s a t s e u p o r P s a t n u g Pre
1
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Álgebra A) todas
Números complejos 1.
Sabiendo que z =
a + bi ; i = c + di
B) – i
E) solo III
−1
a( c + d) + c( a − d) i . c ( a + b) + aci − cdi
A) i
C) solo II
D) I y II
{a; b; c; d } + es un complejo real, calcule
B) solo I
5.
Sea
1 + i x 1 − i x + A = x + = 2; x ∈ 2 2
entonces x tiene la forma
C) 1
D) –1
A) 8 K / K +
E) 0
B) 1+8 K / K + 2.
Dada la ecuación en variable z tal que
C) 1+4 K / K +
z .
D) 4 K / K +
z2+(a+ bi) z+c+ di=0; i =
−1 tiene
E) 1– 8 K / K +
una raíz real entonces se verifica que 6. 2
2
A) d + b c=abd C) d 2 – abd = b2c
satisfacen ti las siguientes igualdades. z − 12 5 z − 4 = y =1 z − 8i 3 z − 8
D) d 2+abd =– =– b2c
A) 6+17 i; 6 6+8 i
B) d 2+ b2+a2=3
2 2 E) d − b
3.
=
1
B) 6+17 i; 6 – 8 i
abd d
C) C 6 –17 i; 6 – 8 i D) 6 – 17 i; 6+8 i
Sean z1, z2, z3 complejoss cada un uno de
E) 6 – 17 i; 6+9 i
z3=0.. módulo 1, tales quee z1+ z2+ z E = Calcule el valor de de E
A) 1
1 z1
B) –1
+
1 z2
+
1 z3
UNI 1994 - II
. 7.
Sea z= x+ yi; i =
Si z A se cumple que
E) – i
A) ( x – 1)2+ y2=1
Sea n
n
−1 + 3i −1 − 3i A n = + ; i = −1; n ∈ 2 2
B)
Indique las proposiciones verdaderas. C)
I. A3 n=2 n
II. A2 n=–1 n n
2
III. A n
−1, z − 1 = 6 − z + 1}
A = { z
C) 0
D) i 4.
H Halle e los números complejos z que
−1 − 3i −1 + 3i = + 2 2
n
D)
x 2
9 x 2
9 x 2
9
+ − +
y2
8 y2
8 y2
8
=1 =1 =1
E) ( x+1)2+( y – 3)2=1
x; y
y
Álgebra 8.
Halle el área del polígono regular for-
III. P(
IV. P x
mado al unir los afijos de las raíces cuartas del complejo complejo z = 72 − 2 3
x )
= 0; CS={1; − a; 2a} = 0; CS={2; − 2a; 4 a}
2
+ 72 + 2 3 · i
A) VV V V VV 4
B) 2 12
A) 144
C) 2 12
D) 24
C) VV VF
D) FVFV FVF V
E) FVVV FV VV
E) 36 11.
Ecuaciones polinomiales 9.
B) VFFV VF FV
Sea a un número real fijo calcule los números reales x1; x 2; x 3;
El polinomio P( x)=8 x5 – 60 x4+126 x 3+ x 2 – x – 45 tiene sus tres raíces reales en progresión aritmética, las otras dos raíces son complejar de la forma bi. Si b es entero, calcule b.
x4; x5 que son soluciones del sistema 2 a − 1 + ax1 + = x2 2 2 a −1 2 x2 + ax2 + = x3 2
A) 1 D) D) 4
x12
12. 1
D) x1= x 2=...= x5=a2 E) x1 = x2 10.
= ... = x5 =
A) – 43/4 D) 41/4 13.
1+ a 2
Sea P( x)=2 x 3 – x 2+ x – 1; de raíces x1; x 2; x3 se define efi el pol polinomio q( x)= x2 – 2; determine q( x1) · q( x2) · q( x ). 3
2
a − 1 = x x52 + ax5 + 1 2
1− a B) x1= x2 =... = x5 = 2 C) x1= x 2=...= x5=– a
A) 3 n2+1
P ( x) = x 3 – ( a +1) x 2+( a – 2 a 2 ) x +2 a 2 ;
B) 1 – 12 n2
a
n
C)
∏= (1− 12K ) n
{
}
II. P( x – a)=0; CS={a+1; 3 a}
C) – 1/4 E) – 41/4
2
K 1
posiciones. 1 −a a I. P(4 x)=0; CS= ; ; 4 4 2
B) 1/4
Sea P( x) un polinomio de grado mínimo y de coeficientes enteros, tal que 1 1 1 1 + 3 ; − 2 3; + 3 3; − 4 3; ... 2 2 2 2 son n raíces de P( x), considere el coeficiente principal mínimo mín imo entero positivo. Calcule Calcu le la suma de coeficientes de P( x).
Dado el polinomio
Indique el valor de verdad de las pro-
C) 3 E) 5 UNI 1996 - I
A) x1= x 2=...= x5=a
B) 2
D)
∏= K
2
K 1
E)
n2 ( n 1)
6 3
Álgebra 14.
En la siguiente ecuación polinomial
Desigualdades
x – b)4=(a – b)4; a, b ( x – a)4+( x
Indique el valor de verdad.
17.
A=2– n; 2 n y
I. Si a b tiene 2 raíces ra íces reales y 2 raíces
B=4 – m; 4 m tal que
complejas complejas imaginarias. imaginar ias. II. Dos de sus raíces tienen la forma x1 = x2
=
a + b + ( a − b) 7i
2
A \ B B \ A B \ A A \ B
entonces determine el valor reducido ;
de n n2 n3 n4
( a + b) − ( a − b) 7i 2
m m2 m3 m4
III. Siempre Siempre tiene cuatro raíces reales.
B) 2 5
A) 2 n
IV. Tiene cuatro raíces complejas ima-
D) 215
ginarias. A) FVFV FV FV
Sean los siguientes intervalos
B) FVFF FV FF
D) VVFF VV FF
C) VVFV VV FV
18. 1 .
E) VFVF VFV F
C) 210 E) 255
1 ; 2 n y B = 1 ; 2 n n + n 2 n 2 n
Si A A n = −
entonces es indique iq ell valor v de verdad de 15.
En la ecuación polinomial ial
las a siguientes nt proposiciones. opo
x 3+ax 2+ bx+c=0
I.. A n A m para cualquier n m +.
de coeficientess reales,, si dos de suss raíces son 2 e i, seña señale otra ecuación polinomial en la que sus raíces es sean
II. B n B n+1; n +.
1 1 + III. A n \ Bn ⊂ − ; ; ∀ n ∈ Z 2 2
las inversas de la anterior. or A) x B)
3
A) VFV VF V
− 2x + 3 = 0
B) VVV V VV
D) FVF
C) FVV FV V E) VVF VV F
2 x 3 − x 2 + 2x − 1 = 0
C) x 3+ x 2+ x – 2=0
19.
Sea
1 a
1
< < −1 donde a y b son númeb
D) x 3+3 x 2 – x=0
ros reales, entonces dadas las propo-
E) x 3 + 2 x 2 − x + 1 = 0
siciones. I. (a+1)2 < ( b+1)2
16.
Sea la ecuación bicuadrada
II. a2 > b3
4 x4+50 x2+157=0
III. a3 – b3 > 0
Determine el área generada generada por las raí-
son ciertas
ces en el plano de Gauss. A) 2010 D) 2 3 4
B) 3 / 2
C) 25 E) 4 4 502
A) I y II D) I, II y III
B) III y II
C) I y III E) solo II UNI 2003 - II
Álgebra 20. Sea A={1; 2; 3}
b+c – a) abc entonces po(a+c – b)( b
Determine Determin e el valor de verdad de las si-
demos afirmar que
guientes expresiones. I. x A, y A / x 2 < y+1
A) =1
x2+ y2 < 12 II. x A, y A / 12
B) 1
x 2+ y2 < 2 z2 III. x A, y A, z A /
C)
x 2+ y2 < 2 z2 IV. x A, y A, z A /
D) 0 < E)
A) VFV VF V V
B) VVF V VFV V
C) VV VF
D) FVV V
E) VVVV VV VV
24. Con respecto a
UNI 2000 - I
21.
a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 E = + + − 2( a + b + c); c a b
Dada la siguiente expresión f ( x; y )
=
2 y( x − y + 1) − x
falso so (F) según corresponda.
x 2 + 2 + 2 y( y − x −1)
I.. a, b c + tal que E < < – 1.
A) 1 f ( x; y) 2 B) – 1 < f ( x; y)
II. a + tal al que E < < 0.
III. E 0;; a; b; c +. A) VVF V VF
C) – 1 < f ( x; y) 1 1
x−a b>a ; x ≠ b ∧ b x − b
25. Resuelva la inecuación siguiente n
∑=1( x + k) < ∑=1( kx −1), n > 1
k
k
verdad de las siguientes proposiciones. b < n < x < m f ( m) < f ( x) < f ( n) I. Si b
A)
II. Si p < x < q < b f ( q) < f ( x) < f ( p) q; b b b; n f ( x) III. Si x q
B)
f ( n); + – ; f ( q) f
D) V VF
E) V VV
n
Según lo anterior, determine el valor de
B) VFV VF V
C) FFV
Ecuaciones polinomiales
22. Se define la siguiente u te expresión. pr
A) FFF
B) FV V
D) FFF
D) 0 < f ( x; y) 1 3 E) f ( x; y ) 1 2
=
{a; b; c} +, indique verdadero (V) o
2
se puede afirmar afir mar que
f ( x )
C) VV V
− ∞;
n + 3 n − 1
;+∞
C)
n − 1 ;+∞ n + 3
D)
− ∞;
E) VFF
23. Si a; b y c son los lados de un triángu-
lo entonces se cumple que (a+ b – c)
n +1 n + 3
n + 3 n − 1
E) 5
Álgebra 26. Resuelva en el conjunto .
y < x 2 − 3 x y > 2 x 2 + 2 x
P( x ) =
luego indique el cardinal card inal del conjunto
donde sus raíces son todas reales
solución.
{ x1; x 2; ...; x n} y diferentes dos a dos, es
A) 15
n
∑=0 a
i
x n − i ; a i i {0; 1; 2; ...; n}
i
B) 14
D) 16 27.
30. Sea el siguiente polinomio
decir, x i x j si i j .
C) 20
Indique verdadero verdadero (V) o falso (F) se-
E) 17
gún corresponda. I. Si a0 < 0 n es par entonces P( x) < 0
Sean a, b y c + tales que b+c) x+(c+a) 0, (a+ b) x2+2( b tiene como conjunto solución a {}
tiene como
entonces el valor de
que { t1; t2; t3; ...; t n}={ x1; x 2; ...; x n}.
2
b
t 2; t 3 ... t t n; + tal CS=– ; t1 t
2
bc c es a b c
II.. Si a0 < 0 n es impar entonces P( x) < 0 tiene como
A) a
t1; t 2 t t2; t 3 ... t t n; + tal CS= C t
B) b
que { t1; t2; ....; .. t n}}={ }= ={ x1; x 2; ...; x n}.
C) c
III. III Si { t1; t2; ...; . t n}={ }={ x1; x 2; ...; x n} enton-
D) a+1
n−1
n −1 a ces ∑ ∑ ( t i t j ) = 2 . ce j =1 i = j +1 a0
E) a – 1 28. Encuentre el número M máximo m con
x la propiedad de que para ar todo t
A) VVF V VF
se tiene
B) VVV
2
M x – 4 x+29
C) VFF D) FFF
A) 2 D) 25
B) 8
C) 16
E) FVV
E) 0 UNI 2000 - II
31.
Indique el conjunto solución de (a – b + c) x 3 +( b – c+ a) x 2+( c – a+ b)
29. Resuelva la inecuación de incógnita x.
6
x – (a+ b+c) < 0 considere que
x+1 > –4 x2 –4(sen+cos) x–2 4 x2+4(sen) x
0 < a < b < c < 1. 1.
A) 0; 1
A) 1; +
B)
B) – ; 1
C) +
C)
D)
D)
E) – 1; 1; 1
b; 1 E) – ; a b
Álgebra 32. Al resolver la inecuación
35.
x4+(a – 6) x 3+(9 – 6 a) x 2+(8 +(8a – 6) x+8 > 0
¿Cuántos números enteros no son soluciones de la siguiente ecuación? 2 x − 1 1 + ≥0 ( 2 x − 3)( x − 1) 2
se obtiene CS que es equivalente equival ente a – ; 2 – 4;
Indique la alternativa verdadera.
A) 0 B) 1
A) El mínimo m ínimo valor va lor de a es – 3.
C) 2
B) El máximo valor de a es 4.
D) 3
C) a – 2; 2; 2
E) más de tres
D) 2 a+1 – 1; E) a2 0; 9
36. Dada la inecuación fraccionaria
1 Expresiones fraccionarias e irracionales
x − 8
+
1 x −6
1
+
x+8
+
1 x +6
≥0
Indique n qu el valor de verdad de las si33.
Halle el conjunto solución de la si-
guientes uie tes proposiciones.
guiente inecuación. x + 2 2 < <1 x − 2 x − 2
I. Un U intervalo interva lo o solución sol es [0; 6. II. Existen e cinco ci soluciones so enteras negativas. iv III.. Su conjunto ju solución tiene infinitos inf initos elementos.
A)
IV. IV La suma de las soluciones enteras
B) 0; +
negativas es – 34.
C) – ; 0 D) 6; +
A) FV V V
E) – ; 6
B) FFV V
D) FVVF 34. Halle los valores de x que satisfacen la
siguiente inecuación. 2 x −
9
x − 3
> x −
37.
C) VVFF VV FF E) VV VF
Si A es el conjunto solución de la inecuación.
5
3
x − 3
x + x − x 2
< 3 x +1
Indique lo correcto. A) – 2 < x < 2 x > 3 B) – 1 < x < 3 x > 4
A) A –1; 1]
C) – 3 < x < 1 2 < x < 3
B) A
D) – < x < 3 E) todos los números reales diferentes de 3. UNI 1996 - I
2; 2
1 ;+∞ 2 D) – 1; 1; 1 A
C) A ⊂
E) A {1; – 1}=[– 1; 1] 7
Álgebra 38.
¿Cuántas soluciones enteras tiene la
C)
siguiente inecuación? 4
4 − x 2 3 − x
−1; − 4 ∪ 4 ; 1 5 5
D) –1; 1
≥0
E) [–1; 1] UNI 2007 - I
A) 5
B) 4
C) 0
D) 2
E) 1
40. Determine el conjunto solución de la
siguiente inecuación.
39. Halle el conjunto solución de la si-
( x + 10) ( 4 x − 1 − 3 x ) ( π x
guiente desigualdad. 1 − x
+ 1+ x ≥
3 x
x
4
+ − πx )
+ 4 1 − 3 x + 2010
1 3
A)
− 4 ; 4 5 5
A) 0;
B)
4 4 − − ∪ 1 ; ;1 5 5
D) – 10;
B) – ; 0
≤0
C) – 10; 10; 0
E)
− 10; 1 3
lgebra Á lge
8
01 - C
05 - B
09 - B
13 - C
17 - C
21 - C
25 - B
29 - B
33 - C
37 - A
02 - A
06 - A
10 - B
14 - D
18 - B
22 - C
26 - D
30 - B
34 - B
38 - A
03 - C
07 - B
11 - A
15 - B
19 - D
23 - C
27 - A
31 - A
35 - B
39 - E
04 - A
08 - B
12 - E
16 - B
20 - C
24 - C
28 - D
32 - C
36 - D
40 - C
