa i energije, dok je naboj skalar, invarijantna veliĉina s obzirom na Lorentzove transformacije.
77
45. Električno polje pločastog kondenzatora u sustavu koji se giba stalnom brzinom. Već smo ustvrdili da naboj ne ovisi o brzini (invarijantan je), ali sila moţe ovisiti o brzini (sila povezana sa poljem ovisi o brzini). Promatramo transformacije polja. U sustavu F nalaze se dvije mirne površinske raspodjele naboja stalne površinske gustoće naboja . Svaka je ploha kvadrat sa stranicama duljine b, obje paralelne s xy ravninom, a njihov meĊusobni razmak, u odnosu na b, je toliko malen da se elektriĉno polje u prostoru izmeĊu njih moţe smatrati jednolikim. U sustavu F će polje biti jednako ( ). Ako promatramo sustav F' , koji se jednoliko giba u lijevo u odnosu na F brzinom , promatraĉu u tom sustavu nabijeni ˝kvadrati˝ više nisu kvadrati. Njihova je duljina sada
, a polje je
. Naboj je invarijantan, pa je
. Moţemo zakljuĉiti da je polje izvan dviju ploha jednako nuli, izmeĊu je jednoliko, barem u granici beskonaĉno velikih ploha. Zbog skraćivanja duţine je i veće jer je naboj gušći. Imamo
Ako promatramo razmještaj gdje su površinske raspodjele okomite na os x, u sustavu F polje je u smjeru x – osi. Ako se takva raspodjela naboja promatra u sustavu F' dobiva se ista površinska gustoća kao u sustavu F. Promjenjuje se razmak izmeĊu ploĉa, koji ne utjeĉe na jakost polja ( ). Tu se vidi korisnost koncepta polja. Kada promatraĉ u sustavu F u nekoj prostor – vremenskoj toĉki izmjeri polje, on na osnovi tih mjerenja mora moći predvidjeti, odnosno izraĉunati što bi opaţaĉi drugih sustava izmjerili u istoj prostor – vremenskoj toĉki. Kada to ne bi vrijedilo, pojam polja bi nam bio beskoristan. Prema gornjim razmatranjima, ako u bilo kojoj toĉki u F razdvojimo polje paralelnu
i okomitu
komponentu u odnosu na brzinu
vremenskoj toĉki u sustavu F' elektriĉno polje brzinu, vrijediti će
na
te u istoj prostorno –
se rastavi na iste komponente u odnosu na
To vrijedi ukoliko je polje u sustavu F proizvedeno nabojima koji miruju u tom sustavu.
78
46. Električno polje točkastog naboja koji se giba stalnom brzinom. Promatramo iz sustava naboja – q miruje u ishodištu sustava F (slika 46.1.). U svakoj toĉki prostora jakost elektriĉnog polja je
i
ono je radijalno usmjereno. Komponente tog polja su:
Slika 46.1.
Još neka bitna svojstva polja su da je ono, osim što je radijalno usmjereno, jednoliko podijeljeno po smjerovima i konzervativno
Sustav F' u odnosu na sustav ĉestice ima
(LS sustav). Trebati će nam i
Lorentzove transformacije Promatramo polje u trenutku
. .
79
Kutna ovisnost nije postojala, jer je raspodjela bila jednolika, imamo:
Pitamo se kako to ovisi o kutu i brzini?
Okomita komponenta polja je puno veća. Vidimo da je polje ne samo radijalno nego je i pojaĉano s brzinom (okomitom komponentom). Naboj koji se giba ne stvara samo elektriĉno polje , već i magnetsko polje . Zato djelovanje tog naboja na drugi naboj koji se giba nije uvjetovano samo elektriĉnim poljem, već i magnetskim (mi smo izraĉunali samo jednu komponentu).
80
47. Međudjelovanje naboja koji se gibaju. Poznato je da na naboj u gibanju moţe djelovati sila koja ovisi o brzini naboja. To je sila uzrokovana magnetskim poljem, ĉiji su izvori elektriĉne struje, tj. drugi naboji koji se gibaju. Promotrimo sustav ĉestica, koji miruju i koji se gibaju, kao na slici 47.1. i 47.2.
Slika 47.1
Slika 47.2.
Uzmimo prvo sustav gdje se naboji gibaju. Jer je okomita komponenta sile, kao što smo vidjeli iz prethodnih pitanja
(47.1.)
Polje ĉestice od ĉestice koja se giba je povećano, a smanjenje sile nije posljedica elektrostatske interakcije jer je . Mora postojati neka druga interakcija. Znamo da je to magnetsko polje . Ako jednadţbu (47.1.) pomnoţimo s
i dobivamo
(47.2.)
Ukupna sila je
Za svaku razumnu brzinu zbog
je i
(naravno ne uvijek).
81
(47.3.) Pitamo se je li jednadţba (47.2.) jednaka (47.3.)? Odnosno provedemo dimenzionalnu analizu vidimo da je sve u redu.
. Ako
Vidimo da magnetsko polje daje doprinos sili. Naboj koji se giba stvara i elektriĉno i magnetsko polje. Oba polja postoje i u drugim smjerovima, ali su manja.
Ĉak i u vakuumu, gornja jednadţba vrijedi i za elektromagnetske valove, samo je . Polja nisu u istom smjeru.
82
48. Lorentzova sila. Sila na vodič kojim teče struja.
Lorentzova sila je sila koja djeluje na elektriĉni naboj q koji se giba brzinom
u
magnetskom polju i na njega djeluje elektriĉno polje . Iznos i smjer Lorentzove sile dobijemo zbrojem magnetske i elektriĉne sile na elektriĉni naboj:
Ponekad se kao Lorentzova sila podrazumijeva samo magnetska sila:
Elektriĉna sila djeluje u smjeru djelovanja polja , dok se magnetska sila moţe odrediti prema pravilu desne ruke: otvoreni dlan se postavi tako da silnice magnetskog polja ulaze u njega, a prsti pokazuju smjer gibanja, te tada ispruţeni palac pokazuje smjer djelovanja magnetske sile. Promotrite sliku 48.1.
Slika 48.1. Putanja ĉestice u magnetskom polju u ovisnosti o predznaku elektriĉnog naboja.
Sila na vodiĉ kojim teĉe struja biti će (48.1.) Odnosno nakon integriranja i rješavanja vektorskog produkta
Gdje je kut izmeĊu smjera struje i smjera polja. Sila okomita je na ravninu koju razapinju smjer struje i smjer magnetskog polja, odreĊen je pravilom desne ruke. Jednadţba (48.1.) se moţe izvesti na osnovi zakona sile na element naboja dq koji se giba brzinom , . Ako se naĉine zamjene
i
izravno dobivamo:
83
49. Sila kojom međudjeluju dva paralelna vodiča kojima teku struje. Pogledajmo sliku 49.1.
– je smjer ovijanja prstiju desne ruke oko palca ( );
- permeabilnost vakuuma.
Ukoliko je Slika 49.1. dva paralelna, beskonaĉno duga vodiĉa kojima teku stalne struje
Ukoliko su struje u istom smjeru ţice, kojima teĉe struja, će se privlaĉiti. Ako struje teku antiparalelno ţice će se odbijati. Kod magnetskog polja takva situacija nije trivijalna. Dodatak
Ako uzmemo da je razmak izmeĊu ţica na 1 m duljine, sila koja će se pojaviti biti će ampera, jedinice za elektriĉnu struju.
, struja koja teĉe obama ţicama , . To je upravo definicija 1
84
50. Stokesov teorem, cirkulacija i rotor vektora. Stoaksov teorem smo već izrekli u 24. pitanju, ali nije na odmet ponoviti ga. Prvo recimo što je cirkulacija vektora. Za definirati cirkulaciju trebamo smjer obilaţenja krivulje. Uzimamo smjer suprotno od smjera kazaljke na satu za + , a obrnuto – (orijentirana površina). Kako se smanjuje cirkulacija, smanjuje se i površina petlje kojom obilazi vektor sile, stoga promatramo omjer cirkulacije i površine petlje. Ako se smanjuju promatramo njihovu graniĉni vrijednost
Smjer vektora normale, , i smjer obilaţenja krivulje odnose se po pravilu desne ruke. Na taj se naĉin u graniĉnom prijelazu postiţe skalarna veliĉina koja je pridruţena toĉki P i smjeru u vektorskom polju . Moţemo izabrati tri nezavisna smjera, npr. , da bismo dobili tri razliĉita skalara. Moţe se pokazati da se te tri veliĉine mogu smatrati komponentama jednog vektora. Taj vektor nazivamo rotacija vektorskog polja
i oznaĉavamo s
.
Pomoću cirkulacija oko malih elemenata površine S(C) moţemo izraziti cirkulaciju duţ poĉetne velike petlje C:
Ako pustimo da N neograniĉeno raste, a svi
teţe nuli. Tada imamo
Stoaksov teorem uspostavlja odnos krivuljnog integrala vektora s plošnim integralom rotacija vektora.
85
Dodatak Rotacija u KKS
Ili u obliku determinante
Dodatak Moţemo primijeniti rotor i divergenciju na statiĉko magnetsko polja:
Cirkulacija magnetskog i elektriĉnog polja. Magnetsko polje nije konzervativno, što znaĉi da ima rotor. Ako gornje jednadţbe udruţimo s Stoaksovim teoremom dobivamo
Vidimo da vrijedi za bilo koju površinu A koja se da opasati oko krivulje K
Vidimo da je magnetsko polje nekonzervativno i vrtloţno, ali ne vrši rad ni po otvorenoj niti po zatvorenoj krivulji, jer je Lorentzova sila okomita na put pa ne vrši rad – samo skreće putanju. No zašto se onda ţice kojima teĉe struja pomiĉu u magnetskom polju? Iz gornje relacije ne moţemo ništa zakljuĉiti, jer je rotor naprosto derivacija ( moţe biti i ). Rotor nam govori je li polje vrtloţno ili ne, dok nam divergencija govori je li to izvor ili ponor polja. Ne moţemo naći izvore mag. polja jer su mag. silnice zatvorene krivulje (koliko uĊe toliko i izaĊe –
)
86
51. Cirkulacija gustoće magnetskog toka (B) oko i izvan vodiča kojim teče struja. Raĉun Ampera je išao ovako: Ako imamo zatvorenu petlju kroz koju teĉe struja(slika 51.1.), linijski integral magnetskog polja po bilo kojoj krivulji na toj petlji će imati istu vrijednost na bilo kojem dijelu petlje.
Slika 51.1.
Vidimo da je cirkulacija gustoće magnetskog polja proporcionalna struji. Ako izrazimo .Koliko god povećamo radijus petlje oko vodiĉa magnetsko polje se neće promijeniti. Što ako krivulja nije kruţnica, nego nekakva krivulja, a ţica nije u centru (slika 51.2.)?
Gdje je po tome je
projekcija luka – kruţni luk na udaljenosti pripadni kut
,a
.
Slika 51.2.
Vidimo da nema veze da li je krivulja kruţnica ili ne, cirkulacija magnetskog polja će i dalje postojati. No da li će ona postojati ako je krivulja izvan petlje? Imamo
Cirkulacija išĉezava, iako polje postoji. Moţemo na kraju reći:
87
52. Amperov teorem (zakon). Primjena na računanje gustoće magnetskog toka (B) torusa i dugačke zavojnice. Amperov zakon (teorem) povezuje magnetsko polje , s njegovim izvorom, gustoćom struje . Općenito gledajući jednadţba nije u potpunosti toĉna u obliku u kojem ćemo ju mi napisati, u našem sluĉaju se radi o stalnom elektriĉnom polju ( ). Amperov zakon se moţe napisati u dva oblika: integralnom i diferencijalnom. Oba izraza su ekvivalentna i povezana Kelvin – Stoaksovim teoremom (o kojemu nećemo ovdje previše govoriti). Integralni oblik:
Odnosno
Pri ĉemu je magnetsko polje, infinitezimalni dio zatvorene krivulje K, dvostruki integral oznaĉava površinu S zatvorenu krivuljom K, ono samo oznaĉava da se radi o dvodimenzionalnom dijelu površine (općenito dvostruki integral oznaĉava površinu, a trostuki volumen), je konstanta permeabilnosti vakuuma, je infinitezimalni element površine S (vektor iznosa dijela infinitezimalne površine, a smjera normale na nju, po pravilu desne ruke oko krivulje K), I' je struja koja prolazi kroz površinu S (preko toka ). Diferencijalni oblik:
Odnosno
Ako uzmemo u obzir da elektriĉno polje nije stalno u vremenu, dobivamo Amper – Maxwellovu jednadţbu. Maxwell je u obzir uzeo i pomaĉne struje i promjenu elektriĉnog polja:
Odnosno
88
Polje beskonačne tanke zavojnice i torusa Kod beskonaĉne zavojnice, njen promjer će biti puno manji od duljine Pogledajmo sliku 52.1.
Kad ju presijeĉemo, izgleda kao dvije ploĉe. Vrijediti će sluĉaj kao kod dvije paralelne ploĉe
Slika 52.1.
Gornja jednadţba neće vrijediti za konaĉnu zavojnicu.
Kada pustimo struju zavojnica će se zagrijati. N je ukupni broj namotaja. Kod torusa koristimo idealizaciju: beskonaĉna ţica zavijena u kruţnicu kao na slici 52.2. Cijelo polje, kod torusa, je u konaĉnom dijelu prostora, najveće moguće uz dani broj namotaja n i struju I.
Slika 52.2.
Torus se koristi kao metoda za ĉuvanje plazme u fuzijskim reaktorima. Radili smo pokus s toroidalnom zavojnicom, lanenim uljem i pšeniĉnom krupicom te smo pokazali da samo unutar torusa imamo polje.
89
53. Biot-Savartov zakon. Biot – Savartov zakon moţemo dobiti na više naĉina. Ono je jednadţba koja opisuje magnetsko polje , koje stvara elektriĉni tok. Vektorsko polje ovisi o jaĉini, smjeru, duţini i blizini elektriĉnog toka i o fundamentalnoj konstanti . Biot – Savartov zakon vrijedi u magnetostatiĉkoj aproksimaciji i rezultira time da je magnetsko polje konzistentno s Amperovim i Gaussovim zakonom. Biot – Savartov zakon se koristi za raĉunanje magnetskog polja kojeg generira elektriĉni tok koji je stalan u vremenu, kontinuiran tok naboja (npr. kroz ţicu koja je konstantna u vremenu i gdje nema nagomilavanja naboja niti njegovog gubitka). Jednadţba glasi:
Samo kada je ţica dovoljno tanka ima isti smjer kao i segment ţice . Za debele ţice koristimo (što je dosta nezgodno jer se integrira po volumenu). Sumiramo doprinose
No to je krivuljni integral, i rješiv je samo za udţbeniĉke sluĉajeve. Nema praktiĉne koristi (moţe se, naravno, riješiti numeriĉki). Taj zakon je koristan: Koristi se pri prouĉavanju mozga (iz magnetskog polja naći struje) Struje u supravodiĉima Moţe ocijeniti koje putanje u sluĉaju tijela su, kod gravitacijske sile, stabilne, a koje ne. Usporedbe Coulombovog i Biot – Savartovog zakona
90
Omjer elektriĉnog i magnetskog polja je brzina . Postoje formalne sliĉnosti, ali i razlike. Svaki sferno simetriĉni naboji se mogu opisati toĉkastim nabojem, za magnetsko polje nemamo samo matematiĉki korak za takve naboje, dok elektriĉno polje uistinu postoji. Primjene: polje beskonaĉno duge ţice, ravne, kojom teĉe struja. Koristi se za izraĉunavanje brzina koje proizvode vrtlozi u aerodinamici. Ako promatramo vektorski potencijal magnetskog polja Savartov zakon u diferencijalnom obliku:
Pri ĉemu smo upotrijebili
moţemo izraziti Biot –
.
Elektriĉni potencijal je imao fizikalno znaĉenje, magnetski baš i nema, on je samo koristan matematiĉki produkt.
91
54. Magnetsko polje prstena kojim teče stalna struja. Slika 54.1. prikazuje petlju u obliku kruţnice, tj. prstena. Polje izvora je dipolno. Polje mora biti simetriĉno s obzirom na zakrete oko te osi, osi z. Pomoći Biot – Savartovog zakona moţemo izraĉunati polje na osi simetrije. Svaki element prstena duljine daje doprinos koji je okomit na . Trebamo raĉunati samo z komponentu jer polje na osi, zbog simetrije, mora leţati na toj osi:
Integracija po prstenu je lagana jer su svi mnoţitelji stalni pa zbog dobivamo:
U središtu prstena je z=0, pa je jakost polja u središtu Slika 54.1.
Ako gledamo dipolno polje
92
55. Magnetsko polje na osi konačne zavojnice. Cilindriĉna zavojnica od vodiĉa se obiĉno naziva solenoid (slika 55.1.). Pretpostavljamo da je vodiĉ jednoliko i gusto namotan, a broj zavoja po jedinici duljine duţ zavojnice, n, je stalan. Stvarni strujni tok je helikoidan (u obliku zavojnice), ali ako ima mnogo zavoja i ako su gusto zbijeni, to moţemo zanemariti i cijelu zavojnicu gledat kao jednakovaljani niz pravilno sloţenih prstenova. Uz takvu pretpostavku koristimo Biot – Savartov zakon kao u prethodnom zadatku. Izraĉunamo prvo doprinos strujnih prstenova izmeĊu stoţastih ploha ĉiji su vrhovi u toĉki z , a s osi z zatvaraju kutove , odnosno . Duljina odsjeĉka zavojnice izosi pa je u njemu sadrţano i stoga je taj odsjeĉak jednakovaljan prstenu kojim teĉe struja . Budući da je , doprinos tog dijela zavojnice osnom polju iznosi:
Slika 55.1.
Integriranjem dobivamo
Ukoliko imamo beskonaĉnu zavojnicu
,a
, u tom sluĉaju imamo i
te je
U sredini imamo veoma dobru idealizaciju homogenog polja, vaţno je napomenuti da, ipak kroz neke zavoje prolazi magnetsko polje. Cilindriĉan sloj struje uzrokuje prekidnost jakosti magnetskog polja i presavijanje silnica.
93
56. Tok magnetskog polja kroz zatvorenu i otvorenu površinu. Pod pojmom magnetskog toka podrazumijevamo plošni integral magnetskog polja po površini kojoj je petlja graniĉna krivulja. Tok kroz zatvorenu petlju ili krivulju C jednak je plošnom integralu magnetskog polja po površini :
C moţe biti graniĉna linija beskonaĉno broja ploha. Nije nam vaţno koju ćemo plohu primijeniti za izraĉunavanje toka, ima istu vrijednost za sve takve plohe. Ako pogledamo sliku 56.1. vidjeti ćemo da je tok kroz biti će . Uoĉite da je smjer vektora
(prema
gore) izabran tako da bi bio u skladu s našim izborom gornje strane . Taj će integral dati pozitivan rezultat ako je ukupni tok kroz C prema gore. Još u ranijim pitanjima smo nauĉili da je divergencija magnetskog polja jednaka nuli. Iz Gaussovog zakona dobivamo da ako je S bilo koja zatvorena ploha, a V(S) volumen unutar te plohe, onda je
Slika 56.1.
94
Ako to primjenimo na zatvorenu plohu koja se dobiva spajanjem , kao na slici, prema van usmjerena normala suprotnog je smjera od , koji smo upotrjebili za izraĉunavanje toka kroz površinu . Stoga imamo:
ili
To pokazuje da nije bitno koju ćemo plohu izabrati za izraĉunavanje toka kroz C. To je oĉito ako se shvati da ima za posljedicu neku vrstu oĉuvanja toka. Koliki tok uĊe u neki volumen, toliki i izaĊe iz njega.
95
57. Hallov efekt. Kada elektriĉna struje teĉe vodiĉem koji se nalazi u magnetskom polju, sila izravno djeluje na pokretne nosioce naboja. Mi, ipak, opaţamo silu na cijeli vodiĉ. Moţemo ukratko reći: Kada se vodiĉ kojim teĉe struja, stavi u popreĉno magnetsko polje, nastaje razlika potencijala izmeĊu toĉaka na suprotnim stranama štapa, koje bi u odsutnosti magnetskog polja bile na istom potencijalu. To ukazuje na postojanje popreĉnog polja u štapu. Mjerenjem ˝Hallovog napona˝ moţe se odrediti gustoća pokretnih nosioca naboja i njihov prednznak. Hallov efekt je bitan u suvremenim istraţivanja elektriĉne vodljivosti, pogotovo u poluvodiĉima. Predznak napona izmeĊu dvaju suprotnih prikljuĉaka nam govori da li su nosioci naboj pozitivni ili negativni. Iznos popreĉnog polja elektriĉne i magnetske sile:
odreĊuje se uvjetom ravnoteţe
Pri ĉemu je prosjeĉna brzina gibanja nosioca naboja. S druge strane se prosjeĉna brzina nosioca naboja i gustoća struje odnose ovako:
Gdje je n broj nosioca naboja po jedinici volumena, a q naboj svakog od njih. Kombinacijom gornjih jednadţbi moţemo ukloniti :
Polje se moţe izraĉunati tako da se razlika potencijala (napon) podijeli širinom vodiĉa; je ukupna struja kroz vodiĉ podijeljena njegovim presjekom. Stoga moţemo zakljuĉiti koliko iznosi . Ta veliĉina se naziva i ˝Hallovom konstantom˝ tvari. Za mnoge metale Hallova konstanta je blizu vrijednosti koju oĉekujemo ako pretpostavimo jedan vodljivi elektron po atomu, a predznak konstante pokazuje da su nosioci naboja zaista negativni. MeĊutim, neki metali imaju Hallovu konstantu suprotnog predznaka. To je bilo zbunjujuće proturjeĉje dok nije objašnjeno kvantnom teorijom elektrona u metalima. Primjenjuje se još i kod elektromagnetskih pumpa te u nuklearnim elektranama za cirkulaciju natrija.
96
58. Elektromotorna sila koja se inducira u kvadratičnoj petlji koja se giba kroz nehomogeno magnetsko polje stalnom brzinom. (Pomoću Lorentzove sile) Što ako naĉinimo pravokutnu petlju od ţice i pomiĉemo ju stalnom brzinom u jednolikom (homogenom) magnetskom polju , kao na slici 58.1. odnosno 58.2. ?Da bismo pokazali što će se dogoditi, trebamo se pitati – izabirući F' kao naš sustav – što bi se dogodilo da tu petlju stavimo u jednoliko elektriĉno polje? Jasno je, na dvjema nasuprotnim stranama pravokutnika samo bi se nakupili suprotni naboji. Pretpostavimo da magnetsko polje u sustavu F nije homogeno u prostoru, iako je vremenski stalno. Zamislimo da magnetsko polje proizvodi mala zavojnica. Ta je zavojnica, zajedno sa svojom baterijom, postavljena kod ishodišta sustava F ( kada bismo u tom sustavu imali uistinu takav sluĉaj, imali bi i elektriĉno polje koje proizvodi baterija i strujni krug. To moţemo zanemariti, u sustavu F nema elektriĉnog polja ).
Slika 58.1.
Slika 58.2.
Sada pretpostavimo da se u sustavu F pravokutna petlja giba brzinom u smjeru osi y. Neka je poloţaj petlje u nekom trenutku t takav da jakost magnetskog polja na lijevoj strani iznosi , a na desnoj . Ako s oznaĉimo silu na naboj q koji se giba zajedno s petljom. Ta je sila, u svakom trenutku, funkcija poloţaja naboja unutar petlje. Izraĉunamo krivuljni integral
oko cijele petlje: na dvjema stranama petlje, koje su usporedne sa smjerom gibanja
petlje, je okomito na element pa te strane ne daju doprinos. Druge dvije strane, ĉija je duljina l, daju doprinos koji je jednak integralu
97
Ako zamislimo da smo nekim nabojem q obišli petlju u vrlo kratkom vremenu tako da se pritom poloţaj petlje nije bitno promijenio, tada gornja jednadţba daje rad sile obilasku petlje. Rad po jediniĉnom naboju iznosi
pri tom
Ta veliĉina naziva se elektromotornom silom. Oznaĉava se znakom a njen naziv ĉesto se skraćuje na ˝ems˝. ima istu dimenziju kao i potencijal pa se mjeri u voltima
Naziv elektromotorna sila već smo ranije upoznali. Definirali smo je kao rad po jediniĉnom naboju koji se izvrši pri jednom obilasku strujnog kruga koji sadrţi Voltin ĉlanak. Sada to proširujemo i kaţemo da bismo ukljuĉili bilo koje djelovanje koje uzrokuje kruţni tok naboja duţ zatvorenih putanja. Ako je takva putanja fiziĉki strujni krug otpora R, tada će ems uzrokovati tok struje prema Ohmovom zakonu: . U posebnom sluĉaju, koji razmatramo,
je magnetska sila na naboj koji se giba u magnetskom polju, pa ems iznosi
U vremenu od t do
petlja se pomakne za
. Pritom se dešava promjena toka
kroz petlju, tj. promjena po nekoj plohi koja je razapeta preko petlje, zbog dva razloga. Na desnoj strani se dobiva tok , a na lijevoj strani se gubi tok . Stoga je , promjena toka kroz petlju u vremenu dt, jednaka:
odnosno
Ako sada usporedimo dvije gornje jednadţbe vidimo da se barem u ovom sluĉaju elektromotorna sila moţe izraziti ovako:
98
Dodatak: Taj izraz vrijedi i za proizvoljne petlje, ne mora biti nuţno kvadratiĉna (slika 58.3.)
Slika 58.3. U razdoblju od t do t+dt petlja promijeni poloţaj (ili oblik) od .
99
59. Veza između elektromotorne sile i promjene toka magnetskog polja kroz kvadratičnu petlju. Ako sada promotrimo ovo što smo gore zapisali moţemo ustvrditi: Krivuljni integral oko petlje u gibanju od veliĉine , tj. sile po jediniĉnom naboju, jednak je negativnoj vrijednosti vremenske derivacije toka magnetskog polja kroz petlju. Vremenska derivacija toka magnetskog polja je upravo ems. Usmjerenje elementa pomaka pri raĉunanju krivuljnog integrala duţ petlje i elementa plohe S koja je razapeta preko petlje pri raĉunanju toka moraju se pritom odnositi prema pravilu desne ruke. Promotrimo sljedeće pravilo
60. Smjer inducirane struje u petlji: Lentzovo pravilo. Poznat je bolji naĉin poimanja pitanja predznaka i smjera inducirane struje u petlji. Uoĉite da ako bi struja tekla u smjeru elektromotorne sile, ta bi struja proizvela tok magnetskog polja kroz petlju koji bi se protivio promjeni toka magnetskog polja. To je bitna fiziĉka ĉinjenica, a ne posljedica proizvoljnih dogovora o predznacima i smjerovima. Na taj naĉin se oĉituje teţnja sustava da se protivi promjeni. Ta ĉinjenica se naziva Lenzovim pravilom. Svi sustavi u prirodi prije ili kasnije doĊu do ravnoteţe – poloţaj minimalne energije. Ĉak smo izveli i pokuse: bakreni prsteni, 2 lima ... Drugi primjer Lenzova zakona razjašnjava se na primjeru vodljivog prstena i magnetskog polja zavojnice. Prsten pada u magnetskom polju zavojnice. Tok kroz prsten je prema dolje i raste kako prsten pada. Teţnja je sustava da se protivi porastu toka prema dolje, tj. da se proizvede tok prema gore. Takav tok će proizvesti struja koja teĉe prstenom u naznaĉenom smjeru. Lenzov zakon nam garantira da će inducirana elektromotorna sila biti u ispravnom smjeru da bi uzrokovala takvu struju. Postoje mnoge primjene Lenzova zakona: elektromagnetski laser, mikrovalna pećnica, indukcijsko taljenje.
100
61. Energija koja se disipira u petlji kojom teče inducirana struja. U petljama koje smo promatrali, ako je njihov otpor konaĉanim ems će uzrokovati struju i energija će se trošiti u vodiĉu. Odakle ta energija? Promotrimo sile na struju u petlji na slici 61.1. ako ona teĉe u smjeru koji je oznaĉen na slici. Vodiĉ na desnoj strani je u polju jakosti i na njega će djelovati sila u desno, dok se vodiĉ na lijevoj strani nalazi u polju jakosti i sila na njega djeluje u lijevo. Struja u petlji je u svakom presjeku ista, ali je veći od pa će ukupna sila na petlju biti u smjeru u lijevo, tj. suprotno smjeru gibanja petlje. Da bi se petlja nastavila gibati stalnom brzinom, neka vanjska sila mora vršiti rad, i ta se utrošena energija na kraju pretvara u toplinu (vodiĉ se zagrijava).
Slika 61.1. Strelica na vodiĉu oznaĉava smjer ems
62. Primjena elektromagnetske indukcije za proizvodnju struje. (Generator) Moţemo promotriti naĉine dobivanja elektriĉne struje. Vidjeli smo da će guranje magneta u petlji izazvati pojavu inducirane struje, ali to baš i nije uĉinkovito. Ţelimo proizvoditi struju, ali na ograniĉenom prostoru. Nešto sliĉno tome se već koristi u mnogim elektriĉnim strojevima i elektriĉnim instrumentima: petlja koja se vrti u magnetskom polju (sliku 62.1.). Za induciranu struju nam treba:
Tok mora biti ovisan o vremenu
Slika 62.1.
101
Ako su tok magnetskog polja i orijentirana površina okomiti tok je jednak nuli. Ako petlju jednoliko vrtimo tada je pa je
Zadnja jednadţba je ustvari Lenzovo pravilo u praksi. Jednostavni generator se sastoji od zavojnice koja se vanjskim utjecajem okreće u stalnom magnetskom polju. Generator se sastoji od pokretnog dijela (rotor) i od nepokretnog dijela (stator). Da bi nastala elektriĉna energija treba okretati rotor. Generator ima mnogo navoja ţica. Svaki navoj ţice pokreće izvjestan broj elektrona, a svi navoji zajedno stvaraju jaku elektriĉnu struju. Tako se u generatoru energija gibanja pretvara u elektriĉnu energiju.
102
63. Univerzalni zakon elektromagnetske indukcije. Lokalna veza E sa B. Još 1831. Faraday je uoĉio da statiĉko magnetsko polje ne moţe ništa mijenjati (ako stavimo magnet unutar petlje ništa se ne dešava, samo ako miĉemo magnet, ovisno o brzini ćemo dobiti struju ). Treba nam magnetsko polje koje se mijenja u vremenu. Moţemo promatrati dva sluĉaja: magnet ulazi u petlju, ili se petlja miĉe u magnetskom polju. Eksperimentima smo pokazali da i u jednom i u drugom sluĉaju dolazi do pojave inducirane struje. Elektromotorna sila koju opaţamo ovisi samo o naglosti promjene toka magnetskog polja i ni o ĉemu drugome.
Elektriĉno polje mora biti nekonzervativno inaĉe bi ems bio nula. Dolazimo do vaţnog zakljuĉka: Ako je gornja jednadţba ispunjena za svaku zatvorenu krivulju i površinu koja je razapeta preko krivulje, tada dobivamo da u svakoj toĉki prostora vrijedi:
Lokalna veza izmeĊu magnetskog i elektriĉnog polja je izraţena ovako:
Diferencijalna relacija iznosi posve jasno ono što smo ranije isticali o lokalnoj naravi relacija izmeĊu poljima, i meĊu izvorima i poljima. Sada vidimo da vremenska promjena magnetskog polja u okolišu neke toĉke potpuno odreĊuje na tom mjestu – sve drugo je nevaţno. Jasno je da taj odnos ne odreĊuje elektriĉno polje. Bez kršenja te relacije moţemo elektriĉnom polju pridodati bilo koje elektrostatsko polje polja
, jer je za ta
.
103
Vrijedi li
iako imamo elektriĉno polje uzrokovano nabojima? (Statiĉno
polje)
Ukoliko su je jednak nuli.
paralelni vektori njihov vektorski umnoţak
Vidimo da taj zakon i dalje vrijedi i u sluĉaju statiĉkog polja (3. Maxwellova jdnb.). Moţe li se uspostaviti veza elektriĉnog polja sa svim njegovim izvorima? Odgovor je da je to moguće, ali ne baš i tako korisno.
je direktno povezan s vremenskom ovisnošću vektorskog potencijala
Ako imamo dvije neovisne funkcije, imamo mnogo razliĉitih opcija za biranje. Nije osobito korisno jer nam trebaju baţdareni uvjeti da se dobije jednoznaĉni
.
104
64. Međuindukcija. Koeficijent međuindukcije za mali prsten unutar velikog. Ako imamo jednu petlju kojom teĉe izmjeniĉna struja u cijelom svemiru – zbog indukcije će u bilo kojoj drugoj petlji u svemiru nastati inducirana struja (hipotetski, ali ne nemoguće). Inducirana struja će ovisiti o veliĉini petlje i njezinoj geometriji (bitan nam je raspored petlji i orijentacija). Promotrimo sljedeći pokus: Dvije petlje (ili strujna kruga) imaju odreĊen poloţaj u odnosu jedno na drugo. Pomoću pogodnog izvora podesi se struja u krugu . Oznaĉimo vektorom magnetsko polje koje proizvodi stalna struja u strujnom krugu , a pomoću magnetskog polja
kroz petlju
. Dakle
gdje je ploha koja je razapeta preko petlje preko krugova konstantni, biti će proporcionalan :
Pretpostavimo sada da se
tok
. Ako su oblici i rlativni poloţaji
mijenja, ali da je ta promjena dovoljno spora da bi odnos
polja u svakoj toĉki u okolišu i struje u u svakom trenutku bio isti kao da je struja stalna. Tok mijenjat će se proporcionalno promjenama . Stoga će se u inducirati elektromotorna sila jednaka
Ta konstanta je jednaka onoj u prethodnoj jednadţbi. Oznaĉit ćemo je jednadţbu moţemo pisati:
pa gornju
Konstantu nazivamo koeficijentom međuindukcije. Njegova je vrijednost odreĊena geometrijskim odnosima dviju petlji, odnosno dvaju strujnih krugova. Jedinica koeficijenta meĊuindukcije je henri (H). Tipiĉni red veliĉina je , no ne nuţno (supravodljivi magnet u podrumu ima koeficijent meĊuindukcije otprilike 30-ak H). Raĉun koeficijent meĊuindukcije je popriliĉno sloţen – linijski integral, no eksperimentalno se to vrlo jednostavno raĉuna.
105
Koeficijent međuindukcije za mali prsten unutar velikog Ako prstenom
teĉe stuja
, ona će u središtu prstena proizvoditi polje(slika 64.1.)
Pretpostavljamo da je pa moţemo zanemariti promijene malog prstena. Stoga je tek tok kroz mali prsten pribliţno jednak
Vidimo da je ˝konstanta˝ u ovom sluĉaju jednaka inducirana elektromotorna sila u biti jednaka:
na kruţnoj plohi
pa će
Gdje se ems izraţava u voltima, struja u amperima, a radijusi u metrima. Minus nam u ovom sluĉaju i ne znaĉi puno. Ako ţelimo znati u kojem će smjeru ems u prstenu teţiti da proizvede struju, nabolje je osloniti se na Lenzov zakon.
Slika 64.1. Struja u prstenu proizvodi polje jednoliko na krugu malog prstena
koje je pribliţno
106
65. Koeficijent međuindukcije: Teorem o recipročnosti. Koeficijent meĊuindukcije kao u prethodnom pitanju. U razmatranju krugova mogli smo se pitati kolika se ems inducira u krugu ako se mijenja struja u krugu . Tada bismo imali drugi koeficijent meĊuindukcije, :
Izvanredna je ĉinjenica da za bilo koja dva strujna kruga vrijedi:
To nije posljedica geometrijske simetrije. Ĉak i jednostavan sustav koji prikazuje slika 64.1. nije simetriĉan u odnosu na zamjenu dvaju krugova. Uoĉite da i dolaze na razliĉit naĉin u izrazu za . Gornja relacija zahtjeva da za ta dva razliĉita kruga vrijedi: ako je:
Slika 65.1.
tada je i
a ne ono što bismo dobili da svugdje u relaciji zamijenimo indekse 1 i 2. Da bismo ovu tvrdnju dokazali, moramo pokazati da struja u strujnom krugu uzrokuje tok u krugu koji je jednak toku u krugu ako strujnim krugom teĉe jednaka struja I. Da bismo to pokazali, primijeniti ćemo vektorski potencijal. Prema Stoaksovom teoremu je
107
Posebno, ako je
vektorski potencijal magnetskog polja , tj. ako je
, tada
je
Dakle, krivuljni integral vektorskog potencijala oko zatvorene krivulje jednak je toku magnetskog polja kroz plohu razapetu preko krivulje. Odnos vektorskog potencijala i struje I koja teĉe strujnim krugom jest:
jest vektorski potencijal na poloţaju koji pripada magnetskom polju struje I koja u strujnom krugu , a je udaljenost od tog elementa do toĉke . Slika 65.1. prikazuje dvije petlje i . Petljom teĉe struja I . Neka je poloţaj elementa na petlji . Tada je tok kroz petlju uzrokovan strujom I u petlji jednak:
Sliĉno tome bi tok kroz petlju
zbog struje u krugu
bio jednak:
Vrijedi , jer su to udaljenosti istih elemenata petlji. Smisao gornjih dvaju integrala je ovaj: izraĉunaj skalarni umnoţak za jedan par elemenata iz prvog, odnosno drugog strujnog kruga, podijeli to s njihovom udaljenošću i zbroj preko svih parova. Jedina razlika je u poretku kojim zbrajamo, no ono ne moţe utjecati na konaĉnu sumu. Stoga je , iz ĉega izravno izlazi da je . Zahvaljujući tom teoremu ne moramo razlikovati koeficijente meĊuindukcije, jednostavno govorimo o meĊuindukciji M dvaju strujnih krugova.
108
66. Samoindukcija. Struja nabijanja i izbijanja zavojnice. Kada se u nekom krugu mijenja struja , koja tim krugom teĉe, tada se mijenja tok magnetskog polja kroz sam taj krug pa se u njemu inducira elektromotorna sila . Zakon indukcije vrijedi bez obzira na uzrok toka:
Gdje je tok kroz strujni krug zbog polja koje proizvodi struja u tom krugu (minus se javlja da se naglasi da se sila opire promijeni struje – Lenzov zakon).
Veliĉina se naziva samoinduktivnost strujnog kruga. Promotrimo primjer gdje moţemo naći samoinduktivitet u strujnom krugu. Općenito je raĉun za popriliĉno kompliciran, zato traţimo povoljnu geometriju. Zato je idealni sluĉaj toroidalna zavojnica.
Pri ĉemu je a debljina zavojnice, a ukupni broj namotaja
. Inducirana ems je
tada
V je volumen zavojnice, a samoinduktivnost zavojnice je
Struje izbijanja i nabijanja zavojnice Zamislimo strujni krug koji sadrţi: bateriju s ems , prekidaĉem, otporom i zavojnicom induktiviteta L koja nema unutarnji otpor ( slika 66.1.). Ako se struja mijenja u strujnom krugu, inducirat će se ems koja se protivi promjeni struje. Ako izaberemo kao pozitivan smjer onaj u kojem baterija teţi da tjera pozitivne naboje oko kruga, tada je ukupna ems u bilo kojem trenutku . Ona je uzrok struje kroz otpornik R stoga je: Slika 66.1.
109
To smo dobili preko drugog Kirchoffovog zakona. Separacijom varijabli riješimo ovu diferencijalnu jednadţbu, no prije toga promotrimo poĉetne uvijete: U je prije zatvaranja prekidaĉa, no nakon zatvaranja prekidaĉa postići će se stanje u kojem je struja gotovo stalna. Tada će derivacija struje biti jednaka nuli (matematiĉka idealizacija), te će vrijediti . Taj prijelaz se ne moţe desiti trenutno u , jer bi tada derivacija bila beskonaĉna. Zapravo, neposredno nakon struja je tako slaba da se ĉlan moţe zanemariti:
Zavojnica zbog svoje induktivnosti L ograniĉava porast struje. Promotrimo sada rješavanje dif. jednadţbe:
110
Graf 66.2. pokazuje kako struja ovisi eksponencijalno doseţe svoju asimptotsku vrijednost . ˝Vremenska konstanta˝ ovog kruga je . Ona oznaĉava vrijeme relaksacije strujog kruga. Ako naglo prekinemo dotok struje ( npr. izvuĉemo utikaĉ iz stroja koji radi, npr. bojler), tada ĉlan postane negativno beskonaĉan. To nije samo matematiĉka Graf 66.2. poteškoća. Struja postane beskonaĉna, a inducirani napon veoma velik, moţe doći (obiĉno i doĊe) do pojave iskre ili elektriĉnog luka, pri ĉemu moţe doći i do smrti osobe koja je iskopĉala strujni krug (tome i sluţi i prekidaĉ).
111
67. Energija sadržana u magnetskom polju. Struja u krugu uzrokuje trošenje energije u otporniku R. Utrošak energije u kratkom razdoblju od iznosi pa ukupna energija koja će se pretvoriti u toplinu (Joulova toplina) nakon kratkog spajanja zavojnice u trenutku iznosi
Zamjenom
ovaj integral je lako izraĉunati:
Izvor te energije je zavojnica sa svojim magnetskim poljem. Stvarno, toĉno je taj rad izvršila baterija pri uspostavljanju struje u zavojnici (pored i povrh energije koja se trošila u otporniku) u vremenu od do . Da bismo uoĉili kako to vrijedi općenito, trebamo uvidjeti da se mora trošiti energija ako ţelimo povećati struju zavojnice, jer se struja I mora voditi protiv inducirane elektromotorne sile . Dakle, u razdoblju od do izvrši se rad
Stoga zavojnici, kojom teĉe struja I, moţemo pridruţiti energiju
Prirodno je smatrati kako je ta energija uskladištena u magnetskom polju zavojnice, isto kao što smo smatrali da je energija kapacitora nabijenog na napon U, koja iznosi
,
uskladištena u elektriĉnom polju kapacitora. Stoga, sliĉno kao i kod kapacitora, magnetskom polju u elementu volumena
moţemo pridruţiti energiju
po cijelom podruĉju polja dati će energiju magnetskom polju
, a integracija doprinosa
. Općenito energija koja se pridruţuje
jednaka
112
68. Gustoća struje pomaka. Već smo u ranijim pitanjima ustvrdili neke ĉinjenice. Od Gaussovog zakona, jednadţbe kontinuiteta i relacije koja nam kaţe da ako je gustoća struje konstantna u vremenu magnetsko polje će zadovoljavati jednadţbu (68.1.) No što ako imamo polja koja će ovisiti o vremenu? Pretpostavimo da imamo raspodjelu naboja , za koju je . Tada s gornjim izrazom nešto nije u redu. Nešto fali. Ako primjenimo div imamo
Taj izraz je dobar za stalne struje, no za struje koje ovise o vremenu baš i nije. Kako naći komponentu koja fali? Promatrajmo izbijanje kapacitora kroz otpornik. Vremenski stalna raspodjela struje, za koju vrijedi jednadţba (68.1.), pretpostavlja da je vremenski stalna ne samo gustoća struje , već i gustoća naboja . Zamislimo da površina S, koja se razapinje preko krivulje C, presijeca vodiĉ kojim teĉe struja I. Unutar vodiĉa imamo
ima konaĉnu vrijednost
, pa prema Stoaksovom teoremu
A to je puta struja u vodiĉu. Ako je krivulja C blizu vodiĉu i daleko od procjepa izmeĊu ploĉa kapacitora, magnetsko polje nije razliĉito od polja vodiĉa kojim teĉe stalna struja iste jakosti. Ako promotrimo drugu površinu S' koja je takoĊer razapeta preko krivulje C, i ima jednako pravo da se i ona primjeni u iskazu Stoaksova teorema. MeĊutim kroz tu plohu uopće ne teĉe struja. Unatoĉ tome, krši Stoaksov teorem. Zakljuĉujemo da struje .
ne moţe biti nula na cijeloj plohi S' a da ne ovisi o još neĉemu drugome osim o gustoći
Po Faradayevu zakonu indukcije promjenjivo magnetsko polje uzrokuje elektriĉno polje na ovaj naĉin
113
Pošto mora vladati simetrija u odnosu elektriĉnog i magnetskog polja, moramo oĉekivati da će promjenjivo elektriĉno polje uzrokovati magnetsko polje.
Dobili smo ĉlan koji nedostaje u jednadţbi (68.1.)
Moţemo izraĉunati divergenciju
Zakljuĉujemo
Maxwell je ĉlan nazvao pomaĉnom strujom (vektorsko polje u procjepu kondenzatora). No ta pomaĉna struja je jedino bitna kod visokih frekvencija (ako se polja mijenjaju vrlo brzo), polje koje se sporo mijenja moţemo nazvati kvazistatiĉki. To je jedini razlog zašto se inaĉe njihovi uĉinci zanemaruju. Tek je Hertz otkrićem elektromagnetskih valova pokazao ono što je Maxwell predvidio i izraĉunao.
114
69. Maxwellove jednadžbe i elektromagnetski valovi. Nakon što je prouĉio Faradayeva i druga istraţivanja Maxwell je odluĉio da naĉini matematiĉku teoriju elektriciteta i magnetizma. On nije mogao iskorištavati rezultate teorije relativnosti – ona se razvila tek pedeset godina poslije njegovih jednadţbi. Maxwellov opis elektromagnetskog polja bio je u biti potpun. Iako je on podrţavao koncept etera, kasnije je teorija relativnosti pobila postojanje etera, no unatoĉ tome njegove jednadţbe su u skladu s teorijom relativnosti. One glase: Diferencijalni oblik:
Integralni oblik:
U praznom prostoru su
i jednaki nuli pa Maxwellove jednadţbe postaju
Postulati koji matematiĉki opisuju praktiĉno vrlo elegantno (ako imamo tvar ne vakuum samo treba dodati u jednadţbe ĉlan odnosno ). One su i konstitutivne jednadţbe – opisuju tvari (vodiĉi, izolatori...). Kada je Maxwell uoĉio koliko su njegove jednadţbe vaţne poĉeo je sve uspješnije razvijati elektromagnetsku teoriju svjetlosti – osnova za elektromagnetske valove. Već sada moţemo pokazati da je smetnja elektromagnetskog polja, koja se širi brzinom svjetlosti, u skladu s Maxwellovim jednadţbama. U vakuumu vrijede gornje jednadţbe pa njihovom kombinacijom dobivamo:
115
Uz to da je
, kombinirajući gornje jednadţbe dolazimo do valne jednadţbe:
- ako takvo polje zadovoljava uvjete gornje jednadţbe onda je to ravni val (ĉija je amplituda stalna u prostoru).
Gornja jednadţba je primjer jednadţbe za ravne valove koji se šire stalnom brzinom ( To se ne mora znati baš izvest i rješit).
116
70. L-C sklop. Tehnologija raĉunanja s elektriĉnim mreţama su veoma razvijene, stoga je korisno koristiti ekvivalencije – mehaniĉki problem ekvivalentan elektriĉnom. Pošto je LC i RCL krug titrajni, moţemo ga zamijeniti s ekvivalentnim titrajnim krugom harmoniĉkog oscilatora (slika 70.1.).
Slika 70.1. Ekvivalencija strujnog kruga
Izmjeniĉna struja je oscilirajuća elektriĉna struja (gradska mreţa U = 220 V, f =50 Hz). Napon na kapacitoru kapaciteta C je , gdje je naboj kapacitora. Struja koja teĉe kroz krug je (minus zbog protivljenja promjeni). Napon induciran na krajevima zavojnice induktiviteta L je . Zbroj napona duţ ĉitavog kruga mora išĉezavati:
117
Što je jednadţba za pomak spiralne opruge, s time da je ekvivalencija
Konaĉno rješenje je tada
Od tuda moţemo naći struju. Napon ( sila trenja).
odgovara sili proporcionalnoj
118
71. Prigušeni RLC sklop. Thomsonov RC krug je idealiziran. Kada bi imali napravljen krug od supravodiĉa, on bi proizvodio elektromagnetske valove (struja / otpor – disipira toplinu). Harmonijski oscilator se moţe napraviti s malim prigušenjem, ali RC krug ne. Nemoguće je izbjeći gubitak energije – prigušenje. Pogledajmo jedan jednostavan RLC krug (slika 71.1). U
Uz
imamo
Ili Slika 71.1.
Što je ekvivalentno gušenom harmonijskom oscilatoru, kojeg smo uĉili još u OF1. Uz zamjenu:
Te rješavanja diferencijalne jednadţbe (uz pomoć Bronštajna) dobivamo:
Dobili smo probno rješenje. Sada uvrstimo to u prvotni diferencijalnu jednadţbu
Uz uvjet vrlo slabog gušenja
dobijemo rješenje:
Gušenje utjeĉe na frekvenciju.
119
Struja kasni u fazi za naponom za . Oscilacije se prenose, nismo uzeli u obzir ovisnost
( to ovisi o tvari). Disipirana energija i Q – faktor (faktor kvalitete) se raĉunaju
sliĉno kao i u OF1. TakoĊer imamo : 1. Slabo gušenje:
2. Kritiĉno gušenje:
3. Nadkritiĉno gušenje:
Kako se energija troši tako se i titranje smanjuje. Na sljedećem grafu je prikazano gušeno sinusno titranje napona u RLC krugu.
Graf 71.2.
120
72. Rezonantni serijski RLC sklop (krug). Oznaĉimo s naboj kapacitora u trenutku . Napon kapacitora, , oĉito je jednak zbroju napona preko zavojnice induktiviteta i otpornika otpora . Uzeti ćemo da je pozitivan kada je gornja ploĉa kapacitora pozitivno nabijena. Ako je smjer struje identiĉan kao na slici 71.1. vrijede ove relacije:
Trebamo ukloniti dviju od tri varijabli, pa treću jednadţbu dobivamo: odnosno:
. Iz prvih dviju jednadţbi dobivamo ,
(72.1.) To je diferencijalna jednadţba drugog stupnja sa stalnim koeficijentima. Pretpostavimo rješenje:
Gdje su
konstante. Prva i druga derivacija te funkcije jednake su:
Kada se prema ovim relacijama naĉine zamjene u jednadţbi (72.1.) te nakon što se pokrati zajedniĉki mnoţitelj dobivamo:
Ta jednadţba mora biti zadovoljena za svaki , a to je ispunjeno ako i samo ako su koeficijenti uz i jednaki nuli. Dakle,
i
121
Prva od tih jednadţbi odreĊuje:
A druga daje:
Budući da se pretpostavlja da je konstanta realan broj, ne moţe biti negativno. Stoga dobivamo rješenje u obliku jednadţbe iz prethodnog pitanja samo u sluĉaju slabog gušenja, tj. malog otpora. Opće rješenje glasi:
Integracijske konstante A i B izabiremo tako da su zadovoljeni poĉetni uvjeti. Titranje strujnog kruga je posljedica prenošenja energije ˝naprijed-natrag˝ izmeĊu kapacitora i zavojnice, tj. izmeĊu elektriĉnog i magnetskog polja.
122
73. Struja i pomak u fazi u krugu sa izvorom izmjenične elektromotorne sile i zavojnicom. Primjenimo ems na serijski spojenu zavojnicu i otpornik. Zbroj padova napona na elementima kruga (otporniku i zavojnici) jednak je ems u krugu:
Pretpostavimo da struja ovisi o vremenu na ovaj naĉin
Da bismo odredili konstante
i , uvrstimo ovaj izraz u prvotnu jednadţbu:
Nakon razvoja sinusa i kosinusa dobivamo:
Ova jednadţba biti će zadovoljena za svaki samo ako su koeficijenti uz jednaki nuli. Dobivamo:
i
Odnosno
i
iz ĉega dobivamo
Moţemo pisati:
123
pa je
Vidimo da u induktivnom krugu struja kasni za naponom.
74. Struja i pomak u fazi u krugu sa izvorom izmjenične elektromotorne sile i kondenzatorom. Ako se u opisanom krugu zavojnica induktiviteta L zamijeni kapacitorom kapaciteta C, strujni krug će zadovoljavati ovu jednadţbu:
Ponovo razmatramo rješenje s stalnom amplitudom struje:
Budući da je
, imamo:
Uoĉite da se u ovoj integraciji, koja nas vodi od struje ka naboju, ne dodaje integracijska konstanta, jer naboj kapacitora mora simertiĉno titrati oko vrijednosti nula. Nadalje imamo:
Kao i u prethodnom razmatranju mnoţitelji sinus i kosinus moraju biti jednaki nuli. Tako dobivamo da je:
i
Faza je u ovom sluĉaju pozitivna pa se obiĉno kaţe da u kapacitativnom strujnom krugu struja rani u odnosu na napon. 124
75. Struja i pomak u fazi u serijskom RLC krugu kojim teče izmjenična struja. Ako promatramo jednostavni RLC strujni krug moţemo primijeniti rezultate koje smo dobili iz prethodnih razmatranja. Trebamo zamijeniti sa . Rezultat je:
Gdje je izraz u nazivniku poznat kao impedancija strujnog kruga . Uzimajući to u obzir izraz za struju će biti:
Uvijek će postojati kruţna frekvencija
gdje će vrijediti
125
76. Impedancija za otpornik, zavojnicu i kondenzator. Odnos izmeĊu struje koja teĉe kroz element i napona preko elementa moţe se izraziti pomoću odnosa kompleksnih brojeva koji predstavljaju struju i napon. Razmotrimo spoj zavojnice i otpornika. Napon predstavlja , a struju , gdje je ,a . Na odreĊenoj frekvenciji faza i omjer amplitude struje i napona potpuno su odreĊena svojstva spoja tih dvaju elemenata. Ta se dva svojstva izraţavaju jednom kompleksnom veliĉinom koja se definira ovako:
Tada vrijedi relacija:
Gdje je općenito kompleksan napon koji predstavlja napon preko serijskog spoja , a je kompleksna veliĉina koja predstavlja struju. se naziva kompleksna propusnost ili admitancija. Ista relacija koja se moţe izraziti reciproĉnom veliĉinom od admitancije se oznaĉava i naziva kompleksan otpor ili impedancija.
Kompleksna propusnost zavojnice bez otpora je imaginarna veliĉina . Ono nam kazuje da struja kasni u fazi za u odnosu na napon. Za kapacitor ona iznosi . Impedancija pojedinaĉnih komponenta u RLC krugu jest: Znak Otpornik (R)
Admitancija
Impedancija R
Zavojnica (L)
Kapacitor (C) Ako ne raĉunamo s kompleksnim brojevima tada je impedancija strujnog kruga:
126
77. Paralelni RLC krug. Od elemenata navedenih u strujnom krugu moţemo sagraditi svaki ˝linearni˝ strujni krug, odnosno mreţu. Kada se elementi ili njihove skupine spajaju paralelno (slika 77.1.), povoljno je raĉunati s kompleksnim propusnostima, jer se tada zbrajaju propusnosti (admitancije).
Napomenimo da su Kirchoffova pravila jednaka kao i prije: Prvi Kirchoffov zakon – struje se i dalje granaju. Napon koji iznosi , pokazujemo pomoću fazora struja (postupak koji je dodatno opisan na predavanjima). Slika 77.1. Paralelni RLC krug
Struja će tada biti:
Struja će biti minimalna za Koristi se ako imamo šumove (smetnje) u signalima. Paralelan spoj je pomaknut za u fazi u odnosu na serijski spoj. Imajmo na umu da funkcija arctg ide od , te da imamo obrnuto ponašanje faze. Kada je struja minimalna, to ne znaĉi da je struja kroz zavojnicu, odnosno kapacitor, jednaka nuli. Oni su obiĉno veliki, ali suprotne faze ( struje teku obrnutim smjerom pa se ponište).
127
78. Snaga i energija u krugovima s izmjeničnom strujom. Efektivna vrijednost struje i napona. Ako je napon preko otpornika otpora jednak , tada struja kroz otpornik iznosi . Trenutna snaga, tj. trenutna brzina trošenja energije u otporniku, jednaka je:
Stoga je prosjek jednak:
Efektivne vrijednosti su
Za dobar primjer imamo gradsku mreţu: napon je Snaga za čiste reaktancije (C, L) Ukoliko imamo elektriĉne krugove, posebno s kapacitorom, posebno s zavojnicom, imamo:
Ako gledamo prosjek snage imamo:
Zašto je prosjeĉna snaga jednaka nuli? Zato jer se energija potrošena na polje u kapacitoru ili zavojnici, zbog sinusne funkcije, se vraća u drugom dijeli ciklusa (nabijanje i vraćanje energije). Prosjek je uvijek nula, no kada bi snaga bila nula ljudi ne bi koristili izmjeniĉnu struju. Općeniti strujni krug uvijek sadrţi i - uvijek će biti nekakvog pomaka u fazi izmeĊu napona i jakosti elektriĉne struje u krugu.
128
Prosjeĉna vrijednost ĉlana koji sadrţi jednaka je nuli, dok je prosjeĉna vrijednost jednaka . Zbog toga je prosjeĉna vrijednost snage jednaka
Struja i napon se mogu izraziti pomoću korijena iz prosjeĉnih kvadrata njihovih vrijednosti:
Općenito je:
Razlika drugog i prvog ĉlana u gornjoj nejednakosti je jalova snaga – ona koju ne moţemo iskoristiti.
129
79. Transformacija električnog napona i struje. Prednosti transformacije struje su u lakšem transportu. Transformator (slika 79.1.) je statiĉki elektriĉni ureĊaj u kojem se elektriĉna energija iz jednog ili više izmjeniĉnih krugova koji napajaju primarne namote transformatora prenosi u jedan ili više izmjeniĉnih krugova napajanih iz sekundarnih namota transformatora s izmijenjenim iznosima jakosti struje i napona, te nepromijenjenom frekvencijom ( idealni transformator).
Slika 79.1. Transformator
Budući da snaga elektriĉne struje zavisi od umnoška , podizanjem napona moguće je prenijeti istu snagu s manjim jakostima struje. Struja manje jakosti omogućuje smanjenje presjeka vodiĉa i uzrokuje manje padove napona na dugaĉkim vodovima, jer je pad napona proporcionalan jakosti struje kroz vodiĉ. Zbog toga, u elektranama se elektriĉna energija isporuĉuje na vrlo visokom naponu od nekoliko desetaka ili stotina kV, te visokonaponskim dalekovodima prenosi do mjesta potrošnje. Ovdje se energija mora transformirati na napon gradske mreţe (380/220 V kod trofaznih, odnosno 220 V kod monofaznih mreţa). Danas je iskoristivost transformatora vrlo visoka sekundarom imamo:
. Ukoliko spojimo otpor s
Dolazi do pojave indukcije i primar mora crpiti struju. Struja transformator gdje je .
uzrokuje
, uz idealni
Imamo dvije vrste transformatora: naponski i strujni transformator. Naponski transformator karakterizira visoki napon – on se koristi za prijenos struje, dok se strujni transformator koristi za strujno varenje – taljenje (visoke struje – visoka toplina).
130
80. Trofazne struje. Spoj u zvijezdu i trokut. Trofazna struja je sustav od triju izmjeniĉnih struja koje su meĊusobno fazno pomaknute. Još iz prethodnih pitanja smo vidjeli da, ako vrtimo petlju u magnetskome polju dolazi do induciranja struje. No što ako imamo više petlja? Pokusima je dokazano da je to više – manje uĉinkovito ( nelinearno, osim ako dodajemo više zavoja na jednu zavojnicu). TakoĊer je dokazano da je najuĉinkovitije kada imamo tri zavojnice pod kutom od 120° (slika 80.1.), poslije toga snaga vrlo sporo raste i moramo imati jako puno ţica, što nije ekonomski isplativo. U sluĉaju višefaznih struja, trofazne su idealne.
Slika 80.1.
Prednosti trofazne struje su: jeftinija je te sami biramo gdje ćemo spojiti potrošaĉa. Danas se iskljuĉivo koriste trofazne struje. Ta prednost se uglavnom sastoji u simetriĉnom rasporedu namotaja i struja pri najmanjem broju faza. U svakom je trenutku zbroj od tri struje jednak nuli. Ako tri struje oznaĉimo s , a fazni kut , pri ĉemu su amplitude struja meĊusobno jednake imamo ( sliĉno kao na slici):
Suma struja je tada:
131
Ako promotrimo sinuse iz trigonometrije nam je poznato da je
Odatle nam je Prema tome je suma:
.
Ovakva osobina trofazne struje pruţa povoljne mogućnosti za njeno ekonomiĉno prenošenje kroz vodiĉe. Naime, navedene relacije dozvoljavaju da se tri struje trofaznog sustava spoje zajedno kao da je za prenošenje potrebno samo tri, umjesto šest vodiĉa. To se spajanje moţe uĉiniti na dva naĉina. Spojem u trokut (slika 80.2.) ili u zvijezdu (80.3.).
Slika 80.2.
Slika 80.3.
Po jedan kraj svakog namotaja je vezan u zajedniĉku toĉku O, koja se naziva nulta toĉka. Za tu toĉku nije potreban vodiĉ (ukoliko sve tri struje imaju istu amplitudu ). Tada se struja odvodi sa tri vodiĉa koji prolaze od drugih krajeva namotaja. Ako je efektivna vrijednost napona na krajevima svakog namotaja U, onda meĊu svaka dva vodiĉa je napon jednak . Ovi spojevi su posebno pogodni s obzirom na gubitke u vodiĉima zbog Joulove topline (disipirana zbog toka struje kroz vodiĉe).
132
81. Trofazni električni motor. Linearni motor. Prvo pojasnimo osnovne relacije kod elektriĉnih motora. Elektromotor je elektriĉni stroj koji pretvara elektriĉnu energiju u mehaniĉki rad. Najĉešći su rotacijski strojevi koji rad obavljaju okretanjem rotora uz razvijanje okretnog momenta. TakoĊer postoje i linearni motori koji stvaraju silu koja uzrokuje ubrzanje i linearno gibanje mase, stroja ili predmeta pri ĉemu se obavlja mehaniĉki rad. Imamo dvije osnovne vrste trofaznih elektriĉnih motora: sinkroni i asinkroni motori. Pitamo se kako se rotacijski tok moţe upotrijebiti za pokretanje rotora? Postoje dva naĉina. Prvi je da se rotor izvede kao magnet. U principu bi to mogao biti i permanentni magnet. No za veće motore to ne dolazi u obzir, već se magnet dobiva pomoću elektriĉne istosmjerne struje koja se namotu rotora dovodi preko kliznih koluta. Da bi rotacijsko polje stalno vuklo magnet za sobom, tj. da bi se rotor vrtio zajedno s rotacijskim poljem, treba mu dati onu brzinu koje ima magnetsko polje – njegovu vrtnju treba sinkronizirati s vrtnjom magnetskog toka. Od tuda i naziv sinkroni motor. Ti motori ne polaze, dakle, sami iz stanja mirovanja, i to im je mana. Prednost im je u tome što im se brzina vrtnje ne mijenja s opterećenjem, jer je ĉvrsto vezana za brzinu vrtnje rotacijskog polja. Kod drugog naĉina iskorištavanja rotacijskog polja rotor se izvodi s namotom u obliku kaveza. On je raĊen od bakrenih štapova, vodiĉa koji se umeću u utore ţeljeznog rotora. Rotacijski tok inducira u namotu – kavezu struju. Budući da magnetski tok djeluje silom na vodiĉ kojim protjeĉe struja, rotor se okreće, sljedeći pri tome vrtnju toka. Tako se rotor moţe pokrenuti iz poloţaja mirovanja, vrteći se sve brţe i brţe, no nikad ne moţe postići broj okretaja toka. U tom sluĉaju silnice magnetskog polja ne bi sjekle vodiĉe rotora i u njima ne bi bilo inducirane struje pa ni sile koja bi rotor pokretala. Broj okretaja rotora u takvih motora nije sinkroniziran s tokom i odatle i naziv asinkroni motori. Linearni motor je posebni oblik elektromotora bez rotirajućih dijelova odnosno rotora. Moţe se zamisliti da smo uzduţno prerezali klasiĉni motor sve do osi rotacije te rotor i stator "izravnali" tako da se oblici valjka pretvore u ravne ploĉe. IzmeĊu tako dobivene statorske i rotorske plohe, umjesto okretnog momenta, djeluje linearna sila (po kojoj je nazvan) uslijed koje dolazi do linearnog kretanja i oslobaĊanja mehaniĉkog rada. Ovakvi se motori primjenjuju mnogo rjeĊe od klasiĉnih i to uglavnom za propulziju odreĊenih vrsta ţeljezniĉkih vozila ( mag-lev ili sl.).
133
82. Kapacitet pločastog kondenzatora ispunjenog dielektrikom. Već smo prije spominjali kapacitor koji se sastojao od dviju meĊusobno izoliranih vodiĉa meĊu kojima nije bilo tvari. Tada smo rekli da je kapacitet dan izrazom
Gdje je koliĉina naboja u kapacitoru, a napon preko kapacitora (razlika potencijala jednog i drugog vodiĉa). Za kapacitor s paralelnim ploĉama, od kojih svaka ima površinu , a njihova meĊusobna udaljenost je , našli smo da se kapacitet moţe ( pribliţno) izraziti
Kapacitori te vrste se nalaze u nekim elektriĉnim ureĊajima. Nazivaju se vakuumski kapacitori, a njihove se ploĉe nalaze unutar vakumiranih posuda. Upotrebljavaju se uglavnom u ureĊajima u kojima se radi s vrlo visokim i vrlo naglo promjenjivim naponima. MeĊutim mnogo se ĉešće upotrebljavaju kapacitori u kojima je prostor izmeĊu dvaju vodiĉa ispunjen nekom nevodljivom ĉvrstom, tekućom ili plinovitom tvari. U tom sluĉaju gornja jednadţba nije u skladu s eksperimentalnim rezultatima. Uz ĉlan treba dodati - relativnu permitivnost ili dielektriĉku konstantu tvari. Sama tvar izmeĊu kapacitora je dielektrik. Ukoliko imamo neku tvar izmeĊu kapacitora, dielektrik, kapacitet će se povećati kapacitet danog kapacitora. Dakle kapacitet će iznositi:
134
83. Potencijal molekule. Dipolni moment. Zamislimo proizvoljnu raspodjelu naboja i pogledajmo na koji bismo naĉin mogli izraĉunati polje u proizvoljnoj toĉki izvan te raspodjele. Slika 83.1. pokazuje neku raspodjelu, npr. neku molekulu koja se sastoji od nekoliko pozitivno nabijenih jezgri i velikog broja elektrona. U blizini te raspodjele smo stavili ishodište koordinatnog sustava, a raspodjelu opisujemo funkcijom gustoće elektriĉnog naboja (pozitivna unutar atomskih jezgri, negativna na mjestu elektrona). Prvo raĉunamo potencijal raspodjele proizvoljnog elektrona. Uzimamo proizvoljnu toĉku na osi . Naka je udaljenost od do ishodišta. Elektriĉni potencijal u toĉki , u koji oznaĉavamo s , dobivamo pridodavanjem doprinosa svih elemenata raspodjele naboja.
Slika 83.1.
Po kosinusovom pouĉku je
Zatim razvijemo u red
135
U integraciji se
Gdje su .
ne mijenja pa se moţe izluĉiti. Potencijal je:
ukupni naboji u molekuli.
su projekcije momenata raspodjela naboja na
Svojstva potencijala (i polja) na velikim udaljenostima od raspodjele odreĊuje prvi ĉlan reda ĉiji je koeficijent razliĉit od nule. Dipolni moment ima dimenziju naboj puta pomak; on je vektor, a komponenta. On iznosi:
Budući da je naboja prema A.
je njegova z
naprosto z', on predstavlja relativni pomak pozitivnog i negativnog
136
84. Dipol u vanjskom električnom polju i električno polje dipola. Da bismo opisali elektriĉno polje dipola, i njegovo ponašanje u vanjskom elektriĉnom polju, moramo prvo pogledati potencijal elektriĉnog dipola. Potencijal neovisno o koordinatnom sustavu je:
Promatramo doprinos dipolnog ĉlana elektriĉnom potencijalu u toĉki A, koja se nalazi na poloţaju . je projekcija vektora na smjer vektora . Integral na desnoj strani se naziva dipolni moment raspodjele naboja (kao u prethodnom pitanju). Vektor dipolnog momenta moţemo oznaĉavati kao:
S tom oznakom moţemo pisati:
Elektriĉno polje je ngativni gradijent tog potencijala. Da bismo našli dipolno polje, postavit ćemo dipol u ishodište i usmjeriti ga u smjeru osi z. U tom razmještaju je
Naravno potencijal i polje su rotacijski simetriĉni s obzirom na z os. Stoga ih moţemo raĉunati u bilo kojoj ravnini u kojoj leţi os z. Izabiremo xy ravninu, gdje je , pa je:
Komponente elekriĉnog polja dobivamo izravno:
137
Vidimo da ukoliko se udaljavamo od dipola, elektriĉno polje opada s trećom potencijom. Na osi z je ono paralelno dipolnom momentu i iznosi , dok u ekvatorijalnoj (x, y) ravnini je ono protusmjerno dipolnom momentu
.
Pretpostavimo da su dva naboja i – mehanĉki meĊusobno uĉvršćena tako da je razmak s meĊu njima stalan. Moţete zamisliti sa su ti naboji postavljeni na krajevima štapa od izolatora ĉija je duljina s. To tijelo nazvati ćemo dipol. Postavimo ga u vanjsko elektriĉno polje. Pozitivni kraj dipola vuĉe sila u desno, a negativni kraj vuĉe sila, jednaka po iznosu, ali suprotna po smjeru (u lijevo). Ukupna sila na dipol jednaka je nuli. U tom je poloţaju i moment sila jednak nuli. Ako dipol nije usmjeren u smjeru polja, tada će na njega djelovati moment sile. On će biti jednak:
Ako je dipol usmjeren u odnosu na polje on je u stanju minimalne energije. Da bi se zakrenuo u bilo koji drugi smjer, mora se trošiti energija okoline, a pritom se povećava potencijalna energija dipola. Promjena potencijalne energije jednaka je negativnom radu unutarnjih sila (rad – energija teorem).
Odnosno ako ţelimo dipol zakrenuti za odreĊeni kut
moramo vršiti rad
Ako se kao poloţaj nulte energije izabere okomito usmjerenje dipola u odnosu na polje, tada dobivamo potencijalnu energiju dipola
138
85. Polarne i nepolarne molekule i polarizacija izolatora. Dipolne molekule dijelimo na polarne i nepolarne molekule (to smo još nauĉili iz srednje škole). Pogledajmo razliku izmeĊu polarnih i nepolarnih molekula i njihovo ponašanje u elektriĉnom polju. Nepolarne molekule Molekula kisika, svi atomi su nepolarni. Moţemo ih promatrati kao dva naboja povezani ˝slinkijem˝, odnosno spiralom, koji je praktiĉki spljošten ako nema elektriĉnog polja ( slika 85.1. ). Za rastezanje molekule trebamo izvršiti neki rad:
Pri ĉemu je momenta. Stoga je
promijena dipolnog
Za atom, za molekule uzimamo u obzir i broj atoma, odnosno n molekula po : Slika 85.1.
Pri ĉemu je
, odnosno
.
139
Polarne molekule Na slici 85.2. su predstavljene kao ˝bućice˝ za vjeţbanje. Ako promatramo plinove javlja nam se problem termiĉke energije. Postoji energija po stupnju slobode, odnosno energija nasumiĉnog gibanja, rotiranja... Kod tekućina nam je problem meĊusobna udaljenost molekula. Elektriĉno polje nastoji zakrenuti polarnu molekulu, javlja se moment sile i protivljenje toj sili. Imamo
Slika 85.2.
Za polarne molekule vrijedi da je Posljedice su sljedeće: U sluĉaju plina treba uloţiti rad da bi rotirali molekulu. Više o tome ćemo govoriti u OF4. Polarizacija izolatora U homogeno elektriĉno polje meĊu ploĉama ravnog kondenzatora unesen je neki dielektrik ( npr. ploĉa od stakla).Sve nabijene ĉestice u atomima biti će podvrgnute djelovanju polja. Na pozitivno nabijene ĉestice djelovati će sile koje će imati smjer i pravac polja, dok će sile negativne ĉestice imati isti pravac, ali suprotni smjer (u atomu će sile polja koje djeluju na jezgru imati suprotan smjer od onih koje djeluju na elektronski omotaĉ). Elektrostatske sile teţe da razdvoje nozitivne i negativne naboje u atomima. Svi atomi dielektrika biti će kao dipoli orijentirani u smjeru polja. U unutrašnjosti dielektrika će svaka dva kraja dipola biti meĊusobno kompenzirana jer sadrţe jednake koliĉine suprotnih vrsta elektriciteta. Samo će na površinama tijela prema ploĉama kapacitora krajevi dipola biti nekompenzirani. To daje isti efekt kao da su površine dielektrika nabijene istim koliĉinama suprotnih naboja pa se moţe reći da je cijeli komad dielektrika polariziran.
140
86. Električno polje u izolatoru i dielektrični pomak. Promotrimo kapacitor ispunjen izotropnim homogenim dielektrikom. Polarizacija je u istom smjeru kao i polje. Promatramo što se dešava: imamo dvije vodljive ploĉe u vakuumu. Gornja negativno nabijena, a donja pozitivno, nabojem jednakim po iznosu, ali razliĉito po predznaku. Polje je jednako i usmjereno je prema gore. Napon izmeĊu ploĉa je . Kapacitet praznog kapacitora nam je poznat:
Ispunimo taj kapacitor dielektrikom. Polje će polarizirati atome i molekule u dielektriku. Polje više nije samo
, već ukljuĉuje polja drugih molekula. U izotropnom
dielektriku, kao što smo rekli je paralelan s poljem . Ako s oznaĉimo vektor gustoće polarizacije tvari, u tvari imamo i sloj polarizirane tvari, tada će nam polje biti superpozicija polja. Unutar dielektrika zbog polarizacije imamo polje koje je suprotnog smjera od onog polja u prethodnom sluĉaju. Elektriĉno polje unutar kapacitora je jednako:
Kod izotropnih tvari je
, pri ĉemu je
bezdimenzionalna veliĉina
koja se zove elektriĉna susceptibilnost. Općenito su komponente sa izrazom:
za linearne izolatore dane
Pri ĉemu je tenzor. Tada nam je konstanta Vidimo da je kapacitet povećan za mnoţitelj , ako uzmemo polje kapacitora (u i oko ploĉa kapacitora), s tim da se zanemare rubni uĉinci. Za ĉvrste tvari elektriĉna susceptibilnost moţe biti reda 10, za plinove reda reda . Kod nelinearnih dielektrika ta veliĉina moţe biti i reda 100 ili 1000. Promotrimo Gaussov zakon za polje. U metalu ( nabijenom ili ne) nema polja, stoga nema ni toka polja.
141
Ako je polje homogeno, tada ide izvan integrala.
Statiĉko polje je posljedica svih naboja koji postoje, bili oni vezani ili ne. Pomoću mjerljivog parametra mjerimo elektriĉno polje.
Što je znaĉajno npr. u vodi, no ne baš u zraku. Pretpostavljamo da je .U metalima je polje nula, kao što smo rekli, pa kaţemo da je relativna permitivnost praktiĉno beskonaĉna.
Uvodimo oznaku
Vektor
- vektor el. pomaka
se javlja uvijek i ovisi o tvari.
142
87. Dielektrični proboj. Energija kondenzatora ispunjenog izolatorom.
143
88. Magnetska svojstva tvari. Relativna magnetska permeabilnost. Prije 4500 godina ljudi su opazili da neki kamenĉići imaju magnetska svojstva – privlaĉili su jedni druge te odreĊene metale. Prvi koji su to svojstvo iskoristili u praktiĉne svrhe bili su Kinezi koji su izmislili kompas. Kasnije oko 1600 godine Gilbert De Magnete je ustvrdio da se Zemlja ponaša kao štapićasti magnet. Ljudi su sve više i više bili fascinirani magnetima i njihovim svojstvima da su poĉeli dijeliti tvari u dvije vrste po odzivu: Magneti (feromagneti) i nemagneti. 1840. godine je M. Faraday ustanovio da nemagneti imaju odziv na magnete, njegova podjela nije bila tako jednostavna, on je podjelio magnete na: feromagnete (danas ĉisti magneti, permanentni poput ţeljeza, nikla, kobalta), paramagnete (postanu magnetiĉni u magnetskom polju, ili nakon djelovanja magnetskog polja na njih, a sami ne proizvode magnetsko polje), i dijamagnete (nemagnete kao aluminij ili sl. Napominjemo da i dijamagneti imaju magnetska svojstva ali su ona toliko mala da ih zanemarujemo). Relativna magnetska permeabilnost je veliĉina koja nam moţe dati odgovor na pitanje je li neka tvar para ili dijamagnet. Magnetsko polje se izraţava ( u vakuumu) kao:
Ako promatramo magnetsko polje zavojnice ili torusa, eksperimentalno je dokazano da će magnetsko polje s komadom nekog sredstva (npr. ţeljeza) biti veće od onog bez sredstva. Polje će u tom sluĉaju biti
Izraz unutar zagrade se moţe oznaĉiti kao , i naziva se magnetska permeabilnost, a se naziva magnetska susceptibilnost. Ako stavimo
Tada naše polje poprima oblik
Vrijedi da ako je relativna magnetska permeabilnost paramagnete ili dijamagnete, ukoliko je ona
veliĉine do na
imamo
tvar je feromagnet.
144
89. Molekularni prikaz dija- i paramagneta. Magnetski moment.
145
90. Magnetizacija, gustoća magnetskog toka i magnetska susceptibilnost para- i dijamagneta.
146
91. Feromagneti i magnetske domene.
147
92. Histereza. Meki i tvrdi feromagneti.
148
93. Zemljino magnetsko polje.
149
