Electromagnetismo Electromagnetismo - Estática Electricidad
Magnetismo ̄ = λ ̄v I : cantidad de carga que pasa por unidad l , I I d ̄ l de tiempo = dQ/dt [C/seg=Ampere] q ' ̄v = g ̄ dA , g ̄ = σ ̄v g : densidad superf. de corriente [ A/m A/m] ̄ dV ̄ = ρ ̄v J : densidad volumétrica [C/m3*m/s=A/m2] J dV , J [! "!esl#$=N/"C m/s$=N/A m ] 1 0 (q ̄v )×(r r ' ) ̄r − ̄r
{
{
λ densidad lineal de carga [ C/m] r ' ) dl ' λ (̄r σ densidad densidad superficial de carga [ C/m2] dQ ' = σ (̄r r ' ) dS ' ρ densidad volumétrica de carga [C/m3] r̄ ' ) dV ' ρ ( r r −̄r r ' ) r − r q (̄r ̄r ' ) [ N/C=V/m ̄ (̄r ̄ (̄r r )= 1 ∫ dQ ' (̄r r )= E N/C=V/m] B ̄ (̄r r )= )= Campo E 3 3 Gauss= 104 ! 3 4π ε 0 ∥̄r 4π ε 0 ∥r 4π ∥̄r r − ̄r r ' ∥ r ' ∥ ̄r − ̄r r −̄r r ' ∥ ̄ l ' )× R ̄ ̄ ̄ ' ̄ R ̄ (̄r r )= % e ∫ λ (̄r r ' ) dl3 ' ̄ R ̄ (̄r r )= % e ∭ ρ (r ̄r ' ) dV ̄ (r ̄r )=% m∫ ( d l ̄ (r ̄r )=% m∭ ( J dV ' 3)× R E E B B 3 3 & & & & C V C V Campo en 1 ̄ R ( ) r r ' σ dS ' g R dS ' ( )× ) × ̄ Distrib. E ̄ % e = ̄ (̄r r )= % e∬ ̄ (r ̄r )=% m∬ ̄ 3 % m= 0 B 3 4π ε continuas 4π 0 & & S S ̄ =̄r ̄∥ r: vector donde eval"o el campo r': vector de fuente de campo# so$re el cual integro R r −̄r r ' , &=∥ R
Elemento Fuente
Forma Integral
E conser!ati!o
"otencial Fuer#a "oisson
̄ ⋅ E ̄ = ρ ∇ ε0 ̄ E ̄ =0 ∇×
Q e()
∯ E ̄⋅̄d d S S = ε ∮ E ̄⋅d ̄l =0
Gauss
Leyes (estática)
Forma Diferencial
∫ E ̄⋅d ̄ l l = ΔQ+
V * −V A =−
*
0
V ( r ̄r )=% e
A
∫ dQr '
̄ =−∇ E =−∇ V
!ra$a'o = (uer)a * +ist. %otencial = !ra$a'o ,&arga = &o * +ist. ̄ =Q̄ E =−Q ∇ V ( ̄r ( ̄r F r )=−∇ )=−∇ r ) ∇ V =− ρ / ε0
mpere monopolo
Form a Integral
Forma Diferencial
∮ B̄⋅d ̄ l l = 0 I e() S = 0 ∯ B̄⋅̄d d S
̄ B ̄ = 0 J ̄ ∇×
̄
J ( ̄r r ' ) dV ' ∭ & V
̄ (r ̄r )=% m A
̄ ⋅ B ̄ =0 ∇ %otencial vectorial con gauge de &oulom$
̄ =̄∇ ̄ B ̄ ∇ × A
̄ = I d ̄ l ̄ F l × B
̄ = q ̄v × B ̄ F -
̄ =− 0 J ̄ ( ∇ A -=− 0 . - - , ∇ - A =− 0 . , ∇ - A 0=− 0 . 0 0 ) ∇ A -
E$pansi%n Multipolar y Momentos Electricidad Magnetismo 1-p#(s( del pte()#l V C#mp E de del dpl 1-p#(s( del pte()#l A C#mp B del dpl E$pansi%n r ) ̄r r m× r r ̄ r m r r ̄ + 3 ( p ̄ ⋅̄r ̄ (m ̄⋅r ̄r ) r ̄r ̄⋅̄r ̄r̄ Q ̄r ̄ ( r ̄ (̄r ̄ ( r E r )≈ )≈ % e − p A B r )≈ )≈ % e Q + p ̄r )≈ % m ̄ 3 ̄ +⋯ Multipolar V ( ̄r ̄r )= % m − 3 + 3 3 3 + +⋯ r r - r r r r r r Monopolo Q4 carga total Monopolo /o e*iste monopolo magnético 1 1 2 ̄ d5 ̄d dir de - & 2̄ p=∭V ̄ r ' ρ ( r ̄r ' ) dV ' [C m ] p m l l ' d ̄ m= - ̄r r × J ' ×d ̄ d5 Dipolo ̄ = I S n= I ̄ S m ̄ = - I ∮C ̄ r ' ̄ = q d Momentos Dipolo S4 6re# del dpl7 n Nrm#l # l# )rre(te )( m#( ̄ / Q , 9 =∭ ρ ( ̄r r ' ) ( 3 - ' - 9 ' −r ' : 9 ) dV ' [C m2 ] Q 2
[
Cuadrup
̄ 1 <93=0 Fuer#as Dip F
]
[
dere)8#7 m e( [A m ]
V
-i#'! -, 07 "i# 4 delt# de ;r(e)%er7 ̄ 1 5#r =∇ ( p ̄ ) ̄$ ̄ =− p ̄ F F ̄p⋅ E $ = p ̄p× E ̄p⋅ E
]
̄ <9 =0 F ̄ 5#r =∇ ( m ̄ ) ̄$ ̄ F $ = m ̄ ⋅ B ̄ × B
̄ =−m ̄ ⋅ B
Electromagnetismo Electromagnetismo en Medios Materiales Electricidad
̄ = ε E ̄ + % ̄ +espla)amiento D Campos ̄ E ̄ × D ̄ % ̄ =0 ̄ = ∇× ̄ ∇× ∇ ̄ ̄ = ρ0 ∯ D ρ + ρ ̄ ⋅̄d S = Q e() d S Leyes en ∇ ̄ ⋅ E S ̄ = > ∇⋅ D Medios ε0 Ley de Gauss en medios elct. rotor 5 0 0
Fuentes
Magnetismo
̄ = B ̄ / 0−̄ M ntensidad agnética & M ̄ B ̄ × & ̄ = 0 (̄ J + J ̄ ? ) ∇× ̄ =̄ J ̄ ⋅d ̄ l J = 3 ∮C & l =∬S J ̄ =⋅̄d d S ∇ ̄ ⋅ B ̄ =0 Ley de mpere en medios magnticos pero ∇ ̄ ⋅ & ̄ M ̄ =− ∇⋅ ̄ = ρ ? divergencia 5 02 ∇ 6i J ? =0# =0# 7mpere en 6i ρ ? =0# =0# 7mpere en *
̄ , , % ̄ ×n ̄ , g ̄ J ̄ ? , g ̄ ? &' J ̄ , g , σ > E' ρ , σ , ρ > ,σ D' ρ , σ ,̄∇ B' J M' J ̄ ? , g ̄ ? − ρ ? ,− σ ? ̄ ∇ × % ̄ ρ ? , σ ? J ? 28 g ? 2 de 28 superficial g Densidades volumétrica J ̄ ,̄ D ×n . J ̄ ? =̄ ∇ ×̄ M %' ρ > ,σ , σ > ,̄∇ ̄ ∇ × D corriente de magneti#aci%n J g . 8 densidades de ×n ̄ % ρ > 2 8 superficial g ̄ ? =̄ M ̄ Densidades volumétrica ρ ρ > =− ∇⋅ corriente li$res. n separa los medios. σ > 2 de carga de polari#aci%n . ρ 8 σ dens. ̄ ⋅n σ > = % ̄ M ρ ? 2 8 superficial σ ? 2 de carga ̄ Densidades volumétrica ρ ρ ? =− ∇⋅ de cargas li$res. n separa medios. . (uncionan como cargas magnéticas# en pares magntica ⋅n σ ? =̄ M σ ? polos /orte 8 6ur2. n separa los medios. ̄ = @ p ̄ = @ m % M ̄ / @ 5 es la polari#aci%n del medio momento ̄ / @5 es la magneti#aci%n del medio momento magnético por
+eor,a dipolar por unidad de volumen2 Macros ρ > (̄r r ' ) c%pica 〈 V ( r dV ' + ̄r ) 〉= % e
[
∭ ∥̄r r −̄r r ' ∥ V
σ ( r r ' )
]
dA ' ∯ ∥r ̄r > −̄r ̄r ' ∥ dA' S
%otencial eléctrico
unidad de volumen2
[ [∭
̄ (r ̄r )〉= % m 〈 A
J ̄ ( r r )
] ]
dA ' ∭ ∥̄r r ? −r ̄r̄ ' ∥ dV ' +∯ ∥̄r r̄ ? −̄r r̄ ' ∥ dA' V
g ( r r )
S
%otencial magnético vectorial
ρ ? (r ̄r ) σ (r ̄r ) dV ' +∯ ? dA' dA ' %otencial magnético escalar r r − r r r −̄r r ' ∥ ̄r ' ∥ V ∥̄ S ∥̄ ̄ ̄ = B ̄ / 01 %ermea$ilidad magnética : constante dieléctrica# 9 1 ̄ = m̄ & & M En ̄ = ē E D = ε̄ E / % / m: 6ucepti$ilidad mag.. B#m#g(t)s 0# e: sucepti$ilidad dieléctrica − 0 = % m Medios =ε − ε ε = % e ε 1le)trete >#r#m#g(t)s E e-t % 5 0 8 puede m = : &on = 0: ;0# Derrm#g(t)s ;;0 e-t =0: e 0 % e =1 + e % m= 1 + m L* 0 ̄ × % ̄ =∇ ̄ ∃ D 5 0. ∇̄ × D m: %ermea$ilidad relativa. V ? (̄r r )=% m
0
C. Cont.
̄2∥=̄ E 3∥ E
0
̄ 2 ⊥ =̄ D 3⊥ D
̄2 ⊥ =̄ B 3⊥ B
̄2 ∥= & ̄ 3∥ &
Conductores deales E = D= % = E o V =cte. !oda la carga en las superficies.
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
!A - FC"# - P$gina 1
Corrientes ̄ J ⋅n dS . %or conservaci>n de cargas# corriente ingresando en superficie cerrada 6: I =−∯S J ̄⋅n dS =−∭V ∇⋅ ̄ dV . /ormal ?acia I =∬S ̄ J dQ d ∂ ρ ̄ ) dV =0 ⇒ afuera de 6# positivo si entra carga en 6. I = = ∭ ρ (̄r ' ) dV ⇒ ∭ ( +̄ ∇⋅ J ∂ dq dt V t 5 J ̄ =0 Ley de 45m Microsc%pica 1 J ̄ = σ ̄ E . σ : conducti$ilidad en [F m]2# ρ = 1, σ resistividad. Ecuaci%n de Continuidad1 ∂ ρ +̄∇⋅ ∂ t
S = .S = σ1S ⇒ I = .S / l @V . @lamo .S/l = & la resistencia ̄⋅d ̄ l = 1 l . %ero I =∬S J ̄⋅̄d
nducci%n ̄ d ̄ S Flu6o Magntico: H =∬ B ̄ ⋅̄d S unidades: Be$er# [1 B$ = 1 !.m-]2. Ley de Faraday: ε =− dH . ε =∮ E dt
Ley de Len#: @a direcci>n de la corriente inducida produce un campo magnético que se opone al cam$io en el flu'o magnético que genera esa corriente 2-+efino n para la superficie. 3Ceo signo de D. 7Ceo signo de dD,dt# si ;0# E0 8 viceversa. 8+irecci>n de la corriente para E;0 con ̄ × E ̄ =−∂̄ B regla mano derec?a pulgar apuntando en n # al revés para E02. ∇ ∂ t
utoinductancia.
dI para un circuito fi'o ε =− = dt dI dt dt dH ∂H dI ε 1-=− 1- ? 1-= 1- ε 1-=− ? 1- - H1-= 1 B̄-⋅d ̄S 1 . H2 es el flu'o del campo magnético del o$'eto - so$re el Frea ∂ I dt dt
= =
nductancia Mutua.
dH dI
# queda ε =− dH =− dH dI ⇒
∬
del o$'eto 1. ε2 es la emf asociada al cam$io de este flu'o con el tiempo. ? 2 = ? 2 = ?7 ε 1=− 1
dI 1 dI dI dI − ? - # ε - =− ? 1 − - dt dt dt dt
Circuitos 9olta6e :eact. (;) mped. (;) mplit. Fase J t<= t<> Comple6os Aesistencia V=I& & K &=& I &E=V E /& I en fase con V4 VL, IL ̄ = #+ M i =∣ K ̄∣e i K ̄∣= # - + M - , =tan −1 ( M / # ) ∣ K &apacitor V=Q/C OC =/PC KC = i /"PC$ I CE=V E /K C I delante de V 0H: C# R i r e = r (cos + i sin ) nductor V= dI/dt O =P K = i P I E=V E /K I atrFs de V 0H: C# I :esistencia1
0 l
nductancia:
l
0 l
l
&a$le: = = &ilindro ?ueco: = = (ln (- l / r )−1 ) , l ! r &a$les paralelos: = 0 ln ( d / r ) , l ! d ! r &oa*il: = 0 ln ( M / #) -π T Kπ -π [r radio del cilindro , ca$le# d dist. entre ca$les# # 8 M radios coa*il]
= 0 corriente que entra al nodo = a la que sale2. -)e* de Malla,7n C2 = 0. %ara sumar eli'o una +ir para cada I # 8 una +ir de Giro en la malla.
trar I s con Qirc?off circuito a$. en 7 8 P para I s2. 7-
Corriente lterna. R3gimen tran,itorio1 (er orden 4Circ R)5 : -" +( 1 / U ) - =M , - 8 ( t )= % e−t / U , - p (t )=MU , - (t )= - 8 + - p= % e−t / U +MU 7ntioscilador MWPE 6o$reamortiguado -8"t$=e Mt " A e t et $ t -# + -$ " - + P0 -= D ( t ) , -8 (t )= A e + * e MXPE 6u$amortiguado -8"t$=e Mt " A e i Pt e i P $= A e Mt )s "Pt E $ -# −P0- -= D (t ) Mt M=PE 7mortig. &rJtico -8"t$=e " A t $ λ 1#-=−M $ M − P0 , P= P0 −M -8"t$=Ae PEt e PEt i PEt i PEt Rsc. 7rm>nico M=E -8"t$=A e e = A )s "PEt E $ i Pt R3gimen e,tacionario1 Ley de 45m de Fasores1 ̄ ̄ I ̄ . V"t$= V E )s"Pt$7 V"t$=V E e 7 I"t$= I E )s"Pt J$7 I"t$=I E e i4 PtJ$7 ∣ K ∣=V e< / I e< ε = K En Aerie: I"t$ igual para todos los elementos# V"t$ desfasado. +i$u'ar (asores de C. En paralelo: I"t$ desfasada# V"t$ igual. +i$u'ar (asores de . -do 6rden 4Circ R)C5
λ 1 t
%
λ - t
"otencia entregada $ @uente : %4t $=I"t$V"t$7 〈 > 〉= I 0 V 0 cos ( J)= V 0 cos ( J K )= I rms V rms cos ( J)= I -rms & 7J4 fase de Keq, )s"J$4(actor de %otencia# ! ∣ -∣̄ K !
V - N - I 1 = = , ? 2= 2 , > (=I V => Zt =I 2V 27 V 1 N 1 I -
V rms= V E / Y27 7ran,formador Ideal 4
Energ,a Electricidad Distribuciones Discretas Continuas
=
=
& 9
1 ρ ( r ' ) V ( r ' ) dV ' ̄ ̄ -∭ V ' =
En medios Densidad
1 -
Z 1 =
ε0 -
-
1
Magnetismo
% q ' q 9 V 9 , )3(V 9 = e ∣r̄ i −r ̄ # ∣
1
=
ε0
=
∭∣̄ E ∣ dV - '
=
-
1 -
& I H , 9
&
)3( dH 9 =
9
1 ∮ d ̄ l 9⋅ Ā -& 9 C
∭ E ̄⋅ D̄ dV
=
dH 9 dI
-
Z * =
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
* - 0
1 -
& ?
dI =
=
9
- '
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
9
9
dI
1 - 0
̄ ∣ dV ∣ B ∭ ' -
̄⋅ & ̄ dV B ∭ '
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E6emplos de Campos Electricidad Carga "untual Es@era carga un. L,nea de carga > "lano > nillo uni@orme
̄ = % e q- ̂r E r Q
̄ = % e E ̄= E
V =% e Q
̂r
r -
(
1
−
r
1
)
r re< )M=S
Q , r & r & re< λ ) ln ( V = -π ε 0 r V =% e
1 λ r -π ε0 r ̂
Cable @inito
q: carga# r : distancia. V =0 en M
7dentro E =0. Q: &arga total. 6imilar a esf. conductora r : distancia a la lJnea. V =0 en r = &re<
Cable >
0 g
̄ =$ "lano > B
1 σ n̂ V =V 0 − σ ∣ 0 ∣ C=C0 en )=0 - ε0 - ε0 ̄ = % e - Q 0 - 3/ -̂ 8 V =% e -Q - E medido en e'e )7 &: E ( 0 + & ) ( 0 + & ) radio. V =0 en M)M=S 1−
0
∣ 0 ∣ 8 ̂ V = σ ∣ 0 ∣ - ε0 & + 0 -
-
1+
%lano en *8# g en direcci>n *O -
0
0
-
0
-
E medido en e'e ). 1 − 0 V =0 M)M=S
&
* ̂ , 0 0
*
-
Aolenoide B ̄ = ( I ̂ 8 = = ( A l 6olenoide en *8# I en direcci>n *O# ( = N/ l densidad de espiras2 > & I Espira B B en e'e de la espira.
̄ =$ E
Disco E ̄ =$ σ -ε uni@orme
Magnetismo r distancia al ca$le# 8 2 Fngulos su$tendidos en r por los e*tremos r distancia al ca$le. &a$le en direcci>n ).
̄ =% m I (sin [ -− sin [ 1) 9 B r 0 I ̂ ̄= B 9 - T r
-
- 3 -
Constantes Constantes Constante elctrica % e=K.KK×10 N m- = 1 4π ε 0 C
"ermiti!. el. !ac,o Coulomb Constante magntica "ermeab. mg. !ac,o 9elocidad de la lu# 1K 1 ! ⋅m m −U ! ⋅m N = - 0 =4π×10−U ≈3×10 )= ε 0 =K.K×10−1- C - 1&=T.-× 10 e 0 =4π×10 A A seg A N m e=carga electr>n ε 3 K
0
pdice Matemática +ipos de ntegrales Aimple
De @unci%n escalar < ( ̄r ) ntegral simple
̄ (̄r ) De campo !ectorial F ntegral simple sobre un campo
∫ < ( t ) dt =%
+∫ D - ( t ) dt ̂ * +∫ D 3 (t ) dt 8 ̂ = ̄r ∫ F ̄ ( t ) dt =∫ D 1 ( t ) dt ̂ : Circulaci%n de un campo B 9ector dot dl < escalar
ntegral de l,nea M
M
∫C < ( ̄r ) dl =∫# < ( ̄; (t )) ∥;̄ ' ( t )∥dt = %
Cur!a
∫C F ̄ (̄r )⋅d ̄ l =∫# F ̄ (̄; ( t ))⋅ ̄; ' ( t ) dt =∫C D - d- + D d + D 0 d0 =%
\ ( t ) : [ # ,M ], 3 parametri)aci>n regular de &
9ector por dl < 9ector
6i < ( ̄r )-0 se puede interpretar como el VFrea de una vallaW
∫C F ̄ (̄r ) dl =∫ D (̄r ) dl : ̂ +∫ D (̄r ) dl *̂ +∫ D (̄r ) dl 8 ̂ =̄r 1
C
ntegral doble de área
Doble
∬
∬
-
C
C
3
ntegral doble sobre un campo
̄ F ( - , ) dA=
D 1 ( - , ) d-d : + B D - ( - , ) d-d *= ̄r ntegral de super@icie Flu6o de un Campo B 9ector dot dA < escalar ∬S < ( ̄r ) dS =∬ B < ( 7 ̄ (Z , 5 ))∥7 ̄ Z×7̄ 5∥dZd5 =% ∬S ̄ F ⋅̄d S =∬S F ̄ (̄r )⋅n dS =∬ D ( dA= % Auper@icie ntegral de super@icie sobre un campo - !ector por d6 ∬S ̄ F ( r̄ ) dS =∬S D 1 (̄r ) dS : ̂ +∬S D - (̄r ) dS ̂ * +∬S D 3 ( r̄ ) dS 8 ̂ =̄r B
9olumen
< ( - , / ) dA=
B
< ( - , / ) d-d/ = %
B
<'emplo: &o eléctrico de una superficie ntegral de !olumen sobre un campo
ntegral triple de !olumen V
< ( ̄r ) dV =
V
B
< ( - , , 0 ) d-dd0 = %
V
∭ D (̄r ) dV : ̂ +∭ D (̄r ) dV *̂ +∭ D ( ̄r ) dV 8 ̂ =̄r
̄ (̄r ) dt = F
1
V
V
-
V
+eoremas de Cálculo 9ectorial Cambio de 9ariable: 7 : , - , - in8ec. 8 C 1 7 B X., - acotado 8 < : B= ! ( BX) , integra$le. 6i + 7 inversi$le en BX ⇒ ∫ B < =∫ B X ( < t )∣det (+ 7 )∣ . <'. polares# D cJrculo r =A# D r * 4 [0#A] * [0#-π]# 7 "r,$=-=r )s , =r s( ^ Atoes
Green (o Atoes en áreas de , - )
̄ F ̄ )⋅< dA ∮∂ B=C F ̄⋅d ̄ l =∬ B ( ∇×
D*
3
T
D
f T ◦
f
,
Gauss
∬S ( ∇̄ ×F ̄ )⋅d ̄ S =∮∂ S =C F ̄⋅d ̄ l
∭
V
̄ ) dV =∯∂ V = S F ̄ ⋅n dS (̄ ∇⋅F
@a integral del rotor de un campo en un Frea de , es n del campo so$re la frontera flu'o del campo so$re la superficie que envuelve al vol. igual a la circulaci>n del campo so$re el $orde -
E$pansi%n inomial1 (1 $ ε )(01$( ε +1 ( ε 21) . E6.1
1
r + = -
-
=
1
r (1+ = / r ) -
-
-
=1
r
( ) ( 1+
=
-
−1 / -
-
01
r
r
1−
1 = -
-
-
r
)
=1 − = r
3
- r
-
( = 2 r ,ε = = ) -
r
ntegrales :ele!antes
∮
C
d ̄ l =0
r̄ × d ̄ l = - A ∮C ̄r⋅ d ̄ l =0 A4∮C Yrea encerrada2
̄
C '
"roductos Escalar y 9ectorial ̄⋅ B ̄ = A - - + A + A 0+ 0 =∣ A∣∣ ∣cos A
̄
̄
̄r −̄r ' ) = ∇ ̄ ×∮ d l ' ∮ d ∣l ̄r' ⋅ −( ̄r̄r − ' ∣̄r3 ' ) = 0 ∮ d l ∣' ̄r×( 3 ∣̄r −̄r ' ∣ −̄r ' ∣ C '
∣
: ̄ × B ̄ = A A
*
∣
8
̄ =∣ A∣∣ ∣sin e , ̄ × A A A 0 =− B - 0
C '
̄
̄
̄r −̄r ' ) dV ' = ∇× ̄ ∭ A dV ' ∭ A∣×( 3 ∣̄r −̄r ' ∣ ̄r − ̄r ' ∣ V '
V '
̄ , B ̄) e ⊥( A
Aegla de la mano derec?a: %ulgar A# Zndice B# del edio A * B Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
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dentidades y 4peraciones Aimples Con Gradiente
∇ ( < g )= g ∇ < + < ∇ g
̄ ) A ̄ ) B ̄ A ̄ B ̄⋅ B ̄ )=( B ̄⋅∇ ̄ +( A ̄⋅∇ ̄ + B ̄ ×( ∇× ̄ )+ A ̄ ×( ∇× ̄) ∇ ( A
̄ < A ̄ A ̄ )=(∇ < )⋅ A ̄ + < ( ∇⋅ ̄) ∇⋅(
̄ A ̄ × A ̄ × B ̄ ∇ ̄ × < )=0 ̄ × B ̄ )= B ̄ ⋅( ∇ ̄ )− A ̄⋅( ∇ ̄ ) ∇⋅( ∇⋅(
̄ A ̄ × A B ̄ + B ̄ )= ∇ ̄ +̄∇× ̄ ∇×(
̄ ×( < A ̄ A ̄ )=(∇ < )× A ̄ + < ( ∇× ̄) ∇
̄ ×( ∇× ̄ A ̄ A ̄ )=∇( ∇⋅ ̄ )−∇ - A ̄ ∇
̄ ×( B ̄ ×C ̄ )= B ̄ ( A ̄⋅C ̄ )−C ̄ ( A ̄⋅ B ̄) A
̄ × B ̄ )× C ̄ = B ̄ ( A ̄⋅C ̄ )− A ̄ ( B ̄ ⋅C ̄) ( A
̄ A ̄ ) B ̄ A ̄ B ̄ × B ̄ )=( B ̄⋅∇) ̄ −( A ̄⋅∇ ̄ − B ̄ ( ∇⋅ ̄ )+ A ̄ ( ∇⋅ ̄) ∇ ×( A
∇ ( < + g )=∇ < +∇ g
̄ A ̄ A B ̄ + B ̄ )=∇⋅ ̄ +̄∇⋅ ̄ Con Di!ergencia ∇⋅(
Con :otor
̄ ∇×(∇ < )= 0
Con Laplaciano ∇ - ( < g )= g ∇ - < + < ∇ - g + - (∇ < ⋅∇ g ) ∇ r =r = ̄
1 r ̄r ∇ r (=( r (−1 r =( r (−- ̄r ∇ r =− =− r r
̄⋅r̄ )= A ̄ ∇ ( A
̄ ̄r / r 3=0 ∇⋅
r r
4peraciones Aimples
-
3
1 r r ∇ =−- =−-̄
∇ ( =−(
̄ ̄r = 0 ∇×
∇ - (1 / r )=−4π : ( ̄r )
-
3
r
̄ r̄ =3 ∇⋅
1
4
r
r
r
r (+ 1
r
r =−( (̄+ , ( 0 -
r
Coordenadas Cartesianas ( : , * , 8 ) ̄ = D - : + D / * + D 0 8 F
9ectores
&art.: : × * = 8 * × 8 = : 8 × : = * Coord &ilJndricas: /otaci>n altern: ρ, o , 02 r × 9 = 8 9 × 8 = r 8 ×r = 9
n alter.: r, , o J$
radial# cenital# a)imutal2 9ersores r × 9 = 8 9 × 8 = r 8 ×r = 9
Es@ricas ( r , = , 9 ) J )e(t#l, #0mZt#l ̄ = D r r + D J = + D [ 9 F
"olares Cil,ndricas ( r , 9 , 8 ) ̄ = D r r + D 9 + D 0 8 F
r = -- + - : [ 0# +' ) = tan −1 ( / -) : [ 0#- T ] 0 = 0 (−' ,+' )
- =r cos ([ ) /= r sin ( [ ) 0 = 0
r = - + / + 0 : [ 0# +' ) −1 J= cos ( 0 / r ) : [ 0# T ] −1 [ = tan ( / / -) : [ 0#- T ] -
-
-
- =r cos ( ) sin ( J ) = r sin ( ) sin ( J) 0 =r cos ( J)
r =sin J cos [ : + sin J sin [ * + cos J 8
r = - / r : + / r * : =cos [ r − sin [ 9 ==cos J cos [ : + cos J sin [ * −sin J 8 9 =−sin [ : + cos [ * 9 =− / r : + - / r * * =sin [ r + cos [ 9 : =sin J cos r + cos J cos =−sin 9 8 = 8 8 = 8 *=sin J sin r + cos J sin = + cos 9 8 =cos J r −sin J =
1
acob.
d ̄ l d- : + d * + d0 8 d ̄ S d/d0 ̂ : d-d0 ̂ * d-d/ 8 ̂ dV d- d d0 ∂ : + ∂ * + ∂ 8 ̄ < ∇ ̄ F ̄ ∇⋅ ̄ F ̄ ∇×
̄ F ̄ ∇× Det.
(
∂ ∂ / ∂ 0 ∂ D - ∂ D / ∂ D 0 + + ∂ - ∂ / ∂ 0 ∂ D 0 ∂ D / ∂ D - ∂ D 0 : + * + − − ∂ / ∂ 0 ∂ 0 ∂ ∂ D / ∂ D 8 + − ∂ - ∂ /
(
∣
:
(
*
)
8
∂ ∂ ∂ ∂ - ∂ ∂ 0 D - D D 0
r dr r + r d 9 + d0 8 r d[ d0 ̂r rdrd 8 ̂ drd0̂ 9 r dr d[ d0
(
∂ r + 1 ∂ 9 + ∂ 8 ∂ r r ∂ [ ∂ 0 ∂ D 1 ∂ ( r D r )+ [ + ∂ ( r D 0 ) ∂ [ ∂ 0 r ∂ r ∂ D r ∂ D 0 1 ∂ D 0 ∂ D [ r + 9 + − − ∂ 0 ∂ 0 ∂ r r ∂ [ 1 ∂( rD [ ) ∂ D r 8 + − ∂ r ∂ [ r
[
(
(
∣
∣
]
)
-
8
D r r D [
D 0
1 ∂ ( r - D )+ 1 ∂ ( sin J D )+ 1 ∂ D r J r sin J ∂ J r sin J ∂ r - ∂ r 1 ∂ (sin J D )− ∂ D J r + ∂ r sin J ∂ J 1 1 ∂ D r − ∂ ( r D ) =+ 1 ∂ ( r D )− ∂ D r + r sin J ∂ ∂ r r ∂ r J ∂ J
[
[
r " , r#
r " = r " r + r [ " 9 + 0 " 8 r # =( r# −r [ " ) r +( - r" [" + r [# ) 9 + 0 # 8
∇ - <
∂ - < + ∂ - < + ∂- < ∂ - - ∂ - ∂ 0 -
1 ∂ < + ∂ - < + 1 ∂ - < + ∂ - < r ∂ r ∂ r - r - ∂ - ∂ 0 -
]
] [
∣
r
D r
r# =( r# − r J
]
9
∣
r =
r sin J 9 ∂ ∂ r D J r sin J D
1 ∂ ∂ r - sin J ∂ r ∂ J
∂ ∂ ∂ ∂ r ∂ [ ∂ 0
r " = -" : + " * + 0" 8 r # = -# : + # * + 0# 8
rdrdJ 9
∂ r + 1 ∂ = + 1 ∂ 9 r sin ( J) ∂ [ ∂ r r ∂ J
∣
r 9
r
r 2 sin J dr r + r dJ =+ r sin J d[ 9 r sin (J ) drd[ = r sin ( J) dJd[ r r sin JddJdr
r " = r " r + r sin ( J) [ " 9 + r J" =
" - ) r +( -sin J " r" + - r cos J " J" + − r sin - J # ) 9 + ( - r" J" + r J# −r sin J cos J " ) = + r sin J 1 ∂ r - ∂ < + 1 ∂ sin J ∂ < + 1 ∂ - < ∂ J r - sin - J ∂ r - ∂ r ∂ r r - sin J ∂ J "-
)
)
=
r dJ
9 r
r sin ( J ) d[
dr
reas 9olmenes Es@era: Are#: 4π r 2 Vl :4,3 π r 37 Cilindro4 Are#42T r 2 2T r 8 Vl :T r 2 87 C>rculo4 Are#4 T r 2 B_metr42 T r7
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
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