Modelación de Procesos (543207) Prueba #2 S2-2011 Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Concepción 27/01/2012 *
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Modificado el 1 de marzo de 2012. arn/ARN
1
Figura 1: Problema 1
Problem Problema a 1 (30 %) Asuma la constante del resorte K , masa m, coeficiente de roce viscoso µk y ángulo θ en la Figura 1 como conocidos. (a) Encuentre un modelo modelo para la posición del bloque. bloque. (b) Encuentre el desplazamiento desplazamiento cuando la aceleración se hace cero y bosqueje bosqueje su gráfica como función de θ . (c) Un estudiante de Modelación de Procesos Procesos opina que la posición está descrita por
x(t) = sin(αt sin(αt)) + β + β con α, β reales reales por determinar. ¿Comparte usted dicha opinión? (fundamente). (d) Plantee la ecuación de recursión usando el método de Euler explícito (Ayuda: (Ayuda: defina una variable auxiliar x˙ = y = y )
Problem Problema a 2 (20 %) F ] La Figura 2 muestra una parte de un sistema de protección contra incendios donde una bomba impulsa agua a 60 [o F ] [gal/min]]. Calcule la altura h que se requiere para el nivel del desde un depósito y la lleva al punto B a razón de 1500 [gal/min 5,0 [ psig [ psig]] en el punto A. agua en el estanque, con el fin de mantener una presión de 5,
Datos - Factor de conversión conversión de galones galones a pie cúbicos:
1 [ pie3 /s] /s] 449 [gal/min [gal/min]] .
Figura 2: Problema 2
10,750 [ pul] pul]. - Diámetro externo externo de una tubería de acero de 10 pulgadas cédula 40: 10, 10,020 [ pul] pul]. - Diámetro interno interno de una tubería de acero acero de 10 pulgadas cédula 40: 40: 10, F ]: 1, 1 ,21 · 10−5 [ pie pie2 /s] /s]. - Viscosidad Viscosidad cinemática cinemática del agua a 60 [ o F ] - Rugosidad Rugosidad ϵ del acero: 1, 1,5 · 10−4 [ pie] pie]. - Fórmula para el cálculo cálculo directo del factor factor de fricción: fricción:
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
��
2
con D , diámetro interno de la tubería, ϵ rugosidad de la tubería, N R número de Reynolds.
Problem Problema a 3 (30 %) Para el mismo sistema de protección contra incendios esbozado en la Figura 2 donde una bomba impulsa agua a 60 [ o F ] F ] desde un depósito y la lleva al punto B a razón de 1500 [gal/min [gal/min]]. Si suponemos que la presión en A es de 5, 5 ,0 [ psig] psig], calcule la potencia en [hp [ hp]] que transmite la bomba al agua con objeto de conservar una presión de 85 [ psig] psig] en el punto B. Incluya la pérdida de energía debido a la fricción, pero ignore las demás.
Datos - Factor de conversión conversión de galones galones a pie cúbicos: - Factor de conversión conversión de lb pie/s pie/s a hp:
1 [ pie3 /s] /s] 449 [gal/min [gal/min]] .
1 [hp] hp] 550 [lb [lb pie/s] pie/s] .
8,625 [ pul] pul]. - Diámetro externo externo de una tubería de acero acero de 8 pulgadas cédula cédula 40: 8, 7,981 [ pul] pul]. - Diámetro interno interno de una tubería de acero acero de 8 pulgadas cédula 40: 40: 7, F ]: 1, 1 ,21 · 10−5 [ pie pie2 /s] /s]. - Viscosidad Viscosidad cinemática cinemática del agua a 60 [ o F ] 1,5 · 10−4 [ pie] pie]. - Rugosidad Rugosidad ϵ del acero: 1, - Fórmula para el cálculo cálculo directo del factor factor de fricción: fricción:
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
��
2
con D , diámetro interno de la tubería, ϵ rugosidad de la tubería, N R número de Reynolds.
Problem Problema a 4 (20 %) 510 [g ] a una temperat 2220 [J/kg K ] Considere Considere un bloque bloque de hielo hielo con una una masa 510 temperatura ura de −10 [o C ]. Si se sabe que que ch = 2220 es el calor específico del hielo, L F = 333 [kJ/kg [kJ/kg]] es el calor de fusión del agua y c l = 4190 [J/kg [J/kg K ] es el calor específico del agua en estado líquido: (a) ¿Cuanto calor se necesita para que el agua alcance alcance una temperatura de 12 [ o C ]?
150[kJ ]] en forma de calor ¿Cuál es el estado final del agua (sólido, líquido, etc.) y cuál es su (b) Si se agregan agregan tan sólo sólo 150[kJ temperatura?
Solución:
Problema 1 (a) Hacemos un diagrama de cuerpo libre y reconocemos reconocemos tres fuerzas actuando actuando sobre la masa: - La componente del peso peso a lo largo del plano plano inclinado. - La fuerza fuerza de roce. roce. - La fuerza fuerza del resort resorte. e. La suma de fuerzas para la masa m se hace con respecto a un sistema de coordenadas paralelo al plano inclinado, con dirección positiva hacia la derecha
ma = ma = mg mg sin(θ sin(θ) − µk mg cos(θ cos(θ) − Kx a = x ¨ y despejando, tenemos el modelo buscado Dado que a = x ¨ = g = g sin(θ sin(θ ) − µk g cos(θ cos(θ ) −
K x m
(b) Para una aceleración aceleración cero, acorde al modelo, modelo, se tiene que
xao =
mg (sin(θ (sin(θ) − µk cos(θ cos(θ)) K
El dibujo como función de θ se presenta en la figura respectiva. Nótese que un ángulo mayor de 90o no tiene sentido en el contexto del problema. (c) Se puede verificar por substitución, substitución, lo que entrega los siguientes siguientes valores para α y β
α =
√ K m
,
β = =
mg (sin(θ (sin(θ ) − µk cos(θ cos(θ )) K
(d) Con la ayuda propuesta propuesta planteamos planteamos
y˙ = g = g sin(θ sin(θ ) − µk g cos(θ cos(θ ) −
K x m
x˙ = y = y Usamos ahora una aproximación de Euler explícito por lo que
y (nh + nh + h h)) − y (nh) nh) K = g sin(θ sin(θ) − µk g cos(θ cos(θ) − x(nx) nx) h m x(nh + nh + h h)) − x(nh) nh) = y( y (nh) nh) h Ahora reemplazamos la segunda ecuación en la primera (tanto para y( y (nh + nh + h h)) como para y( y (nh) nh)) x(nh+2 nh+2h h)−x(nh+ nh+h) x(nh+ nh+h)−x(nh) nh) − h h
h
= g sin(θ sin(θ ) − µk g cos(θ cos(θ) −
K x(nx) nx), m
1 0.8 0.6 o a
x
0.4 0.2 0
−0.2 0
0. 5
1
1.5
θ
Figura 3: Gráfica de x ao (θ) con
m K gµ k =
1 y µk = 0,2.
por lo que la ecuación de recursión queda como
�
x(nh + nh + 2h 2 h) − 2x(nh + nh + h h)) + x + x((nh) nh) 1 + h + h con n
∈
�
2 K
m
= h = h 2 (g sin(θ sin(θ ) − µk g cos(θ cos(θ )) ,
N.
Problema 2 Planteamos la ecuación general de la energía entre el punto 1, a la altura h en el interior del estanque, y el punto A
p1 v2 + z1 + 1 γ 2g
−
hL =
pA v 2 + zA + A γ 2g
En el punto 1 tenemos presión atmosférica por lo que p 1 = 0, además de la figura z 1 = h y v 1 ≈ 0. En el punto A [ psig]]. Necesitamos calcular tanto hL como vA . Empecemos con vA sabemos que zA = 0 y que pA = 5 [ psig 3
pie /s] /s] 1500 [gal/min [gal/min]] · 4491 [[gal/min QA [gal/min]] vA = = = 6, 6 ,1008 [ pie/s] pie/s] 10,020 2 AA π 10,
�
2·12
�
Para hL en la parte (a) del problema empezamos por calcular el número de Reynolds
N R =
10,02 6,1008 · 10, vD 12 = = 4, 4 ,21 · 105 − 5 · ν 1,21 10
= 1,5·10−4 /(10, (10,020 020//12) = es decir decir el flujo flujo es turbu turbulen lento. to. Con esto esto debem debemos os entonc entonces es encont encontrar rar la rugosi rugosidad dad relati relativa va ϵ/D ϵ/D = 4 − 1,7964 · 10 por lo que usando la fórmula para f tenemos f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
+
5,74 0,9 N R
2
��
= 0,0156
La pérdida por fricción resulta ser
hL = f = f ·
L v2 · = 0,0156 · D 2·g
45 6,10082 = 0, 0 ,4921 [ pies] pies] 10, 10,020 2 · 32 32,,2 12
Esto resulta en una altura h de líquido al interior del estanque de 2 p A v A 5 · 144 6, 6 ,10082 h = h = h L + + = 0,4921 + + = 12, 12 ,6085 [ pies] pies] γ 2g 62 62,,4 2 · 32 32,,2
Problema 3 Planteamos la ecuación general de la energía entre el punto A y B
pA v 2 pB v 2 + zA + A + hA − hL = + zB + B γ 2g γ 2g De la figura sabemos que zA = 0 y zB = 25, vA es conocido de la parte A, por ec. de continuidad vB es
vB =
AA 3,3408 vA = 9 ,6163 [ pie/s] pie/s] 2 = 9, AB π 72,·981 12
� �
Las pérdidas por fricción son ahora función de la velocidad v B , no vA , por lo que recalculamos el número de Reynolds 981 9,6163 · 7,12 vD N R = = = 5, 5 ,2857 · 105 − 5 ν 1,21 · 10
El flujo sigue siendo turbulento, la rugosidad relativa cambia a 2, 2,2554 · 10−4 , por lo que el factor de fricción f se calcula como
f =
0,25
�log � 10
1 3,7 D ϵ
Las pérdidas por fricción se cuantifican como
hL = f = f ·
+
5,74 0,9 N R
2
��
= 0,0157
L v2 2625 9,61632 · = 0,0157 · 7,981 = 88, 88 ,9781 [ pies] pies] D 2·g 2 · 32 32, , 2 12
De todo esto se deduce hA como
hA = h = h L +
p B v 2 + zB + B γ 2g
−
pA γ
−
2 vA 2g
= 86, 86 ,144 +
85 · 144 9, 9 ,61632 + 25 + 62 62,,4 2 · 32 32,,2
−
5 · 144 62 62,,4
−
6,10082 = 299, 299,4515 2 · 32 32,,2
Con esto finalmente calculamos la potencia como
P A = h = h A γQ = γQ = 296, 296,6178 · 62 62,,4 · 3,3408 = 62425 [lb [ lb pie/s] pie/s] ⇒ P A = 113, 113,5 [hp [ hp]]
Problema 4 (a) El primer paso es estimar el calor necesario necesario para subir la temperatura temperatura del hielo desde
10 [ o C ] hasta 0 [ o C ]
−
Q1 = c = c h mh (T (T f 11,322 [kJ [kJ ]] f − T i ) = 2220 · 0,51 · (0 − (−10)) = 11, Ahora calculamos el calor necesario para hacer cambiar completamente de estado la masa de agua
Q2 = LF mh = 333 · 0,51 = 169, 169,83 [kJ [ kJ ]] Finalmente calculamos el calor necesario para subir la temperatura del agua en estado líquido otros 12 grados
Q3 = c l ml (T (T f 25,643 [kJ [kJ ]] f − T i ) = 4190 · 0,51 · (12 − 0) = 25, El calor total necesario es entonces de Qtot = Q = Q1 + Q + Q2 + Q + Q3 = 11 11,,322 + 169, 169,83 + 25, 25,643 = 206, 206,795. La mayor cantidad de calor se requiere para transforma el estado del agua, desde sólido a líquido. (b) Si se entrega calor a la masa de hielo hielo en una cantidad total de 150 [kJ [ kJ ]], entonces de (a) sabemos que hay suficiente o calor para que todo el hielo suba su temperatura de los −10 [ C ] originales hasta los 0[o C ]. El calor sobrante es de 138,,6780 [kJ 138 [kJ ]]. Con esta cantidad de calor restante tenemos que
mh =
138,678 138, = 0, 0 ,4165 [kg [kg]] 333
41 ,65 [g] de es decir el calor restante permite la transformación del estado sólido al estado líquido de tan sólo 41, 41 ,65 [g] en estado líquido y 9, 9 ,35 [g ] en forma de hielo a una hielo. En conclusión el estado final del agua es de 41, o temperatura de 0 [ C ].
