Razonamiento_Matemático_4°

Índic UNIDAD I

jUegos De INtelIgeNcIA INtelIgeNcIA e INgeNIo

Capítulo 1 juegos de ingenio I .....................................5

Capítulo 3 silogismos ....................................................27 ....................................................27

Capítulo 2 juegos de ingenio II ..................................16

Capítulo 4 Repaso I .......................................... ................................................... ......... 41

UNIDAD II

ANAlIzANDo lAs leyes leyes mAtemátIcAs

Capítulo 1 método inductivo I ................................... ................................... 49

Capítulo 4 series notables II ..................................... ....................................... 83

Capítulo 2 método inductivo II .................................. .................................. 60

Capítulo 5 Repaso II .................................................. .................................................. 93

Capítulo 3 series notables I ....................................... ....................................... 71

UNIDAD III

oRDeNANDo se eNtIeNDe mejoR

Capítulo 1 orden de información informaci ón I ........................... ........................... 100

Capítulo 3 juegos lógicos ........................................... ........................................... 125

Capítulo 2 orden de información II ........................... ........................... 113

Capítulo 4 ............................................. ...............136 Repaso III ..............................

UNIDAD IV

eNco eNcoNtRANDo meN ocU Ultos meNsA jes oc

Capítulo 1 criptoaritmética ............................................ 143

Capítulo 3 métodos operativos I ..............................161 ..............................161

Capítulo 2 operaciones combinadas ..............................153

Capítulo 4 métodos operativos II .............................171 .............................171

UNIDAD V

RepARtIeNDo eN pARtes IgUAles

Capítulo 1

Fracciones I

................................. 179

Capítulo 3 porcentajes

................................. 195

................................. 187

Capítulo 4 Repaso IV

................................. 204

Capítulo 2

Fracciones II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO UNIDAD VI

ANAlIzANDo pARA eNcoNtRAR lA mejo R posIbIlIDAD

Capítulo 1 Análisis combinatorio I .......................... .......................... 209

Capítulo 3 Introducción al cálculo de probabilidades ... 227

Capítulo 2 Análisis combinatorio II ......................... ......................... 219

Capítulo 4 Análisis de gráficos estadísticos ................... 235

UNIDAD VII

eNcoNtRANDo el VAloR DescoNocIDo

Capítulo 1 planteo de ecuaciones

................................ 246

Capítulo 3 móviles

Capítulo 2 edades

................................. 255

Capítulo 4 cronometría

UNIDAD VII

................................. 265 ............................... 274

Desc UbRIeNDo lAs meDIDAs peRFectAs

Capítulo 1 operadores matemáticos ............................. 284

Capítulo 3 áreas de regiones sombreadas ..................... 303

Capítulo 2 situaciones geométricas ............................... 293

TRILCE

UNIDAD I

O C I L Ó B O A I D D A R D A U C L E

C I L Ó B O D O A I A D O C D R D I A L A U Ó O R B A D C L O D D A I D A E A R D R O D C U A U A I L C L C U C Ó B L E L I E E A I

I

D

jUeg jUegos os De INtelI INtelIge geNcI NcIA A e INgeNIo El cuadrado mágico de 16 casillas, que los matemáticos llaman "dia bólico", en el cual la constante 34 de este cuadrado mágico no solamente se obtiene sumando los números de una misma columna, o de una misma fila, o de una diagonal, sino también sumando de otras maneras cuatr o números del cuadro, por ejemplo: 4+5+11+14=34; 4+9+ 6+15=34; 1+11+16+6=34; ... y así de 88 modos diferentes. Los cuadrados mágicos eran conocidos por los matemáticos chinos que vivieron cuarenta y cinco siglos antes de Mahoma. En la India, muchos reyes usaban estos cuadrados mágicos como amuletos; un sabio de Yemen afirmaba que los cuadrados preservaban de ciertas enfermedades. Cuando un cuadrado mágico presenta cierta propiedad - como, por ejemplo, la de poder descomponerse en varios cuadrados mágicos - lleva el nombre de hipermágico.

ApReNDIzAjes ApReNDIzAj es espeRADos Comunicación matemática proporcionales en relación al número • Interpretar el significado de magnitudes inversamente proporcionales •

de vueltas de un engranaje y su radio. Organizar información de gráficos para las relaciones familiares y los días de la semana.

Resolución de problemas • •

Resolver problemas que involucran las las leyes lógicas. Aplicar matemáticamente las situaciones reales reales agregando, eliminando o moviendo cerillas.

Análisis y demostración • •

Analizar los datos disponibles para construir, en base al juego, esquemas de lógica recreativa. Elaborar diagramas de Venn para la deducción de silogismos.

Razonamiento Matemático

1

juegos de ingenio I En este capítulo aprenderemos a: • •

Establecer la relación entre el número de vueltas de los engranajes representados en un sistema, con el diámetro de los mismos. Resolver problemas que implican: mover, quitar, agregar palitos de fósforo.

Las torres de Hanoi

E

l juego de las torres de Hanoi, o torres de diamante, es un juego oriental muy antiguo, consta de tres columnas y una serie de discos de distintos tamaños. Los discos están acomodados de mayor a menor en una de las columnas. El juego consiste en pasar todos los discos a otra de las columnas y dejarlos acomodados como estaban: de mayor a menor. El número de movimientos que hacen falta para terminarlo crece de manera muy rápida conforme vamos aumentando de discos. De hecho, crece de manera exponencial: Para 1 disco 1 movimiento, para 2 discos 3 movimientos, para 3 discos 7 movimientos, para 4 discos 15 movimientos, etc. En general: Para "n" discos hacen falta: 2n –1 movimientos Las reglas del juego son las siguientes: • •

•

Solo se puede mover un disco cada vez. Para cambiar los discos de lugar se pueden usar las tres columnas del juego; es decir, que los distintos discos se pueden ir acomodando en las columnas según convenga. Nunca deberá quedar un disco grande sobre un disco chico.

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Unidad I

5

Juegos de ingenio I

Conceptos básicos

Engranajes

Tren de engranajes

Donde identificamos:

 Giro horario (H)  Giro antihorario (AH) H

H

B

A

•

El número de vueltas es inversamente proporcional al tamaño de la rueda Para estos tres casos se cumple: cump le:

H

AH

NA × VA = NB × VB

B

A

H

AH A

B

A

B

H

H

Donde: NA : Número de dientes de "A" NB : Número de dientes de "B" VA : Número de vueltas de "A" VB : Número de vueltas de "B"

Las ruedas dispuestas en un mismo eje giran a la misma velocidad y en el mismo m ismo sentido. En un determinado tiempo dan la misma cantidad de vueltas.

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s o l p m

1

1. Si la rueda "B" gira en sentido antihorario, ¿cuántas ruedas giran en sentido contrario a "A"?

E

j

E

o l p m

A B

E

Resolución •

j

E

Del sistema A B

H H

H

AH

H

H

H

Rpta.: Las ruedas que giran en sentido contrario a la rueda "A" solo la rueda "B"

2. Si la rueda "A" da 40 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la rueda "B"? NB=20

NA=10

Resolución •

Del gráfico observamos: NA = 10; NB = 20

A

B

Por propiedad: N A × VA = NB × VB 10 × 40 = 20 × VB

VB = 20

Rpta.: La rueda "B" dará 20 vueltas

•

Cerillas En este tipo de ejercicios debemos tener en cuenta lo siguiente: a) b)

c) d)

No dejar cerillas sueltos. Diferenciar los problemas en: • Palitos que se mueven • Palitos que se agregan

• •

Construcciones con palitos Palitos que se quitan

No se pueden romper los palitos. Se puede formar en tres dimensiones.

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Unidad I

7

Juegos de ingenio I

3. ¿Cuántos palitos debes "mover" como mínimo para que el pececito nade en otro sentido?

•

Para retirar lo mínimo se tiene que elegir la segunda opción así:

Retiramos este palito Resolución

El problema dice: "para que el pececito nade en otro sentido", así que no necesariamente el pececito debe estar nadando al lado opuesto. Luego moviendo dos palitos:

Nos quedaría el número nueve, que es un cuadrado perfecto. Rpta.: Un palito

5. ¿Cuántos palitos hay que agregar como mínimo para formar 10 cuadrados?

Resolución

4. ¿Cuántos palitos hay que retirar, como mínimo para que quede un cuadrado perfecto?

En la figura se observan cinco cuadrados (cuatro pequeños y cinco grandes) tenemos que obtener una figura con el doble de cuadrados, así que tendremos que mover cuatro palitos de la siguiente forma:

Resolución •

El problema dice: "Para que quede un cuadrado perfecto", se tiene que pensar en dos situaciones: Figura geométrica   Número cuadrado perfecto: 1; 4; 9; 16; ...

Quedaría así:

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1

Síntesis teórica

como ¿Es correcto, cuántos se mueven? Giran

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Unidad I

9

Juegos de ingenio I

10 5 50

Conceptos básicos 1. Relacione correctamente las columnas "A" y "B" Columna B

Columna A

(A) La rueda "A" gira en sentido antihorario.

(I)

(1) (B) La rueda "B" gira en sentido horario.

(2) (C) La rueda (1) gira la misma cantidad de

vueltas que la rueda (2). (II)

C

A

E D

(D) La rueda (1) gira un número de vueltas

B

diferente a la rueda (2). "D" gira en sentido horario

• Relacionando: I ( )

II ( )

2. ¿Cuántos cerillas hay que quitar como mínimo para que quede un cuadrado perfecto?

3. ¿Cuántos palitos hay que agregar como mínimo para formar siete cuadrados?

4. ¿Qué parentesco tiene respecto a mi hijo, el único nieto del padre de mi abuelo?

5. El hijo del hijo del único hermano de mi padre es mi:

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1

Comunicación matemática

1. En el siguiente gráfico la rueda (1) gira en sentido y la rueda (23) gira en sentido respectivamente.

2. En el siguiente tren de engranajes determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: F

G

A

...

B

(1) a) b) c) d) e)

(2)

(3)

(4)

C

...

D

E

I. "A" gira en sentido horario ................. ( ) II. "F" da más vueltas que "E" ................. ( ) III. "G" gira en sentido antihorario ........... ( ) IV."A" da la misma cantidad de vueltas que "B" ............................... ( )

Horario - Horario Antihorario - Antihorario Antihorario - Horario Horario - Antihorario No gira el sistema

Resolución de problemas

3. En la siguiente figura, ¿cuántas ruedas giran en sentido antihorario? ...

...

(3m + 1) discos

(2m) discos a) 4m + 3

...

b) 6m - 2

(4m + 6) discos

c) 3(m + 1)

d) 2(3m + 1)

e) 9m + 4

4. ¿Cuántos cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

a) 1

b) 2

c) 3

5. ¿Cuántos palitos se tendrán que mover como mínimo para obtener solo tres cuadrados del mismo tamaño, no dejando cabo suelto?

a) 1 d) 4

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b) 2 e) 5

c) 3

d) 4

e) 5

6. ¿Cuántos palitos tienes que quitar como mínimo para obtener solo cuatro cuadrados del mismo tamaño, no dejando cabo suelto?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Unidad I

11

Juegos de ingenio I

7. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

13. Si la rueda "A" da 28 vueltas, ¿cuántas vueltas más da la rueda "C" respecto a la rueda "D"? RA = 5 cm ; RB = 10 cm ; RC = 6 cm ; RD = 12 cm Rueda A

a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

8. Los esposos Navarro - Amable tienen sies hijas y cada hija tiene un hermano. ¿Cuántas personas como mínimo integran la familia Navarro - Amable? a) 7 d) 12

b) 8 e) 14

c) 9

9. ¿Qué parentesco relaciona a la hija de mi hermana, con el hermano del hijo de mi hija? a) Tía - sobrino

Rueda B

Rueda D

Rueda C

a) 8 d) 7

b) 16 e) 9

c) 14

14. ¿Cuántos palitos como mínimo debes cambiar de posición para que el cangrejo que se dirige hacia arriba, ahora se dirija hacia abajo?

b) Abuela - nieto d) Hija - padre

c) Madre - hijo e) Sobrina - tío

10. El tío del hijo de la única hermana de mi padre es mi: a) Primo

b) Tío d) Padre

Hermano e) Tío o padre c)

a) 1 d) 2

11. La figura siguiente muestra un sistema de un tren de engranajes compuesto por 27 engranajes alineados:A;B;C;D;...;Z de 8;12;16;...;64 dientes respectivamente. Si "A" da 24 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará "Z" en una hora? A

B

a) 80 d) 210

C

b) 3 e) 4

c) 5

15. Para edificar este templo griego se necesitaron once cerillas. ¿Cuántas cerillas se tienen que mover como mínimo para formar once cuadrados?

Z

D

b) 40 e) 250

c) 180

12. Si la rueda "A" da 40 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la rueda "D"?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

16. ¿Cuántos palitos como mínimo deben cambiar de posición para que la operación sea correcta?

A 4 cm

C

B 8 cm

a) 80 d) 200

5 cm

b) 40 e) 160

D 2 cm

c) 180

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

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17. En una reunión están presentes un bisabuelo, tres hijos, tres padres, dos nietos y un bisnieto, cada uno lanzó dos dados obteniendo entre todos 17 puntos. Si todos excepto el bisabuelo obtuvieron el mismo valor cada uno y la cantidad de personas reunidas es la mínima, ¿cuál es el máximo puntaje obtenido por el bisabuelo? a) 7 d) 11

18. ¿Qué relación de parentesco tiene conmigo, la comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana?

c) 10

b) 9 e) 5

1

a) b) c) d) e)

mi madre mi hija mi hermana mi tía mi esposa

Aplicación cotidiana •

Una bicicleta dispone de dos coronas y cuatro piñones que se detalla en el siguiente cuadro:

Corona

C1: 44 dientes

C2: 48 dientes

Piñones

Relación de transmisión

P1 : 16 dientes Ci

P2 : 18 dientes

T=

P3 : 20 dientes

i  N

Pi

P4 : 22 dientes

19. Calcular la relación de trasmisión en la velocidad máxima y la velocidad mínima respectivamente. a) 3 : 1 ; 5 : 1

b) 5 : 2 ; 3 : 1

c) 8 : 5 ; 5 : 3

d) 3 : 1 ; 2 : 1

e) 5 : 1 ; 3 : 1

20. ¿Cuál es la relación de trasmisión si se conecta "C 1" con "P3"? a)

3

5

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b)

11

5

5 c)

3

d)

2 3

e)

5 2

Unidad I

13

Juegos de ingenio I

Conceptos básicos 1. Se tiene un sistema de engranajes donde los discos de numeración impar tienen los 2/3 del número de dientes que tienen los discos de numeración par. Hallar el número de vueltas que dará el sexto disco cuando el primero gira 27 vueltas. Si se sabe además que los discos de numeración par tienen el mismo diámetro y los de numeración impar también. (3) (5)

(2)

(1)

(4) (6)

a) 12

b) 18

c) 24

d) 8

e) 10

2. Determinar cuánto mide el radio de la rueda "A" si cuando esta gira 120º, la rueda "B" gira 2  radianes; además: O1O2 = 80 cm. A

B O1

a) 40 cm

b) 60

c) 50

O2

d) 38

e) 55

3. Con 20 palitos de fósforo ¿cuántos cuadrados como máximo se pueden formar de tal manera que el tamaño de cada palito sea igual a la longitud de cada cuadrado? a) 9

b) 10

c) 8

d) 11

e) 12

4. En una reunión familiar se pueden observar a tres madres, tres padres, dos hermanas, cuatro hermanos, un abuelo, un suegro, una suegra, dos nueras, una abuela, dos nietos, dos nietas, dos tías, dos tíos, dos sobrinas y dos sobrinos. ¿Cuántas personas se encontraban como mínimo en dicha reunión? a) 10

b) 12

c) 24

d) 8

e) 16

5. ¿Cuál es el mayor número de triángulos equiláteros que se pueden formar con 12 palitos de fósforo con la condición que el lado de cada triángulo sea igual a la longitud de cada palito? a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

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Razonamiento Matemático 18:10:45

1. ¿Cuántas ruedas giran contrario a la rueda "B"?

1

7. ¿Cuántos palitos hay que quitar como mínimo para obtener solo cuatro cuadrados del mismo tamaño? (no dejar cabo suelto)

B

2. Si la rueda "x" gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda "w"? x

8. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad? w

9.

3. Si la rueda "A" gira 20 vueltas; ¿cuántas vueltas girará la rueda "D"? A

C

B

60 dientes

40 dientes

D

Iris ve en la calle a un hombre y dice: "El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo". ¿Qué relación de parentesco tiene el hermano de ese hombre con Iris?

10. Rodolfo es el único hijo del abuelo de Juan, y

50 dientes 30 dientes

Sebastián es hijo de Rodolfo. ¿Qué es Juan de Sebastián? 11. ¿Quién es el único bisnieto del abuelo del

4. Si el engranaje (4) se mueve en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran los engranajes (33) y (60) respectivamente?

padre de Gilder? 12. Alex invitó a comer al cuñado de su padre, al

suegro de su hermano, al hermano de su suegro y al padre de su cuñada. ¿Cuántos invitados tuvo? 13. Para que el sistema de engranajes se mueva,

¿qué rueda(s) se debe(n) retirar? (1)

(2)

(3)

(4)

...

5. ¿Cuántos palitos se tienen que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

12

1

2

3

4 5

6

7

8 10 11 9

14. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo

para que la igualdad sea correcta? 6. ¿Cuántos palitos de fósforo se tendrán que quitar como mínimo para que no quede ningún triángulo? (no dejar cabo suelto)

15. José dice: "Hoy he visitado al hijo del padre de

la madre del hermano del hijo del suegro de la Central: 619-8100

Unidad I

15

esposa de mi hermano" ¿A quién ha visitado José?

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Juegos de ingenio II

juegos de ingenio En este capítulo aprenderemos a: •

Resolver problemas del contexto real que involucran relación de tiempo, construcciones y conteo de rutas.

K

Problema de los puentes de Königsberg

önigsberg es el antiguo nombre de la ciudad de Kaliningrado, que tiene en particular siete puentes que conectan la ciudad y que dio origen a un problema resuelto por Leonhard Euler en 1736. El problema consistía en lo siguiente: "Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida?" Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas? Euler demostró que no era posible. La explicación es la siguiente: si un punto tiene un número impar de líneas que inciden en él, necesariamente ha de ser el primer y/o último punto del recorrido. Por lo tanto, no se podrá encontrar una ruta que resuelva el problema si existen más de dos puntos con un número impar de líneas incidentes (ya que no puede haber más de un inicio y un final en una ruta continua). En el caso de los puentes de Königsberg hay cuatro puntos que tienen número de líneas incidentes impar, por lo que no se puede encontrar una solución al problema.

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Unidad I

17


2

Conceptos básicos Relación de tiempo



Para la resolución de estos problemas debemos considerar de forma práctica las siguientes equivalencias:

-n

-2

-3

Hace "n" días

-1

Hace Anteayer tres días

Ayer

0

+1

+2

Hoy Mañana

Pasado Dentro de mañana tres días

123

14243

Pasado

E

+n

Dentro de "n" días

Equivalentes: • El mañana de pasado mañana. • El pasado de mañana de mañana.

Equivalentes: • Ayer de anteayer • Anteayer del ayer

s o l p m

+3

Futuro

1. Si el mañana del pasado mañana del ayer será sábado, ¿qué día fue el anteayer del ayer de mañana?

j

E

o l p m

La mayoría de estos problemas tienen dos partes:

Resolución

E

Primero: Dato • Si el mañana de pasado mañana del ayer será sábado +1

-1

+2

•

= Sábado

x = -2 - 1+1 xx = -22 = –

•

Significa que (+2) pasado mañana será sábado, esto sirve para ubicarnos en la recta.

Nos piden antes de ayer, ubico en la recta: piden -2

0

+1

E

¿Qué día fue anteayer del ayer de mañana?

+ 2 = Sábado

•

j

Segundo: Incógnita

dato -1

0

Martes M

J

+1

+2

V Sábado

+2

Sábado Retrocedo

Rpta. Martes

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2.

Si el pasado mañana del mañana será lunes, ¿qué día fue el anteayer del ayer de mañana? Resolución

Primer: Dato •

Segundo: Incógnita

Si el pasado mañana del mañana será lunes

1444444424444443

•

¿Qué día fue el anteayer del ayer de mañana?

x = -2 - 1+1

+2+1 = Lunes +3 = Lunes

-2piden x = –x2=

0

+1

+2

-2 Miércoles

+3

Lunes

-1

0

+1

+2

+3

J

V

S

D

Lunes

Retrocedo Rpta.: Miércoles

Construcciones



Los problemas que se presentan a continuación hacen referencia a distribuir los números indicados, pero con mucho cuidado, porque no necesariamente sera así. o l p m E

j

E

1. Coloque los números del uno al nueve, uno por círculo y sin repetirlos, de manera que la suma de los números de cada lado sea 20. Indicar como respuesta la suma de los números colocados en los vértices. Resolución

Piden : a+b+c

a

20

20

o l p m E

j

E

c

b 20-c 20

La suma de los nueve números que están en los círculos

Según el gráfico Según el dato 20 - b + 20 - c + 20 - a = 1 + 2 + 3 + . . . + 9 60 - (a + b + c) = 9 #

10

2

60 - 45 = a + b + c  a + b +c = 15 Rpta.: 15

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19


Otro método

a

20

20

b

c 20

•

Suma de los tres lados.

20 × 3 = 60

•

Suma de los nueve números que están en los círculos.

1+2+3+. . .+9 =

9 # 10

2

= 45

Hay un exceso de 15, esto se debe a que cuando se suman los tres lados se repiten "a", "b" y "c".  a + b + c = 60 - 45 = 15 Rpta.: 15

Conteo de rutas

 o l p m E

j

¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de "A" a "B" sin pasar dos veces por un mismo punto en cada recorrido?

E

o l p m

A

E

j

E

B

Resolución

Para una mejor comprensión, colocamos un número en cada intersección de los caminos así: 1

2 Rutas • • • • •

3

A

4

B

5

A125B 3 A123B 4 A325B 2 A3B 4 5 Rutas A4B 1

Se podría llegar también de la siguiente forma "A123A4B" pero se pasa dos veces por el punto "A", lo cual contradice el enunciado.

Rpta.: 5

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Síntesis teórica

JUEGOS DE INGENIO II

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Unidad I

21


10 x 5 50

1. Coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso en cada una de las siguientes proposiciones: •

El pasado mañana de ayer es hoy ...................................................................................... (

)

•

El ayer de mañana es hoy .................................................................................................. (

)

•

Si anteayer fue sábado, entonces mañana será martes ........................................................ (

)

•

Hoy es lunes, entonces el anteayer de dentro de tres días será miércoles ........................... (

)

2. Establezca relaciones entre el gráfico y las posibles rutas diferentes que se pueden ir de "P" a "Q" sin pasar dos veces por el mismo punto en cada recorrido. 1

2

3

A

(A)

4

P

Q

PQ

6

( ) Seis rutas

(B) P  6 (C) P  2

5

( ) Tres rutas

( ) Dos rutas (sin pasar por 4)

( ) Cinco rutas

7

3. Coloque números del 1 al 9 en los círculos sin 4. Colocar los números del 1 al 12 de tal manera repetirlos de modo que la suma de cada lado que la suma de cada lado sea 30. Hallar: del triángulo sea 22. Indicar como respuesta la a+b+c+d suma de los números colocados en los vértices. a

z

w

b

s

t

d

x y

c

5. Escriba en cada recuadro los números del 1 al 8, con la condición de que la diferencia entre dos números vecinos nunca sea menor que cuatro. Hallar la suma de los números que están en los extremos.

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2


Conceptos básicos Comunicación matemática

1. Se tiene el siguiente cuadrado mágico donde se han distribuido números del uno al nueve. Completa:

I.

c

b

a

Los cuadrados mágicos son ordenaciones de números en celdas formando un cuadrado o matriz de tal forma que la suma por columnas, filas o diagonales principales sea la misma (constante mágica).

El valor de "e" es:

II. La constante mágica es: d

e

f

g

h

i

III. El cuadrado mágico es de orden:

a) 5 - 15 - 3

b) 9 - 15 - 9

c) 1 - 10 - 3

d) 5 - 15 - 9

e) 1 - 10 - 3

2. Se han colocado números del 1 al 9 uno en cada círculo, sin repetirlos con la condición de que todos los lados del triángulo sumen lo mismo y lo máximo posible. Observa el siguiente gráfico y coloca en los paréntesis (V) si es verdadera y (F) si es falsa en cada una de las siguientes proposiciones: x m

r

n

•

"x" puede ser: 7; 8; 9 .................................. (

)

•

"p" necesariamente es 6 .............................. (

)

•

La suma de cada lado del triángulo es 23 ............................................ (

)

La suma de "m+n+r+s+p+q" es 23 .......................................................... (

)

s

•

y

p

a) F V F V

q

z

b) F F V V

c) V F V V

d) V F V F

e) V V V V

3. Colocar las cifras del 1 al 8 en cada uno de los círculos de los cuadrados para que los tres vértices de los triángulos pequeños sumen lo mismo. ¿Cuál es esa suma si es la mínima posible?

a) 13

Central: 619-8100

b) 12

c) 11

d) 10

e) 14

Unidad I

23



4. Dentro de cuatro días ocurrirá que el ayer del antes de ayer del ayer de pasado mañana de ayer será jueves. ¿Qué día fue el pasado mañana del mañana del ayer de hace tres días? a) Martes d) Miércoles

b) Jueves e) Domingo

2

9. ¿Por cuántos caminos diferentes se podrá ir de "A" a "B", si no se puede recorrer un mismo tramo dos veces, en un mismo recorrido?

c) Lunes A

B

5. Si el ayer del mañana del anteayer fue lunes, ¿qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana? a) Lunes d) Domingo

b) Jueves e) Martes

c) Viernes

6. Siendo jueves el mañana de pasado mañana de anteayer, ¿qué día será el mañana de pasado mañana de ayer? a) Miércoles d) Martes

b) Lunes e) Jueves

c) Sábado

a) 16 d) 14

b) 20 e) 15

c) 12

10. En el gráfico colocar en cada círculo los números: 1; 3; 4; 5; 6; 8; 10 sin repetirlos de manera que la suma de tres números que forman un diámetro sea la misma y la mínima posible. Indicar como respuesta dicha suma.

7. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de "A" a "B" sin pasar dos veces por un mismo punto en cada recorrido? A

a) 18 d) 26

B

a) 9 d) 7

b) 10 e) 6

c) 8

8. ¿De cuántas maneras se podrá viajar de la ciudad "A" a la ciudad "C", sin pasar dos veces por un mismo punto en cada recorrido?

c) 28 de febrero e) 1 de marzo

a) 8 d) 11

C

b) 9 e) 12

c) 10

c) 15

11. Hoy es sábado cumpleaños de Rosa y el año pasado fue jueves. Si anteayer fue cumpleaños de Jéssica, y el año pasado su cumpleaños fue miércoles, ¿qué fecha es el cumpleaños de Jéssica este año? a) 27 de febrero

A

b) 20 e) 16

b) 2 de marzo d) 29 de febrero

12. El pasado mañana del anteayer del mañana del ayer del mañana de hace dos días es el pasado mañana del pasado mañana del anteayer del mañana del lunes. ¿Qué día es el mañana del pasado mañana de hace tres días? a) Lunes

d) Viernes

b) Miércoles e) Domingo

c) Sábado

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13. En cierto mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día será el 12 del siguiente mes? a) Viernes

17. Distribuye números del 1 al 15, tal que la suma de cada lado del pentágono sea 27. Calcular el valor de: a + b + c + d + e

b) Lunes d) Jueves

c) Domingo e) Sábado

a

b

14. Colocar en los doce casilleros los números del 1 al 12 sin repetirlos, de modo que la suma de los números de las dos filas sea la misma, además la suma de los números de las seis columnas sea la misma, distinta a la anterior. Indicar como respuesta el menor producto de tres números ubicados en una misma fila.

e

c a) 27 d) 19

d

b) 15 e) 25

c) 21

18. Dentro de tres días será lunes, entonces el ayer de pasado mañana del anteayer del ayer de mañana será: a) 18 d) 12

b) 36 e) 21

c) 15

15. En la siguiente cuadrícula ubique los números del 1 al 9 uno por recuadro sin repetirlos, con la condición de que el nueve ocupe el centro de la cuadrícula, los números de la primera fila sean todos impares los números de cada fila y de cada columna sean iguales. Indicar como respuesta la suma de los números que están en los vértices.

a) Jueves c) Miércoles e) Viernes

b) Domingo d) Lunes

Aplicación cotidiana

19. Un joyero cobra S/. 5 por abrir un eslabón de las que forman una cadena. Si tiene siete eslabones, ¿cuánto cobrará como mínimo para separarlos? a) 4 d) 10

b) 6 e) 2

c) 8

20. Si en el país "P" la medida de longitud es el KETI, la unidad de medida de superficie es el GRON. Si: 1GRON = 5.KETI2; 1KETI = 20 m, ¿cuántos GRON hay en una hectárea (10 000 m2)? a) 18 d) 16

b) 30 e) 25

c) 24

a) 50 d) 250

b) 500 e) 25

c) 5

16. Si mañana fuese como hoy, faltarían dos días para ser domingo. ¿Qué día será el anteayer del pasado mañana de hace dos días? a) Martes

d) Viernes

Central: 619-8100

b) Jueves e) Miércoles

c) Lunes

Unidad I

25


1. Hallar el valor de "K", sabiendo que el cuadrado en el que está inscrito es mágico y se componen de los números del 10 al 18.

12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 10 a)

K

2. En el siguiente cuadrado mágico se ubican los números pares: 2; 4; 6; 8; 10; ... ; 32. Hallar el valor de: a+b+c+d

c

d

65 b) 83 a)

48 d) 68 e) 80 c)

a

b

3. Ordenar a las cifras del siguiente número 11223344 de tal manera que, las cifras (1), estén separados por una cifra, las cifras (2) estén separados por dos cifras, las cifras (3) estén separados por tres cifras, y las cifras (4) estén separados por cuatro cifras. Indicar como respuesta la suma de las cifras de la diferencia que hay entre el mayor número y el menor número que se puede formar. a) 27

b) 36

c) 21

d) 15

e) 18

4. José y Rommel son dos niños confundidos con los días de la semana, hicieron una pausa en su camino a la escuela para aclarar las cosas: "Cuando pasado mañana sea como ayer"; dijo José, "Entonces hoy estará tan distanciado del domingo como hoy cuando anteayer era mañana". ¿En qué día se produjo la misteriosa conversación? a)

Domingo

b) Sábado

c) Viernes

d) Lunes

e) Martes

5. ¿Cuántas fichas debes mover como mínimo para formar un rectángulo con ocho y seis fichas por lado? a)

8

b)

7

c)

6

d)

5

e)

4

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Juegos de ingenio II 18:10:45

Conceptos básicos 1. Si hoy es sábado, ¿qué día fue el ayer de pasado mañana de mañana de hace tres días? 2. Si el ayer de anteayer de ayer de mañana fue martes, ¿qué día será el pasado mañana de mañana de mañana de hace dos días? 3. Si el anteayer del ayer del ayer de hace tres días fue domingo, ¿qué día fue el pasado mañana del ayer del anteayer?

8. Del enunciado anterior, calcular: 22 # (a + b + c)(d + e + f) # (i + h + g) + 1

9. Coloque los números del 1 al 12 en los círculos de la estrella de manera que la suma de los números que ocupen cada una de las seis líneas sea la misma. ¿Cuál es dicha suma?

4. Si en cierto mes existen cinco lunes, cinco martes, cinco miércoles ¿qué día será el 23 de dicho mes? 5. Coloca números del 1 al 9 en los círculos sin repetirlos, de modo que la suma de cada lado del triángulo sea 20. Indicar como respuesta la suma de los números que se colocan en los vértices.

•

En cada uno de los casos siguientes indicar de cuántas maneras se pueden ir de "A" a "B" sin pasar dos veces por un mismo punto en un determinado recorrido.

10.

6. Coloca los números: 5; 6; 7; 8; 9; ...; 16, uno en cada recuadro sin repetirlos de modo que la suma de cada lado sea 38. Indicar como respuesta la suma de los números que se colocan en los vértices.

A

B

11. A

7. Colocar en los círculos mostrados números del 1 al 12; tal que la suma de cada lado sea 28. Calcular: (x+y+z) (xyz)

B

12. A

B

x

b

h

c y

Central: 619-8100

13. Ayer tenía 17 años y el próximo año tendré 19. Si el pasado mañana de ayer será mi cumpleaños, ¿en qué fecha nací?

i

a

14. Si el día de mañana fuese como pasado mañana entonces faltarían tres días a partir de hoy para ser lunes. ¿Qué día será el pasado mañana de ayer?

g d

e

f

z

15. En un cierto mes existen cinco miércoles, cinco jueves y cinco viernes. ¿Qué día será el 15 del siguiente mes?

Unidad I

27


silogismos En este capítulo aprenderemos a: •

Resolver problemas del contexto real y matemático que implican la organización de datos a partir del uso de cuantificadores.

Los diagramas de Venn os diagramas de Venn reciben el nombre de su creador, Jhon Venn, matemático y filósofo británico. Venn introdujo el sistema de representación que hoy conocemos en julio de 1880 en su trabajo titulado De la representación mecánica y diag ramática de proposiciones y razonamientos en el Science. Aunque la primera forma de representación geométrica de silogismos lógicos se atribuye a Gottfried Leibniz, y luego ampliada por George Boole y Augustus De Morgan.

L

Más adelante desarrolló en su libro Lógica simbólica (1881) y corrigió los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal y se convirtió en una excelente plataforma para el nuevo sistema de representación. Estos diagramas siguió usándolo en su siguiente libro Los principios de la lógica empírica ( 1889), con lo que los diagramas de Venn fueron cada vez más empleados como representación de relaciones lógicas. Los diagramas de Venn se emplean para enseñar matemáticas elementales y para reducir la lógica y la Teoría de conjuntos al cálculo simbólico puro. Se suelen usar también a diagramas de Venn de dos o tres conjuntos como herramienta de síntesis, para comparar y contrastar dos o tres elementos; en este uso, se incluyen dentro de cada elemento las características exclusivas, y en las intersecciones, las comunes con los otros.

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Silogismos

Saberes previos 

Conjunto o Clase Es la agrupación de elementos que tienen características comunes, como: Los profesores de Tri lce, los números primos, los animales mamíferos. Clases: Conjunto o clase universal

Conjunto que tiene todos los elementos posibles, como: los seres humanos, los números reales. Representación U

Conjunto o clase vacía

Conjunto que no tiene elemento alguno, como por ejemplo: A = Números primos que terminen en cero Representación

U

A

La clase vacía se representa sombreando la región que no tiene elementos.

Conjunto o clase no vacía

Conjunto que tiene por lo menos un elemento, como por ejemplo: • •

Números primos pares. Meses del calendario gregoriano que tiene 31 días.

Representación

U A

X

La clase no vacía se representa por el "x" que indica que existe por lo menos un elemento en esa región.

A

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Unidad I

29


Conjunto o clase indeterminada

Conjunto que no se puede afirmar o negar que tenga elementos, como por ejemplo: Alumnos del 4to año del colegio Trilce que sean irresponsables. Representación

U

A



A=?

La clase indeterminada se representa sin sombrear, no se puede afirmar nada de sus elementos.

Proposición Es un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero nunca verdadero y falso a la vez, como por ejemplo: • El "cero" es un número entero. • Todos los hombres son fieles.



Proposición categórica Es aquella proposición que afirma o niega la relación de dos conjuntos o clases, como por ejemplo: • • •



Todos los alumnos son valientes. Algunos alumnos son inmaduros. Ningún perro tiene pulgas.

Cuantificador Es un término que indica si una clase o conjunto se considera total, parcial o no se considera, respecto a otro conjunto. Por ejemplo:

Sea el conjunto:

A = {Alumno} B = {Responsable} Denominación

Esquema

Universal afirmativo

• Todo "A es "B" • Cada uno ............. • Los ......................

Universal negativo

• Ningún "A" es "B"

Particular afirmativo

• • •

Particular negativo

• •

Algún "A" es "B" Ciertos ................. Muchos ................

Algún "A" no es "B" No todos ...............

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Silogismos

Conceptos básicos El Silogismo y la lógica de clases



El silogismo es un razonamiento deductivo en el que partiendo de dos o más premisas se llega a una conclusión, siendo esta última una inferencia deductiva de las anteriores. Fue formulada por primera vez por Aristóteles. s o l p m

1. Silogismo válido:

E

j

P(1)  Todos los ingeniosos son mortales. P(2)  Algunos profesores son ingeniosos. P(3)  Algunos profesores son mortales.

E

•

P 1 y P 2 son premisas

•

P(3) es la conclusión

2. Silogismo inválidos

o l p m E

P(1)  Todos los peruanos son simpáticos. P(2)  Ningún español es peruano. P(3)  Ningún español es simpático.

j

E

Mediante los diagramas de Venn - Euler y la lógica de clases, llegamos a una inferencia válida. 

El Silogismo y los diagramas de Venn - Euler Sean los conjuntos o clases: S = {Alumnos}

U

P = {Emprendedores} S

A. Universal afirmativa

S (1) (2) (3) P P

•

Todos los "S" son "P"

•

Todos los alumnos son emprend edores

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Lo único que puedo concluir es que en la región (1) no existe elementos.

Unidad I

31


B. Universal negativa • •

Ningún "S" es "P" Ningún alumno es emprendedor. U

S

P

(1) (2) (3)

P

S

De lo único que estoy seguro es que en la región (2) no existe elementos.

C. Particular afirmativa o positiva • •

Algunos "S" es "P". Algunos alumnos son emprendedores. U

S S

P

x

P

(1) (2) (3)

De lo único que estoy seguro es que en la región (2) existe por lo menos un elemento.

X

D. Particular negativa • •

Algún "S" no es "P". Algunos alumnos no son emprendedores. U

S S

P

X

x

P

(1) (2) (3)

De lo que estoy seguro es que en la región (1) existe por lo menos un elemento.

Apliquemos el diagrama de Venn - Euler para resolver el Ejemplo(1 ) que planteamos al inicio: P1  Todos los ingeniosos son mortales Sea: I = {Ingeniosos} ; M : {Mortales}

M

I

P2  Algunos profesores son ingeniosos Sea : P = {Profesores} I

X P

I En esta región no existen elementos por lo tanto el "x" no puede estar ahí

M x

Del gráfico se observa que existe por lo menos un elemento en la intersección del conjunto "M" y "P", entonces se concluye: • Algunos profesores son mortales.

P

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Silogismos

Ahora veamos el Ejemplo (2) •

"P1"  Todos los peruanos son simpáticos P = {Peruanos}

•

"P2"  Ningún español es peruano E= {Español}

S = {Simpáticos}

P

P

S

E

•

Uniendo P(1) y P(2) : P

S

S

La conclusión es: • Ningún español es simpático Para que esto sea válido debería ocurrir: E

E

Pero nos damos cuenta que no es así ya que observamos: S No sabemos si existen elementos o no ya que es la representación de una clase indeterminada.

 Es un silogismo inválido

E s o l p m E

j

E

1. Si: P1  "Todos los alumnos de cuarto año son creativos" P2  "Juan es alumno de cuarto año" ¿Qué se concluye?

o l p m

Representación gráfica:

A

C

A = {Alumnos de cuarto año}

X

E

j

Rpta. : Juan es creativo

Juan

2.

E

Si: P1  "Todos los peruanos son buenos futbolistas" P2 : "Todos los buenos futbolistas son deportistas" Si José es peruano, entonces se puede concluir: Se grafica primero los universales luego los articulares.

B

P

x José es deportista D

P = {Peruanos} B = {Buenos futbolistas} D = {Deportistas} Rpta.: José

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

Negación de proposiciones PROPOSICIóN

NEGACIóN DE LA PROPOSICIóN Algunos "S" no son "P"

Todos los "S" son "P" S

S

P

P

x

Algunos "S" son "P"

Ningún "S" es "P" S

S

P

P

x Ningún "S" es "P"

Algunos "S" son "P" S

S

P

P

X


Algunos "S" no son "P" S

S

P

P

x

s o l p m

1. Negar la siguiente proposición: "Todos los cuadernos son cuadriculados"

E

j

E

Resolución

A

B

Negación

A

o l p m

B

x

E

j

E

Para negar solo tienes que cambiar:

o también:

x

En el ejercicio: Algunos cuadernos no son cuadriculados

x

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Silogismos

2. Negar la siguiente proposición: "Ningún alumno es irresponsable" Resolución

Considerando: A={Alumnos}; B={Irresponsables} La región que está pintada se niega colocando una "x"

A

B

A

Negación

B

x Rpta.: Algunos alumnos son irresponsables

3. Negar: "Algunos caramelos son de limón" Resolución

Considerando: C={Caramelos}; L={Limones} La región donde está "x" se niega pintándola L

C

Negación

C

L

x Rpta.: Ningún caramelo es de limón

Síntesis teórica

SILOGISMOS

Inferencia deductiva con ayuda de la lógica de clases y diagramas de Venn - Euler

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Unidad I

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10 x 5 50

1. Coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso en • cada uno de los siguientes enunciados: • • •

Una proposición puede ser verdadero y falso a la vez ............................... ( ) La clase vacía es aquella donde no se está seguro si existen o no elementos ...... ( ) El siguiente gráfico representa: "Todos los "B" son "A"" ................................( )

A

Las siguientes proposiciones: "Algunos profesores son inmortales" "Algunos inmortales son profesores" son equivalentes

................................ ( )

B

2. Establezca una relación entre los gráficos y las proposiciones, considerando: F={Filósofos} y E={Eruditos}

A.

F

E

( ) Todos los filósofos son eruditos ( ) Algunos filósofos no son eruditos

B.

E

F

x

( ) Algunos eruditos no son filósofos ( ) Todos los eruditos son filósofos

C.

F

E

D.

F

E

( ) Ningún erudito es filósofo

x

3. Negar la siguiente proposición: "Todos los hombres son bípedos"

5. "Si algunos profesores son policías y todos los policías trabajan de pie", entonces se concluye:

4. La negación de "Algunos perros odian a los gatos" es:

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Silogismos


1. Complete: •

El siguiente gráfico corresponde a un cuantificador: S

•

P

La negación de ningún "S" es : a) b) c) d) e)

Universal afirmativa - Todos los "S" son "P" Particular negativa - Algún "S" no es "P" Universal negativa - Algún "P" no es "S" Universal negativa - Algún "S" es "P" Particular afirmativa - Algún "S" es "P"

2. Coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso en cada uno de los siguientes enunciados: •

•

La negación de todo "A" es "B", es: "Ningún "A" es "B"" La representación gráfica de: "Algunos perros son feroces" es : feroces

perros x

•

()

.......................................................................................... ( )

"Si algunos políticos no son honestos y Jaime es político" Se concluye: "Jaime es honesto" ......................................................................................... ( )

a) FFF

b) VFV

c) FVF

d) VVV

e) FFV

3. Relacione el gráfico con las proposiciones que se presentan:

Profesores

Pedagogos

de Trilce

( ) Algunos profesores de Trilce son pedagogos. ( ) Algunos profesores de Trilce no son pedagogos.

(1)

(2)

(3)

( ) Algunos pedagogos no son profesores de Trilce. ( ) Algunos pedagogos son profesores de Trilce.

Si "x" se colocará en una de las tres regiones

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Unidad I

37


Resolución

de

10. "Ningún alumno de cuarto año plagea"

problemas

Representa las proposiciones mediante los diagramas

de Venn - Euler utilizando la lógica de clases.

Alumnos

3

plagea

4. "Todos los adolescentes son alegres" Adolescentes Alegres 11. La negación de "Algunos patos no vuelan" es: a) b) c) d) e)

5. "Algunos gatos son negros" Gatos

Negros

Algunos patos vuelan Todos los patos no vuelan Ningún pato vuela Todos los patos vuelan Por lo menos un pato vuela

12. La negociación de: "Ningún abogado es matemático" es: a) b) c) d) e)

6. "Todo cusqueño es atento" Cusqueño

Atento

Algún matemático no es abogado Algún abogado es matemático Algún matemático no es abogado Ningún matemático es abogado Todos los abogados son matemáticos

13. La negación de: "Ningún perro no odia a los gatos", es:

7. "Algunos geométricos son licurgos" a) b) c) d) e)

Geométricos Licurgos

8. "Ningún hincha de la "U" es delincuente" Hinchas 'U'

Todos los perros odian a los gatos Algunos perros odian a los gatos Ningún perro odia a los gatos Todos los perros no odian a los gatos Algunos perros no odian a los gatos

14. Dadas las siguientes afirmaciones: • "Ningún cuento de terror es real" • "Algunas historias de ficción son reales"

Delincuente

Se infiere necesariamente: a) Algunas historias de ficción no son cuentos

9. "Algunos restaurantes no son limpios" Restaurantes

Limpios

b) c) d)

.

e)

de terror. Algunos cuentos de terror no son historias de ficción. Algunos cuentos de terror son reales. Todas las historias de ficción son cuentos de terror. Todos los cuentos de terror son historias de ficción.

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Silogismos

15. Dadas las siguientes premisas: • "Algunas enfermedades contagiosas son peligrosas". • "Todas las enfermedades contagiosas se propagan con facilidad".

18. Si: • "Todos los profesores de RM son científicos" • "Todos los científicos son racionales"

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

De ellas se concluye necesariamente:

a) Todos los racionales son científicos

a) Algunas cosas que se propagan con facilidad

c) Algunos profesores de RM no son racionales

b) c) d) e)

no son peligrosas. Algunas cosas peligrosas se propagan con facilidad. Algunas cosas peligrosas no se propagan con facilidad. Nada que sea peligroso se propaga con facilidad. No todo lo peligroso se propaga con facilidad.

16. Si: • "Los infantes son pre escolares" • "Todos los bebés son infantes"

Entonces: a) b) c) d) e)

Ningún bebe es preescolar No existe pre escolar que sea bebé Los bebés son pre escolares Algún escolar es bebé Algún bebé es escolar

d) Todos los profesores de RM son racionales e) Algunos profesores de RM son racionales

19. Si se sabe que: • "Algunos aprendices son imprudentes" • "Ningún aviador es imprudente" Entonces: a) Algunos aprendices son aviadores b) Algunos aprendices no son aviadores c) Todos los aprendices son imprudentes d) Algunos aprendices no son imprudentes e) Ningún aprendiz llegará a ser aviador 20. Se sabe que: • "Todos los adolescentes son creativos" • "Todos los creativos son ingeniosos" • "Ningún intransigente es ingenioso" Se concluye:

17. Si: • "Todo hombre es racional" • "Ningún animal es un ser que razona"

Entonces: a) b) c) d) e)

b) Todos los científicos son profesores de RM

Algún animal es hombre Algún no animal es hombre Ningún animal es hombre Todo animal es siempre animal Cierto no hombre no es hombre

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a) Todos los ingeniosos son creativos b) Ningún adolescente es intransigente c) Todos los creativos son adolescentes d) Ningún adolescente es ingenioso e) Todos los ingeniosos son adolescentes

Unidad I

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1. Se sabe que algunos caníbales son religiosos y todos los religiosos son filántropos. ¿Cuál es la conclusión?

2. De las premisas: • "Ninguna persona rica es vagabunda" • "Todos los abogados son personas ricas" Se puede concluir: a) b) c) d) e)

Ningún abogado es vagabundo Algunos ricos son vagabundos Todos los vagabundos son ricos Todos los ricos son vagabundos Algunos abogados son vagabundos

3. ¿Cuál es la negación de: "Ningún matemático es filósofo"? a) b) c) d) e)

Algunos matemáticos no son filósofos Ningún filósofo es matemático Algunos filósofos son matemáticos Todo matemático es filósofo Más de una es correcta

4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones corresponde al siguiente esquema? S

P

X a) Algunos "P" son "S" d) Algún "S" no es "P"

b) Ningún "S" es "P" e) Algún "P" no es "S"

c)


5. La negación de: "Todas las chicas miran a Nicolás" es: a) b) c) d) e)

Algunas chicas miran a Nicolás Algunas chicas no miran a Nicolás Ninguna chica mira a Nicolás Ninguna chica no mira a Nicolás Todas las chicas están ciegas

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3

Silogismos 18:10:45

Conceptos básicos •

Representar las proposiciones en el diagrama de Venn:

1. "Todos los gatos son negros" Gatos

Negros

10. Se sabe que: • "Todos los artistas son elocuentes" • "Algunos artistas son indigentes"

¿Qué se concluye?

11. Se sabe que: • "Todos las águilas son animales feroces" • "Ningún animal feroz muerde" Luego:

2. "Algunas mujeres son cantantes" Mujeres

Cantantes

a) b) c) d) e)

Los animales que muerden son las águilas Ningún águila muerde Algunos que muerden son águilas Los animales que no muerden son águilas No se puede inferir nada

12. Sabiendo que: 3. "Ningún árbol es de plástico" Árbol

•

plástico

Negar las siguientes proposiciones:

4. "Todos los alumnos son fanáticos de Adamo" 5. "Algunas verduras contienen magnesio" 6. "Ningún puercoespín es comestible" •

¿Cuál es la conclusión de los siguientes silogismos?

7. "Todos los choferes son prudentes, José es chofer". 8. "Algunos cantantes son compositores, Pedro es cantante". 9. Se sabe que: "Ningún limeño es chileno, y todos los olivenses son limeños", entonces: a) Todos los olivenses son chilenos b) Ningún olivense es chileno c) Algunos chilenos son olivenses d) Todos los chilenos son olivenses e) Algunos olivenses son chilenos

• "Ningún artista es impopular" • "Algunas locos son impopulares"

Se define que: a) b) c) d) e)

Algunos locos son artistas Algunos locos no son artistas Algunos locos no son impopulares Ningún artista es loco Ningún loco es artista

13. Sabiendo que: • "Algunos filósofos son místicos" • "Algunos creyentes son filósofos" • "Todos los creyentes son religiosos" Luego: I. "Algunos religiosos son filósofos" II. "Algunos místicos son religiosos" III."Todo creyente es místico" ¿Cuáles son ciertos?

14. Se tiene: "Algunos hombres son mortales", ¿qué se concluye? 15. Sabiendo que: • "Todos los poetas son interesantes" • "Rommel es interesante" ¿Qué se concluye?

Colegios

40

Central: 619-8100 TRILCE

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41


4

Repaso I ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados

anteriormente

• • •

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Juegos de ingenio I Juegos de ingenio II Silogismos

Unidad I

41

Repaso I

10 5 50

Conceptos básicos 1. En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número de cerillas que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta?

2. El hermano del hijo de Juan tiene un amigo tocayo del padre del hermano suyo. Siendo su amigo tocayo hijo de Paco, hermano político de Juan, ¿cómo se llama el amigo y qué parentesco tiene con Juan? 3. Si el ayer del anteayer de mañana es sábado, ¿qué día será el mañana del pasado mañana del ayer?

1. Se desea colocar los números del 1 al 15 de tal manera que la suma de los números que se encuentran en cada lado sea igual a 30. Indicar como respuesta la suma de los números que se encuentran en las casillas sombreadas.

4. Si el engranaje (5), se mueve en sentido antihorario, hacia dónde giran los engranajes (16) y (23) respectivamente.

(1)

(2)

(3)

(4)

5. Luego de negar las siguientes proposiciones: • "Algunos sabios son descuidados" • "Ningún alumno es descuidado" Se infiere: a) b) c) d) e)

Muchos sabios son maestros. Algunos alumnos no son estudiosos Muchos alumnos no son sabios. Todos los alumnos son sabios. Existe al menos un sabio que es alumno.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

3. Luego de negar las siguientes proposiciones: • "Algunos ingeniosos son descuidados" • "Ningún alumno es descuidado" Se infiere: a) b) c) d) e)

Muchos ingeniosos son maestros Algunos alumnos no son estudiosos Muchos alumnos no son ingeniosos Todos los alumnos son ingeniosos Existe al menos un ingenioso que es alumno

4. Si se sabe que: • "Ningún santo es inmortal" • Todos los postulantes son mortales • Juan es postulante 2. Se requiere realizar la siguiente figura de un solo trazo, indicar si es posible o no. En caso de no ser posible, ¿cuántas líneas como mínimo se deben repetir para realizarla?

Se infiere: a) b) c) d) e)

Juan es santo y mortal Juan es inmortal Juan es santo Juan no es mortal Juan es mortal

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5. Si se sabe que: • "Algún grillo es insecto" • "Todo insecto es un animal dañino" • "Todo animal dañino es eliminado" Se infiere: a) b) c) d) e)

Todos los grillos son eliminados Ningún grillo es eliminado Algún grillo no es eliminado Algún grillo es eliminado Ninguna de las anteriores

9. ¿Cuántos dígitos como mínimo se deben mover para que sea verdadera la expresión siguiente: 101 - 102 = 1? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

4

c) 3

10. Colocar los números del 1 al 12 en los círculos de la estrella. Indicar como respuesta la constante mágica.

6. Si se sabe que: • "Todos los alumnos son curiosos" • "Todos los curiosos son preguntones" • "Todos los preguntones son ingenuos"

Concluimos: a) b) c) d) e)

Todos los preguntones son alumnos Todos los ingenuos son preguntones Todos los alumnos son ingenuos Todos los alumnos son preguntones Más de una es correcta

7. ¿Cuántas rectas como mínimo se debe trazar para unir todos los puntos, sin levantar el lápiz del papel?

a) 25 d) 28

b) 26 e) 29

11. Completar el siguiente cuadrado mágico e indicar como respuesta la constante mágica. 15

4

2

8 5

13

1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

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b) 2 e) 5

12

c) 3

8. ¿Cuántos cuadrados como mínimo se debe dibujar para que cada punto quede en una sola región?

c) 3

c) 27

a) 10 d) 40

11

b) 20 e) 50

0

c) 30

12. ¿Cuántos cerillas como mínimo se debe mover para obtener una figura de 4 m2 de área, sabiendo que cada cerilla mide 1 m?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Unidad I

43

Repaso I

13. En la figura mostrada, el número de cada círculo representa la diferencia positiva entre los números de dos círculos sobre los que se apoya. Si en la fila de la base todos los números tienen dos cifras y en ella se emplean todas las cifras del 1 al 8, hallar la suma de los tres números que faltan en la base.

18. La figura muestra ocho casillas en las cuales usted deberá colocar los números enteros del 1 al 8, con la condición que dos números consecutivos no sean adyacentes ni por el lado de una casilla ni por un vértice. Indique como respuesta la suma de los números de las casillas sombreadas.

10 13 23 35 58 a) 138 d) 130

b) 140 e) 135

Base c) 144

14. Si: "Todo amigo es leal" "Todo leal es solidario" La conclusión que se desprende de las premisas anteriores es: a) b) c) d) e)

Todo amigo es solidario Ningún amigo es solidario Algunos amigos no son solidarios Todo solidario es amigo Algunos solidarios no son amigos

15. Una familia consta de dos padres, dos madres, tres hijos, dos hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos esposos, una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia? a) 7 d) 9

b) 8 e) 10

a) 5 d) 8

d) tío

b) primo e) sobrino

c) 7

19. Con 12 palitos de fósforo, ¿cuántos triángulos equiláteros iguales se puede obtener como máximo, de manera que la longitud de cada lado sea la de un palito de fósforo? a) 6 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

20. Ubicar los números naturales del 1 al 10 sin repetición, de tal modo que en cada lado del triángulo la suma de los números sea 26; x y z hallar: M= + + ; (z > x) 2

10

z

c) 6

x

16. Yo soy el hijo de la esposa del hijo único de la abuela de Cirila. Entonces el hijo de Cirila es mi: a) hermano

b) 6 e) 9

c) padre

7

a) 14 10 d)

5 6

4

b) 8

12 e)

y

c) 11

17. Indicar la negación de la siguiente proposición: "Algunas plantas son medicinales" a) b) c) d) e)

Todas las plantas son medicinales Algunas plantas no son medicinales Ninguna planta es medicinal No todas las plantas son medicinales Todo lo medicinal es planta

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4

1. Lucy va al club cada día; Gissela va cada dos días, Edith va cada tres; José cada cuatro; Ernesto cada cinco; Henry cada seis y Gabriela cada siete. Si hoy están todos en el club, ¿dentro de cuántos días será la primera vez que vuelvan a reunirse todos? a) 27

b) 28

c) 210

d) 420

e) 5040

2. Ubicar en las casillas todos los números naturales del 1 al 9, de tal modo que la suma de los números en cada lado del triángulo sea igual a 20. ¿Cuál es el mínimo producto que se puede obtener al multiplicar los números ubicados en los vértices?

a) 80

b) 45

c) 38

d) 35

e) -1

3. Si en los recuadros del siguiente esquema se escribirán cuatro números enteros positivos diferentes, todos de una cifra, ¿cuál será el mínimo valor "S"?

S = [( a) -4

b) 1

)×

+ c) -6

]d) -3

e) -1

4. En la figura se muestran cajas que contienen caramelos, en unas hay solo caramelos de limón, en las otras solo caramelos de menta. La cantidad está indicada en cada caja. Si el vender dos de estas cajas quedan tantos caramelos de limón como de menta, ¿cuáles deben de ser estas dos cajas que deben de ser vendidas?

a)

Cajas 3 y 4

b) Cajas 2 y 6

46

31

Caja 1

Caja 2

25

27

Caja 4

Caja 5

c) Cajas 1 y 4

38 aja 3 32 aja 6 d) Cajas 2 y 3

e) Cajas 1 y 5

5. Ubicar los números naturales del 1 al 10, sin repetición, de tal modo que la suma de los cuatro números ubicados en cada línea sea siempre constante. ¿Cuánto es esta suma constante?

a) 25

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b) 20

c) 24

d) 22

e) 21

Unidad I

45

Repaso I 18:10:45

Conceptos básicos 1. De las siguientes premisas: • "Todos los ingenieros son personas cultas" • "Algunos ingenieros no son científicos" se concluye que: a) b) c) d) e)

Algunas personas cultas son ingenieros Todos los científicos son cultos Algunas personas cultas no son científicos Todas las personas cultas son ingenieros Todos los científicos son ingenieros

2. En el esquema se muestran cuatro cuadrículas de 2×2. Escriba en los cuadrados sombreados y en blanco, números enteros del 1 al 4 de manera que ninguno se repita en la misma fila, columna o cuadrícula. ¿Cuánto suman los números de los cuadrados sombreados?

1

5. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día será el 26 de dicho mes? 6. Si la rueda "B" gira en sentido antihorario, ¿cuántas ruedan giran en sentido horario?

A

B

C D

E

7. Si anteayer de mañana es lunes, ¿qué día de la semana será el mañana de anteayer? 8. La mamá de Luisa es la hermana de mi padre. ¿Qué representa para mí el abuelo del mellizo de Luisa?

2 3 4 4 3. Si la rueda dentada 1 gira en sentido horario, indicar cuáles se mueven en sentido antihorario.

9. Distribuya en las casillas de la figura los números del 1 al 13, de tal manera que la suma de los números en cada una de las tres columnas ("A", "B" y "C") y la fila "D" sea la misma. Indicar como respuesta la mínima suma. A

1

B

C

2 3

4

D

5

6 7

4.

Ubicar las cifras del 1 al 8 en los círculos de la figura de tal manera que los tres vértices de los triángulos pequeños sumen lo mismo. Determinar dicha suma.

10. Distribuir los números del 1 al 9 en los círculos del triángulo de tal manera que cada lado sume 20. Indicar como respuesta el menor producto de los números que ocupan los vértices.

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11. Si la rueda "A" gira 48 vueltas, ¿cuántas vueltas más que "D" gira "C", si se muestran los números de dientes de cada rueda?

A NA=40

C

D

NC=60

ND =80

B NB =30

12. ¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

4

13. El hijo de mi único primo de mi único sobrino, ¿qué viene a ser del papá del padre de mi nieto, si mi padre es hijo?

14. Si tenemos seis monedas como muestra la figura y llamamos un "movimiento" a la acción de voltear todas las maneras a su reverso. Sabiendo que "C" es cara y "S" es sello, ¿cuántas caras y cuántos sellos tendremos en la figura en 37 movimientos?

C

S

S

S

S

S

15. Se encuentran padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos, ¿cuál es el menor número de personas?

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Unidad I

47

UNIDAD II Tipo

S E L O A R N E

M Ú N

O G I L O P

Orden 1

2

3

4

5

s e r a l u g n a i r T

1

3

6

10

15

s o d a r d a u C

1

4

9

16

25

1

5

12

22

35

1

6

15

28

45

s e l a n o g a t n e P

s e l a n o g a x e H

Karl Friedrich Gauss

ANAlIzANDo lAs leyes mAtemátIcAs Un problema con más de 2000 años Las expresiones "números triangulares" o "números cuadrados" no son metáforas sino que estos números son ante los ojos de los pitagóricos son triángulos y cuadrados. Así tres puntos formarán un triángulo. Si a estos tres puntos les añadimos otros tres seguimos teniendo un triángulo, y lo mismo ocurre si a este le añadimos cuatro puntos. Es decir los números: 1; 3; 6; 10; 15; .... son números triangulares. También: 1; 4; 9; 16; 25; ... forman los números cuadrados. Siguiendo con esta visión geométrica descubrimos los números pentagonales: 1; 5; 12; 22;... y también los hexagonales: 1; 6; 15; 28; ... en todos los casos las series numéricas son sumas parciales de los primeros términos de progresiones aritméticas cuyo primer término es siempre 1 y cuya diferencia es "r".

ApReNDIzAjes espeRADos Comunicación matemática • Interpretar el significado de las series numéricas utilizando las fórmulas adecuadamente. • Organizar los datos estableciendo una relación de correspondencia. Resolución de problemas • Resolver problemas del contexto real y matemático que amplían la aplicación de fórmulas

para inducir los resultados y de las series notables. Análisis y demostración • Establecer la relación entre casos particulares y generales encontrando las leyes de formación. • Formular estrategias para encontrar la solución de un caso particular y poder generalizarlo.


1

método inductivo I En este capítulo aprenderemos a: • • •

Establecer la relación entre casos particulares para establecer conclusiones y generalizarlos. Interpretar el significado de las leyes de formación. Resolver problemas que involucran el uso de estrategias de calculos matemáticos. Inteligencia inductiva

a inteligencia es una capacidad en una destreza, que se puede desarrollar, pero esas potencialidades se van a desarrollar de diversas maneras dependiendo de las circunstancias en que viva. Por ejemplo, en varios casos se ha dado que los hijos “heredan” las capacidades y actitudes de sus padres, como la aptitud hacia las matemáticas. Por tal motivo no se debe perder la práctica sobre sus cualidades naturales, Debido a eso, todos los seres humanos están capacitados para el amplio desarrollo de su inteligencia, apoyados en sus capacidades y su motivación.

L

Actividad

A un número natural se le denomina "Número Nava", si cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto A = {0;1;2} y es múltiplo de tres. Por ejemplo: 1200  Es un número "Nava"

¿Cuántos números "Nava" de ocho cifras existen? Sug.: Utiliza inducción

m o c t . o p s g o l b . p b . 3 / / : p t t h

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Unidad II

49

Método inductivo I


Números pares: 2; 4; 6; 8; 10; ...; 2n

•

Números impares: 1; 3; 5; 7; 9; ...; (2n-1)

•

Números cuadrados: 1; 4; 9; 16; 25; ...; n 2

•

•

Números cúbicos: 1; 8; 27; 64; 125; ...; n 3 Números triangulares: 1; 3; 6; 10; ... ; n(n + 1) 2 Números potencias de 2: 1; 2; 4; 8; 16; ...; 2 n

•

Números potencias de 3: 1; 3; 9; 27; ...; 3 n

•

En una progresión aritmética: t n = t 1 + (n-1)r

•

Conceptos básicos Razonamiento inductivo Es el razonamiento donde a partir de juicios particulares, se obtiene una conclusión de aplicación general. Por ejemplo, con la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Las conclusiones que se obtienen a través del método inductivo podrían ser falsas, y al mismo tiempo la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez; por eso, este método se considera válido mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto. Este razonamiento se considera válido mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el m odelo.

Inducción sobre operaciones matemáticas

•

s o l p m E

1. Calcular la suma de cifras del resultado de E = (333...33)2 123

j

E

20 cifras

Resolución

Operación • particulares

de una misma naturaleza

•

=

9



9

=

9 ×1

33 2

=

1089



18

=

9×2

333 2

=

110889



27

=

9×3

123

Dos cifras

•

Ley de formación

32

123

Una cifra

Casos

Suma de cifras

Resultado

123

Tres cifras

Conclusión de aplicación general

La suma de las cifras del resultado de elevar al cuadrado un número compuesto por cifras 3 es 9 × (cantidad de cifras 3) que tiene el número.

 La suma de las cifras del resultado de (333...333)2 es: 9 × 20 = 180 20 cifras

Rpta.: 180

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1

2. Hallar la suma de los elementos de la siguiente matriz cuadrada de orden 10. 1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

5 ... 9 10 6 ... 10 11 7 ... 11 12 8 ... 12 13

9 10 11 12 13 ... 17 18 10 11 12 13 14 ... 18 19 Resolución •

Utilizando el razonamiento inductivo: Suma de sus elementos 1 4 4 4 Casos particulares 4 2 de una 4 misma naturaleza 4 4 3

1

1 2

2 3

1 2 3

2 3 4

3 4 5



1



8



27

Ley de formación =

13

=

23

=

33


La suma de los elementos de cada matriz es el número que se encuentra en la parte inferior izquierda elevado al cubo. •

Entonces la suma de los elementos de la matriz será: 1 2 3 4

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

5 6 7 8

... 9 10 ... 10 11 ... 11 12 ... 13 14

. .

103 = 1000

9 10 11 12 14 ... 17 18 10 11 12 13 15 ... 18 19

Rpta.: 1000

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Unidad II

51

Método inductivo I

Conteo de figuras

•

s o l p m

¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?

E

j

1

E

2 3 4

18 19 20

Caso particular

Número de triángulos

Ley de formación

1



1

=

12

2



4

=

22

3



9

=

32

1

1 2


El número total de triángulos que se pueden contar en cada caso está dado por el número de bases que tiene la figura elevado al cuadrado.

 La cantidad de triángulos que piden será: 20 2 = 400 Rpta.: 400 triángulos

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1

2. ¿Cuántas bolitas naranjas se podrán contar en la figura 40?

Fig. 2

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 4

Resolución

Caso particular

Ley de formación

1 #2

Una bolita negra

2

Fig. 1 Tres bolitas negras

2 #3 2

Seis bolitas negras

3 #4 2

Fig. 2

Fig. 3 20

40 # 41

 En la figura 40 tendremos:

=820 bolitas negras

2 Rpta.: 820 bolitas

Recuerda que...? Los números triangulares son: 1; 3; 6; 10;     1#2 2

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2#3 2

3 #4 2

4 #5 2

...

...

; n  n(n + 1) 2

Unidad II

53

Método inductivo I

Síntesis teórica

RAZONAMIENTO INDUCTIVO I

C A S O (1)

C A S O (2)

C A S O

C A S O (3)

Juicios particulares de una misma naturaleza

(n)

•••


Analizar tratando de encontrar una ley de formación (secuencia, formación recurrente)

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10 x 5 50

3. Calcular la suma de todos los elementos de la siguiente matriz:

1. Complete: Se quiere hallar el resultado de: E

. 93 99)2 = (1 994 992..4

1 3 5 7

80 cifras

Indique los tres primeros casos particulares de inducción.

. . . 19

• Caso (1) : • Caso (2) : • Caso (3) :

2. Relaciona correctamente ambas columnas colocando en el paréntesis la letra que corresponde. Para hallar la suma de cifras del resultado de: M=(4444 ... 444)× 25

) 44 × 25

B. Caso (2)

(

) 44 × 2

C. Caso (3)

(

) 4 × 25

D. El valor de "M"

(

) 42 × 25

(

) 444 × 25

. . . 21

. . . 23

7 9 11 13

9 11 13 15

... ... ... ...

19 21 23 25

. . . . . . . . . 25 27 ... 37

1 2 3

400 cifras

(

3 5 5 7 7 9 9 11

4. Halle el total de triángulos en la siguiente figura:

14243

A. Caso (1)

1

4 9

10

5. Determine la suma de cifras del resultado de: (999 ... 995)2 20 cifras


1. Se quiere saber ¿cuántos palitos se usaron para construir el siguiente castillo?

2. Del enunciado anterior, coloque (V) si es verdadero y (F) si es falso para cada uno de los enunciados siguientes: • El número de palitos en el caso (3) es 18. ...................................................... ( )

• Los resultados parciales obtenidos en los

tres casos son potencias de tres ......... ( ) • La cantidad total de palitos en el problema

es el triple de un número triangular. .... ( )

1

2

3

4

28 29

30

Utilizando el razonamiento inductivo, el número de palitos que se pueden contar en el caso (1) es: , y en el caso (2) es:

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3. Se quiere calcular el resultado de la siguiente operación: M= 20 # 21 # 22 # 23 + 1 Utilizando el método inductivo, relaciona correctamente ambas columnas:

Unidad II

55

Método inductivo I

A. Caso (1)

( )

B. Caso (2)

( )

C. Caso (3)

( )

1#2#3#4+1

D. El valor de

( )

2 # 3 # 4 # 5 +1

"M"

( )

1#2#3

+

1

461

820

( )

Fig. 1

a) 420 d) 400

4. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura 20?

a) 240 d) 190

Fig. 2

Fig. 3

b) 240 e) 520

c) 100

9. Calcule el número de rombos con un solo cuadrado pequeño en su interior, que se forman al unir los centros de todos los cuadrados en la figura siguiente:

Fig. 3

b) 210 e) 200

c) 420 1

5.

Fig. 2

3 #4 #5 #6 + 1


Fig. 1

8. ¿Cuántos palitos serán necesarios para formar la figura en la posición 10, siguiendo la secuencia mostrada?

¿Cuántos palitos se utilizaron para formar la Fig. 50?

2

3

10 102 103

a) 2500 d) 3400

b) 2550 e) 3100

c) 2600

10. Calcular el valor de "S": "n" sumandos

6 4 4 4 4 44 7 4 4 4444 8

Fig. 1

a) 5100 d) 2550

Fig. 2

Fig. 3

b) 1225 e) 2500

c) 2450

5 # 7 + ... + n S = 1 # 32+ 3 2# 5 + 2 2 1

+

a) 1 d) n2

2

+

3

+

... + n

b) 2n e) n

c) 4

2 6.

Hallar la suma de las cifras de: E = (333 ... 334)2

11. Hallar el resultado de: 3

14243

21 cifras

a) 130 d) 129 7.

b) 127 e) 128

c) 125

998 # 999 # 1000 + 999

a) 1000 d) 999

b) 998 e) 900

c) 27

12. ¿Cuántas bolitas blancas hay en la posición 20?

Hallar la suma de cifras del resultado de:

1010101 ... 101 × 35 41 cifras

a) 186 d) 178

b) 168 e) 187

Fig. 1 c) 288

a) 31 d) 13

Fig. 2 b) 21 e) 190

Fig. 3 c) 20

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13. Calcular el valor de:

17. En la siguiente secuencia, hallar el total de cuadriláteros en la figura 41.

20 20+19 19+18 18+17 3 3+2 2+1 1+1 2

a) d)

21

b) 19

20

20

20

e) 19

Fig. 1

c)

21 22

a) 1600 d) 3162

1 1 #2 a)

+

1 2 #3

+

1 3 #4

m

+

1 4 #5

+

... +

1 m # (m + 1)

2 3 4

3 4 5

4 ... 20 5 ... 21 6 ... 22

. . .

. . .

b) 8000 e) 4000

3+2 2+1 1+1 2

n n+1

1 b) n + n

c) n + 1

d) n + 2

a)

e) n + 1 Aplicación cotidiana

c) 16 000

19. Un papel se dobla de la siguiente forma:

16. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura 20?

Fig. 1 a) 2520 d) 2250

Fig. 2 b) 2870 e) 2500

1º

1

2º

3

3º

7

nº

?

. . .

Fig. 3 c) 2780

¿Cuántos dobleces tendrá la enésima vez? a) 2n-1 d) 2n-3

Central: 619-8100

n+3

n-1

n+2

20 21 22 23 ... 39 a) 1800 d) 2000

c) 3362

3

m+2

15. Hallar la suma de los elementos de la siguiente matriz: 1 2 3

b) 2500 e) 3321

c) m + 1

m m-1 e) m m+2 b)

m +1 d) m + 2 m+1

Fig. 4

(n+1) (n+1)+n n+(n-1) (n-1)+(n-2)

14. Calcular "E": E=

Fig. 3

18. Calcular:

17

21

Fig. 2

1

b) n2+1 e) 2n+2

c) 2n+1

Unidad II

57

Método inductivo I

20. En la clase de Física, el grupo de José soltó una pelota de diferentes alturas y midió la altura del primer rebote. Registraron sus resultados en la siguiente tabla: Altura de la 120 100 160 40 200 80 caída (cm) Altura del primer

90

74 122

30 152

Haz una conjetura basada en sus hallazgos. Después predice la altura del primer rebote para una caída de 280 cm. a) 270 cm d) 210

b) 265 e) 215

c) 220

59

rebote (cm)

Conceptos básicos 1. En el siguiente arreglo numérico, hallar "x" 1

2

3

Calcular:

4

5 ... 18 19 20 3 5 7 9 ... 37 39 8 12 16 ... 76 20 28 ... 48 ...

+2

1

+4

+6

.

.

144444424444443

20 Operadores

4. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?

x

1

2. Antes del partido de fútbol entre Universitario de Deportes y Alianza Lima, cada uno de los once jugadores de un equipo estrechó la mano a cada jugador del otro equipo. ¿Cuántos apretones de mano hubo?

2 3 n

3. Se define el operador matemático " mediante la siguiente regla: a2+2a+1

" en Z+

= a 2+2a+2

1

2

3

n+1

n

5. Si: 2×4 ×6 ×8 × ... ×1998 = hallar: a+b+c

4

...abc ;

18:10:45

1. Se quiere saber la suma de las cifras del resultado de : R = 99999 ... 99×8 1442443

40 cifras Utilizando el razonamiento inductivo, el resultado en el caso (1) es: , y en el caso (2) es:

2. Del problema anterior, coloque (V) si es verdadero y (F) si es falso en cada uno de los anunciados siguientes: • El resultado en el caso (3) es 20 ...........( ) • Los resultados parciales obtenidos en los

tres primeros casos son múltiplos de 9 ( ) • La suma de cifras del resultado de efectuar

la expresión "R" es 360 .......................( )

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3. Se requiere calcular el total de triángulos que hay en la siguiente figura: 2

5

4

3

8. Hallar la suma de cifras del resultado de: 1010101... 101×15 1442443

41 cifras

6

1 7

1

9. Calcular la suma de las cifras del resultado de: M = 999... 999 × 555... 555 14243

14243

20 cifras

20 cifras

10. Calcular la suma total de todos los elementos de la siguiente matriz: Utilizando el método del razonamiento inductivo, relaciona correctamente ambas columnas:

A.

( ) Caso (1)

B.

( ) Caso (3)

2 4 4 6 6 8 8 10 . . .

6 8 10 12

8 10 12 14

... 20 ... 22 ... 24 ... 26 . .

20 22 24 26 ... 38

11. Hallar la suma de cifras del resultado de:

C.

( ) Caso (2)

D.

( ) Total de triángulos

A = 666... 666 × 35 14243

"m" cifras

12. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

E. 140 F. 70

4. Hallar la suma de cifras del resultado de: (111111111)2

5. ¿Cuántos triángulos habrán en la figura 20?

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 50?

20 19

18

4321

13. Si: F(1)  1 F(2)  1+2+2+3 F(3)  1+2+2+3+3+3+4+4 Calcular: F(15)

14. Calcular la suma de las cifras del resultado de: P = 12345641976 + 12345

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

15. ¿Cuántos triángulos habrán en la figura mostrada?

7. ¿Cuántos palitos hay en la figura mostrada? 1 2 3 4

n2+1 n2+2

1 Central: 619-8100

2

3

4

19 20

n2+3

Unidad II

59

Método inductivo II

método inductivo En este capítulo aprenderemos a: • •

Establecer relación entre los casos particulares para establecer una conclusión de apreciación general. Resolver problemas que involucran el uso de estrategias de cálculo para construir el triángulo aritmético de Pascal.

Triángulo de Sierpinski

E

L triángulo de Sierpinski es un famoso conjunto geométrico introducido por el célebre matemático polaco Waclack Sierpinski (1882-1969). Se trata de un fractal determinístico que se puede generar de diversas formas. La más usual consiste en partir de un triángulo interior (considerado como conj unto abierto). Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente (formalmente el triángulo de ierpinski S se define como la intersección de los co njuntos cerrados que van apareciendo en cada etapa). Triángulo de Pascal

En el triángulo de Pascal aparecen los números triangulares (1;3;6;10;...); tetraédricos (1;4;10;20;35;56;...); los números de Fibonacci (1;1;2;3;5;8;13;21;...), etc. Se han estudiado multitud de propiedades numéricas del triángulo, criterios de divisibilidad, algoritmos para calcular restos al dividir por un número concreto, etc. El triángulo debe su nombre al célebre matemático Blaise Pascal (1623-1662) quien estudió algunas propiedades del mismo, siendo más importante el método utilizado para demostrar una de ellas que la propiedad en sí. Pascal utilizó aquí por primera vez de forma clara y precisa el mét odo de "inducción matemática". (Boyer: Historia las de Matemáticas). No obstante hay que re cordar que el t riángulo 1 de Pascal se suelen 1 1 citar al matemático 1 2 1 chino Y ang Hui, del siglo 1 3 3 1 XIII, conocido por haber estudiado 1 4 6 4 1 algunas de sus propiedades, y al matemático persa Omar Khayyam, 1 5 10 10 5 1 del siglo XI-XII, cuyo descubrimiento del triángulo se presume que 1 6 15 20 15 6 1 fue independiente del descubrimiento por parte de los matemáticos 1 7 21 35 35 21 7 1 chinos.

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2

Saberes previos • •

El método del razonamiento inductivo (de casos particulares generalizamos aplicaciones) El triángulo de Pascal se construye así: 1 1 1 1 1

•

1

1 2

3 4

En línea recta el resultado es el mismo número de arriba

-

3 6

1

1

La suma de dos dígitos adyacentes es el de abajo. 3 3

-

1 4

+ 6

1

Palíndromos

Conceptos básicos Conteo de palabras

 o l p m

1. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "REGLA"?

E

R

j

E

E

E

G

L

A

G

L

A

G

L

A

L

A

A

Resolución

E

Por el razonamiento inductivo: -1 •

Caso (1) : Una letra

o l p m j

E

Una forma = 20

R

-1 •

Caso (2) : Dos letras R

Dos formas = 21

E

E

-1 •

Caso (3) : Tres letras R E

G

•

Cuatro formas = 22

E

G

G

Como "REGLA" tiene 5 letras, entonces habrán 2 5-1=24= 16 formas En general, si tiene "n" letras entonces habrá 2 n-1 formas.

Central: 619-8100

Unidad II

61


2. ¿De cuántas formas maneras diferentes se puede leer la palabra "REGLAS"? R

R

E

triángulo aritmético de Pascal. R1 R1

E

E

G

E1

G

L A

Resolución • En este caso utilizaremos el método del

L A

L3

A

S

E1

G3

L

A

S

E2

A3

S

G3

L3

L6 A9

S12

A9

A3 S 12

S18

 En total hay: 12+18+12=42 formas diferentes de leer reglas 3. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "TRILCE"? T

T

T

R

T

T

R

I

R

T

T

R

I

L

I

R

T

T

R

I

L

C

L

I

R

T

R

I

L

C

E

C

L

I

R

T

Resolución • Por el método del triángulo aritmético:

T1

T

1

T1

R

3

T1

R2

I7

R2

T1

T1

R2

I4

L 15

I4

R2

T1

T1

R2

I4

L

C3

L8

I4

R2

T1

R2

I4

L8

C1

E 63

C16

L8

I4

R2

8

T1

T1

La palabra "TRILCE" termina en "E" por lo tanto hay 63 formas de leer dicha palabra.

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

2

Rutas

s o l p m E

j

E

¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de "A" hacia "B" utilizando el camino más corto siempre? A

o l p m

B

E

Resolución

j

•

De forma análoga que el conteo de palabras podemos utilizar el mismo método.

•

Cambiemos de posición la figura:

A 1

P

Q

1

1

3

3

V Y

Para ir de: A  S, hay dos posibilidades (1+1)

•

Para ir de: A  R; hay una posibilidad, lo mismo de: A  T

•

Para ir de: A  V, hay tres posibilidades (1+2)

X

M O

B

•

4

Z

N

Central: 619-8100

1

W 6

4

Para ir de: A  P, hay una posibilidad, lo mismo ocurre para ir de: A  Q

T1

S

U

• 1

2

1

E

Entonces se puede aplicar el mismo método que para el conteo de palabras.

Unidad II

63


Síntesis teórica EL

MéTODO INDUCTIVO EN TRIáNGULO DE PASCAL

Conteo de palabras

Conteo de rutas

como

como

M

M A

A

M A

R C

O

C

O

O

B

De manera practica utilizaremos el triángulo aditivo de Pascal 10 5 50

Conceptos básicos 1. Se quiere saber de cuántas maneras se puede 2. Coloque (V) si es verdadero y (F) si es falso en formar la palabra "COLEGIO" en el siguiente cada uno de los siguientes enunciados: arreglo: • El triángulo de Pascal fue elaborado antes C C C que el triángulo de Sierpinski .............( ) O O • En el triángulo de Pascal se pueden L observar los números triangulares .......( ) E

G I

E

G I

O

I

O

•

G I

O

La palabra José se puede leer de cinco formas en el siguiente arreglo: .................. J J O

O

S

Complete: •

"COL" se puede leer de: formas.

•

"COLE" se puede leer de: formas.

•

"COLEGIO"

se puede formas.

S E

E .....................( )

leer

de:

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3. Relaciona correctamente ambas columnas colocando en el paréntesis el número que corresponde. Se quiere ir del punto "A" hacia el punto "Q" utilizando el camino más corto en cada recorrido.

2

A

M S R

Q

( ) 5 caminos

M (B) Total de caminos de: A  R (C) Total de caminos de: A  S (D) Total de caminos de: A  Q (A) Total de caminos de: A

( ) 6 caminos ( ) 27 caminos ( ) 2 caminos ( ) 9 caminos ( ) 29 caminos

4. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "MARCO"? M

M

A

5. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "OPCIóN"? O

M

P

A R

C

O

C C

O

N

•

1. Complete: •

U

C

Y •

N

C

Y

Y

De "P" a "Q" hay caminos en total utilizando siempre el camino más corto.

O N

O N

N

En el siguiente arreglo "ROSA" se puede leer de formas diferentes R

O

S

O

S

S

A

A

A

2. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso en cada uno de los siguientes enunciados, si se quiere saber de cuántas formas se puede leer la palabra "EDILBERTA": E D

I

P

I

O N

A

L

I

O

En el siguiente arreglo "LUCY" se puede leer de formas L

C

I

O


C

I

O

P

D

I L

I

L B

E

Q

R

E

R

T

R

T

A

Central: 619-8100

Unidad II

65


• "EDI" se puede leer de 4 formas ..........( ) • "EDIL" se puede leer de 8 formas .........( )

6. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer "EMILIO"? E

• "EDILBERTA" se puede leer de 30 formas

M

..............( )

I

• José quiere ir de su casa al colegio utilizando

siempre el camino más corto en su recorrido.

I

L

3. Relaciona correctamente ambas columnas colocando el número que corresponde en cada paréntesis.

M I

L I

L I

O

a) 32 d) 16

L

I O

b) 18 e) 20

c) 24

7. ¿De cuántas maneras se puede leer "MAYRA"? M

M A

Casa

Y

Q

P

A Y R

R A

Colegio (A) Total de caminos de

la casa al colegio ( ) Diez caminos (B) Total de caminos de la casa al colegio sin ( ) Dos caminos pasar por "P". (C) Total de caminos de la casa al colegio sin pasar ( ) Cuatro caminos por "P" ni "Q"

4. ¿De cuántas maneras se puede leer "PABLO"? P

B L O

L

a) 10 d) 16

L

A

O

O

S

R O

S

A

A

O

S A

A

b) 20 e) 16

c) 18

9. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "PERRO"?

V A

O

c) 20 a) 13 d) 12

O

O

b) 15 e) 10

c) 8

F

I

A

I

E

R

R

R

b) 38 e) 52

R

10. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "FIERRO"?

A

O

R O

V

R

E

R

O

A

R a) 42 d) 29

R

E

N

O

O

L

5. ¿De cuántas maneras se puede leer NAVARRO?

R

R

P

b) 14 e) 15

A

8. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer "ROSA"?

B

O

V

c) 6

A B

O

b) 8 e) 16

a) 19 d) 24


A

a) 4 d) 12

A

O

O

c) 40

a) 28 d) 31

E

R O

E

R O

b) 29 e) 32

R O

O

c) 30

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11. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "PARRILLA"?

15. ¿De cuántas maneras se puede ir de "A" a "B" sin

P

A R I

I

L A

L A

a) 98 d) 62 •

R I

L A

A

A R

b) 88 e) 90

C

I L

A

2

pasar por "C"? (solo se permiten traslados  

L A

B

A c) 44

En cada uno de los siguientes problemas(12;13; 14) se pide calcular el número de caminos diferentes que se pueden ir de "A" hacia "B" (solo se permiten traslados )

a) 50 d) 35

b) 55 e) 65

c) 45

16. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer

la palabra "OSO"? O

S

S O

12.

A

a) 2 d) 6

b) 4 e) 10

c) 8


la palabra "EMI"? B

a) 28 d) 10 13.

b) 48 e) 25

c) 35

A

E

M

I

M

E

M

I

M

I

M

I

M

E

M

I

M

I

M

I

M

E

M

I

M

E

a) 28 d) 24

b) 32 e) 20

c) 30


"ROMA"? B

a) 62 d) 56

b) 60 e) 48

R

R O

c) 25

R

O

M O

R 14.

R a) 30 d) 35

M

M

R O

M O

R

R O

A

O

A

R

R O

R b) 28 e) 26

R c) 32

B

a) 60 d) 64

Central: 619-8100

b) 72 e) 124

c) 62

Unidad II

67


Aplicación cotidiana 19. Si José quiere ir donde está Manuel pero

•

En el siguiente circuito, José se encuentra en el punto "A" Rommel en el punto "B" y Manuel en el punto "C", entonces: A

sin cruzarse con Rommel, ¿de cuántas rutas diferentes podrá emplear? (solo se permiten traslados   a) 160 d) 180

b) 152 e) 164

c) 132

20. Si Rommel quiere ir donde está Manuel,

¿cuántas rutas diferentes podrá emplear? (solo se permiten traslados   B

a) 8 d) 16

b) 6 e) 18

c) 20

C

Conceptos básicos 1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "PERU"?

B

U R

E E R U

P

E

R U

a) 16 d) 24

U R

A a) 51 d) 53

U

R U

U

b) 15 e) 12

c) 20

b) 46 e) 56

4. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "DIOS" en el siguiente arreglo? D I O S D I O S D I O S 200

2. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "LLANERO"? L

A

L N

A E

L N

A E

R

N

A E

R O

a) 96 d) 100

L

L

FILAS

A

N

a) 1648 d) 1200

R O

b) 106 e) 104

c) 48

b) 1600 e) 1588

c) 1708

O

c) 112

5. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "COMPUTADORA"? C OM OM P M P U P U T U T A T A D

3. Si una persona desea viajar de "A" a "B" por los caminos representados por las líneas solamente puede desplazarse hacia arriba o hacia la derecha, ¿de cuántas maneras puede hacer dicho viaje? a) 290 d) 260

P U T U T A T A D A DO DO R O R A

b) 280 e) 252

c) 256

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1. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "GILDER"? G

R

L

L

D

D

E

E

R

A

I

L E

Por cuántos caminos diferentes se pueden ir de "A" hacia "B" (solo se permiten traslados )

6.

I D

•

D E

R

E

R

R

R B

2. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "BREÑA"? 7. B B R R R E

E

Ñ

2

A

E

Ñ

A

Ñ

A

B

3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "PRO"? 8. Sin pasar por "M" P R O P R O P R O P R O P R O

A

M B

4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "CHORRILLOS"? C

C H

O

R

A

C

H

H

O

R

I

Q

O

R

I

L

R

L

L

O

S

P

I

L O

O

S

O

A

L

A O

Central: 619-8100

A

C

A

10. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "ROMA"? A

M

L A

A O

B

S

5. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "CALLAO"?

L

9. Sin pasar ni por "P" ni por "Q"

O

O

R

A

M O

R

M O

R

O

R

R

Unidad II

69


11. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "SALAVERRY"? S

A

14. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "CHANCHAMAYO"?

S

A

L

A

V E

C

A

L

N

Y

M

Y

O

V

I

V O

S

M A

Y O

V

V O

M O

15. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "ESTADIO"?

L I

A

A

12. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "OLIVOS"?

I

N

C

A

R

L

A N

H

E

R

H

C

V

E

Y

A

C

E

S

O

S

T

S T

T

A 13. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "COMAS"? C

M

C

O

M

A S

D I

A D

I

O

D I

O

I

O

C

O

M

A S

S

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series notables I En este capítulo aprenderemos a: • •

Resolver problemas que implican el cálculo del valor de una serie. Interpretar el significado de serie y de sucesión.

La Pascalina

E

l inventor y pintor Leonardo Da Vinci (1 452 - 1519) trazó las ideas para una sumadora m ecánica. Ideas iniciales de Leonardo da Vinci para una sumadora mecánica siglo y medio después, en 1642, el filósofo y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) por fin inventó y construyó la primera sumadora mecánica. Se le llamó Pascalina, y funcionaba como una máquina compuesta por varias series de ruedas dentadas accionadas por una manivela. La máquina funcionaba por el principio de adición sucesiva; mediante otro procedimiento, incluso restaba. Se introduce así el concepto de saldo o resultado acumulativo, que se sigue usando hasta nuestros días: la máquina proporciona de manera automática (con el giro de la manivela) el resultado, dispuesto para leerse y sin participar ningún operador en el proceso de toma de decisión (compárese con la regla de cálculo, donde e l operador ha de decidir dónde coloca la pieza m óvil de la regla). La máquina de Pascal efectúa el cálculo de forma mecánica, ofreciendo el resultado final. Originalmente se desarrolló la máquina para sim plificarle el trabajo al padre de Pascal, intendente de finanzas en Rouen, en la recolección del impuesto. A pesar de que Pascal fue enaltecido por toda Europa debido a sus logros, la Pascalina resultó ser un desconsolador fallo financiero, pues para esos momentos resultaba más costosa que la labor humana para realizar los cálculos aritméticos.

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Unidad II

71

Series notables I

Saberes previos Sucesiones notables

•

1;2;3;4; ...; n

 Sucesión de ...............................................................

•

2;4;6;8; ...; 2n

 Sucesión de ................................. ..............................

•

1;3;5;7;9; ...; (2n-1)

 Sucesión de .................................................................

•

1;4;9;16;25; ...; n2

 Sucesión de .................................................................

•

1;8;27;64;125; ...; n3  Sucesión de .................................................................

Término enésimo de una sucesión •

De primer orden: 5; 8; 11; 14;...;t n



t n = t 1 +(n - 1)r

1 4 2 4 3

t 1 : n : r :

Primer término Número de términos Razón de primer orden

t n=5+(n - 1) ×3 t n=5+3n - 3

t n = 3n +2

Conceptos básicos Serie numérica



Se denomina serie numérica a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Al resultado de la adición si es que existe se le denomina "suma o valor de la serie". o l p m

1. Tenemos la siguiente sucesión:

E

j

2; 4; 6; 8; 10; ...; 2n

Recuerda que no es lo mismo serie que sucesión

E

La serie asociada será: 2+4+6+8+10+...+(2n)

Se observa que el término enésimo de la sucesión dada es : t n=2n, podemos escribir la serie dada de forma abreviada empleando la notación del sigma () que denota sumatoria. n

/ (2n) n=1

o l p m E

j

E

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Principales series notables •

Suma de los "n" primeros números enteros positivos n k

= 1+2+3+4+...+n= n(n + 1) 2

k=1

s o l p m

1. Calcular la siguiente suma: S = 1+2+3+4+...+20

E

j

E

Resolución S = 1+2+3+4+5+ ...+20 10

S=

Recuerda que para poder utilizar la fórmula debe empezar en 1 la serie.

En este caso "n" es 20

20 (21) 2 = 210

l E p m j

 S = 210

E

2. Calcular el valor de "P" P = 5+6+7+8+...+40

Resolución

En este ejercicio observamos que no empieza en 1 entonces completamos, pero al final quitamos

Quitamos

Agregamos

6 4 44 7 4 44 8

6 4 44 7 4 44 8

(1 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 40 P = 1 4+424+4 3 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 44 3 - 1 4 44 2 4 44 3 4 #5 10 = 2

40 #41= 820

2

P = 820 - 10

 P = 810 3. Calcular la siguiente suma: Q = 5+10+15+20+...+50

Resolución Q

=

5^1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10h  Q =5 14 44 4 4 4 2 4 4 4 4 44 3

 Q = 275

5 # 11ON KJ10

Factorizamos, ya que

K K

2

O O

L

1

P

todos son múltiplos de 5

4. Calcular: T = 0,1+0,2+0,3+0,4+...+2

Resolución 1 20 # 21

T = 0,1+0,2+0,3+0,4+...+2

T=

T = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20 10 10 10 10 10

 T = 21



T=







10

c

2

m

= 21

1 ^1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20h 10

Central: 619-8100

Unidad II

73

Series notables I

•

Suma de los "n" primeros números pares n

/ 2k = 2+4+6+8+...+2n= n(n+1) k=1

s o l p m

1. Calcular la siguiente suma: S= 2+4+6+8+...+20

E

j

E

Para encontrar el número de términos debes hacer: 2n = 20  n = 10 La cantidad de términos en este caso es la mitad del último término.

Resolución 2n=20

n=10

S=10×11

 S=110

l E p m E

2. Calcular el valor de la siguiente suma: P = 8+10+12+14+...+20

Resolución

Agrego Quito 64 4 4468 8 + 10 + 12 1 + ... 47 4468) ( 6 4+ 4+ 44 +7 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3 14 4 2+ 43

10×11=110

3×4=12

Para poder utilizar la fórmula la suma debe empezar en 2, de caso contrario se deberá completar.

P= 110 - 12  P=98

RReeccuueerrddaaqquuee......? S = 2+4+6+8+...+2n

S = 2^11 4+424+ 34 + 4 + ... +4n3h 24 4 44 4 44 S=2×

n(n + 1) 2

S = n(n+1)

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•

Suma de los "n" primeros números impares n

(2k - 1)=1+3+5+7+...+(2n-1)= k=1

o l p m

1. Calcular el valor de la siguiente suma:

E

j

E

n2

2. Calcular:

Q= 1+3+5+7+9+...+39

P = 2+6+10+14+18+...+98

Resolución

Resolución

•

•

Hallando el número de términos: 2n - 1=39 n = 39 + 1

R= 2 (11 4+434+ 5 4+472+494+ ...4+44 493 ) 44 44 2

n=20

2(25 )

2

•

Factorizando 2 tenemos:

•

Calculando la suma: Q=202=400  Q=400

Hallando "n" 2n - 1=49

n=25

 R=2.(25)2 =2×625=1250 Para determinar la cantidad de términos, el último termino se iguala a: 2n - 1

•

 R= 1250

Suma de los "n" primeros números cuadrados perfectos n k2

k=1

o l p m E

j

E

=12+22+32+42+...+n2= n(n + 1) (2n + 1)

6

1. En el siguiente arreglo triangular, calcular la suma de las diez primeras filas: F(1)  1 F(2)  2 2 F(3)  3 3 3 F(4)  4 4 4 4 .. .. . F(10) 

..

..

..

Resolución •

Sumando por filas: F(1)  1 F(2)  2 2 F(3)  3 3 3 4 F(4)  4 4 4 .. . F(10)

•

1 4 9

16

= 12 = 22 = 32 = 42

100 = 10 2

La suma será: S=

Central: 619-8100

2

+

22

14444

32

44

44444

21

=

... + 102

10 # 11 21# 3 = 6

=385  S=385

Unidad II

75

Series notables I

•

Suma de los "n" primeros números cubos perfectos n

3 3 3 3 3 k3 =1 +2 +3 +4 +...+n = ; n (n + 2 k=1

o l p m E

j

1)

2 E

1. Calcular la siguiente suma: S= 13+23+33+43+...+103

E

o l p m

Resolución S=

S=

3

+

23 + 33

144 44

c

... + 103

424 4 4 4 4 43 10 términos

10 #11 2

2

m

 n=10

E

= 3025  S=3025

j

E



Serie aritmética Es la adición indicada de los términos de una progresión aritmética.

s o l p m

1. Calcular el valor la siguiente serie: S= 4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34

E

j

E

Resolución

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º S = 4+7+10+13+16+19+22+25+28+31+34 3

2 Invirtiendo: S = 34+31+28+25+22+19+16+13+10+7+4 1

Sumando: 2S = 38+38+38+38+38+38+38+38+38+38+38

144444444424444444443

+

o l p m E

j

E

11 sumandos Primer sumando

Último sumando

Luego: S= (4 + 34) 11 2

Número de términos Constante

2S = 38(11)  S = 38(11) = (4 + 34) 11  S=209 2

2

2. Calcular el valor de la siguiente serie: S= 2+6+10+14+18+...+38

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Resolución • Cálculo de la cantidad de sumandos:

P.A. : 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; ... ; 38 cuyo término enésimo es  •

Luego: 4n - 2=38 

•

De acuerdo a esto planteamos: 1º 2º 3º 4º 6 10 14 S= 2

t n=4n - 2

n=10

5º 18

6º 22

7º 26

8º 30

9º 34

10º 38

40 40 40 40 40 Observa que en esta oportunidad hemos procedido de manera distinta al ejemplo anterior pues, hemos formado parejas y como eran 10 sumandos se formarán cinco parejas siendo la suma de cada una de ellas 40. Luego: S = 40 + 40 + 40 + 40 + 40 (cinco sumandos) •

S = 40(5)

: S = (2 + 38) (10)



2

S = t1+2 tn n

Primer sumando Último sumando

Así: S= (2 + 38) (10) 2

De los ejemplos (1) y (2) podemos concluir que para hallar el valor de una serie aritmética finita basta con emplear:

Donde: t 1: Primer término t 2: Último término t 3: Número de términos

Número de sumandos Constante

 S=200 3. Hallar el valor de la siguiente serie: S = 4+7+10+...+61

Resolución • La sucesión que determina la serie es:

b = 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; ... ; 61 t n=an+b

a = +3 +3 +3

t n=3n+1

•

Calculando el número de términos: 3n + 1 = 61

•

n=20

Hallando el valor de la serie:

S = c 4 + 61 20 = 650 2

Central: 619-8100



S=650

m

Unidad II

77

Series notables I

Síntesis teórica

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10 x 5 50

1. Coloque "V" si es verdadero y "F" si es falso en cada una de las siguientes proposiciones • S = 5+6+7+8+...+20=

20 # 21

1

......................................................................................

( )

...................................................................................... (

)

2

• S2= 1+3+5+7+9+...+17= 172

• S3= 12+22+32+42+...+202= 2870 .................................................................................. ( ) • S4= 2+4+6+8+...+20= 420

......................................................................................... ( )

2. Calcular el valor de "E": 4. Hallar el valor de la siguiente serie: S = 53+6 3+7 3+...+123

E = 1+4+9+16+25+...+400

3. Determinar la cantidad de esferas que hay en el arreglo, si tiene diez filas. F(1) F(2) F(3) F(4)

5. Calcular: 0,2+0,4+0,6+0,8+...+10

   

F(10) 

Conceptos básicos Resolución de problemas •

6.

Calcular la suma de los elementos de las siguientes series (ejercicios: 1;2;3;4;5;6;7)

1. M=1+2+3+4+...+40

a) 880 d) 400

b) 820 e) 1640

a) 806 d) 802 7.

c) 440

S=0,01+0,02+0,03+...+4

b) 804 e) 800

c) 801

T=2+6+10+14+...+38

a) 220 d) 190

b) 200 e) 180

c) 210

2. N=2+4+6+8+...+60

a) 660 d) 960

b) 936 e) 390

c) 930

12+22+32+42+...+10 2 22+32+42+...+102

3. P=1+3+5+7+9+...+49

a) 625 d) 975

b) 725 e) 1025

c) 825

5.

b) 2870 e) 1970

32+4 2+.....+10 2 42+...+102

4. Q=1+4+9+16+...+361

a) 3690 d) 2470

8. Calcular la suma total del siguiente arreglo:

c) 2740

.. . 102

a) 4525 d) 4225

b) 1225 e) 3025

c) 2025

R=1+8+27+64+......+9261

a) 56 245 d) 54 221

Central: 619-8100

b) 37 241 e) 49 241

c) 53 361

Unidad II

79

Series notables I

9.

Calcular la suma del siguiente arreglo de 20 filas: F(1)  1 F(2)  3 5 F(3)  7 9 11 F(4)  13 15 17 19  F(20)  a) 44 200 d) 44 000

b) 44 045 e) 44 100

c) 45 040

10. Calcular la suma de los elementos del siguiente

arreglo de 10 filas: F(1)  1 F(2)  2 2 F(3)  353 F(4)  4 5 54 F(5)  5 5 5 5 5  F(10)  a) 288 d) 291

b) 289 e) 292

b) 951 e) 954

b) 1540 e) 1640

c) 290

c) 952

d) 63

b) 68 e) 60

b) 169 e) 144

c) 361

Aplicación cotidiana

15. Un alumno recibe S/.1 por el primer problema resuelto, S/.4 por el segundo, S/.9 por el tercero y así sucesivamente. Si en total son 30 problemas y resolvió todos, ¿cuánto obtuvo de dinero en total? b) 9455 e) 7899

a) 292 d) 288

c) 10 500

b) 294 e) 296

c) 290

17. Por motivos de una fiesta infantil se repartieron un total de 1600 juguetes entre 25 niños, dándole a cada uno dos juguetes más que el anterior. ¿Cuántos juguetes se les dio a los 15 primeros? a) 800 d) 810

b) 820 e) 560

c) 290

18. Un abuelo tiene 20 nietos y repartió cierta cantidad de caramelos de la siguiente forma: Al primero le dio 10, al segundo 12, al tercero 14 y así sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelo ha tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 20 caramelos? a) 30 d) 28

b) 29 e) 32

c) 31

19. ¿Cuántas bolitas blancas hay en la figura 20? c) 1620

13. Hallar el valor de "x+y+z", si:  1+2+3+4+...+x=91  1+3+5+7+...+y=289  12+22+32+...+z2=2870 a) 66

a) 289 d) 225

16. Cada día Sebastián aprende una palabra más de las que aprendió el día anterior. Si el primer día aprendió cuatro palabras, ¿cuántas palabras habrá aprendido a pronunciar en total, hasta dentro de 20 días más?

12. Calcular la suma total: F(1)  1 F(2)  2 3 F(3)  4 5 6 F(4)  7 8 9 10 F(5)  11 12 13 14 15  F(10)  a) 1860 d) 1710

1+3+5+7+...+(2x+3) = 7+14+21+...+49

a) S/. 8357 d) 12 144

11. Calcular la suma de los elementos del siguiente arreglo de 20 filas: F(1)  1 F(2)  3 2 F(3)  523 F(4)  7 2 24 F(5)  9 2 2 2 5  F(10)  a) 950 d) 953

14. Hallar el valor de "x" y luego calcular: (x+3)2, si:

(1)

a) 211 d) 214

(2)

(3)

b) 210 e) 221

c) 209

c) 65

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20. Dos hermanas: Patty y Paola iniciaron ante la proximidad del verano un régimen de dieta. Patty lo lleva a cabo comiendo 13 duraznos cada día, mientras que Paola la lleva a cabo comiendo un durazno el primer día, dos en el segundo, tres en el tercero y así sucesivamente, la dieta terminó cuando ambas habían comido la misma cantidad de duraznos. Si la dieta se inició el 15 de noviembre, ¿qué día terminó? 10 de diciembre d) 9 de diciembre

b) 11 de diciembre e) 12 de diciembre

a)

c) 8 de diciembre

Conceptos básicos 1. Si la sucesión: x ; 14; (y+1); 24; ...; es una 4. En la sucesión de figuras mostradas, determine la suma de los números ubicados en los progresión aritmética; entonces, el valor de casilleros sombreados de la figura 42. (2x+3y) es: a) 99 d) 210

b) 577 e) 321

c) 216 2

2. En el mismo número de días se sacan de dos cilindros "A" y "B", ciertas cantidades de vino. De "A" se sacó el primer día 5L, el segundo 10L, el tercero 20L, etc. De "B" se sacó el primer día 2L, el segundo 4L, el tercero 8L, etc. Si en el último día se sacaron de la vasija "A" 96L más que la "B", calcular el total de litros sacados de uno de los cilindros. a) 336 d) 345

b) 136 e) 120

c) 315

3. Determine la suma de las cifras del número natural "n" sabiendo que la suma de los números naturales desde el 3 hasta el "n", es igual a un número de tres cifras iguales. a) 10 d) 12

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b) 6 e) 15

c) 7

8

6

4

2

8 6

Fig.1

4

12 10 18 8 16 14 Fig.2

a) 77 658 d) 81 356

6 16 4 14 24 2 12 22 32 10 20 30 18 28 26

Fig.3

b) 81 056 e) 78 326

c) 83 254

5. En la sucesión de figuras mostradas, la suma de los números ubicados en los casilleros de la figura 9, es: 2

6

2

6

10

14 18 22 10

14

Fig.1

a) 17 050 d) 21 200

26 30 34

Fig.2

b) 18 670 e) 22 450

2

6 10 14

18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62

Fig.3

c) 20 000

Unidad II

81

Series notables I 18:10:45


Calcular las siguientes sumas:

1. S=1+2+3+4+...+40 2. Q=1+3+5+7+9+...+59 3. A=5+6+7+8+...+20 4.

E=0,1+0,2+0,3+0,4+...+10

5.

1+3+5+7+...+(2x+3)=1225

6.

1+4+9+16+...+x=2870

•

Hallar la suma de los siguientes arreglos triangulares:

10. Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurría el ciclo, él gastaba mayor número de tizas por semana. Así la primera semana gastó 11 tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y así sucesivamente. Si el ciclo duró 38 semanas y cada caja de tizas traía 15 tizas, ¿cuántas cajas abrió el profesor durante el ciclo para completar su dictado? 11. La suma de todos los números naturales desde "n" hasta "5n" es 1230. Calcular el valor de "n" e indicar como respuesta el producto de sus cifras. 12. Si: 1 + 2 + 3 + ... + n = 990 3 + 6 + 9 + ... + 3m = 630

hallar: m + n

7. Si hay ocho filas: 1 2 4 7

3 5

8

13. Hallar la suma total en el siguiente arreglo triangular. 6

9 10

8. 1+2+3+4+...+20

1

32 5 1 4 7 2 3 6 9 4 5 6 8

  F(20)

2+3+4+...+20 3+4+...+20 4+... +20 . . .

20 9. Dos hermanas: Karen y Melina, compran cada una el mismo álbum de figuritas. Karen pega en el suyo una figurita el primer día, dos en el segundo día, tres en el tercero y así sucesivamente y Melina pega diez figuritas cada día. Si ambas compraron su álbum el mismo día y Melina lo llena el día 16, ¿cuántas figuritas le faltarán a Karen ese día para completar el suyo?

 F(1)  F(2)  F(3)  F(4)  F(5 )

14. Calcular: 11

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 19

0,1 + 0,2 + 0,3 + ... + 1

15. Se arreglan números en forma de "diamante", como se muestra en el diagrama: 1 1

1 2

2 1

1 22 3 3 3 22 1

2 2 3 3 3 4 4 4 4 3 3 3 2 2 1

¿Cuál es la suma de los números en el enésimo diamante?

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series notables

4

En este capítulo aprenderemos a: • • •

Resolver problemas que implican suma límite. Identificar los diferentes tipos de series especiales. Explicar mediante ejemplos el valor de una serie numérica.

Leyenda del ajedrez Cuenta la leyenda un rey llamado Sheram de la India, Sissa le presentó un juego que conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Agradecido por el regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara y este le dijo:"Deseo que ponga un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente, doblando el número de granos en cada cuadro, y que me entregue la cantidad de granos de trigo resultante", es decir: S = 1+2+4+8+..+263+264+...

Calculando el valor: S = 1+(2+4+8+..+263+264+...)=1+2.S (1+2+4+8+..+263+264+...)

Es decir, sacamos factor común 2 de la parte de la suma que teníamos entre paréntesis, pero como podemos observar lo que nos ha quedado entre paréntesis es exactamente igual a "S". Esto es: S = 1+2.S  (despejando)  S = -1 Por tanto la generosidad infinita del Rey se ve recompensada: no solamente no debe pagar nada a Sissa sino que este le debe entregar un grano de trigo. Pero hay una falla en este razonamiento, ¿puedes encontrarlo?

m o c . s s e r p d r o w . s h t a m g i b / / : p t t h

Central: 619-8100

Unidad II

83

Series notables II

Conceptos básicos Suma de los "n" primeros productos consecutivos



•

Tomados de dos en dos n

k (k + 1) k=1

o l p m

2 # 3 + 3 # 4 + 4 # 5 + ... + n(n + 1) = n (n + 1) (n + 2) 1 444 44 444 44 44 2 44 444 444 44 44 3 3

=1×2

+

"n" sumandos

Calcular: S = 2+6+12+20+...+110

E

j

Resolución • Podemos escribir la serie así:

E

S=1×2+2×3+3×4+4×5+...+ 10×11

•

Aplicando ahora la expresión dada tendremos:

Recuerda que para poder aplicar esta fórmula la serie debe empezar en: 1×2; sino fuera el caso se completaría pero al final se quitaría lo agregado.

o l p m E

j

E

# 12 S = 10 # 11 = 3

Cantidad de factores del numerador

 S = 440 •

Tomados de tres en tres

S = 1 # 2 # 3 + 2 # 3 # 4 + 3 # 4 # 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3

"n" sumandos

S=

n

/k k + 1 k + 2 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4

k=1

o l p m

Calcular S = 6+24+60+...+1320

E

j

E

Resolución • Dando forma ordenada tendremos: S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+ 10×11×12

•

Aplicando ahora la expresión dada tendremos:

=

10 # 11 # 12 # 13

 S = 4920

4

Cantidad de factores del numerador

De forma análoga se trabaja para aquellos productos tomados de 4 en 4. S = 1×2×3×4+2×3×4+3×4×5+...+... n(n+1) (n+2)(n+3)

S = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)

o l p m E

j

E

5

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84

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4

Serie geométrica decreciente de infinitos términos ( q<1)

 o l p m

Supongamos que tenemos una regla de madera y en ella hacemos una marca en la mitad de la misma, otra marca en su cuarta parte; otra indicando su octava parte y así sucesivamente. Para entenderlo mejor veamos el siguiente gráfico: Sumemos ahora las partes:

E

j

E

1

1 4

2

o l p m

1 8

E

1

j

E

16

S= 1 + 1 + 1 + 1 + ... 2 4 8 16 123 1 2 123

3 4 14 243 7 8 1442443

15 16

Luego: 1

S=

+

1

2

+

4

1

1

+

8

+

...

3

 Slímite = 1

1

+

2

1

+

4

1

1

+

8

+

 S=

32

1

Multiplicaremos por a ambos miembros queda: 2

1 S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... 3 2 2 4 8 16 32

Ahora restamos S - 1 S:

2 1-

1 + ... 3

16

Primer término

1

16

Pero, calculemos la suma de otra forma, como: S=

Entonces:

1 2

Razón geométrica

De aquí podemos concluir que: Dada una P.G (decreciente: n= )

t 1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ; ... ;  ×q

×q ×q

2

S

=

1S

1 ... 3 1 1 1 1 + + + + + 2 4 8 16 32

=

2 S-

1

2

c1 -

1

S

0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... 3 4 8 16 32 =

Donde: 0< q <1; sabiendo que la serie asociada a ella es: S=t 1+t 2+t 3+t 4+... +

El valor de la serie geométrica decreciente infinita es:

1

2

mS =

2

Central: 619-8100

S=

1 2

& S

=

1 2 1-

t 1 1-q

= 1

1 2

Unidad II

85

Series notables II

Suma de los productos compuestos por factores cuya suma es constante



o l p m

Calcular la suma total del siguiente arreglo: S = 1×10+2×9+3×8+4×7+...+10×1

E

j

E

Resolución •

Observamos que la suma de los factores siempre es así:

Ordenando:

S=1×10+2×9+3×8+4×7+...+ 10×1

+

S=1×(11 - 1)+2×(11 - 2)+3×(11 - 3)+4×(11 - 4) ...+ 10×(11 - 10)

•

•

Agrupando: S=1×11+2×11+3×11 +...+10×11 - 12 - 22 - 32 .... - 102

•

10+1=11

+

S=1×11 - 12+2×11 - 22+3×11 - 32+4×11 - 42...+10×11 - 102 •

1×10

2×9

2+9=11

+

•

3×8

3+8=11

Factorizando: 2 (1 3 244 )2 + 244442 + 3 + 4444 + ...4443 + 10) - 14444 + 22 4 +2 + ...10 S=11(11 44 4 44 3 S=

11

c

10 # 11

2

10 # 11 # 21 6

-

m

 S =11×55 - 11×35=11(55 - 35)=11×20  S=220

El segundo factor de cada sumando se descompone en función a la suma constante .

Suma de los productos compuestos por factores cuya diferencia es constante



o l p m E

j

Hallar la suma total de: E = 1×3+2×4+3×5+...+10×12

E

Resolución •

Agrupando: S=1×3+2×4+3×5+4×6+...+ 10×12

S=1×(2+1)+2×(2+2)+3×(2+3)+4×(2+4)+...+10×(2+10)

S=1×2+12+2×2+22+3×2+32+4×11+42...+10×11+10 2

•

Ordenando y factorizando: 2 2 2 2 S=2 (11 4+424+4432+4...4 4 44103 ) + ( 1 4 + 2 + 3 + ...10 ) 4 4 44 2 4 4 4 44 3

S=

2 c 10 # 11 m

 S =495

2

+

10 # 11 # 21 6

Observamos que la diferencia de los factores es constante así tenemos: •

1×3

3 - 1=2

•

2×4

4 - 2=2

•

3×5

5 - 3=2

Descomponemos el segundo factor en función a la diferencia constante.

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Suma de las inversas de los productos compuestos por factores cuya diferencia es constante o l p m

4

Calcular el valor de "R":

E

j

E

1 + 1 + 1 1 = 4# 7 7 # 10 10 # 13 + 13 # 16 +

+

1 81 # 84 Recuerda diferencia constante

Resolución •

Multiplicamos por tres ambos miembros: 3 + 3 + ... + 3 3R= 3 + 3 + 4 # 7 7 # 10 10 # 13 13 # 16 81 # 84 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 3R= 14 - 17 + 17- 110 + 10 13 13 16

1 3R= 14 -84

•

4 ×7

7 - 4=3

•

7 ×10

10 - 7=3

•

13×10

13 -10=3

81 84

5 = 63

Suma de los términos de una serie geométrica creciente finita



o l p m E

Calcular el valor de "R": R = 101+102+103+104+...+10 20

j

E

Resolución •

Factorizando: R=

Agrego Quito

10(1+101+102+103+...+1019)

R = 10 (1+101+10 2+10 3+....+1019+10 20 - 10 20) 1444444244444443

R = 10(1+R-1020)

R

R = 10+10R-1021

21

 R = 10

Central: 619-8100

- 10

9

Unidad II

87

Series notables II

Síntesis teórica

Para la suma de productos compuestos por factores cuya suma o diferencia es constante. Se descompone el segundo factor en función a la suma o diferencia constante

10 5 50

Conceptos básicos 1. Calcular el valor de "S"

4. Calcular:

S=1×20+2×19+3×18+...+20×1

1 1 #2

+

1 2 #3

+

1 3 #4

+

... +

1 20 # 21

2. Calcular: 1 + 2 + 3+ ....+ n = 990 3 + 6 + 9+ ....+3m= 630

5. Calcular el valor de: J=3,01+3,02+3,03+....+7

Hallar: 3 m + n 3. Calcular "A", si: A= 1 + 1 5 #8

+

8 # 11

1 11 # 14

+

... +

1 47 # 50

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1. Sumar:

7. Calcular:

R = 1×30 + 2×29 + 3×28 + ... + 30×1

1

S=

1 #3

a) 4800 d) 4820

b) 4520 e) 4960

1

+

3 #5

+

1

... +

5 #7

61 # 63

c) 4352 a) 62

b) 63

63 2.

1

+

4

Dados:

d)

S2=1×2+2×3+...+20×21

c)

62

62

e) 62

126

31

124 63

S1=10×11+11×12+12×13+...+20×21

8. Calcular:

Hallar: S1+S2

2

a) 3080 d) 5830

b) 2750 e) 2430

2

2

+

10 sumandos

c) 3300 a) 7320 d) 5930

3. Calcular:

2

14 4 44 4 4 2 4 4 4 4144 3

R

b) 4810 e) 4930

c) 4910

1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + ... + 10×11×12

a) 4290 d) 1190

b) 3290 e) 5290

c) 1290

4#7

+

R = 101+ 102 + 103 + 104 + ... + 1020 2

4. Hallar la suma de: 1

9. Calcular "R" en:

1 1 1 ... + + 7 # 10 10 # 13 22 # 25

a) 10 (109 - 1)

20 b) 10 (109 - 1)

21 c) 10 (10 - 1)

20 d) 10 (10 - 1)

9

e indicar como respuesta su numerador. a) 4 d) 7

b) 5 e) 3

c) 6

5

8#7

5

+

+

20 # 13

a) 5 d) 8

...

20 términos a)

b) 25

128

128

d) 60

e)

256

c)

61 256

50 257

a)

2

+

102

1 9

d) 3 25

Central: 619-8100

3

+

103

b) 5

42 e) 10 101

+...

b) 6 e) 9

11. Hallar el valor de "S", si: 3 S= 3 + 3 + 2 #6

6 # 10

a) 15

41

d) 40 41

4 + ... 104

10 # 14

b) 15

40

6. Sumar: S=1+ 101

1

2

1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3

61

3

S=4+2+1+1+

5

+

14 # 10

20 e) 10 (10 - 1)

10. Calcular el valor de la siguiente suma:

5. Calcular el valor de "S" en: S=

9

c) 7

+

3

... +

78 # 82

c) 80

82

e) 30 41

12. Hallar el valor de "R" en: R = 1 + 2 + 3 + 4 + ... 2

c) 10

81

a)

9

10 d) 1

8

28

77

b)

1

2

e)

c) 3

2

4

5

Unidad II

89

Series notables II

13. Calcular la suma del siguiente arreglo:

20 19;19 18;18;18 1 . 7;17;17;17

5+6+7+8+.....................+20 6+7+8+9+.................+20 7+8+9+10+...........+20

8 .. +9+10+11+.....+20 .. .. .. .. .

. 1;1;1;1;................;1

a) 1620 d) 1560

20

a) 1496 d) 2040 14. Si:

b) 1796 e) 2140

c) 1980

F(1) = 2 F(2) = 2+2 F(3) = 2+4+2 F(4) =2+6+6+2 

b) 221 – 2 e) 221 – 6

c) 221 – 3

b) 1640 e) 1540

c) 1440

18. José ahorrará en el mes de agosto tanto como el producto de la fecha en que se encuentra con la cantidad de días que faltan para acabar dicho mes. Si ahorra cada día, y para ese mes tendrá ahorrados ya S/. 1200, ¿cuánto tendrá al acabar agosto? a) S/. 6600 d) 6170

Calcular: F(1)+ F(2)+ F(3)+ ... + F(20) a) 221 – 1 d) 221 – 4

17. Hallar la suma total del siguiente arreglo:

b) 6150 e) 6160

c) 6180

19. Hallar las sumas de las áreas de los infinitos círculos así formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior. 12

15. Hallar la suma total, si el arreglo tiene 15 filas. 1

2 4 7 a) 7240 d) 7260

3 5

8

6

a) 144 d) 192

9 10

b) 7100 e) 7820

c) 7120

16. María decide ahorrar en el mes de febrero de un año no bisiesto de la siguiente manera: "Cada día ahorrará tanto como el producto de la fecha en que se encontraba con el número de días que falta para acabar el mes". ¿Cuánto es lo que puede ahorrar María en total?

b) 160 e) 200

c) 180

20. Luis regresa a trabajar en una fábrica con la condición de que se la pagará por cada artículo S/. 7 más que la cantidad de artículos que vende. Si el primer día vendió un artículo y cada día vende un artículo más que el día anterior, ¿cuánto cobrará Luis por los 20 días que trabajó? a) S/. 4280 d) 4340

b) 4350 e) 4530

c) 4430

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4

1. Obtenga la suma de los "n" primeros números naturales que tengan todas sus cifras iguales a 7, más la suma de los "n" primeros números naturales que tengan todas sus cifras iguales a 1. 8 (10n + 1- 9n - 10) 9 d) 8 (10n + 1- 9n - 10) 81

b) 8 (10n

a)

1

+

81

e) 8 (10n

+

81

c)

- 9n - 9) 1

8 (10n + 1- 10 n - 9) 81

- 9n)

2. ¿Cuántos sumandos debe tener "S"? S=3-1+3-2+3-3+3-4+...

además: S= 3280 6561

a) 9

b) 8

c) 6

d) 10

e) 7

d) 1

e) 3 4

d) 2

e)

3. Calcule: 1 P=1 1 + 3 c m 3

a)

2

12 c

3m b)

5 +

1 c

3

3m

7 +

1 4 + ... cm 3 1

1

c)

3

9

4. Reducir:

N = c1 - 1 mc1 - 1 mc1 - 1 mc1 - 1 m .... c1 4

a) 101 100

9 b)

16 200 100

25

1

m

10000 101

c)

200

99 200

5. Calcular la suma de los cuadrados de los cien primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de ellos es -1, y que la suma de los términos de lugar par es +1.

Central: 619-8100

Unidad II

91

Series notables II 18:10:45

Conceptos básicos 1. Calcular el valor de la siguiente serie: R= 1×2×3×4+2×3×4×5+3×4×5×6+

....+20×21×22×23

2. Calcular:

10. Nancy está apilando sus vasos de cristal formando una pirámide tetraédrica. ¿Cuántos vasos tiene Nancy como máximo sabiendo que solamente le es posible obtener una pirámide de 25 niveles?

M = 1×3+2×4+3×5+...+20×22

la siguiente suma: 3. Determinar el valor de la S=3,01+6,04+9,09+...+27,81

11. ¿Cuántas bolitas habrán en total hasta la figura 30?

4. Calcular "S": S=1×19+2×18+3×17+...+19×1

Fig.1

5. Hallar la suma: S= 2 + 2 2 #5

2

+

5 #8

+

8 # 11

... +

2 59 # 62

6. Calcular "S":

S= 1 + 2 + 3 + 4 + ...

3

32

33

34

7. Calcular el valor de "E": E=

... 1 - 1 m 1 - 1 1 - 1 1 - 1 n2 c 2 mc 2 mc 2m c 2 3 4 61 + 2 + 3 + ... + n@

13. Escriba la serie natural de los términos en la forma: 1

2 4 7

1

3 4 5

5 6

5 6

7 8

9

9. En el siguiente arreglo triangular, calcular la suma de los términos de la Fila 20: 1

9

16 25 36 49 64 81 100

8

6 9

10

13 14 15

Determinar la suma de los términos que componen la vigésimo cuarta fila.

7 14.

4

3 5

11 12

3 4

Fig.4

12. El primer día de trabajo gané S/. 3, el segundo día gané S/. 7, el tercer día gané S/. 13, el cuarto día gané S/. 21. Si el número de días que trabajé es 20, ¿cuánto gané en total?

8. Hallar la suma de los elementos de la fila 15: 2

Fig.3

Fig.2

 Fila 1  Fila 2  Fila 3  Fila 4

Encontrar el valor de: 8+6+4+2+1+

1

+ ...

2

15. Hallar el valor de "K" K=2+ 1 + 1 + 1 + ....

8

16

32

 Fila 20

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Razonamiento Razonamient o Matemático

Repaso

5

... y ahora vamos a repasar los temas estudiados

anteriormente • • • •

1 23

Central: 619-8100

Método inductivo I Método inductivo II Series notables I Series notables II

48 49 50

Unidad II

93

Repaso II

10 5 50

Conceptos básicos d e la 1. Hallar la suma de las cifras del resultado de 666...666) siguiente expresión: (6 1 44 2 44 3

2

3. Calcular: P=8+4+2+1+

+....

2

100 cifras

2. Hallar la suma de términos en la siguiente matriz: 1 2 3 4 ... 25 2 3 4 5 ... 26 3 4 5 6 ... 27 4 5 6 7 ... 28 . . .

1

4. Hallar el valor de "E": E=1×3+2×4+3×5+4×6+...+10×12

5. Calcular "x": 1+3+5+7+9+...+x=169

. . .

25 26 27 28 ... 49

Conceptos básicos 1.

Hallar el total de bolitas que se pueden contar en: en:

1 23 a) 5000 d) 1275

48 49 50 b) 1225 e) 1250

c) 2500 123

2. ¿Cuántas apretones de mano se producirán al saludarse 40 personas asistentes a una reunión? a) 812 d) 64

4. ¿Cuál es la cantidad total de cerillas que se podrán contar en el siguiente arreglo?

b) 180 e) 360

c) 780

3. ¿Cuál es la cantidad total de cerillas que se podrán contar en el siguiente arreglo?

198 199 200

a) 40 400 d) 46 000

b) 42 000 e) 40 200

c) 40 000

5. Hallar la suma de términos en la siguiente matriz: 1 2 3 4 . . .

2 3 4 5 . . .

3 4 5 6 . . .

4 ... 30 5 ... 31 6 ... 32 7 ... 33 . . .

. . .

30 31 32 33 ... 59

1 2 3

a) 10 180 d) 16 000

a) 25 000 d) 3500

98 99 100 100

b) 18 000 e) 10 200

b) 100 000 e) 27 000

c) 28 000

c) 10 000

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6. Hallar el valor de "S":

12. Calcular el valor de la suma "S":

S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... x

x2

1

Donde: 0<

x

x3

S=1+3+7+13+21+..."20 términos"

a) 4260 d) 2640

x4

<1 b) x - 1

a) (x - 1) x d) x - 1

c)

x

x

x -1

e) F.D

b) 5440 e) 2660

5

c) 2680

13. Calcular "S": (1 + 3 + 5 + ... + 9)(0,1 + 0,2 + 0,3 + ... + 2)

S=

7. Si: an=2n3 - 3n 2+2n hallar: S=a1+ a2+ a3+ ...+a20

a) 88 140 d) 80 040

b) 88 640

c) 80 010

1

e) 80 630

7

a)

8. Calcular "x+y"

+

2 72

1 +

73

2 +

1

74

a) 67 d) 76

b) 62 e) 68

c) 60

9. Hallar el valor de "S":

a) 5

b) 3

4

4

3

4

d)

e)

5

5

3

5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 2 7 29 a) 2850 b) 2880 d) 2725 e) 3025

S=

1

+

1.2.3

2.3.4

a) 77 156 d) 136 252 Central: 619-8100

+

1

+

3.4.5 b) 128

252 e) 77 312

32

   

1

11.12.13 c)

8

+ ..... 3

34

4 3 e)

16

2

c) 3 16

16. En el siguiente arreglo triangular calcular la suma de los términos de "F20"

F1  F2  F3 

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

F20 

c) 3050

... +

16

b) 3

F4 

F2 F3 F4 F5

+

5

F1

11. Hallar el valor de "S": 1

6

+

1

10. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numérico:  1

c) 7

16

S= 2+ 4 3 32

d) 3

3

76

9

e)

16

c) 5

+

15. Calcular "S":

a)

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... 3 32 33 34 35

75

16

d) 5 16

• 2+4+6+8+...+y=420

+

b) 3

16

• 1+3+5+7+...+x=196

2 + ...

1

129 252

Indicar como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 25 b) 26 c) 32 d) 24 e) 28 17. En la igualdad: 11 4 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 41+ 39 + 37 + ... + y 4 4 44 2 4 4 4 44 3 "n" términos

1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3

21 términos

Hallar: x+y+n

a) 60 d) 63

b) 61 e) 64

c) 62

Unidad II

95

Repaso II

18. Hallar el valor de "x":

a) 120 d) 112

69+67+65+63+...+x=1000

a) 28 d) 31

b) 27 e) 33

b) 255 e) 111

c) 100

20. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de "A" hacia "C" sin pasar por "B" (siempre avanzando)?

c) 35

A

19. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "CARRETILLA"? (solo se puede leer hacia abajo) C

A R R E L L

A

L

A

A

A

T I

L L

A

T

I

L L

E

T I

L L

A

C

R E

T

L L

R E

I

B

R

R

T I

L

R

E

T I

A

b) 75 e) 65

c) 80

a) 160 d) 168

b) 180 e) 100

c) 141

I

L L

A

a) 86 d) 90 L L

A

L

A

A


¿De cuántas maneras diferentes se puede leer "SOMOS", en el siguiente arreglo literal? S O

M O

M

M

O

S

O

S

a) 28 d) 14 2.

O O

4. Hallar "8 n + 3 " en: B 100

S

b) 36 e) 20

999 # 1000 # 1001 + 103 99 # 100 # 101 + 100

a) 12 d) 8

5. Hallar "; 3

Fig. 2

a) 625 d) 651

n

c) 24

¿Cuántas esferas se podrán contar en la figura 26?

Fig. 1

=

Fig. 3

b) 755 e) 720

c) 673

b) 5 e) 6 x 100

+

c) 10

5 E" en: 3

1999 # 2000 # 2001 + 10 199 # 200 # 201 + 200

a) 12 d) 8

b) 5 e) 6

=

x

c) 10

3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer "CARRETERA", en el siguiente arreglo literal? C

A R E

T

A R

E

T E

R E

T E

R

T E

R A

E T

E R

A

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96

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5

Conceptos básicos 1. ¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra "COSA", uniendo letras vecinas?

5.

En la siguiente secuencia, calcular el número de bolitas sin sombrear que aparecerán en la figura 10.

C O O S

A

S

S

A

A

A

Fig. 1

2. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer "SOY" en el siguiente arreglo literal? S

O

Y

S

O Y S

6.

O Y S

OY S

OY

3. En la figura, el número de trayectorias más cortas que unen a los puntos "A" y "B" , sin considerar aquellas que pasan por "M" o "N", es:

7.

B

N

Fig. 2

En la siguiente distribución cada pasaje tiene forma de una "L" invertida. Calcular la suma de todos los números que conforman "el pasaje 100". Pasaje 1 Pasaje 2 Pasaje 3 Pasaje 4

   

Pasaje 100



1 1 1 1

3 4 5 6

2

F2  F3 

A

6

3

4

5

7

8

9

10

15

16

F4  11 12 13 14

4. ¿Cuántos cuadrados hay como máximo en la siguiente figura? 8.

1

5 7 7 10 9 13 11 16

En la siguiente distribución numérica hallar el término central de la fila 20: F1 

M

Fig. 3

Si: AB=BC=1; calcular: calcular: BD+DE+EF+FG+... 

2

C

3

H

4 F 99

D 100 A 9.

Central: 619-8100

17

I

G E

B

Se tiene 85 naranjas; si con ellas se forma una pirámide tetraédrica, la más grande posible, ¿cuántas naranjas sobrarían?

Unidad II

97

Repaso II

13. Calcule el valor de "n"

10. Calcule "S":

S=

1

+

4 #5

2

+

5#7

3 4 . ... +. + 7 # 10 10 # 14

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 44 3

1+ 3+ 5 + 7 + ... ("n" tér min os) = 40 4 + 7 + 10 + 13 + ... ("n" tér min os) 7n

40 sumandos

11. Calcular "S" S

=

11 (1

+

3 + 5 + ... + 49) (0, 1+ 0, 2 + 0,3 + ... + 1)

14. Si: 1 = 1 + 1 + 1 + ... u

10

calcular: V = 12. Un niño con todas las fichas que tiene hace el siguiente arreglo: F1  F2 

F3  F4

102 1

103

1+ u

15. Halle el valor de "S": S=2×5+3×6+4×7+5×8+...+100×103



F10 

F16  F17  F18  F19  ¿Cuántas fichas tiene?

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UNIDAD II

O

oRDeNANDo se eNtIeNDe mejoR

led y la Moletrónica En el mundo de la electrónica de consumo, uno de los dispositivos que han evolucionado que permiten Mostrar Y ORDENAR INFORMACIóN al usuario son los displays. Los dispositivos que disponía un usuario para RECIBIR INFORMACIóN, es decir, que medios tenían los aparatos para comunicarse con el usuario son el LED y LCD. EL LED: El diodo emisor de luz (Light-Emitting Diode) es un componente que, emite rayos de luz, mediante corriente eléctrica. Las LCD: La pantalla de cristal líquido (Liquid Crystal Display). Esta contiene celdas, llenas de un material cristalino que se orienta con un ángulo u otro dependiendo de la energía eléctrica que reciben. De esta forma se puede impedir que la luz traviese esas celdas, dejándolas oscuras. Los antiguos celulares, son un vivo ejemplo de esta experiencia; ellos solo podían distinguir el color negro y el que tuviese la pantalla (que solía ser verde, anaranjado o azul). Las pantallas más modernas, ya combinaban los tres colores primarios para ofrecer un display a todo color. ¿Qué es un OLED? Las siglas OLED provienen del ya conocido LED, pero con un añadido: orgánico. Un OLED son componentes semi conductores orgánicos. Es de estos materiales orgánicos (polímeros) de los que se compone un OLED.

ApReNDIzAjes espeRADos Comunicación matemática ApReNDIzAjes espeRADos • Organizar información mediante gráficos (rectas verticales y horizontales, círculos, cuadros de •

doble entrada). Identificar las situaciones lógicas que se presentan en los ejercicios.

Resolución de problemas • Resolver problemas que implican el ordenamiento de la información. • Interpretar los datos disponibles para resolver ejercicios de orden de información y juegos lógicos. Análisis y demostración • Justificar mediante diversas deducciones el orden de los elementos. • Demostrar la validez o invalidez de un razonamiento en las situaciones lógicas presentadas.

Orden de información I

orden de información I En este capítulo aprenderemos a: • •

Ordenar con criterio la información que involucre un ordenamiento lineal. Resolver problemas que involucren posición de datos.

Más rápidos más furiosos

A

propósito de las películas "Rápidos y Furiosos" que se han emitido en las salas de todo el mundo durante los últimos años, el interés por los autos espectaculares y por aquellos que te llevan de 0 a 100 km/h en tan solo unos segundos ha crecido enormemente. Hace poco, y a manera de ranking musical tipo Billboard, se hizo una lista de los vehículos más furiosos del último Frankfurt Motor Show. Veámoslos a continuación en orden, desde el menos hasta el más furioso:

A

B

E

C

D

(A) Aston Martin DBS: Este auto que puede desarrollar velocidades de hasta 300 km/h,

tiene un motor

V12 de 6 litros y su aceleración de 0 a 100 km/h la realiza en 4,3 s. (B) Bugatti Veyron 16,4 Pur Sang: Uno de los más caros y exclusivos del mundo y llega de 0 a 100 km/h

en el increible tiempo de 3 s. (C) Porche GT2: Tiene una aceleración impresionante de tan solo 3,7 s para llegar a los 100 km/h. (D) Lamborghini Reventon: Este impresionante bólido,

que alcanza los 100 km/h en tan solo 3,4 s, estuvo

inspirado en el avión caza F-22 Raptor. (E) Ferrari 430 Scuderia: Se cuenta que fue el mismo Schumacher quien ayudó en el diseño de esta

obra

de arte, la cual va de 0 a 100 km/h en solo 3,6 s. Luego de quedarte maravillado de estos diseños y de ver lo "rápidos y furiosos" que son ¿por cuál te decides? Ordénalos en forma creciente respecto al tiempo que demoran en alcanzar los 100km/h

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1

Conceptos básicos 

Ordenamiento lineal Se ordenan los elementos en una línea vertical u horizontal. Ordenamiento creciente o decreciente

Para este tipo de problemas utilizaremos una recta vertical donde los elementos ubicados en la parte superior serán mayores a los ubicados inferiormente. (+) A

Se observa: • "A" es mayor que "B".................... "B".................... (A>B) • "B" es menor que "A" pero mayor a "C" .................. ........ ............ .. (BC) • "D" no es menor que "B" .............. (D  B) • "E" no es mayor que "A" .............. (E  A)

E

B

D

C

(-)

RReeccuueerrddaa que...?

o l p m E

j

E

•

Si "D" no es menor que "B", equivale a decir que: "D" es mayor o igual que "B"

•

Si "E" no es mayor mayo r que "A", equivale a decir: "E" es menor o igual i gual que "A"

Sobre las edades de seis personas se sabe lo siguiente: • Andrea es mayor que Paula. • Sebastián es menor que Lucas. • Paula es mayor que Claudia y que Lucas. • Xiomara es mayor que Paula. Son ciertas: I. Lucas es mayor que Claudia. II. Sebastián es menor que Xiomara. III. Claudia es mayor que Sebastián.

Dato 1  "Andrea es mayor que Paula" P aula"

Andrea Paula

Central: 619-8100

E

j

Resolución •

o l p m E

Nos damos cuenta que pertenece al tipo de ordenamiento creciente - decreciente porque nos dicen de "mayor"; "menor"

Unidad III

101


•

Dato 2  "Sebastián es menor que Lucas"

Lucas

No hay relación con el dato 1, pero el dato 3 nos ayudará.

Sebastián

•

Dato 3  "Paula es mayor que Claudia y que Lucas" Andrea Paula Lucas

Claudia

Observa que Claudia tiene que estar debajo de Paula.

Sebastián

•

Dato 4  "Xiomara es mayor que Paula"

Andrea Xiomara

Paula Lucas

Xiomara y Claudia son datos que pueden cambiar de posición pero teniendo como límite a Paula.

Claudia

Sebastián

•

Se puede afirmar como ciertas, aquellas proposiciones que no se presten a "dudas".

I.

"Lucas es mayor que Claudia" No podemos afirmarlo ya que puede ser mayor o menor (Hay dudas)

II. "Sebastián es menor que Xiomara" Se afirma como cierto ya que no hay dudas

Claudia Lucas

Xiomara Sebastián

III. "Claudia es mayor que Sebastián" No podemos afirmarla como cierta, ya que Claudia puede ser mayor o menor que Sebastián (Hay dudas)

Claudia Sebastián

Rpta. Solo II es cierta

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

1

Ordenamiento lateral

En este ordenamiento utilizaremos una recta horizontal, considerando el siguiente esquema:

(Izquierda)

A B

C

(Derecha)

(Oeste) (Occidente)

(Este) (Oriente)

Recuerda que....??

Se observa: • "A" está a la izquierda de "C" • "B" está junto y a la izquierda de "C" • "B" está adyacente a "A" y a "C"

o l p m E

j

E

Si "A" está a la izquierda de "C", no implica necesariamente que van a estar juntos.

Ana, Betty, Cecilia y Diana viven en la misma calle. Se observa lo siguiente: derecha de Cecilia • Ana vive a la derecha • Betty no vive a la izquierda de Diana • Ana vive entre Diana y Cecilia ¿Quién es la que vive más al oeste? oes te? Resolución •

Dato 1  "Ana vive a la derecha de Cecilia"

o l p m E

j

E

Cecilia

•

Ana

(Derecha) (Izquierda) Dato 2  "Betty no vive a la izquierda de Diana"

Diana Betty (Izquierda) •

Esto quiere decir que Betty vive a la derecha de Diana

(Derecha)

Dato 3  "Ana vive entre Diana y Cecilia"

(Izquierda)

Cecilia Cecilia

(Derecha)

Ana

Diana

Este dato nos sirve para relacionar el dato 1 y 2

Betty Rpta.: Cecilia vive más al Oeste

Central: 619-8100

Unidad III

103


Ordenamiento por posición de datos • Problema sobre carreras

En este tipo de problemas debemos establecer en qué sentido se desplazan los competidores, proponemos que sea a la derecha. Meta 5º

E : Eduardo M : Manuel A : Alex R : Rommel J : José

4º M

E

3º

2º

1º

A

R

J

Del gráfico se observa: • José ganó la carrera, llegó justo antes de Rommel. • Manuel llegó en cuarto lugar, después de Rommel. • Alex llegó en una posición adyacente a las posiciones de Manuel y Rommel. o l p m E

j

1. En una carrera participan siete personas: Fernando, Ricardo, Hugo, José, Miguel, Carlos y Bruno. Si se sabe que:

E

• • •

Hugo llegó después de Ricardo pero antes que José. Fernando llegó en un puesto equidistante de Ricardo y de Miguel que llegó último. Bruno llegó un puesto antes que Miguel pero un puesto después que Carlos y tres puestos detrás de José.

¿Quién llegó en cuarto lugar? Resolución

7o 6o 5o

4o

•

Esquema 

•

n un puesto Dato 2º  "Fernando llegó e llegó en

3o 2o 1 o 7tan 6 8 4 44 dis 4 44cia" "Igual

de Ricardo y de de Miguel que Miguel que llegó último"

equidis tan te

Caso (1)

Caso (2)

Caso (3)

7o 6o M

F

5 o 4o R

7o 6o 5 o M F

4o

7o 6o 5o 4o M F

Dato preciso

3o 2o 1o

Este caso NO puede cumplirse porque hay contradicción con el dato 3.

3o 2o 1o R

Este caso NO puede cumplirse porque el dato 3 lo contradice.

3o 2o 1o R

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•

Dato 3  "Bruno llego un puesto antes que Miguel pero un puesto después que Carlos y tres puestos detrás de José" 7o 6o 5o M

•

B

C

4o

3o 2 o 1 o

F

J

R

Dato 1  "Hugo llegó después de Ricardo pero antes que José" Queda finalmente: 7o 6o M

•

1

B

5o 4o

3o 2o 1o

C

J

F

R

H

¿Quién llegó en cuarto lugar? Rpta.: Fernando llegó en cuarto lugar

•

Problema sobre edificios

En este tipo de problemas son muy mu y similares al de carreras con la diferencia es que el ordenamiento es vertical. o l p m E

j

E

Cinco amigas viven en un edificio de cinco pisos, cada una en un piso diferente. Se sabe que: • Queta vive dos pisos debajo de Sandra • Rosa siempre sube para visitar a cualquiera de sus cuatro vecinas en el edificio. • Patty y Tania no viven juntas. • Sandra nunca necesita subir para visitar a cualquiera de las otras cuatro chicas. ¿Quién vive en el segundo piso, si solo dos amigas cuyas iniciales i niciales de sus nombres son letras consecutivas, viven en pisos adyacentes? Resolución

Del dato 1 

San ra Queta

Del dato 2  Rosa vive en el primer piso Del dato 4  Sandra vive en el quinto piso Con estos datos tenemos dos casos: Caso (1)

Caso (2)

5o Sandra 5o Sandra 4o Patty 4o Tania 3o Queta 3o Queta 2o Tania 2o Patty Rosa 1o 1o Rosa Recuerda: Leer bien la pregunta, pregunta, precisamente precisamente aquí hay un dato adicional: "Dos amigas cuyas iniciales de sus nombres nom bres son letras consecutivas viven en pisos adyacente", esto descarta el Caso (2): (2 ): Sandra; Tania; Quetta; Patty 14 4 4 44 4 4 2 4 4 4 4 4 44 3 Los cuatro con sec utivos

Entonces nos quedamos con el Caso (1) Pregunta: ¿Quién vive en el segundo piso? Respuesta: "Tania vive en el segundo piso "

Central: 619-8100

Rpta.: Tania

Unidad III

105


Síntesis teórica

(+) (Izquierda)

(Derecha)

(Oeste)

(Este)

(Oriente)

(Occidente)

(–)

4º 3º 2º 1º

4º 3º 2º 1º 10 5 50

Conceptos básicos 1. En una prueba de RM Rodolfo obtuvo menos puntos que Manuel, Lucy menos puntos que Lulu, Norma el mismo puntaje que Sarela, Rodolfo más puntaje que Silvia, Si lvia, Lucy el mismo puntaje que Manuel y Norma más que Lulu. Coloque "V" si es verdadero o "F" si s i es falso según corresponda: • Lulu tuvo el mayor puntaje

............. ( )

• Manuel tuvo menos puntaje que Silvia ( )

o cupan una fila de 2. Cinco amigos van al cine y ocupan cinco asientos. Se obeserva que: • Ernesto está al extremo izquierdo • Paolo está al lado de Andrea y Sebastián S ebastián • María está a la derecha de Sebastián, quién está sentado junto a Ernesto. Complete los espacios en blanco. se sienta junto a la derecha de Paolo y se sienta adyacente a Ernesto y a Paolo.

• Norma tuvo mayor puntaje que Lucy .. ( )

a) V V V d) F F V

b) F V V e) V F V

c) V F F

a) Andrea - María c) Sebastián Seb astián - Andrea e) Ernesto - Andrea

b) Ernesto - Andrea d) Andrea - Sebastián

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3. Cuatro hermanos viven en un edificio de cuatro pisos. Ángel vive en el primer piso, Rommel vive más abajo que Ernesto y Pascual vive un piso más arriba que Rommel. ¿En qué piso vive Pascual? a) En el 1o d) En el 4o

4. Podemos afirmar con certeza que: I. Katy es la más baja II. Mily no es la más alta III.No es cierto que Taty y Paty tengan la misma estatura

b) En el 2o c) En el 3o e) No se puede determinar

a) Solo I d) II y III

b) Solo II e) Ninguna

1

c) I y II

5. ¿Quién es la más alta?

Enunciado

Se sabe que July es más alta que Mary pero más baja que Katty, Mily es más baja que Katy pero más alta que Patty y esta última es más alta que Taty, quien a su vez no es más baja que Mary.

a) Mary d) Taty

b) Mily e) July

c) Katy

Conceptos básicos obtenida fue 16, relaciona correctamente ambas columnas.


1. Sabiendo que: • Jéssica es mayor que Muriel, pero menor que Alba. • Hilda es menor que Jéssica y mayor que Fernanda. • Pilar es mayor que Jéssica. • Alba es mayor que Olga.

Columna A (A) (B) (C) (D) (E)

Alberto Benito Carlos Daniel Enrique

Coloque "V" si es verdadero o "F" si es falso:

Relacionando:

I. Alba y Pilar tienen la misma edad ......... ( )

A ( )

II. Alba y Pilar pueden tener la misma edad . ( ) III. Hilda es mayor que Muriel.................... ( ) IV. Hilda puede ser mayor que Muriel ........ ( )

B ( )

(I) (II) (III) (IV) (V)

C ( )

12 13 14 15 16

D ( )

E( )

Resolución de problemas 4.

2. Alex es el niño más alto del aula; en la misma aula, Isabel es más alta que Sofía y más baja que Walter; complete:

"A" es el niño más alto de su aula. En la misma aula, "C" es más alto que "B" y más alto que "D". Indicar la(s) afirmación(es) verdadera(s).

Sofía y Walter son más bajos que

I. Es falso que "C" sea más bajo que "B" y más alto que "D". II. "B", "C" y "D" son más bajos que "A". III."D" es el más bajo.

es la persona más baja de todos.

a) I

b) II

d) I y II

e) I, II y III

•

Alex. •.

Columna B

3. Cinco alumnos rinden un examen obteniéndose los siguientes resultados: • Benito obtuvo un punto más que Daniel. • Daniel obtuvo un punto más que Carlos. • Enrique obtuvo dos puntos menos que Daniel. • Daniel obtuvo dos puntos menos que Alberto. Si la calificación es vigesimal y la mayor nota

Central: 619-8100

5.

c) III

Después de un examen, tres alumnos comentan sobre sus notas: Antonio: "Yo tengo 17; Nilton tiene tres puntos más que yo; Sergio y Nilton tienen la misma nota". Sergio: "Yo tengo 20; Antonio tiene 17; Nilton tiene dos puntos menos que yo". Nilton: "Yo tengo 20, Antonio tiene dos puntos menos que yo; Sergio tiene 15".

Unidad III

107


Si Antonio mintió siempre, entonces ocurre necesariamente que: I. Sergio mintió al menos una vez. II. Antonio tiene 18. III.Nilton mintió a lo más una vez. a) I y II d) I 6.

b) I y III e) Todos

¿Cuál es el orden de atención de las cocineras durante la semana, considerando las letras iniciales de sus nombres?

7.

Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada piso vive una familia. La familia Martínez vive en un piso más arriba que la familia Gonzáles. La familia Dávila vive más arriba que la familia Pravia, y la familia Martínez más abajo que la familia Pravia. ¿En qué piso vive la familia Martínez?

c) II y III

Un restaurante de comida criolla tiene tres cocineras: Solange, Carola y Yesenia, cada una de las cuales va dos veces por semana, sin coincidir ningún día. Se sabe que: • Solange puede ir a trabajar viernes, lunes o martes. • Los viernes Carola prepara su plato favorito. • Yesenia no puede ir los sábados. • El restaurante solo atiende de lunes a sábado.

a) S C Y Y S C c) Y S C Y S C e) Y S Y S C C

9.

b) S Y C C Y S d) S S Y Y C C

Seis personas copan una hilera de seis butacas en un teatro ubicándose de la siguiente forma: • Félix se sienta a la izquierda de Beto, quien a su vez se sienta junto y a la derecha de Alex. • Elio se sienta junto y a la derecha de Daniel. • Carlos está a la derecha de Alex y entre Félix y Daniel.

a) 1º piso d) 4º

b) 2º e) 5º

c) 3º

10. En un edificio de siete pisos vive: Abel, Beto,

Carlos, Daniel, Elvis, Fidel y Gustavo, cada uno en un piso diferente, si se sabe que: • Elvis vive a un piso de Carlos y a un piso de Beto. • Fidel desde su cuarto tiene que subir dos pisos para ir al cuarto de Abel. • Daniel vive en el tercer piso. • Gustavo vive a cuatro pisos de Carlos. ¿Quién vive en el segundo piso? a) Fidel d) Elvis

b) Beto c) Gustavo e) Beto o Elvis

11. Cierto edificio tiene en cada piso solo un

departamento ocupado por solo una de las siguientes personas: "A", "B", "C", "D" y "E". Sabiendo que: • "A" vive en un piso situado entre los pisos de "B" y "E". • "B" vive a dos pisos de "C". • "C" tiene que bajar para visitar a "A". • "D" vive en el cuarto piso. • El edificio tiene cinco pisos.

¿Quién(es) se sienta(n) a la izquierda de Elio? Indique la afirmación incorrecta: a) Félix y Daniel c) Todos e) Solo Felix 8.

b) Daniel y Carlos d) Solo Daniel

En una repisa hay seis objetos, uno al lado del otro, y se sabe lo siguiente: • La caja de galletas está en el extremo derecho. • La lata de atún está a la derecha de la botella de aceite y a la izquierda de la botella de vinagre. • Entre el frasco de mostaza y la botella de aceite hay dos frascos. • A la derecha de la botella de aceite está la lata de leche. ¿Cuántos ordenamientos hay? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) b) c) d) e)

"C" vive en el último piso "E" vive en el primer piso "C" vive en el tercer piso. "A" vive en el segundo piso. "B" vive en el tercer piso

12. En una prueba de atletismo participaron siete

adolescentes, quienes llegaron a la meta a diferentes tiempos. Si se sabe que: • Henry llegó cuatro puestos después de Pierre. • Memo llegó cinco puestos después que Pierre. • Lolo llegó un puesto detrás de Memo. • Claudia llegó dos puestos antes que Nani. De lo indicado, se puede afirmar que Pilar, llegó:

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a) b) c) d) e)

Junto y entre Nani y Claudia. Junto y entre Claudia y Pierre. Después que el primer o segundo lugar. Lolo y Nani primero. Dos puestos después que Memo.

13. Las labores de cierto estudiante son: "A", "B",

"C","D", "E", "F", "G", "H", "I" y "J"; las cuales deben realizarse durante la semana, de lunes a viernes, a razón de dos tareas diarias. Sabiendo que: • La tarea "G" se efectuará antes que la tarea "I". • La tarea "H" se realizará dos días antes que la "F" y un día antes que la tarea "E". • La tarea "D" se efectuará tres días antes que la tarea "G". • La tarea "F" se hará el mismo día que la tarea "B" y dos días antes que la tarea "C". • La tarea "J" se efectuará dos días después que la tarea "A". Indique las tareas a realizar el día martes. a) A - E d) D - H

b) C - I e) G - J

c) B - F

14. En una carrera entre cinco amigas, María va en

primer lugar, Lucía en quinto puesto, si Leticia va en el puesto intermedio entre ambas, Juana le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juana, ¿quién ocupa el segundo lugar? a) Irene d) María

b) Leticia c) Juana e) Faltan datos

15. Alex está planificando su fin de semana

(viernes, sábado y domingo) él desea realizar seis actividades, ir al cine, ir a una discoteca, ir al teatro, jugar tenis, jugar fútbol e ir al estadio, para ello tendrá las siguientes condiciones: • Realizará todas las actividades, dos por día, una por la tarde y otra en la noche. • No irá al teatro el viernes. • Ningún día irá al cine en la tarde. • El sábado por la noche irá a una discoteca. • En un mismo día, luego de jugar tenis irá al estadio. ¿Qué actividades puede realizar el viernes por la tarde? a) b) c) d) e)

Solo puede jugar tenis Solo puede jugar fútbol Solo puede ir al estadio Solo puede jugar tenis o jugar fútbol Solo puede ir al estadio o jugar fútbol

Central: 619-8100

16. Desde un taller de reparaciones se deben

1

despachar los siguientes equipos: una licuadora, una sartén, un motor, un horno, un DVD y una batidora, no necesariamente en ese orden; un transportista debe entregar los equipos bajo las siguientes condiciones: • El horno debe ser el último equipo en ser entregado. • Se debe entregar la batidora antes que el motor pero después que el DVD. • Se debe entregar la sartén después de la licuadora. • La batidora se debe entregar antes que la licuadora. ¿Cuántos ordenamientos posibles hay? a) 1 d) 4

b) 2 e) Más de 4

c) 3

17. De las motocicletas: "P", "Q", "R", "S" y "T" se

sabe que: • "P" es más barato que "R" y más antigua que "Q".

• • •

"Q" es más caro que "P" y más moderna que "T". "R" es más caro que "T" y más moderna que "S". "S" es más barato que "P" y más moderna que "Q".

•

"T" es más caro que "Q" y más moderna que "P". ¿Cuál(es) de las motocicletas es más cara que "P" y más moderna que "T"? a) Q d) S

b) R e) R y Q

c) R y S

18. Siete personas "A", "B", "C", "D", "E" , "F"

y "G", tienen: 35; 36; 37; 38; 39; 40 y 41 años, aunque no necesariamente en ese orden. Además se conoce lo siguiente: • Entre "B", "F" y "E"; no hay dos de ellos que tengan edades consecutivas. • "G" es menor que "A" pero mayor que "F". • "E" es mayor que "C" y "B", pero menor que "G". • "F" es el menor. ¿Cuánto suman lo que tienen "B" y "E"? a) 76 d) 75

b) 77 e) 80

c) 78

Unidad III

109


19. En la repisa de una cocina hay siete frascos

colocados en fila frente a usted, que contienen: azúcar, canela, café, comino, pimienta, sal y té. Se sabe que: • El té está a la derecha de la sal. • El café está entre el azúcar y la pimienta. • El comino está a la izquierda de la canela. • La pimienta tiene solo tres frascos a su derecha. • La sal está a la izquierda del azúcar. • El té está a la izquierda del comino, entre la pimienta y la canela.

20. En un consultorio hay tres revistas: "S", "P" y "H",

Según estos datos, ¿cuáles son los dos frascos que se encuentran a cada lado de la pimienta? a) Café y canela c) Café y té e) Sal y café

b) Té y comino d) Azúcar y té

puestas de tal manera que "H" está al centro. Estas tres revistas son: una peruana, otra chilena y otra argentina. Una se especializa en Deporte, otra en Moda y la tercera en Humor. • La argentina está inmediatamente a la derecha de Modas. • A la derecha de la chilena está la de Deporte. • A la derecha de "P" está la peruana. • "H" está a la izquierda de la argentina. Entonces: a) b) c) d) e)

La peruana es "P" y es de Humor. La argentina es "P" y es de Humor. La peruana es "S" y es de Deportes. La argentina es "S" y es de Deportes. La chilena es "H" y es de Deportes.

Enunciado

Siete niños: "J", "K", "L", "M", "N" , "O" y "P" son estudiantes de una escuela en los grados del 1 al 7. Los siete niños son estudiantes de grados distintos. • • • •

"N" está en el primer grado y "P" está en el séptimo grado "L" está en algún grado superior que "K" "J" está en algún grado superior que "M" "O" está en cierto grado intermedio entre "K" y "M"

1. Si hay exactamente dos personas en grados intermedios a los de "O" y "J", ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera? "K" está en el segundo grado " J" está en el sexto grado "M" está en algún grado superior que "K" "L" está en un grado intermedio entre "M" y "O" "K" y "L" están en grados consecutivos

a) b) c) d) e)

2. Si "J" está en el sexto grado, ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera? a) b) c) d) e)

"K" está en el grado 4 y "L" está en el grado 5 "K" está en el grado 5 y "L" está en el grado 4 "L" está en el grado 5 y "M" está en el grado 6 "M" está en el grado 2 y "K" está en el grado 5 Ninguna

3. Si "K" está en el segundo grado, ¿en cuáles de los siguientes grados, respectivamente, pueden estar "M" y "J"? I.

Grados 3 y 4

a) b) c) d) e)

I pero no II ni III II pero no I ni III I ó III, pero no II II ó III, pero no I I, II ó III

II. Grados 4 y 5

III. Grados 4 y 6

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4. Si hay exactamente una persona en un grado intermedio a los de "J" y "M" ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera? a) b) c) d) e)

1

"L" está en el grado 6 "L" está en el grado 3 "K" está en algún grado inferior que "J" "K" está en algún grado superior que "O" "O" está en un grado intermedio entre "J" y "N"

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no puede ser verdadera? a) b) c) d) e)

"O" está en el tercer grado "O" está en el cuarto grado "K" está en algún grado inferior que "J" "M" está en el cuarto grado "M" está en el segundo grado

18:10:45

Conceptos básicos 1. Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" viven en casas de dos departamentos cada uno (uno en cada piso). Si las casas quedan en una misma calle y se sabe que: • "A" vive a la izquierda de "D" • "B" vive en el primer piso de la casa del centro. • "C" vive en la misma casa que "E" • "F" vive en el primer piso de la casa de la izquierda. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas? I. "D" habita en un segundo piso II. "C" vive en un primer piso III."E" vive a la izquierda de "B"

2. Cuatro amigos van al cine y se acomodan en varias filas de la siguiente manera: • Marisol está sentada a la izquierda de Silvia y detrás de Lucho. • Silvia no está a la derecha de Beto, pero si detrás de Marisol. • Lucho está a la derecha de Silvia y detrás de Beto. Podemos afirmar que: a) b) c) d) e)

Lucho está a la derecha de Beto Lucho está a la izquierda de Silvia Beto está detrás de Silvia Marisol está a la izquierda de Lucho Más de una es correcta

3. "X" tiene menos habitantes que "W", "W" tiene más habitantes que "Y" pero menos que "Z". ¿Cuál de las conclusiones es necesariamente cierta?

Central: 619-8100

a) b) c) d) e)

"X" tiene más habitantes que "W" "X" tiene más habitantes que "Z" "X" tiene más habitantes que "Y" "X" tiene menos habitantes que "Z" "X" tiene igual número de habitantes que "Y".

4. "X" es el niño más alto de un curso, en el mismo curso "Y" es más alto que "Z" y más bajo que "W". ¿Qué afirmaciones son correctas? I. "Y", "Z", "W" son más bajos que "X". II. "X" es más alto que "W" y más bajo que "Z". III. "Z" es el más bajo de todos.

5. Un choque en cadena de seis autos es causado por una imprudente parada de Carla, que tiene el carro azul. • El auto blanco de María está adyacente al de José y al de Gloria. • Juan no tiene carro azul y chocó a José • Un carro rojo chocó a Juan Sabiendo que hay dos carros rojos, dos azules, un verde y un blanco y que no hay dos colores iguales consecutivos, hallar el tercer auto que choca y su chofer.

6. Hay siete participantes en un concurso de tiro. Cuatro de ellos: Andrés, Beto, Carlos y Daniel, son expertos y otros tres: Emilio, Francisco y Gerardo, son novatos. Sabiendo que: • Para que un novato dispare debe ser

antecedido y seguido inmediatamente por un experto.

Unidad III

111


• Francisco

dispara en segundo lugar, mientras que Carlos es el último experto en disparar. • Beto dispara antes que Daniel pero después de Andrés. • El último en disparar es un experto. ¿Cuál de las siguientes alternativas no es necesariamente correcta? a) b) c) d) e)

Gerardo dispara después de Francisco Carlos dispara después de todos los novatos Francisco es el primer novato en disparar Emilio dispara antes que Daniel Daniel dispara entre Emilio y Gerardo

7. Se deben realizar cinco tareas: "A", "B", "C", "D" y "E" y se sabe que: • "C" debe hacerse después que "B" • "E" debe hacerse antes que "B" • "D" debe hacerse después que "A" • "B" debe hacerse antes que "D" Si el orden en que se realizaron se indica de izquierda a derecha, indique una secuencia incorrecta. I. EABDC II. AEBCD III.EBADC Enunciado

Un edificio de cinco pisos, donde en cada piso hay dos departamentos, es ocupado por ocho amigos, que viven cada uno en un departamento diferente y se sabe que: • José Luis vive a un piso de Rubén y a dos pisos de Gerard, pero más abajo que Enrique y Pablo. • Francisco vive más arriba que Gerard, pero en el mismo piso que Armando. • Rubén quiere mudarse porque su vecino de piso hace mucho ruido. • Claudio vive en el primer piso y para ir a la casa de Gerard debe subir tres pisos. • Rubén no vive en el primer piso.

8. ¿Quiénes viven en el último piso? 9. De las siguientes afirmaciones: I. Pablo vive entre Armando y Enrique II. Enrique es el vecino ruidoso III. José Luis vive en el segundo piso

10. Para tener un solo ordenamiento, es necesario saber además que: I. Gerard vive más arriba que Enrique. II. Rubén vive más abajo que Pablo. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos. a) b) c) d)

11. Si los otros departamentos no ocupados por los amigos están vacíos, ¿dónde podrían estar estos dos departamentos vacíos? 12. Si Enrique vive en el tercer piso, ¿quién vive en ese mismo piso? 13. Si para subir al departamento de Pablo, Claudio debe subir dos pisos, entonces, ¿quién es el vecino ruidoso? Enunciado

Seis personas: Alicia, Bruno, Clara, Diego, Ever y Fabián se encuentran sentadas en una fila de seis asientos de un teatro. Se sabe lo siguiente: • Alicia no está sentada en los extremos de la fila • Clara y Ever no se han sentado juntos • Bruno y Ever no se han sentado juntos • Fabián se encuentra sentado junto y a la izquierda de Ever.

14. ¿Cuál de los siguientes ordenamientos, de izquierda a derecha, son posible? a) b) c) d) e)

Clara, Diego, Bruno, Fabián, Ever y Alicia Clara, Alicia, Diego, Fabián, Ever y Bruno Clara, Ever, Fabián, Alicia, Diego y Bruno Bruno, Alicia, Clara, Fabián, Diego y Ever Diego, Bruno, Fabián, Ever, Alicia y Clara

15. Si Clara está sentada en el extremo izquierdo hay exactamente tres asientos entre Bruno y Clara, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) Diego está sentado en el extremo derecho b) Alicia está sentada junto y a la izquierda de

Fabián. c) Bruno está sentado junto a Fabián d) Alicia está sentada junto a Clara e) Más de una es correcta

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2

orden de información En este capítulo aprenderemos a: • •

Ordenar con criterio la información en un ordenamiento circular. Relacionar datos para ordenar información en cuadros de doble entrada.

El rey Arturo y los caballeros de la Mesa Redonda os caballeros de la mesa Redonda también llamados de la Tabla Redonda , forman una orden de caballería mítica legendaria, que aparecen en las leyendas artúricas de la llamada materia de Bretaña. Según estas, la orden fue fundada una vez. Arturo fue proclamado Rey de Britania y fundó su corte en Camelot. El Rey de Leodegrance, que gobernaba las tierras de Cameliard, con motivo de la boda de su hija Ginebra con el rey Arturo le regaló la mesa o tabla que dio origen a la orden. La mesa tenía ciento cincuenta plazas que no siempre estaban cubiertas, y en ellas se sentaron los más dignos caballeros de su tiempo según cuenta la leyenda, la importancia de que la mesa o tabla fuera redonda reside en que nadie la presidía, es decir, que los que allí se sentaban ninguno estaba por encima de los demás. La orden comenzó a decaer cuando surgió la demanda del Santo Grial que hizo que muchos de los caballeros partieran en su búsqueda y muchos perecieran en la misma, pero el final definitivo de la orden ocurrió cuando la hermana del Rey, la bruja Morgana, hizo públicos los amores adúlteros entre la esposa del rey Ginebra y el primer caballero de este, Launcelot, lo que llevó a una guerra civil y a la muerte del Rey a manos de Mordred hijo del Rey y Morgana. Después de aquello, Arturo fue llevado por Morgana a la lista de Avalón, donde sería enterrado.

L

•

¿Quién se sienta tres asientos a la derecha de Sir Launcelot?

Sir Galahad Sir Gawaine

Sir Arturo

Sir Tristam Sir Garet

Sir Lamorak de Galis

Sir Percivals

Sir Bedivere Sir Bors de Ganis

Sir Gaheris

Sir Geraint r aunce ot

Central: 619-8100

Sir Kay

Unidad III

113

Orden de información II

Conceptos básicos Ordenamiento circular o cerrado



En estos tipos de problemas los elementos estarán ordenados de modo que formen una figura cerrada. Debemos tener en cuenta que: Derecha de "D" F

C

A

B

Izquierda de "E" o l p m E

j

E

D Izquierda de "D"

E

Entonces: • "C" y "B" están a la derecha de "E" ("B" está junto y a la derecha de "E") • "D" está al frente de "E" • "D" está diametralmente opuesto a "E" • "C" se sienta a tres asientos de "A" • "C" está junto y a la izquierda de "D"

Derecha de "E"

Seis amigos: Ana, Beatriz, Carlos, Daniel, Ernesto y Florencio se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: • Ana se sienta junto y a la derecha de Beatriz y frente a Carlos • Ernesto no se sienta junto a Carlos Se puede afirmar con certeza que: I. Carlos se sienta entre Daniel y Florencio II. Daniel se sienta frente a Beatriz III.Florencia se sienta frente a Ernesto

o l p m E

Resolución

j

Graficamos la mesa circular con los seis asientos simétricamente distribuidos: Dato 1: Ana se sienta junto y a la derecha de Beatriz y frente a Carlos. Derecha Izquierda de Ana de Ana Ana Derecha de Beatriz Batriz

E

A la primera persona (Ana) se ubica en cualquier posición y las demás se ordenarán en función a esta.

Izquierda de Beatriz

Dato 2: Ernesto no se sienta junto a Carlos.

La única posibilidad

Ana B atriz

Ernesto

Carlos

Faltan ubicar a dos personas (Daniel y Florencio), entonces se ubicarán al lado de Carlos.

Ernesto no se puede sentar en ninguno de estos asientos.

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•

2

Existen dos posibilidades:

Caso (1)

Caso (2) Ana

Ana

Ernesto

Beatriz

Ernesto

Daniel

Florencio

Florencio

Carlos

Beatriz

Daniel Carlos

Se puede afirmar con certeza: I. Carlos se sienta entre Daniel y Florencio (cumple en los dos casos) II. Daniel se sienta frente a Beatriz (cumple en el Caso (1), pero no en el Caso (2)) entonces no se puede afirmar. III. Florencio se sienta frente a Ernesto (cumple en el caso (2) pero no en el caso (1)) entonces no se puede afirmar. Rpta.: Solo I

Relación de datos (cuadro de afirmaciones)



o l p m E

j

E

Camila, Nataly y Amalia viven en tres ciudades distintas: Lima, Cusco y Piura, estudiando una carrera diferente: Medicina, Derecho y Contabilidad. Se sabe que: 1º Camila no vive en Cusco 2º Nataly no vive en Piura 3º La que vive en Cusco no estudia Derecho 4º Nataly no estudia Medicina 5º Quien vive en Piura estudia Contabilidad

o l p m E

¿Dónde vive y qué estudia Nataly?

j

E

Resolución • Reconociendo los datos (1º, 2º y 4º )

"Camila no vive en Cusco, Nataly no vive en Piura y no estudia Medicina" Ciudades donde viven Lima

Camila Nataly Amalia

Central: 619-8100

Cusco

Carreras

Piura Medicina Derecho Contabilidad

× ×

×

Unidad III

115


• Analizando el dato 5:

"Quien vive en Piura estudia Contabilidad" (Si no vive en Piura no estudia Contabilidad) Ciudades donde viven Lima


Cusco

Carreras


× ×

×

×

• Del dato 3 la que estudia Derecho es Nataly y no vive en Cusco, vive en Lima. Ciudades donde viven

Camila Nataly Amalia •

Lima

Cusco

×

×

Sí

×

Carreras

Piura Medicina Derecho Contabilidad × ×

×

×

Sí

×

×

Por consiguiente Camila vive en Piura y estudia Contabilidad. Amalia vive en Cusco y estudia Medicina. Ciudades donde viven


Carreras

Lima

Cusco

×

×

Sí

×

×

Sí

×

×

×

Sí

×

Sí

×

Sí

×

×

Sí ×


Rpta.: Nataly vive en Lima y estudia Derecho

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2

Síntesis teórica

ORDEN DE INFORMACIÓN II

Se organizan los datos alrededor de un mesa circular en forma simétrica

Se toma en cuenta la derecha e izquierda de las personas

Se organizan los datos en cuadros de doble entrada

como Derecha de "A"

A

Se completan los datos según las afirmaciones y descartando posibilidades

como

Izquierda de "A" B

F

Distritos Surco

C

E

Edú Mathías

Izquierda de "D"

Central: 619-8100

D

Derecha de "D"

Uli

×

Sí ×

Lima

Distritos Lince

× ×

×

Edú Mathías Uli

Surco

Lima

Lince

×

×

Sí

Sí

×

×

×

Sí

×

Unidad III

117

Orden de información II 10 5 50

Conceptos básicos Enunciado I

Enunciado II

Renato, Javier, Antonio y Santiago son: escritor, historiador, periodista y filósofo, aunque no necesariamente en ese orden. Todos ellos fuman, excepto uno y sus marcas de cigarrillos preferidas son: Hamilton, Winston y Premier.

Ocho personas: Arturo, Carlos, Daniel, Enrique, Flavio, Hugo, óscar y Pedro; se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente, además se sabe que:

• • • •

El que prefiere Hamilton es vecino del filósofo y no es periodista. Antonio estudió con el historiador en el colegio y siempre ha preferido fumar Winston. Javier en más joven que el periodista y nunca ha fumado. El escritor es Renato y es más joven que el que fuma Hamilton.

• •

•

Arturo se sienta diametralmente opuesto a Enrique y junto a Flavio. Carlos se sienta diametralmente opuesto a Flavio y Daniel se sienta diametralmente opuesto a Pedro. Flavio se sienta junto y a la izquierda de óscar.

Responder:

3. ¿Dónde se sienta Hugo?

1. Coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso: • • •

Javier es filósofo ............................... ( Antonio es el mayor ......................... ( Javier es el escritor ............................ (

2. Relaciona correctamente ambas columnas: Columna B

Columna A (A) (B) (C) (D)

Renato Antonio Santiago Javier

(I) (II) (III) (IV)

Historiador

Periodista Escritor Filósofo

) ) )

4. ¿Quién se sienta tres asientos a la derecha de óscar?

Enunciado III

En una calculadora ACASIO los símbolos:  ; - ; × ; +, no indican las operaciones correspondientes. Si además, se sabe que: •

tecla "×".

• •

Relacionando: A ( )

B ( )

La operación de adición no corresponde a la La tecla " " no corresponde a la operación de multiplicación. Al presionar (5+1), el resultado es 4.

5. ¿Qué valor resulta al presionar (4 - 3)? C ( )

D()

a) 1,333... d) 1

b) 7 e) 0,75

c) 12

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1. Rosa, Clara, Pamela y Elsa tienen diferentes ocupaciones. Se sabe que: • Rosa y la secretaria están enojadas con Elsa. • Clara es amiga de la profesora. • La enfermera es familiar de Elsa. • La pintora es muy amiga de Pamela y de la profesora. • Rosa es enfermera.

4. Cinco personas tienen distintas aficiones: fútbol, básquet, vóley, natación y tenis, y gustan de colores diferentes: azul, rojo, blanco, negro y verde. Se sabe que: • Brenda no practica vóley ni le gusta el azul. • La basquetbolista no gusta del rojo. • Laura no practica básquet. • Quien practica vóley gusta del blanco. • A Diana no le gusta los deportes en que se usen pelota. • Emma y Carla no practican básquet ni vóley • A la nadadora le gusta el verde.

Complete: I. Clara es amiga de II. es la pintora. III.La secretaria es

2

¿Qué afición tiene Laura?

2. Se sabe que cuatro amigos ejercen ocupaciones distintas: electricista, zapatero, proyectista y cobrador, siendo sus apellidos: Suárez, Antúnez, Miranda y Cevallos; radicando en cuatro distritos diferentes: Cercado, Magdalena, Pueblo Libre y Barranco, y además se conoce que: • El electricista vive en Magdalena • El señor Cevallos es proyectista • Ni el señor Cevallos, ni el señor Miranda viven en el Cercado • El cobrador no conoce Barranco • El señor Suárez vive en Barranco

5. Eucalipta, Genara y Tránsito hablan un idioma diferente cada una: francés, ruso y griego, y viven en países diferentes: Perú, Ecuador y Colombia. Si se sabe que: • La que habla ruso no conoce Colombia • La que habla griego es amiga de Genara y prima de Tránsito y además no conoce el Perú • Genera conoce Colombia

Relacione correctamente ambas columnas:

¿Dónde vive Tránsito y qué idioma habla?

(I) (II) (III) (IV) I ( )

Miranda Cevallos Antúnez Zapatero II ( )

A. Cercado B. Magdalena C. Barranco D. Proyectista III ( )

IV ( )

3. Seis candidatos políticos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular. Se sabe que el candidato "A" no se sienta junto a "C" ni al "D", el candidato "B" se sienta junto a "F" y "F" se sienta frente a "D". Coloque "V" si es verdadero o "F" si es falso en cada proposición: I. "A" se sienta frente a "C" .......................( ) II. "E" no se sienta frente a "B"...................( ) III. "D" se sienta a tres asientos de "F" ........( )

Central: 619-8100

a) fútbol d) vóley

a) b) c) d) e)

b) básquet e) tenis

c) natación

Perú - griego Ecuador - ruso Perú - francés Ecuador - griego Perú - ruso

6. Ana, Beto, César y Damián tienen como profesiones: ingeniero, geólogo, arquitecto y médico y viven en las ciudades: "E", "F", "G" y "H". Se sabe que: • César no vive en "E" ni en "F" • El geólogo vive en "E" • Damián es arquitecto • El ingeniero nunca ha emigrado de "G" ¿Qué profesión tiene Ana? a) Ingeniero c) Arquitecto e) Faltan datos

b) Geólogo d) Médico

Unidad III

119


7. Hay cuatro amigos, cada uno con una determinada afición a un juego: sapo, ajedrez, dominó y damas, a tener una mascota: loro, gallo, perro y canario; y a fumar: Hamilton, Marlboro, Winston y Nevado. Se sabe que: • Pío fuma Hamilton • El que juega sapo tiene el loro • Luchín no tiene el canario • El que fuma Marlboro juega ajedrez • Alejandro juega dominó • El que fuma Winston tiene el perro • Jaime no juega ajedrez • El que juega damas fuma Nevado ¿Quién fuma Winston? a) Alejandro d) Jaime

b) Pío c) Luchín e) Jaime o Pío

bailará un ritmo diferente: húyalas, huayno, tango, vals y marinera; se sabe que: • En el Cusco se baila el huayno. • Luz representa a Junín. • El representante de Lima será Tulio y bailará

un vals. • Tino no representa a Piura, pues tendría que bailar marinera. • Mary representa a Puno y por lo tanto no bailará húyalas. La afirmación correcta es: a) b) c) d) e)

Luz bailará marinera Luz bailará húyalas Tino representa a Puno Marco representa a Lima Mary bailará un huayno

8. Mario, Juan, Andrés y Carlos tienen diferentes ocupaciones: • Mario y el carpintero están enojados con Carlos. • Juan es amigo del electricista. • El comerciante es familiar de Carlos • El sastre es muy amigo de Andrés y del electricista. • Mario desde muy joven se dedica a vender abarrotes. ¿Cuál es la ocupación de Andrés?

11. En una reunión del Directorio de una empresa se encuentra el presidente, el vicepresentante, el secretario y un trabajador de la empresa, cuyos nombres (no necesariamente en ese orden) son: Elias, Roberto, Sandro, Iván. • Sandro y el trabajador son muy amigos • Roberto es primo del secretario • Elias y el vicepresidente no se llevan bien • El presidente y el trabajador son amigos de Iván • El secretario se llama Elias

a) Carpintero b) Electricista c) Sastre d) Comerciante e) Ninguna

¿Quiénes son el presidente y el trabajador?

9. Están en una sala de conferencia: un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres aunque no necesariamente en ese orden, de los profesores son: Pedro, Diego, Juan y Luis, si se sabe que: • Pedro y el contador nunca se llevaron bien. • Juan se lleva muy bien con el médico. • Diego es pariente con el abogado y este es amigo de Luis. • El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico. ¿Cuál es la correspondencia correcta? a) Pedro - ingeniero c) Luis - abogado e) Pedro - contador

b) Juan - médico d) Diego - ingeniero

10. Un grupo folklórico tiene como integrante a Marco, Tino, Tulio, Luz y Mary; representado a cinco departamentos: Cusco, Puno, Junín, Lima y Piura; sabiendo además que cada uno

a) Sandro - Roberto c) Iván - Sandro e) Roberto - Elias

b) Sandro - Iván d) Iván - Roberto

12. Los amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Sabiendo además que: • "A" no se sienta frente a "B" • "C" se encuentra a dos asientos de "D" • "B" está a la izquierda de "C" • "E" se encuentra a tres asientos de "B" • "F" no se sienta junto a "A" Indique la proposición verdadera: a) b) c) d) e)

"F" se sienta frente de "D" "E" se sienta al frente de "F" "D" no se sienta junto a "E" "A" se sienta junto y a la derecha de "B" No es cierto que "A" se sienta a dos asientos de "F"

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13. Seis personas juegan al Póker alrededor de una mesa redonda, Lito no está sentado al lado de Elena ni de Juana. Félix no está al lado de Gino ni de Juana, Pablo está junto a Elena a su derecha. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo? a) Lito d) Elena

b) Félix e) Gino

c) Juana

Enunciado

En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan seis amigas: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se dice que: • "C" se sienta a la derecha de "A" • "D" se sienta junto a "E" • Junto y a la izquierda de "F" se sienta "A" • "B" no se sienta frente a "A"

14. ¿Dónde está "F"? a) Junto a "D" b) Frente a "E" c) Frente a "D" d) A la derecha de "B" e) Más de una es correcta

2

simétricamente. Además se sabe que: • Felipe y Gladis se sientan juntos. • Daniel no se sienta junto a Berenice ni a su izquierda. • Ana se sienta a la derecha de Berenice y a la izquierda de Ena. • Carlos no se sienta junto a Ena ni a Gladis. • Héctor llegó un poco retrasado a la reunión. • Amigos del mismo sexo no se sientan juntos. ¿Dónde se sienta Héctor? a) b) c) d) e)

Frente a Daniel Junto a Ena Junto a Gladys Entre Felipe y Berenice Nada se puede precisar acerca de su posición

19. Cuatro hermanos juegan póker alrededor de una mesa redonda, y se sabe que: Isaías se encuentra a la derecha de Abraham. Onesimo no está junto a Abraham. Ernesto está muy concentrado en el juego. Según esto afirmamos:

15. Es posible que: I. "B" esté frente a "F" II. "C" está adyacente a "B" y "E" III."D" no esté frente a "C" a) Solo I d) I y II

b) Todas e) II y III

c) Solo III

16. Si "D" está a la izquierda de "A", ¿quién se sienta junto y a la derecha de "E"? a) A d) D

b) B e) E

c) C

17. Se sabe que "A" está frente a "D", entonces es necesariamente cierto que: a) Se reduce una posibilidad de ordenamiento b) Se dan dos posibilidades de ordenar los datos c) Tal información es contradictoria con los

datos del texto d) Aumenta una posibilidad de ordenar los datos e) Se mantiene las mismas posibilidades de ordenar los datos

18. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos

Central: 619-8100

Isaías y Ernesto no se ubican separados Abraham y Ernesto no se ubican juntos Ernesto e Isaías se ubican juntos Onesimo se ubica junto y a la derecha de Ernesto e) Onesimo se ubica junto y a la derecha de Isaías a) b) c) d)

20. Seis amigos: Alex, Raúl, César, Juan, Dandy y Javier se sientan alrededor de una mesa circular que tiene seis sillas distribuidas simétricamente. Si se sabe que: • Javier se sienta dos posiciones a la izquierda de Alex. • Alex se sienta diametralmente opuesto a Dandy. • Raúl se sienta dos posiciones a la derecha de Juan. Indique la (s) afirmación(es) correcta(s): I. César se sienta a la izquierda de Raúl. II. Juan se sienta diametralmente opuesto a Javier. III.Javier se sienta junto a Juan. a) II y III d) I y III

b) I e) III

c) II

Unidad III

121


Conceptos básicos 1. Los seis primeros puestos de la UNMSM (estudiantes de las Academia Trilce): Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Flavio; se sientan alrededor de una mesa circular, con seis sillas dispuestas simétricamente; además se sabe lo siguiente: • El que obtuvo el primer puesto está sentado junto a quien obtuvo el tercer puesto y frente a Beto • El que obtuvo el sexto puesto está sentado junto a Diana. • Hay exactamente tres personas, con puestos consecutivos que se sientan juntos. • Quien tiene el cuarto puesto está sentado frente a quien tiene el quinto puesto. • Elena está sentada junto al que obtuvo el primer lugar. El orden en el que están sentados los seis alumnos, alrededor de la mesa, en sentido horario y por puesto puede ser: a) 1 - 2 - 3 - 5 - 4 - 6 d) 6 - 3 - 5 - 2 - 1 - 4

b) 1 - 4 - 2 - 6 - 5 -3 e) 5 - 1 - 3 - 4 - 2 - 6

c) 2 - 4 - 6 - 3 - 1 - 5

2. A una fiesta asistieron cuatro parejas que solo bailaron entre ellos y al mismo tiempo un huaylas, un tondero, una saya y un vals. Al salir comentaron: • Natty: "Disfrute más bailando tondero con Raúl que huaylas con Paúl" • Patty: "Mientras bailaba tondero con Dany, él me piso el pie" • Katty: "Cuando bailaba saya con Tony, nos tropezamos" • Betty: "Nunca más volveré a bailar saya con Raúl" ¿Quiénes bailaron vals con Katty y Betty? a) Dany - Paúl d) Dany - Raúl

b) Dany - Tony e) Tony - Paúl

c)

Raúl - Paúl

3. En un restaurante ocho personas se sientan en una mesa redonda, cada uno es de un distrito diferente. El de Chorrillos está diametralmente opusto al que vive en Miraflores y al costado de los que viven en Barranco y Surco. Diametralmente opuesto al que reside en Surco está el que reside en San Isidro, quien a su vez está a la siniestra del que vive en Vitarte. El que vive en la Molina está al costado izquierdo del que vive en Miraflores y diametralmente opuesto al que vive en Barranco. ¿Quién es el que está entre los que viven en Santa Anita y Miraflores? a) Chorrillos

b) Barranco

c) Surco

d) Vitarte

e) La Molina

Enunciado

Siete amigos: Antonio, Dante, Eliana, Magali, Frida, Ricardo y Gerardo, se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente: • Antonio se sienta frente a Ricardo y junto a Magali • Dante se sienta frente a Magali y a la izquierda de Ricardo • Eliana no se sienta junto a Dante ni a Antonio • Frida y Gerardo se sientan juntos

4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Eliana se sienta junto a Antonio II. Magali se sienta junto a Eliana III. Dante se sienta junto al sitio vacío a) I y II

b) I y III

c) II y III

d) Todas

e) Ninguna

5. ¿Dónde se sienta Frida? a) Junto a Antonio d) Junto a Gerardo

b) Adyacente a Dante y Antonio e) Junto al sitio vacío

c) Frente a Eliana

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Enunciado

(preg.:

1;2)

Job, José, Jonás y Jorge viven cada uno en un distrito: Breña, Rímac, Lince y Comas. Sus edades son: 22; 17; 14 y 25 años, en algún orden. Y sabemos que: • • • •

José viven en Comas El que vive en Lince es el mayor Jorge es menor que José y no vive en Breña Job es mayor que Jorge, pero menor que Jonás

1. ¿Quién vive en el Rímac, y quién es el menor, respectivamente? 2. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son correctos? I. Job no es el mayor II. El que vive en Breña es mayor que José III.Job es menor que el que vive en Comas

3. En su clase de origami, Lidia, Candy y Helen hicieron unos barquitos con solo uno de estos materiales: papel lustre, cartulina y papel bond, aunque no necesariamente en ese orden. Además cada una lo pintó de un color diferente: rojo, azul y verde. Y se sabe que: • Lidia no hizo un barquito de cartulina • Helen pintó su barquito de verde • El barquito de cartulina se pintó de color rojo. ¿Qué podemos afirmar? a) b) c) d) e)

Lidia usó papel lustre Candy pintó su barquito de azul Helen usó papel bond Lidia pintó su barquito de azul Candy no pintó su barquito de rojo

4. Santiago, Andrés, Julio y Pedro tienen diferentes ocupaciones. Sabiendo que: • Andrés es hermano del electricista • El comerciante se reúne con Santiago a jugar naipes • Pedro y el electricista son clientes del sastre • Julio se dedica a vender abarrotes desde muy joven ¿Cuál es la ocupación de Andrés?

5. Se sabe que las profesiones de: Judith, Elba, Rosa y Queta son: profesora, nutricionista, abogada y odontóloga, no necesariamente en ese Central: 619-8100

2

orden. Si Judith está casada con el hermano de la nutricionista, Elba y la odontóloga van a trabajar en la movilidad de la nutricionista, Rosa y la profesora son solteras e hijas únicas, Elba y Queta son amigas de la abogada, la cual está de novia, ¿quién es la abogada y quién es la odontóloga?

6. Los señores: Pérez, Morales, Benites y Jara tienen profesiones diferentes: arquitecto, sociólogo, contador y agrónomo. Se van de vacaciones a diferentes lugares: Huaraz, Trujillo, Cusco e Iquitos. El Sr. Pérez trajo un caimán, siendo Morales el arquitecto admiró la belleza del Lanzón de Chavín, Benites no es sociólogo, Jara cumplió su deseo de conocer el Cusco. El agrónomo no conoce Trujillo, ¿quién fue a Trujillo y cuál es su profesión? 7. Alfredo, Beto, Carlos y Diego son: mecánico, electricista, soldador y carpintero llevan uniforme: blanco, amarillo, rojo y azul. El mecánico derrotó a Beto en el juego al sapo, Carlos y el soldador juegan a menudo al bingo con los hombres de rojo y azul. Alfredo y el carpintero tienen envidia al hombre de uniforme azul, quién no es electricista pues este usa uniforme blanco. ¿Qué oficio tiene Carlos? 8. Ocho personas: Arturo, Carlos, Daniel, Enrique, Flavio, Hugo, óscar y Pedro; se sientan alrededor deuna mesacircularconochoasientosdistribuidos simétricamente; además se sabe que: • Arturo se sienta diametralmente opuesto a Enrique y junto a Flavio. • Carlos se sienta diametralmente opuesto a Flavio y Daniel se sienta diametralmente opuesto a Pedro. • Flavio se sienta junto y a la izquierda de óscar. ¿Dónde se sienta Hugo? Enunciado: (Preg.:13; 14; 15; 16; 17; 18)

Seis amigos se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente, y se sabe que: • "F" está sentado a la izquierda de "J". • "K" está sentado justo al frente de "G" y a la

izquierda de "J". • "G" está sentado a dos asientos de "F". • "J" está sentado justo al frente de "H" y este está sentado a la izquierda de "K". • "I" conversa amenamente con todos. Unidad III

123


9. ¿Cuántos posibles ordenamientos hay?

12. ¿Quién es la secretaria de Julio?

10. ¿Quiénes pueden estar sentados junto a la derecha de "G"?

13. La profesión de Manuel es: Enunciado (14;15)

Enunciado (Preg.:11;12;13)

Julio, Eduardo y Manuel son profesionales. Uno de ellos es arquitecto, otro ingeniero y el otro notario, aunque no necesariamente en ese orden. Los tres tienen sus oficinas en un mismo edificio, cada uno en un piso diferente. Sus secretarias se llaman: Rosa, Patricia y Yolanda, aunque no necesariamente en ese orden. Además se conoce la siguiente información: • •

• •

El notario tiene su oficina en la planta baja. Por llevar la contra a la costumbre que indica que las secretarias se enamoran de sus patrones, Patricia fue "flechada" por Manuel con quien desayuna todos los días. Todas las mañanas Rosa sube a desayunar con la secretaria de Eduardo. Julio, en un arranque de furia, ordenó a su secretaria que se fuera hasta la oficina del arquitecto a traerle un café.

Se sabe que cuatro amigos ejercen ocupaciones distintas: electricista, zapatero, proyectista y cobra-dor; siendo sus apellidos: Suárez, Antúnez, Miranda y Zevallos; radicando en cuatro distritos diferentes: Cercado, Magdalena, Comas y Lince. Además se conoce que: • • • • •

El electricista vive en Magdalena. El señor Zevallos es proyectista. El cobrador no conoce Lince. Ni el señor Zevallos ni el señor Miranda viven en el Cercado. El señor Suárez vive en Lince.

Responder:

14. ¿Dónde vive el proyectista? 15. El señor Suárez ejerce la ocupación de:

Responder:

11. ¿Quién es el arquitecto?

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3

juegos lógicos En este capítulo aprenderemos a: • •

Desarrollar tu pensamiento creativo y tu agilidad mental. Resolver ejercicios con métodos diferentes al convencional.

El dilema del prisionero

E

l dilema del prisionero (Prisoner's dilemma) es un modelo de conflictos muy frecuentes en la sociedad que ha sido profundamente estudiado por la Teoría de juegos.

Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no pueden comunicarse entreellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo del banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas. Solo tiene pruebas y puede culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo castigo es de dos años de cárcel. Promete a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si proporciona las pruebas para culpar al otro del robo del banco. Las alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de pagos. La estrategia "lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar pruebas para acusar al compañero. Llamaremos "traición" a la estrategia alternativa. Dilema del prisionero Matriz de pagos (años de cárcel)

Preso X

lealtad traición

Preso Y lealtad traición 10/1 2/2 1/10 5/5

Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los años de cárcel a los que es condenado el preso X o Y respectivamente según las estrategias que hayan elegido cada uno de ellos.

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Unidad III

125

Juegos lógicos

En vez de expresar los pagos en años de cárcel, podríamos indicar simplemente el orden de preferencia de cada preso de los correspondientes resultados, con lo que el modelo pasa por tener aplicación más general. Dilema del prisionero Matriz de pagos (orden de preferencias) Preso Y lealtad traición Preso X

lealtad traición

2/2

4/1

1/4

3/3*

La aplicación de la estrátegia maximin conduce en este juego a un resultado subóptimo. Al no conocer la decisión del otro preso, la estrategia más segura es traicionar. Si ambas traicionan, el resultado para ambos es peor que si ambos hubieran elegido la lealtad. Este resultado es un punto de equilibrio de Nash y está señalado en la matriz mediante un asterisco. El dilema del prisionero, tal como lo hemos descrito, es un juego de suma no nula, bipersonal, biestratégico y simétrico. Fue formalizado y analizado por primera vez por A. W. Tucker en 1950. Es posiblemente el juego más conocido y estudiado en la teoría de juegos. En base a él se han elaborado multitud de variaciones, muchas de ellas basadas en la repetición del juego y en el diseño de estrategias reactivas. ¿La mejor forma de conseguir lo mejor para cada uno es hacer lo que resulta mejor para todos? ¿La moral, es un buen negocio?

John Forbes Nash

A. W. Tucker

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3


Verdades - mentiras: Principio de suposición

En este tipo de problemas debemos suponer a manera de hipótesis la respuesta y verificar que cum pla con todos los datos del enunciado, nos podemos ayudar de un cuadro de doble entrada. o l p m E

j

E

Un arqueólogo, que realiza excavaciones en las ruinas de Trilcelandia encuentra tres cofres: Uno de plata, uno de bronce y otro de madera. Se sabe que en uno de ellos hay un tesoro, al pie de cada cofre hay un mensaje. • Cofre de plata: "El tesoro está aquí" • Cofre de bronce: "El tesoro no está aquí" • Cofre de madera: "El tesoro no está en el cofre de bronce" ¿En cuál de los cofres está el tesoro si uno de los mensajes es incorrecto?

o l p m E

Resolución

j

E

Suposición 1: "El tesoro se encuentra en el cofre de plata"

Entonces tendremos: Enunciado del cofre de plata Enunciado del cofre de bronce Enunciado del cofre de madera

V V

Los tres enunciados resultarían ser verdaderos, esto contradice al hecho de que uno de los mensajes es incorrecto.

V

Suposición (2): "El tesoro está en el cofre de bronce" analizando los enunciados

de los cofres. Enunciado del cofre de plata Enunciado del cofre de bronce Enunciado del cofre de madera

F F

Los tres enunciados resultarán ser falsos, esto contradice al problema.

F

Supuesto (3): "El tesoro está en el cofre de madera"

Enunciado del cofre de plata Enunciado del cofre de bronce Enunciado del cofre de madera

F Un enunciado falso y dos

V

enunciados verdaderos no

contradice al problema.

V  Este supuesto sería el correcto Rpta.: El tesoro está en el cofre de madera

Central: 619-8100

Unidad III

127

Juegos lógicos



Redes

o l p m E

j

E

El siguiente esquema muestra una red de caminos. Las flechas que unen los puntos representan el camino por donde se puede transitar y el sentido en que se debe hacerlo, y los números representan cantidades de horas de cada trayecto. Observa el esquema, y contesta: ¿Cuál es el mínimo número de horas que tomará ir de Lima a Cusco, sin pasar dos veces por la misma ciudad?

5

8 Huancayo

Lima

Ayacucho

o l p m E

j

E

12 6

4

Cusco 9

Ica

Resolución

Posibles rutas

Número de horas

Lima - Huancayo - Cusco

5 +12=17

Lima - Ica - Ayacucho - Huancayo - Cusco

6+9+8+12=35



*

Rpta.: 17 horas

No puede ser: Lima - Huancayo - Ayacucho - Ica - Cusco porque de Ica no se puede ir al Cusco según el gráfico. Tampoco puede ser: Lima - Ica - Cusco

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3

Síntesis teórica

JUEGOS LÓGICOS

desarrollan

aplicando

en

B

C

A D

Central: 619-8100

E

Unidad III

129

Juegos lógicos 10 5 50

Conceptos básicos Enunciado I • Cuatro hermanas son interrogadas por su

padre, pues una de ellas rompió su perfume favorito. Ellas respondieron: • Celicia : "Vielka fue" • Vielka : "María fue" • María : "Vielka miente al decir que fui yo" • Paula : "Yo no fui" 1. Si solo una de las cuatro hermanas dice la verdad, ¿quién rompió el perfume?

2. Si tres de las cuatro hermanas mienten, ¿quién dice la verdad?

3. Si una persona se encuentra en el punto 5 y desea ir al punto 7, ¿cuál de las siguientes rutas son válidas? I. 5 - 4 - 3 - 6 - 7 II. 5 - 9 - 8 - 6 - 7 III. 5 - 6 - 8 - 7

4. Si Pepito se encuentra en el punto 1 y desea viajar al punto 6, sin pasar dos veces por el mismo punto ni por el punto 3, ¿cuántas rutas puede escoger?

Enunciado III Enunciado II • El siguiente esquema muestra una red de

caminos, las flechas que unen los puntos representan el camino por donde se puede transitar y el sentido en el que se debe hacerlo. Observa el esquema y contesta las preguntas:

Se tiene el siguiente sólido de madera, se pintan todas las caras y luego se corta con un serrucho por las marcas.

5. ¿Cuántos cubitos tendrán solo una cara pintada?

Conceptos básicos Enunciado I (Preg: 1;2;3)

Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso:

1. Si la madre sabe que solo una de ellas dice la verdad, ¿quién se comió el chocolate? a) Carla

d) Patricia Carla Verónica María Patricia

: : : :

"Verónica fue" "María fue" "Verónica miente al decir que fui yo" "Yo no fui"

b) Verónica c) María e) Faltan datos

2. Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad? a) Carla

d) Patricia

b) Verónica c) María e) No se puede precisar

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3. Si tres de ellas dicen la verdad, ¿quién miente? a) Carla

b) Verónica c) María e) No se puede precisar

d) Patricia

Enunciado II (Preg: 4;5)

Cuatro alumnas: Mónica, Lucero, Estrella y Sol, responden un examen de tres preguntas de la siguiente manera: Alumna Mónica Preguntas 1 2 3

V V F

Lucero

Estrella

Sol

V

F F

F

V

V

F

F F

4. Si se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, que otra falló en todas y que las otras dos fallaron solo en una pregunta cada una, ¿quién falló en todas las preguntas? a) Mónica

d) Sol

b) Lucero c) Estrella e) Faltan datos

5. Si se sabe que solo una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, que otra falló en todas y que las otras dos fallaron solo en una pregunta cada una, ¿quién acertó en todas las preguntas? a) Mónica

d) Sol

b) Lucero c) Estrella e) No se puede precisar

Enunciado III (Preg: 6;7;8)

Un arqueólogo, que realiza excavaciones en las ruinas de Chuquitanta encuentra tres cofres: uno de plata, otro de oro y el otro de madera. Se sabe que en uno de ellos hay un tesoro y al pie de cada cofre hay un mensaje: • • •

Cofre de plata :"El tesoro está aquí" Cofre de oro : "El tesoro no está aquí" Cofre de madera :"El tesoro no está en el cofre de oro"

6. ¿En cuál de los cofres está el tesoro, si solo uno de los mensajes es incorrecto? Plata Oro Madera Con la información dada, podrían ser correctas "a" o "b" e) Con la información dada, podrían ser correctas "a" o "c" a) b) c) d)

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3

7. Si solo uno de los mensajes es incorrecto, entonces debe ser verdad que: I. El mensaje del cofre de oro es correcto II. El mensaje del cofre de plata es correcto III.El tesoro no está en el oro de bronce a) I y II b) I y III c) II y III d) Todas e) Ninguna de las anteriores 8. Si el tesoro se encuentra en el cofre de madera, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. El mensaje del cofre de plata es incorrecto II. El mensaje del cofre de madera es incorrecto III.El mensaje del cofre de oro es correcto a) Solo I b) I y II c) I y III d) II y III e) Ninguna de las anteriores 9. En un pueblo se notaba claramente dos grupos bien diferenciados, los de arriba y los de abajo, cuya característica de los primeros era que siempre decían la verdad y los segundos siempre mentían. Se sabe que: Antonio, Carmen y Beto son habitantes de ese pueblo y, además, se escucha el siguiente diálogo: • Beto es de abajo, dice Carmen • Antonio y Carmen son del mismo grupo (ambos de abajo o ambos de arriba), comenta Beto. ¿A qué grupo pertenece Antonio? a) Los de arriba b) Los de abajo c) Ninguno d) Los del centro e) No se puede determinar 10. En una cierta isla, los creyentes de Dios siempre dicen la verdad y los no creyentes o marxistas siempre mienten. Un extranjero llega a la isla y se encuentra con cuatro nativos del lugar. Pregunta al primero de ellos si es marxista, este responde a la pregunta; inmediatamente el segundo y el tercero, informan que el primero negó ser marxista, pero el cuarto informa que el primero no es creyente. ¿Cuántos de los cuatro nativos son marxistas? a) 1 d) 4

b) 2 e) Ninguno

c) 3

Enunciado IV (Preg.: 11;12;13;14;15)

Se traza un triángulo ABC en sentido horario, con "D", "E" y "F" puntos medios de AB, BC y CA, respectivamente. Unir los puntos "D" con "F" y "D" con "E". Los lados del triángulo y las líneas trazadas son la única forma de desplazarse entre los puntos "A", "B", "C", "D", "E" y "F".

Unidad III

131

Juegos lógicos

11. Si se desea ir de "A" a "C", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, entonces, ¿cuáles de las siguientes rutas se pueden elegir? I. A - D - B - E - C II. A - D - F - C III.A - F - D - B - C a) Solo I d) II y III

b) Solo II e) Todas

b) 2 e) 5

b) 2 e) Más de 4

b) 3 e) 6

a) 2 d) 6

b) 3 e) Más de 6

c) 4

17. Si Ariana comienza a jugar y saca una bola roja, ¿de cuántas maneras puede ganar un punto?

c) 3

14. Si se desea ir de "F" a "B", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, entonces ¿cuántas rutas se pueden elegir? a) 2 d) 5

16. Si Ariana comienza a jugar y saca una bola azul y luego una roja, ¿de cuántas maneras puede ganar un punto?

c) 3

13. Si se desea ir de "F" a "B", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, entonces, ¿cuál es el máximo número de puntos por el que se puede pasar, sin contar "F" ni "B"? a) 1 d) 4

Un juego consiste en extraer de una urna bolas de colores. En dicha urna hay bolas rojas, azules y verdes. Se sabe además que: • Para ganar un punto se deben sacar consecutivamente dos bolas del mismo color como máximo en cuatro jugadas. • Las bolas se extraen una por una y al azar.

c) I y II

12. Si se desea ir de "F" a "D", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, entonces, ¿cuántas rutas se pueden elegir? a) 1 d) 4

Enunciado V (Preg.: 16;17;18;19;20)

c) 4

15. Si se desea ir de "E" a "A", sin pasar dos o más veces por un mismo punto, y sin pasar por "C", entonces, ¿cuántas rutas se pueden elegir?

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

18. Si Ariana ganó un punto sacando dos bolas verdes, ¿de cuántas maneras pudo producirse las jugadas que llevaron a ganar ese punto? a) 4 d) 7

b) 5 e) Más de 7

c) 6

19. Si se sabe que ganó un punto en tres jugadas, ¿de cuántas maneras pudo producirse las jugadas que la llevaron a ganar ese punto? a) 6 d) 3

b) 5 e) Más de 6

c) 4

20. ¿De cuántas maneras se puede ganar un punto? a) 1 d) 4

b) 2 e) Más de 4

c) 3 a) 36 d) 21

b) 7 e) 28

c) 14

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3

1. De tres prisioneras que se hallaban en cierta cárcel, uno tenía visión normal, el otro era tuerto y el tercero ciego. El carcelero dijo a los prisioneros que de un conjunto de dos sombreros blancos y dos rojos elegiría tres de ellos y los colocaría sobre sus cabezas, sin que ellos se dieran cuenta. Se les reunió y el carcelero ofreció la libertad al primero, si podría decir el color de su sombrero, este dijo que no; el segundo tampoco podía, pero el tercero dijo que no necesita de su vista, pues por lo que mis amigos que si ven han dicho, puede decir que mi sombrero es: a)

Rojo

b) Blanco

c) Rojo o blanco d) Falta información

e) Ninguna

2. En cierto pueblo de la sierra central se celebró un juicio a tres acusados de los cuales uno es el culpable y siempre miente y los otros dos dicen la verdad. Uno solo habla aymara, todos los demás hablan quechua, por lo que los otros dos acusados actúan como traductores. El juez pregunta al que no habla quechua: ¿Es usted culpable? El segundo acusado dice:"Ha dicho que no" El tercer acusado dice:"Ha dicho que sí" ¿Quién es el culpable? El primero d) Faltan datos

b) El segundo e) Los tres son inocentes

a)

c) El tercero

3. En un convento solamente hay novicias y monjas, las primeras mienten y las segundas siempre dicen la verdad. Una persona, que solo habla español se encuentran con tres de estas religiosas y pregunta a la primera si es que miente, respondiéndole esta en latín. Inmediatamente, la segunda afirma que lo que quiso decir la primera fue "soy mentirosa"; y la tercera interviene afirmando que la primera es mentirosa. De lo anterior, se puede deducir que: La segunda es novicia c) La primera es monja e) La segunda es monja a)

b) La tercera es monja d) La primera es novicia

4. Cinco personas sospechosas de haber cometido un hurto dieron sus versiones ante un juez. Alfedo : "Fue Braulio o Claudio" Braulio : "Ni Félix ni yo lo hicimos" Claudio : "Ustedes dos están mintiendo" David : "No, uno de ellos está mintiendo y el otro está diciendo la verdad" Félix : "No, David eso no es cierto" El juez sabía que tres de ellos siempre dicen la verdad, pero que dos siempre mentían. ¿Quién realizó el hurto? a)

Braulio

b) David

c) Alfredo

d) Claudio

e) Félix

5. Un día Alicia se encontró con Blanca y Carla que descansaban en un parque, ellas dijeron lo siguiente: Blanca : "Ayer fue uno de los días en los que me tocaba mentir" Carla : "Ayer fue también uno de los días en los que me tocaba mentir" Blanca miente los lunes, martes y miércoles y dice la verdad los otros días de la semana. Carla miente los jueves, viernes y sábado, y los demás días dice la verdad. ¿En qué día de la semana fue la conversación?

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Unidad III

133

Juegos lógicos 18:10:45

Conceptos básicos 1. En Transilvania solo existen humanos y vampiros; los primeros siempre dicen la verdad mientras que los segundos siempre mienten. Cierto día se encuentran cinco amigos ("A","B","C","D" y "E") que se conocen muy bien y dicen: A: Yo soy humano C: "B" es vampiro E: "C" es vampiro

4. Si se sabe que tres de ellas mienten y que la otra, que dice la verdad, es la única inocente, ¿quién dice la verdad? 5. Si la única que participó fue Alicia, entonces necesariamente es cierto que:

B: "A" es vampiro D: "B" es humano

a) b) c) d) e)

Si entre los cinco amigos solo hay dos vampiros, ¿quiénes son?

2. Tres amigas: María, Rocío y Diana rinden un mismo examen de cinco preguntas en la que cada pregunta debía ser contestada marcando V (verdadero) o F (falso). El cuadro muestra las respuestas que dio cada una. Se sabe que una contestó correctamente todas las preguntas, otra erró en todas y la restante contestó más correctas que erradas. ¿Quién contestó correctamente las cinco preguntas? María

Rocío

Diana

1

F

V

2

V

V V

3

F

F

V

4

V

F

5

F

V V

F

V

3. Se ha cometido un robo y los sospechosos responden a un interrogatorio policial. José : "El culpable ha sido Pedro o Juan" Pedro : "Yo no fui el culpable" Luis : "El culpable es José" Alberto : "El culpable es Pedro" Juan : "Luis está mintiendo" Si solo dos de ellos dicen la verdad y uno de los que miente es el culpable, el cual no es José, ¿quién fue el culpable? Enunciado

Cuatro acusadas de haber ocasionado apagones en Surco son interrogadas y responden de la siguiente manera: Mariel : "Laura participó" Laura : "Irina participó" Irina : "Laura miente" Alicia : "Yo no participé"

a lo más hay dos personas que mienten Irina es la única que miente al menos una dice la verdad al menos dos dicen la verdad ninguna de las anteriores

6. Si se sabe que tres de ellas dicen la verdad y la otra, que miente, es la única culpable, ¿quién es la culpable? Enunciado

En una mesa hay cinco cartas: P

Q

3

4

6

Cada carta tiene de un lado un número y del otro lado una letra. Carlos afirma: "Cualquier carta que tenga de un lado una vocal tiene un número par del otro lado". Luis demostró que Carlos mentía dando vuelta solo a una carta.

7. ¿De cuál de las cinco cartas se trata, si se cuenta desde la izquierda? 8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con seguridad? a) b) c) d) e)

Al reverso del 4 hay una vocal Al reverso de la "Q" hay un número impar Al reverso del 3 hay una vocal Al reverso del 6 no hay una vocal Al reverso de la "P" hay un número par.

Enunciado

Entre las ciudades "A" y "B" hay seis garitas de peaje cuyos precios están fijados en nuevos soles. Además, se sabe que: • • •

De la ciudad "A" se puede ir a la garita "C" y de la garita "C" se puede ir a la garita "E" De la ciudad "A" se puede ir a la garita "D" y de la garita "D" se puede ir a la garita "E" De la garita "C" se puede ir a la garita "D" y viceversa

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• • •

• • •

De la garita "D" se puede ir a la garita "G" y de la garita "H" se puede ir a la garita "G" De la garita "D" se puede ir a la garita "F" y de la garita "E" se puede ir a la garita "D" De la garita "F" se puede ir a la garita "G" y viceversa, y de la garita "G" se puede ir a la ciudad "B" De la garita "F" se puede ir a la ciudad "B" y de la garita "C" se puede ir a la garita "H" Los caminos no se interceptan en otros puntos sino solamente en las garitas indicadas y no hay otras formas para ir de "A" a "B" Para pasar la garita "C" se debe abonar siete soles, para pasar la garita "D" se debe abonar diez nuevos soles, para pasar la garita "E" se debe abonar ocho soles, para pasar la garita "F" se debe abonar nueve, para pasar la garita "G" se debe abonar cinco nuevos soles, para pasar la garita "H" se debe abonar seis nuevos soles.

9. ¿Cuál es el máximo costo, en nuevos soles, que representa ir de "A" a "B", sin pasar dos veces por una misma garita? 10. ¿Cuál es el mínimo costo, en nuevos soles que representa ir de "A" a "B"? Enunciado

Existe una red de caminos mediante la cual se va de la ciudad "A" a la ciudad "E", y se sabe que para poder ir: • De la ciudad "A" a la ciudad "B" hay que recorrer 50 km a un costo de 3 nuevos soles por km. • De la ciudad "A" a la ciudad "C" hay que recorrer 40 km a un costo de 2 nuevos soles por km. • De la ciudad "A" a la ciudad "D" hay que recorrer 120 km a un costo de 2,5 nuevos soles por km. • De la ciudad "C" a la ciudad "E" hay que recorrer 90 km a un costo de 2 nuevos soles por km.

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•

•

•

3

De la ciudad "C" a la ciudad "D" hay que recorrer 60 km a un costo de 1 nuevo sol por km. De la ciudad "D" a la ciudad "E" hay que recorrer 40 km a un costo de 2,5 nuevos soles por km. De la ciudad "B" a la ciudad "C" hay que recorrer 40 km a un costo de 2 nuevos soles por km.

Todos los caminos indicados son de doble sentido, además para cada uno de ellos en el sentido de ida tiene el mismo costo y la misma longitud que el sentido de vuelta.

11. ¿Cuál es el máximo costo, en nuevos soles, para ir de "A" a "E", sin pasar dos veces por el mismo punto? 12. ¿Cuál es el camino más económico para ir de "A" a "E"? Enunciado

En un colegio particular, los jóvenes son los únicos que juegan fútbol, los niños escuchan catecismo y son los únicos que dicen la verdad. En una conversación que el director sostiene con tres alumnos pregunta al primero de ellos si es futbolista. Este responde a la pregunta. Interviene el segundo para decir que el primero negó jugar fútbol. Pero el tercero niega la negación del segundo.

13. ¿Cuál fue la respuesta del primer alumno? 14. ¿Quién escucha catecismo? 15. ¿Quién es necesariamente futbolista?

Unidad III

135

Repaso

Repaso En este capítulo aprenderemos a: • •

Desarrollar tu pensamiento lógico y a ordenar las informaciones con los datos mostrados. Resolver ejercicios con métodos diferentes en orden de información y juegos lógicos.

De los juegos lógicos y acertijos al pensamiento lateral Problemas lógicos

Los problemas que llamamos "de lógica" son, simplemente, situaciones en las que basta aplicar sistemáticamente los principios de la lógica de enunciados para resolverlos. En realidad, mediante el recurso de la lógica se resuelven todos estos problemas, juegos o acertijos. Problemas lógicos numéricos o algebráicos

Sin embargo, hay problemas de tipo lógico que en realidad son simples problemas algebráicos, simples problemas de números, esto es, de sumar o restar adecuadamente ciertas cantidades, o de estudiar números primos, etc. Problemas paradójicos

El matemático y lógico Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) hace una clasificación de las paradojas, separándolas en dos tipos: Paradojas lógicas o matemáticas y las paradojas lingüísticas o semánticas Pensamiento lateral y acertijos

¿Porqué tenemos que pensar "de frente" a la hora de enfocar los problemas de lógica o de matemática en general? ¿Es el camino más fácil el correcto en el enfoque del cualquier problema? El pensamiento lateral trata de encontrar soluciones imaginativas, distintas, que se apartan del clásico enfoque "de frente" de cualquier problema cotidiano.

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matemático Razonamiento M

1. Cinco amigos van al cine y ocupan una fila de cinco asientos. Se observa que: • Erika está en el extremo izquierdo. • Paolo está al lado de Andrea y Sebastián. • Matías está a la derecha de Sebastián, quien está sentado junto a Erika. ¿Quién ocupa la cuarta posición desde la derecha? a) Matías d) Andrea

b) Sebastián c) Paolo e) No se puede determinar

2. Se debe realizar cinco actividades ("A", "B", "C", "D" y "E") una por día, desde el lunes hasta el viernes. Si: • "B" se realiza después de "D". • "C" se realiza dos días después de "A". • "D" se realiza jueves o viernes. ¿Qué actividad se realiza el miércoles? a) A d) D

b) B e) E

c) C

3. Sobre una misma fila de un tablero de ajedrez se tiene seis piezas diferentes, ordenadas de tal manera que cumplen las siguientes condiciones: • La torre es de color negro. • Adyacentes al rey y al peón hay un lugar vacío en común. • El alfil está a la izquierda de la dama. • El caballo está al extremo derecho del tablero y junto al peón. • Se debe colocar una ficha por casillero. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es imposible? a) b) c) d) e)

Entre la torre y el rey hay un lugar vacío. Entre la torre y la dama hay un lugar vacío. Entre el rey y la dama hay un lugar vacío. El alfil no está a la izquierda de los demás. El caballo está contiguo a un lugar vacío.

4. Seis amigas viven en un edificio de tres pisos; en el cual hay dos departamentos por piso. Si se sabe que: • Sara y María viven en el mismo piso. • La casa de Ana se encuentra más abajo que la de María. • Para ir de la casa de Julia a la de Pocha hay que bajar dos pisos. • Adela estudia con Sara.

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4

¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) b) c) d) e)

Pocha no vive en el segundo piso. Ana vive más abajo que Sara. Ana y Adela no viven en el mismo piso. Sara vive en el tercer piso. María no vive en el tercer piso.

5. En una carrera entre cinco autos se dio la siguiente información: • El auto celeste llegó tres puestos después del auto azul. • El auto negro llegó tres puestos después del auto rojo. • El auto blanco no llegó inmediatamente después del auto azul. Por lo tanto, es verdad que: I. En primer lugar llegó el auto rojo. II. El auto celeste y el auto negro llegaron antes del auto blanco. III. El auto blanco y el auto rojo llegaron antes que el auto negro. a) Solo I d) II y III

b) I y II e) Todas

c) Solo III

6. Hay siete participantes en un concurso de tiro. Cuatro de ellos: Andrés, Beto, Carlos y Daniel, son expertos y los otros tres: Emilio, Francisco y Gerardo, son novatos. Sabiendo que: • Para que un novato dispare debe ser antecedido y seguido inmediatamente por un experto. • Francisco dispara en segundo lugar, mientras que Carlos es el último experto en disparar. • Beto dispara antes que Daniel pero después de Andrés. • El último en disparar es un experto. ¿Cuál de las siguientes alternativas no es necesariamente correcta? Gerardo dispara después de Francisco. Carlos dispara después de todos los novatos. c) Francisco es el primer novato en disparar. d) Emilio dispara antes que Daniel. e) Daniel dispara entre Emilio y Gerardo. a) b)

Unidad III

137

Repaso

7. Cuatro amigos van al cine y se acomodan en varias filas, de la siguiente manera: • Marisol está sentada a la izquierda de Silvia y detrás de Lucho. • Silvia no está a la derecha de Beto, pero si detrás de Marisol. • Lucho está a la derecha de Silvia y detrás de Beto. Podemos afirmar que: a) b) c) d) e)

Lucho está a la derecha de Beto. Lucho está a la izquierda de Silvia. Beto está detrás de Silvia. Marisol está a la izquierda de Lucho. Más de una es correcta.

8. Tres amigos: Pablo, Enrique y Rubén, tienen diferente nacionalidad: boliviana, brasileña y peruana y cada uno vive en un distrito distinto: San Isidro, La Molina y Surco. Además tienen una profesión distinta: contador, abogado y arquitecto. Se sabe que: • Rubén no es brasileño pero vive en Surco. • Enrique visita a su amigo contador quien vive en La Molina. • El boliviano es arquitecto y visita a su amigo Enrique. • El peruano vive en La Molina

• • •

¿Qué podemos afirmar? Lidia usó papel bond para su barquito. Helen pintó su barquito de azul. Candy uso la cartulina y pinto su barquito de verde. d) Helen no usó la cartulina y pintó su barquito de verde. e) Helen uso papel lustre. a) b) c)

Enunciado • Renato, Javier, Antonio y Santiago son: escritor,

historiador, periodista y filósofo aunque no necesariamente en ese orden. Todos ellos fuman, excepto uno y sus marcas de cigarrillos preferidas son Hamilton, Winston y Premier. -

-

¿Dónde vive y qué nacionalidad tiene Rubén? a) b) c) d) e)

Surco - boliviana Surco - peruana La Molina - brasileña La Molina - boliviana La Molina - peruana

9. A Jéssica, Roxana, Vanesa y Pilar les dicen: "la flaca", "la chata", "la coneja" y "la negra", aunque a ninguna de ellas en ese orden. Se sabe que: • "La coneja" le dice a Pilar que "La chata" está estudiando. • Roxana "La negra" es amiga de "La flaca" ¿A quién le dicen "La chata"? a) Vanesa d) Roxana

b) Pilar c) Jéssica e) Vanesa o Jéssica

10. En su clase de origami: Lidia, Candy y Helen hicieron unos barquitos con solo uno de estos materiales: papel lustre, cartulina y papel bond, aunque no necesariamente en ese orden. Además cada una lo pintó de un color diferente: rojo, azul y verde. Y se sabe que:

Lidia no hizo un barquito de cartulina. Helen pintó su barquito de verde El barquito de cartulina se pintó de color rojo.

-

El que prefiere Hamilton es vecino del filósofo y no es periodista. Antonio estudió con el historiador en el colegio y siempre ha preferido fumar Winston. Al escritor no le gusta los Hamilton porque prefiere cigarrillos más fuertes como Premier. Javier es más joven que el periodista y nunca ha fumado. El escritor es Renato y es más joven que el que fuma Hamilton.

11. ¿Quién es el historiador? a) Renato d) Santiago

b) Javier c) Antonio e) No se puede determinar

12. Marcar lo verdadero: a) b) c) d) e)

Javier es filósofo y fuma Premier. Renato es historiador y fuma Premier. Santiago es periodista y no fuma. Antonio es periodista y fuma Winston. Renato es escritor y fuma Hamilton.

Enunciado • Ocho amigos se sientan alrededor de una

mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: -

Felipe y Gladys se sientan juntos. Daniel no se sienta junto a Berenice ni a

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-

su izquierda. Ana se sienta a la derecha de Berenice y a la izquierda de Ena. Carlos no se sienta junto a Ena ni a Gladys. Héctor llegó un poco retrasado a la reunión. Amigos del mismo sexo no se sientan juntos.

13. ¿Dónde se sienta Héctor? a) b) c) d) e)

Frente a Daniel Junto a Ena Entre Felipe y Berenice Junto a Gladys Nada se puede precisar acerca de su posición

14. Si Héctor no se sienta junto a Ena, entonces es siempre cierto que: a) b) c) d) e)

Berenice está junto a Felipe. Carlos está a la derecha de Felipe. Carlos está frente a Héctor. Ena está frente a Gladys. Daniel está frente a Héctor.

Enunciado • Cuatro acusados de haber ocasionado un robo

son interrogados y responden de la siguiente manera: -

Marco : "Lalo participó" Lalo : "Iván participó" Iván : "Lalo miente" Aldo : "Yo no participé"

15. Si se sabe que tres de ellos mienten y que el otro, que dice la verdad, es el único inocente, ¿quién dice la verdad? a) Marco

d) Aldo

b) Lalo c) Iván e) Faltan datos

e) Ninguna de las anteriores

4

17. Si se sabe que tres de ellos dicen la verdad y el otro, que miente, es el único culpable, ¿quién es el culpable? a) Marco

d) Aldo

b) Lalo c) Iván e) Faltan datos

Enunciado • Una pequeña empresa cuenta con tres

secretarias: Alexia, Brenda y Clarisa. Pueden tomar sus vacaciones en solo uno de los siguientes meses: enero, febrero, marzo, junio, julio y agosto. Pero, no pueden salir dos secretarias de vacaciones al mismo tiempo. Se sabe que Alexia solo puede tomar sus vacaciones en enero, febrero, marzo o junio. Brenda solo puede tomar sus vacaciones en enero, marzo, julio o agosto. Clarisa solo puede tomar sus vacaciones en enero, febrero, junio o julio. 18. ¿De cuántas formas pueden tomar sus vacaciones, si los meses programados para ello son junio, julio y agosto? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

19. ¿De cuántas formas pueden tomar sus vacaciones, si los meses programados para ello son enero, febrero y marzo? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

20. ¿De cuántas formas pueden tomar sus vacaciones, si los meses programados para ello son enero, marzo y julio? a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

16. El único que participó fue Aldo, entonces necesariamente es cierto que: a) a lo más hay dos personas que mienten. b) Iván es el único que miente. c) al menos uno dice la verdad.

d) al menos dos dicen la verdad.

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Unidad III

139

Repaso 18:10:45

Conceptos básicos 1. De cinco productos: "A", "B", "C", "D" y "E" que se encuentran en exhibición en cierta galería de Lima, podemos decir que: • "A" es más caro que "C". • "D" es más caro que "B". • "C" es más caro que "E". ¿Qué información falta para saber que el precio de "A" es un precio intermedio de todos? Enunciado

Seis amigos, Armando, Beatriz, Carmen, Dante, Ernesto y Jorge, compiten en una carrera de autos, donde no hubo empates. El orden en que los autos cruzaron la meta cumple con las siguientes condiciones: • Beatriz no fue la primera ni la última. • Carmen cruzó la meta antes que Dante y Ernesto. • Jorge llegó en tercer lugar.

2. Cuatro autos de colores rojo, azul, blanco y verde, están ubicados en una fila horizontal. El auto blanco y el auto azul no están al lado del rojo, además el azul está entre el verde y el blanco. Luego, es necesariamente verdad que:

4. ¿Cuál de los siguientes puede ser el orden en que los autos cruzaron la meta, del primero al último? Carmen, Armando, Jorge, Ernesto, Dante y Beatriz. b) Carmen, Beatriz, Dante, Jorge, Ernesto y Armando. c) Armando, Beatriz, Jorge, Carmen, Dante y Ernesto. d) Beatriz, Armando, Jorge, Carmen, Ernesto y Dante. e) Dante, Carmen, Jorge, Ernesto, Beatriz y Armando. a)

5. ¿Cuál de las siguientes es una lista completa de los amigos que pudieron terminar la carrera en primer lugar? a) b) c) d) e)

Armando o Carmen Armando o Beatriz Armando o Dante Armando, Carmen o Dante Armando, Carmen o Ernesto

Enunciado

I.

El auto blanco está más lejos del rojo que del verde. II. El auto rojo es el que está más a la derecha. III. A la derecha del auto verde hay dos autos.

3. Se tienen seis cartas, cada una de diferente color: amarillo, azul, blanco, rojo, verde y violeta. Las cartas se han colocado en fila sobre una mesa, de acuerdo a las siguientes reglas: • Las cartas amarilla y azul deben ir juntas. • Las cartas verde y violeta deben ir juntas. • La carta roja no puede ir junto a la amarilla ni junto a la verde. • Contando del extremo izquierdo, la carta blanca ocupa el tercer lugar. ¿Cuál de los siguientes ordenamientos, de izquierda a derecha, es posible? a) b) c) d) e)

amarillo, azul, blanco, rojo, verde y violeta azul, amarillo, blanco, verde, violeta y rojo azul, amarillo, rojo, blanco, violeta y verde verde, violeta, blanco, rojo, amarillo y azul violeta, verde, blanco, rojo, verde y amarillo

De cinco amigas, se sabe que María es más alta que Rocío y pesa más que Lucía. Valeria no es más alta que Lucía ni pesa menos que Rocío. Lucía no es más alta que María ni pesa menos que Rocío. Carla pesa más que María y es más alta que Lucía.

6. Podemos afirmar con certeza que: a) b) c) d) e)

Rocío pesa menos que María. Valeria es más alta que María. María es la que pesa más. Lucía pesa más que Valeria. Valeria pesa más que Rocío.

7. ¿Quiénes de las siguientes no pueden tener el mismo peso? a) Lucía y Rocío b) c) María y Valeria d) e) Carla y Rocío

Lucía y Valeria Rocío y Valeria

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Enunciado

Cinco personas ejercen diferentes profesiones: veterinario, médico, ingeniero, abogado y matemático y viven en ciudades distintas: Iquitos, Ayacucho, Juliaca, Lima y Huancayo. • Francisco viajará a Iquitos, ciudad que no conoce, para participar en un congreso de veterinarios. • Pablo es el mejor amigo del médico y viajará a Ayacucho para visitar al ingeniero. • El matemático no vive en Juliaca. • José Luis no vive en Lima y Rubén tampoco. • El que vive en Lima es médico y el abogado vive en Huancayo. • Rubén desearía ser ingeniero y quisiera vivir en Huancayo.

8. ¿Quién vive en Juliaca? 9. ¿Qué profesión ejerce Rubén? Enunciado

Cinco hermanas: Ágata, Rubí, Topacio, Perla y Esmeralda, se sientan alrededor de una mesa circular

con seis asientos distribuidos simétricamente. Y se sabe que: • • •

Ágata se sienta junto a Rubí y frente a Topacio. Topacio no es menor que Rubí ni que Perla. La mayor se sienta junto y a la derecha de Ágata.

10. ¿Dónde se sienta Perla? 11. Para determinar, con seguridad, dónde está el lugar vacío, es suficiente saber que: I. Perla se sienta frente a la mayor. II. Rubí está adyacente a Ágata y Perla.

Carmen : "Yo no gané la competencia" Diana : "Yo terminé mejor ubicada que Carmen" 12. Si solo una miente, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Carla miente. II. Carla dice la verdad. III.Diana miente. -

13. Para determinar los puestos que ocuparon Carla, Carmen y Diana al final de la competencia, es suficiente saber que: I. Solo una de las tres miente. II. Diana terminó en tercer lugar. Enunciado

Alma, Brenda y Claudia conforman un equipo de trabajo en el curso de Literatura Peruana y deben redactar una monografía sobre las obras de Mario Vargas Llosa; por ello, deben leer, cada una, uno de los siguientes libros: Los jefes,Los cachorros, La Casa Verde, La fiesta del chivo, El pez en el agua y Conversación en la catedral . Se sabe lo siguiente: • •

•

•

Alma solo puede leer: Los jefes, Los cachorros, La Casa Verde o La fiesta del chivo. Brenda solo puede leer: Los jefes, La Casa Verde, el pez en el agua o Conversación en la catedral. Claudia solo puede leer: Los jefes, Los cachorros, La fiesta del chivo o El pez en el agua.

Cada una debe leer un libro diferente.

14. ¿De cuántas formas pueden distribuirse la lectura de los libros, si los libros seleccionados son: La fiesta del chivo, El pez en el agua y Conversación en la catedral ? 15. Si los libros seleccionados son: Los cachorros, La Casa Verde y La fiesta del chivo, entonces es verdad que:

Enunciado

En la competencia de natación de damas, Carla, Carmen y Diana ocuparon los tres primeros puestos, aunque no necesariamente en ese orden. Al ser cuestionadas acerca del resultado de la competencia, por una compañera gravosa, ellas contestaron: - Carla

4

a) b) c) d) e)

Alma leerá Los cachorros . Alma leerá La fiesta del chivo. Brenda leerá La Casa Verde. Claudia leerá La fiesta del chivo. Claudia leerá Los cachorros .

: "Yo gané la competencia"

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Unidad III

141

UNIDAD IV

C

eNcoNtRANDo meNsAjes ocUltos

ientíficos de la Universidad de Viena presentaron en una conferencia científica un sistema de protección informático teóricamente "indestructible" gracias al uso de un método de encriptación cuántica. La red conecta seis localizaciones entre Viena y la ciudad de San Poelten a través de 200 kilómetros de cables estándar de fibra óptica. Estos sistemas, hasta el momento, están basados en complejos procedimientos matemáticos que son extremadamente difíciles de desentrañar para la mayoría, aunque no son "imposibles" de romper si se dispone de herramientas de cálculo o tiempo suficiente. No obstante, los sistemas cuánticos están preparados intrínsecamente para no ser "corrompidos" (aunque en algunas simulaciones ha demostrado no ser infalible). Perturbaciones detectables

La criptografía cuántica se basa en las propiedades físicas de las partículas más pequeñas, los fotones, para crear y trasmitir códigos binarios. La polarización de un fotón, mientras viaja por el espacio, puede ser usada como un cero o un uno. La ventaja de este sistema es que cualquier intento de interceptar los fotones ha de interferir necesariamente en la polarización, por lo que sería detectable. Una clave interceptada podría ser así fácilmente desechada y ser sustituida por otra. ApReNDIzAjes espeRADos Comunicación matemática • Organizar los datos estableciendo una correspondencia entre operaciones numéricas y sus •

resoluciones. Identificar los diferentes métodos de solución.

Resolución de problemas • Interpretar los datos para resolver los ejercicios planteados. • Elaborar estrategias para la resolución de problemas y sus métodos operativos. Análisis y demostración • Deducir, generalizar y aplicar propiedades y métodos para una mejor solución. • Demostrar la validez o invalidez de su razonamiento en un ejercicio planteado.


1

criptoaritmética En este capítulo aprenderemos a: •

Aplicar los criterios de la criptoaritmética en los problemas de adición, sustracción, multiplicación y división.

Criptoaritmética y los alfaméticos La Criptoaritmética es la ciencia y arte de crear y resolver criptogramas. Forman parte de los llamados "juegos matemáticos". Los mensajes en código tienen la fascinación de lo oculto, de los símbolos raros que esconden algo que llama a descifrarlos. La invención de la Criptoaritmética ha sido acreditada a la China milenaria. Este arte era originalmente denominado aritmética de letras o aritmética verbal. El término Criptoaritmética (cryptarihnie en francés) fue introducido por Maurice Vatriquant, usando el seudónimo de Minos en la edición de la revista Sphinx, un periódico belga especializado en matemática recreativa. En 1995, J. A. Hunter acuñó el término Alfamético para designar un criptograma cuyas letras forman palabras o frases que poseen cierto sentido. Hunter es considerado el "padre" de la criptoaritmética moderna, el más brillante y prolífico de los creadores de Alfaméticos de todos los tiempos. El Alfamético más conocido en todo el mundo es indiscutiblemente: SEND + MORE = MONEY. Fue creado por H. E. Dudeney y publicado por primera vez en la edición de julio de 1924 de la "Strand Magazine", y estaba asociado a la historia de un secuestro y su respectivo mensaje de rescate.

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Unidad IV

143

Criptoaritmética

Conceptos básicos Criptoaritmética Existe mucha confusión en el uso de los términos Criptograma y Alfamético. Criptograma corresponde a una categoría superior que abarca todos los rompecabezas con operaciones aritméticas donde los algoritmos son sustituidos por letras u otros símbolos. Alfamético designa un sub - conjunto de los criptogramas cuyas palabras tienen algún sentido. Por ejemplo: CINE + CENA + BAILE = PASEAR . *

Consideraciones: • Cada letra representa un dígito, y si las letras son iguales les corresponden dígitos iguales. • El máximo valor de una cifra es 9. • El mínimo valor de un cifra es 0 ó 1 dependiendo de la ubicación.



Adición

o l p m

Si se sabe que: NOR + NOR = RAVA calcular el valor de:

E

j

E

N+A+V+A+R+R+O Resolución 1 N

R

O

•

1 N

1 R •

R

O

2 A

o l p porque lo máximo que pueden , R=1 m sumar dos dígitos es: 18 (si son iguales) y 17 (si son diferentes).  Por lo tanto A = 2

2

V

A

E

j

E

En el esquema

6 N

4 O

6 N

1

•

N=6 , pero recuerda que "O+O" no puede llevar, es decir, la suma tiene que ser menor a 10.

•

Valores de la letra "O":

R

4 O

1 R

O 1 R

2 A

8 V

2

A

1 2 3 4

 No puede ser porque: R=1  No puede ser porque: A=2  No puede ser porque: V=3+3  (N =6) Sí cumple

5

3 A partir del 5 llevaría y esto

6. 2 . 1

contradice a la estructura.

 O=4

• Nos

piden:

N+A+V+A+R+R+O

      

6+2+8+2+1+1+4 = 24 

Rpta.: 24

Multiplicación

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s o l p m E

j

E

1

1. Si se cumple que ROMA # 4 = AMOR, calcular: O+M+A+R Resolución •

o l p m

Del esquema: O

R

M

A × 4

A •

M

O

R

E

j

Tenemos: R×4=A

E

("R" no puede ser mayor o igual que 3 porque el resultado sería de dos dígitos, además "A" es par)  R=1 ó 2  R = 2  A = 8 Luego:

2 Los valores de

•

Luego:

8

M

O

×

"O" son: 0; 1 y4 2 

8

M

2

O

1

 4×8=32 (llevamos 3) vapm = 41×(20=y82(nNoo clulem leons) nada anteriormente) O

2

M

8×

•

Calculando "M": 4 ×M+3= 4 ... 1  M = 7

•

Finalmente:8

2 •

M

1

2

1

7

8×

Entonces: R=2; A=8; O=14; M=7

8

7

1

2

O+M+A+R

    1+7+8+2 = 18 Rpta.: 18

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Unidad IV

145

Criptoaritmética

2. Hallar la suma de las cifras del producto: 3 *×

El (*) asterisco representa una cifra que pueden ser iguales o diferentes

** **

**5 ***8 Resolución • En el esquema:

3

9 ×  Multiplicando

5

2

7

8

1

9

5

2

0

2

8

 Multiplicador 3 4 2 4 1

Productos parciales

 Producto o producto total

• Nos piden: 2+0+2+8 = 12

Rpta.: 12

División

 o l p m E

Reconstruir la siguiente división e indicar como respuesta la suma de las cifras del cociente. 2 * ** * 3 ** -3**** *3 **9 ***

j

E

o l p m

- - 4

Resolución •

E

j

En el esquema: Dividendo 2

6

2

3

E

Divisor

4

9

-3

4

2

3

1

1

9

1

1

5

-

-

4

2

3

1

1

5

Cociente

Residuo •

Suma de cifras del cociente: 1+1+5 = 7

Rpta.: 7

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1

Síntesis teórica CRIPTOARITMéTICA son

en

NE + EN = SOS

PAPA + MAMA = BEBES

considerando

se aplican en

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Unidad IV

147

Criptoaritmética

10 5 50

Conceptos básicos 1. Si: A + BB = ACC , coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso según corresponda: • El valor de "A" puede ser 1 ó 2 ............................................................................................. ( ) • A + B > 10 ......................................................................................................................... ( ) • C  0 .................................................................................................................................... ( )

2. Si: ABCDE # 4 = EDCBA, completa: A

E

B

D

C

C

D

B

E × 4

×

4

A

3. Sabiendo que: LE + LE + LE + LE + LE = OLE Además, el cero y el uno no intervienen.

L E

+

+

L E L E L E L E

O L E 4. Hallar la suma de las cifras encontradas en los productos parciales. 5× 1 2

5

1 3

0 77

4

5. Reconstruir la siguiente división e indicar como respuesta la suma de las cifras del dividendo. 12

9

4 -

6

-

8 4 -

2

1 1

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1. Sabiendo que:

7. Sabiendo que: CHINE + ASIE = JAPON Además "AS " es un cubo perfecto y "JA " y "JAP" son cuadrados perfectos.

ABA +

AB B A35

hallar: AB + BA a) 5 b) 3 d) 7 e) 9 2.

Hallar: J+E+S+I+C+A

c) 6

a) 25 d) 28

8. Si:

Calcular: a+b+c+d sabiendo que: a9c5 +

b) 28 e) 30

c) 31

c) 12

a) 16 d) 19

10. Sabiendo que:

a) 5 d) 8

SAL + MAS = ALLA

Indicar el valor de la suma de las cifras del resultado de: MAS + LLAMA

c) 7

*6** ***8 **1*0

a) 10 d) 13

c) 27

c) 18

b) 11 e) 14

c) 12

12. En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto. 7**× 4* *4** **40 ***70

6. Si: ROMA + AMOR = MMARM hallar OMAR e indicar como respuesta la suma de sus cifras.

Central: 619-8100

b) 6 e) 9

2*

c) 8202

5. Después de reconstruir la siguiente suma:

b) 17 e) 14

RADAR ×

7**×

¿Qué número representa " DARA"?

a) 16 d) 15

c) 18

hallar la suma de las cifras de: DRACA

ARR

b) 24 e) 36

b) 17 e) 20

11. En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del producto, si cada * representa una cifra.

A+ DD

a) 18 d) 30

c) 30

5 CRAAC

4. Mi amigo Luis escribe la siguiente suma:

b) 8101 e) 9101

b) 29 e) 32

9. Sabiendo que: SERA # 4 = ARES hallar: S+E+R+A

Hallar: N + O + S + E

a) 9202 d) 7202

1abcde ×

a) 28 d) 31

NE + EN = SOS

b) 11 e) 14

c) 27

hallar: c+e+b+a+d+a

3. Sabiendo que a letras iguales le corresponden cifras iguales y además:

a) 10 d) 13

b) 26 e) 29

3 abcde1

b5d a6b c4 da14

a) 27 d) 29

1

a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

Unidad IV

149

Criptoaritmética

13. Sabiendo que:

17. Calcular la suma de cifras del cociente, en la siguiente división:

JESICA× 28

******* * **

*******

******* 15223348

---**

--1

c) 20

14. Hallar el resultado final, si el multiplicador tiene tres cifras iguales. ***×

a) 20 d) 30

***0 2*4* *9**

**

**

****

- -**

c) 326 350

*8

- 8 a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

19. Después de reconstruir la división mostrada, indica la suma de las cifras del cociente en su parte decimal.

*3 * **

-6*

*3 *, * *

** 2* *5* **8

**

-1 b) 13 e) 14

c) 26

**

15. Reconstruir la división mostrada indicar como respuesta la suma de las cifras del cociente. 2**6 *3 - ** 7*

3*4**

-8*

*******

b) 426 140 e) 316 240

b) 21 e) 32

18. Después de reconstruir la siguiente división, indicar como respuesta la suma de las cifras del cociente, si el divisor es el menor posible.

aaa

a) 12 b) 10

**

* **

b) 19 e) 21

a) 361 840 d) 326 340

**8**

-***

Hallar: J+E+S+I

a) 18 d) 17

**

-***

c) 11

* **

--5 16. De la siguiente operación, indicar la suma cifras del dividendo: 5***

**

*8

**3

-*3

a) 10 d) 12

c) 11

20. Hallar "x.y.z", si cada letra es un dígito y además a letras iguales dígitos iguales. xyxyx

**

* **

-3*

yxx 11x

90*

*6

* **

-2

a) 20 d) 21

b) 9 e) 13

b) 25 e) 19

zz9*

c) 22

**** ----

a) 90 d) 72

b) 100 e) 36

c) 120

Colegios

150

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1

1. De viaje, lejos de su oficina, un comerciante 3. Calcular "G+U+A" si se cumple que: inglés advierte que necesitará más dinero para GOTA + cumplir con su proyectada gira. Escribe por GOTA tanto a su socio un escueto mensaje que dice: GOTA "SEND MORE MONEY" (manda más dinero). Pero como no desea que nadie se entere de la GOTA cantidad que solicita, dispone su texto según el GOTA código que solo su socio conoce: AGUA

SEND+ MORE MONEY

a) 13 d) 18

b) 15 e) 10

c) 12

Se trata de sustituir cada letra por una 4. Reconstruir la siguiente división e indicar como determinada cifra. ¿Qué cantidad de dinero ha respuesta la suma de las cifras del dividendo. solicitado? ****** *** *** * * * *,* * * * - - *** a) 10 265 b) 12 678 c) 13 547 *** d) 10 562 e) 10 652 -*** ** 2. Dada la siguiente división entera donde cada ** ** *** punto representa una cifra, la suma de cifras - - *** * del divisor es igual a la suma de cifras del **** cociente e igual al residuo de la división. - - -Halle la suma de cifras del dividendo. a) 28 b) 29 c) 30 d) 32 e) 27 ***** ** *** **

** * **

5. Si se cumple que: CUATRO × 5

-*

a) 4 d) 7

VEIN T E

b) 5 e) 8

c) 6

Calcular "m+n+p" en: + CE + CEC + CECE + ... = ...mnp C 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 44 3 ^C2+ 2Ehsumandos

a) 9 d) 12

18:10:45

1. Sabiendo que: SIN + SIN = NADA hallar: N+D+S+A 2.

Si:

(a+b)2 =

169

calcular: 2abab5 + 5baba2

Central: 619-8100

b) 11 e) 18

c) 15

3. Si: BATA + BATA = MANTO (O  cero) hallar: B+O+N+T+M

4. Si:

A+ AA AAA AAAA 7 4 0 4

calcular: A2+A+1

Unidad IV

151

Criptoaritmética

5. Si:

DALE + CREMA G A R RA Donde "GA " es un cuadrado perfecto y además: R=7 y D=L, hallar el valor de: C+R+E+M+A

12. Reconstruir la división mostrada e indicar como respuesta la suma de las cifras del cociente. 2**

2*

**

* *, 5 *

- 1** ***

6. Sabiendo que:

-1**

DIA + HORA = CITAS

**

12

hallar: S+A+R+I+T+A

7. Sabiendo que: RAPAR× 5 D RA A D Hallar la suma de las cifras de " PRADA"

13. Después de reconstruir la siguiente división, indicar como respuesta la suma de las cifras del dividendo, si el divisor es el menor posible. 3*4**

**

- 8* ** - - **

8. Si: ANIT A ×

8 PE PI TO

*8 -8

(O=CERO)

Calcular: A+N+I+T+E+P

9. En la multiplicación, el producto total es: aabb×

77 ***** * * * ** *** 0 41

10. Hallar "a+b+c+d", si:

14. Reconstruir la división y hallar la suma de las cifras del dividendo: ********* ***

- ****

11. Reconstruir la siguiente división e indicar como respuesta la suma de las cifras del dividendo. *8 * * *

* - 2* *6 -8*

**

**

*1*

973 *******

1***

**** ***

- - ****

***6 - - *** *** - - -

abcd # bd = 43 904

bc # bd = 1184 donde las letras iguales son dígitos iguales.

** ****

15. Completar la división mostrada e indicar como respuesta la suma de las cifras del cociente: 5******** * **

--****

* ** *******

* **

- - -5**

* ** - 4** *** - --

-3

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operaciones combinadas

2

En este capítulo aprenderemos a: •

Resolver problemas que involucren operaciones combinadas (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación).

•

Establecer la relación entre la lógica y las operaciones comerciales.

Todo está fríamente calculado

E

quis, o "X" a secas, es un obrero de una construcción que se levanta muy temprano todos los días . Por lo general lo hace a las 6:00 a.m, pero gracias a sus cálculos, sabe que a veces puede quedarse 15 minutos más entre sábanas, porque necesita estar listo a las 6:40 a.m para tomar su desayuno y llegar al paradero a las 7 a.m en punto para tomar la combi de esa hora. El trayecto a su trabajo demora unos 60 minutos, pero si el vehículo viaja rápido y no hay mucha congestión vehicular puede llegar temprano y tener algunos minutos para charlar con sus compañeros sobre los partidos del campeonato de fútbol local, del que conoce al dedillo los puntajes de los diferentes equipos en la tabla de posiciones. En cada una de estas actividades, aunque no lo parezca, "Equis" ha utilizado con maestría mucha matemática. Es así que "Equis" emplea la matemática de manera continua. Lo hace cuando mide el tiempo, el espacio, el peso o el dinero. También cuando hace aproximaciones, se orienta en la ciudad, optimiza situaciones, calcula precios o representa gráficamente datos numéricos en su cabeza (o usando dedos). Según el catedrático Gabriel Rodríguez, profesor de la Facultad de Ciencias matemáticas de la U niversidad Nacional Mayor de San Marcos, todos los actos cotidianos requieren de procedimientos matemáticos. "Desde el señor "X" que toma su combi, paga el pasaje y recibe vuelto, hasta la ama de casa que lleva su lista al mercado con el dinero justo y la casera que saca la cuenta por la venta de verduras", precisa.

m o c . r o d a c u d e l e . w w w / / : p t t h

:e tn eu F

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Unidad IV

153

Operaciones combinadas

Este capítulo permite dar una noción amplia y nítida de los propios fundamentos que tienen lugar las cuatro operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división), además de otras operaciones que implican a las ya mencionadas. Es cierto que la mayoría de los problemas de este capítulo se puede resolver por ecuaciones; pero el objetivo fundamental de este capítulo es que resuelvas los problemas utilizando solo las cuatro operaciones fundamentales. s o l p m

Erick compra limones a dos por S/.5 y los vende a tres por S/.8. ¿Cuánto ganará si vende 360 limones?

1.

E

j

E

Resolución • "Notamos en este problema que él compra en grupos de dos limones y luego

vende en grupos de tres" Pero que hubiese ocurrido si: Compra : Dos limones a S/. 3 Vende : Dos limones a S/. 5 Se deduce con facilidad que gana S/. 2 en dos limones •

Así:

Entonces tenemos que homogenizar la cantidad de limones que compra con la cantidad de limones que vende.

o l p m E

j

E

Proceso de homogeneización

Compra

Vende

2 limones 6 limones

×3

S/. 5 ×2

S/. 15

3 limones 6 limones

S/. 8

S/. 16

Entonces se deduce: En 6 limones gana S/. 1 En 360 limones gana S/. x

•

14444244443

x = S/. 60

Rpta.: S/.60

A una fiesta asistieron 89 personas entre damas y caballeros. Si en un determinado momento 27 caballeros y 10 damas no bailan, ¿cuántas damas asistieron a la fiesta?

2.

Resolución H=26 Bailan

•

Total de personas

M=26

52

26 hombres(H)

89

• Total de damas

Número de personas que bailan:

No bailan 37 Bailan = 26

No bailan = 10

H=27

89 - 37 = 52

26 mujeres (M)

M=10

Rpta.: 36 mujeres

36

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2

3. ¿Entre cuántas personas repartieron S/. 185, si cada una recibió S/. 10 y sobraron S/. 15? Resolución • Dinero a repartir • Como cada uno recibe S/. 10, entonces

el número de personas es

:

S/. 185 - S/. 15 = S/. 170

:

S/.170 S/.10

=

17 Rpta.: 17 personas

4. El costo de cada pasaje en un micro es de S/. 5 y por cada pasajero que baja suben dos. Si al final se ha recaudado S/. 300, ¿con cuántos pasajeros partió al inicio, si al final llegó con 50 pasajeros? Resolución •

Número de pasajeros : S/. 300 = 60

•

Se sabe que cada vez que baja una persona suben dos. Como al paradero final llegan 50 personas, esto quiere decir que bajaron: 60 - 50 = 10 y subieron 20. De las 60 personas, 20 subieron en el camino.

S/. 5

 En el paradero inicial subieron: 60 - 20 = 40 pasajeros Rpta.: 40

Síntesis teórica

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Unidad IV

155


10 5 50

Conceptos básicos 1. A una fiesta asisten 75 personas entre damas y caballeros. En un determinado momento 27 caballeros y 18 damas no bailan. Coloque "V" si es verdadero o "F" si es falso en cada proposición: • Hay 15 caballeros que bailan ................................................................................................. ( ) • Si todos bailan en pareja, quedarían nueve mujeres sin bailar ............................................... ( ) • Si se retiran la mitad de las damas que no bailan acompañados por dos caballeros cada

uno quedarían en la fiesta 40 personas................................................................................... ( )

2. Octavio compró tamales a cuatro por S/.3 y los vende a cinco por S/.7, complete: • • •

En

tamales gana S/.13 tamales le costo S/.6 Para ganar S/. 130 comercializó:

tamales

3. Romel gana diariamente S/. 5 más que Alex. Después de trabajar juntos cierto número de días, Romel recibe S/. 143 y Alex S/. 88. Relacione correctamente ambas columnas: Columna "A"

A. B. C. D.

Columna "B"

Romel gana diariamente Alex gana diariamente Romel gana en cinco días Alex gana en ocho días

I. II. III. IV. V.

Relacionando:

A ( )

B ( )

C ( )

S/.15 S/.65 S/.13 S/.64 S/.8 D()

4. Ocho personas tienen que pagar, por partes iguales S/. 25 000; como algunas de ellas no pueden hacerlo, cada uno de los restantes tiene que dar S/. 1875 más para cancelar la deuda. ¿Cuántas personas no pagaron? 5. José, Tomás y Karina comienzan cada uno con el número 10. José resta 1 del número 10, duplica la respuesta y luego suma 3. Tomás duplica el número 10, resta 1 de la respuesta y luego suma 2. Karina resta 1 del número 10, suma 2 a la respuesta y luego duplica el resultado de la suma. ¿Quién obtiene la mayor respuesta final?

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1. Necesitamos cercar un campo de forma triangular de modo que en cada lado aparezca siete postes y uno en cada esquina. Coloque "V" si es verdadero o "F" si es falso según corresponda.

4. Se tiene un libro de Aptitud Matemática, uno de Lenguaje, uno de Historia y uno de Física. ¿De cuántas maneras distintas podrán extraerse los libros hasta sacar el de Física?

• El terreno debe tener necesariamente

la forma de un triángulo equilátero....... ( ) • Sin contar los postes de las esquinas, cada lado tendrá cinco postes............... ( ) • Se necesitan 21 postes.......................... ( ) • Se necesitan 18 postes.......................... ( )

2. Si los dedos de la mano se cuentan de la siguiente manera: 8 2 3 47

5

1

a) 9 d) 16

• • •

En el dedo caen todos los números que terminan en 2. 45 873 cae en el dedo El mayor número cuadrado de cuatro cifras cae en el dedo

3. Pedro tiene billetes de S/. 50 y Pablo tiene billetes de S/. 100, sumando lo que tienen es S/. 3000. Si Pedro le da doce billetes a Pablo, ambos tienen igual cantidad, relacione las columnas correctamente: Columna A

Columna B

(A) Cantidad de billetes de

Pedro al inicio. (B) Cantidad de billetes de Pablo al inicio. (C) Total de dinero que tenía Pedro al inicio.

(I) 1800 (II) 2100 (III) 9

(IV) 42

Relacionando: A ( )

Central: 619-8100

B ( )

C()

c) 15

5. Un ladrillo pesa 4 kg, ¿cuánto pesará otro ladrillo cuyas dimensiones sean la mitad del ladrillo anterior? a) 0,5 kg d) 1,5

b) 0,25 e) 0,75

c) 2

6. Un comerciante tiene al inicio del día ocho pelotas de S/. 1 cada una y cuatro pelotas de S/. 2 cada una. Si al final del día vendió S/. 12, ¿cuántas pelotas le sobran si le quedan por lo menos una pelota de cada tipo? a) 1 d) 4

Complete los espacios en blanco:

b) 12 e) 6

2

b) 2 e) 5

c) 3

7. Se tiene 24 perlas del mismo tamaño; color y forma, pero una de ellas es más pesada que las demás, ¿cuántas pesadas como mínimo se deben realizar para encontrar la perla más pesada utilizando una balanza de dos platillos? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

8. Pilar tiene "S" soles más que Luis. ¿Cuánto debe darle Pilar a Luis, para que ambos tengan la misma suma? a)

S 2

d) 2S

S

b) 3

S c) 4

e) S

9. Se tiene un salón iluminado con 120 luminarias y otro a oscuras. Si se apagan cinco luminarias del primero y se encienden tres del segundo, y si se repite esta operación hasta que se tenga igual cantidad de luminarias encendidas, ¿cuál es esa cantidad? a) 15 d) 45

b) 30 e) 25

c) 60

Unidad IV

157


10. Alex posee 80 monedas de cinco soles, y Luis tiene 110 monedas de dos soles, ¿cuántas monedas deben intercambiarse para que ambos tengan la misma suma de dinero? a) 20 d) 35

b) 28 e) 30

c) 60

11. Dos obreros trabajan juntos ganando diariamente uno de ellos dos soles más que el otro. Si después de igual número de días reciben S/. 240 y S/. 210 respectivamente, ¿cuánto gana diariamente el que recibe más dinero? a) S/. 12 d) 18

b) 14 e) 20

c) 16

12. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es 7225 m 2 con una cerca de cinco hileras de alambre. Se desea saber cuánto costará toda la obra, si el metro de alambre cuesta S/.2 y la mano de obra total S/.150. a) S/. 3650 d) 3270

b) 3520 e) 3550

c) 3850

13. Dos personas tienen S/. 3587 y S/. 993 respec-tivamente. Se ponen a jugar cartas a S/. 7 la partida y al final la primera persona que ha ganado todas las partidas, tiene el cuádruple de lo que tiene la segunda. ¿Cuántas partidas jugaron? a) 7 d) 11

b) 8 e) 10

c) 9

14. José ha plantado un árbol cada 12 metros en una avenida de 1,5 km durante ocho días. Si el costo de cada árbol es de S/. 4 y el jornal de S/. 45, ¿cuánto se gastó en esta operación de arbolización? a) S/. 860 d) 872

b) 852 e) 864

c) 870

15. Un comerciante compra 40 jarrones a S/. 70 cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de S/. 20 por jarrón, se le rompieron cinco. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganacia total fue de S/. 810? a) S/. 100 d) 112

b) 110 e) 120

16. Un comerciante compra 500 vasos a S/. 2 cada uno y luego seis docenas de vasos a S/. 60 cada docena. Si se vende todo por S/. 1932, ¿cuánto ganará en cada vaso? a) S/.1 d) 2,1

b) 2 e) 1,5

c) 1,2

17. Un comerciante compra artículos a tres por S/. 35 y los vende a cinco por S/. 70. Si los 50 artículos que le quedan representa su ganancia, ¿cuántos artículos en total compró? a) 300 d) 250

b) 320 e) 500

c) 400

18. Cada vez que compro 12 manzanas, me regalan tres y cada vez que vendo 16 manzanas regalo uno. Si compro y vendo las manzanas al mismo precio, ¿cuántas manzanas debo comprar para ganar 90 manzanas? a) 480 d) 300

b) 320 e) 500

c) 400

19. Un almacenista compró a un fabricante cierto número de objetos iguales, a razón de S/. 72 la docena y los vendió después a un comerciante , a razón de S/. 70 la decena. El comerciante vendió los objetos al público a S/. 22 el par y resulta que ganó S/. 1260 más que el almacenista. ¿Cuánto cobró el fabricante? a) S/. 2530 d) 2520

b) 2540 e) 2120

c) 2620

20. Jéssica sale todos los días de su trabajo a las 19:00 h y en ese mismo instante llega su esposo y la recoge en su auto dirigiéndose a casa. Un día Jéssica salió a las 18:20 h y va el encuentro de su esposo quien la encuentra en el camino, dirigiéndose a su casa, llegando 36 minutos antes que de costumbre. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando Jéssica? a) 26 min d) 20

b) 24 e) 18

c) 22

c) 90

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2

1. Una ama de casa concurre a una carnicería y compra S/. 30 de carne pagando con un billete de S/. 100. El carnicero, al no tener sencillo, cruza la calzada y cambia el billete con el boticario quien le da billetes de S/. 10 con los cuales da vuelto a la señora. Minutos después, el boticario se percata que el billete era falso y reclama al carnicero quien le devuelve 10 billetes de 10. El carnicero perdió: a) S/. 130

b) 30

c) 100

d) 70

e) 200

2. Como el médico me recomendó caminar, todas las mañanas, doy una vuelta (a velocidad constante) a la manzana en la que vivo. Mi mujer aprovecha para correr (a velocidad constante) alrededor de la misma manzana. Salimos juntos y llegamos al mismo tiempo. Ella recorre la manzana en el mismo sentido que yo y me rebasa dos veces durante el recorrido. Si ella corriera en el sentido contrario, al mío, ¿cuántas veces se cruzaría conmigo? a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

3. Con 50 m de malla metálica, se cercó el jardín rectangular ubicado a un costado de la casa. Hallar "x" para que el área del jardín sea lo máximo posible.

Cerco

x

a) 20

b) 15

c) 25

d) 18

e) 30

4. Ricardo le corta el último centímetro de una regla bien graduada de un metro y se la entrega a Karina que desea verificar la medida de una cuadra exacta (100 m). Al final de la medición, como Karina ignoraba el defecto de la regla que estaba usando, creerá que la cuadra tiene de más: a) 111 cm

b) 110

c) 99

d) 101

e) 100

5. En el momento que un microbús parte, el cobrador posee 32 monedas de S/. 1 y 20 billetes de S/. 10. Cuando llegan al paradero final, el cobrador posee únicamente 80 billetes de S/. 10 y alguna monedas de S/. 5. Se sabe que el pasaje es único y de S/. 6; y hay quienes pagaron con billetes de S/. 10, con monedas de S/. 5 y S/. 1. ¿Cuántas personas viajaron? Nota: No hay personas que pagaron solo con monedas de S/. 1 ó solo con monedas de S/. 5. a) 268

Central: 619-8100

b) 270

c) 255

d) 281

e) 249

Unidad IV

159

Operaciones combinadas 18:10:45

Conceptos básicos 1. Ernesto tiene S/.210 en moneda de cinco soles y dos soles. Cuando cambia tantas monedas de S/.2 como de cinco, por monedas de S/.1, resulta que le quedan S/.168 en monedas de dos soles y cinco soles. ¿Cuántas monedas cambió? 2. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya área es 15 625 m2 con una cerca de tres hileras de alambre. Se desea saber, ¿cuánto costará toda la obra si el metro de alambre cuesta S/.1,5 y la mano de obra total S/.45? 3. ¿Cuál es el menor número que se le puede sumar a 349 752 para que resulte un numeral de cifras iguales? 4. Se tiene dos salones, uno alumbrado con 48 lámparas y el otro a oscuras, se apagaron cuatro lámparas del primer salón y se encendieron dos en el segundo y se repitió la misma operación hasta que los dos salones resultaron con el mismo número de lámparas encendidas. ¿Qué número era este? 5. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores S/.250. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/.300. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? 6. Se tiene un grupo de 64 monedas de 15g cada uno y otro de 44 monedas de 30 g cada uno. ¿Cuántos intercambios deben darse para que, sin variar el número de monedas de cada grupo, ambas adquieran el mismo peso? 7. Marcos y Gisella tienen ocho y cuatro panes respectivamente y deben compartirlos equitativamente con dos amigos. Para recompensarlos, estos entregan 180 soles a Marcos y Gisella, ¿cuánto le toca a Marcos? 8. Un padre deja una herencia de 171 000 dólares a sus hijos. Antes de efectuarse el reparto, muere uno de ellos y la suma que le correspondía se distribuye equitativamente entre sus hermanos quienes reciben entonces 19 000 dólares cada uno. ¿Cuántos hijos eran al principio?

9. Leonel compra cajones de naranjas a S/. 120 cada uno, cada cajón contiene 30 kilos. Vende la mitad a S/. 6 el kilo, la sexta parte a S/. 5 el kilo y remata el resto a S/. 2 el kilo, ¿cuántos cajones compró, si ganó S/. 540 en total? 10. Tres alumnos tienen en total S/.150, si al primero le duplicamos el dinero, al segundo le aumentamos S/.10 y al tercero le quitamos S/.10, los tres tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene el tercero? 11. Para una instalación de luz pidió un electricista S/. 140 para cada lámpara, incluyendo el material y la mano de obra, y pensó ganar S/. 672; pero hizo una rebaja de S/. 14 por lámpara y no ganó más que S/. 448. ¿Cuántas lámparas se instalaron y cuánto importó el material eléctrico? 12. De una pieza de tela, se ha cortado la mitad y luego la cuarta parte del resto, sabiendo que al final quedaron 24 metros, ¿cuál es la longitud total de tela cortada? 13. Una liebre perseguida por un galgo lleva ya adelantados 120 saltos y da cinco saltos mientras el perro da cuatro; y como siete saltos de la liebre equivalen a cinco del perro, se desea saber, ¿cuántos saltos tendrá que dar este para alcanzarla? 14. Un gerente transmite una orden a dos empleados a las 8:00 a.m. utilizando 20 minutos. Si cada empleado transmite la orden a otros dos en 20 minutos, ¿cuántas personas saben la orden hasta las 9:00 a.m. incluyendo al gerente? 15. Se sabe que: 4×4=12 (5+2)×3=6 14+9=5

Calcular: E=(11+(7+5)×3)×3

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160

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métodos operativos I En este capítulo aprenderemos a: • •

Identificar las condiciones que presentan los problemas para aplicar el método adecuado. Resolver problemas que involucren operaciones inversas y falsa suposición.

Einstein y Descartes genios del razonamiento

A

pesar de la disparidad de opiniones en torno a la definición del “razonamiento”, en lo que

respecta a los tipos de razonamiento, hay un mayor acuerdo entre los teóricos. El razonamiento admite dos consideraciones: una psicológica, donde la estructura psíquica influye fuertemente sobre el desarrollo del proceso mental, y una lógica, o estudio formal del mismo, en donde se trata de comprender la estructura, el fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano. La investigación demuestra que las personas no pueden resolver problemas si no logran la representación mental o interna de estos. Para lo cual se necesita comprender el enunciado del problema y visualizar las relaciones entre los datos, el resultado h t p t : / / m i c a s a e s t a a q u i i b . l o g p s o t . c o m

"Nunca consideres el estudio como una obligación, sino com o una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber."

esperado y los operadores que permiten pasar del estado inicial del problema al estado final, o sea la solución, mediante un proceso sistemático de razonamiento. Tradicionalmente, el razonamiento se ha divido en: Analógico, Inductivo y Deductivo. Una muestra de estos conceptos son Albert Einstein y René Descartes.

e p . m o c . x l o . a p i u q e r a d a d u i c / / : p t t h

“Las matemáticas son universales y, por sobre todo, la ciencia generalísima del orden y la medida”

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Unidad IV

161

Métodos operativos I

Conceptos básicos Métodos operativos 

Método de las operaciones inversas

Para poder aplicar este método el problema debe reunir las siguientes condiciones: • No se conoce la cantidad inicial. • Existen varias operaciones aritméticas simultáneas. • Se conoce la cantidad final. Aplicación del método: • • •

Siempre se coloca lo que queda. Se trabaja del resultado final hasta llegar a la cantidad inicial, es decir, hacia atrás. Cuando se trabaja hacia atrás se realizará con operaciones inversas.

s o l p m E

j

E

1. Si a la edad del profesor Lazo se quintuplica, al resultado se suma 60, para luego dividirlo entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada, para finalmente, restarle cuatro obteniendo dos años. ¿Cuál es la edad del profesor Lazo?

o l p m

Resolución

Operaciones directas

×5 ; +60 ; Edad ¿?

10 ;

5 ; - 60 ; ×10

√ ;

; ( )2 ;

-4 2 +4

E

cantidad

j

final

E

Operaciones inversas

 Edad del profesor Lazo: [(2+4) 2×10 - 60] 5 = 60 años Rpta.: 60 años

2. Tres amigos: José, Cristián y Alex juegan tres partidas de naipes entre sí, con la condición de que el que pierde duplicará el dinero de los otros dos. Si cada uno pierde un juego en el orden de presentación y luego de las tres partidas terminan con S/. 48; S/. 56 y S/. 28 respectivamente, ¿cuánto tenían inicialmente cada uno de ellos? Resolución

José

Cristián

Alex

1º perdedor

132 2º perdedor

Q uºeda Queda 2º Al final queda 3º

+48

Total del dinero

+56

132 3º perdedor

132

+28 =

132

La cantidad de dinero que tienen los tres amigos no varía, ya que el dinero entre ellos se intercambia

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•

Inicio: José

Cristián

Alex

Total del dinero 132 132

•

24  ×2

28  ×2

80

132

48

56

28

132

Alex tenía antes del tercer juego que perdió: 132 - (24+28)=S/. 80 José

Cristián

Alex

Inicio 

Final 

Inicio 

Final  •

Total del dinero 132

12  ×2

80

40  ×2

132

24

28

80

132

48

56

28

132

José

Cristián

Alex

Total del dinero

72

40  ×2

20  ×2

132

12

80

40

132

24

28

80

132

48

56

28

132

Cristián tenía antes del segundo juego que perdió: 132 - (40+12) = S/.80

José tenía antes del primer juego que perdió: 132 - (40+20) = S/.72

Entonces al inicio tenían: José: S/. 72 Cristián : S/. 40 Alex : S/. 20

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Unidad IV

163




Método de la falsa suposición

Para poder utilizar este método el problema debe reunir las siguientes condiciones: • •

Debe existir dos incógnitas. Debe presentar un valor numérico producido por la suma de las dos incógnitas (número de elementos). Valor unitario de cada incógnita. Valor numérico producido por el número de elementos.

• •

Aplicación del método: • • •

Se realiza una falsa suposición a cualquiera de las dos incógnitas. Esta falsa suposición nos conducirá a un error (error total) Este error se debió a la falsa suposición donde asumimos que todos los elementos eran de una clase (existe un error unitario) Se encuentra el número de errores a través de la relación que existe entre el error total y el error unitario.

•

o l p m E

En un zoológico donde hay 56 animales entre aves y felinos, se cuentan 196 patas (extremidades). ¿Cuántas aves hay?

j

E

Resolución •

Falsa suposición:

Asumimos que todos los animales del zoológico son

felinos (cuatro patas) :

56×4 patas = 224 patas

•

Error total (E.T)

:

224 - 196 = 28 patas

•

Error unitario (E.U)

:

4 patas - 2 patas = 2 patas

•

Nº de errores (aves) :

o l p m E

j

E

28 = 14 2

En el zoológico hay 14 aves y 42 felinos Rpta.: 14

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Síntesis teórica MéTODOS OPERATIVOS I

10 5 50

Conceptos básicos 1. Un número se disminuye en 42, el resultado se divide entre 6, al cociente obtenido se le multiplica por 20, luego se triplica el producto obtenido y se divide entre 5, hallándose 600 de cociente. Coloque "V" si es verdadero o "F" si es falso según corresponda: • El problema presenta dos incógnitas .................................................................................... ( ) • El valor numérico final es 600 ............................................................................................ ( ) • El número buscado es 342 ...................................................................................................( )

2. Cada vez que Lucho se encuentra con Vanessa este le duplica el dinero a Vanessa y en agradecimiento ella le da un sol. Si en un día se han encontrado dos veces luego de las cuales Vanessa tiene nueve soles, ¿cuánto tenía inicialmente Vanessa? 3. Cuando un campesino saca agua de un pozo, extrae la mitad del contenido y cinco litros más. Si después de tres extracciones quedan aún 10 litros de agua en el pozo, ¿cuántos litros había al inicio? •

El campesino extrae diariamente 3/5 (contenido) + 5 L ; entonces le queda diariamente :

•

El campesino hubiera extraído diariamente : entonces le queda diariamente 2/7 (contenido) - 2 L.

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Unidad IV

165


4. Un poeta solo emplea palabras de cinco u ocho letras. En un poema empleó 25 palabras y un total de 149 letras. Relacione correctamente las columnas: Columna "A"

Columna "B"

A. Suponiendo que todas las palabras son de ocho letras el error total es: B. Suponiendo que todas las palabras son de cuatro letras el error total es: C. Número de palabras de ocho letras. Relacionando:

A ( )

B ( )

I. II. III. IV.

49 8

51 17

C()

5. Una persona concurre al hipódromo a apostar en las carreras de caballos. En cada carrera que acierta gana S/. 250 y si no acierta pierde S/. 150; si después de 24 carreras su capital ha aumentado en S/. 3200, ¿cuántas carreras acertó?

Conceptos básicos Comunicación matemática 1.

Cada vez que Mariano va a la casa de su tío, este le duplica el dinero que tiene y Mariano en agradecimiento le compra una torta de S/. 20. Si en un día, Mariano visitó a su tío tres veces y al final terminó con S/. 4, coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso según corresponda: • • •

2.

4.

Antes de la tercera visita tenía 12 nuevos soles .............................................. ( ) En la segunda visita su tío le dio 16 nuevos soles .............................................. ( ) Al inicio, Mariano tenía 18 nuevos soles.. ( )

Un litro de leche pura pesa 1030 gramos. Cierto día, se compraron seis litros de leche adulterada que pesan 6120 gramos. Complete: • Al suponer que la leche no fue adulterada el peso total sería: • Hay litros de agua • Hay litros de leche pura

a) 60 d) 48 5.

6.

Un número se aumenta en 20; el resultado se divide entre 3; el cociente obtenido se aumenta en 3; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, el nuevo resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Hallar el número. a) 32 d) 81

b) 42 e) 46

c) 56

c) 64

b) 30 e) 38

c) 40

Angie gasta su dinero de la siguiente manera: en gaseosas la mitad del dinero más S/. 2; en galletas la cuarta parte del resto más S/. 3, quedándose al final sin dinero. ¿Cuánto gastó en gaseosas? a) S/. 6 d) 9

7.

b) 52 e) 38

Alejandra escribe cada día en su cuaderno la tercera parte de las hojas en blanco, más dos hojas. Si después de tres días le quedan 10 hojas en blanco, ¿cuántas hojas escribió? a) 24 d) 48


Cada vez que Evelyn sale al recreo, gasta la mitad del dinero que tiene en ese momento más S/ 4. Si hoy ha salido tres veces al recreo y al final le quedó solo un sol, ¿cuánto dinero tenía al inicio?

b) 7 e) 10

c) 8

Rita gasta su dinero de la forma siguiente: Las 2/3 partes de su dinero más S/. 1 en una minifalda, las 2/5 partes del dinero que le queda, más S/. 2 en un par de zapatos. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente si al final se quedó únicamente con S/. 2? a) S/. 51 d) 53

b) 60 c) 24

c) 23

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8.

Cuatro jugadores "A", "B", "C" y "D" acordaron que en cada partido de póker el perdedor cuadriplicará el dinero de los otros tres. Ellos pierden una partida en el orden dado después de lo cual tienen cada uno: 256; 512; 768 y 1024 nuevos soles respectivamente. ¿Cuánto suman lo que tenía "C" y "D" en un principio? a) S/. 233 d) 764

9.

b) 840 e) 157

c) 153

b) 30 e) 117

c) 13

10. De la granja de López se pasaron a la granja de Pérez tantas gallinas como el doble de las que habían en esta granja. Al día siguiente, se regresaron de la granja de Pérez a la de López tantas gallinas como el triple de las que quedaron la noche anterior. Si ahora López tiene 40 gallinas y Pérez 45, ¿quién ganó y cuántas gallinas? a) López; 20

d) Pérez; 10

b) Lopez; 40 e) Pérez; 40

c) Perez; 20

11. Se tienen tres aulas "A","B","C", con cantidades diferentes de alumnos, si de cada una de ellas se pasan a las otras dos aulas tantos alumnos como hay en ese momento en cada una de estas (en orden alfabético) quedándose al final cada una con 120 alumnos. ¿Cuántos alumnos tenía el aula "A" inicialmente? a) 105 d) 210

b) 60 e) 120

c) 195

12. Angie tiene S/.3100 en billetes de S/.50 y S/.100, ¿cuál será la cantidad de billetes de mayor denominación si hay un total de 40 billetes? a) 18 d) 14

b) 28 e) 22

c) 12

13. Con 30 monedas de S/. 5 y S/. 10 colocados en contacto, una a continuación de otra, se ha formado la longitud de un metro, si se sabe que los diámetros de esas monedas son 28 mm y 36 mm respectivamente, ¿cuántas monedas de S/. 10 hay en el grupo?

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b) 18 d) 20

c) 17

14. Una persona concurre al hipódromo y apuesta

en las carreras de caballos. En cada carrera que acierta, gana S/. 250 y si no acierta, pierde S/. 150. Después de 30 carreras su capital ha aumentado en S/. 3100, ¿cuántas carreras acertó? a) 17 d) 12

Tres jugadores acuerdan que el perdedor de cada juego triplicaría el dinero de los otros dos. Juegan tres veces y pierden un juego cada uno en el orden "A", "B", "C" quedando con 36; 12 y 85 nuevos soles respectivamente. ¿Cuánto tenía "A" al inicio? a) S/. 90 d) 110

a) 15 d) 19

b) 7 e) 19

c) 11

15. Un profesor cobra 15 soles por cada clase

dictada y se le descuenta 5 soles por cada clase que falta. Si al término del mes, debió dictar 40 clases y nada le queda por cobrar, ¿a cuántas clases faltó? a) 10 d) 30

b) 15 e) 40

c) 25

16. Un

coleccionista tiene entre arañas y escarabajos 20 animalejos, al observar pudo contar 150 patitas. Entonces: I. El número de arañas es el triple de los escarabajos. II. La razón geométrica que hay entre el número de arañas y sus patas es 7/56. III.El número de coleópteros excede en 10 al número de arañas. IV. Si cada araña tuviese dos patas menos y cada escarabajo tres patas más, habrían en total 135 patas. Son falsas: a) Solo IV d) I y III

b) Solo II e) II y II

c) Solo III

17. En una granja hay diez animales entre pollos

y conejos. Si en total se cuentan 32 patas, entonces son ciertas: I. Hay dos conejos más que pollos. II. Son seis pollos y cuatro conejos. III.Al contar las orejas y patas de los conejos, se obtiene 36. a) Solo II d) II y III

b) I y II e) Todas

c) I y III

18. Silvia va al mercado con S/. 30 y compra solo

frutas, entre manzanas y naranjas. Si cada manzana cuesta S/. 0,60 y cada naranja S/. 0,40, ¿cuántas manzanas compró, si en total compró 54 frutas y gastó todo el dinero que llevó? a) 12 d) 42

b) 30 e) 36

c) 24

Unidad IV

167


19. Se compraron 9 kg de arroz de dos calidades,

par. Si cuatro veces hizo el máximo puntaje, entonces: I. Doce veces hizo el mínimo. II. Dos veces hizo cuatro puntos. III.Obtuvo 30 puntos con el mínimo puntaje.

el superior de S/. 3 el kg y el extra de S/. 2 el kg. Si en total se pagó S/. 24, ¿cuántos kilogramos de arroz extra se compraron? a) 6 kg d) 5

b) 3 e) 2

c) 4

Son ciertas: a) Solo II d) Todas

20. Jackeline tiró "n" veces un dado. El máximo

puntaje total que pudo haber obtenido es 120; pero solo obtuvo 62 puntos y solo sacó puntaje

b) I y II e) Ninguna

c) I y III


Tres jugadores "A", "B" y "C" intervienen en un juego, para el cual acuerdan de que la persona que pierda el juego tendrá que dar el 10% de lo que tiene a cada uno de los otros dos. Si el primero en perder es "A", luego "B" y finalmente "C" quedándose con 1907; 1497 y 1096 nuevos soles respectivamente, ¿cuántos nuevos soles más tenía al pricipio "A" respecto a "C"? a) 9000 d) 1200

b) 1000 e) 1300

y se han rebalsado 72 litros. Si abro el segundo caño y funciona el mismo tiempo que funcionó el primero faltarían 40 litros de agua para llenar el cilindro, debido a que este caño arroja 20 litros de agua cada tres minutos. ¿Qué capacidad tiene el cilindro? a) 280 L d) 240

b) 260 e) 250

c) 420

c) 1100 4.

En una asamblea, hay 40 bancas. Unas para diez personas, otras para ocho y otras para cinco personas. El número de bancas para ocho es el cuádruple de bancas para cinco. Si en total se acomodan 335 personas, ¿cuántas bancas para diez personas hay?

Podría ahorrar S/. 20 al día; pero cada mañana de sol empleo S/. 9 en helados y cada mañana fría gasto S/. 6 en café. Si al cabo de 21 días he ahorrado S/ 258, se puede afirmar: I. La diferencia entre el número de días soleados a) 12 b) 14 c) 15 y fríos es tres. d) 16 e) 17 II. Gasté S/. 56 tomando café. III. Podría haber ahorrado S/. 231 si todas las 5. Se tienen 54 monedas, las cuales se separan en mañana hubiesen sido soleadas. tres grupos. Del primero, se pasan al segundo tantas monedas como hay en este; luego, del Son ciertas: segundo al tercero tantas como la mitad que a) Solo I b) Solo II c) Solo III contiene este; obteniéndose así igual cantidad de d) I y III e) Ninguna monedas de cada grupo. El primer grupo tenía: a) 25 c) 28 b) 30 3. Se trata de llenar un cilindro al cual concurren d) 12 e) 24 dos cañerías. Si abro la primera que arroja 52 litros de agua cada cinco minutos y la dejo funcionar cierto tiempo, logra llenar el cilindro 2.

18:10:45

Conceptos básicos 1. La edad de Magaly se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4, luego se extrae la raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3, obteniéndose 12 de cociente. Hallar la edad de Magaly dentro de ocho años.

2. Lucas recibe de su tío una propina que es tanto como lo que tiene. Luego, su papá le da 30 soles y por último su madrina le da tanto como el doble de lo que tiene en ese momento. Si al final Lucas tiene 240 soles, ¿cuánto tenía inicialmente?

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3. Cada día de un reservorio de agua se consume la mitad de su contenido más 20 litros; si después de tres días consecutivos quedan diez litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua se consumieron? 4. Una señora llevó al mercado una cesta llena de naranjas, en la primera puerta vendió la mitad del total más media naranja, en la segunda puerta vendió la mitad del resto más media naranja y lo mismo se hizo en la tercera y cuarta puerta, quedándose con solo una naranja. ¿Cuántas naranjas vendió? 5. Tres jugadores Hugo, Paco y Luis convienen en que el que pierda la partida, triplicará el dinero de los otros dos. Pierde una partida cada uno en el orden antes mencionado y quedan con S/.36; S/.57 y S/.55 respectivamente. Indicar como respuesta la suma de las cifras del dinero con que empezó Luis. 6. Anita tiene cierta suma de dinero; que lo gasta de la siguiente manera: en cinco chocolates, 5/8 de lo que tiene; en tres refrescos, 1/3 de lo que queda y en cuatro galletas, 4/9 del resto. Si aún le quedan S/.10, entonces no son falsas: I. Por un chocolate, un refresco y una galleta pagó S/.14. II. Gastó en total S/.62. III. No es cierto que después de comprar refrescos le quedan S/.18. 7. Cuatro personas "A", "B", "C y "D" se pusieron a jugar con la condición de que el ganador de cada partida debe recibir la mitad de dinero que en ese momento tiene cada uno de los otros tres jugadores. Se sabe que ganaron en orden alfabético y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con 20; 36; 68 y 132 dólares respectivamente. ¿Cuánto ganó la persona "D"? 8. Tres amigos: Alberto, David y Emilio se encuentran jugando "ludo"; el que pierde duplicará el dinero que los otros dos tengan en ese momento. Después de haber perdido cada uno de ellos una partida, en orden alfabético, se quedaron con 64; 72 y 36 soles respectivamente. Entonces son ciertas: I. Alberto empezó con 94 nuevos soles II. Después de la primera partida se quedaron con 16; 104 y 52 nuevos soles respectivamente III.Después de la segunda partida David tenía 36 nuevos soles.

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9. Cada vez que voy al cine gasto S/. 18 y cada vez que voy al teatro gasto S/. 24. Si he salido 12 veces (al cine o teatro) y gasté S/. 264, ¿cuántas veces he salido al cine? 10. Con S/.101 000 se han comprado carneros y ovejas, adquiriendo un total de 25 animales. Si cada carnero cuesta S/. 3000 y cada oveja S/. 5000, ¿cuántos carneros se han comprado? 11. Se reunieron todos los alumnos y alumnas del primer y segundo año de nuestro colegio, donde notamos lo siguiente: En un grupo de 72 alumnos, todos los hombres tienen 13 años y todas las mujeres 11 años. Si la suma de las edades de todos los de ese grupo es 860 años, ¿cuántos hombres había en dicho grupo? 12. Para pagar una deuda de 480 dólares, se usaron 30 billetes, algunos de 10 y otros de 20 dólares, luego son ciertas: I. Se usaron, 18 billetes de $ 20 II. Hay seis billetes más de $20 que de $10 III.En billetes de $10 hay un monto de $120 13. En una granja, se crían gallinas y conejos. Si se cuentan en total 48 ojos y 68 patas, ¿cuántas gallinas hay? 14. A un parque concurrieron varios niños; algunos con sus triciclos y otros con bicicletas. El guardián contó 860 ruedas y 608 pedales. Entonces: I. Los pedales de todas las bicicletas son 104 II. La diferencia entre el número de triciclos y bicicletas es 204 III.Hay 252 triciclos Son ciertas: 15. Tengo una colección de 58 fascículos entre revistas y suplementos, que constan de 30 y 20 páginas respectivamente; si en total se cuentan 1680 páginas, luego son ciertas: I. Los suplementos son seis II. Las revistas son 52 III.Hay 46 revistas más que suplementos

Unidad IV

169

Métodos operativos II

métodos operativos En este capítulo aprenderemos a: •

Identificar las condiciones que presentan los problemas para aplicar el método adecuado (Diferencias - Regla conjunta). Resolver problemas que involucren dichos métodos.

•

E

Algoritmos

n Matemática, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo (del latín, dixit algorithmus y este a su vez del matemático persa Al Juarismi) es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien lo ejecute. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de la algoritmia. En la vida cotidiana se emplean algoritmos en multitud de ocasiones para resolver problemas. Algunos ejemplos son los manuales de usuario, que muestran algoritmos para usar un aparato, o las instrucciones que recibe un trabajador por parte de su patrón. Algunos ejemplos en Matemática son el algoritmo de la división para calcular el cociente de dos positivos, o el método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones. Los diagramas de flujo sirve para representar algoritmos de manera gráfica.

¿Tengo

¿Está

repuesto?

enchufada?

¿Foco quemado? ¿Está bueno?

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4


Método de las diferencias

Para poder utilizar este método el problema debe reunir la siguiente condición: Deben participar dos cantidades excluyentes, una mayor que otra que se comparen en dos casos, originándose en un caso un sobrante (o ganancia) y en el otro, un faltante (o pérdida). Aplicación del método

Se halla la incógnita relacionando dos diferencias: La total y la unitaria. o l p m

1.

E

j

Compré siete libros y me sobró S/. 11, pero si quisiera comprar 10 libros me faltarían S/. 13. ¿Cuál es el costo de cada libro?

E

o l p m

Resolución •

En este problema hay dos incógnitas: el costo de cada libro y el dinero que yo tengo. Costo de 7 libros

S/. 11

S/. 13

E

sobra

j

E

falta

Dinero que tengo

1444442444443

Costo de 10 libros • El gráfico nos quiere decir que si quisiera comprar: 10 - 7 = 3 libros (diferencia

total), tendría que gastar lo que me sobró y lo que me falta, es decir: 11+13= 24 •

Luego: Costo por libro= 24 = S/. 8 3

2.

Rpta.: S/. 8

Cuando el profesor Díaz compró 12 cajas de tizas le sobro 36 soles, en cambio si hubiera comprado 28 cajas le hubiera faltado 12 soles. ¿Cuánto cuesta cada caja de tizas? Resolución

Costo de 12 cajas

sobra S/. 36

falta S/. 12

Dinero que tiene Díaz 1444442444443

Costo de 28 cajas •

Del gráfico, se observa que para comprar: 28 - 12 = 16 cajas más se necesita: S/. 36 + S/. 12 = S/. 48

•

Entonces cada caja cuesta: S/. 48 = S/. 3 16

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Rpta.: S/. 3

Unidad IV

171




Método de las equivalencias (Regla conjunta)

Este método tiene por objetivo reducir una cantidad a otra de diferente especie, por medio de equivalencias que interrelacionen la primera con la segunda, la segunda con la tercera y así sucesivamente. Se llama también Regla conjunta porque reúnen en una sola operación varias relaciones dada, las que da lugar a una relación compuesta. Se aplica, principalmente, a la determinación de la relación que existe entre dos medidas, pesas o monedas cualesquiera, por medio de la relación que estas tienen con otras medidas, pesas o monedas intermediarias, y también a otras operaciones como la de descuentos sucesivos.

o l p m E

j

E

1. Hace algunos años, el cambio monetario era el siguiente: por ocho soles daban cinco cruzados, diez cruzados por tres pesos; seis pesos por cuatro dólares. ¿Cuántos soles daban por dos dólares? Resolución • Se disponen los datos en columnas, teniendo en cuenta el orden "opuesto" (al

lado de la equivalencia) para una misma característica, unidad, etc. Así:

8 soles <> 5 cruzados 10 cruzados <> 3 pesos 6 pesos <> 4 dólares 2 dólares <> x soles

o l p m E

j

Recuerda que...?

E

Las unidades deben estar alternadas en las dos columnas.

• Luego se multiplican los valores que hay en una u otra columna,

verificando que las "unidades monetarias" se simplifiquen (cancelen):

(8 soles) (10 cruzados) (6 pesos) (2 dólares)<> (5 cruzados)(3 pesos)(4 dólares)(x soles)

Simplificando y efectuando: x=16 Rpta.: S/. 16

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4

Síntesis teórica

MéTODOS OPERATIVOS II

Participan dos cantidades excluyentes que al ser comparados, originan una ganancia o pérdida.

Reduce una cantidad a otra diferente por medio de equivalencias que interrelacionan los datos

Reúne una sola operación varias relaciones dadas.

Costo de 4 DVD

S/. 8

S/. 10

sobra Dinero que tengo

falta

1444442444443

Costo de 10 DVD

8 peras <> 5 naranjas 10 naranjas <> 3 piñas

Costo por DVD= 18 =S/. 3

6

(8 peras)(10 naranjas) (6 piñas) (2 fresas)

6 piñas <> 4 fresas 2 fresas <> x peras

<>

(5 naranjas) (3 piñas) (4 fresas) (x peras)

x <> 16

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173

Métodos operativos II 10 5 50

Conceptos básicos 1. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus 3. Un padre va al cine con su hijos y al sacar ayudantes; dando S/. 5 a cada uno faltarían S/. entradas de S/. 3 observa que le falta dinero 3 y dándole S/. 4 le sobrarían S/. 7. para tres de ellos; entonces tiene que sacar Coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso en entradas de S/. 1,5; así entran todos y aún le cada una de las siguientes proposiciones: sobran S/. 3. ¿Cuántos eran los hijos y cuánto dinero tenía? • El dinero total que tiene el ingeniero es 50 soles ................................ ( ) 4. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldrá el • Tiene 10 ayudantes ........................... ( ) trabajo de ocho niños, si el trabajo de cuatro • Si a cada uno le diera S/. 3 le cobraría niños equivale al de tres niñas, el de una mujer S/. 17 ................................ ( ) al de dos niñas y el de tres mujeres al de un hombre? 2. Sabiendo que seis camisas cuestan lo mismo que cinco pantalones y dos pantalones cuestan 5. Sabiendo que seis kilogramos de sandía cuesta 120 soles, relaciona correctamente las columnas lo mismo que cuatro kilogramos de papaya; "A" y "B" tres kilogramos de papaya valen lo mismo que dos kilogramos de plátanos, cinco kilogramos Columna "A" Columna "B" de plátanos cuestan S/.18. ¿Cuánto costarán 10 kilogramos de sandía? I. Costo de 4 camisas A. S/. 500 II. Costo de 10 camisas B. S/. 360 III. Costo de 6 pantalones C. S/. 18 D. S/. 200 Relacionando:

I()

II ( )

III ( )



1. Anita quiere repartir cierto número de tamales a sus nietos. Si les da cinco tamales a cada uno, le sobra 12; pero si les da ocho tamales a cada uno le faltan seis tamales. Coloque (V) si es verdadero o (F) si es falso: • Eduardo que es uno de los nietos, tiene cinco hermanos ................................( ) • Anita tiene 42 tamales en total ...........( ) • Si les diera siete tamales a cada uno, no le sobraría ninguno .......................( ) 2. Si cuatro Toyotas cuestan igual que seis Ticos, tres Ticos como diez Datsun, siete Datsun como 21 Fiat y seis Fiat como ocho Volvos. Relaciona correctamente las columnas: Columna "A" Columna "B"

A. B. C. D.

I. Dos Toyotas II. 80 Volvos III. Un Toyota

20 Volvos 15 Fiat 4 Toyotas 10 Fiat

Relacionando: I ( )

II ( )

3. El número de alumnos de un salón puede ubicarse en filas de nueve. Pero si se ponen dos alumnos menos en cada fila hay que poner dos filas más, ¿cuántos alumnos hay? a) 35 d) 63

b) 45 e) 99

c) 67

4. Un niño compró ocho chocolates y le sobró S/. 6. Si hubiera comprado diez chocolates, le hubiese sobrado S/. 3, ¿cuánto cuesta cada chocolate? a) S/. 1,5 d) 2,4

b) 2 e) 1,6

c) 1,2

5. En el problema anterior, ¿de cuánto dinero disponía el niño? a) S/. 13 d) 16

b) 15 e) 17

c) 18

III ( )

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6. Para la rifa de un departamento se pusieron a la venta 1890 boletos y se pensó ganar S/.106 800; pero solo se vendieron 980 boletos, originándose una pérdida de S/. 2400. Hallar el precio del departamento. a) S/. 60 000 d) 180 000

b) 200 000 e) 120 000

b) 37 e) 39

a) Solo II d) I y II

c) 40

8. Un grupo de palomas se aproxima a un grupo de postes. Si en cada poste se posan cuatro palomas resultarían tres postes sobrantes; en cambio, si cada poste se posan tres palomas haría falta tres postes más. ¿Cuántas son las palomas? a) 75 d) 100

b) 72 e) 96

c) 84

9. Se realizó una colecta para obsequiarle una blusa a una alumna por el día de su cumpleaños. Si cada alumno colabora con S/.8, sobrarían S/.6; pero si cada uno de ellos diera S/.6 faltarían S/.12. ¿Cuánto costó la blusa? a) S/. 65

b) 60

d) 70

e) 72

c) 66

10. Un vendedor de uvas razona de la siguiente manera: Si vendo a S/. 5 los 5/6 de kg, entonces ganaré S/. 40; en cambio si los vendo a S/. 3 los 3/5 de kg, perderé S/. 16. Si vendiése toda la uva que tengo a S/. 30 por kg, entonces recibiría en total: a) S/. 650 d) 80

b) 484 e) 1680

c) 410

11. Si: a = bc; c = de; ebd = 4; entonces "7a", ¿a cuánto equivale? a) 12 d) 25

b) 28 e) 64

c) 20

12. Vanessa le dice a Christián: "Si compro 15 folletos, me faltan S/.10 soles; pero comprando 10 folletos, me sobran S/.15". Entonces, podemos afirmar:

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4

Si compra 13 folletos, no le sobra ni le falta dinero. II. El precio de cada folleto es un número impar menor que 10. III. Si Christián tiene S/.20 más que Vanessa, entonces puede comprar 19 folletos.

c) 40 000

7. Si los alumnos se sientan de cuatro en cada carpeta sobrarían cinco alumnos; pero si se sientan de cinco en cada carpeta, faltarían tres alumnos. ¿Cuántos son los alumnos? a) 32 d) 35

I.

b) I y III e) Todas

c) II y III

13. Si una tijera cuesta lo mismo que cinco lapiceros y tres lapiceros igual que seis borradores, por 90 borradores, ¿cuántas tijeras darán? a) 8 d) 12

b) 9 e) 10

c) 7

14. Una compañía está formada por ocho departamentos; cada departamento tiene tres sucursales, en cada dos sucursales hay cinco oficinas y en cada oficina trabajan doce empleados. ¿Cuántos empleados trabajan en diez compañías? a) 6000 d) 8200

b) 7200 e) 8000

c) 7600

15. En una feria, venden ocho plátanos al mismo precio que seis duraznos, cuatro duraznos lo mismo que diez nísperos, una docena de nísperos al mismo precio que dos piñas. Si diez piñas cuestan S/. 320, ¿cuánto pagaré por dos plátanos, tres duraznos y una piña? a) S/. 90 d) 93

b) 91 e) 94

c) 92

16. En el mercado, cuatro naranjas cuestan lo mismo que 15 plátanos, 10 plátanos lo mismo que tres manzanas, 12 manzanas lo mismo que una piña. ¿Cuántas naranjas cuestan lo mismo que tres piñas? a) 30 d) 33

b) 31 e) 34

c) 32

17. Hallar el precio de 100 varas de paño, teniendo en cuenta que seis varas equivalen a 5 m, que 18 m cuestan 54 francos y que cada franco vale S/. 0,20. a) S/. 40 d) 70

b) 50 e) 80

c) 60

Unidad IV

175


a) 24 b) 18 c) 16 18. Si cuatro camotes pesan tanto como siete cebollas; cinco cebollas tanto como 12 tomates; d) 28 e) 32 dos tomates tanto como siete caiguas y 18 caiguas pesan tanto como tres papas. Si se sabe 20. ¿Qué suma necesitará un Gobierno para además que tres camotes pesan 1 kg, ¿cuántas pagar a cuatro generales, si el sueldo de seis papas pesarán igual que 20 kg de camote? coroneles equivale al de diez comandantes, el de cinco comandantes al de doce tenientes, el a) 96 b) 125 c) 86 de dos generales al de cuatro coroneles, el de d) 150 e) 147 seis tenientes al de nueve sargentos y si cuatro sargentos ganan S/. 2400 al mes? 19. Hace algunos años, por cinco melocotones daban ocho melones, por nueve melones daban a) S/. 14 000 b) 24 400 c) 32 600 cuatro manzanas; por tres naranjas daban dos d) 48 000 e) 28 800 manzanas y por seis plátanos daban 10 naranjas, ¿cuántos plátanos darán por 50 melocotones?

Conceptos básicos 1. Dos manzanas y dos ciruelas pesan lo mismo que una papaya, seis manzanas pesa lo mismo que tres chirimoyas y seis ciruelas, y el peso de tres papayas con diez ciruelas es el mismo que de siete manzanas y dos chirimoyas. Si las frutas del mismo tipo tienen igual peso, ¿cuántas chirimoyas serán necesarias para equilibrar seis papayas? a) 15

b) 12

c) 9

d) 11

e) 10

2. Con 36 soles, Ernesto va al cine con su esposa e hijos, si comprase las entradas de S/. 5 le faltaría dinero, pero si compra de S/. 4 soles, le sobra dinero. Si las hijas son la mitad de la familia, ¿cuántos hijos varones tiene Ernesto? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

3. Si le pago 12 dólares a cada uno de los empleados, me faltarían 280 dólares; pero si solo les pago nueve dólares, me sobrarían 140 dólares. Luego son ciertos: I. Son 140 los empleados II. Dispongo de 1400 dólares III. Si les doy 10 dólares a cada uno sobrarían 20 dólares a) Solo I

b) I y II

c) I y III

d) II y III

e) Solo II

4. Un ganadero vendió su ganado compuesto de 60 cabezas entre vacas y terneros por la suma de S/. 216 000 pero como necesitaba S/. 250 000, debe efectuar una venta complementaria a las mismas personas. Además calcula que si vende ocho vacas, le faltarían S/. 2000 y si vende 19 terneros le sobrarían S/. 4000. ¿Cuál es la diferencia entre el número de animales de cada tipo que vendió inicialmente? a) 18

b) 42

c) 24

d) 16

e) 36

5. Vendiendo una caja de clavos a S/. 3 los 2/3 de kg, ganaría S/. 58,50, pero vendiendo a S/. 2,625 los 5/6 de kg, perdería S/. 29, 25. ¿Cuántos kilogramos de clavos hay en la caja? a) 65

b) 68

c) 32

d) 28

e) 86

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1.

A Fátima para comprar 20 manzanas le sobran S/. 48; pero para comprar 24 le faltan S/. 12, ¿cuánto cuesta cada manzana?

2.

Un profesor quiere premiar a sus alumnos dándoles S/. 5 a cada uno, le faltarían S/. 3, pero dándoles S/. 4 le sobrarían S/. 7. Indicar como respuesta la suma del número de alumnos y del número de soles en total.

3.

Un padre va con sus hijos al cine y se percata que si compra entradas de tres dólares le falta dinero para tres de ellos por lo que resuelve comprar las de dos dólares, sobrándoles para comprar dos paquetes de palomitas de maíz de 0,5 dólares cada uno. Entonces podemos afirmar:

4.

5.

6.

7.

8.

4

entradas de S/. 8 le faltaría S/. 12 y si adquiere entradas de S/. 5 le sobraría S/. 15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio? 9.

En cierto lugar de la serranía, se acostumbraba hacer trueques; si tres alpacas equivalen a dos vacas; tres vacas equivalen a cinco caballos y ocho caballos equivalen a nueve ovejas. ¿Cuántas alpacas se pueden inercambiar con 15 ovejas?

10. Sabiendo que dos kilos de frijoles cuestan lo

mismo que tres kilos de azúcar, que cuatro lápices valen lo mismo que cinco kilos de azúcar, que tres cuadernos valen S/.30 y que ocho lápices cuestan lo mismo que cuatro cuadernos. ¿Cuánto costarán seis kilos de frijoles?

I. El número de hijos es 10. II. Si compra las entradas de 1,5 dólares podría comprar cuatro gaseosas de 1,5 dólares cada uno. III. El dinero que posee es múltiplo de 7.

11. En una feria agropecuaria siete gallinas cuestan

Si doy nueve caramelos a cada uno de mis sobrinos, me sobran ocho; pero si les quisiera dar 12 a cada uno, al último solo podría dar cinco caramelos, ¿cuántos caramelos tengo en total?

12. Si dos veces "A" equivale a tres veces "B"; seis

Si a los alumnos que tengo los hago sentar de tres en tres en los bancos que poseo, me sobrarían dos de ellos, pero si los hago sentar de dos en dos, se quedarían de pie seis de ellos. ¿Cuál es el número de alumnos que tengo?

13. Si siete naranjas equivale a ocho manzanas;

Si pago S/. 12 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 340; pero si solo les pago S/. 4, me sobrarían S/. 100. ¿Cuántos empleados tengo?

lo mismo que dos pavos, 14 patos cuestan lo mismo que cinco pavos, tres conejos cuestan lo mismo que ocho patos. ¿Cuánto costarán cuatro gallinas si un conejo vale S/.25? veces "B" equivale a cuatro veces "C" y cinco veces "C" equivale a 15 veces "D", ¿cuántas veces "D" equivale "A"? cuatro mandarinas equivale a 21 bananas y tres bananas equivale a dos melocotones y también que dos manzanas equivale a cinco mandarina. ¿Cuántos melocotones darán por el mismo precio de una docena de naranjas? 14. El valor de dos libros de Álgebra equivalen

a tres de Aritmética, además cinco libros de Aritmética equivalen a cuatro de Razonamiento Verbal. Si seis libros de Razonamiento Verbal cuestan S/.100, ¿cuánto cuesta la docena de libros de Álgebra?

Una persona quiere repartir cierto número de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 11 caramelos a cada uno, le sobra 116, y si les da 24 caramelos a cada uno le falta 27 caramelos ¿Cuántos caramelos quiere repartir?

15. Sobre un estante se pueden colocar 15 libros

Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra

de ciencias y tres libros de letras o nueve libros de letras y cinco libros de ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente entran al estante?

Central: 619-8100

Unidad IV

177

UNIDAD V

RepARtIeNDo eN pARtes IgUAles

E

l libro El hombre que calculaba incluye distintos acertijos y enigmas matemáticos que el protagonista

va resolviendo a lo largo de los capítulos. Uno de los problemas es la historia de tres hermanos que debían repartirse una herencia de 35 camellos, según lo había indicado su padre: El mayor recibiría la mitad de los camellos. El segundo hermano recibiría la tercera parte. Al menor le correspondería la novena parte de los camellos. Los hermanos no se ponían de acuerdo, porque en el reparto no se obtenían 1 números enteros y nadie quería cortar un camello. La mitad de 35 es 17 . La tercera parte de 35 es 11 2 8 2 . La menor parte de 35 es 3 . El hombre que calculaba se enteró del problema y ofreció su camello, 3

9

para así poder repartir 36. Entonces el reparto quedó así: La tercera parte de 36 es 18, que resulta mayor 2 8 que 11 . La novena parte de 36 es 12, que resulta mayor que 3 . Como los tres hermanos resultaron 3 9 beneficiados, aceptaron la propuesta y se repartieron así los camellos. Pero, ¡18+12+4 =34! , por lo cual sobraron dos de los 36 camellos: uno de ellos era el que el hombre que calculaba había ofrecido para facilitar el reparto. Y el otro se lo llevó como compensación por solucionar el problema. ¿Cómo se explica que las cuatro personas hayan salido beneficiadas?¿Pueden darse cuenta? ApReNDIzAjes espeRADos Comunicación matemática • Interpretar el significado de números fraccionarios en las diversas situaciones y operaciones. Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la resolución de problemas. • Relacionar y analizar procesos operativos con los números fraccionarios. Razonamiento y demostración • Estimar resultados con números fraccionarios. • Identificar y analizar cantidades conocidas y desconocidas.


1

Fracciones I En este capítulo aprenderemos a: • •

Identificar y relacionar los algorítmos básicos de fracciones. Resolver problemas referidos a resto de una fracción en contextos comerciales o financieros.

Leonardo da Vinci y las fracciones eonardo fue un pintor italiano que vivió durante el Renacimiento, época en la que los artistas se interesaron mucho por conocer la naturaleza, para poder representarla en sus pinturas y esculturas. Leonardo estudió con gran detalle el cuerpo humano, tema sobre el cual escribió, entre los años 1489 y 1518, una extensa cantidad de apuntes que afortunadamente se conservan. Aquí reproducimos una de las páginas en las que analizó las proporciones del rostro humano. El texto que acompaña al dibujo indica:"El espacio entre el rasgado de la boca y el principio de la nariz es la séptima parte del rostro".

L

"El espacio entre la boca y la parte inferior del mentón es la cuarta parte del rostro, y es igual a la anchura de la boca". "El espacio desde el mentón al principio de la base de la nariz es la tercera parte del rostro, y es igual al largo de la nariz y de la frente".

rse id R_ o w T_ fo _y du tS _d na _n a M_ a_ fo _e li fo r Pic in V_ ad _o dr an oe /Le li fo rp kr o wt ra / mo c. sr ot ra ni mr et . w w w/ /: pt th

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Unidad V

179

Fracciones I

Conceptos básicos Números fraccionarios

Recuerda que...

Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan a números enteros. De acuerdo a la definición, si denotamos por "f" al número fraccionario, tendremos: a º f= ; donde a  b; b  0; a  b  b

Número racional es aquel que resulta de la división de dos números enteros "a" y "b" donde "b" es diferente de cero. El resultado puede ser entero, así:

Por ejemplo, son números fraccionarios:

5 10 14 2 2 7

2; 3; 12; - 3; 21; 101; 7 ; ...; etc. 3 9 14 7 8 19 - 4

Fracción Al número fraccionario que presente sus dos términos positivos vamos a denominarlo fracción. ¡Cuidado! debemos aclarar que esta consideración es solo con fines prácticos, pues para dar la idea de fracción, usaremos objetos reales. s o l p m

Según la noción dada, indicar cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son: 7 ; 11; 8 ; 2 ; 4 ; 72; 11111; - 5;  ; e ; 1, 010110...; 12 - 3 e 6 3 5 13 3395

E

j

6

9 4 3

E

Recuerda que...

Resolución

No son fracciones:

Utilizando el gráfico de fracciones:

7 ; 11; -5; ; e; 1, 010110...; 12 6 -3 e 9 4 3

Racionales

Sí son fracciones:

Números fraccionarios Fracción

8 2 4 72 11111 6 3 5 13 3395

Situaciones básicas de fracciones

1.

A-B=C Cantidad mayor s o l p m E

j

Cantidad menor

Lo que le falta a "B" para ser igual a "A"

¿Cuánto le falta a 3 para ser igual a ? 2 5 Resolución

E

A "le falta"  es el menor 5 5 Lo que le falta a 3 para ser igual a 5 es: 5 - 3 = 19 = 1 19 2 2 5 5 10 10 Colegios

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2.

1

A-B= C Cantidad mayor o l p m

•

E

Cantidad menor

Lo que le sobra a "A" respecto a "B"

Hallar cuánto le sobra a 5 2 respecto a 2 3 . 3

4

Resolución

j

E

Como a 5 2 "le sobra"  es la cantidad mayor 3

Entonces, lo que le sobra es: 5 2 - 2 3 3

4

=

17 - 11 = 35 = 2 11 3 4 12 12

3. s o l p m

•

Calcular los 9 de 50. 5 Resolución

E

j

E

9

•

Recuerda que...

×50=90

5 Calcular los 5 de 7 Resolución

14

15 1

5 7 1

•

"De" , "Del" , "de los" Multiplicación

•

"Es", "Son", "Equivalente" Igualdad

de 12 2

4

14 ×12 = 8 15 3 1

4.

¿Qué parte? ¿Qué fracción? s o l p m

•

F

Calcular qué parte de 60 es 12. Resolución

E

j

E

¿Qué parte de 60 123

× 60

F

•

es 12? =

12  F= 12 60

F=

1

5

Son las 10:00 h. ¿Qué parte del día ha transcurrido? Resolución

¿Qué parte del 123

F

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×

es lo que día ha transcurrido? 24

= 10

 F= 10 = 5 24 12

Unidad V

181

Fracciones I

5.

s o l p m

•

Si gasto los 3 de mi dinero, ¿cuánto me queda? 5 Resolución

E

j

E

Me queda: 1 - 3 = 2 de mi dinero 5 5 En forma práctica •

3  2 de mi dinero

5

5

José ganó los 5 de su dinero. ¿Cuánto tiene ahora? 11 Resolución

Ahora tiene: 1+ 5 = 16 de su dinero 11

11

Recuerda que... Quito o pierdo Me queda -

1 3

2 3

-

5 7

2 7

Aumento o

Resulta

+

2 5

7 5

+

5 7

12 7

En forma práctica + 5  16 de su dinero 11

11

Síntesis teórica

+

-

a

a +b

a

a-b

b

b

b

b

Colegios

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10 x 5 50

1

1. Completar los espacios en blanco: • • • •

¿Cuánto le sobra a 15 respecto a 1 ?: 3 2 ¿Cuánto le falta a "x" respecto a "y"?: ¿Qué parte de 16 es 2? 3 Los de 35 son: 5

2. Colocar "V" si es verdadero, y "F" si es falso, en cada una de las siguientes afirmaciones. • Los 3 de 7 de 110 es 42 .................................................................................................. ( ) •

5 11 Son las 16 horas, entonces, ha transcurrido

1

16

•

Las

3

5

del día ....................................................... ( )

partes de los alumnos del salón son varones, entonces, los 2 del total son mujeres .. ( ) 5

3. Relacionar correctamente las columnas "A" y "B". Columna A

Columna B

Lo que le sobra a 5 respecto a 1 9 3 1

Qué parte de es

A

1

6

15

Un depósito de ocho litros de capacidad,está lleno con gasolina hasta sus 3 . ¿Cuántos litros hay de gasolina? 11

1 9

B

6

C

2 9

D

2 5

E

3

4. ¿Cuánto le falta a 2 para ser igual al cociente de 2 entre 3 ? 3

4

3

5 5. En una reunión de 240 personas, se fueron los 3 y luego lo de los que quedaban. ¿Cuántos 5 8 quedan finalmente en la reunión?


1. En la mitad del terreno de una finca se siembra pasto, en la tercera parte de lo que queda se siembra café y en las tres quintas partes del resto se siembra maíz. Relacionar correctamente ambas columnas: Columna A La parte del terreno sembrada de café La parte del terreno sembrada de maíz La parte del terreno que se queda sin sembrar Central: 619-8100

2. Se vende un televisor al contado. Con los 2/3 del importe se compra una plancha y con los 3/7 del resto un juguete; lo que queda se deposita en el banco, además, la plancha y el juguete costaron S/.765 en total. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada una de las siguientes proposiciones:

Columna B A 2/15

•

El televisor se vendió a S/. 945 ..........( )

•

La plancha costó S/. 620 ....................( )

B

3/5

•

El juguete costó S/. 135 .....................( )

C

1/6

D

1/5

Unidad V

183

Fracciones I

3. La distancia entre Lima y Trujillo es de 540 km; a los 2/3 de la carretera, a partir de Lima, está situada la ciudad de Casma; a la quinta parte de la distancia entre Lima y Casma, a partir de Lima, se encuentra la ciudad de Chancay. Completar los espacios en blanco: • La ciudad de Chancay está ubicada a km de la ciudad de Lima km • La ciudad de Casma está ubicada a de la ciudad de Chancay. • Casma está ubicada a ...... km de la ciudad de Trujillo. Resolución de problemas

4. En una reunión, los 32 son mujeres y 53 de los varones son casados, mientras que los otros seis son solteros. ¿Cuántos hay en la reunión? a) 45 d) 25

b) 36 e) 15

c) 30

1 5. Una persona ya avanzó 5 de su recorrido. ¿Qué fracción de lo que le falta debe avanzar para llegar a los 8 de recorrido?

15 a) 12 7

d)

12

5

b) 6 13 e) 5 13

c) 8 15

a)

b) 17

22 d) 5

e)

40 9

c) 3

20

44

27

7. Los 38 de una avenida están pintados de franja 3

roja; los restantes, de franja blanca, y los 20 5 metros que quedan de franja amarilla. ¿Cuál es la longitud de la avenida? a) 10 m d) 65

b) 80 e) 90

c) 40

8. De una finca de 4200 hectáreas se venden los 2/3 de 1/7 y se alquilan los 3/4 de los 4/5 del total. ¿Cuántas hectáreas quedan? a) 1520 d) 1300

b) 1380 e) 2280

2 2 ¿Qué parte de los 3 de los 5de 45 es lo que 2 falta a 6 para ser igual a ? 3 1 11 a) b) 3 c) 1 66 55 55 d)

1

c) 1280

1

e)

99 33 10. Si me deben los 4 de S/. 240 y me pagan los 5 5 de S/. 240, ¿cuánto me deben aún? 8 a) S/. 30 b) 48 c) 24 d) 42 e) 36

11. Un quinto de la población de cierto pueblo vive del cultivo de flores, 1 del resto vive del 4 cultivo de árboles frutales y los restantes 2100 habitantes trabajan fuera del pueblo. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo en mención? a) 3000 d) 4700

b) 3500 e) 5000

c) 4400

5

12. He gastado los 8 de mi dinero. Si en lugar 2 de mi 5 de gastar los hubiera gastado los 5 8 dinero, tendría ahora S/.72 más de lo que

tengo. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 100 d) 125

6. En una fiesta, la quinta parte del número 7 del número de hombres es igual a los 9 de mujeres. ¿Qué parte de los reunidos representan las mujeres? 9

9.

b) 10 e) 130

c) 120

13. Del dinero que tengo, gasto la mitad de lo que no gasto y, de lo que me queda, no pierdo el triple de lo que pierdo. Si aún me quedan $30, ¿cuánto más gasté que perdí? a) $10 b) 20 d) 40 e) 50

14. Si un depósito que está lleno

c) 30 1

de lo que no

3 está lleno, se vacía 1 de lo que no se vacía, 8 ¿qué parte del volumen del depósito quedará con líquido? a) 2 7 3

d)

b)

2 9

1 c) 7

e) 8

27 8 15. Un recipiente está vacío

4 3 lleno. Se extraen 5 de lo que no se extrae, quedando solo 25 litros. Hallar la capacidad del recipiente.

a) 70 l d) 68

b) 72 e) 64

c) 84

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16. Un tranvía parte con cierto número de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera parte; en el segundo, suben 65 pasajeros; en el tercero, bajan los 3 de los que lleva; en el cuarto, suben 50 pasajeros, 5 3

y en el trayecto al quinto paradero deja los de 8 los que lleva, llegando a este con 80 pasajeros. Determinar con cuántos pasajeros partió. a) d) 200 190

b) 195 e) 320

c) 300

17. En un corral, la relación entre el número de pollos y el número de gallinas 1es como 3 es a 5 respectivamente. Si se muere del número de 3 aves, del cual 2 son pollos y el resto gallinas, 3 ¿cuál sería la nueva relación entre los números de pollos y gallinas? a)

19

b) 29

29

19

d) 3 13

e) 11

c)

5

estudiando, 18jugando, y el resto, que son 3 años, trabajando. ¿Qué edad tuvo al morir, sabiendo que es menor de 100 años? a) 72 años

b) 99

d) 75

e) 96

1

c) 27

19. Se tienen dos cajas de fósforos. Se usan de la 3 2 del primera del total y de la segunda, 7 8 total. Los fósforos usados en la primera son 13 más que en la segunda y quedan en la segunda caja 4 de los fósforos que quedan en 7 la primera. ¿Cuántos fósforos tiene cada caja? a) 56 y 28 d) 14 y 19

b) 19 y 14 e) 30 y 12

c) 28 y 56

20. En un salón de 50 alumnos, se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes?

13 21

37

18. Un hombre pasa su vida del siguiente modo: desde los 24 años, los 3 de 9 ella durmiendo, 3 1 1 corriendo, los comiendo y bebiendo, 18 8 9

a) 22 d) 20

b) 28 e) 4

c) 2

Conceptos básicos 1. Un jugador, después de haber perdido consecutivamente los 4 de su dinero, 2 del resto y 4 del 5

7 11 1 nuevo resto, gana 420 dólares y de esta manera, la pérdida queda reducida a del monto original. 5 ¿Cuál es su fortuna?

a) $700

b) 600

c) 605

d) 701

e) 729

de lo que no está lleno; luego, se extrae 1 de lo que no se 5 4 extrae; finalmente, se elimina cierta cantidad que es tanto como el triple de lo que queda. ¿Qué parte de la capacidad del recipiente se retira en total?

2. Se tiene un recipiente que está lleno

a)

1

b)

3 25

1

c)

4

d)

4 25

e) 2

15 15 15 3 • Una librería tiene para la venta un cierto número de libros. Vende primero las partes y después le hacen 5 7 un pedido de los 8 de lo que queda, pero antes de servir este pedido se le inutilizan 240 libros y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan, solo cubre los 4 de la cantidad pedida, entonces: 5 3. ¿Qué cantidad de libros vendieron?

a) 2000

b) 3000

c) 1760

d) 3520

e) 2240

d) 3520

e) 2240

4. ¿Qué cantidad de libros tenía la librería para la venta? a) 2000

Central: 619-8100

b) 3000

c) 1760

Unidad V

185

Fracciones I

2 5. Un comerciante ahorró S/. 54 000 durante cinco años, sabiendo que el segundo año ahorró 9 más sobre lo que había ahorrado el primer año, que el tercer año ahorró S/. 12 885, que el cuarto año ahorró 1 menos que lo que había ahorrado el segundo año y que el quinto año ahorró lo que el 11 segundo más S/. 115. Determinar lo que ahorró el primer año.

a) S/. 12 885

b) 13 000

c) 9000

d) 8900

e) 9900 18:10:45

Conceptos básicos 3 5

1. Poseo los

de una hacienda llamada 5

"Chuquitanta". Si vendo de mi parte, ¿cuáles 8 son correctas? I. Me quedan 9 de la hacienda. 40 5 II. Me quedan los de mi parte. 8 III.Vendí menos de 1 del total de la hacienda. 4 2. Un paño está dividido en tres partes iguales: principio, medio y fin. Si los 4 del principio y 7

2 los 5 del final son negros y el resto es blanco, 1

hallar cuánto mide 6 blanca mide 12.

3. Desiré gasta 1

1

3

del medio, si la parte

del dinero que tiene y gana

de lo que queda. Si ha perdido en total 12 dólares, ¿cuánto tenía al principio? 3

4. Se vende 1/3 de una cesta de huevos. Si se rompen tres, quedan aún 5/8 de la cesta. ¿Cuántos huevos quedaron en la cesta al final? 5. Se extraen 400 l de un tanque que estaba lleno hasta sus 2 , quedando en sus 3 . ¿Cuántos 3

litros faltan para llenar el tanque?

5

6. ¿Cuál es el número que sumado a 7200 resulta ser la tercera parte de dicho número aumentado en 7400? 7. Después de sacar de un tanque 1600 litros de 2 a 1. agua, el nivel de esta descendió de

3 ¿Cuántos litros había que añadir para llenar el 5

tanque?

8. El denominador de una fracción excede en cuatro unidades a su numerador. Si al 7

simplificar dicha fracción se obtiene 9 , ¿cuál es el denominador de la fracción original?

9. El producto de los dos términos de una fracción es 216. Hallar la fracción, si es equivalente a 2 . Indicar 3

como respuesta la diferencia de los términos.

10. ¿Cuál es el quebrado cuyo valor es mayor 1 1 que 7 pero menor que 6 , si se sabe que su denominador es 84? 11. Juan compra los 2 de una pieza de tela menos 3

15 m, Pedro compra la cuarta parte de la misma pieza más 4 m. Si resulta que Pedro compró 21 m de tela menos que Juan, ¿cuál es la longitud de la pieza?

12. Un granjero vendió primero 5 de las aves de su 6

granja; más tarde, una parteiguala 1 de lo anterior, 8 y le quedan nueve aves. ¿Cuántas aves tuvo?

13. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas. Lleno solo hasta 53 , pesa los 74 del vagón vacío. Hallar el peso de la cal y el peso del vagón vacío. 2 les aumentamos dos 14. Si a los términos de 5 números que suman 700, resulta una fracción equivalente a la original, ¿cuáles son los números? 15. El denominador de una fracción excede al

numerador en seis. Si el denominador aumenta 1 en cuatro, el valor de la fracción sería . 6

Entonces dicha fracción es:

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2

Fracciones .

En este capítulo aprenderemos a: • •

Resolver problemas que involucren reducción a la unidad de tiempo y mezclas. Interpretar el significado de la relación parte - todo en mezclas alcohólicas.

'A'

Reducción a la unidad de tiempo

El caño "A" de la figura mostrada llena el tanque en doce horas y el desagüe "B" saca la parte que le corresponde en ocho horas. ¿En qué tiempo quedará lleno dicho tanque, si se abren ambos caños a la vez?

H

'B' H 4

l m t h . s e n o i c u l o s i d - y - s a l c z e m / 1 1 / 0 1 0 2 / m o c t . o p s g o l b . a c i m i u q a c i s i f a c i t a m e t a m / / : p t t h

Central: 619-8100

Unidad V

187

Fracciones II

Conceptos básicos Reducción a la unidad de tiempo

 s o l p m E

1. Ana hace un trabajo en tres días y Beto puede hacer el mismo trabajo en seis días. ¿En cuántos días harán dicho trabajo si trabajan juntos?

j

E

Resolución

Ana, en un día, hará 1 del trabajo 3

•

1día

3 días 1día

1día

1/3

1/3

1/3

6 días 1día 1día 1día 1día 1día 1día

1

•

Beto, en un día, hará del trabajo

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

6

Luego:

1 + 1 = 1 obra

3

6

2

1

obra

2

En "x" días x=

Juntos, en un día, hacen:

1

hacen

En un día

3 4 4 2 4 4

harán

1 obra (todo el trabajo)

1×1

= 2 días

1 2

Otro método Total obra

Total de la obra mcm(3;6)=6

6k 1 día

Ana 

2k

Beto 

k

Luego: 3 4 2 4 1

Juntos, en un día 3k

En 1 día

hacen harán

En "x" días

x=

6k

3k 6k (toda la obra)

=2 días

3k

2. Un caño "A" llena un tanque en cuatro horas y otro caño "B" lo vacía en ocho horas. Se abre el caño "A" y una hora después, el caño "B". ¿En qué tiempo se llenará dicho tanque? Resolución

A En 1 hora Total de la obra:

8k

"A" 

2k

"B" 

k

3 4 2 4 1

Juntos, en una hora: 2k - k=k

B

Colegios

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Pero "A" funciona solamente durante una hora: A (En una hora)

A

t AyB = 6k =6h

Falta (6k)

k

B

B

2k

t A=1h 

2

2k

 Tiempo total= 1h+6h=7 horas Mezclas



En estos problemas, generalmente, se debe considerar qué parte (fracción) representa lo que se saca de una mezcla, ya que dicha fracción es lo que se saca de cada componente de la mezcla. s o l p m E

j

1. Se mezclan 20 litros de vino con 30 litros de gaseosa. Resolución

E

Total

20 l

Vino

50 L

10 l Vino= 4 l

Se extraen 10 litros

 Gaseosa=

30 l

Gaseosa

6 l

 1 ×20 l =41 l

5  1 ×30 l =61 l 5

 Los 10 litros representan 10 1 = del consumo total 5 50

Se extrajo 1 del total, 5 por lo tanto, se extrajo 1 de cada componente. 5

Si se extrae: 1 T  Quedan los 4 T 5 5 Entonces, quedará en el recipiente: •

Vino: 4 ×20=16 l

•

Gaseosa 4 T= 4 ×30=24 l

5

5

5

1 de la mezcla y se 2. Se tiene un barril con 100 litros de vino y se extrae, sucesivamente, 4 reemplaza por agua; luego, se extrae 1 de la mezcla y también se reemplaza por agua.

¿Cuántos litros de vino quedan al final?

5

Resolución

Como lo extraído se reemplaza por agua, el vino irá disminuyendo. Por lo tanto, el vino que quede al final será: 3

4

Central: 619-8100

×

4

5

×100 =60l

Unidad V

189

Fracciones II

Síntesis teórica

10 5 50

Conceptos básicos 1. Completar los espacios en blanco: de la obra. • Luis puede hacer una obra en ocho días; en un día hará 1 • Rommel puede hacer de una obra en un día, entonces, toda la obra la hará en: 6

•

días.

Ruth hace los 2 de la obra en seis días, entonces, toda la obra la hará en 3

2. Colocar (V) si es verdadero y (F) si es falso en cada una de las siguientes proposiciones. Si de una mezcla de 10 litros de agua con 20 litros de alcohol se extraen 6 litros, entonces: • • •

3.

De los seis litros que se ha extraído, 3 l son de agua ............................................................( ) De los seis litros que se ha extraído, 4 l son de alcohol ........................................................( ) Quedan en el recipiente 8 l de agua ....................................................................................( ) Un obrero (P) puede hacer 1 de una excavación en un día; otro obrero (Q) hace 1 y un tercero (R)

15 hace 1 diario, relacionar correctamente ambas columnas:

4

6

Columna A El tiempo que demora "Q" en hacer toda la obra El tiempo de demora "P" y "R" juntos en hacer toda la obra El tiempo que les toma a los tres hacer toda la obra

Columna B

A

2 2 días

B

4 días

C D

29

4 2 días 29

4 2 días 7

4. Un caño puede llenar un depósito en tres horas y otro lo puede hacer solo en cuatro horas. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez, ¿qué tiempo demorán en llenarlo? 5. Un caño llena un tanque en 10 horas y un desagüe lo deja vacío en 30 horas. ¿En qué tiempo se llenará el tanque, si estando lleno 1 de su capacidad, se abren el caño y el desagüe? 3

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1. Tres hombres ("A","B","C") hacen un trabajo en cuatro días. Sabiendo que "A" solo lo haría en nueve días, "B" en doce días. Completar los espacios vacíos si el total de la obra es "36k". •

"A", en un día hará:

•

"B", en un día hará:

•

"C" hará toda la obra en

De un depósito de 64 litros de vino y 16 litros de agua, se extraen 20 litros de la mezcla y se reemplazan por agua y luego se sacan 20 litros de la nueva mezcla y son reemplazados por agua. Relacionar correctamente ambas columnas. Columna A La cantidad de vino que queda después de la primera extracción La cantidad de agua que queda al final La cantidad de vino que queda al final

Columna B

A

36 l

B

38 l

C

44 l

D

48 l


Andrea puede hacer una obra en cuatro días y Belinda, la misma obra en seis días. ¿En qué tiempo terminarán la obra si es que trabajan juntas? a) 2,4 días

d) 2 días 5.

b) 2,6 días c) 2,5 días e) 2 días, 20 horas

Luis puede hacer una obra en ocho días y Manuel puede hacer la misma obra en cuatro días. Si Luis empieza la obra y dos días después se le une Manuel, ¿en qué tiempo se hizo toda la obra? a) 4 días

d) 2

Central: 619-8100

b) 6 e) 3

c) 5

13

11 e) 1 13

2

2. "A" y "B" pueden hacer una obra en 20 días, "B" y "C" pueden hacer la misma obra en 15 días y "A" y "C" la pueden hacer en 12 días. Además el total de la obra es "60k" Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso en cada uno de las siguientes proposiciones: • "A" en un día hace "2k" .....................( ) • "B" en una día hace "2k" ...................( ) • "A","B","C" juntos harán toda la obra en 10 días ................................( ) 3.

6. "A" y "B" pueden realizar cierto trabajo en cuatro días, "B" y "C" pueden hacerlo en seis días, y "A" y "C" pueden efectuarlo en ocho días. ¿Qué tiempo les tomará a los tres juntos en realizar ese trabajo? a) 3 días b) 4 c) 3 9 d) 3 1

días.

2

7. Para llenar de agua una bañera hay dos grifos que emiten respectivamente, agua caliente y fría. Si se abre solamente el de agua caliente, se llena la bañera en 20 minutos, si se abre solo el de agua fría, se llena en 30 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará la bañera, si se abren los dos a la vez? a) 1 hora b) 1 c) 1 4

2

d)

1

5

e) 1 12

3

8. Un obrero puede hacer una obra en nueve días, y, luego de cuatro días, recibe un ayudante, terminando la obra en dos días. El ayudante, trabajando solo, ¿cuántos días emplearía en hacer la obra? a) 5 d) 12

b) 6 e) 18

c) 8

9. Úrsula es el doble de rápida que Araceli. ¿En qué tiempo harán juntas una obra, si Araceli, trabajando sola, demora 20 días? a) 12 días d) 8

b) 10 e) 6 2

c) 5

3

10. Beatriz hace un trabajo en 20 días y Manuel hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante cinco días, se retira Beatriz. ¿En qué tiempo terminará Manuel la parte que faltaba? a) 40 días d) 30

b) 20 e) 25

c) 15

11. De los tres caños que fluyen a un estanque, uno de ellos lo puede llenar solo en 36 horas; otro, en 30 horas, y el otro, en 20 horas. Abriendo los tres caños a la vez, ¿en cuánto tiempo se 2 llenarán las partes del estanque? 3

a) 9 h d) 6

b) 8 e) 6,5

c) 5

Unidad V

191

Fracciones II

12. Un caño "A" llena un tanque en dos horas y otro caño "B", lo vacía en seis horas. Funcionando juntos, ¿en qué tiempo se llenará el tanque? a) 5 h d) 6

b) 4 e) 9

c) 3

13. El caño "A" de la figura mostrada llena el tanque en seis horas y el desagüe "B" saca la parte que le corresponde en ocho horas. ¿En qué tiempo quedará lleno dicho tanque, si se abren ambos caños a la vez? A

B

2m 2m

a) 4 h d) 3,4

b) 5,2 e) 4,8

c) 2

b) 16 h c) 15 h e) 12 h 40 min

15. Se tiene un recipiente "A" donde hay 40 litros

de agua y 48 litros de vino. Se sacan 22 litros de esta mezcla y se vierten a otro recipiente "B", donde hay 20 litros de vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros de vino hay en el recipiente "B"? a) 32 d) 30

b) 28 e) 35

a) 15 d) 35

b) 20 e) 40

c) 30

18. Un depósito está lleno de agua, se saca la mitad y se reemplaza por vino. Si la operación se realiza dos veces más, hallar la relación final del agua y el vino. 4 d) 3 7

a) 1

b)

1

7

c) 1 8

e) 5

9

19. De un frasco lleno de alcohol se extrae 1 de 6

14. Un grifo puede llenar un estanque en 10 h 15 min. Luego de haber funcionado durante 2 h 30 min, el grifo sufrió un desperfecto y su rendimiento disminuyó a la mitad. ¿En cuánto tiempo llenó el tanque? a) 18 h d) 14 h 40 min

17. Un depósito contiene 60 litros de vino, del cual se extraen 20 litros de su contenido y se reemplazan por agua. Enseguida, se extrae 1/4 de la mezcla y también se reemplaza por agua. Por último, se extrae 1/3 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Cuántos litros de vino quedan en el depósito?

c) 24

16. Se mezclan 12 litros de agua con 18 litros de

su contenido y se reemplaza por agua. Luego, se extraen 3 de la mezcla y se introduce agua, 8

3

pero solo hasta los de su capacidad. ¿En qué 5 relación están al final el alcohol y el agua? a) 125

b) 135

13 d) 25 3

7 e) 145 9

c)

125 19

20. Se tiene un barril lleno de vino. Se sacan nueve litros y se reemplazan por agua; luego se sacan nueve litros de la nueva mezcla y también se reemplazan por agua. Si finalmente la relación entre la cantidad de vino y agua es como 4 es a 5, hallar la capacidad del barril. a) 18 l d) 30

b) 21 e) 32

c) 27

alcohol, se extraen de esta mezcla cinco litros y se reemplazan por agua. Luego, se extraen diez litros de la nueva mezcla y también son reemplazados por agua. ¿Qué cantidad de alco-hol queda finalmente en el recipiente? a) 5 l d) 12

b) 9 e) 15

c) 10

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2

1. El tanque mostrado en la figura tiene una capacidad de 120 litros de agua. Por las tuberías de desfogue "A" y "B" circula un caudal de 7 l /s y 5 l /s, respectivamente. Si estando lleno el tanque se abren los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo quedará vacío dicho tanque?

2m

A B

a) 17 s

2m

b) 18

c) 20

d) 15

e) 12

2. El caño de suministro "A" de la figura mostrada, llena el tanque en 12 horas, estando cerrado el caño de desfogue "B". El caño "B" quita la parte que le corresponde en 10 horas, estando cerrado "A". Con el tanque vacío, se abren los dos caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará el tanque? A

h

B h 3

a) 40 h

b) 36

c) 44

d) 46

e) 42

3. Se tienen dos recipientes llenos que contienen agua y vino. En el primero, la relación es de 3 a 2 y en el segundo, de 2 a 3, respectivamente. Se intercambian 5 l y en el primer recipiente la relación cambia de 4 a 3. Si la suma de las capacidades de ambos recipientes es 90 l , calcular la nueva relación en el segundo recipiente. a) 23 a 32

b) 24 a 31

c) 30 a 25

d) 14 a 41

e) 20 a 35

4. Dos clases de vino están mezcladas en tres recipientes. En el primero, en la razón 1:1; en el segundo, en la razón 1:2; en el tercero, en la razón de 1:3. Si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para elaborar 39 l de la primera calidad, ¿cuántos litros se extraen? a) 24

b) 36

c) 72

d) 18

e) 92

5. "A" trabaja tres veces más rápido que "B". Cierto día, "A" y "B" trabajan juntos durante cuatro horas. Luego, "B" abandona y "A" termina el resto de la obra en dos horas. ¿Cuántas horas emplearía "B" trabajando solo toda la obra? a) 33

Central: 619-8100

b) 22

3

c)

22 5

d) 11

e) 22

Unidad V

193

Fracciones II 18:10:45

Conceptos básicos 1. Se mezclan cuatro litros de alcohol y seis litros de agua. Se extraen cinco litros de esta mezcla y se reemplazan por agua. ¿Cuántos litros de alcohol quedan al final? 2. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días; pero trabajando por separado, uno tardaría nueve días más que el otro. ¿Qué tiempo tardará el más rápido? 3. Un grifo puede llenar 1 de un tanque en dos 5 horas, y un desagüe puede vaciar 1 del tanque 3 en cuatro horas. Si ambos se abren a la vez, ¿en qué tiempo se llenará la mitad del tanque?

4. De un vaso lleno de vino, se bebe

1

del

llena con agua, pero solo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuánto de alcohol y agua hay? (Indicar en qué relación se encuentran).

9. José tiene dos recipientes con 12 y 16 l de mezcla de vino y agua. Si el primero contiene 9 l de vino puro y el segundo 8 l de vino puro, ¿cuántos litros de mezcla se deben intercambiar para que ambas mezclas resultantes tengan la misma cantidad de agua? 10. Xiomara hace un trabajo en 12 días y Diego hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante dos días, se retira Xiomara. ¿En qué tiempo terminará Diego la parte que falta? 11. Un caño llena un tanque en 10 horas y un

6

contenido y luego 1 de lo que quedaba. 4 ¿Qué fracción del nuevo resto se debe volver a 3 beber, para que queden los del vaso? 8

desagüe lo deja vacío en 30 horas. ¿En qué tiempo se llenará el tanque, si estando lleno 1 3

de su capacidad, se abren el caño y el desagüe?

5. Se tiene un recipiente "A" donde hay 40 litros 12. Un hombre puede hacer una obra en 12 días; de agua y 48 litros de vino. Se sacan 22 litros si le ayudan dos mujeres, acabarían en ocho de esta mezcla y se vierten a otro recipiente días. Si trabajan solo las dos mujeres durante "B", donde hay 20 litros de vino y 30 litros seis días, ¿qué parte de la obra harán? de agua. ¿Cuántos litros de vino hay en el recipiente "B"? 13. Dos grifos "A" y "B" llenan juntos un tanque en 30 horas. Si el grifo "B" fuese desagüe,el 6. De los tres caños que fluyen a un tanque, uno tanque tardaría 60 horas en llenarse. ¿En de ellos lo puede llenar solo en 36 horas, otro cuánto tiempo llenaría el tanque la llave "A", si en 30 horas y el otro en 20 horas. Abriendo está vacío? los tres caños a la vez, ¿en cuánto tiempo se llenarán las 2 partes del tanque? 14. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15 3 días. Si uno de ellos demora 16 días más que 7. Walter y Martín pueden terminar una obra en el otro trabajando solo, ¿en qué tiempo haría la 12 días. Después de haber trabajado juntos obra el otro solo? cuatro días, Walter cae enfermo y Martín acaba el trabajo en 40 días. Si Walter hubiera 15. Laura es el triple de rápida que Luis. Si juntos trabajado solo, ¿en cuántos días habría hecho hacen una obra en 24 días, ¿en cuántos días la la obra? haría Luis trabajando solo? 8. De un frasco lleno de alcohol se extrae un cuarto de su contenido y se reemplaza por agua. Luego se extraen 3/4 de la mezcla y se

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porcentajes .


Resolver problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos a partir del uso de la aplicación del tanto por ciento. Establecer la relación entre la regla del tanto por cuanto y el tanto por ciento.

Bebidas alcohólicas (% de alcohol) ¿Qué son? Son zumos fermentados que contienen alcohol. En este grupo se incluyen vinos, cervezas, sidras, vermuts, anisados, cavas y champanes, y licores y aguardientes. Se distinguen las bebidas fermentadas y las bebidas destiladas. Bebidas fermentadas

Se obtienen al transformarse en alcohol el azúcar que contienen algunas frutas (vino, sidra), la raíz o el grano de algunas plantas (cerveza). Por este procedimiento es difícil conseguir de un 17 por 100 de alcohol (17%), ya que el propio alcohol mata a la levadura e inhibe la fermentación. Su contenido en alcohol oscila entre unos 3 a 5 grados. Bebidas destiladas

Se obtienen por destilación o maceración de las bebidas fermentadas, con lo que se consigue aumentar el porcentaje de alcohol. Se pueden obtener también azúcares simples en diversas proporciones. Son los llamados licores (ginebra, whisky, vodka, ron, etc.). Contienen una alta concentración de alcohol, en torno a los 40 grados (40%). Composición de algunas bebidad por 100 g Alcohol (%) Agua tónica Bebidas carbonatadas de cola Bebidas de cola ligth Bebidas carbonatadas de limón Zumo de naranja envasado Coñac, whisky, ron Sidra Vinos dulces Vinos de mesa Vinos finos Anises y licores Cerveza

-

35 4 16 11 16 40 3,5

Energía (kcal) 34 41 1 40,8 48 236 42 157 77 124 384 32

Proteínas Carbohidratos (g)

(g)

0,0 0,0 0,0 0,0 0,5 0 0 0,2 0,1 0,1 0 0,3

8,8 10,4 0,1 10,2 10,4 0,4 4 13 1,1 3 27,6 2,4

¿El alcohol es nocivo para la salud?

El exceso de alcohol es responsable de muchos problemas de salud porque solo se pueden metabolizar unos 7 g de alcohol a la hora. Cuando se supera esta cantidad, se queda en la sangre, aumentando la tasa de alcoholemia, que si supera los 0,8 g/L, aparece la confusión visual, falsa apreciación de las distancias y velocidades. Por encima de 1,5 g/L, aparece la visión doble y trastornos de la coordinación de movimientos y equilibrio. Más de 3g/L provoca embriaguez y con niveles de 4 g/L o más puede sobrevenir el coma etílico.

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Unidad V

195

Porcentajes

Conceptos básicos Porcentajes 

Regla del tanto por cuanto

Si tenemos: Cuanto (Todo)

14243

Tanto (Parte)

Se dice que:

Hay tres partes pintadas por cada siete partes.

•

Tres por cada siete <> 3  Tanto 7  Cuanto  "El tres por siete" <> 3 (convención matemática) •

7

Aplicación

Calcular:

3

El 3 por 11 de 22  

11

× 22 = 6

Regla del tanto por ciento

Es un caso particular del tanto por cuanto, siendo este último 100, es decir, un tanto por cada 100.

Ciento<>100 partes 14243

Tanto tres partes

• •

3 por ciento <> 3% (convención) 3% <>

En general:

•

3

•

100

n %= n

100

• •

50%= 50 = 1 (la mitad)

100 2 25%= 25 = 1 (la cuarta parte) 100 4 20%= 20 = 1 (la quinta parte) 100 5 75%= 75 = 3 (las tres cuartas partes) 100 4

Observaciones • Toda cantidad inicial representa el 100% de sí misma. • A todo aumento porcentual se le suma el 100%. • A todo descuento porcentual se le resta el 100%. • El 100% equivale a la unidad. Aplicación del tanto por ciento

Cuando se aplica el tanto por ciento (a%) a una cantidad (b), resulta: Se lee: El "a" por ciento de "b" es "c"  a% (b) = c Se escribe: a ×b=c 100 Colegios

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s o l p m E

j

1. Calcular el 20% de 70. Resolución 20

E

100

×70=14

2. En el 4to Año del colegio TRILCE hay 30 alumnos, de los cuales el 20% son mujeres, ¿cuántos varones hay en dicho salón? Resolución Mujeres= 20% de 30=

Total de personas: 30

20

100

×30=6

Hombres= 80% de 30= 80 ×30=24 100



Porcentaje de porcentaje

Recordar: "De", "del", "de los" significan matemáticamente: "Multiplicación" . s o l p m E

j

E

1. Calcular el 20% de 80% de 500. Resolución 20 × 80 ×500=80 100 100

2. ¿Qué porcentaje del cuádruple de la mitad del 60% de un número es el 30% de los 2 5 del número? Resolución x 100

#

4#1 2

#

60 100

#

En forma práctica: ¿Qué porcentaje?  x 100

N = 30 × 2×N 100 5

 x=10



Rpta.: 10%

Descuentos y aumentos sucesivos

Pierdo o quito 30% 40% a%

Me queda 70% 60% (100 - a)%

Gano o aumento 30% 40% a%

Tendré 70% 60% (100+a)%

Recuerda que...? • •

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 120% El 20% más El 40% menos  60%

Unidad V

197

Porcentajes

s o l p m

1. ¿A qué descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 10% y 20%?

E

j

Resolución

E

Cantidad inicial  N

o l p m

Descuento 2 - 20% (90%N)

Descuento 1 - 10% N 90% N

80% (90%N)

100%N

E

72%N

j

E

Descuento único: 100%N - 72%N=28% 2. ¿A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos de 20% y 10%? Resolución

Aumento 1

Aumento 2 +10% (120%N)

+20% N

Cantidad inicial 

N

120% N

110% (120%N)

100%N

132%N Aumento único: 132%N - 100%N=32%



Variación porcentual

En este tipo de problemas, los que aumentan o disminuyen son las variables y no las constantes, por lo que despreciaremos estas últimas en las variaciones porcentuales. s o l p m

2

Si "A" aumenta en 20%, ¿en qué porcentaje varía : E= 3A ? 5

E

j

E

Resolución

+10% A Constante (se desprecia)

E= 3 A2

5



A2

(110% A)2

100%A2

121%A2

Aumentó en 121% - 100%=21% ó +21%

o l p m E

j

E

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

Mezcla porcentual

En una farmacia podemos encontrar alcohol al 75%, alcohol de 75º o alcohol concentrado de 75%, todas estas expresiones indican que cada frasco está compuesto por: •

El 75% del contenido total es alcohol puro

•

El 25% del contenido total es agua

3 4 2 4 1

E

j

75% Alcohol 25% Agua

Alcohol puro × Total

Concentración o l p m



Se mezclan 30 litros de alcohol al 80% con 20 litros de alcohol al 50%. ¿Cuál es la concentración de la mezcla final?

E

Resolución Total=30 l

Agua  Alcohol 

6l +

24 l

80

×30=24

100

Agua  10 l Alcohol 

Alcohol al 80% =

Total=20 l

10 l

Alcohol al 50% l

=

50

×20=10

100

l

Agua 

50 l 16 l

Alcohol 

34 l

Concentración final 34 ×100%=68% 50

Síntesis teórica

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Unidad V

199

Porcentajes

10 5 50

Conceptos básicos 1. Completar los espacios en blanco: • • •

El 4 por 7 de 14 es: El 8% de 50 es: El % del 50% de 200 es 20.

2. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada uno de los enunciados: • • •

Dos descuentos sucesivos de 28% y 12% equivalen a un único descuento de 40% ............. ( ) Dos aumentos sucesivos de 30% y 70% equivalen a un único aumento de 68% .................. ( ) El radio de una circunferencia aumenta en 20%, entonces, el área del círculo aumenta en 44% . ( )

3. Relacionar correctamente ambas columnas: 40%

A

1/10

10%

B

2/5

25%

C

1/2

50%

D

1/4

4. Se vende un artículo en S/. 160 ganando el 25% ¿cuál fue el costo? 5. Se vende dos bicicletas a S/. 1200 cada una, ganando en la primera el 20% y perdiendo en la segunda el 20%. ¿Gana o pierde, y cuánto?


1. Relacionar corectamente ambas columnas Columna A ¿A cómo se debe vender lo que costó S/. 200 para ganar el 30% del precio de costo?

Columna B

A

S/. 260

B

S/. 60

¿Cuánto costó un artículo, si al venderlo en S/. 240 deja una ganacia del 20%?

C

S/. 200

D

S/. 300

¿Cuánto costó un artículo, si al rematarlo en 210 produce una pérdida del 30%?

E

S/. 1200

F

S/. 700

2. Un vendedor vende dos autos a S/. 6000 cada uno, ganando en el primero el 20% y perdiendo en el segundo 20% del precio de compra. ¿Gana o pierde y cuánto?

Colocar "V" si es vedadero o "F" si es falso en cada una de las siguientes proposiciones: • • •

El vendedor no pierde ni gana ........... ( ) El vendedor pierde S/. 500 ................ ( ) El primer auto le costó S/. 5000 ......... ( )

3. Se tiene 10 litros de solución alcohólica al 60 % de pureza. Para obtener una solución al 40% de pureza, completar • •

Se deben agregar Se deben agregar al 20%

litros de agua litros de alcohol


4. Se vende un artículo en S/. 80, ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo? a) S/. 100 d) 60

b) 80 e) 50

c) 64

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5. Al venderse un artículo en S/. 360, se gana el 20% de su precio de costo y el 30% de d e su precio de venta. ¿Cuál es el precio de costo? a) S/. 120 d) 210

b) 180 e) 220

c) 200

de esta mezcla se echa a un recipiente que contiene cierta cantidad de agua, de modo que se obtiene alcohol al 20%. ¿Cuántos litros de agua contiene este recipiente? a) 6 l d) 10

b) 9 e) 8

c) 7

6. Vendí un artículo en S/. 600, ganando el 20% del costo. ¿Cuánto me costó dicho artículo? 14. Dada la siguiente expresión: a) S/. 400 d) 480

b) 550 e) 500

c) 450

7. Al 40% del 75 por mil del 8 por 9 de un número se le suma la quinta parte del 5 por 7 del 42% de dicho número, y se obtiene 1183. Hallar el número. a) 13 520 d) 13 480

b) 13 540 e) 13 650

c) 13 620

E=

x.y z

w.p Si "z" disminuye en 10% "y" aumenta en 40% y "p" disminuye en 30%, ¿en qué porcentaje varía "E"? a) b) c) d) e)

Aumentó en 190% Disminuyó en 190% Aumentó en 152% Aumentó en 135% Disminuyó en 98%

8. En una reunión se sabe que el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de 15. ¿A qué descuento único equivalen los mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? descuentos sucesivos del 10% y 20%? a) 62% b) 53,5% c) 57,1% a) 30% b) 20% c) 32% d) 82,5% e) 42% d) 28% e) 2% 9. Se tiene una mezcla de agua y vinagre al 20% 16. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara de vinagre. Si se añaden dos litros de vinagre, la el 28% de lo que me quedaría perdería S/.156. solución queda al 40%.¿Cuántos litros tenía la ¿Cuánto tengo? mezcla original? a) S/. 1450 b) 1400 c) 1750 a) 8 l b) 4,6 c) 6 d) 1500 e) 1550 d) 4 e) 10 17. Tres descuentos sucesivos del 20%, 50% y 10% 10. Se tienen 20 litros de una solución que contiene equivalen a un descuento único de: alcohol y agua al 60% de alcohol. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para tener una a) 80% b) 70% c) 62% nueva solución al 48% de alcohol? d) 64% e) 72% a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

18. Si la base de un triángulo disminuye en 30%, y la altura aumenta en 10%, ¿en cuánto por ciento varía el área?

tiene una mezcla de alcohol y agua en la 11. Se tiene que el 25% es de alcohol. Si agregamos 12 l a) 20% b) 22% c) 21% d) 24% e) 23% de alcohol puro, quedará una mezcla al 50% de alcohol. ¿Cuántos litros de agua hay en el recipiente? 19. Si la base de un triángulo se incrementa en un 30% y su altura disminuye en un 20%, ¿cómo a) 12 l b) 6 c) 8 varía el área? d) 18 e) 15 a) - 10% b) +4% c) - 4% 12. Se tiene una mezcla alcohólica de 240 l , en la d) - 2% e) +2% que el volumen de agua representa el 60% del volumen de alcohol puro. ¿Cuántos litros de 20. Si el radio de un cono se incrementa en 10%, alcohol puro se deben echar a la mezcla para ¿en qué porcentaje varía su volumen? obtener una mezcla alcohólica de 80º? a) 11% b) 15% c) 17% a) 210 l b) 180 c) 150 d) 21% e) 23% d) 270 e) 300 13. Se tienen 30 litros de alcohol al 30%. El 40% Central: 619-8100

Unidad V

201

Porcentajes

Conceptos básicos 1. Si la base de un rectángulo aumenta en 10% y el área no varía es porque la altura disminuye en: a) 9 1 % 11

b) 10 1 % 11

c) 8 1 % 11

d) 11 1 % 11

e) 7 1 % 11

2. En la figura, ¿qué porcentaje del área del hexágono regular representa la parte sombreada?

a) 30 5 % 9

b) 28 1 % 3

c) 33%

d) 28%

e) 25%

3. Una mayorista vende un producto, ganando el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor reparte estos productos a las tiendas de comercio, ganando una comisión del 15% del precio al por mayor. La tienda remata el artículo, haciendo un descuento del 10% del precio de compra. ¿En qué porcentaje se eleva el precio de fábrica del producto? a) 28,2%

b) 10,2%

c) 12,2%

d) 26,2%

e) 24,2%

4. Dos recipiente, "A" y "B" contienen vino. El recipiente "A" está lleno en su mitad y "B", en un tercio de su volumen. Se completa la capacidad de "A" y "B" con agua, vertiéndose la mezcla de un tercer recipiente "C". Sabiendo que la capacidad de "B" es el triple de la de "A", determinar el porcentaje de vino que contiene la mezcla de "C". a) 30%

b) 28%

c) 75%

d) 37,5%

e) 24,5%

5. El presidente de un club de básquetbol observa que, por partido, en promedio, un tercio de las entradas se quedan sin vender; pero afirma que todas las entradas se venderían si se rebajase su precio en un 30%. Suponiendo correcta las hipótesis del presidente del club, ¿qué sucederá? a) b) c) d) e)

La recaudación será la misma Faltan datos La recaudación aumentará No se puede determinar La recaudación disminuirá

Colegios

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1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada una de las siguientes proposiciones: •

Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen equivalen a un descuento descuento único único del 50%.( 50% .( )

•

Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único del 56% . ( )

•

En un juego de cartas, una persona pierde

en la primera partida el 50% de lo que tenía. En una segunda partida, vuelve a perder, ahora el 20% de lo que le quedaba, y en una tercera partida gana el 80% de lo que tenía al comenzar a jugarla. Entonces, se retira perdiendo el 28% de lo que tenía en el inicio. ....................................... ( )

2. La suma de tres números "A", "B" y "C" es 1870, "A" es el 30% de "B",si "B" y "C" disminuyen en un 80% y 50%, respectivamente se hacen iguales. Calcular el mayor de los números. 3. Si "a" es el 10% de la suma de "c" y "d"; además, "c" representa el 20% de la suma de "a" y "d", calcular "a : c". 4. En una reunión de jóvenes, el 40% son mujeres. Si el número de mujeres aumenta en 30% y el de los hombres en 20%, ¿en qué porcentaje aumentó el total de los alumnos? 5. El "x"% del "y"% de una cantidad es su décima parte, y el "y"% de 1000 excede al "x"% de 1000 en 300. Hallar el "x"% de (y+450). 6. Al vender un objeto en S/. 5400 se ganó el 25% de su costo; si el beneficio neto fue S/. 480, calcular los gastos que produjo dicha venta.

8. Con la finalidad de vender, el precio de un artículo aumenta en S/. 40; de esta manera, se vende ganando el 20% del costo. ¿Cuál es el precio de costo? 9. En la UNMSM, el 30% de los alumnos son mujeres. Si el 20% de mujeres y el 30% de los hombres salen de paseo, ¿qué porcentaje de los alumnos de la UNMSM fue al paseo? 10. Se vende un televisor por S/. 6000, ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor. 11. Dos artículos se vendieron al mismo precio. En el primero, se ganó el 20% del costo y en el segundo, 10% del precio de venta. Si uno de estos artículos costó S/.40 más que el otro, ¿a qué precio se vendió cada artículo? 12. ¿En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado, cuando su lado aumenta en 20%? 13. Un comerciante rebajó el precio de venta de su mercadería en un 20%. Si sus ventas aumentaron en un 40%, ¿en qué porcentaje aumentaron sus ingresos? 14. Si "A" aumenta 44% y "B" disminuye 20%, ¿cómo varía la siguiente expresión? 1 A 2 .2B

3

3

Sen45º

15. Si gastara el 20% del dinero que tengo y ganara el 10% de lo que me quedaría, perdería S/. 120. ¿Cuánto tengo?

7. Se vende un televisor en S/. 6000, ganando el 30% del precio de venta más el 40% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor.

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Unidad V

203

Repaso IV

Repaso IV

•

Números fraccionarios

•

Aplicación con las fracciones

•

Porcentajes

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TRILCE

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matemático Razo on namiento M

4

1. La suma de dos fracciones es 49 y su diferencia 8. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su es 1 . Hallar el cociente de la división de la 6 denominador? mayor entre la menor de las dos fracciones. a) 5 b) 1 4 a) 2 b) 1 c) 2 7 5 5 d) 71 e) 11 5 11 2 d) 1 e) 2 5 15 9. Se mezclan cuatro litros de alcohol y seis litros de agua. Se extraen cinco litros de esta mezcla 5 2. Si me deben una5cantidad igual a los 9 de 720 y se reemplazan por agua. ¿Cuántos litros de alcohol quedan al final? y me pagan los de lo que me deben, ¿cuánto 8 me deben aún? a) 8 l b) 3 c) 2 d) 6 e) 4 a) 150 b) 100 c) 125 d) 200 e) 120 10. Del problema anterior, ¿en qué relación están al final el alcohol y el agua? 3 de 2 del triple de "A" son iguales a los 3. Los a) 5 b) 3 c) 41 9 2 2 5 4 2 15

de "A ". Hallar el valor de "A".

a) 2 d) 3

b) 7 e) 8

d) c) 5

81

b)

d) 3

e) 18

c) 9

2

a) 2

27

5

5. Un cilindro se encuentra lleno hasta sus y se 3 6 del líquido. Hallar la capacidad consumen 8 de la parte vacía del cilindro. a) 23 48

d)

11

24

b) 25

c) 15

48 e) 33 48

24

2

d)

15

b) 13

2

4

13

9

2

e)

6

3

d)

3

4

b) 2

5

c) 3 5

e) 5

4

12. Del problema anterior, ¿cuántos litros de agua hay en la nueva mezcla? a) 44 l d) 40

b) 43 e) 41

c) 45

13. De un recipiente que contiene vino, se extrae 1 y se reemplaza por agua; luego, se extraen 53 3

6. ¿Cuántos tercios hay en 5 ? a)

2

e) 5 4

11. Se mezclan 24 litros de gaseosa, 36 litros de agua y 60 litros de alcohol. Si se extraen de esta mezcla diez litros y se reemplazan por agua, ¿en qué relación están al final la gaseosa y el alcohol?

4. ¿A cuántos tercios es igual 27? a) 81

1

c) 15

4

y se reemplazan por agua. ¿Qué parte del total queda de vino? a) 3

b) 1

d) 11

e)

2

15

2

4 15

c) 2 5

7. Si el largo de un rectángulo disminuye en un 14. Una cañería llena una piscina en cuatro horas y quinto, el ancho aumenta en su mitad. ¿Qué otra la puede dejar vacía en seis horas. ho ras. ¿En qué parte es el área inicial respecto del área final? tiempo puede llenarse la piscina, si la cañería 3 de desagüe se abre una hora después? a) b) 5 c) 5 6 3 6 a) 15 b) 10 c) 9 3 d) e) 4 d) 13 e) 12 8

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Unidad V

205

Repaso IV

15. Alejandro y su hijo pueden hacer una obra en 10 días. Si después de ocho días de trabajar juntos, se retira el padre y el hijo termina la que falta de la obra en siete días, ¿en cuántos días hará la obra el padre trabajando solo? a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

b) +18% e) +9%

b) 4,4 e) 4,6

b) 30 e) 10

c) 25

19. Si el 80% del 50% de "M" es el 30% de "N", ¿qué porcentaje de (2M+7N) es (3M+2N)

c) - 16%

a) 30% d) 40%

b) 35% e) 50%

c) 45%

20. Si el lado de un rectángulo aumenta en 50%, ¿en qué porcentaje se debe reducir su ancho para que su área se incremente en 5%?

17. Si 20 litros de agua contiene 30% de sal, ¿cuánto de agua se debe evaporar para p ara que la nueva solución contenga 80% de sal? a) 4,8 l d) 3,8

a) 35 años d) 15

c) 13

16. Dos descuentos sucesivos de 30% y 20%, seguidos por un incremento de 50%, ¿a qué único aumento o descuento equivale? a) - 22% d) +16%

18. Actualmente, Carmen tiene "x" años. Dentro de cinco años, su edad habrá aumentado en 20%. ¿Cuál es su edad actual?

a) 15% d) 35%

b) 30% e) 40%

c) 25%

c) 3,8

Conceptos básicos 1. Un vendedor de telas vende los 4 de un corte de tela a un cliente y la sexta parte de lo que queda 5 la vende a otro cliente. Si aún le sobran 15 metros, ¿cuántos metros tenía el corte de tela?

a) 90

b) 80

c) 65

d) 100

2. Un cartero dejó 1 de las cartas que lleva, en una oficina, y los 5 34 cartas para distribuir, ¿cuántas cartas tenía en un inicio?

a) 75

b) 90

c) 85

3

8

e) 75

en un banco. Si aún le quedaban

d) 64

e) 80

3. De un recipiente que contiene alcohol puro, se extraen 3 y se reemplazan por agua; luego, se 8 1 4 extraen y también se reemplazan por agua; finalmente, se extrae de la nueva mezcla y se 5 4 reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final el alcohol y el agua?

a)

3 25

b)

3 27

c)

3 29

d) 5

31

e) 3 35

4. Se tienen dos recipientes de 10 litros cada uno, el primero con 60 % de alcohol y el segundo con 80% de alcohol. ¿Cuántos litros deben intercambiarse para que ambos tengan el mismo porcentaje de alcohol? a) 8

b) 7

c) 5

d) 6

e) 4

5. Al lavar una tela se encoge el 20% de su ancho y el 40% de su largo. Si la tela tiene 5 m de ancho, ¿qué longitud debe comprarse si se necesitan 48 m 2 de tela después de lavarla? a) 20

b) 32

c) 15

d) 18

e) 34

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1. Beatriz, distraída como siempre, perdió 2 del 7

dinero que le encargaron. ¿Qué parte de lo que queda servirá para reponer lo perdido?

2. Una pelota, en cada rebote, se eleva

1

de la 5 altura de la cual cayó. Si se deja caer de una altura de 24 m, entonces, la longitud de la trayectoria que describa la pelota hasta quedar en reposo será:

3. Martha tiene 15 de los que tiene Rita; Raquel, 1

1

de lo que tiene Martha; Lupe, de lo que 4 tiene Rita. Si las cuatro juntas tienen S/. 600, 4

recibe la ayuda de Andrea, terminando juntos la obra. ¿En qué tiempo se concluyó toda la obra?

9. Un caño llena un tanque en tres horas, y el desagüe lo vacía en seis horas. ¿En cuánto tiempo se llena el tanque, si la llave del desagüe empieza a funcionar una hora después de abierto el caño? 10. Beatriz hace un trabajo en 20 días y Manuel hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante cinco días, se retira Beatriz. ¿En qué tiempo terminará Manuel la parte que faltaba? 11. Si "R" disminuye en 10%, ¿en qué porcentaje disminuirá "R"?

¿cuánto tiene Martha?

4. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad. ¿Cuál es la fracción? 5. Gasté los 3/5 de lo que gané y aún me quedan S/. 60 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? 6. Si transcurrieron los 3 de lo que falta transcurrir 5 de un día, ¿qué parte de lo que ya transcurrió

representa el exceso de lo que falta transcurrir sobre lo ya transcurrido?

7. Puedo hacer 13 de una obra en tres días y mi 1

ayudante puede hacer de la obra en seis 2 días. Si trabajamos juntos, ¿en qué tiempo haremos la obra? 8. Sebastián puede hacer una obra en 20 días y Andrea, la misma obra en 24 días. Sebastián empieza la obra durante cuatro días; luego,

Central: 619-8100

4

12. Si el área de un círculo aumentó en 300%, ¿por cuánto se multiplicó su radio? 13. Si el largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces, el área del rectángulo varía en 160 m 2. ¿Cuál era el área inicial? 14. En una oficina, hay 16 personas, de las cuales, el 25% son mujeres. Si se desea que el 60% del personal sean hombres, ¿cuántas mujeres se deben contratar? 15. En una granja, el 30% de los animales son pollos, 45% son patos y el resto son gallinas. Si se vende la mitad de los pollos, 4 de los 9 2 de las gallinas, ¿qué porcentaje del patos y 5

nuevo total son patos?

Unidad V

207

UNIDAD VI

ANAlIzANDo pARA eNcoNtRAR lA mejo R posIbIlIDAD Problema de Galileo

El príncipe de Toscana, muy aficionado al juego de los dados, preguntó a Galileo por qué al tirar tres dados y sumar sus resultados era más frecuente obtener 10 puntos que 9, a pesar de que en ambos casos hay seis formas distintas de obtener dichas sumas: 10=6+3+1=6+2+2=5+4+1=5+3+2=4+4+2=4+3+3 y 9=6+2+1=5+3+1=5+2+2=4+4+1=4+3+2=3+3+3

ApReNDIzAjes espeRADos Comunicación matemática • Organizar e interpretar datos agrupados. • Representar diagramas de conteo. • Elaborar gráficos estadísticos. Resolución de problemas • Evaluar resultados en problemas de suceso y conteo. • Aplicar conocimientos básicos de probabilidades y estadísticas. Razonamiento y demostración • Inferir y analizar la probabilidad de un suceso. • Analizar e interpretar gráficos estadísticos.


1

Análisis combinatorio I .


Establecer las diferencias que hay entre el principio de adición y el principio de multiplicación. Resolver problemas que requieran del factorial de un número.

Principio básico de conteo

E

l principio básico o fundamental de conteo se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando hay dos o más características que pueden variar. Así tenemos el siguiente ejemplo:

El helado puede venir en un cono o una taza y los sabores son chocolate, fresa y vainilla. taza de chocolate Chocolate cono de chocolate taza de fresa Fresa

cono de fresa taza de vainilla Vainilla cono de vainilla El diagrama anterior se llama "diagrama de árbol" y muestra todas las posibilidades. El diagrama de árbol también se pue de ordenar de otra forma. Ambos diagramas tienen un total de seis resultados. Taza

taza de chocolate taza de fresa taza de vainilla

Cono

cono de chocolate cono de fresa cono de vainilla

Para determinar la cantidad total de resultados,multiplica la cantidad de posibilidades de la primera característica por la cantidad de posibilidades de la segunda característica. En elejemplo anterior, multiplica 3 por 2 para obtener seis po sibles resultados. ¿Cuántos resultados en total se obtendrían si los sabores fueran: chocolate, fresa, vainilla, naranja y guanábana?

Central: 619-8100

Unidad VI

209

Análisis combinatorio I

Conceptos básicos Análisis combinatorio

Es la parte de la Matemática que estudia el ordenamiento de las cosas o elementos Factorial de un número

Sea "n" un número entero positivo, el factorial de "n", se denota por n! o n y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta "n". n!=1×2×3×4× ... ×(n - 1)×n

Ejemplos: 2!=1×2 3!=1×2 ×3 4!=1×2 ×3×4 5!=1×2 ×3×4 ×5 6!=1×2 ×3×4 ×5 ×6 7!=1×2 ×3×4 ×5 ×6×7 8!=1×2 ×3×4 ×5 ×6×7 ×8 9!=1×2 ×3×4 ×5 ×6×7 ×8 ×9 10!=1 ×2×3×4×5×6 ×7×8×9 ×10

Por convención: 0!=1 1!=1

Además: Si: x!=1  x=0  x=1

Observación:

• 6!=6×5!

Si : 6!=6× 51 4#4444#2 3# 2# 1 444 43 5!

Pero también: 6!=6×5× 4 # 3 # 2 # 1 14 4 4244 3 6!=6 × 5 × 4!

Entonces: n! = n(n - 1)!

s o l p m

1. Calcular:

E

E= 10! 9!

j

E

; F= 10! 8!

;

+ 9! = 10!8!

Resolución

=

10×9! 9! =

 E=10

=

10×9 # 8! 8!

 F=90

! + 9 ×8 ! G= 10×9 # 8 8!

=

8!(10×9 + 9) 8!

=

10

 G=99

o l p m E

j

E

2. Hallar el valor de "x", si: (x+1)!+x!=24x+48 Resolución

(x+1)x!+x!=24(x+2)

 x!(x+2)=24(x+2)  x!=24=4! 



x=4

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210

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1

Principios fundamentales del conteo

A. Principio de adición

Si una actividad "A" ocurre de "m" maneras y otra actividad "B" ocurre de "n" maneras, entonces, la actividad "A" o "B", es decir, no simultáneamente, ocurren de (m+n) maneras. Observaciones: 

En este principio, la ocurrencia no es simultánea, es decir, ocurre la actividad "A" o la actividad "B", pero no ambas a la vez.



Este principio se puede generalizar para más de dos actividades.

s o l p m E

j

E

1. Liliana puede viajar de Lima al Cusco por vía aérea o por vía terrestre. Si tiene a su disposición dos líneas aéreas y tres líneas terrestres, ¿de cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? Resolución

Liliana viajará al Cusco, bien por vía aérea o vía terrestre, nunca por ambas vías a la vez. Vía aérea: Tres líneas Vía terrestre: Cinco líneas

Podrá realizar dicho viaje de 2+3=5 maneras diferentes

Lima

o l p m E

j

E

Cusco

2. ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado legal o una moneda? Resolución

En la moneda:

50 Céntimos

En el dado:

 {cara o sello}=Dos resultados

 {1, 2; 3; 4; 5 ó 6}=Seis resultados

Al lanzar un dado o una moneda se obtienen: 6+2 = 8 resultados diferentes.

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Unidad VI

211


B. Principio de multiplicación

(Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si una actividad "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas actividades, otra actividad "B" ocurre de "n" maneras, entonces, la actividad "A" seguida de la actividad "B", ocurren de "m×n" maneras. Observaciones: 

En este principio, la ocurrencia es una continuidad de la otra, es decir, ocurre la actividad "A" y luego ocurre la actividad "B".



Este principio se puede generalizar para más de dos actividades.

s o l p m E

j

E

1. Emilia puede viajar de Tumbes a Lima por tres caminos diferentes, y de Lima a Tacna, por dos caminos diferentes. ¿Por cuántos caminos diferentes puede viajar de Tumbes a Tacna, pasando por Lima? Resolución

A

1 2

Tumbes

Tacna

Lima

B

3

Total de caminos: 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, 3B=6 caminos diferentes Observación: Por cada camino de Tumbes a Lima hay dos caminos de Lima a Tacna. Por lo tanto, se puede calcular también así: 3×2=6 caminos.

2. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener en el lanzamiento simultáneo de un dado legal y una moneda? Resolución

={1; 2; 3; 4; 5;6}=6

50

={C o S}=2

Céntimos

Cada resultado en la moneda se puede combinar con todos los resultados del dado. Por lo tanto, el total de resultados será: 2×6=12

3. Jessica tiene a su disposición cuatro blusas, tres pantalones y dos pares de zapatos, todos de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse correctamente usando dichas prendas? Resolución

blusas 4

pantalones ×

3

zapatos ×

2

=

24

Observación: Cada blusa puede combinarse con cada uno de los pantalones y estos, a su vez, con cada par de zapatos.

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1

Permutación

Es el arreglo de objetos de un conjunto determinado en un orden particular.

1. Veamos cómo se pueden "ordenar" tres amigos en una banca. Amigos: Rommel, José, Ernesto (R)

(J)

(E)

R

J

E

J

E

R

R

E

J

E

J

R

J

R

E

E

R

J

 Hay seis ordenamientos diferentes •

Nos damos cuenta de que en una permutación sí interesa el orden de sus elementos • •

•

Se dice que sí interesa el orden de los elementos cuando: AB BA Se dice que no interesa el orden de los elementos cuando: AB BA

También:

Este lugar lo puede ocupar cualquiera de los tres

Podemos utilizar el principio de multiplicación

Luego:

P(n)=n!

Para este lugar solo habría dos amigos disponibles Para este lugar, solo un amigo disponible

 Donde "n" es la cantidad total de elementos (intervienen todos en el ordenamiento).

Permutación lineal

Interviene la totalidad de elementos en cada ordenamiento.

P(n)=n!

Interviene una parte de los elementos en cada ordenamiento.

n Pk = n! (n - k)!

s o l p m

1. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en fila cuatro amigos: Alberto [A], Beatriz [B], César [C]; Daniel [D], si Beatriz y César siempre estarán juntos?

E

j

E

Resolución:

B C A D

A B C D

B C D A

D B C

A

A D B C D

A B C

C B

A D

C B D

A

A C B D D C B

A

A D C B D

A C B

1444444444444444442444444444444444443

12 ordenamientos

Central: 619-8100

Unidad VI

213


Se puede resolver de una manera más breve, así:

B

C

Entonces, será una permutación Pero, internamente, y sin de tres elementos separarse los dos amigos Como siempre estarán juntos, serán considerados como una sola persona.

P(3)

×

P(2)

3!

×

2!

=12

2. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar seis personas en una banca con capacidad solo para cuatro personas, si dos siempre estarán en espera? Resolución

P

6

=

4

6! 6! 360 = = (6 - 4)! 2!

Síntesis teórica

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10 x 5 50

1

1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada una de las siguientes proposiciones: • 8! = 2! + 6! • 8×7! = 8!

() ................................................................ ( )

• 5! + 4! = 3!

................................................................ ( )

• Si: (a - 1)!=1

a=2  a=1.................................................. ( )

4!

................................................................

2. Relacionar correctamente ambas columnas: Columna A

Columna B

6!

A

2

5!

B

4! - 5×3

C

720

D

6!

E

120

1! + 2! + 3! 4! 3!

3. Completar adecuadamente cada uno de los espacios en blanco. • • •

En el principio de adición, la ocurrencia no es Al lanzar un dado y una moneda, se obtienen resultados diferentes. Iris tiene a su disposición tres blusas, dos pantalones y tres pares de zapatos, entonces, se podrá vestir correctamente de maneras diferentes.

4. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de "A" a "D" sin retroceder?

A

C

B

D

5. ¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro personas en una banca para cuatro?

Conceptos básicos 2. Relacionar correctamente ambas columnas:


1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso en cada una de las siguientes proposiciones: •

20! + 21! =440 ................................ ( ) 19!

•

Si: 120(120)24!=(5!)(4!)!(5+x)! ; entonces (x+2)!=6 ) ................................ (

•

8! =2 2!

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................................ (

)

Columna A El total de resultados que se obtienen al lanzar dos dados simultáneamente.

Columna B

A

6

B

24

El total de maneras diferentes que podrán hacer cola, cinco amigos, si Eduardo estará siempre delante de todos. El valor de "x" en:

C

9

D

3

E

32

x!+(x+1)!=6x+12

F

36

Unidad VI

215


3. Completar adecuadamente los espacios en blanco: •

1!+3!+5!=

•

10! = 8!

•

Al lanzar cinco monedas en forma simultánea, se obtienen resultados diferentes.


2

m

a) n d) n+1

b) 2 e) n - 1

a) 121 d) 130

b) 125 e) 112

c) 120

11. Del enunciado anterior, ¿de cuántas maneras podrá vestirse si siempre usa la camisa blanca con el pantalón azul, y viceversa? a) 106 d) 120

4. Calcular "k" a partir de: n(n - 1)!+(n+1)!+(n - 1)!=kn(n)! c1 + 1

10. Del enunciado anterior, ¿de cuántas maneras diferentes podrá vestirse si siempre usa la camisa crema con el pantalón azul?

b) 105 e) 144

c) 110

12. En el siguiente cuadrado de 36 casillas, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una negra, de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical?

c) 1

5. Hallar "x" en: 2x2! + 3x3! + 4x4! + ... = 40! - 2 2 1444 4 4 4

4 4 4 4 44 3

(x - 1) términ os

a) 44 d) 40

b) 42 e) 39

c) 41

6. Calcular "a+b+c", si se sabe que:

a) 32 d) 432

0!+3!+6!+9!+ ... +300!= ...abc

a) 9 d) 12

b) 10 e) 11

c) 8

7. Si: a!+b!+c!=abc , calcular: E= b

a+

3 d) 2 3

b)

1 6

c

a

c) 1 5

e) 3

4

Manuel tiene ocho pantalones, cuatro camisas, cinco pares de zapatos, todos diferentes entre sí, entonces:

8. ¿De cuántas maneras puede vestirse? b) 17 e) 80

c) 160

9. Del enunciado anterior ¿de cuántas maneras podrá vestirse, si cinco de los pantalones fueran del mismo color? a) 16 d) 210

b) 80 e) 120

De Lima a Chancay existen cuatro caminos diferentes, de Chancay a Trujillo hay seis caminos diferentes, entonces: 13. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Trujillo, pasando por Chancay, de ida y vuelta? a) 48 d) 576

Enunciado (preguntas: 8; 9; 10 y 11)

a) 120 d) 30

c) 64

Enunciado (preguntas: 13 y 14)

a+ b+ c

a) 1

b) 216 e) 234

c) 200

b) 1056 e) 286

c) 1036

14. Del enunciado anterior, ¿de cuántas maneras diferentes se podra ir de Lima a Trujillo, pasando por Chancay de ida y de vuelta, si la ruta de regreso tiene que ser distinta de la de ida? a) 552 d) 128

b) 25 e) 372

c) 256

15. Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolores se pueden formar? Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera debe tener la forma mostrada.

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a) 10 d) 40

b) 20 e) 25

c) 24

16. Hay cinco candidatos para presidente de un club, seis para vicepresidente y tres para secretario. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos? a) 108 d) 72

b) 64 e) 90

c) 128

17. Se tienen seis números negativos y cinco números positivos, ¿de cuántas maneras se pueden escoger cuatro números, de tal forma que su producto sea positivo? a) 140 d) 180

b) 160 e) 170

c) 175

1

18. De un grupo de 15 personas que estudian solo dos idiomas cada una, se sabe que cuatro de ellas estudian inglés y alemán; cinco, inglés y francés, y las otras solo alemán y francés. Si se quiere escoger a dos personas que hagan juntas la traducción de una lectura a cualquiera de los tres idiomas mencionados, ¿de cuántas formas se puede elegir? a) 28 d) 48

b) 74 e) 120

c) 92

19. ¿De cuántas maneras diferentes siete amigos se podrán ubicar en fila, si tres amigos en particular (Luis, Rommel y Álex), estarán siempre juntos? a) 360 d) 720

b) 1440 e) 640

c) 840

20. Se tiene una urna con nueve bolas numeradas. ¿De cuántas maneras podemos sacar primero dos bolas; luego tres y finalmente cuatro? a) 630 d) 108

b) 306 e) 1260

c) 1080

a) 21 600 d) 10 800

b) 3600 e) 9600

c) 7200

Conceptos básicos 1. Simplificar: E=(1! + 2!)(2! + 3!)(3! + 4!)(4! + 5!) ...(19! + 20!) 1!x2!x3!4!x...x19!

a) 105x20! 105x119!

b) 105 d) 210x19!

c ) e) 2x22!

2. En un ómnibus que posee 37 asientos (en ocho filas de cuatro asientos cada una, con un pasillo en el medio, y al final, cinco asientos juntos), se desea ubicar 25 pasajeros. ¿De cuántas formas se pueden ubicar si diez de los pasajeros están enfermos y deben viajar en asientos que poseen ventanillas? a) 27! . 8! d) 27! 8!

b) 18! . 27!

8! 12! e) 18! . 8! 12! 3!

c) 25!

7!

3. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos vocales, diferentes y cuatro consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales incluyendo la "e", y seis consonantes, incluyendo la "s", de manera que empiecen con "e" y contengan la "s".

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4. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran cinco asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado de la otra? a) 10 d) 15

b) 16 e) 12

c) 18

5. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos, cada uno de ellos con seis posiciones. Una vez cerrada la bóveda, para abrirla de nuevo, cada uno de los tres discos debe estar en la posición correcta. Si un amigo de lo ajeno desea abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos como máximo tendrá que realizar? a) 216 d) 728

b) 312 e) 215

c) 36

Unidad VI

217

Análisis combinatorio I 18:10:45

Conceptos básicos 1. Simplificar: W=

8.

(5! + 2)3(5!) ! (5!)! + (5! + 1)! + (5! + 2)!

¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de "A" a "B"? A

C

B

Enunciado (preguntas: 3; 4)

Lalo tiene seis pantalones, cuatro camisas y cinco pares de zapatos, todas las prendas de diferentes colores entre sí, entonces:

2. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? 3. Del enunciado anterior: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si tres de los pantalones fueran iguales? 4. Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay seis hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hotel diferente? 5. Indicar cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1; 2; 3; 4 y 5, si: • Los dígitos no pueden repetirse. • Se permite la repetición. 6. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de tres barcos, cinco aviones y cuatro buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje? 7. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene seis ternos (iguales), cinco pares de medias (tres iguales), dos pares de zapatos, ocho corbatas (dos iguales) y seis camisas (tres iguales)?

9.

¿Cuántos números menores que 10 000 pueden formarse con los ocho dígitos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7?

10. Indicar la cifra terminal de: E= 1! + 3! + 5! + 7! + ... +99! 11. ¿Cuántos resultados diferentes se podrán

obtener en el lanzamiento simultáneo de dos dados y dos monedas? 12. Calcular: E= 100! + 101! + 102!

100! + 101!

13. ¿Cuántos resultados diferentes se podrá

obtener al lanzar dos dados o tres monedas? 14. Samantha tiene a su disposición cuatro blusas

y seis faldas. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse utilizando dichas prendas, si todas son de diferentes colores? 15. Del problema anterior, ¿de cuántas maneras

podrá vestirse con dichas prendas, si la blusa blanca se la pondrá siempre con la falda negra?

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Análisis combinatorio .

2


Resolver problemas que involucran procesos de recursión (permutación y combinación). Matematizar situaciones reales utilizando operaciones con eventos.

Combinaciones y permutaciones ¿Qué diferencia hay?

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuida-damente, sin pensar en la importancia del orden de las cosas. En otras palabras: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas" : no importa en qué orden

pusimos la fruta, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472" : ahora sí importa el orden. No funcionaría "724", ni "247".

Tiene que ser exactamente: 4 - 7 - 2. Así que en Matemática usamos un lenguaje más preciso: Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa, es un permutación. ¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"! En otras palabras: Una permutación es una combinación ordenada. Para ayudarte a recordar, piensa en "permutación ... posición". ¿Cuando combino mi ropa para vestirme, utilizo combinación matemática?

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Unidad VI

219

Análisis combinatorio II

Conceptos básicos Análisis combinatorio II 

Permutación circular

Cuando se pide ordenar un grupo de "n" elementos alrededor de un objeto (mesa circular), en estos ordenamientos no hay ni primero, ni último elemento: para calcular el número de permutaciones circulares basta con fijar la posición de uno de ellos y los (n - 1) restantes se podrán ordenar de (n - 1)! maneras. PCn=(n - 1)! s o l p m

1. ¿De cuántas maneras diferentes, cuatro amigos se podrán ubicar alrededor de una mesa circular?

E

j

E

Resolución

o l p m

Se toma un lugar como punto de referencia, eso implica que a los otros tres lugares se les tomará como si fuese una permutación lineal.

E

j

E

PC4=(4 - 1)!=3!=6 2. ¿De cuántas maneras diferentes, seis amigos se ubicarán alrededor de una mesa circular, si Juan y José estarán siempre juntos? Resolución

2!(4!)=48 maneras José Juan



Permutación con elementos repetidos

n

PR ;;;... =

n!

! # ! # !...

Donde  ; ; ..., son las veces que se repite un mismo elemento en un determinado grupo.

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s o l p m

2

1. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra "LULU", sin importar que tengan o no sentido?

E

j

E

Resolución •

• Utilizando la permutación con repetición

Analíticamente

L U L U L U U L L L U U U L U L ULLU UULL

3 4 4 2 4 4 1

"6 maneras"

"LULU" tiene cuatro letras (elementos), de las cuales la "L" se repite dos veces y la letra "U", también dos veces. Total de elementos

Nº de = 4! = 6 palabras 2!×2! por la letra "L"

por la letra "U"

2. Federico tiene siete banderas del mismo tamaño y modelo (dos blancas, dos rojas y tres azules). ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer, si las iza todas a la vez en un mismo mástil? Resolución

7

PR2;2;3;...



7! = 210 2! # 2! # 3!

=

Combinación

La selección de un grupo de objetos de un conjunto sin tener en cuenta el orden en el que estos son elegidos, es llamada "combinación". n

Cm = s o l p m

n! (n - m)! # m!

;0mn

1. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden seleccionar dos alumnos de un total de cinco alumnos?

E

j

E

Resolución

Seleccionar a María y a José es lo mismo que seleccionar a José y a María; nos damos cuenta de que no interesa el orden en que estos personajes fueron seleccionados; luego: 5 5! Número C = = 10 grupos 2 (5 - 2)! # 2! de grupos

2. Con las frutas: plátano, papaya, fresa, mango y pera, ¿cuántos jugos surtidos de tres frutas se podrán hacer? Resolución •

El jugo de plátano, papaya y fresa tiene el mismo sabor que el de papaya, plátano y fresa, entonces, no interesa el orden: ab=ba Número de jugos con tres frutas

Central: 619-8100

5

C

3

=

5! = 10 (5 - 3)! # 2!

Unidad VI

221


Síntesis teórica

¿Interesa el orden? • abba (sí interesa) • ab=ba (no interesa)

"SÍ"

"NO"

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10 x 5 50

2

1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda, en cada una de las siguientes proposiciones: 4

• P2 =12

................................................................ ( )

• C2=6 • Pc(6)=120

................................................................ ( )

4

................................................................ ( )

x

• P2 =90, entonces: x=10 ..................................................... ( )

2. Relacionar correctamente ambas columnas: Columna A Número de palabras diferentes que se pueden formar con todas las letras de la palabra "POLLO"

Columna B

Número de maneras en las cuales se pueden sentar cinco amigos alrededor de una mesa circular. Número de partidos que se juegan en un campeonato con seis equipos.

A

48

B

24

C

30

D

15

3. Completar los espacios en blanco correctamente: • • •

Se utilizará la Se utilizará la Se pueden hacer

, cuando el orden de los elementos no interese. , cuando el orden de los elementos sí interese. jugos surtidos con cuatro frutas.

4. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra "SOMOS", sin importar la existencia de las palabras? 5. ¿De cuántas maneras diferentes, seis hermanos se ubicarán alrededor de una mesa circular, si Mathías y Edú estarán siempre juntos?

Conceptos básicos 1. Se tienen las frutas: papaya, fresa, plátano, 2. Relacionar correctamente ambas columnas: mango, naranja y manzana; se desea hacer jugos con dichas frutas. Columna A Columna B Colocar(V) si es verdadero o (F) si es falso en 5 4 1 A P +C cada una de las siguientes proposiciones: 2 2 22 B • Alberto quiere hacer jugo con dos frutas, 8 8 entonces tendrá 15 posibilidades ........ ( ) 0 C C2 - C6 •

•

Beatriz desea hacer jugos surtidos, entonces, tendrá 63 partidos ............................... ( ) Para los jugos no interesa el orden de los elementos ................................. ( )

Central: 619-8100

D

2

8 P2 8

C2

Unidad VI

223


3. Un marino tiene cinco banderolas del mismo tamaño, pero de colores diferentes. Si las iza en un mástil, una a continuación de otra, completar los espacios en blanco: • • •

Habrá señales diferentes si utiliza tres de ellas. Habrá señales diferentes si utiliza cuatro banderolas. Con todas las banderolas, si la primera es blanca y la última crema, habrá señales.


4. Con todas las letras de la palabra "ARAÑA", ¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, sin importar que las palabras tengan o no sentido? a) 40 d) 10

b) 28 e) 16

c) 20

5. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con todas las letras de la palabra "PAPAYA", sin importar el significado de las palabras? a) 30 d) 72

b) 360 e) 720

c) 60

6. ¿Cuántas disposiciones en fila posibles se pueden obtener con todas las letras de la palabra "LILIANITA" de tal manera que las letras "L" no queden juntas? a) 6300 d) 3240

b) 3360 e) 11 760

c) 3780

7. ¿De cuántas maneras diferentes, siete amigos se ubicarán alrededor de una mesa circular, si Andrea y Piero estarán siempre juntos? a) 360 d) 480

b) 600 e) 540

c) 240

10. Alrededor de una mesa circular de siete asientos se ubican dos niñas y cuatro niños. ¿De cuántas formas podrán hacerlo, si el asiento vacío debe quedar entre las niñas? a) 24 d) 96

b) 48 e) 8

c) 16

11. Calcular "n" en la siguiente igualdad: n

C(n - 2)=36

a) 7 d) 12

b) 9 e) 18

c) 8

12. ¿Cuántos grupos de cuatro personas se pueden formar con seis personas? a) 12 d) 21

b) 15 e) 30

c) 18

13. ¿Cuántos jugos surtidos se pueden hacer con cuatro frutas diferentes? a) 15 d) 12

b) 10 e) 9

c) 11

14. En un campeonato de fútbol en el que juegan todos contra todos, a una sola rueda, participan diez equipos. ¿Cuántos partidos se podrán realizar? a) 16 d) 28

b) 30 e) 45

c) 50

15. Del problema anterior, ¿cuántos partidos más se podrán realizar, si llegan dos equipos más? a) 2 d) 19

b) 21 e) 12

c) 42

16. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar tomando como vértices los puntos mostrados en la circunferencia?

8. Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras diferentes lo podrán hacer, si Matías, Paolo, Edú y Diego, no podrán estar juntos? a) 5796 d) 5478

b) 4796 e) 5844

c) 4464

9. ¿De cuántas maneras tres parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular para jugar casino, si estas parejas juegan siempre juntas? a) 120 d) 144

b) 16 e) 12

c) 48

a) 10 d) 6

b) 15 e) 9

c) 30

17. Del problema anterior, ¿cuántos triángulos se pueden formar tomando como vértices los puntos mostrados? a) 12 d) 20

b) 24 e) 10

c) 15

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2

18. Se extraen dos cartas de un juego de 52 cartas. 20. Sebastián quiere ir al cine acompañado de dos ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? amigas, pero se presentan siete amigas. ¿De cuántas maneras diferentes puede ir Sebastián acompañado de dos amigas? a) 1250 b) 1326 c) 1350 d) 1400 e) 1260 a) 20 b) 36 c) 42 d) 15 e) 21 19. Con pesas de 2 kg, 3 kg, 7 kg y 10 kg, ¿cuántas pesadas diferentes se podrán hacer, tomándolas de dos de dos? a) 6 d) 8

b) 4 e) 10

c) 12

Conceptos básicos 1. A una de las clases de un instituto, asisten 20 alumnos. El profesor elige cada día a dos alumnos diferentes para explicar una lección. El curso terminó el mismo día en que, obligatoriamente, el profesor tenía que elegir a dos alumnos que ya habían explicado juntos otra lección. ¿Cuántos días de clase hubo durante el curso? a) 170

b) 200

c) 185

d) 190

e) 180

2. Se quiere elaborar un collar con 12 perlas: cuatro azules, dos blancas, tres rojas, una verde, una amarilla, una marrón. Si estas tres últimas deben estar juntas, ¿cuántos collares se pueden confeccionar? a) 8560

b) 7560

c) 5040

d) 40 320

e) 8760

3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde el punto "A" hacia el punto "B" sin retroceder en ningún momento y sin pasar por el punto "x"? A x B

a) 70

b) 50

c) 40

d) 60

e) 120

4. La atleta Mirtha tiene tres cajas: una roja, una verde y una azul; y cinco medallas: una de oro, una de plata, una de bronce, una de cobre y una de acero. Si quiere guardar todas las medallas en las cajas, de modo que ninguna caja quede vacía, ¿de cuántas maneras distintas puede hacerlo? a) 4540

b) 120

c) 715

d) 360

e) 480

5. Un club tiene 20 miembros, de los cuales, 12 son mujeres. ¿Cuántas juntas directivas de tres miembros: presidente, vicepresidente y secretario, pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente, un hombre? a) 1428

Central: 619-8100

b) 1716

c) 1628

d) 1718

e) 1728

Unidad VI

225

Análisis combinatorio II 18:10:45

Conceptos básicos 1. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar de un barco a otro con seis banderolas de diferentes colores, de dos en dos? 2. Con ocho puntos no colineales y coplanares, ¿cuántos segmentos se podrán formar? 3. Del problema anterior, ¿cuántos triángulos se podrán formar? 4. Con los dígitos: 1; 3; 5; 6; 7 y 9, ¿cuántos productos diferentes se podrán formar, tomando a los dígitos de dos en dos? 5. Se tienen siete colores distintos. ¿Cuántas banderas diferentes se pueden formar con tres distribuciones rectangulares y verticales? 6. Se tienen ocho puntos en el plano, de los cuales 3 ó más no pueden estar en línea recta. ¿Cuántos segmentos diferentes se podrán formar? 7. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres camisas de un total de seis camisas diferentes? 8. Se extraen dos cartas de un juego de 52 cartas, ¿de cuántas maneras se puede hacer esto? 9. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"?

10. Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar cinco mujeres y cinco hombres. ¿De cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres? 11. Si hay ocho hombres y cinco mujeres, ¿de cuántas formas distintas se pueden seleccionar un grupo mixto de siete personas integrado, por lo menos por tres hombres? 12. Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey, ¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? 13. Hay 15 jugadores de fútbol. ¿De cuántas maneras diferentes se puede conformar un equipo, si se sabe que dos de ellos, por problemas personales se niegan a jugar en el mismo equipo? 14. Con siete varones y cuatro mujeres se desea formar grupos mixtos de seis personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo que en cada uno de ellos haya siempre dos mujeres? 15. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir los diez miembros de un club en tres comités de cinco, tres y dos miembros respectivamente?

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Introducción al cálculo de probabilidades .


Resolver problemas que involucren el cálculo de la probabilidad de eventos.

•

Matematizar situaciones reales utilizando operaciones, con la probabilidad de eventos con eventos.

S

e lanzan dos dados y con los números que salen se forma una fracción menor o igual a 1. Rommel afirma que es más probable que salga una fracción reducible que irreductible, mientras que José dice lo contrario. ¿Quién tiene la razón?

l m t h . 4 - , a m o g - e d - s e n o i c c a r f e d - s o d a d / 6 3 4 4 / o t c u d o r p / l c . t r o p m i m j . w w w / / : p t t h

Central: 619-8100

Unidad VI

227

Introducción al cálculo de probabilidades


Experimento aleatorio ( )

Es una prueba o ensayo que depende del azar, es decir, que sus resultados no pueden determinarse sin haber realizado previamente la prueba; pero sí hay un conjunto de posibles resultados, así por ejemplo: 50

1: Lanzar una moneda y observar la cara superior

Céntimos

2: Lanzar un dado y observar la cara superior 

Espacio muestral ( s)

Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. •

En "1" del ejemplo anterior: S1={C,S}

C: Cara; S: Sello

El cardinal: n (S 1) = 2 •

El cardinal de un conjunto es la cantidad de elementos que tiene el conjunto.

En " 2" : S2={1;2;3;4;5;6}  n(S2)=6



Evento o suceso Es cualquier subconjunto de un espacio muestral; se denota con las primeras letras mayúsculas del alfabeto.

•

Para "2", el siguiente evento: A: Obtener un puntaje impar al lanzar un dado A={1;3;5}  n(A) = 3 Tipos de eventos

1. Evento seguro (A= )

Llamado también "universal", ya que siempre ocurre. A: Al lanzar una moneda, obtener cara o sello. A={C ; S}=

2. Evento imposible (A=  )

Llamado también "vacío", porque nunca ocurre. A: Al lanzar un dado, obtener siete puntos en un tiro  B: {7} B=  (Imposible) 3. Evento complementario (A) ; A  A' = S

"A" es el evento contrario de "A" A : Lanzar dos dados y obtener un puntaje menor a ocho. A : Lanzar dos dados y obtener un puntaje mayor o igual a ocho. Colegios

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Concepto de probabilidades Latín

"Probabilitas"

Verosimilitud

Calidad de probable fundada en razón prudente

La probabilidad de que ocurra un determinado suceso (A) se define como la relación entre el número de casos favorables para ese suceso y el número de c1 po4 sib3 as4 os 2 les o totales. Espacio muestral N(A) N(S)

P(A)= Número de casos favorables para "A" = Número de casos posibles o totales

s o l p m

Cardinal del conjunto "A" Cardinal del conjunto "S"

1. Beatriz dará a luz, con seguridad, un bebé. ¿Cuál es la probabilidad de que el bebé sea varón?

E

j

E

Resolución

o l p m

"El bebé puede ser: Varón o mujer, casos posibles (total) de que sea varón hay un solo caso (favorable) Entonces, la probabilidad de que el bebé sea varón es, un caso de un total de dos casos".

E

j

P(varón)= 1 = 0,5=50%

E

2

2. Se lanzan dos monedas en simultáneo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? Resolución 50

50

Céntimos

Céntimos

= { CC, CS, SC, SS 1 4 44 2 4 44 3

}  Cuatro posibles resultados

Espacio muestral(S)

La probabilidad de obtener dos caras, es un caso de un total de cuatro casos  P(dos caras)= 1 4

Propiedades

I.

0  P(A)  1

II.

Si: P(A)=0

III. Si: P(A)=1 IV.

A= 

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 A: Evento seguro

A=S

P(A)= 1 - P(A)

A: Evento imposible

o

P(A)+P(A)=1

 (Probabilidad del evento complementario)

Unidad VI

229


s o l p m

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una urna donde hay cuatro bolas rojas, cinco amarillas y dos blancas, esta no sea roja?

E

j

Resolución

E

o l p m

A: Evento de extraer una bola que no sea roja. A: Evento de extraer una bola que sea roja.

Recuerda que...?

Se sabe: P(A)=1 - P(A)

De una forma directa sería:

 Bolas rojas 11  Total de bolas

P(A)=1 - 4

No sea roja (Cinco amarillas y dos blancas) Total

7

P(A)= 11

E

P(A)= 7 11

2. Se lanzan un dado y una moneda, simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? Resolución

Dado

Moneda

C,S



50 Céntimos

C

1 2

C S C S

4 5

SC S

3

C

6

C

S

S

S={(1,C); (1,S); (2,C); (2,S); (3,C); (3,S); (4,C); (4,S); (5,C); (5,S); (6,C); (6,S)}  n(S)=12 A: Obtener un número primo y un sello A={(2,S); (3,S); (5,S)}  n(A)=3 P(A)=

3 = 1 <>0,25 <>25%

12

4

Otro método Probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado

3

Probabilidad de obtener un sello al lanzar una moneda

1

×

6

2 1444444442444444443

Probabilidad de obtener un número 1 primo y un sello en el lanzamiento de = 4 un dado "y" una moneda

3. Determinar la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja, estas sean corazones. Resolución •

Calculamos: P(A) = A S

A: Extraer dos cartas de corazones de un total de 13

•

S: Extraer dos cartas de una baraja de 52 cartas Luego: P(A)= 78 = 1 1326

17

52

52 # 51 1326 formas = 2 2 #1 13 13 # 12 C2 = 2 # 1 = 78 formas

C

=

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Síntesis teórica

10 5 50

Conceptos básicos 1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso según corresponda. • • •

Si "A" es un evento seguro, entonces: P(A)=1 ...................................................................... ( ) Si: A=S, entonces: P(A)=0 .................................................................................................. ( ) Al lanzar dos dados, el espacio muestral tiene 36 elementos ............................................... ( )

2. Completar adecuadamente los espacios en blanco. • • • •

: En una prueba o ensayo donde los resultados no pueden predecirse sin realizar la prueba. : Es un subconjunto del espacio muestral. La probabilidad de un evento nulo es . La probabilidad de encontrar un varón en el salón de clases es 0,3; entonces, la probabilidad de encontrar una mujer es .

3. Relacionar correctamente ambas columnas: Columna A Probabilidad de extraer una carta roja de una baraja de 52 cartas.

Columna B 1 A 18

Probabilidad de obtener 11 puntos en el lanzamiento de dos dados.

B

Probabilidad de sacar una bola blanca de una urna donde hay cuatro blancas y seis negras.

C D

2 5 1 5 1 2

Enunciado •

En una caja oscura se depositan cuatro esferas blancas, seis amarillas y ocho negras, entonces:

4. Si extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra? 5. Si extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca o negra?

Central: 619-8100

Unidad VI

231



1. Se arrojan tres monedas al aire, y se observan los resultados. Colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso según corresponda. • • •

El espacio muestral tiene seis resultados ...( ) La probabilidad de obtener tres caras es 1 ....( ) 8 La probabilidad de obtener por lo menos dos caras es 50% ................................( )

Columna B

A

1 2

b)

d)

e)

17

3

4

102 d) 3 102

C

9

5 18

36

1

b) 15

103 e) 13 204

c) 15 104

7. Se sacan tres cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean "ases"? 1 a) 4 b) 3 c) 539 1

5525 1

c) 7

16

a) 13

d)

B

1

6. Se extraen dos cartas. ¿Cuál será la probabilidad de que se saque una espada y un corazón, en ese orden?

2. Relacionar correctamente: Columna A Al lanzar dos dados, la probabilidad de obtener una suma de valores que sea nueve es... Se tiene una caja que tiene cinco bolas azules, tres bolas blancas y dos bolas negras. La probabilidad de extraer una bola y que esta sea blanca o negra es... Al lanzar un dado dos veces consecutivas, ¿cuál será la probabilidad de obtener un solo tres?

a) 1 4

•

2552

1725 2 e) 5625

Al arrojar tres monedas al aire, entonces:

8. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 9. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de las tres sea el mismo ?

b) 1 a) 1 3. Completar los espacios en blanco adecuac) 1 4 3 2 damente: 2 3 e) d) • Al colocar en una caja 20 bolas numeradas 4 3 del 1 al 20 y luego extraer dos bolas, existen posibilidades. 10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos dos sellos? • La probabilidad de extraer una carta de corazones de una baraja de 52 cartas es a) 5 b) 3 1 c) % 8 2 8 3 d) e) 25% • Si cinco amigos se sientan alrededor de una 4 fogata, la probabilidad de que dos amigos en particular se sientan juntos es . 11. En una carrera participan diez personas. ¿Cuál es la probabilidad de que Luis llegue primero y Resolución de problemas Álex llegue último?

•

De un mazo de 52 cartas; 13 de cada palo; entonces:

4. ¿Cuál será la probabilidad de sacar un "As"? a) 1 10 d) 1 13

b)

1 6

e)

c) 1 4

1 15

5. Se extraen dos cartas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de corazones?

a)

d)

1 10! 1

60

b)

2 10!

e)

1 120

c) 1 90

12. Siete amigos se ubican alrededor de una fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que tres amigos en particular se sienten siempre juntos? a) 1 3 d) 2 5

b) 3

5 e) 1 5

c)

2

7

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13. Las letras de la palabra "AMOR" se colocan al azar en fila. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos vocales queden juntas? a)

1

b) 1

3

2

d)

1

c)

e)

6

a) 1 5 d) 4 5

1

4

1 12

14. Se lanzan tres monedas y un dado en simultáneo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resultado un número no mayor que cuatro, acompañado de por lo menos una cara en las monedas? a)

1 6

d)

7

12

b) 3

c) 5

12

7 e) 1 4

15. Depositamos en una ánfora ocho bolas numeradas del 1 al 8. Si se extraen tres bolas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estas sean números primos? a) 3 8 d) 3 14

c) 7

b) 5 12

e)

b) 1

d) 3 16

e) 3

c)

8

1 16

5 e) 1 2

a) 1 3

b) 5

d) 2

e) 2

3

9

c) 4 9

6

19. En un salón de clases hay cuatro niños y seis niñas. Si se escogen dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estas personas sean un niño y una niña? 3

4 c) 17

b) 8

e) 8 15

2

15

20. La probabilidad de que Luis ingrese a la UNI es 0,7 y la probabilidad de que ingrese a la UNMSM es 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que ingrese a ambas universidades, si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12? a) 0,42 d) 0,48

8

c) 3 5

18. Se lanza un dado "cargado", de tal manera que los números pares tienen el doble de posibilidades de presentarse que los números impares. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número primo?

d)

16. Se lanzan cuatro monedas en forma simultánea. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello y tres caras? a) 1 4

b) 2

4 a) 15

8

1 14

17. Una caja contiene 40 bolas numeradas del 1 al 40. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer al azar una bola, resulte par o múltiplo de 5?

b) 0,22 e) 0,58

c) 0,24

1. Tres señoras van a dar luz con toda seguridad en febrero de un año bisiesto. ¿Cuál es la probabilidad de que la fecha de nacimiento de tres de los bebés sean distintos? a) 676

b) 765

861

861

c) 756

861

d) 678

861

e)

666 871

2. De una bolsa que contiene seis bolas blancas, cuatro negras y dos rojas, se sacan seis bolas al azar. Calcular la probabilidad de que tres sean blancas, dos negras y una roja. a) 16

33

b) 14

23

c) 20

77

d) 3

31

e) 4

23

3. Se tiran ocho monedas, ¿cuál es la probabilidad de que una y solamente una presente cara? a)

1 16

Central: 619-8100

b)

1

18

c)

1

17

d)

1

32

e)

1

24

Unidad VI

233


4. Luisa y Mario quedan en encontrarse entre las 5 p.m. y las 6 p.m, con la condición de que el que llegue, debe esperar un tiempo de 10 min y luego marcharse. ¿Cuál será la probabilidad de que se encuentren Luisa y Mario? (Observación: los 10 min de espera deber contarse entre de las 5 y 6 p.m.) a)

1

36

b)

1 9

c)

1 6

d)

1

18

e) 1 4

5. Tamara selecciona al azar dos números diferentes del conjunto: {8; 9; 10} y luego los suma. Claudia selecciona al azar dos números diferentes del conjunto: {3; 5; 6} y luego los multiplica. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado que obtiene Tamara sea mayor que el resultado que obtiene Claudia? a)

1 9

b)

2

9

c)

7 9

d) 4

9

e) 5 9 18:10:45

Conceptos básicos 1. En una caja oscura se depositan dos esferas blancas, tres esferas rojas y cuatro esferas azules.Si extraemos una esfera, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja? 2.

3.

4. 5.

6.

9. Nueve personas se sientan al azar en círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas queden contiguas?

10. Seis amigos harán cola para comprar pan. ¿Cuál es la probabilidad de que Stéfano, que es Del problema anterior, si extraemos una esfera uno de ellos, sea siempre el primero? al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul? 11. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja (52 cartas, 13 de cada Se lanzan tres monedas simultáneamente. palo), estas sean un corazón y un trébol? ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un sello? 12. Un grupo de estudio está conformado por once niños y siete niñas. Si se escogen cuatro Del problema anterior, ¿cuál es la probabilidad estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de de obtener por lo menos una cara? que todos sean niños? De un juego de cartas (13 cartas de cada palo, 52 cartas en total) se extraen dos cartas. ¿Cuál 13. Al lanzar tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad que los tres resultados sean es la probabilidad de que estas sean corazones? iguales? Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar al 14. Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un puntaje mayor que dos? azar una bola, resulte par o múltiplo de 5?

7. Diez libros de los cuales seis son de Física y 15. Se escribe al azar un número de dos cifras. ¿Cuál es la probabilidad que dicho número sea cuatro de Química, se colocan al azar en un múltiplo de cinco? estante. Determinar la probabilidad de que los libros de Física queden juntos. 8. Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos caras y un número impar?

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Análisis de gráficos estadísticos

4


Organizar información mediante gráficos estadísticos que impliquen muestreo. Interpretar la información de los gráficos estadísticos.

Estadísticas probables en la lotería En el juego de lotería más popular del Perú, miles de peruanos semanalmente apuestan para ganar el pozo que por lo general es siempre mayor al millón de soles. Para esta ocasión vamos a calcular, en principio, la probabilidad de que una de las jugadas gane el pozo mayor. Cálculo de la probabilidad de llevarse el pozo de la lotería. Primero, vamos a determinar la función de probabilidad de la variable aleatoria: x: Número de aciertos (0;1;2;3;4;5;6). Teniendo en cuenta que de 45 números tenemos que escoger seis según nuestro más atinado criterio, no sin antes encomendarnos al cielo, debemos calcular la combinatoria respectiva: 45

C

6

=

45! 6! (45 - 6!)

Esto da como resultado: 8 145 060 (más de ocho millones de posibilidades para hacer la jugada ganadora). Ahora calculamos las probabilidades de tener "x" aciertos. 623 P(x=0) = (Total de jugadas con 0 aciertos) = 3262, =40,056% 8145060 Total de casos

con 1aciertos) 3454, 542 P(x=1) = (Total de jugadas = =42,413% 8145060 Total de casos

P(x=2) = (Total de jugadas con 2 aciertos) = 1233, 765 =15,147% Total de casos

8145060

P(x=3) = (Total de jugadas con 3 aciertos) = 182780 =2,244% Total de casos

8145060

P(x=4) = (Total de jugadas con 4 aciertos) = 11115 =0,136% Total de casos

8145060

P(x=5) = (Total de jugadas con 5 aciertos) = 234 Total de casos

8145060

P(x=6) = (Total de jugadas con 6 aciertos) = Total de casos

1

8145060

=0,002873% =0,000012%

Responde: ¿Tras cuántas jugadas se obtendrá una con seis aciertos? Central: 619-8100

Unidad VI

235



Origen y significado de la Estadística En sus orígenes históricos, la Estadística estuvo ligada a cuestiones de Estado (recuentos, censos, etc.) y de ahí proviene su nombre. La Estadística surge ante la necesidad de tratar y comprender conjuntos numerosos de datos. Definición: La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recolección de datos, su organización y análisis, así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse. Se pueden distinguir dos tipos de Estadística

Estadística descriptiva

Estadística inferencial

Se ocupa de tomar datos de un conjunto y organizarlos en tablas o representaciones gráficas en las que se informa de manera global.

Elabora conclusiones para la población, partiendo de los resultados de una muestra.

Ahora nos centraremos en estudiar la estadística descriptiva, en particular, los gráficos estadísticos. 

Gráficos estadísticos Son gráficos que muestran la información de forma global y expresiva; además, poseen un fuerte poder de comunicación de los resultados de un estudio estadístico.

I.

Gráfico de barras

Es una representación gráfica bidimensional, en la que los objetos gráficos elementales son un conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente. Pueden ser: a)

Sencillos

1. ¿Cuántos alumnos ingresarón a la UNI en el 2011 - I? Las edades de los alumnos ingresantes a la UNI en el 2011 - I

Nº de alumnos

80 70 60 50 40 30 20

Resolución

Edad 15 años 16 años 17 años 18 años 19 años

Nº alumnos 30   50 30 20

Total 

10

edad

15

16

17

18

19

años

años

años

años

años

210 alumnos

2. ¿Cuál es la edad promedio de los ingresantes? Edad promedio = 15 (30) + 16 (82) + 17 (50) + 18 (30) + 19 (20) 210 x  x=16,6 años

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b)

4

Agrupados

La empresa "CHANAZA" se dedica a la venta de autos cuyas marcas son: Toyota, Nissan y Kia. El gráfico siguiente muestra las ventas de la empresa durante el periodo 2010 - 2011 (noviembre diciembre - enero - febrero). Toyota Número de autos

Nissan

Kia

160

vendidos

140 120 100 80

100

80

80 70 50

40

40 (Mes)

Noviembre

Diciembre

Enero

Febrero

1. ¿Cuántos autos se vendieron en el mes de enero de 2011? Resolución

  

Toyota Nisan Kia

160 100 40

300

Rpta.: 300 autos

2. ¿Qué porcentaje de los autos vendidos en enero de 2011, representan los autos vendidos en noviembre de 2010? Resolución

Nº de autos vendidos en enero de 2011: Nº de autos vendidos en noviembre de 2010:

300 240

 

100% "x"%

 x=80 Rpta.: 80%

3. ¿Cuál fue la variación porcentual en la venta de los autos Kia, de noviembre de 2010 a diciembre de 2010? Resolución

Autos Kia Variación: 20

120 100

Noviembre Diciembre

Central: 619-8100

120



100%

20



"x"%

 x= 16,6%

Rpta.: Hubo un "decremento" de 16,6%

Unidad VI

237


c)

Apilados Número de personas

mujeres

hombres

60

•

50 40

¿Qué porcentaje del total son varones? Total: Varones:

30 20

 

100% "x"%

 x= 64,28%

10 0

140 90

Desempleados

Empleados sector público

Empleados

sector privado

II. Gráfico circular

Este gráfico representa proporciones de distintas clases dentro de una muestra. El ángulo de cada sector mantiene la misma proporción de 360º que la clase representada respecto del tamaño to tal de la muestra. Aplicación: Se sabe que: 360º<>100% 25%



D%

A A

•

•

4 1  = ×360º   =90º 4 En "B"  20% <> 1 5 1  = ×360º   =72º 5

•

360º  100%

 54º

B B

En "A"  25% <> 1

20%

54º  "C"%

C%

 C= 54º×100 360º •

C=15%

D=100% - (25%+20%+15%) D=

•

Luego: 360º   

100% 40%

 = 360º×40   =144º 100

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4

Síntesis teórica

10 5 50

Conceptos básicos 1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada una de las siguientes afirmaciones: Gráfico I (preguntas 1;2;3 y 4)

Los minutos de tardanza de 100 trabajadores de "Richard's corporation S.A" son mostrados en el siguiente gráfico: Número de

trabajadores

50 40

43

30 20 10 0

25 12 5

1

2

3

4

7

6

5

6

2

7

Minutos de tardanza

•

Hay 37 personas con menos de tres minutos de tardanza ) .............................(

•

Hay ocho personas con más de cinco minutos de tardanza ) .............................(

•

El 43% de los trabajadores tuvieron cuatro minutos de tardanza .............................( )

2. Relacionar correctamente ambas columnas : Columna A

Columna B

El porcentaje de trabajadores con tres o cuatro minutos de tardanza.

A

42

El porcentaje de trabajadores que tuvieron como máximo tres minutos de tardanza.

B

3,32

C

48

El promedio de tardanza del grupo (expresada en minutos).

D

3,34

Central: 619-8100

Unidad VI

239


3. Completar los espacios en blanco: • • •

trabajadores tardan más que la tardanza promedio. trabajadores tardan menos que la tardanza promedio. El número de personas que llegan con tres minutos de tardanza representa el 20% del número de personas que llegan con minutos de tardanza.

4. La empresa decide multar a las personas que llegan tarde, según los siguientes criterios: • Por una tardanza menor a los cinco minutos se descontarán cuatro soles. • Por una tardanza de cinco a siete minutos, se descontarán seis soles. ¿Cuánto obtendrá en multas por tardanza? 5. La utilidad generada por una empresa durante el año 2011 se distribuirá de acuerdo con lo mostrado en el siguiente gráfico circular: Reparto de utilidades 2011

Gerencia 20%

Otros 30%

Responder: •

¿Qué ángulo central le corresponde al sector "Operarios"?

•

¿Qué ángulo central le corresponde a "Maquinarias"?

Operarios 10%

 

Accionistas 15%

Maquinarias 25%

Conceptos básicos Gráfico I

Un grupo de personas son encuestadas para saber la cantidad de veces por semana que almuerzan en la calle. Los resultados son mostrados en el siguiente gráfico:

1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada una de las siguientes afirmaciones. • • •

Cantidad de días por semana que almuerzan en la calle

2. Relacionar correctamente ambas columnas:

27 s a n

18 o s r

16

e p e

12

d

o r e m ú N

14 6

0

1

2

El total de personas encuestadas fue 80( ) El porcentaje de encuestados que almuerzan tres veces por semana es 20% ..............( ) El 30% del número de personas que almuerzan una vez por semana son las que almuerzan cinco veces por semana .....( )

3

4

5

5 6

Número de almuerzos en la calle

2

7

Columna A El número de personas que a lo más almuerzan cuatro veces por semana en la calle El número de personas que almuerzan más de cinco veces en la calle El número de personas que almuerzan tres ó cuatro veces en la calle

Columna B

A

13

B

30

C

7

D

87

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Gráfico II • El gráfico muestra la distribución de los gastos

del hogar. Del sector de alimentación, el 25% corresponde a carnes.

a) S/. 1200 d) 1800

Otros

b) 1500 e) 2000

c) 1000

Si en total se gastan S/. 2400, ¿cuánto más que en "Otros" se gasta en "vivienda"?

9.

40% Alimentos 10%

4

Si en un determinado mes se gastan S/. 50 más en "D" que en "A", ¿cuál es el gasto total del mes?

8.

a) S/. 180 d) 240

30%

b) 210 e) 360

c) 150

Estudios

Gráfico IV

3. ¿Qué ángulo central corresponde a carnes? a) 10º d) 20º

b) 36º e) 40º

c) 72º

4. Si el gasto en estudios fue de S/. 240, ¿cuánto se gasta en luz? a) S/. 10 d) 70

b) 200 e) 80

c) 60

El gráfico muestra la cantidad de monitores e impresoras vendidos por una empresa en los tres primeros meses del año.

Impresoras

60 50 40 30

Gráfico III

La distribución de los gastos mensuales de una familia promedio limeña viene mostrada en el siguiente gráfico:

20 10 Mes

0

Enero Otros

E

36º 25%

D

72º 15% B 54º

A: Alimentación C: Educación E: Servicios

de unidades vendidas?

B: Salud D: Vivienda

a) Enero c) Marzo e) Febrero y marzo

b) Febrero d) Enero y febrero

11. ¿Cuál es el total de monitores vendidos en los

b) 48º e) 72º

c) 54º

b) 75% e) 80%

tres meses del año? a) 60 d) 80

b) 70 e) 100

c) 90

12. Si cada impresora fue vendida a $85, ¿cuál fue

6. ¿Qué porcentaje de los gastos en "A" representan los gastos en "B"? c) 25%

7. Si en un determinado mes la familia gasta S/. 180 en "educación", ¿cuánto gastaría en "salud"? a) S/.180 b) 270 c) 90 d) 135 e) 150

Central: 619-8100

Marzo

10. ¿En qué mes o meses fue mayor la diferencia

5. ¿Qué ángulo central le corresponde a "Otros"?

a) 50% d) 125%

Febrero

A

C

a) 36º d) 60º

Monitores

Cantidad

el ingreso total, por este rubro, en el mes de febrero? a) $ 4250 d) 4200

b) 4550 e) 3850

c) 3500

13. ¿Cuál fue la variación porcentual de los

monitores vendidos en el mes de febrero respecto del mes de enero? a) 50% d) 25%

b) 40% e) 20%

c) 10%

Unidad VI

241


Gráfico VI

Gráfico V

En el siguiente gráfico se muestran los resultados de una encuesta, acerca de la preferencia de ciertos géneros musicales. (Datos ficticios)

El gráfico muestra el ingreso y egreso de una empresa en los dos últimos años:

Otros 10%

Ingreso

Miles de $ 80

Egreso

Salsa 35%



70

 

Rock

60

30%

50 40 30 20 10 0

2010

Año

2011

14. ¿Cuál fue la ganancia obtenida en el año 2010 en miles de dólares? a) 25 d) 20

!

16. ¿Cuál es la variación porcentual de los ingresos en el 2011 respecto del 2010? a) 10% d) 20%

b) 80% e) 30%

c) 15%

19. ¿Qué porcentaje de los que prefieren rock, representa a los que prefieren baladas? a) 30% d) 20%

b) 33,3% e) 35%

c) 66,6%

20. Calcular:      a) 90º d) 200º

c) 25%

b) 12,5% e) 22,5%

c) 30%

18. ¿Qué porcentaje del total prefiere música criolla?

c) 33, 3

b) 60% e) 45%

b) 60% e) 45%

a) 5% d) 10%

15. ¿Cuál es la variación porcentual en la ganancia del año 2011 con respecto al año 2010? !

a) 35% d) 65%

c) 30

b) 10 e) 40

a) 66, 6 d) 30%

Criollo Balada 5% 20% 17. ¿Qué porcentaje de los encuestados prefiere la salsa y el rock, antes que los demás géneros musicales?

b) 100º e) 190º

c) 180º

Conceptos básicos "Parrillas & Chicken" nos muestra los precios de compra y venta de su producto premium: "Fantastic Burger", durante el periodo 2008 - 2011. PRECIOS DE FANTASTIC BURGER

VENTAS DE FANTASTIC BURGER

15 ) s e l i m (

12 10

) . / S (

8

oi c e

5

4 r P

6

2008

2009

2010

6

2011

Año Precio de costo

d a d i t n a C

20 15

15

14

12

10

8

5 0 2008

2009

2010

2011

Año Precio de venta

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1. ¿En qué año se ganó más dinero por la venta de "Fantastic Burger? a) 2008 d) 2011

b) 2009 c) 2010 e) Más de una es correcta

2. ¿Cuál es la ganancia promedio anual? a) S/. 71 250 d) 68 500

b) 69 250 e) 72 500

a) 2008 d) 2011

a) 15 500 d) 13 800

c) 69 500

3. ¿En qué año el costo representó un mayor porcentaje del precio de venta? b) 2009 c) 2010 e) Más de una es correcta

4

4. Para el año 2012, el costo pronosticado es de S/. 7 y se desea fijar un precio mayor en S/.0,75 que el promedio de los precios de venta para el periodo 2008 - 2011. ¿Cuántas hamburguesas deberán venderse para ganar igual que el año 2011? b) 14 400 e) 13 500

c) 16 000

5. Si el año 2011, por cada nuevo sol menos de ganancia se puede vender 1000 unidades más, ¿cuál debió haber sido el precio de venta para ganar en dicho año S/.6600? a) S/.14 d) 11

b) 13 e) 10

c) 12 18:10:45

Conceptos básicos Gráfico I

El siguiente diagrama muestra las preferencias de 500 personas con respecto a cuatro productos: "A", "B", "C" y "D". B

4. Calcular el ingreso promedio por familia. 5. ¿Qué porcentaje del total representan los que menos ganan? 6. De acuerdo con el gráfico, se afirma que:

mº 16%

24%

C

I.

Hay 18 familias con un ingreso mensual de $ 1000. II. Hay seis familias que tienen los menores ingresos mensuales. III. Hay 10 familias que tienen los mayores ingresos mensuales IV. Ninguna de las 50 familias supera los $2500 de ingresos mensuales.

2mº

A

D

1. Calcular la diferencia entre los que prefieren los productos "A" y "B". 7

2. Calcular: E= 2m+ m 3. Calcular la suma de los que prefieren "A", "B", y "C". Gráfico II El siguiente gráfico muestra los resultados obtenidos

en una encuesta efectuada a 50 familias elegidas en un distrito limeño.

¿Cuáles son correctas? I.

Las familias que tienen ingresos menores o iguales $ 1000 son 42. II. El promedio de ingresos entre los que ganan más y los que ganan menos es $ 1250. III. El ingreso promedio por familia es $ 1200. IV. Más de una afirmación es correcta.

18 16 10 6

$500

$800 $1000 $2500

Central: 619-8100

Ingresos

Unidad VI

243


Gráfico III

Los impuestos pagados por una empresa en cinco años consecutivos son mostrados en el siguiente gráfico:

10. Si en el año 2011 se importaron 750 000 electrodomésticos, ¿cuántos fueron de origen mexicano? 11. ¿Qué ángulo central le corresponde a los electrodomésticos importados de China?

Impuestos (Miles de dólares)

Gráfico V

13 11 10

La gráfica muestra la distribución del personal (3000 personas, entre docentes y administrativos) de una universidad:

8 6

Docentes

4

Asociados

2

Año

0

2006 2007 2008 2009 2010

8. ¿Qué porcentaje del total de impuestos pagados representan los impuestos pagados en 2008? 9. ¿Cuál es el promedio anual en miles de dólares para los impuestos pagados por la empresa? Gráfico IV El gráfico muestra el porcentaje de electrodomésticos

importados en el año 2011, de acuerdo con el país de origen: Brasil 16% China 12%

Otros 17%

Adminis- Docentes 40% trativos 60%

Auxiliares

Principales

15% 10% 5%

Otros 40%

30% Ordinarios

12. ¿Cuántos docentes ordinarios hay en la universidad? 13. ¿Cuántos docentes no son asociados? 14. ¿Cuántos docentes auxiliares deben convertirse en principales para que exista la misma cantidad de auxiliares que de principales? 15. Excluyendo el rubro "Otros", ¿qué porcentaje de los docentes no ordinarios son principales?

Malasia 7%

México 31%

Corea del Sur 17%

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UNIDAD VII

U

eNcoNtRANDo el VAloR DescoNocIDo na ecuación con "Gato encerrado"

Erwin Schrödinger, físico austriaco (1887 - 1961). Este controvertido científico nacido en Viena obtuvo, junto al también físico Paul Dirac, el premio Nobel en 1933 por su ecuación y sus trabajos en mecánica cuántica. La ecuación es el legado que nos dejó el físico austriaco Erwin Schrödinger a mediados de los años 20, y describe ese tenue mundo que subyace al nuestro y que está poblado por partículas subatómicas. Es el mundo de la mecánica cuántica, en el que las leyes ordinarias de la Física carecen de sentido y, simplemente, dejan de funcionar. Con "tipos" como el electrón, es del todo imposible saber, por ejemplo, en qué punto exacto del espacio se encuentra a cada instante, o a qué velocidad se mueve. Podemos, eso sí, dar al electrón la probabilidad de estar en un lugar determinado en un instante determinado. El símbolo que aparece en la ecuación se conoce como "función onda" y describe la probabilidad de una partícula de estar en diferentes puntos. Si encerramos un gato en una caja, no podemos saber, sin abrirla, si está vivo o muerto. Podemos, decía Schrödinger, asignarle ApReNDIzAjes espeRADos ApReNDIzAjes espeRADos Comunicación matemática • Interpretar el significado de las expresiones literales mediante el lenguaje algebraico. •

Elaborar leyes de definición para las operaciones matemáticas arbitrarias.

Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la resolución de ecuaciones. • Realizar procesos y operaciones matemáticas. Razonamiento y demostración • Estimar resultados con los valores desconocidos encontrados. • Inferir operaciones arbitrarias definidas.

Planteo de ecuaciones

planteo de ecuaciones En este capítulo aprenderemos a: • •

Representar mediante el lenguaje algebraico, enunciados verbales de diversos contextos. Resolver problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una o dos incógnitas.

Historia del siglo XX Una pareja, marido y mujer, matienen el siguiente diálogo: José: Lucy: José: Lucy:

¿Te das cuenta de que mi edad solo fue múltiplo de la tuya una vez? Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos entonces, porque no volverá a suceder. Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras. Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año en que estamos.

¿En qué año nacieron él, ella y su hijo?

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1

Conceptos básicos ¿Qué es una ecuación? Es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas que tienen como mínimo una incógnita.

¿Cómo plantear una ecuación? Para plantear una ecuación es recomendable seguir los siguientes pasos: La primera, para saber de qué se trata. 1º Leer y comprender el problema dos veces

La segunda, de manera más lenta para poder analizar profundamente.

2º Identificar la(s) incógnita(s), separando los datos. 3º Relacionar los datos con la incógnita. 4º Buscar dos expresiones con la participación de la incógnita, en una de ellos o en las dos, que presenten lo mismo e igualar (ecuación formada). 5º Resolver la ecuación, emitir la respuesta. 6º Comprobar los resultados. Formas verbales

1. El cuádruple de un número 2. La tercera parte de un número 3. El cuadrado de un número 4. La raíz cúbica de un número 5. El doble del cubo de un número 6. El cubo del doble de un número 7. El quíntuple de un número aumentado en 3 8. La mitad de un número disminuido en 8 9. El triple de la suma de un número con 10 10. La mitad de la diferencia de un número con 10 11. Un número aumentado en

1

5 12. Un número aumentado en su quinta parte

13. José tiene 1 del dinero que tiene Samantha -

5 Dinero de José: Dinero de Samantha:

14. Yo tengo tres nuevos soles más de lo que tú tienes, entonces: Yo = Tú=

15. Yo tengo en dinero, tres veces lo que tú tienes, entonces: Yo = Tú= Central: 619-8100

Unidad VII

247


16. Yo tengo en dinero, tres veces más de lo que tú tienes, entonces: Yo = Tú=

17. La suma de tres números consecutivos 18. El exceso de "A" sobre "B" es "C" 19. El quíntuple del exceso de un número sobre 10 20. El número de patos excede al número de pavos en 20 Formas simbólicas

2 ( x - 5) 3

6.

8x + 3

1.

7. 5 c x

2. 8(x+3)

2

+

6m

3.

x 5 - 10

8. 10 (x - 5)3

4.

x - 10 5

9.

5.

(3x - 2) 2 8

10. 7x - 8=2 (x+6)

s o l p m

1.

E

j

E

3

5

(4x - 8)

Rommel tienen dos veces más de lo que tiene Cristian. Si Rommel le diera S/. 20 a Cristian, entonces, los dos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto de dinero tienen entre los dos? Resolución •

Del enunciado, tenemos:

Rommel tiene dos Real veces más que Cristian

•

Dinero de Rommel: 3x Dinero de Cristian: x 3x - 20=x+20 Entonces: 2x=40

Supuesto

Si Rommel le diera S/.20 a Cristian

3x - 20 x+20

x=20

•

Luego:

Dinero de Rommel: Dinero de Cristian:

Juntos tienen 3(20)=S/. 60 3 2 S/.60 + S/.20 = S/.80 S/. 20 1

Rpta.: Juntos tienen S/. 80

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2.

1

El cuádruple de un número aumentado en diez, es igual al quíntuple de la diferencia del mismo número con ocho. Calcular el cuadrado de la mitad del número. Resolución •

Sea "x" el número buscado y analizando el enunciado, tenemos: 4x+10 14243

"El cuádruple de un número

=

5 (x - 8)

es

"Quíntuple de la diferencia del mismo número con 8"

14243

aumentado en 10" •

Entonces: 4x + 10 = 5x - 40 

 Nos piden: 3.

c

x=50

50 2 = (25)2 = 625 m

Rpta.: 625

En un salón de clases, si los alumnos se sentaran de cuatro en cuatro, se quedarían de pie ocho alumnos. En cambio, si se sentaran de seis en seis, dos carpetas se quedarían vacías. Hallar el número de alumnos. Resolución •

Sea "x" el número de carpetas del salón:

Caso(1): "Si se sientan de cuatro en cuatro"

Caso(2): "Si se sientan de seis en seis"

Nº de carpetas = x Total de alumnos = 4x +8 •

Nº de carpetas = x - 2 Total de alumnos = 6(x - 2)

Igualando el total de alumnos: 4x+8=6(x - 2) 4x+8=6x - 12 10 = x Rpta.: En el salón hay 10 carpetas y 48 alumnos en total.

4.

Dados tres número consecutivos, la suma del doble del menor con el triple del mayor es 106. Hallar los números. Resolución • Sean los tres números

consecutivos •

Del enunciado:

intermedio

menor

x

mayor

123

123

;

123

x+1

;

x+2

2x

+

3

(x+2) = 106

Doble del menor

Suma

Triple Mayor

2x+3x+6=106

5x=100 x=20

Rpta.: Los tres números consecutivos son: 20; 21 y 22.

Central: 619-8100

Unidad VII

249


5. Se corta una soga en cuatro partes donde cada parte es la mitad de la anterior. ¿Cuánto mide la parte más pequeña, si la soga mide 165 metros? Resolución • Graficando:

8x

4x

2x

x

165 m • Del enunciado se tiene:

8x+4x+2x+x=165 15x=165 x=11 Rpta.: La longitud de la parte más pequeña es de 11 cm.

Síntesis teórica

Colegios

250

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10 x 5 50

1

1. Colocar "V" si es verdadero y "F" si es falso, según corresponda, en cada una de las siguientes afirmaciones. •

Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre dos expresiones matemáticas .........................................................................................................................( )

•

En el proceso de planteo, primero se plantea la ecuación y luego se identifican las incógnitas .( )

•

El cuádruple de un número aumentado en 8 es: 4 (x+8) .......................................................( )

2. Completar adecuadamente los espacios en blanco: •

El

de la suma de un número con 20: 3x+20

• •

veces la diferencia de la Pedro tiene

veces

de un número con ocho: 5` x - 8j 2 1 Pedro: 4x el dinero que tiene María: 32 María: x

3. Relacionar correctamente las columnas: Columna A José tiene el cuádruple de la edad que tiene Luis. José tiene la quinta parte del dinero que tiene Luis. José tiene en dinero los 3 de lo que 4 tiene Luis.

Columna B José: 3x A Luis: 4x José: 5x B Luis: x José: 4x C Luis: x José: x D Luis: 5x

4. El triple de un número aumentado en diez, es igual al cuádruple de su diferencia con ocho. Hallar la mitad del número aumentado en 20. 5. El quíntuple de un número aumentado en cinco es igual a 180. Hallar el cuadrado de la quinta parte del número.


1. Colocar “V” si es verdadero y “F” si es falso según corresponda: •

•

•

Si Rosa tiene en dinero cuatro veces más de lo que tiene Marco y Marco tiene S/. 10, entonces Rosa tiene S/. 40. ................( ) Si un número aumentado en su mitad es igual a 33, entonces la mitad de dicho número es 11. ................................( ) Si el cuadrado del triple de un número es 144, entonces la tercera parte de la suma de dicho número con 11 es 5. .........( )

Central: 619-8100

2. Relacionar correctamente ambas columnas: Columna A La tercera parte de un número aumentado en 6. La tercera parte de la suma de un número con 6. El quíntuplo del exceso de un número con 10.

Columna B

A

x + 6x 3

B

x+6 3

C

x+6 3

D

5(x - 10)

E

5x - 10

Unidad VII

251


3. Completar adecuadamente los espacios en blanco.

a) 15 d) 19

b) 16 e) 17

c) 12

11. Se tienen tres objetos; los dos primeros pesan de la de la 3 de un número con 8 es: ` x - 8 . " juntos 50 g; el segundo y el tercero pesan juntos j 2 70 g y el primero con el tercero pesan juntos 60 g. ¿Cuánto pesa el tercero? Resolución de problemas

"El

4. Marco tenía S/. 85 y gastó el cuádruple de lo que no gastó. ¿Cuánto gastó? a) S/.34 d) 68

b) 92 e) 86

c) 96

5. Juanito tenía 90 pelotitas y regaló ocho veces tantas pelotitas como las que no regaló. Calcular la quinta parte de las pelotitas que quedan. a) 10 d) 15

b) 2 e) 5

c) 16

6. Se reparten 540 kg de azúcar en tres mercados. En el primero dejamos 120 kilos más que en el segundo, y en el tercero, una quinta parte menos que en el segundo. ¿Cuántos kilogramos dejamos en el tercer mercado? a) 60 d) 150

b) 90 e) 270

c) 120

a) 20 g d) 25

b) 30 e) 28

c) 40

12. El numerador de una fracción excede en dos al

denominador. Si se suma 11 a ambos términos se obtiene 9/8. Calcular la suma de los términos de la fracción. a) 13 d) 12

b) 16 e) 20

c) 21

13. Un estudiante salió de vacaciones por “n” días,

tiempo durante el cual: Llovió siete veces en la mañana o en la tarde. Cuando llovía en la tarde, estaba despejada la mañana. Hubo cinco tardes despejadas. Hubo seis mañanas despejadas. Según esto, tales vacaciones duraron: a) 7 días d) 13

b) 9 e) 18

c) 12

7. Los nietos de don Federico desean regalarle un 14. A diez parejas de jóvenes le van a entregar televisor. Si cada uno aporta 20 nuevos soles, dos manzanas por pareja. En el momento de la les sobrarían 96 nuevos soles y si cada uno entrega se pierden algunas manzanas y luego aporta 18 nuevos soles, les sobrarían 4 nuevos se ordena traer tantas como la mitad de las soles. ¿Cuántos nietos tiene don Federico? que quedaban, más media manzana para ser más efectiva la entrega. ¿Cuántas manzanas se a) 44 b) 45 c) 46 perdieron? d) 47 e) 48 8. Juan tiene dos veces más de lo que tiene José. Si Juan le diera S/. 15 a José, entonces, tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre los dos? a) S/.60 d) 90

b) 70 e) 100

c) 80

9. En un banquete había ocho invitados sentados a cada mesa, luego, se trajeron cuatro mesas más con lo cual se sientan seis invitados a cada mesa. ¿Cuántos invitados había en dicho banquete? a) 95 d) 96

b) 76 e) 99

c) 27

10. Al preguntar a un alumno por su nota del examen responde: "Si cuadruplico mi nota y resto 40, tendría lo que me hace falta para obtener 20". ¿Qué nota tiene?

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

15. En una granja se tienen palomas, loros y

gallinas. Sin contar las palomas, tenemos seis aves; sin contar los loros, tenemos nueve aves; y sin contar las gallinas, tenemos siete aves. ¿Cuál es el número de palomas en dicha granja? a) 4 d) 7

b) 5 e) 3

c) 6

16. Raúl no sabe si comprar 56 tajadores o, por el

mismo precio, ocho lápices y ocho lapiceros. Si decidió comprar el mismo número de artículos de cada tipo, ¿cuántos compró en total? a) 24 d) 21

b) 18 e) 30

c) 27

Colegios

252

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1

17. En una reunión hay tantas parejas bailando

19. Elena paga por dos pollo y cinco pavos un total

como hombres parados, 30 mujeres no bailan. Si las personas que no bailan son el triple de las mujeres que bailan; y además hay diez hombres más que bailan de los que están sentados, ¿cuántos hombres bailan?

de S/. 495. Si cada pavo cuesta S/. 15 más que un pollo, ¿cuántos nuevos soles pagará Elena por un pollo y un pavo juntos?

a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

a) S/. 145 d) 164

20. Para los premios de un concurso infantil, se

que me debes y así tendré nueve veces lo que te queda”. ¿Cuánto tienen entre ambos? b) 100 e) 60

c) 146

c) 30

18. Juan le dice a Fidel: “Préstame 30 nuevos soles para tener ambos la misma cantidad”. Fidel le responde: “Mejor págame los 10 nuevos soles

a) S/.80 d) 140

b) 135 e) 153

necesitan comprar juguetes de dos precios distintos (S/.7 y S/.5), pero debe comprarse la mayor cantidad posible de juguetes. ¿Cuántos niños serán premiados, si se gastó exactamente S/. 161 y cada niño recibirá un juguete? a) 30 d) 25

c)120

b) 31 e) 35

c) 32

Conceptos básicos ¿ Cuánto vale la docena 1. Tres docenas de limones cuestan tantos soles como limones dan por S/. 1600. ¿Cuánto de limones? a) S/. 82

b) 85

c) 65

d) 80

e) 75

2. Se tienen dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad. El primero se consume en "a" horas y el segundo, en "b" horas (a>b). Si se encienden simultáneamente, ¿dentro de cuánto tiempo la altura del más lento será "n" veces la altura del más rápido? a) ab(n - 1) an - b

b) ab(n - 1) n-b

c) b (n - 1) n-b

an - b d) ab(n - 1)

e) b (n - 1) an - b

3. Mis amigos Juan y Pablo, con nuestros hijos Julio, José y Luis, lanzamos dardos sobre una diana con un número en cada casilla. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo y cada padre anotó 45 puntos más que su hijo. Si yo disparé siete tiros más que Luis, y Julio, 15 más que Pablo, ¿cómo se llama mi hijo y quién es el hijo de Juan? a) Luis - José

b) José - Julio

c) Julio - José

d) José - Luis

e) Luis - Juan

4. Un padre reparte su herencia entre sus hijos de la siguiente manera: al primero le da S/. "A" más la enésima parte del resto, al segundo le da S/. "2A" más la enésima parte del resto, al tercero S/. "3A" y la enésima parte del resto, y así, sucesivamente. Al final se observa que cada hijo recibió la misma cantidad. ¿De cuánto era la herencia? a) A(n - 1)2

b) An2

c) A(n+1)2

d) A(n - 2)2

e) A(n+2)2

5. Se ha comprado una bolsa de caramelos que contiene cierto número de caramelos de fresa y de limón. Si se sabe que tres veces más el número de caramelos de fresa, añadido a cuatro veces más el número de caramelos de limón es igual a 285, hallar el número de caramelos de fresa. Considerar que la diferencia entre la cantidad de caramelos de cada tipo es la menor posible. a) 40

Central: 619-8100

b) 45

c) 30

d) 50

e) 35

Unidad VII

253

Planteo de ecuaciones 18:10:45

Conceptos básicos 1. En tres cestos hay 61 naranjas. El más grande tiene 30 más que el pequeño, y el mediano, 29 menos que el grande. ¿Cuántas naranjas hay en el cesto mediano? 2. ¿Cuál es el número cuyas 3/5 partes exceden en 260 a su sexta parte? 3. Sabemos que en una tienda donde se venden conejos, palomas y gatos, son todos conejos menos 6, son todos gatos menos 3 y son todos palomas menos 7. Si José compró todas las palomas y conejos, ¿cuántos animales compró? 4. En un grupo de conejos y gallinas, el número de patas excede en 14 al doble del número de cabezas. ¿Cuántos conejos hay? 5. Ayer gané S/.20 más que hoy. Si lo que gané hoy son los 5/6 de lo que gané ayer, ¿cuánto gané hoy? 6. Lo que cobra y gasta un profesor suman S/.600 y se encuentran en relación de 3 a 2, respectivamente. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 5 a 3? 7. La cantidad de lápices que tengo es igual al triple del número de lapiceros que tengo, disminuido en 6. Si el exceso del número de lápices sobre el número de lapiceros es 24, calcular el número de lapiceros. 8. En un corral donde solo hay conejos y gallinas, se cuentan 120 patas y 48 cabezas. ¿Cuántos conejos son?

9. El número 108 puede descomponerse en cuatro sumandos, de manera que sumando 5 al primero, restando 5 al segundo, multiplicando por 5 al tercero y dividiendo entre 5 al cuarto, se obtiene el mismo resultado. ¿Cuál es el promedio del mayor y el menor? 10. Por una casa se pagan 73 950 nuevos soles más la mitad de su precio. ¿Cuál es el precio total de la casa? 11. Dos individuos pesan juntos 179 kg y las ¾ partes del peso de uno de ellos excede al del otro en 3 kg. ¿Cuánto pesa el más pesado? p esado? i nicialmente tantos hombres 12. En una fiesta había inicialmente como tres veces el número de mujeres. Después de que se retiran ocho parejas, el número de hombres que queda es igual a cinco veces el de mujeres. ¿Cuántos hombres había al inicio?

13. Se desea comprar libros de Aritmética, Álgebra y Razonamiento Matemático, siendo los precios: S/.12; S/.18 y S/.30, respectivamente. Si en total se gastaron S/.336 y se compraron 15 libros, ¿cuántos libros son de Razonamiento Matemático, si todas son cantidades impares? 14. La suma de tres números es 175. Si el mayor excede al intermedio en 37 y al menor en 49, indicar el mayor de ellos. 15. ¿Cuántos alumnos asisten a la clase de Razonamiento Matemático, sabiendo que el número de los que asisten es inferior a 40 y que disminuido dicho número en su mitad más 8, resulta cuatro veces su cuarta parte?

Colegios

254

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2

edades .


Identificar los tiempos (pasado, presente y futuro) en los problemas sobre edades. Elaborar un cuadro de doble entrada para organizar las las edades de dos o más personas. Resolver problemas que impliquen el cálculo de la edad de una persona.

Adivina la edad Puedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el número del mes de nacimiento (enero=1; febrero=2...) y después le pides que lo multiplique mentalmente por 2 y le sume 5 al resultado. Después debes multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstale 250. El número obtenido tendrá 3 ó 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir por qué es así?

¿Qué edad tengo?

Tengo una forma especial para calcular tu edad

9 4 5 0 9 7 3 _ o t o h p / m o c f . . r 3 2 1 . . s e / / : p t t h

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Unidad VII

255

Edades

Conceptos básicos Conceptos previos

En este capítulo se debe tener en cuenta que en los problemas intervienen: sujetos, tiempos y edades. Sujetos:

Son los protagonistas, que generalmente son personas y en algunos casos, animales, objetos, etc.

Tiempos:

Es uno de los puntos más importantes, pues si se interpreta inadecuadamente el tiempo mencionado, se complicará la resolución del problema. Expresiones comunes usadas en los problemas

PASADO

Tenía, tenías, teníamos, cuando él tenía, hace tres años, etc.

PRESENTE

Tengo, tienes, tenemos, mi edad es, tú tienes, la suma de nuestras edades es, etc.

FUTURO

Tendré, tengas, dentro de cuatro años, él tendrá, tendremos, etc. Es un lapso de tiempo perteneciente perteneciente a la existencia de un sujeto; se da generalmente generalmente en años, pero puede darse en días o meses (La diferencia de las edades entre dos sujetos permanece permanece constante). constante).

Edad:

Situaciones especiales 

Cuando interviene la edad edad de un sujeto s o l p m

1. La edad de Marcos dentro de siete años será el triple de la edad que tenía hace nueve años. ¿Cuántos cumplirá dentro de diez años?

E

j

Resolución

E

•

Del enunciado: Pasado (hace 9 años) x-9

•

Luego:

Presente

x

Futuro (dentro de 7 años) x+7

x+7 = 3(x - 9) x+7 = 3x - 27 34 = 2x 17 = x

 Luego, dentro de 10 años tendrá: 17+10=27 años

de la edad que tendrá dentro de cuatro años. 2. Hace ocho años, Erika tenía las 2 partes 5 ¿Cuál era su edad hace tres años? Resolución •

Del enunciado: Pasado (hace 8 años) x-8

•

Luego

Presente x

Futuro (dentro de 4 años) x+4

x - 8 = 2 (x+4) 5

5x - 40 = 2x+8 3x = 48 x =16

 Luego, hace tres años tenía: 16 - 3 = 13 años

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

2

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos A) Con tiempo especificado o l p m E

j

E

Las edades de Jessica y Rommel están en la relación de 3 a 2, respectivamente. Dentro de 14 años, la edad de Rommel será el doble de la edad que tenía Jessica, hace siete años. ¿Cuál es la edad de d e Jessica? Resolución

-7

Identificamos los tiempos: • " Están" : Presente • "Dentro de •

14 años" : Futuro Hace siete años : Pasado Jessica

Rommel

+14

Pasado: Futuro: hace siete Presente dentro de años 14 años

3x - 7 2x - 7

3x 2x

3x+14

Con la primera relación se completa el cuadro

2x+14

Las edades de Jessica y Rommel "están" en la relación de tres a dos, respectivamente (primera relación) •

Luego: "Dentro de 14 años, la edad de Rommel será el doble de la edad que tenía Jessica hace siete años" 2x+14=2(3x - 7) 2x+14=6x - 14 28 = 4x

 Jessica tiene: 3(7)=21 años

7=x

Con tiempo no especificado

B) s o l p m E

j

E

1. La edad de Alberto es el triple de la edad que tenía Rodolfo cuando Alberto tenía la edad que tiene Rodolfo. ¿Cuántos años tenía Alberto cuando nació Rodolfo, si la suma de sus edades actuales es 60 años? Resolución

"La edad de Alberto es el triple de d e la edad que tenía Rodolfo" Pasado

Alberto Rodolfo •

..."cuando Alberto tenía la edad que tiene Rodolfo"

Presente

Alberto Rodolfo

3x x

Dato: 3x+y=60 .......... (1)

Propiedad del aspa: y+y=x+3x ........ (2)

3 2 1



•

Entonces: Alberto tiene: 3(12) = 36 años Rodolfo tiene: 24 años

•

Luego: Alberto tenía 12 años cuando nació Rodolfo

Central: 619-8100

Pasado

Presente

y x

3x y

x=12 ; y= 24

Unidad VII

257

Edades

2. Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 99 años. ¿Qué edad tengo? Resolución Pasado

conveniente, asignamos: • De manera conveniente,

Presente Futuro

Yo tengo : 4x Tú tenías : 2x

4x

Yo

(Tengo)

2x

Tú

(Tenías)

... cuando yo tenía la edad que tú tienes" Pasado

Yo

(Tenía) 2x

Tú

Presente

•

Se observa:

Futuro

Pasado

4x

Yo: Tú:

(Tienes)

Yo

(Tenía) 2x

Tú

Presente

2x

6x

 •

Futuro

=3x

Se observa: Futuro

Presente

4x (Tienes)

6x

4x

... " y cuando tú tengas la edad que yo tengo" Pasado

Presente

Yo:

4x

Tú:

3x

Luego: 5x+4x=99  x=11

8x 4x



8x

=5x

 Yo tengo: 4(11) = 44 años 

Cuando intervienen la edad, año de nacimiento (A.N) y el año actual (A.A) de una persona

Se cumple: •

A.A. = A.N.+Edad

•

A.A. = A.N.+Edad+1

s o l p m E

"Si la persona ya cumplió años" "Si la persona todavía no cumple años"

Carlos nació en el año 19ab y en 1993 tuvo (a+b) años. ¿En qué año nació Carlos? Resolución

j

E

•

Del enunciado: A.A = 1993 ; A.N = 19ab , Edad= a+b

•

Sabemos que: A.A

=

1993

=

ab 192 1 3

+

a+b

o l p m

1993

=

1900+ab

+

a+b

j

93

=

10a +

93

=

A.N

+

Edad

E E

b+ a + b

11a + 2b 7

8

 Carlos nació en 1978

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2

Síntesis teórica

intervienen

cuando

Central: 619-8100

Unidad VII

259

Edades 10 5 50

Conceptos básicos 1. Colocar (V) si es verdadero y (F) si es falso, según corresponda: •

Si Ernesto tiene 30, años entonces, hace 20 años tenía la quinta parte de los años que tendrá dentro de 20 años ............................................................................................................... ( )

•

Andrea tiene doce años y Valeria, ocho años. Cuando Andrea tenga el triple de su edad, la diferencia de sus edades será de doce años .......................................................................... ( )

•

Hace cinco años, Pascual tenía la mitad de los años que tendrá dentro de siete años. Entonces, dentro de diez años tendrá 27 ............................................................................................. ( )

2. Completar adecuadamente los espacios en blanco: "La edad de Erika dentro de nueve años será el doble de la edad que tenía hace diez años". Resolución

- 10 Pasado (Hace diez años)

Presente

Futuro

x Planteo:

3. Después de resolver el siguiente problema, relacionar correctamente las columnas "A" y "B". "Hace diez años, la edad de Lalo era el cuádruple de la edad de Pedro, pero dentro de diez años la edad de Lalo será igual a los 8 de la edad de Pedro". 5 Columna A La edad actual de Lalo

Columna B 23 A

La edad de Pedro dentro de 8 años

B

La diferencia de sus edades dentro de 20 años

C

20 15

D

30

La edad que tenía Lalo cuando Pedro tenía cinco años

E

32

4. Edú dice:"Hace 10 años, tenía la tercera parte de los años que tendré dentro de ocho años".¿Cuál es su edad actual? 5. Mathías tenía en 1928 tantos años como lo indicaban las dos últimas cifras de su año de nacimiento. ¿Cuál fue su edad en el año 2000?

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Comunicación matemática 1.

2.

Sofía dice: “Si al doble de la edad que tendré dentro de cuatro años le restamos el doble de la edad que tenía hace cuatro años, resultará la edad que tuve hace dos años”. Responder "V" si es verdadero o "F" si es falso según corresponda, en cada una de las siguientes proposiciones. 6. • Sofía tiene 20 años .......................... ( ) • Dentro de seis años, Sofía tendrá el triple de la edad que tuvo hace 10 años ..... ( ) • Si José nació cinco años antes que Sofía, entonces, José tiene 13 años .............. ( )

Marilyn dice: “Dentro de 16 años mi edad será cuatro veces la edad que tenía hace 14 años”.

¿Qué edad tiene? a) 26 años d) 29

b) 20 e) 24

c) 18

Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de ocho años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace ocho años? a) 22 d) 20

b) 9 e) 10

c) 12

En el año 2010, la edad de un padre era nueve 7. Dentro de cuatro años mi edad será a tu edad veces la edad de su hijo y en el 2015, la relación como 3 es a 2. Pero hace seis años mi edad era de sus edades será como 5 es a 1. a tu edad como 2 es a 1. ¿Cuántos años tendré Completar adecuadamente los espacios en dentro de 10 años? blanco. a) 36 b) 26 c) 32 • El padre tendrá en el año , d) 34 e) 38 51 años. • •

3.

5.

2

El hijo tendrá en el año 13 años. En el año nació el hijo.

,

José le dice a Mayra: “Yo tengo el doble de la

8.

En el año 2010, la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo y en el 2015, la relación de sus edades será como 5 es a 1. La edad del padre en el año 2042 será:

edad que tú tenías más seis años, cuando yo a) 88 años b) 76 c) 77 tenía la edad que tú tienes. Además la suma d) 79 e) 74 de nuestras edades actuales es 58”. Relacionar correctamente las columnas “A” y “B”. 9. Un coche tiene ahora la mitad de años que tenía Martín, cuando el coche era nuevo. Hoy, Martín Columna A Columna B tiene 12 años. ¿Cuántos años tiene el coche? La edad actual de José. La edad actual de Mayra. La edad que tenía José cuando Mayra tenía 20 años. El doble del cuadrado de la edad que tenía Mayra hace 20 años.

A

32

B

36

C

24

b) 6 e) 2

c) 3

10. Luis le dice a Manuel: “Yo tengo el triple de la

edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes”. ¿Cuántos años tiene Luis, si dentro

D

34

de seis años sus edades sumarán 52 años?

E

30

a) 16 d) 28

b) 20 e) 32

c) 24

11. Antonio le dice a María: “Yo tengo el doble


a) 4 d) 5

Mi edad hace ocho años fue la tercera parte de la edad que tendré dentro de 16 años. ¿Cuántos años tengo?

de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 8”. Hallar la edad de María.

a) 20 d) 30

a) 18 años d) 28

Central: 619-8100

b) 24 e) 12

c) 26

b) 21 e) 32

c) 24

Unidad VII

261

Edades

12. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías

17. Cinco alumnas se reúnen a las 9:00 horas el 25

cuando yo tenía la edad que tuviste cuando yo tuve la novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras edades suman 76 años, ¿cuántos años tengo?

de abril de 2012. Suman todas sus edades en esa época más todos sus años de nacimiento, obteniendo 10 057. ¿Podría usted decir a cuántas de ellas les faltará cumplir años en ese entonces?

a) 27 d) 30

b) 28 e) 31

c) 36

13. Un alumno nació en el año 19ab y en 1980

tuvo (a+b) años. ¿En qué año tendrá (2a+b) años? a) 1984 d) 1987

b) 1985 e) 1988

c) 1986

14. Ana María tuvo en el año 1988 tantos años

como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de la edad que tenía en el año 1980? a) 6 d) 7

b) 4 e) 8

c) 5

15. Cuando yo tenía la edad que tú tenías cuando

tenía 20 años, tú tenías 10 años. ¿Cuántos años tenía cuando tú tenías 12 años? a) 16 años d) 17

b) 18 e) 15

c) 19

16. Cuando tú tengas la edad que tengo, tendrás lo

que él tenía, que es el triple de lo que tienes, y yo tenía los 3/5 de lo que él tiene, que es 22 años menos de los que tendré cuando tengas lo que ya te dije. ¿Qué edad tenía yo cuando naciste? a) 16 años d) 15

b) 17 e) 14

c) 18

a) b) c) d) e)

3

Datos insuficientes A ninguna Todas ya cumplieron 2

18. Las edades de tres hermanos hace dos años

estaban en la misma relación que 3; 4 y 5. Si dentro de dos años serán como 5; 6 y 7, ¿qué edad tiene el menor? a) 8 años

d) 6

b) 12 e) 18

c) 14

19. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías

cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas los 4/3 de la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 72 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 12 años? a) 36 d) 30

b) 24 e) 32

c) 28

20. Conversando Rosa y María, esta le decía a aquella: “Dentro de 10 años la suma de nuestras edades será 57 años”, a lo que Rosa responde: “Así es, aunque hace tres años, la diferencia de nuestras edades era de tres años”.

¿Cuántos años tiene actualmente Rosa, si ella es la mayor? a) 12 d) 20

b) 15 e) 24

c) 17

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2

1. Karina le dice a Manuel: "Dentro de algunos años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4". A lo que Manuel responde: "Hace la misma cantidad de años que tú mencionas, nuestras edades estaban en la relación de 8 es a 5". Si la edad de Karina no pasa de 20 años, ¿qué edad tendrá ella dentro de seis años? a) 22 años

b) 20

c) 23

d) 21

e) 19

2. Alex le dice a Luis: "Mi edad es 3/4 de la tuya; además, yo tengo la edad que tú tenías cuando mi padre tenía la edad de tu padre. Cuando tu padre tenga la edad de mi padre, mi edad será la mitad de la edad que tu padre tenía hace 10 años y tu edad será la mitad de la que mi padre tenía hace cinco años".Hallar la suma de las edades de Alex y Luis. a) 30 años

b) 35

c) 40

d) 25

e) 45

3. Mi tatarabuelo, que nació en la primera mitad del siglo XIX, tuvo "x" años en el año "x 2"; y 126 años después del año en que él nació, yo tenía tantos años como lo expresan las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi profesor lo que sucedía con mi edad, él dijo que con su edad ocurría lo mismo. ¿Qué edad tenía mi profesor cuando yo nací? a) 49 años

b) 51

c) 50

d) 48

e) 52

4. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo; yo lo que Carlos tiene y él, la tercera parte de lo que tú tendrás, cuando entre los tres tengamos "20n 2" años y yo tenga lo que tú tienes y Carlos, lo que yo tengo. Tú eres mayor que yo, y si tuviese lo que tuve, tengo y tendré, tendría "17n2" años. ¿Qué edad tengo? a) 70 años

b) 85

c) 24

d) 75

e) 80

5. Tomemos la edad que tendré dentro de algunos años, tantas veces como años tendré, y restémosle los años que tuve hace la misma cantidad de años, tantas veces como años tuve y obtendremos una cantidad 23 veces mayor que mi edad actual. De aquellos años que tuve, ¿cuántos años más son los que tengo? a) 3

Central: 619-8100

b) 6

c) 5

d) 4

e) 7

Unidad VII

263

Edades 18:10:45

Conceptos básicos 1. ¿Qué edad cumplió Jenny en 1998, si en el año 1995 su edad era igual a la suma de las cifras del año en que nació?

9. La suma de las edades de “A” y “B” es 48 años al acercarse a “C”, “A” le dice: “ Cuando tú naciste, yo tenía cuatro años, pero cuando “B” nació tenías dos años”. ¿Cuál es la edad de “C”?

2. Hace seis años tenía la mitad de los años que tendré dentro de cuatro años. ¿Cuántos años tendré dentro de 10 años? 10. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si actualmente 3. Si al año en que cumplí 20 años, le restamos el el hijo ha cumplido 25 años, ¿qué edad tenía año en que cumplí 12 años, obtendríamos la el hijo cuando las edades de los tres sumaban cuarta parte de mi edad actual. Si mi edad es 95 años? como 8 y la de Andrea es como 7, ¿qué edad tendrá Andrea dentro de siete años? 11. Un padre a quien se le preguntó por la edad de su hijo, responde: “Mi edad es tres veces 4. Hace 12 años, las edades de Antonio y Milagros la suya, pero hace 10 años era el quíntuple”. estaban en la relación de 4 a 1, pero dentro de ¿Cuál es la edad del hijo? 16 años, dicha relación será de 5 a 6. ¿Cuál es la edad de Antonio? 12. Rebeca tuvo su primer hijo a los 20 años, un segundo hijo a los 25, y el tercero, 7 años 5. Hallar la suma de las edades de un padre y su después. Si en 1993, la suma de las edades de hijo, sabiendo que hace cinco años, la edad la madre y sus vástagos era 83, ¿en qué año del padre fue cuatro veces la del hijo; y que nació la madre? dentro de cinco años, será solamente el doble de la de su hijo. 13. La suma de las edades de Cristina y Alonso es 68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le 6. Sonia nació en 19ba y en 19ab cumplió (a+b) dice: “Cuando tú naciste yo tenía seis años, años. ¿En qué año cumplió ab años? pero cuando Alonso nació tenías cuatro años”. ¿Cuál es la edad de Lorena? 7. La edad actual de Alejandro y la de Eliane son entre sí como 9 es a 8. Cuando Eliane tenga la edad que tiene ahora Alejandro, este tendrá 14. Yo tengo la edad que tú tendrás cuando yo el doble de la edad que tenía Eliane hace 18 tenga el quíntuple de la edad que tú tienes. Si las diferencias de nuestras edades actuales es años. ¿Cuántos años tenía Alejandro cuando 22 años, ¿qué edad tengo? nació Eliane? 8. “Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de seis años tu edad sumada a la mía será 18 años menos que la edad de él, ¿qué edad tengo?"

15. José le dice a Walter: “Hace 21 años mi edad era la mitad de la edad que tendrás dentro de cuatro años, cuando yo tenga el doble de la edad que tú tienes”. ¿Qué edad tiene José?

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3

móviles .


Establecer relaciones entre el tiempo que demora un móvil y la distancia que recorrió. Aplicar el tiempo de encuentro y el de alcance entre dos móviles que parten simultáneamente.

El X-49A, el avión más rápido del mundo (nave)

E

l X-49A, construido por la NASA, batió todos los récords de velocidad al alcanzar una velocidad de algo más de 8000 km/h a una altitud de 100 000 pies. El X-49A no es un avión piloteado, sino que pertenece a la generación de aviones no tripulados y tiene, además, la característica de no ser propulsado por combustible convencional, sino por aire combinado con hidrógeno.

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Unidad VII

265

Móviles

Conceptos básicos En este capítulo veremos problemas enmarcados dentro del movimiento rectilíneo uniforme (MRU), en el que la acelaración es igual a cero y la velocidad, constante. •

Reglas del MRU

• •

v

1. Para convertir km/h a m/s se multiplica por

Donde: d =distancia v = velocidad t = tiempo

d t

Factor de conversión 5

18

36 km <>36× 5 m/s h 18 36 km/h<>10 m/s

2. Para convertir m/s a km/h se multiplica por 18 d=v.t

s o l p m

v = dt

t = dv

20 m/s<> 20× 18

5

5

m/s=20 m/s

1. Mariella va de su casa al colegio a 25 km/h y cuando regresa lo hace a 20 km/h, demorándose en total nueve horas. ¿Qué distancia hay de su casa al colegio?

E

Resolución

j

E

25 km/h

20 km/h

Ida

o l p m

Vuelta

d

tiempo

c

de ida

d 25

m



c

tiempo

m

de vuelta d 20



E

=

=

d

=

j

tiempo

c

total

E

m

9

100 km

2. Isabel y David, separados por 1500 metros, corren al encuentro uno del otro con velocidades de 20 m/s y 30 m/s, respectivamente. ¿Después de qué tiempo se encontrarán, si parten al mismo instante? ¿Qué distancia recorrió Isabel al momento del encuentro? Resolución 20 m/s

Isabel

30 m/s

David

1500 m

Tiempo de encuentro (Te)

d

= V 1+ V 2

 Te= 1500 =30 s 20 + 30  Isabel recorrió: (20 m/s)(30 s) = 600 m

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3

Otra solución

Si los tiempos son iguales, las distancias recorridas son directamente proporcionales a sus velocidades, por esa razón, la distancia de Isabel es como dos y la distancia de David es como tres. Así tenemos:

2k + 3k = 1500 k = 300 Isabel recorrió: 2(300) = 600 m 600 = 30 s Tiempo que empleó Isabel para el encuentro: 20

3. Luis y Gina, separados 480 m, corren en el mismo sentido con velocidades de 50 m/s y 10 m/s, respectivamente. ¿Después de cuánto tiempo de haber partido (ambos al mismo tiempo), Luis alcanzará a Gina? Resolución Luis

50 m/s

10 m/s

Gina

480 m Otra solución

Tiempo de alcance (Ta)

=

d V 1 - V 2

V1>V2

T = 480 =12 s a

50 - 10

Cada segundo que pasa, Luis se acerca: 50 - 10 = 40 m, decimos entonces: 1s x

se acerca se acercará

40 m 480 m

 x = 12 s 4. Liliana pega un grito entre dos montañas y lo escucha el eco a los 2 s y 4 s respectivamente. ¿Qué distancia hay entre las dos montañas? Resolución

144424443144424443

d1=340×1=340 m

d2=340×2=680 m

 d=d1+d2

d

 Distancia entre las montañas=340+680=1020 m

Central: 619-8100

Unidad VII

267

Móviles

5. Un tren de 120 m de longitud demora 20 s en pasar completamente un puente de 480 m de largo. Hallar la velocidad del tren. Resolución

V

V

120

480 Para que un móvil pase completamente un puente, un túnel, una estación, etc., la distancia que debe recorrer es su longitud más la longitud del puente, túnel, estación, etc. Así tenemos que la distancia que debe recorrer el tren será: 120+480=600 m, demorándose 20 s. Por lo tanto, la velocidad que lleva el tren será: = 600 = 30 m/s 20

Síntesis teórica

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10 x 5 50

3

1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda, en cada uno de los enunciados: •

180 km/h = 50 m/s ..............................................................................................................( )

•

20 m/s = 72 km/h ................................................................................................................( )

•

La distancia que recorre un tren de 100 m de longitud para pasar completamente por un puente de 240 m, es 340 m ................................................................................................ ( )

2. Completar los espacios en blanco; luego de resolver el siguiente problema: "Angie y Carlos están separados 600 m, corren en el mismo sentido con velocidades de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. Después de un cierto tiempo ambos parten simultáneamente y Angie alcanza a Carlos". • • •

Angie alcanza a Carlos después de segundos. Angie recorre metros hasta alcanzar a Carlos. Carlos recorre metros hasta que es alcanzado por Angie.

3. Dos móviles "A" y "B" parten de un mismo punto en direcciones opuestas, a velocidades de 50 m/s y 36 km/h, respectivamente (ambos parten al mismo tiempo). Según el problema, relacionar correctamente las columnas "A" y "B". Columna A Después de cuánto tiempo estarán separados 600 m Después de cuánto tiempo estarán separados 900 m Después de cuánto tiempo el más lento ha recorrido 220 m

Columna B

A

20 s

B

15 s

C

22 s

D

10 s

4. Un tren demora 20 segundos en pasar por un túnel de 120 m. Si tiene una velocidad de 240 m/s, hallar la longitud del tren. 5. Dos camiones están separados 640 km, y van en sentidos opuestos con rapidez constante. Si dos horas después están separados 160 km, ¿cuánto tiempo después se cruzarán?

Conceptos básicos Comunicación matemática 1.

Violeta debe realizar un viaje de 820 km en siete horas. Si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h y el resto en auto a razón de 55 km/h, colocar "V" si es verdadero o "F" si es falso, según corresponda, en cada una de las siguientes proposiciones. • • •

El viaje en auto duró tres horas ......... ( ) El viaje en auto duró cuatro horas ...... ( ) La diferencia de las distancias recorridas en avión y auto es de 380 km ......... ( )

Central: 619-8100

2.

La rapidez de un yate en aguas tranquilas es de 20 km/h. Sabiendo que cuando avanza contra la corriente recorre 4,5 km en el mismo tiempo que recorre a favor de ella 5,5 km. Completar adecuadamente los espacios en blanco. •

La velocidad de la corriente es de............. km/h.

•

Si se apagara el motor del yate y se dejara llevar por la corriente, en 5 horas se desplazaría km.

•

El yate recorre a favor de la corriente 110 km en horas.

Unidad VII

269

Móviles

3.

Después de resolver el siguiente problema, empieza a perder gasolina a razón de medio relacionar correctamente las columnas "A" y "B". galón cada hora. ¿A qué distancia de Lima se Un ciclista va a 40 km/h y llega a su destino a encontrará cuando se acabe la gasolina, si el las 13:00 horas. Si va a 60 km/h llega a las 11 combustible rinde 40 km por galón? horas. a) 672 km b) 512 c) 80 Columna B Columna A d) 60 e) 48 Hora en que sale el A 6:00 h ciclista del punto de 9. Un piloto de auto que viaja a 72 km/h toca B 7:00 h partida el claxon y escucha su eco luego de cinco C 19:00 h segundos. Si viaja en dirección de una pared, ¿a Hora en que llegaría el cuántos metros de la pared escuchó el eco? ciclista, si va a 30 km/h D 20:00 h Hora en que llegaría el a) 600 m b) 700 c) 750 E 15:00 h ciclista,si va a 20 km/h d) 900 e) 800

10. Trilcito tarda cinco minutos en nadar entre dos islas de un río, ayudado por la corriente. Al regresar, nadando contra la corriente y tarda 15 Un tren demora tres minutos para pasar delante minutos. Hallar el tiempo que emplearía Trilcito de un semáforo y ochos minutos para atravesar si la rapidez de la corriente fuera cero. completamente un túnel de 250 metros de longitud. Calcular la velocidad del tren. a) 7,5 min b) 8 c) 9 a) 30 m/min b) 40 c) 50 d) 10 e) 12 d) 45 e) 35 11. Dos ciudades "A" y "B" están unidos por un río Dos trenes de 100 metros y 200 metros navegable y distan 480 km. Cuando un bote va de longitud se acercan mutuamente con de "A" hacia "B", a favor de la corriente, emplea velocidades constantes de 70 m/s y 80 m/s, 24 horas en llegar; pero de retorno, lo hace en respectivamente. Calcular el tiempo que tardan 40 horas. Cierto día, cuando iba de "A" a "B", se en cruzarse totalmente. malogró el motor del bote, dejándose llevar por la corriente y llegando así con ocho horas de a) 0,2 s b) 0,5 c) 1 retraso. Hallar a qué distancia de "A" se apagó d) 2 e) 2,5 el motor. En una carrera un ciclista corrió a 20 m/s y llegó a) 450 km b) 430 c) 440 a la meta cuatro segundos antes que el otro. Si d) 550 e) 410 los tiempos empleados por ambos suman 28 segundos, ¿cuál fue la velocidad de este último? 12. Dos ciudades, Lima y Casma distan 350 km. De Lima parte un triciclo que va a 10 km/h y a) 14 m/s b) 16 c) 12 de Casma partió tres horas antes en la misma d) 15 e) 17 dirección y sentido una carreta que va a 5 km/h. ¿A qué distancia de Casma se encontrarán? Dos móviles se encuentran separa dos 200 km y se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades a) 750 km b) 365 c) 380 de 60 km/h y 40 km/h. Indicar después de que d) 350 e) 400 tiempo estarán separados 100 km por segunda vez. 13. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m de circunferencia y en el mismo sentido. El primero, a) 1 hora b) 2 c) 3 que tiene 20 m de adelanto, corre a 5 m/s y el 1 1 d) 2 e) 3 segundo, a 3 m/s. Calcular la suma de las distancias 2 4 recorridas hasta su encuentro. Un auto sale de Lima rumbo a Trujillo, distante a) 280 m b) 260 c) 300 720 km, llevando en su tanque, 20 galones de d) 240 e) 270 gasolina viajando con una rapidez de 80 km/h. Después de dos horas de viaje, el tanque


5.

6.

7.

8.

Colegios

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14. Dos móviles parten de dos puntos opuestos,

a) 11 h 54 min

“M” y “N”, y van al encuentro. Después de

c) 11 h 53 min e) 11 h 55 min

producido el encuentro, el primero demora nueve horas en llegar a “N” y el segundo, 16 horas en llegar a “M”. Hallar la relación de la

rapidez de ambos. a) 5

4 d) 8 7

3 e) 3 2

2000 m. Ambos parten simultáneamente en sentidos opuestos con velocidades de 5 m/s y 7 m/s uno al encuentro del otro. ¿Cuánto tiempo demorarán en estar separados 800 m por primera vez?

6

15. Dos nadadores parten al mismo tiempo de extremos opuestos de una piscina de 90 metros de longitud, con rapidez de 2 y 3 m/s, respectivamente. Si cruzan la piscina varias veces durante 12 minutos, y suponiendo que no pierden tiempo al voltear, el número de veces que se han encontrado es: a) 19 d) 17

b) 20 e) 18

b) 19 e) 20

a) 20 s d) 80

b) 40 e) 100

c) 60

19. Un tren de pasajeros lleva una rapidez de 90

km/h y tarda el doble del tiempo en pasar a un tren de carga cuando lo alcanza que cuando se cruza con él. ¿Cuál es la rapidez del tren de carga, si ambos trenes tienen la misma longitud?

c) 16

16. Dos autos pasan por un mismo punto y se mueven con una rapidez de 20 m/s y 30 m/s respectivamente. Si a 50 m hay un árbol, ¿en cuánto tiempo ambos equidistarán del árbol? a) 18 s d) 25

3

18. Dosmóviles “A” y “B” se encuentran separados

c) 7

b) 4

b) 12 h 54 min d) 11 h 52 min

a) 54 d) 60

b) 50 e) 70

c) 30

20. Dos ciclistas salen al mismo tiempo de Lima

c) 21

17. Pedro y Juan inicialmente separados por una distancia de 1030 m, corren al encuentro a razón de 65 m/min y 85 m/min, respectivamente. Si Pedro sale dos minutos antes que Juan y el encuentro se produjo justo al mediodía, ¿a qué hora se puso a correr Juan?

a Chosica, que distan entre sí 90 Km. El primero, que recorre 1 km más por hora que el segundo, llega a Chosica una hora antes que el otro. ¿Qué rapidez lleva cada uno? a) b) c) d) e)

9 km/h y 10 km/h 10 km/h y 11 km/h 8 km/h y 9 km/h 7 km/h y 8 km/h 18 km/h y 20 km/h

Conceptos básicos 1. Los carros de Lima al Callao salen cada 6 min. Si una persona toma a las 8:00 am un carro en el paradero inicial, ¿a qué hora llegará al paradero final de la ruta, si luego de 3 min, se baja y espera el carro siguiente, donde viaja también 3 min, y así, sucesivamente, tomando en total siete carros? a) 8:57 am

b) 8:51 am

c) 8:39 am

d) 8:54 am

e) 9:00 am

2. Dos lanchas van hacia el norte con rapidez constante de 30 m/s y 20 m/s, respectivamente. Si 2 s después de pasar la primera lancha frente a una boya, pasa la segunda lancha y, luego de 2 s más, la primera cambia de dirección hacia el oeste y la segunda hacia el este, determinar luego de cuántos segundos desde que cambian de dirección se encontrarán separadas 100 m. a) 3

7

b) 8

5

c)

6

5

d) 7

4

e) 9 4

3. En un circuito cuadrado compiten dos ciclistas, ambos llevan una rapidez uniforme. Se cruzan por primera vez en una esquina; el segundo cruce también ocurre en una esquina, pero diferente de la primera. El tercer cruce también ocurre en otra esquina. Si la rapidez del más lento es 5 m/s, ¿cuál es la rapidez del otro? a) 10 m/s Central: 619-8100

b) 15

c) 20

d) 16

e) 25 Unidad VII

271

Móviles

4. Tengo la costumbre de subir andando por la escalera mecánica del aeropuerto mientras funciona. Subo 20 escalones con mi paso y tardo así 60 segundos exactamente; mientras que mi mujer sube solamente 16 escalones y tarda 72 segundos. Si mañana dicha escalera no funcionara, ¿cuántos escalones tendré que subir? a) 30

b) 50

c) 35

d) 40

e) 45

5. Dos ciudades "A" y "B" se encuentran a orillas de un mismo río. Una balsa llevada por el río tarda "a" horas para ir de "A" a "B", mientras que una lancha con marcha normal tarda "b" horas. ¿Cuántas horas tarda esta lancha en ir de "B" a "A" navegando con marcha normal? a)

2ab 2a - b

b)

2ab 2a + b

c)

ab 2a - b

d)

ab a - 2b

e)

2ab a + 2b 18:10:45

Conceptos básicos 1. Manuel tarda cinco minutos en nadar entre dos islas de un río, ayudado por la corriente. Al regresar, nadando contra la corriente, tarda 15 minutos. Hallar el tiempo que emplearía Manuel si la rapidez de la corriente fuera cero.

5. La rapidez en aguas tranquilas de un yate es de 25 km/h. Sabiendo que cuando avanza contra la corriente recorre 4,2 km en el mismo tiempo que recorre a favor de ella 5,8 km, calcular la rapidez de la corriente.

2. Un bote desarrolla una rapidez de 15 km/h en aguas tranquilas. En un río, cuyas aguas discurren a 5 km/h, dicho bote hizo un cierto recorrido y volvió a su sitio de partida. Hallar la relación entre la rapidez media en el viaje de ida y vuelta, y la rapidez en aguas tranquilas.

6. Todos los días sale de “A” hacia “B” un ómnibus con una rapidez de 80 km/h. Este se cruza siempre a las 11:00 a.m. con un auto que viene de “B” con una rapidez de 70 km/h. Cierto día, el ómnibus que sale de “A” encuentra al auto a las 12:45 p.m. ¿A qué hora se malogró dicho auto?

3. Si al pequeño helicóptero le toma 3s pasar sobre el puente, ¿durante cuánto tiempo estará por encima del tren de 120 m de longitud, si a este le tomó 18 s cruzar completamente dicho puente? (Considere que ambos móviles van a rapidez constante).

7. Dos autos parten del norte hacia el sur con un intervalo de 2 horas a 90 km/h cada uno. Un tercer vehículo que marcha de sur a norte se cruza con los dos anteriores con un intervalo de 1 hora 12 minutos. ¿Qué rapidez está llevando el tercer vehículo? 8. Un automóvil debe hacer un cierto trayecto en cuatro horas. Una hora después de la partida, el piloto acelera la velocidad a fin de llegar media hora antes y hacer, entonces, 16 km más por hora. ¿Cuál fue la distancia recorrida?

4. Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa frente a un poste con una rapidez de 5 m/s. Si luego de 10 s pasa un automóvil frente al poste con una rapidez constante de 15 m/s y en la misma dirección que el ciclista, determinar luego de cuánto tiempo el ciclista será alcanzado por el automóvil.

9. Dos partículas "A" y "B" se encuentran separadas 200 m. Si parten una hacia la otra con velocidades constantes de 20 m/s y 50 m/s, respectivamente, ¿qué distancia separa a las partículas cuando “B” pasa por el punto de

partida "A"?

10. A partir del instante mostrado, el perro emplea 5 s en alcanzar el microbús y 11 s en pasarlo

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completamente. Determinar la longitud del microbús, sabiendo que ambos mantienen su velocidad constante. 4 m/s

10 m

11. Unaliebreyunatortugapartensimultáneamente en un mismo punto. La tortuga recorre en cada minuto, 10 m y la liebre, 100 m. Si ambas se dirigen hacia un mismo punto, la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hacia la meta y así, sucesivamente, hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorrió un kilómetro, ¿cuánto recorrió la liebre? 12. Si un automóvil demora 8 s más porque la distancia original que recorría fue aumentada en 200 m, ¿cuánto demorará en recorrer dicho automóvil una distancia de 3 km, si utiliza una rapidez dos veces mayor que la anterior?

Central: 619-8100

3

13. En una carrera en la que participaron tres caballos, el ganador corrió a una velocidad de 33 m/s y llegó 12 s antes que el último. A su vez, este llegó 8 s después que el segundo caballo. Si los tiempos empleados por los dos primeros suman 24 segundos, ¿qué velocidad en m/s empleó el último caballo?

14. La distancia que separa a dos autos es 12(a2 - b2) km. Uno de ellos empieza a escapar con una rapidez de 2(a - b) km/h. En ese mismo instante, el otro móvil empieza a perseguirlo con una rapidez que es el cuádruple del primer móvil. ¿En qué tiempo lo alcanzará? 15. Tres ciclistas parten simultáneamente de un mismo punto con rapidez constante de 10; 15 y 16 m/s. El primero deja en el camino una señal cada 8 minutos; el segundo, cada 16 minutos; y el tercero, cada 20 minutos. Hasta el instante en que el primero encuentra las señales de los otros dos juntos, ¿qué distancia ha recorrido el segundo ciclista?

Unidad VII

273

Cronometría

cronometría .


Discriminar los años normales de los años bisiestos, utilizando la multiplicidad por cuatro. Resolver problemas que involucran tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir en un día, mes o año.

El puño y el número de días de cada mes er

or e n E r

z r a

ir

i J

i l J

t s

r t ei t

e S

re b m e i v o N

r i i

ara recordar la cantidad de días que tienen los meses del año: Se cierra el puño de la mano derecha y se cuenta con un dedo de la mano izquierda. Los nudillos sobresalientes representarán a los meses de 31 días, y los huecos entre nudillos, a los meses de menos de 31 días. El primer nudillo (el del dedo índice) representa a enero. El hueco próximo (entre los nudillos del índice y del dedo medio) representa a febrero. El segundo nudillo (del dedo medio) representa a marzo y así, sucesivamente, hasta llegar a julio, representado por el nudillo del dedo meñique. Luego se inicia de nuevo la cuenta desde el nudillo del dedo índice, que esta vez representará a agosto (los dos únicos meses seguidos dentro de un mismo año que tienen la misma cantidad de días). Se continúa la cuenta hasta llegar a diciembre, representado por el nudillo del dedo anular.

P

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4

Conceptos básicos Cronometría 

Problemas sobre campanadas y afines (intervalos de tiempo)

Cuando nos referimos a un evento que implica una acción, como campanadas, golpes, contactos seguidos a velocidad constante, debemos considerar que el tiempo transcurrido es propiamente el de los periodos comprendidos entre contacto y contacto, y no la duración del contacto. s o l p m

1. Un reloj da tres campanadas en cuatro segundos. ¿Cuánto demorará en dar seis campanadas?

E

j

E

Resolución •

¡Cuidado! (muy mal) 3 campanadas  6 campanadas

4s

8s

Razonamiento correcto: Dato

×2

1a cam

El doble de campanadas en el doble de tiempo. •

2a cam

3a cam

2s

2s

WW

I

Es decir, cada intervalo de tiempo es de dos segundos

4s

Piden: 1a cam

2a cam

3a cam

4a cam

5a cam

6a cam

2s

2s

2s

2s

2s

I

I

I

I

I

1444442444443

Tiempo total para dar = 5×2=10 s seis campanadas Entonces: Número de intervalos de tiempo

=

Número de - 1

campanadas

Método práctico

-1 Número de campanadas

Número de intervalos de tiempo

Tiempo

Total

3

2

4s

6

5

"x" s

x=

4×5 =10 segundos

2

Regla de tres simple

Central: 619-8100

Unidad VII

275

Cronometría

2. Un reloj da cuatro campanadas en seis segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 20 s? Resolución

Número de campanadas

Número de intervalos de tiempo

Tiempo Total

4

3

6s

x

(x - 1)

20 s

x - 1 = 3×20 6

 x - 1= 10 

x= 11

 Luego, en 20 segundos dará 11 campanadas



Problemas sobre calendarios

En los problemas a tratar debemos tener a consideración los años bisiestos, los cuales son todos aquellos cuyas dos últimas cifras dan un número múltiplo de cuatro, así tenemos: 1964 1974

64 Sí No 74

4º , Sí es bisiesto º

4 , No es bisiesto

Un año bisiesto tiene 366 días y el mes de febrero de ese año tiene 29 días. Además, aquellos años que terminan en dos ceros solo serán bisiestos, si es que son múltiplos de 400, así tenemos: 1600

Sí fue bisiesto

1900

No fue bisiesto

Luego,en un problema nos interesa si el año es bisiesto o no, solo si involucra al mes de febrero. s o l p m

1. Si el 1 de enero de 1970 fue lunes, ¿qué día fue el 24 de enero de ese mismo año?

E

j

E

Resolución

Si el 1 es lunes, el 8 será lunes, el 15 y el 22 también serán lunes; el 23, martes y el 24 será miércoles. Cada semana se repite el mismo día. Método práctico Cada siete días, el octavo se repite. Así tenemos: del 2 al 24, hay 23 días, luego:

o l p m E

j

23 2

7 3

semanas enteras (de lunes a domingo)

E

3 semanas+2 días

hay que agregarle dos días Rpta.: Miércoles

Colegios

276

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4

2. Si el 8 de enero de 1972 fue sábado, ¿qué día fue el 23 de marzo de ese mismo año? Resolución

Como el problema involucra íntegramente al mes de febrero, nos interesa saber si el año es bisiesto o no. Porque, como sabemos, febrero tiene 28 días y cuando el año es bisiesto tiene 29 días. º 72 4 1972 División exacta  1972 es 4 (año bisiesto) 0 18 Averiguaremos luego cuántos días hay desde la fecha dato hasta la fecha dato incógnita. O sea, desde el 8 de enero hasta el 23 de marzo. Enero tiene 31 días, pero se le restan para solo considerar los días adicionales. Enero : Febrero : Marzo :

31 - 8 = 23 días 29 días (año bisiesto) 23 días (hasta ahí será el conteo)

Total de días: 75 Luego:

75 5

7

10 (domingo, lunes, martes, miércoles, jueves)

144444442444444443

Se agregan cinco días Rpta.: Jueves 

Problemas sobre tiempo transcurridos

La referencia en este caso es a problemas que en su enunciado establezcan una relación entre intervalo de tiempo transcurrido y otro aún por transcurrir; de tal manera que ambos intervalos sumen un periodo conocido, como son las 24 horas de un día, los 7 días de la semana, los 30 días del mes de setiembre, los 365 días de un año ordinario, etc. s o l p m E

j

E

1. Si el tiempo que falta transcurrir del día es la quinta parte del tiempo transcurrido, ¿qué hora es? Resolución

Llamaremos "x" al tiempo transcurrido y, por lo tanto, (24 - x) al tiempo que falta transcurrir. Del enunciado: Tiempo que falta e

Tiempo transcurrido m 5

o = c

transcurrir 1442443

24 - x

= = 120

6x x = 20 horas

x

5

 La hora es 20:00 h (8 pm) Otro método: Partiendo de los datos, se hace el siguiente esquema: Falta Tiempo transcurrido transcurrir 14444244443 1442443

5x

x 24 h

Central: 619-8100

6x = 24 x=4

Transcurrieron= 5(4)=20 h La hora es: 20:00 h (8 p.m.)

Unidad VII

277

Cronometría

2. Los 2/3 del tiempo que transcurrió del mes de abril, son iguales al tiempo que falta transcurrir. Además, el 1 de enero de ese año fue sábado. ¿Qué fecha es, si el año es 1996? Resolución

El año 1996 es bisiesto, porque 96 es múltiplo de 4; entonces, febrero de ese año tendrá 29 días. Luego: 2 x=30 - x  x=18 3

Transcurrieron 18 días, la fecha es 19 de abril. Para averiguar el día, tenemos: Enero : Febrero : Marzo : Abril :

30 3 29 4 109 31 2 39 4 19 1 4

7 15 (domingo, lunes, martes, miércoles) 14444444244444443

Al sábado se le agregan 4 días •

La fecha exacta será, entonces: Miércoles, 19 de abril de 1996.

Síntesis teórica

Número de Número de intervalos = campanadas de tiempo

1

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10 x 5 50

4

1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada una de las siguientes proposiciones: • En 20 campanadas hay 21 intervalos de tiempo ..................................................................... ( ) • Si un reloj da ocho campanadas en 21 segundos, entonces, cada intervalo de tiempo demora tres

segundos

.................................................................................................................. ( )

• Si un reloj da cinco campanadas en 12 segundos, entonces, en 24 segundos dará 10

campanadas

.................................................................................................................. ( )

2. Completar los espacios vacíos correctamente: Si el 14 de abril de 2011 fue jueves, entonces: • • •

El 21 de abril de 2011 fue: El 30 de abril de 2011 fue: El 22 de marzo de 2011 fue:

3. Relacionar correctamente ambas columnas: Columna A El tiempo que falta por transcurrir del día, si son las 3:00 p.m. Los días transcurridos del presente mes, si hoy es 24 de junio Las horas transcurridas del día, si son las 10:00 h

Columna B A 24 días B

9 horas

C

23 días

D

7 días

E

10 horas

4. Un reloj da 15 campanadas en 42 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 36 segundos? 5. Si el 10 de enero de 1952 fue lunes, ¿qué día fue el 18 de mayo de ese mismo año?


1. Si se sabe que el 5 de marzo de 2011 fue sábado, entonces, colocar “V” si es verdadero o “F” si es falso, según corresponda, en cada

una de las siguientes proposiciones: •

El 20 de mayo de 2011 fue viernes .... ( )

•

El 8 de julio de 2011 fue viernes ....... ( )

•

El 5 de marzo de 2020 será jueves .... ( )

2. Un reloj da tantas campanadas en cada hora como la hora marca en ese instante. Si cuando el reloj marca las 8:00 las campanadas que dará en la hora demoran 21 segundos. Según esto completar adecuadamente los espacios en blanco: • • •

Central: 619-8100

Para marcar las 15:00 horas, demora segundos. Para marcar las 20:00 horas, demora segundos. Para marcar las 10:00 horas, demora segundos.

Unidad VII

279

Cronometría

día fue el 12 de diciembre de ese mismo año? 3. Se sabe que las horas transcurridas de este día exceden en tres al doble de las horas que faltan por transcurrir, relacionar correctamente las a) viernes b) miércoles c) martes columnas "A" y "B". d) jueves e) lunes Columna B Columna A A 12:00 h 11. Si el 6 de marzo de 1950 fue lunes, ¿qué día fue Dentro de tres horas el 6 de marzo de 1973? serán las: B 10:00 h Hace cinco horas fueron a) sábado b) lunes c) martes C 15:00 h las: d) viernes e) domingo D 5:00 p.m. Son exactamente las: 12. Si el 5 de mayo de 1970 fue martes, ¿qué día E 20:00 h fue el 5 de mayo de 1982? Resolución de problemas

a) jueves d) lunes

b) miércoles e) viernes

c) martes

a) 2:15 a.m. d) 2:12 a.m.

b) 2:30 a.m. e) 2:17 a.m.

c) 2:24 a.m.

4. El reloj de la catedral de Lima tarda 6 s en anunciar cuatro horas. ¿Cuánto tardará en anunciar las 20 13. Si el 16 de abril de 1969 fue miércoles, ¿qué día horas? fue el 16 de mayo de 1971? a) 14 s b) 16 c) 40 a) viernes b) martes c) domingo d) 30 e) 20 d) jueves e) lunes 5. Un reloj de pared da seis campanadas en seis segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 24 14. Falta transcurrir del día tanto como la tercera parte del tiempo que transcurrió hasta hace segundos? cuatro horas. ¿Qué hora es? a) 20 b) 21 c) 19 a) 6 p.m. b) 7 p.m. c) 8 p.m. d) 18 e) 22 d) 5 p.m. e) 4 p.m. 6. Un reloj da tantas campanadas en cada hora 15. Son más de las dos, sin ser las tres de esta como la hora que se marca en ese instante. madrugada, pero dentro de 40 minutos faltaría ¿Cuántas campanadas dará en dos días? para las cuatro el mismo tiempo que transcurrió desde la una hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora a) 256 b) 312 c) 144 es? d) 272 e) 324 7. Un reloj da “m” campanadas en “n” segundos. ¿Cuántas campanadas dará en “2n” segundos?

a) m+n d) m

b) 2m e) 2m+n

c) 2m-1

8. Un reloj da tantas campanadas en cada hora como la hora que se marca en ese instante. Si para marcar las 4:00 horas demora 9 segundos, ¿cuánto demorará para marcar las 11:00 horas? a) 28,5 s d) 45

b) 24 e) 30

c) 32

9. Si el 12 de enero de 1932 fue martes, ¿qué día fue el 8 de abril de ese mismo año?

16. Si han transcurrido 2/5 partes del mes de abril de 2006, ¿qué día es, si el 1 de enero de 2006 fue domingo? a) jueves d) domingo

b) viernes e) lunes

c) miércoles

17. Trilcito se casó en 1992, cuando los días transcurridos del mes de junio excedían en seis a los días que faltaban por transcurrir de ese mes. ¿En qué fecha se casó Trilcito? a) 6 de junio c) 16 de junio e) 20 de junio

b) 8 de junio d) 18 de junio

a) domingo b) lunes c) viernes d) miércoles e) jueves 10. Si el 19 de agosto de 1990 fue domingo, ¿qué 18. María le dice a Luis: “Nos encontraremos en Iquitos Colegios

280

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en el año 2016, cuando los días transcurridos de ese año sean 1/3 de los días que falten transcurrir”. ¿En qué fecha será el encuentro, si el 1 de enero de ese año será lunes? a) lunes, 1 de abril b) lunes, 2 de abril c) martes, 2 de abril d) domingo, 1 de abril e) miércoles, 3 de abril

d) 18:56'

e) 19:18'

4

20. En el año 1992, antes del mediodía, Armando se dio cuenta de que las horas transcurridas del año excedían en 500 horas a las horas que faltaban transcurrir. Indicar la fecha y hora en que Armando hizo la observación.

19. Son más de las cuatro pero aún no son las seis. ¿Qué hora será cuando a partir de este momento transcurran tantos minutos como el triple del tiempo que transcurrió desde las 4 hasta hace 40 minutos, si sabemos que el tiempo que falta transcurrir para las seis, dentro de 20 minutos, es la cuarta parte del tiempo que transcurrió desde las 4 hasta hace 10 minutos? a) 19:28' b) 18:32' c) 19:22'

a) b) c) d) e)

11 de julio de 1992 a las 10 a.m. 11 de julio de 1992 a las 10 p.m. 12 de julio de 1992 a las 10 a.m. 13 de julio de 1992 a las 10 a.m. 13 de julio de 1992 a las 10 p.m.

Conceptos básicos 1. Son más de las 11:00 h, pero menos de las 12:00 h; además, dentro de 13 minutos faltará para las 13:00 h la misma cantidad de minutos que habían transcurrido desde las 11:00 h hasta hace siete minutos. ¿Qué hora es? a) 11:32

b) 11:47

c) 11:57

d) 11:37

e) 11:43

2. Si del mes de abril de 1972 han transcurrido 2/3 de lo que falta transcurrir, hallar la fecha exacta, si el 5 de enero de ese año fue miércoles. a) b) c) d) e)

miércoles, 12 de abril jueves, 13 de abril viernes, 12 de abril miércoles, 13 de abril martes, 12 de abril

3. En un mismo año bisiesto, ¿cuántos días lunes y martes habrá, como máximo? a) 51 y 52

b) 52 y 52

c) 52 y 53

d) 53 y 53

e) 53 y 52

4. El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 21 segundos. Si se escucharon tantas campanadas como diez veces el tiempo que hay entre campanada y campanada, ¿cuánto tiempo empleará este campanario para tocar siete campanadas? a) 7 s

b) 9

c) 8

d) 6

e) 10

5. Un alumno del colegio TRILCE le dice a su compañero que cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual al doble de las horas que queden por transcurrir, será la hora de salida. ¿A qué hora terminan las clases en el colegio? a) 9 p.m.

Central: 619-8100

b) 10 p.m.

c) 11 p.m.

d) 7 p.m.

e) 6 p.m.

Unidad VII

281

Cronometría 18:10:45

Conceptos básicos 1 . Un reloj señala la hora con igual número de campanadas. Para indicar las 6 a.m., demoró 15 segundos. ¿Cuánto tiempo empleará para indicar las 8 a.m.?

2. Una alarma suena cinco veces por segundo. ¿Cuántas veces sonará en un minuto? 3. Un reloj toca tantas campanadas en cada hora como la hora que se marca en ese instante. ¿Cuántas campanadas tocará en tres días? 4. ¿Qué hora es, si en este instante el tiempo que falta para acabar el día excede en cinco horas al tiempo transcurrido? 5. ¿Qué hora es, si hace cuatro horas faltaba para acabar el día, el triple del tiempo que faltará para acabar el día dentro de cuatro horas? 6. El 9 de abril de 1996 fue sábado. ¿Qué día fue el 24 de octubre de ese mismo año? 7. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día será el 26 de dicho mes? 8. ¿En qué día y a qué hora del mes de abril de 2020 se cumplirá que la fracción transcurrida del mes sea igual a la fracción transcurrida del año?

9. Si el 13 de abril de 1937 fue martes, ¿qué día será el 13 de abril de 1995? 10. Se le pregunta la hora a Natalie y ella responde: “Han transcurrido las 2/3 partes de lo que falta transcurrir de este día”. ¿Qué hora es? 11. Son más de las seis sin ser las ocho y, hace diez minutos, los minutos que habían transcurrido desde las seis eran iguales a 1/9 del tiempo que faltaría transcurrir hasta las ocho dentro de diez minutos. ¿Qué hora es? 12. Kike le dice a Flor: “Nos encontraremos en el lugar de siempre, cuando las horas transcurridas del día sean 3/5 de las horas que faltan transcurrir”. ¿A qué hora fue el

encuentro?

13. Sabiendo que el 16 de marzo de 1928 fue viernes, ¿qué día fue el 5 de mayo de 1972? 14. Si fuera cuatro horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día, el cuádruple de las horas que han transcurrido. ¿Qué hora es? 15. El 12 de enero de 1960 fue martes. ¿Qué día fue el 18 de mayo de ese mismo año?

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UNIDAD VIII

DescUbRIeNDo lAs meDIDAs peRFectAs Los fractales

U • • • •

n fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente). Se define mediante un simple algoritmo recursivo.

ApReNDIzAjes espeRADos ApReNDIzAjes espeRADos Comunicación matemática • Interpretar el significado de los operadores matemáticos en las diversas situaciones y •

operaciones. Formular propiedades geométricas.

Resolución de problemas • Aplicar conocimientos básicos en la resolución de problemas. • Realizar procesos y operaciones geométricos. Razonamiento y demostración • Estimar resultados con los operadores matemáticos y las situaciones geométricas. • Inferir propiedades con las operaciones matemáticas y geométricas.

Operadores matemáticos

operadores matemáticos .


Resolver problemas que involucran el cálculo de las operaciones matemáticas formuladas por un operador arbitrario.

El operador USB Neptuno, el dios romano de los mares, tiene mucho que ver con el símbolo de las conexiones USB. Creado como parte de las especificaciones de la primera versión del producto, el símbolo del USB fue diseñado para parecerse al tridente de Neptuno. El artefacto tenía como objetivo alcanzar al enemigo en puntos vitales con la lámina central y, con los laterales, debilitar el poder de penetración. Eso garantizaba que el arma fuera mucho menos letal; y más bien, paralizante. Los diseñadores del símbolo del USB no querían matar a nadie en su creación. En su versión, las lanzas fueron sustituidas por un cuadrado, un triángulo y un círculo. El simbolismo es que un único cable puede conectar tres extremidades diferentes. En el caso de la tecnología, el mejor simbolismo es que el patrón puede ser asociado a los más diversos tipos de periféricos, que fue lo que realmente ocurrió. Hoy en día, existen decenas de dispositivos diferentes que pueden ser conectados a la computadora vía USB. ¿Cuál es el operador de encedido/apagado de un artefacto?

m o c . f r 3 2 1 . s e / / : p t t h

:e tn eu F

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1

Conceptos básicos Operación matemática Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en otra, llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones que definen la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica, llamado "operador matemático".

Operador matemático Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer a la operación matemática a realizar, con su respectiva regla de definición: Operación Matemática Adición

Operador Matemático

Sustracción

-

Multiplicación División

×

+



Radicación Valor absoluto Sumatoria



Productoria

P

Máximo entero

[]

Límites

Lim

Integración

8

. . .

Las operaciones matemáticas arriba mencionadas son conocidas universalmente. En el presente capítulo, lo que hacemos es definir operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria. El operador matemático puede ser cualquier símbolo (incluso figuras geométricas).

Ejemplo: *, #, ,

, , ,

, ...

Las reglas de operación se basan en las operaciones matemáticas ya definidas. Veamos los siguientes ejemplos: a  b = 3a2 - 2b+5 14243

Operador matemático

Regla de definición

Representación de una operación matemática:

Una operación matemática se puede representar con una regla de definición, mediante una fórmula o una tabla de doble entrada. 

Mediante fórmula

En este caso, la regla de definición está representada por una fórmula, en la cual solamente hay que reconocer los elementos y reemplazarlos en la regla de definición para obtener el resultado buscado. El reemplazo del valor numérico de los elementos en la regla de definición puede ser un reemplazo directo (como en el ejemplo 1), o puede ser un problema en el que primero hay que darle forma al valor numérico que nos piden, para luego reconocer los elementos y reemplazar en la regla de definición. Central: 619-8100

Unidad VIII

28 85 5 2


s o l p m E

1. Si: x * yx = 2(xy - y) + xy Cacular: 5 * 32

2. Si se sabe que: x =2x+1, ademá s : x+2 =3 x-1

j

E

Resolución •

Calcular:

Dando forma: x=5 ; y=2 5*32 =5*25 5*25 =2(52

-

3

2

Resolución 6 44 7 44 8

x+2 = 3[ 2 (x - 1) + 1]

2)+52

•

=2(25 - 2)+25 =2×23+25

3

E

6(1) - 3=3 6(0) - 3= -3

2

 Piden: 3. Si:

E

j

Luego: x=1 

x=0 

 5*32=71

x+2 = 6x - 3

o l p m

3

2

0

Además: + x+1

x

+ x+2

= 30

=

0

7

Calcular: E=

+

1

+

2

3

+

+

11

3

+

Resolución •

Piden: 0

1

+

+

2

+

+



11

Agregamos

0

Quitamos

Luego, por definición del operador "

"

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + E =1444442444443 1444442444443



30

30

6

+

7

+

8

+

1444442444443



9

+



30

10

+

11

1444442444443

30

-

0

7

 E=120 - 7  E=113



Mediante una tabla de doble entrada

s o l p m

1. Se define el operador * en el conjunto A={1;2;3;4;5}, mediante la siguiente tabla:

E

j

E

*

1 1 Columna 4 2 de entrada 2 3 4 (primer 3 4 elemento)

5

Fila de entrada (segundo elemento) 1 2 3 45 3 4 5 12 4 5 1 23 3 * 5 =4 5 1 2 34 1 2 3 45 2 3 4 51 

Resolución

E=(4 * 3) * (5123 * 1) 123 3 E=3*2 E=1

*

2

o l p m E

j

Calcular: E=(4*3) * (5*1)

E

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1

2. Se define el operador "#" en el conjunto: A={a;b;c;d} mediante la siguiente tabla: # a b c d a d a b c b a b c d c b c d a d c d a b Calcular "x" en: [(a#c) # (d#x)] # b=(c#c)#a Resolución •

De la tabla:

c#2 c)3 [ (a#c #a 123) # (d#x) ] # b =(1 [b # (d#x)] # b=

c

14 243

b # (d#x)=c 123

d#x=c

c

a

 x=a

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad VIII

287

Operadores matemáticos 10

5 50

Conceptos básicos 1. Si se sabe que: a*b= a + b , colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso según corresponda en cada a-b una de las siguientes proposiciones. • 5 *4= 9

................................................................

()

• - 2 * 4 = - 1/3

................................................................

()

•

3*

2 = 5+2 6 ........................................................... ( )

2. Completar adecuadamente los espacios en blanco, si se sabe que el operador @ se define en el conjunto A={2;4;6;8} mediante la siguiente tabla. @ 2 4 6 8 2 4 6 8

2 4 6 8

4 6 8 2

6 8 2 4

8 2 4 6

•

(2@4)@6 =......................

•

4@........... = 2@2

•

(8@2)@........ = (4@4)@2

3. Si se sabe que: 3 a * b2 = a+b; relacionar correctamente las columnas "A" y "B". Columna A

Columna B A 5

3 *4 5 *9 1*16 6

B

7

C

120 29 128

D

4 *25

E

4. Si: a*ba=5(ab - b)+ab ; calcular: 5*32 5. Dada la siguiente tabla: # 1 2 3 4

1 3 4 1 2

2 4 1 2 3

3 1 2 3 4

4 2 3 4 1

Calcular el valor de "x": [(1#3)#(3#x)]#2=(3#3)#(4#1)


1. Si: x x

0 1

Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso en cada una de las siguientes proposiciones.





Además: x n+1 = 3 x

n

- 2 x n-1 ; n>0

•

x

2

=5

................................(

)

•

x

3

= 14

................................(

)

•

x

4

= 13

................................(

)

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2. Se define el operador " " mediante la siguiente regla: x =(x - 1)2 Según esto, completar los espacios en blanco: •

a

=0

 a=.......

•

x

=9

 x=.......

•

m =64  m=.......

6+6+6 6+6 6

A

2

B

4

C

6

D

8


4. Si: a T b =ab+a+b; calcular: 2  5 3 4 b) 146 e) 88

c) 113

6 6 = â h . ^ bh

27 1 2

a) 24 d) 9

b) 4 e) 8

c) 16

9. Sabiendo que: a#6 = 26a - 25b Calcular: M=(1#2) (3#4) (5#6) ... (49#50) a) 1 d) 49

b) 0 e) 25

c) 50

10. Si: x = (x+1)2

Hallar "n": n

= 100

a) 2 d) 2

b) 2 +1 e) 4

c)

2-1

11. Se define el operador de la siguiente forma: m = (m+1)3

7

b) 37 e) 38

Hallar "x" en: c) 35

6. Se define " " como: a =(a - 1)2 Hallar "x" en:

7. Si: x - 1 =x+1, calcular:

b) 1 e) 0

c) 3

12. Si:

H

=64

b) 3 e) 5

=8

x

a) 2 d) -1

P

Si: x   a) 2 d) 1

b

3

Columna B

x

1

64

6 +6

a) 28 d) 31

c) x+205

8. Si se cumple que:

Calcular:

Columna A

5. Si: a+4 = 3a+5, calcular:

b) x - 200 e) x+210

a2

3. Se define en : x - 5 = x - 9, relacionar correctamente ambas columnas:

a) 120 d) 110

a) x+200 d) x - 207

c) 4

= P + H + 15 2

x 3

=14

Calcular:

5

x2 x+5 1442443

100 operadores

Central: 619-8100

a) 125 d) 81

b) 120 e) 60

c) 205

Unidad VIII

289


13. Se define el operador " " en los números reales mediante la siguiente tabla: 1 2 3 4 1 5 8 11 14 2 7 10 13 16 3 9 12 15 18 4 11 14 17 20 Calcular : E=456 a) 1816 d) 1838

b) 1740 e) 2750

c) 1737

c d

2 5 1 2 3 4

3 1 2 3 4 5

1 2 3 4

c) a

b) 2 e) 5

c) 3

1 5 8 11 14

2 7 10 13 16

3 4 9 11 12 14 15 17 18 20

a) 18 d) 21

3 4 5 6

4 5 6 7

5 6 7 8

b) 19 e) 22

* 2 4 6 8

c) 20

2 4 6 8 2

4 6 8 2 4

68 82 24 46 68

Calcular: ;

(2 * 4)* (6 * 8) (4 * 4) - (4 * 2) 2 * 8) * (6 * 6) b) 1

4

e)

20. Se define:

Además: x

y

2

-

c) 4

25

1 27

y - 1 =1

= x2

Hallar: 2008

Hallar: E=15  20 a) 65 d) 85

2 3 4 5

Calcular: E=4572@1234 Indicar como respuesta la suma de las cifras del resultado.

a) 9 4 d) 4 9

16. Después de reconstruir la tabla:

 1 2 3 4

c) 2400

19. Se define el operador "*" en el conjunto A={2;4;6;8}, mediante la siguiente tabla:

45 23 34 45 51 12

Hallar el valor de "x" en: [(2#3)#(5#x)]#(4#1)=(1#3)#(4#5) a) 1 d) 4

3 4 16 25 25 36 36 49 49 64

@ 1 2 3 4

15. Se define el operador "#" en el conjunto A={1;2;3;4;5} mediante la siguiente tabla: 1 4 5 1 2 3

2 9 16 25 36

b) 2800 e) 2880

b c c d

b) c e) a o b

# 1 2 3 4 5

a) 3200 d) 1200

d a a b

Hallar "x" en: [(x*b)*c]*(d*d)=(a*c)*b d) d

1 4 9 16 25

18. Se define el operador "@" mediante la siguiente tabla:

14. Dada la siguiente tabla:

a) b

 1 2 3 4

Calcular: E=(38  17) - (16  9)

275

* a b a b c b c d c d a d a b

17. Se define el operador " " en los números reales mediante la siguiente tabla:

b) 70 e) 100

c) 80

a) 2007 d) 2008

b) 1 e) 2010

c) 0

Colegios

290

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1. Si :

1

4. Si se define el operador: x

= 64x - 63

3x+2 x

Hallar: - 2

=

x

Hallar:

a) - 2 d) - 10

b) - 7 e) - 9

c) - 11

2. Sabemos que se cumple: a *b2 = 2( b *a2) - ab

M=

4

+

5

+

7

11 +...

+

a) 2

b) 4

d) 1 4

e)

c) 7

1

2

4

3*6 1*2

Calcular: a) 1 d) 4

5. Se define: b) 2 e) 0

c) 3

m2+1 =m4+2m2 - 3

Calcular:

3. Si:

3-1

a =(ab+2b)b -1

a + x + a - x = 2(x+1)

Hallar:

a) 4 3

b) -2 3

d) -4 3

e)

c) - 3

3

a+x-a-x

a) x

b) 3 e) 0

d) 2

c) 1 18:10:45

Conceptos básicos 1. Si:

4. Si: 2x = x +x - 1

x - 2 =2x

Calcular el valor de: x

M=

1 4

x-2

2. Si: F(n - 1) = F(n) - 2n F(1) = 2 Calcular: F(50)

x-1 = 2 x +5 - x+3

Hallar: 12 5. Si: 1 T A =A 2 - 2B B

Calcular: 23 2

3. Si: a* =

â2 - 1hâ2 + 1h + 1

hallar: E=

Central: 619-8100

10*- 8*

3*

6. Si: m*n= m +3 2 Calcular: E=4 * (5 * (6 * ...)) 1 4 4 4 2 4 44 3 2012 operadores

Unidad VIII

291


7. Se define la siguiente operación matemática: (a)=

Determinar :

x-1

^^.....^^^8hhh.....hh 14 4 4 4 2 4 4 44 3

12. Si definimos el operador:

40 paréntesis

8.

x - 2 =x(x - 2)

a +1

a-1

Hallar:

11. Si:

a*b=)

Z 3x + 1 ] Si: F = ; si "x" es impar [ 2 2x 1 (x) + ]

Calcular:

hallar la suma de las raíces de la ecuación: (4*2)*12=x2 - x

; si "x" es par

3

\

F F(5) ;

13. Si: (a#b)c = abc

F(1) E

Calcular: (5#6) E=(1#2)(3#4)

9. Si: a c

ab + a, si : a > b ab + b, si : a # b

b =ad - bc d

2000 operadores

14. Dada la siguiente tabla:

Hallar el mayor número que cumpla la ecuación: 1 3

2 x

+

x 2

1 4

=

x 2

1

x 3

1 2 3 4

0

1 Calcular : E=(6 1)+(8

10. Si: m + 5 ; si "m" es impar m =

2

m + 4 ; si "m" es par m =

2

Hallar:

7  6

1 4 9 16 25

2 9 16 25 36

3 16 25 36 49

4 25 36 49 64

7)

15. Dada la siguiente tabla: % 1 2 3 4

1 2 3 5 8 11 7 10 13 9 12 15 11 14 17

4

14 16 18 20

Calcular: 49 % 231

Colegios

292

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2

situaciones geométricas .


Resolver problemas que involucren suma de ángulos interiores y exteriores de un triángulo.

•

Resolver problemas que involucren perímetros de regiones sombreadas.

La duplicación en el cubo uenta la leyenda que la peste asolaba la ciudad de Atenas. Una embajada de la ciudad fue al Oráculo de Delfos, consagrado a Apolo, para consultar con la pitonisa qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. La pitonisa, tras consultar al oráculo, dijo que se debía duplicar el altar consagrado a Apolo en la isla de Delfos. El altar tenía una peculiaridad: su forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico en el que las medidas de los lados eran el doble de las medidas del altar de Delfos, pero la peste no cesó. Consultado de nuevo el oráculo, la pitonisa advirtió a los atenienses que el altar no era el doble de grande. Nadie supo cómo construir un cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y el problema persistió durante siglos.

C

¿Cómo podrías resolver este problema?

Central: 619-8100

Unidad VIII

293

Situaciones geométricas

Conceptos básicos En el presente capítulo se resolverán problemas geométricos usando conocimientos básicos y mucho razonamiento. A continuación, presentaremos algunas propiedades. •

Triángulo Existencia triangular



Si: a>b>c b - c
c

a

Propiedades en el triángulo

 



++=180º

b

 + =  •

áreas triangulares

B h

A

b

C

A

A

h

h B

b

C

B

b

C

A 9 ABC = b×h 2

•

áreas cuadrangulares

b

L

•

b

L

h

h

A =L 2

A =b×h

A =b×h

=

área de un círculo

R

Área  A=r2 Perímetro = 2πr

Colegios

294

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s o l p m E

j

E

1. Calcular la medida del ángulo ECD, si ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero. B C x E

2

o l p m E

A

j

D

E

Resolución B

E 60º

C

x

x

• •

ECD es isósceles mBCED=mBDCE En el ECD, suma de ángulos internos=180º x+x+30º=180º x=75º

30º 60º

A

Rpta.: 75º D

2. En la figura: AB=BC y BD=BE. Calcular la medida del ángulo "x". B 40º

E x

A

C

D

Resolución

B

• 40º

Por porpiedad del ángulo externo, en el triángulo ABD: x+(x+ )=+40º



D

x





+

x=20º

E

A



C Rpta.: 20º

Central: 619-8100

Unidad VIII

295


3. Calcular el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 4 m. B

C

A

D

Resolución

4m

B

C

• (2)



(2)

2

El perímetro de la región sombreada en todo el contorno (borde) sombreado está formado por los dos lados del cuadrado y las dos semicircunferencias.

2

L9 = 2R

L  R A

D 4m  Perímetro de la región sombreada: 4+4+2 +2=4+8=4(+2)

Rpta.: 4( +2)

4. Calcular el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 6 m, y AC son arcos de circunferencias. B

C

A

D

AB

y

Resolución B

C

3m 6m

3m

A

6m

D

•

Perímetro de la región sombreada

BC + AB

123

!

123

+

AC

123

=

6 m+ 2(3) + 2(6)

=

6+3+3

= =

6+6 6(+1)

2

4

Rpta.: 6( +1)

Colegios

296

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2

5. La suma de las diagonales de un cubo es 12 3 m. Calcular el volumen de dicho cubo. Resolución

•

Según el dato: 4(AD)=12 3

Un cubo tiene cuatro diagonales C

D

H

B E

F

A

•

AD=3 3 m

CG DA BF EH

H

Aplicando el teorema de Pitágoras en el ADG:

A

a 2

G

B

a2

a

A

D (3

a

E

a

G

33

D

C

a

F

3 )2=a2+(a 2 )2

 El volumen del cubo es: 33=27m3

a=3

G

Rpta.: 27 m 3

Síntesis teórica

SITUACIONES GEOMéTRICAS

a

h b

A

c

S1 L Perímetro=4L

Área = L 2 Diagonal=L 2

Central: 619-8100

B

r S2

a Perímetro=2r Área = r2 Diámetro= 2r Radio = r

D

C Si: AB//CD S1=S 2

Área = 6a2 Volumen= a3

Unidad VIII

297

Situaciones geométricas 10 5 50

Conceptos básicos 1. Si en la figura: AB=AC, DEFG es un cuadrado y m BFGB=30º, colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda. B xº

E

yº

• • •

F

zº

E C

D

x=30º

.............................................. (

y=75º

.............................................. (

z=60º

.............................................. (

) ) )

A

G

2. Se sabe que ABCD es un cuadrado de 8 m de lado, además BD y AC son cuadrantes de circunferencias, completar los espacios en blanco: B

C

A

•

•

m( BD ) = m( AC ) =

•

m(BC) =

• •

m( AD ) = Perímetro de la región sombreada =

D

3. En la figura se muestra un cuadrado y un triángulo equilátero cuyos lados tienen medidas iguales. Relacionar correctamente ambas columnas: B

C 

Columna A

E

 



A

 

D

Columna B A 26,5º B 75º 16,5º C 30º D

F

4. En la figura, AB=AD=17 cm, CD=8 cm y m BBCD>90º. Calcular el valor entero que puede tomar "BC". B

C

60º

A

D

5. Si PQR es un triángulo equilátero de lado 16 cm. Por "A", punto medio de PQ, se traza AB, perpendicular a PR; por "B" se traza BC, perpendicular a QR. ¿Cuánto mide BC? Q

A C

P

B

R

Colegios

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5. Hallar el perímetro de la región sombreada.


1. Si ABCD y DEFG son cuadrados congruentes. M

B

a) b) c) d) e)

2

C



2 R



A

6. En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada, si: AB=BC y AC=6 2 m

G

A

F

a) b) c) d)

Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, según corresponda.

=8º .............................................. ( =53º .............................................. ( =145º .............................................. (

) ) )

2. Según el problema anterior, completar correctamente los espacios en blanco. • • •

mBGFD+mBDFM= ............... mBBMF=..................... mBMRC=...................

B



 E

Columna A

4m

 

D


4. Hallar el perímetro de la figura sombreada si el lado del cuadrado mide 5 cm. C

a) b) c)

d) e) A

Central: 619-8100

D

a) b)

4(2+) 4(1+)

d)

4(3+)

c) 8+

O D

8. Calcular la suma de las longitudes de las semicircunferencias construidas sobre el diámetro: AB=2, si "O" es centro.

6(5+) 5(4+) 5(5+) 3(5+) 4(5+)

a) b) c) d) e)

r

r1

A

B

C

e) 4( - 2)

Columna B A 75º B 60º C 30º D 45º



4m

A

 A

e) 8(+5)

C

B

C

F

6(+2) 12(+2) 4(+2) 6(+4)

7. Calcular el perímetro de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado y las áreas corresponden a cuadrantes de circunferencia.("O" es centro)

3. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, en el cual, el ángulo F At E mide 30º y AB=AF, relacionar ambas columnas: B

24 12 18 30 36

2

E

D



• • •

2

r2

r3

r4

...

 2 4 6 3

B

9. ¿Cuántas vueltas dará la circunferencia más pequeña para recorrer todo el perímetro de la circunferencia mayor? 10r r

a) b) c) d) e)

10 9 8

12 7

Unidad VIII

299


10. Si la rueda mostrada gira en el sentido indicado y se detiene cuando el punto "P" está en contacto por cuarta vez con la superficie, ¿qué longitud recorrerá dicha rueda? a) 78 b) 84 c) 90 P 12 cm d) 96 e) 100 11. En la figura, hallar AM, si "M" es punto medio de BE; además: MD=4u, BD=6u y DC=12u. B

D M A

C

E

a) b) c) d) e)

12  16 20 14 10

12. ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las diagonales de las caras del cubo? B

A

a) b) c) d) e)

  16. En el gráfico adjunto: L1 / / L2 , calcular "x".

xº 20º

L1

L2

B

M A

N

a) 3 b) c) d)

4

18. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, tal que: AB=BC=a. Hallar el área del trapecio. B 120º

C

A

D

4

2

d)

2 c) a 43

2 b) 3a 3

9a

e)

4

5a2 3 4

19. En la figura, PQ=4 cm, QR=7 cm y AP=AQ. Hallar: AB.

3,5

A

5

e) 4,5 A

C

14. Un puente con la forma de un arco de circunferencia une las orillas de un río de 100 metros de ancho, el punto más alto del puente está a 10 metros de la horizontal. Hallar el radio de la circunferencia. a) 80 m d) 130

b) 100 e) 110

D B C A

P

B

Q

R

a) 48 b) 60 c) 30 d) 25 E e) 40

a)

3 2 cm

b)

5

c)

4

d)

22

e)

6

20. ¿Cuál es el mínimo recorrido que se debe hacer para ir de "A" hacia "B", tocando el piso?

c) 120

15. Si:AB=BC=CD=6 ; DE=10, entonces, el área de la figura mostrada es:

4 5

d) 6 e) 7

C

P

2

B

3m

a) b) c)

a) 3a2 3

13. En el triángulo isósceles ABC, calcular el lado del rombo, si: AB=BC=12 y AC=6.

20º 25º 60º 40º 45º

17. Hallar el perímetro del triángulo equilátero MNP, si: BP=8 m.

120º 60º 90º 30º 150º

C

a) b) c) d) e)

120º

B

18 m 21 c) 12 d) 13 e) 15 a) b)

A 6m 3m 12m

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300

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1. Considerando la figura mostrada, determinar: Área (ACD) , es decir, la razón entre las áreas

3. Calcular "", si: BM=MC y m BBAC=45º B

a) b) c) d) e)

Área (EBC)

de los triángulos ACD y EBC. A



C

M

B



D



a)

1

b) c) d) e)

0,5 1,5 2

2,5

2

2



A

C

15º 20º 18º 30º 12º

4. ¿Qué ángulo es necesario abrir a la puerta de la figura, para que la distancia entre el punto "P" y "Q" sea 2? Q

E

2. Según el gráfico, calcular "AE" si: BC=16 u, DE=12 u y CF=FD.

a) b) c) d) e)

2 P

C D

60º 100º 80º 90º 120º

1

B

5. Hallar "PQ" , si: AC=8 y BE=2 m.

E

F

B



A

a) 5 31 d) 27

b) 2 173 e) 4 41

c)

865

P

A

1. Calcular el perímetro de la región sombreada. 2

E

Q

18:10:45

c

a) b) c) d)

c 4

3. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 cm, calcular el perímetro de la región sombreada. B

2. Hallar el valor de "x", si los cuadrados son congruentes.

2 4 7

e) 5

C

M

3m

A

C

O

D

4. Tenemos cuatro círculos iguales de radio 1 m. Uniendo los centros obtenemos un cuadrilátero irregular. ¿Cuánto mide el área de la región sombreada?

x

Central: 619-8100

Unidad VIII

301


5. En la figura, ABCD es un cuadrado y "M" es 11. ABCD es un rectángulo dividido en cuatro el punto medio de BC. Hallar la medida del rectángulos de igual área. Si AD mide 24 cm y ángulo "x". si trazamos DJ, ¿cuánto mide MF? M

B

J

A

C

M

x

D

D

A

6. Un poste de 25 m de longitud se quiebra a cierta altura y la parte superior fue a caer a 15 m de la base del poste. ¿A qué altura se quebró?

C

F

12. Calcular el perímetro de la región sombreada si AB=20 cm, donde: "O1", "O2", "O3", "O4", "O5" y "O6" son centros de las semicircunferencias.

7. En la figura, el diámetro de cada circunferencia es 10 y la longitud de la faja es 60 . Hallar la distancia entre los centros. A O1

O4 O 5

A 105º

B

13. Calcular: ++++++ 

E

B



x

30º

C

9. Si ABCDEF y EGHI son polígonos regulares, calcular "CE", si: EM= 3 . D

C









14. Calcular el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12 cm.

F

G

H

10. Hallar "x", si EFGH es un cuadrado. x

E 75º

C

I O

M A



B

E

B

H

D

A

15. Hallar el perímetro de la figura sombreada, sabiendo además, que ABCD es un cuadrado de 8 m de lado. B

C

O

F

O6

O2

8. Si ABCD es un trapecio isósceles y CDE un triángulo isósceles, hallar "x"

D

O1 O 2 O 3

G

A

O

D

Colegios

302

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áreas de regiones sombreadas .


Resolver problemas que implican el cálculo sistemático o con fórmulas del área de figuras geométricas planas. Resolver problemas que involucran el cálculo del área de un círculo. Estimar o calcular exactamente el área de figuras planas utilizando diversos métodos

Hexágono

E

ntre todos los polígonos regulares de igual perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, porque de esta manera, gastando la misma cantidad de cera que emplearían para hacer sus celdillas triangulares o cuadradas, consiguen una mayor superficie.

¿En qué parte de la naturaleza se aplicará el concepto de área?

m o c t . o p s g o l b . 0 1 0 2 d m i s a v e u c s o r g a l i m / / : p t t h

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Unidad VIII

303

Áreas de regiones sombreadas

Conceptos básicos áreas por traslado s o l p m E

j

1. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es el centro, entonces, el área de la región sombreada es: B C

E

o l p m

O

E

j

A

D E

Resolución •

Trazamos la diagonal AC (luego trasladamos áreas) 4m

B

4m

B

C

C

M

M 4m S A •

Quedaría

4m

O

4m

S 4m

D

A

Rs

4m

O

D

4m

Así tenemos que el área de la región sombreada es un triángulo, que es la cuarta parte 42 = 4 m2 del cuadrado. RS= A44 = 4

2. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 6 metros de lado. B

C

O

A

D

Resolución •

Unimos los puntos medios de los lados opuestos (luego trasladamos áreas).

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3m

B

3m

3m

B

C

C

S 3m

S O

3m

Quedaría

6m

Rs

M

M A

A

D

3m Así tenemos que el área de la región sombreada es un rectángulo, la mitad del área del cuadrado. 2 R = A4 = 6 = 18 m 2 S

2

D

2

áreas por diferencia de superficies



s o l p m E

j

E

1. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y además "M" y "N" son puntos medios, calcular el área de la región sombreada. M B C

o l p m

N

E

j

A

E

D

Resolución B

2m

M

2m

C

2m

B



RS=

C

4m -

2

A 4m D

2m 4m

-

4

2

4m RS

A

N

RS= 16 - 2 c 4×2 m - (2 )

2m

RS= 16 - 8 - 

2

4

RS= 8 - 

D

2. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 6 metros de lado. B C

A

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D

Unidad VIII

305


Resolución 6m

B

60º

S  Sector circular cuyo ángulo central mide 30º (Doceava parte del área del círculo)

S

S

6m

•

C

Rs

(6)2  = 3 S=

6m 6m T 6m

30º

A

12

30º

60º

60º

6m

•

T  Triángulo equilátero

D

T= L

 R S=

- 2S - T  RS=62 - 2(3) - 9 RS=36 - 6 - 9 3 RS=3(12 -  - 3 )

2

4

3

=

6

2

=

4

93

3

Situaciones diversas s o l p m

1. Si ABCD es un cuadrado de "a" m de lado, calcular el área de la región sombreada. Además, se sabe que "M" es punto medio de AD.

E

j

E

B

C

o l p m E

j

A

E

D

M

Resolución •

Trazamos la otra diagonal. "O" es centro del cuadrado B

C

O

•

En el

S S

A

M

(Trazamos la otra mediana)

B

P

D

ABD

A

S

O

S S M

S

D

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•

Quedaría así:

B

C

3S

S

S S

•

O

12S=Área total

3S

12S=a2 2

S S

S

Luego

S=

a

12

A

D M 2. Si "P" es un punto cualquiera sobre el segmento BC, y el área del rectángulo ABCD es 26 m 2, calcular el área de la región sombreada. P

B

C

A

D

Resolución

Trazamos: PQ // BA P

B

C

M

S

•

Se tiene: 2(S+M)=Área total 2(S+M)=26 m 2

M

S

S+M=

26

=13 m2

2

A

D

Q

 Región sombreada=13 m2

3. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo de 80 m2 de área y, además, "O" es centro de la circunferencia ("T" es punto de tangencia). B

T

C

O

A

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D

Unidad VIII

307


Resolución: B

T

C

2M

2S S S

A •

O

•

Trazamos TP (TO=OP  Radio)

•

En el rectángulo BTPA: 2S

M

S S

M P

D

Luego:

4S+4M=Área total

•

En el rectángulo TCDP: T C 2M M O M P D

4(S+M)=80 m2  S+M= 80 =20 m2 4

 Región sombreada=20 m2

Síntesis teórica

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10 x 5 50

1. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en cada una de las siguientes afirmaciones: B

C

S1 12m S3

S2

A

•

S1=12 m2

...................... (

)

•

S2=48 m2

...................... (

)

•

S3=24 m2

...................... (

)

D

2. El cuadrado ABCD de 6 m de lado está dividido en nueve cuadraditos congruentes. Completar adecuadamente los espacios en blanco. Q

B

C

P

A

•

PQ=

.........................................

•

PR=

.........................................

•

SPQR= .........................................

D

R

3. Si ABCD es un cuadrado de 8 m de lado y "O" es el centro del cuadrado, relacionar correctamente ambas columnas: B

Columna A

C

Área de la región no sombreada



A

A 16(4 - )

"R"

R

Área del cuadrado Área de la región sombreada

D

Columna B B

16 

C

64

D

4

E

6(4 - )

4. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. a

B

C

a

A

D

5. Calcular el área de la región sombreada, si AB es diámetro. r r

r

A

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4

B

Unidad VIII

309



1. Si MNP es un triángulo equilátero, además BP=16 m. Colocar (V) si es verdadero o (F) si es falso según corresponda.

4. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. B C a

B

M

a) a2/5 d) a2/6

N

A

2.

C

P

•

MP=8 3 m ........................................ ( )

•

MN=8 m............................................ (

•

SMNP= 3 m2 ...................................... ( )

)

O

•

•

c) a2/3

B

C

a

a

A

D b) a2/4 e) 2a2/5

c) 3a2/4

6. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado.

D

Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadradado a B C

2a

B

A a) a2/3 d) a2


b) a2/4 e) a2/8

a) a2/3 d) a2/2

El área de la región sombreada es el ....... % del área del paralelogramo. El área del triángulo es el ....... % del área del paralelogramo. El área del triángulo AOD es el ....... % del área del paralelogramo.

•

D


Si ABCD es un paralelogramo (AB//CD ; BC//AD), completar adecuadamente los espacios en blanco. P B C

A

a

A

Q

C

D

b) a2/4 e) a2/6

c) a2/2

7. Calcular el área de la región sombreada, si

ABCD es un cuadrado. B

C

a a

A

a

D

A

a2/3

a) d) a2/2

2a2/3

b) e) 3a2/5

c)

3a2/4

a) a2/3 d) 3a2/5

D

b) a2/2 e) 4a2/7

c) 2a2/3

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8. Calcular el área de la región sombreada.

12. Calcular el área de la región sombreada. ABCD es un cuadrado. a

a

a

a r

a) a2(9 3 - 2)/6 c) a2(6 3 - )/6 e) a2(4 3 - 2)/4

b) a2(9 3 - 2)/4 d) a2(8 3 - 2)/6


a

B

a) a2/8 d) a2/4

b) a2/6 e) a2/12

c) a2/10

13. Si el área de la región triangular ABC es 48 u2, calcular el área de la región sombreada. B

C 3m a

m A

r

A

2k

k

C

D

a) 3a2( - 2)/4

b) 2a2( - 2)/3

c) a2( - 2)/4 e) 3a2( - 2)/8

d) 3a2( - 2)/16

10. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado. a

B

a) 34 u2 d) 18

b) 14 e) 16

c) 22

14. Calcular el área de la parte sombreada, si el lado del cuadrado es 20 m. B

C

A

D

C a

A

D

a) a2(4 - 3 )/4) c) a2(3 - 2 )/2 e) a2(3 - 2 )

a) 40 m2 d) 25

b) a2(3 - 3 )/4 d) a2(3 - 3 )/2

11. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado. B

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c) 36

15. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 6 m. B

C

A

D

C

A

a) 4( - 8) d) 8( - 2)

b) 30 e) 20

D

b) 4( - 2) e) 2( - 4)

c) 8( - 1)

a) 4(4 - 3 )m2

b) 3(4 - 3 3 )

c) 3(4 - 2 3 ) e) 3(2 - 3 )

d) 3(2 - 3 3 )

Unidad VIII

311


16. "P" y "Q" son puntos medios de los lados del cuadrante AOB. El área de la región asignada con "S" es 16 m2. El área de las regiones sombreadas en el interior del cuadrante es:

B

b

A S

O

A

2a

a) 28 m2 d) 56

B

Q

b) 36 e) 12

c) 16

2c

S

P

a) 15 m2 d) 18

c

2b

a

C

b) 30 e) 32

c) 14

19. Si el lado del cuadrado mide 20 m, entonces el área de la región sombreada medirá: B

C

A

D

17. ¿Qué parte de la región no sombreada representa la región sombreada? B 1 2

A 5

a)

12

d) 2 5

2a

a

b) 3

7

e)

a) 3 m2 d) 10

C

c)

2

7

1

b) 5 e) 6

c) 8

20. ABCD es un cuadrado de "a" cm de lado, calcular el área de la región sombreada. B

C

3

18. Si el área de la región sombreada es 28 m2, entonces, el área "S" mide: A 2

a) a

D

b)

2

2

c) a

a

12

20 2 c) 7a 24

8

2 d) 7a

12

1. En la figura, se tiene un hexágono regular ins- 2. En el gráfico se muestra un trapecio en el que: BC // AD , AM=MB y BN=NC, si las áreas de crito en una circunferencia cuyo lado mide "a". las regiones triángulares PCN y PMD son iguaCalcular el área de la región sombreada. les a 2 u2 y 24 u2, respectivamente, calcular el área de la región triangular AMD. B

N

C P

M

a) 11 a2 3 24

d) 11 a2 2 24

b) 11 a2 3 12

e) 5 a2 3 12

c) 11 a2 2 12

A

a) 70 d) 32

D

u2

b) 18 e) 40

c) 22

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3. Calcular el área de la región sombreada: A C

a) 20%

b) 25%

d) 25 25 %

e) 25 25 % 51

27 D

5. ABCD es un cuadrado de lado 4 u. Además, AGD, AHB, BEC y CFD son triángulos equiláteros. Calcular el área de la región sombreada.

6 cm B

a) 3 d) 9

b) 4 e) 18

c) 20 4 % 6

B

C G

c) 6

4. Se grafican cuatro circunferencias como se muestra en la figura. ¿Qué porcentaje representa el área de la región sombreada respecto de la no sombreada? (si los radios son la mitad de los anteriores)

F

H E

A

D

a) 16(3 3 - 2)u2

b) 16(2 3 - 5)

c) 16(2 3 - 3)

d) 16( 3 - 3)

e) 16(2 3 - 1) 18:10:45

Conceptos básicos 1. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 4 cm.

4. Calcular el área de la región sombreada. a

r

2. Calcular el área de la región sombreada.

5. Calcular la suma de las áreas de los dos cuadrados sombreados, si: AB=6 cm. C

A

a

B

N P

a

D

3. Calcular el área de la región sombreada. Se sabe además que "O" es centro del cuadrado.

6. Sabiendo que ABCD es un cuadrado y "O" es centro de dicho cuadrado, calcular el área de la región sombreada.

a

B

C

2m

O

a

O

A

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6m

2m D

Unidad VIII

313

Razonamiento_Matemático_4°

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