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DÍA A DÍA EN EL AULA

1

SECUNDARIA

Programación de las unidades Recursos complementario complementarioss para el trabajo en el aula Atención a la diversidad: refuerzo, ampliación, adaptación curricular, multiculturalidad P rogramas especiales: lectura, nuevas Tecnologías, investigaciones Evaluación

Proyecto Crecemos juntos

Matemática

8

Polígonos. Polígono s. Cuerpos geométricos

PRESENTACIÓN

RECURSOS

Nos introducimos en el estudio de las figuras geométricas, recordando contenidos trabajados por los estudiantes en grados anteriores, y partiendo del estudio del polígono y los elementos que lo caracterizan.El estudio del triángulo es básico para la comprensión de relaciones entre las figuras geométricas. A partir del desarrollo de cuerpos geométricos se intenta realizar el cálculo de las distintas áreas. No pretendemos conseguir el aprendizaje memorístico de fórmulas, sino que mediante el dibujo del poliedro «extendido» hallemos el área del rectángulo o triángulo que se forma y las superficies de las bases del poliedro.Como complemento a la unidad se recomienda el uso de diversos materiales de Geometría para realizar actividades, como el montaje y construcción de poliedros mediante varillas y figuras planas unidas por caras y aristas.

ESQUEMA

PROGRAMACIÓN Competencias

Biblioteca del docente •

Día a día en el aula (págs.322-367)

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización

Santillana Digital

Secuencia digital:Áreas de cuerpos geométricos Para empezar Breve introducción al tema ¿Qué aprenderé? Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante

elementos y las relaciones entre propiedades de prismas, cuadriláteros y triángulos, relaciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas, aun cuando estas cambian de posición y vistas; interpreta y explica el significado de estas en el contexto del problema, haciendo uso de lenguaje geométrico, dibujos, construcciones con regla y compás, y material concreto.

Actividad interactiva: Saberes previos sobre el cálculo de áreas poligonales Polígonos

Área y perímetro

Cuerpos geométricos

Polígonos. Construcción

Área y perímetro de triángulos ycuadriláteros

Prismas.Desarrollo

Suma de ángulos

Área de polígonos

Número de diagonales

Áreas y volumen del prisma Proyecciones de vistas

Triángulos. Construcción

Áreas y volumen de un cilindro

Cuadriláteros. Construcción

Una situación a resolver Actividad interactiva: Cálculo de áreas Arte romano Actividad interactiva: Situación problemática sobre el uso de áreas en la antigua Roma Aplico la fórmula del área total de un prisma

Video: Procedimiento para calcular el área total de un cilindro Estrategia para resolver problemas:

Uso de matemático:

Particularizar

GeoGebra

software

Razonamiento matemático:

Conteo de cubos

Ficha de orientación didáctica:

Taller matemático

Actividades integradas, de BI y prueba tipo PISA

Síntesis, recursos en la web y coevaluación

Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles para afrontar situaciones de contexto real. Texto escolar y Libro de actividades

SoloTe Texto xto esc escolar olar

Solucionario de las actividades

Compruebo lo que aprendí Actividad interactiva: Evaluación interactiva activa Para finalizar Actividad interactiva: Metacognición LibroMedia Texto escolar

SoloLibro de de actividades

322

• Interpreta enunciados

verbales y gráficos que describen características, elementos o propiedades de las formas geométricas bi y tri dimensionales.

Video: Procedimiento para calcular el área total de un prisma Calculo el área total de un cilindro

Aplicamos lo aprendido Actividad interactiva: Investigación sobre el cálculo de áreas

Libro de actividad es

y atributos medibles de los objetos, con formas bidimensionales, elementos y propiedades, la semejanza de triángulos, prismas, y cilindro.

• Expresa el significado de

Compruebo lo que sé

Polígonos. Cuerpos geométricos

Desempeños • Modela las características

• Selecciona y emplea estrategias 2 2 8 . L . D . n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P . A . S

2 2 8 . L . D . n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P . A . S

n a S ©

n a S ©

a n a l l i t

heurísticas, recursos o procedimientos para determinar la longitud, el perímetro, área o volumen de prismas, cuadriláteros, triángulos; y perspectivas (vistas) de los objetos.

Conocimientos • Polígonos. • • • • •

• • • • •

Construcción Suma de ángulos Número de diagonales Triángulos. Construcción Cuadriláteros. Construcción Área y perímetro de triángulos y cuadriláteros Área de un polígono Prismas. Desarrollo Áreas y volumen de un prisma Proyecciones de vistas Áreas y volumen de un cilindro

Capacidades

Desempeños precisados

Modela objetos conformas geométricas y sus transformaciones.

• Resuelve problemas que implican el cálculo de áreas y perímetros.

Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.

• Expresa las características de un polígono regular.

eros para resolver problemas. • Aplica las propiedades de los cuadriláteros • Resuelve problemas de contexto real de áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros • Resuelve problemas que implican el cálculo del área lateral, total y volumen de un prisma. • Explica las características de un triángulo y cuadrilátero. • Reconoce y define polígonos usando diversos criterios. • Explica cómo calcular el área de un polígono irregular descomponiéndolo en figuras de áreas

conocidas • Construye prismas a partir de su desarrollo.

Usa estrategias y procedimientos paraorientarseen el espacio.

• Usa estrategias para construir polígonos según sus características y propiedades, usando

instrumentos de dibujo. • Emplea estrategias para resolver problemas de traducción simple y compleja que involucran

polígonos y sus propiedades • Traza triángulos y cuadriláteros utilizando con precisión los instrumentos de dibujo. • Emplea procedimientos y estrategias para calcular las áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros. • Emplea estrategias para resolver problemas que involucran polígonos regulares e irregulares. • Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas sobre variación de

perímetros y áreas.

• Usa modelos referidos a cubos, prismas y cilindros al plantear y resolver problemas de proyección o

construcción de cuerpos. • Emplea estrategias que implican resolver problemas sobre cilindros

Argumenta afirmaciones sobre relaciones geométricas.

• Clasifica polígonos en regulares, irregulares y según el número de lados. • Deduce la fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono. • Clasifica triángulos según sus lados y ángulos. • Establece la relación de existencia de un triángulo según la medida de sus lados. • Clasifica los cuadriláteros en trapecios, paralelogramos y trapezoides. • Deduce las áreas y perímetros de triángulos y cuadriláteros. • Descompone regiones poligonales cóncavas en regiones convexas conocidas para determinar su

área.

• Interpreta el desarrollo de un prisma y reconoce sus áreas lateral y total. • Analiza datos disponibles para calcular las áreas y volumen de un prisma.

a n a l l i t

Tiempo estimado: 4 semanas

323

Unidad

8

LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR

Polígonos. Cuerpos geométricos Texto escolar (pág. 75)

Libro de actividades (págs. 310-311)

Capacidades y desempeños precisados

Polígonos. Cuerpos geométricos

8

Comunica

• Expresalas característicasdeun polígonoregular.(1) Resuelve problemasque implican elcálculo de áreasy perímetros. Modela objetos • (2-4)

Sugerencias didácticas

APRENDEREMOS A…

MUESTRA RESPETO Y TOLERANCIA

Resolver problemas relacionados con elnúmero dediagonales, ángulos internos yángulos externos depolígonos.

•

Para iniciar

Convento de Santo Domingo

Centre la atención de los estudiantes en la imagen. Pregunte: ¿Qué observan? (Un tanque de agua). ¿En su vivienda cuentan con un tanque de

Durante el Jueves Santo, miles de fieles demuestran sudevoción religiosa siguiendo la tradición de recorrer siete iglesias. Una de las más visitadas es el conventode Santo Domingo, en cuyoaltar se encuentran las imágenes de san Martín de Porres, santa Rosa de Lima ysan Juan Macías.

agua? ¿Y las viviendas vecinas? ¿Creen que es útil que las viviendas cuenten con un tanque de agua? ¿Por qué? (Sí, porque garantiza una permanente

disponibilidad de agua en nuestras casas. Además, proporcionan un aumento en la presión y caudal del agua).

Identificary aplicarlas propiedadesdelos triángulos ycuadriláteros en la solución de problemas dela vida cotidiana.

•

Resolverproblemas queimplican elcálculo sistemático o con fórmulas deperímetros o áreas defiguras geométricas planas.

•

Calcularel perímetro yárea depolígonos regulares eirregulares.

•

Esteconventoesun asombrosoconjunto arquitectónicode edificiosreligiosos.Destaca porlasencillez desu portadaquecontrastacon lamagníficatorrede SantoDomingo,de estilo rococóydemásde 40metrosdealtura.Ensu jardínprincipal,se puedeapreciarunapileta cuyabaseestá constituidaporanillosdeforma octogonal.

Para desarrollar

Comente sobre la importancia del apoyo que como ciudadanos debemos brindar a nuestra comunidad. Mencione que el uso excesivo de agua y electricidad satura los recursos de la comunidad; por ello, es importante no malgastarlos. Pregunte: ¿Qué acciones realizan para que su comunidad mejore? ¿Qué otras acciones se podrían realizar para el mejoramiento del lugar donde viven?

Resolver problemas queimplican elcálculo de las áreas lateraly totalde prismas ycilindros.

•

Cuandosehabla deformaspoligonales,como enestecaso, seinvolucranlosconceptos de longitud,perímetro,áreayvolumen

Invite a los estudiantes a leer el texto “Convento de Santo Domingo”. Durante la lectura, condúzcalos a visualizar la imagen de la apertura para que identifiquen algunas de las características que se mencionan sobre la estructura del convento de Santo Domingo. Pregunte: ¿Identifican los anillos octogonales de la base de la pileta? ¿Cuántos anillos observan? (Tres). ¿Qué pueden decir de las dimensiones de los tres anillos? (Son diferentes). Pídales que desarrollen las actividades de la sección “Repasamos lo que sabemos”. Para las actividades 1 a la 4, indíqueles que deben analizar la imagen de la apertura. Pregunte: ¿Qué entienden por perímetro y área? (El perímetro es la suma de los lados de una figura geométrica. El área es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior). En la actividad 4, haga notar que para hallar la medida del lado del primer anillo (más pequeño) deben tener en cuenta que el lado de la pileta mide 3 m. Pregunte: Si el lado de la pileta mide 3 m, ¿cuánto medirá el lado del primer anillo? (3,5 m). ¿Por qué? (Porque en el problema se indica que el lado de cada anillo se va incrementando en 50 cm con respecto al anterior). Si el

REPASAMOS LO QUE SABEMOS

Investigasobreeltemay responde. •

•

Calculaeláreadelasfigura ssieláreadecada cuadrícula es1 cm2.

¿Qué es un polígono? ¿Quécaracterísticas tiene un octógono? Esunaregióndelplanolimitadapor3 omássegmentos. ¿Qué es un octógonoregular?

Reúnete en equipoe investiga con tus compañeros sobre la importancia de la geometría en la arquitectura. 2 2 8 . L . D . n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P . A . S

perímetro del camino que bordea el centro de la pileta mide 108 m, ¿cuánto medirá cada lado? (13,5 m).

Para consolidar

a n a l l i t n a S ©

Comunique que el correcto conocimiento sobre las característica s y propiedades de las figuras geométricas les permitirá incorporar con mayor facilidad la nueva información sobre este tema.

324

2

2

12 cm


7 cm

2

9 cm

Responde losiguiente: Buscamos en la web Digita en algún buscador (Firefox, Chrome, Edge, etc.)lo siguiente: geometría+ arquitectura Así obtendrás información sobre la influencia de la geometría en los diseños arquitectónicos.

2 2 8 . L . D . r a i p o c o t o f o d i b i h o r P . A . S a n a l l i t n a S


©


t

c1 U

¿Cuántos lados tienela basede la pileta? 8 lados

2

Siuno delos lados dela pileta mide3m, ¿cuánto medirá su perímetro? 24 m

3

¿En cuántos triángulos isósceles podrías dividirel área dela pileta? 8

4

Siellado decadaanillooctogonalquebordeala piletasevaincrementandoen50cm conrespecto alanterior,¿cuántomediráel perímetrodeltercer anillo? 36 m

©

UNIDAD8 Polígonos.Cuerpos

310

.

1

1

.i n

1

7/1 /1

1 :1

.

325

t

c1 U

1

.in

11

geométricos

311

7/1 /1

1 :1

Unidad

8


Construcción de polígonos Libro de actividades (págs. 314-315) POLÍGONOS

Capacidades y desempeños precisados Comunica Usa estrategias yprocedimientos

• Explicalascaracterísticasdeun polígono.( 1-3; 5-6) • Usaestrategiaspara construirpolígonossegúnsuscaracterísticas

2. Alinee la esquina inferior derecha del cartabón (ángulo de 60°) con el punto B del segmento AB y trace un segmento.

3. Voltee el cartabón y alinee su esquina inferior izquierda (ángulo de 60°) con el punto A del segmento AB y trace otro segmento.

Construccióndepolígonos RECUERDA

Los polígonos regulares seconstruyen fácilmente con regla,compás y transportador.

ypropiedades, usandoinstrumentosde dibujo.(2-4)


EJEMPLO 2 Construyeuntriánguloequilátero.

Para iniciar

Previament e, solicite a los estudiantes que traigan al aula compás, transportador, lápiz, cartabón, regla y borrador. Comente que en muchas carreras profesionales, como Arquitectura, Ingeniería, Diseño Publicitario, etc., el trazo de dibujos es fundamental. Pregunte: ¿Para qué sirve el dibujo técnico? (Para representar un objeto de forma precisa a fin de diseñar mecanismos, máquinas, construcciones, etc.). Destaque la importancia del dibujo técnico para el ser humano, ya que el entorno en el que vivimos ha sido diseñado y construido. Motive a los estudiantes a encontrar en el aula objetos con formas geométricas. Refuerce el aprendiz aje con las actividades 1 a la 3. Para desarrollar

Explique que las escuadras o plantillas de ángulos son herramientas con forma de triángulo rectángulo que se utilizan para trazar rectas verticales, horizontales, oblicuas, paralelas y perpendiculares. Además, que existen dos tipos de plantillas de ángulos: la escuadra, que tiene dos ángulos de 45°; y el cartabón, que tiene un ángulo de 30° y otro de 60°. Las escuadras se pueden utilizar para formar ángulos de diferentes medidas. Centre la atención de los estudi antes en el ejemplo 2. Pídales que, paralelamente a la lectura de los pasos para la construcción de un triángulo equilátero, los vayan ejecutando en sus cuadernos. Recomiéndeles que, al realizar los trazos, fijen bien la regla sobre el papel y utilicen un lápiz con la punta recién tajada. Considere la importancia de realizar el dibujo en la pizarra para que los estudiantes puedan apoyarse en él. Muestre otra alternati va para construir un triángulo equilátero. En este caso, necesitará regla, cartabón y lápiz. 1. Trace el segment o AB que será la base del triángulo. A

La construcción depolígonos regulares inscritos en una circunferencia dada se realiza a partir dela división dedicha circunferencia en un número departes iguales a la cantidad de lados del polígono.

60°

1.° Trazamosuna línearecta.

2.° Medimosel segmento conun compás.

3.º Trazamos un arco equivalente auncuartode circunferencia.

4.º Movemosel compás alrededor sin modificar el ancho.

5.º Trazamosun segundoarco.

6.° Marcamosun puntodonde se intersecan los dosarcos.

60°

A

B

A

B

Al término de la construcción del triángulo equilátero, pida a los estudiantes que borren la parte del segmento BC que sobra. Destaque que los tres ángulos internos del triángulo equilátero trazado miden 60°. En el análisis del desa rrollo del ejemplo 3, tenga en cuenta la información de “Recuerda” como apoyo para realizar el trazo de la circunferencia en la pizarra. Recuerde a los estudiantes que es muy importante la precisión en el momento de determinar las medidas para la construcción del polígono. Recomiéndeles ajustar el tornillo del compás luego de determinar la longitud necesaria para el trazo de la figura; esto permitirá que los brazos del compás no se abran ni se cierren.

7.º Terminamosel triángulo. Paraello, utilizamosuna reglay dibujamosdos líneasrectas másque seránlos ladosrestantesdel triángulo(ver figuradel margen).

Para consolidar

Organice a los estudiantes en pares y pídales que desarrollen las actividades 4 a la 6 de “Desarrolla tus capacidades”. Actividadescomplementarias 1. Const ruye en tu cuaderno los polígonos regulares propuestos e indica el ángulo central de cada uno de ellos. Redacta los pasos que seguiste. Utiliza regla y compás. a) Cuadrado b) Hexágono c) Octógono

A

A

B

A F

D B

C

D B

B

C

A D

E

B C

C

Respuestas:2.a) Convexo:todossus ángulosinternosson menoresde180°. b) Cóncavo:elángulo F esmayorde180°. c) Cóncavo:losángulos Ay Dsonmayoresde180°. d) Convexo:todossusángulosinte rnos sonmenoresde 180°.

328

F E

D

EJEMPLO 3

Formasde trazar una circunferencia

Construyeunpentágonoinscritoen unacircunferencia.

– Con un compás

1.° Marcamosun punto queserá el centro. Abrimosel compáshastalamedid aquesequieraquetengael radio decircunferenciay latrazamos.

R a d i o

2. Indica si los siguientes polígonos son convexos o cóncavos. Justific a. a) F b) c) F d) E E

RECUERDA



n a S ©

n a S ©

a n a l l i t

72°

M – Con una cuerda

N

2.° Determinamos ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°, Luego, marcamosun radioONcualquieraen la circunferenciaubicamosel transportadory trazamosel radio OM alos72° a partir del radio ON.

O

M

3.° Trazamosel segmentoNM. Conlaaberturadelcompásigual ala longitudde lacuerdaNM,determinamoslos puntos.

O

N

M P N

O Q R

a n a l l i t

4.° Unimoslasmarcasconsecutivascon ayudade laregla. Así quedatrazado el pentágono.


©

314

.

t

c1 U

1

.i n

1

7/1 /1

1 :1

329

Unidad

8



Construcción de un cuadrilátero Libro de actividades (págs. 326-327) POLÍGONOS

POLÍGONOS

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias yprocedimientos

Construcción de un cuadrilátero

DESARROLLATUS CAPACIDADES

Sepuede construirun cuadriláterocon regla,transportadorycompás sis econocen las medidas dealgunos desus elementos.

• Trazacuadriláterosutilizandoconprecisiónlosinstrumentosde

dibujo .( 1-9)

Indica losinstrumentosde dibujoque utilizarías paraconstruirlo siguiente:

EJEMPLO 16


1

Construyeun cuadradocon regla y transportador. 1.°Dibujamosun lado del cuadrado usando laregla (fig.1).

Para iniciar

Recomiende a los estudiantes que, para la construcción de un cuadrilátero, los trazos deben realizarse con precisión y haciendo uso de transportador, regla, compás, lápiz y borrador.

0 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

° 0 3 1 ° 0 4 1 ° 0 5 1

2

Para desarrollar

loslados nuevos,a unadistanciaque seaigual al largo del lado quetrazamosal inicio, y unimos lospuntos(fig. 3 del margen).

6 cm

6

Fig. 3

7 8

A

C

A 3cm C

A

3cm

P

____

P

A 3cm C

a b

N

90º

5. ¿Con cuáles de las medidas se puede construir un triángulo? Dibújalo.

a

a) 4 cm; 2 cm y 10 cm

25 mm = 2,5 cm

0

Fig. 2

M

2.°Colocamoslapuntadel compásenel vértice delángulorectoy ajustamosel anchodel compásparaqueel largodelosladosdel cuadradoseaigual(figs.2y 3del margen).

M

N P

Fig. 2

L

b) 3 cm; 9 cm y 1 cm

c) 3 cm; 4 cm y 5 cm

Con regla y compás, construye lo siguiente:

5,7 cm

a

6. Un ∆ABC cuyo lado AC mide 5 cm, mBAC = 40° y mBCA = 70°. 

3.°Colocamoslapuntadel compásen elpuntoQ ydibujamosunarco ____en algúnpuntodebajodellado MN (fig.4). M

P

N

3

N

0

90º

P

L

Q

Fig. 4

a b

L

Fig. 3

5.°Unim oslospuntosPyR ylospunto s QyR usandounaregla (fig.6).

P

M

Un ___rectánguloABCD, tal que ABmida3,8cm, y BC, 1,7 cm. D

Q

Fig. 5

LL M

P

R

2 2 8 . L . D . r a i p o c o t o f o d i b i h o r P . A . S a n a l l i t n a S ©


los comentarios para que concluyan que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°. t

c 1U

1

.in

mayor, 4cm.

9. a = 5 cm, b = 6 cm, c = 9 cm

4 cm

C

4,1 cm

10.e = 8 cm, f = 12 cm, g = 24 cm

a

4 cm

Resuelve. 11. Un parque de forma rectangular mide 120 m de largo y 50 m de ancho. Si Pablo


R

Q

.



¿Se puede construir un triángulo con los siguientes lados? Justifica y construye.

cuyadiagonal mida4,1 cm, ysulado

1,7 cm

326

338

8. Un ∆MNO, recto en N, tal que NO = 3 cm y mMON = 60°.

a

8 Unrectángulo

N

Fig. 6

los ángulos internos de un triángulo? Si el cuadrilátero está formado por dos triángulos, ¿cuánto suman los ángulos internos de un cuadrilátero? Conduzca

3

a

Para consolidar

A continuación, solicite que tracen una diagonal en cada cuadrilátero. Pregunte: ¿Qué figuras se han formado al trazar la diagonal? ¿Cuántosuman

2

Fig. 1

4.°Colocamoslapuntadel compásen elpuntoP ydibujamosotroarcoque intersequealarco dibujado(fig.5).

N

R

1

___ 4

A M

b

a b

Uncuadradocuyadiagonal mida5,7 cm.



1.°Trazamoslossegmentos LMy MN,de maneraqueformenunángulorecto (fig.1).

M

a b

7

Un cuadradode25 mm delado.

7. Un ∆DEF isósceles cuyo ángulo no congruente E = 130° y mEF = 6 cm.

B

α

3



Concentro en el Seunenlospuntos extremoN,se traza yse obtieneun unarcoderadio a . paralelogramo.

M a

Realizaestasconstrucciones:

a

Q

P

1 0 °

2

Romboide Concentroenel puntoM,setraza unarcoderadio b .

4. ¿Se puede construi r un triángulo con mEF = 7 cm, mFG = 3 cm y mEG = 5 cm?

2 0 °

EJEMPLO 17

D

Seconstruyeel ángulo α delos lados b y a .

3 0 °

1

m c 4

C

3. La suma de las medidas de los ángulos int ernos de un polígono es 1080°. ¿Cuántas diagonales tiene dicho polígono?

Reglay transportador. 4 0 °

1 0

____

3cm

3 cm 1,4 cm

Un rombo delado8 cm y ángulode40°.

9

Rombo 4 c m

70° 6 0° 5 0 °

2. ¿Cuántas diagonales tiene un decágono? ¿Y un dodecágono?

1,4 cm 3 cm

° 0 7 1

Fig. 1

4 5

Construyeun cuadradoconreglaycompás.

m c 4

8 0 °

1. ¿Cuán tas diagonales salen de cada vértice de un heptágono? ¿Cuántas diagonales tiene en total?

rombocuyas diagonalesmidan6 cm y 2,8 cm.

Reglay compás.

2

° 0 6 1

3

Analice con los estudi antes cada uno de los pasos para construir los cuadrados de los ejemplos 16 y 17. Enfatice en las dos estrategias de construcción empleadas para la construcción de un cuadrado: la primera utilizando regla y transportador, y la segunda utilizando regla y compás. Organice a los est udiantes en grupos de tres. Pídales que con regla y compás elaboren un rombo de 4 cm de lado y cuya diagonal sea menor a 3 cm, y un romboide conociendo dos lados contiguos y el ángulo comprendido α.

0 0 ° ° 1 0 1 ° 1 0 2 1

6 Un

Un rectángulode lados12 cm y 8cm.

2.° Consideramoselladoya dibujadoy, apartirde allí,trazamosunángulo rectoencada extremo(fig.2). 3.°Marcamosun punto encadauno de

6 cm

Actividades complementarias

Usaestrategiasyprocedimientos:1-9

7/1 /1

1 :1


3,8 cm

cruzará el parque en diagonal, ¿cuánto caminará?

B

9 5

Un rombo de5cm de diagonaly 3cm delado.



t

c1 U

3/4 del mayor. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo?

Calcula el valor de x .

4,5 cm

3 cm

5 cm

2 cm

13. 2 cm

c m 3

1

.i n

7

geométricos

x

32cm

B

3x –16

C

2a D

A

24–2 a a +14

D

Respuestas: 1. 4; 14 2. 35; 54 3. 20 4. Síse puedeconstruir. 5. Conla alternativa c. 9. Sí 10. No 11. 130 m 12. 48 cm 13. 25 cm 14. 12 cm

327

7/1 /1

14.

B 25cm C 24cm A


.

12.En un triángulo rectángulo, el cateto mayor mide 16 cm y el cateto menor mide

Unromboidecuyolado mayor mida4,5 cm, sulado menor 3cm ysu altura, 2cm.

1 :1

339

Unidad

8



Estrategia para resolver problemas Libro de actividades (págs. 336-337)

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS

Capacidades y desempeños precisados

Actividades complementarias

Usaestrategiasy procedimientos:1-4

Usa estrategias yprocedimientos

• Diseñayejecutaunplan orientadoa lainvestigaciónyresolución

Particularizar

deproblemassobrevariacióndeperímetr osyáreas.(1-4)

Resuelvelosproblemas. Aplicalaestrategia de particularizar.

Con el fin deremodelar un campo deportivo, se compró mallaparael cerco y césped paracubrir la cancha. Luego dealgunas reuniones,el comitéacargo decidió duplicar lasdimensionesdel campo. ¿Qué cantidadesdemalla ycésped senecesitan comprar?

Sugerencias didácticas Para iniciar

1

Enfatice en la importancia de comprender una situación problemática para poder identificar la estrategia más adecuada para darle solución. Pida a los estudiantes que analicen la situación inicial y subrayen los datos que sean importantes para resolverla.

A partir de la lectura de la situación, pl antee las siguientes preguntas: ¿Qué actividad se desea realizar en el campo deportivo? (Se desea cercar y comprar césped para la cancha). ¿Qué cambios desea realizar el comité deportivo en las dimensiones de la cancha? (Desea duplicar las dimensiones de la cancha). ¿Qué forma tiene el campo deportivo? (Forma rectangular). ¿Qué representa la longitud de la malla en el campo deportivo? (Representa su perímetro). ¿Qué representa el césped? (Representa el área). ¿Qué se debe hallar? (La cantidad de malla y la cantidad de césped que se necesitan comprar). Centre la atención de los estudi antes en la fase “Planifica” y haga notar que, como no se conocen las medidas de las dimensiones, se designarán diferentes valores para, luego, llegar a una generalización. Resalt e la importancia de organizar y ordenar los datos en una tabla de doble entrada; esta actividad permitirá visualizar mejor el proceso que se debe realizar para dar solución al problem a. Indique a los estudiantes que fijen su atención en los datos que representan a las dimensiones iniciales del campo deportivo y los comparen con las nuevas dimensiones. Hágales notar que tanto el largo como el ancho se han duplicado. Asimismo, resalte la relación entre las medidas del perímetro y el área de los campos 1 y 2. Destaque la importancia de verificar los result ados aplicando otra estrategia de solución; esto permitirá saber con certeza si el procedimiento fue el correcto. Pregunte: ¿Creen que la estrategia empleada para la comprobación será útil para otras situaciones? ¿Por qué? (Sí, porque las representaciones gráfica y algebraica ayudan a generalizar los datos del problema). Organice a los estudiantes en parejas para que desarrollen las situaciones propuestas aplicando la estrategia de particularizar. En las actividades 1 y 3, conduzca a los estudiantes a descomponer el polígono para resolver la problemática.

Comprende

Tresamigoscompran unterrenoparaconstruir trescasas,segúnelplano quesemuestra.Después delarepartición, Mauriciose dacuenta dequesuloteeselmás grande,asíquedecide disminuirel áreasin delosotrosdos lotes, perovariandoelárea común.¿Encuántodebe disminuirel áreadel lotedeMauricioparaquesea igualalas áreasdelos lotesdesusamigos?¿Cómo variarála formadelárea comúndespuésdedisminuirellotede Mauricio? 40m 40m

Planifica

Comodesconocemoslasmedidasdelos ladosoriginalesdel campo,designamosdiferentes valoresparacalcularlascantidadesdemallay céspedquese compraron.Luego,duplicamosesos valoresycalculamoslascantidadesquese necesitansi seduplicanlasdimensionesdelcampo.

m 0 3

Resuelve

Pe rímetro Área

Campo 1 Largo: 50 Ancho: 20 2( 50 + 20 )= 140

Campo 2 Largo: 100 Ancho: 40 2( 100 +4 0) =280

50 · 20 = 10 00

10 0· 40 = 4000

× 2 ×4

l

a

2l

Comprobamosqueel perímetro seduplicay el árease cuadruplica.

Para consolidar


.

t

348

c 1U

1

.in

7/1 /1


n a S ©

n a S ©

a n a l l i t

336

Para fijar los conocimientos adquirid os en esta sesión, solicite parejas voluntarias para que expongan sus procesos de solución y justifiquen sus procedimientos y respuestas.


1 :1


a n a l l i t

El Intihuatanao reloj solar esunaesculturaincaica quese encuentraenMachu Picchu. Estáprotegida por uncerco deformacuadradacuyo ladomide 250 cm. Si estecerco serepresentaen unamaqueta aescala1:125, ¿quévariaciónobservaríasen el perímetro y en el área? 2cm

Cercosegúnescala

t

c1 U

2cm

Enelplano:Perímetro=4·2= 8cmÁrea=2 2 = 4cm2 Enlarealidad:Perímetro=4 ·250= 1000cm Área=(250)2 = 62500cm2 ⇒ Perímet ro:1000/8=125vecesmáspequeño Área:62500,14= 15625vecesmáspequeña.

1

.i n

7

2. Carlos ha recortado de periódicos y revistas imágenes de animales en peligro de extinción para una tarea de su colegio. Ahora quiere organizar las imágenes en varias cajas del mismo tamaño según el área natural protegida a la que correspondan los animales. Como solo tiene una caja, decide desarmarla. Así 32cm obtiene una plantilla cuyas medidas se muestran en la figura. Si tiene piezas de cartón de varios tamaños, ¿de qué depende que pueda utilizarlas todas? Calcula el perímetro y el área de cada pieza de la plantilla.

150+90=240m,nocorrespondealdoblede105m. 4

2

3. Las mallas de dos arcos de fútbol de un centro deportivo están deterioradas. Por ello, la comisión encargada del mantenimiento de dicho lugar ha decidido que se deben cambiar lo más pronto posible. ¿Qué cantidad de malla se necesitará para ambos arcos? Si el metro cuadrado de malla cuesta S/ 51,20, ¿cuánto se pagará en total por la malla de cada arco?

Pedronecesitafotocopiar lasimágenesque se muestran ypegarlasen sucuaderno. Sesabe quelos espaciosquetiene parapegar cadaimagen miden 5 cm × 5cm. ¿Aquéescala debefotocopiar cada imagen?¿Quévariacióntendrá enla fotocopiael perímetroy el áreadecada imagen original?

30cm × 30 cm

35 cm × 35cm

25cm × 25cm

Medidareal mono P=4(30)= 120cm A = 3 02 =900cm2 Variación: P=20/120=1/6 A=25/900=1/6

Medidareal guanaco P=4(35)= 140cm A = 3 52 = 1225cm2 Variación: P=20/140=1/7 A=25/1225=1/7

22cm 3cm 10cm

3cm

Medidareal lobo P=4(25)= 100cm 2 2 A = 2 5 =625cm Variación: P=20/100=1/5 A=25/625=1/5

22cm

6cm

0,50m 186,8cm

180cm 6cm 1m

8cm

30cm 130cm 100cm

70cm

200cm

Respuestas: 1. 162hexágonos 2. P =266; A=800 cm 2; 320 cm 2; 704 cm2; 286 cm 2 3. S/ 1003,93 4. Elperímetro de la puerta es 600 cm; 13 000 cm 2

337

17/1 /1

4cm

3m

50cm 100cm geométricos

6cm

10cm

4. Las medidas de una bodega se muestra n en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la puerta? ¿Y el área de la ventana?

Escalasparacadaimagen: Mono:1:6; Guanaco:1:7;lobo:1:5 Fotocopia:perímetro4(5)=20 cmyárea: 52 =25cm2


.

Resuelve las siguientes situaciones: 1. Se tie ne una estructura hecha con barras de aluminio conformada por 942 triángulos equiláteros, tal como se muestra en la imagen. Se desea colocar placas de vidrios de colores en cada triángulo para formar vitrales. Se sabe que las placas se deben distribuir de modo que formen hexágonos y, además, los triángulos equiláteros que conforman cada hexágono deben ser de seis colores diferentes. Calcula la cantidad de hexágonos que se pueden formar.

Superfcietriangular:2(15+15 +15)= 90m Superfcierectangular:2(30+30 +15)= 150m

A nt on oi Á re a co mú n

EllotedeMauriciodebedisminuiren600m .El áreacomún variarádeformaderomboa formadetrapeciorectangular. 2

Por lo at nto,se necesitacomprar eldoblede mallay el cuádrupledecésped.

A= l · a

G on za ol

Un campesino utilizó105m dealambre en laconstrucción deun cercopara juntar asusvacas y ovejas, tal como semuestra enla imagen. Sesabe quela medidadel ladoAB esigual al ladoCD, CDesel doblede BC, y el ladoAE esigual aED, BC yAD. Ahora, elcampesinoha decidido colocar alambreen ADpara ubicar alas vacasen el cercocon menor perímetro. Si sesabe quedebe colocar el doblede alambreencada cerco, ¿cuántosmetrosde alambrenecesitará?¿Seráel dobledel queempleó inicialmente?¿Por qué? ___ ___ ___ ___ ___ Perímetro: BC+ CD + DE + AE + AB = x +2 x + x + x +2 x = 105 7 x =105 ___ ___ ___ ⇒ x =15 P1: AE 15=45m ___ + DE ___ =15+15+ ___ + AD ___ P2: AB + BC+ CD + AD =30+15+ 30+15=90m Doblealambre:

50m

40m

2

Observamosque, al duplicar lasdimensionesdel campo deportivo, el perímetro seduplicay el área secuadruplica.

Comprueba

m 0 3 m 5 m 6 0 5

40(30) LotedeMauricio: ______ +40(65)=600+2600=3200m 2 LotedeGonzalo:40(65)=2600 m2 30(40) 2 LotedeAntonio: ______ 2 + 50(4 0)=2600m

Variación ×2

Verificamossi larespuestaescorrecta.Para ello,utilizamoslasfórmulas del perímetroyel área deun rectángulo,y resolvemos. Perímetro: 2(largo + ancho) 4(largo + ancho) P= 2(2l+2a) = 4(l+a) Área: 1(largo ·ancho) 4(largo · ancho) P= 2(l+a) A= 2l · 2a

40m m 5 6

40m M au ri ci o

Organizamoslainformación en unatablay escribimoslos posiblesvaloresdel largo y el ancho del campo.Luego, calculamossu perímetroyárea, y analizamossu variación.

Dimensiones

m 0 3

modifcarlasáreas

lascantidadesde mallay céspedquese necesitancomprar parala remodelación deun campo deportivo. La informaciónquese tiene esque el campo deportivotiene formarectangular; por lo tanto, tieneunamedida delargo y otrade ancho.Además, al cantidad demallacorrespondeal perímetrodel campo deportivo,y lacantidad decésped,a suárea. Debemoscomprobar si al duplicar las dimensionesdel campo, el perímetro y el área original también seduplican. El problematrata sobre

Para desarrollar

3

:

349

Unidad

8


Proyecciones de vistas Libro de actividades (págs. 346-347) CUERPOS GEOMÉTRICOS

Capacidades y desempeños precisados Usa estrategias • Usamodelo sreferid osacubos,prismasy cilindrosalplanteary yprocedimientos resolverproblemasde proyeccióno construccióndecuerpos. 1-10 ( )

Sugerencias didácticas Para iniciar

Indique a los estudiantes que las actividades propuestas ser án realizadas de forma individual, centre su atención en la situación inicial. Para promover un aprendizaje significativo, muestre a los estudiantes algunos objetos como una lata de leche y una caja de cereal. Pida a voluntarios que observen dichos objetos de frente y desde arriba, y que los dibuje. Pregunte: ¿Qué forma tienen los objetos vistos de frente? (Ambos tienen forma rectangular). ¿Qué forma tienen vistas desde arriba? (Circular y cuadrada). Pida que comparen los dibujos que han realizado con los de un compañero(a). Para desarrollar

(Se proyectan las dimensiones ancho y profundidad). ¿Quéentiendespor vista lateral, izquierda o derecha? (Es la proyección del objeto obtenida en un plano de proyección vertical, ubicado a la derecha o a la izquierda del objeto respectivamente). ¿Qué dimensiones se proyectan? (Se proyectan las dimensiones profundidad y alto). Motive a los estudiantes a resolver la sección “Desarroll a tus capacidades” y pídales que describan brevemente los dibujos realizados. De esta manera ayudará a los estudiantes a comprender las vistas frontal, lateral y superior. Pregunte: ¿Por qué la proyección de un cilindro, cuando es observado en una vista frontal, resulta siempre un rectángulo? (Porque los puntos que se proyectan corresponden al borde del cilindro).

•

Vista Superior

Vistas Superior

Lastres vistasquese muestran corresponden aunmismo objeto. Si Marcelodebedibujar lastresvistasen el plano, ¿cómo puederepresentar cadauna deellas?

Vista Lateral

•

•

Vista lateral

Observamosydescribimoslastres proyeccionesplanas:

Vista superior

2. Vista frontal. Está conformadapor tres rectángulosanaranjados. El superior tienemayor altura.

o t l A

Frontal

Superior

2. Ancho

3.Vista lateral. Está conformadapor un polígono deforma escalonada, cuyos ladostienen diferentes medidas.

EJEMPLO 34

Lateral

VISTASUPERIOR

Vista frontal

Asignamosel mismocolorparalas caras quese aprecianenla mismavista.

1.Vista superior. Está conformadapor tres rectángulosamarillos. El del centro tienemayor altura.

o t l A

d a d i d n u f o r P

Lateral

EJEMPLO 33

1. o t l A

Frontal

Vista superior

Actividadescomplementarias Dibuja las vistas que se solicitan.

VISTALAT.IZQUIERDA Profundidad

Representamos las proyecciones planas dela pieza:

Vista lateral

Formalic e el aprendizaje sobre la vista tridimensional de los cuerpos geométricos, a través de esta pregunta: ¿cuáles son los tres tipos de vista mediante los cuales podemos observar un cuerpo geométrico? Muestra en la pizarra una de sus producciones y coloca los 3 carteles debajo de cada representación. Vista Frontal

Proyecciones de vistas

Vista frontal

Para consolidar

Tenga en cuenta que algunos estudiantes tienen dificultad en representar las proyecciones de un cuerpo. Por ello, hágales notar que estas representaciones utilizan solo figuras planas, aunque los objetos tengan superficies curvas, sus dibujos serán representados bidimensionalmente. Pida que analicen el desarroll o de los ejemplos 33 y 34. Refuerce el concepto de vista frontal, lateral y superior, con el apoyo del siguiente gráfico. VISTAFRONTAL Ancho

13

Clarisa debeconstruiruna pieza demadera como la que semuestra.Para ello,necesita dibujar las vistassuperior,frontalylateral dela pieza.

P r o f u n d i d a d

cho An

Lateral

Pregunte: ¿Qué es la vista frontal? (Es la proyección del objeto obtenida en un plano de proyección vertical, ubicado detrás del objeto). ¿Quédimensiones se proyectan? (Se proyectan las dimensiones alto y ancho). ¿Qué es vista horizontal? (Es la proyección del objeto obtenida en el plano de proyección horizontal, ubicado debajo del objeto). ¿Qué dimensiones se proyectan?

Frontal



n a S ©

n a S ©

a n a l l i t

Superior

356

Sofíadebereproducir lafigura representadaen lasvistas. ¿Cómolo puedehacer? ¿Quéfiguraobtendrá?

•

V i st a f r on t al

V i st a l a te r al

V i tsa s u pe r oi r

Observamosyrelacionamoslasvistas: Lavista frontal muestraquela cruzestáformada por cuadrados(puedenser cuboso paralelepípedos). Lasvistaslateral y superior confirmanquesetrata decubos.

Dibujamoslafiguraenuna plantillade puntoisométrico(vermargen).

•

Sofíaobtendráuna cruzformadapor seiscubitos.


©

a n a l l i t

346

.

t

c1 U

1

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7/1 /1

1 :1

357

DÍA A DÍA EN EL AULA

1

Matemática

SECUNDARIA

Proyecto Crecemos juntos

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