Prob.+Modelos+de+P.L.[1]

Gerencia de Operaciones I

Ing. Oscar Mendoza Macías

Televisión

Radio

Periódico

1. Mezcla de productos. La firma Better Products, Inc., fabrica tres productos en dos maquinas. En una semana típica hay disponibles 40 horas de tiempo en cada maquina. La contribución a las utilidades y el tiempo de producción en horas por unidad, son los siguientes:

Producto 1 Utilidad por unidad Tiempo por unidad maquina 1 Tiempo por unidad maquina 2

Producto 2 Producto 3

en

$30 0.5

$50 2.0

en

1.0

1.0

$20 0.75 0.5

Se requieren dos operadores para la maquina 1. Por ello, deben programarse dos horas de mano de obra para cada hora del tiempo de la maquina 1. En la maquina solo se requiere un operario. Existe un total de 100 horas de mano de obra disponibles para asignarlas a las maquinas en la semana siguiente. Oros requerimientos de producción son que el producto 1 no puede constituir mas de 50% de las unidades que se fabrican y que el producto 3 debe constituir cuando menos el 20% de las unidades que se fabrican. a. ¿ Cuantas unidades de cada producto deben fabricarse con objeto de maximizar las contribución de las utilidades ? ¿ Cual es al utilidad semanal proyectada correspondiente a la solución ? b. ¿ Cuantas horas de producción se programaran en cada maquina ? c. ¿ Cual es el valor de una hora adicional de mano de obra ? d. Supóngase que se puede aumentar la capacidad de la mano de obra hasta 120 horas. ¿ Habría interés en utilizar 29 horas adicionales disponibles de este recurso? Desarrolle la mezcla optima de productos suponiendo que se tienen las horas extras. 2. Selección de medios de publicidad. L a empresa Westchester Chamber Of. Comerse patrocina periódicamente seminarios y programas sobre servicios públicos. En estos momentos se están realizando planes promociónales para el programa de este año. Las alternativas de publicidad incluyen televisión, radio y periódicos. En seguida se muestran las estimaciones de audiencia, los costos y las limitaciones sobre el uso máximo de los medios:

1

Gerencia de Operaciones I Audiencia por anuncio Costo por anuncio Utilización máxima del medio

Ing. Oscar Mendoza Macías 100,000 $2,000 10

18,000 $300 20

40,000 $600 10

Para asegurar una utilización equilibrada de los medios publicitarios, los anuncios por radio no deben rebasar el 50% del numero total de anuncios que se autoricen. Además, se requiere que la televisión constituya cuando menos el 10% del número total de anuncios autorizados. a. Si el presupuesto de publicidad esta limitado a $18,200 (dólares), ¿cuántos mensajes comerciales deben colocarse en cada medio con objeto de maximizar el contacto total con la audiencia? ¿Cuál es la asignación del presupuesto entre los tres medios y cuál la audiencia total que se alcanza? b. ¿Cuál es el contacto que se estima con la audiencia y que se obtendría asignando $100 adicionales al presupuesto de publicidad? 3.

Problema de dieta. La compañía Bluegrass Farms, Inc., de Lexington, Kentucky, está experimentando una dieta especial para sus caballos de carreras. Los componentes disponibles para la dieta son un producto alimenticio común para caballos, un producto de avena enriquecido con vitaminas y un nuevo aditivo con vitaminas y minerales. Los valores nutritivos, en unidades por libra, y los costos para los tres componentes alimenticios son los siguientes:

Ingrediente A Ingrediente B Ingrediente C Costo por libra

Alimento Estándar

Avena Enriquecida

0.8 1.0 0.1 $0.25

0.2 1.5 0.6 $0.50

Aditivo 0 3.0 2.0 $3.00

a. Supóngase que el entrenador de los caballos fija los requerimientos diarios de dieta en 3 unidades del ingrediente A, 6 unidades del ingrediente B y 4 unidades del ingrediente C. Para efectos' de control de peso, el entrenador no desea que el

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alimento total diario de un caballo exceda de 6 libras. ¿Cuál es mezcla óptima diaria de los tres componentes alimenticios? b. ¿Cuál es el costo por libra para la mezcla diaria? c. Utilizando los precios duales, determine ¿qué sucedería con los costos totales si se aumentara la ración alimenticia diaria de seis a siete libras? Explique por qué ocurre esto. 4.

Planeación del tiempo extra. La firma Hartman Company está tratando de determina] qué tanto de cada uno de dos productos puede fabricar para el siguiente periodo di planeación. En seguida se muestra la información referente a disponibilidad de mano de obra, utilización de la misma y redituabilidad de los productos.

Producto 1 Producto 2

Utilidad por Unidad Horas por unidad en Depto. A Horas por unidad en Depto. B Horas por unidad en Depto. C

Mano de obra disponible

$30.00 1.00

$15.00 0.35

100 horas

0.30

0.20

36 horas

0.20

0.50

50 horas

a. Elabore un modelo de programación lineal para el problema de Hartman Co. Resuelva el modelo para determinarlas cantidades optimas de producción de los artículos 1 y 2. b. c. Al cálcular la utilidad por unidad la Hartman no recude costos de la mano de obra porque se consideran fijos para el siguiente periodo de planeación. Sin embargo, supóngase que puede programarse tiempo extra en algunos de los departamentos. ¿En cuáles se recomendaría programar tiempo extra? ¿Cuánto se estaría dispuesto a pagar por hora de tiempo extra en cada departamento? c. Supóngase que pueden programarse 10,6 y 8 horas de tiempo extra en los departamentos A, B y C, respectivamente. El costo del tiempo extra por, hora es de $18 (dólares) en el departamento A; $22.50 en el departamento B, y $12 en el departamento C. Formule un modelo de programación lineal que pueda aplicarse para determinar las cantidades óptimas de producción si se tiene disponible el tiempo extra. ¿Cuáles son las cantidades óptimas de producción y cuáles las nuevas utilidades? ¿Cuánto tiempo se recomendaría emplear en cada

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departamento? ¿Cuál es 'el aumento en las utilidades si se utiliza el tiempo extra?

5. Planeación de inversión y crédito. La organización de crédito (préstamos) de empleados en la Universidad Estatal está haciendo planes para el uso de sus fondos en el año próximo. Tal organización hace 4 tipos de préstamos a sus miembros. Además, invierte en valores libres de riesgo, con objeto de estabilizar los ingresos. Las diversas inversiones que producen ingresos, Junto con las tasas anuales de rendimiento, son las siguientes: Tipo de crédito de inversión

Créditos para automóvil Créditos para muebles Otros créditos garantizados Créditos quirografarios Valores sin riesgo

Tasa de rendimiento anual (%) 8 10 11 12 9

La empresa tendrá $2,000,000 (dólares) disponibles para invertirlos durante el año siguiente. Las leyes estatales y las políticas de la organización de, crédito imponen las siguientes restricciones sobre la composición de los créditos y las inversiones de la unión: (1) Las inversiones en valores libres de riesgo no pueden exceder de 30% de los fondos disponibles totales. (2) Los créditos quirografarios no pueden exceder de 10% de los fondos que se invier ten en todos los créditos (automóviles, muebles y otros créditos quirografarios y garantizados). (3) Los créditos para adquisición de muebles, y otros créditos garantizados, no pueden exceder al monto para los créditos para automóvil. (4) Los otros créditos garantizados junto con los créditos quirografarios no pueden exceder el monto de los fondos que se invierten en valores libres de riesgo. ¿Cómo se deben asignar los $2,000,000 a cada una de las alternativas de inversión / crédito con objeto de maximizar el rendimiento anual total? ¿Cuál es el rendimiento anual proyectado? 6. Aseguramiento de la calidad. La firma Hilltop Coffee fabrica un producto de café mezclando tres tipos de granos. El peso por libra y las libras disponibles de cada grano son las siguientes: Grano 1 2 3

Costo por Libra $0.50 0.70 0.45

Libras disponibles 500 600 400

4



Se utilizan pruebas de los productos de café con los consumidores para obtener evaluaciones en una escala de 0 a 100, en donde las calificaciones altas son señal de mayor calidad. Los estándares de calidad para los productos mezclados exigen una calificación del aroma, por parte de los consumidores, de cuando menos 75, y una calificación de los consumidores para el sabor, de cuando menos 80. Las calificaciones individuales para el aroma y para el sabor del café que se fabrica con el 100% de cada grano son las siguientes:

Grano 1 2 3

Calificación de aroma 75 85 60

Calificación de sabor 86 88 75

Puede suponerse que los atributos de aroma y de sabor de la mezcla de café son un promedio ponderado de los atributos de los granos que se utilizan en la mezcla. a. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo que satisface los estándares de calidad y produce 1000 libras del producto de café mezclado? b. ¿Cuál es el costo por libra de la mezcla de café? c. Utilice variables de excedente para determinar las calificaciones de aroma y de sabor para la mezcla de café. d. Si se fuera a fabricar café adicional, ¿cuál sería el costo esperado por libra? 7.

Problema de mezclado. La firma Ajax Fuels, lnc., está desarrollando un nuevo aditivo para combustibles de aviones. El aditivo es una mezcla de tres ingredientes: A, B Y C. Para un desempeño adecuado, la cantidad total del aditivo (cantidad de A + cantidad de B + cantidad de C) debe ser de cuando menos 10 onzas por galón de combustible. Sin embargo, y debido a consideraciones de seguridad, la cantidad del aditivo no debe exceder de 15 onzas por galón de combustible. La mezcla o combinación de los tres ingredientes es crucial. Para cada onza del ingrediente B se debe utilizar cuando menos una onza del ingrediente A. La cantidad del ingrediente e debe ser mayor que la mitad de la cantidad del ingrediente A. Si el costo por onza de los ingredientes A, B y C es $0.10, $0.03 y $0.09 (de dólar), respectivamente, encontrar la mezcla de A, B y C que arroje el costo mínimo, para cada galón de combustible de avión.

5



8. Planeación de la mano de obra. La compañía G. Kunz and Sons, Inc., fabrica dos productos que se utilizan en la industria del equipo pesado. Ambos productos requieren operaciones de manufactura de dos departamentos. El tiempo de producción en horas y las cifras de utilidades para los dos productos son las siguientes:

Unidad por unidad Horas en Depto. A Horas en Depto. B

Producto 1

Producto 2

$25

$20 8 10

6 12

Para el siguiente periodo de producción, la Kunz tiene un total de 900 horas disponibles de mano de obra, que se pueden asignar a cualquiera de los dos departamentos. Obtenga el plan de producción y la asignación de mano de obra (horas asignadas a cada departamento) que maximizan las utilidades. 9.

Transporte. La firma C&P Company tiene dos plantas manufactureras. Una ubicada en la ciudad de Kansas, y otra, en Louisville. La producción de cada mes se envía a almacenes regionales, los cuales almacenan los productos hasta que reciben los pedidos de los clientes. Las capacidades de producción y las demandas de los almacenes para el siguiente mes son las siguientes:

Planta Ciudad de Kansas Loisville

Capacidad 500 400

Almacén Región 1 Región 2 Región 3

Demanda 200 250 300

Los costos de transporte, en dólares por unidad transportada, son:

Planta Región 1 Ciudad de Kansas Louisville

2.10 2.00

Almacenes Región 2 Región 3 2.25 2.40

3.00 2.80

a. Elabore un programa 4e transporte que determine el número de unidades que se deben enviar desde cada planta a cada 6



almacén, de manera que se satisfagan las demandas de los almacenes con un costo mínimo total de transporte.(Nota: al problema se le denomina problema de transporte; estos problemas se analizan con mayor detalle en el Cap. 7). b. Si los costos de producción son de 2.00 por unidad en la planta de la ciudad de Kansas y de 2.25 por unidad en la planta de Louisville, ¿cómo se modificaría el programa de transporte para minimizar el total de los costos de producción y transporte? 10. Programación de personal. El Departamento de Policía de un condado programa a los agentes policiales para turnos de 8 horas. Los inicios de los turnos son 8:00 a.m., mediodía, 4:00 p.m., 8:00 p.m., medianoche y 4:00 a.m. Los agentes que comienzan en alguno de los horarios de inicio trabajan durante las siguientes 8 horas. Durante las operaciones normales entre semana, el numero de oficiales que se requieren varia dependiendo del momento del día. Los lineamientos de asignación de personal del departamento fijan el numero siguiente de oficiales de guardia.

Horas del día

8:A.M. Mediodia Mediodia -4:00 P.M. 4:00 P.M.-8:00 P.M. 8:00 P.M. Medianoche Medianoche -4:00 A.M. 4:00 A.M -8:00 A.M.

Numero mínimo de agentes

5 6 10 7 4 6

Determine el número de agentes de policía que se deben programar para comenzar en los turnos de 8 horas, en cada uno de los horarios de inicio (8:00 a.m., mediodía, 4:00 p.m., 8:00 p.m., medianoche y 4:00 a.m.) de manera que se minimice el número total de oficiales que se requiere. (Sugerencia: Sea X1 = número de agentes que comienzan a trabajar a las 8:00 a.m., X2 = número de agentes que comienzan a trabajar al mediodía, y así sucesivamente.) 11. Selección de cartera. La Asociación Nacional de Seguros tiene una cartera de inversiones para acciones, bonos y otras alternativas de inversión. En estos momentos hay disponibles $200,000 (dólares) de los fondos y se deben evaluar las nuevas oportunidades de inversión. Las cuatro opciones de acciones que

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la Asociación está considerando, y relevantes son los siguientes:

los

datos

financieros

Alternativa de inversión

Precio por acción Tas anual de rendimiento Medida de riesgo por dólar invertido (valores altos indican mayores riesgos)

A $100 0.12

B $50 0.08

C $80 0.06

D $40 0.10

0.10

0.07

0.05

0.08

La medida del riesgo indica la incertidumbre relativa correspondiente a la acción, en términos de la realización efectiva del rendimiento anual proyectado. Las medidas de riesgo son proporcionadas por el principal asesor financiero de la empresa. Los asesores del primer nivel de la. Asociación han estipulado los siguientes lineamientos para la inversión: (1) La tasa anual de rendimiento para la cartera debe ser de cuando menos 9%. (2) Ninguna acción debe constituir más de 50% del total de la inversión en dólares. a. Utilice programación lineal para desarrollar una cartera de inversión que minimice el riesgo. b. Si la empresa ignora el riesgo y utiliza una estrategia de máximo rendimiento sobre la inversión, ¿cuál sería la cartera de inversión? c. ¿Cuál es la diferencia(en dólares) entre las carteras que se recomiendan en las partes (a) y (b)? ¿Por qué podría la compañía preferir el modelo que se plantea en la parte (a)? 12. Encauzamiento de la producción. La firma Lirux Electronics fabrica dos productos que se pueden elaborar en dos líneas de producción. Ambos artículos logran sus menores costos cuando se fabrican en la línea d producción que es mas moderna. Sin embargo, la línea moderna no tiene capacidad para manejar el total de la producción. Como resultado, alguna parte de la producción tiene que manejar a través de la línea de producción antigua. En seguida se muestran los datos sobre los requerimientos totales de producción, las capacidades de las líneas de producción y los costos: Costo

unitario

de

producción

Producción mínima

Línea Antigua

Requerimientos

$5.00

500 unidades

Línea Moderna Producto 1

$3.00

8



Producto 2 Capacidad de línea de producción

$2.50 800

$4.00 600

700 unidades

Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para tomar decisiones acerca las rutas o cauces de la producción ¿Cuál es la decisión que se recomienda y el costo total? 13. Compras. La compañía Edwards Manufacturing adquiere dos piezas de refacción de tres proveedores distintos: Los abastecedores tienen capacidad limitada y ninguno de ellos puede satisfacer todas las necesidades de la empresa. Además, los abastecimientos difieren en los procesos que se obran por los componentes. Los datos de precios de los repuestos son los siguientes: Proveedor

Precio unitario, componente 1 Precio unitario, componente 2

1 $12

2 $13

3 $14

$10

$11

$10

La capacidad de los proveedores está limitada en términos del número total de componentes que pueden suministrar. Sin embargo, siempre y cuando la Edwards proporcione sus pedidos con la suficiente anticipación, cada uno de los proveedores puede dedicar su capacidad al componente 1, al componente 2 o a cualquier combinación de los dos componentes, en tanto que el número total de unidades que se soliciten esté dentro de su capacidad. Las capacidades de los proveedores son las siguientes: Proveedor

Capacidad total de componentes

Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3

600 100 800

Si el plan de producción de la Edwars para el siguiente periodo de producción incluye 1000 unidades del componente 1 y 800 unidades del componente 2, ¿qué compras se recomienda realizar? Es decir, ¿cuántas unidades de cada componente se deben ordenara cada proveedor? ¿Cuál es el costo total de las compras de los componentes? 14. Fabricar o comprar. La firma Carlson Stapler Manufacturing Co. Pronostica una demanda de 5000 unidades para su modelo SureHold de engrapadoras, para el siguiente trimestre. Este articulo 9



se ensambla utilizando tres componentes principales: base, cartucho para grapa y manija. Hasta ahora, la Carlson ha fabricado los tres componentes. Sin embargo, el pronóstico de 5000 unidades es un nuevo pico en el volumen de ventas y se duda que la empresa tenga suficiente capacidad de producción para fabricar todos los componentes. La empresa está considerando contratar a una empresa local para que fabrique cuando men6s parte de los componentes. Los requerimientos de tiempo de producción por unidad son los siguientes: Departamento

Cartucho

Manija

Total del tiempo disponible en el departamento (horas)

0.02 0.02 0.03

0.05 0.04 0.01

400 400 400

Base A B C

0.03 0.04 0.02

Después de considerar los gastos globales de la empresa y los costos de materiales, y de mano de obra, el departamento de contabilidad ha determinado el costo unitario de fabricación para cada componente. Estos datos, junto con las cotizaciones de precio o de compra para la empresa Componente

Costo de compra

Costo de fabricación Base Cartucho Manija

$0.75 $0.40 $1.10

$0.95 $0.55 $1.40

a. Determine la decisión de fabricar o comprar que permitirá a la Carlson satisfacer la demanda de las 5000 unidades con un costo total mínimo. ¿Cuántas unidades de cada componente se deben fabricar, y cuántas se deben adquirir? b. ¿Qué departamentos están limitando el volumen de producción? Si se pudiera considerar el uso de tiempo extra con un costo adicional de $3 la hora, ¿a qué departamento o departamentos se debe asignar ese tiempo extra? Explique. c. Supóngase que se pueden programar en el departamento A hasta 80 horas de tiempo extra. ¿Qué se recomienda? 15. Problema de mezclado. La Seastrand Oil Company fabrica dos grados de gasolina, la normal y la de alto octanaje. Ambos tipos de gasolina se fabrican mezclando dos tipos de petróleo crudo. Aunque los dos tipos de petróleo tienen los dos ingredientes

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importantes que se requieren para fabricar-ambas gasolinas, el porcentaje de los ingredientes importantes en cada tipo de petróleo crudo difiere, al igual que difiere el costo por galón. Se muestra enseguida el porcentaje de los ingredientes A y B que cada tipo de petróleo crudo contiene y el costo por galón: Tipo de petróleo crudo

Costo

1 2

$0.10 $0.15

Ingrediente A Ingrediente B

20% 50%

60% 30%

El crudo 1es 60% del Ingrediente B

Cada galón de gasolina normal debe contener cuando menos 40% de A, mientras que cada galón de gasolina de octanaje elevado debe contener cuando mucho 50% de B. La demanda diaria de la gasolina de octanaje normal es de 800,000 galones, y la demanda diaria para la gasolina de alto octanaje es de 500,000 galones. ¿Cuántos galones de cada tipo de petróleo crudo se deben utilizar en las gasolina normal y de alto octanaje para satisfacer la demanda diaria a un costo mínimo? 16. Corte de papel. La Ferguson Paper Co. fabrica rollos de papel que se utilizan en máquinas sumadoras, calculadoras de escritorio y cajas registradoras. Los rollos, que tienen 200 pies de longitud, se fabrican en anchos de 1 1\2, 2 1\2 Y 3 1\2 pulgadas. Mediante el proceso de producción se obtienen rollos de 200 pies en anchuras exclusivamente de 10 pulgadas. Por ello, la empresa debe cortar los rollos con las dimensiones que se desean en el producto final. Las 7 alternativas de corte y la cantidad de desperdicio que se genera con cada una de .ellas son las siguientes:

Opción de corte

Plg

1½

Numero de rollos 2 ½ Plg

Plg

3½

Desperdicio (pulgada)

1 2 3 4 5 6 7

6 0 2 0 1 1 4

0 4 0 1 3 2 0

0 0 2 2 0 1 1

1 0 0 ½ 1 0 ½

Los requerimientos mínimos para los tres productos son los siguientes: 11



Ancho del rollo (pulgadas)

Unidades

1½ 2½ 3½

1000 2000 4000

a.

Si la compañía desea minimizar el numero de unidades de rollos de 10 pulgadas que se deben fabricar, ¿cuántos rollos de 10 pulgadas se deben procesar en cada alternativa de corte? ¿Cuántos rollos se requieren y cuál es el total de desperdicios (pulgadas)? b. Si la compañía desea minimizar e desperdicio que se genera, ¿cuántas unidades de 10 pulgadas deben procesarse en cada alternativa de corte? ¿Cuántos rollos se requieren y cual es el desperdicio total (pulgadas)? c. ¿Cuáles son las diferencias en los enfoques (a) y (b) para este problema de cortes? En este caso; ¿cuál es el objetivo que preferiría? Explique. ¿Cuáles son los tipos de casos que harían otro objetivo fuera mas deseable? 17.

Inspección. La Compañía Medicinal Get Well inspecciona productos medicinales en cápsulas haciendo pasar éstas por una mesa con iluminación especial en la que los inspectores verifican visualmente las cápsulas rotas o llenadas parcialmente. En estos momentos, existen tres inspectores que pueden asignarse a esa tarea de inspección. Sin embargo, las aptitudes o de precisión y de velocidad de los inspectores difieren y se les pagan sueldos ligeramente distintos. Las diferencias son las siguientes:

Inspector

Velocidad (unidades por hora)

Precisión (%)

Salario por hora

Davis Wilson Lawson

300 200 350

98 99 96

$5.90 $5.20 $5.50

Operando en un turno completo de 8 horas, la compañía requiere que se inspeccionen cuando menos 2000 cápsulas, sin que se supere en 2% los errores en las cápsulas inspeccionadas. Además, debido al factor de fatiga en el proceso de inspección, a ningún inspector se le puede asignar esa tarea durante mas de 4 horas por día. ¿ Cuántas horas debe asignarse cada inspector al proceso de inspección de cápsulas durante un día de 8 horas, si se desea 12



minimizar el costo de inspección? '¿Qué volumen se inspeccionará por día y cuál es el costo diario d_ inspección de las cápsulas? 18. Adquisición de equipo. La Compañía Petrolera Dos Ríos, ubicada cerca de Pittsburg transporta en camiones gasolina para sus distribuidores. La compañía recibió recientemente un contrato para comenzar a proveer a los distribuidores de gasolina del sur de un estado y dispone de $600,000(dólares) para invertirlos en la necesaria expansión de su flotilla de camiones tanques Existen dispon1bles tres modelos de camiones para el transporte: Modelo de Camión

Capacidad (galones)

Costo de compra

Costo mensual de operación, incluyendo depreciación

Super Tanker Línea normal EconoTanker

5000

$67,000

$550

2500

$55,000

$425

1000

$46,000

$350

La firma estima que la demanda mensual para esa región será de 55,000 galones de gasolina. Debido a las diferencias en tamaño y en velocidad en los vehículos, los distintos modelos de camiones varían en términos del numero de entregas o de viajes redondos que les sea posible realizar al mes. Se estima que las capacidades de viajes son de 15 viajes por mes para el Super Tanker, 20 viajes por mes para el Regular Line y 25 viajes por mes para el Econo-Tanker. Con base en el mantenimiento y en la habilidad de os conductores, la empresa no desea añadir mas de 15 vehículos nuevos a su flotilla. Además, la compañía ha decidido adquirir tres de los nuevos Econo-Tankers, para utilizarlo en sus rutas cortas con demanda reducida. Como restricción final, la compañía no desea mas que la mitad de los modelos sean Super Tankers. a. Si la empresa desea satisfacer la demanda de gasolina con gastos de operación mensuales mínimos, ¿cuántos modelos debe comprar de cada camión? b. Si la compañía no requiriera cuando menos tres EconoTankers, y no se limitara el numero de Super Tankers a cuando mucho la mitad de los modelos nuevos, ¿cuántos modelos de cada camión deberían comprarse.

13



19. Planeación en periodos múltiples. La firma Silver Star Bycicle Co. Va a fabricar modelos tantos para hombres como para mujeres de sus nuevas bicicletas Easy-Pedal, de 10 velocidades, en los meses siguientes. La compañía pretende elaborar un programa de producción que indique cuantas bicicletas de cada modelo se deben fabricar cada vez. Los pronósticos actuales de la demanda sugieren 150 modelos par hombre y 125 para mujer, que deben enviarse durante el primer mes, y 200 modelos para hombre y 150 para mujer que deben enviarse durante el segundo mes. En seguida se muestran otros datos adicionales: Modelo

Costo de producción

Mano de obra requerida para fabricar (horas)

Mano de obra requerida par ensamble (horas)

Inventario actual

Para hombres Para mujeres

$40 $30

10 8

3 2

20 30

El mes anterior, la compañía utilizo un total de 4000 horas de mano de obra. Su política de relaciones laborales no permite que el total de horas de mano de obra (Manufactura mas ensamble) aumente o disminuya en mas de 500 horas con respecto al mes anterior. Además, la compañía carga un inventario mensual a razón de 2% del costo de producción, con base en los niveles de inventario al final del mes. La firma pretende tener cuando menos 25 unidades de cada modelo en los inventarios al final de los dos meses. a. Establezca un programa de producción que minimice los costos de producción e inventarios y que satisfaga los requisitos de suavización de mano de obra, la demanda y los inventarios. ¿Qué inventarios se deben mantener, y cuales son los requerimientos mensuales de mano de obra? b. Si la compañía modificara las restricciones de manera que los aumentos y las disminuciones de mano de obra no pudiera exceder de 250 horas, ¿Qué sucedería con el programa de producción? ¿Cuánto aumentara el costo? ¿Qué seria de recomendar 20. Equilibrio de mano de obra. La empresa Williams Calculator Co. Fabrica dos tipos de calculadoras: TW100 y TW200. En el proceso de ensamblaje se requieren tres personas. Los tempos de ensamblaje son los siguientes:

14



Ensamblador 1

Ensamblador 2

Ensamblador 3

4 min 3 min 8

2 min 4 min 8

3 ½ min 3 min 8

TW100 Tw200 Numero máximo de horas disponibles al día

La política de la compañía consiste en equilibrar las cargas de trabajo en todas las labores de ensamble. De hecho, los administradores desean programar el trabajo de manera que ningún ensamblador tenga más de 30 minutos de trabajo por día que los otros ensambladores. Esto significa que, en un turno normal de 8 horas, a todos los operarios se les asignan cuando menos 7 ½ horas de trabajo. Si la empresa obtiene una utilidad de $2.50 (dólares) por cada TW100 y una utilidad de $3.50 por cada TW200, ¿cuántas unidades de cada calculadora se deben fabricar al día? ¿Cuánto tiempo se asignará a cada ensamblador por día? 21. Producción en periodos múltiples y planeación de inventarios. Los modelos de producción y de planeación de los inventarios, en periodos múltiples determinan un programa de producción y un programa de inventarios finales para cada uno de los diversos periodos, y que permite alcanzar la meta de maximizar las utilidades o minimizar los costos. Considerando el precio de venta, los costos normales de producción, los costos en tiempo extra los costos de mantenimiento de los inventarios y los costos de las ventas perdidas, desarrolle un modelo de planeación de los inventarios y de producción para tres periodos,'para la firma Allen Manufacturing Co. La información relevante es la siguiente: Periodo

1 2 3

Precio de venta ($/unid.)

Costo de producción ($/uni.d)

Demanda

Costo del inventario final ($/unid.)

$5.00 $5.00 $5.50

$2.80 $2.90 $3.00

500 300 400

$0.50 $0.50 $0.55

Periodo

Capacidad normal de producción (unidades)

Capacidad de producción en tiempo extra (unidades)

1 2 3

250 300 300

100 100 125

15



El costo del tiempo extra por unidad en cada periodo es 20% mayor que el costo de producción por unidad que se muestra antes. El costo de las perdidas, que es de $4 (dólares) por unidad en cualquier periodo, incluye la buena voluntad con los clientes, pero no toma en consideración los costos asociados a los ingresos que no se obtienen. El inventario inicial para el periodo 1 es 100 unidades. Además, la empresa pretende tener cuando menos 50 unidades de inventarios finales para el periodo 3 con objeto de preparar las necesidades de los productos en el periodo 4. Para tomar en consideración los aspectos del problema que se refieren a los diversos periodos, cada uno de estos, t, requiera ecuaciones o restricciones de equilibrio con base en las siguientes relaciones: Ventas perdidas (t) = demanda (t) – ventas (t) Inventario final (t) = inventario inicial (t) + producción (t) – ventas (t) Desarrolle un programa lineal que se pueda utilizar para determinar el programa óptimo de producción e inventarios para la firma Allen. Determine las ventas, la producción normal, la producción en tiempo extra , el inventario final y las ventas que se pierden para cada uno de los tres periodos. ¿Cuál es la utilidad neta correspondiente a la solución encontrada? 22. Planeación financiera en periodos múltiples. La firma Morton Financial Institución debe decidir qué porcentaje de los fondos disponibles debe colocar en cada una de dos inversiones, a las que se denominan A y B, para los siguientes cuatro periodos. La tabla que aparece en seguida muestra la cantidad de fondos nuevos disponibles para cada uno de los cuatro periodos, así como también los gastos de efectivo que es necesario realizar para cada inversión (valores negativos)o los ingresos en efectivo provenientes de las inversiones (valores positivos). Los datos que se muestran están dados en millares de dólares, y reflejan la cantidad de los gastos o los ingresos si se invierte el 100% en A o B. Por ejemplo, si la Morton decide invertir el 100 % en la alternativa A, incurrirá en gastos en efectivo de $1,000 en el mes 1, $800 en el mes 2, $200 en el mes 3 y obtendría ingresos de $200 en el mes 4. Obsérvese, sin embargo, que si la Morton toma la decisión de invertir el'80% en la alternativa A, 16



las erogaciones o los ingresos en efectivo serían de 80% de los valores que ahí se muestran. Periodo

Nuevos fondos disponibles para inversión Inversión A Inversión B

1

2

3

4

1500

400

500

100

- 1000 - 800

- 800 - 500

- 200 - 300

100 300

El monto de los fondos disponibles en cualquier periodo es la suma de los fondos nuevos para inversión correspondientes al periodo, los nuevos fondos crediticios, los ahorros provenientes del periodo anterior, el ingreso en efectivo proveniente de la inversión A y el ingreso en efectivo proveniente de la inversión B. Pueden utilizarse los fondos disponibles en cualquier periodo para pagar el crédito y los intereses del periodo anterior, o se les puede colocar en cuentas de ahorros, utilizar para pagar los gastos en efectivo de la inversión A o se les puede utilizar para pagar los gastos en efectivo para la inversión B. Suponiendo una tasa de interés de 10% por periodo para ahorros y una tasa de interés de 18% sobre los fondos obtenidos a crédito, sean S(t - 1) denota los ahorros para el periodo t – 1 y L(t - 1) denota los nuevos fondos crediticios para el periodo t - 1 Entonces, los ingresos por ahorro provenientes del periodo previo son, en cualquier periodo, 1.1S(t - 1) los gastos del crédito y de intereses por el periodo anterior son 1.18L(t - 1). Al final del periodo 4, se espera que la inversión A tenga un valor en efectivo de $3,200 (suponiendo el 100% en esta alternativa), mientras que se espera que la inversión B tenga un valor en efectivo de $2,500 (suponiendo que se invierte 100% en B). Los ingresos y los gastos adicionales al final del periodo 4 se traducen en ingresos provenientes de los ahorros del periodo 4 menos el pago del crédito e intereses del periodo 4. Se utilizan las siguientes variables de decisión: X1 = proporción de la inversión A que se realiza X2 = proporción de la inversión B que se realiza Por ejemplo, si X1 = .5, se invertirían $500 en la inversión A durante el primer periodo, y todos los flujos de efectivo restantes

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y los valores finales de la inversión A se multiplicarán por 0.5. Se aplica lo mismo para la inversión B. El modelo debe incluir restricciones X1≤ y ≤ X2 1 para asegurar que se invierte cuando mucho 100% de los recursos disponibles. Si se puede obtener a crédito cuando mucho $200 en cualquier periodo, determine la proporción de la inversión A, la proporción de la inversión B y la cantidad de los ahorros y los créditos para cada periodo que maximizan el valor en efectivo para la empresa al final de los cuatro periodos. 23.

Programación de personal. La empresa Western Family Steakhouse ofrece diversas comidas y servicios rápidos de bajo costo. Aparte de los administradores el restaurante opera con 12 empleados de tiempo completo que trabajan 8 horas al día. El resto de los empleados trabajan tiempo parcial y se les programa para turnos de cuatro horas durante las horas de comida. El restaurante está abierto los sábados de 11:00 a.m. hasta las 10:00 p.m. Los administradores pretenden desarrollar un programa para los empleados de tiempo parcial que minimice los costos de mano de obra y que permita ofrecer un excelente servicio a los clientes. La tasa promedio para los empleados de tiempo parcial es de $3.60 (dólares) la hora. El número total de empleados de tiempo completo y de tiempo parcial que se requieren varia con el momento del día, de la manera que se indica en la tabla de la página siguiente. Uno de los empleados de tiempo completo llega a trabajar a las 11:00 a.m., trabaja durante cuatro horas, se toma una hora libre, y regresa para trabajar otras cuatro horas. El otro empleado de tiempo completo llega a laborar a la 1:00 p.m. y trabaja con el mismo horario de cuatro horas de trabajo, una de descanso y cuatro horas de trabajo. Hora

Numero total de empleados

11: A.M.-mediodia Mediodia-1:00 P.M. 1:00 P.M.-2:00 P.M. 2:00 P.M.-3.00 P.M 3:00 P.M.-4:00 P.M. 4:00 P.M.-5:00 P.M. 5:00 P.M.-6:00 P.M. 6:00 P.M.-7:00 P.M 7:00 P.M.-8:00 P.M. 8:00 P.M.-9:00 P.M 9:00 P.M.-10:00 P.M.

9 9 9 3 3 3 6 12 12 7 7

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a. Desarrolle un programa de costos mínimos para los empleados de tiempo parcial. b. ¿Cuál es la nómina total para los empleados de tiempo parcial? ¿Cuántos turnos de tiempo parcial se necesitan? Utilice las variables de excedente para comentar sobre la deseabilidad de programar cuando menos algunos de los empleados de tiempo parcial para que trabajen turnos de tres horas. c. Suponiendo que se pueden asignar a los empleados de tiempo parcial a turnos de cuatro o de tres horas, desarrolle un programa de costo mínimo para ellos. ¿Cuántos turnos de tiempo parcial se requieren, y cuál es el ahorro de costos en comparación con el programa anterior? 24. Interpretación de resultados de computadora. En seguida se muestra una parte de una solución computadorizada cuando se utiliza The Management Scientist para resolver el problema de selección de medios de la Relax and Enjoy Lake Development Corporation. ObjeValor de la función objetivo: 2369.999500 Variable

Valor

Costos reducidos

------------X1 X2 X3 X4 X5

---------------------10.000000 0.000000 25.000000 1.999994 30.000000

-----------------0.000023 64.999969 0.000004 0.000004 0.000002

Restricción

Holgura/Excedente

Precios duales

-------------1 2 3 4 5 6 7 8 9

---------------------5.000000 10.000000 0.000000 2.000006 0.000000 0.000000 0.000000 2999.999000 11500.015600

-----------------0.000000 0.000000 15.999998 0.000000 13.999998 0.060000 -25.000015 0.000000 0.000000

Disponibilidad de los medios

Presupuesto Restricciones sobre la TV Cobertura de audiencia

a. ¿Cuánto aumentaría al presupuesto la exposición esperada por dólar? dado el presupuesto actual, ¿cuál es la exposición promedio por dólar de publicidad? El .ingreso margina. que se obtiene al aumentar el presupuesto parece indicar que aumentar el presupuesto es una buena inversión.

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b. A partir de un análisis de los precios duales, comente si los anuncios o comerciales por televisión son una buena idea o no. 25. Análisis de eficiencia en hospitales. Se utilizó el análisis global de datos para evaluar las eficiencias relativas de cuatro hospitales. Presentaron los, datos para las tres medidas sobre insumos y para las cuatro medidas sobre resultados. a. Utilice esos datos para desarrollar un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para evaluar el desempeño del Hospital General. b. En seguida se muestra la solución por computadora que se obtiene utilizando The Management Scientist. ¿Esta solución indica que el Hospital General fue relativamente ineficiente? c. ¿Qué hospital u hospitales conforman la unidad compuesta que se utilizó para evaluar al Hospital General? Especifique por qué esto resulta ser cierto. d. Valor de la función objetivo = 1.000000 Variable -------------E WG WU WC WS

Valor --------------1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Costos reducidos ----------------------0.000000 0.000000 0.000000 0.330682 0.215189

26. Análisis de eficiencia en hospitales. Se ha utilizado el análisis global de datos para medir la eficiencia relativa de un grupo de hospitales [H. David Sherman, "Hospital Efficiency Measurement and Evaluation" , Medical Care (octubre de 1984)]. El estudio de Sherman se ocupaba de siete hospitales escuela; los datos sobre las tres medidas de insumos se presentan, los datos para las cuatro medidas sobre resultados. a. Formule un modelo de programación lineal que permita utilizar el análisis global de datos para evaluar el desempeño del Hospital D. b. Resuelva el modelo utilizando un paquete de programación de computadora. Recursos anuales que se consumen (insumos) en siete hospitales

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Hospital

A B C D E F G


Personal no médico de tiempo completo equivalente

Gastos en suministros (en miles)

Días-cama disponibles (en miles)

310.0 278.5 165.6 250.0 206.4 384.0 530.1

134.60 114.30 131.30 316.00 151.20 217.00 770.80

116.00 106.80 65.52 94.40 102.10 153.70 215.00

Servicios anuales que ofrecen (resultados) siete hospitales Días-paciente (en miles)

Días-paciente (menos de 65 años) (en miles)

Enfermeras en capacitación

Médicos internos en capacitación

55.31 37.64 32.91 33.53 32.48 48.78 58.41

49.52 55.63 25.77 41.99 55.30 81.92 119.70

291 156 141 160 157 285 111

47 3 26 21 82 92 89

Hospital (de 65 años o mas)

A B C D E F G

c. ¿El hospital D es relativamente ineficiente? ¿Cuál es la interpretación del valor de la función objetivo? d. ¿Cuántos días-paciente de cada tipo se producen en el hospital compuesto? e. ¿Qué hospitales se recomendaría al hospital D que tratara de emular con objeto mejorar la eficiencia de su operación? 27. Análisis de la eficiencia en hospitales. Hágase referencia de nuevo a los datos que se presentan para el Problema 26. a. Formule un modelo de programación lineal que pueda ser utilizado para realizar análisis global de datos para el hospital E. b. Resuelva el modelo utilizando un paquete computacional. c. ¿El hospital E es relativamente ineficiente? ¿Cuál es la interpretación del valor de la función objetivo? c. ¿Qué hospitales se incluyen en la conformación del hospital compuesto? ¿Puede hacerse un planteamiento general con respecto a qué hospitales conformarían la unidad compuesta correspondiente a una unidad que no es eficiente? 28. Eficiencia en restaurantes de comida rápida. La firma Ranch House, Inc., opera cinco restaurantes de fast-food. Las medidas de los insumos para los restaurantes incluyen horas semanales de operación, personal de tiempo completo equivalente y gastos 21



semanales en abastecimientos. Las medidas de los resultados en términos de desempeño incluyen las utilidades semanales promedio, la participación en el mercado y la tasa anual de crecimiento. Se presentan datos sobre las medidas de insumos y resultados. Datos de entrada para cinco restaurantes de comida rápida Restaurante

Horas de operación

Personal de tiempo completo

Suministros

Bardstown Clarksville Jeffersonville New Albany St. Matthews

96 110 100 125 120

16 22 18 25 24

850 1400 1200 1500 1600

Datos de salida para cinco restaurantes de comida rápida

Restaurante

Utilidad semanal

Participación de mercado

Tasa de crecimiento

Bardstown Clarksville Jeffersonville New Albany St. Matews

$3800 $4600 $4400 $6500 $6000

25% 32% 35% 30% 28%

8.0% 8.5% 8.0% 10.0% 9.0%

a. Desarrolle un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para evaluar el desempeño del restaurante Clarksville Ranch House. b. Resuelva el modelo utilizando un paquete de computación. c. ¿El restaurante Clarksville Ranch House es relativamente ineficiente? Comente. d. ¿En qué renglones tiene más resultados el restaurante compuesto que el Clarksville? ¿Qué tanto menos de cada recurso de entrada (insumo) requiere el restaurante compuesto en comparación con el Clarksville? e. ¿Qué otros restaurantes se deben estudiar con objeto de encontrar formas que puedan sugerirse para que el restaurante Clarksville mejore su eficiencia?

22

Prob.+Modelos+de+P.L.[1]

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