Topografía I UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
TOPOGRAFIA I TEMA : OBSERVACIONES
DOCENTE MELGAREJO
TEORIA
DE
: ING. RAUL CASTILLEJO
Topografía I
2008 TEORIA DE ERRORES Introducción:
Cuando se mide una magnitud se presentan errores cuyo valor no se conoce y que se deben a muchas causas, por lo cual una medición nunca es realmente verdadera !n topografía las mediciones deben mantenerse siempre dentro de ciertos límites de precisión que depende de la clase y finalidad del levantamiento "or eso se deben conocer las causas u origen de los errores, apreciando el efecto con#unto de varios sobre cada medición y familiari$%ndose con el procedimiento que hay que seguir para lograr la precisión requerida !s conveniente distinguir entre la &e'actitud ( "recisión) de una medida *a e'actitud es la apro'imación a la verdad, mientras que la precisión es el grado de afinamiento en la lectura de una observación o el numero de cifras con que se este efectuando un calculo, de donde se deduce que una medida puede ser e'acta sin ser precisa, o al contrario !n Ingeniería es m%s importante la e'actitud que la precisión FUENTES Y CLASES DE ERROR: 1. Las Fuentes de Error Pueden ser: Fuentes Naturaes *os originados por el +
medio ambiente e'terno, como el viento, lluvia, cambios de temperatura !tc
Topografía I
+
Fuentes Instru!entaes: -riginados por las
condiciones en que se encuentra el instrumento, y su importancia y comportamiento con los cambios de temperatura + Fuentes Personaes: "rovenientes de los diferentes descuidos por parte del operador .eneralmente se produce por falta de practica en el mane#o del instrumento o por las limitaciones de la vista o el tacto del observador ".
Cases de Error: + Errores #ateriaes:
/on de magnitud considerable y f%ciles de detectar "rovienen de la fuente de error personal, difícilmente se corrigen por lo que ser% necesario desechar las medidas tomadas y debe repetirse el traba#o + Errores Siste!$ticos .eneralmente cumplen una ley matem%tica o física y se llaman sistem%ticos por que en las mismas condiciones siempre se comenten el mismo error, en igual cantidad y signos /e puede compensar en su totalidad y nos permite encontrar el error mas probable, generalmente proviene de la fuente de error instrumental + Errores Fortuitos /on aquellos que se presentan debido a causas a#enas a la pericia del observador, al que no puede aplicarse corrección alguna, estos errores obedecen a
Topografía I
las leyes de la probabilidad por lo tanto se recomienda tomar varias lecturas de una misma medición, pues generalmente suelen ser diferentes PRO%LE#AS DESARROLADOS Pro&e!a n' (1 /e midió la longitud de un sardinel cinco
veces, obteni1ndose los siguientes resultados 2343m V ?@mero Aedida B ; 2343 00;0 0000; 2 2335 +00;0 0000; 2326 +0024 00007 5 2333 0000 00000 3 2372 00;7 0000 − 2 =23,33 Vi ∑ =000;2 X 2
2335m 2326m 2333m, 2372m Calcular el error probable de una observación con el 63 de probabilidad de que sea cierto
/olución σ
=±
∑ n
Vi
2
−1
=±
0.0012
= ± 0.0173
4
!l error probable de una observación con el 63 de probabilidad de que sea cierto es !63 9 : ;6366 < 9 ;6366 =: 00;7>
Topografía I
!63 9 : 006m "or lo tanto la distancia correcta es 2333 ± 0.0173 m Pro&e!a n' (" /e presentan una serie de lecturas de
estadal =mira> que se tomaron con un nivel en condiciones id1nticas esponder si el valor 2240 esta dentro del intervalo correspondiente al 30 de probabilidad si
= 2.250m l2 = 2.253m l3 = 2.258m l4 = 2.257m
= 2.259m l6 = 2.251m l7 = 2.250m l 8 = 2.260m
l1
l5
/olución ?@mero ; 2 5 3 4 7 8
* 2230 223 2238 2237 2236 223; 2230 2240 L 92233
2
Vi
Vi
+0003 +0002 000 0002 0005 +0005 +0003 0003
0000023 0000005 0000006 0000005 00000;4 00000;4 0000023 0000023 = 0000;25
∑
Vi
2
Topografía I σ
=±
∑ n
Vi
2
−1
=±
12.4 x10−5
= ± 0.0042
7
V max= 3σ = 3 ± 0.0042
*a varian$a de ninguna medición sobrepasa el m%'imo, por lo cual no hay motivo de depuración de valores E 50
= 0.6745σ = ±0.003
!l verdadero valor con el 30 de probabilidad esta dentro del siguiente intervalo L = L ± E 50 L
= 2.255 ± 0.003 = [2.252; 2.258]
!l valor 2240 no est% dentro del intervalo correspondiente al 30 de probabilidad Pro&e!a n' () /e ha reali$ado la medición de un
aeropuerto, utili$ando diferentes equipos, obteni1ndose los siguientes resultados de campo X 1 X 2 X 3
± E = 5000.10 ± 0.01 ± E = 5000.20 ± 0.02 ± E = 5000.30 ± 0.03 1
2
3
Calcular el valor m%s probable de la línea medida
/olución "or teoría sabemos
Topografía I
= P2 E22 = P3 E 32 2 2 2 (0.03) P1 (0.01) = P2 (0.02) = P 3 2
P1 E1
/i hacemos
P1= 1 P2= 1/4 P3= 1/9
!l valor m%s probable es la media ponderada X
=
P X1 1
+
P 1
+P + P
P2 X 2
+
P2
(1)(5000.10) X =
3
X 3
3
+
(
1 4
)(5000.20) + ( 1+
X
= 5000.134694m
1 4
=
+
1 9
)(5000.30)
1 9
5000.135m
Pro&e!a n' (* /e ha medido una distancia inclinada entre
dos puntos dando una longitud de 500m, habi1ndose usado una cinta de 23m con un error por cinta de ±0.01m y el %ngulo vertical con respecto al hori$onte igual a 7o Dallar el verdadero valor de al distancia 15' ± 03.' hori$ontal
/olución Enali$ando la longitud de media Ltotal =
8(25)
=
400 m
Topografía I
!rror probable9
+ (0.01) 2 + L + (0.01) 2 8 veces
(0.01) 2
!rror probable9 8(0.01)2 = 0.028m L : 400m
± 0.028m
Enali$ando el triangulo rect%ngulo generado L
: 400 m
±
0.028
E L θ
= 7 15' ± 3' o
E θ
F9* cos θ F9500cos 7o15 ⇒ D = 396.802 m Calculando el error probable '
E
E
E
=
∂ D E × ∂ L
2
L
+
2
∂D E × ∂θ
θ
2
= [ cos θ × E ] + [ −senθ × L × E ] θ
L
=
o
cos 7 15' × 0.028
2
2
π + −sen7o15' × 400 × 0o3' × o÷ 180
E = ±0.052m
!l verdadero valor correspondiente a la distancia hori$ontal D
= 396.802m ± 0.052 m
2
Topografía I
Pro&e!a n' (+: Feterminar el verdadero valor de la
superficie del sector circular medido, sabiendo que el radio es de ;2080 ± 003el %ngulo observado es 11 15' ± 05' /ugerencia ; minuto 90000rad /olución o
= 120.80m ± 0.05m ' ' θ = 11 15 ± 05 E9G r
o
A
A
A
= =
=
1
θ r
br
2 1 (θ r )r 2 1 2 θr
2
=
π
2
θ r
b
360
Calculando el valor m%s probable de la superficie A =
π
360
(11 15' )(120.80) 2 o
A = 1432.62m
2
Calculando el error probable
Topografía I
∂ A × E E = ∂θ θ
2
r
∂ 2 π E = ∂θ θ r × 360÷
2
E θ
2
θ
∂ π 2 ÷ E + ∂r θ r × 360
2
r
2
π × ÷ 360
E = 120.80 × ( 5 × 0.0003) + 2
E
2
r
E = r × E + [ θ × 2 r × E ] 2
2
± ∂A ×E ∂r
π 11 15 × 2 × 120.80 × 0.05 × ÷ 360 o
'
2
= 1.20m 2
!l verdadero valor estar% comprendido en el siguiente rango A =
1432.63m 2
± 1.20 m
2
Pro&e!a n' (,: !l desnivel entre dos
puntos E y H siguiendo cuatro rutas diferentes a dado los siguientes resultados 2846, 28457, 28428, 28446m, considere 0020m, como m%'ima tolerancia aceptable entre lecturas e'tremas a Calcular la diferencia m%s probable entre los puntos E y H b !rror relativo /olución 2 − Vi ∑ = 000060 X =28454
Topografía I Nume ro 1 2 3 4
d
V
28.63 - 0.007 9 0.001 28.64 -0.018 7 0.023 28.62 8 28.66 9 Error más probable: E. m. p =
±
0.000049 0.000001 0.000324 0.000529
å V 2 ( n - 1)
0.000903 = 4 ( 3) E .m.p = ±0.00867
E.m.p = ±
Bmp 9 28454
± 000847
2
s 'q : n = 4
Error absoluto: S V 2 0.000903 E =± =± ( n - 1) 3 E = ±0.017349351
Error relativo : 0.0173499351 E =± = ±0.000605666. 28.646
Topografía I = ±6.0566 X 10- 4
Pro&e!a n' - /ea medido la distancia entre los puntos
"; "2, con tres observaciones diferentes precisiones, habi1ndose obtenido los siguientes resultados
Calcular el valor m%s probable de la longitud "; + "2 con una probabilidad del 60 y el error relativo e interpretarla Respuesta:
"or cada 455332; unidades que se mide se comete un error de unidad Pro&e!a n' : !l desnivel entre el punto E y H
siguiendo tres rutas diferentes ha dado los siguientes resultados 77.525 ± 0.022 77.576 ± 0.031 77.534 ± 0.040
a> Calcular la diferencia de nivel m%s probable entre E y H, con 63 de probabilidad de que sea cierto
Topografía I
b> Calcular el error relativo e interpretarla Pro&e!a n' /: /iguiendo itinerario de nivelación, se ha
determinado, en ;8 tramos, el desnivel entre 2 puntos, que ha resultado ser 342m /e supone que el error probable del desnivel en cada tra$o es ;mm Calc@lese el error probable del desnivel total Res0uesta:
!s9:00525m.
Pro&e!a n' 1(: !n una serie de lecturas de mira
efectuadas en id1nticas condiciones, se ha obtenido los valores siguientes 2;87 2;82 2;76 2;8; 2;85 2;74 2;84 2;8 2;78 2;8; 2;88, y 2;76 Feterminar su valor m%s probable, su error posible JCual es el error posible de una sola mediciónG Pro&e!a n ' 11: /e mide una alineación en tres tramos,
con errores probables de ±0.014 ±0.022 ±0.016 m, respectivamente JCu%l es el error probable de la longitud totalG espuesta: !T 9:00036m. Pro&e!a n' 1" *os lados de un terreno rectangular miden
730m y 73m "ero se miden con una cinta de 23m Kue
Topografía I
tiene en su longitud un error de del %rea espuesta
± 0.015m
Dallar el error
Corrí#ase los siguientes %ngulos observados donde un mismo punto o Pro&e!a
E?.L*-/ E-H H-C C-F E-F
n'
1):
BE*- -H/!BEF' '' 950 4522 0
'
''
83 54 48
1010 34'36'' 0 ' '' 2811405
?MA!- F! -H/ 4 ; 3
Pro&e!a n' 1*: !l desnivel entre dos puntos E y H,
siguiendo cuatro rutas diferentes ha dado los siguientes resultados 2846, 28457, 28428, 28446m considere 0020m como m%'ima tolerancia aceptable en lecturas e'tremas a> Calcular la diferencia de nivel mas probable entre los puntos E y H b> !l error relativo Pro&e!a n' 1+: !n una serie de lecturas de mira,
efectuadas en id1nticas condiciones, se han obtenido, los valores siguientes D%llese el valor mas probable Fetermínese su valor relativo Cual es el error medio cuadr%tico de una observación *ecturas de Airas =metros> E H C F 207 2035 2083 204
Topografía I
2046 208;
2070 2076
208; 208
2048 207;
Pro&e!a n' 1,: ?o pudiendo medir la distancia hori$ontal
entre los puntos A y ? /e determino en forma indirecta midiendo el %ngulo vertical en el teodolito y la diferencia de nivel h, entre A y ? por nivelación geom1trica en tres operaciones de campo, registr%ndose los datos siguientes N h ;O Aedición 2O5P ;32m 2O Aedición 2O55P ;322m O Aedición 2O52P ;325m a> Calcular los valores mas probables de = N y h> y sus errores relativos b> Calcular la longitud hori$ontal F mas probable y sus errores relativos considere ;P9 0000 radianes Pro&e!a n' 1-*a longitud de una recta medida con una
cinta de 20m resulto de ;;254m /e encontró que al comparar la cinta con un patrón, esta era 007m mas larga J Cual es la magnitud real de la rectaG Pro&e!a n' 1: *a verdadera distancia entre dos puntos
es de 22008m El medirla con una cinta de 30m se encontramos una distancia de 22083 /e pregunta QCu%nto mas larga o mas corta esta la cintaG Pro&e!a n' 1/: Ln %ngulo fue medido por tres grupos
diferentes en las mismas condiciones de precisión, obteni1ndose los siguientes resultados
Topografía I
+
.rupo a 72O5P;6) "romedio mediciones + .rupo b 72O5P2;) "romedio mediciones + .rupo c 72O5P;3) "romedio mediciones Feterminar el valor m%s probable
de
de
5
de
3
Pro&e!a n' "(: /ea medido 7 veces la longitud EH,
obteni1ndose los siguientes resultados 7;4254m 7;323;m 7;3246m 7;326;m 7;3276m 7;327m 7;3252m Feterminar el valor mas probable de la longitud EH y el !rror relativo Pro&e!a n'"1: /e ha medido la longitud entre dos tramos
EH y HC, los datos obtenidos de campo son las siguientes EH ;;557 ;;53 ;;532 ;;530
EH EH ;;558 ;;55 ;;553 ;;53
HC 2;800 2;7663 2;8007 2;800;
HC 2;8005 2;766 2;7665
Feterminar, *a distancia mas probable y !l error relativo Pro&e!a n' "": /e ha hecho una nivelación entre los
puntos E y H por cuatro caminos diferentes y los datos obtenidos son Camino *ongitud =m> Cota E =m> Cota H =m> ; 300000 ;00000 22457 2 ;300000 ;00000 22457
Topografía I
230000 ;00000 2245;0 5 2300000 ;00000 22468 Feterminar + el valor mas probable de la cota H + el error relativo Pro&e!a n' "): /e ha medido la distancia entre los puntos
"; y "2 con tres observaciones de diferente precisión, habi1ndose obtenido los siguientes resultados Aedida ; 2 5
;O -bserv 7;3325 7;3320 7;33;6 7;3322
2O -bserv 7;330 7;3324 7;3324
O -bserv 7;33;6 7;3;26 7;3323 7;3322
Calcular el valor m%s probable de la longitud ";+"2 y el error relativo
