Magíster Ingeniería Industrial Dr. Gustavo Gatica
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Afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias. extraordinarias. David Hume (Esc (Escosia, osia, 1711-1 1711-1776) 776)
SIMULACIÓN SIMULACIÓN DISCRETA DISCRETA
Contenido •
Elementos de la simulación de evento discreto discreto – –
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Definición genérica de evento Muestreo de Distribuciones Distribuciones de probabilidad probabilidad
Generación de número aleatorios Mecánica de la simulación discreta – – – – –
Simulación manual manual de modelo de un servidor Simulación de políticas de inventarios. inventarios. Simulación en una hoja de calculo del teorema del límite central Simulación en una hoja hoja de cálculo en en un modelo de un servidor servidor Simulación del modelo modelo de inventario del vendedor de periódicos
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Definición genérica de evento Muestreo de Distribuciones Distribuciones de probabilidad probabilidad
Generación de número aleatorios Mecánica de la simulación discreta – – – – –
Simulación manual manual de modelo de un servidor Simulación de políticas de inventarios. inventarios. Simulación en una hoja de calculo del teorema del límite central Simulación en una hoja hoja de cálculo en en un modelo de un servidor servidor Simulación del modelo modelo de inventario del vendedor de periódicos
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Definición genérica de evento Muestreo de Distribuciones Distribuciones de probabilidad probabilidad
Generación de número aleatorios Mecánica de la simulación discreta – – – – –
Simulación manual manual de modelo de un servidor Simulación de políticas de inventarios. inventarios. Simulación en una hoja de calculo del teorema del límite central Simulación en una hoja hoja de cálculo en en un modelo de un servidor servidor Simulación del modelo modelo de inventario del vendedor de periódicos
Definición genérica de un evento
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Todas las simulaciones de eventos discretos describen situaciones donde: Entidades llegan a un sistema Entidades son atendidas por el sistema (A veces no ocurre ¿Por qué?) Entidades salen del sistema Resumiendo: Describe llegadas y salidas de entidades. –
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Definición genérica de un evento
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Entonces…
Existirá un tiempo entre llegadas de las entidades (Intervalo entre llegadas sucesivas) Evento de salida, que son en función del tiempo de servicio en la instalación
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Pero… ¿Cómo son estos tiempos?
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Pueden ser: Determinísticos. Por ejemplo: Un bus pasa cada
–
3 min por una estación
Ò, probabilísticos / estocásticos.
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Definición genérica de evento Muestreo de Distribuciones de probabilidad
Generación de número aleatorios Mecánica de la simulación discreta – –
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Simulación manual de modelo de un servidor Simulación en una hoja de calculo del teorema del límite central Simulación en una hoja de cálculo en un modelo de un servidor •
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Modelo básico
Otros modelos de simulación Métodos para cribado de observaciones y análisis de resultados
Muestreo de Distribuciones de Probabilidad
La aleatoriedad de la simulación surge cuando el intervalo entre eventos sucesivos es probabilístico. Entonces para una distribución de probabilidad , se tiene: Método del inverso
()
•
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•
Método de convolución Método de aceptación o rechazo
Método del inverso Suponga que se desea obtener una muestra aleatoria de la función de probabilidad que es continua o discreta. Este método determina primero la expresión de la función acumulada donde , . Entonces:
∀
,
≤ ,
0 ≤ () ≤ 1
•
Paso 1: Genere un número aleatorio 0-1,
•
Paso 2: Calcule la muestra
−().
.
Método del inverso
Método del inverso (Ejemplo : [Para la distribución exponencial]) •
La función de densidad de probabilidad exponencial es:
− , > 0 Representa el tiempo entre llegadas a una instalación con valor medio de . Entonces la función de distribución acumulada es 1 − , > 0. Entonces: 1 ln 1 [Por favor Verifíquelo y haga un ejemplo numéricamente ]
Método del inverso (Ejemplo : [Para la distribución uniforme])
Suponga que la siguiente distribución uniforme describe el tiempo necesario para fabricar una pieza en una máquina:
1 , ≤ ≤
Determine una expresión para la muestra , dado el número aleatorio R.
Método del inverso (Ejemplo : [Para la distribución Weibull])
Demuestre cómo se puede obtener una muestra aleatoria de la distribución de Weibull con la siguiente función de densidad de probabilidad:
− − − , > 0
donde es el parámetro de forma y parámetro de escala.
es el
Método del inverso (Ejemplo : [Para Caso aplicado a inventarios])
La demanda de una pieza cara de repuesto de un avión de pasajeros es de 0,1,2 o 3 unidades por mes con probabilidades de .2, .3, .4 y .1, respectivamente El taller de mantenimiento de la aerolínea inicia la operación con existencias de 5 unidades y regresará el nivel de las existencias a 5 unidades inmediatamente después que se reduzca a 2 unidades Proponer el procedimiento para muestrear la demanda.
Método de las convoluciones •
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La idea básica del método de convolución es expresar la muestra deseada como la suma estadística de otras variables aleatorias fáciles de muestrear. Típicas entre estas distribuciones están Erland y Poisson, cuyas muestras pueden obtenerse con las muestras de la distribución exponencial.
Método de las convoluciones Ejemplo : [Distribución de Erlang] La variable aleatoria Erlang se define como la suma estándar (convoluciones) de variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas. Sea la variable aleatoria Erlang; entonces + + ⋯ + Es trivial saber que la muestra Erlang es : 1 ln =
Método de las convoluciones •
A partir de este método se desarrolló lo que hoy se conoce como la función de Excel: =DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(); media; Desviación)
Que devuelve un número con distribución normal con media y desviación estándar
.
En resumen…
Fuente: Tomado de http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Simulacion_MC.pdf
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Definición genérica de evento Muestreo de Distribuciones de probabilidad
Generación de número aleatorios Mecánica de la simulación discreta – – – – –
Simulación manual de modelo de un servidor Simulación de políticas de inventarios. Simulación en una hoja de calculo del teorema del límite central Simulación en una hoja de cálculo en un modelo de un servidor Simulación del modelo de inventario del vendedor de periódicos
Generación de números aleatorios [Método congruencial multiplicativo] •
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Los dispositivos electrónicos son los únicos que pueden generar números aleatorios (0,1) verdaderos. Esto se activan mediante leyes probabilísticas, declaradas previamente por el investigador. Lo ultimo, es vital en la replicación de los modelos de simulación. Para generar números “Pseudoaleatorios” se puede optar por:
− + , 1,2,… , 1,2,…
Generación de números aleatorios •
Al parámetro , se le suele conocer como la semilla de generador.
Ejemplo 6: Genere tres números aleatorios basado en el método congruencial multiplicativo aplicando , y . La semilla es .
12
9 5 11
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Definición genérica de evento Muestreo de Distribuciones de probabilidad
Generación de número aleatorios Mecánica de la simulación discreta – – – – –
Simulación manual de modelo de un servidor Simulación de políticas de inventarios. Simulación en una hoja de calculo del teorema del límite central Simulación en una hoja de cálculo en un modelo de un servidor Simulación del modelo de inventario del vendedor de periódicos
Mecánica de la simulación discreta [Simulación de un problema de inventario]
Ejemplo : Jessica Williams, gerente de Kitchen Appliances de la tienda Midtown, cree que sus niveles de inventario de estufas son más altos de lo necesario. Antes de corregir la política de inventarios, registra el número vendido cada día durante un periodo de 25 días, como se resume a continuación. Cantidad vendida
2
3
4
5
6
Días
4
7
8
5
1
Mecánica de la simulación discreta [Simulación de un problema de inventario]
a) Use estos datos para estimar la distribución de probabilidad de las ventas diarias. b) Calcule la media de la distribución del inciso a). c) Describa cómo se puede usar números aleatorios uniformes para simular las ventas diarias. d) Use los números aleatorios uniformes 0.4476, 0.9713 y 0.0629 para simular las ventas diarias durante 3 días. Compare el promedio con la media que obtuvo en b). e) Formule un modelo en hoja de cálculo para simular las ventas diarias. Realice 300 réplicas y obtenga el promedio de ventas de los 300 días simulados.
Mecánica de la simulación discreta [Simulación manual de un proceso con una servidor]
Ejemplo : El tiempo entre llegadas de los clientes a una estación de servicios es exponencial con media de 15 minutos. La peluquería es atendida por sólo un peluquero, y se lleva entre 10 y 15 minutos, distribuidos de manera uniforme, para realizar un corte de pelo. Los clientes son atendidos con base en la disciplina primero en llegar, primero en salir (FIFO). El objetivo de la simulación es calcular las siguientes medidas de desempeño: 1. La cantidad promedio de clientes que esperan. 2. El tiempo promedio que un cliente espera en la cola.
Mecánica de la simulación discreta [Simulación manual de un proceso con un servidor]
Ejemplo : Realice la simulación del Ejemplo 8, pero para 10, 100 y 1000 llegadas. Halle el tiempo promedio de espera para cada escenario y el tiempo promedio de servicio. Use Visual Basic en el entorno de Excel para generar las llegadas y tiempos de servicio. [Simulación del teorema del límite central]
Ejemplo : Realice la simulación del teorema del límite central para 10, 20, 50 y 100 muestras. Haga una gráfica de frecuencias
Mecánica de la simulación discreta [Simulación del vendedor de Periódicos]
Ejemplo : Considere el siguiente problema que enfrenta Freddie, el voceador. Uno de los periódicos que vende en su puesto es el Financial Journal. Cada mañana, un distribuidor entrega al puesto los ejemplares diarios del periódico. Cada ejemplar que no se vende durante el día se devuelve al distribuidor la siguiente mañana. Sin embargo, para estimular la compra de un número grande de ejemplares, el distribuidor da a Freddie un pequeño reembolso por los ejemplares no vendidos. A continuación se presentan los costos de Freddie. Freddie paga $1.50 por ejemplar entregado. Freddie lo vende en $2.50. Freddie recibe un reembolso de $0.50 por cada uno que no vende. • • •
Mecánica de la simulación discreta [Simulación del vendedor de Periódicos]
En parte por el reembolso, Freddie siempre ha pedido un suministro grande. Sin embargo, está preocupado pues paga mucho por los ejemplares que tiene que devolver por no haber sido vendidos, en particular porque esto ha sucedido casi a diario. Él piensa que sería mejor ordenar sólo un número mínimo de ejemplares y ahorrarse este costo extra. Para investigar esta situación más a fondo, ha recopilado el siguiente registro de sus ventas diarias. Freddie vende cualquier cantidad entre 40 y 70 ejemplares en cualquier día de la semana. La frecuencia de las cantidades entre 40 y 70 es aproximadamente la misma. La decisión que Freddie quiere tomar es determinar el número de ejemplares que debe ordenar al distribuidor por día. Su objetivo es maximizar la ganancia diaria promedio •
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Referencias •
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Hillier, F. S., & Lieberman, G. J. (2010). Introduction to Operations Research. Columbus: McGraw-Hill Higher Education. Kelton, W. D., Sadowski, R. P., & Sturrock, D. T. (2004). Simulation with Arena (Tercera edición ed.). Bostón: MacGraw Hill. Taha, H. (2012). Investigación de Operaciones (Novena Edición ed.). (G. Lopez, Ed., & R. Navarro, Trad.) México: Pearson Education.
Muchas gracias…
Contribuciones •
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Dr.(c) Hellien Parra, Universidad Nacional de Colombia Mg. Erick Orozco, Universidad Simón Bolívar Barranquilla. Mg. Nicolás Clavijo, PUJC.
Dr. Gustavo Gatica
