MINES ParisTech 1ère année
MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX SOLIDES
Notes de cours
G. CAILLETAUD Responsables de PC et de projets S. CANTOURNET, L. CORTE, J.L. DEQUIEDT S. FOREST, A. GAUBERT, S. JOANNES, M. MAZIERE H. PROUDHON, D. RYCKELYNCK, M. TIJANI
Mars 2012
ii
Table des matières I
COURS
1
Introduction 1.1 Généralités sur les propriétés des matériaux . . 1.2 Domaines d’utilisation des modèles . . . . . . 1.3 Les types de modèles de matériaux . . . . . . . 1.4 Les essais mécaniques . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Différents types d’essais . . . . . . . . 1.4.2 Moyens de mesure, ordres de grandeur 1.5 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
xi . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
1 1 2 3 4 5 8 9
Rhéologie 2.1 Les différents types de «déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Les sources de «déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les briques de base du comportement non linéaire . . . . . . . . . . 2.3 Plasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Modèle élastique–parfaitement plastique . . . . . . . . . . 2.3.2 Modèle de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Écriture générale des équations de l’élastoplasticité uniaxiale 2.4 Viscoélasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Étude d’un modèle composé . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Viscoplasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Quelques modèles classiques en viscoplasticité . . . . . . . 2.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
11 11 11 12 12 13 13 14 15 16 16 17 18 18 20 21
. . . . . . . . . . .
23 23 25 25 25 25 26 26 27 28 28 29
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
Critères 3.1 Les outils disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique 3.2.1 Critère de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Comparaison des critères de Tresca et von Mises . 3.3 Critères faisant intervenir la pression hydrostatique . . . . 3.3.1 Critère de Drucker–Prager . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Le critère de Mohr–Coulomb . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Critère de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Critères «fermés» . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Critères anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
. . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
iv 4
5
6
TABLE DES MATIÈRES Plasticité et viscoplasticité 3D 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Décomposition de la déformation . . . . . . . 4.1.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Lois d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Formulation des lois de comportement viscoplastiques 4.2.1 Écriture générale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 De la viscoplasticité à la plasticité . . . . . . . 4.3 Formulation des lois de comportement plastique . . . . 4.3.1 Principe du travail maximal . . . . . . . . . . 4.3.2 Interprétation géométrique du principe de Hill . 4.4 Directions d’écoulement associées aux critères courants 4.4.1 Critère de von Mises . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Critère de Drucker–Prager . . . . . . . . . . . 4.5 Comportement parfaitement plastique . . . . . . . . . 4.6 Viscoplasticité/plasticité non associée . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
33 33 33 34 34 34 34 35 35 36 36 37 38 38 39 39 39 40
Variables d’écrouissage 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Matériaux standards généralisés . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Une brève présentation du formalisme . . . . . . . . 5.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Expression de quelques lois particulières en plasticité . . . . 5.3.1 Loi de Prandtl–Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Loi de Hencky–Mises . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Loi de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Écoulement à vitesse de déformation totale imposée 5.4 Viscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
43 43 43 43 45 46 46 46 47 48 48
Eléments de théorie des poutres planes 6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Modélisation géométrique . . . . . . . . 6.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . 6.1.3 Modélisation des actions mécaniques . . 6.2 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Approche par le principe des travaux virtuels . . 6.3.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . 6.3.2 Cinématique de la poutre de Timoshenko 6.3.3 Traitement des équations . . . . . . . . . 6.3.4 Caractérisation de l’équilibre . . . . . . . 6.3.5 Lois de comportement . . . . . . . . . . 6.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Evaluation des efforts intérieurs . . . . . 6.4.2 Forme générale . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
51 51 51 52 53 54 54 55 56 57 57 58 58 60 60 62 63 63 64
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
TABLE DES MATIÈRES 6.5
7
8
9
Flambement . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Forme générale . . . . . . . . 6.5.2 Poutre simplement supportée . 6.5.3 Autres conditions aux limites
v . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
65 65 66 66
Matériaux composites, stratifiés 7.1 Généralités sur les matériaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Rappel : milieux élastiques anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Notation de Voigt pour les relations de comportement . . . . . . . . 7.2.2 Respect des symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Composites unidirectionnels à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Loi de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Constantes élastiques dans un repère quelconque . . . . . . . . . . 7.3.3 Théorie des stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Définition d’une plaque stratifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les composants élémentaires des matériaux composites . . . . . . . . . . . 7.4.1 Renforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.3 Tissus et mats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Critère de rupture des stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Quelques modèles d’ingénieurs de «fonctionnement» du composite 7.4.6 Ordres de grandeur des modules et contraintes à rupture . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
69 69 70 70 70 72 72 73 74 74 76 76 77 78 78 79 80
. . . . . . . . .
83 83 83 85 87 87 88 90 91 92
Plaques 8.1 Plaque de Reissner–Mindlin . . . . . . . . 8.1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Travail virtuel des efforts intérieurs 8.1.3 Travail virtuel des efforts extérieurs 8.1.4 Equilibre et conditions aux limites . 8.1.5 Loi de comportement . . . . . . . . 8.2 Plaque de Kirchhoff–Love . . . . . . . . . 8.2.1 Cinématique et équilibre . . . . . . 8.2.2 Lois de comportement . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
Introduction à la mécanique des matériaux hétérogènes 9.1 Moyennes de volume, moyennes de surface . . . . . . . . . . . . 9.2 Volume élémentaire représentatif, propriétés effectives . . . . . . 9.3 Propriétés élastiques effectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Potentiel élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Théorème de l’énergie potentielle : borne supérieure de Voigt . . . 9.6 Thèorème de l’énergie complémentaire : borne inférieure de Reuss 9.7 Application à l’élasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Éléments de Mécanique de la rupture 10.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Taux de restitution d’énergie . . . . . . 10.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Cas d’une charge ponctuelle . . 10.2.3 Quelques valeurs critiques de G 10.3 Facteur d’intensité de contrainte . . . . 10.3.1 Solution de Muskhelishvili . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
95 95 97 98 100 102 103 104
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
107 107 108 108 108 109 110 110
vi
TABLE DES MATIÈRES 10.3.2 Solution asymptotique de Westergaard . . . . . . . . . 10.3.3 Différents modes de sollicitation . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Analyse de l’état de contrainte tridimensionnel . . . . . . . . 10.5 Propagation de fissure en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Amorçage–propagation dans les matériaux métalliques 10.5.2 Loi de Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
APPLICATIONS
11 Prolongements du cours 11.1 Contraintes thermomécaniques 11.2 Rhéologie . . . . . . . . . . . 11.3 Critères . . . . . . . . . . . . 11.4 Plasticité . . . . . . . . . . . . 11.5 Poutres . . . . . . . . . . . . 11.6 Plaques stratifiées . . . . . . . 11.7 Homogénéisation . . . . . . . 11.8 Mécanique de la rupture . . .
110 111 111 113 114 114 114
119 . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
121 121 123 124 124 126 127 128 128
12 Exercice 12.1 Etude de contraintes thermiques dans un barrage . . . . . . . . . . 12.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . 12.3 Critères de plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Comparaison des critères de von Mises et Tresca . . . . . 12.3.2 Plasticité cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Plastification d’un tube mince . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Comportement parfaitement plastique en traction–cisaillement . . 12.5 Enveloppe sphérique soumise à une pression intérieure . . . . . . 12.6 Tunnel dans du sable sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Cavité sphérique dans un massif infini élastoviscoplastique . . . . 12.8 Chargement non proportionnel en plasticité . . . . . . . . . . . . 12.9 Flexion sur appui simple : poutre homogène et poutre sandwich . 12.9.1 Poutre homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples . . . . . . . . . 12.10Evaluation de la charge de flambement d’une poutre droite . . . . 12.11Etude d’une tuyauterie en verre époxy sous pression interne . . . . 12.11.1 Etude de la loi de comportement du pli . . . . . . . . . . 12.11.2 Etude d’une tuyauterie en stratifié . . . . . . . . . . . . . 12.12 Composites à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.12.1 Réservoir sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.12.2 Coefficient de dilation d’un composite à fibres longues . . 12.12.3 Assemblage collé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.13Etude de la flexion d’un bilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.14Propriétés élastiques effectives des composites . . . . . . . . . . . 12.14.1 Propriétés élastiques effectives d’un polycristal de cuivre . 12.14.2 Propriétés élastiques d’un composite à matrice métallique 12.15Réservoir sous pression – Fuite avant rupture . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131 131 134 138 138 139 140 142 142 144 151 154 159 162 163 164 165 170 170 170 171 171 173 175 178 182 182 186 192
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
TABLE DES MATIÈRES 13 Annales 13.1 23 juin 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Ecoulement viscoplastique en déformations planes . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Cylindre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 12 juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Etude de la localisation dans une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Description du phénomène d’endommagement en fluage . . . . . . . . . 13.3 15 juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Plasticité biaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Estimation de la zone plastique en pointe de fissure . . . . . . . . . . . . 13.4 19 juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Zone plastique et effet de retard en propagation de fissure . . . . . . . . . 13.4.2 Contraintes développées lors de l’oxydation . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 24 juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Fissuration d’un rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Contraintes thermiques en plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Etude d’une plaque composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6 26 mai 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.6.1 Traction sur une fibre entourée d’un cylindre de matrice . . . . . . . . . 13.6.2 Critères de Tresca et von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7 14 juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.1 Flexion de poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7.2 Problème : Cylindre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 6 juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.1 Problème mécanique d’un fil pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.2 Allongement mécanique et thermique d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . 13.8.3 Allongement de transformation de phase d’un fil . . . . . . . . . . . . . 13.8.4 Conséquences mécaniques des transformations de phase . . . . . . . . . 13.9 9 juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9.1 Homogénéisation en élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9.2 Viscoplasticité cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.104 juin 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10.1 Etude de modèles de fatigue à grand nombre de cycles . . . . . . . . . . 13.10.2 Poutre soumise à son propre poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.10.3 Etude de l’écrouissage latent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.119 juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.1 Optimisation du chemin de déformation pour le planage d’une tôle . . . . 13.11.2 Etat limite en viscoplasticité confinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.11.3 Optimisation d’une poutre en traction/compression et en flexion 3 points 13.1225 mai 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.1 A. Etude d’un cylindre élastoplastique en cisaillement . . . . . . . . . . 13.12.2 B. Poutre viscoélastique en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.12.3 C. Comportement équivalent d’un treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.137 juin 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.1 A. Etude d’une plaque trouée en pression interne et en chargement biaxial 13.13.2 B. Etude de divers modèles rhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.13.3 C. Etude d’une poutre sur appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1430 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.14.1 A. Etude du comportement d’une couche mince . . . . . . . . . . . . . . 13.14.2 B. Etude des vibrations d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195 195 195 198 202 202 204 208 208 213 215 215 219 223 223 224 227 231 231 233 236 236 240 241 241 242 245 246 247 247 249 253 253 256 258 262 262 265 268 272 272 275 278 283 283 288 292 293 293 297
viii
TABLE DES MATIÈRES 13.14.3 Propagation d’une fissure de fatigue dans un disque mince non alésé en rotation . 298
III
ANNEXES
14 Mini-formulaire d’élasticité linéaire 14.1 Cinématique et statique en petites déformations . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Déplacement déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Signification géométrique des termes du tenseur de déformation 14.1.3 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.4 Signification physique des termes du tenseur de contrainte . . . 14.2 Efforts internes/externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Travail des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Travail des efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Potentiel élastique, élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Potentiel élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Elasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Elasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Relations entre les coefficients d’élasticité . . . . . . . . . . . . 14.4 Etats de contrainte particuliers, solutions particulières . . . . . . . . . . 14.4.1 Traction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.3 Flexion circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.4 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.5 Torsion, section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.6 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.7 Cylindre sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.8 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.9 Sphère sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305 305 305 305 306 306 306 306 307 307 307 307 308 308 308 308 309 309 309 310 310 310 311 311
15 Notations 313 15.1 Glossaire des notations les plus courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 15.2 Quelques tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Préambule La mécanique des matériaux solides représente, au sein de la mécanique, une branche aux ramifications multiples, dont les modèles sont mis à l’épreuve dans des contextes parfois inattendus, pour expliquer des phénomènes naturels, ou encore concevoir des ouvrages, des véhicules, des composants. Elle est omniprésente, à toutes les échelles, elle s’applique sur des matériaux aussi différents que le magma terrestre, le béton, les alliages métalliques, les composites à fibre ou les monocristaux de silicium. Il serait donc vain de tenter d’être exhaustif dans le cadre d’une vingtaine de séances. Le but de ce cours est plutôt de donner un certain nombre d’éclairages sur le domaine et les méthodes utilisées, tout en offrant des points d’entrée en vue d’études plus approfondies. Le fait de suivre un tel axe de découverte fait courir le risque d’être parfois trop lapidaire. On cherchera donc, dans le temps imparti, à trouver un juste équilibre dans l’exposé. On espère ainsi montrer que la mécanique des matériaux est un carrefour, où se croisent mathématiciens et ingénieurs, industriels et universitaires, théoriciens et expérimentateurs. Il faut également trouver un équilibre entre l’élément de volume et la structure. Cette discussion, qui renvoie au cours de Mécanique des Milieux Continus, amène à considérer dans un premier temps les lois de comportement qui régissent les relations entre les contraintes et les déformations, puis à envisager leur insertion dans une théorie portant sur l’équilibre d’un domaine. Le plan du cours découle donc de ces choix. Une première partie permet d’aller au-delà de la théorie de l’élasticité déjà acquise, en considérant de nouveaux phénomènes physiques conduisant à la dilatation ou la déformation du matériau. On mentionnera ainsi les dilatations thermiques ou de changement de phase (séance 1), puis les déformations plastiques ou vicoplastiques. C’est une présentation progressive qui est adoptée pour celles-ci : on considérera successivement les modèles sous chargement uniaxial (séance 2), puis les critères multiaxiaux (séance 3), avant de combiner les deux dans l’écriture du formalisme sous chargement tridimensionnel (séances 4 et 5). Le cours lui-même peut être prolongé par les exercices corrigés qui sont disponibles et par les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives. Cet entrainement est nécessaire à une bonne assimilation du cours. Un prolongement naturel, qui sort du cadre du cours, serait une étude systématique des structures inélastiques, qui se soucie de l’existence et de l’unicité des solutions. Afin de rester à un niveau de complexité raisonnable, on revient en élasticité linéaire pour les séances 7 à 10. Il est parfois difficile de distinguer le niveau de l’élément de volume et celui de la structure. D’ailleurs, une tendance actuelle de la recherche consiste à étudier les matériaux comme des structures, en caractérisant leurs propriétés macroscopiques par l’analyse mécanique de leurs microstructures. C’est dans cet esprit qu’on entreprend le traitement des poutres et des plaques, en mettant en avant des cas simples, mais qui permettent de présenter un cadre général, et de faire comprendre les idées directrices. On laisse au lecteur concerné le soin de prendre connaissance de deux autres domaines en plein développement, celui des méthodes d’homogénéisation (chapitre 9) et celui de la mécanique de la rupture (chapitre 10).
ix
x
Première partie
COURS
xi
Chapitre 1
Introduction 1.1
Généralités sur les propriétés des matériaux
Il est de coutume de dire que chaque secteur industriel a les performances de ses matériaux. Cela est particulièrement marquant dans le cas de l’informatique, pour laquelle les progrès sont directement liés à la densité des circuits, c’est encore le cas dans l’aéronautique, où les performances des réacteurs dépendent de la température maximale que supportent les matériaux dans les zones les plus chaudes. Les exemples de ce type peuvent être aisément multipliés, il suffit de penser aux chemins de fer (développement des aciers à rail à la fin du 19ème siècle), à la construction civile (mise au point des bétons de fumée de silice), à la navette spatiale (composites, tuiles en carbone-carbone). Mais en fait, il serait plus précis de dire que les performances obtenues dépendent aussi des connaissances sur le matériau utilisé. Ainsi, dans le plan d’exploitation d’une mine souterraine en chambres et piliers, où il n’est bien entendu pas envisageable de choisir son matériau, il est possible de diminuer la taille des piliers si les propriétés de la roche sont bien connues. Le fait de concevoir ainsi au plus juste les structures, est la marque d’une démarche qui, outre son élégance, présente deux aspects importants : – il y a une amélioration de la sécurité, dans la mesure où il est préférable d’avoir une bonne connaissance des phénomènes physiques plutôt que d’appliquer un large coefficient de sécurité, qui s’apparente souvent à un coefficient d’ignorance ; par ailleurs, dans certains cas, l’utilisation de plus grandes quantités de matière peut devenir préjudiciable (ainsi, augmenter l’épaisseur d’une enceinte sous pression peut certes diminuer les contraintes, mais aussi être néfaste s’il y a des gradients thermiques dans la paroi). – le résultat est une meilleure performance sur le plan écologique, ainsi le gain de quelques dizièmes de grammes sur chaque boîte-boisson conduit à des économies de matière première importantes, si l’on songe aux quelques milliards qui sont fabriquées chaque année ; de même, la diminution de poids permet de réduire la consommation des automobiles ou des avions. Il faut distinguer plusieurs types de propriétés des matériaux. Dans le cas du développement des ordinateurs, ce sont essentiellement les propriétés physiques qui sont en cause, encore que les échauffements résultant de la concentration des circuits amènent maintenant à se préoccuper également de la tenue mécanique. Dans le cas du développement des moteurs d’avions, ce sont les propriétés mécaniques et les propriétés chimiques (résistance à l’environnement) qui sont déterminantes. Les principales propriétés des matériaux se regroupent donc en : – Propriétés mécaniques : (i) modules d’élasticité, (ii) limite d’élasticité, écrouissage, ductilité, (iii) viscosité, vitesse de fluage, amortissement (iv) charge à la rupture, résistance à la fatigue, à l’usure, ... – Propriétés physiques : (i) conductibilité électrique, aimantation, (ii) conductibilité thermique, chaleur spécifique, (iii) température et chaleur latente de transformation, (iv) énergie de surface, de liaison, (v) transparence, . . . 1
2
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
– Propriétés chimiques : (i) résistance à la corrosion, à l’oxydation, (ii) stabilité, diagrammes d’équilibre, . . . En général, le choix d’un matériau pour une application donnée est la conséquence de propriétés adaptées dans un ou plusieurs des domaines indiqués (par exemple l’aluminium est parfois utilisé dans les culasses automobiles malgré sa faible température de fusion, en raison de son faible poids et de sa bonne conductibilité thermique). Il est aussi orienté par d’autres considérations, ce sont les performances du matériau, au rang desquelles vont se classer des éléments technologiques et économiques, en même temps que des caractéristiques moins facilement mesurables comme l’aspect (fondamental dans le bâtiment pour les éléments de façade, pour les carosseries automobiles, ...) : – disponibilité, reproductibilité, fiabilité, – usinabilité, aptitude à la mise en forme, soudabilité, – absence de nocivité, possibilité de recyclage, – coût, – aspect, – bonne caractérisation.
1.2
Domaines d’utilisation des modèles
La bonne connaissance des matériaux et leur bonne utilisation font donc intervenir trois domaines d’activité. 1. Le développement du matériau lui-même (ce secteur étant absent dans le cas des géomatériaux). Là se jouent l’évolution du matériau, la découverte de nouvelles microstructures, qui concourent à l’amélioration des performances intrinsèques. 2. La caractérisation des propriétés d’emploi. Ce point a pour but d’apporter une meilleure connaissance d’un matériau existant, (mécanismes physiques qui provoquent ou accompagnent la déformation, effets mécaniques macroscopiques), donc de réduire les incertitudes et d’augmenter la fiabilité des modèles utilisés. 3. Le travail sur les modèles numériques permet d’améliorer la représentation des pièces, structures ou domaines calculés (par amélioration des algorithmes, qui autorisent le traitement de modèles numériques plus importants, par exemple 3D au lieu de 2D). Le cours de Mécanique des Matériaux Solides est consacré essentiellement à l’étude des propriétés mécaniques des matériaux (point (2)). Le point (1) est le domaine des métallurgistes et des chimistes. Le point (3) celui de la mécanique des structures. La figure 1.1 schématise les types d’opérations pour lesquelles il est fait appel aux propriétés des matériaux. La phase de conception (fig.1.1a) met en œuvre une approche synthétique du problème, qui est en fait résolu par méthode inverse, soit : «quelle forme donner à la pièce, en quel matériau la construire pour qu’elle réponde au cahier des charges». Dans la mesure où les éléments extérieurs sont nombreux, et parfois non scientifiques, il n’y a en général pas d’autre solution que de choisir des descriptions simples des matériaux, et d’appliquer des codes, ou règles simplifiées. Dans la plupart des cas, cette approche est suffisante. Il peut subsister parfois des cas litigieux (pièces de haute sécurité, . . .) qui nécessitent la mise en place d’une procédure de justification (fig.1.1b). Au contraire de la précédente, la démarche est analytique, puisque la géométrie, les charges, le matériau, etc... sont figés, et qu’il s’agit simplement, par un calcul direct, de caractériser la bonne tenue. Cette procédure peut être employée à la construction, ou encore longtemps après la mise en route d’une installation, afin d’obtenir une requalification qui prolonge la durée de vie : on cherche ainsi actuellement à justifier une prolongation de la durée de vie garantie des centrales nucléaires. Ayant été conçues à l’aide de méthodes de dimensionnement simplifiées, elles peuvent sans doute voir la prévision de leur espérance de vie prolongée à l’aide de méthodes plus précises.
1.3. LES TYPES DE MODÈLES DE MATÉRIAUX Température
3
Aspect
Comportement du matériau
Température Règles simplifiées
Efforts Prix
Forme
Efforts
Forme
Type de matériau
Type de matériau
Disponibilité Durée de vie souhaitée
Durée de vie prévue
Elaboration
a. Conception
Température
Elaboration
b. Justification
Comportement du matériau
Oui
Efforts
Non
Objectif OK ?
Forme Raisons de l’échec Durée de vie
Forme Type de matériau Elaboration
Type de matériau Elaboration
Efforts Comportement du matériau
c. Expertise
Température
d. Optimisation
F IG . 1.1 – Opérations industrielles où intervient le comportement des matériaux Il faut encore avoir recours à des modèles plus précis dans le cas de l’expertise (fig.1.1c) puisqu’une telle opération intervient après qu’un problème, grave ou non, soit apparu. Le point important ici est d’être capable de mettre en regard les modèles utilisés et les phénomènes physiques qui se sont produits. L’optimisation (fig.1.1d) va tendre à se généraliser, grâce à l’arrivée de calculateurs suffisamment puissants pour qu’il soit envisageable d’effectuer plusieurs dizaines de fois le calcul de la structure à étudier.
1.3
Les types de modèles de matériaux
Ce cours va s’efforcer de faire référence à une grande variété de matériaux solides. Les modèles qui seront considérés s’appliquent aux métaux, aux céramiques, aux polymères, aux composites, au bois, au béton, aux sols (sables et roches), aux biomatériaux (os, tissus). Il y a deux grandes voies permettant d’avoir accès aux propriétés mécaniques de ces matériaux : 1. Une approche déductive, qui cherche à prendre en compte la microstructure du matériau en vue de déterminer ses propriétés macroscopiques. Ainsi un métal sera considéré comme un polycristal, agrégat de grains d’orientations cristallographiques différentes, et au comportement individuel parfaitement caractérisé, un composite se verra représenté par sa matrice et ses fibres, un béton par la matrice et les granulats... Cette approche choisit donc de modéliser l’hétérogénéité des matériaux, en vue de mieux prévoir le comportement moyen global (par exemple si les proportions
4
CHAPITRE 1. INTRODUCTION Matériau Métaux Polymères Céramiques Bois Béton Argiles
Type d’hétérogénéité cristal, 10–100 µm molécules, 10–50 µm grains, 1–10 µm fibres, 0,1–1 mm granulats, 1 cm grains, 1–10 mm
Taille de l’EVR 1 mm 1 mm 0,1 mm 10 mm 10 cm 1 mm
TAB . 1.1 – Exemples de volumes élémentaires représentatifs (la taille de l’EVR désigne la dimension du côté du cube élémentaire considéré). des constituants changent). Elle est donc relativement riche, de par son principe même, mais elle est également lourde à mettre en œuvre, si bien que son utilisation est encore limitée à la prévision du comportement des matériaux, dans l’optique de mieux comprendre leur «fonctionnement» et d’améliorer leurs propriétés mécaniques. 2. Une approche inductive, de nature phénoménologique, qui, à l’inverse, cherchera simplement à caractériser le comportement d’un élément de volume représentatif (EVR). Faisant alors abstraction de la structure fine du matériau. Cette méthode de travail consiste à déterminer les relations de cause à effet qui existent entre les variables constituant les entrées et les sorties du processus étudié. C’est par excellence l’approche de l’ingénieur dans ses travaux de conception. Elle trouve une justification dans le fait que des phénomènes de l’échelle microscopique très divers peuvent conduire, après des effets de moyenne, à des réponses globales de même nature. Par contre, leur emploi aveugle peut être dangereux s’il s’agit d’appliquer le modèle hors de son domaine de détermination initial. Il reste que cette méthode est, dans bien des cas, la seule applicable dans un cadre industriel. Le choix de l’élément de volume représentatif est bien entendu fondamental : celui-ci doit être suffisamment grand par rapport aux hétérogénéités du matériau, et rester petit par rapport aux gradients de contraintes et de déformations dans la structure. Il faut par exemple une trentaine de grains dans la partie utile d’une éprouvette de traction, qui sert à déterminer les propriétés d’un métal. Le tableau 1.1 donne des exemples de tailles raisonnables pour quelques matériaux courants.
1.4
Les essais mécaniques
Il y a une grande variété de comportements présentant des non-linéarités liées à la déformation ou au temps, en relation avec l’environnement. Il est donc indispensable de les caractériser expérimentalement. Les essais mécaniques sur de petits spécimens, ou éprouvettes sont donc à la base de toutes les études. Ils vont donc être brièvement caractérisés ici. L’observation des caractéristiques expérimentales va permettre d’identifier les types de comportement fondamentaux qu’il importera de simuler. Il existe de nombreux essais qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des matériaux. Certains sont normalisés (AFNOR, Association Française de NORmalisation ; ISO, International Standardisation Organisation ; ASTM, American Society for Testing and Materials) ; il s’agit d’essais simples à réaliser, reproductibles, servant à donner des informations sur les seuils de charge qui produisent des déformations irréversibles, ou encore la rupture. Ils sont utilisés par les ingénieurs en contrôle et caractérisation. En revanche, et pour caractériser plus finement les matériaux, les chercheurs ont recours à des moyens d’essais plus complexes, mettant en œuvre des chargements multiaxiaux ou anisothermes. La présentation qui est donnée ici est très succincte. Des essais spécifiques d’un matériau ou d’un domaine industriel seront détaillés au cours des différentes séances. On trouve maintenant des sites internet qui contiennent des bases de données matériau. Quelques adresses sont signalées sur le site
1.4. LES ESSAIS MÉCANIQUES
5
http ://mms2.ensmp.fr. Il faut bien retenir par ailleurs que l’obtention de ces données et les méthodes de calcul associées sont souvent considérées comme stratégiques par les entreprises, et qu’elles sont gardées confidentielles.
1.4.1
Différents types d’essais
Essai de traction simple : Un essai de traction (σ > 0) ou de compression (σ < 0) réalisé à vitesse de déformation constante ε˙ sur un matériau réel donne des résultats en termes d’efforts et de déplacement, que l’on cherche ensuite à convertir en une courbe contrainte-déformation (σ en fonction de ε). Dans le cas des alliages métalliques et des polymères, on cherche à se ramener à un état de contrainte simple, uniaxial. Les éprouvettes sont des cylindres munis en général de têtes d’amarrage filetées. Pour des raisons de représentativité, on est amené à utiliser de plaques pour le cas des materiaux composites, ou encore des poutres pour les matériaux céramiques, qui cassent de façon fragile en traction. C’est pour la même raison que l’on teste les géomateriaux en utilisant des cyclindres en compression, avec parfois un confinement latéral. Pour le cas de la compression simple, il faut porter une grande attention aux conditions aux limites, en autorisant le meilleur glissement possible sur les appuis, faute de quoi se développent dans l’éprouvette des champs de contrainte et de déformation complexes (mise en tonneau de l’échantillon). Les courbes obtenues à l’aide de cet essai ont typiquement l’allure indiquée en figure 1.2 lorsque le comportement du matériau observé est indépendant de la vitesse (comportement de plasticité indépendante du temps). Le comportement fait apparaître une partie linéaire (élasticité) suivie d’une partie non linéaire, au cours de laquelle la pente diminue dans le diagramme déformation–contrainte, au point de devenir éventuellement négative.
– Re désigne la limite d’élasticité «vraie», ou limite de proportionnalité, – R0,2 désigne la limite d’élasticité conventionnelle, qui correspond à une déformation inélastique de 0,2%, – Rm désigne la résistance à la traction, – Ah désigne l’allongement correspondant à la contrainte maximale, – Ar désigne l’allongement à la rupture.
σ =F/S Rm R 0,2 Re
0,2%
Ah
Ar
∆ l/l 0
F IG . 1.2 – Schéma d’un essai de traction simple Quoique d’apparence simple, il s’agit en fait d’un essai dont l’interprétation peut devenir délicate, puisque la diminution de pente observée peut recouvrir des phénomènes physiques très différents, et surtout que le passage à des pentes négatives est en géneral lié au fait que le champ de déformation n’est plus uniforme. En traction sur un métal, ceci correspond à des phénomènes qui peuvent être d’origine métallurgique (bandes de Lüders) ou géométrique, lorsque les déformations sont trop importantes striction au centre de l’éprouvette. Une approche élémentaire due à Considère indique que l’apparition de la striction se produit lorsque l’égalité dσ/dε = σ est vérifiée. Dans le cas des roches, l’adoucissement est en général lié à des phénomènes d’endommagement, qui introduisent des désordres dans le matériau étudié.
6
CHAPITRE 1. INTRODUCTION Tension curve, aluminium alloy 600
725◦C
500
100 ×
×
×
×
+
+
⊕
⊕
90 stress (MPa)
400
80 70
300
σ
× + ⊕
(MPa) 50 40
200
× +
× + ⊕
60
⊕
×
×
× +
+
+
+
+
⊕
⊕
⊕
⊕
⊕
30
ε˙ = 2.4 10−4 s−1 ε˙ = 8.0 10−5 s−1 ε˙ = 1.6 10−5 s−1
20
100
10 × + 0⊕ 0
0 0
0.005
0.01
0.015
0.02 0.025 strain (mm/mm)
0.03
0.035
0.04
0.045
0.01
0.02
0.03
(a)
0.04
0.05
ε
0.06
0.07
0.08
× + ⊕ 0.09
0.1
(b)
F IG . 1.3 – (a) Traction simple sur une éprouvette en alliage d’aluminium ; (b) Traction simple sur un acier austénitique à 725◦ C
La figure 1.3a montre le début d’une courbe de traction d’un alliage d’aluminium à température ambiante. Lorsqu’on élève la température au dessus du tiers de la température de fusion, le comportement devient sensible à la vitesse de déformation. C’est le cas de la figure 1.3b, qui montre l’allure des courbes obtenues pour un acier austénitique à 725◦ C . A très grande vitesse, on obtiendrait une certaine saturation de l’effet de vitesse. A faible vitesse, on tend également vers une limite correspondant à la courbe de traction à vitesse nulle, qui n’est liée qu’à l’écrouissage. Essai de fluage : Lorsqu’une éprouvette est soumise à une traction simple (essai monodimensionnel sous une contrainte σ et une déformation ε), si, à partir d’un certain état, la contrainte est maintenue constante, la déformation restera constante (absence de déformations différées dans le temps) s’il n’y a aucune viscosité. Lorsqu’on dépasse le tiers de la température de fusion dans les alliages métalliques, on observe au contraire des déformations liées au caractère visqueux du comportement. On distingue classiquement 3 stades dans un essai de fluage, comme indiqué sur la figure 1.4a, le fluage primaire (I), au cours duquel le matériau se durcit le fluage secondaire (II) pendant lequel la vitesse est constante, et le fluage tertiaire (III) au cours duquel l’endommagement devient significatif, ce qui conduit à une augmentation de la vitesse menant à la rupture. La figure 1.4b montre quant à elle le résultat obtenu pour différents niveaux de chargement sur une fonte à 800◦ C . 0.03
ε
+
⊕
p
III II I
t
+
0.025 ⊕ 0.02
εp
×
+
σ=12MPa σ=16MPa σ=20MPa σ=25MPa
+ ⊕ ×
+
⊕
+ ⊕ + ⊕ + ⊕ + × ⊕ + 0.01 ⊕ + + ⊕ × ⊕ ++ 0.005 × ⊕ + ⊕++ ×+ ⊕ + × + ⊕ + × ⊕ + ⊕ × 0⊕ 0 200 400 600 800 1000 0.015
t (s)
F IG . 1.4 – (a) Les trois étapes d’un essai de fluage ; (b) Fluage d’une fonte à 800◦ C
En fait, dans le cas d’un matériau réel (conçu par l’homme ou existant déjà dans la nature), des déformations différées (phénomène de viscosité) seront alors observées de façon à peu près systématique, à tel point qu’il faut admettre que tous les matériaux réels présentent ce phénomène de viscosité, pourvu qu’une période de temps suffisamment grande soit considérée. Ainsi, si une éprouvette cylindrique d’une roche saline (Nacl : sel gemme, Kcl : potasse) d’une dizaine de centimètres est soumise à une
1.4. LES ESSAIS MÉCANIQUES
7
σ
σ E
σv
σs
ε
p
t
F IG . 1.5 – Représentation d’un essai de relaxation
pression axiale d’une dizaine de MPa, pression maintenue constante, et que sa hauteur est mesurée au bout d’une journée, puis une journée plus tard avec une précision absolue de 1mm, alors, à température ambiante, aucune variation de longueur ne sera détectée. Il ne faut pas en déduire que les roches salines à température ambiante ne présentent pas de viscosité, car, en augmentant la précision de la mesure ou en attendant plus longtemps (un mois de fluage par exemple), il est possible d’observer des déformations différées. Essai de relaxation : Une autre manière de caractériser la viscosité d’un matériau est de le soumettre à un essai de relaxation, dans lequel la déformation de l’éprouvette est maintenue constante après une prédéformation intitiale. Plus le comportement du matériau présente une composante visqueuse importante, et plus la contrainte chute rapidement, pour atteindre éventuellement une valeur nulle. Cet essai est essentiellement réalisé sur les métaux et les polymères. Essai triaxial : Comme indiqué précédemment, certains matériaux ne peuvent pas être testés simplement en traction, en raison de leur très faible résistance, ou de leur forte sensibilité aux décentrages des lignes d’amarrage (béton, céramique). Ils sont alors testés en compression, ou en flexion. La compression uniaxiale sur des cylindres a déjà été décrite, mais il est parfois nécessaire d’avoir recours à un mode de sollicitation où les bords latéraux sont contenus (essai triaxial) : l’échantillon est soumis latéralement à une pression hydrostatique qui assure son maintien, ce qui permet par exemple de tester des matériaux pulvérulents (argiles, sables). Essai de flexion : Il est réalisé sur des barrettes, avec 3 ou 4 points d’appuis, ce dernier cas permettant de bénéficier d’une zone centrale dans laquelle le «moment de flexion» est uniforme. Il est essentiellement utilisé avec des matériaux fragiles, dont le comportement sera élastique. La plastification, associée au fait que le comportement en traction et en compression peut être différent, conduit à des redistributions de contraintes complexes dans l’éprouvette, si bien que le dépouillement de l’essai luimême peut nécessiter un calcul de structure. Dans un même ordre d’idée, il existe également des essais de flexion rotative, dans lesquels une éprouvette en rotation, encastrée à une extrémité, subit un effort perpendiculaire à son axe, si bien que les points de la surface extérieure voient leur état de contrainte passer alternativement de la traction à la compression. Ces essais sont utilisés pour déterminer la «limite de fatigue», sollicitation en dessous de laquelle le matériau résistera à un chargement répété. Essai de torsion : Réalisé sur éprouvette pleine, cet essai est essentiellement utilisé à haute température pour connaître l’aptitude à la mise en forme des métaux. L’avantage de ce type d’essai est d’éviter la striction. Par contre, il est d’interprétation difficile, dans la mesure où l’état de contrainte et déformation n’est pas uniforme. Il est possible de remédier à ce dernier inconvénient, en adoptant comme éprouvettes des tubes minces, qui peuvent être instrumentés localement, à l’aide de jauges ou
8
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
d’extensomètres. Essai de dureté : Largement employé comme moyen de contrôle, il mesure la résistance à la pénétration d’indenteurs de diverses formes, par exemple une bille d’acier de gros diamètre (10 mm) dans le cas de l’essai Brinel, ou une pyramide diamant à base carrée, l’angle entre les faces opposées étant de 136◦ pour l’essai Vickers. Une relation empirique indique que, dans les aciers doux, la dureté Vickers (force/dimension de l’empreinte) est de l’ordre de 3 fois la résistance à la traction. Essai Charpy : Il permet de caractériser sur un barreau entaillé le passage d’un mode de rupture ductile, accompagné de déformation inélastique, donc à forte énergie, à un mode de rupture fragile, présent à plus basse température, qui ne met en jeu que des énergies faibles. Cette étude se fait en rompant l’éprouvette sous impact à l’aide d’un mouton-pendule, et en mesurant l’énergie absorbée lors de l’impact : le résultat s’exprime en joules par centimètre carré de section résiduelle, et est dénommé résilience. Essais complexes : Outre les essais de traction-torsion sur tube, il existe d’autres moyens de générer des états de contraintes multiaxiales contrôlés dans des éprouvettes. C’est le cas d’essais de tractionpression interne sur tube, ou encore d’essais sur des éprouvettes cruciformes.
1.4.2
Moyens de mesure, ordres de grandeur
La bonne connaissance de la précision des mesures effectuées est fondamentale pour pouvoir considérer d’un œil critique les résultats obtenus dans un essai mécanique. – Les forces ou les contraintes sont généralement mesurées avec des dynamomètres, dont la précision relative est de l’ordre de 10−3 . – Les déplacements fournissent une information moyenne sur ce qui se passe dans une zone de l’éprouvette. Les capteurs doivent donc être fixés si possible dans une zone où les déformations sont homogènes, faute de quoi des hypothèses, ou un calcul de structure seront nécessaires pour analyser les résultats de l’essai. Les capteurs classiques, inductifs ou à jauges de déformation, assurent une précision absolue de l’ordre de 1µm. Des développements spécifiques, ou l’utilisation d’extensomètres optiques peuvent permettre d’abaisser cette limite à 0,2µm. Dans tous les cas, il est préférable d’effectuer une mesure locale de la déformation, ce qui permet de faire abstraction des phénomènes complexes prenant naissance hors de la partie utile, de section constante. – L’information locale sur la déformation donnée par une jauge de déformation (fil résistant collé sur une éprouvette, qui se déforme avec elle, si bien que la résistance électrique change) est en général plus précise que la précédente, puisqu’il est possible de mesurer des déformations de l’ordre de 10−7 . Néanmoins les jauges ne fonctionnent pas à haute température, et sont susceptibles de se décoller en cours d’essai. – La température est une des grandeurs les plus difficiles à maîtriser. Les thermocouples (utilisant l’effet Peltier) fournissent en général une précision théorique inférieure au degré. Par contre, il peut être très délicat de venir positionner un thermocouple sur l’éprouvette, sans générer de résistance thermique de contact, et sans que la mesure ne perturbe le milieu environnant. – La méthode électrique s’avère être un complément utile des méthodes citées ci-dessus, lorsqu’il s’agit de mettre en évidence l’endommagement ou la rupture d’une éprouvette conductrice. Elle consiste à faire circuler un courant continu de forte intensité dans l’éprouvette, et à mesurer la variation de potentiel sur deux prises de potentiels situées au voisinage de la partie utile. Les étalonnages peuvent s’effectuer sur des configurations de référence (fissures calibrées), ou par le calcul. Il est possible d’accéder à des variations de potentiel de l’ordre de 1mV, ce qui correspond en général à des fissures de l’ordre de quelques dizièmes de millimètres.
1.5. MISE EN ŒUVRE
1.5
9
Mise en œuvre
La manière dont sont stockées et utilisées les connaissances en matériau et en mécanique a considérablement évolué au cours des vingt dernières années. Le recours à l’informatique est général, avec le développement de bases de données, de sites internet proposant leurs services, et les codes de calcul de structures notamment. Cette floraison ne dispense pas de développer une compréhension profonde des modèles utilisés en simulation. Sans les capacités de juger de la bonne tenue de ses résultats, un ingénieur ou un chercheur peut en effet se laisser porter par l’apparente facilité d’utilisation qu’apportent des interfaces-utilisateurs de plus en plus conviviales, et fournir des résultats, en couleur, tout à fait aberrants. Cette conséquence est d’autant plus probable que le modèle est complexe, et le comportement non linéaire est une source inépuisable de résultats erronés. Pour tâcher d’éviter cet écueil, il faut en passer par un apprentissage manuel des ordres de grandeurs et des méthodologies de calcul. On sera ainsi mieux armé pour aborder l’indispensable outil numérique.
10
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Chapitre 2
Rhéologie La construction des modèles de comportement non linéaire des matériaux comporte deux volets : l’étude des propriétés rhéologiques et la définition de la forme des équations pour un chargement tridimensionnel. La rhéologie, étude des écoulements, permet de relier les contraintes, les déformations, et leurs dérivées, et caractérise la nature des comportements. La caractérisation expérimentale a été évoquée en introduction. Certains comportements fondamentaux ont été identifiés. Chacun va se caractériser ici par une brique élémentaire. Les comportements les plus complexes se batissent ensuite à partir de celles-ci en formant des assemblages qui sont décrits dans ce chapitre. La conception d’un modèle complet nécessite enfin le choix d’une généralisation qui permette de passer de l’étude sous chargement uniaxial à celle des chargements multiaxiaux. Ce sera l’objet du chapitre suivant, qui décrira les différents critères qui autorisent cette généralisation. On commence l’examen des différentes classes de modèle par quelques remarques sur les types de déformation que peut subir la matière.
2.1 2.1.1
Les différents types de «déformation» Les sources de «déformation»
Pour les lois de comportement les plus simples (élasticité, viscosité pure) un seul tenseur de déformation permet de caractériser les changements de forme de l’élément de volume. De nombreuses situations pratiques font au contraire intervenir d’autres types de déformations. Avant d’aborder cette description, on fait le bilan des éléments nécessaires à la construction d’une loi de comportement. Un cadre devenu classique, et qui est présenté dans le cours de MMC (Forest et al., 2010) (chapitre 5) suppose que l’on définisse un certain nombre de variables d’état qui représentent à l’instant t le résultat de toute l’histoire du matériau. La déformation élastique est l’exemple d’une telle variable. Il faut ensuite introduire des coefficients, ou paramètres matériau, qui vont porter sur ces variables et définir les grandeurs associées (l’approche thermodynamique parle de «forces» thermodynamiques) qu’elles génèrent. Ainsi, le tenseur des modules d’élasticité permet-il de calculer le tenseur des contraintes. Un matériau est également soumis à l’action de paramètres extérieurs, qui vont créer en son sein des distorsions ou des variations de volume. Le fait de solliciter le matériau dans des conditions extrêmes (fortes charges par exemple) fait apparaître des irréversibilités dans le processus de déformation, qui devront être caractérisées par de nouvelles variables d’état. On entamera au paragraphe suivant l’étude de ce type de déformation. Il faut auparavant citer le cas des déformations paramétriques. On regroupe derrière cette dénomination les modes de déformations additionnels, qui sont pilotés par des paramètres extérieurs. En toute rigueur les distorsions et dilatations produites ne conduisent pas à un tenseur de déformation, parce qu’elles ne vérifient pas forcément les équations de compatibilité. L’usage a néanmoins consacré l’abus de notation, et on utilise par exemple ∼εth pour désigner la dilatation thermique ; on accepte même parfois de parler de déformation thermique. Parmi les autres paramètres extérieurs qui fournissent des déformations 11
12
CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE
additionnelles, on peut citer par exemple : – l’irradiation d’un matériau, qui provoque dans certaines gammes de température la germination et la croissance de cavités, ce qui produit un changement de volume ; – le changement de phase ; les métaux et alliages, mais aussi les roches, peuvent changer de réseau cristallin en fonction de la température et de la pression. Ces phénomènes doivent bien entendu être décrits à l’aide de variables d’état, mais, dans la mesure où une quantité donnée d’atomes n’occupera pas le même volume en fonction de sa phase cristallographique (cubique, hexagonale,. . .), un changement de volume spécifique accompagnera de façon systématique le changement de phase.
2.1.2
Dilatation thermique
La dilatation thermique est proportionnelle à la variation de température pour une petite variation de celle-ci autour d’un point de fonctionnement considéré. Ceci permet donc d’introduire un tenseur de dilatation thermique. Sur une large gamme de température, l’expérience montre que les termes de ce tenseur dépendent de la température. Comme par ailleurs on peut choisir la température à laquelle on prend la dilatation thermique nulle, il faut introduire deux températures particulières dans la définition, T0 température à laquelle ∼εth est nul, et Tr , température de référence à partir de laquelle est mesuré α . La ∼ forme complète est alors : – pour le cas anisotrope εth = α (T )(T − Tr ) − α (T0 )(T0 − Tr ) (2.1) ∼ ∼ ∼ – pour le cas isotrope εth = α(T )(T − Tr )I∼ − α(T0 )(T0 − Tr )I∼
(2.2)
εth i j = α(T )(T − Tr )δi j − α(T0 )(T0 − Tr )δi j
(2.3)
∼
soit Dans une telle définition, α(T ) (dépendant de la température) est le coefficient de dilatation sécant. C’est lui qui est ordinairement tabulé dans les bases de données. La déformation totale s’écrit comme une somme de la part élastique et de la part thermique : ε = ∼εe + ∼εth
∼
Lorsque le champ de température dans une pièce n’est pas uniforme, la dilatation varie d’un point à l’autre. Si le champ appliqué permet de vérifier les conditions de compatibilité, et s’il peut se développer une dilatation libre, il n’y a pas de contrainte ; dans le cas contraire (champ de température trop complexe ou restrictions cinématiques), ceci conduit au développement de contraintes thermomécaniques.
2.2
Les briques de base du comportement non linéaire
L’allure qualitative de la réponse des matériaux à quelques essais simples permet de les ranger dans des classes bien définies. Ces comportements «de base», qui peuvent être représentés par des systèmes mécaniques élémentaires, sont l’élasticité, la plasticité et la viscosité. Les éléments les plus courants sont reportés en figure 2.1, où le point au-dessus d’une variable désigne la dérivée temporelle : 1. Le ressort, qui symbolise l’élasticité linéaire parfaite, pour laquelle la déformation est entièrement réversible lors d’une décharge, et où il existe une relation biunivoque entre les paramètres de charge et de déformation (figure 2.1a). 2. L’amortisseur, qui schématise la viscosité, linéaire (figure 2.1b) ou non–linéaire (figure 2.1c). La viscosité est dite pure s’il existe une relation biunivoque entre la charge et la vitesse de chargement. Si cette relation est linéaire, le modèle correspond à la loi de Newton.
2.3. PLASTICITÉ UNIAXIALE
13
3. Le patin, qui modélise l’apparition de déformations permanentes lorsque la charge est suffisante (figure 2.1d). Si le seuil d’apparition de la déformation permanente n’évolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, de plus, la déformation avant écoulement est négligée, le modèle est rigide–parfaitement plastique.
σ = Eε
a.
σ = η ε˙
b.
σ = η ε˙ 1/N
c.
−σy ≤ σ ≤ σy d. F IG . 2.1 – Les « briques de base » pour la représentation des comportements Ces éléments peuvent être combinés entre eux pour former des modèles rhéologiques. Ceux-ci représentent des systèmes mécaniques qui servent de support dans la définition des modèles. Il ne faut en aucun cas leur accorder un trop grand crédit pour ce qui concerne la représentation des phénomènes physiques qui sont à la base des déformations. Ils sont néanmoins brièvement présentés ici, car ils permettent de comprendre la nature des relations à introduire pour chaque type de comportement, en pratiquant par exemple l’exercice qui consiste à combiner deux à deux les modèles élémentaires. C’est aussi l’occasion d’introduire l’ensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas général des chargements tridimensionnels. En fonction du type de chargement imposé, la réponse de ces systèmes peut être jugée dans 3 plans différents : – plan déformation–contrainte, ε-σ, pour l’essai de traction simple, ou d’écrouissage, augmentation monotone de la charge ou de la déformation ; – plan temps–déformation, t-ε, pour l’essai de fluage, sous charge constante ; – plan temps–contrainte, t-σ, pour l’essais de relaxation, sous déformation constante.
2.3 2.3.1
Plasticité uniaxiale Modèle élastique–parfaitement plastique
L’association d’un ressort et d’un patin en série (figure 2.2 a) produit un comportement élastique parfaitement plastique, modélisé en figure 2.2 c. Le système ne peut pas supporter une contrainte dont la valeur absolue est plus grande que σy . Pour caractériser ce modèle, il faut considérer une fonction de charge f dépendant de la seule variable σ, et définie par : f (σ) = |σ| − σy
(2.4)
Le domaine d’élasticité correspond aux valeurs négatives de f , et le comportement du système se résume
14
CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE (H) (E)
(σy )
(σy ) a. σ
b. σ
σy
σy H
εp −σy
εp
c.
d.
F IG . 2.2 – Associations en série ou parallèle de patin et ressort
alors aux équations suivantes : − domaine d’élasticité si :
f< 0
− décharge élastique si
f= 0
:
− écoulement plastique si :
f= 0
et f˙< 0 et f˙= 0
˙ (ε˙ = ε˙ e = σ/E) e ˙ (ε˙ = ε˙ = σ/E) ˙p
(ε˙ = ε )
(2.5) (2.6) (2.7)
En régime élastique, la vitesse de déformation plastique est bien entendu nulle, la vitesse de déformation élastique devenant à son tour nulle pendant l’écoulement plastique. Ceci implique que l’expression de la vitesse de déformation plastique ne peut pas se faire à l’aide de la contrainte. C’est au contraire la vitesse de déformation qui doit être choisie comme pilote. Le modèle est sans écrouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortir du domaine d’élasticité. Il n’y a pas d’énergie stockée au cours de la déformation, et la dissipation en chaleur est égale à la puissance plastique. Le modèle est susceptible d’atteindre des déformations infinies sous charge constante, conduisant à la ruine du système par déformation excessive.
2.3.2
Modèle de Prager
L’association en parallèle de la figure 2.2b correspond au comportement illustré en figure 2.2d. Dans ce cas, le modèle présente de l’écrouissage. Il est dit cinématique linéaire (Prager, 1955), car dépendant linéairement de la valeur actuelle de la déformation plastique. Sous cette forme, le modèle est rigide– plastique. Il devient élasto–plastique si l’on rajoute un ressort en série. La forme de la courbe dans le plan σ − ε p est due au fait que, lors de l’écoulement plastique, la contrainte qui s’établit dans le ressort vaut X = Hε p . Par ailleurs, cet écoulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans le patin, soit |σ − Hε p |, est égale à σy . Pour une déformation donnée, cette contrainte X est une contrainte interne qui caractérise le nouvel état neutre du matériau. Ce deuxième exemple offre l’occasion d’écrire un modèle plus complet que précédemment. La fonction de charge dépend maintenant de la contrainte appliquée et de la contrainte interne. Elle s’écrit : f (σ, X) = |σ − X| − σy
(2.8)
Il n’y aura présence d’écoulement plastique que si on vérifie à la fois f = 0 et f˙ = 0. Ceci conduit à la
2.3. PLASTICITÉ UNIAXIALE
15
condition suivante :
∂f ∂f ˙ X =0 σ˙ − ∂σ ∂X
(2.9)
D’où : ˙ signe(σ − X) σ+signe(σ − X) X˙ = 0 p ˙ et finalement : ε˙ = σ/H ˙ σ˙ = X,
(2.10) (2.11)
Dans ce cas, la contrainte augmente au cours de l’écoulement plastique, si bien qu’elle peut servir de variable de contrôle. Mais il est aussi toujours possible d’exprimer la vitesse d’écoulement plastique en fonction de la vitesse de déformation totale, en utilisant la décomposition de la déformation combinée avec l’expression de la vitesse de déformation plastique, le cas où H = 0 redonnant bien entendu le cas du matériau parfaitement plastique : E ε˙ p = ε˙ (2.12) E +H Il est remarquable de noter que le calcul de l’énergie dissipée au cours d’un cycle produit exactement le même résultat que pour le premier montage, ce qui indique que, pour ce type de comportement, une partie de l’énergie est temporairement stockée dans le matériau (ici, dans le ressort), et entièrement restituée à la décharge. Ceci donne une illustration physique de la notion d’écrouissage renversable, alors que d’autres règles d’écrouissage cinématique, non–linéaire, qui ne seront pas considérées dans le cadre de ce cours, sont accompagnées d’une dissipation d’énergie.
2.3.3
Écriture générale des équations de l’élastoplasticité uniaxiale
Dans le cas général, les conditions de «charge–décharge» s’expriment donc : − domaine d’élasticité si :
f (σ, Ai )< 0
− décharge élastique si
:
f (σ, Ai )= 0
− écoulement plastique si :
f (σ, Ai )= 0
˙ (ε˙ = σ/E) ˙ ˙ et f (σ, Ai )< 0 (ε˙ = σ/E) ˙ ˙ + ε˙ p ) et f (σ, Ai )= 0 (ε˙ = σ/E
(2.13) (2.14) (2.15)
Dans le cas général, le module H dépend de la déformation et/ou des variables d’écrouissage. La valeur du module plastique au point (σ, Ai ) s’obtient en écrivant que le point représentatif du chargement reste sur la limite du domaine d’élasticité au cours de l’écoulement. L’équation qui en découle s’appelle la condition de cohérence : f˙(σ, Ai ) = 0 (2.16) Ce formalisme peut paraître un peu lourd dans le cadre d’un chargement uniaxial, mais il est utile de le mettre en place, car ce sont les mêmes outils qui seront ensuite utilisés dans le cas plus complexe des chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ont été décrits, le domaine d’élasticité est soit fixe, soit mobile, sa taille étant conservée. Le premier cas ne nécessite bien entendu aucune variable d’écrouissage, le second fait intervenir une variable X qui dépend de la valeur actuelle de la déformation plastique. Cette variable deviendra tensorielle dans le cas général. Comme indiqué plus haut le type d’écrouissage correspondant s’appelle écrouissage cinématique (figure 2.3b). Une autre évolution élémentaire que peut subir le domaine d’élasticité est l’expansion. Cet autre cas (figure 2.3a) correspond à un matériau dont le domaine d’élasticité voit sa taille augmenter, mais qui reste centré sur l’origine : il s’agit d’un écrouissage isotrope (Taylor and Quinney, 1931). La variable d’écrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine d’élasticité, notée R : f (σ, R) = |σ| − R − σy
(2.17)
L’évolution de cette variable est la même quel que soit le signe de la vitesse de déformation plastique. Elle s’exprimera donc en fonction de la déformation plastique cumulée, p, variable dont la dérivée est
16
CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE
égale à la valeur absolue de la vitesse de la déformation plastique : p˙ = |ε˙ p |. Bien entendu, il n’y a pas de différence entre p et ε p tant que le chargement est monotone croissant. Dans ce cas, vérifier la condition de cohérence revient tout simplement à exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur la frontière du domaine d’élasticité. Pour l’écrouissage cinématique, cela s’écrit σ = X + σy , et pour l’écrouissage isotrope σ = R + σy . Cela signifie donc que c’est la loi d’évolution de la variable d’écrouissage qui détermine exactement la forme de la courbe de traction. Les deux modèles rhéologiques invoqués donnent des courbes linéaires, avec des modules plastiques nul ou constant. Il est souvent plus réaliste de considérer une courbe qui se sature en fonction de la déformation, soit par exemple une fonction puissance (loi de Ramberg–Osgood, avec deux coefficients matériaux K et m) ou une exponentielle, cette dernière formulation offrant l’avantage d’introduire une contrainte ultime σu supportable par le matériau (deux coefficients matériau, σu et b en plus de σy ) : σ = σy + K (ε p )m
(2.18) p
σ = σu + (σy − σu ) exp(−b ε )
(2.19)
Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de définir une forme explicite de la loi de comportement, et décrivent la courbe de traction point par point. Cela revient implicitement à considérer un écrouissage isotrope. Ce type d’écrouissage est prédominant pour les déformations importantes (au-delà de 10%). Cependant, l’écrouissage cinématique continue de jouer un rôle important lors de décharges, même pour les grandes déformations, et c’est lui qui est prépondérant pour les faibles déformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctement l’effet Bauschinger, c’est-à-dire le fait que la contrainte d’élasticité en compression décroît par rapport à la contrainte initiale à la suite d’un préécrouissage en traction. Il est néanmoins moins souvent utilisé que l’écrouissage isotrope, car son traitement numérique est plus délicat. σ σ σy
R + σy
σy
σy X
εp
σy ε p
R + σy
a. Isotrope
b. Cin´ematique
F IG . 2.3 – Illustration des deux principaux types d’écrouissage
2.4 2.4.1
Viscoélasticité uniaxiale Un exemple de modèle rhéologique
Le modèle de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en série (figure 2.4a), celui de Voigt un amortisseur et un ressort en parallèle (figure 2.4b). Leurs équations respectives sont : −Maxwell : −Voigt :
˙ 0 + σ/η ε˙ = σ/E σ = Hε + ηε˙ , ou encore : ε˙ = (σ − H ε)/η
(2.20) (2.21)
La particularité du modèle de Voigt est de ne pas présenter d’élasticité instantanée. Ceci entraîne que sa fonction de relaxation n’est pas continue et dérivable par morceaux, avec un saut fini à l’origine :
2.4. VISCOÉLASTICITÉ UNIAXIALE
17 (H) (E0 )
(η)
(η) b. Voigt
a. Maxwell σ
ε Maxwell
σ0 /E0
E0 ε 0
σ0 /H Voigt
t c. Fluage
Maxwell
t
d. Relaxation
F IG . 2.4 – Fonctionnement des modèles de Maxwell et Voigt l’application d’un saut de déformation en t = 0 produit une contrainte infinie. Ce modèle n’est donc pas utilisable en relaxation, sauf si la mise en charge est progressive, et sera pour cette raison associé à un ressort en série pour effectuer des calculs de structure (modèle de Kelvin–Voigt du paragraphe suivant). Sous l’effet d’une contrainte σ0 constante en fonction du temps, la déformation tend vers la valeur asymptotique σ0 /H, le fluage est donc limité (figure 2.4c). Par ailleurs, si, après une mise en charge lente, la déformation est fixée à une valeur ε0 , la contrainte asymptotique sera H ε0 . Il n’y a donc pas dans ce dernier cas disparition complète de la contrainte. Au contraire, dans le cas du modèle de Maxwell, la vitesse de fluage est constante (figure 2.4c), et la disparition de contrainte au cours d’une expérience de relaxation est totale (figure 2.4d). Dans le cas de modèles et de chargement aussi simples, la réponse est obtenue instantanément par intégration directe des équations différentielles. Les formules obtenues sont respectivement, pour le modèle de Maxwell : −fluage sous une contrainte σ0 :
ε = σ0 /E0 + σ0 t / η
−relaxation à la déformation ε0 : σ = E0 ε0 exp[−t/τ]
(2.22) (2.23)
et pour le modèle de Voigt : −fluage sous une contrainte σ0 : ε = (σ0 / H)(1 − exp[−t/τ0 ])
(2.24)
Les constantes τ = η/E0 et τ0 = η/H sont homogènes à un temps, τ désignant le temps de relaxation du modèle de Maxwell.
2.4.2
Étude d’un modèle composé
Le modèle de Kelvin–Voigt (figure 2.5a) présente respectivement les réponses suivantes, pour t > 0, en fluage sous une contrainte σ0 , en posant τ f = η/H, et en relaxation pour une déformation ε0 , en posant τr = η/(H + E0 ) : 1 1 + (1 − exp[−t/τ f ]) σ0 (2.25) ε(t) = C(t) σ0 = E0 H H E0 σ(t) = E(t) ε0 = + exp[−t/τr ] E0 ε0 (2.26) H + E0 H + E0
18
CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE (E1 )
(H) (E0 ) (η)
(η)
(E2 )
a. Kelvin–Voigt
b. Zener
F IG . 2.5 – Exemple de modèles composés
Le temps caractéristique en relaxation, τr , est plus court que le temps correspondant en fluage, τ f . Le matériau évolue donc plus vite vers son état asymptotique en relaxation qu’en fluage. Le modèle de Zener (figure 2.5b) peut se ramener au modèle de Kelvin–Voigt, à l’aide du double changement de variable 1/E1 = 1/E0 + 1/H, et E2 = E0 + H, ce qui prouve que les deux modèles sont en fait identiques. La même observation peut être faite en fluage. Ce modèle correspond au comportement du béton frais. Les modèles indiqués peuvent être encore améliorés : – le modèle de Kelvin–Voigt généralisé est obtenu en ajoutant en série d’autres modules amortisseurressort (H, η) dans le cas du premier modèle ; ce modèle représente en général correctement le comportement des polymères fortement réticulés ; – le modèle de Maxwell généralisé est obtenu en ajoutant en parallèle d’autres modules amortisseurressort (E2 , η) au second modèle ; ce modèle représente qualitativement le comportement des polymères thermoplastiques.
2.5 2.5.1
Viscoplasticité uniaxiale Un exemple de modèle rhéologique σ
(H) (E)
(η)
ε˙ σy
(σy )
εvp b. Comportement en traction
a. Sch´ema du mod`ele
F IG . 2.6 – Modèle de Bingham généralisé
La figure 2.6a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possible de passer très simplement d’un modèle ayant un comportement plastique indépendant du temps à un modèle viscoplastique : le modèle obtenu est le modèle de Bingham généralisé. On retrouverait l’original de ce modèle en enlevant le ressort en série (E → ∞, pas d’élasticité instantanée, on obtient alors un modèle rigide viscoplastique), et en supprimant le ressort en parallèle, (H = 0, pas d’écrouissage). La déformation élastique se lit aux bornes du ressort de caractéristique E, la déformation viscoplastique, que l’on nommera εvp , aux bornes de l’assemblage en parallèle. La détermination des équations de ce modèle s’effectue en considérant les équations de comportement individuelles de chacun des éléments : X = Hεvp
σv = η ε˙ vp
σ p 6 σy
(2.27)
2.5. VISCOPLASTICITÉ UNIAXIALE
19
où X, σv et σ p sont respectivement les contraintes dans le ressort de caractéristique H, dans l’amortisseur et dans le patin, et : σ = X + σv + σ p (2.28) Il y a donc comme pour le modèle plastique un domaine d’élasticité, dont la frontière est atteinte lorsque |σ p | = σy . On distingue alors trois régimes de fonctionnement, selon que la vitesse de déformation viscoplastique est nulle, positive ou négative : (a) ε˙ vp = 0 (b) ε˙ vp > 0 ˙ vp
(c) ε < 0
|σ p | = |σ − Hεvp | vp
˙ vp
σ p = σ − Hε − η ε σ p = σ − Hεvp − η ε˙ vp
6 σy
(2.29)
= σy
(2.30)
= − σy
(2.31)
Le cas (a) correspond à l’intérieur du domaine d’élasticité (|σ p | < σy ) ou à un état de décharge élastique (|σ p | = σy et |σ˙ p | ≤ 0), les deux autres cas à de l’écoulement (|σ p | = σy et |σ˙ p | = 0 ). En posant < x >= max(x, 0), les trois cas peuvent se résumer par une seule expression : η ε˙ vp = h|σ − X| − σy i signe(σ − X) ou encore : ε˙ vp =
signe(σ − X) η
(2.32)
f (σ, X) = |σ − X| − σy
avec
(2.33)
La nature du modèle a maintenant complètement changé, puisque le point représentatif de l’état de contrainte courant peut se trouver dans la zone f > 0, et que la vitesse d’écoulement est maintenant régie par le temps : elle peut être non nulle sans qu’il y ait d’incrément de contrainte ou de déformation. Ceci explique qu’en figure 2.6b la courbe de traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande, plus la contrainte visqueuse σv sera élevée, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors d’une décharge, le point de fonctionnement ne pénètre pas immédiatement dans le domaine d’élasticité (on peut donc avoir un écoulement positif à contrainte décroissante). Par ailleurs, il est possible de simuler des expériences de fluage ou de relaxation. En fluage (figure 2.7), en supposant qu’on applique un échelon de contrainte (de 0 à σo > σy ) à partir d’un état de référence où toutes les déformations sont nulles, le modèle prévoit que la déformation viscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t, avec un temps caractéristique τ f = η/H (figure 2.7a) : σo − σy t vp ε = 1 − exp − (2.34) H τf La figure 2.7b montre, dans le plan contrainte–déformation viscoplastique, les évolutions respectives de la contrainte interne X et du seuil X + σy . Lorsque ce dernier rejoint la contrainte appliquée σo , la vitesse de déformation viscoplastique s’annule. σ σ0
εvp σ0 − σ y H
σy
σy X
εvp
t a.
b.
F IG . 2.7 – Fluage avec le modèle de Bingham
20
CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE
En relaxation, la réponse à un échelon de déformation (de 0 à εo tel que Eεo > σy ) fait cette fois intervenir un temps caractéristique de relaxation τr = η/(E + H) : t Eεo t E 1 − exp − + H + E exp − (2.35) σ = σy E +H τr E +H τr La figure 2.8a montre le trajet parcouru par le point représentatif de l’état de contrainte au cours ˙ de la relaxation (pente −E puisque ε˙ vp + σ/E = 0). La figure 2.8b représente quant à elle le trajet caractéristique au cours d’une expérience d’effacement , ou encore de recouvrance. En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer après décharge une vitesse d’écoulement négative ou nulle, mais en aucun cas on ne pourra ramener la déformation viscoplastique à zéro, sauf dans le cas particulier où la contrainte σy est nulle. Il n’y a alors plus de seuil initial, et on conçoit bien qu’il n’est plus nécessaire dans ce cas de définir une décomposition de la déformation : on retrouve d’ailleurs le modèle de Kelvin–Voigt, donc une approche viscoélastique. σ σ A −E OA : transitoire AB : relaxation B H BC : d´echarge CD : effacement σy σy incomplet
εvp
O
εvp
D C a. b. F IG . 2.8 – Fonctionnement du modèle de Bingham à déformation imposée
2.5.2
Quelques modèles classiques en viscoplasticité
Dans l’exemple précédent, la vitesse de déformation viscoplastique est proportionnelle à une certaine contrainte efficace, différence entre la contrainte appliquée et le seuil, qui représente la distance entre le point de fonctionnement actuel et la frontière du domaine d’élasticité, qui n’est rien d’autre que la valeur de la fonction f au point de fonctionnement courant. La relation linéaire peut être remplacée par une forme plus générale, en introduisant une fonction de viscosité, φ, qui fournit alors en traction simple : ε˙ vp = φ( f )
(2.36)
Pour un modèle qui comporterait à la fois de l’écrouissage isotrope et cinématique, cette relation s’inverse sous la forme suivante, toujours en traction simple : σ = σy + X + R + φ−1 (ε˙ vp ) = σy + X + R + σv
(2.37)
La courbe de traction est déterminée par l’évolution du seuil, exactement comme dans le cas d’un modèle de plasticité (au travers de X et R), mais également par la fonction de viscosité, qui pilote la valeur de la contrainte visqueuse σv . Pour des raisons physiques évidentes, on considère que φ(0) = 0, et on suppose également que φ est une fonction monotone croissante. Dans le cas où σv s’annule, le modèle reproduit un comportement plastique indépendant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente, et plus la contrainte atteinte pour une déformation donnée sera élevée. Dans le cadre d’un modèle viscoplastique, il y a donc deux possibilités pour introduire de l’écrouissage. On conserve les possibilités d’action sur des variables de type X et R, et on peut également
2.6. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE
21
jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquement modèles à écrouissage additif ceux qui jouent sur les variables de type plasticité et modèles à écrouissage multiplicatif ceux qui jouent sur la contrainte visqueuse, une approche où les deux mécanismes sont présents étant bien entendu également envisageable. Par ailleurs, contrairement au cas de la plasticité, on peut ici considérer un modèle dans lequel le domaine d’élasticité se réduit à l’origine (σ = 0), et qui ne possède pas d’écrouissage. Ainsi le modèle le plus courant est–il le modèle de Norton (avec deux coefficients matériau K et n) : n |σ| ˙εvp = signe(σ) (2.38) K On peut le généraliser pour en faire un modèle à seuil sans écrouissage, ou réintroduire X et R aux côtés de σy , ce qui conduit à un modèle à écrouissage additif. |σ| − σy n vp signe(σ) (2.39) ε˙ = K |σ − X| − R − σy n vp signe(σ − X) (2.40) ε˙ = K Il y a également une grande liberté pour choisir d’autres formes que la fonction puissance, ainsi un sinus hyperbolique dans le modèle de Sellars et Teggart (loi sans écrouissage, coefficients A et K) : |σ| vp signe(σ) (2.41) ε˙ = A sinh K Pour obtenir des lois à écrouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction φ ne dépend pas uniquement de f , ainsi la loi de Lemaitre (coefficients matériau K, m et n positifs) : n |σ| ˙εvp = p−n/m signe(σ) avec p˙ = |ε˙ vp | (2.42) K
2.6
Influence de la température
Tous les coefficients caractéristiques qui ont été définis ci–dessus sont susceptibles de dépendre de la température. Les dépendances se définissent en général par des tables, après examen du comportement isotherme. Dans certains cas, lorsque les mécanismes physiques sont bien définis, il est possible de préciser explicitement l’influence de la température. La loi la plus couramment utilisée pour cela est la loi d’Arrhenius. Elle est valide en fluage. Elle introduit une énergie d’activation thermique Q, et R, constante des gaz parfaits (le rapport Q/R est homogène à une température), et indique que plus la température est élevée pour une charge donnée, plus la vitesse de déformation est grande : ε˙ vp = ε˙ o exp(−Q/RT )
(2.43)
Ceci permet de construire des équivalences temps–température, et, en menant en laboratoire des essais à température plus élevée que la température de fonctionnement visée dans les applications, d’obtenir en un temps limité des informations sur le comportement à long terme. Cette approche doit bien entendu être manipulée avec précaution dans le cas de matériaux vieillissants, et elle ne peut être étendue à de trop grandes plages de température.
22
CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE
Résumé Les équations très générales qui ont été écrites pour le moment mettent en évidence la nature des modèles de viscoélasticité, de plasticité et de viscoplasticité. Ces deux derniers ont en commun l’existence d’un domaine d’élasticité (éventuellement réduit à l’origine pour le modèle viscoplastique) et de variables d’écrouissage. Par contre, il faut aussi retenir que l’écoulement plastique est instantané, alors que l’écoulement viscoplastique est retardé : dε p = g(σ, . . . )dσ
dεvp = g(σ, . . . )dt
(2.44)
Ceci aura des conséquences importantes pour l’écriture du comportement élasto-(visco)-plastique tangent, qui est la caractéristique utilisée par les codes de calcul de structures. On ne considère dans ce cours que des formes très naïves d’écrouissage, dans la mesure où l’objectif est avant tout de mettre en place les structures des théories. La description de formes plus réalistes nécessiterait bien plus de temps. On retiendra pour mémoire les effets des chargements cycliques, des trajets de chargement multiaxiaux non proportionnels, des changements de phase, le vieillissement, les interactions avec l’environnement, etc. . . La plupart de ces effets sont maintenant bien documentés, et font l’objet de modélisations spécifiques. En l’absence de déformations paramétriques, les principales équations sont donc les suivantes (en adoptant à partir de maintenant la même notation, ε p , pour la déformation viscoplastique comme pour la déformation plastique) : – Viscoélasticité : le modèle est une combinaison des déformations, des contraintes, et de leurs vitesses : −Maxwell : −Voigt :
˙ 0 + σ/η ε˙ = σ/E σ = Hε + ηε˙ , ou encore : ε˙ = (σ − H ε)/η
– Plasticité et viscoplasticité : ε˙ = ε˙ e + ε˙ p – Plasticité : − domaine d’élasticité si :
f (σ, Ai )< 0
− décharge élastique si
:
f (σ, Ai )= 0
− écoulement plastique si :
f (σ, Ai )= 0
˙ (ε˙ = σ/E) ˙ et f˙(σ, Ai )< 0 (ε˙ = σ/E) ˙ + ε˙ p ) et f˙(σ, Ai )= 0 (ε˙ = σ/E
En traction à contrainte imposée : ε˙ p =
σ˙ H
En traction à déformation imposée : ε˙ p =
ε˙ E +H
– Viscoplasticité : − domaine d’élasticité si : − écoulement plastique si :
˙ f (σ, Ai )6 0 (ε˙ = σ/E) ˙ + ε˙ p ) f (σ, Ai )> 0 (ε˙ = σ/E
En traction à contrainte et à déformation imposée, une forme possible est : σ − σy n p ε˙ = K
Chapitre 3
Critères La description des modèles à utiliser sous chargement uniaxial qui a été faite dans le chapitre précédent a mis en évidence un domaine d’élasticité, dans l’espace des contraintes et des variables d’écrouissage, pour lequel il n’y a pas d’écoulement plastique ou viscoplastique. La trace de ce domaine sur l’axe de la contrainte se limite à un segment de droite, qui peut subir une translation ou une expansion (il peut même parfois se limiter à un point). Par ailleurs certains modèles sont capables de représenter une contrainte maximale supportable par le matériau. Afin de pouvoir aborder l’étude des chargements multiaxiaux, il est nécessaire de se donner les moyens de définir de telles limites en tridimensionnel. On passe donc en revue les outils disponibles pour écrire ces modèles dans le cas de milieux continus, enfin on montre les principales classes de critères. De même que pour les lois d’écoulement qui ont été citées précédemment, le choix de tel ou tel critère va dépendre du matériau étudié.
3.1
Les outils disponibles
Le cas du chargement uniaxial étudié jusqu’à présent fait apparaître un domaine d’élasticité au travers de deux valeurs de contrainte, l’une en traction, l’autre en compression, pour lesquelles se produit l’écoulement plastique. Ainsi dans le cas du modèle de Prager, le domaine d’élasticité initial est le segment [−σy , σy ], et sa position pour une déformation plastique ε p est [−σy + X, σy + X], avec X = Hε p . Il est décrit par la fonction de charge (définie de R2 dans R), f : (σ, X) → f (σ, X). Pour définir ce même domaine en présence de chargements multiaxiaux, la fonction f devient une fonction du tenseur de contrainte, σ et du tenseur X∼ = Hε∼ p , (de R12 dans R) telle que si f (σ , X ) < 0, l’état de ∼ ∼ ∼ contraintes est élastique, si f (σ , X ) = 0, le point de fonctionnement est sur la frontière, la condition ∼ ∼ f (σ , X ) > 0 définissant l’extérieur du domaine. Dans le cas général, l’ensemble de départ contiendra les ∼ ∼ contraintes et toutes les variables d’écrouissage, scalaires ou tensorielles, il faut donc définir f (σ , Ai ). ∼ On va dans un premier temps limiter la présentation à la définition du domaine d’élasticité initial, pour lequel on supposera que les variables Ai sont nulles, si bien qu’on se contentera d’écrire les restrictions des fonctions f dans l’espace des contraintes. L’expérience montre que, pour la plupart des matériaux, le domaine d’élasticité initial est convexe (c’est en particulier vrai pour les métaux qui se déforment par glissement cristallographique). La fonction de charge doit donc elle–même être convexe en σ , ce qui implique, pour tout réel λ compris entre 0 et 1, ∼ , σ ) quelconque de la frontière : et pour un couple (σ ∼1 ∼2 ) + (1 − λ) f (σ ) f (λ σ + (1 − λ) σ ) 6 λ f (σ ∼1 ∼2 ∼1 ∼2
(3.1)
Comme dans le cas de l’étude du tenseur d’élasticité, il faut ici encore respecter les symétries matérielles. Ceci implique en particulier dans le cas d’un matériau isotrope que f soit une fonction symétrique des seules contraintes principales, ou bien encore, ce qui est équivalent, des invariants du 23
24
CHAPITRE 3. CRITÈRES
tenseur des contraintes dont la définition provient du polynôme caractéristique : I1 = trace(σ ) ∼
= σii
(3.2)
2
I2 = (1/2) trace(σ ) = (1/2) σi j σ ji ∼
(3.3)
3 I3 = (1/3) trace(σ ) = (1/3) σi j σ jk σki ∼
(3.4)
L’expérience montre que la déformation plastique d’un grand nombre de matériaux est indépendante de la pression hydrostatique. Ceci amène à considérer comme variable critique à faire figurer dans la définition du critère non plus le tenseur de contraintes lui-même, mais son déviateur ∼s , défini en enlevant àσ la pression hydrostatique, et ses invariants : ∼ s =σ − (I1 /3) ∼I ∼
(3.5)
∼
J1 = trace(s∼ )
=0
(3.6)
J2 = (1/2) trace(s∼ 2 ) = (1/2) si j s ji
(3.7)
3
J3 = (1/3) trace(s∼ ) = (1/3) si j s jk ski
(3.8) (3.9)
Il est commode, en vue de réaliser les comparaisons avec les résultats expérimentaux, de disposer d’expressions des critères dans lesquelles les valeurs de f sont homogènes à des contraintes, c’est ce qui amène par exemple à utiliser à la place de J2 l’invariant J, qui peut également s’exprimer en fonction des contraintes principales σ1 , σ2 , σ3 , ou de la contrainte σ dans le cas d’un état de traction simple : J = ((3/2)si j s ji )1/2 = (1/2) (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2
1/2
= |σ|
(3.10)
La valeur précédente est à rapprocher de celle de la contrainte de cisaillement octaédral. Les plans octaédraux sont ceux dont le vecteur normal est de type {1, 1, 1} dans l’espace des contraintes principales. Il est aisé de montrer que le vecteur contrainte évalué sur le plan (1,1,1) à partir des valeurs de σ1 , σ2 , σ3 a pour composantes normale σoct et tangentielle τoct : √ σoct = (1/3) I1 τoct = ( 2/3) J (3.11) La valeur de J définit donc le cisaillement dans les plans octaédraux. Les remarques précédentes indiquent que le plan de normale (1,1,1) va être un plan privilégié pour la représentation des critères. En effet, tous les points représentant des états de contrainte qui ne diffèrent que par un tenseur sphérique (donc qui sont équivalents vis–à–vis d’un critère qui ne fait pas intervenir la pression hydrostatique) s’y projettent sur le même point. La figure 3.1 montre ce plan, dans lequel les projections des axes principaux déterminent des angles de 2π/3, et qui a comme équation σ1 + σ2 + σ3 = −I1 /3. Pour traiter le comportement des sols (les argiles par exemple) ou des matériaux pulvérulents artificiels, on est amené à utiliser le troisième invariant. On introduit alors : S = (9/2)si j s jk ski
1/3
= ((9/2)(s∼ .s∼ ) : ∼s )1/3
(3.12)
On note que S vaut σ en traction comme en compression simple (tenseur uniaxial avec comme seule composante non nulle σ), qu’il vaut 0 en cisaillement simple, et −σ pour une expansion équibiaxiale (σ1 = σ2 = σ, les autres composantes nulles). Cela permet donc de représenter des différences de comportement en traction et en compression. Par ailleurs, sa combinaison avec J permet de définir l’angle de Lode, θ, qui intervient dans la définition de certains critères : 3 1 S θ = arcsin 3 J
(3.13)
3.2. CRITÈRES NE FAISANT PAS INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE
25
σ3
σ1
d´esigne les points qui peuvent se ramener a` de la traction simple, ceux qui peuvent se ramener a` la compression simple (par exemple un chargement biaxial, car un e´ tat o`u les seules contraintes non nulles sont σ1 =σ2 =σ est e´ quivalent a` σ3 = -σ), est un e´ tat de cisaillement
σ2
F IG . 3.1 – Etats de contraintes caractéristiques dans le plan déviateur
3.2 3.2.1
Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique Critère de von Mises
Dans la mesure où la trace du tenseur des contraintes n’intervient pas, le critère le plus simple est celui qui n’utilise que le second invariant du déviateur des contraintes, ou encore J (von Mises, 1928). Ceci correspond à un ellipsoïde dans l’espace des tenseurs ∼s symétriques (expression quadratique des composantes si j , qui sont toutes équivalentes), soit, si σy est la limite d’élasticité en traction : f (σ ) = J − σy ∼
3.2.2
(3.14)
Critère de Tresca
L’expression du critère de von Mises fait intervenir les cisaillements maximaux dans chaque plan principal, représentés par les quantités (σi − σ j ). La spécificité du critère de Tresca est de ne retenir que le plus grand d’entre eux. Le fait de rajouter une pression à chaque terme de la diagonale ne modifie pas, comme prévu, la valeur du critère. Contrairement au cas précédent, cette expression ne définit en général pas une surface régulière (discontinuité de la normale, points anguleux) : f (σ ) = max |σi − σ j | − σy ∼
(3.15)
i, j
On peut également exprimer le critère en fonction de l’angle de Lode : 2J f (σ ) = √ cos(θ) − σy ∼ 3
3.2.3
(3.16)
Comparaison des critères de Tresca et von Mises
Comme il n’est bien entendu pas question de se placer dans l’espace des 6 (ou 9) composantes du tenseur des contraintes, il faut se résoudre à ne visualiser les frontières du domaine d’élasticité que dans des sous–espaces à deux ou trois dimensions. Les représentations les plus courantes s’effectuent : – dans le plan traction–cisaillement (figure 3.2a), lorsque seules les composantes σ = σ11 et τ = σ12 sont non nulles ; les expressions des critères se réduisent alors à : − von Mises : − Tresca :
f (σ, τ) = σ2 + 3τ2
1/2
− σy 1/2 f (σ, τ) = σ2 + 4τ2 − σy
(3.17) (3.18)
26
CHAPITRE 3. CRITÈRES – dans le plan des contraintes principales (σ1 , σ2 ) (figure 3.2b), lorsque la troisième contrainte principale σ3 est nulle : 1/2
− von Mises :
f (σ1 , σ2 ) = σ21 + σ22 − σ1 σ2
− Tresca :
f (σ1 , σ2 ) =
σ2 − σy
si
0 6 σ1 6 σ2
(3.20)
f (σ1 , σ2 ) =
σ1 − σy
si
0 6 σ2 6 σ1
(3.21)
f (σ1 , σ2 ) =
σ1 − σ2 − σy
si
σ2 6 0 6 σ1
(3.22)
− σy
(3.19)
(symétrie par rapport à l’axe σ1 = σ2 )
(3.23)
– dans le plan déviateur (figure 3.1), le critère de von Mises est représenté par un cercle, ce qui est cohérent avec son interprétation par le cisaillement octaédral, le critère de Tresca par un hexagone ; – dans l’espace des contraintes principales, chacun de ces critères est représenté par un cylindre de génératrice (1,1,1), qui s’appuie sur les courbes définies dans le plan déviateur. σ2 σy
σ12 τm τt σ11 σy
−σy
−σy
σy
a.
σ1
b. −σy
F IG . 3.2 – Comparaison des critères de Tresca (en pointillés) et de von Mises (traits pleins), (a) En √ traction-cisaillement (von Mises : τm = σy / 3, Tresca : τt = σy /2), (b) En traction biaxiale
3.3
Critères faisant intervenir la pression hydrostatique
Ces critères sont nécessaires pour représenter la déformation plastique des matériaux pulvérulents, des sols ou en présence d’endommagement du matériau. Ils expriment le fait qu’une contrainte hydrostatique de compression rend plus difficile la déformation plastique. Une des conséquences de leur formulation est qu’ils introduisent une dissymétrie traction–compression.
3.3.1
Critère de Drucker–Prager
C’est une extension du critère de von Mises, combinaison linéaire du deuxième invariant du déviateur et de la trace du tenseur des contraintes. C’est toujours un cercle dans le plan déviateur, mais qui dépend de l’«altitude» sur la trissectrice des axes σ1 , σ2 , σ3 de contraintes principales (figure 3.3a) : f (σ ) = (1 − α) J + αI1 − σy ∼
(3.24)
La limite d’élasticité en traction reste σy , et la limite d’élasticité en compression est −σy /(1 − 2 α). Le coefficient α dépend du matériau, il est bien entendu compris entre 0 et 1/2, et on retrouve le critère de von Mises pour α = 0 (figure 3.3b). Une expression plus complexe de ce même critère fait intervenir une forme plus compliquée de la contribution déviatorique, prenant en compte le troisième invariant. En reprenant l’expression 3.12 qui
3.3. CRITÈRES FAISANT INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE
σ3
27
J
σy /α
σy /1 − α
σ2
f <0
I1 σy /α
σ1
b.
a.
F IG . 3.3 – Représentation du critère de Drucker–Prager, (a) dans l’espace des contraintes principales, (b) dans le plan I1 − J
définit S, on pose : " 3 # J 1 1 S t= 1+ − 1− 2 K K J
(3.25)
On utilise ensuite t à la place de J dans la formule 3.24. K est un coefficient dépendant du matériau ; on retrouve le critère initial avec K = 1, et on doit avoir 0, 778 6 K 6 1 pour que le critère reste convexe.
3.3.2
Le critère de Mohr–Coulomb
Il est apparenté au critère de Tresca, faisant intervenir comme lui le cisaillement maximal, mais en même temps la contrainte «moyenne», représentée par le centre du cercle de Mohr correspondant au cisaillement maximum, soit : f (σ ) = σ1 − σ3 + (σ1 + σ3 ) sin φ − 2C cos φ ∼
(avec σ3 ≤ σ2 ≤ σ1 )
(3.26)
Ce critère est sous–tendu par la notion de frottement, et suppose que le cisaillement maximal que peut subir le matériau (Tt en figure 3.4a) est d’autant plus grand que la contrainte normale de compression est élevée (C.A., 1776). La limite admissible constitue une courbe intrinsèque dans le plan de Mohr. La formule énoncée ci–dessus est obtenue avec une règle de frottement linéaire : |Tt | < − tan(φ) Tn +C
(3.27)
La constante C est la cohésion, correspondant à la contrainte de cisaillement qui peut être supportée par le matériau sous contrainte moyenne nulle. L’angle φ désigne le frottement interne du matériau. Si C est nul et φ non nul, le matériau est dit pulvérulent. Si φ est nul et C non nul, comme dans le cas du critère de Tresca, le matériau est purement cohérent. Le critère peut également s’exprimer sous la forme suivante, en fonction de la poussée Kp et de la limite d’élasticité en compression, R p : f (σ ) = Kp σ1 − σ3 − R p ∼ 1 + sin φ 2C cos φ avec Kp = Rp = 1 − sin φ 1 − sin φ
(3.28) (3.29)
Dans le plan déviateur (figure 3.4b) on obtient un hexagone irrégulier, caractérisé par les valeurs suivantes (avec p = (−1/3)I1 ) : √ (3.30) σt = 2 6(C cos φ − p sin φ)/(3 + sin φ) √ σc = 2 6(−C cos φ + p sin φ)/(3 − sin φ) (3.31)
28
CHAPITRE 3. CRITÈRES
σ3 Tt
σc f <0
Tn a.
σ1
σt
σ2 b.
F IG . 3.4 – Représentation du critère de Mohr-Coulomb, (a) dans le plan de Mohr, (b) dans le plan déviateur
3.3.3
Critère de Rankine
Ce critère est plutôt employé comme critère de rupture dans les matériaux fragiles (craie), et pas pour définir la limite d’un domaine d’élasticité. Il s’exprime (Taylor and Quinney, 1857) en fonction des contraintes normales principales : f (σ ) = Maxi (σi ) − σy (3.32) ∼ On peut illustrer ce critère par sa trace dans le plan de contraintes principales σ1 –σ2 , lorsque σ3 = 0 : il s’agit de deux demi-droites parallèles aux axes, dans la direction des contraintes négatives, et qui s’appuient sur le point σ1 = σ2 = σy .
3.3.4
Critères «fermés»
Les trois critères précédents prévoient que le matériau devient infiniment résistant en compression triaxiale. Ce comportement n’est en général pas vérifié sur les matériaux réels qui sont sensibles à la pression hydrostatique. Pour permettre de simuler par exemple des opérations de compaction, il faut «fermer» les surfaces de charge. Les modèles ci-dessous s’appliquent aux sols (argiles notamment), aux poudres artificielles : – le critère elliptique, dans lequel les deux paramètres matériau C et F vont dépendre de la porosité f (σ ) = 3CJ 2 + FI12 − σ0 ∼
(3.33)
– le modèle «Cam-clay modifié» ; il s’agit d’une expression dérivée d’un modèle développé initialement à l’Université de Cambridge pour représenter le comportement de l’argile ; il est défini par une ellipse décalée vers la compression hydrostatique ; il n’est utilisable qu’en compression : 2 2 J I1 f (σ )= + − pc − p2c − σ2y (3.34) ∼ M 3 Une autre manière d’obtenir un domaine fermé est de conserver la forme initiale du critère qui prévoit un matériau indéformable en pression hydrostatique de compression, et de lui associer un «bouchon» du côté des pressions hydrostatiques négatives. C’est la classe des modèles de type cap–model, qui ferment par une ellipse dans le plan J − I (ou t − I) le domaine défini par le critère de Drucker–Prager. Un dernier type d’applications mérite d’être cité dans cette énumération. Il s’agit de la représentation de l’endommagement des alliages métalliques. Pour le représenter, on travaille également avec une influence de la pression hydrostatique. Les modèles sont sensibles à la pression hydrostatique, à cause de l’ouverture progressive de cavités. Le modèle le plus connu est dû à Gurson (Gurson, 1977). J2 q2 I1 f (σ ) = ψ∗ = 2 + 2η∗ q1 cosh − 1 + q21 η2∗ (3.35) ∼ σy 2σy
3.4. CRITÈRES ANISOTROPES
29
On donne ici la formulation correspondant à la limite d’élasticité initiale. Pour simuler un chargement complet, comme pour les tous les autres modèles d’ailleurs, il faut remplacer σy par la limite d’élasticité actuelle, prenant en compte l’écrouissage isotrope, et éventuellement introduire d’autres types d’écrouissage.
3.4
Critères anisotropes
Lorsqu’on mesure expérimentalement la surface de charge sur un matériau métallique, on constate qu’en présence de déformations inélastiques, elle subit une expansion, une translation, et une distorsion. Les deux premières modifications sont représentées par les écrouissages isotropes et cinématiques, mais la dernière n’est pas prise en compte par les modèles courants, d’autant que la forme évolue au cours de la déformation sous chargement complexe : on est là en présence d’anisotropie induite. Il existe par ailleurs des matériaux fondamentalement anisotropes par fabrication, matériaux composites à fibres longues par exemple. Les modèles de matériaux hétérogènes permettent de tenir compte naturellement de certaines anisotropies, mais ils restent d’un emploi délicat, et on ne peut pas actuellement envisager de traiter dans un cadre industriel le cas de l’anisotropie la plus complexe. Il existe néanmoins de nombreuses possibilités d’extension des critères isotropes à la description de matériaux anisotropes. La voie la plus générale, mais qui n’est pas réellement opérationnelle, consiste à considérer que le critère est une fonction des composantes du tenseur des contraintes dans une base donnée. La forme choisie doit être intrinsèque, ce qui impose que le résultat obtenu soit invariant par changement de repère. Un guide pour construire ce type de modèle est fourni par les théories des invariants. On se contente par la suite d’approches plus simples. La solution la plus généralement adoptée généralise le critère de von Mises, en utilisant à la place de J(σ) l’expression : JB (σ ) = (σ :B :σ )1/2 (3.36) ∼ ∼ ∼ ≈ qui fait intervenir le tenseur du quatrième ordre B . Choisir pour B le tenseur J≈ tel que ∼s = J≈ : σ (s déviateur ∼ ∼ ≈ ≈ associé à σ ) redonne bien entendu le critère de von Mises. Comme pour le cas de l’élasticité, on peut ∼ réduire le nombre de composantes libres du tenseur B par des considérations de symétrie. En plus des ≈ conditions habituelles sur les composantes Bi jkl = Bi jlk = B jikl = Bkli j , il faut tenir compte du fait que B j jkl = 0 si l’on veut encore assurer l’incompressibilité plastique (la vitesse de déformation plastique est portée par la direction B :σ ). Il reste donc 15 coefficients libres (comme une matrice 5 × 5 symétrique). ∼ ≈ Si le matériau admet 3 plans de symétrie perpendiculaires, les termes de couplage entre composantes axiales et composantes de cisaillement (tels B1112 ) sont nuls, et il ne reste que 6 composantes, lorsque le tenseur est exprimé dans le repère correspondant. On retrouve alors l’expression classique (critère de Hill) : f (σ ) = (F(σ11 − σ22 )2 + G(σ22 − σ33 )2 + H(σ33 − σ11 )2 ∼ + 2Lσ212 + 2Mσ223 + 2Nσ213 )1/2 − σy = fH (σ ) ∼
(3.37)
En représentant le tenseur d’ordre 4 comme une matrice 6x6, les termes de B s’écrivent dans ce cas ≈ particulier :
F + H −F −H 0 0 0 −F G+F −G 0 0 0 −H −G H + G 0 0 0 0 0 0 2L 0 0 0 0 0 0 2M 0 0 0 0 0 0 2N
(3.38)
30
CHAPITRE 3. CRITÈRES
Une manipulation simple permet de vérifier que le même critère s’exprime également en fonction 0 0 des composantes du tenseur déviateur associé à σ , JB (σ ) = (s∼ : B : ∼s )1/2 , où les composantes de B ∼ ∼ ≈ ≈ s’écrivent :
2F − G + 2H 0 0 0 0 0 0 2F + 2G − H 0 0 0 0 0 0 −F + 2G + 2H 0 0 0 0 0 0 2L 0 0 0 0 0 0 2M 0 0 0 0 0 0 2N
(3.39)
L’isotropie transverse autour de l’axe 3 ne laisse subsister que 3 coefficients indépendants, car on a alors F = G, L = M, N = F + 2H. L’isotropie complète implique de plus F = H, L = N, N = 3F, ce qui redonne le tenseur J≈ signalé plus haut et l’invariant de von Mises. Si on veut de plus représenter la dissymétrie entre traction et compression, il faut avoir recours à une expression qui réintroduit une forme linéaire, telle celle du critère de Tsaï : f (σ ) = fH (σ ) + Q(σ22 − σ33 ) + P(σ11 − σ33 ) ∼ ∼
(3.40)
De même qu’il existe une voie de généralisation pour les critères exprimés en termes d’invariants, il existe des résultats pour ceux qui sont exprimés en termes de contraintes principales. Un cas très courant en géotechnique est celui des matériaux isotropes transverses, dont le critère peut s’écrire en fonction des contraintes normales principales et de N et T , qui sont respectivement les contraintes normales et tangentielles sur une facette perpendiculaire à l’axe de schistosité (c’est–à–dire une facette parallèle au plan isotrope de schistosité), défini par le vecteur normé n. .n N = n.σ ∼
1/2 2 2 − N T = ||σ .n|| ∼
(3.41)
Ainsi le critère de Coulomb pour les matériaux isotropes transverses s’écrit : f (σ ) = max(Kp max σi − min σi − Rc , T + N tan φ0 −C0 ) ∼ 2C cos φ 1 + sin φ Rc = Kp = 1 − sin φ 1 − sin φ
(3.42) (3.43)
et où φ désigne l’angle de frottement dans le plan de schistosité, C la cohésion, φ0 l’angle de frottement pour le glissement d’une lame par rapport à l’autre, C0 la cohésion.
3.4. CRITÈRES ANISOTROPES
31
Résumé
– Critère de Tresca : f (σ ) = max |σi − σ j | − σy ∼ i, j
– Critère de von Mises : f (σ ) = J − σy ∼ – dans le plan traction–cisaillement (figure 3.2a), lorsque seules les composantes σ = σ11 et τ = σ12 sont non nulles ; les expressions des critères se réduisent alors à : − von Mises : − Tresca :
f (σ, τ) = σ2 + 3τ2
1/2
− σy 1/2 f (σ, τ) = σ2 + 4τ2 − σy
– dans le plan des contraintes principales (σ1 , σ2 ) (figure 3.2b), lorsque la troisième contrainte principale σ3 est nulle : 1/2
− von Mises :
f (σ1 , σ2 ) = σ21 + σ22 − σ1 σ2
− Tresca :
f (σ1 , σ2 ) =
σ2 − σy
si
0 6 σ1 6 σ2
f (σ1 , σ2 ) =
σ1 − σy
si
0 6 σ2 6 σ1
f (σ1 , σ2 ) =
σ1 − σ2 − σy
si
σ2 6 0 6 σ1
− σy
(symétrie par rapport à l’axe σ1 = σ2 ) – Critère de Drucker–Prager : f (σ ) = (1 − α)J + αI1 − σy ∼ – Critère de Coulomb : f (σ ) = Kp σ1 − σ3 − R p ∼ 1 + sin φ 2C cos φ Rp = avec Kp = 1 − sin φ 1 − sin φ
32
CHAPITRE 3. CRITÈRES
Chapitre 4
Plasticité et viscoplasticité 3D 4.1
Introduction
La grande diversité des matériaux réels se traduit par l’existence d’une multitude de lois de comportement et en particulier d’une grande variété de critères et de lois d’évolution aussi bien en élastoplasticité qu’en élastoviscoplasticité. Il est illusoire de vouloir établir une liste exhaustive des modèles, d’autant plus que les chercheurs continuent encore à proposer de nouvelles versions. Aussi ce chapitre sera-t-il consacré à une tâche plus modeste qui consiste à présenter le cadre général d’écriture, en illustrant l’exposé par les lois les plus classiques, et en se limitant aux transformations infinitésimales (petits déplacements et petits gradients de déplacements). On considérera d’abord les modèles pour lesquels la surface de charge n’évolue pas (elle pourra éventuellement être de rayon nul en viscoplasticité), donc qui ne présentent pas d’écrouissage. L’introduction de l’écrouissage se fera au chapitre suivant. Pour le moment, on résume les concepts généraux qui ont été introduits dans les chapitres précédents.
4.1.1
Décomposition de la déformation
Le tenseur symétrique des déformations ∼ε est décomposé en trois parties : – Une partie élastique ∼εe fonction de la variation du tenseur de contrainte σ entre l’état actuel et ∼ ; dans un grand nombre d’applications, il s’agit de l’état initial (contrainte à l’état de référence, σ I ∼ l’état de contraintes nulles, mais il est par exemple toujours présent en géotechnique). En élasticité linéaire : −1 εe = Λ : (σ −σ ) (4.1) ∼ ∼ ∼I ≈ – Une partie de dilatation thermique ∼εth fonction de la température actuelle T et de la température à l’état de référence TI . Elle s’écrit à l’aide d’un tenseur α , qui dépend éventuellement de la ∼ température, et qui est sphérique dans le cas des matériaux isotropes. En confondant température initiale et température de référence : εth = (T − TI ) α ∼
∼
(4.2)
– Une partie non élastique ∼εne , elle même décomposée en une partie plastique ∼ε p et une partie viscoplastique ∼εvp , (régies par des lois d’écoulement en élastoplasticité et en élastoviscoplasticité). D’où : −1 ε=Λ : (σ −σ ) + ∼εth + ∼ε p + ∼εvp (4.3) ∼ ∼ ∼I ≈ Cette dernière décomposition de la partie non élastique des déformations exprime le fait que, durant une transformation du matériau, divers mécanismes peuvent rentrer en jeu conduisant à une dissipation de l’énergie (irreversibilité) et que, dans l’échelle des temps considérée, la viscosité de certains mécanismes 33
34
CHAPITRE 4. PLASTICITÉ ET VISCOPLASTICITÉ 3D
peut être négligée (plasticité instantanée ∼ε p ) alors que pour les autres le temps réel doit intervenir dans les vitesses (déformations viscoplastiques ∼εvp ). On a laissé de côté ici les déformations liées à des évolutions de microstructures tels que les changements de phase.
4.1.2
Critères
Chacun des mécanismes responsables du comportement inélastique est caractérisé par un certain nombre de variables, appelées variables d’écrouissage, caractérisant à un instant donné l’état du matériau, et l’influence du chargement thermomécanique passé. Comme indiqué au chapitre précédent, le domaine d’élasticité se définit dans l’espace des contraintes et des variables d’écrouissage (et de la température). A température et écrouissage fixés, c’est une partie de l’espace vectoriel de dimension 6 des tenseurs du second ordre symétriques, De = {σ / f (σ , AI , T ) 6 0}, la condition f (σ , AI , T ) = 0 définissant quant à ∼ ∼ ∼ elle la frontière du domaine d’élasticité. On ne considérera pas les variables AI pour le moment.
4.1.3
Lois d’écoulement
Ce sont les règles qui vont permettre de définir la vitesse de déformation plastique ou viscoplastique lorsqu’on n’est plus en élasticité. L’étude des modèles rhéologiques a montré la nature des équations mises en jeu pour ce qui concerne l’intensité de la vitesse d’écoulement. Celle ci est liée à la vitesse de contrainte ou de déformation totale pour un modèle plastique, et à l’état actuel de contrainte et des variables internes pour un modèle viscoplastique. Pour généraliser les résultats précédents au cas tridimensionnel, il importe de se préoccuper également de la direction de l’écoulement. Cette direction doit être définie par un tenseur dans l’espace vectoriel de dimension 6 des tenseurs du second ordre symétriques. Les lois d’écrouissage, définissant l’évolution du domaine d’élasticité, complètent le modèle pour le cas d’un matériau dont la résistance à la déformation évolue avec celle-ci. Elles seront abordées au prochain chapitre.
4.2 4.2.1
Formulation des lois de comportement viscoplastiques Écriture générale
Pour définir un comportement viscoplastique, il faut disposer d’un modèle qui donne l’intensité de la vitesse de déformation viscoplastique (un scalaire) et sa direction (un tenseur du second ordre symétrique en petites déformations). Les deux chapitres précédents fournissent les briques nécessaires. Ainsi, la généralisation de l’écriture de la vitesse de déformation viscoplastique est-elle immédiate. On conserve la notion de fonction de viscosité φ, qui va continuer de porter sur la valeur de la fonction définissant le domaine d’élasticité, f . Dans la mesure où on dispose maintenant d’une expression valide sous chargement multiaxial pour f , on définira l’intensité de l’écoulement, ou vitesse de déformation viscoplastique équivalente, à l’aide d’une fonction φ (φ : R+ → R+ ), par : v˙ = φ(h f i)
(4.4)
Dans le cas général, la direction d’écoulement sera notée N . Il y a deux possibilités concernant la ∼ définition de la direction d’écoulement. Elle peut n’être pas liée à f , auquel cas on introduit généralement une fonction g, qui porte sur les mêmes variables que f , à savoir le tenseur de contraintes et les variables d’écrouissage (g : (σ , AI ) → g(σ , AI )). On écrit : ∼ ∼ ε˙ vp = v˙ N = v˙ ∼
∼
∂g ∂σ ∼
(4.5)
4.2. FORMULATION DES LOIS DE COMPORTEMENT VISCOPLASTIQUES
35
La seconde possibilité, qui constitue un cas particulier important, consiste à utiliser le critère f pour définir la direction d’écoulement, si bien que f et g sont identiques, et que la direction d’écoulement est ∂ f /∂σ . En appelant Ω la primitive de φ, on peut alors écrire : ∼ ε˙ vp = φ
∼
∂Ω ∂ f ∂Ω ∂f = = ∂σ ∂ f ∂σ ∂σ ∼ ∼ ∼
(4.6)
Dans un tel modèle, dit modèle standard, ou modèle de viscoplasticité associée, la direction d’écoulement est fournie par la normale à la surface de charge. La fonction Ω constitue un potentiel viscoplastique (Rice, 1970; Rice, 1971), puisque sa donnée va suffire à caractériser complètement l’écoulement en intensité et direction. Dans la suite, on notera n∼ le gradient de f par rapport à σ , ∼ n∼ = ∂ f /∂σ . ∼
4.2.2
Exemple
La généralisation du modèle de Norton en adoptant le critère de von Mises, s’effectue simplement en utilisant comme critère la fonction f dépendant des contraintes uniquement, f = J(σ ), et comme ∼ potentiel la fonction Ω suivante : J(σ ) n+1 K ∼ (4.7) Ω= n+1 K On obtient alors : ε˙
vp
∼
n ∂J J = K ∂σ ∼
(4.8)
Le premier terme de l’expression précédente est un scalaire qui donne l’intensité de l’écoulement, il est bien égal à (|σ|/K)n pour une sollicitation de traction simple. Le second est un tenseur symétrique du second ordre, qui représente la direction d’écoulement, portée par la normale à l’équipotentielle au point de fonctionnement courant, qui sera notée n∼ . La dérivée partielle de J par rapport à σ s’évalue simplement ∼ (voir Annexe) par : 3 ∼s ∂J ∂s∼ 3 ∼s ∂J 1 : (I≈ − ∼I ⊗ ∼I ) = (4.9) = : = ∂σ ∂s∼ ∂σ 2J 3 2J ∼ ∼ On note que, lorsqu’on utilise le critère de von Mises, la direction d’écoulement est portée par le déviateur de contrainte. Comme on l’a déjà souligné, pour un tel type de modèle, la limite d’élasticité est nulle en permanence, et le domaine d’élasticité est réduit à un point. Ce cas serait sans intérêt pour un modèle de plasticité indépendante du temps. Pour retrouver le modèle de Bingham, il suffirait de prendre une fonction du second degré : 1 Ω= 2
4.2.3
J(σ ) − σy ∼ η
2 (4.10)
De la viscoplasticité à la plasticité
La figure 4.1a montre la forme du potentiel viscoplastique Ω, fonction monotone croissante de f , telle que Ω(0) = 0, qui illustre le fait que l’intensité de l’écoulement dépend de l’“altitude” du point de fonctionnement courant, et que, géométriquement, la direction du vecteur vitesse de déformation inélastique est normale aux surfaces équipotentielles. Comme indiqué au début de cette partie, on ne considère ici que le comportement sans écrouissage ; le domaine d’élasticité est donc défini uniquement en fonction de l’état de contrainte. Lorsque la fonction φ (ou Ω) devient de plus en plus non linéaire (par exemple en faisant le choix d’une fonction puissance dont l’exposant n tend vers l’infini), les projections des équipotentielles sur l’espace (σ ) se resserrent autour de la surface f = 0. On définit ainsi une zone ∼ de l’espace dans laquelle le potentiel est nul, et une autre où il varie très rapidement. A la limite, Ω
36
CHAPITRE 4. PLASTICITÉ ET VISCOPLASTICITÉ 3D Ind( f )
Ω
σ ∼
a.
AI
σ ∼
b.
AI
F IG . 4.1 – Comparaison des théories de plasticité et de viscoplasticité, (a) potentiel viscoplastique, (b) obtention d’un modèle plastique par passage à la limite
se confond avec la fonction indicatrice du domaine d’élasticité (Fig.4.1b), et on ne peut plus définir l’intensité de l’écoulement par ∂Ω/∂ f . On illustre ainsi la différence de nature entre les théories de viscoplasticité et de plasticité. Le cadre viscoplastique autorise, pour écrire un modèle, une grande liberté dans le choix de la fonction de viscosité, alors que, dans le cadre de la plasticité (du moins dans le cas de la plasticité associée), l’expression même du domaine d’élasticité détermine l’intensité de l’écoulement. C’est en effet la condition de cohérence f˙ = 0 qui va fournir en plasticité l’équation qui disparaît en raison de la singularité de la fonction indicatrice de f en f = 0. Le formalisme plastique consiste alors à remplacer ˙ qui sera déterminé avec la condition de cohérence : ∂Ω/∂ f par le multiplicateur plastique λ, ˙ ∂f ε˙ p = λ ∂σ ∼
∼
(4.11)
Dans un cas comme dans l’autre, on définit un écoulement qui respecte la règle de normalité, puisque la vitesse est portée par le gradient de la fonction de charge ( f = 0 dans le cas plastique, f = const. dans le cas viscoplastique). Cette règle aura d’importantes conséquences sur la réponse du matériau, en particulier dans le cas de sollicitations multiaxiales.
4.3
Formulation des lois de comportement plastique
Historiquement la théorie de la plasticité s’est développée indépendamment de celle de la viscoplasticité. On vérifie dans ce paragraphe que le chemin suivi amène exactement au même formalisme.
4.3.1
Principe du travail maximal
Il est souvent attribué à Hill (Hill, 1998), mais il a été discuté par von Mises (von Mises, 1928) et Taylor (Taylor, 1931). Il stipule que, pour un dε∼ p réel donné, le travail des contraintes réelles σ ∼ ∗ (id est ne violant pas la loi est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ ∼ de plasticité) associé à dε∼ p . Afin de conserver la forme en vitesse qui est employée tout au long de ce document, on donne ici la version en vitesse de déformation, qui fait donc intervenir la puissance plastique. En notant ∼ε˙ p le tenseur vitesse de déformation plastique réel, il vient : ∗ (σ −σ ) : ∼ε˙ p > 0 ∼ ∼
(4.12)
Ce principe peut en fait être démontré dans le cas de métaux qui se déforment par glissement et obéissent à la loi de Schmid (voir l’exercice du paragraphe 12.3.2). Il n’est pas vérifié par tous les matériaux, en
4.3. FORMULATION DES LOIS DE COMPORTEMENT PLASTIQUE
37
particulier par les sols. Il a des conséquences importantes concernant la direction d’écoulement plastique et la forme de la surface de charge. Si, se référant à la figure 4.1b, on cherche à construire une théorie dans laquelle on veut maximiser ∗ ) 6 0, on la puissance plastique en appliquant la contrainte (au sens d’un processus d’optimisation) f (σ ∼ ∗ ) tel que est amené pour résoudre le problème à introduire F(σ ∼ ∗ ∗ ˙f F(σ )=σ : ∼ε˙ p − λ ∼ ∼
(4.13)
˙ est un multiplicateur plastique (voir par exemple (Luenberger, 1984)) qui sera déterminé Le scalaire λ ∗ = 0. Ce point sera effectivement un maximum si la par la suite. On aura un point stationnaire si ∂F/∂σ ∼ fonction f est convexe. On retrouve ainsi : ˙ ∂f ε˙ p = λ ∂σ ∼
∼
(4.14)
On a bien retrouvé le cas du paragraphe précédent. La direction d’écoulement est donc bien portée par la normale à la surface de charge. La fonction indicatrice de f joue le rôle d’un pseudo-potentiel (car elle permet de déterminer la direction de l’écoulement, mais pas son intensité, comme dans le cas viscoplastique).
4.3.2
Interprétation géométrique du principe de Hill
Dans cette section, on retrouve les propriétés liées au principe de Hill par des considérations sur la géométrie du problème. Règle de normalité ∗ sur la surface de charge, on vérifie que, si σ est dans le domaine d’élasticité, ε Si on choisit σ ˙ p = 0∼ . ∼ ∼ ∼ Si le domaine d’élasticité ne présente pas de coins, le principe du travail maximal peut être appliqué à ∗ infiniment proche, également sur partir d’un point σ de la surface de charge, en choisissant un point σ ∼ ∼ ∗ ∗ la surface de charge. σ se déduit de σ à l’aide d’un tenseur ∼t appartenant au plan tangent à la surface ∼ ∼ ∗ = σ + k t ∗ , avec k > 0). Le même raisonnement peut être recommencé en prenant σ∗ = σ − k t ∗ en σ (σ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ comme point de départ, ce qui conduit aux deux inégalités suivantes :
k ∼t ∗ : ∼ε˙ p > 0
et − k ∼t ∗ : ∼ε˙ p > 0
si bien que : ∼t ∗ : ∼ε˙ p = 0
(4.15) (4.16)
La vitesse de déformation plastique est portée par la normale à la surface de charge. On peut donc effectivement écrire l’écoulement plastique à l’aide de n∼ et d’un scalaire, on ˙ On peut alors montrer que retrouve ainsi une forme faisant intervenir le multiplicateur plastique, λ. ∗ ce multiplicateur est toujours positif, car, en choisissant maintenant σ sur la normale au point σ ,à ∼ ∼ ∗ ) = kn est colinéaire à n et de même sens (k > 0), si bien que l’intérieur du domaine d’élasticité, (σ − σ ∼ ∼ ∼ ∼ ∗) : ε p > 0 devient : (σ − σ ˙ ∼ ∼ ∼ ˙ > 0 d’où : λ ˙ >0 k n : λn (4.17) ∼
∼
Dans le cas des matériaux qui vérifient le principe du travail maximal, la surface de charge joue en même temps le rôle de pseudo-potentiel plastique, et détermine l’écoulement plastique à un scalaire multiplicatif près. Si la surface n’est pas régulière et présente un coin au point σ , il y existe un cône des ∼ normales, à l’intérieur duquel se trouve la direction de l’incrément de déformation plastique.
38
CHAPITRE 4. PLASTICITÉ ET VISCOPLASTICITÉ 3D ε˙ p n ∼
∗ σ ∼
˙ σ ∼
n ∼
f <0
σ ∼ b.
a.
F IG . 4.2 – Conséquences du principe du travail maximal, (a) illustration de la règle de normalité, (b) convexité de f
Convexité de la surface de charge En appliquant de nouveau le principe du travail maximal à partir d’un état de contrainte σ sur la ∼ ∗ à l’intérieur du domaine d’élasticité, la règle de normalité permet surface de charge, et en considérant σ ∼ maintenant d’écrire la relation suivante, qui exprime que la surface doit se trouver toute entière du même côté du plan tangent en σ (Fig.4.2b) : ∼ ∗ (σ −σ ) : n∼ > 0 (4.18) ∼ ∼ Le domaine d’élasticité est donc convexe. Il en est de même pour la fonction f .
4.4
Directions d’écoulement associées aux critères courants
Les directions d’écoulement sont calculées dans un premier temps pour un matériau sans écrouissage. Les modifications apportées par l’écrouissage seront indiquées au chapitre suivant. Les résultats obtenus sont valables en plasticité comme en viscoplasticité.
4.4.1
Critère de von Mises
La fonction de charge s’écrit f (σ ) = J(σ ) − σy , si bien que la normale n∼ s’exprime : ∼ ∼ n∼ =
∂J ∂J ∂s∼ ∂f = = : ∂σ ∂σ ∂s∼ ∂σ ∼ ∼ ∼
ni j =
ou :
∂J ∂skl ∂skl ∂σi j
(4.19)
En utilisant : ∂skl 1 = Ji jkl = δik δ jl − δi j δkl ∂σi j 3 on obtient : ni j =
3 si j 2 J
n∼ =
ou encore :
3 ∼s 2J
(4.20)
(4.21)
Dans le cas du critère de von Mises, la direction d’écoulement est donnée par le déviateur du tenseur des contraintes. Cette expression se simplifie en traction simple selon la direction 1 :
1 0 0 2σ 0 −1/2 0 s= ∼ 3 0 0 −1/2
J = |σ|
1 0 0 0 signe(σ) n∼ = 0 −1/2 0 0 −1/2
(4.22)
4.5. COMPORTEMENT PARFAITEMENT PLASTIQUE
4.4.2
39
Critère de Tresca
La loi d’écoulement se définit par secteur dans l’espace des contraintes principales. Par exemple pour le cas σ1 > σ2 > σ3 , la fonction de charge s’écrit : f (σ ) = |σ1 − σ3 | − σy , si bien que, pour l’ensemble ∼ des états de contrainte qui vérifient cette inégalité, la vitesse de déformation plastique possède les mêmes composantes, le matériau ne se déformant pas selon l’axe 2 (déformation de type cisaillement) : 1 0 0 ˙ 0 0 0 si σ1 > σ2 > σ3 : ∼ε˙ p = λ (4.23) 0 0 −1 La définition de la normale pose un problème pour les états de contrainte correspondant aux points singuliers, ainsi en traction simple, lorsque par exemple σ1 > σ2 = σ3 = 0, le critère s’exprimant alors indifféremment f (σ ) = |σ1 − σ2 | − σy , ou f (σ ) = |σ1 − σ3 | − σy . Il est alors classique de définir deux ∼ ∼ multiplicateurs plastiques, se référant chacun à une forme du critère. Si ces deux multiplicateurs sont choisis égaux, le modèle redonne la même forme que le critère de von Mises en traction simple. Par contre, dès que l’état de contrainte s’éloigne de l’égalité stricte entre les composantes σ2 et σ3 , c’est l’un des deux régimes de type cisaillement qui prend le dessus. 1 0 0 1 0 0 ˙ 0 0 0 + µ˙ 0 −1 0 (4.24) si σ1 > σ2 = σ3 = 0 : ∼ε˙ p = λ 0 0 −1 0 0 0
4.4.3
Critère de Drucker–Prager
La fonction de charge s’écrit f (σ ) = (1 − α)J(σ ) + α I1 − σy , si bien que la normale n∼ possède ∼ ∼ une composante sphérique. La déformation plastique évaluée avec un tel critère est accompagnée d’une augmentation de volume quel que soit le chargement appliqué : n∼ =
s ∼ 3 (1 − α) + αI∼ 2 J
(4.25)
˙ trace(˙∼ε p ) = 3α λ
(4.26)
De façon générale, tout critère qui fait apparaître la pression hydrostatique produit un terme de changement de volume accompagnant la déformation plastique. Dans le cas de l’expression 4.25, il est remarquable de noter également que, quel que soit le chargement appliqué, compression comme traction, la variation de volume est toujours positive. Ceci s’avère être un défaut pour le modèle, et explique que l’on construise également des critères dans lesquels on «ferme» le domaine d’élasticité du côté des pressions hydrostatiques négatives.
4.5
Comportement parfaitement plastique
Cas d’un matériau élastique-parfaitement plastique Dans ce cas, la fonction de charge ne dépend que du tenseur de contrainte. Le domaine d’élasticité est fixe. Au cours de l’écoulement plastique, le point représentatif de l’état de contrainte ne peut que “tourner” autour du domaine d’élasticité. Le multiplicateur plastique est indéterminé ; la condition de charge plastique et la condition de cohérence deviennent respectivement : ε˙ p
˙ =λ
pour f (σ ) = 0 et f˙(σ )=0 ∼ ∼
:
au cours de l’écoulement
: n∼ : σ ˙ =0 ∼
∼
∂f ˙n =λ ∼ ∂σ ∼
(4.27) (4.28)
40
CHAPITRE 4. PLASTICITÉ ET VISCOPLASTICITÉ 3D
Calcul du multiplicateur plastique Le multiplicateur plastique est indéterminé pour un matériau élastique-parfaitement plastique chargé en vitesse de contrainte imposée. Cela est lié au fait que, le module plastique étant nul, il existe une infinité de positions équivalentes en déformation plastique pour un état de contrainte admissible donné, tel que J(σ ) = σy : ainsi, en traction simple σ11 = σ0 , tous les tenseurs diagonaux ∼ (ε p , (−1/2)ε p , (−1/2)ε p ) sont des solutions possibles. Le fait d’imposer la vitesse de déformation totale modifie bien entendu ce résultat. Le multiplicateur plastique va pouvoir être déterminé, en combinant la loi de comportement élastique écrite en termes de vitesse et la condition de cohérence, soit : σ ˙ =Λ : (˙∼ε − ∼ε˙ p ) ∼ ≈
et
n∼ : σ ˙ =0 ∼
(4.29)
En remplaçant σ ˙ par sa valeur dans la deuxième égalité de l’équation 4.29, il vient : ∼ ˙ n=0 n∼ : Λ : (˙∼ε − ∼ε˙ p ) = n∼ : Λ : ∼ε˙ − n∼ : Λ :λ ∼ ≈ ≈ ≈
(4.30)
si bien que : ˙ = λ
n∼ : Λ : ∼ε˙ ≈
(4.31)
n∼ : Λ : n∼ ≈
Dans le cas particulier de l’élasticité isotrope, et du critère de von Mises, on obtient successivement les simplifications suivantes : Λi jkl = λ δi j δkl + µ(δik δ jl + δil δ jk ) ni j Λi jkl = 2 µ nkl
ni j Λi jkl nkl = 3µ
3 ∼s 2J ni j Λi jkl ε˙ kl = 2 µ nkl ε˙ kl ni j =
˙ = 2 n : ε˙ λ 3∼ ∼ Pour un chargement uniaxial, avec ε˙ = ε˙ 11 , cette dernière expression se réduit à : ˙ = ε˙ signe(σ) λ
qui redonne :
ε˙ p = ε˙
(4.32) (4.33) (4.34)
(4.35)
Sous chargement uniaxial, la vitesse de déformation totale et la vitesse de déformation plastique sont identiques, puisque le niveau de contrainte reste inchangé pendant l’écoulement. Ce résultat n’est pas général. Lorsque le chargement s’effectue sur plusieurs composantes du tenseur de contrainte, il y a un déplacement du point représentatif de l’état de contrainte sur la surface de charge, qui peut toutefois atteindre une position asymptotique (voir à ce sujet l’exercice sur la traction–torsion d’un cylindre au paragraphe 12.4). On peut donc par exemple avoir des diminutions de contrainte sur certaines composantes en présence d’écoulement plastique.
4.6
Viscoplasticité/plasticité non associée
Ce sont les théories qui s’appliquent pour les matériaux, tels les matériaux géologiques, qui ne vérifient pas la loi de normalité. Il faut alors utiliser une fonction pour la surface de charge, avec laquelle on détermine la condition de charge–décharge et avec laquelle on forme la condition de cohérence. Par contre, la direction d’écoulement est définie par référence à une autre fonction. On écrira alors un modèle de viscoplasticité à partir d’une fonction f et d’une nouvelle normale N . Dans certains cas, mais ce n’est pas obligatoire, cette normale s’exprimera comme le gradient d’une ∼ nouvelle fonction, g. Un cas relativement courant dans les sols est celui où l’on utilise un critère de Mohr–Coulomb, avec des valeurs différentes de la poussée Kp . En général, l’angle Φ qui détermine la
4.6. VISCOPLASTICITÉ/PLASTICITÉ NON ASSOCIÉE
41
demi-droite définissant la fonction de charge dans le plan Tn –Tt est plus faible que celui de la demi-droite qui définit la normale. On aura ainsi : ε˙ p = vN ˙ ∼ = φ( f (σ )) ∼
∼
∂g ∂σ ∼
(4.36)
Le modèle de plasticité se réécrira quant à lui à partir de : n∼ : σ ˙ =0 ∼
˙ ε˙ p = λN ∼
∼
Il vient donc : ˙ = λ
avec n∼ = n∼ : Λ : ∼ε˙ ≈ N :Λ : n∼ ∼ ≈
∂f ∂σ ∼
N = ∼
∂g ∂σ ∼
(4.37)
(4.38)
42
CHAPITRE 4. PLASTICITÉ ET VISCOPLASTICITÉ 3D
Résumé
La déformation totale se décompose en composantes élastique, plastique, viscoplastique, thermique et de changement de phase : −1 ε=Λ : (σ −σ ) + ∼εth + ∼ε p + ∼εvp ∼ ∼I ≈
∼
La contrainte et la déformation élastique sont reliées par le tenseur d’élasticité : −1 εe = Λ : (σ −σ ) ∼ ∼I ≈
∼
Dans le cas où il n’y a pas d’écrouissage, la surface de charge, définie par la fonction f , est fixe dans l’espace des contraintes. En plasticité parfaite, le domaine f > 0 est interdit, et il y a trois régimes de fonctionnement : – intérieur du domaine d’élasticité, si f < 0 – décharge élastique, si f = 0 f˙ < 0 – écoulement plastique, si f = 0 f˙ = 0. Dans ce cas, l’écoulement plastique est normal à la surface de charge, on écrit : ˙ =λ ˙ ∂f ε˙ p = λn ∼ ∂σ ∼ L’ensemble de ces conditions se résument par : ˙ ε˙ p = λn ∼
˙ >0 λ ˙ f =0 f 60 λ
En viscoplasticité, le domaine f > 0 est autorisé, il y a deux régimes de fonctionnement : – intérieur du domaine d’élasticité, si f 6 0 – écoulement viscoplastique si f > 0. Dans ce cas, l’écoulement viscoplastique est normal à la surface de charge, on écrit, en notant Ω le potentiel viscoplastique : ε˙ vp =
∂Ω n ∂f ∼
On peut construire des modèles viscoplastiques avec un domaine d’élasticité réduit à l’origine, car cela n’empêche pas de définir l’intensité de l’écoulement et sa direction, en se référant aux équipotentielles. Ce n’est bien sûr pas le cas des modèles plastiques.
Chapitre 5
Variables d’écrouissage 5.1
Introduction
La grande variété des comportements non linéaires se manifeste en particulier dans le durcissement (ou l’adoucissement !) observé en relation avec le processus de déformation (écrouissage, endommagement), dans l’évolution des propriétés liée au temps (vieillissement) ou à l’environnement (interactions multiphysiques). Ces phénomènes sont liés à des réarrangements de la structure intime du matériau conduisant à un nouvel état. Si le comportement plastique se révèle inchangé, c’est qu’on est en présence d’un comportement parfaitement plastique, sans écrouissage, comme celui qui a été étudié au chapitre précédent. Le domaine d’élasticité sera modifié dans le cas du comportement à écrouissage positif (durcissement) ou négatif (adoucissement). Certains matériaux présentent même des évolutions durcissantes puis adoucissantes, au cours d’une sollicitation cyclique par exemple. Le type d’écrouissage peut par ailleurs être modifié par des trajets de chargements complexes ou par le vieillissement du matériau. Les lois d’écrouissage sont donc les règles qui caractérisent l’évolution du domaine d’élasticité au cours de la déformation inélastique. Ainsi qu’on l’a vu dans le cas uniaxial, les principales classes d’écrouissage sont l’écrouissage isotrope et l’écrouissage cinématique. On se contente ici de tracer un cadre général utile pour le développement des modèles. Le formalisme va différer assez peu de celui qui a été employé dans la partie précédente. On va simplement rajouter deux séries de variables représentant l’écrouissage, des variables d’état, qui seront pour le moment désignées collectivement par αI , et leurs variables associées AI , intervenant dans la fonction de charge qui définit le seuil de plasticité. Par rapport au chapitre précédent, le modèle s’enrichit, puisque : – il faut poser une relation entre les AI et les αI ; – il faut étendre l’expression de la fonction f (σ ), en introduisant les AI , soit f (σ , AI ) ; ∼ ∼ – en plus de la vitesse d’évolution de ∼ε p (ou ∼εvp ), il faut déterminer celle des αI .
5.2
Matériaux standards généralisés
5.2.1
Une brève présentation du formalisme
L’approche la plus stricte d’un point de vue théorique consiste à étendre au cas de l’écoulement (visco)plastique avec écrouissage les concepts qui ont été introduits pour le comportement sans écrouissage. Dans cette construction, on range les variables d’état aux côtés de la déformation élastique dans l’énergie libre, que l’on note ici Ψ (voir le cours de MMC (Forest et al., 2010), chapitre 6 pour une présentation du potentiel d’élasticité). De même que la contrainte s’obtient alors en prenant la dérivée partielle par rapport à la déformation élastique, les AI vont s’obtenir par dérivation partielle 43
44
CHAPITRE 5. VARIABLES D’ÉCROUISSAGE
par rapport aux αI (extension de la notion de potentiel d’élasticité), et la vitesse d’évolution de l’énergie libre s’exprime : ˙ e , αI ) = ρ ∂Ψ ε˙ e + ρ ∂Ψ α˙ I ρΨ(ε (5.1) ∼ ∂ε∼ e ∼ ∂αI Les variables AI et αI sont des variables conjuguées dont le produit donne une énergie spécifique. Les variables αI définissent l’état du matériau, et les variables AI l’effet sur la mécanique de celles-ci. ∂Ψ ∂ε∼ e ∂Ψ AI = ρ ∂αI σ =ρ ∼
(5.2) (5.3)
Pour le comportement élastique, l’égalité 5.2 définit une bijection qui détermine complètement le comportement du matériau, la variable ∼εe étant une variable observable accessible à l’expérience. On a un comportement réversible, à un seul potentiel. Au contraire, les variables αI ne sont pas directement accessibles, et leur évolution ne s’obtient qu’au travers des modifications du domaine d’élassticité. Cette évolution est obtenue en introduisant un second potentiel, qui mesurera l’irréversibilité du processus de déformation. , AI ) Dans le cadre des modèles standards (Germain et al., 1983), on utilise la fonction de charge f (σ ∼ pour construire le potentiel de dissipation. On déterminera ainsi l’évolution des variables αI , selon le modèle déjà introduit pour les déformations plastiques ou viscoplastiques pour les matériaux sans écrouissage. Dans le cas d’un matériau parfaitement plastique, la puissance spécifique σ : ∼ε˙ peut se ∼ e p décomposer simplement en une partie réversible, σ : ε ˙ , et une partie dissipée, σ : ε ˙ . Le principe de Hill ∼ ∼ ∼ ∼ qui a été invoqué pour établir les règles d’écoulement n’est donc pas autre chose qu’une maximisation de l’énergie dissipée. L’écrouissage d’un matériau est le résultat mécanique d’un ensemble de processus qui sont capables de stocker de l’énergie, en relation avec les mécanismes de déformation plastique. Ce stockage d’énergie est temporaire (énergie récupérable) ou définitif ; il est représenté par la variation d’énergie libre, si bien que la dissipation intrinsèque s’exprime maintenant : ˙ = σ : ε˙ p − AI α˙ I D = σ∼ : ∼ε˙ − Ψ ∼ ∼
(5.4)
La thermodynamique des milieux continus indique, comme conséquence du premier et du second principe, que cette dissipation, nulle pour le comportement élastique, doit rester positive lors d’un processus élasto-plastique. La relation de Clausius-Duhem s’exprime donc :
D˙ > 0
(5.5)
Ce formalisme engage à définir un ensemble de contraintes généralisées Z = (σ , AI ), associées aux ∼ déformations généralisées (z = ∼ε p , −αI ), ce qui ramène formellement l’expression de la dissipation pour le cas du matériau écrouissable à celle qui avait été écrite pour le matériau parfaitement plastique. Le cadre standard généralisé, qui peut être vu comme une simple extension du principe du travail maximal de Hill, suppose que le comportement d’un matériau écrouissable est tel qu’il maximise la dissipation intrinsèque. Il faut donc maximiser le produit Z z˙ en s’assurant en même temps que la ˙ et contrainte généralisée est admissible, soit f (σ , AI ) > 0. On introduit pour cela un multiplicateur λ, ∼ on forme : ˙ f (σ, AI ) F(σ , AI ) = σ : ∼ε˙ p − AI α˙ I − λ (5.6) ∼ ∼ ∼ p et A sont nulles correspondent à un Le point pour lequel les dérivées partielles par rapport à σ I ∼ extremum, qui sera effectivement un maximum si f est une fonction convexe. Il vient alors :
˙n ˙ ∂f = λ ε˙ p = λ ∼ ∂σ ∼
∼
˙ ∂f α˙ I = −λ ∂AI
(5.7)
5.2. MATÉRIAUX STANDARDS GÉNÉRALISÉS
45
L’hypothèse de normalité n’est pas limitée à la seule déformation plastique ; elle s’applique également pour écrire l’évolution des variables d’état représentant le comportement non linéaire, il s’agit maintenant de normalité généralisée. La classe de matériaux qui obéit à cet ensemble de règles est intéressante d’un point de vue théorique. Dans le cas où l’énergie libre est une fonction quadratique et définie positive des variables ∼εe et αI , et où le potentiel plastique est une fonction convexe de σ et AI , il est possible de ∼ démontrer l’existence et l’unicité de la solution (Nguyen, 2000).
5.2.2
Exemple
L’écriture ci-dessus fournit de façon naturelle la nature des variables d’écrouissage à utiliser pour représenter l’écrouissage isotrope et l’écrouissage cinématique. En prenant comme exemple le cas du critère de von Mises, la fonction de charge s’écrit, en introduisant le scalaire R pour modéliser l’écrouissage isotrope et le tenseur X∼ pour l’écrouissage cinématique (qui est un tenseur déviatorique) : f (σ , X , R) = J(σ − X∼ ) − R − σy = ((3/2)(s∼ − X∼ ) : (s∼ − X∼ ))0,5 − R − σy ∼ ∼ ∼
(5.8)
On appellera respectivement r et α les variables associées à R et X∼ . L’énergie libre s’écrit alors ∼ comme la somme de la contribution élastique habituelle, Ψe , et de deux termes additionnels : 1 1 :C :α Ψ(ε∼ e , r, α ) = Ψe (ε∼ e ) + Hr2 + α ∼ 2 3∼ ≈ ∼
(5.9)
si bien que 2 X∼ = C α (5.10) 3≈∼ La variable tensorielle α associée à la variable d’écrouissage X∼ est la déformation plastique elle-même, ∼ alors que la vitesse de la variable r associée à la variable d’écrouissage R s’identifie au multiplicateur plastique : ˙ ∂f = λ ˙ ∂ f = ε˙ p ˙ ˙ ∂f = λ α ˙ = −λ (5.11) r˙ = −λ ∼ ∼ ∂X∼ ∂σ ∂R ∼ On note que, dans ce cas, la variable r s’identifie à la déformation plastique cumulée, p, qui mesure la longueur du trajet de déformation, et qui se définit par : R = Hr
p˙ = ((2/3) ∼ε˙ p : ∼ε˙ p )0,5
(5.12)
En utilisant le fait que n∼ : n∼ = 3/2, on a en effet : 0,5 ˙ n:λ ˙n ˙ =λ ((2/3) ∼ε˙ p : ∼ε˙ p )0,5 = (2/3) λ ∼ ∼
(5.13)
Sous chargement uniaxial, lorsque le tenseur de vitesse de déformation plastique est une diagonale (ε˙ p , −(1/2)ε˙ p , −(1/2)ε˙ p ), le calcul de p˙ donne : p˙ = |ε˙ p |. L’écriture de la dissipation pour ce modèle particulier fournit :
D˙ = σ∼ : ∼ε˙ p − X∼ : α∼˙ − R p˙ = (σ∼ − X∼ ) : ∼ε˙ p − R p˙ = J(σ∼ − X∼ ) p˙ − R p˙ = σy p˙
(5.14)
L’énergie stockée pour un niveau état caractérisé par ∼ε p et p fait intervenir une fraction (1/3)ε∼ p : C : ∼ε p , ≈ qui est récupérée à la décharge (totalement si on effectue un trajet qui permet d’annuler la déformation plastique), et une fraction (1/2)Hr2 , qui reste bloquée dans le matériau. Le modèle obtenu dans ce paragraphe fait intervenir des écrouissages linéaires, ce qui est en général bien trop naïf pour représenter le comportement d’un «vrai» matériau. Les modèles plus réalistes peuvent être construits : – en compliquant la forme de la relation entre variables d’écrouissage et variables d’état ; – en choisissant une fonction de charge plus complexe ; – en abandonnant l’hypothèse de normalité généralisée.
46
CHAPITRE 5. VARIABLES D’ÉCROUISSAGE
5.3 5.3.1
Expression de quelques lois particulières en plasticité Loi de Prandtl–Reuss
C’est la loi obtenue en utilisant le critère de von Mises et une règle d’écrouissage isotrope. La fonction de charge est donc : f (σ , R) = J(σ ) − σy − R(p) (5.15) ∼ ∼ L’écrouissage isotrope est décrit par la fonction R(p). Dans le cas d’un chargement uniaxial en traction, où seule la composante σ11 = σ est non nulle, l’égalité f (σ , R) = 0 se résume à : ∼ σ = σy + R(p)
(5.16)
La courbe décrite par (σy +R(p)) est donc la courbe d’écrouissage en chargement uniaxial monotone, p la déformation de traction ε11 = ε p étant égale dans ce cas à la déformation plastique cumulée. Le module plastique peut être évalué comme la pente à cette courbe. σ = σy + R(ε p )
H=
dR dR dσ = p= p dε dε dp
(5.17)
R(p) peut être définie point par point, par une fonction puissance ou une fonction exponentielle, comme on l’a vu dans le chapitre sur la plasticité uniaxiale. Quelle que soit la forme choisie pour R, la condition de cohérence permet de trouver le multiplicateur ˙ = p) plastique (λ ˙ : ∂f ∂f :σ ˙ + R˙ = 0 ∼ ∂σ ∂R ∼
n∼ : σ ˙ − H p˙ = 0 ∼
s’écrit
et
(5.18)
˙ ˙ = n∼ : σ ∼ λ (5.19) H La loi de Prandlt-Reuss permet de déterminer la direction et l’intensité de l’écoulement plastique : ˙ ˙ n = n∼ : σ ∼ n ε˙ p = λ ∼ ∼ H ∼
avec
n∼ =
3 ∼s 2J
(5.20)
Dans le cas particulier de la traction simple, cette expression générale se réduit bien à la forme uniaxiale habituelle : n11 = signe(σ)
n∼ : σ ˙ = σ˙ signe(σ) ∼ ε˙ p =
si bien que :
5.3.2
et :
˙ = p˙ = ε˙ p λ 11
n11 σ˙ σ˙ n11 = H H
(5.21) (5.22)
Loi de Hencky–Mises
Il s’agit d’une expression toute intégrée du modèle de plasticité, qui est valide uniquement dans le cas d’un chargement simple, c’est-à-dire lorsque le chargement extérieur en termes de contraintes croît proportionnellement à un seul paramètre scalaire k, à partir d’un état initial non écroui. On a alors : σ = kσ ∼ ∼M
σ ˙ = k˙ σ ∼ ∼M
s = k ∼s M
∼
J = k JM avec 0 6 k 6 1
(5.23)
La direction d’écoulement ne change pas tout au long de l’écoulement : n∼ =
3 2
s JM
∼M
(5.24)
5.3. EXPRESSION DE QUELQUES LOIS PARTICULIÈRES EN PLASTICITÉ
47
Par ailleurs, l’expression de l’intensité de l’écoulement se simplifie, en suivant : σ σ k˙ JM ˙ ∼M : ∼M = k JM H H
n∼ : σ ˙ 3 ∼ = H 2
(5.25)
On en déduit : ε˙ p =
3 k˙ 3 s˙ sM = ∼ 2H∼ 2H
(5.26)
Les composantes de la vitesse de déformation plastique s’écrivent donc en fonction de la composante de contrainte correspondante uniquement, il y a découplage des composantes, ainsi par exemple : σ˙ 11 H
p ε˙ 11 =
p ε˙ 12 =
3σ˙ 12 2H
(5.27)
On peut reformuler la seconde expression en p 2ε˙ 12 √ = 3
√ 3σ˙ 12 2H
(5.28)
√ Cette expression met en évidence la contrainte de cisaillement 3σ12 , équivalente de σ11 en application p √ p du critère de von Mises, et la déformation plastique 2ε12 / 3, équivalente de ε11 . Le découplage signalé dans la formule 5.27 n’est qu’apparent, dans la mesure où la limite d’élasticité fait bien intervenir toutes les composantes. Elle correspond à une valeur ke de k telle que ke JM = σy . Les intégrales définies qui permettent de calculer les composantes ont donc pour bornes ke et 1.
5.3.3
Loi de Prager
C’est la loi obtenue en utilisant le critère de von Mises et une règle d’écrouissage cinématique linéaire. Il faut pour cela introduire une variable d’écrouissage X∼ , associée à la déformation plastique, qui s’écrit : X∼ = (2/3) H ∼ε p . Cette variable est déviatorique, la fonction de charge s’écrit donc simplement : f (σ , X ) = J(σ − X∼ ) − σy ∼ ∼ ∼
avec
J(σ − X∼ ) = ((3/2)(s∼ − X∼ ) : (s∼ − X∼ ))0,5 ∼
(5.29)
3 ∼s − X∼ 2 J(σ − X∼ ) ∼
(5.30)
La condition de cohérence s’écrit : ∂f ∂f ˙ :σ ˙+ : X∼ = 0 ∼ ∂σ ∂X ∼ ∼
soit
n∼ : σ ˙ − n∼ : X∼˙ = 0 ∼
avec
n∼ =
On obtient donc : n∼ : σ ˙ = n∼ : X∼˙ = n∼ : ∼
2 ˙ ˙ Hnλ = H λ 3 ∼
(5.31)
Il vient donc de nouveau : ˙ = (n : σ˙ )/H λ ∼ ∼
(5.32)
Le multiplicateur plastique a la même expression formelle que dans le cas de l’écrouissage isotrope ; il faut néanmoins noter que la définition de n∼ est modifiée, et que H est constant. Sous chargement uniaxial, σ = σ11 étant la seule composante non nulle du tenseur des contraintes, et en posant X = (3/2)X11 , la fonction de charge et la condition de cohérence s’écrivent : |σ − X| = σy
σ˙ = X˙ = H ε˙ p
(5.33)
48
CHAPITRE 5. VARIABLES D’ÉCROUISSAGE
5.3.4
Écoulement à vitesse de déformation totale imposée
Comme l’indiquent les deux exemples du paragraphe précédent, la condition de cohérence se met toujours sous la même forme, pour les lois de comportement courantes des matériaux isotropes. Par comparaison avec le cas du matériau parfaitement plastique, seule va changer cette condition de cohérence ; il faut donc maintenant partir de : σ ˙ =Λ : (˙∼ε − ∼ε˙ p ) ∼ ≈
˙ n∼ : σ ˙ = Hλ ∼
et
(5.34)
Après multiplication des deux membres de la première relation par n∼ , il vient cette fois-ci : ˙ = λ
n∼ : Λ : ∼ε˙ ≈
(5.35)
H + n∼ : Λ : n∼ ≈
Remarques : – Dans le cas de l’élasticité isotrope et d’un matériau de von Mises, l’expression du multiplicateur devient : ˙ = 2µ n∼ : ∼ε˙ λ (5.36) H + 3µ – On appelle tenseur élastoplastique tangent l’opérateur qui permet d’obtenir la vitesse de déformation plastique en fonction de la vitesse de déformation totale. Les équations 5.34 et 5.35 permettent d’écrire : nmn Λmnpq ε˙ pq ˙εipj = Λi jkl ε˙ klp − Λi jkl nkl (5.37) H + nrs Λrstu ntu Λi jkl nkl (nmn Λmnpq ) = Λi jkl ε˙ klp − ε˙ pq (5.38) H + nrs Λrstu ntu (5.39) Soit : ep ε˙ p = L : ∼ε˙ ∼ ≈
5.4
avec :
ep L =Λ − ≈ ≈
(Λ : n∼ ) ⊗ (n∼ : Λ ) ≈ ≈ H + n∼ : Λ : n∼ ≈
(5.40)
Viscoplasticité
On exprime un modèle viscoplastique avec écrouissage en étendant la notion de potentiel viscoplastique aux variables d’écrouissage. En définissant Ω(σ , AI ), on se donne les moyens de calculer ∼ les évolutions des αI en même temps que celles de la déformation viscoplastique : ε˙ p =
∼
∂Ω ∂Ω ∂ f = n ∂ f ∂σ ∂f ∼ ∼
α˙ I = −
∂Ω ∂ f ∂ f ∂AI
(5.41)
Dans ce cas, la dissipation comporte une partie due à la viscosité, en effet, la valeur de la fonction de charge n’est plus nulle pendant l’écoulement, si bien que, en reprenant l’exemple du paragraphe (5.2.2), on obtient, en posant v˙ = ∂Ω/∂ f :
D˙ = σ∼ : ∼ε˙ vp − X∼ : α∼˙ − Rv˙ = (J(σ∼ − X∼ ) − R) v) ˙ = ( f + σy )v˙
(5.42)
5.4. VISCOPLASTICITÉ
49
Résumé
– Expression de l’énergie libre pour introduire écrouissages isotrope et cinématique : 1 1 Ψ(ε∼ e , R, X∼ ) = Ψe (ε∼ e ) + Hr2 + X∼ : C : X∼ ≈ 2 2 – Définition de la contrainte σ et des variables d’écrouissage AI : ∼ σ =ρ ∼
∂Ψ ∂ε∼ e
AI = ρ
∂Ψ ∂αI
– Lois d’écoulement généralisées : ˙n ˙ ∂f = λ ε˙ p = λ ∼ ∂σ ∼
∼
˙ ∂f α˙ I = −λ ∂AI
avec la forme de Ψ précédente, et f (σ , X , R) = J(σ − X∼ ) − R − σy = ((3/2)(s∼ − X∼ ) : (s∼ − X∼ ))0,5 − R − σy ∼ ∼ ∼ c’est la déformation plastique cumulée p qui est la variable d’état de l’écrouissage isotrope, et ε p qui est celle de l’écrouissage cinématique linéaire. ∼ – Règle de Prandtl–Reuss : n : σ˙ ε˙ p = ∼ ∼ n∼ ∼ H ou : n∼ : Λ : ∼ε˙ ≈ ε∼˙ p = n H + n∼ : Λ : n∼ ∼ ≈ – Opérateur élastoplastique tangent : ep ε˙ p = L : ∼ε˙ ∼ ≈
avec :
ep L =Λ − ≈ ≈
(Λ : n∼ ) ⊗ (n∼ : Λ ) ≈ ≈ H + n∼ : Λ : n∼ ≈
50
CHAPITRE 5. VARIABLES D’ÉCROUISSAGE
Chapitre 6
Eléments de théorie des poutres planes La théorie des poutres s’applique sur des «solides élancés». De façon traditionnelle, le calcul de poutres fait partie du domaine de la résistance des matériaux (RDM) (Timoshenko, 1968). Cette discipline, longtemps enseignée en tant que telle, a permis pendant longtemps de calculer de façon analytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d’art divers. Les mêmes calculs sont maintenant effectués numériquement, au moyen de codes de calcul par éléments finis. On abordera ici deux approches de la théorie des poutres : – au travers d’une brève revue du problème de Saint-Venant, solution analytique tridimensionnelle sur un tronçon de poutre, – au moyen du principe des puissances virtuelles, qui permet d’évaluer des solutions approchées.
6.1 6.1.1
Définitions Modélisation géométrique
Les poutres ne sont pas forcément des prismes. Le modèle géométrique qui est employé se résume à: – une ligne moyenne C , de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O. On définit le long de cette ligne (t, n, b), trièdre de Frénet orthonormé, ainsi que R, rayon de courbure. On rappelle les égalités suivantes : OG dt t= n=R b = t ∧n (6.1) ds ds – une section droite, S de la poutre, dans le plan (n, b), de contour Γ, de centre de gravité G. Pour que la théorie soit applicable, il est nécessaire que les sections droites soient lentement variables ou constantes en fonction de s, et que la plus grande dimension de la section droite soit petite devant R, et devant la longueur de la poutre. Ces hypothèses permettent d’assimiler localement la poutre à un tronçon de prisme. On considère dans la suite une théorie en petites déformations et petits déplacements. Les actions mécaniques, charges et actions de liaison, s’appliquent sur la géométrie simplifiée. Elles sont représentées par des torseurs (un vecteur résultant et un moment résultant), que l’on définit donc sur la ligne moyenne. On construira également une cinématique simplifiée, permettant de reconstruire les déplacements approchés du milieu continu à partir de translations et de rotations d’un point de la ligne moyenne. Le but de la théorie des poutres est de remplacer la solution tridimensionnelle par une solution globale, dans laquelle on écrira des équations d’équilibre entre les quantités moyennes qui définissent les efforts, une cinématique définissant les déplacements sur la structure simplifiée, et des lois de comportement qui relient les deux. Il s’agit de trouver une solution acceptable pour un problème qui est, en toute rigueur, incomplet, puisqu’on ne spécifiera pas de façon précise les efforts extérieurs sur la 51
52
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
n s=0
S b t
F IG . 6.1 – Représentation géométrique d’une poutre
géométrie tridimensionnelle. On ne cherchera à représenter que les moyennes, en termes de résultantes et de moments. La figure 6.1 montre la forme générale d’une poutre. Dans chaque section droite, on définit le centre de gravité par : Z GM dS = 0
(6.2)
S
On définit le moment quadratique par rapport à une droite ∆ de la section droite, en introduisant H, projection de M ∈ S sur ∆ Z I(S, ∆) = ||HM||2 dS (6.3) S
Cette grandeur présente une analogie avec le moment d’inertie d’un solide autour d’une droite, mais dans le cas présent, le solide est plan et la masse surfacique est de 1. Ceci explique qu’on parle souvent de moment d’inertie de la surface S autour de ∆. On peut donc construire une matrice des moments quadratiques, qui est symétrique : Z Z 2 I23 = − x2 x3 dS I22 = x3 dS ZS ZS I = (6.4) I32 = − x2 x3 dS I33 = x22 dS S
S
Elle est diagonalisable. Il existe donc des directions centrales principales, pour lesquelles on définit les moments quadratiques centraux principaux Z 2 0 I2 = x3 dS S Z I = (6.5) 3 0 I3 = x2 dS S
Pour la suite du chapitre, on travaillera dans les axes ainsi définis. Dans le cas où la section présente deux axes de symétrie, ceux-ci correspondent bien entendu aux directions principales.
6.1.2
Principe de Saint-Venant
Le traitement de la théorie des poutres s’appuie sur le principe de Saint-Venant. Celui-ci considère le cas où, ayant résolu un problème de mécanique des milieux continus tridimensionnels, on évalue à l’aide de la solution obtenue les torseurs des efforts extérieurs dans une section quelconque. Si ceux-ci
6.1. DÉFINITIONS
53 x3 x2
t
P3 p3
F
p2 P2
M2 M3
x1
C
F IG . 6.2 – Bilan des efforts extérieurs
sont effectivement égaux à ceux qui sont appliqués, le principe de Saint-Venant indique que, même si la répartition des contraintes n’est pas la même dans les deux cas, la solution trouvée sera valable, si on se place «suffisamment loin» du point d’application des charges. En d’autres termes, la perturbation n’est que locale. Dans la pratique, la solution est valide lorsqu’on a parcouru sur la ligne moyenne une distance qui est de l’ordre de deux à trois diamètres, si bien que la schématisation de type poutre est en général acceptée à partir d’un rapport 10 à 15 entre la longueur et la plus grande dimension de la section droite.
6.1.3
Modélisation des actions mécaniques
La figure 6.2 définit la manière dont on prend en considération les efforts extérieurs. Dans la mesure où la géométrie se résume en fait à une ligne et des sections droites, la représentation de la section ellemême n’est présente que de façon indicative. On prend en compte des forces et des moments, selon les trois directions de l’espace, et sous forme répartie ou ponctuelle. On définit donc : – des forces concentrées F selon x1 , P2 selon x2 , P3 selon x3 – des forces surfaciques t selon x1 , p2 selon x2 , p3 selon x3 – des moments de flexion M2 autour de x2 , M3 autour de x3 – un couple de torsion autour de x1 , C. On introduit les efforts intérieurs correspondants. Ils sont définis de manière globale sur une section courante. Les notations seront les suivantes : – une résultante N selon x1 , T2 selon x2 , T3 selon x3 ; N est l’effort normal, T2 et T3 les composantes de l’effort tranchant – un moment de flexion M2 autour de x2 , M3 autour de x3 – un couple de torsion autour de x1 , M1 . On définit ainsi un torseur, qui est obtenu en intégrant les composantes suivantes du tenseur de contrainte : Z
N= S
Z
C= S
Z
σ11 dS
(x2 σ13 − x3 σ12 )dS
T2 = M2 =
Z
ZS S
σ12 dS x3 σ11 dS
T3 =
S
M3 = −
σ13 dS
(6.6)
Z S
x2 σ11 dS
(6.7)
Il n’est donc pas utile de connaître les composantes σ22 et σ33 pour calculer les efforts résultants. Ceci va inspirer la solution de Saint-Venant qui est exposée en section suivante. Il faut noter également qu’il est possible de construire une infinité de champs de contraintes qui redonnent le torseur indiqué.
54
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
Dans la pratique, la théorie des poutres ne précise pas la manière dont sont distribués les efforts (en application du principe de Saint-Venant).
6.2 6.2.1
Solution de Saint-Venant Contraintes
L’hypothèse de Saint-Venant consiste à chercher la solution d’un tronçon de poutre droite sous la forme d’un état de contrainte contenant uniquement deux cisaillements et un terme de contrainte axiale :
σ..
σ11 σ12 σ13 0 = σ21 0 σ31 0 0
(6.8)
Chaque composante dépend pour le moment de la position (x1 , x2 , x3 ) d’un point courant au sein de la poutre. On cherche à résoudre le problème à l’aide d’une formulation en contraintes. Le tenseur recherché doit vérifier : – les équations d’équilibre σ11,1 + σ12,2 + σ13 ,3 = 0
(6.9)
σ21,1 = 0
(6.10)
σ31 ,1 = 0
(6.11) (6.12)
– les équations de Beltrami −∆σ11 − σ11,11 = 0
(6.13)
(1 + ν)∆σ12 + σ11,12 = 0
(6.14)
(1 + ν)∆σ13 + σ11,13 = 0
(6.15)
−σ11,22 + ν∆σ11 = 0
(6.16)
−σ11,23 = 0
(6.17)
−σ11,33 + ν∆σ11 = 0
(6.18) (6.19)
On déduit des équations précédentes la forme générale de la solution, dans laquelle on a introduit une fonction φ dépendant de x2 et x3 , telle que ∆φ = 0 : σ11 = a0 + a1 x1 + (b0 + b1 x1 )x2 + (c0 + c1 x1 )x3
(6.20)
x32
b1 a1 x2 − c1 x2 x3 − 2 1+ν 2 a1 c1 x22 σ13 = −φ,2 − x3 − b1 x2 x3 − 2 1+ν 2 σ12 = φ,3 −
(6.21) (6.22) (6.23)
Lors du calcul des intégrales sur la section droite, un certain nombre deZtermes Zsont nuls, dans la Z mesure où les axes x2 et x3 sont des axes principaux. C’est le cas de
S
x2 dS,
S
x3 dS,
S
x2 x3 dS. On voit
par ailleurs apparaître les moments quadratiques principaux. La forme finale de la solution en contrainte est :
6.2. SOLUTION DE SAINT-VENANT
55
N M2 M3 + x3 − x2 S I2 I3 T3 1 T2 σ12 = − x2 x3 − I2 1 + ν I3 T2 1 T3 σ13 = − x2 x3 − I3 1 + ν I2 σ11 =
(6.24) x32 2 x22 2
(6.25) (6.26) (6.27)
La fonction φ est solution de ∆φ = A, équation différentielle qu’il faut résoudre en prenant en compte respectivement une condition aux limites sur le contour de la section droite, et l’expression du moment de torsion :
T3 T3 T2 T2 2 2 x dx2 + − x2 x3 + x dx2 dφ = − x2 x3 − I3 2(1 + ν)I2 2 I2 2(1 + ν)I3 3
Z
(6.28)
Z
φdS + φ(x3 dx2 − x2 dx3 ) Γ Z Z x32 T2 T3 x22 + −x2 x3 + dS + −x3 x2 + dS I3 S 2(1 + ν) I2 S 2(1 + ν)
C=S
(6.29)
S
6.2.2
(6.30)
Déplacements
On passe des contraintes aux déplacements par la loi de comportement. Le calcul des déplacements se fait de façon traditionnelle en calculant d’abord les rotations, puis les composantes du vecteur déplacement (voir le cours MMC) Les rotations sont calculées à l’aide d’un tenseur ω , partie ∼ antisymétrique du gradient de déplacement, dont les composantes ω12 , ω23 et ω31 vérifient des équations différentielles du type :
ω12,1 = ε11,2 − ε12,1
ω12,2 = ε12,2 − ε22,1
ω12,3 = ε13,2 − ε32,1
(6.31)
et permutation circulaire. Les composantes du déplacement sont obtenues par des équations du type :
u1,1 = ε11
et permutation circulaire.
u1,2 = ε12 + ω12
u1,3 = ε13 + ω13
(6.32)
56
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES On trouve (Garrigues, 1999) : N T2 T3 M3 x2 M2 x1 − x2 + x3 Lx1 − 1 + x3 − x2 x1 ES EI3 EI2 2 EI2 EI3 3 3 2 2 x3 x2 x2 x3 T3 x3 x2 T2 ν − (2 + ν) + ν − (2 + ν) + EI3 6 2 EI2 6 2 1+ν + Φ + γx2 − βx3 + α0 E N T2 2 T3 u2 = −ν x3 + (x2 − x32 ) + x2 x3 ν(L − x1 ) ES 2EI3 EI2 M3 2 M2 1+ν +ν (x2 − x32 ) − x2 x3 + Ax1 x3 2EI3 EI2 E M3 T2 x1 x12 + L− − γx1 − αx3 + β0 + EI3 EI3 3 2 N T3 2 T2 2 u3 = −ν x3 + (x − x2 ) + x2 x3 ν(L − x1 ) ES 2EI2 3 EI3 M2 2 M3 1+ν 2 +ν (x3 − x2 ) − x2 x3 − Ax1 x2 2EI2 EI3 E x1 x12 T3 M2 + − L− + + βx1 − αx2 + γ0 EI2 EI2 3 2
u1 =
(6.33) (6.34) (6.35) (6.36) (6.37) (6.38) (6.39) (6.40) (6.41) (6.42)
6.2.3
Discussion
La solution est bien donc relativement complexe, cependant la solution est adaptée pour une large gamme de problèmes, en flexion et en torsion. C’est la présence de Φ qui rend la résolution analytique délicate (voire impossible), et dépendante de la forme de la section. Dans le cas général, il y a un couplage entre les sollicitations, c’est-à-dire par exemple qu’un effort tranchant conduit à un déplacement en torsion. Les couplages disparaissent lorsque les sections présentent des axes de symétrie. On obtient un résultat analytique dans le cas où la section est circulaire. En torsion pure, on trouve tout simplement que φ vaut (R2 − x22 − x32 )/2, et on vérifie que la section reste plane ; sous l’effet d’un effort tranchant T2 uniquement, on trouve : T2 σ12 = I3
x32 3 + 2ν x32 − x22 + R2 − 8(1 + ν) 2(1 + ν)
T2 σ13 = − I3
1 + 2ν x3 x2 4(1 + ν)
(6.43)
On note que le vecteur contrainte est bien nul sur la surface latérale. D’une façon générale, le déplacement de la ligne moyenne est obtenu pour x2 = x3 = 0. Les sections droites restent planes sous l’action d’un effort normal ou d’un moment. Dans le cas d’un effort tranchant, on a un gauchissement des sections droites, ainsi, sous l’action de T2 , en notant U le déplacement selon x1 d’un point courant de la ligne moyenne, on a : T2 u1 −U = EI3
x3 x2 x2 ν 2 − (2 + ν) 3 6 2
+
1+ν Φ(x2 , x3 ) E
(6.44)
Ce gauchissement reste néanmoins relativement peu important, ce qui encouragera en fait à construire des solutions dans lesquelles on conserve les sections planes.
6.3. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS x3
57
P p
F
t
x1
x2
M
F IG . 6.3 – Géométrie et efforts extérieurs considérés
6.3
Approche par le principe des travaux virtuels
On va maintenant reprendre le problème en partant d’une hypothèse cinématique et en appliquant le principe des travaux virtuels. Pour plus de concision, on se résume à la résolution dans un plan. La figure 6.3 montre la géométrie et résume les efforts appliqués. La ligne moyenne est l’axe x1 , la poutre se déforme dans le plan x1 − x3Z, qui est plan principal d’inertie. Comme l’axe x1 joint est le lieu des centres d’inerties des sections, on a S
6.3.1
x3 dS = 0.
Rappel : le principe des travaux virtuels
La figure 6.4 rappelle les grandeurs fondamentales que l’on considère sur un milieu continu. On introduit les définitions suivantes : – Champ u0 CCA (cinématiquement admissible) : u0 = ud
sur ∂Ωu
ε∼0 = 0.5 grad u0 + grad T u0 ∼
(6.45)
dans Ω
(6.46)
∼
– Champ σ∼∗ CSA (statiquement admissible) : σ∼∗ .n = F d
sur ∂ΩF
divσ∼∗ + f d = 0
L’évaluation du travail développé par σ∼∗ dans u0 conduit à l’enchaînement suivant, pour tout σ∼∗ CSA et CCA non forcément reliés par la loi de comportement : u0
ud F
f
d
d
– Déplacement imposé ud sur la surface ∂Ωu – Force répartie imposée F d sur la surface ∂ΩF – Force volumique imposée f d à l’intérieur de Ω
Ω
F IG . 6.4 – Notations dans le milieu continu
58
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
Z
σ∗i j ε0i j dΩ =
Ω
1 ∗ 0 σi j ui, j + u0j,i dΩ 2 ZΩ
Z
= ZΩ
= ZΩ
σ∗i j u0i, j dΩ σ∗i j u0i , j − σ∗i j, j u0i dΩ
=
Z
σ∗i j n j u0i dS −
∂Ω
Z
σ∗i j ε0i j dΩ =
Ω
(6.47)
Z
(6.48) (6.49)
σ∗i j, j u0i dΩ
(6.50)
Ω
Fi u0i dS +
∂Ω
Z
fid u0i dΩ
(6.51)
Ω
(6.52) Le principe des travaux virtuels s’énonce alors de la façon suivante : ∀u0i , variation autour d’un état d’équilibre (u0i = 0 sur ∂Ωu ) Z
σ∗i j ε0i j dΩ = −δWint = δWext =
Z
Ω
Fid u0i dS +
Z
∂ΩF
fid u0i dΩ
(6.53)
Ω
Dans la suite, on va appliquer ce principe sur les quantités globales définies sur la poutre.
6.3.2
Cinématique de la poutre de Timoshenko
L’idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, de la structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont d’autant plus satisfaisantes que l’élancement est important. Pour traiter le cas d’une poutre plane, on conserve dans la description géométrique deux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugués (au sens du travail virtuel). Pour le cas d’une poutre mince, on négligerait le cisaillement (modèle N, M, Navier–Bernoulli). Sollicitation «force» «déplacement»
axe de la poutre N U
perp à l’axe T V
moment de flexion M θ
On calcule donc successivement les déplacements et les déformations, en suivant les notations illustrées par la figure 6.5 u1 = U 0 (x1 ) + θ0 x3 ε011
6.3.3
= U,10 + θ0,1 x3
u3 = V 0 (x1 ) 2ε013
(6.54)
= V,10 + θ0
(6.55)
Traitement des équations
Travail virtuel des efforts internes
Z
(ε011 σ11 + 2ε013 σ13 )dV Z Z Z Z 0 0 0 0 =− U,1 σ11 dS + θ,1 x3 σ11 dS + (V,1 + θ ) σ13 dS dx1
δWint = −
(6.56)
V
L
S
S
S
(6.57)
6.3. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS
59
Plan de la ligne neutre
Section F IG . 6.5 – Schématisation de la poutre de Timoshenko On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U, V , θ : Z
Z
N= S
T=
σ11 dS
S
Z
σ13 dS
M= S
x3 σ11 dS
(6.58)
ce qui donne : δWint = −
Z
NU,10 + Mθ0,1 + T (V,10 + θ0 ) dx1
L
(6.59)
Traitement du travail des efforts intérieurs A partir de : δWint = −
Z
NU,10 + Mθ0,1 + T (V,10 + θ0 ) dx1
L
(6.60)
On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple : Z L
NU,10 dx1
Z
0 L Z (NU ),1 − N,1U dx1 = NU 0 − N,1U 0 dx1 0
= L
0
(6.61)
L
d’où : δWint = −
Z L
−N,1U 0 − M,1 θ0 − T,1V 0 + T θ0 ) dx1
+N(0)U 0 (0) − N(L)U 0 (L) + T (0)V 0 (0) − T (L)V 0 (L) 0
0
+M(0)θ (0) − M(L)θ (L)
(6.62) (6.63) (6.64)
Travail des efforts extérieurs On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x1 = 0 et x1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont : – les forces normales F0 et FL , tangentielles P0 et PL , – les moments M0 et ML , – les efforts répartis sur la surface, représentés par des densités linéiques normales p et tangentielle t: δWext = F0U 0 (0) + FLU 0 (L) + P0V 0 (0) + PLV 0 (L) + M0 θ0 (0) + ML θ0 (L) Z + pV 0 + tU 0 ) dx1 L
(6.65) (6.66)
60
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
6.3.4
Caractérisation de l’équilibre
δWint = −
Z L
−N,1U 0 − M,1 θ0 − T,1V 0 + T θ0 ) dx1
+N(0)U 0 (0) − N(L)U 0 (L) + T (0)V 0 (0) − T (L)V 0 (L) 0
(6.67) (6.68)
0
(6.69)
δWext = F0U 0 (0) + FLU 0 (L) + P0V 0 (0) + PLV 0 (L) + M0 θ0 (0) + ML θ0 (L) Z + pV 0 + tU 0 ) dx1
(6.70)
+M(0)θ (0) − M(L)θ (L)
(6.71)
L
Comme l’égalité δWint + δWext = 0 est valable quel que soit le triplet (U 0 , V 0 , θ0 ), on trouve, en identifiant terme à terme les expressions de δWint et δWext : N(0) = −F0
N(L) = FL
T (0) = −P0
M(0) = −M0
M(L) = ML
N,1 + t = 0
T,1 + p = 0
T (L) = PL
(6.72) (6.73)
M,1 − T = 0
(6.74)
On pose : N= S
Z
Z
Z
σ11 dS
T= S
σ13 dS
M= S
x3 σ11 dS
(6.75)
On obtient : N,1 + t = 0
T,1 + p = 0
M,1 − T = 0
(6.76)
La figure 6.6 illustre la signification physique des équations précédentes pour une «tranche» de la poutre.
6.3.5
Lois de comportement
Pour établir les lois de comportement, il faut trouver des relations raisonnables entre les déplacements définis sur la ligne moyenne et les efforts globaux. L’approche par le principe des travaux virtuels laisse le choix du champ de contraintes statiquement admissible que l’on considère. Dans la suite, on va considérer une théorie très simplifiée, qui n’aura pas le même degré de raffinement que la solution
p t
T N M
N+dN T+dT
M+dM
dN = −tdx1
(6.77)
dT = −pdx1
(6.78)
dM = T dx1
(6.79)
F IG . 6.6 – Equilibre d’une «tranche» de poutre
6.3. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS
61
de Saint-Venant : on s’inspire en effet directement du champ cinématiquement admissible pour évaluer un champ de contrainte, qui sera, en fait obtenu au travers de la loi de comportement, et qui ne sera pas rigoureusement statiquement admissible. On traite successivement les cas de la force axiale, du moment et de l’effort tranchant. Lois de comportement : force axiale On évalue la composante 11 du tenseur de contrainte comme Eε11 = σ11 −ν(σ22 +σ33 ), et on néglige σ22 et σ33 . Il vient : Z
N= S
Z
σ11 dS =
S
Z
Eε11 dS =
Z
S
Eu1,1 dS =
Z
EU,1 dS + S
S
E(θx3 ),1 dS
(6.80)
Le deuxième terme du développement est nul, si bien que : N = U,1 ES
(6.81)
Lois de comportement : moment Z
Z
M= S
x3 σ11 dS =
Z
S
x3 Eε11 dS =
S
Z
x3U,1 dS +
S
x3 (θx3 ),1 dS
(6.82)
Le premier terme du développement est nul, il vient : Z
M = θ,1 S
Z
avec I = S
x32 dS = θ,1 I
(6.83)
x32 dS, moment quadratique par rapport à x2 , si bien que : Z
M= S
x3 σ11 dS = EIθ,1
(6.84)
Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =
2bh3 3
Lois de comportement : cisaillement Z
T= S
Z
σ13 =
S
Z
2µε13 dS =
S
Z
µ(u1,3 + u3,1 )dS =
µ (θ +V,1 ) dS
(6.85)
S
si bien que : T = µS(θ +V,1 )
(6.86)
Lois de comportement Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure. N = ESU,1
T = µS(θ +V,1 )
M = EIθ,1
(6.87)
V,1 = −θ + T /µS
(6.88)
θ,1 = M/EI
(6.89)
M,1 − T = 0
(6.90)
T,1 + p = 0
(6.91)
62
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
flexion
cisaillement
F IG . 6.7 – Forme de la déformée de la ligne moyenne
6.3.6
Remarques
Déformées La forme de la déformée de la ligne moyenne (fig. 6.7) dépend du type de chargement : – Le terme de cisaillement, produit une évolution linéaire de la flèche. – La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport aux efforts appliqués : V,11 = −θ,1 = −
M EI
V,111 = −
M, 1 T = EI EI
V,1111 = −
p EI
(6.92)
– En présence d’un moment appliquée, la forme de la ligne moyenne sera circulaire, elle sera de degré 3 en cas d’effort concentré, et de degré 4 en cas d’effort réparti tout au long de la poutre. Méthode de résolution Le déplacement axial s’obtient en intégrant la relation : U,1 = N/ES
(6.93)
La rotation relative entre les sections s’obtient en intégrant la relation : θ,1 = M/EI
(6.94)
La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation elle même, et l’autre de l’effort tranchant T : V,1 = −θ + T /µS (6.95)
Expression des contraintes locales La connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de contrainte locaux. (' Eε11 = Eu1,1 ) est la somme de deux termes, dus à l’élongation et à la flexion : σ11 ∼ = N/S + Mx3 /I
(6.96)
Si le cisaillement est négligeable θ = −V,1
M = −EIV,11
(6.97)
6.4. POUTRE SANDWICH
63
Théorie de Navier–Bernoulli Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane, mais pas perpendiculaire à l’axe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernière hypothèse. On retrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans ce cas, il faut assurer ε13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l’hypothèse cinématique : 2ε13 = V,1 + θ = 0
(6.98)
La conséquence immédiate est que T est nul. Prise en compte du gauchissement de section Comme on peut le constater en se référant à la solution de Saint-Venant, la méthode présentée ici n’est qu’approchée, surtout dans le cas où le cisaillement est important. Ainsi, il est facile de vérifier par exemple que le résultat en contrainte σ13 ne vérifie pas les conditions aux limites, puisque, σ13 étant uniforme, le cisaillement calculé n’est pas nul en surface. Par ailleurs, les équations d’équilibre non utilisées ne sont pas vérifiées. L’approximation se justifie néanmoins en raison des ordres de grandeur respectifs de chacune des composantes de contrainte mises en jeu. Il est relativement simple d’apporter une première amélioration en considérant que la section S peut devenir gauche. Cela conduit à postuler un champ de déplacement tridimensionnel de la forme, où ηi désigne le «gauchissement longitudinal» : u1 (X) u2 (X) u3 (X)
= = =
+
u(s)
+
θ(s)x3
+
v(s)
η1 (x1 , x2 , x3 ) η2 (x1 , x2 , x3 ) η3 (x1 , x2 , x3 )
La seule modification à apporter aux équations consiste à introduire un coefficient k, dit de section réduite dans l’expression du cisaillement, qui devient : T = µ(S/k)(θ +V,1 )
(6.99)
Ce coefficient vaut 6/5 pour le cas d’une poutre de section rectangulaire.
6.4
Poutre sandwich
On continue ici à utiliser une approche relativement grossière, qui consiste à évaluer le champ de contrainte à partir du champ de déplacement. On suppose donc que, en présence de plusieurs couches, on continue à avoir la même cinématique. Contrairement au cas du matériau homogène, il y a maintenant une distribution spatiale des propriétés élastiques, qui dépendent de la cote x3 dans la section. Ceci interdit de sortir les modules des intégrales, et conduit donc à des moyennes différentes, prenant en compte à la fois la géométrie et le comportement.
6.4.1
Evaluation des efforts intérieurs
Effort normal Z
N= S
(6.100)
σ11 dS
La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11 (x3 ) = E(x3 )ε11 σ11 = E(x3 ) (U1,1 + θ1,1 x3 ) Z
N = U,1 S
(6.101)
Z
E(x3 )dS + θ,1
S
E(x3 )x3 dS
(6.102)
64
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
Si E(x3 ) est une fonction paire en x3 , et indépendante de x2 ; la seconde intégrale est nulle. On a : Z
N =< ES > U,1
avec < ES >= S
E(x3 )dS
(6.103)
Poutre sandwich : moment Z
M= S
(6.104)
x3 σ11 dS
σ11 = E(x3 ) (U1,1 + θ1,1 x3 ) Z
M = U,1 S
Z
x3 E(x3 )dS + θ,1
S
(6.105)
E(x3 )x32 dS
(6.106)
Si E(x3 ) est une fonction paire en x3 , et indépendante de x2 ; la première intégrale est nulle. On a : Z
M =< EI > θ,1
avec < EI >= S
E(x3 )x32 dS
(6.107)
Poutre sandwich : cisaillement On ne peut pas comme dans les deux cas précédents accepter d’évaluer directement les composantes de contrainte à partir du comportement. On commet en effet une grossière erreur en ne prenant pas en compte la continuité de la composante σ13 à l’interface. La valeur de σ13 est limitée par le faible module de la mousse à l’intérieur de la poutre, et elle doit être nulle en surface externe, de normale x3 , qui est libre. Une pratique courante admet tout simplement de négliger la contribution des plaques métalliques externes ; on se limite à l’intégrale sur le cœur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est compris entre ±h : Z
T= S
σ13 dS ≈
Z +h
Z b Z +h 0
−h
σ13 dx2 dx3 = (V,1 + θ)
2bµ(x3 )dx3
−h
T ≈< µS >+h −h (V,1 + θ)
6.4.2
(6.108) (6.109)
Forme générale
Si la distribution des modules n’est pas paire en x3 , il y a un couplage entre traction et flexion. On doit écrire : Z Z N U,1 Ei dS Ei x3 dS 0 Z S ZS 2 M = Ei x3 dS Ei x3 dS 0 θ,1 (6.110) = S S Z 0 0 µi dS V,1 + θ T S On a introduit les quantités suivantes : - ligne moyenne définie par :
R
- rigidité équivalente de traction :
< ES >=
R
- rigidité équivalente de flexion :
< EI >=
R
- rigidité équivalente de cisaillement :
< µS >=
R
S Ei x3 dS
=0 S Ei dS
2 S Ei x3 dS
S µi dS
6.5. FLAMBEMENT
65
On a donc établi des lois de comportement simplifiées : N =< ES > U,1
T =< µS > (θ +V,1 ) M =< EI > θ,1
(6.111)
Tout ceci permet de retrouver les contraintes σ11 locales : σ11 ' Ei
N Mx3 + < ES > < EI >
(6.112)
La composante σ11 présente donc à l’interface une discontinuité qui est dans la rapport des modules d’Young en direction 1. Ceci explique que ce sont les peaux qui assurent la résistance au moment de flexion. Si la poutre est suffisamment épaisse, et la peau mince, les peaux sont pratiquement en traction et en compression simple. Comme l’assemblage a permis de les éloigner de la ligne moyenne, la rigidité sera donc nettement plus grande. Pour une bonne conception de l’assemblage, il faut vérifier que les contraintes de cisaillement qui se développent aux interfaces restent compatibles avec la résistance des joints de colle entre les différents matériaux.
6.5
Flambement
L’ensemble des développements qui sont montrés par ailleurs dans ce cours utilisent une hypothèse de petites perturbations, soit à la fois des petites déformations et de petits déplacementss : les déformations sont calculées en utilisant la partie symétrique du tenseur gradient de déplacement, donc sans considérer les termes de plus haut degré, et les calculs sont effectués sur la configuration initiale. En élasticité, les relations qui sont écrites sont toutes linéaires, ce qui conduit entre autres à appliquer le «principe» de superposition pour combiner l’effet de plusieurs chargements. L’application effectuée dans ce paragraphe nous amène à introduire les efforts non plus sur la configuration initiale, mais sur la configuration déformée. Ceci introduit une non-linéarité, si bien que les relations force–déplacement ne seront plus linéaires, et que l’on ne pourra plus appliquer le principe de superposition. Le flambement est un phénomène d’instabilité qui apparaît sur les poutres longues, les plaques et les coques minces, et qui conduit à des modes de déformation catastrophiques. Ainsi une plaque ou une coque se met-elle «en accordéon». Une poutre droite flambe en compression lorsque sa ligne neutre ne reste pas droite. La force au-delà de laquelle le risque est avéré est la force critique de flambement. Sa valeur dépend étroitement du module du matériau qui constitue la poutre, de la forme de la section droite, de la longueur de la poutre, mais aussi des conditions aux limites (poutre sur appui simple ou encastrée).
6.5.1
Forme générale
On considère une poutre droite de longueur l le long de l’axe x1 , et de section S. Elle est constituée d’un matériau élastique de module E. Elle est chargée à ses extrémités avec une force −F, dans l’axe de la poutre (on suppose F > 0). Dans un monde parfait, l’état de déformation est de la compression simple, la déformation axiale est uniforme sur l’ensemble de la poutre, de valeur F/ES. Il en est tout autrement si on considère que la ligne neutre de la poutre peut ne pas rester droite. Les raisons pour cela peuvent être une petite perturbation de l’équilibre, ou un défaut initial. Si on considère que la force s’applique sur une configuration déformée qui n’est plus le segment de droite théorique initial, la force axiale va développer un moment de flexion, et la poutre va se déformer en flexion autour d’un axe perpendiculaire à x1 . On note I le moment quadratique correspondant. La déformée est donc caractérisée par la flèche V (x1 ), et il est naturel de négliger le déplacement axial devant celle-ci, ce qui explique que l’approche considère une poutre inextensible. La donnée de la flèche permet d’obtenir l’expression du moment en x1 , qui est égal à FV (x1 ). Comme on se place dans le cas d’une poutre longue, le moment varie en fonction de la
66
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
courbure V,11 uniquement. Son expression dépend des conditions aux limites : il est maximum pour un encastrement, nul pour une extrémité simplement supportée. Dans tous les cas, on trouve une équation de la forme : EIV,11 + FV = C(x1 ) (6.113) En posant k2 = F/EI, l’équation sans second membre s’écrit : V,11 + k2V = 0
(6.114)
V (x1 ) = A cos(kx1 ) + B sin(kx1 )
(6.115)
Elle admet donc des solutions de la forme :
6.5.2
Poutre simplement supportée
Si on considère le cas d’une poutre simplement supportée aux deux extrémités, la flèche doit être nulle aux deux extrémités (x1 = 0 et x1 = l), ce qui impose : A=0
B sin(kl) = 0
(6.116)
Le cas B = 0 correspond à la situation triviale où la flèche reste nulle. Par contre, si on a kl = nπ, on trouve effectivement la possibilité d’avoir une déformée non rectiligne. On trouve alors : x EI 1 V (x1 ) = B sin nπ F = n2 π2 2 (6.117) l l La charge critique d’Euler Fc correspond au premier mode, obtenu avec n = 1 : Fc = π2
EI l2
(6.118)
C’est à partir de cette charge là, en général bien inférieure à la charge de rupture théorique calculée à partir d’un modèle en compression, que la poutre risque de sortir de sa position d’équilibre.
6.5.3
Autres conditions aux limites
– Pour une colonne encastrée à une extrémité et libre de l’autre côté, on trouve directement la solution en considérant que, pour des raisons de symétrie, la charge critique est la même que celle d’une poutre simplement supportée de longueur 2l ; il vient : Fc = π2
EI 4l 2
(6.119)
– Pour une colonne encastrée d’un côté et simplement supportée de l’autre, l’équation différentielle est : EIV,11 + FV = H(l − x1 ) (6.120) dans laquelle H est la réaction de l’appui simple perpendiculairement à l’axe x1 . La charge critique est alors : EI Fc ≈ 20.187 2 (6.121) l – Pour une colonne encastrée aux deux extrémités, on obtient successivement : EIV,11 + FV = Hx1 − M0
(6.122)
où l’on a introduit de plus le moment M0 en x1 = 0. La charge critique est alors : Fc ≈ 4π2
EI l2
(6.123)
6.5. FLAMBEMENT
67
Résumé
– La théorie de Timoshenko pour les poutres suppose qu’une section plane reste plane, mais pas forcément perpendiculaire à la ligne moyenne. La cinématique est : u1 = U 0 (x1 ) + θ0 x3 ε011 = U,10 + θ0,1 x3
u3 = V 0 (x1 ) 2ε013 = V,10 + θ0
– Les équations d’équilibre global sont : N,1 + t = 0
M,1 − T = 0
T,1 + p = 0
– Les équations de comportement global sont : N = ESU,1
T = µS(θ +V,1 )
M = EIθ,1
– Schéma de résolution : T,1 + p = 0
M,1 − T = 0
θ,1 = M/EI
V,1 = −θ + T /µS
– La théorie de Navier–Bernoulli s’applique pour les poutres minces qui ne sont pas capables de supporter un cisaillement. Dans ce cas, on a simplement : θ = V,1 M = −EIV,11 – Dans le cas de poutre sandwich symétrique, il n’y a pas de couplage traction–flexion, et on peut appliquer les mêmes équations, à condition d’effectuer des moyennes pondérées par le module de Young sur la section complète, et, dans le cas du cisaillement, en première approximation, sur la section de mousse. – La charge critique de flambement en compression d’une poutre droite est la force qui produit une instabilité de la déformation. Elle vaut Fc = KEI/l 2 , expression dans laquelle K dépend des conditions aux limites. x1 = 0 x1 = l
supporté supporté
K
π2
encastré libre π2 4
encastré supporté
encastré encastré
20,187
4π2
68
CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES
Chapitre 7
Matériaux composites, stratifiés 7.1
Généralités sur les matériaux composites
Au sens strict du terme, il faut parler de matériau ou de structure composite dès lors qu’une pièce est constituée de plusieurs types de constituants. Le but recherché dans ces associations est de combiner les propriétés de plusieurs classes de matériau en vue d’obtenir des propriétés moyennes améliorées. Les métaux sont en général tenaces (ils présentent une bonne résistance à la propagation brutale de fissures) et ductiles (ils présentent des déformations importantes avant de se rompre), mais de masse volumique élevée. Les matières plastiques sont légères mais présentent de faibles propriétés mécaniques. Les céramiques sont rigides et résistantes, mais fragiles. L’art de l’ingénieur dans la conception et l’utilisation de matériaux ou de structures composites réside dans le fait de placer le bon matériau sous la bonne forme (morphologie des renforts), et au bon endroit (notion de répartition spatiale). Les composites sont donc intrinsèquement des matériaux hétérogènes. Pris sous cette acception, le terme «composite» recouvre pratiquement l’ensemble des matériaux. Ainsi les matériaux métalliques eux-mêmes sont des alliages, composés de plusieurs phases, de microstructure et/ou de composition distinctes : il suffit de changer d’échelle pour passer de l’image d’un milieu homogène à celle d’un milieu hétérogène. Le type d’approche à utiliser se décidera d’une part en fonction du rapport entre les dimensions de la structure à modéliser et une dimension caractéristique du milieu à représenter, d’autre part en fonction du but poursuivi (schématisation globale d’un système ou étude locale). Ceci conduit à utiliser plutôt le terme de structure composite lorsqu’il est naturel de modéliser séparément chaque matériau dans la pièce à traiter, par exemple pour : – le béton armé, ou encore le béton pré– ou post–contraint, pour lesquels béton et acier sont pris en compte chacun de leur côté, avec en première approximation un modèle où le béton apporte une résistance à la compression, et l’acier une résistance à la traction ; – les plaques sandwich étudiées au chapitre précédent ; ici encore, la dimension de l’«élément de volume représentatif» est choisie plus petite que celle de la plaque, si bien que la variation des contraintes et des déformations à l’intérieur d’une telle plaque en flexion est modélisée ; – les pneumatiques, qui sont calculés comme de véritables structures, assemblages de caoutchouc et de câbles métalliques en acier à très forte limite d’élasticité. Cependant, dans un système mécanique complexe, la représentation individuelle précise de chaque élément n’est plus possible, si bien qu’il faut se résoudre à ne retenir qu’un comportement moyen. La modélisation effectuée comporte alors une opération d’homogénéisation, qui fournit par exemple des rigidités équivalentes dépendant des propriétés élémentaires de chaque matériau et de leur géométrie. Le terme de matériau composite est donc réservé aux cas où la taille caractéristique de la microstructure est faible devant celle de la pièce, comme pour : – les matériaux composites à matrice continue renforcée par des fibres ou des particules ; les matrices peuvent être minérales, résineuses ou métalliques, les fibres sont en verre, kevlar, carbone, bore, etc. . ., et leur diamètre typique est de l’ordre du centième de millimètre : matrices époxydes 69
70
CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS
renforcés de fibre de verre ou de fibre de carbone, verre–polyester, aluminium–carbure de silicium, cobalt–carbure de tungstène, le béton (graviers dans du ciment), le macadam (graviers dans un polymère, le bitume), – les mousses et les matériaux cellulaires, composites particuliers composés d’un matériau et,. . . de trous ; les cellules peuvent être ouverte (éponges) ou fermées (ceintures de sauvetage) ; de nombreux matériaux naturels sont cellulaires, le bois, le liège, le corail par exemple. Pour cette dernière catégorie de matériau, le cheminement inverse peut être repris, et, dans le but de caractériser précisément les propriétés mécaniques, il est possible de considérer ce qui était précédemment un élément de volume représentatif sur lequel était défini un comportement homogénéisé comme une structure, de dimensions millimétriques ou centimétriques, pour avoir accès aux champs de contraintes et de déformation de l’échelon inférieur. L’étude porte alors sur une cellule élémentaire, comportant une fibre et la matrice environnante. Une introduction aux théories d’homogénéisation en élasticité est esquissée au chapitre 9. La présente partie adopte une approche plus «ingénineur» pour traiter des aspects mécaniques tout en définissant les aspects matériau. Après quelques rappels concernant l’élasticité anisotrope, on donne un bref aperçu de la théorie des stratifiés, pour les plaques chargées dans leur plan. La fin du chapitre donne des informations sur les matériaux eux-mêmes, et sur les modèles élémentaires que leurs propriétés suscitent. On trouvera des compléments à ces deux approches dans (Gay, 1991; Berthelot, 1993), ou encore dans un ouvrage classique du domaine (Timoshenko and Woinowsky-Kreiger, 1964).
7.2 7.2.1
Rappel : milieux élastiques anisotropes Notation de Voigt pour les relations de comportement
L’expression des relations de l’élasticité, σ =C : ∼ε porte sur des tenseurs du second et du quatrième ∼ ≈ ordre symétriques. Ils peuvent être respectivement représentés par des vecteurs de dimension 6 (pour σ ∼ et ∼ε), et par une matrice carrée de dimension 6 (pour C ). Les relations de symétrie Ci jkl = C jikl = Ci jlk ,et ≈ Ci jkl = Ckli j s’expriment alors par le fait que la matrice (6 x 6) est symétrique. La notation de Voigt, à deux indices I et J variant de 1 à 6, met respectivement en correspondance les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 de I et J avec les doublets (1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,1), (1,2). Dans le cas le plus général, il y a 21 coefficients élastiques. En notant par γ le «cisaillement de l’ingénieur», tel que γi j = 2 εi j , pour i différent de j, en désignant par CIJ les composantes de la matrice représentant le tenseur C , par SIJ celles de son ≈ inverse, et en posant (i) CIJ = Ci jlk ; (ii) SIJ = Si jkl , dans le cas où I et J sont inférieurs ou égaux à 3, (iii) SIJ = 2 Si jkl , si l’un des indices I ou J est inférieur ou égal à 3, l’autre supérieur, (iv) SIJ = 4 Si jkl , si I et J sont supérieurs à 3, on obtient le vecteur contenant les 6 composantes de déformation en réalisant le produit de la matrice C par le vecteur contenant les 6 composantes de contrainte, et l’opération inverse étant réalisée à partir de la matrice S .
7.2.2
Respect des symétries matérielles
Si le matériau est invariant par la transformation définie par la matrice P , le changement de repère défini par P ne modifie pas la loi de comportement, qui doit toujours s’écrire à l’aide de la même représentation du tenseur C , soit : σ =C : ∼ε, mais aussi σ =C : ∼ε, avec σ = P−1 σ P , et ∼ε = P−1 ∼ε P . Il ∼ ∼ ∼ ∼ ≈ ≈ ≈ s’ensuit que C = P−1 P−1 C P P , soit sous forme indicielle : Ci jkl = Pim Pjn Pkp PlqCmnpq . L’application de ≈ ≈ cette dernière formule à des transformations particulières permet de constater dans chaque cas quel est le nombre de coefficients réellement indépendants. 1. Symétrie par rapport à un plan de coordonnées x3 = 0 : La matrice ne comporte que trois termes sur la diagonale, (1,1,-1). Les composantes Ci jkl qui ont un nombre impair d’indices 3 sont donc
7.2. RAPPEL : MILIEUX ÉLASTIQUES ANISOTROPES
71
nulles, il n’y a plus que 13 coefficients indépendants : C14 = C24 = C34 = C64 = C15 = C25 = C35 = C65 = 0
(7.1)
2. Symétrie par rapport à deux plans orthogonaux x1 = 0 et x3 = 0 : Il faut annuler en plus les coefficients qui possèdent un nombre impair d’indices 1, il n’y a plus donc que 9 coefficients indépendants (orthotropie) : C16 = C26 = C36 = C45 = 0 (7.2) La matrice se met alors sous la forme :
C11 C12 C13 0 0 0 C12 C22 C23 0 0 0 0 0 C13 C23 C33 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 0 C66
(7.3)
Il existe également une formulation technique, qui fait apparaître des modules d’élasticité et des coefficients de Poisson. Il faut prendre garde à cette formulation, qui introduit plus de 9 coefficients, ceux-ci étant bien entendu liés par les relations : ν12 /E1 = ν21 /E2
,
ν23 /E2 = ν32 /E3
,
ν31 /E3 = ν13 /E1
ε11 σ11 1/E1 −ν12 /E1 −ν13 /E1 0 0 0 ε22 −ν21 /E2 1/E −ν /E 0 0 0 2 23 2 σ22 ε33 −ν31 /E3 −ν32 /E3 1/E3 0 0 0 σ33 = γ23 0 0 0 0 0 1/E44 σ23 γ31 0 0 0 0 1/E55 0 σ31 0 0 0 0 0 1/E66 γ12 σ12
(7.4)
(7.5)
3. Equivalence de deux axes de symétrie (par exemple 1 et 2) : Cette hypothèse introduit 3 relations supplémentaires, il n’y a plus que 6 coefficients indépendants, il s’agit d’une symétrie quadratique (cas des cristaux tétragonaux) : C11 = C22 C13 = C23 C44 = C55
(7.6)
4. Équivalence des trois axes de symétrie : Cela introduit encore trois relations, C11 = C22 C13 = C23 C44 = C55 , c’est le cas de la symétrie cubique, il ne reste que 3 coefficients indépendants :
C11 C12 C12 0 0 0 C12 C11 C12 0 0 0 0 0 C12 C12 C11 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44
(7.7)
5. «Isotropie» transverse : Il doit y avoir invariance par une rotation quelconque autour d’un axe particulier, par exemple x3 . Ceci implique que le matériau présente au moins la symétrie quadratique. D’autre part, si α est l’angle de cette rotation, la matrice P est de la forme : cos α sin α 0 (7.8) P = − sin α cos α 0 0 0 1
72
CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS Son application au terme C66 = C1212 conduit à C66 = (C11 − C12 )/2. Il y a 5 coefficients indépendants. C’est le cas du système hexagonal pour les cristaux, et des structures en nid d’abeille.
C11 C12 C12 0 0 0 C12 C33 C13 0 0 0 C12 C13 C33 0 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 2 (C11 −C12 )
(7.9)
La formulation de l’ingénieur pour ce type de symétrie est la suivante, avec νLT /EL = νT L /ET et νLZ /EL = νZL /EZ :
εLL 1/EL εT T −νT L /ET εZZ −νZL /EZ = γT Z 0 γZL 0 γLT
0
σLL −νLT /EL −νLZ /EL 0 0 0 σT T 1/EL −νLZ /EL 0 0 0 σZZ −νZL /EZ 1/EZ 0 0 0 σT Z 0 0 0 0 1/GLZ σZL 0 0 0 1/GLZ 0 0 0 0 0 2 (1 + νLT )/EL σLT (7.10)
6. Cas d’une plaque : Dans le cas d’une plaque, il suffit de ne conserver que les termes correspondants à σLL , σT T et σLT dans les expressions ci-dessus. 7. Isotropie : C’est la résultat d’une symétrie cubique et d’une isotropie transverse par rapport à l’un des axes du cube. Le terme C44 de la symétrie cubique se calcule donc exactement en fonction de C11 et de C12 : C44 = (C11 − C12 )/2. Il ne subsiste donc que 2 coefficients indépendants. Il est immédiat d’identifier C11 à (λ + 2 µ), et C12 à λ.
7.3 7.3.1
Composites unidirectionnels à fibres longues Loi de mélange
Dans le cas d’un matériau où les fibres sont continues (enroulements, plaques), il est raisonnable d’imaginer que l’approximation en parallèle dans laquelle les déformations sont uniformes d’une phase à l’autre est bien respectée. On peut alors évaluer le module de Young équivalent dans la direction des fibres par une approximation de déformation uniforme. Si au contraire la sollicitation s’applique en sens travers, les phases seront en série, dans une configuration bien adaptée pour appliquer l’approximation de contrainte uniforme. En désignant par des indices m et f la matrice et la fibre, il vient alors : EL en sens long : ET en sens travers :
EL = cm Em + c f E f
(7.11)
1/ET = cm /Em + c f /E f
(7.12)
Lors d’une traction en sens long, les déformations latérales de chaque phase se combinent : εT = cm εTm + c f εTf
(7.13)
Chacune des déformations latérales εTm et εTf s’expriment en fonction de la déformation longitudinale εL , qui est supposée être la même pour les deux phases, εTm = νLT m εL , et εTf = νLT f εL . Le coefficient de Poisson équivalent est donc obtenu par une moyenne directe. νLT = cm νm + c f ν f
(7.14)
7.3. COMPOSITES UNIDIRECTIONNELS À FIBRES LONGUES
73
Pour le terme de cisaillement transverse, l’hypothèse simple la plus réaliste consiste à considérer que la contrainte de cisaillement sera conservée. La moyenne s’applique donc sur les inverses des modules : 1/µLT = cm /µm + c f /µ f
(7.15)
On retiendra néanmoins que ces approches ne prennent pas en compte les aspects multiaxiaux des efforts. Ainsi, dès qu’un matériau est hététérogène, il se développe un champ de contraintes internes produit par les incompatibilités de déformations, qui est systématiquement multiaxial. Les résultats issus des lois de mélange doivent donc être manipulés avec précaution. On pourra se reporter au chapitre sur l’homogénéisation pour plus de détails sur ce point.
7.3.2
Constantes élastiques dans un repère quelconque
Les constantes EL , ET , νLT et µLT permettent de caractériser le comportement élastique dans le repère (sens long-sens travers). Le problème qui se pose est alors de connaître les propriétés dans un repère quelconque. Ce cas est traité en exercice. On place un repère (n,t) dans le plan de la plaque, n désignant la direction des fibres, et t la direction perpendiculaire. Le comportement s’exprime dans ce repère par : εn 1/En −νtn /Et 0 σn εt = −νnt /En 1/Et 0 σt (7.16) 2εnt 0 0 1/µ σnt Si on désigne par α l’angle entre la direction des fibres et l’axe 1 de la plaque (α=angle(x1 , n)), et que l’on pose c = cos α, s = sin α, on peut exprimer les relations suivantes entre les composantes du tenseur de contraintes dans chaque repère : c −s c s σi j σnt = (7.17) s c −s c qui s’écrit aussi : 2 σnn σ11 c s2 2cs σtt = s2 c2 −2cs σ22 σ12 σnt −cs cs c2 − s2
(7.18)
√ 2 c s2 cs √2 σ11 σnn 2 σtt = s2 c√ −cs 2 σ22 √ √ √ σ12 2 σnt 2 −cs 2 cs 2 c2 − s2
(7.19)
ou, de façon équivalente :
Les relations correspondantes pour le tenseur de déformation sont : 2 εnn c s2 cs ε11 εtt = s2 c2 −cs ε22 2 2εnt 2ε12 −2cs 2cs c − s2 √ √ Ou, en utilisant 2ε12 = 2ε12 / 2 : √ 2 c s2 cs √2 ε11 εnn 2 εtt = s2 c√ −cs 2 ε22 √ √ √ 2 2 ε12 2 εnt 2 −cs 2 cs 2 c − s Dans le repère (x1 , x2 ), la matrice représentant le tenseur d’élasticité est pleine : σ11 Q11 Q12 Q16 ε11 σ22 = Q12 Q22 Q26 ε22 σ12 Q16 Q26 Q66 2ε12
(7.20)
(7.21)
(7.22)
74
CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS 80000
Q11 Q22 Q66 Q12 Q16 Q26
70000 60000 50000
Qij (MPa)
40000
Verre–résine Em = 4500 MPa νm = 0.4 E f = 74000 MPa
30000 20000 10000
ν f = 0.25 f = 0.5
0 -10000 -20000
0
10
20
30
40 50 angle (deg.)
60
70
80
90
En = 39250 MPa, Et = 8484 MPa, µ = 3048 MPa, νtn = 0.325 F IG . 7.1 – Valeur des composantes de la matrice de rigidité dans un repère faisant un angle θ avec la direction des fibres Il vient : Q11 = c4 E n + s4 E t + 2c2 s2 (νtn E n + 2µnt ) 4
4
2 2
Q22 = s E n + c E t + 2c s (νtn E n + 2µnt ) 2 2
2
2 2
Q66 = c s (E n + E t − 2νtn E n ) + (c − s ) µnt 2 2
4
4
(7.23) (7.24) (7.25)
Q12 = c s (E n + E t − 4µnt ) + (c + s )νtn E n
(7.26)
Q16 = −cs c2 E n − s2 E t − (c2 − s2 )(νtn E n + 2µnt ) Q26 = −cs s2 E n − c2 E t + (c2 − s2 )(νtn E n + 2µnt )
(7.27) (7.28) (7.29)
avec E n = En /(1 − νnt νtn ) E t = Et /(1 − νnt νtn ) La figure 7.1 présente les variations de ces composantes en fonction de l’angle θ pour le cas d’un composite verre–résine, et la figure 7.2 la variation du module apparent dans la direction θ.
7.3.3
Théorie des stratifiés
7.3.4
Définition d’une plaque stratifiée
Un stratifié résulte de la superposition de plusieurs couches (ou plis) de nappes unidirectionnelles ou de tissus. Les nappes successives sont en général orientées différemment (classiquement 0◦ , 45◦ , 90◦ , -45◦ ). Il est important de respecter dans la conception la symétrie miroir, qui caractérise une plaque dont les empilements de plis de part et d’autre du plan moyen sont symétriques. Comme va le montrer la théorie qui suit, si la plaque ne possède pas cette symétrie, elle risque de se «voiler» lors de la fabrication en raison des dilatations différentielles liées aux différences de coefficient de dilatation, ou en service, comme résultat du couplage traction–cisaillement. Il y a au minimum quelques couches, et jusqu’à 20 ou 30 couches, pour une épaisseur qui peut aller de 1 mm à plusieurs mm.
7.3. COMPOSITES UNIDIRECTIONNELS À FIBRES LONGUES
75
40000
Modulus in direction 1 (MPa)
35000
30000
25000
Verre–résine Em = 4500 MPa νm = 0.4 E f = 74000 MPa
20000
15000
ν f = 0.25 f = 0.5
10000
5000
0
10
20
30
40 50 angle (deg.)
60
70
80
90
1/E1 = c4 /En + s4 /Et + c2 s2 (1/µ − 2. ∗ νtn /Et )
En = 392502 MPa, Et = 8484 MPa, µ = 3048 MPa, νtn = 0.325 F IG . 7.2 – Valeur du module d’Young apparent dans un repère faisant un angle θ avec la direction des fibres Cinématique et équilibre Pour les plaques travaillant dans leur plan, il est naturel de supposer que chaque couche a la même déformation, d’où un champ de déplacement virtuel, et un champ de déformation tels que : u1 (x1 , x2 , x3 ) = U 0 (x1 , x2 ) ε011 = U,10
u2 (x1 , x2 , x3 ) = V 0 (x1 , x2 )
ε22 = V,20
2ε12 = U,20 +V,10
(7.30) (7.31)
En utilisant cette cinématique, on peut évaluer le travail virtuel des efforts intérieurs, et introduire ainsi de façon naturelle les trois variables représentant les efforts à l’échelle globale dans la plaque : Z δWint = − σ11U,10 + σ22V,20 + σ12 (U,20 +V,10 ) dV (7.32) =−
ZV S
U,10 N11 +V,20 N22 + (U,20 +V,10 )N12 dS
(7.33)
Chaque terme représente respectivement les efforts intérieurs globaux en direction x1 , en direction x2 , et de cisaillement (il s’agit de forces par unité d’épaisseur, exprimées en Pa.m, ou N/m) : Z
N11 =
h
Z
σ11 dx3
N22 =
h
Z
σ22 dx3
N12 =
h
σ12 dx3
(7.34)
Comme on ne considère pas de déplacement hors du plan, on ne peut pas introduire dans cette théorie d’efforts extérieurs normaux au plan de la plaque. On se limite à la partie «membrane» de la théorie des plaques, que l’on étudiera plus complètement dans le chapitre suivant, en introduisant les efforts hohrs plan et la flexion. Les efforts extérieurs sont définis sur le contour Γ, par une force résultante par unité de longueur (en N/m) à deux composantes, T1 et T2 , et, en un point courant de la surface S, par une force répartie (en Pascal), de composantes t1 et t2 . Leur travail virtuel s’exprime donc : Z Z 0 0 δWext = T1U + T2V2 ds + t1U 0 + t2V20 dS (7.35) Γ
S
76
CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS
La procédure de traitement des efforts intérieurs est similaire à celle qui a été utilisée pour les poutres. Il comporte successivement une intégration par partie, et l’utilisation du théorème de la divergence pour transformer la divergence sur la surface de la plaque en un flux sur son contour. Les termes sont du type : N11U,10 = N11U 0 ,1 − N11,1U 0 (7.36) On retrouve ainsi le fait que les efforts internes équilibrent les efforts externes sur la frontière de la plaque. Les équations d’équilibre sont obtenues en un point courant de la surface : N11,1 + N12,2 + t1 = 0
(7.37)
N12,1 + N22,2 + t2 = 0
(7.38)
Loi de comportement Pour établir la loi de comportement, il faut estimer N11 , N22 , et N12 . Pour cela, on écrit donc le comportement de chaque couche dans le repère de la plaque, en utilisant la formule 7.29. Pour obtenir la rigidité d’ensemble, on doit intégrer chacun des termes sur l’épaisseur. La forme obtenue est : Z Z Z Q dx Q dx Q dx 11 3 12 3 16 3 h h h U, 1 N11 Z Z Z V, 2 N22 = Q12 dx3 Q22 dx3 Q26 dx3 (7.39) h h h Z Z Z V, 1 +U, 2 N12 Q16 dx3 Q26 dx3 Q66 dx3 h
h
h
Cette expression générale appelle quelques remarques : – Dans la mesure où la plaque est constituée de plusieurs couches superposées, l’intégration continue est remplacée par une somme discrète sur le nombre de couches, ainsi, en notant ei l’épaisseur de la couche i : Z Q11 dx3 = ∑ Qi11 ei (7.40) h
i
– Les couches interviennent par leur épaisseur, mais pas par l’ordre de leur empilement. Ce ne sera plus le cas dans la partie suivante. – Les termes Q16 et Q26 caractérisent le couplage traction–cisaillement. Ils indiquent qu’une plaque formée de couches présentant des orientations quelconques se déforme en cisaillement sous l’effet d’une traction simple, et vice-versa. Comme ces termes sont impairs en α, le couplage disparaît dans le cas d’une plaque symétrique.
7.4 7.4.1
Les composants élémentaires des matériaux composites Renforts
Les composites artificiels sont souvent renforcés soit par des fibres, soit par des composants fabriqués à base de fibres (torons, assemblage de fibres tordues ensemble ; tissus ; mats, ou nappes). Chacune d’entre elles s’impose dans une application particulière en raison de ses propriétés spécifiques et de son prix. Le tableau 7.1 résume les principales caractéristiques mécaniques. 1. Les fibres de verre sont les plus anciennes (1940) et les moins chères (environ 1 euro/kg) des fibres du marché, et celles dont on réalise le plus fort tonnage. Elles sont fabriquées par extrusion du verre au travers d’une filière percée de trous de 1 à 2mm de diamètre, puis étirées jusqu’à obtenir des diamètres de 5 à 15mm, enduites et bobinées. Il existe différentes variétés (E,R,S) selon la proportion de chaque composant (SiO2 , Al2 O3 , B2 O3 , CaO, MgO), les meilleures propriétés étant obtenues pour les plus fortes proportions de silice (verre S, 65%).
7.4. LES COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES DES MATÉRIAUX COMPOSITES Matériau
Verre R Kevlar 49 Carbone HM Bore SiC (fibre) SiC (trichite)
Module d’Young (GPa) 80 130 400 400 480 840
Résistance en traction (MPa) 2500 3600 2000 3500 2300 21000
Masse volumique (kg/ m3 ) 2500 1450 1900 2650 3200 3200
Température d’utilisation max (◦ C ) 650 200 2500 700 900 1600
77
Allongement à rupture (%) 3 2 0,8 0,5 2,5
TAB . 7.1 – Propriétés de quelques éléments de renfort 2. Les fibres de carbone doivent leurs propriétés à la très forte anisotropie des cristallites de graphite qui les composent. Leur prix décroît régulièrement, il est de l’ordre de 10 euros/kg. Elles sont fabriquées à partir de fibres de polymère (par exemple polyacrylonitrile) préalablement tissées, et carbonisées sous tension en plusieurs étapes, oxydation (100 à 200◦ C ), puis pyrolise (15002500◦ C ). Selon la température et le temps de cuisson, les fibres présentent une «haute résistance» (HR) ou un «haut module» (HM). 3. Les fibres de polymère les plus connues sont des fibres de polyamides aromatiques, connues sous la marque commerciale de «Kevlar». De prix élevé (20 euros/kg), elles servent essentiellement à fabriquer des câbles. 4. Les fibres métalliques ou céramiques sont les plus chères de toutes, en raison de leur difficulté de fabrication (de l’ordre de 1000 euros/kg). Les fibres de bore sont obtenues par réduction à 1100◦ C de chlorure de bore, qui se dépose sur un fil de tungstène de 10 à 15mm de diamètre. Le diamètre résultant est de 100 à 200mm pour la fibre. La même procédure expérimentale est utilisée pour produire des fibres de carbure de silicium (SiC). Les derniers développements concernent la production de trichites, (”whiskers”) qui sont des monocristaux filamentaires obtenus par décomposition d’un sel métallique en ambiance réductrice. Leur longueur est de quelques millimètres, pour un diamètre d’environ 1mm. Elles approchent les propriétés d’un cristal parfait. 5. Les microbilles pleines ou creuses peuvent être produites en verre, carbone ou polystyrène. Elles ont des diamètres compris entre 10 et 150mm ; le taux volumique de charge peut atteindre 50%. Le composite résultant a des propriétés mécaniques isotropes. 6. Les principaux renforts minéraux sont le mica et l’amiante. L’un et l’autre sont des composés naturels dont les propriétés ne permettent pas d’atteindre les résistances obtenues avec les fibres. Le mica se présente sous forme de paillettes, dont l’intérêt est d’offrir un renforcement bidirectionnel. L’amiante (mélange d’oxydes de magnésium, de silice et d’eau, comportant également du sodium, du fer,...) se présente sous forme de fibrilles de 20nm, dont il est possible de détacher des fibres de plusieurs centimètres. Son caractère cancérigène a maintenant conduit à un abandon complet.
7.4.2
Matrices
La matrice incorpore les fibres ou les éléments de renfort, auxquels elle doit adhérer suffisamment bien pour que le transfert de charge soit optimal. 1. Les matrices organiques sont faites de matière plastique. Il convient de distinguer les matrice thermoplastiques, à chaîne linéaire, très répandues, et les polymères thermodurcissables, ou résines, aux propriétés mécaniques plus élevées. Dans cette dernière catégorie se rangent les résines de polyester, les résines époxydes, qui peuvent être utilisées jusque vers 200◦ C , les résines phénoliques ou les résines polyimides, qui supportent des températures de 400◦ C .
78
CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS 2. Les matrices carbonées sont fabriquées par décomposition d’une matière organique à haute température. La matière peut être un liquide (imprégnation en phase liquide), ou un hydrocarbure gazeux (décomposition chimique en phase vapeur). Le second procédé est plus rapide que le premier, qui peut durer plusieurs mois pour obtention d’une densification suffisante, mais moins reproductible. Le carbone se dépose en grains sur les fibres, assurant leur bonne liaison. Il est possible par exemple d’obtenir un composite carbone–carbone dont la densité est égale à celle du carbone massif. 3. Les matrices métalliques présentent plusieurs avantages, comme une bonne ductilité, une bonne résistance à certains solvants, une meilleure tenue en température que les résines, une meilleure usinabilité. A l’inverse, elles sont plus difficiles à mettre en oeuvre, de densité plus élevée, et des problèmes peuvent apparaître aux interfaces fibres–matrice du fait de la réactivité des matériaux. Comme pour le cas des matrices carbonées, la fabrication du composite peut s’effectuer par imprégnation en phase liquide, décomposition chimique en phase vapeur, mais encore par co– extrusion ou co–laminage. 4. Les matrices céramiques sont particulièrement intéressantes en raison de leur caractère réfractaire. Elles sont utilisées dans des pièces qui doivent subir sans dommage de très hautes températures (tuiles de protection thermique, brûleurs). Le point faible des céramiques, à savoir leur très faible résistance à la rupture en traction, est partiellement masqué par l’insertion de fibres dans la matrice. Les techniques de fabrication les plus courantes sont l’imprégnation en phase liquide (SiC-SiC par exemple) ou le dépôt plasma (par exemple dépôt de silicium puis nitruration à l’aide d’un traitement sous azote à 1450◦ C , qui produit une augmentation de volume et favorise la densification).
7.4.3
Tissus et mats
Le pli tissé est obtenu en disposant des fibres suivant deux directions perpendiculaires. Si les fils de trame couvrent un fil de chaîne avant de passer sous le suivant, il s’agit de toile ou taffetas, si plusieurs files de chaîne sont couverts, il s’agit de satin. Une première approximation consiste à traiter le tissu comme deux couches d’unidirectionnel superposées, ayant les mêmes déplacements. Un tissu est équilibré s’il y a le même nombre de fils dans chaque direction, et qu’ils sont de même nature. Les mats sont des renforts bidirectionnels à fibres coupées (5 à 10 cm). Ils sont isotropes dans leur plan. Il existe également des tissages tridimensionnels (3D), dans lesquels plusieurs couches de tissus bidimensionnels (2D) sont assemblées par des fibres selon la direction du troisième axe. Les tissages «4D» comportent quant à eux des fibres dirigées selon les directions de type (1,1,1) d’un cube. Un exemple typique est le carbone-carbone, qui résiste jusqu’à de très hautes températures, et qui, en raison de la géométrie adoptée, est insensible au délaminage, ou décollement des couches entre elles.
7.4.4
Critère de rupture des stratifiés
Les stratifiés risquent de rompre en traction, en compression, sous l’effet de flambements locaux, ou à cause de délaminage. Les calculs s’effectuent avec de petits programmes sur micro- ordinateur. Il faut déterminer la bonne tenue de chaque couche. La connaissance des efforts globaux (efforts normaux N11 et N22 , efforts tangentiels T12 dans le plan du stratifié), et des modules d’élasticité homogénéisés permet de trouver les déformations moyennes. En supposant alors que ces déformations (en l’absence de délaminage) sont valides pour toutes les couches, il ne reste plus qu’à appliquer le tenseur d’élasticité de la couche i pour y effectuer une évaluation de la contrainte. La couche sera réputée rompue si elle atteint le critère de Hill–Tsaï : σT 2 σL σT τLT 2 σL 2 + − + =1 (7.41) σRL σRT σRL τRLT
7.4. LES COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES DES MATÉRIAUX COMPOSITES
79
force axiale sur la fibre
longueur l 0 F
diamètre d cisaillement σ s
F IG . 7.3 – Reprise de charge le long d’une fibre
7.4.5
Quelques modèles d’ingénieurs de «fonctionnement» du composite
Un grand nombre de composites unidirectionnels sont constitués par des fibres fragiles dans une matrice plus ductile. La contrainte maximale qui peut être atteinte en traction sur ce matériau est donc obtenue juste avant la rupture des fibres, lorsque la contrainte dans celles-ci est de l’ordre de leur contrainte de rupture, σR f , et que la matrice est également soumise à une contrainte qui provoque des déformations permanentes, σY : σMAX = (1 − c f )σY + c f σR f
(7.42)
Le fait d’avoir rajouté des fibres est donc bénéfique si cette contrainte est supérieure à la contrainte de la matrice seule, supposée non renforcée par les fibres, une fois que toutes celles-ci sont rompues, qui s’exprime en fonction de la contrainte à rupture de la matrice σRm : σR = (1 − c f )σRm
(7.43)
Le fait que σMAX soit plus grand que σR produit une condition sur c f , c f > (σRm − σY )/(σR f + σRm − σY )
(7.44)
ce qui montre qu’il existe une fraction critique de renfort en dessous de laquelle l’ajout de fibres détériore le comportement au lieu de l’améliorer. Le même type de raisonnement simple suggère l’existence d’une longueur optimale de fibre. Il consiste à considérer que, si elle joue son rôle de façon optimum, il se transfère à la fibre une force σs π d dx sur une longueur élémentaire dx le long de son axe (σs est la contrainte de cisaillement à l’interface fibre–matrice, d le diamètre de la fibre (voir figure 7.3). La force sur une section de la fibre passe donc de 0 à l’extrémité à une valeur de σs πxd à une distance x de celle-ci. La longueur optimale est obtenue lorsque la force au milieu de la fibre correspond à la contrainte de rupture de la fibre, ce qui correspond à une longueur l telle que : σs πdl/2 = (πd 2 /4)σR f , soit : l = dσR f /2σs
(7.45)
Au-delà, la fibre se rompt. Ceci explique également pourquoi les résultats obtenus avec des fibres courtes sont en général du même niveau que ceux produits par des fibres longues.
80
CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS Matériau Verre Kevlar 49 Carbone HM Bore-époxy Bore-alu
EL (GPa) 45 85 134 210 220
ET (GPa) 12 5,6 7 12 140
2 µLT (GPa) 4,5 2,1 4,2 7,5
σRL (MPa) 1250 1410 1270 1400 1400
σRT (MPa) 35 28 42 80 120
TAB . 7.2 – Propriétés de quelques plis de fibres–résine époxyde (avec 60% de fibre), bore–époxyde et bore–aluminium ; EL = module d’Young sens long, ET = module d’Young sens travers, µLT = module de cisaillement, σRL = contrainte à rupture sens long, σRT = contrainte à rupture sens travers.
7.4.6
Ordres de grandeur des modules et contraintes à rupture
Le tableau 7.2 fournit des valeurs des modules et des contraintes de rupture en directions longitudinale et transverse pour plusieurs sortes de plis. La très forte anisotropie rend le pli très vulnérable seul, et explique qu’il faille avoir recours au tissage ou à la superposition de plis pour disposer de matériaux utilisables par l’ingénieur.
7.4. LES COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES DES MATÉRIAUX COMPOSITES
Résumé
– Une plaque composite est formée de couches composées de fibres longues dans une matrice. La loi de comportement élastique s’écrit pour chaque couche : εn 1/En −νtn /Et 0 σn εt = −νnt /En 1/Et 0 σt 2εnt σnt 0 0 1/µ – Dans le repère de la plaque (sauf pour les orientations 0 et 90◦ ), la relation contrainte– déformation fait intervenir une matrice pleine : σ11 Q11 Q12 Q16 ε11 σ22 = Q12 Q22 Q26 ε22 σ12 Q16 Q26 Q66 2ε12 – Les efforts intérieurs sont des forces par unité d’épaisseur, qui s’expriment en N/m : Z
N11 =
Z
N22 =
σ11 dx3
h
h
Z
σ22 dx3
N12 =
h
σ12 dx3
– Equations d’équilibre : N11,1 + N12,2 + t1 = 0 N12,1 + N22,2 + t2 = 0 – Lois de comportement : Z
Z
Z
Q16 dx3
Q12 dx3
Q11 dx3
h h h U, 1 Z Z Z N22 = Q12 dx3 Q22 dx3 Q26 dx3 V, 2 h h h Z Z Z V, 1 +U, 2 N12 Q16 dx3 Q26 dx3 Q66 dx3
N11
h
h
h
– Critère de Hill–Tsaï de rupture de couche :
σL σRL
2
σT + σRT
2
σL σT − σRL
τLT + τRLT
2 =1
81
82
CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS
Chapitre 8
Plaques Tout en reprenant la même géométrie que dans le chapitre sur les stratifiés, à savoir celle d’un domaine bidimensionnel plan et «mince», ce chapitre ne se limite plus aux efforts de type «membrane» qui ont été considérés jusque là. Du point de vue de la cinématique, il faut donc construire un champ qui introduit des déplacements dans le plan et des rotations ; du point de vue des efforts, on introduira des moments et des efforts de cisaillement hors plan en plus des tractions et du cisaillement dans le plan qui ont été caractérisés. On va utiliser de façon systématique le principe des travaux virtuels, et étudier successivement une théorie de plaque épaisse (supportant les cisaillements) et une théorie de plaque mince. Pour ne pas dupliquer les développements, on se limitera à un matériau isotrope dans le premier cas, et on considérera un matériau anisotrope dans le second cas.
8.1 8.1.1
Plaque de Reissner–Mindlin Cinématique
La plaque est définie dans le plan (x1 –x2 ), sa normale correspond à l’axe x3 , son épaisseur est h (fig.8.1). Le déplacement est défini par 3 translations, U1 , U2 , W , et deux angles, θ1 et θ2 , qui sont fonctions de x1 –x2 uniquement.
x3 θ1
x2 θ2 x1
F IG . 8.1 – Variables décrivant la cinématique d’une plaque située dans le plan (x1 ,x2 ) 83
84
CHAPITRE 8. PLAQUES On définit donc la cinématique en fonction des cinq inconnues précédentes : u1 (x1 , x2 , x3 ) = U1 + θ2 x3
(8.1)
u2 (x1 , x2 , x3 ) = U2 − θ1 x3
(8.2)
u3 (x1 , x2 , x3 ) = W
(8.3)
Ceci permet d’évaluer un tenseur de déformations : ε11 = U1,1 + θ2,1 x3
(8.4)
ε22 = U2,2 − θ1,2 x3
(8.5)
ε33 = 0
(8.6)
2ε12 = U1,2 + θ2,2 x3 +U2,1 − θ1,1 x3
(8.7)
2ε23 = −θ1 +W,2
(8.8)
2ε31 = θ2 +W,1
(8.9)
La structure du vecteur déplacement est donc : u = U + x3 Φ
(8.10)
U1 0 U = U +W e3 = U2 + 0 0 W Φ1 θ2 Φ = Φ2 = −θ1 0 0
(8.11)
(8.12)
et celle du tenseur de déformation : ε = d∼ + x3 K + b∼ ∼
(8.13)
∼
– Tenseur déformation de membrane (partie symétrique du gradient de U)
U1,1 (U1,2 +U2,1 )/2 d∼ = U2,2 (U2,1 +U1,2 )/2
(8.14)
– Tenseur de courbure (partie symétrique du gradient de Φ)
θ2,1 (θ2,2 − θ1,1 )/2 K = ∼ (θ2,2 − θ1,1 )/2 −θ1,2
(8.15)
– Cisaillement (vecteur cisaillement)
0 0 θ2 +W,1 0 −θ1 +W,2 b∼ = 0 θ2 +W,1 −θ1 +W,2 0
b = Φ + gradW =
θ2 +W,1 −θ1 +W,2
(8.16)
8.1. PLAQUE DE REISSNER–MINDLIN
8.1.2
85
Travail virtuel des efforts intérieurs
Le travail virtuels des efforts intérieurs est tel que : −δWint =
Z
(8.17)
σi j εi j dV ZV
σαβ εαβ + 2σα3 εα3 dV
= ZV
=
(8.18) (8.19)
δWh dS S
Z
δWh = U1,1
h
Z
σ11 dx3 + θ2,1 Z
+ (U1,2 +U2,1 )
h
h
Z
σ11 x3 dx3 +U2,2
σ12 dx3 + (θ2,2 − θ1,1 )
Z
+ (−θ1 +W,2 )
h
Z h h
σ22 dx3 − θ1,2
σ12 x3 dx3
Z h
σ22 x3 dx3
(8.20) (8.21)
Z
σ23 dx3 + (θ2 +W,1 )
h
(8.22)
σ31 dx3
L’examen des variables conjuguées permet de définir les variables globales définissant les efforts intérieurs associées aux différentes variables cinématiques ; on en déduit donc les variables globales suivantes : Variable associée
définition :
(8.23)
Z
U1,1
N11 =
θ2,1
M11 =
U2,2
N22 =
− θ1,2
M22 =
(U1,2 +U2,1 )/2
N12 =
(θ2,2 − θ1,1 )/2
M12 =
(−θ1 +W,2 )/2
T1 =
(θ2 +W,1 )/2
T2 =
Zh Zh Zh Zh Zh Zh h
σ11 dx3
(8.24)
σ11 x3 dx3
(8.25)
σ22 dx3
(8.26)
σ22 x3 dx3
(8.27)
σ12 dx3
(8.28)
σ12 x3 dx3
(8.29)
σ23 dx3
(8.30)
σ31 dx3
(8.31)
Z
On distingue trois types d’efforts : – Tenseur des efforts de membrane : N11 N12 N = ∼ N21 N22
h
Z
Nαβ =
h
σαβ dx3
(8.32)
x3 σαβ dx3
(8.33)
– Tenseur des moments :
M11 M12 M = ∼ M21 M22
Z
Mαβ =
h
– Vecteur des cisaillements transverses : Z
Tα =
h
σα3 dx3
(8.34)
86
CHAPITRE 8. PLAQUES Le traitement des efforts intérieurs s’effectue donc en considérant successivement ces trois termes : M F S −δWint = −δWint − δWint − δWint
Z
Z
= S
– Membrane :
Nαβ dαβ dS +
(8.35) Z
Mαβ Kαβ dS +
S
S
Tα bα dS
(8.36)
Z
M − δWint =
S
– Flexion :
Z
F − δWint =
S
(N11U1,1 + N22U2,2 + N12 (U1,2 +U2,1 )) dS
(8.37)
(M11 θ2,1 − M22 θ1,2 + M12 (θ2,2 − θ1,1 )) dS
(8.38)
– Cisaillement : S − δWint =
Z S
(T1 (θ2 +W,1 ) + T2 (−θ1 +W,2 )) dS
(8.39)
Suivant une procédure classique, on intègre par partie, ce qui permet de séparer les équations valides dans le volume et en surface : – Membrane : Z
Z
ZS S
N11U1,1 dS = N22U2,2 dS =
Z
ZS S
Z
ZS S
N12U1,2 dS = N21U2,1 dS =
M −δWint =
ZS S
((N11U1 ),1 − N11,1U1 ) dS
(8.40)
((N22U2 ),2 − N22,2U2 ) dS
(8.41)
((N12U1 ),2 − N12,2U1 ) dS
(8.42)
((N21U2 ),1 − N21,2U2 ) dS
(8.43)
Z
[(N11 n1 + N12 n2 )U1 + (N21 n1 + N22 n2 )U2 ] ds
(8.44)
[(N11,1 + N12,2 )U1 + (N21,1 + N22,2 )U2 ] dS
(8.45)
ZΓ
−
ZS
= Γ
(N .n).Uds − ∼
Z S
divN .UdS ∼
(8.46)
– Flexion Z
−
Z
ZS ZS
−
ZS S
F −δWint
M11 θ2,1 dS = M22 θ1,2 dS =− M12 θ2,2 dS =
ZS ZS
M21 θ1,1 dS =−
Z
S
((M11 θ2 ),1 − M11,1 θ2 ) dS
(8.47)
((M22 θ1 ),2 − M22,2 θ1 ) dS
(8.48)
((M12 θ2 ),2 − M12,2 θ2 ) dS
(8.49)
((M21 θ1 ),1 − M21,1 θ1 ) dS
(8.50)
[(M11 n1 + M12 n2 )θ2 − (M21 n1 + M22 n2 )θ1 ] ds
(8.51)
[(M11,1 + M12,2 )θ2 − (M21,1 + M22,2 )θ1 ] dS
(8.52)
= −
ZS
ZΓ ZS
= Γ
(M .n).Φds − ∼
Z S
divM .ΦdS ∼
(8.53)
8.1. PLAQUE DE REISSNER–MINDLIN
87
– Cisaillement : Z
Z
ZS S
T1W,1 dS = T2W,2 dS =
Z
S −δWint =
ZS S
((T1W ),1 − T1,1W ) dS
(8.54)
((T2W ),2 − T2,2W ) dS
(8.55)
(T1 n1 + T2 n2 )W ds −
ZΓ
+ ZS
(T1 θ2 − T2 θ1 )dS (T .n)W ds −
=
Z
S
(T1,1 + T2,2 )W dS
(provient de la rotation)
(divT W − T .Φ)dS
(8.56) (8.57) (8.58)
S
Γ
8.1.3
Z
Travail virtuel des efforts extérieurs
Les efforts extérieurs comportent les efforts de volume et les efforts surfaciques : – Efforts de volume : V δWext =
Z
f V .udV =
Z V
V
Z
Z
= S
f V . (U +W e3 + x3 Φ) dV
(Uα
h
Z
fαV dx3 +W
h
f3V dx3 + Φα
Z h
x3 fαV dx3 )dS
(8.59) (8.60)
Z
= S
(Uαtα +W p3 + Φα mα )dS Z
– Densité surfacique d’effort de membrane : tα =
h
(8.61)
fαV dx3 Z
– Densité surfacique d’effort normal au plan de la plaque : p3 = Z
– Couple surfacique (en général nul) : mα = – Efforts en frontière de plaque :
S δWext
Z
Z
S
f .u dΣ =
= Z∂V
=
(Uα Γ
h
h
f3V dx3
x3 fαV dx3
f S . (U +W e3 + x3 Φ)) dΣ
(8.62)
∂V
Z h
fαS dx3 +W
Z h
f3S dx3 + Φα
Z h
x3 fαS dx3 )ds
(8.63)
Z
=
(Uα Fα +W P3 + ΦαCα )ds
(8.64)
Γ
Z
– Densité linéique d’effort de membrane : Fα =
h
fαs dx3
– Densité linéique d’effort normal au plan de la plaque : P3 = Z
– Couple surfacique : Cα =
8.1.4
h
Z h
f3s dx3
x3 fαs dx3
Equilibre et conditions aux limites
Pour trouver les équations d’équilibre et les conditions aux limites, il suffit maintenant d’appliquer le principe des travaux virtuels, en considérant successivement les termes à l’intérieur de la plaque (sur S) et sur sa frontière (Γ) :
88
CHAPITRE 8. PLAQUES – Termes sur S : Z
δWint = ZS
δWext = S
(divN .U + divM .Φ + divTW − T .Φ)dS ∼ ∼
(8.65)
(t.U +W p3 + Φ.m)dS
(8.66)
– Membrane +t = 0 divN ∼ – Moments divM −T +m = 0 ∼ – Cisaillement transverse divT + p3 = 0 – Termes sur Γ : −δWint =
Z ZΓ
δWext =
(N .n).Φ + (T .n)W ds .n).U + (M ∼ ∼
(8.67)
(F.U +W P3 + Φ.C)ds
(8.68)
Γ
– Membrane N .n = F ∼ – Moments M .n = C ∼ – Cisaillement transverse T .n = P3 Les résultats précédents reproduisent en les généralisant ceux de la théorie des poutres, comme le montre le tableau ci-dessous : Théorie des plaques épaisses Reissner–Mindlin
Théorie des poutres Timoshenko
Equilibre Membrane
+t = 0 divN ∼
N,1 + t = 0
Effort longitudinal
Equilibre des moments
divM −T = 0 ∼
M,1 − T = 0
Equilibre du moment
Cisaillement transverse
div T + p3 = 0
T,1 + p3 = 0
Cisaillement transverse
Chacune des théories suppose que la structure supporte le cisaillement dans son épaisseur. On a supposé ici que m = 0.
8.1.5
Loi de comportement
On considérera deux cas, celui de la plaque isotrope et celui d’un matériau anisotrope : – Matériau isotrope (E, ν) σ11 1 ν 0 ε11 σ22 = E ν 1 0 ε22 1 − ν2 σ12 ε12 0 0 1−ν
(8.69)
8.1. PLAQUE DE REISSNER–MINDLIN
89 E εα3 1+ν
σα3 =
(8.70)
– Matériau anisotrope Q11 Q12 Q16 ε11 σ11 E Q21 Q22 Q26 ε22 σ22 = 1 − ν2 Q61 Q62 Q66 σ12 2ε12
(8.71)
Q11 = c4 E n + s4 E t + 2c2 s2 (νtn E n + 2µnt ) Q22 = s4 E n + c4 E t + 2c2 s2 (νtn E n + 2µnt ) Q66 = c2 s2 (E n + E t − 2νtn E n ) + (c2 − s2 )2 µnt
Q12 = c2 s2 (E n + E t − 4µnt ) + (c4 + s4 )νtn E n Q16 = −cs c2 E n − s2 E t − (c2 − s2 )(νtn E n + 2µnt ) Q26 = −cs s2 E n − c2 E t + (c2 − s2 )(νtn E n + 2µnt )
avec E n = En /(1 − νnt νtn )
E t = Et /(1 − νnt νtn )
Matériau isotrope On traite successivement les comportements en membrane, en flexion et en cisaillement. L’établissement du comportement de membrane nécessite d’évaluer des termes tels que N11 , ce qui donne : Z
N11 =
h
σ11 dx3 =
E 1 − ν2
Z h
(ε11 + νε22 )dx3
(8.72)
E [(U1,1 + x3 θ2,1 ) + ν(U2,2 − x3 θ1,2 )] dx3 1 − ν2 h Eh = (U1,1 + νU2,2 ) 1 − ν2 Z
=
(8.73) (8.74)
Z
en utilisant h
x3 dx3 = 0. Il vient finalement : N11 1 ν 0 U1,1 N22 = Eh ν 1 0 U2,2 1 − ν2 N12 0 0 1−ν (U1,2 +U2,1 )/2 Z
En flexion, on utilise h
Z
x3 dx3 = 0
et
Z
M11 =
h
x3 σ11 dx3 =
h
x32 dx3 =
E 1 − ν2
Z h/2 −h/2
x32 dx3 =
h3 , pour transformer M11 : 12
Z h
(x3 ε11 + νx3 ε22 )dx3
Z E (x3U1,1 + x32 θ2,1 ) + ν(x3U2,1 − x32 θ1,2 ) dx3 2 1−ν h Z Eh3 = (θ − νθ ) car x3 dx3 = 0 2,1 1,2 12(1 − ν2 ) h
=
(8.75)
(8.76) (8.77) (8.78)
90
CHAPITRE 8. PLAQUES Il vient · M11 1 ν 0 θ2,1 3 Eh M22 = ν 1 0 −θ1,2 12(1 − ν2 ) M12 0 0 1−ν (θ2,2 − θ1,1 )/2
(8.79)
En cisaillement transverse, on trouve : E ε13 dx3 T1 = σ13 dx3 = 1+ν h h Z E = (W,1 + θ2,1 )dx3 1+ν h Eh (W,1 + θ2,1 ) = 1+ν Z
Z
(8.80) (8.81) (8.82)
On a donc : T=
Eh (grad W + Φ) 1+ν
(8.83)
On peut donc de nouveau établir un parallèle avec la théorie des poutres. En posant 1 ν 0 Eh3 ν 1 0 [D] = 12(1 − ν2 ) 0 0 1−ν il vient : Plaque (ép. h) Reissner–Mindlin Cisaillement transverse
div T + p3 = 0
Equilibre des moments
divM −T = 0 ∼ M = [D] K ∼
Angle Flèche
8.2
T=
Eh (grad W + Φ) 1+ν
Poutre b × h Timoshenko T,1 + p3 = 0
Cisaillement transverse
M,1 − T = 0
Equilibre du moment
M = EIθ,1 =
Ebh3 θ,1 12
T = µS(U2,1 + θ)
Angle Flèche
Plaque de Kirchhoff–Love
En théorie des poutres, il existe une approche (Timoshenko) pour laquelle l’angle que fait une section droite avec la ligne neutre est déterminé de façon indépendante, et une autre (Bernoulli) dans laquelle les sections droites restent perpendiculaires à la ligne moyenne au cours de la déformation. Le dernier cas s’applique essentiellement lorsque la poutre est peu épaisse, si bien que les cisaillements restent faibles. Ceci supprime l’angle de la liste des variables indépendantes, puisqu’il peut être alors directement déterminé si la flèche est connue. L’application de cette simplification pour la théorie de plaque conduit à la théorie de Kirchhoff–Love : on y suppose qu’un segment initialement perpendiculaire au plan moyen le reste au cours de la déformation.
8.2. PLAQUE DE KIRCHHOFF–LOVE
8.2.1
91
Cinématique et équilibre
On a donc grad W + Φ = 0 dans l’équation qui définit le déplacement, u = U + W e3 + x3 Φ. Les cisaillements 13 et 23 sont nuls, ce qui produit les conditions cinématiques : − θ1 +W,2 = 0
θ2 +W,1 = 0
(8.84)
On aura également : T1 = 0
T2 = 0
Le tenseur de courbure s’écrit alors simplement : θ2,1 (θ2,2 − θ1,1 )/2 −W,11 −W,12 = K = ∼ (θ2,2 − θ1,1 )/2 −θ1,2 −W,21 −W,22
(8.85)
(8.86)
avec Kαβ = −W,αβ Dans le cadre de cette théorie simplifiée, la liste des variables associées est : θ2,1 = −W,11 associé à M11
(8.87)
θ1,2 = W,22 associé à M22
(8.88)
θ2,2 − θ1,1 = −2W,12 associé à M12
(8.89)
Variable associée
(8.90)
ce qui mène au tableau : définition : Z
U1,1
N11 =
−W,11
M11 =
Zh h
σ11 dx3
(8.91)
σ11 x3 dx3
(8.92)
σ22 dx3
(8.93)
σ22 x3 dx3
(8.94)
σ12 dx3
(8.95)
σ12 x3 dx3
(8.96)
Z
U2,2
N22 =
−W,22
M22 =
(U1,2 +U2,1 )/2
N12 =
−W,12
M12 =
Zh Zh Zh h
– N11 et N22 sont les efforts normaux, N12 le cisaillement dans le plan de la plaque – M11 et M22 sont des moments de flexion, et M12 un moment de torsion L’écriture du travail des efforts extérieurs et l’écriture du principe des travaux virtuels permet encore d’écrire les conditions aux limites en force et moment, et de définir les équations d’équilibre. On ne détaille pas ici les différents développements. On retrouve bien entendu les équations de type membrane de la théorie des stratifiés, auxquelles s’ajoutent les équations concernant les moments, qui font intervenir l’effort réparti p3 porté par l’axe x3 : N11,1 + N12,2 + t1 = 0
(8.97)
N12,1 + N22,2 + t2 = 0
(8.98)
T1,1 + T2,2 + p3 =0
(8.99)
M11,1 + M12,2 − T1 =0
(8.100)
M21,1 + M22,2 − T2 =0
(8.101) (8.102)
92
CHAPITRE 8. PLAQUES
La combinaison des deux dernières équations fournit : M11,11 + M22,22 + 2M12,12 + p3 = 0
(8.103)
soit : + p3 = 0 div divM ∼
ou encore Mαβ,αβ + p3 = 0
(8.104)
Les conditions aux limites sont plus simples que dans le cas des plaques de Reissner–Mindlin. Il y a un changement pour le problème de flexion. En reprenant le principe des travaux virtuels avec la seule variable W , il vient : Z Z F − δWint =
S
Mαβ Kαβ dS = −
S
MαβW,αβ dS
(8.105)
En intégrant deux fois par partie : M11W,11 = (M11W,1 ),1 − M11,1W,1 = (M11W,1 ),1 − (M11,1W ),1 + M11,11W
(8.106)
On a donc : – des termes du genre M11,11 , qui restent sur S et fournissent la condition d’équilibre – des termes du genre M11W,1 , qui vont sur Γ, et fournissent une condition à la limite en couple (flexion seulement) n.M .n = n.C = CF ∼ – des termes du genre M11,1W , qui vont sur Γ, et fournissent une condition à la limite en force : P3 =
d (M nα τ ) + Mαβ,β nα ds αβ β
– Pour le cas où la frontière de la plaque présente un angle, il y apparaît une force pontuelle, qui est liée à la discontinuité du moment de torsion.
8.2.2
Lois de comportement
Matériau isotrope Pour le cas d’un matériau isotrope, le comportement en flexion s’exprime par une simple relation matricielle entre moments et courbures : −W,11 M11 1 ν 0 3 Eh M22 = ν 1 0 −W,22 12(1 − ν2 ) −W,12 M12 0 0 1−ν
(8.107)
On a : Mαβ = −
Eh3 νW,γγ δαβ + (1 − ν)W,αβ 2 12(1 − ν )
(8.108)
D’où : Mαβ,αβ = −
Eh3 W 12(1 − ν2 ) ,αβαβ
(8.109)
L’équation à résoudre pour trouver la flèche W est donc :
D∆∆W − p3 = 0
avec
D=
Eh3 12(1 − ν2 )
(8.110)
8.2. PLAQUE DE KIRCHHOFF–LOVE
93
Matériau anisotrope Dans le cas d’un matériau anisotrope, plusieurs stratégies sont possibles pour établir la loi de comportement. L’une des plus performantes consiste à reconstruire un champ approché à partir d’une formulation élastique tridimensionnelle, comme par exemple dans (Reissner, 1950). On se contentera ici d’une évaluation plus simple, qui ne cherche pas à donner accès aux termes de cisaillement, et qui est raisonnable pour fournir la rigidité d’une plaque composite dont toutes les couches sont identiques, si ce n’est l’orientation des fibres. On obtient une évaluation des efforts globaux en intégrant sur l’épaisseur une contrainte que l’on estime à partir de la cinématique du problème. On introduit successivement : – des termes de type «membrane» : Z
N11 =
Zh
σ11 dx3
(8.111)
(Q11 ε11 + Q12 ε22 + Q16 ε12 ) dx3
(8.112)
(Q11 (U1,1 + θ2,1 x3 ) + Q12 (U2,2 − θ1,2 x3 )
(8.113)
= Zh
= h
+Q16 (U1,2 + θ2,2 x3 +U2,1 − θ1,1 x3 ))dx3
(8.114) (8.115)
Z
N11 =
Zh
+ Zh
+ h
(Q11U1,1 − Q11 x3W,11 )dx3
(8.116)
(Q12U2,2 − Q12 x3W,22 )dx3
(8.117)
(Q16 (U1,2 +U2,1 ) − 2Q16 x3W,12 )dx3
(8.118)
– termes de type «flexion» : Z
M11 =
Zh
= h
Z
= h
σ11 x3 dx3
(8.119)
(Q11 ε11 + Q12 ε22 + Q16 ε12 ) x3 dx3
(8.120)
(Q11 (U1,1 x3 + θ2,1 x32 ) + Q12 (U2,2 x3 − θ1,2 x32 )
(8.121)
+Q16 (U1,2 x3 + θ2,2 x32 +U2,1 x3 − θ1,1 x32 ))dx3 Z
M11 =
Zh
+ h
Z
+ h
(8.122)
(Q11 x3U1,1 − Q11 x32W,11 )dx3
(8.123)
(Q12 x3U2,2 − Q12 x32W,22 )dx3
(8.124)
(Q16 x3 (U1,2 +U2,1 ) − 2Q16 x32W,12 )dx3
(8.125)
N11 Q11 Q12 Q16 N22 Q12 Q22 Q26 N12 Q16 Q Q66 26 M11 = Q11 x3 Q12 x3 Q16 x3 M22 Q12 x3 Q22 x3 Q26 x3 M12 Q16 x3 Q26 x3 Q66 x3
Q11 x3 Q12 x3 Q16 x3 Q11 x32 Q12 x32 Q16 x32
Q12 x3 Q22 x3 Q26 x3 Q12 x32 Q22 x32 Q26 x32
Q16 x3 U1,1 Q26 x3 U2,2 Q66 x3 U2,1 +U1,2 Q16 x32 −W,11 2 Q26 x −W,22 3
Q66 x32
−2W,12
(8.126)
94
CHAPITRE 8. PLAQUES Pour une meilleure lecture, on a omis l’intégrale. Il faut lire en fait : Z h
Q11 dx3 etc...
L’expression précédente appelle quelques remarques : – La matrice de la formule 8.126 renferme des termes de différentes dimensions. On a : N/m N/m | N − ____ = ____ __ ____ ____ N N | N.m m−1
(8.127)
– Ridigité en traction, et en flexion : termes Q11 et Q22 – Rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion : terme Q66 – Chacun de ses termes est le résultat de la contribution de chaque couche, et est donc calculé + comme une somme discrète sur toutes les couches. En appelant respectivement h− i et hi les cotes inférieures et supérieures de la couche i, ei son épaisseur, on a donc par exemple : Q11 = ∑ Qi11 ei
(8.128)
i
2
2
3
3
− Q11 x3 = ∑ Qi11 (h+ i − hi )/2
(8.129)
i
− Q11 x32 = ∑ Qi11 (h+ i − hi )/3
(8.130)
i
– Les termes linéaires en x3 produisent du couplage membrane–flexion. Ils sont nuls pour les plaques symétriques – Pour tous les termes contenant soit x3 , soit x32 , le résultat obtenu dépend de la séquence d’empilement, ce qui est assez intuitif en effet lorsqu’il s’agit de calculer une résistance à la flexion : celle-ci sera meilleure si les couches les plus résistantes vis-à-vis d’une flexion donnée sont éloignées de la surface moyenne. On retrouve le cas illustré précédemment par la poutre composite. – Les fibres à 0◦ et à 90◦ fournissent une bonne ridigité en traction et en flexion, tandis que les fibres à 45◦ génèrent une bonne rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion. C’est ce qu’atteste la planche de la figure 7.1, du chapitre sur la théorie des stratifiés, qui montre les valeurs des termes Qi j en fonction de l’angle θ que fait la direction courante avec l’axe des fibres. On reconstruit un champ de contraintes approché dans chaque couche en considérant les efforts normaux et les moments dans chaque couche (les indices α et β varient de 1 à 2, hi est la cote moyenne de la couche) : i Nαβ = i Mαβ =
Z h+ i h− i
Z h+ i h− i
σαβ dx3
(8.131)
σαβ (x3 − hi )dx3
(8.132)
Il vient alors : σαβ =
i Nαβ
ei
+
12 i x3 − hi M e2i αβ ei
Chapitre 9
Introduction à la mécanique des matériaux hétérogènes Les matériaux de structures possèdent une échelle physique en deçà de laquelle ils ne peuvent plus être considérés comme homogènes. C’est évident dans le cas des composites étudiés précédemment à l’échelle des plis, fibres ou inclusions individuelles. De manière moins évidente, c’est le cas aussi des alliages métalliques qui sont en fait des assemblages de grains monocristallins présentant des orientations cristallines distinctes de grain à grain. Ces deux types de morphologie, à savoir la morphologie fibre/matrice rencontrée dans les composites et la morphologie polycristalline, sont illustrés par les figures 9.1 et 9.2 respectivement. Pour le dimensionnement d’une structure, il n’est pas raisonnable ni encore possible de prendre directement en compte l’influence de l’ensemble de ces hétérogénéités sur la réponse du composant. On cherche donc à remplacer le matériau hétérogène par un milieu dit homogène équivalent caractérisé par des propriétés mécaniques effectives. Ces dernières résultent de l’interaction entre eux des constituants (dits aussi phases) au sein d’un volume élémentaire dV du matériau considéré. L’objectif est donc, par exemple dans le cas des composites, de déterminer les modules d’élasticité effectifs du matériau composite à partir de la connaissance des propriétés élastiques des constituants, de leur fraction volumique et de leur arrangement. Le problème posé est très général et englobe des situations plus complexes encore que les stratifiés étudiés précédemment, pour lesquels l’intuition pouvait fournir par exemple des cinématiques raisonnables. On le verra, les propriétés effectives ne s’obtiennent pas par une simple moyenne des propriétés des constituants pondérées par les fractions volumiques. La distribution dans l’espace des différentes phases en présence est la clef pour optimiser par la microstructure les propriétés souhaitées. La mécanique des matériaux hétérogènes est une discipline de la mécanique des matériaux qui est en pleine expansion. Les développements actuels concernent essentiellement les comportements non linéaires, ils sont rendus possibles par les progrès simultanés des concepts théoriques, de la puissance de calcul et des méthodes d’investigation expérimentale. La présentation faite dans ce chapitre se limite à l’élasticité, et cherche seulement par des exemples élémentaires à montrer quelques idées fondamentales et certains outils de base du domaine.
9.1
Moyennes de volume, moyennes de surface
On utilisera abondamment dans la suite le théorème de Stokes qui, pour une fonction scalaire u(x1 , x2 , x3 ), intégrée sur un domaine V de frontière ∂V , s’énonce de la façon suivante : Z
Z
u,i dV = V
u ni dS
(9.1)
∂V
La notation ,i désigne la dérivée partielle par rapport à la coordonnée cartésienne xi (base orthonormée). Le vecteur n de composantes cartésiennes ni représente le vecteur normal en tout point de la surface ∂V . 95
96
CHAPITRE 9. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES
On renvoie au cours de géométrie différentielle pour la démonstration de ce résultat. On peut utiliser ce thèorème pour relier la moyenne sur le volume V d’un champ de déformation compatible ∼ε0 à la moyenne des valeurs sur le bord ∂V de ce champ. La compatibilité du champ de déformation ∼ε0 signifie qu’il dérive d’un champ de déplacement u0 . On introduit la notation suivante pour la moyenne volumique : Z 1 0 < ∼ε >= ε0 dV (9.2) V V∼ < εi j >=
1 2V
Z
(u0i, j + u0j,i )dV
V
(9.3)
L’application du théorème de Stokes à chaque composante de déplacement conduit à : <
u0i, j
1 >= V
Z
ui n j dS
(9.4)
∂V
Finalement, on obtient 1 < ∼ε >= V
Z
0
s
u ⊗ n dS
(9.5)
s 1 u ⊗ n = (u ⊗ n + n ⊗ u) 2
(9.6)
∂V
où le produit tensoriel symétrisé a été introduit :
On relie de manière similaire la moyenne volumique du tenseur des contraintes à la résultante du vecteur ∗ défini sur V que l’on suppose traction sur le bord. On considère pour cela un champ de contrainte σ ∼ statiquement admissible. Cela signifie ici que sa divergence est nulle en tout point : ∗ div σ = σ∗ik,k ei = 0 ∼
(9.7)
où les ei désignent les vecteurs de la base cartésienne. On vérifiera alors que <
σ∗i j
1 σ∗ dV > = V V ij Z 1 = (σ∗ x j ),k dV V V ik Z 1 σ∗ nk x j dS = V ∂V ik Z
En notation intrinsèque ce résultat s’écrit ∗ <σ >= ∼
1 V
Z ∂V
∗ (σ .n) ⊗ x dS ∼
(9.8)
On remarquera que la symétrie du membre de droite de l’équation (9.8) n’est pas apparente. Pourtant, on montrerait de la même façon que le résultat est identique à l’expression obtenue en remplaçant dans le s
second membre le signe ⊗ par ⊗. ∗ se calcule alors de la façon Le travail des forces internes associé aux champs admissibles ∼ε0 et σ ∼ suivante : Z Z Z 1 1 1 ∗ 0 ∗ 0 ∗ 0 <σ : ∼ε >= σ u dV = (σ u ), j dV = (σ∗ .n).u0 dV (9.9) ∼ V V i j i, j V V ij i V ∂V ∼ Les formules de moyennes précédentes supposent la continuité des champs au sein du volume considéré. Des termes supplémentaires apparaissent dans le cas où des discontinuités sont présentes (fissures, pores...).
9.2. VOLUME ÉLÉMENTAIRE REPRÉSENTATIF, PROPRIÉTÉS EFFECTIVES
9.2
97
Volume élémentaire représentatif, propriétés effectives
Les propriétés effectives du milieu homogène équivalent cherché peuvent être obtenues en résolvant un problème aux limites sur le volume élémentaire dV , à condition que celui–ci soit suffisamment grand pour être représentatif de la microstructure du matériau hétérogène. Ce volume doit pour cela contenir suffisamment d’hétérogénéités (grains, inclusions ou fibres). Si la distribution des constituants est périodique (comme dans le cas du composite de la figure 9.1b), le volume nécessaire se réduit à une cellule élémentaire permettant de reconstituer l’ensemble de la microstructure par simple translation (pavage). On soumet alors le volume retenu à des sollicitations élémentaires pour déterminer la réponse résultante. La difficulté réside en fait dans le choix des conditions aux limites à appliquer au volume considéré pour imposer une déformation ou contrainte globale moyenne donnée (dite macroscopique). On mentionne ici trois types de conditions aux limites permettant d’imprimer au volume considéré une déformation ou une contrainte moyenne : – Conditions de déformations homogènes au contour (problème P E ) : .x u=E ∼
∀x ∈ ∂V
(9.10)
où E est un tenseur symétrique imposé indépendant de x. ∼ – Conditions de contraintes homogènes au contour (problème P S ) : .n ∀x ∈ ∂V σ .n = Σ ∼ ∼
(9.11)
où Σ est un tenseur symétrique imposé indépendant de x. ∼ – Conditions de périodicité (problème P P ) : lorsque le milieu est périodique, la cellule V est connue dans ses moindres détails géométriques et sa forme est telle que l’on peut paver l’espace en translatant V . On cherche alors un champ solution de la forme : u=E .x + v ∀x ∈ V ∼
(9.12)
où v est périodique, i.e. v prend des valeurs égales en des points homologues sur des faces opposées de V ; on impose d’autre part que le vecteur contrainte σ .n prenne des valeurs opposées sur des ∼ faces opposées. Il existe aussi une formulation duale du problème périodique. On peut alors prouver l’existence et l’unicité de la solution de ces trois problèmes aux limites, au moins dans le cas linéaire (éventuellement à un mouvement de corps rigide ou un translation près). Dans tous les cas, il résulte des calculs de moyennes de la section précédente (équations (9.5) et (9.8)) que : hε∼ i = E ∼
(9.13)
dans le cas des conditions de déformations homogènes au contour et le cas périodique, et hσ i=Σ ∼ ∼
(9.14)
pour les conditions duales en contraintes. Les moyennes sont effectuées sur le volume V et les majuscules (resp. minuscules) désignent les grandeurs macroscopiques (resp. microscopiques). On peut aussi calculer la moyenne du travail des forces internes au sein du volume élémentaire sollicité et montrer, à nouveau grâce au théorème de Stokes, que pour les trois conditions aux limites précédentes : <σ : ∼ε >=< σ >:< ∼ε >= Σ :E ∼ ∼ ∼ ∼
(9.15)
On voit que le travail des forces internes macroscopique est alors égal à la moyenne du travail des forces internes microscopiques. La solution des problèmes aux limites correspondants n’est en général pas analytique. On a recours à des simulations numériques, par exemple par la méthode des éléments finis. Un exemple de volume élémentaire représentatif (VER) est donné sur la figure 9.3, dans le cas de la morphologie polycristalline.
98
CHAPITRE 9. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES
F IG . 9.1 – Composite à matrice métallique SiC-titane pour application aéronautique pour deux fractions volumiques de fibres différentes (diamètre des fibres 600 µm)
b. Microstructure d’un alliage à mémoire de forme Cu-Zn-Al.
a. Microstructure d’un revêtement de tôle d’acier galvanisée. F IG . 9.2 – Morphologie polycristalline dans les matériaux hétérogènes
9.3
Propriétés élastiques effectives
Le problème aux limites précédent posé sur le VER admet, dans le cas élastique linéaire, une solution unique qui dépend linéairement du chargement macroscopique E imposé. Il existe donc un champ de ∼ tenseur unique dit de concentration permettant d’exprimer la déformation en un point x au sein du VER
9.3. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES
99
F IG . 9.3 – Volume élémentaire représentatif d’un polycristal
en fonction de la déformation macroscopique appliquée : ε(x) = A (x) : E ∼ ≈
∼
(9.16)
Il est en général impossible d’obtenir une expression analytique de A (x) mais on peut le déterminer ≈ de manière numérique. Puisque la moyenne des déformations locales doit donner E , il s’ensuit que le ∼ tenseur de concentration vérifie la propriété suivante : = 1≈ ≈
(9.17)
où 1≈ désigne le tenseur identité d’ordre 4 sur les tenseurs d’ordre 2 symétriques. Les contraintes macroscopiques sont alors liées aux déformations macroscopiques imposées de la manière suivante : Σ = <σ >=< ≈c : ∼ε > ∼ ∼ = < ≈c : A :E > ∼ ≈ = C :E ∼ ≈
avec C =< ≈c : A > ≈ ≈
(9.18)
On voit que la loi de comportement macroscopique prend la forme d’une loi d’élasticité avec un tenseur des modules effectifs C . En particulier, il apparaît clairement que C n’est pas une simple moyenne ≈ ≈ des modules locaux ≈c(x) mais une moyenne pondérée par le tenseur de concentration A qui dépend ≈ explicitement de la distribution des phases au sein du VER. Le cas particulier d’un VER homogène conduit bien sûr à A = 1≈ et C = ≈c. Ce n’est plus le cas dès que le matériau est hétérogène. ≈ ≈ De même, si le VER est soumis au tenseur de contraintes macroscopiques Σ , il existe un tenseur ∼ de localisation B donnant le tenseur des contraintes en chaque point du VER en fonction de la charge ≈
100
CHAPITRE 9. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES
imposée : (x) : Σ σ (x) = B ∼ ∼ ≈
(9.19)
Les modules de souplesse effectifs s’expriment alors en fonction de B : ≈ E = S≈ : Σ avec S≈ =< B : ≈s > ∼ ∼ ≈
(9.20)
où ≈s = ≈c−1 . Lorsque le volume de matériau considéré est représentatif (i.e. suffisamment grand), la détermination des propriétés effectives ne dépend pas du choix des conditions aux limites de sorte que l’on a −1 S≈ = C (9.21) ≈ Le tenseur d’élasticité macroscopique peut aussi être défini à l’aide d’une définition énergétique de la forme : <σ : ∼ε >= E :C :E =Σ : S≈ : Σ (9.22) ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ≈ On vérifiera que les modules effectifs s’expriment alors de la façon suivante à l’aide des tenseurs de concentration A et B précédents : ≈ ≈ C =< A : ≈c : A >=< B : ≈s : B >−1 ≈ ≈ ≈ ≈ ≈
(9.23)
On montre, à l’aide des propriétés (9.15) et (9.17), qu’en fait les définitions directe (équations (9.18) et (9.20)) et énergétique (équation (9.22)) sont équivalentes. En particulier les modules effectifs obtenus sont les mêmes.
9.4
Potentiel élastique
Dans la suite on étudie les propriétés de matériaux hétérogènes dont les constituants ont un comportement élastique éventuellement non linéaire décrit par un potentiel W (ε∼ ) : σ = W 0 (ε∼ ) = ∼
∂W ∂ε∼
(9.24)
Le potentiel élastique choisi est l’énergie libre de Helmholtz. Chaque constituant du matériau hétérogène étudié possède un potentiel distinct. On suppose qu’il existe pour le milieu homogène équivalent cherché un potentiel effectif W e f f (E ): ∼ ∂W e f f ef f0 (9.25) Σ = W (E ) = ∼ ∼ ∂E ∼ Dans le cas de l’élasticité linéaire, ces potentiels sont les formes quadratiques suivantes : 1 W (ε∼ ) = ∼ε : ≈c : ∼ε, 2
1 W (E )= E :C :E ∼ 2∼ ≈ ∼
(9.26)
On demande à tous les potentiels rencontrés d’être convexes par rapport à leurs arguments. Cette condition est trivialement remplie dans le cas de l’élasticité linéaire. On associe à W (ε∼ ) le potentiel dual W ∗ (σ ), appelé énergie complémentaire, tel que ∼ 0
ε = W ∗ (σ )= ∼
∼
∂W ∗ ∂σ ∼
(9.27)
Les potentiels direct et dual sont représentés schématiquement sur la figure 9.4 dans le cas uniaxial. On voit en particulier que, puisque W désigne l’aire sous la courbe, W ∗ représente le complément d’aire dans le rectangle σ.ε : W ∗ (σ )=σ : ∼ε −W (ε∼ ) avec σ = W 0 (ε∼ ) (9.28) ∼ ∼ ∼
9.4. POTENTIEL ÉLASTIQUE
101
On peut donner l’expression équivalente suivante faisant intervenir la transformée de Legendre–Fenchel : W ∗ (σ ) = max(σ : ε −W (ε∼ )) ∼ ε ∼ ∼ ∼
(9.29)
Pour montrer l’équivalence entre les définitions (9.28) et (9.29), on s’appuie sur la convexité du potentiel W (ε∼ ). On voit sur la figure 9.5 que, pour un σ donné, l’écart entre σ : ε et W est maximal pour la déformation ε telle que la tangente à la courbe W en ε est parallèle à la droite σ : ε. Cette situation correspond donc bien à σ = W 0 (ε). La démonstration s’étend au cas tridimensionnel. Le potentiel dual est convexe par rapport à ses arguments dès que le potentiel élastique l’est. De même, on peut définir le potentiel dual pour les propriétés effectives du milieu homogène équivalent W e f f ∗ (Σ ) tel que ∼ E = ∼
∂W e f f ∗ ∂Σ ∼
(9.30)
Le cas particulier de l’élasticité linéaire prend la forme très simple : 1 1 1 W ∗ (σ )=σ : ∼ε − ∼ε : ≈c : ∼ε = ∼ε : ≈c : ∼ε = σ : s : σ = W (ε∼ ) ∼ ∼ 2 2 2∼ ≈ ∼
(9.31)
1 :S:Σ W ∗ (Σ )= Σ ∼ 2∼ ≈ ∼
(9.32)
On admet qu’alors les souplesses s’obtiennent à partir des modules d’élasticité effectifs par la relation −1 S≈ = C ≈
σ
(9.33)
W*
W
ε
F IG . 9.4 – Réponse non linéaire du matériau dans le cas uniaxial et définition du potentiel élastique et de Z Z ε
l’énergie complémentaire : W (ε) = 0
σ
W 0 (ε)dε, W ∗ (σ) =
sous la courbe et W ∗ l’aire complémentaire
0
W 0∗ (σ)dσ. On en déduit que W est l’aire
102
CHAPITRE 9. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES
σ:ε
W
ε
F IG . 9.5 – Transformée de Legendre–Fenchel d’un potentiel d’élasticité convexe
9.5
Théorème de l’énergie potentielle : borne supérieure de Voigt
On considère le problème aux limites suivant sur le volume V de matériau hétérogène : div σ +f ∼
= 0
σ = W 0 (ε∼ ) ∼ u = ud
∀x ∈ ∂V
où u désigne le champ de déplacement dont dérive ∼ε, f d’éventuels efforts volumiques. Dans ce problème, le déplacement est imposé sur le contour de V . Le théorème de l’énergie potentielle stipule alors que la solution u sur V minimise l’énergie potentielle F :
F (u0 ) =
Z V
(W (ε∼ 0 ) − f .u0 ) dV
(9.34)
par rapport aux champs de déplacement cinématiquement admissibles u0 . On dit que u0 est cinématiquement admissible s’il vérifie les conditions aux limites u = ud sur ∂V . La démonstration de ce théorème est basée à nouveau sur la propriété de convexité du potentiel W , ainsi que sur le théorème de Stokes. Si u est la solution du problème aux limites considéré et u0 un champ cinématiquement admissible, on établit que
F (u0 ) − F (u) =
Z V
Z
>
V
Z
>
ZV
(W (ε∼ 0 ) −W (ε∼ )) dV W 0 (ε∼ ) : (ε∼ 0 − ∼ε) dV (σi j (u0i − ui )), j dV
>
σi j (u0i − ui )n j dS = 0
∂V
puisque u et u0 coïncident sur le bord de V . Ceci démontre le théorème de l’énergie potentielle. La figure 9.6 illustre la propriété de convexité de W utilisée.
9.6. THÈORÈME DE L’ÉNERGIE COMPLÉMENTAIRE : BORNE INFÉRIEURE DE REUSS
103
Explorons les conséquences de ce théorème dans le cas particulier du problème aux limites P E posé sur le VER, pour lequel .x ∀x ∈ ∂V (9.35) ud = E ∼ On se restreint en outre au cas de constituants élastiques linéaires. Le théorème de l’énergie potentielle s’écrit alors Z Z Z 1 1 1 1 1 ε∼ : ≈c : ∼ε dV = σ : ε dV = V Σ : E = V E : C : E 6 ε0 : c : ε0 dV (9.36) 2 V 2 V∼ ∼ 2∼ ∼ 2 ∼ ≈ ∼ 2 V ∼ ≈ ∼ On peut utiliser cette inégalité pour borner les propriétés élastiques effectives en choisissant des champs tests cinématiquement admissibles u0 . Le choix le plus simple compatible avec les conditions aux limites du problème P E est : u0 = E .x ∀x ∈ V (9.37) ∼ ce qui implique ε0 = E ∼
(9.38)
∼
On choisit donc comme champ test le champ de déformation homogène E lui–même, qui n’est qu’une ∼ grossière approximation du champ réel ∼ε. Le théorème de l’énergie potentielle s’écrit alors E :C :E 6E :< ≈c >: E , ∼ ∼ ∼ ∼ ≈
∀E ∼
(9.39)
Cette relation fournit une borne supérieure pour les propriétés effectives C . Cette borne est la moyenne ≈ des propriétés locales < ≈c >. Elle est appelée borne supérieure de Voigt. Elle indique que quel que soit l’arrangement des phases au sein du matériau hétérogène, les propriétés effectives ne peuvent excéder la moyenne volumique des propriétés des constituants.
W( ε’) W W( ε )+W’( ε )( ε’− ε) ε
ε’
F IG . 9.6 – Propriété de convexité du potentiel élastique
9.6
Thèorème de l’énergie complémentaire : borne inférieure de Reuss
La formulation duale du théorème de l’énergie potentielle constitue le théorème de l’énergie complémentaire. On considère le problème aux limites suivant : div σ +f ∼
= 0 0
ε = W ∗ (σ ) ∼
∼
T
= σ .n = T d ∼
∀x ∈ ∂V
104
CHAPITRE 9. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES
La solution en contrainte σ minimise alors la fonctionnelle : ∼ ∗
∗
F (σ∼ ) =
Z V
∗ W ∗ (σ ) dV ∼
(9.40)
∗ statiquement admissible (i.e. autoéquilibré (div σ∗ + f = 0) et vérifiant pour tout champ de contrainte σ ∼ ∼ ∗ .n = T d ). La démonstration est tout à fait similaire à celle mise en œuvre les conditions aux limites σ ∼ pour le théorème de l’énergie potentielle. Elle s’appuie sur la propriété de convexité de W ∗ qui est acquise dès que W est convexe. Explorons les conséquences de ce théorème dans le cas particulier du problème aux limites P S posé sur le VER, pour lequel .x ∀x ∈ ∂V (9.41) Td = Σ ∼
On se restreint en outre au cas de constituants élastiques linéaires. Le théorème de l’énergie complémentaire s’écrit alors 1 2
1 1 σ : ≈s : σ dV = V Σ : S≈ : Σ 6 ∼ ∼ ∼ ∼ 2 2 V
Z
Z V
∗ ∗ σ : ≈s : σ dV ∼ ∼
(9.42)
On peut utiliser cette inégalité pour borner les propriétés élastiques effectives en choisissant des champs ∗ . Le choix le plus simple compatible avec les conditions aux limites du tests statiquement admissibles σ ∼ problème P S est : ∗ σ =Σ (9.43) ∼ ∼ On choisit donc comme champ test le champ de contraintes homogène Σ lui–même. Le théorème de ∼ l’énergie potentielle s’écrit alors Σ : S≈ : Σ 6Σ :< ≈s >: Σ , ∼ ∼ ∼ ∼
∀Σ ∼
(9.44)
Cette relation fournit une borne supérieure pour les propriétés effectives S≈ et par conséquent une borne inférieure pour les modules effectifs C . Cette borne est l’inverse de la moyenne des propriétés locales ≈ < ≈s >−1 =< ≈c−1 >−1 . Elle est appelée borne inférieure de Reuss. Elle indique que quel que soit l’arrangement des phases au sein du matériau hétérogène, les souplesses effectives ne peuvent excéder la moyenne volumique des souplesses des constituants.
9.7
Application à l’élasticité isotrope
On considère le cas particulier d’un matériau hétérogène dont les constituants sont élastiques linéaires et isotropes. On suppose en outre que l’arrangement des phases est tel que le matériau résultant est isotrope au niveau macroscopique. La loi de comportement locale de chaque constituant s’écrit σ = λ(trace ∼ε)1∼ + 2µε∼ ∼
(9.45)
où λ et µ sont les coefficients de Lamé (µ module de cisaillement). On définit le module de compressibilité k=
3λ + 2µ 3
(9.46)
Les modules de cisaillement et de compressibilité effectifs sont notés µe f f et ke f f respectivement. On établit ici les bornes de Voigt et Reuss correspondantes. Considérons d’abord le champ de déformation test homogène 1 0 0 E = 0 1 0 (9.47) ∼ 0 0 1
9.7. APPLICATION À L’ÉLASTICITÉ ISOTROPE
105
L’inégalité de Voigt s’écrit alors E :C :E = 9ke f f 6< 9k > ∼ ∼ ≈
(9.48)
Considérons ensuite le champ de contrainte test homogène
1 0 0 Σ = 0 1 0 ∼ 0 0 1
(9.49)
L’inégalité de Reuss s’écrit alors Σ : S≈ : Σ = ∼ ∼
3 ke f f
6<
3 ke f f
>
(9.50)
On obtient finalement un encadrement du module de compressibilité effectif : <
1 −1 > 6 ke f f 6< k > k
(9.51)
Dans le cas d’un matériau biphasé, en appelant 1 et 2 les deux phases et f , 1 − f les fractions volumiques correspondantes, la borne de Voigt s’écrit explicitement < k >= f k1 + (1 − f )k2
(9.52)
Considérons de même le champ de déformation test homogène
0 1 0 E = 1 0 0 ∼ 0 0 0
(9.53)
E :C :E = 4µe f f 6< 4µ > ∼ ∼ ≈
(9.54)
L’inégalité de Voigt s’écrit alors
Considérons ensuite le champ de contrainte test homogène 0 1 0 Σ = 1 0 0 ∼ 0 0 0
(9.55)
L’inégalité de Reuss s’écrit alors Σ : S≈ : Σ = ∼ ∼
1 µe f f
6<
1 µe f f
>
(9.56)
On obtient finalement un encadrement du module de cisaillement effectif : <
1 −1 > 6 µe f f 6< µ > µ
(9.57)
Ces inégalités montrent que les propriétés réelles sont comprises entre les moyennes arithmétiques et géométriques des propriétés des constituants, ce qui n’était pas du tout évident de prime abord. L’approche naïve consistant à estimer les propriétés par une simple moyenne ne permet donc que d’obtenir des bornes. On remarquera que ces bornes peuvent être atteintes au moins dans certaines directions particulières pour des composites stratifiés ou à fibres longues par exemple. Si toutes les fibres sont parallèles au sein d’une matrice isotrope, alors on vérifiera que les propriétés dans le sens des fibres sont données par la moyenne de Voigt. Au contraire, dans un laminé, on obtient la borne de Reuss en sollicitant dans la direction transverse normale aux couches.
106
CHAPITRE 9. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES
Résumé
• En conditions de déformations ou de contraintes homogènes aux contours, et en conditions périodiques, on montre : <σ : ∼ε >= Σ :E ∼ ∼ ∼ On suppose que cela reste valable pour des conditions aux limites quelconques (lemme de HillMandel) • Tenseurs de concentration : Déformations ∼ε(x) = A (x) : E ∼ ≈ σ (x) = B (x) : Σ ∼ ∼ ≈
Contraintes • Tenseurs effectifs : Raideur
C =< ≈c : A > ≈ ≈
Souplesse
S≈ =< B : ≈s > ≈
• Bornes : Voigt
E : (C − < ≈c >) : E 60 ∼ ∼ ≈
Reuss
Σ : (S≈ − < ≈s >) : Σ 60 ∼ ∼
• Bornes en élasticité isotrope : Compressibilité
<
1 −1 > 6 ke f f 6< k > k
Cisaillement
<
1 −1 > 6 µe f f 6< µ > µ
Chapitre 10
Éléments de Mécanique de la rupture La mécanique de la rupture a pour objet essentiel l’étude des fissures macroscopiques : elle s’applique lorsqu’il existe dans le matériau des discontinuités telles dans la matière qu’elles viennent modifier l’état de contrainte, déformation et déplacement, si bien que l’homogénéisation du milieu n’a plus de sens.
10.1
Généralités
La séparation en deux parties disjointes d’un corps se produit à la suite de la phase d’amorçage, qui a vu le développement de microcavités, microfissures... sous l’action de sollicitations mécaniques, thermiques, chimiques.... La propagation de la ou des fissures macroscopiques peut conduire à la séparation complète de plusieurs morceaux, ou bien au contraire les fissures peuvent s’arrêter. Le mode de rupture peut être fragile, la rupture se produisant alors souvent sans déformation plastique, ou ductile, en présence d’une déformation plastique importante. L’énergie nécessaire pour produire la rupture, caractérisée par la résilience (rapport de l’énergie nécessaire pour rompre une pièce sur la section droite de matière rompue), est bien plus grande dans le cas de la rupture ductile. La résilience est une caractéristique importante du matériau au niveau de la conception de systèmes mécaniques. Elle évolue avec la température, la température de transition caractérisant le passage d’un mode à l’autre. Le mode de rupture dépend par ailleurs de l’état de contrainte, en particulier de la triaxialité des contraintes (rapport du premier sur le second invariant). Un matériau qui présente beaucoup de plasticité développera en général des ruptures ductiles, mais pourra être sujet à la rupture fragile. Un matériau sans plasticité (céramiques, métaux à très basses températures, certaines résines) présentera toujours des ruptures fragiles. En fonction du chargement et du matériau considérés, si le milieu est globalement plastique ou viscoplastique, l’étude est du ressort de la mécanique non linéaire de la rupture, ou encore de l’approche locale, dans laquelle il est fait une description aussi précise que possible de l’état de contrainte et de déformation en pointe de fissure à l’aide de modèles de comportement non linéaires. Si au contraire la plasticité est absente ou reste très confinée, les théories qui permettent de traiter le problème considèrent le matériau comme élastique partout : c’est la mécanique linéaire de la rupture, qui va être considérée dans ce chapitre. Les dates principales qui marquent le développement de la mécanique de la rupture sont 1920, lorsque Griffith montre que la rupture d’un milieu élastique-fragile peut être caractérisée par une variable globale, qui sera appelée plus tard le taux de restitution d’énergie, et 1956, lorsque, à partir de l’étude des singularités du champ de contrainte, Irwin introduit la notion de facteur d’intensité des contraintes. Les années 1960-1980 sont celles de l’essor puis de la maturité de la mécanique de la rupture, avec en particulier les développements numériques et le traitement des problèmes non linéaires. Les ouvrages de références les plus anciens sont épsuisés (Liebowitz, 1968), mais il existe une abondante littérature issue des laboratoires français (Bui, 1978; Labbens, 1980; Lemaitre and Chaboche, 1985; François et al., 107
108
CHAPITRE 10. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DE LA RUPTURE
1993).
10.2
Taux de restitution d’énergie
10.2.1
Définition
Dans le cas où l’énergie cinétique est négligée, la puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface A est égale à la variation de l’énergie potentielle totale V , résultat de la variation de l’énergie élastique stockée dans la structure et de la variation d’énergie liée aux forces extérieures. Cette contribution mécanique est appelée taux de restitution d’énergie. Elle peut se définir quel que soit le type de comportement. Son unité est le joule/ m2 . G=−
∂V ∂A
(10.1)
Cette énergie sert à créer de nouvelles surfaces libres, ce qui implique des apports d’énergie. En appelant γs l’énergie spécifique de rupture par unité de surface, il est donc nécessaire pour que la fissure se propage que la contribution mécanique équilibre au moins l’énergie dissipée (théorie de Griffith pour la rupture fragile), soit dans un milieu plan d’épaisseur unité : −propagation si :
G − 2 γs > 0
(10.2) s
−arrêt si :
0 > G−2γ
(10.3)
Si le matériau est élastique, et dans le cas où les forces de volume sont négligées, l’expression de l’énergie potentielle se réduit à deux termes, le premier correspondant à l’énergie de déformation élastique (dans le volume V du solide), le second au travail des forces extérieures appliquées en surface, (force Fd sur les frontières où la force est imposée SF ) : 1 V= 2
Z V
σ : ∼ε dV − ∼
Z
F d . u dS
SF
(10.4)
L’application du théorème de la divergence au terme volumique permet de le tranporter en surface (théorème «du travail»), le terme obtenu se partageant ensuite sur les surfaces à force et déplacement imposés (ud ) : Z Z Z Z 1 1 1 1 d F F . ud dS σ : ε dV = F . u dS = . u dS + (10.5) 2 V∼ ∼ 2 S 2 SF 2 Su Le calcul de G s’effectue par simple dérivation à partir de la nouvelle expression de l’énergie potentielle : 1 1 F . ud dS − F d . u dS 2 Su 2 SF
(10.6)
∂F d 1 ∂u 1 Fd . dS − . u dS 2 SF ∂A 2 Su ∂A
(10.7)
V= et :
Z
Z
G=
10.2.2
Z
Z
Cas d’une charge ponctuelle
Dans le cas particulier où il n’y a qu’une charge ponctuelle, les expressions se simplifient en introduisant la raideur R de la structure ou sa complaisance C . La force F et le déplacement U deviennent alors ponctuels, et : F = R U ; U = C F . L’avancée de fissure peut se schématiser comme en figure 10.1, selon que l’avancée se fait à déplacement imposé (Fig.10.1a), ou à force imposée (Fig.10.1b). Dans chaque cas l’expression de G devient :
10.2. TAUX DE RESTITUTION D’ÉNERGIE
109
F
F
M F
U
H
0
Ud
0 a. Force imposée
U
b. Déplacement imposé
F IG . 10.1 – Evaluation de l’énergie mise en jeu lors d’une avancée de fissure – à déplacement imposé, comme F = R U d : 1 ∂F d =− . u dS 2 Su ∂A 1 dR 1 F 2 dR d d =− U .U = − 2 dA 2 R 2 dA Z
G
(10.8) (10.9) (10.10)
– à force imposée, comme U = C F
d
: ∂u 1 F. G = dS 2 SF ∂A 1 d dC d = F . F 2 dA Z
(10.11) (10.12) (10.13)
Les deux cas aboutissent formellement à la même expression : 1 dC G= F2 (10.14) 2 dA Il faut néanmoins noter que l’évolution de la force n’est pas la même (chute de force lors de l’avancée de fissure à déplacement imposé, la structure devenant plus souple, et bien entendu force constante à force imposée, avec augmentation du déplacement résultant). L’énergie récupérable dans le cas du déplacement imposé est finie (égale à l’aire du triangle OMH), si bien que G va décroître avec la progression de fissure, et que la fissure pourra éventuellement s’arrêter. Ces expressions sont utilisées pour mesurer expérimentalement G.
10.2.3
Quelques valeurs critiques de G
Le verre et les céramiques ont des valeurs très faibles du taux de restitution d’énergie critique, de l’ordre de 10 J/ m2 . Viennent ensuite les résines fragiles, avec des valeurs de l’ordre de 100 à 500 J/ m2 . Les composites verre–résine possèdent des valeurs de l’ordre de 7000 J/ m2 , ce qui les place au voisinage des alliages d’aluminium (20000 J/ m2 ). Les matériaux les plus résistants à la déchirure sont les aciers (100 kJ/ m2 ), et, bien entendu, les métaux purs (100–1000 kJ/ m2 ).
110
CHAPITRE 10. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DE LA RUPTURE
x2
M r
A’
A
θ
A
x1
A : (0,a) A’ : (0,-a) F IG . 10.2 – Plaque infinie en traction simple selon x2
10.3
Facteur d’intensité de contrainte
Sauf mention contraire, les développements des chapitres suivants concernent des milieux bidimensionnels. La fissure y sera linéaire, définie par sa longueur a. En toute rigueur, l’extension en tridimensionnel n’est possible que si le front de fissure dans la pièce réelle est perpendiculaire au plan d’étude, et alors : A = ab, b étant l’épaisseur de la pièce.
10.3.1
Solution de Muskhelishvili
La figure 10.2 montre le système qui est considéré ici. Il s’agit d’un panneau ”infini”, contenant une fissure de longueur 2a selon l’axe x1 , et sollicité en traction uniforme selon l’axe x2 . Dans la pratique, un modèle de ce type pourra être raisonnablement utilisé dès lors que les dimensions de la fissure seront de 10 à 20 fois plus faibles que celle de la plaque. Il existe une solution analytique exacte de ce problème, sur l’axe x2 = 0, en supposant un état de contraintes planes : − Si
x1 > a
− Si 0 6 x1 6 a
1/2 σ22 = σ∞ / 1 − (a/x1 )2 ! σ 1−ν ∞ ν+ ε22 = E (1 − (a/x1 )2 )1/2 1/2 4 a σ∞ 1 − (x1 /a)2 [u2 ] = 2u2 = E
σ11 = σ22 − σ∞
(10.15) (10.16) (10.17)
La formule du déplacement u2 sur la frontière de la fissure montre que l’ouverture des lèvres de la fissure est représentée par une ellipse. Le changement de variable x1 = a + r montre qu’il existe au voisinage de la pointe de fissure une singularité en r1/2 lorsque r tend vers 0. σ22 ∝ σ∞ (a/2r)1/2
10.3.2
(10.18)
Solution asymptotique de Westergaard
Le problème précédent peut également être abordé en introduisant la «fonction d’Airy» Ψ(x1 , x2 ) telle que : σ11 = Ψ,22 ; σ22 = Ψ,11 ; σ12 = Ψ,12 . Les équations d’équilibre sont alors automatiquement
10.3. FACTEUR D’INTENSITÉ DE CONTRAINTE
111
vérifiées. En élasticité linéaire, le report de ces égalités dans les conditions de compatibilité 2 ε12,12 = ε11,11 + ε22,22 conduit à chercher Ψ comme solution de l’équation biharmonique ∆ ∆ Ψ = 0. Ce problème se résoud par la méthode des fonctions complexes. On obtient ainsi la solution asymptotique au voisinage de la pointe de fissure (Fig.10.3). Irwin a montré que le premier terme du développement limité est le même, à un facteur multiplicatif près, pour tous les problèmes correspondant à un mode d’ouverture donné. La sollicitation d’une fissure linéaire dans un milieu plan perpendiculairement à son axe correspond au mode I ; on introduit ainsi le facteur d’intensité de contrainte en mode I, KI ,tel que : √ (10.19) KI = lim σ22 2 π r r→0
10.3.3
Différents modes de sollicitation
Le chargement étudié jusqu’à présent fait intervenir un champ de contrainte «lointain» comportant une seule composante, normale à la direction de la fissure, il s’agit du mode d’ouverture, ou mode I. C’est celui qui est physiquement le plus important, puisqu’une fissure en mode I se propage dans son propre plan, par raison de symétrie, sans bifurcation, l’ouverture de la fissure conduisant facilement à la rupture. Dans le cas du mode II, le champ lointain de sollicitation extérieure est un cisaillement perpendiculaire au front de fissure (Fig.10.3.b), et dans le cas du mode III un cisaillement parallèle au front de fissure (Fig.10.3.c).
10.3.4
Remarques
√ 1. L’unité de K est le N.m−3/2 . On utilise couramment le MPa. m. K dépend à la fois du matériau et de la géométrie. 2. La singularité en r permet à l’énergie de déformation élastique de rester finie en pointe de fissure (le matériau ne devient pas localement indéformable) : We =
1 2
Z V
σ : ∼εdV ∝ ∼
1 2
Z V
1 1 √ √ r dr dθ r r
(10.35)
3. La comparaison de la solution précédente en θ = 0 et de la solution de Muskhelishvili lorsque r tend vers 0 fournit l’expression de KI pour une fissure horizontale de longueur 2a chargée selon x2 à l’infini avec une contrainte σ∞ : r a KI Westergaard : σ22 ∝ √ ; Muskhelishvili : σ22 ∝ σ∞ (10.36) 2 r 2πr √ KI = σ∞ π a (10.37) 4. Il ne faut pas confondre KI avec Kt facteur de concentration de contrainte, qui est sans dimension, et qui caractérise le rapport entre la contrainte normale maximale et la contrainte à l’infini au voisinage d’une entaille. Ainsi, au voisinage d’un défaut elliptique de longueur 2a et de rayon de courbure ρ le facteur de concentration de contrainte vaut : p Kt = σ22max /σ∞ = 2 a/ρ (10.38) Cette valeur peut se retrouver à l’aide de la solution de Muskhelishvili pour un trou elliptique. La valeur de Kt devient infinie lorsque le rayon ρ tend vers 0, ce qui n’est bien sûr pas le cas de KI . 5. En mode I, il est possible de trouver la relation entre K et G en évaluant le travail nécessaire pour refermer une fissure de longueur a + ∆a, comme indiqué en figure 10.4. Il s’agit d’exprimer que la densité d’effort sur le segment OO0 passe de 0 lorsque la fissure est en O0 à σ22 lorsque la fissure est en O, alors que dans le même temps l’ouverture passe de u2 à 0. Le résultat obtenu est :
112
CHAPITRE 10. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DE LA RUPTURE
a. Mode I : ouverture
KI θ 3θ θ σ11 = √ cos (1 − sin sin ) 2 2 2 2πr
(10.20)
KI θ θ 3θ σ22 = √ cos (1 + sin sin ) 2 2 2 2πr
(10.21)
θ KI θ 3θ σ12 = √ cos sin cos 2 2 2 2πr r r KI θ θ u1 = cos (κ − 1 + 2 sin2 ) 2µ 2π 2 2 r r KI θ θ u2 = sin (κ + 1 − 2 cos2 ) 2µ 2π 2 2
(10.22) (10.23) (10.24)
avec : κ = 3 − 4ν en déformations planes (10.25) 3−ν en contraintes planes (10.26) et : κ = 1−ν
b. Mode II : glissement dans le plan
KII θ θ 3θ σ11 = − √ sin (2 + cos cos ) 2 2 2 2πr
(10.27)
θ KII θ 3θ σ22 = √ sin cos cos 2 2 2 2πr
(10.28)
θ KII θ 3θ cos (1 − sin sin ) σ12 = √ (10.29) 2 2 2 2πr r r θ θ KII sin (κ + 1 + 2 cos2 ) (10.30) u1 = 2µ 2π 2 2 r KII r θ θ u2 = − cos (κ − 1 − 2 sin2 ) (10.31) 2µ 2π 2 2
KIII θ σ13 = − √ sin 2 2πr
c. Mode III : glissement antiplan
KIII θ σ23 = √ cos 2 2πr r 2KII r θ u3 = − sin µ 2π 2
(10.32) (10.33) (10.34)
F IG . 10.3 – Les différents modes de fissuration et les champs singuliers associés
10.4. ANALYSE DE L’ÉTAT DE CONTRAINTE TRIDIMENSIONNEL
113
x2
0’
0
x1
∆a
a
F IG . 10.4 – Opération de refermeture de fissure pour le calcul de la relation K–G G = KI 2 (k + 1) /8 µ avec k = 3 − 4ν en déformations planes, et k = (3 − ν)/(1 − ν) en contraintes planes, soit : (10.39) Contraintes planes : G = KI 2 /E G = (1 − ν2 )KI 2 /E
Déformations planes :
(10.40)
Pour effectuer la démonstration des formules précédentes, le taux de restitution d’énergie est pris sous la forme : Z 1 ∂u Fd . dS (10.41) G= 2 SF ∂A Le calcul consiste à évaluer, par unité d’épaisseur : G. ∆a =
1 2
Z a+∆a a
σ22 (O) u2 (O0 ) dx1
(10.42)
Par ailleurs, les relations générales sont, en cas de mélange des modes : Contraintes planes : Déformations planes :
G= G=
1 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E
1 − ν2 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E
(10.43) (10.44)
6. Dans le cas des matériaux anisotropes, il existe un couplage entre les différents modes même pour les configurations les plus simples, comme la plaque en traction étudiée précédemment. On définit alors un tenseur de facteurs d’intensité de contraintes : √ Ki j = lim σi j 2 π r (10.45) r→0
10.4
Analyse de l’état de contrainte tridimensionnel
Après avoir examiné le problème d’élasticité bidimensionnelle, il est utile de considérer l’état de contrainte 3D qui s’établit dans les structures. – Dans les structures épaisses (exemple de l’éprouvette de la figure 10.5.a), l’état de contrainte est triaxial, et 0 < σ11 < σ33 < σ22 . Les directions de glissement préférentielles sont donc dans le plan de cisaillement maximum, x1 − x2 , si bien que l’éprouvette périt «par l’arrière» de la fissure.
114
CHAPITRE 10. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DE LA RUPTURE x2
x3
x1
F IG . 10.5 – Etat de contrainte tridimensionnel en pointe de fissure – Dans les structures minces (exemple de l’éprouvette de la figure 10.5.b), la composante 33 du tenseur de contrainte est négligeable (0 < σ33 < σ11 < σ22 ), si bien que le plan de cisaillement maximum est maintenant le plan x2 − x3 , et que l’épaisseur de la structure va diminuer au devant de la fissure, provoquant la ruine par amincissement exagéré.
10.5
Propagation de fissure en fatigue
10.5.1
Amorçage–propagation dans les matériaux métalliques
Le phénomène de fatigue se manifeste sur les matériaux soumis à des chargements de faible intensité, qui individuellement ne présenteraient pas de danger, mais qui, appliqués de façon cyclique, conduisent à l’amorçage puis à la propagation de fissures, d’abord microscopiques, puis macroscopiques. La figure 10.6 schématise ce processus, dans un diagramme où la vitesse de propagation par cycle est reportée en fonction de la longueur de la fissure. Comme indiqué en introduction, les fissures courtes sont noyées dans des champs locaux, imposés par les efforts extérieurs et la géométrie locale (cristallographie par exemple), et leur étude individuelle n’est pas aisée. Celles qui sont observées lors d’une étude microstructurale sont celles qui ont progressé de façon préférentielle, donc qui se trouvaient dans les zones les plus sollicitées. Il est donc normal que, dans le diagramme (da/dN–a), elles présentent des vitesses grandes. Certaines d’entre elles s’arrêtent, tandis qu’un petit nombre (en général une seule) dépasse la taille de la microstructure, pour devenir une «grande» fissure, qui peut être étudiée à l’aide de la mécanique linéaire de la rupture. La zone de non-propagation peut se représenter également dans un diagramme (log σ–log a ), dit de Kitagawa (Fig.10.7). La partie horizontale de la frontière du domaine correspond à la limite d’endurance, ou limite de fatigue. Il s’agit du niveau de contrainte cyclique en dessous duquel aucune micro-fissure ne se développera. Une structure sans défaut macroscopique, ou une éprouvette lisse soumises à ce type de chargement ne présenteront pas de risque de rupture. Pour des longueurs de fissure plus importantes, la structure résistera d’autant moins bien que la fissure sera longue, la frontière du domaine présentant alors une pente −1/2, ce qui est cohérent avec le fait que c’est l’amplitude de facteur d’intensité de contrainte, ∆K ∝ ∆σ a1/2 qui est le moteur de l’avancée de fissure. De même qu’il existe une limite d’endurance, il est possible de définir un facteur d’intensité de contrainte seuil en dessous duquel la fissure ne progresse pas.
10.5.2
Loi de Paris
Les courbes da/dN–∆K présentent la forme indiquée en figure 10.8. En régime établi, elles présentent une partie linéaire dans un diagramme log–log, ce qui permet de les modéliser par la loi
10.5. PROPAGATION DE FISSURE EN FATIGUE
115
da/dN (mm/cycle)
1 10 -3
Fissures "courtes" Fissures "longues"
10 -6 10 -9 Pas de propagation
10 -3 1
a (mm)
F IG . 10.6 – Schématisation de la propagation de fissures de fatigue
σ
Pasdepropagation -1/2 a
σ1
Taille de grain
F IG . 10.7 – Diagramme définissant les limites de fatigue et de propagation de fissure
116
CHAPITRE 10. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DE LA RUPTURE
da/dN (mm/cycle)
1 10 -3 10 -6 10 -9 ∆ KS
K 1C
∆K
F IG . 10.8 – Illustration de la loi de Paris dans le diagramme da/dN–∆K Matériau acier haute résistance (ex : 35NCD16) acier moyenne.résistance (ex : 15MND6) . . . . . .(basse température) . . .(palier ductile) alliages d’aluminium (ex : 7075) alliages de titane (ex : TA6V) composite verre-résine polyéthylène polystyrène résine époxyde verre
KIc
(MPa 60 40 200 30 80 7 6,5 0,4 0,1 0,01
√
m)
∆ Ks
(MPa 1à4
√
m)
3 8 1,5 à 4 2à8
TAB . 10.1 – Valeur critique et valeur seuil du facteur d’intensité de contrainte pour quelques matériaux de Paris, qui définit la vitesse de propagation par cycle comme une fonction puissance de l’amplitude du facteur d’intensité de contrainte : da = C. ∆K m (10.46) dN Dans le même diagramme est également reportée la valeur de KIc , qui correspond à une rupture instantanée, par dépassement de la valeur critique de K sous chargement monotone. Le tableau 10.1 fournit donc, en même temps que Ks , quelques valeurs typiques de KIc pour les alliages usuels, auxquelles sont ajoutées pour comparaison celles qui sont classiquement obtenues pour des matériaux √ non métalliques (valeurs en MPa. m).
10.5. PROPAGATION DE FISSURE EN FATIGUE
117
Résumé
– Taux de restitution d’énergie, défini à partir de la variation d’énergie potentielle G=−
∂V 1 ∂u 1 ∂F d Fd . . u dS = dS − ∂A 2 SF ∂A 2 Su ∂A Z
Z
– Charge ponctuelle, à déplacement imposé G=−
1 2
F 2 dR R 2 dA
– Charge ponctuelle, à force imposée G=
1 d dC d F . F 2 dA
– Facteur d’intensité de contrainte en mode I √ KI = lim σ22 2 π r r→0
– ... pour une fissure de longueur 2a dans une plaque infinie √ KI = σ πa – Relation G–K – En contraintes planes G=
1 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E
– En déformations planes G=
1 − ν2 1+ν (KI 2 + KII 2 ) + KIII 2 E E
– Unité de G = J.m−2 ; unité de K = Pa.m1/2 = N.m−3/2 – Loi de Paris da = C. ∆K m dN
118
CHAPITRE 10. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DE LA RUPTURE
Deuxième partie
APPLICATIONS
119
Chapitre 11
Prolongements du cours 11.1
Contraintes thermomécaniques
Les champs thermiques non uniformes génèrent dans les solides des dilatations qui créent des contraintes dites thermomécaniques dans les structures. Celles-ci doivent être bien entendu prises en compte dans la plupart des moteurs thermiques, mais elles jouent aussi un rôle fondamental dans la construction de grandes installations comme ITER. Ici, le rôle des physiciens est bien entendu fondamental, mais l’installation ne pourra pas exister sans que soient trouvées des solutions pour évacuer correctement les quantités de chaleurs gigantesques qui sont générées. Il faut donc trouver les matériaux adéquats, et les configurations mécaniques qui permettent de garantir la pérennité des systèmes (Fig.11.1).
http ://www-fusion-magnetique.cea.fr F IG . 11.1 – Premier plasma obtenu dans Tore-Supra
L’effet de contraintes thermomécaniques peut également se faire sentir de façon plus inattendue, ainsi dans le barrage de Manic5, situé au Québec, une construction de 214 m de haut et plus de 1500 m de long (11.2). L’histoire de sa construction et des modifications nécessaires pour qu’il résiste aux écarts de température constitue l’illustration de la première séance.
121
122
CHAPITRE 11. PROLONGEMENTS DU COURS
F IG . 11.2 – Pourquoi a-t-il fallu mettre des chemises au barrage de Manic5 ?
Un essai très simple permet de prendre conscience de l’importance de ces contraintes thermomécaniques : une bille de verre chauffée puis projetée dans l’eau froide se fissure (Fig.11.3). Le site web propose un mini-projet sur ce thème.
F IG . 11.3 – Illustration de la rupture de billes de verre en raison des contraintes thermomécaniques
Sur le site se trouve également une animation, qui illustre la complexité des phénomènes liés aux chargements anisothermes. Un fil d’acier ordinaire (Fig.11.4) est chauffé par effet Joule. Au cours du chauffage, en raison du changement de phase solide–solide, d’une phase cubique centrée à basse température vers une phase cubique faces centrées à haute température, plus compacte, le mouvement du fil n’est pas monotone.
11.2. RHÉOLOGIE
123
F IG . 11.4 – Montage utilisé pour mettre en évidence le changement de phase dans les aciers
11.2
Rhéologie
La rhéologie est l’étude du processus de déformation des matériaux lorsque le comportement n’est pas élastique. Elle comporte le développement des modèles de comportement adaptés, mais une importante part de son domaine d’action est la caractérisation expérimentale. Ce point est illustré ici (Fig.11.5) à partir de deux montages qui font l’objet d’un mini-projet. Il s’agit d’un montage de compression d’une éprouvette cylindrique en gypse. Il permet de mettre en évidence le comportement plastique et d’atteindre la rupture de l’échantillon. Le second système est un montage de flexion circulaire qui permet de mettre en évidence le concept de retour élastique après plastification.
(a)
(b)
(c)
F IG . 11.5 – (a) Compression d’un cylindre de gypse mettant en évidence la plastification de la roche. (b) Montage utilisé pour mettre en évidence le retour élastique après plastification, (c) plaques en acier et en aluminium après essai
De façon générale, le comportement des matériaux devient dépendant du temps lorsqu’on élève la température. On peut rencontrer cette dépendance dès la température ambiante. La figure 11.6 montre deux exemples qui sont offerts en exercices interactifs : il s’agit du fluage du sel gemme à plusieurs niveaux de charge, et d’expériences de fluage et de relaxation sur un fil de brasure.
124
CHAPITRE 11. PROLONGEMENTS DU COURS
(a)
(b)
(c)
F IG . 11.6 – (a) Montage utilisé pour l’étude du comportement viscoplastique du sel gemme, (b) éprouvette cylindrique en sel. (c) Expérience de fluage d’un fil de brasure
11.3
Critères
L’image de la figure 11.7 réunit trois générations d’aubes de turbine utilisées dans les parties les plus chaudes des turbines aéronautiques. La pièce de gauche est polycristalline, elle est constituée de grains d’orientation aléatoire, dont la taille est inférieure au millimètre. L’image du milieu montre la même pîèce réalisée à partir d’une solidification directionnelle, ce qui conduit tous les grains à avoir en commun une direction cristallographique. La pièce de droite est formée d’un seul monocristal. Les conséquences sur le comportement multiaxial est considérable, comme le rappelle l’illustration du chapitre sur les critères. Le lecteur pourra également profiter d’une application interactive pour tracer ces surfaces de charge.
F IG . 11.7 – Evolution du type de matériau pour la fabrication des aubes de turbine
11.4
Plasticité
La prise en compte de la plasticité est importante dans un grand nombre de procédés de construction. La figure 11.8 montre l’exemple de l’emboutissage des tôles métalliques, qui constitue une illustration du chapitre sur la rhéologie. L’exigence d’économie d’énergie rend l’optimisation des moteurs automobiles indispensable. La figure 11.9 montre comment la simulation numérique s’est imposée en une vingtaine d’années pour la
11.4. PLASTICITÉ
125
F IG . 11.8 – L’étude de la déformation plastique permet d’éviter les déformations parasites lors de la mise en forme
conception des pièces critiques. La description du fonctionnement des culasses constitue l’illustration du chapitre sur la plasticité 3D. Les assemblages font intervenir des boulons, comme en figure 11.10, dont l’étude fait l’objet d’un mini-projet.
(a)
(b)
F IG . 11.9 – (a) Simulation de la zone sensible – le pontet – dans une culasse diesel (Stage de fin d’études Mines, Peruzzetto, 1986). (b) Simulation d’un cylindre
Dans des systèmes soumis à des chargements cycliques (marche–arrêt, vibrations), il peut s’établir plusieurs types de régimes asymptotiques : comportement élastique, boucle d’hystérésis contrainte– déformation stable, ou encore déformation progressive. Ce dernier cas introduit un mécanisme de rochet, qui peut conduire à la ruine de la structure. Les intersections de tuyaux, comme celle qui est représentée en figure 11.11 est une zone sensible vis-à-vis de ce genre de problème. L’étude effectuée dans un récent programme européen (LISA) est expliqué dans la rubrique illustration du chapitre «écrouissage». On pourra également consulter les animations de ce même chapitre.
126
CHAPITRE 11. PROLONGEMENTS DU COURS
(a)
(b)
F IG . 11.10 – Vis de culasse, (a) vue générale, (b) zoom sur la partie déformée plastiquement
F IG . 11.11 – Mise en évidence des zones présentant des déformations progressives dans un piquage
11.5
Poutres
La théorie des poutres permet de traiter de façon analytique des cas de chargements élémentaires sur des structures élancées. La figure 11.12 illustre un montage faisant l’objet d’un mini-projet, qui propose le calcul d’une passerelle.
F IG . 11.12 – Mise en évidence des performances d’une structure composite
11.6. PLAQUES STRATIFIÉES
127
Les ailes des avions (Fig.11.13) sont un exemple de poutre particulièrement complexe. On propose, dans le cadre d’un mini-projet, de retrouver les différents éléments qui la composent et d’expliquer les essais de flexion statique réalisés sur les premiers prototypes, et qui présentent des flèches de plusieurs mètres en bout d’aile.
F IG . 11.13 – Une vue de l’Airbus A380 au décollage
11.6
Plaques stratifiées
Les théories de plaques et de coques interviennent dans les secteurs les plus en pointe de l’industrie. La figure 11.14 montre un «wafer» en silicium, plaque circulaire d’épaisseur millimétrique dont le diamètre vaut de 10 à 30 cm, et qui doit rester parfaitement plane pendant le cycle de conception.
F IG . 11.14 – Vue d’un «wafer», tranche monocristalline de silicium qui supporte des composants éléectroniques
La figure 11.15 montre les versions 1 et 2 (cette dernière en construction) d’appareils construits en fibre de carbone. SpaceShipOne a remporté le «X-Price» en atteignant l’altitude de 100 km.
128
CHAPITRE 11. PROLONGEMENTS DU COURS
SpaceShipTwo est destiné aux vols de loisir.
Scaled Composite (a)
virgingalactic (b)
F IG . 11.15 – Une vue du SpaceShipOne et de son lanceur, (b) SpaceShipTwo en construction
11.7
Homogénéisation
Les méthodes d’homogénéisation permettent d’évaluer les propriétés moyennes d’un matériau hétérogène en prenant en compte la fraction volumique de chaque composant, et, dans certains cas, leur morphologie. La figure 11.16 montre un des calculs qui est proposé au chapitre homogénéisation dans le cadre d’un exercice interactif.
F IG . 11.16 – Une vue de la cellule élémentaire permettant de calculer le comportement homogène équivalent d’un composite à fibres
11.8
Mécanique de la rupture
La mécanique de la rupture permet d’étudier les fissures depuis les tailles micrométriques jusqu’au mètre, voire au kilomètre (faille de la croûte terrestre). La figure 11.17 présente le célèbre exemple des «Liberty Ships» construits pendant la seconde guerre mondiale, qui, avec l’histoire du Titanic, fournissent l’illustration du chapitre sur la mécanique de la rupture.
11.8. MÉCANIQUE DE LA RUPTURE
F IG . 11.17 – Une longue fissure dans un bateau de transport
129
130
CHAPITRE 11. PROLONGEMENTS DU COURS
Chapitre 12
Exercice 12.1
Etude de contraintes thermiques dans un barrage
Géométrie et gradient thermique
On veut caractériser les contraintes d’origine thermique dans un barrage en béton. On ne considère pas pour le moment les contraintes dues à la pression de l’eau retenue, qui peuvent être prises en compte par superposition. On vérifiera en fin de compte que les valeurs correspondantes sont faibles devant les contraintes thermomécaniques. On ne considère pas non plus le poids propre du barrage. On étudie le prisme de la figure ci-dessus, d’épaisseur e selon x1 , «infini» selon x2 , «long» selon x3 , (hauteur h). La température lors de la fabrication est uniforme T = T0 , et elle évolue ensuite, pour prendre une valeur T1 en x1 = 0 et T2 en x1 = e, avec un profil que l’on supposera linéaire. On suppose également que ce rectangle représente la section minimale (en direction x2 ) d’un barrage voute, et qu’elle est bloquée par les renforts placés régulièrement le long du barrage. La base du barrage ne peut pas glisser horizontalement, mais on négligera l’effet de «pincement» introduit par ce blocage. On suppose qu’une section horizontale reste horizontale, et une section verticale reste verticale, si bien que la déformée du rectangle initial est un rectangle. Application numérique : - module d’Young : E = 40 000 MPa ; coefficient de Poisson : ν = 0.2 - coefficient de dilatation thermique : α = 14.10−6 /◦ C - température au moment de la construction : T0 = 20◦ C 0 - température côté air : en hiver, T1 = −40◦ C ; en été, T1 = 20◦ C - température côté eau : T2 = 0◦ C 1. Prévoir, sans calcul, la forme des tenseurs de contraintes et de déformations, ainsi que les directions principales. 131
132
CHAPITRE 12. EXERCICE Chacune des composantes des tenseurs de contrainte et de déformation dépend a priori de x1 , x2 et x3 . Le fait que l’on se place en déformation plane en direction x2 supprime la dépendance en x2 . On négligera aussi la dépendance en x3 , en considérant qu’une section horizontale courante du barrage subit le même gradient thermique quelle que soit la valeur de x3 . Ces hypothèses permettent d’annuler les composantes 12 et 23, car on a un état de déformation plane en direction 2s, et les termes 13 nuls car il y a indépendance en x3 , et une section plane de normale x3 reste plane. Dans le repère x1 , x2 , x3 , les tenseurs de contrainte et de déformation sont donc respectivement représentés par les matrices : σ11 0 0 ε11 0 0 0 σ22 0 et 0 0 0 (12.1) 0 0 σ33 0 0 ε33
2. Ecrire les relations de Hooke donnant σi j en fonction de εkl , en prenant en compte une dilatation thermique isotrope en chaque point du solide, εth = α(T − T0 ), en utilisant E et ν. Les relations de Hooke s’écrivent : Eε11 =Eα(T − T0 ) + σ11 − νσ22 − νσ33
(12.2)
Eε22 =Eα(T − T0 ) − νσ11 + σ22 − νσ33 = 0 Eε33 =Eα(T − T0 ) − νσ11 − νσ22 + σ33 =
Eε033
(12.3) (12.4)
On a respectivement exprimé les états de déformation plane (eq.12.3) et déformation plane généralisée (éq.12.4) . 3. A l’aide des équations d’équilibre et des conditions aux limites en x1 = 0 et x1 = e, trouver σ11 . Les contraintes et les déformations ne dépendent que de x1 , la seule équation d’équilibre non triviale s’exprime σ11,1 = 0 ; σ11 est donc indépendante de x1 . Comme par ailleurs elle doit être nulle à la fois en x1 = 0 et x1 = e, elle est nulle partout : ∀ M, σ11 = 0
(12.5)
Les expressions de la question précédente se réexpriment donc : Eε11 =Eα(T − T0 ) − νσ22 − νσ33 0 =Eα(T − T0 ) + σ22 − νσ33 Eε033
=Eα(T − T0 ) − νσ22 + σ33
(12.6) (12.7) (12.8)
4. En écrivant la résultante des efforts sur une section courante du barrage de normale x3 , trouver σ33 . Calculer la valeur maximale de σ33 . On exprime σ22 en fonction de σ33 dans l’équation 12.7, et on reporte dans l’équation 12.8, ce qui fournit : Eε033 = Eα(1 + ν)(T − T0 ) + (1 − ν2 )σ33 (12.9) En exprimant le fait que la résultante des efforts sur une surface normale à l’axe x3 est nulle, il vient : Z e 0 = Eeε033 − Eα(1 + ν) (T − T0 )dx (12.10) 0
d’où ε033 =
α(1 + ν) e
Z e 0
(T − T0 )dx
(12.11)
12.1. ETUDE DE CONTRAINTES THERMIQUES DANS UN BARRAGE
133
On en déduit σ33 , qui s’avère indépendant de T0 : Eα σ33 = e(1 − ν)
Z e 0
Eα Eα (T − T0 )dx − (T − T0 ) = 1−ν 1−ν
Z
e
0
T dx − T e
(12.12)
Dans le cas d’un profil linéaire : Eα σ33 = 1−ν
T1 + T2 −T 2
(12.13)
Dans ce dernier cas, la contrainte est maximale en surface ; elle est positive du côté froid, et vaut : σ33max =
Eα T2 − T1 1−ν 2
(12.14)
Il faut aussi remarquer que le résultat ne dépend pas directement de l’épaisseur du mur. Dans la pratique, pour des conditions d’échanges thermiques données, une épaisseur plus importante conduira à des gradients plus importants. On en déduit que les parois qui résistent le mieux aux contraintes thermomécaniques sont les parois les plus minces. 5. Calculer σ22 . En remplaçant σ33 par son expression dans l’équation 12.7, il vient : σ22 = −
Eα(T − T0 ) Eαν + 1−ν 1−ν
Z e T − T0 0
e
dx
(12.15)
Dans le cas d’un profil linéaire, Eα(T − T0 ) Eαν σ22 = − + 1−ν 1−ν On note que : si T1 = T2 T1 + T2 si T0 = 2
T1 + T2 − T0 2
(12.16)
σ22 = Eα(T0 − T1 ) (tension en direction x2 si T1 < T0 ) Eα(T − T0 ) σ22 = − 1−ν
Application numérique : – En hiver, l’air (température T1 ) est plus froid que l’eau (température T2 ). Il s’exerce une traction biaxiale, dont la valeur maximale est du côté de l’air. Eα T2 − T1 1−ν 2 Eα T2 + T1 σ22max = (T0 − T1 ) + ν − T0 1−ν 2 σ33max =
Soit avec les valeurs numériques proposées : 40000 × 14.10−6 × 40 = 14MPa (1. − 0.2) × 2 40000 × 14.10−6 σ22max = ((20 + 40) + 0.2 × (−20 − 20)) = 36, 4MPa 0.8
σ33max =
Les valeurs obtenues sont suffisantes pour produire des fissures (le béton résiste à moins de 10 MPa en traction).
134
CHAPITRE 12. EXERCICE – Entre l’hiver et l’été, la variation de déformation verticale ne dépend que de la variation de température de l’air : e 0 (1 + ν) α (T − T )dx e 0 0 T − T1 = (1 + ν)α 1 2 = 1.2 × 14.10−6 × 60/2 = 5.04 × 10−4
Z
∆ε033 =
Sur la hauteur de 200 m, le déplacement vaut donc environ 10 cm ! Il faut impérativement tenir compte des dilatations dans la conception de ce type d’ouvrage.
12.2
Flexion d’une poutre de section rectangulaire x3
M
x2
Epaisseur b
x
2h
x1
M
Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre
La poutre de la figure 1 possède une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b. Elle est chargée en flexion pure (cisaillements négligés), et on suppose qu’une section droite de normale x1 reste droite. Le comportement du matériau qui la constitue est élastique (E, ν) parfaitement plastique (σy ). 1. Quelle est la distribution de contrainte et de déformation en élasticité ? L’état de flexion pure autour de x2 d’un barreau d’axe x1 est caractérisé par une déformation ε11 linéaire en x3 et, en élasticité, par une contrainte σ11 également linéaire en x3 . On pose σ11 = kx3 . Toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles. Les tenseurs de contrainte et de déformation élastique sont respectivement représentés par les matrices : σ/E 0 0 σ 0 0 0 0 0 −νσ/E 0 et 0 (12.17) 0 0 −νσ/E 0 0 0 Le vecteur contrainte sur une section courante de normale e1 se réduit à σ11 e1 . On déduit immédiatement de la géométrie de la section (0 6 x2 6 b et −h 6 x3 6 h) que la résultante est nulle sur une facette normale à l’axe x1 . Le moment des efforts intérieurs sur la section de la poutre s’écrit, en tenant compte du fait que les composantes de OM sont (0, x2 , x3 ) : ZZ
M=
(OM × T ) dS = M2 e2 + M3 e3
(12.18)
avec : ZZ
M2 = M3 = −
ZZ
x3 σ11 dx2 dx3 = ZZ
k x32 dx2 dx3
x2 σ11 dx2 dx3 = −
(12.19)
ZZ
k x2 x3 dx2 dx3
(12.20) (12.21)
12.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE
135
La composante M3 est nulle (intégrale de x3 entre −h et h). L’expression obtenue pour M2 , que l’on désignera dans la suite par M, est (voir Fig.2a) : Z +h
M = kb −h
2 x32 dx3 = kbh3 3
(12.22)
On peut donc exprimer k en fonction du moment, et, en posant I = 2bh3 /3, on trouve la valeur courante de σ11 sur la section : σ11 (x3 ) = σ(x3 ) = Mx3 /I (12.23) Il s’agit d’une fonction impaire en x3 , dont la valeur maximale, σm , atteinte en x3 = h, vaut 3M/2bh2 . 2. Trouver le moment Me pour lequel la plasticité débute. Il y a plastification lorsque σm = σy , soit : Me = 2bh2 σy /3 +h
x3
x3
σΜ Traction
a
−a − σΜ
Compression
σ0
− σ0
−h
b
a x3
σ0
− σ0 c
Figure 2 : Profil de contrainte σ11 dans une poutre en flexion simple : (a) Elasticité, (b) En cours de plastification, (c) Charge limite
3. Trouver la distribution des contraintes lorsque M dépasse Me . Montrer qu’il existe une valeur limite M∞ du moment de flexion pour laquelle les déformations deviennent infinies. Pour M > Me , il y a un noyau élastique −a ≤ x3 ≤ a, et deux zones plastiques, l’une en traction (x3 > a), l’autre en compression (x3 < −a). Dans le noyau élastique, on a toujours linéarité de la contrainte avec x3 : σ = kx3 ; dans les zones plastiques, on a σ = +σy (x3 > a), ou σ = −σy (x3 < −a) (Fig.2b). Les deux inconnues du problème sont k et a. Elles doivent vérifier : Z +h
– la condition d’équilibre (1) : −h
x3 σb dx3 = M
– la continuité de la déformation en ±a , entraînant celle de la contrainte à la frontière entre les zones élastique et plastique : ka = σy d’où : k = σy /a. En remplaçant σ par son expression dans l’égalité (1), on obtient la valeur de M : Z a
M/2 = 0
Z h
x3 (σy x3 /a)b dx3 +
a
x3 bσy dx3
136
CHAPITRE 12. EXERCICE M = bσy (h2 − a2 /3) Remarques – Si a = h : M vaut bien Me = (2/3)bσy h2 – Si a = 0 : M = M∞ = bσy h2 = 3Me /2 Dans les deux cas, les solutions élastique et plastique se raccordent correctement. Pour M = M∞ , la totalité de la poutre est plastifiée, elle ne peut plus supporter de charge supplémentaire, on a une rotule plastique (Fig.2c).
4. Que se passe-t-il lorsqu’on relâche l’effort (M = 0), i) dans le cas où le moment maximum atteint vaut Mm ≤ Me , ii) dans le cas où Me < Mm < M∞ ? Montrer qu’il subsiste dans ce dernier cas des contraintes résiduelles. Si on n’a pas dépassé le moment Me , l’ensemble de la structure reste élastique, si bien que, après relâchement de l’effort, la structure reprendra sa forme initiale, et il n’y aura plus de contraintes. Au contraire, s’il y a eu plastification partielle, lorsqu’on fera passer le moment de Mm à zéro, les fibres qui sont allongées (resp. raccourcies) de façon irréversible vont se retrouver en compression (resp. traction). En supposant que l’ensemble de la décharge s’effectue de façon élastique (ce que l’on vérifiera par la suite), on obtient l’état final par superposition de l’état actuel et de la distribution de contrainte que l’on obtiendrait en élastique avec le moment −Mm , soit, quel que soit x3 compris entre −h et +h : σ = −Mm x3 /I. Cela donne le profil suivant, reporté en figure 3a : – pour −a ≤ x3 ≤ a σ = σy x3 /a − 3Mm x3 /2bh3 – pour x3 ≥ a σ = σy − 3Mm x3 /2bh3 – pour x3 ≤ −a σ = −σy − 3Mm x3 /2bh3 Remarques – On note que la pente −3Mm /2bh3 est négative pour |x3 | > a. Z +h
– Les contraintes résiduelles sont autoéquilibrées : −h
σ dx3 = 0.
– On ne replastifie pas en compression, car, lorsque le moment maximum Mm tend vers le moment limite M∞ = bσy h2 , la contrainte σc obtenue par superposition en x3 = h reste supérieure à −σy : σc = σy − (3bσy h2 /2bh3 )h = −σy /2 σc
x3
− σ 0 /2
x3 C
a
σ0
T
−a
C
σT a
− σ0
T
σ 0 /2
b
Figure 3 : Profil de contrainte σ11 après décharge : (a) Pour une mise en charge élastoplastique, (b) Pour une mise en charge à la charge limite
5. Recommencer le problème avec une force horizontale P superposée au moment de flexion : définir dans le plan P–M la «limite d’élasticité», pour laquelle il y a plasticité commençante, et la «charge limite» correspondant à la ruine de la structure par déformation excessive. Si on applique une traction horizontale en plus d’un moment, la forme du tenseur de contrainte
12.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE
137
est inchangée, mais la ligne neutre est déplacée. On a simplement, en élasticité : σ11 = σ = Mx3 /I + P/2bh On définit donc la limite du domaine d’élasticité par un segment de droite dans chaque quadrant du plan P–M. On connaît déjà le moment limite en flexion simple. En l’absence de moment, la charge limite en traction est égale à la charge qui produit la première plasticité : P∞ = Pe = 2hbσy Pour trouver les valeurs de Pr et Mr qui conduisent à la ruine, en cas de chargement combiné, il suffit de se placer directement à l’état limite (Fig.4a), et d’y écrire l’équilibre des moments et de la force horizontale. Cet état est caractérisé par : si x3 < a : σ = −σy si x3 > a : σ = σy . On écrit alors : Z a
P= −h
Z a
M= −h
−σy b dx3 +
−σy x3 b dx3 +
Z h
Z h a
a
σy b dx3 = −2σy ab
σy x3 b dx3 = bσy (h2 − a2 )
En normant par Pe et Me , Pr = −Pe a/h ; Mr = 3Me (1 − a2 /h2 )/2, et on trouve le diagramme de la figure 4b :
Mr /Me = (3/2)(1 − (Pr /Pe )2 )
(a)
(b)
Figure 4 : (a) Profil de contrainte σ11 pour l’état de charge limite, en traction axiale et flexion pure, (b) illustration des domaines élastique et plastique dans l’espace P–M
6. Evaluer la flèche au cours du chargement et la flèche résiduelle. En supposant qu’une section plane reste plane, le champ de déplacement dans la poutre est de la forme : u1 = U(s) + θx3
U(s) désignant le déplacement d’ensemble de la section, θ son angle de rotation, S’il n’y a pas de u3 = V (s) V (s) désignant le déplacement vertical. cisaillement de type 13, la déformation correspondante doit être nulle. On trouve ainsi la relation qui permet de calculer la flèche en connaissant la rotation : u1,3 + u3,1 = 0
138
CHAPITRE 12. EXERCICE θ +V,1 = 0 La déformation axiale se calcule aisément en fonction de la rotation, puisque : ε11 = u1,1 = θ,1 x3 Dans le cas d’un comportement élastique, le terme θ,1 s’exprime en fonction du moment appliqué, puisque : Z +h
M= −h
σ11 x3 b dx3 = EIθ,1
En présence de plasticité parfaite, la rotation continue d’être imposée par le noyau élastique : une section plane reste plane, et son orientation est donnée par la pente entre −a et a. Dans cette zone : ε11 = σ11 /E = (σy /E)(x3 /a) θ,1 = σy /Ea Il s’ensuit que la courbure V,11 vaut : – en régime élastique : V,11 = −M/EI – en régime élastoplastique : V,11 = −σy /Ea L’intégration de ces équations pour une poutre simplement posée sur ses deux extrémités, et de longueur 2L (soit −L ≤ x1 ≤ L) donne pour expression du déplacement vertical : – en régime élastique : V = (M/2EI)(L2 − x12 ) – en régime élastoplastique : V = (σy /2Ea)(L2 − x12 ) La valeur maximale de la flèche est obtenue pour x1 = 0. En remplaçant a par son expression en fonction de M pendant le régime élastoplastique, on trouve l’expression de la réponse globale de la structure : σy L2 p V= 2Eh 3(1 − M/bσy h2 ) Remarque Cette expression est cohérente avec celle qui est écrite pour le cas élastique lorsque M = Me = (2/3)bσy h2 La flèche tend vers l’infini lorsque M tend vers M∞ = bσy h2 . Dans ce dernier cas, il est clair que l’hypothèse de petites déformations sera en défaut bien avant la rupture, si bien qu’il faut en toute rigueur reconsidérer le calcul. La flèche résiduelle est celle que l’on calcule en superposant au résultat précédent écrit pour le moment Mm celui obtenu lors d’une décharge élastique de −Mm , soit : V=
σy L2 Mm L2 p − 2EI 2Eh 3(1 − Mm /bσy h2 )
12.3
Critères de plasticité
12.3.1
Comparaison des critères de von Mises et Tresca
Tracer dans le plan des contraintes principales σ1 –σ2 la limite du domaine d’élasticité en accord avec les critères de von Mises et de Tresca, dans le cas où les seules composantes non nulles du tenseur des contraintes sont σ1 et σ2 . On se reportera au cours, figure 3.2.
12.3. CRITÈRES DE PLASTICITÉ
139
Effectuer le même travail lorsque l’on superpose une troisième contrainte constante σ3 . 0.5 0.5 J = (3/2)si j si j = (1/2) (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 σ2
σ +σ 3 0
σ
3
0
σ
3
σ +σ 3 0
σ1
Figure 12.3.1 : Tracé du critère de von Mises dans le plan σ1 –σ2 , en contrainte plane et pour σ3 6= 0
Le critère ne doit pas être modifié par l’addition d’un tenseur sphérique. On en déduit que la forme du critère pour l’état de contrainte : (σ1 , σ2 , σ3 ) est la même que celle obtenue pour : (σ1 − σ3 , σ2 − σ3 , 0). La forme cherchée dans le plan σ1 –σ2 est donc obtenue par simple translation dans la direction de la première bissectrice. Ce résultat, illustré en figure 12.3.1 dans le cas du critère de von Mises, est également valable pour le critère de Tresca.
12.3.2
Plasticité cristalline
a. Montrer que, dans le cas de la plasticité cristalline avec déformation par glissement cristallographique, la déformation s’effectue sans changement de volume. a. On considère un point quelconque M(x1 , x2 , x3 ) du plan de normale n. La distance de ce plan à l’origine est OP = h. On veut évaluer le tenseur de déformation uniforme produit par un glissement γ selon le vecteur m du plan défini par sa normale n. Le déplacement vaut : u = (γh) m Comme h = OM.n = xi ni : ui = γ xk nk mi ui, j = γ xk, j nk mi et u j,i = γ xk,i nk m j Comme xk, j = δk j : 2εi j = ui, j + u j,i = γ(n j mi + ni m j ) γ ε = (m ⊗ n + n ⊗ m) ∼ 2 La variation de volume associée à ce tenseur est bien entendu nulle, en effet : trace(ε∼ ) = ni mi = 0
140
CHAPITRE 12. EXERCICE n m
P
M
γ
h
O
b. Démontrer le «principe» du travail maximal pour un matériau obéissant à la loi de Schmid. On considère un monocristal métallique qui se déforme plastiquement sur un seul système de glissement (n, m). On peut donc écrire (avec γ˙ positif ; une sollicitation en sens opposé déclencherait un autre système en direction −m) : 1 ε˙ p = γ˙ (m ⊗ n + n ⊗ m) 2
∼
: n, et la cission réduite τ dans le plan n en direction m Le vecteur contrainte sur la facette n est T = σ ∼ vaut : τ = m.σ .n ∼ Il vient donc, grâce à la symétrie du tenseur des contraintes : 1 1 σ : ∼ε˙ p = γ˙ (n j mi + ni m j )σi j = γ˙ σi j ni m j = τ˙γ ∼ 2 2 ∗ , il vient : σ∗ : ε Pour un état de contrainte admissible σ ˙ p = τ∗ γ˙ ∼ ∼ ∼ ∗ Dire que σ est admissible au sens de la loi de Schmid revient à dire que la cission appliquée reste inférieure ou égale à la cission critique τc ; il s’ensuit, avec γ˙ > 0, que :
τ∗ γ˙ 6 τc γ˙ si bien que l’on obtient également : ∗ σ : ∼ε˙ p 6 σ : ∼ε˙ p ∼ ∼
Ce résultat se généralise au cas de plusieurs systèmes actifs.
12.3.3
Plastification d’un tube mince
On considère un tube mince de section circulaire, de rayon r et d’épaisseur e, chargé en pression interne p. Le matériau est supposé parfaitement plastique, de limite d’élasticité σy . On demande de définir la pression Pe à laquelle la plasticité débute et de donner à ce moment la direction de la vitesse de déformation plastique. On étudiera pour le critère de Tresca et le critère de von Mises les 3 cas suivants : a. Le tube est libre dans la direction z. b. Le déplacement est bloqué dans la direction z. c. Le tube est fermé (réservoir). Dans tous les cas envisagés ici, le tenseur des contraintes est diagonal dans le repère des coordonnées cylindriques (r,θ,z). De plus, la contrainte σrr est négligeable. On suppose que les critères de von Mises et de Tresca sont équivalents en traction simple, ils s’expriment
12.3. CRITÈRES DE PLASTICITÉ
141
donc en fonction de la limite d’élasticité en traction simple σy : – von Mises : J = σy – Tresca : max σi − σ j = σy i, j
– Lorsque le tube est libre en direction z, le tenseur se réduit donc à la diagonale : σ = Diag(0; pr/e; 0). ∼ – Lorsque la déformation selon z est nulle, l’écriture de εzz = 0 fournit : σ = Diag(0; pr/e; νpr/e). ∼ – Enfin, dans le cas de la prise en compte d’un «effet de fond», il faut équilibrer la résultante due à la pression sur le couvercle (pπr2 ) par la contrainte σzz , soit σ = Diag(0; pr/e; pr/2e). ∼ a. Le premier état correspond à de la traction simple. Les critères de von Mises et de Tresca prévoient l’apparition de la plasticité au même instant, lorsque la pression atteint la valeur :
Pe =
σy e r
Dans le cas du critère de von Mises, la direction d’écoulement, qui est définie par le déviateur du tenseur des contraintes, est Diag(−0, 5; 1; −0, 5). Le point de fonctionnement se trouve sur une arête de la surface définie par le critère de Tresca, qui s’écrit : σθθ −σrr = σy ou σθθ −σzz = σy . La première définition donne une direction Diag(−1; 1; 0), et la seconde Diag(0; 1; −1).
b. Ce nouvel état de contrainte introduit une contrainte intermédiaire σzz entre σrr et σθθ . Comme le critère de Tresca est insensible à cette contrainte, le résultat concernant le début de plastification est inchangé. Le déviateur des contraintes s’écrit : (pr/3e)Diag(−(1 + ν); 2 − ν; 2ν − 1). Le critère de von Mises prévoit donc la plastification pour : σy e Pe = √ r 1 − ν + ν2 En prenant ν = 0, 3, cette pression vaut environ 1.125σy e/r ; le critère de von Mises est «optimiste». La direction d’écoulement pour le critère de von Mises est toujours proportionnelle au déviateur. Dans le cas du critère de Tresca, l’écoulement est maintenant défini de façon non ambiguë par Diag(−1; 1; 0) puisque c’est cette fois-ci σθθ − σrr = σy qui est la seule expression valide.
c. Le critère de Tresca est de nouveau inchangé. Le déviateur et la pression limite d’après le critère de von Mises s’écrivent maintenant (pr/3e)Diag(−0, 5; 0, 5; 0), et : 2σy e Pe = √ r 3 soit environ 1.15 σy e/r. Pour ce qui concerne la direction d’écoulement, on constate cette fois-ci que les deux critères prévoient la même direction, en cisaillement pur, la composante selon z restant nulle. La figure 12.3.3 illustre les différents états de contrainte dans le plan σθθ –σzz , ainsi que les directions d’écoulement prévues.
142
CHAPITRE 12. EXERCICE σ zz
Tresca (3) (2) (1)
0
σ θθ
von Mises Figure 12.3.3 : Illustration des différents types de chargement dans un cylindre sous pression interne
12.3.4
Critère de Tresca
Trouver la déformation équivalente associée au critère de Tresca. En se plaçant dans l’espace des contraintes principales, le critère de Tresca s’exprime par max σi − σ j = σy i, j
On suppose que σ1 > σ2 > σ3 , il devient : σ1 − σ3 = σy ˙ L’écoulement plastique est parfaitement défini, par la diagonale Diag(0.5; 0; 0.5)λ. Si par contre deux contraintes principales sont égales, ainsi σ1 = σ2 > σ3 , il est possible d’écrire l’écoulement à partir de deux expressions différentes du critère, donc avec deux multiplicateurs, ou de façon identique pour la vitesse de déformation plastique, en ˙ change de signification entre les deux prenant une variable k réelle située entre −1 et +1 (la notation λ équations) : ˙ µ˙ ; −(λ ˙ + µ˙ )) ε˙ p = Diag(λ; ∼ ˙ ε˙ p = Diag(0.5(1 + k); 0.5(1 − k); −1)λ ∼
Des expressions analogues peuvent être obtenues pour des combinaisons différentes des contraintes principales. On constate que, pour l’ensemble des combinaisons étudiées, on a : ˙ = 1 ε˙ p + ε˙ p + ε˙ p λ 2 3 2 1
12.4
Comportement parfaitement plastique en traction–cisaillement
On considère un élément de volume constitué d’un matériau élastique-parfaitement plastique, qui vérifie le critère de von Mises, avec une limite d’élasticité σy : f (σ ) = J − σy , avec J(σ ) = ((3/2)s∼ : ∼ ∼ 1/2 s ) . L’élasticité est isotrope, on introduit donc classiquement le module de Young E, le module de ∼ cisaillement µ, et le coefficient de Poisson ν. 1. On examine un élément de volume isolé en traction–cisaillement, en déformation imposée : on suppose donc que ε˙ 11 et ε˙ 12 sont connus et constants pendant le chargement. Le matériau est toujours
12.4. COMPORTEMENT PARFAITEMENT PLASTIQUE EN TRACTION–CISAILLEMENT
143
élastique parfaitement plastique. Ecrire les équations de décomposition de déformation en déformation élastique et plastique sur chaque composante, ainsi que la condition de cohérence, et en déduire le système général en σ˙ 11 , σ˙ 12 , et p˙ qui permet de résoudre le problème de l’écoulement plastique. Le chargement imposé est de la forme : ε˙ 11 ε˙ 12 0 ε˙ := ε˙ 12 ? 0 ∼ 0 0 ? On a les expressions suivantes pour le tenseur de contraintes et son déviateur : σ11 σ12 0 2σ11 /3 σ12 0 −σ11 /3 0 s = σ12 σ = σ12 0 0 ∼ ∼ 0 0 0 0 0 −σ11 /3 Durant l’écoulement plastique, la valeur du critère de von Mises est constante, donc σy . On en déduit la direction d’écoulement : 3σ12 /2σy 0 σ11 /σy s 3∼ 0 = 3σ12 /2σy −σ11 /2σy n∼ = 2J 0 0 −σ11 /2σy
q σ211 + 3σ212 =
˙ Comme on le sait, le multiplicateur plastique q λ est égal à la vitesse de déformation cumulée lorsqu’on ˙ = p˙ = (2/3)ε˙p : ε˙p ), si bien que la vitesse de déformation plastique utilise le critère de von Mises, (λ ∼
∼
s’écrit ∼ε˙p = pn ˙∼ . La décomposition des vitesses de déformations entre déformation élastique et déformation plastique, donne : σ˙ 11 σ11 ε˙ 11 = + p˙ E σy σ˙ 12 3σ12 + p˙ ε˙ 12 = 2µ 2σy
La condition de cohérence doit indiquer le fait que le second invariant de von Mises reste constant pendant l’écoulement, σ211 + 3σ212 = σ2y , ce qui donne en termes de vitesses : σ11 σ˙ 11 + 3σ12 σ˙ 12 = 0 Cette dernière équation, regroupée avec les deux précédentes, forme le système permettant de résoudre le problème d’écoulement, pour les variables σ11 , σ12 et p. 2. Pour une valeur k du rapport ε˙ 12 /ε˙ 11 , donner la valeur du rapport σ12 /σ11 à plasticité p p commençante. Quelle est la valeur du rapport ε˙ 12 /ε˙ 11 en ce point ? En déduire le mouvement du point courant en contrainte sur la surface de charge. En élasticité, on a simplement : σ12 2µε12 2µ k = = k= σ11 Eε11 E 1+ν Pour un tel rapport de contrainte, lorsque le point représentatif du chargement rencontre la surface de charge, le rapport des vitesses d’écoulement plastique est : p ε˙ 12 n12 3σ12 3k = = p = n11 2σ11 2(1 + ν) ε˙ 11
144
CHAPITRE 12. EXERCICE
Pendant le régime plastique, l’écoulement de cisaillement devient proportionnellement plus important que pendant le régime élastique. Le point représentatif de l’état de contrainte va donc tourner sur la surface de charge, en direction de l’axe de traction, dans la mesure où le supplément d’écoulement plastique en cisaillement va relaxer la contrainte de cisaillement. La direction d’écoulement évolue donc en même temps. 3. Le point de fonctionnement stable en contrainte est obtenu dans les équations en indiquant que les dérivées σ˙ 11 et σ˙ 12 sont nulles. Indiquer la valeur du rapport σ12 /σ11 à ce moment. En déduire que le trajet de chargement sera un trajet de chargement simple si et seulement si l’on suppose que l’élasticité s’effectue sans changement de volume. La direction d’écoulement devient constante lorsque le point représentatif de l’état de contrainte devient fixe sur la surface de charge. On a alors σ˙ 11 = σ˙ 12 = 0, soit : p ε˙ 12 ε˙ 12 =k p = ε˙ 11 ε˙ 11
et : σ12 2k = σ11 3 En appelant θe l’angle auquel la contrainte «aborde» la surface de charge et θ p l’angle d’équilibre, on a les relations suivantes : k 2 tan(θe ) = tan(θ p ) = k 1+ν 3 La rotation de normale au cours de l’écoulement plastique se mesure donc par l’angle : 2(1 + ν) tan(θe ) ∆θ = θe − θ p = θe − atan 3
On vérifie que cet angle reste faible (environ 4 degrés par exemple pour ν = 0.3). On observe finalement qu’il n’y a pas de rotation de normale si le matériau est incompressible (ν = 0.5) : la déformation élastique avant plastification «dépose» la contrainte au point stable sur la surface de charge. 4. On fournit maintenant une application interactive qui permet de régler les composantes de déformation imposées, ε11 et ε12 , ainsi que le coefficient de Poisson. Le matériau a un module d’élasticité E=200 GPa, et une limite d’élasticité σy =800 MPa. Lorsque l’état asymptotique est atteint, on doit avoir σ12 2 εmax = 12 σ11 3 εmax 11 Accès à la feuille de calcul
12.5
Enveloppe sphérique soumise à une pression intérieure
On considère une enveloppe sphérique, homogène, de rayon intérieur a, de rayon extérieur b. Le matériau qui la constitue est élastique parfaitement plastique, à élasticité linéaire isotrope, ayant pour critère de plasticité le critère de von Mises ou celui de Tresca. Partant de l’état initial naturel, on soumet cette sphère à une pression intérieure normale uniforme p que l’on fait croître à partir de 0 (Fig.1a).
12.5. ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE
b P a
a
145
c b
Figure 1 : (a) Géométrie de la sphère sous pression et chargement appliqué, (b) progression de la zone plastique à partir de la surface intérieure
1 Analyse élastique 1.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) en élasticité. Le volume étudié est à symétrie sphérique, constitué d’un matériau homogène et isotrope ; les conditions aux limites possèdent aussi la symétrie sphérique. On est donc amené à chercher une solution du problème dans un système de coordonnées sphériques r, θ, φ, tel que les champs de déplacement, de contrainte et de déformation soient respectivement de la forme : ur = h(r) uθ = uφ = 0 σrr = f1 (r) σθθ = σφφ = g1 (r) σrθ = σrφ = σφθ = 0 εrr = f2 (r) εθθ = εφφ = g2 (r) εrθ = εrφ = εφθ = 0 dσrr 2 Les équations d’équilibre se réduisent à : + (σrr − σθθ ) = 0 dr r Les conditions aux limites statiques ont la forme : σrr (r = a) = −p, σrr (r = b) = 0 ur dur Les équations cinématiques ont la forme : εrr = , εθθ = dr r La loi d’élasticité de Hooke donne : Eεrr = [σrr − 2νσθθ ] Eεθθ = [σθθ (1 − ν) − νσrr ] En remplaçant les déformations par leur expression en fonction des déplacements, on obtient pour les contraintes les relations suivantes, λ désignant le coefficient de Lamé (λ = Eν/(1 − 2ν)/(1 + ν)) : λ dur ur λ dur ur σrr = (1 − ν) + 2ν σθθ = ν + ν dr r ν dr r En substituant ces deux relations dans les équations d’équilibre, on obtient l’équation différentielle suivante : d 2 ur 2 dur 2 + − 2 ur = 0 dr2 r dr r soit 1 2 r ur ,r =0 r2 ,r C2 La solution de cette équation est : ur = C1 r + 2 r En remplaçant la valeur de ur dans les expressions précédentes, on obtient : λ C2 σrr = (1 + ν)C1 − 2(1 − 2ν) 3 ν r
146
CHAPITRE 12. EXERCICE λ C2 σθθ = (1 + ν)C1 + (1 − 2ν) 3 ν r Les constantes C1 et C2 s’obtiennent à partir des conditions aux limites : σrr (r = b) = 0 ⇒ C2 = σrr (r = a) = −p ⇒ C1 =
1+ν b3C1 2(1 − 2ν) 1 − 2ν a3 p E b3 − a3
Finalement, on obtient : 3 a3 b −1 p σrr = − 3 b − a3 r3 3 a3 b σθθ = σφφ = 3 +1 p b − a3 2r3 a3 b3 p ur = 3 (1 − 2ν)r + (1 + ν) 2 b − a3 2r E 1.2 Déterminer la charge limite d’élasticité Pe de la sphère sous pression pour les critères de von Mises et Tresca. Le critère de plasticité de Tresca, comme celui de von Mises, est indépendant de la pression moyenne. On peut donc l’écrire en remplaçant le tenseur σ par la somme de σ et d’un tenseur ∼ ∼ sphérique. Ici, si l’on ajoute à σ le tenseur −σ I , on obtient un tenseur uniaxial, d’unique θθ ∼ ∼ composante non nulle σrr − σθθ . D’après les formules précédentes, tant que l’enveloppe sphérique reste élastique, on a : 3 a3 b3 σrr − σθθ = − 3 p 2 b − a3 r3 Le critère de plasticité est atteint lorsque (σrr − σθθ ), fonction décroissante de p, devient égale à la limite d’élasticité −σy en compression simple. Le premier point plastique apparaît donc en r = a et lorsque la pression p atteint la valeur Pe , limite d’élasticité initiale de la sphère sous pression : 2 a3 Pe = 1 − 3 σy 3 b 2 Analyse élasto-plastique 2.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) en élasto-plasticité. Vérifier que la zone plastique se développe à partir de la face interne de la sphère creuse (Fig.1b). Donner la relation entre le rayon de la zone plastique c et la pression p. Déterminer la pression limite conduisant à la rupture par déformation excessive, Pp . Lorsque la pression interne p croît au-delà de la valeur Pe , comme le premier point plastique est apparu sur la face intérieure de l’enveloppe, il est normal de supposer qu’une zone plastique se développe à partir de cette face, et occupe un volume a < r < c, où c est une fonction de p. La zone c < r < b est alors élastique. Le vecteur contrainte sur une facette normale à l’axe r prend la même valeur dans la zone élastique et dans la zone plastique, à la traversée de la surface r = c. Sur cette surface la contrainte normale est alors égale en valeur absolue à la limite d’élasticité initiale d’une sphère creuse de rayon intérieur c, de rayon extérieur b, soumise à une pression interne, soit : 2 c3 σrr (c) = − 1 − 3 σy 3 b
12.5. ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE
147
Les contraintes dans la zone élastique sont donc données par les équations précédentes dans lesquelles on remplace a par c et p par −σrr (c) ; dans cette zone : 2 c3 b3 σrr = − 3 − 1 σy 3b r3 2 c3 b3 σθθ = 1 + σy 3 b3 2r3 2 c3 b3 ur = (1 − 2ν)r + (1 + ν) 2 σy 3E b3 2r Etudions maintenant la zone plastique a < r < c. Pour y déterminer les contraintes, on dispose des équations d’équilibre et du critère de plasticité, vérifiés en tout point, soit : dσrr 2 + (σrr − σθθ ) = 0 dr r σrr − σθθ = −σy En combinant ces deux équations, on obtient successivement : dσrr 2 − σy = 0 σrr = 2σy ln(r) +C3 dr r La détermination de la constante d’intégration C3 s’effectue en r = c, en utilisant la continuité de la composante σrr : c3 2 1 − 3 σy 2σy ln(c) +C3 = − 3 b Finalement, dans la zone plastique, on trouve : 2 c c3 σrr = − σy 1 + 3 ln( ) − 3 3 r b 1 c c3 2 − 3 ln( ) + 3 σθθ = σy 3 2 r b Ces contraintes dépendent du paramètre c, dont il faut donc déterminer l’évolution en fonction de la pression p. Dans la zone plastique, pour r = a, on a : c c3 2 σrr (r = a) = −p ⇒ p = σy 1 + 3 ln − 3 3 a b La transformation de la sphère étant supposée infinitésimale, a et b sont des constantes. La dérivation de p par rapport à c donne alors : d p 2σy c3 = 1− 3 dc c b Ce terme est toujours positif. Le rayon c de la zone plastique croît donc constamment avec p ; ce résultat est cohérent avec l’hypothèse que nous avons faite que la zone plastique se développe à partir de la face interne de la sphère creuse. Le rayon extérieur de cette zone atteint la valeur b lorsque p atteint la pression limite Pp : b Pp = 2σy ln a
148
CHAPITRE 12. EXERCICE
2.2 Déterminer les déformations plastiques et leurs vitesses. S’il est possible, à partir de la solution en contrainte obtenue à la question précédente de construire, en utilisant la loi de comportement, un champ de déplacement qui soit compatible avec les liaisons (cinématiquement admissible), la solution trouvée est unique. Conservant l’hypothèse de symétrie sphérique, on calcule le déplacement radial dans la zone plastique. Comme la déformation plastique ne produit pas de variation de volume du matériau, cette variation n’est due qu’à la partie élastique de la déformation, soit : εrr + 2εθθ =
1 − 2ν [σrr + 2σθθ ] E
On obtient donc ainsi l’expression de la composante radiale du déplacement : c c3 dur ur 2(1 − 2ν) +2 = − σy [3 ln − 3] dr r E r b c 1 c3 C4 2(1 − 2ν) rσy ln + 1− 3 ur = 2 − r E r 3 b En utilisant le fait que le déplacement radial est continu à la traversée de la surface r = c, on peut déterminer la constante d’intégration : C4 = (1 − ν)
σy 3 c E
On obtient finalement dans la zone plastique : c c3 σy c3 2 r (1 − ν) 3 − (1 − 2ν) 1 + 3 ln − 3 ur = E r 3 r b A partir de cette expression du déplacement, on peut calculer les déformations totales dans la zone plastique. On obtient alors les déformations plastiques par différence entre les déformations totales et les déformations élastiques calculées en utilisant les formules donnant les contraintes. Les seules composantes non nulles sont : 2σy c3 p (1 − ν) 1 − 3 εrr = E r σy c3 p p εθθ = εφφ = − (1 − ν)(1 − 3 ) E r Comme c est une fonction croissante de p et que le trajet de chargement étudié est par hypothèse à «p croissant», on peut choisir c comme paramètre de chargement. Le tenseur de vitesse de déformation est du type compression simple : p ε˙ rr =
p 6σy dεrr c2 =− (1 − ν) 3 < 0 dc E r
1 p p p ε˙ θθ = ε˙ φφ = − ε˙ rr 2 On vérifie bien que la déformation plastique est nulle en r = c. Il est maximal en r = a, ainsi : 2σy c3 p εrr = (1 − ν) 1 − 3 E a La valeur maximale lorsqu’on atteint la pression ultime est donc : 2σy b3 p εrr = (1 − ν) 1 − 3 E a
12.5. ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE
149
2.3 Que se passe-t-il si l’on effectue le trajet de charge suivant : 0 → pm (pm > Pe ) → 0 → pm (pm > Pe ) ? Si l’on a soumis une sphère creuse à une pression interne Pm > Pe , et qu’on la décharge jusqu’à p = 0, les contraintes résiduelles, présentes après cette décharge, seront égales à la différence entre les contraintes calculées en élasto-plasticité et la solution élastique correspondant à un chargement r : −Pm . On obtient alors un champ de contraintes résiduelles σ ∼ – dans la zone plastique (a < r < c) : 3 c c3 2 a3 b r − 3 + 3 − 1 Pm σrr = − σy 1 + 3 ln 3 r b b − a3 r3 3 c c3 2 1 a3 b − 3 ln + 3 − 3 + 1 Pm σrθθ = σrφφ = σy 3 2 r b b − a3 2r3 – dans la zone élastique (c < r < b) : 3 a3 b 2 c3 b3 − 1 σ + − 1 Pm σrrr = − 3 y 3b r3 b3 − a3 r3 3 2 c3 b3 a3 b r r σθθ = σφφ = 1 + 3 σy − 3 + 1 Pm 3 b3 2r b − a3 2r3 Les équations précédentes ne sont valides que s’il n’apparaît aucune déformation plastique pendant la décharge. Pour que la plastification réapparaisse en compression, il faut traverser le domaine d’élasticité, et retrouver un point pour lequel : σrrr − σrθθ = σy . Cela se produira effectivement à partir du moment où la pression maximale atteinte Pm est supérieure à 2Pe . L’étude des variations de Pe et Pp en fonction de (b/a) montre que cela n’est possible que si la pression limite est ellemême supérieure à 2Pe . Ceci fournit une condition géométrique sur la sphère. La figure 3 illustre le fait que Pp dépasse 2Pe si le rapport (a/b) est inférieur à une valeur critique x, solution de l’équation (4/3)(1 − x3 ) + 2 ln(x) = 0, soit : a/b < x ' 0.59 Dans le cas où il n’y a pas plastification à la décharge, on dit que la structure est adaptée. Il s’agit de régime de fonctionnement sûr, qui est utilisé dans la pratique pour les récipients sous pression : ceux-ci subissent avant mise en fonctionnement une opération de timbrage au cours de laquelle ils sont portés à une pression supérieure à la pression de service ultérieure. Si au contraire il y a replastification, des déformations plastiques cycliques vont se produire, avec un phénomène de fatigue plastique du matériau, qui conduira à la ruine de la structure aux cours des cycles successifs 0 −→ Pm −→ 0 −→ Pm −→ . . . . La figure 4 reproduit les variations des différentes composantes du tenseur des contraintes à pression maximale et après décharge, dans le cas où (a/b) = 0.75. 2
Pp Pe , σy (1) σy (2)
1.5
(1)
1 (2) 0.5
0 0
0.2
0.4
a/b
0.6
0.8
1
150
CHAPITRE 12. EXERCICE 0
90 c/b=0.7500 c/b=0.8125 c/b=0.8750 c/b=0.9375
-10
80 75 sigma_tt (MPa)
-20 sigma_rr (MPa)
c/b=0.7500 c/b=0.8125 c/b=0.8750 c/b=0.9375
85
-30
-40
70 65 60 55 50
-50
45 -60
40 75
80
85
90
95
100
75
80
85
r (mm)
90
95
100
r (mm)
a.
b.
1.1
20
1
10
0 sigma (MPa)
J/sigma_y(MPa)
0.9
0.8
0.7
-10
-20 0.6 -30
c/b=0.7500 c/b=0.8125 c/b=0.8750 c/b=0.9375
0.5
sigma_rr sigma_tt von Mises
0.4
-40 75
80
85
90
95
100
75
r (mm)
80
85
90
95
100
r (mm)
c.
d.
F IG . 12.1 – (a), (b) Profils de contraintes dans l’épaisseur du tube pour différents niveaux de pression, (c) mise en évidence de l’avancée de la zone plastique, (d) contraintes résiduelles après décharge.
Figure 3 : Variation de Pe et Pp en fonction de a/b
12.6. TUNNEL DANS DU SABLE SEC
12.6
151
Tunnel dans du sable sec
P p
a l’infini
a Figure 1 : Géométrie du tunnel et chargement appliqué
Données Le tunnel (cylindre de rayon a) est creusé dans un massif infini (r ∈ [a, +∞[), initialement sous I = −PI où P est la pression à l’infini (pression géostatique due au contraintes homogènes et isotropes σ ∼ ∼ poids des terrains) (Fig. 1). Le matériau est isotrope parfait de module d’Young E, de coefficient de Poisson ν obéissant au critère de Coulomb F(σ ) = K maxi (σi ) − mini (σi ) avec K = tan2 (π/4 + φ/2) où φ est l’angle de frottement (milieu ∼ pulvérulent sec sans cohésion). Au fur et à mesure de l’avancement du tunnel, un soutènement (exemple : voûte en béton) est posé de sorte que le calcul de l’état final du sol entourant le tunnel puisse se faire en simulant une pression à la paroi (r = a) qui décroît progressivement de P (pression initiale des terrains) à p (pression de soutènement) : p ≤ P). Les calculs sont à faire en coordonnées cylindriques (r, θ, z) en admettant que le tunnel est infini dans la direction de son axe Oz (déformations planes : εz = 0). De plus on ne considérera que la situation où p ≤ (1 − 2ν)P/[K − ν(K + 1)], conduisant à un régime de contrainte tel qu’en tout point du massif on ait les inégalités strictes σr > σz > σθ . Ainsi, si le potentiel plastique est lui-même Coulombien (β maxi σi − mini σi ), les déformations plastiques auront comme vitesses : ˙ ≥ 0 ε˙ p = 0 ε˙ p = −λ ˙ ε˙ rp = βλ z θ Le coefficient de gonflement β = tan2 (π/4 + ψ/2) où ψ est l’angle de dilatance est tel que : 1 < β ≤ K. 1. Réponse élastique Pour une pression de soutènement p assez grande, la réponse du massif est élastique (ε∼ p = 0∼ ). Déterminer les contraintes dans ce cas. Remarquer que la contrainte axiale reste constante (σz = −P) tandis que et que les contraintes radiale σr et circonférentielle σθ restent des pressions (≤ 0) mais que la pression radiale baisse et que la pression circonférentielle augmente (suite au mouvement convergent du sol). Déterminer la pression minimale pe que doit assurer le soutènement pour que cette solution élastique reste vraie (p ≥ pe ). Remarquer que pe n’est pas nul (un soutènement est obligatoire) pour tout P > 0. Pour P < pe la solution élastique est fausse car le critère F = Kσr − σθ est positif dans une zone r ∈ [a, ce ] entourant le tunnel. Calculer ce en fonction de (p/pe ). On note respectivement :
152
CHAPITRE 12. EXERCICE ur (r) εr = u,r = ∂ur /∂r εθ = u/r εz = 0
déplacement radial déformation radiale déformation circonférentielle déformation axiale
Les conditions de compatibilité et les lois d’élasticité fournissent : εr = rεθ,r + εθ Eεz = (1 + ν)(σz + P) − ν(σr + P + σθ + P + σz + P) et εz = 0 ⇒ σz + P = ν(σr + σθ + 2P) σz = ν(σr + σθ ) − (1 − 2ν)P Eεr = (1 + ν)(σr + P) − ν(σr + P + σθ + P + σz + P) Eεθ = (1 + ν)(σθ + P) − ν(σr + P + σθ + P + σz + P) D’où : E(εr − εθ ) = (1 + ν)(σr − σθ ) et : E(εr + εθ ) = (1 + ν)(1 − 2ν)(σr + σθ + 2P) L’équation d’équilibre est : rσr,r + σr − σθ = 0 Les conditions aux limites sont : σr (a) = −p
et
σr (+∞) = −P
D’où : σr = −P + (P − p)(a/r)2 σz = −P σθ = −P − (P − p)(a/r)2 σr > σz > σθ
pour r fini et p < P
(−σr ) est une pression qui varie de p (pour r = a, c’est-à-dire à la paroi du tunnel) à P (pour r = +∞). (−σθ ) est une pression qui varie de P + (P − p) (pour r = a) à P (pour r = +∞). (−σz ) est une pression uniforme P (égale donc à sa valeur initiale). Le déplacement radial est tel que : εθ = u/r = −[(P − p)/(2µ)](a/r2 ) avec 2µ = E/(1 + ν) ; µ= module de cisaillement. Il s’agit donc d’un mouvement convergent (la matière est attirée par le vide) et en particulier la diminution relative du rayon du tunnel est : −ur (a)/a = (P − p)/2µ
12.6. TUNNEL DANS DU SABLE SEC
153
Le critère est F(σ ) = Kσr − σθ ∼ F = (K + 1)(P − p)(a/r)2 − (K − 1)P : fonction décroissante de r Pour rester en élasticité, il faut et il suffit que F ≤ 0 pour r = a. D’où : (K + 1)(P − p) − (K − 1)P ≤ 0 La pression P doit rester supérieure à la valeur limite pe . pe = 2P/(K + 1) Lorsque p > pe , la solution élastique devient fausse (car F > 0 pour r = a par exemple). Mais on peut être tenté d’utiliser l’expression de F pour déterminer une valeur approchée de l’épaisseur (ce − a) de la zone plastique (r ∈ [a, ce ] dans laquelle F > 0). On obtient : ce = a[1 + 2(1 − p/pe )/(K − 1)]1/2 En particulier pour p = pe on a ce = a (début de la plastification et donc fin de la phase élastique). 2. Taille de la zone plastique Lorsque p < pe calculer les contraintes dans la zone plastique r ∈ [a, c] et dans la zone élastique r ∈ [c, +∞[ sachant que F = 0 pour r = c. Déterminer c en écrivant la condition de continuité (équilibre) de la contrainte radiale à l’interface r = c des deux zones. En déduire que c ≥ ce . Autrement dit la solution fausse (élastique) sous-estime l’épaisseur de la zone plastifiée (endommagée) donc ne peut pas servir comme règle de trois de l’ingénieur pour des raisons de sécurité. Nous inspirant de la solution élastique, nous cherchons la solution élastoplastique telle que : ∗ Il existe un rayon c (à déterminer) vérifiant : r ∈ [c, +∞[ : solution élastique avec F = 0 pour r = c. r ∈ [a, c] : zone plastique dans laquelle F = 0. ∗ σr > σz > σθ Dans la zone élastique, il suffit de reprendre la solution du chapitre 1 en remplaçant a par c et p par pe : Si r ≥ c :
Si a ≤ r ≤ c :
σr = −P + (P − pe )(c/r)2 σz = −P σθ = −P − (P − pe )(c/r)2 εθ = u/r = −[(P − pe )/2µ](c/r)2 F = Kσr − σθ = 0 ⇒ σθ = Kσr rσ0r + σr − σθ = 0 ⇒ σ0r = (K − 1)/r donc [ln(σr /(−p)]0 = [(K − 1) ln(r/a)]0 et σr = −p(r/a)(k−1)
Les lois d’écoulement sont telles que εzp = 0. Donc la relation σz = ν(σr + σθ ) − (1 − 2ν)P reste vraie, si bien que : σz = −(1 − 2ν)P − ν(K + 1)p(r/a)(k−1) A l’interface (r = c) entre les deux zones, la seule contrainte qui est nécessairement continue est la contrainte radiale qui vaut : – à gauche (r = c− ) σr = −p(c/a)(k−1) – à droite (r = c+ ) σr = −pe 1/(k−1) D’où : c = a(pe /p)
154
CHAPITRE 12. EXERCICE En posant x = pe /p variant de 1 à +∞, les deux fonctions croissantes de x, ce = ce (x) et c = c(x) sont représentées par des courbes partant du même point (x = 1 et ce = c = a) avec la même tangente mais très vite c devient plus grand que ce montrant que cette dernière valeur conduit à sous-estimer la vraie zone plastique.
3. La courbe caractéristique du massif Lorsqu’on utilise les lois d’écoulement (le coefficient β) on peut calculer le déplacement radial ur (r) et en particulier la diminution relative du rayon du tunnel [−ur (a)/a]. En portant cette quantité en abscisse et la pression de soutènement p en ordonnée, on obtient ce que l’on appelle en génie civil, la courbe réponse caractéristique du massif. p
Soutenement
P pe Equilibre 0
Massif A
(-u a /a)
Figure 2 : Courbe convergence–confinement d’un tunnel
La réponse du soutènement (sans contraintes initiales) posé après que le tunnel ait déjà subi une certaine déformation (point A) est utilisée pour obtenir l’état final d’équilibre (point d’intersection des deux courbes) et juger si la pression d’équilibre est assez faible pour être supportée par le soutènement. Cette méthode (convergence-confinement) montre clairement que si le soutènement est posé tôt (point A proche de l’origine), les déplacements du terrain, et donc son endommagement, seront réduits mais le soutènement sera très chargé et inversement. Il y a un juste compromis à trouver. Pour p < pe , dans la zone élastique les déplacements sont déjà déterminés. Pour calculer dans la zone plastique on élimine les déformations plastiques en formant l’expression de εr + βεθ , car εrp + βεθp = 0. D’où : E(εr + βεθ ) = (1 + ν)[σr + P + β(σθ + P)] − ν(1 + β)(σr + P + σθ + P)(1 + ν) En utilisant la relation de compatibilité εr = rεθ,r + εθ et les expressions des contraintes déjà déterminées dans la zone plastique, on obtient pour εθ une équation du premier ordre que l’on intègre en tenant compte du fait que εθ pour r = c est connu (continuité du déplacement à l’interface des deux zones). On obtient ainsi l’expression de εθ = ur /r en fonction de r et de p. En particulier pour r = a (à la paroi du tunnel), la convergence (−ur (a)/a) est reliée à la pression de soutènement p (confinement) par une relation non linéaire qui n’est valable que pour p ≤ pe mais qui peut être complétée par celle obtenue en élasticité (p ≥ pe ). Ainsi, dans le diagramme convergence (en abscisse), confinement (en ordonnée) on obtient une courbe descendante à concavité vers le haut commençant par une portion de droite (phase élastique) et présentant une asymptote (p = 0 pour −ur (a)/a tendant vers l’infini). Cette asymptote traduit simplement le fait qu’il est impossible de concevoir un tunnel dans du sable sec sans soutènement (p = 0).
12.7
Cavité sphérique dans un massif infini élastoviscoplastique
12.7. CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE
155
P a l’infini σy E
p(t) a
H
η
Fig.1 : Géométrie et matériau considéré
Une cavité sphérique de rayon a (définie en coordonnées sphériques r, θ, ϕ, par r ∈ [a, +∞[) est creusée instantanément (p(t) = P pour t < 0 et p(t) = 0 pour t ≥ 0 où t est le temps) dans un massif infini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : σ (r,t = 0) = −PI∼ où P est la pression à ∼ l’infini (Figure ci-dessus). Le matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que : 1 [(1 + ν)S∼ − νtrace(S∼ )I∼ ] avec S∼ = σ − (−PI∼ ) ∼ E 3 ∼s < J − σy > ε∼˙ p = 2J η 1 avec ∼s = S∼ − trace(S∼ )I∼ et J = ((3/2)si j : si j )1/2 3 E est le module d’Young, ν le coefficient de Poisson, σy la limite d’élasticité et C = σy /2 la cohésion ; η désigne le module de viscosité. On appelle constante de temps du matériau la quantité α = E/2(1 − ν)η . On suppose dans la suite que la pression géostatique P est telle que P > 2σy /3. 1. Mise en équations 1.1. Inconnues principales : Compte tenu de la symétrie du problème on utilise les coordonnées sphériques (r, θ, ϕ). Par ailleurs, le changement de variable ρ = (r/a)3 s’avère utile : εe =
∼
r = aρ1/3
avec ρ ∈ [1, +∞[
(12.24)
La paroi de la cavité correspond à ρ = 1. L’unique composante non nulle du vecteur déplacement est ur = u(ρ,t) fonction de la variable d’espace ρ et du temps réel t. Les déformations totales non nulles sont la déformation circonférentielle εθ = εϕ = u/r et la déformation radiale εr = u,r ; d’où :
et, comme r
u = rεθ
(12.25)
εr = 3ρεθ,ρ + εθ
(12.26)
∂ ∂ = 3ρ : ∂r ∂ρ
En ce qui concerne les contraintes σr (radiale) et σθ = σϕ (orthoradiales) l’état de référence (pour t < 0) est caractérisé par : σr (ρ,t) = σθ (ρ,t) = −P Les variations des contraintes sont : Sr = σr + P et Sθ = σθ + P, d’où : σr = Sr − P
(12.27)
σθ = Sθ − P
(12.28)
L’équation d’équilibre, σr,r + 2(σr − σθ )/r = 0 devient alors : σθ = (1/2)rSr,r + Sr ou encore : Sθ = (3/2)ρSr,ρ + Sr
(12.29)
156
CHAPITRE 12. EXERCICE
Par ailleurs : trace(˙∼ε p ) = 0 et ∼ε p (ρ, 0) = 0, donc : trace(ε∼ p ) = 0, et : εrp + 2εθp = 0, soit : εθp = −εrp /2
(12.30)
Il nous reste donc en tout trois inconnues principales qui sont εθ , Sr et εrp . Les relations (12.25) à (12.30) permettent de déterminer aisément toutes les autres inconnues. 1.2. Loi de comportement : La décomposition des déformations totales en partie élastique et partie plastique s’écrit : εr = [(1 + ν)Sr − ν(Sr + 2Sθ )]/E + εrp εθ = [(1 + ν)Sθ − ν(Sr + 2Sθ )]/E + εθp On peut aussi, et c’est plus avantageux, combiner ces deux équations pour en déduire deux relations dont l’une utilise la trace et l’autre le déviateur (en utilisant trace(ε∼ p ) = 0) : εr + 2εθ = (1 − 2ν)(Sr + 2Sθ )/E εr − εθ = (1 + ν)(Sr − Sθ )/E + εrp − εθp En remplaçant εr , Sθ et εθp par leurs expressions (12.26, 12.29 et 12.30) : 3ρεθ,ρ + 3εθ = (1 − 2ν)(3ρSr,ρ + 3Sr )/E 3ρεθ,ρ = −3[(1 + ν)/2]pSr,ρ /E + (3/2)εrp . La première relation devient : [ρεθ − ρ(1 − 2ν)Sr /E], ρ = 0 Donc [ρεθ − (1 − 2ν)Sr /E] est une fonction du temps t seul que l’on choisit sous la forme : −[(1 + ν)/(2E) + (1 − 2ν)/E]A(t) d’où : εθ = [(1 − 2ν)/E]Sr − [(1 + ν)/(2E) + (1 − 2ν)/E]A(t)/ρ En particulier : εθ + [(1 + ν)/(2E)]Sr = [(1 + ν)/(2E) + (1 − 2ν)/E](Sr − A/ρ) Ainsi, les deux dernières relations deviennent, en posant 2µ = E/(1 + ν) (µ module de cisaillement) : εθ = −Sr /(4µ) + (3/2)[(1 − ν)/E][Sr − A(t)/ρ]
(12.31)
[Sr − A(t)/ρ],ρ = (2/3)αηεrp /ρ
(12.32)
1.3. Loi d’évolution : le critère est F(σ ) = |σr − σθ | − σy ou encore F = |Sr − Sθ | − σy . Nous verrons ∼ que la solution est telle que Sr ≥ Sθ . Pour le moment, il s’agit d’une hypothèse : Sr,ρ ≤ 0
à vérifier a posteriori
(12.33)
Alors : F = Sr − Sθ − σy , soit : F = −(3/2)ρSr,ρ − σy
(12.34)
Par ailleurs : Sr0 = (2/3)(Sr − Sθ ) et : J = Sr − Sθ . D’où : ε˙ p =< F > /η
∼r
(12.35)
12.7. CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE
157
Réponse instantanée Lorsque les contraintes subissent un saut (c’est le cas ici à l’instant t = 0), il s’ensuit une discontinuité dans le temps (saut) pour les déformations totales. En revanche, les déformations viscoplastiques demeurent nulles car leur vitesse est finie (loi d’évolution). La réponse instantanée du massif est donc élastique. La déterminer, et en déduire qu’instantanément (à t = 0) il apparaît une zone plastique (dans laquelle la vitesse ∼ε˙ p est non nulle), d’épaisseur finie si σy est strictement positive, et s’étendant à tout le massif lorsque la cohésion est nulle (σy = 0). Le plus gros du travail est fait. En effet lorsque la réponse est élastique (εrp = 0), la relation (12.32) devient : Sr − A(0)/ρ = B(t) La constante d’intégration est nulle car Sr (+∞, 0) = 0. Il vient successivement : Sr (ρ, 0) = A(0)/ρ, puis : Sr (1, 0) = P, d’où : A(0) = P et Sr (ρ, 0) = P/ρ L’inégalité (12.33) est bien vérifiée : Sr,ρ = −P/ρ2 (dérivée partielle négative), et : F = (3/2)P/ρ − σy . 2.1. Cas où σy > 0 : On pose : γ0 = P/(2σy /3) > 1 – Pour ρ ≥ γ0 on a F ≤ 0 donc , d’après (12.35) : ε˙ rp = 0 (zone élastique). – Pour ρ < γ0 on a : ε˙ rp = (3/2)P/ρ − σy > 0. Le rayon de la zone viscoplastique à l’instant 0 est donc : 1/3 C0 = aγ0 , d’où : C0 = a[P/(2σy /3)]1/3 . 2.2. Cas où σy = 0 : F = (3/2)P/ρ est partout positif, donc tout le massif rentre instantanément en viscoplasticité ( ε˙ rp > 0).
Evolution dans le cas σy = 0 Montrer que les contraintes demeurent constantes en tout point du massif (fluage) et que les déformations évoluent linéairement avec le temps, et que : a. Même dans un liquide (σy = 0) on peut faire un trou. b. Aussi bien le caractère fluage que l’évolution linéaire sont particuliers à ce matériau. Si on prenait par exemple le modèle de Norton (en élevant < J − σy > à une puissance réelle) on aurait un phénomène non linéaire et complexe dans lequel les contraintes aussi varient dans le temps. Les équations (12.34) et (12.35) deviennent respectivement : F = (−3/2)ρSr,ρ ≥ 0 ε˙rp = (−3/2)ρSr,ρ /η Quant à (12.32), elle donne, après dérivation par rapport au temps : ˙ S˙r − A(t)/ρ] ,ρ = −αSr,ρ ˙ = D(t). La constante d’intégration D est nulle car lorsque ρ tend vers l’infini, Donc : S˙r + αSr − A(t)/ρ ˙ on a Sr = 0 et S˙r = 0. D’où : S˙r + αSr = A(t)/ρ. Pour ρ = 1, on a Sr = P et S˙r = 0, si bien que : ˙ = αP ⇒ A(t) = Pαt + A(0) A(t) Comme A(0) = P (paragraphe 2), on obtient A(t) = P(1 + αt), et : S˙r + α(Sr − P/ρ) = 0 avec Sr (ρ, 0) = P/ρ
158
CHAPITRE 12. EXERCICE
D’où l’expression de Sr , constante dans le temps : Sr (ρ,t) = P/ρ On trouve donc : Sr − A/ρ = −(P/ρ)αt, et, d’après (12.31) : εθ = −(1/4µ + (3/2)((1 − ν)/E)αt)(P/ρ) Le fluage est linéaire : la variation relative du rayon de la cavité εθ (1,t) est négative et son intensité augmente linéairement avec le temps conduisant à une fermeture totale au bout d’un temps fini. ATTENTION : Il convient de ne garder de ce résultat que le caractère qualitatif (dans un «liquide visqueux» un trou évolue inexorablement vers la fermeture). En revanche l’aspect quantitatif est une extrapolation dangereuse, car le calcul n’est valable qu’en petite déformation. L’analyse quantitative de la fermeture réelle de la cavité ne peut se faire que dans le cadre des transformations finies. Réponse asymptotique dans le cas σy > 0 L’étude de l’évolution dans la situation σy > 0 conduit à une équation différentielle dans le temps dont la solution fait intervenir l’exponentielle intégrale (primitive de exp(x)/x). C’est pourquoi ici, on se contentera de déterminer la réponse du matériau lorsque t tend vers l’infini (état asymptotique) en montrant qu’il se détermine en résolvant un problème d’élastoplasticité relatif au matériau de von Mises parfait et standard associé à la limite d’élasticité σy . On en déduit donc que dans un matériau élastoviscoplastique on peut toujours faire un trou. Cependant, dans le cas où la cohésion est nulle, le trou finit par se fermer, alors que, dans le cas d’un matériau cohérent, la fermeture du trou (convergence) finit par se stabiliser avec une valeur maximale (en intensité) finie qui peut être déterminée par un calcul élastoplastique. L’état asymptotique (t = +∞) correspond à ε˙ p = 0, donc F = 0 dans la zone plastique ρ ∈ [1, γ∞ [ et F < 0 dans la zone élastique ρ ∈]γ∞ , +∞[. Dans la zone élastique, on a εrp = 0, et donc, d’après (12.32) et le fait que Sr = 0 pour ρ = +∞ on obtient : Sr (ρ, +∞) = A(+∞)ρ Le critère est F = −(3/2)ρSr,ρ − σy = (3/2)A∞ /ρ − σy . Or, pour ρ = γ∞ , on a F = 0, donc : A∞ = (2/3)σy γ∞ . D’où : si ρ ∈ [γ∞ , +∞[ : Sr (ρ, +∞) = (2/3)σy γ∞ /ρ Dans la zone plastique, on a F = 0, donc, comme Sr (1, +∞) = P : Sr = −(2/3)σy ln(ρ) + P Ainsi : si ρ ∈ [1, γ∞ ] : Sr (ρ, +∞) = (2/3)σy ln(ρ) + P La continuité de la contrainte radiale (équilibre) en ρ = γ∞ conduit à : −(2/3)σy ln(γ∞ ) + P = (2/3)σy γ∞ /γ∞ D’où : γ∞ = exp(P/(2σy /3) − 1) Connaissant γ∞ (donc A∞ ) et connaissant Sr , les relations (12.31) et (12.32) fournissent les déformations εθ et εrp . En particulier la fermeture de la cavité (même au bout d’un temps infini) reste bornée par la valeur ainsi trouvée en tant que solution d’un simple problème d’élastoplasticité. Cependant, ces résultats ne peuvent pas être utilisés pour un «liquide visqueux» (cohésion nulle) car en faisant tendre σy vers zéro on obtient γ0 → ∞, γ∞ → ∞, et Sr = P (incompatible avec la condition à la limite Sr (ρ = +∞) = 0) et de plus A∞ → ∞ conduit à des déformations infinies.
12.8. CHARGEMENT NON PROPORTIONNEL EN PLASTICITÉ
12.8
159
Chargement non proportionnel en plasticité
On considère un élément de matière chargé en traction-cisaillement. Le matériau vérifie le critère de von Mises, avec un écrouissage isotrope linéaire : f (σ , R) = ∼ √J − R, avec R = H p + σ0 . La limite d’élasticité initiale valant σ0 , on suppose que σm > σ0 , et que τm 3 > σ0 . Etudier l’évolution de la déformation plastique dans les 3 cas suivants : (1) chemin ONM (traction jusqu’à σm , puis cisaillement jusqu’à τm avec traction constante) (2) chemin ON0 M (cisaillement jusqu’à τm , puis traction jusqu’à σm avec cisaillement constant) (3) chemin OM «direct» (traction et cisaillement appliqués de façons proportionnelles). τ
σ τ
N’(0,τ m )
M(σ m ,τ m ) 2 3 1
σ
0 N(σ m ,0)
Il s’agit d’appliquer ici les relations qui définissent l’écoulement en plasticité, dans le cas particulier étudié où le module plastique H est indépendant de la déformation plastique : 0.5 3 ∼s 3 p ˙ : n∼ )/H et n∼ = ε˙ = pn ˙ ∼ avec p˙ = (σ et J = s:s ∼ ∼ 2J 2∼ ∼ 1. En traction selon ON, on a : 2/3 0 0 0 s = σ 0 −1/3 ∼ 0 0 −1/3 1 0 0 0 n∼ = signe(σ) 0 −1/2 0 0 −1/2
σ 0 0 σ = 0 0 0 ∼ 0 0 0
J = |σ|
˙ d’où, pour σ = σ0 : p˙ = (σ/H)signe(σ) 1 0 0 0 −1/2 ˙ 0 ε˙ p = (σ/H) ∼ 0 0 −1/2 à intégrer à partir de σ = σ0 , ce qui donne en N : p p ε11 (N) = (σm − σ0 )/H ; ε12 (N) = 0
En cisaillement selon NM, avec τ variable et σ constant à σm , les expressions précédentes deviennent : σm τ 0 0 τ˙ 0 2σm /3 τ 0 −σm /3 0 σ = τ 0 0 σ ˙ = τ˙ 0 0 ∼s = τ ∼ ∼ 0 0 0 0 0 0 0 0 −σm /3
160
J=
q
σ2m + 3τ2
CHAPITRE 12. EXERCICE 2σm /3 τ 0 3 τ −σm /3 0 n∼ = p 2 2 σm + 3τ2 0 0 −σm /3
d’où p˙ = p ε˙ 11 =
3τ˙τ p H (σ2m + 3τ2 )
3σm τ˙τ H(σ2m + 3τ2 )
p et ε˙ 12 =
9τ2 τ˙ 2H(σ2m + 3τ2 )
si bien que : √ 2 σm 3τ σm + 3τ2 3σm p p p ε11 = ε11 (N) + ln ; ε12 = − atan 2 2H σm 2H 2H 2. En cisaillement selon ON0 , on a : 0 τ 0 √ σ = τ 0 0 ∼s = σ J = |τ| 3 ∼ ∼ 0 0 0
√ ! 3τ σm
√ 0 1 0 3 n∼ = signe(τ) 1 0 0 2 0 0 0
√ √ d’où, pour τ > σ0 / 3 : p˙ = (˙τ 3/H)signe(τ) ; 0 1 0 3˙ τ 1 0 0 ε˙ p = ∼ 2H 0 0 0 √ à intégrer à partir de τ = σ0 / 3, ce qui donne en N0 p ε11 (N0 )
=0
et
p ε12 (N0 )
√ √ 3 3τm − σ0 = 2 H
On obtient la formule en cisaillement pur à partir de la forme en traction en remplaçant dans cette √ dernière la contrainte σ par τ 3 (même invariant de von Mises) et la déformation plastique axiale p p √ ε11 par la déformation plastique de «l’ingénieur» en cisaillement γ p = 2ε12 / 3. En cisaillement selon N0 M, avec σ variable et τ constant égal à τm , les expressions précédentes deviennent : 0 τm 0 σ˙ 0 0 σ = τm 0 0 σ ˙ = 0 0 0 ∼ ∼ 0 0 0 0 0 0
2σ/3 τm 0 −σ/3 0 s = τm ∼ 0 0 −σ/3 2σ/3 τm 0 p 3 τm −σ/3 0 J = σ2 + 3τm 2 n∼ = p 2 σ2 + 3τm 2 0 0 −σ/3 d’où : p˙ = p ε˙ 11 =
σσ˙ p H σ2 + 3τm 2
σ2 σ˙ H
p
σ2 + 3τm 2
p et ε˙ 12 =
3τm σσ˙ 2H(σ2 + 3τ2m )
12.8. CHARGEMENT NON PROPORTIONNEL EN PLASTICITÉ si bien que :
161
√ p ε11
σ 3τm atan √ H 3τm
σ = − H
et p ε12
=
p ε12 (N0 ) +
2 3τm σ + 3τ2m ln 4H 3τ2m
3. Dans ce cas, il est possible d’exprimer l’ensemble des relations à l’aide d’un paramètre de chargement unique, k, qui varie entre 0 et 1 (hypothèse de chargement simple). σ τ 0 σm τm 0 σ = τ 0 0 = k τm 0 0 ∼ 0 0 0 0 0 0
σm τm 0 σ ˙ = k˙ τm 0 0 ∼ 0 0 0
2σm /3 τm 0 q τm −σm /3 0 s=k J = k σ2m + 3τ2m ∼ 0 0 −σm /3 2σm /3 τm 0 3 τm −σm /3 0 n∼ = p 2 2 σm + 3τ2m 0 0 −σm /3 d’où : p˙ =
k H
q σ2m + 3τ2m
Contrairement aux deux cas précédents, la normale ne tourne pas durant le chargement, si bien qu’il y a un découplage entre les composantes : σm σ˙ p = ε˙ 11 = k˙ H H
3τm 3˙τ p ε˙ 12 = k˙ = 2H 2H
ou
p 2ε˙ 12 √ = 3
√ 3˙τH
La seule différence par rapport aux cas de traction p pure ou de cisaillement pur réside dans les bornes d’intégration. Il y a plastification lorsque k σ2m + 3τ2m = σ0 , ce qui donne : σm p ε11 = H
σ0
1− p σ2m + 3τ2m
!
3τm p ε12 = 2H
1− p
σ0
!
σ2m + 3τ2m
Application numérique : La figure ci-dessous montre le résultat obtenu dans chaque cas de chargement pour σ0 = 100 MPa, H = 10000 MPa, avec comme contraintes maximales σm = 300 MPa et τm = 300 MPa. Ce chargement rappelle que des contraintes égales en traction et cisaillement ne donnent pas √ 3 en cisaillement qui des déformations équivalentes (ce sont des contraintes σm en traction et σ / m p p √ donnent des déformations équivalentes égales, ε11 en traction, et 2ε12 / 3 en cisaillement. Trajet ONM En N : En M :
300 − 100 = 2.10−2 10000 300 p p ε11 (M) = ε11 (N) + ln(4) = 4.079 10−2 20000 300 π p ε12 (M) = × 3− √ = 1.779 10−2 20000 3
p ε11 (N) =
162
CHAPITRE 12. EXERCICE Trajet ON’M En
N0
√ √ 300 × 3 − 100 = = 3.634 10−2 32 × 10000 300 π√ p ε11 (M) = × 1− 3 = 0.279 10−2 10000 6 300 3 4 p p 0 ε12 (M) = ε12 (N ) + × × ln = 4.281 10−2 10000 4 3 p ε12 (N0 )
:
En M :
Trajet OM direct 300 100 × 1− = 2.500 10−2 En M : = 10000 2300 3 300 100 p × 1− = 3.750 10−2 ε12 (M) = × 2 10000 2300 Les chemins de déformation sont reportés sur la figure de la page suivante. On offre également sur cette page la possibilité d’effectuer d’autres applications numériques en utilisant des modèles plus complexes qu’un simple écrouissage isotrope linéaire. Figure correspondant à l’exercice précédent (écrouissage isotrope linéaire) : p ε11 (M)
0.045 1 2 3
0.04 0.035 p ε12
0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 p ε11
Pour obtenir d’autres simulations, vous pouvez accéder à la feuille de calcul.
12.9
Flexion sur appui simple : poutre homogène et poutre sandwich x3 x1
2h
x3 e 2h
x1
e
Figure 1 : Géométrie des poutres étudiées
Le but de cet exercice est de prendre conscience de l’importance qu’il y a à mettre le matériau qu’il faut à l’endroit où il faut pour avoir des structures à la fois légères et résistantes. La comparaison
12.9. FLEXION SUR APPUI SIMPLE : POUTRE HOMOGÈNE ET POUTRE SANDWICH
163
proposée porte sur deux poutres de section rectangulaire (figure 1), l’une réalisée en alliage d’aluminium (longueur 2l, hauteur 2h, épaisseur b), l’autre constituée de ce même alliage, collé sur un cœur de mousse polyuréthane. Ce deuxième assemblage présente environ la même masse que le premier, les tôles d’aluminium utilisées étant deux fois moins épaisses que dans le premier cas. L’épaisseur de mousse vaut 2h. Chacune de ces deux poutres est posée sur deux appuis simples, et chargée ponctuellement en son milieu avec une force −P (flexion 3 points).
12.9.1
Poutre homogène
1. Traiter le cas de la poutre homogène, en supposant qu’une section plane de la poutre reste plane. Trouver en particulier les équations qui expriment l’équilibre du milieu curviligne en termes de N, T et M, respectivement effort normal et «effort tranchant», et moment de flexion autour de l’axe 2. Trouver les lois de comportement qui relient les quantités précédentes aux translations U et V d’un point de la ligne moyenne et de la rotation θ d’une section. Les poutres étant simplement posées, et le chargement discret, l’effort tranchant T est discontinu au point d’application de la force, et la dérivée du moment l’est aussi. Le moment est nul aux deux extrémités (figure 2 ). Le diagramme de l’effort tranchant T et du moment de flexion M s’obtient en intégrant les équations d’équilibre, en prenant en compte la discontinuité sur T due à la force concentrée en x1 = l. On trouve ainsi la forme de la figure 3 . Le moment est négatif, ce qui indique que l’angle θ diminue. Il a effectivement une valeur positive en x1 = 0, et nulle en x1 = l. P
−P/2
−P/2
x1
P
−P/2
−P/2
x1
si x1 < l si x1 > l
: T = P/2 ; : T = −P/2 ;
M = Px1 /2 Figure 2 : Chargement M = P(l − x1 /2) Pl/2
T,M
M
P/2
x1 T
−P/2
Figure 3 : Effort tranchant et moment
2. Trouver l’expression de la flèche pour cette poutre. Application numérique : P = 160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm. N étant nul, la contrainte σ11 est égale à Mx3 /I, avec I = (2/3)bh3 . Pour x1 < l, l’angle θ est tel que θ,1 = −Px1 /2EI, et, comme il est nul en x1 = l, on a : θ=
P(x12 − l 2 ) 4EI
164
CHAPITRE 12. EXERCICE
La flèche s’exprime : V =−
Z x1 0
θdx1 +
Z x1 T 0
µS
dx1
En tenant compte du fait qu’elle s’annule en x1 = 0, il vient : V=
Px13 Px1 Pl 2 x1 + − 2µS 4EI 12EI
Soit, au milieu de la poutre (x1 = l) : V=
Pl 3 Pl + 6EI 2µS
Application numérique : L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm) conduit à : 2 EI = 100 × 75000 × 23 = 40000000 N.mm2 3 µS =
75000 × 100 × 4 = 5769231 N 2 × 1.3 v = (10.41 + 0.0017) mm
Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.
12.9.2
Poutre sandwich sur deux appuis simples
3. Indiquer les différences entre la poutre sandwich et la précédente. Etudier en particulier la continuité des composantes du tenseur des contraintes aux interfaces. Donner l’expression de la flèche. Application numérique : P = 160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm. Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurs homogénéisées des produits EI et µS : Pl 3 Pl + v= 6 < EI > 2 < µS > L’aluminium (Ea , µa ), est situé entre les cotes ±h et ±(h + e). La mousse (Em , µm ) entre les cotes ±h. Il vient donc : 2 < EI >= b(Ea ((e + h)3 − h3 ) + Em h3 ) 3 < µS >= 2bhµm Application numérique : L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à : < EI >=
2 × 100(75000 × (173 − 153 ) + 20 × 153 ) 3
< EI >= 7694500000 N.mm2 20 < µS >= 2 × 100 × 15 × = 23077 N 2 × 1.3 V = (0.054 + 0.867) mm
12.10. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE
165
4. Montrer qu’il est important que la mousse soit capable d’offrir un minimum de résistance au cisaillement, faute de quoi la flèche due à celui-ci fait perdre l’avantage offerte par l’assemblage pour ce qui concerne la résistance au moment de flexion. C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On note l’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young qui de 0,79 MPa au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».
12.10
Evaluation de la charge de flambement d’une poutre droite
Dans ce problème 1 , nous examinons la résistance au flambement d’une poutre droite de longueur L, encastrée à x1 = 0 subissant une charge compressive F > 0 (N(x1 ) = −F < 0), et une charge latérale P, à x1 = L, comme sur la figure ci-dessous. On note comme d’habitude V (x1 ) la flèche de la poutre, qui va intervenir dans le calcul du moment, car on travaillera sur la configuration déformée.
1. Dessiner le diagramme d’équilibre sur la configuration deformée. En utilisant celui-ci, montrer que V vérifie l’équation différentielle : EI V,11 +F V = P(L − x1 ) + Fδ
L’écriture de l’équilibre comporte les trois équations : N,1 + t = 0 T,1 + p = 0
M,1 − T = 0
Les valeurs de N et T sont donc constantes, égales aux valeurs des efforts extérieurs en x1 = L : N(x1 ) = FL = −F
T (x1 ) = TL = P
De façon classique, on intègre T pour trouver M, sachant que le moment est nul à l’extrémité libre (x1 = L), Z x1
M(x1 ) = ML +
L
T (x)dx = P(x1 − L)
Le fait de travailler sur la configuration déformée va rajouter le moment produit par F, si bien que : M(x1 ) = P(x1 − L) + F(V − δ) 1 Exercice
mis au point par le Prof. D.M. Parks (MIT) pendant son séjour 2007–2008
166
CHAPITRE 12. EXERCICE
La relation de comportement M = −EI V,11 permet ensuite de retrouver l’équation souhaitée. Il est à noter que l’on ajoute les contributions des deux efforts (F et P) lorsqu’on calcule les moments, mais que cette opération ne revient pas à appliquer le théorème de superposition. La présence de V dans l’équation conduit à une solution non polynomiale. 2. En posant k2 ≡ F/EI, donner la solution de l’équation différentielle, somme de la solution homogène et de la solution particulière, et utiliser les conditions aux limites en x1 = 0 pour trouver la flèche, V (x1 ). L’équation s’écrit simplement : V,11 +k2V =
P (L − x1 ) + k2 δ EI
La solution homogène Vh et la solution particulière Vp s’écrivent : Vh = A sin kx1 + B cos kx1
Vp =
P(L − x1 ) +δ k2 EI
On écrit donc respectivement la flèche et sa dérivée sous la forme : P(L − x1 ) +δ k2 EI P V,1 = Ak cos kx1 − Bk sin kx1 − 2 k EI V = A sin kx1 + B cos kx1 +
En x1 = 0, la flèche et sa dérivée sont nulles, puisqu’on est en présence d’un encastrement, si bien que : PL +δ k2 EI P 0 = Ak − 2 k EI 0 = B+
La flèche s’exprime donc : P PL P sin kx1 − + δ cos kx1 + (L − x1 ) + δ V (x1 ) = Fk F F
3. En utilisant la «condition de cohérence» V (L) ≡ δ, montrer que 3 PL tan kL − kL δ= EI (kL)3 En exprimant la «condition de cohérence» V (L) = δ, on peut trouver la valeur de la flèche à l’extrémité de la poutre : PL3 tan kL − kL δ= EI (kL)3 La valeur de la flèche est donc finalement : V (x1 ) =
PL3 (sin kx1 − kx1 + tan kL(1 − cos kx1 )) EI(kL)3
12.10. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE
167
4. Lorsque kL → π/2, δ → ∞ ; en déduire la valeur de F = Fc qui prévoit une flèche infinie pour une charge latérale nulle, et vérifier que cette valeur est égale à la charge critique d’Euler. La valeur obtenue est bien : FC =
π2 EI 4L2
5. Pour une charge axiale F «petite», montrer que la solution tend vers la solution standard d’une poutre encastrée de longueur L soumise à une charge P à son extrémité. Si le terme kL est petit, le développement limité de tan kL dans l’expression de δ donne un terme linéaire qui disparaît au numérateur. Le terme suivant vaut (kL)3 /3, si bien que : lim δ = kL→π/2
PL3 3EI
Cette valeur est bien celle qui correspond à une poutre console chargée en son extrémité avec une charge P. On la retrouve sans calcul en exploitant le fait que la flèche est la même que celle d’une poutre de longueur 2L simplement supportée à ses extrémités, et chargée avec une charge 2P en son milieu, cas qui a été traité en cours. Les équations sont brièvement redémontrées en question 7. 6. Refaire ce problème pour le cas de la traction (on a maintenant F négative). Le cheminement est identique, mais le changement de signe change les sin et cos en sinh et cosh, et l’équilibre instable lorsqu’on augmente la valeur absolue de F en un équilibre stable. En posant maintenant k2 = −F/EI, l’équation différentielle à résoudre est : V,11 − k2V =
P(L − x1 ) + Fδ EI
qui a pour solution : V (x1 ) = A sinh kx1 + B cosh kx1 +
P (L − x1 ) + δ F
Lorsqu’on annule à la fois V et sa dérivée en x1 = 0, on trouve les deux conditions qui définissent A et B: PL P B+ +δ = 0 A= F Fk La condition de cohérence en x1 = L fournit alors la valeur de δ : PL3 kL − tanh kL δ= EI (kL)3 La valeur de la flèche est finalement : V (x1 ) =
PL3 (− sinh kx1 + kx1 − tanh kL(1 − cosh kx1 )) EI(kL)3
7. Comparer les résultats obtenus lorsque la force dans l’axe de la poutre est en compression ou en traction
168
CHAPITRE 12. EXERCICE
Le calcul sans force axiale, avec la seule charge P sur une poutre console de longueur L encastrée en x1 = 0 donne successivement :
T (L) = PL = P M = P(x1 − L) M P x12 θ= = − Lx1 EI EI 2 2 x1 x13 P L − V= EI 2 6 3 PL V (L) = 3EI
On peut comparer la déformée obtenue dans ce cas avec celles qui ont été calculées pour une force axiale en compression ou en traction. Le diagramme suivant montre la flèche maximale obtenue lorsqu’on applique une force axiale à l’extrémité d’une poutre console encastrée en x1 = 0, et chargée avec une charge P en x1 = L. Les valeurs en ordonnée sont normées par la valeur de référence à force axiale nulle, les valeurs en abscisse sont normées par la charge critique d’Euler, FC . On observe bien l’instabilité qui s’annonce dès que la force axiale en compression atteint 90% de FC , alors qu’au contraire la flèche est stable pour le cas de la traction axiale.
Comparaison de la flèche maximale, normée par la valeur à force axiale nulle, en fonction de la force axiale, en compression ou en traction, normée par la charge critique d’Euler
12.10. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE
169
Augmentation de la flèche produite par l’application d’une compression axiale Les conséquences sur la forme prise par la poutre sont illustrées par deux figures, dans lesquelles la flèche au point x1 est de nouveau normée par la flèche maximale, et où cette valeur est tracée en fonction de l’abscisse normée x1 /L sur la poutre. En compression, on trouve que la flèche est plus grande, en traction qu’elle est plus petite.
Diminution de la flèche produite par l’application d’une traction axiale En conclusion, on observe que, pour une charge donnée P, l’application d’une traction produit une rigidification apparente de la poutre, alors que l’application d’une compression produit un assouplissement apparent. Ceci est à mettre en relation avec la fréquence des vibrations libres d’une poutre comportant une masse en bout. Si fo est la fréquence de référence lorsque la poutre vibre dans le plan horizontal, la fréquence que l’on observera sera fb > fo lorsque la poutre vibre verticalement avec la masse vers le bas, et fh < fo si la masse est placée vers le haut.
170
CHAPITRE 12. EXERCICE
12.11
Etude d’une tuyauterie en verre époxy sous pression interne x2
t x1
θ
l
y r p e 0
(a)
x
(b)
(a) Les repères du pli, (b) le tuyau stratifié
12.11.1
Etude de la loi de comportement du pli
La loi de comportement est définie au paragraphe 7.3.2, qui fournit l’expression de la matrice des raideurs dans le repère (x1 , x2 ) défini par l’angle θ = (x1 , l) (Fig.1). La même démarche permet d’aboutir à la matrice des souplesses : 1/E11 −ν21 /E22 −η12 /G12 1/E22 µ12 /G12 S(x1 ,x2 ) = −ν12 /E11 ν11 /E11 µ22 /E22 1/G12
Les termes ν11 , ν12 , ν21 , µ12 et µ22 introduits ici correspondent au couplage traction–cisaillement induit par l’anisotropie du pli. Les expressions sont les suivantes : 1/E11 = c4 /En + s4 /Et + c2 s2 (1/µnt − 2νtn /Et ) 1/E22 = s4 /En + c4 /Et + c2 s2 (1/µnt − 2νtn /Et ) 2
1/G12 = 4c2 s2 (1/En + 1/Et + 2νtn /Et ) + (c2 − s2 ) /µnt ν21 /E22 = (c4 + s4 )νtn /Et − c2 s2 (1/En + 1/Et − 1/µnt ) η12 /G12 = −2cs{c2 /En − s2 /Et + (c2 − s2 )(νtn /Et − 1/2µnt )} µ12 /G12 = −2cs{s2 /En − c2 /Et − (c2 − s2 )(νtn /Et − 1/2µnt )}
12.11.2
Etude d’une tuyauterie en stratifié
On considère un tube mince réalisé par enroulement filamentaire équilibré en verre/époxyde avec pour angles d’enroulement ±45◦ (Fig. 2). Il s’agit de la superposition des plis étudiés en partie 1. Le pourcentage en volume de fibres est V f = 0.6. Le tube est bridé à une extrémité sur un massif rigide indéformable, et monté sur joint glissant étanche à l’autre extrémité. L’épaisseur e est considérée faible devant le rayon (e/r 1). On installe à l’intérieur de ce tube une pression unitaire P0 = 1 MPa (soit 10 bars). On adopte un coefficient de sécurité égal à 8 pour tenir compte du vieillissement. Calculer les contraintes (σxx , σyy ) dans les axes xy du plan tangent en O au tube. Avec les conventions choisies ici, et sachant que le tube est mince et libre à ses extrémités (contrainte axiale nulle), il est raisonnable de considérer l’état de contrainte comme uniaxial, avec comme seule composante non nulle la composante circonférentielle σyy = P0 R/e.
12.12. COMPOSITES À FIBRES LONGUES
171
Si on admet que la contrainte admissible dans un composite constitué de 50% de plis à +45◦ et −45◦ est de 94 MPa, quelle est l’épaisseur minimum du tube pour un rayon moyen R = 100 mm. ◦ Expérimentalement on trouve que la contrainte maximum admissible σmax yy pour 50% de plis à ±45 , est de 94 MPa. On trouve donc l’épaisseur admissible (P0 et σyy en MPa, R et e en mm) : e=
1 × 100 P0 R = = 1.064mm σmax 94 yy
Si on admet un coefficient de sécurité de 8 sur l’épaisseur, il faut prendre : e ' 8.5 mm Soient les modules Exx , Eyy et Gxy du stratifié, et les coefficients de Poisson νxy et νyx , de valeurs numériques : Exx = Eyy = 14130 MPa ; νxy = νyx = 0.57 ; Gxy = 12760 MPa. Ecrire la loi de comportement déformations-contraintes du stratifié dans les axes x, y. Connaissant les modules du stratifié, la matrice de souplesse s’écrit : 1 −0.57 0 1/Ex −νyx /Ey 0 1 −νxy /Ex 1/Ey 0 = −0.57 1 0 14130 0 0 1/Gxy 0 0 1.107 Calculer les déformations εxx et εyy du tube composite ainsi dimensionné. En déduire la déformation dans le sens perpendiculaire au sens des fibres à +45◦ , notée εtt , qui caractérise alors essentiellement celle de la résine. Cette déformation doit demeurer inférieure à 0.1% sous peine de microfissuration, entraînant le cheminement du fluide à travers l’épaisseur du tube (phénomène de perlage). Vérifier que le tube respecte effectivement cette condition. Pour P0 = 1 MPa, R = 100 mm et e = 8.5 mm : σyy = 1 × 100/8.5 = 11, 8 MPa. La déformation est donc : 1 −0.57 0 0 εxx 1 εyy −0.57 1 0 11.8 = 14130 0 γxy 0 0 1.107 D’où : εxx =
νyx σy Ey
εyy =
σy Ey
εxx = 4.676 10−4 , εyy = 8.35s 10−4 Par rotation de 45◦ , on obtient dans la direction perpendiculaire aux fibres : εtt = (εxx + εyy )/2 = 1.8 10−4 εtt = 0.018% La limite d’endommagement de la résine étant voisine de 1%, la valeur trouvée est acceptable.
12.12
Composites à fibres longues
12.12.1
Réservoir sous pression
On considère un réservoir cylindrique sous pression formé d’une enveloppe mince de révolution, qui, en section courante, comporte des fibres de verre selon deux directions faisant un angle ±α par rapport à l’axe du réservoir 2 . Les fibres sont disposées en couches alternées, noyées dans une matrice de résine, 2 Cet
exercice est inspiré de celui de D. Gay, Matériaux composites, Hermès, 1991, p.433
172
CHAPITRE 12. EXERCICE
dont on négligera la contribution mécanique. Il y a un nombre égal de couches dans chaque direction. La pression interne vaut p. L’épaisseur et le rayon moyen de l’enveloppe valent respectivement e et R (avec e R). 1. Donner l’expression du tenseur de contrainte sur l’enveloppe en coordonnées cylindriques (on se placera en fait dans le repère (z–θ)) en fonction de p, e et R. Voir le mini-formulaire d’élasticité. On trouve, en tenant compte de l’«effet de fond» : σθθ =
pr e
σzz =
pr 2e
2. Les modules transversaux étant nuls dans chaque couche, l’état de contrainte est approximativement uniaxial dans chaque couche, la seule composante non nulle correspondant à la direction n des fibres. Etablir les relations entre σnn , σzz et σθθ . La contribution de la couche, dont les fibres font un angle α avec la direction z des génératrices, est telle que (en notant c = cos α, s = sin α) : 2 2 c s2 −2cs σnn c σnn σzz σθθ = s2 c2 2cs 0 = s2 σnn 2 2 csσnn cs −cs c − s 0 σzθ
On observe donc que le terme de cisaillement va disparaître lors de la moyenne entre les deux couches (angles α et −α), si bien que le résultat final est simplement : σzz = c2 σnn
σθθ = s2 σnn
3. A l’aide des résultats des deux questions précédentes, déterminer l’angle optimal α que doivent faire les fibres avec les génératrices du cylindre. Quelle est alors la contrainte dans les fibres en fonction de p, e et R ? L’angle optimal sera donc celui pour lequel chacune des deux contraintes σzz et σθθ charge les fibres de façon équivalente. On vérifie alors : c2 σnn =
pR 2e
s2 σnn =
pR e
Soit : tan2 α = 2
α ≈ 54.7◦
4. En appelant σu la contrainte à rupture de la fibre, calculer successivement la quantité de fibre nécessaire et l’épaisseur d de l’enveloppe, sachant que la fraction volumique de fibres f dans le composite est de 80%. Application numérique : diamètre D=80cm ; p=200bars ; σu = 3200 MPa. On a alors : f σu =
3 pR 2 e
e=
3 pR 2 f σu
Application numérique : e=
3 pR ≈ 4.7mm 2 f σu
12.12. COMPOSITES À FIBRES LONGUES
12.12.2
173
Coefficient de dilation d’un composite à fibres longues
On considère un composite à fibres longues comportant une fraction volumique f de fibres. La matrice et la fibre ont des coefficients de dilatation très différents, que l’on supposera isotropes (respectivement αm et α f ). En raison de la géométrie du matériau, on suppose que l’état de contrainte qui se développe est uniaxial, dans le sens des fibres. On caractérise donc uniquement le module longitudinal des fibres, E f , et le coefficient de Poisson correspondant, ν f . La matrice est quant à elle caractérisée par Em et νm . Les fibres sont disposées selon l’axe x1 . 1. Donner une estimation de l’état de contrainte dans le matériau lorsque, partant d’un état initial libre de déformations et de contraintes, on applique une différence de température uniforme de ∆T . On note respectivement σ f et σm les seules composantes non nulles des tenseurs de contraintes f f (respectivement σ11 dans la fibre et σm 11 dans la matrice). Les déformations longitudinales seront alors ε11 f m et εm 11 , les déformations transversales ε22 et ε22 . La résultante selon l’axe 1 est nulle, et les déformations selon l’axe 1 sont égales. Donc : f σ f + (1 − f )σm = 0
f
ε11 = εm 11 = ε11
La déformation se décompose en une part élastique et une part thermique, soit : σm σf + α f ∆T = + αm ∆T Ef Em La résolution du système en contraintes donne, en posant E = f E f + (1 − f )Em : σ f = (1 − f )
Em E f (αm − α f )∆T E
σm = −
Em E f f (αm − α f )∆T σf = − f 1− f E
2. En déduire les coefficients de dilatation moyens en direction longitudinale et transversale. En reportant les résultats précédents dans l’expression de ε11 , on introduit le coefficient de dilatation longitudinale αL : f
ε11 = ε11 = (1 − f )
f α f E f + (1 − f )αm Em Em (αm − α f )∆T + α f ∆T = ∆T = αL ∆T E E
La déformation transverse ε22 est la moyenne des déformations de chaque phase : f
ε22 = f ε22 + (1 − f )εm 22 = f (−ν f
σm σf + α f ∆T ) + (1 − f )(−νm + αm ∆T ) Ef Em
Il vient alors, en posant α = f α f + (1 − f )αm :
ε22
νf νm = fσ − + + α ∆T E f Em f (1 − f )(νm E f − ν f Em )(αm − α f ) = + α ∆T E = αT ∆T f
si bien qu’on obtient un encadrement de α : f (1 − f )(νm E f − ν f Em )(αm − α f ) f α f E f + (1 − f )αm Em + α 6 α 6 αL = E E On a tracé (Fig.1) les courbes résultantes pour les différentes estimations et bornes, dans le cas d’un composite verre–résine polyester. On observe que l’estimation faite selon le sens transverse est audessous de la borne minimale ( !). Cela remet en cause les hypothèses de la comparaison : αT =
174
CHAPITRE 12. EXERCICE 9e-05 max min longi trans
8e-05 7e-05
alpha
6e-05 5e-05 4e-05 3e-05 2e-05 1e-05 0 0
0.2
0.4 0.6 Vol fraction
0.8
1
Figure 1 : Courbes obtenues pour un composite fibre de verre–résine polyester, avec : E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10−6 , Em =4000 MPa, νm =0.4, αm =8.10−5 .
- d’une part, supposer le champ uniaxial est trop réducteur ; - par ailleurs, l’expression de la borne inférieure utilisée ici est trop simple. Le matériau étant anisotrope, il faut aussi tenir compte d’un terme déviatorique pour mesurer le coefficient de dilatation thermique, qui devient alors un tenseur.
3. Une approche plus générale du problème, mais appliquée dans le cadre d’un matériau isotrope (composite inclusion-matrice), montre que le coefficient de dilatation homogénéisé d’un composite biphasé, αh , composé des matériaux 1 et 2, vaut :
αh = hαi +
1/K h − h1/Ki (α1 − α2 ). 1/K1 − 1/K2
où h.i est une opération de moyenne arithmétique, et où K f et Km désignent respectivement les modules de compressibilité des matériaux 1 et 2. Les valeurs de K h sont encadrées par les bornes de Voigt et Reuss, ce qui fournit donc un encadrement de αh . Avec les notations précédentes, on obtient successivement, pour K h : 1 1 1− f f 6 h6 + (1 − f )Km + f K f K Km Kf et pour αh : 1 1− f f − + (1 − f )Km + f K f Km Kf α+ (α f − αm ) 6 αh 6 α 1/K f − 1/Km avec α = hαi = (1 − f )αm + f α f Vérifier que, si ν f =νm , la borne min correspond à la valeur préalablement estimée en sens travers. La courbe figure 2 montre comment se transforme la courbe précédente lorsque l’on ramène la valeur de νm à 0.25, ce qui conduit à νm = ν f . L’estimation transverse est bien sur la borne minimale.
12.12. COMPOSITES À FIBRES LONGUES
175
9e-05 max min longi trans
8e-05 7e-05
alpha
6e-05 5e-05 4e-05 3e-05 2e-05 1e-05 0 0
0.2
0.4 0.6 Vol fraction
0.8
1
Figure 2 : Courbes obtenues lorsque les coefficients de Poisson sont égaux : E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10−6 , Em =4000 MPa, νm =0.25, αm =8.10−5 . 4. Application numérique : tracer en fonction de la fraction volumique de fibres les deux estimations précédentes et les deux bornes de la question 3, pour le cas d’un composite fibre de verre–résine (E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10−6 , Em =4000 MPa, νm =0.4, αm =8.10−5 ). Discuter.
12.12.3
Assemblage collé
Afin de pouvoir saisir une éprouvette en composite entre les mors d’une machine de traction, on réalise un collage entre deux plaques d’aluminium. Comme l’indique la figure 3, il y a donc deux joints de colle, de part et d’autre de l’éprouvette en composite. Les plaques d’aluminium ont chacune une épaisseur de e1 , l’épaisseur de l’éprouvette en matériau composite est 2e2 . Les couches de colle ont chacune une épaisseur h, le recouvrement entre les plaques porte sur une distance l. L’axe x1 est l’axe de traction de l’éprouvette, l’axe x3 est normal au plan de l’éprouvette. On suppose que l’ensemble est de faible dimension en direction x2 , ce qui autorise à tenter une modélisation dans le plan x1 –x3 , en négligeant les efforts en direction 3. On supposera que toutes les forces et les déplacements dépendent uniquement de x1 . x3
l
e1 2e2
x1
Figure 3 : collage composite - plaques aluminium
Les modules de la plaque composite et de l’aluminium étant grands par rapport à celui de la colle, il est raisonnable de supposer que la colle est cisaillée (glissement simple) entre les plaques, dans lesquelles les segments initialement parallèles à x3 restent parallèles pendant la traction (force F). 1. En considérant successivement l’équilibre d’une tranche (dx1 –e1 ) d’aluminium, et (dx1 –e2 ) de composite, autour du joint supérieur de colle, donner les relations entre les forces de traction par unité d’épaisseur N1 et N2 , dans l’aluminium et dans le composite, et le cisaillement à l’interface, τ.
176
CHAPITRE 12. EXERCICE La première équation d’équilibre, intégrée sur les petits volumes considérés, donnent : Z
(σ11,1 + σ13,3 )dx1 dx3 = 0 Il s’agit d’un cas simplifié de théorie des poutres, dans lequel ne subsiste que l’effort normal dans la section de la poutre, mais avec une sollicitation extérieure tangente à la surface. Le premier terme de l’intégrale correspond à la dérivée de l’effort normal par rapport à x1 . On transforme le second terme en intégrale sur le contour. Il vient donc un terme en σ13 n3 , n3 étant la normale à la surface chargée en cisaillement. Ce terme vaut donc −τ pour l’élément de volume d’aluminium (normale (0,-1)), et τ pour la plaque composite. Il vient donc : N2,1 − τ = 0
N1,1 + τ = 0
Si on suppose que le déplacement horizontal est le même en tout point des plaques, et qu’on le désigne par U1 dans l’aluminium et par U2 dans le composite, il vient : N1 = E1 e1U1,1
N2 = E2 e2U2,1
2. Proposer un champ de déplacement pour la colle, et en déduire la relation entre les déplacements des plaques et le cisaillement τ. En supposant que la colle est en glissement simple, la valeur du cisaillement produit (petites déformations) est : U2 −U1 τ γ= = h µc D’où on déduit :
N2 N1 h τ,1 = U2,1 −U1,1 = − = y(x1 ) µc E2 e2 E1 e1
Les relations entre les efforts normaux et τ se recombinent de la façon suivante : N1,1 τ + =0 E1 e1 E1 e1 soit :
y,1 =
N2,1 τ − =0 E2 e2 E2 e2
1 1 + E1 e1 E2 e2
τ
3. Trouver l’équation différentielle du second ordre que vérifie la fonction y de x1 telle que : y=
N2 N1 − E2 e2 E1 e1
L’équation est donc finalement : 2
y,11 − ω y = 0
µc avec ω = h 2
1 1 + E1 e1 E2 e2
dont la solution générale est : y = a cosh ωx1 + b sinh ωx1 Les conditions aux limites sont : F - en x1 = 0, N1 = F, N2 = 0, soit y = − = a; E1 e1
12.12. COMPOSITES À FIBRES LONGUES - en x1 = l, N1 = 0, N2 = F, soit y = limites conduit à :
177
F = a cosh ωl + b sinh ωl L’application de ces conditions aux E2 e2
sinh ωx1 F cosh ωx1 + F y=− E1 e1 sinh ωl
1 1 + cosh ωl E2 e2 E1 e1
4. Intégrer cette équation, et déterminer les constantes d’intégration en x1 = 0 et x1 = l. On trouve enfin le cisaillement en prenant la dérivée de y : Fµ sinh ωx1 cosh ωx1 1 cosh ωl τ= − + + ωh E1 e1 sinh ωl E2 e2 E1 e1 La courbe fonction de x1 présente des valeurs maximum aux deux extrémités du collage. On a respectivement : 1 1 Fµ + ; - en x1 = 0, τ(0) = ωh E2 e2 sinh ωl E1 e1 tanh ωl Fµ 1 1 - en x1 = l, τ(l) = + . ωh E2 e2 tanh ωl E1 e1 sinh ωl Dans la plupart des configurations numériques, le terme en sinh est très grand, et tanh ≈ 1. L’efficacité maximum du système commande que les produits E1 e1 et E2 e2 soient égaux. La rupture éventuelle d’un collage débute donc à partir des bords. On peut diminuer les efforts en considérant un recouvrement plus long. La figure ci-dessous montre la courbe obtenue pour les conditions préconisées. 5. Déterminer l’expression du cisaillement τ et la tracer en fonction de x1 sur l’intervalle (O–l). Discuter le paradoxe concernant les conditions aux limites pour τ en x1 = 0 et x1 = l. Le cisaillement calculé ici n’est donc pas nul sur les faces verticales du joint de colle, qui sont pourtant des surfaces libres. On retrouve donc bien dans ce calcul approché le problème classique du cisaillement dans les théories de poutre. En fait, si la surface est libre, la forme du bord n’est pas linéaire, comme supposé dans les hypothèses pour construire le cisaillement. Des calculs de structures montrent néanmoins que les résultats d’un calcul complet se raccordent très rapidement à ceux qui sont trouvés ici, si bien que le niveau de la concentration de contrainte est bien réaliste. Il représente en particulier une bien meilleure approximation que celle qui consisterait à répartir uniformément le cisaillement sur l’ensemble du joint. 20 18 16 14
tau (MPa)
12 10 8 6 4 2 0 0
5
10
15 x (mm)
20
25
30
Figure 4 : Evolution du cisaillement à l’interface aluminium–composite ; conditions du calcul pour l’aluminium, E1 = 75000 MPa, e1 = 2. mm ; pour le stratifié, E2 = 100000 MPa, e2 = 1.25 mm ; pour la colle (araldite), µc = 1700 MPa, h = 0.1 mm, l = 30 mm ; force par unité d’épaisseur, F=70 MPa/mm
178
12.13
CHAPITRE 12. EXERCICE
Etude de la flexion d’un bilame
Le but de cet exercice est d’examiner la courbure d’une plaque circulaire constituée de deux couches sous l’effet d’un changement de température. La plaque est composée de deux couches homogènes, le dépôt et le substrat qui ont respectivement des épaisseurs ed et es , des modules d’Young Ed et Es , et des coefficients de Poisson νd et νs . L’épaisseur du dépôt est supposée très petite devant celle du substrat, ce qui est généralement le cas lorsqu’on traite le cas des «wafers», supports en silicium sur lesquels on vient fabriquer les puces en microélectronique (il y a environ 3 ordres de grandeur d’écart). Les coefficients de dilatation thermique sont respectivement αd et αs . On suppose que le champ de température initial est uniforme, et on applique au système une variation de température T , supposée également uniforme. Comme la distribution des matériaux dans l’épaisseur n’est pas symétrique, il apparaît un couplage «membrane–flexion», si bien que le simple changement de température va générer une courbure de la plaque, et des contraintes thermomécaniques autoéquilibrées à l’intérieur des couches. 1. Indiquer comment est modifiée la loi de comportement d’une plaque homogène en présence de dilatation thermique. On utilisera pour le moment des notations sans indices, E, ν, e, α, et on supposera que le plan moyen de la plaque est le plan (x1 ,x2 ), donc que −e/2 6 x3 6 e/2. La loi de comportement comprend un terme de membrane, un terme de flexion, et un terme de cisaillement transverse. La loi de comportement, qui relie les termes caractérisant les efforts et ceux qui définissent la cinématique, est établie en postulant une forme de champ de contrainte dans la plaque. Le fait d’introduire un terme de dilatation thermique, ∼εth = αT ∼I , ne va pas modifier la partie cisaillement. Il faut par contre examiner son influence sur les efforts axiaux et les moments. La loi de comportement restreinte aux composantes 11 et 22, avec σ33 = 0, s’écrit : E σ11 ε11 − αT 1 ν = σ22 ε22 − αT 1 − ν2 ν 1 L’estimation des termes N11 et N22 s’effectue en intégrant respectivement σ11 et σ22 sur l’épaisseur de la plaque. Ceci donne par exemple pour N11 : E N11 = 1 − ν2
Z e/2 −e/2
(ε11 + νε22 − (1 + ν)αT )dx3
Les déformations s’expriment en fonction des composantes du déplacement de membrane et des angles de rotation : ε11 = U1,1 + θ2,1 x3 et ε22 = U2,2 − θ1,2 x3 . Les termes linéaires en x3 , qui sont impairs, disparaissent comme d’habitude dans l’intégration entre −e/2 et e/2, mais il reste un terme supplémentaire par comparaison avec la solution du cours : N11 = On a donc :
N11 N22
Ee EαTe (U1,1 + νU2,2 ) − 2 1−ν 1−ν
Ee = 1 − ν2
EαTe 1 1 ν U1,1 − ν 1 U2,2 1−ν 1
L’estimation des termes M11 et M22 s’effectue en intégrant respectivement x3 σ11 et x3 σ22 sur l’épaisseur de la plaque. Ceci donne par exemple pour M11 : M11 =
E 1 − ν2
Z e/2 −e/2
(x3 ε11 + νx3 ε22 − (1 + ν)αT x3 )dx3
Cette fois-ci, le terme provenant de la dilatation thermique est linéaire en x3 , si bien qu’il disparaît dans l’intégration, et que la loi de comportement est inchangée par rapport à la solution isotherme : Ee3 M11 1 ν θ2,1 = M22 −θ1,2 12(1 − ν2 ) ν 1
12.13. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME
179
2. On se préoccupe dans cette question des équations d’équilibre résultant de l’assemblage des deux couches. Justifier le fait que le moment de flexion dans le dépôt est négligeable devant le moment résultant sur le substrat. On raisonne dans un premier temps en conditions axisymétriques, si bien que les composantes 11 et 22 sont égales. En écrivant l’équilibre des efforts pour une section droite de la s = N s et le moment de flexion M s = M s = M s plaque multicouche, déterminer l’effort normal N s = N11 22 11 22 d = N d dans la couche de dépôt. dans la couche de substrat en fonction de l’effort normal N d = N11 22 x3
Nd es
E
s
Ns
νs α s
Ms
x1
Figure 1 : Equilibre d’une section droite
La résultante des efforts normaux est nulle, puisqu’il n’y a pas d’efforts extérieurs appliqués sur le système. On en déduit : Ns + Nd =
Es es Ed ed (ε − αd T ) + (ε − αs T ) = 0 1 − νd 1 − νs
On a noté ε les termes U1,1 et U2,2 , qui sont supposés égaux dans les deux couches, ce qui signifie que l’extension moyenne est la même dans les deux couches, et que le problème est axisymétrique. On fait en effet l’hypothèse qu’il y a continuité du déplacement entre les couches. Il est donc possible d’éliminer ε et de trouver l’expression de N d : Ed ed Es es (αs − αd )T 1 − νd 1 − νs Nd = Es es Ed ed + 1 − νd 1 − νs Comme les valeurs des constantes du modèle élastique et des coefficients de dilatation thermique sont du même ordre pour les deux matériaux, mais que la couche de dépôt est d’épaisseur négligeable, la valeur de l’effort normal dans le substrat est finalement : N s = −N d ≈
Ed ed (αd − αs )T 1 − νd
L’effort est donc d’autant plus grand que la différence entre les coefficients de dilatation thermique est importante, que le dépôt est épais et que son module de Young est grand. Le moment dans le substrat se calcule en considérant l’effort appliqué par le dépôt sur le substrat, effort concentré appliqué à une distance es /2 de la surface moyenne du substrat : Ms = N d
es 2
3. Calculer la valeur de la courbure, en supposant que le substrat est une plaque mince de LoveKirchhoff Si la plaque est mince, les dérivées des angles qui interviennent dans l’expression des moments sont égales à la courbure : 1 θ2,1 = −W,11 = −θ1,2 = −W,22 = R La relation entre le moment et le rayon de courbure dans le substrat est donc : Ms =
Es e3s 1 12(1 − νs ) R
180
CHAPITRE 12. EXERCICE
En remplaçant M s par son expression en fonction de N d , il vient : 1 6(1 − νs )N d = R Es e2s Si on exprime maintenant N d : 6Ed0 1 = (αd − αs )T R es Es0 où on a posé : Es0 =
Es es 1 − ν2s
Ed0 =
Ed ed 1 − ν2d
Remarques : Le champ de contrainte dans le substrat se calcule en superposant la contribution de l’effort de membrane et celle du moment de flexion. Le premier fournit un champ de contrainte uniforme dans l’épaisseur, alors que le second génère un champ impair en x3 . Le résultat est donc une distribution affine ; la surface sur laquelle la contrainte s’annule est située au tiers de la plaque à partir du la face qui porte le substrat. On trouve en effet : s N11 12 x3 s Nd 6x3 + 2 M11 = −1 + σ11 = σ22 = es es es es es expression qui s’annule bien lorsque x3 = es /6. 3. En fait, on observe que, sur de grandes plaques, de diamètre 200 à 300 mm, la flexion n’est pas axisymétrique, mais elle s’effectue selon une direction préférentielle. Cela conduit à reconsidérer les conditions aux limites, et à utiliser à la place une hypothèse de déformation plane. Recommencer les calculs précédents et donner la nouvelle expression du rayon de courbure. On réalisera ensuite l’application numérique pour une plaque de 30 cm de diamètre consstituée d’un substrat en silicium et d’un dépôt de nickel, soumise à une diminution de température T=-300 ◦ C : Es =112 GPa νs =0.28 αs = 3.10−6 ◦ C −1 es = 200 µm −6 ◦ −1 Ed =207 GPa νd =0.31 αd = 13.10 C ed = 50 nm
x3 E
d
ed
νd α d
es + ed E
s
2
νs α s
es + ed
x1
es
2
Figure 2 : Géométrie de la plaque composite
On résout cette fois-ci le problème d’une plaque composite chargée en état de déformation plane selon la direction x2 . On considère la résultante N11 et le moment M11 correspondant à l’ensemble des couches. Les dérivées partielles par rapport à x2 sont nulles, si bien que les équations d’équilibre se réduisent à : N11,1 = 0 M11,11 = 0
12.13. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME
181
Avec les conditions aux limites de bords libres, il vient : N11 = 0, M11 = 0, et les équations de comportement s’écrivent (en prenant ε22 nul dans l’expression des contraintes) : Z (ed +es )/2 E(x ) E(x ) 3 3 x3 dx3 −(e +e )/2 1 − ν2 (x3 ) dx3 2 −(ed +es )/2 1 − ν (x3 ) s d U,1 = Z (ed +es )/2 Z (ed +es )/2 θ2,1 E(x3 ) E(x3 ) x3 dx3 x32 dx3 2 2 −(ed +es )/2 1 − ν (x3 ) −(ed +es )/2 1 − ν (x3 ) Z (e +e )/2 s d E(x3 )α(x3 ) −(e +e )/2 1 − ν(x3 ) )dx3 s d −T Z (ed +es )/2 E(x3 )α(x3 )x3 )dx3 1 − ν(x3 ) −(ed +es )/2 Z
N11 M11
(ed +es )/2
On peut réécrire les équations de comportement en introduisant une matrice A et un vecteur B sous la forme : B U,1 A11 A12 N11 − 1 T = B2 θ2,1 A21 A22 M11 Les déformations généralisées sont calculées en inversant la matrice A et en utilisant le fait que N11 et M11 sont nuls : U,1 = A−1 BT θ2,1 Les composantes de la matrice A et du vecteur B sont calculées en remplaçant les intégrales par des sommes, le substrat étant situé entre x3 = −(es + ed )/2 et x3 = (es − ed )/2, et le dépôt entre x3 = (es − ed )/2 et x3 = (es + ed )/2 : Es Ed es + ed 2 1 − νs 1 − ν2d (es − ed )2 (es + ed )2 Es A12 = A21 = − 2(1 − ν2s ) 4 4 2 Ed (es + ed ) (es − ed )2 + − 4 4 2(1 − ν2d ) Es (es − ed )3 (es + ed )3 + A22 = 3(1 − ν2s ) 8 8 Ed (es + ed )3 (es − ed )3 + − 8 8 3(1 − ν3d ) Ed αd Es αs es + ed B1 = 1 − νs 1 − νd Es αs (es − ed )2 (es + ed )2 B2 = − 2(1 − νs ) 4 4 2 Ed αd (es + ed ) (es − ed )2 + − 2(1 − νd ) 4 4 A11 =
En reprenant la notation de la question 3 et en introduisant Es00 =
Es es αs = αs (1 + νs )Es0 1 − νs
Ed00 =
Ed ed αd = αd (1 − νd )Ed0 1 + νd
182
CHAPITRE 12. EXERCICE
il vient, en négligeant les termes de second et troisième degré en ed : A11 = Es0 + Ed0 1 A12 = A21 = (−Es0 ed + Ed0 es ) 2 E0 E0 A22 = s (e2s + 6e2d ) + d (e2d + 6e2s ) 12 12 00 00 B1 = Es + Ed 1 B2 = (−Es00 ed + Ed00 es ) 2 Le rayon de courbure s’exprime comme : 1 A11 B2 − A12 B1 = θ2,1 = R A11 A22 − A212 En négligeant les termes de second et troisième degré en ed , on trouve : es 0 00 Es Ed − Ed0 Es00 2 2E 02 e A11 A22 − A212 ≈ s s 12
A11 B2 − A12 B1 ≈
Ce qui donne finalement : 6Ed0 6 Es0 Ed00 − Ed0 Es00 1 = ((1 + νd )αd − (1 + νs )αs )T = R es es Es0 Es0 2 La formule diffère de celle obtenue en conditions axisymétriques uniquement par un terme en (1 + ν) dans chaque matériau. Application numérique : On trouve R = 17, 543m. On trouve la flèche correspondante en intégrant deux fois. Si on suppose que la plaque est simplement posée, avec le dépôt vers le haut, les deux extrémités vont se soulever. En supposant la flèche nulle au milieu, et -150 mm6 x1 6 150 mm, il vient successivement : x1 x2 θ2 (x1 ) = W (x1 ) = 1 R 2R Le soulèvement maximal est donc de 0,641 mm.
12.14
Propriétés élastiques effectives des composites
12.14.1
Propriétés élastiques effectives d’un polycristal de cuivre
Les alliages métalliques sont des matériaux hétérogènes car ils sont constitués de grains monocristallins ayant chacun une orientation cristalline distincte. Les monocristaux présentent en général un comportement élastique anisotrope (on s’en tiendra ici à la symétrie cubique propre aux cristaux de structure cristallographique cubique à faces centrées comme le cuivre considéré dans cet exercice). La différence d’orientation de grain à grain implique alors que chaque grain répond de façon différente à la sollicitation appliquée. On cherche ici, connaissant les propriétés élastiques cubiques du monocristal, à encadrer les propriétés macroscopiques du polycristal dans le cas où la distribution des orientations cristallines est purement aléatoire (on parle dans ce cas de texture isotrope).
12.14. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES DES COMPOSITES
183
F IG . 12.2 – Microstructure d’un polycristal. La couleur de chaque grain désigne son orientation cristallographique. 1. Matrices d’élasticité Ecrire la matrice Ci j des modules d’élasticité cubique en adoptant la notation dite de Voigt. Ecrire de même la matrice des souplesses Si j . On introduira les constantes C11 ,C12 et C44 . On définit les coefficients d’anisotropie : ac =
2C44 , C11 −C12
as =
2(S11 − S12 ) S44
Justifier cette dénomination. Montrer que ac = as . Ces matrices sont destinées à représenter le comportement du monocristal. Si la distribution des orientations cristallines est purement aléatoire au sein du polycristal, que pensez–vous de la symétrie de la matrice d’élasticité du polycristal ? 2. Ecriture des tenseurs d’élasticité isotrope On introduit ici des opérateurs d’ordre 4 permettant de manipuler simplement les tenseurs d’élasticité isotrope. L’opérateur J≈ appliqué à un tenseur d’ordre 2 symétrique ∼ε fournit son , quant à lui, appliqué à ∼ε donne sa partie sphérique : déviateur ∼e. L’opérateur K ≈ J≈ : ∼ε = ∼e,
1 K : ∼ε = (Tr ∼ε) 1∼ ≈ 3
Il s’ensuit que J≈ + K = ∼I ≈ où ≈I est le tenseur identité d’ordre 4 opérant sur les tenseurs d’ordre 2 symétriques. En terme de composantes, on a, pour information : 1 Ii jkl = (δik δ jl + δil δ jk ), 2
1 Ki jkl = δi j δkl 3
Vérifier que tout tenseur des modules d’élasticité isotrope se met sous la forme C = 2µJ≈ + 3kK ≈ ≈
184
CHAPITRE 12. EXERCICE où µ et k sont respectivement les modules de cisaillement et de compressibilité. Montrer que le tenseur des souplesses correspondant s’écrit : −1 S≈ = C = ≈
1 1 J≈ + K 2µ 3k ≈
V 3. Borne de Voigt pour le polycristal C =< ≈c > ≈
Justifier que si la distribution des orientations cristallines est isotrope, alors la borne supérieure V de Voigt C est un tenseur isotrope : ≈ V C = 2µV J≈ + 3kV K ≈ ≈
Pour accéder à µV et kV , il faudrait calculer la moyenne sur les matrices d’élasticité tournées pour toutes les orientations possibles. Un tel calcul est possible mais fastidieux. On peut s’en sortir plus efficacement en utilisant les invariants du tenseur ci jkl du monocristal. On appelle invariant une fonction des composantes d’un tenseur dont la valeur ne dépend pas du repère choisi pour les exprimer. La trace et le déterminant sont des invariants d’un tenseur d’ordre 2 car ils s’expriment en fonction des valeurs propres uniquement. Calculer les invariants suivants du tenseur d’ordre 4 c: ≈ ciikk , ci ji j Calculer aussi les invariants Jii j j , Ji ji j , Kii j j , Ki ji j . Calculer enfin la valeurs des invariants CiiV j j ,CiVji j V en fonctions de µV et kV . pour le tenseur C ≈ En déduire les bornes supérieures µV et kV en fonction des Ci j du monocristal. 4. Borne de Reuss pour le polycristal S≈V =< ≈s > Justifier que si la distribution des orientations cristallines est isotrope, alors la borne inférieure de Reuss S≈ R est un tenseur isotrope : S≈ R =
1 1 J≈ + R K R 2µ 3k ≈
Pour calculer S≈ R on utilise à nouveau les invariants des tenseurs d’ordre 4 impliqués. On note s = ≈c−1 le tenseur des souplesses du monocristal. Calculer successivement sii j j , si ji j , SiiR j j , SiRji j . En
≈
déduire les bornes inférieures µR , kR . 5. Encadrement des modules effectifs Exprimer kR en fonction des Ci j . Que remarquez-vous ? Qu’en déduisez–vous sur la valeur de ke f f ? Etait–ce prévisible ? Donner enfin un encadrement de µe f f en fonction de C44 et du coefficient d’anisotropie ac = as = a. 6. Application numérique Pour le cuivre pur monocristallin, on a C11 = 168400MPa,
C11 = 121400MPa,
C11 = 75390MPa
Calculer a, ke f f , µV , µR . Trouver dans un manuel ou un site de propriétés mécaniques des matériaux le module de cisaillement du cuivre polycristallin isotrope usuel et vérifier que cette valeur est comprise entre les bornes de Voigt et Reuss.
12.14. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES DES COMPOSITES
185
1. On rappelle que la notation de Voigt est introduite pour remplacer la forme générale de la loi d’élasticité σi j = Ci jkl εkl par la relation matricielle σI = CIJ εJ Les tenseurs de contraintes et de déformation sont identifiés à des vecteurs de IR6 . Dans le cas de l’élasticité cubique et dans la base orthonormée liée aux axes de symétrie, ces matrices et vecteurs s’écrivent : C11 C12 C12 0 0 0 ε11 σ11 σ22 C12 C11 C12 0 0 0 ε22 σ33 C12 C12 C11 0 0 0 ε33 σ23 = 0 0 2ε23 0 0 C44 0 σ31 0 0 0 0 C44 0 2ε31 σ12 0 0 0 0 0 C44 2ε12 Il faut faire attention au fait que, traditionnellement, ε4 est mis pour 2ε23 = γ23 . Les relations entre les composantes de la matrice et celles du tenseur d’élasticité sont donc : C11 = c1111 ,
C12 = c1122 ,
C14 = c1123 ,
C44 = c2323
Il existe de même une matrice des souplesses εI = SIJ σJ La matrice des SIJ est donc l’inverse de la matrice des CIJ mais on fera attention au fait que l’identification avec le tenseur d’ordre 4 correspondant est alors la suivante : S11 = s1111 ,
S12 = s1122 ,
S14 = 2s1123 ,
S44 = 4s2323
Dans le cas cubique, les relations suivantes entre les CIJ et SIJ permettent de montrer aisément que les coefficients d’anisotropie ac = as sont égaux : S11 =
C11 +C12 , (C11 + 2C12 )(C11 −C12 )
S12 =
−C12 , (C11 + 2C12 )(C11 −C12 )
S44 =
1 C44
2. On remarque que J≈ : K =K : J≈ = 0≈ et on vérifie alors que l’inverse d’un tenseur isotrope s’obtient ≈ ≈ directement en prenant l’inverse des coefficients devant J≈ et K . Cela vient simplement du fait que ≈ 2µ et 3k sont les valeurs propres du tenseur isotrope C , les tenseurs propres associés constituant ≈ respectivement une base des tenseurs déviatoriques et sphériques. 3. On trouve successivement ciikk = 3C11 = +6C12 , Jii j j = 0,
Ji ji j = 5,
V Ciikk = 9kV ,
ci ji j = 3C11 + 6C44 Kii j j = 3,
Ki ji j = 1
CiVji j = 10µV + 3kV
V On fait valoir ensuite le fait que les invariants de C sont liés à ceux des modules locaux ≈c par ≈
CiiV j j =< cii j j >= cii j j ,
CiVji j =< ci ji j >= ci ji j
On en déduit que les modules effectifs µe f f , ke f f du polycristal à texture isotrope sont bornés par µV et kV , c’est–à–dire : ke f f ≤ kV =
C11 + 2C12 e f f C11 −C12 + 3C44 ,µ ≤ 3 5
186
CHAPITRE 12. EXERCICE
4. On trouve successivement sii j j = 3S11 + 6S12 ,
3 si ji j = 3S11 + S44 2
On fait attention pour ce dernier calcul que s2323 = S44 /4. SiiR j j =
1 , kR
SiRji j =
5 1 + R R 2µ 3k
V Il s’agit formellement du même calcul que pour C en remarquant que 1/3kR et 1/2µR jouent le ≈
rôle de 3kV et 2µV respectivement. On obtient finalement 3ke f f ≥ 3kR =
1 , S11 + 2S12
µe f f ≥ µR =
5 4S11 − 4S12 + 3S44
5. En utilisant les relations liant les Ci j et les Si j qui ont été rappelées, on trouve que 3kR =
1 = C11 + 2C12 S11 + 2S12
et par conséquent que kR = kV = ke f f Le module de compressibilité effectif d’un agrégat de grains à symétrie cubique est donc connu de manière unique en fonction des Ci j du monocristal. Cela est simplement dû au fait que la réponse d’un monocristal cubique à une sollicitation sphérique est indépendante de son orientation. Ce n’est pas le cas si la symétrie du cristal est quadratique ou orthotrope. Il n’en va pas de même de µe f f dont la valeur exacte dépend de l’arrangement particulier et de la morphologie des grains. On peut simplement donner l’encadrement 5C44 3a + 2 ≤ µe f f ≤ C44 3 + 2a 5a 6. A.N. : a = 3.21 L’anisotropie est importante, comparée à l’aluminium monocristallin par exemple qui donne une valeur proche de 1.1. ke f f = 137067MPa,
µV = 54634MPa,
µR = 40032MPa
On trouve usuellement des valeurs expérimentales de l’ordre de 50000 MPa pour le module de cisaillement du cuivre pur polycristallin isotrope.
12.14.2
Propriétés élastiques d’un composite à matrice métallique
On envisage de remplacer certains disques de turbine des moteurs d’avion par des anneaux en composites. Il s’agit de composites à fibres de carbure de silicium dans une matrice métallique en alliage de titane. L’intérêt est de réduire considérablement la masse de la pièce tout en garantissant une bonne résistance à la force centrifuge que subit le disque en rotation. Des photos de microstructures pour deux fractions volumiques de fibres sont données sur la figure 12.3.
12.14. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES DES COMPOSITES
187
F IG . 12.3 – Composite à matrice métallique SiC-titane pour application aéronautique pour deux fractions volumiques de fibres différentes (diamètre des fibres 100 µm) Les propriétés élastiques des fibres en SiC sont E f = 410000MPa,
ν f = 0.25
Les propriétés de la matrice en alliage de titane sont Em = 110000MPa,
νm = 0.3
Les fibres sont supposées parallèles entre elles. 1. Fuseau de Hill Tracer les bornes de Voigt et Reuss pour le biphasé en fonction de la fraction volumique f de fibres. 2. Bornes de Hashin–Shtrikman Il existe en fait des bornes plus étroites que les bornes de Voigt et Reuss dans le cas où la répartition des phases est supposée isotrope dans le plan au sein du matériau, il s’agit des bornes de Hashin– Shtrikman. L’établissement de ces bornes dépasse le cadre de ce cours mais il est intéressant d’utiliser le résultat. Les expressions sont assez lourdes : −1 µHS+ = f µf +
(1 − f )µm 1− f f + µm − µ f µm − µ f 1+βf 1+βf kf µf
kHS+ = f kf +
−1
(1 − f )km 1− f f + km − k f km − k f 1+αf 1+αf kf kf
µHS− = (1 − f )µm +
−1
f µf f µ f − µm 1 − f + µ f − µm 1 + βm 1 + βm km µm
188
CHAPITRE 12. EXERCICE −1
kHS− = (1 − f )km +
f kf f 1 − f + k f − km k f − km 1 + αm 1 + αm km km
avec αf =
3 + 4ν f , 8(1 − ν f )
βf =
3 − 4ν f 4(1 − ν f )
αm =
3 + 4νm , 8(1 − νm )
βm =
3 − 4νm 4(1 − νm )
Compléter le fuseau de Hill à l’aide des bornes de Hashin–Shtrikman. Essayer un contraste de propriétés plus grand que dans l’application visée (prendre par exemple Em = 20000 MPa). Commenter. 3. Homogénéisation périodique Lorsqu’on regarde la figure 12.3, on constate que la distribution des fibres est quasiment périodique, surtout pour les fortes fractions volumiques de fibre. Il est possible d’estimer les propriétés effectives du composite en prenant en compte l’hypothèse de périodicité. La solution du problème n’est a priori pas analytique de sorte que la résolution est entièrement numérique. On choisit une cellule élémentaire permettant de reconstruire par périodicité l’ensemble du composite. Une telle cellule est donnée sur la figure 12.4, pour une fraction de fibres f = 0.4. Justifier le choix de cette cellule. Quelle est la fraction volumique maximale de fibres au sein de la matrice compatible avec cette hypothèse de périodicité. Pour déterminer les modules effectifs pour
F IG . 12.4 – Cellule élémentaire du composite pour l’homogénéisation périodique ; la fibre est en blanc ( f = 0.4). une telle géométrie, on impose une déformation moyenne E on cherche le champ de déplacement ∼ sous la forme : u=E .x + v ∼ où v est une perturbation qui prend des valeurs identiques en deux points homologues du contour extérieur de la cellule : v(x+ ) = v(x− ) où x+ − x− est égal à une période de la microstructure. On demande en outre que les efforts en deux points homologues soient opposés. Montrer qu’avec ces conditions aux limites, on a bien < ∼ε >cellule = E ∼ <σ : ∼ε >=< σ >: E ∼ ∼ ∼
12.14. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES DES COMPOSITES
189
Pour déterminer les modules effectifs on considère six problèmes aux limites en imposant une composante non nulle du tenseur E à chaque fois. Le calcul des contraintes moyennes ∼ correspondantes fournit les termes de la matrice d’élasticité effective. On illustre par la figure ci-dessous le champ de contrainte σ12 obtenu en imposant E12 = 0.2%, les autres composantes de E étant nulles. C’est l’état déformé de la cellule qui est présenté. Commenter. ∼
Pour les deux questions suivantes, il faut pouvoir faire les calculs par éléments finis (voir site web du cours). Les calculs sont réalisés sous l’hypothèse des déformations planes. Montrer que les modules d’élasticité obtenus par homogénéisation périodique sur la cellule considérée sont isotropes dans le plan. Placer les valeurs trouvées pour µe f f et ke f f (dans le plan) sur le fuseau de Hill pour différentes fractions volumiques. Que remarquez–vous ? Inverser les propriétés (fibre molle, matrice dure), porter à nouveau les points trouvés sur le fuseau de Hill.
190
CHAPITRE 12. EXERCICE
1. Les modules de cisaillement et de compressibilité des constituants sont µ f ,m =
E f ,m , 2(1 + ν f ,m )
k f ,m =
E f ,m 3(1 − ν f ,m )
µV =< µ >= f µ f + (1 − f )µm 1/µR = f /µ f + (1 − f )/µm ,
1/kR = f /k f + (1 − f )/km
2. Les figures 12.5 et 12.6 donnent les fuseaux de Hill pour deux contrastes de propriétés élastiques différents. 180000 160000 V R HS+ HS−
µ (MPa)
140000 120000 100000 80000 60000 40000 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
f 280000 260000 240000
k (MPa)
220000 200000
V R HS+ HS−
180000 160000 140000 120000 100000 80000 0
0.2
0.4 f
F IG . 12.5 – Fuseau de Hill pour le composite SiC/titane
SIMULATIONS NUMERIQUES Cette section offre la possibilité d’effectuer des simulations numériques par éléments finis, en utilisant des conditions aux limites périodiques sur une cellule élementaire, et de comparer l’estimation ainsi obtenue avec les encadrements précédents. Pour cela, il suffit de modifier les valeurs affichées dans les champs suivants et de soumettre le calcul à l’aide de la touche Go. Le choix de la cellule permet de reconstituer une disposition en quinconce des fibres (ou en nid d’abeilles, figure ci–dessous ) proche des observations expérimentales. L’empilement a toutefois des limites. Il est dit compact lorsque √ f = fc = 3π/8 ∼ 0.68
12.14. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES DES COMPOSITES
191
180000 160000 V R HS+ HS−
140000
µ (MPa)
120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
f 300000
250000
k (MPa)
200000
V R HS+ HS−
150000
100000
50000
0 0
0.2
0.4 f
F IG . 12.6 – Fuseau de Hill pour le composite SiC/matrice polymère (Em = 10000 MPa)
Lien sur la feuille de calcul
192
12.15
CHAPITRE 12. EXERCICE
Réservoir sous pression – Fuite avant rupture
P
Pmax
R=0.9 m
e
temps Figure 1 : Schématisation du cycle de chargement et de la géométrie L’installation d’une soufflerie supersonique comporte une vingtaine de cylindres soumis à des cycles de pression interne. La pression maximum en service Pmax est de 50 bars. On cherche à dimensionner les cylindres, c’est-à-dire à déterminer l’épaisseur optimale du tube qui n’entraîne aucun risque de rupture possible pour une pression test de deux fois la pression de service. Pour cela on analysera les différents risques de rupture suivants : 1. rupture par charge limite 2. rupture par fissuration critique 3. propagation de fissure par fatigue. 1. Donner les différentes composantes du tenseur des contraintes en supposant que le tube est mince. La contrainte orthoradiale σθθ est largement plus grande que toutes les autres dès lors que e/R est petit devant 1. On considérera donc un état de contrainte uniaxiale, avec pour seule composante non nulle σθθ = PR/e. 2. Fissuration par charge limite : Soit σy la limite d’élasticité du matériau, supposée égale à la contrainte ultime à rupture (matériau élastique-parfaitement plastique). Etablir le critère en P et e afin que le réservoir reste toujours en deçà de la charge limite. Pour prévenir la rupture par charge limite, il faut que σθθ reste inférieure à σy , ce qui impose que l’épaisseur reste supérieure à une valeur limite el . e ≥ el = PR/σy 3. Rupture par fissuration critique : Dans l’épaisseur du cylindre, les défauts sont modélisés par des disques de diamètre 2a. Les défauts qui débouchent en surface ont en général une section elliptique, le petit axe étant situé en direction radiale. On effectue donc une évaluation conservative en les assimilant à des demi-disques de diamètre 2a. Dans les deux configurations de défaut (Fig.2) le √ facteur d’intensité de contrainte K sera approché par la relation : K = σθθ πa.
2a 2a
σθθ
12.15. RÉSERVOIR SOUS PRESSION – FUITE AVANT RUPTURE
193
Figure 2 : Schématisation des défauts dans le réservoir 4. Tracer dans le diagramme (σ, a) les domaines de fissuration/non fissuration pour les deux modes de ruine possible charge limite–fissuration critique. Soit ac la taille de défaut critique correspondant à l’intersection des deux courbes. Décrire qualitativement ce qui se passe quand on augmente la pression dans un réservoir présentant un défaut initial de taille a0 tel que : (1) a0 < ac (2) a0 > ac
Le diagramme (Fig. 3) dans le plan log(a)–log(σ) est la réunion d’une droite horizontale σ = σy √ correspondant à la charge limite, et la droite de pente −0.5, représentant la relation σ πa√= Kc , qui modélise la rupture par fissuration critique. La valeur critique de a est donc ac telle que σy πa = Kc , soit : 1 Kc 2 ac = π σy – si on augmente P depuis A, le réservoir casse par charge limite . C’est un mode de rupture qui n’est pas considéré comme dangereux, car il est associé à des déformations élevées, qui peuvent être repérées avant rupture (par exemple par la pose de capteurs sur la surface extérieure du réservoir). Par ailleurs ces déformations conduisent à des chutes de pression qui stabilisent le système. – Si on augmente P depuis B, le réservoir casse par fissuration rapide. C’est un mode de ruine catastrophique qu’il faut absolument éviter. Pour celà il suffit d’être sûr que tous les défauts présents dans le matériau sont de taille inférieure à la taille du défaut critique ac . Cela est vérifié si e ≤ 2ac . σy
log( σ ) ,log(∆σ/2 )
log( σ ) fissuration critique 0.5 ac
0.5
= Kc
0.5
σ1 log(a)
A
σy
σ(π a)
rupture monotone rupture en fatigue 0.5 pas de rupture
B
∆σ(π a)
0.5
= Ks
log(a)
Figure 3 : Diagramme définissant le domaine sécurité dans le plan a–σ sous chargement monotone et en fatigue. 5. Concept de fuite avant rupture : Pour e < 2ac on est sûr que le réservoir ne périra pas par fissuration rapide puisqu’un défaut quelconque deviendra traversant (donc produira une fuite détectable) avant de devenir critique. Les normes de sécurité imposent e < ac (facteur de sécurité de 2). Sachant que l’on souhaite rester en deçà de la charge limite, dimensionner le réservoir (R = 0.9 m, P = 100 bars) pour les deux matériaux suivants : √ acier chrome-molybdène σy = 1000 MPa Kc = 170 MPa m √ alliage d’aluminium σy = 400 MPa Kc = 25 MPa m Pour chaque matériau on déterminera d’abord la taille de défaut critique. Le réservoir est essayé sous une pression égale à deux fois la pression en service soit p = 100 bars = 10 MPa. Pour un rayon de 0.9 m les valeurs trouvées pour l’acier et pour l’alliage d’aluminium sont donc les suivants. acier aluminium
ac (mm) 9.0 1.2
el (mm) 9.0 22.0
194
CHAPITRE 12. EXERCICE
Une bonne conception de la structure impose une épaisseur e telle que el ≤ e ≤ ac . La construction est donc impossible en aluminium. Pour l’acier, on choisira e = 9mm. 6. Fissuration en fatigue : On considère maintenant le réservoir en acier dimensionné dans la question 4. Les techniques usuelles de contrôle non destructif permettent de détecter des défauts de taille supérieures à 0.5–1 mm. On suppose que le réservoir contient un défaut initial de taille a0 = 0.5 mm. Calculer le nombre de cycles nécessaire pour que le défaut devienne traversant. Que se passe-t-il alors ? On prendra Pmax = 50 bars. La propagation sera modélisée par une loi de Paris : da = A(∆K)m dN √ −4 avec A = 2.6 10−13 m(MPa m) ;
m = 4.
Calculer l’ordre de grandeur de l’avancée de fissure par cycle pour un défaut de 5 mm. Une structure peut se rompre pour des chargements inférieurs à la limite de rupture monotone si elle est soumise à des sollicitations cycliques. La figure 3 montre qu’il existe ainsi un seuil σl inférieur à σy , et un seuil ∆Ks pour le phénomène de propagation. Les données géométriques du problème sont : R = 0.9 m, e = 9 mm. La pression √ √ de fonctionnement est de 50 bars. √ L’application de la loi de Paris avec l’expression de ∆K = ∆σ πa = ∆P(R/e) πa = Pmax (R/e) πa produit l’équation : da = A (Pmax )m (R/e)m πm/2 am/2 dN Il s’agit d’une équation différentielle à variables séparables, qui, intégrée sur les N cycles nécessaires pour que la fissure croisse de a0 à a1 fournit : 1 N= A(1 − m/2)
√ −m RPmax π 1−m/2 1−m/2 a1 − a0 e
L’application numérique, avec A = 2.6 10−3 et m = 4 permet d’obtenir le nombre de cycles pour passer de a0 = 0.5 mm à a1 = 9 mm : N = 1.17 104 cycles. √ √ Lorsque le défaut a une longueur de 5 mm, ∆K = Pmax (R/e) πa = 62, 7 MPa m et, la vitesse calculée avec les valeurs précédentes est de 4µm/cycle.
Chapitre 13
Annales 13.1
23 juin 1997
13.1.1
Ecoulement viscoplastique en déformations planes
On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux axes x1 , x2 , x3 d’un repère orthonormé. Il est chargé uniformément dans la direction x1 , tandis que les faces en direction x2 sont libres, et que les faces en direction x3 restent bloquées. 1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations dans le repère (x1 ,x2 ,x3 ), et écrire les relations contrainte–déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope, avec un module d’Young E et un coefficient de Poisson ν. On est en déformations planes selon l’axe x3 , si bien que les composantes 13, 23, 33 du tenseur de déformation sont nulles, ainsi que les termes 13 et 23 du tenseur de contrainte. Comme la surface normale à l’axe x2 est libre, les composantes 12, 22, 23 du tenseur de contrainte sont nulles. En fait, il n’y a pas de cisaillement dans le système pour raison de symétrie. Ceci conduit aux formes simples : ε11 0 0 σ11 0 0 ε = 0 ε22 0 σ = 0 0 0 ∼ ∼ 0 0 0 0 0 σ33 Les relations contrainte–déformation sont : Eε11 = σ11 − νσ33 Eε22 = −νσ11 − νσ33 Eε33 = −νσ11 + σ33 La condition ε33 = 0 permet d’écrire : σ33 = νσ11
2. Définir la valeur de la contrainte σ11 pour laquelle le matériau atteindra la limite du domaine d’élasticité, pour chacun des cas suivants : – critère de Tresca, f (σ ) = maxi (σi ) − min j (σ j ) − σy ∼ – critère de von Mises, f (σ ) = J − σy ∼ – critère de Drucker–Prager, f (σ ) = J + (σy − αI1 )/(1 − α), en distinguant ici le cas où la contrainte ∼ σ11 est en traction ou en compression. On rappelle que I1 désigne la trace du tenseur de contraintes, et que, si ∼s est le déviateur associé au tenseur de contrainte, J est défini par J = ((3/2) ∼s : ∼s )0.5 195
196
CHAPITRE 13. ANNALES
Les trois contraintes principales sont σ3 = 0 < σ2 = νσ11 < σ1 = σ11 . La trace du tenseur de contrainte, son déviateur et le deuxième invariant de celui-ci s’écrivent respectivement I1 = σ11 + σ22 + σ33 = (1 + ν)σ11 2−ν 0 0 I1 σ11 0 −1 − ν 0 s = σ − ∼I = ∼ 3 3 0 0 2ν − 1 r p 3 s∼ : ∼s = |σ11 | 1 − ν + ν2 J= 2 Ceci conduit aux résultats suivants : – pour le critère de Tresca : f (σ ) = |σ11 | − σy σ11 = ±σy ∼ – pour le critère de von Mises : p f (σ ) = |σ11 | 1 − ν + ν2 − σy ∼
σ11 = ± √
σy 1 − ν + ν2
– pour le critère de Drucker–Prager : f (σ ) = (1 − α)J − αI1 − σy ∼ donc :
p (1 − α)|σ11 | 1 − ν + ν2 + ασ11 (1 + ν) = σy σy √ σ11 = (1 − α) 1 − ν + ν2 ± α(1 + ν)
Dans cette dernière expression le signe (+) correspond à la traction, le signe (−) à la compression. 3. On suppose que le matériau suit une loi de comportement viscoplastique à seuil, qui s’écrit sous chargement uniaxial de traction simple, en introduisant deux coefficients supplémentaires K et n pour caractériser la viscosité du matériau, et en posant < x >= max(x, 0) : σ − σy n vp ε˙ = K On généralise cette loi aux chargements tridimensionnels en utilisant le critère de Tresca. On effectue une mise en charge rapide au cours de laquelle la déformation viscoplastique est négligeable, jusqu’à un état de contrainte tel que σ11 > σy . Quelle est la direction de l’écoulement viscoplastique ? L’existence du potentiel viscoplastique fournit l’équation : ε˙ vp =
∼
∂Φ ∂ f ∂ f ∂σ ∼
K qu’il faut appliquer avec le critère de Tresca : f (σ) = maxi, j |σi − σ j | et la forme Φ = n+1 d’où il vient : n ∂f f vp ε˙ = ∼ K ∂σ ∼ On a donc :
1 0 0 0 0 0 0 0 0 ∂ ∂ ∂ ∂ 0 0 0 + 0 1 0 + 0 0 0 = ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ 1 2 3 ∼ 0 0 0 0 0 0 0 0 1
n+1 f K
13.1. 23 JUIN 1997
197
En posant σ1 > σ2 > σ3 le critère prendra la forme : f (σ ) = |σ1 − σ3 | d’où : ∼ n 1 0 0 f (σ ) ∼ 0 0 0 ε˙ vp = ∼ K 0 0 −1
4. Calculer alors l’évolution du système (contrainte, déformation, déformation viscoplastique) dans les deux cas suivants : – on bloque la contrainte σ11 à la valeur maximale atteinte σm ; – on bloque la déformation totale ε11 à la valeur maximale atteinte εm . On a : ε˙
∼ 11
= ∼ε˙ e11 + ∼ε˙ vp 11
0 = ∼ε˙ e33 + ∼ε˙ vp 33 σ11 − σy n 1 ν ε˙ = σ ˙ 11 − σ ˙ 33 + ∼ 11 E∼ E∼ K σ11 − σy n 1 ν ˙ ˙ 0 = σ33 − σ11 − E E K donc : ε˙ 11 =
σ11 − σy n 1 − ν2 σ˙ 11 + (1 − ν) E K
On suppose que la mise en charge est instantanée, si bien que, à t = 0 : εs =
1−ν σs E
- si on bloque la contrainte à la valeur σm , on a σs = σm , et σ ˙ =0: ∼ 11 Z t σm − σy n ε11 = εs + (1 − ν) dt K 0 σm − σy n 1−ν = σm + (1 − ν) t E K Nous remarquons que l’évolution de la déformation est linéaire avec le temps. - si on bloque la déformation à la valeur εm , on a εs = εm , et ε˙ 11 = 0, si bien que : σ11 − σy n 1 σ˙ 11 + +0 1+ν K L’exposant n est en général plus grand que 1. L’évolution de σ11 est donc décrite par une fonction puissance : 1 σs − σy 1−n E(n − 1) 1−n σ11 = σy + K ( ) + t K (1 + ν)K Avec : σs =
E εm 1−ν
5. Dans le cas où on choisit au contraire le critère de von Mises pour effectuer l’extension tridimensionnelle du modèle viscoplastique, et en supposant toujours que l’on effectue une mise en
198
CHAPITRE 13. ANNALES
charge rapide, la contrainte atteinte étant telle que l’on se trouve hors du domaine d’élasticité : – donner l’expression du tenseur vitesse de déformation viscoplastique à la fin de la mise en charge, – en supposant que la contrainte σ11 est maintenue constante, montrer que la contrainte σ33 tend asymptotiquement vers une limite que l’on calculera. Quelles sont alors les composantes de la vitesse de déformation viscoplastique ? Dans ce cas on a : s σ211 + σ233 − σ11 σ33 J(σ ) = ∼ 2 2σ11 − σ33 0 0 3s∼ 1 ∂J(σ ) ∼ 0 0 −σ11 − σ33 = =q ∂σ 2J(σ ) 2 2 ∼ ∼ 2(σ11 + σ33 − σ11 σ33 ) 0 0 2σ33 − σ11 Les vitesses des déformations viscoplastiques : q ε˙ vp 11 = q ε˙ vp 33 =
σ211 +σ233 −σ11 σ33 2
− σy
K σ211 +σ233 −σ11 σ33 2
− σy
K
n
2σ11 − σ33 q 2(σ211 + σ233 − σ11 σ33 ) n
2σ33 − σ11 q 2(σ211 + σ233 − σ11 σ33 )
La contrainte σ11 reste constante, donc σ˙ 11 = 0. La déformation dans la direction x3 reste bloquée, on a : ε˙ 33 = ε˙ e33 + ε˙ vp 33 = 0 q 2 2 n σ11 +σ33 −σ11 σ33 − σy 1 2σ33 − σ11 2 q 0 = σ˙ 33 + E K 2(σ211 + σ233 − σ11 σ33 ) On remarque que, hors de la zone élastique : q 2 2 n σ11 +σ33 −σ11 σ33 − σ y 1 2 q >0 K 2(σ211 + σ233 − σ11 σ33 )
∀σ33
On suppose que σ33 a une valeur asymptotique, la condition nécessaire est donc σ˙ 33 = 0. On obtient donc : 2σ33 − σ11 = 0 ou :
σ11 σm = 2 2 σm ˙ Il est simple de vérifier que si σ33 = 2 , on a σ33 = 0. Si σ33 < σm /2, on obtient σ˙ 33 > 0, ceci montre que σ33 augmente jusqu’à la valeur asymptotique σ33 = sigmam /2. Il est ensuite impossible d’augmenter cette valeur (car σ˙ 33 = 0), ni de la diminuer (car si σ33 diminue, on obtient à nouveau σ˙ 33 > 0, ceci est impossible). colorblack σ33 =
13.1.2
Cylindre en torsion
On considère un barreau prismatique d’axe x3 , de section circulaire (rayon R), et de longueur L dans le repère orthonormé (x1 ,x2 ,x3 ). Il est “suffisamment long” pour que les contraintes et les déformations soient indépendantes de x3 .
13.1. 23 JUIN 1997
199
Résolution en élasticité Le matériau est supposé élastique isotrope, de module d’Young E et de coefficient de Poisson ν. Le barreau est encastré dans sa partie inférieure (plan (x3 = 0)), et il subit un champ de déplacement u, pour lequel la composante selon 3 est nulle, et : u1 = −αx2 x3
u2 = αx1 x3
1. Calculer les composantes du tenseur de déformation. 1 αx2 ε13 = (u1,3 + u3,1 ) = − 2 2 1 αx1 ε23 = (u2,3 + u3,2 ) = 2 2 Les autres composantes du tenseur de déformation sont nulles. 2. Calculer les composantes du tenseur des contraintes. σ13 = 2µε13 = −µαx2 σ23 = 2µε23 = µαx1 Les autres composantes du tenseur de contraintes sont nulles. 3. Montrer que les équations d’équilibre sont vérifiées, en l’absence de forces de volume ; calculer le vecteur contrainte sur un point courant de la section latérale, et sur un point courant de la section supérieure. Les équations d’équilibre sont bien vérifiées, en l’absence de forces de volume. Sur un point courant de la section latérale, le vecteur contrainte se réduit à une composante de cisaillement : q q 2 2 τ = σ13 + σ23 = µα x12 + x22 = µαr Le problème est indépendant selon x3 , le vecteur contrainte de la section supérieure reste inchangé par rapport à celui d’une section latérale. 4. Calculer la force résultante sur la section supérieure, ainsi que le moment M autour de l’axe x3 . En déduire que les champs obtenus sont bien la solution d’un problème de torsion autour de l’axe x3 . Quelle est la signification physique de α ? La force résultante sur la section supérieure est alors un moment de torsion qui vaut : Z
M= S
(x1 σ23 − x2 σ13 )dS = 2π
Z R 0
1 τr2 dr = πµR4 α 2
α représente l’angle de torsion unitaire, c’est-à-dire, pour une longueur d’unité, la section supérieure tourne d’un angle α par rapport à la section inférieure. Résolution en plasticité On suppose que le matériau est élastique–parfaitement plastique, avec une limite d’élasticité en traction simple σy .
1. En supposant que σ13 et σ23 sont les deux seules composantes non nulles du tenseur de contraintes, montrer que, pour le critère de von Mises comme pour celui de Tresca, on aura en régime plastique : σ213 + σ223 = τ2y
200
CHAPITRE 13. ANNALES
τy étant la limite d’élasticité en cisaillement pur. Exprimer pour chacun des deux critères τy en fonction de σy . En régime plastique, pour notre cas de cisaillement pur, on aura : τ = τy On obtient donc : σ213 + σ223 = τ2y Pour le critère de von Mises :
σy τy = √ 3
Pour le critère de Tresca : τy =
σy 2
2. Pour quelle valeur Me du moment M une zone plastique apparaît-elle dans la structure pour le critère de von Mises ? Quelle est sa localisation ? √ La plasticité apparaît en premier sur le rayon extérieur, lorsque µαR = σy / 3. On a donc à ce σy L σy moment un angle βe = √ , un moment Me = √ πR3 . 3µR 2 3 3. Montrer que le problème d’obtention des contraintes dans la zone plastique est statiquement déterminé, c’est-à-dire que l’on peut obtenir les contraintes dans la structure sans référence à la déformation. En plasticité parfaite, la déformation ainsi que la contrainte sont imposées par le «noyau» qui reste élastique, elles sont toujours linéaires en fonction du rayon. A la frontière entre les zones élastique et plastique, le critère de plasticité est vérifié, on a donc : σy τ = σθz = √ 3 √ Dans la zone plastique, la contrainte reste constante, τ = σy / 3. Le problème est donc statiquement déterminé. 4. Donner la forme du tenseur de vitesse de déformation plastique dans la zone plastique. Montrer, pour un point du barreau qui est d’abord en élasticité, puis en plasticité, que le trajet de déformation dans le plan ε13 –ε23 est un segment de droite dont la pente reste inchangée lors du passage en plasticité. On a le tenseur des contraintes :
0 0 σ13 0 σ23 σ = 0 ∼ σ13 σ23 0 Tenseur de direction d’écoulement : 3 n∼ = 2
0 0 σ13 /σy
0 0 σ23 /σy
Les champs de vitesse de déformation plastique : p ε˙ 13 =
3σ13 p˙ 2σy
σ13 /σy σ23 /σy 0
13.1. 23 JUIN 1997
201 p ε˙ 23 =
3σ23 p˙ 2σy
Les champs de déformation totale s’écrivent : ε13 =
σ13 3σ13 + p 2µ 2σy
ε23 =
σ23 3σ23 + p 2µ 2σy
Dans le plan ε13 − ε23 pour un point qui passe de l’élasticité en plasticité, nous avons toujours : x2 ε13 σ13 = =− ε23 σ23 x1 Cette dernière équation représente que le trajet de déformation est un segment droite qui reste inchangée pour un point. 5. En déduire que le champ de déplacement utilisé en élasticité reste valide en élasto–plasticité, ce qui justifie en même temps l’hypothèse que seules σ13 et σ23 sont non nulles. On a donc trouvé une solution plastiquement admissible, compatible avec les conditions statiques et cinématiques imposées à la structure. Avec un rapport constant ε13 /ε23 = − xx21 pour un point qui passe de l’élasticité en plasticité, le champ de déplacement utilisé reste encore valide en élasto-plasticité. 6. Calculer, pour une valeur donnée de α, la valeur c du rayon où se trouve la frontière entre la zone élastique et la zone plastique. Calculer la valeur du moment obtenue en fonction de c. la frontière entre les zones élastique et plastique, le critère de plasticité est vérifié, on a donc : σy τ = µαc = √ 3 c=
σy √ µα 3
On obtient le moment par intégration, soit : Z R
τr2 dr Z c 3 Z R 2πσy r 2 = √ dr + r dr 0 c c 3 2 σy c3 = π √ R3 − 3 4 3
M = 2π
0
7. Quelle est la valeur maximale théorique MM du moment que peut supporter le barreau ? La valeur limite MM est obtenue pour c = 0 : 2 σ 3 3
4 3
MM = π √y R3 = Me
8. On suppose qu’on effectue un chargement jusqu’à un moment Mm , tel que Me < Mm < MM , puis que l’on ramène le moment à zéro. Tracer la variation de τ (tel que τ2 = σ213 + σ223 ) le long du rayon r
202
CHAPITRE 13. ANNALES
(0 < r < R) pour le moment maximum et après retour à zéro. Risque-t-on de rencontrer de nouveau le domaine plastique lors de la décharge ? On suppose que la décharge s’effectue en élasticité et on le vérifiera après. Le résultat du problème est alors la superposition des deux cas : le chargement élastoplastique jusqu’à Mm et la décharge élastique de Mm à zéro. On obtient alors : - si
r=0
- si
r=c
- si
r=R
τ=0 σy 2cMm τ= √ − πR4 3 σy 2Mm τ= √ − 3 πR3
Notons que l’hypothèse de décharge élastique est vérifiée car : σy σy 2Mm 4σy σy < √ − √ =− √ τ(R) = √ − 3 πR 3 3 3 3 3 3 On ne pourra pas rencontrer de nouveau la plasticité lors de la décharge. 9. Le type de préchargement décrit dans la question précédente est utilisé industriellement pour traiter par exemple les arbres de transmission. Quel intérêt voyez-vous à un tel traitement en vue d’une utilisation ultérieure ? Montrer qu’il est fondamental de mémoriser le sens de rotation lors de la précharge, faute de quoi on détériore la valeur du moment élastique apparent au lieu de l’améliorer. Après la décharge, si l’on continue un chargement dans le même sens avec le préchargement, le trajet reste encore en élasticité jusqu’à M = Mm > Me . Nous avons alors une valeur du moment élastique plus grande. Si l’on effectue le chargement dans le sens inverse avec celui du préchargement, le trajet reste πR3 σ encore en élasticité jusqu’à M = Mm − √3 y < Me .
13.2
12 juin 1998
13.2.1
Etude de la localisation dans une plaque
x2 n t
Φ
x
1
x3
On applique sur un parallélipipède dont les arêtes sont respectivement parallèles aux axes x1 , x2 et x3 de vecteurs directeurs (e1 , e2 , e3 ) un effort caractérisé dans ce repère par un tenseur dont les seules composantes non nulles sont σ11 , σ22 et σ33 . On veut caractériser la direction des faces selon lesquelles risque de s’établir une instabilité conduisant à la ruine par déformation excessive. On suppose que le matériau est rigide-plastique (pas de déformation élastique, limite d’élasticité σ0 ), et qu’il obéit au critère de von Mises.
13.2. 12 JUIN 1998
203
On suppose également que la plaque est entièrement plastifiée. La direction de la face recherchée est définie par le vecteur n, qui est situé dans le plan (x1 , x2 ), et qui fait un angle Φ avec e2 . Elle contient donc les vecteurs t et e3 , le repère (t, n) étant direct. Le problème se résume à démontrer qu’il peut exister une discontinuité du champ de contrainte lorsqu’on traverse une ligne définie par la direction t, c’est-à-dire que, connaissant complètement la solution d’un côté de la ligne définie par t, il peut être impossible de déterminer complètement la solution de l’autre côté. 1. Indiquer la forme du tenseur des contraintes dans le repère (t, n, e3 ). Ecrire les équations d’équilibre dans ce repère. (On introduira les notations σnn , σtt , σnt et les dérivées partielles ∂./∂n = .,n et ∂./∂t = .,t ). Dans le repère indiqué, les composantes du tenseur de contrainte sont : σtt σnt 0 σnt σnn 0 0 0 σ33 avec, en notant c = cos Φ et s = sin Φ : σtt = σ11 c2 + σ22 s2
σnn = σ11 s2 + σ22 c2
σnt = (σ11 − σ22 )cs
Les équations d’équilibre s’expriment alors : σtt,t + σnt,n = 0
et
σnt,t + σnn,n = 0
2. Indiquer quelles sont les dérivées partielles des composantes du tenseur des contraintes qui sont connues en un point de la face définie par (t, e3 ), et dire pourquoi on ne peut pas déterminer σtt,n = ∂σtt /∂n. On peut suivre dans chaque matériau des lignes parallèles à t, donc définir les dérivées partielles par rapport à t. Grâce aux équations précédentes, la donnée de σtt,t et σnt,t permet de définir σnt,n et σnn,n au passage de la frontière. Il n’y a par contre pas d’information particulière pour connaître σtt,n . 3. En désignant par f la fonction qui définit le critère de von Mises, la condition de plastification de l’ensemble de la plaque impose l’équation supplémentaire : ∂ f /∂n = 0. Exprimer cette condition en fonction des composantes du tenseur des contraintes dans (t, n), et montrer qu’elle permet en général de déterminer la dérivée partielle manquante ∂σtt /∂n, ce qui clôt alors le problème (on suppose pour cela connus l’état de contrainte d’un côté de la ligne t, et les dérivées partielles de la question (2)). L’expression de l’invariant de von Mises dans le repère (t, n, e3 ) est : 1/2 1 2 2 2 2 2 2 J= (σnn − σtt ) + (σtt − σ33 ) + (σ33 − σnn ) + 3σnt + 3σt3 + 3σ3n 2 En annulant la dérivée partielle de f par rapport à n, il vient : f,n = (2σnn − σtt − σ33 )σnn,n + (−σnn + 2σtt − σ33 )σtt,n + 3σnt σnt,n = 0 Cette équation permet de déterminer σtt,n , pourvu que le terme (−σnn + 2σtt − σ33 ) soit non nul. 4. Il existe cependant des angles Φ pour lesquels cette détermination est impossible (le terme en facteur de ∂σtt /∂n est nul), ce qui définit une direction n pour laquelle une discontinuité est susceptible de prendre naissance. Chercher l’angle Φ dans les conditions suivantes :
204
CHAPITRE 13. ANNALES a. état de traction simple, seule contrainte non nulle σ11 ; b. état de contrainte plane (σ33 = 0), chargement de type cisaillement σ11 = −σ22 ; c. état de contrainte plane (σ33 = 0), chargement biaxial σ11 = σ22 ;
a. Comme σtt = σ11 c2 et σnn = σ11 s2 , la condition de la question précédente s’écrit ici : 2σ11 c2 − σ11 s2 = 0 L’angle Φ vaut donc :
√ Φ = atan( 2) ≈ 54, 73◦
b. Comme σtt = σ11 (c2 − s2 ) et σnn = σ11 (s2 − c2 ) il vient : 3σ11 (c2 − s2 ) = 0 L’angle Φ vaut donc 45◦ . c. Comme σtt = σnn = σ11 il vient : σ11 = 0 Il n’y a pas de localisation dans ce cas. 5. On suppose maintenant que l’on se trouve en déformation plane (ε33 = 0). Trouver dans ce cas l’expression de σ33 en fonction de σ11 et σ22 . Trouver l’angle Φ dans les trois cas suivants : a. état de traction plane, σ22 reste nulle, σ11 non nulle ; b. chargement de type cisaillement σ11 = −σ22 ; c. chargement biaxial σ11 = σ22 ; Comme le matériau est rigide-plastique, la condition de déformation plane impose que la composante 33 de la vitesse de déformation plastique soit nulle. Elle est proportionnelle à la composante correspondante du déviateur, soit à (2σ33 − σtt − σnn ). On a donc σ33 = (σtt + σnn )/2. Le terme à annuler devient alors simplement (3σtt − 3σnn ), on cherche donc à réaliser σtt = σnn . a. En traction plane, σ22 restant nulle, il faut assurer σ11 s2 = σ11 c2 , on trouve donc Φ = 45◦ b. En cisaillement, il faut assurer σ11 (s2 − c2 ) = σ11 (c2 − s2 ), on trouve donc de nouveau Φ = 45◦ . c. Sous chargement biaxial, on a σnn = σtt = σ11 , toutes les directions sont susceptibles de voir apparaître une localisation. 6. Apporter un commentaire sur les possibilités de trouver des facettes susceptibles de présenter le phénomène de localisation pour des directions de n qui ne seraient pas dans le plan (e1 ,e2 ).
13.2.2
Description du phénomène d’endommagement en fluage
Sous contrainte constante, lors d’un chargement de fluage, les matériaux se dégradent. Ainsi des cavités croissent aux joints de grain ou à l’intérieur des grains pour les matériaux métalliques, ce qui a un effet sur les propriétés mécaniques. On cherche ici à étudier un modèle élémentaire qui représente cet endommagement sous la forme d’une variable scalaire, D, qui évolue à partir de O, dans l’état initial libre de défauts, jusqu’à 1 lorsque le matériau se rompt.
13.2. 12 JUIN 1998
205
Étude en traction uniaxiale : 1. On suppose que l’évolution de l’endommagement est donnée par l’équation différentielle suivante, où D˙ désigne la dérivée temporelle et où A et r sont des coefficients dépendants du matériau : r σ ˙ D= A(1 − D) Intégrer cette équation entre le temps t = 0 et un instant courant t, pour lequel l’endommagement prend la valeur D, la valeur initiale étant D = 0. La période de mise en charge est considérée comme négligeable, si bien que σ = σ0 pour t > 0. En déduire l’expression du temps à rupture tt , lorsque D = 1. Donner l’expression de la variation de D en fonction du rapport t/tt . L’équation se met sous la forme : (1 − D)r dD =
σ r 0
A
dt
Pour un instant courant, en tenant compte des conditions initiales, il vient : σ0 r 1 1 − (1 − D)r+1 = t r+1 A Pour D = 1, on obtient le temps à rupture, tt , dans l’équation précédente : tt =
1 σ0 −r r+1 A
On obtient ainsi l’expression demandée pour D :
t D = 1− 1− tt
1/(r+1)
2. L’endommagement augmente la vitesse de déformation viscoplastique. Ainsi un modèle de Norton est-il classiquement modifié de la façon suivante pour tenir compte de la présence d’endommagement (on prendra K > 0, n > 1, r > 1) : n σ p ε˙ = K(1 − D) K et n étant les coefficients matériau caractérisant la viscosité. En remplaçant l’endommagement par son expression dans la question précédente, calculer l’évolution de la déformation viscoplastique en fonction du temps. Montrer que l’on peut avec ce modèle représenter le fluage tertiaire, au cours duquel la vitesse de déformation viscoplastique augmente au cours du temps. Comment varie la valeur de la déformation viscoplastique à rupture en fonction de la charge appliquée ? Discuter sa valeur en fonction des valeurs respectives des exposants n et r. Le terme (1 − D) situé au dénominateur diminue au cours du chargement, si bien que la vitesse de déformation augmente, représentant ainsi du fluage tertiaire. La déformation viscoplastique s’obtient comme solution de l’équation : p
dε =
σ n 0
K
t 1− tt
−n/(r+1) dt
L’intégration de cette équation présente un cas particulier si n = r + 1. Dans ce cas, il vient : 1 σ0 n σ0 −r 1 p ε = Ln r+1 K A 1 − t/tt
206
CHAPITRE 13. ANNALES
Dans les autres cas, l’intégration donne : " (r+1−n)/(r+1) # σ n σ −r 1 t 0 0 εp = 1 − (1 − ) r+1−n K A tt La déformation à rupture εRp s’obtient en faisant t = tt dans la formule précédente : εRp =
Ar σn−r 0 Kn r + n − 1
On distingue alors les cas suivants : – si r 6 n − 1, la déformation à rupture théorique est infinie ; – si n − 1 < r < n, la déformation à rupture théorique diminue avec le niveau de contrainte ; – si r = n, la déformation à rupture théorique vaut Ar /K n quel que soit le niveau de contrainte ; – si n < r, la déformation à rupture théorique augmente avec le niveau de contrainte. 3. On effectue maintenant un chargement à deux niveaux : premier niveau à une contrainte σ1 pendant un temps t1 , puis second niveau à une contrainte σ2 pendant un temps t2 . En appelant respectivement tc1 et tc2 les temps à rupture sous une contrainte σ1 et σ2 , trouver la valeur de la durée de vie résiduelle t2 en fonction de t1 , tc1 et tc2 , la variable D étant continue lors du changement de niveau de chargement. A la fin du premier chargement, l’état d’endommagement est tel que : 1 − (1 − D1 )r+1 =
t1 tc1
En appelant τ le temps passé au second niveau, une intégration à partir de D1 fournit la valeur de l’endommagement au second niveau : (1 − D1 )r+1 − (1 − D)r+1 =
τ tc2
Pour obtenir la relation demandée, il suffit alors d’affecter la valeur 1 à l’endommagement D, et d’ajouter membre à membre les expressions caractéristiques de chaque niveau. On trouve la classique relation de cumul linéaire des endommagements au deux niveaux : t1 t2 + =1 tc1 tc2 Étude en multiaxial
4. En fonction du matériau que l’on considère, la variable critique pour généraliser aux chargements tridimensionnels le modèle précédent peut être le critère de von Mises (ou Tresca), la contrainte normale principale, ou une combinaison de ces variables avec la pression hydrostatique. Comparer ces différentes hypothèses en traçant les courbes qui donneraient alors un endommagement équivalent dans le plan (σ11 –σ22 ), en supposant que toutes les autres composantes sont nulles, avec les valeurs équivalentes suivantes : a. b. c. d.
critère de von Mises ; critère de Tresca ; plus grande contrainte normale principale, σP1 ; le premier invariant du tenseur de contrainte, I1 = traceσ . ∼
13.2. 12 JUIN 1998
207 σ22 σy
σ22 σy
σy
σy
σy
σ11
σ11
σy
von Mises et Tresca
σP1 et I1
5. Ces variables sont-elles indépendantes ? On choisit comme contrainte équivalente en 3D la forme suivante, où k est un paramètre matériau (avec 0 6 k < 1/2) : σeq = (1 − k)J(σ ) + k I1 ∼ et où J(σ ) désigne l’invariant de von Mises. L’endommagement, qui est toujours considéré comme ∼ scalaire, évolue maintenant en tridimensionnel selon (A>0) : r σ eq D˙ = A(1 − D) Déterminer en fonction de la valeur choisie pour k les valeurs des contraintes qui produisent le même endommagement qu’une contrainte σ0 en traction simple, dans le cas de : a. cisaillement pur σ12 = τ ; b. compression simple σ11 = σc < 0. Les valeurs précédentes ne sont pas indépendantes. En se limitant à J et I1 , on obtient les valeurs équivalentes suivantes : √ √ √ – en torsion pure (I1 =0 ; J = τ 3 ; σeq = τ 3, donc la valeur de τ cherchée vaut : τ = σ0 / 3 – en compression simple (I1 = σ ; J = |σ| = −σ, σeq = −σ(1 − 2k), d’où : σc = −σ0 /(1 − 2k) 6. On effectue un chargement de fluage cyclique uniaxial, au cours duquel la contrainte passe en un temps négligeable de la valeur σ0 à la valeur −σ0 . Indiquer ce qui se passe qualitativement au cours des cycles successifs. Comparer l’expression de l’évolution de la déformation viscoplastique pendant un temps t0 à σ0 et pendant le même temps à −σ0 pour un état initial identique, et en tirer une valeur approchée de l’évolution de la déformation viscoplastique au cours de l’essai. Quelle la valeur du temps à rupture ? On introduit la notion de cycle, période de temps T = 2t0 correspondant au chargement défini cidessus. En négligeant l’évolution de l’endommagement au cours du cycle, on peut facilement évaluer l’évolution de la déformation viscoplastique au cours d’un cycle, pour une valeur D = DN , en ajoutant la contribution (positive) du temps t0 passé à σ0 et celle (négative) du temps t0 passé à −σ0 : σ0 p ∆εN = t0 )n (1 − (1 − 2k)n ) K(1 − DN ) Il est par ailleurs possible d’évaluer la valeur de DN au cycle N à partir de la valeur DN−1 atteinte au cycle N − 1 en cumulant, au cours d’un cycle, les contributions de chaque période de chargement. L’endommagement évolue alors entre DN−1 et DN , selon la formule suivante, dans laquelle on a introduit tt , temps à rupture en fluage pur sous la contrainte σ0 , et tc , temps à rupture en fluage pur sous la contrainte −σ0 . On a : t0 t0 (1 − DN−1 )r+1 − (1 − DN )r+1 = + tt tc
208
CHAPITRE 13. ANNALES En sommant maintenant le résultat de tous les cycles précédant le cycle N, il vient : (1 − DN )r+1 = 1 −
Nt0 tr
avec
1 1 1 = + tr tt tc
L’incrément de déformation plastique par cycle varie donc en fonction du nombre de cycles, en suivant l’expression : σ n ∆εNp Nt0 −n/(r+1) 0 n = t0 (1 − (1 − 2k) ) 1 − ∆N K tr Après intégration en termes de cycles, on trouve une formule tout à fait semblable à la formule obtenue sous charge constante : εNp
= tr
σ n 0
K
Nt0 (1 − (1 − 2k) ) 1 − tr n
1−n/(r+1)
Il y a donc une dérive vers les déformations positives dès lors que le coefficient k est positif (il doit aussi rester inférieur à 0.5). Étude en relaxation uniaxiale
En relaxation, on complète les équations qui définissent le modèle par la relation de décomposition de la déformation : σ ε= + εp E(1 − D) et l’on écrit que la déformation totale est maintenue constante à une valeur ε0 , avec comme conditions initiales σ = σ0 = Eε0 , D = 0 et ε0p = 0. 7. Quelle est l’évolution de la déformation plastique pendant la relaxation ? Quelle est la valeur limite ? Même question pour la contrainte. Pendant la relaxation, la déformation plastique augmente et la contrainte diminue. Comme il n’y a pas de seuil dans la loi de comportement, la valeur asymptotique de la contrainte est 0, et celle de la déformation viscoplastique ε0 . 8. Caractériser l’évolution de l’endommagement. La rupture peut-elle se produire pendant la relaxation ? Discuter.
13.3 13.3.1
15 juin 1999 Plasticité biaxiale
On étudie l’influence du trajet de chargement sur la déformation d’une plaque, dont le plan est normal à l’axe 3. La plaque est constituée d’un matériau élastique-parfaitement plastique, de limite d’élasticité σy , et de caractéristiques élastiques E (module de Young) et ν (coefficient de Poisson). Le critère de plasticité est celui de von Mises, défini par la fonction de charge f (σ ) = J(σ ) − σy , avec J(σ ) = (1.5 ∼s : ∼ ∼ ∼ s∼ )0.5 , ∼s désignant le déviateur de σ . Dans un premier temps, on appliquera une traction simple dans la ∼ direction 1, puis, à partir de l’état obtenu, on appliquera une traction biaxiale, à la fois en direction 1 et 2. Le résultat obtenu sera comparé avec le résultat d’un chargement qui amène directement au même état final. Dans l’ensemble du problème, tous les cisaillements sont supposés nuls, de même que la contrainte σ33 . On notera simplement σ1 et σ2 les contraintes principales en direction 1 et 2, ε1 et ε2 les
13.3. 15 JUIN 1999
209
déformations correspondantes. Pour les applications numériques, on choisira les valeurs suivantes : E = 100000 MPa
;
ν = 0, 3
σy = 500 MPa
;
1. On effectue d’abord une traction simple à déformation imposée dans la direction 1, la déformation ε1 variant de 0 à 0.02. On suppose que la contrainte σ2 reste nulle. Tracer dans ce cas : - la courbe de traction donnant σ1 fonction de ε1 ; - la courbe définissant ε2 en fonction de ε1 , en distinguant bien la partie élastique et la partie plastique ; quelle est la valeur de ε2 en fin de traction ? - la forme de la surface de charge dans le plan σ1 − σ2 , en positionnant le point représentatif du régime plastique observé en traction simple. La courbe de traction donnant σ1 fonction de ε1 : 600 500
contrainte
400 300 200 100 sig11
0 0
0.005
0.01 deformation
0.015
0.02
La courbe définissant ε2 en fonction de ε1 : 0
e22
-0.001
deformation e22
-0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007 -0.008 -0.009 -0.01 0
0.005
0.01 deformation e11
0.015
A la plasticité commençante, on a : εe11 =
σ11 500 = = 0.005 E 100000
εe22 = −νε11 = −0.0015 Tenseur déviatorique :
2 0 0 σ s = 0 −1 0 ∼ 3 0 0 −1 Tenseur de direction d’écoulement :
2 0 0 1 n∼ = 0 −1 0 2 0 0 −1
0.02
210
CHAPITRE 13. ANNALES
On trouve ainsi :
1 p p ε22 = − ε11 = −0.0075 2
En fin de traction, on a donc : ε22 = −0.0015 − 0.0075 = −0.009 Dans le plan σ1 − σ2 , la surface de charge du critère von Mises se représente :
σ2 σy −σy
σy
σ1
−σy
Dont le point représentatif du régime plastique observé en traction simple est (σy , 0). 2. A partir de l’état de fin de traction simple, on effectue maintenant un trajet de chargement dans lequel les deux déformations ε1 et ε2 sont imposées, la contrainte σ3 restant nulle. On suppose dans les questions suivantes que l’écoulement plastique n’est pas stoppé lors du changement de trajet de chargement. Ecrire alors le déviateur de contraintes, puis les composantes n1 et n2 de la normale à la surface de charge, définie par n∼ = ∂ f /∂σ . ∼ Tenseur de contrainte :
σ11 0 0 σ = 0 σ22 0 ∼ 0 0 0
Déviateur de contraintes : 2σ11 − σ22 0 0 1 0 2σ22 − σ11 0 s= ∼ 3 0 0 −σ11 − σ22 q J(σ) = σ211 + σ222 − σ11 σ22 = σy
2σ11 − σ22 2σ11 − σ22 n1 = q = 2σy 2 σ211 + σ222 − σ11 σ22 2σ22 − σ11 2σ22 − σ11 n2 = q = 2σy 2 σ211 + σ222 − σ11 σ22 3. Ecrire la vitesse de déformation élastique. Exprimer alors la vitesse de déformation totale en ˙ fonction des vitesses de contraintes, de n1 et n2 , et du multiplicateur plastique λ. Vitesse de déformation élastique : ε˙ e11 =
σ˙ 11 ν − σ˙ 22 E E
13.3. 15 JUIN 1999
211 ε˙ e22 =
Vitesse de déformation totale :
σ˙ 22 ν − σ˙ 11 E E
σ˙ 11 ν ˙ − σ˙ 22 + n1 λ E E σ˙ 22 ν ˙ − σ˙ 11 + n2 λ ε˙ 22 = E E ε˙ 11 =
4 Ecrire la condition de cohérence, montrer qu’elle impose la direction de la vitesse de contrainte. Comparer les orientations de la vitesse de contrainte et de la vitesse de déformation plastique, commenter. Condition de cohérence f˙ = 0 s’écrit : 2σ˙ 11 σ11 + 2σ˙ 22 σ22 − σ˙ 11 σ22 − σ˙ 22 σ11 = 0 Cette dernière équation nous donne : σ˙ 11 2σ11 − σ22 = σ˙ 22 2σ22 − σ11 ou :
p σ˙ 11 ε˙ 11 = p σ˙ 22 ε˙ 22
5. On choisit d’appliquer la même vitesse de déformation sur les deux composantes 1 et 2 : ε˙ 1 = ε˙ 2 = ε˙ . Montrer en combinant les équations en déformation totale de la question 3 que l’on peut faire apparaître deux équations faisant intervenir respectivement le multiplicateur plastique, la somme et la différence des contraintes σ1 et σ2 et de leurs dérivées. En combinant les équations en déformation totale de la question 3, on obtient : ˙ 1+ν 3λ (σ˙ 11 − σ˙ 22 ) + (σ11 − σ22 ) = 0 E 2σy ˙ 1−ν λ (σ˙ 11 + σ˙ 22 ) + (σ11 + σ22 ) = 2ε˙ E σy 6. Montrer que l’on peut exprimer les contraintes admissibles au cours de l’écoulement sous forme paramétrique, en introduisant l’angle φ, tel que : √ σ1 + σ2 = 2σy cos φ ; σ2 − σ1 = (2/ 3) σy sin φ A quels états de contrainte particuliers correspondent les points obtenus respectivement pour φ = −π/3, φ = −π/6, φ = 0 ? On a le critère de von Mises : q σ211 + σ222 − σ11 σ22 = σy Où l’on peut réécrire sous forme : (σ11 + σ22 )2 3(σ11 − σ22 )2 + =1 4σ2y 4σ2y Il est donc possible de paramétrer l’écoulement en introduisant l’angle φ, tel que : sin φ =
σ22 − σ11 √ (2/ 3)σy
212
CHAPITRE 13. ANNALES cos φ =
σ11 + σ22 2σy
Pour φ = π/3, on obtient : σ22 = σy , σ11 = 0, √ c’est le cas traction simple dans la direction 2. Pour φ = π/6, on obtient : σ22 = 2σ11 = 2/ 3σy , c’est le cas de cisaillement pur. Pour φ = 0, on obtient : σ22 = σ11 = σy , c’est le cas traction biaxiale. 7. Ecrire l’équation différentielle reliant φ et le multiplicateur plastique (on utilisera les résultats de I.6). En utilisant le fait que le multiplicateur plastique est égal à la vitesse de déformation plastique cumulée, exprimer l’évolution de cette dernière sur le trajet de chargement ε˙ 1 = ε˙ 2 = ε˙ . Trouver la valeur de φ lorsque la déformation cumulée est égale à 0.01. En déduire que le point représentatif du chargement devient rapidement stationaire. Où se situe ce point dans le plan des contraintes σ1 − σ2 ? Nous avons : √ σ2 − σ1 = (2/ 3) σy sin φ √ σ˙ 2 − σ˙ 1 = (2/ 3)σy cos φ φ˙ ˙ = p, En les remplaçant dans la première équation de la question 5 et en utilisant le fait que λ ˙ on obtient : p˙ = −
2(1 + ν)σy cos φ ˙ φ 3E sin φ
2(1 + ν)σy sin φ ln| | 3E sin(π/3) En appliquant les valeurs numériques, on obtient : p=−
φ = 0.086 Ce dernier nous donne : sin φ = 0.086 et cos φ = 0.996 Et : σ22 − σ11 = 0.099σy σ22 + σ11 = 1.992σy On obtient donc : σ22 = 1.045σy = 522.5 et σ11 = 0.947σy = 473.5 Le point représentatif du chargement devient rapidement stable au point (σy , σy ), ce qui corresponde à φ = 0. 8. En utilisant le point précédent, qui définit donc l’état de contrainte, donner l’expression des composantes 1 et 2 du tenseur de déformation plastique en fonction de la déformation courante au cours du trajet de chargement biaxial. Quelle est la valeur obtenue pour ε1 = 0, 029 ; ε2 = 0 (ce résultat n’est qu’approché car l’état de contrainte utilisé n’est en fait atteint qu’asymptotiquement) ? On a approximativement : σ1 = σ2 = σy et : νσy E σy ε2p + 0.0075 = ε2 + 0.009 − E Pour ε1 = 0, 029 ; ε2 = 0, on obtient : ε1p = 0.0255 ε1p − 0.015 = ε1 − 0.02 +
ε2p = −0.0035 9. On s’intéresse maintenant à l’état final obtenu dans un trajet de chargement «direct», à déformation imposée, la valeur finale étant ε1 = 0.029 ; ε2 = 0, en conservant toujours σ3 = 0. Quel est le point représentatif sur la surface de charge ? En déduire la valeur des déformations plastiques atteintes en fin de chargement (la question I.9 peut être traitée indépendamment du reste du problème, même remarque qu’en I.8).
13.3. 15 JUIN 1999
213
13.3.2 Estimation de la zone plastique en pointe de fissure Le champ de contrainte calculé en élasticité présente une singularité en pointe de fissure, caractérisée par exemple par les équations de Westergaard. Il est donc vraisemblable que le matériau à proximité de la pointe se plastifie. On étudie ici quelques cas très simples, qui pemettent de se faire une idée de la forme des zones plastiques qui se développent. On utilisera les équations correspondant au mode I (voir le paragraphe10.3) . On suppose par ailleurs que le matériau est élastique-parfaitement plastique, et qu’il obéit au critère de Tresca. II.1 Exprimer les valeurs de σ11 , σ22 et σ12 pour des angles θ de 0 et π/2. Les équations pour le mode I sont les suivantes : θ 3θ θ KI 1 − sin sin cos σ11 = √ 2 2 2 2πr θ 3θ KI θ 1 + sin sin σ22 = √ cos 2 2 2 2πr KI 3θ θ θ σ12 = √ cos sin cos 2 2 2 2πr Les valeurs de σ11 , σ22 et σ12 pour les angles θ = 0 et θ = π/2 sont : KI KI θ = 0 −→ σ11 = √ , σ22 = √ , σ12 = 0 2πr 2πr θ=
π KI 3 KI KI −→ σ11 = √ , σ22 = √ , σ12 = − √ 2 4 πr 4 πr 4 πr
II.2 Pour un chargement extérieur donné, caractérisé par KI , définir la distance r(θ) pour laquelle la valeur de la limite d’élasticité est atteinte, pour les deux valeurs de la question précédente, dans le cas où l’on est en contrainte plane. Cela donne une approximation de la forme de la zone plastique. Pourquoi cette méthode n’est elle qu’approchée ? La taille de la zone plastique est souvent approchée par la condition : σ22 = σY , donc, dans le cas où θ=0: K √ I = σY 2πr si bien que : 1 ρT = r = 2π
KI σY
2
Pour θ = π/2 il vient alors : 3 KI 9 √ = σY =⇒ ρT = 4 πr 16π
KI σY
2
Cette approche souffre d’un double défaut. Avant tout, on écrit une condition de plasticité unidimensionnelle alors que l’état de contrainte est multiaxial. En second lieu, en présence d’un comportement parfaitement plastique, il faut prendre en compte la majoration de la contrainte par σy dans la zone plastique, qui rend la solution élastique caduque. Une redistribution de contrainte est alors nécessaire pour préserver l’équilibre dans la section.
214
CHAPITRE 13. ANNALES σ
ρT
σY
ρT
ρI
L’hypothèse choisie pour effectuer la redistribution consiste simplement à translater selon X la courbe de σ22 déterminée en élasticité. ZρT 0
ρZ T +X Z∞ KI KI √ σY − √ − σY dx = dx + 2πx 2πx ρT
ρT
KI KI p −√ 2πx 2π(x + X)
! dx
On obtient successivement : 1 X= 2π
KI σY
2
KI σY
= ρT
et le rayon de la zone plastique : 1 ρI = π
2
II.3 Dans le cas où la structure est en déformation plane selon la direction 3, donner la forme de la contrainte σ33 en fonction de σ11 et σ22 . En déduire les valeurs r(θ) pour les deux angles précédents. Expliquer qualitativement pourquoi il est normal de trouver une taille de zone plastique plus petite dans ce dernier cas. Dans un chargement de type déformation plane, la composante σ33 peut être déterminée par : σ33 = ν(σ11 + σ22 ) √ KI σ33 (0) = ν 2 √ πr
;
σ33
π 2
KI = ν√ πr
II.4 En se replaçant maintenant en contrainte plane, on imagine qu’après avoir chargé jusqu’à une valeur KI , on relâche le chargement jusqu’en 0. Montrer que dans ce cas il existe une zone plastique de recompression au voisinage de la pointe, dont la taille est environ le quart de la zone plastique de traction. Lors du déchargement, on applique un champ élastique tel que la force résultante finale corresponde au nouveau chargement. Après une phase purement élastique, on observe de l’écoulement plastique de compression dans une petite zone au voisinage de la pointe de fissure.
215
Stress
13.4. 19 JUIN 2000
A’
Yeald stress
B’
A
B
0
E
D
Displacement
C
Cet écoulement plastique en compression est présent dans la zone pour laquelle la décharge dépasse −2σy . On peut l’évaluer à partir des valeurs respectives des facteurs d’intensité de contrainte min et max. Dans le cas présent, la contrainte min est nulle, si bien que ∆σ = σM . La taille de la zone plastique est obtenue par : K √ I = 2σY σ22 = 2σy 2πr d’où : 1 r= 8π
KI σY
2 = ρcomp
ρcomp =
ρT 4
13.4
19 juin 2000
13.4.1
Zone plastique et effet de retard en propagation de fissure
On considère une fissure de longueur 2a située en −a ≤ x1 ≤ a sur l’axe x1 dans une plaque carrée comprise entre ±b en x1 et x2 , avec a b. On applique une contrainte normale σM √ en x2 = ±b. Dans ces conditions, le facteur d’intensité de contrainte de la fissure (mode I) est KI = σM πa. La structure étant symétrique par rapport aux axes, on étudiera la pointe de fissure située en x1 = a.
216
CHAPITRE 13. ANNALES
1. On rappelle √ que dans ce cas, le champ de contrainte σ22 au voisinage de la pointe de fissure est équivalent à KI / 2πr, r étant la distance à la pointe. Commenter. L’analyse du champ de contrainte en pointe de fissure conduit à l’écriture d’un champ biaxial comportant trois composantes σ11 , σ22 , σ12 dans le cas d’une plaque, que l’on supposera donc chargée en contraintes planes. On traitera le problème de la zone plastique en réduisant le problème à un problème unidimensionnel sur la composante σ22 , sur l’axe x2 . Dans ce cas, l’expression générale θ 3θ KI θ 1 + sin sin σ22 = √ cos 2 2 2 2πr devient (θ = 0) : KI σ22 = √ 2πr 2. Une pratique classique pour évaluer la taille de la zone plastique en pointe consiste à comparer l’expression précédente à σY , en supposant le matériau élastique–parfaitement plastique. Quelle valeur obtient-on pour ρT , rayon de zone plastique pour une contrainte appliquée σM ? Dans le cas d’un modèle parfaitement plastique, il vient : σ22 = σY avec :
KI σ22 = √ 2πr
si bien que : r = ρT =
1 2π
KI σY
2
3. Si on ramène le chargement extérieur à zéro, il se développe au voisinage de la pointe une zone où l’on replastifie en compression. Indiquer en suivant toujours la même approche simplifiée la dimension ρC de cette zone en fonction de ρT .
Stress
Lors du déchargement, on suit le trajet indiqué sur la figure ci-dessous, et on atteint la plasticité en compression lorsque la variation de la contrainte locale est de 2σy .
Yeald stress
A’
A
B
0
D
B’
E
C
Displacement
13.4. 19 JUIN 2000
217
La zone plastique correspondante est donc définie par : √
KI = 2σY 2πρC
soit : 1 r= 8π
KI σY
2
et : ρC =
= ρcomp ρT 4
4. La méthode précédente ne conserve pas la résultante selon x2 . La véritable zone plastique en traction a donc une taille ρI plus grande que ρT . On reprend donc la question 2, en utilisant maintenant un autre modèle approché (Irwin), qui consiste à compenser la troncature de la distribution élastique en supposant que le niveau de contrainte entre ρT et ρI est encore σY , et que le champ élastique est reporté au-delà de ρI (figure ci-dessous). Montrer que l’on trouve alors : 1 KI 2 ρI = π σY
!"$#%'&( )*!"
En plus de ne considérer que l’aspect unixial, la méthode précédente détruit l’équilibre, au sens où elle se contente de tronquer un champ obtenu en élasticité. Il est posible d’améliorer l’évaluation en distribuant la force ainsi négligée en avant de la pointe de la fissure. Cette force correspond à la partie de σ22 qui dépasse σy pour x 6 ρT . La construction d’Irwin consiste à former alors un profil de contrainte modifié, suivant la figure ci-dessus, dans lequel la taille de la zone plastique est maintenant ρI . On suppose alors que la distribution élastique de σ22 est translaté d’une quantité X selon x1 , et que l’aire au dessus de σy est compensée par celle qui sépare le nouveau profil de la courbe originale. On écrit donc : ZρT 0
ρZ T +X Z∞ KI KI √ − σY dx = dx + σY − √ 2πx 2πx ρT
ρT
D’où : 1 X= 2π
KI σY
2 = ρT
KI KI p −√ 2πx 2π(x + X)
! dx
218
CHAPITRE 13. ANNALES
La nouvelle évaluation de la zone plastique est donc : 1 ρI = π
KI σY
2
5. Indiquer les faiblesses des méthodes précédentes. Comme indiqué précédemment, la faiblesse principale est le traitement uniaxial du problème. 6. On veut maintenant étudier la propagation de fissure en fatigue, avec un chargement extérieur appliqué entre 0 et σM . On suppose que la loi de propagation définit la vitesse d’avancée de fissure par cycle par : da = C (KI − KS )η dN √ √ où KI = σM πa, KS = kσY πρ (0 < k < 1) et où ρ est la taille actuelle de la zone plastique (définition de Irwin). Simplifier l’expression précédente en introduisant a, σM et σY . L’expression de la vitesse de propagation en chargement cyclique est : da = C (KI − KS )η dN √ √ En tenant compte du fait que KI = σM πa, KS = kσY πρ et ρ = s KS = kσY
1 π π
KI σY
1 π
KI σY
2
, il vient :
2 = kKI
η √ da = C (KI (1 − k))η = C σM πa(1 − k) dN 7. Pour une longueur de fissure telle que x1 = a1 , on effectue une surcharge à σ∗M , avec σM < σ∗M < σY . Donner la nouvelle valeur de la zone plastique en a1 , que l’on notera ρ∗ . Pour une longueur de fissure a1 et une contrainte appliquée de σ∗M , le nouveau facteur d’intensité de contrainte est KI∗ et la nouvelle taille de zone plastique ρ∗ , tels que : √ KI∗ = σ∗M πa1 1 ρ = π ∗
KI∗ σY
2
8. On reprend ensuite le chargement initial entre 0 et σM . Montrer que, si la surcharge a été suffisamment élevée, la fissure ne progresse plus. La nouvelle loi de propagation fait intervenir un nouveau seuil KS∗ calculé à partir de ρ∗ : da = C (KI − KS∗ )η dN avec : Ks∗ = kσy
p √ πρ∗ = kσ∗M a1
Il n’y a pas de propagation de fissure en a = a1 si KI 6 KS∗ , soit : √ √ KI = σM πa1 6 KS∗ = kσ∗M a1
13.4. 19 JUIN 2000
219
soit : σM 6 kσ∗M 9. Indiquer pourquoi la propagation est ralentie dans tous les autres cas. Indiquer la longueur de fissure a2 pour laquelle la fissure retrouvera sa vitesse initiale, et la loi de propagation entre a1 et a2 . Dessiner l’allure de la courbe a(N). La vitesse de progression de fissure est définie par : √ √ da = C σM πa − kσ∗M πa1 dN Elle est donc plus faible que la vitesse de référence pour une longueur a > a1 donnée. Un modèle raisonnable consiste à supposer que la zone plastique reste à la dimension créée par la surcharge, tant que la zone plastique «normale» attachée au chargement courant n’a pas atteint cette valeur. La fissure traverse donc à petite vitesse la zone plastique élargie. On retrouve la vitesse de progression normale pour une longueur de fissure a2 telle que : √ √ √ σM πa2 − kσ∗M πa1 = σM (1 − k) πa2 soit : a2 = a1
13.4.2
σ∗M σM
Contraintes développées lors de l’oxydation x3
x2 oxyde naissant
x1 nickel
On cherche à caractériser l’état de contrainte qui se développe dans une couche d’oxyde de nickel (NiO) en formation sur un substrat de nickel (Ni). Cette couche se forme par diffusion de nickel, l’oxyde se formant sur la surface extérieure. L’oxyde apparaît sous forme d’îlots, qui se rassemblent ensuite pour former une couche de plus en plus compacte. On choisit pour modéliser ce système très complexe une représentation très simplifiée constituée de 2 couches indépendantes sans contact en direction x3 . S , εS , εvS les tenseurs des La couche S (substrat) est élastoviscoplastique, on note respectivement σ ∼ ∼ ∼ contraintes, des déformations et des déformations viscoplastiques. La couche naissante N est constituée de vide et de NiO. On considérera son comportement homogénéisé, caractérisé par une fraction volumique z de NiO, qui permettra de définir les propriétés mécaniques (élasticité, viscoplasticité). N , εN , εvN les tenseurs des contraintes, des déformations et des On y note respectivement σ ∼ ∼ ∼ déformations viscoplastiques.
220
CHAPITRE 13. ANNALES
Par ailleurs, lors de la transformation de nickel en oxyde, il apparaît un changement de volume, représenté par un tenseur ∼εcp dans la couche N. L’élasticité est supposée isotrope dans chaque couche, les modules de Young et coefficients de Poisson valant respectivement (E S , νS ), et (E N , νN ). Les lois viscoplastiques s’écrivent : J(σ∼I ) − σY I nI ∂J(σ∼I ) vI ε˙ = ∼ KI ∂σ∼I en introduisant les six coefficients dépendant du matériau σY I , KI , nI , avec I = N, S, J(σ∼I ) étant formé à p I , suivant : J(σI ) = (3/2)s∼ I : ∼s I . On définit par ailleurs la forme de ∼εcp par partir du déviateur ∼s I de σ ∼ ∼ la diagonale (zεt , zεt , zεz ).
1. On suppose que les tenseurs ∼εS et ∼εN sont diagonaux, que leurs composantes 11 et 22 sont égales, et que leurs composantes 33 sont libres. Justifier ce choix, et montrer alors que le tenseur de contrainte est biaxial dans chaque matériau. Ecrire dans chaque couche l’expression de la composante 11 de la déformation en fonction des contraintes, de la déformation viscoplastique et de la dilatation de changement de phase dans la couche N. Le problème est symétrique dans les sens 11 et 22, donc ses composantes sont égales. Les termes 12 n’interviennent pas car il n’y a pas de cisaillement entre ces deux directions. La couche d’oxydation est très mince, il est donc raisonnable d’enlever les composantes de cisaillement 13 et 23. Tenseur de déformation de la couche N : N ε11 0 0 εN = 0 εN11 0 ∼ 0 0 εN33 Tenseur de contrainte de la couche N : σN11 0 0 N σ = 0 σN11 0 ∼ 0 0 0
εN11 =
1−ν N σ + zεt + εvN 11 E N 11
ou : ε˙ N11 =
1−ν N σ˙ + ε˙ vN 11 E N 11
2. L’épaisseur de la couche N, eN , est très inférieure à celle du substrat, eS (par exemple eN /eS < 10−4 ). Montrer que, dans ce cas, le niveau de contrainte dans le substrat va rester très faible, et que les déformations latérales ε11 et ε22 sont également négligeables. Dans le cas où la couche de dépôt est très mince par rapport à celle de substrat, la couche de substrat devient très «rigide». Les déformations latérales sont donc considérées négligeables. ε11 = ε22 = 0
3. On s’intéresse maintenant à la couche N. On note respectivement par (Eo , νo ) et (Ko , no σo ) les coefficients élastiques et viscoplastiques du matériau massif (z = 1). On suppose que la couche se met en place instantanément. Evaluer le niveau de contrainte résultant en appliquant la déformation de transformation εt dans le plan (x1 , x2 ).
13.4. 19 JUIN 2000
221
Dans ce cas la déformation viscoplastique est négligée car la couche N se met en place instantanément. On a : 1−ν εN11 = N σN11 + zεt = 0 E EN EN σN11 = σs = −zεt = −εt 1−ν 1−ν 4. Le développement de la déformation viscoplastique permet ensuite la relaxation des contraintes. Donner l’expression de l’évolution obtenue en fonction du temps, et préciser la valeur asymptotique. En prenant la déformation viscoplastique, on a : 1−ν N σ˙ + ε˙ vN 11 E N 11
ε˙ N11 = Tenseur de contrainte de la couche N :
σN11 0 0 N σ = 0 σN11 0 ∼ 0 0 0
On a donc σ1 = σN11 , σ2 = σN11 , σ3 = 0, et : |σN11 | √ J(σ ) = ∼ 2 1 0 0 1 0 0 N N signe(σ11 ) σ ∂J(σ ) 3s∼ ∼ √ 0 1 0 = √ 11N 0 1 0 = = ∂σ 2J(σ ) 2|σ11 | 2| ∼ ∼ 0 0 −2 0 0 −2 Donc :
ε˙ vN 11 =
Nous avons donc :
|σN | √11 2
1−ν N σ˙ + EN 11 si n = 1 :
√ (1 − ν)KN 2 EN |σ11 | = |σ11 | =
si n > 1 :
− σyN
KN |σN | √11 2
nN signe(σN11 )
− σyN
KN
nN signe(σN11 ) = 0
! √ √ |σ11 | − 2σy |σs | − 2σy ln| √ | − ln| √ | =t 2KN 2KN
√ √ 2σy + (|σs | − 2σy )exp(
−tEN √ ) (1 − ν)KN 2
√ √ EN −tEN √ ) 2σy + (|εt | − 2σy )exp( 1−ν (1 − ν)KN 2
√ (1 − ν)KN 2 1 1 =t √ √ − − |σ11 |− 2σy n−1 |σs |− 2σy n−1 EN (n − 1) √ √ ( ) ( ) 2KN
√ √ |σ11 | = 2σy + 2KN (
2KN
1 !− n−1 √ 2KN E (n − 1) N √ √ )n−1 − t |σs | − 2σy (1 − ν) 2KN
222
CHAPITRE 13. ANNALES
La valeur asymtotique obtenue quand t → ∞, on a donc : |σ11 | =
√ 2σy
Dans ce cas les paramètres sont constants : EN = Eo , KN = Ko . 5. Les états de contraintes résultant de l’approche précédente n’étant pas réalistes, on cherche maintenant à représenter plus finement les phénomènes, en suivant l’évolution des contraintes au cours de la construction de la couche. On suppose pour cela que les différents coefficients varient de la manière suivante : 1 2 1 Si z ≥ 2 Si z <
:
EN = 0
, KN = 0
:
E N = Eo (2z − 1) , K N = Ko (2z − 1)
(contrainte nulle)
Dont z est une fonction du temps t : z = z(t). On considérera par ailleurs que le coefficient de Poisson vaut toujours νo , et que σY est nul. Ecrire dans ce cas les expressions définissant l’évolution de la contrainte pendant le développement de la couche. Caractériser la valeur maximale atteinte et la valeur asymptotique. Dans ce cas, on examine pour z > 1/2. On a donc :
|σN | √11 2
− σyN
nN
1−ν signe(σN11 ) = 0 σ˙ N + Eo (2z − 1) 11 Ko (2z − 1) . Si n = 1, on obtient le résultat : |σ11 | =
√ √ 2σy − 2σy exp(
−tEo √ ) (1 − ν)Ko 2
√ La contrainte augmente à la valeur asymtotique |σ11 | = 2σy . Si n > 1 : N nN |σ11 | √ − σyN 1−ν N 1 2 signe(σN11 ) = 0 σ˙ + Eo 11 (2z − 1)nN −1 Ko √ Z 1 1 dt (1 − ν)Ko 2 = √ − − √ |σ |− 2σy n−1 − 2σ Eo (n − 1) (2z(t) − 1)nN −1 ( 11√ ) ( √ y )n−1 2Ko
2Ko
1 !− n−1 √ Z √ √ 2Ko n−1 Eo (n − 1) dt √ ) − |σ11 | = 2σy + 2Ko ( √ − 2σy (1 − ν) 2Ko (2z(t) − 1)nN −1
13.5. 24 JUIN 2002
13.5
24 juin 2002
13.5.1
Fissuration d’un rail
223
Une fissure de surface de profondeur 3 mm a été détectée (au niveau du point sur la coupe ci–jointe) dans un rail de chemin de fer, de hauteur totale 20 cm. Elle s’est amorcée sous l’action de la corrosion, et croît lentement par fatigue sous l’effet des chargements cycliques provoqués par le passage des trains. Les calculs indiquent que le passage d’une roue produit une charge dans l’axe du rail, donc normale à la fissure, variant entre -20 MPa et +107 MPa. Des spécimens de laboratoire sont chargés entre Kmin = 0 et Kmax . Les vitesses de propagation sont √ respectivement de 10−3 mm/cycle et 10−2 mm/cycle pour des valeurs de Kmax de 20 et 35 MPa m. La √ rupture brutale intervient pour une valeur Kmax =45 MPa m. 1. Trouver les valeurs des coefficients C et m de la loi de Paris. La loi de Paris s’écrit :
da = C(∆K)m dN
avec ∆K = Kmax − Kmin Les données précédentes permettent donc d’écrire : C × 20m = 10−6 C × 35m = 10−5 ce qui donne (unités : m, MPa) : m ≈ 4.11
,
C ≈ 4.510−12
2. On néglige le caractère tridimensionnel de la fissure, ce qui permet de supposer que le facteur d’intensité de contrainte en mode I est √ donné en fonction de la profondeur de fissure a et de la contrainte axiale dans le rail σ par K = 1.12σ πa. Donner la vitesse de propagation pour la longueur de fissure initiale, et la longueur de fissure qui provoque la rupture brutale. On évalue la vitesse de propagation de fissure à partir du facteur d’intensité de contrainte √ ∆K = 1.12∆σ πa
224
CHAPITRE 13. ANNALES
avec : ∆σ = σmax − σmin = 107 − (−20) = 127 MPa , et a = a0 = 0.003 m En remplaçant les paramètres m et C de la loi de Paris par leur valeur : da = C(∆K)m ≈ 0.22 · 10−6 m/cycle dN La rupture brutale est obtenue en comparant le facteur d’intensité de contrainte critique au facteur d’intensité de contrainte obtenue avec la contrainte maximale (et non ∆σ) : 2 1 Kcrit acrit = ≈ 44.88 mm π 1.12σmax 3. Ecrire l’équation qui détermine la courbe (nombre de cycles–longueur de fissure) entre la valeur initiale a0 = 3mm et une valeur courante a. Ce résultat provient directement de l’application de la loi de Paris : √ da = C(Y ∆σ πa)m dN avec Y=1.12, ce qui correspond au cas d’une demi-plaque infinie portant une fissure perpendiculaire à la surface extérieure. La relation entre le nombre de cycles (N) et la longueur de fissure (a) est alors : m
m m/2
ZN
CY (∆σ) π
Za
dN = a0
0
d’où :
2 N= (m − 2)CY m (∆σ)m πm/2
da am/2
1 (a0 )(m−2)/2
−
1
a(m−2)/2
4. Indiquer le nombre de passages de trains pour lequel on aura une rupture brutale. On indiquera clairement les hypothèses ou approximations qui sont faites pour arriver à cette prévision. On calcule alors un nombre de cycles de N f = 12281. Si on prend l’exemple d’un TGV 8 voitures (plus deux motrices), il faut compter 40 cycles par passage. Ceci ramène donc le nombre de passages à environ 300 !
13.5.2 Contraintes thermiques en plasticité On considère un prisme d’axe x1 dont le déplacement axial est bloqué. Ses faces latérales sont libres, et on étudie le comportement dans une section courante, en négligeant l’effet des encastrements. L’état de contrainte est donc supposé uniaxial en direction x1 . Le chargement extérieur appliqué est dû uniquement à la température, la déformation totale restant nulle. On notera respectivement σ, ε, εe , ε p , εth , la contrainte, la déformation totale, la déformation élastique, la déformation plastique et la dilatation thermique. On notera par T la variation de température par rapport à l’état de référence à contrainte et déformation nulles. En introduisant le coefficient de dilatation thermique linéaire α, on a donc εth = αT . Ecrouissage isotrope On suppose que le matériau est élastoplastique, et qu’il obéit à une règle d’écrouissage isotrope linéaire. Le module de Young, E, le module plastique, Hi (on suppose que H < E), et la limite d’élasticité initiale σy sont supposés indépendants de la température. R dépend donc uniquement de la déformation plastique cumulée, p, nulle à l’origine, et définie par p˙ = |ε˙ p | : σ = Eεe
13.5. 24 JUIN 2002
225 f (σ, R) = |σ| − σy − R
R(p) = H p
1. Définir l’augmentation de température Te pour laquelle on atteint la limite d’élasticité du matériau. La déformation totale reste nulle durant la variation de température : σ + αT = 0 E ce qui fournit la valeur de température demandée, pour σ = σy : Te =
σy Eα
2. On suppose que T passe de 0 à Tm (avec Tm > Te ). Exprimer le fait que le critère de plasticité f reste nul pendant l’écoulement plastique, et définir les valeurs de contrainte σm et de déformation plastique εmp à la fin de la montée en température. La déformation totale comporte maintenant un terme de déformation plastique, si bien que : σ + ε p + αT = 0 E Comme l’écoulement plastique s’effectue en compression, on a ε p = −p, si bien que le fait que le critère reste nul s’écrit : σ = −σy + Hε p La résolution de ce petit système fournit alors : εmp = − σm = −
Eα(Tm − Te ) H +E
EH (σy + HαTm ) H +E
3. On ramène maintenant T à zéro. Exprimer la condition correspondante en déformation. En supposant dans un premier temps que le matériau reste élastique pendant la décharge, indiquer quelle sont alors les valeurs de la déformation plastique et de la contrainte lors du retour à T = 0 ? Indiquer à quelle condition le matériau reste effectivement élastique en fin de refroidissement. Il faut simplement annuler la déformation thermique. Si le matériau reste élastique, la déformation plastique est inchangée, et la contrainte en fin de refroidissement est σr est telle que εmp + σr /E = 0. La comparaison avec l’expression de la question précédente donne immédiatement : σr = σm + EαTm =
EH E 2α (EαTm − σy ) = (Tm − Te ) H +E H +E
Cette expression sera valide tant que la contrainte obtenue reste inférieure à la limite d’élasticité actuelle, qui, après le premier chargement, vaut −σm ; il faut donc assurer : EH EH (EαTm − σy ) < (σy + HαTm ) H +E H +E Cette condition sera vérifiée si la temperature ne dépasse pas un certain seuil lors du premier chauffage : Tm <
2σy α(E − H)
226
CHAPITRE 13. ANNALES
4. Calculer la déformation plastique et la contrainte à T = 0 pour le cas où il y a replastification à la décharge. Si le seuil précédent est dépassé, on repart de εmp en déformation plastique, avec un seuil actuel à −σm , et le matériau subit un incrément de déformation δ p positif tel que : pr = −εmp + δε p
εrp = εmp + δε p
A la fin du refroidissement, il faut vérifier les deux égalités suivantes, correspondant respectivement à la loi de comportement (déformation nulle, déformation thermique nulle) et à la condition de plasticité : σ = −Eεmp − Eδε p σ = σy − Hεmp + Hδε p On trouve : ((E − H)αTm − 2σy ) E (E + H)2 2EHαTm + (E − H)σy εrp = − (E + H)2
δε p =
La contrainte vient ensuite simplement : σr = −Eεrp =
E (2EHαTm + (E − H)σy ) (E + H)2
5. En supposant que l’on applique un grand nombre de cycles de température entre 0 et Tm , décrire qualitativement l’évolution de l’écoulement plastique et définir l’état final du matériau, en se plaçant dans le plan (déformation mécanique–contrainte). La déformation mécanique que subit le prisme varie entre 0 et −αTm au cours des cycles. Les deux courbes limites sur lesquelles se retrouvent les points représentatifs au chauffage et au refroidissement sont donc respectivement σ = −Eε p − EαTm et σ = −Eε p . Au cours des cycles, la limite d’élasticité augmente peu à peu. L’état limite correspond au moment où la taille du domaine d’élasticité (deux fois la limite élastique) sera égale à 2EαTm . Une illustration de cette évolution est donnée sur la simulation cidessous, réalisée avec E = 10000 MPa, α = 10−5 , Tm = 1000◦ C . On vérifie bien qu’à l’état asymptotique la taille du domaine élastique est de 2000 MPa. σ Eε p EαTm σ Eε p
!"
σ
εp
13.5. 24 JUIN 2002
227
6. En faisant H = 0 dans les équations précédentes, commenter le cas d’un comportement élastique parfaitement plastique. Le raisonnement de la question précédente ne tient plus si H = 0. Dans ce cas, il n’u a pas d’évolution de la taille du domaine d’élasticité, et l’état asymptotique, atteint dès le deuxième cycle, est caractérisé par des contraintes variant entre ±σy . Le cycle reste ouvert au lieu qu’il soit réduit à une ligne comme dans le cas précédent. Ecrouissage cinématique Reprendre les questions 3, 4, 5 de la section précédente en supposant maintenant que le matériau obéit à une règle d’écrouissage cinématique linéaire : f (σ, X) = |σ − X| − σy
X = Hε p
...
13.5.3
Etude d’une plaque composite
x b x 1
a/2
a/2
2
Une plaque composite est formée des matériaux A et B. Le plan de la plaque est parallèle à (x1 , x2 ). L’intérieur de la plaque est constitué par le matériau B (épaisseur b selon x3 ), qui est enserré par deux plaques du matériau A, chacune d’épaisseur a/2. On suppose que les dimensions de la plaque dans le plan (x1 , x2 ) sont grandes devant l’épaisseur. Les fractions volumiques de A et B sont respectivement CA et CB (avec CA + CB = 1). Dans l’ensemble du problème, on supposera que les champs de contrainte et de déformation sont uniformes dans chaque matériau. On notera respectivement σ et σ le tenseur des ∼A ∼B contraintes dans A et B, et ∼εA et ∼εB les tenseurs de déformation. Comportement élastique On cherche, à caractériser, pour certaines sollicitations particulières, le comportement homogène équivalent qu’il faudrait affecter à un matériau unique pour qu’il reproduise le comportement global de la plaque. On suppose que les deux matériaux ont un comportement élastique isotrope, caractérisé par les modules de compressibilité (resp. KA et KB ) et les modules de cisaillement (resp. µA et µB ). 1. Indiquer ce que sont les bornes de Voigt et de Reuss, et écrire les valeurs extrêmes correspondantes que peuvent prendre le module de compressibilité (resp. KV et KR ) et le module de cisaillement (resp. µV et µR ) du matériau homogène équivalent, en fonction des coefficients KA , KB , µA et µB . Les bornes de Voigt et Reuss sont : ∀E ∼
E : (C − < ∼c >) : E 60 ∼ ∼ ∼
∀Σ ∼
Σ : (S≈ − < ≈s >) : Σ 6 0
228
CHAPITRE 13. ANNALES
Dans le cas de l’élasticité isotrope, les équations précédentes deviennent simplement : CA CB 1 = + KR KA KB
KV = CA KA +CB KB
1 CA CB = + µR µA µB
µV = CA µn +CB µB
2. On suppose que les matériaux A et B ont même coefficient de Poisson, ν, et que leurs modules de Young sont respectivement EA et EB . Donner dans ces conditions un encadrement du module de Young du matériau homogène équivalent (resp. EV et ER ). On rappelle que : E = 2µ(1 + ν) = 3K(1 − 2ν)
1 1 3 = + E µ 3K
Indiquer, sans faire le calcul, ce que deviendrait ce résultat si les coefficients de Poisson étaient différents dans chaque matériau. La relation linéaire entre E et K permet d’appliquer à E la relation concernant la loi de Reuss connue pour K. Celle qui existe entre les inverses de E, K et µ permet d’appliquer à E celles qui concernent la loi de Voigt. Il vient donc : ER =
EA EB CA EB +CB EA
EV = CA EA +CB EB
3. On effectue une traction équibiaxiale à déplacement imposé dans le plan (x1 , x2 ) sur un carré de matière (ε11 = ε22 = ε). On suppose que les seules composantes non nulles du tenseur de contrainte sont 11 et 22. Justifier. Ecrire la loi de Hooke dans chaque matériau. Exprimer la valeur de la contrainte moyenne σ = CA σA11 +CB σB11 = CA σB22 +CB σB22 en fonction de ε, et en déduire la valeur du module de Young apparent du matériau homogène équivalent selon les composantes 11 et 22. Les composantes σ13 , σ23 , σ33 sont nulles sur la surface libre de direction x3 . En raison de la symétrie du chargement, il n’y a pas non plus de cisaillement σ12 . Le tenseur de contrainte s’écrit donc : σ11 0 0 σ = 0 σ22 0 0 0 0 L’application de la loi de Hooke, pour les materiaux A et B donne successivement : EA ε = σA11 − νσA22
EA ε = σA22 − νσA11
EB ε = σB11 − νσB22
EB ε = σB22 − νσB11
D’où : εEA εEB et σB11 = σB22 = 1−ν 1−ν La valeur moyenne de la contrainte dans la plaque composite s’écrit ainsi : σA11 = σA22 =
σ=
CA EA ε CB εEB ε CA EA +CB EB + = ε 1−ν 1−ν 1−ν
d’où : E hom = CA EA +CB EB
13.5. 24 JUIN 2002
229
4. En suivant une procédure identique, donner la valeur du module de Young équivalent pour une traction selon l’axe x3 . La déformation de la plaque selon la composante 33 est la moyenne des valeurs obtenues dans chaque matériau. Par ailleurs, la contrainte de traction σ est la même dans les deux matériaux, si bien que : ε33 = CA
σ σ +CB EA EB
1
CA CB + EA EB
La moyenne E hom est alors telle que : E hom
=
5. Effectuer la même détermination en cisaillement : - dans le cas d’un cisaillement 12 ; - dans le cas d’un cisaillement 13. - Pour le cas du cisaillement 12, dans le plan de la plaque, ce sont les déformations qui sont égales dans chaque matériau. On obtient : µ = CA µA +CB µB - Pour le cas du cisaillement 13, ce sont les contraintes qui sont égales dans chaque matériau. On retrouve le cas de la question 4 : 1 1 1 = µA + µB µ CA CB 6. Comparer les résultats obtenus avec les bornes des questions 1 et 2. Commenter. Selon la direction considérée, les valeurs obtenues avec nos solutions approchées réalisent l’une ou l’autre borne. Comportement viscoélastique On suppose maintenant que le matériau B est viscoélastique. La vitesse de déformation peut se décomposer en une partie élastique (idem section précédente) et une partie purement visqueuse, dépendante du déviateur de contrainte, ∼s , où s’introduit le coefficient de viscosité η : ε˙ = ∼ε˙ e + ∼ε˙ v avec ∼ε˙ v = ∼
3 ∼s 2η
7. On étudie d’abord le matériau B isolé. On suppose que l’on applique très rapidement un chargement équibiaxial à contrainte imposée sur ce matériau (σ11 = σ22 = σ0 ). Donner l’expression de la réponse, supposée élastique, à la mise en charge, et celle de la déformation différée en fluage biaxial à la contrainte σ0 , en fonction du temps depuis la mise en charge, t. Le critère de von Mises pour le chargement biaxial indiqué vaut σO . On a vu précédemment les relations en elasticité. L’expression de la vitesse de déformation totale et de la déformation totale en fluage sont donc respectivement : 1−ν σ ε˙ = σ˙ + E 2η et : 1−ν σ0 ε= σ0 + t E 2η 8. On considère maintenant de nouveau le cas de la plaque, et on suppose que l’on applique le même chargement biaxial à contrainte moyenne imposée, les déformations ε11 et ε22 restant identiques dans chaque matériau. Définir l’état de contrainte dans chaque couche à la fin de la mise en charge élastique.
230
CHAPITRE 13. ANNALES
Ecrire les relations de comportement dans chaque couche (on posera ε = ε11 = ε22 , identique pour les deux matériaux, σA = σA11 = σA22 dans le matériau A et σB = σB11 = σB22 dans le matériau B, avec σ0 = CA σA +CB σB ). A la fin de la mise en charge, supposée très rapide, on a : σA =
EA 1 − ν EA ε= σ0 1−ν 1−ν E
Soit :
EA EB σ0 σB = σ0 E E La loi de comportement n’est pas la même dans chaque matériau : σA =
ε˙ A =
1−ν σ˙ A EA
ε˙ B =
1−ν σB σ˙ B + EB 2η
9. Donner sans calcul les valeurs asymptotiques de σA , σB . Intégrer les équations différentielles et donner les évolutions de σA , σB , et ε. Quel module élastique équivalent voit-on apparaître dans la constante de temps du fluage ? A quel modèle rhéologique se retrouve-t-on ramené dans cette configuration ? Dans le matériau viscoélastique, la contrainte va chuter au cours de la déformation, pour atteindre 0 à l’état stabilisé, car il n’y a pas de seuil d’écoulement. A ce moment, l’effort extérieur sera tout entier supporté par le matériau élastique. On trouve donc : σA =
σ0 CA
σB = 0
En remplaçant σA par son expression en fonction de σ et de σB dans sa loi de comportement, on peut exprimer la vitesse de déformation totale de deux manières : 1−ν (σ˙ −CB σ˙ B ) EACA 1−ν σB ε˙ = ε˙ B = σ˙ B + EB 2η
ε˙ = ε˙ A =
L’évolution de σB est donc gouvernée par l’équation : CA EA EB
σB + (1 − ν)(EACA + EBCB )σ˙ B = (1 − ν)EB σ˙ 2η
En fluage, il faut faire σ˙ = 0 dans l’équation précédente, ce qui conduit après intégration à : EB 1 1 σB = σ0 exp(−t/τ) avec τ = 2η(1 − ν)CB + E EACA EBCB Les caractéristiques du présent système sont celles d’un modèle de Kelvin-Voigt. Etude de la rupture différée 10. Le critère de rupture du matériau A prévoit que le matériau se rompt lorsque la contrainte normale principale atteint une valeur limite σu . Décrire les différents régimes de «fonctionnement» possibles de la plaque composite, en indiquant dans quels cas elle peut (i) se rompre à la mise en charge, (ii) présenter une rupture différée, (iii) résister à la charge appliquée. On distingue les cas suivants :
13.6. 26 MAI 2003
231
– Il y a rupture à la mise en charge si la contrainte atteinte en élasticité dans le matériau A dépasse la limite de rupture ; – le matériau resistera à la charge si la contrainte asymptotique dans A reste inférieure à la contrainte à rupture ; – dans le cas intermédiaire, la contrainte dans le matériau A augmente au cours du fluage, et le matériau rompt lorsque σA atteint la limite de rupture. On établit alors le tableau suivant : CA EA +CB EB EA σ0 < σuCA CA EA +CB EB σuCA < σ0 < σu EA σ0 < σu
:
pas de rupture à la mise en charge
:
pas de rupture
:
rupture différée
Le temps pour lequel on a une rupture différée est tel que σB = (σ0 −CA σA )/CB = σu .
13.6
26 mai 2003
13.6.1
Traction sur une fibre entourée d’un cylindre de matrice
On cherche à caractériser le comportement équivalent en traction simple d’un composite à fibres longues. On considère pour cela une cellule élémentaire cylindrique, d’axe z. En coordonnées cylindriques, la fibre, de section circulaire (diamètre 2a), occupe l’espace r < a, et la matrice l’espace a < r < b. Le cylindre est «suffisamment» allongé en direction z (longueur h) ; on suppose donc que la déformation axiale est uniforme, et que les composantes en rr et θθ des tenseurs de contraintes et déformations sont indépendantes de z. La fraction volumique de fibre est f = (a/b)2 . Le déplacement est libre dans le plan r-θ sur les sections extrêmes du cylindre. On bloque en direction z la section inférieure (en z=0), et on applique un déplacement Uz uniforme sur la surface supérieure (en z = h). La surface latérale du cylindre est une surface libre. Géométrie et sollicitations extérieures étant axisymétriques, les relations déformation–déplacement se réduisent à εrr = ur,r , εθθ = ur /r et εzz = uz,z . On admettra le résultat classique définissant la forme des champs de déplacement radial et de déplacement axial : ur = Ar +
B r
uz = Cz
Les constantes A et B sont bien entendu différentes dans la fibre et dans la matrice, elles dépendent des conditions aux limites. Dans la suite de l’exercice, on évalue ces constantes, ainsi que l’expression des contraintes, pour en déduire l’expression de Ez , module de Young équivalent en direction z et de νzr , coefficient de Poisson. 1. En considérant l’expression générale du déplacement, calculer les composantes du tenseur de déformation. εrr = A −
B r2
εθθ = A +
B r2
εzz = C
232
CHAPITRE 13. ANNALES
Eν E . Montrer que les composantes du tenseur de , et 2µ = 1 + ν (1 + ν)(1 − 2ν) contrainte se mettent sous la forme : B B σθθ = H A + νC + (1 − 2ν) 2 σrr = H A + νC − (1 − 2ν) 2 r r 2. On rappelle que λ =
σzz = H (2νA + (1 − ν)C)
avec H =
E (1 + ν)(1 − 2ν)
. Ceci provient de l’application directe des équations de Hooke, valides en coordonnées cylindriques, dans lesquelles la trace du tenseur de contrainte σll vaut simplement (2A + C), et où i et j prennent successivement les valeurs r, θ, et z : σi j = λσll + 2µσi j On note que le repère (r, θ, z) est le repère principal. Tous les cisaillements sont donc nuls. 3. Justifier le fait que C est le même dans la fibre et dans la matrice. Quelle est l’expression de C en fonction de la déformation axiale ε ? La déformation axiale est supposée uniforme. On a bien ε = εzz = C. 4. Justifier le fait que B est nul pour la fibre. Quelle particularité peut-on en déduire pour les champs de contrainte et de déformation dans la fibre ? On posera dans la suite : fibre : ur = A f r
matrice : ur = Am r +
Bm r
On appellera respectivement E f et Em les modules de Young de la fibre et de la matrice, ν f et νm les coefficients de Poisson. Si le paramètre B n’était pas nul dans la fibre, les déformations et les contraintes seraient infinies sur l’axe, en r = 0. On est donc amené à prendre B = 0 dans la fibre, ce qui implique alors que les déformations radiales et circonférentielles sont uniformes. Comme la déformation axiale est uniforme, les contraintes le sont également : εrr = εθθ = A
σrr = σθθ = H(A + νC)
5. Ecrire les deux conditions de continuité à l’interface fibre–matrice (en r = a). Il doit y avoir continuité de la composante radiale du déplacement, et de la composante rr de la contrainte, ce qui fournit respectivement les deux conditions suivantes : A f a = Am a + H f (A f + ν f C) = Hm
Bm a
Bm Am + νmC − (1 − 2νm ) 2 a
6. Ecrire la condition à la frontière r = b. En r = b, on a une surface libre, la contrainte σrr est donc nulle. Am + νmC − (1 − 2νm )
Bm =0 b2
7. En utilisant les trois conditions précédentes, trouver A f , Am , Bm .
13.6. 26 MAI 2003
233
Après quelques manipulations, il vient : (1 − 2νm )(H f ν f − Hm νm ) + (Hm νm (1 − 2νm ) + H f ) Am = − (1 − 2νm )(H f − Hm ) + (Hm (1 − 2νm ) + H f )
b2 a2
b2 a2
On en tire également A f et Bm . 8. Calculer la résultante des efforts F sur la surface supérieure du cylindre, en introduisant la fraction volumique de fibre, et en déduire Ez , module de Young équivalent en direction z. La composante axiale du tenseur de contrainte est uniforme par morceau. On note S = πb2 la section de la cellule élémentaire. On obtient tout simplement F en sommant les contributions dans la fibre f 2 2 (contrainte σzz , section πa2 ) et dans la matrice (contrainte σm zz , section π(b − a )) :
F = πa2 H f (2ν f A f + (1 − ν f )C) + π(b2 − a2 )Hm (2νm Am + (1 − νm )C) Le module d’Young apparent E de l’ensemble est tel que σ = Eε, avec σ = F /S et ε = C. On peut ainsi calculer E. 9. Evaluer également le coefficient de Poisson apparent νzr pour une traction selon z. Le déplacement en r = b définit la contraction radiale associée à une traction selon z. On obtient alors le coefficient de Poisson demandé à partir de νrz = −Eεθθ /σ, avec εθθ (b) = ur (b)/b : E ur (b) 1 Bm νrz = − =− Am + 2 σ b C b 10. Comparer les valeurs obtenues avec celles que fournit une évaluation de type «groupement» parallèle, ne tenant pas compte des champs triaxiaux : Ez = f E f + (1 − f )Em
νzr = f ν f + (1 − f )νm
Commenter.
13.6.2
Critères de Tresca et von Mises
On considère un matériau isotrope dont la limité d’élasticité en traction est σy . 1. Indiquer les valeurs de la limité d’élasticité en cisaillement pur, (i) si le matériau vérifie le critère de von Mises, (ii) si le matériau vérifie le critère de Tresca. √ La limite d’élasticité en cisaillement pur est donnée par τm = σy / 3 si le matériau vérifie le critère de von Mises, et par τt = σy /2 s’il obéit au critère de Tresca. 2. Tracer la frontière du domaine d’élasticité, pour Tresca et von Mises, dans le plan (σ11 –σ12 ), en supposant que toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles. σ12
τm τt σy
σ11 σy
Les équations des ellipses sont respectivement : σ211 + 3σ212 = σ2y (von Mises) (Tresca) σ211 + 4σ212 = σ2y
234
CHAPITRE 13. ANNALES
3. Quelle est la frontière du domaine d’élasticité pour le critère de von Mises dans le plan (σ11 –σ23 ), en supposant que toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles ? Pour le critère de von Mises, tous les cisaillements jouent le même rôle vis-à-vis de chaque contrainte axiale. La frontière du domaine d’élasticité est donc la même que sur la figure précédente ; l’équation de l’ellipse correspondante est : σ211 + 4σ223 = σ2y 4. On suppose que les seules composantes non nulles du tenseur de contrainte sont σ11 et σ23 , et que le matériau vérifie le critère de Tresca. Trouver les 3 contraintes normales principales. Indiquer les différentes expressions du critère en fonction de σ11 et σ23 dans le premier quadrant du plan (σ11 –σ23 ), en fonction des valeurs relatives de σ11 et σ23 . Conclure sur la forme du domaine d’élasticité dans le plan (σ11 –σ23 ). Les trois contraintes normales principales sont −σ23 , σ23 ,σ11 . Dans le premier quadrant, au-dessous de la première bissectrice, elles se rangent dans l’ordre −σ23 6 σ23 6 σ11 , l’expression du critère est donc : f (σ ) = σ11 + σ23 − σy ∼ Au-dessus de la première bissectrice, la composante σ11 est comprise entre −σ23 et σ23 , si bien que le critère s’écrit maintenant : f (σ ) = 2σ23 − σy ∼ La forme du critère dans le plan (σ11 –σ23 ) s’obtient ensuite par symétrie par rapport aux axes σ11 et σ23 . On obtient la courbe continue de la planche ci-dessous, sur laquelle on a également reporté, pour référence, la courbe obtenue en question 2. Contrairement au critère de von Mises, celui de Tresca fait une différence entre les divers cisaillements. σ23 τt σ11 σy
σy
5. On suppose que le matériau vérifie le critère de von Mises. On charge en traction simple jusqu’au point σ11 = σy . Indiquer si l’on est ensuite en élasticité ou en plasticité, si toutes les composantes de la vitesse de contrainte sont nulles sauf σ˙ 22 , avec (i) σ˙ 22 > 0, (ii) σ˙ 22 < 0. Lequel des deux cas n’est pas plastiquement admissible si le matériau est parfaitement plastique ? σ22 σy
σy
σ˙ 22
σ11
0
σy
σ˙ 22
σy
0
13.6. 26 MAI 2003
235
A partir du point σ11 = σy , situé sur la frontière du domaine d’élasticité : - une augmentation de la contrainte σ22 diminue la valeur du critère, et fait donc entrer dans le domaine d’élasticité. - une diminution de la contrainte σ22 augmente la valeur du critère, ce qui n’est pas plastiquement admissible si le matériau est parfaitement plastique. 6. On suppose√que le matériau √ vérifie le critère de von Mises. On charge en traction biaxiale jusqu’au point σ11 = 2σy / 3. σ22 = σy / 3. Vérifier que l’on est toujours en élasticité. Indiquer si l’on est ensuite en élasticité ou en plasticité, si toutes les composantes de la vitesse de contrainte sont nulles sauf σ˙ 22 , avec (i) σ˙ 22 > 0, (ii) σ˙ 22 < 0. σ22 σy
σ˙ 22 σ˙ 22
σy
σy
0
0
σ11
σy
Le point de fonctionnement indiqué est l’intersection de la demi-droite d’équation σ11 = 2σ22 et de l’ellipse définissant la frontière du domaine d’élasticité, d’équation : σ211 + σ222 − σ11 σ22 = σ2y Il correspond par exemple au chargement que subit un cylindre sous pression avec «effet de fond». La pente de la tangente à cette courbe se définit comme : dσ22 2σ11 − σ22 =− dσ11 2σ22 − σ11 On a une tangente verticale au point σ11 = 2σ22 . Les deux cas (i) et (ii) produisent donc de l’écoulement plastique. 7. Le matériau vérifie le critère de Tresca. On effectue un chargement en déformation imposée depuis l’origine jusqu’à ε11 = σy /E et ε22 = −νσy /E en conservant σ33 = 0, de même que les composantes de cisaillement. En conservant le même type de pilotage, on veut réaugmenter la valeur de ε22 . Quelles sont les valeurs limites du rapport ε˙ 22 /ε˙ 11 pour le chargement soit toujours élastique ? σ22 σy
ε22
ε11
σy
(0)
(2)
(0)
(1)
(1)
σy
(a)
(2)
σy
(b)
σ11
236
CHAPITRE 13. ANNALES
Le point indiqué correspond à un état de traction simple. Il est à la limite du domaine d’élasticité. En supposant que le comportement reste élastique à partir de ce point, les composantes 11 et 22 des contraintes et des déformations doivent vérifier les équations : E ε˙ 11 = σ˙ 11 − νσ˙ 22 E ε˙ 22 = σ˙ 22 − νσ˙ 11 Il vient : σ˙ 11 =
E (νε˙ 11 + ε˙ 22 1 − ν2
σ˙ 22 =
E (νε˙ 22 + ε˙ 11 1 − ν2
Soit, en posant k = ε˙ 22 /ε˙ 11 : σ˙ 22 k+ν = σ˙ 11 kν + 1 Le domaine pour lequel le comportement est effectivement élastique correspond à un rapport σ˙ 22 /σ˙ 11 compris entre 1 et −∞ (respectivement directions (1) et (2) dans le plan des contraintes (σ11 –σ22 )), avec les signes adéquats pour chaque composante. L’examen de ces conditions conduit à la détermination du domaine dans le plan des déformations (ε11 –ε22 ) : le cas (1) fournit une pente 1, le cas (2) une pente −1/ν, tandis que, naturellement, un simple retour en compression uniaxiale redonne la pente −ν. 8. Même question que précédemment avec le critère de von Mises. La pente dσ22 /dσ22 à l’ellipse de von Mises vaut 2 au point σ11 = σy en traction simple. Les points admissibles correspondent au demi-espace supérieur. La limite admissible pour k est alors : 2−ν 1 − 2ν Les limites (1) et (2), similaires au cas précédent, sont reportées sur la figure ci-dessous. k=
σ22 σy
ε22
ε11 (0)
σy
(0)
(2)
(2) σ11
σy (1)
(1)
σy
(a)
13.7
14 juin 2004
13.7.1
Flexion de poutres
x3
(b)
2l x1
a.
13.7. 14 JUIN 2004
237 b
x3
b
e
x3
e
x2
h−e
x2
h−e
bo
bo
h
e
e
b. c. Figure 1 : Vue de la poutre, (a) de profil, (b) en section. (c) Poutre renforcée. Une poutre de longueur 2l (figure 1a) présente une section en I, comme indiqué sur la figure 1b. Elle sera sollicitée en traction, cisaillement et flexion dans le plan (x1 ,x3 ). On suppose dans un premier temps qu’elle est constituée d’un matériau homogène, de module de Young E, et de module de cisaillement µ. 1. Calculer la rigidité en flexion autour de x2 , EI. Justifier le fait que l’on retienne souvent uniquement la contribution des deux parties de largeur b. Donner la valeur approchée de EI dans ce cas, en supposant que e est suffisamment petit devant h. Le moment quadratique I par rapport à l’axe x2 se calcule selon la formule : Z Z
I=
x32 dS = 2b0
Z (h−e)/2 0
x32 dx3 + 2b
Z (h+e)/2 (h−e)/2
x32 dx3
Ceci donne donc une rigidité : EI =
Eb0 Eb (h − e)3 + (h + e)3 − (h − e)3 12 12
On constate que le terme dominant correspond à la contribution des deux parties de largeur b. Lorsque e est petit devant h, cette rigidité est approchée par la quantité Ebeh2 /2. 2. On cherche la forme que prend la poutre lorsqu’elle est simplement posée à ses deux extrémités (moment nul aux extrémités), et soumise uniquement à son propre poids. On notera p la charge correspondante par unité de longueur. On applique la théorie de Timoshenko. Rappeler les hypothèses cinématiques attachées à cette approche. L’hypothèse de base porte sur la schématisation du champ de déplacement à l’intérieur du solide : le solide est assimilé à un milieu curviligne, le champ de déplacement du milieu continu étant ensuite évalué à partir de la solution trouvée en supposant qu’une section droite initialement plane et perpendiculaire à la «ligne moyenne» ainsi définie reste plane. 3. Donner la valeur des réactions sur les supports, ainsi que la variation de l’effort tranchant T en fonction de x1 . Le poids total est égal à 2ql ; il est uniformément réparti sur toute la longueur de la poutre. Il donne naissance à deux réactions de valeur −ql sur chaque support. On obtient simplement l’effort tranchant : dT = −q dx1
T = q(l − x1 )
4. En intégrant T , et en tenant compte des conditions aux limites aux extrémités de la poutre, évaluer l’évolution du moment M en fonction de x1 . Le moment M doit être nul à chaque extrémité de la poutre. On obtient dans ces conditions : dM x12 =T M = q lx1 − dx1 2
238
CHAPITRE 13. ANNALES 5. Calculer l’angle θ caractérisant la rotation d’une section de la poutre.
L’angle θ caractérisant la rotation d’une section de la poutre s’obtient en intégrant la quantité M/EI par rapport à x1 et en tenant compte du fait que, pour des raisons de symétrie, l’angle est nul au milieu de la poutre, soit pour x1 = l. On obtient ainsi : M q lx12 x13 l 3 dθ = θ= − − dx1 EI EI 2 6 3 On vérifie bien que les angles obtenus en x1 = 0 et en x1 = 2l sont opposés, de valeur ±
ql 3 . 3EI
6. Trouver finalement l’expression de la flèche, en identifiant la contribution de l’effort tranchant et celle du moment de flexion. Dans quelle condition cette dernière est-elle largement prépondérante ? Donner la valeur de la flèche maximale, au centre de la poutre (point x1 = l). La flèche V s’obtient au travers de l’équation dV T = −θ + dx1 µS L’intégration de −θ fournit donc le terme V f lié au moment de flexion : Vf =
q EI
lx3 x4 l 3 x1 − 1+ 1+ 6 24 3
Le terme provenant de l’effort tranchant est quant à lui égal à : qx1 x1 l− Vt = µS 2 Ces expressions s’annulent bien en x1 = 0 et en x1 = 2l. La flèche est maximale en x1 = l, et vaut : Vmax =
5ql 4 ql 2 + 24EI 2µS
7. Quelle est l’expression de la contrainte σ11 ? Il n’y a pas d’effort normal ; la contrainte se calcule donc simplement en fonction du moment de flexion : Mx3 qx1 x3 σ11 = = (2l − x1 ) EI 2I 8. Proposer une application numérique réaliste. On suppose que la poutre est en acier (E=210 MPa, µ=80 GPa, masse volumique ρ=7800 kg/m3 ) et que la section a pour dimensions h=80 mm, b=45 mm, b0 =3 mm, e=6 mm. La surface S de la section vaut S = 2be + b0 (h − e) = 762 mm2 La charge répartie par unité de longueur de poutre q est donnée par le produit ρgS. On peut tout exprimer en N et mm (1 MPa = 1 N/mm2 ), et on calcule successivement la charge linéique q et le moment quadratique I : – q = 7800 × 9, 81 × 762 × 10−6 = 58,306 N/m = 0,058306 N/mm, – I = 501716 mm4 . Le tableau ci-dessous donne les valeurs de V f et Vt pour différentes valeurs de l :
13.7. 14 JUIN 2004
239 l (m) 1 2 4
V f (mm) 0,012 1,937 30,990
Vt (mm) 0.00047 0.00190 0.00761
La contribution de l’effort tranchant est donc toujours négligeable, ce qui est normal dans le cas d’une poutre élancée. La flèche est sensible pour une poutre de longueur 4 m (l = 2 m), et tout à fait impressionnante pour une portée entre appuis de 8 m. 9. On suppose maintenant que la poutre est en béton. Ce matériau ne supportant pas les contraintes de traction, on le met en compression (technique du béton précontraint) en insérant dans la partie inférieure de la poutre des cables en acier que l’on met en tension (figure 1.c). On veut évaluer les modifications apportées à l’état de contrainte. Pour cela, on ne considère plus l’effet du poids propre de la poutre, que l’on pourra rajouter par superposition, mais seulement celui de la force F appliquée par le cable, au point x3 = −h de la section. On néglige la variation de section du béton liée au passage des cables. Donner la nouvelle expression du profil de contrainte dans la section. A quelle condition le béton est-il totalement en compression ? Dans ces conditions, l’effort normal est égal à −F et le moment de flexion autour de x2 est égal à Fh. La contrainte σ11 est alors obtenue en combinant l’effet de l’effort normal et du moment de flexion : F Fhx3 + S I La plus grande valeur est obtenue en surface, soit pour x3 = h, en négligeant e devant h. Le béton est totalement en compression pour une valeur de h telle que : 1/2 F Fh2 I − + <0 soit h < S I S σ11 = −
10. Calculer successivement la rotation des sections et la flèche de la poutre. Comparer le degré des polynômes obtenus dans ce cas et en question 6. Quelle est la valeur de la flèche au centre ? Pourraiton trouver une valeur de F qui annule la flèche au centre, si on prend de nouveau en compte le poids propre ? La rotation des sections s’obtient en intégrant la quantité M/EI et en tenant compte des conditions aux limites aux extrémités de la poutre. On obtient successivement : dθ = Fh dx1 dV = −θ dx1
Fh (x1 − l) EI x2 Fh lx1 − 1 V= EI 2 θ=
Cette flèche est maximale au centre de la poutre et égale à Fhl 2 /2EI. Le polynôme obtenu est de degré 2 alors qu’il était de degré 4 à la question 6. En comparant la valeur obtenue avec la flèche de la question 6, on observe (en négligeant l’effet de l’effort tranchant) que la flèche totale s’annule en choisissant une valeur de F telle que : 5ql 2 F =− 12h Cette flèche ne peut être nulle sur toute la poutre puisque les degrés des polynômes définissant l’expression des flèches ne sont pas les mêmes. 11. Au cours du séchage, le béton se rétracte. On supposera ici simplement que ceci se manifeste par une variation ∆εS selon chaque composante diagonale du tenseur de déformation. En déduire la variation du profil de contrainte σ11 . Montrer que cela fait chuter la force de précontrainte, et indiquer quelle est la nouvelle valeur de la flèche.
240
CHAPITRE 13. ANNALES Fa = −Fb = −F
1
2
−Rb
Ra −Rb
u o u s
u
La figure ci-dessus montre le fonctionnement du système de mise en précontrainte dans un diagramme déplacement–force. Les cables d’acier ont une dimension au repos qui est plus courte par rapport à la structure béton. La différence de longueur est notée uO . Le zéro de l’axe des abscisses correspond à l’état initial du béton, si bien que l’état initial de l’acier est à l’abscisse u0 . On reporte en ordonnée la force dans l’acier, Fa , qui est en traction pendant la mise en charge, et opposée à la force dans le béton, Fb = F. La mise en charge de l’acier est donc représentée par le segment de droite qui part du point (u0 , 0) et qui rejoint le point (1), tandis que celle du béton joint l’origine à ce même point (1). La force qui sera obtenue vaut : Ra Rb u0 F= Ra + Rb Si le béton se rétracte, son nouvel état neutre dans ce même diagramme sera (us , 0). Le même raisonnement que précédemment conduit donc au point de fonctionnement (2), si bien que la chute de précontrainte, ∆F, vaut : Ra Rb ∆F = us Ra + Rb La valeur de us est simplement égale à l∆εs . En notant respectivement par Sa et Sb les sections de l’acier et du béton, puis Ea et Eb leur module de Young, on peut exprimer les raideurs, Ri = Ei Si /l (i = a, b), si bien que la formule précédente devient : ∆F =
Ea Eb Sa Sb ∆εs Ea Sa + Eb Sb
Comme la section du béton est bien plus grande que celle de l’acier, on peut approcher la chute de force de précontrainte par : ∆F = Ea Sa ∆εs Cette valeur de ∆F permet de déterminer la variation de la flèche. La variation de précontrainte selon σ11 correspondante sur le béton est quant à elle : ∆σ11 = Ea ∆εs
13.7.2
Problème : Cylindre en torsion
Voir la solution en 1997 !
Sa Sb
13.8. 6 JUIN 2005
241
13.8
6 juin 2005
13.8.1
Problème mécanique d’un fil pesant x2
lo A
O
B
x1
h ds
φ
On considère un fil pesant de longueur 2Lo dont la masse par unité de longueur est ρ. Le fil est suspendu entre les points A et B de distance 2lo . On recherche la forme du fil quand il n’est soumis qu’à son propre poids. Le seul effort dans le fil est la traction T . 1. Etablir l’équation d’équilibre pour un élément ds du fil. En tirer la relation entre s et α. L’équilibre d’un élément du fil s’écrit : → − − ρds→ g +d T = 0 On obtient ainsi : T cos α = H
T sin α = ρgs +V
où H et V représentent les réactions transversale et verticale aux appuis A et B. On obtient la relation entre s et α : ρg V Hdα tan α = s + ds = H H ρg cos2 α 2. En calculant x et y en fonction de α, montrer que la forme du fil vérifie l’équation : x y = ach + yo a où a et yo sont des constantes que l’on calculera. H En posant a = , il vient : ρg dx = ds cos α donc : x = a ln | tan On obtient finalement la forme du fil :
α π + | 2 4
dy = ds sin α
y=
a + yo cos α
x y = ach + yo a
3. Construire sans la résoudre l’équation qui permet de trouver a en fonction de la longueur Lo du fil. En déduire la flèche maximale ym et la valeur de yo .
242
CHAPITRE 13. ANNALES On a : ds =
p
dx2 + dy2 = dx
On trouve donc :
q x 1 + dy2 /dx2 = ch( )dx a
Z lo
x lo ch( )dx = ash( ) a a 0 Cette dernière équation n’a pas de solution analytique, mais, pour chaque valeur de lo et Lo , on peut trouver numériquement la valeur de a. On obtient ensuite : Lo =
yo = −ach
lo a
lo ym = a(1 − ch ) a
4. On suppose que l’allongement du fil est très petit, qu’il ne fait pas changer la valeur a trouvée dans la question précédente, et que le fil travaille toujours en élasticité. Calculer l’allongement ∆L du fil, en supposant que l’on a la valeur de a trouvée de la question précédente. On calcule d’abord les réactions aux appuis : H = ρga
V = ρgLo
L’effort normal dans le fil est alors : q T = ρg a2 + (s − Lo )2 L’allongement du fil est : ∆L = 2
Z Lo T 0
ρg ∆L = ES
ρg ds = 2 ES ES
Z Lo q 0
a2 + (s − Lo )2 ds
! q a 2 Lo a2 + Lo2 + a ln p a2 + Lo2 − Lo
5. Application numérique pour : lo = 1m, Lo = 1.5m, m = ρ/S = 7872kg/m3 , E = 200GPa, g = 9, 8. On obtient : a = 0.616m ym = −0.62m ∆L = 0.59mm :
13.8.2
Allongement mécanique et thermique d’un fil
lo B
A L C P
13.8. 6 JUIN 2005
243
On considère un système de deux fils (AC et BC) sur lequel est appliquée une charge P au point C. L’effet du poids propre est négligé. On chauffe l’ensemble depuis la température initiale To jusqu’à la température finale Tmax , puis on refroidit de nouveau à la température To . Un changement de phase se produit lors du chargement, et la transformation inverse lors de la décharge. La déformation de changement de phase a la forme : ε˙ cp = δ˙z∼I ∼ La variable z est fonction de la température T , lors du chauffage : z=0 z=T
T < As
si
As ≤ T ≤ A f
si
et lors du refroidissement : z = A f + Ms − T z=0
si
M f ≤ T ≤ Ms
si
T < Mf
Ms As
Af
z
O
Mf
Tmax
T
Le trajet de température se compose de trois phases (comme le montre la figure ci-dessous) : - le chauffage de To à Tmax linéairement selon le temps, de t = 0 à t = t1 ; - le maintien à température T = Tmax entre t = t1 à t = t2 ; - le refroidissement de Tmax à To , linéairement en fonction du temps, de t = t2 à t = t3 ;
T Tmax T0 O t1
t2 t3 t
Pendant le chaffage et le refroidissement, on considère qu’il n’y a pas de déformation plastique. La déformation plastique se produit lors du maintien de la température à Tmax : n σ p ε˙ = K(Tmax ) 1. On examine tout d’abord le problème mécanique simple, lorsque le fil n’est pas encore chauffé. A l’état initial, chaque fil est de longueur Lo . Sous l’effet du P, les fils s’allongent de ∆L = L − Lo . Calculer les efforts normaux ainsi que la contrainte σe et la déformation εe existant dans le fil en fonction de L. Calculer l’allongement ∆L du fil selon L. Etablir sans la résoudre l’équation qui permet de calculer L. L’effort normal dans le fil est :
PL T= p 2 L2 − lo2
244
CHAPITRE 13. ANNALES
La contrainte élastique est donc : σe = La déformation élastique : εe =
T PL = p S 2S L2 − lo2
σe PL p = E 2ES L2 − lo2
On a donc l’équation pour calculer L : L = Lo (1 +
PL p ) 2ES L2 − lo2
L’allongement est donc : ∆L = Lo
σe E
2. Dans les questions suivantes, on considère que L, εe et σe sont connus. On suppose alors que le fil subit une déformation libre√supplémentaire ε. Montrer que, si ε reste faible (ε < 0.02) et si le rapport L/lo est assez grand (L/lo > 2), la variation de la contrainte dans le fil est négligeable. Si le fil subit une déformation ε, la longueur du fil est : L0 = L(1 + ε) La contrainte dans le fil est donc : σe = Avec L/lo =
√ 2 et ε = 0.02, on trouve : ∆σe =
PL(1 + ε) p 2S L2 (1 + ε)2 − lo2
PL(1 + ε) PL p − p 2 2 2 2S L (1 + ε) − lo 2S L2 − lo2
∆σe = −0.0188 σe On peut donc considérer la contrainte constante. √ 3. On considère que L/lo > 2. Ecrire la loi de comportement. Calculer la déformation totale puis l’allongement du fil à la fin du chargement de To à Tmax . Dans la première étape, il n’y a pas de déformation plastique. On a : ε˙ = ε˙ e + ε˙ th + ε˙ cp De To à As : ε˙ = ε˙ th = αT˙ PL p εAs = + α(As − To ) 2ES L2 − lo2 De As à A f : ε˙ = ε˙ th + ε˙ cp = αT˙ + δ˙z∼I εA f =
PL PL p + α(A f − To ) + δ(A f − As ) p 2 2 2ES L − lo 2S L2 − lo2
De A f à Tmax : εs =
PL PL p + α(Tmax − To ) + δ(A f − As ) p 2ES L2 − lo2 2S L2 − lo2
13.8. 6 JUIN 2005
245
L’allongement du fil est donc : ∆L = L(
PL PL p + α(Tmax − To ) + δ(A f − As ) p ) 2 2 2ES L − lo 2S L2 − lo2
4. Calculer la déformation totale puis déduire l’allongement du fil à la fin de la maintenance de T = Tmax . Dans cette deuxième étape, on a seulement la déformation plastique : ε˙ = ε˙ p Z t2 n σ dt ε f − εs = K t1 e n σ ε f = εs + (t2 − t1 ) K 5. Calculer la déformation totale puis déduire l’allongement du fil à la fin de la décharge de Tmax à To .
13.8.3
Allongement de transformation de phase d’un fil
On considère le même système et les résultats des questions 1 et 2 de l’exercice précédent. A la fin du refroidissement, le matériau subit un changement de phase. On suppose que la transformation produit une déformation de transformation telle que : 3 ε˙ pt = β(1 − z)˙z∼s 2 et une déformation de changement de phase : ε˙ cp = δ˙z∼I dont la variable z est en fonction du temps t, telle que : z = zmax (1 − exp (−(t ∗ /τ)n ))
z z max
O
t
On note par εtot la déformation totale finale de l’exercice précédent. On rappelle que : I = traceσ .1 ∼ ∼ ∼ 1 − traceσ s=σ .1 ∼ ∼ ∼ ∼ 3 Ecrire la loi de comportement qui représente la vitesse de déformation totale selon vitesse de déformation de changement de phase et vitesse de déformation de transformation. Calculer la déformation du fil en fonction du temps.
246
CHAPITRE 13. ANNALES On a : ε˙ = ε˙ pt + ε˙ cp ε˙ = (δ + β(1 − z))˙zσ tot
ε=ε
Z z(t)
+
σ(δ + β(1 − z))dz
zmax
ε = εtot + σ(δz + βz − β
z2 z(t) )|z 2 max
L’allongement final est donc : ∆L = Lo ε
13.8.4
Conséquences mécaniques des transformations de phase
On a réalisé la simulation numérique de quatre essais de traction pendant lesquels se produit un changement de phase. Dans la mesure où vous avez peu de temps pour résoudre cet exercice, on a supposé que le comportement est simplement élastique, ce qui n’est pas très réaliste d’un point de vue physique, mais pragmatique pour l’examen. On suppose que la transformation obéit à une loi de Johnson–Mehl–Avrami. Le but est d’expliquer quantitativement les phénomènes observés. Elasticity with phase transformation 1600
35s 50s 100s 200s
1400 1200 1000
sig11
800 600 400 200 0 -200 -400
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
eto11
Les essais sont réalisés en vitesse de déformation imposée, et en isotherme, de façon à atteindre une déformation de 1% en un temps t f , qui prend respectivement les valeurs 35, 50, 100 et 200s. Le modèle de la transformation comporte une première partie, de germination, pendant laquelle il n’y a aucun effet apparent au niveau macroscopique, et qui, à une température T dure un temps τg (T ). Le changement de phase lui-même débute donc lorsque cette période est achevée ; l’apparition de la nouvelle phase est quantifiée par une variable z, variant de 0 à zmax , selon l’équation suivante, pour une température donnée (t est le temps depuis le début de l’expérience, et t ∗ = t − τg ) : z = zmax (1 − exp (−(t ∗ /τ)n )) L’effet mécanique est réduit à une augmentation de volume, proportionnelle à z, de composantes δz sur la diagonale du tenseur de dilatation. Les calculs ont été effectués avec les valeurs suivantes des coefficients matériau (où E désigne le module de Young) :
E 200000
δ 0.0033
τg 20
n 2
τ 10
zmax 1
13.9. 9 JUIN 2006
247
1. Dire quelles sont les unités des différents coefficients E est en MPa, τ et τg sont en secondes, les autres coefficients sont sans unité. 2. On note respectivement σ et ε la contrainte et la déformation totale dans la direction de traction. Ecrire la loi de comportement qui relie σ, ε et z. Caractériser le décalage entre les deux droites de la figure précédente. La déformation totale est la somme de la dilatation de changement de phase et de la déformation élastique, soit ε = δz + σ/E. Les deux droites de la figure sont décalées horizontalement d’une quantité δ. 3. Exprimer la vitesse de changement de phase z˙ pendant la période de croissance (t > τg ). La dérivation de l’expression de z fournit : (n−1)/n n z z˙ = (zm − z) −ln 1 − τ zm 4. Quelle est la condition sur t f pour que l’effet de la transformation soit invisible pendant l’essai ? Il suffit bien entendu que l’essai soit terminé avant la fin de la germination, soit t f < τg 5. Quelle est la condition sur t f pour que la courbe de traction soit toujours croissante ? Il faut s’assurer que la vitesse de contrainte reste toujours positive. Pour cela, il suffit que, pour tout ˙ z, ε − δ˙z > 0. L’expression de la dérivée de z est donnée en question 2 ; la vitesse de déformation totale est égale à 0, 01/t f . 6. Quelle est la condition sur t f pour que la contrainte passe par des valeurs négatives au cours de l’essai ? Il faut vérifier que, lorsque la vitesse de contrainte s’annule, la contrainte est exactement égale à 0. Ceci fournit une borne supérieure pour t f .
13.9
9 juin 2006
13.9.1
Homogénéisation en élasticité linéaire
Les relations de l’élasticité linéaire isotrope peuvent s’écrirent comme deux relations de proportionnalité, respectivement entre les parties sphériques et les déviateurs des tenseurs des contraintes et de déformations. σll = 3κεll si j = 2µei j (ou ∼s = 2µe∼ ) (13.1) 1. Exprimer le tenseur d’élasticité Λ (tel que σ =Λ : ∼ε en fonction de κ et µ, et des tenseurs K et J≈ ∼ ≈ ≈ ≈ tels que K : ∼ε = ≈
1 εll I 3 ∼
J≈ : ∼ε = ∼e
où ∼I est le tenseur unité du second ordre. Les composantes du tenseur des contraintes s’écrivent : 1 σi j = si j + σll δi j = 2µei j + κεll δi j 3
(13.2)
248
CHAPITRE 13. ANNALES
Par conséquent : σ = (2µJ≈ + 3κK ) : ∼ε ∼ ≈
2. Donner les expressions des composantes des tenseurs K et J≈ , notées respectivement Ki jkl et Ji jkl . ≈ Les composantes des tenseurs K et J≈ sont : ≈ Ki jkl = Ji jkl
=
1 3 δi j δkl 1 2 (δik δ jl
+ δil δ jk ) − 31 δi j δkl = Ii jkl − Ki jkl
3. Donner les valeurs numériques des invariants Kii j j , Ki ji j , Jii j j , Ji ji j Les relations de la question précédente permettent d’établir : Kii j j = 3
Ki ji j = 1
Ji ji j = 5
Jii j j = 0
On veut maintenant utiliser les résultats de la partie précédente pour trouver les propriétés homogènes équivalentes d’un matériau constitué de fibres orientées de façon aléatoire, la probabilité de présence étant uniforme pour toutes les directions de l’espace. Chaque fibre est définie par sa direction n f et son module d’élasticité E f . On suppose que le comportement de ces fibres est uniaxial, si bien que, pour une f et de déformation, ε f s’expriment simplement : fibre de direction n f , les tenseurs de contraintes, σ ∼ ∼ f σ = σf nf ⊗nf ∼
εf = εf nf ⊗nf
∼
(13.3)
avec σ f = E f ε f . f On note Λ le tenseur d’élasticité de la fibre f : ≈ f f σ =Λ : εf ∼ ≈
(13.4)
La fraction volumique de fibres est f. On applique sur l’assemblage une déformation homogène aux frontières, représentée par le tenseur ∼ε. On se propose d’évaluer le tenseur du milieu homogène équivalent Λ . ≈ f f 4. Montrer que Λ se met sous la forme Λ = Ef nf ⊗nf ⊗nf ⊗nf . ≈ ≈ f On va vérifier que la forme suggérée pour le tenseur Λ convient. Sous forme indicielle, on a : ≈ f
f
f
f
σi j = E f ni n j nk nl εkl f f f f f f = E f ni n j nk nl ε f nk nl f f = σ f ni n j qui correspond à la forme du tenseur donné. 5. Justifier l’expression suivante, dans laquelle < . > représente l’opération de moyenne : f Λ = f <Λ > ≈ ≈
On effectue l’opération de moyenne sur le volume des fibres. Le terme multiplicatif f vient ensuite du rapport entre le volume de matière et celui de l’élément de volume total.
13.9. 9 JUIN 2006
249
f > si on connait < n f ⊗ n f ⊗ n f ⊗ n f >. Comme la distribution des 6. On obtiendra facilement < Λ ≈
orientations est aléatoire, ce dernier tenseur est nécessairement un tenseur isotrope, que l’on pourra identifier à celui qui a été trouvé à la question 1, avec des valeurs de µ et κ à identifier. Déterminer ces deux valeurs en calculant les deux invariants < ni ni n j n j > et < ni n j ni n j >. On calcule les invariants Λii j j et Λi ji j : Λii j j = 2µJii j j + 3κKii j j = 9κ = Λi ji j = 2µJi ji j + 3κKi ji j = 10µ + 3κ = On en déduit : κ=
f Ef 9
µ=
f < ni ni n j n j > = f < ni ni n j n j > =
f f
f Ef 15
8. Calculer enfin le module de Young et le coefficient de Poisson du milieu homogène équivalent en utilisant les expressions : 1 1 1 3k − 2µ = + ν= (13.5) E 3µ 9k 6k + 2µ Le module de Young vaut donc E = f E f /6. Le coefficient de Poisson est indépendant de f et de E f , il vaut 0,25.
13.9.2
Viscoplasticité cristalline
En plasticité cristalline, le glissement cristallographique est un mécanisme élémentaire produisant de la déformation plastique par translation de réseau atomique selon certains plans, dits plan de glissement, selon certaines directions, les directions de glissement. Un système de glissement s est ainsi caractérisé par le couple (ns , ms ), le premier vecteur déterminant le plan de glissement, le second la direction de glissement. On va dans un premier temps étudier la forme de la déformation plastique ou viscoplastique attachée à un système de glissement, puis on cherchera à caractériser le fluage d’un monocristal de glace. Dans l’un et l’autre cas, on se place dans le formalisme des petites perturbations. 1. On suppose qu’un système de glissement s reste dans son domaine élastique si la valeur absolue de la cission τs sur ce système reste inférieure à une certaine valeur critique τc : f s (τs ) = |τs | − τc
(13.6)
s et ms = 1 (ns ms + ns ms ). avec τs = σ :m ij j i 2 i j ∼ ∼ Comparer τs avec le cisaillement en direction ms dans la facette de normale ns .
La cission τs correspond au cisaillement en direction ms dans la facette de normale ns . 2. En reprenant le formalisme développé dans le cours de plasticité indépendante du temps classique, indiquer quelles sont maintenant les conditions correspondant au domaine d’élasticité, à la décharge élastique et à l’écoulement plastique. Donner l’expression géométrique de ∼ε˙ p en introduisant un multiplicateur plastique. Le domaine élastique est caractérisé par f s < 0, la décharge élastique par f s = 0 et f˙s < 0, l’écoulement plastique par f s = 0 et f˙s = 0. L’expression de ∼ε˙ p est donnée par s
˙s ∂f ε˙ p = λ ∼ ∂σ ∼ ˙ s est un multiplicateur plastique. où λ
250
CHAPITRE 13. ANNALES
3. Dans toute la suite, on travaillera en viscoplasticité, en postulant l’expression suivante pour le potentiel viscoplastique du système s : s n+1 K f s Ω(τ ) = n+1 K où K et n sont des paramètres matériau caractérisant la viscosité et où < . > désigne la partie positive : < x >= max(x, 0). A quelle condition a-t-on de l’écoulement viscoplastique, et quelle est l’expression de celui-ci ? L’écoulement viscoplastique a lieu lorsque f s > 0. L’expression de l’écoulement est obtenue en utilisant la relation ∂Ω/∂σ . On obtient ainsi : ∼ s n s ∂Ω ∂ f s f ∂f ∂Ω p = s = ε˙ = ∼ ∂σ ∂ f ∂σ K ∂σ ∼ ∼ ∼ Comme s f s = |τs | − τc = |m :σ | − τc ∼ ∼
Il vient : p
ε˙ =
∼
fs K
n
s m signe(τs ) ∼
4. Montrer que le mécanisme étudié représente bien un écoulement plastique ou viscoplastique sans variation de volume. s) = Le mécanisme étudié s’effectue bien sans variation de volume puisque trace(˙∼ε p ) = 0, car trace(m ∼ 0 5. On définit un système de glissement dans le repère du cristal (X1 , X2 , X3 ) par : 0 1 0 0 0 0 m = n = 1 0 0 dans le même repère. Calculer τ0 pour un tenseur appliqué σ. Calculer l’expression du tenseur m ∼ ∼ 0 se calcule grâce à la relation ms = 1 (ns ms + ns ms ). On obtient : Le tenseur m ij j i 2 i j ∼ 0 0 1/2 0 0 0 0 m = ∼ 1/2 0 0
La cission τ0 se déduit de la relation τ0 = σ :m et est égal à σ13 . ∼ ∼ 6. Tracer la forme de la surface de charge dans le plan (σ13 − σ23 ), le tenseur des contraintes étant exprimé dans le repère (X1 , X2 , X3 ). La surface de charge s’écrit f s (τs ) = |σ13 | − τc . Par conséquent, sa forme dans le plan (σ13 − σ23 ) est constituée par deux droites d’équations σ13 = ±τc . 7. La glace est un matériau de structure hexagonale compacte qui glisse selon trois systèmes dans le plan (X1 , X2 ), appelé plan de base. Outre le système s0 présenté en question 5, on observe les systèmes s1 et s2 tels que : 1/2 −1/2 √ √ n1 = n2 = n0 m1 = 3/2 m2 = 3/2 0 0
13.9. 9 JUIN 2006
251
Les directions de glissement font un angle (s.π/3) avec le premier axe cristallographique X1 (s=0,1,2). Calculer m et m dans le repère cristallographique. ∼2 ∼3 Dans le repère cristallographique, on a : 0 0 1/4 √ 1 3/4 m = 0 √0 ∼ 1/4 3/4 0
0 0 −1/4 √ 2 3/4 m = 0 ∼ √0 −1/4 3/4 0
8. Donner la forme de la surface de charge, formée par les 3 systèmes, dans le plan (σ13 − σ23 ). La surface de charge est définine par les trois fonctions de charges f s , définies pour s = 0, 1, 2 : f 0 (τs ) = |σ13 | − τc √ f 1 (τs ) = |σ13 /2 + 3σ23 /2| − τc √ f 2 (τs ) = | − σ13 /2 + 3σ23 /2| − τc Par conséquent, la forme de la surface de charge susceptible d’activer les 3 systèmes est la suivante : σ 23 2 τc / 3
−2τ c
−τ c
τc
τc
σ 13
Surface de charge pour les trois systèmes
9. On fabrique un cylindre de glace de section circulaire de rayon R, formé d’un seul monocristal, l’axe du cylindre étant confondu avec X3 , et le repère de charge étant confondu avec le repère cristallographique. On soumet ce cylindre à une torsion autour de X3 . On admet que l’état de contraintes est indépendant de X3 . On repère un point M de la section circulaire en coordonnées polaires, par un couple (r, ϕ), l’angle ϕ étant nul sur l’axe X1 . Dans ce cas, les seuls termes non nuls du tenseur des contraintes sont : σ13 = σ31 = −T sin ϕ
σ23 = σ32 = T cos ϕ
où T désigne l’intensité du cisaillement, qui est proportionnelle à r et à l’angle de torsion en élasticité. On considère alors les écoulements viscoplastiques à la sortie du domaine d’élasticité, en négligeant les éventuelles redistributions de contraintes liées à l’écoulement viscoplastique. En traitant par exemple le cas du système s0 , dire quels sont les endroits de la section où commence le glissement lorsqu’on augmente progressivement T ? Exprimer T en fonction de τc à cet instant. On considère le cas du système s0 . Le critère ne fait intervenir que la composante σ31 du tenseur, et le seuil est atteint lorsque τc = |T sin ϕ|. Les points les plus critiques sont donc ceux pour lesquels le sinus vaut ±1. Par conséquent, le glissement apparaît au niveau du rayon extérieur du cylindre, au point G tel que ϕ = −π/2 et au point diamétralement opposé. Par raison de symétrie, on trouve finalement que l’écoulement viscoplastique apparaît en six points de la circonférence, qui sont distribués tous les 60 degrés, comme l’indique la figure suivante. Le seuil est atteint dès que T = τc .
252
CHAPITRE 13. ANNALES X2
3 X 2
G
1
1
Structure de la glace : les 3 systèmes de glissement
10. Si on utilise une valeur T0 de T plus grande que la valeur de la question précédente, calculer en fonction de T et de τc l’élargissement de la zone plastique. La taille de la zone plastique est caractérisée par un angle β, tel que la cission critique τc soit atteinte en bord de zone. En considérant par exemple le système de glissement s0 , la condition s’écrit : τc T0 sin(β) = τc soit β = arcsin T0 L’étendue de la zone plastique est donnée par l’angle α =
π − β. 2
11. En déduire les conditions sur T pour qu’il y ait, en chaque point de la circonférence du cylindre : – au moins un système actif – deux systèmes actifs. Pour qu’un système soit actif, il suffit que les zones plastiques se rejoignent, ce qui est réalisé lorsque √ l’angle α est égal à π/6, soit β = π/3. Ceci correspond à une valeur du cisaillement T1 de T1 = 2τc / 3. Pour obtenir partout deux systèmes actifs, l’angle α doit être égal à π/3, soit β = π/6, ce qui correspond à une valeur T2 = 2τc . 12. En considérant l’état de contrainte au point caractérisé par ϕ :
0 0 −T sin ϕ 0 0 T cos ϕ −T sin ϕ T cos ϕ 0 Calculer successivement, pour chaque système s0 , s1 , s2 : – les cissions τ0 , τ1 , τ2 – les vitesses de glissement v˙0 , v˙1 , v˙2 p p – les composantes des vitesses de déformations viscoplastiques ε˙ 13 , ε˙ 23 p 2 p 2 1/2 – l’expression de la norme de la vitesse de déformation plastique k∼ε˙ p k = 43 ((ε˙ 13 ) + (ε˙ 23 ) ) s (s = 0, 1, 2). Les vitesses de glissement Les cissions sont calculées à partir de la relation τs = σ :m ∼ ∼ n vs sont déterminées par la relation h f s /Ki signe(τs − τc ). Enfin, les composantes des vitesses de déformations viscoplastiques se calculent à l’aide de la formule ∼ε˙ p = ∼ε˙ 0p + ∼ε˙ 1p + ∼ε˙ 2p . On obtient les résultats suivants : π π τ0 = T sin ϕ τ1 = T sin ϕ − τ2 = T sin ϕ + 3 3 s n τ − τc v˙s = avec s = 0, 1, 2 K
13.10. 4 JUIN 2007
253 n n n 1 |τ0 | − τc 1 |τ1 | − τc 1 |τ2 | − τc = + − 2 K 4 K 4 K √ 1 n √ 2 n 3 |τ | − τc 3 |τ | − τc p + ε˙ 23 = 4 K 4 K
p ε˙ 13
13.10
4 juin 2007
13.10.1
Etude de modèles de fatigue à grand nombre de cycles
Un élément de volume de matière est sollicité en régime de fatigue à grand nombre de cycles (High Cycle Fatigue, ou HCF) lorsqu’on lui applique un chargement cyclique de faible amplitude, en général nettement en dessous de la limite d’élasticité. Dans ces conditions, des microfissures peuvent se développer en son sein. Si le chargement est suffisamment faible, ces petites fissures, dont la taille est comparable à celle de la microstructure environnante (fibres pour les matériaux composites, grains pour les matériaux métalliques), vont voir leur progression stoppée après quelques dizaines de micromètres au plus. On peut donc appliquer un très grand nombre de cycles, de l’ordre de 107 , sans rompre l’élément de volume. Au contraire, si l’une des fissures s’échappe et devient géométriquement significative, elle conduit à la rupture de l’élément de volume. La frontière entre les deux cas correspond à la limite de fatigue, qui est une donnée fondamentale dans la plupart des opérations de conception des pièces mécaniques. Dans la mesure où les sollicitations appliquées sont en général complexes, il faut être capable de définir cette limite de fatigue sous conditions de chargement multiaxial, donc définir un critère de fatigue. Cet exercice se propose d’étudier deux critères de fatigue, formulés respectivement par Sines (en 1955) et Crossland (en 1956). Les deux modèles définissent une valeur de critère, fs pour le critère de Sines, fc pour le critère de Crossland, fonctions à valeur scalaire qui dépendent de l’historique du tenseur de contraintes sur un cycle. La limite de fatigue est atteinte dès que cette valeur dépasse zéro. On pose : 1 fs (σ ) = ∆J + bs Imoy − σl ∼ 2 1 ) = (1 − bc )∆J + bc Imax − σl fc (σ ∼ 2
Dans ces formules, ∆J/2 est une amplitude de cisaillement octaédrique, calculée en prenant le maximum de la variation de l’invariant de von Mises pour tous les couples d’instants du cycle (ti , t j ), Imax le maximum de la trace du tenseur des contraintes au cours du cycle, Imoy la moyenne arithmétique de la trace du même tenseur. On a donc : ∆J =Maxti ,t j J(σ (t ) − σ (t j )) ∼ i ∼ 1/2 3 J(σ )= s:s (avec ∼s déviateur de σ ) ∼ ∼ 2∼ ∼ et : Imax =Maxti I(σ (t )) ∼ i 1 (t )) + Mint j I(σ (t j )) Imoy = Maxti I(σ ∼ i ∼ 2 Les paramètres bs , bc et σl , dépendent du matériau considéré, et doivent être identifiés en utilisant des résultats expérimentaux.
254
CHAPITRE 13. ANNALES
1. On désigne : – par A un chargement alterné à contrainte imposée en traction-compression : seul le terme σ11 du tenseur de contraintes est non nul ; le chargement varie entre −σmax et σmax ; – par B un chargement répété à contrainte imposée en traction-compression : seul le terme σ11 du tenseur de contraintes est non nul ; le chargement varie entre 0 et σ0max ; – par C un chargement alterné à contrainte imposée en cisaillement : seuls les termes σ12 = σ21 du tenseur de contraintes sont non nuls ; le chargement varie entre −τmax et τmax . Pour chacun de ces chargements, donner dans un tableau les valeurs de ∆J/2, Imoy , Imax en fonction des caractéristiques du chargement, et en déduire les expressions de fs et fc . ∆J/2
Imoy
Imax
fs
fc
A
σmax
0
σmax
σmax − σl
σmax − σl
B
σ0max /2
σ0max /2
σ0max
C
√ τmax 3
0
0
1 + bs − σl 2 √ τmax 3 − σl
σ0max
1 + bc − σl 2 √ (1 − bc )τmax 3 − σl σ0max
2. Expliquer pourquoi on ne peut pas identifier le critère de Sines avec des essais de type A et C uniquement, alors que l’opération est possible avec le critère de Crossland. Préciser le sens physique du paramètre σl . Les expressions du critère de Sines en traction alternée et en cisaillement alterné ne font pas intervenir le paramètre bs . Celui-ci ne peut donc pas être déterminé si on ne dispose que d’essais de type A et C . L’autre conséquence de cette particularité est que le rapport des limites de fatigue prévues par le critère √ pour A et C est fixe, et égale à 3. Si cette propriété n’est pas vérifiée par le matériau que l’on considère, le critère de Sines ne pourra pas approcher la donnée expérimentale. Au contraire, le paramètre bc est présent dans l’expression du critère de Crossland pour C , ce qui permet d’étalonner totalement le critère. Les deux critères ont la même expression dans le cas A : le paramètre σl correspond à la limite de fatigue en traction/compression alternée lorsque le rapport R = σmax /σmin vaut −1. 3. On réalise des essais de type A et B , qui permettent d’obtenir expérimentalement les valeurs des contraintes maximales σl et σ0l caractérisant respectivement la limite de fatigue dans chaque cas. Exprimer les paramètres bs et bc en fonction de σl et σ0l . On vient de voir que chacun des critères est étalonné pour redonner directement σl pour le cas A . L’utilisation de la donnée expérimentale obtenue dans le cas B permet d’obtenir la valeur des paramètres bs et bc , qui ont la même expression. On trouve ainsi pour bs : σ0l
1 + bs − σl =0 2
si bien que : bs =
2σl − σ0l σ0l
Les critères s’expriment donc finalement : ∆J + (2σl − σ0l )Imoy − σl σ0l 2 ∆J fc =2(σ0l − σl ) + (2σl − σ0l )Imax − σl σ0l 2 fs =σ0l i
13.10. 4 JUIN 2007
255
On retrouve le fait que les deux critères sont équivalents lorsque 2σl = σ0l , puisqu’il n’y a pas d’influence de la contrainte moyenne dans ce cas. 4. Calculer en fonction de σl et σ0l la limite de fatigue en cisaillement alterné prévue par chacun des critères. On a déjà vu que la valeur τls prévue par le critère de Sines est : √ τls 3 = σl Pour le critère de Sines, la valeur est reliée à la fois à σl et à σ0l : √ τlc 3 =
σl σ0l 2(σ0l − σl )
5. On suppose que σl =130 MPa, et σ0l =200 MPa. Tracer la frontière du critère de Sines dans un plan où l’on portera respectivement en abscisse et en ordonnée Imoy et ∆J/2. Placer sur cette frontière les points représentatifs des chargements de type A , B et C . Les valeurs précédentes conduisent à : fs =
∆J + 0, 3Imoy − 130 2
La courbe représentative dans le plan (Imoy , ∆J/2) est donc une droite de pente −0, 3 et d’ordonnée à l’origine 130 MPa, la zone «dangereuse» se situant au-dessus de cette courbe.
140
∆J/2 (MPa)
A, C 120
B
100
80 0
50
Imoy (MPa)
100
150
6. Reprendre la question précédente pour le critère de Crossland, dans le plan Imax –∆J/2. Les valeurs précédentes conduisent à : fs = 0.7
∆J + 0.3Imax − 130 2
Dans le plan (Imax , ∆J/2), la courbe de fonctionnement est donc la droite d’équation : ∆J = 185.7 − 0.4286Imax 2
256
CHAPITRE 13. ANNALES
200
C
160
∆J/2
A
120
B 80 0
40
80
Imax
120
160
200
7. Quelles valeurs de τ0l en cisaillement répété (entre 0 et τmax ) prévoient chacun des critères ? Aucun des deux critères ne prévoit d’influence du cisaillement moyen sur la limite de fatigue, ce qui correspond d’ailleurs aux observations expérimentales. En conséquence, l’amplitude de contrainte de cisaillement acceptable en chargement de cisaillement répété est la même que celle qui est acceptable en chargement alterné : τ0l = 2τl 8. Quelles valeurs de limite de fatigue prévoient chacun des critères en traction biaxiale, pour des chargements alternés (Σl ), et pour des chargements répétés (Σ0l ) (les contraintes σ11 = σ22 variant respectivement entre −σmax et σmax , ou entre 0 et σ0max ) ? On calcule les valeurs de ∆J/2, Imoy et Imax et on les substitue dans les expressions des critères déduites en A.3 : ∆J/2
Imoy
Imax
Sines
Crossland
Σl
σmax
0
2σmax
σl
σ0l /2
Σ0l
σ0max /2
σ0max
2σ0max
2σl σ0l 4σl − σ0l
σl σ0l 3σl − σ0l
L’application numérique donne alors : – Sines : Σl = 130 MPa, Σ0l =162.50 MPa ; – Crossland : Σl = 100 MPa, Σ0l =136.84 MPa.
13.10.2
Poutre soumise à son propre poids
On considère une poutre dont la section S, située dans le plan x2 x3 , est symétrique par rapport aux axes x2 et x3 ; elle a pour longueur 2L, et sa ligne neutre est confondue avec l’axe x1 (−L 6 x1 6 L). Elle est soumise à son propre poids — on note ρ la masse volumique et −ge3 l’accélération de la pesanteur, si e3 est le vecteur unitaire de l’axe 3 — et simplement posée sur deux appuis simples, situés respectivement en −l et +l (avec l < L). On note par I le moment quadratique principal autour de x2 et par E le module d’Young. 1. Caractériser l’effort extérieur réparti sur la poutre, que l’on notera p. Quelle est son unité ?
13.10. 4 JUIN 2007
257
L’effort réparti sur la poutre n’est dû qu’à son poids et s’exprime en N/m. Son intensité est donnée par : p = ρgS 2. Ecrire les équations qui permettent de trouver successivement l’effort tranchant T , le moment de flexion M, l’angle de rotation des sections de la poutre θ et la flèche v, dans le cadre de la théorie de Timoshenko. Dans la cadre de la théorie de Timoshenko, on a les relations suivantes : T,1 + p =0 M θ,1 = EI
M,1 − T =0 T v,1 = − θ µS
3. Définir l’ensemble des conditions aux limites, en indiquant en particulier à quels endroits T , M, θ et V sont nuls. La poutre étant en appui simple, l’effort tranchant T est nul à ses extrémités (en x1 = ±L). Le moment de flexion M est lui aussi nul aux extrémités (M(−L) = M(L) = 0) et devra être continu au niveau des appuis. L’angle de rotation θ s’annule au milieu de la poutre, au niveau de la flèche maximale θ(L) = 0 et sera continu au niveau des appuis. Enfin, la flèche V sera nulle au niveau des appuis (V (±l) = 0). 4. Résoudre le système d’équations et donner la valeur de la flèche au centre de la poutre. Comment celle-ci varie-t-elle en fonction du rapport l/L ? Il suffit de calculer une demi-poutre pour évaluer la flèche, de x1 = −L à x1 = 0. Le calcul de l’effort tranchant donne : x1 ∈ [−L, −l] : T (x1 ) = −p(x1 + L) x1 ∈ [−l, 0] : T (x1 ) = −px1
Où l’on vérifie qu’en x1 = −l il y a une discontinuité d’amplitude pL correspondant à la réaction de l’appui. On en déduit le moment fléchissant : x12 L2 + Lx1 ) − p 2 2 x12 L2 x1 ∈ [−l, 0] : M(x1 ) = −p + p(lL − ) 2 2
x1 ∈ [−L, −l] : M(x1 ) = −p(
On peut ensuite intégrer l’angle de rotation θ – il suffira de l’intégrer pour x1 ∈ [−l, 0] pour calculer la flèche maximale : x13 1 L2 x1 ∈ [−l, 0] : θ(x1 ) = −p + px1 (lL − ) EI 6 2 On dispose enfin de tous les éléments pour évaluer la flèche. On trouve alors : (l 2 − x12 ) p x1 ∈ [−l, 0] : V1 (x1 ) = p + 2µS EI
x14 − l 4 (l 2 − x12 ) L2 − (lL − ) 24 2 2
258
CHAPITRE 13. ANNALES
La constante d’intégration de cette dernière équation donne l’expression de la flèche maximum pour x1 = 0, à savoir : 4 pl 2 p l2 L2 l Vmax = + − + (lL − ) 2µS EI 24 2 2 Selon la valeur de l, la déformée de la poutre change de convexité et donc la flèche de signe. Le point d’équilibre –flèche nulle– est obtenu pour une valeur l0 de l solution de 0=
l2 Ll L2 1 − + − 2µS 24EI 2EI 4EI
Si on néglige la contribution de l’effort tranchant (terme 1/2µS), on trouve plus simplement : √ l0 = 6 − 30 ≈ 0.523 L Lorsque les appuis sont rapprochés (rapport l/Ls inférieur à la valeur ci-dessus), le mouvement du milieu de la poutre est dans la direction opposée à celle définie par la pesanteur.
13.10.3
Etude de l’écrouissage latent x2 x’2
x2
x’1
x’2 x1
x’1
x1
a. Précisaillement b. Traction x10 c. Traction x20 Figure 1 : Les différents chargements imposés, (a) préchargement en cisaillement sur la plaque ; (b), (c) traction sur spécimens redécoupés suivant x10 ou x20 Au cours des procédés de mise en forme, les matériaux peuvent être sollicités suivant des trajets de chargement complexes. On étudie ici l’exemple d’une procédure expérimentale où interviennent des chargements en cisaillement et traction, et qui permet de caractériser l’écrouissage latent, ou écrouissage produit dans un mode de chargement par un chargement antérieur. Dans le cas étudié, le chargement initial est un cisaillement, réalisé sur un montage de double cisaillement, au moyen duquel deux plaques sont sollicitées en déformation imposée monotone selon la composante 12 jusqu’à ε12 = γm /2 (fig.1a), dans le repère (x1 x2 ) de vecteurs directeurs e1 et e2 . Dans ce repère, on suppose que 12 et 21 sont les seules composantes non nulles des tenseurs de déformation et de contrainte. On redécoupe ensuite de petits spécimens, respectivement selon les directions x10 et x20 , dont les vecteurs directeurs e01 et e02 sont tels que (e1 ,e01 )=π/4, et (e2 ,e02 )=π/4. Le but du problème est de comprendre les réponses au cours des étapes (b) et (c) du chargement, et leurs différences éventuelles. Dans l’ensemble du problème, on se place dans une hypothèse de contrainte plane, si bien que les composantes 13, 23 et 33 du tenseur de contraintes sont nulles. Le comportement élastique est isotrope, caractérisé par le module d’Young E, le coefficient de Poisson ν, ou le module de cisaillement µ = E/(2(1 + ν)). Le comportement plastique sera considéré successivement comme : – isotrope linéaire, avec un critère dépendant de la variable scalaire R telle que : f (σ , R) = J(σ ) − R − σy ∼ ∼
13.10. 4 JUIN 2007
259
dans lequel σy désigne la limite d’élasticité initiale, et où R dépend linéairement de la déformation plastique cumulée p au travers du module d’écrouissage H : R(p) = H p
avec
p˙ =
2 p p ε˙ : ε˙ 3∼ ∼
1/2
– cinématique linéaire, avec un critère dépendant de la variable tensorielle X∼ telle que : f (σ , X ) = J(σ − X∼ ) − σy ∼ ∼ ∼ dans lequel σy désigne la limite d’élasticité initiale, et où X∼ dépend linéairement de la déformation plastique ∼ε p au travers du module d’écrouissage H : 2 X∼ = Hε∼ p 3 Dans chaque cas, la vitesse de déformation plastique est portée par la normale au domaine d’élasticité, ˙ par : n∼ = ∂ f /∂σ , et s’exprime en fonction du multiplicateur plastique λ ∼ ˙ ε˙ p = λn ∼
∼
avec
˙ ˙ = n∼ : σ ∼ λ H
Intégration du modèle dans le repère (x1 x2 ) 1. On se place dans le repère (x1 x2 ), et on considère le comportement plastique isotrope linéaire. Donner successivement les expressions du déviateur ∼s , de p l’invariant de von Mises J, de la normale n∼ et de la composante ε˙ 12 du tenseur vitesse de déformation plastique. On utilisera la notation σ12 = τ. On a ici : 0 τ 0 s=σ = τ 0 0 ∼ ∼ 0 0 0 √ J = 3τ √ 3 s n∼ = 2τ ∼ √ ˙ = 3 τ˙ λ H 3˙ τ p ε˙ 12 = 2H
√ 2. Intégrer l’expression précédente jusqu’à la valeur τm de τ (on suppose que τm 3 > σy ) et donner la valeur de déformation plastique atteinte. La déformation plastique démarre lorsque f (σ ) = 0, c’est-à-dire ici quand τ = ∼ p ε12
3 = 2H
σy τm − √ 3
σ √y . 3
Il vient alors :
3. Calculer à ce point la valeur de la déformation élastique, et en déduire la relation entre τm et γm .
260
CHAPITRE 13. ANNALES La déformation élastique pour un corps isotrope est donnée par : ∼εe =
ici :
ν 1+ν σ − trσ I . On a donc E ∼ E ∼∼
1+ν τm E La déformation totale γm est la somme des contributions élastique et plastique. Il vient alors : σy 2(1 + ν) 3 γm = τm + τm − √ E H 3 εe12 =
4. Refaire le travail en considérant maintenant le cas de l’écrouissage cinématique linéaire. Que remarque-t-on en ce qui concerne la relation contrainte–déformation ? On a :
p 0 τ − 2Hε12 /3 0 p 0 0 σ − X∼ = τ − 2Hε21 /3 ∼ 0 0 0
d’où : J(σ − X∼ ) = ∼
√
p 2Hε12 3 τ− 3
La composante 12 du tenseur normal s’écrit : √ n12 =
3 2
Le multiplicateur plastique s’écrit :
√ ˙ = 3˙τ λ H d’où l’on déduit la composante 12 du tenseur de vitesse de déformation plastique : p ε˙ 12 =
3˙τ 2H
La relation contrainte déformation est la même que dans le cas de l’écrouissage isotrope. Intégration du modèle dans le repère (x10 x20 ) Comme les trajets du deuxième niveau s’expriment de façon simple dans le repère (x10 x20 ), on va maintenant se placer dans ce même repère pour représenter le chargement de précisaillement du premier niveau. On continuera d’appeler σi j les composantes du tenseur de contraintes. Ainsi σ11 est maintenant la contrainte normale sur la facette de normale e01 . De même, εi j et εipj sont respectivement les composantes des tenseurs de déformation et de déformation plastique. 5. Donner dans (x10 x20 ) les valeurs de σi j correspondant au cisaillement τ dans (x1 x2 ). On cherchera pour cela les contraintes normales principales du tenseur de contraintes, et les directions principales associées. Les contraintes normales principales de σ sont τ et −τ, respectivement associées aux directions ∼ principales (1, 1, 0) et (1, −1, 0). Dans (x10 , x20 ) le tenseur des contraintes s’écrit donc : τ 0 0 0 −τ 0 0 0 0
13.10. 4 JUIN 2007
261
6. Ecrire la relation entre σ11 et ε11 lorsque l’on est encore en régime élastique. En régime élastique on a : 1+ν ε11 = σ11 E 7. Refaire dans le repère (x10 x20 ) les calculs de la question C.1 pour le cas de l’écrouissage isotrope linéaire. On retrouve les mêmes résultats que précédemment, à savoir : √ J = 3τ √ 3 s n∼ = 2τ ∼ √ ˙ = 3 τ˙ λ H 3˙τ p ε˙ 11 = 2H
p 8. Intégrer la relation de comportement plastique et calculer ε11 en fonction de σ11 . Exprimer les valeurs maximales des contraintes et des déformations plastiques en fonction de τm . √ 3 p τ˙ , la plastification commençant pour f = 0, c’est-à-dire τ = σy / 3, on trouve : On a : ε˙ 11 = 2H σy 3 pm τm − √ ε11 = 2H 3 p C.10. Tracer dans le plan (ε11 –σ11 ) la courbe représentative du premier niveau de chargement, et la comparer avec la courbe qui serait obtenue en traction simple. Dans le cas du cisaillement pur, on a donc :
σ11 =
σy 2H p ε11 + √ 3 3
Et dans le cas de la traction simple : p σ11 = Hε11 + σy
σ11
Traction σy
0
0
Cisaillement
ε11
262
CHAPITRE 13. ANNALES
11. Caractériser la position du domaine d’élasticité après le préchargement de cisaillement. En déduire, sans faire les calculs, la forme des courbes caractérisant les chargements de traction selon les directions x10 ou x20 . Si on oublie l’histoire lors du redécoupage des petits spécimens dans la grande plaque (donc qu’on remet à zéro la déformation plastique dans le modèle), y a-t-il une différence entre les tractions selon x10 et x20 ? Après le préchargement, le domaine d’élasticité (de rayon initial σy ) s’est dilaté dans toutes les directions et son nouveau rayon vaut H p + σy . Le tenseur de déformation plastique n’a que deux termes p p non nuls, ε11 et ε22 , avec : σy 3 p p ε11 = −ε22 = τm − √ 2H 3 La déformation cumulée pm en fin de préchargement vaut donc : √ σy 2 p 3 pm = √ ε11 = τm − √ H 3 3 Les courbes de traction suivant les directions x10 et x20 auront la même allure : tout d’abord une déformation purement élastique jusqu’à σ = σy + H pm puis un régime élasto-plastique de pente H+E HE dans le repère (ε11 , σ11 ). Si on oublie l’histoire du matériau, celui-ci étant isotrope, la traction suivant les directions x10 et x20 sont équivalentes. 12. Que devient l’ensemble des conclusions précédentes si l’on considère maintenant le comportement cinématique linéaire ? Dans le cas du comportement cinématique linéaire, le rayon du domaine d’élasticité ne varie pas, ni sa forme, mais son centre subit une translation suivant les directions de sollicitation, proportionnelle au tenseur de déformation plastique. Dans le cas présent, cela résultera en une augmentation de la limite élastique dans la direction x10 et une diminution dans la direction x20 .
13.11
9 juin 2008
13.11.1
Optimisation du chemin de déformation pour le planage d’une tôle
Pour planer une tôle métallique mince isotrope située dans le plan (x1 , x2 ), on souhaite exercer un état de contrainte uniaxial A tel que σ11 = σo , qui dépasse la limite d’élasticité initiale du métal, σy . Pour atteindre cet état de contrainte, deux trajets sont techniquement envisageables. Le premier consiste à cisailler la tôle pour atteindre l’état B, tel que σ11 = σo /2, σ22 = −σo /2, σ12 = 0, puis à rejoindre l’état A. Le second consiste à atteindre l’état C, tel que σ11 = σo , σ22 = σo /2, σ12 = 0, puis à rejoindre l’état A. Tous les trajets sont rectilignes dans l’espace des contraintes. Le comportement du matériau est élasto-plastique indépendant du temps, avec une élasticité isotrope caractérisée par le module de Young E et le coefficient de Poisson ν, et un comportement plastique à écrouissage isotrope associé à un critère de Tresca. La fonction de charge f s’écrit donc, en fonction des contraintes normales principales (en supposant σ3 6 σ2 6 σ1 ) : f (σ , R) = σ1 − σ3 − σy − R ∼ L’écrouissage est supposé linéaire, de module plastique H ; il s’exprime en fonction de la déformation plastique cumulée p par R = H p. L’objectif de cet exercice est de sélectionner le trajet qui minimise la variation d’épaisseur de la tôle après décharge.
1. Tracer la frontière du domaine d’élasticité initial dans le plan σ11 –σ22 , en supposant que toutes les autres composantes sont nulles.
13.11. 9 JUIN 2008
263
La frontière du domaine d’élasticité initial correspondant au critère de Tresca dans le plan σ11 –σ22 , toutes autres composantes du tenseur des contraintes étant nulles, est reportée en figure 13.1a. 2. Donner la position du domaine d’élasticité final pour chacun des trajets OBA et OCA, ainsi que les trajets de chargement correspondants. Les trajets de chargement sont constitués chacun de deux segments de droite. L’écrouissage étant de nature isotrope, le domaine d’élasticité va se dilater sans translation de son centre jusqu’au point le plus extrême du trajet de chargement, vis-à-vis du critère, comme le montre la figure 13.1a. 3. Déterminer toutes les composantes du tenseur de déformation plastique au cours du trajet OBA. Sur le trajet OBA, le segment OB0 correspond à un comportement purement élastique ; en B0 , on a σ11 = −σ22 = σy /2. Le long du segment B0 B, le comportement est élasto-plastique. Sur ce tronçon, on a: σ3 = σ22 < σ2 = σ33 = 0 < σ1 = σ11 Les contraintes actives dans le critère de Tresca sont σ1 = σ11 et σ3 = σ22 , où σ1 et σ3 sont les contraintes principales maximale et minimale, si bien que f (σ , R) = σ11 − σ22 − σy − H p et que la ∼ direction d’écoulement est : 1 0 0 ∂f = 0 −1 0 n∼ = ∂σ ∼ 0 0 0 La dérivée temporelle du tenseur de contraintes s’écrit en fonction de σ11 : σ ˙ = σ˙ 11 n∼ ∼ L’application de la condition de cohérence f˙ = 0 fournit : p˙ =
σ ˙ : n∼ 2σ˙ 11 ∼ = H H
En posant la définition habituelle de la déformation plastique cumulée, on trouve : 2 p p 1/2 2 ˙ p˙ = ε˙ : ∼ε˙ =√ λ ∼ 3 3 ˙ , il vient alors : En utilisant la définition de la vitesse de déformation plastique, ∼ε˙ p = λn ∼ √ p p ˙ = 3σ˙ 11 ε˙ 11 = −ε˙ 22 =λ H L’intégration sur σ11 a pour bornes σy /2 et σo /2 : p ε11 (B)
=
p −ε22 (B)
=
Z σo /2 √ 3dσ11 σy /2
H
√ 3 σo − σy = 2 H
La composante 33 du tenseur de déformation plastique est nulle. ˙ : n = 0. On Le long du trajet BA, le comportement est purement élastique parce que sur ce tronçon on a σ ∼ ∼ p a donc ∼ε p (A) = ∼ε p (B) Dans ce cas, la variation d’épaisseur, donnée par ε33 (A), est nulle. 4. Déterminer toutes les composantes du tenseur de déformation plastique au cours du trajet OCA. En suivant le trajet OCA, le tronçon OC0 correspond à un comportement purement élastique ; en C0 , on a σ11 = 2σ22 = σy . Le long du tronçon C0C, le comportement est élasto-plastique. Sur ce tronçon, on a: σ3 = σ33 = 0 < σ2 = σ22 < σ1 = σ11
264
CHAPITRE 13. ANNALES
Les contraintes actives dans le critère de Tresca sont σ1 = σ11 et σ3 = σ33 , où σ1 et σ3 sont les contraintes principales maximale et minimale, si bien que f (σ , R) = σ11 − σ33 − σy − H p et que la ∼ direction d’écoulement est : 1 0 0 ∂f = 0 0 0 n∼ = ∂σ ∼ 0 0 −1 La dérivée temporelle du tenseur de contraintes s’écrit en fonction de σ11 : 1 0 0 ˙ = σ˙ 11 0 1/2 0 σ ∼ 0 0 0 L’application de la condition de cohérence f˙ = 0 fournit : p˙ =
σ ˙ : n∼ σ˙ 11 ∼ = H H
˙ est la même qu’à la question précédente. On en déduit donc : La relation entre p˙ et λ √ √ 3˙ 3σ˙ 11 p p λ= ε˙ 11 = 2ε˙ 33 = 2 2H L’intégration sur σ11 a pour bornes σy et σo : p ε11 (C)
=
p 2ε33 (C)
=
Z σo √ 3dσ11 σy
2H
√ =
3 σo − σy 2 H
Cette fois-ci, c’est la composante 22 du tenseur de déformation plastique qui est nulle, mais pas la composante 33. ˙ = σ˙ : n = 0 et donc ε p (A) = ε p (C). Le long du trajet CA, le comportement est purement élastique car λ ∼ ∼ ∼ ∼ 5. Quel est le trajet qui minimise la variation d’épaisseur de la tôle après décharge, donc retour au point O après chacun des deux trajets. Sur le trajet OCA, la variation relative d’épaisseur est non nulle. L’amincissement est donné par : √ e − e0 3 σ0 − σy p p =− ε33 (A) = ε33 (C) = e0 4 H Le trajet qui minimise la variation d’épaisseur est donc le trajet OBA, qui s’effectue sans variation p d’épaisseur, puisque ε33 (A) = 0. 6. Afin d’évaluer les changements qui seraient apportés au problème précédent par application du critère de von Mises, on demande maintenant de tracer la frontière du domaine d’élasticité initial et du domaine d’élasticité final dans le cas du critère de von Mises. Les différentes étapes du chargement sont reportées en figure 13.1b. On remarque que, comme pour le critère de Tresca, les deux points B et C sont équivalents du point de vue du critère de von Mises. La différence entre les deux critères vient du fait que, aux points B et C, le critère de Tresca a déjà atteint la valeur σo , qui est justement la valeur finale. Il n’y a donc pas d’écoulement au cours √ de la seconde étape du chargement. Par contre, la valeur atteinte par le critère de von Mises n’est que ( 3/2)σo . Il faut donc un écoulement plastique pour atteindre la valeur finale σo . 7. Indiquer sans refaire les calculs les principales différences entre les solutions obtenues par le critère de Tresca et celui de von Mises pour chacun des trajets OBAO et OCAO.
13.11. 9 JUIN 2008
265
Dans le cas du critère de von Mises, d’une part, la plasticité ne commencera pas au même point : elle débutera en fait un peu plus tard comme on le voit sur la figure 13.1b. De plus, le comportement le long des deux tronçons BA et CA qui étaient purement élastiques avec le critère de Tresca ne le sont pas avec le critère de von Mises. L’intégration nécessaire pour trouver l’évolution de la déformation plastique sur ces segments n’est pas analytique. La difficulté provient du fait que l’orientation de la direction d’écoulement varie entre B et A comme entre C et A. 450 270
450 Init Final
360
σ22 (MPa)
270
C
180
C0
90
O
0 -90
A B0
-180
C
90 0
A
90 180
B
-270
Init Inter Final
180 σ22 (MPa)
360
B
270
-360
360
-450 -450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450 σ11 (MPa)
450 450 360 270 180 90 0 90 180 270 360 450 σ11 (MPa)
(a)
(b)
F IG . 13.1 – Surfaces obtenues avec les valeurs numériques suivantes : H= 1000 MPa, σy = 270 MPa, σo = 360 MPa. (a) Critère de Tresca, surfaces initiale et finale (b) Critère de von Mises, surfaces initiale, intermédiaire et finale.
13.11.2
Etat limite en viscoplasticité confinée
Le but de cet exercice est de vérifier le fait que l’état de contrainte à l’intérieur d’un matériau visqueux soumis à un chargement de type gravité tend de façon asymptotique vers un état hydrostatique. On suppose que le matériau est élasto-viscoplastique, avec une élasticité isotrope caractérisée par le module de Young E et le coefficient de Poisson ν, et un comportement de type Norton associé à un critère de von Mises, dont l’expression uniaxiale fait intervenir les deux paramètres K et n : n |σ| p ε˙ = signe(σ) K
1. Ecrire l’expression de cette loi en tridimensionnel, en utilisant l’invariant de von Mises, noté J, et sa dérivée par rapport à σ , notée n∼ , dont on donnera l’expression en fonction des composantes du ∼ déviateur du tenseur de contraintes. n J 3 ∼s ε∼˙ = n∼ avec n∼ = K 2J p
2. On modélise une portion de sous-sol par un cylindre d’axe x3 , de base carrée, dont les côtés, de longueur a, sont parallèles aux axes x1 et x2 . La base supérieure située dans le plan (x3 = 0) est libre, et la hauteur du cylindre vaut h. Les déplacements latéraux u1 et u2 restent nuls en permanence. A l’instant t = 0, on applique brutalement un chargement volumique de type gravité sur l’ensemble du cylindre, dont la seule composante non nulle est f3d = −ρg, ρ désignant la masse volumique du matériau et g
266
CHAPITRE 13. ANNALES
l’intensité de l’accélération due à la pesanteur. Donner en justifiant votre choix la forme du tenseur de contraintes. Calculer ensuite l’expression de σ33 en utilisant les équations d’équilibre et les conditions aux limites. Cette contrainte va-t-elle évoluer avec le temps ? Justifier. Par raison de symétrie sur le chargement et la géométrie, (x1 , x2 , x3 ) est le repère principal. On se trouve en déformations planes à la fois dans les directions x1 et x2 , si bien que les champs de contraintes et de déformations ne dépendent pas de x1 et x2 . La seule équation d’équilibre non triviale est : σ33,3 − ρg = 0 Comme cette contrainte est nulle en x3 = 0, on trouve simplement : σ33 = ρgx3 Il s’agit d’une condition statique, indépendante de la loi de comportement, qui reste donc toujours vérifiée. 3. En utilisant les équations de Hooke, trouver la valeur de σ11 et σ22 lors de la réponse élastique du système à l’instant t = 0+ . Il s’agit de la réponse en élasticité. Les deux contraintes σ11 et σ22 sont égales. En écrivant le fait que la déformation ε22 est nulle, on trouve : σ11 = σ22 =
ν σ33 1−ν
Les trois contraintes sont en compression, et, initialement σ33 < σ11 = σ22 < 0, puisque, si 0 < ν < 1/2. On supposera que l’ordre reste le même au cours de l’écoulement, hypothèse qui devra être confirmée en fin de calcul. 4. Donner l’expression des vitesses de déformation viscoplastique pour t > 0. On trouve respectivement pour le déviateur et l’invariant J : −1/3 0 0 −1/3 0 s = (σ33 − σ11 ) 0 ∼ 0 0 2/3
J = σ11 − σ33
si bien que la normale n∼ prend la forme d’une matrice diagonale (1/2 ; 1/2 ; -1), ce qui fournit les composantes du tenseur de vitesse de déformation viscoplastique : n 1 p J p p p ε˙ 33 = − ε˙ 11 = ε˙ 22 = − ε˙ 33 K 2 5. En tenant compte du fait que le déplacement latéral est bloqué, intégrer l’équation différentielle qui définit l’évolution de σ11 et en déduire la forme de l’état de contrainte asymptotique. La vitesse de déformation totale ε˙ 11 est nulle, donc : 1−ν 1−ν 1 σ11 − σ33 n p ˙ ˙ ˙ 0= σ11 + ε11 = σ11 + E E 2 K L’équation différentielle à résoudre est donc de la forme : dσ11 dt =− n (σ11 − σ33 ) τ
avec τ =
2(1 − ν)K n E
13.11. 9 JUIN 2008
267
où σ33 = ρgx3 dépend de l’espace, mais pas du temps. En considérant la condition initiale en σ11 trouvée en question 3, on obtient : n−1 n−1 1 1−ν t − = (n − 1) σ11 − σ33 (2ν − 1)σ33 τ Soit encore :
!1/(1−n) (2ν − 1)σ33 1−n t σ11 = σ33 + (n − 1) + τ 1−ν
Cette équation ne s’applique pas en surface, où, trivialement, les trois contraintes restent toujours nulles. On observe par ailleurs que la contrainte σ11 tend vers σ33 en chaque point du milieu. L’état asymptotique est un état de compression hydrostatique σ11 = σ22 = σ33 . On vérifie que le système n’évolue pas si l’élasticité est isochore. Dans ce cas, les déformations élastoviscoplastiques se font sans changement de volume, et le blocage des directions x1 et x2 élimine toute possibilité de déplacement vertical. 6. Montrer que la déformation viscoplastique est bornée, et trouver directement sa valeur asymptotique. On a vu que la contrainte σ33 ne change pas en fonction du temps, une fois le champ de gravité établi. Le champ de contrainte asymptotique est donc parfaitement défini. Il suffit d’utiliser ces valeurs p p∞ , valeur asymtotique de ε11 : dans l’expression de ε11 pour trouver ε11 ε11 = 0 =
1 − 2ν p∞ σ33 + ε11 E
La composante 33 de la déformation plastique vaut donc : p∞ p∞ =2 = −2ε11 ε33
1 − 2ν 1 − 2ν σ33 = 2ρgx3 E E
7. Indiquer comment on peut trouver le déplacement du haut du cylindre en fonction du temps, en supposant que le déplacement est nul en x3 = −h ? Comme on est en double déformation plane, trace(ε∼ ) = ε33 . Comme cette trace est égale à celle du tenseur de déformation élastique, on peut simplement exprimer ε33 à chaque instant : ε33 =
1 − 2ν (σ33 + 2σ11 ) E
Donc, en remplaçant σ11 par son expression : !1/(1−n) (1 − 2ν) t (2ν − 1)σ33 1−n ε33 = 3σ33 + 2 (n − 1) + E τ 1−ν La valeur asymptotique de ε33 est donc : ε33 =
3(1 − 2ν) σ33 E
Les deux tiers de cette valeur sont à attribuer à la déformation plastique, et le tiers restant à la déformation élastique. On trouve le déplacement vertical à un instant quelconque en intégrant ε33 par rapport à x3 . Z 0
U3 (x3 = 0) = Cette intégration n’est pas analytique.
−h
ε33 dx3
268
CHAPITRE 13. ANNALES
13.11.3 Optimisation d’une poutre en traction/compression et en flexion 3 points On considère les déformations dans le plan (x1 ,x3 ) d’une poutre plane de longueur 2L, d’axe x1 , dont la ligne moyenne est représentée par le segment AB (le point A est en x1 = 0, le point B est en x1 = 2L) constituée d’un matériau élastique isotrope de module de Young E, et de masse volumique ρ. Les deux composantes du déplacement en direction 1 et 3 sont bloquées au point A, et le déplacement en direction 3 est bloqué au point B. Les rotations sont libres à chacun de ces extrémités. On considérera successivement l’effet d’un chargement de traction/compression, puis celui d’un chargement de flexion 3 points, enfin la combinaison des deux chargements. Le problème posé est celui d’une conception optimale minimisant la masse, vis-à-vis de critères de flèche maximale et de charge de ruine. 1. On applique une force axiale de valeur absolue F en B. La condition visée pour la conception de la poutre est que la valeur absolue du déplacement axial reste inférieure à une valeur δ1 . On suppose que la section de la poutre est un carré de côté a. Calculer la valeur minimale amin qu’il faut choisir pour a pour vérifier la condition précédente. Calculer ensuite la masse de la poutre. En remplaçant a par amin dans cette expression trouver la masse minimale que doit avoir la poutre pour vérifier la condition de conception. Dans cette nouvelle expression coexistent les paramètres de conception, F, L et δ1 , et les paramètres qui dépendent du matériau, E et ρ. On cherche maintenant à minimiser la masse de la poutre. Quelle combinaison de E et de ρ doit-on minimiser pour cela ? Le déplacement axial de la poutre, U, se calcule en multipliant la déformation axiale, qui est uniforme, par la longueur de la poutre. La déformation axiale s’exprime en divisant la contrainte axiale, F/S, par le module de Young. Il vient donc : U=
2LF 2LF = ES Ea2
D’où : amin =
2LF Eδ1
1/2
La masse s’exprime simplement comme m = 2La2 ρ. En éliminant a entre les expressions de U et m, il vient : ρ 4FL2 m= E δ1 La poutre optimale est donc celle qui présente le rapport ρ/E minimum. 2. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. Comparer avec la conclusion précédente. On retrouve le même résultat que précédemment, puisque U et m dépendent en fait chacun de la section S 2LF U= m = 2LSρ ES et que S se simplifie entre les deux équations. 3. On reprend la poutre de section carrée de la question 1, subissant encore un chargement axial de traction de valeur F. On souhaite maintenant que la contrainte de traction dans la poutre reste inférieure à une valeur limite σu (pour éviter la ruine par charge limite). Calculer la valeur de la contrainte axiale σ11 sous l’effet de la force F. Trouver la valeur minimale a0min de a pour que la condition précédente soit vérifiée. En reportant cette valeur dans l’expression de la masse, trouver la valeur minimale de la masse pour que la condition de conception soit vérifiée. En déduire la combinaison de σu et de ρ qu’il faut minimiser pour obtenir la masse minimale.
13.11. 9 JUIN 2008
269
On cherche à limiter la valeur de la contrainte axiale, F/S, par la valeur σu . On trouve donc : a0min
=
F σu
1/2
En reportant dans l’expression de la masse, il vient : m = 2Laρ = 2LF
ρ σu
Il faut minimiser le rapport ρ/σu . 4. Recommencer la question 3 dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. Comparer avec la conclusion précédente. C’est encore une fois la section qui apparaît dans l’expression de la contrainte et de la masse, si bien qu’on retrouve le même résultat qu’à la question précédente. 5. On considère maintenant un chargement de flexion 3 points, généré par une force ponctuelle P de direction x3 qui s’applique au centre de la poutre (en x1 = L). Le condition visée pour la conception est que la valeur absolue de la flèche maximale reste inférieure à une valeur δ3 . En supposant que la poutre a une section carrée de côté a, trouver la valeur minimale que doit prendre a pour vérifier la condition. En suivant la démarche des questions précédentes, donner la combinaison de E et de ρ qu’il importe de minimiser pour obtenir la masse minimale. Le moment quadratique I vaut dans ce cas a4 /12. La flèche maximale est obtenue au centre de la poutre, elle vaut : PL3 2PL3 = V= 6EI Ea4 On doit donc avoir : 1/4 2PL3 a > amin = Eδ3 En éliminant a dans l’expression de la masse, il vient : m>
2La2min ρ
2PL3 = 2L Eδ3
1/2 ρ
La combinaison à minimiser est donc le rapport ρ/E 1/2 . 6. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. On décide d’effectuer l’optimisation sur h, pour une valeur fixée de b. Quelle combinaison de E et de ρ doit-on maintenant minimiser pour minimiser la masse ? Le moment quadratique I vaut dans ce cas (2/3)bh3 . La flèche maximale est obtenue au centre de la poutre : PL3 V= 4Ebh3 Si bien que l’on peut exprimer la valeur de la masse : PL3 m = 4Lbhρ > 4Lb 4bEδ3
Il faut donc cette fois-ci minimiser le rapport ρ/E 1/3 .
1/3 ρ
270
CHAPITRE 13. ANNALES
7. On revient de nouveau à la poutre de section carrée, chargée en flexion 3 points, et on souhaite que la contrainte maximale relevée reste inférieure à σu . Donner successivement l’expression de la contrainte σ11 en fonction du moment de flexion, puis l’expression du moment de flexion. En quel point de la poutre la contrainte est-elle maximale ? Trouver la valeur minimale de a pour laquelle la valeur maximale de σ11 reste inférieure à σu . En déduire la combinaison de σu et ρ qu’il importe de minimiser pour obtenir la masse minimale. La contrainte σ11 a un profil linéaire en fonction de x3 ; elle s’écrit, en fonction du moment de flexion M et du moment quadratique I : σ11 = Mx3 /I. Le moment de flexion est maximal au centre de la poutre, où il vaut PL/2. En utilisant le fait que I = a4 /12, on trouve la valeur maximale de la contrainte, au point x3 = a/2 : 3PL σ11 = 3 < σu a La masse s’exprime donc : 3PL 2/3 2 m = 2La ρ > 2L ρ σu 2/3
Il faut minimiser le rapport ρ/σu . 8. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b. On décide d’effectuer l’optimisation sur h, pour une valeur fixée de b. Quelle combinaison de σu et de ρ doit-on maintenant minimiser pour minimiser la masse ? On obtient la contrainte maximale au centre de la poutre, en x3 = h. Avec I = (2/3)bh3 , on obtient maintenant : 3PL σ11 = < σu 4bh2 En reportant dans l’expression de la masse 3PL 1/2 m = 4Lbhρ > 4Lb ρ 4bσu 1/2
on trouve qu’il faut minimiser le rapport ρ/σu . 9. On considère maintenant la poutre de section rectangulaire, soumise au chargement de flexion 3 points. On cherche encore la masse minimale pour une poutre qui doit à la fois vérifier la condition en flèche maximale et en contrainte maximale. On décide de libérer b, qui peut donc prendre maintenant des valeurs quelconques. Tracer, dans le plan log(b)–log(h) les droites de conception correspondant à la condition de flèche maximale et à la condition de contrainte maximale. Positionner également la droite correspondant à la masse minimale. En déduire les différentes conceptions possibles, et montrer que l’on peut obtenir une masse aussi petite qu’on le souhaite en diminuant la valeur de b. En repartant de l’expression de la flèche, on observe que la condition à vérifier s’exprime en fonction de la valeur limite δ3 comme : PL3 <1 4Ebh3 δ3 Pour un matériau donné, E et ρ sont maintenant fixés, si bien que, en prenant le logarithme de l’expression, la limite du domaine de conception dans le plan log(b)–log(h) pour une flèche δ3 est une droite (∆1 ) : 4Eδ3 f1 (log b, log h) = log b + 3 log h + log =0 PL3 De la même manière, la limite de conception pour une contrainte σu est la droite (∆2 ) : f2 (log b, log h) = log b + 2 log h + log
4σu =0 3PL
13.11. 9 JUIN 2008
271
Le domaine admissible correspond à f1 > 0 et f2 > 0. La flèche est inversement proportionnelle au produit bh3 , la contrainte maximale au produit bh2 . Les droites correspondantes ont donc respectivement des pentes −1/3 et −1/2. Dans le même plan, la droite (∆0 ) qui représente la masse a pour équation : log b + log h + log
4Lρ =0 m
La pente de la droite correspondante est donc −1. Pour une masse donnée, on peut donc se déplacer sur cette droite vers les b décroissants, et les h croissants, ce qui permet d’atteindre le domaine admissible pour n’importe quelle la configuration de chargement, quelle que soit la longueur de la poutre, et pour un matériau quelconque, comme l’indique la figure 2.
10. A quel risque s’expose-t-on si on diminue trop la valeur de b ? Donner la valeur minimale qu’il faut respecter pour b si on veut éviter la rupture par instabilité. Tracer la droite de conception dans le plan log(b)–log(h), et en déduire que le problème est bien posé si on tient compte de cette nouvelle condition. La force critique de flambement est donnée par : Fc = π
EI 4L2
Il est raisonnable que la charge critique reste nettement inférieure à une charge susceptible d’être appliquée en bout de poutre, que l’on caractérise par une fraction de la charge P, soit kP. La condition supplémentaire à vérifier dans ce cas est donc :
I>
4kPL2 πE
Pour une valeur trop faible de I, on s’expose à une instabilité élastique par flambement de la poutre : en diminuant b, on augmente certes le moment quadratique de la section pour une flexion autour de l’axe x2 , mais on le diminue pour une flexion autour de l’axe x3 . Or il faut bien considérer toutes les directions possibles dans le plan (x2 ,x3 ) pour juger de l’apparition éventuelle du phénomène. Les directions x2 et x3 étant des directions principales, les valeurs obtenues autour ce chacun de ces axes sont des valeurs extrêmes. Lorsque b diminue, le cas le plus défavorable correspond donc à la flexion autour de x3 ; la section a dans ce cas une largeur 2h et une hauteur b. Au lieu de (2/3)bh3 , on trouve maintenant pour le moment quadratique la valeur I = hb3 /6. La condition supplémentaire à vérifier dans ce cas est donc : πEhb3 >1 24kPL2 C’est maintenant le produit hb3 qui est critique, et qui donnera dans le plan de l’étude une droite (∆3 ) : f3 (log b, log h) = 3 log b + log h + log
πE =0 24kPL2
Le domaine admissible est défini par f3 > 0. Dans la mesure où la pente est maintenant −3, l’intersection avec la droite (∆0 ) fournit une valeur de b minimale.
272
CHAPITRE 13. ANNALES
log (h)
(∆3 )
(∆2 ) (∆1 )
(∆0 )
log (b)
Fig.2 : Les différentes droites de conception définissant le domaine admissible pour la conception avec comme critère la flèche maximale (droite (∆1 ) la contrainte maximale (droite (∆3 ) le flambement (droite (∆3 )
13.12
25 mai 2009
13.12.1
A. Etude d’un cylindre élastoplastique en cisaillement
On considère un cylindre d’axe z, que l’on étudiera dans un repère cylindrique (r, θ, z), dans lequel un point M sera caractérisé par OM = rer + zez . Il a une section annulaire, de rayon intérieur a et de rayon extérieur b, et une hauteur L. Il est réalisé en alliage d’aluminium, de module de Young E. Pour simplifier les calculs, on supposera que le coefficient de Poisson est nul. La surface extérieure (r = b) est encastrée, les surfaces inférieure (z = 0) et supérieure (z = L) sont libres. Le cylindre est sollicité sur sa surface intérieure (r = a) par un déplacement tangentiel imposé, U d = δez . Les forces de volume sont négligées. Pour les applications numériques, on utilisera les valeurs suivantes : a=20 mm ; b=30 mm ; L=100 mm ; E=65 GPa. Etude préliminaire en élasticité A.1. Poser, sans chercher à les résoudre pour le moment, l’ensemble des équations qui permettent de déterminer les champs de déplacement U(M), et de contrainte, σ (M). ∼ Les conditions statiques comportent les équations d’équilibre et les conditions aux limites. En coordonnées cylindriques, et en l’absence de forces de volume, les premières s’expriment : 1 σrr − σθθ σrr,r + σθr,θ + σzr,z + =0 (13.7) r r 1 σrθ σrθ,r + σθθ,θ + σzθ,z + 2 =0 (13.8) r r 1 σrz σrz,r + σθz,θ + σzz,z + =0 (13.9) r r Seules les sections supérieure et inférieure ont des conditions aux limites imposées en effort, qui conduisent à : σ .ez = 0 en z = 0 et en z = L (13.10) ∼ Les équations cinématiques définissent les relations déformation–déplacement (ici en petites déformations) et les conditions aux limites en déplacement. Le tenseur déformation est égal à la partie symétrique du gradient de déplacement qui s’écrit : Ur,r 1r (Ur,θ −Uθ ) Ur,z ∇U = Uθ,r 1r (Ur −Uθ,θ ) Uθ,z (13.11) 1 Uz,r Uz,z r Uz,θ
13.12. 25 MAI 2009
273
On a de plus : U(r = a) = δez
U(r = b) = 0
(13.12)
Les relations de comportement s’écrivent simplement, en tenant compte du fait que le coefficient de Poisson est nul : 1 − 2ν σii σii = E E si j si j d - partie déviatorique : εi j = = 2µ E εii =
- partie sphérique :
(13.13) (13.14)
A.2. Pour résoudre le problème, on utilise une approche en déplacement. Le caractère axisymétrique du problème conduit à adopter la forme U(M) = w(r)ez , où w(r) est une fonction inconnue. Calculer, en fonction de w(r), le champ de déformation dans le cylindre. La seule composante non nulle du vecteur déplacement est uz . Comme elle ne dépend que de r, le seul terme du tenseur de déformation qui est non nul est : 1 εrz = εzr = w,r 2
(13.15)
A.3. En déduire, via la loi de Hooke, le champ de contrainte en fonction de E et de w. Expliciter pour ce champ de contrainte l’équation d’équilibre dans le cylindre. En déduire qu’un champ de déplacement de la forme w(r) = A + B ln(r), où A et B sont des constantes, est admissible. Déterminer les constantes en utilisant les conditions aux limites en déplacement. Pourquoi la solution construite n’est-elle pas exacte ? La trace du tenseur de déformation est nulle, donc celle du tenseur de contrainte l’est également. On trouve donc simplement : E σrz = σzr = w,r (13.16) 2 La seule équation d’équilibre non trivialement vérifiée est 13.9, qui s’écrit rσrz,r + σrz = 0, si bien que : rw,zz + w,r = 0
(13.17)
Le champ w(r) = A + B ln(r) vérifie bien l’équation précédente. Pour qu’il vérifie les conditions en déplacement, il faut que : - en r = a : A + B ln(a) = δ
(13.18)
- en r = b : A + B ln(b) = 0
(13.19)
ce qui donne : ln(r/b) ln(a/b)
(13.20)
Eδ 2r ln(a/b)
(13.21)
w(r) = et : σrz =
Si on calcule le vecteur contrainte sur les sections supérieure et inférieures, on trouve un cisaillement σrz , si bien que la condition aux limites 13.10 n’est pas satisfaite. A.4. Calculer la valeur maximale de l’invariant de la contrainte équivalente de von Mises, J(σ ), ∼ pour δ=20 µm.
274
CHAPITRE 13. ANNALES
La valeur maximale de la contrainte est obtenue pour r = a dans l’équation 13.21. On en déduit la valeur maximale du critère de von Mises : √ √ E 3δ (13.22) J(σ ) = 3|σrz | = ∼ 2a ln(b/a) L’application numérique fournit J(σ )=138,8 MPa. ∼ Etude en élastoplasticité On suppose que le comportement plastique du matériau peut être décrit par un modèle combinant le critère de von Mises, un écrouissage isotrope (variable R, dépendant de la déformation plastique cumulée p) et la règle de normalité. La fonction de charge introduit la limite d’élasticité initiale σy et le module plastique H : f (σ , R) = J(σ ) − σy − R avec R = H p ∼ ∼ A.5. Quelles sont les équations qui sont modifiées par rapport à la question A.1 ? Seules les équations de comportement sont modifiées. A.6. Indiquer le point du solide qui entrera le premier en régime plastique, et la valeur δe du déplacement imposé correspondant, en fonction de σy . Effectuer une application numérique avec σy =130 MPa. On était déjà dans le domaine plastique pour δ=20 µm. √ En fait, la plasticité prend naissance en r = a, lorsque l’invariant de von Mises y atteint σy . La condition 3σrz (r = a) = σy fournit la valeur de δ : √ Eδe 3 = σy 2a ln(a/b)
soit δe =
2aσy ln(a/b) √ E 3
(13.23)
L’application numérique fournit δe =18,72 µm. A.7. On utilise maintenant une approche en contrainte, en se plaçant suffisamment loin des sections extrêmes du solide où l’on rencontre des conditions aux limites non satisfaites en contrainte. Lorsque la valeur du déplacement imposé dépasse δe , il se développe une zone plastique dont la frontière est située en r = c (avec a 6 c 6 b). Ecrire la solution en contrainte dans la zone élastique. La solution est obtenue en reprenant la solution élastique développée dans les sections précédentes. La partie du cylindre qui reste en élasticité subit en r = c un déplacement égal à δe , puisque la plasticité commence tout juste. On obtient donc la formule en remplaçant a par c dans les expressions précédentes. Il vient : Eδe c σy = √ (13.24) 2r ln(c/b) r 3 A.8. Ecrire toutes les équations que doit vérifier la composante σrz de la contrainte. En déduire les expressions analytiques de σrz et de p en fonction de r dans la zone plastique. La composante σrz doit vérifier à la fois l’équation d’équilibre et la relation de comportement plastique, soit respectivement : rσrz,r + σrz = 0 √ σrz 3 = σy + H p
(13.25) (13.26)
13.12. 25 MAI 2009
275
L’intégration de l’équation d’équilibre montre que σrz est de la forme σrz = K/r. La constante d’intégration peut être déterminée en reportant l’expression dans l’équation de comportement, en utilisant √ le fait que la déformation cumulée p est nulle en r = c. Il vient alors K = cσy / 3, soit : σy c σrz = √ (13.27) 3r p A.9. Calculer la composante εrz de la partie plastique de la déformation dans la zone plastique. En déduire l’expression du champ de déplacement. Comment peut-on déterminer la valeur de c qui définit la frontière de la zone plastique ? Effectuer l’application numérique avec δ=40 µm et H=1300 MPa. En reportant l’expression de la contrainte trouvée à la question précédente dans la loi de comportement, on trouve, pour tout point de la zone plastique (a 6 r 6 c) : √ σrz 3 − σy σy c = −1 (13.28) p= H H r √ p La seule composante non nulle du tenseur de déformation plastique est εrz = εzr , qui vaut p 3/2. La composante εrz de déformation totale vaut donc : √ √ σ σy c 3σy c 3σy c rz p e −1 + = −1 + √ (13.29) εrz = εzr + εzr = 2H r E 2H r 3E r
soit encore :
√ 1 3 2 c 1 εrz = σy + − (13.30) 2 H 3E r H On trouve le déplacement à partir de l’équation 13.15 en remplaçant εrz par l’expression précédente. La constante d’intégration est déterminée en identifiant la valeur trouvée à δe en r = c. √ c r 2c r c − r w(r) = 3σy ln + ln + (13.31) H c 3E b H On détermine pour finir la valeur de c en identifiant le déplacement trouvé au déplacement imposé en r = a. √ c a 2c a c − a δ = 3σy ln + ln + (13.32) H c 3E b H
13.12.2
B. Poutre viscoélastique en flexion
On étudie l’effet d’un chargement de flexion pure au niveau de la section courante d’une poutre droite d’axe x1 , située dans le plan (x1 , x3 ). Cette section est rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et de largeur b (−b/2 6 x2 6 b/2). Le matériau présente un comportement viscoélastique. Le chargement est défini par un moment M autour de x2 (voir figure 1). On effectue une mise en charge rapide, au cours de laquelle le moment de flexion passe de 0 à M0 , puis on maintient le moment à sa valeur (expérience de fluage). x3 Epaisseur b M
x2
x
x1
2h
Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre
M
276
CHAPITRE 13. ANNALES
B.1. On approche la réponse du système à la mise en charge par la solution élastique. Indiquer dans ce cas quelle est la forme du champ de déformation en fonction de la courbure ω = −θ,1 = V,11 . Donner également la forme du champ de contrainte et la relation entre M0 et ω0 , valeur de la courbure à la fin du chargement. La flexion pure s’effectue à moment constant. La déformation est directement proportionnelle à la courbure, de même que la contrainte et le moment : ε11 = ωx3
σ11 = Eωx3
M = EIω
(13.33)
où E est le module de Young, et I le moment quadratique de flexion autour de x2 . B.2. On suppose que le matériau a un comportement viscoélastique dont la forme uniaxiale, définie par un modèle rhéologique ressort–amortisseur, est telle que : σ˙ σ + E η
ε˙ =
On fera l’hypothèse (que l’on justifiera) que la cinématique est conservée au cours de la phase de fluage. En remplaçant alors ε˙ par son expression de la question précédente, puis en intégrant chaque membre de la relation de comportement sur la section de la poutre, établir l’équation différentielle qui relie ˙ Résoudre cette équation avec le moment M et sa dérivée temporelle M˙ avec celle de la courbure, ω. les conditions initiales adaptées pour obtenir l’évolution de la courbure en fonction du temps pendant l’expérience de fluage. L’hypothèse portant sur la cinématique n’est pas dépendante de la loi de comportement. Elle se réfère à la forme que prend la poutre au cours de la déformation. La vitesse de déformation totale va s’exprimer ˙ 3 . En multipliant chaque membre de la loi en fonction de la dérivée temporelle de la courbure par ε˙ = ωx de comportement par x3 et en intégrant sur la hauteur de la poutre, il vient : Z h −h
˙ 32 dx3 ωx
=
Z h σ˙
E
−h
Z h σ 2 x3 dx3 + x3 dx3 −h
η
(13.34)
On a posé σ = σ11 . En réintroduisant le moment de flexion M et sa dérivée temporelle M˙ : ˙= Iω
M˙ M + E η
(13.35)
Dans le chargement particulier qui est considéré ici, M˙ = 0, si bien que, en utilisant la condition initiale ω(0) = ω0 , l’intégration fournit de façon élémentaire : ω=
M t + ω0 ηI
(13.36)
La courbure augmente de façon linéaire en fonction du temps. Cette solution n’est bien entendu valable qu’en petites perturbations. B.3. Que deviennent les résultats de la question précédente si on suppose maintenant que le comportement est de la forme : ε˙ =
σ˙ σ − Hε p + E η
avec ε =
σ + εp E
13.12. 25 MAI 2009
277
On réalise la même opération que précédemment. Il y a cependant une intégrale supplémentaire à traiter, provenant du terme en déformation plastique. On réexprime celle-ci comme la différence entre déformation totale et déformation élastique : Z h Z Z h H h p H H M σ 2 ε x3 dx3 = x3 dx3 = ωI − (13.37) x3 ωdx3 − η −h η η E −h −h E En prenant maintenant en compte les termes déjà transformés au cours de la question précédente, on établit ainsi une équation différentielle qui relie le moment, la courbure et leurs dérivées premières : M˙ HI H M ˙+ ω = + 1+ (13.38) Iω η E E η Comme M n’évolue pas au cours de l’essai de fluage, l’équation différentielle s’exprime finalement : η M ˙ +ω = ω H Et I
avec
1 1 1 = + Et H E
(13.39)
Après intégration, en prenant en compte la condition initiale ω(0) = M0 /EI, il vient : ω=
t M0 M0 + 1 − exp − EI HI τ
avec τ =
η H
(13.40)
Contrairement au cas précédent, la rotation de la section est limitée en raison de l’écrouissage. Sa valeur maximale est de M0 /Et I.
278
CHAPITRE 13. ANNALES
13.12.3
C. Comportement équivalent d’un treillis
Le but de cet exercice est d’établir le comportement global d’un treillis, et d’illustrer ainsi le comportement homogène équivalent d’un milieu architecturé bidimensionnel, en termes de rigidité, de limite d’élasticité et de limite à rupture. Le treillis est constitué de trois barres. Le comportement équivalent est établi, soit en utilisant une méthode dite par éléments finis, soit de façon directe. Le comportement considéré pour chaque barre sera ensuite successivement élastique puis élastoplastique. L’ensemble de l’étude utilise une hypothèse de petites déformations et petits déplacements. Il y a deux «pistes» indépendantes pour être en mesure de traiter les questions C.10 à C.17, les questions C.6 et C.9 débouchant (normalement !) sur les mêmes résultats. On peut donc passer par les questions C.1 à C.6, ou commencer directement en C.7, et résoudre les questions C.7 à C.9. Construction d’un «élément fini» C.1. Le principe des travaux virtuels a permis d’établir les équations d’équilibre et les conditions aux limites qui régissent le comportement d’une poutre droite soumise à des efforts axiaux, de cisaillement, et à un moment de flexion. On appelle barre un modèle de poutre réduit aux efforts axiaux, et chargé uniquement à ses extrémités. On considère une barre de section S et de longueur L, constituée d’un matériau élastique de module de Young E, qui occupe le segment AB de l’axe ξ, dans un repère plan (ξ, η). Les abscisses de A et B sont respectivement ξ = 0 et ξ = L. A l’intérieur de la barre, la résultante axiale des efforts intérieurs est notée N(ξ), le déplacement axial U(ξ). On note U(0) = UAξ et U(L) = UBξ les déplacements aux extrémités de la barre. On désigne par FAξ et FBξ les forces extérieures axiales en A et B. Ecrire les équations (très simples !) qui régissent l’équilibre et le comportement. de la barre. On utilisera la notation R = ES/L. Parmi les trois équations qui régissent l’équilibre d’une poutre, il ne subsiste que celle qui concerne l’effort axial, qui, en l’absence de force répartie le long de la barre, s’exprime par N,1 = 0 : l’effort normal est uniforme dans la barre. Pour une barre isolée, on aura N = −FAξ = FBξ . Il ne subsiste également qu’une équation pour le comportement, N = U,1 ES, soit : dU N = dξ ES
et, après intégration N = R(U(L) −U(0))
(13.41)
C.2. En utilisant le fait que U est linéaire en ξ, écrire l’expression reliant FAξ , FBξ , UAξ et UBξ . Exprimer la matrice [k]ξ,η telle que :
FAξ FBξ
UAξ = [k]ξ,η UBξ
et la matrice [K]ξ,η telle que :
FAξ UAξ FAη = [K]ξ,η UAη FBξ UBξ FBη UBη en tenant compte du fait que les déplacements perpendiculaires à l’axe de la barre ne génèrent pas d’effort (hypothèse des petites perturbations). Les expressions de la question précédente s’écrivent sous forme matricielle : FAξ 1 −1 UAξ = FBξ −1 1 UBξ
13.12. 25 MAI 2009
279
si bien que :
FAξ 1 FAη 0 = FBξ −1 FBη 0
0 −1 0 UAξ 0 0 0 UAη 0 1 0 UBξ 0 0 0 UBη
(13.42)
C.3. On veut maintenant exprimer le comportement de la barre dans un repère (x, y) tel que α=angle(x,ξ). Donner la forme de la matrice de passage à appliquer sur [K]ξ,η , et en déduire l’expression de la relation entre les composantes des vecteurs force et déplacement en A et B dans le repère (x, y) : UAx FAx UAy FAy = [K]x,y UBx FBx UBy FBy [K]x,y est la matrice de rigidité de l’élément «barre» AB. On utilisera les notations c = cos α et s = sin α. c −s La matrice est . En appliquant la rotation indiquée, il vient : s c 2 c −cs −c2 cs FAx UAx 2 U FAy −cs s2 cs −s = Ay FBx −c2 cs c2 −cs UBx FBy UBy cs −s2 −cs s2
(13.43)
Application à un système de trois barres On considère le système de la figure 2, constitué de trois barres de longueur L, respectivement désignées par les numéros cerclés (i=1,2,3). L’origine de leur repère local (points Ai ) est confondue avec l’origine 0 du repère (x, y) qui va maintenant être utilisé pour la résolution du problème. Elles font respectivement un angle 0, α et −α avec l’axe x de ce repère. Les résultantes axiales des efforts intérieurs i et F i et par F i et F i les composantes de sont notées N 1 , N 2 et N 3 . On désigne respectivement par FAx Bx By Ay l’effort extérieur aux points A et B qui peuvent être équilibrées par la barre i lorsque les déplacements i , U i , U i et U i . aux points Ai et Bi sont UAx Bx By Ay On supposera que les composantes du déplacement sont nulles pour les points Bi (i=1,2,3), et on appliquera à l’origine une force telle que F0x = Fx = F cos φ et F0y = Fy = F sin φ. Le déplacement résultant est alors caractérisé par U0x = Ux = U cos ψ et U0y = Uy = U sin ψ. 2
y 00 11 11 00 00000 11111 00 11 00000 11111 00000 11111
00000 11111 00000 11111 Β 211111 00000 00000 11111 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 11111 00000 00000 11111 00000 11111
00000 2 11111 00000 11111 00000 11111
11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 21 1 11 0 0 00000 11111 0 1 0 1 00000 11111 11111111111111111 00000000000000000 0 1 0 1 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 3 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 3 00000 11111 11 00 00000 11111 11 00
α
Α
0
1
Α
Α
Β
1
x
−α
3
Β
3
Figure 2 : Schéma du système de trois barres
C.4. Dans chaque barre, les déplacements et les forces extérieures à chaque extrémité sont reliées par la matrice de rigidité élémentaire qui a été définie à la question C.3. Il s’agit pour le moment de
280
CHAPITRE 13. ANNALES
construire la matrice de rigidité globale du système, [K], permettant d’obtenir la réponse vis-à-vis de n’importe quel type de sollicitation. Dans ce but, il faut réaliser l’opération d’assemblage, qui relie les composantes des efforts et des déplacements en numérotation globale (points 1 , 2 , 3 , 0 ). On nomme respectivement Fix et Fiy les composantes de ces forces en x et en y au point i . Décrire les opérations à réaliser pour effectuer l’assemblage, et exprimer [K] telle que : F1x U1x F1y U1y F2x U2x F2y = [K] U2y F3x U3x F3y U3y F0x U0x F0y
U0y
Il y a continuité des déplacements ; il faut donc égaler les déplacements locaux avec le déplacement global sur chaque nœud. Par ailleurs, il faut sommer les contributions de chaque barre, ce qui revient à ajouter les composantes de la matrice de rigidité. En fait, cette sommation ne s’effectue que sur le seul nœud global 0 . Pour le reste, les opérations à effectuer ne sont qu’une simple «translation d’adresse». Il vient : 1 1 F1x = F2x U1x = U2x 1 1 F1y = F2y U1y = U2y 2 2 F2x = F2x U2x = U2x 2 2 F2y = F2y U2y = U2y (13.44) = [K] 3 3 F3x = F2x U3x = U2x 3 3 F3y = F2y U3y = U2y 1 2 3 1 2 = U3 F0x = F1x + F1x + F1x U0x = U1x = U1x 1x 1 2 3 1 2 3 F0y = F1y + F1y + F1y U0y = U1y = U1y = U1y et :
1 0 − − [K] = − − −1 0
0 − − − − −1 0 0 − − − − 0 0 − c2 −cs − − −c2 cs − cs s2 − − cs −s2 − − − c2 cs −c2 −cs − − − cs s2 −cs −s2 0 −c2 cs −c2 −cs 1 + 2c2 0 0 cs −s2 −cs −s2 0 2s2
(13.45)
C.5. Calculer les composantes Ux et Uy du déplacement résultant de l’application de la force de composantes (Fx , Fy ). Ayant en main la matrice de rigidité globale du système, on peut résoudre de façon immédiate n’importe quel problème bien posé, pour lequel on impose sur chaque composante une condition en force ou une condition en déplacement. Dans le cas présent, les 6 premières composantes de déplacement sont nulles (Uix et Uiy , i = 1..3), et les deux dernières composantes en force sont connues. On en déduit les relations suivantes : Fx /R0 = (1 + 2c2 )Ux
(13.46)
Fy /R0 = 2s2Uy
(13.47)
13.12. 25 MAI 2009
Ni
281
i et F i (i=1,2,3), ainsi que les valeurs de l’effort normal C.6. Donner les valeurs des composantes FBx By dans chaque barre en fonction de Fx et Fy .
Les valeurs demandées se calculent directement à partir de Ux et Uy : F1x /R0 = −Ux
F1y /R0 = 0
F2x /R0 = −c2Ux + csUy
F2y /R0 = csUx − s2Uy
2
F3x /R0 = −c Ux − csUy
(13.48) 2
F3y /R0 = −csUx − s Uy
(13.49) (13.50)
On en déduit directement les valeurs des effort normaux dans chaque barre : Fx 1 + 2c2 sFy cFx N 2 /R0 = −cUx − sUy = − − 2 2 1 + 2c 2s sFy cF x + 2 N 3 /R0 = −cUx + sUy = − 2 1 + 2c 2s N 1 /R0 = −Ux
=
(13.51) (13.52) (13.53) (13.54)
Calcul direct du système de trois barres On se propose maintenant de retrouver par une approche directe les résultats précédents. Les conditions de chargement sont les mêmes que sur le système de la figure 2. On se reportera à sa description, juste avant la question C.4, pour prendre connaissance des différentes notations. Les déplacements sont bloqués aux points 1 , 2 , 3 . On cherche les relations entre le déplacement de l’origine (de composantes Ux et Uy ) et la force appliquée (de composantes Fx et Fy ) en ce point. C.7. Etablir la variation de longueur associée au déplacement Ux de l’origine pour une barre i faisant un angle α avec l’axe x. En déduire l’effort normal dans celle-ci. Calculer les composantes Fx et Fy correspondantes. La variation de longueur vaut simplement |Ux cos α|, soit |cUx |. L’effort normal N α vaut alors N α = R0 cUx , et les composantes : Fxi /R0 = c2Ux Fyi /R0 = csUx (13.55) C.8. Faire le même travail pour le déplacement Uy . On trouve respectivement une variation de longueur de |Uy sin α|, soit |sUy |, un effort normal N α = R0 sUy , et : Fxi /R0 = csUy Fyi /R0 = c2Uy (13.56) C.9. En assemblant les différentes contributions au point 0 pour les barres 1, 2, 3 (angles 0, α et −α), établir la relation entre Fx , Fy , Ux et Uy . En déduire les valeurs de l’effort normal N i dans chaque barre en fonction de Fx et Fy . En combinant les trois barres (faisant un angle O, α, −α), il vient :
On a ensuite :
Fxi /R0 = (1 + 2c2 )Ux
(13.57)
Fyi /R0 = 2s2Uy
(13.58)
Nα Fx c s Fy = cUx + sUy = + 2 2 R0 1 + 2c R0 2s R0
(13.59)
282
CHAPITRE 13. ANNALES Etude de la rigidité du système
C.10. Pour un angle α donné, on définit la raideur équivalente du système par le scalaire Rα = F/U. Montrer que cette raideur apparente dépend de l’orientation de la force appliquée. Tracer sa valeur dans un diagramme polaire en fonction de φ. Les deux méthodes précédentes nous ont permis d’obtenir les relations entre les composantes de la force au point 0 et les déplacements en ce point (eq.(13.47) ou eq.(13.58)). On évalue donc facilement le déplacement : cos2 (φ) sin2 (φ) F 2 2 2 Ux +Uy = + (13.60) (1 + 2c2 )2 4s4 R20 La raideur cherchée est donc : R(φ) = R0
sin2 (φ) cos2 (φ) + (1 + 2c2 )2 4s4
−1/2 (13.61)
La raideur du système est tracée ci-dessous pour deux valeurs particulières de l’angle α, π/2 et 2π/3. On note que la raideur est nulle si α = 0, puisqu’il n’y a dans ce cas aucune résistance à une composante de la force en direction y. 3 alpha=pi/2 alpha=2 pi/3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Figure 3 : Courbe polaire de la raideur du système pour deux valeurs particulière de l’angle α
C.11. Observer qu’en général l’angle ψ n’est pas égal à φ, ce qui signifie que le déplacement du point d’application de la force n’est pas colinéaire à celle-ci. Montrer qu’il existe une valeur α∗ de α pour laquelle on retrouve cette colinéarité. L’angle ψ est défini par le rapport des composantes du déplacement, soit : Uy 1 + 2c2 Fy = = tan ψ Ux 2s2 Fx
(13.62)
Pour retrouver la linéarité, il suffit que le terme qui multiplie √ le rapport des composantes de la force soit égale à 1. Cette condition est réalisée si |c| = 1/2 et |s| = 3/2, soit α = π/3, α = 2π/3 et les valeurs opposées. C.12. Calculer R∗ , valeur de la rigidité du système pour la valeur α∗ trouvée précédemment. Quelle est la propriété remarquable du système dans ce cas ? En utilisant les valeurs de c et s précédentes, on trouve R = 3R0 /2, constante quel que soit l’angle de sollicitation. Cette propriété est illustrée par la courbe polaire de la raideur tracée ci-dessus, qui est un cercle. Ceci montre que trois barres formant entre elles un angle de 120◦ forme un motif constitutif d’un matériau dont les propriétés élastiques sont isotropes dans le plan.
13.13. 7 JUIN 2010
283
Définition du domaine d’élasticité On suppose que la limite d’élasticité du matériau qui constitue les barres est égale à σy . C.13. En choisissant α = 2π/3, trouver les 6 inéquations qui déterminent la forme du «domaine d’élasticité», défini comme la zone du plan (Fx , Fy ) pour laquelle chaque barre reste en élasticité. Tracer ce domaine dans le plan (Fx , Fy ), en indiquant sur chaque segment de la frontière la poutre qui se plastifie et le type de plastification (traction ou compression). C.14. Même question avec α = π/2. Etude de la charge de ruine On suppose que le matériau a un comportement élastique parfaitement plastique, donc que σy est la contrainte maximale que peut supporter la barre. On cherche maintenant à établir la frontière du domaine correspondant à la ruine du système, supposée être obtenue par charge limite ou par flambement. C.15. Caractériser la frontière du domaine admissible vis-à-vis de la charge limite pour le cas α = π/2. C.16. En considérant maintenant le cas α = 2π/3, justifier le fait que la ruine du système est atteinte si deux barres atteignent simultanément la limite d’élasticité. Calculer la valeur limite admissible de la force Fx , en supposant que Fy = 0. Tracer la frontière du domaine définissant la charge limite dans le plan (Fx , Fy ). C.17. Indiquer, en fonction du moment quadratique I de la section, la valeur de la force axiale de compression qui provoque le flambement de la barre. Calculer, dans le cas d’une section circulaire de rayon a (où I = πa4 /4) la valeur du rapport a/L à partir de laquelle la barre flambe en compression avant de se plastifier. Quelles sont les modifications à apporter aux figures représentant le domaine d’élasticité et le domaine de charge limite pour tenir compte de ce nouveau mode de ruine ? Effectuer les applications pour α = π/2 et α = 2π/3.
13.13
7 juin 2010
13.13.1
A. Etude d’une plaque trouée en pression interne et en chargement biaxial
On considère un anneau limité par deux cercles concentriques, de centre O et de rayons a et b (avec a < b). On l’étudie dans le repère cylindrique centré en O, qui est le repère principal, l’axe z étant perpendiculaire au plan de l’anneau. On note par σr , σθ , σz les trois contraintes principales et par εr , εθ , εz les trois déformations principales. On utilisera le fait que les contraintes radiales et orthoradiales sont respectivement de la forme B B σr = A − 2 σθ = A + 2 r r tant que le comportement est élastique. On étudiera successivement le cas des contraintes planes (CP), pour lequel σz = 0, et celui des déformations planes (DP) où εz = 0. Cette dernière condition permet d’exprimer σz , à partir de la condition εz = 0. On suppose que le matériau est élastique isotrope (de module E, et de coefficient de Poisson ν = 1/2) parfaitement plastique (limite l’élasticité σy ).
284
CHAPITRE 13. ANNALES
Limite d’élasticité en pression interne A.1 L’anneau est soumis à une pression p (p > 0) sur la surface intérieure, qui se traduit par (σr (r = a) = −p) alors que la surface extérieure (en r = b) est libre. Trouver l’expression de A et B. En écrivant que la contrainte radiale est égale à −p pour r = a et à zéro pour r = b, on trouve : p a2 b2 p a2 b2 σr = 2 1 − σ = 1 + (13.63) θ b − a2 r2 b2 − a2 r2
A.2 Classer les composantes du tenseur des contraintes par ordre croissant, et calculer le critère de Tresca dans le cas CP et DP. En CP comme en DP, on a σr 6 σz 6 σθ , la contrainte σz étant nulle en CP, et égale à la demi-somme de σr et σθ en DP. Dans les deux cas, on a donc : σTresca = σθ − σr =
2p a2 b2 (b2 − a2 ) r2
(13.64)
A.3 Calculer le critère de von Mises dans le cas CP et DP. On calcule le critère de von Mises en CP en utilisant son expression en fonction des contraintes 1/2 normales principales, J = σ2r + σ2θ − σr σθ . Il vient : p a2 J= 2 b − a2
1/2 3b4 1 3 1/2 p a2 b2 1+ 4 + = 2 r b − a2 b4 r 4
(13.65)
Pour le cas des DP, on calcule le déviateur du tenseur de contrainte en soustrayant le tenseur sphérique (σr + σθ )I∼ (I∼ est le tenseur identité). Le déviateur se réduit à la diagonale (σr − σθ )/2; 0; (σθ − σr )/2, qui est un état de cisaillement pur. Le critère de von Mises vaut alors : √ √ 3 3p a2 b2 (σθ − σr ) = 2 (13.66) J= 2 (b − a2 ) r2 1 2
A.4 Indiquer à quel endroit les critères prennent leur valeur maximale dans les quatre cas précédents, et en déduire les valeurs de pression pe correspondant à la plasticité commençante. Le maximum des expressions précédentes se rencontre en r = a. On trouve respectivement : σTresca, CP/DP =
2p b2 b2 − a2
p b2 σMises, CP = 2 b − a2 √ 3pb2 σMises, DP = 2 b − a2
(13.67)
a4 3+ 4 b
1/2 (13.68) (13.69)
Ce qui fournit la valeur de la contrainte pe dans chaque cas, en égalant les expressions précédentes à σy . A.5 Calculer le rapport σr /σθ . En déduire la forme du tenseur des vitesses de déformation plastique lorsqu’on est à plasticité commençante si on utilise le critère de Tresca.
13.13. 7 JUIN 2010
285
Le rapport demandé est : b2 − r2 σr =− 2 σθ b + r2
(13.70)
Ce rapport est toujours négatif. Il est minimum pour r = a et maximum (et égal à zéro) pour r = b : −
b2 − a2 σr 6 60 2 2 b +a σθ
(13.71)
Dans toute la zone où le rapport est strictement négatif (donc, partout sauf en r = b), le tenseur de déformation plastique n’a que deux composantes non nulles, correspondants aux contraintes extrêmes qui interviennent dans le critère de Tresca : ε˙ rp = −ε˙ θp
ε˙ zp = 0
(13.72)
A.6 Que deviennent les résultats précédents (composantes du tenseur de contraintes, critères, valeur max, vitesses de déformation plastique) lorsque b tend vers l’infini ? Lorsque b → ∞, le rapport σr /σθ prend sa valeur minimale, -1. On retrouve le cas d’un massif infini ; on est en cisaillement pur. Les contraintes radiale et orthoradiale valent respectivement : σθ = −σr =
pa2 r2
(13.73)
Pour chaque critère, les valeurs obtenues en CP et en DP sont identiques. La valeur obtenue avec le √ critère de von Mises est √ 2σθ , celle fournie par le critère de Tresca est 3σθ . En r = a, on trouve donc respectivement 2p et 3p. Limite d’élasticité en traction biaxiale A.7 On suppose maintenant que la surface intérieure (en r = a) est libre, et que la surface extérieure est soumise à une tension (σr (r = b) = p). Trouver les valeurs de A et B pour ce nouvel état de contraintes. Quelle est la valeur de la concentration de contrainte créée par le trou (c’est-à-dire la valeur du rapport entre la plus grande composante de contrainte dans l’anneau et celle qui est appliquée au loin) ? La contrainte radiale est nulle en r = a et vaut p en r = b. On en déduit : a2 p b2 a2 p b2 σr = 2 1− 2 σθ = 2 1+ 2 b − a2 r b − a2 r
(13.74)
En r = a, la concentration de contrainte, σθ /p, vaut 2b2 /(b2 − a2 ). Lorsque b → ∞, elle tend vers 2. A.8 Trouver, en faisant le moins de calcul possible, les valeurs des critères de Tresca et von Mises pour les cas CP et DP. Il suffit de changer a en b au numérateur dans les questions A2 et A3 pour trouver les valeurs cherchées. L’expression du critère de Tresca est donc inchangée. Il en est de même pour le critère de von Mises en DP. Le critère de von Mises en CP donne : 1/2 p b2 3a4 p a2 b2 1 3 1/2 J= 2 1+ 4 = 2 + (13.75) b − a2 r b − a2 a4 r4
286
CHAPITRE 13. ANNALES
A.9 Indiquer à quel endroit les critères prennent leur valeur maximale dans les quatre cas précédents, et en déduire les valeurs de pression pe correspondant à la plasticité commençante. Dans chacun des quatre cas, le maximum est obtenu pour r = a. Le critère de Tresca donne le même résultat que celui de von Mises en CP (ce qui est normal, car on a un état de contrainte uniaxial en r = a). On obtient : 2p b2 b2 − a2 2p b2 σMises, CP = 2 b − a2 √ 3pb2 σMises, DP = 2 b − a2
σTresca, CP/DP =
(13.76) (13.77) (13.78)
A.10 Calculer le rapport σr /σθ . En déduire la forme du tenseur des vitesses de déformation plastique lorsqu’on est à plasticité commençante si on utilise le critère de Tresca. Le rapport des contraintes radiale et orthoradiale est toujours positif : σr r 2 − a2 = 2 σθ r + a2
(13.79)
Il est minimum (et égal à zéro) pour r = a et maximum pour r = b : 06
b2 − a2 σr 6 2 σθ b + a2
(13.80)
Dans toute la zone où le rapport est strictement positif (donc, partout sauf en r = a), le tenseur de déformation plastique n’a que deux composantes non nulles, correspondants aux contraintes extrêmes qui interviennent dans le critère de Tresca : ε˙ zp = −ε˙ θp
ε˙ rp = 0
(13.81)
A.11 Que deviennent les résultats précédents (composantes du tenseur de contraintes, critères, valeur max, vitesses de déformation plastique) lorsque b tend vers l’infini ? Lorsque b → ∞, on trouve : a2 σr = p 1 − 2 r
a2 σθ = p 1 + 2 r
2p a2 r2 1/2 3a4 σMises, CP =p 1 + 4 r √ 3pa2 σMises, DP = r2
σTresca, CP/DP =
(13.82)
(13.83) (13.84) (13.85)
Pour le critère de Tresca (CP et DP), et pour le critère √ de von Mises en CP, la contrainte équivalente tend vers 2p, pour le critère de von Mises en DP vers 3p.
13.13. 7 JUIN 2010
287
Etude en pression interne, en plasticité A.12 On considère le cas DP, et on suppose que le matériau obéit au critère de Tresca. Si on continue à augmenter la pression au-delà de pe , deux zones coexistent dans l’anneau, une zone plastique et une zone élastique, la frontière se situant au rayon r = c (avec a 6 c 6 b). Situer la zone élastique et donner sans calcul l’expression du tenseur de contrainte dans celle-ci. Pour le critère de Tresca, en DP, ob obtient la plastification lorsque : σy 2pb2 a2 σy = 2 soit : pe = 1− 2 (13.86) b − a2 2 b En régime élasto-plastique, la zone élastique se situe dans la zone r > c, et on obtient l’expression des contraintes dans cette zone en appliquant une pression p = pe (b, c) en r = c : σy c2 c2 b2 1− 2 1− 2 (13.87) σr = 2 b b2 − c2 r σy b2 c2 σr = 1− 2 (13.88) 2 r b2 σy b2 c2 1+ 2 (13.89) σθ = 2 r b2 A.13. En utilisant l’expression de la seule équation d’équilibre non triviale σr,r +
σr − σθ =0 r
et le fait que le critère de Tresca est vérifié dans la zone plastique, trouver la forme de σr dans la zone plastique. Utiliser la condition sur σr en r = c pour exprimer σr en fonction de r et c. Dans l’équation d’équilibre, on remplace σθ − σr par σy , on a donc à intégrer l’équation σr,r = σy /r, ce qui donne donc σr = σy Ln(r) + K. On trouve la constante K en égalant les valeurs de la contrainte radiale exprimée dans la zone élastique et dans la zone plastique en r = c : K + σy Ln(c) =
σy c2 − b2 2 b2
(13.90)
L’expression finale est donc : σy c2 − b2 σy r σr = σy Ln( ) + =− 2 c 2 b 2
c2 2Ln +1− 2 a b c
(13.91)
A.14. En utilisant la condition à la limite en r = a, donner la relation entre la pression appliquée p et la valeur de c. En déduire la valeur de la pression maximale que peut supporter l’anneau. En utilisant le fait que la contrainte radiale en r = a vaut −p, il vient : c σy c2 p=− 2Ln +1− 2 (13.92) 2 a b La pression maximale p∞ que peut subir le système est obtenue lorsque c atteint b : b p∞ = σy Ln a
(13.93)
288
CHAPITRE 13. ANNALES
13.13.2
B. Etude de divers modèles rhéologiques
On représente par des modèles rhéologiques des matériaux au comportement visqueux et des matériaux plastiques fragiles. L’assemblage de ces différents modèles peut conduire à des déplacements locaux non monotones sous un chargement extérieur monotone. Modèles viscoélastiques (ηa )
(Ea )
Fig.1 : Modèle de Maxwell
B.1. On considère un modèle viscoélastique de Maxwell, composé par l’assemblage en série d’un amortisseur de viscosité ηa et d’un ressort de module Ea (Fig.1). Donner l’équation différentielle qui caractérise le comportement de ce modèle. En déduire la réponse du modèle sous chargement monotone croissant à vitesse de déformation imposée, ε˙ ∗ . On désigne ce modèle par MAa . L’équation qui gouverne le modèle s’écrit : ε˙ =
σ σ˙ + ηa Ea
(13.94)
On pose τa = ηa /Ea . La solution sans second membre s’écrit σ = K exp(−t/τa ), et la solution particulière (obtenue pour σ˙ = 0) σ = Ea τa ε˙ ∗ = ηa ε˙ ∗ . L’évoluiton de la contrainte pour une traction à vitesse de déformation imposée ε˙ ∗ est donc : t ∗ ˙ (13.95) σ = ηa ε 1 − exp − τa (Ha ) (Ea ) (ηa )
Fig.2 : Modèle de Kelvin–Voigt
B.2. On considère un modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt, construit à partir du précédent en ajoutant un ressort de module Ha en parallèle de l’amortisseur (Fig.2). On désigne ce modèle par KVa . Donner l’équation différentielle qui caractérise son comportement visqueux, et sa réponse sous chargement monotone croissant à vitesse de déformation imposée, ε˙ ∗ . Chaque partie de l’assemblage fournit une équation. On a donc, en appelant εa la déformation de l’amortisseur : σ = Ha εa + ηa ε˙ a
(13.96)
σ = Ea (ε − εa )
(13.97)
Ce qui donne : (Ha + Ea )εa + ηa ε˙ a = Ea ε
(13.98)
13.13. 7 JUIN 2010
289
En posant τ0a = ηa /(Ha + Ea ), il vient : εa Ea Ea ε˙ ∗ t ˙ + ε = ε = a τ0a ηa Ea + Ha τ0a
(13.99)
La solution de l’équation sans second membre est εa = K exp(−t/τ0a ). On applique la méthode de "variation de la constante" pour trouver finalement : t Ea ε˙ ∗ 0 t + τa exp − 0 − 1 (13.100) εa = Ea + Ha τa On peut alors exprimer l’évolution de la contrainte : Ea ε˙ ∗ t 0 σa = Ea (ε − εa ) = Hat + Ea τa 1 − exp − 0 Ea + Ha τa
(13.101)
Modèle élastique-plastique-fragile (EPF) (σy , εr )
(E)
Fig.3 : Modèle élastique-plastique-fragile EPF1 B.3. On considère par ailleurs un modèle élastique-parfaitement plastique-fragile, composé d’un assemblage en série d’un ressort de module E, et d’un patin qui se déclenche pour une valeur absolue de la contrainte égale à σy , et qui se rompt lorsqu’il a subi un glissement cumulé égal à εr (Fig.3). Tracer la courbe de traction que l’on obtient avec ce modèle (EPF1 ), lors d’une traction à déformation imposée. La contrainte est limitée à σy . Elle revient à zéro à rupture, lorsque le glissement du patin atteint εr . σ σy
(E)
O
σy /E
εr + σy /E
ε
B.4. On assemble maintenant en parallèle (Fig.4) deux modèles de type EPF1 , formant ainsi un modèle EPF2 , à deux branches, notées [0] et [1]. Le ressort de la branche [0] a un module de E/(1 + k), alors que celui de la branche [1] a un module de kE/(1 + k), avec 0 < k < 1. La contrainte limite vaut σy /2 pour chacune des deux branches, et le glissement qui conduit à la rupture vaut εr pour chaque patin. On réalise une traction à déformation imposée sur le système. Indiquer la valeur de la pente de la courbe contrainte-déformation dans le domaine d’élasticité et la valeur de la limite d’élasticité. [0] (σy /2,εr )
(E/(1 + k))
(σy /2,εr )
(kE/(1 + k))
[1]
Fig.4 : Modèle élastique-plastique-fragile EPF2
290
CHAPITRE 13. ANNALES
Tant qu’on reste en élasticité, les contraintes dans chaque branche sont proportionnelles au module de Young. La résultante est toujours telle que σ = Eε (la pente est donc E). Elle se décompose en : σ0 =
Eε 1+k
σ1 =
kEε 1+k
(13.102)
C’est donc la branche [O] qui se plastifie la première. La contrainte correspondante est telle que σ0 = σy /2, soit : 1+k σ= σy (13.103) 2 B.5. Pour ce même modèle EPF2 , donner la pente à la courbe de traction au début du régime élastoplastique. Cette branche du comportement prend fin soit avec la rupture de la branche qui s’est plastifiée, soit avec la plastification de la deuxième branche. Donner la condition caractéristique de la transition entre ces deux situations. Lorsque la branche [O] est en régime plastique, la contrainte qu’elle supporte reste constante (de valeur σy /2). La pente est donc définie par la branche [1] : dσ dσ1 kE = = dε dε 1+k
(13.104)
Le point critique définissant de façon qualitative le comportement correspond à la situation où la branche [O] (déjà plastifiée) se casse exactement au moment où la branche [1] entre en régime plastique. L’équation suivante exprime cette égalité, avec, au premier membre, la rupture de la branche [O], et au second membre la plastification de la branche [1] : (1 + k)σy (1 + k)σy + εr = 2E 2Ek
(13.105)
On trouve donc la relation suivante entre E, σy , εr et k : εr =
1 − k2 σy k 2E
(13.106)
B.6. Tracer la réponse complète lors de l’expérience de traction à déformation imposée lorsque les deux branches se plastifient avant que la rupture ne se produise. σ σy
σy 2
(E) [0]
εr
[1] εr O
σy /E
ε
B.7. Tracer la réponse complète lors de l’expérience de traction à déformation imposée lorsque la rupture de la première branche se produit avant plastification totale.
13.13. 7 JUIN 2010
291 σ
σy 2
[0] (E) [1] εr
O
εr
σy /E
ε
Un système élasto-visco-plastique-fragile σ σ0
R (kE)
(E)
T S εc
O
ε
Fig.5 : Réponse du modèle élastique-plastique-fragile simplifié
B.8. On place en série un modèle KVa et un modèle EPF simplifié. On désigne par εa la déformation du modèle KVa et par ε f celle du modèle EPF. La réponse en traction du modèle EPF est représentée en Fig.5 (chemin ORST). On suppose que le module initial du système vaut E, et qu’il se produit une rupture au point R (εc ,σO ), à la suite de quoi (segment ST) la réponse du modèle obéit à la relation σ = kEε f (avec 0 < k < 1). Dans quelles conditions un modèle EPF2 se réduit-il à celui-ci ? Calculer la réponse du système à un chargement à vitesse de déformation imposée ε˙ ∗ lorsque le modèle EPF est dans sa phase élastique (segment OR). On obtient la réponse indiquée lorsque εr = 0. On retrouve donc : σ0 =
1+k σy 2
εc =
σy 2(1 + k)E
(13.107)
En phase élastique, le modèle EPF se comporte comme un ressort de caractéristique (E). Il vient : σ = Ha εa + ηε˙ a
ε = ε f + εa +
σ Ea
(13.108)
En tenant compte du fait que ε f = Eσ , on a : σ=
Ea E (ε − εa ) Ea + E
On retrouve donc les mêmes équations qu’en B2, en remplaçant Ea par
(13.109) Ea E . Ea + E
292
CHAPITRE 13. ANNALES
B.9. Que se passe-t-il respectivement dans KVa et dans EPF au moment de la rupture ? Décrire l’évolution instantanée de la contrainte et des déformations εa et ε f . Caractériser l’évolution ultérieure de εa . Est-elle toujours monotone ? Au moment de la rupture, on a : ε = ε f + εa +
σ Ea
(13.110)
Instantanément, on passe de σ à σy /2 et de E à kE/(1 + k). Le nouveau chargement s’effectue à partir de [εa (tR ); σ(tR ) − σy /2]s avec la même équation différentielle qu’avant, dans lesquelles on utilisera le module Ea00 et la constante de temps τ00 : Ea00 =
(1 + k)Ea + kE kEEa
τ00 =
ηa Ea00
(13.111)
On montre que εa peut diminuer avant de réaugmenter.
13.13.3
C. Etude d’une poutre sur appuis
On se propose d’étudier la poutre droite AC de longueur 2L et d’axe Ox1 , posée sur trois appuis simples et soumise à un chargement réparti. Les extrémités A et C ont respectivement pour abscisse : x1A = −L et x1C = L. L’appui intermédiaire en B a pour abscisse x1B = αL (avec 0 6 α < 1). La section transversale de la poutre est constante et admet le plan Ox1 x3 comme plan de symétrie. La poutre est −−→ soumise à une densité linéique uniforme de force : q(x) = −qOx3 , avec q > 0 constant. Les appuis en A, B et C sont simples, unilatéraux, n’exerçant donc en ces points sur la poutre AC que des réactions −−→ − −−→ − −−→ − → → → que l’on notera RA = RA Ox3 , RB = RB Ox3 , RC = RC Ox3 avec les conditions de liaison : RA > 0, RB > 0, RC > 0. C.1 Déterminer, en fonction de RB et q, les valeurs des réactions des appuis lorsque la structure est en équilibre sous le chargement défini par q. Compte tenu de la forme des données, on se place dans le cadre de la théorie des poutres droites à plan moyen chargées dans leur plan. En appliquant le principe fondamental de la statique, on obtient : RA = qL − RB
(1 − α) 2
RC = qL − RB
(1 + α) 2
13.14. 30 MAI 2011
293
C.2 Préciser et expliquer le domaine de variation permis pour l’inconnue hyperstatique RB par les conditions de liaison réelles du problème. Ces formules ne sont à conserver que si elles sont compatibles avec les conditions réelles de liaison aux appuis. D’où, en écrivant que RA > 0, RB > 0 et RC > 0 : 2qL 0 6 RB 6 1+α (1 − α) (1 + α) RA = qL − RB RC = qL − RB 2 2 2qL La valeur de l’inconnue hyperstatique RB ne peut sortir du domaine 0 6 RB 6 ; en effet la 1+α 2qL borne RB = 0 est imposée par l’appui unilatéral en B, et la borne RB = ne peut être franchie car, 1+α dès que la liaison unilatérale en C est rompue, le problème est isostatique, BB est déterminée et égale à 2qL . 1+α C.3 Donner, en fonction de RB et q, l’expression de toutes les distributions de torseurs d’efforts intérieurs (effort normal N, effort tranchant T et moment de flexion M). On a dans tous les cas N(x1 ) = 0. Pour l’effort tranchant et le moment, l’expression des efforts intérieurs dépend de la travée considérée : – lorsque −L 6 x1 < αL : T (x1 ) = qx1 + RB M(x1 ) = q
(1 − α) 2
1−α L2 − x12 − RB (L + x1 ) 2 2
(13.112) (13.113)
– lorsque αL < x1 6 L : T (x1 ) = qx1 − RB M(x1 ) = q où 0 6 RB 6
(1 + α) 2
L2 − x12 1+α − RB (L − x1 ) 2 2
(13.114) (13.115)
2qL . 1+α
13.14
30 mai 2011
13.14.1
A. Etude du comportement d’une couche mince
Une pièce cylindrique de section circulaire est soumise à un chargement de traction simple dans la direction de son axe. Le matériau qui la compose sera considéré comme élastique isotrope dans tout le problème, les constantes élastiques étant E ? et ν? . On effectue sur cette pièce le dépôt d’un second matériau, sous forme d’une couche très mince. Ce second matériau a un comportement élastique parfaitement plastique, caractérisé par des constantes élastiques E et ν différentes de celles du matériau qui constitue le support, et par une limite d’élasticité σy . On utilisera selon la question le critère de von Mises ou le critère de Tresca. On suppose que le procédé ne crée pas de contrainte, si bien que dans son état initial le système présente des champs de contraintes et de déformation uniformément nuls. On admet dans la suite que la couche est suffisamment mince pour ne pas influencer le comportement du support : la couche va donc subir un chargement en déformation imposée dans son plan. On résoudra le problème en coordonnées cylindriques (rθz). On notera les composantes axiales de la déformation dans la couche mince par εr , εθ ,εz ; celles de la déformation plastique par εrp , εθp , εzp ; celles de la contrainte par σr , σθ , σz .
294
CHAPITRE 13. ANNALES
Calcul en élasticité A.1 On admet que l’état de contrainte dans la couche est uniforme. Justifier le fait que les axes du repère sont les directions principales et que le chargement imposé à la couche est mixte, en contrainte et déformation. Quelle est la valeur de la composante de contrainte qui est imposée et celles des composantes de la déformation qui sont imposées ? On utilisera le module de Young E, le coefficient de Poisson ν? et la déformation axiale imposée sur la pièce cylindrique, ε, que l’on supposera nulle dans les conditions initiales, puis monotone croissante. La couche superficielle est en état de containte plane dans le plan (θz). Tous les termes non diagonaux des tenseurs de contrainte et de déformation sont nuls. La composante radiale σr est nulle. Pour ce qui est des déformations, on a : εz = ε εθ = −ν? ε A.2 Ecrire la loi de comportement élastique dans la couche qui permet de trouver les trois inconnues du problème, εr , σθ , σz . En remplaçant σr , εθ et εz par leur valeur, il vient : Eεr = −ν(σθ + σz ) ?
−Eν ε = σθ − νσz Eε = −νσθ + σz
(13.116) (13.117) (13.118)
A.3 Calculer σθ et σz en fonction de E, ν et ν? . Discuter le signe de σθ en fonction des valeurs relatives de ν et ν? . En résolvant le système linéaire formé par les deux dernières équations du système 13.118, il vient : Eε (ν − ν? ) (13.119) σθ = 1 − ν2 Eε σz = (1 − νν? ) (13.120) 1 − ν2 Si ν? est plus grand que ν, le support se rétracte dans la direction orthoradiale («effet Poisson») plus que ne le ferait le film mince s’il était libre, mettant donc celui-ci en compression. On a bien entendu l’effet opposé si ν? est plus petit que ν. A.4 Calculer εr et préciser son signe. Comment le film se déforme-t-il ? Un calcul élémentaire montre que εr est toujours négatif, ce qui indique que l’épaisseur du film diminue ; 1 − ν? (13.121) 1−ν Le film s’allonge en direction axiale, et se raccourcit ou s’allonge en direction orthoradiale, en fonction des valeurs relatives de ν et ν? . Eεr = −Eεν
Etude en plasticité A.5 Calculer la déformation εT R pour laquelle on atteint la limite d’élasticité en appliquant le critère de Tresca, en fonction des valeurs respectives de ν et ν? . Quel est le cas le plus défavorable ? On vérifie que σz est toujours supérieur à σθ : 1 + ν? (13.122) 1+ν La valeur du critère de Tresca fT R (σ ) étant égale à la différence entre les deux contraintes principales ∼ extrêmes, on doit distinguer deux cas pour son évaluation : σz − σθ == Eε
13.14. 30 MAI 2011
295
–Si ν > ν? : alors 0 = σr 6 σθ < σz , et : fT R (σ ) = σz − σy = Eε ∼
1 − νν? − σy 1 − ν2
(13.123)
La valeur de la déformation pour laquelle la couche mince entre en plasticité est donc : εT R =
1 − ν2 σy 1 − νν? E
(13.124)
– Si ν 6 ν? : alors σθ 6 0 = σr < σz , et : f (σ ) = σz − σθ − σy = Eε ∼
1 + ν? − σy 1+ν
(13.125)
La valeur de la déformation pour laquelle la couche mince entre en plasticité est donc : εT R =
1 + ν σy 1 + ν? E
(13.126)
A.6 Caractériser également la déformation limite εV M pour le critère de von Mises. Calculer pour ce point le rapport σθ /σz . Pour évaluer le critère de von Mises, on utilise l’expression de l’invariant de von Mises J en fonction des contraintes normales principales : fV M = J − σy = En posant N =
1 2
1/2 1 2 σz + σ2θ − σz σθ 2
(13.127)
1/2 (1 − νν? )2 + (ν − ν? )2 − (ν − ν? )(1 − νν? ) , il vient : εV M =
1 − ν2 σy N E
(13.128)
A.7 Ecrire le système provenant de la décomposition de la déformation totale en une partie élastique et une partie plastique, qui relie donc εr , εθ ,εz , εrp , εθp , εzp , σr , σθ , σz , et les paramètres E, ν et ν? . Eεr = −ν(σθ + σz ) + Eεrp ?
−Eν ε = Eε =
(13.129)
σθ − νσz + Eεθp
(13.130)
−νσθ + σz + Eεzp
(13.131)
On ne cherche à traiter que le problème des composantes axiale et orthoradiale, ce qui limite le nombre d’inconnues à 4 (εθp , εzp , σθ , σz ) et le nombre d’équations à 2. A.8 Ecrire dans la couche mince le tenseur de contrainte, son déviateur, et définir la direction de l’écoulement plastique selon les directions axiale et orthoradiale, nz et nθ si le critère retenu est celui de von Mises.
296
CHAPITRE 13. ANNALES
Le tenseur de contrainte s’exprime dans (rθz) par la diagonale (0; σθ ; σz ), le déviateur par la diagonale (1/3 (−(σθ + σz ); 2σθ − σz ; 2σz − σθ ). La normale s’exprime en fonction du déviateur ∼s et de J comme (3/2)s∼ /J, si bien que : nθ =
2σθ − σz 2J
nz =
2σz − σθ 2J
(13.132)
A.9 Exprimer ε˙ θp et ε˙ zp en fonction de p, ˙ nz et nθ et en déduire qu’il ne reste que trois inconnues au problème. Ecrire les équations définissant les vitesses de déformation axiale et orthoradiale. On a ε˙ θp = pn ˙ θ et ε˙ zp = pn ˙ z , si bien que les composantes s’écrivent : −Eν? ε˙ = σ˙ θ − νσ˙ z + Enθ p˙ E ε˙ = −νσ˙ θ + σ˙ z + Enz p˙
(13.133) (13.134)
A.10 Trouver l’equation manquante en exprimant la condition de cohérence. L’intégration du système n’est pas analytique. La condition de cohérence f˙V M = 0 se réduit à J˙ = 0, soit encore : nθ σ˙ θ + nz σ˙ z = 0
(13.135)
A.11 Au cours de l’écoulement plastique, l’état de contrainte reste sur la surface de charge. Montrer que lorque la déformation ε augmente, les composantes σθ et σz tendent vers une limite, dont on donnera la valeur. On comparera ensuite le rapport σθ , σz dans l’état asymptotique avec celui obtenu en sortie du domaine d’élasticité. On aura atteint un état asymptotique en contrainte si les dérivées de σθ et σz sont nulles. Dans ce le système 13.134, cette condition conduit à : −Eν? ε = Enθ p˙
(13.136)
Eε = Enz p˙
(13.137)
Le rapport nθ /nz est donc égal à −ν? , ce qui conduit finalement à : σθ 1 − 2ν? = σz 2 − ν?
(13.138)
Résultat d’une simulation numérique dans le plan σz –σθ avec ν = 0.2 et ν? = 0.4. Les demi-droites (E) et (P) ont respectivement les pentes données par les solutions élastique (question 3) et plastique (quesiton 11).
13.14. 30 MAI 2011
13.14.2
297
B. Etude des vibrations d’une poutre
Avec cet exercice, on propose d’étudier le phénomène de résonance d’une poutre soumise à des vibrations forcées. En général, les propriétés d’amortissement des matériaux sont trop faibles pour dissiper l’énergie accumulée par un système mécanique qui entre en résonance. Il est donc nécessaire d’éviter de soumettre le système aux sollicitations qui conduisent à ce phénomène. L’exercice commence par une analyse quasi statique de l’effet d’une masse concentrée. Puis nous considérons les effets de l’inertie de cette masse en mouvement dans deux situations. La première situation correspond à l’étude des vibrations libres pour toute les conditions initiales possibles. La seconde correspond à l’étude des vibrations forcées, en régime stationnaire, c’est à dire sans tenir compte de conditions initiales. A ce stade de l’exercice, les sollicitations à éviter auront été identifiées. Pour les plus courageux, cet exercice se termine par une modélisation de l’amortissement par une loi de type Kelvin-Voight. x3 A x1
B
C m
Poutre sur deux appuis simples liée à une masse m à une des extrémités. Hypothèses : Pour l’étude des vibrations du système mécanique, un modèle de poutre de NavierBernoulli suffit. Seule la masse m concentrée au point C est significative, l’effet mécanique de la masse volumique de la poutre est négligeable. La poutre est élastique sauf dans la dernière partie de l’exercice. La masse est ponctuelle et indéformable. Seuls les déplacements transverses seront considérés, les déplacements longitudinaux étant nuls. QUESTIONS : B1. Considérons le problème quasi statique (en négligeant les effets d’inertie) de la poutre chargée par le poids de la masse m. L’action de la masse sur la poutre sera noté P. Est-il possible de déterminer les réactions des appuis sans connaître le torseur des efforts intérieurs ? Quelle est la propriété du système mécanique étudié ? B2. Dans le cas quasi statique introduit à la première question, donner l’expression de l’effort tranchant et du moment fléchissant dans les différents tronçons de la poutre. B3. Dans le cas quasi statique introduit à la première question, donner l’expression du déplacement transverse. B4. Etudions maintenant la dynamique du système en considérant les effets de l’inertie de la masse m animée d’un mouvement transverse w(t). Quelle est l’expression de P en supposant que la masse est toujours accrochée à la poutre en C quel que soit le niveau des vibrations ? B5. Quelle est l’équation différentielle en temps qui permet de prévoir le mouvement du système mécanique ? B6. L’équation précédente régit le mouvement de vibration libre, il n’y a pas d’action extérieure imposée au système constitué de la masse et de la poutre. Quelles sont les solutions de cette équation. On distinguera la forme du champ de déplacement qui par définition correspond à un mode propre. Pour faciliter le déroulement des calculs, il est préférable d’écrire une équation différentielle ordinaire sur w, puis d’utiliser la liaison cinématique entre w et le déplacement transverse de la poutre en C.
298
CHAPITRE 13. ANNALES
B7. En considérant une action imposée supplémentaire F(t) = Fm sin(ω t) s’ajoutant à l’action P calculée à la question 4, nous obtenons le problème de vibration forcée. Donner l’équation différentielle en temps décrivant l’évolution de w. En recherchant la solution particulière de cette équation, montrer que l’amplitude de w est infinie pour une pulsation d’excitation ω correspondant à une pulsation caractéristique du système appelée pulsation propre. B8. Quel type de sollicitation faut-il éviter ? B9. Que devient la réponse aux vibrations forcées en introduisant le modèle de comportement de type Kelvin-Voight ci-dessous, reliant le moment fléchissant à la dérivée seconde en espace du déplacement transverse ? ∂3V ∂2V M = EI 2 + ηI 2 ∂ x1 ∂ x1 ∂t où η est le coefficient de viscosité du matériau.
13.14.3
Propagation d’une fissure de fatigue dans un disque mince non alésé en rotation
On propose dans cet exercice d’étudier la propagation par fatigue d’une fissure dans un disque mince non alésé. Comme schématisé dans le figure 1, on considère une fissure partant du bord extérieur du disque et se propageant de manière radiale vers le centre. La longueur de la fissure est notée a sur la figure. Le fait de considérer un disque mince permet d’utiliser certains résultats de la littérature concernant l’étude des disques de section rectangulaire en contrainte plane. Le texte est divisé en quatre parties. Dans la première on évalue la vitesse limite de plastification du disque sain afin de déterminer les condition normale d’utilisation d’un tel disque. Dans la deuxième on étudie la rupture brutale du disque fissuré par perte de ténacité à partir du calcul du facteur d’intensité des contrainte. Dans la troisième partie, on évalue les coefficients de la loi de Paris du matériau. Dans la dernière partie, on défini la loi de propagation de la fissure, puis l’on calcule un nombre de cycle à la rupture pour une longueur initiale donnée.
fissure
w
w
a
R
R
Disque sain
Disque fissuré
Figure 1 : Représentations schématique d’un disque sain (non-fissuré) et d’un disque fissuré.
Vitesse critique d’apparition de la plasticité dans un disque sain Le champ de contrainte dans un disque mince non fissuré soumis à une vitesse de rotation w est de la forme suivante en coordonnées cylindriques pour un point du disque donné de rayon r :
0 0 σrr (r) σθθ (r) 0 σ (r) = 0 ∼ 0 0 0 avec
(13.139)
13.14. 30 MAI 2011
299
σrr (r) =
ρw2 (3 + ν) 2 (R − r2 ) 8
(13.140)
σθθ (r) =
ρw2 2 [R (3 + ν) − r2 (1 + 3ν)] 8
(13.141)
où R désigne le rayon extérieur du disque et ρ la masse volumique du matériau utilisé. En utilisant un critère de von Mises, déterminer la vitesse d’apparition de la plasticité dans le disque w p en fonction de la limite élastique σ0 du matériau. Où cette plasticité apparaît elle en premier ? La plasticité apparaît d’abord au centre du disque où les contraintes sont maximales. On a σeq (r = 0) = et donc
s wp =
ρw2 R2 (3 + ν) 8
8σ0 ρR2 (3 + ν)
(13.142)
(13.143)
Les disques étudiés ici (rayon R = 50 cm) sont réalisés en Inconel 718, un super alliage à base de Nickel. Ses propriétés sont les suivantes : ρ = 8000 Kg.m−3 , σ0 = 1000 MPa, ν = 0.3 Calculer w p en rpm (tours par minute) w p = 1100 Rad.s−1 = 10513 rpm
Perte de ténacité en présence d’une fissure de taille a0 Le facteur d’intensité des contraintes en mode I est donné pour un disque mince non alésé en rotation (hypothèse de contraintes planes) en fonction de la profondeur de fissure a0 et de la vitesse de rotation du disque : √ KI = F1 (a0 /R)σw πa0 σw = F1 (x) =
ρw2 R2 (3 + ν) 8 αx + β
(13.144) (13.145) (13.146)
avec α = 1.2 et β = 0.37. Exprimer KI en fonction de ρ, ν, w, R et du rapport a0 /R. a r a ρw2 R2 (3 + ν) √ 0 0 KI = α + β πR R R 8 La rupture brutale intervient pour une valeur critique du facteur d’intensité des contraintes noté KIc . Pour l’Inconel 718 sa valeur est KIc = 50 MPa.m1/2 . Donner l’expression de la vitesse limite wr correspondant à une rupture brutale en fonction de KIc et du rapport a0 /R. Calculer la valeur de cette vitesse limite en rpm pour une fissure initiale de taille a0 = 5 mm. Comparer avec la vitesse d’apparition de la plasticité w p calculée plus haut.
300
CHAPITRE 13. ANNALES
v u 8KIc u r wr = u √ t a0 a0 ρR2 (3 + ν) πR α +β R R Pour a0 = 5 mm, wr = 1125 Rad.s−1 = 10744 rpm. Cette taille de défaut entraine une rupture après la plastification de l’intérieur du disque. En fonctionnement normal les disques tournent à une vitesse wn correspondant à 80% de la vitesse w p calculée précedament. L’évolution du facteur d’intensité des contrainte en fonction du rapport a0 /R pour cette vitesse de rotation wn est tracé sur la figure suivante : 140 120
K1 (MPa.m1/2 )
100 80 60 40 20 0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
a0 /R
Figure 2 : Evolution du facteur d’intensité des contrainte KI en fonction du rapport a0 /R pour une vitesse de rotation wn = 0.8w p .
Estimer à partir de cette figure la taille de fissure initiale critique ac0 menant à une rupture brutale en condition normale de fonctionnement. ac0 = 12 mm
Evaluation des coefficients de la loi de Paris Des spécimens de laboratoire sont chargés entre Kmin = 0 et Kmax . Les vitesses de propagation sont respectivement de 10−3 mm/cycle et 4 10−3 mm/cycle pour des valeurs de Kmax de 20 et 40 MPa.m1/2 . Trouver les valeurs des coefficients C et n de la loi de Paris en unité SI (m et Pa). da La loi de Paris s’écrit : = C(∆K)M On aura donc : dN C(20 106 )M =
10−6
6 M
C(40 10 ) = 4
10−6
(13.147) (13.148)
Et donc M = 2, C = 2.5 10−21 Pa−2 (C en Pa−2 car n=2).
Propagation de la fissure sous chargement cyclique Ecrire sous forme d’intégrales l’équation qui détermine la courbe (nombre de cycles N - longueur de fissure a) entre une valeur initiale a0 = 5 mm et une valeur courante a. On considère que le disque subit des cycles de chargement entre w = 0 et wn .
13.14. 30 MAI 2011
301
da = dN
C [K(wn ) − K(0)]M = C [K(wn )]M r a ρw2 R2 (3 + ν) √ M a n = C α +β πR R R 8
(13.149) (13.150)
Et donc C R
M Z N Z a/R ρw2n R2 (3 + ν) √ d(a/R) πR dN = r a M 8 0 a0 /R a α +β R R
(13.151)
On donne la solution de l’intégrale suivante : Z
1 β x dx = + ln x(αx + β)2 β2 αx + β αx + β
(13.152)
Déterminer explicitement l’expression du nombre de cycle N entraînant une propagation de la fissure depuis sa valeur initiale a0 jusqu’à une valeur courante a. a a/R R β + ln aR N= 2 2 M a √ ρw R (3 + ν) + β α α +β Cβ2 πR R R a0 /R 8
(13.153)
La figure suivante décrit le nombre de cycles en fonction de la longueur de fissure à partir de la réponse à la question précédente : 50000 40000
N
30000 20000 10000 0 0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
a0 /R
Figure 3 : Courbe nombre de cycle - longueur de fissure pour une longueur initiale a0 = 5 mm et un chargement compris entre w = 0 et wn . Utiliser cette figure pour estimer le nombre de cycle N c entraînant une rupture brutale du disque. N c ≈ 20000 cycles.
302
CHAPITRE 13. ANNALES
Troisième partie
ANNEXES
303
Chapitre 14
Mini-formulaire d’élasticité linéaire 14.1
Cinématique et statique en petites déformations
14.1.1
Déplacement déformation
– Le tenseur de déformation est la partie symétrique du gradient de déplacement 1 εi j = (ui, j + u j,i ) 2 1 uT ∇ u+∇ ∼ ∼ 2 d – Champ cinématiquement admissible : u = u sur ∂Ωu – Equations de compatibilité (ex : 6 composantes de déformation dérivent de 3 composantes de déplacement en coordonnées cartésiennes en 3D) ε=
∼
ε11,22 + ε22,11 − 2ε12,12 = 0 ε11,23 + ε23,11 − ε12,13 − ε13,12 = 0 . . .et permutations circulaires, soit : εinm εl jk εi j,km = 0 avec εi jk = 0 εi jk = 1
14.1.2
si 2 indices sont égaux si permutation paire, =-1 si permutation impaire
Signification géométrique des termes du tenseur de déformation ∆V V
= Tr ∼ε = εii
γ = 2ε12
(1+ ε11) dx 1
dx 1
γ dx 2
(1+ ε22) dx 2
dx 2
dx 1
Les termes diagonaux désignent les allongements unitaires dans la direction des axes
Les termes hors diagonale caractérisent les rotations relatives des axes
305
306
CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE – Allongement unitaire dans la direction définie par n δ(n) = n.ε∼ .n = εi j ni n j
14.1.3
Contrainte
– Forces de volume : f d dans le volume Ω – Forces de surface : F d sur la surface ∂ΩF – Champ statiquement admissible : – dans Ω + fd = 0 divσ ∼
σi j, j + fid = 0
– sur ∂ΩF σ .n = F d ∼
σi j n j = Fid
– Partie sphérique du tenseur de contrainte : 1 S∼ = trace(σ )I ∼ ∼ 3
Si j =
σll δi j 3
– Déviateur associé au tenseur de contrainte : s=σ − S∼ ∼
si j = σi j −
∼
14.1.4
x2
σll δi j 3
trace(s∼ ) = sll = 0
Signification physique des termes du tenseur de contrainte
σ22
σ12
σ21
– Les termes diagonaux caractérisent les efforts normaux aux facettes – Les termes hors diagonale caractérisent les efforts de cisaillement
σ11 x1
– Vecteur contrainte pour une facette de direction n T (n) = σ .n ∼
Ti = σi j n j
– Contrainte normale sur la facette de direction n Tn (n) = n.T = n.σ .n = σi j ni n j ∼ – Cisaillement dans une facette de direction n T t (n) = T − Tn n
14.2
Efforts internes/externes
14.2.1
Travail des efforts intérieurs
Tt =
q
T 2 − Tn2
– Théorème de Stokes pour une fonction scalaire f intégrée sur un volume Ω, n étant la normale à ∂Ω Z Z f, j dV = f n j dS Ω
∂Ω
14.3. POTENTIEL ÉLASTIQUE, ÉLASTICITÉ LINÉAIRE
307
– Travail des efforts intérieurs (champ de contraintes réel, champ ∼ε0 cinématiquement admissible) −Wi =
Z
σi j ε0i j dV =
ZΩ
=
Z
σi j u0i, j dV
Ω
(σi j u0i ), j − σi j, j u0i
Z
dV =
Ω
14.2.2
σi j u0i n j dS −
Z
∂Ω
σi j, j u0i dV
Ω
Travail des efforts extérieurs
– Travail des efforts extérieurs
Z
We =
fid u0i dS +
Z
Ω
Fid u0i dS
∂Ω
– avec Wi +We = 0, il vient : dans Ω : σi j, j + fid = 0
sur ∂ΩF : σi j n j = Fid
– Ces relations sont indépendantes du matériau – On introduit une loi de comportement en posant des relations entre contraintes et déformations
14.3
Potentiel élastique, élasticité linéaire
14.3.1
Potentiel élastique
Le comportement, éventuellement non linéaire, est gouverné par un potentiel, qui sera défini par sa densité volumique, dont la forme dépend de la variable choisie ∗ = σ, et ε0 = dε, le potentiel d’élasticité W (ε) – Evolution entre deux états d’équilibre, avec σ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼ s’exprime, en élasticité linéaire :
1 ∂W : ∼ε σ = =C : ∼ε W (ε∼ ) = ∼ε : C ∼ ≈ ≈ 2 ∂ε ∗ = dσ, le potentiel d’élasticité – Evolution entre deux états d’équilibre, avec ∼ε0 = ∼ε, et σ ∼ ∼ ∗ complémentaire W (σ ) s’exprime, en élasticité linéaire : ∼ 1 W ∗ (σ )= σ :S:σ ∼ 2∼ ≈ ∼ – W et W ∗ convexes et dW + dW ∗ = d(σi j εi j ) ∂σi j ∂2W ∂σkl – Et : = = Ci jkl = = Ckli j ∂εi j ∂εkl ∂εkl ∂εi j
14.3.2
ε= ∼
∂W ∗ = S≈ : σ ∼ ∂σ
Elasticité linéaire
– Elasticité linéaire (rigidité et souplesse) : σ =C :ε ∼ ≈
σi j = Ci jkl εkl
ε = S≈ : σ
εi j = Si jkl σkl
∼
– Relations de symétrie : Ci jkl = Ci jlk = C jikl
Si jkl = Si jlk = S jikl
– Relations «énergétiques» : Ci jkl = Ckli j
Si jkl = Skli j
– Anisotropie générale = 21 coeff ; orthotropie = 9 coeff ; symétrie cubique = 3 coeff ; matériau isotrope = 2 coefficients – Matériau isotrope : s = 2µε∼ dev σll = 3κεll ∼
308
CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE
14.3.3
Elasticité isotrope
– Module de cisaillement µ tel que τ = µγ ∆V 1 – Module de compressibilité κ tel que p = σll = κ 3 V – Module de Young E tel que σ = E ε en traction simple – Coefficient de Poisson ν tel que εT = −νεL en traction simple (εT , déformation transverse, εL , déformation longitudinale) – Contrainte en fonction des déformations σ = λTr ∼ε ∼I + 2µε∼ ∼
σi j = λεll δi j + 2µεi j
– Déformations en fonction des contraintes ε=
∼
14.3.4
1+ν ν σ − Tr σ I ∼ E E ∼∼
1+ν ν σi j − σll δi j E E
εi j =
Relations entre les coefficients d’élasticité
– Expressions de λ, µ et κ λ=
Eν (1 + ν)(1 − 2ν)
2µ =
E 1+ν
3κ =
E = 3λ + 2µ 1 − 2ν
– Expressions de E et ν E=
µ(3λ + 2µ) λ+µ
ν=
λ 2(λ + µ)
– Typiquement : ν ≈ 1/3
2µ ≈ 3E/4
κ≈E
– Caoutchouc : ν ≈ 1/2
µ ≈ E/3
κ E
14.4
Etats de contrainte particuliers, solutions particulières
14.4.1
Traction simple
– Etat de contrainte uniaxial, de manière générale σ = σ0 n ⊗ n ; par exemple dans un prisme d’axe ∼ x1 , x1 étant la direction de traction, et les faces latérales étant libres : σ0 0 0 σ := 0 0 0 ∼ 0 0 0 – Si la section vaut S0 , la force en direction x1 est : F = σ0 S0 – Dans le repère x1 x2 x3 , le tenseur de déformation s’écrit : σ0 /E 0 0 0 −νσ0 /E ε := 0 ∼ 0 0 −νσ0 /E – Si la longueur est L0 , l’allongement en direction x1 est : ∆L = εL0 – La raideur du prisme vaut R = F/∆L = ES0 /L0
14.4. ETATS DE CONTRAINTE PARTICULIERS, SOLUTIONS PARTICULIÈRES
14.4.2
309
Cisaillement simple
τ τ
−τ
τ
– Chargement purement déviatorique – Exemple du cisaillement pur dans le plan x1 x2 0 τ 0 σ := τ 0 0 ∼ 0 0 0 – Rotation de π/4
τ 0 0 σ := 0 −τ 0 ∼ 0 0 0 τ = σ12 = 2µε12
14.4.3
Flexion circulaire
– Une seule composante au tenseur de contrainte, mais non uniforme dans l’espace : σ11 (x2 ) 0 0 0 0 σ := 0 ∼ 0 0 0 Mx2 , où M est le moment de flexion autour de x3 , et I = x22 dS est le moment I S d’inertie de la section droite par rapport à x3 – Un prisme d’axe x1 qui subit ce chargement présente une rotation relative des sections caractérisée M par un angle θ tel que θ,1 = EI bh3 – Pour une section rectangulaire de hauteur h selon x2 et de largeur b selon x3 : I = 12 Z
– Par exemple : σ11 =
14.4.4
Torsion x3
– Déplacements u1 = −αx3 x2
β
γ
u2 = αx3 x1
u3 = αφ(x1 , x2 )
– Contrainte σ13 = µα(φ,1 − x2 ) =µαθ,2
(14.1)
σ23 = µα(φ,2 + x1 )= −µαθ,1
(14.2)
avec ∆φ = 0 ∆θ + 2 = 0
θ = 0 sur Γ
– Moment de torsion : Z
M= S
– Γ contour de la section – Une génératrice devient une hélice
(x1 σ23 − x2 σ13 )dS
– Module de rigidité à la torsion : Z
D = 2µ S
θdx1 dx2 = M/α
310
14.4.5
CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE
Torsion, section circulaire
– Pour un prisme circulaire de longueur L, et de rayon extérieur Re : β = αL – En surface extérieure γ = 2εθz = αR – Contrainte de cisaillement τ = µαr 1 – θ s’exprime simplement : θ = (R2 − x12 − x22 ) 2 – Une section perpendiculaire à x3 reste plane : φ = 0 π(R4e − R4i ) – Tube de rayon int Ri et de rayon ext Re : D = µ 2 – Tube mince de rayon R et d’épaisseur e : D = 2µ πeR3 = M/α donc M M τ = , et τ = α= µR 2πµeR3 2eπR2
14.4.6
Coordonnées cylindriques
On se restreint aux exemples classiques pour lesquels : - les déplacements sont portés par er , u = ur er - la seule force de volume éventuellement non nulle est fr er . – Equilibre σrr − σθθ + fr = 0 σrr,r + r – Déformation εrr = ur,r
εθθ =
ur r
soit : rεθθ ,r = εrr − εθθ – Forces de volume nulles, rayon intérieur a, rayon extérieur b σrr = A −
B r2
σθθ = A +
B r2
ur = Cr + D/r
14.4.7
Cylindre sous pression
– Tube sous pression, pression intérieure pi , pression extérieure pe pi a2 − pe b2 b2 − a2
A=
B=
(pi − pe )a2 b2 b2 − a2
– Cylindre plein (pi = 0, a = 0, pe = p), σrr = σθθ = p – Pression interne (pi = p, a, b), a2 σrr = 2 b − a2
b2 1− 2 p r
a2 σθθ = 2 b − a2
– Tube mince sous pression interne p, rayon R, épaisseur e, σrr négligeable
σθθ = pR/e
b2 1+ 2 r
p
14.4. ETATS DE CONTRAINTE PARTICULIERS, SOLUTIONS PARTICULIÈRES
14.4.8
Coordonnées sphériques
On se restreint aux exemples classiques pour lesquels : - les déplacements sont portés par er , u = ur er - la seule force de volume éventuellement non nulle est fr er . – Equilibre σrr − σθθ + fr = 0 σrr,r + 2 r – Déformation ur εrr = ur,r εθθ = r soit : rεθθ ,r = εrr − εθθ – Forces de volume nulles, rayon intérieur a, rayon extérieur b σrr = A −
2B r3
B r3
σθθ = σφφ = A +
ur = Cr + D/r2
14.4.9
Sphère sous pression
– Sphère sous pression, pression intérieure pi , pression extérieure pe A=
pi a3 − pe b3 b3 − a3
B=
(pi − pe )a3 b3 2(b3 − a3 )
– Sphère pleine (pi = 0, a = 0, pe = p), σrr = σθθ = σφφ = p – Pression interne (pi = p, a, b), a3 σrr = 3 b − a3
b3 1− 3 r
p
a3 σθθ = 3 b − a3
– Tube mince sous pression interne p, rayon R, épaisseur e, σrr négligeable
σθθ = pR/2e
b3 1+ 3 2r
p
311
312
CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE
Chapitre 15
Notations 15.1
Glossaire des notations les plus courantes
ε, εe εth ∼ p ε , ∼εvp ∼ σ ∼ f , n∼ I1 , I2 , I3 J1 , J2 , J3 J Ai , α ∼i R, X∼ σy H W, W∗ Ω Σ ∼ E ∼ ∼ ∼
15.2
Tenseur de déformations (petites perturbations), déformation élastique Tenseur de dilatation thermique Tenseur de déformation plastique, viscoplastique Tenseur de contrainte de Cauchy Fonction de charge ; dérivée par rapport aux contraintes ∂ f /∂σ ∼ Invariants du tenseur de contrainte Invariants du déviateur de contrainte Second invariant du déviateur des contraintes Variables d’écrouissage Variables d’écrouissage isotrope, cinématique Limite d’élasticité initiale Module plastique Potentiels élastiques Potentiel viscoplastique Tenseur de contraintes moyennes (chapitre homogénéisation uniquement) Tenseur de déformations moyennes (chapitre homogénéisation uniquement)
Quelques tenseurs particuliers
Les tenseurs d’ordre 4 J≈ et K permettent respectivement d’obtenir le déviateur ∼s et le tenseur ≈ sphérique S∼ associés à un tenseur symétrique du second ordre σ . ∼ On a : s = J≈ : σ S∼ = K :σ ∼ ∼ ∼ ≈
(15.1)
On introduit également le tenseur unité d’ordre 4, ≈I . On peut facilement vérifier que : I tel que Ii jkl =
≈
1 K = ∼I ⊗ ∼I ≈ 3 J≈ = ≈I − K ≈
1 (δik δ jl + δil δ jk ) 2 1 Ki jkl = δi j δkl 3 1 1 = δik δ jl + δil δ jk − δi j δkl 2 3
ou encore
ou encore
Ji jkl
(15.2) (15.3) (15.4)
Propriétés remarquables : J≈ : J≈ = J≈
K :K =K ≈ ≈ ≈ 313
J≈ : K =K : J≈ = 0 ≈ ≈
(15.5)
314 Donc, bien sûr : J≈ : S∼ = 0
K : ∼s = 0 ≈
(15.6)
En élasticité isotrope, le tenseur d’élasticité Λ et son inverse S≈ s’expriment : ≈ Λ = 3κK + 2µJ≈ ≈ ≈
S≈ =
K ≈ 3κ
+
J≈ 2µ
(15.7)
Si bien que : J≈ : Λ = 2µJ≈ ≈
K :Λ = 3κK ≈ ≈ ≈
(15.8)
En plasticité, J≈ est utile pour évaluer la direction d’écoulement. Ainsi, dans le cas du critère de von Mises : n∼ =
∂J ∂s∼ 3s 3s 3s ∂J = = ∼ : J≈ = ∼ : ≈I = ∼ : ∂σ ∂s∼ ∂σ 2J 2J 2J ∼ ∼
(15.9)
Références citées dans le texte Argon A.S. (1975). Constitutive Equations in Plasticity. MIT Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1980). Engineering materials, vol.1 : An Introduction to their Properties and Applications. Pergamon Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1988). Engineering materials, vol.2 : An Introduction to Microstructures. Pergamon Press. Berthelot J.-M. (1993). Matériaux composites – Comportement mécanique et analyse des structures. Masson. Besson J., Cailletaud G., Chaboche J.-L., and Forest S. (2001). Mécanique non–linéaire des matériaux. Hermès. Bui H.D. (1978). Mécanique de la rupture fragile. Masson. C.A. Coulomb (1776). Essai sur une application des règles de maxims et minims à quelques problèmes de statique, relatifs à l’architecture. Mémoires de l’AcadéRoyale, pp 343–382. Coussy O. (1991). Mécanique des milieux poreux. Technip. Darve F. (1987). Manuel de rhéologie des géomatériaux. Presses des Ponts et Chaussées. Doghri I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Linear and Nonlinear, Analytical and Computational Aspects. Springer Verlag. Forest S., Amestoy M., Cantournet S., Damamme G., Kruch S., Maurel V., Mazière M., and Ryckelynck D. (2010). Mécanique des milieux continus. Cours 1ère année, Ecole des Mines de Paris. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1991). Comportement mécanique des matériaux. Volume 1 : élasticité et élastoplasticité. Hermès. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1993). Comportement mécanique des matériaux. Volume 2 : endommagement, mécanique de la rupture, mécanique du contact. Hermès. Garrigues Jean (1999). Cours de statique des poutres. marseille.fr/poutre.html.
http ://jean.garrigues.perso.centrale-
Gay D. (1991). Matériaux composites. Hermès. Germain P. (1973). Mécanique des milieux continus. Masson. Germain P., Nguyen Q.S., and Suquet P. (1983). Continuum Thermodynamics. J. of Applied Mechanics, vol. 50, pp 1010–1020. Gurson A.L. (1977). Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth : Part I— Yield criteria and flow rules for porous ductile media. J. of Engng. Mat. Technol., vol. 44, pp 2–15. Hill R. (1998). The Mathematical Theory of Plasticity (1st ed, 1950). Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Jirásek M. and Ba˘zant Z.P. (2002). Inelastic Analysis of Structures. Wiley. Labbens R. (1980). Introduction à la mécanique de la rupture. Pluralis. Lemaitre J. and Chaboche J.-L. (1985). Mécanique des matériaux solides. Dunod, Paris. 315
316
RÉFÉRENCES CITÉES DANS LE TEXTE
Liebowitz H. (1968). Fracture, tomes I, II,III,IV. Hermès. Lubliner J. (1990). Plasticity Theory. Mc Millan. Luenberger D.G. (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison–Wesley Pub. Comp. Mandel J. (1966). Cours de mécanique des milieux continus – Tomes I et II. Gauthier–Villars / réédition 1994, J. Gabay. Nguyen Q.S. (2000). Stability and Nonlinear Solid Mechanics. Wiley. Prager W. (1955). The theory of plasticity : a survey of recent achievements. Inst. Mech. Eng. London, vol. 169, pp 41–57. Reissner E. (1950). On a variational theorem in elasticity. J.Math.Phys., vol. 29, pp 90–95. Rice J.R. (1970). On the structure of stress-strain relations for time–dependent plastic deformation in metals. J. of Applied Mechanics, vol. 37, pp 728. Rice J.R. (1971). Inelastic Constitutive Relations for Solids : An Internal Variable Theory and its Application to Metal Plasticity. J. Mech. Phys. Sol., vol. 19, pp 433–455. Simo J.C. and Hughes T.R.J. (1997). Computational Inelasticity. Springer Verlag. Taylor G.I. (1931). A connexion between the criterion of yield and the strain ratio relationship in plastic solids. Proc. Royal Soc. London, A, vol. , pp 441–446. Taylor G.I. and Quinney M.A. (1857). On the stability of loose earth. Phil. Trans. Royal Society, A, vol. 147, pp 9–27. Taylor G.I. and Quinney M.A. (1931). The Plastic Distorsion of Metals. Phil. Trans. Royal Society, A, vol. 230, pp 323–362. Timoshenko S. (1968). Résistance des matériaux, tomes I et II. Dunod. Timoshenko S. and Woinowsky-Kreiger S. (1964). Theory of Plates and Shells. McGraw–Hill. von Mises R. (1928). Mechanik des plastischen Formänderung von Kristallen. Angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 8, pp 161–185.
Zeitschrift für
Références d’intérêt général Argon A.S. (1975). Constitutive Equations in Plasticity. MIT Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1980). Engineering materials, vol.1 : An Introduction to their Properties and Applications. Pergamon Press. Ashby M.F. and Jones D.R.H. (1988). Engineering materials, vol.2 : An Introduction to Microstructures. Pergamon Press. Berthelot J.-M. (1993). Matériaux composites – Comportement mécanique et analyse des structures. Masson. Besson J., Cailletaud G., Chaboche J.-L., and Forest S. (2001). Mécanique non–linéaire des matériaux. Hermès. Bui H.D. (1978). Mécanique de la rupture fragile. Masson. Coussy O. (1991). Mécanique des milieux poreux. Technip. Doghri I. (2000). Mechanics of Deformable Solids. Linear and Nonlinear, Analytical and Computational Aspects. Springer Verlag. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1991). Comportement mécanique des matériaux. Volume 1 : élasticité et élastoplasticité. Hermès. François D., Pineau A., and Zaoui A. (1993). Comportement mécanique des matériaux. Volume 2 : endommagement, mécanique de la rupture, mécanique du contact. Hermès. Gay D. (1991). Matériaux composites. Hermès. Germain P. (1973). Mécanique des milieux continus. Masson. Hill R. (1998). The Mathematical Theory of Plasticity (1st ed, 1950). Oxford Classic Texts in the Physical Sciences. Jirásek M. and Ba˘zant Z.P. (2002). Inelastic Analysis of Structures. Wiley. Labbens R. (1980). Introduction à la mécanique de la rupture. Pluralis. Lemaitre J. and Chaboche J.-L. (1985). Mécanique des matériaux solides. Dunod, Paris. Lubliner J. (1990). Plasticity Theory. Mc Millan. Mandel J. (1966). Cours de mécanique des milieux continus – Tomes I et II. Gauthier–Villars / réédition 1994, J. Gabay. Simo J.C. and Hughes T.R.J. (1997). Computational Inelasticity. Springer Verlag.
317
Index A380, 127 Anisotropie, 29 Assemblage collé, 175 Aube de turbine, 124 Beltrami, 54 Bilame, 178 Bille de verre, 123 Bingham modèle de viscoplasticité, 18, 155 Cam-clay critère, 28 Champ cinématiquement admissible, 57 statiquement admissible, 57 Changement de phase acier, 122 Charge limite, 136, 146, 192 Chargement complexe, 159 Chargement triaxial essai, 7 Charpy essai, 8 Cinématique écrouissage, 15 plaque de Kirchhof–Love, 91 poutre, 58 stratifié, 75 Cisaillement octaédral, 24 plaque, 84 Clausius–Duhem, 44 Coefficient de dilatation thermique composite, 173 Cohésion, 27 Comportement standard généralisé, 43 Composite à fibres, 128 fibres longues, 171 matériau, 69 matrice métallique, 186
modules élastiques d’un polycristal, 182 structure, 69 vaisseau spatial, 128 Condition de cohérence, 15, 36, 39, 46 Contrainte interne, 14 visqueuse, 20 Contraintes auto-équilibrées, 136 généralisées, 44 résiduelles, 136 thermomécaniques, 121 Contraintes résiduelles, 149 Convergence–confinement, 154 Convexité, 38 Coulomb critère, 151 Couplage traction–flambage (poutre), 169 traction–flexion (poutre), 64 Couple de torsion, 53 Courbe caractéristique, 154 Courbure, 84 Critère anisotrope, 29 Cam-clay, 28 Coulomb, 151 Drucker–Prager, 26 elliptique, 28 Gurson, 28 Hill, 29 Mohr–Coulomb, 27 Rankine, 28 Tresca, 25, 142 Tsaï, 30 von Mises, 25 Critères, 23 Déformation, 11 de membrane, 84 paramétrique, 11 318
INDEX plane, 132 plane généralisée, 132 plastique cumulée, 15, 45 progressive, 126 Déformations généralisées, 44 Déplacement axial poutre, 62 Dilatation changement de phase, 12 irradiation, 12 thermique, 12 Direction d’écoulement Drucker–Prager, 39 Tresca, 39 von Mises, 38 Direction d’écoulement plastique, 38 Dissipation intrinsèque, 44 Drucker–Prager critère, 26 Dureté essai, 8 Ecoulement plastique déformation imposée, 48 plasticité parfaite, 142 Ecrouissage, 44 additif, 21 cinématique, 15 cinématique linéaire, 14 isotrope, 15, 159 multiplicatif, 21 Ramberg–Osgood, 16 variables, 43 Effacement essai, 20 Effet de fond, 141 Effort tranchant, 53 Elasticité orthotrope, 71 Energie d’activation, 21 libre, 45 Equilibre plaque de Kirchhof–Love, 91 plaque de Reissner–Mindlin, 87 poutre, 60 stratifié, 75 Essai chargement triaxial, 7
319 Charpy, 8 dureté, 8 effacement, 20 flexion, 7 fluage, 6 relaxation, 7 torsion, 7 traction, 6 Euler charge critique, 66, 167 Extensomètre, 8 Facteur d’intensité de contrainte, 110 mode I, II, III, 112 Fatigue fissuration, 114, 192 Fissuration bateau, 129 Fissuration critique, 192 Flèche poutre, 62 Flambage poutre en traction, 167 Flambement, 165 Flexion essai, 7 poutre, 162 Fluage, 16 essai, 6 fil de brasure, 123 sel gemme, 123 Fonction de charge, 46 Fuite avant rupture, 193 Gauchissement, 63 Griffith, 107 Gurson critère, 28 Hashin–Shtrikman bornes, 188 Hencky–Mises, 46 Hill critère, 29 fuseau de, 187 principe, 36 Hill–Tsaï, 78 Homogénéisation périodique, 188 Invariants, 24 Isotrope
320
INDEX écrouissage, 15 élasticité, 72
Jauge de déformation, 8 Kelvin–Voigt modèle de viscoélasticité, 17 Kirchhoff–Love théorie de plaque, 90 Kitagawa diagramme, 114 Limite de fatigue, 115 Lode angle, 24 Loi de comportement plaque de Kirchhoff–Love, 92 plaque de Reissner–Mindlin, 88 poutre, 60 poutre sandwich, 65 stratifié, 76 Loi de mélange, 72 Manic5 barrage, 122 Matériau composite, 69 Matériaux hétérogènes, 95 Maxwell modèle de viscoélasticité, 16 Mise en forme, 125 Modèle de Prager, 14 Modèle rhéologique, 12 Modèles associé, 35 standard, 35 Mohr–Coulomb critère, 27 Moment de flexion, 53 Moment quadratique, 52 Moteur automobile, 125 Multiplicateur plastique, 36, 37, 46, 48 écrouissage cinématique, 47 écrouissage isotrope, 46 plasticité parfaite, 40 Muskhelishvili, 110 Navier–Bernoulli poutre, 58, 63 Normalité généralisée, 45
Norton modèle de viscoplasticité, 21 Paris, 114 Plaque de Kirchhoff–Love loi de comportement, 92 Plaque de Reissner–Mindlin équilibre, 87 loi de comportement, 88 Plaque stratifiée, 74 Plaques, 83 Plasticité parfaite, 13 uniaxiale, 13 Plasticité 3D, 33 non associée, 40, 151 parfaite, 39, 142 Potentiel élastique, 100 Potentiel viscoplastique, 35 Poussée, 27 Poutre équilibre, 60 de Navier–Bernoulli, 58 de Timoshenko, 58 lois de comportement, 60 sandwich, 63, 126, 162 Poutre sandwich lois de comportement, 65 Prager expression tridimensionnelle, 47 expression uniaxiale, 14 Prandtl–Reuss, 46 Principe de Hill, 36 Principe des travaux virtuels, 57 Résilience, 107 Règle de normalité, 36, 37 Ramberg–Osgood modèle d’écrouissage, 16 Rankine critère, 28 Recouvrance, 20 Reissner–Mindlin théorie de plaque, 83 Relaxation, 16 essai, 7 temps caractéristique, 18 Retour élastique, 123 Reuss borne, 187
INDEX borne inférieure, 103 Rhéologie, 11 Rochet, 126 Rotation relative poutre, 62 Rotule plastique, 136 Saint-Venant principe, 52 problème, 51 solution, 54 sandwich, 64 Sphère cavité élastoviscoplastique, 154 Sphère sous pression, 144 Stratifiés, 69, 74 Structure composite, 69 Taux de restitution d’énergie, 108 Température influence sur le comportement, 21 Température de transition, 107 Temps caractéristique relaxation, 18 Tenseur élastoplastique, 48 déformation de membrane, 84 de courbure, 84 Théorème de l’énergie complémentaire, 103 Théorème de l’énergie potentielle, 102 Thermocouple, 8 Timbrage, 149 Timoshenko poutre, 58 Torsion essai, 7 Traction essai, 6 Travail maximal, 36 Tresca comparaison avec von Mises, 138 critère, 25, 142 Tsaï critère, 30 Tube composite sous pression, 170 Tube sous pression, 140, 171 fissuration, 192 Viscoélasticité, 16
321 Viscoplasticité uniaxiale, 18 Viscoplasticité 3D, 33 non associée, 40 Vissage, 126 Voigt borne, 187 borne supérieure, 102 modèle de viscoélasticité, 16 notation de, 70 Volume élémentaire représentatif, 97 Von Mises critère, 25 von Mises comparaison avec Tresca, 138 Wafer, 127 Westergaard, 110 Zener modèle de viscoélasticité, 18 Zone plastique, 135, 148
