UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Práctica 7- Límite de funciones El concepto de límite de funciones es una noción central del cálculo. Dada una función real
y
∈ ℝ queremos precisar la siguiente pregunta: 0
cuando se acerca a ?
¿Qué le pasa a
0
Aclaremos l a pregunta, pregunta, si consideramos consideramos valores de
se acercan a algún número?
cada vez más cerca del valor , ¿los 0
valores de
Para comprender el concepto de límite, lo primero que debe quedar claro es que no importa qué pasa en definida en
, sólo interesa qué ocurre “cerca” de . Más aún, la función podría no estar 0
0
. 0
Definición:
= (el límite de para tendiendo a es ) si tomando valores cercanos a (tanto mayores como menores a ) los valores de () se aproximan a . (Notar que si bien no es necesario que ∈ sí deben estar en el dominio los cercanos a y también que no importa lo que ocurra en el punto Diremos que lim⟶ 0
0
0
0
0
0
0
sino cerca de él).
= +∞ (resp. -∞) si tomando valores cercanos a (tanto mayores como menores a ) los valores de ( ) se hacen arbitrariamente grandes
Diremos que lim⟶ 0
0
0
(resp. grandes negativos).
= (el límite de para tendiendo a por derecha es ) si tomando valores cercanos a (pero mayores a ) los valores de () se aproximan a . (Notar que si bien no es necesario que ∈ sí deben estar en el dominio los cercanos y mayores a ). Idem por izquierda izqui erda y laterales que son ∞. Diremos que lim⟶ ∞ = (el límite de para tendiendo a +∞ es ) si los valores v alores de ( ) se aproximan a al ir tomando valores de arbitrariamente grandes (idem - ∞). Diremos que lim⟶ 0+
0
0
0
0
0
+
Observación:
= ⟺
lim⟶ 0
=lim⟶ − = ,
lim⟶ 0+
0
en caso contrario
(laterales distintos o alguno no existe) diremos que el límite no existe. Propiedades del límite (álgebra de límites)
∈ (, ). Si y son funciones reales definidas en (, ), salvo quizás en . Sean , , ∈ ℝ entonces:
Sea
0
´ 1
2
1
0
= y Si lim⟶ =
1) Si lim⟶ 0 o
1
0
1
= ⟹ = (o sea existen ambos límites y son lim⟶ = ´ 1
lim⟶ 0
y
0
1
´ 1
2
finitos) Práctica Práctic a 7
1 de 5
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016
−) ( ∙ )
−() = + Existe lim⟶ = lim⟶ ∙ ( ) = ∙ Si ≠ 0, existe lim⟶ = lim⟶ =
2) Existe lim⟶ 0 ( 3) 4)
0
+
( )
= lim⟶ 0
( )
0
2
0
+
1
2
1
0
( )
( )
1
( )
2
2
¿Qué ocurre si alguno de los límites no existe, no es finito ó un denominador tiende a cero? Ejemplos:
+ = +∞ lim→−∞ − = −∞ lim→ ∞ () = +∞
1) lim→ +∞
2
2)
2
3)
+
∞ + ∞ = +∞" en general " − ∞ − ∞ = −∞" en general "∞ ∙ ∞ = ∞" el signo depende de los factores en general " +
y lo mismo si alguno de los límites es un número distinto de cero. 4) lim→ 0+
+1 = 0,
en general
ln ( )
5) lim→ +∞
∙ = 1, 1
lim→ +∞
∞=0
∙ = +∞, 2
∞ =∞
y
1
lim→ +∞
∙
1 2
no hay una
= 0,
regla general cuando un factor tiende a cero y el otro a infinito, pues en cada
∙ ∞" es indeterminado. = → ∞ = +∞, lim→ ∞
ejemplo nos dio un resultado distinto. Conclusión "0 6)
→
2 1 ∞ 3 = →+∞ = 0,
+
→
+
3 ∞ 2
2 2
+
+
2
=2
no hay una regla general cuando el numerador tiende a infinito y el denominador también, pues en cada ejemplo nos dio un resultado distinto. Conclusión “
∞ ∞ “es
indeterminado. 7)
→
2
2 − 2 = ∞,
en general
0
=
∞ si ≠ 0 y el signo depende del signo de
los factores. 8)
→
− −(−2+ ) − 2 = → 2 − 2 = −1, 2
2
→
2(
− 2 1 − 2)2 = →2 − 2 = ∞,
no hay
una regla general cuando el numerador tiende a cero y el denominador también, pues en cada ejemplo nos dio un resultado distinto. Conclusión “
0 0
“es
indeterminado. Cuando queremos calcular un límite y no se pueden aplicar directamente las propiedades básicas diremos que estamos en presencia de una indeterminación. Para poder calcular este tipo de límites debemos recurrir a algún tipo de manipulación algebraica para “salvar” la indeterminación y poder luego aplicar alguna propiedad conocida. Los casos en donde estaremos en presencia de un límite indeterminado son 0 0
Práctica 7
,
∞ , 0 ∙ ∞ , ∞ − ∞, ∞
00 ,
∞, 0
1∞
2 de 5
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Ejercicios: 1) Para la función cuyo gráfico se da a continuación, identificar cada límite o establecer que no existe. (a)
(b)
lím x 0
f ( x)
(e)
3
lím x 0
(f)
2
f ( x)
(g)
2 (c)
(d)
lím x 0
f ( x)
-2 -1
1
(h)
-2
lím
x 1
(i)
f ( x)
lím x 1 lím x 2
f ( x) f ( x)
lím x 2 lím x 2 lím
f ( x)
f ( x)
x 2
f ( x)
2) Calcular los siguientes límites: (a)
(b)
(c)
lím x 2 lím x 2 lím x 2
5x
(d)
(2 x 3)
(e)
( x 4 x 1)
(f)
2
lím x 2 x 3 x 2
x 2 4
lím
x 2 x 2 4 lím
x 4
25 x 2
3) Calcular los siguientes límites usando el álgebra de límites: (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
lím
sen( x) 2 x 1 x 1
(g)
lím
sen( x)(2 x 1) x 1 lím sen( x) x 1 2 x 1 lím x 2
ln( x 2)
lím
x 1 x 1
lím
e2 x 5
x 1 x 2 lím
( x 3 x 2) 3 x 1 x 1
(j)
x x 2 x x 2 x 3 x 2 5
( x 2)( x 3)
x 2 1
x 1
x 2 1 2
(i)
2
x 5
lím
(h)
lím
(k)
2
lím
lím
3 x x x 1
x3 1 x 0 0 4) Dada la siguiente función, f ( x) x 0 x 1 2 x 0
Práctica 7
3 de 5
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I – 2do cuatrimestre 2016 Calcular: (a) (b)
lím x 0
f ( x)
(c)
f ( x)
(d)
lím x 0
lím x 0
f ( x)
lím x 1
lím
(e)
x 3
f ( x)
f ( x)
5) (Optativo) Graficar funciones que cumplan con las condiciones dadas en cada ítem: (a) f (1) 2 , f (0) 1 , f (1) 3 y
2 x 1,
(b) f ( x) 1 para
lím x 1
lím x 1
f ( x ) no existe. lím
f ( x ) 3 y
x 2
f ( x ) 1 .
Límites en infinito y que dan infinito 6) Calcular los siguientes límites
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
lím
ln( x )
x 0 3x 1 3 x
lím
x 2 x 2 3 x
lím
x 2 x 2 lím
(g)
(h)
5
x 4 ln(4 x)
e x 4
x 3 x 2 9
(f)
lím
lím x
lím
x 2 4 x
e
x 3 x
x ln(4 x 2 1) lím
2e x 3
x 3e x 2
5
x 2
2x
7) Calcular los siguientes límites indeterminados:
(a)
(b)
(c)
(d)
lím ( x 1)( x 2)( x 3) x 1
( x 1)( x 3) 2
lím x 2 4 x 2 x 2
x 1 x 2 4 x 3 3 x
x 3 x 2 x 3
Práctica 7
2
(e)
lím x 2 3 x 2 lím
(f)
(g)
lím x 2 2 x x 0 x 3 x
lím
2 x 2 2
x 1 x 2 3 x 4
lím
3 x 2 12
x 2 x 2 x 6
4 de 5
UNPAZ - APU - Algebra y Análisis I - 1er cuatrimestre 2016
8) Calcular los siguientes límites indeterminados en infinito:
a)
b)
c)
d)
Práctica 7
lím x lím x lím
5 x 3 x 2 x 6
5
x 3 6 x 2 x 4 3 x
x x 4 2 x 5 lím
x 2 2 x 1
x 3 3 x 2
e)
f)
g)
h)
lím
x 3 4 x
x 3 x 2 2 x 1 lím
x 5 3 x
x 3 x 5 2 lím
x 7 3 x
x 3 x 2 2 x 1 lím
x 3
x 2 x 8 5 x
5 de 5
