III. Prosedur Perhitungan Kolom Pendek
1- 2 %
h
a. Trial b dan h Dapat didekati dengan sederhana berikut : Pn fc '= 0,3 Ag b. ΣV = 0 Cc = 0,85.fc’.a.b Ts’ = As’.fy Ts = As.fy
b εs 〉 εy 0,003
persamaan
a = β1.c
0,003 Pn + Ts = Cc + Ts’ Didapat nilai a dan c Cek asumsi εs dan εs’ (harus benar)
Pn εs’ 〉 εy
Ts
c. ΣM = 0 Pn.e = Cc.z + Ts’ (½h – d’) + Ts (½h – d’) Ts’ Cc
Prosedur di atas dapat juga dilakukan dengan membuat diagram interaksi, dengan langkah-langkah pada contoh berikut berikut : Penampang kolom berikut : 193
194
193
ds‘
400
ds
700
Penutup beton = 40 mm Diameter tulangan pokok = 20 mm Diameter sengkang = 10 mm
fc’ = 40 MPa fy = 400 MPa
Diminta : Gambarkan diagram interaksi kolom 1
Penyelesaian : ds = 40 + 10 + ½ 20 = 60 mm ds’ = 40 + 10 + ½ 20 = 60 mm h = h – ds = 700 – 60 = 640 mm Luas 1 buah tulangan = ¼ π × 202 = 314,16 mm2 fc’ = 40 MPa → β1 = 0,85 −
0,05 (40 − 30) 7
β1 = 0,779 Titik-titik pada diagram interaksi kolom dapat dihitung sbb :
Titik A Pembebanan Tarik (Tension Loading), tarik murni Pn = - As total × fy = - (10 × 314,16) × 400 = - 1256637 N = - 1256,64 kN Mn = 0
A ( 0 ; - 1256,64 ) Titik B Lentur Murni (Pure Bending) Letak garis netral untuk kondisi lentur murni ditentukan dengan coba-coba dengan mengambil asumsi sebagai berikut : Garis netral berada di antara tulangan baris 1 dan 2 253 < c < 60 Tulangan baris 1 belum leleh, baris 2, 3 dan 4 sudah leleh As1 = As4 = 3 × ¼ π × 202 = 942,5 mm2 As2 = As3 = 2 × ¼ π × 202 = 628,3 mm2
2
60
193
194
193
Z1
Z4
400
60
Z3
Z2
700
60
As1
193
As2
194
As3
193
As4
400
60
Ts1
Pn = 0
0,003
Cc
εs2
εs1 a
Ts2
εs3 Ts3
Ts4
εs4
c
Keseimbangan gaya-gaya dalam, Σ H = 0 Pn + Ts2 + Ts3 + Ts4 = Ts1 + Cc Pn = 0 Ts1 = As1 × fs
3
= As1 × εs1 × Es = 942,5 ×
c − 60 c − 60 × 0,003 × 200000 = 565486,7× N c c
Ts2 = As2 × fy = 628,3 × 400 = 251327,4 N Ts3 = As3 × fy = 628,3 × 400 = 251327,4 N Ts4 = As4 × fy = 942,5 × 400 = 376991,1 N Cc
= 0,85 fc’ × a × b = 0,85 fc’ × β1 × c × b = 0,85 × 40 × 0,779 × c × 400 = 10594,4 c N
251327,4 + 251327,4 + 376991,1 = 565486,7×
{ 879645,9 = 565486,7× c −c60
+ 10594,4 c
c − 60 + 10594,4 c c
} ×c
879645,9 c = 565486,7×(c – 60) + 10594,4 c2 10594,4 c2 – 314159.2c – 33929202 = 0 c = 73,33 mm a = β1 × c = 0,779 × 73,33 = 57,12 mm cek asumsi – asumsi 253 < c = 73,33 < 60
→ OK
73,33 − 60 c − 60 × 0,003 = × 0,003 c 73,33 = 5,45 × 10-5 < εy = 2 × 10-3 → OK
εs1 =
193 + 60 − c 193 + 60 − 73,33 × 0,003 = × 0,003 c 73,33 = 7,35 × 10-3 > εy → OK εs3 dan εs4 > εy → OK εs2 =
Semua asumsi benar
Ts1 = As1 × fs = As1 × εs1 × Es = 942,5 × 5,45 × 10-5 × 200000 = 10273,25 N Ts2 = As2 × fy = 628,3 × 400 = 251327,4 N Ts3 = As3 × fy 4
= 628,3 × 400 = 251327,4 N Ts4 = As4 × fy = 942,5 × 400 = 376991,1 N Cc = 0,85 fc’ × a × b = 0,85 fc’ × β1 × c × b = 0,85 × 40 × 0,779 × 73,33 × 400 = 776887,35 N Mn = {Cc (½h – ½a)} + (Ts1×z1) + (Ts2×z2) + (Ts3×z3) + (Ts4×z4) z1,z2,z3 dan z4 adalah jarak masing2 lapis tulangan terhadap titik berat penampang beton. Mn
= {Cc (½h – ½a)} + (Ts1×290) + (Ts2×97) + (Ts3×97) + (Ts4×290) = (776887,35×321,44) + (10273,25×290) + (251327,4×97) + (251327,4×97) + (376991,1×290) = 410786847 Nmm = 410,79 kNm
B (410,79 ; 0 ) Titik C Kondisi seimbang (balanced failure)
193
194
60
193
=
As1 εs2
εs3
0,003
εs4
cb
εs1
0,003 .640 400 0,003 + 200000 = 384 mm
As2
Es
As3
d As4
0,003 +
fy
400
0,003
cb =
60
ε s2
Pn Ts1
Cc
Ts2
cb − 60 384 − 60 0,003 = 0,003 = 0,002531 > εy = 2 × 10-3 cb 384 c − 60 − 193 384 − 60 − 193 = b 0,003 = 0,003 = 0,001023 < εy cb 384
ε s1 =
a
Ts3
Ts4
ab = 0,779×384 = 299,14 mm
5
60 + 193 + 194 − cb 60 + 193 + 194 − 384 0,003 = 0,003 = 0,000492 < εy cb 384 60 + 193 + 194 + 193 − cb 60 + 193 + 194 + 193 − 384 = 0,003 = 0,003 = 0,002 = εy cb 384
ε s3 = ε s4
Cc = 0,85×fc’×β1×c×b = 0,85×40×0,779×384×400 = 4068250 N Ts1 = As1×fy = 942,5 × 400 = 377000 N Ts2 = As2×fy = 628,3 × 200000 × 0,001023 = 128550 N Ts3 = As3×fy = 628,3 × 200000 × 0,000492 = 61824,7 N Ts4 = As4×fy = 942,5 × 400 = 377000 N Mn = {Cc (½h – ½a)} + (Ts1×z1) + (Ts2×z2) + (Ts3×z3) + (Ts4×z4) Mn
= {Cc (½h – ½a)} + (Ts1×290) + (Ts2×97) + (Ts3×97) + (Ts4×290) = (4068250×200,43) + (377000×290) + (128550×97) + (61824,7×97) + (377000×290) = 1052525693 Nmm = 1052,53 kNm
Keseimbangan gaya-gaya dalam, Σ H = 0 Pn + Ts3 + Ts4 = Ts1 + Ts2 + Cc Pn = Ts1 + Ts2 + Cc - Ts3 - Ts4 Pn = 377000 + 128550 + 4068250 - 61824,7 – 377000 = 4134975,3 N = 4134,98 kN
C (1052,53 ; 4134,98 )
6
Titik D Tekan Murni (Pure Compression) Pn = {0,85×fc’ ×Anet }+ {As total × fy} = {0,85×40× (400×700 – 3141,6)} + {(3141,6) ×400} N = 10669825,6 N = 10669,83 kN Mn = 0
D (0 ; 10669,83 ) Sedangkan untuk titik yang lain pada diagram interaksi dapat dibuat dengan prosedur sebagai berikut : Tetapkan nilai c Untuk nilai c tersebut, cek εs1 , εs2 εs3dan εs4. Hitung Cc, Ts1, Ts2, Ts3 dan Ts4 berdasarkan kondisi εs1 , εs2 εs3dan εs4. Hitung Pn dan Mn Misal ditambah 3 buah titik koordinat. Titik tambah 1 C = 2/5 h = 2/5×700 = 280 mm a = 0,779×280 = 218,12 mm
60
193
As1
194
As3
As4
193
As2
60
400
0,003
Pn = 0
εs1
εs2
εs3
Cc
Ts2
Ts3
a
Ts1
εs4
c = 280
Ts4
7
Untuk nilai c tersebut, cek εs1 , εs2 εs3 dan εs4. 280 − 60 0,003 = 0.002357 > εy 280 280 − 60 − 193 = 0,003 = 0.000289 < εy 280 60 + 193 + 194 − 280 = 0,003 = 0.001789 < εy 280 60 + 193 + 194 + 193 − 280 = 0,003 = 0.003857 > εy 280
ε s1 = ε s2 ε s3 ε s4
Hitung Cc, Ts1, Ts2, Ts3 dan Ts4 berdasarkan kondisi εs1 , εs2 εs3dan εs4. Cc = 0,85×fc’×β1×c×b = 0,85×40×0,779×280×400 = 2966432 N
Ts1 = As1×fy = 942,5 × 400 = 377000 N Ts2 = As2×fs = 628,3 × 0.000289 × 200000 = 36315.74 N Ts3 = As3×fs = 628,3 × 0.001789 × 200000 = 224805.74 N Ts4 = As4×fy = 942,5 × 400 = 377000 N
Hitung Pn dan Mn Keseimbangan gaya-gaya dalam, Σ H = 0 Pn + Ts3 + Ts4 = Ts1 + Ts2 + Cc Pn = 377000 + 36315.74 + 2966432 - 224805.74 – 377000 Pn = 2777942 N = 2777.94 kN Mn = {Cc (½h – ½a)} + (Ts1×290) + (Ts2×97) + (Ts3×97) + (Ts4×290) = (2966432×240,94) + (377000×290) + (36315.74×97) + (224805.74×97) + (377000×290) = 958720909.6 Nmm = 958.72 kNm
1 (958,72 ; 2777,94 )
8
Titik tambah 2 C = 3/5 h = 3/5×700 = 420 mm a = 0,779×420 = 327,18 mm
193
60
As1
194
As2
193
As4
400
60
As3
0,003
Pn = 0
εs1 a
Ts1
Cc
Ts2
Ts3
Ts4
εs2
εs3
εs4
c = 420
Untuk nilai c tersebut, cek εs1 , εs2 εs3 dan εs4. 420 − 60 0,003 = 0.002571 > εy 420 420 − 60 − 193 = 0,003 = 0.001193 < εy 420 60 + 193 + 194 − 420 = 0,003 = 0.000193 < εy 420 60 + 193 + 194 + 193 − 420 = 0,003 = 0.001571 < εy 420
ε s1 = ε s2 ε s3 ε s4
Hitung Cc, Ts1, Ts2, Ts3 dan Ts4 berdasarkan kondisi εs1 , εs2 εs3dan εs4. Cc = 0,85×fc’×β1×c×b = 0,85×40×0,779×420×400 = 4449648 N
9
Ts1 = As1×fy = 942,5 × 400 = 377000 N Ts2 = As2×fs = 628,3 × 0.001193 × 200000 = 149912.4 N Ts3 = As3×fs = 628,3 × 0.000193 × 200000 = 24252.38 N Ts4 = As4×fy = 942,5 × 0.001571 × 200000 = 296133.5 N
Hitung Pn dan Mn Keseimbangan gaya-gaya dalam, Σ H = 0 Pn + Ts3 + Ts4 = Ts1 + Ts2 + Cc Pn = 377000 + 149912.4 + 4449648 - 24252.38 - 296133.5 Pn = 4656175 N = 4656.175 kN Mn = {Cc (½h – ½a)} + (Ts1×290) + (Ts2×97) + (Ts3×97) + (Ts4×290) = (4449648×186,41) + (377000×290) + (149912.4×97) + (24252.38×97) + (296133.5×290) = 1041561582 Nmm = 1041.56 kNm
2 (1041,56;4656,175)
10
Titik tambah 3 c = 4/5 h = 4/5×700 = 560 mm a = 0,779× = 436,24 mm
193
60
As1
194
As2
193
As4
400
60
As3
0,003
Pn = 0
εs1
εs2
εs3
εs4
c = 560
Ts1
Cc
Ts2
Ts3
Ts4
a
Untuk nilai c tersebut, cek εs1 , εs2 εs3 dan εs4. 560 − 60 0,003 = 0.002679 > εy 560 560 − 60 − 193 = 0,003 = 0.001645 < εy 560 560 − 60 − 193 − 194 = 0,003 = 0.000605 < εy 560 60 + 193 + 194 + 193 − 560 = 0,003 = 0.000429 < εy 560
ε s1 = ε s2 ε s3 ε s4
Hitung Cc, Ts1, Ts2, Ts3 dan Ts4 berdasarkan kondisi εs1 , εs2 εs3dan εs4. Cc = 0,85×fc’×β1×c×b = 0,85×40×0,779×560×400 = 5932864 N
11
Ts1 = As1×fy = 942,5 × 400 = 377000 N Ts2 = As2×fs = 628,3 × 0.001645 × 200000 = 206710.7 N Ts3 = As3×fs = 628,3 × 0.000605 × 200000 = 76024.3 N Ts4 = As4×fy = 942,5 × 0.000429 × 200000 = 80866.5 N
Hitung Pn dan Mn Keseimbangan gaya-gaya dalam, Σ H = 0 Pn + Ts4 = Ts1 + Ts2 + Ts3 + Cc Pn = 377000 + 206710.7 + 76024.3 + 5932864 - 80866.5 Pn = 6511732.5 N = 6511.73 kN Mn = {Cc (½h – ½a)} + (Ts1×290) + (Ts2×97) + (Ts3×97) + (Ts4×290) = (5932864×131,88) + (377000×290) + (206710.7×97) + (76024.3×97) + (80866.5×290) = 942632684 Nmm = 942.63 kNm
3 (942,63;6511,73)
12
Tabel Titik A B 1 C 2 3 D
Mn (kN-m) 0 410,79 958,72 1052,53 1041,56 942,63 0
Pn (kN) -1256,64 0 2777,94 4134,98 4656,175 6511,73 10669,83
12000
10000
8000
Pn (kN)
6000
4000
2000
0 0
200
400
600
800
1000
1200
-2000 Mn (kNm)
Diagram interaksi kolom
13
