Resoluções Livro Hibbeler cap 9 e 10 em portugues

Capítulo 9

Transformação da tensão

510

Transformação da Tensão

9.1 - PROBLEMAS 9.1. Prove que a soma das tensões normais • x + •y = •x’ + •y’ é constante. Veja figuras 9.2a e 9.2b.

 +! + ! F"# = 0

;

$"# %A & $" %Acos %Acos((') cos cos((') & $*%Asen %Asen((')sen sen((') = 0

,

$"# = $" cos-(') + $* sen-(')

. +! + ! F*# = 0

;

$*# %A & $"%Asen %Asen((')sen sen((') & $*%Acos %Acos((') cos cos((') = 0

,

$*# = $" sen-(') + $*cos-(')

$"# + $*# = = / /$x cos2(') + $y sen2 (')1 + /$xsen2(') + $y cos2(')1 = $x [sen2 (') + cos2(')] + $y [sen2(') + cos2(')] 34# + 35# = 34 + 35 9.2. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes de tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método do equilíbrio descrito na Seção 9.1.

Figura 9.2

8%Asenn(40° 40°)) cos cos((40° 40°)) & 5%Asen( 5%Asen(40° 40°))sen sen((40° 40°)) + 8%Acos( 8%Acos(40° 40°))sen sen((40° 40°)) & 3%Acos( 3%Acos(40° 40°))cos cos((40° 40°)) = 0  + ! F"# = 0; $"# %A + 8%Ase '*# = &,-./1 679 : + ! F;# = 0

<"#># %A + 5%Ase 5%Asenn(40° 40°)) cos cos((40° 40°)) + 8%Asen( 8%Asen(40° 40°))sen sen((40° 40°)) & 8%A 8%Aco coss(40° 40°))cos cos((40° 40°)) & 3%Acos( 3%Acos(40° 40°))sen sen((40° 40°)) = 0 ?*#@# = .-,., 679 511 Resolução: Steven Róger Duarte


9.3. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.

Figura 9.3

 + ! F"# = 0 ;

$"# %A & 350%Ase 350%Asenn(50° 50°)) sen sen((50° 50°)) + 200%Acos 50°))cos cos((50° 50°)) = 0 200%Acos((50° $"# = 122,75 kPa = *, -./ 468

9 + ! F:# = 0

;

;"#<# %A & 350 350%Ase %Asen n(50° 50°)) cos cos((50° 50°)) & 200%Acos( 200%Acos(50° 50°))sen sen((50° 50°)) = 0 ;"# <# = 270,> kPa = *, .?- 468 468

*9.4. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.

Figura 9.4 9 + ! F"# = 0

;

$"# %A + @50%Ase @50%Asen n(@0° @0°)) cos cos((30° 30°)) & B00%Acos( B00%Acos(@0° @0°))cos cos((@0° @0°)) = 0 $"# = &3>7,5 kPa = &*, /C? 468 468

 + ! F:# = 0

;

;"#< # %A & @50%Asen( @50%Asen(@0° @0°)) sen sen((30° 30°)) & B00%Acos( B00%Acos(@0° @0°))sen sen((@0° @0°)) = 0 ;"# <# = B5B,@@ kPa kPa = *, DEE 468 468

512 Resolução: Steven Róger Duarte


9.5. O estado de tensão em um ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.

Figura 9.5

 + ! F"# = 0 $"# %A + 60%Acos(30°) cos(30°) & 28%Acos(30°)cos(60°) + 50%Asen(30°)cos(60°) & 28%Asen(30°)cos(30°) = 0 '*# = &,,-, /14 7 + ! F9# = 0 :"#;# %A & 285%Acos(30°) sen(60°) & 60%Acos(30°)sen(30°) + 50%Asen(30°)sen(60°) + 28%Asen(30°)sen(30°) = 0 <*# ># = ?@- , /14

9.6. O estado de tensão em ponto em um elemento estrutural é mostrado no elemento. Determine as componentes da tensão que agem no plano inclinado AB. Resolva o problema usando o método de equilíbrio descrito na Seção 9.1.

Figura 9.6 7 + ! F"# = 0 $"# %A & B0%Asen(60°) sen(60°) + 35%Acos(60°)sen(60°) + 35%Asen(60°)sen(30°) & 50%Acos(60°)sen(30°) = 0 ' *# = CD- E /14  + ! F9# = 0

;:"#;# %A + B0%Asen(60°) cos(60°) & 35%Acos(60°)cos(60°) + 35%Asen(60°)cos(30°) & 50%Acos(60°)cos(30°) = 0 <*# ># = &,C- @ /14



9.7. Resolva o Problema 9.2 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2.

Figura 9.7

 =5



MPa ; "# =3 MPa ; $# = 8 MPa

"% = &' (* &) + &' ,* &) cos-2./+ $#sen-2./ = 0 (* 1 + 0 ,* 1 cos-42 x 56°/+8sen-42 x 56°/ = - 4,05 MPa $%7% = 4 &' ,* &) sen-2./+ $#cos-2./ = 4 0 ,* 1 sen-42 x 56°/+8cos-42 x 56°/ = - 0,404 MPa *9.8. Resolva o Problema 9.4 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2.

Figura 9.8

" =4956 kPa ; "# =:66 kPa ; $# = 6 kPa

"% = &' (* &) + &' ,* &) cos-2./+ $#sen-2./ = , <0>*( ?>> + , <0>*, ?>> cos-2 x 36°/ = - 387,5 kPa = - 0,387 MPa $%7% = 4 &' ,* &) sen-2./+ $#cos-2./ = 4 , <0>*, ?>> sen-2 x 36°/ = 454,66 kPa = 0,455 MPa 514

Resolução: Steven Róger Duarte


9.9. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão desenvolvidas na Seção 9.2. Mostre o resultado em um desenho.

Figura 9.9 ! = 90 MPa ;  # = 50 MPa ; $ !# = %35 MPa

!& =

' ( ) '* +

,

$!&8& = %

'( - '* + '( - '* +

cos.2/1 , $!# sen.2/1 =

46 ) 76

sen.2/1 , $!# cos.2/1 = %

+

,

46 - 76 +

46 - 76 +

cos.2 x 30°1 % 35sen.2 x 30°1 = 49,7 MPa

sen.2 x 30°1 % 35cos.2 x 30°1 = - 34,8 MPa

9.10. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 30º em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.

Figura 9.10 ! = 0 kPa ;  # =

!& =

$300 kPa ; %!# = 950 kPa

'( ) '* '( - '* , + cos.2/1 , %!# sen.2/1 = 4 -+644 , 4 )+644 cos.2 x 30°1 , 950sen.2 x 30°1 +

!& = 787:72 kPa = 0,748 MPa #& =

' ( ) '* '( - '* 4 - 644 4 ) 644 , cos.2/1 , % sen.2/1 = , + cos.$2 x <0°1 , 950sen.$2 x <0°1 !# + + +

#& = $>?087:72 kPa = - 1,048 MPa %!&@& = $

'( - '* 4 ) 644 sen.2/1 , % cos.2/1 = $ sen.2 x 30°1 , 950cos.2 x 30°1 = 345,096 kPa = 0,345 MPa !# + + 515



9.11. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a 60º em sentido horário em relação ao elemento mostrado.

Figura 9.11

$

! = 300 kPa ; # = 0 kPa ;

!%

= &' (* &) + &' ,* &) cos-2./+ $

-2./ =

!# sen

455(5 *

+

!# = 120 kPa

455,5 *

cos-62 x 70°/ + 120sen-62 x 70°/

!% = 6289:2 kPa = - 0,0289 MPa #% =

& ' ( &) *

+

&' , &) *

cos-2./ + $!#sen-2./ =

455 ( 5 *

+

455 , 5 *

cos-2 x 30°/ + 120sen-2 x 30°/

#% = 3289:2 kPa = 0,329 MPa $!%<% = 6

&' , &) *

sen-2./ + $!# cos-2./ = 6

455, 5 *

sen-62 x 70°/ + 120cos-62 x 70°/ = 69,90 kPa = 0,0699 MPa

*9.12. Resolva o Problema 9.6 usando as equações de transformação de tensão.

Figura 9.12

! = >0 MPa ;  # = :0 MPa ; $ !# = 3> MPa

!% =

& ' ( &) *

+

&' , &) *

cos-2./ + $!# sen-2./ =

?5 ( @5 *

+

?5 , @5 *

;

. = 120°

cos-2 x 120°/ + 3>sen-2 x 120°/

!% = 49,7 MPa $!% <% = 6

&' , &) *

sen-2./ + $!# cos-2./ = 6

?5 , @5 *


sen-2 x 120°/ + 3>cos-2 x 120°/ = - 34,8 MPa


9.13. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Figura 9.13

(a) As tensões principais:

! = 45 MPa ; # = $60 MPa ; %!# = 30 MPa

' ' ' ( * ( ( / ( 78 / 9: 78 /[/9:] ) + ) + ' &,' = ' ± . ' 1 2 %!# = ' ± . ' 1 2 30 = - 7,5 MPa ± 60,467 MPa

<> = ?@ ABC

= >X,Y° ; IJ' = T4,Z° $ Z0° = $\?,>° tangGHIJK = N() /L)+(+OQ' = N78 /[/9:]O Q' !^ = ! 2H # 2 ! $H # cosNHIO 2 %!#senNHIO = 45 2 H[$60] 2 45 $ H[$60] cosNH x T4,5°O 2 30senNH x T4,5°O <_^ = 53 MPa ;

(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:

%`á! bd Jfhbd = - .() /' (+1' 2 %!#' = - .78 /'[/9:]1' 2 30' = 60,5 MPa `éi = () *' (+ = 78 /' 9: = - 7,50 MPa tangNHIjO = $ ()'L /)+(+ = $ 78'/![/9:] R: = $T,S5 U Vk> = $ @l,>° ; Ij' = Z0° $30,T° = ?Y,Y° %!^m^ = $ () /' (+ senNHIO2 %!#cosNHIO = $ 78 /[/9:] ' senN$H x30,T°O230cosN$H x30,T°O = 60,5 MPa 517 Resolução: Steven Róger Duarte



Figura 9.14




= 180 MPa ; "# = 0 MPa ; $# = %150 MPa

"&,' = () *(' + ± - .() /(' +2' 3 $#' = &46*' 6 ± - .&46/' 62' 3 7%1509' = 90 MPa ± 174,928 MPa :< = >?@ ABC

;

/&O6 = %1,QQR tangGHIJK = 7() /L)+(+9N' = 7&46 / 69N'

:> = %DE,F ABC S TU< = %>F,@°

;

IJ' = V0° % HV,5° = ?W,@°

"X = " 3H "# 3 " %H "# cos7HI93$#sen7HI9 = 180H30 3 180%0 H cos7%H x HV,5°9%150sen7%H x HV,5°9 :YX = 265 MPa (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:

' ' ( / ( &46 /6 ) + ' $Zá [\ J]^[\ = . ' 2 3 $# = . ' 2 3 7%1509' = 175 MPa "Zé_ = () *' (+ = &46'* 6 = 90 MPa

6 = 0,Q S Tb< = <@,@° ; I`' = 15,5° % V0° = % dE,@° tang7HI`9 = % ()'L /)+(+ = % &46/ '7/&O69 $XfX = % () /' (+ sen7HI93 $#cos7HI9 = % &46'/ 6 sen7H x 15,5°9% 150cos7H x 15,5°9 = - 175 MPa 518 Resolução: Steven Róger Duarte



Figura 9.15


! =

"30 MPa ; $ = 0 MPa ; %!$ = "12 MPa

&,' = () *' (+ ± - .! #% $&% + '()% = #*,-% , ± . /#*,#% ,&% + 01234% = -15 MPa ± 19,21 MPa 56 = 7896 :;<

tang?3@AB = 0! #C!$$4D% = 0#*,#E%# ,4D% = F8G

59 = 1>7896 :;< H IJ6 = 6K8>>° ; @A% = 2L8MM° 1 LF° = 1NO8PN° ;

1MF1F cos03 x 2L8MM°4123sen03 x 2L8MM°4 Q(R = Q( +3 Q) + Q( 13 Q) cos03@4 + '()sen03@4 = 1MF+F + 3 3 5SR = - 34,21 MPa (b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:

'Tá( UV AWXUV = . /! #% $&% + '()% = . /#*,% #,&% +01234% = 19,21 MPa QTéY = ! -% $ = #*,%- , = - 15 MPa , = 1283[ H I\6 = 19]8PN° ; @Z% = LF° 1 3[8^_° = P78>>° tang03@Z4 = 1 !%C #!$$ = 1 #*,# %0#E%4 '(R`R = 1 ! #% $ sen03@4+ '()cos03@4 = 1 #*,%# , sen013 x 3[8^_°41 23cos013 x 3[8^_°4 = - 19,21 MPa 519



*9.16. O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Figura 9.16


 = !200 MPa ; #$ = 250 MPa ; %$ = 175 MPa

#&,' = () *' (+ ± - .() /' (+3' 4 %$' = /'66*' '86 ± - ./'66/' '863' 4 9175:' = 25 MPa ± 285,044 MPa <> = ?>@ ABC

= !>S,T° ; GH' = U0° ! 1N,U° = V>,>° #W = # 42 #$ 4 # !2 #$ cos92G: 4 %$sen92G: = !20024 250 4 !2002! 250 cos9!2 x 1N,U°: 4 175sen9!2 x 1N,U°:
(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto:

' ' ( / ( /'66 /'86 ) + ' %Yá Z[ H\]Z[ = . ' 3 4 %$ = . ' 3 4 9175:' = 285 MPa #Yé^ = () *' (+ = /'66'* '86 = 25 MPa tang92G_: = ! ()'J /)+(+ = ! /'66/'86 '9&L8: = 1,2N57 O Q`> = DE,>° ; G_' = 2b,1° ! U0° = !E?,T°

%WdW = ! () /' (+ sen92G:4 %$cos92G: = ! /'66'/'8 6 sen92 x 2b,1°:4175cos92 x 2b,1°: = 285 MPa



9.17. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito aos dois estados de tensão sucessivos mostrados na figura. Determine o estado de tensão resultante representado no elemento orientado como mostrado à direita.

Figura 9.17

Primeiro caso:

! = "200 MPa ; $ = "350 MPa ; %!$ = 0 MPa

! = &

' ( ) '* '( - '* #$%% # '*% #$%% #[#'*%] sen(2") = + cos(2 x 30°) , cos.2/1 , % ! $ $ + +

,- = - 237,5 MPa ,!- =

./ 1 .4 $

+

./ # .4 $

cos(2") + 5! sen(2") =

#$%% # '*%

+

$

#$%% #[# '*%] $

cos(62 x 70°)

,!- = - 312,5 MPa ./ # .4

5- 8- = 6

$

sen(2") + 5! cos(2") = 6

#$%%#[#'*%] $

sen(62 x 30°) = 64,95 MPa

Segundo caso: , = 0 MPa ; ,! = 0 MPa ; 5! = 9: MPa

,- =

. / 1 .4 $

+

./ # .4 $

cos(2") + 5! sen(2") =

% 1 % $

+

%#% $

cos(2 x 79°) + 9:sen(2 x 79°)

,- = 44,43 MPa ,!- =

. / 1 .4 $

+

./ # .4 $

cos(2") + 5! sen(2") =

% 1 % $

+

%#% $

cos(62 x 29°) + 9:sen(62 x 29°)

,!- = - 44,43 MPa 5- !- = 6

./ # .4 $

sen(2") + 5! cos(2") = 6

%#% $

sen(2 x 29°) + 9: cos(2 x 29°) = 37,28 MPa

Logo, o estado de tensão resultante será: , = 623<>9 MPa + ??>?3 MPa = 6@AB CDE

; ,! = 63F2>9 MPa 6 ??>?3 MPa = 6BGH CDE

5! = 7?>I9 MPa + 3<>2: MPa = @JK CDE



9.18. A barra de aço tem espessura de 12 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine as tensões principais desenvolvidas na barra.

Figura 9.18

! = 0 MPa ;  = 0 MPa F = 4 x 0,5 = 2 kN $ %!# = '& = (,*!!)*)(+ = 0,333 MPa #

)-( = ./ 1( .2 ± 3 4./ 5( .26( 7 %!#( = *1( * ± 3 4*5( *6( 7 80-999:( = ±0-999 MPa <> = ?-@@@ ABC

;

9.19. Uma placa de aço tem espessura de 10 mm e está sujeita à carga periférica mostrada na figura. Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média desenvolvida no aço.

Figura 9.19

! = F' = G**-!G)*! +*- !*)*-G = 3 MPa ; # = F' = H**-!))*! +*- !*)*-) = 4 MPa ; %!# = = 0 MPa %á! #$ %&'#$ = ( )*+ ,. *-/. 01!2. = ( )3 .,4/. 0 567. = 0,500 MPa 8é9 = *+ :. *- = 3 :. 4 = 3,50 MPa 522 Resolução: Steven Róger Duarte


*9.20. A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão de cisalhamento no plano a-a e as tensões principais no ponto.

Figura 9.20

! = 60sen(60°) = 51,96 MPa

;

#!$ = 60cos(60°) = 30 MPa

!% = &' *- &+ . &' /- &+ cos(24). #!$sen(24) 7 80 = :;,<>-* &+ . :;,<>-/ &+ cos(2 x ?5°).30sen(2 x ?5°) Resolvendo a equação, obtemos: @A = 48,04 MPa #!%$% = B &' /- &+ sen(24) . #!$cos(24) = B :;,<> /- CD,EC sen(2 x ?5°).30cos(2 x ?5°) = - 1,96 MPa

;,- = &' *- &+ ± F G&' /- &+H- . #!$- = :;,<> *- CD,EC ± F G:;,<>/- CD,ECH- . (30)- = 50 MPa ± 30,064 MPa @I = !,!" $%&

;


'( = )*,*+ $%&

Transformação da Tensão A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão normal • b

9.21. e as tensões principais no ponto.

Figura 9.21

! = 4sen(30°) = 3,464 MPa

;

#!$%$ = 4cos(30°) = 2 MPa

#!$%$ = & '* +. '- sen(2/) 1#!%cos(2/) 5 2 = & 7,898.+ ' - 12cos(2 x 4:°) Resolvendo a equação, obtemos: % = 7,464 MPa ; = '* <. '- 1 '* +. '- cos(2/)1 #!%sen(2/) = 7,989 <. >,898 1 7,989 +. >,898 cos(2 x 4:°)12sen(2 x 4:°) = 7,46 MPa

?,. = '* <. '- ± @ A! #% $&% + '()% = *,-.-/% 0,-.- ± 1 2*,-.-#% 0,-.-&% + 345% = 5,464 MPa ± 2,828 MPa 67 = 8,9: ;<>

;


69 = 9,?@ ;<>


9.22. O grampo de fixação força a superfície lisa contra o ponto E quando o parafuso é apertado. Se a força de tração no parafuso for 40 kN, determine as tensões principais nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos. A área da seção transversal em A e B é mostrada na figura adjacente.

Figura 9.22

 + !M" = 0 ; 40 x 300 – 500V = 0  V = 24 kN ! +"F# = 0 ; 24 – V = 0  V = 24 kN $ + "M = 0 ; M – 24 x 0,1 = 0  M = 2,4 kN.m 1

# 3.3-5 = - 192 MPa (C) %& = '(* ) = , -./ 6.# 62349:746.68³

>& = ?@*A) = G6.B-/64 79:#6.682344HD3.CD3E3IE = 0 MPa

;

;

1

%; = '*(< = -.6./6#49:237 6.68³4 # 3 = 0 MPa

>; = ?@*A< = B-/ # 23G46.CD3.64 79:36.682-54#HD3.3.33-5IE # 3.3IE = 24 MPa

Tensões principais no ponto A:

%# = 0 MPa J %( = ,KLN MPa J >#( = 0 MPa ]V- + D0E- = - 96 MPa ± 96 MPa %2.- = O7 Q- OR ± S TO7 U- ORV- +>#(- = 3 U-2W- ± S T3 U[U2W-

XY = XZ = \ ^_`

Xb = Xc = ,Ydb ^_`

;

Tensões principais no ponto B:

%# = 0 MPa J %( = 0 MPa J >#( = Ne MPa

%2.- = O7 Q- OR ± S TO7 U- ORV- + >#(- = 3 Q- 3 ± S T3 U- 3V- + DNeE- = ± 24 MPa XY = bf ^_`

;

tangBNhiC = DO7 Uj7ROREk- = D3 U-/ U 3Ek- = ,l 525 Resolução: Steven Róger Duarte

Xb = ,bf ^_`  moY = ,fp° ; hi- = L0° , eq° = fp°


9.23. Resolva o Problema 9.22 para os pontos C e D.

Figura 9.23

 + !M = 0 ; 40 x 300 – 500V = 0 ! V = 24 kN " +#F$ = 0 ; V – 40 + 24 = 0 ! V = 16 kN % +#M = 0 ; M – 24 x 0,3 + 40 x 0,1 = 0 ! M = 3,2 kN.m 1

&' = (), * = - ./ 6/$6234 9:746/ $63/8³325 = - 153,6 MPa (C)

1

$ 3/35 = 256 MPa (T) &; = (), < = ./ 6/$62349:746/68³

;

>' = ?@,A* = B2C $H236/644DE3/79:6/3684$IE3/3/332.$G 3/3.G = 10,24 MPa

;

>; = ?@,A< = H6/B2C64 9:7 $6/682344IE3/DE3G3.G = 0 MPa

Tensões principais no ponto C:

&$ =0 MPa J &) =KLN MPa J >$) = 0 MPa   O Q O O U O 3 Q 5C 3 U 5C 7 R 7 R  S S &2/ =  ± T  V +>$) =  ± T  V + E0G = 128 MPa ± 128 MPa

WX = WY = Z[\ ]^_

;

WZ = W` = b ]^_

Tensões principais no ponto D:

&$ =0 MPa J &) =-cLd/N MPa J >$) =c0/Ke MPa C ± S T3 UfU25./CgV + Ec0/KeG = - 76,8 MPa ± 77,48 MPa &2/ = O7 Q OR ± S TO7 U ORV +>$) = 3U 25./  

WX = b/\hb ]^_

;

23/p =0/cddd tanjBKklD = EO7 Um7RORGo = E3 UfU25./ CgGo

526


WZ = -X[i ]^_ ! qrX =s/hb° ; kl =d/u0°-v0°=-h\/Z°


*9.24. As fibras da madeira da tábua formam um ângulo de 20° com a horizontal como mostra a figura. Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento que agem perpendicularmente às fibras, se a tábua é submetida a uma carga axial de 250 N.

Figura 9.24

 =

! "

=

(- =

#$% %,%&  %,%#$

. / 2 .3 #

4

= 166,67 kPa

./ 5 .3 #

;

;

() = 0 kPa

cos67+8 4 *) sen67+8 =

*) = 0 kPa

9&&,&: 2 % #

4

9&&,&: 5 % #

;

+ = 110°

cos67 x 110°8

;< - = 19,5 kPa *->- = ?

./ 5 .3 #

sen67+8 4 *) cos67+8 = ?

9&&,&: 5 % #

sen67 x 110°8 = - 53,6 kPa

9.25. Um bloco de madeira falhará, se a tensão de cisalhamento que age ao longo da fibra for 3,85 MPa. Se a tensão normal •x = 2,8 MPa, determine a tensão de compressão • y necessária para provocar ruptura.

Figura 9.25

( = 7,@ MPa

*-)- = ?

( ? () 7

;

() = ()

sen67+8 4 *) cos67+8

A

;

*) = 0 MPa

B,@C = ?

7 , @ ? () 7

Resolvendo a equação, obtemos: ;D = ?E, FGF HIJ 527 Resolução: Steven Róger Duarte

sen6?7 x B7°8


9.26. A viga T está sujeita ao carregamento distribuído aplicado ao longo de sua linha central. Determine as tensões principais nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos.

Figura 9.26  + !F

 = 0

" + #M = 0

;

;

V – 24 = 0

M – 24 x 2 = 0

! !

V = 24 kN M = 48 kN.m

y$% = &' ) *',*',))-,-,..*/,*',))*',-, ) -, = 117,5 mm (centroide da seção transversal) I = 1,2,- *-) ,2*'³ + 0203 x 0245 x 020635-7+ 1,2*' *-) ,2,-³ + 0245 x 0203 x 020635-7 = 1,65625 x 10 m -5

*,@ ) ,2,'-' = 152,15 MPa (T) 89 = :< ; = >?*2/)'/-' ) *,AB F-> ) *,@GH,K = 0 MPa L9 = NO
; ;

4

@GH,2**&'J,2,'K 8C = :< D = E F>? )*2*,/'/-' ) *,AB = - 195,6 MPa (C) **&'J,2,-'KH,2,- ) ,2,'K = 6,7 MPa LC = NO ) *,H@*2GH,2/'/-' ) *,ABKH,2,-K

Tensões principais no ponto A:

8) = 453245 MQa R 8 = 0 MQa R L) = 0 MQa

8*2- = ST .- SU ± V 1ST J- SU7- +L)- = *'-2*-' . , ± V 1*'-2*-' J ,7- + H0K- = 76,075 MPa ± 76,075 MPa WX = WY = XZ[ \]^

;

W[ = W_ = ` \]^


8) = E4b52c MQa R 8 = 0 MQa R L) = Ec2d MQa

8*2- = ST .- SU ± V 1ST J- SU7- +L)- = J*e'2-/ . , ± V 1J*e'2-/ J ,7- +HEc2dK- = - 97,8 MPa ± 98,029 MPa WX = `2[[f \]^

;

J/2& = 020cm54 tanhF3ijG = HST JkTUSUKl- = HJ*e'2 / J ,Kl528 Resolução: Steven Róger Duarte

W[ = EXfg \]^ ! opX = X2fg°

;

ij- = 42bc°Eb0° = Eqq2`r°


9.27. A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita à força de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B. Mostre os resultados em elementos adequadamente orientados nesses pontos.

Figura 9.27

 +!F = 0

" + #M = 0

;

;

600 - N = 0

!

M – 600 x 0,05 = 0

N = 600 N

!

M = 30 N.m

= &% ' (), * = / .2-....345 ' 6.78  .2 .2...34.348 = - 87,146 MPa (C) $% = &% + (), * = / .2-....345 + 6.78  .2 .2...34.348 = 93,94 MPa (T)

%$Ponto A:

$ = '9:2;< MPa > $) = 0 MPa > ?

) =

0

MPa

$@2A = BC DA BE ± F GBC HA BEIA + ? A = HJ32@A4 D . ± F GHJ32@A4 H .IA + K0LA = - 43,575 MPa ± 43,575 MPa )

NO = NQ = R STU

;

NV = NW = 'XY2O STU

?Zá [\ ]^_[\ = F GBC HA BEIA + ? A = F GHJ32A@4 H.IA + K0LA = 43,6 MPa tangK`bcL = ' BCAd HCEBE = ' [email protected]. L = e ! fhO =ij° ; bcA = k<° 'l0° = 'ij° )

?mom = ' BC HA BE spnK`bL+ ?

) qrsK`bL =

' HJ32@A4 H . spnK` x k<°L = 43,6 MPa

$Zéu = BC DA BE = HJ32@A4 D . = - 43,6 MPa Ponto B:


! = 93,94 MPa ; # = 0 MPa ; $

Transformação da Tensão !# = 0 MPa

%,& = '( )& '* ± + -' .& ' /& 1$!#& = 25,2&6 ) 7 ± + -25,2&6 . 7/& 1 80:&



(

*

! = " = #$,# &'(

;

±

= 46,97 MPa 46,97 MPa

) = " = * &'(

+-á. /0 123/0 = 4 567 8: 69;: <+.>: = 4 5?@,?:A 8B;: < CDE: = 47 MPa tangCFGHE = I 67:J 87969 = I ?@,:?CAB8E B = IK L MN! = IOP° ; GH: = QD° I RS° = OP° +.TUT = I 67 8: 69 senCFGE< +.>cosCFGE = I ?@,?:A 8 B senCF x RS°E = - 47 MPa

V-éW = 67 X: 69 = ?@,?:A X B = 47 MPa

*9.28. A superfície da viga simplesmente apoiada está sujeita à tensão de tração tensões principais nos pontos A e B.

Figura 9.28

`bdf 5`bdfj;5j; \ ]> ^ V[ = [ I _ = iWh I lhlk iWm h = I JWbp L +[ = +B Vq,: = I J:Wbp ± 4 5J:Wbp;: <+B: = I r)v*u ±r*4 5)vu ;) y Vw = [ < _ = iWh < lhlk iWm h = I :JWbp L +w = D ! = )rv*u ; ) = *


YBZ Determine as


9.29. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B. Esses pontos estão imediatamente à esquerda da carga de 10 kN. Mostre os resultados em elementos adequadamente orientados localizados nesses pontos.

Figura 9.29

Reações:

 +!M = 0 ; ! + "F# = 0 $ + "F% = 0 ;

;

;

*

'( = ) )

,%-

(

.

=)

/ # 234 3567/ # 352/

)

Rx – 5 = 0



;

5-N=0

;

5 – V = 0

M – 5 x 0,6 = 0

6 # 234 # 35287/ 95:; < 954>; 4

V = 5 kN Rx = 5 kN



Ry – 10 + 5 = 0

! + "F# = 0 $ + "F% = 0 &+"M= 0



10 x 0,6 + 1,2V = 0

 

Ry = 5 kN

N = 5 kN V = 5 kN



M = 3 kN.m

= - 0,942 MPa (C)

;

@( =

AB .C

= 0 MPa

:?

*

'D = ) + (

,%E .

=)

/ # 234 3567/ # 352/

)

6 # 234 # 35287/ 95:; < 954>; 4 :?


= 0,764 MPa (T)

;

@D =

ABE .C

= 0 MPa


No ponto A:

! = "0,942 MPa ; $ = 0 MPa ; %!$ = 0 MPa

&,' = () *' (+ ± - .() / ' (+1' 3%!$' = /5,67'' * 5 ± - ./5,67'' / 51' 3 80:' = - 0,471 MPa ± 0,471 MPa <> =

;

;

21,65 – N = 0 V – 12,5 – 24 = 0

M – 24 x 1,5 – 12,5 x 3 = 0

!

N = 21,65 kN

! !

V = 36,5 kN M = 73,5 kN.m

I = 2&',( *(','*³ + 0,2 x 0,01 x 0,105(-+ &','**( ',(³- = 5,08 x 10 m -5

4

A = 2 x 0,2 x 0,01 + 0,01 x 0,2 = 0,006 m²

./ = 3/ + 4$7 6 = (*,8',9''8*': + ;<,9,9'> *' *': ?@',* = 148,29 MPa (T) .A = 3/ B 4$7 C = (*,8',9''8*': B ;<,9,9'> *' *': ?@',* = - 141,076 MPa (C) :KL',*'9  ',(  ','*N J <8, 9  *' EG 6 D/ = 7H = L9,'>  *'?@NL','*N = 15,089 MPa DA = EG7HC = J<8,9 L9,*''>:KL', *'*?@'9NL',','(*N ','*N = 15,089 MPa Tensões principais no ponto A:

. = 1OP,2P MQa R .$ = 0 MQa R D$ = B15,0PS MQa ( ( T V T T Y T *Z>, ( > V ' *Z>, ( > Y ' U W U W ( X X .*,( = ( ± & ( - + D$ = ( ± & ( - + LB15,0PSN( = 74,145 MPa ± 75,66 MPa

[\ = \]^ _`b

; 533


[c = B\,]c _`b



! = "141,08 MPa ; $ = 0 MPa ; %!$ = "15,089 MPa

' ' ( * ( ( / ( / &6&, 7 : * 7 /&6&, 7 : / 7 ) + ) + ' - - &,' = ' ± . ' 2 3%!$ = ' ± . ' 2 3<"15,089>' = - 70,54 MPa ±72,14 MPa

?@ = @,AB CDE

;

?F = "@GH CDE

9.31. O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvido em qualquer lugar na superfície do eixo.

Figura 9.31

 = ! #" = ! $%"&' = ! )&("' ; * = +,- = +$',.%, = /+),0. = )1/+&2./30 = 45+)&0. 6 = ! )&("' ; 8 = 9 ; *68 = 4)&5+0.

/ % F % F ' / / C ? H KC L C H < ? < < C < 45+ /" / 5(+ ' ' > @ > @ . . $G $G / / A I A 4:/ = / ± B / D E *68 = / ± J / M EB! )&0 D = ! )&' ± )&' N E &'

4 = ! PdONO E PdOO A NO E QRTdO9O = UVSS J!WE A WS E XYZVS[SM O S ON O QRT S XYZ O S 9 [ A A / = ! PdO ! PdO N E dO = ! UVS JWE W E VS M

/ %F S / / C C H < C < 45+ S XYZ ' > @ . [ $G / S A I A *\á6 ]^ _à]^ = B / D E *68 = J / M EB )&0 D = UVS W E VS 534 Resolução: Steven Róger Duarte


*9.32. Um tubo de papel é formado enrolando-se uma tira de papel em espiral e colando as bordas como mostra a figura. Determine a tensão de cisalhamneto que age ao longo da linha de junção localizada a 30° em relação á vertical, quando o tubo é submetido a uma força axial de 10 N. O papel tem 1 mm de espessura e o tubo tem diâmetro externo de 30 mm.

Figura 9.32

 = ! = ./ = 109,76 kPa ;

4/:<: = >

?@ ) ?A *

"# $ (#,#&' )#,#*+' -' %

. 3 = 0 kPa ;

sen(B5- C 4/3 cos(B5- = >

= 109,76 kPa

4 /3 = 0 kPa ; "#D,EF ) # *

5 = 80°

sen(B x 80°- C 0 = - 47,5 kPa

9.33. Resolva o Problema 9.32 para a tensão normal que age perpendicularmente à linha de junção.

Figura 9.33



"#

!

$ (#,#&' )#,#*+' -' %

. = = ./ = 109,76 kPa ;

.G =

? @ H ?A *

C

?@ ) ?A *

. 3 = 0 kPa ;

= 109,76 kPa

4 /3 = 0 kPa ;

cos(B5- C 4/3 sen(B5- =

"#D,EF H #

IJ = 82,3 kPa 535 Resolução: Steven Róger Duarte

*

C

5 = 80°

"#D,EF ) # *

cos(B x 80°-


9.34. O eixo tem diâmetro d e está sujeito às cargas mostradas. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A. Os mancais suportam apenas reações verticais.

Figura 9.34

 +!F $ +!F% = 0 ! +"M = 0 ;

" =

;

0 ;

#

N-F=0 0,5P – V = 0

N=F





M – (0,5P)(0,5L) = 0

V = 0,5P M = 0,25PL

34. 56 7, 9: >9: 7, 2 & '( , ) #$ = % $ + * = % -./1 + -.6. = % 8/1 + 82;15< = 8/< % 8/1 ?$ = @A*B) = 0 #C = EPLFdG % FdHIJ K #( = 0 K ?C( = 0 Q X34 .Y X34 .Y Q W T Z W W Z R T R R W R < 1 < 1 S U S U #NOQ = Q ± V 2 Q 5 + ?C(Q = -; Q-; ± [ \ -; Q -; ] + ^0_Q #NOQ = 8/Q1 2Q9:/ %I5± 8/Q1 2Q9:/ %I5 à = `b = efcg 2ghif %j5 `g = `k = l Q X34 .Y Q W W Z R W R < 1 ?máC no pqrno = V 2 S Q U5 + ?C(Q = [ \ -; Q-; ] +^0_Q = efgg 2ghif %j5 ;

;



9.35. O tubo da perfuratriz tem diâmetro externo de 75 mm, espessura de parede de 6 mm e pesa 0,8 kN/m. Se for submetido a um torque e a carga axial como mostra a figura, determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano em um ponto sobre a sua superfície na seção a.

Figura 9.35 (a) As tensões principais:

W = 0,8 x 6 = 4,8 kN +!F

 = 0

;

" + #M = 0

!

N – 7,5 – 4,8 = 0 ;

!

T – 1,2 = 0

(),* . (/1 = - 9,46 MPa (C) = = & 23/,/*45 67 /,/*(568

$% & '%

;

N = 12,3 kN

T = 1,2 kN.m

9% = :;< = @6>(,3/,)/*45. (/A17?3/,/,//*(5*45A88 = 28,85 MPa

$. = 0 MPa B $ = &C,DE MPa B 9. = FG,GH MPa

$(,) = IJ K) IL ± N OIJ 7) ILQ) +9.) = / K [7R,) ST] ± N O / 7[7R,) ST]Q) + 3FG,GH8) = - 4,73 MPa ± 29,235 MPa UV = WX,YV Z\^

;

UW = &__,`b Z\^

(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano:

9cá. de fghde = N OIJ 7) ILQ) +9.) = N O / 7[7R,) ST]Q) + 3FG,GH8) = 29,24 MPa 537 Resolução: Steven Róger Duarte


*9.36. As cargas internas em uma seção da viga mostradas na figura. Determine as tensões principais no ponto A. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.

Figura 9.36

Nx = 500 kN

;

Vy = 800 kN

; Mz = 40 kN.m

;

My = 30 kN.m

I = 2!",# %'#","&³ +0,2 x 0,05 x 0,125#(+!","&'#% ",#³( = 3,5 x 10 m -4

4

A = 2 x 0,2 x 0,05 + 0,05 x 0,2 = 0,03 m²

I) = 2!","&'#% ",#³(+!",# %'#","&³( = 6,875 x 10 m 'A = - 77,45 MPa (C) *- = . /-3 . 4866)7 . 48997 = . &""",%";'": . <>";,%&'"% :'"?@",BC'&A . <;"D,E%F&'"%:?@", BG '" -5

4

;

H- = 0 MPa

*% = .JJ,K5 MPa L *) = 0 MPa L H%) = 0 MPa # # N O N N R N RFF, > & O " RFF, > & R" 3 9 3 9 # Q Q *',# = # ± ! # ( +H%) = # ± ! # ( + @0A# = - 38,725 MPa ± 38,725 MPa

ST = SU = V WXY

;

SZ = S[ = .\\,] WXY

H^á% _` bcd_` = Q !N3 R# N9(# +H%)# = Q ! RFF,>#& R "(# +@0A# = 38,7 MPa



9.37. Resolva o Problema 9.36 para o ponto B.

Figura 9.37

Nx = 500 kN

;

Vy = 800 kN

; Mz = 40 kN.m

;

My = 30 kN.m

I = 2!",# %'#","&³ +0,2 x 0,05 x 0,125!+"#,#$'& #,³! = 3,5 x 10 m -4

4

A = 2 x 0,2 x 0,05 + 0,05 x 0,2 = 0,03 m²

I( = 2"#,#$'& #,³!+"#, &'#,#$³! = 6,875 x 10 m '? = 44,11 MPa (T) )* = - .0/ + 1533(4 + 156674 = - $###, '#8 + :;#9,&$'#& 8'#<>#,@A'$? + :9#B,C&D$'#&8<>#, @E '# -5

4

;

F* = G MPa

)& = HH,JJ MPa K )( =G MPa K F&( = G MPa   L N L L Q L ;;, ' ' N # ;;, ' ' Q# / 6 / 6  O O )', =  ± "  ! +F&( =  ± "  ! + >G? = 22,055 MPa ± 22,055 MPa

RS = RT = UU,S VWX

;

RY = RZ = [ VWX

  L Q L ; ;, ' ' Q # / 6  O O F\á& ]^ _`b]^ = "  ! + F&( = "  ! + >G? = 22,1 MPa 539 Resolução: Steven Róger Duarte


9.38. Resolva o Problema 9.36 para o ponto C localizado no centro na superfície inferior da alma.

Figura 9.38

Nx = 500 kN

;

Vy = 800 kN

; Mz = 40 kN.m

;

My = 30 kN.m

I = 2!",# %'#","&³ +0,2 x 0,05 x 0,125#(+!","&'#% ",#³( = 3,5 x 10 m -4

4

A = 2 x 0,2 x 0,05 + 0,05 x 0,2 = 0,03 m²

I = 2!","#'&% ",&³(+!",& %'&","#³( = 6,875 x 10 m )* = - .0/ + 15334 = - #""",%"7'"6 + 89"7,%# '"% '"6:;",>? '< = - 5,24 MPa (C) 6:;",'&# % ",& % ","#< A C 8E"" % '" B 4 @* = 53D = ;7,# % '">? % ","#< = 57,14 MPa -5

4

)% = -F,2G MPa H ) = J MPa H @% = -FK,LG MPa

)',& = N/ O& NB ± Q !N/ R& NB(& + @%& = R#,&&9 O " ± Q !R#,&&9 R"(& + ;-FK,LG<& = - 2,62 MPa ± 57,2 MPa ST = UV,W XYZ

;

S[ = -U\,] XYZ

& & N R N R#, & 9 R " / B & Q Q @^á% _` bcd_` = ! & ( +@% = ! & ( +;-FK,LG<& = 57,2 MPa 540 Resolução: Steven Róger Duarte


9.39. A viga de abas largas está sujeita à força de 50 kN. Determine as tensões principais na viga no ponto A localizado na alma na parte inferior da aba superior. Embora a precisão não seja muito boa, use a fórmula do cisalhamento para a tensão de cisalhamento.

Figura 9.39

V - 50 = 0 =0 ; # V = 50 kN $ +!M = 0 ; M – 50 x 3 = 0 M = 150 kN.m I = 2!", %&#","&#³ +0,2 x 0,012 x 0,131²' +!","& &#% ",#(³' = 9,545 x 10 m )* = -.4 / = 5&(":,(%;(&"%678",&"<>&#(9 = 196,44 MPa (T) ?* = @A4B/ = 5(" %8:,&"(6;(78",%&&"C&<>% %",","&#"&9% ",#9 = 16,47 MPa  + ! F"



#

-5

4

)% = 1DE,FF MPa G ). = 0 MPa G ?%. = H1E,FJ MPa

)&,# = KL N# KO ± Q !KL R# KO'# +?%.# = &:S,;#; N " ± Q !&:S,;#; R"'# + 8H1E,FJ9# = 98,22 MPa ± 99,59 MPa TU = UVW XYZ

; 541


T[ = HU,\] XYZ


*9.40. Resolva o Problema 9.39 para o ponto B localizado na alma na parte superior da aba inferior.

Figura 9.40

 + ! F" = 0

;

V - 50 = 0



#

V = 50 kN

$ +!M = 0 ; M – 50 x 3 = 0 M = 150 kN.m I = 2!",# %&#","&#³ +0,2 x 0,012 x 0,131²' +!","& &#% ",#(³' = 9,545 x 10 m 789",&#(: 6&(" % &" ./ 4 )* = - 5 = - ;,(<( % &">? = - 196,44 MPa (C) @* = A5CB4 = 6(" %9;,&"(7<(89", %&&"D& >?% %",","&#"&:% ",#: = 16,47 MPa -5

)% = -1EF,GG MPa H )/ = 0 MPa H @%/ = -1F,GJ MPa

4

# # K N K K R K &;S,<< &;S,<< R N " R R " L O L O # Q Q )&,# = # ± ! # ' +@%/ = # ± ! # ' + 9-1F,GJ:# = - 98,22 MPa ± 99,59 MPa

TU = -U,VW XYZ

;


T[ = U\] XYZ


9.41. O parafuso está preso a seu suporte em C . Se aplicarmos uma força de 90 N à chave para apertálo, determine as tensões principais desenvolvidas na haste do parafuso no ponto A. Represente os resultados em um elemento localizado nesse ponto. A haste tem 6 mm de diâmetro.

Figura 9.41

 + ! F" = 0 $ +!M% = 0

;

;

Vy - 90 = 0

Mx = 90 x 0,05 = 4,5 N.m

;

' = )-**", = ./561 %%3/3/3343346 = 212,21 MPa (T)

y

z

;

(

# V = 90 N $ +!M& = 0 ; T = 90 x 0,15 = 13,5 N.m ( 89; : !&' $,"%,$ %%!%%!( = 318,31 MPa

7 = =

%,

)$ = 212,21 MPa ; )* = 0 MPa ; +$* = 318,31 MPa

),- = ./ 4- .5 ± 6 7./ 9- .5:- <+$*- = --,-- 4 % ± 6 7--,-- 9%:- <>318,31?- = 106,105 MPa ± 335,53 MPa @A = BBA,CD EFG

@H = IHHJ,BH EFG !S,! = 3 T UVA = DW,XY° ; LN- = 3Z,[8°I \0° = IWB,HH° tangK2LNO = >./ 9Q/5.5?R- = >--, - 9 %?R)$] = )$ <2 )* < )$ I2 )* cos>2L? < +$*sen>2L? = 212,221 < 0 < 212,212 I0 cos>2 x 3Z,[8°? < 318,31sen>2 x 3Z,[8°? @^] = 441,63 MPa ;




Figura 9.42

 + ! F = 0 " + #M$ = 0

&' =

;

;

Vy - 90 = 0

Mx = 90 x 0,05 = 4,5 N.m

()* = 3 -./ $ 2 = 0 MPa ,) 4 $ 2.2254

;

;

! V = 90 N " + #M% = 0 ; T = 90 x 0,15 = 13,5 N.m y

z

AB2CD EF $ 2.225FG I5./ $ 2.225 8 : < ? 9 * > 6' = 7 ,); + @ = 7 D34 $ 2.2254GA2.22HC + 3E $ 2.2254 = 314,07 MPa

&$ = 0 MPa J & = 0 MPa J 6$ = KLN.0O MPa Q Q R S R R U R 2 S 2 2 U2 ) 9 ) 9 Q T T &I.Q = Q ± D Q G +6$ = Q ± D Q G +AKLN.0OCQ = ± 314,07 MPa

VW = XWY.Z[ \]^

;

V_ = 7XWY.Z[ \]^

tang`bcde = AR) Uf)9R9ChQ = A25I-.U 22CihQ = j ! klW = Ym° ; cdQ = No°7 p0° = 7Ym° &$q = R) SQ R9 + R) UQ R9 rsuAbcC+6$uvnAbcC = 2 S2Q + 2U2Q rsuAb x No°C+KLN.0OuvnAb x No°C = 314,07 MPa 544 Resolução: Steven Róger Duarte


9.43. A viga tem seção transversal retangular e está sujeita às cargas mostradas. Determine as tensões principais desenvolvidas no ponto A e no ponto B, localizado imediatamente à esquerda da carga de 20 kN. Mostre os resultados em elementos localizados nesses pontos.

Figura 9.43

Reações:

 + !M = 0 ! +"F# = 0 $ +" F% = 0 ;

! + "F# = 0 $ +" F% = 0

'( = )

& + "M = 0 *

,%-

(

.

+

=)

;

;

- 20 x 2 + 4R = 0

;

Fx – 10 = 0





Fy – 20 + 10 = 0

; ;

10 – N = 0 10 – V = 0 M – 10 x 2 = 0

R = 10 kN Fx = 10 kN





 

/1 # /13 + 651 # /137814/9 = 29,5 MPa (T) :4; < :4>3 14/ # 145 ;>

'C = ) *( + ,%. D = ) /114/##/11453 + 0 = - 0,5 MPa MPa (C)

;

Fy = 10 kN

N = 10 kN V = 10 kN M = 20 kN.m ;

# 14/ # 14/9 = 0,75 MPa ?C = @A.BD = 6/1 # /1G:4;378141E < :4> 3H814/9

Ponto A:

'# = IJ40K MPa L '% = 0 MPa L ?#% = 0 MPa 545 Resolução: Steven Róger Duarte

?( = @A.B- = 0 MPa ;>


!," = # &" #' ± ( )#$ *" #'+" -./0" = "1,2"3 & 2 ± ( )"1,2"3 *2+" -456" = 14,75 MPa ± 14,75 MPa $

78 = 79 = : ;<> ; ! = " = !#,$% '() / 01 3 9 6 > ?@A = $° 340 5 41687 7:,9; 5 9 87

tang*2+-. =

=

=<

;

?@! = $°

Ponto B:

BC = D<,E MPa F BG = < MPa F HCG = D<,IE MPa

7 7 4 K 4 4 – 4 59, ; K 9 59, ; 59 0 1 0 1 7 L R BJ,7 = 7 ± N 7 O QHCG = 7 ± S 7 T Q 3D<,IE67

A = $,%UA '()

tang*2+-. = 340 –/0141687 = *59, 59,; –V9.; 87 = W

±

= - 0,25 MPa 0,791 MPa

! = DA,$U '() > ?@A = X%,Y° +-7 = WE,Z°D[<° = D%U,!° ;

;

BC\ = 40 K7 41 Q 40 7– 41 cos32+6QHCGsen32+6 = 59,;7K 9 Q 59,;7 – 9 cos32 x WE,Z°6D<,IEsen32 x WE,Z°6

= - 1,04 MPa

]

*9.44. O eixo maciço da hélice de um navio estende-se para fora do casco. Em operação, ele gira a = 15 rad/s quando o motor desenvolve 900 kW de potência, o que causa um impulso de F = 1,23 MN no eixo. Se o diâmetro externo do eixo for 250 mm, determine as tensões principais em qualquer ponto localizado na superfísie do eixo.

Figura 9.44

P = ^_ >

B = D `b = D J,hi7 Cd9,C7J9;jf

900 = 15T

= - 25,06 MPa (C)

;

>

T = 60 kN.m

H = kml = *p9hjC CJ99,qJ.39,7;iJ7;6

= 19,56 MPa

BC = D2E,
7 4 K 4 4 – 4 0 1 0 1 L BJ,7 = 7 ± N 7 O QHCG7 = 57;,97p K 9 ± R S57;,79p 59T7 Q 3u[,Er67

A = A$,v '()


; 546

! = DX%,Y '()

±

= - 12,53 MPa 23,23 MPa

Transformação da Tensão O eixo maciço da hélice de um navio estende- se para fora do casco. Em operação, ele gira a • = 15 quando o motor desenvolve 900 kW de potência, o que causa um impulso de F = 1,23 MN no eixo.

9.45. rad/s Se o diâmetro externo do eixo for 250 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima no plano em qualquer ponto localizado na superfície do eixo.

Figura 9.45

" = # $% = #

P = T ! 900 = 15T ! &,.' *(+,*'&+01- = - 25,06 MPa (C) ; /

T = 60 kN.m

2 = 354 = 67+.1* *&++,8&9:+,'0/&'0;

= 19,56 MPa

"* = #<>,?@ MPa A "B = ? MPa A 2*B = CD,>@ MPa

' ' N – N W'0, + 7 – + O Q ' U K 2Eá* FG HIJFG = L ' R S2*B = V ' X S:CD,>@;'

= 23,2 MPa

9.46. O tubo de aço tem diâmetro interno de 68 mm e diâmetro externo 75 mm. Se estiver preso em C e for submetido à força horizontal de 100 N que age na extremidade do cabo da chave, determine as tensões principais no tubo no ponto A localizado na superfície do tubo.

Figura 9.46 547 Resolução: Steven Róger Duarte


Esforços atuantes no ponto A:

 +!F" = 0 # + ! M$ = 0

%& =

; Tx = 100 x 0,3 = 30 N.m

' (), * + -2./41 3

!

=

;

Vz = 100 N

# + ! M$ = 0 ;

;

My = 100 x 0,25 = 25 N.m

>C66B68659:? @ 6865A?B + ;>68659:? @ 6865A?B>68669B = - 0,863 MPa < ?

= 0 MPa ;

#

= 0 MPa ; $

!# =

%0,863 MPa

-

' ' ( *( ( – ( 2*2 2 72 ) + ) + ' 4 &,' = ' ± . ' / 1$!# = ' ± 5 ' 9 1

>? = @,ABC DEF

:%0,863<'

±

= 0,863 MPa

>G = %@,ABC DEF

;

9.47. Resolva o Problema 9.46 para o ponto B localizado na superfície do tubo.

Figura 9.47

Esforços atuantes no ponto B:

H

1 IJK = 0

;

L 1 IM! = 0 ; T = 100 x 0,3 = 30 N.m ; O K ! 2,2TUS = 1,8616 MPa MPa (T) N = R+ Q = V:2,2'S + W TUSW 72,2TXW<

Vz = 100 N

L 1 IM! = 0

x


;

;

My = 100 x 0,25 = 25 N.m

2TUS2TXW< = 1,117 MPa $N = Y = V\:2,2T2TUS! W2,72, )Z

[


!

= 1,86 MPa ;

= 0 MPa ; $

#

!# =

%1,12 MPa

-

' ' ( *( ( – ( &, 4 5 * 7 &, 4 5 <7 ) + ) + ' 9 &,' = ' ± . ' / 3$!# = ' ± : ' > 3 ?%1,12@' = 0,931 MPa ± 1,454 MPa

AB = C,DEF GHI

! = "#, $!% '()

;

*9.48. A extremidade da viga em balanço está sujeita à carga mostrada. Determine as tensões principais na viga nos pontos A e B.

Figura 9.48

Esforços: Vy = 15 x (4/5) = 12 kN My = 9 x 1,2 = 10,8 kN.m

; ;

Vz = 15 x (3/5) = 9 kN Mz = 12 x 1,2 = 14,4 kN.m

458,E 7 589:;8,8F? = - 10,8 MPa (C) *+ = -.1./0 " -12230 = 456,6@,AB7 58C 9@,AD:;8,8<>? " 9 @,AD C @,AB 9 AB

AB

9 :;8,8<>? 458,E 7 589:;8,8F? 3 456,6 7 58 / 2 H . H *G = 1. " 12 = @,AB C @,AD9 I @,AD C @,AB9 = 42 MPa (T) AB AB

7 8,8O 7 8,5N? = 0,640 MPa J+ = K21.LM0 = 45N 7P58@,AB9:;8,8F 9 C @,AD Q;8,5N?

JG = " K1.2LMH = "

AB 4R 7 589:;8,86 7 8,86 7 8,>? = - 0,667 MPa P@,AD CAB@,AB 9Q;8,5>? 549



Ponto A:

!

= "10,8 MPa ; $ = 0 MPa ; %!$ = 0,640 MPa

&,' = () *' (+ ± - .() / ' (+2' 3 %!$' = !",&# % " ± ' (!",&# ")& + *0,640-& = - 5,40 MPa ± 5,4378 MPa ./ = 12,3 578

;

.9 = :/;,3 <78

Ponto B:

>? = 4@ MPa A >B = 0 MPa A C?B = 0,66D MPa

>!,& = EF %& EG ± ' (EF & EG)& +C?B& = H&&% " ± ' (H&&")& + *0,66D-& = 21 MPa ± 21,0105 MPa ./ = I9 <78

;

.9 = :/;,J 578

9.49. A viga-caixão está sujeita às cargas mostradas na figura. Determine as tensões principais na viga nos pontos A e B.

Figura 9.49

Reações:

K + LM! = 0 ; O + LQB = 0 ;

K + LM = 0

;

;

8,2 – 4 – V = 0 550


N

V1 – 4 – 6 + 1,8 = 0

M – 4 x 1,65 + 8,2 x 0,75 = 0

O + LQB = 0

N

4 x 0,9 – 6 x 1,5 + 3V2 = 0

N N

V2 = 1,8 kN V1 = 8,2 kN

M = 0,45 kN.m = 450 N.m V = 4,2 kN

!

" # = $ = %


( ')*+(*,-+ = 0,4937 MPa (T) /,0 1 /,0 . 30 2 4 /,35 130/,35 26

! = "%&# = 3 $

*,*9)+ = - 0,370 MPa (C) 7 = "#% 8 = ./,0 1(/,0 ')*2 4+(/,35 1 /,35 26 30 30

;

'(,/ ) + -./01.2/ 4,5 6 4,5 8 4,79 6 4,79 :1.,.;2 = 0 MPa 75 75

< = "#%&> = 34,5 756 4,5'(,/ 8)4,+7-.9 675/4,01.279/:1.,.;2 = 0 MPa

;

Ponto A:

?+ = @,ABCD MPa E ?F = @ MPa E +F = @ MPa

?-,) = G6 H) GI ± J KG6 8) GIL) N+F) = .,(OQR) H . ± J K.,(OQR) 8.L) N 1@2) = 0,247 MPa ± 0,247 MPa ST = U,VWV XYZ

S[ = U XYZ

;

Ponto B:

?+ = \@,CD@ MPa E ?F = @ MPa E +F = @ MPa

?-,) = G6 H) GI ± J KG6 8) GIL) N +F) = 8.,QR.) H . ± J K8.,Q)R. 8.L) N 1@2) = - 0,185 MPa ± 0,185 MPa ST = U XYZ

S[ = \U,]Û XYZ

;

9.50. Uma barra tem seção transversal circular com diâmetro de 25 mm e está sujeita a torque e a momento fletor. No ponto de tensão de flexão máxima as tensões principais são 140 MPa e -70 MPa. Determine o torque e o momento fletor.

) G H G G 8 G 6 I 6 I J ?- = ) N K ) L N+F) = _A@ MPa [1] Sabemos que:

e

) G H G G 8 G 6 I 6 I J ?- = ) \ K ) L N+F) = \D@ MPa [2]

?+ = ?+ E ?F = @ E +F = +F , logo:

G6 N J KG6L) N ) = _A@ MPa [1] +F ) )

e

G6 \ J KG6L) N ) = \D@ MPa [2] +F ) )

S` = Û XYZ E b `c = Wd,WW XYZ, sendo assim: g D@ x _@h = eij ++.,.,..-);-);j g X = TU^,V klm

Resolvendo as equações [1] e [2], obtemos:

?+ = e%f

+F = nof g Bp,BB x _@h = ni5 ++.,.,..-);-);j g q = ]U],^ klm 551 Resolução: Steven Róger Duarte


9.51. As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500 N, uma força de cisalhamento de 800 N e duas componentes de momento de 30 N.m e 40 N.m. Determine as tensões principais no ponto A. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.

Figura 9.51

Nz = 500 N ; Mx = 30 N.m ; My = 40 N.m ;



Vy = 800 N

= !" # $(%%&' = *,+)**. *,/ # 01,*2 %23.1,*,3+4 = - 20 kPa (C)

5. = #67 kPa ; 5& = 7 kPa ; 8.& = 7 kPa

5+,/ = 9% :/ 9< ± > ?9% @/ 9 ?@/*/@*A/ B C7D/ EF = EG = H IJK

;

EL = EM = #LH IJK

/ 9 – 9 % < 8Ná. OQ RSTOQ = U V / W B8.&/ = > ?@/*/ – *A/ BC7D/ = 10 kPa


±

= - 10 kPa 10 kPa


*9.52. As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500 N, uma força de cisalhamento de 800 N e duas componentes de momento de 30 N.m e 40 N.m. Determine as tensões principais no ponto B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.

Figura 9.52

Nz = 500 N ; Mx = 30 N.m ; My = 40 N.m ;

!

Vy = 800 N

= "$# + %)&&'( = ,-.*,,' ,-0 + 1,2-3'4532-5,-,*6 = 145 kPa (T) 7 = !"%&#'$

= ()**12,+(3*,&34-2,/45*,6(*,- /-*,+*0+

= 60 kPa

7/ = 89: kPa ; 7< = > kPa ; ?/< = @A> kPa

7-,B = C& DB C" ± E FC& GB C"HB I ?/+B KL = LMN OQR

;

KS = @SL,M OQR

B B C – C -J0 – * & " B E Z ?Tá/ UV WXYUV = 1 B 6 I?/< = F B H I(@A>+B


±

= 72,5 kPa 94,108 kPa

= 94,1 kPa


9.53. As cargas internas em uma seção da viga consistem em uma força axial de 500 N, uma força de cisalhamento de 800N e duas componentes de momento de 30 N.m e 40 N.m. Determine as tensões principais no ponto C . Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.

Figura 9.53

Nz = 500 N ; Mx = 30 N.m ; My = 40 N.m ;

! = "$# + %)&&'( = ,-.*,,0 ,-1 + 2,3-4045& ,-3-5,6*



Vy = 800 N

= 47,5 kPa (T)

7! = 8)9&:;( = <>,,?
!

= 47,5 kPa ;

#

' ( *( ( / ( ) + ) + - &,' = ' ± . ' 1 2$!# ' = 36,8'* 9

>? = @A,B CDE

= 0 kPa ; $

!# =

%45 kPa

' 36, 8 /9 - ± . ' 1 2 :%45<' ;

>F = %F@,? CDE

$Gá! HI JKLHI = M N() '– (+O' 2$!#' = - .36,8' – 91' 2:%45<'


±

= 23,75 kPa 50,883 kPa

= 50,9 kPa


9.2 - PROBLEMAS *9.56. Resolva o Problema 9.4 usando o círculo de Mohr.

Figura 9.56

!

= "650 kPa ; $ = 400 kPa ; %!$ = 0 kPa () * (+ -./1 * 211 = -125 kPa (Centro do círculo)

&é' = ,



=

,

8 8  –  "650 – 400 x y 8 3 3 R = 7 8 9 :%xy = 7 8 9 :08 !< = ">85 "585cos?60°@ = "ABCD5 kPa = "EDFGH IJK %!<$< = 585sen?60°@ = 455 kPa = EDLMM IJK = 525 kPa

;



9.57. Resolva o Problema 9.2 usando o círculo de Mohr.

Figura 9.57

= 5 MPa ; # = 3 MPa ; $ = 8 MPa ' ) ' %é& ( * , ) - = 4 MPa (Centro do círculo) !

!#

= + = +

2 2  –  5 – 3 x y 2 . . R = / 2 0 1$xy = / 2 0 182 4 = arctang687= 8298:5° ; < = 2 x 5>° = ?>>° @ A = 41 < B ?8>° = ?>>° B ?8>° = 298:5° !C = D B 89>E2cos6298:5°7 = BF9GHI JKL $!C#C = B89>E2sen6298:5°7 = BG9FGF JKL = 8,062 MPa

;




Figura 9.58



= 350 kPa ; "# = $200 kPa ; %# = 0 kPa () *(+ -./ 1,// = 75 kPa (Centro do círculo)

"&é' = , = , 2 2 " – " [ ] 350 – $200 x y 2 4 4 R = 6 2 7 8%xy = 6 2 7 802 = 275 kPa

"9 = :5 8 2:5cos<>0°? = @23 kPa = ABCDE FGH

;


%9#9 = 2:5sen<>0°? = 2:@ kPa = ABDIC FGH



Figura 9.59

!

= 0 kPa ; # = $300 kPa ; % = 950 kPa () *(+ - ./-- = - 150 kPa (Centro do círculo)

&é' = ,



!#

=

,

4 4  –  [ ] 0 – $300 x y 4 1 1 R = 2 4 6 7%xy = 2 4 6 79504 8 = arctang29509536 = :<>03° ; ? = 8 7 <40° $ <:0° = :<>03° 7 <40° $ <:0° = 4<>03° !@ = $<50 79A<>BBcosC4<>03°D = BE: kPa = F>GHI JKL #@ = $<50 $9A<>BBcosC4<>03°D = $FHI JKL %!@#@ = 9A<>BBsenC4<>03°D = 3E5 kPa = F>OHQ JKL = 961,77 kPa



*9.60. Resolva o Problema 9.6 usando o círculo de Mohr.

Figura 9.60

= 90 MPa ; # = 50 MPa ; $ = %35 MPa ( *( &é' ) + -. * /. = 70 MPa (Centro do círculo) !

!#

= , =

,

4  –  x y 1 R = 2 4 6 7$xy4 = 1 290 4– 5064 7 8%35: 4 < = arctang235406 = >0?455° ; @ = 300° % AB0° % >0?455° = 59?CD5° !E = C0 7 D0?3AAcos859?CD5°: = FG?H IJK $!E#E = %D0?3AAsen859?CD5°: = %LF?N IJK = 40,311 MPa




Figura 9.61



= 300 kPa ; "# = 0 kPa ; $# = 120 kPa '( ) ' = ,-- ) - = 150 kPa (Centro do círculo)

"%é& =

*

+

+

R = . /"x 2– "y42 5$xy2 = . /3002– 042 51202 6 = arctang/1201704 = 389::° ; < = 180° > 120° > 389::° = 2193?° "@ = 170 > 1A291cosB2193?°C = >289A kPa = >D9DEFG HIJ "#@ = 170 5 1A291cosB2193?°C = 32A kPa = D9KEG HIJ $@#@ = 1A291senB2193?°C = :A9A kPa = D9DLGG HIJ = 192,1 kPa





= 45 MPa ; # = $60 MPa ; % = 30 MPa ( *( &é' ) + -. / 12 = - 7,5 MPa (Centro do círculo) !

!#

= , =

,

9  –  x y 7 R = 8 9 : <%xy9 = > ?45 $[9$ 60]@9 <309 A = 60B5 $CB5 = DE FGH , = $60B5 $CB5 = $IJ FGH tangK9LNO = .,BQ2. = 0B5CS4 T UVW = WXBY° = 60,467 MPa

;

(sentido anti-horário)

(b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média:

%á! #$ %&'#$ = R = (), *

+-.

;

tang;<>? @ = 75,7 = B,CD A:

/é0 = E


1 2 3 14 5

= 67 85 9: = - 7,50 MPa

FGH = I),H° (sentido horário)




! =

180

&é' =

MPa

) +

( * (

,

;

#

= 0 MPa ;

= -./,* /

$!# = %

150

MPa

= 90 MPa (Centro do círculo)

4  –  x y 2 R = 3 4 6 7$xy4 = 9 :1804% 0<4 7 >%150?4 - = 1@ABCD 7 C0 = EFG HIJ , = %1@ABCD 7 C0 = %KLBN HIJ tangO4QST = -U/V/ = 1BWW@ X YZ[ = ENBG° = 174,93 MPa

;

(sentido horário)


$&á! \] S^_\] = R = [`G HIJ

tang>4Q

!" ) = #$"

;

&é' = () *, (+ = -./,* /

= 0,6 % &'( = (*,*° (sentido anti-horário)


= 90 MPa




200 MPa ;

$ = 250 MPa ; %!$ = 175 MPa

! = "



&é' =

) * (+

(

,

= ,.., * ,/. -


2 2  –  y 3 R = 4 2 6 8%xy = 9 : 2002 " 250<2 8 175?2 @ = 258 2A5B0C = DEF , = 25 x

"

GHI

;



,,/ = 0B77A

T

UVE

tangL NO Q = @S/

2

>

= 285,04 MPa

" 2A5B0C = "JKF GHI

= EWBX° (sentido horário)


%

&á!

YZ O[\YZ = R = JW] GHI

;

tang 2 ? = ,@S/,/ = 1B2A57 > N^

&é' =

) * (+

,

= ,.., * ,/. -

= 25 MPa

T U_E = JKBE° (sentido anti-horário)


(




30 MPa ;

! = "



&é' =

(

) * (+

,

$ = 0 MPa ; %!$ = "12 MPa

= ./,* / -

= - 15 MPa (Centro do círculo)

2  –  x y 4 R= 5 2 6 7%xy2 = 8 9"302" 0:2 7 <"12>2 ? =1@A21"1B=CADE FGH , ="1@A21"1B="ICADE FGH tangJ2KLN= ?,?O =0AQ S TUE =EVAII° = 19,21 MPa

;



%&á! WX LYZWX =R=EVA D E FGH &é' = () *, (+ = -./,* / K[, =@0°"2BA\]°=^CAII° tang<2K[> = ?O?, =1A2B S K[? =2BA\]° ;

= - 15 MPa

(sentido horário)


;


9.66. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 20º em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento.

Figura 9.66

 = 3 MPa ;

"# = $2 MPa ;

%# = $4 MPa

"&é' = () *(, + = - ., , = 0,5 MPa (Centro do círculo) 2 " – " x y / R = 0 2 1 5%xy2 = 6 73 52 282 5 9$4:2 = 4,717 MPa < = arctang7,?>@8$4A° = BC°

"D = A?E 5 4?FBFcos9BC°: = G?HIJ KLN "#D = A?E $ 4?FBFcos9BC°: = $O?HIJ KLN %D#D = $4?FBFsen9BC°: = $Q?GST KLN



9.67. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 60º em sentido antihorário em relação ao elemento mostrado.

Figura 9.67

! =

750 kPa ; # = $800 kPa

&é' = () , + = -./ 1, 2// * (

;

%

!# =

450 kPa

= - 25 kPa (Centro do círculo)

R = 3 6x 9– y:9 <%xy9 = > ?750 $9[$800]@9 < A450B9

= 896,17 kPa

C = D90°$E = D90°$arctang?F./--.@ = 8GH8I°

!J = $95$ 8GIHD7cosA8GH8I°B = $97H9 kPa = $KHKLML NOQ #J = $95< 8GIHD7cosA8GH8I°B = $99H8 kPa = $KHKLLS NOQ %!J#J = $8GIHD7senA8GH8I°B = $8GI kPa = $KHSTU NOQ



*9.68. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 30° em sentido horário em relação ao elemento mostrado.

Figura 9.68

! = 350

MPa

;

# = 230

&é' = () , + = -./*, ,-/ * (

MPa

;

$!# = %480 MPa


2  –  x y 1 R = 6 2 7 9$xy2 = : <350 %2 230>2 9 ?%480@2

A = 22B8C°

= 483,73 MPa

!D = 2E0 9 483BC3cos?22B8C°@ = FGH IJK #D = 2E0 % 483BC3cos?22B8C°@ = %LNH IJK $!D#D = %483BC3sen?22B8C°@ = %LOO IJK



9.69. Determine o estado de tensão equivalente, se um elemento estiver orientado a 30º em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento.

Figura 9.69

 =

MPa ; "# = 8 MPa ; $# = 15 MPa '( ) '* , ) - = 7,5 MPa (Centro do círculo) 7

"%é& = + = +

2 " – " x y . R = / 2 0 3$xy2 = 4 67 92 8:2 3 <15>2

= 15,00833 MPa

? = 18@°9A@°9B = 8@°9A@°9arctang6CDEFFEF-GGD :

= 31,909°

"H = 7E59 15E@@8IIcos = 9KELNO QST "#H = 7E53 15E@@8IIcos = LOELNO QST $H#H = 15E@@8IIsen = UEVWW QST



9.70. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.


! = 350

MPa

;

# = $200

&é' = () , + = -./1, ,// * (

MPa

;

%

!# =

500 MPa


R = 4 6x 2 y72 8%xy2 = 9 :350$2[$200]<2 8 500?2 @ = 8 $FJE GHI ,= $ .// = SBTST2 U VWX = YZB E° tangK2LNO = ,Q. –

A5

>

;

5A0BCD = EFE GHI



A5

= 570,64 MPa

5A0BC =



%

á!

#$ %&'#$ = R =

()* +,-

;

.é/ = 01 24 03 = 567 84 477 = 75 MPa

4?6 tang9:;<> = 677 = @ABB C DE* = *FAF° (sentido horário)



má xima no plano e a tensão 9.71. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.


! = 10

MPa

;

# =

&é' = () , + = -. , /. * (

;

80 MPa 80 MPa

*

60

$!# = % MPa


4  –  x y 2 R = 3 4 5 7 $xy4 = 9 :10 %4 80<4 7 >%60?4 - = @A7 @A 7 6BC6BC@6 = = DDECF GHI , = @A % 6BC@6 = %JECF GHI = 69,46 MPa

;

tangK4LNO = STQ. = 1CU1@ V LN- = 4BC8U° LN, = B0° % 4BC8U° = WXCD°>° >YZ[\]^_ `_báb]_? $&á! cd Nefcd = %R = %WhCF GHI &é' = () *, (+ = -. *, /. tang>4Li? = SQ.T = 0CA8jj  ! = #$ #° ;


;

= 45 MPa

"#


, (sentido horário)


*9.72. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Figura 9.72


! = 0

MPa

;

# = 50

&é' = () , + = - ,. * (

*

;

MPa

30

$!# = % MPa


2   x y / R = 1 2 4 6 $xy2 = 7 80 25092 6 :%30<2 > = 25 6 3?@0505 = AB AB@@ C , = 25 3?@0505 = @ C K- = L@2 N OQC = ST@ C :UVWXYZ[ \[]á]Y[< tangG2HH J = ,. tangG2 –

%

;

DEF

= 39,05 MPa



%

%CB % CB DEF

I


( $&á! ^_ I`b^_ = R = cd@ C &é' = ) , + = - ,.2 e, = ?0° 2 I> = Cd@ d° :UVWXYZ[ \[]á]Y[ \[]á]Y[<< DEF

H

* (

;

% H

FWXY %


*

= 25 MPa




! ="12 MPa ; $ = "8 MPa ; %!$ = 4 MPa

&é' = () *, (+ = -.,., , - / = - 10 MPa (Centro do círculo) R = 0 3x 2– y52 6 %xy2 = 7 9"12 "2 ["8]:2 6 <4>2 = 4,47 MPa

. = "1? 6 4@4A = "B@ BC

DEF

,=2

tangJ2KL N = O

GH@@ HI DEF , = "1? " 4@4A = "GH Q STG = CG@ I° 

;


%&á! `b

Lcd`b

=R=

H@ HI DEF

tang<2Ke> = ,O = ?@f

;

Q

&é' = () *, (+ = -.,., , - /



SUG = GC@ C° (sentido anti-horário)


= - 10 MPa




 = 45 MPa ;

"# = 30 MPa ; $# = %50 MPa

"&é' = () *(, + = - .*/1 , = 37,5 MPa (Centro do círculo) R = 2 6"x 7– "y87 9$xy7 = : <45 %7 30>7 9 ?%50@7 = 50,56 MPa

"A = 3BC5 950C5D = EECF GHI

tangK7LNO = QC.1. = DCDDB

", = %50C5D 9 3BC5 = %FJCF GHI S TUF = VWC X°?YZ[\]^_ I[\]% `_báb]_@ ;


$&á cd Nefcd = R = hWCi GHI

;

"&é' = () *, (+ = -. *, /1

tang?7Lj@ = Q.1C. = 0Ck5 S TYF = VClX°

= 37,5 MPa

(sentido horário)



9.75. A chapa quadrada de metal tem espessura de 12 mm e está sujeita ao carregamento mostrado. Determine as tensões principais desenvolvidas no aço.

Figura 9.75

!" = #,$',&! &'! ',(' !&$',& = 0,267 MPa

)! = 0 MPa ; )" = 0 MPa ; !" = 0,267 MPa

)*é+ = -. /$ -1 = ' /$ '


2 ) – ) x y 3 R = 4 2 5 8xy2 =  !0 #2 0$2 + 0,267)2 (

%& = ', *-. /13

;


= 0,267 MPa

%4 = #',*-. /13


*9.76. Determine (a) as tensões principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.


! = 105

MPa

;

# = 0

&é' = () , + = -./*, . * (

MPa

;

35

$!# = % MPa

= 52,5 MPa (Centro do círculo)

6  –  x y 2 R = 4 6 7 8$xy6 = 9 :1056% 0<6 8 >%35?6 - = 56@5 8A3@1 = BBC@DE FGH , = 56@5 % A3@1 = %BE@DE FGH tangI6JKL = /,@N// = 0@AAO Q STB = BD@U°>VWXYZ[\ ]\^á^Z\? = 63,1 MPa

;


$&á! _` Kbc_` = %R = %Dd@ BE FGH

&é' = () *, (+ = -./,* .

;

tang>6Je? = /N/,@/ = 1@5 Q SVB = fU@BCC°

= 52,5 MPa




9.77. Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão.

Figura 9.77

! ="30 MPa ; $ = 30 MPa ; %!$ = 0 MPa 4 ( * ( -./ * ./  –  ) + x y 1 &é' = , = , R= 2 4 5 6 %xy4 = 7 8"304" 3094 6 :0<4 = 0 MPa (Centro do círculo) ;

= 30 MPa

9.78. Obtenha o círculo de Mohr que descreve cada um dos seguintes estados de tensão.

Figura 9.78 Elemento (a)

! = >00 kPa ; $ = "?00 kPa ; %!$ = 0 kPa 4 ( * ( @ //A//  –  ) + x y 1 R = 2 4 5 6%xy4 = 7 8>00 "4["?00]94 6 :0<4 &é' = , = , = 100 kPa (Centro do círculo)

;


= 700


Elemento (b)

! =0

MPa

&é' = () , + = - .,, * (

;

# = $2

% 0 2 2 0 $ [$2] 2   x y / R= 1 2 3 %xy = 5 6 2 7 ;

MPa


;

!# =

–

MPa 4

4

8092 = 1 MPa

Elemento (c)

! =0

MPa

&é' = () , + = - , * (

*

;

# = 0


;


% 20 2 2 0$0 2   x y / R = 1 2 3 %xy = 5 6 2 7

MPa

;

!# =

–

MPa 4

4

82092 = 20 MPa


9.79. Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois estados de tensão sucessivos como mostra a figura. Determine o estado de tensão resultante com referência a um elemento orientado como mostrado na parte inferior da figura.

Figura 9.79

# = 0 ; 0 2 ' , )  –  ( x y . R = / 2 1 3$xy2 = 4 65027 082 3 90:2 %é& = = + 9!<:> = 25 3 25cos9?0°: = @AB5 kPa 9#<:> = 257 25cos9?0°: = C2B5 kPa 9$!<#<:> = 25sen9?0°: = 2CB?5 kPa Elemento 1:

) '* +

! = 50

;

kPa

= 25 kPa (Centro do círculo)

kPa

;

$!# = kPa

= 25 kPa

;

! = 7CD kPa ; # = 0 kPa ; $!# = 7E5 kPa R = . /x 2– y12 3$xy2 = 4 67CD27 082 3 97E5:2 %é& = '( )+ '* = FGH+) 9!<:I = 7J 3 E5BDJcos9CB@C°: = @?BDD kPa 9#<:I = 7J 7 E5BDJcos9CB@C°: = 75EBDD kPa 9$!<#<:I = E5BDJsen9CB@C°: = CB0EJ kPa !< = 9xK:a 3 9xK:b = @AB5 kPa 3 @?BDD kPa = LMBM NOQ #< = 9yK:a 3 9yK:b = C2B5 kPa 7 5EBDD kPa = 7MSBM NOQ $!<#< = 9$xKyK:a 3 9$xKyK:b = 2CB?5 3 CB0EJ = SSBLT NOQ Elemento 2:


;

;

;

578


= 45,89


*9.80. O círculo de Mohr para o estado de tensão na Figura 9.15a é mostrado na Figura 9.15b. Mostre que determinar as coordenadas do ponto no círculo dá o mesmo valor que as equações de , transformação de tensão (equações 9.1 e 9.2).

"$

P! ! !#!



9.81. A barra retangular em balanço está sujeita à força de 25 kN. Determine as tensões principais no ponto A.

Figura 9.81

Nz = 25 x (4/5) = 20 kN



;

Vy = 25 x (3/5) = 15 kN

;

Mx = 15 x 0,4 = 6 kN.m

= *0)**1--.**0./2 + 3290-9.*:9/%45*090;<9*6*/ 7 8 ;> ? @! = AB(%CD' = 3.E - .*890/945*0:9 %;>*902*;<9-/*0?5*0*1**1-7*0*6*7

" # $%&' ! = ! + (%



= 10,35 MPa (T)

= 1,32 MPa

- = FG0HI MPa J & = G MPa J @-& = KF0HL MPa

NéO =

Q

% R QB

)

= .*0S)E R *


L –   x y U T = 8 L ? + @xyL = V WFG0HLI K GXL + 5KF0HL7L . = I0FYI +I0HZ = [\0]^ _`b ) = I0FYIKI0HZ = K\0[c] _`b = 5,34 MPa

;



9.82. Resolva o Problema 9.81 para as tensões principais no ponto B.

Figura 9.82

Nz = 25 x (4/5) = 20 kN

;

Vy = 25 x (3/5) = 15 kN

;

Mx = 15 x 0,4 = 6 kN.m

! = &*''() = +,,1,2../,,1/03 % 439:1.:/,;:0':,+70@8 0 B D 4/7 . /, C ) A! = *'E = 9:1:56,1;: ':0.@6,1,1,2,2.8,1,778 "#

%$= - 3,93 MPa (C)

= 1,586 MPa

. = %F1GF MPa H ( = I MPa H A.( = %J1KLN MPa

OéQ = R' S+ RC = TU1V+US ,

= - 1,965 MPa (Centro do círculo)

Y  –  x y X W = 9 Y @ ZAxyY = [ \%F1GYF % I]Y Z 6%J1KLN8Y / = Y1KYK %J1GNK = ^1_`^ bcd + = %Y1KYK% J1GNK = %e1efg bcd = 2,525 MPa

;


Transformação da Tensão em A e pelo rolete em

9.83. Os degraus da escada rolante estão apoiados nos dois lados pelo pino móvel B. Se um homem que pesa 1.500 N (~150 kg) estiver em pé no centro do degrau, determine as tensões principais desenvolvidas na seção transversal no ponto C . Os degraus movem-se à velocidade constante.

Figura 9.83

 +!M" = 0

;

1.500 x 0,375 – 2Fsen(60°) x 0,15 – 2Fcos(60°) x 0,45 = 0

$ + F% = 0 & + F' = 0 !

!

 + !M = 0

() = * ," = * 2/ 234-.-/%12/26

;

;

V – 396,235 = 0 ;

686,3 – N = 0

M – 396,235 x 0,15 = 0

= - 1,1438 MPa (C)

;

# #

#

F = 792,47 N

V = 396,235 N N = 686,3 N

#

M = 59,435 N.m

2 346 % 2/ 2 46 % 2/ 2 34@ 7) = 89;<: = >1?-/416@>2/ H AB/BCDCDE B/BG I>2/234@

(% = 0 MPa J (' = *K/KLNO MPa J 7%' = 0/QQ0R MPa

(SéT = UE V4 UW = 2 X 3/43Y1.


\ ( – ( x y [ Z = A \ I +7xy\ = ] ^0 *_*K/\ KLNO`b\ + >0/QQ0R@\ (3 = K/KLNQ *0/cd\ = e/fgh ijk (4 = *K/KLNQ* 0/cd\ = *l/glm ijk = 1,1439 MPa

;


= 0,9906 MPa


*9.84. A manivela do pedal de uma bicicleta tem a seção transversal mostrada na figura. Se ela estiver presa à engrenagem em B e não girar quando submetida a uma força de 400 N, determine as tensões principais no material na seção transversal no ponto C .

Figura 9.84

% =

$

 + ! F = 0 ; V - 400 = 0 ! V = 400 N " + #M = 0 ; M – 400 x 0,1 = 0 ! M = 40 N.m &(' 1.)*1123 - *4.*1.*/156 = 40 MPa (T) ; % 9:(;' <)**><1.1*.123**?/4 1.-15*.6**?/ - *.**/> = 3 MPa @ 75 A<*.**?/> 75

=

8 = =

$- = B0 MPa C $ = 0 MPa C 8- = D MPa

$EéF = G4 HJ GI = )*JH *


L $ – $ x y K R = @ L A +8xyL = N OB0LQ 0SL + L $T = L0+L0.LLB = UV.WWU XYZ $J = L0QL0.LLB = QV.WWU XYZ = 20,224 MPa

;



9.85. A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m. Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento no ponto D que agem nos sentidos perpendiculares e paralelos às fibras, respectivamente. Nesse ponto, as fibras formam um ângulo de 30º com a horizontal, como mostra a figura.

Figura 9.85

 + !M = 0 ; - 500 x 1,25 + 2,5F = 0 ! F = 250 N " + #F$ = 0 ; 250 – 200 x 1,5 + V = 0 ! V = 50 N % + #M = 0 ; M – (200 x 1,5) x 0,75 – 250 x 1,5 = 0 ! M = 150 N.m (*$) ,-.42516 .2427.83- = 56,25 kPa (T) ; ' :*<;) >-.?>.242.5@3-6 42718.2.A- 1 .2,? = 3,516 kPa B 57 C>.2,? 57 &1 = DE2GD kPa H &$ = 0 kPa H 91$ = IJ2DKE kPa O Q O 6 LéN R -@23- Q . = 28,125 kPa (Centro do círculo) C

&' = =

C

9 = =

& = 3 =

3

S = T B&x G– &yCG +9xyG = U VDE2GGD I 0WG + >IJ2DKE?G \ = K]0° I KG0° I [2KGE° = DG2][° X = arctangV3Z2Y2-,,@3-W = [2KGE° &1^ = G]2KGD IG]2J__cos>DG2][°? = `` bde 91^$^ = IG]2J__sfn>DG2][°? = Ihh2i bde = 28,344 kPa

;

;



9.86. A estrutura suporta a carga distribuída de 200 N/m. Determine a tensão normal e a tensão de cisalhamento no ponto E que agem nos sentidos perpendicular e paralelo às fibras, respectivamente. Nesse ponto, as fibras formam um ângulo de 60º com a horizontal, como mostra a figura.

Figura 9.86

 + !M = 0 ; " + #F$ = 0 ; " + #F$ = 0 %&

!

- 500 x 1,25 + 2,5FC = 0

!

FA + 250 – 500 = 0 ;

250 – N = 0

!

FC = 250 N FA = 250 N

N = 250 N

= ( = ,-,)*,* / ,-1 2& = 34675 %/ = 0 kPa ; %$ = '80 kPa ; 2/$ = 0 kPa %9é: = <> ?) <@ = , A*,) '

'

= - 50 kPa (C)

;

= 0 kPa


D % – % x y B R = C D E +2xyD = G H0 ' [D'80]ID + J0KD %/L = 'D8+ D8cosJM0°K = 'NO-Q STU 2/L$L = D8senJM0°K = ON-V STU = 25 kPa

;



9.87. A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita à força de 600 N. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B. Mostre os resultados em elementos localizados nesses pontos.

Figura 9.87

 +!F = 0

" + #M = 0

; ;

!

600 – N = 0 M – 600 x 0,05 = 0

N = 600 N

!

M = 30 N.m

= &% ' (), * = / .2-....345 ' 6.78 .2.2...34.348 = - 87,146 MPa (C) $9 = &% + (), * = /.2-....345 + 6.78 .2.2...34.348 = 93,94 MPa (T)

%$No ponto A:

$ = ':;2<>? MPa @ $) = 0 MPa @ A = 0 MPa DE F DG IJ32KL- F . = - 43,573 MPa (Centro do círculo) )

BéC = H

$

=

H

Q $ – $ x y N R = O Q S +AxyQ = T U':;2? ' 0VQ + W0XQ YZ = [ \]^ Y_ = '`b2Z \]^ cdáe fg hi^fg = j = kl2m \]^ Qno = p0° ! qr = ks°Wrtfuvwg ^fuv ' zg{á{vgX = 43,573 MPa

;

;



No ponto B:

 = 93,94 MPa ;

"# = 0 MPa ; $# = 0 MPa

"%é& = ) = -.,-+/ ) 1 = 46,97 MPa (Centro do círculo) 6 " – " x y 2 R = 5 6 7 8$xy6 = : <93,964 > 0?6 8 @0A6 = 46,97 MPa ' (

'*

+

BC = DE,D FGH

BI = J FGH KLáN OQ STHOQ = U = VW FGH 6XY = 90° Z [\ = V]°@\Ô_`bQ cQdád`QA ;

;



9.3 - PROBLEMAS *9.88. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão.

Figura 9.88 (a)

(b)

!á" = 6 MPa ; $%& = !í% = 0 MPa

!á" = 50 MPa ; $%& = 0 MPa ; !í% = '40 MPa


!á" = 600 kPa ; $%& = 200 kPa ; !í% = 100 kPa


(c)

(d)

!á" = 0 MPa ; $%& = '7 MPa ; !í% = '9 MPa

(e)

!á" = $%& = !í% = '30 MPa



9.89. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem cada um dos seguintes estados de tensão.

Figura 9.89 (a)

(b)

! = 15

! = 65

MPa

MPa

; # = 0

MPa

; # = 65

% MPa


; $ = 15

; &'á( = 15

; $ = 65

; &'á( = 65

% MPa

% MPa

MPa

MPa


9.90. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Figura 9.90

! = 90 ; # = $80 ; %!# = 40 MPa

MPa

&é' = () , + = -./1., * (

MPa


5  –  x y 2 R = 3 5 6 7%xy5 = : <90 $5[$80]>5 7 ?40@5 A = B 79CD94 = 98D94 MPa ; , = B $ 9CD94 = $88D94 MPa EFáG = HIDHJ KLN EOQS = $TTDHJ KLN EFíQ = $UVV KLN = 93,94 MPa

;

;

%&á! WXY = (Zá) /, (Zí\ = -^D-_ /,[/A..]


= 99,47 MPa


9.91. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Figura 9.91

 = 0 MPa ; "# = 0 MPa ; $# = 5 MPa

"%é& = ) '(

+

'*

)

= , + , = 0 MPa (Centro do círculo)

- ."x 2– "y/2 1$xy2 = 3 40 2 072 1 8592 ": = 0 1 5 = 5 MPa ; " 5 = 5 MPa <>á? = @ABC íE = ABC 6

R=

+ =

;

= 5 MPa

0 6

6

;

6G

$%áHIJ = Ká( L KíN = OL [LQ] = 6 MPa '

'

+

+


6G


*9.92. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Figura 9.92

! =0 ; # = 90 ; MPa

80

MPa

&é' = () , + = - ,. * (

*

$!# = % MPa


R = / 1x 2– y32 4$xy2 = 5 60 %29072 4 :%80<2 > = ?@ 49ABC9 = ADEBC9 MPa ; , = ?@ % 9ABC9 = %?EBC9 MPa FG = GHI JKL FN = GOQ!"# $% = '( )!"# = 91,79 MPa

;

*

+á- ./0

;

[


]

= 12á3 46 12í5 = 789: 46 4;<,>

&

= 98,4 MPa

,


9.93. As tensões principais que agem em um ponto em um corpo são mostradas na figura. Desenhe os três círculos de Mohr que descrevem esse estado de tensão e determine as tensões de cisalhamento máximas no plano e as tensões normais médias associadas para os pontos x-y, y-z e x-z. Para cada caso, mostre os resultados no elemento orientado na direção adequada.

Figura 9.93

Plano x-y:

! = 40 ; # = $40 ; % 0 MPa

&'é( = )

MPa

;

*+,

!# =

MPa

-'á. ,/1 = 2) *+,

Plano y-z: ! = $40 MPa ;

# = $40 MPa ; %!# = 0 MPa

;

&'é( = $2) *+,

-'á. ,/1 = ) *+,

Plano x-z: ! = 40 MPa ; &'é( = ) *+,

# = $40 MPa ; %!# = 0 MPa

;


-'á. ,/1 = 2) *+,


9.95. O eixo maciço está sujeito a torque, momento fletor e força de cisalhamento como mostra a figura. Determine as tensões principais que agem nos pontos A e B e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Figura 9.95

Vy = 800 N



!

=

;

"& = '(. * (,(,((+-+-/ # / #

%$*

Tx = 45 N.m

;

= 4,889 MPa (T)

Mz = 800 x 0,45 – 300 = 60 N.m

0 = "&##$1 = ./ '( * (,*(+-( /

;

2! = 346 5 = 7.8- **(,(,((+-+-/ 8BC(,(+-BD 7- * (,(+?@((A 9 ; 3 5 : 1 4 20 = &#< > 6 = E./ * (,(+-/F?(,(-A > .8 * (,(+-/

= 0 MPa

= 1,833 MPa

= - 1,29 MPa

No Ponto A:

* = G,HHI MPa J $ = K MPa J 2*$ = >L,HNN MPa

OéQ = R4 S+ R: = 7,@@T+ S (


X  –  x y V U = W X Y Z2xyX = [ EG,HHIX > KFX Z ?>L,HNNAX \ = X,GG] Z N,K]]H = ],] MPa + = X,GG] > N,K]]H = >K,^LL MPa _`áb = c,cd efg _hij = d efg _`íi = >d,kll efg = 3,0558 MPa

;

;

;


 #$% = &'á( +) &'í* = ,-, )[)+ .-/00] = 3,06 MPa


á!

No Ponto B:

1! = 2 MPa ; 13 = 2 MPa ; 4!3 = 56-79 MPa

1é8 = &( :+ &< = . :+ .


7 1 – 1 x y > R = ? 7 @ A4xy7 = B C2 57 2D7 A E56-79F7 10 = 6-79 = 6-79 MPa 1+ = 56-79 = 52-G66 MPa HIáJ = K-LN OQS HTUV = W OQS HIíU = 5K-LN OQS = 1,29 MPa

;

;

;

4á! #$% = &'á( +) &'í* = 0-+X )[)0-+ +X]


= 1,29 MPa


*9.96. O parafuso está preso a seu suporte em C . Se a força de 90 N for aplicada à chave para apertá-lo, determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta desenvolvidas na haste do parafuso no ponto A. Represente os resultados sobre um elemento localizado nesse ponto. A haste tem diâmetro de 6 mm.

Figura 9.96

Vy = 90 N



!

=

;

"& = '. (* ++++-++-/ # / #

%$, * , ,

Tx = 90 x 0,15 = 13,5 N.m = 212,206 MPa (T)

;

;

Mz = 90 x 0,05 = 4,5 N.m

+ ++'/ = 318,31 MPa  = "#% $ = &'-. (+ ++' , * , * ,

!

Ponto A:

0 = 1 MPa ; 02 = 343,316 MPa ; *2 = 5748,74 MPa 9é: <# > @&@,@+A = 106,103 MPa (Centro do círculo) *

0 = @ =

@

3 0 – 0 x y B R = C 3 D Exy3 = F G1 5 343,3 316H3 E I5748,74J3 0& = 416,417 E 77K,K7 = LL4,67 MPa 0@ = 416,417 5 77K,K7 = 533N,L3 MPa OQáS = TTU,VW XYZ O[\] = ^ XYZ OQí\ = 5__`,T_ XYZ tangb3cde = '&f,&+A,&'+'& = 7 h cd& = 7K,8°Isintjko antj 5 lorárjoJ tangI3cmJ = &'&f,+A,&'+'& = 1,777 h cm& = N,33°Isintjko lorárjoJ = 335,53 MPa

;

;

;

z @} 9á* pqm =

= 335,53 MPa



Figura 9.97

Vy = 90 N

 = !%""#$ = +- )&,*,' *)*.* -

= 0 MPa

;

Tx = 90 x 0,15 = 13,5 N.m ;

;

Mz = 90 x 0,05 = 4,5 N.m

<>?*,**.>@ D.,' ) *,**. 9 ; :* 0 2 5 7 1 $ 6 / = %"3 4 8 = A+- ) *,**.-B9*,**C; 4 +< ) *,**.-

= - 314,066 MPa

Ponto B:

E) =F MPa G E# =F MPa G /)# =4HIJ,FKK MPa

ELéN = O6 QR O1 = * QR *


V E – E x y T S= U V W X/xyV = Y AF 4V FBV X 94HIJ,FKK;V ED =HIJ,FKK MPa ER =4HIJ,FKK MPa Z[á\ =]^_,`b cde Zfgh =` cde Z[íg =4]^_,`b cde Vij =kF° l ijD =Jm°9snotpqr urvávpr; iw =F° = 314,066 MPa

;

;

;

;

* CC€ /Lá) z{w = O|á6 R} O|í~ = .D&,*CC }•}.D&, R


= 314,07 MPa


9.4 - PROBLEMAS DE REVISÃO 9.98. A tensão em um ponto é mostrada no elemento. Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima absoluta.

Figura 9.98

Plano x-y:

! ="90 MPa ;  70 MPa ; %!$ = 30 MPa $

=

&é' = () *, (+ = -./,* 1/ = - 10 MPa (Centro do círculo) R = 2 4x 5– y65 8%xy5 = : <"90 "5["70]>5 8 ?30@5 = 85,44 MPa

 = !10 + 85,44 = 75,44 %&á' = (),** -./ ;

MPa

; #$ = !10 ! 85,44 = !95,44

MPa

%236 = !:),** -./

;

%&í3 = !<>? -./

@AáB CDE = FGáH I$ FGíJ = KL,NN I$[I$O] = 97,72 MPa



9.99. O vaso de pressão cilíndrico tem raio interno de 1,25 m e espessura de parede de 15 mm. É feito de chapas de aço soldadas ao longo de uma linha de junção a 45º em relação à horizontal. Determine as componentes de tensão normal e da tensão de cisalhamento ao longo dessa linha de junção, se o vaso estiver sujeito a uma pressão interna de 3 MPa.

Figura 9.99

! = "#$ = %*,'*!,!)()

= 250 MPa

;

( = "($# = (%''*,!,*(!))

= 125 MPa

' = 125 MPa ; + = 250 MPa ; -'+ = 0 MPa

.é/ = 34 6( 37 = !() 6( ()*


2  –  x y 8 R = 9 2 : <-xy2 = > ?125 @2 250A2 < B0C2 DEF = GHI,J KLN OEFQF = @ST,J KLN

= 62,5 MPa

;



*9.100. Determine o estado de tensão equivalente, se um elemento estiver orientado a 40º em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Use o círculo de Mohr.

Figura 9.100

! = 6 ; # =$10 ; %!# = 0 MPa

&é' = () , + = - ./2, * (

MPa

MPa


5  –  x y 3 R = 4 5 7 8%xy5 = 9 :6 $ [5$10]<5 8 >0?5 !@ = $58 Acos>A0°? = $BCDEE FGH #@ = $5$ Acos>A0°? = $ICIJK FGH %!@L@ = Asen>A0°? = NCJNJ FGH = 8 MPa

;



9.101. As cargas internas que agem sobre uma seção transversal no eixo de acionamento de uma turbina de 150 mm de diâmetro consistem em uma força axial de 12,5 kN, um momento fletor de 1,2 kN.m e um momento de torção de 2,25 kN.m. Determine as tensões principais no ponto A. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.

Figura 9.101

Nx = 12,5 kN

;

Mz = 1,2 kN.m

;

Tx = 2,25 kN.m

 = ! "& ! '( = ! ),* 2-3 ).- .,. -01.,3.01 ! )4*,-1.,-.).01/5 6 = 7(9 8 = *,*125- -)..,/. 01- .,3.01 /

# $% #

= - 4,33 MPa (C)

= 3,395 MPa

Ponto A:

:- = !;,<< MPa > :$ = ? MPa > 6-$ = <,<@A MPa

:BéC = D( E* DF = G,HH*E .


K : – : x y I R = J K L N6xyK = O Q!;,
;



9.102. As cargas internas que agem sobre uma seção transversal no eixo de acionamento de uma turbina de 150 mm de diâmetro consistem em uma força axial de 12,5 kN, um momento fletor de 1,2 kN.m e um momento de torção de 2,25 kN.m. Determine as tensões principais no ponto B. Calcule também a tensão de cisalhamento máxima no plano nesse ponto.

Figura 9.102

Nx = 12,5 kN

;

Mz = 1,2 kN.m

 = ! "$# = ! -%&,)'*, )*%*.'+/ + 1 2 & , & ' ) %* # 0 = 3 = 4/ ) *,* .') *,5*.'

;

Tx = 2,25 kN.m

= - 0,707 MPa (C)



= 3,395 MPa

Ponto B:

6) = !7,878 MPa ; 69 = 7 MPa ; 0)9 = :,:<> MPa

6?é@ = A# B& AC = D*,.*.& B *


R = E F6x G– 6yHG I0xyG = J K!7,878G ! 7LG I N:,:<>OG 6% = :,QS: !7,:>:> = T,UV WXY 6& = !:,QS:! 7,:>:> = !T,ZVV WXY [\á] ^_ `bY^_ = c = T,de WXY = 3,413 MPa

;



9.103. Determine o estado de tensão equivalente em um elemento se ele estiver orientado a 30º em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de t ransformação de tensão.

Figura 9.103

! = 0 ; # =$300 ; %!# = 950 kPa

!

&

=

kPa

' ( ) '* '( - '* 4 - 644 4 ) 644 , cos.2/1 , % sen.2/1 = , + cos.$2 x 30°1 , 950sen.$2 x 30°1 !# + + +

!& = $

#

&

=

&:&

= $

898

kPa = - 0,898 MPa

'( ) '* '( - '* 4 - 644 4 ) 644 , cos.2/1 , % sen.2/1 = , + cos.2 x !# + + +

#& =

%!

kPa

598

70°

1 , 950sen.2 x

70°

1

kPa = 0,598 MPa

'( - '* 4 ) 644 sen.2/1 , % cos.2/1 = $ sen.$2 x 30°1 , 950cos.$2 x 30°1 = 605 kPa = 0,605 MPa !# + +



9.5 – CORREÇÃO DAS RESPOSTAS DO LIVRO R. C. HIBBELER

Problema

Resposta do livro No ponto A:

9.43

9.50

! = " = 0,# =  30,5 MPa ! = 0,541 MPa,# = 1,04 MPa $

No ponto B:

'

Correção

(!

= %

No ponto A: ! = " = 0, # = $ = 29,05 MPa

%

No ponto B: ! = 0,541 MPa, # = %1,04 MPa

= %54,2°, '(# = 35,8°

'(! = %54,2°, '(# = 35,8°

$ = 70,00 MPa, ) $" = 98,99 MPa,M = 1,484 N.m

$ = 70,00 MPa, ) $" = 98,99 MPa,M = 107,4 N.m

T = 4,199 N.m

T = 303,7 N.m

! = 3,125 MPa,  # = %9,375 MPa

! = 0,572 MPa,  # = %1,760 MPa

9.83 Quadro 9 - Correção


Capítulo 10

Transformação da deformação

606

Transformação da Deformação

10.1 - PROBLEMAS 10.1. Prove que a soma das deformações normais nas direções perpendiculares é constante.

!" = # &( # + # )#( cos* $ '

#$ & #'

/" =

(

$ '

0

# $ ) #' (

2,- +

. $'

cos*2,- 0

( . $' (

sen*2,sen*2,-

13" + 1 4" = 13 + 14 = 56789:79;

10.2. As componentes do estado plano de deformação no ponto da aba da bequilha são !/ = 375(10 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo de • = 30º em sent ido antihorário em relação à posição original. Trace um esboço do elemento deformado devido a essas deformações dentro do plano x – y.

Figura 10.2

! = 0?@@*A@)B -

!" =

#$ & #' (

+

# $ ) #' (

cos*2,- +

. $' (

C

/ = DE@*A@)B -

sen*2,- =

)IJJ & KBJ (

+

>!/ = FGH*A@)B -

C

)IJJ ) KBJ (

cos*2 x F@°- +

LMN (

sen*2 x F@°-

1 3" = OOP Q*RS)T-

/" =

#$ & #' (

+

# $ ) #' (

cos*2,- +

. $' (

sen*2,- =

)IJJ & KBJ

! +,"-" .

=/

0, ' 0.

sen(23* 4

+,.

(

"

+

)IJJ ) KBJ

LMN (

sen*02 x E@°-

= #$#(%&') *

cos(23* = /

'566 ' 786 .

?@" !" = %A BCD(%&') *

607


(

cos*02 x E@°- +

sen(2 x 9:°* 4

;<> .

cos(2 x 9:°*

Transformação da Deformação pino são x = 200(10-6), y

10.3. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a aba do -6 = 180(10 -6) e "# = - 300(10 ). Use as equações de transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo • = 60º em sent ido antihorário em relação à posição original. Trace um esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano x-y.

!

Figura 10.3

$" = 200( 200(10%& )

$"+ = $#+ =

, - . ,/ 4

, - . ,/ 4

5

5

,- % ,/ 4

,- % ,/ 4 7-+ /+ 4

cos(26 cos( 26)) 5

cos(26 cos( 26)) 5 =*

,- % ,/ 4

7-/ 4

7-/ 4

$# = 180( 180(10%& )

;

sen((26 sen 26)) =

sen(26 sen( 26)) =

sen(26 sen( 26)) 5

7-/ 4

499 . :<9 4

499 . :<9 4

5

5

499 % :<9 4

499 % :<9 4

cos(26 cos( 26)) = *

!"# = *300( *300(10%& )

;

cos(2 x >0°) cos( >0° ) *

cos(*2 x 30°) cos( 30°) *

499 % :<9 4

sen(2 x >0°) sen( >0° ) *

?99 4

@@AB((BC%D ) sen(2 x >0°) sen( >0° ) = @@AB

?99 4 ?99 4

EF@((BC%D ) sen(*2 x 30°) sen( 30° ) = EF@

cos(2 x >0°) cos( >0° )

GH + I+ = BEE(BC*D )

*10.4. Resolva o Problema 10.3 para um elemento orientado a um ângulo 6 = 30° em sentido horário.

Figura 10.4 $" = 200( 200(10%& )

$"+ =

, - . ,/ 4

$#+ =

5

,- % ,/ 4

, - . ,/ 4

*

cos(26 cos( 26)) 5 ,- % ,/ 4

7-/ 4

;

sen((26 sen 26)) =

cos((26 cos 26)) *

7-/ 4

$# = 180( 180(10%& ) 499 . :<9 4

sen(26 sen( 26)) =

5

499 % :<9 4

499 . :<9 4

*

!"# = *300( *300(10%& )

;

cos((*2 x 30°) cos 30° ) *

499 % :<9 4

?99 4

EF@((BC%D) sen((*2 x 30°) sen 30°) = EF@

cos((*2 x 30°) cos 30° ) *

%?99 4

sen((*2 x 30°) sen 30° )

@@A B(BC*D ) JI + = @@A 7-+ /+ 4

=*

,- % ,/ 4

sen(26 sen( 26)) 5

7-/ 4

cos(26 cos( 26)) = *

499 % :<9 4

sen(*2 x 30°) sen( 30°) *

GH +I + = *BEE(BC*D ) 608


?99 4

cos((*2 x 30°) cos 30° )

Transformação da Deformação ponto do suporte são x =

10.5. Devido à carga P, as componentes do estado plano de deformação no -6 500(10 -6), y = 350(10 -6) e !"# = - 430(10 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar as deformações equivalentes no plano sobre um elemento orientado a um ângulo de • = 30º

em sentido horário em relação à posição original. Trace um esboço do elemento distorcido devido a essas deformações no plano x-y.

Figura 10.5

%" = 500 10&' ; %# = 350 10&' ; (

%"+ =

, -

%#+ =

.,

/

2

6

, - . ,/ 2

,- & ,/ 2

6

,- & ,/

9-+ /+ 2

cos(78 cos( 78)) 6

2

9-/ 2

cos(78 cos( 78)) 6

=*

,- & ,/ 2

)

(

sen((78 sen 78)) =

9-/ 2

:<< . >:< 2

sen(78 sen( 78)) =

sen(78 sen( 78)) 6

9-/ 2

6

:<< . >:< 2

cos(78 cos( 78)) = *

:<< & >:< 2

6

430 10&'

)

:<< & >:< 2

cos(7 x E0°) cos( E0°) *

sen(*7 x 30°) sen( 30°) *

*JKL C(CD*@ ) GH+ I+ = *JKL

609


(

cos((*7 x 30°) cos 30° ) *

:<< & >:< 2

!"# = *

)

?>< 2 ?>< 2 ?>< 2

@AB((CD&@) sen((*7 x 30°) sen 30°) = @AB FDC((CD&@) sen(7 x E0°) sen( E0° ) = FDC

cos((*7 x 30°) cos 30° )

), !

Transformação da Deformação chave são x = 120(10-6 y =

10.6. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre uma - 180(10-6), = 150(10-6). Use as equações de transformação da deformação para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.

"#$

Figura 10.6 (a) As deformações principais no plano:

%# =120 =120((10&') ; %$ =*180 =*180((10&') ; "#$ =150 =150((10&')

. 3 . . & . < [ ] +->& +?> +-> & &+?> +@> / 4 / 4 /4 6 6 %+,- = - ± 7 - 9 : 7 - 9 = - ± 7 - 9 : 7 - 9

AB =BCD =BCD((BE&F)

±

= - 30(10-6) 167,705(10-6)

AG =BHD =BHD((BE&F) tangI2JKL = ./< &/4.4 = +-> &+@>(&+?>) M NOB =BC,C° JK- =1P,28°*Q0°=*RF,R° &+?>)) cos %#S = ./ 3- .4 : ./ &- .4 coscos((2J2J)) : <-/4 sensen((2J2J)) = +-> &- +?> : +-> &(&-(&+?> cos((2 x 1P,P°)°) : +@>- sensen((2 x 1P,P°)°) 1P81P8((10&') ;

= 0,5

;

=

(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média:

: = 6 7120 *2[*180]92 : 71502 92 M \^á_ `b Odf`b =CCh,i(BE&F) %jék = ./ 3- .4 = +->&+?> &+?>)) M NmB =*CB,R° Jl- =Q0°*P1,p1°=hD,C° tang((2Jl) = * ./< &/4.4 = * +-> &(&+@>(&+?> tang = - 30(10-6)

=-2

;

& &[ &+?>] &+?> +@> /4 cos ( ) ( ) ( ) sen( 2J) 2J : cos( 2J) 2J = * sen( sen *2 x P1, p 1° 1°) : cos((*2 x P1,p1°)1°) - cos "#S$S =PP5,q(10*r)

610


Transformação da Deformação da engrenagem são x =

10.7. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente -6 = 650(10-6). Use as equações de transformação da deformação para 850(10 -6 y = 480(10 ) e determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.

), 

"#$


%# = 850(10&') ; %$ = 480(10&') ; "#$ = 650(10&')

%*,+ = -. /+ -2 ± 3 7-. &+ -29+ : 7<+.29+ = *+>&+ *?> ± 3 7?@> &+ A?>9+ : 7'@>+9+ ± BC = CDEFG(CE&H) BI = IGC(CE&H) tangJKLMN = -.< &.2-2 = ?@>'@>& A?> O PQC = FE,I° LM+ = R0° :S0,K° = CIE,I°

= 665(10-6) 373,96(10-6)

;

= 1,757

;

%#T = -. /+ -2 : -. &+ -2 cos(KL): <+.2 sen(KL) = ?@> /+ A?> : ?@> &+ A?> cos(K x S0,K°): '@>+ sen(K x S0,K°) 1D0SR(10&') =


: = 3 7850 \K 4809K : 7650K9K O ]^á_ `b Qdf`b = hij(CE&H) %kél = -. /+ -2 = ?@> /+ A?> tang(KLm) = \ -.< &.2-2 = \ ?@>'@>& A?> O PpC = \Ci,j° Lm+ = R0° \14,8° = hq,I° = 665(10-6)

=-2

;

<.T2T = \ -. & -2 sen(KL): <.2 cos(KL) = \ ?@> & A?> sen(\K x 14,8°): '@> cos(\K x 14,8°) + + + + + "#T$T = r48(10\6)

611




Transformação da Deformação da engrenagem são x =

10.8. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente -6 = - 750(10-6). Use as equações de transformação da deformação para 520(10 -6 y = - 760(10 ) e determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.

), 

"#$


%# = 520(10&') ; %$ = *760(10&') ; "#$ = *750(10&')

- /4 - ?-@&A'@ 8 ?-@ &[&A'@] - &A?@ . . . & . / 4 / 4 8 %+,- = - ± 9 - : <9 - : = - ± 9 - : < 9 - : 3

>

BC = DEE(CF&D)

±

= - 120(10-6) 741,77(10-6)

BE = *GDE(CF&D) L MNC = *CO, CG° IJ- = P0° * 15,1Q° = RS,GE° tangH2IJK = ./> &/4.4 = ?-@ &A?@&[&A'@] %#T = ./ 3- .4 < ./ &- .4 cos(2I) < >-/4 sen(2I) = ?-@ &- A'@ < ?-@ &[&A'@] - cos(*2 x 15,1Q°) < &A?@- sen(*2 x 15,1Q°) 622(10&') ;

= - 0,586

;

=


>Uá/ VW XYZVW = \ 9%x * %y:2 9 "xy : 2 2 2 -

< = 8 9520 *2[*760]:2 < 9*7502:2 L ^_á` bd Nfhbd = CSGS(CF&D) %iéj = ./ 3- .4 = ?-@&- A'@ = - 120(10-6)

tang(2Ik) = * ./>&./44 = * ?-@&A?@&[&A'@]

= 1,7067

L MlC = Em,G°

;

Ik- = P0° * 2P,Q° = *DF,E°

>/T4T = * ./ & .4 sen(2I)< >/4 cos(2I) = * p?@ &[&A'@] sen(2 x 2P,Q°)< &A?@ cos(2 x 2P,Q°) "#T$T = *1qQq(10*6)

612




Transformação da Deformação de porca são x = 260(10-

10.9. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a chave 6 -6 = 180(10-6). Use as equações de transformação da deformação para determinar (a) y = 320(10 ) e as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.

), 

"#$


%# = 260(10&') ; %$ = 320(10&') ; "#$ = 180(10&')

%*,+ = -. /+ - ± 5 7-. &+ - 9+ : 7<+.49+ = +'>/+ ?+> ± 5 7+'> &+ ?+>9+ : 7*@>+9+ ± AB = CDE(BF&G) AH = BIE(BF&G) tangJ2KLM = -.< &.4-4 = +'>*@>&?+> N OPB = QCE,D° KL+ = R0° Q 3S,8° = ET,H° 4

4

= 290(10-6) 94,87(10-6)

;

=-3

;

%#U = -. /+ -4 : -. &+ -4 cos(2K) : <+.4 sen(2K) = +'> /+ ?+> : +'> &+ ?+> cos(Q2 x 3S,8°) : *@>+ sen(Q2 x 3S,8°) 1RS(10&') =


: = 5 7260 Q2 32092 : 7180292 N ]^á_ `b Pdf`b = BIF(BF&G) %héi = -. /+ -4 = +'>/+ ?+> = 290(10-6)

tang(2Kj) = Q -.< &.4-4 = Q +'>*@>& ?+>

= 0,3333

N OkB = I,HH°

;

Kj+ = R,22° Q R0° = QDF,lD°

<.U4U = Q -. & -4 sen(2K): <.4 cos(2K) = Q +'> & ?+> sen(2 x R,22°): *@> cos(2 x R,22°) + + + + + "#U$U = 1R0(10Q6)

613




), 

"#$

Transformação da Deformação -6 -6 x = 250(10 y = - 450(10 ) e

10.10. As componentes do estado plano de deformação no braço são = - 825(10-6). Use as equações de transformação da deformação para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.


%# = 250(10&') ; %$ = *450(10&') ; "#$ = *825(10&')

± %+,- = ./ - . ± 7 9./ &- . :- <9 - :- = -?@ &- ± 7 9-?@ &-[& :- <9& : * ( &G) C = EED( &G) * tang 2JKL= ./ & . & &[& K- =Q0°*24,8° = GR, 3

6

/6

DF

;

= - 1,1786

M

D

/6

>

I

6

=

-?@

B-?

A?@]

B-? = - 100(10-6) -

A?@]

A?@

>

6

540,977(10-6)

CH = GED DF

;

NOD = HE,P°

J

H°

%#S = ./ - . < ./ &.- cos(2J) < -/6 sen(2J)= -?@ &- < -?@ &[&- cos(*2 x 24,8°) < & sen(*2 x 24,8°) 441(10&') 3

6

A?@

>

6

B-? -

A?@]

=


< 9 "2xy:2 = 7 9250*2[*450]:2 < 9*8252:2 %iéj = ./ - . = -?@&M N = tang(2Jk) = * ./ & . = * -?@&&[& Tá/ UVWXYUV

>

-

= Z 9%x * 2 %y:2

3

A?@]

6

>

/S

> 6S

-

B-?

/6

A?@

6

= 0,8485

6

>

`b

HF,H°

;

Odf`b

( &G)

= Dh FPH DF

k- = 20,2°*Q0°=*Gm, P°

J

sen(2 x 20,2°)< & "#S$S =*1h082(10*p) A?@]

614


\^á_

= - 100(10-6)

lD

= * ./ &- . sen(2J)< -/6 cos(2J)=* -?@ &[&-

M

x 20,2°)

B-? cos(2 -



Transformação da Deformação pá do ventilador são x =

10.11. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a -6 = - 825(10-6). Use as equações de transformação da deformação para 250(10 -6 y = - 450(10 ) e determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.

), 

"#$


%# = 250(10&') ; %$ = *450(10&') ; "#$ = *825(10&')

%+,- = ./ - . ± 7 9./ &- . :- <9 -/6:- = -?@ &- ± 7 9-?@ &-[& 3

6

tang 2JKL= ./ & . /6

>

I

6

A?@

>

6

)

;

= - 1,1786

M

CD = EED(DF&G

=

B-? & -?@ &[&

A?@]

%#S = ./ - . < ./ &.- cos(2J) < -/6 sen(2J)= -?@ &- < -?@ &[&3

6

A?@

>

6

: <9&

A?@]

-

B-? : = - 100(10-6) ± 540,977(10-6) -

* ( &G) * K- =Q0°*24,8° = GR, cos(*2 x 24,8°) < & sen(*2 x 24,8°) 441(10&')

CH = GED DF NOD = HE,P° A?@]

J

;

H°

B-? -

=


< 9 "2xy:2 = 7 9250*2[*450]:2 < 9*8252:2 %iéj = ./ - . = -?@&tang(2Jk) = * ./ & . = * -?@&&[& M N = Tá/ UVWXYUV

>

-

= Z 9%x * 2 %y:2

3

A?@]

6

>

/S

> 6S

-

B-?

/6

A?@

6

= 0,8485

6

>

`b

HF,H°

;

Odf`b

( &G)

= Dh FPH DF

k- = 20,2°*Q0°=*Gm, P°

J

sen(2 x 20,2°)< & "#S$S =*1h082(10*p) A?@]

615


\^á_

= - 100(10-6)

lD

= * ./ &- . sen(2J)< -/6 cos(2J)=* -?@ &[&-

M

x 20,2°)

B-? cos(2 -


*10.12. Um extensômetro está montado no eixo de aço A-36 de 25 mm de diâmetro como mostra a figura. .760 /min e usando um anel corrediço, a Quando o eixo está girando a uma velocidade angular leitura no extensômetro é " = . Determine a potência de saída do motor. Considere que o eixo está sujeito somente a um torque.

 = 1 rev

800(10#$)

Figura 10.12

 = 1 x .760

%& = 184,307 rad/s $'

"* = "+ = 0

"*, = -2 3% -4 5 -2 #% -4 cos(9:) 5 ;%24 sen(9:) = ' #% ' 5 ' #% ' cos(9 x 60°) 5 ;%24 sen(9 x 60°) = 800(10 ) -6

<*+ = 1>8?8(10#@ ) rad A = G<*+ = 7B x 10C x 1>8?8 x 10 #@ = 1D8>6 MPa

A = EFH

I

S JH K@L>$NK'O QRU ('>'K%V)W X T= F = = 425,2195 N.m '>'K%V

P = T = ?9B>91YB x 18?>D07 = Z[>\Z ]^

616




), !

Transformação da Deformação o suporte são x = 350(10-6 y =

10.13. As componentes do estado plano de deformação deformaç ão no ponto sobre -6 = - 675(10 ). Use as equações de transformação da deformação para determinar (a) as 400(10 -6) e deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.

"#$


%# = 350(50(10&') ; %$ = 400( 400(10&') ; "#$ = *675675((10&')

%+,- = ./ - . ± 9 :./ &- . <- > : -/8<- = @AB2- CBB ± 9 :@AB &- CBB<- > :&'DA- <- ± EF =GFH,I(FJ&K) EL =HK, K(FJ&K) tangMNOPQ = ./? &/8.8 = @AB&'DA&CBB R STF =IL,U° OP- =4N,V°*V0°=*IG,F° 2

8

8

?

= 375(10-6) 338,424(10-6)

;

= - 13,5

;

%#W = ./ 2- .8 > ./ &- .8 coscos((NONO)) > ?-/8 sensen((NONO)) = @AB 2- CBB > @AB &- CBB coscos((N x 4N,V°)°) > &'DA- sensen((N x 4N,V°)°) 36,6(10&') =


?Xá/ YZ [\]YZ = ^ :%x * %y
=KGG((FJ&K) > = 9 :350 N*400 :*675N
tang(NOl) = * ./? &/8.8 = * @AB&'DA& CBB

= - 0,07407

R SmF =*L,FL°

;

Ol- =V0°*N,1N°=pG,pp°

?/W8W = * ./ & .8 sen ? @AB & CBB &'DA /8 cos ( ) ( ) ( ) sen( NO) NO > cos( NO) NO = * sen( sen *N x N, 1 N° N°) > cos((*N x N,1N°)N°) - cos "#W$W =*677(10*6)

617




Figura 10.15

! =



"400400((10# ) ; & = 860(60(10# ) ; !& = 375(75(10# ) $

$



'

9#:<<:<<.2. >$
*é+ =

,-

.,

/

2

D = arctang9E>FG$I
$

= 230(10-6) (centro do círculo)

=

= 675,31(10-6)

J = D B 60° = 16G574° B 60° = 76G574° !K = [A30 " 657G31cos( 1cos(76G574°) 74°)](10#$) = LLGLG M(NO#P) &K = [A30 B657G31cos( 1cos(76G574°) 74°)](10#$) = QSQ( QSQ(NO#P) T-K/K = 657G31(1(10#$)sen sen((76G574°) 74°) U VWKXK = NYZL NY ZL\\(NO#P) 2 = 16,574°

;

;

618




Figura 10.16

! = 200(00(10"#) ; % = 180( 180(10"#) ; &!% = '300( '300(10"#)

*é+ = ,- .4 ,/ = 5466 .4 796: (10"#) R = < 5x '2 y:2 > 5 &2xy :2 = ? 5200 '2 180:2 > 5'3002 :2


@ = arctang57A676 :

= 150,33(10-6)

B = @ > 120° ' 180° = 8CD18C° >120° ' 180° = 2CD1E° !F = [1E0 > 1G0D33cos( 3cos(2CD1E°)E°)](10"#) = HIJ(IJ(KL"M) %F = [1E0 ' 1G0D33cos( 3cos(2CD1E°)E°)](10"#) = JJDK(KL"M) N-F/F = 1G0D33(3(10 6) sen ='**(('+-.) sen((2626,,19°) 19°) " #$%&% ='** 4 = 86,186°

;

;



619




Figura 10.17

! =200(10"#) ; % = 180(10"#) ; &!% = '300(10"#)

*é+ = ,- .4 ,/ = 5466 .4 796: (10' ) 2 ? 5'300:2 R = > 5x '2 y:2 ? 5 &2xy:2 = @ 5200 '180 : 2 2 C=A?120° ' 180° = 8

= 150,33(10-6)

= 86,186°

;

2<

K

<

;

2<

PQ S

620


K

%

K



Figura 10.18

! = 500(10"#) ; % = 350(10"#) ; &!% = '430(10"#)

*é+ = ,- .2 ,/ = 6 .2 : (10' ) 788

978

<


? @ '430 ? R = 6x '? y:? @ 6 &?xy:? = A 6500'350 : 6 ? : = 227,7(10 ) ?

>

B = arctang 62C7D7: = 70,77°

-6

E = B'<0° = F0GFF°'<0° = 10GFF° !H = [4?5 @??FGF cos(10GFF°)](10"#) = IJK(LM"I) %H = [4?5 '??FGFcos(10GFF°)](10"#) = NML(LM"I) O-H/H = '??FGF(10'<)sen(10GFF°) P QSHTH = 'UVGL(LM"I) 2 ;

;

621





x = 120(10 6) ; 

"y = 180(10

6)

; #xy = 150(10 6)





= &' *, &+ =-.,/ 3, .4/7(106) R= 9 -"x 2 "y72 : - #2xy72 = < -120 2[180]72 : -150272

"$é%

= - 30(10-6) (centro do círculo)

= 167,7(10-6)

"1 = (16>?>@0)(106) =ABC(ADE) "2 =(16>?>@0)(106) =AFC(ADE) tangG2HIJ= .L/KL = M NOA =AB?B° Hp2 =1@?@°P0°=QE?Q° ;

= 0,5

;


#máx no plano =R=16>?>(106) M STáU VW OXYVW =BBZ? \(ADE) 2 $é% &' * &+ .,/ 3 .4/ 106 = - 30(10 )

" = , =- , 7 ( )

tang(2H^)= .L/KL M N_A =BA?Q° (_`VbcdW eWfáfcW) =2

622


;

-6

Hs2 =P0°@1?>1°=ZC?B° (YVbceWfáfcW)



Figura 10.20

(a) As deformações principais no plano:

x = 520(106) ; "y =760(106) ; #xy =750(106)

"$é% = &' *, &+ =-.,/348/ , 9(106) R= : -"x 2 "y92 < - #2xy92 = > -520 2[760]92 < -750292


"1 =7?1@ 7 7120=ABB(CDA)

tangF2GHI= K,/J4.* .,/ =

= 0,5859

= 741,77(10-6)

"2 =7?1@77120=EAB(CDA) L MNC =CO@ B ° Gp2 =15@ 2 °P0°=QS@ E ° ;

;


#máx no plano =R=7?1@ 7 7(106) L TUáV WX NYZWX =C\ S ES(CDA) 2 & * & ' $é% , + .,/ 3, 48/ 106 = - 120(10 )

" = =- 9 ( )

tang(2G^)= K,/J4.* .,/ L M_C =B`@E° (ZWbc dXeáecX) =2

623


-6

;

Gs2 =2P@f°P0°=AD@B° (dXeáecX)




x = 850(106) ; "y = 480(106) ; #xy =650(106)

"$é% = &' *, &+ =-./2*, 3.27(106) R= 9 -"x : "y7: < - #:xy7: = > -850 : 4807: < -650:7:


"1 = (665
tangJ:KLM= N,/O./ =

1,7568

= 373,96(10-6)

": = (665?@?AB6)(106) =IGC(CEH) P QSC =FEA I° (TUVWXYZ [VWX \Z]á]XZ) ;


#máx no plano =R=?@?A B 6(106) P ^_á` VZ Sb[VZ =cde(CEH) : $é% &' *, &+ ./2*, 3.2 106 = 665(10 )

" = =- 7 ( ) tang(:Kf)= O./N,/ P QTC =CdAeI° (TUVWXYZ \Z]á]XZ) -6

= 0,5692

624





x = 260(10!6) ; y =320(10!6) ; #xy =180(10!6) $é% = &' , &+ =-,./*, 4,/5 (10!6) R = 7 -x !2 y52 9 - #2xy 52 = : -260 !2 32052 9 -180252 1 = (290 + 94,868)(106) = "#$(%& ) * = (290  94,868)(10 ) = %-$(%& ) *


= 94,868(10-6)

'

tang.2/35 = ;:7: = = 3

;

6

2

<

>?% = "$,#° (@ABCDEF GFHáHDF)


Imáx no plano = R = 94,868(106 ) 2

<

JKáL BF ?MNBF = %-&(%&' )

*OéP = Q S TV QU = W VX:TV ;V:Y(106 ) = 290(10 ) -6

tang(2/Z) = ;:7: = 0,333 < >@% = -, [[° (@ABCDEF NBCD  GFHáHDF)

625


'





!

Transformação da Deformação -6 -6 x = 300(10 ), y = 550(10 ), "#

10.23. As componentes da deformação no ponto A sobre o suporte são = - 650(10-6), z = 0. Determine (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.



Figura 10.23 (a) As deformações principais em A:

$x = 300(10%6) ; $y = 550(10 6) ; !xy = 650(10 6) %

$'é* = +, -/ +. = 2 -/ 9(10 6) 477 887

%


R = : 2$x %< $y9 > 2 !xy 9 = ? 2300 5509 > 2%6509 $1 = ( > <1)(10 6) = (FG H) $< = ( <

<

% <

<

@<5

%

%

<

<

<

= 348,21(10-6)

(10 6) = (FG H) !máx no plano <1(10 6) J KLáMNOPQSNO = HTHBU(FG H) VWá,/ XYZ = / B/ J KLáM (FG H) %

3@AB

CCDB E

%

;

@<5 % 3@AB

<1)

%

(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano x-y:

<

= R = 3@AB

%

%

(c) A deformação por cisalhamento máxima absoluta: [[4

S\]

626


= CCDB E

%

CHB I

%

*10.24. As componentes da deformação em um ponto são ! = "480(10#$), % = 650(10#$ ), &!% = #$) * = 0. Determine (a) as deformações principais, (b) a deformação por cisalhamento máxima 780(10 no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.


e

(a) As deformações principais:

x ="480(10"6) ; y = 650(10"6) ; y =0 ; &xy = 780(10"6)  ./ 9 . = :#<>?9 $@?A(10"6) R = B :x "C yAC D : &Cxy AC = E :"480C" 650AC D :780CAC 1 = (85 D 686,5F)(10"6) = 771,5F(10"6) C = (85 " 686,5F)(10"6) = "601,5F(10"6) GHáI = JJK(LM#N) GOPQ = M GHíP = "NMK(LM#N) +é-

=

2 3

2


= 686,53(10-6)

;

;

;


&máx no plano = R = 686,5F(10"6) C

S THáI PU VWXPU = LYZJZ(LM"N)

(c) A deformação por cisalhamento máxima absoluta:

&+á! [\] = +á! " +í^ = _771,5F " ("601,5F)`(10#$) = LYZJZ(LM#N)

627




Transformação da Deformação vaso de pressão são x =

10.25. As componentes da deformação em um ponto sobre a parede de um -6 350(10 -6 = - 560(10 -6 y = - 460(10 ), z = 0. Determine (a) as deformações principais no ponto, (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.

), !

"#$

)e!


%x = 350(10 6) ; %y = 460(10 6) ; %y = 0 ; "xy = 560(10 6) %'é* = +- .2 +/ = 789: <2 >?:@ (10&6) R = A 7%x &B %y@B C 7 "Bxy @B = D 7350 &B[&460]@B C 7&560B@B %1 = (&55 C 4EB,3F)(10&6) = 43F,3F(10&6) %B = (&55 & 4EB,3F)(10&6) = &54F,3F(10&6) GHáI = JKL,J(MN
&

&

&

&


= 492,37(10-6)

;

;

;


"máx no plano = &R = &4EB,3F(10&6) B

U VHáI QW XYZQW = &\^T(MN&O)


"'á# _`b = %'á# & %'íc = [43F,3F & (&54F,3F)](10
628


10.26. As componentes da

"#$

180(10 -6),



)e

= - 125(10 -6

), 

Transformação da Deformação deformação no ponto A sobre a aba da cantoneira são x = - 140(10 -6 y = z = 0. Determine (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por

cisalhamento máxima no plano x-y e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta.

Figura 10.26 (a) As deformações principais:

%x = 140(10 6) ; %y = 180(10 6) ; %y = 0 ; "xy = 125(10 6) %'é* = +- .3 +/ = 79:<>3. @ (10 6) 2 R = A 7%x 2 %y@2 B 7 "2xy @2 = C 7 1402 180@2 B 7 125 @ 2 %1 = (20 1D1,DD)(10 6) = I) %2 = (20 1D1,DD)(10 6) = &

&

&

:?>

&

&

B

&

&

EFG (EH&

&

&


&

&

;

= 171,77(10-6)

&

&EJG(EH&I

&


"máx no plano = R = 1D1,DD(10 6) 2

&

K

LMáN

OP QSTOP = UVU,J(EH I)


LMáN TWX = LMáN

OP QSTOP = UVU,J(EH9I)

629


&

)


10.27. A barra de aço está sujeita à carga de tração de 2,5 kN. Se tiver 12 mm de espessura, determine a deformação por cisalhamento máxima absoluta. E = 200 GPa, = 0,3.



Figura 10.27

"# = $($,% ''()%)*

! = E+-./0 1 4,267 x 235 = 8933 x 23:;+-./0 +-./0 = +' = 93,<>>823?5; @ = A BBCGHICDF 1 3,> = A $),JKKKBCDF8()LM; 1 +-NO = +P = A6,9Q823?5; +RéS = BT U$ BV = W$),JKK$? 5,$%X 823A6; Y = Z W+x A9 +yX9 [ W \9xy X9 = ] W93,<>> A9 Â6,9Q_X9 +( = 93,<>>823?5; ` +( = A6,9Q823?5; \Rá' Nab = +( A +$ = ^93,<>> A8A6,9Q;_823?5; = cd,efg8he?i;

!=

= 4,167 MPa

;

= 7,292(10-6) (centro do círculo)

= 13,54(10-6)

630



*10.28. A roseta de deformação a 45° está montada sobre a superfície de uma chapa de alumínio. As seguintes leituras foram obtidas em cada extensômetro: a = 475(10 -6 b = 250(10 -6) e = - 360(10-6). Determine as deformações principais no plano.



), !

"#

Figura 10.28

"a = 475(10$6) ; "b = 250(10$6) ; "c =$360(10$6) "% = "&cos'(*%) + "-sen'(*%) + .&-sen(*%)cos(*%) 475(10/8)="&cos'(0°)+"-sen'(0°)+.&-sen(0°)cos(0°) 9 "& =475(10/8) [1] ": ="&cos'(*:)+"-sen'(*:)+.&-sen(*:)cos(*:) 250(10/8)="&cos'($45°)+"-sen'($45°)+.&-sen($45°)cos($45°) 9 "& +"- $.&- =500(10/8) [2] "# ="&cos'(*#)+"-sen'(*#)+.&-sen(*#)cos(*#) $360(10/8)="&cos'($<0°)+"-sen'($<0°)+.&-sen($<0°)cos($<0°) 9 "- =$360(10/8) [3] .&- =$3>5(10/8) "x =475(10$6) ; "y =$360(10$6) ; .xy =$3>5(10$6) "?é@ = AB C' AD =EFGH/' I8JK (10$6) R= L E"x $2 "yK2 + E .2xyK2 = M E475 $2[$360]K2 + E$3>52K2 "1 = (57,5+45<,74)(10$6) =NOP(OQ$S) "2 = (57,5$45<,74)(10$6) =$TQU(OQ$S) Substituindo [1] e [3] em [2], obtemos:


= 459,74(10-6)

;

631



10.29. A roseta de deformação a 60º está montada sobre a superfície do suporte. As seguintes leituras foram obtidas em cada extensômetro: a = -780(10 -6 b = 400(10 -6 c = 500(10 -6). Determine (a) as deformações principais e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada. Em cada caso, mostre o elemento distorcido devido a essas deformações.



), !

), !


"a = #780(10#6) ; "b =400(10#6) ; "c =500(10#6) "$ = "%cos&('$)+"*sen&('$)+ -%*sen('$)cos('$)

#780(10./)="%cos&(0°)+"*sen&(0°)+-%*sen(0°)cos(0°) 2 "% =#780(10./) [1] "3 ="%cos&('3)+"*sen&('3)+-%*sen('3)cos('3) 400(10./)="%cos&(60°)+"*sen&(60°)+-%*sen(60°)cos(60°) 2 "% +9"* +: 9-%* =1<600(10./) [>] "? ="%cos&('?)+"*sen&('?)+-%*sen('?)cos('?) 500(10./)="%cos&(1>0°)+"*sen&(1>0°)+-%*sen(1>0°)cos(1>0°) 2 "% +9"* #: 9-%* =><000(10./) [9] ./) ./) " 1@1 09 : 09 A@ ""*% A=B#780(10 #780(10 % ./)C ./) C " * @ A=B 1< 6 00(10 860(10 -%* #115,47(10./) 1 9 #: 9 -%* ><000(10./) "DéE = FG H& FI =J.KLM&H L/MN (10#6) R= O J"x #> "yN> + J ->xyN> = P J#780>#860N> + J#115,> 47N> "1 = (40+8>>,09)(10#6) =QST(UV#S) "> = (40#8>>,09)(10#6) =#WQT(UV#S) tangX>'YZ= \K,L&MK^ = 2 _Ù =T,VU° (dfhi#jklálik) 'p> =>,01°#m0°=#QQ°(jklálik) ,resolvendo a matriz, obtemos:


= 822,03(10-6)

;

= 0,07041

;

632



(b) A deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada:



á!

#$ %&'#$ =

(2R= (2 822,03)10*+ (./ 455).6 x

-

*4

=

7é9 = :; = @ *ABC?< B+CD )10(E- = 40(10 ) -6

2FGH = I0° ( 2F%H = I0° ( 2 x 2,01°

J

KL. = 5M° )LNOPQST UTVáVQT-

10.30. A roseta de deformação a 45º está montada próxima ao dente da ferramenta. As seguintes leituras foram obtidas em cada extensômetro: Wa = 800(10 -6-, Wb = 520(10 -6-, Wc = -450(10 -6). Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média associada. Em cada caso, mostre o elemento distorcido devido a essas deformações.


7a = 800 )10(E- X 7b = Y20 )10(E - X 7c = (ZY0)10(E7' = 7! cos?)F' - [ 7\sen?)F' - [ ]!\ sen)F' -cos)F' 800)10*+ - = 7! cos?)(13Y°- [ 7\sen? )(13Y°- [ ]!\ sen)(13Y°-cos)(13Y°- J 7! [ 7\ [ ]!\ = 1/E00)10*+- ^1_ 7` = 7!cos?)F`- [ 7\sen?)F`- [ ]!\ sen)F`-cos)F`633


520(10!")= # cos%( 90°)+ #'sen%( 90°)+ *$'sen(&90°)cos(&90°) , #' =520(10!") [2]


$

&

&

#- =#$cos%(.-)+#'sen%(.-)+*$'sen(.-)cos(.-) &450(10!")=#$cos%(&45°)+#'sen%(&45°)+*$'sen(&45°)cos(&45°) , #$ +#' &*$' =&900(10!") [3] !") #/ #'$ 6=7&1<0(10 :00(10!"!") ); 1/0 11 10 6/ ##'$ 6=7&18520(10 !") ; 520(10 *$' 18250(10!") 1 3 & 1 *$' &900(10!") #>é? = @A B% @C =D!EFG%B H%GI (10&:) R= J D#x &2 #yI2 + D *2xyI2 = K D&1<02&520I2 + D&182250I2 1 = (175+713,9)(10!6) ##$( !') 2 = (175 ! 713,9)(10!6) !*-$(%& ) ,resolvendo a matriz, obtemos:


= 713,9(10-6)

=

%&

=

;

:;< tang.2/48 = >?< = = 1,8116 @ AB% = -&,**° (CDEáEFD)

;

!'

/p2 = 90° ! 30,55° = *$, G°(HIJF ! CDEáEFD)


KLáM NO 4PQNO = 2R = 2 x 713,9 = %SGT#(%&U')

LéV = W X Y; WZ = [ U\]^;Y <;^_ (10!6 ) = 175(10 ) -6

2/`\ = 90° ! 2/ 4\ = 90° ! 2 x 30,55°

@

634


Ab% = %G,G° (bcIJFdD HIJF ! CDEáEFD)


10.31. A roseta de deformação a 60º está montada sobre uma viga. As seguintes leituras foram obtidas em cada extensômetro: a = 150(10 -6 b = - 330(10 -6 c = 400(10 -6). Determine (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, mostre o elemento distorcido devido a essas deformações.



), !

), !

Figura 10.31


"a =150(10#6) ; "b = #330(10#6) ; "c =400(10#6) "$ = "%cos&('$)+"*sen&('$)+-%*sen('$)cos('$) 150(10./)="%cos&(#30°)+"*sen&(#30°)+ -%*sen(#30°)cos(#30°) 0,75 "% + 0,25"* #0,433013 -%* =150(10./) [1] "8 = "%cos&('8)+"*sen&('8)+ -%*sen('8)cos('8) #330(10./)="%cos&(30°)+"*sen&(30°)+ -%*sen(30°)cos(30°) 0,75"% + 0,25"* +0,433013 -%* =#330(10./) [2] "9 = "%cos&('9)+"*sen&('9)+ -%*sen('9)cos('9) 400(10./)="%cos&( )+"*sen&( )+ -%*sen( )cos( ) < "* =400(10./) [3] "> "%* ? = @#253,400(1033(10./)./)A 150(10..//)) A 33013?> ""*% ? = @#330(10 0>0,,7755 0,0,2255 #0,0,4433013 -%* #554,26(10./) 0 1 0 -%* 400(10./) "BéC = F& G = H.&IJ,J&J F KLLM (10#6) R= N H"x # 2 "yM2 + H -2xyM2 = O H#253,323#400M2 + H#554,2 26M2 "1 = (73,33+ 42P, )(10#6) = QST(US#V) "2 = (73,33 # 42P, )(10#6) = #WQQ(US#V) :0°

:0°

:0°

:0°

,resolvendo a matriz, obtemos:

DE

D


= 428,38(10-6)

tangX2' Z = &\\,J&/,/^/J = Y

3P

= 0,8484


3P

;

< _Ù = TS, UQ° (dfhi # jklálik) 'p2 = 20,15° # :0° = #Vm,qQ°(jklálik) ;

635





á!

#$ %&'#$ =

(2R= (2 428,38)10*+- = (./5)67 *9

x

:é; = <> ?A <@ = B *ACD,DDA ? EFFG )10(H- = 73,3(10 ) -6

2IJK = L0° (2I%K = L0° ( 2 x 20,1M°

N

O P6 = QS,.° )PTUVWXY ZY[á[WY-

*10.32. A roseta de deformação a 45° está montada sobre um eixo de aço. As seguintes leituras foram obtidas em cada extensômetro: \a = 800(10 -6-, \b = 520(10-6-, \c = - 450(10 -6). Determine (a) as deformações principais no plano e suas orientações.

Figura 10.32 636




= 800(106) ; "b =520(106) ; "c =450(106) "# = " cos%(& )+"'sen%(& )+ *$'sen(& )cos(& ) 800(10,-)=" cos%(45°)+"'sen%(45°)+ *$'sen(45°)cos(45°) " "'  *$' =1.600(10,-) [1] " " cos%(& )+"'sen%(& )+ *$'sen(& )cos(& ) 520(10,-)=" cos%(0°)+"'sen%(0°)+ *$'sen(0°)cos(0°) 3 " 520(10,-) [2] "7 =" cos%(&7)+"'sen%(&7)+ *$'sen(&7)cos(&7) 450(10,-)=" cos%(45°)+"'sen%(45°)+ *$'sen(45°)cos(45°) " "' + *$' = 900(10,-) [:] ,- ) "< "' > = ? 520(10 600(10,,--))@ 1<1 10 10 > < ""' > = ?1.520(10 ,- ) @ 1A0(10 *$' 1.250(10,-) 1 1 1 *$' 900(10,-) "x =520(106) ; "y =1A0(106) ; *xy = 1.250(106) "BéC = F% G = HI%J ,% KLJM (106) R= N H"x 2 "yM2 + H *2xyM2 = O H520 2[1A0]M2 + H1.2250M2 "1 = (1A5+A1:P9)(106) =QQS(TUV) "2 = (1A5A1:P9)(106) =WXS(TUV) tangY2&Z\= I%J-%I, KLI = 3 ^_T =XUPV° (`dfáfhd) &p2 =90°:0P16°=WSPQi°(jklh`dfáfhd) a

#

$

#

#

#

/

/

/

$

$

/

=

$

+

/

$

$

=

$

$

$

+

$

$

,resolvendo a matriz, obtemos:

DE

D


= 713,9(10-6)

;

= 1,8116

;

637



10.2 - PROBLEMA 10.34. Mostre que, para o caso do estado plano de tensão, a lei de Hooke pode ser expressa como • x =



(!#$

!

 )( x +

*+ = ,$ -.+ / 0.1 2 *1 = ,$ -.1 / 0.+ 2

" !y), • y = ($ &#' )(!y + " !y)

4E*+ = -.+ / 4.1 24 = 4E*+ = 4.+ / 45 .1

3

3

E*1 = /4.+ 6 .1

4E*+ 6 E*1 = .1 / 45 .1

3

Isolando .17obtemos: 89 = < &; >? - @AB 6 A 9 2

.1 = $ &,C -0*+ 6 *1 2

3

.+ =

,-CDF G DH 2 ,D H / C C($ & C)

8B = < &; >? -AB 6 >A92

10.35. Use a lei de Hooke, Equação 10.18, para desenvolver as equações de transformação da deformação, equações 10.5 e 10.6, a partir das equações de transformação de tensão, 9.1 e 9.2.

.+J =

KF G KH K F & KH 6 5 cos(LM) 6 N+1 sen(LM) 5

*+ = K,F /

CK H ,

K F & KH sen(LM) 6 N+1 cos(LM) 5

.1J =

K F G KH KF & KH / 5 cos(LM) / N+1 sen(LM) 5

;

*1 =

KH CK F / , ,

;

N+1 = OP+1

($ & C)-KF G KH 2 ,

;

*+ / *1 =

, N+1 = 5($GC) P+1

;

*+J =

*+ 6 *1 =

*+J =

N+J1J =

;

KF J ,

;

($ G C)-KF & KH2 ,

/

CK HJ ,

($ & C)-KF G KH 2 ($ G C)-KF & KH 2 ($ G Q)RFH STU(5V) ( ) 6 cos LM 6 5, 5, ,

A BJ =

A BGA 9 A B&A 9 [ B9 ( ) 6 WXY ?Z 6 Y\](?Z) ? ? ?

N+1 = ON+J1J = 5($,G C) P+J1J , P J J = 5($ G C) + 1 [BJ 9J ?

/

=/

,-DF & DH 2 , ( ) sen LM 6 P cos(LM) 5($ G C) 5($ G C) +1 -A B & A9 2 [ B9 ( ) Y\] ?Z 6 WXY(?Z) ? ?

638


O = 5($,G C)


*10.36. Uma barra de liga de cobre é carregada em um equipamento de ensaio de tração e constata-se ( ) que  % & Determine o módulo de elasticidade, '*, e a dilatação, e'*, do cobre. +-/ = 0,35.

= 940 10!" e $ = 100 MPa,$ = 0,$ = 0. 2 = 76 8$ : ;<$% > $& ?@

A

E

940(10!") = 76 [100(10") : 0,35(0 > 0)] BC

DFG = HIJ,KL NOQ ! R  T,UV " )] = 2,820 x 10-4 [ ( e'* = 6 !7RSBC <$ > $% > $& ? = 66T",UW 100 10 X (6T ) BC

10.37. As tensões principais no plano e as deformações associadas em um plano em ponto são • 1 = 250 MPa, • 2 = 112 MPa, Y1 = 1,02(10-3), Y2 = 1,080(10-3). Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson.

RVT<6T` ? 66R<6T` ?b : 7 [1] 7

26 = Z7\ : SZ7^

A

1,0_(10!U ) =

2R = Z7^ : SZ7\

A

66R<6T ? RVT<6T 1,0c0(10!U ) = 7 : 7

`

` ?b

[2]

Resolvendo as equações [1] e [2], obtemos: d = I, fgh e D = fHf,i NOQ

10.38. Determine o módulo de compressibilidade para borracha dura se E b = 5 GPa e jk = 0,43.

X

l = U(6 !7 RS) = U(6 V!R6T = 11,90 GPa  T,mU) 10.39. As deformações principais em um ponto sobre a fuselagem de alumínio de um avião a jato são Y1 = 780(10 -6) e Y2 = 400(10 -6). Determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. E al = 70 GPa e ;no = 0,33. Dica: Veja o Problema 10.34.

26 = Z7\ : SZ7^ 2R = Z7^ : SZ7\

A A

T,UUZ^ pc0(10!" ) = qT(Z6T\ X ) : qT (6TX ) Z^ T,UUZ\ 400(10!" ) = qT(6T X ) : qT(6TX )

A A

$6 : 0,33$R = 54,r MPa [1] $R : 0,33$6 = _c MPa [2]

Resolvendo as equações [1] e [2], obtemos: sH = iH,Jt uOQ e sf = hH,Jt uOQ

639



*10.40. A haste é feita de alumínio 2014-T6. Se for submetida à carga de tração de 700 N e tiver diâmetro de 20 mm, determine a deformação por cisalhamento máxima absoluta na haste em um ponto sobre sua superfície.

Figura 10.40

! =

" = #

$%%

= 2,2282 MPa

& ! )%* '

+! = -, .! / 012 3 4 56 = $78, ,! ,%9 [:8::;: x <> ? / >8@AB> 3 >C] = 30,48(10-6) +2 = -, .2 / 0B! 3 4 C6 = $78, ,! ,%9 [> / >8@AB:8::;: x <> ? 3 >C] = - 10,67(10-6) +4 = -, .4 / 01! 3 2 56 = $78, ,! ,%9 [>/>8@AB:8::;: x <> ? 3 >C] = - 10,67(10-6) +Dá! = @>8E;B<>F? C

;

+GHI = +DíH = /<>8JKB<>F? C

LDá! MNO = +Dá! / +DíH = @>8E;B<>F? C / [/<>8JKB<>F? C] = PQ8QRBQSFT C

10.41. A haste é feita de alumínio 2014-T6. Se for submetida à carga de tração de 700 N e tiver diâmetro de 20 mm, determine as deformações principais em um ponto sobre a superfície da haste.

Figura 10.41

! = #" = & !$%% = 2,2282 MPa )%* '

+! = -, .! / 012 3 4 56 = $78,,! ,%9 [:8::;: x <> ? / >8@AB> 3 >C] = 30,5(10-6) +2 = -, .2 / 0B! 3 4 C6 = $78, ,! ,%9 [> / >8@AB:8::;: x <> ? 3 >C] = - 10,7(10-6) +4 = -, .4 / 01! 3 2 56 = $78, ,! ,%9 [>/>8@AB:8::;: x <> ? 3 >C] = - 10,7(10-6) UVáW = XS8YBQSFTC

;

UZ\^ = UVí\ = /QS8_BQSFT C

640



10.42. Uma haste tem raio de 10 mm. Se for submetida a uma carga de 15 N tal que a deformação axial na haste seja x = 2,75(10-6), determine o módulo de elasticidade E e a mudança em seu diâmetro. .

  = 0,23

!" = $# =

*" = +% -!" . /1!4 5 !6 78

9

%& = 47,75 kPa ' " ),)%)²

2,:;<>0?@A = +% [B:,:;<>0C A . 0,23<0 5 0A]

E = 17,4 GPa

*4 = %+ -!4 . /0C 5 0A] = - 6,3255(10-7) Gd = .H,32;;<>0?D A x 20 = .IJ,K
10.43. As deformações principais em um ponto sobre a superfície de alumínio são N1 = 630(10 -6) e N2 = 350(10 -6). Se for um caso de estado plano de tensão, determine as tensões principais associadas no ponto no mesmo plano. E al = 70 GPa, OP = 0,33. Dica: Veja o Problema 10.34.

*% = +% [!% . /!Q]

9

% H30<>0?@A = D)<%) F A [!% . 0,33!Q ]

!% . 0,33!Q = BB,> RSa [>]

*Q = +% [!Q . /!% ]

9

% 3;0<>0?@A = D)<%) F A [!Q . 0,33!% ]

!Q . 0,33!% = 2B,; RSa [2] Resolvendo as equações [1] e [2], obtemos: TI = UV,UK WXY ; TJ = Z\,V\ WXY

*10.44. Uma carga periférica uniforme de 100 kN/m e 70 kN/m é aplicada a um corpo de prva de poliestireno. Se a forma original do corpo de prova for quadrada, de dimensões a = 50 mm, b = 50 mm e espessura t = 6 mm, determine suas novas dimensões a’ , b’ e t’ após a aplicação da carga. E p = 4 GPa e /^ = 0,2;.

Figura 10.44 641


! =

" = #

$%% ! $%' !

%,%(

%,%( ! %,%%)

= 16,667 MPa

;

* =

Transformação da Deformação " +% ! $%'! %,%( = %,%( ! %,%%) = 11,667 MPa ; - = 0 MPa #

.! = /$ 1! 2 34* 5 - 67 = 8 !$$%9 [:;,;;< x :0 ) 2 0,>?@::,;;< x :0 ) 5 0A] = 3,4376(10-3) .* = /$ 1* 2 3@! 5 - A7 = 8 !$$%9 [::,;;< x :0 ) 2 0,>?@:;,;;< x :0 ) 5 0A] = 1,8750625(10-3) .- = /$ 1- 2 34! 5 * 67 = 8 !$$%9 [020,>?@:;,;;< x :0 ) 5 ::,;;< x :0) A] = - 1,771(10-3) aB = a 5 a.* = ?0 5 :,C?@:0DE A x ?0 = FG, GH II bB = b 5 b.! = ?0 5 J,KJ<;@:0DE A x ?0 = FG,LN II t B = t 5 t.- = ; 2 :,<<:@:0DEA x ; = F, HH II

10.45. As tensões principais em um ponto são mostradas na figura. Se o material for grafite, para o qual Eg = 5,6 GPa e 3O = 0,>J, determine as deformações principais.

Figura 10.45

! = <0 MPa Q * = 2:0? MPa Q

- = 2:C> MPa

.! = /$ 1! 2 34* 5 - 67 = (,) !$ $%9 [<0 x :0) 2 0,>J@2:0? x :0) 2 :C> x :0) A] = 0,0242875 .* = /$ 1* 2 3@! 5 - A7 = (,) !$$%9 [2:0? x :0) 2 0,>J@<0 x :0 ) 2 :C> x :0) A] = - 0,01415 .- = /$ 1- 2 34! 5 * 67 = (,) !$$%9 [2:C> x :0 ) 2 0,>J@<0 x :0) 2 :0? x :0) A] = - 0,0310625 RIáS = G, GTUV

;

RWXY = 2G, GLUT

642


;

RIíX = 2G,GVLL


10.46. O eixo tem raio de 15 mm e é feito de aço-ferramenta L2. Determine as deformações nas direções x’ e y’ , se for aplicado um torque T = 2 kN.m ao eixo.

Figura 10.46

=

! "

=

#$ & '() *+(,('-. = 377,26 MPa / & (,('-1 0

' ? 2&3 = 4' 5&3 = 6-+'( 7 . [899,:;+<> .] = 0,00503 rad

@&A = @3A = @& cos$+BC . D @3 sen$ +BC . D 2&3 sen+BC . cos+BC . = >,>>E>8sen+FE°. cos+FE°. = G,HG+IJKL . 10.47. A seção transversal da viga retangular é submetida ao momento fletor M. Determine uma expressão para o aumento no comprimento das retas AB e CD. O material tem módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson M.

Figura 10.47

Q3 '$Q3 NO = P Q3 = P = P ) ST R VW)

;

U0

Wk$

@3 = P XY\Z = '$Q3X \VW)

Wk $ '$Q3X Lfg dy = ) \VW Ghij

^_à = b( @3 d3 = b( QW ?Q NO = P Q! = P = P ) 0ST R VW0 U0

;

?XQ @& = P XY\Z = \VW 0

?XQ qfg ^_lm = @& _lm = \VW 0 +p. = hjG 643



*10.48. O vaso de pressão esférico tem diâmetro de 2 m e espessura de 10 mm. Um extensômetro com 20 mm de comprimento é ligado ao vaso e constata-se um aumento no comprimento de 0,012 mm quando o vaso é pressurizado. Determine a pressão que provoca essa deformação e calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão por cisalhamento máxima absoluta em um ponto sobre a superfície externa do vaso. O material é aço, para o qual Eç! = 200 GPa e #$ç% = 0,3.

Figura 10.48

4

7

- 5.666 &'á( = &)*+ = -/ = 1+ 1 ( 56

= 50p

8'á( = 95 [&'á( : ;4&)*+ < &'í* 7]

8'á( = 8)*+ = 6,61 = 0,6(10-3) mm/mm 16

;

>

0,?4@0AB7 = 166 5( 56C [D0p:0,34D0p<07]

p = 3,E2F? MPa = H, IH JKL &'á( = &)*+ = D0 x 3,E2F? = NON, IH JKL

;

QRáS TU VWLTU = X JKL

A6 Y'á( Z\ = ^_á` A1 ^_íb = 5c5,dB = 85,7 MPa 1

10.49. Uma haste tem raio de 10 mm. Se estiver sujeita a uma carga axial de 15 N tal que a deformação axial na haste seja ex = 2,75(10-6), determine o módulo de elasticidade E e a mudança em seu diâmetro. f = 0,23.

5i &( = hg = j ( 6,656² = 47,75 kPa

8( = 95 k&( : ;l&m < &n oq

>

2,rD4@0As7 = 95 [Er,rD4@0B 7 : 0,2340 < 07] E = 17,4 GPa

8m = 59 k&m : ;4&( < &n 7q = 5c,d5( 56C [0 : 0,234E,rD x @0B < 07] = - 6,3255(10-7) tu = :?,32DD4@0Ac 7 x 20 = :Nv,wy4NXAw 7 RR 644



10.50. Um extensômetro colocado no plano vertical sobre a superfície externa a um ângulo de 60° em relação ao eixo do tubo dá uma leitura A = - 250(10-6) no ponto A. Determine a força vertical P , se o tubo tiver diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 15 mm. O tubo é f eito de bronze C86100.



Figura 10.50

M = 0,2P

%$T" = 0,15P

;

= &)''#( =

*,

;

+- " *

. 3*,*4+6/ 7 *,**86/ 9 /

V# = P = 0 MPa

Q:á" = ;+ 3c* ; < c> ; 9 = ;+ 30,0125; < 0,00?5; 9 = 1,0208333 x 10-6 m3 @% =

AB CDáE H E IJ G K )' F

3-9L4,*+*N;;; " 4*OR S

3*,46-93*,*4+69

= .3*,*4+6/ 7*,**86/93*,*49 G .3*,*4+6/7*,**86/ 9 = - 50.056,098P /

U

W"# = X4 @"# = ;N "44*Y 3<50Z05[,0\]P9 = (- 1,317 x 10-6)P ^% = ^" cos+ 3_% 9 G ^# sen+ 3_% 9 G W"# sen3_% 9 cos3_% 9

`

<2503107a 9 = 3
P = 438,4 N = 0,438 kN

645



10.51. Um extensõmetro colocado no plano vertical sobre a superfície externa a um ângulo de 60° em relação ao eixo do tubo dá uma leitura A = - 250(10 -6) no ponto A. Determine as deformações principais no tubo no ponto A. O tubo tem diâmetro externo de 25 mm e diâmetro interno de 15 mm e é feito de bronze C86100.



Figura 10.51

+

+

! = " cos#($! ) %sen# ($! ) &"%

sen($!)cos($!) ' *250(10,-) = &"%Psen(60°)cos(60°) &"% = *5.7735(10,/)

48é9 = :; ># :? = @ ># @ = 0 MPa (centro do círculo) # D;? # A @ , @ # E.FFGE " H@IJ # : , : ; ? A R = B # C +B # C = B # C +B # C = 2,88675 x 10

-4

H = 2KK.675 x 10,- ; # = *2KK.675 x 10,LMáN = OQQ.S(TU,V) ; LWXY = U ; LMíX = *OQQ.S(TU,V)

646


! #


*10.52. Um material está sujeito às tensões principais e . Determine a orientação $ de um extensômetro colocado em um ponto, de modo que sua leitura da deformação normal responda apenas a , e não a . As constantes do material são E e % .

#

!

Figura 10.52

10.53. As tensões principais em um ponto são mostradas na figura. Se o material for alumínio, para o qual Eal = 70 GPa e &'( = 0,33, determine as deformações principais.

Figura 10.53

! = 70 MPa ; # = )105 MPa ;

* = )182 MPa

+! = /- 4 ! "#$% + $& '( = *, )),. [70 x 10/ ! 02334!105 x 10/ ! 186 x 10/9] = 2,353(10-3) :% = ;) <$% ! "4$ + $& 9( = *, )),. [!105 x 10/ ! 0233470 x 10/ ! 186 x 10/ 9] = - 9,720(10-4) :& = ;) <$& ! "#$ + $% '( = *, )),. [!186 x 10 / ! 0233470 x 10 / ! 105 x 10/9] = - 2,435(10-3)

647



10.54. Um vaso de pressão cilíndrico de parede fina tem raio interno r, espessura t e comprimento L. Se for submetido a uma pressão interna p, mostre que o aumento em seu raio interno é dr = r 1 = pr²(1 1/2!)/Rt e o aumento em seu comprimento é •L = pLr(1/2 - !)/Et. Com esses resultados, mostre que a mudança no volume interno torna- se dV = !r²(1 + 1)²(1 + 2)L – !r²L. Visto que 1 e 2 são quantidades pequenas, mostre também que a mudança no volume por unidade de volume, denominada deformação volumétrica, pode ser expressa como dV/V = pr(2,5 – 2!)/Et.



"# = $%&

"' = $%'&

;

"( = 0

;

)# = *# ["# + !,"' - "(.] = *# /$%& + ! $%'&1 = $%*& 23 + 4'5

6

? 78 = 9:8 = ;8² 2: + <> @5

)' = *# ["' + !,"# - "(.] = *# /$%'& + ! $%& 1 = $%*& 2#' + !5

6

: AB = 9@B = ;B8 2 <> @ + ?5

VC = D,r - )#r.',L - )'L. F V = Dr²L 6 7G = G C + G = H8 @,: - 9:.@ ,: - 9@ .B + H8²B ,3 - )#.' ,3 - )'. = ,3 - I)# .,3 - )'. = 3 - )' - I)# JK = 3 - ) - I) + 3 = ) - I) = M% 2# + !5 - 'M% 23 + 4 5 = N8 ,@OP+@?. ' # ' # *& ' K *& ' <> 10.55. As extremidades do vaso de pressão cilíndrico são fechadas com tampas semiesféricas para reduzir a tensão de flexão que ocorreria se as tampas fossem planas. As tensões de flexão nas linhas de junção entre as tampas e o corpo podem ser eliminadas com a escolha adequada das espessuras t h e tc das tampas e do cilindro, respectivamente. Isso requer que a expansão radial seja a mesma para o cilindro e para as semiesferas. Mostre que essas relação é t c/th = (2 - !)/(1 - !). Considere que o vaso é feito do mesmo material e que ambos, cilindro e semiesferas, têm o mesmo raio interno. Se a espessura do cilindro for 12 mm, qual será a espessura exigida para as semiesferas? Considere Q = 0OR.

Figura 10.55

No vaso cilíndrico, temos:

"# = $%&S

;

"' = '&$%S

"( = 0

;

)# = *# ["# + !,"' - "(.] = *# /$%&S + ! '&$%S1 = *&$%S 23 + 4'5 No vaso semiesférico temos:

"# = "' = '&$%T

)# = *# ["# + !,"' - "(.] = *# /'&$%T + ! '&$%T1 = '*&$%T ,3 + !. Para que a expansão radial seja a mesma, tem-se que:

> Simplificando a equação, obtemos a seguinte relação: U >W

;

6

"( = 0 $%² , dr = )#r = '*& 3 + !. T

$%² 4 $%² , 23 + 5 = *&S ' '*&T 3 + !.

= @: XX ?? , sendo assim: #'&T = '# XX YO( YO(

648


dr = )#r = *&$%²S 23 + 4'5

6

6

th = 4,94 mm


*10.56. O tubo de aço A-36 está sujeito à carga axial de 60 kN. Determine a mudança no volume do material após a aplicação da carga.

Figura 10.56

! = "

#

;

$ = % = 0

&' ()*+ ( ) *+ " = - .  .  / = ! % $ ' , , 2# 3

4

5' = ( ),*+ 2"#3V

) * ! 678*3 :;0 x <08 >:07?> = 54 x 10 5' = 2( ),*+3 N L = 2(*66 ! (69

;

V=AL

-9

m3 = 54 mm³

10.57. A cavidade de um corpo rígido liso está cheia com alumínio 6061- T6 líquido. Quando frio, o líquido fica a 0,3 mm da parte superior da cavidade. Se essa parte superior for coberta e a temperatura aumentar 110°C, determine as componentes da tensão • x , • y e • z no alumínio. Dica: Use a Equação 10.8 com um termo adicional !T para a deformação (Equação 4.4).

Figura 10.57

@! = ,( B! C D-% . $ /E .FGT

4

0 = HI7J(! (69 B! C07K?% C07K?$ E . :MO x <0)H>:<<0>

! C07K?% C07K?$ = C
@% = ,( B% C D:! . $>E .FGT

4

0 = HI7J(! (69 B% C07K?! C07K?$E . :MO x <0)H >:<<0>

% C07K?! C07K?$ = C
@$ = ,( B$ C D-! . %/E .FGT

4

070 0M = HI7J(! (69 B$ C07K?! C07K?%E . :MO x <0)H>:<<0>

$ C07K?! C07K?% = COO70Q; RSa [K] Resolvendo [1], [2] e [3], obtemos:

UW = CXYZ7\ ^_` 649


;

Ub = CXYZ7\ ^_`

;

Uc = CdYe7\ ^_`


10.58. A cavidade de um corpo rígido está cheia com alumínio 6061-T6 líquido. Quando frio, o líquido fica 0,3 mm da parte superior da cavidade. Se essa parte superior não for coberta e a temperatura aumentar 110°C, determine as componentes da deformação x, y e z no alumínio. Dica: Use as Equações 10.18 com um termo adicional •T para a deformação (Equação 4.4).

Figura 10.58

!" = !# = $

;

*+ = -, .%+ / 12%3 4 %& 56 4 78T

%& = 0 (pois a parte superior não foi coberta) 9

0 = :;<> ,+ ,?@ .%+ / 0
%+ / 0
*3 = ,- .%3 / 1(%+ 4 %& )6 4 78T

9

0 = :;<> ,+ ,?@ .%3 / 0
%3 / 0
*3 = -, .%3 / 1(%+ 4 %& )6 4 78T = :;<> ,+ ,?@ [0 / 0
650


Transformação da Deformação espessura t é submetido a uma

10.59. O vaso de pressão cilíndrico de parede fina com raio interno r e pressão interna p. Se as constantes do material forem E e v , determine as deformações nas direções circunferencial e longitudinal. Com esses resultados, calcule o aumento no diâmetro e no comprimento de um vaso de pressão de aço cheio de ar e sob pressão manométrica de 15 MPa. O vaso tem 3 m de comprimento, raio interno de 0,5 m e espessura da parede de 10 mm. E aço = 200 GPa, !ç" = 0,3.

Figura 10.59

#$ = %&'

;

#( = %&('

;

78 19 *+-& = .$ [#$ / 1#( 2 #)4] = .$ 5%&' /  %&('6 = 9:; / <4

#) = 0

dr = *+-&r = .'%&²? @A / B(C

>

78 1 *D"EF = .$ [#( / 1#$ 2 #)4] = .$ 5%&(' /  %&' 6 = 9:; G / 9<4 N

I$J L $M O1M,J4 1Q/0,341A4 = 3,19 x 10 Hd = *+-&d = (1(MM L $MP41M,M$4

-3

N

m = 3,19 mm

I$J L $M O1M,J4 1A / Q x 0,34134 = 2,25 x 10 HR = *D"EFR = (1(MM L $MP41M,M$4

-3

m = 2,25 mm

*10.60. Estime o aumento no volume do tanque do Problema 10.59. Dica: Use os resultados do Problema 10.54 como confirmação.

Figura 10.60

dV = S1r 2 Hr4(1R 2 HR4 / Sr ( R = S1r( 2 Hr ( 2 QrHr41R 2 HR4 / Sr( R = S1r( HR 2 Hr ( R 2 Hr (HR 2QrHrR 2 QrHrHR4 HV = S1r( HR 2 QrHrR4

;

HR = 0,00QQT m

;

Hr = UW( = 0,00159375 m

HV = S10,0T(410,00QQT4 2 Q10,T410,00ATX3YT4134 = Z, ZG\^ _³ W` a& 1 ` = .' Q,T / Q4

>

N

I$J L $M O1M,J4 1Q,T / Q x 0,341S x 0,T( 4134 = dV = a&.' 1Q,T/Q4V = 1(MM 0,0168 m³ L $MP41M,M$4 651



10.61. Um material macio está confinado no interior de um cilindro rígido que repousa sobre um suporte rígido. Considerando que x = 0 e y = 0, determine qual será o fator de aumento do módulo de elasticidade quando é aplicada uma carga, se ! = 0,3 para o material.

Figura 10.61

"# = "$ = 0

;

"# = (' )%# * +-%$ . %&/1

%# = %$ 4

;

%& = %&

0 = (' )%# * +-%$ . %&/1

+-%$ . %& / = %# [5]

"$ = (' )%$ * +6%# . %&71

4

0 = '( )%$ * +6%# . %& 71

+6%# . %&7 = %$ [8] Resolvendo as equações [1] e [2], obtemos:

%# = '9:<;9 , sendo assim:

"& = (' )%& * +-%# . %$/1 = (' [%& * 8+%#], substituindo %#, obtemos: "& = :(; >' <'9<<9?9²@

EA = :B;; = C; >F G:H;G IH² @ = 6' J6'976<'97<(?97 D

FGH

K

'<9 ' < L,M k = (( = 6' J 976' = < ?97 6' J L,M76' < ? # L,M7 = 1,35

652


Transformação da Deformação 10.62. Um vaso de pressão esférico de parede fina com raio interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p. Mostre que o aumento de volume no interior do vaso é •V = (2pr 4/Et)(1 - ). Use uma

análise de pequenas deformações.

!" = !# =

%$*

#&

(" = (# = )" !" + !#

, =

' = 0

!

;

$% *1 + , #&)

;

'

V / 2V = -' .*r/2r,³ = '- .r' 31 / 2%%4 5 -' .r' 31/6 2%%4 2%, ? #<% 2% (" = (# = #<*% >#<% =%

I

2A = ABACD = EFGH JK *L + M,


8

e9:; = 299 = 6 2%%

e9:; = 6(" = '@% #&) *1 + ,

;

653

V = -' .r³


10.3 - PROBLEMAS 10.63. Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha de energia de distorção em term os de •x, •y e xy.



!" # !" + "" =  "

$ [1]

!," = % (" % ± * -% ." % /" +012" &

)

&

)

a = %& (" %)

;

;

b = * -x #3 y/3 +0xy3

! = a + b ; " = a # b !" = a" + b" +3ab ; "" = a" + b" #3ab ; !" = a" # b" Substituindo ! " , " " e ! " na equação [1], obtemos: a" + 4b" = $ " , substituindo os valores de a e b, tem-se que: 5%& ( %)6² +4 5%& . %)6² +40 " =  " , simplificando a equação, obtemos: 8 : + 8 : # 8 8 + <> : = 8 : 9 ; 9 ; 9; ? 12 $ 7 7 *10.64. Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha da tensão de cisalhamento máxima em termos de 1 2 12. Considere que as tensões principais têm sinais algébricos diferentes.

 , e 0

|! # "| = 2

;

" % ( % % . % & ) & ) * !," = " ± - " / +012"

|! # "| = 3* -x #3 y/3 +0xy3 @ A-%& ." %)/" + 012" = 2" = 589 #8;6²+B>9;: = 8;: 10.65. As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço estrutural A-36 são mostradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria de cisalhamento máxima.

Figura 10.65

1 = #CD MPa E 2 = F3D MPa E 012 = #GH MPa

!," = %& (" %) ± * -%& ." %)/" +012" = .IJ "( !"J ± * -.IJ ". !"J/" + K#GHL" = 25 MPa

± 128,065

! =FD4,HND MPa ; " = #FH4,HND MPa |! # "| = $ @ FD4,HND MPa + FH4,HND MPa = 3DH MPa @ :OQ,R< STU V :OW STU O material escoa de acordo com a teoria da tensão de cisalhamento máxima. 654


MPa


10.66. As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço estrutural A-36 são mostradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria da energia de distorção máxima.

Figura 10.66

! ="75MPa ; $ = 125MPa ; %!$ = "80 MPa

&, = () * (+ ± - .( /(+3 %!$' = / '* &'9 ± - ./69 '/ &'93' 4 :"80<' '

'

)

'

'

4

69

= 25 MPa ± 128,065 MPa

& =15>,0?5 MPa ; ' = "10>,0?5 MPa &' " &' 4 '' = @' A :15>,0?5<²" :15>,0?5<:"10>,0?5<4 :"10>,0?5<' =250² BCD827 E ?2D500 FGH O material não escoa de acordo com a energia de distorção máxima.

10.67. A tensão de escoamento para uma li ga de magnésio e zircônio é • e = 107 MPa. Se uma peça de máquina for fabricada com esse material e um ponto crítico no material for submetido às tensões principais no plano • 1 e • 2 = - 0,5•1, determine o valor de • 1 que provocará escoamento de acordo com a teoria da tensão de cisalhamento máxima.

|& " '| = @ A |& " :"0,5&<| =107 MPa Resolvendo a equação, obtemos: IJ = KJ,LL NOQ *10.68. Resolva o Problema 10.67 usando a teoria de energia de distorção máxima.

&' " &:"0,5&<4:"0,5&<' =107² Resolvendo a equação, obtemos: IJ = RS,RR NOQ

&' " &' 4 '' = @'

A

655



10.69. Se um eixo for feito de um material para o qual • e = 350 MPa, determine a tensão de cisalhamento por torção máxima exigida para provocar escoamento pela teoria da energia de distorção máxima.

! = " ; $ = " !$ !$ +$$ =  $ %

%

"$ % "(%") + (%")$ = 350²

'

&

Resolvendo a equação, obtemos: * = ,-,. / 124

10.70. Resolva o Problema 10.69 usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima. As duas tensões principais têm sinais opostos.

|! % $ | = &

|" % (%")| = 350 MPa

'

Resolvendo a equação, obtemos: * = /67 124

10.71. A tensão de escoamento para um material plástico é • e = 110 MPa. Se esse material estiver sujeito ao estado plano de tensão e ocorrer uma falha elástica quando uma tensão principal for 120 MPa, qual será o menor valor da outra tensão principal? Use a teoria da energia de distorção máxima.

! $ % ! $ + $ $ = & $

890² % (890)$ + $ $ = 880²

'

$ $ % 890$ + 9:300 = 0 , resolvendo a equação do segundo grau, obtemos como menor valor da outra tensão: <, = ,>. ?@ 124

*10.72. Resolva o Problema 10.71 usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima. Ambas as tensões principais têm o mesmo sinal.

O material irá falhar por qualquer $ , desde: |! % $ | = &

'

656


/,- A //- 124


10.73. A chapa é feita de bronze Tobin, que escoa a • e = 175 MPa. Pela teoria de falha da tensão de cisalhamento máxima, determine a tensão de tração máxima • x que pode ser aplicada à chapa, se também for aplicada uma tensão de tração • y = 0,75•x.

Figura 10.73

!," = # " # ± ( )# " # +" - /0" = # & 1,"23# ± ( ) # $&

'

$*

'

$

.

$

$*

1,23#$+" = 0,875/ ± 0,125/ "

! = / ; " =4,75/ |!| = 6 =875 MPa 9 :; = <>? @AB |"| = 6 = 875 MPa 9 / =CDD,DD MPa

10.74. A chapa é feita de bronze Tobin, que escoa a •e = 175 MPa. Pela teoria da energia de distorção máxima, determine a tensao de tração • x que pode ser aplicada à chapa, se também for aplicada uma tensão de tração •y = 0,75•x.

Figura 10.74

!," = #$ &" #' ± ( )#$ *" #'+" -./0" = #$ & 1," 23#$ ± ( ) #$ * 1," 23#$+" = 0,875/ ! = / !" E !" - "" = 6" 9

" =4,75/ /²E /F4,75/G-F4,75/G" =875² Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos: :; =
657


± 0,125

/


10.75. Uma liga de alumínio 6061- T6 deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento maciço que transmite 33 kW a 2.400 rev/min. Usando um fator de segurança de 2 para o escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima.

=

2 x "$%# .400

T = '& = ((",*-)(*%"/1+ = 131,303 N.m 35á) = 3)6 = 789 = *(*-:;8(<%(8 = >(-8+,?

= 251,3274 rad/s

;

@*-" = AB C" AD ± E FAB G" ADH" I3)6" = % C" % ± E F % "G %H" I F>(-8³,?H" = >(-8+,? @* = >(-8+,? ; @" = J >(-8+,? |@* J @"| = LMAK N F>(-8³,? I >(-8³,?H = ",, ") *%O , resolvendo a equação, obtemos: c = 0,010945 m = 10,945 mm ±

d = 2c = 2 x 10,945 = 21,89 mm

*10.76. Resolva o Problema 10.75 usando a teoria da energia de distorção máxima.

T = '& = ((",*-)(*%"/1+ = 131,303 N.m 35á) = 3)6 = 789 = *(*-:;8(<%(8 = >(-8+,?

 = 2.400 x "#$% = 251,3274 rad/s

;

" " >(-,? " >(-,? A C A A G A % C % % G % B D B D " E E @*-" = " ± F " H I3)6 = " ± F " H I F 8³ H = ± 8+ @* = >(-8+,? ; @" = J >(-8+,? " >(-,? >(-,? " ",, ) *%O " " >(, ? >(, ? A K " " @* J @*@" I @" = FLMH N F 8³ H JF 8³ HFJ 8³ HIFJ 8³ H = F " H Resolvendo a equação, obtemos: 0,0104328 m = 10,4328 mm, logo: d = 2c = 2 x 10,4328 = 2

m

10.77. Uma liga de alumínio deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento que transmite 20 kW a 1.500 rev/min. Usando um fator de segurança de 2.5 para escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com base na teoria da energia de distorção máxima. • e = 25 MPa.

 = P.Q00 x "#$% = 157,0796 rad/s ; T = '& = "%*,/-)%*%/?$+ = 127,324 N.m 35á) = 3)6 = 798 = *"/-:;8(<"18 = >*-8%+,/ @*-" = AB C" AD ± E FAB G" ADH" I3)6" = % C" % ± E F % "G %H" I F>*-8%+,/H" =

@* = >*-8%+,/

;

±

>*-%,/ 8+

@" = J >*-8%+,/

@*" J @*@" I @"" = FALMKH" N F>*-8³%,/H" J F>*-8³%,/HFJ >*-8³%,/ HIFJ >*-8³%,/H" = F","-),*%OH" Resolvendo a equação, obtemos: 0,024124 m = 24,124 mm, logo: d = 2c = 2 x 24,124 = 4

658


m


Uma barra com área de seção transversal quadrada é feita de um material cuja tensão de escoamento é •e = 840 MPa. Se a barra for submetida a um momento fletor de 10 kN.m, determine o tamanho exigido para a barra de acordo com a teoria da energia de distorção máxima. Use um fator de segurança de 1,5 para o escoamento. 10.78.

!á" = #%$ = &'( " '( +,(-./0 = 5(6/((( Pa = (-/³(5 MPa * 1 2 1* 34

*

'-7 = 82 97 8: ± ; <82 >7 8:?7 @A"B7 = (-(5C/³7 9 ( ± ; < (-(5C/³7 > (?7 @ D² = D-aDEE MPa

±

(-(F MPa /*

' = (-/³(5 MPa ; 7 = D 7 '7 G '7 @ 77 = <8IJH?7 K <(-/³(5?7 =
*+,(-./0 5(6((( &'( " '( # $ !á" = % = 1 2341* = /* Pa = (-/³(5 MPa

'-7 = 82 97 8: ± ; <82 >7 8:?7 @A"B7 = (-(5C/³7 9 ( ± ; < (-(5C/³7 > (?7 @ D² = D-aDEE MPa

|'| = 8IJH

' = (-/³(5 MPa

;

±

(-(F MPa /*

7 = D

K (-/³(5 = LN( '-. , resolvendo a equação, obtemos: a = 0,0475 m = 47,50 mm

*10.80. As tensões principais de deformação no plano que agem sobre um elemento diferencial são mostradas na figura. Se o material for aço-máquina com tensão de escoamento O , determine o fator de segurança para escoamento usando a teoria da energia de distorção máxima.

 = QDD MPa

Figura 10.80

' = B = GRQS MPa ; 7 = " = RTD MPa '7 G '7 @ 77 = /U!7 K ,GRQS07 G ,GRQS0,GRTD0 @ ,GRTD0² = /U!7 /U! = RQQ-SV MPa 8H = [(( = 1,47 WX = 81YZ N[[-.7 659



10.81. As tensões principais no plano que agem sobre um elemento diferencial são mostradas na figura. Se o material for aço- máquina com tensão de escoamento • e = 700 MPa, determine o fator de segurança para escoamento, se for considerada a teoria da tensão de cisalhamento máxima.

Figura 10.81

&, = () '

! = 80

MPa

+ ± - .() / (+ '

* (

'

'

# =$50

;

MPa

;

%!# = 0

MPa

' 1 2 0² 75 MPa 1 2 %!# = 34 /' 64 ± - . 34 /[/64] ' '

=

& = 80 MPa

;

± 65 MPa

' = $50 MPa

|& $ '| = (:;9 < |80 $>$50?| = @:;44 Resolvendo a equação, obtemos: F = 5

10.82. O estado de tensão que age sobre um ponto crítico em um elemento de máquina é mostrado na figura. Determine a menor tensão de escoamento para um aço que possa ser selecionado para a fabricação da peça com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima.

Figura 10.82

! = 5A MPa

;

# = $B0 MPa

;

%!# = C8 MPa

' &,' = () *' (+ ± - .() /' (+1' 2%!#' = 6D /' @4 ± - . 6D /[/@4] 1 2>C8?² = $B MPa '

& = A7,EFC MPa ; ' = $B5,EFC MPa |& $ '| =  G < G = |A7,EFC $ >$B5,EFC?| = HIJ,K LNO 660


± 68,942 MPa


10.83. A tensão de escoamento para uma liga de urânio é • e = 160 MPa. Se uma peça de máquina for fabricada com esse material e um ponto crítico no material for submetido ao estado plano de tensão de modo tal que as tensões principais sejam • 1 e •2 = 0,25•1, determine o valor de • 1 que causará escoamento de acordo com a teoria da energia de distorção máxima.

!" # !" + "" = $"

& !" # !(0,25!)+ (0,25!)² = 160" '* = *--,. /34

*10.84. Resolva o Problema 10.83 usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima.

78á9 :;< = >"?

;

7:@8 = >"A = !BC" = 80 MPa

78á9 :;< = 7:@8 D>"?D = E0 MPa ; '* = *FG /34 10.85. Uma liga de alumínio deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento maciço que transmite 25 kW a 1.200 rev/min. Usando um fator de segurança de 2,5 para escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima. • e = 70 MPa.

T = LK = "N!"N,9 B!CBQO = 198,944 N.m !IC!_,"!" C,CC!C!_" 78á9 = 79R = SUV = !WX,YZUW[QQU = !"B,UBON!N = !"B,\]B^N!N O = @O Pa = @O MPa H = 1I200 x "JBC = 125,664 rad/s

;

Z

" " C,CC!C!_" " C,CC!C!_" > b > > e > C b C C e C ` c ` c " d d !," = " ± \ " ^ +79R = " ± \ " ^ + \ @³ ^ = ± @O MPa C,CC!C!_" MPa ! = C,CC!C!_" MPa ; " = # O @ @O C,CC!C!_"^ = hC , resolvendo a equação, obtemos: |! # "| = >fgA & \C,CC!C!_" + @³ @³ ",N d = 0,04167 m = 41,67 mm

661



10.86. O estado de tensão que age sobre um ponto crítico na estrutura de um banco de automóvel durante uma colisão é mostrada na figura. Determine a menor tensão de escoamento para um aço que possa ser selecionado para fabricar o elemento estrutural com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima.

Figura 10.86

&, = () '

! =560

MPa

MPa

;

$!# = %

175

MPa

+ ± - .() / (+2' 3$!#' = 489 * 9 ± - . 489 / 92' 3:%175;² = <>0 MPa ± 330,19 MPa

* (

'

# = 0

;

'

'

'

& =610,1? MPa ; ' =%50,1? MPa |& % '| = @ A @ = |610,1?%:%50,1?;| =BBC,D EFG

10.87. Resolva o Problema 10.86 usando a teoria de energia de distorção máxima.

Figura 10.87

! =560 MPa

;

# = 0 MPa

;

$!# = %175 MPa

&,' = () *' (+ ± - .() /' (+2' 3$!#' = 489'* 9 ± - . 489'/ 92' 3:%175;² = <>0 MPa

± 330,19 MPa

& =610,1? MPa ; ' =%50,1? MPa &' % &' 3 '' = @' A :610,1?;' % :610,1?;:%50,1?; 3:%50,1?;² = @' HI =BJB,K EFG 662



*10.88. Se uma peça de máquina for feita de titânio (Ti-6A1-4V) e um ponto crítico no material for submetido ao estado plano de tensão de modo tal que as tensões principais são  "# = 0, ", determine o valor de " em MPa que provocará escoamento de acordo com (a) a teoria de tensão de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção máxima.

 e 5

(a) Teoria de tensão de cisalhamento máxima:

|" | = |0,5"| = "$ % 0,5" = 924 % " = 1.848MPa |" | = "$ % &' ()* +-/ #

=

(b) Teoria da energia de distorção máxima:

"# 3 ""# 6 "## = "$# % "# 3 "70,5":6 70,5":² = 924# &' = '.;<> +-/

10.89. Deduza uma expressão para um torque equivalente T e que, se aplicado sozinho a uma barra maciça de seção transversal circular, provocaria a mesma energia de distorção que a aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T . Aplicação do torque equivalente Te, temos:

?@áA = BCE D = BFGDCHD = #BIDJC

",# = KL N# KO ± Q RKL S# KOT# 6 ?AU# = V N# V ± Q R V #S VT# 6 R2WXcYeT² = ± 2WXcYe

" = #BIDJC "# = 3 #BIDJC "# 3 ""# 6 "## = "$# % R#BIDJCT# 3 R#BIDJCTR3 #BIDJCT6R3 #BIDCJT² = "$# % "$ = Z ID#BJ C "@áA = [D\ = FH[DDH = ID][J ?@áA = BDE = FGBDDJ = ID#BJ ;

Aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T, temos: ;

# 4M 4M # N V S V K N K K S K Y Y ",# = L # O ± Q R L # OT 6 ?AU# = Xc # ± ^ _ Xc # ` 6RXc2WYT² = ID#[J ± Z][IDG NJ ]BG " = ID#J bM6Z M# 6 W#d ; "# = ID#J bM3Z M# 6 W#d

"# 3 ""# 6 "## = "$#

fID#J bM6Z M# 6 W#dg# 3 fID#J bM6Z M# 6 W#dgfID#J bM3Z M# 6 W#dg6fID#J bM3Z M# 6 W#dg² = "$# "$ = ID#J Z 4M# 6 YW# Z ID#BJ C = Xc2Y h 4MY 6 YW2 ij = Q *k +) 6 i) Igualando as energias de distorção, temos:

, isolando Te, obtemos:

663



10.90. Uma liga de alumínio 6061-T6 deve ser usada para fabricar um eixo de acionamento que transmita 40 kW a 1.800 rev/min. Usando um fator de segurança FS = 2 para escoamento, determine o menor diâmetro do eixo que pode ser selecionado com base na teoria da energia de distorção máxima.

T = %$ = )++,&# (&)#-."* /0á( =/(1 = 234 = ),563#""37 = )8.,3*#-. = )8.,9:6;#*-. = )<#+#,?*>.-8 Pa= #,##)#+#>" ?* MPa  #,##)#+#>" @), = AB C AD ± E 9AB F AD; G/(1 = # C # ± E 9 # F #; G9#,##)#+#>" ; *? ?* MPa @) = #,##)#+#>" @ =H #,##)#+#>" *? MPa ?* MPa    N, N NONQNRS N, N NONQNRS N, N NONQNRS .. @) H@)@ G@ =9AJKI; L 9N,NNONQNRS ; H9 ;9 ;G9 ; =9 ; H H  dU dU dU dU  = 1.800 x !# = 188,4956 rad/s "

;

= 212,2066 N.m

=±

;

Solucionando a equação, obtemos: d = 0,024486 m = 2

m

10.91. Deduza uma expressão para um momento fletor equivalente M e que, se aplicado sozinho a uma barra maciça de seção transversal circular, provocaria a mesma energia de distorção que a aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T .

@0á( = VWI3 = V573I73 = &V!3*I  XM XM e e  C # F # A C A A F A U U B D B D Yc Yc @), =  ± E 9  ; G/(1 =  ± Z [  \ G]N^²= _MYcUe ± _MYcUe Aplicação do momento fletor equivalente Me, temos:

@) = XMYcUe @ =N @) H@)@ G@ =@` L 9XMYcUe; H9XMYcUe;]N^G]N^²=@` L @` = &V!3*I ;

Aplicação combinada de um momento fletor M e um torque T, temos:

@0á( = V3W = 57V337 = !3&V*

;

/0á( = 234 = 56233* = !32*

 XM XM  C # F # A C A A F A U U @), = B  D ± E 9 B  D; G/(1 = Yc  ± Z [ Yc  \ G9Yc_TU;²= !3V* ± b&V!36 C* &26 @) = !3* fMGb M GTg ; @ = !3* fMHb M GTg

@) H@)@ G@ =@`

h!3* fMGb M GTgi Hh!3* fMGb M GTgih!3* fMHb M GTgiGh!3* fMHb M GTgi²=@` @` = !3* b XM GUT &V!3*I = Yc_U j XMU GUT_ kl =E km G no pm

Igualando as energias de distorção, temos:

, isolando Me, obtemos:

664



*10.92. O resultado do cálculo das cargas internas em uma seção crítica ao longo do eixo de acionamento de aço de um navio são um torque de 3,45 kN.m, um momento fletor de 2,25 kN.m e uma propulsão axial de 12,5 kN. Se os limites de escoamento para tração e cisalhamento forem • e = 700 MPa e Te = 350 MPa, respectivamente, determine o diâmetro exigido para o eixo pela teoria da tensão de cisalhamento máxima.

Figura 10.92

= ! "#$ ! %& = ! '(,()12+#2-./0# ! -(,)3#+4-./ = 5! 673#.../ ! -(73#)4..8 Pa = ! .,3#..6/ ! .,3#.-()4 MPa

(C)

9 = TJc = :;,<>CDxc?@E ABc = FCc7G@@A = @,Cc@@FGA MPa

( @, @ @G @, @ ?D> @, @ @G @, @ ?D> ( ! ! ! ! H K H H O H ; D ; D I L I L -,( = ( ± N 5 ( 8 Q 9+R( = Cc ( Cc ± S U Cc ( Cc V Q5! @,Cc@@FG; 8²

- = ! @,Cc@@<>; ! @,@Cc@FD>D Q N 5! @,Cc@@<>; ! @,@Cc@FD>D 8D Q 5! @,Cc@@FG; 8D ( = ! @,Cc@@<>; ! @,@Cc@FD>D ! N 5! @,Cc@@<>; ! @,@Cc@FD>D 8D Q 5! @,Cc@@FG; 8D

MPa MPa

|- ! (| = W X! .,3#..E)/ ! .,.3#.Y()4 Q N 5! .,3#..E)/ ! .,.3#.Y()4 8( Q 5! .,3#..Y6/ 8( Q .,3#..E)/ Q .,.3#.Y()4 Q N 5! .,3#..E)/ ! .,.3#.Y()4 8( Q 5! .,3#..Y6/ 8(X = Z@@ :?,D@G@DF> x ?@--BcY ! ;,G@FD>c( ! >,FD>c! F,Z[F = @ Simplificando a equação, temos:

Logo, a solução da equação será: c = 0,0196215 m = 19,6215 mm, sendo assim: d = 2c = 2 x 19,6215 = 39,24 mm

665



10.93. O elemento está sujeito às tensões mostradas na Figura. Se • e = 350 MPa, determine o fator de segurança para essa carga com base na (a) teoria da tensão de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção máxima.

Figura 10.93 (a) Teoria da tensão de cisalhamento máxima:

&, = () '

! = 84

+ ± - .() / (+0' 1

* (

'

MPa

'

# =$56

;

MPa

;

%!# = 49

MPa

%!# = 23 /' 7: ± - . 23 /'[/7:]0' 1;49<² >4 MPa '

=

& = 99,446 MPa ; ' = $?>,446 MPa |& $ '| = (AB@ C D = |99,446$;$?>,446<| = EAB7F C

± 85,446

MPa

= 2


' ( @ ' ' & $ &' 1 ' = .AB0

' E7F ' ' ;99, ;99, 446< $ 446<;$?>,446<1;$?>,446< = . AB 0 C C

=2

10.94. O estado de tensão que age em um ponto crítico sobre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine a menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser selecionado para a fabricação da ferramenta com base na teoria da energia de distorção máxima.

Figura 10.94

! = >?5 MPa

;

# = G MPa

;

%!# = ?G MPa

&,' = () *' (+ ± - .() /' (+0' 1%!#' = &H7'* F ± - . &H7'/ F0' 1;?G<² = 8?,5 MPa &' $ &' 1 '' = D'

± 112,0547

MPa

& = >99,554? MPa ; ' = $I4,554? MPa C ;>99,554?<' $ ;>99,554?<;$I4,554?<1 ;$I4,554?<' = D' C JK = LNL,O QRS 666



10.95. O estado de tensão que age em um ponto crítico sobre uma chave de porca é mostrado na figura. Determine a menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser selecionado para a fabricação da ferramenta com base na teoria da tensão de cisalhamento máxima.

Figura 10.95

 & = %,

! =175

' ( ) '*

&

MPa

# = 0

;

MPa

;

$!# =

70

MPa

± + -'( .& '*/& 2 $!#& = %34&) 6 ± + - %34&. 6/& 28709² = :7,5 MPa

± 112,0547

MPa

% = 1;;,55<7 MPa ; & = >?<,55<7 MPa |% > &| = @ A @ = |1;;,55<7 > 8>?<,55<79| = BBC,D EFG

*10.96. O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque de 500 N.m e a uma força de compressão axial de 2 kN. Determine se ele falhará de acordo com a teoria da tensão normal máxima. O limite de resistência do concreto é H .

 = ?: MPa

Figura 10.96

 = JI = &LN !!6,%664KO = 1,019 MPa ! = 0 MPa

;

$ = QSR = 466LO ! 6,! 66,&46&4N = 20,372 MPa

;

# = >1,01; MPa

;

$!# = ?0,T7? MPa

%,& = '( )& '* ± + -'( .& '*/& 2$!#& = 6 . %,& 6%U ± + - 6 .[.%,& 6%U]/& 28?0,T7?9² =>0,50;5 MPa % = 1;,:7 MPa |%| V  @ = ?: MPa WXY

; ;

& = >?0,:; MPa |&| V  @ = ?: MPa WXY

Não falhará. 667


± 20,378 MPa


10.97. Se um eixo maciço de diâmetro d for submetido a um torque T e um momento M, mostre que, pela

M²+T²

teoria da tensão normal máxima, a tensão principal máxima admissível é • adm = (16/!d³)(M + 

Figura 10.97

"á# = $&% = '($%%( = *%)$, = *-)$./0, = 12$*3,

!

;

4"á# = 5%6 = '/5%%, = *%25, = *-25./0, = *3785,

2 CDM CDM > F A F 2 C C : > : : A : ; ? ; ? !792 = 2 ± @ - 2 0 + 4#B2 = Ed 2 ± G H Ed 2 I +-JKTEdC0² = 78$*3, ± 78$*3, L M2 + T2 !7 = *378, NM +L M2 + T2O !2 = *378, NM PL M2 + T2O !WX Q3" = !7 RSUV = YUZ -[+  [\ + ]\0 ;

668


).


10.4 - PROBLEMAS DE REVISÃO 10.98. As tensões principais que agem em um ponto sobre um vaso de pressão cilíndrico de parede fina são •1 = pr/t, •2 = pr/2t e • 3 = 0. Se a tensão de escoamento for • e, determine o valor máximo de p com base na (a) teoria da tensão de cisalhamento máxima e (b) teoria da energia de distorção máxima. (a) Teoria da tensão de cisalhamento máxima:



| ! | = "

# " = %&' #

( = *) +,

|-| = " # " = %&-' #

;

p = -&' "


!- . !- / -- = "-

# 0%&' 1- . 0%&' 1 0%&-'1/0%&-'1- = "- #

( = 3 2)4* +,

10.99. Um vaso de pressão esférico de parede fina tem raio interno r e espessura t e está sujeito a uma pressão interna p. Se as constantes do material forem E e , determine a deformação na direção circunferencial em termos dos parâmetros citados.

5

! = - = %-'& 6 = 7 89 = :! ;9 . <>? / @AB = :! C%&-' . < %&-'D = 2E)(* FG.HI P77FL7MNIOQ9? = JRKFL7MNIO8@ = 7 ;

89 = JK7FL7MNIO8? =

As componentes da deformação no ponto A sobre a carcaça são . Determine (a) as deformações principais em A, (b) a deformação por cisalhmento máxima no plano x-y, e (c) a deformação por cisalhamento máxima absoluta. *10.100.

Figura 10.100 (a) As deformações principais em A:

89 = JK7FL7MNI S 8? = P77FL7MNI S Q9? = JRKFL7MNI

8TéU = VW X- VY = 0-Z[ X- \[[1FL7.]I


^ = _ 08x .J 8y1J / 0 QJxy 1J = ` 0JK7 .J P771J / 0JRKJ1J 8! = FaJK /LK]O]JIFL7MNI = bc2FGdMeI 8- = FaJK .LK]O]JIFL7MNI = GecFGdMeI fgáW hi- jklhi = ^ = LK]O]JFL7MNI # mnáo qr (stqr = 4G4FGdMeI = 156,62(10-6)

;



fgáW- luv = \w->![- z{A # mnáo t}~ = bc2FGdMeI 669



10.101. Um elemento diferencial é submetido à deformação no plano que tem as seguintes componentes: x = 950(10-6 y = 420(10 -6), = - 325(10-6). Use as equações de transformação da deformação e determine (a) as deformações principais e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação média associada. Em cada caso, especifique a orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento.

), 

"#$


%# = 950 10 ') ; %$ = 420420((10 ') ; "#$ = *325325((10 ') (

&

&

&

- ?/7 . 6 . . & . 6 C-B & C-B & D-A / 7 / 7 8 8 %+,- = - ± : - < > : - < = - ± : - < > : - <

± %+ = (EF5 >310 > 310,,F5E)( 5E)(1010&') = GGH( GGH(IJ&H) %- = (EF5 *310, * 310,F5E)( F5E)(1010&') = KLM( KLM(IJ&H) R STI = *IU, *IU, V° OP- = 90° *15,WE° = LM,X° tangN2OPQ = ./? &/7.7 = @AB &D-A&C-B %#Y = ./ 6- .7 > ./ &- .7 coscos((2O2O)) > ?-/7 sensen((2O2O)) = @AB 6- C-B > @AB &- C-B coscos((*2 x 15,WE°)E°) > &D-A- sensen((*2 x 15,WE°)E°) 3E,E(10&') @AB

@AB

= 685(10-6) 310,856(10-6)

;

= - 0,6132

;

=


?Zá/ [\ ]^_[\ = ` :%x * %y<2 : "xy <2 8 :950 *420<2 :*325<2 R bdáf hi Tjkhi = HXX( HXX(IJ&H) 2 2 2 2 . 6 . / lém - 7 @AB 6- C-B 10*E = 685(10 ) & C-B = 1,63077 R SqI = XG,X° ; Op- = 90° > 29,24° = IIG° p ./? &/7.7 @AB&D-A

> = > % = = : < ( ) tang(2O ) = * = *

-6

?/Y7Y = * ./ & .7 sen ? @AB & C-B &D-A /7 cos ( ) ( ) ( ) sen( 2O) 2O > cos( 2O) 2O = * sen( sen 2 x 29, 2 4° 4°) > cos((2 x 29,24°)4°) - cos "#Y$Y = *E22(10*E)

670



10.102. As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico sobre uma carcaça fina de aço são mostradas na figura. Determine se ocorre falha (escoamento) com base na teoria da energia de distorção distorçã o máxima. A tensão de escoamento para o aço é • e = 650 MPa.

Figura 10.102

! = "5555MPa MPa ; $ = 340340MPa MPa ; %!$ = 65 MPa

&,' = () *' (+ ± - .() /' (+1' 2 %!$' = / '* 89: ± - ./77 '/ 89:1' 2 <65>' = 142,5 MPa 77

± 207,9213 MPa

& = 350,4? MPa ; ' = "65,4? MPa &' " &' 2 '' = @' A <350,4?>?>² " <350,4?>< ?><"65, "65,4?>?> 2 <"65,4?>?>' = 650² B50C000 D 4??C500 EFG Não ocorre falha.

10.103. Resolva o Problema 10.102 pela teoria da tensão de cisalhamento máxima.

Figura 10.103

! = "55 MPa ; $ = 340 MPa ; %!$ = 65 MPa

&,' = () *' (+ ± - .() /' (+1' 2 %!$' = /77 *' 89: ± - ./77 '/ 89:1' 2 <65>' = 142,5 MPa & = 350,4? MPa ; ' = "65,4? MPa |& " '| = @ A |350,4? " <"65,4?>| ?>| = = 650 416 MPa < 650 MPa OK! Não ocorre falha. 671


± 207,9213 MPa


*10.104. A roseta de deformação a 60° está montada sobre uma viga. As seguintes leituras foram obtidas !"), # !"), # % para cada extensômetro:  Determine (a) as deformações Determine principais no plano e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, mostre o elemento distorcido devido a essas deformações.

600((10 $ =  = 600

350(10!"). 700700((10 & = 350(


#a = 600(10%6) ; #b = %700(10%6) ; #c = 350(10%6) #& = #*cos+(-&) / #2sen+(-&) / 4*2sensen((-&)coscos((-&) 350350((10!") = #*cos+(%90° %90°)) / #2sen+(%90° %90°)) / 4*2sensen((%90° %90°))coscos((%90° %90°)) 8 #2 = 350( 350(10!") [1] # = #*cos+(-) / #2sen+(-) / 4*2sensen((-)coscos((-) 600600((10!") = #*cos+(150° 150°)) / 350( 350(10!")sen+(150° 150°)) / 4*2sensen((150° 150°))coscos((150° 150°)) 0,75 #* % 0,:3304*2 = 51<,5(10!") [<] #$ = #*cos+(-$) / #2sen+(-$) / 4*2sensen((-$)coscos((-$) %700((10!") = #*cos+(%150° %700 %150°)) / 353500(10!")sen+(%150° %150°)) / 4*2sensen((%150° %150°))coscos((%150° %150°)) 0,75#* / 0,:334*2 = %7>7,5(10!") [3] ? ##2* @ = A %1>3,350350(3(103(3(10!")!") B 0?0,75 01 %0,:0330@ ? ##2* @ = A 51<,350350(5((1010!"!")) B 4*2 %1.501,11(1(10!") 0.75 0 0,:330 4*2 %7>7,5(10!") ,resolvendo a matriz, obtemos:

#CéD = EF G+ EH = I!JKL,L+L G LMNO (10!") R = P I#x %< #yO< / I 43,3<3 %350O< / I%1.5<01,11O< #1 = (>3,3 / 796,5<)(10%6) = SST(UT%V) #< = (>3,3 % 796,5<)(10%6) = %WUX(UT%V) tangY<-Z\ = JKL, ^MN,LL GMKL," LL = 8 _Ù = df,S° (hijájki) -p< = 5:,>°>° % 90° = %Xd, l°l°(mqrk % hijájki) = 83,3(10-6) (centro do círculo)

= 796,52(10-6)

;

= 2,81

;

672




!á"

$% &'($% = )2R = )2 x 796,52*10

+-. = )/348:*/;+<.

>!é? = @A BD @C = E +FGH,HHD B HIJK *10+-. = 83,3(10 ) -6

2LMF = 90° )2L&F = 90° ) 2 x 5N,O°

P

QS/ = 8,TU°*SVWXYZ[ \[]á]Y[.

10.105. A viga de alumínio tem seção transversal retangular mostrada na figura. Se for submetida a um momento fletor M = 7,5 kN.m, determine o aumento na dimensão de 50 mm na parte superior da viga e a redução dessa dimensão na parte inferior da viga. E al = 70 GPa e al = 0,3.

Figura 10.105

!" = !

# = 0

;

!$ = %

&# = % '

(),* " -./12.,.3)*4 5,56 7 5,586³ 9:

= - 160 MPa (C)

;" = <- >!" % ?(!# @ !$ 1A = ). "--.B [%0,C2%DE0 x D0 F 4] = 6,857 x 10-4 SuperiorG HI = 2E,JKL x D0MN 42K04 = O,OPQRT UU VnferiorG HI = 2%E,JKL x D0MN 42K04 = %O,OPQRT UU

673


Resoluções Livro Hibbeler cap 9 e 10 em portugues

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