4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST OTPORNO ST MA M ATERIJALA I
Čisto pravo savijanje istim savijanjem grede podrazumeva se Pod č istim naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta savijanja. Mx = const, My= Mz = 0, Ty= Tx=0, N=0
Čisto pravo savijanje To je slučaj kada je greda opterećena na krajevima simetrično samo spregovima sa momentima Mx (odnosno My), tj. spregovima koji leže u istoj ravni i savijaju gredu oko ose paralelne osi x (ili y). Ravan yz (odnosno xz) se naziva ravan savijanja grede. Ukoliko su ose x i y glavne centralne ose inercije popre čnog preseka preseka onda je to slučaj pravog savijanja grede.
Čisto pravo savijanje je savijanje u jednoj od glavnih ravni inercije.
Čisto pravo savijanje
Savijanje u jednoj od glavnih ravni inercije – u ravni yOz
Čisto pravo savijanje
Čisto pravo savijanje
Pod dejstvom sprega Mx greda se deformiše tako da joj se gornja vlakna skraćuju a donja izdužuju. Vlakna koja ne menjaju dužinu, tj. njihova dilatacija je jednaka nuli, predstavljaju neutralnu površ grede.
Savijena osa grede koja predstavlja presek neutralne površi sa ravni optere ćenja - savijanja je elastič na linija . Presek neutralne površi sa poprečnim presekom grede zove se neutralna osa.
Čisto pravo savijanje - primeri
Čisto pravo savijanje na delu CD Čisto pravo savijanje na delu AB
Čisto pravo savijanje - primeri
Čisto pravo savijanje na celoj konzoli
Čisto pravo savijanje - pretpostavke Ravni poprečni preseci ostaju pri deformaciji štapa ravni i upravni na savijenu osu štapa (Bernoullijeva hipoteza ravnih preseka). Materijal štapa se smatra homogenim i izotropnim. Stanje napona je jednoosno, tj. σz≠0, ostale komponente napona su jednake nuli ( τzx=0, τzy=0) Podužna vlakna ne deluju jedna na druga, tj. zanemaruju se naponi između podužnih vlakana. Normalna naprezanja proporcionalna su deformacijama Hookeov zakon.
Čisto pravo savijanje - elastična linija
A1’B1’ - zategnuta vlakna
A’B’ - pritisnuta vlakna
Čisto pravo savijanje - neutralna površ
Čisto pravo savijanje – dilatacija i napon
Da bi se odredila veličina napona u proizvoljnoj tački nekog vlakna na rastojanju y od neutralne ose, posmatraće se deformacija elementa CC1D1D.
- poluprečnik krivine elastične linije ρ
Čisto pravo savijanje – dilatacija i napon Dilatacija vlakna EE1, na rastojanju y od neutralne ose, je:
ε=
E′E1′ − EE1 EE1
E′E 2
=
E 2 E1′ O′O1′
O1′E 2 E1′ ∼ AO′O1′
Iz sličnosti površina: sledi:
=
E 2 E1′
E 2 E1′ : O′O1′ = E 2O1′ : O ′A = y : ρ
εz = σz = εz E =
y
ρ
y
ρ
E
εz =
σz
Hukov zakon:
E
σz =
E
ρ
y
Čisto pravo savijanje – raspodela napona σz =
E
ρ
y
Normalni napon σz je linearno zavisan od rastojanja y od ose oko koje se vrši savijanje (osa x) (posledica Bernoulijeve hipoteze ravnih preseka). Normalni napon je linearno raspore đen duž ose koja je upravna na osu oko koje se vrši savijanje, a konstantan duž pravca koji je sa tom osom paralelan .
Čisto pravo savijanje – raspodela napona
σz =
E
ρ
y
Dijagram raspodele normalnog napona σz i aksonometrijski prikaz duž poprečnog preseka grede pravougaonog popre čnog preseka.
Čisto pravo savijanje - napon i dilatacija
εz =
σz =
y
ρ
E
ρ
y
Čisto pravo savijanje – Sile u preseku Greda je opterećena momentima Mx na krajevima. U proizvoljnom poprečnom preseku grede, dejstvo uklonjenog dela grede biće nadoknađeno unutrašnjim silama (naponima) na presečenoj površini. Posmatra se deo grede opterećem je momentom Mx na levom kraju, kao i paralelnim silama σz dA koje deluju po površini A poprečnog preseka. Stanje napona je jednoosno, tj. σz≠0, ostale komponente napona su jednake nuli (τzx=0, τzy=0).
σz dA
Čisto pravo savijanje – Sile u preseku Jednačine ravnoteže posmatranog dela grede napregnute na čisto savijanje:
∑Z = 0 ∑M = 0 ∑M = 0 x
y
Čisto pravo savijanje – Uslovi ravnoteže Prva jednačina ravnoteže posmatranog dela grede glasi:
∑Z = 0
→
∫σ A
z
dA =
E
E
∫ ρ y dA = ρ ∫ ySdA = 0
A
A
Sx=0
x
neutralna osa prolazi kroz težište popreč nog preseka
.
Čisto pravo savijanje – Uslovi ravnoteže Treća jednačina ravnoteže posmatranog dela grede glasi:
∑M
y
=0 →
∫xσ A
z
∫
dA = x A
E
ρ
y dA =
E
x y dA =0 ∫ ρ A
Ixy
∫
I xy = x y dA =0 A
ose x i y su ujedno i glavne centralne ose inercije
Čisto pravo savijanje – Uslovi ravnoteže Druga jednačina ravnoteže dela grede glasi:
∑M
x
=0 →
∫ yσ
z
dA − M x = 0
A
E
∫ y ρ y dA − M
x
=0
A
E
∫
ρA E
ρ
y 2 dA =M x
Ix = M x
→
1
ρ
=
Mx EI x
krutost grede na savijanje
Čisto pravo savijanje – Izraz za normalni napon pri čistom savijanju 1 Krivina grede pri savijanju Proizvod
ρ
=
Mx EI x
EIx se naziva krutost grede na savijanje.
Ako je Ix=const , tj. EIx=const, kako je i Mx=const
1
ρ
=
Mx EI x
= const
krivina je konstantna
Pri čistom savijanju elasti čna linija savijene grede je krug .
Čisto pravo savijanje – Izraz za normalni napon pri čistom savijanju Normalni napon pri čistom savijanju oko ose x:
σz =
E
ρ
y=E
Mx EI x
y=
Mx Ix
y
Izraz za normalni napon pri čistom savijanju oko ose x.
σz =
Mx Ix
y
Ukoliko bi čisto savijanje bilo u odnosu na drugu centralnu osu inercije - osu y, normalni napon bi se računao korišćenjem izraza:
σz =
My Iy
x
σz =
1. U proizvoljnom preseku grede je
Mx Ix
Mx Ix
y
= const pa normalni napon
linearno zavisi od rastojanja y, tj. normalni napon se linearno menja po visini preseka u zavisnosti od rastojanja vlakna od ose x. 2. U tačkama na osi x (y=0), normalni napon je jednak nuli ( σ=0); ove tačke u poprečnom preseku čine neutralnu osu. 3. Tačke podjednako udaljene od neutralne ose imaju istu vrednost normalnog napona.
Čisto pravo savijanje – Znak normalnog napona Normalni napon u donjem delu poprečnog preseka (ispod ose x) istog je znaka kao moment savijanja u tom preseku, a sa druge strane preseka (iznad ose x) – znak je suprotan. Ako je u nekom preseku grede moment savijanja pozitivan, u donjem delu tog preseka biće i napon savijanja pozitivan (zatežući), a u gornjem delu negativan (pritiskajući). Pozitivan normalni napon (kao vektor) deluje od preseka, a negativan – ka preseku. Neutralna linija deli poprečni presek na dva dela. U jednom delu normalni napon ima pozitivan znak, a u drugom negativan.
Mx
M Dijagram normalnog napona za proizvoljan presek za M>0
Čisto pravo savijanje - Otporni moment Zbog linearne zavisnosti normalnog napona od rastojanja y od ose oko koje se vrši savijanje (osa x), normalni napon dostiže ekstremne vrednosti na gornjim i donjim vlaknima – tačkama koje su na najvećem rastojanju od neutralne ose, dok je na neutralnoj osi njegova vrednost jednaka nuli . Označimo ekstremne vrednosti normalnog napona sa σz1 i σz2:
Čisto pravo savijanje - Otporni moment ,
1 z
σ = 2 z
Mx
σ =−
Mx W1 =
Ix e1
W2 =
Ix e2
Ix
e1
Mx Ix
Otporni moment preseka
za vlakno 1 i 2
Dimenzija otpornog momenta L3 (cm3)
e2
Čisto pravo savijanje - Otporni moment .
Mx
1 z
σ =
2 z
σ =−
W1
Mx W2
Ako je presek simetričan u odnosu na neutralnu osu x, tada je e1=e2=e, W1 = W2 =W pa je:
1,2 z
σ
=±
Mx Wx
Čisto pravo savijanje - Dimenzionisanje Najveći napon po apsolutnoj vrednosti nastaje u vlaknu koje je na najvećem rastojanju od neutralne ose, pa se zbog toga za određivanje najvećeg napona koristi izraz za najmanji otporni moment:
W1 =
Ix
Wx = Wmin =
e1
Ix y max
Dimenzionisanje poprečnog preseka štapa koji je napregnut na čisto savijanje vrši se na osnovu uslova da najveća vrednost normalnog napona po apsolutnoj vrednosti ne sme da prekorači vrednost dozvoljenog napona σdoz .
σ max =
Mx Ix
y max =
Mx Wx
≤ σdoz
Wx,potr. ≥
Mx
σdoz
Primer 1: Odrediti ekstremne vrednosti normalnog napona grede pravougaonog popre čnog preseka.
Ix =
bh 3 12 bh 3
Ix bh 2 12 W1 = W2 = = = h h 6 2 2
σ1,2 z = ±
Mx Wx
=±
Mx bh 2 6
=±
6M x bh 2
Primer 2: Odrediti ekstremne vrednosti normalnog napona grede kružnog poprečnog preseka.
Ix =
r 4π 4 r4π
W1 = W2 = σ1,2 z = ±
Mx Wx
r3π
Ix
= 4 = r r 4
=±
Mx r3 π 4
=±
4M x r3 π
Čisto pravo savijanje - Otporni moment
Čisto pravo savijanje - Dimenzionisanje Pri dimenzionisanju grede, oblik popre čnog preseka treba izabrati tako da se što manjom površinom preseka postigne što veći otporni moment. To se može postići, na primer, udaljavanjem delova poprečnog preseka od neutralne ose.
Primer Odrediti normalni napon u naznačenom preseku date proste grede
x
Reakcije veza:
∑X = 0 → H = 0 ∑ Y = 0 → V + V − 5⋅6 = 0 ∑ M = 0 → V ⋅6 − 5 ⋅6 ⋅3 = 0 A
A
A1
A′
A
⇒ VA = 15 kN
Moment inercije preseka:
25 ⋅ 23 Ix = + 2 + 25 ⋅ 2 ⋅162 = 30133, 33cm 4 12 12 2 ⋅ 303
Sile u preseku a – a i normalni naponi
∑X = 0 T = ∑Y = 0 M = ∑ M = 15 ⋅ 3 − 15 ⋅1,5 = 22, 5 kNm N=
L
σmax = σD =
σB =
Mx Ix
Mx Ix
yB =
yD =
22, 5 ⋅102 30133, 33
22, 5 ⋅102 30133, 33
⋅17 = 1, 27 kN / cm 2 = 12, 7 MPa
⋅ ( −15) = −1,12 kN / cm 2 = −11, 2 MPa
