EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. Sean A, B, y C tres eventos asociados con un experimento. Exprese las siguientes declaraciones en notación de conjuntos. a. Al menos uno de los eventos ocurre b. Exactamente uno de los eventos ocurre c. Exactamente dos de los eventos ocurren d. No mas de dos de los eventos ocurren 2. Se seleccionan al azar y sin reemplazamiento, cuatro cartas de una baraja inglesa (52 cartas). Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: a. Las cuatro cartas son rojas; b. Por lo menos dos son negras; c. Solamente una es as; d. Una es diamante, otra es corazón, otra es pica y otra es trébol. 3. Un ebrio está buscando la llave de su casa en un bolsillo donde tiene tres llaves, una de las cuales es la correcta. El saca una llave, la prueba y si no es la correcta la devuelve al mismo bolsillo. El continúa su intento hasta que halla la llave correcta. a. Especifique, no exhaustivamente, el espacio muestral asociado con este proceso b. Especifique, no exhaustivamente, los subconjuntos del espacio muestral asociados con el evento "Requiere por lo menos cinco intentos para hallar la llave correcta" 4. Se ha encontrado que en la facturación de ciertas cuentas, errores de un tipo ocurren con probabilidad de 0,15 y errores de un segundo tipo ocurren independientemente con probabilidad de 0,07. Calcular la probabilidad de que: a. Una facturación no tenga ambas clases de errores b. Una facturación sea errónea c. Una facturación tenga solo una clase de error, dado que es errónea. 5. Un lote de mercancía está conformado por 20 artículos buenos, 8 con defectos menores y 12 con defectos mayores. Al seleccionar un artículo al azar de tal lote, calcule la probabilidad de que: a. No tenga defectos b. No tenga defectos mayores c. Sea bueno o no tenga defectos mayores. 5’. Si del lote de artículos del problema anterior se extraen al azar y sin reemplazamiento cuatro, encontrar la probabilidad de que : a. Todos sean buenos b. A lo mas uno tenga defectos c. Exactamente uno tenga defectos. 6. El 70% de los empleados de una compañía son de sexo masculino. El departamento de administración provee trabajo para el 45% de los hombres y para el 65% de las mujeres. Si se selecciona al azar una persona del departamento de administración, cual es la probabilidad: a. De que sea mujer b. De que sea hombre 7. Existe una fórmula general para detectar los cambios de precio de ciertos bienes. De los bienes que no han cambiado la fórmula detecta solamente el 90%. Para los bienes que han cambiado de precio la fórmula detecta el 95%.
De un grupo de bienes de los cuales el 80% cambiaron de precio, se escoge uno al azar y se le aplica la fórmula, reportando que es un bien de precio cambiante. ¿Cuál es la probabilidad de que el bien sea realmente de los que no cambiaron de precio? 8. Considere los siguientes eventos: A1= familia propietaria de auto A2= familia no propietaria de auto B1= Ingreso familiar mensual menor de $400.000 B2= Ingreso familiar mensual entre $400.000 y menos de $1000000 B3= Ingreso familiar mensual de $1000000 o mas Se sabe que: P(A1)=0,70; P(B2)=0,47; P(B3)=0,08; P(A1/B2)=0,85 y P(A1/B3) = 0,90 Calcular e interpretar: a. P(A1 o B2) ; b. P(A1 y B3) ; c. P(B3/A2) 9. Los fabricantes de champú "Pelolindo" están interesados en realizar una campaña publicitaria en las principales revistas femeninas del país. Para ello desarrollaron un estudio de mercado con base en una muestra de 500 mujeres, encontrando que de ellas: 265 leen Vanidades; 200 leen Mujer; 80 leen Buenhogar; 65 leen Vanidades y Mujer; 35 leen Vanidades y Buenhogar; 30 leen Buenhogar y Mujer y 20 leen las tres revistas. Al seleccionar al azar una de las 500 mujeres, cual es la probabilidad de que: a. Lea al menos una de las revistas b. Lea solamente una de las revistas c. Lea por lo menos dos de las revistas. 10. El 60% de las consultas del ISS son efectuadas directamente en la clínica San Pedro Claver. Si se seleccionan al azar 6 de los innumerables pacientes del ISS, calcule: a. Probabilidad de que ninguno haya consultado en la clínica b. Probabilidad de que por lo menos dos hayan consultado en la clínica 11. En cierta ciudad el 40% de las empresas fabriles y el 10% de las no-fabriles venden mas de 35 millones de pesos al mes. Se sabe además que el 78% de las empresas de tal ciudad son fabriles. Si se selecciona al azar una empresa de la ciudad y es de las que vende mas de 35 millones de pesos al mes, cual es la probabilidad de que sea no-fabril. 12. Los almacenes de una cadena comercial son clasificados en de PRIMERA y SEGUNDA según la localización en la ciudad y en MAYORISTAS y MINORISTAS según las ventas. De los cincuenta almacenes de la cadena en la ciudad, se conoce que 14 son mayoristas de primera; 20 son minoristas de segunda y 24 son almacenes de primera. Determine la probabilidad de que un almacén seleccionado al azar sea: a. Minorista de primera; b. De primera; c. Mayorista dado que es de segunda. 13. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, demostrar que A y B son independientes, si y solo si al menos una de P(A), P(B) es cero. 14. En la fábrica de tejas "La Gotera" las secciones A, B y C producen respectivamente el 25%, el 30% y el 45% del total de tejas. De su correspondiente producción el 14%, el 13% y el 12% son tejas defectuosas. a. Al seleccionar una teja al azar que resulta defectuosa, cual es la probabilidad de que no la haya producido la sección B.
b. Cual de las tres secciones es menos eficiente? 15. En una ciudad del Tolima, el 40% de las familias tienen casa propia; el 25% tienen auto propio y el 15% poseen ambas cosas. a. Que proporción de familias en tal ciudad, que tienen casa propia, no tienen auto propio? b. Que proporción de familias no posee ninguna de las dos propiedades? 16. Se mezclan 10 fichas numeradas de 1 a 10 y luego se substraen dos sin sustitución. Cual es la probabilidad de que la suma de los números en las dos fichas sea igual a diez? 17. Suponga que la eventualidad de evadir o no el pago de impuestos es probabilísticamente independiente del tipo de empresa. Complete el siguiente cuadro de probabilidades:
EMPRESA TEXTIL EMPRESA NO TEXTIL 0,35
EVADE ?
NO EVADE ?
?
? 0,65
0,60 0,40
1,00
18. Una muestra aleatoria de tamaño 5 artículos es seleccionada de un proceso de producción continuo. Se sabe que el 10% de la producción es desechable. La probabilidad de que la muestra no contenga artículos desechables es de 0,59. Cual es la probabilidad de que la muestra contenga por lo menos un artículo desechable? 19. Sea S = { x; x entero, 0
23. Se le pide a un ama de casa su opinión sobre cuatro detergentes (A, B, C, D) indicando el orden de su preferencia numerándolos de 1 a 4. Suponga que la señora en realidad no tiene alguna preferencia por alguno y por tanto asignará los números al azar. a. Cual es la probabilidad de que el A quede de primero b. Cual es la probabilidad de que C quede de primero y D de segundo c. Cual es la probabilidad de que B quede en alguno de los dos primeros lugares? 24. Como resultado de la escasez de combustible, muchas líneas aéreas se han visto obligadas a reducir el número de vuelos. Una compañía determinada tiene por el momento cuatro vuelos diarios Bogotá - Nueva York, dos en la mañana y dos en la tarde. Si se cancelan por sorteo dos de los cuatro vuelos, cual es la probabilidad de que quede una por la mañana y otro por la tarde? 25. Un almacén de ropa piensa promover una venta especial durante uno, dos o tres días. La probabilidad de que se decida tal venta por un día es 0,2; por dos días es 0,3 y por tres días es 0,5. Las probabilidades de que se vendan todos los artículos de una línea determinada durante la venta especial si esta es de uno, dos o tres días son 0,1; 0,7 y 0,9 respectivamente. Si se promueve la venta especial, cuál es la probabilidad de que se vendan todos los artículos de la línea en consideración? 26. Un ascensor inicia el recorrido con 10 personas y se detiene en 15 pisos. Cuál es la probabilidad de que máximo una persona deje el ascensor en el mismo piso? 27. Si nueve bolas distinguibles entre si son colocadas al azar en catorce cajas, cual es la probabilidad de que ninguna caja reciba mas de una bola? 28. Halle la probabilidad de alcanzar por lo menos 28 puntos en tres disparos independientes con una pistola a un blanco, si: i. el puntaje máximo por disparo es de 10 puntos ii. la probabilidad de alcanzar 30 puntos es 0,008 iii. la probabilidad de alcanzar 8 puntos en un disparo es 0,15 iv. la probabilidad de alcanzar menos de 8 puntos en un disparo es 0,4 29. En un estudio de la relación entre la agresividad y el color del cabello, un grupo de 2000 muchachas fue clasificado en agresivas y no agresivas respecto al primer concepto y en trigueñas, rubias y pelirrojas según el segundo. Se sabe además que 300 son trigueñas agresivas, 100 son rubias no agresivas, 900 son trigueñas, 800 son no agresivas y 400 son pelirrojas. Al seleccionar una de esas 2000 muchachas al azar, cual es la probabilidad de que sea: a. Trigueña no agresiva b. Pelirroja o agresiva c. Rubia dado que es agresiva d. Trigueña 30. En el barrio Meissen de la ciudad de Bogotá, el 65% de las familias son de origen campesino. Se sabe además que el 26% de las familias de origen campesino y el 18% de las de origen no campesino de tal barrio, tienen mas de 8 hijos. Al seleccionar al azar una familia de tal barrio: a. Cual es la probabilidad de que tenga 8 hijos o menos? b. Si la familia seleccionada tiene mas de 8 hijos, cual es la probabilidad de que sea de origen campesino? 31. Suponga que la probabilidad de que una pareja de gemelos sean ambos hombres es 0,30 y la probabilidad de que sean mujeres es 0,26. Si la probabilidad de que un nacimiento resulte hombre es 0,52, cual es la probabilidad de que:
a. El segundo gemelo sea hombre, si el primero lo fue. b. El segundo gemelo sea niña, si el primero fue niña. 32. Si n países intercambian embajadores, cuantos embajadores se ven involucrados? 33. De 10 números positivos y 6 negativos se seleccionan tres al azar y sin reemplazamiento. Cual es la probabilidad de que el producto entre ellos sea negativo? 34. Suponga que las letras T, A, L, L, I y O son escritas en seis fichas idénticas y colocadas en una urna. Si se mezclan las seis fichas "bien mezcladas" y luego se seleccionan una por una, cual es la probabilidad de encontrar la palabra O L L I T A? 35. Un inspector visita seis secciones diferentes de una empresa durante el día. A fin de evitar el prevenir a los funcionarios sobre la inspección, varia el orden de las visitas. Durante cuantos días consecutivos podrá realizar visitas en diferente orden a las seis secciones? 36. Tres secciones de un almacén (C1, C2, C3) están colocadas en serie (en línea recta). Suponga que estas secciones se arreglan en un orden aleatorio y sea E el evento "C2 está a la derecha de C1" y F el evento "C3 está a la derecha de C1). Son los eventos E y F independientes probabilísticamente. Explique. 37. Para reducir los robos la compañía xy hace pasar a todos sus empleados por una prueba con detector de mentiras, la cual acierta el 90% de las veces. El gerente decide despedir a todos lo empleados que fallen en la prueba. Suponga que el 5% de los empleados son culpables de robo. a) Que proporción de empleados serán despedidos? b) De los despedidos ¿ que proporción son realmente culpables? c) De los no despedidos ¿Qué proporción son culpables? d) Que opinión le merece a usted la política del gerente. 38. Considere dos empleados A y B de una empresa. A tiene 12 trabajos realizados y 8 sin realizar y B tiene 10 realizados y 14 sin realizar. Ante una inspección del jefe de personal B toma al azar uno de sus trabajos y lo coloca sin mirarlo en la gaveta de A. Si luego el jefe de personal toma al azar un trabajo de A, cual es la probabilidad de que sea de los realizados? 39. Un aspirante a catador presenta un examen sobre 30 variedades de vino, de cada una de las cuales recibe 5 muestras de las que solamente una corresponde realmente al respectivo vino. Para aprobar el examen debe detectar correctamente por lo menos 25 variedades. Si el conoce perfectamente los sabores de las 20 primeras variedades y en las otras se arriesga a adivinar, cual es la probabilidad de que apruebe el examen? 40. El jefe de ventas de una compañía urbanizadora informa que el 30% de las personas que solicitan información sobre vivienda, finalmente la compran. De acuerdo con los archivos de la compañía el 45% de los que han comprado vivienda tienen ingresos mensuales entre seiscientos mil y ochocientos mil pesos mensuales (I1), el 25% tienen ingresos menores de seiscientos mil (I2), en tanto que de los no compradores solo el 20% tenía un nivel de ingresos I1 y el 65% nivel I2 a. Una persona de seiscientos cincuenta mil pesos de ingreso mensual solicita información, cual es la probabilidad de que finalmente no compre la vivienda? b. Cual es la probabilidad de que una persona con cuatrocientos cincuenta mil pesos de ingreso mensual, que solicita información, finalmente compre la vivienda?
41. Con los dígitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9 se van a formar números de tres dígitos, sin la posibilidad de repetición de dígitos en algún número. Encontrar la probabilidad de que uno de tales números sea: a. Menor que 400 b. Par c. Impar d. Múltiplo de 5 42. Tres hombres y dos mujeres se colocan en una fila. Cual es la probabilidad de que: a. Las personas del mismo genero queden juntas? b. Las mujeres queden juntas? 43. Encuentre el total de enteros positivos que pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, y 4, si ningún dígito puede repetirse en ningún entero. 44. Considere 12 puntos A, B,.... en un plano sin que aparezcan tres de ellos en la misma línea. a. Cual es la probabilidad de que al seleccionar una línea, de todas las posibles líneas trazadas a partir de los doce puntos, ella contenga al punto A? b. Cual es la probabilidad de que al seleccionar un triángulo, de todos los posibles triángulos trazados a partir de los doce puntos, este tenga como uno de sus vértices a F. 45. En una mano de bridge, cual es la probabilidad de que: a. El Norte reciba 8 picas y el Sur las otras 5? b. Entre el Este y el Oeste reciban los cuatro ases? c. El Sur no reciba diamante alguno? 46. Sea A j , j 1,2,..., 5 una partición de S y suponga que P ( A j ) j / 15 y que P( A / A j )
(5 j ) 15
Calcule P(Aj/A) para j = 1,2,3,4,5 47. Considere seis urnas Uj , j = 1,2,...,6 tales que la urna j-ésima contiene mj bolas blancas y nj bolas negras. Un dado bien balanceado es lanzado una vez y si aparece el número j, se seleccionan dos bolas de la urna j-ésima. Calcule la probabilidad de que una de las bolas sea blanca y la otra negra. 48. Una caja contiene 5 tubos para radio de los cuales dos son defectuosos. Los tubos son probabdos uno después del otro hasta que los dos defectuosos aparezcan. Cual es la probabilidad de que el proceso termine: a. En la segunda prueba? b. En la tercera prueba? 49. Un experimento consiste en lanzar tres monedas una vez. Sean: A = (todas caen cara o todas caen sello) B = (al menos dos caen cara) C = (a lo mas dos son cara) De las parejas (A, B) ; (A, C) y (B, C) cuales son independientes y cuales dependientes? 50. La probabilidad de que A acierte en un blanco al lanzar un dardo es ¼ y la probabilidad de que lo haga B es 1/3 . a. Si cada uno lanza dos veces, cual es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado al menos una vez? b. Si cada uno lanza solo una vez y el blanco es alcanzado solo una vez, cual es la probabilidad de que A haya hecho el lanzamiento? c. Si A puede lanzar solo dos veces, cuantas veces debe lanzar B para que exista una probabilidad de al menos 0,90 de que blanco sea alcanzado?
51. Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? a. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un número, éste sea menor a quinientos? b. ¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? 52. Con las letras de la palabra DISCO a. ¿cuantos conjuntos de palabras distintas se pueden formar? b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la palabra “socio”? 53.¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? 54. Cuantos grupos de 5 empresas pueden formarse con treinta empresas del sector industrial. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en una empresa) 55. Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b. ¿cuántas maneras tiene si entre ellos está una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos? 56. Una cooperativa tiene 20 empresas afiliadas: 8 son del sector industrial, 3 del comercial, y 9 de servicios. Se van a estudiar 3 empresas simultáneamente. Determinar la probabilidad de que: a. Las tres empresas sean del sector industrial b. Una empresa por lo menos sea comercial 57. En una lotería de 100 billetes, hay 3 premios. Pedro compra 40 billetes. ¿Cuál es la probabilidad de que gane: a. Un premio únicamente? b. Por lo menos un premio? 58. En un grupo de 18 vendedores hay que formar un grupo de 6. a. ¿De cuántas maneras puede hacerse? b. ¿De cuántas maneras puede hacerse sabiendo que un vendedor en particular, Juan, debe integrar el grupo? c. ¿De cuántas maneras puede hacerse excluyendo a Juan? 59. Peter Jackson está pensando en sacar una nueva versión del Señor de los anillos. En esta nueva película (\El retorno del Anillo en los dos bosques"), Frodo y sus amigos tendrán la difícil misión de buscar el anillo en el bosque de las tierras de Gondor o en el bosque de los terrenos de Mordor. La probabilidad de que el anillo esté en Mordor es dos veces la probabilidad de que esté en Gondor. Si el anillo está en el bosque de Mordor, Frodo y sus amigos lo encontrarán independientemente después de cada día de búsqueda con una probabilidad de 0.15, pero si el anillo está en Gondor lo encontrarán con probabilidad de 0.25. Asuma que Frodo y sus amigos sólo pueden buscar el anillo durante el día y cambiar de bosque durante la noche y que la probabilidad de buscar el anillo en cualquiera de los bosques es la misma.
a) Si Frodo y sus amigos buscaron el anillo el primer día y no lo encontraron, cuál es la probabilidad de que esté en Gondor? b) Frodo, siguiendo los consejos de Gandalf, decide buscar el anillo durante tres días en un solo bosque, Cuál es la probabilidad de que lo encuentren el tercer día?
60. Tres prisioneros, A,B y C están a la expectativa de quedar en libertad. Se supo por fuentes extraoficiales (el guardián) que dos de ellos quedaran en libertad. El prisionero A es muy amigo del guardián. Valiéndose de esa amistad el prisionero A le pregunta al guardián si va a quedar en libertad. Este le contesta que esa pregunta no se la puede responder, que solo puede responder una de las siguientes dos preguntas: I. II.
Si será liberado B?. Si será liberado C?
El prisionero A considera que antes de formularle cualquiera de las dos preguntas anteriores al guardián la probabilidad de que sea liberado es 2/3. Mientras que si le pregunta al guardián la probabilidad de que sea liberado cae a 1/2. Finalmente el prisionero A opta por no hablar con el guardián. Considera usted que es correcto el razonamiento del prisionero A? Justifique su respuesta con lo visto en clase.
