6.10 Problemas resueltos 1. Un protón se mueve con una velocidad v = ( 2i − 4 j − k ) ms -1 ,
en una región donde el campo magnético es B = (i + 2 j − 3k ) T
¿Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que esta carga experimenta? Solución: La fuerza magnética esta dada por: F = qv × B = (22 .4i + 8 j −12 .8k ) ×10 −19 N ,
donde q es la carga del protón, q =1.6 ×10 −19 C y la magnitud esta dada por F = 2.70 ×10 −18 N
2. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se muestra en la figura 6.15 tiene una masa por unidad de longitud 0.040 kg/m. ¿Qué corriente debe de existir por el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea cero cuando el campo magnético es 3.6 T hacia el interior de la página? ¿Cuál es la dirección requerida para la corriente? a x
d
k
I y
x x
x x
x x
x x x Figura 6.15
x x Bin x
y z
x
b
Figura 6.16 c
Solución Para que la tensión en los alambres se anule es necesario generar una fuerza magnética por unidad de longitud igual al peso por unidad de longitud, pero de sentido contrario I ( l × B ) I − l × Bk mg F mg ILB = 0.109 A = = = = →I = LB L L L L L
La dirección de la corriente es hacia la derecha 3. En la figura 6.16 el cubo mide 40.0 cm en cada lado. Cuatro segmentos de alambre ab, bc, cd y da forman un lazo cerrado que conducen una corriente I = 5.0 A en la dirección mostrada. Un campo magnético B = 0.02 T está en dirección positiva (j). Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre cada segmento. Solución
Segmento
I (A)
L (m)
B (T)
F = I (L ×B ) (N)
ab
5.0
-0.4 j
0.02 j
0
bc
5.0
0.4 k
0.02 j
0.08 (-i)
cd
5.0
0.4 (-i+j )
0.02 j
-0.08 k
da
5.0
0.4 (i -k )
0.02 j
0.04 (i + k)
4. Indique la dirección inicial de la desviación de las partículas cargadas cuando éstas entran en los campos magnéticos indicados en las figuras 6.17 a) b)
+
c)
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
J
Bentra
Barriba
d)
i k
37º
BDerechaba
+
BSobr
e45°
Figura 6.17 Solución: Las partículas se desvían en la dirección de la fuerza magnética Figura a
q +
Dirección de v +i
Dirección de B -k
F = q ( v × B)
b
-
-i
+j
+k
c
+
0.8 i + .6 j
+i
-k
d
+
+j
cos45° i+ sen45° j
-k
J
5. Un alambre de la forma que se muestra en la figura 6.19a lleva una corriente de 1.5 A. Calcule la fuerza resultante que actúa sobre el alambre si el campo magnético B es de 50 teslas de magnitud y dirigido hacia dentro del plano de la pagina, y el radio del semicírculo es a = 0.1 m. dFcosθ
F1
I
a
dFsenθ
I
F2
Figura 6.18
dF
θ a
dL
Figura 6.19
Solución: De la ecuación 6.13, se tiene F =I
∫dl ×B . L
En la figura 6.19 vemos que la fuerza de la parte superior del alambre es igual a la fuerza que actúa en la parte inferior (F1 = -F2). El cálculo de la fuerza en la parte semicircular se obtiene de la integral dFsenθ ya que la componente dFcosθ es anulada por la parte simétrica del semicírculo del alambre, la fuerza resultante se obtiene integrando π
F = ∫( dF sen θ)i = ∫( IBdL sen 90 °)sen θ i, = ( IB sen θdθ ) i = 2 IaB = 15 N.
∫ 0
con dL = adθ , tenemos 6. Un segmento recto de alambre, de longitud L, conduce una corriente I. Con la ley de Biot-Savart, determine el campo magnético producido en un punto que está a una distancia R y que subtiende ángulos φ 1 y φ 2 con los extremos del alambre. Solución: Colocamos el alambre a lo largo del eje x, como se muestra en la figura 6.20a. Queremos determinar el campo a una distancia y = R (punto P) y y P P Bsale j
φ
1
φ
2
r k
i
R
0 Figura 6.20a
r
ur
θ
I I
φ
0
x Figura 6.20b
π -θ dl x
del alambre. La regla de la mano derecha indica que la cantidad dl ×u r se dirige hacia fuera de la página, siendo dl y ur como se indica en la figura 6.20b. Según la ecuación 6.16, el campo magnético creado por el segmento dl en el punto P tiene magnitud
dB =
µ 0 I sen(π − θ ) µ I sen(π / 2 + φ ) µ I cosφ dx = 0 dx = 0 dx , 2 2 4π r 4π r 4π r 2
donde hemos reemplazado dl por dx, y empleado el ángulo φ de la figura 6.20b. De la figura 11.20b se tiene tan φ =
x → dx = R sec 2 φ dφ R
cos φ =
R → r = R sec φ , r
reemplazando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene dB =
µ0 I cos φ dφ . 4πR
Para determinar el campo total, integramos la anterior ecuación φ
µI 2 µI B = 0 ∫ cos φ dφ = 0 (sen φ 2 + sen φ1 ) . 4πR −φ1 4πR Los limites de integración se indican en la figura 6.20a Casos particulares de la ecuación anterior:
• Determine el campo magnético en el plano perpendicular al alambre, y que pasa por el punto medio del alambre: φ
1
=φ
2
= φ (figura 6.20c)
P
P φ
φ
φ
R
R I L/2 Figura 6.20c
I
L
L/2 Figura 6.20d µI µI B = 0 (sen φ + sen φ ) = 0 sen φ 4πR 2πR
• Si P está a una distancia R de uno de los extremos del alambre φ 2 = 0 y φ 1 = φ (figura 11.20d)
B=
µ0 I µ0 I µ I (sen 0° + sen φ ) = 0 sen φ → B = 4πR 4πR 4πR L
sen φ =
donde
L2 + R 2
L L2 + R 2
,
,.
El anterior resultado indica que el campo no solo depende de la distancia R al alambre, sino también de la longitud del alambre. • En el límite en que L >> R (alambre infinito), φ 1 = φ 2 = 90°, para conseguir B→
µ0 I . 2πR
7. Un conductor de forma de un cuadrado de longitud de lado L= 0.4 m conduce una corriente I = 10 A (ver figura 6.21a.). a) Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el centro del cuadrado. b) Si este conductor se forma como una sola vuelta circular y conduce la misma corriente, ¿cuál es el valor del campo magnético en el centro? I
I P
I
I
I L/2 φ
I L
L/2
Figura 6.21a
r
I
ur θ dL
x
Figura 6.21
Solución. Usemos la ley de Biot-Savart
dB =
µ 0 Idl × u r 4π r 2
(1)
El vector ur va desde el elemento de corriente dl, al centro del cuadrado, que es el punto donde queremos calcular B. La cantidad dlxur, para el elemento de corriente que se ve en la figura 6.20b, se dirige hacia adentro del papel, y lo mismo sucede para los otros elementos de corriente que forman el cuadrado. Por lo tanto el campo magnético total en el centro del cuadrado esta dirigido hacia adentro del papel. El campo magnético del segmento dl tiene magnitud
dB =
µ 0 I sen(θ ) µ I sen(π / 2 − φ ) µ I cos φ dx = 0 dx = 0 dx , 2 2 4π r 4π r 4π r 2
Las variables φ y r dependen de x, de la figura 11.20b se tiene las siguientes ecuaciones
tan φ =
x L → dx = sec 2 φ dφ , L/2 2
cos φ =
L/2 L → r = sec φ , r 2
reemplazando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene dB =
µ0 I cos φ dφ . 4πL / 2
Para determinar el campo total, integramos la anterior ecuación y multiplicamos por 4. B =4
µ0 I 45° µ0 I cos φ dφ = (sen 45 ° + sen 45 °) = 28 .3 µ T . ∫ 4π L / 2 −45° π L/2
b) El círculo que se forma con el cuadrado Figura 6.21c), tiene un perímetro igual a 1.6 m, por lo tanto 1.6 m = 2π r → r =
1.6 m = 0.254 m 2π
z
z ur
r
θ
Figura 6.21c
dl
ur r x
dl
θ
Bentrante
x
Figura 6.21d
El vector u r va desde el elemento de corriente Idl, al centro del círculo, que es el punto donde queremos calcular B. La cantidad dl × u r , para el elemento de corriente que se ve en la figura se dirige hacia dentro del papel, y lo mismo sucede para los otros elementos de corriente que forman el círculo. Por lo tanto el campo magnético total en el centro del círculo esta dirigido hacia dentro del papel (figura 6.21d). La magnitud del campo del elemento de corriente, se obtiene mediante la ecuación (6.21) dB =
µ 0 I dl × u r µ Idl sen 90° µ 0 Idl . = 0 = 2 4π r 4π r2 4π r 2
Por lo tanto el campo neto en el centro del círculo es
B = ∫ dB =
µ0 I 1 µ0 I 1 dl = = 24.7 ×10 −7 T . ∫ 2 4π r 2 r
Nota: La integral de dl a lo largo del círculo es su circunferencia, 2π r. 8. Determine el campo magnético en un punto P localizado a una distancia x de la esquina de un largo alambre doblado en ángulo recto, como se muestra en la figura 6.22a. Por el alambre que circula una corriente estable I. P x
I
x
dl
θ
I
y
I
dl I
Figura 6.22a
P Bentra
r ur
Figura 6.22b
Solución: Para la parte horizontal del alambre dl × u r = 0, por lo tanto la parte horizontal del alambre no contribuye al campo en el punto P, solo contribuye la parte vertical, aplicando la ley de Biot-Savart tenemos B=
µ0 I 4π
∫
alambre
dl × u r . r2
(1)
De acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en P entra perpendicular al plano de la figura 6.22b y la magnitud esta dado por B=
µ0 I 4π
∫
alam
dy cos θ , r2
(2)
Las variables θ y r dependen de y, de la figura 6.22b se tiene las siguientes ecuaciones: tan θ =
y → dy = x sec 2 θ dθ , x
cos θ =
x → r 2 = x 2 sec 2 θ . r
Reemplazando las anteriores relaciones en la ecuación anterior se tiene B=
µ0 I 90 µI cos θ dθ = 0 , ∫ 4πx 0 4π x
La dirección es entrando al plano de la pagina.
9. Un segmento de alambre de 4r de longitud total con una forma como se indica en la figura 6.23a, conduce una corriente I = 6. 0 A. Encuentre la magnitud y dirección del campo magnético en P cuando r = 2π cm.
j
dl
k
I B
r
P
D
C
A
Figura 6.23a
i I
B
rd θ
ur P
C
D
Figura 6.23b
Solución Para los segmentos rectos AB y y CD los elementos dl son paralelos al vector u r que unen el elemento de corriente y el punto P donde se desea calcular el campo. Para estos segmentos dl × u r es cero, de acuerdo con la ecuación (6.21), el campo magnético es cero. Para el segmento semicircular dl × u r = dl k , aplicando la ley de Biot y Savart tenemos B=
µ0 I 4π
∫ l
dl × u r . r2
(1)
De acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en O entra perpendicular al plano de la pagina (figura 6.23b) y la magnitud esta dado por B=
µ0 I 4π
Pero dl= rdθ , entonces B=
∫
alam
dl , r2
(2)
µ0 I π µ I dθ = 0 = 3 ×10 −5 T . ∫ 4π r 0 4r
10. El segmento de alambre de la figura conduce una corriente I = 5. 0 A. y el radio del arco circular es R = 5.0 cm. Encuentre la magnitud y dirección del campo magnético en el origen, punto O. I
I
dl
ur dθ R
R O
Figura 6.24a
O
Figura 6.24b
Solución. Las corrientes horizontal y vertical no contribuyen al campo magnético, puesto que dl × u r es cero. Para el segmento semicircular dl × u r = dl k , aplicando la ley de Biot-Savart tenemos: µI dl × u r B= 0 . (1) ∫ 4π alambre R 2 De acuerdo con la regla del producto vectorial el campo en O entra perpendicular al plano de la figura 6.24b y la magnitud esta dado por B=
µ0 I 4π
∫
alam
dl , R2
(2)
pero dl = Rdθ , entonces B=
µ0 I π / 2 µI dθ = 0 = 15 .7 µT Hacia dentro de la página ∫ 4π R 0 8R
11. Dos alambres a y b rectos y largos que están sobre los ejes x y y, portan corrientes I y 4I, como se muestra en la figura. Averigüe en que puntos del espacio el campo magnético total es cero. Solución: El problema consiste en averiguar en que puntos del espacio se cancelan mutuamente los campos magnéticos producidos por cada corriente.
x
y 4I Fig. 6.25a
.(x,y)
4I ⊗
⊗
⊗ ⊗
Fig. 6.25b
4I
Fig. 6.25c
Las figuras 6.25b y 6.25c muestran las direcciones de los campos creados por las corrientes I y 4I respectivamente. Estas figuras nos dicen que los campos únicamente se pueden cancelar en los cuadrantes II y IV. Por lo tanto paran un punto (x,y) los campos creados por las corrientes de los alambres a y b (I y 4I) son: Ba =
µ0 I k, 2πy
Bb = −
µ0 4I k. 2πx
Si la suma de estos campos la igualamos a cero, encontramos B a + Bb = 0 →
µ0 I 2π
1 4 1 − k = 0 → y = x 4 y x)
Esta es la ecuación de una línea recta. Por lo tanto los campos creados por las dos corrientes se cancelan únicamente en todos los puntos de la recta y =1/4 x.
