FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SERIE TEMA II FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Semestre: 2015-2
1. Una fundidora produce piezas piezas de hierro fundido para uso en las transmisiones automáticas automáticas de camiones. Son dos las dimensiones cruciales de dicha pieza, A y B. Supóngase que si la pieza cumple con la especificación de la dimensión A, existe una probabilidad de 0.98 de que también cumpla con la dimensión B. Además, existe 0.95 de probabilidad de que cumpla con la especificación de la dimensión A y 0.97 de que lo haga con la dimensión B. Se selecciona aleatoriamente e inspecciona una unidad de dicha pieza. ¿Cuál es la probabilidad de que cumpla con las especificaciones de ambas dimensiones? Respuesta 0.931 2. Considérese un conjunto universal compuesto por los enteros del 1 al 10. Sea A = { m iembros de los 2,3,4} , B = { 3,4,5} y C = { 5,6,7} Por enumeración, listar los miembros siguientes conjuntos. a) A ∩ B b) A ∪ B c) A ∩ B d) A ∩ (B ∩ C ) e) A ∩ (B ∪ C ) Resolución: a) S
=
{1, 1, 2, 3,4,5, 6,7,8,9,10} A = {1,5,6,7,8,9,10}
b) A ∪ B c) B
A ∩ B
= {5}
= {1,3,4,5,6,7,8,9,10}
= {1,2,6,7,8,9,10}
A ∩ B
=
{ 2,3,4,5}
,2,3,4 ,4,5 ,5,6 ,6,7 ,7,8 ,8,9 ,9,,10} d) A ∩ (B ∩ C ) = {1,2,3 2, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9,10} e) A ∩ (B ∪ C ) = {1, 2, 3. Supóngase que S contiene cuatro puntos muestrales muestrales E1, E2, E2, E3, y E4. a) Establecer todos los eventos posibles de S (incluyendo el evento vacío).
n n ∑ = 2 para calcular el número total de eventos de S. i =1 i n
b) Utilizar el resultado
c) Sean A y B los eventos {E1, E2 , E3 } y {E2 , E4 } respectivamente. Especificar los puntos m uestrales de los eventos siguientes: A ∪ B A ∩ B A ∩ B
Resolución: a) φ , {E1} ,{E 2} , {E 3} ,{E4} ,
{E1, E2 } ,{E1, E3 } ,{E1, E4 }, {E2, E3 }, {E2 , E4 }, {E3 , E4 }, {E1, E2 , E3 },{E1, E2, E4 }, {E1, E3 , E4 } ,{E2 , E3 , E4 }, S
b)
4 4 4 4 4 4 + + + + = 2 = 16 0 1 2 3 4
c) A ∪ B = {E1, E2 , E3 , E4 } A ∩ B
=
{E2 }
A ∩ B
=
φ
A ∪ B
=
{E2 , E4 }
4. Si una prueba de selección múltiple consta de 5 preguntas, cada una con 4 posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta, a) ¿En cuántas formas diferentes puede un estudiante escoger una respuesta para cada pregunta? b) ¿En cuántas formas puede un estudiante contestar el examen, escogiendo una alternativa para cada pregunta y tener todas las respuestas incorrectas? Respuesta: a) 1024, b) 243 5. Se va a seleccionar al azar, una delegación de deportistas de alto rendimiento para asistir a los juegos olímpicos. La delegación está compuesta por 4 de 10 deportistas que constituyen a los más destacados elementos de cierto deporte. Si en dicho grupo hay 2 mujeres ¿cuál es la probabilidad de que ambas formen parte de la delegación? Respuesta P(A)= 14 / 105 6. En una caja vienen envueltos 15 focos, 5 de los cuales están fundidos. Si se sacan al azar 3 focos ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos esté fundido? Respuesta P(A)= 120 / 455 7. En una bolsa hay 10 globos blancos, 5 anaranjados y 5 azules. Si se extrae un globo al azar, la probabilidad de que ocurra: a) Sacar un globo blanco b) Sl hacer una segunda extracción el globo sale blanco si se quitan los globos anaranjados para esta segunda extracción. Respuestas a)
10 , 20
b)
9 �10 � 20 14
8. En un grupo de 50 profesores hay 30 casados, 15 hablan inglés y 10 son casados y hablan inglés. Se elige al azar un profesor para representante ante el comité administrativo de la escuela ¿cuál es la probabilidad de que el elegido sea casado y hable inglés? 1 Respuesta
3
9. En una encuesta realizada en México a 10 000 ciudadanos del sexo masculino se obtuvieron los siguientes resultados: PRACTICA UN DEPORTE
EC SEC TOTAL
700 1300 2000
300 6600 6900
100 1000 1100
1100 8900 10000
EC = Enfermedades del corazón SEC = Sin enfermedades del corazón Determinar la probabilidad de que: a) un hombre no realice ningún deporte. b) tenga una enfermedad del corazón. c) haga deporte regularmente y padezca del corazón. d) no padezca del corazón considerando que hace no deporte. e) padezca del corazón considerando que hace deporte regularmente. Respuestas a) 0.20, b) 0.11, c) 0.01, d) 0.65 e) 0.09 10. Se requiere que todos los empleados de una base militar se sometan a pruebas de polígrafo, con el objeto de reducir las pérdidas debidas a robo. Algunos empleados consideran que este tipo de medidas son una violación a sus derechos. Al hacer un reportaje acerca de una base militar en particular que emplea este procedimiento, el reportero hace notar que los detectores de mentiras tienen una eficiencia que varía del 90 % al 99%. Para evaluar los riesgos que corren las personas al someterse a una prueba con un detector de mentiras al suponer una probabilidad de que un detector concluya que un empleado miente cuando en realidad dice la verdad es de 0.05, y se supone también que las pruebas siempre serán independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina concluya que tres empleados mienten cuando en realidad los tres dicen la verdad? b) ¿Cuál es la probabilidad que la máquina concluya que al menos uno de los tres empleados miente cuando todos dicen la verdad? Respuestas a) 0.000125, b) 0.143 11. En una editorial al terminar una edición de cierta obra, un supervisor selecciona aquellos libros que deben sujetarse a una inspección completa; el 10% de todos los artículos producidos tienen errores (defectuosos), 60% de los artículos que son sometidos a inspección completa son defectuosos y 20% de los artículos fueron sometidos a inspección completa sabiendo que no tienen errores. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los artículos pasen por una inspección completa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado por una inspección completa dado que no tenía defectos? Respuestas: a) 0.24, b) 0.25
12. Un alumno contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opción múltiple. Supóngase que la probabilidad de que el alumno conozca la respuesta correcta es 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es de 0.2. Supóngase además que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es 0.25. Si el alumno contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente conozca la respuesta correcta? Respuesta 0.9412 13. Una empresa comercializadora de artículos electrónicos está considerando comercializar un nuevo modelo de televisor. En el pasado, el 40% de los equipos de televisión que la empresa lanzó al mercado tuvieron éxito y el 60% no fueron exitosos. Antes de lanzar al mercado el equipo de televisión, el departamento de investigación de mercados realiza un extenso estudio y entrega un reporte, ya sea favorable o desfavorable. En el pasado, el 80% de los equipos de televisión exitosos habían recibido un reporte de investigación favorable y el 30% de los
los nuevos modelos de B. televisión bajo consideración, el departamento de investigación de mercado ha entregado un reporte favorable. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo de televisión tenga éxito en el mercado? Respuesta 0.64 14. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Respuesta 0.157
