practicas_simulacion-U3.pdf

Ingeniería Industrial

Instituto Tecnológico de Aguascalientes

Simulación

2017 Prácticas de Simulación – Unidad 3

Mora_House . 1-1-2017 MC. Jesús Mora Ruiz

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Simulación













Simulación

Índice Práctica No. 3 ............................................................................................................................................

1

Competencias: ..................................................................................................................................

1

Marco teórico: ...................................................................................................................................

1

Material y equipo ...............................................................................................................................

1

Metodología ......................................................................................................................................

1

Método estadístico numérico Monte Carlo .............................................................................................

1

1.

Actividad de aprendizaje práctica. Método Monte Carlo .............................................................. 2 Tratamiento con Excel, práctica 3.1 .......................................................................................

2.

2

Actividad de aprendizaje práctica. Método Montecarlo ................................................................ 4 Tratamiento con Excel, práctica 3.2 .......................................................................................

4

Determinación del tipo de distribución de un conjunto de datos ............................................................... 5 3.

Actividad de aprendizaje práctica. Prueba Chi-cuadrada ............................................................. 5 Tratamiento con Excel, práctica 3.3 .......................................................................................

4.

6

Actividad de aprendizaje práctica. Prueba de Kolmogorov-Smírnov ............................................. 7 Tratamiento con Excel, práctica 3.4 .......................................................................................

5.

8

Actividad de aprendizaje práctica. Prueba de Anderson-Darling................... ................... ............. 8 Tratamiento con Excel, práctica 3.5 .....................................................................................

10

Ajuste de datos con Stat::Tit ...............................................................................................................

10

6.

Actividad de aprendizaje práctica. Ajuste de datos con Stat::Fit ................................................. 11 Tratamiento con Stat::Fit (Promodel), práctica 3.6 ........................................................................ 11

7.

Actividad de aprendizaje práctica. Ajuste de datos con Stat::Fit ................................................. 12 Tratamiento con Stat::Fit (ProModel), práctica 3.7 ........................................................................ 12

Generación de variables aleatorias .....................................................................................................

13

Método de la transformada inversa .................................................................................................

13

8.

Actividad de aprendizaje práctica. Distribución uniforme. ...................................................... 13 Tratamiento matemático, práctica 3.8 ...................................................................................... 13 Tratamiento con Excel, práctica 3.8 ................ ..................... .................. .................... .............. 13

9.

Actividad de aprendizaje práctica. Distribución exponencial. .................................................. 14 Tratamiento matemático, práctica 3.9 ...................................................................................... 14













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Tratamiento con Excel, práctica 3.10 ....................................................................................... 15 Método de convolución .................................................................................................................. 11.

16

Actividad de aprendizaje práctica. Distribución de Erlang. ................................................. 16

Tratamiento matemático, práctica 3.11 .................................................................................... 16 Tratamiento con Excel, práctica 3.11 ....................................................................................... 16 12.

Actividad de aprendizaje práctica. Distribución Normal................. ..................... ................ 16

Tratamiento matemático, práctica 3.12 .................................................................................... .................................................................................... 16

Tratamiento con Excel, práctica 3.12 ....................................................................................... 17 13.

Actividad de aprendizaje práctica. Distribución Binomial.................... .................. .............. 17

Tratamiento con Excel, práctica 3.13 ....................................................................................... 17 Método de composición ................................................................................................................. 14.

18

Actividad de aprendizaje práctica. Distribución Triangular. ................................................ 18

Tratamiento con Excel, práctica 3.14 ....................................................................................... 18 15.

Actividad de aprendizaje práctica. Resumen. ................................................................... 19

Tratamiento con Excel, práctica 3.15 ....................................................................................... 19 Actividades complementarias .............................................................................................................

20

Actividad complementaria 3.1Co ..................................................................................................... 20 Actividad complementaria 3.2Co ..................................................................................................... 20 Actividad complementaria 3.3Co ..................................................................................................... 20 Actividad complementaria 3.4Co ..................................................................................................... 21 Actividad complementaria 3.5Co ..................................................................................................... 21 Actividad complementaria 3.6Co ..................................................................................................... 21 Reporte de la practica ........................................................................................................................

21

Sugerencias ..................................................................................................................................

22













Simulación

Práctica No. 3 Construcción de Modelos de Simulación

Docente: MC. Jesús Mora Ruiz

Ingeniería Industrial-2017a Industrial -2017a

Competencias:    

Conceptualiza las etapas de un proyecto de simulación. Diseña la metodología para elaborar el proyecto integrador de simulación. Establece propuestas del proyecto integrador de simulación y logra la aceptación (de una sola). Define diversas medidas del desempeño del sistema a simular.

Marco teórico: Un modelo de simulación permite lograr un mejor entendimiento mejor entendimiento de prácticamente cualquier sistema. Para ello resulta Indispensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí. Pero, ¿cómo podemos determinar qué tipo de distribución tiene ti ene una variable vari able aleatoria? aleato ria? ¿Cómo podemos pode mos usarla en el modelo, modelo, una vez que conocemos conocemos su distribución distribución asociada? En este capítulo comentaremos los métodos y herramientas que pueden dar contestación a estas interrogantes clave para la generación del modelo. Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico en la realidad. Por ejemplo, el número de dientes que llegan cada hora aun banco depende del momento del día, del día de la semana y de otros factores; por lo general, la afluencia de clientes será mayor al mediodía que muy temprano por la mañana; la demanda será más alta el viernes que el miércoles; habrá más clientes un día de pago que un día normal, etc. Dadas estas características, las variables aleatorias deben cumplir reglas de distribución de probabilidad como éstas:    

La suma de las las probabilidades probabilidades asociadas asociadas a todos los valores posibles posibles de la variable variable aleator alea toria ia x es e s uno. u no. La probabilidad de que un posible valor de la variable x se presente siempre es mayor que o igual a cero. El valor esperado de la distribución de la variable aleatoria es la media de la misma la cual a su vez estima la verdadera media de la población. Si la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria está definida por más de un parámetro, dichos parámetros pueden pue den obtenerse mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza 2 de la población puede ser estimada usando la varianza de una muestra que es s 2. De la misma manera, la desviación estándar de la población, δ, puede estimarse mediante la desviación estándar de la muestra s.



Material y equipo   

Libreta u hojas blancas de papel bond Lápiz. Sacapuntas. Borrador. Laptop o pc y los programas necesarios para el desarrollo de la práctica.

Metodología Forme un equipo de trabajo de dos integrantes. Para poder realizar una buena simulación es necesario entender los conceptos básicos que componen lo que se va a simular. Lea cuidadosamente el marco teórico correspondiente a esta práctica. Realice un ensayo y mapa mental de cada uno de los temas. Realice todas las simulaciones en al













Simulación

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Labor atorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, pr oblema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en virtud del teorema del límite límite central.

 √

1. Actividad de aprendizaje práctica. Método Monte Carlo Tratamiento con Excel, práctica 3.1 En Excel abrimos un nuevo archivo y le daremos el nombre de: Eq-x_AAP_U3.XLS. Eq-x_AAP_U3.XLS. y a la hoja hoj a 1 la nombraremos práctica_3-1. En la imagen inferior i nferior se muestra un análisis histórico de 200 días sobre el número de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial (EIS) residente en un servidor central. La tabla incluye el número de consultas diarias (0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (número de días que se producen 0, 1, ..., 5 consultas), las frecuencias relativas (10/200 = 0,05, ...), y las frecuencias relativas acumuladas.

Podemos interpretar la frecuencia relativa como la probabilidad de que ocurra el suceso asociado, en este caso, la probabilidad de un determinado número de consultas (así, p.e., la probabilidad de que se den 3 consultas en un día sería de 0,30), por lo que la tabla anterior nos proporciona la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta (la variable aleatoria es el número de consultas al EIS, que sólo puede tomar valores enteros entre 0 y 5). Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de consultas por día. La respuesta a esta pregunta es fácil si recurrimos a la teoría de la probabilidad: Denotando por X a la variable aleatoria que representa el número diario de consultas al EIS, sabemos que:

Por otra parte, también podemos usar simulación de Monte Carlo para estimar el número esperado de consultas diarias (en este caso se ha podido obtener el valor exacto usando teoría de probabilidad, pero ello no siempre será factible).















[0,15, 0,35) para el suceso 2

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[0,85, 1,00) para el suceso 5

El gráfico siguiente nos muestra cada una de las probabilidades sobre el número de consultas. En él, se aprecia claramente la relación existente entre probabilidad de cada suceso y el área que éste ocupa.

Esto significa que, al generar un número pseudo-aleatorio con el ordenador (proveniente de una distribución uniforme entre 0 y 1), estaremos llevando a cabo un experimento cuyo resultado, obtenido de forma aleatoria y según la distribución de probabilidad anterior, estará asociado a un suceso. Así, por ejemplo, si el ordenador nos proporciona el número pseudo-aleatorio 0,2567, podremos suponer que ese día se han producido 2 consultas al EIS. Asignamos pues la función ALEATORIO a una casilla (la G1 en el caso de la imagen):

Seleccionando la celda y “arrastrando” con el ratón desde el borde inferior derecho de d e la misma podemos obtener un listado completo de números pseudo-aleatorios:

A continuación, podemos usar la función SI de Excel para asignar un suceso a cada uno de los números pseudoaleatorios generados (como veremos, otra forma de hacer esta asignación será usando la función BUSCARV): BUSCARV):













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En este caso, hemos obtenido un valor estimado que corresponde exactamente con el valor real anteriormente calculado vía la definición teórica de la media. Sin embargo, debido a la componente aleatoria intrínseca al modelo, normalmente obtendremos valores “cercanos” al valor real, siendo dichos valores diferentes unos de otros (cada simulación proporcionará sus propios resultados). Se puede comprobar este hecho pulsando repetidamente sobre la función F9 (cada vez que se pulsa dicha tecla, Excel genera nuevos valores aleatorios y, por tanto, nuevos valores para la columna H y la casilla I1). Si en lugar de usar una muestra aleatoria formada por 100 observaciones hubiésemos usado una formada por 10, los valores que obtendríamos al pulsar repetidamente F9 no serían estimaciones tan buenas al valor real. Por el contrario, es de esperar que si hubiésemos usado 1.000 (o mejor aún 10.000) observaciones, los valores que obtendríamos en la casilla I1 estarían todos muy cercanos al valor real.

2. Actividad de aprendizaje práctica. Método Montecarlo Tratamiento con Excel, práctica 3.2 En Excel abrimos un nuevo archivo y le daremos el nombre de: Eq-x_AAP_U3.XLS. Eq-x_AAP_U3.XLS. y a la hoja hoj a 2 la nombraremos práctica_3-2. Veamos un ejemplo algo más complejo del uso de Excel para construir modelos de simulación MC cuando las variables aleatorias sean discretas: Supongamos que trabajamos en un gran almacén informático, y que nos piden consejo para decidir sobre el número de licencias de un determinado sistema operativo que conviene adquirir las licencias se suministrarán con los ordenadores que se vendan durante el próximo trimestre, y es lógico pensar que en pocos meses habrá un nuevo sistema operativo en el mercado de características superiores. Cada licencia de sistema operativo le cuesta al almacén un total de 75 Euros, mientras que el precio al que la vende es de 100 Euros. Cuando salga al mercado la nueva versión del sistema operativo, el almacén podrá devolver al distribuidor las licencias sobrantes, obteniendo a cambio un total de 25 Euros por cada una. Basándose en los datos históricos de los últimos meses, los responsables del almacén han sido capaces de determinar la siguiente distribución de probabilidades por lo que a las ventas de licencias del nuevo sistema operativo o perativo se refiere:













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Finalmente, es posible estimar el valor esperado de la variable aleatoria que proporciona los beneficios sin más que hallar la media de las 100 observaciones que acabamos de realizar. Asimismo, usaremos las funciones DESVEST e INTERVALO.CONFIANZA para hallar, respectivamente, la desviación estándar de la muestra obtenida y el intervalo de confianza (a un nivel del 95%) para el valor esperado:

La apariencia final de nuestro modelo será:













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El histograma (vea la figura 3.1) de los n =50 datos, considerando m = 11 intervalos, i ntervalos, la media muestral de 15.04 y la varianza muestral de 13.14, permiten establecer la siguiente hipótesis: H α α : Poisson (λ = 15) automóviles/hora Hi: Otra distribución

Comenzamos por calcular la probabilidad de cada intervalo a partir de la función, de probabilidad de Poisson:

  !

Figura 3.1 Histograma de frecuencia de la llegada de automóviles a la gasolinera.

      !         8,9  !  ! 0.0519 Por ejemplo, para el intervalo 8-9. 8,9 X = 0, 1, 2, …

X = 0, 1, 2, …

   ,  50 50

Enseguida calculamos la frecuencia esperada en cada intervalo, multiplicando la probabilidad p(x) por el total de datos de la muestra: Y luego estimamos el estadístico de prueba:

A partir de los cálculos anteriores se obtiene la tabla 3.1. Tabla 3.1 Cálculos para la prueba Ch i-cuadrada.

El valor del estadístico de prueba: c = - 1.7848 comparado con el valor de tablas crítico: = 18,307 indica que no podemos rechazar la hipótesis de que la variable aleatoria se comporta de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 15 automóviles/hora.

.,

Tratamiento con Excel, práctica 3.3 En Excel abrimos un nuevo archivo y lo nombraremos: Eq-x_AAP_U3.XLS. Eq-x_AAP_U3.XLS. a la hoja 3 la nombraremos práctica_3-3. Realice los cálculos necesarios para conocer el resultado.













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4. Actividad de aprendizaje práctica. Prueba de Kolmogorov-Smírnov Un estudio del comportamiento del tiempo entre roturas de cierto filamento, medido en Minutos/rotura, se muestra a continuación: 4.33 9.97 2.81 4.34 1.36

1.61 7.86 14.39 1.76 3.33

2.16 5.49 3.44 2.30 6.58

2.88 0.98 9.92 5.24 1.45

0.70 4.52 4.38 11.65 8.42

0.44 2.12 8.04 10.92 3.69

1.59 4.44 2.18 12.16 2.4 4

2.15 0.82 6.19 6.60 0.28

8.59 6.96 4.48 0.85 1.90

7.36 3.04 9.66 4.82 2.89

Determinar la distribución distribución de probabilidad con un nivel de significancia significancia α de 5 por ciento. El histograma (vea la figura) de los n = 50 datos con m = 8 intervalos, interv alos, la media muestral de 4.7336 y la varianza muestral de 12.1991 permiten estimar un parámetro pa rámetro de forma de 1.38 y un parámetro de escala de 5.19, y establecer la hipótesis: H 0 0 : Weibull (α = 1.38, β = 5.19) minutos/rotura H 1: Otra distribución Iniciamos el procedimiento calculando la probabilidad observada en cada intervalo: Para después calcular la probabilidad observada acumulada hasta el intervalo i. Posteriormente calculamos la probabilidad esperada acumulada de cada intervalo PEAi a partir de la función Figura 3.2 Histograma de frecuencias del tiempo entre roturas. de probabilidad acumulada de Weibull:

Por ejemplo, para el intervalo con el límite superior de 8.

Por último, calculamos el estadístico de prueba A partir de los cálculos anteriores se obtiene la tabla 3.2:















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Tratamiento con Excel, práctica 3.4 En Excel abrimos un nuevo archivo y lo nombraremos: Eq-x_AAP_U3.XLS. a la hoja 4 la nombraremos práctica_34. Realice los cálculos necesarios para conocer el resultado.

5. Actividad de aprendizaje práctica. Prueba de Anderson-Darling Los siguientes son los datos de un estudio del tiempo de atención a los dientes en una florería, medido en minutos/cliente: 9.400 8.620

9.346 13.323 7.112 13.466 5.764 8.974 9.831 10.056













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Se encuentra la probabilidad acumulada en la tabla normal estándar. De esta forma tenemos una PEA 7 = 0.1385 para z = -1.0867 y, para z = 0.0285 una PEA24 = 0.5112 y 1 – PEA24 = 0.4888. En las columnas C6, C7 y C8 se desglosan los cálculos del estadístico de prueba:



 2.825724  ., 2.492

Una vez calculado el estadístico de prueba es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3. En este caso, como tenemos n 5 no se requiere ajuste. Por último, al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico de la prueba con el nivel de significancia seleccionado, (vea la tabla 3.3, en donde se dan los valores críticos de a), se rechaza la hipótesis Ho. Tabla 3.4 Cálculos de la hipótesis inicial en la prueba de Anderson - Darling.















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 

Una vez calculado el estadístico de prueba, es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3 En este caso, como tenemos n 5, no se requiere ajuste. Por último, al comparar el estadístico estadístico de prueba = 1.3516 con el valor crítico con el nivel de significancia seleccionado, seleccionado, 0.05,30 = 2.492 (tabla 3.3 de d e valores críticos de ), vemos que no se puede rechazar la hipótesis H 0.



Tabla 3.5 Cálculos de la segunda hipótesis en la prueba de Anderson-Darling

Nota: Solo se muestra una parte de la tabla

Tratamiento con Excel, práctica 3.5 En Excel abrimos un nuevo archivo y lo nombraremos: Eq-x_AAP_U3.XLS. a la hoja 5 la nombraremos práctica_35. Realice los cálculos necesarios para conocer el resultado.













6. Actividad de aprendizaje práctica. Ajuste de datos con Stat::Fit Los datos del número de automóviles que entran a una gasolinera por hora son: 14 13 13 20 12

7 15 20 10 14

13 10 8 18 20

16 15 17 15 15

16 16 19 13 10

13 14 11 16 13

14 12 12 24 21

17 17 17 18 23



15 14 9 16 15

16 12 18 18 18

Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia de 5 por ciento. Tratamiento con Stat::Fit (Promodel), práctica 3.6 Abra el programa ProModel e inicie Stat::Fit. Después de introducir estos datos d atos en Stat::Fit, despliegue el menú Statistics y seleccione el comando Descriptive. Enseguida aparecerá una nueva ventana con el nombre de Descriptive Statistics en donde se muestra el resumen estadístico de la variable (vea la figura 3.8). Guarde el archivo con del nombre Eqx_AAP_U3_3-6.sfp (Nota: recuerde que lo tiene que entregar con el reporte de la práctica). Para determinar el tipo de distribución de probabilidad de los datos, seleccione el co-

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media 15.0 (esta última coincide con el resultado que obtuvimos en la práctica 3.3 mediante la prueba de bondad ríe ajuste Chi-cuadrada).

Haga click en cualquiera de las distribuciones

Figura 3.10 Ventana de resultados del análisis de la variable aleatoria.

Haga clic con el ratón en cualquiera de las dos distribuciones (vea la figura 3.10); enseguida se desplegará el histograma que se ilustra en la figura 3.11, presentándole un histograma: las barras azules representan la frecuencia observada de los datos; la línea roja indica la frecuencia esperada de la distribución teórica.















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En la ventana Comparíson Graph puede compararse la forma de la distribución distribución normal (verde) y lognormal (roja) propuestas por Stat: :Fit, y la diferencia respecto del histograma de frecuencias de la muestra.













9. Actividad de aprendizaje práctica. Distribución exponencial.

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10. Actividad de aprendizaje práctica. Distribución de Bernoulli. Los datos históricos sobre la frecuencia de paros de cierta máquina muestran que existe una probabilidad de 0.2 de que ésta falle (x = 1), y de 0.8 de que no falle falle (x = 0) en un día determinado. Generar una u na secuencia aleatoria que simule este comportamiento. Tratamiento matemático, práctica 3.10

A partir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con media 0.8. P(x) = (0.2)*(0.8) para x = 0, 1 Se calculan las probabilidades puntuales y las acumuladas para x - 0 y x -1, y se obtienen los datos ilustrados en la tabla 3.8. Tabla 3.8 Cálculo de las probabilidades acumulada de las fallas de la máquina

La regla para generar esa variable aleatoria estaría dada por:













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Método de convolución 11. Actividad de aprendizaje práctica. Distribución de Erlang. El tiempo de proceso de cierta pieza sigue una distribución 3-Erlang con media 1/λ de 8 minutos/pieza. Una ~ U(0 , 1) y la ecuación de generación lista de números pseudoaleatorios r i i ~ gene ración de números números Erlang permite permite obtener obtener la tabla 3.14, que indica el comportamiento dela variable aleatoria.

    ∏  ∏ 1  

Tratamiento matemático, práctica 3.11

→

    1  11  11  

Tabla 3.14 Simulación del tiempo de proceso para la práctica 3.11.













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Tratamiento con Excel, práctica 3.12

En Excel abrimos un nuevo archivo y lo nombraremos: Eq-x_AAP_U3.XLS. a la hoja 10 la nombraremos práctica_312. Realice los cálculos necesarios para conocer el resultado.















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Método de composición El método de composición (conocido también como método mixto) permite generar variables aleatorias x cuando éstas provienen de una función de densidad f(x) que puede expresarse como la combinación convexa de m distribuciones de probabilidad fi(x). Entonces, la combinación convexa se puede expresar como:

 1  ∈













15. Actividad de aprendizaje práctica. Resumen. Utilizando una hoja de cálculo de Excel, genere 100 variables aleatorias a) exponencialmente distribuidas con  = 3. b) normalmente distribuidas con media 10 y varianza 4.

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Simulación

Actividades complementarias Actividad complementaria 3.1Co Determine, con un nivel de confianza de 90%, qué tipo de distribución distribuci ón siguen los datos; utilice la prueba de AndersonDarling. Compruebe con Stat::Fit.













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Actividad complementaria 3.4Co Utilice la prueba de Kolmogorov-Smirnov para determinar, con un nivel de confianza de 90%, qué tipo de distribución siguen los datos. Compruebe con Stat::Fit. 5

3

3

2

2

4

6

4

3

6

2

8

6

2

2

0

3

3













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Sugerencias   

Realice inicialmente todos los análisis en la libreta o en hojas en blanco, haga representaciones de todo lo que se pide. Analice como representar los elementos de cada uno de los ejercicios. Compare sus respuestas con otros equipos para analizar la manera en que cada uno realiza la abstracción de

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