UNIVERSIDAD DE OVIEDO E. T. S. INGENIEROS INDUSTRIALES DEPARTAMENTO DE ENERGÍA
SISTEMAS DE BOMBEO
EDUARDO BLANCO MARIGORTA SANDRA VELARDE SUÁREZ JOAQUÍN FERNÁNDEZ FRANCOS
GIJÓN, 1994
ISBN 84-604-9677-5 DEPÓSITO LEGAL AS-880-94 GIJÓN 1994
Sistemas de Bombeo
I
ÍNDICE NOMENCLATURA ..............................................................................................................IX PREFACIO.............................................................................................................................XI 1 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS ............................................................... 1 1.1 Definición de sistemas de bombeo ......................................................................... 1 1.1.1 Elementos típicos y ejemplos................................................................... 1 1.1.2 Problemas de diseño y operación............................................................. 2 1.2 Ecuaciones básicas.................................................................................................. 3 1.2.1 Ecuación de continuidad .......................................................................... 3 1.2.2 Ecuación de la cantidad de movimiento .................................................. 4 1.2.3 Ecuación de la energía ............................................................................. 5 1.3 Conceptos de cálculo de flujo en tuberías............................................................... 6 1.3.1 Consideraciones alrededor de las ecuaciones básicas.............................. 6 1.3.2 Línea piezométrica y línea de energía ................................................... 13 1.3.3 Curvas características............................................................................. 14 1.4 Introducción a los fenómenos de cavitación y a los transitorios .......................... 16 1.4.1 Cavitación .............................................................................................. 16 1.4.2 Transitorios ............................................................................................ 17 2 PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS....................................................................... 19 2.1 Pérdidas lineales.................................................................................................... 19 2.1.1 Flujo laminar y flujo turbulento............................................................. 20 2.1.2 Coeficiente de fricción........................................................................... 21 2.1.3 Otras ecuaciones experimentales ........................................................... 24
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2.2 Pérdidas singulares................................................................................................ 25 2.2.1 Coeficiente de perdidas singulares......................................................... 25 2.2.2 Longitud equivalente ............................................................................. 27 2.3 Resolución de casos sencillos ............................................................................... 27 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5
Tubería simple ....................................................................................... 27 Tuberías en serie .................................................................................... 28 Tuberías en paralelo............................................................................... 29 Combinación de tuberías en serie y paralelo ......................................... 30 Nudos de tuberías................................................................................... 31
2.4 Determinación de la tubería .................................................................................. 32 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4
Selección del diámetro........................................................................... 32 Materiales............................................................................................... 34 Presión de diseño ................................................................................... 35 Espesor de las tuberías ........................................................................... 36
2.5 Ejemplos ............................................................................................................... 38 3 BOMBAS ............................................................................................................................ 49 3.1 Tipos y características........................................................................................... 49 3.1.1 Bombas rotodinámicas........................................................................... 49 3.1.2 Curva característica................................................................................ 51 3.2 Punto de operación................................................................................................ 52 3.2.1 Combinación con el sistema .................................................................. 52 3.2.2 Consideraciones sobre la presión y sobre la potencia............................ 53 3.3 Bombas en serie y en paralelo .............................................................................. 54 3.4 Introducción a la semejanza en bombas................................................................ 55 3.4.1 Números adimensionales ....................................................................... 55 3.4.2 La variación de la velocidad .................................................................. 61 3.4.3 Rodetes recortados ................................................................................. 62 3.5 La cavitación en bombas....................................................................................... 63 3.5.1 Definición .............................................................................................. 63 3.5.2 NPSH ..................................................................................................... 64
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3.6 Diseño de la aspiración ......................................................................................... 65 3.6.1 Mejora del NPSHd................................................................................. 65 3.6.2 Vórtices de entrada ................................................................................ 66 3.6.3 Cebado ................................................................................................... 67 3.7 Selección de bombas............................................................................................. 68 3.7.1 Selección a partir de los parámetros adimensionales............................. 68 3.7.2 Factores que influyen en la selección .................................................... 69 3.7.3 Rendimiento óptimo .............................................................................. 70 3.8 Ejemplos ............................................................................................................... 70 4 VÁLVULAS E INSTRUMENTACIÓN .......................................................................... 79 4.1 Tipos de válvulas .................................................................................................. 79 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6
Válvulas de compuerta........................................................................... 79 Válvulas de mariposa............................................................................. 80 Válvulas esféricas y cónicas .................................................................. 80 Válvulas de globo y aguja...................................................................... 81 Válvulas antirretorno ............................................................................. 82 Otras válvulas......................................................................................... 82
4.2 Coeficientes de pérdidas en válvulas .................................................................... 84 4.3 Cavitación en válvulas .......................................................................................... 85 4.4 Medida de presiones y caudales............................................................................ 87 4.4.1 Medida de la presión.............................................................................. 87 4.4.2 Medida del caudal .................................................................................. 88 4.5 Ejemplos ............................................................................................................... 88 5 SISTEMAS DE REGULACIÓN ...................................................................................... 93 5.1 Depósitos............................................................................................................... 93 5.1.1 Depósitos abiertos.................................................................................. 94 5.1.2 Depósitos a presión ................................................................................ 95 5.2 Regulación con válvulas ....................................................................................... 96
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5.2.1 Válvulas en serie y by-pass.................................................................... 96 5.2.2 Selección de válvulas de control............................................................ 99 5.2.3 Válvulas reductoras de presión .............................................................. 99 5.3 Combinación de bombas..................................................................................... 100 5.3.1 Bombas en paralelo.............................................................................. 100 5.3.2 Bombas en serie ................................................................................... 101 5.4 Variación de la velocidad.................................................................................... 103 5.4.1 Ventajas e inconvenientes.................................................................... 103 5.4.2 Accionamientos de velocidad variable ................................................ 103 5.4.3 Consideraciones hidráulicas................................................................. 104 5.5 Ejemplos ............................................................................................................. 105 6 DISEÑO DE SISTEMAS ................................................................................................ 115 6.1 Estudio de viabilidad........................................................................................... 115 6.1.1 Diseño preliminar................................................................................. 115 6.1.2 Consideraciones legales y socio-ambientales ...................................... 116 6.1.3 Análisis económico.............................................................................. 117 6.2 Estudio hidráulico ............................................................................................... 118 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4
Definición general................................................................................ 118 Trazado y elementos del sistema ......................................................... 119 Cálculo de diámetros y presiones ........................................................ 121 Otros aspectos ...................................................................................... 122
7 TRANSITORIOS EN INSTALACIONES DE BOMBEO........................................... 123 7.1 Introducción ........................................................................................................ 123 7.1.1 Causas de los transitorios..................................................................... 124 7.1.2 Oscilación en masa y golpe de ariete................................................... 124 7.2 El golpe de ariete ................................................................................................ 125 7.2.1 Incremento de presión.......................................................................... 125 7.2.2 Transmisión y reflexión de perturbaciones.......................................... 126 7.2.3 Tiempo de cierre .................................................................................. 129 7.2.4 Otras consideraciones .......................................................................... 129
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7.3 Ecuaciones del golpe de ariete............................................................................ 130 7.3.1 Velocidad de onda................................................................................ 130 7.3.2 Ecuaciones del flujo no estacionario.................................................... 133 7.3.3 Condiciones de contorno...................................................................... 135 7.4 Métodos de resolución ........................................................................................ 137 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4
Fórmulas directas ................................................................................. 137 Método de las características ............................................................... 137 Método gráfico de Bergeron ................................................................ 139 Oscilación en masa .............................................................................. 142
7.5 Sistemas de control del golpe de ariete............................................................... 143 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.5.7
Tiempo de cierre de válvulas ............................................................... 144 Incremento de la inercia de las bombas ............................................... 144 Válvulas antirretorno y otras................................................................ 144 Válvulas de descarga............................................................................ 145 Chimeneas de equilibrio ...................................................................... 145 Acumuladores y depósitos de aire ....................................................... 147 Válvulas de admisión de aire ............................................................... 149
7.6 Separación de columna y aire atrapado .............................................................. 149 7.6.1 Separación de columna ........................................................................ 149 7.6.2 Aire atrapado........................................................................................ 150 7.7 Ejemplos ............................................................................................................. 151 8 INSTALACIONES TÍPICAS ......................................................................................... 161 8.1 Instalaciones en un edificio................................................................................. 161 8.1.1 Redes de distribución........................................................................... 161 8.1.2 Cálculo de las tuberías de distribución ................................................ 164 8.2 Bombas de condensado....................................................................................... 165 8.2.1 Descripción .......................................................................................... 165 8.2.2 Sistema de regulación .......................................................................... 166 8.3 Bombeo de líquidos viscosos y con materias en suspensión .............................. 167 8.3.1 Bombeo de líquidos viscosos............................................................... 167
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8.3.2 Bombeo de líquidos con materias sólidas en suspensión..................... 168 8.4 Grandes sistemas de abastecimiento y distribución de agua .............................. 169 8.4.1 Red general de distribución por gravedad ........................................... 169 8.4.2 Red general de distribución por bombeo ............................................. 173 APÉNDICE A CÁLCULO DE REDES DE TUBERÍAS............................................... 177 A.1 Planteamiento general ........................................................................................ 177 A.2 Método de nudos................................................................................................ 178 A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.2.4 A.2.5
Condiciones de contorno..................................................................... 178 Convenio de signos ............................................................................. 178 Ecuaciones .......................................................................................... 179 Forma de resolución............................................................................ 180 Fórmula de corrección ........................................................................ 181
A.3 Método de mallas o Hardy-Cross....................................................................... 181 A.3.1 A.3.2 A.3.3 A.3.4 A.3.5
Convenio de signos ............................................................................. 182 Ecuaciones .......................................................................................... 182 Forma de resolución............................................................................ 182 Fórmula de corrección ........................................................................ 183 Tuberías y depósitos sueltos ............................................................... 183
A.4 Método de Newton-Raphson ............................................................................. 185 A.4.1 Ecuaciones .......................................................................................... 185 A.4.2 Forma de resolución............................................................................ 187 A.5 Método lineal ..................................................................................................... 188 A.5.1 A.5.2 A.5.3 A.5.4 A.5.5 A.5.6
Ecuaciones .......................................................................................... 188 Condiciones particulares ..................................................................... 189 Sistema planteado ............................................................................... 191 Forma de resolución............................................................................ 192 Propuesta de nomenclatura y convenio de signos............................... 192 Corolario ............................................................................................. 193
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A.6 Ejemplos............................................................................................................. 193 APÉNDICE B RESOLUCIÓN DEL GOLPE DE ARIETE POR DIFERENCIAS FINITAS ............................................................................................................................... 197 B.1 Método de resolución ......................................................................................... 197 B.2 Condiciones de contorno.................................................................................... 201 B.2.1 B.2.2 B.2.3 B.2.4 B.2.5 B.2.6 B.2.7
Depósito .............................................................................................. 201 Válvulas............................................................................................... 201 Pérdidas singulares.............................................................................. 202 Bombas................................................................................................ 202 Cambio del tipo de tubería .................................................................. 202 Chimeneas de equilibrio...................................................................... 202 Depósitos de aire ................................................................................. 203
APÉNDICE C TABLAS Y GRÁFICOS......................................................................... 205 C.1 Ejemplo de normativa sobre tuberías ................................................................. 205 C.2 Diagrama de Moody........................................................................................... 206 C.3 Coeficientes de pérdidas singulares ................................................................... 207 C.4 Nomograma de pérdidas singulares ................................................................... 208 C.5 Rugosidad de las tuberías................................................................................... 209 C.6 Velocidades de flujo utilizadas habitualmente................................................... 209 C.7 Velocidades para agua según el diámetro de la tubería ..................................... 210 C.8 Pérdidas de carga recomendadas en función del caudal .................................... 210 C.9 Módulo de elasticidad y relación de Poisson de diferentes materiales .............. 210 C.10 Propiedades del agua........................................................................................ 211 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................. 213
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NOMENCLATURA a b C Ch D e E f F g H HB hp hpl hps Hp k KB L Lc Le M N nm Pat Pot PotH PotB Ps Pr Pt Q R Rg S U
Velocidad del sonido Ancho Caudal saliente de un nudo Coeficiente de Hazen - Williams Diámetro Espesor Módulo de Young Coeficiente de fricción Fuerza Gravedad Altura (energía) Altura de una bomba Pérdidas de carga Pérdidas lineales Pérdidas singulares Altura piezométrica Resistencia de un circuito o tubería Módulo de Bulk Longitud Ley de cierre Longitud equivalente Par Velocidad de giro (rpm) Coeficiente de Manning Presión atmosférica Potencia Potencia hidráulica Potencia de la bomba Presión estática Perímetro Presión total Caudal Radio Constante de los gases Sección, área Velocidad de arrastre
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V Vθ Vr Vz Vol Vx Vy Vz W z
Velocidad absoluta Velocidad, componentes en coordenadas cilíndricas Volumen Velocidad, componentes en cartesianas Velocidad relativa Cota geométrica
ε η μ v ξ Φ Ψ ζ ρ τ ω
Rugosidad Rendimiento Viscosidad absoluta Viscosidad cinemática Coeficiente de pérdidas Cifra de caudal Cifra de presión Cifra de potencia Densidad Esfuerzo cortante Velocidad angular (rad/s)
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PREFACIO Son numerosos los libros de hidráulica dedicados al estudio de las estaciones de bombeo, a la maquinaria, a los equipos asociados y a las conducciones. Por esta razón, escribir una nueva obra sobre el tema es una empresa arriesgada, si se pretende hacer una aportación original y útil, no simplemente aumentar el número de títulos publicados y engrosar el currículum académico profesional. Es preciso aclarar rápidamente que la mayoría de los textos disponibles en lengua castellana son manifiestamente mejorables, por lo que el estudiante o el profesional medio encuentra dificultades añadidas a las propias del estudio y el trabajo. En cuanto a obras escritas en lenguas extranjeras, fundamentalmente inglesa, aunque también en francés, alemán y holandés, es preciso distinguir entre obras de referencia, excelentes aunque algo antiguas, y versiones más o menos afortunadas de las mismas. En cualquier caso, las primeras son de difícil acceso, por lo que circulan únicamente en ámbitos restringidos altamente especializados. La obra de los profesores Blanco, Velarde y Fernández pretende llenar una laguna importante: ofrecer un libro de texto a nivel medio para los estudiantes de ingeniería y, a la vez, una obra de consulta para el técnico especialista. Para ello se ha elaborado un índice que permite, partiendo del repaso de los conceptos básicos de Mecánica de Fluidos, estudiar el diseño y cálculo de sistemas e instalaciones. Todo ello sin pretensiones, de una forma clara y simple, huyendo tanto de la formalidad físico-matemática de los libros teóricos, como del enciclopedismo de los manuales técnicos. En este sentido, me atrevo a clasificar este texto como equilibrado, tanto por sus contenidos como por la forma de presentarlos, pudiendo, efectivamente, resultar interesante tanto para los estudiantes, que disponen de poco tiempo y medios para efectuar las convenientes búsquedas bibliográficas, como para el técnico que precisa en ocasiones recordar el concepto exacto y su sentido. Así, los capítulos 1 y 2, en los que se presentan los conceptos básicos y los métodos generales de cálculo, son resueltos con eficiencia, no introduciendo más dificultad que la necesaria ni más información que la indispensable. En el anexo se presentan, de una forma exhaustiva, los métodos de cálculo completos y las guías para elaborar programas informáticos. El capítulo tercero resulta de una austeridad premeditada, lo que pone de manifiesto la intención de los autores de evitar escribir un tratado sobre bombas, de los que hay excelente muestras en la lista de referencias que presentan, y limitarse a exponer lo estrictamente preciso para estudiar o diseñar la instalación. Otro tanto cabría decir respecto al capítulo cuarto, dedicado a las válvulas y la instrumentación.
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Por el contrario, se dedica un capítulo entero a la regulación de los sistemas de bombeo, acertadamente según mi criterio, pues se trata de una cuestión fundamental tanto a efectos técnicos como económicos, que tanto el usuario como el proyectista deben conocer. Los capítulos 6 y 8 se dedican al diseño de sistemas, y a mostrar instalaciones específicas, explicando de una forma simple los principios funcionales de las mismas. Pero es quizás en el capítulo 7 donde los autores han debido realizar un mayor esfuerzo de síntesis, al tratar el difícil problema de los efectos transitorios, de una forma completa y rigurosa, a la vez que breve y comprensible. Igual que para el capítulo segundo, es un acierto el haber segregado el método de cálculo de las sobrepresiones en el golpe de ariete. Por supuesto, esta obra no agota la temática de los sistemas de bombeo. Sin embargo, sí cumple, en mi opinión, los requisitos enunciados al iniciar esta presentación: es radicalmente original, hasta el punto de no apoyarse especialmente en ningún texto de referencia, y es útil, al presentar una visión rápida, sencilla y atractiva de un tema extenso, complejo y árido. Gijón, 14 de febrero de 1994 Carlos Santolaria. Catedrático de Mecánica de Fluidos de la Universidad de Oviedo.
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1 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS Este capítulo comienza con una breve definición de los sistemas de bombeo y de los problemas que se presentan en su diseño y operación. A continuación se hace un repaso de las ecuaciones básicas y conceptos previos para terminar con una introducción de los fenómenos de cavitación y golpe de ariete.
1.1 DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE BOMBEO Un sistema de bombeo consiste en un conjunto de elementos que permiten el transporte a través de tuberías y el almacenamiento temporal de los fluidos, de forma que se cumplan las especificaciones de caudal y presión necesarias en los diferentes sistemas y procesos. Esta publicación se limita al estudio del transporte de fluidos newtonianos incompresibles, y más concretamente de líquidos. 1.1.1 ELEMENTOS TÍPICOS Y EJEMPLOS En un sistema típico, además de las tuberías que enlazan los puntos de origen y destino, son necesarios otros elementos. Algunos de ellos proporcionan la energía necesaria para el transporte: bombas, lugares de almacenamiento y depósitos. Otros son elementos de regulación y control: válvulas y equipos de medida. Las figuras 1.1, 1.2 y 1.3 muestran algunos ejemplos típicos de sistemas utilizados.
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Figura 1.2 Red de distribución de agua potable a una población
1.1.2 PROBLEMAS DE DISEÑO Y OPERACIÓN La especificación básica que debe satisfacer un sistema de bombeo es el transporte de un caudal de un determinado fluido de un lugar a otro. Además, suele ser necesario que el fluido llegue al lugar de destino con una cierta presión, y que el sistema permita un rango de variación tanto del caudal como de la presión. El diseño de un sistema de bombeo consiste en el cálculo y/o selección de las tuberías, bombas, etc, que permitan cumplir las especificaciones de la forma más económica posible. De todas formas, aunque el dinero suele ser una parte muy importante al final de un diseño,
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para que esté correctamente realizado es necesario contemplar otros aspectos como la seguridad, fiabilidad, facilidad de mantenimiento, impacto ambiental y otros factores humanos, que en muchos casos quedan fuera del ámbito del presente estudio. En cuanto a la operación de un sistema de bombeo, hay que tener en cuenta los sistemas de regulación y control que permitan obtener el caudal y la presión deseados, así como los problemas de cavitación, inestabilidades y transitorios que se puedan producir.
Figura 1.3 Sistema de aspiración para una tubería general
1.2 ECUACIONES BÁSICAS La resolución de la mayor parte de los problemas de la dinámica de fluidos pasa a través de las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía. Estas ecuaciones se obtienen de aplicar la concepción Euleriana a la ley de conservación de masa, a la segunda ley de Newton y a la primera ley de Termodinámica, respectivamente. 1.2.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad en forma diferencial se puede expresar de la forma
r Dρ + ρ ΔV = 0 Dt siguiente: (Véase White, 1979 para más información).
(1.1)
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4
Esta ecuación se utiliza a menudo en su forma integral, aplicada a un volumen de control delimitado por una superficie de control:
r r ∂ ∫VC ρ dVol + ∫ SC ρ ( V r dS ) = 0 ∂t
(1.2)
Esta forma de aplicar la ecuación permite rápidas simplificaciones. Una de ellas consiste en considerar que la velocidad es uniforme en algunas partes de la superficie de control. En el caso de flujo en conductos, muchas veces se puede aceptar que el flujo es estacionario y que la velocidad es uniforme en una sección transversal. Para el cálculo se toma la velocidad media en cada sección, con la dirección del eje del conducto y perpendicular, por tanto, a la sección normal. La ecuación de continuidad entre dos secciones 1 y 2 de un conducto, se reduce a lo siguiente:
ρ1 S1 V 1 = ρ 2 S 2 V 2
(1.3)
En el caso de que el flujo sea incompresible, la ecuación se simplifica:
S1 V 1 = S 2 V 2 = Q
(1.4)
1.2.2 ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Siguiendo los mismos razonamientos que en el caso anterior, la ecuación de cantidad r r DV ρ = - ΔT + ρ f Dt
(1.5)
de movimiento en forma diferencial resulta ser: r donde T representa el tensor de tensiones y f las fuerzas exteriores. También se puede expresar en forma integral; considerando como fuerzas externas las r r r r ∂ ∑F = ∫VC ρ V dVol + ∫ SC ρ V ( V r dSvec) ∂t másicas y las aplicadas sobre las superficies de control: r Donde V r es la velocidad relativa del fluido respecto a la superficie de control.
(1.6)
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Con las simplificaciones de flujo estacionario e incompresible, y tomando velocidades medias, se puede aplicar la ecuación entre dos puntos de la manera siguiente: r r r ∑ F = ρ Q (V 2 - V 1 )
(1.7)
1.2.3 ECUACIÓN DE LA ENERGÍA La ecuación de la energía en forma diferencial toma la forma siguiente:
ρ
r r De = - Δq - P ΔV + φ V Dt
(1.8)
r en la que e es la energía interna , q el vector flujo de calor y φ V la función de disipación. Esta ecuación puede escribirse en forma integral de la manera siguiente:
r dQ dW ∂ = E ρ dVol + E ρ ( d S ) Vvec ∫ ∫ SC r dt dt ∂t VC
(1.9)
donde Q es el calor intercambiado con el volumen de control (positivo si es entrante) -en el resto del texto, Q representa el caudal- , W es el trabajo intercambiado con el volumen de control (positivo el realizado por el volumen de control) y E la suma de la energía interna, cinética y potencial del fluido. Con las mismas simplificaciones de los casos anteriores, y dividiendo la ecuación por g, de forma que el trabajo o energía vengan dados por unidad de peso, la ecuación se expresa en términos de longitud de la manera siguiente: 2
2
P1 + V 1 + P2 + V 2 + z1 - h p + H B = z2 2g rhog 2g ρg
(1.10)
hp es la energía perdida por rozamiento, y se denomina pérdida de carga. HB es la energía añadida desde el exterior, por ejemplo mediante una bomba. En caso de que se extraiga energía, como es el caso de una turbina, este término tendrá valor negativo. Si se desprecian las pérdidas por rozamiento, y no hay aporte de energía desde el 2
2
P1 + V 1 + P2 + V 2 + z1 = z2 ρg ρg 2g 2g
exterior, la ecuación anterior se reduce a la ecuación de Bernoulli:
(1.11)
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El significado físico de los términos de esta ecuación es el siguiente:
P Energía debida a la presión. ρg 2
V Energía cinética. 2 g z Energía potencial a una cierta altura respecto a un nivel de referencia. La suma de estos tres términos se conoce como la energía o altura del fluido en un punto, H. Esta altura es una variable escalar, dependiente del punto considerado.
1.3 CONCEPTOS DE CÁLCULO DE FLUJO EN TUBERÍAS 1.3.1 CONSIDERACIONES ALREDEDOR DE LAS ECUACIONES BÁSICAS Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad para flujo incompresible en una tubería (1.4) se podría expresar diciendo que en un momento dado, el caudal en una tubería debe ser el mismo en toda su longitud.
Figura 1.4 Nudo de tuberías Otra conclusión inmediata es que en una conjunción de tuberías, denominada normalmente nudo, tiene que entrar el mismo caudal que sale. Esto permite definir una ecuación para los nudos. Si se define un signo para los caudales (positivo si es saliente y negativo si es entrante, por ejemplo), la ecuación sería:
∑Q = 0
(1.12)
Se puede definir una ecuación independiente para cada nudo de un sistema.
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Ecuación de la energía En la ecuación de la energía se ha visto que la altura de un punto del sistema sólo depende del punto considerado, y no del camino -tubería- por el que se llegue a él. Si existen dos tuberías distintas para pasar de un punto i a otro j, figura 1.5, la ecuación de la energía entre ellos a través de la tubería 1 se puede expresar como:
Figura1.5 Dos nudos unidos por tuberías distintas
2
2
Vsubj Pj Pi + V i + + + zj z i - h pt 1 = ρg ρg 2g 2g
(1.13)
También se puede plantear la ecuación a través de la segunda tubería: 2
2
Vsubj Pj Pi + zj + + V i + z i - h pt 2 = ρg ρg 2g 2g
(1.14)
lo que lleva a la conclusión de que las pérdidas de carga por las dos tuberías deben ser iguales: (1.15) h pt 1 = h pt 2 La ecuación de la energía permite también relacionar dos puntos enlazados a través de un tercero:
Figura 1.6 Relación entre tres nudos
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2
2 Vj Pj Vsubk + + z j - h pt 2 = P k + + zk ρg ρg 2g 2g
(1.16)
2
2 Pi + V i + Pk + + zk V ksup z i h pt 1 = 2 g 2 g ρ g ρ g
(1.17)
Entre estas dos ecuaciones se obtiene lo siguiente: 2
2
Vsubj Pj Pi + z j - h pt + + V i + z i - h pt 1 = ρg ρg 2g 2g
2
(1.18)
Pérdida de carga La pérdida de energía por rozamiento a lo largo de una tubería depende fundamentalmente del cuadrado del caudal: 2 hp = k Q
(1.19)
La constante k se conoce como resistencia de la tubería. Depende de la longitud, del diámetro, de la viscosidad, de la rugosidad y, como se verá más adelante, también del caudal, lo que la convierte en una constante variable. Del propio concepto de pérdida de energía por rozamiento se desprende que tiene el mismo sentido que el caudal. Es decir, que la pérdida entre dos puntos i y j tiene valor positivo si el caudal va desde i hasta j y negativo en caso contrario.
Figura 1.7 Signo de la pérdida de carga Para los cálculos en los que se utilice el ordenador, este criterio de signos se puede expresar de la manera siguiente: h pij = k _ Qij _ | Qij |
(1.20)
De esta manera el signo queda fijado de manera automática. Sin embargo, en la mayor parte
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de las resoluciones manuales supone una complicación excesiva de las ecuaciones, y la mejor solución es ser extremadamente cuidadosos con los signos. Otra conclusión de lo anterior es que el flujo siempre va del punto de mayor altura al de menor altura (en realidad es una premisa que se ha tomado como obvia). Esto hace que, en el ejemplo de la figura 1.5, el flujo vaya del nudo i al j o viceversa por ambas tuberías. Nunca podrá circular en un sentido distinto por cada tubería a menos que se incluya en una de las tuberías un elemento que aportara energía al flujo. Bombas Las bombas son los elementos que aportan energía para vencer las pérdidas de carga y la diferencia de alturas entre dos puntos. Fuerzan al fluido a circular en un determinado sentido. Aunque se puede obligar a que el fluido atraviese una bomba en sentido contrario, esta situación es anómala. (Esta aclaración tiene su origen en algunos de los exámenes corregidos por los autores).
Figura 1.8 Altura de elevación de una bomba
Las bombas más utilizadas en los sistemas de bombeo convencionales son las centrífugas y las axiales. Estas bombas pueden impulsar un caudal mayor a medida que disminuye la resistencia o diferencia de altura que deben vencer. Depósitos ideales. Un depósito ideal es un elemento de acumulación de fluido cuya altura o energía permanece constante, permitiendo extraer o introducir todo el fluido que se quiera. El depósito ideal es un instrumento muy útil en el planteamiento de problemas sencillos, y el concepto no es muy distante del comportamiento real.
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Figura 1.9 Altura de un depósito ideal En los depósitos abiertos la altura corresponde al nivel del líquido. En los depósitos cerrados, debe sumarse la presión relativa del gas que se encuentra por encima de ese nivel:
PGas HD = HL + ρL g
(1.21)
Flujo sin rozamiento Considérese el ejemplo de la figura 1.10, y supóngase una tubería corta de gran diámetro, de forma que las pérdidas por rozamiento sean despreciables. Si se hace la hipótesis de que no existen pérdidas de ninguna clase, se llega al absurdo de que el fluido pasa del depósito 1 con energía H1 al depósito 2 con energía H2, perdiendo una cierta cantidad de energía por arte de magia. Como el ingeniero es, por naturaleza, un tanto escéptico acerca de las ciencias ocultas, habrá que intentar explicarlo de otra manera.
Figura 1.10 Transporte de un fluido sin rozamiento
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Para dar una explicación más coherente hay que acudir al motivo por el cual se produce un movimiento en el fluido. Partiendo de un instante inicial, con la válvula cerrada (por tanto sin flujo), las presiones en los puntos 1' y 2' serán:
P1′ = ρg H 1 P 2 ′ = ρg H 2
(1.22)
En el momento en que se abre la válvula, la diferencia de presiones produce una aceleración en el fluido, que se mantiene mientras estas presiones no se igualen. El aumento de velocidad en el punto 1' hace que parte de su energía de presión pase a energía cinética. Cuando el proceso se estabiliza, la presión de 1' y 2' es la misma, y la velocidad con que el fluido circula por la tubería se obtiene de la siguiente manera:
P1′ = P 2′ = ρ g H 2
(1.23)
2
P1′ + V 1′ H 1 = H 1′ = ρg 2g
V 1′ =
2 g ( H1 - H2 )
(1.24)
(1.25)
Por continuidad, la velocidad en 2' es igual a la velocidad en 1', lo que lleva a que la energía en 2' es la misma que la energía en 1', H1, y es mayor que la del resto del depósito, H2. Ya se tiene más localizado el origen de la pérdida fantasma de energía. La solución la proporciona la Mecánica de Fluidos, al establecer que cuando se produce un cambio brusco de la velocidad (de V2' a 0 al entrar en el depósito), las presiones son iguales y la energía cinética se pierde en la desaceleración. En resumen: aunque se está suponiendo flujo sin rozamiento con las tuberías, hay que admitir que se producen pérdidas de energía por rozamiento dentro del fluido. Este es el mecanismo de la mayor parte de las pérdidas de energía llamadas singulares. Por tanto, en la transferencia de fluido entre dos puntos de diferente energía por una tubería sin rozamiento, el caudal está fijado por la diferencia de alturas: Q= S
2 g ( H1 - H2 )
(1.26)
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Energía cinética versus pérdida de carga Cuando existe rozamiento del fluido con las paredes de la tubería, las expresiones obtenidas anteriormente cambian ligeramente.
Figura 1.11 Flujo en una tubería con rozamiento Tómese el ejemplo de la figura 1.11. La tubería es de sección constante para evitar problemas con el término de energía cinética. Si en 1 existe una presión mayor que en 2, el fluido se acelera de 1 a 2. Al moverse, el rozamiento con las paredes provoca una fuerza de sentido contrario, Fr . Esta fuerza, como se ha indicado someramente y se verá con detalle más adelante, aumenta con el cuadrado de la velocidad (o lo que es lo mismo, con el cuadrado del caudal). El fluido irá aumentando de velocidad hasta que al llegar al estado estacionario, la fuerza de rozamiento iguale el desequilibrio de presiones, que en la ecuación de la energía viene representado por la pérdida de carga, hp:
H 1 - hp = H 2
(1.27)
El caudal entonces se obtiene a partir de la diferencia de alturas y de la resistencia de la tubería (ver ecuación 1.18): 2 H1 - H2 = k Q
(1.28)
Q=
(1.29)
k ( H1 - H2 )
Cuando esto se combina con el caso anterior de pérdida de energía por entrada en el depósito, las expresiones se complican un poco, aunque los conceptos son los mismos. Cuando el fluido transportado es un gas, la energía cinética es una parte importante del cambio de energía. En el caso de líquidos, la pérdida de carga por rozamiento es mucho mayor que la energía cinética, y la pérdida de energía debida a la entrada en un depósito, junto con otras pérdidas puntuales -codos, válvulas, etc.- se incluyen dentro de la pérdida de carga total, considerándolas como un aumento de la resistencia de la tubería.
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Diferencia de cotas La energía potencial -z en la ecuación de Bernoulli- se trata de la misma forma que la energía de presión, y tiene los mismos efectos. Así, los dos casos de la figura 1.12 son equivalentes si la resistencia de las tuberías se considera idéntica.
Figura 1.2 Efecto de la diferencia de cotas
Conclusiones Como conclusión de todo lo anterior, para el cálculo de tuberías se considera que no hay distinción entre energía de presión, cinética y potencial, sino que se utilizan conjuntamente refiriéndose a ellas con el término altura. Así, la ecuación de la energía se reduce a lo siguiente:
H1 hp + H B = H 2
(1.30)
1.3.2 LÍNEA PIEZOMÉTRICA Y LÍNEA DE ENERGÍA Resulta muy instructivo, e incluso útil, representar gráficamente los términos de la ecuación de la energía. Véase el ejemplo de la figura 1.13. El punto 1 no tiene velocidad y está a presión atmosférica (es decir, presión relativa cero). Por tanto, su altura está definida por su cota geométrica. Si se desciende a una cierta profundidad -punto 2- parte de la energía potencial se transforma en energía de presión. Al adquirir una velocidad -punto 3- aparece el término de energía cinética. En el punto 4 ha disminuido la altura total debido a las pérdidas por rozamiento. Como la sección de la tubería es la misma que en 3, la velocidad se mantiene. Al aumentar la sección -punto 5- la velocidad disminuye, y con ella la energía cinética. La entrada en el depósito provoca la pérdida de la energía cinética que había en ese momento en la tubería. La disminución total de altura, las pérdidas por rozamiento y las pérdidas puntuales, constituyen la pérdida de carga, hp.
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Figura 1.13 Líneas piezométrica y de energía La línea que une las alturas totales de todos los puntos se conoce como línea de energía. La suma de la energía potencial y la energía de presión en un punto se denomina altura piezométrica. La línea que une las alturas piezométricas de todos los puntos recibe el nombre de línea piezométrica. 1.3.3 CURVAS CARACTERÍSTICAS Una forma de visualizar fácilmente el funcionamiento de un sistema de tuberías es utilizando las curvas características. La idea consiste en resolver de forma gráfica las ecuaciones que definen un determinado problema.
Figura 1.14 Curva característica de un tramo de tubería Se llama curva característica a la línea que define la variación de la altura con el caudal en un elemento de un sistema. La curva característica de un tramo de tubería viene definida por la parábola hp= k Q2. La conjunción de las curvas de un sistema sencillo permite solucionarlo gráficamente. Así, si se combina la curva anterior con la correspondiente a dos depósitos situados a diferente altura, se obtiene el caudal que circula por la tubería entre ambos depósitos (véanse las figuras 1.15 y 1.16).
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Figura 1.15 Curva característica de la diferencia de alturas entre dos depósitos
Figura 1.16 Resolución gráfica del caudal Si se quiere elevar el fluido del depósito inferior al superior, hay que vencer la pérdida de carga en la tubería y la diferencia de altura. En este caso, la curva característica será la suma de las alturas de ambas, como se observa en la figura 1.17.
Figura 1.17 Curva resistente entre dos depósitos
Si la energía necesaria para esta impulsión es proporcionada por un bomba, el punto de funcionamiento viene dado por el corte de las dos curvas, la de la bomba y la del circuito. Se obtiene de esta forma el caudal circulante, la altura que está proporcionando la bomba y la pérdida de carga (figura 1.18). Más adelante se estudiarán algunos casos más complejos.
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Figura 1.18 Resolución gráfica de un circuito con bomba
1.4 INTRODUCCIÓN A LA CAVITACIÓN Y A LOS TRANSITORIOS Estos fenómenos se estudiarán en profundidad en capítulos posteriores, pero su importancia hace necesaria una breve explicación que complete la idea general expuesta hasta este momento. 1.4.1 CAVITACIÓN La cavitación constituye un fenómeno importante en la selección y operación de bombas, válvulas y otros equipos de control. Puede provocar un mal funcionamiento de la instalación y el deterioro de los elementos mecánicos, dando lugar a costosas reparaciones. Básicamente, la cavitación se produce cuando en algún punto la presión del fluido desciende por debajo de la presión de vapor, formándose entonces burbujas de vapor por ebullición. Se ha comprobado que la presencia de gases disueltos y suciedad favorecen la aparición de estas burbujas, actuando como núcleos de formación. Frecuentemente la cavitación está asociada también con las estructuras vorticales turbulentas de las zonas de separación. Las bajas presiones en el centro de los vórtices, combinadas con la depresión de la separación, pueden causar la aparición de burbujas de vapor. Cuando estas burbujas se ven afectadas por una presión superior, se vuelven inestables y colapsan violentamente. Esto provoca ruido, vibraciones y erosión. Una fuerte cavitación reduce el rendimiento de los equipos hidráulicos, pero incluso una cavitación en fase incipiente puede, con el tiempo, llegar a erosionar seriamente las superficies metálicas.
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1.4.2 TRANSITORIOS Los transitorios tienen lugar cuando se ponen en funcionamiento o paran las bombas de una instalación, al abrir y cerrar válvulas, en los procesos de llenado y vaciado de tuberías, etc. Es decir, siempre que se produce una variación brusca en la velocidad del fluido. La fuerza necesaria para disipar la cantidad de movimiento de un líquido al disminuir su velocidad causa un aumento de presión que se transmite por las tuberías con la velocidad de propagación de las ondas en el fluido correspondiente. La magnitud del incremento de presión depende de la rapidez del cambio y de la velocidad de la onda. Por ejemplo, si se tiene agua circulando por una tubería de acero, una disminución brusca de su velocidad en 1 m/s supone un aumento de presión de unos 10 bar. Dadas las velocidades usuales en instalaciones de bombeo, que pueden llegar hasta 5 m/s, la interrupción brusca del flujo puede causar sobrepresiones excesivas. De la misma forma, las ondas de depresión, debidas a las aperturas de las válvulas o a los rebotes en depósitos de ondas de sobrepresión, pueden alcanzar valores muy próximos al vacío absoluto. Bajo estas condiciones se produce cavitación, e incluso hay riesgo de colapso de las tuberías.
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2 PÉRDIDAS DE CARGA EN TUBERÍAS Antes de pasar a otros elementos de los sistemas de bombeo, se van a estudiar los cálculos básicos en las tuberías. Las principales variables que influyen en el diseño de un sistema de bombeo son la pérdida de carga, el caudal (o velocidad) y el diámetro. Los métodos de cálculo de tuberías permiten hallar una de ellas conocidas las otras dos. En este capítulo se verá en primer lugar el efecto del rozamiento del fluido en la tubería: pérdidas lineales. Después se estudiará la pérdida de carga en elementos singulares: codos, válvulas, etc. Se terminará con algunos ejemplos de cálculo de tuberías simples y de combinaciones en serie y en paralelo.
2.1 PÉRDIDAS LINEALES Las pérdidas lineales son las producidas por el rozamiento del fluido con las paredes de la tubería. En un tramo de tubería de sección constante, se plantea el equilibrio de las presiones con el esfuerzo cortante en la pared:
Figura 2.1 Equilibrio de esfuerzos en un tramo de tubería
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( P1 - P 2 ) S = τ 0 P r L
20
(2.1)
donde:
S Pr L
área de la sección de la tubería. perímetro. longitud de la tubería.
Expresando la pérdida de presión en unidades de longitud, y considerando una sección circular:
P1 - P 2 = 4 L τ 0 h pl = ρ g ρ g D
(2.2)
2.1.1 FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO El esfuerzo cortante tiene una dependencia fundamental del tipo de flujo: laminar o turbulento. En el caso de flujo laminar el factor dominante es la viscosidad. Las diferentes capas del fluido discurren sin mezclarse, ordenadamente. En el flujo turbulento, la fluctuación tridimensional de la velocidad de las partículas, es decir, la turbulencia, origina un fuerte intercambio de masa, cantidad de movimiento y energía en el fluido, lo que da unas características especiales a este tipo de flujo. El número de Reynolds es un parámetro adimensional que expresa la relación entre las fuerzas viscosas y las de inercia:
Re =
ρ V D V D 4 Q = = μ ν π Dν
(2.3)
donde:
Q V μ ρ v
caudal velocidad. viscosidad absoluta. densidad. viscosidad cinemática.
Cuando Re < 2000 el flujo es normalmente laminar, y si Re > 4000 turbulento. Entre 2000 y 4000 existe una zona de transición, con flujo inestable. En el régimen laminar es válida la ley de Newton de la viscosidad, y el esfuerzo cortante se puede expresar de forma analítica en función de la distribución de velocidad en la sección:
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∂V ⎤ ∂y ⎥⎦
τ0 = μ
= y=o
21
8 μ V D
(2.4)
Esta expresión, sustituida en la ecuación 2.2, da lugar a la expresión de HagenPoiseuille para las pérdidas de carga:
h pl =
32 μ L V ρ g D2
(2.5)
En flujo turbulento ya no es válida la ley de Newton. Se comprueba experimentalmente que el esfuerzo cortante depende del cuadrado de la velocidad:
τ0 =
f ρ V2 8
(2.6)
f es un coeficiente de fricción determinado experimentalmente para tener en cuenta las características de la tubería. La pérdida de carga se expresa mediante la ecuación de DarcyWeisbach: h pl =
f L V2 = 2 g D
8 f L Q g π 2 D5
2
(2.7)
En la zona de transición no es posible obtener una expresión válida para las pérdidas de carga lineales. En la casi totalidad de los sistemas de tuberías el flujo es turbulento. Es conveniente asegurarse de que el flujo no esté en la zona de transición, porque es difícil definir un coeficiente de fricción fiable en esa zona. 2.1.2 COEFICIENTE DE FRICCIÓN La fórmula de Darcy-Weisbach también es válida para flujo laminar utilizando un coeficiente de fricción definido de la manera siguiente:
f =
64 Re
(2.8)
Cuando el flujo es turbulento, el valor de f va a depender de dos parámetros: el número de Reynolds y la rugosidad relativa, ε/D (rugosidad absoluta dividida por el diámetro). Von Kármán y Prandtl pusieron de relieve que f depende de uno y otro parámetro en función de la relación entre el espesor de la subcapa límite laminar y la rugosidad. La
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subcapa límite laminar es la zona inferior de la capa límite, donde las fuerzas viscosas aumentan tanto -debido al gradiente de velocidad- que el flujo es laminar en esa pequeña zona. Cuando el espesor de la subcapa límite laminar es grande respecto a la rugosidad, la tubería puede considerarse lisa y el coeficiente de fricción sólo depende de Re:
⎛ Re f 1 = 2 log ⎜ ⎜ 2.51 f ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(2.9)
Si aumenta mucho el número de Reynolds, la importancia de la subcapa disminuye frente a la rugosidad. El coeficiente de fricción depende sólo de ε/D:
1 D ⎞ ⎛ = 2 log ⎜ 3.7 ⎟ ε ⎠ f ⎝
(2.10)
En este caso, se dice que el régimen es turbulento completamente desarrollado.
Figura 2.2 Diagrama de Moody Colebrook y White combinaron las leyes de von Kármán y Prandtl obteniendo una expresión que puede aplicarse en todo el régimen turbulento:
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⎛ ε 1 2.51 = - 2 log ⎜ + ⎜ f Re f ⎝ 3.7 D
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(2.11)
Esta expresión tiene el inconveniente de que f no aparece de forma explícita, y es necesario iterar para poder obtenerla. Suele resultar práctico tomar la ley correspondiente al flujo turbulento completamente desarrollado como primera aproximación. Con la expresión de Colebrook-White, Moody desarrolló el diagrama que lleva su nombre (figura 2.2). Es una forma rápida de determinar el coeficiente de fricción gráficamente. También se han desarrollado expresiones para obtener el coeficiente de fricción de forma explícita, y se ajustan relativamente bien a la de Colebrook-White: Moody: 6 ⎡ ⎛ ε 10 f = 0.0055 ⎢ 1 + ⎜⎜ 2000 + D Re ⎝ ⎢⎣
1/3
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
(2.12)
Barr:
5.1286 ⎞ ε 1 ⎛ = - 2 log ⎜ + ⎟ 0.89 f Re ⎝ 3.7 D ⎠
(2.13)
Wood:
f = a + b Rec 0.225
⎛ε ⎞ a = 0.094 ⎜ ⎟ ⎝D ⎠
⎛ε ⎞ + 0.53 ⎜ ⎟ ⎝D ⎠ 0.44
⎛ε ⎞ b = 88 ⎜ ⎟ ⎝D ⎠
(2.14)
0.134
⎛ε ⎞ c = 1.62 ⎜ ⎟ ⎝D ⎠
La rugosidad de la tubería es el parámetro crítico. Si es posible, debe obtenerse información del fabricante. Unos valores orientativos se dan en la tabla 2.1.
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Tabla 2.1 Rugosidad de las tuberías Material
Rugosidad ε (m)
Acero comercial Plástico, Cobre Hormigón Hierro fundido Hierro galvanizado
3 10-5 - 10-4 6 10-6 - 3 10-3 3 10-4 - 3 10-3 8 10-5 - 5 10-4 10-4 - 2 10-4
Téngase en cuenta que la rugosidad puede variar de forma importante con el tiempo, por ejemplo en el caso de que la tubería se vaya degradando o el fluido transporte suciedad o solutos que vayan sedimentando y solidificándose en las paredes. Un caso típico son las aguas duras ricas en carbonatos, correspondientes a zonas geológicamente calcáreas. 2.1.3 OTRAS ECUACIONES EXPERIMENTALES
Existen otras fórmulas conceptualmente más simples para obtener las pérdidas de carga. Las más extendidas son la de Hazen-Williams: 0.54
Q = 0.2784 C h D
2.63
⎛ h pl ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
(2.15)
y la de Manning: Q=
0.3115 nm
0.54
D
2.667
⎛ h pl ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠
(2.16)
Ambas fórmulas deben utilizarse con unidades del S.I. pues no son dimensionalmente coherentes. El coeficiente de Hazen-Williams Ch oscila entre 140 para tuberías muy lisas y 60 para las muy rugosas o deterioradas. El coeficiente de Manning nm varía entre 0.01 y 0.035 para esas mismas condiciones. La falta de coherencia dimensional y el que no tengan en cuenta el efecto del número de Reynolds son dos grandes handicaps desde el punto de vista académico. La extensión de su uso se debe con toda seguridad a la disponibilidad de tablas y nomogramas que simplifican su resolución. En la actualidad, y con la proliferación de modernas calculadoras de bolsillo cada vez más potentes, estos métodos no presentan ventajas apreciables. Otro problema que plantean estas ecuaciones es que son válidas únicamente para el fluido especificado -agua en este caso-, mientras que la ecuación de Darcy-Weisbach con el coeficiente de fricción de Colebrook-White se extiende a todos los fluidos newtonianos en flujo incompresible. De todas formas, hay que tener en cuenta que el error en la apreciación de la rugosidad puede ser más grave que el efecto del número de Reynolds.
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2.2 PÉRDIDAS SINGULARES Se denominan pérdidas singulares las originadas en las entradas y salidas de las tuberías, codos, válvulas, cambios de diámetro, etc. Normalmente son pequeñas comparadas con las pérdidas por fricción, pero para longitudes cortas pueden ser relativamente importantes. Hay dos formas de calcularlas: proporcionales a la energía cinética, o como un aumento ficticio de la longitud de la tubería. Tabla 2.2 Coeficientes de pérdidas singulares Elementos
Coeficientes de pérdidas ξ
Entrada tubería
Expansiones Contracciones A2/A1 Cc
Borde abrupto Borde redondeado Boca acampanada
0.5 0.2 0.04
0.1 0.624
(1-A1/A2)2 (1/Cc-1)2 0.5 0.6 0.681 0.712
0.2 0.632
0.3 0.643
0.4 0.659
0.7 0.755
0.8 0.813
0.9 0.892
Codos Radio pequeño, r/D=1 90º 45º 30º Radio grande, r/D=1.5 90º 45º 30º Codos bruscos 90º 60º 45º 30º
0.24 0.1 0.06 0.19 0.09 0.06 1.1 0.55 0.4 0.15
Válvulas abiertas Esféricas Compuerta Mariposa Globo
0.05 a 0.2 0.1 a 0.3 0.2 a 0.6 3 a 10
Nota.- Una T puede considerarse, simplificando mucho, como un codo brusco.
2.2.1 COEFICIENTE DE PÉRDIDAS SINGULARES
Las pérdidas de carga singulares son proporcionales a la energía cinética del fluido en la tubería:
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h ps = ξ
26
2
2
2 8 Q Q V =ξ =ξ 2 2 g 2 g S g π 2 Dsup4
(2.17)
ξ es un coeficiente de pérdidas. Valores típicos de este coeficiente para algunas singularidades se recogen en la tabla 2.2. Como ya se ha comentado, la entrada en un depósito ideal puede considerarse una pérdida singular de coeficiente unidad: se pierde toda la energía cinética.
Figura 2.3 Nomograma para el cálculo de longitudes equivalentes
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2.2.2 LONGITUD EQUIVALENTE
Una forma de simplificar los cálculos posteriores es considerar el efecto de las pérdidas singulares como un alargamiento ficticio de la tubería donde están situados; así únicamente se consideran pérdidas lineales. La longitud equivalente de un elemento singular se puede calcular como: Le = ξ
D f
(2.18)
Existen nomogramas como el de la figura 2.3 que permiten calcular rápidamente las longitudes equivalentes para los casos más comunes. En realidad, además del diámetro, la longitud equivalente depende del coeficiente de fricción de la tubería a la que se añade la longitud equivalente, lo que no se suele contemplar en esos nomogramas. Este error es despreciable si las pérdidas singulares no representan una parte importante de las pérdidas totales.
2.3 RESOLUCIÓN DE CASOS SENCILLOS Se abordará a continuación la resolución de algunos sistemas elementales compuestos únicamente de tuberías y depósitos. Recuérdese que las variables fundamentales son el caudal, la pérdida de carga y el diámetro de la tubería. Los problemas que se pueden presentar consisten en calcular una de ellas conocidas las otras dos. 2.3.1 TUBERÍA SIMPLE
Cuando dos depósitos a diferente altura están unidos por una tubería de diámetro constante (ver figura 2.4), la pérdida de carga es la diferencia de altura entre los depósitos. Este sencillo sistema se puede resolver aplicando de forma directa la ecuación de D'ArcyWeisbach (no se van a considerar las pérdidas singulares en este caso). H A - H B = hp =
8 f L g π 2 D5
Q
2
Figura 2.4 Dos depósitos unidos por una tubería simple
(2.19)
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28
La diferencia de altura entre los dos depósitos, para que pase un caudal determinado por una tubería de un diámetro dado, se puede calcular directamente, aunque haya que realizar alguna iteración para hallar el valor de f si se utiliza la fórmula de Colebrook-White. El caudal que circula, una vez conocida la altura, se puede hallar de forma directa, despejándolo de la manera siguiente:
Q= -
π D
2
2
2 g D
hp L
⎛ ⎜ ε log ⎜ + ⎜ 3.7 D ⎜ D ⎝
⎞ ⎟ 2.51 ν ⎟ h ⎟ 2 g D p⎟ L ⎠
(2.20)
Encontrar el diámetro necesario para que circule un caudal determinado, con una cierta pérdida de carga, es un poco más trabajoso porque no se puede calcular f y hay que seguir un proceso de prueba y error. Cuando se tienen en cuenta las pérdidas singulares, la ecuación que define el comportamiento de la tubería resulta ser:
⎛ 8 f L ⎞ ξi ⎟ Q2 + ∑ h p = ⎜⎜ 2 2 4⎟ 5 g π D ⎠ ⎝ g π D
(2.21)
En las explicaciones que se dan más adelante, es común reducir esta fórmula a la siguiente: 2 hp = k Q
(2.22)
donde k representa la resistencia de la tubería. En realidad, esta resistencia no es un factor constante: depende del caudal a través del coeficiente de fricción. Cuando se intentan obtener resultados numéricos, es frecuente tener que proceder de forma iterativa: suponer k con flujo turbulento completamente desarrollado -donde f ya no depende de Re-, calcular un valor del caudal, corregir k con ese valor, volver a calcular el caudal, y así sucesivamente. 2.3.2 TUBERÍAS EN SERIE
En las tuberías en serie, el caudal que circula por ellas es el mismo, y la pérdida de carga es suma de la de cada una. 2 2 2 h pT = h p1 + h p2 + ... = k 1 Q + k 2 Q + ... = sumk i Q
(2.23)
Se pueden considerar como una única tubería cuya resistencia es la suma de las resistencias individuales.
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Figura 2.5 Tuberías en serie
2.3.3 TUBERÍAS EN PARALELO
Cuando dos o más tuberías están en paralelo, el caudal es la suma de los caudales individuales, pero la diferencia de altura entre los extremos -la pérdida de carga- es la misma para todos.
Figura 2.6 Tuberías en paralelo Las ecuaciones que rigen las tuberías en paralelo son las siguientes: QT = Q1 + Q 2 + ... 2 2 H i - H j = k 1 Q1 = k 2 Q 2 = ...
Los caudales se pueden despejar en función de la pérdida de carga:
(2.24)
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Qi =
30
hp ki
(2.25)
y se pueden sustituir en la ecuación de continuidad: QT =
hp
⎛ ⎜∑ ⎜ ⎝
1 ⎞⎟ k i ⎟⎠
(2.26)
Como para conocer los valores de los coeficientes ki se necesita conocer los caudales por cada tubería, deberá empezarse suponiendo unos coeficientes ki correspondientes a flujo turbulento completamente desarrollado, despejar los caudales Qi e iterar. 2.3.4 COMBINACIÓN DE TUBERÍAS EN SERIE Y PARALELO
En este caso hay que reducir las tuberías en paralelo a una sola ecuación y combinarlas con las otras tuberías en serie:
Figura 2.7 Combinación de tuberías en serie y en paralelo
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
2 h p jk = Q jk
k jk =
1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 k2
+
1 k3
1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 k2
+
1 k3
2 h p jk = k jk Q jk
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
(2.27)
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31
(2.28)
Qij = Q jk = Q kl = QT ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎩⎪
h pT = h pij + h p jk + h pkl 2
(2.29)
h pij = k 1 QT
2 h phl = k 4 QT
2 h pT = QT ( k 1 + k jk + k 4 )
(2.30)
A continuación se procede igual que en el caso anterior, suponiendo unos valores de lo coeficientes ki, calculando los caudales intermedios, etc. 2.3.5 NUDOS DE TUBERÍAS
Cuando confluyen varias tuberías en un único punto, es decir, en un nudo, la altura de ese nudo hay que referirla a las alturas de los otros extremos de las tuberías y exigir que se cumpla la ecuación de continuidad:
Figura 2.8 Nudo de tuberías
Qij + Q kj + Qlj = 0
(2.31)
Es preciso ser muy cuidadoso con los sentidos de flujo en las tuberías. La ecuación anterior se ha escrito suponiendo positivos los caudales que van del primer índice al segundo, es decir, Qij tendrá signo positivo si el flujo va desde i hasta j y negativo en caso contrario. Para que las fórmulas tengan consistencia, las pérdidas de carga -diferencia de alturas entre nudos- deben escribirse como:
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H i - H j = k ij | Qij | Qij H k - Hsubj = k kj | Q kj | Q kj
(2.32)
. . .
Para resolver este sistema, se hace una hipótesis de la altura del nudo Hj, se calculan los caudales por las distintas tuberías, y se acude a la ecuación de continuidad. Si al nudo llega caudal en exceso se aumenta la altura Hj, y en caso contrario se disminuye. El proceso se repite hasta que en todos los nudos se cumpla la ecuación de continuidad. No debe olvidarse actualizar los valores de los coeficientes k a medida que se cambian los valores de los caudales. En caso de tener varios nudos, la resolución se pueden complicar bastante, y se debe acudir a los métodos de resolución de redes de tuberías (ver Apéndice A de la presente publicación).
2.4 DETERMINACIÓN DE LA TUBERÍA En este apartado se exponen algunas consideraciones acerca de cómo seleccionar una tubería para una instalación determinada. Los parámetros fundamentales son el material, el diámetro y el espesor. Como suele suceder, la elección debe basarse en consideraciones económicas, aunque este aspecto se tratará con más profundidad posteriormente. 2.4.1 SELECCIÓN DEL DIÁMETRO
A la hora de decidir qué diámetro de tubería se va a utilizar, es fundamental procurar ceñirse a diámetros normalizados. Incluso es muy conveniente tener en cuenta las disponibilidades de los proveedores habituales, porque si se encargan 16.23m de tubería de 154.2mm de diámetro, pueden responderle preguntando si se prefiere en verde fosforito o en rosa fucsia. Los diámetros más grandes hay que construirlos a base de doblar y soldar chapa. En este caso se dispone de mayor libertad, aunque no conviene poner demasiados decimales para evitar que las risas de los operarios del taller se oigan muy lejos. Hay dos métodos rápidos para definir una primera aproximación del diámetro: por medio de la velocidad del fluido, y por la pérdida de carga. Para hallar el diámetro óptimo hay que hacer un análisis económico en el que intervienen también el material, espesor, coste de mano de obra, amortización ... (véase el capítulo 6). Si el coste de la tubería dentro de la instalación no es elevado pueden ser suficientes los dos métodos que se describen a continuación.
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Selección por la velocidad
La forma más elemental de determinar el diámetro consiste en, conocido el caudal, fijar la velocidad arbitrariamente. El árbitro es la experiencia. En la tabla 2.3 se dan algunos valores orientativos. La tabla 2.4 ofrece velocidades más precisas, en función del diámetro, para agua, aunque no dejan de ser aproximaciones. Como se puede observar, en la aspiración de las bombas las velocidades son inferiores para paliar en parte el riesgo de cavitación. Tabla 2.3 Velocidades de flujo utilizadas habitualmente UTILIZACIÓN
FLUIDO Agua
aspiración impulsión
0.5 - 1.5 1.0 - 3.0
Distribución en poblaciones línea principal red de distribución
1.0 - 2.0 0.5 - 1.2
Turbinas
baja altura gran altura
3.0 3.0 - 7.0
Alimentación de calderas
aspiración impulsión
0.3 - 0.5 2.0 - 2.5
Agua en general
Aceites Aire
VELOCIDAD m/s
Con sólidos en suspensión
0.5 - 2.0
Ligeros Pesados (dependiendo de la necesidad)
1.0 - 2.0 0.5 - 2.0
Baja presión Alta presión
12 - 15 20 - 25
Tabla 2.4 Velocidades para agua según el diámetro de la tubería Diámetro mm 25 50 75 100 150 200 250 300 > 300
Aspiración (m/s)
Impulsión (m/s)
0.5 0.5 0.5 0.55 0.60 0.75 0.90 1.40 1.5
1.00 1.10 1.15 1.25 1.50 1.75 2.00 2.65 3.00
pulgadas 1 2 3 4 6 8 10 12 > 12
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Selección por la pérdida de carga
Se puede definir el diámetro a partir de una pérdida de carga preestablecida. Este método se utiliza en sistemas de presión, cuando es necesario mantener las pérdidas por debajo de unos niveles aceptables. El diámetro se calcula iterativamente con la fórmula de la pérdida de carga en función del caudal, como ya se ha descrito anteriormente. Valores típicos para la pérdida de carga son: - Aspiración de bombas: de 0,01 a 0,25 bar por cada 100 m de tubería, dependiendo del NPSH (consultar el apartado sobre cavitación en bombas). - Impulsión: de 0.1 a 1.4 bar por 100m. Se suelen tomar menores pérdidas cuanto mayor es el caudal, pues el mayor ahorro de energía hace más rentable el aumento de la sección. En la tabla 2.5 se ofrece un ejemplo. Tabla 2.5 Pérdidas de carga recomendadas en función del caudal Pérdida bar/100 m de tubería 0.5 - 1.4 0.3 - 1.1 0.2 - 0.9 0.1 - 0.5
Caudal m3/s hasta 0.008 0.008 - 0.015 0.015 - 0.04 más de 0.04
2.4.2 MATERIALES
Como materiales comunes en tuberías están: hierro y acero -en sus diferentes composiciones, tratamientos y recubrimientos-, cemento -más o menos armado y reforzado-, fibra de vidrio - con las demás fibras y resinas asociadas-, cobre y plásticos varios: PVC y otros compuestos. Lo primero que se debe tener en cuenta es el espesor necesario, impuesto por la presión a soportar. En caso de presiones muy elevadas el material más recomendable es el acero. Otros factores a tener en cuenta son: la corrosión, la facilidad de instalación y realización de las uniones, la variación de la resistencia con la temperatura y la resistencia frente a cargas externas. Las tuberías de gran diámetro sometidas a una presión considerable, por ejemplo para centrales hidroeléctricas y traídas de agua, se suelen realizar en acero o cemento reforzado. Cuando la presión es pequeña se tiende más al cemento y el fibrocemento, sin despreciar las otras fibras e incluso el plástico. En las tuberías de diámetro pequeño la variedad es muy amplia. El cobre y los plásticos están sustituyendo al acero galvanizado en la distribución de agua potable, y los plásticos han vencido la batalla en los desagües de pequeño diámetro. El acero sigue siendo básico en calefacción porque la resistencia de los plásticos se ve afectada por la temperatura.
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35
2.4.3 PRESIÓN DE DISEÑO
La resistencia de las tuberías normalizadas viene dada por lo que se denomina su presión nominal. En el diseño se selecciona, por tanto, el material de la tubería, el diámetro y la presión nominal. Si se elige un diámetro que no esté normalizado se debe calcular el espesor en lugar de la presión nominal. Los factores que se deben tener en cuenta para calcular la resistencia de la tubería son, básicamente: - La presión máxima de funcionamiento. - Las sobrepresiones provocadas por los transitorios. - La variación de las propiedades del material con la temperatura y la carga prolongada (especialmente para los plásticos). - Los daños resultantes del transporte, instalación, ataques químicos y envejecimiento. - Las cargas exteriores: esfuerzos de los soportes, tensiones de montaje, presión exterior en las tuberías enterradas, etc. La presión máxima de funcionamiento en un sistema de flujo por gravedad viene dada por la altura del depósito. En un sistema de bombeo se puede tomar la presión de la bomba cuando el caudal es nulo. Evidentemente, estas presiones máximas no son las mismas para toda la tubería. Las sobrepresiones provocadas por los transitorios no son fáciles de predecir. En un capítulo posterior se hacen unas consideraciones sobre cómo realizar un estudio adecuado. Algunas normas ofrecen reglas aproximadas sustitutivas de un cálculo detallado, pero las instalaciones particulares -y la mayor parte de las instalaciones construidas son particularespueden llegar a valores puntuales muy superiores a los de las reglas aproximadas. En ciertos casos, sobre todo con los mayores diámetros, hay que considerar también el vacío provocado por los transitorios. Este vacío puede llegar a colapsar una tubería de acero arrugándola y aplastándola como si fuera de papel. En cuanto a la temperatura, puede servir como ejemplo que la resistencia del PVC se ve reducida a la mitad cuando la temperatura aumenta de 20 a 45ºC. Las tuberías de plástico sufren también una reducción de su resistencia cuando permanecen sometidas a presión durante un tiempo prolongado. Los daños debidos al transporte y a una instalación defectuosa no se pueden determinar previamente con exactitud. Se suelen tener en cuenta dentro del factor de seguridad. Esto no exime al ingeniero de su responsabilidad de supervisar la construcción de la instalación. El riesgo de corrosión y envejecimiento es más previsible, y se puede paliar con materiales y recubrimientos adecuados. La resistencia de las tuberías a las cargas exteriores suele venir especificada en la normativa. El cálculo de estas cargas es complejo, y se hace necesario acudir a la bibliografía
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especializada. En el caso de una tubería enterrada, por ejemplo, la carga depende del diámetro de la tubería, características del suelo, ancho y profundidad de la zanja, método y compactación del relleno, etc. En instalaciones que no sean comprometidas se suele asumir que el factor de seguridad es suficiente para tener estas cargas en cuenta. Las normas exigen que una tubería de una determinada presión nominal sea capaz de superar una prueba de presión con valores varias veces la nominal. Es decir, se cuenta ya con un factor de seguridad. En la mayor parte de las aplicaciones es adecuado determinar la presión nominal a partir de la presión máxima de funcionamiento y las sobrepresiones provocadas por los transitorios: PN ≥ Po + Pt
(2.33)
siendo: PN Po Pt
presión nominal. presión máxima de funcionamiento. sobrepresión debida a los transitorios.
De esta forma el factor de seguridad impuesto por la normativa engloba el resto de las sobrecargas imprevistas que puedan aparecer. Si no se trabaja con tuberías normalizadas, se puede calcular el espesor necesario a partir de la presión de diseño Pd: P d = ( Po + Pt ) FS
(2.34)
Es recomendable que el factor de seguridad (FS) sea al menos 2 ó 3. Esto no quiere decir que no se puedan tener problemas si en un sistema se da una adecuada -más bien desgraciada- combinación de factores. Es decir, que el factor de seguridad no puede reemplazar al buen juicio y cálculo del ingeniero. Advertencia: Las tuberías de acero para pequeños diámetros no se fabrican en gamas amplias de presiones. Es fácil encontrarse con unos pocos tipos de tuberías (con soldadura, sin soldadura, estirado, galvanizado) comprobados según normas a 40 ó 60 bares y utilizados para todo tipo de instalaciones cuya presión de trabajo es inferior a 20 bares. No ocurre lo mismo con las bridas y otros accesorios, que cambian significativamente con la presión nominal. 2.4.4 ESPESOR DE LAS TUBERÍAS
Cuando se decida no utilizar las tuberías normalizadas, habrá que calcular su espesor. En el caso de material homogéneo, para espesores delgados, y asumiendo una distribución uniforme de esfuerzos en la pared de la tubería, el espesor puede calcularse:
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D e = Pd 2 σ adm
37
(2.35)
donde: D Diámetro interior. e Espesor de la tubería. Pd Presión de diseño. σadm Tensión admisible del material. Generalmente se toma un tercio de la tensión de rotura.
La fórmula anterior sólo es válida para tubos de pared delgada, con D/e > 16. Con relaciones D/e inferiores la tensión no está distribuida de forma uniforme en la pared, y hay que utilizar una fórmula del tipo: e=
D ⎛ σ adm + P d ⎞ ⎜ - 1⎟⎟ 2 ⎜⎝ σ adm - P d ⎠
(2.36)
Deben aplicarse factores de corrección si la tubería se ha realizado por soldadura o si las conexiones son soldadas, a menos que se realice un buen control de calidad. También se debe tener en cuenta la reducción del espesor en las conexiones roscadas. Las normas suelen explicitar fórmulas de cálculo similares a las expuestas con más o menos coeficientes de seguridad según los tipos de tuberías, aplicaciones y materiales. Por ejemplo, la norma DIN 2431 para tubería de acero plantea lo siguiente: e=
D Pd + C1 + C 2 K 200 χ S
(2.37)
donde: e D Pd K S χ
Espesor en mm. Diámetro exterior en mm. Presión máxima de trabajo en Kg/cm2. Tensión admisible: 0.7 a 0.8 multiplicado por la resistencia a tracción en Kg/mm2. Coeficiente de seguridad del acero: 1.7 con certificado de garantía y 2 sin él. Coeficiente de seguridad de la soldadura, que toma los valores siguientes: 0.7, sin control de calidad entre 0.7 y 1 con control de calidad 1 cuando no hay soldadura.
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Incremento por las tolerancias admisibles en el espesor. Incremento por corrosión y desgaste, hasta 1 mm.
C1 C2
Las tuberías de plástico vienen recogidas en la norma DIN 8062: e=
Pd D 2 σ adm + P d
(2.38)
La presión crítica de aplastamiento se puede calcular como: 2E Pc = (1 - σ 2
⎛2⎞ ⎜ ⎟ )⎝D⎠
3
(2.39)
siendo: Pc E σ
Presión crítica de aplastamiento. Módulo de elasticidad. Constante de Poisson del material.
El conjunto de esfuerzos de aplastamiento debido al vacio -del funcionamiento estacionario o de los transitorios- y a la carga externa debe ser menor que esta presión crítica, con cierto coeficiente de seguridad comprendido entre 2 y 3.
2.5 EJEMPLOS EJEMPLO 1
Se tiene un sistema de tuberías como el de la figura. La caída de presión total entre A y B es de 150 kPa, y la diferencia de nivel es zA - zB = 5 m. Los datos de las tuberías son:
1 2 3
L (m)
D (m)
ε (mm)
100 150 80
0.08 0.06 0.04
0.24 0.12 0.20
El fluido es agua, con densidad ρ = 1000 kg/m3 y viscosidad cinemática v = 1.02 10-6 m /s. Se pide determinar el caudal circulante. 2
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39
Resolución
Se puede plantear la ecuación de la energía entre A y B: 2
2
v vA PA + - h p = PB + z B + B zA + ρg ρg 2g 2g
La presión total, PT , se define de la manera siguiente: 2 PT = P + v ρg ρg 2g
Entonces:
Δ PT = z B - z A + hP ρg Como ΔPT = 150 103 Pa: hp =
150 10 3 + 5 = 20.3 m 1000 • 9.8
Por estar las tuberías en serie: h p = h p1 + h p2 + h p3 =
f L ⎞ f L ⎛ f 1 L1 + 2 5 2 + 3 5 3 ⎟⎟ Q 2 ⎜⎜ 5 g π ⎝ D1 D2 D3 ⎠ 8
2
En principio se supondrá flujo turbulento completamente desarrollado. La expresión para el coeficiente de fricción f será: 1 D ⎞ ⎛ = 2 log ⎜ 3.7 ⎟ ε ⎠ f ⎝
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40
Despejando de esta ecuación se obtiene: f1 = 0.026 f2 = 0.023 f3 = 0.030
Llevando estos valores a la expresión (5), se obtiene Q = 0.0029 m3/s. A partir de este valor se hallan los Re para cada tramo, utilizando la expresión: Re =
4 Q π Dν
Se obtienen los siguientes valores: Re1 = 45250 Re2 = 60333 Re3 = 90500
Ahora debe comprobarse si la hipótesis de flujo turbulento completamente desarrollado era válida. Se toma la ecuación de Colebrook y White, que es válida para todo tipo de flujos turbulentos:
⎛ ε 1 2.51 = - 2 log ⎜ + ⎜ 3.7 D f Re f ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
En el segundo miembro de esta expresión se introducen los valores de f obtenidos anteriormente. Se calculan así unos nuevos valores: f1 = 0.029 f2 = 0.026 f3 = 0.031
El nuevo caudal es Q = 0.00285 m3/s, y los Re resultantes: Re1 = 44469 Re2 = 59293 Re3 = 88939
Con estos valores de Re y f se acude de nuevo a la expresión anterior y ya se obtienen unos valores para f muy similares a los anteriores. Por tanto, la solución correcta para este ejemplo es: Q = 0.00285 m3/s = 2.85 l/s
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41
EJEMPLO 2
Las tres tuberías del ejemplo anterior se conectan en paralelo, existiendo entre los extremos A y B una pérdida de carga total de 20.3 m. Se pide determinar el caudal circulante. Resolución
En este caso, al estar las tuberías conectadas en paralelo, se cumple lo siguiente: h p1 = h p2 = h p3 = h p = 20.3m
8 f i Li Qi2 h pi = g π 2 Di5
; i=1 ,2 ,3
Suponiendo flujo turbulento completamente desarrollado, se obtienen los siguientes valores:
1 2 3
f
Q (m3/s)
Re
0.026 0.023 0.03
0.0176 0.0074 0.0032
274620 153953 99861
Este ejemplo se resolverá utilizando el diagrama de Moody. Para ello, se llevan al diagrama los valores de Re y ε /D. Cuando los valores no coinciden exactamente con los del diagrama, se puede interpolar linealmente. De esta forma, se obtienen unos nuevos valores:
1 2 3
f
Q (m3/s)
Re
0.0263 0.02423 0.03125
0.0175 0.00725 0.00317
273000 150000 100000
Entrando de nuevo en el diagrama de Moody con estos valores de Re se comprueba que los valores obtenidos para f ya son los correctos. La solución del problema, entonces, es: Q1 = 0.0175 m3/s = 17.5 l/s Q2 = 0.00725 m3/s = 7.25 l/s Q3 = 0.00317 m3/s = 3.17 l/s
Y el caudal total que circula de A a B será: QT = Q1 + Q2 + Q3 = 0.02792 m3/s = 27.92 l/s
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EJEMPLO 3
Una tubería de 800m de longitud y 0.6m de diámetro interior conecta dos depósitos. El flujo resultante, causado por la diferencia de niveles entre los dos depósitos, es de 0.5 m3/s, para una tubería con un coeficiente de fricción de 0.04, considerado constante. Las pérdidas singulares pueden considerarse despreciables. Se pide lo siguiente: a)
Calcular el caudal entre los dos depósitos cuando se conecta paralelamente a la primera tubería otra de diámetro 0.5m desde el primer depósito hasta un punto situado a 550m del mismo. Para esta segunda tubería el coeficiente de rozamiento puede suponerse también constante e igual a 0.02.
b)
Al cabo de cierto tiempo se pretende sustituir el conjunto de tuberías por una tubería única, de diámetro constante, cuyo coeficiente de rozamiento es 0.03. Calcular el diámetro que ha de tener dicha tubería si se pretende que el caudal que pase por la misma sea el mismo que en el sistema serie-paralelo anterior.
Resolución
El esquema original es el mostrado en la figura. Planteando la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2 de los depósitos:
H1 - H 2 = hp Se puede hallar entonces la pérdida de carga: h p = Δz =
2
8 • 0.04 • 800 • 0. 52 8 f L Q = 8.5 m = 9.8 π 2 0.6 5 g π 2 D5
a) En la combinación de tuberías paralelo-serie se cumple: h p1 = h p2
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43
h p1 + h p3 = h p2 + h p3 = h p = Δ z = 8.5 m Q1 + Q 2 = Q 3
L1 = L2 = 550 m L3 = 250 m
Desarrollando la igualdad de pérdidas de carga en las dos tuberías: 8 f 1 L1 Q12 8 f 2 L2 Q 22 = g π 2 D15 g π 2 D52
De aquí se obtiene: Q 2 = 0.89 Q1
Poniendo Q3 también en función de Q1: Q3 = Q1 + 0.89 Q1 = 1.89 Q1
Esto se introduce en la expresión de la pérdida de carga total entre los dos depósitos: 2
8 f 1 L1 Q12 8 f 1 L3 ( 1.89 Q1 ) + = 8.5 m 2 5 g π D1 g π 2 D15
De aquí ya se puede despejar el caudal Q1: Q1 = 0.37 m3/s
De la expresión (7) se obtiene Q2: Q2 = 0.33 m3/s
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44
De la expresión (5) o de la (8) se obtiene Q3: Q3 = 0.7 m3/s
b) Ahora deben mantenerse el caudal, Q = 0.7 m3/s, y la pérdida de carga, hp = 8.5 m. De la expresión (2) para la pérdida de carga se despeja el valor del diámetro D: 2
D=
5
8 f L Q = g π 2 hp
5
8 _ 0.03 _ 800 _ 0.7 2 = 0.65 m 9.8 π 2 8.5
EJEMPLO 4
Convertir el sistema representado en la figura en otro sistema que, a efectos de pérdida de carga, esté definido por su longitud equivalente en un tubo de diámetro 150 mm. Determinar el caudal circulante.
Datos de las tuberías singulares
AG GL
Datos
D (m)
L (m)
f
0.3 0.15
46 30.5
0.025 0.02
de
Elemento
A B, F, I, J C, G E H K L Debe suponerse flujo turbulento completamente desarrollado.
los
elementos
ξ 8 0.5 0.7 1 6 3 1
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45
Resolución
Planteando la ecuación de la energía entre las superficies libres de los dos depósitos se tiene: Δz = 10 m = h p
A su vez, el término hp se descompone en el término debido a pérdidas lineales y el debido a pérdidas singulares: h p = h pL + h pS
A continuación se calculan las pérdidas lineales para los tramos 1 y 2: h pL1 =
8 f 1 L1 2 2 Q = 39.14 Q 2 5 g π D1
h pL2 =
8 f 2 L2 2 2 Q = 664.41 Q 2 5 g π D2
En cuanto a las pérdidas singulares: h pS
= ∑ξ i
8 Q
2
g π 2 Di4
= 2020.8 Q
2
Nota.- Se ha supuesto que el elemento G pertenece al tramo GL, y tiene por tanto un diámetro D = 0.15. Sumando todas las pérdidas se obtiene: 2 h p = 2724.35 Q = 10 m
La tubería equivalente que se pide debe tener la misma pérdida de carga, y por ella debe circular el mismo caudal. Por tanto debe cumplirse: 8 f eq Leq Q 2 = 2724.35 Q 2 2 5 g π Deq
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De aquí puede despejarse Leq: Leq =
2724.35 _ 9.8 π 2 0.155 = 125 m 8 _ 0.02
El caudal puede obtenerse a partir de la pérdida de carga: Q=
10 = 0.06 m3 /s 2724.35
EJEMPLO 5
El sistema representado en la figura consta de cuatro depósitos situados a distintos niveles, intercomunicados mediante un nudo común. Determinar los caudales que circulan por cada tubería.
Datos
1 2 3 4 ε = 0.15 mm
z (m)
D (m)
L (m)
210 230 120 40
0.4 0.3 0.25 0.2
300 200 500 750
v = 10-6 m2/s
Resolución Se empezará suponiendo una cota geométrica para el nudo J: zJ = 180 m. Se despreciarán las pérdidas por energía cinética. Se considera que los caudales entrantes en el
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50
nudo tienen signo positivo y los salientes negativo. Planteando la ecuación de la energía entre los depósitos y el nudo, se obtienen las pérdidas de carga: h p 1 = z1 - z J = 30 h p 2 = z 2 - z J = 50 ALIGNLh p 3 = z 3 - z J = - 60 h p 4 = z 4 - z J = - 140
Para hallar los coeficientes de fricción f, se supone flujo turbulento completamente desarrollado. En una primera aproximación se obtiene lo siguiente:
1 2 3 4
f
hp (m)
Q (m3/s)
0.0156 0.0167 0.0174 0.0183
30 50 -60 -140
0.89 0.663 -0.285 -0.198
Sumando los caudales en el nudo: Q J = ∑ Qi = 1.07
Como hay un exceso de caudal entrante, se coloca el punto J a una cota más alta. Supóngase ahora zJ = 200 m. Se obtiene entonces:
1 2 3 4
f
hp (m)
Q (m3/s)
0.0156 0.0156 0.0174 0.0183
10 30 -80 -160
0.514 0.514 -0.329 -0.212
La suma de caudales es: Q J = ∑ Qi = 0.487
Sigue habiendo exceso de caudal entrante. Se supone ahora zJ = 209. Se obtiene: f hp (m) Q (m3/s) 1 2 3 4
0.0156 0.0167 0.0174 0.0183
1 21 -89 -169
0.163 0.43 -0.347 -0.218
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Q J = ∑ Qi = 0.028
La suma de caudales es: Habría que seguir aproximando hasta que esta suma se hiciera muy pequeña, pero se va a considerar que esta aproximación es suficientemente buena. Hasta ahora se han mantenido los coeficientes f correspondiente a flujo completamente desarrollado. Hay que comprobar que esta suposición es correcta. Con los caudales hallados se obtienen los valores de Re: Re1 = 518845 Re2 = 1824976 Re3 = 2189972 Re4 = 1387831
Ahora se introducen estos valores en la fórmula de Colebrook-White junto con los de f correspondientes a flujo turbulento completamente desarrollado. Con los nuevos valores de f obtenidos se corrigen los caudales:
1 2 3 4
f
Q (m3/s)
Re
0.0168 0.017 0.0176 0.0186
0.157 0.426 -0.345 -0.216
499746 1808000 1757070 1375098
Con estos últimos valores de Re y f se entra en la fórmula de Colebrook-White y se comprueba que ya son los correctos. Q J = ∑ Qi = 0.022 m3 /s
La suma de caudales corregidos es: Sigue siendo una aproximación aceptable, y por tanto la solución correcta será: Q1 = 0.157 m3/s (Entrante en el nudo J) Q2 = 0.426 m3/s (Entrante en el nudo J) Q3 = 0.345 m3/s (Saliente del nudo J) Q4 = 0.216 m3/s (Saliente del nudo J)
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3 BOMBAS Este capítulo está dedicado al estudio de las bombas rotodinámicas, que son las normalmente utilizadas en los sistemas de bombeo. Se estudiarán sus características: altura, presión, potencia, rendimiento..., desde el punto de vista del funcionamiento y, sobre todo, en su acoplamiento con el circuito. También se hablará brevemente de la semejanza, haciendo especial hincapié en la variación de la velocidad de accionamiento, y del problema de la cavitación. No se tratará ni el diseño ni el mantenimiento, pues cada uno de estos temas requeriría una publicación más amplia que ésta.
3.1 TIPOS Y CARACTERÍSTICAS 3.1.1 BOMBAS ROTODINÁMICAS
La primera clasificación posible de las bombas es separarlas en el grupo de bombas de desplazamiento positivo y bombas rotodinámicas. Las primeras operan de forma volumétrica: desplazan un determinado volumen por unidad de tiempo, independientemente de la presión. Son bombas de émbolos, paletas, engranajes, etc., utilizadas en oleohidráulica, donde se requieren unos caudales ínfimos con presiones muy elevadas. En esta publicación no se va a estudiar más sobre estas bombas. Las bombas rotodinámicas, en cambio, consiguen incrementar la energía del fluido a base de aumentar la energía cinética -por medio de la deflexión y el efecto centrífugo que provocan los álabes del rodete- recuperando esta energía posteriormente en forma de presión. La principal forma de clasificación de las bombas rotodinámicas es separarlas en bombas axiales, mixtas y radiales, según la dirección de salida del flujo con respecto al eje. El nombre común para las radiales es bombas centrífugas, y así se denominarán en adelante, a pesar de que algunos autores utilizan este término para referirse a todo el conjunto de bombas rotodinámicas.
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50
En las figuras 3.1, 3.2 y 3.3 pueden verse esquemas de bombas rotodinámicas de los tres tipos citados. La utilización de bombas axiales está indicada cuando se necesitan grandes caudales con pequeñas alturas de elevación. Las centrífugas, cuando se necesitan grandes alturas y pequeños caudales. Las bombas mixtas constituyen un caso intermedio. Hay otras muchas características que hacen a las bombas susceptibles de clasificaciones distintas, y así se pueden tener bombas de una o varias etapas, bombas de cámara partida, bombas autoaspirantes, bombas sumergibles, bombas horizontales o verticales, etc.
Figura 3.1 Bomba axial Figura 3.2 Bomba mixta
Figura 3.3 Bomba centrífuga
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51
3.1.2 CURVA CARACTERÍSTICA
La altura de elevación de una bomba rotodinámica depende fundamentalmente del caudal que circula por ella, lo que quiere decir que va a estar definida por su acoplamiento con el sistema. Si se considera la bomba de forma aislada, la curva que representa la altura proporcionada por la bomba en función del caudal se llama curva característica.
Figura 3.4 Curva característica de una bomba centrífuga
Figura 3.5 Curva característica de una bomba axial
La figura 3.4 muestra una curva característica típica de una bomba centrífuga, y la figura 3.5 la de una bomba axial. La pendiente de ambas curvas es negativa, lo que quiere decir que cuanto mayor sea la altura que el sistema exija, menor es el caudal que la bomba puede proporcionar. Algunas bombas tienen curvas H-Q con pendiente positiva en la zona de caudales inferiores. Es conveniente alejarse de esas zonas porque se puede producir un funcionamiento inestable de la instalación. La potencia requerida por la bomba también depende del caudal. Tiende a aumentar con él en las bombas centrífugas y a disminuir en las axiales. La potencia hidráulica, es decir, la suministrada por la bomba al fluido, es:
Pot H = ρ g Q H
(3.1)
Y el rendimiento de la bomba viene definido por:
ηB =
ρ g Q H Pot B
donde PotB es la potencia que consume la bomba.
(3.2)
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52
El rendimiento es máximo en el punto llamado de diseño de la bomba, y disminuye tanto para caudales superiores como inferiores. Normalmente, tanto la potencia como el rendimiento se refieren únicamente a la bomba, sin tener en cuenta el motor que se utiliza para accionarla. Los valores máximos de rendimiento se encuentran entre el 85 y el 90%.
3.2 PUNTO DE OPERACIÓN 3.2.1 COMBINACIÓN CON EL SISTEMA
Como se ha dicho, el caudal que circula por la bomba y, por tanto, la altura de elevación que proporciona, están condicionados por la interacción bomba-sistema. El punto de funcionamiento (QB , HB) vendrá dado por el corte de la curva resistente del sistema con la curva característica de la bomba. En el ejemplo de la figura 3.6 se utiliza una bomba para subir fluido del depósito inferior A al superior B. La altura que proporciona la bomba se emplea en vencer la pérdida de carga y en superar la diferencia de altura entre los depósitos. Si la resistencia de la tubería fuese mayor -una válvula en serie algo más cerrada, por ejemplo-, la bomba tendría que proporcionar más altura, y esto repercutiría en un menor caudal. Lo contrario sucede si se disminuye la resistencia. Más adelante se verá este método como sistema de regulación.
Figura 3.6 Combinación de bomba y sistema A menudo se modeliza la curva característica de la bomba por un polinomio, normalmente una parábola. Esto se hace con fines didácticos y también para resolver los sistemas con la ayuda del ordenador. Así, la solución del ejemplo anterior vendría dada por el siguiente sistema de dos ecuaciones:
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
H1 + H B - hp = H 2 2 HB = A + B Q + C Q
(3.3)
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53
Donde A, B y C serán los coeficientes de ajuste de la curva característica. También habría que sustituir hp por la expresión correspondiente, hp = k Q2 y, en su caso, hacer las iteraciones adecuadas. Cuando se opere de esta manera debe prestarse atención al sentido físico: la ecuación de ajuste no es válida para alturas ni caudales negativos. Tampoco será muy adecuada en puntos alejados del de diseño de la bomba. 3.2.2 CONSIDERACIONES SOBRE LA PRESIÓN Y SOBRE LA POTENCIA
La altura de elevación generada en una bomba se puede conocer midiendo la presión a la entrada y a la salida. Pero hay que tener en cuenta que la altura, además de la diferencia de presión, incluye la diferencia de energía cinética, de cota, y las pérdidas entre los puntos de medida: 2
2
P 2 - P 1 + v 2 - v1 + z 2 - z1 + h p1-2 HB = ρ g ρ g 2 g 2 g
(3.4)
Figura 3.7 Grupo motor-bomba
Potencia eléctrica
En el caso de que la bomba esté accionada por un motor eléctrico, la potencia eléctrica se puede calcular a partir de la potencia hidráulica generada, teniendo en cuenta los rendimientos de la bomba y el motor: Pot el =
ρ g Q H ηB _ ηM
(3.5)
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Arranque y potencia máxima
Debe procurarse arrancar las bombas en el punto de funcionamiento que requiera menor potencia, para no sobrecargar el motor. En las bombas centrífugas esto se consigue con el caudal mínimo, y en las axiales con el caudal máximo. Los motores suministrados por los fabricantes pueden -suelen- no cubrir todo el rango de caudales. Se supone que no van a trabajar muy lejos del punto de máximo rendimiento. Esto implica que no deben funcionar de forma continua con caudales máximos las bombas centrífugas, ni con caudales mínimos las axiales. Las bombas mixtas consumen la máxima potencia en una zona intermedia de la curva característica, por lo que presentan menos problemas. Inercia
El momento de inercia de las partes giratorias de la bomba y el motor respecto de su eje es calculado u obtenido experimentalmente por el fabricante para determinar el par de arranque máximo necesario en el motor. También se utiliza en el cálculo del golpe de ariete producido al parar la bomba.
3.3 BOMBAS EN SERIE Y EN PARALELO En ocasiones se utilizan varias bombas trabajando en serie o en paralelo sobre el mismo circuito. Esto puede resultar útil como sistema de regulación, o cuando se requieren características muy variables. Cuando varias bombas se colocan en serie, se pueden sustituir, para el cálculo, por otra bomba hipotética que genere una altura suma de las individuales para cada caudal.
Figura 3.8 Bombas en serie
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De la misma forma, varias bombas en paralelo darán una curva característica conjunta en la que se suman los caudales para cada altura.
Figura 3.9 Bombas en paralelo
Para colocar bombas en serie, y sobre todo en paralelo, es conveniente que sean similares, mejor aún si son idénticas, para evitar que alguna de ellas trabaje en una zona poco adecuada. En el caso de bombas con curva característica inestable (pendiente positiva en alguna zona) conviene prestar especial cuidado, como se verá más adelante. Una advertencia importante: cuando en un sistema dado se colocan varias bombas en serie, el punto de funcionamiento no es la suma de las alturas que cada bomba daría si estuviese conectada al circuito ella sola. En el ejemplo de la figura 3.8 se puede ver que ninguna de las bombas sería capaz por sí misma de vencer la diferencia de altura inicial. El conjunto de las bombas se representa por la curva característica conjunta, y ésta tendrá su punto de corte con la curva resistente, que no tiene nada que ver con el funcionamiento de cada bomba en solitario con el circuito. En el caso de bombas en paralelo sucede algo similar.
3.4 INTRODUCCIÓN A LA SEMEJANZA EN BOMBAS 3.4.1 NÚMEROS ADIMENSIONALES
Las variables fundamentales que afectan al funcionamiento de una bomba son las siguientes: Q, H, D, ω (velocidad de giro), Pot, ρ, g, H (en realidad las dos últimas se suelen tomar unidas, expresando una energía por unidad de masa). Agrupando estas variables de forma conveniente, se pueden obtener los siguientes grupos adimensionales:
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Cifra de caudal : Φ =
Cifra de presi n : Ψ =
Cifra de potencia : ζ =
Q
(3.6)
ω D3 g H
ω 2 D2 Pot
ω D5 ρ 3
Nœmero de Reynolds : Re =
(3.7)
(3.8)
ρ ω D2 μ
(3.9)
El número de Reynolds no tiene gran influencia, pues normalmente el flujo es muy turbulento y la influencia de la viscosidad pequeña. Los números adimensionales aseguran la semejanza de los triángulos de velocidad en el rodete, que son los que definen el intercambio de energía. El rendimiento ya constituye un coeficiente adimensional por sí mismo.
Figura 3.10 Curvas características adimensionales Utilizando estos coeficientes se pueden representar las curvas características adimensionales, figura 3.10. Estas curvas son idénticas para todas las bombas semejantes entre sí. También, igualando las cifras adimensionales de dos bombas semejantes, se puede deducir la curva característica de una de ellas a partir de la otra:
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3
⎛ω ⎞ ⎛ D ⎞ Q 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜ 2 ⎟ Q1 ⎝ ω 1 ⎠ ⎝ D1 ⎠
⎛ ω2 H 2 = ⎜⎜ ⎝ ω1
⎛ ρ Pot 2 = ⎜⎜ 2 ⎝ ρ1
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
(3.10)
2
⎞ ⎛ D2 ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ Hsub1 ⎠ ⎝ D1 ⎠
⎛ ω2 ⎜⎜ ⎝ ω1
3
(3.11)
5
⎞ ⎛ D2 ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ Pot 1 ⎠ ⎝ D1 ⎠
(3.12)
Estas expresiones se utilizan para los modelos reducidos de las bombas grandes, y para determinar el comportamiento a diferentes velocidades de giro. Las máquinas semejantes entre sí están bien definidas con el valor de la cifra de caudal y de presión en el punto óptimo, es decir, el de máximo rendimiento:Φ0 y Ψ0. Si entre estos grupos se elimina el diámetro, se obtiene otro grupo adimensional llamado velocidad específica: Ns=
ω Q1/2 0 (g H 0 )3/4
(3.13)
Eliminando la velocidad de giro se obtiene el diámetro específico: Ds =
D (g H 0 )1/4 1/2 Q0
(3.14)
En ambos, H0 y Q0 corresponden al punto de operación óptimo. Estos dos grupos definen, de la misma forma que Φ0 y Ψ0, un conjunto de máquinas semejantes. En particular la velocidad específica se utiliza como el parámetro que engloba las principales características de las máquinas rotodinámicas: caudal, altura y velocidad de giro. Su valor numérico es igual a la velocidad de giro a la que tendría que trabajar un modelo exacto para bombear un caudal unidad con una altura también unidad. En la bibliografía pueden encontrarse otras definiciones, normalmente no adimensionales, pero conceptualmente similares.
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Como ya se ha dicho, la velocidad específica se refiere al punto de máximo rendimiento, pero no de la máquina completa, sino únicamente de un rodete. En los casos de múltiples etapas la altura H0 es la de una de ellas, y en los rodetes de doble entrada se considera únicamente el caudal Q0 de uno de los lados. A partir del análisis de las máquinas construidas se ha comprobado que a cada velocidad específica le corresponde un diámetro específico con el que el rendimiento es máximo (ver figura 3.11). Dicho de otra forma: cada velocidad específica está asociada con una geometría determinada. Las velocidades específicas bajas se corresponden con las bombas centrífugas y las altas con las axiales. Esto no quiere decir que físicamente no se pueda construir una bomba centrífuga de alta velocidad específica, sino que no se construyen porque el rendimiento que se obtendría sería muy bajo.
Figura 3.11 Rendimientos en función de la velocidad y el diámetro específicos Como datos orientativos, y con la definición de velocidad específica dada, se dan unos rangos de los distintos tipos de máquinas. Se puede ver que la división entre los tres tipos no es exacta y se solapan. Centrífugas Mixtas Axiales
de 0.15 a 0.85 de 0.75 a 3 de 1.9 en adelante
De la misma forma que el gráfico anterior, a partir de las máquinas existentes se ha elaborado la figura 3.12. En ella se representa la gama de caudales y el rendimiento
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correspondientes a los impulsores tipo para cada velocidad específica. Por ejemplo, para un caudal de 0.1 m3/s, la máquina con mejor rendimiento tendría una velocidad específica alrededor de 0.9, y el rendimiento máximo se acercaría al 85%. Las máquinas con velocidades específicas bajas tienen malos rendimientos porque se producen grandes pérdidas por rozamiento en el rodete. En las que tienen velocidades específicas muy grandes también es bajo el rendimiento, porque no se consiguen buenas condiciones de flujo a su través.
Figura 3.12 Rendimientos, geometrías y caudales en función de la velocidad específica Mecánica y económicamente, la velocidad específica óptima en cuanto al rendimiento puede no ser la mejor. Cuando la altura de elevación es grande, la velocidad de giro óptima puede ser demasiado alta y conviene bajar la velocidad específica. Si el caudal es grande, el diámetro óptimo puede ser desproporcionado y encarecer mucho la máquina. En esos casos compensa escoger velocidades específicas mayores. Al haberse obtenido a partir de las máquinas existentes, los dos gráficos anteriores son caducos. Dependen de la situación tecnológica del momento.
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En realidad, en las bombas existe otro factor de importancia primordial: la cavitación. En numerosas ocasiones es el parámetro por el que hay que comenzar el diseño. Un poco más adelante se hablará de este problema. Considerando únicamente la velocidad y el diámetro específico, supóngase, por ejemplo, que se busca una máquina para un caudal de 0.1 m3/s con una altura de elevación de 100 m. En la figura que relaciona velocidad específica, rendimiento y caudal, se obtiene que la mejor velocidad específica es alrededor de 0.9, y el rendimiento máximo sobre el 85%. El tipo corresponde a flujo mixto. De la fórmula de la velocidad específica se puede despejar la velocidad de giro ω = 499 rd/s, es decir 4763 rpm. Si se asume el límite de los motores eléctricos convencionales, esta velocidad está limitada a 2970 rpm, lo que significaría una velocidad específica máxima de 0.56, es decir, la de una máquina centrífuga. El rendimiento que se puede conseguir es aproximadamente el 81%. Del gráfico velocidad específicadiámetro específico se obtiene que el diámetro específico óptimo es alrededor de 5. El diámetro exterior del rodete deberá ser, aproximadamente, de 0.28 m. Si en lugar de una altura de 100m se necesitaran tan solo 10 m, la velocidad de giro para la velocidad específica 0.9 sería 847 rpm. Subiendo a la del motor eléctrico de 970 rpm, la velocidad específica sería aproximadamente 1, sin apenas pérdida de rendimiento. El diámetro específico tomaría valores alrededor de 2.7, y el diámetro exterior del rodete sería de unos 0.27 m.
Figura 3.13 Curvas características adimensionales para distintas velocidades específicas
Alturas inferiores y caudales mayores pueden hacer aconsejable subir la velocidad específica para no bajar excesivamente la velocidad de giro -encareciendo el motor- y no aumentar demasiado el diámetro -encareciendo el resto de la máquina- a pesar de la disminución en el rendimiento.
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Aunque ya se ha comentado algo anteriormente, ahora resulta más clara la relación entre el tipo de máquina y la forma de las curvas características. En la figura 3.13 se representan unas curvas adimensionalizadas con los valores del punto de máximo rendimiento para poder comparar mejor las tendencias. Las máquinas de baja velocidad específica tienden a curvas H - Q más horizontales, incluso pueden hacerse inestables. La potencia aumenta con el caudal y poseen una zona de rendimiento alto cercana al punto de diseño más amplia que las de alta velocidad específica. La importancia de estas tendencias se apreciará cuando se estudie la regulación. 3.4.2 LA VARIACIÓN DE LA VELOCIDAD
Una forma sencilla de obtener una amplia gama de prestaciones consiste en cambiar la velocidad de giro de la bomba. Esto se puede conseguir si se utiliza un motor de corriente continua, uno de alterna con variador de frecuencia, o un convertidor hidráulico, por ejemplo. Al variar únicamente la velocidad, no sólo se respeta la semejanza, sino que al ser la bomba la misma, D1=D2, y las ecuaciones que relacionan las curvas características a una y a otra velocidad se reducen a: ⎛ω ⎞ Q 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ Q1 ⎝ ω1 ⎠ 2
⎛ ω2 ⎞ H 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ H 1 ⎝ ω1 ⎠
(3.15)
3
⎛ ω2 ⎞ Pot 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ Pot 1 ⎝ ω1 ⎠
El rendimiento, teóricamente, se mantiene constante entre puntos homólogos, aunque en realidad irá disminuyendo al alejarse de la velocidad de diseño. En los dibujos de las curvas características se suele representar el rendimiento en forma de curvas de isomagnitud como en la figura 3.14. Al aplicar la variación de velocidad en un sistema, no deben confundirse los puntos de operación a diferente velocidad con puntos semejantes. Dado un sistema con una curva resistente, y las curvas características a dos velocidades ω1 y ω2, en la figura 3.15 el punto de funcionamiento en cada caso se halla buscando el corte de las curvas correspondientes. Si se aplicaran las fórmulas 3.8 al punto de funcionamiento a velocidad ω1, A, se obtendría el punto C, que es su homólogo, y no el B. Esas fórmulas nos permiten transformar una curva característica en otra, pero no calcular directamente los puntos de funcionamiento.
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Figura 3.14 Curvas características a diferentes velocidades
Figura 3.15 Relación entre las curvas correspondientes a dos velocidades
3.4.3 RODETES RECORTADOS
Para ampliar las gamas que ofrecen, los fabricantes de bombas suelen tomar una carcasa determinada y montar en ella rodetes de distinto diámetro. Al hacer esto no se respetan las leyes de semejanza, pues, por una parte no se mantiene la escala geométrica (se disminuye el rodete, pero no la carcasa), y por otra, la forma de conseguir rodetes de distinto diámetro es recortar la parte exterior del más grande, con lo que las velocidades a la salida del rodete no tienen la misma dirección. No se pueden aplicar, por tanto, las leyes de semejanza, y hay que utilizar las curvas experimentales proporcionadas por el fabricante. Téngase en cuenta que en realidad se trata de máquinas diferentes. No se puede pasar de una curva a otra sin desmontar la bomba y cambiar el rodete. A pesar de lo dicho, el recorte de rodetes no es algo negativo. Se puede utilizar para cambiar el punto de funcionamiento de un sistema de forma permanente, manteniendo un buen rendimiento, y con bajo coste.
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Figura 3.16 Curvas características con diferentes diámetros
3.5 LA CAVITACIÓN EN BOMBAS 3.5.1 DEFINICIÓN
Durante la entrada del flujo en el rodete de una bomba se produce una aceleración que, cuando la presión es suficientemente baja, genera la formación de burbujas de vapor. Esto tiene dos efectos sobre el funcionamiento de la bomba. En primer lugar, la cavitación erosiona el rodete y, con el tiempo, lleva a su destrucción. En segundo lugar, cuando la cavitación es fuerte disminuye la altura de elevación.
Figura 3.17 Efecto de la cavitación sobre la curva característica
Se suele hablar de cavitación incipiente cuando el tamaño de las burbujas es muy pequeño y no son apreciables los efectos sobre la curva característica, y se habla de cavitación profunda o desarrollada si las burbujas son mayores. El efecto de erosión puede ser más grave en la cavitación incipiente que en la desarrollada.
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3.5.2 NPSH
Para evitar la cavitación, hace falta mantener una presión suficiente, por encima de la presión de vapor, en la entrada de la bomba. El valor necesario es calculado por el fabricante como NPSHr (Net Positive Suction Head requerido). Desde el punto de vista de la utilización, hay que asegurarse de que el NPSHd (disponible) en el sistema sea superior al NPSHr. La forma de calcular el NPSHd cuando la bomba está conectada a un depósito es: NPSHd = P at - Pv - z - h f ρ g ρ g
(3.16)
Como se puede ver en la figura 3.18, el NPSHd es la altura absoluta que le queda a la bomba en la aspiración por encima de la presión de vapor.
Figura 3.18 NPSHd de una bomba conectada a un depósito Si la bomba está situada en la aspiración por debajo del nivel del depósito, z tomará valores negativos, aumentado el NPSHd. Si el depósito no está abierto, en vez de la presión atmosférica habrá que utilizar la presión absoluta que exista en el depósito. En caso de no tener un depósito como referencia, se puede calcular el NPSHd a partir de la presión estática (relativa) en la aspiración de la bomba: 2
v - Pv NPSHd = P at + P s + ρ g ρ g 2 g ρ g
(3.17)
Otro factor a tener en cuenta es la variación del NPSHr con el caudal. Cuanto mayor sea éste, mayor será la velocidad en la bomba y más próximo el peligro de cavitación. La curva de NPSHr suele venir dada por los fabricantes junto a la curva de altura.
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Figura 3.19 Variación del NPSHr con el caudal
3.6 DISEÑO DE LA ASPIRACIÓN La causa más frecuente del mal funcionamiento de las bombas es algún problema en la aspiración. Una aspiración mal diseñada provoca que la bomba cavite, con todos los inconvenientes comentados anteriormente. Otro de los problemas de la aspiración es el cebado. Las bombas situadas por encima del nivel del líquido que van a bombear no son capaces, normalmente, de evacuar el aire de la tubería. Para ponerlas en marcha hay que rellenar de líquido la tubería de aspiración, y esto es lo que se denomina cebado. 3.6.1 MEJORA DEL NPSHd
De los factores que influyen en el NPSHd únicamente se puede actuar sobre dos: la cota piezométrica y las pérdidas de carga. En cuanto a la cota es conveniente situar las bombas lo más cerca posible del nivel de agua de aspiración. Lo ideal sería que estuvieran incluso por debajo. Constructivamente no siempre es fácil, y en ocasiones hay que llegar a una solución de compromiso. Las pérdidas de carga en la aspiración se pueden reducir disminuyendo la longitud de tubería y aumentando el diámetro. Ya se vio al hablar del diámetro de las tuberías que en la aspiración de las bombas son recomendables velocidades bajas. Los fabricantes de bombas acostumbran a diseñarlas con un diámetro de aspiración mayor que el de impulsión. También debe tenerse especial cuidado en evitar las pérdidas singulares: válvulas, codos, derivaciones... En ciertos casos se dispone una pequeña hélice, llamada inductor, antes del rodete. La finalidad es aumentar ligeramente la presión en la aspiración, alejándose así del riesgo de cavitación. Es preferible que la boca de entrada de la tubería en el depósito sea acampanada. Debe estar situada a suficiente profundidad para que no arrastre aire de la superficie libre: se aconseja una profundidad mínima de alrededor de un metro. El fondo debe estar al menos a
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medio diámetro de la boca, y hay que procurar que el fluido tenga entrada libre por todas las direcciones (ver figura 3.20).
Figura 3.20 Boca de entrada a una tubería
Para evitar la formación de bolsas de aire se suele dar una pequeña pendiente a los tramos horizontales, y las posibles reducciones de sección son excéntricas (ver figura 3.21).
Figura 3.21 Pendiente de los tramos horizontales
3.6.2 VÓRTICES DE ENTRADA
Las posibilidades de cavitación aumentan si se forma un vórtice a la entrada, es decir, si el fluido entra con un movimiento helicoidal. El aumento de velocidad debido a la componente tangencial hace disminuir la presión. Las bombas mixtas y axiales son especialmente sensibles a estas distorsiones de entrada. La cercanía de las paredes laterales, el fondo, la superficie libre o las entradas de otras bombas son frecuentes causas de generación de vórtices. En las bombas mixtas y axiales, aparte de cuidar estas dimensiones y seguir con cuidado las instrucciones del fabricante, se suelen colocar enderezadores de flujo para romper los posibles vórtices (figura 3.22). En los equipos grandes es frecuente realizar ensayos con modelos a escala.
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Figura 3.22 Vista en planta de un depósito y bocas de aspiración con enderezadores de flujo 3.6.3 CEBADO
Normalmente en las bombas situadas por encima del nivel de aspiración, la tubería de aspiración y la misma bomba tienen que estar llenas de líquido para poder arrancar. Si no se extrae el aire, la depresión que producen en la aspiración es tan pequeña que no consiguen absorber el líquido. La causa es que la altura en las bombas rotodinámicas viene dada por los triángulos de velocidades a la entrada y a la salida del rodete. Conceptualmente, la altura que proporciona la bomba es independiente de la densidad del fluido. Por ejemplo, una bomba con una altura máxima de 100 m, llena de aire, puede producir una depresión máxima de 100 m de columna de aire: aproximadamente 0,1 m de columna de agua. Solo será capaz de evacuar el aire si el nivel de agua está a menos de diez centímetros. La solución más sencilla es colocar las bombas bajo carga. Muchas bombas axiales y mixtas verticales deben tener al menos parte de la entrada sumergida por problemas de cavitación, por lo que no necesitan ser cebadas. También se construyen bombas sumergibles -perfectamente estancas- aunque están limitadas a caudales pequeños. En caso de que la bomba esté situada por encima del nivel de aspiración se puede escoger entre una bomba autocebante y un sistema de cebado. Las bombas autocebantes tienen al menos una etapa capaz de trabajar de forma volumétrica y hacer el vacío en la tubería de aspiración. Un ejemplo son las bombas de canal lateral, que llenas de líquido tienen un funcionamiento casi centrífugo mientras que parcialmente llenas de agua trabajan como una bomba volumétrica de paletas. Esta solución hace muy fiable el funcionamiento cuando se necesita realizar continuas paradas y arranques. El inconveniente es que sólo son económicamente rentables para bajos caudales.
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Figura 3.23 Sistema de cebado
Las bombas no autocebantes necesitan un sistema de cebado. Este puede consistir en una válvula de pie y un by-pass desde la tubería de aspiración o un pequeño depósito (figura 3.23). Si la válvula de pie no tiene fugas puede mantener la bomba cebada durante largos períodos de tiempo. Las bombas suelen fabricarse con un pequeño orificio que permite tanto la purga de aire como el cebado manual. Otra posible solución consiste en conectar a la tubería de aspiración una bomba de vacío.
3.7 SELECCIÓN DE BOMBAS 3.7.1 SELECCIÓN A PARTIR DE LOS PARÁMETROS ADIMENSIONALES
Teóricamente la selección de bombas es un proceso similar al de definición de las dimensiones principales en el diseño. Se parte de la altura de elevación, el caudal y el NPSH. Con el caudal y el NPSH se define el diámetro de entrada y la velocidad de giro, que debe estar limitada a valores prácticos: los posibles motores a emplear. Una vez hecho esto, y dependiendo de la velocidad específica, se elige un tipo de máquina axial, mixta o radial. Para ese tipo de máquina se busca el diámetro específico con el mejor rendimiento (teórico) posible y ya se tiene así definido el tamaño. En este proceso influye también el número de etapas o, en el caso de bombas radiales, el haber elegido una bomba con doble entrada, pues cambia la velocidad específica.
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3.7.2 FACTORES QUE INFLUYEN EN LA SELECCIÓN
En la práctica es necesario un conocimiento completo del sistema y de sus posibles variantes. Por ejemplo, para extraer agua de un pozo se puede utilizar: - Una bomba en el exterior. Debe tener un NPSHr adecuado y ser autocebante. En caso contrario deberá instalarse un sistema de cebado. - Una bomba vertical con el motor exterior, pero la bomba, o al menos la primera etapa, sumergida. No hay problemas de cavitación, pero la sujeción de la bomba es más complicada. - Una bomba totalmente sumergida. El motor debe ser estanco. Es aconsejable hacer una revisión de los catálogos disponibles o, mejor aún, hacer la selección conjuntamente con los fabricantes, para decidir qué producto de su gama se adapta mejor a las necesidades planteadas. Aparte del caudal y la altura, algunas características del sistema que van a influir en la elección de la bomba son: - La posición de la bomba, ya comentada, que afecta el NPSHd y al cebado. - El diámetro de las tuberías, que determina las pérdidas de carga y, por tanto, el punto de operación. - El número y disposición -serie o paralelo- de las bombas. - El sistema y rango de regulación. - Bombeo de líquidos viscosos. Afecta al punto de operación y a la potencia. - Bombeo de pastas o líquidos con sólidos en suspensión. Se necesitan rodetes especiales. - Bombeo de líquidos corrosivos o similares que exijan materiales o recubrimientos especiales. El rango de regulación es un parámetro que influye en la pendiente de la curva característica a buscar. Si las variaciones de caudal van a ser grandes, interesa una curva lo más horizontal posible. Sin embargo, si se quiere que el caudal permanezca constante, la curva debe ser vertical. En el primer caso son más adecuados las máquinas de baja velocidad específica: centrífugas, con doble aspiración, varias bombas en paralelo... En el segundo caso son mejores las de alta velocidad específica: mixtas o axiales, de varias etapas, bombas en serie...
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3.7.3 RENDIMIENTO ÓPTIMO
Salvo las bombas pequeñas o para aplicaciones especiales, uno de los parámetros más importantes es que la bomba tenga un rendimiento óptimo lo más cerca posible del punto de trabajo habitual. No resulta rentable elegir una bomba sobredimensionada con vistas a posibles ampliaciones futuras del sistema. Las pérdidas, sobre todo en el caso de funcionamiento continuo, pueden ser mucho mayores que el coste de la propia bomba. Considérese, por ejemplo, una bomba de 100 kW, con un rendimiento máximo del 85%. Si trabaja 7000 horas al año, un poco apartada del punto de diseño, con un rendimiento un 5% menor y el precio del kW/h es de 12 pta, supone unas pérdidas anuales de ¡420.000 pta!. En dos o tres años se amortizaría una bomba nueva.
3.8 EJEMPLOS EJEMPLO 1
En la instalación de la figura, calcular el punto de funcionamiento de la bomba y la potencia que proporciona al fluido.
Datos:
L = 50m D = 0.3m HB = 25 - 625 Q2
ε = 0.3mm
v = 1.1 10-6 m2/s
Resolución
Se plantea la ecuación de la energía entre los dos depósitos: H B - h pl - h ps = 20
Los diferentes términos de esta ecuación tienen las siguientes expresiones:
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h pl =
h ps = ∑
8 f L 2 Q g π 2 D5 8 ξi g π D 2
4
Q
2
2 H B = 25 - 625 Q
Para calcular el término de las pérdidas lineales de carga, se supondrá en principio que el flujo es turbulento completamente desarrollado. Con esta suposición se obtiene un valor para el coeficiente de fricción de 0.0196. Introduciendo los valores de las pérdidas de carga en la ecuación de la energía, se obtiene lo siguiente: 25 - 625 Q 2 - 33.36 Q 2 - 36.76 Q 2 = 20
De aquí se puede despejar el caudal: Q = 0.0848 m3/s
Ahora debe comprobarse si es válida la suposición de flujo turbulento completamente desarrollado. Con el valor obtenido para el caudal se calcula el número de Reynolds: Re =
4 Q = 327184 π Dν
Con este valor y con el del coeficiente de fricción obtenido anteriormente se acude a la ecuación de Darcy-Weisbach, calculándose un nuevo coeficiente de fricción: f = 0.0205
Con este coeficiente se corrigen las pérdidas lineales de carga: 2 h pl = 34.89 Q
y se obtiene un valor para el caudal Q = 0.0847 m3/s. El nuevo número de Reynolds es Re=326798, y al entrar de nuevo en la ecuación de Darcy-Weisbach se obtiene un valor para el coeficiente de fricción igual al anterior. Por tanto, la solución correcta es: Q = 0.0847 m3/s
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La altura de elevación de la bomba se puede calcular: 2 2 H B = 25 - 625 Q = 25 - 625 _ 0.0847 = 20.52 m
Y la potencia suministrada por la bomba será: Pot = ρ g H B Q = 1000 _ 9.8 _ 20.52 _ 0.0847 = 17029 W _ 17 kW
EJEMPLO 2 Dado el sistema representado en la figura, determinar el punto de funcionamiento de las bombas. Deben despreciarse las pérdidas singulares.
Datos:
HB1 = HB2 = 100 + 50Q - 150Q2 zA = 130m zF = 200m ε = 0.00016m v = 10-6m2/s LAB = 25m DAB = 0.3m LBC = 0 LCD = 150m DCD = 0.3m L1 = 70m D1 = 0.25m L2 = 50m D2 = 0.25m LEF = 270m DEF = 0.3m
Resolución Se plantea la ecuación de la energía entre los dos depósitos:
Pr z A - h AB + H B - hCD - h DE - h EF = z F + ρ g
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Se supondrá en principio flujo turbulento completamente desarrollado. Los coeficientes de fricción serán: Tramos AB, CD, EF: f = 0.0169 f = 0.0177 Tramos 1 y 2: Al ser las dos bombas iguales, las dos impulsan el mismo caudal, mitad del caudal total. Los diferentes términos de la ecuación de energía serán: 2 h AB = 14.38 Q
2
H B = 100 + 50
Q ⎛ Q ⎞ 2 - 150 ⎜ ⎟ = 10 + 25 Q - 37.5 Q 2 ⎝ 2 ⎠ 2 hCD = 86.28 Q
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
2 h1 = 104.94 Q1 2 h2 = 74.95 Q 2 h1 = h2
Q1 + Q 2 = Q 2 h EF = 155.31 Q
De las ecuaciones de caudal y pérdida de carga en las tuberías 1 y 2 se puede deducir: Q1 = 0.458 Q Q 2 = 0.542 Q 2 2 h1 = h2 = 104.94 (0.458 Q ) = 22.01 Q
Y ya se puede introducir todo lo anterior en la ecuación de la energía: 130 - 14.38 Q 2 + 100 - 25 Q - 37.5 Q 2 - 86.28 Q 2 - 22.01 Q 2 - 155.31 Q 2 = 200 +
De aquí se pueden despejar los caudales:
98 103 1000_9.8
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74 Q = 0.2153 m3/s Q1 = 0.0986 m3/s Q2 = 0.1167 m3/s
Ahora debe comprobarse si es válida la suposición de flujo turbulento completamente desarrollado. Se hallan los números de Reynolds y los nuevos coeficientes de fricción con la fórmula de D'Arcy-Weisbach. Para los tramos AB, CD y EF: Re = 913761
f = 0.0175
Para los tramos 1 y 2: Re1 = 502165 Re2 = 594348
f1 = 0.0185 f2 = 0.0184
Introduciendo estas correcciones, los términos de pérdida de carga quedan: 2 h AB = 14.88 Q
2 hCD = 89.35 Q
2 2 h1 = 109.68 Q1 = 23 Q = h2
2 h EF = 160.82 Q
Introduciendo estos valores en la ecuación de la energía se obtiene lo siguiente: Q = 0.2124 m3/s Q1 = 0.0973 m3/s Q2 = 0.1151 m3/s
Se hallan los números de Reynolds correspondientes a los diferentes tramos, y los nuevos coeficientes de fricción resultan ser iguales a los anteriores: Re = 901453 Re1 = 495544 Re2 = 586199
f = 0.0175 f1 = 0.0185 f2 = 0.0184
Por tanto, los valores obtenidos para los caudales son ya los correctos.
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75
EJEMPLO 3
Los ensayos realizados en una bomba centrífuga para agua, de 350 mm de diámetro interior y velocidad de giro de 2100 rpm, proporcionan los siguientes datos: Q (m3/s)
H (m)
PotB (kW)
0 0.026 0.053 0.08 0.11 0.14
100 99.7 99 97 88 64
50 60 75 95 120 120
1º) Determinar el punto de máximo rendimiento 2º) a) ¿A qué velocidad de rotación la altura con caudal nulo es de 80 m? b) ¿A qué velocidad de rotación el caudal de diseño es 0.1 m3/s? c) ¿A qué velocidad de rotación la potencia en el eje es 85 kW con caudal nulo? 3º) Se construye una bomba con 600mm de diámetro interior para girar a 1200 rpm, y de la misma familia que la bomba del apartado anterior. Determinar el caudal, altura de elevación y potencia en el eje, en el punto de máximo rendimiento Resolución
1º) El rendimiento de la bomba vendrá dado por:
ρ g Q H Pot H = ηB = Pot B
Pot B
Operando con los valores de la tabla se obtienen los siguientes valores: Q (m3/s)
ηB
0 0.026 0.053 0.08 0.11 0.14
0 0.423 0.685 0.8 0.79 0.68
Por tanto, el punto de máximo rendimiento será:
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76 Q0 = 0.08 m3/s
H0 = 97 m
2º) Recuérdese que las leyes de semejanza sólo se cumplen entre puntos homólogos. Son puntos homólogos -entre otros- los de máximo rendimiento, los de caudal nulo y los de altura de elevación nula. a) Los datos de que se dispone son: H1 = 100 m
H2 = 80 m
Aplicando la ley de semejanza para la altura de elevación: 2
⎛ ω2 ⎞ H 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ H 1 ⎝ ω1 ⎠ De aquí se despeja la velocidad de rotación, ω2: ω2 = 1878 rpm
b) Los datos son: Q1 = 0.08 m3/s
Q2 = 0.1 m3/s
Se aplica la ley de semejanza para el caudal:
⎛ω ⎞ Q 2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ Q1 ⎝ ω1 ⎠ De aquí se despeja la velocidad de rotación, ω2: ω2 = 2625 rpm c) Los datos son: Pot1 = 50kW
Pot2 = 85kW
Se aplica la ley de semejanza para la potencia:
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3
⎛ ω2 ⎞ Pot 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ Pot 1 ⎝ ω1 ⎠ y se despeja la velocidad de rotación: ω2 = 2506 rpm 3º) Se tienen los datos siguientes: D1 = 350mm ω1 = 2100 rpm Q1 = 0.08 m3/s
D2 = 600mm ω2 = 1200 rpm H1 = 97m
Pot1 = 95kW
Puesto que se trata de máquinas de la misma familia, y operando con el mismo fluido, se pueden aplicar las leyes de semejanza: 3
⎞ ⎛ D2 ⎞ ⎟⎟ ⎜ ⎟ Q1 = 0.23 m3 /s ⎠ ⎝ D1 ⎠
⎛ ω Q 2 = ⎜⎜ 2 ⎝ ω1
2
2
⎛ ω 2 ⎞ ⎛ D2 ⎞ H 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ H 1 = 93 m ⎝ ω 1 ⎠ ⎝ D1 ⎠
3
5
⎛ ω 2 ⎞ ⎛ D2 ⎞ Pot 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ Potsub1 = 262.4 kW ⎝ ω 1 ⎠ ⎝ D1 ⎠
EJEMPLO 4
Determinar el caudal máximo que podrá circular en la instalación de la figura, sin que se produzca cavitación. Datos:
ρ = 1050 kg/m3 L = 100 m NPSHr = 0.4+100Q2
Pat = 1 at=101300 Pa D = 0.25 m Pv = 4116 Pa
f = 0.016
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Resolución
Para que la bomba no cavite debe cumplirse lo siguiente: NPSHd ≥ NPSHr
Donde el NPSHd se define de la manera siguiente: NPSHd = P at - Δz - h pa - hv ρ g
Las pérdidas de carga en la aspiración se calculan de la manera siguiente: h pa =
8 f L 2 2 Q = 135.51 Q 2 5 g π D
Introduciendo valores en la expresión del NPSHd, se obtiene: NPSHd =
101300 4116 - 2 - 135.51 Q 2 = 7.44 - 135.51 Q 2 1050 _ 9.8 1050 _ 9.8
Y la condición para que no exista cavitación quedará: 7.44 - 135.51 Q 2 ≥ 0.4 + 100 Q 2
De aquí se despeja el valor del caudal: Q < 0.173 m3/s
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4 VÁLVULAS E INSTRUMENTACIÓN Después de haber hablado de tuberías y de bombas, este capítulo va a estar dedicado a otros elementos muy necesarios en un sistema típico de bombeo: las válvulas. Se describirán los tipos, su utilización y algunos problemas asociados. La última parte del capítulo tratará muy brevemente de la instrumentación necesaria para la medida de presiones y caudales.
4.1 TIPOS DE VÁLVULAS Las válvulas son una parte muy importante del diseño de sistemas de tuberías. Sus funciones principales son el cierre y la regulación. En el primer caso se utilizan para determinar qué ramas de la instalación van a estar en servicio, para aislar elementos, etc. Las válvulas de regulación son las que definen el punto de operación. Junto con estas dos funciones hay otras muchas para las que casi siempre existe una válvula adecuada: evitar el retorno del fluido, regular o limitar la presión, expulsar el aire, evitar el vacío, etc. La selección de la válvula más adecuada en cada caso puede llegar a ser bastante complicada, debido a la gran variedad de modelos y precios que existen en el mercado. 4.1.1 VÁLVULAS DE COMPUERTA
Están formadas por una compuerta circular o rectangular que se desliza por un plano perpendicular a la tubería. Normalmente son accionadas por un tornillo. Cuando están totalmente abiertas, dejan el conducto prácticamente libre, por lo que apenas tienen pérdidas. Esta característica ha hecho de ellas las válvulas tradicionales de cierre hasta la aparición de las válvulas de mariposa. Se utilizan totalmente abiertas o cerradas: no suelen ser adecuadas para regulación. En la figura 4.1 puede observarse el esquema de una válvula de compuerta.
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La experiencia personal de los autores es que, salvo que tengan asientos especiales, hay que huir de ellas, pues tienen la fea costumbre de quedarse bloqueadas después de una temporada larga sin ser accionadas.
Figura 4.1 Válvula de compuerta
Figura 4.2 Válvula de mariposa
4.1.2 VÁLVULAS DE MARIPOSA
Consisten en un disco interior a la tubería que gira 90º de abierta a cerrada. El eje de giro puede ser central o excéntrico (para que la presión del fluido favorezca el cierre), y los tipos de juntas de estanqueidad son muy variados. En la figura 4.2 puede verse una válvula de mariposa. Su uso se ha extendido mucho por el poco espacio que ocupan, la facilidad de su accionamiento, su funcionamiento satisfactorio y, sobre todo, su bajo coste. Sus principales inconvenientes son que en el diseño más simple no siempre son completamente estancas (sobre todo con altas presiones), y que la presencia del disco en la tubería puede dar lugar a problemas con fluidos que arrastren sólidos. La pérdida de carga cuando están abiertas es muy pequeña. Son efectivas como válvulas de cierre, y con un accionamiento y asientos adecuados se pueden utilizar para regulación. 4.1.3 VÁLVULAS ESFÉRICAS Y CÓNICAS
Su diseño más habitual es una esfera o tronco de cono que gira respecto a un eje perpendicular a la tubería. Un taladro cilíndrico, de la misma sección que la tubería permite un paso total cuando está orientado en la dirección axial. El cierre se efectúa con un cuarto de vuelta. En la figura 4.3 puede verse una válvula de este tipo.
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Completamente abiertas no producen pérdida de carga. En apertura parcial, al bloquear el flujo tanto a la entrada como a la salida, sus características frente a la cavitación son mejores que las de las válvulas de compuerta o mariposa. Con unos buenos asientos son absolutamente estancas. Con un diseño adecuado se pueden utilizar para regulación. Son formidables para servicio pesado y altas presiones. Su precio es un tanto elevado.
Figura 4.3 Válvula esférica
4.1.4 VÁLVULAS DE GLOBO Y AGUJA
La grifería doméstica es la más conocida aplicación de este tipo de válvulas. El fluido desemboca en una cavidad, normalmente esférica. Esta cavidad está dividida en dos por una pared, y un orificio comunica las dos partes. Un disco, o un cono en el caso de las válvulas de aguja, bloquea el paso por el orificio de forma parcial o total. El accionamiento se realiza habitualmente por medio de un tornillo, aunque se utilizan otros mecanismos para casos especiales de control. En la figura 4.4 aparece una válvula de globo, y en la 4.5 una de aguja.
Figura 4.4 Válvula de globo
Figura 4.5 Válvula de aguja
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Con un asiento diseñado para evitar la erosión y la cavitación, estas válvulas son especialmente adecuadas para regulación. Su principal inconveniente recae en la gran pérdida de carga que presentan aun estando totalmente abiertas. No se suelen construir de tamaño muy grande, porque resultan excesivamente caras. 4.1.5 VÁLVULAS ANTIRRETORNO
Se utilizan para evitar el flujo inverso por las tuberías o para que no se vacíe la tubería de aspiración de las bombas cuando están paradas (descebado). En este último caso se conocen como válvulas de pie y están integradas con una rejilla filtrante. Válvulas de estos dos tipos pueden observarse en las figuras 4.6 y 4.7.
Figura 4.7 Válvula de pie Están formadas por un disco que cierra el paso de fluido por su propio peso o ayudado por la presión aguas arriba. Su fisonomía varía desde las similares a válvulas de globo, a las parecidas a las válvulas de mariposa con el eje totalmente excéntrico. En la elección de estas válvulas es necesario tener en cuenta básicamente dos características: que no presenten una excesiva pérdida de carga cuando están abiertas, y que no provoquen transitorios muy fuertes al cerrarse. La magnitud del transitorio depende de la velocidad del flujo inverso cuando se cierra la válvula. En sistemas que se inviertan lentamente, cualquier tipo de válvula puede servir; pero cuando hay un depósito con aire cerca de la bomba, o varias bombas trabajan en paralelo, es conveniente escoger válvulas que cierren rápidamente. Si no está bien elegida, el golpe de ariete que provoca ella misma puede llegar a dañarla. 4.1.6 OTRAS VÁLVULAS
Hay, además de las descritas, un número ingente de válvulas diferentes que, por suerte o por desgracia, pueden ser útiles en algún caso concreto. A continuación se describen brevemente algunas de ellas.
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Válvulas de membrana
Son válvulas de globo en las que el disco es accionado por una membrana en función de la diferencia de presiones entre sus dos caras. Son muy utilizadas para regulación con accionamiento hidráulico. Válvulas reguladoras de presión
Normalmente son válvulas de membrana en las que el sistema hidráulico de accionamiento se ha ajustado de forma que mantengan una presión constante aguas abajo de la válvula (por supuesto, esta presión es inferior a la de aguas arriba). En la figura 4.8 puede verse una válvula de este tipo.
Figura 4.8 Válvula reguladora de presión
Válvulas limitadoras de presión
Suelen actuar como válvulas de seguridad, liberando fluido del sistema cuando la presión supera un determinado valor. Válvulas de entrada/salida de aire
Facilitan la entrada y salida de aire en los procesos de vaciado y llenado. Las que permiten la entrada de aire cuando hay vacío en la tubería, sirven también para evitar el colapso en los golpes de ariete negativos. La eliminación del aire atrapado es un asunto delicado que puede provocar fuertes transitorios.
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4.2 COEFICIENTES DE PÉRDIDAS EN VÁLVULAS Las pérdidas de carga que producen las válvulas parcialmente abiertas son debidas a la disminución de sección de paso que provocan. En el estrechamiento el flujo se acelera, y al regresar de nuevo a la sección mayor de la tubería, se produce una pérdida de energía cinética por desprendimiento y turbulencia, semejante al de un ensanchamiento brusco o a la entrada en un depósito. Como en cualquier otra pérdida singular, por tanto, la caída de presión a través de una válvula va a ser proporcional al cuadrado de la velocidad en la tubería. La diferencia estriba en que el coeficiente de proporcionalidad varía con el grado de apertura. La relación entre el flujo y la caída de presión se expresa a través del coeficiente de pérdidas o coeficiente de descarga. Estas son algunas de las expresiones más utilizadas: V 2 g hp
(4.2)
2 g hp 2 g h p A2 = kv = 2 2 Q V
(4.1)
Cp =
Cd =
(2
V g hp + V 2
)
(4.3)
Todos estos coeficientes son adimensionales. El primero es el ya utilizado para las pérdidas singulares. Los otros dos son muy usados en la bibliografía sobre válvulas y por los fabricantes. Con válvulas de bola o mariposa, que apenas presentan pérdida de carga cuando están totalmente abiertas, es preferible utilizar Cd, que tiene un rango de 0 a 1. El coeficiente Cp, por el contrario, se hace infinito cuando no hay pérdidas de carga. Los tres coeficientes se relacionan a través de las siguientes expresiones: kv =
1 Cp
2
=
1 Cd
2
- 1
(4.4)
En la figura 4.9 se dan unos valores típicos de Cd para algunas válvulas en función del grado de apertura. Estos valores cambian con el tipo de válvula y con cada diseño específico, por lo que, si realmente se necesitan, deben pedirse al fabricante. Conviene tener sumo cuidado con algunos catálogos que ofrecen datos del tanto por ciento del caudal máximo frente al grado de apertura. Esta información puede ser bastante errónea, pues la misma válvula situada en distintos sistemas tiene características totalmente diferentes. Más adelante se verá un ejemplo que lo ilustra.
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También existe una variación del coeficiente de descarga con el número de Reynolds, sobre todo en válvulas pequeñas, y merece la pena tenerlo en cuenta cuando hay que conocer la pérdida de carga en la válvula con mucha exactitud (por ejemplo en ciertas válvulas que se utilizan para medir el caudal).
Figura 4.9 Coeficientes de descarga
4.3 CAVITACIÓN EN VÁLVULAS La mayor parte de los daños producidos en las válvulas son causados por la cavitación. La aceleración del flujo en el elemento de cierre puede hacer descender la presión por debajo de la presión de vapor y se forman burbujas que erosionan tanto las partes móviles como los asientos. Además, la cavitación produce ruido y vibraciones. Este fenómeno es uno de los problemas más graves asociados a las válvulas de control. Algunos de los parámetros adimensionales utilizados para cuantificar este riesgo son: + σ = P d P at Pv ρ g hp
(4.5)
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kc =
86
ρ g hp
(4.6)
Pu + P at - Pv
Donde Pd y Pu son las presiones relativas aguas abajo y aguas arriba respectivamente, Pat es la presión atmosférica (absoluta) y Pv es la presión de vapor (absoluta también). La relación entre ambos parámetros es: kc =
1 σ +1
(4.7)
Experimentalmente se halla el valor crítico de σc por debajo del cual la cavitación es perjudicial para la válvula. Este valor depende del tipo y grado de apertura de la válvula, como se puede ver en la figura 4.10, y también de la presión a la que se ha realizado el ensayo.
Figura 4.10 Cavitación en válvulas
El efecto de la presión aguas arriba puede corregirse con la fórmula:
⎡ Pu + P at - Pv ⎤ σc = ⎢ ⎥ ⎣ Pue + P at e - Pve ⎦
0.28
σc
e
(4.8)
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En ella, el subíndice e se refiere a los datos experimentales. Los autores aconsejan utilizar esta fórmula con cierta precaución. Para un cálculo adecuado, es necesario pedir las especificaciones al fabricante o referirse a la literatura especializada.
4.4 MEDIDA DE PRESIONES Y CAUDALES 4.4.1 MEDIDA DE LA PRESIÓN
El sistema más sencillo consiste en un tubo en U, normalmente lleno de mercurio para las medidas en agua. La diferencia de presión entre las dos bocas se obtiene a partir de la diferencia de alturas entre los dos lados del tubo. Solamente se utiliza en laboratorio. En la figura 4.11 se puede ver un manómetro de este tipo. El manómetro Bourdon es el más generalizado para la medida industrial cuando no se necesita excesiva precisión. El fluido entra en un tubo en forma de "?" y la presión hace estirarse la zona curvada. Esta deformación se transmite a una aguja que marca la presión en una esfera graduada. Uno de estos manómetros puede observarse en la figura 4.12.
Figura 4.11 Manómetro en U
Figura 4.12 Manómetro de Bourdon
Para la medida más precisa y, sobre todo, para obtener una señal eléctrica que permita procesar el valor de la presión, hay una amplia variedad de transductores. El principio de funcionamiento básico consiste en que la presión produce la deformación de un elemento cambiando unas ciertas propiedades eléctricas. Así existen transductores capacitivos, inductivos, de resistencia variable, de galgas, etc.
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Lo más importante al seleccionar un elemento de medida es que se ajuste al rango que debe medir, pues de otro modo la incertidumbre propia del aparato puede hacerlo completamente inútil. 4.4.2 MEDIDA DEL CAUDAL
Son válidos, por supuesto, el tubo de Pitot y todos los sistemas de medida de velocidad, aunque se suelen utilizar sistemas específicos para la medida en una tubería. Los rotámetros, medidores de turbina, etc., introducen un elemento en el flujo, y por su desplazamiento o velocidad de giro indican el caudal que está pasando. Los de tipo turbina, acoplados a un cuentarrevoluciones, suelen utilizarse para la medida del volumen total a lo largo del tiempo. Los Venturi y las placas de orificio aprovechan la diferencia de presión provocada por el aumento de velocidad del fluido en una reducción de la sección. El primero apenas provoca pérdida de carga, pero es de construcción más complicada. Más recientemente han aparecido los medidores de ultrasonidos y de resonancia magnética. Basados en la medida de la velocidad de los ultrasonidos a favor y en contra de la corriente o de las propiedades de resonancia magnética del fluido, tienen la gran ventaja de no ser intrusivos. Cualquier sistema de medida de caudal que requiera una cierta precisión debe ser montado en una zona de la tubería libre de perturbaciones: lejos de codos, válvulas y bombas. Las normas internacionales dan indicaciones de los valores de construcción, instalación y calibración de todos estos instrumentos.
4.5 EJEMPLOS EJEMPLO 1
El flujo entre dos depósitos separados por una diferencia de cotas de 10 m está regulado por una válvula de mariposa. Calcular cómo varía el caudal en función del grado de apertura de la válvula, en los dos casos siguientes: a)
El conducto que une los depósitos es corto y la fricción es pequeña. f = 0.018 L = 50m D = 300mm Datos:
b)
El conducto que une los depósitos es largo y la fricción es grande. f = 0.036 L = 625m D = 90mm Datos:
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Resolución
Se puede plantear la ecuación de la energía entre los dos depósitos: hp =
8 f L 8 kv 2 2 Q = 10 Q + 2 2 5 4 g π D g π D
De esta fórmula se despeja el caudal. El coeficiente kv de la válvula se puede obtener a partir del coeficiente de descarga Cd: kv =
1 2
Cd
- 1
A su vez, el coeficiente de descarga se obtiene en la figura 4.9, en función del grado de apertura y del tipo de válvula. a) Para este caso, y teniendo en cuenta todo lo anterior, se pueden recoger los resultados en forma de tabla: % Apertura 100 80 60 40 20
Cd
kv
Q (m3/s)
% Qmáx
0.8 0.55 0.38 0.22 0.08
0.5625 2.3058 5.9252 19.661 155.25
0.5243 0.4296 0.3312 0.2079 0.0787
100 81.94 63.17 39.65 15.01
b) Con un conducto largo y fricción elevada, los resultados son: % Apertura 100 80 60 40 20
Cd
kv
Q (m3/s)
% Qmáx
0.8 0.55 0.38 0.22 0.08
0.5625 2.3058 5.9252 19.661 155.25
0.0056 0.0056 0.0055 0.0054 0.0044
100 100 98.21 96.43 78.57
Para poder interpretar con más facilidad los resultados, se pueden representar gráficamente. Puede observarse que en el caso a) el caudal disminuye de manera casi lineal a medida que se cierra la válvula. En cambio en el caso b) apenas se consigue reducir el caudal hasta que no se cierra la válvula alrededor de un 70% (aproximadamente un 30% de apertura). Debido a las grandes pérdidas por fricción, el cierre de la válvula ejerce poca influencia sobre el flujo.
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Con este ejemplo se ve que no es correcto utilizar una curva de caudal en función de la apertura de la válvula, pues una misma válvula se comporta de manera distinta según el sistema en que esté instalada. EJEMPLO 2
Se va a instalar una válvula de mariposa en un conducto, en el cual la presión relativa aguas arriba de la válvula será Pu = 800 kPa. La válvula funcionará con un coeficiente de descarga Cd = 0.5. Determinar la máxima velocidad que puede haber en el conducto sin que se produzca cavitación en la válvula. La presión de vapor relativa es Pv = -89.6 kPa. Resolución
En la figura 4.10 se pueden obtener los siguientes datos: Pue = 482 103 Pa Pve = -82.63 103 Pa σce = 5
Los datos conocidos y los que se obtienen en la figura 4.10 se relacionan con la expresión:
⎡ Pu + P at - Pv ⎤ σc = ⎢ ⎥ ⎣ Pue + P ate - Pve ⎦
0.28
σ ce
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Introduciendo valores, se obtiene: σc = 5.68
Por otra parte, se tiene: P d + P at - P v σc = ρ g hp
De aquí se puede despejar hp: hp = 13.59 m
La expresión de la pérdida de carga hp en la válvula es: 2
hp = kv
V 2 g
El coeficiente kv se puede obtener a partir del coeficiente de descarga Cd: kv =
1 2
Cd
- 1= 3
Ya se puede despejar entonces la velocidad crítica Vc: Vc =
2 g hp = kv
2 _ 9.8 _ 13.589 = 9.42 m/s 3
Con velocidades superiores a esta velocidad crítica, se producirá cavitación en la válvula.
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5 SISTEMAS DE REGULACIÓN La regulación del funcionamiento de un sistema para adaptarlo a las necesidades de presión y/o caudal suele ser difícil de llevar a cabo. Además, está muy reñida con el rendimiento. Por este motivo -que al final va a traducirse en pesetas- hay que estudiar con detenimiento las diferentes posibilidades. En este capítulo se van a plantear cuatro formas genéricas, pero que -contando con sus combinaciones- cubren casi todo el espectro de la regulación en sistemas de tuberías. Los depósitos se utilizan cuando es necesario el almacenamiento o cuando la demanda es muy variable. Las válvulas constituyen una forma fácil y económica -en la instalación, no en el funcionamiento- de hacer ajustes. Son necesarias casi siempre. El uso de varias bombas es un acercamiento a un mejor rendimiento, aunque no se puede alcanzar el punto óptimo en todos los casos; muchas veces la decisión viene influida por consideraciones de seguridad de servicio. La variación de velocidad, por último, suele ser el mejor sistema y el más flexible; a pesar de mejorar el rendimiento se utiliza poco por sus mayores costes de instalación.
5.1 DEPÓSITOS Los depósitos se utilizan para los siguientes fines: - Asegurar el suministro de agua frente a averías. - Mantener la presión (depósitos elevados). - Simplificar el control y reducir el tamaño de la instalación de bombeo. - Reducir la presión de las traídas de agua por gravedad y amortiguar transitorios.
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Figura 5.1 Ejemplo de depósito La seguridad de suministro es más un problema social o político que económico: ¿cómo calcular el coste del racionamiento de agua en una ciudad?. Sí que se puede medir en términos monetarios, sin embargo, la relación entre el coste de una instalación de bombeo dimensionada para el caudal máximo -trabajando a menudo con malos rendimientos- y el coste de un depósito y una instalación más reducida, que proporcione el caudal medio en un cierto tiempo, funcionando normalmente en el punto de diseño. En instalaciones pequeñas, como la de una única vivienda, la ventaja de los depósitos estriba en evitar un complejo sistema de regulación, y es suficiente con un pequeño depósito abierto o un -más pequeño aún- depósito presurizado. 5.1.1 DEPÓSITOS ABIERTOS
Se suelen realizar en hormigón armado o pretensado. Para tamaños no demasiado grandes se utiliza también la chapa de acero, materiales plásticos o compuestos. Últimamente están dando buenos resultados los excavados sin más en el terreno, con la impermeabilización adecuada. Si se quiere realizar la distribución por gravedad deben situarse en una zona topográficamente más alta que los puntos de consumo. Cuando esto no es posible hay que construir depósitos elevados con forma de torre, seta, etc. Para el cálculo del volumen de un depósito no hay un criterio universal, aunque es bastante común dimensionarlo para regular el día de máximo consumo que se produzca durante los años previstos de utilización de la instalación. Según este criterio, el caudal bombeado al depósito debe ser igual al caudal medio de ese día máximo. El volumen del depósito se puede calcular exactamente como: el área por encima de la línea de caudal medio en el diagrama horas-consumo del día máximo. Para simplificar, en vez del anterior, se puede tomar como criterio el mayor de estos dos valores: - La mitad del consumo del día máximo. - El 75% del consumo del día promedio. El arranque-parada de las bombas que aportan agua al depósito suele hacerse de forma automática, mediante un sensor de nivel. El volumen entre el nivel mínimo -de arranque- y el máximo -de parada- hay que fijarlo de forma que, para un momento de
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consumo normal, no se produzcan demasiados arranques por hora. El valor numérico de ese demasiados viene dado por el tamaño y forma de arranque del motor.
Figura 5.2 Ejemplo de depósito abierto
Es conveniente que el depósito esté provisto de un desagüe con capacidad de evacuar todo el caudal suministrado, en previsión de posibles averías en el sensor de nivel. 5.1.2 DEPÓSITOS A PRESIÓN
Cuando no es necesario mantener una capacidad de almacenamiento, pero el consumo es muy aleatorio (por ejemplo: el consumo de agua potable en un edificio), puede ser conveniente instalar un depósito a presión a la salida de la bomba. Esto disminuye el número de arranques y paradas necesarios en la bomba y se puede hacer que funcione en la zona de rendimientos elevados.
Figura 5.3 Instalación de un depósito a presión
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Estos depósitos normalmente están construidos en acero. Mantienen aire encerrado en su interior, que actúa como elemento almacenador de energía. En ciertos casos están provistos de un compresor para reponer el aire que se disuelve y mantener una presión más elevada. Otros modelos tienen una vejiga elástica interior que evita la pérdida de gas y disminuye el mantenimiento. Este tipo de depósitos también se utiliza para amortiguar el golpe de ariete. En el cálculo del volumen mínimo hay que partir de las presiones máxima y mínima que se van a permitir en la instalación. Con la inferior arrancaría el grupo de bombeo y con la superior se pararía. Este grupo debe suministrar el caudal máximo requerido por la instalación con la presión mínima de funcionamiento. El depósito debe tener un volumen suficiente para contener el gas presurizado, y la cantidad de líquido necesaria para limitar el número de arranques por hora a un determinado valor. La fórmula del volumen de un depósito sin compresor es: Vol = 27.5
Q ( P a + 1 ) ( Pb + 1 ) ( P a - Pb ) Nc
(5.1)
Donde Pa y Pb son las presiones (relativas) máxima y mínima, Q el caudal máximo en litros/min, Vol el volumen en litros y Nc el número de arranques por hora. Nc se suele tomar entre 8 y 12. Para un edificio, la presión mínima debe ser suficiente para alcanzar el último piso, y la máxima no debe ser superior a 40 o 50 m de altura. Si se utiliza un compresor o un depósito de vejiga que fije la presión del gas sin fluido en la presión mínima, el depósito es más pequeño. La fórmula se transforma entonces en: Vol = 30
Q Nc
Pa + 1 P a - Pb
(5.2)
5.2 REGULACIÓN CON VÁLVULAS 5.2.1 VÁLVULAS EN SERIE Y BY-PASS
Las dos formas más sencillas de regular el caudal son: una válvula en serie con el circuito que aumente su resistencia y/o un by-pass que desvíe parte del caudal. La figura 5.4 muestra el primer método. Con la válvula de control totalmente abierta, el punto de funcionamiento del sistema es el A. A medida que se va cerrando, aumenta la resistencia y el punto de funcionamiento sube por la curva característica de la bomba. Con el caudal reducido a Qreg, B es el punto de funcionamiento de la bomba. De esta altura, sólo B' son pérdidas de carga en el circuito, de B' a B son pérdidas en la válvula de control.
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97
Figura 5.4 Regulación con válvula en serie La regulación con by-pass puede verse en la figura 5.5. Con la válvula cerrada, el sistema funciona en el punto A. Al abrirla, existen dos ramas en paralelo, con lo que la bomba pasa a funcionar con caudales mayores: B. De este caudal, Qbomb, sólo una parte, Qreg pasa al circuito, el resto vuelve al depósito por el by-pass. En éste se está disipando una altura igual a la suministrada por la bomba.
Figura 5.5 Regulación con by-pass
Con ambos sistemas se está desperdiciando energía hidráulica: el caudal que pasa por la válvula multiplicado por la pérdida de carga en ella. Un método será más eficiente que otro, hidráulicamente hablando, en función de las pendientes de la curva resistente y la curva característica de la bomba. Pero más que la eficiencia hidráulica, para elegir uno u otro debe tenerse en consideración el consumo de potencia de la bomba. Cuando se quiere obtener un Qreg (figura 5.6) regulando en serie, la bomba trabaja con caudales menores: B; mientras que en paralelo lo hace con caudales mayores: C. Si el consumo de potencia es creciente con el caudal -típico de las bombas centrífugas- interesa más la regulación en serie, mientras que en caso contrario -típico de bombas axialesconviene decantarse por el by-pass.
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Figura 5.6 Comparación del consumo de potencia en los dos métodos No son estas las únicas consideraciones a tener en cuenta. El arranque de las bombas centrífugas es conveniente realizarlo con un caudal mínimo y el de las axiales con uno máximo. Esto también habla a favor del criterio propuesto. Por otra parte, cuando las bombas trabajan contra una válvula cerrada, se está produciendo en ellas una gran disipación de energía que provoca un calentamiento excesivo. Si se va a trabajar en esta situación, es conveniente añadir un by-pass con una válvula de recirculación -mejor si funciona automáticamente- que, cuando la presión aguas arriba sea elevada, recircule parte del flujo y mantenga un cierto caudal pasando por la bomba.
Figura 5.7 Sistema de control con válvula en serie y recirculación
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5.2.2 SELECCIÓN DE VÁLVULAS DE CONTROL
Los criterios básicos para seleccionar y dimensionar una válvula de control son: - Elegir un tipo y tamaño que tenga control sobre el flujo en la mayor parte de su recorrido. - Evitar la cavitación. - Determinar el sistema y tiempo de cierre con el fin de evitar problemas durante los transitorios. - Procurar que no produzca una pérdida de carga excesiva cuando está completamente abierta. Para que una válvula de control sea eficaz, la variación de caudal debe ser proporcionada por su grado de cierre, al menos en una parte importante de su recorrido. Dependiendo de cómo sean las pérdidas en el circuito, es posible que la válvula apenas tenga influencia en el circuito hasta que ya esté bastante cerrada, y que cerca del cierre total el flujo descienda de forma brusca. Una guía para apreciar este efecto es el comprobar que cuando está cerrada al 50%, se reduce el flujo al menos en un 10%, o que la válvula produce al menos un 15% de las pérdidas totales. Escoger una válvula de un diámetro más pequeño que la tubería es una forma de regular el control. Si la reducción de sección se hace de forma suave, no aumentan las pérdidas cuando está totalmente abierta. Lo que empeora -no todo pueden ser ventajas- es la cavitación. La mayoría de las válvulas controlan bien el flujo con cierres entre el 90 y el 100%. En esta zona, un pequeño cambio de la posición provoca una gran variación en las pérdidas. Problemas añadidos son la cavitación y la erosión de los asientos, provocadas por las altas velocidades. Una solución es jugar con varias válvulas en serie. Existen válvulas especiales que pueden trabajar en estas zonas sin problemas. Suelen estar formadas por unos manguitos con pequeños orificios que van quedando descubiertos al abrir. Los chorros producidos están en el interior del fluido y no provocan daños. Salvo que la válvula se utilice para provocar pérdida de carga, o en el caso de algunos by-pass, es conveniente que se produzca poca pérdida de carga cuando está totalmente abierta, debido al ahorro económico que supone. 5.2.3 VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN
No son más que un tipo de válvula de control que funciona manteniendo constante la presión aguas abajo (ver fig. 4.8). Se utilizan cuando la regulación del proceso se hace por medio de la presión en vez del caudal y -más frecuentemente- para reducir una presión elevada al valor admisible de la instalación aguas abajo. Un caso típico son las instalaciones de edificios muy altos: la presión debe ser suficiente para llegar al último piso, pero entonces los pisos bajos tendrían una presión excesiva. Otro ejemplo es la traída de agua a una
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población desde una zona montañosa: si el origen está en una cota elevada, las pérdidas de carga no son suficientes para bajar la presión, y el espesor de la tubería debería ir aumentando; con varias válvulas reductoras convenientemente espaciadas se reduce la presión y el espesor necesario. Un último ejemplo lo constituye la distribución de gas ciudad, aunque en este caso se trata de flujo compresible: el transporte se realiza a alta presión, con lo que, al disminuir el volumen, las velocidades (y las pérdidas) son menores. Posteriormente es necesario acomodar la presión a la distribución de las viviendas. Este caso es similar al de las líneas de alta tensión en la distribución eléctrica. Si no se ajustan correctamente, estas válvulas pueden dar más problemas de los que resuelven. Esto sucede porque tienen un tamaño excesivo y actúan con demasiada velocidad. Al detectar un descenso de presión, la válvula se abre; si se abre demasiado, la presión aumenta por encima del valor indicado demasiado rápidamente, forzando a la válvula a cerrar; un accionamiento brusco produce golpe de ariete con ondas de depresión y sobrepresión que vuelven loca a la válvula. La solución está en una válvula más pequeña y/o una velocidad de cierre-apertura más lenta. Un método más eficaz y seguro consiste en utilizar depósitos abiertos para descender hasta la presión atmosférica, pero también es más caro.
5.3 COMBINACIÓN DE BOMBAS 5.3.1 BOMBAS EN PARALELO
Utilizar varias bombas en paralelo es útil cuando se exige una gran variación de caudal. La fiabilidad del servicio es otra de las ventajas. Es frecuente encontrar tres bombas en paralelo cada una con una capacidad del 50%. Así se puede hacer trabajar una o dos bombas según el caudal requerido, y tener otra en previsión de averías y para mantenimiento. De esta forma se aumenta mucho la seguridad sin elevar demasiado los costes de instalación (Otra opción es cuatro bombas, cada una con capacidad del 33%).
Figura 5.8 Dos bombas en paralelo y una de seguridad
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La figura 5.8 muestra un ejemplo de una instalación del primer tipo. Una sola bomba funcionaría en A, impulsando un caudal QA. Dos bombas en paralelo impulsarían un caudal QB, cada una de ellas Q'B = QB / 2, y estarían trabajando en el punto B'. La regulación para obtener otros caudales se puede hacer con una válvula en serie o by-pass. Hay que hacer notar que, al estar acopladas a un circuito, dos bombas en paralelo no impulsan el doble de caudal que una sola de ellas. Las válvulas antirretorno evitan que el flujo pase a través de las bombas cuando están paradas. Al seleccionar las bombas debe procurarse que, tanto cuando trabajan juntas como cuando trabajan individualmente, estén cerca del máximo rendimiento. Es conveniente que las curvas características sean lo más parecidas posible, mejor si las bombas son idénticas. En caso contrario alguna de ellas puede estar trabajando con muy poco o ningún caudal (figura 5.9).
Figura 5.9 Mal acoplamiento de bombas en paralelo Es importante tener especial cuidado con las bombas de curva característica inestable cuando trabajan en paralelo. En caso de entrar en la zona de inestabilidad, es necesario asegurarse de que todas se recuperen cuanto antes. También el arranque de una segunda bomba, con la primera ya funcionando, puede llevarla directamente a la zona de inestabilidad, al tener que vencer la presión que está dando la primera. La solución a los dos problemas citados es un buen by-pass. 5.3.2 BOMBAS EN SERIE
Un primer motivo para utilizar bombas en serie es conseguir una altura que no se alcanza con una sola bomba. Esto es en parte un sofisma, porque con bombas centrífugas de varias etapas se puede obtener la presión que se quiera y, normalmente, con mejor rendimiento. Sí resulta útil cuando hay que proporcionar presiones muy diferentes, o cuando parte del caudal se desea tener a una presión más alta (figura 5.10). También resultan especialmente indicadas en conducciones muy largas, por ejemplo en un oleoducto. En este caso, si una sola bomba proporcionara toda la altura necesaria para vencer las pérdidas de carga, el espesor de la tubería tendría que ser muy grande cerca de la bomba. Es mejor situar varias bombas a lo largo de la línea para recuperar la caída de presión en cada tramo manteniendo las presiones en unos límites aceptables (figura 5.11).
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Figura 5.10 Circuito con bombas en serie
Figura 5.11 Recuperación de presión el líneas largas En un caso sencillo, como el de la figura 5.12, preparado para un amplio rango de presiones, las bombas pueden funcionar simultáneamente o por separado. Una sola trabajaría en el punto A, y las dos en serie en el B. En serie cada bomba daría una altura HB' = 0.5 HB.
Figura 5.12 Funcionamiento de bombas en serie
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Por supuesto, la altura proporcionada por las dos bombas conjuntamente no es el doble de la que proporciona una sola. Lo más habitual, si se requiere un rango amplio de presiones, es que el circuito resistente varíe. Habría, entonces, que resolver cada situación por separado. En el ejemplo de la figura 5.10, con dos ramas en paralelo no es fácil hallar una solución gráfica, pero la resolución analítica es sencilla planteando un sistema de tres ecuaciones: una desde cada depósito hasta el nudo de derivación.
5.4 VARIACIÓN DE VELOCIDAD 5.4.1 VENTAJAS E INCONVENIENTES
Desde el punto de vista hidráulico, la variación de velocidad es el método óptimo de regulación, pero también tiene a veces algunos inconvenientes. La principal ventaja frente a la regulación con válvulas es el ahorro de energía. Esto es significativo si se va a trabajar a menudo fuera del punto de diseño. En el punto de máximo rendimiento las pérdidas del sistema de variación de velocidad lo hacen menos eficaz que una bomba sola bien seleccionada. Otra de las ventajas es la facilidad de regulación, aunque esto depende del sistema de accionamiento. El inconveniente principal es el coste del sistema de variación de velocidad. También, como se verá más adelante, las características hidráulicas del sistema pueden hacer que su funcionamiento no sea rentable. 5.4.2 ACCIONAMIENTOS DE VELOCIDAD VARIABLE
En algunos casos el propio accionamiento -elegido por disponibilidad de energía, seguridad, funcionalidad ...- puede ser de velocidad variable. Este es el caso de bombas movidas por turbinas de gas o vapor, motores de explosión y grupos hidráulicos o neumáticos; en estas situaciones no cuentan las siguientes consideraciones. El accionamiento por medio de motores eléctricos admite varias posibilidades. El sistema más sencillo es el motor con un número variable de polos. La variación de velocidad es discreta y está entonces restringida a unos valores determinados, pero puede ser suficiente. Un segundo sistema lo constituyen los motores de corriente continua; no son baratos, pero sí eficaces y con un rendimiento bastante aceptable. La variación de frecuencia en motores de corriente alterna es, en la mayoría de los casos, la solución más eficaz. Hasta hace poco los precios de un equipo de variación de frecuencia eran muy altos, pero en la actualidad son bastante competitivos, y además los motores de corriente alterna son mucho más baratos y robustos que los de corriente continua. La variación de frecuencia tiene la ventaja adicional de que permite reconvertir fácilmente equipos existentes: sólo hay que cambiar el cuadro de arranque por el variador. Estos dos últimos métodos son adecuados para el accionamiento simultáneo de varias bombas en paralelo, lo que disminuye bastante los problemas de acoplamiento entre ellas.
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5.4.3 CONSIDERACIONES HIDRÁULICAS
Para variaciones de velocidad no excesivamente grandes, las curvas características de altura, potencia y NPSHr a distinto número de vueltas pueden obtenerse por medio de la semejanza (Capítulo 3). Teóricamente el rendimiento de puntos homólogos sería idéntico, pero en realidad va disminuyendo al alejarse de la velocidad de diseño, aunque se mantiene que el punto de máximo rendimiento es el homólogo del punto de diseño. Normalmente, las bombas no se suelen accionar a velocidades mayores que las de diseño por cuestiones mecánicas: cojinetes, juntas…, porque aumenta el NPSHr, y porque con algunos accionamientos no es físicamente posible.
Figura 5.13 Curvas características a velocidad variable La velocidad de giro necesaria para obtener un determinado porcentaje del caudal depende del circuito sobre el que esté trabajando la bomba. En un sistema en el que toda la variación de altura sea debida a las pérdidas por rozamiento -una parábola con centro en el origen-, los puntos de funcionamiento serán casi puntos homólogos, aunque en general el punto de funcionamiento hay que hallarlo transformando la curva característica con las leyes de semejanza y buscando el corte con la curva resistente. El caudal será más o menos proporcional a la velocidad, la altura al cuadrado de la velocidad, y la potencia al cubo
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(aproximadamente). En cambio, cuando el sistema tenga que vencer una cierta altura estática, los puntos de funcionamiento ya no tendrán ningún parecido con los homólogos y todas las proporcionalidades anteriores ya no se cumplen. Al ser la curva resistente más horizontal, pequeñas variaciones de velocidad producen grandes cambios de caudal, desplazándose, además, a la zona de la curva de bajos rendimientos. Para estas situaciones la variación de velocidad ya no es un método tan recomendable, y puede no merecer la pena la inversión.
Figura 5.14 Punto de funcionamiento a diferentes velocidades
5.5 EJEMPLOS 5.5.1 EJEMPLO 1
En la instalación de la figura se desprecian las pérdidas singulares, salvo las producidas en las válvulas V1 y V2. En éstas, el coeficiente de pérdidas depende del grado de apertura, siendo o cuando la válvula está completamente abierta. Calcular los coeficientes de pérdidas que deben tener las válvulas V1 y V2 para que Q1 = Q2= 0.4 m3/s, y el punto de funcionamiento de la bomba en esas condiciones. Datos:
LAB y LBC despreciables DDE = DDF = 0.3m ρ= 1000 kg/m3 Altura de elevación de la bomba:
LCD= 20m LDE= 40m LDF= 5m DCD = DBC= 0.4m v = 10-6 m2/s ε= 0.3mm 2 HB=60-20 QB (HB en m, QB en m3/s)
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Resolución
Los tramos DE y DF están en paralelo, por tanto se cumplirá lo siguiente:
Las pérdidas de carga en esos tramos son:
Igualando las dos ecuaciones y simplificando los términos iguales, se tendrá:
ε /D es conocido, y se puede calcular Re, puesto que se conoce el caudal. Por tanto, se puede determinar el coeficiente de fricción f (analíticamente o con el diagrama de Moody). Se obtiene:
Por otra parte, para la válvula V1 se puede escribir:
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Planteando la ecuación de la energía:
La pérdida de carga en el tramo DF se calcula con la expresión del principio, y se obtiene:
De la misma manera se calcula la pérdida de carga en el tramo CD:
El caudal en el tramo CD será:
Con este caudal se halla el número de Reynolds, y con el valor conocido de ε /D se pueden calcular el coeficiente de fricción y las pérdidas de carga:
Ya se pueden introducir los valores obtenidos en la ecuación de la energía:
De aquí se puede despejar el caudal que impulsa la bomba:
El caudal que se recircula a través del by-pass será la diferencia entre el que impulsa la bomba y el que circula por el tramo CD:
La altura de la bomba será:
A partir de aquí se puede plantear lo siguiente:
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Ya se puede despejar el coeficiente de pérdidas de la válvula V1:
EJEMPLO 2
En una planta química se necesita bombear un líquido de densidad relativa 0.9 y viscosidad 2 10 m2/s, desde un depósito en vacío hasta otro depósito situado a una altura de 10 m. Para ello se cuenta con el circuito de la figura. Los datos son: Diámetro de las tuberías: 15cm, salvo en las ramas con las bombas (12cm) f=0.04 (en todo el circuito) ξ= 1.1 (para todas las singularidades) HB= 40 -10000 QB2, para las dos bombas (HB en m, QB en m3/s) Velocidad de rotación: ω =1980 rpm Longitudes: tramo AB, 2m; tramos BC, 6m; tramo CD, 20m.
Se pide: a) Punto de funcionamiento de las bombas. b) La bomba B2 queda fuera de servicio (se cierra la válvula de compuerta que tiene en la aspiración). Determinar el número de vueltas a que ha de girar la bomba B1 para que por el circuito principal circule el mismo caudal que en el primer apartado.
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Resolución
a) Se plantea la ecuación de la energía entre los dos depósitos:
Las pérdidas lineales serán:
Como las dos bombas son iguales, el caudal que circula por sus respectivos tramos será la mitad del caudal total. Por tanto las pérdidas lineales serán:
Se obtiene:
Las pérdidas singulares se calculan con la siguiente expresión:
Operando como en el caso anterior se obtiene:
Ya se pueden introducir los términos conocidos en la ecuación inicial:
De aquí se puede despejar el caudal total:
El caudal que impulsa cada bomba será:
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Y la altura de elevación se calculará:
b) Se conoce cuál es el caudal que pasa por el circuito, y por tanto por la bomba. Hay que calcular la nueva altura de elevación:
Las pérdidas de carga son distintas que en el apartado anterior debido a que cambia el caudal que circula por el tramo correspondiente a la bomba. Con los nuevos valores se obtiene:
Ahora deben aplicarse las leyes de semejanza a la curva característica de la bomba:
Estas expresiones para HB y QB se introducen en la curva característica:
De aquí ya se puede despejar ω':
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EJEMPLO 3
En el ensayo de una bomba centrífuga de agua accionada a 1470 rpm se obtuvieron los siguientes resultados: Q (l/s) 0 10 20 30 40 50 55 60 70 80
H (m) 552 594 608 600 588 552 539 516 468 400
Pot (Kw) 170 198.2 229.4 264.7 302.4 338.9 357.3 375.9 420.6 522.7
η (%) 0 29.4 52 66.7 76.3 79.9 81.4 80.8 76.4 60
La bomba eleva 50 l/s de agua venciendo un desnivel geométrico de 144 m. Se pide lo siguiente: a) Punto de funcionamiento. b) Trazar la curva resistente del circuito suponiendo una ecuación parabólica. c) Si se precisa aumentar el caudal y se disponen dos bombas idénticas en paralelo, calcular el incremento de caudal conseguido, el rendimiento con que trabaja cada bomba y el incremento en la potencia requerida. d) Si se dispone un nuevo conducto igual al primero y en paralelo con él, utilizando una sola bomba, determinar el nuevo punto de funcionamiento.
Curvas características
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Resolución
Se puede resolver el problema de forma gráfica. En primer lugar, se representan las curvas características de la bomba. a) El punto de funcionamiento se puede determinar directamente a partir de los datos que se dan:
b) La curva resistente tendrá la forma siguiente:
Para determinar la constante k, se impone que la curva debe cortarse con la característica de la bomba en el punto de funcionamiento:
De aquí se despeja k:
A continuación se representa gráficamente este resultado.
Intersección con la curva resistente del circuito c) Al colocar dos bombas en paralelo, la altura de elevación no varía, y el caudal será la suma del de las dos bombas. En este caso, al ser las dos bombas iguales, será el doble. Para resolver esto de forma gráfica, se duplican los caudales correspondientes a una sola bomba, para cada altura de elevación. Se representan las curvas correspondientes a una bomba y a dos bombas en paralelo.
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La intersección de ésta última con la curva resistente proporciona el nuevo punto de funcionamiento:
El incremento de caudal, en %, será:
Cada una de las bombas funciona con un rendimiento aproximado del 60%, y una potencia de 250 kW. El incremento de potencia con respecto al caso de una sola bomba será:
Puede observarse que no es una solución muy adecuada, puesto que se requiere un gran incremento de potencia para aumentar el caudal tan sólo en un 6%.
Dos bombas en paralelo d) La solución que se propone en este caso es colocar otro conducto en paralelo con el segundo. Para calcular la resistencia total, se procede como en el caso anterior: para cada altura, deben sumarse los caudales correspondientes a los dos tramos. Como los dos conductos son iguales, se duplicarán los caudales. El nuevo punto de funcionamiento es:
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Como se ve, en este caso sí se obtiene un incremento considerable del caudal:
Mientras que el incremento de potencia no es muy superior al del caso anterior:
A continuación se representan gráficamente los resultados correspondientes a este apartado.
Dos tramos en paralelo
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6 DISEÑO DE SISTEMAS Este capítulo está dedicado al proceso de diseño de un sistema de bombeo. La mayor parte de las consideraciones son de tipo general, sin profundizar en los métodos específicos de resolución. Parte de estos métodos se comentan en otros capítulos, otra parte incluye análisis económicos que caen fuera del ámbito de este trabajo. En muchos de los sistemas de tamaño menor con los que se puede enfrentar un ingeniero, no hará falta tener en cuenta algunos de los aspectos que se comentan a continuación.
6.1 ESTUDIO DE VIABILIDAD Antes de realizar un estudio detallado del sistema conviene plantear un diseño preliminar. Este diseño dará una idea sobre los órdenes de magnitud y los posibles problemas existentes. El análisis económico permite justificar la viabilidad y determinar las opciones más rentables. 6.1.1 DISEÑO PRELIMINAR
De forma general, los puntos que debe contemplar este diseño son los siguientes: - Definición del problema, por ejemplo: lugar y necesidad de abastecimiento de agua. Debe tenerse en cuenta que aunque en todo momento se está hablando de agua, lo mismo sería aplicable para cualquier otro líquido. - Disponibilidad de una fuente suministradora de agua que sea adecuada. - Estudio de las necesidades de tratamiento, aislamiento térmico, problemas químicos o de otro tipo debidos a la naturaleza del fluido.
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- Determinación de los diferente recorridos posibles con sus características: excavaciones necesarias, puentes, posibles enterramientos, etc. - Estudio de la necesidad, localización y tamaño de los depósitos de almacenamiento. - Estudio de las ventajas e inconvenientes de los distintos sistemas de regulación. - Estimación del tamaño aproximado de las tuberías y de la potencia de bombeo necesaria. - Estudio previo de los posibles problemas que pueden aparecer: cavitación, transitorios, etc. 6.1.2 CONSIDERACIONES LEGALES Y SOCIO-AMBIENTALES
Un aspecto importante de la viabilidad de proyectos de gran envergadura lo constituyen la normativa vigente y la influencia que el proyecto va a tener sobre las personas y el medio ambiente. Algunas de las consideraciones legales que conviene tener en cuenta son las siguientes: - Derechos de captación de agua. - Normativa sobre contaminación, que puede ser importante por los posibles vertidos o por tratarse de fluidos más o menos tóxicos. - Normativa sobre seguridad. - Legislación concerniente al trazado: compra de terrenos, expropiaciones forzosas e indemnizaciones, etc. En cuanto a las consideraciones socio-ambientales, algunas de las más importantes son: - Reacción de la opinión pública ante el proyecto. - Influencia que puede tener el proyecto sobre la economía y la calidad de vida. - Problemas derivados de averías. Conviene estudiar la repercusión del mayor daño posible, porque ayuda a decidir las medidas de seguridad a adoptar. - Influencia sobre el terreno y la vegetación de los posibles depósitos, rutas de acceso, etc. - Polución e impacto sobre la naturaleza.
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- Aspectos estéticos: el buen gusto no está reñido con la economía ni con la técnica. Una última consideración: en el tratamiento de todos estos aspectos, no siempre es suficiente ni honrado limitarse a cumplir la normativa vigente. 6.1.3 ANÁLISIS ECONÓMICO
Dentro del análisis económico, además de determinar los costes de lo anteriormente expuesto, existen otras consideraciones que tienen su influencia en la parte técnica. En primer lugar, cuando el diseñador de la instalación no es el propio usuario, los intereses de ambos no suelen coincidir, y lo que es rentable para uno de ellos puede no serlo para el otro. Algunos ejemplos que ilustran esto son los siguientes: - Gastos de funcionamiento: una tubería de mayor diámetro es más cara, pero tiene menores pérdidas de carga. Esto repercute en un menor consumo de energía por parte de las bombas. Sobre esto se hablará cuando se estudie el cálculo del diámetro económico. - El período de vida útil de los distintos elementos influye en los costes futuros de reparación y sustitución, que estarán a cargo del usuario, no de quien diseñó y construyó la instalación. En relación con estos y otros muchos aspectos se debe llegar a un acuerdo. Téngase en cuenta que las soluciones más baratas no siempre son técnicamente buenas. Los aspectos de seguridad, facilidad de control, fiabilidad, etc. son difíciles de apreciar económicamente, pero en ellos entra en juego el prestigio del diseñador. Otro punto importante a tener en cuenta es la demanda futura. Suele ser difícil de determinar, y sobredimensionar una instalación plantea otros muchos problemas. A menudo las soluciones se reducen a tres: - Construir una instalación grande desde el principio. - Construir una instalación ajustada a las necesidades actuales, y sustituirla por otra mayor en el futuro. - Construir una instalación ajustada a las necesidades actuales y duplicarla en el futuro. En principio, y si la disponibilidad económica lo permite, resulta más barato sobredimensionar la instalación. Como se ha dicho, esta solución plantea ciertos problemas de carácter hidráulico: - Si la velocidad del fluido es baja se puede producir sedimentación en la tubería, complicándose además el vaciado de aire.
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- El sistema de regulación trabajará cerca de los límites admisibles, lo que se traduce en grandes pérdidas de energía y riesgo de cavitación en las válvulas. Una posibilidad intermedia consiste en sobredimensionar ciertas partes de la instalación como los depósitos y líneas principales, y cambiar las bombas y el sistema de regulación cuando sea necesario. Esta solución puede resultar la mejor si la demanda crece lentamente y se agota el período de vida útil de la instalación. También se puede aumentar el caudal de una instalación sustituyendo las bombas de manera que sean capaces de vencer unas pérdidas de carga mayores. En este caso se produce un mayor consumo de energía, y además existe el riesgo de que la tubería no sea capaz de soportar las mayores presiones generadas por las bombas. Este defecto se minimiza construyendo estaciones de bombeo intermedias. Dentro del análisis económico preliminar se debe tener en cuenta que algunos problemas como la cavitación o los transitorios únicamente se pueden calibrar adecuadamente con un análisis preciso. A veces no se detectan hasta después de poner en marcha la instalación y su coste puede ser muy elevado.
6.2 ESTUDIO HIDRÁULICO A continuación se detalla el proceso de diseño hidráulico de un sistema. 6.2.1 DEFINICIÓN GENERAL
El primer paso es definir la fuente de energía: gravedad o bombeo. Una línea de abastecimiento de agua a una población desde un embalse en las montañas es un ejemplo del primer tipo, mientras que la extracción de agua de un pozo lo es del segundo. En la mayoría de los sistemas se utilizarán ambas fuentes de energía. Un ejemplo puede ser: elevación con bombas hasta un depósito intermedio, y distribución desde allí por gravedad. A continuación hay que decidir si se van a utilizar depósitos o embalses, y en caso afirmativo determinar su localización y volumen. En el capítulo 5 se han visto las ventajas e inconvenientes derivados de la utilización de estos elementos. Normalmente en el origen de cualquier sistema hay un depósito desde el que se lleva a cabo la distribución por gravedad, o desde donde aspiran las bombas. A veces se utilizan depósitos intermedios con el fin de garantizar la seguridad del suministro, y en esos casos los criterios a aplicar son más sociales que económicos. En otros casos la finalidad de los depósitos es reducir el diámetro de las tuberías para que no tengan que suministrar los picos de caudal, y entonces se puede hacer un cálculo exclusivamente económico. El almacenamiento intermedio permite grandes fluctuaciones de la demanda. Prácticamente no es necesario ajustar las válvulas de control, y las bombas trabajan siempre en el punto de máximo rendimiento gobernadas por controles de nivel: entran en funcionamiento cuando el nivel en el depósito baja hasta un valor determinado.
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Cuando no hay almacenamiento el sistema debe ser capaz de ajustarse a la demanda en cada momento. Cuando el rango de variación es amplio, se trabaja con bajos rendimientos de las bombas (grandes pérdidas de energía), y hay más probabilidad de que aparezcan problemas de funcionamiento. Por último hay que decidir el sistema de regulación a emplear: control con válvulas en serie o en paralelo, regulación de la velocidad, arranque y parada de bombas (con depósitos intermedios), etc. Se pueden contemplar varias posibilidades y posponer la decisión definitiva hasta tener más definido el diseño del sistema. 6.2.2 TRAZADO Y ELEMENTOS DEL SISTEMA Trazado
Cuando se trate de una línea de abastecimiento se estudiarán las características del terreno, vías de acceso, construcciones, aspectos geológicos... Un tendido superficial es más fácil de construir y mantener, mientras que enterrado tiene la ventaja de no ocupar espacio superficial y estar menos expuesto al deterioro. En las instalaciones urbanas e industriales se reducen las posibilidades de trazado. Con objeto de disminuir las pérdidas de carga conviene disponer un trayecto lo más recto posible y con codos amplios. En las instalaciones sometidas a fuertes gradiente térmicos las tuberías deben disponer de juntas de dilatación. Válvulas
Los aspectos concernientes a la tubería de aspiración se han tratado al estudiar la cavitación en las bombas. En lo posible, se dispondrá una entrada abocinada. Para el cebado puede ser conveniente instalar una válvula de pie. No debe haber válvulas de control en la tubería de aspiración. Son preferibles las válvulas de cierre de paso total, por ejemplo esféricas. Las bombas y todos los elementos que precisen de mantenimiento, incluyendo los distintos tramos de tubería, deben tener la posibilidad de aislarse mediante válvulas de cierre. En caso necesario se dispondrán los correspondientes by-pass para que el resto de la instalación siga funcionando. Para proteger las bombas contra el flujo en sentido inverso se suelen instalar válvulas antirretorno en sus cercanías, en la tubería de impulsión. Estas válvulas se utilizan también para evitar que las tuberías se vacíen en caso de parada de las bombas. Las válvulas de control dependen del sistema de regulación escogido. Es conveniente disponer al menos una para realizar pequeños ajustes fácilmente. Un sistema ramificado puede exigir la instalación de válvulas de control en cada rama para su equilibrado. Debe tenerse en cuenta que la pérdida de carga en las tuberías es un dato un tanto incierto y que incluso puede variar con el tiempo.
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En la entrada de los depósitos suele disponerse una válvula de nivel con el fin de mantenerlo dentro de los límites prefijados. En los sistemas alimentados por gravedad, y si no existen depósitos intermedios, suelen ser necesarias válvulas reguladoras de presión, para regular la presión máxima admisible en el sistema. Estas válvulas también se utilizan cuando existe un amplio rango de variación del caudal, mientras la presión de alimentación debe mantenerse estrictamente en un determinado valor. Otros tipos de válvulas, como las de purga de aceite o las limitadoras de presión se utilizan para resolver problemas concretos, sobre todo en el arranque y transitorios. Los depósitos presurizados siguen una normativa particular, pero en general deben disponer de una válvula limitadora de presión, para que no se sobrepase la presión de tarado. Bombas
Sobre la selección de las bombas ya se ha hablado en el capítulo 3. En cuanto a su disposición, deben estar lo más cerca posible del punto de origen y, a ser posible, bajo carga, para reducir los problemas de cavitación y cebado. Las líneas muy largas, por ejemplo los oleoductos, precisan de instalaciones de bombeo intermedias para evitar presiones excesivas en las tuberías. Instrumentos de medida y control
Aún en las instalaciones más sencillas deben disponerse algunos manómetros, normalmente próximos a las bombas y en los depósitos presurizados. Esto permite comprobar -en mayor o menor medida- el buen funcionamiento de la instalación. Cuando se precisa un control más estricto debe medirse también, y como mínimo, el caudal. Un control automatizado requiere instrumentos de medida con salida en forma de señal eléctrica, y un sistema centralizado que en función de las medidas efectuadas transmita las correspondientes órdenes a los elementos de regulación: arranque o parada de bombas, válvulas motorizadas, etc. Seguridad
Deben instalarse los sistemas de seguridad adecuados, para que en caso de fallo de algún elemento se minimicen los riesgos. Los sistemas más básicos están constituidos por los rebosaderos de los depósitos abiertos y los limitadores de presión en los depósitos presurizados y en las tuberías. El mayor o menor grado de seguridad a adoptar dependerá de la importancia de la instalación y de la posibilidad de daños personales y materiales. Las instalaciones de fluidos inflamables o tóxicos disponen de normativa específica. Además de los sistemas de seguridad suelen incluir exigencias especiales en lo referente a materiales, espesores y otras características de los diferentes elementos de la instalación.
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6.2.3 CÁLCULO DE DIÁMETROS Y PRESIONES
La parte esencial del cálculo de una instalación consiste en, una vez definido el sistema, determinar el diámetro de las tuberías y calcular las presiones en todo el circuito. La presión define el espesor de las tuberías, el punto de funcionamiento de las bombas y el tarado del resto de los elementos. Suele ser necesario un proceso iterativo, porque los distintos factores determinantes están íntimamente relacionados. La forma más sencilla de comenzar consiste en elegir los diámetros a partir de las velocidades recomendadas (ver capítulo 2). A continuación se calculan las pérdidas de carga, las presiones y el punto de funcionamiento de las bombas. Deben tenerse en cuenta las sobrepresiones y vacíos debidos a los transitorios. Si las pérdidas de carga son excesivas o muy bajas, o bien el punto de funcionamiento de las bombas no es el adecuado, se ajusta el diámetro y se hace un nuevo cálculo. Recuérdese que, en lo posible, el diámetro de las tuberías debe ajustarse a valores normalizados. En instalaciones donde la inversión inicial es importante, la elección del diámetro requiere un análisis económico, como se verá a continuación. Diámetro económico óptimo
Una tubería de un diámetro menor cuesta menos, pero produce mayores pérdidas de carga, con lo que el coste de bombeo es mayor. En la figura 6.1 puede observarse una representación gráfica de este efecto. Para poder comparar diferentes tipos de costes, debe calcularse el coste anual. De manera simplificada, el coste de amortización anual de una inversión es el siguiente: C anual = C total
i ( 1 + i )n ( 1 + i )n - 1
(6.1)
donde: n i
número de años de amortización interés neto (si es constante a lo largo de los años)
En cuanto a la tubería, conviene tener en cuenta que al disminuir el diámetro y aumentar las pérdidas de carga, también aumenta la presión que debe soportar. El coste de bombeo incluye el coste de amortización de las bombas y el consumo de energía. Dentro de este último coste hay que tener en cuenta el punto de funcionamiento (rendimiento) de las bombas, la potencia consumida, y otros costes que pueda cargar la compañía eléctrica, como potencia instalada, pico máximo consumido en el mes, etc. El cálculo del diámetro económico óptimo resulta entonces un tanto incierto, pues se basa en las previsiones de demanda, coste de la energía e interés.
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Figura 6.1 Diámetro económico óptimo Las instalaciones con un gran desnivel, es decir, con presiones muy diferentes a lo largo de la tubería, se suelen dividir en varios tramos, y se realiza el cálculo del diámetro económico para cada uno de ellos. 6.2.4 OTROS ASPECTOS
En primer lugar, aunque ya se ha mencionado en varias ocasiones, no es vano insistir en la importancia del estudio de la cavitación y de los transitorios. Otro de los factores que influyen en el diseño de un sistema es la operación, sobre todo los procesos de arranque y parada. Durante el arranque, si las tuberías están vacías, las bolsas de aire pueden dar lugar a transitorios más fuertes incluso que los creados por el cierre brusco de una válvula. Es conveniente disponer los adecuados mecanismos para la eliminación de estas bolsas y detallar el procedimiento de llenado gradual de las tuberías. También deben estar previstos los mecanismos para el vaciado de la instalación, sobre todo en caso de que las bombas estén bajo carga. Las averías de las instalaciones por gravedad requieren un estudio especial. Cuando en una instalación de bombeo se rompe una tubería suele ser suficiente con detener el funcionamiento de las bombas. En cambio, en una instalación por gravedad es preciso cerrar las válvulas. Si la válvula que se cierra está cercana al depósito superior se produce vacío en la tubería. En una válvula situada más adelante se producirá sobrepresión a un lado y vacío al otro. En las centrales hidroeléctricas es típico establecer varios tiempos de cierre de válvulas para limitar el golpe de ariete- según el grado de emergencia. Por último, el diseño global de un sistema debe incluir los períodos y procedimientos de mantenimiento y reparación de los diferentes elementos.
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7 TRANSITORIOS EN INSTALACIONES DE BOMBEO
Este capítulo está orientado a dar una pequeña introducción sobre transitorios que permita reconocer las posibles fuentes de problemas e indicar algunos sistemas básicos de cálculo y control.
7.1 INTRODUCCIÓN Los problemas serios de los sistemas de tuberías son los provocados por la cavitación y el funcionamiento no estacionario. Los errores o inexactitudes en las hipótesis del cálculo estacionario -rugosidad, pérdidas singulares, envejecimiento- no suelen tener como consecuencia más que una pequeña diferencia entre el caudal real y el calculado. Sin embargo, los transitorios originados durante el llenado o vaciado de las tuberías, o por las variaciones del flujo debidas a la maniobra de las válvulas, a la parada de las bombas, etc. pueden generar sobrepresiones excesivas. Otras veces las sobrepresiones no son peligrosas, pero las fluctuaciones generadas por las ondas reflejadas pueden entrar en resonancia con algún elemento del sistema; este es un problema común en centrales hidroeléctricas y en instalaciones con válvulas de control inadecuadas. En algunas tuberías, sobre todo para las líneas largas en terreno montañoso, el momento más crítico de su vida útil es su llenado inicial; si no se ha previsto adecuadamente, puede que no sea posible poner la tubería en servicio manteniendo las normas de seguridad.
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7.1.1 CAUSAS DE LOS TRANSITORIOS
Cualquier sistema que contenga un fluido en movimiento puede experimentar pulsaciones de presión cuando el flujo varía. Esto se debe a que los cambios de energía cinética se convierten en cambios de presión, que se propagan en forma de ondas a través del fluido. Las causas más comunes son: - Maniobra de las válvulas (apertura o cierre). - Parada o arranque de bombas y turbinas. - El funcionamiento de válvulas anti-retorno, válvulas reductoras de presión, válvulas limitadoras y válvulas de admisión o escape de aire. - Ruptura de tuberías. - Aire atrapado en las tuberías. - Llenado o vaciado de la instalación. - Cambios de carga en centrales hidráulicas. Todos los sistemas de tuberías sufren transitorios. Que éstos sean fuente de problemas depende de su magnitud y de la capacidad de las tuberías para soportar sobrepresiones. Por ejemplo, las tuberías de hormigón no armado únicamente son capaces de absorber pequeñas perturbaciones sin romperse, mientras que las de acero suelen soportar sobrepresiones relativamente grandes. 7.1.2 OSCILACIÓN EN MASA Y GOLPE DE ARIETE
Los transitorios que comprenden cambios lentos se denominan oscilación en masa. Se producen, por ejemplo, durante el establecimiento del flujo en una apertura muy lenta de una válvula o con las oscilaciones de nivel en una chimenea de equilibrio. El método de análisis de estas oscilaciones se conoce como teoría de columna rígida y las ecuaciones que plantea son ecuaciones diferenciales ordinarias. No se tiene en cuenta la compresibilidad del fluido ni la elasticidad de las tuberías; se considera el fluido como un cuerpo rígido. Cuando los cambios de velocidad, y por tanto de presión, ocurren rápidamente, hay que tener en cuenta tanto la compresibilidad del fluido como la elasticidad de la tubería. El fenómeno incluye ondas trasladándose a la velocidad del sonido. Las ecuaciones ahora son diferenciales en derivadas parciales. Estos transitorios se denominan golpe de ariete. Para comprender mejor este fenómeno, se puede comparar el cierre brusco de una válvula con intentar parar un tren expreso contra una roca tamaño buque.
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7.2 EL GOLPE DE ARIETE 7.2.1 INCREMENTO DE PRESIÓN
El incremento de presión resultante de una reducción brusca de la velocidad puede hallarse aplicando la ecuación no estacionaria de cantidad de movimiento a un volumen de control sobre la tubería que incluya la zona donde está ocurriendo el cambio.
Figura 7.1 Transmisión de una onda provocada por una disminución de velocidad Considerando la tubería horizontal y sin rozamiento (lo que en este caso apenas resta generalidad) de la figura 7.1, un cierre parcial de la válvula que reduzca instantáneamente la velocidad en ΔV, viene acompañado por un incremento de presión antes de la válvula ΔH. Esta sobrepresión se traslada aguas arriba a la velocidad del sonido a, comprimiendo el fluido y expandiendo la tubería. Suponiendo que estos dos efectos son despreciables, las fuerzas exteriores (de presión) sobre el volumen de control son iguales a la diferencia de cantidad de movimiento entrante y saliente, más la variación de cantidad de movimiento en el volumen de control: - ρ g Δ H S = - ρ S V 02 + ρ S ( V 0 - Δ V ) 2 + ρ S (- Δ V ) (a - V 0 )
(7.1)
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operando se obtiene:
ΔH =
ΔV (a + V 0 - ΔV) g
(7.2)
y despreciando V0 - ΔV frente a la velocidad de onda, que suele ser más de 100 veces superior:
ΔH =
ΔV a g
(7.3)
El efecto se puede ilustrar con un pequeño ejemplo: Si en una tubería por la que circula agua a 4 m/s se cierra parcialmente una válvula, reduciendo bruscamente la velocidad a la mitad, suponiendo una velocidad de onda de 900 m/s, el incremento de presión sería de unos ¡180 m de columna de agua! Resulta evidente que incluso pequeñas variaciones de velocidad pueden provocar fuertes sobrepresiones. Este es el motivo de que los transitorios jueguen un papel tan importante en el funcionamiento de los sistemas de tuberías. 7.2.2 TRANSMISIÓN Y REFLEXIÓN DE PERTURBACIONES
Las ondas de presión viajan por la tubería a la velocidad del sonido en ese medio, hasta llegar a algún punto singular donde son absorbidas o reflejadas, totalmente o en parte. Los ejemplos paradigmáticos de estos puntos singulares son los depósitos y las válvulas cerradas. Para explicar el fenómeno, considérese el caso anterior, con una tubería horizontal sin rozamiento, y una válvula en el extremo (véase la figura 7.2). En el instante t=0 esta válvula se cierra bruscamente. El frenazo provoca una sobrepresión ΔH que se transmite aguas arriba a la velocidad del sonido a (fig. 7.2, a). En la zona por donde ha pasado la onda, el flujo se ha detenido, el fluido se ha comprimido y la tubería expandido, mientras que donde aún no ha llegado, la velocidad sigue siendo V0. Cuando esta onda llega al depósito, éste la absorbe (se supone que tiene un volumen suficiente). Sin embargo, aunque el flujo se ha detenido, se produce un desequilibrio, debido a que el fluido se encuentra a una presión superior a la impuesta por la altura del depósito. Por tanto, el fluido comienza a descomprimirse, recuperando la presión inicial a medida que viaja hacia el depósito. La velocidad de este fluido es - V0. Se ha formado una onda de descompresión (fig. 7.2, b) que se desplaza en sentido contrario al inicial, dejando la tubería con la presión inicial pero con un flujo inverso. Cuando esta onda llega a la válvula, ya no se puede descomprimir más fluido. El problema es que ha adquirido una inercia ( - V0 ) y al tener que frenar bruscamente se forma una onda, ahora de depresión, también de valor ΔH, que se transmite hacia el depósito, frenando el flujo, expandiendo el fluido y comprimiendo la tubería (fig. 7.2, c).
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Esta onda es absorbida por el depósito, pero la tubería permanece en depresión y al recuperarse se genera una onda de expansión que se transmite hacia la válvula (fig. 7.2, d), dejando el fluido tras ella con la presión y la velocidad iniciales.
Figura 7.2 Propagación y reflexión de ondas en un golpe de ariete La llegada de esta última onda a la válvula restaura las condiciones iniciales, introduciéndonos en la historia interminable. El proceso se repetiría indefinidamente si no existiera rozamiento en la tubería. En un caso real con rozamiento, el fenómeno se va amortiguando con el tiempo.
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Las figuras 7.3 muestran la evolución de la presión en la válvula (velocidad nula), la velocidad en el depósito (altura constante), y ambas en el punto medio de la tubería. La unidad de tiempo es L/a (L es la longitud de la tubería): el tiempo que la onda tarda en llegar del depósito a la válvula y viceversa.
Figura 7.3 Alturas y velocidades en un cierre brusco
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7.2.3 TIEMPO DE CIERRE
En los ejemplos anteriores se ha hablado de cierre instantáneo de la válvula, parcial o total; en la práctica el cierre de las válvulas es gradual, y la onda no presenta un frente brusco sino una rampa de mayor o menor pendiente según se tarde menos o más en cerrar. A pesar de ello, el incremento final de presión es el mismo, a no ser que haya tiempo suficiente para que las sobrepresiones iniciales viajen hasta el depósito y regresen. Se habla pues de cierre instantáneo cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a; este parámetro tiene importancia para tuberías muy largas. Por ejemplo: en una tubería de acero de 1000 m de longitud, habría que cerrar la válvula en menos de 2 segundos para que existiera cierre instantáneo y se alcanzaran las sobrepresiones máximas. A partir de este tiempo, los rebotes en forma de depresión provenientes del depósito harían que el incremento de presión no fuese tan elevado. El tiempo de cierre es, por tanto, un factor fundamental para la reducción de la intensidad del golpe de ariete. 7.2.4 OTRAS CONSIDERACIONES Propagación de la onda con rozamiento
En los sistemas reales, las pérdidas de energía asociadas al rozamiento, a la compresión del fluido y a la expansión de la tubería, y el aire en forma de burbujas o disuelto, contribuyen a atenuar la onda de presión. En una tubería larga con grandes pérdidas por fricción la sobrepresión va a disminuir al trasladarse hacia el depósito, no solo debido al rozamiento sino también por la recuperación de altura. En la figura 7.4 puede observarse un caso en que la sobrepresión por cierre brusco es ΔH0. Al retroceder la onda, el fluido que se detiene va aumentando su altura: en principio debería ser ΔH0 más la altura de la posición donde está el frente de onda. Para aumentar la altura, la única solución es que se compacte más fluido, con lo que la velocidad detrás del frente de onda no es nula, y la intensidad de la onda disminuye. Así, la máxima sobrepresión en la válvula aparece después de que la onda ha llegado al depósito, y es inferior a la altura del depósito más la sobrepresión inicial (< H0 + ΔH0).
Figura 7.4 Golpe de ariete con rozamiento
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Unas grandes pérdidas en la tubería también tienen como efecto secundario el alargar el tiempo crítico de cierre. Esto es debido a que el coeficiente de pérdidas en la válvula es muy pequeño durante la primera parte del cierre comparado con las pérdidas en el resto de la tubería, con lo que la válvula solo reduce eficazmente el flujo en la última fracción del cierre, y es esta última fracción del tiempo la que debe ser mayor que el tiempo crítico. El tiempo total de cierre se puede reducir cerrando rápidamente al principio y más despacio al final. Otros elementos singulares
Los codos, válvulas parcialmente abiertas y otros obstáculos, así como los depósitos de aire, derivaciones etc., van a influir en el resultado final. La absorción o reflejo parcial de la onda hacen que en un sistema no tan sencillo como el de las figuras anteriores, se mezclen ondas en un sentido u otro, reforzándose o amortiguándose, según la capacidad de reflejar de los distintos elementos y las distancias a las que estén situados. Presión de vacío
El golpe de ariete no sólo genera sobrepresiones, también aparecen depresiones. Así ocurre aguas abajo de una válvula que se cierra o en el rebote contra la válvula de la onda de descompresión que retorna del depósito. Por supuesto, la presión absoluta total no puede ser inferior a cero. De hecho, si la presión desciende por debajo de la presión de vapor, se produce cavitación y se forman burbujas de vapor. Este efecto se conoce como separación de la columna. En tuberías de ciertos materiales (por ejemplo hormigón) o de gran diámetro (circunferencialmente esbeltas), el vacío puede ser una condición más destructiva que las sobrepresiones.
7.3 ECUACIONES DEL GOLPE DE ARIETE 7.3.1 VELOCIDAD DE ONDA
El incremento de presión es directamente proporcional a la velocidad de onda en la tubería, por tanto es interesante calcularla adecuadamente. Su valor depende de la densidad, del módulo de elasticidad del líquido (módulo de Bulk), de la elasticidad, diámetro y espesor de la tubería, y de la presencia de gas. La naturaleza de esta relación se puede entender regresando a la figura 7.1. El espacio recorrido por la onda en un incremento de tiempo Δt depende de cuánto líquido sea capaz de comprimirse en esa porción de tubería. La onda avanza el espacio donde el fluido, que se movía con velocidad V0, se ha detenido. Si el líquido es más compresible (o tiene gas disuelto), o la tubería se expande fácilmente, la velocidad será menor.
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Tomando la longitud total de la tubería, la masa que entra desde que se cierra la válvula hasta que la onda llega al depósito es: ρSΔVL/a. La masa debida al incremento de densidad es: LSΔρ, y la masa almacenada debido al incremento del diámetro es: ρLΔS; la masa debida al alargamiento de la tubería puede ser despreciada.
ρ S ΔV L a
= ρ L ΔS + L S Δρ
(7.4)
Escribiendo ΔV en función del incremento de presión mediante la aplicación de la expresión 7.3: g ΔH a
2
=
ΔS Δρ + ρ S
(7.5)
Para expresar la velocidad de onda en función de las propiedades del fluido y de la tubería, se utiliza el módulo de Bulk: KB =
ΔP Δρ/ρ
(7.6)
y el módulo de Young E, a través de la expansión de una tubería de pared delgada. Así resulta: a=
1 D ⎞ ⎛ 1 + ρ⎜ ⎟ ⎝ KB e E ⎠
(7.7)
Si se quiere incluir los efectos de alargamiento de la tubería, se puede utilizar: a=
1
⎛ 1 C D⎞ + ρ⎜ ⎟ ⎝ KB e E ⎠
(7.8)
donde C es una constante que varía desde 1 para una tubería bien anclada con juntas de expansión en cada tramo, a 0.85 para una tubería anclada sólo en el extremo superior. De todas formas, su efecto es pequeño frente a la incertidumbre que se tiene respecto a otros factores. Cuando existen tuberías en serie de distintas características, el valor medio puede aproximarse mediante la expresión:
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L1 a1 + L2 a 2 + ... am = L1 + L2 + ...
(7.9)
A continuación se calculan algunos valores de la velocidad de onda en una tubería de diámetro 400mm y espesor 16mm que transporte agua: ρ= 998 Kg/m3, KB= 2.2 109 N/m2. a) Tubería rígida. a = K B = 1485 m/s
ρ
b) Tubería de acero, E = 2.06 1011 N/m2 a = 1320 m/s
c) Tubería de PVC, E = 2.75 109 N/m2 a = 324 m/s
Las tuberías de tipo compuesto: hormigón armado, excavadas en roca, etc., o muy gruesas, necesitan otras expresiones y es conveniente dirigirse a una bibliografía más específica. Influencia del aire
Al ser un fluido fácilmente compresible, la presencia de pequeñas cantidades de aire en el seno del líquido reduce el módulo efectivo de Bulk, disminuyendo sustancialmente la velocidad de onda. Una ecuación (no la única) para predecir la velocidad de onda en una mezcla de aguaaire es la desarrollada por Streeter: a=
1
⎛ 1 D m Rg T ⎞ ⎟ + + ρ ⎜⎜ 2 p ⎟⎠ ⎝ KB e E
(7.10)
donde m es la masa de gas por unidad de volumen de mezcla, Rg es la constante del gas y P y T son la presión y temperatura absolutas respectivamente. La velocidad depende en gran medida de la cantidad de aire y de la presión: un 1% volumétrico de aire puede hacer bajar la velocidad de 1200 m/s a menos de 400 m/s para una tubería de acero de 150mm de diámetro con una presión relativa de 1 atmósfera, pero a 10 atmósferas, la velocidad sube a más de 800 m/s. Como se puede ver, este es un método para reducir sustancialmente el golpe de ariete, pero la aplicación práctica no es sencilla, debido a la dificultad de conocer y controlar la cantidad de aire en el líquido.
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7.3.2 ECUACIONES DEL FLUJO NO ESTACIONARIO Cantidad de movimiento
Aplicando, en la figura 7.5, el principio de que la suma de las fuerzas actuando sobre una porción de fluido, debe ser igual a la variación de la cantidad de movimiento, y asumiendo que el fenómeno es unidimensional en la dirección longitudinal de la tubería:
∂P DV ⎛ ⎞ P S -⎜P+ Δ x ⎟ S - τ π D Δ x + ρ g S Δ x sen θ = ρ S Δ x ∂x Dt ⎝ ⎠
(7.11)
Simplificando esta expresión: -
DV ∂P S - τ π D + ρ g S senθ = ρ A ∂x Dt
(7.12)
Figura 7.5 Balance de cantidad de movimiento sobre un elemento fluido Se supone que el esfuerzo cortante en flujo no estacionario es el mismo que en flujo estacionario, y utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach:
τπ D =
ρ f V |V | S 2D
(7.13)
Al utilizar V |V | en lugar de V 2 queda asegurada la dirección correcta de la fuerza. Dividiendo por ρS y desarrollando la derivada material de V:
∂V d x ∂V ∂P f V |V | + - g senθ + + =0 ρ∂x ∂ x d t ∂t 2D
(7.14)
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Utilizando la altura piezométrica Hp = P/ρg + z :
∂Hp ∂P dz = + ∂x ρg∂x d x
(7.15)
Como dz / dx = - sen θ, se tiene por último: g
∂ H p f V |V | ∂V ∂V + +V + =0 2D ∂x ∂ x ∂t
(7.16)
Es importante recordar que se está utilizando la altura piezométrica y no la altura de presión o la total. Continuidad
La ley de conservación de masa establece que la suma de flujo de masa entrante a través de las superficies de control debe ser igual al incremento de masa en el volumen de control:
⎛ ⎝
ρ SV -⎜ρ SV +
-
∂(ρ SV ) ⎞ ∂ ( ρ S d x) d x⎟= ∂x ∂t ⎠
∂(ρ SV ) ∂ ( ρ S d x) dx= ∂x ∂t
(7.17)
(7.18)
Se asume que la variación de masa es debida a la compresión del líquido y a la expansión circunferencial de la tubería:
∂V ∂S ∂ρ ∂S ∂ρ ⎛ ⎞ -⎜ρ S d x+ ρ V d x+S V d x⎟= ρ d x + Ad x ∂t ∂x ∂x ∂t ∂t ⎝ ⎠
(7.19)
Reordenando, dividiendo por ρ S dx y utilizando las derivadas totales de superficie y densidad se obtiene: 1 d S 1 d ρ ∂V + + =0 S dt ρ dt ∂x
y aplicando la ecuación 7.5:
(7.20)
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d H p a2 ∂ V =0 + g ∂x dt
135
(7.21)
Para solucionar el golpe de ariete deberá resolverse esta ecuación, junto con la 7.16. 7.3.3 CONDICIONES DE CONTORNO Depósitos
Un depósito suficientemente grande no varía de nivel durante el transitorio, por lo que se supone que en un punto, la altura piezométrica es igual a la altura del depósito. Para más exactitud se puede suponer Hp = HD para el flujo desde la tubería al depósito y Hp = HD - V 2 /2g en el sentido contrario. Válvulas
La condición de contorno en una válvula viene dada por su coeficiente de descarga (véanse las expresiones de la sección 4.2) que relaciona la pérdida de carga ( hp = ΔH = ΔHp ) con el caudal. El coeficiente de descarga depende del grado de apertura y del tipo de válvula. En una válvula determinada que no se accione el coeficiente de descarga no varía, pero cuando una válvula se está abriendo o cerrando ya no se puede considerar constante el coeficiente. Se pueden expresar los valores del coeficiente de descarga en función del tiempo como: V =Cp( t )
2 g hp
(7.22)
o bien relacionar la velocidad y pérdida de carga temporales con las del estado estacionario: V V0
=
C p ( t ) hp C p0 h p0
(7.23)
y aproximar la relación de coeficientes de pérdidas por una ley de cierre exponencial Lc =
Cp( t ) = ( 1 - ( t / tc ) ) m C p0
(7.24)
donde tc es el tiempo de cierre y m un exponente que depende de la ley de variación del grado de apertura y del tipo de válvula. Cuando la válvula es de descarga libre, hp se identifica con la altura total en la válvula menos su cota geométrica. Nudos
En la conexión de tuberías en serie, un cambio del diámetro u otra característica de la tubería supone una variación de la velocidad de onda.
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Las conexiones de tres o más tuberías producen una amortiguación importante del golpe de ariete. Considérese el caso de una onda de presión desplazándose por una tubería; al llegar a una bifurcación, ΔV se divide en dos partes para mantener la continuidad. Si las dos ramas tienen el mismo diámetro y la misma orientación, se reduce a la mitad en cada una, y lo mismo ocurre con el incremento de presión. En otros casos, la distribución es asimétrica. En general, el golpe de ariete tiene importancia en la tubería principal en que se produce, amortiguándose sustancialmente en las ramificaciones. Extremo cerrado
La condición a imponer es que la velocidad sea nula. Si existe una bolsa de gas se puede relacionar la presión y el volumen con la ley P V n = cte, con n entre 1 para un proceso isotermo (variaciones muy lentas de presión) y 1.4 para adiabático (variaciones muy rápidas). Esta es la condición de contorno que hay que aplicar en los depósitos de aire utilizados para amortiguar el golpe de ariete. Estos depósitos suelen disponer además de un estrangulamiento uni o bidireccional para amortiguar las oscilaciones. En el caso de un extremo cerrado donde la presión descienda hasta la de vapor, se formará una burbuja de cavitación que se incrementará todo lo necesario para mantener la presión constante. Pérdidas singulares
Habitualmente los codos, válvulas totalmente abiertas, etc. pueden ser ignorados con respecto al paso de la onda de presión, pues provocan poca atenuación o reflexión. Solamente en el caso de que la pérdida de carga sea significativa hay que tenerlas en cuenta, lo que se puede hacer a través del coeficiente de pérdida singular. Las pérdidas de carga distribuidas pueden concentrarse, a efectos de cálculo, en una pérdida singular única. Bombas
Cuando la bomba está funcionando con velocidad de giro constante, la condición de contorno viene dada por la curva característica, que se puede aproximar por una parábola a efectos de calcular la solución de forma numérica. Los procesos de arranque y parada de las bombas son las condiciones de contorno más difíciles de determinar en los transitorios. No sólo interviene el tipo de máquina y las curvas características a velocidad variable, sino también la inercia y el par del motor durante la aceleración o frenado. Habitualmente el arranque no supone una condición muy severa para el sistema (aunque sí para la bomba en ciertos casos), pues es difícil que se generen sobrepresiones superiores a las que produce la bomba funcionando contra el circuito cerrado; por este motivo el arranque se suele tratar como una oscilación en masa. Durante la parada o en caso de fallo, sin embargo, se pueden producir depresiones importantes. De forma simplificada y manteniéndose del lado de la seguridad, se puede tomar la parada como un cierre brusco y el arranque como un golpe de presión igual a la altura máxima de la bomba. Se puede encontrar más información sobre este tema en Wylie y Streeter (1993).
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7.4 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 7.4.1 FÓRMULAS DIRECTAS
Aparte de la ecuación 7.3, aplicable en los cierres instantáneos, se ha desarrollado un cierto número de fórmulas que tienen en cuenta la influencia de la velocidad de cierre. Allievi propuso la expresión:
ΔH =
H ( C2 ± C 2
4 + C2 )
(7.25)
donde H es la altura estática sobre la válvula y C: C=
LV gHT
(7.26)
siendo T el tiempo de maniobra. El signo + se utiliza para el cierre (sobrepresión) y el para la apertura (depresión). El proceso de apertura se considera lineal. La expresión propuesta por Michaud es:
ΔH=
2 LV g T
(7.27)
Ambas tienen bastantes limitaciones en su aplicación y aunque suelen estar del lado de la seguridad (sobre todo la de Michaud), en ciertos casos pueden proporcionar resultados erróneos, por lo que se aconseja bastante prudencia en su uso. 7.4.2 MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS
El objeto de este método es transformar las ecuaciones de cantidad de movimiento (7.16) y de continuidad (7.21) en ecuaciones en derivadas totales. Multiplicando la ecuación de continuidad por una constante indeterminada λ y sumándola a la de cantidad de movimiento: ∂Hp ⎛ ⎛∂Hp g ⎞⎞ + ⎜V + ⎟ ⎟⎟ + ∂x ⎝ λ ⎠⎠ ⎝ ∂t
λ ⎜⎜
⎛ ∂V ∂V ⎜ + ⎜ ∂t ∂x ⎝
⎛ λ 2 ⎞ ⎞ f V |V | ⎜⎜V + a ⎟⎟ ⎟⎟ + =0 g ⎠⎠ 2D ⎝
(7.28)
Al ser una combinación lineal de dos ecuaciones independientes, dos valores reales cualesquiera de λ producirán dos ecuaciones igualmente independientes.
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De la definición de derivadas totales: dH ∂H d x ∂H = + dt ∂x dt ∂t
(7.29) dV ∂V d x ∂V = + dt ∂ x d t ∂t
Se pueden elegir unos valores para λ que cumplan:
λ a2 dx g =V + = V + λ dt g (7.30)
λ= ±
g a
de forma que: dx =V ± a dt (7.31)
Con estos dos valores, la ecuación 7.26 se desdobla en dos ecuaciones independientes en derivadas totales: Ecuación C+ g d Hp dV f V| V | + + =0 a dt dt 2D
(7.32) dx =V + a dt
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Ecuación Cg d Hp dV f V| V | =0 a dt dt 2D
(7.33) dx =V - a dt
La ecuación C+ sólo es válida a lo largo de una línea que cumpla dx/dt = V+a y la C- a lo largo de dx/dt = V-a. Para entender como se puede utilizar esto, conviene considerar la solución en un diagrama x-t (figura 7.6).
Figura 7.6 Relación a través de las líneas características
Suponiendo que se conocen los valores de V y Hp en los puntos R y S, a partir del punto R la ecuación 7.29 es válida sobre una línea de característica C+, y a partir de S la ecuación 7.30 es válida sobre otra línea de característica C-. En el punto de cruce de esas dos líneas T, se puede resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas hallando V(T) y Hp(T). 7.4.3 MÉTODO GRÁFICO DE BERGERON
Para un cálculo matemáticamente adecuado del golpe de ariete se puede aplicar la resolución por diferencias finitas de las ecuaciones características que se describe en un anexo de la presente publicación. Aquí se va a exponer un método gráfico que proporciona resultados rápidos y correctos para casos sencillos, aunque se puede generalizar para otros más complicados.
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Considérese un depósito del que sale una tubería con una válvula en el extremo. Para simplificar se van a despreciar las pérdidas por rozamiento y la velocidad del fluido frente a la velocidad de onda, de forma que las líneas características tendrán una pendiente ± a. Los puntos de condiciones de contorno conocidas son el depósito y la válvula. Si se toma un intervalo de tiempo L/a, de forma que las perturbaciones lleguen de un punto al otro, se dispondrá en ellos en cada instante considerado, de una condición de contorno y una ecuación característica para resolver la altura y velocidad. Téngase en cuenta que en los puntos extremos no se puede hallar la solución como cruce de dos ecuaciones características, pues una sólo se desplaza aguas arriba y otra aguas abajo. Para mantener la validez de las ecuaciones características, debe imponerse que los cambios que tengan lugar en el circuito en cada intervalo de tiempo, se realicen de forma instantánea; es decir, si se tarda 4 L/a en cerrar la válvula, se supondrá que se ha cerrado con cuatro movimientos bruscos, al comienzo de cada intervalo de tiempo. Las ecuaciones características discretas resultan: g ( H p2 - H p1 ) ± ( V 2 - V 1 ) = 0 a
(7.34)
Para mayor sencillez en las unidades del gráfico, se adimensionalizan con la altura piezométrica y velocidad iniciales: Δ H *p =
H p2 - H p1 H p0
(7.35) * DeltaV =
V 2 -V 1 V0
Con lo que las ecuaciones características quedan Δ H *p aV0 =± =± f * ΔV g H p0
(7.36)
El signo positivo es para la traslación de la onda desde la válvula al depósito y el negativo del depósito a la válvula. El gráfico se realiza en un diagrama Hp*- V *. Por ejemplo, en el cierre brusco de la válvula (figura 7.7) los puntos iniciales A0 y B0, están en (1,1). Si en el instante 1 se cierra la válvula, la condición de contorno en ella es V*=0. La condición de contorno del depósito,
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141
despreciando la energía cinética, es Hp*= 1. Desde A0 y B0 se trazan las líneas características: por A de pendiente negativa -traslación de depósito a válvula- y por B positiva; el corte con las condiciones de contorno proporciona A1 y B1. En el instante 1, el depósito mantiene la misma velocidad mientras en la válvula se anula la velocidad, y la altura piezométrica adimensional que se alcanza es: ΔHp* = fΔV* = f (en este caso la variación de velocidad adimensional es ΔV*=1). El valor dimensional es ΔHp = aV0 / g, que coincide con el obtenido para cierre brusco. A partir de A1 y B1 se hallan B2 y A2: en la válvula se mantienen las mismas condiciones mientras en el depósito se invierte la velocidad; y así sucesivamente.
Figura 7.8 Resolución gráfica de un cierre brusco por el método de Bergeron En el cierre lento de una válvula, la condición de contorno cambia en cada instante. Asumiendo que toda la altura del depósito cae en la válvula, la condición de contorno se puede escribir como: * V =L c
*
HP
(7.37)
La ley de cierre se ajusta por una serie de saltos bruscos, figura 7.8, y la condición de contorno en la válvula viene definida por una parábola en cada instante.
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142
Figura 7.8 Ley de cierre de una válvula por el método de Bergeron En la figura 7.9 puede verse el esquema de la resolución con el cierre en cuatro pasos. En el instante cero tanto la válvula como el depósito están en (1,1). A partir de ahí, las líneas características del depósito a la válvula van cortando las parábolas resistentes de la válvula según el cierre de cada instante y desde la válvula regresan al depósito en el corte con la línea horizontal Hp* = 1. Como puede verse en el gráfico, la presión máxima en la válvula es bastante menor que la que resultaría del cierre instantáneo. En este caso, el valor máximo se produce en el instante de tiempo 2. Al final resta un bucle cerrado A3, A4, A5,..., B4, B5, B6... que se repetiría indefinidamente; esto es debido a haber despreciado las pérdidas de carga que irían amortiguando las oscilaciones. Este método también puede ser utilizado analíticamente: basta con aplicar las fórmulas adecuadas en cada instante de tiempo. Dibujar el gráfico, aunque sea de forma aproximada, ayuda a evitar errores.
Figura 7.9 Esquema de resolución por el método de Bergeron
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143
7.4.4 OSCILACIÓN EN MASA
Como se comentó al principio del capítulo, existen flujos no estacionarios donde el análisis puede hacerse por medio de la teoría de la columna rígida. Así las ecuaciones diferenciales planteadas son ordinarias y no hace falta tener en cuenta la compresibilidad del fluido ni la elasticidad de las tuberías. La variación de velocidad no se produce de forma brusca y no hay que considerar, por tanto, ondas de presión trasladándose a la velocidad del sonido. En el fondo, el problema se reduce a un proceso que, partiendo de un desequilibrio de fuerzas, provoca unas aceleraciones. Ejemplos de este fenómeno son la mayoría de los arranques de bombas, la apertura de una válvula, la oscilación de una chimenea de equilibrio, etc. En el caso de la apertura de una válvula que conecta dos depósitos ideales, figura 7.10, al aplicar la ecuación de cantidad de movimiento se obtiene:
ρ g S ( Hd - Hd )- ρ g S 1
2
f L Q| Q | dQ = ρ L 2 2 g D S dt
(7.38)
En esta ecuación se han despreciando las pérdidas singulares, pero se pueden incluir en un término aparte o dentro de las pérdidas lineales. Para una chimenea de equilibrio, la altura será función del caudal y de la sección. Con una bomba, esta altura dependerá de la velocidad de arranque y de la curva característica.
Figura 7.10 Ejemplo de oscilación en masa
7.5 SISTEMAS DE CONTROL DEL GOLPE DE ARIETE Para la reducción del golpe de ariete se tienen, básicamente, dos posibilidades: actuar sobre la fuente que produce la perturbación o reducirla una vez que ésta se ha producido. El primer sistema es el más aconsejable, pero no siempre es posible su aplicación. Dentro de los medios para que las perturbaciones que se generen sean menores están: - Aumentar los tiempos de apertura y cierre de las válvulas. - Incrementar la inercia de las bombas. - Evitar las vibraciones fluidodinámicas y posibles resonancias. Para la aplicación del segundo sistema se pueden utilizar:
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144
- Válvulas de descarga. - Chimeneas de equilibrio. - Acumuladores o depósitos de aire. - Válvulas de admisión de aire. 7.5.1 TIEMPO DE CIERRE DE VÁLVULAS
El tiempo de cierre de las válvulas es un parámetro muy importante en la generación del golpe de ariete. Si es menor o igual que el crítico (tc = 2L/a ) las amplitudes de las ondas de presión pueden ser enormes. En la práctica, el tiempo de cierre se escoge mucho mayor que el crítico y debe comprobarse con algún sistema de cálculo. En tuberías largas, con gran rozamiento, y si el tiempo de cierre es demasiado largo, se puede cerrar con varias velocidades: más rápido al principio, cuando el efecto del grado de apertura de la válvula sobre la velocidad es menor. El cierre automático de válvulas en las tuberías de aspiración para el caso de parada de las bombas tiene problemas especiales: si es muy rápido da lugar a cavitación, generando posteriormente un golpe de ariete positivo. Si es muy lento y no existen válvulas de retención, se pueden producir reflujos importantes y el cierre final es demasiado brusco. Téngase en cuenta que la velocidad del reflujo no viene definida por la velocidad de impulsión de la bomba sino por la altura del depósito aguas arriba. El caso de válvulas de retención se comenta más adelante. 7.5.2 INCREMENTO DE LA INERCIA DE LAS BOMBAS
Un método utilizado para reducir el golpe de ariete producido por la parada de una bomba consiste en alargar el tiempo que tarda en dejar de girar depués de desconectar el motor. Para ello se acopla al grupo un volante de inercia. Este método está limitado a casos en los que la tubería no sea muy larga, pues un volante de inercia muy grande sobrecargaría el motor durante la puesta en marcha. 7.5.3 VÁLVULAS ANTIRRETORNO Y OTRAS
Las válvulas antirretorno utilizadas, por ejemplo, para evitar que se descebe una bomba o el flujo inverso desde un depósito elevado, pueden ser causa de golpe de ariete si empiezan a cerrar muy despacio y dejan que se alcancen velocidades inversas importantes, que además fuerzan a que la última parte del cierre sea más brusca. Frente a golpes de ariete generados por otros elementos, suelen ser un elemento beneficioso, limitando los caudales en sentido contrario y aislando partes de la tubería. En cualquier caso conviene ser prudentes, porque ocasionan más problemas de los que solucionan. Las válvulas reductoras de presión utilizadas en las instalaciones por gravedad tienen un gran riesgo inherente de golpe de ariete, mayor cuanto más sensibles y rápidas sean. Tanto las válvulas antirretorno como las reductoras de presión, cuando están instaladas en serie, son
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145
generadoras de diversos problemas, debido a la mutua influencia de sus cierres. En los casos más graves pueden entrar en resonancia y amplificar considerablemente pequeñas fluctuaciones. Cuando se utilizan válvulas de escape de aire para facilitar el llenado de la tubería eliminando bolsas de aire -en general siempre que exista aire atrapado- conviene actuar lentamente y con precaución. El aire atraviesa las válvulas de escape y cualquier otra válvula con poca pérdida de carga, facilitando que la velocidad de la columna de agua que le siga sea elevada; sin embargo al llegar el agua a la válvula se cierra bruscamente, o al menos aumentan mucho las pérdidas, formándose una onda de presión. 7.5.4 VÁLVULAS DE DESCARGA
Una forma de reducir las sobrepresiones del golpe de ariete es la utilización de válvulas de descarga o limitadoras de presión. Su instalacion más común es como válvula de descarga directa al exterior o como by-pass. En el primer caso se colocarán en las zonas de la tubería donde se esperan las mayores sobrepresiones; en el segundo, haciendo de puente de los elementos que provocan el golpe de ariete. Esta función de by-pass es típica en las turbinas hidráulicas y en las paradas de bombas, figura 7.11.
Figura 7.11 Utilización de válvulas de descarga
En el caso de la turbina, la válvula se abrirá cuando por desconexión del grupo u otra razón haya que cerrar rápidamente el distribuidor. En el caso de parada de la bomba se puede hacer que la válvula funcione tanto para disminuir la depresión al inicio del paro de la bomba como para regular la sobrepresión en el cierre de la válvula antirretorno con el reflujo. Estas válvulas tienen que caracterizarse por una apertura rápida y un cierre lento. Pueden ser accionadas por muelle o pilotadas por la propia presión del circuito, tanto inmediata como utilizando captadores de presión situados en otros puntos de la tubería. Esto último permite la apertura anticipada de la válvula antes de que llegue el pulso de presión. Otra posibilidad es el accionamiento automático durante la generación del golpe de ariete (parada de la bomba o cierre del distribuidor de la turbina). 7.5.5 CHIMENEAS DE EQUILIBRIO
Las chimeneas de equilibrio son túneles verticales abiertos que se sitúan cerca del elemento que provoca el golpe de ariete. De esta forma, la condición de contorno se transforma en la de un depósito -no ideal-, convirtiendo la pulsación de alta intensidad y
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146
frecuencia del golpe de ariete en una pulsación de baja intensidad y frecuencia, correspondiente a una oscilación en masa. Es habitual su utilización en centrales hidráulicas para proteger los túneles de hormigón anteriores a las tuberías forzadas.
Figura 7.12 Chimenea de equilibrio
Al cerrar la válvula o los álabes distribuidores de la turbina, el agua del túnel puede entrar libremente en la chimenea, donde se para al convertir su energía cinética en energía potencial. Si se quiere evitar el derrame del líquido por la parte superior, la chimenea deberá tener la altura suficiente. La altura máxima alcanzada en un cierre brusco es: Z m x =V 0
L ST g S CH
(7.39)
El período de las oscilaciones originadas es el siguiente:
τ = 2π
L S CH g ST
(7.40)
Debe tenerse precaución con estas oscilaciones porque pueden provocar resonancias en el sistema. Para el caso de una central hidroeléctrica, Thoma definió el área mínima estable de la chimenea como:
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S CH min
=
2 L ST V0 hp ( H - hp ) 2 g
147
(7.41)
donde H es la altura en la chimenea en reposo y hp la caída de presión hasta la chimenea durante el funcionamiento normal. Estas expresiones surgen de análisis simplificados. Un cálculo más preciso requiere métodos más completos: Escande o Schoklitsch. Habitualmente se suele diseñar la chimenea con una restricción en la entrada que provoque una mayor pérdida de carga, bien durante la entrada y salida del agua o solamente durante la salida (orificios diferenciales), con el fin de amortiguar más rápidamente las oscilaciones. Si no existen problemas externos, se puede permitir el desbordamiento del agua por la parte superior, con lo que se puede reducir el diámetro de la chimenea. En este caso actúa en parte como una válvula de descarga. En cualquier caso, la chimenea debe tener las dimensiones adecuadas para evitar la entrada de aire en la tubería durante las depresiones.
Figura 7.13 Chimenea de equilibrio en una tubería de aspiración En los sistemas de bombeo las chimeneas de equilibrio suelen tener una aplicación limitada, porque las alturas piezométricas acostumbran a ser excesivamente grandes. Tienen alguna posibilidad de aplicación en la tubería de aspiración, figura 7.13, en zonas altas del circuito para evitar la cavitación durante los arranques de las bombas o en golpes de ariete negativos, consiguiendo disminuir la depresión sin que entre aire en el circuito; sólo se pueden utilizar cuando la presión de funcionamiento estacionario es superior a la atmosférica. 7.5.6 ACUMULADORES Y DEPÓSITOS DE AIRE
Una de las limitaciones de las chimeneas de equilibrio es que sólo pueden usarse cuando la altura piezométrica es relativamente pequeña. Con grandes presiones los depósitos cerrados proporcionan una protección similar. Son muy utilizados para la supresión del golpe de ariete originado por la parada de una bomba. Para ello se colocan en la tubería de impulsión cerca de la bomba, inmediatamente después de la válvula de retención, figura 7.14. Tienen el inconveniente de que pueden requerir una fuente de aire comprimido o, en cualquier caso, de cierto mantenimiento, por lo que están más sujetos a fallos. Los tipos principales son los depósitos de aire comprimido y los acumuladores. En los depósitos de aire se mantiene una cierta presión mínima con un compresor. Esto es necesario
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148
ya que el aire se disuelve en el agua, y tanto más rápidamente cuanto mayor sea la presión necesaria. Los acumuladores de vejiga o membrana poseen un volumen de gas inerte separado del líquido por una membrana, con lo que no es necesario un compresor, pero sí unas ciertas revisiones periódicas.
Figura 7.13 Depósito de aire a presión y acumulador Para el cálculo del tamaño del acumulador y del volumen de aire en éste, se suelen utilizar las fórmulas aproximadas que proporcionan los fabricantes. Otro sistema es resolver la ecuación diferencial de la oscilación en masa: P ST = ρ L
dQ dt
(7.42)
donde la presión del depósito se calcula a partir de la presión y volumen de aire inicial: γ P abs Vol a = cte = P abs 0 Vol a 0
γ
(7.43)
En la primera expresión la presión es relativa mientras que en la segunda es absoluta. El coeficiente γ oscila entre 1 para un proceso isotérmico y 1.4 para uno adiabático; se suele tomar un valor entre 1.2 y 1.4. Además hay que contar con la ecuación de continuidad: Q=
d Vol a dt
(7.44)
Con alturas de elevación relativamente grandes se puede despreciar la diferencia de cota entre el fluido en la tubería y en el depósito. Si se quiere considerar el efecto de la fricción, hay que incluir este término entre las fuerzas. El volumen de fluido en el depósito debe ser el suficiente para que cuando se llegue a la máxima depresión (menor nivel en el depósito), no entre aire en la tubería.
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149
Es importante que el líquido no encuentre ningún obstáculo a la salida del acumulador, sobre todo en el caso de parada de una bomba. En cambio en la entrada (rebote positivo de la onda) es conveniente que haya una cierta pérdida de carga, para ayudar a amortiguar las oscilaciones. Es habitual disponer, a este efecto, de una restricción diferencial a la entrada del depósito. 7.5.7 VÁLVULAS DE ADMISIÓN DE AIRE
Si la presión en la tubería alcanza valores muy pequeños, inferiores a la presión atmosférica, puede ser aconsejable la utilización de válvulas de admisión de aire. Con la entrada de aire se mantiene la presión atmosférica evitando el aplastamiento de la tubería. Las válvulas deben estar bien seleccionadas para que la entrada de aire sea suficientemente rápida. Generalmente se combinan con una válvula de purga de aire para expulsar el aire que ha entrado en la tubería. Estos sistemas no son adecuados en conducciones de agua potable, en los cuales debe procurarse que la presión del líquido en la tubería no descienda por debajo de la presión atmosférica a fin de evitar la entrada de contaminantes. Tampoco lo son para fluidos combustibles, pues se puede dar lugar a mezclas explosivas.
7.6 SEPARACIÓN DE COLUMNA Y AIRE ATRAPADO 7.6.1 SEPARACIÓN DE COLUMNA
Si en algún momento la presión en algún punto de la tubería cae por debajo de la presión de vapor, el agua se evaporará. Los transitorios dan lugar a situaciones semejantes con bastante frecuencia. Por ejemplo, en el caso del cierre brusco de una válvula aguas abajo de un depósito, cuando la onda regresa del depósito con velocidad inversa, al llegar a la válvula se produce una depresión. Si la presión absoluta se hace inferior a la presión de vapor, el agua se evapora manteniendo esa presión de vapor. El líquido continúa fluyendo hacia el depósito prácticamente a la misma velocidad mientras se forma una bolsa de vapor que se va agrandando. Esto es lo que se conoce como ruptura o separación de columna. Cuando esto sucede las ondas de presión se transforman en movimiento de columna rígida y el tiempo requerido para detener esta velocidad hacia el depósito es mucho mayor que L/a. El movimiento como columna rígida frena al fluido e invierte la velocidad, haciendo desaparecer la cavidad. En el instante en que la cavidad desaparece, se produce un golpe de ariete que, si no ha habido atenuación, tendrá la misma intensidad que el precedente. La figura 7.15 muestra en esquema la presión en la válvula con este comportamiento.
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150
La ruptura de columna también puede producirse en un punto intermedio, sobre todo si la cota geométrica es más alta.
Figura 7.15 Presión en la válvula con separación de columna
Si existe aire disuelto en el líquido, cuando la presión desciende por debajo de la de saturación (y también durante la vaporización) van a aparecer burbujas de aire. Este aire no se volverá a disolver tan fácilmente durante el colapso, y permanecerá en forma gaseosa. Su efecto es doble: por una parte disminuye la velocidad de onda en la tubería y por otra actúa como colchón reduciendo la magnitud de las ondas de presión. 7.6.2 AIRE ATRAPADO
El aire atrapado en las tuberías puede provocar transitorios, pues fácilmente es origen de fuertes aceleraciones locales. Un ejemplo de este tipo de comportamiento es el ocasionado por las bolsas de aire al atravesar válvulas u otros elementos de control. El aire fluye a su través con menos pérdida de carga que el agua, pues es menos denso. La caída de presión en la válvula disminuye, y la columna de líquido aguas arriba se acelera; una vez que ha pasado todo el aire, aumenta bruscamente la pérdida de carga frenando la columna de líquido y provocando un golpe de ariete. El mismo efecto se produce en las válvulas de escape de aire cuando llega a ellas una bolsa de aire con una presión alta. Las bolsas de aire también pueden generar sobrepresiones durante el llenado de las tuberías o el arranque de las bombas. Dividen la columna de líquido y, al disminuir la inercia, se alcanzan velocidades mayores que las esperadas con un movimiento de columna rígida, produciendose frenazos bruscos al comprimirse las bolsas de aire. Para evitar este fenómeno existen varias soluciones: - Llenar muy lentamente las tuberías. - Colocar válvulas de escape de aire en número suficiente (al menos en todas las partes altas) y de tamaño bastante grande como para que el aire salga sin llegar a presurizarse. - Hacer funcionar la instalación al comienzo con velocidades y presiones bajas hasta que se elimine el aire.
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- Colocar válvulas de escape de aire antes de las válvulas de control de forma que las bolsas de aire no pasen a su través.
7.7 EJEMPLOS EJEMPLO 1 Cierre de una válvula en una tubería larga
El cálculo del tiempo de cierre en una tubería larga (con grandes pérdidas por fricción) presenta la particularidad de que el cierre efectivo de la válvula se realiza únicamente en la última parte de su recorrido, por lo que es ésta la que determinará el tiempo de cierre para que no se produzcan sobrepresiones excesivas. Considérese el caso de dos depósitos con una diferencia de cotas entre ellos de 15 m, unidos por una tubería de diámetro D = 0,4 m y L = 5000 m de longitud, con un coeficiente de fricción f = 0,015. El agua pasa de uno a otro depósito por gravedad. Tómese como velocidad de onda en la tubería a = 1100 m/s. Se hace la hipótesis de que el coeficiente de descarga de la válvula varía linealmente de 0 a 1 con el grado de apertura. Se busca que la sobrepresión no sea mayor que 100 m de columna de agua. La velocidad del agua por la tubería en régimen estacionario viene dada por: H D1 - H D2 = h p =
f L Kv 2 2 V + V 2 g D 2 g
Con la válvula totalmente abierta: Kv = 0; la velocidad es V = 3.16 m/s. El tiempo crítico de cierre es: tc =
L = 2.27 s 2 a
lo que quiere decir que si se cierra la válvula en un tiempo menor, se alcanzarán las máximas sobrepresiones: Δ H pm x =
ΔV a = 354.7 m g
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El grado de control de flujo con la apertura de la válvula se puede ver en la tabla y en la figura que aparecen más adelante. Para hacer una estimación se puede considerar que la máxima sobrepresión permitida corresponde a un cambio de velocidad de: ΔV =
g ΔH = 0.89 m /s a
% APERTURA
Cd
Kv
V (m/s)
% QMAX
100
1
0
3.16
100
90
0.9
0.235
3.15
99.7
80
0.8
0.56
3.13
99
70
0.7
1.04
3.1
98.1
60
0.6
1.77
3.07
97.1
50
0.5
3
3.01
95.2
40
0.4
5.25
2.92
92.4
30
0.3
10.1
2.73
86.4
20
0.2
24
2.36
74.7
10
0.1
99
1.52
48.1
0
0
----
0
0
Según la gráfica anterior, este cambio de velocidad se produce en el último 5% de la apertura, por lo que cerrar este último tramo en menos de 2.27 segundos provocaría
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153
sobrepresiones excesivas. Un cierre a velocidad uniforme requeriría unos 45 s, pero puede reducirse el tiempo si se cierra más rápido la primera parte. Esta forma de hacer la estimación del tiempo de cierre es únicamente aproximada. Proporciona valores aceptables cuando la tubería es larga, pero en los casos de poca pérdida de carga las sobrepresiones de cada reducción incremental de presión se superponen en parte con las anteriores, que no han sido amortiguadas. En cualquier caso es conveniente utilizar un método más preciso. EJEMPLO 2
La instalación de la figura representa una central hidráulica. Si en un momento dado la turbina se desconecta de la red eléctrica y tiende a embalarse, es preciso detenerla cerrando bruscamente el distribuidor. Para evitar el golpe de ariete se abre simultáneamente la válvula de escape libre S, luego se cierra ésta más lentamente.
Calcular las sobrepresiones que se producen al cerrar la válvula S en un tiempo de 20 segundos. Datos: Diferencia de cotas ΔH = 240m Longitud de la tubería L = 6000m Velocidad de onda a = 1200 m/s Velocidad inicial en la tubería V0 = 2.5 m/s La válvula se ha elegido de forma que totalmente abierta se mantiene la velocidad inicial en la tubería:
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154
V V0
H
= Lc
H0
(la altura cinemática es despreciable frente a la altura de presión) y se cierra según la ley: ⎛ t Lc = ⎜⎜ 1 tc ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
0.6
con tc = 20 s. Resolución
Se toma como unidad de tiempo
τ =
L =5s a
Se considera que la válvula se cierra bruscamente en cada intervalo de τ, con lo que se tienen unos valores de la ley de cierre de: τ
LC
0
1
1
0.84
2
0.66
3
0.43
4
0
Con estos valores se pueden dibujar las parábolas que representan las curvas resistentes en el diagrama Hp*- V*. Las pendientes de las líneas características son: f =
aV0 = 1.25 g H0
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Con estas líneas, a partir de los valores iniciales D0 y R0 y con las condiciones de contorno de la válvula (curvas resistentes) y del depósito (Hp*= 1) se pueden hallar los valores de presión y velocidad en cada instante.
El mayor valor de presión en la válvula se produce en el instante 4 y es: Hp* ( S4 ) = 1.63 Hp ( S4 ) = 391 m
El ciclo de los instantes 4, 5, 6, 7 se repite indefinidamente pues no se ha considerado la amortiguación del rozamiento. La variación de velocidad en la válvula y el depósito y la presión en la válvula se han representado en la figura siguiente.
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EJEMPLO 3 Para tener en cuenta una pérdida de carga en la tubería se pueden utilizar dos métodos aproximados. En el primero se supone que toda la pérdida de carga está concentrada a la salida del depósito. Gráficamente esto representa cambiar la condición de contorno Hp*= 1 restándole las pérdidas. En la figura se ha representado un esquema de cálculo con esta solución:
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Un segundo sistema consiste en considerar todas las pérdidas como producidos en la válvula. La solución gráfica consiste en aumentar las líneas resistentes de la válvula sumándoles este valor.
Cualquiera de estos dos métodos proporciona resultados bastante aceptables. EJEMPLO 4 Parada brusca de una bomba
Considérese el caso de una bomba que se detiene de forma instantánea y donde existe una válvula antirretorno.
La parada provoca una depresión y después el retorno de la onda de descompresión desde el depósito choca contra la válvula antirretorno produciendo una sobrepresión.
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Si no se consideran pérdidas de carga en la tubería, la resolución gráfica sería:
Con pérdidas de carga, utilizando la curva resistente tanto para velocidades positivas como negativas:
EJEMPLO 5 Sobrepresión en puntos intermedios
Utilizando la filosofía del método de las características se pueden calcular las presiones de algunos puntos intermedios de la tubería. Tomando el ejemplo 1, a partir de las presiones y velocidades en el depósito y en la válvula en un instante determinado (1,2, ...) se
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trazan las curvas características C+ y C-, y las ondas de presión que representan se van a encontrar en el punto medio en un instante de tiempo medio período superior: 1.5, 2.5 ...
Para otros puntos a 1/4, 3/4 y otras fracciones, hay que tomar un intervalo de tiempo más pequeño y trazar las correspondientes curvas resistentes de la válvula para hallar valores intermedios de altura y velocidad en la válvula y el depósito que permitan que las ondas se crucen en los puntos buscados.
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8 INSTALACIONES TÍPICAS. Este capítulo está dedicado a la descripción de algunas instalaciones típicas que puedan servir como ejemplo. El estudio se centra más en los conceptos hidráulicos que en los constructivos. En varios casos se han realizado algunos cálculos numéricos para dar idea de los órdenes de magnitud.
8.1 INSTALACIONES EN UN EDIFICIO 8.1.1 REDES DE DISTRIBUCIÓN
El agua para usos domésticos en un edificio puede proceder de una red general de agua a presión, o de una instalación particular de captación. De la red general o captación particular parte una tubería que entra en el edificio y se ramifica formando la red interior de distribución. La red interior consta de distribuidores, columnas y derivaciones. Los distribuidores son el conjunto de tuberías horizontales que conducen el agua a las columnas, es decir, a las tuberías verticales que llevan el agua a las diferentes plantas del edificio. De las columnas parten otras tuberías horizontales llamadas derivaciones, que llevan el agua hasta los puntos de consumo. En muchas instalaciones de edificios de media altura la presión suministrada por la red es suficiente para alimentar directamente al menos a los pisos inferiores. Puede ser necesario un sistema de bombeo para el suministro de los pisos más altos. Un ejemplo de este tipo de instalaciones puede observarse en la figura 8.1.
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Figura 8.1 Red interior de distribución en un edificio de media altura La bomba principal entra en funcionamiento cuando el sensor de flotador baja hasta un nivel determinado, y sigue funcionando hasta que se alcanza un nivel máximo. La bomba de apoyo trabaja en caso de que el nivel en el depósito siga descendiendo a pesar de estar ya funcionando la bomba principal.
Figura 8.2 Red interior de distribución con depósito a presión En un edificio de mucha altura la presión que ha de tener el agua para llegar a los pisos altos determinaría una presión excesiva en los pisos más bajos. Téngase en cuenta que la presión máxima admisible para no estropear los grifos y demás accesorios es de 40 metros de columna de agua (4 atmósferas). La solución a estos casos puede ser el empleo de depósitos en las plantas intermedias, o bien válvulas de reducción de presión en los puntos en que sea necesario.
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Cuando la red general no proporciona presión suficiente, o el suministro es irregular, ya no se puede efectuar la distribución directamente, ni siquiera a los pisos más bajos. Un sistema a utilizar en este caso puede ser el de la figura 8.2. En el interior del depósito existe una cierta cantidad de aire comprimido que suministra una reserva de agua a presión al circuito. A medida que esta reserva se consume, la presión dentro del depósito disminuye. Esta disminución de presión es captada por un sensor, que pone en marcha automáticamente la bomba principal. Esta bomba cubre la demanda del sistema, y además va llenando de nuevo el depósito. La bomba de apoyo entra en funcionamiento en caso de que el nivel en el depósito siga disminuyendo una vez en marcha la bomba principal. Esto puede ocurrir en sistemas sometidos a una demanda muy fluctuante.
Figura 8.3 Sistema centralizado de agua caliente para calefacción y otros usos Por otra parte, el aire contenido en el depósito se va disolviendo en el agua a medida que pasa el tiempo. Esto se traduce en que el nivel de agua para el que la bomba entra en funcionamiento es mayor. Esta elevación del nivel es detectada por el sensor de flotador colocado en la parte superior del depósito, que pone en funcionamiento el compresor. Este compresor se para automáticamente cuando la presión del aire es ligeramente superior a la correspondiente al funcionamiento de la bomba.
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Otro sistema parecido al anteriormente descrito es el que utiliza un depósito cerrado con diafragma. En este caso el diafragma separa aire y agua, impidiendo la disolución entre ambos. Ya no se necesita compresor, evitándose además el equipamiento eléctrico asociado y el sensor de flotador. Todo esto se traduce en ahorro económico respecto al caso anterior. Sin embargo, los depósitos con diafragma suelen tener menor capacidad que los depósitos a presión. En edificios de viviendas y oficinas es frecuente que exista un sistema centralizado que suministre agua caliente tanto para calefacción como para uso sanitario y doméstico. Un ejemplo de estos sistemas puede verse en la figura 8.3. En el circuito primario el agua caliente procedente de la caldera es bombeada a través de tuberías hacia los radiadores, y luego devuelta a la caldera. Las bombas utilizadas se suelen denominar circuladores. En el circuito secundario el agua caliente de la caldera pasa a través de un serpentín por el intercambiador de calor, calentando el agua fría contenida en el mismo. El agua caliente se eleva hacia un depósito de expansión o almacenamiento situado en el tejado, desde donde se distribuye por gravedad a los puntos de consumo. 8.1.2 CÁLCULO DE LAS TUBERÍAS DE DISTRIBUCIÓN
En un caso práctico normal serán conocidos los caudales en cada tramo de la instalación y la altura disponible total, que vendrá dada por el desnivel piezométrico entre el depósito o red general y los distintos grifos. Esta altura disponible deberá ser igual a las pérdidas de carga totales en la instalación, calculándose a partir de esta condición los diámetros y velocidades en cada tramo. En primer lugar, debe asignarse un valor de caudal a cada punto de consumo (lavabo, ducha, fregadero, etc.). Estos valores se encuentran tabulados en la bibliografía existente (ver, por ejemplo, Rodríguez-Avial, 1987). Una vez hecho esto, debe calcularse el número de grifos que pueden funcionar simultáneamente. Hay varios métodos para realizar este cálculo: - Acudir a las tablas que proporcionan el caudal a asignar en cada tramo, dependiendo de a cuántos aparatos suministra dicho tramo. Existen diferentes tablas para viviendas particulares y edificios de uso público (oficinas, colegios, etc.). - Utilizar cálculos matemáticos de probabilidad, que establecen fórmulas para deducir, en relación al número de aparatos a que sirve la tubería considerada, qué tanto por ciento debe considerarse que pueden funcionar simultáneamente. - Otras técnicas de determinación del coeficiente de simultaneidad suelen venir recomendadas por las Normas de diferentes países.
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Una vez determinados los caudales a asignar en cada tramo, hay dos métodos para calcular el diámetro de las tuberías a emplear. El primero de ellos se basa en suponer una velocidad en los tramos, que debe ser mayor cuanto mayor es la altura disponible. En esta primera aproximación debe tomarse como base el recorrido más desfavorable de la red, es decir, el de mayor pérdida de carga. En la práctica, la velocidad en las instalaciones no debe ser superior a 2 m/s para evitar ruido y posibles golpes de ariete. A partir del valor de la velocidad, se calculan los diámetros de tubería a instalar, y las pérdidas de carga asociadas. Si las pérdidas de carga totales son iguales o un poco menores que la altura disponible, el cálculo realizado es correcto, y se puede seguir calculando el resto de la red. En caso de que los valores difieran mucho, debe aumentarse o disminuirse el diámetro de uno o varios tramos. Se vuelve a calcular todo, y se repite el proceso hasta que se consigue un buen ajuste. El segundo método parte de un valores aproximados de la pérdida de carga unitaria (pérdida de carga por unidad de longitud) en cada tramo. A partir de este valor se calcula el diámetro de las tuberías y la velocidad. A continuación debe comprobarse si el valor supuesto para la pérdida de carga unitaria es el real. En caso contrario, se rehace el cálculo. Pueden encontrarse ejemplos que ilustran estos dos métodos en Rodríguez-Avial, 1987.
8.2 BOMBAS DE CONDENSADO 8.2.1 DESCRIPCIÓN
En este tipo de sistemas la bomba debe aspirar agua contenida en un depósito y procedente de la condensación. La presión en el depósito será la presión de vapor del agua, Pv , o muy próxima a ella. Como se ha visto en el capítulo 3, el NPSHd para el caso de una instalación con depósito abierto puede calcularse de la manera siguiente: NPSHd = P at - Pv - z - h p ρ g ρ g
(8.1)
En el presente caso la presión en el depósito no es la atmosférica, sino precisamente la presión de vapor Pv. Por otra parte, el signo de la altura z se había definido para el caso de que la bomba estuviera situada en una cota geométrica superior a la del depósito. Por ello, la única manera de conseguir un NPSHd suficiente para que no haya cavitación será colocar el depósito por encima de la bomba, y entonces se tendrá: NPSHd = z - h p
(8.2)
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Figura 8.4 Condensador y bomba de condensados
8.2.2 SISTEMA DE REGULACIÓN
El sistema de regulación que se utiliza en estos casos se denomina control mediante cavitación o auto-regulación. Se basa en la variación que experimenta la curva característica H-Q de la bomba cuando existe cavitación. El efecto de la auto-regulación en una bomba para condensados puede verse en la figura 8.5.
Figura 8.5 Autorregulación en una bomba para condensados La instalación se diseña para que funcione sin cavitación cuando la producción de condensado sea máxima. En esas condiciones, el caudal impulsado por la bomba es Qmáx. Si la producción de condensado disminuye, descenderá el nivel z en el depósito, y por tanto se producirá cavitación en la bomba. La curva característica sufrirá una variación, pasando a convertirse en la C1, y el nuevo caudal será Q1 , menor que Qmáx , y por tanto adaptado a las nuevas necesidades del circuito. Si el nivel en el depósito desciende aún más, la cavitación
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será más profunda, pasando la curva característica a ser la C2 y disminuyendo el caudal de funcionamiento a Q2. La mayor ventaja que presenta este sistema de regulación es su simplicidad: el circuito se auto-regula sin necesidad de realizar ninguna acción externa. El problema principal que se plantea es evidente: las bombas son obligadas a trabajar bajo condiciones de cavitación, y esto se traduce en un mayor desgaste y posibilidad de roturas, por no hablar de la generación de ruido. Por ello es conveniente que las bombas utilizadas sean especiales para estos menesteres.
8.3 BOMBEO DE LÍQUIDOS VISCOSOS Y CON MATERIAS EN SUSPENSIÓN El funcionamiento de las bombas cuando impulsan fluidos de elevada viscosidad o con materias sólidas en suspensión es diferente del que se presenta cuando impulsan agua o fluidos de parecidas características. A continuación se verán algunos aspectos relacionados con estos tipos especiales de bombeo. 8.3.1 BOMBEO DE LÍQUIDOS VISCOSOS
El funcionamiento de las bombas rotodinámicas varía cuando impulsan líquidos de viscosidad elevada. Para viscosidades medias y altas las necesidades de potencia aumentan considerablemente, mientras que la altura y, en menor proporción, el caudal, disminuyen. Existen unos diagramas que permiten calcular las características de las bombas rotodinámicas al impulsar líquidos viscosos, suponiendo que sean conocidas previamente las características para el bombeo de agua. Puesto que los fabricantes suelen proporcionar información sobre el comportamiento de la bomba impulsando agua, estos diagramas pueden resultar de utilidad al seleccionar la bomba más adecuada para una aplicación determinada. Los factores de corrección obtenidos en estos diagramas son lo bastante exactos para su aplicación general. Si son necesarios valores más exactos, debe realizarse una prueba con el fluido de que se trate. En casos de bombeo de líquidos altamente viscosos se recomienda realizar un estudio de los costes de funcionamiento, para determinar si otro tipo de bombas (por ejemplo, bombas volumétricas de desplazamiento positivo) resultaría más económico, teniendo en cuenta la gran pérdida de rendimiento que se produce en una bomba rotodinámica funcionando en esas condiciones. En función del diámetro nominal de la tubería de impulsión, se pueden establecer los siguientes límites aproximados para las bombas rotodinámicas:
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Diámetro nominal (mm) < 50 < 150 > 150
Viscosidad cinemática (m2/s) 0.12 - 0.30 0.30 - 0.50 0.80
8.3.2 BOMBEO DE LÍQUIDOS CON MATERIAS SÓLIDAS EN SUSPENSIÓN
El bombeo de materias en suspensión comprende esencialmente mezclas de celulosa y agua, pulpa de papel y agua, y pulpa de madera y agua. Estas mezclas son materias primas importantes para la producción de papel, cartón, rayón, lana sintética hecha de celulosa, nitrocelulosa, etc. Durante los diferentes procesos de producción estos productos están presentes en forma de suspensión, variando su concentración o consistencia. La consistencia c se define como la masa de partículas en suspensión:
(8.3) Las propiedades de circulación de la materia en suspensión, además de la consistencia, dependen de otras propiedades de la sustancia, como son la materia prima, el procedimiento de fabricación, el grado de hinchamiento, el grado de molienda, la clase de aditamento, etc. Las bombas rotodinámicas para materias en suspensión están especialmente diseñadas, teniendo en cuenta no sólo factores teóricos y resultados de pruebas realizadas, sino también las experiencias de muchos usuarios. Generalmente se puede establecer que la variación de las características de una bomba rotodinámica en función de la consistencia es similar a la que se produce al bombear fluidos viscosos. Mientras que la altura a caudal cero no varía apenas, el caudal, la altura total y el rendimiento disminuyen al aumentar la consistencia. Para consistencias de más del 8%, no se pueden utilizar bombas rotodinámicas. En este rango funcionarían mejor, desde el punto de vista económico, las bombas de desplazamiento positivo, como en el caso de bombeo de líquidos viscosos. Debe prestarse especial atención al diseño de la tubería de aspiración, debido a que las pérdidas de carga cuando se impulsan materias en suspensión pueden ser importantes. En caso de consistencias por encima del 3%, la bomba deberá colocarse obligatoriamente bajo carga. La tubería de aspiración debe diseñarse sin codos y ser lo más corta posible.
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Al diseñar la tubería de impulsión ha de tenerse en cuenta que las velocidades de flujo altas producen pérdidas de carga antieconómicas. Las velocidades bajas reducen las pérdidas de carga, pero en cambio pueden provocar una precipitación o separación inaceptable de los componentes. Debe llegarse entonces, como en la mayoría de los casos, a una solución de compromiso.
8.4 GRANDES SISTEMAS DE ABASTECIMIENTO Y DISTRIBUCIÓN DE AGUA Las redes generales de suministro de agua constituyen la mayor parte de los sistemas de tuberías que se pueden encontrar en la práctica. En estos sistemas una característica fundamental es la seguridad en el suministro: una interrupción del servicio podría afectar a grandes áreas y no sería en modo alguno admisible que se produjera esta situación. Los principales problemas que pueden aparecer en instalaciones de este tipo provienen del gran tamaño de las mismas: la longitud de las tuberías puede provocar transitorios perjudiciales, y el amplio rango de caudales a regular puede producir cavitación en las válvulas para los caudales inferiores. Aunque estos problemas también pueden aparecer en circuitos de menor tamaño, no suelen ser tan graves. A continuación se exponen dos ejemplos de líneas generales de distribución, una por gravedad y otra por bombeo. 8.4.1 RED GENERAL DE DISTRIBUCIÓN POR GRAVEDAD
Supóngase que se desea utilizar tubería de acero para efectuar la distribución en el sistema por gravedad de la figura 8.6.
Figura 8.6 Red general de distribución por gravedad
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Los datos de diseño de partida son los siguientes: - Longitud total: 2440m. - Longitud del tramo 1-2: 1525m. - Necesidad actual de caudal: 0.3 m3/s. - Rugosidad de las tuberías, estimada por el fabricante: 0.1 mm. - Espesor nominal de las tuberías: 10 mm. - Viscosidad cinemática del agua a la temperatura de funcionamiento: 1.14 10-6 m2/s. La primera consideración a tener en cuenta es que en un sistema por gravedad la diferencia de alturas -es decir, la fuente productora de energía- permanece constante. No es un factor sobre el que se pueda actuar en el futuro en caso de que aumente la demanda, por ejemplo. Por este motivo, conviene diseñar la instalación aplicando al caudal necesario en la actualidad un coeficiente de mayoración. De esta forma, en caso de que la demanda aumente, la instalación no quedará obsoleta. Se supondrá en este caso un coeficiente de mayoración de 1.5: Q = 1.5 _ 0.3 = 0.45 m3 /s
(8.4)
Otro factor importante a tener en cuenta es la variación de la rugosidad de la tubería a medida que pasa el tiempo. También en este caso será necesario aplicar un coeficiente de mayoración, que se puede tomar como 2 sin pecar de exageración:
ε = 2 _ 0.1 = 0.2 mm
(8.5)
Una vez establecidos estos valores, puede partirse, para comenzar el diseño, de una determinada velocidad. En la tabla 2.3 del capítulo 2 se recomienda una velocidad comprendida entre 1 y 3 m/s para distribuciones de agua en general. Se partirá de un valor de 3 m/s, por resultar más económico (diámetro más pequeño). El diámetro interior de la tubería se calculará entonces: A=
D=
π D2 Q = 4
V
4 Q = 0.437 m π V
(8.6)
(8.7)
Debe seleccionarse el diámetro normalizado más próximo a este valor. La tubería de 18" (457.2mm) de diámetro nominal exterior tendrá un diámetro interior: D = 0.4572 - 2 _ 0.01 = 0.4372 m
(8.8)
Por tanto, puede ser válida en principio la tubería de 18". Ahora deben calcularse las
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pérdidas de carga totales. Con los valores de Re y ε/D se obtiene un valor aproximado del coeficiente de fricción de 0.017. Las pérdidas de carga serán, entonces: 2
h p1-3
8 f L1-3 Q = = 43.5 m g π 2 D5
(8.9)
Puesto que el desnivel disponible es de 50m, puede ser válido el diámetro seleccionado. La regulación en este caso puede realizarse de dos maneras: - Colocando una válvula reguladora que fije el caudal en el valor deseado en cada momento. - Mediante una válvula de cierre que actúe gobernada por un sensor de flotador colocado en el depósito inferior. La instalación suministrará durante cierto tiempo el caudal máximo, hasta que el nivel en el depósito alcance un valor determinado. En ese momento el sensor de flotador cierra la válvula, que permanece cerrada hasta que el nivel en el depósito baja y alcanza un valor determinado. Otra posible solución, ajustando más en lo económico, sería colocar parte de la tubería de 18" y parte de 16", de forma que las pérdidas de carga fueran iguales al desnivel. Esta solución sería válida siempre la velocidad resultante no fuera mucho mayor que los 3 m/s recomendados como máximo. En el presente caso las pérdidas de carga son un poco inferiores al desnivel existente. También podría ocurrir que el desnivel fuera muy superior a las pérdidas de carga. En ese caso, la elección de un diámetro de 18" sería antieconómica, puesto que se estaría suministrando un caudal muy superior al necesario. Convendría disminuir el diámetro para aprovechar mejor el desnivel, siempre que la velocidad resultante no fuera demasiado elevada. El perfil del sistema también puede ser un factor importante a tener en cuenta. En este caso se ha dimensionado la tubería considerando solamente el desnivel total entre los puntos 1 y 3. Pero también debe calcularse la presión en el punto 2. Si esta presión es inferior a la atmosférica (presión relativa negativa) pueden aparecer problemas: entrada de aire o aguas contaminadas del subsuelo en la tubería, mal funcionamiento de las válvulas de purga de aire, e incluso colapso de las tuberías. Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 1 y 2 puede calcularse la presión relativa a la atmosférica en 2: 2
z1 - h p1-2 = z 2 +
v2 + P2 2 g ρ g
(8.10)
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172
De aquí se obtiene: P 2 = 20 - 0.459 - 27.64 = - 7.64 m ρ g
(8.11)
P 2 = - 75 kPa
(8.12)
Para evitar que esta presión en el punto 2 sea inferior a la atmosférica debe optarse por un diámetro superior para la tubería entre los puntos 1 y 2. El siguiente diámetro normalizado es el de 20", que se corresponde con un diámetro interior de 0.488 m. La nueva velocidad es:
V =
4 Q
π D2
= 2.4 m/s
(8.13)
Con los nuevos valores de ε/D y Re se obtiene un valor aproximado del coeficiente de fricción de 0.0165. Planteando de nuevo la ecuación de la energía se obtiene:
P 2 = 20 - 0.29 - 15.23 = 4.48 m ρ g
(8.14)
P 2 = 43.9 kPa
(8.15)
De esta forma ya se tiene solucionado el problema. Se puede intentar una solución más económica seleccionando para el tramo 2-3 un diámetro inferior: 16". El diámetro interior correspondiente es 0.3864m, y la nueva velocidad 3.84 m/s. No es muy superior a los 3 m/s recomendados en la tabla 2.3, por tanto puede ser válido. Con los valores de ε/D y Re correspondientes a este tramo se obtiene un coeficiente de fricción de 0.0172, y la pérdida de carga es: h p2-3 = 30.3 m
(8.16)
Por tanto, la pérdida total de carga será: h p1-3 = h p1-2 + h p2-3 = 15.23 + 30.6 = 45.83 m
(8.17)
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Al ser un valor inferior, pero parecido, al del desnivel existente, pueden considerarse válidos los diámetros seleccionados. En la instalación calculada no existen problemas de sobrepresiones excesivas, porque el desnivel total es de 50m, y las tuberías de acero estándar suelen soportar presiones de hasta 50 kg/cm2 (500m de columna de agua). Si las tuberías no son de acero deberá prestarse atención a la presión que pueden resistir, evitando que en algún punto se alcance la misma. En caso de desniveles muy grandes será necesario incluir uno o varios dispositivos de reducción de presión. Estos dispositivos pueden ser depósitos intermedios o válvulas reductoras de presión. La primera solución es más recomendable, porque en caso de avería de un depósito la única consecuencia es una pérdida de agua. En cambio, una avería en una válvula reductora de presión puede originar sobrepresiones excesivas aguas abajo que dañen la instalación. 8.4.2 RED GENERAL DE DISTRIBUCIÓN POR BOMBEO
Considérese el siguiente ejemplo: se necesita una tubería horizontal de 3000 m de longitud capaz de suministrar 0.4 m3/s de agua. La demanda hace que las bombas necesiten funcionar durante 5 horas al día. Se va a intentar seleccionar el diámetro de tubería más económico, basándose en las siguientes suposiciones: - El coste de la energía eléctrica es de 10 pesetas el kW h. - El rendimiento de la estación de bombeo es del 80%. - Espesor de 10mm y un coeficiente de fricción constante de 0.015 en todas las tuberías. - El coste de la instalación de bombeo se amortizará en 20 años con un interés del 10%. - El coste de la tubería se amortizará en 40 años con un interés del 10%. Para poder escoger el diámetro más económico, debe calcularse el coste total anual correspondiente a diferentes diámetros. Este coste total es la suma del coste de las conducciones y el coste de bombeo. Como ya se ha comentado, se recomienda que la velocidad en este tipo de sistemas esté comprendida entre 1 y 3 m/s. Los diámetros nominales que cumplen esta limitación son los comprendidos entre 18" y 28". A continuación se recogen los diámetros interiores de estas tuberías y unos costes unitarios aproximados. D 18" 20" 22" 24" 26" 28"
Diámetro interior (m) 0.4372 0.4880 0.5388 0.5896 0.6404 0.6912
Coste unitario (pts/m) 24200 28600 33000 37300 41600 45900
Una vez calculado el coste total de cada tubería, puede calcularse el coste anual de la
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forma siguiente: C anual = C total
i ( 1 + i )n ( 1 + i )n - 1
(8.18)
siendo i el interés neto y n el número de años de amortización. De esta forma, el coste de las tuberías será: D 18" 20" 22" 24" 26" 28"
Coste total (pts) 72600000 85800000 99000000 111900000 124800000 137700000
Coste anual (pts/año) 7424033 8773857 10123682 11442828 12761974 14081121
Dentro del coste de bombeo se incluye el coste de la energía y el coste de instalación de la estación. Para calcular el coste de la energía debe conocerse la altura de elevación de las bombas, que será igual a las pérdidas de carga lineales: 8 f L Q2 H B = hp = g π 2 D5
(8.19)
A continuación se calcula la potencia consumida por la estación de bombeo: Pot =
ρ g H Q η
(8.20)
El coste anual de la energía será: C anual = Pot (k W) 5
h as pts Ía 365dÍ æo 10 d a kW h
(8.21)
Todo lo referente al cálculo del coste de la energía se recoge a continuación. D 18" 20" 22" 24" 26" 28"
HB (m) 37.28 21.52 13.11 8.36 5.53 3.77
Pot (kW) 183 105 64 41 27 18
Coste anual (pts/año) 3339750 1916250 1168000 748250 492750 328500
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A continuación, debe estimarse el coste total de la instalación de la estación de bombeo, calculándose el coste anual igual que en el caso de las tuberías: D 18" 20" 22" 24" 26" 28"
Coste total (pts) 14000000 9000000 6200000 4700000 3700000 3200000
Coste anual (pts/año) 1644435 1057136 728250 552060 434600 375870
Por último, se suman los costes correspondientes a las tuberías y al bombeo, para obtener los coste totales. D 18" 20" 22" 24" 26" 28"
Tuberías (pts/año) 7424033 8773857 10123682 11442828 12761974 14081121
Bombeo (pts/año) 4984185 2973386 1896250 1300310 927350 704370
Coste total (pts/año) 12408218 11747243 12019932 12743138 13689324 14785491
Según estos resultados el diámetro más económico será el de 20". En la figura 8.7. se representan gráficamente los resultados obtenidos.
Figura 8.7 Cálculo del diámetro más económico A continuación se realizan algunas consideraciones sobre los resultados obtenidos.
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Se ha calculado la instalación para el caso de que las bombas funcionen en el punto de máximo rendimiento. Para conseguir que esto ocurra en la realidad, deben diseñarse depósitos adecuados, de forma que las bombas no tengan que acomodar sus prestaciones a una demanda variable. Las bombas funcionarán entonces próximas al rendimiento máximo, para reemplazar el agua extraída del depósito. Si no es posible hacerlo de esta forma, el cálculo se realizará utilizando un rendimiento de las bombas menor. Esto implica que los costes de bombeo serán mayores. Es muy difícil realizar una estimación precisa del precio de la energía y de los tipos de interés. Estas estimaciones siempre introducen un grado de incertidumbre en los cálculos. Cuando en los cálculos se obtiene un diámetro de tubería pequeño junto con una altura de elevación de la bomba grande, debe prestarse especial atención a que no se sobrepase la presión de diseño de la tubería. En caso de que esto ocurra, se elegirá un diámetro mayor. Otro aspecto interesante a determinar es el número de estaciones de bombeo más adecuado. Una ventaja de colocar varias estaciones de bombeo en diferentes puntos del sistema es la posibilidad de utilizar tuberías con menor presión de diseño, lo que puede traducirse en importantes ahorros. Otra ventaja es que las bombas con menor altura de elevación están sometidas a un menor desgaste, especialmente si el agua contiene sustancias sedimentables. Por último, es posible que al principio no sean necesarias todas las estaciones, reduciéndose de esta forma la inversión inicial. Los aspectos negativos de esta solución se derivan del coste global de instalar varias estaciones: costes de llevar energía a diferentes lugares, accesos, etc., y de la mayor complejidad de los equipos de control y protección necesarios.
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APÉNDICE A CÁLCULO DE REDES DE TUBERÍAS Este apéndice está dedicado a los sistemas de cálculo de redes de tuberías. Se exponen cuatro métodos: Nudos, Mallas, Newton-Raphson y Lineal. Los dos primeros son aptos para el cálculo manual de sistemas sencillos, los dos últimos sólo son aplicables con ayuda de ordenador.
A.1 PLANTEAMIENTO GENERAL En el terreno académico, los problemas de cálculo de caudales y pérdidas de carga que se suelen explicar son una sencilla combinación de algún depósito, con una bomba y una o dos ramas en paralelo (aunque los alumnos no acostumbren a estar de acuerdo con lo de sencilla). Y uno se puede preguntar, ¿qué pasa en la vida extra-académica? (no se utiliza el término vida real porque la vida académica también es real). Lo cierto es que los problemas no suelen ser mucho más complicados, salvo que los datos que se necesitan hay que buscarlos -con la requemante duda de si sobran o faltan- y no se tiene cerca al siempre amable y comprensivo profesor para preguntarle las dudas, ni se puede quejar uno de que el problema está mal planteado o faltan datos y no se puede hacer. En cualquier caso, los sistemas industriales se pueden reducir casi siempre a casos sencillos, sin más complicación que un sinfín de codos, válvulas y demás accesorios, al menos en lo que a caudal y pérdidas de carga se refiere. Harina de otro costal son los problemas de cavitación y transitorios que, si no se han resuelto adecuadamente en el diseño, pueden aparecer después de construida la instalación y muchas veces requieren la ayuda de un especialista. Cuando el sistema se enreda -empiezan a menudear los nudos y las tuberías en
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paralelo- la dificultad aumenta, pero no de forma lineal sino cuadrática, igual que no son lineales los sistemas de ecuaciones que hay que plantear. Para estos casos se van a explicar ahora unos métodos iterativos de resolución. Los dos primeros, nudos y mallas, son adecuados para la resolución manual, mientras que el método de Newton-Raphson y el lineal sólo son adecuados para la resolución con ordenador. En el fondo estos métodos son distintas formas de resolver un sistema de ecuaciones, en el que las incógnitas son el caudal por cada tubería y las alturas en los extremos de la tubería, o la pérdida de carga en ella. Las ecuaciones a resolver son la continuidad en los nudos (uniones de tuberías): ∑ Q= 0
(A.1)
y la pérdida de carga en las tuberías: hp = H j - Hi = k Q
2
(A.2)
Téngase en cuenta que la resistencia de la tubería, k, no es del todo constante, sino que depende de Re. Aunque al plantear las fórmulas se va a considerar como una constante, debe corregirse en las sucesivas iteraciones.
A.2 MÉTODO DE NUDOS La idea general del método de nudos consiste en suponer unas alturas en los nudos (extremos de las tuberías) para calcular a partir de ellas el caudal que circula por cada tubería. Estas alturas se van ajustando iterativamente, hasta que se consigue hacer cumplir la ecuación de continuidad en los nudos. A.2.1 CONDICIONES DE CONTORNO
- La altura en los depósitos permanece siempre constante, sea cual sea el caudal que entre o salga. - Los caudales fijos Ci que salen de un nudo también permanecen constantes independientemente de la altura del nudo. A.2.2 CONVENIO DE SIGNOS
* Hi: altura del nudo i * Qij: caudal por la tubería del nudo i al j (positivo si va en la dirección i-j) * Ci: caudal constante del nudo i (positivo si es saliente)
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Figura A.1 Ejemplo de sistema para el cálculo por el método de nudos
A.2.3 ECUACIONES
Para calcular el caudal por la tubería i-j se utiliza: Qij =
Hi - H j k ij | H i - H j |
(A.3)
De esta forma, el caudal se obtiene con el signo correcto. kij es siempre positiva en cualquier dirección. Si hay alguna bomba en la tubería se utiliza: Qij =
Hi - H j ± HB k ij | H i - H j ± H B |
(A.4)
El signo de la altura de la bomba es positivo si bombea de i a j, y negativo en caso contrario. HB depende del caudal, y a veces se puede modelizar mediante una parábola: HB = A Q2 + B Q + C u otra ecuación, al menos en el tramo útil de funcionamiento. De todas formas, la ecuación A.2 habrá que resolverla de forma iterativa: suponer un caudal,
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calcular HB, calcular Qij, corregir, etc. Debe tenerse en cuenta que el caudal sólo puede circular en el sentido marcado por la bomba, porque de otra manera no tiene sentido físico. Además suele existir una válvula antirretorno para ayudar al sentido común. Si en algún momento se obtuviera un caudal en sentido inverso al de la bomba, habría que considerarlo nulo o replantearse las suposiciones iniciales de alturas en los nudos. A.2.4 FORMA DE RESOLUCIÓN
El esquema de resolución es el siguiente: Suponer unas alturas H* en todos los nudos libres. Repetir Para cada nudo i libre Calcular Q*ik con todos los nudos adyacentes (conectados) Corregir la altura con la fórmula ** * Hi = Hi +Δ Hi
(A.5)
Donde
Δ Hi= -2
∑Q
* ik
+ Ci
k
*
Qik ∑ * * H i - H k ± H Bik
(A.6)
Hasta que | Hi*n-1 - Hi*n | < error (en todos los nudos) Es decir, en cada nudo se calculan todos los caudales y se comprueba que no se cumple la continuidad en el nudo. A continuación se corrige la altura en ese nudo -bajar la altura si llega caudal en exceso y subirla si sobra-, luego se pasa al siguiente nudo y se repite la operación. Cuando se ha acabado con todos los nudos, se vuelve a empezar por el primero, pues las correcciones de los nudos adyacentes pueden haberlo desequilibrado. Así se continúa hasta que todo queda ajustado.
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181
A.2.5 FÓRMULA DE CORRECCIÓN
La fórmula de corrección de altura supuesta (A.6) se obtiene exigiendo que se cumpla la ecuación de continuidad en el nudo:
∑Q + C = 0 i
ik
(A.7)
k
con Qik = f (Hi-Hk ). Pero Hi no es la correcta, sino que se ha supuesto una altura Hi* con un error ΔHi. Desarrollando Qik = f (Hi* + ΔHi - Hk ) en serie de Taylor, cogiendo los dos primeros términos y sustituyendo en A.7 se despeja ΔHi , obteniéndose la fórmula A.6. Este es un método relativamente fácil de aplicar, especialmente indicado para resolver sistemas con depósitos y sin bombas. Su rapidez de convergencia depende mucho de lo buena que sea la hipótesis inicial. Una elección nada comprometida consiste en suponer en todos los nudos la misma altura, por ejemplo la media de los depósitos.
A.3 MÉTODO DE MALLAS O HARDY-CROSS Si el método anterior se basaba en suponer unas alturas en los nudos e iterar hasta conseguir que se cumpliese la continuidad, éste viene a ser su complementario pues se van a suponer unos caudales y se va a iterar de forma que se ajusten las pérdidas de carga. La ecuación que se va a forzar es que la suma de las pérdidas de carga alrededor de un camino cerrado -malla- es nula:
∑
hp = 0
(A.8)
malla
Figura A.2 Ejemplo de sistema para el cálculo por el método de mallas
A.3.1 CONVENIO DE SIGNOS
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Para comenzar se divide la red en mallas cerradas, de forma que todas las tuberías formen parte al menos de una malla. Si alguna tubería no se puede encerrar en una malla deberá calcularse aparte. Se asigna un número a las tuberías de cada malla, y un sentido positivo arbitrario también a cada malla (véase la figura A.2). Las tuberías se conocen por dos subíndices: el primero corresponde a la malla, y el segundo al número de la tubería dentro de la malla. El caudal es positivo si tiene la misma dirección que el sentido positivo de la malla. Así se aseguran los signos adecuados en el sumatorio de hp (A.8). Puede haber tuberías que tengan no sólo varios nombres (números) sino diferentes sentidos. Debe coincidir entonces el módulo del caudal. Por ejemplo, en la figura A.2 se cumple: Q13 = - Q21. A.3.2 ECUACIONES
La pérdida de la carga en las tuberías se calcula como: h pij = k ij | Qij | Qij ± H Bij
(A.9)
De esta forma el signo de hp es siempre el adecuado. En caso de existir alguna bomba, hay que tener en cuenta su dirección: (-) si coincide con la dirección de la malla y (+) al contrario. HB depende del caudal, pero como aquí es un dato del cálculo no hay ningún problema. En el caso de que el caudal sea en sentido contrario al de flujo de la bomba, se puede asignar a HB el valor máximo (correspondiente a caudal nulo) y dejar el sistema seguir adelante. Considerar nulo el caudal por esa tubería complica demasiado el asunto. A.3.3 FORMA DE RESOLUCIÓN
El esquema de resolución es el siguiente: Suponer Q* por todas las tuberías de forma que se cumpla la ecuación de continuidad en los nudos. Repetir Para cada malla i Calcular la pérdida de carga por cada tubería de la malla:
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*
*
h pij= k ij |Qij| Qij ± H Bij *
(A.10)
Corregir el caudal de todas las tuberías de la malla: **
*
Qij = Qij + Δ Qi
(A.11)
donde ΔQi es el caudal de corrección de la malla:
(A.12) Hasta que |ΔQi| < error (en todas las mallas). Se han supuesto unos caudales por las tuberías, y ahora debe comprobarse que la suma de pérdidas de carga en cada malla sea nula. Si no lo es, se corrige el caudal de esa malla. Al sumar o restar el mismo valor a todas las tuberías de la malla se sigue manteniendo la continuidad en los nudos. Cuando se ha terminado con todas las mallas, se vuelve a empezar, porque las correcciones de una malla desequilibran a las laterales. Se procede así hasta conseguir un ajuste adecuado. A.3.4 FÓRMULA DE CORRECCIÓN
Se define de forma similar al método anterior, suponiendo que si el caudal real es Qij y el supuesto Q*ij: *
Qij = Qij + Δ Qi
(A.13)
A continuación se despeja en la ecuación A.9, se desarrolla en serie de Taylor y se sustituyen los dos primeros términos en A.8. A.3.5 TUBERÍAS Y DEPÓSITOS SUELTOS
Si hay una tubería o un depósito sueltos, no se pueden conectar en ninguna malla y es necesario calcularlos aparte.
Sistemas de Bombeo
184
Figura A.3 Tuberías y depósitos sueltos en el método de mallas El caudal viene dado por las condiciones de contorno del sistema y la pérdida de carga se obtiene directamente. Si existen dos o más depósitos producen una indeterminación en las condiciones de contorno de la red y esto no se puede obviar. Deben encerrarse en mallas ficticias no cerradas. Para este caso:
∑h =-Δ H
D
(A.14)
Δ H D = H D1 - H D2
(A.15)
p
malla
donde:
con el sentido indicado en la figura A.4.
Figura A.4 Sistemas con dos depósitos en el método de mallas
Sistemas de Bombeo
185
La ecuación de corrección toma la forma siguiente:
Δ Qi = -
∑h j
* pij
2∑ j
+Δ HD *
h pij
(A.16)
*
Qij
Este es un método también relativamente fácil, muy útil cuando hay bombas, y mejor si escasean los depósitos. Su rapidez depende de la hipótesis inicial de caudales.
A.4 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON La idea de fondo consiste en plantear el sistema de ecuaciones global del método de nudos, y resolverlo por medio del método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales. A.4.1 ECUACIONES
El sistema de ecuaciones global es el que se obtiene de sustituir:
1
Qij =
k ij
Hi - H j
(A.17)
en la ecuación de continuidad de los nudos:
∑Q + C = 0 i
ij
(A.18)
j
Es decir:
∑k
-1/2 ij
( H i - H j )1/2 + C i = 0
(A.19)
j
donde las H son las incógnitas. El método de Newton-Raphson plantea lo siguiente: sea un sistema de ecuaciones f (x) cuya solución correcta es x0 (es decir, f (x0) = 0). Si se parte de una primera aproximación
Sistemas de Bombeo
186
a la solución, x1, resulta que x1 + δx1 es una mejor aproximación de la solución, si:
δ x1 =
f ( x1 ) f ′ ( x1 )
(A.20)
Esto se obtiene al desarrollar en serie de Taylor:
f ( x1 + δ x1 ) = f ( x1 ) + f ′ ( x1 ) δ x1 +
f ′′ ( x1 ) δ x12 + K 2
(A.21)
Despreciando los términos desde el segundo orden en adelante:
0 = f ( x1 ) + f ′ ( x1 ) δ x1
(A.22)
Este es el sistema que hay que resolver, donde la incógnita es δx1, y x1 es la aproximación anterior. Si la función tiene n componentes, y depende de n variables, se puede desarrollar el sistema en forma matricial: ⎛∂ f ∂ f 2 ...... ∂ f 1 ⎞⎟ ⎛ δ ⎜ 1 ⎜ ⎜ ∂ x1 ∂ x 2 ∂ xn ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ...... ...... ...... ......⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ...... ...... ∂ f n ⎟ ⎜ ⎜∂ fn ⎜ ⎜∂ ∂ x n ⎟⎠ ⎝ δ ⎝ x1
x1 ⎞ ⎛⎜ ⎟ .⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .⎟ = - ⎜ ⎟ ⎜ .⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn ⎠ ⎝
f 1⎞ ⎟ .⎟ ⎟ .⎟ ⎟ .⎟ ⎟ f n⎠
(A.23)
En el caso particular de un sistema de tuberías, las ecuaciones son: f i ( x1 K x n ) = ∑ Qij + C i
(A.24)
-1/2 f i ( x1 K xn ) = ∑k ij-1/2 ( H i - H j ) ( | H i - H j | ) + C i = 0
(A.25)
j
j
Sistemas de Bombeo
187
-1/2 ∂ fi ∂ fi k ij ( | H i - H j | )-1/2 == ∂ xj ∂ H j 2
(i ≠ j)
⎡ k ij-1/2 ⎤ ∂ fi = ∑ ⎢ ( | H i - H j | )-1/2 ⎥ ∂ xi 2 j , j ≠i ⎣ ⎦
(A.26)
(A.27)
Las funciones fi sólo se plantean en los nudos libres, así como las derivadas de fi sólo se calculan respecto a las alturas de los nudos libres adyacentes. Hay que tener en cuenta que tanto al hallar fi como sus derivadas parciales debe contarse también con los nudos fijos adyacentes. Si en la rama i-j hay una bomba se plantea de la forma siguiente: -1/2 Qij = k ij-1/2 ( H i - H j ± H B ) ( | H i - H j ± H B | )
(A.28)
-1/2 ∂ fi k = - ij ( | H i - H j ± H B | )-1/2 ∂Hj 2
(A.29)
con +HB si bombea en la dirección i-j y -HB en caso contrario. Se puede empezar el cálculo con HB máxima (Q = 0) y en las sucesivas aproximaciones calcularla a partir del caudal hallado en la iteración anterior. Se comienza suponiendo unas alturas en los nudos. Con esas alturas se calculan las fi y sus derivadas parciales. Se plantea y resuelve el sistema de ecuaciones -por Gauss u otro método cualquiera-, se corrigen las alturas y se vuelve a empezar. A.4.2 FORMA DE RESOLUCIÓN
El esquema de resolución es el siguiente: Suponer H* en los nudos libres. Repetir Para cada nudo i libre Calcular Q*ij con los nudos adyacentes Calcular f i = ∑ Qij + C i j
Sistemas de Bombeo
188
Calcular
∂ fi ∂Hj
Calcular
∂ fi ∂ Hi
Resolver el sistema
d f δ H = - f ( H* ) * dH
Corregir H ** = H * + δ H Hasta que δ H < error Este es un método bastante rápido, que maneja bien tanto bombas como depósitos pero que, por la necesidad de resolver grandes sistemas de ecuaciones, no es apto para el cálculo manual. Como dice una de las leyes de Murphy: "Para hacer las cosas difíciles es suficiente con uno mismo, pero si se quieren hacer realmente complicadas hace falta un ordenador".
A.5 MÉTODO LINEAL De manera análoga al método anterior, este se apoya en las ecuaciones del método de mallas para plantear un sistema no lineal global y resolverlo iterativamente. A.5.1 ECUACIONES
Las ecuaciones que se pueden plantear en un sistema de bombeo son las de continuidad en los nudos y las de pérdida de carga: ∑Q+C =0
(A.30) 2 H i - H j = k ij Q
Las variables de altura Hi se eliminan sumando las pérdidas de carga en mallas cerradas y resulta un sistema con sólo los caudales como incógnitas:
∑ Q+C
=0
nudo
(A.31)
∑kQ
malla
2
=0
Sistemas de Bombeo
189
La forma de resolver este sistema no lineal es sustituyendo:
k′ = k Q
(A.32)
De esta forma, las ecuaciones de las mallas se convierten en lineales:
∑ k′ Q
=0
(A.33)
malla
Como no son conocidos los valores de Q para hallar k', se comienza suponiendo unos -o bien tomando k' = k - y se itera cambiando los valores de k' con el caudal hallado en la iteración anterior. En realidad en la bibliografía consultada se dice que en vez de utilizar el caudal de la iteración anterior ,se halla la media de los dos anteriores: ⎛ Q n - 2 + Q n -1 ⎞ ⎟ k ′ = k ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ n
(A.34)
Los autores sugieren que en vez de esta ecuación se pruebe con: n k′ = k
Q
n- 2
Q
n -1
(A.35)
que sería más correcta según la filosofía del método. Pero no aseguran que se obtenga algo decente. A.5.2 CONDICIONES PARTICULARES
Según las condiciones de contorno, depósitos y bombas, habrá que tener en cuenta los siguientes criterios a la hora de plantear el sistema de ecuaciones: Sistemas con todos los caudales entrantes/salientes al sistema definidos
Sobra una de las ecuaciones de continuidad en los nudos (dependiente de las demás). Hay que eliminarla al resolver el sistema.
Sistemas de Bombeo
190
Figura A.5 Sistema con todos los caudales definidos Sistemas con un depósito
En realidad el caudal por la tubería a-b es conocido por la continuidad global del sistema, con lo que se puede reducir al caso anterior. Se puede mantener Qa-b como variable, sin utilizar la continuidad en el nudo a para que el sistema sea independiente, pero se está aumentando en una dimensión para hallar un dato conocido. La altura del depósito sirve como referencia para hallar las alturas en los nudos a través de las pérdidas de carga.
Figura A.6 Sistema con un depósito Al no poder incluir la tubería a-b en ninguna malla, la pérdida de carga en ella no se obtiene tras resolver el sistema y hay que calcularla aparte. Sistemas con varios depósitos
Debe definirse una malla ficticia (ver método de mallas): ∑ h p = Δ H dep
(A.36)
No hace falta incluir la ecuación de continuidad en los nudos que son depósitos, pero sí todas las demás ecuaciones.
Sistemas de Bombeo
191
Figura A.7 Sistema con dos depósitos Bombas en una malla
En vez de sustituir HB en función del caudal, resulta mejor considerar que la pérdida de carga en la malla es igual a la altura que proporciona la bomba:
∑ k′ Q = H B
(A.37)
introduciendo HB en los términos independientes. Se calcula con el caudal de la iteración anterior.
Figura A.8 Sistema con una bomba
A.5.3 SISTEMA PLANTEADO
Va a constar de una parte invariante: continuidad en los nudos, y otra que cambia en cada iteración: pérdida de carga en las mallas. Los términos independientes de la primera son los caudales salientes, y los de la segunda la diferencia de altura entre depósitos, altura de las bombas, o cero:
Sistemas de Bombeo
192
A.5.4 FORMA DE RESOLUCIÓN
El esquema de resolución es el siguiente: Asignación de la parte invariante del sistema (continuidad en nudos) Repetir Para cada malla Calcular las k' Calcular Hb Resolver el sistema de ecuaciones Hasta que | Qn-1 - Qn | < error. A.5.5 PROPUESTA DE NOMENCLATURA Y CONVENIO DE SIGNOS
* Numerar los nudos. * Definir tuberías y caudales por los nudos de los extremos: Tij , Qij * Definir como sentido positivo el que va del nudo con menor número al nudo con mayor número. Así:
Q13 = Q31
Q13 > 0 si va de 1 a 3, y Q13 < 0 si va de 3 a 1
* Definir las mallas por los nudos que los componen según el orden de recorrido: 1-28-7 * Los coeficientes k' tendrán signo positivo en el sistema si al recorrer la malla se pasa de un nudo menor a otro mayor y negativo en caso contrario, así la línea de esta malla en el sistema sería: k12 ... - k17 ... k28 ... - k78
Sistemas de Bombeo
193
A.5.6 COROLARIO
Este es el método más rápido de los cuatro explicados. Tiene el inconveniente de utilizar a la vez nudos y mallas, lo que hace confusa la nomenclatura y engorrosa la definición de los convenios de signos. Por otra parte, de las tuberías que no están incluidas en ninguna malla sólo se obtiene el caudal, y así la bomba de la figura A.8 no contaría en absoluto a la hora de resolver el sistema. Pero esto no quiere decir que el método no sea bueno, únicamente que se debe complementar con otros cálculos.
A.6 EJEMPLOS EJEMPLO 1
Dado el sistema de tuberías de la figura, plantear un método de resolución y realizar una iteración.
D = 0.2m L = 1000m v = 10-6 m2/s (Para todos los tramos de tubería)
Datos:
ε = 0.4mm
Resolución
Al tener varios depósitos, en este caso el método más adecuado es el de nudos. En principio, se supone flujo turbulento completamente desarrollado. Se obtienen los siguientes valores para la resistencia de las tuberías:
f = 0.0234
k = 6053
Sistemas de Bombeo
194
Al llegar a la solución final habría que comprobar que la suposición inicial es correcta, y en caso contrario corregir los valores. Se hace una suposición de alturas en los nudos:
HD = 40m
HE = 30m
HG = 50m
HF = 40m
La primera iteración consistiría en lo siguiente: Nudo (i)
Tubería (i-j)
Hi-Hj
Qij
Qij / (Hi-Hj)
ΔHi
D
DA DE DG
0 10 -10
0 0.04 -0.04
0.004 0.004
0
ED EB EF
-10 10 -10
-0.04 0.04 -0.04
0.004 0.004 0.004
6.6
FE FG CF
3.4 -10 -
0.023 -0.04 0.2
0.007 0.004 -
-33.2
GC GD GF
-10 10 43.3
-0.04 0.04 0.08
0.004 0.004 0.002
-16
E
F
G
Con los valores obtenidos ΔHi se corrigen las alturas de los nudos:
HD = 40m
HE = 36.6m
HF = -33.2m
HG = 34m
EJEMPLO 2
Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga k constantes.
Sistemas de Bombeo
Datos:
195
k12 = 1800
k23 = 20000
k34=1800
k14 = 680
k24 = 6000
Resolución
En primer lugar, debe hacerse una suposición de caudales: Malla I: Malla II:
Q12 = 350 l/s Q23 = 240 l/s
Q14 = -650 l/s Q34 = -760 l/s
Q24 = 110 l/s Q24 = -110 l/s
La primera iteración será: Tubería
Qi
hpi
hpi / Qi
ΔQi
Malla I
1-2 1-4 2-4
0.35 -0.65 0.11
220.5 -287.3 72.6
630 442 660
-0.0016
Malla II
2-3 3-4 2-4
0.24 -0.76 -0.1084
115.2 -1039.6 -70.5
4800 1368 650.4
-0.003
Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos ΔQi. Nótese que el caudal Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor ΔQI = -0.0016 obtenido previamente en la malla I. A continuación se repite el proceso: Tubería
Qi
hpi
hpi / Qi
ΔQi
Malla I
1-2 1-4 2-4
0.348 -0.652 0.111
217.9 -289 73.9
626.4 443.3 666
-0.0008
Malla II
2-3 3-4 2-4
0.237 -0.763 -0.11
112.3 -1047.9 -72.6
4740 1373.4 660
-0.00018
La aproximación es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal son los siguientes:
Q12 = 0.3472 m3/s Q14 = -0.6528 m3/s Q23 = 0.2368 m3/s Q34 = -0.7632 m3/s Q24 = 0.1104 m3/s
Sistemas de Bombeo
197
APÉNDICE B RESOLUCIÓN DEL GOLPE DE ARIETE POR DIFERENCIAS FINITAS Se explica en este anexo cómo resolver el problema del golpe de ariete por diferencias finitas. Utilizando unos intervalos adecuados, se puede obtener la solución a lo largo de la tubería de una forma muy exacta. El método está expuesto de forma simplificada. No es válido cuando existe separación de columna.
B.1 MÉTODO DE RESOLUCIÓN Para la aplicación de diferencias finitas se parte de las ecuaciones obtenidas con el método de las características. Con objeto de simplificar la notación, H designa la altura piezométrica; la velocidad del fluido se considera despreciable frente a la velocidad de onda.
Ecuación C+:
g dH dV f V | V | + + =0 a dt dt 2D dx =+ a dt
(B.1)
Sistemas de Bombeo
198
Ecuación C- : g dH d V f V | V | =0 a dt dt 2D dx =-a dt
(B.2)
La tubería se divide en m secciones iguales de longitud Δx= L/n, con lo que se definen n+1 nodos donde se realizan los cálculos. El intervalo de tiempo se define como el que la onda tarda en ir de un nodo a otro: Δt= Δx/a. Antes de que se produzca ningún transitorio, instante 0, se calcula la altura y velocidad en cada nodo i con la solución estacionaria Hi0, Vi0. A partir de esta condición inicial, la ecuación C+ transmite información desde cada nodo al que existe aguas abajo, y la C- al que tiene aguas arriba. Aplicando diferencias finitas a estas ecuaciones: dH = H ti +1 - H ti ±1 dV = V ti +1 - V ti ±1
(B.3)
dt = Δt
y haciendo una hipótesis de primer orden en la velocidad para el tercer término de las ecuaciones: Q=Q ti±1 (esta hipótesis es válida para la mayor parte de los problemas): a a f Δt t t ( V ti +1 - V ti -1 ) + Q i -1 | Q i - 1 | = 0 g 2 g D
(B.4)
a a f Δt t t ( V ti +1 - V it +1 ) Qi +1 | Qi +1 | = 0 g 2 g D
(B.5)
C + : H ti +1 - H ti -1 +
C - : H ti +1 - H it +1 -
Con estas ecuaciones se pasa de una solución conocida en todos los nodos en el instante t a la solución en el instante t+1. En los nodos extremos sólo existe una ecuación y para calcular la solución hay que acudir a las condiciones de contorno. Véase la figura B.1. Como todas los términos H y V son conocidas en el instante t, las ecuaciones anteriores se pueden simplificar:
Sistemas de Bombeo
C + : H it +1 = -
C - : H it +1 =
199
a t +1 t Vi +B P g
a t +1 Vi +B M g
t
(B.6)
(B.7)
Donde B Pt = H ti -1 +
a t a f Δt t t Q i -1 | Q i -1 | V i -1 g 2gD
(B.8)
Y B M t = H it +1 +
a t a f Δt t t Qi +1 | Qi +1 | V i +1 g 2gD
(B.9)
De estas dos ecuaciones se puede despejar: t +1 Hi =
B Pt+B M 2
t
(B.10)
y Vi t+1 se obtiene a partir de B.6 o B.7. La ecuación B.10 representa un sistema de n-1 ecuaciones que resuelven los n-1 nodos intermedios. Los nodos inicial (0) y final (n) deben resolverse con las condiciones de contorno. Por ejemplo, en el caso del cierre brusco de una válvula, la condición en el nodo del depósito es: t+1
H0
= H dep sito
(B.11)
y la condición en la válvula: t +1
Vn
=0
que al sustituirla en la ecuación B.6 resulta:
(B.12)
Sistemas de Bombeo
t +1
Hn
=B Pt
200
(B.13)
Repitiendo este proceso se van calculando las alturas y presiones para sucesivos instantes de tiempo, hasta que se alcanza una solución estacionaria o periódica (esto último cuando se desprecia el rozamiento).
Figura B.1 Representación gráfica del método de resolución
B.2 CONDICIONES DE CONTORNO En este apartado se van a sugerir algunas condiciones de contorno en forma adecuada
Sistemas de Bombeo
201
para su aplicación al método explicado. B.2.1 DEPÓSITO
Un depósito suficientemente grande no varía su altura durante el transitorio con lo que, suponiendo que es el nodo 0, la altura piezométrica será: H0
t +1
(B.14)
= HD
Si se desea tener en cuenta la pérdida de energía cinética en la entrada al depósito, se puede desdoblar la condición: t +1
H0
si V 0t +1 > 0
= HD
(B.15) t +1
H0
= HD -
( V 0t +1 ) 2 2 g
si V 0t +1 < 0
B.2.2 VÁLVULAS
La pérdida de carga en una válvula que se cierra, utilizando una ley de cierre (apartado 7.3.3) es: V V0
= Lc
hp h p0
(B.16)
donde V0 y hp0 son los valores estacionarios antes del tránsito, en principio conocidos y Lc se calcula en cada instante. Si la válvula está situada en el nudo j, la pérdida de carga es hp t+1 = Hjt+1 - Hj+1t+1. La velocidad tiene el mismo signo que la pérdida de carga, con lo que se puede t +1
V
t +1 j
=
V 0 Lc h p t +1 1/2 h p0 | h p |
(B.17)
escribir: Cuando la válvula es el último nodo antes de un depósito o de una salida a la atmósfera, la altura piezométrica aguas abajo Hj+1t+1 se sustituye por la altura piezométrica del depósito o la altura geométrica respectivamente.
Sistemas de Bombeo
202
B.2.3 PÉRDIDAS SINGULARES
Normalmente pueden integrarse en el coeficiente de fricción lineal de la tubería. Si representan una pérdida importante se utiliza la misma técnica que en las válvulas, pero con un coeficiente de pérdidas constante en el tiempo. B.2.4 BOMBAS
La curva característica de una bomba en funcionamiento se puede ajustar por una parábola HB = a0 + a1Q + a2Q2, al menos para flujos no muy distintos del de operación normal. Así se puede establecer 2 t +1 t +1 t +1 t H j +1 - H j = a0 + a1 S V j + a 2 S ( V j )
(B.18)
Esta ecuación no es válida para caudales o alturas de la bomba negativos -según el sentido de impulsión de la bomba- ni para las zonas de funcionamiento no estables de la curva característica. El arranque y parada de las bombas requiere condiciones de contorno especiales. En último extremo se puede considerar la parada de una bomba como el cierre brusco de una válvula. B.2.5 CAMBIO DEL TIPO DE TUBERÍA
Una variación de la rugosidad, diámetro o de los factores que afecten a la velocidad de onda requieren un tratamiento especial. En el nodo en el que este cambio se produzca, la altura y el caudal son únicos, pero las constantes de la ecuación C+ son diferentes de las de C-. Solamente debe procurarse que en todos los tramos de tubería el intervalo de tiempo Δt sea el mismo, ya que las ecuaciones deben resolverse en el mismo instante en todos ellos. Esto puede conseguirse ajustando la distancia entre nodos y/o la velocidad de onda. Dada la incertidumbre con que se conoce en la realidad la velocidad de onda, son admisibles variaciones de hasta un 10% ó 15%; este rango tiene poca influencia en las alturas máximas de cierres lentos. B.2.6 CHIMENEAS DE EQUILIBRIO
Suponiendo que en un intervalo de cálculo únicamente hay una pequeña variación de altura en la chimenea y que el diámetro de ésta es mucho mayor que el de la tubería, se pueden ignorar las fuerzas de inercia: la presión es hidrostática. El caudal procedente de aguas arriba (positivo o negativo) se divide entre el que
Sistemas de Bombeo
203
continúa aguas abajo y el que entra en la chimenea. Las ecuación C+ y C- tiene cada una su velocidad. Hay que añadir la ecuación de continuidad: t +1
Vi
t +1
t +1
(B.19)
S T = V j +1 S T + V C H S CH
y la que da el cambio de nivel en la chimenea en función del caudal que entra: t t +1 t H j = H j + V C H Δt
(B.20)
Esta es una aproximación de primer orden; una de segundo orden sería: H
t +1 j
= H jt +
t
t +1
V C H +V C H Δt 2
(B.21)
pero exige la solución de un sistema implícito. En cualquier caso, la exactitud de la solución mejora al disminuir Δt. Cuando exista una restricción a la entrada, la altura en la tubería será distinta que la altura en la chimenea, debido a la pérdida de carga, y hay que desdoblar la ecuación 3.20 en dos: t t +1 t H CH = H CH + V CH Δt
t +1
Hj
t +1 t +1 t +1 = H CH + K V CH | V CH |
(B.22)
(B.23)
donde K es un coeficiente de pérdidas en la entrada de la chimenea. B.2.7 DEPÓSITOS DE AIRE
La división de caudales es equivalente a la anterior, por lo que es válida la ecuación B.18. Además de esto aparecen dos variables nuevas: el volumen de aire en el recipiente y la presión absoluta en el mismo. Se utilizan las ecuaciones:
Sistemas de Bombeo
204
t +1 t t Vol D = Vol D + V D S D Δt
(B.24)
γ γ t +1 0 t +1 0 P abs D ( Vol D ) = P abs D ( Vol D )
(B.25)
en primera aproximación, donde γ es el exponente politrópico (entre 1.4 y 1). La altura en el nudo se obtiene de la presión en el recipiente restándole la presión atmosférica y sumando la cota geométrica. Si existe una restricción se sigue el mismo método que en el caso homólogo de la chimenea de equilibrio.
Sistemas de Bombeo
205
APÉNDICE C TABLAS Y GRÁFICOS C.1 EJEMPLO DE NORMATIVA SOBRE TUBERÍAS TUBERÍA DE ACERO, sin soldadura.
Normas:
DIN 2440/61 AFNOR 29025/59 B.S. 1387/57- Medium ISO / R-65- Medium Paso nominal pulgadas
mm
Diámetro exterior mm
Espesor mm
Peso Kg/m
1/8
6
10.2
2
0.407
1/4
8
13.5
2.35
0.650
3/8
10
17.2
2.35
0.852
1/2
15
21.3
2.65
1.22
3/4
20
26.9
2.65
1.58
1
25
33.7
3.25
2.44
1-1/4
32
42.4
3.25
3.14
1-1/2
40
48.3
3.25
3.61
2
50
60.3
3.65
5.10
2-1/2
65
76.1
3.65
6.51
3
80
88.9
4.05
8.47
3-1/2
90
101.6
4.05
9.72
4
100
114.3
4.50
12.1
5
125
139.7
4.85
16.2
6
150
165.1
4.85
19.2
Material: Prueba:
Acero St-00 o St-35, según DIN 1629. Se someten en fábrica a un ensayo de presión interna con agua a 50 kg/cm2.
Sistemas de Bombeo
C.2 DIAGRAMA DE MOODY
206
Sistemas de Bombeo
207
C.3 COEFICIENTES DE PÉRDIDAS SINGULARES Elementos
Entrada tubería Borde abrupto Borde redondeado Boca acampanada
Coeficientes de pérdidas ξ
0.5
Expansiones Contracciones 0.2 0.3 0.4 A2/A1 0.1 0.624 0.632 0.643 0.659 Cc
0.2 0.04 (1-A1/A2)2 (1/Cc-1)2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.681 0.712 0.755 0.813 0.892
Codos Radio pequeño, r/D=1 90º 45º 30º Radio grande, r/D=1.5 90º 45º 30º Codos bruscos 90º 60º 45º 30º Válvulas abiertas Esféricas Compuerta Mariposa Globo
0.24 0.1 0.06 0.19 0.09 0.06 1.1 0.55 0.4 0.15 0.05 a 0.2 0.1 a 0.3 0.2 a 0.6 3 a 10
Nota.- Una T puede considerarse, simplificando mucho, como un codo brusco.
Sistemas de Bombeo
C.4 NOMOGRAMA DE PÉRDIDAS SINGULARES
208
Sistemas de Bombeo
209
C.5 RUGOSIDAD DE LAS TUBERÍAS Material
Rugosidad ε (m)
Acero comercial
3 10-5 - 10-4
Plástico, Cobre
6 10-6 - 3 10-3
Hormigón
3 10-4 - 3 10-3
Hierro fundido
8 10-5 - 5 10-4
Hierro galvanizado
10-4 - 2 10-4
C.6 VELOCIDADES DE FLUJO UTILIZADAS HABITUALMENTE
FLUIDO
:Agua
UTILIZACIÓN
Agua en general
aspiración impulsión
0.5 - 1.5 1.0 - 3.0
Distribución en poblaciones línea principal red de distribución
1.0 - 2.0 0.5 - 1.2
Turbinas
Aceites
Aire
VELOCIDAD m/s
baja altura gran altura
3.0 3.0 - 7.0
Bombas de alimentación de calderas aspiración impulsión
0.3 - 0.5 2.0 - 2.5
Con sólidos en suspensión
0.5 - 2.0
Ligeros Pesados (dependiendo de la necesidad)
1.0 - 2.0 0.5 - 2.0
Baja presión Alta presión
12 - 15 20 - 25
Sistemas de Bombeo
210
C.7 VELOCIDADES PARA AGUA SEGÚN EL DIÁMETRO DE LA TUBERÍA Diámetro mm
Aspiración (m/s)
Impulsión (m/s)
Pulgadas
25 50 75 100 150 200 250 300 > 300
1.00 1.10 1.15 1.25 1.50 1.75 2.00 2.65 3.00
0.5 0.5 0.5 0.55 0.60 0.75 0.90 1.40 1.5
1 2 3 4 6 8 10 12 > 12
C.8 PÉRDIDAS DE CARGA RECOMENDADAS EN FUNCIÓN DEL CAUDAL Pérdida bar/100 m de tubería
0.5 - 1.4 0.3 - 1.1 0.2 - 0.9 0.1 - 0.5
Caudal m3/s
hasta 0.008 0.008 - 0.015 0.015 - 0.04 más de 0.04
C.9 MÓDULO DE ELASTICIDAD Y RELACIÓN DE POISSON DE DIFERENTES MATERIALES Material
Acero Hierro fundido Cobre Latón Aluminio Fibrocemento PVC
Módulo de elasticidad E (Pa)
Relación de Poison
206 109 165 " 110 " 103 " 72 " 23 " 2.75 "
0.30 0.28 0.30 0.34 0.33 0.30 0.45
Sistemas de Bombeo
211
C.10 PROPIEDADES DEL AGUA Densidad kg/m3
Viscosidad dinámica kg/(m s) centipoise
Viscosidad cinemática m2/s centistoke
Tensión superficial N/m
Presión de vapor m Pv/gρ
Módul de Bul N/m2 Pa
999.9
1.792 10-3
1.792 10-6
7.62 10-2
0.06
204 10
1000.0
1.519 "
1.519 "
7.54 "
0.09
206 "
999.7
1.308 "
1.308 "
7.48 "
0.12
211 "
999.1
1.140 "
1.141 "
7.41 "
0.17
214 "
998.2
1.005 "
1.007 "
7.36 "
0.25
220 "
997.1
0.894 "
0.897 "
7.26 "
0.33
222 "
995.7
0.801 "
0.804 "
7.18 "
0.44
223 "
994.1
0.723 "
0.727 "
7.10 "
0.58
224 "
992.2
0.656 "
0.661 "
7.01 "
0.76
227 "
990.2
0.599 "
0.605 "
6.92 "
0.98
229 "
988.7
0.549 "
0.556 "
6.82 "
1.26
230 "
985.7
0.506 "
0.513 "
6.74 "
1.61
231 "
983.2
0.469 "
0.477 "
6.68 "
2.03
228 "
980.6
0.436 "
0.444 "
6.58 "
2.56
226 "
977.8
0.406 "
0.415 "
6.50 "
3.20
225 "
974.9
0.380 "
0.390 "
6.40 "
3.96
223 "
971.8
0.357 "
0.367 "
6.30 "
4.86
221 "
968.6
0.336 "
0.347 "
6.20 "
5.93
217 "
965.3
0.317 "
0.328 "
6.12 "
7.18
216 "
961.9
0.299 "
0.311 "
6.02 "
8.62
211 "
958.4
0.284 "
0.296 "
5.94 "
10.33
207 "
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214
Sistemas de Bombeo
215
BIBLIOGRAFÍA - Coite, C. Régulation des stations de pompage et des réseaux sous pression. La houille Blanche, nº2/3 1993. - Egusquiza Estévez, E. et al. Curso sobre diseño de bombas e instalaciones de bombeo. E.T.S.I.I.G., Gijón, 1986. - Egusquiza Estévez, E. Cavitació a les màquines hidràuliques. C.P.D.A.-E.T.S.E.I.B., Barcelona, 1992. - Egusquiza Estévez, E.; Santolaria Morros, C. Flujo incompresible en tuberías. E.T.S.I.I.G., Gijón, 1984. - Featherstone, R. E. Computational methods in the analysis and design of closed conduit hydraulic systems. Internal communication. - Gómez Poncela, J. M. Ingenieria sanitaria y ambiental. E.T.S.I.C.C.P.S., Santander, 1980. - Karassik, I. J.; Carter, R. Bombas centrífugas. C.E.C.S.A., México, 1966. - Massey, B. S. Mechanics of fluids. Van Nostrand Reinhold, New York, 1989.
Sistemas de Bombeo
- McNaughton, K. J. Bombas; selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México, 1989. - Mei Zu-yan et al. Mechanical design and manufacturing of hydraulic machinery. I.E.C.B.S.H.M., University Press, Cambridge, 1991. - Mendiluce Rosich, E. El golpe de ariete en impulsiones. Bellisco, Madrid, 1987. - Moody, E. B. A survey of fluid transient studies. Journal of Pressure Vessel Technology, vol 113, May 1991. - Pfleiderer, C. Bombas centrífugas y turbocompresores. Labor, Barcelona, 1959. - Pumping manual (6th Ed.) Trade & Technical Press Ltd, Surrey, 1979. - Raabe, J. Hydro power. V.D.I.-Verlag GmbH, Düsseldorf, 1985. - Rodríguez-Avial, M. Instalaciones sanitarias para edificios. Bellisco, Madrid, 1987. - Stépanoff, A. J. Centrifugal and axial flow pumps. John Willey and Sons, New York, 1961. - Tulis, J. P. Hydraulics of pipelines. John Wiley & Sons, New York, 1989. - Warring, R. H. Hydraulic handbook (8th Ed.). Trade & Technical Press Ltd, Surrey, 1983. - Warring, R. H. Handbook of valves, piping and pipelines. Trade & Technical Press Ltd, Surrey, 1983.
216
Sistemas de Bombeo
- White, F. M. Mecánica de fluidos. McGraw-Hill, Mexico, 1979. - Worthington, S. A. Datos técnicos sobre bombas centrífugas. Documentación técnica, SW-2002-T-1-A - Worthington, S. A. La aspiración en las bombas centrífugas. Documentación técnica, SW-2002-T-1-B - Wylie, E. B.; Streeter, V. L. Fluid transients. McGraw-Hill, New York, 1978. - Zoppetti Júdez, G. Centrales hidroeléctricas. Gustavo Gili, Barcelona, 1965.
217
