Práctica de Probabilidad y estadística N°6
PRÁCTICA : Teorema de Probabilidad Total y Teorema de Bayes independencia de eventos
1. Supóngase que un distribuidor tiene tres fuentes de abastecimiento; H 1 , H 2 y H 3. Se cree que la primera fuente produce artículos con un 2% de defectuosos, la segunda fuente con un 3% de defectuosos y la tercera con un 5% de defectuosos, respectivamente. Si el distribuidor elige uno al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad que el articulo elegido sea defectuoso?
b) Si el artículo elegido resulto defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad que provenga de la fuente de abastecimiento H 2?
2. Una compañía que produce televisores, tiene tres fábricas; la primera produce 100 televisores, la segunda produce 400 televisores diarios y la tercera produce 500 televisores diarios. El porcentaje de televisores defectuosos son del 1%, 5% y 4% respectivamente. Si se elige un televisor, al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad que sea defectuoso?
Solución: Graficando los datos en una tabla mostrando los porcentajes ya calculados:
1ra fabrica
2da fabrica
3ra fabrica
Producto defectuoso Producto no defectuoso
1
20
20
99
380
480
total
100
400
500
Denominando a los eventos:
1
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A:
Televisor defectuoso ra
B1: Proviene de la 1 fabrica da
B2: Proviene de la 2 fabrica ra
B3: Proviene de la 3 fabrica Como no se especifica si el producto e legido pertenecerá a alguna fabrica, solo piden la probabilidad totalidad que resulte defectuoso:
La probabilidad de que un televisor elegido al azar sea defectuoso es de 0.041
b) Si el televisor elegido es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la primera fabrica? Usando el Teorema de Bayes para c alcular la probabilidad condicionada.
Por tanto la probabilidad que la televisión defectuoso sea de la primera fabrica es de 0.0071.
2
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3. Una caja contiene fichas , de las cuales están numeradas con el 1 , numerad con el 2 y numeradas con el 3 , se tienen tres urnas , a las que se designara , respectivamente, por los números 1,2 y 3 ,La i-ésima urna , contiene bolas rojas y bolas blancas .Se elige , al azar una ficha de la caja y luego extraemos , al azar , una bola de aquella urna designada con el mismo número de la ficha extraída.
a) ¿Cuál es la probabilidad que la bola extraída sea blanca?
b) Si la bola extraída ha sido blanca. ¿Cuál es la probabilidad que sea de la urna numero 1?
3
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4. Una persona tiene en su bolsillo dos monedas, una de ellas esta cargada. Extrae, al azar,
una moneda de su bolsillo, la lanza al aire dos veces y ambas oportunidades sale cara. La probabilidad de obtener cara con la moneda cargada es 2/3. ¿Cuál es la probabilidad de haber sacado la moneda cargada de su bolsillo? Solución: Denominando a los eventos: R :
La moneda esta cargada
N :
La moneda no esta cargada
C : Sale cara al lanzarlo D1: Sale cara al primer lanzamiento D2: Sale cara al segundo lanzamiento
Tenemos el siguiente diagrama del árbol de probabilidad:
Entonces el camino D1D2 = RCC U NCC P(D1D2) = P(R).P(C/R). P(C/R) + P(N).P(C/N).P(C/N) = (1/2)(2/3)(2/3) + (1/2)( 1/2)( 1/2) P(D1D2) = 25/72 4
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Reemplazando en la ecuación:
Por tanto la probabilidad de haber sacado la moneda cargada del bolsillo dado que ya salieron dos caras es 0.72
5. Una agencia de publicidad está decidiendo cual de los medios de soporte publicitario usaría para cierto producto. La probabilidad de que se escoja TV es 0.60; la probabilidad de que se escoja revistas es de 0.25 y la probabilidad de que se escoja periódicos es de 0.15, las probabilidades de obtener una alta cobertura con los tres medios de soporte son: 0.80, 0.50 y 0.40 respectivamente. Después de la campaña la agencia determino que, en verdad alcanzo una alta cobertura. Dada esta nueva información. ¿Cuál es la probabilidad de que la agencia haya escogido: a) Revistas?
b) Periódicos?
c) TV?
6. Una oficina contable tiene dos practicantes; P 1 y P 2 , P 1 labora los lunes, miércoles y
viernes. P 2 lo hace los martes y jueves. El 10% de los documentos trabajados por P 2 presentan errores. Si se chequean un documento al termino de una semana de trabajo. ¿Cual es la probabilidad que este tenga errores?
5
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Solución:
Supongamos que los practicantes redactan documentos proporcional al numero de días trabajados como se observa en la tabla.
Documentos defectuosos Documentos no defectuosos total
Practicante P 1
Practicante P 2
0 3 3
0.2 1.8 2
Como el problema no informa sobre los documentos defectuosos del Practicante P1 supongamos que este no presenta errores. Sea el evento A: el documento presenta errores.
P(A) = 0.2 / 5 = 0.04 La probabilidad de que el documento presente errores dado que el Practicante P1 no se equivoca es de 0.04.
7. Una compañía constructora propone una rebaja para un proyecto de construcción .Si el principal competidor también propone una rebaja, la probabilidad de que la compañía gane el proyecto es
.Si el competidor no hace ninguna rebaja, la probabilidad de que
la compañía gane el proyecto es haga la rebaja.
.Se estima en la probabilidad que el competidor
Solución:
a) ¿Cuál es la probabilidad que la compañía constructora obtenga el proyecto?
6
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b) ¿Cuál es la probabilidad que el competidor haya hecho la rebaja, si su compañía obtuvo el proyecto?
8. En una ciudad el 48% de los votantes están registrados en el partido republicano, el 42% en el partido demócrata el 10% restante esta constituido por votantes independientes que no están registrados en ningún partido. Hay tres candidatos a la alcaldía; un republicano(R), un demócrata (D), y un independiente (I). El 80% de los republicanos, el 5% de los demócratas y el 10% d e los independientes voto por R; el 10% de los republicanos, el 80% de los demócratas y el 10% de los independientes voto por D; el 10% de los republicanos, el 15% de los demócratas y el 80% de los independientes voto por I. Solución:
a) Si se selecciona, al azar, un votante y declara honestamente que voto por I. ¿Cuál es la probabilidad que este sea republicano?
Organizando los datos en una tabla:
7
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Partido Republicano
Partido Demócrata
Partido Independiente
80%
5%
10%
10%
80%
10%
10%
15%
80%
48%
42%
10%
Voto por el candidato Republicano (R) Voto por el candidato Demócrata(D) Voto por el candidato Independiente(I) Total
Sean los eventos: R: Votar por el candidato Republicano D: Votar por el candidato Demócrata I : Votar por el candidato Independiente A: El Votante pertenece a (R) B: El Votante pertenece a (D) C: El Votante pertenece a (I) Por el teorema de Bayes:
La probabilidad que sea republicano, una vez que voto por el candidato I ndependiente I es de 0.2513
b) ¿Qué candidato recibió el mayor porcentaje de votos? Calcularemos P(R), P(D) y P(I) de acuerdo a los datos consignados en la tabla y luego compararemos los resultados para determinar quien tuvo el mayor porcentaje de votos. Para este fin usaremos el teorema de la probabilidad total:
8
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Para el candidato Republicano (R) : P(R) = P (A). P (R/A) + P (B). P (R/B) + P(C). P(R/C) P(R) = (0.48)(0.8)+(0.42)(0.05)+(0.1)(0.1) P(R) = 0.415 Expresando este resultado en porcentaje los votos para el candidato Republicano (R) son del 41.5%
Para el candidato Demócrata (D):
P(D) = P (A). P (D/A) + P (B). P (D/B) + P(C). P(D/C) P(D) = (0.48)(0.10)+(0.42)(0.80)+(0.10)(0.10) P(D) = 0.394 Expresando este resultado en porcentaje los votos para el candidato Demócrata (D): son del 39.4%.
Para el candidato Independiente (I):
P(I) = P (A). P (I/A) + P (B). P (I/B) + P(C). P(I/C) P(D) = (0.48)(0.10)+(0.42)(0.15)+(0.10)(0.80) P(D) = 0.191 Expresando este resultado en porcentaje los votos para el candidato Independiente (I)son del 19.1%. Comparando cada porcentaje de votos concluimos que el candidato Republicano recibió el mayor porcentaje de votos con 41.5% de los votos validos.
9. Se dispone de tres urnas .La urna contiene el de bolas blancas y el de bolas negras, la urna tiene el de bolas blancas y el de bolas negras y la urna tiene de cada color. Si escoge una urna , al azar , y se toman 10 bolas una tras otra y con reemplazamiento , resultando 6 bolas negras .¿Cuál es la probabilidad de que esta muestra provenga de la urna ?
Solución: Sea los eventos :
Y
9
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Asi:
10. De 15 personas se solicitaron empleo como analistas de sistemas, en una empresa se encontró que 5 tenían experiencia anterior (E), 6 tenían un certificado profesional (C) y 2 tenían ambas características. Si se selecciona, al azar, a un solicitante. ¿Son los eventos E y C independientes? Solución:
Sean los eventos: E: Personas con experiencia anterior. C: Personas con certificado profesional
Sabemos que dos eventos son independientes si cumplen:
Pero tenemos de datos que:
P(E)= 5/15 , P(C)= 6/15, P(
)= 2/15
Reemplazando en la ecuación condición necesaria para la independencia de eventos:
10
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El resultado en ambos miembros es 30, lo cual quiere decir que los eventos E y C son independientes. Esto se comprueba instintivamente pues que una persona tenga experiencia laboral no depende si tiene un certificado profesional y viceversa ya que e l tener un certificado no depende de uan experiencia laboral.
11. Se lanza un dado, simétrico, dos veces y se definen los siguientes eventos: A = Obtener el número 2 en el primer lanzamiento. A = {2} B = Obtener el número 3 en el primer lanzamiento. B = {3} ¿Son A y B eventos independientes?
Por lo tanto A y B son eventos independientes.
Solución: Sea el espacio muestral :
Con:
Y
Como:
y
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Por tanto:
y no son independientes. 12. Se tiene una urna con 4 bolas blancas y 2 bolas rojas .Si se extraen, sucesivamente, y con reemplazo dos bolas. ¿Cual es a probabilidad que ambas bolas sean blancas?
Solución: Sea los eventos:
y
Asi:
13. Se propone a un equipo de tres alumnos la resolución de un problema. Se estima, en función de sus calificaciones, que la probabilidad que lo resuelva el primero es de ½; la de que lo haga el segundo 1/3 y ¼ la probabilidad de que lo consiga resolver el tercero. ¿Cuál es la probabilidad de que resuelva el problema el equipo?
12
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Solución:
14. Tres jugadores; A, B y C, lanzan una moneda homogénea, en ese orden, el juego continua hasta que uno de ellos consiga cara. ¿Cuál es la probabilidad de ganar que tiene cada uno de los tres jugadores?
Solución:
13
