En las siguientes diapositivas se presenta una teoría básica y ejercicios de aplicación sobre conjuntos para ayudar a los alumnos a lograr una mayor comprensión del tema.
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PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CONJUNTOS
1.
Una farmac farmacia ia rebajó rebajó el precio precio de una loció loción n y el de una crema. crema. La contab contabili ilidad dad al final final de un día indicó indicó que 66 personas habían comprado crema; 21 compraron loción y 21 ambos productos. a. ¿Cuánt ¿Cuántas as pers persona onass aprov aprovech echaro aron n la oferta oferta?? b. ¿Cuánt ¿Cuántas as comp comprar raron on solam solament entee la loci loción? ón? c. ¿Cuánt ¿Cuántas as compra compraron ron solame solamente nte la crema? crema? Solución Consideremos los siguientes conjuntos: C = {x/x compró crema} L = {x/x compró loción} De acuerdo al problema tenemos que: η (C ∩ L) = 21 Este será nuestro elemento clave para resolver el problema, para ello la herramienta más práctica para solucionar el ejercicio es mediante el uso de los diagramas de Venn-Euler. Venn-Euler.
Cabe anotar que dentro del total de personas que adquirieron las cremas (66) se están contabilizando las que compraron cremas cremas y lociones lociones (12), (12), de esta esta manera manera se tiene tiene que, que, para para saber saber cuánta cuántass person personas as compra compraron ron SOLAMENTE cremas SOLAMENTE cremas realizamos el siguiente cálculo: η (Solamente Crema) = η (C) - η (C ∩ L) η (Solamente Crema) = 66 - 12 = 54 De la misma manera, para conocer la cantidad de personas que adquirieron SOLAMENTE lociones: η (Solamente Lociones) = η (L) - η (C ∩ L) η (Solamente Crema) = 21 - 12 = 9 De esta forma, ¿cuántas personas aprovecharon la oferta? η (C ∪ L)= η (C) + η (L) - η (C ∩ L). η (C ∪ L)= 66 + 21 - 12 η (C ∪ L)= 75 Gráficamente se observa la solución del ejercicio planteado:
2.
Una encuesta encuesta realizada realizada a un grupo grupo de empleados empleados reveló reveló que que 277 tenían tenían casa propia; propia; 233 poseían poseían automóvi automóvil; l; 405 televisor; 165 automóvil y televisor; 120 automóvil y casa; 190, casa y televisor y 105 tenían casa, automóvil y televisor. a. ¿Cuánt ¿Cuántas as person personas as fueron fueron encues encuestad tadas as?? b. ¿Cuánt ¿Cuántas as person personas as tienen tienen solam solament entee casa casa propia? propia? c. ¿Cuánt ¿Cuántas as person personas as tienen tienen solam solament entee casa casa y televiso televisor? r?
Solución Consideremos los siguientes conjuntos: C = {x/x tiene casa propia} T = {x/x tiene televisor} A = {x/x tiene automóvil}
De acuerdo al problema tenemos que η (C ∩ T ∩ A) = 105 Es decir, el número de empleados que poseen los tres servicios corresponde a la intersección de los tres conjuntos. A partir de este cardinal, se encuentran los otros cardinales que corresponden a las diferentes intersecciones entre los diferentes pares de conjuntos que puedan conformarse, tal como se observa a continuación: η (C ∩ T) = 190 - η (C ∩ T ∩ A) = 190 – 105 = 85 η (C ∩ A) = 120 - η (C ∩ T ∩ A) = 120 – 105 = 15 η (A ∩ T) = 165 - η (C ∩ T ∩ A) = 165 – 105 = 60 De esta manera, se puede representar gráficamente mediante los diagramas de Venn-Euler, Venn-Euler, así:
Observe Observe que la suma de los números que se encuentran encuentran en la región sombreada sombreada de corresponde corresponde al cardinal cardinal del conjunto; por ejemplo, η (C) = 277 η (C) = x + η (C ∩ A ∩ T) + η (C ∩ A) + η (C ∩ T) 277 27 7 = x + 15 +105 + 85, de donde x = 72
Siguiendo el anterior raciocinio se llega a:
a.
Para saber saber cuántas cuántas personas personas fueron fueron encuestad encuestadas, as, calculam calculamos os el cardinal cardinal de la unión unión de los tres conjunto conjuntos: s: (C)+η (A)+η (A)+η (T)-η (T)-η (C ∩ A)-η A)-η (C ∩ T)-η T)-η (A ∩ T)+η T)+η (C ∩ A ∩ T) η (C ∪ A ∪ T) = η (C)+η η (C ∪ A ∪ T) = 277 + 233 + 405 – 120 – 190 – 165 + 105 η (C ∪ A ∪ T) = 545
b.
La región sombrea sombreada da representa representa el número número de personas personas que tienen tienen solamen solamente te tienen tienen casa propia, propia, es decir, decir, 72
c.
La región región sombread sombreadaa en la siguiente siguiente figura figura correspo corresponde nde al número número de persona personass que solamente tienen casa y televisor (190 televisor (190 = 105 + 85) que se obtiene de: η η η η
(C ∪ T) = η (C) + η (T) - η (C ∩ T) (C ∩ T) = η (C) + η (T) - η (C ∪ T) (C ∪ T) = 277 + 405 – 492 (C ∪ T) = 190