RAPPELS DE TRIGONOMETRIE
• Théorème de la médiane : soit ABC un triangle quelconque,
Valeurs et formules remarquables x
0
cos x
1
sin x
0
π
π
π
π
6
4
3 1
2
3
2
2 1
2
2
2
2
⎛ π ⎞ − x ⎟ = sin x ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ cos⎜ + x ⎟ = − sin x ⎝ 2 ⎠
2
2
2
2
BC
2
• Dans un triangle quelconque, l’équivalent du théorème de Pythagore est la relation d’Al Kashi : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
0
2
• L’aire d’un triangle est donné par :
3
1
2
S=
1 2
1
bc sin α =
2
ac sin β =
1 2
cos(a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
tan(a − b ) =
sin (a − b ) = sin a cos b − cos a sin b
Formules de linéarisation
tan a + tan b 1 − tan a tan b tan a − tan b 1 + tan a tan b
u′
sin (2a ) = 2 sin a cos a
u
u
eu (v u )
u u′
u
nu
n +1
n +1 n u
u′
n −1
= 1 + tan 2 x
cos(ax + b )
[ ]
1
u ′e u (v ′ u ).u ′
1
cos x = cos α ⇔ x = α [2π ] ou x = −α [2π ]
b
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2
−
2
cos 2 x
Résolution d’équations
sin β
ln u
u u′
n
cos(2a ) = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
=
2 u
u
sin (a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
a
DERIVEE PRIMITIVE u′
tan(a + b ) =
sin α
ab sin γ
rayon R a pour équation :
Formules d’addition cos(a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
On en déduit :
=
sin γ c
• Dans un repère orthonormal, un cercle de centre Ω( x 0 ; y 0 ) et de
sin ⎜
[ ]
AB + AC = 2 AI +
et I le milieu de [BC], on a
⎛ π ⎞ − x ⎟ = cos x ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞ sin⎜ + x ⎟ = cos x ⎝ 2 ⎠
cos⎜
RAPPELS DE GEOMETRIE
sin (ax + b )
tan x sin (ax + b )
−
a cos(ax + b )
Notations trigonométriques et exponentielles exponentielles
COMPLEXES
z = r (cos θ + i sin θ ) est la forme trigonométrique d’un complexe. On a
Equation du second degré
Re( z ) = r cos θ et Im( z ) = r sin θ . z = re iθ est la forme exponentielle.
az ² + bz + c = 0
Formule de Moivre :
z1 =
−b− ∆
∆ = b² − 4ac
−b+ ∆
Formules d’Euler
et z 2 = 2a 2a az ² + bz + c = a( z − z1 )( z − z 2 )
(e )
iθ n
= e inθ −i i e θ + e θ cos θ =
:
e θ − e i
sin θ =
et
2
2i
Utilisation en géométrie Module
Considérons trois points distincts A, B et C dans un repère (O, i , j ).
z = x ² + y ² est la longueur qui sépare l’origine et le point d’affixe z. zz ' = z . z '
z
z + z ' ≤ z + z ' (inégalité triangulaire)
z '
=
z z'
•
z
•
z I =
•
z G =
Conjugué Le conjugué de z = x + iy est z = x − iy . On a les relations : z. z = x ² + y ²
z. z ' = z.z '
Re( z ) =
z
⎛ z ⎞ z ⎜ ⎟= ⎝ z ' ⎠ z '
Im( z ) =
1 z
=
z ²
Arguments arg( zz ') = arg z + arg z '
arg( z n ) = n arg z
z + z
• •
2 z − z
2
•
AB
= z B − z A = ( x B − x A ) + i( y B − y A ) donne l’affixe de AB . z A + z B
2
avec I le milieu de [AB].
az A + bz B a+b
avec G le barycentre de
{( A; a ), ( B; b )} .
⎛ z − z ⎞ − z A ) − arg( z B − z A ) = arg⎜⎜ C A ⎟⎟[2π ] ⎝ z B − z A ⎠ ⎛ z − z A ⎞ ⎟⎟ = 0[2π ] AB et AC sont colinéaires ⇔ arg⎜⎜ C ⎝ z B − z A ⎠
( AB; AC ) = arg( z
C
AB et AC sont orthogonaux ⇔
⎛ z C − z A ⎞ π ⎟⎟ = [2π ] ⎝ z B − z A ⎠ 2
arg⎜⎜
Transformations ⎛ z ⎞ ⎟ = arg z − arg z ' ⎝ z ' ⎠ arg( − z ) = arg z + π arg⎜
• M(z) M'(z+a) est la translation de vecteur v (a). • M(z) M ′( ze iθ ) est la rotation de centre O et d'angle θ . • z − z A = r définit le cercle de centre A( z A ) et de rayon r.
− iθ
LIMITES – ASYMPTOTES Formes indéterminées
DERIVEE Nombre dérivé
+ ∞ − ∞ : factorisation du terme dominant (+ haut degré). ∞ : factorisation du terme dominant, simplification. ∞ 0
0
: factorisation du terme tendant vers 0, simplification.
0 × ∞ : peut en général se ramener à ∞ ou 0 . ∞ 0
f ' ( x 0 ) = lim
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h→0
h
= lim
x → x 0
f ( x) − f ( x 0 ) x − x 0
Pour que f soit dérivable en x 0 , il faut que les nombres dérivés à gauche et à droite de x 0 soient finis et égaux. La tangente au point y = f ' ( x 0 )( x − x 0 ) + f ( x 0 )
Si des racines carrées interviennent, on pourra multiplier par la quantité « conjuguée ».
d'abscisse x 0 a pour équation
Propriétés
Bijection
• •
f est dérivable est strictement croissante sur [a;b] donc f réalise une bijection de [a;b] sur [ f ( a); f (b)] et pour tout α de [ f (a); f (b)] l’équation f ( x) = α admet une solution unique dans [a;b].
•
g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x) et lim g ( x) = lim h( x) = l ⇒ lim f ( x) = l f ( x ) − l ≤ g ( x) et lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l
lim f ( x) = b et lim g ( y ) = l ⇒ lim g f ( x) = l
x → a
y → b
x → a
Limites usuelles
Inégalités des accroissements finis
La limite d'une fonction polynôme en + ∞ ou en − ∞ est la limite du terme dominant. La limite d'une fonction rationnelle en + ∞ ou en − ∞ est la limite du quotient des termes dominants du numérateur et du dénominateur.
f est dérivable sur [a;b] et pour tout x de [a;b] on a : • m ≤ f'(x) ≤ M ⇒ m(b-a) ≤ f(b)-f(a) ≤ M(b-a) • |f’(x)| ≤ M ⇒ |f(b)-f(a)| ≤ M |b-a|
lim
x → 0
sin x x
= 1 et lim x → 0
cos x − 1 x
=0
Asymptotes • • •
lim f ( x) = ±∞ ⇒ asymptote verticale d'équation x=a
x → a
lim f ( x) = b ⇒ asymptote horizontale d'équation y=b
x → ±∞
lim f ( x) − (ax + b) = 0 ⇒ asymptote oblique d'équation y=ax+b ±∞
Position de la courbe par rapport à la tangente La position de (C) la courbe représentative de f par rapport à (T) la courbe représentative de g est donnée par le signe de h(x)=f(x)-g(x) h>0 : (C) est au dessus de (G) h<0 : (C) est au dessous (G) h=0 : intersection des courbes (C) et (G)
RECURRENCE
FONCTION PUISSANCES
Soit une propriété P dépendant d’un entier n et n 0 un entier fixé. - Initialisation :
Si P(n 0 ) est vraie,
- Transmission :
et si P (n) ⇒ P(n + 1) pour tout n ≥ n 0 ,
- Conclusion :
alors P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n 0 .
f ( x) = x α = e α f ′( x) = α .x
α −1
ln x
est définie et dérivable sur ]0;+∞[ . La dérivée
est du même signe que α d’où la monotonie de f.
Pour α > 0 :
lim
x → +∞
ln x x α
=0
lim x α e
x → +∞
− x
x
=0
lim
x →+∞
e
α
x
= +∞
LOGARITHME NEPERIEN • ln est une bijection strictement croissante de ]0;+∞[ sur ]− ∞;+∞[ ln( x + 1) ln x ′ u′ lim n = 0 (n > 0 ) • (ln u ) = lim =1 u
x → 0
x → +∞
x
x
•
ln(a.b) = ln a + ln b
ln(a n ) = n. ln a
•
⎛ a ⎞ ln⎜ ⎟ = ln a - ln b ⎝ b ⎠
ln a =
1 2
PARITE / SYMETRIE f (-x)=f(x) • f est paire ⇔ f est centré en 0 et f(-x)=f(x) • f est impaire ⇔ f est centré en 0 et f(-x)=-f(x)
• •
ln a
FONCTION EXPONENTIELLE • exp est une bijection strictement croissante de ]− ∞;+∞[ sur ]0;+∞[ x n ′ e −1 x (n > 0 ) • (e u ) = u ′.e u lim =1 lim x = 0 x → 0
•
e
a +b
= ea . eb
x → +∞
x
e
na
= (e a )
n
e
a −b
=
e e
b
x = x 0 est axe de symétrie ⇔ f ( x 0 + h) = f ( x 0 − h)
EQUATIONS DIFFERENTIELLES •
y ′ = ay a pour solutions l'ensemble des fonctions définies par f ( x) = k .e
ax
avec a et k des réels. La solution de l’équation différentielle vérifiant la condition initiale y ( x 0 ) = y 0 est la
e
a
( x 0 ; y 0 ) est centre de symétrie ⇔ f ( x 0 + h) + f ( x 0 − h) = 2 y 0
fonction définie par f ( x) = y 0 .e x − x . 0
•
y ′′ + ω y = 0 a pour solutions l'ensemble des fonctions définies par f ( x) = A cos ω . x + B sin . y avec , A et B des réels. La 2
solution de l’équation différentielle vérifiant la condition initiale y ( x 0 ) = y 0 est la fonction définie par y ′( x 0 ) = y 0′ .
INTEGRALES
Intégration par parties b
b
b a
a
∫ f (t )dt = [F (t )] = F (b) − F (a) est l’intégrale de f entre a et b. ∫ f (t )dt est la primitive de f qui s'annule en a. b a
a
b
∫ u(t ).v ′(t )dt = [u(t ).v(t )] − ∫ u ′(t ).v(t )dt
Définition
a
Calcul de volumes
x
a
Si pour tout x ∈ [a; b] on a f ( x) ≤ g ( x) , alors l'aire de la partie du plan comprise entre les deux courbes et les droites d'équations x=a et x=b est donnée en unité d'aire par
Pour un solide dont l'intersection avec le plan de cote z a pour aire S(z), le volume entre les plans de cote a et b est donné par : V =
b
∫ S ( z)dz a
b
∫ (g (t ) − f (t ))dt . a
SUITES
Propriétés •
b
a
a
• • •
b
b
a
a
∫ f (t )dt = −∫ f (t )dt ∫ (kf )(t )dt = k ∫ f (t )dt f est paire ⇔ ∫ f (t ) dt = 2∫ f (t )dt f est impaire ⇔ ∫ f (t ) dt = 0 f est périodique de période T ⇔ ∫ f (t ) dt = 2∫ f (t )dt (relation de Chasles) ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt (linéarité) ∫ ( f + g )(t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ g (t )dt b
a
a
−a
0
a
•
• •
−a
a + T
T
a
•
Suites arithmétiques
c
c
a
b
•
0
U n = U p + (n − p )r ⇒ U n = U 0 + nr n −1
n( n − 1)
i =0
2
Σ U i = nU 0 +
r = n ×
U 0 + U n −1 2
b
a
b
b
b
a
a
a
Théorème de la moyenne La valeur moyenne de f est donnée par µ =
1 b−a
Suites géométriques •
U n +1 = U n q
•
n− p ⇒ U n = U 0 × qn Un = U p × q
•
q ≤ −1 ⇒ (U n ) n’a pas de limite et diverge de U 0
b
0 ≤ q < 1 ⇒ (U n ) converge vers U 0
a
q > 1 ⇒ (U n ) tend vers ± ∞
⋅ ∫ f (t )dt
f est dérivable sur [a;b] et pour tout x de [a;b] on a :
• m ≤ f(x) ≤ M ⇒ m(b-a) ≤ • |f(x)| ≤ M ⇒
U n +1 = U n + r
b
∫ f (t )dt
b
∫ a
f (t )dt ≤ M(b-a)
≤ M(b-a)
•
n −1
1− q n
i =0
1− q
Σ U i = U 0 ×
=
U 0 − U n
1− q
Suites monotones, bornées, périodiques • Si la fonction f est croissante sur [a;+∞[ , la suite définie par U n = f (n) est croissante pour n ≥ a . Attention : la réciproque est fausse (la suite peut-être croissante alors que la fonction ne l’est pas). Une suite à la fois majorée et minorée est appelée suite bornée. (U n ) est périodique de période p lorsque l orsque U n + p = U n .
• •
Propriétés • On peut changer l'ordre des points pondérés. • On peut multiplier tous les coefficients par un nombre k ≠ 0 . • On peut remplacer une partie des points par leur barycentre partiel affecté de la somme leurs coefficients (associativité).
• Les coordonnées ou l’affixe du barycentre sont données par : n
Limites de suites
z G =
•
lim U n − l = 0 ⇒ lim U n = l
•
U n − l ≤ V n et lim V n = 0 ⇒ lim U n = l V n ≤ U n ≤ W n
•
lim V n = lim W n = l
⇒ lim U n = l (Théorème des gendarmes)
x →l
n → +∞
(
)
•
n
Σ α i = 0 ⇒ v est constant, il est indépendant de M.
i =0 n
Σ α i ≠ 0 ⇒ il existe un point G appelé barycentre du système,
i =0
et vérifiant les deux propriétés équivalentes : n
n
(
)
Σ α i GAi = 0
i =0
⇔
Σ α i
MG =
i =0
n
Σ α i
i =0
n
y G =
Σ (α i y i )
i =0
n
Σ α i
i =0
Isobarycentre • L'isobarycentre des points { Ai }1≤i ≤ n est le barycentre de ces points tous affecté du même coefficient non nul.
• L’isobarycentre de deux points A et B est le milieu de [AB]. • L’isobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravité
Ensemble de points
n v = Σ α i MAi est le vecteur associé à un système de points pondérés.
•
x G =
n
Σ (α i x i )
du triangle ABC (point d'intersection des médianes).
BARYCENTRE i =0
i =0
i =0
• lim U n = l et lim V n = l ' et U n ≤ V n ⇒ l ≤ l ' • lim U n = l et lim V n = l ' et l < l ' ⇒ U n < V n • Les termes de (U n ) appartiennent à l’intervalle de la fonction f : lim U n = l et lim f ( x) = l ' ⇒ lim f (U n ) = l ' n → +∞
n
Σ (α i z i )
(
Σ α i MAi
i =0
n
)
• MG = r ⇒ •
dans le plan : cercle de centre G et de rayon r. dans l’espace : sphère de centre G et de rayon r. dans le plan : médiatrice de [G1 G 2 ] MG1 = MG2 ⇒ dans l’espace : plan médiateur de [G1G 2 ]
• MG1 = MG2 = 0 ⇒ plan : cercle de diamètre [G1 G 2 ] espace : sphère de diamètre [G1 G 2 ]
DENOMBREMENT
Propriétés des combinaisons p +1
C n + C n p
= C np++11
n − p
C n = C n p
(somme)
n −1 n
Cardinal d’un ensemble
C = C = 1
C = C
Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre d’éléments de cet ensemble. Soit A et B deux événements d’un univers fini Ω . Dans tous les cas, Card ( A ∪ B ) = Card ( A) + Card ( B ) − Card ( A ∩ B ) . Si A et B sont incompatibles, Card ( A ∪ B ) = Card ( A) + Card ( B ) . Si complémentaires, Card ( A ∪ B ) = Card ( A) + Card ( B ) = Card (Ω) . Pour déterminer les cardinaux de certains ensembles, on s’aide de diagrammes, tableaux ou arbres ou schémas à case.
Les C n p sont données par le triangle de Pascal :
n n
0 n
1 n
(parité)
=n
Arrangements Un arrangement est est une liste ordonnée ordonnée de p éléments distincts distincts choisis parmi les n éléments d’un ensemble. On l’utilise par exemple pour un tirage avec ordre et sans remise. p An = n × (n − 1) × (n − 2) × …× (n − p + 1) =
n!
Les coefficients des égalités remarquables sont ceux du triangle t riangle de Pascal. La formule du binôme de Newton les résume : n
(n − p)!
(a + b )n = C n0 a nb0 + C n1 a n−1b1 + C n2 a n− 2b 2 + … + C nn a 0b n = pΣ=0 C n p a n− p b p
Permutations
n
Pour a=b=1, on a un cas particulier et Σ C n p = C n0 + C n1 + … + C nn = 2 n p = 0
Une permutation est un arrangement des n éléments de l’ensemble. On l’utilise par exemple pour trouver tout les anagrammes d’un mot.
Le nombre de combinaisons d’un ensemble à n éléments est 2 n .
An = n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 1 n
Introduction aux probabilités Combinaisons
• Les formules pour les probabilités sont similaires à celles du
Une combinaison est une liste non-ordonnée de p éléments choisis parmi les n éléments d’un ensemble (une combinaison est une partie). On l’utilise pour un tirage sans ordre et sans remise.
•
C = p
n × (n − 1) × (n − 2) × …× (n − p + 1)
=
p n
A
=
n!
cardinal (incompatibilité, complémentarité…). Lorsque tous les éléments d’un univers ont même probabilités, il y a équiprobabilité. La probabilité pour chaque élément est 1 Card (Ω )
et pour tout événement événement A, on aura p( A) =
Card ( A)
Card (Ω )
.
PROBABILITES
Etude d’une variable aléatoire • On détermine la loi de probabilité de X en trouvant toutes les probabilités des événements associant une partie de l’univers aux différentes valeurs prises par la variable aléatoire.
Probabilités conditionnelles conditionnelles A et B sont deux événements et p( B ) ≠ 0 . La probabilité conditionnelle de A sachant que B est déjà réalisée est définie se note : p( A B ) =
p( A ∩ B ) p( B )
x i
x1
x2
…
xn
p i
p1
p2
…
pn
n
Σ p i =1
i
= p1 + p 2 + … + p n = 1
⇔ p( A ∩ B ) = p( A B ) × p( B )
A et B sont indépendants lorsque p ( A ∩ B ) = p( A) × p( B ) . On a donc : p( A B ) = p( A) et p ( B A) = p( B )
• La fonction de répartition est définie par F ( x) = p( X ≤ x i ) pour tout réel x. C’est une fonction en escalier qui présente des « sauts ». Elle est croissante, minorée par 0 et majorée par 1.
• L’espérance mathématique, ou moyenne de X, est définie par :
Arbres pondérés La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est toujours égale à 1. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches de ce chemin. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités conduisant à cet événement.
E ( X ) =
n
Σ x p i =1
i
i
= x1 p1 + x 2 p 2 + … + x n p n
• La variance de la variable aléatoire est un réel positif défini par : n ⎛ n 2 ⎞ 2 2 V ( X ) = Σ p i ( x i − E ( X ) ) = ⎜ Σ x i p i ⎟ − [ E ( X )] i =1 ⎝ i =1 ⎠ • L’écart type de X est le nombre réel positif défini par : σ ( X ) = V ( X )
Schéma de Bernoulli Variable aléatoire Une variable aléatoire X est une application de l’univers Ω dans R. X : Ω = { 1 , 2 ,…,ω n } X (Ω) = { x1 , x2 ,…, xn }
( X = x i ) est l’ensemble des éléments de Ω qui ont pour image xi . La probabilité de l’événement ( X = x i ) est noté p( X = x i ) = p i .
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne comportant que deux issues : le succès ou l’échec. Un schéma de Bernoulli est la répétition n fois, de façon indépendante, d’une épreuve de Bernoulli. La loi binomiale permet de calculer la probabilité d’obtenir k succès. Soit p la probabilité du succès à chaque épreuve et X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des n épreuves : n − k
k k Pk = C n × p × (1 − p )
PRODUITS SCALAIRE - VECTORIEL
Produit vectoriel • Le produit vectoriel de deux vecteurs est un troisième vecteur normal au plan formé par les deux autres vecteurs :
Produit scalaire
∧
OA ∧ OB = OA × OB × sin ( AOB )
• Le produit scalaire est une valeur numérique réelle. Soit H le
(O; OA; OB; OC ) est une base directe
projeté orthogonal du point B sur la droite (OA) : ∧
•
OA ⋅ OB = OA × OH = OA × OB × cos ( AOB )
•
u ⋅v = v ⋅u
u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
(k u ) ⋅ v = k (u ⋅ v )
•
u
2
u ±v
= u 2 ⇒ u = u ⋅u
(u + v ) ⋅ (u − v ) =
u
2
− v
2
= u
2
u ⋅v =
2
+ v u
2
2
+
± 2(u ⋅ v ) v
2
−
u −v
•
⇔
u ⋅v
=0 ⇔
u±v
2
=
u
u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w
u ∧ v = 0 ⇔ u et v sont colinéaires.
•
AB ∧ AC = 0 ⇔ A, B, C sont alignés.
2
Expression analytique
2
• Soit u ( x; y; z ) et v ( x ′; y ′; z ′) dans un repère orthonormal, on a :
Orthogonalité dans l’espace ⊥v
•
u
(k u ) ∧ v = k (u ∧ v )
Colinéarité et alignement
Norme et produit scalaire •
u ∧ v = −(v ∧ u )
2
+
v
2
u ⋅ v = x x ′ + y y ′ + z z ′
u = x + y + z 2
2
2
• Un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
• Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.
• L’ensemble des points M de l’espace tel que AM ⋅ u = 0 est le plan passant par A et de vecteur normal u ≠ 0 .
Orientation de l’espace Un repère est dit positif ou direct lorsque ses vecteurs unitaires respectent la règle des trois doigts de main DROITE
⎛ y ⎜ X = z ⎜ ⎜ z u ∧ v ⎜ Y = ⎜ x ⎜ x ⎜ ⎜ Z = y ⎝
y ′
⎞ = y z ′ − z y ′ ⎟ ⎟ ⎟ z ′ = z x ′ − x z ′ ⎟ ⎟ x ′ ⎟ x ′ ⎟ = x y ′ − y x ′ ⎟ ′ y ⎠ z ′
u ∧ v = ( y z ′ − z y ′)i + ( z x ′ − x z ′) j + ( x y ′ − y x ′)k
• La norme du produit vectoriel de deux vecteurs est égale à l’aire du parallélogramme construit à partir de ces vecteurs. L’aire du triangle ABC est donc égale à la moitié de cette norme.
COURBES PARAMETREES
Vecteur dérivé en un point • S’il n’est pas nul, le vecteur dérivé v(t 0 )( f ′(t 0 ); g ′(t 0 )) est un vecteur directeur de la tangente à la courbe en M (t 0 ) .
Représentation Représentation paramétrique d’une droite Le système d’équations paramétriques de la droite (D) passant par le point A( x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur u (a; b; c ) détermine l’appartenance ou non d’un point de l’espace à la droite.
⎧ x = ta + x A ⎪ M ( x; y; z ) ∈ D ⇔ ⎨ y = tb + y A ⎪ z = tc + z A ⎩
Les coefficients du système sont les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite.
L’équation cartésienne du plan (P) passant par le point A( x A ; y A ; z A ) et de vecteur normal n (a; b; c ) détermine l’appartenance ou non d’un point de l’espace au plan.
a ( x − x A ) + b( y − y A ) + c( z − z A ) = 0
ax + by + cz + d = 0
f ′(t 0 ) = 0 ⇔ la courbe admet une tangente verticale en M (t 0 ) . g ′(t 0 ) = 0 ⇔ la courbe admet une tangente horizontale en M (t 0 ) .
• Méthode pour tracer une courbe paramétrique :
Equation cartésienne d’un plan
M ( x; y; z ) ∈ ( P ) ⇔ AM ⋅ n = 0
•
Les coefficients de l’équation sont les coordonnées d’un vecteur normal au plan.
Astuce : si on connaît trois points non alignés du plan (P), on pourra se servir du produit vectoriel pour trouver un vecteur normal à (P).
Courbes paramétrées • Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle donné. Lorsque la variable t décrit cet intervalle, le point M(t) de coordonnées ( f (t ); g (t ) ) décrit une courbe paramétrée.
⎧ x = f (t ) est la représentation paramétrique de la courbe. ⎨ () ⎩
-
rechercher l’ensemble de définition des fonctions f et g réduire le domaine d’étude par périodicité et symétrie faire un seul tableau de variation pour f et g placer les points remarquables et les tangentes joindre dans le sens des t croissants en lissant au mieux compléter par les intervalles de symétrie et périodicité.
ThAt’s aLL !
Ces fiches de cours ont été réalisées par SoULiAne > avec l’aide de quelques livres, du cours du prof et de l’excellent site http://xmaths.free.fr Faites attention tout de même et vérifiez toujours avec le cours de votre prof car je ne suis pas à l’abris des fautes de frappes !! Merci de me signaler les erreurs que vous trouverez en m’écrivant à l’adresse ci-dessus. Ensuite, quand vous aurez le bac, vous pourrez télécharger les fiches pour le DEUG MIAS sur http://mathinfo.free.fr (c’est mon site de cours).
