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ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

TEORIA DE CONJUNTOS 1. NOCION DE CONJUNTO Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre por ejemplo: llaves, = =

=

2. DETERMINACION DE CONJUNTOS A) Por extensión: Un conjunto esta determinado por extensión cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida: A = {1,2,3,4}

Ej.:

B = {1,4,9,16, 25,36} C = {a, e, i, o, u}

Esta denotado por (B ⊂ A) . Se lee: B esta incluido en A B esta contenido en A B es subconjunto de A Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea: B = {3, 4, 5} 1

A

3 6

4

5

B

2

Luego (B ⊂ A) Pero ( A ⊄ B) Observación: Ø Todo conjunto esta incluido en si mismo. Ø Todo conjunto es subconjunto de si mismo Ø El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto Ø Sea n(A) el número de elementos del conjunto A, entonces: Número de subconjuntos

nº subconjutos de A = 2 n( A ) Número de subconjuntos propios

B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o característica común. Ej.: De los ejemplos anteriores A = { x / x ∈ N ∧ x ≤ 4}

nº subconjutos propios de A = 2 n( A ) − 1 B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.

A=B⇔ A⊂ B ∧ B⊂ A

B = { x 2 / x ∈ N ∧ x ≤ 6} C = { x / x es una vocal}

OJO: No todo conjunto de puede expresar por comprensión y extensión a la vez.

C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.

A≠B⇔ A⊄B∨B⊄A

En general:

D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son comparables sólo cuando uno de ellos esta incluido en el otro.

forma del Caracteristicas Conjunto =   (propiedades)  elemento 3. RELACION DE PERTENENCIA: Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte ∈) a dicho de el. Además se dice que pertenece (∈ conjunto, en caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a dicho conjunto.

OJO: La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de conjunto.

A⊂ B ∨ B⊂ A.

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común. F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos. A <> B ⇔ n( A) = n(B)

4. RELACION ENTRE CONJUNTOS A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A.

Lic. F. Alberto Quispe Ayala

1

5. CLASES DE CONJUNTOS:

ARITMETICA


A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el último. B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos es ilimitado. 6. CONJUNTOS ESPECIALES:

A) Unión ( AUB ): La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.

AUB = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton, es aquel que tiene un solo elemento. C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que contiene todos los demás conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto. D) Conjunto Potencia o conjunto de partes: Conjunto formado por todos los subconjunto que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A. A = {a, b, c} entonces los Ej.: Sea subconjuntos de A son:

{a}, {b}, {c}, {a;b}, {a; c}, {b; c}, {a;b; c}, ∅ OJO: ∅ ) es subconjunto El conjunto vació (∅ subconjunto de todo conjunto

Propiedades:

AUB = BUA A ⊂ ( AUB) B ⊂ ( AUB) AUA = A AU∅ = A B) Intersección: ( A I B) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos). Simbólicamente se define:

A I B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}

Entonces P(A)= { {a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};∅} Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es:

n[P(A)] =# subconjuntos de A = 2n(A) 7. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Veamos el siguiente grafico:

Propiedades:

A I B = B I A A I B ⊂ A A I B ⊂ B ( A I B) ⊂ ( A U B) A I A = A PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: DISTRIBUTIVAS:

A U (B I C) = ( A U B) I ( A U C) A I (B U C) = ( A I B) U ( A I C) DE ABSORCION:

Donde: C=Conjunto de los números complejos C= R=Conjunto de los números reales R= Q=Conjunto de los números racionales Q= Z=Conjunto de los números enteros Z= N=Conjunto de los números naturales N=

A I ( A U B) = A A U ( A I B) = A A U ( A'I B) = AUB A I ( A'U B) = A I B

8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS


2

ARITMETICA


C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Simbólicamente se define:

A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: LEYES DE D´MORGAN

( A U B)' = A'I B' ( A I B)' = A'U B' Propiedades:

NUMERO DE ELEMENTOS

A − B ≠ B − A ( A − B) ⊂ A

El cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto:

n(∅ ) = 0 n( A ∪ B) = n( A ) + n(B) − n( A ∩ B) n( A ∪ B ∪ C) = n( A) + n(B) + n(C) −

( A − B) ⊄ B ( A − B) U ( A I B) = A D) Diferencia Simétrica: ( A∆B ): La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Simbólicamente se define:

A∆B = { x / x ∈ ( A U B) ∧ x ∉ ( A I B)}

n( A ∩ B) − n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) 9. PAR ORDENADO: Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el orden de estos, llamados también componentes. Se denota (a;b) 10. PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos A y B diferentes del vacío, se denomina producto cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Simbólicamente se define:

Propiedades:

A∆B = B∆A ( A∆B) ⊂ ( A U B)

AxB = {(a; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}

Si A I B = ∅ ⇒ A∆B = A U B

n(AxB)=n(A).n(B)

A∆A = ∅ A∆∅ = A C

E) Complemento de un conjunto (A’),( A ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Simbólicamente se define:

AC = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}

NUMERACIÓN es la parte de la aritmética cuyo objetivo consiste en expresar y escribir los números. Es decir que es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad. 1. PRINCIPIOS

Propiedades:

Ø DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.

A U A' = U A I A' = ∅ ( A' )' = A (∅ )' = U ∧ (U)' = ∅ Lic. F. Alberto Quispe Ayala

SISTEMA DE NUMERACION NUMERACION

3

ARITMETICA


Ø 1a 1a

= n + xa O

1a

(n) 14243 x veces

Ø DE LA BASE: Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior. del numeral

abcd(n) donde “n” es la base

Ø DE LAS CIFRAS: Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleados o utilizados.

abcd(n) a
Ø 1m 1n

= m + n + ... + p + a O

1p

(a)

7. CONVERSION DE NÚMEROS A DIFERENTES BASES: A) CASO 1: De base “n” a base 10 Tenemos dos formas de conversión: Ej. Convertir 321( 5 ) al sistema decimal: Por descomposición polinómica:

321(5 ) = 3X5 2 + 2X5 + 1

2. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:

321( 5 ) = 86 Por método de Ruffini:

∴ 321( 5 )

= 86

B) CASO 2: De base 10 a base “n” 3. NÚMERO CAPICÚA: Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales Se leen igual por ambos lados. Ej. 44, 343, 67876, etc. En general:

Se convierte por medio de las divisiones sucesivas Ej. Convertir 329 al sistema quinario: Por divisiones sucesivas:

aa ; aba ; abba ; anitalavalatina ; etc. 4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO: Es expresarlo como la suma de los valores relativos da cada una de las cifras de dicho número. Sea:

N = abc...xyz (n) ; 14243

∴ 329 = 2304 (5 )

m cifras

Descomponiendo polinómicamente se tiene:

C) CASO 3: De base “n” a base “m” n ≠ m ≠ 10 .

N = anm −1 + bnm − 2 + cnm − 3 + .....yn1 + z 3 2 Ej. 3123( 4 ) = 3x 4 + 1x 4 + 2x 4 + 3

El primer paso, es convertir de base “n” a

5. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES: Se llamara “bloque” a un grupo de cifras. Ej: Descompongamos

base 10

El segundo paso, es convertir el número

abcd(n) en bloques:

obtenido a base “m”.

abcd(n) = ab(n) .n2 + cd(n)

6. PROPIEDADES: Ø El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.

(1 n4 −4 1)...( n4 −3 1) (n) = nx − 1 24 x cifras


donde

4

ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA abcde (n) − abc (n) (n − 1)(n − 1)000 (n)

0, abcdedede...(n) =

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN: k

A) DE BASE n A BASE n : Dado el número en base “n” se le separa en grupos de k cifras a partir de la derecha

8. REGLAS PRÁCTICAS: Ø Todas las cifras son menores que la base: CIFRA < BASE

Ej. Expresar Ø Si un número se expresa en dos sistemas distintos, se cumple que:

Vemos que 8 = 2 ; se separa en grupo de 3 cifras 011101 Base 2: 10 {{ { (2 ) 3

2

Base 8:

9. CONVERSION DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD:

10011101( 2 ) a base 8

3

5

235 ( 8 )

B) DE BASE

n k A BASE n: k

A) CASO 1: De base “n” a base 10

0 , abcd ( n ) = an − 1 + bn − 2 + cn − 3 + dn − 4

Ej. Convertir: 235 (8) a base 2

Ej: Convertir 0,32( 4 ) a base 10

2

0,32 ( 4 ) = 3x 4 −1 + 2x 4 −2 0,32( 4 ) 0,32( 4 ) 0,32( 4 )

↓

3 2 = + 2 4 4 3 2 = + 4 16 = 0,875

010

3

5

↓

↓

011 101

235 (8 ) = 10011101(2 ) 12. TABLA DE NUMERACIÓN

B) CASO 2: De base 10 a base n Ej. Convertir: 0,390625 a base 4 Se multiplica solo la parte decimal 0,390625x4 = 1,5625 0,5625x4 = 2,25 0,25x4 = 1,00

∴ 0,390625 = 0,121( 4 ) 10. CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCION EN DIFERENTES SISTEMAS

Número decimal exacto: abc (n) 0, abc (n) = 1000 (n) Número decimal periódico puro: abc (n) 0, abcabcabc...(n) = (n − 1)(n − 1)(n − 1) (n) Número decimal periódico mixto:


Dado el número en base n de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n:

5

ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA INVERSA: O de descomposición, cuando conocido el resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro numero. 1. ADICION: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantidades en una sola.

S = a1 + a2 + a 3 + a 4 + ... + an 14444244443 n sumandos

Donde “S” es la suma total

2. RESTA O SUSTRACCION: Operación inversa a la suma.

PROPIEDADES: Ø

M+S+D=2M

Ø

Si:

abc − cba = mnp , Se cumple que: n=9 y m+p=9

3. MULTIPLICACIÓN: Operación donde dada dos cantidades multiplicando y multiplicador, se halla una tercera llamada producto.

Donde:

A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto

4. DIVISION: En una división se identifican los siguientes elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo

CUATRO OPERACIONES Al estudiar los números, se observa que determinados valores se modifican según la aplicación que se les da, este proceso origina un valor final que reemplaza a los iniciales. Esto ocurre en un conjunto de números señalado debidamente. Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será:

DIRECTA: O de composición, cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación.


6

Donde

D: Dividendo d: divisor q: cociente r: residuo

ALGORITMO DE EUCLIDES: A la división también la podemos expresar de la siguiente forma:

CLASES DE DIVISION:

ARITMETICA Ø Ø


DIVISION EXACTA: Cuando el residuo es cero D=d.q r=0 DIVISION INEXACTA

n sumandos

POR DEFECTO: D=d.q+r

n(n + 1) 2

S = 1 + 3 + 5... + (2n − 1) = n2 144424443

donde: 0
n sumandos

POR EXCESO: D=d. (q+1)-R

S = 11+4 24 3 +4...4+3 n= +2

+462+4 ...4 +4 23 n = n(n + 1) S = 2 1+444 n sumandos

donde 0
PROPIEDADES: Ø r+R=d

2 2 S = 11 32 4 ... 4 n2 = + 24 +2 +4 +3 4 4 n sumandos

Ø

El residuo máximo es una unidad menos que el divisor

rmax = d − 1 Ø

 n(n + 1)  S = 114 + 244 +2 +4 +3 34 ... 4 n =   2  n sumandos 3

El residuo mínimo en cualquier división inexacta es 1

rmin = 1 5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO DE UN NÚMERO NATURAL: Es lo que le falta a este para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden:

n(n + 1)(2n + 1) 6

3

3

2

3

8. CONTEO DE CIFRAS: Para calcular la cantidad de cifras usadas en una serie de números del 1 hasta N se usa la formula siguiente:

CF1→N = (N + 1)k − 11 ...3 11 12 k cifras

C.A.(abc...xyz) = 10 − abc...xyz 14243 m

Donde k es la cantidad de cifras que tiene N

m cifras

OTRO MÉTODO: Para hallar el complemento aritmético del mayor orden de un número, se restan las cifras de nueves y la última cifra significativa de 10. Si hay ceros al final, estos permanecen en el complemento.

C.A.(ab...yz) = (9 − a)(9 − b)...(9 − y)(10 − z) 1 424 3 1444442444443 m cifras

m cifras

6. COMPLEMENTO ARITMÉTICO DIFERENTES DE 10:

EN

SISTEMAS

C.A.(abc( 8 ) ) = mnp(8 ) ; c ≠ 0

DIVISIBILIDAD: Parte de la teoría de los números que estudia las condiciones que debe cumplir un número entero para ser dividido exactamente entre otros. 1. Divisor: Se denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera. Ejemplo: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12 Divisores de 15: 1, 3, 5,15 2. Divisibilidad de un número: Un número entero A es divisible entre otro entero B (módulo), si al dividir A entre B resulta una división exacta (cociente entero y residuo cero).

Se cumple:

c + p = 8 (valor de la base)  b + n = 7  a + m = 7(valor de la base − 1)  

Ø El cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo.

7. SUMAS NOTABLES:

Sea: t 1 , t 2 , t 3 ,..., t n una progresión aritmética, 144244 3 n ter min os

Ø Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número entero positivo.

3. Multiplicidad de números:

entonces la suma será:

S = t 1 + t 2 + t 3 + ... + t n =

TEORIA TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD

(t 1 + t n ).n 2


Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado modulo, si el primero es el

7

ARITMETICA


resultado de multiplicar el segundo por otro factor entero. Si A es múltiplo de B lo representaremos como:

Ø Todo número es múltiplo de la base en la cual esta escrito mas la última cifra o

abcd (n) = n+ d

A=KB donde K={…,-2,-1,0,1,2…}

5. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton

o

A = B (Notación de Leibnitz)

o

Ø Si un número entero no es divisible entre cierto modulo (divisor), se puede representar como un múltiplo del modulo más cierto residuo por defecto: o

A = B.k + r

A = B+ r

ó

Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuando esta contenido un número entero y exacto de veces.

+ = o

o

o

o

o

( )n =

Ø

(3+ a)(3+ b)...(3+ z) = 3+ a.b....z

o

o

N = a.b.c

o

o

⇒

N = a.b.c

° a

Ø Divisibilidad por

5 n si sus “n” ultimas cifras son n ceros o forman un número divisible por 5 .

°

Ø Divisibilidad por 3 o 9: Un número es divisible por 3 o 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 o 9 respectivamente.

Ø Si a una cantidad “n” se le multiplica por una fracción irreducible y el resultado es un número entero, entonces “n” es el múltiplo del denominador. Sea Si

n, m ∈ Z y f = a .n = m b

a (fracción irreducible). b ⇒

o

o

o

o

abcd = 3 entonces a + b + c + d = 3

Si

abcd = 9 entonces a + b + c + d = 9

Ø Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de las cifras de orden par deberá ser cero o múltiplo de 11. o

Ej.: Si

abcdefg = 11 ⇒ o

a b c d e f g = 11 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + o

a + c + e + g − (b + d + f ) = 11 ∨ 0

o

5a = 7 ⇒ a = 7 o

Si

o

Si

o

n=b

Ø Principio de Arquímedes: Dados dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto modulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el modulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho modulo. Ej.: Si

5n :

Es divisible por

 ° ⇒ N = MCM( a; b ) b  ao ± r o  ⇒ N = MCM(a; b ) ± r Ø N= o b ± r

Ø N=

2n :

Ø Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 cuando termina en cifra 5 o cero.

o

Ø Si

6. Criterios de divisibilidad: Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.

2 n si sus “n” ultimas cifra son n ceros o forman un número divisible por 2 .

Ø

o

⇔ k es impar

Es divisible por

o

o

⇔ k es par

o

Ø Divisibilidad por

k. = o

Ø

o k a + r k Ø (a− r ) =  o a − r k

k ∈ Z+

o

. = o

Ø

o

− = o

Ø

si

Ø Divisibilidad por 2: Un número es divisible por dos cuando termina en cifra par o cero.

4. Principios de la divisibilidad Ø

o

(a + r )k = a + r k

o

Ø Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,3,2,-1,-3,2,1,3,2,-1… respectivamente, deberá ser 0 ó múltiplo de 7.

o

21a = 35 ⇒ 3a = 5 ⇒ a = 5


8

ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA o

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

a b c d e f g h=7 1{ 3 2 3 1 2 3 1 1 424 3 123 +

−

1. NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO: Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos la unidad y el mismo.

+

o

a + 3b − (2c + 3d + e ) + 2 f + 3g + h = 7

Ø Divisibilidad por 13 Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,-3-4,1,3,4,1,… respectivamente, deberá ser múltiplo de 13. o

abcdefgh = 13 a b c d e f g h = 13 3 1 4 3 1 4 3{ 1 {1 23 123 +

−

2. NÚMERO COMPUESTO: Son números que admiten más de dos divisores. Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,…etc.

3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N ES:

o

−

Ej.: 2, 3, 5, 7, etc.

CDN = CD compuestos + CD primos + 1

+

o h − (3g + 4 f + e) + 3d + 4c + b − 3a = 13

4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):

Ø Divisibilidad por 33 Y 99: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1 y 10 respectivamente, deberá ser múltiplo de 33 o 99.

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único divisor común a la unidad. Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc.

NOTAS:

o

abcdefgh = 33

Ø Todo número primo mayor que 3 siempre es de

o

a b c d e f g = 33 1 10 1 10 1 10 1

o

la forma cumple.

6± 1 : lo contrario no siempre se

o

a + 10b + c + 10d + e + 10f + g = 33 o

Respectivamente: abcdefgh = 99

Ø Algunos números primos descubiertos por matemáticos son: Lucas:

o

a b c d e f g = 99 1 10 1 10 1 10 1

Ø Algo probablemente cierto, pero aun no demostrable: Todo número par, es la suma de los números primos

o

a + 10b + c + 10d + e + 10f + g = 99

Fermat:

7. RESTOS POTENCIALES: Son todos los residuos que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de cero) al ser divididos entre otro “m” (modulo). Potencias sucesivas

N0

Resultados en función de “m” o

m+ 1 o

N1

m+ r1

N2

m+ r2

N3

m+ + r3

4

m+ r4

Restos potenciales

r1

n 2 − n + 41 valida únicamente para n ∈ Z + y n ≤ 40 5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO:

6. TEOREMA FUNDAMENTAL ARITMÉTICA:

r3

DE

LA

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos

r4


Ø Formulas del calculo de números primos:

Ej.: ¿El número 139 es primo?

r2

o

N

n

22 + 1

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o iguales a dicha aproximación:

1

o

o

2 127 − 1 que tiene 39 cifras

9

ARITMETICA


diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única.” Llamada también “DESCOMPOSICION CANONICA”

Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones:

OJO: No confundir con la descomposición polinómica que vimos en sistema de numeración.

Ø Es un divisor común de todos Ø Es el mayor posible

Sea “N” un número mayor que 1, entonces dicho número lo podemos expresar de la siguiente manera:

Ej.: Sea A Entonces

A, B, C;…; Factores primos α, β, λ , ... ; Exponentes

360 = 2 .3 .5

Ø Por descomposición simultáneamente:

2

El MCD es el producto de los factores comunes extraídos a los números hasta que sean PESI.”Se busca solo los factores comunes”. Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18

7. DIVISORES DE UN NUMERO “N” Ø Cantidad de divisores de un número: Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previamente aumentados en la unidad.

CD(N) = (α + 1)(β + 1)(λ + 1)....

Ø Algoritmo sucesivas:

SD(N) =

β +1

λ +1

A −1 B −1 C −1 . . ..... A−1 B−1 C−1

Ø Producto de los divisores de un número:

Ø Suma de las inversas de los divisores de un número:

SD(N) N

8. INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él. Sea el número N descompuesto canónicamente

N = A α .Bβ .Cλ ...

o

Divisiones

q 1 q2 q3 q4 q 5

}

r 1 r 2 r 3 r4 r1 r 2 r 3 r 4 r 5

}

11. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones: Ø Es un múltiplo de todos Ø Es el menor posible

12. DETERMINACIÓN DE MCM Ø Por descomposición Canónica: El MCM es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los mayores exponentes posibles.

1 1 1  Ψ(N) = N. 1 − . 1 − . 1 −  A B  C 

Ej.:

Sea

entonces

9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR


Euclides

r2 = r3 .q 4 + r4  MCD( A;B) = r4 ⇒ B = r1 .q 2 + r2  A = B.q + r  1 1

PD(N) = NCD(N)

SID(N) =

de

Es un procedimiento que se utiliza para calcular el MCD de solo 2 números. Su desarrollo se fundamenta en la teoría de la división.

Ø Suma de divisores de un número α +1

= 22.32.5 y B = 23.3.5 2 MCD = 22.3.5

Ej.: Descomponer en sus factores primos el número 360. 3

Ø Por descomposición Canónica: El MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.

N = A α .Bβ .Cλ ... Donde:

10. DETERMINACIÓN DEL MCD

10

A = 22.32.5 y B = 23.3.5 2 MCM = 2 3 .3 2 .5 2

ARITMETICA


Ø Por descomposición simultáneamente: Ø MCD(a,b,a+b)= El MCM es el producto de los factores comunes multiplicados con los respectivos PESI.

a.b(a + b) , d2 d=MCD(a,b)

Donde

Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30

Ø

MCD( An; Bn; Cn) = n.MCD( A; B; C)

13. PROPIEDADES DEL MCD Y MCM:

Ø

MCM( An; Bn; Cn) = n.MCM( A; B; C)

Ø

MCD(

A B C MCD( A; B; C) ; ; )= n n n n

Ø

MCM(

A B C MCM( A; B; C) ; ; )= n n n n

Ø

MCD(pk − 1; ph − 1) = pMCD(k;h) − 1

Ø Si A y B son PESI, entonces:

MCD(A,B)=1 Ø Si A y B son PESI, entonces:

MCM(A,B)=A.B Ø El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su MCM y el MCD. Es decir:

MCM( A; B).MCD( A; B) = A.B Ø Sea A = Kα y B = Kβ Donde: primos entre si (PESI). Entonces:

NÚMEROS FRACCIONARIOS FRACCIONARIOS

α y β son

MCD( A; B) = K

f=

a numerador = b deno min ador

1. CLASIFICACIÓN: Se puede clasificar:

MCM( A; B) = K.α.β

Ø Por comparación de sus términos: Ø Sea MCM( A, B) = p entonces:

y

MCM(C, D) = q ,

valor es menor que uno o también aquella en la que el numerador es menor que el

MCM( A, B, C, D) = MCM(p, q) Ø Sea MCD( A, B) = p entonces:

y

Fracciones propias: Son aquellas cuyo

MCD(C, D) = q ,

denominador es decir: Ej.:

MCD( A, B, C, D) = MCD(p, q) Ø Si un conjunto de enteros positivos se reemplazan dos o más de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir:

MCM( A; B; C ) = MCM(MCM( A; B ); MCM(B; C )) MCM( A; B; C; D ) = MCM[ MCM( A ; B ); MCM(C; D )]

14. CASOS ESPECIALES:

3 2 7 , , , etc. 5 7 13

Fracciones impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella en la que el numerador es mayor que el denominador, es decir:

MCD( A; B; C ) = MCD(MCD( A; B ); MCD(B; C )) MCD( A; B; C; D ) = MCD[ MCD( A; B ); MCD( C; D )]

a <1 b

Ej.:

a >1 b

4 9 15 , etc. , , 3 7 13

Fracciones iguales a la unidad: Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también en la que el numerador y el denominador son iguales, es decir:

Ø MCD(a;a+b)=MCD(a;b) Ej.:

Ø Si a y b son primos entre si entonces MCD(a+b; a-b)= 1 ó 2

a =1 b

4 9 13 , , , etc. 4 9 13

Ø Por su denominador:

Ø MCD(a,b)=MCD(a ± b;m), Donde m=MCM(a,b)

Fracciones ordinarias o comunes: Son aquellas cuyo denominador es diferente a


11

ARITMETICA


una potencia de 10. Es decir

a ; si: b

b ≠ 10 n , n ∈ N 5 14 4 , , etc , Ej.: 17 3 7 Fracciones Decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Es decir:

a n ; b = 10 , n ∈ N b 4 5 14 , etc , , Ej.: 10 100 1000

14 { 4. CLASIFICACIÓN DECIMALES:

Fracciones homogéneas: Son aquellas denominadores

son

3. NÚMERO DECIMAL: Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y parte decimal. Ej.: 14,356

iguales.

cuyos denominadores son diferentes. Ej.:

puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal. Ej.:

Fracciones

reductibles: Son aquellas fracciones donde numerador y denominador se pueden simplificar.

5 1 25 , etc = = 10 2 50

) 0,3333... = 0,3 0,8787...

Periódico mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo) después de la coma decimal. Ej.: 0,3424242… 0,45366666…

5. CONVERSIÓN DE DECIMALES A FRACCIÓN :

Fracciones irreductibles: Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.

3 14 4 , etc , , 10 13 17

Ø Números decimales exactos: La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididos entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

NOTA:

0, abc =

Ø Se llama fracción equivalente, cuando una fracción tiene el mismo valor que la otra pero sus términos son diferentes:

5 1 = 10 2

Ej:

0,35 =

abc 1000

35 7 = 100 20

Ø Números decimales inexactos:

Ø Se llama número mixto, a aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.

7 3 2 , etc. ,1 , 3 5 7 13

2. MCD Y MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS:


NÚMEROS

Periódico

Ø Por la relación de los divisores de sus términos

4

LOS

Ø Número decimal exacto: Cuando tiene un número limitado de cifras. Ej.: 0,2; 0,356; etc.

5 14 4 , , etc , 10 15 11

Ej.:

DE

Ø Número decimal inexacto: Cuando tiene un número ilimitado de cifras. Ej.: 0,333…; 0,324444… Los números decimales inexactos pueden ser:

Fracciones heterogéneas: Son aquellas

Ej.:

356 {

Ej.

5 14 4 , , , etc 13 13 13

Ej.:

,

parte entera parte decimal

Ø Por la comparación de los denominadores:

cuyos

Ø El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores. Ø El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores.

12

Periódico puro: La fracción esta dada por el número formado por las cifras del periodo divido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.

ARITMETICA


0, abcabc... =

abc 999

Entonces la proporción aritmética será:

a-b=c-d

36 12 4 Ej: 0,363636 ... = = = 99 33 11 Periódico mixto: La fracción esta dada por el número formado por todas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

0,205555 ... =

a y d : extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes

4. TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA:

P.A. CONTINUA:

abc − a 0, abcbcbc... = 990 Ej:

Donde:

Los términos medios son iguales.

a-b=b-c

205 − 20 185 37 = = 900 900 180

Donde: b : Media aritmética o diferencial c : tercera diferencial

RAZONES Y PROPORCIONES

P. A. DISCRETA: Los cuatro términos son diferentes.

1. RAZONES: a-b=c-d Es la comparación matemática de dos cantidades. Es decir es el resultado de compara dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.

Donde: d : cuarta diferencial de a, b y c

5. PROPORCION GEOMETRICA: Es la igualdad de dos razones geométricas dadas sabiendo que:

TIPOS:

RAZON ARITMETICA:

a c =k y =k b d

Es la razón por diferencia

a – c =r

a c = b d

Antecedente – Consecuente = Razón

RAZON GEOMETRICA:

Donde: a y d: extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes

Es la razón por cociente.

a =k b

6. TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:

antecedente = Razón geométrica con sec uente

P.G. CONTINUA: Cuando los términos medios son iguales. Es decir:

2. PROPORCIONES: Es la igualdad de dos razones. Es decir, es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas.

3. PROPORCION ARITMETICA: Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas, sabiendo que:

Donde: b : media proporcional o geométrica a, c: tercera proporcional

P.G. DISCRETA:

a-b=r y c-d=r


a b = b c

13

ARITMETICA


Cuando todos los términos son diferentes. Es decir:

a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n =k b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n

a c = b d

a1.a 2 .a 3 .....an = kn b1.b2 .b3 .....bn

Donde: d: cuarta proporcional

7. PROPIEDADES GEOMÉTRICA

DE

LA

PROPORCIÓN

a c Si : = es una proporción geométrica. b d

n

n

n

n

n

n

n

b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n

= kn

REGLA DE TRES

Entonces:

n

a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n

a±b c±d = b d

La regla de tres puede ser: Simple o compuesta.

1. REGLA DE TRES SIMPLE:

a±b c±d = a c

Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (incógnita). Puede ser Directa o inversa.

a+b c+d = a−b c−d

Ø R3S DIRECTA:

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son directamente proporcionales.

a c = b±a d±c

Método 1: Aplicando la definición directamente proporcional.

a+c b+d = a−c b−d

RAZONES

magnitud

BC A C = ⇒x= A B x

a±c a c = = b±d b d

8. SERIE DE EQUIVALENTES

de

Método 2: Una vez planteado el multiplicación será en aspa.

problema

la

GEOMÉTRICAS

Es la igualdad de dos o más razones geométricas. Sea:

a a a1 = k; 2 = k;....; n = k; bn b2 b1 Ax=BC ⇒ x =

Entonces:

a a1 a 2 a 3 a 4 = ... = n = k = = = bn b1 b2 b 3 b 4

Ø R3S INVERSA: Es el resultado de comparar 2 magnitudes que son inversamente proporcionales

Donde:

a1, a 2 , a3 ,...an : Antecedentes b1, b2 , b3 ,...bn : Consecuentes

Método 1: Aplicando la definición inversamente proporcional.

K= constante de proporcionalidad Se cumple que:


BC A

A.B = C.x ⇒ x =

14

de

AB C

magnitud

ARITMETICA


Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en sentido paralelo.

AC=Bx ⇒ x =

Ej: Obreros, maquinas, esfuerzo, rendimiento, etc.

animales,

habilidad,

2º Circunstancias: Condiciones en el tiempo para realizarla. Ej.: días horas diarias, raciones diarias, etc. 3º Efecto: La obra en, si lo realizado y los inconvenientes o condiciones que pone el medio para la realización del trabajo. Ej. Las medidas de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.

AC B

circunstancia

acción

efecto

Si las cantidades proporcionales van de más a más o de menos a menos, la regla es directa; si van de menos a más o de más a menos, la regla es inversa.

Serie1 Hombres Animales Maquinas Serie2 Habilidad

Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dato.

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran en una misma raya.

Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entre el otro dato del problema

3. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES MÁS CONOCIDAS:

MÉTODO PRÁCTICO:

2. REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla de 3 compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores.

Método 1: “Ley de los signos” Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estén en una misma columna. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con las demás magnitudes con el siguiente resultado

Si son directamente proporcionales: arriba (-) y

Días Rapidez características h/d, raciones

Nº de obreros Nº de obreros Nº de obreros Nº de obreros Velocidad Nº de obreros Nº de dientes Obra Obra

Trabajorealizado Medidadelaobra dificultades

DP

obra

IP

eficiencia

IP

días

IP

horas diarias

IP

tiempo

DP

dificultad

IP

nº de vueltas

DP

días

DP

horas por día

PROMEDIOS Y PORCENTAJES 1. PROMEDIOS

abajo (+)

Si son inversamente proporcionales: arriba (+) y abajo (-) El valor de la incógnita esta dado por un quebrado donde el numerador es el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es el producto de los términos que tienen (-)

Método 2: “De las rayas”

a 1 , a 2 , a 3 ,... a Donde:

Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:

1º Causa o acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones que tiene para realizarla.


Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la característica de ser mayor que el menor de ellos y menor que el mayor de ellos. Dadas las siguientes cantidades:

15

n

a 1 : Menor cantidad a n : Mayor cantidad

Se llama promedio P a una cantidad referencial y cumple:

ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA a1 ≤ P ≤ a n

n2 : Número de elementos del segundo grupo.

TIPOS: Ø MEDIA ARITMETICA (Ma): Es aquel promedio que provienen de la suma de n cantidades divididas entre n.

a1 + a2 + a3 + ... + an =P n

Es decir el número de elementos del grupo correspondiente.

PROPIEDADES Ø Ma, Mg y Mh los promedios de n números; entonces siempre se cumple:

Ma > Mg > Mh

Para dos números a y b:

Ø Sean dos números y hallando su Ma y Mh siempre:

a+b Ma = 2

AxB=MaxMh Ø MEDIA GEOMETRICA (Mg): Es aquel promedio que proviene de la raíz enésima del producto de n cantidades.

Ø Se cumple:

Mg = MaxMh

Mg = a1.a2 .a 3 .....an n

Ø La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2 números A y B esta dado por:

Para 2 números a y b:

Mg = a.b

Ma − Mg = Ø MEDIA ARMONICA.(Mh): Es la inversa de la media aritmética de las inversas de las n cantidades dadas.

( A − B)2 4(Ma + Mg)

2. PORCENTAJES

n Mh = 1 1 1 1 + + + ... + a1 a 2 a 3 an

Llamado también tanto por ciento. Se dice así, a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. La regla del tanto por ciento es una aplicación de la regla de tres simple directa.

Para 2 números a y b:

Mh =

NOTACION:

2ab a+b

Sea:

Ø PROMEDIO PONDERADO (P). Promedio de promedios, es cuando tenemos el promedio aritmética de dos o mas grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado.

P=

ma1n1 + ma 2n2 + ma 3n3 + ...mamnm n1 + n2 + n3 + ... + nm

Donde:

5 100

• 5% indica que de cada 100 unidades se consideran 5. • Una cantidad total representa el 100% • Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110% • Una cantidad disminuida en un 10 % representa 90%

APLICACIONES:

DESCUENTOS SUCESIVOS: Cuando a una cantidad se le aplica mas de un descuento, los cuales equivalen a un descuento único que se obtiene de la siguiente forma:

ma 1 : Promedio aritmético del primer grupo ma 2 : Promedio aritmético del segundo grupo Y así sucesivamente; también

n1 : Número de elementos del primer grupo Lic. F. Alberto Quispe Ayala

5% =

16

D xD   Du = D1 + D2 − 1 2  % 100  

ARITMETICA


AUMENTOS SUCESIVOS: Cuando una cantidad se le aplica más de un aumento, los cuales equivalen a un aumento único, que se obtiene de la siguiente forma:

A xA   Au =  A1 + A 2 + 1 2  % 100  

PF = PV + D En caso de pérdida se cumple: PV = PC − perdida Donde:

OJO: Si hubiera más de dos descuentos primero se encuentra el descuento único de los dos primeros y luego se halla un nuevo descuento único con el valor encontrado y el siguiente y así sucesivamente.

APLICACIONES COMERCIALES:


PV = PC + GB GB = GN + G

17

PC=Precio de costo PV=Precio de venta PF=Precio fijado GB=Ganancia bruta D=Descuento o rebaja GN=Ganancia Neta G=Ganancia

separata-aritmetica

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