Capítulo 2
Dinâmica Quântica Modern Quantum Mechanics - J.J. Sakurai (Revised Edition)
2.1 Tempo .
A Evo Evoluç lução ão Tem Tempor poral al e a Eq. de Sch Schröd röding inger er Em MQ, o tempo não é considerado um operador, mas apenas um parâmetro contínuo.
Operador Evolução Temporal Como um estado ket varia com o tempo? |, t 0 . |, t 0 ; t .
sistema em t
no estado representado por |
t 0
sistema em t
t 0 ,
que estava no estado | em t
t 0 .
Como t é um parâmetro contínuo, espera-se que lim |, t 0 ; t | t →t 0
ou, numa notação abreviada, |, t 0 ; t 0 |, t 0 .
Evolução temporal .
Nossa Nossa tare tarefa fa é estud estudar ar a evolu evoluçã çãoo temp tempor oral al do estad estadoo ket ket evolução temporal
|, t 0 |
|, t 0 ; t
Em outras palavras, queremos saber como o estado ket evolui sob uma mudança t 0
→
t no
tempo.
Operador evolução temporal .
Como Como no caso caso da tran transla slaçã ção, o, esses esses dois dois kets estã estãoo relaci relacion onad ados os por um um operador que chamaremos operador evolução temporal U t , t 0 : (1.5)
t , t 0 |, t 0 |, t 0 ; t U
Propriedades do operador evolução temporal Unitariedade. Exemplo
Esta propriedade é importante, uma vez que implica na conservação de probabilidade. Suponha que em t 0 o estado ket seja expandido em termos dos autokets de algum observável A: |, t 0
∑c
a´ t 0
|a´
a´
Da mesma forma, algum tempo depois teremos: |, t 0 ; t
∑c
a´ t
|a´
a´
Em geral, não esperamos que os módulos dos coeficientes de expansão permaneçam os mesmos c a´ t
≠ c a´ t 0
Geralmente, devemos ter
∑ |c a´
P f Ab h
M
é C h
a´ t |
2
∑ |c
a´ t 0 |
2
a´
M â i
Q â ti
A
1
a despeito da desigualdade para os coeficientes individuais. Colocado de outra maneira, se o estado ket inicialmente é normalizado à unidade, ele deve permanecer normalizado para todos os tempos posteriores:
, t 0 | , t 0
1
→
, t 0 ; t | , t 0 ; t
1
Como no caso da translação, esta propriedade é garantida se o operador evolução temporal for um operador unitário: U t , t 0 U t , t 0 1
Outra propriedade que devemos atribuir ao operador evolução temporal é a composição
Composição.
U t 2 , t 0
U t 2 , t 1 U t 1 , t 0 , t 2
t 1 t 0
Esta equação nos diz que, se estamos interessados interessados em obter a evolução temporal de t 0 a t 2 , então podemos obter o mesmo resultado, primeiro considerando a evolução temporal de t 0 a t 1 e depois de t 1 a t 2 . (A equação deve ser lida da direita para a esquerda.) Operado Operadorr evoluç evolução ão tempor temporal al infini infinites tesima imal. l.
É vant vantajo ajoso so consid consider erar ar um oper operad ador or evolu evoluçã çãoo temp tempor oral al
infinitesimal U t 0 dt , t 0 t 0 dt , t 0 |, t 0 |, t 0 ; t 0 dt U
Devido à continuidade, o operador infinitesimal deve reduzir-se ao operador identidade quando
dt → 0
t 0 dt , t 0 1 lim U dt →0
e, como no caso da translação, esperamos esperamos que a diferença diferença entre U t 0 dt , t 0 e 1 seja de primeira ordem em dt .
Qual o operador que satisfaz todas essas propriedades? Operador evolução temporal infinitesimal .
Podemos Podemos assegu assegurar rar que essas essas propr proprieda iedades des são satisfe satisfeitas itas pelo pelo
operador U t 0
dt , t 0 1 − idt
onde é um operador hermitiano
Demonstração 1.
Devido à propriedade de composição, U t 0
t 0 dt 1 dt 2 , t 0 dt 1 U t 0 dt 1 , t 0 dt 1 dt 2 , t 0 U
ou U t 0
dt 1 dt 2 , t 0
1 − i dt 2
1 − i dt 1
≃ 1 − idt 1 dt 2
que difere do operador identidade por um termo de primeira ordem em Demontração 2.
dt .
Para a propriedade da unitariedade, podemos verificar como segue U t 0
t 0 dt , t 0 dt , t 0 U
1 i dt
1 dt 2
1 − i dt
≃1
desprezendo termos da ordem dt 2 ou mais elevada.
Como é o operad operador or ? O operador C ít l 2
tem dimensão de frequência, ou inverso do tempo. Um observável familiar com dimensão de Di â i
Q â ti
2
frequência é a energia. Na teoria antiga da mecânica quântica, a frequência está relacionada com a energia através da relação Planck-Einstein, E
Vamos emprestar da mecânica clássica a idéia de que a Hamiltoniana é o gerador da evolução temporal. É então natural relacionar ao operador Hamiltoniano, H : H
Em resumo, o operador evolução temporal infinitesimal é escrito como U t 0
dt , t 0 1 −
iH dt
onde o operador Hamiltoniano é um operador hermitiano.
Equação de Schrödinger Estamos agora em condições de derivar a equação diferencial fundamental para o operador evolução temporal U t , t 0 . Explorando a propriedade da composição U t dt , t 0
U t dt , t U t , t 0
1−
iH dt
U t , t 0
onde a diferença t − t 0 não precisa ser diferencial. Temos U t dt , t 0
U t , t 0 − i H dt U t , t 0
ou U t dt , t 0 − U t , t 0
t , t 0 −i H dt U
que pode ser escrito na forma de equação diferecial i
t , t 0 ∂U ∂t
(1.2
H U t , t 0
Esta é a equação de Schrödinger para o operador evolução temporal . Qualquer coisa que tenha a ver com a variação no tempo segue dessa equação fundamental. Multiplicando ambos os lados da Eq. (2.1.25) por
Equação Equação de Schrödinger Schrödinger para o estado estado ket.
|, t 0
pelo lado
direito, obtém-se i
∂ U t , t 0 |, t 0 ∂t
t , t 0 |, t 0 H U
Mas |, t 0 não depende de t , tal que esta equação é a mesma que i
∂ |, t 0 ; t ∂t
H |, t 0 ; t
onde usamos (1.5). Observação Se for dado U t , t 0 e, se além disso, conhecermos como U t , t 0 atua sobre o ket inicial |, t 0 , não é necessário mexer com a equação de Schrödinger para o estado ket. O que se tem que fazer é aplicar U t , t 0 a |, t 0 . Desta maneira, podemos obter o ket para qualquer t .
Devemos, portanto, derivar as soluções formais da equação de Schrödinger para o operador evolução temporal. Existem três casos a serem tratados separadamente: Caso 1: O Hamiltoniano é independente do tempo.
P f Ab h
M
é C h
A solução de (2.1.25) é, neste caso, M â i
Q â ti
A
3
U t , t 0
Demonstração.
−iH t − t 0
exp
(1.2
.
Seja a expansão da função exponencial exp
−iH t − t 0
iH t − t 0
1−
−i 2
H t − t 0
2
2
Como a derivada desta expansão é dada por ∂ exp −iH t − t 0 ∂t
−
−i 2
iH
2 H
2
2
t − t 0
Multiplicando por i ambos os membros, encontramos i
∂ exp −iH t − t 0 ∂t
H 1 −
iH t − t 0
que é a mesma (2.1.25). Uma maneira alternativa de obter essa solução, é usar a composição de operadores infinitesimais. A aplicação sucessiva desses operadores resulta em (v. figura)
Demontração Demontração alternativa. alternativa.
(t − t 0 ) N
t 0
t lim
−iH / t − t 0
N
N
N →
exp
−iH t − t 0
Agora o Hamiltoniano depende do tempo, mas os H ’s ’s em tempos diferentes comutam entre si. Como exemplo, considere o momento magnético de spin sujeito a um campo magnético, cujo módulo varia com o tempo, mas a direção permanece a mesma. Neste caso, a solução formal de (2.1.25) é Caso 2: O Hamiltoniano depende do tempo e comuta.
U t , t 0
exp
−i
t
dt ′ H t ′
t 0
Neste caso o Hamiltoniano depende do tempo e os H ’s ’s em tempos diferentes não comutam entre si. Considerando o exemplo do momento magnético, agora a direção do campo magnético varia com o tempo: por exempo, em t t 1 o campo aponta na direção x, em t t 1 , na direção y e assim por diante. Como S x e S y não comutam entre si, H t 1 e H t 2 , que contém termo do tipo S B, também não comutam. Como solução formal, podemos integrar a equação (1.2.25) com a condição de contorno U t , t 0 | t t U t 0 , t 0 1, ou seja, Caso 3: O Hamiltoniano depende do tempo e não comuta.
0
i
∂U t , t 0 ∂t
H U t , t 0 → U t , t 0 1
−i
t t 0
dt ′ H t ′ U t ′ , t 0
Esta equação integral pode ser resolvida iterativamente. Ou seja
C ít l 2
Di â i
Q â ti
4
U t , t 0
1
U t , t 0
1
U t , t 0
−i
−i
1
−i
1
t t 0 t t 0 t t 0
dt 1 H t 1 1 dt 1 H t 1
1
dt 1 H t 1
−i
−i
2
t
t 1 t 0
dt 2 H t 2
dt 1
t 0
t 1 t 0
dt 2 H t 1 H t 2
Ou, de uma maneira geral, U t , t 0
1
∑
n
−i
n
t t 0
dt 1
t 1 t 0
dt 2
t n−1
dt n H t 1 H t 2 H t n
t 0
que é conhecida como a série de Dyson. Em aplicações elementares, apenas o Caso 1 é de interesse prático. Neste capítulo, admitiremos que o Hamiltoniano seja independente do tempo.
Autokets de Energia Vamos calcular o efeito do operador evolução temporal sobre um ket inicial geral | , através dos kets de base |a ′ usados para expandir | . Vamos supor que o operador A, cujos autokets são usados como base, comute com o Hamiltoniano. Ou seja, Efeitos do operador sobre um ket inicial | .
A, H
0.
Desta forma, os autokets de A são também autokets de H , chamados de autokets de energia , cujos autovalores são denotados por E a : ′
H |a ′ E a |a ′ . ′
Expansão de U .
Vamos expandir o operador U em em termos de
|a ′ 〈a ′ |.
Tomando
t 0 0
por simplicidade,
obtém-se exp
−iHt
∑ ∑ |a a′
∑
′′
〈a ′′ | exp
−iE a t a ′ a ′ | 〈 | ′
a ′′
∑∑ a′
〈a ′′ | exp −iHt |a ′ 〈a ′ |
a ′′
∑ ∑ |a a′
′′
−iE a t ′
exp
|a ′′ 〈a ′′ |a ′ 〈a ′ |
a ′′
a ′ a ′′
exp
−iE a t a ′ 〈a ′ | | ′
a′
O operador evolução temporal escrito dessa forma permite-nos resolver qualquer problema de valor inicial, uma vez que a expansão do ket inicial em termos de |a ′ é conhecida.
Observação. Exemplo
Suponha que a expansão do ket inicial seja |, t 0
0
∑ |a 〈a | ∑ c ′
a
′
′
a
a ′ |a
′
.
′
Então , t 0
0; t
Eq (2.1.5)
exp
−iHt |, t 0
0
ou
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
5
, t 0
0; t
∑
exp
a′
−iHt |a ′ 〈a ′ |
∑ ∑ exp
a′
−iE a t ′′
|a ′′ 〈a ′′ |a ′ 〈a ′ |
a ′′
∑c
a ′ t
|a ′ .
(1.38
a′
Em outras palavras, o coeficiente de expansão varia com o tempo:
−iE a t ′
c a ′ t 0 → c a ′ t c a ′ t 0 exp
(1.39
com seu módulo inalterado. Note que as fases relativas entre as várias componentes variam com o tempo
porque as frequências de oscilações, E a / , são diferentes. ′
Quando o estado inicial é um dos
Caso especial: estado inicial é um dos |a ′ .
|a ′ ,
ou seja,
a′
|, t 0 0
em tempos posteriores, a ′ , t 0 0; t
a′
−iE a t . ′
exp
Importante: se o sistema estiver inicialmente num autoestado simultâneo de A e H assim permanecerá para todos os tempos posteriores. O máximo que pode ocorrer é a modulação de fase, exp
−iE a ′ t
.
É neste sentido
que um observável compatível com H é uma constante de movimento. Demonstração.
De (1.38), sabemos que , t 0 0; t
∑
−iE a t . ′′
|a ′′ 〈a ′′ |
a ′′
Para |
|a ′ encontramos
a ′ , t 0 0; t
∑
−iE a t ′′
|a ′′ 〈a ′′ |a ′
a ′′
∑
|a ′′ a a
|a ′
−iE a t
′
−iE a t ′′
′′
a ′′
′
Resumo .
Na discus discussão são prece precede dent nte, e, a tare tarefa fa básica básica na mecânic mecânicaa quân quântic ticaa é redu reduzi zida da a encon encontr trar ar um observável que comuta com H e calcular seu autovalores. Uma vez que isso é feito, expande-se o ket inicial em termos do autokets daquele observável e aplica-se o operador evolução temporal. Este último passo é significa uma mudança da fase de cada coeficiente de expansão, como indicada em (2.1.39).
Embora se tenha discutivo o caso onde apenas um observável A comuta com H , nossas considerações podem ser facilmente generalizadas quando existem vários observáveis mutuamente compatíveis, todos comutando com H . Ou seja, Mais de um observável comuta com H .
A, B
B, C
A, C
0,
A, H
B, H
C , H
0.
Usando o índice coletivo da Seç. 1.4, |K ′ exp
onde
E K K
′
tem-se
|a ′ , b ′ , c ′ , … ,
−iHt
∑|K exp ′
−iE K K t 〈K ′ |
K ′
é univocamente especificada uma vez que
a′, b′, c′, …
(1.4
′
são especificados. especificados. É portanto de fundamental
importância encontrar um conjunto completo de observáveis mutuamente compatíveis que também comutam
C ít l 2
Di â i
Q â ti
6
com H . Uma vez que tal conjunto é encontrado, expressa-se o ket inicial como uma superposição dos autokets
simultâneos de A, B, C , … e H . O passo final é aplicar i operador evolução temporal, escrito como (2.1.43). Desta maneira podemos resolver o problema de valor inicial mais geral com H independente do tempo.
Dependência Temporal de Valores Esperados Como o valor esperado de um observável
B
varia com o tempo?
Em relação ao autoestado de energia .
observável A, que comuta com H .
Sup Suponha que em Em tempos posteriores,
o estado inicial seja um dos autoestados do
t 0
a ′ , t 0 0; t U t , 0 |a ′
Não é necessário que o observável B comute com A ou H . Neste caso, 〈 B
a ′ , t 0 0; t B a ′ , t 0 0; t
t , 0 B U t , 0 |a ′ 〈a ′ | U
iE a t ′
〈a ′ | exp
〈 a ′ | B |a ′
−iE a t ′
B exp
|a ′
que independente do tempo. Assim O valor esperado de qualquer observável tomado com respeito ao autoestado de energia não varia com o tempo. Por esta razão, o autoestado de energia é às vezes referido como estado estacionário.
Superposição de autoestados de energia .
Vamos considerar considerar o valor esperado, esperado, quando tomado em relação relação a uma superposição de autoestados de energia, ou estado não estacionário . Suponha que incialmente se tenha
∑c
|, t 0 0
|a ′ .
a′
a′
Em tempos posteriores, |, t 0 0; t
∑c
a′
t |a ′
a′
onde fizemos
c a t 0 c a . ′
′
〈 B
a′
exp
−iE a
′
a′
|a ′
Então, 〈, t 0
0; t | B |, t 0 0; t
∑ c ∗ 〈a | exp ′
a′
iE a
∑ ∑ c∗ c a
a
′
a
′
a ′′
′
∑c
B
a′
∑c
a ′′ |a
′′
exp
−iE a
a ′′
〈a ′ | B |a ′′ exp
−i E a − E a t ′′
′
′′
′′
.
Assim Assim,, desta desta vez o valor valor esper esperad adoo consi consiste ste em termo termoss oscil oscilan ante tes, s, cujas cujas freq frequê uênc ncias ias angu angular lares es são são determinadas pela condição de frequência de Bohr, a
′′
a′
E a − E a ′′
′
.
Aplicação: Precessão de spin Vamos tratar um sistema extremamente simples, que ilustra porém o formalismo básico que foi desenvolvido até agora. Sistema de spin ½
Hamiltoniano do sistema
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
7
− mee c S B
H
(e
0 para elétrons).
Campo magnétio : B
Bẑ
Reescrevo H − meB S z ec
H
Observável que comuta com H . Como H e S z diferem por uma constante, eles comutam entre si. Ou seja, S z , H 0, o que significa que os autokets de S z , | e |− , são autoestados de energia e os autovalores de energia correspondentes são ∓ e B , para S z .
H | E | → E
Frequência de Bohr .
Define Define-se -se a frequê frequênci nciaa de Bohr Bohr
2m e c
− E −
E
|e B | B mec
Reescrevo H H S z .
Operador Operador evolução evolução temporal temporal . evolução temporal
Toda Toda infor informa maçã çãoo sobre sobre a vari variaç ação ão com o temp tempoo está está conti contida da no oper operad ador or U t , 0
Estado em t
0.
c | c − |−
Estado em t t . Para determinar o estado no instante t aplica-se o operador evolução temporal ao estado no instante t 0, ou seja, −iS z t c | c |− |, t 0; t exp
Estado inicial S z .
−
−iS z t
exp
Vamos supor que em t 0 o sistema seja caracterizado por |
−iHt
exp
c exp
−iS z t | c exp −iS z t |− −
c exp
−it | c − exp
it
2
Para o sistema especificamente no estado | c 1,
2 |
|−
(estado spin para cima ou S z ),
c− 0
Para tempos posteriores, o estado do sistema será |, t 0; t
exp
−it | , 2
ou seja, o mesmo estado de spin para cima; isto não é nenhuma surpreza uma vez que o sistema inicialmente estava num estado estacionário.
Estado inicial S x .
Neste caso, de acordo com (1.4.17a), |
|S x ;
1 | 2
1 |− , 2
o que nos fornece c c −
1 2
O estado final será
C ít l 2
Di â i
Q â ti
8
|, t 0; t
1 exp 2
−it | 1 exp 2
it
2
|−
2
Qual a probabilidade do sistema ser encontrado no estado S x ?
Como |S x ;
1 | 2
1 |− 2
encontra-se 1 2
2 |〈S x ; |, t 0; t |
1 2
〈 |
〈− |
2
exp −it | 2
1 2
1 2
exp
it
2
|−
ou, 2 |〈S x ; |, t 0; t |
1 exp 2
−it 〈 | 1 exp
it
1 exp 2
−it 〈− | 1 exp 2 2
it 〈− |− 2
1 exp 2
−it
2
2
〈 |−
2
2
2
1 exp it 2 2
2
Ou seja, cos 2 t , 2
para S x
sen 2 t , 2
para S x −
2 |〈S x ; |, t 0; t |
Em t 0 o sistema encontrava-se no estado | |S x ; ; ou seja, o spin apontava para a direção positiva do eixo dos x. Com o passar do tempo, o campo magnético na direção z produz uma rotação nesse spin e, como resultado, existe uma probabilidade finita de encontrá-lo na direção negativa do eixo dos x, isto é, no estado S x −. O que significam esses resultados ?
A soma das duas probabilidades, em todos os instantes, é sempre igual a um .
Probabilidade total. Valor esperado de S x .
O valor esperado de S x pode ser calculado, usando-se (1.4.6), isto é, 〈 A
∑a
′
|〈a ′ | |
2
a′
Logo, 〈S x
2
2
2
2
cos 2 t − sen 2 t 2 2 2 cos 2 t − sen 2 t 2 2 cos 2 t 2 cost
que está em concordância com a fórmula geral (2.1.47), uma vez que esta quantidade oscila com uma P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
9
frequência angular correspondente à diferença entre os dois autovalores de energia dividido por
.
Neste caso, como (ver Eq. (1.4.17b))
Valor esperado de S y .
|S y ;
1 | 2
i |− 2
as probabilidades são 1 2
2
|〈S y ; |, t 0; t |
∓
〈− |
2
2
exp −it |
1 2
−i
〈 |
1 2
2
exp
1 exp 2
−it 〈 | 1 exp
it
i exp 2
−it 〈− | ∓ i exp
it
1 exp 2
−it ∓ i exp
2
2
2
2
2
2
it
2
|−
〈 |− 2
2
〈 − |−
2
it
2
2
Assim, 2 2
|〈S y ; |, t 0; t |
1 1 ∓ i cos t 2 2
1 ∓ i sen t 2
2
|1 i | 2 cos t 4 2
t sen 2
1 cos 2 t sen t 2cos t sen t 2 2 2 2 2 1 1 2sen t cos t 2 2 2 1 1 sent 2
Portanto, 〈S y
Valor esperado de S z .
1 1 sent 2 1 sent 2
2
2
−
1 1 − sent 2 2 1 − sent 2 2
−
sent
Neste caso, |S z ; |
e 2 |〈S z ; |, t 0; t |
〈 | 1 2
1 exp 2 1, 2
∓it
Di â i
Q â ti
C ít l 2
exp −it | 2
2
1 2
exp
it
2
|−
2
2
10
e, o valor esperado é 〈S z
−
1 2
2
1 0. 2
2
Fisicamente, isto significa que o spin precessa no plano xy.
Amplitude de Correlação e Rel. de Incerteza Energia-Tempo Amplitude de correlação.
A amplitude de correlação é definida como o produto escalar de dois kets em
tempos diferentes. Isto é, C t 〈|, t 0 0; t
O módulo da amplitude de correlção ,
|C t |,
instantes de tempo. Lembrando que |, t 0
mede a “semelhança ” entre os estados kets em diferentes t , t 0 onde U
t , 0 | , 0; t U
exp
−iH t − t 0
, então
C t | U t , 0 | .
Exemplos de amplitude de correlação
Este é um caso muito especial e o resultado que se obtém para a
O estado inicial é um autoestado |a ′ de H .
amplitude de correlção é C t a ′ | U t , 0 | a ′
〈a ′ | exp −iHt |a ′
−iE a t 〈a ′ |a ′ ′
exp
−iE a t ′
exp
e o módulo da amplitude de correlação vale |C t | 1,
o que não é surpreza em se s e tratando de um estado estacionário. Neste caso,
O estado inicial é uma superposição de |a ′ .
|
∑c
a′
|a ′
a′
e, portanto, C t | U t , 0 |
∑ ∑ c∗ c a′
a′
a′
a ′′
a′
a ′′
exp
a ′′
∑ ∑ c∗ c a′
a′
〈a ′ | exp −iHt |a ′′
a ′′
∑ ∑ c∗ c a′
a ′′
∑ ∑ c∗ c a′
t , 0 | a ′′ a ′ | U
a ′′
a ′′
a ′′
exp
−iE a t 〈a ′ a ′′ | ′′
−iE a t aa ′′
′
′′
ou seja
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
11
C t
∑ |c a
a′ |
2
−iE a t
(1.6
′
exp
′
Como a soma sobre muitos termos oscilantes no tempo com diferentes frequências, é possível um forte cancelamento entre eles para valores moderadamente grandes de t . Assim, espera-se espera-se que o módulo de C t comece com valor um em t 0 e decresça com o tempo.
Observação:
Vamos supor que em (1.65) a superposição de estados seja obtida com autokets de energia com energias similares, de maneira que podemos substituir a soma por uma integral. Ou seja,
Estimativa Estimativa de (2.1.65). (2.1.65).
∑ → dE E , a
c a → g E | E ≃ E ′
a′
′
onde E é a densidade de autoestados de energia. Assim, a expressão (1.65) torna-se C t
dE |g E |
2
−iEt
(1.6
E 1
(1.6
E exp
sujeita à normalização
∑ |c a
Na prática,
2 |g E | E
a′ |
2
dE |g E |
1 →
2
′
pode ser uma função localizada em torno de E
E 0 ,
com largura Δ E , isto é,
E )| E ) |g( E )|2 ρ( E
Δ E
E
E 0
Então, reescrevendo (1.67) como C t exp
−iE 0 t
dE |g E |
2
E exp
−i E − E 0 t
vê-se que, quando t torna-se grande, o integrando oscila muito rapidamente, exceto quando o intervalo de energia | E E − E 0 | for pequeno comparado com / t t. Relação de incerteza energia-tempo.
Se o intervalo para o qual a relação E − E 0 | | E
≃ / t t
seja válida, for muito mais estreito que Δ E (a largura de |g E | 2 E ), não se obtém essencialmente nenhuma contribuição da integral para C t devido aos fortes cancelamentos. O tempo característico para o qual o módulo da amplitude de correlação torna-se aprecialmente diferente de 1 é dado por t ≃
Resumo.
C ít l 2
Δ E
Em resumo, encontramos que, como resultado da evolução temporal do estado ket de um sistema Di â i
Q â ti
12
físico deixa de guardar sua forma original depois de um intervalo de tempo da ordem de às vezes é referido como sendo a relação de incerteza energia-tempo,
/ Δ E .
Na literatura, isto (1.71
Δt Δ E ≃ .
Observação:
Esta relação de incerteza é de natureza bem difetente daquela que existe entre dois observáveis
incompatíveis, discutida na Seç. 1.4.
2.4
Repres Rep resent entaçã ação o de Sch Schröd rödin inger ger ver versus sus de Hei Heisen senber berg g É a formulação da dinâmica quântica na qual os estados variam com o
Representação de Schrödinger.
tempo, mas os operadores não. É a formulação da dinâmica quântica na qual os operadores variam com o
Representação de Heisenberg.
tempo, mas os estados não. Quais as diferenças que existem entre essas duas abordagens?
Operadores Unitários São operadores que têm a propriedade U U UU 1.
Transformações unitárias | → U |
Produto escalar.
Sob uma tranformação unitária que muda os estados kets, o produto interno permanece
inalterado. Ou seja, | → U |
e
| → U |
então 〈|
→
〈 |U U |
〈| .
Usando o fato de que essas trasformações não afetam os operadores, podemos inferir como deve mudar:
Operadores. | X |
| X |
→
〈 |U X U |
〈 |U XU |
Vamos escrever isto de outra maneira (usando o axioma associativo) 〈 |U X U |
〈 | U XU |
Esta identidade matemática sugere dois enfoques para as transformações unitárias: Enfoque 1
| → U | ,
com os operadores inalterados.
Enfoque 2
X → U XU ,
Nota sobre a Mecânica Clássica.
com os estados kets inalterados.
Na física clássica não se introduz estados kets, mas fala-se em translação,
evolução temporal etc. Isto é possível porque essas operações realmente mudam quantidades tais como x e L, que são observáveis na mecânica clássica. Assim, uma estreita ligação com a mecânica clássica pode ser adotada, seguindo-se a abordagem 2.
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
13
Exemplo (1)
Translação infinitesimal - Enfoque 1 |
Exemplo (2)
1−
→
ip d x ′
x
| ,
→
x
Translação infinitesimal - Enfoque 2 |
→
x
→
1−
1
|
ip d x ′
x 1−
p d x ′ , x
ip d x ′
x 1−
i
x
ip d x ′
ip d x ′
p x′ ≃ x − x i d
ip d x ′
x
x d x ′
Pode-se mostrar que o valor esperado x é o mesmo em ambas as abordagens. Isto é, 〈x
→
〈x 〈d x ′ .
Na formulação 1,
Demonstração.
〈x 1
〈 | 1 −
ip d x ′
x
1−
ip d x ′
|
〈 |x d x ′ |
〈 |x| 〈 |d x ′ | .
Na formulação 2, 〈x 2
|x| |d x ′ | .
Estados Kets e Observáveis nas Representações de Schrödinger e Heisenberg Quando Quando o operad operador or unitár unitário io U é o operador evolução temporal, U t , t 0 , os enfoques anteriormente referem-se às representações de Schröndiger e Heisenberg, respectivamente.
1
e
2,
descritas
Representação de Schrödinger Estados kets. Operadores.
Os estados kets variam com o tempo. Os operadores correspondentes a observáveis, tais como
x, p x
e
S z ,
permanecem fixos no
tempo. Representação de Heisenberg Estados kets.
Os estados kets permanecem fixos no tempo, “congelados” por assim dizer no que eram a
t t 0 .
Operadores.
Os operadores correspondentes a observáveis agora variam com o tempo.
Relação entre as duas representações Operadores.
Vamos considerar t 0
0
por simplicidade:
U t , t 0
0
t ≡ U
exp
−iHt
De acordo com a abordagem 2, define-se defi ne-se o operador na representação de Heisenberg como (2.1
A H t U t A S U t
onde os superescritos H e S referem-se a Heisenberg e Schrödinger. C ít l 2
Di â i
Q â ti
14
Em t
0,
os observáveis nas duas representações, A H 0 A S ,
coincidem. Estado Estadoss kets. kets.
posteriores, t ,
Os estad estados os kets kets tamb também ém coinc coincid idem em nas nas duas duas repr represe esent ntaç açõe õess em t 0; para para tempos tempos o estado na representação de Heisenberg fica congelado na forma que tinha em t 0: |, t 0 0; t H |, t 0 0
independente de t . Isto é radicalmente diferente dos estados kets na representação de Schrödinger: t |, t 0 0 |, t 0 0; t S U
O valor esperado 〈 A é o mesmo em ambas as representações,
Valores esperados.
S
〈, t 0
0; t | A S |, t 0 0, t S 〈, t 0 0 | U t A S U t |, t 0 0
H
〈, t 0
0; t | A H t |, t 0 0, t H
Equação de Movimento de Heisenberg Admitindo que A S não dependa explicitamente explicitamente do tempo, o que é o caso na maioria das situações físicas de interesse, obtém-se [diferenciando a Eq. (2.2.10)] dA H d U t A S U t dt dt U t S U t d U d U A U t U t A S dt dt 1 U t HA S U t 1 U t A S H U U t − i i 1 U t H U U t U t A S U t 1 U t A S U t U t H U U t − i i 1 U t H U U t A H 1 A H U t H U U t − i i 1 A H , U t H U U t i
onde usamos (2.1.25) U 1 H U d U U, dt i
Como U t
exp
U d U dt
− 1 U H i
− iHt , este operador comuta com H . Então
U t H U U t
U t U t H H
de maneira que dA H 1 A H , H dt i
que é conhecida como equação de movimento de Heisenberg. ★ Leia o restante da seção.
Partículas Livres; Teorema de Ehrenfest Tanto na formulação de Schrödinger como na de Heisenberg, devemos saber como construir o operador Hamiltoniano. Quando tratamos sistemas físicos que têm análogos clássicos, admitimos que o Hamiltoniano tem a mesma forma como na física clássica, onde substituímos P f Ab h M é C h M â i Q â ti A 15 Sistema tem análogo clássico.
(2.2.
grandezas → operadores
Assim, x i e p i são substituídos pelos correspondentes operadores em MQ. Neste caso, tenta-se “adivinhar” a estrutura do Hamiltoniano, fazendo-se várias tentativa até que nos levem a resultados que concordem com observações experimentais.
Sistema Sistema não tem análogo análogo clássico. clássico.
Às vezes é necessário calcular relações de comutação
Relações de comutação entre funções de x j e p j . entre funções de x j e p j . Ou seja, x i , F p
ih ∂F , dp i
x i , Gx
−i ∂G ,
p i , F p
p i , Gx
0,
(2.2
dx i
0.
Equação de movimento de Heisemberg para a partícula livre
Para uma partícula de massa clássica:
m,
o Hamiltoniano é considerado ser da mesma forma como na mecânica p x2 p y2 p z2 H 2m 2m
p2
Como p i comuta com qualquer função de p j , logo
Equação de movimento para p i .
dp i 1 p , H 0 i dt i
onde consideramos p i p i H . Então, para a partícula livre o operador momento é uma que significa que p i t é igual a p0 para todos os tempos.
constante de movimento ,
o
De uma maneira geral, é evidente da equação de movimento de Heisenberg que, se o operador A H comuta com o Hamiltoniano, A H é uma constante de movimento.
Equação de movimento para x i .
Nest este caso, so, dx i 1 x , H i dt i
como H
1 2m
∑ p j2 e x i , F p
j
ih ∂F , dp i
encontramos
dx i 1 x , H 1 i dt i i
1 2m
∑ dp∂ p j
i
2 j
xi, 1 2m
1 2m
∑ p
2 j
j
∑ 2 p
j
j
∂ p j dp i
1 1 ih ∂ dp i i 2m
∑ p
2 j
j
pi m
Ou seja, p i 0 pi dx i m m dt
cuja solução é x i t x i 0
p i 0 m
(2.2
t
que recorda a equação da trajetória clássica para o movimento retilíneo uniforme. É importante notar que, embora se tenha x i 0 , x j 0
C ít l 2
Di â i
Q â ti
0
16
em tempos iguais, o comutador não se anula em tempos diferentes. Isto é, x i t , x j 0
p i 0 m
x i 0
t , x j 0
p i 0 m
t , x j 0
−it m
Aplicando (1.4.53) a este comutador, ou seja, Δ A 2
Δ B 2
≥ 1 |〈 A, B | 2 4
obtém-se Δ x i 2
t
Δ x i 2
t 0
−it
≥ 1
2
m
4
2 t 2
(2.3
4m
Entre outras coisas, esta relação implica que, mesmo se a partícula é bem localizada em torna-se mais e mais incerta à medida que o tempo passa.
t 0,
sua posição
Partícula sujeita a um potencial V x
Agora vamos adicionar um potencial V x ao Hamiltoniano da partícula livre: H
p2 2m
(2.31
V x
Nota: V x é considerado uma função dos operadores x, y e z.
Usando (2.2.23)
Equação de movimento para p i .
dp i 1 p , H 1 p , V x 1 i i dt i i i
−i
∂V x dx i
−
∂V x
(2.3
dx i
Neste caso,
Equação de movimento para x i .
dx i 1 p , H p i i m dt i
ainda vale, uma vez que Heisenberg, ou seja,
xi
comuta com o termo V x . Vamos usar novamente a equação de movimento de
d dt
dx i dt
d 2 x i 1 2 i dt
dx i , H 1 dt i
p i 1 dp i , H m m dt
Combinando com (2.2.32), m
d 2 x i dt 2
−
∂V x dx i
ou 2 m d 2x dt
(2.3
−∇V x
Isto é o análogo análogo quântico da segunda lei de Newton. Tomando Tomando os valores esperados esperados de ambos os lados com respeito ao estado ket de Heisenberg, que não varia com o tempo, obtém-se a relação 2 d 〈p m d 2 〈x dt dt
(2.3
−〈∇V x
que é conhecida como teorema de Ehrenfest. Observação 1: Este teorema, escrito na forma de valor esperado, tem sua validade independente da representação que usamos, uma vez que esta quantidade é igual nas duas representações. Ao contrário, na forma de operador (2.2.35), tem
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
17
significado apenas se os operadores x e p forem dados na representação de Heisenberg.
Observação 2: Observa-se que não aparece em (2.2.36); portanto, não de se surpreender que o centro de um pacote de onda move-se tal como uma partículas clássica sujeita a um potencial V x .
Kets de Base e Amplitudes de Transição Um erro muito comum é pensar que todos os kets movem-se na representação de Schrödinger e são estacionários na representação de Heisenberg. Devemos dinstinguir entre o comportamento dos estados kets e dos kets de base . Quando introduzimos os espaços dos kets na Seç. 1.2, observamos que os autokets dos observáveis seriam usados como kets de base. O que acontece, em relação ao tempo, com a equação de autovalores, Kets de base.
A |a ′ a ′ |a ′ ?
Na representação de Schrödinger, A não varia com o tempo e, portanto, os kets de base , obtidos como solução desta equação de autovalores em t 0, por exemplo, permanecem inalterados .
Schrödinger.
Na representação de Heisenberg a situação é bem diferente. A equação de autovalores é aqui para operadores que dependem do tempo,
Heisenberg.
. A H t U A0 U
De (2.2.37), calculada em t 0, quando as duas representações coicidem, A0 |a ′ a ′ |a ′
deduz-se U A0 UU |a ′
a ′ U |a ′
o que implica numa equação de autovalores para A H (2.4
A H U |a ′ a ′ U |a ′
Kets de base na representação de Heisenberg. Assim, à medida que o tempo flui, os kets de base da representação de Heisenberg, U |a ′ , denotados por |a ′ , t H , movem-se de acordo com a equação
(2.41
|a ′ , t H U |a ′
Devido à presença do operador U , ao invés de U , os kets de base da representação de Heisenberg parecem girar em sentido oposto aos dos estados ket na representação de Schrödinger. Especificamente, |a ′ , t H satisfazem a equação de Schrödinger de sinal errado i
∂ |a ′ , t − H |a ′ , t H H ∂t
(2.4
Quanto aos autovalores, vemos de (2.2.40) que eles não mudam com o tempo. Isto é consistente com a equivalência unitária de observáveis, onde A e U AU são ditos equivalentes (Seç. 1.5). Note também a seguinte expansão para A H t em termos dos kets e bras de base da representação de Heisenberg: Autovalores da representação de Heisenberg.
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18
A H t
∑ |a , t ′
H
′ a H a ′ , t | H 〈
a′
∑ U |a a
′
′
〈a ′ |U
a′
U
∑ |a a ′
′
〈a ′ | U
a′
S A U U
o que mostra que tudo é consistente, desde que os kets de base da represaentação de Heisenberg mudem de acordo com (2.2.41). Os coeficientes de expansão de um estado ket em termos dos kets de base são os mesmos em ambas as representações: Coeficientes de expansão.
c a 〈a ′ | ′
U |, t 0
0 ,
estado ket
base bra
|, t 0 0 , c a 〈a ′ |U ′
base bra
e s a b e d t e k
(representação de Schrödinger)
(representação de Heisenberg)
estado ket
e s a b e d t e k
e t k o d t a e s
Schrödinger Função de onda.
e t k o d t a e s
Heisenberg
Em particular, a função de onda 〈x ′ | pode ser considerada como:
(1) o produto interno do autobra estacionário da posição com o estado ket movendo-se (representação de Schrödinger), ou
(2) o produto interno do autobra da posição movendo-se com o estado ket estacionário (representação de Heisenberg). Para ilustrar ainda mais a equivalência entre as duas representações, vamos estudar as amplitudes de transição, que terão um papel fundamental na Seç. 2.5. Suponha que existe um sistema físico preparado em t 0 para estar num autoestado do observável A com autovalor a ′ . Num tempo t mais tarde, podemos querer saber:
Amplitues Amplitues de transição. transição.
Qual é a amplitude de probabilidade (conhecidade como amplitude de transição ) para que o sistema possa ser encontrado num autoestado do observável B com autovalor b ′ ?
Na representação representação de Schrödinger, Schrödinger, o estado ket no instante instante t é dado por U |a ′ , enquanto que os kets de base |a ′ e |b ′ não variam com o tempo. Assim, para essa amplitude de transição , temos Schrödinger.
〈b ′ | U |a ′ base bra
estado ket
Heisenberg.
Na representação de Heisenberg o estado ket é estacionário, isto é, permanece o mesmo
|a ′
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é C h
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A
para todos os tempos, enquanto que os kets de base evoluem no sentido oposto no tempo. Assim, a amplitude de transição nesta representação vale 〈b ′ |U base bra
|a ′ estado ket
Obviamente, estas duas amplitudes são iguais. Ambas podem ser escritas como (2.4
t , 0 |a ′ 〈b ′ | U
Com certa liberdade, podemos dizer que isto representa a amplitude de transição para “ir” do estado estado |b ′ .
|a ′
ao
Resumo das Diferenças entre as Representações. Schrödinger Heisenberg Estado ket Movimento: (2.15), (2.27) Estacionário Obaservável Estacion ionário rio Movime imento: (2.10), (2.19) Ket de base Esta Estaci cioonári nárioo Movi Movime mennto opos oposto to:: (2.4 (2.411), (2.4 (2.422)
2.33 2.
Osci Os cila lado dorr Ha Harm rmôn ônic ico o Si Simp mple less
O oscilador harmônico harmônico simples é um dos mais importantes importantes problemas problemas em MQ. Do ponto de vista pedagógico, pedagógico, serve para ilustrar os conceitos e métodos básicos em MQ.
Autokets de Energia e Autovalores de Energia Hamiltoniano.
O Hamiltoniano básico é p2 m 2 x 2 H 2m 2
(3.1)
onde é a frequência angular do oscilador clássico relacionada com a constante de mola k na lei de Hooke via k / m . Os operadors x e p são, evidentemente, hermitianos. É conveniente definirmos dois operadors não hermitianos m 2
a
ip x m
m 2
a
,
ip x − m
(3.2)
operador de criação criação , respectivamente, por razões que em breve conhecidos conhecidos como operador de destruição e operador serão evidentes.
Relações de comutação.
Usando as relações de comutação canônicas para esses operadores, obtém-se
imediatamente a, a
m 2
m 2
1 2
ip x m ip x, − m
ip , x − m
m 2
−i x, p i p, x i
Operad Operador or número número..
ip m , x
1 2
−i
1
Com Com esses esses dois dois oper operad ador ores es,, pode podemo mo const constru ruir ir um outr outroo oper operad ador or (her (hermi mititian ano) o)
denominado de operador número (3.4)
N a a
C ít l 2
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20
Usando as definições de a e a podemos mostrar que N a a
ip x − m
m 2
ip x m
m 2
ixp x 2 m
ipx
m 2
x2
p2 m22
m 2
x2
p2 m22
− 1
− m
p2 m 22
i 2
x, p
2
Ou seja, − 1
N H
2
de onde encontramos uma relação importante entre o operador número e o operador Hamiltoniano H N 1 2
Autoval Autovalores ores de energia energia..
simultaneamente com H .
(3.6)
Uma vez vez que que H é uma uma funç função ão line linear ar de N , N pode pode ser diagona diagonaliza lizada da Vamos representar um autoket de N por seu autovalor n, tal que N |n n |n
Devido a (3.6), temos também H |n E n |n → N 1 2
|n
n 1 2
|n
o que significa que os autovalores de energia são dados por E n
Significado físico de a, a e N .
n 1 2
(3.9)
Para compreendermos o significado físico de a,
a
e
N ,
vamos primeiro
observar que N , a
a a, a
a a, a a , a a
a a, a
a a, a a , a a a
−a
Da mesma forma, N , a
Como resultado, temos Na |n Na
− a N a N |n
a
n 1 a |n
N , a a N |n
a N |n N 1 a |n
e Na|n Na − aN aN |n N , a aN |n
−a a N |n
N − 1 a |n
n − 1 a |n
Estas relações implicam que a |n a |n são também autokets de N com autovalores aumentado (diminuído) de um. Como o acréscimo (decréscimo) de n por um significa a criação (destruição) de um quantum de energia , o termo operador de criação (operador de destruição ) para a a torna-se apropriado.
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21
Propriedades dos operadores de criação e de destruição
As equações N a |n n 1 a |n N a|n n − 1 a|n
sugerem podem ser reescritas como N |n 1 n 1 |n 1 N |n − 1 n − 1 |n − 1
o que implica em a |n e |n 1 exemplo, vamos escrever
a|n
e |n − 1 serem o mesmo a menos de uma constante constante multiplicativa. multiplicativa. Por a |n c |n − 1
onde c é uma constante numérica, que é determinada exigindo-se que tanto normalizados. Multiplicando ambos os membros por 〈n − 1 | c ∗ , encontra-se 〈n − 1 | c ∗ a |n
e, lembrando que 〈n − 1 | c ∗
〈n |a ,
|n
como
|n − 1
sejam kets
|c | 2 〈 n − 1 |n − 1
temos 〈n | a a |n
|c | 2
onde usamos a normalização de |n − 1 . Notando que a a é o operador número, N , podemos ainda simplificar 〈n | N |n
|c | 2 → |c | 2 n → c
n
onde também usamos a normalização de |n . Logo, a |n c |n − 1 → a |n
(3.1
n |n − 1
Similarmente, podemos mostrar que a |n c |n 1 → a |n
Aplicações sucessivas do operador a.
(3.1
n 1 |n 1 .
Aplicando-se sucessivamente o operador a a ambos os membros de
(3.16) obtém-se a |n
n |n − 1
aa |n
n a |n − 1
→
a 2 |n
nn − 1 |n − 2
aa 2 |n
nn − 1 a |n − 2 →
a 3 |n
nn − 1 n − 2 |n − 3
Esta sequência de operações mostra que é possível obtermos autokets com n cada vez menores até que a sequência termine, o que só pode acontecer se começarmos com um n positivo. Mas n pode ser negativo? Podemos responder a esta questão, calculando-se a norma de a |n que, por definição é sempre positiva ou nula. Assim, Autokets Autokets do operador operador número. número.
〈n |a a |n
def
≥ 0
Mas, isto pode ser reescrito como n| a a | n
≥0
→
n| N | n
≡ n ≥ 0.
Logo, n só pode ser inteiro não negativo. Portanto, a sequência deve terminar quando n C ít l 2
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0.
22
Uma vez que o menor valor de
Energia Energia do estado fundamental. fundamental. |0 ,
n
é zero, a energia do estado fundamental, fundamental,
do oscilador harmônico é E 0 1 2
(3.2
Aplicando-se agora sucessivamente o operador
Aplicação sucessiva de a ao estado fundamental.
a
ao
estado fundamental |0 , usando-se (3.17) na forma a n1
|n 1
|n
obtém-se |1 a |0 |2
a 2
|3
a 3
|1
a 2
2
|2
a 3
3!
|0
(3.21
|0
a n1
|n
|n − 1
a n
n!
|0
Desta maneira construimos os autokets simultâneos de N e H com autovalores de energia n 1 2
E n
n
,
0,1,2, …
De (3.16) e (3.17) e da normalização dos |n , obtém-se os elementos de matriz do operador de destruição a. Ou seja, Elementos de matriz.
n ′ | a |n
〈n ′ | n |n − 1
n ′ | a |n
〈n ′ | n 1 |n 1
n n ,n−1 ′
n 1 n ,n1 ′
De (3.2), obtém-se x
2m
a a ,
p i
m −a a 2
Agora podemos derivar os elementos de matriz de x e p. n ′ | x |n
n ′ | p |n
2m i
m 2
n ′ | a a |n
n ′ | −a a |n
2 m
i
n n ,n−1
m 2
Note que tanto x quanto p são não-diagonais na representação comutam com o operador N .
′
n 1 n ,n1 ′
− n n ,n−1 n 1 n ,n1 ′
N .
′
Isto é porque
x
e
p,
tal como
a
e
a,
não
Pode Podemo moss tamb também ém usar usar o méto método do dos dos oper operad ador ores es para para encon enconta tarr as auto autofu funç nçõe õess da ener energi giaa no espaç espaçoo das das posiç posiçõe õess (fun (funçõ ções es de onda onda). ). Vamos Vamos começ começar ar com com o estad estadoo fundamental definido por Funç Funçõe õess de onda onda do osci oscila lado dor. r.
a |0 0
que, na representação x, interpreta-se como P f Ab h
M
é C h
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23
x ′ | a |0
m 〈 x ′ | x ip m 2
|0 0
De (1.7.17) x ′ | p |
−i ∂ ′ 〈 x ′ | , ∂ x
podemos interpretar a equação anterior como uma equação diferencial. Ou seja, x ′ | a |0
m 2
〈 x ′ | x |0 mi 〈 x ′ | p |0
0
ou x ′ 〈 x ′ |0 m d ′ 〈 x ′ |0 0 dx
ou, finalmente, x ′ x 20 d ′ dx
〈 x ′ |0
0
onde introduzimos x 0
≡
m
que fixa uma escala de comprimento do oscilador. Esta equação é do tipo x 20
df x xf x 0 dx
ou df f
− x2 dx x 0
cuja solução é ln f
2 − x
2 x 0
C
ou f x C exp
2
− 1 x x0 2
onde C podemos escolher através da normalização, |C | 2
exp
− 1 x x0 2
2
2
1
Mas,
− exp
2
− 1 x x0 2
2
x0
então C
1
1/4
x 0
Logo, 〈 x ′ |0
1
1/4 x 0
exp
′ − 1 x x0
2
(3.3
2
Da mesma forma, podemos obter as autofunções de energia para os estados excitados, calculando-se C ít l 2
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24
〈 x ′ |1
〈 x ′ |a |0
1 2 x0
x ′
− x 20 d ′ 〈 x ′ |0 , dx
2
〈 x ′ |2
1 2
2
x ′ |a |0
1 2!
1 2 x0
x ′
− x 20 d ′
2
dx
〈 x ′ |0
Em geral, as soluções são 〈 x ′ |n
1/4
1 2 n n!
1
x′
n1/2
x 0
− x 20 d ′
n
exp
dx
′ − 1 x x0
2
É instrutivo analisar os valores esperados de
Valore Valoress espera esperados dos de x 2 e p 2 .
(3.3
2
x2
e
p2
para o estado
fundamental. Seja
x 2
a 2
2m
a 2 a a aa
Assim, 〈 x 2
2m
〈a 2
2m
a 2 a a aa
0| a 2 |0 0| a 2 |0 0| a a |0 0| aa |0
2m
0| aa |0
x 20 2
2m
Da mesma forma, p 2
m −a a 2
i
i
m −a a 2
− m a 2 − aa − a a a 2 2
o que nos fornece 〈 p 2
Relações de incerteza.
− m 〈a 2 − aa − a a a 2
2 m 〈aa 2 m 2
Das definições de x e p em termos dos operadores a e a , podemos mostrar que 〈 x
〈 p
0,
0.
Logo, Δ x 2
〈 x 2 − 〈 x 2
〈 x 2
Δ p 2
〈 p 2 − 〈 p 2
〈 p 2
2m
e m
2
satisfazem o produto de incerteza mínimo Δ x 2
Δ p 2
m
2 m
2
2
4
.
uma vez que a função de onda tem a forma gaussiana. Para os estados excitados os produtos de incerteza são maiores P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
25
Δ x 2
Δ p 2
n 1 2
2
2.
Evolução Temporal do Oscilador Nota: Nesta seção os x, p, a e a são dependentes do tempo, embora não se escreva explicitamente x H t etc .
Representação de Heisenberg
As equações de movimento para p e x são, de acordo com (2.2.32) e (2.2.33), dp dt
− dV
a
m 2
ip x m
,
m 2
dx i dp m dt dt
,
dx
dx p m dt
−m 2 x,
Como m 2
a
ip x − m
então da dt
m 2
dx dt
dp − mi
m 2
p m
− i x
m 2
p m i x
da dt
dt
ou
p i 2 m m −m x
m 2
da dt
ip x m
−i m 2
i a
e da dt
p m
m 2 i
− mi −m 2 x
ip x − m
m 2
ia
Logo, as equações diferenciais para x e p (acopladas) podem ser substituídas pelas correspondentes para a e a da dt
−ia,
da ia dt
cujas soluções são at a0 exp−it ,
(3.4
a t a 0 expit
Casualmente, essas relações mostram explicitamente que os operadores Por exemplo,
N e H são
independentes do tempo.
2
N a t at a 0 expit a0 exp−it |a0 | .
Substituindo (3.43) nas expressões para x e p, x
2m
a a ,
p i
m −a a 2
encontra-se
C ít l 2
Di â i
Q â ti
26
xt
2 m
1 2
ip0 x0 m
m 2
ip0 x0 m
x0
ip0 x0 − m
expit
exp−it 1 2
ip0 x0 − m
m 2
2m
exp−it
expit exp−it 2
expit
p0 m
expit − exp−it 2i
p0 m
sent
ou xt x0 cost
Da mesma forma pt
−m x0 sent p0 cost .
Estas equações parecem muito com as equações clássicas do movimento. Vemos que os operadores “oscilam” da mesma forma que seus análogos clássicos.
x
e
p
Lema de Baker-Hausdorff
Seja a função de operadores e iG Ae −iG , onde A é um qualquer operdor, parâmetro real: Como expandir esta função numa série de Taylor? Vamos chamar esta função de A Ou seja,
e iG Ae −iG .
G
é um operador hermitiano e
é um
Vamos derivar esta função sucessivamente sucessivamente em relação a
.
dA iGe iG Ae −iG − ie iG Ae −iG G iG, A d d 2 A dA d dA i G, i 2 G, G, A 2 d d d d d 3 A d 2 A , i G d 3 d 2
Expandindo A numa série de Taylor, em torno de
i 3 G, G, G, A
0,
2 d 2 A0 dA0 A A0 2! d 2 d
e lembrando que A0
A,
encontra-se, i22 2!
A A iG, A inn 2!
G, G, A
G, G, … G, A
…
ou finalmente e iG Ae −iG A iG, A
inn 2!
i22 2!
G, G, A
G, G, … G, A
(3.4
…
que é conhecida como Lema de Baker-Hausdorff. Derivação alternativa da evolução temporal do oscilador
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
27
Vamos aplicar o lema de Baker para encontrar a evolução temporal a partir de −iHt
xt exp iHt x0 exp
Aplicando (3.47), obtém-se A
x0 , G H , t / :
H
p0 2m
2
2
m 2 x0 , 2
i 2 t 2 2! 2
it H , x0
xt x0
Como
uma vez que
H não
H , H , x0
depende do tempo, podemos calcular os comutadores,
usando repetidamente, H , x0
p0 2m
2
2
m 2 x0 , x0 2
1 p0 2 , x0 2m
1 p0 p0 , x0 1 p0 , x0 p0 2m 2m
−i p0 m
e H , p0
p0 2m
2
2
m 2 x0 , p0 2
m 2 x0 2 , p0 2
m 2 x0 x0 , p0 m 2 x0 , p0 x0 im 2 x0 2 2
Então, exp iHt x0 exp
−iHt
− 1 t 2 2 x0 − 1 2!
3!
x 0
p0 m
t
t 3 3 p0 m
colecionando os termos, temos finalmente xt x0 cos t
p0 m
sen t ,
em concordância com (2.3.45a). ★
Leia o restante da seção.
2.44 2.
Equa Eq uaçã ção o de On Onda da de Sc Schr hröd ödin inge gerr
Nesta seção volta-se à represntação de Schrödinger para examinar a evolução temporal de representação x.
|, t 0 ; t
na
Função de Onda Dependente do Tempo Vamos estudar o comportamento da função de onda (4.1)
x ′ , t 〈 x ′ |, t 0 ; t
como função do tempo |, t 0 ; t é um autoket na representação de Schrödinger no instante t , e 〈 x ′ | é o autobra autobra da posição (que é independente do tempo na representação de Schrödinger) com autovalor x ′ . Seja o Hamiltoniano da forma H
p2 V x 2m
(4.2)
O potencial V x é um operador hermitiano; é também local, no sentido de que, na representação x, tem-se x ′ | V x | x ′′
C ít l 2
Di â i
Q â ti
V x ′ 3 x ′
(4.3)
− x ′′
28
onde V x ′ é uma função real de x ′ . Equação de onda de Schrödinger.
Vamos agora derivar a equação de onda de Schrödinger dependente do
tempo. De (2.1.27) ∂ |, t 0 ; t ∂t
i
H |, t 0 ; t
que, multiplicada escalarmente pelo autobra (estacionário) 〈x ′ | enconta-se i
Lado direito de (2.4.4).
∂ 〈x ′ |, t 0 ; t ∂t
(4.4)
H |, t 0 ; t 〈x ′ | H
Usando (1.7.20), ou seja, x ′ | p xn |, t 0 ; t −i
n
∂ n 〈 x ′ |, t 0 ; t , ∂ x ′n
#
encontramos para a contribuição da energia cinética do lado direito de (2.4.4) 〈 x ′ |
2 p x2 2 |, t 0 ; t −i ∂ ′2 〈 x ′ |, t 0 ; t 2m ∂ x
ou, para 3 dimensões −i p2 〈x | |, t 0 ; t 2m 2m
2
∇ ′2 〈x ′ |, t 0 ; t
′
2
−
2m
∇ ′2 〈x ′ |, t 0 ; t
Para a contribuição da energia potencial, temos 〈x ′ |V x ′
V x ′ 〈x ′ |
onde aqui V x ′ é uma função e não um operador. Combinando tudo, encontramos i
∂ 〈x ′ |, t 0 ; t ∂t
2
−
(4.7)
∇ ′2 〈x ′ |, t 0 ; t V x ′ 〈x ′ |, t 0 ; t
2m
que reconhecemos reconhecemos ser a famosa equação de onda de Schrödinger Schrödinger dependente dependente do tempo, geralmente geralmente escrita como i
∂ x ′ , t ∂t
−
2
(4.8)
∇ ′2 x ′ , t V x ′ x ′ , t
2m
mecânica ondulatória ondulatória . Esta Nota: A mecânica quântica baseada na equação de onda (2.4.8) é conhecida como mecânica equação é, de fato, o ponto de partida de muitos livros de texto sobre mecânica quântica. Porém, em nosso formalismo, isto é apenas a equação de Schrödinger para o estado ket escrita explicitamente na base x, quando o operador Hamiltoniano adotado é da forma (2.4.2).
A Equação de Onda Independente Independente do Tempo Já vimos que a dependência temporal de um estado estacionário é dada pelo fator que a função de onda desse estado pode ser escrita como 〈 x ′ |a ′ , t 0 ; t
exp−iE a t / , ′
de maneira (4.9)
〈 x ′ |a ′ exp−iE a t / ′
onde estamos supondo que o sistema está preparado inicialmente inicialmente num autoestado simultâneo simultâneo de A e H com ′ autovalores a e E a respectivamen respectivamente. te. Vamos agora substituir substituir (2.4.9) (2.4.9) na equação de Schrödinger Schrödinger dependente dependente do tempo (2.4.7): ′
i
∂ 〈 x ′ |a ′ exp−iE a t / ∂t ′
−
2
2m
∇ ′2 〈 x ′ |a ′ exp−iE a t / ′
V x ′ 〈 x ′ |a ′ exp−iE a t / ′
ou P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
29
2
−
∇ ′2 〈 x ′ |a ′ V x ′ 〈 x ′ |a ′
2m
(4.1
E a 〈 x ′ |a ′
′
Nota: Esta equação diferencial parcial é satisfeita pela autofunção de energia 〈 x ′ |a ′ com autovalor de energia E a . ′
Realmente, em mecânica ondulatória, onde o Hamiltoniano é dado como função de x e p, como em (2.4.2), não é necessário referir-se explicitamente ao observável A que comuta com H , uma vez que sempre podemos escolher A como uma função dos observáveis x e p que coincide com H .
Então, podemos omitir a referência a a ′ e simplesmente escrever (2.4.10) como uma equação diferencial parcial que será satisfeita pela autofunção da energia u E x ′ : 2
−
∇ ′2 u E x ′ V x ′ u E x ′
2m
(2.4.
E u E x ′
Esta é a equação onda de Schrödinger dependente do tempo. Para resolver esta equação, precisamos impor algumas condições de contorno .
Condições de contorno. Solução para E V .
Se procuramos soluções com E lim V x ′ |x ′ |→
onde a desigualdade vale para |x ′ | caso é
→
em qualquer direção, a condição de contorno apropriada para este
para |x ′ |
u E x ′ → 0,
→
(4.1
Fisicamente, isto significa que a partícula está ligada ou confinada dentro de uma região finita do espaço. Para este caso, as soluções u E possuem as seguintes propriedades. Sabemos da teoria das equações diferenciais que (2.4.11) sujeita à condição de contorno (2.4.13) somente possuem soluções não triviais para um conjunto de valores discretos de E . É neste sentido que a equação de Schrödinger independente do tempo produz a quantização dos níveis de energia . Propriedades das soluções u E para partícula confinada.
★
Leia o restante da seção.
Interpretação da Função de Onda Como a função de onda está relacionada com o coeficiente de expansão, 〈x ′ |, t 0 ; t , do estado |, t 0 ; t em termos dos autokets da posição |x ′ , podemos assciar | | 2 com uma densidade de probabilidade . Seja então esta densidade definida como Função Função de onda onda como como coefic coeficien iente te de expans expansão. ão.
2
x ′ , t |x ′ , t | |〈x ′ |, t 0 ; t |
(4.1
2
A quantidade x ′ , t d 3 x ′
nos dá a probabilidade, num instante d 3 x ′ em torno da posição x ′ . Equação Equação da continuidade continuidade..
t ,
de encontrar a partícula dentro de um pequeno elemento de volume
Usando a equação de Schrödinger dependente do tempo podemos mostrar
facilmente que ∂ ∂t
∇
j
(4.1
0
onde representa | | 2 como antes, e jx, t é conhecido como fluxo de probabilidade , dado por C ít l 2
Di â i
Q â ti
30
jx, t
i 2m
−
∗ ∇ − ∇ ∗
(4.1
Im ∗ ∇
m
Integrando (2.4.16) sobre todo o espaço, obtemos
Fluxo de probabilidade e momento.
1 2m
jx, t d 3 x −
∗ x, t −i ∇ x, t d 3 x
1 2m
−i ∇ ∗ x, t x, t d 3 x
〈p t m
onde usamos (1.7.19). Nota: A Eq. Eq. (4.15 (4.15)) nos nos lemb lembra ra a equa equaçã ção o da cont contin inui uida dade de em dinâ dinâmi mica ca dos dos flui fluido dos, s, que que cara caract cter eriz iza a um flux fluxo o hidrodinâmico de um fluido numa região sem fontes nem sumidouros. De fato, historicamente Schrödinger foi o primeiro a 2
2
interpretar | | como uma densidade real de matéria, ou e| | como uma densidade real de carga elétrica. Se adotarmos tal ponto de vista, ficaremos diante de algumas consequência estranhas. Um argumento típico para a medida da posição seria este: Um elétron atômico é considerado como uma distribuição contínua de matéria, preenhcendo toda a região em torno do núcleo; mas, quando se realiza uma medida para verificar que o elétron está em algum ponto particular, esta distribuição contínua de matéria subitamente se contrai na forma de uma partícula sem extensão espacial.
A interpretação estatística mais satisfatória de | | 2 foi dada pela primeira vez por M. Born.
Significado físico da função de onda
Vamos escrever a função de onda na forma x, t
onde S é real e Significado de S.
x, t exp
iSx, t
(4.1
0.
Note que ∗ ∇
exp
−iS
∇
exp iS
∇
i ∇S
e ∇ ∗
∇
exp
−iS
exp iS
∇
− i ∇S
Logo, j −
i 2m
∗ ∇ − ∇ ∗
− i
2i ∇ S
2m
∇ S m
(4.2
Agora vemos que a função de onda tem muito mais coisa do que simplesmente a densidade de probabilidade dada por | | 2 : o gradiente da fase S contém uma peça de informação vital. Da Eq. (2.4.20) vemos que a variação espacial da fase da função de onda caracteriza o fluxo de probabilidade; quanto mais forte for a variação da fase, mais intenso será o fluxo . A direção de j em qualquer ponto x é normal à superfície superfície de fase constante que passa por aquele ponto (definição de gradiente). Onda plana.
Um exemplo particularmente simples é o da onda plana (autofunção do momento) x, t
exp ip x − iEt
(4.21
onde p significa o autovalor do operador momento. Neste caso, a fase S vale Sx, t p x − Et
e, portanto, P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
31
∇ S
(4.2
p
Mais geralmente, é tentador considerar ∇S / m como alguma espécie de “velocidade”, S “v” ∇ m
e escrever a equação da continuidade (2.4.15) como ∂ ∂t
∇
“v”
0
da mesma forma como na dinâmica dos fluidos. Porém, Porém, devemos devemos tomar tomar cuidado cuidado com uma interpretaç interpretação ão tão literal de j como vezes a velocidade definida em todos os pontos do espaço, uma vez que medidas simultâneas precisas da posição e velocidade violam o princípio da incerteza.
O Limite Clássico Agora vamos discuitir o limite clássico da mecânica ondulatória. Seja a equação de Schrödinger dependente do tempo, i
∂ ∂t
2
−
2m
∇ 2 V .
Para
exp iS
encontramos i
∂ ∂t
exp iS
−
2
2m
∇2
exp iS
V
exp iS
ou i
∂ ∂t
i
∂S ∂t
2
−
2m
2
∇
2 ∇ S | − 12 | ∇
2i
i
∇ 2 S
∇
∇ S
Até aqui a expressão é exata. Vamos supor que, em algum sentido, ser considerada uma quantidade pequena, admitindo que
Aproximação para
pequeno.
2 | ∇ ∇ S | | ∇ ∇ S |
(4.2
V
possa (4.2
2
e assim por diante. Vamos então colecionar os termos que não dependem de : − ∂S ∂t
1 2m
2 | ∇ ∇ S |
V
ou 2 1 | ∇ ∇ Sx, t | V x 2m
∂Sx, t ∂t
(4.2
0
A Eq. (2.4.27) é a equação de Hamilton-Jacobi da mecânica clássica, onde Sx, t representa a função principal de Hamilton. Assim, não é por acaso que, no limite → 0, a mecânica clássica esteja contida na mecânica ondulatória de Schrödinger. Temos uma interpretação semiclássica para a fase Equação de Hamilton-Jacobi.
da função de onda: vezes a fase é igual à função principal de Hamilton, desde que possa ser considerado como uma quantidade pequena.
Vamos olhar para os estados estacionários com dependência temporal exp−iEt / . Neste caso, a Hamiltoniana clássica não depende explicitamente do tempo e a função de principal de Hamilton
Estados estacionários.
C ít l 2
Di â i
Q â ti
32
é separável: (4.2
S x, t W x − Et
onde W x é chamada de função característica de Hamilton. ***
Substituindo em (4.27), ∂W x − Et ∂t
2 1 | ∇ ∇ W x − Et | V x 2m
0
podemos eliminar o tempo, obtendo-se, 2 1 | ∇ ∇ W W x | V x E 2m
***
Da Eq. (2.4.27) vê-se que, à medida que o tempo passa, uma superfície de S constante avança da mesma maneira que avança uma superfície de fase constante em óptica - uma frente de onda. O momento da teoria clássica de H-J é dado por p clássico
∇ S ∇ W W
que é consistente com nossa identificação anterior de ∇ S / m com alguma tipo de velocidade.
Aproximação Semiclássica (WKB) Vamos obter a solução de estado estacionário aproximada da equação de Schrödinger restrita a uma dimensão. Da equação 1 2m
2
dW x dx
V x E
obtém-se facilmente W , integrando-se a equação dW x 2m E − V x dx
ou seja, W x
x
dx ′ 2m E − V x ′
Região classicamente permitida ( E E V )
Logo, S x, t é dado por S x, t W x − Et
x
dx ′ 2m E − V x ′
onde estamos interessados na região classicamente permitida, Estados estacionários.
− Et
E V .
Para estados estacionários, temos ∂ ∂t
0
o que, devido à equação da continuidade na forma (2.4.24), ∂ ∂t
∂ 1 ∂S m ∂ x ∂ x
0 →
∂ ∂S ∂ x ∂ x
0.
implica em ∂S ∂ x
P f Ab h
M
é C h
constante M â i
Q â ti
A
33
Como ∂S ∂ x
≡
dW x 2m E − V x dx
constante
então
constante ′
E − V x
1/4
1 v clássica
Combinando essas equações na expressão exp iS
encontramos, constante
x, t
E − V x
exp
1/4
x
i
dx ′ 2m E − V x ′
− iEt .
(4.3
Esta solução aproximada é conhecida com solução WKB (Wentzel, Kramers e Brillouin). O que significa dizer é pequeno?
A condição 2 | ∇ ∇ S | | ∇ ∇ S |
2
é equivalente em problemas unidimensionais a
d 2 S dx 2
dS dx
2
.
Como dS dW x 2m E − V x dx dx
então d 2 S dx 2 dS dx
2
dV x 1 dx E − V x
2m 2
2m| E E − V x |
Logo,
para E
V ,
d 2 S dx 2
dS dx
2
→
m 2
dV x dx
1 E − V x
2m E − V x
ou
2m E − V x
dV x dx
2m E − V x
Em termos do comprimento de onda de de Broglie dividido por 2,
2m E − V x
a condição torna-se
2m E − V x dx | |dV x / dx
(2.4.
Em outras palavras, deve ser pequeno comparado com a distância característica sobre a qual o potencial vari variaa apre apreci ciave avelm lmen ente te.. Gros Grosso so modo modo,, o pote potenc ncial ial deve deve ser essen essenci cialm almen ente te const constan ante te sobre sobre muit muitos os C ít l 2
Di â i
Q â ti
34
comprimentos de onda. Logo, vemos que a aproximação semiclássica é confiável no limite de
pequenos
comprimentos de onda.
Região classicamente proibida ( E E V )
Vamo Vamoss cons conside idera rarr agor agoraa o caso caso onde onde E − V x 0, cujos cujos valor valores es de x são conheci conhecidos dos como como região classicamente proibida . A teoria clássica de Hamilton-Jacobi não faz sentido neste caso, tal que nossa solução aproximada(2.4.35) tem que ser modificada. Solução análoga para a região V E . x, t
Pode-se mostrar, por substituição direta, que a função
constante V x − E
x
exp 1
1/4
satisfaz a equação de onda, com a condição de que característica na qual o potencial varia.
/
dx ′ 2mV x ′ − E
2mV − E
− iEt
(4.3
seja pequeno comparado com a distância distância
Nenhuma das soluções semiclássicas tem sentido próximas de um ponto de retorno clássico, definido pelo valor de x para o qual
Pontos de retorno.
V x E
uma vez que (ou i) torna-se infinito naquele ponto, levando a uma forte violação da condição (2.4.37). De fato, é uma tarefa tarefa não trivial trivial “casar” “casar” as duas soluções através do ponto de retorno. retorno. O procedimento procedimento padrão padrão é baseado nas seguintes etapas: 1. Lineariza-se o potencial V x nas proximidades do ponto de retorno x 0 , definido pela raiz de V x 0 V x
dV dx
≃ V x 0
x x 0
E .
Ou seja,
x − x 0
2. Resolve-se a equação diferencial d 2 u E dx 2
−
2m 2
dV dx
x x 0
x − x 0 u E
0
exatamente, para obter uma terceira solução envolvendo as funções de Bessel de ordem 1/3 (funções de Airy) válida próximo de x 0 . 3. “Casa-se” esta solução às outras duas, escolhendo-se apropriadamente várias constantes de integração.
Aproximação WKB para um poço de potencial
Vamos aplicar os resultados da análise da aproximação WKB para um poço de potencial (estados ligados), mostrado esquematicamente na figura abaixo. Nesta figura, as regiões são caracterizada pelas seguintes condições: Região I: Região II: Região III:
P f Ab h
M
é C h
Eq. (2.4.38) V x , Eq. (2.4.35) V x , Eq. (2.4.38)
E V x , E E
M â i
Q â ti
A
35
V (x) (x)
E Região II Região III
Região I
x1
x2
x
As soluções são: Regiões I e III I , III x, t
C 1
V x − E
x
exp 1
1/4
dx ′ 2mV x ′ − E
− iEt
Região II II x, t
C 2 E − V x 1/4
i
exp
x
dx ′ 2m E − V x ′
− iEt
Regiões de transição
Nos pontos de retorno, x linearizado. Ou seja,
x1
e
x x2,
temos que resolver a equação de Schrödinger exata para o potencial d 2 u E dx 2
− 2 x − x 0 u E 0
onde dV dx
2m
2
1/2
x x 0
1
2mV ′ x 0
1/2
Fazendo uma mudança de variável do tipo z 2/3 x − x 0 1
2mV ′ x 0
1/3
x − x 0
encontra-se d d dx dz
dz dx
2/3 d dz
e
d 2 4/3 d 2 dx 2 dz 2
Portanto,
4/3
d 2 u E dz 2
−
2 z u E 0 2/3
ou C ít l 2
Di â i
Q â ti
36
d 2 dz 2
− z u E 0
cuja solução são as funções de Airy, Ai z , 1 Ai z
0
d cos 1 3 z 3
O comportamento assintótico dessa função é 1 2 Ai z
1/2
1
exp
z
− 2 z 3/2 ,
z 0, V E
3
. 1/2
1
− z
cos 2 z 3
− z
4
, z 0, E V
Uma vez que V x V x 0 V ′ x 0 x − x 0 → x − x 0
onde V ′
dV / dx dx,
V − E V ′
temos V − E V ′
z 2/3 x − x 0 2/3
Então, o comportamemto assintótico de Ai z para z
Comportamento assintótico na região II.
0 V E é
1/2
V ′
Ai z
− 2 x 0 − x 3/2 −
cos
E − V 2/3
3
4
Notando que o argumento do cosseno pode ser obtido através da integral x
x 0
x 0
− x dx ′
− 2 x 0 − x 3/2 3
então, a forma assintótica torna-se 1/2
V ′
Ai z
x
cos
E − V 2/3
x 0
x 0
− x dx ′ 4
ou 1/2 ′
Ai z
V
2/3 E − V
cos
x
1
2mV ′
x 0
E − V V ′
dx ′ 4
e, finalmente 1/2 ′
Ai z
V
E − V 2/3
E x 0 .
x
1
2m E − V x ′ dx ′ 4
x 0
(*)
Da mesma maneira podemos obter a forma assintótica assintótica para as regiões regiões
Forma assintótica nas regiões I e II.
onde V
cos
Encontramos 1/2
Ai z
V ′
E − V 2/3
exp
Continu Continuida idade de da função função através através dos pontos pontos x 1 e x 2 .
P f Ab h
M
é C h
x
−1
x 0
(**)
2mV x ′ − E dx ′
Queremos agora que a solução (aproximada) da M â i
Q â ti
A
37
equação de Schrödinger seja contínua através de esta solução tem que ser da forma de (*). Ou seja,
ao passarmos da região I para a região II. Então,
x x 1, 1/2
′
V
1
u II x C 1
2/3 E − V
x
1
cos
x 1
2m E − V x ′ dx ′
− 4
Da mesma forma com o ponto x 2 , ao passarmos da região III para a região II: 1/2
V ′
2
u II x C 2
E − V 2/3
x
1
cos
x 2
2m E − V x ′ dx ′ 4
Como a solução na região II deve ser única, os argumentos dos cossenos diferem, no máximo, por um múltiplo inteiro de . Logo,
Solução única.
x
1
x 1
2m E − V x ′ dx ′
−
−
4
x
1
x 2
2m E − V x ′ dx ′ 4
n
ou x 2
1
x
x
2m E − V x ′ dx ′
1
x − 1 x
2m E − V x ′ dx ′
x 2
2
2m E − V x ′ dx ′ 4
− 4
n
e, finalmente, x 2
2m E − V x ′ dx ′
x 1
n 1 2
(4.4
, n 0,1,2…
Esta equação é simplesmente a condição de quantização de Bohr-Sommerfel (exceto pelo fator como
1/2,
escrita
p dq nh onde a integral é calculada sobre um período completo do movimento clássico, de
x1
a x 2 , ida e volta.
Aplicação de (4.43) - Bola quicando sobre o solo
Considere o problema de uma bola quicando sobre uma superfície dura: V(x)
⎧mgx, V ( x) = ⎨ ⎩∞,
x x = 0
E ,
x 1 0
C ít l 2
x < 0.
x
Para este potencial, os pontos de retorno, V x
As funçõ funções es se anula anulam m em x
x > 0
0.
serão e
E x 2 mg
Por isso, é melhor usarmos as soluções ímpares de um problema Di â i
Q â ti
38
modificado definido por: V(x)
V ( x) = mg| x |,
|x|
(−∞< x < ∞)
x
Neste caso, nossos pontos de retorno serão x 1
E − mg
E . x 2 mg
e
A condição de quantização (4.43), para as soluções ímpares, nos fornece,
Condição de quantização.
E / mg mg
−
dx
E / mg mg
2m E − mg| x x |
n ímpar 1 2
n ímpar
,
1,3,5, …
ou, de forma equivalente, E / mg mg
n− 1 4
2m E − mgx
dx 0
,
n
1,2,3, …
A integral pode ser feita facilmente, fornecendo E / mg mg
dx
0
2m E − mgx
Logo, 2 2 3g
E 3 m
n− 1 4
,
ou 8 E 3 9g 2 m
n− 1 4
2
22
e, finalmente, E n
3 n− 1 4 2
2/3
mg 2 2
1/3
para os níveis de energia quantizada de uma bola quicando sobre o chão. ★
Leia o restante da seção.
2.5
Propa Pr opagad gadore oress e Int Int.. de Cam Caminh inho o de Fey Feynma nman n
Propagadores em Menânica Ondulatória Já vimos que a solução do problema de evolução temporal com um Hamiltoniano dependente do tempo pode ser resolvido, expandindo-se o ket inicial em termos dos autokets de um observável que comuta com H . Ou seja, Problema geral da evolução temporal.
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
39
−iH t − t 0
|, t 0 ; t exp
|, t 0
−iE a t − t 0
∑ |a 〈a |, t exp ′
′
′
0
a′
Multiplicando ambos os lados pela esquerda por 〈 x ′ | encontramos 〈x ′ |, t 0 ; t
−iE a t − t 0
∑ 〈x |a 〈a |, t exp ′
′
′
′
0
(5.2)
a′
que é da forma x ′ , t
∑c
a′
−iE a t − t 0 ′
t 0 u a x ′ exp ′
a′
onde usamos u a x ′ 〈x ′ |a ′ , ′
para representar a autofunção do operador
A
com autovalor a ′ . Note também que
〈a ′ |, t 0
d x
3 ′
(5.5)
〈a ′ |x ′ 〈x ′ |, t 0
reconhecida com a regra usual em mecânica ondulatória para obter os coeficientes de expansão do estado inicial
d x
3 ′
c a t 0 ′
u a∗ x ′ x ′ , t 0 . ′
Tudo isto é direto e familiar. A Eq. (2.5.2), com a ajuda de (2.5.5), pode também ser visualizada como alguma espécie de operador integral atuando sobre uma função de onda inicial, resultando na função de onda final. De fato, substituindo (2.5.5) em (2.5.2) obtém-se
Propagador.
x ′′ , t
∑ 〈x |a d x ′′
′
−iE a t − t 0 ′
〈a ′ |x ′ 〈x ′ |, t 0 exp
3 ′
a′
−iE a t − t 0
d x ∑ 〈x |a 〈a |x exp 3 ′
′′
′
′
′
′
a′
d x ∑ 〈x |a 〈a |x exp 3 ′
′′
′
′
′
〈x ′ |, t 0
−iE a t − t 0
a′
′
x ′ , t 0
ou x ′′ , t
d x
3 ′
K x ′′ , t ; x ′ , t 0 x ′ , t 0 .
(5.7)
aqui o núcleo (kernel ) do operador integral, conhecido como propagador em mecânica ondulatória, é dado por K x ′′ , t ; x ′ , t 0
∑ 〈x |a 〈a |x exp ′′
a
′
′
′
′
−iE a t − t 0 ′
Em qualquer que seja o problema, o progador depende apenas do potencial e é independente da função de onda inicial. Pode ser construído uma vez que as autofunções da energia e seus autovalores sejam conhecidos.
A evolução temporal da função de onda é completamente completamente predita predita se K x ′′ , t ; x ′ , t 0 é conhecido e x ′ , t 0 é dado inicialmente. Evolução temporal da função de onda.
Neste sentido, a mecânica ondulatória de Schrödinger é uma teoria perfeitamente causal . A evolução evolução temporal de uma função de onda sujeita a algum potencial potencial é tão determinística como qualquer outra C ít l 2 Di â i Q â t i 40
Teoria causal.
(5.8)
coisa em mecânica clássica, desde que o sistema não seja perturbado. Talvez a única característica peculiar é que quando se realiza uma medida, a função de onda muda abruptamente, de uma maneira incontrolável, para uma das autofunções do observável que está sendo medido. Existem duas propriedades do propagador:
Propriedades do propagador.
1) Para t t 0 , K x ′′ , t ; x ′ , t 0 satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo nas variáveis x ′′ e t , com x ′ e t 0 fixos.
De fato, como
Demonstação:
K x ′′ , t ; x ′ , t 0
−iE a t − t 0
∑ 〈x |a 〈a |x exp ′′
′
′
′
′
a′
pode ser reescrito como K x ′′ , t ; x ′ , t 0
∑ a
iE a t 0 ′
exp
u a∗ x ′
′
∑ u ∗ x , t u ′
a′
0
a′
exp
′
−iE a t u x ′′ a ′
′
x ′′ , t .
a′
Como u a x ′′ , t satisfaz a equação de onda de Schrödinger, uma combinação linear (desde que x ′ e fixos) também a satisfaz e, portanto, K deve também satisfazer a mesma equação de onda. ′
t 0
sejam
2) O limite de K x ′′ , t ; x ′ , t 0 quando t → t 0 vale lim K x ′′ , t ; x ′ , t 0 t →t 0
3 x ′′
− x ′ .
Isto pode ser mostrado, usando-se a completeza da base |a ′ . De fato, a Eq. (2.5.8),
Demonstração.
K x ′′ , t ; x ′ , t 0
−iE a t − t 0
∑ 〈x |a 〈a |x exp ′′
′
′
′
′
a′
reduz-se a K x ′′ , t ; x ′ , t 0 〈x ′′ |x ′ exp
−iE a t − t 0 ′
e, portanto, usando a ortogonalidade dos |x ′ encontramos K x ′′ , t ; x ′ , t 0 3 x ′′
Agora, tomando o limite quando t →
t 0 ,
−iE a t − t 0 ′
− x ′ exp
.
esta expressão torna-se lim K x ′′ , t ; x ′ , t 0 3 x ′′ t →t 0
− x ′ .
Devido a essas duas propriedades, o propagador, quando considerado como
Interpretação física do propagador.
função de x ′′ é simplesmente a função de onda, no instante t , de uma partícula que estava precisamente localizada no
De fato, esta interpretação segue, talvez de uma maneira mais elegante, da observação de que (2.5.8) também pode ser escrita como
ponto x ′ num instante anterior t 0 .
K x ′′ , t ; x ′ , t 0 〈x ′′ | exp
−iE a t − t 0 ′
(2.5.
|x ′ .
onde o operador evolução temporal atuando sobre |x ′ é justamente o estado ket no instante t de um sistema que estava precisamente localizado na posição x ′ no instante t 0 t . Solução geral usando o propagador.
P f Ab h
M
é C h
Se quisermos resolver um problema mais geral, onde a função de onda M â i
Q â ti
A
41
inicial, não está localizada, mas extende-se sobre uma região finita do espaço, tudo que precisamos fazer é multiplicar a função de onda inicial x ′ , t 0 pelo propagador K x ′′ , t ; x ′ , t 0 e integrar sobre todo o espaço (isto é, sobre x ′ ), como nos mostra a Eq. (2.5.7):
d x
x ′′ , t
3 ′
K x ′′ , t ; x ′ , t 0 x ′ , t 0 .
Esta solução é semelhante ao problema para encontrar o potencial eletrostático de uma distribuição de carga: inicialmente resolve-se o problema de uma carga puntiforme, multiplica-se pela distribuição e integra-se: Propagador como função de Green.
d x
x
1
3 ′
(potencial eletronstático).
x ′
′
|x − x | (potencial de q1)
O propagador pode então ser considerado como a função de Green para a equação de onda dependente do tempo: Equação de Green para o propagador.
−
2
′′2
∇
2m
V x ′′ − i
∂ K x ′′ , t ; x ′ , t 0 ∂t
(5.1
−i 3 x ′′ − x ′ t − t 0 .
com a condição de contorno K x ′′ , t ; x ′ , t 0 0,
(5.1
t t 0 .
A forma do propagador depende do potencial ao qual a partícula está sujeita.
O momento é o observável que comuta com o Hamiltoniano. Portanto, é um autoket simultâneo dos operadores p e H : Propagador para a partícula livre.
p | p p ′ p ′ | p p ′ ,
p ′2 2m
H | p p ′
p ′ | p
p ′ . | p
As autofunções do momento são do tipo onda plana [v. (1.7.32)]: p ′ 〈 x ′ | p
1 expip ′ x ′ . 2
Substituindo esta função em (2.5.8), obtém-se K x , t ; x , t 0 1 2 ′′
Cálculo da integral.
′
dp exp ′
ip ′ x ′′
− x′
−
ip ′2 t − t 0 2m
.
Esta integral pode ser facilmente calculada, completando-se o quadrado na exponencial
do termo p ′ . Ou seja, K x ′′ , t ; x ′ , t 0
1 2
− dp exp
′
−
it − t 0 2 m
p ′2 2 p ′
m x ′′ − x ′ t − t 0
2 1 dp ′ exp −a p ′ b − b 2 2 − 2 1 expab 2 dp ′ exp −a p ′ b 2 −
onde a
it − t 0 , 2m
b
m x ′′ − x ′ t − t 0
Mas,
− e − C ít l 2
Di â i
a pb 2
Q â ti
dp
a
42
Logo, K x ′′ , t ; x ′ , t 0
expab 2 a
1 2
1 2
exp
it − t 0 2m
im x ′′ − x ′ 2t − t 0
m exp 2it − t 0
m 2 x ′′
it − t 0 2m
− x′ 2
t − t 0 2
2
.
Certas integrais envolvendo K x ′′ , t ; x ′ , t 0 são de grande interesse.
Integral espacial envolvendo K x ′′ , t ; x ′ , t 0 .
Considere a integral sobre todo espaço de K x ′′ , t ; x ′ , t 0
−iE a t
∑ 〈x |a 〈a |x exp ′′
′
′
′
′
a′
para x ′
x ′′ t 0
0 : Gt
≡ d 3 x ′ K x ′ , t ; x ′ , 0
d x ∑ |〈x |a | 3 ′
′
′
2
exp
−iE a t
exp
−iE a t
a′
∑
exp
−iE a t
d x
′
3 ′
a′
2
|〈x ′ |a ′ |
∑ a′
′
′
onde usamos a normalização das autofunções 〈x ′ |a ′ . Então
∑
Gt
a
Continuação analítica de t .
exp
′
−iE a t
(5.2
′
Tomando t imaginário puro, podemos definir it
e representar Gt como
∑
Gt
a
exp− E a , ′
′
que podemos identificar com a função partição:
∑
Z
a
exp− E a . ′
′
Por este motivo, algumas técnicas encontradas no estudo dos propagadores em MQ são també úteis em mecânica estatística. Outr Outraa inte integr gral al impo import rtan ante te envo envolv lvee a tran transf sfor orma mada da de
Integr Integral al tempor temporal al envolv envolvend endo o K x ′′ , t ; x ′ , t 0 .
Laplace-Fourier de Gt : ̃ E G
−i
dt Gt expiEt / .
0
Ou seja ̃ E G
−i
− i
dt
0
∑ exp−iE t / expiEt / a′
a
∑ a
′
′
dt exp i E − E a t / ′
0
Como o integrando oscila indefinidamente, vamos fazer P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
43
E → E i
onde é uma pequena parte imaginária positva. Após calcularmos a integral, fazemos
∑
− i
̃ E , G
a
∑
−i
a
′
′
dt exp i E i − E a t / ′
0
− − i E − E a t /
dt exp
′
0
∑
−i
− iE iE a
a′
→ 0:
∑ − iE −i iE
′
a′
a′
No limite lim →0 G̃ E , encontramos ̃ E G
∑ E −1E
a′
a′
.
Observe agora que o espectro de energia completo aparece como pólos simples de G̃ E no plano complexo E . Se desejarmos conhecer o espectro de energia de um sistema físico, basta estudar as propriedades analíticas de G̃ E .
Propagador como uma Amplitude de Transição Definimos a função de onda como o produto interno de um bra 〈x ′ | fixo com um estado ket movendo-se |, t 0 ; t . Ou seja, Função de onda.
x ′ , t 〈x ′ |, t 0 ; t .
Podemos também definir esta função, na representação de Heisenberg, como o produto interno de bra da posição que se move no sentido oposto no tempo, 〈x ′ , t |, com o estado ket |, t 0 fixo no tempo: x ′ , t 〈x ′ , t |, t 0 .
Propagador.
Da mesma forma, podemos definir o propagador como K x ′′ , t ; x ′ , t 0
∑ 〈x |a 〈a |x exp ′′
′
′
′
a′
∑ 〈x
′′
| exp
a′
−iE a t − t 0 ′
−iE a t a ′ 〈a ′ exp iE a t 0 x ′ | | | ′
′
x ′′ , t | x ′ , t 0 .
onde |x ′ , t 0 e 〈x ′′ , t | são, respectivamente, autoket e autobra do operador posição na representação de Heisenberg. Na Seç. 2.2 vimos que b ′ , t | a ′ , na notação da amplitude de probabilidade probabilidade para um sistema, sistema, originalmente originalmente preparado preparado num representação de Heisenberg é a amplitude autoestado autoestado de A com autovalor a ′ no tempo inicial t 0 0, ser encontrado num tempo posterior t num autoestado de B com autovalor b ′ . Foi o que se chamou de amplitude de transição para ir do estado |a ′ para o O que que sign signif ific icaa um prod produt uto o da form formaa
b ′ , t | a ′
?
estado |b ′ .
A diferença com o caso anterior fica por conta da escolha de Mas o que é relevante aqui é a diferença t − t 0 . Portanto, podemos identificar x ′′ , t | x ′ , t 0 como a
E o que significa K x ′′ , t ; x ′ , t 0 t 0 0.
x ′′ , t | x ′ , t 0 ?
amplitude amplitude de probabilidad probabilidade e para a partícula partícula preparada no instante instante t 0 com autovalor da posição posição x ′ ser encontrada num
Grosso modo, K x ′′ , t ; x ′ , t 0 é a amplitude de probabilidade para uma partícula ir de um ponto espaço-temporal x ′ , t 0 para outro ponto espaço-temporal x ′′ , t .
instante posterior t na posição x ′′ .
C ít l 2
Di â i
Q â ti
44
Sabemos que na representação de Heisenberg o estado é fixo e a base se movimenta. Nessa representação, |x ′ , t 0 é o autoket da posição no instante t 0 com autovalor x ′ . Em qualquer instante, podemos escolher os autokets de um observável como kets de base. Logo,
Outra interpretação interpretação para K x ′′ , t ; x ′ , t 0
x ′′ , t | x ′ , t 0 .
x ′′ , t | x ′ , t 0
pode ser considerada como a transformção que conecta as duas bases em tempos diferentes . Vamos usar uma notação mais simétrica para as coordenadas espaciais e temporais. Ou seja, faremos a substituição
Notação simétrica.
x ′′ , t | x ′ , t 0
x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′
→
Na representação de Heisenberg os kets da posição formam um conjunto completo, em qualquer instante. Podemos então definir o operador identidade para esse conjunto como
Operador identidade.
d x
3 ′′
|x ′′ , t ′′ 〈x ′′ , t ′′ | 1.
Podemos usar esse operador identidade para escrever a evolução temporal de um sistema físico do instante t ′ para o instante t ′′′ . Para isso, podemos dividir o intervalo t ′ , t ′′′ em duas partes, t ′ , t ′′ e t ′′ , t ′′′ . Logo, Evolução temporal.
x ′′′ , t ′′′ | x ′ , t ′
d x
3 ′′
x ′′′ , t ′′′ | x ′′ , t ′′
x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ ,
t ′′′
t ′′ t ′ .
Isto é conhecido como propriedade da composição da amplitude de transição. Evidentemente, podemos dividir o intervalo de tempo em subintervalos cada vez menores na quantidade que desejarmos. Logo,
Subintervalos menores.
x ′′′′ , t ′′′ | x ′ , t ′
d x d x 3 ′′′
t ′′′′
3 ′′
x ′′′′ , t ′′′′ | x ′′′ , t ′′′
x ′′′ , t ′′′ | x ′′ , t ′′
x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ ,
(5.2
t ′′′ t ′′ t ′
e assim por diante. Se de algum modo adivinhássemos a forma de x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ para um intervalo de tempo infinitesimal (entre t ′ e t ′′ t ′ dt ), ), poderíamos obter a amplitude x ′′ , t ′′ | x ′ , t ′ para um intervalo de tempo finito compondo as amplitudes de transição apropriadas para intervalos de tempo infinitesimais de maneira análoga a (2.5.29). Este tipo de raciocínio levou a uma formulação independente da mecânica quântica devida a Feynman. Subintervalos infinitesimais.
Integrais Integra is de Caminh Caminho o como a Soma sobre Caminho Caminhos s Sem perda de generalidade vamos nos restringir a problemas unidimensionais. Vamos também substituir expressões incovenientes por outras mais simples. Por exemplo: N vezes
x ′′′′′′ → x N
Com esta notação, vamos considerar a amplitude de transição para uma partícula partícula indo do ponto espaço-tempor espaço-temporal al inicial x 1 , t 1 para o final x N , t N intervalo N . Vamos dividir o intervalo total entre t 1 e t N N em N − 1 partes iguais: Amplitude Amplitude de transição transição de x 1 , t 1 x N , t N N .
t j j
− t j j−1
Δt
t N N − t 1 N − 1
Explorando a propriedade da composição, obtemos P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
45
x N , t N N | x 1 , t 1
dx − dx − dx N 1
N 2
2
x N , t N N | x N −1 , t N N −1
x N −1 , t N N −1 | x N −2 , t N N −2 x 2 , t 2 | x 1 , t 1
que é igual ao propagador K x N , t N N ; x 1 , t 1 . Significado Significado das integrais. integrais.
A figura abaixo serve para visualizar graficamente o procedimento que será
descrito.
t x N , t N ) ( x
t N t N -1 -1 t r t 3 t 2 t 1
x1, t 1) ( x
x
Caminhos no plano x − t . Considere o plano espaço-tempo. Os estados inicial e final são pontos fixos neste plano: x 1 , t 1 e x N , t N N , respectivamente. Para cada segmento de tempo, digamos entre t n−1 e t n , devemos devemos considerar considerar a amplitude amplitude de transição para ir de x n−1 , t n−1 até x n , t n ; integra-se então sobre x 2 , x 3 , … , x N −1. Isto significa que devemos somar sobre todos os possíveis caminhos no plano espaço-tempo, mantendo-se fixos os pontos das extremidades. Caminhos na mecânica clássica
Suponha que se tenha uma partícula sujeita a um campo de força derivável de um potencial V x . A Lagrangeana clássica é escrita como Como aparecem? aparecem?
2 L clássica x, ẋ mv 2
− V x
Dada esta Lagrangeana, com os pontos das extremidades especificados, existe apenas corresponde ao movimento real da partícula. Exemplo.
um único caminho que
Dados V x mgx,
x 1 , t 1
h, 0 ,
x N , t N N
0,
2h g
onde h pode significar a altura da Torre Inclinada de Pisa, o caminho clássico no plano x − t pode ser apenas x h −
gt 2 . 2
De uma maneira geral, de acordo com o princípio de Hamilton, o caminho único é aquele que minimiza a ação, definida como a integral temporal da Lagrangeana:
C ít l 2
Di â i
t 2 t 1
(5.3
dt L clássica x, ẋ 0
Q â ti
46
do qual a equação de movimento de Lagrange pode ser obtida.
Formulação de Feynman Diferença entre clássica e quântica .
A difere diferença nça básic básicaa entre entre as mecâni mecânicas cas clás clássic sicaa e quân quântitica ca está está na associação de caminhos no plano x-t ao movimento da partícula.
Clássica: caminho único (definido). Quântica: todos os possíveis caminhos, mesmo aqueles que não têm nenhuma semelhança com os caminhos clássicos. Além disso, de algum modo deve reproduzir a mecânica clássica no limite → 0 de maneira suave.
Como fazer isto?
Observação de Dirac exp i
t 2
dt L clássica x, ẋ
t 1
“corresponde a”
x 2 , t 2 | x 1 , t 1 .
Postulados de Feynman Lembrando: x N , t N é a amplitude de probabilidade para a partícula, saindo de x 1 no instante t 1 , chegar a N | x 1 , t 1 x N no instante t N N . x N , t N é a soma de infinitas amplitudes parciais, uma para um cada dos caminho conectando x 1 , t 1 com N | x 1 , t 1
(1)
x N , t N N .
(2) A amplitude parcial x N , t N N | x 1 , t 1 SΓ
Γ
associada com um desses caminhos Γ é determinada da seguinte maneira: seja
a ação clássica calculada ao longo de Γ, isto é, SΓ
dt L clássica x, ẋ Γ
onde L clássica x, ẋ é a Lagrangeana clássica da partícula. Então x N , t N N | x 1 , t 1
Γ
exp iS Γ
Portanto, x N , t N N | x 1 , t 1
∑x
N , t N N
| x 1 , t 1
Γ
Γ
2.6
∑ exp Γ
iS Γ
Poten Po tencia ciais is e Tra Transf nsform ormaçõ ações es de Cal Calibr ibree
Potenciais Constantes A energia de ponto zero da energia potencial não tem significado físico em mecânica clássico. De fato, as variáveis dinâmicas, tais como xt e Lt não dependem do fato de usarmos V x ou V x V 0 com V 0 constante no espaço e tempo. A força que aparece na segunda lei de Newton depende apenas do gradiente do potencial; constantes aditivas são irrelevantes.
Mecânica clássica.
Mecânica quântica.
E na mecânica quântica tem alguma situação análoga?
Vamo Vamoss olha olharr para para a evol evoluçã uçãoo temp tempor oral al de um esta estado do ket na repr represe esent ntaç ação ão de Schrödinger sujeito a algum potecial. Seja
Evolução Evolução temporal. temporal.
|, t 0 ; t →
V x
̃ x V x V 0 |, t 0 ; t → V
P f Ab h
M
é C h
M â i
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A
47
com a condições iniciais tais que |, t 0 ; t →
ambos coincidem com | em t
| ,
t t 0
|, t 0 ; t → | ,
t t 0 .
t 0 .
De acordo com a teoria, t , t 0 |, t 0 |, t 0 ; t U
onde U t , t 0
exp−iH t − t 0 / .
Portanto,
|, t 0 ; t exp
2 −i p
|, t 0 ; t exp
−i
2m
p2 2m
t − t 0
V x
V x V 0
|
t − t 0
|
Portanto, podemos escrever |, t 0 ; t exp
−iV 0 t − t 0
|, t 0 ; t
̃ x Em outras palavras, palavras, o ket calculado calculado sob a influência influência do potencial potencial V
V x V 0 tem uma dependência temporal que
difere apenas pelo fator de fase exp−iV 0 t − t 0 / em relação àquele sob a influência do potencial V x .
Estados estacionários.
No caso de estados estacionários, −iE t − t 0
|, t 0 ; t
|, t 0 .
Então para o ket |, t 0 ; t , encontramos |, t 0 ; t exp
−iV 0 t − t 0
|, t 0 ; t exp
−i E V 0 t − t 0
|, t 0
̃ no lugar de V equivale à seguinte mudança: Em outras palavras, a dependência temporal calculada com V
E → E V 0 . Efeitos observáveis, tais como valores esperados de 〈x e 〈S sempre dependem da diferença de energias tal que não mudam por um fator de fase constante.
Este é o primeiro exemplo de uma classe de transformações conhecidas como transformações de calibre (ou de gauge ). ). A mudança na convenção para energia de ponto zero do potencial deve ser acompanhada por uma mudança no estado ket. Ou seja,
Transformaçõ Transformações es de calibre. calibre.
V x → V x V 0 |, t 0 ; t → exp
−iV 0 t − t 0
|, t 0 ; t
Em termos da função de onda isto implica em x ′ , t → exp
−iV 0 t − t 0
x ′ , t
Potenciais Espacialmente Uniformes Se o potencial V 0
C ít l 2
V 0 t varia com o tempo, então
Di â i
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48
|, t 0 ; t → exp
t
V 0 t ′
t 0
−i dt ′
|, t 0 ; t
Fisicamente o uso de V x V 0 t em lugar de V x significa que devemos escolher um novo ponto zero da escala de energia em cada instante de tempo. Embora a escolha da escala absoluta de potencial seja arbitrária, diferenças de potencial têm significado físico não trivial e pode ser detectado da seguinte maneira:
Diferença de potencial.
Veja a figura e, em seguida, a explicação da montagem.
Montagem.
V 2(t)
Região de interferência
ΔV = V2-V 1
V 1(t)
um feixe de partículas carregadas divide-se em 2 partes e cada uma delas entra num guia metálica (v. figura abaixo). pode-se aplicar uma ddp entre os dois guias através de uma bateria. cada partícula no feixe pode ser visualizada como um pacote de onda.
Experiência.
Considere a experiência relativa à figura acima.
Aplica-se uma ddp depois que os pacotes de onda (partículas carregadas) entrem nos guias e desliga-se antes que os pacotes deixem os guias. O potencial dentro dos guias é espacialmente uniforme: região metálica. Por isso, não há forças atuando sobre as partículas (o campo elétrico no interior do metal é nulo). Recombina-se as duas componentes do feixe numa região de interferência indicada na figura. Devido à existência do potencial, cada componente do feixe sofre uma mudança de fase indicada por (2.6.7), ou seja, exp
t
V 0 t ′
t 0
−i dt ′
|, t 0 ; t
Como Como result resultado ado disso, disso, existe um termo termo de interf interferê erênci nciaa observ observáve ávell na intens intensida idade de do feixe feixe na região região de interferência, isto é cos 1
− 2 ,
sen 1
− 2
onde 1
− 2
1
t f f t i
dt V 2 t − V 1 t
Portanto, embora a partícula não sofra a influência de uma força, existe um efeito observável que depende se a ddp V 2 t − V 1 t foi ou não aplicada.
Gravidade em Mecânica Quântica Efeitos gravitacionais em mecânica clássica.
Considere a equação de movimento clássica para um corpo em
queda livre P f Ab h
M
é C h
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49
mẍ
−m ∇ grav
−mgẑ → ẍ − gẑ .
Como a massa não aparece na equação, na ausência da resistência do ar, uma pena e uma pedra comportam-se da mesma maneira - de acordo com Galileo - sob a influência da gravidade.
Conclusão.
Agora vamos examinar o mesmo problema sob o ponto de vista da mecânica quântica. Neste caso, o análogo da equação de Newton é a equação de onda: Efeitos gravitacionais em mecânica quântica.
−
2
∇ 2 m grav
2m
i
∂ . ∂t
(6.11
Neste caso a massa não se cancela, mas aparece como combinação de problemas onde esperamos que m também apareça. Conclusão.
Teorema de Ehrenfest.
/ m,
tal que, nos
Partindo da equação de Schrödinger, podemos derivar o teorema de Ehrenfest: d 2 〈x dt 2
−gẑ .
Observe que nem nem m aparece na equação. Entretanto, para observarmos os efeitos gravitacionais através da mecânica quântica, devemos estudar efeitos nos quais (e, portanto, m) aparece explicitamente. Até 1975, a única evidência experimental que estabelecesse a presença do termo m grav foi observada na queda livre de partículas elementares; porém, a equação clássica do movimento (ou teorema de Ehrenfest, onde não aparece) é suficiente para explicá-lo. Queda Queda livre livre de partícu partículas las elemen elementar tares. es.
A força gravitacional é muito fraca para que seja facilmente observada. Comparada com a força elétrica, a força de Coulomb nas mesmas condições é maior por um fator 2 10 39 .
A força força gravita gravitacio cional nal é fraca. fraca.
Interferência quântica induzida por gravidade
Um feixe de partículas monoenergéticas (na prática, nêutrons termalizados em equilíbrio térmico com o meio) é dividido em duas partes no ponto A da trajatória e recomposto no ponto D (v. figura abaixo: interferômetro de nêutrons). Vale o conceito de trajetória clássica: tamanho do pacote de onda é muito muito menor menor do que as dimensõ dimensões es macroscó macroscópica picass do circuit circuitoo formad formadoo por dois dois caminho caminhoss alterna alternativo tivoss A → B → D e A → C → D. Interferômetro de nêutrons.
D B D
B
l2 A
l2 sen δ
δ C
l1
A
C
(b)
(a)
Considere que os caminhos A → B → D e A → C → D estão num plano horizontal. Uma vez que o zero absoluto do potencial devido à gravidade não é importante, podemos fazer V 0 para qualquer fenômeno que ocorra neste plano [Fig. (a)]. Experimento 1: Plano horizontal.
Girando o plano horizontal em torno do segmento BC por um ângulo , o potencial no nível BD é maior do que o do nível AC pela quantidade mgl 2 sen . Isto significa que o estado ket associado com o caminho BD “gira mais rápido”, levando a uma diferença de fase induzida pela gravidade Experimento 2: Plano inclinado.
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entre as amplitudes para os dois pacotes de onda que chegam em D. Pacote de onda chegando a D via ABD sofre uma mudança de fase exp
−im n gl 2 T sen
onde T é tempo gasto para o pacote ir de B a D (ou de A a C ) e m n é a massa do nêutron. Control Controlee da fase. fase. / p / m n v pacote ,
Pode-se controlar esta fase, girando o plano de 0 a /2, ou de 0 a − /2. Como ou v pacote / m n , então T l 1 / v pacote m n l 1 / , obtém-se a seguinte expressão para a
diferença de fase ABD
− ACD
−
m 2n gl 1 l 2 sen 2
.
Desta maneira, predizemos um efeito de interferência que depende do ângulo , que lembra as franjas de interferência no interferômetro de Michelson em óptica. Para 1,42 Å e l 1 l 2 10 cm 2 então m 2n gl 1 l 2 2
55,6
Logo, ABD
− ACD
−55,6sen .
Variando gradualmente o ângulo até 90º predizemos que a intensidade na região de interferência apresenta uma série de máximos e mínimos; quantitativamente seriam 55,6 ≃ 9 oscilações. 2
0
π
2
δ
Resultado experimental. Resultado experimental obtido por R. Colella, A. Overhauser and S. A. Werner. Phys Rev. Lett. 34, 1472 (1975).
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Colella, Overhauser and Werner - Phys. Rev. Lett. 34,
Transformações de Gauge em Eletromagnetismo Campos elétrico e magnéticos derivados de potenciais escalar e vetorial, x e Ax : E
B
− ∇ ,
∇
A
A Hamiltoniana clássica para uma partícula carregada com carga sujeita a um campo eletromagnético:
e (e 0
Hamiltoniana.
H
1 p − eA c 2m
2
para o elétron)
e
Em MQ, e A são funções do operador posição x da partícula partícula carregada. carregada. Como p e A não comutam, deve-se ter cuidado ao interpretar a Hamiltoniana. O procedimento mais seguro é escrever
Hamiltoniano.
p − ecA
2
→
e c
p2 −
pAAp
e c
2
A2.
Neste forma o Hamiltoniano é hermitiano.
Dinâmica da partícula carregada Representação de Heisenberg.
Cálculo da derivada temporal de x x i , H dx i dt i
Como H
1 p − eA c 2m
2
x i , H
onde usamos A, BC
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e,
então
xi, 1 2m 1 xi, 2m 1 x, i 2m 1 x, i 2m
p − ecA
2
p − ecA
2
p − ecA
p − ecA
p − ecA
A, B C B A, C .
e
x i , e
p − ecA
Como x i , A
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2 x i , 1 p − ecA 2m 1 x , p − eA p − i c 2m 1 p − eA x , p − i c 2m
eA c eA c
0 (A é uma função de x), então
52
x i , p − ecA
x i , p
xi,
∑ p ê
j j
j
∑ ê x , p ∑ ê i j
i
j
j
j
ij
iê i
j
Logo, x i , H
1 x, p− i 2m i ê p − i 2m eA i i m pi − c
eA c
eA c
p − ecA
1 p − eA c 2m
i p − eA c 2m
x i , p − ecA
êi
Portanto, i − eA c
i p i m
x i , H dx i dt i
i
p i − eA i / c m
que mostra que o operador p definido definido neste livro como sendo o gerador das translações, translações, não é o mesmo que md x / dt dt .
O momento p (gerador das rotações) é chamado de momento canônico para diferenciar do momento mecânico Momento canônico e momento mecânico.
≡ m d x
dt
p − ecA
Embora
Relações de comutação.
p i , p j
0
para o momento canônico, para o momento mecânico o comutador não se anula: i , j
Mas, como B encontramos
∇
A, B i
pi
− ec A i , p j − ec A j e c
p i , p j −
− ec p i , A j −
ijk ∂ j A A k ,
p i , A j − e c
e c
A i , p j
A i , p j
e c
2
A i , A j
− ec p i , A j A i , p j
onde ∂ j ≡ ∂ / ∂ x j . Usando Usando a repres represent entaçã açãoo do operad operador or
p i , A j A i , p j
→
p i , A j A i , p j
−i
pi
−i∂ / ∂ x i ,
∂ A j ∂ ∂ ∂ A i − i A i i A j i ∂ x i ∂ x i ∂ x j ∂ x j ∂ A ∂ ∂ ∂ −i j − i A j − i A i i A j ∂ x i ∂ x i ∂ x i ∂ x j ∂ A i i A ∂ i i ∂ x j ∂ x j ∂ A j ∂ A i −i − ∂ x i ∂ x j
Logo, p i , A j A i , p j
−i
∂ A j ∂ A i − ∂ x i ∂ x j
−i∇ A k −i ijk B k
Então P f Ab h
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i , j
− ec
− ec −i ijk B k
p i , A j A i , p j
ie c
ijk B k .
Usando o momento mecânico , podemos reescrever a Hamiltoniana
Reescrevendo a Hamiltoniana.
2 H e 2m
Agora sabemos que 2 m d 2x d F L dt dt
onde F L é força de Lorentz. Forç Forçaa F L
de Lore Lorent ntz: z: vers versão ão
e E 1 cvB
d x e E 1 c dt B ,
F L
Equação de movimento.
Vamos usar a versão quântica da força de Lorentz, ou seja
quân quânti tica ca..
d x B − B d x dt dt
e E 1 2c
Portanto, a equação de movimento da partícula carregada na presença de E e B
será 2 d e E 1 m d x 2 2c dt dt
d x B − B d x dt dt
que é o teorema de Ehrenfest escrito na representação de Heisenberg.
Equação de Schrödinger com e A Vamos estudar a equação de onda de Schrödinger na presença de por H |, t 0 ; t 〈x ′ | H
i
e A. Como vimos, esta equação é dada
∂ x ′ | , t 0 ; t . ∂t
Inicialmente vamos calcular 〈x ′ | H |, t 0 ; t , onde H
1 p − eA c 2m
2
e
Lembrando que 〈 x ′ | p |
encontramos para o primeiro termo de
−i ∇ ′ x ′ |
H
〈x ′ | p −
eAx c
〈x ′ | p −
eAx c
−i ∇ ′ − ′
−i ∇ −
eAx ′ c eAx ′ c
2
|, t 0 ; t
p−
eAx c
〈x ′ | p − ′
−i ∇ −
|, t 0 ; t
eAx c eAx ′ c
|, t 0 ; t
x ′ | , t 0 ; t
Combinando todos os termos, encontramos
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1 2m
eAx ′ c
−i ∇ ′ −
eAx ′ c
−i ∇ ′ −
ex ′ x ′ | , t 0 ; t i
x ′ | , t 0 ; t
∂ x ′ | , t 0 ; t ∂t
ou 1 2m
eAx ′ c
′
−i ∇ −
′
−i ∇ −
ex ′ x ′ , t i
eAx ′ c
x ′ , t
∂ x ′ , t ∂t
A partir da equação acima podemos obter a equação da continuidade da seguinte
Equação da continuidade.
maneira: Usando a notação ∇̃ ′
∇ ′
−
ieAx ′ , c
encontramos
1 ∗ 2m
′ −ĩ ∇
′
−ĩ ∇
1 ĩ ∇ ′ ∗ 2m
′∗
∗ ĩ ∇
e ∗ i ∗
e ∗ −i
∂ ∂t
∂ ∗ ∂t
Subtraindo as duas equações 1 ∗ 2m
−
′ −ĩ ∇
′
−ĩ ∇
1 ĩ ∇ ′∗ 2m
′ ∗ ∗ ĩ ∇
−
e ∗ − e ∗ i ∗
∂ ∗ i ∂t
∂ ∂t
ou i
∂ ∗ ∂t
∂ ∗ ∂t
−
2
2 ′ ̃ ∇ ′ ′∗ ̃ ∇ ′∗ ∗ ∗̃ ∇ ̃ ∇ 2m 2m
ou ainda
Como z − z ∗
2i Im z ,
i
′ ̃ ∇ ′ ∗̃ ∇
2m
′ ̃ ∇ ′ − ∗̃ ∇
∗
encontra-se ∂ ∗ ∂t
m
′ ̃ ∇ ′ Im ∗̃ ∇
0
Voltando às variáveis antigas obtém-se ′ ̃ ∇ ′ ∗ ∗̃ ∇
′
∇
− ieA c
′
∇
− ieA c
∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∗ ∇ ′ A − ie ∗ A ∇ ′ − c c
∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∗ ∇ ′ A − ie ∗ A ∇ ′ − ie ∗ A ∇ ′ c c c
−
e c
2
|A | 2 | |
e c
2
|A | 2 ∗
2
ou P f Ab h
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′ ̃ ∇ ′ ∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∇ ′ A ∗ − 2ie A ∗ ∇ ′ − ∗̃ ∇ c c
2 ∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∇ ′ A | | c
− 2ie A ∗ ∇ ′ −
2
e c
c
2
e c
|A | 2 | |
|A | 2 | |
2
2
Devemos observar que: ∗ ∇ ′ ∇ ′
′
∇
∗ ∇ ′ − ∇ ′ ∗ ∇ ′ ∗
∇ ′
∗ ∇ ′ − ∇ ′ ∇ ′
∇ ′
′ ∗ ∇ ′ − | ∇ ∇ |
2
Por outro lado, o termo ∗ ∇ ′ pode ser calculado, lembrando que ′
∇ ∗
Como ∗
| | constante, 2
então ∇ ′ ∗
0.
∗ ∇ ′ ∇ ′ ∗
Logo
∗ ∇ ′ ∇ ′ ∗ 0
e, portanto, ∗ ∇ ′ − ∇ ′ ∗
Mas, ∇ ′ ∗ ∗ ∇ ′
∗
Logo, ∗ ∇ ′ − ∇ ′ ∗ − ∗ ∇ ′
∗
Ora, quando z − z ∗ , isto significa que z é imaginário puro e, portanto, neste caso iz é um número real. Ou seja, ∗ ∇ ′ iV, onde V é um vetor real. Assim:
m
m
m
′ ̃ ∇ ′ Im ∗̃ ∇ 2 Im ∗ ∇ ′ ∇ ′ − ie ∇ ′ A | | c
Im
′
∇
m
∇ ′
Im
e c ′
∇
2
|A | 2 | |
m
|A | 2 | |
2
2
∗ ∇ ′ − ie ∇ ′ A | | 2 c
Im ∇ ′ ∗ ∇ ′
2
c
c
m
c
e c
2 ie ∇ ′ A | | 2 ′ ∗ ∇ ′ − | ∇ ∇ | −
− 2e A V −
− 2ie A ∗ ∇ ′ −
e ∇ ′ A | | 2 − mc e mc
Im ∗ ∇ ′ −
A| | 2
Finalmente, a expressão ∂ ∗ ∂t
pode ser reescrita como
′ ̃ ∇ ′ Im ∗̃ ∇
m
0
∗
∂ ∂t
∇ ′
j
0,
onde o fluxo de probabilidade é definido por C ít l 2
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j
e mc
Im ∗ ∇ ′ −
m
A | | 2
que é exatamente como se esperava da substituição ∇′ Função de onda como
ie
∇′ −
A.
c
Escrevendo a função de onda desta maneira, encontramos uma
expiS / .
̃′ → ∇
forma alternativa para j, ou seja, j
m m
exp−iS / ∇ expiS /
Im
m
i
Im ∇ S
e mc
−
∇ S
e mc
−
A
A
− ecA
(6.3
que é análoga a (2.4.20), isto é, j
∇ S m
Esta forma é mais conveniente para se discutir supercondutividade, quantização de fluxo etc. Valor esperado do momento mecânico .
(não do momento canônico) dividido por m.
A integral espacial de j dá o valor esperado do momento mecânico Ou seja
d x jx d x d x 3 ′
′
3 ′
m
1 m
3 ′
d x
1 m
〈p m
3 ′
e〈A
− mc
e mc
Im ∗ ∇ ′ −
Im i ∗ −i ∇ ′
〈p −eA / c
m
−
e mc
∗ −i ∇ ′ −
A | | 2 e mc
d x
3 ′
A | | 2 ∗A
〈 m
Transformações de Calibre no Eletromagnetismo Transformação:
→
, A → A.
Com estas transformações, onde
é uma constante, os campos estáticos
dados por E
− ∇ ,
B
∇
A,
permanecem inalterados. Esta transformação corresponde a uma mudança no ponto zero da escala de energia. Esta transformação é mais interessante. as transformações são casos especiais de
Transformação:
→
, A → A ∇ .
→ − 1 c
∂ , A ∂t
→
A ∇
B
∇
é uma função de x. Ambas
que deixam os campos, dependentes do tempo, dados por E
− ∇ − 1c ∂A , ∂t
A,
inalterados. Trataremos aqui de campos e pontenciais estáticos e as transformações de gauge referem-se a → , A → A ∇ .
Partícula carregada num campo magnético na direção z Resultado clássico
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Na física clássica, efeitos observáveis tais como a trajetória de uma partícula carregada é independente do gauge usado, isto é, da particular escolha de que resolvemos adotar. Demonstração.
Seja uma partícula carregada num campo magnético na direção z, B
Bẑ .
Este campo magnético pode ser obtido do potencial vetorial escrito na forma − By
A x
2
A y Bx , 2
,
(6.4
A z 0
ou também na forma A x − By,
A y 0,
(6.41
A z 0.
Esta forma é obtida daquela, através da transformação Bxy 2
A → A − ∇
.
De fato, ∇
Bxy 2
x̂ ∂
ŷ
∂ x
̂ x
By 2
∂ ∂ y
ẑ
Bxy 2
∂ ∂ z
Bx 2
ŷ
e, portanto, A x̂
− By
ŷ
2
Bx 2
− x̂
By 2
− ŷ Bx 2
By x̂ .
Agora, podemos mostrar que, independentemente do qual A nós usarmos, a trajetória da partícula carregada com um dado conjunto de condições iniciais, é a mesma; tem a forma helicoidal - isto é, um movimento circular quando projetado no plano xy, superposto com um movimento retilíneo uniforme. Embora a trajetória seja indepedente do qual A for usado (invariante por calibre), o mesmo não acontece com o momento canônico p. Por exemplo, vamos analisar p x e p y . No caso de usarmos A na forma da Eq. (2.6.41), isto é, O moment momento o p não é invari invariant antee por calibre calibre..
A
− By x̂
a Hamiltoniana clássica da partícula no campo magnético é dada por H
1 p − eA c 2m
2
1 p eBy x̂ c 2m
2
e a equação de movimento de Hamilton para o momento p x é dada por dp x dt
− ∂ H ∂ x
0
uma vez que H não depende de x. Assim, neste caso o momento p x é uma constante de movimento. Por outro lado, usando a forma (2.6.40), a Hamiltoniana torna-se H
1 p eBy x̂ − eBy ŷ 2m 2c 2c
2
e, portanto, dp x dt
− ∂ H ≠ 0 ∂ x
deixando de ser uma constante de movimento. Ao contrário do momento canônico, o momento mecânico , ou C ít l 2
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md x / dt dt ,
que define a trajetória da partícula é uma quantidade invariante por transformação de calibre.
Resultado Quântico
Podemos requerer que os valores esperados em mecânica quântica se comportem de maneira similar às correspondentes quantidades clássicas sob transformações de calibre. Assim, 〈x e 〈 não mudariam sob essas transformações, enquanto p sim.
Valores esperados.
Ket na presença de A.
Vamos denotar por
|
o estado ket na presença de A; o estado ket para a mesma
situação física, quando Ã
é usado no lugar de A é denotado por exigências básicas são
|̃ .
A ∇
Aqui tanto | x |
,
quanto A, é função do operador posição x. Nossas
̃ | x |̃
̃ | p − ecÃ
e | p − ecA
|
|̃ .
Além disso, vamos exigir, como de costume, que a norma do estado ket seja preservada:
Operador G .
̃ | ̃ .
|
Vamos definir o operador G que que relaciona |̃ e | . Ou seja: |̃ G |
A propriedade da invariância é garantida se: (6.4
G xG x
e G p − ecà G ≡ G p − ecA − e ∇ G p − ecA c
(6.4
O operador G que que fará tal tarefa é definido como iex c
G exp
Propriedades de G expie / c .
(1) É um operador unitário.
(6.4
.
Este operador tem as seguintes propriedades:
Isto implica que
|
̃ | ̃ ,
como se deseja.
(2) Comuta Comuta com qualqu qualquer er função função de x. Isto significa que G xG x, uma vez que podemos escrever G xG xG G x. A parte (b) da Eq (6.48) também pode ser demonstrada: G p − ecA − e ∇ G G pG − ecA − e ∇ c c
uma vez que os dois últimos termos do segundo membro são função de x. Mas, G pG exp −ie p exp ie c
c
exp
−ie c
p, exp ie c
p.
Usando (2.2.23b), ou seja p, Gx
−i ∇ G.
encontra-se P f Ab h
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G pG exp −ie c
−i ie
c
p, exp ie
−ie c
c
∇ exp
ie c
p
−i
−ie c
∇ exp
ie c
p
p
e ∇ p c
Portanto, G p − ecA − e ∇ G e ∇ c c
p − ecA − e ∇ c
p − ecA
como se queria. ★ Leia a demonstração alternativa feita diretamente sobre a equação de onda de Schrödinger .
Quando potenciais vetoriais em diferentes gauges são usados para a mesma situação física, os correspondentes estados kets (ou funções de onda) deve ser necessariamente diferentes. Porém, apenas uma pequena pequena mudança mudança é necessária: necessária: multiplicar o ket correspondente correspondente ao potencial potencial A por expie / c para obter o momento canônico canônico p depende do gauge no sentido de que ket corresponden correspondente te ao outro potencial A ∇ . O momento seu valor esperado depende do gauge particular escolhido, enquanto que o momento mecânico e o fluxo de probabilidade são invariantes por essas transformações. Resumo.
O Efeito Aharonov-Bohm Este efeito origina-se da presença de um potencial vetorial necessário para produzir campo magnético aplicado. Considere uma partícula de carga e complet completame amente nte confina confinada da numa numa casca casca cilíndrica, de paredes rígidas, de raio interno a e raio externo b (figura (a)). Neste caso, a função de onda deve se anular na parede interna a e na parede externa b , assim como no topo e na base do cilindro. Versão Versão de estado estado ligado ligado..
ρb
ρa L
(a)
(b)
1) Sem campo magnético
A solução deste problema requer as técnicas dos problemas de valores de contorno da física matemática. Por exemplo, para estados estacionários, devemos resolver a equação de onda de Schrödinger independente do tempo (em coordenadas cilíndricas):
Solução.
∇ 2 2mE 2
0
Em cordenadas cilíndricas , , z , tem-se C ít l 2
Di â i
Q â ti
60
∂ ∂ ∂ ∂
1
1 2
∂2 ∂ 2
∂2 ∂ z 2
2mE 0 2
Como neste problema se aplica a técnica de separação de variáveis, isto é, a função de onda pode ser escrita como o produto , , z R Z z , as condições de contorno, R a R b 0, Z L /2 0
podem ser facilmente aplicadas, resultando na obtenção do espectro de autovalores. 2) Com campo magnético confinado na região
a
Neste caso, a casca cilíndrica envolve uma região contendo um campo magnético uniforme, como mostrado na parte (b) da figura acima. Nenhum campo magnético penetra na região definida por a b onde a partícula está confinada. Intuitivamente, poderíamos conjecturar que o espectro de energia fosse o mesmo do caso anterior (sem campo), uma vez que a região onde o campo é aplicado torna-se inacessível para a partícula devido à presença de paredes rígidas. A MQ NOS DIZ QUE ESTA CONJECTURA NÃO É CORRETA.
Embora o campo magnético se anula na região onde a partícula está confinada, o potencial vetorial não é nulo nessa região! Então, por que essa conjectura não é verdadeira?
Cálculo Cálculo de A que produz B
Como B
Bẑ .
∇ A, podemos obter A através do fluxo, usando o teorema de
Stokes. Ou seja,
S
B n da
S
∇ A nda
A d l
C
Como o campo é uniforme e está confinado apenas no círculo de raio a , o fluxo é dado por
S
B n da
S a
Bẑ n da 2a B.
Por outro lado,
A d l
2 A
C
Igualando, obtém-se 2 A 2a B → A
B 2a 2
Em termos vetoriais, A
B 2a 2
̂
onde ̂ é um vetor unitário na direção azimutal (ver figura abaixo).
ρa
ρb Solução da equação de Schrödinger.
P f Ab h
M
é C h
A
campo magnético
ρ
Como vimos da definição definição de fluxo de probabilidad probabilidade, e, Eq. (2.6.32), (2.6.32), para M â i
Q â ti
A
61
resolver problemas a presença de um potencial vetorial basta substituir ∇
ie c
∇−
→
A.
Em coordenadas cilíndricas, isto equivale à seguinte substituição: ∇
→
 ̂
c
∂ ∂ ̂ ∂ ∂
̂
∂ ̂ 1 ∂ ẑ ∂ − ∂ ∂ ∂ 2 ie B a ̂ 1 ∂ ẑ ∂ − 1 ∂ 2 ∂ c B 2a ∂ 1 ie ̂ ̂ ∂ z ∂ − c 2 ∂ ie
∇−
ie
Â
c
Então, basta substituir ∂ ∂
∂ − ∂
→
B 2a 2
ie c
A equação de Schrödinger torna-se, neste caso, 1
∂ ∂ ∂ ∂
∂2 ∂ z 2
1 2
∂ − ∂
B 2a 2
ie c
∂ − ∂
ie c
B 2a 2
k 2 0
Ou seja, 1
∂ ∂ ∂ ∂
1 2
∂2 ∂ 2
∂2 ∂ z 2
2mE 2
−
e c
2
B 2a 2
2
0
ou 1
∂ ∂ ∂ ∂
1 2
∂2 ∂ 2
∂ 2 ∂ z 2
̃ 2mE 2
onde ̃ E
E −
2m
e c
2
B 2a 2
2
mostrando explicitamente que o espectro de energia é modificado em relação ao caso com
B 0. Este
resultado é muito marcante, uma vez que, embora a força magnética (Lorentz) sobre a partícula seja nula, o espectro de energia depende se o campo magnético está presente ou não na região oca, que é inacessível para a partícula .
Versão original.
A figura abaixo ilustra o efeito Aharonov-Bohm em sua versão original: um feixe de elétrons
se divide em duas partes e atravessa uma região desprovida de campo magnético, reencontrando-se na região de interfência.
C ít l 2
Di â i
Q â ti
62
Fluxo Magnético Eletron
Como a probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende do fluxo magnético?
Método das integrais de Feynman
cilindro impenetrável
região de fonte
C 1
A
B região de
B ≠ 0
interferência
C 2
B = 0
Na presença de campo magnético, obtém-se daquela em que o campo está ausente,
Lagrangeana e ação.
da seguinte maneira: sem campo Lagrangena
0 L clássica m 2
Ação
com campo
d x dt
2
S 0 n, n − 1
0 L clássica ec d x A dt t n e → S 0 n, n − 1 c dt d x A t n−1 dt
→
A integral e c
t n
dt
t n−1
d x A dt
e c
t n
A d s
t n−1
onde d s é o elemento diferencial de linha ao longo do segmento do caminho. De acordo com (2.5.47) e (2.5.49): x N , t N x 1 , t 1 N | x
x N
x 1
N
D xt
exp n2
i
Sn, n − 1
todos os D xt exp caminhos
i
S N , 1
Então, a amplitude de probabilidade na presença de campo é obtida daquela em que o campo está ausente, através da substituição
P f Ab h
M
é C h
M â i
Q â ti
A
63
N
exp i
N
S 0 n, n − 1
→
n2
S 0 n, n − 1
exp i
n2
x N
ie c
exp
A d s
x 1
Mas,
todos os D xt exp
S N , 1
i
caminhos
C 1
D xt exp i
C 2
→
D xt exp i
C 1
C 1
D xt exp i
C 2
S 0 N , 1
S 0 N , 1
D xt exp i
C 2
S 0 N , 1
S 0 N , 1
A d s
x 1
C 1 x N
ie c
exp
x N
ie c
S N , 1
abaixo. Logo, na presença do campo,
C 2 ,
D xt exp i
exp
D xt exp i
onde C 1 são todos os caminhos que passam acima do cilindro e teremos que fazer a seguinte substituição
S N , 1
A d s
x 1
C 2
A probabilidade de encontrar a partícula na região de interferência depende do quadrado do módulo da amplitude de transição total e, portanto, da diferença de fase entre a contribuição dos caminhos C 1 (acima) e C 2 (abaixo). Na presença de B, a diferença de fase é
Diferença de fase.
e c
x N
A d s
x 1
− C 1
e c
x N
A d s
x 1
e c
C 2
e
c
A d s cil
B
uma vez que (teorema de Stokes)
A d s ∇ A n d a S
C
B n da S
B
onde B é o fluxo do campo magnético dentro do clilindro impenetrável (ver figura acima). Isto significa que a probabilidade probabilidade de encontrar a partícula partícula na região região de interferênci interferênciaa depende da componente componente senoidal nessa probabilidade, com um período dado por uma unidade fundamenta de fluxo magnético, ou seja 2c 4,135 10 −7 |e |
Gauss-cm
2
.
Como no caso de estado ligado, aqui também a força magnética sobre a partícula é nula. Mesmo assim, o padrão de interferência depende da presença ou ausência do campo magnético. Em ambos os casos, os efeitos dependem apenas do fluxo de B, B. ★
Leia o restante da seção .
C ít l 2
Di â i
Q â ti
64
