Razonamiento_Matematico

Índice UNIDAD I

ordenando nuestras ideas

Capítulo 1 Orden de información ..................................... 5

Capítulo 4 Diagramas .................................. 29

Capítulo 2 Cuadro de decisiones ................................... 14

Capítulo 5 Repaso I .................................. 37

Capítulo 3 Juegos lógicos

UNIDAD II

................................... 21

completando las informaciones

Capítulo 1 Sucesiones ................................... 44

Capítulo 3 Percepción espacial

Capítulo 2 Analogías y distribuciones............................... 51

Capítulo 4 Repaso II .................................. 68

UNIDAD III

................................... 60

las operaciones matemáticas y sus aplicaciones

Capítulo 1 Criptoaritmética

.................................... 74

Capítulo 2 Operaciones combinadas ................................ 81

Capítulo 4 Falsa suposición

.................................... 94

Capítulo 5 Repaso III

.................................. 101

Capítulo 3 Operaciones inversas .................................... 87

UNIDAD IV

la matemática y su universalidad

Capítulo 1 Método inductivo I

................................. 105

Capítulo 2 Método inductivo II

................................. 111

Capítulo 3 Análisis de gráficos estadísticos....................119

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO UNIDAD V Capítulo 1 Fracciones I

reconociendo otras operaciones matemáticas

.................................. 129

Capítulo 5 Repaso IV

.................................. 154

Capítulo 2 Fracciones II ................................. 136

Capítulo 6 Planteo de ecuaciones ................................. 157

Capítulo 3 Porcentajes I

Capítulo 7 Operadores matemáticos .............................. 164

.................................. 142

Capítulo 4 Porcentajes II .................................. 149

UNIDAD VI

Capítulo 8 Edades

.................................. 170

resolviendo sucesiones especiales

Capítulo 1 Sumas notables I

.................................................................................................................................... 178

Capítulo 2 Sumas notables II

.....................................................................................................................................184

UNIDAD VII

Calculando certezas y combinaciones posibles

Capítulo 1 Certezas ................................. 191

Capítulo 3 Análisis combinatorio II ............................... 206

Capítulo 2 Análisis combinatorio I ................................. 199

UNIDAD VIII

interpretando conceptos geométricos

Capítulo 1 Situaciones geométricas I ............................................................................................................................... 213 Capítulo 2 Situaciones geométricas II ............................................................................................................................. 223

UNIDAD I UNIDAD I

Ordenando nuestras ideas

U

n recorrido complicado Vamos a empezar analizando una tarea que hacemos todos los días: trasladarnos. Cuando queremos llegar de un lugar a otro generalmente hacemos una planeación del recorrido para saber dónde ir, qué calles tomar, dónde dar la vuelta, etc. Cuando nos lo proponemos y no tenemos ningún contratiempo, podemos llegar dónde querramos. ¿Cierto? ¿Alguna vez has pensado que trasladarse pueda ser imposible o que el movimiento es una ilusión?

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar las situaciones lógicas. • Discriminar y clasificar la información de carácter lógico. Resolución de problemas • Aplicar estrategias de juicio. • Interpretar los datos para resolver ejercicios de situaciones lógicas. Razonamiento y demostración • Analizar estrategias de juicio. • Formular estrategias de solución a los ejercicios planteados.

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático

1

Orden de información En este capítulo aprenderemos a: •

Discriminar información y clasificarla.

•

Ordenar la información en forma lineal: Horizontal y Vertical.

•

Ordenar la información en forma circular.

Edificio centro cívico A continuación presentamos un edificio de 22 pisos. Construido en 1956 y ex sede del Ministerio de Educación. Durante casi dos décadas fue el más alto del país. •

Acitividad Si Medrano se encuentra en el quinto piso, Paico se encuentra en el décimo sexto piso y López en el décimo piso, entonces:  ¿En cuántos pisos distan Medrano y Paico de López, respectivamente?  ¿Quién está dos pisos arriba de quién está a siete pisos abajo de López?

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Unidad I

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Orden de información

Conceptos básicos Ordenamiento lineal

Está comprendido por el ordenamiento horizontal y vertical. • Ordenamiento horizontal Consideremos los siguientes esquemas: Derecha-Izquierda

Lado Izquierdo

También son sinónimos:

Lado derecho

• Izquierda, oeste y occidente • Derecha, este y oriente

Elementos adyacentes De acuerdo a los siguientes elementos:

B

C

A

D

E

 "A" está adyacente a "C" y a "D"  "B" está adyacente a "C"  "E" está adyacente a "D"

Equidistante  "A" equidista de "D" y "E"  "A" equidista de "C" y "F"  "A" equidista de "B" y "G" • Ordenamiento vertical El colegio TRILCE tiene seis pisos:

T R I

En consecuencia: Arriba

L C

E

Abajo

• • • •

"L" está arriba de "C" y "E" "L" está debajo de "T", "R", "I" "L" está adyacente a "I" y "C" "L" equidista de "I" y "C" así como también de "R" y "E"

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Ordenamiento circular o cerrado

1

 Consideremos ocho amigos ("M", "I", "T", "C", "H", "E", "L", "O") en una mesa circular distribuidos simétricamente:

H E

C

L

T O

M

I

IZQUIERDA

• •

Siniestra Horario

⇒

Tomando como referencia a “M” observamos que:  "M" se encuentra frente a “H”.  A la derecha de "M" están: "I","T","C".  A la izquierda de "M" están: "L","O","E".  Junto y a la izquierda de "M" está "O".  Junto y a la derecha de "M" está "I".  Adyacentes a "M" están "O" e "I".  A tres sitios de "M" están "E" y "C".

DERECHA

• •

Diestra Antihorario

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Unidad I

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Conceptos básicos Aprende más... Enunciado Cierto día de sol, verano del 2011, tres parejas de esposos: López, Castro y Tipe deciden darse un relajo y van rumbo a un club campestre ubicado en Chosica. Un par de cuadras antes de llegar al lugar acuerdan hacer “una carrerita” para ver quien llega primero, obteniéndose así los siguientes resultados: • Los esposos llegaron antes que sus respectivas esposas. • El Sr. Castro no llegó primero y fue superado por una dama. • La Sra. Tipe llegó antes que el Sr. López. • La Sra. López llegó quinta, justo después de su esposo.

1. ¿Quién llegó en primer lugar? :

2. ¿Quién llegó a dos puestos de la Sra. Tipe? :

3. ¿En qué lugares llegaron el Sr. y la Sra. Castro respectivamente? :

Enunciado Aristóteles, Pitágoras, Galileo, Descartes, Euclides y Rufini se sientan simétricamente alrededor de una mesa circular, la cual tiene sillas numeradas en forma consecutiva del 1 al 6; además se sabe que: • Aristóteles se sienta en la silla 1 y no está frente a Pitágoras. • Descartes se sienta frente a Euclides, quien está sentado en la silla 3. • Galileo se sienta junto y a la derecha de Aristóteles. • Pitágoras no está junto a Euclides.

Responder:

4. ¿Quién se sienta junto y a la derecha de Rufini?

5. ¿Quién está en aquella silla, la cual está al frente de la mitad de su propia numeración?

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1

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Jair, Cecilia, Luis y Juana están sentados alrededor de una mesa circular discutiendo sobre sus deportes favoritos. Jair se halla frente al que práctica el trote, Cecilia a la derecha del que juega frontón, Juana frente a Luis, el golfista a la izquierda del tenista. Si a la derecha de Luis hay un hombre, ¿qué deporte practica cada uno?, relacionar correctamente:

I. Jair II. Cecilia III. Luis IV Juana

A. Trote B. Frontón C. Golf D. Tenis

I. ( ) II. ( ) III. ( ) IV. ( ) 2. En una carrera entre cinco autos se dio la siguiente información: • El auto celeste llegó tres puestos después del auto azul. • El auto negro llegó tres puestos después del auto rojo. • El auto blanco no llegó inmediatamente después del auto azul.

Por lo tanto, es verdad que:

I. En primer lugar llegó el auto rojo. II. El auto celeste y el auto negro llegaron antes del auto blanco. III. El auto blanco y el auto rojo llegaron antes que el auto negro.

a) Solo I d) II y III

b) I y II e) Todas

c) Solo III

3. Cinco autos enumerados del 1 al 5, participan en una carrera. Si se sabe que: • El auto 1 llegó en tercer lugar. • La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a 2. • La numeración del auto no coincidió con su orden de llegada.

Podemos afirmar:

I. No es cierto que el auto 2 llegó en último lugar. II. El auto 3 ganó la carrera. III. El auto 4 llegó después del auto 2.

Rpta.:

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4. La señorita Lupita es una excelente profesora del colegio Trilce. De lunes a viernes realiza diez actividades (identificadas del 1 al 10). Ordenar la siguiente información sobre sus actividades y luego responder: • La 4 se realizará tres días antes que la 7. • La 2 se realizará el mismo día que la 6 y dos días antes que la 3. • La 8 se realizará dos días antes que la 6 y un día antes que la 5. • La 9 se realizará después que la 7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. La 3 se realizará el mismo día que la 7. II. La 10 se realizará antes que la 2. III. La 1 se realizará después de la 4.

a) Solo II d) Solo I

b) I y II e) Solo III

c) II y III

Resolución de problemas 5. Gabriel es mayor que Ángel, Renzo es menor que Chelo, Giancarlo es menor que Renzo y Ángel es más viejo que Chelo. Entonces:

a) Ángel es el menor b) Chelo es el menor c) Giancarlo es el menor d) Gabriel es menor que Renzo e) Ángel no es mayor que Giancarlo

6. La señora Fortunata vive en el distrito de La Victoria en un edificio de cuatro pisos. Cada piso fue heredado a cada una de sus hijas y están dadas de la siguiente manera: Chame vive un piso más arriba que Rosa, Gloria habita más arriba que Julia, y Chame vive más abajo que Julia. ¿En qué piso vive Julia?

a) Primero d) Cuarto

b) Segundo e) Ninguno

c) Tercero

7. Sabiendo que la Chilindrina tiene más dinero que el Chavo pero menos que doña Florinda, quién a su vez tiene lo mismo que el profesor Jirafales, quien tiene menos que el Sr. Barriga, podemos afirmar: I. El Sr. Barriga tiene más dinero que la Chilindrina. II. El Chavo tiene menos dinero que el profesor Jirafales. III. El Chavo es el que tiene menos dinero.

a) I y II d) Todas

b) II y III e) Solo I

c) I y III

Unidad I

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8. Seis amigos van al "Parque de los Anillos" y encuentran seis asientos. Se sabe que: • Pepe Lucho está junto y a la izquierda de Teófilo. • Sandalio está junto y a la izquierda de Higadencia. • Cerafino está a la izquierda de Teófilo. • Rigoberto está a la derecha de Pepe Lucho y a la izquierda de Sandalio.

Graficar el esquema correspondiente de los seis elementos y responder:

I. ¿Cuántas personas están a la izquierda de Teófilo? II. ¿Quién está entre Cerafino y Teófilo? III. Si se cuentan dos lugares a la derecha de Pepe Lucho, ¿quién está?

9. Después del clásico peruano "U" vs "Alianza" seis barristas deciden ir a almorzar a un restaurante cerca al Estadio Monumental. Llegando al local se sientan en una mesa simétricamente circular de la siguiente manera:  Roger está frente a Alex y al costado de Windoyo.  Windoyo está frente a Peluso.  Pocho está entre Roger y Peluso.  Alex no está a la izquierda de Chavito. I. ¿Quién está junto y a la derecha de Peluso? II. ¿Junto a quiénes está Chavito? 10. Seis amigos: Mujeres ("La tangente", "La cuerda", "La hipotenusa") y Hombres ("El obtuso", "El recto", "El llano") del salón de Geometría del profesor Gamboa han decidido sentarse en una circunferencia y en seis puntos ubicados simétricamente. Si se sabe que: • Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. • "La tangente" se sienta junto y a la derecha de "El obtuso" y frente a "El recto". • "La cuerda" está frente al que está junto y a la derecha de "La tangente".

• "A" no está al lado de "B". • "B" está al lado de "E" y "D". • "C" está a la derecha de "E".

I. ¿Quién está junto y a la izquierda de "D"? II. ¿Quién está entre "A" y "B"?

12. En una mesa circular se sientan ocho amigos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Si se sabe que: • "H" está al frente de "A" y "D" frente a "G". • "D" no está a la izquierda de "A" pero sí a la izquierda de "E". • "B" está frente a "E" y a la derecha de "G". • "C" está frente a "F"; "F" está a la derecha de "B" y "H" no está junto a "F".

¿ Quién está junto y a la derecha de "A"?

a) G d) F

b) C e) D

c) E

13. Un alumno se recrea todos los fines de semana, jugando en Play 3 "Mario car"; en el cual solo intervienen siete participantes donde no hay empates, se sabe que: • "Koopa" llegó cinco puestos detrás de "Yoshi". • "Mario" llegó detrás de "Yoshi". • "La princesa" llegó detrás de "Luigui" • "Honguito" llegó un puesto detrás de "Koopa"

Si el alumno escogió "Sega", él llegó:

a) Entre "Yoshi" y "Luigi". b) Entre "La princesa" y "Luigi". c) Dos puestos detrás de "La princesa". d) Antes de "Koopa". e) Antes de "Yoshi".

Aplicación cotidiana 14. La Asociación de Tiro Olímpico (ATO), por la celebración de su 70 Aniversario en el Perú, realizó un concurso en el distrito de La Victoria donde hubieron siete participantes. Cuatro de ellos: Andrés, Beto, Carlos y Daniel, son expertos y los otros tres: Emilio, Francisco y Gerardo, son novatos. Sabiendo que:

Responder:

I. ¿Quién está frente a "La hipotenusa"?

II. ¿Quién está entre "El obtuso" y "El recto"?

11. Cinco personas ("A", "B", "C", "D" y "E"), se sientan simétricamente alrededor de una mesa pentagonal, una por lado. Se sabe que:

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• Para que un novato dispare debe ser antecedido y seguido inmediatamente por un experto. • Francisco disparó en segundo lugar, mientras que Carlos es el último experto en disparar. • Beto dispara antes que Daniel pero después de Andrés. • El último en disparar es un experto.

¿Cuál de las siguientes alternativas no es necesariamente correcta?

a) Gerardo disparó después de Francisco. b) Carlos disparó después de todos los novatos. c) Francisco es el primer novato en disparar. d) Emilio disparó antes que Daniel. e) Daniel disparó entre Emilio y Gerardo.

15. Un matemático invitó a cinco personas a una conferencia, los nombres de las seis personas que se reunieron alrededor de una mesa circular eran: Einstein, Newton, Euler, Gauss, Pascal y Laplace. Las especialidades de ellos eran: Probabilidades, Relatividad, Cálculo, Ecuaciones, Gravedad y Sucesiones. El especialista en Gravedad que tenía discrepancias con Pascal, se sentó frente a Einstein. El especialista en Probabilidad se sentó entre el especialista en Ecuaciones y el especialista en Gravedad. Laplace se sentó a la derecha del especialista en Relatividad y frente al experto en Sucesiones. El especialista en Relatividad se sentó frente a Gauss, junto al de Probabilidad y a la izquierda del experto en Gravedad. ¿Quién es especialista en Probabilidad?

a) Einstein d) Gauss

b) Newton e) Pascal

1

c) Euler

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Ángel, Boris, César y Diego se sentaron a beber alrededor de una mesa circular. Se sabe que: • • • •

El que se sentó a la izquierda de Boris bebió agua. Ángel estaba frente al que bebió vino. Quien se sentaba a la siniestra de Diego, bebía gaseosa. El que bebía café y el que bebía agua estaban frente a frente.

¿Qué bebió César y quién tomaba vino?

a) Gaseosa - Ángel d) Gaseosa - Diego

b) Café - Diego e) Café - Boris

c) Agua - Ángel

2. Las letras "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G" representan, no necesariamente en ese orden, siete números consecutivos entre 1 y 10. Se sabe que "A" es mayor que "D" en tres unidades. "B" es el término central. "B" es mayor que "F" y "C" es mayor que "D". "G" es mayor que "F" y además la diferencia entre "F" y "B" es igual a la diferencia entre "C" y "D". ¿Cuál es la mayor?

a) A

b) C

c) D

d) E

e) G

3. Patty, Paola, Percy y Pamela se encuentran sentados en una fila de cuatro sillas numeradas del 4 al 7. Gabo al pasar frente de ellos los mira y dice: "Percy está al lado de Paola, Patty está entre Percy y Paola"; pero sucede que las dos afirmaciones que hizo Gabo son falsas. En realidad Percy está en la silla número 6. ¿Quién se sienta en la silla número 5?

a) No se puede determinar d) Patty

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b) Paola e) Pamela

c) Percy

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Enunciado En un campeonato participan cincos equipos. Se sabe que el equipo azul tiene cuatro participantes más que el equipo rojo, el equipo verde tiene tres participantes más que el rojo, el equipo amarillo tiene cuatro participantes menos que el verde, el equipo negro dos participantes menos que el verde. 4. Si entra un equipo blanco con diferente número de participantes que los anteriores ¿entre qué equipos estaría?

a) Rojo - negro d) Azul - amarillo

b) Amarillo - rojo e) Negro - verde

c) Rojo - verde

5. Si entre los equipos hay 69 participantes, ¿cuántos corresponden al equipo verde?

a) 10

b) 9

c) 11

d) 12

e) 13 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En un edificio de cuatro pisos viven cuatro profesoras: Shirley, Angélica, Kenyo y Úrsula. Si se sabe que: • Angélica no vive junto a Shirley ni a Kenyo. • Kenyo vive más arriba que Shirley. • Úrsula vive más arriba que Angélica.

6.

Cinco alumnos rinden un examen, si se sabe que:  "B" obtuvo un punto más que "D"  "D" obtuvo un punto más que "C"  "E" obtuvo dos puntos más que "D"  "B" obtuvo dos puntos menos que "A"

Ordenarlos en forma creciente.

7. Cinco amigos están sentados en una banca en el cine, ubicados uno a continuación de otro. Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacente. Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan, Zenaida está en un extremo. Si Silvia y Manuel están peleados, ¿quién se sienta al lado de Silvia? Enunciado En una carrera de autos participaron: Veloz, Rápido, Raudo, Saeta y Bala y se sabe que no hubo empates. Además: • Rápido llegó dos puestos antes que Saeta. • Veloz llegó antes que Bala y Raudo. • Raudo llegó antes que Rápido.

¿Junto a quienes vive Úrsula?

2. Pancho es mayor que Lucho, Anacleto es menor que Antonio, Zoila es mayor que Antonio. Además Lucho es mayor que Zoila. Entonces es cierto que:

a) Lucho es el menor b) Antonio es el menor c) Zoila es la menor d) Pancho es menor que Anacleto e) Lucho no es menor que Zoila

Enunciado Cinco amigos viven en casa contiguas, además: • Alberto vive a la derecha de Pedro. • Sergio vive entre Pedro y Martín. • Fabio vive a uno de los extremos justo al lado de Alberto. • Martín vive a la izquierda de Pedro. 3. ¿Quién vive a la derecha de las otras personas? 4. ¿Quién vive a la izquierda de las otras cuatro personas? 5. ¿Quién vive en el centro?

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8. ¿Quién llegó en primer lugar? 9. ¿A cuántos autos superó Rápido? 10. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simétricamente, y se sabe que:  Pilar no se sienta junto a Julia.  Pamela se sienta junto y a la derecha de Julia. ¿Dónde se sienta Jorge?

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11. En una mesa circular, seis súper héroes: Batman, Robin, Superman, Acuaman, Flash y La Mujer Maravilla se ubican simétricamente y se sabe que: • Superman está a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuaman. • Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuaman.

¿Quién está al frente de Flash?

12. Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F", se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además: • "D" no se sienta junto a "B". • "A" se sienta junto y a la derecha de "B" y frente a "C". • "E" no se sienta junto a "C".

¿Junto a quiénes se sienta "F"?

13. En un restaurante cinco personas se sientan alrededor de una mesa circular de cinco sillas y piden una gaseosa para cada una: tres Concordias y dos Pepsi Cola y se sabe que: • Los que piden Pepsi Cola no se sientan juntos. • Betty no se sienta junto a Olga, pero ambas piden Concordia. • Oscar que no pide Pepsi Cola, se sienta junto a Betty pero no junto a Manuel. • Mientras los otros conversan César terminaba su gaseosa.

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Podemos afirmar que:

a) Oscar se sienta junto a Olga.

b) No es cierto que Olga no se sienta junto a Manuel. c) No es cierto que Betty no se sienta junto a César. d) No es cierto que Manuel no se sienta junto a Betty. e) Más de una es correcta.

1

14. En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan cinco hermanos: Erica, Fabiola, Miluska, Gisela y Francisco. Si se sabe que: • Francisco y Miluska no se sientan juntos. • Gisela se sienta junto a Erica y Francisco. • Fabiola se sienta frente a Gisela.

¿Quién se sienta frente al lugar vacío?

15. Seis amigos juegan al póquer alrededor de una mesa redonda. Además se sabe que: • Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José. • Fernando no está al lado de Gustavo ni de José. • Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando. • Pedro está junto y a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Fernando?

Unidad I

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Cuadro de decisiones

Cuadro de decisiones En este capítulo aprenderemos a: •

Establecer y asociar relaciones entre individuos y características.

•

Elaborar cuadros de entrada múltiples.

Un diálogo especial

Rosa

Víctor estudia Ingeniería Metalúrgica y es amigo con la de Arquitectura Víctor

Karen

La que estudia Mecatrónica conoce a Karen

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Saberes previos • • •

Tener conocimientos de ordenar información lineal y circular. Tener juicio de una sola premisa, es decir, que se llega a una conclusión directa sin intermedios. También conocer que la premisa mayor contiene la proposición universal, de su comparación resulta la conclusión.

Conceptos básicos A medida que avanzamos nos encontramos con problemas con una gran variedad de información y tenemos que ir aprendiendo la mejor forma de poder resolverlos. A continuación veremos ejercicios donde existirá una relación de sujetos con varias características dadas, para lo cual es recomendable utilizar una tabla o cuadro de doble entrada, llamada también cuadro de decisiones o cuadro de afirmaciones para así poder organizar con facilidad la información proporcionada. Generalmente se ponen a los sujetos en la parte vertical (columna de entrada) y las características en la parte horizontal (fila de entrada) y que en ocasiones en algunos cuadros de decisiones no se llenarán todas las casillas.

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Unidad I

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10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos Enunciado La empresa de transporte urbano "LOS CHINOS" S.A. ubicado en Villa El Salvador, tiene como recepcionistas a tres simpáticas señoritas cuyas edades son: 19; 22 y 25 años; después del trabajo gustan de ver TV, viendo cada una un programa diferente. Yolanda es mayor que la menor de todas, pero menor que la mayor. A la mayor de todas le gustan los noticieros. Anhelí canta todo el día en la oficina. Giuliana ha engordado ahora último. Una de ellas siempre llega cuando su telenovela favorita ha comenzado y la que tiene cabello largo observa videos musicales. Resolución

1. ¿Qué programa observa la mayor? 2. ¿Qué programa observa la de edad intermedia? Enunciado Después de varios años de terminar el colegio, cinco ex alumnos graduados en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos ejercen diferentes profesiones: Veterinario, Investigación Operativa, Antropólogo, Trabajo Social y Matemático; y viven en ciudades distintas: Moquegua, Lambayeque, Loreto, Pasco y Ucayali. Además: • A Marcelino le hubiera gustado ser Antropólogo y quisiera vivir en Ucayali. • El que vive en Pasco es de Investigación Operativa y el de Trabajo Social vive en Ucayali. • Ni Hugo ni Marcelino viven en Pasco. • El Matemático no vive en Loreto y Richard no sabe curar animales. • José es el mejor amigo del de Investigación Operativa y viajará a Lambayeque para visitar al Antropólogo. • Dante viaja a Moquegua para participar en un congreso de veterinarios. Resolución

3. ¿Quién vive en Moquegua?

4. José es el mejor amigo de: 5. ¿A quién visitará José? Colegios

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sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática Enunciado En la zona de Olimpo-Ate, se conocieron desde la niñez tres personas haciéndose grandes amigos, ellos compartían buenos momentos, eran como hermanos, eran amigos inseparables; pero ya terminado el colegio todo cambia para ellos, cada uno tomó un rumbo diferente, así entonces pasaron varios años, y ahora de cada uno se sabe lo siguiente:  Diego no vive en Lima.  Enrique no vive en Piura.  El que vive en Lima no es religioso.  El que vive en Piura es político.  Marco no es profesor y vive en Huancayo. 1.

Completar: • ....................vive en Lima • Enrique es................. y vive en................ • ...............es religioso y vive en..................

Enunciado De tres amigas que van de viaje se sabe que una es rubia; otra morena y la otra china. Sus nombres son: Betty, Elsa y Sara, no necesariamente en ese orden, además cada una viaja a un país diferente de Europa: una viaja a Alemania; otra a Francia y la otra a España. Si cada una dio la siguiente información:  La rubia: "No voy a Francia ni a España"  La morena: "Mi nombre es Betty"  La china: "Ni yo, ni Elsa vamos a Francia"

Enunciado Tres estudiantes universitarios estudian en universidades diferentes: UNI, San Marcos y Villarreal, además viven en sitios diferentes: Salamanca, Santa Anita y La Molina. Se sabe que el que vive en La Molina estudia en la Villarreal. Jorge es amigo de Gerson y ambos siempre visitan al que estudia en la UNI. Claudio nunca estuvo en La Molina ni en Santa Anita y Jorge estudia en San Marcos. 3. Relacionar: I. Jorge II. Claudio III. Gerson

A. Salamanca B. La Molina C. Santa Anita

II. ( )

I. ( )

III. ( )

Resolución de problemas 4. Tú, yo y él sentimos hambre, frío y sed (no necesariamnete en ese orden). Si tú me das de comer, entonces yo te abrigo. Entonces él siente:

a) hambre d) dolor

b) frío e) calor

c) sed

Enunciado Ayer escuché al comentarista peruano de RPP noticias, que falta una fecha más para la clausura del fútbol peruano, y están entre los equipos "U", "AL", "SC", y entre estos destacan tres jugadores "A", "B" y "C", cada uno lleva un número diferente en su camiseta: 5; 7 ó 10 y juegan en un puesto diferente: defensa, volante o delantero. Además:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta: Proposición

V/F

Justificar

La china es Sara y se va a Francia La rubia es Elsa y se va a Alemania

 "A" no es defensa y lleva el número 7.  "B" juega en "SC" y no lleva el número 10.  El delantero lleva el número 10 y es amigo del que juega en la "U".

La china es Betty y se va a España

La morena es Betty y se va a España.

5. Señala el equipo y el número de "A"

La rubia es Sara y se va a España.

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a) "U"; 10 d) "SC"; 10

b) "AL"; 5 e) "U" ; 7

c) "AL" ; 7

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6. El equipo y puesto de "C" es:

a) "U" ; delantero c) "SC" ; volante e) "AL" ; delantero

b) "AL" ; defensa d) "SC" ; defensa

7. Mily, Pili, Lenin y Ely terminaron sus estudios de Medicina, Ingeniería, Matemática, y Derecho; se sabe que:  Mily no estudia Medicina.  Pili hubiera estudiado Derecho si Lenin hubiera estudiado Ingeniería.  Ely quiere empezar a estudiar Matemática.  Lenin estudiaría Medicina si Pili no lo hiciera.  Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a Matemática. ¿Qué estudia Ely?

a) Medicina b) Ingeniería c) Derecho d) Matemática e) Ninguna

8. Almorzaban juntos tres políticos: El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Amarillo; uno llevaba corbata blanca, otra corbata roja y el otro corbata amarilla pero no necesariamente en ese orden. "Es curioso dijo el señor de corbata roja, nuestros apellidos son los mismos que nuestras corbatas, pero ninguno lleva la que corresponde al suyo". "Tiene Ud. razón", dijo el señor Blanco. ¿De qué color llevaba el señor Amarillo, el señor Rojo y el señor Blanco, respectivamente?

a) b) c) d) e)

Blanco, rojo, amarillo. Rojo, amarillo, blanco Amarillo, blanco, rojo. Rojo, blanco, amarillo. Blanco, amarillo, rojo.

9. Después de una dura mañana en la Facultad de Informática: Álvaro, Daniel, Paco, Enrique, Carmen y Luis se encuentran en el comedor. Sabemos que: • Cada uno escoge un plato. • Daniel, Carmen y el aficionado al pescado aprecian el vino blanco. • Paco mira con envidia a las personas que eligieron pavo, pato a la naranja y tortilla. • Álvaro y Daniel están situados frente a los que degustan la tortilla de patata y el pato a la naranja. • Álvaro y Enrique han elegido cada uno los dos platos de bistec que habían.

¿Quién ha pedido pavo? :

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TRILCE

10. Tres hermanas: Sandra, Blanca y Vanessa, después de casarse escogen un distrito diferente para vivir y usan un medio de transporte para movilizarse. Los distritos son: Lince, Jesús María y San Borja, los medios de transporte son: automóvil, moto y microbús. Cuando Blanca tenga dinero se comprará una moto, y se mudará a San Borja, desde que Vanessa vive en Jesús María ya no tiene automóvil; la que vive en Lince toma dos microbuses. ¿Quién vive en San Borja y cómo se moviliza?

a) b) c) d) e)

Vanessa - automóvil. Blanca - automóvil Sandra - moto Sandra - automóvil Blanca - microbús

11. Lola, Lili, Lulú y Lali van a unas galerías. Una de ellas compra un pantalón, otra una chompa, la tercera una blusa y la última un abrigo. • En cada galería se realiza una sola compra. • Lola compra en la galería "Ana María". • Los pantalones se venden en "Camino Real". • Lulú comprará en galerías "Cueto". • Lola no compra un abrigo. • Una de las galerías es "El Manantial". • Lili compró la blusa. ¿Quién compró en "Camino real" y qué adquirió?

a) Lola - chompa c) Lulú - pantalón e) Lali - pantalón

b) Lili - pantalón d) Lulú - abrigo

Enunciado Renato, Javier, Antonio y Santiago son: escritor, historiador, periodista y filósofo, aunque no necesariamente en ese orden. Todos ellos fuman, excepto uno y sus marcas de cigarro preferidos son: Hamilton, Winston y Premier. • El que prefiere Hamilton es vecino del filósofo y no es periodista. • Antonio estudió con el historiador en el colegio y siempre ha preferido fumar Winston. • Al escritor no le gusta Hamilton porque prefiere cigarrillos más fuertes como Premier. • Javier es más joven que el periodista y nunca ha fumado. • El escritor es Renato y es más joven que el que fuma Hamilton. 12. ¿Quién es el historiador?

a) Renato d) Santiago

b) Javier c) Antonio e) No se puede determinar

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13. Marca lo verdadero:

14. ¿Quién fuma Winston?

a) b) c) d) e)

Javier es filósofo y fuma Premier Renato es historiador y fuma Premier Santiago es periodista y no fuma Antonio es periodista y fuma Winston Renato es escritor y fuma Hamilton


2


15. ¿Quién fuma Hamilton?



socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC Enunciado Cuatro personas: Aldo, Bruno, Ciro y Diana, tienen cada uno, una nacionalidad diferente: argentina, boliviana, uruguaya y peruana. Además, cada uno tiene un auto de diferente marca: "W"; "X"; "Y" y "Z"; y de diferente color: azul, blanco, celeste y rojo. • • • • •

Bruno tiene el auto de marca "Y". El peruano tiene el auto de color blanco y marca "X". El auto rojo es de marca "W". Diana es boliviana Aldo tiene un auto de color celeste.

1. ¿Qué nacionalidad tiene Bruno? a) Argentina b) Boliviana c) Peruana d) Uruguaya e) No se puede determinar 2. El auto de marca "Y" es de color: a) Azul b) Blanco c) Celeste d) Rojo e) No se puede determinar 3.

Podemos deducir con certeza que: I. Aldo es peruano. II. Ciro tiene un auto rojo. III. Diana no es argentina.

a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) I y III

c) Solo III

4. La asociación correcta es:

a) b) c) d) e)

Aldo - argentino - auto blanco. Bruno - auto blanco - marca "Y". Ciro - peruano - marca "X". Diana - auto rojo - marca "Z". Ninguna de las anteriores.

5. Para determinar qué nacionalidad tiene cada uno, basta saber que: I. Aldo es uruguayo. II. Ciro es peruano.

a) b) c) d)

El dato I es suficiente y el dato II no lo es. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos Enunciado I: Alexia, Karín, Meche y Sofía tienen, cada una, una mascota diferente: tortuga, perro, gato y canario, aunque ninguna en ese orden. Y se sabe que: • •

Alexia le dice a la dueña del gato que la o t r a tiene una tortuga. Karín le dice a la dueña de la tortuga que su mascota y la de Meche se llevan bien.

1. ¿Qué mascota tiene Sofía? 2. Si Meche tiene un perro, entonces se puede afirmar con certeza que:

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3.

I. Karín tiene un canario. II. Alexia tiene un canario III. El gato y el canario se llevan bien.

a) Karín tiene un perro b) Alexia tiene un canario c) Meche tiene un gato d) Alexia tiene un perro e) Karín tiene un canario

Si Alexia no tiene un canario, entonces se puede afirmar con seguridad que:

Unidad I

19


Enunciado II: Tres amigas: Ana, Beatriz y Carmen que viven en diferentes lugares: Ica, Lima y Cusco, practican un deporte diferente. Sabiendo que: • Ana no vive en Ica y Beatriz no vive en Lima. • La que vive en Lima practica el vóley. • La que vive en Ica no practica canotaje. • Beatriz no practica natación. 4. Se puede afirmar:

a) Ana practica canotaje. b) Beatriz practica vóley. c) Carmen vive en Cusco. d) Ana vive en el Cusco y practica canotaje. e) Carmen vive en Ica y practica natación.

Enunciado III: Jesús, Juan Ramón y Anthony son tres niños nietos de la carismática Sra. Fortunata, a ellos les gusta jugar con una pelota, un avión y un triciclo (no necesariamente en ese orden). Sus lugares favoritos para jugar son: el parque, el edificio y la sala de la casa. Jesús no juega con la pelota y Juan Ramón no juega con el avión. El que juega con el avión lo hace en su edificio. En el parque está prohibido jugar con la pelota. A Juan Ramón le prohibieron jugar en la sala de su casa. Responder: 5. ¿Dónde juega Anthony? 6. ¿Quién juega en su edificio? 7. ¿Dónde juega el que está prohibido de jugar en la sala de su casa? Enunciado IV: Jorge, Fernando, Luis y Robin, tienen un negocio diferente cada uno: calzados, textiles, computadores y relojes y sus edades son: 30; 32; 45 y 50 años, pero no necesariamente en ese orden. Se sabe que: • Fernando tiene el negocio de calzados. • El mayor tiene el negocio de textiles. • La persona que tiene el negocio de computadoras es el menor. • Jorge es mayor que Luis, pero es menor que Fernando. • Robin no es el menor.

9. ¿Quién es el menor? 10. ¿Quién tiene el negocio de relojes? Enunciado V: En una sala de conferencias se encuentra un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres, aunque no necesariamente en ese orden, de las profesiones son: Pedro, Daniel, Juan y Luis. Si se sabe que: • Pedro y el contador no se llevan bien. • Juan se lleva muy bien con el médico. • Daniel es pariente del abogado y este es amigo de Luis. • El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico. Responder: 11. ¿Quién es el abogado? 12. Completar

Enunciado VI: Antonio, Camilo y Pedro tienen dos ocupaciones cada uno: tornero, cestero, armero, pescador, flautista y guardián. Se sabe que: • El tornero y el guardián fueron compañeros de clase en la escuela. • El guardián y el pescador frecuentemente discutían de política con Antonio. • El armero vendió al cestero una daga con empuñadura plateada. • El tornero solía visitar en su taller al armero. • Camilo practicaba fútbol con el pescador. • Pedro concurrió con Camilo y el armero al cine. Responder: 13. ¿Qué ocupación tiene Camilo? 14. ¿Quiénes fueron compañeros de clase? 15. Completar:

• Concurrieron al cine: ............... , ............... y .......................

• Antonio tiene las ocupaciones de : ............... y ......................

Responder: 8. ¿Quién es el mayor?

Colegios

20

TRILCE

• Pedro es............................y no se lleva bien con el contador el cual es ........................... • El ingeniero es..............y se lleva bien con Luis el cual es ..........................

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3

Juegos lógicos En este capítulo aprenderemos a: •

Ejercer criterios en la deducción estructurada.

•

Analizar y relacionar datos para solucionar situaciones lógicas.

Una singular carrera Cuatro amigos: Romy, Pepe, Juan y Carmen compiten en una carrera, si Juan llegó dos puestos antes que Carmen, ¿cuántos ordenamientos posibles se podrán realizar?

Romy

Pepe

Juan

http://www.cdcantera.com/nueva/index.php?option=com_content&task=view&id=7&Itemid=38

Carmen

Central: 619-8100

Unidad I

21

Juegos lógicos

Saberes previos •

Ordenar la información en forma lineal y circular, así como establecerlo en un cuadro de decisiones.

Conceptos básicos Nuestro cerebro es la creación más extraordinaria y compleja en el Universo, por lo tanto vale la pena alimentarlo, nutrirlo, y proporcionarle desafíos. Funciona mucho mejor de lo que podríamos imaginar. En este capítulo, utilizaremos las mismas estrategias dadas en los capítulos anteriores, con la condición que ahora nuestro análisis a los ejercicios será con mayor énfasis, detallando todos los casos posibles a localizar.

Síntesis teórica

Por

en un

Colegios

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TRILCE

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10 x 5 50

3

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Juego I Llegando de un arduo trabajo y de transitar por la avenida Evitamiento, cuatro amigos con diferentes medios de transporte (tico, combi, custer y camión) desean ir a descansar a sus hogares, pero primero se van a comer chifa, cerquita a Puente Nuevo; y estacionan sus medios de transportes, juntos y en una fila: La combi y la custer no están juntos. 1. Si el tico se estacionó junto y a la derecha de la combi ¿de cuántas maneras puede ser el ordenamiento de los medios de transporte?

Juego II Este domingo a las 3:30 p.m. se jugará el primer "play off" del clásico peruano en el estadio Matute, entre estos dos equipos resaltan los siguientes jugadores: Chumpitaz, Cubillas, Sotil, Cueto, Uribe y Challe. En cada partido, cada uno jugará en un puesto determinado. Se sabe que: • Chumpitaz puede jugar de arquero; defenza izquierdo o defensa derecho. • Cubillas solo puede jugar de arquero o central. • Sotil solo puede jugar de defensa izquierdo o central. • Cueto solo puede jugar de arquero, defensa izquierdo o delantero izquierdo. • Uribe solo puede jugar de delantero izquierdo, delantero derecho o defensa derecho. • Challe solo puede jugar de defensa derecho o delantero derecho. 2. Si Chumpitaz juega de defensa derecho, es posible que:

I. Sotil juega de defensa izquierdo. II. Cubillas juega de arquero. III. Cueto juega de delantero izquierdo.

Central: 619-8100

Unidad I

23

Juegos lógicos

3. Si Chumpitaz juega de arquero, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. Cubillas juega de central. II. Cueto juega de delantero izquierdo. III. Uribe juega de delantero derecho.

4. Si Cubillas juega de central, entonces es imposible que:

I. Uribe juegue de delantero izquierdo. II. Chumpitaz juegue de defensa derecho. III. Cueto juegue de defensa izquierdo.

5. Si Sotil no juega de defensa izquierdo, entonces es necesariamente cierto que: I. Challe juega de defensa derecho. II. Cueto juega de defensa izquierdo. III. Cubillas juega de arquero.

Colegios

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TRILCE

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3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática Juego I 1. Saturno, Betina, Judas, Raimundo, Valeska y Oliverio se sientan alrededor de una mesa circular con asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: • Saturno se sentó frente a Betina. • Raimundo no se sentó frente a Judas ni a Valeska. • Judas se sentó junto y a la izquierda de Saturno

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta: Proposición

V/F

Justificación

• Betina se sienta junto a Raimundo y a Valeska

• Es imposible que Judas se siente junto a Valeska

Juego II Cinco autos numerados del 1 al 5 participan en una carrera. Si se sabe que: • El auto 1 llegó en tercer lugar. • La diferencia en la numeración de los dos últimos autos en llegar fue igual a 2. • La numeración de los autos no coincidió con su orden de llegada. • No hubo empates. 2. Si el auto 3 llegó en último lugar, ¿quién llegó en segundo lugar?

Central: 619-8100

b) El auto 3 c) El auto 4 e) No se puede determinar

Juego III En una carrera de caballos hubo cinco participantes: Rata blanca, Remaldito, Ricotón, Robotito y Rudolfo. Se sabe que: • No hubo empates. • Robotito llegó antes que Rata blanca, quien llegó en cuarto lugar. • Ricotón llego inmediatamente después que Rudolfo. Responder: 4. Si Rudolfo llegó segundo, ¿qué caballos pueden haber llegado en primer y tercer lugar; respec-tivamente?

Resolución de problemas

b) El auto 3 e) El auto 1

a) El auto 1 d) El auto 5

a) Rata blanca y Remaldito b) Remaldito y Ricotón c) Ricotón y Robotito d) Robotito y Ricotón e) Rudolfo y Rata blanca

5. Si Remaldito llegó a dos puestos Ricotón,¿qué afirmación es correcta? I. Robotito ganó la carrera II. Ricotón llegó segundo III. Rudolfo llegó segundo

• Si Raimundo está junto a Saturno, entonces Valeska no está a la derecha de Betina.

a) El auto 2 d) El auto 5

• Si Betina se sienta a la derecha de Oliverio entonces Raimundo se sienta junto a Betina.

3. Si el auto 4 llegó en último lugar, ¿quién llegó en segundo lugar?

c) El auto 4

a) I y II d) I y III

b) II y III e) Solo III

de

c) Solo I

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es imposible?

a) Robotito ganó la carrera b) Rudolfo ganó la carrera c) Robotito llegó segundo d) Ricotón llegó segundo e) Ricotón llegó tercero

7. Si Ricotón llegó después que Robotito, ¿qué afirmación es correcta?

a) Rudolfo ganó la carrera b) Ricotón llegó segundo c) Robotito ganó la carrera d) Rudolfo llegó tercero e) Ninguna es correcta

Unidad I

25

Juegos lógicos

Juego IV Seis amigos: Alexis, Carla, Mitchel, Steven, Robert y Víctor, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que Steven está sentado frente a Carla, y Mitchel está sentado junto a Robert y junto a Carla. Responder: 8. Si Alexis se sienta junto a Steven, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Robert está a la derecha de Steven b) Mitchel se sienta frente a Alexis c) Carla está a la izquierda de Víctor d) Alexis se sienta frente a Robert e) Mitchel se sienta a la izquierda de Steven

9.

Podemos afirmar con certeza que: I. Robert se sienta frente a Alexis II. Víctor se sienta a la derecha de Robert III. Alexis y Víctor se sientan juntos

a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) Ninguna

c) Solo III

10. Para determinar en qué orden se encuentran sentados, es suficiente saber que: I. Alexis se sienta a la izquierda de Mitchel. II. Robert se sienta a la izquierda de Víctor.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.

Juego V Alejandra, Maritza, Aylin, Daniela y Juana deben realizar cinco tareas: "P", "Q", "R", "S" y "T", teniendo en cuenta las siguientes condiciones: • • • • • •

Cada persona realizará una tarea diferente Alejandra solo puede realizar las tareas "S", "T" o "P" Maritza solo puede realizar las tareas "Q" o "S" Aylin solo puede realizar las tareas "T" o "Q" Daniela solo puede realizar las tareas "S", "T" o "R" Juana solo puede realizar las tareas "P", "Q" o "R"

Responder: 11. Alejandra, Maritza, Aylin, Daniela y Juana podrán realizar, respectivamente, las tareas...

a) S, T, P, Q y R c) T, S, Q, R y P e) T, S, P, R y Q

Colegios

26

TRILCE

12. Si Alejandra realiza la tarea "S", entonces es verdad que:

a) Daniela realiza la tarea "T". b) Maritza realiza la tarea "Q". c) Juana realiza la tarea "R". d) Aylin realiza la tarea "Q". e) Juana realiza la tarea "Q".

13. Si Maritza realiza la tarea "S" y Aylin realiza la tarea "T", entonces es cierto que:

I. Alejandra realiza la tarea "P". II. Daniela realiza la tarea "R". III. Juana realiza la tarea "Q".


b) II y III e) Ninguna

c) Todas

14. Si Daniela realiza la tarea "S", entonces es verdad que:

a) Aylin realiza la tarea "Q". b) Maritza realiza la tarea "S". c) Juana realiza la tarea "P". d) Juana realiza la tarea "Q". e) Alejandra realiza la tarea "P".

Juego VI Seis autos numerados del 1 al 6 participaron en una carrera. Respecto del orden en el que llegaron a la meta, se conoce la siguiente información: • • • • •

El auto 1 llegó en tercer lugar. El número de ninguno de los autos coincidió con su orden de llegada. Los números de los dos últimos autos en llegar a la meta se diferencian en 2. Los números de los primeros autos en llegar a la meta se diferencian en 3. No hubo empates.

Responder: 15. ¿Cuál de los siguientes es un posible orden de llegada, del primero al último?

a) 2; 5; 1; 3; 4 y 6 c) 6; 3; 1; 5, 4 y 2 e) 2; 4; 1; 5; 3 y 6

b) 5; 2; 1; 4; 6 y 3 d) 3; 6; 1; 3; 4 y 5

b) S, Q, T, P y R d) T, S, Q, P y R

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socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC Juego En un concierto se tocarán un total de seis melodías: "M", "N", "O", "P", "Q" y "R", por tres músicos: Bart, Homero y Lisa. Cada melodía se tocará una sola vez y solo por un músico. Las melodías se tocarán una después de la otra teniendo en cuenta lo siguiente: • "Q" debe tocarse antes que "O" y que "M". • "N" debe tocarse antes que "R" pero después de "M". • Bart solo es capaz de tocar "P", Q y "R". • Homero solo es capaz de tocar "O", "N" y "P". • Lisa solo es capaz de tocar "M", "N" y "P". • Quien toque la primera melodía no debe tocar la última.

1. ¿Cuál de los siguientes arreglos representa una posible programación de las melodías de la primera a la última del concierto?

a) P, O, Q, M, N y R b) P, R, Q, O, M y N c) P, M, Q, O, N y R d) Q, N, M, R, O y P e) Q, P, M, N, R y O

2. ¿Cuál de las siguientes es una lista completa de aquellas melodías que pueden ser tocadas en último lugar?

a) M, N y R d) O, P y R

b) M, O y P e) O, P y R

c) O, N y R

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Bart tocará la melodía "P" b) Homero tocará la melodía "M" c) Homero tocará la melodía "O" d) Lisa tocará la melodía "N" e) Lisa tocará la melodía "P"

4. Todos los siguientes ordenamientos representan programaciones posibles para las melodías de la primera a la última en ser tocada, excepto: a) Q, M, N, O, R y P b) Q, O, M, N, P y R c) O, P, M, N, R y Q d) P, Q, M, N, R y O e) P, Q, M, O, N y R

5. Si "Q" es la primera melodía del concierto, la segunda, tercera y cuarta melodía del concierto pueden ser, respectivamente:

a) O, P y M d) P, N y R

b) O, R y M e) P, O y M

c) P, M y N 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos Juego I En un campeonato participan cinco equipos. Se sabe que el equipo azul tiene cuatro participantes más que el rojo, el verde tiene tres participantes más que el rojo, el equipo amarillo tiene cuatro participantes menos que el verde, el equipo negro tiene dos participantes menos que el verde. Responder: 1. Si se ordenan los equipos de menor a mayor número de participantes, ¿cuál es el menor y el mayor (en ese orden)? 2. Si entra un equipo blanco con diferente número de participantes que los anteriores, ¿entre qué equipos estaría? 3. Si entre todos los equipos, incluyendo el blanco, hay 69 participantes, ¿cuántos corresponden al equipo verde?

Central: 619-8100

Juego II Sandra, Blanca, Jorge, Rocío, Víctor y Omar se sientan alrededor de una mesa circular con asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: • Sandra se sentó frente a Blanca. • Rocío no se sentó frente a Jorge ni a Víctor • Jorge se sentó junto y a la izquierda de Sandra. Responder: 4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. Rocío se sienta frente a Omar II. Víctor se sienta junto a Blanca III. Blanca se sienta junto a Rocío y Víctor

5. Si Blanca se sienta a la derecha de Omar, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. Víctor se sienta junto a Blanca y Omar II. Rocío se sienta junto a Blanca y Jorge III. Sandra se sienta junto a Omar y Jorge

Unidad I

27

Juegos lógicos

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones, no puede ser posible?

11. Si Enrique está enseñando Álgebra, entonces puede ser que:

a) Blanca se sienta junto a Rocío. b) Víctor se sienta junto a Omar. c) Rocío se sienta junto a Sandra. d) Jorge se sienta junto a Víctor. e) Omar se sienta junto a Sandra.

7. Si Rocío está junto a Sandra, ¿qué afirmación es verdadera?

I. Omar no está frente a Rocío II. Blanca no está a la derecha de Víctor III. Víctor no está a la derecha de Blanca

Juego III Un grupo de seis profesores del Colegio Trilce: Armando, Mitchel, Luis, Enrique, Hebert y José enseñan simultáneamente en seis salones del colegio. Se sabe que Armando enseña: Aritmética, Física y Trigonometría; Mitchel enseña: Razonamiento Matemático y Trigonometría; Luis enseña: Geometría y Trigonometría; Enrique enseña Álgebra y Física; José enseña: Aritmética, Física y Geometría. Responder: 8. Si Armando no está enseñando Aritmética, ¿quién podría estar enseñando dicho curso? 9. Si Armando está enseñando Física, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera?

I. Mitchel está enseñando Trigonometría II. Luis está enseñando Geometría III. Enrique está enseñando Álgebra

10. Si Mitchel está enseñando Razonamiento Matemático, entonces no puede ser que:

I. Armando esté enseñando Aritmética. II. Hebert esté enseñando Álgebra. III. José esté enseñando Geometría.

12. Si José está enseñando Física, ¿qué afirmaciones son verdaderas?

Colegios

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I. Armando está enseñando Trigonometría. II. Luis está enseñando Geometría. III. Hebert está enseñando Álgebra.

Juego IV Cinco personas: Alicia, Beatriz, Carmen, Dina y Elizabeth, tienen distintas aficiones: baloncesto, tenis, vóley, karate y danza, y prefieren colores diferentes: amarillo, azul, lila, rojo y verde. Se sabe lo siguiente: • • • • • •

La que prefiere el rojo no practica baloncesto. Beatriz no practica vóley y no prefiere el azul. Alicia no practica baloncesto. Quien practica vóley prefiere el verde. Dina practica karate y prefiere el verde. Elizabeth y Carmen no practican baloncesto ni vóley.

Responder: 13. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Beatriz practica danza. b) Carmen practica tenis. c) Elizabeth prefiere el color amarillo. d) Beatriz prefiere el amarillo. e) Carmen prefiere el color azul.

14. Si Carmen practica tenis, ¿quién prefiere el color azul? 15. Si Carmen practica danza y prefiere el color rojo, indica las afirmaciones verdaderas:

TRILCE

I. Armando esté enseñando Física. II. Luis esté enseñando Geometría. III. José esté enseñando Geometría.

I. Elizabeth practica tenis. II. Beatriz prefiere el azul. III. Elizabeth prefiere el amarillo.

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4

Diagramas En este capítulo aprenderemos a: •

Construir esquemas organizadores a partir de diagramas.

•

Ejercer la aptitud animada en conexión con la Matemática.

Conociendo el Perú •

Nuestro amigo "Chepe" vive en el lindo y cálido departamento de Piura, exactamente en la provincia de Huancabamba. Su madre le ha pedido que por favor recoja un pedido que su padre ha dejado en Tacna. ¿Cuántas rutas diferentes puede elegir en ir de Piura a Tacna, si no puede pasar dos veces por una misma ciudad?

Tumbes Loreto Piura Amazonas lambayeque

Cajamarca

San Martín

La Libertad

Áncash

Huánuco

Ucayali

Pasco Junín

Lima

Madre de Dios Cusco Ica

Apurímac Ayacucho

Puno

Arequipa Moquegua Tacna

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Unidad I

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Diagramas

Saberes previos • •

Tener nociones de orientación y dirección. Conocer las operaciones matemáticas elementales.

Conceptos básicos Este capítulo también es llamado: conexiones, ordenamiento con ramificaciones o red de caminos. Es necesario realizar un buen esquema que permita una correcta orientación y que sirva de guía o referencia al lugar que se quiera llegar.

Diagrama de Ruta

Es el nexo entre dos o más señales, sitios, localizaciones, etc. Se esquematizan a través de flechas.

Diagrama de flujo

Es un tipo de representación gráfica, cuyo objetivo fundamental es garantizar la modelación lógica. Los diagramas de flujo son graficados de arriba hacia abajo, y/o de izquierda a derecha, con líneas, las cuales tienen en la punta una flecha que indica la dirección donde fluye la información.

Síntesis teórica

Colegios

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TRILCE

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Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC Diagrama 1 ¡La vida o es una aventura atrevida o no es nada! es una frase citada de Helen Keller, usada por el comentarista radial de RPP noticias por fin de año, motivando a sus radio oyentes, viajar por nuestro hermoso Perú; recomendándoles que las siguientes rutas son las más apropiadas a seguir: • De Amazonas a Moquegua y viceversa • De Amazonas a Loreto y viceversa • De Moquegua a Loreto y viceversa • De Pasco a Loreto y viceversa • De Moquegua a Pasco 1. Si se encuentra en Amazonas y desear ir a Loreto, sin pasar dos veces por una misma ciudad, entonces ¿cuántas rutas diferentes podrá escoger? 2. Si se encuentra en Moquegua y desea ir a Amazonas, sin pasar dos veces por una misma ciudad, entonces ¿cuántas rutas diferentes podrá escoger? 3. Si se encuentra en Loreto y desea ir a Moquegua, sin pasar dos veces por una misma ciudad, entonces ¿cuántas rutas diferentes podrá escoger? 4. Si se encuentra en Loreto y desea ir a Pasco, sin pasar dos veces por una misma ciudad, entonces ¿cuántas rutas diferentes podrá escoger? Diagrama 2 Del siguiente diagrama:

C SÍ

=9

-3

M

NO

SÍ

+5

>5

≥12

+6 NO

SÍ

NO

+5

5. Responder:

•

Si por "M" ingresa 6 entonces por "C" saldrá:

•

Si por "M" ingresa 4 entonces por "C" saldrá:

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Unidad I

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Diagramas

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática


Diagrama 1 1. Utilizando el siguiente diagrama:

Diagrama 3 1 5. El siguiente gráfico muestra una cierta posición donde José Carlos, con camiseta número 1, juega a los encantados con sus amigos. ¿De cuántas2 maneras puede atrapar a4 las demás personas, si por último siempre atrapa a la 3 persona con camiseta número 6, y además se sabe que no necesariamente tiene que atrapar a todos? 5 6

E

≤8

NO

NO +4

SÍ

≥20

S

SÍ +4 NO

>8

SÍ

+4

Relacionar:

I. II. III.

Si por "E" ingresa 5, entonces por "S" saldrá: Si por "E" ingresa 8, entonces por "S" saldrá: Si por "E" ingresa 10, entonces por "S" saldrá:

I. ( )

II. ( )

A. 20 B. 22 C. 21

III. ( )

Diagrama 2 Por fin de año nuevo, Kike tiene las siguientes rutas de viaje: Puno

Lambayeque

c) 6

Diagrama 4 Las siguientes líneas aéreas pueden recorrer las siguientes rutas para ir a las ciudades: "A", "B", "C", "D", "E", "F": • • • • • •

Se puede ir de "B" a "E" Se puede ir de "C" a "B" Se puede ir de "A" a "C" Se puede ir de "D" a "F" Se puede ir de "C" a "D" Se puede ir de "F" a "A"

Responder:

Junín

b) 5 e) 3

6. Si se comenzaba en la ciudad "D", ¿cuántas ciudades debe cruzar para ir a la ciudad "E"?

Moquegua

Pasco

a) 4 d) 7

Ucayali

Si se encuentra en Ucayali y quiere ir a Lambayeque, sin pasar dos veces por una misma ciudad, completar: 2. ¿Cuántas rutas diferentes puede elegir?

a) 3 d) 0

b) 2 e) 1

c) 4

7. ¿Cuántas ciudades como máximo se podrá cruzar para ir de la ciudad "A" a la ciudad "F"?

a) 1 d) 4

b) 0 e) 3

c) 2

3. ¿Cuántas ciudades podrá visitar como máximo, sin contar ambas ciudades? 4. Si Romina, sobrina de Kike, se encuentra en Junín, ¿qué ciudades no podrá visitar nunca?

Colegios

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TRILCE

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Diagrama 5 Mitchel ha dibujado en el piso un triángulo ABC y una circunferencia inscrita en él. Él jugará caminando solamente por las líneas trazadas. La circunferencia es tangente al lado AB en el punto "E", al lado BC en el punto "F" y al lado CA en el punto "D". Responder: 8. Si Mitchel está ubicado en el punto "A" y solo puede caminar siguiendo los lados del triángulo, ¿cuáles de los siguientes caminos le será posible seguir? I. A - D - A - E - B II. A - E - B - E - A - D III. A - E - B - F - C - F - B

a) I y II d) Todos

b) II y I e) Ninguno

c) I y III

9. Si Mitchel está ubicado en el punto "A" y solo puede caminar siguiendo los lados del triángulo, ¿cuáles de los siguientes caminos no le será posible seguir? I. A - D - C - F - B II. A - D - C - B -E III. A - E - F - D

a) I y II d) Solo III

b) II y III e) Ninguno

c) I y III

10. Si Mitchel está en el punto "E" y desea trasladarse al punto "D", pero moviéndose solo en sentido antihorario, ¿de cuántas maneras puede hacerla, si no puede pasar dos veces por un mismo punto?

a) Una d) Cuatro

b) Tres c) Dos e) Más de cuatro

Diagrama 6 Se ha trazado sobre la mesa un cuadrado ABCD y una circunferencia inscrita en él. Para el trazo se ha usado agua azucarada, para así poder guiar a una hormiga. Además:

•

•

La circunferencia es tangente al lado AB en el punto "E", al lado BC en el punto "F", al lado CD en el punto "G" y al lado AD en el punto "H". La hormiga solo puede recorrer las líneas trazadas por el agua azucarada.

Central: 619-8100

Responder:

4

11 La hormiga se encuentra en el punto "A" y se desea que pase por los otros siete puntos, ¿de cuántas maneras podrá hacerla sin pasar dos veces por un mismo punto?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

12. Si la hormiga está en el punto "F" y en el punto "D" hay una porción de polen, ¿de cuántas maneras podrá ir a "D" sin pasar dos veces por un mismo punto?

a) 10 d) 14

b) 12 c) 13 e) Más de 14

13. La hormiga se encuentra en el punto "G" y su casa se encuentra en "A" ¿cuál de las siguientes rutas puede tomar?

I. GDHEA

II. GCFEA

III. GFBEHA

a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) Todas

c) Solo III

14. Si la hormiga está ubicada en el punto "A" y solo puede caminar siguiendo los lados del cuadrado, ¿cuál de los siguientes caminos no le será posible seguir?

a) AHDGCFB c) AEBEAHD e) AEBFCFB

b) AHDHAEB d) AHDGCBE

15. Para determinar en qué punto se encuentra la hormiga, es suficiente saber que: I. Está en un punto cercano a "D". II. Para ir desde este punto a "H" debe pasar solo por "D".

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente e) Se necesitan más datos

Unidad I

33

Diagramas

¡Tú puedes!básicos Conceptos Diagrama 1 1. El alumnado del instituto de Matelandia va a realizar un viaje para conocer Andalucía. En un mapa de carreteras encuentra una tabla en la que las distancias kilométricas recogidas, corresponden a unas determinadas conexiones entre las capitales andaluzas.

Andalucía Huelva

Córdova

Sevilla

Jaén

Granada Almería Málaga

Océano Atlántico

Cádiz

Si te fijas, los números te dirán que, para ir de Córdoba a Cádiz, (263 km) la tabla no recoge una conexión directa, sino que te hace pasar por Sevilla (138 km + 125 km = 263 km)

Mar Mediterráneo

Cádiz

484

Córdoba

332

263

Granada

166

335

166

Huelva

516

219

232

350

Jaén

228

367

104

99

336

Málaga

219

265

187

129

313

209

Sevilla

422

125

138

256

94

242

219

Almería

Cádiz

Córdoba

Granada

Huelva

Jaén

Málaga

Dibuja todas las conexiones reales que se reflejan en la tabla:

Diagrama 2 Existe una red de caminos mediante la cual se va de la ciudad "A" a la ciudad "B", y se sabe que solo se puede ir: •

de la ciudad "A" a la ciudad "C" (dos días)

•

de la ciudad "C" a la ciudad "F" (nueve días)

•

de la ciudad "E" a la ciudad "F" (cinco días)

•

de la ciudad "F" a la ciudad "B" (un día)

•

de la ciudad "A" a la ciudad "D" (cuatro días)

•

de la ciudad "C" a la ciudad "D" (seis días)

•

de la ciudad "E" a la ciudad "G" (dos días)

•

de la ciudad "F" a la ciudad "G" (un día)

•

de la ciudad "C" a la ciudad "E" (tres días)

•

de la ciudad "D" a la ciudad "E" (cinco días)

•

de la ciudad "G" a la ciudad "B" (cinco días)

Colegios

34

TRILCE

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2. Si Andrés se encuentra en la ciudad "D", ¿de cuántas rutas dispone en total para ir a la ciudad "F", sin pasar dos veces por la misma ciudad?

4

Rpta.: 3. ¿De cuántas rutas distintas se dispone en total para ir de la ciudad "A" a la ciudad "B", sin hacer más de tres paradas intermedias en otras ciudades? Rpta.: 4. ¿Cuál es el mínimo número de días que tomará ir de la ciudad "A" a la ciudad "B"?

a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

5. Si uno no se detiene en el camino, ¿cuál es el máximo número de días que tomará ir de la ciudad "A" a la ciudad "B"?

a) 25

b) 21

c) 24

d) 19

e) 20 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos Diagrama 1 En el sistema de transporte urbano de una ciudad, se puede viajar directamente: •

del paradero "A" al paradero "B"

•

del paradero "B" a los paraderos "C" y "D"

•

del paradero "C" a los paraderos "D" y "E"

•

del paradero "D" a los paraderos "A" y "F"

• •

del paradero "E" a los paraderos "C" y "F" del paradero "F" a los paraderos "A" y "D"

4. ¿Cuál de las siguientes rutas es imposible?

a) DFAB d) ABDA

2. Si una persona está en el paradero "F" y quiere visitar otros paraderos para luego regresar al paradero "F" ¿de cuántas maneras puede hacerlo, sin pasar dos veces por un mismo paradero? 3. Si una persona está en el paradero "C" y quiere ir al paradero "A", ¿cuáles de las siguientes rutas puede emplear?

I. C E F D A II. C E F A III. C D F A

Central: 619-8100

c) ABDF

5. Una persona acaba de llegar del paradero "F" y va a ir al paradero "A" directamente. ¿Dónde se encontraba? Diagrama 2 Según el siguiente diagrama de flujo:

Responder: 1. Si una persona está en el paradero "E" y quiere ir a "B", ¿por cuántos paraderos como mínimo debe pasar antes de llegar a "B"?

b) BCEC e) ECBD

E

>2 NO

+1

+2

SÍ

+3

S

NO +2

3c NO

SÍ

SÍ

2c

-1 -1

Responder: 6. Si por "E" ingresa 4, entonces por "S" saldrá: 7. Si por "E" ingresa 5, entonces por "S" saldrá: 8. Si por "E" ingresa 8, entonces por "S" saldrá:

Unidad I

35

Diagramas

Diagrama 3 Según el siguiente diagrama de flujo: >10

SÍ

E

+10

>1

+2

SÍ

NO

-11

NO

9.

( ) 0 ( ) 1 ( ) -1

Diagrama 4 El administrador de un museo ha establecido rutas para dirigir a los visitantes hacia las zonas: "A", "B", "C", "D", "E" , "F", "G" y "H". Los visitantes, después de pasar una zona de interés a otra, ya no podrán regresar a la zona anterior. El ingreso al museo solo se podrá hacer por las zonas "A" o "B". Luego de ingresar al museo, se presentan las siguientes rutas: • De "A", los visitantes pueden ir a "C" o a la "D". • De "B", los visitantes pueden ir a "C" o "E". • De "C", los visitantes pueden ir a "D", "E" o "G". • De "D", los visitantes pueden ir a "F" o a la salida "H". • De "F", los visitantes pueden ir a la salida "H". • De "G", los visitantes pueden ir a la "F" o a la salida "H". Responder: 10. Si un turista ingresa al museo por la zona "B", ¿cuál de las siguientes afirmaciones deben ser verdaderas?

I. El turista visitará la zona "G" II. El turista visitará la zona "C" antes que la zona "D" III. El turista visitará al menos dos zonas diferentes antes de salir, sin considerar la zona de ingreso y salida

11. Si un turista ingresa al museo por la zona "A", ¿cuál es el máximo número de zonas diferentes que puede visitar antes de llegar a la zona de la salida "H", sin contar la zona "A"? 12. Si un turista pasa por la zona "D" e inmediatamente se dirige a la zona de salida "H", ¿cuál de los siguientes enunciados es imposible? Colegios

36

TRILCE

a) El turista ingresó al museo por la zona "A". b) El turista visitó la zona "E". c) El turista visitó la zona "D". d) El turista no visitó la zona "D". e) El turista visitó la zona "F".

13. Si un turista se encuentra en la zona "D", ¿cuál de los siguientes enunciados pueden ser verdaderos?

S

Relacionar: A. Si hacemos ingresar por "E" la cantidad de -8, entonces por "S" saldrá: B. Si hacemos ingresar por "E" la cantidad de -10, entonces por "S" saldrá:

I. Después de la zona "D", el turista visitará tres zonas diferentes más, antes de llegar a la zona de salida "H". II. El turista ya ha visitado las zonas "B" y "C". III. El turista visitará las zonas "F" y "G".

14. Si un turista se dirige de la zona "G" directamente a la salida, ¿cuál es el máximo número de zonas que puede haber visitado antes de llegar a la zona de salida? Diagrama 5 Para ir de Lambayeque a Cajamarca hay cinco líneas aéreas, las cuales harán remates increíbles por Fiestas Patrias. Se conocen las siguientes rutas: • De Lambayeque se puede ir a Huánuco y de Huánuco se puede ir a Loreto. • De Lambayeque se puede ir a Arequipa y de Arequipa se puede ir a Loreto. • De Huánuco se puede ir a la ciudad de Arequipa y viceversa. • De Arequipa se puede ir a la ciudad de Ucayali. • De Loreto se puede ir a la ciudad de Ica y también de Loreto se puede ir a Ucayali. • De Ica se puede ir a Ucayali y viceversa. • De Ica se puede ir a Cajamarca. Además para pasar por Huánuco, se debe pagar S/. 10; para pasar por Arequipa se debe abonar S/. 8; para pasar por Loreto se debe pagar S/. 9; para pasar por Ica se debe pagar S/. 7; para pasar por Ucayali se debe pagar S/. 6. No hay manera directa de viajar de Lambayeque a Cajamarca. 15. Responder:

I. ¿Cuál es el máximo costo que presenta ir de Lambayeque a Cajamarca sin pasar dos veces por una misma ciudad? II. ¿Cuál es el mínimo costo para ir de Lambayeque a Cajamarca? III. Si López se encuentra en Huánuco, ¿ de cuántas maneras puede ir a la ciudad de Cajamarca sin pasar dos veces por una misma ciudad? IV. Si Mariano acaba de pasar la garita de Huánuco y desea gastar lo mínimo para llegar a Cajamarca, ¿qué garita debe pasar necesariamente primero?

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5

Repaso I ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente . • • • •

Razonamie

Orden de información. Cuadro de decisiones. Juegos lógicos. Diagramas.

nto Matem

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ático

Unidad I

37

Repaso I

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. En un examen Roxana obtuvo dos puntos menos que Josefa, Benjamín tres puntos menos que Roxana y Nancy tres puntos más que Bonifacio. Si Bonifacio obtuvo cuatro puntos más que Josefa. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Proposición

V/F

¿Por qué?

• Bonifacio obtuvo nueve puntos más que Benjamín. • Algunos de los mencionados podría tener la misma nota.

• Si Josefa obtuvo 15 de nota, entonces Bonifacio obtuvo 17.

2. Los cursos de RM, RV, Aritmética y Álgebra son dictados por Andrés, Carlos, Luis y César. Si se sabe que Luis es amigo del profesor de RM. El profesor de RV no conoce a Carlos ni al que enseña Aritmética. César y el profesor de Aritmética son amigos en común con el profesor de RM. El único amigo de Andrés es amigo de César. Entonces la relación correcta es:

I. II. III. IV.

Andrés Carlos Luis César

A. RM B. RV C. Aritmética D. Álgebra

I. ( ) II. ( ) III. ( ) IV. ( )

3. Raquel, Marcos, Carmen, Javier y Rodrigo acordaron llegar temprano al aula donde estudian. Si se sabe que: • Marcos llegó antes que Javier y Rodrigo. • Carmen llegó inmediatamente después de Marcos. • Rodrigo llegó posterior a Javier, además Raquel ha observado la manera como ha llegado Marcos. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Proposición

V/F

¿Por qué?

• Javier está a tres puestos de Marcos. • Javier llegó en cuarto lugar.

• Raquel fue la que llegó última. 4. Seis amigos están sentados alrededor de una mesa circular, simétricamente ubicados. Se sabe que: Luis no está sentado al lado de Enrique, José ni Pedro; Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando, además, Pedro está sentado a la derecha de Enrique. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas? I. Gustavo se sienta frente a Pedro. II. Luis se encuentra junto y a la izquierda de José. III. Enrique se sienta frente a Luis.

a) Solo I b) Solo III

Colegios

38

TRILCE

c) II y III

d) I y III

e) I y II

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5. Cada uno de estos tres hombres: Mario, Ramón y Homero tienen dos ocupaciones que son: detective, piloto, cantante, jockey, cajero y tenista. Se sabe que el cajero llevó a la fiesta a la novia del piloto; tanto el piloto como el cantante les agrada jugar cartas con Homero; el jockey desayuna a menudo con el cajero; Mario es más alto que Ramón y el jockey; Ramón le debe 100 soles al cantante, y el piloto es más alto que el tenista. Completar:

5

• Las ocupaciones de Mario son………………………………. y………………………………………….. • Las ocupaciones de Ramón son ………………………………. y……………………………………….. • Las ocupaciones de Homero son ………………………………. y………………………………………

6. Jair, Cecilia, Luis y Juana están sentados alrededor de una mesa circular discutiendo sobres sus deportes favoritos. Jair se halla frente al que práctica el trote, Cecilia a la derecha del que juega frontón, Juana frente a Luis, el golfista a la izquierda del tenista. Si a la derecha de Luis hay un hombre, ¿qué deporte practica cada uno? Relacionar: (A) Jair (I) Trote (B) Cecilia (II) Frontón (C) Luis (III) Golf (D) Juana (IV) Tenis A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) 7. "X", "Y", "Z", "W", "P" y "Q" se sientan alrededor de una mesa circular con asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: • "X" se sentó frente a "Y". • "W" no se sentó frente a "Z" ni a "P". • "Z" se sentó junto y a la izquierda de "X". Proposición

V/F

¿Por qué?

• "Y" se sienta junto a "W" y a "P". • Si "Y" se sienta a la derecha de "Q" entonces "W" se sienta junto a "Y" y a "Z".

• Es imposible que "Z" se siente junto a "P". • Si "W" está junto a "X" entonces "P" no está a la derecha de "Y".

8. En el siguiente diagrama de flujo, relacionar:

E

>2 NO

+1

+2

+3

SÍ

NO +2

º

3 NO

SÍ

SÍ

º

2

-1 -1

(I) Si por "E" ingresa 0; entonces por "S" saldrá: (II) Si por "E" ingresa 5; entonces por "S" saldrá: (III) Si por "E" ingresa 13; entonces por "S" saldrá:

S

(A) 5 (B) 8 (C) 13 (D) 6 (E) 20

I. ( ) II. ( ) III. ( )

Central: 619-8100

Unidad I

39

Repaso I

9. Renzo, José, Alberto y Sebastián son: escritor, historiador, periodista y filósofo aunque no necesariamente en ese orden. Todos ellos fuman, excepto uno y sus marcas de cigarrillos de preferidos son: Hamilton, Winston y Premier. • El que prefiere Hamilton es vecino del filósofo y no es periodista. • Alberto estudió con el historiador en el colegio y siempre ha preferido fumar Winston. • Al escritor no le gusta Hamilton porque prefiere cigarrillos más fuertes como Premier. • José es más joven que el periodista y nunca ha fumado. • El escritor es Renzo y es más joven que el que fuma Hamilton.

Relacionar: (I) Renzo (II) José (III) Alberto (IV) Sebastián

(A) Historiador (B) Escritor (C) Periodista (D) Filósofo

(1) Hamilton (2) Winston (3) Premier (4) No fuma

I ( ; ) II ( ; ) III ( ; ) IV ( ; )

Resolución de problemas Enunciado En una carrera de autos hubo cinco participantes "A", "B", "C", "D" y "E". Se sabe que: • No hubo empates. • "D" llegó antes que "A", quien llegó en cuarto lugar. • "C" llegó inmediatamente después que "E". 10. Si "E" llegó segundo, ¿qué autos pueden haber llegado en primer y tercer lugar; respectivamente?

a) "A" y "B" c) "C" y "D" e) "E" y "A"

b) "B" y "C" d) "A" y "C"

11. Si "B" llegó a dos puestos de "C", ¿qué afirmación es correcta?

I. "D" ganó la carrera II. "C" llegó segundo III. "E" llegó segundo


b) II y III e) Solo III

c) Solo I

a) "A" ganó la carrera b) "E" ganó la carrera c) "D "llegó segundo d) "C" llegó segundo e) "C" llegó tercero

Colegios

40

TRILCE

a) "E" ganó la carrera b) "C" llegó segundo c) "D" ganó la carrera d) "E" llegó tercero e) Ninguna es correcta

14. Un estudiante, un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente: • "Yo ahorro en lnterbanc", dice el médico a Jacinto. • Tito comenta: "El banco que más intereses paga es el Latino" • El abogado dice: "Mi secretaria lleva mi dinero al Banco de Lima". • El tercer personaje se llama José. ¿Cómo se llama el estudiante?

12. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es imposible?

13. Si "C" llegó después que "D" ¿qué afirmación es correcta?

a) José d) Tito

b) Pedro e) Alex

c) Jacinto

15. El profesor Medrano ha dibujado en la pizarra un triángulo ABC y una circunferencia inscrita en él. La circunferencia es tangente al lado AB en el punto "E", al lado BC en el punto "F" y al lado CA en el punto "D". Si del punto "E" se desea ir al punto "D", ¿de cuántas maneras se podrá ir, si no puede pasar dos veces por un mismo punto y solo se puede ir por las líneas trazadas?

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Profesor

5

Alumno

Se tiene el siguiente esquema: B E

F

A Las rutas a seguir son: A D F

E B

C

D

D D C B F

D

D E

C

D D

Respuesta: Siete maneras diferentes

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos Enunciado 1 1. En un restaurante, cinco personas se sientan alrededor de una mesa circular de cinco sillas y piden una gaseosa para cada una: tres Coca Cola y dos Inca Cola y se sabe que: • Los que piden Inca Cola no se sientan juntos. • Beto no se sienta junto a Óscar, pero ambos piden Coca Cola. • Omar que no pide Inca Cola, se sienta junto a Beto pero no junto a Manuel. • Mientras los otros conversan César terminaba su gaseosa.

Podemos afirmar que: a) Omar se sienta junto a Óscar b) No es cierto que Óscar no se sienta junto a Manuel c) No es cierto que Beto no se sienta junto a César d) No es cierto que Manuel no se sienta junto a César e) Más de una es correcta

2. Seis amigos juegan póquer alrededor de una mesa redonda. Además se sabe que: • Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José. • Fernando no está al lado de Gustavo ni de José.

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• Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando. • Pedro está a la derecha de Enrique

¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Fernando?

a) Pedro d) Gustavo

b) Enrique e) Fernando

c) Luis

Enunciado 2 Cuatro amigos viven en cuatro casas que son contiguas, además: • Chávez vive al este de Navarro • Navarro vive al oeste de Carranza • Carranza vive al oeste de Pérez Responder: 3. ¿Quién vive más al oeste? 4. ¿Adyacentes a quienes podría vivir Pérez? 5. Las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas a excepción de:

a) Chávez puede vivir al oeste de Pérez b) Chávez puede vivir entre Navarro y Carranza c) Carranza puede vivir entre Navarro y Chávez d) Pérez puede vivir al oeste de Navarro e) Navarro no vive al este de Carranza

Unidad I

41

Repaso I

6. Si Pérez vive al oeste de Chávez, entonces es necesariamente cierto que:

a) Pérez vive más lejos de Navarro que de Carranza b) Carranza vive más cerca de Navarro que de Pérez c) Carranza vive entre Carranza y Pérez d) Navarro es el que vive más cerca de Carranza e) Más de una es correcta

7. Tres estudiantes universitarios estudian en universidades diferentes: San Marcos, San Martín y Villarreal, además viven en sitios dierentes: Ate, San Isidro, La Victoria. Se sabe que el que vive en La Victoria estudia en la Villarreal. Dos de ellos se conocen, Jorge y el que estudia en la San Marcos siguen la misma carrera. Claudio quiere trasladarse a la San Marcos. Jorge cruza por San Isidro para irse a la Villarreal. Gerson vivía antes en Ate. ¿Quién estudia en la San Martín? 8. En una mesa circular hay ocho asientos colocados simétricamente ante la cual se sientan siete amigos: "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G". Se sabe que: • "A" se sienta frente a "B" y junto a "C". • "D" se sienta exactamente frente a "C" y a la izquierda de "B". • "E" no se sienta junto a "D" ni "A". • "F" y "G" se sientan juntos. ¿Dónde se sienta "E"? Enunciado En un parque de diversiones, hay una gran variedad de juegos, uno de ellos se llama: El Archipiélago Fantástico. Dicho juego consiste en un conjunto de islotes construidos artificialmente en un inmenso lago. Los responsables de este juego han diseñado ciertas rutas para que los visitantes se dirijan hacia determinadas islas por medio de botes, teniendo en cuenta que después deben ir a una isla hacia otra. Los visitantes no pueden regresar a la isla anterior. Así, pues, luego de entrar, cualquier visitante solo podrá dirigirse directamente hacia la isla "M" o hacia la isla "N" y después de ello los visitantes tienen las siguientes posibilidades: • • • • • •

De la isla "M", los visitantes solo pueden hacia la isla "A" o hacia la isla "B" De la isla "N", los visitantes solo pueden hacia la isla "B" o hacia la isla "C" De la isla "B", los visitantes solo pueden hacia la isla "A" , "C" o "D" De la isla "A", los visitantes solo pueden hacia la isla "C" o a la salida. De la isla "C", los visitantes solo pueden hacia la isla "D", la isla "E" o la salida. De la isla "E", los visitantes solo pueden hacia la salida. Colegios

42

TRILCE

Responder: 9. Si José entra a El Archipiélago Fantástico y se dirige directamente hacia la isla "M", ¿cuál de las siguientes afirmaciones será verdadera?

a) b) c) d) e)

José pasará por la isla "N". José no pasará por la isla "D". José pasará por la isla "B" antes que por la isla "C". José pasará al menos por dos islas diferentes. José pasará, a lo mucho por cinco islas diferentes.

10. Si Ana entra a El Archipiélago Fantástico y se dirige directamente hacia la isla "N", ¿cuál es el máximo número de islas diferentes que puede visitar? 11. Si Carmen visitó la isla "O" justo antes de salir, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es imposible?

a) Carmen ha entrado a El Archipiélago Fantástico y se ha dirigido directamente hacia la isla "N" b) Carmen no visitó la isla "A" c) Carmen visitó la isla "A" d) Carmen visitó la isla "C" e) Carmen visitó la isla "E"

12. ¿Cuál de las siguientes es una posible lista de las más visitadas, en orden, de la primera a la última, respectivamente?

a) M, B, A, C y E c) M, A, B, D y E e) M, C, B, D y E

b) N, B, D, C y E d) N, C, D, E y A

13. Si María fue directamente de la isla "D" a la salida, ¿cuál es el máximo número de islas que pudo haber visitado? 14. Del siguiente esquema, responder: SÍ

E

3c

NO

NO <10

-20 +2

SÍ

>24

SÍ

S

NO

-1

ir

NO

ir

5c NO

ir ir

•

ir

•

ir

•

+4 SÍ

>0

SÍ

+2

Si por "E ingresa - 6; entonces por "S" egresará: Si por "E ingresa 0; entonces por "S" egresará: Si por "E ingresa 23; entonces por "S" egresará: www.trilce.edu.pe

UNIDAD II Cuadrado mágico

Completando las Informaciones Este cuadrado mágico fue inventado por Benjamín Franklin y tiene muchísimas propiedades, como: • Cada renglón suma 260. • Cada columna suma 260. • La primera mitad de cualquier renglón suma130. • La segunda mitad de cualquier renglón suma 130. • La primera mitad de cada columna suma 130. • La segunda mitad de cada columna suma 130. • Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260. • La suma de los cuatro primero números de cualquier cuadrado de 2x2 es 130. • Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro números de la diagonal respectiva que baja suman 260. ¡Podrías encontrar más propiedades de este cuadrado mágico! AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Establecer relaciones lógicas entre diversos elementos concretos y abstractos. Resolución de problemas • Formular y desarrollar estrategias para la resolución de ejercicios tanto numéricos como literales. Razonamiento y demostración • Analizar los datos disponibles para deducir la regla de formación que se presenta en las sucesiones, analogías y distribuciones.

Sucesiones

Sucesiones En este capítulo aprenderemos a: • • •

Identificar y relacionar los tipos de sucesiones y distribuciones. Establecer la correspondencia dada entre los términos de la sucesión. Identificar las propiedades que permiten desarrollar la relación de orden entre los términos de una sucesión.

TRIÁNGULO DE PASCAL p=0

1

n=1

3

1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8

p=9

1 2

1

n=2 n=3

p=1

1

n=0

1 3

1

6 4 1 10 10 5 1 1 n=6 15 20 15 6 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 n=7 n=8 8 28 56 70 56 28 8 1 1 n=9 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 n=4

n=5

4

1

5

Propiedades que tiene el triángulo de Pascal: ● Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de dos: 1; 2; 4; 8; 16; ... ● Si tomamos cada fila como un número obtenemos los múltiplos de once: 1; 11; 121; 1331; 14641; ... ● Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal: 1 - 3 - 6 - 10 - 15 - ...; obtenemos un cuadrado perfecto: 1; 4; 9; 16; 25; ... ● Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número (excluyendo los 1 claro está). Por ejemplo, en la fila: 1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1; el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de números: 35; 21 y 7, todos son divisibles por 7. Colegios

44

TRILCE

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Mostraremos dos sucesiones de gran importancia matemática: Sucesiones Notables y Sucesiones Especiales.

NOMBRE

SUCESIONES

SUCESIONES N OTABLES

SUCESIÓN

REGLA DE FORMACIÓN

De los números enteros positivos

1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ...

an = n

De los números positivos

2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; ...

an = 2n

De los números impares positivos

1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ...

an = 2n - 1

De los números triangulares

1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; ...

an =

n (n + 1) 2

De los números tetraédricos

1 ; 4 ; 10 ; 20 ; 35 ; ...

an =

n (n + 1) (2n + 1) 6

De los números pentagonales 1 ; 5 ; 12 ; 22 ; ...

an =

n (3n - 1) 2

De los números hexagonales

1 ; 6 ; 15 ; 28 ; ...

an = n(2n - 1)

De los cuadrados perfectos

1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; ...

an = n 2

De los cubos perfectos

1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 ; ...

an = n 3

De los números primos

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ...

No tiene término enésimo pero sí criterio de orden.

De Fibonacci

1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; ...

a1= 1 ; a2=1

pares

1

an = a n - 1 + a n - 2 ∀n≥3

SUCESIONES ESPECIALES

De Feinberg ("Tribonacci")

1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 13 ; ...

a1=1 ; a2=1 ; a3=2 an = an-1 + an-2 + an-3 ∀n≥4

De Lucas

1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; ...

a1 = 1 ; a2 = 3 an = a n - 1 + a n - 2 ∀n≥3

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Unidad II

45

Sucesiones

Síntesis teórica

Colegios

46

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Hallar el término que continúa:

3. Determinar el valor de "x " en:

• 12 ; 48 ; 9 ; 36 ; 6 ; 24 ; ...

1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 12 ; x

4. ¿Qué figura sigue en cada caso?

• B ; E ; J ; P ; ....

•

•

2. Dadas las siguientes sucesiones:

• 0 ; 2 ; 5 ; 10 ; 18 ; 30 ; A ; C

• 8 ; 10 ; 16 ; 28 ; 48 ; D ; F 3 9 19 33 51 E G

Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda y justifique su respuesta: PROPOSICIÓN

Se cumple que: D= E + 3

Se cumple que: C = A + 17

Se cumple que: F = G - 13

V/F

¿POR QUÉ?

a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)

;

5. Observe las siguientes sucesiones:

•

4 ; 8 ; 16 ; 32; ...

•

9 ; 27 ; 81 ; 243; ...

•

16 ; 64 ; 256 ; 1024; ...

¿Qué sucesión sigue?

a) 81 ; 486 ; 17496; ...

b) 25 ; 125 ; 625 ; 3125; ...

c) 0 ; 7 ; 26 ; 63 ; ...

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Unidad II

47

Sucesiones

Conceptos básicos Aprende más... 6. ¿Qué término continúa?

Comunicación matemática 1. Tenemos la estructura de una sucesión de la siguiente manera: Z ; P ; D ; W ; X ; ... Proposición

V/F

¿Por qué?

Si: Z; P; D; W; X; son respectivamente: 2; 5; 11; 23; 47; ... ; entonces el valor que continúa en la sucesión dada es: 95

Relacionar:

I. ( )

(A) 106 (B) 996 (C) 6912 II. ( )

Resolución de problemas 3. ¿Cómo puede calcularse el número que sigue en la sucesión: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ...?

a) La suma de los dos anteriores. b) Sumando dos veces el anterior a cinco. c) La suma de todos los anteriores. d) Restando 18 al triple del anterior. e) Sumando 8 al anterior.

a) 24 d) 35

5.

¿Qué letra falta? D ; C ; S ; O ; ... ; D ; C ; D

Colegios

48

TRILCE

b) 28 e) 29

b) D e) F

d) 7

b) 10 e)

c)

3

5

P ; S ; T ; C ; Q ; ...

a) S d) D

b) V e) O

c) X

D ; N ; O ; S ; ....

a) S d) A

b) Q e) S o A

c) M

9. Indicar la letra que continúa en la sucesión:

C ; D ; E ; I ; G ; M ; I ; O ; ...

a) F d) W

b) P e) K

c) R

10. ¿Qué número sigue?

2 ; 3 ; 8 ; 63 ; ...

a) 3968 d) 3964

b) 3967 e) 3988

c) 3966

11. ¿Qué número sigue? 6 ; 13 ; 30 ; 67 ; ...

a) 126 d) 171

b) 136 e) 144

c) 143

12. ¿Qué figura completa correctamente las sucesiones dadas?

4. Hallar el valor de "x+y" en: 1; 4; 5; 8; 9; 12; x; y

a) D d) B

a)

8. ¿Qué letra continúa?

2. Dadas las siguientes sucesiones relacionar: • 1 ; 1; 1 ; 1 ; 2 ; 24 ; Z • 1 ; 1 ; 2 ; 7 ; 21 ; 51 ; W I. W II. Z

8

6 ; 2 2 ; ...

7. ¿Qué letra continúa?

Si: Z; P; D; X; W; Z son respectivamente: 2 ; 4 ; 10 ;32 ; 130; ... ; entonces el valor que continúa en la sucesión dada es: 652

2 ; 2 ;

c) 31

c) X

?

a)

b)

d)

e)

c)

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13. ¿Qué figura completa correctamente las sucesiones dadas? I.







a)

d)



b)

e) 



c)

a) 58 d) 59

b) 56 e) 60

c) 68

Aplicación cotidiana

?





1

15. El "caserito" de doña Pancha, un fiel apasionado a la Matemática; cada fin de semana le pone un reto diferente, y esta vez le dijo lo siguiente: "Si tú hallas el valor de "a+b" en la siguiente sucesión, el producto que hoy te voy ha consumir lo duplicas su precio, de lo contrario me dejas a mitad de precio". ¿Cómo hallarías tú el valor de "a+b" en la secuencia?



II.

41 ; 73 ; 129 ; 1927 ; ab ; ...

a)

d)

b)

c)

e)

14. Hallar "x" + "y" en las siguientes secuencias: I. 22 ; 7 ; 0 ; 0 ; 5 ; 12 ; x II. 2 ; 1 ; 3 ; 2 ; 6 ; 5 ; 15 ; 14 ; y

a) 107 d) 110

b) 109 e) 105

c) 106

16. Los números de la sucesión: 3; 7; 11; 15; 19; ... se incrementan de cuatro en cuatro. Los números de la sucesión: 1; 8; 15; 22; 29; ... se incrementan de siete en siete. El número 15 es común en ambas sucesiones. Si las dos sucesiones continúan, ¿cuál es el próximo número común?

a) 23 d) 71

b) 36 e) 24

c) 43

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. ¿Qué número sigue? 3 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 5 ; 27 ; ...

a) 87

b) 80

c) 88

d) 86

e) 85

c) 0

d) - 10

e) - 15

2. ¿Qué número sigue? 30 ; 32 ; 27 ; 16 ; 0 ...

a) 20

b) -20

3. En la siguiente sucesión: y y ; 961 ; ... 4 ; 9 ; 25 ; 49 ; ... ; x ; ... ; 529 ; 4z 15 3 5 7 9 19 (y + 5) 23 hallar: z - (x+y)

a) 30

b) 12

c) 20

d) 17

e) 8

c) 115

d) 59

e) 121

c) M

d) D

e) C

4. ¿Qué número sigue? 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 26 ; ...

a) 23

b) 25

5. ¿Qué letra continúa? L ; U ; M ; D ; M ; T ; J ; ...

a) X

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b) T

Unidad II

49

Sucesiones 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Indicar las dos letras que continúan en la sucesión: A ; A ; F ; B ; J ; D ; M ; G ; ... 2. Dibuja la próxima figura de esta secuencia:

9. Calcular el valor de "x+y" 1 ; 1 , -5 ; 4 ; 25 ; 27 ; x ; y ; ... 10. ¿Cuántos nueves hay en el número que está en la posición 12 de la secuencia: 7; 73; 7393; 73939; 739393; ... ? 11. ¿Qué número sigue? 3 ; 5 ; 9 ; 17 ; ...

12. ¿Qué pareja de símbolos completa la última

3. Determine el siguiente término de la sucesión: 1 ; 2 ; 5 ; 15 ; 37 ; ...

figura?

4. De la siguiente sucesión: 22 ; 34 ; 56 ; 78 ; 11X ; YZ

1

2

3

5

8

¿Cuántas parejas habrá después de un año y medio de comenzar la experiencia?

8. Hallar el número que continúa: 11 ; 12 ; 26 ; 81 ; 328 ; ...

Colegios

50

TRILCE

?

5

E

16

Ñ

?

2 ; 5 ; 14 ; 41 ; ...

15. Señale la figura que sigue:

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 9º 10º 1

23

14. Hallar el término del lugar 10 en:

7. Alguien puso una pareja de conejos, acabados de nacer, en un corral. Cada pareja recien nacida necesita un mes para hacerse adulta, durante el cual no se reproduce. Cada pareja origina mensualmente una nueva pareja, según la siguiente tabla:

Número de parejas

I

13. Hallar el valor de "x" en: 2 ; 6 ; x ; 120

6. Hallar el valor de "x+y" 3 ; - 3 ; 0 ; 3 ; -3 ; -12 ; -6 ; 48 ; x ; y 4

Mes

10

Hallar el valor de : X + Y + Z

5. Hallar el término que sigue: 1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 17 ; ...

C

a)

b)

c)

d)

e)

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Analogías y distribuciones

2

En este capítulo aprenderemos a: • • •

Establecer relaciones lógicas entre elementos concretos y abstractos. Distingir los tipos de problemas y las formas de resolución entre analogías y distribuciones. Aplicar estrategias específicas en la resolución de los ejercicios.

ÁBACO CHINO Y LA YUPANA

E

http://www.um.es/museo/fondo/salaiimatematicas.php

l empleo del ábaco chino y la Yupana es análogo dado a que guardan una estrecha relación numérica entre ellas. Las dos realizan cálculos sencillos (sumas, restas y multiplicaciones) y operaciones artiméticas.

Ábaco chino

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Unidad II

51


Saberes previos

•

Dominar operaciones artiméticas como : suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Conceptos básicos • Analogías

Está integrado por analogías numéricas y analogías de figuras.

 Analogías numéricas Es un conjunto de números formados por tres filas, tales que cada fila está integrado por tres elementos (dos extremos y un medio) los medios están encerrados entre paréntesis y uno de ellos es la incógnita. Su desarrollo es de forma horizontal, realizando las mismas operaciones con los extremos de cada fila y obteniendo como resultado a sus respectivos medios.

Hallar el valor de "x" 4 ( 17 ) 5 6 ( 9 ) 2 8 ( x ) 3 Resolución Primero tenemos que buscar la mejor forma de relacionar los extremos, para obtener el valor de "x"

•

Fila 1 : 4 × 5 - 3 = 17

•

Fila 2 : 6 × 2 - 3 = 9

Ahora dado que se realizó la misma operación en la Fila 1 y Fila 2, entonces se efectuará análogamente para la Fila 3.

Respuesta:

Ejemplo

Ejemplo

• Fila 3 : 8 × 3 - 3 = 21 x = 21

 Analogías de figuras Consiste en establecer relaciones de semejanza entre figuras. Los casos estudiados están basados ¿Qué figura falta?

?

a)

b)

c)

d)

e)

Resolución Notamos que cada figura presenta un lado más que la anterior, entonces como cuarta figura, buscamos una que tenga cuatro lados, sin importar la forma, entonces dicha figura es:

Colegios

52

TRILCE

Ejemplo

Ejemplo

en cambios de color y tamaño, en rotaciones, reflexiones, etc.

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• Distribuciones

Está integrado por distribuciones numéricas y distribuciones de figuras.

 Distribuciones numéricas Es un conjunto de números formados por tres o más filas, tales que cada fila está integrado por una misma cantidad de elementos el cual uno de ellos es la incógnita.

Hallar el valor de "x"

4

3

5

6

7

9

6 5 x Resolución Primero tenemos que buscar relaciones operacionales entre las dos primeras filas o las dos primeras columnas, para así obtener el valor de "x". Obtenemos la relación operacional entre las columnas. •

Columna 1: 4 + 5 + 6 = 15

•

Columna 2: 3 + 7 + 5 = 15

Ahora dado que se realizó la misma operación en la Columna 1 y Columna 2, entonces se efectuará para la Columna 3. • Columna 3: 5 + 9 + x = 15 → x=1

Rpta.: 1

 Distribuciones de figuras

Son arreglos numéricos representados en un gráfico. La incógnita requerida está en función al gráfico dispuesto. Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Su desarrollo es de forma horizontal o vertical, realizando las mismas operaciones para cada fila.

2

¿Qué número falta en la tercera figura?

6

4

9

8

7

1

7

2

6

6

3

3

2

• Figura 1: (4 + 9) - (2 + 6) = 5 • Figura 2: (8 + 7) - (6 + 3) = 6 • Figura 3: (1 + 7) - (3 + 2) = 3

Rpta. : 3

Ejemplo

5

Resolución

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Unidad II

53


Síntesis teórica

Colegios

54

TRILCE

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10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. ¿Qué figura falta? 11

12

1

11 2

10

7

12

7

a)

6

5

4

12

11

?

5

6

11 2

7

c)

6

1 2

5

3

9

4

8

12

10 3

9

es a

1

10

5

6

3

5

4 7

b)

2

9 7

3 8

1

8

2

9

4

como

1

10 3

8

12

6

12

10

4 7

11

9

3

5

2

2

8

1

10

6

11

1

9

4

8

11

es a

3

9

12

10

4

8

d)

7

6

5

2. Hallar el valor de "x". 2

3 5

1

8 13

1 x 3. Hallar el valor de "x".

3

5

6

5

13

x

4

2

6

3

6

4

4. Hallar el valor de "x". 1 1

1 2

2 4

5. Hallar el valor de "x" en cada caso: •

4 (3)

1

16 (6)

25 (x)

Central: 619-8100

3 3

0 5

1 x

•

7

5 6 1

2

8

4 1 6

3

9

3 2 y

Unidad II

55



4. Hallar el valor de "w". 1. La siguiente estructura nos muestra una analogía 3 7 2 8 numérica: 9 1 5 5 A (B) C D (E) F 6 4 9 w G (H) I a) 1 b) 5 c) - 1 Indicar verdadero (V) o falso (F) según co- d) 3 e) 0 rresponda y justifique su respuesta: 5. Hallar el valor de "x". V/F ¿Por qué? Proposición 2 2 1 5 Si: A, B, C, D, E, F, G, I; son: 4; 7; 2; 5; 8; 4; 8 y 6 respectivamente, entonces el valor de "H" es 41. Si: A, B, C, D, E, F, G, I; son: 12; 11; 35; 23; 7; 20; 41 y 79 respectivamente, entonces el valor de "H" es 21.

2 3 6

3 4 4

•

4 5 W •

7 2 2 6 3 4 Relacionar: I. W (A) II. H (B) III. M (C) (D)

I. ( )

II. ( )

3 6 2

7 2 6

1 3 M

56

a) 4 d) 8

4

1

3

b) 7 e) 75

9 1 H

es a

A)

2

3

c) 65

3 2 19 11

a)

b)

d)

e)

III. ( )

como

es a

?

D R H

es a

3. Hallar el valor de "z". 3 2 5 4 7 3 4 0 6 9 8 z a) 3 b) - 3 d) - 4 e) 11

Colegios

B)

como

a)

b)

d)

e)

c)

es a

c)

?

P

X

C)


TRILCE

3

1

x

6. En cada caso complete la siguiente analogía:

2. Si tenemos las siguientes distribuciones numéricas: •

2

28

27

?

:

a)

b)

d)

e)

c)

c) 4

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D)

es a

a)

d)

es a ? 11. Hallar el valor de "x". 1 2 2 1 33 35 3 0 4 1

como

b)

c)

18

13

10

12 4

10 8

22

2

6

a) 8 d) 2

12

b) 9 e) 12

1327 2543 3724

b) 79 e) 42

0 c) 80

3

14

10

• 6

4

3

1

19 6

17

4

5

2

4

3

8

12

x

9

2

2

y

a) 7 d) 10

•

7

24

b) 8 e) 11

c) 9

13. Hallar el valor de "Z". 4 5

(19) (23) ( Q )

a) 100 d) 35

1

3

c) 6

8. Hallar el valor de "Q".

3 x

12. Hallar el valor de "x + y".

e)

7. Indicar el número que falta en el recuadro en blanco:

a) 28 d) 81

5

2

2 3 6

b) 34 e) - 35

c) 37

3

20

2

a) 19 d) 28

2

25

3

b) 23 e) 13

4

Z

5

c) 27

14. Hallar el valor de "x". a+b

a+2b

a-b

2b - a

9. Hallar el valor de "P":

3 4 9

a) - 4 d) 7

a)

c)

e)

7 9 8

b) - 3 e) - 6 es a

10. Si:

(12) (15) ( P )

es a

es a

es a

Central: 619-8100

a+b+4c

2c+a+b

c) 3 "x"

; entonces:

a

b

b)

d)

es a

a) b d) c

b) a e) 3a

c) 2c

15. Hallar el valor de "x".

es a

a) 17 d) 32

12 (15)

31

23 (38)

50

43 ( x )

11

b) 27 e) 0

c) 1

Unidad II

57


Aplicación cotidiana 16. Al frente de la casa de Juan, está la bodega "Don Pepe", donde hay un letrero que dice:"El que pueda hallar el valor de "x", pedirá cualquier golosina de mi bodega". ¿Tú puedes hacerlo? 2 5 4 6 3 4 7 3 4 6 2 x

a) 20

b) 21

c) 22

d) 5

e) 7

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Hallar el valor de "x".

97 86 64

a) 4

b) 21

(39) (41) (x)

78 99 21

c) 43

d) 5

e) 48

2. Hallar el valor de "M". 4

7

8

6

3

3

M

7

8

6

1 243

2

9

1 64

9

3

5

4

a)

1 32

d) 2

b)

1 81

e)

1 16

c) 1

3. Hallar el valor de "y".

a) x

d) x4+ x3+ x2+x+1

xx+3

(x+1)

x x+5

x x+5

(x2+x+1)

x x+8

x x+2

( y )

x x+7

b) x3+1

e) x4 - x3 - 1

4. Hallar el valor de "T".

a) -

9 400

c) x4+x

b) - 9 8

2

3

3

1

4

5

5 36 - 8 9 T

9 400

c)

d) 9 8

e) 9

5. Hallar "x". 9

9 -12a

1 -3a +14a - 8 2a 4a2

Colegios

58

TRILCE

a2

-12b

4 4b

4

x 4b2

b2

4c

9 2c + 5 6c

c2

a) b) c) d) e)

- 3b2 - 16b - 5 3b2+16b + 5 3b2 - 16b - 5 - 3b2+16b + 5 Ninguna

c2

www.trilce.edu.pe

Razonamiento Matemático Razonamiento Matemático 18:10:45

2

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. ¿Cuál es el número que falta? 3

5

25

2

7

23

10

8. ¿Qué número falta? 6

9

8

26

13

27

13

17

15 16

28

41

37

29

9. Indicar qué número falta:

2. Hallar el valor de "x" en: 11

6

4

?

12

26

15

3. Escribe el número que falta:

7

18

x

17

10

15

6

2

42

3

6 3

10. Hallar el número que falta. 15

33

23

48

(20)

12

15

??

26

32

(24)

40

29

63

37

27

( ... )

51

11. ¿Qué número falta? 4. Hallar el valor de "x": 5 3 4 5

2

7

3

4

1

9

x

3

1

5

4

6

?

3

2

8

4

9

6. ¿Qué número falta?

3

1

4

3

7

22

33

?

3

1

8 5

Central: 619-8100

3

6

2

4 12

3 2

6

3

11

2

7

?

8

3

25

9

6

15

10

8

x

3

5

0

7

2

8

8

4

x

14. Hallar el valor de "Z"

7. Indicar el número que falta.

2

5

13. Hallar el valor de "x" 8 2 9

3

2

7

12. Hallar el valor de "x" en:

5. Hallar el número que falta: 3

8

4

7

1

48

8

5

59

6

4

Z

15. Hallar el valor de "Z"

1

1

2

5

33

2

3

4

83

4

1

3

Z

Unidad II

59

Percepción espacial

Percepción espacial En este capítulo aprenderemos a: •

Aplicar y potenciar la concentración en la discriminación perceptual visual en situaciones lógicas.

•

Aplicar y reformular estrategias de juicio en situaciones lógicas.

• • •

Colegios

60

¿Es un cubo? ¿Cuántos cuadrados hay? ¿Cuántas caras tiene el sólido?

TRILCE

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3

Saberes previos

•

Poner en funcionamiento todos los centros cerebrales.

•

Aplicación del método del conteo directo.

Conceptos básicos Percepción espacial

El mundo que nos rodea es tridimensional, todos los objetos que percibimos tienen tres dimensiones, por ejemplo una hoja de papel, por más delgada que sea tiene: largo, ancho y espesor (este último muy pequeño al compararse con las otras dos dimensiones). De la misma manera, un hilo, por más "fino" que sea siempre tendrá sus tres dimensiones, donde el largo será la dimensión más evidente en comparación con las otras dos dimensiones. Es por ello que nuestro sentido de la vista está acostumbrado a estas tres dimensiones y cuando hacemos la representación de un cuerpo de tres dimensiones (un cubo por ejemplo) en el plano que tiene solo dos dimensiones, se pierde la dimensión de la profundidad. Esa tercera dimensión se compensa de alguna manera dándole a la figura cierta perspectiva, que haga "parecer" a la figura plana como de tres dimensiones. Además, contamos también con un instrumento personal: la IMAGINACIÓN, desarrollada más en unos que otros, que nos ayuda a visualizar mejor un cuerpo tridimensional que está representado solo con dos dimensiones ya sea en una pizarra o en una hoja de papel. Son muchos los casos en los que hay que emplear esta "PERCEPCIÓN ESPACIAL" Analizaremos tres casos: • • •

Contar cubos Contar caras Cubos desplegables

Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad II

61


10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. ¿Cuántos cubos iguales tiene la siguiente construcción?

a)

d)

b)

e)

c)

4. ¿Cuántos cubos unitarios hay? 2. ¿Cuántos cubos unitarios tiene la siguiente construcción?

5. ¿Cuántos cubitos hay?

3. ¿A qué cubo corresponde el siguiente hexomino?


1. Teniendo los siguientes sólidos, según el número de caras, se puede afirmar que:

(I)

(II)

d) El sólido (II) y (III) tienen la misma cantidad de caras. e) El sólido (III) tiene la mayor cantidad de caras.

2. Dada la siguiente figura:

A

(III)

B

a) El sólido (I) es el que tiene la mayor cantidad de caras. b) El sólido (II) es el que tiene la mayor cantidad de caras. c) El sólido (I) y (II) tienen la misma cantidad de caras.

Colegios

62

TRILCE

¿Cuántos cubos se emplearon en construcción? ........................................

la

¿Cuántos cubos están en contacto con el cubo "A"? .........................................

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¿Cuántos cubos están en contacto con el cubo "B"? ........................................


3

6. ¿Cuántas caras tiene el sólido siguiente?

3. Dada la siguiente figura:

Responder:

• ¿Cuántos cubitos hay en la construcción? • Si la figura fuera un cubo de: 5×5×5, ¿cuántos cubitos harían falta para completar dicho cubo? • ¿Cuántas caras tiene el sólido formado?

a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

7. Juanito es un niño de cinco años, su mamá el día de Navidad le regaló un divertido juego de cubos. Cierto día Juanito construyó el siguiente arreglo de cubos. ¿Cuántos cubos iguales se emplearon en la construcción?

4. Dada la siguiente figura: A

Responder: • ¿Cuántos cubitos hay en la construcción? • ¿Cuántos cubos están en contacto con el cubo "A"?

5. Dada la siguiente figura, con respecto al número de cubitos, se puede afirmar que:

(A)

I. A < B < C III. A < C < B a) Solo I d) Todos

Central: 619-8100

b) 14 e) 19

c) 16

8. En cada caso, ¿cuál de los siguientes despliegues no corresponde al cubo de la figura? Además se sabe que las caras no visibles de los cubos, están en blanco.

a)

b)

c)

a)

b)

c)

(B)

(C)

a) 15 d) 18

II. B < A < C b) Solo II e) Ninguna

c) Solo III

Unidad II

63


9. ¿A qué cubo corresponde el siguiente hexómino?

III.

16 a)

d)

b)

c)

24

30

17

23

IV.

e)

10. ¿A qué cubo corresponde el siguiente hexómino?

16 V.

a)

d)

b)

c)

21 cubos

24 cubos

27 cubos


e)

11. Hallar la cantidad de cubos que se presentan a continuación. (I)

13. Tenemos la siguiente conversación de Luana con su mamá: • Luana: "Mirá lo que armé con el Playgo que me regaló mi papá, hice un barquito". • Mamá de Luana: "Hija que ingeniosa eres, pero ahora quiero que saques ese barquito de su caja y con la misma cantidad de piezas hagas una casa"

12. Marque con una X, la respuesta correcta del siguiente test. ¿Cuántos cubos hay en cada dibujo?

¿Con cuántas piezas contará Luana para realizar la casa?

I.

6 II.

7

9

12

Colegios

64

TRILCE

18

21

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14. Esta es la sede central del nuevo Banco de Reserva del Perú. Dijo un famoso arquitecto mostrando la maqueta que diseñó en la sala de conferencias de dicho banco. ¿Cuántos cubos unitarios tiene dicha maqueta?

15. Durante el fin de semana, Rubik ha construido un cubo horadado como el representado en la figura. Orgulloso de su trabajo lo muestra a su amigo Kubik y lo desafía a encontrar cuántos cubitos son necesarios para rellenar completamente el cubo. Según nuestra perspectiva, ¿cuántos cubitos se necesitan?

3

a) 46 d) 49

b) 47 e) 50

c) 48

¡Tú puedes!básicos Conceptos Dada la siguiente figura: Y

M C

1. ¿Cuántos cubitos hay en la figura, sin contar con el cubo "C", "Y", "M"? : 2. ¿Cuántos cubitos están en contacto con el cubo "C"?

:

3. ¿Cuántos cubitos están en contacto con el cubo "Y" pero no con "M"? : 4. Ordenar en forma decreciente la cantidad de cubos unitarios que hay en cada figura? (A)

(B)

a) ABC

Central: 619-8100

(C)

b) BAC

c) CAB

d) BCA

e) CBA

Unidad II

65


5. ¿Cuántas caras tiene el siguiente sólido?

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. ¿Cuántas caras tiene el siguiente sólido?


6. De acuerdo al cubo anterior, dibujar la figura que falta en el lugar ocupado por la incógnita (?) Dibujarlo en la posición correcta.


7. De acuerdo al siguiente cubo desplegado, dibujar la figura que ocupa el lugar de la incógnita (?) Dibujarla en la posición correcta.


8. De acuerdo al cubo anterior, ¿qué figura falta en el lugar ocupado por la incógnita? Dibujarla en la posición correcta. 5. De acuerdo al siguiente cubo desplegado, dibujar la figura que ocupa el lugar de la incógnita (?) Dibujarla en la posición correcta.

Colegios

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9. De acuerdo al cubo anterior, ¿qué figura falta en el lugar ocupado por la incógnita? Dibujarla en la posición correcta.

3

13. ¿Cuántos "cubitos" hay en la siguiente construcción?

10. De acuerdo al siguiente cubo desplegado, dibujar la figura que ocupa el lugar de la incógnita (?). Dibujarla en la posición correcta.

14. ¿Cuántos "cubitos" hay en la siguiente construcción?

11. De acuerdo al cubo anterior, ¿qué figura falta en el lugar ocupado por la incógnita? Dibujarla en la posición correcta.

15. De acuerdo al cubo anterior, ¿qué figura ocupa el lugar de la incógnita?

12. De acuerdo al siguiente cubo desplegado, dibujar la figura que ocupa el lugar de la incógnita. Dibujarla en la posición correcta.

Central: 619-8100

Unidad II

67

Repaso II

Repaso II ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente . Sucesiones Analogías y distribuciones Percepción espacial

http://www.juventudsion.org/images/show/1043970682.jpg

• • •

Colegios

68

TRILCE

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4

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Una sucesión es un ........................... de (números, letras, figuras); tales que cada uno ocupa un lugar establecido de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente. 2. Relacione correctamente: I. Sucesión gráfica II. Sucesión aritmética III. Sucesión geométrica IV. Sucesión combinada V. Sucesión literal Relacionando:

(A) Factor (B) Factor y sumando (C) Letras (D) Figuras (E) Sumando

II ( )

III ( )

(A) M

I ( )

IV ( )

V ( )

3. Relacionar:

I. A , C , F , J , ...

II. A , B , E , F , I , J , ...

(B) O

III. E , F , M , A , M , ...

(C) P

(D) Ñ

Relacionando:

(E) J

I ( )

II ( )

III ( )

4. Relacionar:

I. 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 28 ; ...

(A) 8 5

II. 3 ; 3 ; 6 ; 2 ; 8 ; ...

(B) 47

III. 2 ; 3 ; 8 ; 17 ; 30 ; ...

(C) 33

(D) 52

(E) 4 3

II ( )

Relacionando:

I ( )

III ( )

5. Tenemos la siguiente analogía:

A

( B )

C

D

( E )

F

G

( H )

I

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Central: 619-8100

Unidad II

69

Repaso II

6. Si:

m

2

2

2 n

3

p

4

3

2 3

y 1

q

x

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Proposición

V/F

¿Por qué?

Si: m=3; n=2; p=4; q=5; y=6; entonces el valor de "x" es: 11

Si: m=1; n=3; p=1; q=4; x=5; entonces el valor de "y" es: 4

7. Si:

Fig.(1)

Fig.(2)

6

;

Fig.(3)

;

10

Fig.(4)

;

15

;

21

...

Relacionar:

I. El valor numérico comprendido en el interior de la figura 8 es: (A) 153 II. El valor numérico comprendido en el interior de la figura 15 es: (B) 253 III. El valor numérico comprendido en el interior de la figura 10 es: (C) 55 IV. El valor numérico comprendido en el interior de la figura 20 es: (D) 78 Relacionando:

I ( )

II ( )

III ( )


IV ( )


8. ¿Qué figura continúa?

?

4

0

3

1

8

7

x

a)

b)

10. Hallar el valor de "x" 27 (14) 10 (11) 21 ( x )

d)

e)

Colegios

70

3

TRILCE

c)

a) 2 d) 1

a) 13 d) 34

1

b) -1 e) 0

b) 25 e) 72

c) 3

41 15 39 c) 19

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( 3 ) ( 5 ) ( x )

a) 11 d) 7

1 2 3

a) 8 d) 12

b) 10 e) 15

c) 16

4

14. Hallar el valor de "m"

b) 14 e) 10

c) 6

5

2

12. ¿A qué cubo corresponde el siguiente hexomino?

3

3

3

1

2 2

5

8

a) 5 d) -1

0 m

b) 6 e) 3

c) -4


a)

b)

d)

e)

15. En un cuartel, el Mayor decide que cada cadete realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada al patio. A las 6:16 am, realiza dos abdominales; a las 6:17, realiza cinco abdominales; a las 6:18, nueve abdominales; a las 6:19; 14 abdominales y así sucesivamente. Si López llegó al patio a las 6:59, ¿cuántos abdominales deberá realizar?

c)


a) 1034 d) 1044

b) 1024 e) 934

c) 1014

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 3. ¿Qué figura falta?

1. ¿Qué número falta? 5

6

10

18

4

2

8

8 5

4

1

es a

4

30 1

2

X 3

1

7

1

Central: 619-8100

1

5

6

?

8 2 9

3

5 0 7

2

8 8 4 x 5. ¿Qué letra continúa?

3

es a

4. Hallar el valor de "x".

2. Indicar qué número falta. 12

como

C; G; K; Ñ; R; V; ...

2

Unidad II

71

Repaso II

6. Hallar el valor de "a + b"

10.

• 1; 1; 2; 6; 24; a • 12; 6; 3; 13; 46; b

7. Indicar el número que falta sobre la tercera mesa. 12 6 4

9 2 1 1 2

11. Señale la figura que corresponde a la incógnita.

x 2 3

2 4

3 1 es a

• En los siguientes ejercicios indica la figura que se forma al doblar mentalmente la figura dada.

como

es a

?

12. Hallar el valor de "a + b + c + d" 8.

• 3; 6; 11; 18; 27; 38; a + b • 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; c; d

13. ¿Qué letras continúan? C D F

9.

I

14. ¿Qué letras siguen en: AC; GI; MÑ; ... ? 15. De la siguiente sucesión:

Colegios

72

TRILCE

22; 34; 58; 716; 11x; yz

hallar el valor de: x + y + z

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UNIDAD III

Las operaciones matemáticas y sus aplicaciones

L

as matemáticas son una de las ciencias más antiguas, y más útiles. El concepto de matemáticas, se comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad. Este es el desarrollo de las matemáticas que se han obtenido desde que el hombre vió la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar las situaciones matemáticas que se presentan. • Organizar los datos estableciendo una correspondencia entre los valores obtenidos. Resolución de problemas • Aplicar estrategias de solución para resolver ejercicios de las operaciones matemáticas. • Interpretar los datos obtenidos para la resolución de ejercicios. Razonamiento y demostración • Formular criterios para encontrar la solución de los ejercicios. • Analizar los datos disponibles y deduce la solución de los ejercicios planteados.

Criptoaritmética

Criptoaritmética En este capítulo aprenderemos a: • •

Determinar relaciones lógicas entre diversos elementos: Concretos y abstractos. Aplicar estrategias para la resolución de los ejercicios.

Numeración egipcia Egipto - 3000 a.C

3

7

14

31

225

648

2130

4807

215 460

4 503 405 fuente: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar2008/educontinua/mate/7imagina/catala/text/egipcis.htm

•

¿Cuál es este número?

Colegios

74

TRILCE

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1

Saberes previos •

Dominar operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, así como sus propiedades que las determinan.

Conceptos básicos

La Criptoaritmética es la ciencia y arte de crear y resolver criptogramas. Forman parte de los llamados "juegos matemáticos", un entretenido género de la matemática recreativa. La invención de la Criptoaritmética ha sido acreditada a la China milenaria. Este era originalmente denominado aritmética de letras o aritmética verbal. El término Criptoaritmética (cryptarithmie en francés) fue introducido la primera vez por Maurice Vatriquant de Minos, en la edición de mayo de 1931 de la revista Sphinc, un periódico belga especializado en matemática recreativa. En 1955, J. A. Hunter acuñó el término Alfamético para designar un criptograma cuyas letras forman palabras o frases, que poseen cierto sentido. Hunter es considerado el "padre" de la criptoarimética moderna. El Alfamético más conocido en todo el mundo es indiscutiblemente: SEND + MORE = MONEY. Fue creado por H.E. Dudeney y publicado por primera vez en la edición de julio de 1924 de la "Strand Magazine", y estaba asociado a la historia de un secuestro y a su respectivo mensaje de rescate: SEND + MORE = MONEY Existe mucha confusión en el uso de los términos Criptograma y Alfamético. Criptograma comprende a una categoría superior que abarca a todos los rompecabezas con operaciones aritméticas donde los algoritmos son sustituidos por letras u otros símbolos. Alfamético designa un subconjunto de criptogramas cuyas palabras tiene algún sentido. Por ejemplo: TQSV + RXWQ = RXQZ es un criptograma, pero: CINE + CENA + BAILE = PASEAR, es un criptograma de una clase muy especial –un alfamético– porque cada cadena de letras forma palabras que tienen algún sentido. Consideraciones generales • • • • • • • •

Cifras: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} abc se lee: "numeral abc", representa a un número de tres cifras. Un numeral no puede empezar con cero. Cada letra de un numeral dado representa una cifra. A letras o símbolos iguales corresponden cifras y dígitos iguales. A letras o símbolos diferentes corresponden cifras y dígitos diferentes. En el caso de asteriscos o guiones puede tomar cualquier valor (igual o diferente a otro). El mayor valor de una suma de dos cifras es 18 siempre y cuando los dígitos sean iguales a 9. Y será 17 si es que los dígitos son diferentes (9 + 8). Ten en cuenta

• • •

Central: 619-8100

par + par = par par + impar = impar impar + impar = par

• • •

par × par = par par × impar = par impar × impar = impar

Unidad III

75

Criptoaritmética

Síntesis teórica

es

en

Colegios

76

TRILCE

en

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Si: (x + y + z + w)2 = 196, hallar:

4. Si: PERÚ × 9999 = ... 7431

•

xyzw + yxwz + wzyx + zwxy

AMO × 101 = ...784

•

1xx1 + 2zz2 + 3yy3 + 4ww4

hallar: AMO + A + PERÚ

2. Si:

a b c c× b a * * * * * * * * 7 * * 7 1

5. En el siguiente cuadro, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta, si: EAD - ACB = ADC Proposición

hallar el valor de: a - b + c

3. Hallar la suma de cifras del dividendo. 3 * 4 4 * * * * * * * * * - 8 * * * - - * 4 * * - 8

V/F

¿Por qué?

Si: A = 3 y B = 5 entonces: C + D + E = 20

Si: C = 8 y B = 6 entonces: A + D + E = 14


Proposición

1. Relaciona los datos, luego de reconstruir la siguiente división. (0 = cero) A 0 B B C - 8 B D A E G E G - -

C B C E C D

I ( )

II ( )

A. 58 B. 18 C. 16 D. 25

III ( )

2. Reconstruir la suma: 3A2ABC + C8A4DD = E1DE19 e indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta:

Central: 619-8100

¿Por qué?

Se cumple que: A + B + C = 13 Se cumple que: B × A = C(E - D)

C C -

I. (B + C)(A + E) II. A+ G×D III. E×C×D + B×C

V/F

3. Reconstruir la siguiente suma e indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta: SEIS + DE + ENERO = REYES Sabiendo que SEIS es divisible por 6. Proposición

V/F

¿Por qué?

• Se cumple que: REY es múltiplo de 3. • Se cumple que: D+I+E+S=13 • Se cumple: Y(N -E)=R(O - I) - D

Unidad III

77

Criptoaritmética

Resolución de problemas 4. Hallar "A + N + I + S", si: SIN + SIN = NADA

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

10. En la siguiente suma, cada letra representa un dígito mayor a cero: ONEM + PERU = 3793 Además, letras distintas representan dígitos distintos. Hallar: O2 + N2 + E2 + M2 + P2 + E2 + R2 + U2 a) 140 d) 100

5. Hallar el segundo producto parcial: 5 4

× 2

9 4 4

a) b) c) d) e)

1344 1544 1844 1644 1744

3 * 4 * * * * * * * * * * * 8 * * * - - * * * 8 - 8

6. Si:

hallar: L - O(P + E) - Z a) 19 d) -15

b) 29 e) 15

c) -29

7. Si: A 6 B+ B53C 7CA

a) b) c) d) e)

6 1CB

Hallar:

A+B C

1 2 4 6 13

8 . Si: TOMA + DAME = 7507 además: T > D; O = cero hallar: TODO a) 5010 d) 5020

b) 4020 e) 4030

c) 6010

9. Halla la suma de las cifras del producto total: __ __ __ × __ __ __ __ __ __ __ 6 __ __ __ 6 2 3

Colegios

78

TRILCE

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

a) El valor de "U" es un número primo. b) El valor de "N" es un cuadrado perfecto. c) El valor de "I" es un cuadrado perfecto. d) El valor de "N" es múltiplo de 2. e) El valor de "I" es múltiplo de 3

13. Si tenemos que: RAP × R = 8757 RAP × A = 6811 RAP × P = 2919

hallar "RAP × PAR" e indicar como respuesta la suma de cifras del resultado

a) 28 d) 30

b) 29 e) 31

c) 30

14. Determinar el valor de cada una de las letras e indicar el número de soluciones que se puede obtener en esta suma: DO S DO S DO S +D O S

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

15. Calcula el valor de " P + E + R + U" , reconstruyendo la siguiente división exacta:

__ __ __ 7

b) 15 e) 22

O C HO

__ 3 __

a) 23 d) 20

12. Si: UU + NN + II = UNI ; indicar lo correcto:

LOP E Z 1

c) 149

11. Indicar como respuesta la suma de cifras del cociente:

6

1 L O P E Z× 3

b) 145 e) 136

c) 21

P E R U M U E E -

R U R U E R U R N R U R U - -

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

www.trilce.edu.pe


1

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. La caza del tigre. Se busca el nombre de un animal. Cada letra de este nombre tiene como valor su número de orden en el alfabeto (A = 1; B = 2; C = 3; etc.). El número de la primera letra es múltiplo de 3. El número de la segunda es un cuadrado perfecto. El número de la tercera es múltiplo de 7. La cifra del cuarto número es un número primo. La suma de los números segundo y quinto es igual a 14. Si la suma de los números de dos de las letras es un número múltiplo de 20, ¿cuál es el animal buscado? (No considerar: CH; LL; Ñ; W). 2. Reconstruir la siguiente división: F G * *

Relacionar: A. B. C. D. E. F.

I. F + O II. A - M III. ES IV. D · G

I ( )

II ( ) III

( )

O * A * * * -

O * * M * * -

L S D A Y A L L * * E * * S - -

10 -3 40 14 -4 20

IV ( )

3. Reconstruir la siguiente suma e indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique. A L L S + W E L L T H A T E ND S S W E L L Proposición

V/F

¿Por qué?

Se cumple que: A + W + T = 23 Se cumple que: L + E - H = 2 Se cumple que: D + I + E + S = 13 4. ¿Cuántas soluciones puede tomar esta suma? U K + U S A U S S R A B OM B

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) Más de 4

5. Hallar un numeral de la forma abcdef, tal que sus productos sucesivos por: 5; 4; 6; 2 y 3, sean respectivamente iguales a los numerales formados permutando circularmente sus cifras.

a) 2

Central: 619-8100

b) 3

c) 4

d) 5

e) Más de 4

Unidad III

79

Criptoaritmética 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. 2.

Si: FUL + FUL = LATA hallar: FALTA × LULU

* * 5 8 * 1 0 6 * * * * 0

Si: A6 + BA + 42 = 1A1 hallar: A × B

3. En la multiplicación: * * 4 * * *

Proposición Se cumple que: A=P+R

2 * * 4 * 5 * 2 8

4. En la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras del cociente. Además se sabe que cada * representa un dígito. 5 * * 4 * 2 * * * * * * * - 4 * * * - - * * * 8 - 1

13. Si: * * * * -

Hallar la suma de todos los asteriscos.

hallar: MI + TC + H

7. Si: * 4 * * × 7 2 * 1 9 2

hallar la cifra que falta en el producto total.

8. Hallar el máximo valor que puede tomar" abdc", si: a a a+ (a ≠ b ≠ c ≠ d) b

a cd

9. Hallar la suma de todos los asteriscos en: Colegios

80

TRILCE

* * * * 8 8 * * * * * 1 2 * * * * 4 * - - Calcular la suma de los asteriscos.

14. Reconstruir:

6. Si: 1MITCH × 3 = MITCH1

¿Por qué?

11. Si: XOLITO × 9999 = ... 294658 hallar: XX + OO + LL+ II + TT + OO 12. Sabiendo que: abcd × m = 29424 abcd × ni = 169 188 Calcular: abcd × moni, "o" = cero

3 * 8 * * × 7 * * 0 * 6 4

V/F

Se cumple que: R + A = 20

Hallar la suma de los números del segundo producto parcial.

5. Si:

2

10. Según el siguiente cuadro indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda y justifique su respuesta. Si: RR + AA + PP = RAP

5 * 6 ×

3 × * *

5 * 4 × * 5 2 * * * * 1 * 6 * * 0 3 * Indicar como respuesta la suma de cifras del producto.

15. En la multiplicación: * 4 * × * 3 1 * * 4 * * * 6 1 * 6 * * hallar la mayor cifra encontrada.

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Operaciones combinadas

2

En este capítulo aprenderemos a: • •

Identificar y relacionar enunciados de diversa índole. interpretar matemáticamente hechos de la vida diaria y su entorno.

Acertijo matemático

5

1 3

4

0

27 3 8 6 82 5

Piensa en el número de veces a la semana que te gustaría salir a cenar fuera. Multiplícalo por 2 y súmale 5 Multiplícalo por 50 Dependiendo de tu fecha de cumpleaños: • •

Si ya pasó tu fecha de cumpleaños súmale 1755. Si aún no ha pasado suma 1754.

Réstale el año de tu nacimiento incluyendo las cuatro cifras.

7

0

28 5

Obtuviste un número de tres cifras. • La primera es el número de veces que pensaste al principio. • La segunda es tu edad.

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Unidad III

81



Dominar operaciones aritméticas como: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación y sus respectivas propiedades. Inferir enunciados elementales de uso cotidiano.

Conceptos básicos Son incontables los problemas que hay en la Matemática, unos más fáciles de resolver que otros, incluso algunos problemas se pueden resolver de varias maneras. En unos casos recurriendo a instrumentos matemáticos muy elaborados y en otros casos a la matemática elemental. Estas últimas son los que conoceremos en el presente capítulo.

Síntesis teórica

Colegios

82

TRILCE

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10 x 5 50

2

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Pietro, Fidel y Bobi pagan su cuenta en un supermercado limeño con S/. 100; S/. 50 y S/. 50 respectivamente. Lo que gastaron Pietro y Fidel es S/. 36, que es justamente el vuelto que recibe Bobi. Lo que gastó Bobi es la mitad de lo que gastó Pietro. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta. Proposición Fidel gastó S/. 8 Bobi gastó S/. 14 Pietro recibe de vuelto S/. 72 Fidel recibe de vuelto S/. 40

V/F

2. Para distribuir sus periódicos "El Choche", el señor Donatello paga S/. 50 a sus empleados. Si para repartir 25 800 periódicos pagó S/. 400, ¿cuántos periódicos reparte cada empleado? 3. María compra tres docenas de vasos a S/. 20 cada docena. Si se rompen seis vasos, ¿a cuánto debe vender cada vaso restante para no ganar ni perder?

¿Por qué?

4. Luis gana S/. 60 diarios, de los cuales puede ahorrar S/. 35. ¿Cuánto dinero ganó si lleva ahorrados S/. 245? 5. Medrano regala cinco caramelos por día y Arturo regala siete caramelos por día. Si después de haber regalado entre los dos en total 204 caramelos, ¿cuántos días han transcurrido?


y una recaudación de S/. 135, completar:

1. Se tienen tres depósitos: "X", "Y" y "Z" cuyos contenidos son 280; 230 y 150 litros respectivamente. Si de "X" y "Y" se pasan algunos litros a "Z" hasta lograr que los tres depósitos tengan la misma cantidad de agua. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta. Proposición

V/F

¿Por qué?

Con 210 litros se logra igual cantidad de agua para los tres depósitos

• • •

3. Un comerciante compró 40 jarrones a 70 soles cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de 20 soles por jarrón, se le rompieron cinco. Luego vende el resto de los jarrones ganando en total 810 soles en las dos ventas. Relacionar:

De "Y" se pasan 10 litros a "Z"

I.

De "X" se pasan 60 litros a "Z" 2. Una custer que hace servicio de Lima–San Bartolo, cobra S/. 3 como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja un pasajero, suben tres. Si llegó con 35 pasajeros

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Son _________ pasajeros que subieron en el trayecto. El número pasajeros que bajaron es: _____ Fueron _______ pasajeros que partieron de Lima.

II. III. IV. V.

En la primera venta se vendió a: Recibió en la venta total: Ganó en la primera venta: La venta de cada jarrón restante es: Ganó en la segunda venta:

I. ( ) IV. ( )

II. ( ) V. ( )

(A) S/. 240 (B) S/. 3610 (C) S/. 1080 (D) S/. 110 (E) S/. 920

III. ( )

Unidad III

83


Resolución de problemas 4. Las edades de un padre y su hijo suman 90 años. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años, ¿cuál es la edad actual del padre? a) 49 años d) 62

b) 54 e) 63

c) 58

5. Se tienen 31 colillas de cigarros y con siete colillas se puede formar y fumar. Después de formar el mayor número de cigarros, el mayor número de colillas es: a) 2 d) 5

b) 1 e) 3

c) 4

6. Tengo cuatro cajas rojas con tres cajas negras cada una, además cada una de las negras contiene cinco cajas blancas con siete cajas naranjas dentro de cada una, ¿cuántas cajas tengo en total? a) 469 d) 19

b) 47 e) 496

c) 420

7. En una fiesta hay 100 personas y en un determinado momento todos bailaron, excepto 26 mujeres. ¿Cuántas mujeres hay en total? a) 63 d) 65

b) 58 e) 59

c) 73

8. Carlos gana 250 soles más que Dina y Dina gana 50 soles más que Ricardo. Si Ricardo gana 800 soles, ¿cuánto gana Carlos?

a) S/. 1050 c) 1150 e) 1250

b) 1100 d) 1200

9. Sandra gana 30 soles por día y Martha 18 soles por día. ¿Luego de cuántos días Sandra habrá ganado 156 soles más que Martha?

a) 16 d) 15

b) 14 e) 13

c) 12

10. Aurora gana 20 soles diarios y Bertha gana 15 soles diarios. ¿Cuántos días deben transcurrir para que entre ambas hayan ganado 700 soles?

a) 15 d) 30

Colegios

84

TRILCE

b) 20 e) 35

c) 25

11. Cada día un empleado, para ir de su casa a su oficina, gasta S/. 2,00 y de regreso S/. 4,00. Si ya gastó S/. 92,00; ¿dónde se encuentra el empleado? a) En la oficina b) En la casa c) A la mitad del camino a la casa d) A la mitad del camino a la oficina. e) No se puede determinar

12. En un matrimonio masivo, participaron 268 personas entre contrayentes y testigos (dos por pareja). Si entre los testigos había 68 mujeres, entonces, ¿cuántos hombres participaron en dicha reunión? a) 134 d) 67

b) 100 e) 66

c) 133

13. Se compraron 80 papayas a dos soles cada una. Se venden 20 papayas ganando 1 sol en cada una y se malogran 30 de ellas. ¿En cuánto debe venderse cada una de las restantes si se quiere ganar 20 soles? a) S/. 3 d) 4,50

b) 3,50 e) 5

c) 4

14. Un ómnibus hace servicio de Lima a Trujillo y en uno de sus viajes recaudó 528 soles por la cobranza de adultos y 108 soles por los niños; sabiendo que para cualquier recorrido el pasaje adulto es de ocho soles y cuatro soles el de niños. Si cada vez que un adulto bajó subieron dos niños y cada vez que baja un niño subieron tres adultos y llegaron aTrujillo 55 adultos y 11 niños, ¿cuántos adultos partieron de Lima? a) 18 d) 22

b) 17 e) 16

c) 20

15. Un comerciante ofrece a un empleado un sueldo anual de S/. 60 000, un televisor y un juego de comedor. A los 10 meses el empleado es despedido y recibe S/. 44 000 más las dos cosas que le prometieron. Si se hubiera retirado a los siete meses hubiera obtenido S/. 36 000 y el juego de comedor, ¿cuál es el precio del juego de comedor? a) S/.18 000 b) 20 000 d) 30 000

c) 40 000 e) 44 000

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2

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En un torneo amistoso organizado por la "U", fueron invitados los equipos de AL, SC y SBA. El torneo tuvo lugar por el sistema de una liguilla en la que cada uno jugó un partido contra los otros tres. No hubo dos partidos que dieran el mismo resultado final y la tabla de competición se muestra en el siguiente cuadro:

U AL SC SBA

J

G

E

P

F

C

3 3 3 3

2 2 1 1

0 0 0 0

1 1 2 2

5 3 5 4

1 5 6 5

¿Cuál fue el resultado entre la "U" y el SBA?

Nota:

a) 2-1

J = Partidos jugados G = Partidos ganados E = Partidos empatados P = Partidos perdidos F = Goles a favor C = Goles en contra b) 1-2

c) 2-0

d) 3-2

e) 3-0

2. Un gato es perseguido por un perro. El gato le lleva 90 saltos de ventaja y da cinco saltos mientras que el perro da cuatro. Si siete saltos del gato equivalen a cinco saltos del perro, ¿cuántos saltos dará el perro para alcanzar al gato?

a) 400

b) 500

c) 600

d) 750

e) 800

3. López adquirió 703 naranjas a S/. 20 y a S/. 15 la docena pagando por todo S/. 1020. Si se sabe que por cada tres docenas le regalaron una naranja, ¿cuántas docenas compró de menor precio?

a) 6

b) 32

c) 36

d) 24

e) 17

4. Un ganadero vendió 60 cabezas de ganado entre vacas y terneros, recibiendo S/. 216 000. Pero como necesitaba S/. 250 000 tuvo que hacer una venta complementaria a los mismos compradores. Y razona que si vende ocho vacas le sobran 2000 soles, pero si vende 20 terneros le faltaría S/. 4000, ¿cuántas vacas y cuántos terneros vendió al principio?

a) 28 y 32

b) 18 y 42

c) 17 y 43

d) 36 y 24

e) 36 y 44

5. El sitio de una fortaleza duró 24 días, en el noveno día se reforzó la defensa con 12 cañones y en el décimosexto con otros ocho del mismo calibre. Los cañones empleados disparan 25 balas por día y cada bala necesita de 3,25 kg. Si se gastaron 39 926,50 en municiones, ¿cuántos cañones se emplearon?

a) 90

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b) 100

c) 120

d) 140

e) 150

Unidad III

85

Operaciones combinadas 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Un auto se compró en S/. 6800. ¿En cuánto se debe vender para ganar S/. 1200? 2. Un comerciante compró una docena de pantalones en S/. 240. ¿En cuánto debe vender cada pantalón, para que su ganancia sea de cinco soles en cada uno? 3. Un bodeguero vende un saco de azúcar en S/. 120, ganando S/. 25. ¿Cuánto le costó el saco? 4. Se reparten 360 polos a nueve equipos de fulbito (ocho por equipo). ¿Cuántos polos recibirá cada jugador? 5. María compra cuatro decenas de vasos a S/. 15 cada decena. Si rompe 25 vasos, ¿a cuánto debe vender cada vaso restante para no ganar ni perder? 6. López gana S/. 30 diarios, de los cuales puede ahorrar S/. 25. ¿Cuánto dinero ganó si lleva ahorrados S/. 225? 7. Compro 32 vasos a S/. 3 cada uno. Si ocho de ellos se rompen, ¿a cuánto debo vender cada uno de los restantes para recuperar mi dinero? 8. ¿Cuál es el número que excede a 48 en la diferencia de 65 y 52? 9. Lolo regala tres caramelos por día y Anthony regala 10 caramelos por día. Si luego de algunos días entre los dos han regalado 247 caramelos, ¿cuántos días han pasado? 10. Se sabe que 70 peras cuestan lo mismo que 20 naranjas y 40 manzanas. Si cada naranja cuesta S/. 3 y cada manzana cuesta S/. 2, ¿cuánto cuesta una pera?

Colegios

86

TRILCE

11. A una reunión asisten 60 parejas y una cantidad de hombres solos igual a la mitad del número de mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron a la reunión? 12. Con los S/. 300 que tengo puedo comprar S/. 25 kg de carne ó 60 kg de pollo. Si cada semana consumo 2 kg de carne y 3 kg de pollo, ¿cuánto gasto por dicho consumo? 13. Se tienen dos cajas, la primera contiene 40 naranjas de 300 g cada una y la segunda contiene 30 manzanas de 200 g cada una. ¿Cuántas frutas deben intercambiarse para que las dos cajas tengan el mismo peso? 14. Un comerciante compra diez pantalones a S/. 30 cada uno. Luego vende cuatro de ellos en S/. 50 cada uno y posteriormente vende el resto de los pantalones. Si desea ganar S/. 200. Responder:

• ¿Cuánto recibe en la primera venta? • ¿Cuánto recibe en la segunda venta? • ¿A cuánto vende cada pantalón restante?

15. Un comerciante compró 11 triciclos a S/. 330 cada uno. Vendió cinco triciclos a S/. 240 cada uno, y posteriormente vende los triciclos restantes. Si desea tener una ganancia total de S/. 900, completar: •

En la primera venta recibió un total de: _______________

•

En la segunda venta recibió un total de: _______________

•

Cada triciclo restante lo vendió a: _______

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3

Operaciones inversas En este capítulo aprenderemos a: • •

Identificar los diferentes casos en las cuales se aplica el método de las operaciones inversas. Interpretar situaciones en las que se presenta las operaciones matemáticas inversas.

Las bacterias se multiplican dividiéndose

L

as bacterias para reproducirse utilizan un sistema llamado mitosis, en este proceso una célula copia su ADN para luego dividirse y crear una célula idéntica a la original. Cada vez que se hace el proceso el número de células se multiplica por 2.

Cuando al fin logré entender que la división y la multiplicación son operaciones inversas!

Aunque su peso sea muy pequeño hay que pensar que cada bacteria se multiplica por 2 cada 15 minutos en condiciones favorables. Supongamos que a las 12 de la noche de mañana (1 de octubre) hubiese una sola bacteria en el mundo. A las 00: 15 habría 2; a las 00:30 habría 4; luego 8; 16; 32; 54; 128; 256; 512; a las 2:30 ya habría 1024. A las 5:00 ya habría un millón. A las 10:00 habría un billón, y por lo tanto nuestra colonia de bacterias ya pesaría 22 gramos ¡ya podríamos notar su peso con la mano! Pero sígamos un poco más, a las 15:00 la colonia, pesaría 22 toneladas, y el día no ha acabado. Al acabar el día ya pesarían: 1 400 000 000 000 000 kg a las 6:30 del 2 de octubre pesarían más que la Tierra, a las 16:00 pesaría más que todo el Sistema Solar junto. Sin embargo, si miramos a nuestro alrededor no vemos tantas, y eso que han tenido millones de años para multiplicarse. El tema está que cuando la colonia empieza a ser algo numerosa se encuentran con algún obstáculo que impide su crecimiento como condiciones ambientales bactericidas, escasez de alimento, etc.

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Unidad III

87

Operaciones inversas


Dominar la aplicación de operaciones aritméticas como: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Distinguir entre una operación directa y una operación inversa.

Conceptos básicos El propósito de este capítulo es mostrar artificios y métodos que abrevien planteamientos tediosos y saturados cálculos en la resolución de problemas. Este método nos permite encontrar la solución de un problema en forma rápida, pero hay que tener en cuenta lo siguiente: • • •

No se conoce la cantidad inicial. Hay varias operaciones sucesivas. Se conoce la cantidad final.

Este método se emplea efectuando las operaciones, empezando del final (dato) hasta el inicio (incógnita) e invirtiendo las operaciones dadas.

Operaciones Directas

Operaciones Inversas

Las operaciones que se usan y sus respectivas inversas son:

Colegios

88

TRILCE

Operación

Inversa

Adición

Sustracción

Sustracción

Adición

Multiplicación

División

División

Multiplicación

Potenciación

Radicación

Radicación

Potenciación

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3

Síntesis teórica

Si tenemos:

Hallar:

• Cantidad inicial

⇒

•

⇒

Cantidad final

Cantidad final Cantidad inicial

10 x 5 50

•

+

•

−

•

−

•

+

•

×

•

÷

•

÷

•

×

•

( )( )

•

( )

•

( )

( )

•

( )

( )( )

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. La edad de Cuellar se multiplica por 4, el resultado se disminuye en 50, la diferencia obtenida se eleva al cuadrado, este resultado se divide entre 5 para luego sumarle 40 y se obtiene 60. ¿Cuál es la edad de Cuellar? 2. Un número se aumenta en 40, el resultado se divide entre 4, el cociente obtenido se aumenta en 5; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, al resultado se le multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Hallar dicho número. 3. Una persona participó en tres apuestas, en la primera duplicó su dinero y gastó S/. 30. En la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó S/. 54. En la tercera cuadruplicó la suma restante y gastó S/ 72. Si al final le quedaron S/. 48, ¿cuánto tenía al comienzo? 4. Tres amigos: "A" , "B" y "C" juegan entre sí, con la condición de que el que pierde duplique el dinero

Central: 619-8100

de los demás, si cada uno pierde una apuesta y al final terminan con S/. 48; S/. 56 y S/. 28. Completar: • • • • • •

El primer amigo tenía inicialmente : ........ soles El segundo amigo tenía inicialmente: ......... soles El tercer amigo tenía inicialmente: ............ soles Después de la primera partida, el primer amigo perdió: ............ soles Después de la segunda partida, el tercer amigo tiene: ............ soles El segundo amigo ganó en total: ............ soles

5. El agua contenida en un pozo se agota en tres horas. Si en cada hora, baja el nivel del agua a la mitad de la altura, más un metro, determinar la altura inicial del agua que había en el pozo.

Unidad III

89


Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Según el siguiente gráfico, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta: Los tres amigos inseparables: Guillermo, Freddy y Gerardo están jugando a las cartas. Ellos tienen un estilo de apuestas. El que pierde duplica el dinero de los otros dos. Luego de tres partidas, en las que han perdido una partida cada uno en el orden que han sido nombrados, tienen 60 soles cada uno. Proposición

V/F

¿Por qué?

Guillermo inicialmente tenía S/. 97,50 Luego de las tres partidas Freddy terminó ganando S/. 7,50

I ( )

Colegios

90

C. 128 litros

B. 68 litros D. 92 litros

I ( ) II ( )

V/F ¿Por qué?

"A" inicialmente tenía S/.1320 "C" inicialmente tenía S/. 360

A. B. C. D. E. F.

S/. 100 S/. 140 S/. 60 S/. 40 S/. 20 S/. 80

II ( ) III ( ) IV ( )

3. Una cisterna ha estado mermando (desocupando) durante una cantidad "N" de horas, hasta que solamente ha quedado 20 galones de petróleo. Si en cada hora se extraía la mitad más dos galones de lo que quedaba la hora anterior, relacionar:

TRILCE

II. Si "N" es igual a 2, ¿cuál es el volumen total?

Proposición

2. Abel y Bartola se ponen a jugar casino. Primero pierde Abel y le duplica el dinero a Bartola. Luego pierde Bartola y le paga 20 soles a Abel y por último vuelve a perder Abel y le duplica el dinero a Bartola. Si quedaron con 20 y 120 soles respectivamente, relacionar:

A. 188 litros

4. Cuatro jugadores: "A", "B", "C" y "D" convienen en una partida de naipes, que el perdedor duplique el dinero de los otros tres. Si cada uno de ellos pierde una partida en el orden que han sido nombrados y al final terminan con S/. 640 cada uno, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta:

Luego de las tres partidas Guillermo perdió S/. 37,50

I. ¿Cuánto tenía Abel inicialmente? II. ¿Cuánto perdió en total Abel? III. ¿Cuánto más tenía Abel que Bartola, luego del segundo juego? IV. ¿Cuánto ganó Bartola en el tercer juego?

I. Si "N" es igual a 3, ¿cuál es el volumen total?

En total "B" perdió S/. 40 En total "B" ganó S/. 280

Resolución de problemas 5. Un número se aumenta en 20; el resultado se divide entre 3, el cociente obtenido se aumenta en 3; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, el resultado se multiplica por 15 y luego al producto obtenido se le divide entre 25 resultando 3. Hallar el número

a) 32 d) 56

b) 42 e) 88

c) 46

6. Un número se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4, luego se extrae la raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3 obteniéndose 12 de cociente. Hallar el número.

a) 15 d) 21

b) 18 e) 27

c) 23

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7. Rodolfo se enteró que San Judas hacía un milagro que consistía en duplicar el dinero que uno tenga, cobrando únicamente S/. 60 por cada milagro. Una mañana Rodolfo acudió a San Judas con todos los ahorros. Pero cuál sería su sorpresa que luego de tres milagros se quedó sin un sol. ¿A cuánto ascendían los ahorros de Rodolfo?

a) S/. 52,5 d) 49,5

b) 50 e) 52

c) 51,5

8. Cada vez que Mariano va a la casa de su tío, este le duplica el dinero que tiene y Mariano en agradecimiento le compra una torta de S/. 20. Si un día Mariano visitó a su tío tres veces y al final terminó con S/. 4, ¿cuánto dinero tenía antes de la primera visita?

a) S/. 40 d) 17

b) 28 e) 15

c) 18

9. Tres personas: "A", "B" y "C" se pusieron a jugar con la condición de que el perdedor de cada partida, debería duplicar el dinero de los otros dos. Se sabe que perdieron en orden alfabético, uno cada vez, quedándose cada uno con $ 32 al final, ¿cuánto tenía el jugador "B" al inicio?

a) $ 54,5 d) 28

b) 27,5 e) 52

a) 1 d) 6

b) 5 e) 4

I. El primero en perder deberá aumentar $10 a cada uno de los demás. II. El segundo en perder deberá duplicar el dinero de los demás. III. El tercero deberá aumentar $20 a cada uno de los demás. IV. El cuarto deberá triplicar el dinero de los otros tres.'

Se sabe que perdieron en el orden antes mencionado y al finalizar la cuarta partida cada uno quedó con $240, ¿quién perdió más?

a) Ricardo d) Toño

c) 8

b) Coco c) Polo e) Coco y Toño

13. Cuatro jugadores: "A", "B", "C" y "D" acordaron que en cada partido el perdedor cuadriplicará el dinero de los otros tres. Si ellos pierden cada uno una partida en el orden dado y después de lo cual ellos tienen cada uno: 256; 512; 768 y 1024 soles respectivamente, ¿cuánto suman lo que tenían "C" y "D" en un principio?

c) 22,5

10. Tres jugadores: Hugo, Paco y Luis convienen en que el que pierda la partida, triplicará el dinero de los otros dos. Si pierden una partida cada uno en el orden antes mencionado y quedan con 36; 57 y 55 soles respectivamente, indicar como respuesta la suma de las cifras con que empezó Luis.

12. Ricardo, Coco, Polo y Toño, deciden jugar, teniendo en cuenta las siguientes reglas:

a) S/. 157 d) 177

b) 166 e) 186

c) 167

14. Luanita le dice a su padre Gabriel que ella quiere practicar Matemática. • ¿Sabes cuánto peso? Responde Gabriel • Sí, Papi • Pues, hija divídelo entre 15, al resultado le sacas la raíz cuadrada, enseguida lo multiplicas por 60 y finalmente lo divides entre 20. ¿Cuánto sale? La hija le responde: sale 6

¿Cuánto pesa Gabriel?

a) 45 kg d) 70

b) 60 e) 75

c) 65

11. Cada vez que López se encuentra con Medrano, este último le entrega S/. 20 y López en agradecimiento duplica la cantidad que tiene Medrano. Si en un determinado día se encuentran dos veces luego de las cuales López tiene S/. 25 y Medrano S/. 20, ¿cuánto dinero tenía López antes del primer encuentro con Medrano?

15. Rafael desea adivinar la edad de Maribel, para esto, Rafael le dice a Maribel que haga las siguientes operaciones con su edad: que le reste 10, a la diferencia lo eleve al cuadrado, al resultado le sume 6 para que luego lo divida entre 7. Si después de realizar estas operaciones; Maribel ha obtenido 10, entonces Rafael le dirá que tiene:

a) S/. 10 d) 30

Central: 619-8100

b) 20 e) 35

c) 25

3

a) 15 años d) 21

b) 18 e) 22

c) 20

Unidad III

91


¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Al morir un padre, deja de herencia a sus hijos S/. (220 - 3) soles. El mayor recibe S/. 1, más la mitad del resto, más S/. 1. De lo que resta, el segundo, hijo recibe S/. 1, más la mitad del resto, más S/. 1; y así sucesivamente. Si después de recibir su parte el útimo vástago solo quedó S/. 1, ¿cuántos hijos tuvo el difunto?

a) 21 d) 18

b) 22 e) 19

c) 20

2. Una persona vende cierta cantidad de pollos donde en cada venta vende la mitad de los que tiene más medio pollo. Si después de la décima venta le queda (n - 1) pollos, ¿cuánto tenía al principio?

nx210

a) - 1 c) 210 - 2 e) nx310 - 1

a) S/. 65 d) 35

I. Gastó en total cien soles. II. Si cada chizito costó medio sol, entonces compró 38 chizitos. III. Gasta en caramelos 28 soles menos que en chocolates.

b) nx210 d) nx210+2

3. Cuatro amigos: "w","x","y","z", se pusieron a jugar teniendo en cuenta lo siguiente: el que pierda primero cuadruplica el dinero de cada uno de los restantes. El segundo perdedor aumentará cincuenta soles a cada uno de los demás. El tercero aumentará a cada uno de los restantes veinte soles. El cuarto perdedor aumentará a los restantes treinta soles. Si se sabe que perdieron en orden alfabético y al finalizar la cuarta partida, cada uno quedó con S/. 150; S/. 80; S/. 120 y S/. 40; respectivamente,¿cuánto suman (y+z) al principio?

4. Ángela y sus amigos salen a pasear, ella tiene cierta cantidad de dinero y lo gasta de la siguiente manera: en chocolates la mitad de su dinero, más dos soles; en chizitos la tercera parte del resto, más cuatro soles y en caramelos las 3/4 partes del dinero que le queda, más tres soles. Si aún le quedan cuatro soles, entonces podemos afirmar como verdadero:

b) 70 e) 40

c) 25

a) Solo I d) I y II


c) Solo III

5. Se tienen tres recipientes con cierto número de litros de agua, del primero se echa a los otros dos tantos litros como había de agua en cada uno; enseguida se hace la misma operación con el contenido del segundo y finalmente se hace igual con el contenido del tercero, de esta manera los tres recipientes quedaron con 16 litros de agua cada uno. ¿Cuál era el contenido del segundo recipiente?

a) 12 litros d) 28

b) 14 e) 8

c) 16

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ricardo dice: "Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 soles, a ese resultado lo multiplico por 6, luego le quito 24 soles, posteriormente le saco la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, obtengo 8 soles". Indica la cantidad inicial que tenía Ricardo. 2. Liliana acude al casino, en la primera partida logra duplicar su dinero, en la segunda partida pierde S/. 40, en la tercera partida cuadruplica el dinero que tiene y luego gasta S/. 50. ¿Cuánto tenía inicialmente, si al final le quedó S/. 30?

Colegios

92

TRILCE

3. Cada día, de un reservorio de agua, se consume la mitad del contenido más 20 litros. Si después de tres días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio, ¿cuántos litros de agua se consumieron? 4. Si a la edad de Christopher lo multiplico por cuatro, luego le añado 18 al producto, para posteriormente dividirlo entre 19 y obtener así finalmente dos años. ¿Cuál es la edad dentro de cinco años?

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5. Un alumno lee cada día la mitad de las hojas de una revista más 50 hojas. Si al cabo de tres días lee hasta la última hoja, ¿cuántas hojas tenía la revista sabiendo que al inicio le habían arrancado doce hojas? 6. Trilcito piensa un cierto número y realiza las siguientes operaciones: lo eleva al cubo, al resultado le agrega nueve y extrae la raíz cuadrada, al número así obtenido lo divide entre tres, para luego restarle uno y por último al resultado lo eleva al cuadrado obteniendo al final 16. Hallar el número que pensó Trilcito. 7. Un alumno comentaba: "Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego S/.40, luego a ese resultado le multiplico por 6, para quitarle a continuación S/.48 y si a ese resultado le extraigo la raíz cuadrada y, por último lo divido entre 2, obtengo S/.18". Indicar como respuesta la suma de las cifras de la cantidad inicial. 8. Se triplica un número, y luego se incrementa 4; al resultado se disminuye 15 y se eleva al cuadrado la diferencia obtenida resultando 100. Hallar el número. 9. Un número se multiplica por 3, al resultado se le agrega 3; al resultado se le divide entre 3 y al resultado se le resta 3. Si se obtiene 13, ¿cuál es el número? 10. Cada vez que saco agua de un depósito, extraigo la mitad del contenido y tres litros más. Si luego de tres extracciones el depósito quedó vacío, indicar cuántos litros extraje la segunda vez. 11. Con un número se hacen las siguientes operaciones: primero se multiplica por 5, al producto se le suma 60 para luego dividirlo entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas, se obtiene 2, ¿cuál es el número?

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12. Un pozo de agua se vacía en tres horas. Si en cada hora se va la mitad de lo que había en esa hora más un litro, ¿cuántos litros tenía inicialmente?

3

13. En un almacén de arroz hay inicialmente cierto número de sacos de dicho producto. La primera semana se vendió la mitad de los sacos, la segunda semana se vendió 90 sacos y la tercera semana se vendió tanto como no se vendió, quedando en el almacén 500 sacos de arroz. Completar: • • •

Había inicialmente ................ sacos. La primera semana se vendieron ............... sacos. La tercera semana se vendieron ............... sacos.

14 Un pozo lleno de agua, se agota en tres horas. Si en cada hora desciende la mitad más un metro, ¿cuál es la profundidad del pozo? 15. Tres jugadores "A", "B" y "C" acuerdan jugar tres partidas de casino. El que pierde en cada partida duplicará el dinero a cada uno de los otros dos. Pierden en el orden enunciado y al final "A" quedó con 16 soles, "B" con 32 soles y "C" con 48 soles. Indicar V o F, si: Proposición V/F "A" inicialmente tenía S/. 50 "C" inicialmente tenía S/. 18 En total "A" perdió S/. 34 En total "B" ganó S/. 28 En total "C" ganó S/. 30 En total "C" perdió 10

Unidad III

93

Falsa suposición

Falsa suposición En este capítulo aprenderemos a: •

Identificar y aplicar el método en la resolución de los problemas.

•

Resolver y formular situaciones problemáticas a través del método del rombo.

Una granja singular En una granja donde hay vacas y gallinas, se contaron 90 cabezas y 252 patas. • ¿Cuántas gallinas y vacas hay en la granja?

Colegios

94

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4

Saberes previos •

Dominar la aplicación de operaciones aritméticas como : suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Conceptos básicos Método de falsa suposición

Observemos que este método se aplica en aquellos problemas que tengan cuatro datos: Dos datos totales y dos datos unitarios. El procedimiento de solución consiste en:

• • • •

Falsa suposición Error total Error unitario Número de errores

Método del rombo Consideraciones:  El problema debe presentar "dos incógnitas".  Debe presentar el "número total de elementos" que es un valor numérico ( representa el total de la suma de las "dos incógnitas"). En el esquema, dicho valor va en el ángulo central izquierdo.  Debe presentar en forma directa o indirecta "los valores unitarios" de cada una de las incógnitas. El "valor unitario mayor"(C), va en el esquema en el ángulo superior. El "valor unitario menor" (D), va en el esquema en el ángulo inferior.  Debe presentar otro "valor numérico", que representa la suma total de los valores unitarios de las "dos incógnitas". Que le denominamos "recaudación total" (en el esquema va en el ángulo central derecho ("B") Esquema: "Valor unitario mayor" (x) Total de elementos ?

A

C

(-) B

(-) D

Recaudación total

"Valor unitario menor"

Del esquema: Lo primero que hallamos es el parámetro que está señalando la incógnita: #? = AC - B C-D

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Unidad III

95

Falsa suposición

Síntesis teórica

Necesita

También

(×)

C (-)

A ?

(-) B

→ D ?= AC - B C-D

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10 x 5 50

4

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC incorrecta un puntaje en contra de un cuarto de punto. Si un alumno ha obtenido en dicha prueba 100 puntos, habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas, ¿en cuántas respondió bien?

1. Me pagaron 920 soles en 28 billetes, unos de 50 soles y otros de 10 soles. ¿Cuántos billetes de S/. 50 y de S/. 10 hay? 2. Perico cría pavos y vacas. Él afirma que cuenta con 117 cabezas y 400 patas. ¿Cuántos pavos y vacas hay? 3. En un restaurante hay 62 tenedores, uno de tres dientes y otros de cuatro dientes. Si en total hay 221 dientes, ¿cuál es la diferencia entre ambos tipos de tenedores?

5. Una casa de juegos paga S/. 10 al ganador y cobra S/. 7 al que pierde. Un jugador con suerte, después de 34 juegos termina sin ganar ni perder. ¿Cuál es la diferencia entre el número de juegos ganados y el número de juegos perdidos?

4. En un simulacro que tiene 200 preguntas, cada respuesta correcta vale un punto y por

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. En un Exámen de Admisión, el número de preguntas es "N", la calificación es de cuatro puntos por respuesta correcta y me descuentan un punto por cada incorrecta. Si obtuve "M" puntos y respondí todas las preguntas, indicar (V) o (F) según corresponda. Justifique su respuesta: Proposición

V/F

3. Una canasta contiene 80 frutas entre plátanos y manzanas. Cada plátano pesa 300 g y cada manzana 220 g. Si la canasta pesa en total (con frutas) 24 kg y además las frutas pesan 16 kg más que la canasta, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justifique su respuesta. Proposición El peso de todos los plátanos es de 5000 g más que el de la canasta vacía

¿Por qué?

Si: N=140 y M= 260 entonces el número de preguntas que no acerté es 60.

Hay 20 manzanas más que plátanos

Si: N=100 y M=140 entonces el número de preguntas que acerté es 48.

Si por todos los plátanos me dan S/. 60, cada plátano costará S/. 2

2. En una granja se observa 23 cabezas y 58 patas, entre patos y vacas. Relacionar:

I. II. III.

El número de vacas es: El número de aves es: El número de vacas es excedido por el número de aves en:

I

( ) II ( )

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III ( )

V/F ¿Por qué?

(A) 11 (B) 17 (C) 7 (D) 13 (E) 6

4. Podría ahorrar S/. 20 al día; pero cada mañana de sol empleo S/. 9 en helados y cada mañana fría gasto S/. 6 en café. Si al cabo de 21 días he ahorrado S/. 258, se puede afirmar:

I. La diferencia entre días soleados y fríos es 3. II. Gasté S/. 56 tomando café. III. Podría haber ahorrado S/. 231 si todas las mañanas hubiesen sido soleadas.

a) Solo I d) Todas


c) Solo III

Unidad III

97

Falsa suposición

Resolución de problemas 5. En un salón hay 36 carpetas, unas son bipersonales y otras para cuatro alumnos. En total se acomodan 96 alumnos en todas las carpetas. Si consideramos que todas las carpetas son bipersonales, ¿cuál sería el error total?

a) 27 d) 24

b) 26 e) 23

c) 25

6. En un camión cargaron 900 gallinas, con un peso de 2300 kg. Unas gallinas pesaban 2 kg cada una y otras pesaban 3 kg cada una. Responder: a. Suponiendo que todas las gallinas pesan 2 kg, ¿cuál sería el error total?

a) 72 d) 68

b) 74 e) 86

c) 76

12. Joaquín rinde un examen de 30 preguntas. Si por cada respuesta acertada obtiene cuatro puntos y por cada equivocación pierde un punto; ¿cuántas preguntas contestó bien, si obtuvo un puntaje de 80 puntos y contestó todas las preguntas?

a) 18 d) 20

b) 16 e) 22

c) 12

b. Suponiendo que todas las gallinas pesan 3 kg, ¿cuál sería el error total?

13. Cada día que un alumno sabe sus lecciones, el profesor le da cinco vales, y cada día que no las sabe, el alumno tiene que darle al profesor tres vales. Si al cabo de 18 días el alumno ha recibido 34 vales, ¿cuántos días supo sus lecciones el alumno?

a) 480 kg b) 500 d) 520 e) 525

a) 375 kg b) 110 d) 400 e) 410

c) 510

c) 100

7. En un salón hay 36 carpetas, unas bipersonales y otras para cuatro alumnos. Si en total hay 96 alumnos ocupando estas 36 carpetas, ¿cuántas carpetas son bipersonales?

a) 12 d) 18

b) 24 e) 30

c) 6

8. Con S/. 101 000 se han comprado carneros y ovejas, adquiriendo un total de 25 animales. Si cada carnero cuesta S/. 3000 y cada oveja S/.5000, ¿cuántos carneros se han comprado?

a) 12 d) 9

b) 13 e) 6

c) 15

9. Para tener S/. 12,30 en 150 monedas que son de cinco y diez céntimos, ¿cuántas deber ser de a cinco?

a) 54 d) 48

b) 96 e) 66

c) 82

a) 12 d) 6

b) 11 e) 10

c) 5

14. Un padre le propone nueve problemas a su hijo, ofreciéndole cinco soles por cada problema que resuelva, pero por cada problema que no resuelva el muchacho perderá dos soles. Si después de trabajar en los nueve problemas, el muchacho recibe 31 soles, ¿cuántos problemas no resolvió bien?

a) 7 d) 2

b) 5 e) 3

c) 4

15. Con 30 monedas de S/. 2 y S/. 5 colocados en contacto, unas a continuación de otras, se ha formado la longitud de 1 metro, se sabe que los diámetros de estas monedas son 28 mm y 36 mm respectivamente. ¿Cuántas monedas de S/. 5 hay en el grupo? a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

10. En un taller encontramos 80 vehículos entre autos y motocicletas, contando 176 llantas. ¿Cuántas motocicletas encontramos?

16. En un cuartel de 100 soldados todos se disponen a hacer "planchas". En un determinado momento, el sargento pudo observar sobre el piso 298 extremidades. ¿Cuál es el número total de soldados haciendo "planchas"?

a) 72 d) 68

Colegios

98

11. En una combi viajan 150 pasajeros. El pasaje adulto cuesta 1,50 soles y el pasaje universitario 1 sol. Si la recaudación fue 187 soles, ¿cuántos son los adultos?

TRILCE

b) 74 e) 86

c) 76

a) 74 d) 49

b) 54 e) 41

c) 51

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4

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En un grupo de conejos y gallinas el número de patas es 14 más dos veces el número de cabezas, entonces el número de conejos es:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

2. A cierta función asistieron 23 personas donde cada adulto varón pagó S/. 30, cada mujer S/. 20 y cada niño S/. 10. Si el número de mujeres asistentes fue el doble que el de niños y se recaudó S/. 450, ¿cuántos adultos varones asistieron?

a) 12

b) 6

c) 5

d) 8

e) 10

3. En un zoológico hay 56 animales, entre aves y felinos. Si se cuentan el número de patas tenemos que es 196, luego:

I. La diferencia entre felinos y aves es 24. II. Hay 42 felinos. III. Si vendiéramos todas las aves a 6 soles cada una, recaudaríamos 84 soles.

Son ciertas:

a) Solo III

b) Solo I

c) Solo II

d) I y II

e) I y III

4. Un litro de leche pura pesa 1032 g. Se tiene 5,5 litros de leche adulterada cuyo peso es 5628 g, luego podemos afirmar:

I. En la mezcla, la leche y el agua están en relación de 8 a 3. II. En la mezcla, hay 1,5 litros de agua.

a) Solo II

b) Solo I

c) I y II

d) Ninguna

e) Faltan datos

5. ¿Cuántos litros de vino de 10 nuevos soles el litro se debe mezclar con vino de 15 nuevos soles el litro para tener 35 litros de mezcla que se puede vender a 11 3 de nuevos soles el litro sin ganar ni 7 perder?

a) 15

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b) 10

c) 23

d) 30

e) 25

Unidad III

99

Falsa suposición 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Carlos compra 20 prendas, entre camisas y pantalones donde cada camisa costó S/. 12 y cada pantalón S/. 15. Si en total gastó S/. 264, ¿cuántas camisas y cuántos pantalones compró? 2. En un zoológico, entre todas las jirafas y aves se podían contar 30 ojos y 44 patas. Son ciertas: I. Hay ocho jirafas. II. Hay siete avestruces. III. El número de alas es 16. 3. En un poema hay 50 palabras, unos de ocho y otras de cinco letras. Si en total hay 340 letras, ¿cuántas palabras de cinco letras hay? 4. En el problema anterior, ¿cuántas palabras de ocho letras hay? 5. Un docente del curso de Matemática, por resolver 80 problemas entre Geometría y Razonamiento Matemático recibe un total de 2500 soles. Si por cada problema desarrollado de Geometría y Razonamiento Matemático se da 25 y 35 soles respectivamente, ¿cuántos problemas de Geometría ha desarrollado? 6. Un camión lleva 900 maletines de dos tipos con un peso total de 2300 kg. Si los del primer tipo pesan 2 kg cada uno, y los del segundo tipo 3 kg cada uno; determinar cuántos maletines hay en cada clase. 7. En el colegio primaria Trilce concurrían alumnos con sus triciclos y otros con sus bicicletas. El guardián, para saber que no faltaba ninguno, contó 860 ruedas y 608 pedales. Entonces, son ciertas:

Colegios

100

TRILCE

I. Si contamos los pedales de todas las bicicletas obtenemos 104. II. La diferencia entre el número de triciclos y bicicletas es 204.

8. Hay una colección de 27 bichos, entre moscas y arañas. Si se cuentan 192 patas de estos bichos, ¿cuántas moscas hay? 9. En el problema anterior, indicar la diferencia entre moscas y arañas. 10. Debo pagar S/. 410 con 28 billetes de veinte y diez soles. ¿Cuántos billetes de diez soles debo de emplear? 11. Pedro decía: "Entre los vacunos y pavos que tengo cuento 117 cabezas y 400 patas". ¿Cuántos vacunos tiene Pedro? 12. En una fábrica trabajan 90 obreros, hombres y mujeres, y los jornales de un mes han importado S/. 78,30. El jornal diario del hombre es de S/. 105 y el de la mujer de S/. 75. ¿Cuántos obreros son hombres? 13. En una juguetería se venden autos y motos. Si Carlitos compró 34 juguetes entre autos y motos, y en total contó 108 ruedas, ¿cuántos autos más que motos compró? 14. Una señora compra 20 frutas entre manzanas y naranjas. Cada manzana cuesta 45 céntimos y cada naranja cuesta 30 céntimos. Si gastó en total S/. 7,80 ¿cuántas manzanas compró? 15. En el problema anterior, ¿cuánto se pagó en total, por las naranjas?

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5

Repaso III ... y ahora vamos a repasar los temas estudiados anteriormente . • • • •

Central: 619-8100

Criptoaritmética. Operaciones combinadas. Operaciones inversas. Falsa suposición.

Unidad I

101

Repaso I

Conceptos básicos Aprende más... 1. Si: ABC × 1001 = *** 345 hallar: A × B × C

a) 60 d) 70

•

Una custer que hace servicio de Lima - El Silencio, cobra S/. 3 como pasaje único y en el trayecto se observa que cada vez que baja 1 pasajero, suben 3. Si llegó con 35 pasajeros y una recaudación de S/. 135, completar:

2. Son el trayecto.

b) 80 e) 90

c) 100

pasajeros que subieron en

3. El número de pasajeros que bajaron es: 4. Si: MNP × 999 = ...453 hallar M+N+P

a) 12 d) 19

b) 19 e) 18

c) 16

5. En un matrimonio masivo, participaron 269 personas entre contrayentes y testigos (dos por pareja). Si entre los testigos había 68 mujeres, ¿cuántos matrimonios se realizaron? a) 140 d) 100

b) 145 e) 107

c) 149

6. Un ómnibus hace servicio de Lima a Trujillo y en uno de sus viajes recaudó 528 soles por la cobranza de adultos y 108 soles por los niños; sabiendo que para cualquier recorrido el pasaje adulto es de ocho soles y cuatro soles el de niños. Si cada vez que un adulto bajó subieron dos niños y cada vez que baja un niño subieron tres adultos y llegaron aTrujillo 55 adultos y 11 niños, ¿cuántos niños partieron de Lima? a) 5 d) 7

b) 6 e) 9

c) 8

7. Roger sale de casa con "n" soles. Primero gasta S/. 30 en un libro de Matemática, posteriormente gasta la mitad del dinero que le queda en un CD de Gianmarco y finalmente gasta S/. 50 en "Anticuchos". Si al final le quedan S/. 25, ¿cuánto dinero gastó en el CD de Gianmarco?

a) S/. 60 d) 45

Colegios

102

TRILCE

b) 70 e) 80

c) 75

8. Cada vez que López se encuentra con Medrano, este último le entrega S/. 20 y López en agrade-cimiento duplica la cantidad que tiene Medrano. Si en un determinado día se encuentran dos veces luego de las cuales López tiene S/. 25 y Medrano S/. 20, ¿cuánto dinero más que López tenía Medrano inmediatamente después del primer encuentro?

a) S/. 10 d) 25

b) 15 e) 5

c) 20

9. Doña Lucha acude al casino Atlantic City. En la primera partida logra duplicar su dinero, en la segunda partida pierde S/. 140, en la tercera nuevamente duplica su dinero y en la cuarta pierde S/. 920. Si luego de esta última partida sale deprimida porque se quedó sin un sol, ¿cuánto dinero tenía luego de la segunda partida?

a) S/. 300 d) 460

b) 600 e) 480

c) 520

10. En un camión cargaron 900 gallinas, con un peso de 2300 kg. Unas gallinas pesaban 2 kg cada una y otras pesaban 3 kg cada una, ¿cuál es la diferencia en el número de gallinas de cada peso?

a) 120 d) 90

b) 110 e) 80

c) 100

11. Un comerciante empleó 1910 soles en comprar 50 pantalones de 40 y 35 soles. Si supones que todos los pantalones costaron 35 soles, cada uno, ¿cuál será el error total?

a) S/. 140 d) 160

b) 150 e) 165

c) 155

12. En una juguetería venden triciclos y bicicletas. Si en total se cuentan 860 ruedas y 304 vehículos, ¿cuántas ruedas corresponden a las bicicletas?

a) 100 d) 106

b) 102 e) 108

c) 104

13. En un Exámen de Admisión, el número de preguntas es 140; la calificación es cuatro puntos por pregunta correcta y menos un punto por cada pregunta errada. Si Edú ha obtenido 335 puntos al contestar todo el examen, ¿en cuántas preguntas acertó?

a) 95 d) 85

b) 45 e) 75

c) 105

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14. En un establo, el depósito de leche contiene 154 litros, que deben ser envasados en 280 botellas, unas de 0,75 L y otras de 0,40 L. ¿Cuántas botellas de 0,75 L se van a necesitar?

a) 120 d) 100

b) 160 e) 90

c) 180

15. Halla la suma de las cifras encontradas del producto total: __ __ __ × a) 13 __ 3 __ b) 15 __ __ __ __ c) 12 __ __ __ 7 d) 10 e) 11 __ __ __ 6

5

__ __ __ 6 2 3

18:10:45

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Si tenemos: SAL + MAS = ALLA hallar: M+A+S+A 2. Indicar la suma de las cifras del cociente:

** * 4 46 -4* 2* *8

2*

***

* *** - - -

3. Si:

A 6 B + B 5 3 C 7 C A 6 1 C B

hallar: A+B+C 4. Si: 1MITCH # 3 = MITCH1 hallar: MI + TC + H 5. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, si tenemos que: RR + OO + KK = ROK • Se cumple que: O=K+R ......................( ) • Se cumple que: R+O=20 ....................( ) 6. Si: xyzw # 9999 = ...2568 hallar: x+y . z - w

10. Tengo cuatro cajas rojas con tres cajas negras cada una, además cada una de las negras contiene cinco cajas blancas con siete cajas naranjas dentro de cada una. ¿Cuántas cajas hay en total? 11. A un cierto número de personas se les iba dar S/. 35 pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/ 42. ¿Cuántas personas había al inicio? 12. Lolo regala tres caramelos por día y Antonhy regala 10 caramelos por día. Luego de algunos días, entre los dos han regalado 247 caramelos, ¿cuántos días han pasado? 13. Un comerciante compra 10 pantalones a S/. 30 cada uno. Luego vende cuatro de ellos en S/. 50 cada uno y posteriormente vende el resto de los pantalones. Si desea ganar S/. 200, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• En la primera venta recibe 400 ................ ( ) • En la primera venta vende cada pantalón a S/. 50 ...................................... ( )

14. Un número se cuadruplica, el resultado se incrementa en 4, luego se extrae la raíz cuadrada, esta raíz se disminuye en 2, luego la diferencia se eleva al cuadrado y por último el resultado se divide entre 3 obteniéndose 12 de cociente. Hallar el número.

8. Angie y Gloria tienen juntas S/.120. Si Angie tiene 20 soles más que Gloria, ¿cuánto tiene cada una?

15. Cuatro jugadores: "X", "Y", "Z" y "W" convienen en una partida de naipes, que el perdedor duplique el dinero de los otros tres, donde uno de ellos pierde una partida en el orden que han sido nombrados. Si al final terminan con 640 unidades cada uno, indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

9. María compra tres docenas de vasos a S/. 20 cada docena. Si se rompen seis vasos, ¿a cuánto debe vender cada vaso restante para no ganar ni perder?

7. Hallar " J - Z (F+A)", si: JAZ + FAJ = AZZA

Central: 619-8100

• • • •

"X" inicialmente tenía S/. 1320 ...............( ) "Z" inicialmente tenía S/. 360 .................( ) En total "Y" perdió S/. 40.........................( ) En total "Z" ganó S/. 280 ......................( )

Unidad I

103

UNIDAD IV D 10%

A 20% D 40% B 30%

A 40%

C 30%

C 10%

B 20%

25 22 18 15 12 10 7 5

2010

2011

2012

2013

Año

E E E S S E M E E S E M S E M M S E S E R E M E S

L

La Matemática y su universalidad

a Matemática tiene muchas aplicaciones en todas las ramas del conocimiento humano. Una intención clara es ampliar la visión de la Matemática para las personas que no están familiarizadas con esta. No se refiere a que la Matemática sea la ciencia suprema, la más importante ni mucho menos, solo me refiero a que la Matemática, junto con todas las demás formas del conocimiento se relacionan entre sí, formando una sola verdad. Los llamados “Pitagóricos”, matemáticos antiguos pensaban que la Matemática podía explicar todo el Universo, tal como enunció Filolao: “Grande, todopoderosa, todoperfeccionadora y divina es la fuerza del número, comienzo y regidor de la vida divina y humana, participante del todo. Sin el número todo es oscuro y confuso”. AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar las situaciones donde la Matemática tiene sus diversas aplicaciones. Resolución de problemas • Aplicar estrategias para resolver problemas de inducción matemática y de gráficos estadísticos. Razonamiento y demostración • Analizar los datos disponibles para encontrar los resultados generales a partir de situaciones particulares. • Formular estrategias para tomar decisiones a partir de situaciones estadísticas gráficas.


Método inductivo I

1

En este capítulo aprenderemos a: •

Desarrollar la capacidad de análisis para enfrentar situaciones diversas.

•

Elaborar herramientas adecuadas para la resolución de problemas que exigen el uso del pensamiento creativo.

• Ejercitar la capacidad de observación que permitan llegar a la solución de un problema empleando el razonamiento inductivo.

La Matemática en el juego El Kalah

E

l Kalah es un juego milenario de origen africano caracterizado por su destreza numérica y lógica. El juego promueve la discriminación visual, fortalece el cálculo mental (suma y resta sencilla); descansa en la estrategia, la búsqueda de patrones de avance y defensa, la anticipación del resultado de una movida particular y la habilidad de descrifrar rápidamente representaciones visuales de los números. El Kalah tiene muchas variantes y nombres (Mancala, Awale, Kiutchi, ...) que parten de los grupos que lo juegan actualmente (principalmente en África, América y Asia) y de las transformaciones producto de la migración de esos pueblos. Es reconocido como uno de los juegos más antiguos aún practicado, con más de 3500 años de existencia. Evidencia de su longevidad fue encontrada en la pirámide de Keops, Egipto, en forma de tableros tallados en piedra.

Central: 619-8100

Unidad IV

105

Método inductivo I

Saberes previos •

Para resolver ejercicios por el método inductivo es preciso conocer el Álgebra elemental.

Conceptos básicos

Hallar el resultado de: E=(1111111)2

Resolución

•

Ejemplo

Ejemplo

• Razonamiento inductivo Es un modo de razonar en el que a partir de la observación de casos particulares encontraremos un caso general.

Observa: 2 1 =1

112=

11 ×

11 11 11 121

1112=

111 ×

111 111 111 111 12321

11112=

1111 × 1111 1111 1111 1111 1111 1234321

• El resultado está formado por números consecutivos en orden ascendente, desde el 1 hasta la cantidad de "unos" y luego en orden descendente. • Luego: (1111111) 2 = 1234567654321 14 24 3 siete cifras

Síntesis teórica

Colegios

106

TRILCE

www.trilce.edu.pe


10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Si:

2 = 2+4×7

•

3 = 3+9×12

3. T= (666...666) 2 1 44 2 44 3

4 = 4+16×19

18 cifras

hallar: 10

4. E= 777...77 # 999...99 14 243 14243

2. Indicar en qué cifra termina el siguiente resultado:

Hallar la suma de cifras del resultado:

E=(3825)12+(9706)10+(421)18+(379)25

9 cifras

5. L=

9 cifras

1111...11- 2222...22 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 26 cifras

13 cifras

Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 14243 1. Si tenemos: M=(aaa...aaa)

3. Si tenemos: H=(333...334) 2 y Q=(666...668) 2 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 20 cifras

2

"b" cifras


V/F ¿Por qué?

Si: a=3 y b=61; entonces la suma de cifras del resultado de "M" es 59

34 cifras

34 cifras

444...44 - 888...88 14 243 14243 56 cifras

28 cifras

• La suma de cifras de "R" es: ......................

• La suma de cifras de "S" es: ......................

5. Si tenemos: S= Relacionar:

1111...11- 2222...22 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 "2n" cifras

I. Si: n=24; la suma de cifras de "G" es:

V/F ¿Por qué?

Si: x=12; el valor "J" es 181

Central: 619-8100

R = (888...88 -S 555..55) 2 14243

Completar:


Si: x=28; el valor de "J" es 868

S=

x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1

Proposición

• La suma de cifras de "H" es: .....................

• La suma de cifras de "Q" es: ..................... 4. Si tenemos:


2. Si tenemos: J =


30 cifras

Completar:

II. Si: n=23; la suma de cifras de "G" es:

"n" cifras

(A) 71 (B) 69 (C) 68 (D) 72

I

( )

II ( )

Unidad IV

107

Método inductivo I


11. Si tenemos: W=777...77 × 999...99 14243 14243

6. Si: 1 = 22×3=12

20 cifras

2 = 32×4=36 3 = 42×5=80

a) 4352 d) 4353

b) 4300 e) 4800

7. Sabiendo que: hallar: 10

a) 231 d) 250

hallar la suma de las cifras del resultado.

a) 180 d) 220

b) 200 e) 250

c) 140

12. Hallar la suma total del siguiente arreglo:

hallar: 15

20 cifras

1 2 3 4

c) 4256

1 =1×2+4=6 2 =2×3+9=15 3 =3×4+16=28 b) 230 e) 249

c) 240

2 3 4

3 4 .............. 20 4 ............... 20 .............

20

a) 1440 d) 2570

b) 2440 e) 2870

c) 2370

13. Calcular la suma de las cifras del resultado: 8. Si:

1#2#3#4+1= 5

100 cifras

2 # 3 # 4 # 5 + 1 = 11 3 # 4 # 5 # 6 + 1 = 19

hallar:

a) 131 d) 141

9. Si:

10 # 11 # 12 # 13 + 1 b) 132 e) 142

c) 140

1 = 1×2+3

3 = 3×4+5

a) 830 d) 834

b) 831 e) 835

c) 833

hallar la suma de cifras de "T"

a) 667 d) 188

Colegios

108

TRILCE

c) 100

a) 36 d) 54

b) 18 e) 45

c) 72

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

... ... ... ...

9 10 11 12 ... 10 11 12 13 ...

9 10 10 11 11 12 12 13 17 18 18 19

95 cifras

b) 666 e) 190

b) 10 e) 900

1 2 3 4

10. Si tenemos: T= 2222...22 # 9999...998 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 94 cifras

a) 1 d) 90

15. Hallar la suma de todos los números de la siguiente matriz:

4 = 4+5×6 hallar: 22 + 15

100 cifras

14. ¿Cuántos triángulos se podrán contar en total al trazar la diagonal principal de un tablero de ajedrez?

2 = 2+3×4

555...555 × 999...999 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3

c) 668

a) 729 d) 850

b) 1000 e) 1900

c) 512

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1

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Calcule el valor de: 1×22+1×2×32+...+1×2×3×...×29×302 (1×2×3×...×30×31) - 2

M=

a) 31

b) 0

c) 300

d)

1 2

e) 1

2. Halle el máximo número de puntos de corte de 30 circunferencias secantes con 20 rectas secantes.

a) 1800

b) 2200

c) 2260

d) 2260

e) 3000

3. Se tiene un tablero dividido en "n+1" columnas y "n" filas, todos ellos del mismo ancho. Si en dicho tablero se dibuja una de las diagonales principales, ¿a cuántos casilleros cortará dicha diagonal?

a) 2n+2

b) 2n

4. Si: ^mnpq4h

x + 12

a) 1

c) n+2

"x" cifras

c) 9

d) 4

4×22+8×32+12×42+... (2002 sumandos) 1×2+2×3+3×4+... (2002 sumandos)

b) 2002

a) 6011

e) n(n+1)

2 = ...4 ; x∈ +, hallar la cifra terminal de: A=(S 999...9) x + 3

b) 5

5. Calcular:

d) 3n+1

c) 1

d) 8

e) 3

e) 4004 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Sabiendo que:

1 = 12+1=2

2 = 22+2 = 6

3. Indicar en qué cifra termina el resultado de la operación: F+G

• F=5×318 - 17×65

hallar: 12

• G=10×34715+23×2610

2. Calcular la suma de los términos de las 20 primeras filas, en el triángulo numérico siguiente:

4. Si: 1 = 2+32

3 = 32+3 = 12

Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

1 → 4 4 → 9 9 9 → → 16 16 16 16

Fila 20 →

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2 = 3+42 3 = 4+52 hallar: 10

Unidad IV

109

Método inductivo I

5. Si:

1 = 1+2×3

10. Hallar la suma de cifras del resultado de:

2 = 2+3×4

40 cifras

3 = 3+4×5

hallar:

•

•

11. Calcular la suma de los términos de las 12 primeras filas en el triángulo numérico siguiente:

98 17

F1 F2 F3 F4

+ 27

6. Hallar la suma de los números hasta la fila 15: Fila 1 Fila 2 Fila 3 Fila 4

M=(666...668) 2 1 44 2 44 3

→ → → →

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4

→ 1 → 4 4 → 9 9 9 → 16 16 16 16

12. Dado el esquema: S1

S2

S3

S4

Fila 15 → 15 15 ... 15 15 7. Calcular el valor de "M" e indicar como respuesta la suma de sus cifras, si:

M = (333...334) 2 1 44 2 44 3

40 cifras

8. Calcular e indicar como respuesta la suma de cifras del resultado:

H = 111...111+ 222...222 + 333...333 2 c 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 m 20 cifras

20 cifras

13. Sabiendo que: A1= 1×100+50 A2= 2×99+49 A3= 3×98+48

calcular: A20

14. Hallar el valor de:

W = (xxx...xxx) 2 1 44 2 4 43 "y" cifras

¿Cuántas bolitas tendrá en "S 12"?

20 cifras

9. Si tenemos:

H=

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Proposición Si: x=3 ; y=10; entonces la suma de cifras del resultado de "W" es 90.

V/F

1 1 1 1 + + + +...+ 1 1×2 2×3 3×4 4×5 40×41

15. Calcule la suma de cifras del resultado de:

B=

111...11 - 222...222 S 1 44 2 44 3 40 cifras

20 cifras

Si: x=6 ; y= 30; entonces la suma de cifras del resultado de "W" es 270.

Colegios

110

TRILCE

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2

Método inductivo II En este capítulo aprenderemos a: • • •

Identificar la capacidad de análisis para enfrentar situaciones diversas. Elaborar herramientas adecuadas para la resolución de problemas con un pensamiento creativo. Ejercitar la capacidad de observación para la solución de un problema empleando el razonamiento inductivo.

Inteligencia inductiva

O F

http://www.definicion.com.mx/razonamiento.html

F

U I R T

F

U

R

F

F

N F

O

N F

R I

T R

U

F

F

U

I U

N

O

N

I

U N

O

N U

N F

O

N

I

F O

N

I U

N F

O

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Unidad II

111


Saberes previos •

Para resolver ejercicios por el método inductivo es preciso conocer el Álgebra elemental.

Conceptos básicos

1. ¿Cuántos segmentos hay en la figura? C

R

E

M

A

Ejemplo

Ejemplo

El método inductivo desarrollado en la clase anterior, permitirá entender la solución de los problemas que se presentan en el presente capítulo, usando los mismos principios. Una figura parecerá demasiado compleja, pero si la analizamos desde su forma más elemental, seguro que se encontrará en ella un patrón que nos permita usar la inducción de tal manera que al generalizar se podrá hallar el número de segmentos, de triángulos, cuadrados, palabras, etc. que se busca en una determinada situación.

Resolución

• Segmento de dos puntos:

• Segmento de tres puntos: → 2 + CR; RE → 1 CE Total: 3

C

R

C

R

E

R

E

M

R

E

M

• Segmento de cuatro puntos: C CR; RE; EM → 3+ → 2 CE; RM CM →1 Total: 6 • Segmento de cinco puntos: C 4+ CR; RE; EM; MA → → 3 CE; RM; EA 2 CM; RA → → 1 CA Total: 10

A

Rpta: 10

 En general si sobre una recta hay "n" puntos,se determinan así: A

112

C

D

E F

Nº de segmentos=

n (n - 1) 2

Nota: Si consideramos los "espacios" entre las letras, entonces hay:

Colegios

B

TRILCE

Nº de segmentos=

n (n + 1) 2

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2

Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos •

¿De cuántas maneras se puede leer la palabra "RAZONA"?

1.

Z O O N N N A A A A

A Z O N A

R A Z O N A

A Z Z O O O N N N N A A A A A

3.

R R R A A Z O O O N N A A A

4. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la figura 12?

Fig.1

2. R R A R A Z R A Z O

R A Z O N

R A Z O N A

R A Z O N

Fig.3

5. ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura 10? R A R Z A R O Z A R

Fig. 1

Central: 619-8100

Fig.2

Fig. 2

Fig. 3

Unidad II

113



Proposición

1. Relacionar:

V/F

El número total de palitos es 570 El número total de triángulos simples es 400

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

I. En la figura 16 hay: II. En la figura 21 hay:

I

( )


Fig. 4

(A) 231 esferas (B) 221 esferas (C) 161 esferas (D) 171 esferas (E) 136 esferas

4. ¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

Fig. 1

II ( )

2. Si tenemos:

a) 136 d) 139

Fig. 2

b) 137 e) 140

Fig. 3

c) 138

5. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?

1 2 3


V/F

El número total de esferas es 210

El número total de puntos de contacto es 570

3. Si tenemos un arreglo conformado por palitos:

1

3

4

18 19 20

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda

Colegios

114

2

TRILCE

a) 210 d) 240

Fig. 2

b) 220 e) 250

Fig. 3

c) 230

6. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra TRILCE? T T T T T T

Fig. 1

18 19 20

R R R R R

a) 32 d) 36

I I L I L C I L C E b) 30 e) 40

c) 34

7. ¿De cuántas maneras diferentes se lee la palabra "ESMERO"? • E S S M M M E E E E R R R R R O O O O O O

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•

E E S E S M E S M E

E S M E R

•

M E E R R R O O O O

E S M E R O

E S M E R

11. ¿Cuántos palitos de fósforo se emplean en la figura 10?

2

E S E M S E E M S E

E S S S MMMM E E E E E R R R R R R O O O O O O

Fig. 1

Fig. 2

a) 165 d) 155

Fig. 3

b) 187 e) 201

c) 205

12. Calcular el número total de palitos de la siguiente figura:

8. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura 20?

1

Fig. 1

Fig. 2

a) 440 d) 380

Fig. 3

b) 450 e) 500

c) 400

2

3

a) 531 d) 431

17 18

b) 530 e) 331

c) 324

13. ¿Cuántos puntos de intersección se determinan cuando se intersectan seis circunferencias?

9. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a) 12 d) 42

b) 27 e) 30

c) 36

14. Hallar el número total de rombos del tamaño indicado.

1

2

a) 1305 d) 900

3

4 b) 1300 e) 1350

29

30

c) 400

10. ¿Cuántas regiones sombreadas " " hay en la figura? 1 2

1

2 3 4

a) 2550 d) 2450

Central: 619-8100

b) 2600 e) 2680

38 39 40

c) 2700

a) 190 d) 160

3

19 20

b) 180 e) 170

c) 200

15. En una circunferencia se ubican 30 puntos distintos. ¿Cuántos arcos se puede formar con dichos puntos?

a) 435 d) 465

b) 870 e) 930

c) 380

Unidad II

115


¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. ¿Cuántos palitos hay en total?

1

a) 1665

3

b) 1555

5

32

c) 1625

33

d) 1425

e) 1225

d) 1598

e) 600

2. ¿Cuántos palitos hay en total?

1 2 3 4 5

38

a) 1600

b) 2500

c) 3600

3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "RIE" uniendo letras vecinas? R I E I R

a) 32

Colegios

116

TRILCE

b) 28

I E I E I

c) 24

E I R I E

I E I E I

R I E I R d) 12

e) 20

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4. ¿Cuántos palitos se requiere para formar la figura 30?

Fig.1

a) 240

b) 242

Fig.2

2

Fig.3

c) 244

d) 246

e) 250

5. En la siguiente ruma se han contado 975 puntos de contacto. Halle el número de esferas colocadas en la base.

a) 20

b) 23

c) 25

d) 24

e) 26 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: 3. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? AMIGOS en la siguiente distribución? A MM I I I G G G G O O O O O S S S S S S 2. ¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para 4. ¿Cuántas esferas se necesitan para formar la hacer la figura mostrada? pirámide mostrada? 1 2 3 4

15

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1444442444443 30 esferas

Unidad II

117


5. ¿Cuántas monedas hay en la figura 20?

•

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "ESTUDIO"

11.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 6. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

T

S

E T

U I

•

En la figura mostrada: 1

I

O

T

38 39 40

E T

U D

12.

1 2 3 4 5 6

S

S

T

U D

I

O

U

D S U I E T D O S U I T D U

13. ¿Cuántos palitos habrá en la figura 15? 2

3

16 17 18

Fig.1

Fig.2

Fig.3

7. ¿Cuántos triángulos hay hasta la fila 10?

14. En el problema anterior, ¿cuántos palitos hay en la figura 36?


15. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?


1

10. ¿Cuántos palitos se podrán contar en el siguiente arreglo?

2

3 10

1 2 3

Colegios

118

TRILCE

10 11 12

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3

Análisis de gráficos estadísticos En este capítulo aprenderemos a: •

Identificar y relacionar los diferentes tipos de gráficos estadísticos.

•

Determinar y diferenciar los datos obtenidos en gráficos estadísticos.

La economía en el Perú

Evolución de la economía sigue positiva 2012-2013 15

12

14,17

9

Variación Ene-mayo: 0,83%

13,12

12,96

11,62

11,42

10,49 9,29

8,5 7,05

6

5,88

4,9

3

3,05

2,86

0,46

0,13

0

E

F

M

A

M

J

J 2012

Fuente: INEI

Central: 619-8100

A

S

O

N

D

E

F

M

A

M

2013 El Comercio

Unidad II

119


Conceptos básicos Saberes previos • • •

Tener conocimientos de Aritmética elemental. Nociones de ubicación de puntos en el plano cartesiano. Conocimientos elementales de Geometría.

Conceptos básicos Gráficos estadísticos

Son representaciones gráficas de un conjunto de datos, que permiten visualizar en forma clara la información que ellos brindan estableciendo relaciones para sacar conclusiones y tomar desiciones. Los gráficos son medios popularizados y a menudo los más convenientes para presentar datos, se emplean para tener una representación visual de la totalidad de la información y presentan los datos en forma de dibujo de tal modo que se pueda percibir fácilmente los hechos esenciales y compararlos con otros. Clases de gráficos

I. Gráfico lineal En este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonales entre sí. Se pueden usar para representar: una serie, dos o más series. Estos gráficos se utilizan para representar valores con grandes incrementos entre sí.

II. Gráfico de barras Gráficos de barras verticales: Representan valores usando trazos verticales, aislados o no unos de otros, según la variable a graficar sea discreta o continua. Pueden usarse para representar: una serie o más series de datos.

Gráficos de barras horizontales: Representan valores discretos a base de trazos horizontales, aislados unos de otros. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos para una serie o más series de datos.

III. Gráfico circular Estos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, en forma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menor valor, según lo que se desee destacar. Puede ser:

• •

Colegios

120

En dos dimensiones En tres dimensiones

TRILCE

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3

Síntesis teórica

es

pueden ser

como

como

20 20 15

como

20 15

15 10

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos Gráfico 1:

Inflación - periodo: Enero 89 - Enero 90 Porcentaje (%) 65 55 45 35 25 15 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Mes

Responder: • ¿Durante qué mes se registró la inflación más baja? :

•

¿Durante qué mes se registró la inflación más alta? :

•

¿En qué periodo mensual la inflación se mantuvo constante? :

Central: 619-8100

Unidad II

121


Gráfico 2: El gráfico siguiente muestra información sobre la distribución de las ventas, por género musical en la discotienda MUSIC POWER, durante el mes de marzo del 2013: Music

Criolla 10%

Reggaeton 6%

Power

Otros 4%

Rock 28%

Salsa 12%

Jazz 20%

Pop 20%

Además se sabe que durante el mes de marzo del 2013 la discotienda vendió 2400 compactos. •

¿Cuántos discos de "Música criolla" vendió durante el mes de marzo del 2013? :

•

¿Cuántos discos de "Jazz" vendió durante el mes de marzo del 2013?

•

¿Qué ángulo central le corresponde al sector que prefirió Reggaeton? :

:

Gráfico 3: En el siguiente gráfico muestra los pesos de un grupo de "n" profesores del colegio: Cantidad de personas 100 60

70 50

40

20

60 70 80 90 100

•

¿Cuál es el valor de "n"?

•

¿Cuántas personas pesan menos de 70 kg?

Colegios

122

40 50

TRILCE

Peso (kg)

: :

www.trilce.edu.pe


3

sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática Gráfico 1 1. El siguiente gráfico muestra los pesos de un grupo de personas.

Gráfico 3 El siguiente gráfico muestra el Ingreso (en millones de soles) de una empresa: Ingresos( millones) 50

Cantidad de personas 110 60

30

70

20 10

50

40

20

2006 2007 2008 2009 2010 Peso (kg)

40 50 60 70 80 90 100 Relacionar en forma correcta: I. ¿Cuántas personas forman el grupo? II. ¿Qué porcentaje de personas pesa más de 80 kg? II. ¿Qué porcentaje aproximado de personas pesa entre 50 y 80 kg? Relacionando: I ( )

II ( )

(A) 350 (B) 20% (C) 68,6% (D) 360 (E) 78,6% (F) 40%

Gráfico 2 2. El siguiente gráfico muestra una encuesta realizada a un grupo de 1500 personas respecto a su deporte favorito. Fútbol 30 % Otros

Básquet 22 %

Vóley 28 %

Indicar Verdadero (V) o Falso (F) : • El ángulo del sector otros es 72º ..............( ) • El número de personas que prefiere Fútbol es 450 ................................( ) • El número de personas que prefieren Vóley o Básquet es de 750 .......................( ) • El ángulo central del sector Fútbol es 100º ................................( ) • La suma de los ángulos centrales de los sectores Básquet y Fútbol es 180º ......( )

Central: 619-8100

3. ¿En cuánto se incrementó los ingresos de la compañía en el 2009, respecto al año 2008? (en millones de soles)

a) 10 d) 40

b) 20 e) 12

c) 15

4. ¿En qué año la compañía tuvo los ingresos más bajos?

III ( )

Año

a) 2006 d) 2009

b) 2007 e) 2010

c) 2008

5. ¿En qué periodo el porcentaje de incremento fue mayor?

a) 2006 - 2007 c) 2008 - 2009 e) 2010 - 2011

b) 2007 - 2008 d) 2009 - 2010

Gráfico 4 En el gráfico se muestra las preferencias de 3600 alumnos del Colegio TRILCE por los cursos de: • A=Aritmética • F=Física • G=Geometría • T=Trigonometría • HP=Historia del Perú • Q=Química 30% G

A

º

18

135º

HP

Q

T

7,5%

9º F

17,5%

Unidad II

123


Responder: 6. ¿Qué porcentaje de los alumnos prefieren HP? a) 30% b) 135% c) 37,5% d) 32,5% e) 35% 7. ¿Cuántos alumnos menos prefieren Aritmética que Trigonometría?

a) 60 d) 50

b) 30 e) 40

c) 90

8. ¿Qué ángulo central le corresponde a la parte de los que prefieren Química?

a) 36º d) 35º

b) 63º e) 42º

c) 60º

Gráfico 5 Como resultado de una encuesta realizada en once capitales de departamentos de nuestro país, respecto al analfabetismo (falta de instrucción) y al desempleo (falta de trabajo), y encuestando en cada capital a un total de 1000 habitantes, se obtuvieron los siguientes resultados: H.ANALFABETOS 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100

a) "A" d) "K"

a) "A" d) "B"

c) "I"

b) "E" e) "K"

c) "G"

12. ¿Qué ciudades tienen la misma cantidad de desempleados?

a) B, C, D d) I, J, K

b) G, H, I e) A, C, E

c) A, B

13. Exceptuando la capital "K", ¿en cuántas de las capitales hay no menos o igual que 400 desempleados ?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Gráfico 6 La empresa “Fullventas” se dedica a las ventas de cuatro productos “A”, “B”, “C” y “D”. Se sabe que las ventas y los ingresos obtenidos por la venta de dichos productos durante el año 2003 son mostradas en los siguientes gráficos circulares: Volumen de ventas 2011

C 10%

CAPITAL

Ingreso por ventas 2011 D 10%

A 20%

D 40%

A 40%

C 30%

B 30%

B 20%

14. ¿Cuál fue la relación de precios de los productos “C” y “A” durante el año 2011?

H.DESEMPLEADOS 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100

a) 1/3 d) 3/4

b) 2/3 e) 2/1

c) 2/5

15. Si el ingreso por ventas del año 2011 fue de $50 000, vendiendo en total 2000 unidades, ¿cuál fue el precio de venta de cada unidad del producto “A”? A B C D E F G H I J K

b) "E" e) "B"

11. ¿Cuál de las ciudades encuestadas presenta mayor nivel de desempleados

A B C D E F G H I J K

CAPITAL

a) $30 d) 50

b) 40 e) 60

c) 45

9. Exceptuando la capital "K", ¿en cuántas de las capitales hay no más de 200 analfabetos?

16. Si se han vendido 600 unidades del producto “C” recaudando en su venta $21 600, ¿cuál fue el precio de venta de cada unidad del producto “D”?

a) 1 d) 4

Colegios

124

10. ¿Cuál de las ciudades encuestadas presenta mayor nivel de analfabetismo?

TRILCE

b) 2 e) 5

c) 3

a) $25 d) 8

b) 30 e) 12

c) 3

www.trilce.edu.pe


3

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC Un alumno universitario dedica el tiempo del día a estudiar, dormir, hacer deporte, alimentarse y escuchar clases. La distribución de dichos tiempos viene mostrada en el siguiente gráfico: Dedicación diaria de un alumno universitario Día Dom Sáb Vie Jue Mié Mar Lun

0

5

10

15

20

Horas

Estudiar

Dormir

Hacer deporte

Alimentarse

Escuchar clases

1. Durante el día jueves, ¿cuántas horas duerme el alumno?

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

d) 24

e) 25

2. ¿Cuántas horas hace deporte a la semana?

a) 21

b) 22

c) 23

3. ¿Cuál es la cantidad promedio de horas diarias que duerme? (aprox.)

a) 6,56

b) 7,23

c) 6,86

d) 7,42

e) 6,71

d) 5

e) 6

4. ¿Cuántos días de la semana estudia más de seis horas?

a) 2

b) 3

c) 4

5. ¿En cuántos días de la semana, la actividad a la que más tiempo le dedica es a la de dormir?

a) 1

Central: 619-8100

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Unidad II

125

Percepción espacial 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos Gráfico 1 Del gráfico mostrado, responder: Venta de combustible (miles de galones)

7. ¿Entre qué horas consecutivas se registró la mayor variación de temperatura? 84 octanos 95 octanos Petróleo Diesel

Gráfico 3 El gráfico muestra la distribución diaria de las actividades de un alumno.

25 22 18 15 12 10 7 5

Deportes 30º

Descanso

2007

2008

2009

2010

2. En el año 2008, ¿cuál fue la diferencia entre las cantidades vendidas de gasolina de 95 y 84 octanos? 3. ¿Cuál fue el total de la venta de combustible en los cuatro años? Gráfico 2 De acuerdo al siguiente gráfico se muestra la variación de la temperatura en determinadas horas.

Estudio

120º 30º

Año

1. ¿En qué año se vendió más combustible?

Otros

Diversión

Responder: 8. ¿Cuál es el tiempo que le dedica a la diversión o al descanso? 9. ¿Qué fracción del día utiliza para estudiar? Gráfico 4 El gráfico siguiente muestra las notas mensuales de Carlos y Fernando durante los meses de abril a noviembre correspondientes al curso de Razonamiento Matemático. Nota

Temperatura (ºC) 20

100 80 70 60 50 40 30 20 10

18 Fernando

16 14 12

Carlos

10 08 8 am 10 1112 1 2 3 4 5 6 7 8 pm

Hora

Responder: 4. ¿A qué hora se registró la mayor temperatura? 5. ¿A qué hora se registró la menor temperatura? 6. ¿Entre qué horas la temperatura se mantuvo constante?

Colegios

126

120º

TRILCE

A M

J

J

A

S O N D

Mes

10. ¿Cuál fue la nota más baja obtenida por Fernando? 11. ¿Cuál es el mes donde obtuvieron la misma nota ambos estudiantes? 12. ¿Cuál fue la calificación obtenida por Fernando en el mes en que Carlos obtiene su mínima nota?

www.trilce.edu.pe


Gráfico 5 El siguiente gráfico muestra las notas de un alumno del Tercer Año obtenidas en cada mes: Nota 20 18 16 14 12 10 08 06 04 02 A M J

Central: 619-8100

J A S O N

13. ¿Cuál fue su más bajo calificativo mensual? 14. En el problema anterior, ¿cuál fue su más alto calificativo mensual? 15. ¿Entre qué meses se produjo la mayor variación de sus notas?

3

Mes

Unidad II

127

UNIDAD V

Reconociendo otras operaciones matemáticas

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y diferenciar las distintas situaciones y operaciones matemáticas. Resolución de problemas • Analizar y aplicar los distintos métodos en la resolución de problemas con fracciones, porcentajes, ecuaciones y operaciones arbitrarias. Razonamiento y demostración •

Interpretar y analizar las estrategias empleadas en cada fórmula presentada.


1

Fracciones I En este capítulo aprenderemos a: •

Conocer el significado de las fracciones así como las consecuencias que ellas generan.

•

Resolver los problemas relacionados con las fracciones.

•

Potenciar el dominio de una fracción como expresión de comparación de dos cantidades.

•

Desarrollar la habilidad de resolución de problemas relacionados con fracciones.

Laberinto de fracciones Una maestra iba caminado por el pasillo de su escuela, pensando cómo explicarles a sus alumnos cuando una fracción está en su expresión más simple. "Si en la fracción, tanto el numerador como el denominador se pueden dividir entre el mismo número, eso significa que la fracción no está en su forma más simple", decía. "Por ejemplo, en la fracción 12 , el numerador 36 12 y el denominador 36 se pueden dividir entre 2 ambos y nos da 6 y 18 por lo que 12 es igual a 36 6 y, 6 y 18 se pueden dividir entre 2 también y 18 nos da 3 y 9, pero 3 y 9 se pueden dividir entre 3

6 18

12 36 3 9

obteniendo 1 y 3. Finalmente 1 y 3 no se pueden dividir", pensaba. Así que la fracción 12 es equivalente a 36 la fración 1 y esta es la expresión más simple. 3 Lo anterior se escribe así: 12 = 6 = 3 = 1 36 18 9 3

Todas las fracciones son equivalentes y 1 es la 3 expresión más simple. Ayuda a la maestra llegar al salón Solo puede pasar por fracciones que estén en su expresión más simple, y encuentra el mensaje que va a dar a sus alumnos.

Central: 619-8100

Unidad V

129

Fracciones I

Conceptos básicos  Números racionales

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por (por quotient, o cociente, en inglés).

El término "racional" alude a "ración" o "parte de un todo", y no al pensamiento o actitud racional. Se representa: • = $ a /a / b d Z; b ! 0. b

-2 3

-5 2

-5 -4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 5

0,2 0,51666...

5 2

2 3

0,5555...

Fracción

º Denominaremos "fracción" a la expresión de la forma: a (a,b ∈ + ; a ≠ b ) b donde:

En las siguientes figuras, representar:

3 8

5 16

Resolución

b b b b

Colegios

130

TRILCE

a

a

4 9

Resolución

a

a

a

a

a

a

Ejemplo

Ejemplo

a → Numerador (indica las partes que se toman) b → Denominador (indica las partes iguales en que se divide la unidad)

Resolución

b b b b

a

a

a

a

a

a a

a

a

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Efectuar:

1

1 1+

1

1- 1 2

Resolución

1

1+

=

1

1- 1 2

1×2 - 1 = 1 2 2

1 1+

1 1 2

= 1 1 = 2=2 1 1 2

1 1+ 2

=

1 3

Ejemplo

Ejemplo


Síntesis teórica

Central: 619-8100

Unidad V

131

Fracciones I

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no lo son: -3 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

;

9 9

;

0 ; 2

3 7

;

2 ; 1002 ; 5

111 37

≠ 3

;

;

2

12 5

;

2. En cada caso, indicar qué fracción de la figura es la parte sombreada: a a a a • • a a a a → → a a a a 3. En la siguiente figura, representar: 1 4

4. Efectuar :

1 4

5. Efectuar:

1- 1 1 1 5 3 2 - 1 6+ 4 3 3 2 5

Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar un "", si es fracción y con un "", si no lo es.

100 ; 8 ; - 2 ; 5 ;0,72;9; ≠ ; e ; - 2 ; 7 ; 11 ; 7 10 4 3 2 9 15 9 - 2 ≠ 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. Según su comparación:

• Ordenar en forma decreciente. 3 ; 5 ; 7 5 7 9 Respuesta:_________

Colegios

TRILCE

x= 2 ; z= 11 ; w= 10 3 12 27 a) w, x, z b) x, z, w c) z, w, x d) w, z, x e) z, x, w

4. Si se sabe que:

• Ordenar de menor a mayor: 1 ; 1 ; 1 2 6 5 Respuesta:____________

132

3. Ordenar de mayor a menor.

E= 4 × c1 3 m × c2 1 m 5 8 2

F= 13 × 5 × 30 25 26 21 Calcular: ExF a) 5 19 13 d) 17

b) 7 20 e) 11 30

c) 11 28

www.trilce.edu.pe


9. Desarrollar y luego relacionar los resultados.

5. Si se sabe que: A= 36 × - 12 × - 3 15 8 12 24 87 169 B= × × 13 58 36

Calcular: A×B

a) - 3 50 d) 50 - 39

c) - 117 10

b) 50 39 e) 39 50

6. Indicar en cada caso, qué parte o fracción de la figura es la región sombreada.

a

•

a

a

a

Rpta.: _____________________ •

x=5 +

z=

y x z

a a a a

a) 2 3 d) 1 120

a a a a

•

a

a

a

a

b b b b

3+ 1 2 5 2- 1 3 4

8. Efectuar:

a) 1

d) 3 4

Central: 619-8100

'1 2 A 59/9 B 4/3 C 24/5 D 8/15 E 5/2

b) 1 e) 1 40

c) 5 42

1+ 1 1+ 1 1+ 1 3 + 2 + 4 1 1 1 2 3 4 a) 10 d) 13

12. Efectuar:

7. Efectuar la siguiente operación:

a) 66 25 33 d) 25

- 1 6

11. Efectuar:

Rpta.: _____________________

3 5 4

2 3 4

10. Efectuar: 1 1 1 1 1 1 1 c1 - mc1 - mc1 - mc1 - mc1 - mc1 - m ... c1 m 2 3 4 5 6 7 40

Rpta.: _____________________

; y=

1 2 1+ 2- 1 4

a a

2

1

b) 25 66 e) 44 25

c) 6 5

c) 12

52 +11+41 3 3 3 1 1+ 3+ 1 2 b) 27 238

c) 45 29

e) 1

13. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda, si: A + B - E =X D C Enunciado V/F

31+82 +73 3 4 5 3 1 8 +7 +32 4 5 3 b) 1 2 e) 1 3

a) 29 45 238 d) 27

b) 11 e) 14

c) 5 8

Si: A=1; D=3; B=2; C=5 y E=7 Entonces el valor de “X” es: - 94 5 Si: A=2; D=7; B=-3; C=8 y E=1 Entonces el valor de “X” es: - 61 56

Unidad V

133

Fracciones I

14. Hallar "A+B" si:

A=

2 2-

2

;

2- 1 2

Enunciado

1+ 1 2 1- 1 3 B= 2+ 1 5 4

V/F

La región “X” representa la cuarta parte del total La región “Y” representa la sexta parte del total

Rpta.: _____________

La región “Z” representa 1 del total 6

15. Señalar verdadero (V) o falso (F), según corresponda, si se muestra un cuadrado en el que la división genera partes iguales.

La región “W” representa 1 64 total

del

x z

y

W

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular "M", si: M= 1+

a) 3 d) 6

3. Si: x, y, z ∈ , hallar: "x.y.z" Además: 1 + 1 + 1 = 1 ; x ≠ y ≠ z x y z

12 12 1 + 12 1 + 12 b) 4 e) Imposible

c) 5

a) 10 d) 37

b) 11 e) 36

c) 12

4. En la siguiente figura se muestra la silueta de un mapa constituido por 10 partes iguales. Encontrar aquellas partes.

2. Calcular:

1 1 1 1 c1 - mc1 - mc1 - m ... c1 - m 2 2 3 4 n + n +n-2 1 1 1 1 n (n + 1) c1 + mc1 + mc1 + m ... c1 + m 2 3 4 n

a) 1 d) 4

b) 2 e) 1 2

c) 3

5. En una noche estrellada, pensaba: "Veo en el cielo azul y triste, tantas estrellas como el doble del inverso multiplicativo de "F(n)"; ¿cuántas estrellas he visto si: n=5?".

F(1)

a) 2761

Colegios

134

TRILCE

F(2) b) 1999

F(3) c) 2001

F(n) d) 1315

e) 2048

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1

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Representar 3 4

en la siguiente figura.

8. ¿Qué parte de la figura no está sombreada? a a a a a a

2. Efectuar los siguientes ejercicios:

9. ¿Qué parte de la figura está sombreada?

• 2. 4'7 = 5 6 4 2 • + 1. 2 - 6 '4 = 3 5 3 7 3 • c 2 + 5 mc 3 - 6 m = 7 4 4 5 • c 3 + 1 m ' c 3 + 1 m = 5 3 4 16

10. ¿Qué parte de la figura no está sombreada?

3. Dividir la figura en tres partes iguales.

4. Representar en la siguiente figura la fracción 1 : 4

41 2 ×3 11. Efectuar: 2- 1 4 4

4-1 2 5 12. Efectuar: 1+ 1 1+ 1 2


2× 3× 1 4 2 5 13. Efectuar: 1+3'5 5 2 2 6. ¿Qué parte de la figura está sombreada?

14. Efectuar: 2 +

2 2+

2

2- 1 2

15. Según su comparación:


Central: 619-8100

•

Ordenar de mayor a menor. 3 ; 4 ; 7 5 3 10

•

Ordenar en forma creciente. 13 ; 19 ; 17 6 4 3

Unidad V

135

Fracciones II

Fracciones II .


Desarrollar la capacidad de plantear ejercicios con fracciones.

•

Potenciar el cálculo de fracciones.

Equivalencias fraccionarias

¿Qué medidas tendrá las partes del timón?

Asiento o Sillín

Suspensión Delantera Piñón

Colegios

136

TRILCE

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2

Conceptos básicos Relación parte - todo Es la comparación geométrica de una cantidad asumida como parte, respecto de otra asumida como un todo. Luego se establece que: Lo que hace de parte → Es; son; representa; ... F= a

Lo que hace de todo → De; del; respecto de;...

1. Calcular:  ¿Qué parte de 36 es 4? Rpta.: 4 = 1 36 9  ¿Qué fracción de "x" representa "y"? y Rpta.: x  ¿Qué fracción representa "M" respecto de "N"? Rpta.: M N  ¿Qué fracción es "a" respecto de "b"? Rpta.: a b  ¿Qué parte representa "P" de "Q"? Rpta.: P Q 2. ¿Qué fracción representan las mujeres concurrentes respecto de los hombres, en una reunión de 80 personas de las cuales 1 son mujeres? 4

Resolución Total = 80

3. Si gasto 3 de mi dinero y aún me quedan 5 S/. 24, ¿cuánto era mi dinero?

Resolución

Ejemplo

Ejemplos

b

Si gasto 3 , entonces, me quedan 2 de mi 5 5 dinero, entonces sea "x" mi dinero:

2 x=24 ⇒ x= 5.24 =S/. 60 5 2

Rpta.: Mi dinero era S/. 60

4. Si 3 de los libros de RM de Mitchel 4 son del capítulo de fracciones, 1 son de 5 porcentajes y los ocho restantes son de planteo de ecuaciones, ¿cuántos libros de RM hay en total?

Resolución • Sea "x" libros de RM en total, entonces: Libros de fracciones= 3 x 4 Libros de porcentajes= 1 x 5 Libros de planteo de ecuaciones=8

⇒ Nº mujeres= 1 . (80)=20 .... (No son 4 hombres) • Entonces: x= 3 x+ 1 x+8 4 5 Luego: Nº hombres=80 - 20=60 x=160 Nº asistentes mujeres Rpta.: Hay 160 libros de RM Rpta.: = 20 = 1 Nº asistentes hombres 60 3

Central: 619-8100

Unidad V

137

Fracciones II

Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Responder:

•

•

¿Cuánto le sobra a 7 respecto de 3 ? 5 4 2 3 5 Hallar los de de de 3600. 9 4 8

2 . Una persona se encuentra observando un partido de fútbol. Si un encuentro dura 1 h 30 min y lleva observando 3 del total, ¿cuánto tiempo le falta por observar del partido? 5 3. Responder:

•

•

Si han transcurido los 5 del día, ¿qué hora es en ese momento? 8 Cuando son las 4 pm, ¿qué parte del día ha transcurrido?

4. Gasto 3 de los 3 del total de mi dinero y me queda S/. 8800. ¿Cuánto tenía? 5 4 5. Voy al hipódromo y pierdo 3 del total y luego, S/.90 del resto. Si al final me quedo con S/.270, 5 ¿cuánto tenía inicialmente?

Colegios

138

TRILCE

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2

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Relacionar: ¿En cuánto excede 2 3 a 1 1 ? 5 3

A 6 4 5

¿Cuánto le falta a 3 para ser igual 5 al producto de 7 y 5 ? 3 2

B 4 8 17

¿Cuánto le sobra a 15 respecto 2 1 1 de la suma de y ? 2 5

C 1 4 15 D 7 5 6 E

5 7 30

2. Julián gana los 3 de 1600 nuevos soles y Raúl 8 2 gana los de 5400 nuevos soles. ¿Cuánto le 9 falta a Julián para ganar como Raúl?

a) S/.1200 d) 1000

b) 600 e) 900

c) 800

I. En el pantalón gastó S/.150 .................( ) II. En el polo gastó S/.150 .......................( ) III. En el reloj gastó S/.25 .........................( ) IV. En el regalo gastó S/.65 .......................( )

6. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Si de una finca de 4200 hectáreas se vende los 2 de 1 y se alquilan los 3 de los 3 7 4 4 de la finca. 5 I. Se vende 400 hectáreas ......................( ) II. Se alquila 2520 hectáreas ...................( ) III. Quedan 1280 hectáreas .....................( ) IV. Lo que se vende más lo que se alquila es 2280 hectáreas....................................( ) 7. Si vendo una casa por los 3 de los 8 1 $7200 y un caballo por de 1 de 2 3 $2400. Se afirma que:

5 de 9 1 de 4

3. Cirilo tenía 120 nuevos soles y gastó 80 nuevos soles en una camisa, entonces:

I. Vendo la casa a $1500 II. Vendo el caballo a $100 III. Recibiré en total $1400

¿Qué parte de lo que gastó es lo que le queda?

a) I d) III

¿Qué parte de lo que tenía es lo que no gastó?

•

4. Julián tiene S/.360 y gastó los 3 en comida. 8 Luego le pagaron los 1 1 del dinero que le 3 quedó. ¿Cuánto tiene ahora?

Con los $65 que tenía compré libros por $15 y gasté en un traje los 7 del 10 resto. ¿Cuánto me queda?

•

Si tuviera 1 menos de la edad que tengo, 4 tendría 21 años. ¿Qué edad tengo?

•

•

a) S/.625 d) 425

b) 450 e) 225

c) 525

5. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda, si Trilcito tiene S/.500 y decide gastar su dinero en “Gamarra Plaza”, de la siguiente manera:

•

•

•

Con los 3 del dinero compró un pantalón. 10 Con los 3 del resto compró un polo. 7 Con la cuarta parte de lo que le queda compró un reloj.

•

Con lo que le sobró, compró un regalo a su hermana Trilcilla.

Central: 619-8100

b) I y III e) I y II

c) II

8. Responder:

5 de esta cantidad 12 compré libros y con los 3 de lo que me 8 quedó, compré un traje. Se afirma que:

9. Tenía $96 y con los

I. Los libros costaron $40 II. El traje costó $36 III. En total me queda $35

a) Todas d) III

b) I y III e) I y II

c) II

10. Vendí 1 de 1 de mi finca y me quedaron 680 5 7 hectáreas. ¿Cuál era la extensión de mi finca?

a) 700 ha d) 900

b) 600 e) 680

c) 595

Unidad V

139

Fracciones II

11. Habiendo salido 80 alumnos de un colegio, permanecen en él los 3 del total de alumnos. 8 Se afirma que: I. Siguen todavía en el colegio 30 alumnos. II. Hay 128 alumnos en el colegio. III. Siguen todavía en el colegio 48 alumnos.

a) Todas d) III

b) II y III e) I y II

c) II

12. Los 2 de mis lápices son blancos, 1 son azules 5 3 y los 12 restantes, verdes. Se afirma que: I. Hay 18 lápices blancos. II. Hay 15 lápices azules. III. Tengo 45 lápices.

a) Ninguna b) I y III d) III e) Todos

c) II y III

13. Ayer perdí los 3 de mi dinero y hoy presté 5 7 8 del resto. Si me quedan $33, ¿cuánto tenía y

a) $190 - $70 c) $160 - $32 e) $154 - $66

b) $180 - $42 d) $180 - $30

14. Los 2 de las gallinas de un campesino son 5 blancas, 1 son negras y las 20 restantes, 3 pintadas. ¿Cuál es la diferencia entre las blancas y negras? a) 5 b) 10 c) 15 d) 25 e) 30 15. De una finca de 6300 hectáreas se venden

primero los 5 de los 2 y más tarde, los 2 de 6 3 9 los 5 de los 9 . ¿Cuántas hectáreas me queda? 7 5 a) 1000 d) 2000

b) 4500 e) 2500

c) 3000

cuánto perdí?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Carlos compró en la ferretería un tornillo de 3 1 de pulgada pero en realidad solo necesitaba de 2 1 4 2 pulgada. ¿Cuál es la diferencia de longitud de los tornillos?

a) 5 4

b) 5 6

c) 3 4

d) 2 5

e) 4 3

2. El contenido de una botella de 2 1 litros de gaseosa se traspasa a otra botella vacía de 1 1 de litro. 2 4 ¿Cuántos litros quedan en la primera botella?

a) 5 4

b) 3 8

c) 6 5

d) 7 4

e) 1 3

3. Un cliente de un banco recibe como interés por su dinero, 1 del dinero que tenía ahorrado. ¿Qué 16 fracción del dinero que tenía es lo que tiene ahora?

a) 15 8

b) 17 16

c) 8 17

d) 8 15

e) 16 17

4. Si vendo los 7 de lo que no vendo, ¿qué parte del total no vendo? 4

a) 4 11

b) 5 9

c) 7 11

d) 3 13

e) 8 9

5. Las horas que faltan transcurrir del día, equivalen a los 5 de lo que ha transcurrido. ¿Qué hora es? 4

a) 10 am

Colegios

140

TRILCE

b) 10 pm

c) 8 am

d) 9 am

e) 9 pm

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2

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Trilcilla tiene S/.500 y decide gastar su dinero en “Gamarra Plaza”, se sabe que: • • • •

Con los 3/10 del dinero compró un pantalón. Con los 5/7 del resto compró un polo. Con la cuarta parte de lo que le queda compra un reloj. Con lo que le sobró, compró un regalo a su hermano Trilcito.

I. En el pantalón gastó S/.150 .................. ( ) II. En el polo gastó S/.250.......................... ( ) III. En el reloj gastó S/.35............................ ( ) 2. Hallar los 3 de 1 del triple de los 7 de 1 4 10 12 5 de 5 1 . 3

8. En el Estadio Monumental hay 15 000 hinchas de la “U”, 5000 hinchas de Alianza, 10 000 hinchas de Cristal y 20 000 hinchas del Boys. ¿Qué parte del total son hinchas del Boys? 9. Según el problema anterior, si se retiran del estadio 15 000 hinchas del Boys y 5000 hinchas del Cristal, ¿qué parte del nuevo total son hinchas de la “U”? 10. Claudia reparte S/.30 entre sus cuatro mejores amigas. A Mariana le da S/.5, a Rocío S/.15, a Luciana S/.3 y el resto, a Cirila. ¿Qué parte del total le tocó a Cirila? 11. Si gasto los 3 de lo que no gasto, ¿qué parte 8 del total gasto?

3. Un depósito tiene 500 litros de agua. Se extraen los 2 de su contenido y luego, 60 litros más. 5 ¿Cuántos litros quedan?

12. Rebeca gastó 5 de su dinero y le quedaron 4 S/.60. ¿Cuánto tenía?

4. ¿Qué parte del año, son los días del primer bimestre? (el año es bisiesto).

13. Cuando son las 10:00 am, ¿qué parte del día ha transcurrido?

5. ¿Cuántas botellas de 3 de litro se necesitan 4 para almacenar el vino contenido en una pipa de 240 litros?

14. En un salón de clase de 40 alumnos, los 2 5 viven en Surco; 3 en Chorrillos y el resto 8 vive en Surquillo. ¿Cuántos alumnos viven en

6. En cierto salón solo dieron examen los 5 de 8 los alumnos. ¿Qué parte del salón no rindió examen? 7. ¿En cuánto excede 4 a la diferencia de 2 de 3 3 1? 2

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Surquillo? 15. En un concurso eliminaron a los 2 de los 9 participantes y luego a la mitad de los que quedaban. Si todavía quedan 28 participantes, ¿cuántos eran inicialmente y cuántos concursantes fueron eliminados la primera vez?

Unidad V

141

Porcentajes I

Porcentajes I .


Calcular porcentajes en sus respectivos aplicaciones.

•

Plantear diversas operaciones del tanto por ciento.

E

El falso 10%

s totalmente falso que solo utilizamos un 10% de nuestro cerebro. Utilizamos el 100%, no de forma simultánea. (De hecho, solo en grandes ataques epiléticos es cuando se puede llegar a utilizar el 100% del cerebro al mismo tiempo). Al igual que pasa con nuestros músculos, utilizamos las regiones del cerebro según la actividad que estemos realizando. A mayor complejidad, mayor uso del cerebro. Los incontables TAC y resonancias magnéticas que se han hecho para estudiar la actividad eléctrica a lo largo de décadas así lo demuestran. Quizás una de las razones por las que surgió el mito fue que algunas personas tergiversaron la afirmación de que utilizamos el 10% de nuestro cerebro de forma consciente, mientras que el 90% restante es inconsciente (se encarga de tareas como controlar las pulsaciones del corazón, el peristaltismo intestinal, la dilatación o contracción de las pupilas, etc.). Al final se trastocó todo eso y quedó como el mito de ahora. Si la afirmación del 10% fuera cierta, ante la más mínima lesión cerebral se produciría la muerte, y eso no es así. Cuando hay una lesión, y esta es pequeña, las zonas colindantes de la región alterada intentan compensar la pérdida de función mediante un procedimiento lento de plasticidad neuronal. Además, si solo utilizáramos el 10% seríamos vegetales o estaríamos muertos. Nadie puede vivir con ese porcentaje de actividad cerebral. El origen de ese mito es muy difuso. Se estima que surgió a partir del siglo XX. Las personas más famosas que ayudaron a que este mito se propagara fueron: Albert Einstein. En los años treinta, los neurólogos descubrieron que las especies con sistema nervioso más complejo (entre las que destaca el hombre) dedican una menor proporción de la masa cerebral a las funciones sensoriomotoras. Se aplicó el nombre de córtex silencioso a las áreas cerebrales dedicadas a otras actividades, entre las que destacan el lenguaje y el pensamiento abstracto. El título de "silencioso" hizo pensar que esa parte del cerebro estaba desocupada. Dale Carnegie con su popular libro "How to Win Friends and Influence People"(Cómo ganar amigos e influir en la gente) afirmaba que la mayoría de las personas solo utilizan el 15% de sus cerebros.

Colegios

142

TRILCE

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3

Conceptos básicos Tanto por cuanto

Observemos lo siguiente

Cada grupo tiene cinco cuadraditos y en cada grupo hay dos cuadraditos pintados, es decir: Dos por cada cinco son pintados <> 2 partes

El 2 por 5  5 partes

Ejemplo

2 5

Hallar el 4 por 10 del 15 por 20 de 60. Resolución 2

3

2 1

1

3 15 4 × ×60 = 2×3×3 = 18 10 20

Tanto por ciento

Es el número de partes iguales que se toman de una cantidad total (unidad) dividida en cien partes iguales. 100 partes iguales 1444444444442444444444443 1 100

1 100

1 100

1 100

...

1 100

1 100

1 100

...

1 100

1 100

3444442444441 "m" partes ⇓ El "m" por ciento 34241 %

Ejemplo

⇒

El m% <> m 100

•

El 6 por ciento <> 6% <> 6 100

•

El 227 por ciento <> 227% <> 227 100

•

El 37 por ciento <> 37% <> 37 100

•

El (a - b) por ciento <> (a - b)%

Central: 619-8100

<> a - b 100

Unidad V

143

Porcentajes I

Observemos también que: • •

El 10% más=110% <> 110 100 El 10% menos=90% <> 90 100

•

•

El 40% más=140% <> 140 100 El 40% menos=60% <> 60 100

En general: El x% de "y"=

x .y = xy 100 100

Recuerda que...? que... Recuerda "De" o "del" indica multiplicación.

Ejemplo

Hallar el 40% del 60% del 20% de 2000. Resolución

40 60 20 . . . 2000 = 96 100 100 100

Relación: Parte - Todo

EjemploS

Para expresar en porcentaje una comparación Parte - Todo, basta con multiplicarla por 100%. Es decir:

1. ¿Cuánto por ciento de 25 es 12?

Resolución

⇒ 12 ×100%=48% 25

Resolución ⇒ 70 - 40 ×100%= 30 ×100%=75% 40 40

Rpta.: 48%

2. ¿Cuánto por ciento es 20 de 80? Resolución ⇒ 20 ×100%=25% 80

Colegios

144

3. ¿Qué porcentaje más representa 70 de 40?

Rpta.: 25%

TRILCE

Rpta.: 75%

4. ¿Qué porcentaje menos representa 20 de 28? Resolución ⇒ 28 - 20 ×100%= 8 ×100%=40% 20 20

Rpta.: 40%

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Observemos lo siguiente: Respecto de una cantidad asumida como el 100%. Saco o pierdo

Queda

Gano o agrego

Resulta

15% 30% 0,5% 72% x%

85% 70% 99,5% 28% (100 - x)%

15% 30% 0,5% 72% x%

115% 130% 100,5% 172% (100+x)%

3

Síntesis teórica

• 25%= 1 • 75%= 3 4 4 • 50%= 1 • 100%=1 2

Central: 619-8100

Unidad V

145

Porcentajes I

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Relacionar:

El 48% de "x" ÷ 64% de "x"

1 4 B 9

El 2 por 3 del 9 por 16 de 24

C

15

D

3 4 24

El 20% del 60% del 80% de 250

A

E 2. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

• El 30% más del 24% menos de 150 es 741 ........................................................................... ( ) 5 • 416 es el 30% de 320 ........................................................................................................ ( ) • 91 es el 13% del 25% de 2800 .............................................................................................. ( )

3. El señor López Campos desea comprar una laptop en S/. 3600, efectuar y completar:

•

Si le descuentan el 25%, entonces, pagó: _______________________

•

Si le descuentan el 10% del 30% del 7 por 9, entonces, pagó: _______________________

4. Tengo S/. 6840. Si gastara el 40% de lo que tengo y ganara el 25% de lo que me quedaría, ¿cuánto tendría? 5. Cierto día el Metropolitano lleva 80 pasajeros, de los cuales, el 30% están sentados; de las mujeres, el 40%, y únicamente 20% de los hombres. ¿Cuántos hombres están parados?

Conceptos básicos Aprende más... 1. Efectuar y responder:

• ¿Qué porcentaje de 640 es 64?

• ¿Cuánto por ciento de 60 es 15?

2. Efectuar y responder: • Siete es el 10% del 50% de un número. ¿Cuál es el número? • ¿De qué número, 27 es el 10% menos? • ¿El 8% de 36 es 72% de qué número?

Colegios

146

3. Rigoberto ganó el premio mayor de la lotería, que es de S/. 2 000 000, pero le descontaron el 30% en impuestos. ¿Cuánto cobrará?

TRILCE

a) S/.14 000 b) 1 400 000 c) 1400 d) 14 500 e) 160 000

4. Sandalio desea comprar una impresora multifuncional en S/.1200. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

• Si le descuentan el 10%, entonces pagó S/.1080 ................................. ( ) • Si le descuentan el 35% del 20%, entonces pagó S/.1116 ................................. ( )

5. En un salón de 36 alumnos, fueron desaprobados nueve alumnos. ¿Qué porcentaje del salón aprobó?

a) 25% d) 50%

b) 30% e) 75%

c) 40%

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6. Esteban compró una casa en $20 000. Se afirma: I. Si paga el 50% al contado y el resto en cinco partes, entonces abona en cada una de las partes $2000. II. Si paga el 60% al contado y el resto en ocho partes, entonces abona en cada una de las partes $1000. III. Si paga el 20% del 30% del 80% al contado y el resto en 20 partes, entonces, abona en cada parte $520.

a) I y II d) Todas


c) I y III

7. Después de descontarle a una persona el 18% de su sueldo, esta cobró $820. ¿Cuánto cobraría la persona sin el descuento?

a) $1000 d) 900

b) 1200 e) 890

c) 1100

8. Una casa es de dos hermanos; la parte de uno de ellos es el 40% y está valorizada en $12 000. ¿Cuál es el valor de la parte que le corresponde al otro hermano?

a) $18 000 d) 12 800

b) 19 000 c) 20 000 e) 12 000

9. Se pagarón $413 por una casaca de cuero, luego de aumentarle el 18% de IGV. ¿En cuánto se vendía dicha casaca sin IGV?

a) $350 d) 400

b) 300 e) 380

c) 200

10. Después de descontarle el 20% al precio de una lancha, se pagarón $80 000. ¿En cuánto se vendía inicialmente la lancha?

a) $100 000 b) 120 000 c)130 000 d) 140 000 e) 150 000

3

11. Tres socios se reparten $48 000. El primero recibe el 40% y el segundo, el 35%. ¿Cuánto recibirá el tercer socio?

a) $12 000 b) 15 000 c)16 000 d) 18 000 e) 20 000

12. De un tonel de vino se extrae, primero, el 20% y luego, el 25% de lo que queda. ¿Qué porcentaje del total se extrajo?

a) 45% d) 35%

b) 40% e) 30%

c) 38%

13. ¿Cuánto por ciento respecto del costo se ha ganado cuando se vende en 120 nuevos soles lo que ha costado 96 nuevos soles?

a) 15% d) 24%

b) 18% e) 25%

c) 20%

14. Tengo S/. 2000. Si gastara el 20% de lo que tengo y ganara el 20% de lo que me quedaría, ¿cuánto tendría?

a) S/. 200 d) 1900

b) 2100 e) 1920

c) 1980

15. De un granero, el 40% es arroz. Si se ha vendido el 15% de arroz, ¿en qué porcentaje disminuye el granero?

a) 55% d) 6%

b) 15% e) 5%

c) 25%

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Una piedra pómez es introducida en agua, al sacarla y pesarla se observó que el peso aumentó en 36%. Si se saca la mitad del agua, ¿en qué porcentaje disminuirá el peso de la piedra húmeda?

4. ¿Qué porcentaje del área total representa el área de la región sombreada?

a

2. En un colegio el 40% de los alumnos son varones. A una excursión han ido el 20% de los varones y el 30% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de alumnos salió de excursión?

3. En una reunión hay 100 personas de las cuales el 70% son mujeres. ¿Cuántas parejas deben llegar a la reunión para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres?

5. En enero se producen 10 unidades, en marzo se producen 40 unidades. ¿Cuánto se produjo en febrero, si la producción aumenta el mismo porcentaje todos los meses?

Central: 619-8100

a

Unidad V

147

Porcentajes I 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Relacionar: El 60% de 800 menos el 25% de 600 El 78% de 2450 más el 64% de 7250

10. Si el 80% de “M” es igual al 40% de “N”, ¿qué porcentaje de “N” es “M”? A B C D

250 5681 330 6551

2. ¿El 5% más de qué número es 315? 3. ¿Qué porcentaje de 80 es 20? 4. ¿Qué porcentaje de 640 es 32? 5. Hallar el 10% de los 2 del 40% de 6000. 5 6. Si el 40% de “N” es 142, hallar el 20% de “2N”. 7. Tengo S/.300 y gasto el 20% en gaseosa, el 40% del resto en chocolate y el 20% del nuevo resto en caramelos. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

• Gasté en total S/.184,8 ......................... ( ) • Me sobró de dinero S/.115,2 ................ ( )

8. ¿El 20% de qué número es el 40% del 5% de 600? 9. ¿El 4% menos de qué número es 384?

Colegios

148

TRILCE

11. Si Valentín tuviera 35% menos de la edad que tiene, tendría 13 años. ¿Cuántos años tendrá dentro de ocho años? 12. La señora Gloria va al mercado de “Grumete” a comprar un cierto número de naranjas, y además, le regalan el 5% de las que compró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró? 13. Un balón de gas costaba S/.30 y debido a la inflación del 10% aumentó su precio. ¿Cuánto cuesta ahora el balón de gas? 14. En una reunión se sabe que el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? 15. El 20% de lo que tengo excede en dos soles al 30% de lo que tienes. Si ambos tenemos un total de 30 soles, se afirma:

I. Yo tengo S/.22 II. Tú tienes S/.8 III. Si te doy el 40% de mi dinero, tu dinero excedería a mi dinero en S/.3,60.

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4


Porcentajes II .


Efectuar diversos problemas comerciales con el tanto por ciento.

Aplicaciones comerciales

C

uando se colocan precios a los artículos para venderlos al público, se tienen presentes muchas variables: FOB (precio de factura), flete (marítimo, terrestre o aéreo), seguro, ad Valorem (impuesto arancelario), comisión de la agencia de aduana, gastos financieros, gastos operativos (desaduanaje), margen de utilidad, descuento al precio de lista, IGV, entre otros.

S/.799

99

9 S/.1

S/.159

99

S/.2

S/.1699

S/.

24

9 /.19

9

S

S/.369

Central: 619-8100

Unidad I

149

Diagramas

Conceptos básicos Los elementos básicos a considerar en el presente capítulo son, únicamente: V: precio de venta; C: precio de costo; g: ganancia y p: pérdida Estos elementos están relacionados de la siguiente manera: V=C+g

;

V=C - p

1. Un comerciante compró un DVD en S/. 270 y lo vendió, ganando el 10% de la venta. ¿En cuánto vendió el DVD?

Resolución

Costo: C = S/.270 Venta: V = x x Ganancia: g=10%(venta)=10%(x)= 10 Luego: V=C+g x x 9x x=270+ → x = =270 → x=S/.300 10 10 10

Ejemplo

EjemploS

•

2. Casimiro vendió una filmadora en $ 400, ganando el 15% de la venta. ¿Cuánto costó la filmadora?

Resolución

V = C + g ↓ ↓ ↓ 400 = x + 15%(400) 400 = x + 60  x=$340

3. Telémaco iba a comprar un auto y le hicieron sucesivamente dos descuentos: del 20% y luego, del 30%. ¿Cuál fue el descuento único?

Resolución

Colegios

150

1er descuento 2do descuento 20% 30% ↓ ↓ 80×70 Queda: 80% × 70% = =56% 100

∴ El descuento único = 100% - 56% = 44%

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4

Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 30%?

4. Un TV se compró en $450 y se vendió en $480. ¿Qué porcentaje de la venta se ganó?

2. ¿ A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 15% y 20%?

5. Un auto se vendió en $6600 ganando el 10% del costo. ¿Cuánto costó el auto?

3. Un celular se compró en $300 y se vendió en $360. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?

Conceptos básicos Aprende más... 1. Responder: • ¿A qué descuento único equivalen los descuentos sucesivos del 20% y 20%? ……………………………………………………

•

¿A qué aumento único equivalen los aumentos sucesivos del 20% y 25%? ……………………………………………………

2. José compró un iPOD en $560 y lo vendió ganando el 10% del costo. Se afirma: I. Vendió el iPOD en $616. II. Si vendió ganando el 20% de la venta, entonces, el iPOD se vendió en $700.

Central: 619-8100

III. Si vendió perdiendo el 10% del costo, entonces, el iPOD se vendió en $504.

a) I y II d) Todos


c) I y III

3. Pamela compró una bicicleta en S/.800 y la vendió en S/.1000. ¿Qué porcentaje del costo ganó? 4. Nathaly compró un TV en $600 y lo vendió ganando $50. ¿Qué porcentaje del costo ganó?

Unidad I

151

Diagramas

5. El señor López vendió un auto en $6000. Se afirma que: I. Si ganó el 20% del costo, entonces, el costo del auto fue $5000. II. Si perdió el 20% del costo, entonces, el costo del auto fue $7500. III. Si ganó el 60% del costo con el 20% de la venta, entonces, el costo del auto fue $3000.

a) I y III d) Todos


c) I y II

6. Ricardo pone a la venta un lote de 100 camisas. Luego de un tiempo, como no se vendía el lote, hicieron dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. ¿Cuál fue el descuento único?

a) 28% d) 20%

b) 72% e) 30%

c) 38%

7. Un equipo de sonido AIGUA se pone a la venta en S/.1000. Pasado algún tiempo, se le hicieron los descuentos sucesivos de 20% y 10%.

• ¿En cuánto se vendió el equipo? …………………………............………………..

• ¿Cuál fue el descuento único? ……..............…………………………………..

8. Una casa está valorizada en $60 000. Se le hacen dos descuentos sucesivos del 5% y 10%.

• ¿En cuánto se vendió? …………………………......…………………….

• ¿Cuál fue el descuento único? …………………………………………………….

9. Sofía compró una tabla en $120 y luego la vendió en $150. ¿Cuál fue su ganancia en porcentaje?

a) 25% d) 45%

b) 30% e) 32%

c) 40%

10. Se compró un reloj en S/.240 y se vendió perdiendo el 30%. ¿Cuál fue su precio de venta?

a) S/.168 d) 170

b) 210 e) 180

c) 72

11. Una camisa que costó S/.140 se vende, ganando el 20% del precio de venta. Se afirma que: I. Se vendió en 175 nuevos soles. II. La ganancia fue de 35 nuevos soles. III. Si el costo hubiese sido de S/.200, entonces, la venta habría sido S/.250.

a) Solo I d) I y III

b) II y III c) Solo II e) Todas

12. Se vende un vestido en S/. 4200, ganando el 14% del costo más el 5% de la venta. ¿Cuánto costó el vestido?

a) S/. 3685 b) 3475 c) 3800 d) 4000 e) 3500

13. Se venden dos objetos en S/.1200 cada uno. En uno ganó el 20% del costo y en el otro se perdió el 100 % del costo. ¿Cuánto se gana o se pierde? 7 a) S/.100 b) 400 c) 200 d) 300 e) 0 14. Un comerciante vendió un lote de tela por 9600 nuevos soles, ganando el 20% del costo. Si por cada metro ganó 20 nuevos soles, ¿cuántos metros negoció?

a) 64 m d) 72

b) 80 e) 96

c) 120

15. Se vendió un artículo a S/.8600 ganando el 25% del 30% del precio de costo más el 15% del 20% del precio de venta. Se afirma que: I. El costo del artículo es de S/.7760. II. La ganancia del artículo es S/.582. III. El 40% de la ganancia es de S/.168.

a) I y II d) Solo II

b) I y III e) Solo I

c) II y III

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Miguel tiene un auto que cuesta $10 000, el cual vende a Gabriel con una ganancia del 10%. Luego de un mes, Gabriel revende el auto a Miguel con una pérdida del 10%. Entonces:

a) Miguel gana $9000 b) Miguel gana $1000 c) Miguel gana $1100 d) Miguel gana $2100 e) Gabriel pierde $1000

Colegios

152

TRILCE

2. Se realiza un descuento del 20%, un aumento del 20%, un descuento del 40%. ¿A qué descuento único equivale?

a) 42,4% d) 44,2%

b) 43,4% e) 46,4%

c) 45,4%

3. Un profesor de Trilce compra una caja con tizas que acaban de sufrir un aumento del 5% en

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su precio. Si su precio no hubiera aumentado, podría haber comprado con la misma suma de dinero, tres tizas más. ¿Cuántas tizas compró?

a) 40 d) 80

b) 50 e) 45

c) 60

4. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedase perdería S/.156. ¿Cuánto tengo?

a) S/.1500 d) 2500

b) 1000 e) 1600

5. Se rebaja el precio de un artículo en 10% y 20%, sucesivamente. ¿En cuánto por ciento debe incrementarse el precio rebajado para que el nuevo precio sea 8% más que el precio original?

a) 40% d) 80%

b) 50% e) 70%

4

c) 100%

c) 2000

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Un auto se vendió en $8000 ganando el 10% de la venta. ¿Cuánto costó el auto? 2. Una cámara filmadora profesional se compró en S/.3000. Se afirma que:

I. Si se quiere ganar el 20% del costo, entonces, se debe vender en S/.3600. II. Si se perdió el 20% de la venta, entonces se vendió en S/.3750. III. Si se perdió el 20% del costo, entonces se vendió en S/.2400

3. Un terreno se compró en $4500 y se vendió, ganando el 10% de la venta. ¿En cuánto se vendió el terreno? 4. Se perdieron $600 al vender una moto a $5400. ¿Qué porcentaje del costo se perdió? 5. Dos descuentos sucesivos del 20% y 40% equivalen a un descuento único del: 6. Se vendió un artículo ganando el 10% del costo. Si costó S/.1200, ¿en cuánto se vendió? 7. El 30% del 20% de los 2 de un número equi5 valen al 24% del 0,01% de 1000. Hallar dicho número. 8. Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único del: 9. Un televisor cuesta $300. Si al venderlo se hace un descuento del 10%, ¿en cuánto se vendió?

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10. El 20% del 30% de 500 es: 11. En un salón de 45 alumnos el 20% salió desaprobado en un examen y el 50% del resto no asistió. ¿cuántos aprobaron el examen? 12. Se vende dos blusas en S/.30 cada uno, en la primera se gana 20% y el segunda se pierde el 20%. Relacionar:

La primera blusa se compra en: La segunda blusa se compra en: En total por las dos blusas se pierde:

A S/.2,50 B S/.37,50 C S/.1,50 D S/.25 E

S/.42,50

13. Se vende una laptop en S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 60% del precio de costo. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• El precio de costo de la laptop es de S/.3000 ......................................( ) • La ganancia obtenida es de S/.1200 ......( ) • El 20% del 40% de la venta es S/.480 ..( )

14. Se vendió un equipo de sonido en $480, luego de descontarle el 20%. ¿Cuál era el costo antes del descuento? 15. Una casa se vendió en $25 000, ganando la quinta parte del precio de venta. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?

Unidad I

153

Repaso IV

Repaso IV

Colegios

154

TRILCE

•

Fracciones

•

Aplicaciones fraccionarias

•

Porcentajes

•

Aplicaciones comerciales

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5

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. ¿Qué porcentaje de 1 es 1 ? 12 15 ___________ 2. El 50% del 40% de 3096 del 20% de 500 es: _______________

10. Una señora lleva 2000 vasos de vidrio al mercado y encuentra que el 10% estaba astillado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaron sin vender?

3. Calcular:

1 1+

1

1+ 1 2

4 . ¿Cuánto le falta a 3 para ser igual al producto 4 2 9 de con ? 3 4 5. Los 6 de qué número equivalen a los 2 de 5 ? 11 3 7

a) 2 5 18 d) 58

20 b) 77 15 e) 57

55 c) 63

a) 1 3 d) 1 12

b) 1 4 e) 3 4

c) 1 6

a) S/.360 d) 120

b) 180 e) 60

c) 30

a) 40 d) 50

b) 20 e) 60

c) 30

9. Calcular el 80% del 20% del 3 por 8 del 50 por mil de 10 000.

a) 30 d) 300

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b) 60 e) 600

c) 120

c) 720

a) 38% d) 40%

b) 35% e) 42%

c) 30%

12. Se venden dos objetos en S/.1200 cada uno. En uno se ganó el 20% del costo y en el otro se perdió el 20% del costo. ¿Cuánto se gana o se pierde? a) S/.100 d) 300

b) 400 e) 0

c) 200

13. Tengo el 90% de lo que tenía ayer que era 20 nuevos soles. ¿Cuánto por ciento de lo que tuve ayer tendría mañana, si hoy perdiese 1 nuevo sol más el 50% de lo que tengo? a) 30% d) 45%

b) 35% e) 50%

c) 40%

14. Al precio de un carro se le hace un descuento del 10% y luego se le hace otro descuento del 20%, pagando por el carro 3600 nuevos soles. ¿Cuál era el precio original del carro?

8 Hallar el uno por tres del dos por cuatro del seis por ocho del 16 por uno de 20.

7. Perdí 3 de lo que tenía. Si hubiera perdido los 4 2 de lo que perdí, tendría 60 soles más de lo 3 que tengo. ¿Cuánto tengo?

b) 920 e) 1080

11. En un examen de selección para el ingreso a una empresa, el 60% de mujeres y el 70% de hombres aprobaron el examen. Si el total de mujeres es el 80% del total de personas, ¿qué porcentaje del total de personas no aprobaron el examen?

6. ¿Cuánto le sobra a 11 para ser igual a la dife16 1 1 rencia entre y ? 2 16

a) 970 d) 780

a) S/.4000 d) 4500

b) 7000 e) 5500

c) 5000

15. Cuando a un barril le falta un 25 por ciento para llenarse, contiene 25 litros más que cuando está lleno al 25 por ciento. ¿Cuál es la capacidad del barril?

a) 25L d) 75

b) 30 e) 100

c) 50

Unidad V

155

Repaso IV 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Efectuar:

1 + 1 + 1 ×R 1 S > 1 1 1 H S1 - 1 4 5 3 SS 1 + 1 2 T

V W W WW X

2. Un chofer en la primera parada de su recorrido descarga 2 de las cajas que lleva en su camión. 3 Después descarga cinco cajas en su segunda parada, quedándole la cuarta parte de su carga original. El número de cajas que llevaba antes de su primera parada es: 3. Lucho dispara 30 tiros al blanco y solo acierta 20 tiros. ¿Qué fracción de los que dispara no acierta? 4. El 20% más del 30% menos de un número equivale a 84. ¿Cuál es dicho número? 5. Un granjero de pollos tiene 1000 huevos. El 4% de estos se rompen y se encuentra que el 5% de los restantes son defectuosos. ¿Cuántos huevos pueden venderse en el mercado? 6. Una camisa que costó S/.140 se vende, ganando el 20% del precio de venta. Se afirma que: I. Se vendió en 175 nuevos soles. II. La ganancia fue de 35 nuevos soles. III. Si el costo hubiese sido de S/.200; entonces la venta hubiese sido S/.250. 7. Un comerciante vendió un lote de tela por 12 000 nuevos soles, ganando el 20% del costo. Si por cada metro ganó 20 nuevos soles, ¿cuántos metros negoció? 8. En una granja, el 30% del número de patos es el 20% del número de pavos. ¿Cuánto por ciento del 80% del total es el número de patos?

Colegios

156

TRILCE

9. Un obrero siempre ahorra el 80% de su sueldo mensual. Si recibe un aumento igual a 3 de 8 su sueldo, ¿qué porcentaje del sueldo original ahorrará ahora? 10. Un boxeador decidirá retirarse cuando sus triunfos representen el 90% del total de sus peleas. Si hasta el momento ha peleado 100 veces y ha obtenido 85 victorias, ¿cuántas peleas más como mínimo debe realizar para poder retirarse? 11. Un comerciante compró una bicicleta en 1200 nuevos soles y la vendió, ganando el 20% del costo. ¿En cuánto la vendió? 12. En un colegio, el 40% de los alumnos son mujeres. Si el número de mujeres aumentó en 30% y el de los hombres disminuyó en 10%, ¿en cuánto por ciento ha variado el total de alumnos del colegio? 13. En una fiesta se observa que si todos los hombres salen a bailar, 10 mujeres se quedan sin hacerlo, pero si el 60% de las mujeres salen a bailar, la cuarta parte de los hombres no podría hacerlo. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? 14. Si me queda el 60% de lo que no me queda, ¿qué porcentaje del total es lo que me queda? 15. En un corral hay pavos y patos. Si el 40% del número de patos es igual al 60% del número de pavos, ¿qué porcentaje del 80% del total es el número de pavos?

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Planteo de ecuaciones

6


Resolver ecuaciones con una o más incógnitas. Establecer resoluciones de la expresión verbal o formal al lenguaje matemático.

El arte de plantear ecuaciones

E

l idioma del Álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua, al idioma algebraico", escribió el gran Isaac Newton en su manual de Álgebra titulado Aritmética Universal. Una vez planteada la ecuación, la solución es generalmente fácil, con la ayuda de las computadoras y el software apropiado, la solución se puede encontrar en segundos.

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Unidad V

157


Conceptos básicos A continuación, se presentan algunos enunciados elementales, típicos de los problemas que con frecuencia se encuentran, así como también su respectiva traducción en una expresión simbólica. Aprendamos desarrollando el siguiente cuadro: FORMA VERBAL

FORMA SIMBÓLICA

Dos veces "A" "N" veces "x" "A" es tanto como "B" El duplo de "A", disminuido en "B" El cuadrado de "x", disminuido en "z" El doble de la diferencia de "A" y "B" El cuadrado de la diferencia de "x" y "z" La mitad del cuadrado de "x" El cuadrado de la mitad de "x" La suma de los cuadrados de dos números El cuadrado de la suma de dos números "A" es a "B" como 5 es a 3 "M" es a 5 como "N" es a 3 La suma de dos números consecutivos La suma de tres números consecutivos "A" excede a "B" en 5 ¿Qué parte de "A" es "B"? ¿Qué parte es "A" de "B"? "A" es nueve más que "B" Mi edad es cinco años más que la suma de las edades de José y Manuel El doble de tu estatura aumentado en 10 centímetros Tres pares consecutivos

Colegios

158

TRILCE

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6

Tu edad equivale a la suma de tres pares consecutivos Tres impares consecutivos Un número aumentado en su cuarta parte Se resta 18 a un número Se le resta la suma de cifras a un número de dos cifras La quinta parte de "a" excede en cinco a la séptima parte de "b" La diferencia de cuadrados de dos números consecutivos es 25 Diez veces la diferencia entre tu edad y el triple de la mía El producto de la suma de dos números por el cociente de ellos La quinta parte de un número multiplicado por la sexta parte de este Mi peso y el peso del profesor son como 2 es a 9 Un número excede a 50 tanto como 64 excede al número El cociente de dos números consecutivos La inversa de un número Nueve veces la inversa de un número Diez metros de tela "A" cuestan igual que 25 metros de tela "B" El producto de un número con su sexta parte La diferencia de cubos de dos números consecutivos es 61 De tres números consecutivos, el doble de la diferencia entre el mayor y el menor es igual al intermedio

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Unidad V

159

Ejemplos


1. A un alambre de 24 m se le da un corte de tal manera que una parte es el triple de la otra. ¿Cuánto mide la parte mayor?

Resolución

Resolución 24 m 3x

2. La suma de dos números impares consecutivos es igual a la del par siguiente. Hallar el menor número impar. impar

par

impar

par

x

x+1

x+2

x+3

x

•

Del gráfico: 3x+x=24 4x = 24 ⇒ x= 6 m

• Luego, la parte mayor mide: 3(6)=18 m

•

x+x+2=x+3 x=1

•

Los números son: 1; 2; 3; 4

• Entonces el menor impar es: 1

Síntesis teórica

Forma

como

Resueltos

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Cada uno de las cuatro aulas de un colegio con diferente número de alumnos, entre ellas tienen recaudados S/. 2800. Los tesoreros de cada aula coinciden en decir: "Nos falta dinero para que cada alumno reciba S/. 80 y nos sobraría dinero si cada uno recibe S/. 70". ¿Cuántos alumnos hay entre las cuatro aulas?

Colegios

160

TRILCE

2. Hoy tengo el cuádruple de lo que tuve ayer y ayer tuve la séptima parte de lo que tendré mañana. Si todas las cantidades fuesen menores en S/. 6, resultaría entonces que la cantidad de hoy sería el quíntuplo de la de ayer. ¿Cuántos soles tendré mañana?

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3. Dos personas tienen cierto número de panes que están en relación de 3 a 5. Luego de comerse tantos panes el uno como el otro, la relación nueva es de 2 a 5. Si juntos han consumido 120 en total, hallar cuántos más tenía uno con respecto al otro. 4. En una reunión, el número de varones es tres veces más que el de mujeres. Después, se retiran 10 parejas y el número de varones que

aún queda es dos veces más que el doble de las mujeres que quedan. Hallar cuántas damas había al inicio.

6

5. Si por S/.12 dieran ocho bananas más de las que dan usualmente, una banana costaría S/. 2 menos. Hallar cuánto cuesta un octeto de bananas.

Conceptos básicos Aprende más... 1. Efectuar y responder:

5. Efectúa y responde:

•

•

El doble de la suma de un número con 7 es 30. Hallar el mencionado número. ___________________________________ El triple de la diferencia de un número con 5 es 48. Hallar dicho número. ___________________________________

•

Se tiene cuatro números consecutivos cuya suma es igual a 102. Hallar el mayor de ellos.

___________________________________

•

Hallar la suma de tres números consecutivos, tales que si al séxtuplo del menor le disminuimos el cuádruple del intermedio y le agregamos el mayor, obtendremos 241.

2. Efectuar y responder:

___________________________________

•

•

Hallar un número tal, que multiplicado por 5 y disminuido en 8, equivale al cuádruple de la suma del mismo número con 16. ___________________________________ Hallar un número tal, que multiplicado por 8, menos 20, equivale a su séxtuplo, aumentado en 140. ___________________________________

3. Efectuar y responder:

•

Un número excede a 72 en la misma medida en que 136 excede al mismo número. El número es:

___________________________________

•

El exceso del cuádruple de un número sobre 5 equivale al quintuple del exceso de un número sobre 3. El número es: _____________________

4. ¿En qué momento del día se cumple que las horas transcurridas exceden en cuatro a las horas que faltan transcurrir?

a) 4 p.m. d) 5 p.m.

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b) 3 p.m. e) 1 p.m.

c) 2 p.m.

•

La suma de cuatro números pares consecutivos nos da 196. El mayor número es:

___________________________________ 6. Hallar el número de hojas de un libro, sabiendo que si arrancamos 25 quedaría la mitad de hojas, si el libro tuviera 50 hojas más.

a) 70 d) 100

b) 90 e) 120

c) 75

7. Si ganara S/.300, tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/.300. Se afirma que: I. Si perdiera 175 nuevos soles, me quedaría con 425 nuevos soles. II. Tengo 300 nuevos soles. III. Si ganara 400 nuevos soles, tendría el doble de los que me quedaría si perdiera 100 nuevos soles.

a) Solo I d) Todas


c) I y III

8. Si se matricularan 20 alumnos más en el salón de Tercer año habría entonces el triple de los que quedarían si se hubieran ido cuatro alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el salón?

a) 15 d) 20

b) 16 e) 21

c) 18

Unidad V

161


9. Si Mauricio ganara $600 tendría, entonces el triple de lo que quedaría si hubiera perdido $50, más $350. Se afirma que: I. Mauricio tiene $200. II. Si Mauricio perdiera $125 se quedaría con $75. III. Si Mauricio ganara $300 tendría el quíntuplo de lo que le quedaría si hubiera perdido $100.

a) I y II d) Todas


c) I y III

10. Cada día de la semana (de lunes a domingo) gano 10 nuevos soles más que el día anterior. Si luego de los siete días gané S/.315, ¿cuánto gané el jueves?

a) S/.40 d) 35

b) 45 e) 55

c) 50

I. Yo tengo S/.130 ................................ ( ) II. Tú tienes S/.50 ................................. ( ) IIII. Para tener la misma cantidad de dinero, yo tengo que darte S/.30 ..................... ( ) IV. Si te regalo S/.30, mi dinero con el tuyo estarían en la relación de 5 a 4 ........... ( ) 13. En una granja se tienen: palomas, loros y gallinas. Sin contar las palomas tenemos seis aves, sin contar los loros, tenemos nueve aves; y sin contar las gallinas tenemos siete aves. Según el enunciado anterior indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. I. En la granja hay cinco palomas ........... ( ) II. En la granja hay dos loros .................. ( ) III. El número de gallinas es el doble del número de loros ................................ ( ) IV. En total hay 11 aves ............................ ( )

11. En dos aulas hay en total 140 alumnos. Si salen al recreo la cuarta parte del salón con mayor cantidad de alumnos y la tercera parte del salón que tiene menos alumnos, entonces, quedarían en las dos aulas un total de 100 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el aula que tiene más alumnos?

14. En un salón de clase, si los alumnos se sientan de tres en tres se quedarían de pie ocho alumnos. En cambio, si se sientan de cuatro en cuatro, una carpeta quedaría vacía, ¿cuántos alumnos hay?

15. Si subo una escalera de cuatro en cuatro escalones, doy tres pasos más que subiendo de cinco en cinco escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

a) 70 d) 80

b) 75 e) 90

c) 60

12. Si te regalo S/.20, únicamente tendría S/.40 más que tú; pero si te obsequio S/.70, tendrías el doble de lo que me quedaría. Según el enunciado anterior, indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

a) 42 d) 48

a) 40 d) 60

b) 44 e) 50

b) 30 e) 20

c) 46

c) 50

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. El sapito “Clo Clo” recorrió 20 m dando cuatro saltos y en cada salto avanzó 2 m menos que en el salto anterior. ¿Cuántos metros avanzó en el tercer salto?

a) 4 m d) 8

b) 5 e) 10

c) 6

2. Un batallón de soldados puede ubicarse en filas de 11 cada una. Pero si se ponen dos soldados menos en cada fila, hay que añadir dos filas más. ¿Cuántos soldados hay?

a) 98 d) 96

b) 99 e) 97

c) 100

3. En un teatro, si los asistentes se sientan de a 16 por banca, 12 de ellos quedan de pie, pero si se sientan 19 en cada banca la última solo

Colegios

162

TRILCE

tendría 16 ocupantes. ¿Cuántos asistieron?

a) 92 d) 98

b) 90 e) 100

c) 94

4. Tres docenas de limones cuestan tantos nuevos soles como limones dan por S/.1600. ¿Cuánto cuesta la docena de limones?

a) 60 d) 90

b) 80 e) 100

c) 70

5. Si se sabe que Leonardo mide tres centímetros más que Boris y tres centímetros menos que Juan, y además, la suma de la talla de los tres es 549 cm, ¿cuánto mide Juan?

a) 190 cm d) 188

b) 185 e) 186

c) 187

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6

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. La suma de tres números consecutivos es 765. Hallar el menor de ellos. 2. Un número aumentado en su séxtuplo es 210. Hallar la mitad del número. 3. Si "Z" excede a “X” tanto como "Y" excede a "Z"; indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• Si: X=42; Y=38; entonces: Z=40 ....... ( ) • Si: Z=20; Y=12; entonces: X=48 ....... ( ) • Si: Z=12; X=7; entonces: Y=7 ......... ( )

La edad de María

A 23 años

María tenía hace cinco años:

B 8 años

Si María es menor que Rosa por nueve años, entonces, Rosa tiene:

D 12 años

C 15 años E

10 años

11. Un pescado cuesta S/.6 más medio pescado. ¿Cuánto cuesta pescado y medio?

4. Dados tres números consecutivos, el doble del mayor más el triple del intermedio es igual al menor aumentado en 67. Hallar el mayor.

12. En una granja se cuentan 100 patas y 40 animales entre vacas y gallinas. ¿Cuál es la diferencia del número de animales de cada especie?

5. "10x" excede a 50 tanto como 200 excede a "15x”. Hallar "x".

13. Si ganara S/.200 tendría el doble de lo que me quedaría si hubiera perdido S/.200. Se afirma que:

6. La suma de tres números pares consecutivos es 96. Hallar el menor de ellos.

7. La suma de tres números impares consecutivos es 147. Hallar el mayor de ellos. 8. El séxtuplo del exceso de un número sobre 3 es tanto como el quíntuplo del exceso del número sobre 2. El número es: 9. El duplo de las horas que han transcurrido del día es igual al cuádruplo de las horas que quedan por transcurrir. ¿Qué hora es? 10. La edad de María dentro de 20 años, sumada con la edad que tuvo hace 12 años, es el cuádruplo de la edad que tuvo hace seis años, aumentado en 2. Relacionar:

Central: 619-8100

I. Si perdiera S/.375 me quedaría con S/.225. II. Tengo S/.600. III. Si gano S/.700 tendría el triple de lo que me quedaría si perdiera S/.389.

14. Un toro pesa 100 kg más 2 del peso de un 3 1 carnero y este 20 kg más del peso del toro. 12 ¿Cuánto pesan los dos animales juntos? 15. En un grupo de conejos y gallinas, el número de patas es 14 más dos veces el número de cabezas; entonces, el número de conejos es:

Unidad V

163

Operadores matemáticos

Operadores matemáticos En este capítulo aprenderemos a: •

Formular ejercicios diversos de operadores matemáticos.

Los quipus

S

e puede confirmar el uso del sistema decimal en el incario, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados de modo que los nudos, de acuerdo con su ubicación, pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc. Sin embargo, la principal confirmación de este sistema, se expresa en la denominación de los números en quechua, en que los números van desarrollandose de manera decimal, como se puede apreciar en el siguiente cuadro (el quechua usado en el estándar del Cusco):

Números

Quechua

Números

1

Huk

11

2

Iskay

3

Números

Quechua

Chunka hukniyuq

30

Kimsa chunka

12

Chunka iskayniyuq

40

Tawa chunka

Kimsa

13

Chunka kimsayuq

50

Pisqa chunka

4

Tawa

14

Chunkatawayuq

60

Suqta chunka

5

Pisqa

15

Chunka pisqayuq

70

Qanchis chunka

6

Suqta

16

Chunka suqtayuq

80

Pusaq chunka

7

Qanchis

17

Chunka qanchisniyuq

90

Isqun chunka

8

Pusaq

18

Chunka pusaqniyuq

100

Pachak

9

Isqun

19

Chunka isqunniyuq

1000

Waranqa

10

Chunka

20

Iskay chunka

1 000 000

Hunu

Colegios

164

TRILCE

Quechua

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7

Conceptos básicos Operación matemática

Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones con las que se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica, llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, etc. Existen dos tipos de operaciones matemáticas: las universales y las arbitrarias.

Universales Operación

Arbitrarias

Símbolo

Operación

Símbolo

+

Asterisco

*

-

Grilla

#

Multiplicación

×

Arroba

@

División

÷

Nabla

Adición Sustracción

Radicación Potenciación Porcentaje

Truc ( )n

Antitruc

%

Corazón



Operador matemático

Es aquel símbolo que representa e identifica a una operación matemática. Ejemplo 2 + 5b - 7 a @ b = 3a 1442443

Operador matemático Primer componente

Central: 619-8100

Regla de definición o Ley de formación

Segunda componente

Unidad V

165


Síntesis teórica

son

definidas

como

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1.

4. Si:

Si: a * b = a - b - 1 Hallar: • 2 * 9 • [(3*4) * 5] * 7

2. Si: 3x @ y2 = y+x; calcular: 15 @ 16 1

+

2

Colegios

166

6

5. Si: xy=

TRILCE

Hallar:

=x2 - 1 ; +

y

=y3 - 1

2

x+y ; x ≥ y

14243

3. Si: x = x - 5; hallar:

x

x - y ; x < y

Hallar: (5  3)  (2  7)

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7

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Si: a 5 b =b2+2a+3 calcular: • 4 5 3 = _____________________ • (2 5 0) 5 5 = ________________ • Si: m 5 3=5 5 4; entonces: m=_______ q p 2. Si: =p+q - 1 3 2 calcular: • 7 3 = _____________________ • 1 (4 3)= _________________ • Si: 3m 2m = 12; entonces "m" =_____ 3. Si: xy  yx = 18y - 11x calcular: (1  2)  (8 9)

a) -19 d) - 20

b) 19 e) 0

c) 20

4. Si: m θ n = m - 4n 4 n .m

calcular: M= c 1 θ 2 m θ 6 3 3 5 a) 3 4 d) 3 2

b) 2 3

c) 5 2

E= 5 +

a) 70 d) 50

-

11

a) -271 d) -261

13

b) 270 e) -281

6. Se define en A={a,b,c,d}, la operación binaria: Según la siguiente tabla:

Relacionar: b)]

(c

a b c d

b a b c d

c b c d a

d

[a

{[[c

(d

a)]

c]

{[ (b

a)

c]

d}

Central: 619-8100

a d a b c

c]} d

a

d c d a b

c) 65

8. Si: m n p q q p m n n r r m

p q r m n r n r m p q r q pm r m p

-2 -1 0 1 -2

-1 0 1 -2 -1

0 1 -2 -1 0

1 -2 -1 0 1

m n p q r

Se afirma: I. {[(m p)

r]

q}

r=n

II. [( -2

0)

(1

-1)]

(0

III. Si: [m

(x

q)]

p = p; entonces: x=m

IV. Si: [0

(-2

1)]

y = -2; entonces: y= -1

a) I y III d) I, III, IV

-2 -1 0 1

b) II y IV e) Ninguno

calcular: 4 ∆ (4 ∆ (4 ∆ (4 ∆ ...) ) )

a) 0 d) 3

.

-1)= -2

c) II, III y IV

x2 - xy - 1 ; x ≠ y ; x y ≠ 0 x-y

10. Si:

c) 271

16)

b) 48 e) 60

9. Si: x ∆ y =

calcular:

+ (343

17

e) 1

5. Si: 2x - 7 = x3 - 1

b2 = b3 - a2 ; x2+1 =2x+1 7. Si: a3 calcular:

b) 1 e) 4  6 5 3 8 7 4 9 8 5 10 9 6 11 10

c) 2

4 6 7 8 9

3 5 6 7 8

calcular:

A b B d C c D a E 2c

• E l v a l o r d e : ( 4  3 )  ( 5  6 ) e s : . _________

• El valor de:(10  8)  12 es: __________

11. Si: n =n2 - 1 y además: n =n +5 ; n >0

hallar: 3 + 10

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Unidad V

167


12. Si: a * b=3 (b * a) - 5b calcular: E= (7 * 5) + 3 4

a) 12 d) 20

14. Se define:

b) 15 e) 10

c) 17

x+1

=x-1

a - 1 = 2 a+5 - a +3

;

12

a) 0 d) 2

b) 1 e) -2

c) -1

15. Si: x - 1 =2x+1 ;

= 3x+5

x+3

= a +a-1

calcular:

13. Si tenemos:

2a

hallar el valor de: M=

a) 9 d) 12

5

b) 10 e) 13

+

4

calcular:

a) 90 d) 56

2

+

x+1

=8x+9

5

b) 74 e) 78

c) 60

c) 11

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si:

3. Si: 2x-1 =4x+1

;

calcular:

M=

2x+1 =16x+9

hallar: 3

a) 188 d) 182

+

4

b) 190 e) 196

hallar: 12

a) 2 d) -2

Colegios

168

TRILCE

b) 3 e) -1

+ 7

a) 4 d) 1

b) 3 e) 0

c) 2

4. Si: a (b * a) =a * b ; a * b > 0 calcular: 16 * 2

2x = x + x - 1 ; x-1 = 2 x+5 - x+3

4

c) 198

2. Si:

x = 2 2x - 1 +5 ; x+1 = x - 2 - 4

c) 4

a) 6 d) 9

b) 8 e) 11

c) 10

5. Si: x - 2 = x2 - 4 ; a * b = 16 . b

calcular: 216 * 6

a) 8 d) 12

b) 4 e) 15

c) 10

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7

soPractica cisáb soten peccasa noC

a*=

123

3a - 2b, si: a > b 3b - 2a, si: b ≥ a

calcular: (3 ∆ 1) ∆ (1 ∆ 2)

2. Si: a ∆ b=

3. Si: a * b = 2a+b Relacionar: A B C D E

(2 * 3) * (0 * -1) * 1 [-2 * (-1 * 0)] 4. Si:

-6 27 -4 13 0

x+3 = x - 7 -

4

hallar:

calcular: ((4* + 3*)* - ((5* - 2*)*)*

10. Si tenemos: 2 x+2 = hallar:

2

z

= 3z - 2

hallar:

2

si:

m =

7

+ 1 ; hallar "m"

7. Dada la tabla: # 2 3 5 7

"xy" sumandos

S S t t ) ( 1 ) H=(34 36

13. Si: p ∆ q = p+2q; hallar "x" en: (6 ∆ 3) ∆ 6 = (x+2) ∆ (x - 2) 14. Si: h = h (h+1)

2 5 7 2 3

3 2 3 5 7

5 3 5 7 2

7 7 2 3 5


• • •

El valor de: [3#2] # [5#7] # 3; es 7 ........ ( ) El valor de "x" es 2; si: [(7#2) # (3#x)] # 5=7 ...............................( ) El valor de "z" es 7; si: {[(5#z) # 2] #3}#7=3 .............................( )

Central: 619-8100

x2 y + 35y 1 mc m 4x y

12. Sabiendo que: xt yt = xy + xy + xy + ... 1 4 4 44 2 4 4 44 3

6. Del problema anterior:

+3

hallar: 5 ∇ {5 ∇ [ 5∇ (5 ∇... )]}

hallar:

2x

4

11. Si: x ∇ y = c

x = (x - 1)2 ;

5. Si:

a + 2 ; "a" es par o cero 2 a + 1 ; "a" es impar 2

9. Si: a ∇ b= a + b ; hallar "m" en: 2 ∇ m=3 ∇ 2 a-b

4 * 5

8. Si: 14243

1. Si: a * b= 2a - b ; m ∆ n = (m+1) . (n - 1) hallar: (5 * 1) ∆ (2*1)

calcular "h" en: h

= 42

15. Si: x5y=

(y + x) 2 4

calcular: (355)52

Unidad V

169

Edades

Edades En este capítulo aprenderemos a: • • •

Relacionar métodos prácticos para el planteo y resolución de problemas sobre edades. Aplicar de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de problemas sobre edades que involucren a dos o más sujetos. Afianzar las habilidades y capacidades para resolver los diferentes casos sobre edades.

Adivina la edad

P

uedes adivinar la edad de una persona y el mes en que nació si haces que piense en el número del mes de nacimiento (enero=1, febrero=2, etc.) y después le pides que lo multiplique mentalmente por dos y le sume cinco al resultado. Después debes multiplicar el resultado que ha obtenido por 50 y sumarle su edad. Haz que te diga el resultado final de todos estos cálculos y, mentalmente, réstale 250. El número obtenido tendrá 3 ó 4 cifras. Las dos cifras de la derecha son las de la edad, y las de la izquierda son el número del mes de nacimiento. ¿Sabrías decir por qué es así?

Colegios

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8

Conceptos básicos El capítulo de edades está relacionado con el capítulo de planteo de ecuaciones, donde enfatizamos la relación entre sujetos (protagonistas del problema a quienes corresponden las edades), tiempos (pasado, presente o futuro) y edades (tiempo de vida de los sujetos). Tener en cuenta el siguiente cuadro: Tiempos

Expresiones

Presente • Tengo ... • Tienes En un problema existe un solo • Tenemos ... • Hoy la edad es ... presente. • La suma de nuestras edades es ... • Pasado En un problema pueden darse • • uno o más pasados. •

Hace ... • Tenía, tuve ... Teníamos ... • Tenías, tuviste ... Tuvimos ... La suma de nuestras edades fue ...

1. Dentro de 12 años tendré el doble de la edad que tenía hace nueve años. ¿Qué edad tengo?

Resolución

•

Sea mi edad actual "x" años, entonces: -9 +12

Tenía x - 9

Tengo x

Tendré x +12

• Por condición del problema: x+12 =2 (x - 9) → x+12 = 2x - 18 → 30 = x ∴ Tengo 30 años

Ejemplo

EjemploS

Futuro • Dentro de ... • Tendremos ... En un problema pueden darse • Teníamos ... • Tendrás ... uno o más futuros. • La suma de nuestras edades será ...

2. Cinco veces la edad que tendré dentro de cuatro años, menos dos veces la edad que tenía hace tres años, resulta el quíntuple de mi edad actual. ¿Cuántos años me faltan para cumplir 20 años?

Resolución

-3 Tenía x-3

•

+4 Tengo x

Tendré x +4

Por condición del problema: 5(x+4) - 2(x - 3) = 5x 5x+20 - 2x+6 = 5x 3x+26 = 5x → 13 = x

∴ Para cumplir 20 años faltan: 20 - 13 = 7 años

Central: 619-8100

Unidad V

171

Edades

3. Hace tres años la edad de un padre era el cuádruple de la de su hijo, pero dentro de siete años, será solamente el doble. ¿Cuál es la suma de sus edades actuales?

Resolución Hace 3 años

•

Padre

4x

Hijo

x

Presente +3 +3

4x+3 x+3

+7 +7

Dentro de 7 años 4x+10 x+10

De la última condición: 4x+10 =2 (x +10) 4x+10 = 2x+20 → 2x = 10 → x = 5

→ Padre: 4(5)+3=23 ; Hijo: 5+3=8 ∴ Suma=23+8=31

Síntesis teórica

intervienen

cuando

Colegios

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10 x 5 50

8

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Dentro de seis años tendré el doble de la edad que tenía hace cuatro años. ¿Qué edad tendré dentro de nueve años?

5. La edad de Romina es el doble de la edad de Alissa. Si hace cuatro años la relación de sus edades era de 7 a 3. Relacionar:

2. El doble de mi edad hace cinco años, aumentado en el triple de mi edad dentro de cuatro años es 72. ¿Qué edad tengo? 3. La relación de la edad que tenía hace cuatro años, con la que tendré dentro de seis años, es de dos a siete. ¿Dentro de cuántos años tendré el triple de mi edad? 4. Mi edad actual es la tercera parte de la que tú tendrás cuando yo tenga el cuádruple de la edad que tú tienes. Si hace ocho años nuestras edades sumaban 20 años, ¿cuántos años tengo?

I. Dentro de tres años Romina tendrá: II. Hace cinco años Alissa tenía: III. Actualmente, las edades de Romina y Alissa suman:

I. ( )

a) I y II d) Todas

II. ( )

A. 35 B. 40 C. 11 D. 48 E. 36 III. ( )

Conceptos básicos Aprende más... 1. Relacionar; si tenemos: • María dice: "Dentro de 16 años mi edad será tres veces la edad que tenía hace dos años". • Pericles le plantea a una de sus hermanas el siguiente problema: "Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de ocho años". ¿Qué edad tiene Pericles? Las edades actuales de María y Pericles suman: Hace cinco años las edades de María y Pericles sumaban: Dentro de siete años las edades de María y Pericles sumarán:

A 53 años

D 46 años E

29 años

2. Si tenemos: • Aurelio dice:"Dentro de tres años tendré el doble de la edad que tenía hace siete años". • Pamela dice: "Si al doble de la edad que tendré dentro de cuatro años le restamos el doble de la edad que tenía hace cuatro años, resultaría la edad que tuve hace dos años".

Se afirma que: I. Aurelio es mayor que Pamela. II. La suma de las edades actuales de Aurelio y Pamela es 35. III. Cuando Aurelio nació, Pamela tenía un año.

Central: 619-8100

c) I y III

3. Si tenemos:

•

•

Se afirma: I. Cuando Rosa nació, Ricardo tenía un año. II. Hace tres años las edades de Rosa y Ricardo sumaban 37 años. III. Dentro de tres años las edades de Rosa y Ricardo sumarán 49 años.

B 34 años C 39 años


Hallar la edad de Rosa, si al duplicar su edad para luego aumentarla en 28 años obtenemos el cuádruple de esta disminuida en 16 años. Ricardo, hace 10 años, tenía la tercera parte de la edad que tendrá dentro de 12 años. ¿Cuál es la edad de Ricardo?

a) I y II d) Todas


c) I y III

4. La suma de las edades de Juan y Pedro es 48 años; al acercarse María, Juan dice: “Cuando tú naciste yo tenía cuatro años, pero cuando Pedro nació, tenías dos años”. ¿Cuál es la edad de María?

a) 21 años d) 17

b) 23 e) 35

c) 30

Unidad V

173

Edades

5. Tenemos que: I. Jorge tenía 14 años cuando nació María y ahora María tiene la mitad de la edad de Jorge. II. Carlos tiene 36 años y su edad es el doble de la que tenía Juan cuando Carlos tenía la edad que actualmente tiene Juan. Responder: • Dentro de cuatro años Jorge tendrá: ...…… • Carlos hace tres años tenía: ..………….…... • Si Juan nació en el año 1995, entonces, en el año 2012 tendrá: ……..............………… • Dentro de cuatro años las edades de María y Carlos sumarán: ………...........………………

era la mitad de la edad que tendrá Paola dentro de 14 años. Hallar la edad actual de Paola.

a) 6 años d) 18

b) 12 e) 20

c) 16

11. Yo tengo 24 años, mi edad es la mitad de la que tendrás cuando yo tenga la edad que tú tienes ahora. Entonces, tú tienes:

a) 18 años d) 32

b) 24 e) 36

c) 27

12. Si tenemos que: • La edad de Pilar es el triple de la edad de Fabiola y hace cuatro años ambas edades sumaban tantos años como la edad de 6. Dentro de cinco años la edad de “A” será el Fabiola dentro de 16 años; entonces la triple de la edad de “B”, 15 años después, la edad de Fabiola es: edad de “A” será el doble de la edad de “B”. La • En la actualidad, la edad de Armando es el edad actual de “A” es: doble de la edad de María, más dos años. Hace tres años la relación de sus edades era A 20 Las edades de "A" y "B" suman: como tres es a uno. Dentro de 5 años la B 36 Dentro de tres años las edades edad de Armando será: C 33 de "A" y "B" sumarán: Se afirma: I. La edad de Pilar es el triple de la edad de D 25 Hace cinco años las edades de María. "A" y "B" sumaban: E 30 II. Armando es 10 años mayor que Fabiola. III. Fabiola y María no tienen la misma edad. 7. Cuando se le pregunta por su edad a Nancy, a) I y II b) II y III c) I y III ella responde: “Dentro de cinco años tendré los d) Todos e) Ninguno 3/2 de lo que tuve hace seis años”. ¿Cuántos años tendrá Nancy dentro de ocho años? 13. Dentro de ocho años la edad de Pedro será la a) 28 b) 30 c) 32 que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años Pedro d) 35 e) 36 tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro 8. Si tenemos que: cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? I. La edad de Roxana es el triple de la edad de a) 26 años b) 28 c) 18 Vanessa y hace nueve años la suma de sus d) 24 e) 30 edades era 22. II. La edad de Enrique es el cuádruple de la edad de Esteban y dentro de 13 años ambas 14. Las dos terceras partes de la edad de Alfredo excede en seis años a la edad de Bertha y hace edades sumarán 56. seis años la edad de Bertha era los 2/9 de la de Hallar la suma de las edades actuales de Roxana, Alfredo. ¿Qué edad tiene Alfredo? Vanessa, Enrique y Esteban.

a) 50 años d) 80

b) 60 e) 90

c) 70

a) 22 años d) 26

b) 24 e) 28

c) 25

9. La edad de Patty es el doble de la edad que 15. Cuando tenías 10 años yo tenía la mitad de la Eduardo tenía hace cuatro años. Si la edad edad que tú tendrás cuando yo tenga el doble actual de Eduardo y la que tendrá Patty dentro de la edad que tienes. Nuestras edades suman de cinco años suman 39 años, ¿cuántos años 28 años, se afirma que: tuvo Paty cuando Eduardo nació? I. Tú tienes 13 años y yo 15 años. II. Cuando tú tenías 10 años yo tenía 12 años. a) 5 años b) 6 c) 7 III. Si en el año 2002 yo tenía cinco años, d) 8 e) 9 entonces, tú naciste en 1997. 10. La edad de Paola es el triple de la edad de a) I y II b) II y III c) I y III Alberto. Hace cuatro años la suma de sus edades d) Todos e) Ninguno Colegios

174

TRILCE

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8

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1.

Historia del siglo XX. Una pareja de matemáticos; marido y mujer, mantienen el siguiente diálogo: Él: ¿Te das cuenta de que mi edad solo fue múltiplo de la tuya una vez? Ella: Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos entonces, porque no volverá a suceder. Él: Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras. Ella: Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año en que estamos. ¿En qué año nació el hijo? Indicar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 27

b) 26

c) 24

d) 25

e) 28

2. Actualmente, nuestras edades suman el doble de lo que tenía mi abuelo en el año de 1982. Además, ocurre que yo tengo la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tenías cuando yo tenía la tercera parte de la edad que tengo. ¿Qué edad tienes actualmente, si mi abuelo nació en 1956?

a) 44 años

b) 36

c) 10

d) 28

e) 32

3. Peggy era mayor que Jorge tantas veces como la suma de cifras del año en que se encontraban, siendo ese año un número que termina en 2. Si Peggy nació en 1934, ¿qué edad tenía Jorge cuando se cumplió aquello, si en ese entonces Peggy tenía más de 70 años, pero menos de 100 años?

a) 36 años

b) 20

c) 13

d) 29

e) 19

4. Ronald es mayor que Alín en 20 años. ¿Cuál será la edad de Ronald cuando su edad sea múltiplo de la de Alín por segunda vez y cuántas veces la edad de Ronald será múltiplo de la de Alín?

a) 22 años y 4

b) 22 años y 5

c) 21 años y 6

d) 24 años y 5

e) 22 años y 6

5. Se sabe que si una pareja de esposos, en la que el esposo es mayor, tuviese un hijo ahora, al cabo de cierto tiempo la suma de edades de los tres sería 66 años y que el triple de dicho tiempo es justamente la diferencia de las edades de los esposos; además en ese momento la edad de la madre sería múltiplo de la edad del hijo y este tendría más de dos años. Hallar la suma de cifras del resultado de sumar las edades de la pareja.

a) 3

b) 10

c) 12

d) 15

e) 36 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Dentro de cuatro años tendré el doble de la edad que tenía hace cinco años. ¿Qué edad tendré dentro de siete años?

6. La suma de la edad que tendré dentro de ocho años con la que tenía hace dos años es 70. Hallar mi edad actual.

2. La suma de la edad que tendré dentro de 10 años, con la que tenía hace 10 años es 80. Hallar mi edad actual.

7. López y Medrano conversan acerca de sus edades, López dice: “Dentro de 10 años mi edad será el doble de la tuya”. Medrano responde: “Hace cinco años tu edad era cinco veces la mía”.

3. Dentro de cuatro años tendré el triple de la edad que tenía hace 16 años. Hallar mi edad actual. 4. El doble de mi edad disminuida en la edad que tendré dentro de dos años, es 16 años. ¿Cuál es mi edad actual? 5. Dentro de ocho años tendré los 6 de la edad 5 que tenía hace dos años. Hallar mi edad actual.

Central: 619-8100

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

I.

II. La edad actual de Medrano es 10 años. ... ( )

III. Dentro de 10 años la edad de López será el doble de la edad de Medrano. ............... ( )

La edad actual de López es 30 años. ....... ( )

Unidad V

175

Edades

8. La edad de Renzo es el doble de la edad de Luana. Hace tres años la relación de sus edades era de cinco a dos. Relacionar correctamente: Dentro de dos años Renzo tendrá: Hace cuatro años Luana tenía:

La suma de las edades de Renzo y Luana actualmente es:

A 5 años B 15 años C 20 años D 18 años E 27 años

9. Un padre tiene “n” años y su hijo, “m” años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el doble de edad de su hijo? 10. Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Dentro de seis años la suma de nuestras edades será 63. Se afirma que:

I. Él tiene 30 años. II. Yo tengo 10 años. III. Tú tienes 5 años.

Colegios

176

TRILCE

11. Hallar “x” a partir de la siguiente tabla:

A B

Pasado x 18

Presente 36 x

12. Hallar “x” a partir de la siguiente tabla:

A B

Presente 48 2x

Futuro x 102

13. Hallar “x+y” en el siguiente cuadro de edades:

A B

Pasado 4y 4x

Presente 6x+4 5y

Futuro 8x - 1 6y - 1

14. Si la edad que tuviste hace 10 años más la edad que tienes y más la edad que tendrás dentro de ocho años suman 118, ¿cuál será tu edad dentro de 13 años? 15. Si la edad de Jonás es mayor en 13 años al triple de la edad que tuvo hace 53 años, ¿cuál es su edad actual?

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UNIDAD VI Resolviendo sucesiones especiales

V

olaba una bandada de gansos y a su encuentro, un solo ganso: "¡Hola, cien gansos!", saluda el ganso a la bandada de gansos. Un ganso ya viejo, que volaba a la cabeza de la bandada, le responde: "¡No, no somos cien gansos! Pero si fuésemos otros tantos, más la mitad, más la cuarta parte y también tú, ganso, entonces seríamos cien gansos. Pero ahora... ¡Calcula tú, cuántos somos!" Siguió volando el ganso solitario y se puso a pensar. "¡En efecto!¿Con cuántos hermanos gansos me encontré?" Pensaba y pensaba el ganso, pero por más cálculos que hacía no podía resolver el problema. De pronto vio a la orilla de un estanque, a una cigüeña; vagaba la zancuda en busca de ranas. La cigüeña es un ave arrogante, que goza entre otras aves de fama como matemática; pasa días enteros pensando, a veces inmóvil sobre una pata, por lo visto, resolviendo problemas. Se alegró el ganso, bajó al estanque, nadó hacia la cigueña y le contó cómo se había encontrado con una bandada de hermanos gansos y el problema que había planteado el ganso-guía, que no podía resolver de ninguna forma.

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar y diferenciar las distintas fórmulas de sumas notables. Resolución de problemas • Analizar y aplicar los distintos métodos en la resolución de problemas. Razonamiento y demostración • Interpretar y analizar las estrategias empleadas en cada fórmula presentada.

Sumas notables I

Sumas notables I En este capítulo aprenderemos a: •

Deducir y aplicar, a partir de los ejercicios, reglas prácticas que nos permitan calcular la suma de algunas series importantes.

Una forma especial de contar

U

Colegios

178

n transportista lleva el día de hoy 21 sacos de papas y decide llevar cada día un saco más que el día anterior. ¿Cuántos sacos llevó en total, si el penúltimo día llevó 39 sacos?

TRILCE

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1

Conceptos básicos  Serie numérica

Es la suma que indican los términos de una sucesión numérica, llamándose al resultado de la adición, "valor de la serie". Nº ordinal :

1º

Sucesión :

1

Serie :

;

1

3º ;

4º

1



;

5

;

6º

7º

9

; 17

1 + 1 + 1 + 3 + 5 + 9 + 17+

•

Sucesión: a1 ; a2 ; a3 ;

a4 ;

•

Serie : a1 + a2 + a3 + a4 + ... ; an

13º ; 653 : (Tribonacci) +653

... ; an

Series notables A. Serie de los primeros números enteros positivos 1+2+3+...+n=

3

;

5º

En general:

2º

n(n+1) 2

"n": Número de términos

B. Serie de los primeros números pares positivos 2+4+6+...+2n= n(n+1)


C. Serie de los primeros números impares positivos 1+3+5+...+(2n-1)= n2


D. Serie de los cuadrados de los primeros números enteros positivos

12+22+32+...+n2=

n (n + 1) (2n + 1) 6


E. Serie de los cubos de los primeros números enteros positivos 13+23+33+...+n3= ;

Central: 619-8100

n (n + 1) 2 E 2


Unidad VI

179

Sumas notables I

Síntesis teórica SUMAS NOTABLES i es

son notables

1+2+3+...+n= n(n+1) 2

1+3+5+...+(2n-1)=n2

2+4+6+...+2n=n(n+1)

12+22+32+...+n2=

13+23+33+...+n3= ;

n (n + 1) 2 E 2

n(n+1)(2n+1) 2

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda:

• • •

El valor de: 17+19+21+...+73 es 2565 ................................ ( ) El valor de: 24+26+28+...+62 es 860 ................................ ( ) El valor de: 52+53+54+...+121 es 6955 ................................ ( )

2. Relacionar: Si: 1+2+3+...+x=91 Entonces, el valor de "x" es: Si: 1+3+5+...+y=900 Entonces, el valor de "y" es: Si: 2+4+6+...+2z=156 Entonces, el valor de "z" es:

Colegios

180

TRILCE

3.

Si: A= 1+2+3+...+43 B=2+4+6+...+94 C=1+3+5+...+71 hallar: A+B - C

4. Si: x=12+22+32+...+152 y=13+23+33+...+153 hallar: y - x 5. Hallar el valor de "m+n", si:

A 12

1+2+3+...+n=210 1+3+5+...+m=400

B 14 C 62 D 13 E

59

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1

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Relacionar: 1+3+5+...+105 2+4+6+...+162 1+2+3+...+142

6. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: A B C D E

6642 9872 2809 10 153 5407

Proposición

35+37+39+...+81 18+20+22+...+74

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 1 9 1 + 8 + 27 + ... + n3

Entonces: n=7 La suma total es 9455 si:

A B C D E

V/F

¿Por qué?

El valor de "M" es 861 M=21+23+25+...+61 El valor de "E" es 1656 E=46+48+50+...+92

V/F

¿Por qué?

Si: 1+2+3+...+n=1830 entonces: n=60

Si: 1+3+5+...+n=11 025 entonces: n=105

5. Indicar Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda:

En la igualdad: n=200 n n2.n4.n6 ... m200=^nnh .nn

a) 60 d) 50

b) 40 e) 80

a) 3784 d) 9660

b) 6960 e) 5540

a) 32 d) 62

b) 15 e) 90

c) 23

V/F ¿Por qué?

F10

a) 770 d) 666

b) 842 e) 1000

El valor de "x" es 1730, si 5 + 8 + 10 + 16 + 15 + 24 + 20 + 32 + ... = x 1 44444444444 2 44444444444 3

Central: 619-8100

c) 8426

9. Hallar "M - N", si: M=7+14+21+28+...+105 N=6+12+18+24+...+90

11. Hallar "y + 2x" , si: 1+2+3+ ...+x=136 1+3+5+...+y=1225

40 sumandos

c) 30

10. En el siguiente arreglo triangular, hallar la suma de las 10 primeras filas. F1 2 F2 4 4 F3 6 6 6 8 8 8 8 F4

Si: 2+4+6+...+m=326 entonces: m=17

Proposición

7. Hallar el exceso de los 30 primeros pares sobre los 30 primeros impares.

4. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:

30

8. Hallar: 73 - 72+83 - 82+93 - 92+...+143 - 142

El valor de "P" es 3591 P=92+102+112+...+222

Proposición

1+2+3+4+...+30 2+3+4+...+30 3+4+...+30 4+...+30

1392 1526 1334 1872 1940

3. Indicar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: Proposición

¿Por qué?

Si:

2. Relacionar: 29+30+31+...+68

V/F

a) 81 d) 50

b) 72 e) 37

c) 684

c) 64

Unidad VI

181

Sumas notables I

12. Hallar "k - m", si:

a) 88 d) 100

así, sucesivamente. Si al final llegan juntos a su destino; entonces:

2+4+6+ ... +m=182 1+4+9+ ... +k=385 b) 67 e) 26

c) 74

• •

¿Cuántos minutos duró el paseo? ¿Cuál es la distancia que han recorrido?

15. El ahorro es progreso

13. Hallar "m", si: 22 + 42 + 62 + ... + (2n) 2 10 = n 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)

a) 2 d) 7

b) 4 e) 3

c) 6

14. La Reina y el Rey Lopecito ahorró su dinero en una alcancía de la siguiente manera: el primer día tres monedas de 50 céntimos; el segundo día, tres nuevos soles más de lo que ahorró el primer día; el tercer día, cinco nuevos soles más de lo que ahorró el segundo día; el cuarto día, siete nuevos soles más de lo que ahorró el tercer día y así, sucesivamente, hasta que el último día ahorró 801 monedas de cincuenta céntimos, entonces:

La Reina y el Rey salen a pasear por los bosques de sus dominios: Mientras la reina da 20 pasos en forma constante por cada minuto, el Rey avanza un paso en el primer minuto, dos pasos en el segundo, tres pasos en el tercer minuto y

• •

¿Cuántos días ahorró? ¿A cuánto ascienden sus ahorros?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Si: (n - 1)@=3n2+1, hallar: M=1@+3@+5@+ ...+27@

a) 31 292 d) 23 156

b) 12 194 e) 26 058

c) 18 356

2. Hallar el valor de "M", si: M=1×23 + 2×24 + 3×25 + ... + 31×53

a) 18 644 d) 10 876

b) 24 523 e) 22 352

c) 35 223

4. Halle la suma de los 15 primeros términos de la serie: S= 1+7+17+31+...

a) 1250 d) 2465

b) 940 e) 435

c) 3500

5. Hallar "S", si: S=1×3 - 3×5 + 5×7 - 7×9 + ... 1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 444 3 40 sumandos

a) 3280 d) 3500

b) 1570 e) - 3280

c) 1250

3. Conociendo que: Sm=102 + 104 + 106 + ... 1 44444 4 2 444 4 4 3 "n" sumandos

Determinar: S1+ S2 + S3 +...+ S49

a) 32 300 d) 24 500

Colegios

182

TRILCE

b) 16 150 e) 164 150

c) 328 300

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1

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. Proposición

V/F

10. Hallar la suma de cifras de “B+A”, si: A=66+67+68+…+194 B=71+73+75+…+133

El valor de "H" es 26 334; si: 9+18+27+36+…+684=H

A. B. C. D. E.

II. 75+77+79+…+421 III. 90+92+94+…+614

I. ( )

II. ( )

43 152 68 024 55 413 36 720 92 576

•

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 12. Hallar el valor de “x” en: 1+2+3+4+…+x=120 13. Hallar la suma de cifras de “y” en: 1+3+5+7+…+(y+5)=2025

El valor de: M= a1+a2+a3+…+a20 es:………………………….

4. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: Proposición

11. En el siguiente arreglo, hallar la suma de las doce primeras filas.

III. ( )

3. Si: an=n3 - n+2; completar: • El valor de: S=a1+a2+a3+…+a10 es:………………………….

8. Hallar la suma de cifras del resultado de “E”, si: E=1+4+9+…+804 609 9. Hallar: Z=1+8+27+…+421 875

El valor de "M" es 460 166; si: M=82+84+86+…+1364

2. Relacionar: I. 81+82+83+…+342

7. Hallar: P=1+3+5+…+52 711

La expresión que proporciona la suma de los “2n” primeros números enteros positivos es “2n2+n” Si la suma de los 20 números naturales consecutivos es “M”, entonces la suma de los 20 números siguientes es “M+400”

5. Hallar: L=1+2+3+…+876

V/F

14. López organiza una fiesta infantil a su sobrina Luana, repartiendo a los niños que asistieron, un total 1275 caramelos, de la siguiente manera: al primer niño le da un caramelo; al segundo, dos caramelos; al tercero, tres caramelos, y así, sucesivamente. ¿Cuántos niños recibieron caramelos en la fiesta? 15. Mitchel salió de Huánuco camino a Linderos. Recorrió 100 metros el primer día; 200 metros, el segundo día; 300 metros, el tercer día, y así, sucesivamente. Luego de unos días llegó al pueblo de Tomayquichua, que dista del punto de salida 32 500 metros. ¿Cuántos días estuvo caminando?

6. Hallar: M=2+4+6+…+3028

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Unidad VI

183

Sumas notables II

Sumas notables II .


L

Deducir y aplicar, a partir de los ejercicios, reglas prácticas que nos permitan calcular la suma de algunas series importantes.

Un reino especial

a Reina y el Rey de un reino salen a pasear por los bosques de sus dominios: mientras la Reina da 20 pasos en forma constante por minuto, el Rey avanza un paso en el primer minuto, dos pasos en el segundo minuto, tres pasos en el tercer minuto, y así, sucesivamente. Si llegan juntos al final, ¿cuánto demoró el paseo?

Colegios

184

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2

Conceptos básicos Recordemos las siguientes series; donde "n" es el número de términos: n (n + 1) 2

1

1+2+3+...+n=

2

2+4+6+...+(2n)= n(n+1)

3

1+3+5+...+(2n - 1)= n2

12+22+32+...+n2=

4

n (n + 1) (2n + 1) 6

13+23+33+...+n3= ;

5

No olvidar las formas prácticas dadas en el capítulo de sumas notables I

n (n + 1) 2 E 2

Ejemplos 1. Hallar la suma de los múltiplos de 4 mayores de 26 y menores de 134.

Ten en cuenta

3. A un número de niños se les reparten 741 dulces, de tal manera que al primero le toca un dulce, al segundo, dos dulces; al tercero, tres dulces; y así sucesivamente. Si al final no sobran ni faltan dulces, ¿cuántos niños son?

Resolución

Piden: 28+32+36+40+...+132

4(7+8+9+10+...+33)

4; 33× 34 - 6 ×7 E=2160 2 2 2. Una liebre sale de su madriguera; avanza dos saltos y retrocede un salto; luego, avanza cuatro saltos y retrocede dos; avanza seis y retrocede tres; y así, sucesivamente, hasta que finalmente salta cuarenta pasos y retrocede veinte pasos. ¿A cuántos saltos de la madriguera se encontrará?

Resolución Para saber a cuántos saltos de su madriguera se encontrará, tenemos que: Distancia= Avance - Retroceso= (2 - 1)+(4 - 2)+(6 - 3)+...+(40 - 20)

= 1+2+3+ ... +20= 20×21=210 saltos 2

Central: 619-8100

Resolución Niños: 1º 2º 3º 4º ... nº 1 + 2 + 3 + 4 ... +n=741

n (n + 1) = 741 2 n(n+1) = 2×741

= 2×19×39

= 38×39 →

n=38

Unidad VI

185

Sumas notables II

Síntesis teórica

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Relacionar:

S= 3+6+9+...+69

A 17

Calcular "x" en: 1+2+3+...+x=465

B 30

Calcular "x" en: 2+4+6+...+x=306

D 828

2. Hallar el valor de "S" en: S=2+8+18+32+...+200

Colegios

186

TRILCE

C 1656 E 34

3. Hallar el valor de "L", en: L=3+24+81+...+3000 4. Felícito, un noble zapatero, cada día gana un sol más que el día anterior. Si el primer día ganó un sol, ¿cuánto habrá ganado en un mes? (1 mes=30 días). 5. Un gallo atolondrado canta cierto día 17 veces y cada día que transcurre canta una vez más que el día anterior. Si el antepenúltimo día cantó 95 veces, ¿cuántas veces cantó en total?

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2

sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Relacionar:

Si: 1+2+3+…+x=820 El valor de “x” es .....

A 46

Si: 1+3+5+…+y=529 El valor de “y” es .......

B 24

6. Si la suma de los nueve primeros números primos es igual a la suma de los “x” primeros números impares, hallar la suma de los 15 pares consecutivos posteriores a “x”.

C 45

D 44

Si: 2+4+6+…+z=552 El valor de “z” es ......

E

V/F

¿Por qué?

Un estudiante resuelve cada día dos problemas más que el día anterior. Si el último día resolvió 35 problemas, y en total resolvió 299 problemas, el número de días que estuvo resolviendo es 13 días.

3. Hallar “W” si “A” es excedido por “W” tanto como “B” excede a “W”, si: A= Suma de todos los números de tres cifras iguales. B= Suma de todos los números de cuatro cifras iguales. b) 26 584 e) 27 495

c) 68 926

4. Si: n+n+n+…+(20 veces)= 1 (suma de los 2 “n” primeros números enteros consecutivos); hallar la suma de cifras que le preceden a “n”.

a) 17 d) 16

b) 18 e) 14

c) 15

5. Los “n” primeros números enteros consecutivos es excedido en 91 por los “n” primeros números pares consecutivos. Hallar la suma de cifras del número posterior a “n”.

a) 7 d) 14 Central: 619-8100

b) 4 e) 5

a) 2850 d) 2775

b) 3726 e) 5700

c) 4840

9. Lopecito ahorró su dinero de la siguiente forma: El primer día, una moneda de S/.2; el segundo día, dos monedas de S/.2; el tercer día, tres monedas de S/.2; y así, sucesivamente hasta que el último día ahorró 224 monedas de 50 céntimos. ¿Cuántos días estuvo ahorrando y cuánto ahorró en total?

El exceso de los 50 primeros números pares sobre los 50 primeros números impares es 50.

a) 24 625 d) 45 000

c) 286

8. Un caño deja caer una gota y a continuación, en cada minuto siguiente deja caer una gota más que en el anterior. ¿Cuántas gotas cayeron en una hora y cuarto?

La suma de los primeros 20 enteros consecutivos es equivalente a la suma de los 14 primeros números pares.

b) 390 e) 258

7. Hallar la suma de los siguientes tres múltiplos de tres posteriores a "n", si: 1 31 + 2 32 + 3 33 + ... + n n3 = 308 a) 78 b) 57 c) 21 d) 81 e) 99

40

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Proposición

a) 424 d) 842

c) 13

a) 56 días y S/.3192 b) 57 días y S/.3192 c) 112 días y S/.6328 d) 54 días y S/.286 e) 92 días y S/.484

10. Aristóteles, para complementar su biblioteca compró por un valor de S/.3250 varios libros cuyos precios fueron: el primer libro, S/.10; el segundo, S/.20; el tercero S/.30; y así, sucesivamente. ¿Cuántos libros compró en total y cuánto gastó por el penúltimo libro?

a) 25 libros y S/.250 b) 26 libros y S/.520 c) 32 libros y S/.480 d) 50 libros y S/.520 e) 25 libros y S/.240

11. El profesor “Abstractus” resuelve 23 problemas de RM el primer día; 24, el segundo día; 25, el tercer día; y así, sucesivamente. Si en total resolvió 413 problemas y empezó a resolverlos un 8 de junio, ¿durante cuántos días resolvió y en qué fecha terminó de resolver?

a) 36 días y 21 de junio b) 14 días y 22 de junio c) 21 días y 23 de junio d) 13 días y 21 de junio e) 14 días y 21 de junio Unidad VI

187

Sumas notables II

12. Kina Malpartida, entrena dando golpes a un saco de arena de la siguiente manera: el primer día da 17 golpes, el segundo día da 19 golpes, el tercer día 21 golpes y así, sucesivamente, hasta que el último día dio 551 golpes. ¿Cuántos golpes dio en total y durante cuántos días estuvo golpeando?

14. Dos tortugas participan en una carrera. La primera recorre todos los días seis metros y la segunda recorre el primer día un metro y cada día recorre un metro más que el día anterior. Si ambas tortugas parten en el mismo día y llegan simultáneamente, ¿cuántos días duró la carrera y cuántos metros corrieron entre las dos juntas?

a) 26 852 golpes y 214 días b) 76 112 golpes y 268 días c) 56 844 golpes y 168 días d) 40 862 golpes y 112 días e) 60 032 golpes y 325 días

13. López y Medrano entrenan para el “Deportrilce” de la siguiente manera: Lopecito corre el primer día una cuadra; el segundo día dos cuadras; el tercer día, tres cuadras y así, sucesivamente, Medrano corre el primer día dos cuadras, el segundo día cuatro cuadras; el tercer día, seis cuadras; y así sucesivamente. Si los dos corren igual número de días, ¿cuántos fueron estos días, si además, se sabe que juntos corrieron 3243 cuadras?

a) 48 d) 42

b) 45 e) 44

a) 10 días y 48 metros b) 12 días y 66 metros c) 11 días y 132 metros d) 11 días y 66 metros e) 12 días y 70 metros

15. Raquel reparte 1900 caramelos entre sus 25 sobrinos. Si a cada uno le entrega tres caramelos más que al anterior, ¿cuántos caramelos correspondieron al primero y cuántos, al último?

a) 60 y 132 d) 40 y 112

b) 36 y 108 c) 51 y 85 e) 51 y 86

c) 46

¡Tú puedes!básicos Conceptos 3. Calcular: E=3+14+39+84+...+1110

1. Calcular "S1+S2" siendo: S1 : La suma de términos de "D3" S2: La suma de términos de "D4" D4 1

1

a) 4845 d) 8445

1

6

1 5

1

1

1

1 2

1

1

D3

3 3 1 4 6 4 1 10 10 5 1 15 20 15 6 1

19

19

b) 5895 e) 1140

1

c) 5985

2. Una persona debe vaciar un balde de agua a cada uno de los 20 árboles que están sembrados en fila y separados uno del otro 8 m. Si la persona, en cada viaje solo puede llevar un balde con agua y el pozo de donde sacará el agua está a 10 m del primer árbol, ¿qué distancia habrá recorrido después de haber terminado con su tarea y haber devuelto el balde al pozo?

a) 3420 d) 3400

Colegios

188

TRILCE

b) 3500 e) 3600

a) 5001 d) 6022

b) 3465 e) 4724

c) 2789

4. Bonifacia, al ganarse el premio mayor, lo reparte entre sus sobrinos de la siguiente manera: al primero, S/.100; al segundo, S/.200; al tercero, S/.300, y así sucesivamente en progresión aritmética. Teniendo en cuenta que cuando ya no se pueda continuar con los que siguen, se continuará repartiendo de la manera descrita anteriormente y así, sucesivamente, hasta agotar todo el premio, cuyo valor asciende a S/. 22 900. ¿Cuántos sobrinos se beneficiaron?

a) 24 d) 27

b) 26 e) 30

c) 28

5. Se forma una pirámide triangular regular (tetraedro) con 1540 esferas. ¿Cuántas esferas conforman la base?

a) 200 d) 190

b) 930 e) 420

c) 210

c) 3440

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2

soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Relacionar: I. Calcular "x" en: 1+2+3+…+x=105 II. Calcular "y" en: 1+3+5+…+y=625

III. Calcular "z" en: 2+4+6+…+z=156

I. ( )

A. B. C. D. E.

12 28 14 49 24

II. ( ) III. ( )

2. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

•

La diferencia de los “n” primeros pares consecutivos sobre los “n” primeros números naturales consecutivos es 91, entonces; n=13. ................................. ( )

• La diferencia de los “n” primeros impares consecutivos sobre los “n” primeros números naturales consecutivos es 120, entonces; n=15. ................................ ( )

3. Hallar "x", si "A"” excede a "B" en "x", donde:

A=20+22+24+…+320 B=51+53+55+…+103

4. Hallar "x", si "A" excede a "x" tanto como "x" excede a “B”, donde:

A=35+36+37+…+145 B=64+66+68+…+108

5. Hallar: J= - 6-6- (- 4 - 8 - 12 - 16 - ... - 80)@@ 6. Si: A=20+21+22+… 14243 30 términos B=17+19+21+… 14243 25 términos

Hallar "B - A"

7. Calcular la suma de todos los números pares, de dos cifras, mayores que 20.

Central: 619-8100

8. Si: P9Q= P - Q, hallar: (31+33+35+…+67) 9 (36+38+40+…+72) 9. Hallar la suma de las cifras de "x" en: 40+41+42+…+x=3498 10. Hallar "y" en: 122+132+142+…+y2=15 700 11. Lopecito ahorró su dinero de la siguiente forma: El primer día dos monedas de S/.1; el segundo día, dos monedas de S/.2; el tercer día, tres monedas de S/.2; y así, sucesivamente, hasta que el último día ahorró 368 monedas de 50 céntimos. ¿Cuántos días estuvo ahorrando y cuánto ahorró en total? 12. Una hormiguita subió 5 cm en el día y resbaló 2 cm en la noche; luego, subió 7 cm en el día y resbaló 2 cm en la noche; después subió 9 cm y resbaló 2 cm; y así, continuó su recorrido sobre un palo hasta que el último día ascendió 89 cm. ¿Cuántos días duró su recorrido? 13. Mitchel resuelve cinco ejercicios de RM el primer día; siete ejercicios el segundo día; nueve ejercicios, el tercer día; once ejercicios, el cuarto día; y así, sucesivamente. Si en total resolvió 285 ejercicios, ¿cuántos ejercicios resolvió el último día y durante cuántos días estuvo resolviendo los ejercicios? 14. Un transportista lleva el día de hoy 21 sacos de papa y decide llevar en cada día que transcurra, un saco más que en el día anterior. ¿Cuántos sacos llevó en total, si el penúltimo día llevó 39 sacos? 15. Para complementar su biblioteca, Lehctim compró por un valor de S/.2850, varios libros cuyos precios son: el primer libro, S/.10; el segundo, S/.40; el tercero, S/.90; el cuarto, S/.160; y así, sucesivamente. ¿Cuántos libros compró en total y cuánto gastó en el último libro?

Unidad VI

189

UNIDAD VII

A

Calculando certezas y combinaciones posibles

nalicemos a continuación algunas propiedades del cuadrado obtenido. La línea del pliegue, que pasa por dos vértices opuestos del cuadrado, es su diagonal. La otra diagonal resulta doblando el cuadrado por el otro par de vértices opuestos, conforme se ve en la figura. Si hacemos una superposición directa veremos que las diagonales del cuadrado se cortan en ángulo recto y que en el punto de intersección, estas diagonales se dividen por la mitad. El punto de intersección de las diagonales es el centro del cuadrado. Si doblamos el cuadrado por las diagonales cada diagonal dividirá el cuadrado en dos triángulos coincidentes, cuyos vértices se sitúan en los ángulos opuestos del cuadrado. Cada uno de estos triángulos tiene, naturalmente, dos lados iguales, es decir, son isósceles. Además, estos triángulos son rectángulos, ya que cada uno de ellos tiene un ángulo recto. Es fácil observar que dos diagonales dividen el cuadrado en cuatro triángulos isósceles rectángulos, coincidentes si se superponen, cuyo vértice común se encuentra en el centro del cuadrado. AprendiZajes esperados AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar e interpretar correctamente los conceptos de certezas y análisis combinatorio. Resolución de problemas • Procesar e interpretar los datos en los distintos problemas para el cálculo de certezas y en el análisis combinatorio. Razonamiento y demostración • Interpretar y analizar de manera adecuada, las fórmulas para el cálculo de certezas y combinaciones.


Certezas

1

.


Identificar e interpretar el concepto de certeza, logrando diferenciar lo cierto de lo probable, manifestando flexibilidad y tolerancia.

Gomitas coloreadas

E

n la siguiente figura se muestra una máquina de gomitas de mascar donde hay 20 gomitas rojas, 15 amarillas, 30 verdes, 10 naranjas y 6 blancas. Indicar cuántas gomitas como mínimo tendrá que extraer Pablito para tener la seguridad de obtener con certeza:

• • •

Dos gomitas naranjas Una gomita de cada color Tres gomitas del mismo color

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Unidad VII

191

Certezas

Conceptos básicos Certeza

Es el conocimiento seguro de un evento, sin temor a equivocarse. Es el proceso que realizamos para obtener el resultado de un problema con anticipación, y ese resultado puede verificarse en la práctica. Para estos problemas debemos buscar una cierta cantidad de elementos (la menor posible) que nos asegure la obtención de lo que buscamos. Se reconoce este tipo de problemas por tres palabras básicas que se encuentran presentes en la formulación de la pregunta: "extraer", "mínimo" y "seguro". Pueden ser exactamente estas palabras o sus equivalentes: seleccionar, escoger, sacar, la seguridad, certeza, ... . El objetivo de estos problemas es escoger entre varias posibilidades la más óptima, es decir, la que con el mínimo esfuerzo estemos completamente seguros de que va a ocurrir. Situaciones negativas (casos desfavorables o en contra) Son las situaciones contrarias a lo que buscamos, de acuerdo con la pregunta.

En la urna se tienen las siguiente esferas: Cuatro blancas, cinco azules y tres negras, calcular ¿cuántas esferas como mínimo debo sacar para tener la certeza de extraer:

a. Una esfera azul. g. Dos de diferentes colores. b. Una esfera negra. h. Tres de diferentes colores. c. Una blanca o una negra. i. Una blanca y una azul. d. Dos azules. j. Dos blancas y dos azules. e. Dos de igual color. k. Todas blancas. f. Tres del mismo color. l. Un grupo completo.

Resolución

Utilizando el criterio de analizar las situaciones negativas en primer lugar, de modo que se garanticen los resultados esperados, tenemos que: a. Si queremos una azul, un caso de infortunio es que nos resulten de cualquier color, excepto el buscado, hasta agotar las situaciones negativas. Así: 3N+4B+1A=8 Rpta.: 8

Colegios

192

TRILCE

Ejemplo

Ejemplo

Para solucionar los problemas de certezas, primero se analizan las situaciones negativas y luego se le añaden los elementos necesarios hasta resolver el problema.

b. Similarmente, como en el anterior, un caso extremo de infortunio es el siguiente resultado, buscando una esfera negra. Así: 5A+4B+1N=10 Rpta.:10

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c. El resultado que expresa el peor de los casos (se busca 1B ó 1N) es el siguiente: 5A+1=6 Rpta.: 6 d. Buscamos dos esferas azules, entonces, un caso extremo será extraer todas las negras, todas las blancas y luego dos azules. 3N+4B+2A=9 Rpta.: 9 e. Buscamos esferas iguales, entonces, el peor de los casos es que en principio salgan diferentes, así: 1B+1N+1A+1=4 Rpta.: 4 f. Buscamos esferas iguales, entonces el peor de los casos es que vayan saliendo hasta dos iguales en todos los colores, así: 2B+2N+2A+1=7 Rpta.: 7 g. Buscamos dos esferas diferentes, entonces, el peor de los casos es que nos resulten en principio todas iguales del color que tenemos mayor cantidad de esferas, así: 5A+1=6 Rpta.: 6

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1

h. Buscamos tres esferas diferentes, entonces, el peor de los casos es que nos resulten en principio todas iguales hasta en dos grupos completos de los que tengan mayor cantidad de esferas, así: 5A+4B+1N=10 Rpta.: 10 i. Obtener una esfera blanca y una esfera azul es nuestro objetivo, entonces, el peor de los casos sucede cuando salen: 3N+5A+1B=9 Rpta.: 9 j.

Buscamos dos blancas y dos azules, entonces, el peor de los casos sucede cuando extraemos: 3N+5A+2B=10 Rpta.: 10

k. Buscamos todas las blancas. El peor de los casos sucede cuando nos resultan así: 5A+3N+4B=12 Rpta.: 12 l. Buscamos un grupo completo, entonces, el peor de los casos sucede cuando en principio nos resulten grupos "casi completos", o sea: 4A+3B+2N+1=10 Rpta.: 10

Unidad VII

193

Certezas

Síntesis teórica

Número de extracciones

Colegios

194

TRILCE

=

Número de casos desfavorables (situaciones negativas)

+

Número de casos favorables (lo que pide el problema)

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10 x 5 50

1

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. De un juego de naipes (52 cartas, 13 de cada palo), relacionar correctamente cuántos hay que extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido lo siguiente: I. Un naipe de color rojo II. Tres naipes de color negro III. Un trece de tréboles I. ( )

II. ( )

A. B. C. D. E.

51 29 26 30 27

III. ( )

•

En una caja se tienen las siguiente esferas: Siete rojas, ocho blancas, seis negras y nueve verdes, entonces, indicar cuántas esferas como mínimo debo sacar para tener la certeza de extraer lo siguiente:

2. Cinco esferas verdes. 3 . Dos esferas del mismo color. • Ernesto Pimentel tiene hoy una presentación importante en el programa "La chola Chabuca", personaje que tiene en su cajón seis pares de zapatos idénticos, entonces cuántos zapatos como mínimo debe sacar para tener la certeza de haber extraído lo siguiente: 4. Dos zapatos izquierdos. 5. Un par utilizable.

Conceptos básicos Aprende más... 1. María ha guardado en un cajón de su cómoda seis pares de guantes blancos, cinco pares de guantes negros y tres pares de guantes azules. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Proposición Para obtener con certeza tres guantes negros se extraen al azar y como mínimo, 21 guantes. Para obtener con certeza dos guantes izquierdos, se extraen al azar y como mínimo 16 guantes. Para obtener con certeza un par de guantes utilizables, se extraen al azar y como mínimo, 15 guantes. Para obtener con certeza un par azul y un par negro, se extraen al azar y como mínimo, 24 guantes. Para obtener con certeza un par no utilizable, se extraen al azar y como mínimo tres guantes.

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V/F ¿Por qué?

2. Relacionar: I. En una urna hay bolas amarillas, violetas y negras. Para obtener con certeza media decena de bolas de un mismo color, se deben extraer, como mínimo:

A. B. C. D. E.

(z+2) bolas 11 plumones (x+2) bolas 13 plumones 16 plumones

II. En una caja hay “x” plumones azules y “z” plumones rojos. Para obtener con certeza dos plumones de color rojo, se deben extraer, como mínimo: I. ( ) II. ( ) 3. En una caja se tienen nueve pares de medias blancas, cuatro pares de medias plomas y seis pares de medias azules. Relacionar correctamente cuántas medias como mínimo se deberán extraer para tener la seguridad de obtener lo siguiente:

Unidad VII

195

Certezas

I. Cuatro pares de medias azules. II. Un par de medias de diferente color. III. Un par de medias utilizables.

A. B. C. D. E. F.

17 pares 9 medias 4 medias 13 pares 19 medias 17 medias

I. ( ) II. ( ) III. ( )

4. En cierto bolso hay 13 bolos numerados en el orden de los primeros 13 enteros positivos, indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Proposición

V/F

¿Por qué?

Para obtener con certeza dos bolos con numeración impar, se extraen al azar y como mínimo, nueve bolos. Para obtener con certeza un bolo cuyo número sea primo, se extraen al azar y como mínimo, nueve bolos. Para obtener con certeza cuatro bolos con numeración consecutiva, se extraen al azar y como mínimo, once bolos. 5. En una urna se tiene las siguientes esferas: seis verdes, nueve amarillas, once lilas y catorce negras.

A. Nueve cartas rojas B. Tres cartas de numeración impar C. Cuatro cartas de numeración par D. Un cinco E. Tres cartas de corazones y cicno de espadas F. Una carta mayor de nueve G. Dos cartas de figuras diferentes

7. En una caja se tienen ocho pares de medias blancas y cinco pares de medias azules. ¿Cuántas medias como mínimo se deberán extraer para tener la seguridad de obtener un par de medias utilizables?

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

8. Se tienen en una urna, 30 esferas numeradas del 1 al 30. ¿Cuántas esferas se tienen que extraer al azar y como mínimo para tener la seguridad de obtener dos esferas con numeración consecutiva?

a) 14 d) 22

b) 15 e) 16

c) 20

9. En una urna se tienen boletos numerados del 1 al 20. Se premiará al que saque al azar cierta cantidad de boletos, cuya suma de valores sea no menor de 30. ¿Cuántos se deben extraer como mínimo para estar seguro de recibir un premio?

a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 9

10. En una caja hay “x” pares de guantes de color azul y “w” pares de guantes de color plomo. ¿Cuántos guantes se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber extraído un par de guantes utilizables? Indicar cuántas esferas como mínimo debo sacar para tener la certeza de extraer lo siguiente?: A. Siete esferas azules B. Tres del mismo color C. Dos de cada color D. Cinco de diferente color E. Dos negras y cinco lilas F. Una esfera que no sea de color azul G. Un color por completo

Colegios

196

6. Se tienen 52 cartas (13 de cada palo). Calcular cuántas cartas se deben extraer como mínimo para tener la seguridad de haber extraído:

TRILCE

a) 2x+1 d) x+w

b) 2w+x+1 c) x+w-1 e) x+w+1

11. Se sabe que la cantidad de esferas lilas, naranjas, rosadas, blancas y marrones que hay en una urna, son proporcionales a: 6; 9; 10; 7 y 3, respectivamente. Si se sabe que para obtener con seguridad un color por completo debe extraerse al azar y como mínimo 151 esferas, hallar la cantidad de esferas naranjas.

a) 30 d) 35

b) 45 e) 15

c) 50

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12. En el distrito de Ate Vitarte convocaron a una reunión a todas las personas que nacieron en el mes de junio. ¿Cuántas personas deben presentarse como mínimo para tener la certeza de encontrar entre las presentes a tres personas con la misma fecha de nacimiento?

14. Se compra un auto y se reciben cinco llaves (todas de la misma forma) que son de la puerta, tanque de gasolina, maletera, encendido y la guantera. ¿Cuántas veces se deben probar las llaves como mínimo para establecer con certeza la correspondencia de ellas?

a) 61 d) 30

b) 31 e) 63

c) 60

13. Día lunes: En la formación del colegio Trilce se encuentran 203 alumnos. ¿Cuántos alumnos como mínimo tienen que llegar a la formación para tener la seguridad de que haya dos personas con la misma fecha de nacimiento?

a) 161 d) 164

b) 162 e) 204

c) 163

a) 5 d) 10

b) 15 e) 14

1

c) 20

15. En la Municipalidad de Lima se han mezclado las partidas de nacimiento de las personas que nacieron en los años 1900 con las que nacieron el 2000. ¿Cuántas partidas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de que entre las extraídas haya dos con la misma fecha de nacimiento?

a) 731 d) 773

b) 732 e) 729

c) 330

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Dentro de una urna se tienen 21 bolitas rojas, 22 bolitas amarillas, 24 bolitas negras y 28 bolitas blancas. ¿Cuántas bolitas como mínimo se deben extraer al azar para obtener con certeza "n" de un color y "n - 1" de otro color, siendo n>20?

a) n+1 d) 3n+26

b) 4n - 3 e) 3n+23

c) 4n - 6

2. En un tablero de ajedrez, un niño va colocando sin mirar, en cada casilla, una y solo una pepa. ¿Cuántas pepas deberá colocar como mínimo para estar seguro de que ha colocado una pepa en dos casillas de colores diferentes?

a) 24 d) 35

b) 28 e) 39

a) 10 d) 13

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b) 11 e) 9

c) 33

3. Se tienen dos cajas en las que hay seis billetes de S/. 10 y cinco de S/.20, en una, y cuatro billetes de S/.10 con siete de S/. 20 en la otra. ¿Cuántos billetes en total se deben extraer de ambas cajas para tener la certeza de haber obtenido por lo menos S/. 140?

4. En una urna se tienen 40 fichas numeradas del 1 al 40. ¿Cuántas fichas se deben extraer, al azar y como mínimo, para obtener con seguridad cinco fichas cuyas numeraciones sumadas, al colocarse en las casillas del arreglo mostrado, resulten lo mismo en cada fila o en cada columna?

c) 12

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

5. En una urna hay 120 bolitas numeradas en forma consecutiva desde el 1 hasta el 120. Calcular cuántas bolitas, como mínimo, debemos extraer para tener la seguridad de obterner: Dos bolitas comprendidas entre el 80 y el 100.

a) 104 d) 102

b) 100 e) 103

c) 101

Unidad VII

197

Certezas 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Fortunata ha guardado en un cajón de su cómoda, nueve pares de guantes blancos, siete pares de guantes negros y cinco pares de guantes azules. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Proposición

V/F

Para obtener con certeza dos guantes negros, se extraen al azar y como mínimo, 16 pares de guantes. Para obtener con certeza cuatro guantes derechos se extraen al azar y como mínimo 29 guantes.

A. B. C. D. E.

10 7 A+7 Z+2 A+Z+4

II. En una caja hay “A+2” plumones verdes y “Z–3” plumones azules. Para obtener con certeza cinco plumones de color azul, se deben extraer como mínimo:

I. ( )

En una urna se tienen las siguientes esferas:    

Nueve amarillas Siete celestes Doce turquesas Seis plomos

Calcular cuántas esferas como mínimo debo sacar para tener la certeza de extraer:

8. Seis del mismo color. 9. Una de cada color. 10. Cuatro plomos y cinco amarillas.

II. ( )

11. Un color por completo. Enunciado •

Se tienen 52 cartas (13 de cada palo). Calcular cuántas cartas se deben extraer como mínimo para tener la seguridad de haber extraído:

12. Una carta de diamantes. 13. Una carta de numeración par.

Triángulos

Cuadrados

Círculos

14. Una carta menor de 8.

8 blancos 7 rojos

5 blancos 7 rojos

6 blancos 6 rojos

15. Siete cartas de diamantes y nueve cartas de tréboles.

¿Cuántas figuras geométricas se deben extraer, al azar y como mínimo, para obtener una de cada tipo de figura del mismo color?

Colegios

198

Enunciado

7. Tres turquesas.

3. En una caja hay 20 pares de medias blancas y 10 pares de medias negras. ¿Cuál es el menor número de medias que se debe extraer de manera que se obtengan con seguridad dos pares de medias utilizables? 4. Se tiene tres cajas con figuras geométricas, tal como se indican en el gráfico.

6. En un cajón hay 24 esferas rojas, 20 blancas, 25 amarillas, 8 negras, 14 verdes y 10 azules. ¿Cuál es el menor número de esferas que se han de sacar al azar para tener la seguridad de haber extraído, por lo menos, 12 esferas de tres colores?

•

2. Relacionar: I. En una urna hay muchas bolillas rojas, naranjas y celestes. Para obtener con certeza un cuarto de docena de bolillas de un mismo color, se deben extraer como mínimo:

5. Se tienen fichas numeradas del 1 al 21. ¿Cuál es la menor cantidad de fichas que se deben extraer para tener la certeza de que la suma de los números de todas las fichas extraídas sea par?

TRILCE

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2

Análisis combinatorio I .


Aplicar correctamente los principios básicos de conteo en situaciones concretas. Inferir el conteo de manera rápida respecto al número de maneras diferentes en que ocurren ciertos sucesos de nuestra vida diaria.

Combinando parejas

¿Cuántas parejas de baile se formarán en la fiesta?

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Unidad VII

199

Análisis combinatorio I

Conceptos básicos Análisis combinatorio

El análisis combinatorio es la parte de la Matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos hacer con los elementos de un conjunto dado.

Principios fundamentales de conteo Principio de adición Si un evento designado como "A" ocurre de "n" maneras diferentes y otro evento ocurre de "m" maneras distintas, entonces "A" o "B" (en sentido excluyente) ocurren de "m+n" formas diferentes. En el principio de adición, o bien ocurre un caso o bien ocurre el otro caso, mas nunca pueden ocurrir simultáneamente.

1. Josefa desea comprar un libro de RM que es vendido en tres lugares distintos: frente a la UNI en dos puestos de venta, en la avenida Tacna en tres librerías y en la feria de libros Amazonas en cuatro quioscos diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes puede obtener el libro de RM?

Resolución

Nos damos cuenta de que Josefa puede adquirir dicho libro:

• Frente a la UNI: de dos maneras distintas o • En la avenida Tacna: de tres maneras distintas o • En la feria del libro Amazonas: de cuatro maneras distintas

Por principio aditivo: 2+3+4=9 formas diferentes

Ejemplo

Principio de multiplicación Si un objeto "A" puede escogerse de "m" maneras y un objeto "B" puede escogerse de "n" maneras, la elección de "A" y "B" puede hacerse de "m×n" maneras. Si Esteban dispone de tres polos (blanco, verde y rojo) y dos pantalones (azul y negro), ¿de cuántas maneras distintas podrá vestirse usando ambos tipos de prenda?

Resolución

Polos B V R

N

Las formas de vestirse serían: 6

De otra forma, el resultado se habría calculado así: polos y pantalones

Colegios

200

Pantalones A

TRILCE

Ejemplo

Número de formas: 3 × 2 = 6

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2

Síntesis teórica

se cumple

10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos En el gráfico, cada línea representa un camino.

Breña Rímac La Victoria

•

Con los dígitos:1; 2; 3; 4; 5

3. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar?

Nota: no se puede pasar dos veces por la misma ciudad.

4. ¿Cuántos números menores que 500 de tres cifras se pueden formar?

1. ¿De cuántas maneras se podrá ir de Breña a La Victoria?

5. ¿Cuántos números impares de tres cifras diferentes se pueden formar?

2. ¿De cuántas maneras se podrá ir del Rímac a La Victoria y de Breña al Rímac?

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Unidad VII

201


Conceptos básicos Aprende más... 1. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. En la figura: "A", "B", "C" y "D" son ciudades y cada línea es un camino. Si una persona desea viajar sin pasar dos veces por la misma ciudad, ¿de cuántas maneras puede elegir su recorrido?

A

B

C

3. En una reunión hay siete amigos (tres varones y cuatro mujeres). Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: Proposición

V/F

D

¿Por qué?

Si quiere ir de "A" hacia "D", entonces hay 11 formas distintas de realizarlo.

I. Si los enamorados deben estar siempre juntos

Si se quiere ir de "A" hacia "D" (ir y volver, considerando que el camino de regreso no es el mismo que el de ida), entonces, hay 992 formas distintas de realizarlo.

II. Si Esteban siempre sienta en el centro

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda y justificar su respuesta. Luna tiene cuatro blusas, cinco faldas, siete pantalones, tres pares de zapatillas.

Si usa pantalón, blusa y zapatillas, entonces, se podrá vestir de 84 formas distintas Si se viste de manera correcta (forma convencional), entonces se puede vestir de 144 formas distintas. Si dos blusas son iguales, 4 pantalones son iguales, 2 pares de zapatillas iguales y se viste con blusa, pantalón y zapatillas, entonces, se podrá vestir de 24 formas distintas.

Colegios

202

TRILCE

4. Una pareja de enamorados fue al cine con tres amigos y se ubicaron en una fila de cinco asientos. Relacionar de cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en los asientos:

Si se quiere ir de "A" hacia "D" (ir y volver) entonces, hay 64 formas distintas de realizarlo.

Proposición

¿Por qué?

Si me preguntan, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar los siete amigos?, respondo: de mil maneras Si me preguntan, ¿de cuántas maneras se pueden sentar en una fila de cuatro asientos?, respondo: de 840 maneras.

Proposición

V/F

V/F

¿Por qué?

se

III. Si Raúl y Zoila no se sientan juntos

I. ( ) II. ( )

A. B. C. D. E.

72 24 48 144 288

III. ( )

5. Gloria desea comprar 1 kg de pescado para un rico cebiche y se sabe que únicamente lo venden en tres mercados: "Y", "Z" y "X". En el mercado "X" lo venden en tres puestos distintos, en "Y" en cinco puestos distintos; y en "Z" en solo dos puestos distintos. ¿De cuántas maneras distintas puede adquirir el producto?

a) 3 d) 5

b) 30 e) 2

c) 10

6. Jonás desea comprar una laptop, para lo cual ha consultado en tres tiendas comerciales; la primera le ofrece cinco sistemas de crédito; la segunda, tres sistemas de crédito diferentes de los de la primera; y la tercera tienda ofrece cuatro sistemas de crédito diferentes de las dos primeras. ¿De cuántas maneras diferentes puede comprar la laptop?

a) 4 d) 12

b) 3 e) 60

c) 5

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7. Se tiene que presentar un trabajo con las siguientes características: Tipo de letra

Estilo

Tamaño

Arial Times New Roman Comic Sans Ms Garamond

Regular Cursiva Negrita

8 9 10 11 12

•

¿De cuántas maneras se podrá efectuar dicha presentación?

•

¿De cuántas maneras se podrá efectuar dicha presentación, si el tamaño de letra debe ser solamente 12?

Calcular la suma de los resultados.

a) 52 d) 64

b) 60 e) 72

Lima Huánuco Tingo María

Nota: no se puede pasar dos veces por la misma ciudad. • ¿De cuántas maneras se podrá ir de Lima a Tingo María? • ¿De cuántas maneras se podrá ir de Lima a Tingo María y volver? • ¿De cuántas maneras se podrá ir de Lima a Tingo María y volver por una ruta diferente del usado en la ida? 9. Una alumna tiene cuatro blusas y cinco pantalones, todas las prendas de diferente color.

• •

•

¿De cuántas formas diferentes se podrá vestir? ¿De cuántas formas diferentes se podrá vestir si la blusa blanca siempre la usa con el pantalón negro? ¿De cuántas formas diferentes se podrá vestir, si la blusa azul y el pantalón blanco siempre los usa juntos?

10. Con los dígitos:1;2;3;4;5 • ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar? • ¿Cuántos números mayores de 400 de tres cifras se pueden formar? • ¿Cuántos números pares de tres cifras diferentes se pueden formar?

Central: 619-8100

2 4 5 8 9

•

•

•

¿Cuántos números de tres cifras se podrán determinar? ¿Cuántos números de cuatro cifras se podrán determinar? ¿Cuántos números pares de cinco cifras se podrán formar?

12. ¿Cuántos números enteros impares positivos menores de 10 000 pueden formarse usando las cifras: 9; 6; 3 y 0?

c) 48

8. En el gráfico, cada línea representa un camino.

11. Si una profesora de primaria manda a sus alumnos a que recorten rectángulos en una cartulina y escriban las cifras:

2

a) 225 d) 128

b) 100 e) 125

c) 228

13. En una reunión hay seis varones y cinco mujeres. Se desea elegir un presidente, un vicepresidente y un vocal, con la condición de que el presidente sea varón y el vicepresidente, mujer. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá elegir a las tres personas?

a) 216 d) 860

b) 270 e) 366

c) 990

14. Fidedigna celebrará su “quino” este sábado, ella tiene tres anillos distintos, los cuales quiere colocarse en los dedos de su mano derecha, excepto el pulgar. ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar un anillo en cada dedo?

a) 6 d) 48

b) 12 e) 96

c) 24

15. La policía de Ate Vitarte realiza una “batida” buscando automóviles con placas que tengan las siguientes características: LETRAS DÍGITOS 123123

¿Cuántas placas para automóviles podrán ubicar los policías?

Nota: considerar 26 letras del alfabeto; además, cada placa tiene letras y dígitos diferentes.

a) 676 000 d) 468 000

b) 936 000 e) 234 000

c) 642 000

Unidad VII

203


¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. El grupo "Agua Bella" está formado por tres cantantes, cinco músicos y dos bailarinas. Para salir al escenario deben hacerlo en fila, debiendo estar las bailarinas en los extremos y las cantantes no deben estar al lado de las bailarinas. ¿De cuántas formas diferentes pueden salir al escenario?

a) 1200

b) 5120

c) 28 800

d) 30 000

e) 34 300

2. En un tablero de ajedrez, se desea elegir una casilla negra y una blanca que no estén ambas en la misma fila ni en la misma columna. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán elegir?

a) 678

b) 768

c) 840

d) 1024

e) 512

3. Un bote de ocho remos será tripulado por un grupo seleccionado de 14 hombres, de los cuales, tres pueden llevar el timón, pero no pueden remar; el resto puede remar pero no llevar el timón. ¿De cuántas maneras puede ordenarse el grupo, si dos de los hombres solo pueden remar en el lado derecho, pero no ambos integrando el mismo grupo? (Cada remo es utilizado por un hombre a cada lado).

a) 15(9!)

b) 30(8!)

c) 23(7!)

d) 23(8!)

e) 30(9!)

4. Hallar la suma de todos los números pares de cuatro cifras que se pueden formar con las cifras: 0; 1; 2; 3; 4 y 5?

a) 1 769 580

b) 1 649 580

c) 1 768 680

d) 1 763 580

e) 1 769 570

5. En la figura, cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad 1 a la ciudad 20? 1

2

3

4

20

a) 320×20!

b) 319×19!

c) 20!

e) 320×19!

d) 19!

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. William “un monstruo en computación” ha sacado los teclados:

2. Con los dígitos: {6;0;4;2;7}; Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda: Proposición

3 1 8 7 2 9

Si se desea formar números enteros de tres dígitos, estos serán de 100 formas distintas.

Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Proposición Si se desea formar números enteros de cuatro dígitos, estos serán de 120 formas distintas. Si se desea formar números enteros pares de cuatro dígitos, estos serán de 120 formas distintas.

Colegios

204

TRILCE

V/F

V/F

Si se desea formar números enteros pares de cuatro dígitos, estos serán de 96 formas distintas.

3. Cinco amigos fueron al cine y se ubicaron en una fila de cinco asientos. Relacionar de cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en los asientos:

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I. Si Jorge siempre se sienta junto a Roxana. II. Si Esteban siempre sienta en el centro.

se

A. B. C. D. E.

12 24 48 144 72

III. Si Carmen y José no se sientan juntos.

I. ( ) II. ( ) III. ( )

4. Aristóteles desea viajar de Lima a Loreto. Para ello dispone de dos líneas aéreas, cuatro líneas terrestres y una marítima. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar su viaje?

•

Un travieso niño saca del reloj de pared de su casa, los números: 9

4

5

1

2

6

8. ¿Cuántos números de tres cifras se podrán formar? 9. ¿Cuántos números de tres cifras pares se podrán formar? •

En el siguiente gráfico, cada línea representa un camino:

5. Lopecito, un alumno del colegio Trilce, se le acabó el cuaderno de RM, así que saliendo del colegio, va al mercado “Señor de los Milagros” y encuentra cinco puestos donde venden dicho cuaderno; va al mercado “Todo baratito” y encuentra nueve puestos, va al mercado “Los verduleros” y encuentra ocho puestos. ¿De cuántas maneras diferentes puede adquirir dicho cuaderno?

•

El chifa “Taliko” ofrece como menú: entrada y segundo. Las entradas son: sopa wantán, minpao, siumai y wantán frito. Los segundos son: arroz chaufa, tallarín con pollo, tallarín con chancho, chancho asado y chi jaukai, entonces:

11. ¿De cuántas maneras se podrá ir de Lima a Áncash y volver?

6. ¿De cuántas maneras una persona puede escoger su menú?

13. ¿De cuántas maneras se podrá ir de Lima a Áncash y regresar, sin pasar dos veces por un mismo camino?

7. ¿De cuántas maneras una persona puede escoger su menú, si cuando pide sopa wantán de entrada, debe pedir arroz chaufa de segundo?

14. Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener?

Lima Junín Áncash

Nota: no se puede pasar dos veces por la misma ciudad.

10. ¿De cuántas maneras se podrá ir de Lima a Áncash?

12. ¿De cuántas maneras se podrá ir de Lima a Áncash y volver por un camino diferente del usado?

15. Se lanzan simultáneamente dos monedas y dos dados. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener?

Central: 619-8100

Unidad VII

205

Análisis combinatorio II

Análisis combinatorio II En este capítulo aprenderemos a: • •

U

Determinar el número total de ordenamientos (permutaciones) que se pueden realizar con parte o todos los elementos de un conjunto dado. Deducir las fórmulas de permutaciones (lineal, circular y con elementos repetidos) y también la de combinaciones.

La placa misteriosa

n policía observó que el auto utilizado por los ladrones al fugar del robo de un banco, tenía una placa de seis símbolos, que los dos primeros eran vocales, que las cuatro últimos eran dígitos mayores de cuatro y que no había dos símbolos iguales. ¿Cuántos autos tendrá que investigar la policía?

Colegios

206

TRILCE

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Permutaciones

3

¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras: "A", "B" y "C"?

Resolución

•

•

Los ordenamientos son seis: A B C

B A C

C A B

A C B

B C A

C B A

En general, las permutaciones de un conjunto de "n" elementos se expresa como: Pn=1×2×3×...×n

Ejemplo

Ejemplo

Son las diferentes maneras de ordenar todos los elementos de un conjunto.

Variaciones

¿Cuántos ordenamientos son posibles con dos letras de: "A", "B", "C" y "D"

Resolución

•

Los ordenamientos son: A B B A

•

A C C A

A D D A

C B B C

B D D B

C D D C

12 maneras

En general, las variaciones de un conjunto de "n" elementos, ordenando "r" de ellos, será:

Ejemplo

123

Ejemplo

Son las diferentes maneras de ordenar algunos elementos de un conjunto.

n

Vr =n(n - 1)(n - 2)... "r" factores

Observación:

• •

En las permutaciones se ordenan todos los elementos del conjunto. En las variaciones se ordenan algunos elementos del conjunto.

Combinaciones

¿Cuántos grupos de tres personas se pueden determinar con: Ángel, Beto, César y Darío?

Resolución

•

Los grupos son: Ángel Beto César

•

Ángel Beto Darío

Ángel César Darío

Beto César Darío

... son cuatro grupos

En general, las combinaciones de un conjunto de "n" elementos, agrupando "r" de ellos, es: n n(n - 1)(n - 2)..."r" factores Cr = 1×2×3× ... ×r

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Ejemplo

Ejemplo

Son las diferentes maneras de agrupar algunos elementos de un conjunto.

Unidad VII

207


Observación:

•

En las permutaciones y variaciones, se ordenan elementos (todos o algunos) del conjunto.

•

En las combinaciones se agrupan elementos del conjunto, es decir, no importa el orden.

Síntesis teórica

Colegios

208

TRILCE

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10 x 5 50

3

Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC •

Utilizando las letras de las palabras “ORDEN”, indicar de cuántas maneras diferentes se pueden formar palabras de cinco letras, bajo las siguientes condiciones:

1. Que terminen en "O". 2. Considerando que la letra "E" debe ir a un extremo. •

La señora Gloria dispone de siete frutas diferentes.

3. ¿Cuántos jugos distintos se podrá preparar como máximo? 4. ¿Cuántos surtidos diferentes puede preparar si necesita a lo más tres frutas? 5. Una señora va al mercado y necesita comprar: fideos, azúcar, aceite, arroz, avena, harina y gelatina. ¿De cuántas maneras podrá comprar solo cuatro de estos artículos, si de todas maneras debe comprar aceite y avena?

Conceptos básicos Aprende más... 1. De un grupo de nueve varones y cinco mujeres, relacionar de cuántas maneras diferentes se puede elegir un comité conformado de las siguientes maneras: I. Cinco personas, integrado A. 1624 por tres mujeres y dos B. 1716 varones. C. 560 II. Siete personas, de tal D. 360 forma que en cada grupo E. 840 haya, por lo menos, tres mujeres. I. ( ) II. ( ) 2. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda, si me preguntan por el número de maneras diferentes en que siete hombres y cinco mujeres podrán formar, bajo las siguientes condiciones: Proposición Grupos mixtos de seis personas, si en el grupo debe haber por lo menos cuatro mujeres, respondo: 112. Grupos mixtos de seis personas, si en el grupo debe haber a lo más cuatro mujeres, respondo: 910.

V/F ¿Por qué?

•

4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, si se tienen 10 sillas, de las cuales, seis son defectuosas. Proposición

V/F ¿Por qué?

Son 80 las maneras diferentes que podemos escoger tres sillas de tal forma que entre estas haya al menos dos defectuosas Son 186 las maneras diferentes que podemos escoger cinco sillas, de tal forma que entre estas haya al menos tres defectuosas. 5. Se tiene ocho corredores. ¿De cuántas maneras diferentes se puede premiar a los cuatro primeros lugares?

a) 3600 d) 1500

b) 600 e) 1680

c) 1600

6. Cuatro viajeros llegan a un pueblo donde hay cinco hoteles. ¿De cuántas maneras diferentes podrán hospedarse, si pueden elegir cualquier hotel, no necesariamente diferente?

3. Utilizando las letras de las palabras “ORDEN”, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden 7. formar palabras de cinco letras, bajo las siguientes condiciones?: • Que empiecen con "S" y siempre tengan que llevar consigo la sílaba "OR".

Central: 619-8100

Considerando que las letras “D”, “N” y “R” siempre deben ir juntas.

a) 512 d) 1000

b) 1024 e) 625

c) 729

En un campeonato de ajedrez participan ocho jugadores. ¿Cuántos partidos se deben programar? a) 2 d) 16

b) 8 e) 36

c) 28

Unidad VII

209


8. Resolver: (A) Cuatro damas y cuatro varones, al ir al teatro, se sientan en una fila. ¿De cuántas maneras podrían ubicarse juntos los varones y juntas las damas?

(B) ¿De cuántas maneras diferentes podrían ubicarse siete personas, si deben ubicarse alternadamente hombres y mujeres, sabiendo que son tres mujeres? Hallar los valores de "A" y "B" respectivamente. a) 144; 576 c) 1152; 144 e) 576; 12

b) 576; 144 d) 144; 1152

9. En un juego de cuyes intervienen cuatro de estos; además, hay siete cajones con dos orificios cada uno, para que entren los cuyes. ¿De cuántas maneras diferentes pueden entrar los cuyes, si en cada cajón solo puede entrar un cuy?

a) 13 440 d) 28 750

b) 23 460 c) 34 507 e) 10 707

10. La señora Mery dispone de siete frutas diferentes. ¿Cuántos jugos con tres frutas diferentes puede preparar?

a) 20 d) 21

b) 30 e) 35

c) 63

11. Una señora va al mercado y necesita comprar: fideos, azúcar, aceite, arroz, avena, harina y gelatina. ¿De cuántas maneras podrá comprar solo tres de estos artículos, si de todas maneras debe comprar azúcar?

a) 35 d) 25

b) 50 e) 41

12. ¿Cuántos objetos diferentes debe haber para que el número de grupos que se pueden formar, tomándolos de tres en tres, sea el doble del número de objetos?

a) 4 d) 6

b) 10 e) 12

c) 5

13. Con cuatro futbolistas y ocho nadadores, ¿cuántos grupos de seis integrantes cada uno puede formarse de tal manera que en cada grupo haya por lo menos un futbolista?

a) 916 d) 896

b) 869 e) 422

c) 724

14. La selección peruana de vóleibol, “las matadorcitas”, está conformada por 12 chicas: la rebelde, la celosa, la bonita, la melosa, la soñadora, la chancona, la pituca, la morena, la picaflor, la mantequilla, la enamorada y la vanidosa. ¿De cuántas formas se puede conformar un equipo de seis si se sabe que la chancona y la rebelde se niegan a jugar en el mismo equipo?

a) 924 d) 714

b) 786 e) 682

c) 844

15. Para encender un foco se dispone de 10 interruptores diferentes, dispuestos como se muestra en la figura. Para encender el foco deben presionarse tres interruptores, los cuales deben ser colineales. ¿De cuántas maneras diferentes puede encenderse el foco?

c) 70

a) 20 d) 27

b) 19 e) 35

c) 18

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En cada lado de un pentágono regular se consideran cinco puntos (incluidos los vértices). ¿Cuántos triángulos que tienen como sus vértices a dichos puntos, se obtendrán como máximo?

3. En un campeonato de fútbol, se juegan en total 524 partidos y se desarrolla en dos etapas: en la primera, todos contra todos y en la segunda, los ocho mejores. ¿Cuántos equipos participaron?

a) 140 d) 1295

c) 1300

a) 12 d) 32

b) 24 e) 38

c) 30

2. El número de combinaciones de "x" objetos tomados de seis en seis, es 720 veces el número de combinaciones de esos mismos objetos de cuatro en cuatro. Hallar el valor de "x".

4. En una librería hay solamente seis libros de Aritmética y cuatro de Álgebra. ¿De cuántas maneras puedo comprar al menos un libro de cada materia? (Considerar que los libros en venta son todos diferentes).

a) 10 d) 40 Colegios

210

b) 1090 e) 1135

TRILCE

b) 20 e) 50

c) 30

a) 15 d) 640

b) 28 e) 945

c) 300

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5. Ingresan "n" parejas de novios, acompañados de las madres de las novias, que son hermanas. Si encuentran (2n+1) asientos juntos en una misma fila, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse, con la condición de que la madre no se siente al medio de ninguna de las parejas?

b) (n+1).2n+1

a) (2n)(2n)!

c) n(2n)!

d) n!.2n+1

3

e) (n+1)!.2n 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Relacionar: En un estante hay cinco libros de RM y seis de Química. De cuántas maneras diferentes se pueden escoger:

I. Cuatro libros, de modo que dos sean de RM y dos de Química. II. Un grupo de libros en los que haya tres de RM y por lo menos, haya cuatro de Química.

I. ( )

A. B. C. D. E.

220 160 140 180 150

II. ( )

2. Indicar verdadero (V) o falso (F), según corresponda. • En una mecánica hay siete llaves de ruedas, de las cuales cuatro están malogradas. Proposición

V/F

Son 12 las maneras diferentes en que podemos escoger cuatro llaves, de tal forma que entre estas haya al menos tres malogradas.

Son 21 las maneras diferentes en que podemos escoger cinco llaves, de tal forma que entre estas haya al menos dos malogradas.

• Utilizando las letras de la palabra “EFICAZ”, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden formar palabras de seis letras, con las siguientes características? 3. Que comiencen con “Z”. 4. Considerando que las letras “E” y “C” deben ir en los extremos. 5. Que empiecen con “A” y tengan siempre la sílaba “CI”. Central: 619-8100

6. Cinco damas y cuatro varones van a una conferencia sobre educación vial. Si se sientan en fila, ¿de cuántas maneras podrían ubicarse si personas del mismo sexo no se sientan juntas? 7. ¿De cuántas maneras diferentes podrían ubicarse siete personas en una fila de cinco asientos si Josefa y Pepe no se sientan juntos? 8. En un comité de aula conformado por 20 padres de familia, se desea seleccionar a tres personas para ocupar tres cargos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrán seleccionar? 9. En un torneo de fulbito participan siete equipos, ¿cuántos partidos diferentes se realizarán, si juegan todos contra todos? 10. ¿Cuántos productos diferentes de tres factores pueden formarse con los números: 7; 9; 11; 13 y 17? 11. Una composición musical tiene cinco notas, ¿cuántas melodías diferentes se pueden componer si cada nota interviene una vez? 12. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de dos mujeres y tres hombres de un grupo de siete hombres y cinco mujeres? 13. Un comerciante compra tres vacas, dos cerdos y cuatro gallinas a un granjero que tiene seis vacas, cinco cerdos y ocho gallinas. ¿Cuántas maneras de seleccionar tiene el comerciante? 14. ¿Cuál será el número de letras de una palabra, sabiendo que el número de combinaciones tomadas de dos en dos es al número de combinaciones tomadas de tres en tres, como tres es a cinco? 15. En una tienda hay seis camisas y cinco pantalones que me gustan. Si decido comprar tres camisas y dos pantalones, ¿de cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan?

Unidad VII

211

UNIDAD VIII

Interpretando conceptos geométricos La nave espacial Tierra La nave espacial Tierra es la estructura icónica y simbólica de Epcot , un parque temático que es parte de la Walt Disney World Resort. Geométricamente, la nave espacial Tierra es un derivado de un dodecaedro pentakis , con cada uno de los 60 triángulos isósceles se encuentra dividido en 16 pequeños triángulos equiláteros (con un poco de maquillar para que sea redondo). Cada uno de los 960 paneles planos es sub- dividido en cuatro triángulos, cada uno de los cuales se divide en tres triángulos isósceles que forman cada punto. En teoría, hay 11 520 triángulos isósceles que forman un total de 3840 puntos.

AprendiZajes esperados AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar e interpretar correctamente los conceptos de Geometría como perímetros y áreas. Resolución de problemas • Procesar e interpretar los datos en los distintos problemas para el cálculo de áreas de regiones limitadas por figuras geométricas conocidas. Razonamiento y demostración • Interpretar y analizar de manera adecuada, las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones limitadas por figuras geométricas conocidas.


Situaciones geométricas I

1

En este capítulo aprenderemos a: • • •

Desarrollar la capacidad de abstracción, utilizando ahora los conceptos de perímetro y área de regiones planas. Aplicar de manera adecuada, las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones limitadas por figuras geométricas conocidas. Aplicar los conceptos básicos de Geometría en la resolución de problemas, considerando principalmente el uso adecuado de criterios lógicos.

Sangaku

L

a palabra Sangaku significa algo así como "tablilla matemática". Los problemas planteados en la tablillas Sangaku pueden perfectamente inscribirse en la matemática recreativa, y plantean endiablados problemas en los que aparecen invariablemente círculos tangentes unos a otros, o polígonos inscritos en otros polígonos y en círculos. También aparecen problemas con esferas tangentes a otras esferas, interior y exteriormente. Sin embargo, no todos los problemas se ocupan solo de la Geometría, sino también de problemas aritméticos y algebraicos. Aunque muchos sangakus se han perdido o quemado, todavía existen alrededor de 820 de estas tablillas. Un notable investigador de los sangakus fue el matemático japonés Yoshio Mikami (1875 - 1950) quien en sus trabajos: "A history of Japanese mathematics" (Historia de las matemáticas japonesas) de 1914 y "The development of mathematics in China y Japon" (El desarrollo de las matemáticas en China y Japón) de 1974, realizó importantísimos estudios sobre estas tablillas matemáticas.

Central: 619-8100

Unidad VIII

213


Conceptos básicos Región: Es aquella parte de una superficie plana limitada por una línea cerrada. Área:

Es la medida de la extensión de una superficie limitada y se expresa mediante un número único, acompañado de la unidad adecuada: (m2, µ2,..., etc.).

Para simbolizar el área de una región cualquiera, comúnmente se usa la letra "S", por ejemplo, el área de una región triangular ABC, puede simbolizarse como: "SABC" Áreas de regiones triangulares  Área triangular cualquiera B

S= b×h

S

h A

2

C

b

 Área que encierra un triángulo rectángulo

a

S= a×b

S

2

b

 Área que encierra un triángulo equilátero 60º

h

L

L

S

60º

4

o

S= h

2

3

3

60º

L

2 S= L 3

 Área triangular en función de sus lados (Fórmula de Herón) Donde: a

b

S

S= p (p - a) (p - b) (p - c)

p= a + b + c 2

c

2p=a+b+c

 Área triangular en función del inradio

S=p . r a Colegios

214

TRILCE

r c

b

S

Donde: p= a + b + c 2 r → inradio www.trilce.edu.pe


Áreas de regiones cuadrangulares 1. Área que encierra un cuadrado

L

4. Área que encierra un paralelogramo b

D

S

S

L

S= D

2

2

h

S=B×h

S=b×H

o

5. Área que encierra un trapecio

2. Área que encierra un rectángulo

b

b

m

S

a

H

B

o

S=L2

1

S=a×b

h

S B

3. Área que encierra un rombo L

S

d

S= (B + b) h 2

L

S= D×d 2

L

S= m.h

<>

2

m: mediana del trapecio

L D

Áreas de regiones circulares 1. Área de un círculo

S

R

3. Área de un trapecio circular

S=πR2

R

r

θ

S

S=π(R2 - r2) θ

360º

2. Área de un sector circular

4. Área de una corona circular

R θ R

S

S= π # θ ×R2

r

360º

S=π(R2 - r2)

R

Central: 619-8100

S

Unidad VIII

215


Perímetro

El perímetro es la medida de la longitud de la línea (o líneas) que conforma (n) el borde o contorno de una región. El perímetro de una región se denota como "2p", siendo "p" el semiperímetro.

Perímetros de la región sombreada Algunas fórmulas: Cuadrado

Rectángulo

Triángulo

a

a

b

R

b

b

c

2p=2a+2b

2p=a+b+c

b 2p=4b

Circunferencia

2p=2π.R

Longitud de arco R L

L=2π.R. αº 360º

Calcular el perímetro de la región sombreada, si AMD es un triángulo equilátero de lado 10 cm. B M C

A

D

Resolución B

5 60º

Colegios

M 60º

5 C 60º

5 3

5 3

216

Ejemplo

Ejemplo

α

A 5

TRILCE

5 D

) +

10

10

•

Perímetro = 2(

•

Perímetro = 2 (5π)+30+10 3

•

Perímetro = 10( 3+π + 3 )

5

5

+ 2(5 3 )

10

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1

Saberes previos Síntesis teórica

SITUACIONES GEOMÉTRICAS I

a

h

A

c

L

b Perímetro=a+b+c b.h Área = 2

r

B S1

S2

L Perímetro=4L Área =

L2

Perímetro=2πr Área = πr2 Diámetro= 2r

D

C Si: AB//CD S1=S2

Radio = r

Central: 619-8100

Unidad VIII

217


10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 3.

1. Hallar el perímetro de la región sombreada.

8µ

8µ

Área : Perímetro :

60º

8µ

8µ

4.

2. Hallar el área de la región sombreada.

3µ

6µ

3µ


40º

6µ

5.

•

4µ

En cada caso hallar el área y perímetro de la región sombreada, en:

30º

3µ

2µ


Conceptos básicos Aprende más... 1. Dado el rectángulo:

12 m 6m

Indicar verdadero o falso, según corresponda: •

La parte sombreada es igual a la mitad de la parte no sombreada ................................. ( )

•

La parte no sombreada es igual al área de un cuadrado de lado 6 m ............................... ( )

Son iguales Perímetro I > perímetro II Perímetro I = 2 perímetro II Perímetro I < perímetro II Faltan datos

3. El lado del cuadrado mayor es 16 m y los vértices de cada cuadrado interior parten en el punto medio al lado del cuadrado en que están inscritos.

2. ¿Qué se puede afirmar de los perímetros en las figuras I y II?

Indicar verdadero o falso según corresponda.

•

El área sombreada es 64 m2 .............( )

•

El área sombreada es igual a la del cuadrado menor .............................. ( )

A

M

2

C

B

2

Q

N

2

2 2 D 2

(I) Colegios

218

a) b) c) d) e)

TRILCE

2 P

2

(II)

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4. Para hallar el perímetro de la figura. a

b

a

8. En la figura, el área del trapecio ABCD es 15 m2, la base mayor mide 6 m y la mediana, 5 m. Hallar el área de la región sombreada.

a 10

1

C

B

b a c

I. Necesito conocer “a” II. Necesito conocer “b” III. Necesito conocer “c”

a) Solo I d) I y II

A

b) Solo II e) Solo III

c) I y III

D

a) 6 m2 d) 9

b) 7,5 e) 10,5

c) 8

9. En el rectángulo ABCD, AD=3 m y AF=1 m. El área de la región sombreada es igual a: F

A


B

3 D

3

a) 18(6 - π) d) 72 - 16π

b) 18(3 - π) c) 18(4 - π) e) 72 - 6π

6. ¿Qué parte de la gráfica está sombreada, si todos los cuadriláteros son iguales?

C

a) 28,5 m2 d) 13,5

b) 23,5 e) 8,5

c) 18,5

10. Hallar el perímetro del cuadrado ABCD, si "M" es punto medio del lado CD y AM= 5 m. B

C

2 2

M

a) 1 3

b) 3 4

d) 1 5

e) 4 7

c) 2 3

7. Hallar el área de la región sombreada, si "A", "B", "C" y "D" son cuartos de círculo. A

B

C

D

A

a) 4 m d) 10

D b) 8 e) 12

c) 6

11. Si "O", "A", "B", "C" son centros de las semicircunferencias y los cuadrantes, hallar el perímetro de la región sombreada. A

P

B

Q

M

O 2

N

C

4

a) 2(π - 2) d) 4(2- π )

Central: 619-8100

b) 2(4 - π) e) 3 (4 - π) 2

E 2

c) 3(5 - π)

a) 3π m d) 5π

b) 6π e) 9π

D 2

c) 12π

Unidad VIII

219


12. En la siguiente figura se tienen seis cuadrados iguales. Si: AB=8 2 m,¿cuál es el perímetro de la figura?

14. Calcular el perímetro de la región sombreada. C

B

B

D

A

4

A

a) 20 m d) 64

b) 36 e) 56

c) 42

13. El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho y se construyó una cerca, que la rodea a 1 m de sus bordes. Si el área cercada es 40 m2, ¿cuál es el ancho de la piscina?

a) 10 π d) 8 π

b) 12 π e) 16 π

c) 14 π

15. Se desea alfombrar la escalera que se muestra en la figura (la escalera consta de 20 escalones), si el metro cuadrado de alfombra cuesta 10 dólares, calcular el costo de la alfombra. 10

9

a) 3 m d) 7

b) 6 e) 8

c) 12

11

a) $1000 d) 2000

b) 1600 e) 2400

c) 1800

socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En el gráfico, calcular el área de la región triangular OTI. ("T" y "U" son puntos de tangencia).

3. Si PERU es un cuadrado de área 98 m2, hallar el área de la región sombreada. E R

I 4 T

O

6

P

U

a) 2 6

b) 7

d) 3 3

e)

6

c)

4 6 5

a) 36 m2 d) 12 Colegios

220

TRILCE

b) 16 e) 24

c) 48

b) 21 e) 16

c) 28

4. De la figura, hallar el área de la región sombreada. θ

2. Calcular el área de una región limitada por un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia, sabiendo que el punto de tangencia con el lado oblicuo lo divide en dos segmentos que miden 1 m y 9 m.

a) 24 m2 d) 20

U

8 8

E

a) 6µ2 d) 8

P b) 10 e) 12

2θ

1

O c) 9

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5. Hallar el perímetro de la región sombreada. A

x

x

B

1

C x

F

a) x(π - 2)

b) x(π+2)

x

x

E

D

c) x(2π - 1)

e) x(2 - π )

d) x(π+4)

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. ABC y EBD son cuadrantes, y los tres círculos son iguales. Indicar verdadero o falso, según corresponda:

• •

El perímetro de "A+B+C" es 6π ..... ( ) El perímetro de "D" es 3 π ......... ( ) A

Relacionar: A.

I. El área de la región sombreada es: II. El perímetro de la región sombreada es:

B. 4(π - 2) C. 2(π - 4) D. 2π+4 2 E. 4+(π+2)

A E

B D

C

B D C 2. En la siguiente figura se tiene un cuadrado de lado “a”. Indicar verdadero o falso, según corresponda:

•

•

2 +π

La altura de la región "B" es a ...........( ) 4 El área "A" es igual a la de "C". ..........( ) B

a A

I. ( )

II. ( )

4. En la siguiente figura sobre sectores circulares, se sabe que:

A

60º

A1 A2 B

C

A3 D

Indicar verdadero o falso, según corresponda.

I. El área de "A1" es: 2r .....................( ) 3 II. El área de "A2" es: 2π ....................( )

C

D

5. Calcular el área de la región sombreada.

3. Si tenemos: B

C

5

4µ

Central: 619-8100

A

4µ

5

G

Unidad VIII

221



12. Determinar el perímetro de la figura.

3m

12 cm

3m

7. ¿Qué parte de la gráfica está sombreada, si todos los cuadriláteros son iguales?

7 cm

13. Si: OB=4 y EC=1, el perímetro de la región sombreada es: (OE = OD)

3µ

E

3µ

B

C

8. Se tienen dos triángulos rectángulos isósceles: el cateto del primero mide 4 y la hipotenusa del segundo mide 8 2 . ¿En qué relación están las áreas de las regiones triangulares correspondientes?

D

O

14. Hallar el perímetro de la región sombreada, si “O” es centro, α=30º y AB=1 cm. B

9. En una región trapecial ABCD (BC //AD), mBA=60º, mBD=30º, BC=4 3 m y CD=6 m. Calcular el área de la región trapecial. 10. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 8 µ.

A

αº

O

C

15. Si ABCD es un trapecio isósceles, donde: AB=6 y BC=8, hallar el perímetro. C

B 2θº

11. Si ABC es un triángulo equilátero cuyo lado mide 4, calcular el área de la región sombreada. B

P A

Colegios

222

TRILCE

A

θº

D

Q

R

C

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2

Situaciones geométricas II En este capítulo aprenderemos a: •

Aplicar de manera correcta las fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas en regiones planas.

•

Reforzar los conceptos de Geometría en la resolución de problemas.

Reforzando conceptos geométricos

Central: 619-8100

Unidad VIII

223

Situaciones geométricas II

Conceptos básicos Aprende más... 1. Calcular el área de la región sombreada, si: R=18 cm y r=6 cm, corrige el error.

R r

R E S O L U C I Ó N

SSOMB=

18

6 3 12 3

12

60º

18

12

6

30º

12

18 60º

18

-

6 120º

6

2 2 = c 6 + 18 m .12 3 - ≠.18 - ≠ - 6 2 9 4

6

3

-

6

=144 3 - 45π

3

A L U M N O

2. Si tenemos:

4. Indicar verdadero o falso, según corresponda:

6m

3m


I. ( )

A. B. C. D. E.

18π 25π 16π 12π 27π

II. ( )

•

Si el lado de un cuadrado se duplica, entonces, su área aumenta en un 200%.( )

•

El área de un círculo inscrito en un triángulo equilátero de lado 6 es 3π .................. ( )

•

Los cuadrado "R" y "S" son tales que el área de "S" es el doble del área de "R". Si la diagonal de "R" es "a+b", entonces el perímetro de "S" es: 4 (a+b)...............( )

5. Si el área del cuadrado ABCD es 40 cm2, hallar el área de la región sombreada.

3. Indicar verdadero o falso, según corresponda:

•

En una corona circular de: R=5 y r=3, su área es igual a su perímetro................. ( )

•

Si trazamos las diagonales de un rectángulo, las regiones formadas tienen la misma área..........................................( )

•

Si el lado de un triángulo equilátero es 2 entonces, su área será de: 3 ....... ( ) 8 2

Colegios

224

TRILCE

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6. Si: OQ=5 y PS=1, el perímetro de la región sombreada es: (OP = OR) P Q

S

b) 2(4 + π) d) 4(2 + 3π)

a) (8 + 2π) m c) 4(2 + π) e) 2(4 + 3π)

2

11. El lado del cuadrado mayor es 12 m y los vértices de cada cuadrado interior parten en el punto medio al lado del cuadrado en que están inscritos. R

O

7. Calcular el área de la región sombreada (OA=OB).

A

2

B

O

8. Calcular el perímetro de la región sombreada, sabiendo que el diámetro AB tiene 20 cm de longitud.

Indicar verdadero o falso según corresponda.

• El área sombreada es 36 m2 ............. ( ) • El área sombreada es igual a la del cuadrado menor .............................. ( ) 12. Hallar el perímetro de la región sombreada, sabiendo que ABCD es un cuadrado B

C

A

D

2

A

B

13. Los cuadrados "R" y "S" son tales que el área de "S" es el doble del área de "R". Si la diagonal de 9. Dado el rectángulo: "R" es “a+b”, entonces, el perímetro de "S" es: 16 m 14. En la figura mostrada: PR// AO; OT//PA y AR=4PC. Calcular el perímetro del triángulo 8m ABC, si BT=10 m; BQ=5 m; QP=4 m; RC=9 m. B Indicar verdadero o falso, según corresponda: Q • La parte no sombreada es igual al área de un T cuadrado de lado 8 m ...............................( ) P • El área total rectangular es a la parte sombreada como 2 es a 1..........................( ) A C R 10. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 m 2 de lado, entonces el perímetro de la región 15. El área del cuadrado ABCD es 144 µ y la del 2 rectángulo es 36 µ , donde: CM=MR=RB. sombreada es: ¿Cuál es el perímetro de la figura? B C D

r r

A

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D

A

C

M

N

R

S B

Unidad VIII

225

Situaciones geométricas II 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. ABC y EBD son cuadrantes, y los tres círculos son iguales. A

4. En la siguiente figura sobre sectores circulares, se sabe que:

A E

B D

B

A

A1 A2 B

C D

C

Indicar verdadero o falso, según corresponda:

• •

El perímetro de la región sombreada es: 15π +12 ................................ ( ) El área de la región sombreada es: 21π.... ( )

2. En la siguiente figura se tiene un cuadrado de lado “a”.

A3

C

D

Indicar verdadero o falso, según corresponda.

•

El área de “A3” es: 4π

..................... ( )

•

El perímetro de la región sombreada es: 8r + 8 ................................ ( ) 3 5. Si tenemos: 12 µ

B

a A

60º

B

12 µ C

D

C

12 µ

D

12 µ

F A Indicar verdadero o falso, según corresponda: 2 • El área de la región sombreada es 5a ..... ( ) Relacionar: 12 2 I. El área de la región A. • El área de la región no sombreada es 7a .. ( ) 12 sombreada es: B. 3. Si tenemos: II. El perímetro de la C. B C región sombreada es: D.

E

4µ

A

4µ


Colegios

226

I. ( )

TRILCE

12( 2 +1+π) µ

I. ( )

II. ( )

6. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: A. 2 +4π B. 4(π - 2)

( ) El área es un número positivo que indica la medida de la superficie limitada.

C. 4 2 +2π

( ) Las regiones equivalentes tienen áreas iguales.

( ) En un triángulo equilátero cuyo radio mide “r”, el área de su región triangular es 3 3 r2.

D. 4π +4 2 E. 8π

48 µ2

G

Relacionar:

24( 2 +1+π) µ

E. 72 µ2

36 µ2

II. ( )

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11. El perímetro de un rectángulo es igual a 60m2. Si el largo es el doble de su ancho, calcular su área. 12. Calcular el área de un semicírculo, si el diámetro de su semicircunferencia mide " x ". 2

4

13. Si el lado del cuadrado ABCD mide 4 cm, hallar el área de la región sombreada.

4

A


4

4


6m

6m

10. Hallar el área sombreada, si "X", "Y", "Z" y "W" son cuartos de círculo. X

Y

Z

W

B O

2

D

C

14. Si el área de la sala es 27 m2, el área de la oficina es 12 m2 y todas las habitaciones son cuadrados, ¿cuál es el área del salón de actos? Salón de Actos

Sala Oficina

15. Una bandera consiste de una cruz blanca sobre un fondo negro. Tanto la franja vertical como la franja horizontal son del mismo ancho, las medidas de la bandera son 48 cm x 24 cm. Si el área de la cruz blanca es igual al área de la parte negra de la bandera, ¿cuál es el ancho de la cruz?

6

Central: 619-8100

Unidad VIII

227

Razonamiento_Matematico

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