TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
10
PRIJELAZ TOPLINE Uvod
Izmjena energije izmeu dva sustava koja nastupa zbog njihovih razli čitih temperatura, naziva se prijelaz topline. Ako nema drugih uzroka, stanje promatranih sustava mijenjat će se sve dok se ne uspostavi toplinska ravnoteža, tj. dok se ne uspostavi jednaka temperatura u oba sustava. Tada prestaje izmjena topline. Pri tome ne treba zaboraviti da je u realnom svijetu materije toplinska ravnoteža relativan pojam, vezan na stanje materije u ograničenom prostoru i vremenu. Tijekom izmjene topline izmeu dva sustava (tijela u krutom, kapljevitom ili plinovitom stanju) njihove materijalne čestice nalaze se na razli čitim temperaturama, pa kažemo da se unutar njih uspostavljaju temperaturna polja. Zbog toga osim vanjske toplinske neravnoteže izme u tih sustava (tijela) postoji i unutarnja toplinska neravnoteža unutar svakog od njih. Na koji način se odvija prijenos topline izmeu dva sustava i unutar samih sustava? Pri izmjeni topline, dva sustava mogu, ali ne moraju biti u neposrednom dodiru, iz čega se može zaključiti da su mehanizmi prijenosa topline u tim slučajevima bitno različiti. Prijenos topline unutar i izmeu dva sustava odvija se na dva na čina:
-
posredstvom materije, materije, kada su sustavi u neposrednom dodiru. Pri tome se, u ovisnosti o agregatnom stanju sustava, energija (toplina) prenosi kroz sustave ili provo enjem enjem (kruta dodirne plohe dvaju sustava. tijela), ili konvekcijom (fluidi), prema ili od dodirne plohe
-
elektromagnetskim valovima, valovima, kada se sustavi ne dodiruju. Ovaj efekt se naziva toplinsko zrač enje enje ili radijacija, a o njemu će biti govora u kasnijim razmatranjima.
ELEKTROMAGNETSKI TRANSPORT
MATERIJALNI TRANSPORTI
FLUID λ f konvekcija α
radijacija
SUNCE
KRUTO TIJELO
kondukcija
λk
Slika 10.1 Načini izmjene topline
121
ZEMLJA
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Prijenos topline posredstvom posredstvom materije Kada se prijenos topline vrši posredstvom materije tada na njega utje če molekularna graa i agregatno stanje materije. Fizikalno ponašanje materije ovisi o obliku i veli čini njenih molekula, te meumolekularnim silama - mehaničkim, elektromagnetskim i kemijskim. Pri izmjeni energije s okolinom mijenja se pokretljivost molekula, pa se tra nsport energije unutar materije (sustava) odvija putem sudara susjednih molekula. Ovaj molekularni ili mikroskopski transport postoji unutar materije bilo kakvog agregatnog stanja. On je proporcionalan razlici temperature koja postoji izmeu dvije materijalne točke, ali ovisi i o na činu na koji se prenosi energija. Krute tvari. tvari. Kod krutih tvari, zbog jakih me umolekularnih sila, molekule se nalaze u neposrednoj blizini, pa je njihovo gibanje pra ćeno učestalim sudaranjem (molekularni transport ). ). Kod materija u krutom agregatnom stanju to je jedini način transporta energije (topline), koji se naziva provo enje enje ili kondukcija. Kod čistih metala (kovina) postojanje slobodnih elektrona poja čava ovaj transport. Svaka materija, m aterija, sukladno svojoj molekularnoj strukturi i uvjetima temperature i tlaka, pokazuje drugačije svojstvo molekularnog transporta. Tekućine (fluidi = kapljevine i plinovi). Kod kapljevina, a posebno kod plinova, molekule se gibaju slobodnije, pa je i u čestalost sudaranja manja, a molekularni transport topline druga čiji od onog u krutom stanju. Ujedno, to nije više i jedini način gibanja. Toplinska neravnoteža s okolinom uzrokuje nastanak makroskopskog gibanja čestica materije, koje sadrže ogroman broj molekula. Makroskopski ili molarni transport odvija se putem sudara makro č estica estica, unutar kojih se na nivou molekula odvija molekularni transport . Ova dva nivoa transporta uvijek postoje u teku ćinama i nazivaju se zajedni čkim imenom konvekcija.
Temperaturno polje Temperatura je, kao i druge veličine stanja, skalarna veličina koja se opisuje samo s numeričkom vrijednošću i pripadnom dimenzijom temperaturne skale. Za razliku od modela klasične termodinamike koji pretpostavlja materiju u unutarnjoj toplinskoj ravnoteži, teorija prijelaza topline polazi od činjenice da pri izmjeni topline s okolišem čestice materije nemaju jednaku temperaturu. U materiji materiji postoji trodimenzijsko skalarno temperaturno polje koje se tijekom izmjene topline vremenom mijenja. Takvo temperaturno polje u pravokutnom koordinatnom sustavu ozna čava se kao T = T ( x ), a u cilindričnom koordinatnom x, y, z, t ), sustavu kao T = T (r , φ , z, t ). ). Zbog ovisnosti o vremenskoj koordinati t takva se polja nazivaju nestacionarnim temperaturnim poljima. Ako se temperaturno polje s vremenom ne mijenja tada otpada ovisnost o t , pa se takva polja nazivaju stacionarnim poljima. Za opis trodimenzijskih prostora naj češće se koriste ortogonalni koordinatni sustavi. Za probleme koji će se kasnije razmatrati koristit će se pravokutni ili cilindri čni koordinatni sustav koji su opisani na slici 10.2. Pripadni jedini čni vektori označeni su slovom e i indeksom smjera koordinate.
122
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
TEMPERATURNO POLJE
cilindrič ni sustav
pravokutni sustav y
r
e y T ( x, y, z, t )
e z
eϕ
e x
er T (r, ϕ , z, t )
e z
ϕ x z
z
Slika 10.2 Temperaturno polje u pravokutnom i cilindričnom koordinatnom sustavu Pri opisu polaznog modela često se koristi procjena da su promjene temperature u odnosu na neke koordinate prostora zanemarivo malene u odnosu na dominantne promjene temperature samo u jednom smjeru. Na primjer, umjesto stvarnog polja T = T ( x, y, z, t ) može se pretpostaviti jednodimenzijsko nestacionarno polje T = T ( x, t ), ako su promjene temperature u smjerovima y i z zanemarive. Postojanje temperaturnog polja ukazuje na postojanje razlike temperatura susjednih čestica, pa je to uzrok nastanku transporta topline kroz materiju u smjeru pada temperature. Op ćenito, pad temperature nije jednak u smjeru svih koordinata, pa ni vektori toplinskog toka u tim smjerovima nisu jednaki. Maksimalni toplinski tok odvija se u smjeru maksimalne promjene temperature koji se naziva gradijent temperature. U pravokutnom koordinatnom sustavu je: grad T ≡ ∇T =
∂T ∂T ∂T e x + e y + e z , ∂ x ∂ y ∂ z
(10.1)
dok je u cilindričnom koordinatnom sustavu: grad T ≡ ∇T =
∂T ∂T 1 ∂T er + eϕ + e z . ∂r ∂ z r ∂ϕ
(10.2)
PROVOENJE TOPLINE (KONDUKCIJA)
Provo enje topline karakteristično je za krute tvari u kojima nema razlike u makroskopskom gibanju čestica, pa se transport topline odvija samo na nivou molekula. 2 Toplinski tok, Q ≡ Φ , J/s, koji se odvija kroz plohu s normalom ni i površine A, m , naziva se 2 gustoća toplinskog toka, qi, W/m , a ima smisao vektora jer njegova numerička vrijednost ovisi o smjeru i (orijentaciji promatrane plohe Ai).
123
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Prema Fourierovom iskustvenom stavku je gustoća toplinskog toka provo enjem: Q
qi =
Ai
= −λ
dT dni
2
, W/m ,
(Fourierov stavak ).
(10.3)
Gustoća toplinskog toka qi proporcionalna je promjeni temperature u promatranom smjeru i, a koeficijent proporcionalnosti λ, W/(m K), je fizikalno svojstvo ovisno o molekularnoj gra i krute tvari, a naziva se koeficijent vodljivosti topline. Općenito je λ ovisan o temperaturi, λ = λ(T ), a kod nekih materijala (npr. drveta) ovisi i o smjeru. Vrijednosti za λ odreuju se eksperimentalno, što zna či da λ predstavlja makroskopski odraz molekularnih zbivanja na nametnutu razliku temperature. Na taj na čin, kada raspolažemo s podacima za λ neke tvari, ne moramo više voditi ra čuna o njenoj molekularnoj gra i. Ovu pogodnost koriste inženjeri u prakti čkim proračunima. Negativan predznak na desnoj strani Fourierove jednadžbe (10.3) je zbog toga što je smjer vektora gustoće toplinskog toka suprotan gradijentu temperature, tj. provo enje topline usmjereno je od podru č ja veće, prema podru č ju manje temperature. Ujedno je dogovoreni smisao toplinskog toka suprotan orijentaciji plohe Ai, tj. toplinski tok je pozitivan kada djeluje suprotno smjeru normale plohe, a negativan kada djeluje u istom smjeru. Kod jednodimenzijskog temperaturnog polja, T = T ( x), postoji promjena temperature samo u smjeru x, što znači da sve točke neke plohe A x koja je okomita na smjer x imaju istu temperaturu. Gustoća toplinskog toka q x u smjeru koordinate x je prema Fourierovom zakonu: q x =
δQ dA x
=−λ
dT dx
2
, W/m ,
(lokalna vrijednost kroz dA x ),
(10.4)
dok za ukupni toplinski tok kroz plohu A x vrijedi:
∫
Q = q x dA x = − A
dT
∫ λ dx dA , W.
(ukupni toplinski tok kroz A x).
x
(10.5)
A
T ( x)
dT
q x =
dA x
δQ dA x
q x+ dx
n x n x
T
dx
x x
x + dx
Slika 10.3 Gustoća toplinskog toka, q x, jednodimenzijskog temperaturnog polja, T = T ( x)
124
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
U općem slučaju trodimenzijskog temperaturnog polja, T = T ( x, y, z), u pravokutnom koordinatnom sustavu može se vektor gusto će toplinskog toka razložiti na komponente u smjeru koordinata x, y, z. q = q x + q y + q z = − λ
∂T ∂T ∂T ∂T ∂T ∂T = − λ ∇T . −λ −λ = − λ + + ∂ x ∂ y ∂ z ∂ ∂ ∂ x y z
(10.6)
Diferencijalna jednadžba provo enja topline Ukoliko se temperaturno polje mijenja s vremenom t , tada govorimo nestacionarnom temperaturnom polju, T = T ( x, y, z, t ). Zbog promjena temperature diferencijalne mase krute = ρc (∂T / ∂t )dV . tvari, dm = dV = dxdydz, doći će do promjene njene unutarnje energije, d U Uzrok ove promjene je razlika toplinskog toka koja se provo enjem dovodi i odvodi susjednim elementima mase, δQ λ = qi dAi . Na slici 10.4 prikazan je jedan smjer molekularnog transporta topline, koji se odvija kroz grani čne plohe elementa u smjeru osi x. Slično vrijedi i za kondukciju u smjerovima z i y. U općem slučaju, unutar diferencijalnog volumena, dV = dA x dx = dA y dy = dA z dz, može 3 postojati izvor ili ponor topline izdašnosti ± Φip, W/m , koji rezultira toplinskim tokom δQ ip = ± Φip dV . Pretpostavit ćemo da su ρ, c i λ konstantni, tj. neovisni o temperaturi.
molekularni transport u x-smjeru
y akumulacija konduk cija - ulaz
≡ d U
dU
kondukcija - izlaz
dt
∂q q x + x dx dA x ∂ x
δQ λ = q x dA x x
z
izvor/ponor
δQip = ±ΦipdV
Slika 10.4 Bilanca energije elementa krute tvari Primjenom I. zakona termodinamike ( zakon održanja energije) dobivamo jednadžbu:
δQ λ + δQ ip = d U
(10.7)
površinski efekti + volumenski efekti = akumulacija
pri čemu zbog zanemarive promjene volumena (pretpostavka ρ = konst.) nema mehaničkog efekta. Na osnovi slike 10.4 može se napraviti bilanca energije po principu: ulaz ± izvor ( ponor ) = izlaz + akumulacija,
ili kao akumulacija + (izlaz - ulaz) = ± izvor ( ponor ) .
125
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Uzevši u obzir da je dV = dA x dx = dA y dy = dA z dz, dobiva se jednadžba održanja energije za nestacionarno trodimenzijsko temperaturno polje s izvorom/ponorom u krutom tijelu:
ρc
∂T ∂q x ∂q y ∂q z + + + = ± Φip . ∂t ∂ x ∂ y ∂ z
(10.8)
Primjenom Fourierovog stavka dobivamo gusto će toplinskog toka za sva tri smjera ( x, y, z): q x = − λ
∂T ∂T ∂T , q y = − λ , q z = − λ , ∂ x ∂ y ∂ z
(10.9)
pa nakon uvrštavanja u jednadžbu (10.8) slijedi:
ρc
∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ − λ − λ − ∂t ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ z
∂T λ = ± Φip . ∂ z
(10)
Dijeljenjem cijele jednadžbe s ρc dobiva se konačni oblik diferencijalne jednadžbe provo enja topline:
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T Φip ∂T = a 2 + 2 + 2 ± , ∂t ∂ y ∂ z ρc ∂ x
(10.11)
gdje se ispred zagrade na desnoj strani jednadžbe (10.11) nalazi koeficijent temperaturne 2 vodljivosti, a = λ /(ρc), m /s. Jednadžba (10.11) može se kra će zapisati pomoću Gibbsove (simboličke) notacije: Φ ∂T = a ∇ 2T ± ip , ρc ∂t
(10.12)
2
gdje je ∇ Laplaceov operator, koji u pravokutnom koordinatnom sustavu ima oblik:
∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ∇ T = 2 + 2 + 2 , ∂ x ∂ y ∂ z 2
(10.13)
a u cilindričnom koordinatnom sustavu: 1 ∂ ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T ∇ T = + 2 . r + r ∂r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2
(10.14)
Stacionarno provo enje topline U mnogim praktičnim problemima transport energije kroz krutu tvar odvija se pretežno u jednom smjeru, npr. smjeru x. Takvi slučajevi nastaju onda kada su dimenzije krute tvari u drugim smjerovima, y i z, bitno veće, ili kada je toplinski tok u tim smjerovima namjerno spriječavan postavaljanjem toplinske izolacije - materijala kroz koje je provo enje topline vrlo slabo zbog malog koeficijenta vodljivosti topline, λ.
126
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
U stacionarnom stanju ne mijenja se oblik temperaturnog polja u krutoj tvari, iako tvar nije u toplinskoj ravnoteži s okolinom. To zna či da svaka materijalna točka krute tvari, prima jednaku energiju (toplinu) od toplijih susjednih materijalnih točaka, koliko predaje hladnijim susjednim materijalnim točkama. Stacionarno stanje opisujemo iskazom da je Q = konst . U nastavku će se razmotriti karakteristi čni fizikalni modeli koji se mogu pojednostavljeno računati kao problemi jednodimenzijskog stacionarnog provo enja topline. Za njih približno vrijedi: Q x = Q = konst . , dok su Q y = 0 i Q z = 0 teorijska pretpostavka, mogu ća samo uz idealnu izolaciju u smjerovima y i z. Takoer, pretpostavit ćemo da unutar krute tvari ne postoji izvor/ponor topline, tj. Φip = 0 . Ravna stijenka Za ovaj fizikalni model je karakteristi čno da je površina plohe kroz koji prolazi toplinski tok konstantna, A = konst. Kako je u stacionarnom stanju Q = konst . , to je u ovom slučaju i gustoća toplinskog toka q = Q / A = konst . T Stijenka
λ ∝ T
T 1
λ = konst.
dT
T 2
λ ∝ (1/ T )
q dx
δ x1
x2
x
Slika 10.5 Temperaturno polje u jednoslojnoj stijenci za slu čaj q = konst.
U skladu s ranije usvojenim pretpostavkama cijela ploha A1 na lokaciji x1 ima jednaku temperaturu T 1, a cijela ploha A2 na lokaciji x2 ima temperaturu T 2. Fourierova jednadžba za diferencijalni sloj debljine dx glasi: q=
Q A
=−λ
dT dx
= konst . ,
(10.15)
odnosno q dx = − λ dT .
(10.16)
Uzimaju ći u obzir da je q = konst. i pretpostavljaju ći takoer (10.16) integrirati, x2
∫
q dx = − x1
λ = konst. može se jednadžba
T 2
λ ∫ dT ,
(10.17)
T 1
127
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
nakon čega se dobiva: q ( x 2 − x1 ) = − λ (T 2 − T 1 ) .
(10.18)
Kako je x2 − x1 = δ , to konačni rezulta glasi: q=
λ δ
(T 1 − T 2 ) ,
2
W/m ,
(10.19)
Uočimo da je redosljed indeksa prema matemati čkim pravilima, tj. u smjeru pozitivne osi x, pa je iz tog razloga δ > 0, a pozitivan smjer vektora gusto će toplinskog toka, q, poklapa se sa smjerom x. To znači da bi u slu čaju kada je T 1 < T 2 dobili q < 0, sa smjerom prema negativnoj osi x. Obično se pri proračunima na mjestu T 1 upisuje veća, a na mjestu T 2 manja temperatura o (obje u C ili K), tako da je rezultat q > 0, smjer toplinskog toka je jasan iz fizikalne situacije. Jednadžba (10.19) može se se napisati u obliku: q=
∆T , δ
(10.20)
λ gdje je ∆T = T 1 – T 2 uzrok , a (δ / λ) otpor provoenju topline. Temperature se mogu pisati i s Celsiusovim, kao i Kelvinovim stupnjevima: T = T 1 – T 2 = ϑ = ϑ1 – ϑ2.
Višeslojna ravna stijenka Provoenje topline kroz višeslojnu ravnu stijenku može se odrediti primjenom jednadžbe (10.19) na svaki pojedina čni sloj. Na primjer, za troslojnu stijenku prikazanu na slici 10.6 mogu se napisati tri jednadžbe: q1 =
δ1 (T 1 − T 2 ) = q , λ1
(10.21)
q2 =
δ2 (T 2 − T 3 ) = q , λ2
(10.22)
q3 =
δ3 (T 3 − T 4 ) = q . λ3
(10.23)
Množenjem jednadžbi s odgovarajućim δ / λ na desnim stranama ostaju samo razlike temperature. Zbrajanjem jednadžbi dokidaju se temperature me u slojevima, T 2 i T 3, a nakon sreivanja dobiva se: q=
T 1 − T 4
δ1 δ 2 δ 3 + + λ1 λ 2 λ 3
,
(10.24)
gdje se u brojniku nalazi razlika temperatura krajnjih ploha, a u nazivniku ukupni otpor provoenju topline.
128
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Troslojna stijenka T
T 3 T 4
T 2
T 1
q
x1
λ1
λ2
δ1
δ2
λ3 δ3
x3 x4
x2
x
Slika 10.6 Temperaturno polje u troslojnoj stijenci (λ = konst.) Za višeslojnu stijenku s proizvoljnim brojem slojeva, i = 2, 3,..., n, i krajnjim temperaturama, T 1 i T n+1, vrijedi jednadžba: q=
T 1 − T n +1 n
δi ∑ i =1 λ i
, W/m2,
(10.25)
gdje se u nazivniku na desnoj strani nalazi suma pojedina čnih otpora provoenju topline svih slojeva stijenke. Kako svaka ploha, Ai, u svim to čkama ima istu temperaturu, T i, ma kakva ona bila, tada se ukupni toplinski tok može izračunati prema: Q = qi Ai = konst . Napomena : Budući da se razmatraju samo jednodimenzijski problemi indeks “i” ne označ ava vektorsku prirodu (gustoće toplinskog toka qi i orjentiranu plohu Ai), već se koristi za označ avanje različ itih lokacija.
Cijevna stijenka Jednoslojna stijenka cijevi Za razliku od ravne stijenke ovdje je površina, A = A(r ) = 2r π L, u smjeru toplinskog toka promjenljiva. U stacionarnom je stanju toplinski tok konstantan: Q = q A = −
λ
dT dr
2r π L = konst .
(10.26)
129
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Razdvajanjem varijabli r i T i integracijom po cijelom presjeku cijevi Q
r 2
∫
dr
2πλ L r 1 r
= − ∫ dT ,
r 2
r 1
T 2
(10.27)
T 1
dobiva se: T
Q
2πλ L
ln
r 2 r 1
= T 1 − T 2 ,
grijanje
T 1
(10.28)
q(r ) T 2 dT
T 2 q(r )
te konačno:
T 1
hla enje
2π L (T 1 − T 2 ) Q = . 1 r 2 ln λ r 1
r 1
r
dr
r 2
(10.29)
Slika 10.7 Temperaturna polja u cijevnoj stijenci
O nagibu tangente na profil temperature u c ilindričnom sloju cijevi može se zaključiti na osnovi jednadžbe (26), prema kojoj je: Q dT = konst . = dr 2π Lλ
r
(10.30)
To znači da je na manjem radiusu nagib tangente (prema horizontali r ) veći. Sukladno tome su prikazani profili temperature u cijevnoj stijenci na slici 10.7.
Višeslojna stijenka cijevi Za višeslojne stijenke cijevi primjenjuje se za svaki sloj jednadžba (10.29). Na primjer, za dvoslojnu stijenku su toplinski tokovi kroz slojeve:
Q 1 =
Q 2 =
2π L (T 1 − T 2 ) , W, r 2 1 ln λ 1 r 1
(10.31)
2π L (T 2 − T 3 ) , W. r 3 1 ln λ 2 r 2
(10.32)
130
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Pretpostavljajući stacionarno stanje: Q = Q 1 = Q 2 mogu se ove jednadžbe napisati u obliku: T 1 − T 2 =
T 2 − T 3 =
Q
1
2π L λ 1 Q
1
2π L λ 2
ln
ln
r 2 r 1 r 3 r 2
,
(10.33)
.
(10.34)
Q
r 3 r 1
r 2
T
Zbrajanjem se dobiva izraz za dvoslojnu stijenku:
T 1 r 1
T 3
r 2
Q =
2π L (T 1 − T 3 ) . r 3 r 2 1 1 ln + ln λ1 r 1 λ 2 r 2
T 2
r 3
(10.35)
Slika 10.8 Dvoslojna cijevna stijenka
Općenito, za višeslojnu stijenku sa i = 1, 2,..., n slojeva vrijedi izraz Q =
2π L (T 1 − T n +1 ) n
1
∑λ i =1
i
ln
r i +1
.
(10.36)
r i
PRIJENOS TOPLINE U FLUIDIMA (KONVEKCIJA) Za fluide je karakteristi čan prijenos topline koji se istovremeno odvija na dva nivoa: na makroskopskom nivo izmjenom mjesta i sudaranjem č estica fluida, unutar kojih se istovremeno odvija mikroskopski transport sudaranjem molekula. Budući da ovaj molekularni transport nije neovisan o makroskopskom gibanju fluida to, strogo uzevši, nije korektno poistovjetiti ga s provo enjem topline kroz krute tvari, kod kojih ne postoji razlika u makroskopskom gibanju čestica. Naziv konvekcija opisuje istovremenost makroskopskog i mikroskopskog prijenosa energije (topline) kod fluida. Uzroci i vrste makroskopskog gibanja fluida Slobodna konvekcija - prirodna konvekcija Temperaturno polje u fluidu, T = T ( x, y, z, t ), uzrokovano razlikom temperatura, ∆T , izmeu promatranog fluida i njegove okoline dovodi do preraspodjele mase u prostoru, tj. do nastanka polja gustoće, ρ = ρ( x, y, z, t ).
131
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Pod djelovanjem lokalno homogenog gravitacijskog polja svakoj je masi pridruženo 2 gravitacijsko ubrzanje, g m/s , pa nehomogena distribucija mase u prostoru ujedno zna či nehomogeno polje sila u smjeru gravitacije. Unutar fluida se uspostavlja makroskopsko gibanje č estica, koje imaju različite brzine. Oblik prostora u kojem se nalazi fluid obi čno je barem djelomice ogra en krutim stijenkama, koje spre čavaju gibanje č estica fluida prema zemlji i na čijim se plohama nehomogeno polje sila transformira u nehomogeno polje tlaka. Č estice mijenjaju smjer kretanja prema područ ju nižeg tlaka, a njihovo daljnje gibanje ovisi o obliku ograenog prostora. Kako gibanje fluida nije izazvano nikakvom prisilom - mehani čkim utjecajem okoline - to se prijenos topline ostvaren pri tome naziva slobodna ili prirodna konvekcija.
T ( x)
Polje temperature
x m( x)
V Nejednolika razdioba mase u prostoru.
Polje gusto će ρ( x)= m( x) /V Homogeno gravitacijsko polje: g= konst.
Polje sila
F ( x) = m( x)g =ρ( x) gV
p( x) =
Polje stati č kog tlaka A
A
F ( x) A
A
Jedinič na površina, A
Slika 10.9 Uzrok gibanja slobodnom konvekcijom Kako je rečeno, uzrok gibanja je razlika temperature, T , fluida i okoliša, pa je pri ve ćim T slobodna konvekcija intenzivnija. Pored toga, fizikalna svojstva fluida imaju znatan utjecaj na gibanje č estica. Potrebno je naglasiti da slobodna konvekcija postoji uvijek kada se u fluidu uspostavi temperaturno polje. Ipak, efekti slobodne konvekcije mogu postati rač unski zanemarivi ako se pod utjecajem vanjskih sila uspostavi prisilno strujanje fluida. Prisilna konvekcija U tehničkoj praksi naj češće se makroskopsko gibanje fluida ostvaruje prisilno, tj. pod djelovanjem nekog tehničkog ureaja: pumpe, ventilatora i sl. Pokretni dijelovi ovih ureaja (lopatice) potiskuju čestice fluida prema područ ju nižeg tlaka, pa je razlika tlaka ∆ p uzrok strujanja fluida. Obično je u takvim slučajevima slobodno gibanje fluida pod utjecajem temperaturnog polja sasvim potisnuto. Prijenos topline odvija se konvektivnom nač inom, tj. makroskopskim i molekularnim transportom, koji je pod utjecajem brzine bitno poja čan u odnosu na slobodnu konvekciju.
132
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Mješovita konvekcija Postoje slučajevi kod kojih je gibanje fluida pod približno jednakim utjecajem ∆T i ∆ p. U tom slučaju se prijenos topline naziva mješovita konvekcija.
Oblici strujanja fluida I kod slobodne i kod prisilne konvekcije može se uspostaviti jedan od dva karakteristi čna oblika strujanja.
LAMINARNO PRIJELAZNO
TURBULENTNO Jedna od m ogu ćih putanja č estica
NESTABILNO
NESTACIONARNO
Slika 10.10 Oblici strujanja fluida - prema Reynoldsovom pokusu
Laminarno strujanje. Bez obzira na oblik strujnica (zamišljeni put čestica) nema preskakanja čestica iz jedne strujnice u drugu, tj. nema miješanja. Ipak, zbog različitih brzina, čestice nisu u kontaktu cijelo vrijeme s istim česticama susjednih strujnica. Zbog toga je molekularni transport energije (topline) direktno pod utjecajem makroskopskog gibanja. Kod laminarnog strujanja uspostavlja se stalan (stacionaran) profil brzine, ukoliko se vanjski uvijeti ne mijenja. Turbulentno strujanje. Gibanje čestica je nesreeno i slučajno. U fiksnoj to čki prostora mijenja se i smjer i veličina brzine tijekom vremena. Čak i kada bi mogli izmjeriti brzine u svim točkama nekog presjeka, taj trenutni profil već slijedećeg trenutka ne bi postojao. Zbog toga se pod profilom brzine turbulentnog strujanja podrazumijeva vremenski srednji profil brzine. Efekti stvarnog kolebanja (fluktuacija) brzine oko vremenski srednje vrijednosti vidljivi su u bitnom pove ćanju makroskopskog transporta topline.
Prijelaz topline izmeu fluida i krute stijenke U praksi se naj češće susre ću problemi prijelaza topline na dodirnoj plohi (faznoj granici) krute tvari (stijenke) i fluida (kapljevine ili plina). Stoga će se osnovni pojmovi razmotriti na primjeru prisilnog strujanja pored horizontalne ravne stijenke. Temeljne karakteristike tog modela su slijede će: fluid struji brzinom w∞ = konst. pored mirujuće stijenke, ws = 0. Temperatura fluida dovoljno daleko od stijenke T ∞ = konst. različita 133
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
je od temperature stijenke, T s = konst.. Zbog razlike brzina ( mehanič ka neravnoteža) i razlike temperatura (toplinska neravnoteža) nastupa promjena brzine i temperature slojeva fluida uz stijenku.
δT ( x) - granica polja temperature
δ ( x) - granica polja brzine FLUID
T ∞
δ ( x)
y
∆T ∞
w∞ T ∞
∆T ∞
δ T ( x)
profil br zine
∆T
w
δ( x)
δT ( x)
T
T
∆T
profil te mperature
y
HMS
ϕ
ϕ
x
STIJENKA
qs
x
T s
T s
x Presjek x = konst. za prikaz pr ofila
tangenta
qs
x
Grijanje fluida T s > T ∞
Hla enje fluida T s < T ∞
Slika 10.11 Profili brzine i temperature i pripadni granični slojevi, δ i δT Područ je unutar fluida u kojem se odražava utjecaj stijenke naziva se granič ni sloj. Na slici 10.11 prikazan je profil brzine i dva moguća slučaja profila temperature unutar granič nog sloja. Debljina hidrodinamičkog graničnog sloja, δ( x), kao i debljina toplinskog graničnog sloja, δT( x), definiraju se po nekom aproksimativnom kriteriju. Obi čno se pod debljinom graničnog sloja smatra udaljenost od stijenke na kojoj su vrijednosti brzine, odnosno temperature, neznatno različite od referentnih vrijednosti u podru č ju izvan graničnog sloja: na primjer wδ = 0,99 w∞ i T δT = 0 ,99T ∞ . Pod utjecajem adhezije izmeu čestica fluida i stijenke na stijenci se formira tanki mirujući sloj fluida debljine par promjera molekula. Hipoteza o adheziji indirektno je potvrena brojnim eksperimentima. Na slici 10.11 ovaj hipotetič ki mirujući sloj ozačen je s HMS. Važna posljedica ove hipoteza je da se tom sloju pripisuje ponašanje krute tvari, jer je u nepostojanju makroskopskog gibanja čestica moguć transport samo na nivou molekula. Za transport topline kroz hipotetič ki mirujući sloj možemo pisati Fourierov izraz:
∂T , ∂ y y = 0
q s = − λ
(Fourirov zakon provo nja),
(10.37)
prema kojem je vidljivo da je za odreivanje gustoće toplinskog toka, qs, nužno poznavanje profila temperature, T ( x, y, z). Odreivanje tog profila zahtijeva matematičko rješavanje često vrlo zamršenog sustava jednadžbi. Zato se u inženjerskim prora čunima obično koriste empirijske (iskustvene) formule, koje su dobivene analizom eksperimentalnih rezultata.
134
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
2
Takav način računa počiva na pojmu koeficijenta prijelaza topline, α W/(m K), koji je definiran Newtonovim stavkom: ( Newtonov zakon hla enja).
q s = α (T s − T ∞ ) ,
(10.38)
Ovdje je α faktor proporcionalnosti izme u uzroka, (T s −T ∞) , i posljedice, qs. Često je temperaturna razlika (T s − T ∞) promjenljiva po površini stijenke, A, pa jednadžba (10.38) definira lokalni koeficijent prijelaza topline, α( A). Prosječna vrijednost za cijelu površinu, αm, dobiva se prema relaciji
αm =
1
∫ α ( A) dA .
(10.39)
A A
U tom slučaju se gustoća toplinskog toka odre uje prema relaciji: q s = α m ∆T log ,
(10.40)
gdje je ∆T log srednja logaritamska ralika temperatura,
∆T log =
T 1 − T 2 , T 1 log T 2
(10.41)
gdje su: T 1 = (T s1 − T f1) i T 2 = (T s2 − T f2) razlike temperatura stijenke (indeks "s") i fluida (indeks "f") na po četku (indeks "1") i kraju (indeks "2") promatrane površine. Na slici 10.12 prikazan je slučaj hla enja fluida na stijenci čija temperatura nije konstantna. U praksi se ovakav slučaj ne razmatra, jer je on samo dio cjelovitog fizikalnog modela u kojem u čestvuje i fluid s druge strane stijenke. T f 1
FLUID T f ( x) fluid T f 2
T 1
α ( x) λs
STIJENKA
T s( x) stijenka
T s1
T 2 T s2
T
(FLUID)
x
Slika 10.12 Djelomični model prijelaza topline na stijenci Uzimanje u obzir prisustva cjelovitog modela s dva fluida i stijenkom dovodi do prora čuna koji se primjenjuje na izmjenjiva če topline. O tome će biti riječi u posebnom poglavlju. Po svom obliku je Newtonov stavak vrlo ja san i jednostavan, ali se sve specifi čne osobine pomatranog slučaja, kao što su: geometrijski i fizikalni uvjeti, oblik strujanja, smjer toplinskog toka, fizikalna svojstva fluida i druge, odražavaju na vrijednost koeficijente prijelaza topline, α. Kod slobodne konvekcije je α neposredno ovisan o temperaturi, pa ta činjenica umanjuje pogodnosti njegovog uvo enja u račun. 135
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Povezivanjem Fourierovog i Newtonovog stavka, jednadžbe (10.37) i (10.38), slijedi da je lokalna vrijednost koeficijenta prijelaza topline:
α=
−λ T s − T ∞
∂T , ∂ y y =0
(10.42)
Za prijenos topline bitna je samo razlika te mperatura ∆T = T − T s. Na stijenci je ∆T = 0, a na granici graničnog sloja prema slobodnoj struji, ∆T ∞ = T ∞ − T s. Profil temperature može se zamijeniti s bezdimenzijskim profilom nadtemperature, θ , definirane kao:
θ=
∆T T − T s = , ∆T ∞ T ∞ − T s
(10.43)
koji unutar grani čnog sloja poprima vrijednosti u intervalu 0 ≤ θ ≤ 1. Takoer, umjesto udaljenosti od stijenke, y, može se definirati bezdimenzijska koordinata u tom smjeru (smjer normale), Y =y/L, pri čemu je L karakteristična linearna veličina. U promatranom slučaju L predstavlja dužinu stijenke u smjeru strujanja.
T ∞
y
FLUID w
δ T( x)
profil temperature pri ve ćoj brzini strujanja ∆T
∂T y ∂ y =0
tg ϕ =
T HMS
T s
tangenta
qs
STIJENKA
α( x)
dA = dx dz
x
dx x Slika 10.13 Uz definiciju koeficijenta prijelaza topline, α Uvoenjem θ i Y u jednadžbu (10.43) i uvažavaju ći pri tome da je na lokaciji x:
∂T 1 ∂θ = (T ∞ − T s ) , ∂ y L ∂Y
(10.44)
dobiva se bezdimenzijska relacija: Nu =
α L
λ
=
∂ T − T s ∂θ = , ∂Y T ∞ − T s Y =0 ∂Y Y =0
136
(10.45)
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
s kojom se definira Nusseltov broj, Nu = α L / λ , kao bezdimenzijska zna čajka prijelaza topline. Prema jednadžbi (10.45) Nu je jednak nagibu tangente bezdimenzijskog profila nadtemperature, θ, na stijenci, tj. za Y = 0. Oblik profila temperature T ( x, y, z ), pa tako i profila nadtemperature θ( X,Y, Z ), mijenja se pod utjecajem strujanja fluida. Pri ve ćim brzinama bit će profil bliže stijenci, tj. povećat će se nagib tangente (∂θ / ∂Y)Y=0, a to prema jednadžbi (10.45) znači povećanje Nu broja, odnosno povećanje koeficijenta prijelaza topline, α . Iako je kroz hipotetič ki mirujući sloj (HMS) trensport topline samo mehanizmom molekularnog gibanja, na taj transport bitno utje če makroskopsko gibanje koje mijenja gradijent temperature (“pokretačku silu”). O čita je povezanost mikro i makro gibanja, pa se kod fluida može govoriti o jedinstvenom, zajedni čkom efektu koji se naziva jednim imenom konvekcija.
EMPIRIJSKE FORMULE Empirijske formule, temeljene na rezultatima eksperimentalnih ispitivanja, omogućuju u pravilu odre ivanje prosječ ne vrijednosti Nusseltovog broja, Num, na cijeloj površini stijenke. Zatim se prosje čni koeficijent prijelaza topline može odrediti iz relacije:
λ
α m = Nu m , W/(m2 K), L
( prosječ ni koeficijent prijelaza topline). (10.46)
Toplinski tok kroz cijelu površinu: Q = q A , odreuje se uz upotrebu jednadžbe (10.38): Q = q A = α m A (T s − T ∞ ) ,
(10.47)
ili jednadžbe (10.40): Q = q A = α m A ∆T log ,
(10.48)
Poseban način prorač una izmjenjivač a topline, kod kojih toplinski tok bitno ovisi o promjenama temperatura duž površine A, bit će opisan kasnije. Radi pravilne upotrebe empirijskih formula potrebno je razmotriti faktore koji utje ču na vrijednost Nusseltovog broja. Na prijelaz topline utje če: -
-
geometrija strujanja; pri čemu se bitno razlikuju otvorena ili vanjska strujanja (pored ravne stijenke, oko snopa cijevi ili tijela raznih oblika) od zatvorenih strujanja (kroz cijevi, kanale ili tehničke ureaje različitih oblika), vrsta strujanja; slobodna ili prisilna konvekcija, oblik strujanja; laminarno ili turbuleno strujanje, smjer toplinskog toka; grijanje ili hlaenje fluida, fizikalna svojstva fluida: ρ, cp, λ, µ.
Na svakom fizikalnom modelu može se prepoznati cijeli niz karakterističnih parametara. To su nezavisne varijable (koordinate x, y, z), zavisne varijable (brzina w, temperatura T , pad tlaka p i sl.) i ve ći broj konstanti. Konstante su: karakteristi čna linearna veličina za geometriju strujanja (npr. duljina plo če ili promjer cijevi), karakteristi čna brzina (protočna brzina ili 137
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
brzina slobodne struje), karakteristi čna temperaturna razlika, gravitacijsko ubrzanje, fizikal na svojstva fluida, i druge. Me u konstante spada i prosje čni koeficijent prijelaza topline, αm. Ispitivanje utjecaja svakog parametra na prijelaz topline bilo bi vrlo komplicirano, ako ne i nemoguće, jer bi to zahtijevalo velik broj eksperimenata u razli čitim uvjetima i s različitim fluidima. Takoer, od posebne je važnosti da se dobiveni rezultati mogu primijeniti i na druge fizikalne modele, koji su slič ni eksperimentalnom modelu. Jasno je da se broj zavisnih i nezavisnih varijabli ne može mijenjati, jer bi se time proizvoljno promijenio i opis promatranog problema, ali se broj konstanti može bitno smanjiti ako se one grupiraju u bezdimenzijske grupe. Ove bezdimenzijske značajke postaju karakteristič ne konstante promatranog fizikalnog modela. Zbog toga su nazvane po prezimenima poznatih znanstvenika. Navest ćemo samo one koje su posebno zna čajne pri rješavanju problema prijelaza topline. Važno je zapamtiti da se sva fizikalna svojstva ( ρ, c p, λ, µ, ν, a) odnose na fluid . Nusseltov broj Nu =
α L
λ
,
(10.49)
predstavlja znač ajku prijelaza topline. Prema jednadžbi (45) Nu je jednak nagibu tangente na bezdimenzijski profil nadtemperature, θ, na stijenci. Ovaj nagib pod utjacajem je vrste i oblika strujanja fluida. Prandtlov broj Pr =
µc p
λ
=
ν a
,
(10.50)
2 predstavlja znač ajku fizikalnih svojstava fluida. Dinamička viskoznost fluida, µ Ns/m , definirana je s Newtonovim zakonom:
τ=µ
dw dy
2
, N/m ,
( Newtonov zakon trenja ),
(10.51)
slično kao što je koeficijent vodljivosti topline, λ W/(m K), definiran ve ć spomenutim Fourierovim zakonom: q = −λ
∂T 2 , W/m , ∂ y
(Fourierov zakon provo enja).
(10.52)
Newtonov zakon vrijedi za većinu fluida, kod kojih je deformacija fluida, izražena s dw / dy, 2 linearno zavisna o tangencijalnom (smičnom) naprezanju, τ N/m . Fluidi, kod kojih ovaj zakon ne vrijedi, nazivaju se nenjutnovski fluidi. Često se umjesto µ koristi kinematič ka 2 viskoznost , ν = µ/ ρ , m/s .
Kao što je λ povezan s molekularnim transportom topline, tako je µ povezan s molekularnim transportom impulsa. Prandtlov broj izražava odnos ova dva molekularna transporta. Reynoldsov broj Re =
ρwL wL , = µ ν
(10.53)
138
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
predstavlja znač ajku prisilnog strujanja. Na osnovi brojnih eksperimenata strujanja fluida kroz različite geometrije ustanovljene su kriterijske vrijednosti Re broja, Rek , prema kojima se procjenjuje oblik prisilnog strujanja u promatranom slučaju.
ν , iz Na primjer, za promatrano prisilno strujanje u cijevi izračuna se Re broj, Re = wD / poznatih podataka za protoč nu brzinu, w m/s, fizikalnih svojstava zadanog fluida, ν = µ/ ρ 2 m /s, i karakteristič ne linearne velič ine, unutarnjeg promjera cijevi, D m. Dobivena vrijednost za Re uspore uje se sa kriterijem, koji je za strujanja u cijevi postavljen na ovaj način: ako je Re < 2300, tada je strujanje laminarno, 4
za 2300 ≤ Re ≤ 10 , tada je strujanje prijelazno (laminarno-turbulentno), 4
ako je Re > 10 , tada je strujanje turbulentno. Pri proračunu prijelaza topline obično se koristi pojednostavljenje gornjeg kriterija, tako da se uzima jedinstveni kriterijski broj Rek = 3000. Za Re ≤ Rek strujanje se smatra laminarnim, a ako je Re > Rek , pretpostavlja se turbulentno strujanje. Kod drugačijih geometrija prisilnog strujanja važe drugačije kriterijske vrijednosti, Rek . Tako se za prisilno strujanje pored ravne stijenke (plo če) obično uzima jedinstveni kriterijski Rek broj. 5 Za Re ≤ Rek = 5.10 , strujanje je laminarno, 5 a za Re > Rek = 5.10 , strujanje je turbulentno.
Grashofov broj ( Arhimedov broj )
ρ ∞ − ρs gL3 , Gr = ρ s ν 2s
(10.54)
predstavlja značajku gibanja slobodnom konvekcijom. Ona izražava uzrok gibanja (uzgon) čestica fluida uslijed razlike gustoće. Indeks "s" ukazuje na vrijednost pri temperaturi stijenke, T s, a indeks " ∞" pri temperaturi dovoljno daleko od stijenke, T ∞. Za gravitacijsko ubrzanje 2 obično se uzima vrijednost g = 9,81 m/s , dok je L karakteristična linearna veličina promatranog slučaja, npr. visina stijenke, H , ili vanjski promjer cijevi, D. Kod plinova se obi čno pretpostavlja da vrijedi jednadžba stanja idealnih plinova, pv = RT , pa je gustoća ρ = 1/v = p /( RT ). Tada se koristi oblik: Gr =
T s − T ∞ gL3 T ∞
ν 2s
,
(10.55)
Značenje Gr broja je slično značenju Re broja. Oni se me usobno ne isključuju, kako je to u slučaju mješovite (slobodne i prisilne) konvekcije. Navedene znač ajke dovoljne su opis prijelaza topline u mnogim slu čajevima. Tada je kriterijske jednadžbe prijelaza topline mogu napisati na slijede ći način: - prisilna konvekcija: Nu = Nu( Re, Pr ),
(10.56)
- slobodna konvekcija: Nu = Nu(Gr , Pr ).
(10.57)
139
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Alternativno, mogu se uvesti i druga čije formirane bezdimenzijske značajke. Pecletov broj, Pe = RePr = wL / a, objedinjuje značajku strujanja i značajku svojstava fluida. Rayleighov broj, Ra = GrPr , objedinjuje značajku slobodnog gibanja i značajku svojstava fluida. Ukoliko se u promatranom slu čaju moraju uzeti u obzir i drugi utjecaji, oni se tako er izražavaju pomoću bezdimenzijskih veličina. Tako se, na primjer, pri prora čunu prijelaza topline na ulaznom dijelu cijevi uzima u obzir i omjer unutarnjeg promjera i dužine cijevi, D/L. U tom se slu čaju može formirati nova znač ajka, Graetzov broj, Gz = Pe(D/L). Ako je strujanje laminarno, potrebno je uzeti u obzir i smjer toplinskog toka uvo enjem omjera dinamičkih viskoziteta (µ/µ s); prema nekoj srednjoj temperaturi fluida ( µ), odnosno temperaturi stijenke (µs). Ponekad se u literaturi koristi druk čija značajka prijelaza topline, koja se naziva Stantonov broj, St = α /(ρwc p), a povezana je s Nusseltovom značajkom na slijedeći način: St = Nu /( RePr ).
(10.58)
Pri izboru empirijskih formula mora se posebna pažnja obratiti uvjetima u kojima se ona smije koristiti, kao i uputama o referentnoj temperaturi prema kojoj se uzimaju fizikalna svojstva fluida.
PROLAZ TOPLINE Da bi se odredila toplina koju fluid predaje ili prima od stijenke nužno je poznavati temperature fluida ϑ f i stijenke ϑs, jer je gustoća toplinskog toka opisana jednadžbom prijelaza topline: Q s = α(ϑ s − ϑ f ) A .
(10.59)
Kako se u praksi ne vrši mjerenje temperature stijenke, ve ć samo fluida, to jednadžba (10.59) sadrži dvije nepoznanice: qs i ϑs. Stoga je potrebno proširiti fizikalni model tako da se uključi i fluid s druge strane stijenke, čija se temperatura takoer može mjeriti. ϑ f A( x)
FLUID A
ϑ f A= konst. ϑs1
A λs
STIJENKA
ϑs2
B
ϑ f A − ϑ f B = konst.
qs
ϑ f B = konst.
T x
FLUID B
ϑ f B( x)
2
Slika 10.14 Uz definiciju koeficijenta prolaza topline, k ,W/(m K) 140
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Koeficijent prolaza topline k definira se jednadžbom prolaza topline: Q s = k (ϑ fA − ϑ fB ) A , W,
(uvjetna upotreba).
(10.60)
Ova jednadžba daje točnu vrijednost za toplinski tok Q s kroz stijenku površine A samo u slučajevima kada su temperature oba fluida konstantne, pa je i razlika ϑ f A − ϑ f B = konst. Ipak, ponekad se primjenjuje i na slu čajeve kada se male varijacije temperatura fluida ϑ f A( x) i ϑ f B( x) duž površine A smiju aproksimirati s konstantnim srednjim temperaturama, ϑ f A i ϑ f A. Osim toga, produkt kA u jednadžbi (10.60) ukazuje na povezanost koeficijenta prolaza topline i površine, pa će odreivanje k ovisiti o geometriji promatranog fizikalnog modela. U nastavku će se razmotriti dva karakteristi čna modela stijenke. Ravna ploč a Površina A kroz koju prolazi toplina jednaka je za oba fluida. Za stacionarno stanje je Q s = konst . , što zna či da se temperaturno polje vremenom ne mijenja. Primjer ta kvog
temperaturnog polja prikazan je na slici 15. Fizikalni model ima tri domene (podru č ja), dvije domene fluida A i B u kojima se odvija konvektivni prijenos topline, te domenu stijenke u kojoj se odvija provo enje topline. ϑ1 ϑ 2
A = konst. A K N E J I T S
ϑA (srednja) ϑ A − ϑ1
FLUID B
ϑ A − ϑB
FLUID A Qs
αA
T x
ϑ2 − ϑB
λs
αB
ϑB (srednja )
δs
Slika 10.15 Prolaz topline kroz ravnu stijenku Toplinski tok Q s jednak je za sve domene i opisuje se s odgovarajućim jednadžbama: Q s = α A (ϑ A − ϑ1 ) A , Q s =
λs (ϑ1 − ϑ 2 ) A , δs
Q s = α B (ϑ2 − ϑ B ) A ,
( prijelaz topline s fluida A na stijenku),
(10.61)
( provo enje kroz stijenku),
(10.62)
( prijelaz topline sa stijenke na fluid B).
(10.63)
Preoblikovanjem tih jednadžbi, tako da na desnim stranama ostanu samo razlike temperatura, te potom njihovim zbrajanjem, dobiva se: 141
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Q s 1
δ 1 = ϑ A − ϑ B , + s + A α A λ s α B
(10.64)
odnosno Q s =
ϑ A − ϑ B A . δs 1 1 + + α A λ s α B
(10.65)
U nazivniku ove jednadžbe je zbroj pojedina čnih toplinskih otpora: (1/ αA) prijelazu topline s fluida A na stijenku, (δs / λs) provoenju topline kroz stijanku i (1/ αB) prijelazu topline sa stijenke na fluid B. Veći toplinski otpor u nekoj domeni pra ćen je većom razlikom temperature u toj domeni. Prema izgledu temperaturnog polja na slici 10.15 slijedi da je najmanji toplinski otpor onaj od stijenke, jer je razlika temperatura te domene, ϑ1 − ϑ2, najmanja. Najveći toplinski otpor je na strani fluida B. Jednadžba (10.65) povezuje toplinski tok Q s s razlikom temperatura dvaju fluida ( ϑA− ϑB), pa po svom obliku odgovara jednadžbi (10.60). Stoga zaključujemo da je koeficijent prolaza topline kroz ravnu plo ču definiran jednadžbom: k =
1
δ 1 + s + α A λ s α B 1
2
, W/(m K),
(koeficijent prolaza topline – ravna stijenka). (10.66)
Odreivanje vrijednosti koeficijenta prolaza topline po toj jednadžbi zahtijeva prethodno odreivanje koeficijenata prijelaza topline αA i αB, postupkom koji je opisan ranije. Budući da se pri odre ivanju koeficijenata α koristimo prosječnom temperaturom fluida, a ne vodimo računa o stvarnoj distribuciji temperature u fluidu, to će izračunata vrijednost za k prema jednadžbi (10.66) biti upotrebljiva i u slučajevima kada postoji znač ajna promjene temperature fluida duž površine A. Razlika se javlja samo u načinu odreivanja toplinskog toka. U slučajevima kada su temperature fluida konstantne: ϑA = konst. i ϑB = konst. dobiva je točna vrijednost toplinskog toka iz jednadžbe: Q s = k (ϑ A − ϑ B ) A , W.
(toplinski tok kroz ravnu stijenku).
(10.67)
Primjena ove jednadžbe može se tolerirati i u slučajevima zanemarivih varijacija temperatura, tj. kada je ϑA( A) . konst. i/ili ϑB( A) . konst. U svim drugim slučajevima toplinski tok , ali ne i koeficijent k , odreuje se procedurom koja je posebno opisana u poglavlju o izmjenjivač ima topline!
Cijevna stijenka Kroz stijenku cijevi dužine L, definiranu s radiusima r 1 i r 2, je u stacionarnom stanju toplinski tok Q s = konst . Kako površina kroz koju prolazi toplina ovisi o radiusu, A = 2r π L, A = qs(r ). to je i gustoća toplinskog toka funkcija radiusa, qs = Qs /
142
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
A2 =2 r 2π L
FLUID A
FLUID B
r 2 r 1
λc
αA
αB
ϑA
CIJEV dužine L
T
ϑ1
ϑ2
ϑA − ϑB Qs
ϑB r
Slika 10.16 Temperaturno polje u fluidima i cijevi U svakom od tri podru č ja vrijedi odgovarajuća jednadžba za toplinski tok: Q s = α A (ϑ A − ϑ1 )2r 1π L ,
Q s =
2π L (T 1 − T 2 ) , r 2 1 ln λ c r 1
( prijelaz topline s fluida A na stijenku),
(10.68)
( provo enje kroz stijenku – prema jedn. 10.29),
(10.69)
Q s = α B (ϑ2 − ϑ B )2r 2 π L ,
( prijelaz topline sa stijenke na fluid B).
(10.70)
Preoblikovanjem tih jednadžbi, tako da na desnim stranama ostanu samo razlike temperatura, te potom njihovim zbrajanjem, dobiva se: Q s 1
r 1 1 = ϑ A − ϑ B , + ln 2 + r 1 r 2 α B 2 π L r 1α A λ c
(10.71)
odnosno, Q s =
2π L(ϑ A − ϑ B ) , W, 1 1 r 2 1 + ln + r 1α A λ c r 1 r 2 α B
(toplinski tok kroz cijev).
(10.72)
Koeficijent prolaza topline k definira se jednadžbom u kojoj se pored razlike temperatura fluida pojavljuje površina A kroz koju prolazi toplinski tok, kako je to zapisano jednadžbom (10.67). Da bi definirali koeficijent k za cijevnu stijenku potrebno je toplinski tok prema jednadžbi (10.72) izraziti uz neku površinu A = 2r π L. Logičan izbor je jedna od dvije karakteristične površine: A1 = 2r 1π L ili A2 = 2r 2π L.
143
TERMODINAMIKA
Mirko Tadić
Za toplinski tok sveden na površinu A1 glasi: Q s =
2r 1π L(ϑ A − ϑ B ) = k 1 A1 (ϑ A − ϑ B ) , r 1 r 2 r 1 1 ln + + α A λ c r 1 r 2 α B
(10.73)
koeficijent prolaza topline je: k 1 =
1 1
α A
+
r 1
λc
ln
2
r 2 r 1
+
r 1
, W/(m K),
(sveden na površinu A1). (10.74)
r 2 α B
Za toplinski tok sveden na površinu A2 glasi: Q s =
2r 2 π L (ϑ A − ϑ B ) = k 2 A2 (ϑ A − ϑ B ) , r 2 r 2 r 2 1 + ln + r 1α A λ c r 1 α B
(10.75)
koeficijent prolaza topline je: k 2 =
1 r 2 r 1α A
+
r 2
λc
ln
2
r 2 r 1
+
1
, W/(m K),
(sveden na površinu A2). (10.76)
α B
Usporedbom jednadžbi (73) i (75) vidi se da vrijedi: k 1 A1 = k 2 A2, tj. na manjoj površini A je k veći i obratno. Toplinski tok Q s može se računati iz bilo koje prethodne jednadžbe, ovisno o raspoloživim podacima temperatura, samo onda kada su te temperature konstantne, ili neznatno variraju duž površine A. U protivnom se mora koristiti prora čun izmjenjivača topline. Suprotno tome, jednadžbe (10.74) i (10.75) mogu se koristiti za odre ivanje koeficijenta k u svim slučajevima.
144
