Aplicación de ecuaciones dierenciales: Mo!imiento Amortiguado Amortiguado
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LATACUNGA LATACUNGA ' ECUADOR
()
Te*a: Aplicación de ecuaciones dierenciales: Mo!imiento Amortiguado
+)
O,-et".os
/ O,-et".o Genera!: •
Deducir un modelo matem'tico mediante ecuaciones dierenciales para la representación del mo!imiento amortiguado
/ O,-et".os Es%ec01"cos: •
Deinir mediante una ecuación dierencial( todos los par'metros necesarios para
•
)ue e*ista un mo!imiento amortiguado. Construir una ma)ueta para reali+ar una pr'ctica del enómeno de mo!imiento
•
amortiguado. Comprobar mediante simulaciones en un programa los !alores calculados y resultantes de la pr'ctica.
2)
Marco Te$r"co 2)() De1"n"c"$n e *o."*"ento a*ort"g3ao
Para identiicar los conceptos de mo!imiento amortiguado se debe conocer pre!iamente deiniciones de mo!imiento armónico y oscilatorio. ,l mo!imiento armónico simple es un mo!imiento periódico( oscilante con respecto a un punto i-o central. n claro e-emplo de este mo!imiento es el sistema masa resorte( en el cual se une una masa a un resorte y se separa al resorte de su posición de e)uilibrio para )ue comience su oscilación. Por lo tanto( un mo!imiento amortiguado( se deinir como un mo!imiento oscilatorio( en el cual e*ista un elemento )ue rene paulatinamente este mo!imiento para as/ llegar a un momento en el )ue no e*ista mo!imiento. 0ablando sobre mo!imientos oscilatorios( el mo!imiento amortiguado es una aplicación pr'ctica de mo!imiento armónico simple( ya )ue est' basado en par'metros reales a dierencia del mo!imiento armónico simple )ue centra su an'lis is en par'metros ideales. a dierencia entre estos dos tipos de mo!imientos oscilatorios se puede apreciar claramente en sus gr'icas 2espacio 3 tiempo4( las cuales se presentar'n a continuación:
F"g3ra 4(: 5raica 2espacio 6 tiempo4 de un mo!imiento armónico simple.
F"g3ra 4+: 5raica espacio tiempo de un mo!imiento amortiguado. 2)+) De1"n"c"$n e %ar&*etros 5 *oe!ac"$n e !a ec3ac"$n "1erenc"a! e! *o."*"ento a*ort"g3ao)
Para poder reali+ar una modelación adecuada sobre el mo!imiento amortiguado( se debe inicialmente reali+ar un an'lisis gr'ico )ue generalice este enómeno( por lo tanto se ha reali+ado un sistema masa resorte con l/)uidos amortiguadores( as/:
F"g3ra 42: 7isuali+ación es)uem'tica de un mo!imiento amortiguado.
8bser!amos en la igura anterior )ue en el sistema masa resorte se encuentran deinidas la masa 9m( el coeiciente de !iscosidad o amortiguamiento 9b y 9; )ue es el coeiciente de restitución del resorte. Deinidos estos par'metros puntuales tenemos las siguientes particularidades:
•
a uer+a !iscosa es proporcional a la relación entre el coeiciente de !iscosidad 9b y la !elocidad de la part/cula 9!: F v =−b∗ v 6(7 ,l signo negati!o de la ecuación nos indica )ue la uer+a !iscosa o amortiguadora 2uer+a )ue e-erce el l/)uido amortiguador4( siempre se opone a la dirección del
•
mo!imiento. a uer+a implicada en el resorte( se deinir' mediante la ley de 0oo;e )ue nos indica )ue la uer+a recuperadora del resorte ser' igual a la relación entre la longitud del resorte 9* y el coeiciente de restitución 9;. F r =−k ∗ x
6+7
Al igual )ue en la ecuación anterior( el signo negati!o indica )ue la uer+a de restitución del resorte ser' siempre contraria al mo!imiento del mismo. •
Para relacionar las ecuaciones 1 y $( se utili+a los conocimientos de la tercera ley de
∑ F y =m∗a
62ra !e5 e Ne8ton7)
F v + F r =m∗a b∗v + k ∗ x + m∗a=0 Por deinición se conoce )ue la !elocidad 9! de una part/cula se deine mediante la primera deri!ada del espacio 9* con respecto al tiempo y la aceleración 9a de una part/cula est' dada por la segunda deri!ada del espacio con respecto al tiempo( as/: v=
dx dt
a=
d x
2
2
d t
>eempla+amos las deiniciones en la ecuación principal y obtenemos lo siguiente: 2
b∗dx m∗d x + + k ∗ x =0 2 dt d t
Para simpliicar nuestra ecuación dierencial encontrada( procedemos a di!idirla para la masa ya )ue mediante esta di!isión se puede hacer dos reempla+os( los cuales permitir'n resol!er m's 'cilmente nuestra ecuación dierencial: b m 2 ∗dx ∗d x m m + + k ∗ x =0 2 dt m d t ,ntonces como: ω0 =
γ =
√
k m
b 2m
>eempla+amos las deiniciones en la ecuación y obtenemos: 2
Conocemos por deinición )ue la ecuación dierencial encontrada mediante modelación( es una ecuación dierencial lineal de segundo orden( por lo tanto debemos sustituir la deri!ada del espacio con respecto al tiempo por una !ariable cual)uiera( en este caso se utili+ar' 9m( para )ue nos )uede lo siguiente: m=
m
2
dx dt 2
+ 2 γm+ ωo =0
Podemos obser!ar )ue luego del reempla+o nos )ueda una ecuación de segundo grado( dicha ecuación podemos resol!er mediante el m?todo de la órmula general para llegar a la e*presión siguiente: m = γ ± √ γ − ωo 2
2
,n este momento( procedemos a anali+ar la situación pertinente a las dos ra/ces )ue se !an a encontrar( espec/icamente debemos anali+ar si las ra/ces son iguales( dierentes o si su solución es un n@mero comple-o y as/ podremos llegar a la
deinición inal de la resolución de esta ecuación dierencial. ,l an'lisis pr'ctico nos indica )ue los l/)uidos utili+ados para el amortiguamiento( nos dan un mo!imiento poco amortiguado( y utili+ando las deiniciones anteriores se podr' llegar a la ecuación siguiente: − ∗ ( ) ∗cos ( w ∗t + x = A∗e b
2m
t
'
∅
)
6So!3c"$n 1"na! e !a E)D)7
Done:
w
∅
'
=
√
2
k b − 2 m 4m
: Desase inicial
A : Amplitud
9/ Mater"a!es: Mater"a! 5o E;3"%o
Caracter0st"cas
Base
Permite sostener los dem's materiales de la pr'ctica
Agua
Material amortiguador
Aceite de motor usado
Material amortiguador
>ecipiente
Para !erter el agua y el aceite
>esorte
Permite el mo!imiento oscilatorio
Cubo con gancho
<) Gr&1"co o es;3e*a:
F"g3ra
=) Datos o,ten"os:
,*isten datos constantes )ue se obtienen mediante el c'lculo de condiciones iniciales en un tiempo igual a cero( los cuales son: A1
=0
∅
m11&g ,l tiempo se mide con cronómetro desde )ue la pr'ctica se inicia hasta )ue la masa no est? sometida a mo!imiento( entonces para los dos casos puntuales estudiados los tiempos ser'n:
=) C&!c3!os Para calcular la constante A( tomaremos los !alores iniciales( tiempo cero y una amplitud igual 1. − ∗ ( ) ∗cos ( w ∗t + x = A∗e b
2m
t
'
∅
)
0
= A∗e ∗cos ( 0 + 0 )
17
A =17
2m
t
(√
2
)
2
k b b − 2 t − 2 m 4m 4m
A partir del sistema masa3resorte armado se consiguieron datos )ue nos ser!ir'n para obtener el !alor de b. Ag3a x =0.21 m t =4.59 s m=0.113 Kg − ∗( ( ( )) 0.21=17 e b
2 0.113
b =0.1465
4.59)
cos
(√
10 0.113
−
b
(
2
4 0.113
)
2
)
( 4.59 )−
b
(
2
4 0.113
2
)
Ace"te x =0.08 m
t =3.4 s m=0.113 Kg − ∗( ( ( )) 0.24 =17 e b
2 0.113
4.59 )
cos
(√
10 0.113
−
b
(
2
4 0.113
)
2
)
( 4.59 )−
b
(
2
4 0.113
2
)
b =0.2801
(()/ Conc!3s"ones:
tili+ando los conocimientos ad)uiridos de modelación y resolución de ecuaciones dierenciales se ha llegado a obtener: 2 dx d x + ω02 x =0 2 γ + 2 dt d t − ∗ ( ) ∗cos ( w ∗t + x = A∗e b
2m
•
•
t
'
∅
)
e reali+ó una ma)ueta( en la cual podemos obser!ar y reali+ar todo lo necesario para obtener nuestras !ariables a encontrar( dicho proceso se muestra en el !ideo ane*ado e logró comprobar mediante simulaciones en Modellus )ue la pr'ctica se reali+ó e*itosamente.
(2)/ B",!"ogra10a
emans;y ears. 2$%%E4. F/sica ni!ersitaria. ,ditorial Pearson ,dición 1$. ill Dennis. 2$%%E4. ,cuaciones Dierenciales con aplicaciones de modelado. Cengace. ,dición E
