PROPORCIONALIDAD
Capítulo 2 PROPORCIONALIDAD Las ideas de la proporcionalidad están presentes en el día a día, en los planos de de calles, en los diseños de vestidos, en la preparación de comidas o bebidas, en la publicidad de bancos y tiendas que utilizan el porcentaje para promocionar sus ofertas. La proporcionalidad es una de las grandes ideas de la matemática, pero hay que manejarla con cuidado.
Estándares de logro Resuelve problemas Resuelve problemas mediante razones razones y proporciones. proporciones. Representa y comunica situaciones comunica situaciones matemáticas y reales reales mediante razones razones y proporciones. Resuelve situaciones reales que involucran proporcionalidad directa. Resuelve situaciones Resuelve situaciones reales que involucran proporcionalidad proporcionalidad inversa. Modela fórmulas a partir de las relaciones de proporcionalidad proporcionalidad entre magnitudes. Resuelve problemas Resuelve problemas de reparto proporcional directo.
53
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Actividad 1: Modelado ¿Puede existir King Kong? Según nos lo presentan en las películas, King películas, King Kong es un gorila de unos 10 metros de altura, un gorila macho adulto erguido mide aproximadamente 2 m. Supongamos Supongamos –y esta suposición es clave – que el animalito mantiene las mismas proporciones que un gorila común. Si, como nos lo muestran las películas, caminaba sobre sus patas traseras (era bípedo, técnicamente hablando, y ésta es una diferencia con los gorilas reales), el peso de su cuerpo principalmente se sostiene en ambos fémures (huesos de los muslos) hasta caer sobre los pies. Pues bien, aquí es donde empiezan los problemas. Datos Altura de King Kong: 10 m Altura de un gorila: 2m Comparaciones hk
10
hg
2
5
1
La resistencia a la rotura de una columna es directamente proporcional a área de la sección. Rk Rg
25
1
Considerando que el gorila y King Kong tienen la misma densidad, su peso solo depende de su volumen. Pk Pg
3
5
3
1
entonces
Pk Pg
125
1
Lee la teoría presentada e identifica los conceptos matemáticos que se utilizaron en la disertación sobre King Kong.
54
PROPORCIONALIDAD
RAZONES Y PROPORCIONES 1. Razón. Es la comparación entre 2 cantidades del mismo tipo. a) Razón aritmética. La comparación es por diferencia. a – b = d (d: razón aritmética) b) Razón geométrica. La comparación se hace por cociente. a ÷ b = q (q: razón geométrica) En ambos casos, a se le llama antecedente y b se le llama consecuente. 2. Proporción. Es la igualdad de 2 razones. Proporción aritmética a – b = c – d Notación: a – b : c – d
Proporción geométrica a/b=c/d Notación: a:b::c:d
En ambos casos: a, c son los antecedentes y b, d son los consecuentes. a, d son los extremos y b, c son los medios.
Propiedades: 1. En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios. 2. En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Observación: Frases como:
“A es a B como 2 es 5” “La relación de A a B es de 2 a 5” “A y B están en proporción de los números 2 y 5”
Se traducen: A
2
B
5
o
A B
2K 5K
donde k se llama “constante de proporcionalidad”
55
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Actividad 2: Ejemplos resueltos En pareja lean estos ejemplos, analicen los pasos que se han seguido para resolverlos y traten de justificar cada uno de ellos. Estén listos para exponer. Ejemplo 1 1. La razón geométrica de dos números es de 3 a 12 y la suma de estos números es 45. Calcule los números. Solución: Supondremos que tenemos ya los números: a y b Podemos expresar la relación a/b = 3 /12 o en términos de una constante k como: a =3k, b= 12k. Es más fácil esta última. Como nos dicen: la suma de estos números es 45 ponemos 3k+12k = 45, resolviendo k = 3 Luego los números son 9 y 36 Comprobemos: 9/36=3/12, y 9+36 = 45. Cumple las condiciones, entonces es correcto. Ejemplo 2 2. En una caja hay 400 fichas, entre rojas y negras. Siendo la relación de rojas o negras como 9 es a 11, para que por cada 12 fichas rojas se tenga 11 fichas negras, el número de fichas rojas que se deberá agregar es: Solución: Hay 400 fichas, R rojas y N negras La relación entre rojas y negras desde 9 a 11, esto puedo expresarlo como R=9k y N= 11k Como en total hay 400 , entonces : 9k+11k = 400, K = 20 Hay 180 rojas y 220 negras Ahora debo agregar n rojas , y la relación cambia a “de 12 a 11” Entonces 180 n 220
12
11
, aplicando la propiedad de medios y extremos:
11(180+n) = 12(220) entonces n =60 Comprobaré: Ahora hay 240 rojas y 220 negras, la relación final es 240
12
220
56
11
como se observa, es correcto.
PROPORCIONALIDAD
Actividad 3: Evaluación de procesos Trabajen individualmente identificando los posibles errores en las siguientes soluciones. Comparen con los errores que han encontrado otros compañeros. 1.
Dentro de cuántos años la relación de las edades de dos personas será igual a 7/6 si sus edades actuales son 40 y 30 años. Hoy las personas tienen P1 = 40 y P2 = 30 , si pasan x años tendrán P1= 40+x P2 =30+x como deben estar en la relación 7/6 Escribimos. 30 x 40 x
7
6
, entonces 180 +6x = 280 +7x entonces x = 100.
Entonces dentro de 100 años la relación de las edades de estas personas será igual a 7/6.
2.
En un nido de infantes, la relación entre el número de niños y niñas es de 4 a 3. Si después de 2 horas 8 niños son recogidos por su mamá y, a la vez, llegan 5 niñas, entonces la nueva relación será de 2 a 7. Calcule el número de niñas que quedan en el nido. Como la relación de hombre a mujeres es de 4 a 3, escribo H=4k, M=3k Luego de dos horas H = 4k–8 , M = 3k+5 Entonces 4k 8 3k 5
2
7
=>
7(4k–8) = 2(3k+5) => 28k–56 = 6k +10 => k = 3
Reemplazando tenemos H = 12 y M= 9 Entonces quedan al final 9 niñas.
3.
El diagrama muestra la distribución de asistentes a un evento.
Hombres
Mujeres Lentes
15 35
45 25
57
MÉTODOS MATEMÁTICOS Redacte cuatro expresiones que describan al grupo de asistentes mediante proporciones. Solución La razón entre el número de hombres y de mujeres es de 3 es a 1. La razón entre el número de los hombres que usan lentes y los que no lo usa es de 3 a 7. Por cada 6 personas que usan lentes hay 5 que no lo usan. La razón entre el número de mujeres que usan lentes y de hombre que usan lentes es de 7 a 5.
4.
Si
a
b
3
c
6
d
y
9
12
a b c d 70 ,
entonces, el valor de c d a b es:
Solución: a = 3k b = 6k c = 9k d = 12k Como la suma es 70 : 40k = 70 entonces K = 4/7 Me piden hallar (c + d) – (a+ b) = 21k – 9k = 12k Respuesta: 48/7
Ejercitándonos 1.
En un campamento para niños y niñas, la razón de niñas y niños es 5: 3. Si el total es 160 entre niños y niñas, calcule el número de niños.
2.
Un inspector de control de calidad examinó 200 focos y encontró 18 defectuosos. A esta razón, determine el número de focos defectuosos que se espera encontrar en un grupo de 5000 focos.
3.
Si se cumple que
4.
En una proporción geométrica, la suma de los términos extremos es 61 y su diferencia 11; entonces, la media proporcional es:
5.
La suma, diferencia y producto de 2 números está en relación 5, 3 y 16. Calcule los valores de dichos números.
6.
Dentro de cuántos años la relación de las edades de dos personas será igual a 7/6 si sus edades actuales son 40 y 30 años.
58
a
b
11
5
, siendo a b
24 ,
calcule el valor de “ a b ”.
PROPORCIONALIDAD
7.
En una serie de razones iguales cuyos antecedentes son 2, 3, 7 y 11, el producto de los consecuentes es 37 422. La suma de los consecuentes es:
8.
La suma del antecedente y el consecuente de una razón geométrica es 26. Calcule la diferencia de los números si su razón es 0,04.
9.
En un nido de infantes, la relación entre el número de niños y niñas es de 4 a 3. Si después de 2 horas 8 niños son recogidos por su mamá y, a la vez, llegan 5 niñas, entonces la nueva relación será de 2 a 7. Calcule el número de niñas que quedan en el nido.
10.
La razón entre 12 kg y 60 gr se puede escribir como a: 1. Calcule el valor de a.
11.
La razón aritmética de 2 números es a su razón geométrica como el menor es a 5/3. Por lo tanto, la razón geométrica de estos números es:
12.
La suma de 2 números es a su diferencia como 9 es a 5. Si el producto de dichos números es 22 400, entonces la diferencia de los mismos es:
13.
La suma de 3 números es 14 250. El primero esa al segundo como 11 es a 3. Y la diferencia de estos dos números es 600. El mayor de los números es:
14.
En una reunión hay hombres y mujeres, siendo el número de hombres al número de personas como 3 es a 8. Y la diferencia entre los números de hombres y mujeres es 24. Determine la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres.
15.
Dos números son entre sí como 2 es a 3. Si la suma de sus cuadrados es 637, entonces la diferencia de dichos números será:
16.
Si
17.
En un momento de una fiesta 40 damas no bailan. El número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 1 es a 6. Determine el número de damas que están bailando si el total de personas que asistieron es 145.
18.
Calcule la razón de dos números sabiendo que la raíz cuadrada de su producto es a su suma como 7 es a 50.
19.
Dentro de cuántos años la relación de las edades de dos personas será igual a 7/6 si sus edades actuales son 40 y 30 años.
a
b
b
c
y
a b c 216 , calcule el valor de b.
59
MÉTODOS MATEMÁTICOS 20.
En un colegio, la razón de niños y niñas es de 7 a 6. Si hay 2 600 entre niños y niñas en el colegio, el número de niños excede al número de niñas en:
21.
El producto de los 4 términos de una proporción geométrica continua es 50 625. Si uno de los extremos es 75, determine la suma de los 4 términos.
22.
La razón geométrica de 2 números es 13/9 y su razón aritmética es 60. ¿Cuántos tercios hay en la suma de ambos?
23.
En una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es 40. Si los consecuentes son 5, 10, 15 y 20, hallar el mayor de los antecedentes.
24.
La suma de 3 números es 1 500, la razón del primero y el segundo es
5 8
. Si la diferencia
de los mismos es 60, calcule el valor del tercer número. 25.
En una proporción geométrica continua, la diferencia de los extremos es 120. Si la suma de los 4 términos es 180, calcule el valor del mayor de los 4 términos de la proporción.
26.
Dos números son entre sí como 9 es a 8. Si el mayor de los números se triplica y el menor aumenta en 24, la razón se duplicaría. Calcule el valor del menor número.
27.
La razón geométrica de 2 números es a su razón aritmética como 4 es a la cuarta parte del menor. Calcule la razón geométrica sabiendo que es mayor que uno.
28.
La suma, la diferencia y el producto de 2 números está en la misma relación que los números 8, 2 y 75. Determine la razón geométrica de dichos números.
29.
Los antecedentes de 3 razones geométricas iguales son 5, 10 y 20. Calcule la suma de los consecuentes si su producto es 512.
30.
Las edades de 3 hermanos, hace 2 años, estaban en la misma relación que 3, 4, 5, y dentro de 2 años será como 5, 6 y 7. Calcule la edad que tiene el mayor de los hermanos.
31.
En una proporción geométrica, la razón aritmética de las terceras proporcionales es 24 y la razón geométrica de las mismas es 9. ¿Cuál es la media proporcional?
32.
Una rueda A de 50 dientes engrana con otra B de 45 dientes, y esta con otra C de 45 dientes. Cuando A da a vueltas, B da b vueltas y C da c vueltas, determine la relación entre a, b y c.
60
PROPORCIONALIDAD
MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES Magnitud es todo aquello susceptible de ser medido, por ejemplo: la longitud, el tiempo, la masa, la temperatura. Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales (D.P.) cuando el cociente de sus valores correspondientes es una constante. Consideremos las magnitudes peso en kg de una fruta y el precio de venta en dólares podemos construir la siguiente tabla: Peso (kg) 1 2 3 4 5 Costo ($) 30 60 90 120 150 Gráfica
Se cumple: Luego:
1
2
30
60
Peso
A
3
. . . ..
c t e.
90
k
Costo A
En general, se denota:
k
B
B
Magnitudes inversamente proporcionales. Dos magnitudes se consideran inversamente proporcionales (I.P.) cuando el producto de sus cantidades correspondientes permanece constante. Considerando las magnitudes velocidad y tiempo para un espacio constante de 180 km: Velocidad (km/h) Tiempo (h)
180 1
90 2
60 3
45 4
Se cumple: 180 (1) = 90 (2) = 60 (3) = 45 (4) = ………………….. = cte.
A
Luego: Velocidad. Tiempo = k En general, se denota
A B
K
B
61
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Actividad 4: Discusión plenaria En pareja Identifiquen si existe relación de proporcionalidad entre las magnitudes 1 y 2 presentadas. Si existe indiquen el tipo de proporcionalidad. Redacten los argumentos que justifican su elección y estén preparados para una discusión plenaria. Magnitud 1
Magnitud 2
Número de monedas de un sol Velocidad constante de un auto Tiempo en pintar una pared Altura de una persona Precio unitario de un producto Horas de sueño Lado de un cuadrado Alto de una persona Kilos de harina para hacer un pastel Precio de la gasolina en un tanque Población del Perú Personas que ven telenovelas Resistencia a la rotura de una Grosor de una tajada de pan de Número de horas transcurridas en el
Conclusión
Peso del grupo de monedas Espacio que recorre el auto Número de pintores que la pintan Edad Costo total de los productos Inteligencia Área del cuadrado Peso de una persona Número de pasteles Tamaño del tanque Tiempo Número de telenovelas Radio de la sección de la columna Numero de tajadas obtenidas del pan Número de horas que faltan en el día
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Si en una situación se reconocen dos A y B que se relacionan por proporcionalidad directa, entonces teniendo como datos dos cantidades de una magnitud C2 y C3 y una tercera de otra magnitud es posible calcular una cuarta X, a partir de los principios de la proporcionalidad directa. El esquema usual para la regla de tres directa el siguiente: Magnitud A C1 X Donde se cumple que
62
C1 X
Magnitud B C2 C3 C3
C2
de donde X
C1C3 C2
PROPORCIONALIDAD
Actividad 5: Ejemplos resueltos En pareja lean estos ejemplos, analicen los pasos que se han seguido para resolverlos y traten de justificar cada uno de ellos. Estén listos para exponer. Ejemplo 1 Si 500 caramelos cuestan S/ 80, ¿cuántos caramelos se pueden comprar con S/ 50? Solución: Se tiene dos magnitudes: número de caramelos y costo de los caramelos Existe una relación de proporcionalidad directa, porque si se duplica el número de caramelos, también se duplica el costo, si el número de caramelos se reduce a la tercera parte también se reducirá a la tercera parte el costo de los caramelos. Entonces pueda aplicar una regla de tres Costo de caramelos S/ 80 S/ 1 S/ 50
Número de caramelos 500 500/80 = 25/4 50(25/4) = 312,5
Por lo tanto se pueden comprar 312 caramelos.
Ejemplo 2 Un inspector de control de calidad examinó 200 focos y encontró 18 defectuosos. A esta razón, determine el número de focos defectuosos que se espera encontrar en un grupo de 5000 focos. La frase clave es “a esta razón” ya que implica que la proporción se mantendrá. Entonces hay una relación de proporcionalidad directa el número de focos y el de foco defectuoso. N° de focos N° de focos defectuosos 200 18 100 9 5000 50(9) = 450 Se esperan tener 450 focos defectuosos.
63
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Actividad 6: Búsqueda parcial Lean los siguientes casos y respondan las preguntas guía que ayudarán a la mejor comprensión del problema. Comprueben la solución obtenida. Caso 1 De 100 g de zanahorias se obtiene 25 cm3 de jugo. ¿Cuántos cm3 de jugo se obtiene de 250 g de zanahorias? Preguntas guía ¿Cuáles son las magnitudes relacionadas? ¿Es la relación de proporcionalidad directa o inversa?
Caso 2 El cuadro muestra la cantidad en gramos de nutrientes existentes en 100g de avena. Calcula, cuántos gramos de cada nutriente hay en un paquete de 250 g de avena.
Preguntas guía ¿Cuál es la relación entre el peso de los nutrientes y el peso de la avena? Si se duplica el peso de la avena, que pasará con el peso de la fibra? ¿Te conviene hacer una regla de tres, para calcular el peso de cada nutriente? ¿Qué estrategia utilizarías para abreviar los cálculos?
64
PROPORCIONALIDAD
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Si en una situación se reconocen dos A y B que se relacionan por proporcionalidad inversa, entonces teniendo como datos dos cantidades de una magnitud C2 y C3 y una tercera de otra magnitud es posible calcular una cuarta X, a partir de los principios de la proporcionalidad inversa. El esquema usual para la regla de tres inversa es el siguiente: Magnitud A C1 X
Donde se cumple que C C 1
x
2
XC3 de
Magnitud B C2 C3
donde
X
C1C2 C3
c1 c2 c3
65
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Actividad 7: Ejemplos resueltos En pareja lean estos ejemplos, analicen los pasos que se han seguido para resolverlos y traten de justificar cada uno de ellos. Estén listos para exponer. Ejemplo 1 Una cuadrilla de obreros ha hecho una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 8 horas diarias? Solución: Tenemos dos magnitudes: Número de horas por jornada y número de días Existe una relación de proporcionalidad inversa entre estas dos magnitudes, porque si duplico el número de horas de la jornada, el número de días debe reducirse a la mitad, en general si aumento en una proporción el número horas de la jornada, el número de días se reducirá exactamente en la misma proporción. Puedo plantear el siguiente razonamiento Número de horas por jornada 6h 1h 8h
Número de días de trabajo 20 días 6(20) = 120 días 120/8 = 15 días
Ejemplo 2 Un stock de harina alcanza para hacer 900 panes, cada uno de 150gr. ¿Cuántos panes de 250 gr kg se podrían hacer con el mismo stock de harina? Solución: Tenemos dos magnitudes el número de panes y el peso da cada pan. La relaciona es inversa pues si se duplica, por ejemplo, el peso de cada pan se hará la mitad de panes. Podemos plantear el siguiente razonamiento Peso de cada pan 150 50 250 Se pueden hacer 40 panes de 250 gr.
66
Número de panes 900 3(900) = 200 (200)/5 =40
PROPORCIONALIDAD
Actividad 8: Búsqueda parcial Lean los siguientes casos y respondan las preguntas guía para poder enfrentar los casos y darles solución. Comprueben ustedes mismos la solución obtenida.
Caso 1 Un hombre tarda 21 días en hacer los 7/12 de una obra. ¿Cuántos días más necesitará para terminar la obra? Preguntas guía ¿Qué magnitudes se relaciona? ¿Es la relación directa o inversa? ¿Qué fracción de la obra aún no está hecha? ¿En cuántos días hará 1/12 de la obra?
Caso 2 Un obrero pensó hacer una obra en 12 días, pero tardo 3 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajo diariamente? Preguntas guía ¿Qué cantidades están relacionadas ¿Cuantos días tardó en hacer la obra? ¿Cuál es la incógnita?
67
MÉTODOS MATEMÁTICOS
Ejercitándonos 1. Si 60 hombres pueden hacer un trabajo en 18 días, ¿en cuántos días pueden hacer el mismo trabajo 40 hombres de igual rendimiento? 2. Un albañil construye los 3/5 de una pared en 6 horas. Calcule el número de horas que tardará en construir lo que le queda de la pared. 3. Cinco contadores pueden hacer un balance en 6 días. ¿Cuántos contadores deberán ser contratados si se desea que el trabajo se haga en solo 2 días? 4. Un pintor tarda 5 horas en pintar una pared cuadrada de 3 m de lado. ¿Cuánto tarda en pintar otras 3 paredes similares, pero de 6 m de lado? 5. Para pintar un cubo de 10 cm de arista se gastó S/ 240. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 15 cm de lado? 6. Se emplearon 9 hombres durante 5 días trabajando 4 h diarias para cavar una zanja de 10m de largo, 6 m de profundidad y 4 m de ancho. ¿Cuántos días necesitaron 6 hombres, trabajando 3 h diarias, para cavar otra zanja de 15 m de largo, 3 m de profundidad y 8 m de ancho, en un terreno de doble dureza? 7. Una obra la pueden hacer 28 hombres en un cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitará aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo 2/7 del anterior trabajando la mitad de horas diarias? 8. Un grupo de excursionistas lleva víveres para 24 días, pero en el inicio del camino se suman 3 personas más y, por ello, los víveres alcanzan solo para 20 días. Determine el número de excursionistas que había al principio. 9. Una fábrica tiene petróleo suficiente para 20 días consumiendo 2 barriles diarios. ¿Cuántos barriles menos se deben consumir diariamente para que el petróleo alcance para 30 días? 10. La cantidad de granos de maíz que caben en un balón esférico de 4 dm de diámetro es 200. Entonces, la cantidad de granos que entrarán en otro balón de 6 dm de diámetro es: 11. La guarnición de un fuerte era de 1250 hombres, y se calculó que dando 600 gr. de pan a cada hombre, había harina para 150 días. Pero se reforzó la guarnición y no hubo harina 68
PROPORCIONALIDAD
más que para 125 días dando la misma cantidad de pan a cada hombre. ¿Por cuántos hombres estaba conformado el refuerzo? 12. Una llave demora 3 horas en llenar un tanque, pero un día, cuando faltaba llenar 2/3 del tanque, la bomba se malogró y su rendimiento bajó en un 1/5, y así se terminó de llenar el tanque. Calcule el tiempo que tomó llenar el tanque dicho día. 13. Un albañil pensó hacer un muro en 15 días, pero tardó 6 días más por trabajar dos horas menos cada día. Calcule el número de horas que trabajó diariamente. 14. Un niño compra naranjas a 3 por S/ 10 y las vende a 5 por S/ 20. ¿Cuántas naranjas debe vender para ganar S/ 100? 15. Cuatro obreros se comprometen a hacer una obra en 22 días trabajando 10 horas diarias. Si después del cuarto día 2 obreros son contratados, ¿cuántos días antes del plazo terminarán la obra? 16. Se contrató una obra para ser terminada en 30 días, empleando 15 obreros y trabajando 10 horas diarias. Después de 8 días de trabajo, se acordó que la obra quedase terminada en 12 días más, antes del plazo estipulado, y así se hizo. ¿Cuántos obreros más debieron emplearse teniendo en cuenta que se aumentó en 1 hora el trabajo diario? 17. Cuatro hombres hacen una obra en 12 días. ¿Qué tiempo demorarán 10 hombres en hacer la misma obra? 18. Una cuadrilla de 20 hombres realiza 200 m de zanja en un tiempo determinado. Hallar el número de obreros que realizarán 450 m de la misma obra en el mismo tiempo. 19. Una cuadrilla de 30 obreros realiza una obra en 10 días. Determinar el número de obreros que se necesitarían para terminar la obra en 25 días. 20. Sabiendo que 5 soldados fuman 5 cigarrillos en 5 minutos, ¿en qué tiempo 6 soldados fumarán 6 cigarrillos? 21. Veinte operarios pueden producir 120 zapatos en 18 días. Para producir 160 zapatos en 24 días, el número de operarios será: 22. Si 15 obreros hacen la mitad de una obra en 20 días, entonces, si se retiran 5 obreros, los restantes terminarán la obra en:
69
MÉTODOS MATEMÁTICOS 23. Se emplearon m obreros para ejecutar una obra, y al cabo de a días hicieron 1/n de aquella. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar para terminar la obra en b días más? 24. Un buey atado a una cuerda de 7,5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance si la longitud de la cuerda fuera de 15 m? 25. Un reservorio cilíndrico de 8 m de radio y 12 m de altura abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál deberá ser el radio del recipiente de 6 m de altura que abastecerá a 50 personas durante 2 meses? 26. Un pozo de 6 m de diámetro por 15 m de profundidad fue hecho por 18 hombres en 25 días. Se quiere aumentar en 1 m el radio del pozo, y el trabajo será hecho en 25 días. ¿Qué cantidad de hombres se necesita para la ampliación del pozo? 27. Cinco obreros tardan 8 días de 6 horas diarias de trabajo en hacer 3 aparadores, 5 mesas y 12 sillas. ¿En cuántos días 7 obreros lograrán hacer 4 aparadores, 10 mesas y 9 sillas trabajando 8 horas diarias, sabiendo que un aparador equivale a 2 mesas y cada una de estas a 3 sillas? 28. Se venden 100 naranjas, una parte ganando el 30% y el resto perdiendo el 20%. Si al final no se gana ni se pierde, ¿cuántas naranjas se vendieron con ganancia?
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA:
Para dos magnitudes A y B dadas: A
k
A
A
Bk
A D P B
B
A B k
k
A I P B
B
Observamos: si están en cociente son DP, y si están en producto son IP. Luego: A C
B
A C
B D
70
k
k
A B A
D.P. B
B A C
I.P.
D.P. C I. P. C D
D.P. D I. P.
A
PROPORCIONALIDAD
Actividad 9: Ejemplos resueltos En pareja lean estos ejemplos, analicen los pasos que se han seguido para resolverlos y traten de justificar cada uno de ellos. Estén listos para exponer. Ejemplo 1 El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/ 60 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días; entonces, calcule el sueldo de Carlos, sabiendo que su rendimiento es como 8 y llegó a faltar 3 días. Solución Primero identifiquemos las variables: S: sueldo del empleado R: rendimiento F: número de faltas Modelemos la fórmula en base a las proporcionalidades S
k
R F
Datos de inicio: Para Juan se tiene que S = 60 R =5 y F =4, con estos datos puedo hallar k. Reemplazando k = 48 Entonces la formula queda como:
S
48
R F
Datos de cálculo para Carlos : R=8, F = 3 reemplazando
S
48
8
128
3
Entonces el sueldo de Carlos es de S/ 128. Ejemplo 2 El precio de una casa es DP al área e IP a la distancia de Lima. Si una casa ubicada a 75 km de Lima cuesta 45 mil soles, calcule el costo de una casa del mismo material sabiendo que su área es el doble y se encuentra a 150 km de Lima.
71
MÉTODOS MATEMÁTICOS Solución Primero identifiquemos las variables P: precio de una casa A: área de la casa D: distancia a Lima Modelemos la formula en base a la proporcionalidad descrita. P
k
A D
Datos de inicio P= 45 mil soles A= a D = 75 km Reemplazando 45
k
a 75
, con esto hallo k en términos de a k
Entonces la formula queda como:
P
3375
a
3375 A
a
D
Datos de cálculo A= 2a D= 150 Reemplacemos en la fórmula P
3375 2a
a
45
150
Entonces la casa costará el mismo precio. Razonándolo nos hubiéramos dado cuenta.
72
PROPORCIONALIDAD
Actividad 2: Modelado Groucho, Pepo y Harpo decidieron poner un carrito sanguchero para financiar sus hobbies. Ellos iniciaron el negocio con un capital de S/ 30 000. Groucho aportó S/ 15 000, Pepo S/ 5000 y Harpo el resto. Harpo trabajó mucho, pero Pepo vagó. Al finalizar el primer año del negocio han obtenido una ganancia de S/ 140 000. ¿Cuánto debe corresponderle a cada uno de los socios? Solución final
Observaciones y comentarios
Actividad 3: Búsqueda parcial Lean los siguientes casos y respondan las preguntas guía para poder enfrentar los casos y darles solución. Comprueben ustedes mismos la solución obtenida. Caso 1 Una empresa va a repartir S/ 35 900 entre cuatro empleados, en proporción directa a su antigüedad en el trabajo. Roberto tiene dos años de antigüedad, Jesús 3 años 9 meses, Macario cuatro años y Teresa año y medio, ¿cuánto le corresponde a cada uno?
73
MÉTODOS MATEMÁTICOS Preguntas guía ¿Se puede dividir el monto en cuatro partes iguales y repartirlo? Explica. ¿Quién crees que obtendrá más dinero? ¿Te conviene trabajar con años y meses?
Caso 2 Las utilidades de una empresa en el 2014 fueron S/ 23 625. El dueño repartió esta cantidad entre sus cuatro gerentes, el reparto se hizo en proporción directa a la antigüedad en su empleo. ¿Cuántos años tenían laborando Luis, David y Yenny si recibieron S/ 6 750, S/ 4 500 y S/ 3 000 respectivamente? Se sabe además que a Andrés, con seis años y tres meses, le correspondió S/ 9 375. Preguntas guía ¿Cuál es la incógnita? ¿Puedes escribir usando k lo que le corresponde a cada uno? ¿Qué te dicen de Andrés? ¿Qué información puedes obtener del dato sobre Andrés?
74
PROPORCIONALIDAD
Ejercitándonos 1. Determine el peso de 1 diamante que vale S/ 32 000 si uno de 2 gramos vale S/ 8 000 y el precio es DP al cuadrado del peso. 2. El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se imprimen. Se editarán 2 000 ejemplares de un libro de 400 páginas y cuesta S/ 6 el ejemplar. Determine el costo de editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1 800 libros de 360 páginas. 3. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar. Si Juan tuvo un sueldo mensual de S/ 60 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, calcule el sueldo de Carlos sabiendo que su rendimiento es como 8 y llegó a faltar 3 días. 4. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la edad que tiene. Si actualmente tiene 18 años, calcule después de cuántos años cuadruplicará su sueldo. 5. A varía DP a B y a C. Además, C varía DP a F2. Si cuando A es 320, B es 10 y F es 2, calcule el valor de A si B es 3 y F es 5. 6. Se sabe que un cuerpo que cae libremente recorre una distancia proporcional al cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9,80 m en 1,4 s al caer dentro de un pozo. Determinar la profundidad del pozo si se sabe que, al saltar la piedra, esta llega al fondo en 2 s. 7. El precio de un diamante es DP al cuadrado de su peso. Un diamante de $ 360 000 se rompe en 2 partes, de las cuales una de ellas es el doble de la otra. Calcule la pérdida sufrida al romperse el diamante. 8. Si A es directamente proporcional a B y vale 24 cuando A vale 3, calcule el valor de B para A = 10 9. Las edades de 3 hermanos, hace 2 años, estaban en la misma relación que 3, 4, 5, y dentro de 2 años será como 5, 6 y 7. Calcule la edad que tiene el mayor de los hermanos. 10. El precio de una piedra preciosa es DP al cubo de su peso. Si se tiene una de estas piedras cuyo precio es 192 000 y se parte en 2 pedazos, uno de los cuales es 1/3 del otro, ¿qué pérdida de valor sufrió la piedra?
75
MÉTODOS MATEMÁTICOS 11. Una rueda A de 50 dientes engrana con otra B de 45 dientes, y esta con otra C de 45 dientes. Cuando A da a vueltas, B da b vueltas y C da c vueltas, determine la relación entre a, b y c. 12. Una empresa va a repartir S/ 72 000 entre cuatro empleados, en proporción directa a su antigüedad en el trabajo. Pedro tiene dos años, Lana 3 años 9 meses, Mario cuatro años y Teresa 1 año y medio, ¿cuánto le corresponde a cada uno? 13. Una empresa repartió S/ 35 900 entre cuatro empleados, el reparto se hizo en proporción directa a la antigüedad en su empleo. ¿Cuántos años tenían laborando Uriel, Cirilo y Diana si recibieron S/ 6 382,22, S/ 11 966,67 y S/ 4 786,67 soles, respectivamente? Si a Mario, con cuatro años, le correspondieron S/ 12 764,44. 14. Una empresa repartió cierta cantidad entre cuatro empleados, el reparto se hizo en proporción directa a los años de servicio. Jexy tenía dos años, Luis 3 años 9 meses, Camilo cuatro años. Si a Norma, con 1,5 años, le correspondieron S/ 4 786,67, ¿cuál fue la cantidad total repartida? 15. La USIL en un rapto de altruismo, va a repartir S/ 15 000 entre los tres mejores estudiantes. La distribución del premio se hará en proporción directa al promedio y materias acreditadas. Daniel Chumpitaz tiene promedio de 97, 5 y 22 materias acreditadas y siempre llega peinadito. Paola Vásquez tiene promedio de 98,6 y 19 materias acreditadas y Lincoln Collanqui tiene promedio de 90,3 y 31 materias acreditadas, ¿cuánto le corresponde a cada uno? 16. Una institución educativa repartió cierta cantidad entre tres alumnos en proporción directa al promedio y materias acreditadas. Gerardo recibió S/ 4 719, 33 por un promedio de 97,5 y 22 materias acreditadas, ¿qué promedio tenía Patricia que con 19 materias acreditadas recibió S/ 4 121,77 y cuántas materias acreditadas tenía Ricardo que recibió S/ 6 158,90 con un promedio de 90,3? 17. ¿Qué cantidad se repartió entre tres alumnos, si este último se hizo en proporción directa al promedio y a materias acreditadas? Si a Gerardo le correspondieron S/ 4 719,33 con un promedio de 97,5 y 22 materias acreditadas, Patricia tenía un promedio de 98,6 y 19 materias acreditadas y Ricardo tenía un promedio de 90,3 y 31 materias acreditadas. 18. Un padre va a repartir $ 60 000 entre sus cuatro hijos, en proporción inversa al capital que poseen. Adrián tiene $ 20 800, Carla cuenta con $ 7 450, José posee $ 50 090 y Mario $ 22 765, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno? 19. Un padre repartió $ 60 000 entre sus cuatro hijos, en forma inversa al capital que poseen. Si a Adrián que tenía $ 20 800 le correspondieron $ 11 716,56, ¿cuánto dinero 76
PROPORCIONALIDAD
tenían Carla, José y Mario si recibieron $ 32 712,61, $ 4 865,41 y $ 10 705,42, respectivamente? 20. Si a Mario le correspondieron $ 10 705,42 por $ 22 765 que tenía, Adrián tenía $ 20 800, Carla contaba con $ 7 450 y José con $ 50 090. ¿Cuál fue la cantidad que repartió un padre entre sus cuatro hijos, si hizo el reparto en proporción inversa al dinero que poseían? 21. Se repartió un premio de S/ 18 750 entre tres operadoras de una empresa, en proporción inversa a los errores y retardos que tuvieron. Perla tuvo 12 errores y cuatro retardos, Ana nueve errores y dos retardos y Carmen dos errores y 10 retardos, ¿cuánto le correspondió a cada una? 22. Hacer una repartición directamente proporcional a unidades producidas y reconocimientos, e inversamente proporcional a unidades pérdidas de $ 22 500 entre cuatro personas.
23. Repartir S/ 66 900 entre tres empleados, en proporción directa al tiempo que tienen laborando en la empresa: Manuel tiene 3,5 años, Jesús 33 meses y Ramón 5,25 años, ¿qué cantidad recibirá cada uno? 24. Se distribuyó cierta cantidad entre dos hermanos, en proporción directa a sus promedios obtenidos en la escuela, Blanca tuvo un promedio de 89,5 y obtuvo $ 7 240, ¿qué promedio tendría Ricardo para que haya obtenido $ 6 253,09? 25. ¿Qué cantidad se repartió entre cuatro personas? El reparto se hizo en proporción directa a sus edades, si a Pedro, con 44 años, le correspondieron $ 20 890, Teresa tiene 38 años, Soledad tiene 47 años y Rita 22 años. 26. Se va a repartir $ 1 400 233 en proporción directa al capital aportado y al tiempo durante el cual estuvo invertido el capital. Federico aportó $ 605 900 durante 22,5 meses, Gabriel $ 245 750 durante 1,75 años y Carlos $ 445 000 durante 6,5 meses, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno? 77
MÉTODOS MATEMÁTICOS 27. En la clase de Matemáticas Financieras 1 se van a repartir $ 10 000 entre las siguientes alumnas, en proporción directa al promedio y asistencias a clase:
¿Qué promedio tiene Susana y cuántas asistencias tiene Zaira? 28. Se van a repartir S/ 17 000 a las siguientes personas en proporción inversa al siguiente índice: Sara 2/3, Maria 4/5, Carmen 6/9, Daniel 8/9, Rene 5/7 y Fernando 6/12, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno? 29. Se repartió cierta cantidad entre cuatro empleados en proporción inversa a sus faltas. ¿Cuántas faltas tuvieron el primero, segundo y tercero si les correspondieron S/ 3 061,38, S/ 5 102,30 y S/ 6 122,76, respectivamente?, si el cuarto, quien faltó siete veces, recibió S/4 373,40. 30. ¿A cuánto ascenderá la herencia de una persona que la repartirá entre sus hijos en proporción inversa a las edades de los mismos? El primer hijo tiene 56 años, el segundo 49, el tercero 46, el cuarto 40 y el quinto 33. Lo que recibirá el mayor es $ 366 850. 31. Se van a repartir S/ 147 500 entre cuatro empleados en proporción inversa a vacaciones concedidas y faltas. El primero ha tenido 35 días de vacaciones y 11 faltas, el segundo x días de vacaciones y 10 faltas, el tercero 22 días de vacaciones y x faltas y el cuarto x días de vacaciones y tres faltas. Al primero le correspondieron S/ 17 687,91, al segundo S/ 17 461,14, al tercero S/ 61 907, 67 y al cuarto S/ 50 443,27. ¿Cuántos días de vacaciones tuvo el segundo y el cuarto y cuántas faltas tuvo el tercero? 32. ¿Qué cantidad se repartió entre tres obreras de una fábrica, si el reparto se hizo en proporción inversa a los errores de fabricación, a los atrasos y a las faltas. La primera tuvo nueve errores, dos atrasos y tres faltas, la segunda 11 errores, cinco atrasos y siete faltas y la tercera dos errores, dos atrasos y una falta. A la segunda le correspondieron S/ 3 354,50. 33. Se reparte entre tres hijos una herencia en proporción directa a los bienes que poseen e indirecta a los años de vida. Juan posee x cantidad y tiene 66 años, Jesús posee S/ 997 000 y tiene 63 años y Alberto posee S/ 2 835 000 y tiene x años de vida. A Juan le correspondieron S/ 713 991,72 a Jesús S/ 467 260,22 y a Alberto S/ 1 418 745,00. ¿Qué cantidad tiene Juan, cuántos años tiene Alberto y cuál fue el total de la herencia? 78
