Semigrupos de Operadores
Junio 25 del 2014
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Introducci´ on Teorema de Acotaci´ on Uniforme: Sea (T n )n∈N una sucesi´on de operadores lineales acotados T n : X → Y , donde X es un espacio de Banach y Y es un espacio normado. Suponga que ∥T n x∥ ≤ cx para todo x ∈ X , para todo n ∈ N. Entonces ∥T n ∥ ≤ c para todo n ∈ N.
Tipos de Convergencia Sean X ,Y espacios normados. Una sucesi´ on (T n )n∈N de operadores en L(X, Y ) (operadores acotados) es
(1) Uniformemente convergente a T si (T n ) converge en norma sobre el espacio L(X, Y ); ∥(T n ) − T ∥ → O (alg´ un T ∈ L(X, Y )). (2) Fuertemente convergente a T si ∥T n x − T x∥ → 0 para todo x ∈ X . (3) Debilmente convergente a T si ∥f (T n x) − f (T x)∥ → 0 para todo x ∈ X para todo f ∈ X ’ . Note que
(1) ⇒ (2) ⇒ (3).
Operadores Lineales Cerrados Definici´ on 1 Sean X ,Y espacios normados y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal. Entonces T es cerrado si el grafo de T G(T ) = {(x, y) : y = Tx,x ∈ D(T )} es cerrado en X × Y. Aqu´ı ∥(x, y)∥ = ∥x∥x + ∥y ∥y . Teorema 1 (Teorema del Grafo Cerrado) Sean X ,Y espacios de Banach y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal cerrado. Entonces si el D(T ) es cerrado en X , el operador T es acotado.
Caracterizaci´ on De Los Operadores Cerrados Proposici´ on 1 Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal donde X ,Y son espacios normados. Entonces T es cerrado si y solo s´ı tiene la siguiente
3 propiedad: Si (xn )n∈N ⊂ D(T ) y xn → x, T xn → y. Entonces x ∈ D(T ) y T x = y.
Demostraci´ on. G(T) es cerrado ⇔ G(T ) = G(T ) ⇔ z ∈ G(T ) ⇒ z ∈ G(T ) ⇔ ∃(z n ) ∈ G(T )/z n → z ⇒ z ∈ G(T ) ⇔ [(xn , T xn ) ∈ G(T )/(xn , T xn ) → (x, y)] ⇔ x ∈ D(T ) y T x = y ⇔ T es cerrado.
Representaci´ on de funciones sobre ries de potencias.
L(X ) en
se-
Sea X un espacio de Banach complejo y sea f : C → C una funci´ on anal´ıtica en un entorno del origen y con radio de convergencia R: n f (z ) = ∞ n=0 an z ,∥z ∥ < R. Sea B = B L(X ) (0; R) = {T ∈ L(X ) : ∥T ∥ < R} n k Para A ∈ B (A es acotado y ∥A∥ < R) definimos f n (A) = k=0 ak A , ∥A∥ < R. Para cada n ∈ N, el operador f n (A) ∈ L(X ). Para todo m > n
∑
∑
m
� � � � �
∥f m (A) − f n (A)∥ = ∥
n
k
ak A
−
k=0
�
ak Ak ∥
k=0
m
= ∥
ak Ak ∥
k=n+1 m
≤
|ak |∥Ak ∥
k=n+1 m
≤
|ak |∥A∥k
k=n+1 m
≤
|ak | Rk < ϵ
k=n+1
m > n > R (alg´ un N). Por tanto la sucesi´on (f n (A))n∈N es de Cauchy. Puesto que X es de Banach, la
4 sucesi´on (f n (A)) converge, esto es, existe f (A) ∈ L(X ) tal que f n (A) → f (A). n Luego f (A) = ∞ n=0 an A , ∥z ∥ < R
∑
Ejemplos: 1. e
wT
=
∑
∞ n=0
wn T n , T ∈ L(X ) y w ∈ C n!
1 n = ∞ n=0 T , ∥T ∥ < 1. 1 − T Observaci´ on: Si an ≥ 0 para todo n, entonces ∥f (A)∥ ≤ f (∥A∥).
∑
2.
En efecto: ∞
f (A) =
� � � �
an An
n=0
∞
∥f (A)∥ ≤
∥an An ∥
n=0
∞
=
an ∥An ∥
n=0
∞
≤
an ∥A∥n
n=0
= f (∥A∥).
Operadores Acotados Invertibles Sean X y Y espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ). Decimos que T es invertible si existe S ∈ L(Y, X ) talque S T x = x para todo x ∈ X y T Sy = y, para todo y ∈ Y
Proposici´ on 2 Si T ∈ L(X, X ) y ∥T ∥ < 1, entonces I − T es invertible. Demostraci´ on. ∞ f (T ) = n=0 an T n , ∥T ∥ < 1. 1 n f (T ) = = ∞ n=0 T , ∥T ∥ < 1. 1 − T Se puede ver que (I − T )f (T ) = f (T )(I − T ) = I .
∑
∑
5
Semigrupos Uniformemente Continuos Definici´ on 2 Una familia {T (t)}t≥0 ⊂ L(X ) es un semigrupo (uniparam´etrico) de operadores acotados si: i) T(0) = I. ii) T(t + s) = T(t)T(s) para todo t, s ≥ 0. Si un semigrupo satisface adem´ as que iii) ∥T (t) − I ∥ → 0, cuando t → 0+ , entonces se dice que es un semigrupo uniformemente continuo.
Definici´ on 3 (Generador de un Semigrupo) Sea T (t) un semigrupo uniformemente continuo. El generador infinitesimal de T (t) se define por : D(A) = {x ∈ X : l´ım+ t→ 0
T (t)x − x existe} t
T (t)x − x d+ = Ax = l´ım+ T (t)x t→ 0 t dt = l´ım+ t→ 0
T (t)x − T (0)x t−0
t=0
Ejercicio: Sea T(t) un semigrupo uniformemente continuo. Demuestre que ∥T (t + h) − T (t)∥ → 0 cuando h → 0+ para todo t ≥ 0. Demostraci´ on. ∥T (t + h) − T (t)∥ = ∥T (t)T (h) − T (t)∥ = ∥T (t) [ T (h) − I ]∥
≤ ∥T (t)∥ ∥ T (h) − I ∥
Como T es acotado y uniformemente continuo,entonces ∥T (t + h) − T (t)∥ → 0 cuando h → 0+ para todo t ≥ 0. De la misma forma ∥T (t) − T (s)∥ → 0 cuando t → s+. l´ım ∥T (t) − T (s)∥ = 0.
t→ s+
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Integral de Riemann de un Semigrupo Uniformemente Continuo Consideremos 0 ≤ a < b < ∞ y denotemos por Pba al conjunto de todas las particiones de [a, b] en un n´ umero finito de subintervalos. Si P ∈ Pba y P = (t0 ,.....,tn ), escribimos
|P | = m´ax {tk − tk−1} k=1,..,n
Dado un semigrupo uniformemente continuo en {T (t)}t≥0 , definimos n
R p (t) =
�
(tk−1 )(tk − tk−1)
k=1
Escribimos la integral de Riemann de a
T (t) :
�
n
T (t)dt = l´ım R p (t) = l´ım | p|→ 0
| p|→o
b
�
T (tk−1)(tk − tk−1 ).
k=1
Dada la continuidad uniforme de T (t) se puede ver que
a)
∫
a b
T (t) dt ∈ L(X ).
b) Si U y T son semigrupos uniformemente continuos y A es acotado, en a a a tonces b [AT (t) + U (t)] dt = A b T (t) dt + b U (t) dt. c) l´ım+ h→ 0
1 ∥ h
∫ �
∫
t+h
1 h
∫
T (s) ds = T (t) o´
t
∫
t +h t
T (s) ds − T (t)∥ → 0 cuando h → 0+.
Demostraci´ on. c) 1 ∥ h
t+h
�
t+h
�
1 T (s) ds − T (t)∥ = ∥ h
t
1 T (s) ds − h
t
t+h
�
T (t) ds∥
t
t+h
�
1 = ∥ h
[T (s) − T (t)] ds∥
t
≤
1 h
t+h
� t
∥T (s) − T (t)∥ ds
7 Sea ϵ > 0. Entonces existe δ > 0 tal que si |s − t| < δ entonces ∥T (s) − T (t)∥ < ϵ. (∥T (s) − T (t)∥ → 0 cuando s → t+ ). Sea |h| < δ . Entonces t ≤ s ≤ t + h implica 0 ≤ s − t ≤ h < δ . Se sigue que
∥
1 h
t+h
�
1 h
T (s) ds − T (t)∥ ≤
t
t+h
�
∥T (s) − T (t)∥ ds
t
ϵ < h
t+h
�
ds
t
= ϵ
Por tanto ∥
1 h
∫
t +h t
T (s) ds − T (t)∥ → 0 cuando h → 0+.
Caso particular: Si t = 0, l´ım+ h→ 0
1 h
h
�
T (s) ds = T (0) = I .
0
Teorema 2 Un operador lineal A es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo s´ı y solo s´ı A es acotado.
Demostraci´ on. ⇒] Sea T (t) un semigrupo uniformemente continuo de ope1 ρ radores lineales sobre X . Puesto que ∥ 0 T (s) ds − I ∥ → 0 cuando ρ → 0+ , ρ entonces podemos fijar ρ suficientemente peque˜ no talque 1 ρ ∥I − T (s) ds∥ < 1 (tome ϵ = 1.) ρ 0 1 ρ 1 ρ Luego el operador I − (I − T (s) ds) = T (s)ds es invertible, y por ρ 0 ρ 0 ρ consiguiente 0 T (s) ds) tambi´en lo es. Ahora
∫
∫
∫
∫
∫
8
ρ
h−1 [ T (h) − I ]
�
ρ
T (s) ds = h−1 [
�
0
ρ
T (h)T (s) ds −
0
T (s) ds ]
0 ρ
= h−1 [
�
�
ρ
T (s + h) ds −
0
�
T (s) ds ]
0
Sea u = s + h, entonces cuando s = 0 u = h ; s = ρ u = ρ + h ρ+h
�
= h−1 [
ρ
�
T (s) ds −
0
h ρ+h
�
= h−1 [
T (s) ds −
�
T (s) ds ]
0 h
�
T (s) ds −
T (s) ds ]
0
ρ ρ+h
�
T (s) ds −
�
0
ρ+h
1 = h
ρ
h
�
0
= h−1 [
T (s) ds ]
1 T (s) ds − h
h
�
T (s) ds
0
ρ
Por tanto T (h) − I 1 ρ+h 1 − =[ T (s) ds h h ρ h 1 ρ+h T (s) ds → T (ρ) h ρ 1 h T (s) ds → T (0) = I h 0
∫
∫
h
0
T (s) ds ] (
∫
ρ
0
T (s) ds)−1 cuando h → 0+ .
∫ ∫
ρ
A = l´ım+ h→ 0
T (h) − I = [T (ρ) − I )( h
Se sigue que A es acotado.
� 0
acotado
⇐] Supongamos que A es acotado. Sea T (t) := e
T (s) ds)−1 ]
∞
tA
=
� n=0
tn An . n!
9
Veamos que T (t) es un semigrupo uniformemente continuo y A es su generador infinitesimal. ∞ 0n An T (o) = I + = I n! n=1
�
Recuerde que ∞
∞
∞
∞
� � �� an
n=0
bn =
n=0
n=0 n=0
∞
T (t)T (s) =
tn An n!
∞
∞
n=0 k=0
=
∞
sn An n!
� � �� � � �� � ��� n=0
=
ak bn−k
n=0
tk Ak sn−k An−k k! (n − k)!
∞
n
n=0
k=0
n! An tk sn−k k!(n − k)! n!
= e(t+s)A = T (t + s)
Veamos que etA es uniformemente continua. ∞
� � �
∥T (t) − I ∥ = ∥
n=0
∞
= ∥
n=1
∞
≤
n=1
tn An − I ∥ n! tn An n!
tn ∥A∥n n! ∞
= t∥A∥
� � n=1
∞
= t∥A∥
k=0
tn−1 ∥A∥n−1 n! tk ∥A∥k k!
= t∥A∥et∥A∥ → 0 cuando t → 0+
10 Veamos que A es el generador infinitesimal de T (t) = etA .
� � �� � � � � � ��
T (t) − I 1 ∥ − A∥ = ∥ T (t) − I − A∥ t t ∞
1 = ∥ t
n=1
∞
= ∥
n=1
∞
= ∥
n=2
∞
≤
n=2
1 = t
tn−1 An − A∥ n! tn−1 An ∥ n!
tn−1∥A∥n n!
∞
n=2
tn ∥A∥n n!
∞
1 = t
tn An − A∥ n!
n=0
tn ∥A∥n − 1 − t∥A∥ n!
�
et∥A∥ − 1 = − ∥A∥ = ∥A∥ − ∥A∥ = 0 cuando t → 0+ t Por tanto Ax = l´ımt→
0+
T (t)x − x t
Teorema 3 Sean T (t) y S (t) semigrupos uniformemente continuos. Si l´ım+
t→ 0
T (t)x − x S (t)x − x = l´ım+ , t→ 0 t t
entonces T (t) = S (t) pata todo t ≥ 0.
Semigrupos Fuertemente Continuos Definici´ on 4 Un semigrupo T (t), 0 ≤ t < ∞ de operadores lineales acotados es fuertemente continuio si l´ım T (t)x = x
t→o+
para todo x ∈ X
esto es,
∥T (t)x − x∥ → 0 cuando t → 0+ A esta clase de semigrupos lo llamamos C 0 −semigrupos
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Teorema 4 Sea T (t) un C 0 −semigrupo, entonces existe M ≥ 1 y ω ≥ 0 tal que ∥T (t)∥ ≤ M eωt Demostraci´ on. Veamos que existe η > 0 tal que ∥T (t)∥ ≤ M para o ≤ t < η. Sea ϵ = 1, por definici´o n de C 0 −semigrupo, existe η > 0 tal que o ≤ t < η, ∥T (t)x − x∥ < 1 Ahora ∥T (t)x∥ ≤ ∥T (t)x − x∥ + ∥x∥ < 1 + ∥x∥ = C x para todo x ∈ X
Puesto que X es de Banach, se sigue del Teorema de acotaci´ on uniforme que
∥T (t)∥ ≤ M para alg´ un M Cuando t = 0 1 = ∥I ∥ = ∥T (0)∥ ≤ M as´ı M ≥ 1 Sea t = 0. Entonces t = nη + δ donde 0 ≤ δ < η, (propiedad arquimediana) Luego
∥T (t)∥ = ∥T (nη + δ )∥ = ∥T (nη)T (δ )∥ = ∥T (η)...T (η) T (δ )∥
n−veces
= ∥T (nη)n T (δ )∥ t η
n
≤ M M ≤ M M = e
t
ln M η
M
1
t ln M η
= M e
= M eωt
1
Donde ω = ln M η = η1 ln M ≥ 0
Corolario 1 Si T (t) es un C 0-semigrupo, entonces la funci´on t → T (t)x es cintinua para todo x ∈ X
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Teorema 5 Sea T (t) un C 0 - semigrupo y A su generador infinitesimal T (t)x − x d+ Ax = l´ım+ = T (t)x t→ 0 t dt
D(A) = {x ∈ X : l´ım+ t→ 0
t=0
T (t)x − x existe} t
Entonces a) Para todo x ∈ X 1 l´ım+ t→ 0 h
�
t+h
T (s)xds = T (t)x
t
b) Para x ∈ X
�
t
T (s)xds ∈ D(A) y
0
�
t
A
T (s)xds = T (t)x − x
0
c) Para x ∈ D(A) T (t)x ∈ D(A) y d [T (t)x] = AT (t)x = T (t)Ax dt d)Para x ∈ D(A)
�
t
T (t)x − T (s)x =
s
�
t
T (τ )Axdτ =
AT (τ )xdτ
s
Demostraci´ on. a) Puesto que t → T (t)x es continua paraϵ > 0 dado existe δ > 0 tal que 0 < s − t < δ implica ∥T (s)x − T (t)x∥ < ϵ
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1 ∥ h
�
t+h
(T (s)x − T (t)x)ds∥ = de
t
= ∥T (nη)T (δ )∥ = ∥T (η)...T (η) T (δ )∥
n−veces
= ∥T (nη)n T (δ )∥ t η
n
≤ M M ≤ M M = e 1
t ln M η
= M e
= M eωt
t
ln M η
M
