16 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
Solución de triángulos oblicuángulos Un triángulo es oblicuángulo cuando sus tres ángulos son oblicuos, es decir, no tiene un ángulo recto. Este tipo de triángulos se resuelven mediante la ley de senos, de cosenos o de tangentes.
Ley de senos La razón que existe entre un lado de un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado es proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes. C
Ley de senos: a b
sen A
a
c
A
b
=
sen B
=
c sen C
B
La ley de senos se utiliza cuando: Ú
Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Ú
Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.
EJEMPLOS
s o 1 l p m e j E
En el triángulo ABC , b = 15 cm, ∠ B = 42° y ∠ C = 76°. Calcula la medida de los lados y ángulos restantes. Solución A
Para obtener ∠ A, se aplica ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°, despejando, ∠ A
b=
76° C
Se conoce el valor del lado b y el ángulo B, opuesto a dicho lado, también se proporciona el ángulo C , por tanto, se puede determinar la medida del lado c,
c
15 cm
= 180° – ∠ C – ∠ B = 180° – 42° – 76° = 62°
c
42° a
sen C
B
=
b sen B
Al sustituir ∠ C = 76°, ∠ B = 42° y b = 15 cm, se determina que, c sen 76°
=
15 sen 42°
De la expresión anterior se despeja c, c=
(15)(sen
) (15)(0.9703 )
76°
=
sen 42°
= 21.75 cm
0.6691
Por último, se determina el valor del lado a con la siguiente relación: a sen A
=
a
b
donde
sen B
sen 62°
=
15 sen 42°
Al despejar a: a
=
(15)(sen 62°) sen 42°
86 8
=
(15)(0.8829 ) 0.6691
=
19.8 cm
CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos oblicuángulos
2
En el triángulo MNP, ∠ P = 76º, p = 12 cm y m = 8 cm. Resuelve el triángulo. Solución P
76° m = 8 cm
n
M
N
p = 12 cm
Con los datos del problema, se calcula el valor de ∠ M con la siguiente relación: m sen M
=
p sen P
Al despejar sen M y sustituir los valores, se obtiene:
sen M =
m sen P p
=
(8)(sen 76°)
=
12
(8)(0.97029 ) 12
=
0.6469
Entonces: ∠ M =
arc sen (0.6469)
∠ M =
40° 18’
Por otro lado, ∠ N =
180° – ∠ P – ∠ M = 180° – 76° – 40° 18’ = 63° 42’
Se aplica la ley de senos para encontrar el valor del lado n: n sen N
=
p sen P
Al despejar n,
n
=
p sen N sen P
=
(12)(sen 63°42') sen 76°
=
(12)(0.8965 ) 0.9703
=
11.09
Por consiguiente, ∠ M =
40° 18’, ∠ N = 63° 42’ y n = 11.09 cm
86 9
cm
16 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
3
En el triángulo ABC ,
∠ A
= 46°,
∠ B
= 59° y
a
= 12
cm .
Determina los elementos restantes del triángulo.
Solución C
b
a=
46°
12 cm
59°
A
c
B
En el triángulo: ∠ C =
180º – ∠ A – ∠ B = 180º – 46º – 59º = 75º
Para hallar el valor del lado c se utiliza la relación: c sen C
=
a
donde
sen A
c
=
a sen C sen A
=
(12)(sen 75°) sen 46°
=
(12)(0.9659 ) 0.7193
= 16.11
cm
Asimismo, para obtener el valor del lado b se utiliza la relación:
b sen B
=
a
donde
b
=
sen A
a sen B sen A
=
(12)(sen 59°) sen 46°
=
(12)(0.8571 ) 0.7193
= 14.3
cm
Finalmente, los elementos restantes son: ∠ C =
75º, c = 16.11 cm y b = 14.3 cm
Ley de cosenos El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado. Ley de cosenos:
C
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
a
b
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
A
c
B
87 0
CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos oblicuángulos Al despejar
La ley de cosenos se utiliza cuando: Ú
Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Ú
Se tiene el valor de los 3 lados.
EJEMPLOS
s o 1 l p m e j E
En el triángulo ABC , a = 15 cm, c = 18 cm, ∠ B = 70º. Resuelve el triángulo. Solución C
b
a = 15 cm
70º A
B
c = 18 cm
Para calcular el valor del lado b se utiliza la fórmula: b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
Donde,
(15 )2
b
=
b
= 19.09
+
(18 )2
−
2 (15 )(18 ) cos 70 º
=
225 + 324
−2
(15 ) (18 )( 0.34202 ) =
364 .3
cm
Conocidos los 3 lados del triángulo se calcula el valor de ∠ A:
cos A
b =
2
+
c
2
−
2bc
a
2
=
(19.09 )2 + (18 )2 − (15 )2 2 (19 .09 )(18 )
=
364.43 + 324
−
225
687.24
Donde: ∠ A = arc cos 0.6743 = 47° 36’ Por último, se determina la medida de ∠ C: ∠
C = 180º – ∠ A – ∠ B = 180° – 47° 36’ – 70° = 62° 24’
Por tanto, los elementos restantes del triángulo ABC son: b = 19.09 cm, ∠ A = 47° 36’ y ∠ C = 62° 24’
87 1
=
0.6743
16 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
2
En el triángulo ABC , a = 50, b = 45, c = 32. Resuelve el triángulo. Solución C
b=
45
A
a=
c=
50
B
32
Para obtener ∠ A: cos A
=
b
2
+c −a 2
2
=
2bc
( 45 )2 + ( 32 )2 − ( 50 )2 2 ( 45 )( 32 )
=
+ 1024 − 2500
2 025
2880
= 0.1906
Donde, ∠ A
= arc
cos
0.1906 = 79º
Para obtener ∠ B: cos B
=
a
2
+c −b 2
2 ac
2
=
( 50 )2 + ( 32 )2 − ( 45 )2 2 ( 50 )( 32 )
=
2500
+ 1 024 − 2025 3200
= 0.4684
Donde, ∠ B
= arc cos 0.4684 = 62° 4’
Para calcular ∠ C : ∠ C =
180° – ∠ A – ∠ B = 180° – 79° – 62° 4’ = 38° 56’
Por consiguiente, los ángulos del triángulo ABC son: ∠ A
= 79°, ∠ B = 62° 4’ y ∠ C = 38° 56’
Ley de tangentes En todo triángulo oblicuángulo la razón entre la diferencia de 2 lados y la suma de los mismos, es igual a la razón entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lados, y la tangente de la semisuma de dichos ángulos. Fórmulas:
⎛ A − C ⎞ ⎛ B − C ⎞ tan ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎟ ⎠ a−c b−c 2 = = , a+c ⎛ A + C ⎞ b + c tan ⎛ B + C ⎞ tan ⎜ ⎜⎝ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎠ tan
87 2
⎛ A − B ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟ ⎠ a−b = a+b ⎛ A + B ⎞ tan ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ tan
y
CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos oblicuángulos EJEMPLOS
s o 1 l p m e j E
En el triángulo ABC , c = 10, A = 68°, C = 36°. Resuelve el triángulo. Solución
Se determina el ∠ B:
C
∠ B =
Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado a:
36° b
⎛ A − C ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟ ⎠ a−c = ⎛ A + C ⎞ a+c tan ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠
a
tan
68° A
180° – ∠ A – ∠ C = 180° – 68° – 36° = 76°
Al sustituir los valores de c = 10, ∠ A = 68° y ∠ C = 36°, se obtiene: c=
10
B
⎛ 68° − 36° ⎞ ⎜⎝ 2 ⎟ ⎠ tan 16° 0.2867 a − 10 = = = = 0.2240 68° + 36° ⎞ tan 52° 1.2799 ⎛ a + 10 tan ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ tan
Entonces, de la expresión resultante:
− 10 = 0.2240 a + 10 a
Se despeja a: a
– 10 = 0.2240a + 2.240
S
a
– 0.2240a = 2.240 + 10 0.776a = 12.240 a a
=
12.240 0.776
= 15.77 cm
Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado b:
⎛ B − C ⎞ tan ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ −c = ⎛ B + C ⎞ b+c tan ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ b
Al sustituir los valores de c = 10, ∠ B = 76° y ∠ C = 36°, se determina que:
⎛ 76° − 36° ⎞ tan ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ tan 20° 0.3639 − 10 = = = = 0.2454 76° + 36° ⎞ tan 56° 1.4826 ⎛ b + 10 tan ⎜ ⎝ 2 ⎟ ⎠ b
De la expresión resultante,
− 10 = 0.2454 b + 10 b
Se despeja b: b
– 10 = 0.2454b + 2.454
S
b
– 0.2454b = 10 + 2.454 0.7546b = 12.454 b
Por tanto, los elementos restantes del triángulo son: ∠ B
= 76º, a = 15.77 cm y b = 16.5 cm
87 3
= 16.5 cm
16 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
EJERCICIO 53 Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo de acuerdo con los datos proporcionados. C
a
b
c
A
1. ∠ B = 57º 20’ , ∠ C = 43º 39’ , b = 18 2. ∠ A = 63º 24’ , ∠ C = 37º 20’ , c = 32.4 3. ∠ A = 85º 45’ , ∠ B = 26º 31’ , c = 43.6 4. ∠ C = 49º , ∠ A = 54º 21’ , a = 72 5. ∠ B = 29º , ∠ C = 84º , b = 12.3 6. ∠ A = 32º , ∠ B = 49º , a = 12 7. a = 5 , ∠ A = 32º , b = 8 8. c = 13 , b = 10 , ∠ C = 35º 15’ 9. ∠ B = 56º 35’ , b = 12.7 , a = 9.8 10. a = 9 , c = 11.5 , ∠ C = 67º 21’ 11. a = 15 , b = 16 , c = 26 12. a = 32.4 , b = 48.9 , c = 66.7 13. a = 100 , b = 88.7 , c = 125.5 14. a = 15 , b = 12 , c = 20 15. a = 12 , b = 15 , ∠ C = 68º 16. a = 28 , c = 32 , ∠ B = 76º 17. b = 45 , c = 75 , ∠ A = 35º 18. a = 12.6 , b = 18.7 , ∠ C = 56º
Demuestra que para el triángulo se cumple: Ú
a sen A 2
Ú a
2
Ú b
2
Ú c
Ú
b =
2
=
b
=
a
=
a
2
2
c
sen B 2
+
c
+
c
+
b
2
2
=
sen C
−
2bc cos A
−
2ac cos B
−
2ab cos C
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
87 4
B
CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos oblicuángulos
PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1
Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un puntoP a 100 metros del punto M ; al medir los ángulos resulta que ∠ M = 110º y ∠ P = 40º. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M y Q? Solución
Se realiza una fgura que represente el problema: M
d
110°
Q
100 m 40° P
De acuerdo con los datos se determina el valor de ∠ Q: ∠
Q = 180° – 110° – 40° = 30°
Sea MQ = d , entonces, al aplicar la ley de senos se obtiene: d sen 40°
=
100
sen 30°
De la cual se despeja d : d =
(100)(sen 40°) sen 30°
=
(100 )( 0.6427 ) 0.5
= 128.54
En consecuencia, la distancia entre los puntos es de 128.54 metros.
2
Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edifcios, 250 m y 380 m, respectivamente. Si el ángulo ormado por los 2 edifcios y el observador es 38º 20’, precisa la distancia entre ambos edifcios. Solución d
250 m 38° 20’
380 m
P
Sea d la distancia entre ambos edifcios; entonces, por la ley de cosenos: d
=
( 250 )
2
(
+ 380
2
)
(
− 2 250
)(380 ) cos 38 º 20 ' =
Finalmente, la distancia entre los edifcios es de 240.55 m.
87 5
62 500 + 1 44 400 − 149038.98 = 240 .55
16 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
3
Se inscribe un octágono regular de lado 1 cm en una circunerencia; determina el área del círculo. Solución
Si se inscribe un polígono regular en una circunerencia, la distancia del centro al vértice es el radio, si se trazan 2 radios a 2 vértices se orma un triángulo isósceles y la medida del ángulo central es la fgura:
45 °
r
x
360° 8
= 45°, como lo muestra
r x
1 cm
Sea x la medida de cada ángulo de la base en un triángulo isósceles, entonces: 2 x + 45º = 180º
2 x = 135º
S
x =
S
135 º 2
= 67.5º
Por la ley de senos se tiene la igualdad: 1 sen
r
=
45º
sen
67.5º
Al despejar r de la expresión anterior: sen
r = sen
67.5 45º
= 1.3 cm
Luego, el área del círculo está dada por la expresión: A
= π r 2
Se sustituye r = 1.3 cm y se obtiene: A
= π (1.3 cm)2 = 1.69π cm2
EJERCICIO 54 Resuelve los siguientes problemas: 1. Para establecer la distancia desde un punto A en la orilla de un río a un punto B de éste, un agrimensor selecciona un punto P a 500 metros del punto A, las medidas de ∠ BAP y ∠ BPA son 38° y 47° 32’. Obtén la distancia entre A y B. 500 m A
38°
47° 32’
B
87 6
P
CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos oblicuángulos 2. El horario y el minutero de un reloj miden respectivamente 0.7 y 1.2 cm . Determina la distancia entre los extremos de dichas manecillas a las 13:30 horas. d
3. Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a 10 km / h con dirección sur 3 0°20’O. Un a segunda embarcación sale del mismo puerto a las 11:30 h a 12 km / h con dirección norte 45°O. ¿Qué distancia separa a ambos barcos a las 12:30 horas?
N E
O S
45°
30° 20’
4. La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58° 2 0’ y 67° 32’. ¿A qué altura del suelo se encuentra?
A
67° 32’
58° 20’ 20 km
5. Una persona se encuentra a 3.7 m de un risco, sobre el cual se localiza una antena. La persona observa el pie de la antena con un ángulo de elevación de 30° y la parte superior de ésta con un ángulo de 70°. Determina la altura de la antena.
h
70° 30°
3.7 m
87 7
B
16 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS
6. ¿Cuál es la longitud de los lados de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 centímetros de radio? l
4 cm
4 cm
7. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ángulo de 74° 23’. Después de una hora, uno de ellos se encuentra a 225 km de la ciudad, mientras que el otro está a 300 km. ¿Cuál es la distancia entre ambos aviones? 300 km 25 km
74° 23’
8. En un plano inclinado se encuentra un poste vertical de 20 metros de altura. Si el ángulo del plano con respecto a la horizontal es de 20°, calcula la longitud de un cable que llegaría de un punto a 300 metros cuesta abajo a la parte superior del poste.
20 m 300 m 20°
9. Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con una velocidad de 70 km por hora. Al mismo tiempo, pero en dirección noreste, otro buque viaja a razón de 80 km por hora. ¿A qué distancia se encontrarán uno del otro después de media hora?
70 km/h d
80 km /h
N
45º
O
E S
87 8
CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos oblicuángulos 10. La distancia que hay de un punto hacia los extremos de un lago son 145 y 215 metros, mientras que el ángulo entre las 2 visuales es de 56° 10’. Calcula la distancia entre los extremos del lago.
P
215 m
56° 10’
145 m
A d
11. En un paralelogramo que tiene un lado que mide 20.8 cm, su diagonal mide 46.3 cm. Determina la longitud del otro lado si se sabe que el ángulo entre la diagonal y el primer lado es de 28° 30’.
B
28° 30’ 20.8 cm
46.3 cm
d B
12. Si Δ ABC triángulo cualquiera y DE es el diámetro de la circunerencia, demuestra que: DE
=
AB sen C
=
BC sen A
CA
=
D
sen B
O
E
C A
13. Observa la siguiente fgura: P
q
r
Q
p
R
a) Demuestra que dado un lado y 2 ángulos adyacentes, el área del triángulo será: A
=
r 2 sen Q sen P 2
sen ( Q + P )
=
q 2 sen P sen R 2
sen ( P + R )
=
p 2 sen R sen Q 2
sen ( R + Q )
b) Demuestra que el área del triángulo está dada por cualquiera de las siguientes órmulas:
Ú
Ú
A
=
Ú
A
=
1 2
r 2 sen P sen Q csc R
2 p
q r
p + q + r
⎡ ⎛ 1 ⎞ cos ⎛ 1 ⎜⎝ 2 ⎢⎣ cos ⎜⎝ 2 P⎟ ⎠
⎞ ⎠
Q⎟ cos
⎛ 1 R⎞ ⎤ ⎜⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎥⎦
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
87 9
