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Viscosité par

Claude WOLFF Docteur ès Sciences Professeur des Universités (Université de Haute-Alsace) Guest senior scientist (National Institute of Standards and Technology, USA)

et

Dominique DUPUIS Docteur ès Sciences Professeur des Universités (Université de Haute-Alsace)

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Introduction et définitions fondamentales....................................... Définition newtonienne de la viscosité de cisaillement ........................... Unités............................................................................................................ Viscosité en tant que phénomène de transport ........................................ Viscosité en tant que phénomène dissipatif ............................................. Principaux paramètres dont dépend la viscosité des liquides et des pâtes ..................................................................................................

—

3

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

Aspects quantitatifs macroscopiques ............................................... Comportements rhéologiques.................................................................... Modèles rhéologiques................................................................................. Différents types d’écoulements élémentaires........................................... Les grandeurs viscosimétriques mesurées ...............................................

— — — — —

4 4 7 7 8

3. 3.1

—

9

3.2 3.3

Aspects quantitatifs microscopiques ................................................ Viscosité des liquides micromoléculaires et des mélanges de liquides micromoléculaires miscibles...................... Viscosité des suspensions .......................................................................... Viscosité des solutions de polymères........................................................

— — —

9 9 11

4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Méthodes de mesure............................................................................... Généralités. Choix de la méthode de mesure ........................................... Mesure de la viscosité de cisaillement ...................................................... Mesure de la viscosité élongationnelle ..................................................... Mesure des contraintes normales.............................................................. Mesure de la viscosité dynamique complexe ...........................................

— — — — — —

13 13 13 18 19 20

5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Description de quelques appareils commerciaux........................... Viscosimètres capillaires............................................................................. Viscosimètres et rhéomètres rotatifs ......................................................... Rhéomètres multimodes............................................................................. Viscosimètres élongationnels..................................................................... Viscosimètres à chute de bille .................................................................... Appareils divers ...........................................................................................

— — — — — — —

21 21 22 24 24 25 25

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10 - 1994

Pour en savoir plus...........................................................................................

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Doc. R 2 350

a viscosité caractérise l’aptitude d’un fluide à s’écouler. La connaissance de la viscosité est fondamentale dans de nombreux domaines : en métrologie des fluides, que ceux-ci soient des gaz, des liquides ou des pâtes, dans l’emploi des peintures, dans celui des fluides vecteurs en thermique, dans la compréhension des phénomènes de lubrification, dans l’agro-alimentaire, dans le transport des fluides, etc. Si la mesure de la viscosité sur échantillons peut servir au contrôle de fabrication, la mesure continue permet d’en surveiller et réguler le processus. Toutefois, il importe, dès à présent, de mettre en garde le lecteur : la viscosité est insuffisante pour décrire à elle seule les propriétés d’un fluide en écoulement ; dans ce qui suit, d’autres grandeurs rhéologiques seront définies.

L

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VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

Définition d’un fluide et limitations du sujet : selon le Dictionnaire de rhéologie [2], un fluide est un corps qui ne peut rester en équilibre que lorsque l’état de contrainte imposé est caractérisé par un tenseur isotrope ; au contraire, si le déviateur du tenseur (appelé déviateur des contraintes) n’est pas nul, le corps se déforme indéfiniment. Autrement dit, le fluide est un corps susceptible de se déformer indéfiniment dès lors que la résultante des forces appliquées n’est pas nulle. Cette définition est très générale et ce sont les liquides et pâtes fluides qui sont particulièrement envisagés dans le présent article. Le lecteur se reportera utilement, pour les concepts fondamentaux, aux articles Mécanique des fluides [A 1 870] et Fluides non newtoniens [A 710] dans le traité Sciences fondamentales.

1. Introduction et définitions fondamentales 1.1 Définition newtonienne de la viscosité de cisaillement L’écoulement de cisaillement simple type est celui où le fluide est enfermé entre deux plans parallèles infinis (figure 1) ; l’un des plans (par exemple le plan inférieur) est immobile, l’autre se déplace à vitesse uniforme vy sous l’action d’une force tangentielle Fy . Ce déplacement se communique aux couches de fluide inférieures qui peuvent glisser les unes sur les autres, à l’image d’un jeu de cartes. Seules les couches fluides directement en contact avec les surfaces solides ne glissent pas, leur vitesse par rapport aux parois est toujours nulle ; c’est une hypothèse fondamentale, bien vérifiée expérimentalement dans la grande majorité des cas ; il existe cependant des exemples où, en raison d’interactions physico-chimiques à la paroi, cette hypothèse n’est plus strictement vérifiée. La paroi réelle peut alors être remplacée par une paroi virtuelle ; la portée des interactions étant en général faible par rapport aux dimensions efficaces des instruments de mesure, la correction à introduire – s’il y a lieu – est souvent très petite. Il suffit alors d’écrire que la force motrice agissant sur un élément d’aire dA = dx dy égale la force de frottement visqueux pour obtenir la loi de Newton : dv y dF y ----------- = η -----------dz dA soit

τ = ηγ˙

(1)

L’expression ainsi obtenue relie la contrainte de cisaillement τ = dFy /dA au gradient de vitesse γ˙ = dvy /dz, appelé aussi vitesse de cisaillement, et à la viscosité de cisaillement η, ou viscosité dynamique (le plus souvent appelée simplement viscosité). La relation (1) n’est valable que si l’écoulement est laminaire, c’est-à-dire si les couches fluides glissent effectivement les unes sur les autres, sans mouvement désordonné affectant des quantités de matière importantes (§ 2.3.1). Les fluides vérifiant l’équation (1) et pour lesquels η est indépendante de γ˙ (et donc de τ ) sont appelés fluides newtoniens. Les liquides purs micromoléculaires sont newtoniens (eau, solvants, glycérol, benzène...) Pour les autres fluides, dits non newtoniens, l’équation (1) définit une viscosité de cisaillement apparente. Remarque : nous employons ici le terme « micromoléculaire » par opposition à « macromoléculaire » (les liquides purs macromoléculaires sont généralement non newtoniens).

1.2 Unités ■ L’équation aux dimensions de η est : masse/(longueur × temps) L’unité légale est le pascal-seconde (Pa · s). L’unité CGS est le poise (symbole P : 1 P = 10–1 Pa · s). Les sous-multiples sont largement utilisés puisque la viscosité de l’eau est environ : 1 mPa · s = 10–3 Pa · s = 1 cP ■ Il est assez courant d’employer également la viscosité de cisaillement cinématique, définie par : ν = η /ρ avec ρ masse volumique du fluide. L’unité légale pour ν est le m 2 /s et l’unité CGS le stokes (symbole St) : 1 St = 1 cm2/s = 10– 4 m2/s Dans ce qui suit, cette viscosité ne sera pas utilisée.

Figure 1 – Écoulement plan sur plan

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1.3 Viscosité en tant que phénomène de transport La viscosité est la manifestation macroscopique d’un phénomène de transport de quantité de mouvement. Cela peut se voir facilement sur un fluide gazeux newtonien composé de molécules identiques de masse m au moyen de la théorie cinétique élémentaire des gaz [13]. Considérons l’écoulement schématisé sur la figure 1. < a > désignant la moyenne de la quantité a, on a pour les vitesses :

détruisant l’ordre à courte distance. La variation de la viscosité des liquides avec la température T peut être décrite approximativement par une loi d’Arrhenius :

η = A exp ( E p / kT )

1 3 ----- m < v 2 > = ----- kT 2 2 avec

k constante de Boltzmann, T température thermodynamique.

Soit n le nombre de molécules par unité de volume et le libre parcours moyen. nm < v 2 > 1 ⁄ 2 η = ----------------------------------------Il vient alors : 3 Cette expression décrit correctement les propriétés de la viscosité des gaz ; elle ne dépend pratiquement pas de la pression (dans le domaine des pressions moyennes), et elle croît avec la racine carrée de la température, en raison de l’augmentation des interactions browniennes. Malheureusement, les théories de la viscosité des autres fluides, quel que soit leur degré de complexité, sont encore incapables de fournir des résultats aussi précis.

1.4 Viscosité en tant que phénomène dissipatif Le maintien d’un écoulement visqueux nécessite de l’énergie ; il en est de même pour le déplacement d’un mobile au sein d’un fluide visqueux. Cette énergie se calcule facilement. En se plaçant dans le cas de la figure 1, la puissance dP dissipée par la force dFy est : dP = dFy vy soit, en utilisant la relation (1) et la définition du gradient de vitesse :

d’où

dP = ( τ dx dy ) γ˙ dz = τ γ˙ dx dy dz dP W = --------------------------- = τγ˙ = ηγ˙ 2 dx dy dz

W représente l’énergie dissipée par unité de temps et par unité de volume. Sa croissance rapide avec γ˙ peut entraîner une forte élévation de température au sein du fluide et être à l’origine d’erreurs importantes dans la mesure de la viscosité (§ 1.5a).

1.5 Principaux paramètres dont dépend la viscosité des liquides et des pâtes Nota : le lecteur trouvera des valeurs numériques de la viscosité des fluides dans [53].

Les paramètres dont dépend la viscosité des liquides et des pâtes sont les suivants. a) La température : pour les liquides et les pâtes, la variation de la viscosité avec la température est opposée à celle observée pour les gaz (§ 1.3) : η décroît lorsque T augmente, l’agitation thermique

η = A exp [ E p / ( kT – B ) ]

ou

  

(2)

ou par des formules empiriques, comme : B η = ---------------------( T + θ )n

< vx > = < vz > = 0 < v y > = γ˙ z

VISCOSITÉ

avec

A, B, k, n, Ep , θ T

constantes, température thermodynamique (exprimée en kelvins).

■ À la température critique θc , la viscosité est théoriquement nulle ; à la température de fusion θf , le liquide étant en équilibre avec le solide, sa viscosité peut être considérée comme infinie ; on alors une autre expression de la viscosité :

θc – T η = C ----------------T – θf avec

C

(3)

constante,

expression valable au voisinage de θf . ■ Un caractère général de la viscosité des liquides est que la variation thermique est très importante : 1 dη – 0,5 % / ° C ------ ---------- – 10 %/ ° C η dT Ainsi, la viscosité de l’eau passe de 1,008 mPa · s à 20 o C à 0,660 mPa · s à 40 oC. b) La nature chimique du liquide ou de la pâte. c) La concentration en soluté dans le cas de solutions, ou la concentration de l’une des phases dans le cas de fluides diphasiques vrais (suspensions, émulsions). Notons que, pour les solutions très diluées, le produit η λ (où λ est la conductivité électrique) est en général constant. d) La pression : la viscosité des liquides croît faiblement avec la pression. Cette variation est souvent négligeable. Ainsi, pour l’alcool méthylique à 20 oC, une augmentation de 50 % de la viscosité s’obtient pour une augmentation de pression de 100 MPa ; une variation identique s’obtient en abaissant la température de 15 oC. e) Le temps : l’influence du temps, combinée avec celle de la contrainte de cisaillement, peut être complexe et donner lieu à des phénomènes rhéopexiques. On distingue les liquides thixotropes dont, à contrainte de cisaillement constante, la viscosité décroît lorsque la durée du cisaillement augmente, et les liquides antithixotropes pour lesquels η croît avec la durée du cisaillement. Lorsque la contrainte est supprimée, on peut avoir, après un temps plus ou moins long, retour à l’initial ; on peut aussi aboutir à une fluidification ou à un épaississement stable, correspondant à un changement important de la structure intra ou intermoléculaire du fluide. Un cas particulier de l’influence du temps est la dégradation « mécanique » d’une solution ou d’une suspension (c’est-à-dire la rupture mécanique des particules ou des molécules du soluté ou la modification de leur organisation), mais de tels phénomènes sont rarement observés en écoulement de cisaillement simple.


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VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

Enfin, il est clair que les observations qui viennent d’être décrites exigent l’existence d’une contrainte de cisaillement et ne doivent pas être confondues avec des effets purement physico-chimiques, encore que cette distinction ne soit pas toujours facile. f) La contrainte de cisaillement : l’étude de la variation de la viscosité apparente avec la contrainte de cisaillement ou, ce qui revient au même [cf. équation (1)], celle de la vitesse de cisaillement en fonction de la contrainte fournit des courbes d’une certaine diversité, qui permettent un classement des fluides d’après leur comportement rhéologique (§ 2.1).

2. Aspects quantitatifs macroscopiques

Plusieurs équations empiriques ont été proposées pour décrire le comportement rhéologique des fluides rhéofluidifiants, notamment dans le domaine intermédiaire :

τ = k γ˙ n

avec

0
(Ostwald)

τ = A arg sh ( γ˙ / C )

( Prandtl )

τ = ( γ˙ / B ) + C sh ( τ / A )

( Eyring )

τ = A γ˙ + B arg sh C γ˙ A γ˙ τ = ---------------- + η ∞ γ˙ B + γ˙

( Powell-Eyring )

(4)

( Williamson )

A, B, C, k, n

constantes (n est souvent appelé exposant de la loi de puissance),

η∞

valeur de la viscosité dans le second domaine newtonien.

2.1 Comportements rhéologiques On distingue les fluides newtoniens, les fluides non newtoniens indépendants ou dépendants du temps, les fluides viscoélastiques [14].

Les suspensions de particules anisodiamétriques ont souvent un comportement rhéofluidifiant. 2.1.2.2 Corps plastiques

2.1.1 Fluides newtoniens Ils sont caractérisés par des droites [équation (1)] de pente 1/η dans les diagrammes γ˙ = f ( τ ) (appelés rhéogrammes) ou de pente unité en lg τ = f ( lg γ˙ ) et par une horizontale dans les diagrammes

η = f (τ ) ou lg η = f (lg τ ) (figure 2).

Ils sont caractérisés par une contrainte de cisaillement seuil τc au-dessous de laquelle l’écoulement est impossible (figures 3a, c et d ). Une équation du corps peut alors être :

τ – τ c = k γ˙ n

n≠0

(5)

Pour n = 1, k = η (ici la viscosité η, appelée parfois viscosité plastique, n’a évidemment de sens que si τ > τc ), le corps est dit de Bingham.

2.1.2 Fluides non newtoniens indépendants du temps (sans hystérésis) Du point de vue de la viscosité de cisaillement, ces fluides peuvent se classer assez grossièrement en trois catégories. Il importe toutefois de noter qu’il existe des fluides dont le comportement, plus complexe, consiste en une succession de deux des trois comportements simples qui sont décrits ci-après. En outre, cette description négligera, dans un premier temps, un autre paramètre important de certains de ces fluides, à savoir leur élasticité ; les fluides possédant ce caractère sont appelés viscoélastiques (§ 2.1.4). 2.1.2.1 Fluides rhéofluidifiants ou pseudoplastiques Leur viscosité apparente décroît de façon monotone lorsque γ˙ augmente (figure 3). On observe parfois une plage initiale dans la courbe η = f (τ ) où η apparaît comme constante : c’est la première région newtonienne ; de même, après un domaine intermédiaire de contrainte de cisaillement dans lequel η décroît fortement, il apparaît une nouvelle zone où η ne varie pratiquement plus : c’est la seconde région newtonienne (qu’il est parfois impossible d’observer expérimentalement).

Figure 3 – Diagrammes caractéristiques des corps non newtoniens indépendants du temps

Figure 2 – Diagrammes caractéristiques des fluides newtoniens

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___________________________________________________________________________________________________________________________

2.1.4 Fluides viscoélastiques

Signalons aussi l’équation de Casson : (τ

1/2

–

1/2 2 τc )

= ηγ˙

VISCOSITÉ

(6)

De tels comportements s’observent couramment avec des fluides pâteux et sont dus généralement à l’existence d’une structure tridimensionnelle qui ne se rompt que pour τ > τc . 2.1.2.3 Fluides rhéoépaississants Au contraire des fluides rhéofluidifiants, leur viscosité apparente augmente avec la contrainte de cisaillement ; mais, comme eux, ils peuvent également présenter un domaine newtonien initial et final (figure 3c ). Une équation du type équation d’Ostwald :

À l’exception du cas considéré au paragraphe 2.1.3, les fluides examinés jusqu’à présent sont caractérisés par une relation biunivoque τ ↔ γ˙ indépendante du temps (figure 5). À un créneau de contrainte τ appliqué durant un temps t correspond, en phase et pendant la même durée, un écoulement caractérisé par un créneau de vitesse de déformation γ˙ . Considérons maintenant un solide élastique parfait obéissant à la loi de Hooke : τ = Gγ ou γ = Jτ (8)

γ

(7)

déformation (glissement dans le cas d’un système à une dimension), G module de cisaillement (module de Coulomb), J complaisance (compliance en anglais).

peut présenter correctement ce comportement. Il s’accompagne souvent, mais pas nécessairement, d’une augmentation de volume du matériau aux contraintes élevées, d’où parfois l’appellation de fluide dilatant.

Les créneaux de contrainte et de déformation sont en phase (figure 6). La situation ainsi obtenue est très différente de celle du fluide visqueux ; en effet, pour un fluide newtonien on a :

τ = k γ˙ n ; n > 1

avec

γ = ( τ / η )t Ce comportement s’observe pour les suspensions concentrées de particules chargées.

2.1.3 Fluides non newtoniens dépendants du temps (avec hystérésis) Dans une analyse hâtive, le comportement de ces fluides peut parfois apparaître comme identique à celui décrit au paragraphe 2.1.2. Les différences apparaîtront clairement si, après avoir déterminé un rhéogramme à vitesse de cisaillement γ˙ croissante, on le poursuit en faisant décroître γ˙ . Les valeurs de τ, ou de la viscosité apparente η, et s’il y a lieu celle de τc , ne sont pas identiques dans les deux branches (figure 4) : le rhéogramme présente une hystérésis. Dans le cas particulier de la figure 4, un fluide rhéoépaississant aux valeurs de τ croissantes devient newtonien aux valeurs décroissantes de τ. Une autre méthode consiste à étudier, à τ constante, la variation de γ˙ ou de η en fonction du temps (§ 1.5e ) postérieurement à une brusque variation de τ ; il faut cependant prendre garde à ce que les mesures soient faites à une valeur suffisamment élevée de la contrainte de cisaillement : en effet, l’effet thixotropique peut n’exister que dans un certain domaine de contrainte.

Figure 4 – Rhéogramme d’un fluide non newtonien dépendant du temps

ce qui correspond à la figure 7. Lorsque la contrainte est supprimée, le matériau conserve sa déformation. Cela met en évidence une autre différence essentielle entre le solide hookéen et le fluide visqueux : le premier emmagasine l’énergie qui lui est fournie pour se déformer, et la restitue entièrement en revenant à son état d’équilibre (en l’absence de contrainte), alors que le fluide visqueux dissipe entièrement l’énergie de déformation en chaleur.

Figure 5 – Correspondance, en phase, de et de ˙ (fluide visqueux)

Figure 6 – Correspondance, en phase, de et de (solide hookéen)


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VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

Un fluide viscoélastique est un matériau qui possède à la fois des propriétés visqueuses et élastiques, les grandeurs caractérisant ces propriétés (η, G, J ) étant dépendantes de la durée d’application de la déformation ou de la contrainte [15]. L’essai de fluage consiste alors à observer la réponse du système à un échelon de contrainte. Une telle réponse est schématisée sur la figure 8. Dans l’approximation de la viscoélasticité linéaire, c’est-à-dire en général des faibles contraintes ou des faibles déformations, on peut écrire : γ (t ) = J (t ) τ + O (τ 3) avec

O ( τ 3)

τ 3.

terme de l’ordre de Dans un certain nombre de cas simples, γ (t ) peut se décrire aux temps longs ( t t r ) par :

γ (t ) = τ J ∞ + τ t /η avec

t r temps de relaxation du fluide, J ∞ complaisance d’équilibre [ lim J ( t ) ] . t→∞

Plus le temps de relaxation déterminé par les processus moléculaires mis en jeu est court, plus le comportement apparaît comme purement visqueux.

La figure 9 représente le résultat, toujours pour un corps viscoélastique linéaire, d’un essai de relaxation de contrainte, c’est-à-dire la réponse à un échelon de déformation. On a maintenant :

γ (t ) = G (t ) γ + O (γ 3) Notons que l’on a : J0 G 0 = J∞ G ∞ = 1 avec

J0

complaisance initiale ou instantanée (qui peut ne pas être mesurable),

mais une telle relation n’est qu’approximative à un temps quelconque [J (t ) G (t ) ≠ 1 en général]. Comme cela a déjà été dit, le comportement viscoélastique se superpose aux comportements décrits aux paragraphes 2.1.2 et 2.1.3. C’est ainsi qu’il existe, par exemple, des fluides viscoélastiques rhéofluidifiants (c’est le cas de la plupart des solutions de polymères), plastiques et rhéoépaississants. Apparemment, la confusion entre fluides viscoélastiques et fluides non newtoniens à hystérésis (§ 1.5e et 2.1.3) est aisée ; la viscoélasticité peut apparaître comme une antithixotropie (figure 8). En réalité, les échelles de temps de ces deux phénomènes sont souvent très différentes, le temps de relaxation caractéristique de la viscoélasticité étant en général inférieur de plusieurs ordres de grandeur au temps nécessaire pour que se manifestent les phénomènes d’antithixotropie ; en outre la viscoélasticité est un phénomène continu lorsque γ ou γ˙ (ou τ ) sont étudiés, à t = Cte, en fonction de τ (ou de γ ). Au contrainte, les phénomènes thixotropes présentent en général un seuil de contraintes au-dessous duquel ils ne sont pas observables. Un fluide newtonien n’est pas viscoélastique en général. Mais le caractère newtonien a lui-même des limites ; ainsi l’eau, au voisinage de 0 oC, est nettement viscoélastique.

Figure 7 – Correspondance de et de (fluide visqueux)

Signalons, pour terminer, que l’approximation de la viscoélasticité linéaire, dans laquelle est placée la description précédente, est largement utilisée dans la pratique courante. Elle est néanmoins insuffisante pour rendre compte à elle seule de tous les phénomènes rhéologiques, tel par exemple l’effet Weissenberg, qui est le suivant : lorsqu’un cylindre plein tournant est placé dans certains matériaux, ces derniers remontent le long du cylindre, malgré la pesanteur et la force centrifuge. Des théories non linéaires ont été développées pour parvenir à une plus grande généralité dans la prévision des comportements rhéologiques [15] [16] ; malheureusement elles sont souvent d’une grande complexité mathématique et nécessitent la connaissance ou l’estimation de nombreux paramètres.

Figure 9 – Relaxation d’un corps viscoélastique Figure 8 – Fluage schématique d’un liquide viscoélastique

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___________________________________________________________________________________________________________________________

VISCOSITÉ

2.2 Modèles rhéologiques Un certain nombre de comportements rhéologiques, du type de ceux qui viennent d’être décrits au paragraphe 2.1, peuvent être simulés au moyen d’une analogie mécanique (ou électrique) réalisée en combinant quatre éléments de base, à savoir le ressort parfait, le patin représentant une force de frottement constante, l’amortisseur idéal et la butée. La modélisation se fait en écrivant l’équation du mouvement de l’extrémité du modèle et en assimilant la force à la contrainte et le déplacement à la déformation. Le ressort obéit strictement à la loi de Hooke (8), si H (t ) représente la fonction d’Heaviside (échelon unité), on alors : GR (t ) = GR H (t )

J R ( t ) = J R H (t )

et

JR = 1/GR

l’indice R se rapportant au ressort. L’amortisseur idéal obéit exactement à la loi de Newton [équation (1)] : JA (t ) = t H (t )/η G A (t ) = η δ (t ) avec δ (t ) impulsion de Dirac, l’indice A se rapportant à l’amortisseur. ■ L’association en série d’un ressort et d’un amortisseur (figure 10a ) fournit le modèle Maxwell, pour lequel les complaisances sont additives : J M (t ) = J R ( t ) + J A (t ) L’équation du modèle est alors :

Figure 10 – Modèles rhéologiques

s’interpénétrer ; la longueur caractéristique des échanges entre couches est égale au libre parcours moyen des molécules constituant le fluide. ■ Au contraire, pour Re > Re *, il y a interpénétration importante et désordonnée (aussi bien dans le temps que dans l’espace) des couches les unes avec les autres : l’écoulement est turbulent et présente un aspect macroscopiquement incohérent. Le passage du régime laminaire au régime turbulent n’est pas brusque en général ; la transition s’effectue par un régime intermédiaire. Notons enfin qu’il ne faut pas confondre le régime turbulent avec un régime caractérisé par l’existence d’écoulements secondaires stables (par exemple les tourbillons de Taylor dans les écoulements entre deux cylindres coaxiaux) ou d’instabilités à caractère périodique dans l’espace.

τ˙ /G M + τ / η = γ˙ ■ En association parallèle (figure 10b ), on obtient le modèle de Kelvin-Voigt, pour lequel les modules sont additifs : GM (t ) = GR (t ) + GA (t )

La mesure précise de la viscosité ne peut se faire qu’en écoulement strictement laminaire. La présence d’écoulements secondaires ou d’instabilités entraîne, dans le meilleur des cas, des corrections dont la justification théorique n’est pas toujours évidente.

et pour lequel l’équation est :

τ = G M γ + ηγ˙ Des modèles plus élaborés s’obtiennent en associant un nombre quelconque d’éléments de base.

2.3 Différents types d’écoulements élémentaires 2.3.1 Nombre de Reynolds D’un point de vue dynamique, les écoulements sont classés d’après la valeur du nombre de Reynolds Re ; ce nombre, sans dimension, est défini par :

2.3.2 Écoulements élémentaires Les écoulements élémentaires sont des écoulements dont l’étude mathématique peut être menée analytiquement à son terme (en tout cas pour des fluides newtoniens). La métrologie rhéologique est fondée sur ces écoulements. 2.3.2.1 Écoulements de cisaillement simple ■ Un premier exemple d’écoulement de cisaillement simple a été décrit au paragraphe 1.1. Dans un référentiel cartésien de coordonnées x 1 , x 2 , x 3 , la vitesse du fluide se met sous la forme : v 1 = γ˙ x 2 v2 = v3 = 0

Re = ρ < U > D /η

ρ masse volumique du fluide, < U > vitesse moyenne du fluide dans l’écoulement. D est une dimension caractéristique de l’écoulement ; il s’agit d’une dimension dont la variation, toutes choses égales par ailleurs (c’est-à-dire sans modifier les autres grandeurs indépendantes), entraîne un changement de la vitesse moyenne. Pour un écoulement dans un tube circulaire, D est le diamètre du tube ; pour un écoulement entre deux cylindres, D est égal à l’entrefer. Le nombre de Reynolds caractérise en fait le rapport des forces d’inertie aux forces de viscosité.

avec

■ Dans le cas d’un tube circulaire, pour Re < Re * ≈ 2 000, l’écoulement est laminaire ; macroscopiquement, tout se passe comme si les c o u c h e s fl u i d e s g l i s s a i e n t l e s u n e s s u r l e s a u t r e s s a n s

Le tenseur des contraintes s’écrit alors simplement :

avec

τ 11 τ 12 τ 12 τ 22 0

0

0 0

τ 33

τ 12 = γ˙ η ( γ˙ ) = τ τ 11 – τ 22 = N 1 ( γ˙ ) = Ψ 1 ( γ˙ ) γ˙ 2 τ 22 – τ 33 = N 2 ( γ˙ ) = Ψ 2 ( γ˙ ) γ˙ 2


    

(9)

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VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

Les fonctions N 1 ( γ˙ ) et N 2 ( γ˙ ) sont appelées respectivement première et seconde différences de contraintes normales. Ψ1 et Ψ2 sont respectivement le premier et le second coefficient des contraintes normales. La détermination de N1 et N2 est importante lorsque l’on veut connaître complètement l’équation d’état rhéologique du fluide considéré, notamment ses propriétés élastiques. Les écoulements suivants appartiennent également à la catégorie des écoulements de cisaillement simple. Ce sont eux qui sont employés pour les mesures viscosimétriques usuelles. ■ L’écoulement de torsion est réalisé entre deux disques coaxiaux, dont l’un est immobile et dont l’autre tourne avec une vitesse angulaire ω (figure 11a). Dans un système de coordonnées polaires cylindriques (r, ϕ, z ), la vitesse du fluide s’écrit :

2.3.2.2 Écoulement de cisaillement simple oscillatoire Dans cet écoulement, la vitesse du fluide dans un repère cartésien s’exprime par : v1 = x 2 γ ω cos ωt v2 = v3 = 0 L’amplitude γ étant suffisamment petite pour que les termes d’ordre supérieur puissent être négligés, la contrainte peut s’écrire : G′ τ 12 = τ = ωγ η ′ cos ω t + -------- sin ω t ω

vz = 0 ■ L’écoulement entre cônes coaxiaux (figure 11b), dont l’un est immobile et dont l’autre tourne à une vitesse angulaire ω ; le cas particulier où l’un des cônes est un plan est utilisé couramment dans les mesures rhéologiques (système cône-plan). Dans un système de coordonnées polaires sphériques (r, ϕ, θ ), la vitesse du fluide est : vr = 0

Pour un liquide newtonien :

η’ = η et G’ = 0 alors que pour un solide hookéen : G’ = G

et

η’ = 0

Cet écoulement permet la détermination des propriétés viscoélastiques. Des méthodes plus sophistiquées utilisent un écoulement oscillatoire superposé à un écoulement de cisaillement simple. 2.3.2.3 Écoulements élongationnels Ces écoulements, également qualifiés d’extensionnels ou d’écoulements de cisaillement pur, sont caractérisés par une vitesse de fluide ayant pour composantes :

vϕ = 0

v 1 = γ˙e x 1

vθ = r ω (ϕ ) sin ϕ

v 2 = – γ˙e x 2 /2 v 3 = – γ˙e x 3 /2

■ Les écoulements hélicoïdaux : dans un système de coordonnées polaires cylindriques la vitesse du fluide est alors : vr = 0 vϕ = r ω (r)

avec

γ˙e

vitesse de déformation (ou gradient élongationnel) constante.

Les composantes du tenseur des contraintes sont alors :

vz = v (r) L’écoulement de Poiseuille (c’est-à-dire dans un tube cylindrique) et l’écoulement de Couette (entre cylindres coaxiaux, l’un des cylindres étant immobile) sont des cas particuliers d’écoulements hélicoïdaux très utilisés en viscosimétrie.

(10)

η’ et G’ sont des fonctions paires de ω appelées respectivement viscosité dynamique et rigidité dynamique.

vr = 0 vϕ = r ω (z )

τ12 = τ = 0 ; τ11 – τ22 = τ11 – τ33 = γ˙e η e ( γ˙e )

(11)

ηe viscosité élongationnelle. Pour un liquide newtonien, ηe = 3 η.

avec

2.4 Les grandeurs viscosimétriques mesurées 2.4.1 Viscosité de cisaillement La viscosité de cisaillement est la grandeur le plus couramment mesurée ; c’est également la plus facile à déterminer. Rappelons cependant qu’elle n’est vraiment significative que pour un fluide newtonien. Quoique la connaissance de sa variation avec la contrainte de cisaillement renseigne sur le caractère non newtonien du fluide considéré, elle ne peut servir à déterminer son élasticité.

2.4.2 Élasticité

Figure 11 – Écoulements de cisaillement simple

R 2 350 − 8

Cette grandeur est estimée à partir de l’une des mesures suivantes : — la première différence de contraintes normales (§ 2.3.2.1) ; — la viscosité élongationnelle (§ 2.3.2.3) ; — la viscosité complexe dynamique et sa variation avec la fréquence. Ces dernières grandeurs sont en général beaucoup plus difficiles à déterminer que la viscosité de cisaillement.


___________________________________________________________________________________________________________________________

2.4.3 Diverses fonctions de la viscosité de cisaillement

Ces opérations présentent beaucoup d’analogies avec celles de la propagation d’un courant alternatif dans un circuit réactif. Par des mesures appropriées (§ 4.5), on détermine effectivement G* ou η*.

Pour les suspensions et les solutions, on définit : — la viscosité relative ηr , ou rapport de viscosité :

η r = η /η s

(12)

où, sous une contrainte de cisaillement donnée, η est la viscosité de la solution ou de la suspension et ηs celle du solvant ; sauf de très rares exceptions, on a : η r 1 ; — la viscosité spécifique :

ηsp = ηr – 1 — la viscosité réduite :

ηred = ηsp /c

(13)

avec c concentration du soluté ou des particules en suspension ; — la viscosité intrinsèque [η ] : [ η ] = lim η red c→0

(14)

Les quatre quantités ainsi définies sont sans dimension à condition, pour la viscosité réduite, que la concentration soit exprimée en fraction volumique ou massique. Il est cependant courant que cette concentration soit une masse volumique ; ηred a alors les dimensions d’un volume massique et s’exprime comme tel, souvent de façon barbare en mL/g, voire en dL/g ! Nombre d’industries, telles l’industrie pétrolière, celle des peintures et adhésifs, ont défini, pour leurs besoins propres, des quantités fonctions de la viscosité, dont certaines sont adoptées dans les normes. Ainsi, par exemple, l’indice de viscosité (IV) est employé pour qualifier la variation thermique de la viscosité des huiles industrielles entre 40 et 100 oC. Nota : le lecteur se reportera utilement aux articles [B 5 340] [B 5 348] [BM 5 341] [BM 5 344] Lubrifiants dans le traité Génie mécanique.

2.4.4 Seuil d’écoulement Le seuil d’écoulement, caractérisé par la valeur τc de la contrainte de cisaillement (§ 2.1.2.2), est absolument nécessaire pour caractériser les corps plastiques.

2.4.5 Grandeurs viscoélastiques ■ Dans des conditions d’écoulement de cisaillement simple, il est parfois possible d’observer qualitativement un effet viscoélastique, mais il peut être difficile de le mesurer. En effet, une telle mesure implique la détermination simultanée de la contrainte, de la déformation et du temps, souvent sur des intervalles de temps très courts (inférieurs à 1 s). Les quantités mesurables sont le module de cisaillement, la complaisance, le temps de relaxation. ■ Dans le cas d’un écoulement oscillatoire, on peut écrire sous forme complexe (désignée par *) :

τ* = η* ω γ exp j ωt avec

j ω

(15)

imaginaire, pulsation,

η* = η’ – j G’/ω En posant :

viscosité dynamique complexe. G’’ = ω η’

avec G’’ module de perte, on définit le module complexe : G* = G’ + j G’’

VISCOSITÉ

(16)

3. Aspects quantitatifs microscopiques 3.1 Viscosité des liquides micromoléculaires et des mélanges de liquides micromoléculaires miscibles Les liquides purs micromoléculaires sont strictement newtoniens. Toutefois, ni la valeur de la viscosité, ni sa variation avec la température ne sont prévisibles quantitativement par les théories. L’utilisation de formules empiriques (§ 1.5) permet de limiter à trois ou quatre le nombre de points nécessaires pour caractériser le liquide dans une large plage de température [17] [18].

3.2 Viscosité des suspensions La viscosité d’une suspension de particules solides dans un liquide (en général micromoléculaire) dépend des paramètres suivants : la viscosité du solvant, la forme des particules, la taille de celles-ci, la concentration, la charge électrique, la contrainte de cisaillement, la température. ■ Viscosité du solvant : elle intervient même lorsqu’elle n’apparaît pas explicitement (§ 2.4). En effet, c’est l’accroissement de viscosité par rapport au solvant qui est important. Les calculs théoriques considèrent toujours le cas d’un solvant newtonien, et ce sont également les conditions pratiques les plus générales. ■ Forme des particules : en première approximation, on distingue les sphères et les ellipsoïdes. Les théories ont calculé la viscosité de suspensions de sphères dures (A. Einstein) et de sphères déformables (G.I. Taylor), ainsi que celle de suspensions d’ellipsoïdes allongés et aplatis (Jeffery, Saito [21], Peterlin). Le cas des ellipsoïdes contient à la limite celui des cylindres (bâtonnets) de grand allongement et celui des disques. ■ Taille des particules : en fait, ce qui suit ne concerne que des particules de dimensions microscopiques ( 10 µm) affectées par le mouvement brownien. Le problème posé par des particules de grandes dimensions est totalement différent ; il ne relève plus de la mécanique des milieux continus et il n’est guère opportun de définir la viscosité de suspensions d’objets macroscopiques. ■ Concentration : les théories ne sont valables quantitativement que dans le domaine des suspensions diluées, c’est-à-dire lorsque le volume offert à chaque particule est supérieur au volume qu’elle est susceptible de balayer en tournant autour de son centre. ■ Charge électrique, s’il y a lieu : le fait, pour les particules, de porter une charge électrostatique modifie les potentiels d’interaction et la mobilité des particules, il s’ensuit un accroissement de viscosité par rapport aux particules neutres : c’est l’effet électrovisqueux. ■ Contrainte de cisaillement : à l’exception des suspensions de sphères dures non chargées, les suspensions présentent un comportement non newtonien, le plus souvent pseudoplastique aux concentrations faibles (typiquement jusqu’à quelques pour-cent). Mais, aux concentrations élevées, ce comportement peut devenir très compliqué avec l’apparition de phénomènes rhéopexiques et de rhéoépaississement, dus à la formation de structures organisées entre les particules.


R 2 350 − 9

VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

Dans ce qui suit, on notera [η ]0 la viscosité intrinsèque extrapolée à contrainte de cisaillement nulle. ■ Température : en dehors de son action sur la viscosité du solvant, la température agit de deux manières différentes sur l’accroissement de viscosité des suspensions : d’une part, par la modification du mouvement brownien et la dissipation correspondante d’énergie visqueuse et, d’autre part, par la variation des interactions entre particules.

3.2.1 Influence de la forme des particules. Viscosité intrinsèque

La viscosité d’une suspension peut s’écrire sous forme d’un développement limité :

η = ηs (1 + a 1 c + a 2 c 2 + a 3 c 3 + ...)

3.2.1.1 Sphères dures (17)

avec

c concentration, η viscosité de la solution, ηs viscosité du solvant. Ce résultat, dû à Einstein, est indépendant du rayon des sphères.

3.2.1.2 Sphères déformables

5 1 + 2 η s /5 η int [ η ] 0 = ----- -------------------------------------1 + η s / η int 2

(18)

— si ηint → ∞, on retrouve l’expression d’Einstein (17) ; — si ηint → 0 (cas des mousses), [η ]0 → 1. 3.2.1.3 Ellipsoïdes de révolution rigides

— de Mooney :

[ η ]0 c η r = exp ---------------------------1 – ( c /c c )

c cc

c c fraction volumique correspondant à un arrangement des sphères selon un réseau cubique centré (c c ≈ 0,74) ; – [ η ]0 cc

— de Dougherty :

c η r = 1 – ------cc

— d’Eilers :

[ η ]0 c η r = 1 + -----------------------------------2 [ 1 – ( c /c c ) ]

(ellipsoïdes aplatis) et pour les ellipsoïdes allongés ( p 1 ) : pour 1 p 15 , pour p > 15,

5 [ η ] 0 = ----- + 0,407 5 ( p – 1 ) 1,508 2

p2 1 1 [ η ] 0 = 1,6 + -------- ------------------------------------- + -------------------------------5 3 ( ln 2 p – 1 ) ln 2 p – 0,5

ln p désignant le logarithme népérien de p. Pour les valeurs élevées ou très faibles d’allongement, on peut également utiliser les expressions de Layec et Wolff [24] : — pour 0,02 p > 0 , [η]0 = 0,734 (1/p )0,989 (ellipsoïde aplati) ;

Figure 12 – Définition de la viscosité intrinsèque

— pour 50 p < 2 000 , [η]0 = 0,141 p 1,812 (ellipsoïde allongé) ; — et, pour un cylindre à bouts arrondis ( p 50 ) : [η]0 = 0,159 p 1,801

R 2 350 − 10

2

Toutes ces relations semi-empiriques considèrent des suspensions homogènes et monodisperses, c’est-à-dire constituées [25] de particules identiques. Simha, Weissberg et collaborateurs, Wolff et collaborateurs [26] ont évalué l’influence de processus d’association interparticules sur la viscosité et sa variation avec la concentration. Il convient également de citer les très beaux travaux de S.G. Mason et collaborateurs sur la microrhéologie des suspensions [19].

Si p désigne l’allongement (rapport des longueurs des axes principaux), les expressions suivantes ont été proposées par Kuhn et par Simha [23] : 1–p 32 1 5 pour 0 < p 1 , [ η ] 0 = ----- + ------------ ----- – 1 – 0,628 -----------------------------1 – 0,075p 2 15π p

(20)

avec k H constante de Huggins. Le terme en c 2 de l’équation (20) représente l’effet des interactions binaires entre particules. Un très grand nombre de travaux ont été consacrés au calcul de k H pour des sphères dures ; les valeurs trouvées se situent dans un domaine allant de 0,4 à 2,5 environ. D’autres modèles (haltère rigide, bâtonnet, etc.) ont été envisagés, conduisant à diverses valeurs de k H , de l’ordre de l’unité, mais dont l’accord précis avec l’expérimentation reste exceptionnel. Aux concentrations plus élevées, parmi plus de cent vingt équations qui ont été proposées, on retiendra particulièrement les équations : — d’Arrhenius : ηr = exp ([η]0 c )

avec

Ce cas a été traité par G.I. Taylor ; il comprend comme applications particulières les émulsions et les mousses. La particule est modélisée sous forme d’une gouttelette sphérique renfermant un fluide de viscosité interne ηint différente de la viscosité du solvant, ce qui confère une certaine déformabilité à la particule. L’expression de la viscosité intrinsèque est alors :

(19)

On voit que a 1 = [η ]0 ; pour atteindre l’approximation de second ordre, il est nécessaire d’évaluer a 2 ; l’équation (19) peut alors s’écrire (figure 12) :

η / η s = 1 + [ η ] 0 c + k H [ η ] 20 c 2 + O ( c 3 )

Dans les conditions limites de contrainte de cisaillement nulle et la concentration étant exprimée en fraction volumique (rapport du volume des particules à celui du solvant), la viscosité intrinsèque notée [η]0 , l’indice zéro rappelant la condition τ = 0, a été calculée pour les modèles, électriquement neutres, suivants.

η – ηs 5 [ η ] 0 = lim ----------------- = ----2 c → 0 ηs c

3.2.2 Influence de la concentration. Constante de Huggins


___________________________________________________________________________________________________________________________

3.2.3 Influence de la contrainte de cisaillement Nota : le lecteur pourra se reporter en [Doc. R 2 350] à la référence [27].

Théoriquement, la viscosité des suspensions de sphères dures ne dépend pas du gradient de vitesse [relation (17)]. Si, expérimentalement, une variation de η avec γ˙ est observée, elle doit être attribuée soit à l’inadéquation du modèle, soit à des interactions entre particules. Les suspensions de sphères déformables ont un comportement légèrement pseudoplastique. La variation de la viscosité intrinsèque des suspensions d’ellipsoïdes de révolution a été calculée théoriquement et numériquement ; le comportement est d’autant plus pseudoplastique que l’allongement p est élevé : la viscosité décroît lorsque le gradient de vitesse augmente. Cela se comprend facilement car les ellipsoïdes ont tendance à s’aligner selon les lignes de courant, offrant ainsi une moindre résistance à l’écoulement ; toutefois, cette orientation est contrariée par le mouvement brownien, ce qui explique que le paramètre utilisé pour décrire l’effet du gradient de vitesse (figure 13) est en réalité le rapport : α = γ˙ /D r où Dr constante de diffusion de rotation des particules, définie par : < θ2 > D r = -------------------6 t exprime la variation de la rotation quadratique moyenne par unité de temps. Une bonne approximation de ce comportement non newtonien est donnée par l’expression suivante : α --------------------- = a α + B 1 – [ η ]r avec

(21)

[η]r = [η]/[η]0 [η] et [η]0 viscosités intrinsèques mesurées respectivement à gradient de vitesse γ˙ et à gradient de vitesse nul ; a = 1,15 + 8,8 p – 3/2 ; a = 1,44 + 10,1

p – 3/2

B = 9,8 a ;

pour p > 5

B = 7 a + 11,3

pour 0 < p < 0,2

VISCOSITÉ

Il est ainsi possible d’estimer, aux concentrations faibles, l’effet non newtonien. Mais l’approximation (21) devient de plus en plus mauvaise aux concentrations plus élevées pour deux raisons : la constante de Huggins k H dépend elle-même, et de façon mal connue, du gradient de vitesse (en général, k H décroît lorsque γ˙ augmente) ; par ailleurs, la contrainte de cisaillement peut affecter considérablement l’organisation et les associations interparticules. En général, les suspensions concentrées sont fortement non newtoniennes, car l’organisation existant en l’absence d’écoulement est brisée aux gradients élevés ; ces phénomènes entraînent de la thixotropie (§ 1.5e ).

3.2.4 Influence des charges électriques Nota : le lecteur pourra se reporter en [Doc. R 2 350] aux références [28] [29] [30].

Déjà au niveau des fluides micromoléculaires, l’influence des charges électrostatiques est notable : c’est ainsi que la viscosité de certaines solutions aqueuses de sel peut être inférieure à celle de l’eau. Lorsque l’on ajoute des particules rigides chargées (portant des groupes ioniques) dans de l’eau (ou un solvant ionique), l’accroissement de viscosité peut être considéré comme la somme de l’effet géométrique de la présence des particules et de deux effets dus aux charges, les premier et deuxième effets électrovisqueux. ■ Chacune des particules chargées est entourée d’une couche de contre-ions ; c’est l’accroissement de viscosité, dû à cette couche qui se déplace avec la particule, qui constitue le premier effet électrovisqueux. ■ Le deuxième effet électrovisqueux provient de la modification des interactions binaires entre particules. Ces effets sont particulièrement évidents lorsque l’on modifie la concentration en particules ; la loi de Huggins (20) n’est plus vérifiée.

3.3 Viscosité des solutions de polymères La viscosité des solutions de polymères [31] [32] [33] présente beaucoup d’analogies avec celle des suspensions. En fait, l’identité devrait être totale en ce qui concerne les macromolécules qualifiées de rigides, tels les gammaglobulines ou les polypeptides en conformation hélicoïdale. En effet, ces macromolécules peuvent être respectivement assimilées à des sphères ou à des bâtonnets rigides. En réalité, les choses ne sont pas aussi simples, car ces macromolécules sont entourées d’une couche de solvatation dont la présence entraîne que les dimensions obtenues par les méthodes hydrodynamiques et par la mesure de viscosité en particulier sont parfois différentes de celles obtenues par d’autres techniques (diffusion de la lumière, par exemple). Sous réserve de cette remarque, les résultats présentés au paragraphe 3.2 s’appliquent aux macromolécules rigides. La viscosité des solutions de macromolécules flexibles (ou déformables) dépend, comme dans le cas des suspensions : — de la nature du polymère ; — de la masse moléculaire du polymère ; — de la nature du solvant et de sa température ; — de la concentration ; — de la contrainte de cisaillement ; — des charges électriques.

3.3.1 Influence de la concentration

Figure 13 – Viscosité intrinsèque des suspensions d’ellipsoïdes rigides

Contrairement aux suspensions de particules rigides, les macromolécules flexibles peuvent s’interpénétrer en solution : typiquement, dans le volume enveloppé par une macromolécule, il n’y a que 2 % environ de matériau macromoléculaire et 98 % de solvant. De ce fait, on distingue quatre domaines de concentration, dans lesquels les lois de viscosité sont tout à fait différentes.


R 2 350 − 11

VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

■ Dans le domaine dilué, les macromolécules disposent individuellement de suffisamment de place pour ne pas s’enchevêtrer. Dans ce domaine, la loi de Huggins s’applique presque toujours :

η /ηs = 1 + [η] c + k H

[η ] 2

c2

+

O (c 3)

(22)

avec 0 < k H 0,6 .

3.3.4 Influence de la contrainte de cisaillement Les solutions de polymères ont généralement un comportement viscoélastique (§ 2.1.4) et pseudoplastique (§ 2.1.2.1). Ce comportement est d’autant plus manifeste que la concentration et la masse moléculaire sont élevées.

Il est important de se rappeler que, dans le cas des polymères, on utilise le plus souvent une concentration exprimée en masse de polymère par unité de volume de solvant ; la viscosité intrinsèque s’exprime alors en cm3/g, ml/g, voire dl/g.

■ Aux faibles concentrations, le fluide est quasi newtonien, quoique la viscosité intrinsèque perde entre 50 et 90 % de sa valeur suivant la loi empirique :

■ Dans le domaine semi-dilué, les macromolécules commencent à s’enchevêtrer, tout en disposant encore, localement, d’une certaine liberté. Ce domaine est environ dix fois plus étendu que le domaine dilué. Le terme en c 3 du développement (22) y est notable.

(26)

[η] ( a – 1 ) γ˙ + b ------------- = --------------------------------[ η ]0 a γ˙ + b avec

■ Dans le domaine concentré, les macromolécules sont intimement enchevêtrées et les mouvements ne peuvent plus être que ceux d’un réseau. L’influence de la concentration, quoique certain, y est mal définie. ■ Dans le domaine des polymères fondus, le comportement est celui d’un liquide pur non newtonien.

3.3.2 Influence de la masse moléculaire La viscosité intrinsèque extrapolée à contrainte de cisaillement nulle est reliée à la masse moléculaire M (en g/mol) par la relation empirique de Mark-Houwink-Sakurada : [η]0 = KM α

(23)

avec K et α constantes qui ne dépendent que de la nature du polymère et du solvant, et de la température. Les valeurs de α sont comprises entre 0,5 et 0,8 pour les polymères flexibles, et entre 1 et 1,81 pour les polymères rigides. Pour les macromolécules flexibles, la relation précise entre [η]0 et M peut s’écrire : [ η ] 0 = 6 3/2 Φ avec

Φ

3 Rg

/M

(24)

a et b

η proportionnelle à M α ’

(25)

constantes pour un couple solvant-polymère donné : 1,15 < a 2,5 typiquement, b varie de quelques unités à quelques centaines.

■ Aux concentrations plus élevées et à l’état fondu, l’effet de la contrainte de cisaillement est considérable : la viscosité peut être divisée par un facteur compris entre 100 et 10 000 lorsque le gradient de vitesse passe de quelques secondes–1 à quelques centaines de secondes–1. Après un plateau newtonien, dont l’étendue, comprise entre 10–2 s–1 et quelques secondes–1, dépend de la masse moléculaire et de la température, la zone non newtonienne obéit à une loi de puissance [relation (4)]. Aux gradients de vitesse plus élevés, le second plateau newtonien correspond à nouveau à une variation très faible de la viscosité (figure 14). Des équations plus sophistiquées ont été proposées pour représenter le comportement des solutions concentrées et des polymères fondus dans un domaine plus large que celui de la loi de puissance. Citons entre autres les équations : — d’Ellis : η τ α – 1 –1 -------- = 1 + ----------(27) τ 1/2 η0

— de Carreau (modèle A) [34] :

η -------- = [ 1 + ( t 1 γ˙ ) 2 ] –s η0

= 2,5 × 1023 constante universelle (sans dimension dans le système CGS) : la constante de Flory,

Rg (cm) rayon de giration de la macromolécule. Dans les deux formules précédentes [η]0 est exprimée en cm3/g. On voit ainsi qu’aux faibles concentrations, la viscosité du fluide η est proportionnelle à M α, avec 0,5 < α < 1,81. Cette loi (23) reste valable quelle que soit la concentration jusqu’à une certaine masse critique dépendant de la nature du polymère, et généralement de l’ordre de quelques milliers de grammes/mole. Au-delà de cette valeur critique, la variation de η avec M est beaucoup plus accentuée :

[η] et [η]0 viscosités intrinsèques mesurées respectivement à gradient de vitesse γ˙ et à gradient de vitesse nul,

(28)

η0 viscosité mesurée à γ˙ = 0 , t1 constante de temps, s et α exposants adimensionnels, τ 1/2 contrainte de cisaillement pour laquelle η = η0 /2. L’intérêt de ces équations résiderait dans le fait que les constantes de temps t 1 ou η0 /τ 1/2 seraient liées aux propriétés élastiques du matériau. avec

3.3.5 Troisième effet électrovisqueux

avec α’ ≈ 3,4 le plus souvent.

3.3.3 Influence de la température (pour un solvant donné) La solubilité d’un polymère dans un solvant donné dépend fortement, et de façon non monotone, de la température, il existe une et parfois deux températures critiques, dites θ, au-delà (ou en deçà) desquelles le polymère précipite. À l’approche de ces températures tout se passe comme si la macromolécule s’effondrait (collapse ) : la viscosité intrinsèque décroît ; finalement, la solution devient une suspension, généralement instable, car la masse volumique des particules est le plus souvent différente de celle du solvant.

R 2 350 − 12

Aux deux effets électrovisqueux signalés au paragraphe 3.2.4, s’ajoute le troisième effet électrovisqueux dû à la déformation de la macromolécule sous l’influence de la répulsion entre les charges électriques qu’elle porte. Dans ces conditions, la variation de la viscosité réduite en fonction de la concentration c n’est plus monotone, certains domaines pouvant cependant être représentés par une relation linéaire (figure 15).


___________________________________________________________________________________________________________________________

VISCOSITÉ

■ Coût d’investissement : en règle générale, l’investissement dans la mesure de viscosité de cisaillement simple est sensiblement inférieur à celui des autres méthodes (élasticité ou viscosité élongationnelle). ■ Coût de fonctionnement : là aussi, la mesure de la viscosité de cisaillement nécessite moins de temps et un personnel moins qualifié que celle des autres grandeurs. ■ Domaine de gradient de vitesse (ou de contrainte de cisaillement) dans lequel la mesure doit être effectuée : en général, les mesures aux très faibles contraintes ne peuvent être effectuées qu’avec des appareils rotatifs.

Figure 14 – Aspect d’une courbe ( ˙ ) pour une solution concentrée de polymères

■ Précision requise : il s’agit là d’un paramètre qu’il n’est pas facile de saisir objectivement. En effet, toutes les mesures doivent, comme on le verra dans les paragraphes 4.2, 4.3, 4.4 et 4.5, être corrigées de diverses manières, et la valeur de ces corrections est souvent plus importante que celle de l’erreur apparente brute. En ce qui concerne cette dernière, ce sont les appareils du type capillaire qui sont les plus précis.

4.2 Mesure de la viscosité de cisaillement Cette mesure se fait essentiellement avec des viscosimètres capillaires, à cylindres coaxiaux, cône-plan, à chute de bille. Divers autres appareils sont également utilisés, mais moins fréquemment ; en outre, il n’est pas toujours évident qu’ils mesurent la viscosité de cisaillement proprement dite.

4.2.1 Viscosimètre capillaire Nota : le lecteur pourra se reporter en [Doc. R 2 350] aux références [35] [36] [37].

Figure 15 – Variation de la viscosité réduite red pour des solutions diluées de macromolécules chargées (ou polyélectrolytes)

4. Méthodes de mesure 4.1 Généralités. Choix de la méthode de mesure ■ Le choix de la méthode de mesure dépend d’abord des grandeurs que l’utilisateur veut déterminer : — la viscosité de cisaillement seule ; — la viscosité élongationnelle seule (§ 2.3.2.3) ; — l’élasticité, accessible soit par la viscosité élongationnelle, soit par la mesure de la première différence de contraintes normales (§ 2.3.2.1), soit encore par une étude en régime oscillatoire (§ 2.3.2.2) ; ces deux dernières mesures sont en général combinées, sur un même appareil, avec celle de la viscosité de cisaillement.

4.2.1.1 Description et équations de fonctionnement Un tube capillaire (de 1/10 mm à quelques millimètres de diamètre) est placé à la sortie d’un réservoir amont contenant le fluide à mesurer (figure 16a). Ce fluide s’écoule à travers le capillaire sous l’action d’une différence de pression ∆P qui peut être due à la seule hauteur hydrostatique du fluide, ou à une source de pression auxiliaire (piston, gaz comprimé), ou encore aux deux. On mesure le débit-volume Q du fluide et la différence de pression ∆P. Une caractéristique essentielle de l’écoulement dans un capillaire est que, dans une section droite, la vitesse et le gradient de vitesse dépendent de la distance à l’axe (figure 16b). Il s’ensuit que, pour un fluide non newtonien, la viscosité apparente ηa est différente d’un point à l’autre de l’écoulement. Aussi convient-on de calculer cette viscosité dans les conditions d’écoulement à la paroi du capillaire : (29) η a = τ R / γ˙R

τ R et γ˙R respectivement, contrainte de cisaillement et gradient de vitesse à la paroi. Quel que soit le fluide, on a :

avec

■ L’utilisateur doit ensuite définir la nature de la mesure : absolue ou relative. Actuellement, il n’existe de normes précises de mesures absolues que pour la viscosité de cisaillement. C’est également dans ce seul domaine qu’il existe des liquides de référence permettant des mesures relatives avec des étalons normalisés. Les autres paramètres de choix sont les suivants. ■ Nécessité, ou non, d’une mesure normalisée : l’appareil de mesure et son mode de fonctionnement sont alors très souvent imposés ; la méthode recommandée a parfois un caractère empirique, pouvant entraîner des erreurs considérables d’appréciation avec des fluides non newtoniens.

Q = 2π

R

0

v (r ) r dr

r dv ( r ) R ∆P γ˙r = ------------------ ; τ r = ------ τ R ; τ R = --------------R dr 2L

(30) (31)

■ Dans le cas d’un fluide newtonien, le profil de vitesse est paraboloïdique :

r2 v ( r ) = v 0 1 – --------2R avec

v0

vitesse sur l’axe du capillaire.


R 2 350 − 13

VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

On voit que le terme (3m + 1)/4m apparaît dans la relation (35) comme un facteur correctif par rapport à un fluide newtonien s’écoulant avec le même débit Q et sous la même perte de charge ∆P [relation (33)]. En appliquant, par exemple, ces résultats à un fluide obéissant à la loi de puissance [équation (4)] :

τ = k γ˙ n on trouve :

m=n Q =

et

R∆P -------------2Lk

πR 3n ------------------3n + 1

1/n

En portant lg Q en fonction de lg τR (ou de lg ∆P ), on obtient aisément les coefficients k et n. 4.2.1.2 Corrections Les formules précédentes (33) et (35) permettent, avec une bonne installation de mesure, d’obtenir la viscosité apparente avec une précision allant de quelques pour-mille à quelques pour-cent. Cette précision peut être améliorée moyennant un certain nombre de corrections liées les unes au fluide utilisé, les autres à l’instrument. Figure 16 – Viscosimètre capillaire

4.2.1.2.1 Principales corrections liées au fluide Alors, en intégrant la relation (30), on obtient : R2 Q N = πv 0 --------2

γ˙R, N

et

4Q = – -----------π R3

(32)

l’indice N caractérisant l’état newtonien ; d’où, en reportant la valeur [relation (32)] de γ˙R, N dans la relation (29) : π ∆P R 4 η N = ----------------------8LQ

(33)

C’est la formule de Poiseuille, valable uniquement pour un fluide newtonien. ■ Pour un fluide non newtonien , le profil de vitesse dépend du caractère non newtonien ; la procédure de calcul, plus compliquée, est due à Rabinowitch et n’est valable que pour les fluides sans mémoire. L’intégration par partie de l’équation (30) donne :

■ Correction de drainage : la mesure de débit se fait fréquemment par l’intermédiaire d’une mesure du temps d’écoulement d’un volume donné de fluide (repéré par exemple par des marques sur le réservoir amont). Selon le fluide et selon l’état de propreté des surfaces, une quantité plus ou moins grande peut rester à l’intérieur du volume de mesure. La viscosité est mesurée par défaut. La correction de cet effet est tout à fait empirique et n’a guère de sens pour des fluides non newtoniens. ■ Correction de tension superficielle : elle est due à l’ascension capillaire dans les réservoirs amont et aval du viscosimètre. Il ne faut en tenir compte que si le fluide s’écoule sous l’influence de sa propre pression hydrostatique ; la correction C, exprimée en pourcentage, est alors : 200 1 σ σ 1 C = ----------- -------- – -------- ----- – ----gh R 1 R 2 ρ r ρ

avec

γ R

Q = –π

0

˙r r 2 d r

soit, après le changement de variable r → τr : 4 4Q ------------ = – ------3 π R3 τR

τR

0

2 γ˙r τ r d τ r

(34)

En dérivant la relation (34) par rapport à τr et en prenant la valeur pour τr = τR , il vient :

4Q 3 1 d -τ - ----------- ------------γ˙R = ----------3 R 2 4 τ R d τR π R

d ln τ R ou encore, en posant : m = -------------------------------------, d ln ( 4Q/πR 3 )

3m + 1 4Q γ˙R = – --------------------- -----------34m πR et

R 2 350 − 14

π∆PR 4 m

accélération de la pesanteur,

h R1 et R2 (σ /ρ )r et σ /ρ

hauteur hydrostatique moyenne, rayons moyens des réservoirs amont et aval, rapports de la tension superficielle à la masse volumique, respectivement pour un fluide de référence et pour le fluide mesuré.

■ Correction de température : l’écoulement produit un échauffement du liquide. L’augmentation de température ∆T entre l’entrée et la sortie du capillaire peut être appréciée par la formule empirique : L ∆T = 4,89 × 10 –3 -------Cc avec

3 4Q 1 4 Q d ln ( 4 Q/π R 3 ) - + ----- ------------- ----------------------------------------– γ˙R = ----- ------------4 πR3 4 πR3 d ln τ R

g

Cc (kJ/kg)

capacité thermique massique.

■ Effets de paroi : toutes les formules précédentes ont été établies en supposant l’absence de glissement à la paroi ; cela n’est pas toujours vrai, notamment dans le cas des suspensions et de certaines solutions de polymères [38]. D’autres effets, dus aux interactions entre le fluide et la paroi, peuvent créer une préorientation des molécules du fluide en écoulement (ou du soluté) ou encore une adsorption du soluté. Ces effets ne sont étudiés et corrigés, ce qui n’est pas toujours possible, que cas par cas.

soit :

( η a ) τ = --------------------------------------R 2LQ ( 3m + 1 )

(35)


___________________________________________________________________________________________________________________________

4.2.1.2.2 Principales corrections liées à l’instrument ■ Correction d’énergie cinétique : l’énergie fournie par la différence de pression n’est pas entièrement dissipée en frottement visqueux ; à la sortie du capillaire, le fluide possède une certaine énergie cinétique Ec , laquelle entraîne une correction de viscosité, sinon cette dernière est évaluée par excès. Pour un fluide newtonien, on obtient ainsi la formule de Hagen-Poiseuille :

ρQ π∆PR 4 η = --------------------- – ξ -----------8πL 8LQ avec

(36)

VISCOSITÉ

— difficulté d’atteindre les valeurs faibles de la contrainte de cisaillement ; on a en effet :

τR /Q = 4 η /π R 3 qui est constant pour un fluide et un viscosimètre donnés ; — nombreuses corrections (mais les autres viscosimètres en ont sensiblement autant, souvent moins bien définies) ; — quantité de fluide à mettre en œuvre (au moins quelques millilitres).

ρ ξ

masse volumique du fluide, coefficient numérique de l’ordre de 1, mais dépendant du nombre de Reynolds. La correction d’énergie cinétique et le coefficient ξ s’obtiennent en portant, pour différentes valeurs du débit (et donc de ∆P ), la π ∆P R 4 quantité ----------------------- en fonction de Q ou, tout simplement, ∆P /Q en 8QL fonction de Q (figure 17). Si les débits sont faibles (quelques 10–2 cm3/s), la correction est négligeable. Il faut noter que la dépendance de ξ avec le nombre de Reynolds peut entraîner un écart à la droite. ■ Correction d’effets de bouts : l’écoulement dans le capillaire comporte en réalité trois zones : une zone d’entrée (due à la singularité d’entrée), dont la longueur, qui dépend de la nature du fluide et de τR , a une valeur comprise entre quelques R et quelques dizaines de R ; une zone d’écoulement établi [les lois (32) et (35) ne sont valables strictement que dans cette zone] et enfin la zone de sortie, dont la longueur est de l’ordre de celle de l’entrée. Une correction empirique de ces effets de bouts a été proposée par Bagley [36]. La valeur de la contrainte de cisaillement à la paroi ne doit pas être : R ∆P τ R = --------------2L

Figure 17 – Correction d’énergie cinétique

mais doit être : R ∆P ∆P τ R = ------------------------------ = ------------------------------2 ( L + ∆R ) 2 ( L/R + a ) avec

(37)

a

coefficient correctif dépendant surtout de l’élasticité du fluide et du gradient de vitesse. Pour déterminer a, on mesure 4 Q /(π R 3) pour différentes valeurs de L /R (en général on ne fait varier que L ) et de ∆P (figure 18a ). Puis, pour une même valeur de γ˙R , on porte ∆P = f (L /R ) ; l’ordonnée à l’origine est a (figure 18b ). Pour les fluides newtoniens (inélastiques), cette correction est négligeable à condition de choisir un rapport L /R > 500. Pour les fluides non newtoniens, une entrée profilée ( en trompette ) du capillaire permet également de réduire la correction. 4.2.1.3 Avantages et inconvénients ■ Avantages : — équipement peu coûteux et facile à mettre en œuvre ; — très bonne précision apparente ; — équations fondamentales et corrections bien établies. Inconvénients : — absence d’un gradient constant dans l’instrument, obligeant à faire appel, pour les matériaux non newtoniens, à un calcul relativement sophistiqué et, par conséquent, un peu suspect aux yeux de l’ingénieur ; — domaine de gradient de vitesse, ou de contrainte de cisaillement, relativement réduit pour un même instrument (afin de rester dans un domaine raisonnablement mesurable de débit et, par là, de temps d’écoulement) ;

Figure 18 – Principe de la correction de Bagley


R 2 350 − 15

VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

4.2.2 Viscosimètre à cylindres coaxiaux

Cette équation ne peut être résolue explicitement qu’en connaissant la forme de la fonction f, donc en utilisant une équation viscosimétrique du fluide.

4.2.2.1 Description et équations de fonctionnement L’intervalle (entrefer) e entre deux cylindres coaxiaux est rempli du fluide à mesurer (figure 19). On a alors deux modes de fonctionnement : l’un des cylindres est mis en mouvement à vitesse constante et le couple visqueux est mesuré sur l’autre cylindre (il peut également l’être sur le cylindre mobile) ; inversement, un des cylindres peut être mis en mouvement sous l’action d’un couple constant et l’on mesure sa vitesse de rotation. La dénomination de viscosimètre de Couette, réservée à l’origine aux appareils à cylindre extérieur mobile, est souvent utilisée pour tous les viscosimètres à cylindres coaxiaux. Soit r le rayon d’une couche cylindrique de fluide et M le couple appliqué, par exemple au cylindre intérieur, le cylindre extérieur restant fixe. Le couple est transmis intégralement au fluide et, compte tenu de la définition même de la contrainte de cisaillement, on a : M = 2 π r 2 L τr M τ r = -------------------d’où 2 π r 2L avec

τr

contrainte de cisaillement sur la couche de fluide située au rayon r, et en particulier : 2

2

M = 2 π R 1 L τ R1 = 2 π R 2 L τ R2

(38)

Si ω est la vitesse angulaire constante du cylindre intérieur, il vient : dω γ˙r = – r ---------- = f ( τ r ) dr

(39)

Pour un fluide newtonien et pour e R 1, on a :

γ˙r

ωR

1 ≈ -----------e

Comme M est constant, on voit que τr et, par conséquent, γ˙r varient peu le long de l’entrefer si R1 ≈ R2 ≈ R. Moyennant le changement de variable r → τr , l’équation (39) donne : 1 ω = ----2

τR 1

τR 2

f ( τr ) -------------d τr τr

(40)

■ Pour un fluide newtonien : f ( τ r ) = τ r /η et par conséquent : 1 M 1 1 ω = --------- ( τ R1 – τ R2 ) = ------------------- --------- – ---------2η 4πηL R2 R2 1 2

Me ≈ ---------------------------3 2πηLR

; e R (41)

■ Pour un fluide obéissant à la loi d’Ostwald (4) : f (τr ) = (τr /k )1/n d’où, en reportant dans l’équation (40) :

M n ω = ----- ---------------2 2 π Lk

1/ n

1 1 ------------- – ------------2/ n 2/ n R1 R2

ou encore, compte tenu de la relation (38) : n τR 1 ω = ----- -------k 2

1/ n

[ 1 – ( R 1 / R 2 ) 2/ n ]

La pente du graphe de lg ω = f (lg τ R1 ) ou f (lg M ) fournit directement n ; à partir d’un point quelconque, on peut alors calculer k. 4.2.2.2 Corrections Comme dans le cas du viscosimètre capillaire, les formules précédentes ont été obtenues en supposant le glissement aux parois négligeable. On admet, en outre, que la hauteur L des cylindres est infinie (très grande devant R ) ; cette condition n’est jamais réalisée. De ce fait, l’équation (41) devrait s’écrire : 4π ( L + ∆L ) M = -------------------------------------------ηω 2 2 ( 1/R 1 ) – ( 1/R 2 ) ∆L étant un terme correctif que l’on peut déterminer expérimentalement en modifiant l’enfoncement du cylindre intérieur dans le fluide et en étudiant M /ω en fonction de L. Différentes formes de construction permettent de réduire cette correction, sans toutefois la rendre vraiment négligeable, sauf si L R. 4.2.2.3 Avantages et inconvénients ■ Avantages : — le viscosimètre de Couette opère à gradient pratiquement constant, rendant donc faibles les corrections pour les liquides non newtoniens ; — il permet d’atteindre facilement de faibles contraintes de cisaillement ; — de faibles quantités de fluide (inférieures ou égales à 1 mL) peuvent être mesurées. ■ Inconvénients : — il est, en général, moins précis que le viscomètre capillaire ; — il ne peut être utilisé aux gradients élevés, donc à des vitesses de rotation élevées ; en effet, outre des effets thermiques rapidement importants, il y a apparition d’un régime d’instabilités, les tourbillons de Taylor, au nombre de Reynolds critique Re* : Re* = 41,3 R/e

Figure 19 – Viscosimètre à cylindres coaxiaux : principe

R 2 350 − 16

pour un viscosimètre à cylindre mobile intérieur et pour un fluide newtonien ; l’utilisation, plus délicate, d’un cylindre extérieur tournant permet de rester plus longtemps en régime laminaire, mais rend la thermostatation difficile et augmente par conséquent les incertitudes dues à la température ;


___________________________________________________________________________________________________________________________

— le viscosimètre à cylindres coaxiaux est moins facile à utiliser sous atmosphère contrôlée, et des phénomènes superficiels (oxydation, formation de membranes, etc.) peuvent affecter la surface libre relativement importante offerte par le fluide ; — enfin un tel viscosimètre, comme tous les viscosimètres rotatifs, est assez délicat à mettre en œuvre.

VISCOSITÉ

En première approximation, pour des vitesses v suffisamment faibles et pour a assez grand : 2R ρ L v (c’est-à-dire Re = -------------------- < 0,1 ) η la loi de Stokes s’applique ; la force de frottement visqueux est :

4.2.3 Viscosimètre cône-plan

Fη = 6 π η R v

(42)

gR 2 2 η = ----- ( ρ – ρ L ) -----------v 9

(43)

Alors : 4.2.3.1 Description et équations de fonctionnement Un cône de demi-angle au sommet θ est mis en rotation sous l’action d’un couple constant M (ou à vitesse angulaire constante). Un plan fixe est en contact, sans frottement, avec le sommet du cône ; ce plan est placé perpendiculairement à l’axe du cône (figure 20). On mesure soit la vitesse de rotation du cône (s’il est actionné à couple constant), soit le couple M sur le cône ou sur le plan. On peut indifféremment travailler avec le cône ou le plan mobile, les équations sont les mêmes. En un point P de la surface du cône situé à la distance r de l’axe, la vitesse est r ω. En P’, projection de P sur le plan, cette vitesse est nulle ; si α est faible ( 3 ° ) , l’épaisseur PP’ étant r α, le gradient γ˙r est : ω γ˙r = ------ = Cte α à une vitesse de rotation donnée. C’est la caractéristique fondamentale de ce type d’instrument. Il s’ensuit que la contrainte de cisaillement est également constante, d’où le couple :

τ R

M =

0

α

0

r

avec

g accélération de la pesanteur.

4.2.4.2 Corrections ■ Correction de nombre de Reynolds : pour les nombres de Reynolds compris entre 0,1 et 2, la formule (43) est à corriger selon Oseen et Goldstein : 2 2 ( ρ – ρ L )gR 1 η = ----- --------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 v 1 + 0,187 5 Re – 0,014 8 Re 2 + 0,003 5 Re 3

Pour les nombres de Reynolds allant de 2 à 100, on peut utiliser l’équation d’Olson : 2 3 2 gR ( ρ – ρ L ) η 2 + ----- v ρ L R η – ----- -------------------------------8 9 v

2

= 0

2π 2πR3 r 2 dr d ϕ = --------- R 3 τ = ------------------- ηω 3α 3

r 2 dr dϕ désignant l’élément de volume. 4.2.3.2 Corrections À l’exception de la correction éventuelle de glissement, qui ne peut être qu’empirique, l’un des avantages du viscosimètre cône-plan est de ne nécessiter apparemment aucune correction à condition de ne pas effectuer de mesures à vitesse trop élevée (turbulence). On peut se demander si les forces de tension superficielle qui maintiennent l’échantillon dans l’entrefer ne modifient pas quelque peu M ; cette correction d’effets de surface libre est jugée négligeable par la plupart des auteurs.

Figure 20 – Viscosimètre cône-plan : principe

4.2.3.3 Avantages et inconvénients ■ Avantages : — gradient et contrainte de cisaillement uniformes dans tout l’entrefer ; — large domaine de mesure ; — faible volume de fluide nécessaire ; — thermostatation aisée ; — possibilité de mesurer directement les contraintes normales. ■ Inconvénients : — l’appareil est délicat à utiliser avec des liquides peu visqueux ou à faible tension superficielle, le plan peut alors être transformé en un godet dans lequel tourne le cône, mais les corrections d’effets de bouts sont importantes et mal définies.

4.2.4 Viscosimètre à chute de bille

Figure 21 – Viscosimètre à chute de bille : principe

4.2.4.1 Principe et équations de fonctionnement Une sphère de rayon R (figure 21) et de masse volumique ρ peut se déplacer sous l’action de la pesanteur dans le liquide à mesurer, dont la masse volumique est ρL ; la sphère atteint rapidement une vitesse limite v. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle

R 2 350 − 17

VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

■ Correction d’effets de paroi : les expressions précédentes supposent que la sphère se déplace dans un milieu infini. En réalité, l’interaction paroi-sphère augmente la force de frottement visqueux et de ce fait la viscosité, mesurée par excès, doit être corrigée :

η η corr1 = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 – 2,104 ( R/a ) + 2,09 ( R/a ) 3 – 0,95 ( R/a ) 5

déformation) mais ne peut être utilisé qu’avec des polymères fondus ou des matériaux hautement visqueux. Dans le second type d’expérience, contrainte et déformation varient tout au long de l’échantillon ; cependant, l’écoulement décrit en variables d’Euler reste permanent (mais non en variables de Lagrange).

(44)

ηcorr1 valeur corrigée, a rayon du cylindre. Cette formule (44) est valable pour R /a < 0,32.

avec

■ Correction d’effets de bouts : le fond perturbe l’écoulement ; la valeur ηcorr1 de la formule (44) doit encore être corrigée ; la valeur finale ηcorr2 est : η corr1 η corr2 = ----------------------------------1 + 3,3 ( R/L )

4.3.1 Expériences contrôlables L’échantillon est étiré sous vitesse de déformation ou sous contrainte constante. Pour un échantillon cylindrique dont le rayon et la longueur sont respectivement R 0 et L 0 à l’instant initial et R (t ), L (t ) à l’instant t, la vitesse de déformation est : 1 dL ε˙ = ----- --------L dt À vitesse de déformation constante ε˙ = ε˙0 , l’évolution de la longueur en fonction du temps est donnée par :

4.2.4.3 Avantages et inconvénients Il s’agit là d’une méthode simple et rapide, mais peu précise ; elle nécessite une quantité importante de fluide (10 cm3 à quelques dizaines de centimètres cubes). Le gradient de vitesse γ˙ n’y est pas constant ; il est cependant faible : il est maximal à la surface de la sphère : il vaut alors : 3v 3 η Re γ˙ = ---------- = --------------------2R 4 R 2 ρL L’appareil peut facilement travailler à des pressions statiques élevées. 4.2.4.4 Variante du viscosimètre à chute de bille : le viscosimètre à bille roulante Alors que, dans le cas précédent, la bille choit sans contact avec les parois, dans celui du viscosimètre à bille roulante, l’inclinaison du cylindre est calculée pour que la sphère roule dans la gouttière formée par le cylindre. Un étalonnage avec des fluides de viscosité connue est nécessaire; la viscosité du fluide à mesurer est alors :

η = K (ρ – ρL )/v avec

K constante de l’appareil.

4.2.5 Autres méthodes De très nombreuses autres méthodes sont utilisées pour mesurer la viscosité de cisaillement. Citons, parmi les viscosimètres rotatifs, les viscosimètres à sphères ou hémisphères concentriques et le viscosimètre cylindro-conique. Il existe également des viscosimètres où l’on mesure la force de frottement sur une plaque plane en translation, des appareils à ultrasons où c’est l’atténuation d’une vibration haute fréquence de faible amplitude qui est déterminée. Ces méthodes sont cependant plus limitées, moins précises ou moins répandues que celles qui viennent d’être présentées. Certaines ont pourtant un grand intérêt pour les mesures en continu (par exemple le viscosimètre à ultrasons). Quelques appareils seront décrits au paragraphe 5.6.

4.3 Mesure de la viscosité élongationnelle Cette grandeur est très importante dans de nombreux domaines : lubrification, mise en forme des polymères, production de fibres... Cependant, sa mesure est très délicate et peu d’appareils sont actuellement commercialisés. On peut les classer en deux catégories correspondant à deux principes de mesure. Le premier permet un contrôle rigoureux des paramètres expérimentaux (contrainte ;

R 2 350 − 18

L ( t ) = L 0 exp ( ε˙0 t ) ce qui correspond à une vitesse de l’extrémité de l’échantillon : V = ε˙0 L 0 exp ( ε˙0 t ) La contrainte est reliée à la force mesurée F par :

τ = F/π R 2 (t ) Lorsqu’elle atteint une valeur constante, on obtient la viscosité élongationnelle : τ η e ( ε˙0 ) = ---ε˙ Dans une expérience à contrainte constante, la force appliquée à l’extrémité de l’échantillon décroît proportionnellement à sa section droite. Cela peut être réalisé à l’aide d’un asservissement utilisant une mesure en temps réel (par voie optique) du diamètre de l’échantillon.

4.3.2 Expériences non contrôlables Elles peuvent être mises en œuvre avec des fluides moins visqueux que dans le cas précédent. La méthode de la spinnerette appartient à cette catégorie d’expériences. Le fluide à mesurer est extrudé au travers d’un orifice. Le jet fluide vertical ainsi produit (figure 31, § 5.5) arrive sur une poulie entraînée à vitesse constante ; le fluide s’enroule autour de la poulie et est ainsi étiré. La force F sur l’orifice est mesurée, cependant que la vitesse de déformation est donnée par la vitesse tangentielle v de la poulie. Comme la section s varie tout au long du filament, il faut mesurer cette section par pointage avec un cathétomètre ou par photographie. On obtient alors :

et avec

F η el, a = -----------s γ˙el

(45)

v γ˙el = ----

(46)

longueur du filament produit (distance entre l’orifice et le point de contact du fluide avec la poulie) ; cette distance peut d’ailleurs être modifiée par l’utilisateur. En dehors du fait que l’écoulement n’est pas permanent en variables lagrangiennes, l’exploitation complète de l’expérience nécessite diverses corrections de l’influence du poids du fluide, de la tension superficielle et du frottement de l’air. Ces corrections n’ont pas toutes été évaluées rigoureusement. Mais même la valeur ainsi obtenue n’est probablement pas identique aux valeurs données par les équations (45) et (46), encore qu’aucune comparaison n’ait été faite à ce jour.


___________________________________________________________________________________________________________________________

La méthode de la spinnerette est assez facile à mettre en œuvre ; elle permet de mesurer des fluides moins visqueux que par la méthode du paragraphe 4.3.1 ; elle est sensiblement moins coûteuse. Mais les résultats obtenus pour l’instant ont essentiellement une valeur qualitative ou comparative. Une autre méthode, développée très récemment, est basée sur le principe des jets opposés immergés. Deux buses dont les orifices se font face sont immergées dans le liquide à étudier. L’une est fixe, l’autre est solidaire d’un capteur de couple. En créant une aspiration à l’intérieur des buses, le fluide est étiré. Une viscosité élongationnelle apparente est alors obtenue à partir de la mesure du couple, du débit et de paramètres géométriques du système.

4.4 Mesure des contraintes normales La détermination de ces quantités, définies par les équations (9), est essentielle pour caractériser complètement un fluide du point de vue rhéologique. Dans la pratique, ce sont essentiellement les écoulements de torsion plan-plan et cône-plan qui sont utilisés. Ceux-ci entraînent une limitation du domaine des gradients de vitesse utilisables, en raison des effets d’inertie, et une incertitude due à la géométrie du contact fluide-appareil-atmosphère aux bords de l’appareil. Ces inconvénients sont particulièrement importants pour l’écoulement plan-plan. La mesure de la réaction d’un jet devrait permettre également d’accéder à ces quantités, mais cette méthode est encore loin d’avoir reçu toutes les justifications et corrections nécessaires.

L’un des disques peut être équipé soit d’un capteur de force qui permet de mesurer la force F exercée normalement au plan du disque, soit d’une série de transducteurs de pression qui mesurent les pressions relatives P exercées à la paroi le long d’un rayon (figure 11a). Le calcul permet alors de montrer que :

( τ 11 – 2 τ 22 + τ 33 ) R = 2F avec

F

R -----------------------------------------πR 2

4.4.2 Mesure dans un écoulement de torsion cône-plan Le principe est identique à celui décrit au paragraphe 4.4.1, mais les équations sont sensiblement plus simples : 2F τ 11 – τ 22 = ------------2πR dP r Pr – PR τ 11 + τ 22 – 2 τ 33 = --------------- = -----------------------d ln r ln ( r /R ) avec

F P

force exercée normalement au plan, pression à la paroi,

R rayon du cône ou du plan, l’indice R désignant la valeur pour r = R. Le fait que τ11 – τ22 peut être obtenu directement rend évidemment l’écoulement cône-plan très intéressant, encore faut-il s’assurer de la qualité des transducteurs de mesure de la pression à la paroi et de leur positionnement correct. Il convient, notamment, d’éviter les erreurs dues aux alésages des prises de pression ; l’emploi de transducteurs du type piézo-électrique par exemple, qui affleurent la paroi du corps de mesure, est préférable. Les effets d’inertie apparaissant aux vitesses élevées peuvent être corrigés en employant la formule semi-empirique : 3 2F τ 11 – τ 22 = ------------2- + -------- ρ ω 2 R 2 20 πR avec ρ masse volumique du fluide. Une correction empirique de pression a été proposée lorsque cette pression est mesurée par des tubes manométriques débouchant directement dans le fluide :

4.4.1 Mesure dans un écoulement de torsion plan-plan

d ln F - 1 + ----12- ----------------d ln γ˙

VISCOSITÉ

(Pr )corr = (Pr )mes + 0,2 (τ11 – τ22) Notons enfin que Jackson et Kaye [45] ont introduit une variante astucieuse de l’utilisation du viscosimètre cône-plan pour la mesure des contraintes normales. Contrairement aux conditions idéales, le sommet du cône est volontairement écarté d’une distance h du plan. La seconde différence de contraintes normales est alors, pour h ≠ 0 : ( τ 22 – τ 33 ) γ˙ =

(47)

R

avec

force normale mesurée,

R rayon des disques, l’indice R indique qu’il s’agit de la valeur des quantités pour r = R, c’est-à-dire au bord des disques. On a aussi : d ( τ 22 – τ 33 ) dP r -------------- = -------------------------------- + ( τ 11 – τ 33 ) γ˙ (48) d ln r d ln γ˙

ωr γ˙ = -------- , h h entrefer, l’indice γ˙ signifiant que la valeur est prise à γ˙ constant. En combinant les valeurs déduites des relations (47) et (48), on peut, en principe, obtenir (τ11 – τ22)R et (τ22 – τ33 )R . Mais il s’agit là d’une procédure expérimentale assez compliquée. Les résultats obtenus peuvent être considérés comme valables s’ils sont indépendants de l’entrefer et de la dimension des disques, ce qui suppose des essais avec au moins deux jeux de disques.

( τ 11 – τ 22 ) ˙

γR

h ∂F 2F – τ 22 ) γ˙ – ------------ + --------- --------R πR 2 R 2 ∂ h ωR γ˙R = --------------------h+Rα

h+Rα - (τ -------------------h

11

étant mesuré lorsque cône et plan sont au contact.

Il semble que cette méthode, qui nécessite l’étude en fonction de h, donne de bons résultats.

4.4.3 Mesure dans un écoulement au travers d’une fente rectangulaire

avec

Certains appareils commerciaux proposent, en option, la détermination de la première différence de contraintes normales par des mesures en sortie d’un écoulement dans un capillaire, ou par des mesures au travers d’une fente rectangulaire. Outre le fait que ces mesures nécessitent de nombreuses corrections, il faut noter que l’interprétation théorique du phénomène de jet, même d’un fluide newtonien, n’est pas encore parfaite, et que les équations que nous allons donner ont été établies en supposant l’écoulement viscosimétrique, ce qui n’est apparemment pas le cas.


R 2 350 − 19

VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

Pour une fente de longueur a et de largeur b ( b a ) , on a : ∂ Pw ∂ ( τ 12, w F ) 1 ( τ 11 – τ 22 ) w = P w + τ 12, w --------------------- + -------------- -------------------------------∂ τ 12, w 4 ab ∂ τ 12, w avec

τ12, w Pw F

contrainte de cisaillement à la paroi (wall ), pression à la paroi à la naissance du jet, force de réaction du jet.

4.5 Mesure de la viscosité dynamique complexe Les essais de fluage ou de relaxation d’un fluide viscoélastique s’effectuent en soumettant le fluide à un échelon de contrainte ou de déformation, et en mesurant respectivement la déformation (ou la vitesse de déformation) ou la contrainte correspondantes. L’analyse de la fonction de transfert et la comparaison avec la fonction calculée à partir d’un modèle rhéologique permettent de modéliser le fluide. Un résultat identique peut être obtenu de façon plus sûre en déterminant la fonction de transfert dans un écoulement oscillatoire. Le fluide est soumis à une sollicitation sinusoïdale de faible amplitude : ψ = ψ0 sin ωt Le corps de mesure, de moment d’inertie I, est suspendu à un fil (ou à une barre) de torsion, de raideur K. Le mouvement du corps de mesure est alors : θ = θ0 sin (ωt – ϕ )

Figure 22 – Exemple de variation de et de pour un matériau viscoélastique

La fonction de transfert qui permet de passer de ψ à θ a été déterminée pour différentes géométries. Elle permet de calculer η’ (ou G’’ ) et G’ [relations (15) et (16)], puis, dans une étape ultérieure, de modéliser éventuellement le fluide et de trouver les temps (ou le spectre) de relaxation. Pour un matériau viscoélastique linéaire placé entre deux disques parallèles (figure 11), en posant χ = θ0 /ψ0 , il vient :

Remarquons que, dans certains cas (systèmes peu visqueux), il est possible d’étudier le fluide par une méthode d’oscillations libres. Le corps de mesure est alors écarté de sa position d’équilibre et c’est l’oscillation amortie de retour à l’équilibre qui est mesurée. L’équation correspondante s’écrit :

S χ sin ϕ η ′ = --------------------------------------------χ 2 – 2 χ cos ϕ + 1

(49)

ω S χ ( cos ϕ – χ ) G′ = ---------------------------------------------χ 2 – 2 χ cos ϕ + 1

(50)

avec, pour un fluide newtonien entre deux disques parallèles :

2h ( K – I ω 2 ) S = ---------------------------------πR 4 ω

avec

R étant le rayon des disques. Pour une géométrie de Couette (cylindres coaxiaux) et pour une géométrie cône-plan, les relations donnant η’ et G’ restent les mêmes que les relations (49) et (50), à condition de prendre : e ( K – I ω2 ) - pour le viscosimètre de Couette ( e R 1 ) S = -----------------------------3 2πLR 1 ω et

3α ( K – I ω 2 ) S = ---------------------------------- pour le cône-plan. 2π R 3 ω Il a également été montré que, lorsque la pulsation ω égale la

pulsation de résonance ω 0 =

K/I , on a :

χ = 1 et ϕ ≈ 0 Un exemple typique des courbes expérimentales ainsi obtenues est représenté sur la figure 22.

R 2 350 − 20

ψ = ψm exp [– (j ω – r )t ] πR 4 r = r 0 + ------------- η 0 4h I où r0 est le décrément dû au frottement propre du système. Les formules précédentes ne sont valables qu’en viscoélasticité linéaire, elles supposent également l’absence d’effets d’inertie (les corrections ont été calculées pour les fluides newtoniens). L’hypothèse de linéarité des effets viscoélastiques se teste en changeant l’amplitude ψ0 : χ doit rester constant ; si cela n’est pas le cas, l’exploitation quantitative des résultats est le plus souvent impossible et sans fondement théorique. Par ailleurs, bien que les équations (49) et (50) n’aient pas de sens pour ω = ω0 , il n’y a cependant aucune raison que η’ et G’ présentent des discontinuités à cette fréquence. En fait, les erreurs de mesure pour ω ≈ ω0 sont considérablement amplifiées, et il faut être très critique à l’égard des résultats obtenus dans ce domaine. L’étude de la fonction de transfert d’un fluide soumis à une sollicitation sinusoïdale est une bonne méthode pour connaître son élasticité, laquelle se manifeste qualitativement par un maximum accentué de la courbe χ (ω ). Il faut cependant s’assurer que les retards ou effets parasites dus aux parties mécaniques ou électroniques de la chaîne de mesure ne produisent pas d’artefacts [49].


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5. Description de quelques appareils commerciaux 5.1 Viscosimètres capillaires 5.1.1 Viscosimètres capillaires conventionnels Fondamentalement, les viscosimètres capillaires se subdivisent en deux catégories : les viscosimètres d’Ostwald et de Ubbelhode. Dans les premiers (figure 23 ), le fluide à la sortie du capillaire est immédiatement en contact avec le fluide du réservoir inférieur. Dans les seconds, le fluide atteint le fluide du réservoir en coulant le long des parois (figure 24), voire sous forme d’un jet dans l’air libre. Dans les deux cas, c’est le temps d’écoulement d’un volume donné de fluide qui est mesuré. Cet écoulement se fait en général sous la pression hydrostatique du fluide. Dans certains modèles, plusieurs réservoirs de volume repéré sont placés les uns à la suite des autres : à chaque réservoir correspondent une pression hydrostatique moyenne et, par conséquent, une contrainte de cisaillement moyenne. Il est également possible d’appliquer une pression extérieure supplémentaire à l’amont. On peut ainsi estimer le caractère non newtonien.

VISCOSITÉ

Ces viscosimètres peuvent être fabriqués pour faire les essais selon la norme ASTM D 445-88 (*) : citons, à titre d’exemple, deux réalisations particulières d’utilisation courante : les viscosimètres Cannon-Fenske routine et opaque (figure 25). Les domaines d’utilisation de ces viscosimètres vont de 0,3 × 10–3 à 100 Pa · s. Nota : (*) ASTM D 445-88 Test for kinematic viscosity of transparent and opaque liquids (and the calculation of dynamic viscosity).

Ces viscosimètres se vendent couramment chez le plupart des fabricants ou dépositaires de verrerie de laboratoire, citons notamment Bioblock, Prolabo, OSI, Analis.

5.1.2 Viscosimètres capillaires conventionnels automatiques Il s’agit de viscosimètres de type Ubbelhode ou Ostwald (§ 5.1.1), sur lesquels sont montées des têtes de mesures optoélectroniques et un dispositif de pompe auxiliaire permettant de remonter automatiquement le fluide dans le réservoir calibré amont. La mesure des temps d’écoulement est ainsi automatisée avec affichage numérique ou (et) impression du résultat. La même électronique peut servir plusieurs postes de mesures. Les fabricants sont Lauda (en option, une unité de calcul fournit directement la viscosité cinématique), distribué par Prolabo, Schott Geräte, distribué par Bioblock, Prolabo, OSI...

5.1.3 Viscosimètres capillaires pour la mesure de l’indice de fluidité L’indice de fluidité sert à caractériser, très imparfaitement, la viscosité des polymères fondus. Cette quantité ( melt index ) se mesure à l’aide d’une variante d’un viscosimètre capillaire, le gradeur. Cet appareil, selon les normes ASTM D 1238-90 (*), NF T 51-016 (**) etc., est constitué par un tube capillaire métallique de 2,09 mm de diamètre et de 8 mm de long, alimenté à partir d’un réservoir cylindrique de 9,47 mm de diamètre. Le polymère est forcé dans le capillaire par la pression créée par le piston chargé d’une masse M donnée (figure 26). Outre la masse M, la température T est recommandée par les normes. Ainsi, par exemple, M = 2,160 kg, T = 190 oC. L’indice de fluidité est égal à la masse (en grammes) de polymère écoulé pendant 10 min.

Figure 23 – Viscosimètre d’Ostwald

(*) ASTM D 1238-90 Test for flow rates of thermoplastics by extrusion plastometer. (**) NF T 51-016 (mars 1993) Plastiques. Détermination de l’indice de fluidité à chaud des thermoplastiques, en masse (MFI) et en volume (NVI).

Figure 24 – Viscosimètre d’Ubbelhode

Figure 25 – Viscosimètre Cannon-Fenske routine (a ) et opaque (b )


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Selon les options, ces appareils sont plus ou moins automatisés : application ou relevage automatique des poids, affichage numérique de la température et du temps, pesée automatique du polymère extrudé, calcul direct de l’indice de fluidité. Parmi les nombreux fabricants de ce type d’appareils, citons : — Göttfert, distribué par Rhéo ; — CEAST, distribué par Adamel Lhomargy ; — Davenport, distribué par Deltalab ; — ainsi que Zwick, Dynisco, Rosand (distribué par Sodexim), Franck.

5.1.4 Viscosimètres capillaires pour contraintes de cisaillement élevées Il s’agit de viscosimètres à capillaires métalliques pour la mesure de matériaux de haute viscosité. Les appareils pour la mesure de l’indice de fluidité (§ 5.1.3) peuvent convenir à condition de corriger les effets de bouts (§ 4.4.2) et, par conséquent, de pouvoir utiliser des capillaires de longueur différente. D’autres appareils sont plus perfectionnés et permettent de faire automatiquement des mesures à contrainte de cisaillement constante (de l’ordre de 103 à 106 Pa) ou à débit constant avec des fluides dont la viscosité peut être de l’ordre de 10–1 à 108 Pa · s. Les logiciels de traitement des données incluent les corrections de Bagley et de Rabinowitch. Citons, par exemple, les RH7 et 8 de Rosand (distribué par Sodexim), les Galaxy III, IV et V de Dynisco, le PL-Acer 2000 de Polymer Laboratories, le Rheo-Tester et le Rheograph 2002 de Göttfert (distribué par Rheo). Dans ce dernier cas, la vitesse du piston réglant le débit peut varier dans un rapport de 1 à 200 000. On peut adapter sur cet appareil des filières de section ronde (le capteur de pression est alors placé en amont de la filière) ou rectangulaire (des capteurs de pression sont placés le long du capillaire ; on mesure donc directement la perte de charge sur une longueur donnée). Il est possible d’obtenir des diagrammes PVT (pression/volume/ température) caractérisant la compressibilité des polymères en travaillant à pression imposée. Enfin, le logiciel prévoit l’évaluation de l’élasticité du matériau par le calcul de la première différence des contraintes normales et la détermination d’un indice de gonflement en sortie de filière.

généralement à un point, voire quelques points, de la courbe contrainte-vitesse de déformation. De plus, c’est souvent une mesure relative, les configurations d’écoulement choisies ne permettant pas toujours la définition d’une vitesse de déformation ou d’une contrainte constante dans le volume de fluide étudié. L’appareil doit alors être calibré à l’aide de fluides étalons. Cela peut suffire pour des fluides newtoniens ; ce n’est évidemment pas le cas pour des fluides complexes.

5.2.1 Rhéomètres rotatifs pour les mesures en laboratoire Ces appareils mettent en jeu des écoulements bien définis et, pour une vitesse de rotation donnée, le gradient de vitesse peut être calculé. Ils permettent donc la mesure des fonctions viscosimétriques. Ils peuvent, en outre, être équipés d’un dispositif d’oscillations pour la mesure des propriétés viscoélastiques. Ils sont généralement proposés avec plusieurs corps de mesure de géométries différentes : cylindres coaxiaux (figure 27 ), cône-plan, plan-plan. Des surfaces striées sont parfois utilisées pour éviter le glissement du matériau sur la paroi mobile, dans le cas de suspension de particules solides par exemple. Si l’on prend en compte l’ensemble des corps de mesure, l’étendue de mesure peut paraître considérable. En fait, connaissant la gamme de viscosité à mesurer, il convient d’être prudent et d’approfondir la notice du constructeur. La figure 28 donne un exemple d’étendue globale de mesure (tous corps de mesure confondus) d’un constructeur. On voit qu’aux viscosités extrêmes l’étendue de mesure en gradient est limitée, et réciproquement.

5.1.5 Viscosimètres capillaires pour le contrôle de processus Ce sont des viscosimètres conçus pour être montés en parallèle sur une unité de fabrication pour faire du contrôle en ligne. Le fluide prélevé sur la conduite principale (ou le réservoir) est injecté dans la filière. La perte de charge mesurée, à débit constant, par un manomètre différentiel ou par des jauges de pression montées en différentiel. Le signal électrique recueilli, comparé à une consigne, permet d’asservir le processus. Citons par exemple : le Viscotherm de VAF Instruments (distribué par Instruments et Controls et SANOR), les modèles P1, P3, P5 de Porpoise (distribué par Sodexim), le Melt Flow Monitor (MFM) de Rheometrics, le modèle on line-by pass de Göttfert (distribué par Rheo). Ce dernier peut être piloté en vitesse (pour obtenir les propriétés viscoélastiques du fluide) ou en pression ; la grandeur de consigne est alors le grade. L’Auto-Grader de Brabender permet aussi la mesure en continu du MFI (Melt Flow Index ).

Figure 26 – Gradeur : principe

5.2 Viscosimètres et rhéomètres rotatifs Un rhéomètre est conçu pour la détermination des propriétés rhéologiques d’un matériau (en termes de relation contrainte-déformation). Il permet en particulier la mesure de la viscosité absolue sur une gamme de valeurs de la vitesse de déformation. Un viscosimètre est limité à la mesure de la seule viscosité correspondant

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Figure 27 – Quelques géométries de viscosimètres à cylindres coaxiaux


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VISCOSITÉ

faire des balayages en fréquence, en contrainte, mesurer G’, G’’, η’, l’angle de pertes δ (tan δ = G’’ /G’ ) en fonction du temps, de la fréquence et de la température. L’opérateur risque alors de se trouver submergé par une grande quantité de données dont l’interprétation peut s’avérer délicate dans la mesure où il a à sa disposition un grand nombre de paramètres à choisir. Dans le cas de comportements rhéologiques complexes, par exemple lorsque l’état du fluide à un instant donné dépend de l’histoire du cisaillement qu’il a subi, il conviendra de rester critique par rapport aux résultats affichés sur l’écran de l’ordinateur. Enfin, les logiciels se fondent sur des lois de comportement qui n’ont pas nécessairement une valeur générale, voire qui sont parfois approximatives. ■ Dans la gamme des rhéomètres à vitesse imposée, citons : — le Low Shear 40 et le Rheomat 115A de Mettler, distribués par Lamy ; le premier est un appareil très sensible (le couple mesuré peut descendre jusqu’à 0,001 6 · 10–3 mN · m) fait pour fonctionner aux faibles gradients ; il utilise seulement des cylindres coaxiaux ; — le Rotovisco RV20 de Haake distribué par Roucaire et Bioblock ; — le Rheolab MC20 de Physica ; — le Fluid Spectrometer RFS II de Rheometrics ; — le VOR de Bohlin Instruments ; — le V10 de Suck, distribué par Lamy ; tout en étant un rhéomètre à vitesse imposée, il offre la particularité de permettre également les tests de fluage. ■ En ce qui concerne les appareils à contrainte imposée, les pionniers ont été Carri-Med avec le CSL et le Bohlin Instruments avec le BCS. Bohlin Instruments propose le BCS 10 et le BCS 50, de couple maximal 10 mN · m et 50 mN · m, avec une résolution angulaire pour le déplacement pouvant descendre jusqu’à 10–6 rad. Une version modifiée du BCS (CS-ETO) avec géométries adaptées (plateaux à rainures radiales) a été conçue pour suivre la vulcanisation du caoutchouc. Le modèle DSR (Bohlin Instruments) est destiné spécifiquement à l’étude de l’asphalte et des bitumes, l’échantillon étant soumis à une contrainte sinusoïdale. Citons aussi le Stress Rheometer SR200 et SR500 de Rheometrics, le VE2 de Krüss, le Rheostress RS100 de Haake.

5.2.2 Rhéomètres rotatifs équipés pour la mesure des forces normales Ils sont généralement munis d’un dispositif cône-plan, mais peuvent aussi recevoir des dispositifs plan-plan ou à cylindres coaxiaux. Lorsque l’un des plateaux est mis en rotation, on mesure la force normale exercée par le fluide sur l’autre plateau.

Figure 28 – Exemple d’étendue de mesure d’un viscosimètre de Couette

Vers le milieu des années 80, les premiers rhéomètres à contrainte imposée ont été commercialisés. Dès lors, on peut regrouper les rhéomètres rotatifs en deux grandes classes, selon que l’on impose la vitesse de rotation (c’est alors le couple exercé sur le corps de mesure qui est mesuré) ou la contrainte (on mesure dans ce cas la vitesse). La seconde méthode rend possible la détermination des seuils d’écoulement. Ces appareils sont maintenant pilotés par micro-ordinateur. Le rhéomètre de laboratoire est devenu une véritable station de travail. La commande et l’acquisition des données se font par l’intermédiaire de logiciels de plus en plus performants, permettant un grand nombre d’essais : mesure de la viscosité en fonction du temps, de la température, du gradient de vitesse, de la contrainte de cisaillement ; boucles de thixotropie ; mesure des propriétés viscoélastiques : tests de fluage-recouvrance, relaxation. Lorsque l’appareil est équipé d’un système d’oscillations, on peut également

Le plus ancien et donc le plus connu de ces instruments est sans doute le rhéogoniomètre de Weissenberg fabriqué par Carri-Med. Dans sa dernière version, il utilise un moteur à entraînement direct et à très faible inertie. Suivant la géométrie, il permet de mesurer des viscosités de l’ordre de 10–3 à 1010 Pa · s à des gradients de vitesse allant de 10–2 à 104 s–1 environ. Le domaine de mesure des forces normales va de 0,1 à 100 N. Bohlin Instruments a développé le VOR et la version VOR-M adaptée aux polymères fondus. Sur ces deux appareils, on peut monter une cellule de mesure de la forme normale (0,01 à 1 N pour le VOR ; 0,02 à 20 N pour le VOR-M). Le Mechanical Spectrometer RMS-800 et le Dynamic Spectrometer RDS-II de Rheometrics (§ 5.3) ont également un module de mesure des forces (avec deux gammes : 10–3 à 1 N et 2 · 10–2 à 20 N).

5.2.3 Viscosimètres rotatifs pour le contrôle industriel Les viscosimètres pour le contrôle industriel et le contrôle de processus sont plus robustes et moins sophistiqués que ceux pour le laboratoire. Souvent portatifs, ils sont équipés d’un nombre restreint de vitesses de rotation. Une différence essentielle par


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rapport aux appareils décrits au paragraphe 5.2.1 réside dans le fait que le cylindre extérieur est immobile ; c’est le corps de mesure tournant qui est lié au couplemètre. Certains de ces appareils fonctionnent même, moyennant un étalonnage convenable, sans cylindre extérieur. Ils peuvent parfois être équipés d’un système cône-plan. Si l’utilisation de tels instruments avec des fluides newtoniens en régime laminaire est acceptable, elle n’a guère de sens avec des liquides non newtoniens et elle est à prohiber évidemment en régime turbulent. Les mesures normalisées faisant référence à des corps tournants de forme particulière sont relatives. Elles ne pourront être comparées qu’à des mesures effectuées avec le même type d’appareil, la même géométrie, tournant à la même vitesse. Les principaux fabricants sont : Bohlin Instruments, Brookfield, Coesfeld, Haake, Mettler, Rheo qui utilise soit des cylindres coaxiaux, soit des rotors de mesure normalisés, soit des rotors en croisillons pour des produits particuliers présentant par exemple un manque d’adhérence. Des rotors de formes très variées peuvent être montés sur les modèles proposés par IKA. Total France a développé un viscosimètre (Total-Favor chez Cameron Plint Tribology) destiné à l’étude des huiles à haute température et sous cisaillement élevé. L’entrefer entre rotor et stator est de 4 µm, le gradient de vitesse est compris entre 5 · 104 et 1,2 · 106 s–1 et la température peut varier de 80 à 170 oC.

5.3 Rhéomètres multimodes Ces appareils sont caractérisés par une conception modulaire. À un système d’entraînement et de capteurs uniques peut s’adapter un grand nombre de corps de mesure permettant de travailler aussi bien avec des solides que des liquides. Ces appareils ont donc un usage très général. Leur électronique d’acquisition et de traitement des données est très performante. Citons les appareils suivants. ■ Chez Rheometrics : — le Dynamic Analyzer RDA II (équipement : cône-plan, plan-plan, Couette, torsion de poutres carrées) ; — le Dynamic Spectrometer RDS II (équipement : cône-plan, plan-plan, bicône, torsion de poutre carrée ou cylindre, traction de films et fibres) ; il permet la mesure des forces normales ; — le Mechanical Spectrometer RMS 800 ; il possède les mêmes géométries que le précédent, mais il a une meilleure sensibilité aux faibles gradients de vitesse, puisqu’il peut fonctionner de 2 · 10–6 à 102 rad/s, alors que le RDS II a une gamme moins étendue (10–3 à 102 rad/s) ; il permet également la mesure des forces normales ; — le Solid Analyzer RSA II, plutôt destiné aux matériaux solides : fibres, films, élastomères ; il est équipé pour la flexion trois points, la traction de fibres et de films, la compression entre deux plans parallèles, la flexion de poutres à double encastrement, le cisaillement sandwich pour les polymères fondus (figure 29) ; — le RAMA (Rheometrics Automated Melt Analyzer), pour l’étude des polymères fondus ; l’appareil, tout automatique, assure la fusion des granulés de polymères et donne en 6 minutes les caractéristiques : G’, G’’, tan δ, η, le melt flow index, etc. ■ Le Viscoanalyseur de Metravib est conçu pour l’étude des polymères et caoutchoucs. Différents porte-échantillons permettent des essais en traction-compression, flexion 3 points, cisaillement plan, cisaillement annulaire, pompage annulaire pour les liquides (le fluide est placé dans un godet et cisaillé par un piston en mouvement alternatif). Il permet des mesures dans une large gamme de fréquences (10–2 à 1 000 Hz). ■ Le Dynamic Mechanical Thermal Analyzer de Rheometric Scientific, également conçu pour l’étude dynamique des polymères sous forme de fibres, films, poutres. La contrainte sinusoïdale est imposée et l’on mesure la déformation. ■ On peut encore mentionner le Kawabata Evaluation System (KES) de Kato Tech Co (distribué par Texmac France) spécialement conçu pour l’étude des propriétés mécaniques des tissus (cisaillement, flexion, compression).

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Figure 29 – Dispositifs de fixation des échantillons sur le Solid Analyzer (doc. Rheometrics)

5.4 Viscosimètres élongationnels ■ Malgré l’importance de ce type de mesure, très peu d’appareils sont commercialisés. Les techniques mises en œuvre sont très différentes selon qu’il s’agit de polymères fondus ou de matériaux plus fluides. Pour les polymères fondus, le RME (Rheometrics Melt Elongational) chez Rheometrics est fondé sur un principe élaboré par le Prof. J. Meissner. Dans sa première version, l’échantillon, qui flotte sur un bain d’huile silicone, est étiré entre deux paires de cylindres étireurs distants d’une quantité 0 constante tournant en sens opposés (figure 30). Le matériau est ainsi déformé de façon homogène et avec un taux de déformation constant si la vitesse de rotation des cylindres est constante. Il a été possible d’obtenir des allongements de 7 Hencky (le Hencky est la quantité adimensionnelle ln ( / 0 ) , où 0 et sont respectivement les longueurs étirées et au repos de l’éprouvette). ■ Le Rheotens de Göttfert (distribué par Rheo) permet de tirer un jonc, en sortie de filière, à vitesse constante et de mesurer la force correspondant à chaque vitesse d’étirage. ■ Le rhéomètre élongationnel du type spinnerette du Professeur Ferguson est fabriqué par Thermal Analysis (Carri-Med), distribué par Rheo (figure 31). Le fluide contenu dans un réservoir est éjecté par une buse. Le filament ainsi obtenu est enroulé autour d’un tambour et étiré. Un capteur de forces mesure la force exercée sur


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VISCOSITÉ

le tube. La forme du filament est enregistrée par l’intermédiaire d’une caméra vidéo. Un logiciel en déduit le profil des vitesses et donc le taux d’allongement du filament. Il est alors possible de calculer la viscosité élongationnelle apparente. ■ Par ailleurs, Rheometrics a mis au point le Fluid Analyzer RFX, [51] [52]. Cet appareil est basé sur le principe des jets opposés : deux buses montées sur des bras verticaux sont immergées dans un récipient contenant le fluide à étudier. Lorsque le fluide est aspiré par les buses, il est soumis à une élongation uniaxiale selon l’axe des buses ; lorsqu’il est refoulé, on obtient des mesures en élongation biaxiale dans un plan vertical orthogonal aux deux jets. En remplaçant les buses par des cylindres concentriques, on peut mesurer les viscosités de cisaillement : le fluide est éjecté à travers un anneau de cisaillement ; la viscosité est calculée à partir de la force exercée sur le cylindre intérieur et du débit (figure 32).

Figure 30 – Rhéomètre élongationnel pour polymères fondus (d’après [50])

5.5 Viscosimètres à chute de bille 5.5.1 Viscosimètres à chute de bille conventionnels Ces viscosimètres, conçus d’après les idées de Hoeppler, ne devraient être utilisés qu’avec des liquides newtoniens. Leur étendue de mesure va de 10–3 à 102 Pa · s. Les fabricants sont Deltalab (cet appareil est surtout didactique), Starhope-Seta (revendu par Prolabo), Haake (microviscosimètre automatique revendu par Roucaire), Prodemat (Viscosimat 104 ; appareil automatisé fonctionnant aussi sur des produits opaques).

5.5.2 Viscosimètres à bille liée (balances viscosimétriques) La bille est fixée à un fil ou à une tige rigide dont l’extrémité est accrochée au fléau d’une balance. Initialement, la bille est au fond du tube de mesure. Une surcharge convenable provoque le mouvement de la bille vers le haut, le temps de montée pouvant être mesuré au moyen d’une aiguille solidaire du fléau. C’est la balance viscosimétrique (Haake, modèles VWB et VWB 301, revendue par Roucaire). Ces appareils sont adaptés aux viscosités élevées (jusqu’à 104, voire 105 Pa · s). Ils peuvent fonctionner avec des produits opaques et à température élevée (jusqu’à 120 oC pour le VWB ; 300 oC pour le VWB 301). L’appareil Setaram permet de travailler jusqu’à 1 450 oC (figure 33).

Figure 31 – Viscosimètre élongationnel spinnerette selon le Dr Ferguson

5.6 Appareils divers La métrologie de la viscosité devrait obéir à des règles précises, notamment quant à l’emploi d’écoulements bien définis et calculables. Beaucoup d’inventeurs de « viscosimètres » se sont peu souciés de ces règles. Il existe sur le marché un grand nombre d’appareils dont certains, utilisés pour des mesures normalisées, ne peuvent être employés qu’avec un matériau donné, c’est-à-dire dans une plage très étroite de viscosité et d’élasticité. C’est, en particulier, le cas des viscosimètres Mooney (MV 2000 de Monsanto et 76221 de Frank par exemple) spécifiquement destinés au caoutchouc et aux mélanges de caoutchouc. Ils ne seront pas décrits ici. Par contre, les instruments suivants ont une portée beaucoup plus générale.

5.6.1 Appareils à corps vibrant Ils sont fondés sur la mesure de l’amortissement et du déphasage des vibrations d’un solide immergé dans un fluide visqueux. Ils ne peuvent être utilisés qu’avec des fluides newtoniens et nécessitent un étalonnage.

Figure 32 – Principe du rhéomètre RFX à jets opposés (doc. Rheometrics)


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VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

■ Le viscosimètre Namètre est constitué d’une sphère mise en oscillation de torsion à sa fréquence propre (646 Hz). L’amplitude de ces oscillations est captée et elle est maintenue identique à celle obtenue dans l’air en modifiant la tension excitatrice (figure 34). Le signal d’erreur est proportionnel à ηρ ; c’est ce produit qu’affiche l’appareil qui a une étendue de mesure de 10–3 à 105 Pa · s. Sa précision serait suffisante pour permettre des mesures de viscosité intrinsèque, mais, à notre connaissance, il n’a jamais été utilisé à cette fin. Le gradient de vitesse de cisaillement (de l’ordre de 4 000 s–1) est fixe. Il n’est donc pas possible de mesurer le caractère non newtonien. La sphère peut être remplacée par d’autres corps vibrants : cylindre, tige, plan. Deux autres versions de l’appareil ont été conçues pour le contrôle en ligne. On peut les monter directement sur une conduite ou dans un réservoir. Ils sont distribués par AMPIL. ■ D’autres constructeurs proposent des instruments fondés sur le même principe et destinés au contrôle en ligne : BTG (transmetteur de viscosité à lame oscillante MBT 150/155/170 ; 10 –2 η 200 Pa ⋅ s ) ; Pewatron (Yamko Viscomate), Schwing (3 gammes de viscosité : 10–3 à 10–1 ; 10–1 à 1 et 1 à 20 Pa · s), Seres (Viscoseres ; le capteur est une tige en U immergée ; la grandeur mesurée est liée à la viscosité cinématique ν où ν 10 –2 m 2 /s ) ; Sofraser (MIVI 6001, 6002 ; tige vibrante ; 0 η 10 3 Pa ⋅ s ) . ■ La sonde rhéologique Viscoprocess de Metravib est fondée sur la mesure de la raideur complexe K * du produit étudié pris entre deux plans parallèles. Un déplacement sinusoïdal d’amplitude X est imposé sur l’un des plans. La force F est mesurée sur l’autre et on en déduit K* = F /X. Des céramiques piézoélectriques sont utilisées pour la génération du déplacement et pour la mesure de la force. Les déformations imposées au milieu sont de l’ordre de quelques micromètres. Le capteur peut être adapté à la mesure en cuve, ou en série ou dérivation sur une conduite, pour des viscosités de l’ordre de 4,5 · 10–4 à 40 Pa · s.

5.6.2 Appareils rotatifs pour contrôle en ligne Certains appareils rotatifs cités au paragraphe 5.2.3 peuvent être montés sur cuve ou conduite pour permettre le contrôle en ligne de la viscosité (modèle Covimat 105 de Mettler). D’autres sont spécifiquement conçus pour le contrôle de processus. Citons chez Brookfield les modèles VTA, VTE 150, TT 100, 200 et 220 (figure 35) distribués par Faure-Herman ; chez BTG, les modèles VISC 21,5 P, 21,5 EA, 2000 E/P ; chez AKO, le modèle Akovisc. Cameron Plint Tribology a mis au point un viscosimètre rotatif plus particulièrement destiné aux huiles, dont le rotor est excentré par rapport au stator (modèle TE 62). La grandeur mesurée est non pas un couple, mais la pression exercée sur la paroi extérieure au point où l’entrefer est minimal.

5.6.3 Appareils à plongeur destinés au contrôle en ligne Le principe du Norcross (Arelco) est fondé sur la mesure du temps de chute d’un piston ( 10 –4 η 10 3 Pa ⋅ s ) . Les différents modèles proposés par Techmark font appel à un mobile plongé dans le fluide et soumis à une force donnée par l’intermédiaire d’un électroaimant. Le mobile est animé d’un mouvement de va-et-vient ; sa vitesse, directement liée à la viscosité, est mesurée ( 10 –4 η 20 Pa ⋅ s ) .

5.6.4 Appareils pour le suivi de la viscosité en fonction du temps Au cours de certains processus physico-chimiques (polymérisation, gélification), la viscosité varie considérablement au cours du temps. Des appareils permettent le suivi de cette évolution et la détermination de temps caractéristiques. Leur principe consiste

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Figure 33 – Viscosimètre haute température SETARAM

à imposer un déplacement à un mobile immergé dans le fluide et à mesurer la force exercée par le fluide sur le solide (Trombomat de Prodemat : mesure relative ; Gelnorm PC, Gelnorm RVN et Geltimer de Gel Instruments distribué par OSI). Le Thermal Scanning Rheometer de Polymer-Lab (Rheometric Scientific) est destiné au suivi de polymérisation. Il mesure G’, G’’, η’, η’’, tan δ à une fréquence fixe de 2 Hz, la température pouvant varier de l’ambiante à 300 oC par paliers ou en continu. La viscosité est comprise entre 1 et 3 · 105 Pa · s.

5.6.5 Appareils mettant en jeu des écoulements complexes Pour caractériser certains matériaux dans des conditions proches de celles du procédé de transformation, on peut être amené à utiliser des écoulements complexes. Les grandeurs mesurées ne seront alors pas des grandeurs fondamentales, mais elles permettront les comparaisons et aideront à la formulation.


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Le système Rheocord de Haake (distribué par Rheo) est constitué d’un rhéomètre à couple de torsion alimenté par différents dispositifs (malaxeur, extrudeuse monovis ou bivis). Un moteur entraîne l’une des nombreuses cellules de mesure proposées. Le couple résistant dû à la présence du matériau est mesuré. Les résultats se présentent sous la forme de courbes donnant le couple en fonction du temps. Cet appareil peut être transformé en rhéomètre capillaire en utilisant une extrudeuse monovis et une filière.

VISCOSITÉ

contact. Cet instrument peut être utilisé pour voir l’influence d’additifs. On peut cependant s’interroger sur le rôle joué par la tension superficielle du fluide.

5.6.6 Viscosimètre optique L’appareil (Cameron Plint Tribology) est constitué d’une bille en métal poli placée contre la face inférieure d’un disque de verre en rotation dans son plan horizontal. La zone de contact est éclairée par une lampe halogène à quartz. Lorsqu’un film d’huile est déposé entre la bille et le disque, on peut observer des franges d’interférences colorées dues aux variations d’épaisseur du film. L’épaisseur minimale observable est de l’ordre de 12 µm. L’épaisseur du film dépend fortement de la viscosité de l’huile dans la zone de Figure 34 – Viscosimètre à corps vibrant (Namètre)

Figure 35 – Viscosimètre rotatif pour le contrôle en ligne (doc. Faure Herman)


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P O U R

Viscosité par

E N

Claude WOLFF Docteur ès Sciences Professeur des Universités (Université de Haute-Alsace) Guest senior scientist (National Institute of Standards and Technology, USA)

et

Dominique DUPUIS Docteur ès Sciences Professeur des Universités (Université de Haute-Alsace)

Références bibliographiques Références générales

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§ 3.2

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10 - 1994

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PERSOZ (B.). – La rhéologie. Masson (1969). Groupe Français de Rhéologie. – Dictionnaire de Rhéologie (en 4 langues). SEBTP (1990). SCHOWALTER (W.R.). – Mechanics of non newtonian fluids. Pergamon Press (1978). WALTERS (K.). – Rheometry. Chapman and Hall (1975). EIRICH (F.). – Rheology. Ouvrage collectif en 5 tomes. Academic Press (1958, 1961, 1967, 1969). PETRIE (C.J.S.). – Elongational flows. Pitman (1979). BÖHME (G.). – Non newtonian fluid mechanics. North Holland (1987). COLLYER (A.A.) et CLEGG (D.W.). – Rheological measurement. Elsevier (1988). BARNES (H.A.), HUTTON (J.F.) et WALTERS (K.). – An introduction to rheology. Elsevier (1989). COLLYER (A.A.) et UTRACKI (L.A.). – Polymer rheology and processing. Elsevier (1990). FERGUSON (J.) et KEMBLOWSKI (Z.). – Applied fluid rheology. Elsevier (1991).

On trouvera également un ensemble d’articles sur les problèmes actuels de la rhéologie dans les actes du XIe Congrès International de Rhéologie qui s’est déroulé à Bruxelles en août 1992 : [12] MOLDENAERS (P.) et KEUNINGS (R.). – Theoretical and applied rheology, vol. 1 et 2. Elsevier (1992).

Références particulières § 1.3 [13]

Doc. R 2 350

JOLY (M.). – Industrie minérale. 15 nov. 1977.

§ 2.1.4 [15] [16]

PIPKIN (A.C.). – Lectures on viscoelasticity theory. Springer Verlag (1972). LE ROY (P.) et PIERRARD (J.M.). – Rev. Ind. minérale, 2, no 4, p. 287-93, 15 déc. 1970.

§ 3.1 [17]

EYRING (H.) et MU SHIK JHON. – Significant liquid structures. Wiley (1969).

§ 4.2.1 [35] [36] [37] [38]

[39]

[40] [41] [42]

§ 4.4

[25]

[43]

[26]

WEISSBERG (S.G.), SIMHA (R.) et ROTHMAN (S.J.). – J. Research NBS, 47,p. 293 (1951). WOLFF (C.), SILBERBERG (A.), PRIEL (Z.) et LAYEC-RAPHALEN (M.N.). – Polymer, 20, p. 281 (1979).

[44] [45]

§ 3.2.3 [27]

WOLFF (C.). – J. Chim. Phys., 63, p. 1 174 (1962).

§ 3.2.4 [28]

[30]

ODIJK (T.). – Macromolécules, 12, p. 688 (1979). DE GENNES (P.G.), PINCUS (P.), VELASCO (R.M.) et BROCHARD (F.). – J. Phys., 37, p. 1 461 (1976). WOLFF (C.). – J. Phys. C2, 39, p. 169 (1978).

[31] [32] [33]

HARDY (R.C.). – NBS Monograph, 55 (1962). BAGLEY (E.B.). – J. Appl. Phys., 28, p. 624 (1957). BOGER (D.V.) dans : ASTARITA (G.). – Rheology. Tome 1, p. 195, Plenum Press (1980). DE GENNES (P.G.). – Macromolécules, 14, p. 1 637-44 (1981).

§ 4.3

§ 3.2.2

[46]

PETRIE (G.J.S.) et DEALY (J.M.), dans : ASTARITA (G.). – Rheology. Tome 1, p. 171, Plenum Press (1980). HUDSON (N.E.), FERGUSON (J.) et MACKIE (P.). – Trans. Soc. Rheol., 20, p. 265 (1976). MUNSTAEDT (H.). – Rheol. Acta, 14, p. 1 077 (1975). DENN (M.) dans RIVLIN (R.S.). – The Mechanics of viscoelastic fluids. p. 101, ASME (1977). ADAMS (N.) et LODGE (A.S.). – Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., A256, p. 149 (1964). BROADBENT (J.M.) et LODGE (A.S.). – Rheol. Acta, 10, p. 557 (1972). JACKSON (R.A.) et KAYE (A.). – Brit. J. Appl. Phys., 17, p. 1 355 (1966) HAN (C.D.). – A.I. Ch. E.J., 18, p. 116 (1972).

§ 4.5 [47] [48] [49]

WALTERS (K.) et KEMP (R.A.). – Rheol. Acta, 7, p. 1 (1968). JONES (T.E.R.) et WALTERS (K.). – Rheol. Acta, 10, p. 365 (1971). LE ROY (P.), ATTANÉ (P.) et TURREL (G.). – J. of non-newtonian fluid mechanics, 6, p. 26987 (1980).

§ 5.4

§ 3.3

§ 2.1 [14]

MASON (S.G.) est auteur ou co-auteur d’un ensemble considérable de travaux sur l’hydrodynamique des suspensions ; citons : [19] GOLDSMITH (H.L.) et MASON (S.G.). – The microrheology of dispersions, dans Rheology, ed. F. Eirich Academic Press (1967). [20] ENNIS (G.J.), OKAGAWA (A.) et MASON (S.G.). – Can. J. Chem., 56, p. 2 824 (1978). [21] SAITO (N.). – J. Phys. Soc. Japan, 6, p. 297 (1951). [22] SCHERAGA (H.A.). – J. Chem. Phys., 23, p. 1 526 (1955). [23] SIMHA (R.). – J. Chem. Phys., 13, p. 188 (1945). [24] LAYEC (Y.) et WOLFF (C.). – Rheol. Acta, 13, p. 695 (1974).

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BLOCH (E.). – Théorie cinétique des gaz. Armand Colin (1951).

MUNSTER (A.). – Les liquides simples. Gauthier-Villars (1964).

FLORY (P.J.). – Principles of polymer chemistry, Cornell Univ. Press (1971). FERRY (J.D.). – Viscoelastic properties of polymers. J. Wiley (1970). RINAUDO (M.). – Initiation à la chimie et à la physico-chimie macromoléculaires. Ouvrage collectif en 3 vol. GFP.

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[51] [52]

MEISSNER (J.) et HOSTETTLER (J.). – Theoretical and applied rheology, p. 938-939, Elsevier (1992). SCHUNK (P.R.), DE SANTOS (J.M.) et SCRIVEN (L.E.). – J. Rheol., 34, p. 387-414 (1990). SCHUNK (P.R.) et SCRIVEN (L.E.). – J. Rheol., 34, p. 1 085-1 120 (1990).

§ 3.3.4

Dans les Techniques de l’Ingénieur

[34]

[53]

CARREAU (P.J.). – Trans. Soc. Rheol., 16, p. 99 (1972).

LE NEINDRE (B.). – Viscosité. K480, traité Constantes physico-chimiques, déc. 1988.

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. − © Techniques de l’Ingénieur, traité Mesures et Contrôle

Doc. R 2 350 − 1

S A V O I R P L U S

P O U R

VISCOSITÉ ____________________________________________________________________________________________________________________________

Constructeurs. Fournisseurs Liste non exhaustive

E N S A V O I R P L U S

AIS Appareillage Industriel et Scientifique

Metravib

AMPIL

Mettler Toledo AG

Adamel-Lhomargy

Monsanto SA

AKO Regelungstechnick GmbH

Nametre Company

Analis

OSI Omnium Scientifique et Industriel de France

Arelco-ARC

Pewatron AG

BTG France

Physica

Beckman Instruments France

Porpoise Viscometers Ltd

Bioblock Scientific

Prodemat

Bohlin Instruments

Prolabo

Brabender OHG

Raszek Analysentechnick GmbH

Brookfield Viscometers Ltd

Rheo

Cameron Plint Tribology

Rheometrics France

CEAST SpA

Rosand Precision Ltd

Coesfeld GmbH

Roucaire

Davenport

SEBTP

Deltalab

Sanor

Dynisco Instruments

Schott France

Ets Jean Lamy Dépt. Rhéologie

Schwing Verfahrenstechnick

Faure Herman

Seres

Carl Frank France

Setaram

Gel Instruments

Sodexim

Gottfert

Sofraser

Haake

Suck Wissenschaftliche

IKA Analysentechnick GmbH

Techmark France

Instruments & Controls

Thermal Analysis

Kato Tech Co Ltd

Texmac France SA

Kruss France

VAF Instruments BV

Labo Moderne

Zwick

Lauda Dr. R. Wobser GmbH & Co HG

Doc. R 2 350 − 2

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