PROBABILIDAD_DISTR_PROB

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD P. Reyes / Sept. 2007

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Elaboró: Héctor Hernández Primitivo Reyes Aguilar Septiembre de 2007 Mail: [email protected] Tel. 58 83 41 67 / Cel. 044 55 52 17 49 12

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CONTENIDO

1. Introducción

2. Técnicas de conteo 3. Teorema de Bayes 4. Distribuciones de probabilidad 5. Distribuciones de probabilidad discretas 6. Distribuciones de probabilidad continuas

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PROBABILIDAD

Y

DISTRIBUCIONES

DE

PROBABILIDAD 1. INTRODUCCIÓN La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cuaqlquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles. En algunos casos se utiliza de manera informal como por ejemplo: hay un 50% de probabilidad de que llueva. DEFINICIONES Probabilidad: es la posibilidad numérica de ocurra un evento.

•

Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, más se acercará a uno. • Experimento: es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento. •

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Para un dado es SS = (1,2,3,4,5,6)

•

Evento: es cualquier colección de resultados contenidos en el

espacio muestral. Es simple si sólo tiene un resultado y compuesto si tiene varios resultados. Definición Clásica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa

La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relación de el número de respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento. P( E )

=

# Favorable # Total

E

resultados

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Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es: 1 6

= .16

Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es: 1 2

= .5

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es: 1 6

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

+ + + + + =1



La probabilidad de un evento está comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1



Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los “n” elementos relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad Compuesta

Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre sí. En la composición existen dos posibilidades: Unión



o Intersección

. 

Unión de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unión de A y B (A

B )



contiene todos los elementos de el evento A o B o ambos.

Intersección de A y B

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Si A y B son eventos en un espacio muestralS, la intersección de A y B ( A  B ) está compuesta por todos los elementos que se encuentran en

A y B. Relaciones entre eventos Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes. 1.

Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es: A = 1 − P ( A)

Ejemplo 4: En el evento A (día nublado), P(A) = .3, la probabilidad de

tener un día despejado será 1-P(A) = .7 P( A

=

.7 ) P(A)=.3

2.

Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

P( A B )

=

P( A  B ) P( B )

Ejemplo 5:

, si B ≠ 0

Si el evento A (lluvia) y B(nublado) = 0.2 y el evento

B (nublado) = 0.3, cual es la prob abilidad de que llueva en un día nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes Página 6 de 48


P( A B )

=

P( A  B ) P( B )

=

0.2 0 .3

= 0.67

A P(A/B)=.67

B

Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a

continuación:

Engarantía Fuera de garantía Total

Falla eléctrica 18% 12%

RAZÓN DE LA QUEJA Falla mecánica 13% 22%

Falla apariencia 32% 3%

30%

35%

35%

Total 63% 37% 100%

Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurrió en el periodo de garantía. Se puede calcular P(Z | B) = P(A y B) / P(B) P(A | B) = 0.32 / 0.63 = 0.51 Si C es el evento fuera de garantía y D falla mecánica: P(C|D) = P(C y D) / P(D) = 0.22 / 0.35 = 0.628 

Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).

La probabilidad de la ocurrencia de uno no está afectada por la ocurrencia del otro. De otra manera los eventos sondependientes.

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Un ejemplo de evento independiente es: ¿Cuál es la probabilidad de que llueva en lunes? El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5. 3. Eventos mutuamente excluyentes. Cuando un evento A no contiene elementos en común con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes. A

B

Eventos u mtuamente excluyent es.

Ejemplo 7. Al lanzar un dado: a) cual es la probabilidad de que salga 2

o 3? B) Calcule P( A  B ) ?

P( A

a)

B)



=

1 6

1

1

6

3

+ = = .33

b) P( A  B ) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la intersección no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Ley aditiva: 

Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes: P ( A )B = ( ) (P )A(



+ P B) − P

A B

Cuando los eventos son mutuamente excluyentes: Página 8 de 48

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD P. Reyes / Sept. 2007 P( A B ) =( ) P (A)

+P

B

Ley multiplicativa: 

Si los eventos A y B son dependientes: P ( A )B = ( ) P( A ) × P B A



Si los eventos A y B son independientes: P( A  B ) =( ) P (A) × P B

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de

100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artículos están en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artículo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artículo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artículos estén en buen estado. A: El primer artículo está en buen estado. B: El segundo artículo está en buen estado. a) Al ser eventos independientes el primero del segundo: A P( A  B ) =( ) P (A)

×P

B

 98  ×  98  = .9604     100   100 

=

P(A) =.98

B P(B) =.98

b) Si la muestra se toma “sin reemplazo” de modo que el primer artículo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

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P ( A )B = ( ) P( A ) × P B A

 98  ×  97  = .9602     100   99 

=

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene que haber cumplido antes el evento A.

B

P(B/A)=.97

A

P(A) =.98

EJERCICIOS:

1. Tres componentes forman un sistema. Como los componentes del subsistema 2-3 están conectados en paralelo, trabaja si por lo menos uno de ellos funciona. Para que trabaje el sistema debe trabajar el componente 1 y el subsistema 2-3. a) ¿Qué resultados contiene un evento A donde funcionan exactamente dos de los tres componentes?

b) ¿Qué resultados están contenidos en el evento B en el que por lo menos funcionan dos los componentes? c) ¿Qué resultados están contenidos en el evento C donde funciona el sistema?

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d) Listar los resultados de C’, A o C, A y C, B o C y B y C. 2

1 3

2. En una planta los trabajadores trabajan 3 turnos. En los últimos años ocurrieron 200 accidentes. Algunos se relacionan con condiciones inseguras y otros a condiciones de trabajo, como se muestra a continuación:

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Turno

Diurno Vespertino Nocturno

Condiciones

Condiciones de

inseguras 10% 8% 5%

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trabajo 35% 20% 22%

Total

45% 28% 27%


Total

23%

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77%

100%


Si se elige al azar uno de los 200 informes de accidentes de un archivo y se determina el turno y tipo de accidente: a) ¿Cuáles son los eventos simples? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente seleccionado se atribuya a condiciones inseguras? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ocurrido en el turno diurno? 3. La ruta que usa un automovilista tiene dos semáforos. La probabilidad de que pare en el primero es de 0.4, la probabilidad de que pare en el segundo es de 0.5 y la probabilidad de que pare por lo menos en uno es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se detenga a) En ambos semáforos? b) En el primero pero no en el segundo? c) Exactamente en un semáforo? 4. Una empresa construye tres plantas eléctricas en tres lugares diferentes. Se Ai el evento en el que se termina la planta i en la fecha del contrato. Utilizar las notaciones de unión, intersección y complemento para describir cada uno de los siguientes eventos, en términos de A1, A2 y A3, mostrar en diagramas de Venn. a) Por lo menos una planta se termina en la fecha del contrato. b) Todas las plantas se terminan en la fecha del contrato

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c) Sólo se termina la planta del sitio 1 en la fecha del contrato d) Exactamente se termina una planta en la fecha del contrato e) Se termina ya sea la planta del lugar 1 o las otras dos en la fecha del contrato.

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2. TÉCNICAS DE CONTEO Supóngase que una persona tiene dos modos de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene tres maneras de llegar a otra ciudad C. ¿De cuántos modos podrá realizar el viaje de A a C pasando por B? a pie

CIUDAD A

en avión

CIUDAD B en bicicleta

en carro

CIUDAD C

en trasatlántico

Evidentemente, si empezó a pie podrá tomar avión, carro o trasatlántico; y si empezó en bicicleta, también podrá tomar avión, carro o trasatlántico. Utilizando literales (las iniciales) el viajero tuvo las siguientes oportunidades: pa, pc, pt; ba, bc, bt. Que son 6; cada primera oportunidad contó con tres posibilidades. Se tiene: 2 oportunidades X 3 posibilidades = 6 posibilidades. PRINCIPIO DE CONTEO: Si un evento puede hacerse de a1 maneras

diferentes, y cuando se ha hecho, puede hacerse un segundo evento (independiente del primero) de a2 modos diferentes y luego un tercer evento de a 3 maneras también diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras diferentes en que los eventos se pueden realizar , en el orden indicado es de:

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PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD P. Reyes / Sept. 2007 1 × a 2 × a3

a

....a

n

Ejemplo 9: ¿De cuantos modos podrá vestirse un joven que tiene 3

camisas diferentes, 4 pantalones y dos pares de calzado? Solución: Primer evento (camisas) a1 = 3 Segundo evento ( pantalones) a2 = 4 Tercer evento (zapatos) a3 = 2 a

1

× a2 × a3 =

3 × 4 × 2 = 24 modos diferentes.

PERMUTACIONES: Una permutación es un arreglo ordenado de una

parte de los elementos, o de todos los elementos de un conjunto. Ejemplo 10: Dado el conjunto de las letras { o, p, i} , escribir todas las

permutaciones empleando las tres letras cada vez. Solución: opi, oip, ipo, iop, pio, poi : son seis permutaciones posibles. Ejemplo 11: ¿Y tomando dos letras solamente cada vez?

Solución: op, oi, io, ip, pi, po: son seis permutaciones. En la mayoría de los casos resulta muy complicado hacer las permutaciones manualmente por lo cual utilizamos la siguiente fórmula:



Prn

=

n !

(n − r) !

donde: n = número total de elementos del conjunto P = Permutaciones r = número de elementos que se toman a la vez. ! = factorial. Página 17 de 48


Nota: 0! = 1 Ejemplo 12: ¿Se toman 3 números de lotería de un total de 50, de

cuantas formas se pueden tomar los números?

P350

50 !

=

( 50 − 3) !

=

50 ! 47 !

= (50 × 49 × 48) = 117,600

COMBINACIONES: Es el número de subconjuntos de r elementos que

se puede formar de un conjunto de n elementos, sin importar el orden de los elementos. Para determinar el número de combinaciones posibles utilizamos: Crn

=

n!

(n − r) ! r !

Ejemplo 13: Un entrenador de basket ball tiene 9 jugadores

igualmente hábiles, ¿cuántas quintetas podrá formar?

C59

=

9! 4 !× 5 !

= 126

Ejemplo 14: Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la

probabilidad de extraer (a) 4 ases, (b) 4 ases y un rey (c) 3 dieces y dos jotas,

a) P(4 ases) =

( 4 C)(4 48)C1 ( 52 C5 )

=

1 54145

)1 = b) P (4 ases y 1 rey) = ( 4 C)(4 4 C 52

C5

1 649740

( C)( C) c) P (3 dieces y 2 jotas) = 4 3 4 2 = 52

C5

1 108290

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3. TEOREMA DE BAYES Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la información que tenemos de otros eventos.

Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe mediante el “teorema de probabilidad total” el cual es:

) ×( P )Z A ]+[ P ( B) ×( P )Z B ] P(Z ) = [ P( A Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

P( A Z )

=

) ×( P )Z A P( A ) ×( P )Z A ] +[ P( B) ×( P )Z B ] [ P( A

Ejemplo 8: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las

mujeres miden más de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se observa que mide más de 1.80m ¿Cual es la probabilidad de que sea mujer?

Z > 1.80 m A = Hombre B = Mujer P (A) = .60 P (B) = .40 P (Z/A) = .20 P (Z/B) = .01

HOMBRE

< 1.80 > 1.80

MUJER

.80

.99

.20

.01

=Z

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Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80, Utilizando el teorema de Bayes:

P( B Z )

=

P( B )

( P )Z B [ P( A) ×( P )Z A ] +[ P( B) ×( P )Z B ] ×

P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032. Z > .80 Podemos visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:

Hombre

P(A/Z)

Mujer

P(B/Z) = .032

Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado que mide más de 1.80 es .032 = 3.2 % EJERCICIOS:

1. Una planta emplea 20 trabajadores en el turno diurno, 15 en el segundo y 10 en la noche. Se seleccionan 6 para hacerles entrevistas exhaustivas. Suponer que cada uno tiene la misma probabilidad de ser seleccionado de una urna de nombres. a) ¿Cuántas selecciones dan como resultado seis trabajadores del turno diurno?

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores sean seleccionados del mismo turno? c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estén representados en la selección? d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos no esté representado en la muestra de trabajadores?

2. Una caldera tiene 5 válvulas de alivio idénticas. La probabilidad de que que en algún momento se abra una de ellas es de 0.95. Si su operación es independiente, calcular la probabilidad de que por lo menos se abra una de ellas. Y la probabilidad de que por lo menos no se abra una de ellas. 3. Dos bombas conectadas en paralelo fallan en determinado día, sin que haya dependencia mutua. La probabilidad de que solo falle la bomba más vieja es de 0.10 y de que falle la bomba más nueva es de 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen ambas bombas al mismo tiempo? 4. Un sistema de componentes conectados como se muestra en la figura. Los componentes 1 y 2 en paralelo hacen que el subsistema funcione con uno uno solo, el sistema funciona solo si tambiñen trabajan los componentes 3 y 4. Si los componentes son independientes y la probabilidad de que cada componente funcione es de 0.9, calcular la probabilidad de que funcione el sistema.

1

1

Página 21 de 48 3

4


4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Variable aleatoria: Para un determinado espacio muestral SS una

variable aleatoria (VA) es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en SS.

Variable aleatoria de Bernoulli: Es cualquier variable aleatoria con valores 0 y 1. Variable aleatoria discreta: Es una variable aleatoria cuyos posibles

valores son enteros. Variable aleatoria continua: Es una variable aleatoria cuyos valores

posibles son los reales. Distribución

de

probabilidad

o

función

de

masa

de

probabilidad: Establece en una tabla, fórmula o gráfica como se

distribuye la probabilidad P(y) asociada a los posibles valores de la variable aleatoria y. Debe cumplir con las reglas siguientes: 1. 0 <= P(y) <= 1 2. Suma (P(y)) = 1 y

P ( Y = y)

0

1 /4

1

1 /2

2

1 /4

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Su fórmula es la siguiente: P ( y ) = P (Y

3  = y ) =  (.5) 3− y (.5) y  y Función de distribución acumulativa para Y=#de caras

Valor esperado:

Función de distribución acumulativa: 0.9

FX ( x) = P( X

≤ x)

F ( x )

0.7

0.5

Con propiedades: 0.3

-0.2

0 ≤ F ( x) ≤ 1

0

0.3

0.8

1y

1.3

1.8

2

Lim x →∞ F ( x ) = 1 Lim x →−∞ F ( x ) = 0

Valor esperado de una distribución de probabilidad discreta

La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X , denotada como E(X), es

µX

= E ( X ) = ∑ xf X ( x) =∑ xP( X = x) x

x

La media es el centro de la masa del rango de los valores de X. Varianza de una distribución de probabilidad discreta

Sea Y una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades P(X=x). Entonces , la varianza de Y es: σX

2

= E[( X − µ X ) 2 ] = ∑ ( x − µ X ) 2 P ( X = x) x

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5. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN UNIFORME

La variable aleatoria toma un numero finito den valores, cada uno con igual probabilidad. f ( x) = P ( X

= x) = 1

n

Con n = 10 se tiene: Su media y varianza son las siguientes:

µX σ X2

= (n 2+ 1) =

0.15

0.13

n2 −1 12

0.11 b o r p

0.09

0.07

0.05 0

2

4

6

8

1e+001

x

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se aplica cuando la muestra (n) es una proporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N). El muestreo se hace sin reemplazo

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P(x,N,n,D) es la probabilidad de exactamente x éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:

P ( x)=

C xD CnN−−xD CnN

C xn

Con

=

n! x!( n − x )!

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

µ

=

nD

σ

N

2

=  

nD N

1 − D  N − n      N  N − 1 

Ejemplo: De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al azar para

prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote. N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5 P(x=5) = 0.0183 = 1.83%

 5!  15!      5!0!  5!10!  = 0.0183 P (5) = 20!

10!10!

USO DE EXCEL: N = Tamaño de Población, n = Tamaño de muestra, D= éxitos en la

población; x = éxitos en la muestra. 

En Fx Estadísticas seleccionar



=distr.hipergeom(x, n, D, N)

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USO DE MINITAB: 

Calc > Probability distributions > Hypergeometric



Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)



N, D, n y en Input constant introducir x.

EJERCICIO:

1. Se compran 10 transformadores y se toma una muestra de 4. Si se encuentra uno o más defectuosos se rechaza el lote de 10. a) Si el lote tiene un defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte el lote? b) Cuál es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos.

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DISTRIBUCIÓN BINOMAL Ensayo Bernoulli.Es un experimento aleatorio que solo tiene dos

resultados. Éxito o fracaso. Donde la probabilidad de éxito se denota porp Suponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de interés es el numero de éxitos. X toma valores 0,1,2,...,n La distribución binomial se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeñas (n<0.1N). El muestreo binomial es con reemplazamiento. Es apropiada cuando la proporción defectiva es mayor o igual a 0.1. La binomial es una aproximación de la hipergeométrica La distribución normal se paroxima a la binomial cuando np > 5 La variable aleatoria x tiene una distribución binomial como sigue:

f ( x) = P( X

 n = x) =   p x (1 − p) n− x  x

x = 0,1,..., n

Con media y varianza: E( X ) = µ X V (X ) = σ

=

2 X =

np np(1 − p )

Ejemplo: Un equipo requiere a lo más 10% de servicios en garantía.

Para comprobarlo se compran 20 de estos equipos y se someten a pruebas aceleradas de uso para simular el uso durante el periodo de garantía. Obtener la probabilidad para P(x<=4).

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Rechazar la afirmación de que falla menos del 10% si se encuentra que X>=5. P(X>=5) = 1- P(X<=4) =1 - distr.binom(4,20,0.1,1) = 1 – 0.9568 = 0.0432 lo cual es bajo. USO DE EXCEL:

x = éxitos en la muestra, p = probabilidad de éxito, n = tamaño de muestra.  

En Fx Estadísticas seleccionar =distr.binom(x, n, p, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB: 

Calc > Probability distributions > Binomial






n = number of trials, p = probability of success y en Input constant introducir x.

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EJERCICIOS: 1. Un panel solar tiene una vida útil de 5 años con una probabilidad de

0.95. Se toman 20 páneles solares y se registró la vida útil. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida útil de 5 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida útil? c) ¿Si solo 10 paneles tienen una vida útil de 5 años, que debería pensarse sobre el valor verdadero de P? 2. 20% de los teléfonos se reparan cuando todavía está vigente la garantía. De estos el 60% se reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos teléfonos, ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garantía?. 3. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja intermitente cuando no está visible otro automóvil. ¿Cuál es la probabilidad de que de 20 automovilistas seleccionados al azar se detengan: a) A lo sumo 6 se detengan por completo b) Exactamente 6 se detengan por completo? c) Al menos 6 se detengan por completo? d) Cuántos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo? 4. De todas las plantas sólo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20 plantas ¿Cuál es la probabilidad de que estén fuera de la ley:

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a) Menos que una planta? b) Menos de dos plantas c) Exactamente 3 d) Más de una

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Se basa en los mismos principios de la distribución binomial. 1. El experimento consiste de una secuencia de ensayos independientes. 2. Cada ensayo produce un éxito o un fracaso. 3. La probabilidad de éxito es constante de un ensayo a otro, P(éxito en el ensayo i) = p 4. El experimento continua hasta completar r ensayos. La variable de interés es X = número de fracasos que preceden al résimo éxito. X se llama variable aleatoria binomial negativa, ya que en contraste con la distribución binomial, el número de éxitos es fijo y el número de ensayos aleatorio. Su función de distribución es:

 x + r − 1 p r (1 − p ) x   r −1 

nb( x; r ; p )= 

con X = 0, 1, 2, …..

Ejemplo: Se quieren reclutar 5 personas para participar en un nuevo

programa. Si p = 0.2 la probabilidad de que las personas quieran participar. ¿Cuál es la probabilidad de que se les deba preguntar a 15 personas antes de encontrar a 5 que estén de acuerdo en participar?. Es decir si S=(de acuerdo en participar), ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran X=10 fracasos antes del r=quinto éxito?. r = 5, p = 0.2 y x = 10, se tiene:

14  5 10 0.2 0.8 = 0.034 4 

nb(10;5;0.2) = 

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La probabilidad de que a lo sumo ocurran 10 fracasos (F) se les pregunte a lo sumo a 10 personas es: 10 10  x + 4  0.8 x = 0.164 ≤ 10) = ∑ nb( x,5,0.02) = 0.2 5 ∑ X =0  x =0 4 

P( X

Su media y varianza son las siguientes:

E ( x)= V ( x )=

r (1 − p ) p r (1 − p ) p2

USO DE EXCEL:

=NEGBINOMDIST(10,5,0.2) y SUMA (X=0 hasta 10) =NEGBINOMDIST(X,5,0.2)

Otra forma: Sea y el número de intentos hasta que el r-ésimo éxito es observado.

 y − 1  r y −r  p q  y − r

p ( y )= 

µ

=

σ2

r p

=

rq p2

P = probabilidad de éxito en un solo intento Q = 1-p Y = Número de intentos hasta que se obtienen los r éxitos P(15) = combinat(14, 10) 0.2^5*0.8^10 =0.0343941

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Ejemplo: Un fabricante utiliza fusibles en un sistema eléctrico comprados en lotes grandes. Se prueban secuecialmente hasta que se observa el primero con falla. Asumiendo que el lote contiene 10% de fusibles defectivos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros 5 probados? P= 0.1 q= 0.9 P(y) = p*(q^y-1) = (.1)*(0.9^y-1) Para y = 1 hasta 5: P(y<=5) = p(1) + p(2) +………+ p(5) = 0.41.. b) Encontrar la media, varianza y desviación estándar para y el número de fusibles probados hasta que el primer fusible con falla es observado. Media = 1/p = 1/0.1 = 10 Varianza = q/p^2 = 0.9/(0.1^2) = 90 Sigma = 9.49

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DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson se utiliza para modelar datos discretos como aproximación a la Binomial dada la dificultad que existía de encontrar tablas Binomiales adecuadas cuando n es grande y p pequeña. La distribución de probabilidad de Poisson proporciona buenas aproximaciones cuando np <= 5. Se aproxima a la binomial cuando p es igual o menor a 0.1, y el tamaño de muestra es grande (n > 16) por tanto np > 1.6. Una Variable aleatoria X tiene distribución Poisson si toma probabilidades con.

e λ λx x! −

f ( x) =

x = 0,1,...

Con media y varianza:

µ

=

σ

=

np

µ

=

np

Ejemplo 1. Suponga que una compañía de seguros asegura las vidas

de 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre muera en cierto año es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4 indeminizaciones y= 4 en un cierto año es:

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PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD P. Reyes / Sept. 2007 P( y

= 4) =

p ( 4) =

5000! 4!*4996!

(0.001) 4 (0.999) 4996

El valor de esta expresión no aparece en tablas y su cálculo era difícil, no así con Excel. Aproximando con la distribución de Poisson, se toma la tasa media de sucesos λ= np = (5000)*(0.001)= 5, teniendo:

P( y

= 4) =

λ4 e − µ 4!

=

5 4 e −5 4!

= 0.1745

Ejemplo 2. Una planta tiene 20 máquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto día es 0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un día determinado fallen dos máquinas. np = 20 *0.05 = 1.0 P( y

= 2) = 1 e = 0.184 2

−1

2!

Si se calcula con la distribución Binomial se tiene:

P( y

= 2) =

p (2) =

20! 2!*18!

(0.05) 2 (0.95)18

= 0.188

La aproximación es mejor conforme se aproxima a np = 5. La distribución de Poisson además de ser útil como aproximación de las probabilidades Binomiales, constituye un buen modelo para experimentos donde Y representa el número de veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. Por ejemplo: Número de llamadas recibidas en un conmutador durante un día, conociendo el promedio por día. Página 35 de 48


Número de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana, conociendo el prom. Sem. Número de llegadas a una estación de servicio durante un minuto dado, conociendo el prom./min. Número de ventas hechas por un agente de ventas en un día, conociendo el promedio por día. Sólo se requiere que los eventos sean independientes.

USO DE EXCEL:

x = éxitos en la muestra, np = media. 




=Poisson(x, np, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB: 

Calc > Probability distributions > Poisson






n*p = mean y en Input constant introducir x.

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EJERCICIOS:

1. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta: Usando la distribución binomial y la distribución de Poisson a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres? 2. Se tienen 8 recepcionistas, estan ocupadas en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes llaman ¿la prob. De que estén ocupadas es mayor al 50%? 3. Un proveedor de partes de bicicleta tiene 3% de defectos. Se compran 150 partes y si la probabilidad de que 3 o más partes sean defectuosas excede al 50%, no se hace la compra. ¿Qué sucede en este caso?. 4. En una universidad las llamadas entran cada 2 minutos a) ¿Cuál es la cantidad esperada de llamadas en una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos? d) ¿cuál es la prob. de recibir 10 llamadas en los sig. 15 minutos? 5. Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades producidas, ¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten X=3 defectos? 6. 40 trabajadores tienen nuevas computadoras, 26 con MMX. Si se seleccionan 10 al azar, ¿Cuál es la prob. De que 3 tengan la tecnología MMX?. 7. De un grupo de 20 productos, se toman 10 al azar,

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¿Cuál es la probabilidad de contengan las 5 mejores unidades? 8. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad de que: a) Los 5 estén calificados b) 4 esten calificados c) Por lo menos 3 estén calificados

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6. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Se diferencian de las distribuciones de probabilidad discretas en que su función de distribcuón acumulativa (F(yo)) para una variable aleatoria y es igual a la probabilidad F(yo) = P(y<=y0). Si F(y) es la función de distribución acumulada para una variable aleatoria continua entonces su función de densidad f(y) para y es: f(y) = dF(y) / dy Sus propiedades son que: 1. f(y) >= 0

2. Integral desde menos infinito a más infinito de f(y) d(y) = F(∞ ) = 1 f(y)

F(yo)

yo y Función de distribución acumulativa

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Entre las distribuciones continuas más comunes se encuentran la distribución normal y la distribución exponencial.

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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Se usa para modelar artículos con una tasa de falla constante y está relacionada con la distribución de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recíproco de x, 1/x sigue una distribución de Poisson y viceversa.

y=

La función de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0

f ( x )=

1

θ

e

−x θ

= λe − λx

Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media. La función de densidad de la distribución exponencial

El modelo exponencial, con un solo parámetro, es el más simple de todos los modelos de distribución del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:

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CDF : F (t ) = 1 − e

−

λt

CONFIABILIDAD : R(t ) = e PDF : f (t ) = λe MEDIA : m =

−

−

λt

Función de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0035

λt

λ = 0.003, MEDIA = 333

0.0030 0.0025

1 λ

) t ( f

λ = 0.002, MEDIA = 500

0.0020

λ = 0.001, MEDIA = 1,000

0.0015

MEDIANA : ln 2 ≅ 0.693 λ λ 1 VARIANZA : 2 λ TASA DE FALLA : h(t ) = λ

0.0010 0.0005 0.0000 0

500

1,000

1,500

2,000

Tiempo

Si el número de ocurrencias tiene Distribución de Poisson, el lapso entre ocurrencias tiene distribución exponencial. Su función de distribución acumulada es la siguiente:

P( X

<=

x) = 1 − e

−

λt

Cuando X = 0 la distribución de Poisson se convierte en el segundo término de la distribución exponencial. Probabilidad de que el tiempo entre la ocurrencia de dos eventos cualquiera sea <= t F(x)

t

Aquí se desea saber de que no transcurra más de cierto tiempo entre dos llegadas, sabiendo que se tiene una tasa de llegadasλ.

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Ejemplo: El tiempo de respuesta de un departamento es de 5 minutos

promedio y se distribuye exponencialmente. La probabilidad de que el tiempo de respuesta a lo sumo de 10 minutos se determina como sigue: P(X<=10) = F(10; 1/5) = 1- exp(-0.2*10) = 0.865 La probabilidad entre el tiempo de respuesta de 5 y 10 minutos es: P(5<=X<=10) = F(10;1/5) – F(5; 1/5) = 0.233

USO DE EXCEL:

Lamda = 1/ media. 




=distr.exp(x, lamda,1) = distr.exp(10,0.2,1) = 0.865

USO DE MINITAB: 

Calc > Probability distributions > Exponential






Indicar Threshold = 0y en Scale indicar la media 5



En Input constant indicar la X del tiempo.

Exponential with mean = 5 x

P( X <= x )

10

0.864665

La Distribución Exponencial es usada como el modelo, para la parte de vida útil de la curva de la bañera, i.e., la tasa de falla es constante. Los sistemas complejos con muchos componentes y múltiples modos de falla tendrán tiempos de falla que tiendan a la distribución exponencial Desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribución más conservadora para predicción. Página 43 de 48


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Las fallas ocurren en los sistemas con una distribución denominada Curva de la Bañera:

Fallas diseño Fallas infantiles

λ

= tasa.de. falla. = cons tan te

Senectud

Fallas aleatorias

Fallas por desgaste

La zona de tasa de fallas constantes, es modelada con La Distribución exponencial, muy aplicada a la Confiabilidad, que es la probabilidad de que un equipo o componente sobreviva sin falla hasta un periodo t bajo condiciones normales de operación:

R(t) = Confiabilidad de un sistema o componente

R(t ) = e

−

λt

Donde λ es la tasa media de falla y su inverso es el tiempo medio entre fallas (MTBF), o sea:

λ

=

1 MTBF

Ejemplo: El MTBF de un foco es de 10 semanas, por tantoλ= 0.1

fallas/semana y la probabilidad de que el foco no falle o continúe en operación hasta las 15 semanas es: R (15) = e −0.1*15

= 0.223

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y la probabilidad de que falle dentro de las 15 semanas es: P (15) = 1 − e −0.1*15

= 0.777

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EJERCICIOS:

1. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene una distribución exponencial con media = 10, calcular: a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas. b) La desviación estándar de esas llegadas c) P(X<=15) d) P(8<=X<=14) 2. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, ¿cuál es la probabilidad de que a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas? b) A lo sumo 30,000 horas? c) Entre 20,000 y 30,000 horas? 3. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la distribución exponencial: f(x) = 0.125 exp(-0.125*x) a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía?

b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de la garantía por reemplazo sobre la ganancia?

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4. El tiempo entre fallas de un componente de equipo es importante para proveer de equipos de respaldo. Un generador eléctrico tiene una vida promedio de 10 días. a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle dentro de los siguientes 14 días? b) ¿Cuál es la probabilidad de que opere por más de 20 días?

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PROBABILIDAD_DISTR_PROB

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