s a t s e u p o r P s a t n u g Pre
1
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Geometría 4.
Triángulos 1.
En un triángulo ABC, cuyas medidas interiores se encuentran en progresión aritmética, calcule la medida del ángulo que determinen la bisectriz interior y exterior del mayor y menor ángulo, respectivamente.
A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º 2.
A) 1 D) 4 5.
B) 2
C) 3 E) 5
Del gráfico que se muestra calcule x si se sabe que – =36º. 60º α
30º θ
A) 98º B) 112º C) 120º D) 100º E) 102º
Q. Si BD=2, calcule Del gráfico, AB=CQ el valor entero que puede tomar CD.
6.
Del gráfico que se muestra, calcule x. 20º
B
60º 45º+θ
θ θ
C x
2θ A
A) 1 D) 4 2
x
En un triángulo isósceles ABC de de base AC , se ubican en AB y BC los puntos P y Q, respectivamente, respectivamente , tal que la m CPQ=30º. = AC=CQ y la m ABC =20º, Si AC=CQ =20º,, calcule al la m PQB.
A) 36º B) 40º C) 50º D) 60º E) 70º 3.
En un triángulo ABC se se traza la ceviana BD y las bisectrices interiores BP y BQ de los triángulos ABD y DBC, respecti vamente. Si BP=1, BQ=4 y PQ es entero, calcule el mínimo valor entero que puede tomar AB.
Q
B) 2
2β α
D
C) 3 E) 5
A) 30º D) 15º
β
B) 20º
α
C) 10º E) 25º
α
Geometría 7.
Del gráfico que se muestra, halle la relación entre x, y y z.
10.
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, M es es punto medio de AC. En AM y y BC se F, respecti se ubican los puntos D y F,
vamente, de modo que el triángulo triángulo BDF
z
2α θ
ω ω
α
x
es equilátero y la m BMF es es 30º. Calcu2θ
A) 10º
φ φ
y
11.
en P. Si la m ABH > m DAC , PD=3 y AB= =8, calcule el valor entero de AP.
Del gráfico, calcule x+y si se sabe que a+b=140º.
b ω φ ω
y
θ β x 3α
B) 130,5º
E) 7
E En un triángulo n rectángulo ABC , recto punto pu de BC hacia AC y a la mediana BM son son 1 y 3, respectivamente, luego se
traza la bisectriz interior BD. Calcule DM . α 3θ
A) B)
C) 171,5º E) 175º
2 3 3 4 3 3
C) 2 2
Congruencia
D) 3
En un triángulo ABC , se traza la ceviana interior CL y la mediana BK , tal que LC =2( =2( LB), la m ALC =120º, =120º, S es punto medio de LC y la m LAC < 37º. Calcule el mínimo valor entero que puede tomar la m KBS. B) 20º
C) 5
en e B, m BAC =75º, =75º, las distancias de un
φ
ψ β
B) 4
D) 6 12..
ψ
A) 18º D) 23º
E) 37º
alturas BH y y AD los cuales se intersecan
a
9.
C) 30º
En un triángulo ABC , se trazan las
A)) 3
A) 150º D) 167,5º
B) 20º
D) 40º
A) 2 x= y+z B) 3 y=x+z C) 2 z=3 x – 3 y D) 3 x=2 y+2 z E) x=y+z 8.
le la m ACB.
C) 22º E) 24º
E)
2
8 3 3
13.
En un triángulo ABC , se traza la mediana BM, tal que m MBC =90º =90º – 2(m BCA).
Si m BAM =45º, =45º, calcule la m BCA. A) 10º D) 26º 30’
B) 15º
C) 18º 30’ E) 30º 3
Geometría 14.
En un triángulo rectángulo ABC, recto
18.
AC y en B, se ubican los puntos D y E en en AC y BC, respectivamente, tal que DC =3( AD); =3( AD
BE=EC y m BAC =2(m =2(m EDC ). ). Calcule
la m EDC . A) 15º
B) 18º
D) 30º 15.
En la región exterior y relativo al lado AB de un paralelogramo se ubica el punto E, tal que m BCD=2(m EBA). Se traza DP BE en P ( P en la región exterior relativo al lado BC ). ). Si las distancias de P a BC y y AD son 2 y 7 cm, respectivamente, calcule la distancia de A a CD.
C) 20º E) 40º
A) 7 D) 10
En un triángulo ABC se se traza la ceviana interior BD, de modo que AB=BD=DC ,
19.
en el triángulo BDC se traza la altura DM, tal que la mediatriz de AD y DM se se
intersecan en Q. Si QD=2( DM ), ), calcule
B) 8
C) 9 E) 14
En la diagonal AC de de un trapecio ABCD ( BC // AD) se ubican los puntos M y N, tal que AM=NC y AD=MB+BC . Si BC < AD y m NDA=25º, calcule mCBM .
la m BAD. A) 30º
B) 37º
D) 53º 16.
A) 30º 0º D) 60º 6
C) 45º E) 60º 0º
B) 40º
C) 50º E) 70º
20. En un trapecio B tr ec ABCD ( BC // AD), la
B ), m ACD=3(m 3 BAC ), luego se traza BH AC ( ( H en en AC ), ), tal que u m HBC =2(m =2(m BAC ). ). Si AD=10 y BC =4, =4, calcule BH .
ABC, A , de base En un triángulo isósceles sósc AB, en AC se se ubica bi el punto t D y en el C el punto E, de exterior relativo a BC, CD son modo que los triángulos ABC y y CDE son
A) 2 D) 5
D=35º, congruentes. Si m BED 3 calcule alc
B) 3
C) 4 E) 6
la m BAC . 21.
A) 30º
B) 35º
D) 60º
C) 40º E) 70º
Polígonos y cuadriláteros 17.
En un romboide ABCD, AD=3(CD), O es el punto de intersección de AC y y BD, luego en AD se ubican los puntos M y y N, tal que M AN y y AM = MN=ND. Calcule la m MON . A) 70º D) 90º
4
B) 75º
C) 80º E) 120º
En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, se trazan AF BD ( F BD), luego en el triángulo AFD se traza la bisectriz interior AE . Si BF =6 =6 y m BCE =90º, =90º, calcule CE . A) 2 D) 6
B) 3
C) 4 E) 9
22. En un cuadrilátero ABCD, m BAD=40º.
Calcule la medida del ángulo formado por las diagonales si AB+CD=AD, m BDA=40º y m BDC =20º. =20º. A) 30º D) 60º
B) 40º
C) 45º E) 75º
Geometría 23. Al duplicar el número de lados de un
26. En un cuadrado ABCD se inscribe una
polígono convexo, el número de diagonales aumenta en el mismo número de la suma del número de lados de ambos polígonos. Calcule la diferencia de la suma de las medidas de sus ángulos interiores.
circunferencia tangente a AD en T , la diagonal BD corta a la circunferencia en los puntos M y y N , la recta TN corta corta a CD en Q, calcule la m TQD.
A)
A) 600º B) 800º C) 900º D) 540º E) 1440º
B) C)
135º 2 45º 2 15º 2
D) 15º E) 75º
24. En la región exterior del cuadrado
ABCD, relativo al lado CD, se ubica c el punto L, luego se ubica el punto t K en LC y se traza el cuadrado DKSN , tal que NS y DS intersecan a BL en los puntos F y y E, respectivamente, t CK=NS, mCDE =15º. =15º. Calcule laa m LED . m EFS
A) 1/8 B) 2/3 C) 3/7 D) 2/5 E) 5/8
27.
D Del gráfico r que se muestra, calcule x.
75º
α
A) 15º
B) 25º
C) 30º
D) 36º
E) 45º/2
28. En el gráfico T y Q son puntos de tan-
Circunferencia e
gencia. Si la
25. Del gráfico que se muestra, T y Q son
QM 60º m
y
MP 80º , m
calcule .
puntos de tangencia, calcule . T T
θ
β
θ Q
β
A) 45º D) 180º −
B) 3β 2
45º 2
+β
Q
C) 90º – E) 3β −
P M
45º
A) 20º
2
D) 35º
B) 25º
C) 30º E) 40º 5
Geometría 29. En el gráfico, ABCD es un cuadrado.
32. Calcule la medida del menor ángulo
Si T , Q y R son puntos de tangencia, calcule la diferencia entre el máximo y mínimo valor que toma .
que determinan las diagonales de un
B
cuadrilátero ABCD, inscrito en una circunferencia, si los lados AB y CD son
C
equivalentes a los lados del triángulo equilátero y pentágono regular, inscritos en dicha circunferencia. A) 9º
B) 18º
C) 6º
D) 66º θ Q T R
A
A) 1º D) 4º
Puntos notables
D
B) 2º
C) 3º E) 5º
E) 12º
33.
Del e gráfico, g ¿qué punto notable es M EHR? del d triángulo rián
30. Del gráfico que se muestra, r calcule .
E
R
M
R
H
2θ
θ
R
A) excentro B) incentro A) 10º D) 18º 31.
B) 12º 1
C) 14º E) 20º
Del gráfico, los puntos T y y R son puntos de tangencia. Si la m PQ 100º, calcule .
C) baricentro D) circuncentro E) ortocentro 34. Se tiene un cuadrilátero inscriptible
ABCD, AC y y BD se intersecan en P, y O
es el circuncentro del triángulo ABP,
T
calcule la medida del ángulo entre
OP y CD.
θ
P
R
Q
A) 30º B) 60º C) 45º
A) 10º D) 25º 6
B) 15º
C) 20º
D) 90º
E) 30º
E) 135º
Geometría 35. Del gráfico, ABCD es un rombo. ¿Qué
38.
En un triángulo ABC , H , G y O son ortocentro, baricentro y circuncentro en dicho triángulo. Si la recta de Euler de dicho triángulo es paralela a AC y m HBC =2(m =2(m OCA), calcule GO si AH=a.
punto notable es H del del triángulo CDE ?
B
C
E
H
A) a /2 D) 2 a /3 A
D
tocentro, baricentro y circuncentro, respectivamente, además, m HBO=20º y mGOB=80º, calcule m BAC . A) 80º D) D 65ºº
C) 20º E) 40º 0º
BC , recto En un triángulo rrectángulo án o ABC r en B, I es es su incentro o y E es es el excentro re AI I ), ACB. lativo a BC . Si IE =2( =2( AI ), calcule m ACB
A) 15º D) 37º
B) 16º
C) 70º E) 50º
ciados, respecto e de e un triángulo rectángulo. I. I Su triángulo g órtico es acutángulo. II. II. Su triángulo iá mediano es rectángulo. III.. S Su triángulo tangencial es obtusángulo. IV. IV. Su triángulo ex incentral es rectángulo.
m ABD=20º, m ADB=110º, 0 m DBC =80º, =80º, m BDC =35º, =3 =35º,, calcule m BAC . B) 15º 1
B) 75º
40. Indique di el valor or de verdad de los enun-
36. Se tiene un cuadrilátero ABCD,
37.
C) a /3 E) 2a
39. En un triángulo ABC , H , G y O O son su or-
A) baricentro B) incentro C) ortocentro D) circuncentro E) excentro
A) 10º D) 25º
B) a
A) FVFF B) FVFV C) FFVV D) FVVF E) VFFV
C) 30º E) 53º
Geomet r rí í a 01 - C
05 - E
09 - E
13 - C
17 - D
21 - D
25 - A
29 - C
33 - D
37 - D
02 - C
06 - A
10 - B
14 - D
18 - C
22 - D
26 - A
30 - E
34 - D
38 - C
03 - A
07 - C
11 - B
15 - E
19 - C
23 - D
27 - C
31 - D
35 - C
39 - C
04 - B
08 - D
12 - B
16 - E
20 - B
24 - A
28 - C
32 - C
36 - D
40 - A
7
