UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”
COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA DPTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN LABORATORIO DE DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
PRÁCTI PRÁCTICA CA N° 1 INTRODUCCIÒN A MATLAB Y UTILIZACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS COMO HERRAMIENTAS PRIMORDIAL EN EL ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
PROFESOR: PROF. Ing. Esp. Carlos A. Pérez
Matlab Matlab es la abrev abreviat iatura ura de Matrix Matrix La Labor borat atory ory (labor (laborat atori orio o de matric matrices) es).. Creado en 1984 por The MathWorks, es un software de cálculo muy usado en universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente procesadores digitales digitales de señal, crear código, etc.
Con esta práctica se pretende realizar una introducción al uso del paquete de modela modelado, do, simula simulació ción n y anális análisis is de siste sistemas mas dinámi dinámicos cos SIMULI SIMULINK. NK. Este Este paqu paquet ete e form forma a part parte e de MATL MATLAB AB,, y perm permit ite e la simu simula laci ción ón int interac eracti tiva va de sistemas, es decir, se pueden cambiar los parámetros e inmediatamente ver lo que sucede.
OBJETIVO GENERAL •
Iniciación en la utilización de la herramienta de simulación de sistemas dinámicos
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Conocer el entorno de trabajo de MATLAB, así como sus diversos comandos.
Desarrollar ecuaciones diferenciales sencillas mediante la aplicación de la transformada de Laplace
Aplicar diferentes perturbaciones al proceso y analizar su respuesta.
QUÉ ES MATLAB?. • Paquete software orientado al cálculo numérico, matrices, procesamiento y análisis
de la señal y gráficas.
DISTINTOS CAMPOS DE ACCIÓN (APLICACIONES): Teoría de control Tratamiento de señales Inteligencia artificial Diseño de sistemas de potencia Control de procesos mecánicos, de aviación, automoción, etc. Financiero Mapeo y tratamiento de imágenes Instrumentación y adquisición de datos identificación de sistemas
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INTERFAZ:
Figura 1. Interfaz de Matlab.
LA TOOLBOX DE CONTROL DE MATLAB • Funciones de aplicación específica para ingeniería de control de sistemas. Son ficheros
*.M • Sirve tanto para control continuo como para control discreto, clásico (en espacios
transformados sobre sistemas LTI) y de otros tipos (variables de estado, borroso, neuronal, robusto, no lineal, etc.) • En los dos campos permite realizar tareas de: modelado , conversión de modelos y
análisis de respuesta temporal, frecuencial y en espacios transformados • Las herramientas para obtención de los modelos de los sistemas se encuentran en otra
Toolbox: la de identificación • Todas las funciones de control se encuentran en la demo de control que se ejecuta con
el comando MATLAB: ctrldemo
• Las funciones de la toolbox en MATLAB permiten trabajar solo sobre sistemas lineales e invariantes continuos y discretos en el tiempo, y en espacio transformado • Permiten representar los sistemas LTI mediante 4 modelos diferentes en los espacios transformados (‘s’ para sistemas continuos y ‘z’ para sistemas discretos): Función de transferencia Función Polo-Cero Descomposición en fracciones simples Variables de Estado
• El formato Función de Transferencia (FT) corresponde con representaciones del siguiente tipo:
• Las siguientes funciones permiten realizar conversiones entre los distintos formatos de representación de sistemas
SEÑALES DE ENTRADAS En el análisis de un sistema de control es necesario conocer su comportamiento ante diferentes tipos de entradas o perturbaciones, por lo que se estudiarán, en esta sección, una serie de señales que comúnmente ocurren en la vida real, tales como el impulso, el escalón, Y la rampa.
RESPUESTA TEMPORAL • Se usa para obtener características temporales del régimen transitorio y del
permanente o estacionario, de la respuesta de un sistema a entradas diversas • Las funciones de la toolbox de MATLAB utilizadas para generar respuestas temporales ante entradas variadas, son las siguientes
ANTES DE COMENZAR: DEBE ABRIR UN NUEVO SCRIPT (ESTO LE PERMITE REALIZAR EL ALGORITMO Y HACERLE MODIFICACIONES FUTURAS ) -
SELECCIONE EN LA PESTAÑA “HOME” SE DESPLIEGA VARIAS OPCIONES SELECCIONE “NEW SCRIPT” COPIE EL ALGORITMO DEL PROBLEMA PLANTEADO UNA VEZ FINALIZADO VAYA A LA PESTAÑA “EDITOR” Y UBIQUE “SAVE” ALLI GUARDARA EL ARCHIVO CREADO BAJO ESTE FORMATO: (NOMBREAPELLIDOACTV1 (NOTESE QUE TODO ESTA PEGADO SI USTED OPRIME LA TECLA ESPACIO LE ARROJARA UN ERROR) - UNA VEZ GUARDADO EN LA MISMA PESTAÑA DE “EDITOR” UBIQUE “RUN” ALLI LE GENERARA EL RESULTADO DE LO OBTENIDO Ó SI TIENE ALGUN ERROR LE INFORMARÁ DONDE PARA CORREGIR. CADA VEZ QUE USTED REALICE ALGUN CAMBIO DEBE GUARDAR (SAVE) ANTES Y LUEGO CORRER (RUN) EL ALGORITMO.
SUPONGA LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL 3 " 5 6() = 3 ∗
Pasos a seguir: 1.- primero se debe aplicar el teorema de diferenciación real:
Se debe recordar que la derivada es de segundo orden por lo tanto: 2 () £ = 2 0 ′(0) 2
() £ = 0
- Se supone que y(0) = 0 debido a que se encuentra en estado estacionario. Pr lo tanto el término del lado izquierdo queda: 3 2
5
6
2.- se trabaja ahora con la parte derecha de la igualdad y s recurre al uso de tablas de transformadas de Laplace: =
Entonces: 3 =
2 2
+
=
+
3.- Se supone que X(t) = función de perturbación tipo escalón unitario por lo tanto : 1 =
ó : 3 2
5
6 =
Sacando factor común y(s) ∗ 3 2 5 6 =
Despejando y(s) =
+
*
+
3 9 3 2 5 6
CON ESTA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA NOS VAMOS AL ENTORNO DE MATLAB.
Se abre el programa Matlab y se comienza con el siguiente algoritmo en script: 1.- Primero se debe trabajar con el numerador (num1) luego con el denominador, como puede observa en el denominador hay una multiplicación por lo cual llamaremos den1 y den 2
num1 = [3]; %numerador de la función de transferencia den1= [1 0 9 0]; %denominador nº 1 de la f.t den2=[3 5 6]; %denominador nº 2 de la f.t DEN = conv(den1,den2); %multiplicación de los polinomios del denominador G= tf (num1,DEN); %función de transferencia del proceso; [Z,P,K]= residue (num1,DEN); %zeros (numerador) y polos (denominador) de la f.t H=roots(NUM); step(num1,DEN); %respuesta gráfica del proceso ante una perturbación tipo escalón unitario
-
-
RESULTADOS OBTENIDOS POR MATLAB
RESULTADOS OBTENIDOS POR MATLAB
RESULTADOS OBTENIDOS POR MATLAB
CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE PROCEDE A LLEVAR LOS RESULTADOS DEL DOMINIO DE LAPLACE (PLANO IMAGINARIO) AL DOMINIO DEL TIEMPO (PLANO REAL) =
H = (RAICES DEL POLINOMINO) 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 3.0000i 0.0000 - 3.0000i -0.8333 + 1.1426i -0.8333 - 1.1426i
=
+ ++
=
+ + +4 +4
NOTA: HAY TRES CASOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR: - RAICES REALES Y DIFERENTES - REICES REALES E IGUALES - RAICES IMAGINARIAS (COMO ES EL CASO OBJETO A ESTUDIO)
,, ,,
CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE PROCEDE A LLEVAR LOS RESULTADOS DEL DOMINIO DE LAPLACE (PLANO IMAGINARIO) AL DOMINIO DEL TIEMPO (PLANO REAL) =
, , , ,
Z= 0.0053 + 0.0038i 0.0053 - 0.0038i -0.0330 + 0.0142i -0.0330 - 0.0142i 0.0556 + 0.0000i P= 0.0000 + 3.0000i 0.0000 - 3.0000i -0.8333 + 1.1426i -0.8333 - 1.1426i 0.0000 + 0.0000i
CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE PROCEDE A LLEVAR LOS RESULTADOS DEL DOMINIO DE LAPLACE (PLANO IMAGINARIO) AL DOMINIO DEL TIEMPO (PLANO REAL) =
(, ) (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) ,, ,,
SE DEBE HACER USO DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA LOS CASOS DONDE LAS RAICES SEAN REALES (DIFERENTES O IGUALES), COMO ES EL CASO DEL PRIMER TERMINO DE LA EXPRESIÓN. PARA EL CASO DE RAICES IMAGINARIAS SE DEBE TRABAJAR CON LA SIGUIENTE ECUACIÓN:
£
−−
−−
=
Parte real del numerador
Parte imaginaria del numerador
CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE PROCEDE A LLEVAR LOS RESULTADOS DEL DOMINIO DE LAPLACE (PLANO IMAGINARIO) AL DOMINIO DEL TIEMPO (PLANO REAL) =
(, ) (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) ,, ,,
El primer termino su raiz es real , pero del termino 2 al 5 son imaginarias por lo cual se trabajaran con la ecuación dada anteriormente Trabajando con B y C £
(,+,) −
(,−,) +
=
w= 3 (se toma siempre positivo el signo) r=0 A real = 0,0053; A imaginario = 0,0038 B real = 0,0053; B imaginario = -0,0038
= , ,
CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE PROCEDE A LLEVAR LOS RESULTADOS DEL DOMINIO DE LAPLACE (PLANO IMAGINARIO) AL DOMINIO DEL TIEMPO (PLANO REAL) =
(, ) (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) ,, ,,
, , , (, )
RESULTADO: , ,
DE IGUAL FORMA PARA LOS TERMINOS D Y E SE OBTIENEN: , , , , (, ) , , , , ,
CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE PROCEDE A LLEVAR LOS RESULTADOS DEL DOMINIO DE LAPLACE (PLANO IMAGINARIO) AL DOMINIO DEL TIEMPO (PLANO REAL) =
(, ) (, ,) (, ,) (, ,) (, ,) ,, ,,
: = − , = +
, − = 0,06
LA RESOLUCIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO SERÍA: = , ,
+ , , , , ,
0,06
= , , ,
,
+
