Polígonos
TRILCE
B.
POLÍGONOS
III. Por su número de lados:
Polígono no convexo E
D
17
C
B
H G A
Objetivo
POLÍGONO PLANO
ángulos.
A.
Polígono equiángulo Es aquel polígono cuyos ángulos internos son de igual medida.
Medida de los ángulos interiores
B
° ° ° ° A
x
Definición
Medida de los ángulos exteriores
Es la figura geométrica cerrada, que se forma al unir consecutivamente tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta. Polígono C
1 3 y 5 2 4
*
Líneas asociadas al polígono
Región interior al polígono
B
B
D
° C ° ° ° D
° °
° °
F
E
En la figura el polígono ABCDEF, es equiángulo.
C
°: medida de sus ángulos interiores °: medida de sus ángulos exteriores
D A
E
A
B.
G
E
Diagonal: Es el segmento de recta que une dos vertices no consecutivos.
Región exterior al polígono
Elementos
B a
*
Notación: Polígono ABCDEFGH
I.
determinados en el polígono * Ángulos determinados
1°
°2
A.
m
-
Polígono de 5 lados: _____________________
-
Polígono de 6 lados: _____________________
-
Polígono de 7 lados: _____________________
-
Polígono de 8 lados: _____________________
-
Polígono de 9 lados: _____________________
-
Polígono de 10 lados: _____________________
-
Polígono de 11 lados: _____________________
-
Polígono de 12 lados: _____________________
-
Polígono de 15 lados: _____________________
-
Polígono de 20 lados: _____________________
L
m
m
a
D
M
m
Polígono
Polígono no
C
3°
B
D
1. La suma de las medidas de los ángulos interiores (S i)
S i = 180°(n - 2)
Convexo
Convexo
Q
En la figura los polígonos ABCDE y MNLTQ son equiláteros.
Por su región interior Polígono convexo
Propiedades en todo polígono de "n" lados
m
Clasificación de polígonos
C °
T
N
C a
E
Lados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH y AH
°
Polígono de 4 lados: _____________________
a
gráfico, AC y BE son dos de sus diagonales.
Vértices: A, B, C, D, D, E, F, G y H
a
A
Ejemplo: Para el polígono ABCDEF, mostrado en el
B
-
Polígono equilátero Es aquel polígono cuyos lados son de igual longitud.
F
F
H
Polígono de 3 lados: _____________________
II.Por las medidas de sus elementos: lados y
Al finalizar el presente capítulo, el alumno está en en la capacidad de: - Definir al polígono plano y conocer sus propiedades. - Conocer los diversos tipos de polígono.
*
F
C.
Polígono regular Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez. Triángulo equilátero
2. La suma de las medidas de los ángulos exteriores (S e)
S e = 360°
Nota: No se cumple en Polígonos No Convexos. 3. Número máximo de diagonales trazados desde un solo vértice (#D1vértice)
Cuadrado L
#D1vértice = n - 3
GEOMETRÍA
Polígonos
Practiquemos
9. Calcular el perímetro del polígono equilátero ABCDEF, si: AB = 5 u. B
Bloque I
C
1. ¿En qué polígono la suma de ángulos internos es 720°? 1. ¿En qué polígono la suma de las medidas de los ángulos
internos es 540°?
A
D
2. Calcular el número total de diagonales de un
pentadecágono. Rpta.:
F
3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo
vértice en un endecágono? 2. Calcular el número total de diagonales de un dodecágono.
E
10.¿Cuántos lados tiene un polígono donde de un vértice
se traza como máximo 18 diagonales? Bloque II
4. Calcular: x°
1. Calcul Calcular: ar: ° 130°
140°
120°
150°
Rpta.:
160°
3. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un icoságono?
2. Calcular la medida del ángulo interno del hexágono
equiángulo mostrado.
x°
5. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono ABCDEFGH? B
Rpta.: 4. Calcul Calcular: ar: °
C
A
D
H
E
3. Calcular el número de diagonales del polígono cuya
suma de las medidas de ángulos internos es 1 260°. G
F
6. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos
del polígono mostrado.
4. Calcular la suma de ángulos internos de un polígono que tiene en total 35 diagonales. 5. Calcular el número de vértices del polígono convexo
en el cual la suma de ángulos internos más la suma de ángulos externos es 4 320°. Bloque III
Rpta.:
1. Hallar la suma de las medidas de ángulos internos de
un polígono cuyo número total de diagonales es el triple del número de lados.
5. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en el polígono ABCDEF? B
A
C
2. Si se quintuplica el número de lados de un polígono la D
7. Si el polígono es equiángulo, calcular: x°.
suma de las medidas de sus ángulos internos se sextuplica, ¿cuántos lados tiene el polígono? 3. Al aumentar aumentar en tres el número de lados ados de un un polígono polígono
GEOMETRÍA
Polígonos
10.¿Cuántas diagonales tiene un decágono?
Tarea domiciliaria
11.Calcular el perímetro del polígono equilátero mostrado si: EF = 7 cm.
A
E I H
F
2x° x° D
x°
100°
G 12. Si el polígono mostrado es equiángulo, calcular: °.
4. ¿Cuántas diagonales tiene el endecágono?
13. Calcular el número de vértices de un polígono en el diagonales. 14. ¿Cuántos lados tiene un polígono si la suma de las
medidas de sus ángulos interiores es 3 240°? 15. Del gráfico, calcular x°
6. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en el polígono ABCDEF?
B
C
B A x°
120° D
C A
F
E
D E
16. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos
de un polígono convexo cuyo número total de diagonales es 20.
7. Calcular: "x°" en el polígono convexo mostrado. 17. ¿En qué polígono al aumentar en uno el número de
lados, su número de diagonales aumenta en dos?
x°
x° x°
internos de aquel polígono en el cual su número de vértices más su número de diagonales es igual a 45. 25.¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número de
diagonales excede en ocho al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos? 26.En un polígono equiángulo, calcular la medida de uno
28.Calcular el número total de diagonales del polígono
equiángulo cuyo ángulo interno mide 160°. 29.Calcular el número de vértices del polígono que al
aumentar en 4 el número de diagonales; la suma de ángulos internos se duplica. 30.Graficar el pentágono ABCDE tal que: m B = 140° ; m C = 130° y m D = 160° . Calcular la medida del
menor ángulo formado por las rectas AB y DE .
cual desde un solo vértice se trazan como máximo 19
F
24.Determinar la suma de las medidas de los ángulos
de los ángulos internos de dicho ángulo, si éste tiene 6 vértices.
E
5. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono mostrado.
del polígono no convexo mostrado.
es 28.
C
A
C
100°
27.Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos
cual su número de lados más su número de diagonales
D
B
3. Calcular: x° B
del polígono cuyo número de diagonales es el doble del número de vértices. 23.Calcular el número de lados de aquel polígono en el
1. Hallar la suma de la s medidas de los ángulos internos de un pentadecágono. 2. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de un pentágono.
22.Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos
18. Si al aumentar en tres el número de lados de un
polígono su número de diagonales aumenta en 24. Calcular el número de vértices del polígono inicial. 19. ¿En qué polígono el número de diagonales es el doble
Polígonos regulares
TRILCE
POLÍGONOS
REGULARES
18
1. Si el triángulo ABC es un polígono regular, calcular: x°.
Resolución B
Objetivo x°
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de: - Definir el polígono regular y conocer sus propiedades. *
A
40°
C
Definición.- Es un polígono donde sus ángulos y lados son congruentes respectivamente. Triángulo equilátero
Hexágono regular
Cuadrado L
L L
60°
L
L 60°
L
L
L
L
180°(n - 2) n
2. Si el polígono ABCDE es regular, calcular: x°.
Resolución : Como: n = 12 e
n: número de lados
Resolución
360 12
del polígono regular mostrado.
C.
x°
Medida del ángulo central Hex ágono regul ar
B
Resolución : Como el polígono mostrado es un pentágono,
O: centro
entonces: n = 5
5
O
i
360° n
D
Oc tógo no regul ar
O
180 (5 2)
C
Rpta.: e° = 30°
* Ejemplo: Hallar la medida del ángulo interior
i
Rpta.:
polígono regular de 12 lados.
Medida de un ángulo interior i
120°
120° 120°
L
L
* Ejemplo: Hallar la medida del ángulo exterior de un
* Propiedades: A.
120°
L
60°
L
120° 120°
Medida del ángulo central n: número de lados
Ejemplo: Calcular la medida del ángulo central de un
A
E
GEOMETRÍA
Polígonos regulares 2. De la figura, los polígonos ABCD y AED son regulares.
3. Si ABCDEF es un hexágono regular, calcular: x°
Practiquemos
Calcular: x°.
Resolución B
Bloque I
C
B
E
70°
x°
C
1. Si los polígonos ABCDE y DEF son regulares,
calcular: x°. D
A
A
D
B
x° F
3. En un polígono regular se cumple que la suma de las
E A
F
medidas de un ángulo central, un ángulo exterior y un ángulo interior es 210°. Calcular el número total de
C
x°
diagonales. 4. En un polígono regular la relación entre la medida de
D
E
Rpta.: 2. ¿En qué polígono regular la medida del ángulo interior
es el triple de la medida del ángulo exterior?
4. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados?
un ángulo interior y exterior es como 3 es a 2. Calcular el número de lados del polígono. 5. La figura muestra un pentágono regular y un exágono
regular. Calcular: x°
Resolución
3. Si ABCDEF es un polígono regular, calcular: x°. C
B
D
A
x°
x° F
E
Bloque III 4. Si ABCDE es un pentágono regular, calcular: x°.
1. Se tiene un polígono regular cuyo lado mide 3 u en el
cual su perímetro es numéricamente igual a su nú mero de diagonales. Dar el nombre del polígono.
B
Rpta.: A
C
x°
Resolución E
E
2. Se tiene un oct ógono regular ABCDEFGH. Hallar la medida
del ángulo formado por las diagonales AC y BD .
5. En la figura, los polígonos ABC y BCDE son regulares. Calcular: x°
D
3. Calcular la medida del ángulo formado por las
mediatrices de dos lados consec utivos de un nonágono regular.
5. Si el ángulo exterior de un polígono equiángulo mide
B D A
x° C
30°, calcular el número total de diagonales. 4. Al aumentar en 2 el número de lados de un polígono la
medida de su ángulo central disminuye en 9º. ¿Cuántos lados tiene el polígono de menos lados?
Bloque II 1. Si ABCDEF es un polígono regular, calcular: x° B
C
GEOMETRÍA
Tarea domiciliaria
Polígonos regulares
11. Calcular: x°, si ABCDE es un pentágono regular y AGFE es un cuadrado.
C
18.¿Cuál es el número de lados de aquel polígono regular
cuya medida de su ángulo interior es dos veces la medida de su ángulo exterior?
24.Calcular el número de diagonales del polígono regular mostrado cuyo centro es "O". C
19.El ángulo externo de un polígono regular mide 1/5 de
1. Calcular "" en el siguiente polígono regular. G
B
F
un ángulo recto. ¿Cómo se llama el polígono?
D
B
20. ABCDE... es un polígono regular, calcular su número
x°
E
A
E
12. Si ABCDE es un pentágono regular y CDF es un triángulo
2. Calcular la medida del ángulo exterior de un pentágono regular.
B
B
36°
D
21.Calcular "x°", si ABCDE es un polígono regular. A
C
E
A
° C
B
de su ángulo interior es cuatro veces la medida de su ángulo exterior?
D
D
D
E
26.Hallar el número de diagonales de un polígono regular A
en el cual su ángulo interior multiplicado por la inversa de su ángulo exterior es igual a 11.
°
A
E
22.Si ABCDEF es un hexágono regular, calcular: ° + °.
5. ¿Cuánto mide el ángulo externo de un icoságono regular?
14. Calcular: x° si en la figura los polígonos son regulares.
80° D
triángulo equilátero.
C
F
E x°
15. Según el gráfico, los polígonos ABCDEF y HBCQP son
equiángulos. Calcular: x°
D
B
8. Si la medida de un ángulo interno de un polígono regular es 120º, ¿cuántos lados tiene el polígono? 9. Se tiene un exágono regular ABCDEF. Hallar: m ACB. 10.En el siguiente pentágono regular, calcular "x°".
x A
H
Q
D
P F
E
16.¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual el ángulo interno mide 8 veces la medida de su ángulo externo?
E
23.La figura muestra un pentágono regular y un octógono regular, calcular: °
C
7. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 15 lados?
ángulo interior aumenta en 12º. ¿Cuál es el polígono? 28.¿Cuántas diagonales tiene aquel polígono regular en
70°
A
6. Calcular: x°, si ABCD es un cuadrado y CDE es un
27.Si a un polígono regular se le aumenta un lado, su
C
B
x°
A
F
x°
E
B
G
x°
13. ¿Cómo se llama aquel polígono regular cuya medida
B
C
A
B
x°
F
4. La figura muestra un pentágono regular, calcular: ° + °.
Calcular: x° C
C
3. En un pentágono regular, ¿cuánto mide el ángulo central y el ángulo interno del polígono?
25.En la figura ABCDE y BCFG son polígonos regulares.
D
equilátero, calcular: x°
E
O
de vértices. A
D
°
el cual se cumple que seis veces la medida de su ángulo central es igual a dos ángulos rectos? 29. Al disminuir en 2 el número de lados de un polígono,
su ángulo central aumenta en 6°. ¿Cuántos lados tien e el polígono inicial?
Cuadriláteros (Trapezoides y trapecios) Clasificación de trapecios
TRILCE
CUADRILÁTEROS
(TRAPEZOIDES
Y
19
TRAPECIOS)
Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud de sus lados laterales en:
En la figura, MN es la base media del trapecio ABCD.. Se cumple:
C M B
Objetivo A
En la figura, si: BC // AD y AB CD ABCD: trapecio escaleno.. b)
Definición Es aquel polígono de cuatro lados. Puede ser convexo o no convexo.
Trapecio rectángulo.- Es aquel trapecio donde uno de los lados laterales es perpendicular a las bases y es la altura del trapecio.
I. Trapezoide Es aquel cuadrilátero convexo que no presenta lados opuestos paralelos.
B
C
A
C A
D
c)
ABCD es un trapezoide cualesquiera.
D
360°
En la figura ABCD: trapecio rectángulo.. Si "M" es punto medio de BC y MN AD . Se cumple: x =
2. En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralela a sus bases y su longitud es igual a la semidiferencia de las longitudes de dichas bases. D
a
b
P
Trapecio isósceles.- Es aquel trapecio cuyos lados laterales son de igual longitud. b
B
C
Cuadrilátero no convexo
A
x
A
H
En la figura, si: BC // AD, entonces trapecio.
C
a
D
A
D ABCD no convexo o
• Diagonales AC y BD
Clasificación de cuadriláteros convexos Los cuadriláteros convexos se clasifican según el
ABCD: trapecio isósceles.
ABCD es un
x=
• Altura: BH m M
b
C
M
x
H
Propiedades de los trapecios
n N n
C
Se cumple:
D
AC=BD B
b
B A
a-b 2
En la figura "M" es punto medio de AC y MH BD .
C
B
• Bases: BC y AD . • Laterales: AB y CD
D
En la figura: BC // AD, "P" y "Q" son los puntos medios de AC y BD respectivamente. Se cumple:
En la figura, si: BC // AD y AB = CD
D
Q
PQ // BC A
C
a
C
B
En la figura,
a+b 2
ABCD: trapecio rectángulo..
II.Trapecio Es aquel cuadrilátero convexo que sólo tiene un par de lados opuestos paralelos. B
B.
C
D
N
B
b
h
B
Cuadrilátero convexo
A
D
a
x
b A
Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de: - Clasificar a los cuadriláteros y precisar sus elementos - Graficar los diferentes tipos de cuadriláteros. - Aplicar las propiedades de cada uno de los cuadriláteros.
B
a+b 2
Observación :
C
B
A.
x=
MN// BC a) Trapecio escaleno.- Es aquel trapecio cuyos lados laterales tienen diferente longitud.
1. En todo trapecio, la base media es paralela a sus bases
BH = HD x=
A
a
D
a-b 2
GEOMETRÍA
Cuadriláteros (Trapezoides y trapecios) 3. En el trapecio ABCD: MN es mediana. Calcular: MN y PQ
1. Calcular: x°
Resolución
B
2u
Resolución
C
x°
M
P
N
Q
160°
A 80°
D
4u
70°
Rpta.: 4. Hallar: m B + m D , si la figura es un trapecio isósceles (BC // AD).
Resolución B
C
Rpta.: D
A
2. Calcular: x° + y°
Resolución
20° y° Rpta.: x°
30°
5. Calcular: x°
Resolución
4u
4u
x° 8u
GEOMETRÍA
Practiquemos
Cuadriláteros (Trapezoides y trapecios)
3 . Si : BC // AD y BC=5 u , AD=13 u, calcular "MP". (AM = MB)
6. Calcular "x"
Tarea domiciliaria
5u a
P
Bloque I
x
1. ABCD: Trapecio. Calcular "x"
a
1. Las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero están en la relación de 4; 5; 1 y 2. ¿Cuánto mide el mayor ángulo?
C
B
C
N
x-1
M
A
D
N n
7. En un trapecio una base es cinco veces el valor de la otra. Si la mediana mide 10 u, hallar la longitud de la base menor.
D
x+1
8. Hallar la longitud de la mediana del trapecio. 2. Si: BC=1 u, AB=2 u y AD=3 u, calcular "CD".
b
B
C m
B A
x + 4u n
m
D
4. En un trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales y la longitud de la mediana se encuentran en la relación de dos a siete. Calcular la relación entre las longitudes de las bases.
R
M
A
C
m
M
2. ABCD es un trapecio de mediana MN . Calcular "MR", si: BC = 2 u, AD = 8 u y RN = 3 u.
3u
B B
b + 3u
C
5. Siendo ABCD un trapecio (BC // AD). hallar: m ADC .
m A
B
4u
3. De la figura, calcular: x°.
A
A
9u
B
D
5. ABCD es un trapecio rectángulo de bases BC y AD . Si: AB=8 cm, BC=4 cm y CD=10 cm, calcular: AD.
1. La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio mide 6u y la base
mayor de dicho cuadrilátero mide 18 u. Calcular la longitud de la base menor. 2. Calcular "CD", además: BH=4 u D
Bloque III 1. En un cuadrilátero ABCD: m A + m D = 140°.
Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del ángulo "A" con la bi sectriz exterior del ángulo "D".
x°+5°
A
B
medidas de los ángulos adyacentes a la base mayor es 90° y las longitudes de las bases se diferencian en 48 cm. 4. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares y miden 6 u y 8 u. Calcular la longitud de su mediana. 5. En un trapecio rectángulo ABCD: m A=m B = 90°,
m D = 75° y la base mayor AD es el doble del lado H
AB . Hallar: m BCA
C
M A
2. Se tiene un cuadrilátero ABCD equilátero donde un
3. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases de un trapecio, si la suma de las
2u
8x°
A
4x°
3x°
D
5. En el trapecio ABCD, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales AC y BD . 4u
N
8u
D
10.En un trapecio la longitud de la mediana es el triple de la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Si la base menor mide 6 cm, calcular la longitud de la base mayor.
C
5x°
H
D
4. Calcular "x°"
B
B
x
lado mide 6u. Si uno de sus ángulos mide 60°, calc ular la longitud de la diagonal menor de dicho cuadr ilátero.
Bloque II
2
C
160°
4. Las bases y la mediana de un trapecio suman 66 cm. Calcular la longitud de la mediana.
A
9. ABCD es un trapecio de mediana MN . Calcular "x", si: CH=1 u y HD=9 u.
3. Calcular "x°" en el trapecio isósceles.
120° 2x°
D
4u
3u
x°
D
11u
C
C
11.En un trapecio la longitud de la mediana excede en 2 cm a la base menor y la base mayor mide 8 cm. Hallar la longitud de la mediana. 12.En un trapecio rectángulo, la base menor mide 4 cm y el lado lateral mide 5 cm. Hallar la longitud de la base
mayor, si la medida d e un ángulo interno menor es 53°. 13.Calcular la longitud d el segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio mostrado, donde: CD=10 u. B
C
GEOMETRÍA 14.Del gráfico, calcular: x° + 20°.
3a°
Cuadriláteros (Trapezoides y trapecios)
19.ABCE: Trapecio isósceles. Si : BE = 5 u y BC = 3 u, calcular "AE".
a°
C
B
24.Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de MC y AN , si: AC=14 u.
B
B
4x°
x°
c
37°
A
N
c
E
a A
A
15.Del gráfico, calcular: x° + 10°.
20.En el trapecio ABCD, BC=4 u, CD 8 3 u . Calcular "AD"
C
a
M
b° 3b°
27.Si: AB=CD; BC//AD ; HD=15 u, calcular la longitud de la mediana del trapecio ABCD.
D
H
C
28.En un trapecio donde: BC=a y CD=b, calcular "AD".
25.Siendo ABCD un trapecio, calcular " PQ".
B
C B
x°
B
C
x°
A
2x°
6u
D
A
16.Si ABCD es un trapecio isósceles, donde: AC=BP=PD, calcular: m BPD.
60°
30°
D
10u
A A
P Q 20u
C
A A
B
B
12u
5u
A
C
D
30.En el gráfico MN es mediana del trapecio, además:
17.Si: BC// AD , calcular la longitud de la mediana del trapecio mostrado donde: BC=7 u ; CD=10 u.
B
A
H
D
MP=PQ=QN. Calcular:
C
115°
C
M P D
A D
23.Si: AB=CD; BC// AD ; HD=7 u, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD .
18.Si: BC// AE , BC=1 u y AB=3 u, calcular "AE". B
.
B
C
C
BC AD
130°
140°
70°
D
x
D
B
C
19u
22.Si: BC//AD y AD - CD=24 u, calcular "BC".
A
D
x°
C
B
20°
29.Siendo ABCD un trapecio, calcular "x".
26.La figura muestra un trapecio isósceles (BC //AD) . Si: HD=6 u, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales.
B
80°
D
21.Si: m B - m D = 56°, calcular "x°".
P
B
C
B
C
C
A
Q
N
D
Cuadriláteros (paralelogramos)
TRILCE
CUADRILÁTEROS
20
(PARALELOGRAMOS)
Rectángulo
Cuadrado
Es aquel paralelogramo que tiene sus lados consecutivos
Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de igual
de diferente longitud y las medidas de sus ángulos interiores son iguales a 90°. Es equiángulo.
longitud y las medidas de sus ángulos interiores igual a 90°.
b
B m
Clasificación de paralelogramos
III. Paralelogramos
Es aquel cuadrilátero convexo que tiene sus pares de lados opuestos paralelos.
a
C O
Es aquel paralelogramo que tiene los lados consecutivos
de diferente longitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90°. b
C
D a
En la figura, si: AB // CD y BC//AD
ABCD: paralelogramo
a
A
D
b
En la figura,
ABCD: romboide
Rombo B
C
A
AB
CD
BC
AD
Es aquel paralelogramo que tiene sus lados de igual longitud y sus ángulos interiores tienen medidas distintas de 90°. Es equilátero.
D
B
b. En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes.
L A
C
A
BCD
ABC
ADC
D
c. En todo paralelogramo las diagonales se bisecan. B
C
O
n
AO = OC
En la figura,
m n
D
BAD
L
m L
B
45°
a
ABCD: rombo
L
En la figura,
b
ABCD: rectángul o
D
C
45°
m
45°
m
L
O m
m
45°
45°
45° A
45° L
En la figura, ABCD: cuadrado "O": centro del cuadrado.
Propiedades a. En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes.
m
L
B A
O
L
B
45°
Romboide A
B
m
C m
C
D
GEOMETRÍA
Cuadriláteros (paralelogramos) 3. Si: AC=8 u; EO=3 u, calcular: x° B
Resolución
C
1. Si ABCD es un paralelogramo, AC=16 u , BD=22 u, calcular: OB+OC. O
Resolución B
x°
A
C
D
E
O
D
A
Rpta.:
4. Si las diagonales del rombo ABCD miden 14 u y 48 u respectivamente, calcular el perímetro del rombo.
Resolución B
Rpta.:
C
A
2. Si ABCD es un paralelogramo, calcular "BR", si: AD=10 u y CD=8 u.
Resolución B
R
D
C
Rpta.: A
D
5. Calcular: AD, si ABCD es un romboide y EC=1 u y AB=3 u
Resolución B
E
C
A
D
GEOMETRÍA
Cuadriláteros (paralelogramos)
Bloque II
Practiquemos Bloque I
1. Si ABCD es un rectángulo donde: AC=2(PC) y AD=8u, calcular "PQ".
Tarea domiciliaria
B
1. Calcular "x°" C
O
80°
B
Q
C
A
D
3. Si ABCD es un cuadrado y ABPQ es un rombo, calcular "x° ".
A
A
2x°
x°
8. En el rectángulo ABCD, hallar su perímetro , si: OB=8,5 u y CD=8 u.
D
B
3. En un romboide ABCD, la bisectriz del ángulo "B" corta a AD en "F". Si CD y FD miden 8u y 4u respectivaamente, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de FB y CD .
C
5. En un r ectángulo ABCD se traza BH AC , la bisectriz
del ángulo DBH interseca en "F" a CD . Si: BF 6 2u ,
Q
DF=5 u, calcular "AB".
C O A
A
D
P
D
9. Siendo ABCD un romboide, calcular "x".
3. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo. B
5a C 4a
C
x-1
O
Q
x° A
D
5. Si ABCD es un paralelogramo y AB=6 u; BC=9 u, calcular "EF"
x
D
10.Si ABCD es un rectángulo, calcular " °". 4. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo. B
C
C x 8
a AE en "F" y AD en "G". Calcular "CD", si: FG=10u y
O
D
5. Hallar el perímetro del cuadrado ABCD. B
32°
A
x+4
A
3. En un paralelogramo ABCD se cumple que: AC=2(AB) y m ADB=45°. Hallar: m BAC .
D
11.Si ABCD es un cuadrado y AP=CD, calcular " °". B
C
P
C 8u A
A
D
por "D" se levanta una perpendicular a AD que corta a BM en "R". Calcular "AR", si: BR=5 u y RM=2 u.
H
D
BC ("E" en BC ) y por "B" se traza una recta que corta
4. En un romboide ABCD "M" es punto medio de CD , luego
8u
C
A
x
A
1. En un romboide ABCD, se traza AE perpendicular a
2. En un romboide ABCD, se traza BP y DQ perpendicularesa AC , tal que: AB=PQ y m ABP=53°. Hallar: m ACB .
12u
B
15
B
m ABG=2(m GBC) .
D
40° A
Bloque III
4. Si ABCD es un cuadrado y ABPQ es un romboide, calcular "x°".
C
x°+20°
2
x°
B
D
4. El perímetro de un rombo mide 12 u y una de sus diagonales es congruente con un lado. Calcular la longitud de la diagonal mayor.
P
B
D
C
2. En el interior de un cuadrado ABCD se dibuja el triángulo equilátero AED. Hallar: m BEC .
B
A
7x° B
2. Calcular "x°", en el paralelogramo ABCD.
P
B
C
P
1. Las diagonales de un rombo miden 20 u y 48 u. Calcular el perímetro del rombo. 2. En la gráfica, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y PD , sabiendo además que: BP=18 cm
7. Calcular "BD", si ABCD es un paralelogramo, AO=8; OC=x + 2; OD = x - 1.
6. Si ABCD es un romboide, calcular "BP".
D
12.Si ABCD es un paralelogramo, PC=6 u y CD=9 u, calcular "AD".
GEOMETRÍA 13.El perímetro de un paralelogramo mide 64 u y cada lado mayor excede al menor en 4 u. ¿Cuánto mide el lado mayor? 14.Hallar el perímetro de un rombo ABCD sabiendo que
Cuadriláteros (paralelogramos)
23.Grafique al paralelogramo ABCD de modo que: AD=12 u; AB=9 u y la medida del ángulo "A" es
29.En un rectángulo ABCD, se toman los puntos medios
igual a 60°. S i se traza la altura BF relativa a CD
"E" de AD y "F" de CE ; AF prolongado corta a CD
("F" CD), calcular "FD".
en "G". Calcular "FG", sabiendo que: AF=45 u.
30.Calcular "x°", si ABCD es un trapecio isósceles y BD=AQ=QC. B
C
m BAD=60° y la diagonal mayor mide 4 3u . 15.Si ABCD es un cuadrado de perímetro 16 u y CDE es un triángulo equilátero, calcular la distancia desde "C"
24.Se tiene un paralelogramo ABCD, sobre CD se ubica el punto medio "M", tal que: m ABM=90° . Calcular "AD", si: AB=6 u y MB=4 u.
hasta AE . 25.En el gráfico; PC=3(AP) y AM=MD. Además: AB=1,5 u y BC=2 u.
C
B
B
C
E P
A
D
x°
A
16. Calcular el perímetro de un rombo, si sus diagonales miden 10 u y 24 u.
D
M
26.Si ABCD es un cuadrado y PBCQ es un paralelogramo, calcular "PM", si: AB=10 u y PB=6 u.
17. En un rectángulo ABCD la m
ACD=70°. Calcular la medida del menor ángulo formado por sus diagonales.
B
18. Hallar la medida del menor ángulo interno de un rombo, si la longitud de una de sus diagonales es igual a la longitud de un lado. P
M
C
Q
19.Si el lado de un cuadrado mide 12 u, hallar la longitud de su diagonal. D
A
20. Si ABCD es un trapecio isósceles y PCD es un triángulo
equilátero, calcular x°. B
27. En el gráfico ABCD es un romboide, PC=3(AP) y BP=6 u, calcular "BH".
C
x°
B
A
D
P
P A
21.Si la longitud de la diagonal de un cuadrado es "L", calcular la longitud del lado del cuadrado. 22.Si ABCD es un trapecio; AB=4 u, CD=6 u y AD=8 u, calcular "PQ". B
C
C
H
D
28.Si ABCD es un cuadrado de perímetro 40 u y CP=PD, calcular "BH". B
C
A
x°
80° Q
D
Repaso (Evaluación mensual) 2. ¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo en el cual,
TRILCE
la suma de las medidas de los ángulos interiores es cinco veces la suma de las medidas de los ángulos
REPASO
(EVALUACIÓN
21
MENSUAL)
5. Si: BC//AD ; calcular "AH" , si: LD=4 u.
Practiquemos
B
Bloque I
3. Dado el triángulo ABC, se trazan las medianas AN y CM . Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AN y CM , siendo: AC=32 u. 4. Calcular la medida del ángulo formado por las
mediatrices de dos lados consecut ivos de un nonágono
5. En la figura: AB=6 m y AD=10 m (BC //AD)
1. En la figura, calcular: x° + 10°.
B
30° A
C
5x°
45° H
8x°
6. Calcular la suma de las medidas de un ángulo exterior 4x°
A
a+5
m
7. La base menor de un trapecio mide 5 u y la base mayor excede en 3u a la mediana. Calcular la longitud de la base mayor.
B
B
C
C A
N
m
D
n
A
45°
D
17 - a
A
3. En la figura PQRS es un trapecio. Calcular "x°" e "y°".
(SR //PQ) S
x°+5°
y°
70°
F D
9. Se tiene un trapecio ABCD de bases AB=3 u y CD=10 u. Calcular la suma de las longitudes de la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales. 10.Se tiene un trapecio cuyas bases AD y BC , suman 16 u, además "M" y "N" son puntos medios de AC y BD respectivamente. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de MB y NC .
R
2x° - 5°
P
1. En la figura ABCDEF es un hexágono equiángulo. Si: AB=3 u, BC=4 u, CD=5 u y AF=6 u; calcular "EF".
8. En la figura; calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales, si: AB=4 m.
C n
x
M
D
Bloque III
D
2 . Si : BC//AD ; calcular "x". B
A
y un interior de un endecágono regular.
3x°
Q
4. Si ABCD es un romboide, calcular "x°".
Bloque II 1. Si ABCDEFGH es un polígono equiángulo, calcular "x°".
x°
C
C D
H E G
F
3. En un exágono ABCDEF, BC=4 u; AB=3 u; CD=6 u y mencionado.
C
140° 110°
D
L
B A
DE=5 u. Hallar el perímetro del hexágono equiángulo
Calcular "BC".
B
Si: AB 3 2 u y BC=1 u; calcular "AC".
exteriores?
regular.
C
2. La figura ABCDEFGH es un octógono equiángulo.
E
4. En el romboide ABCD: m BDC=90° , "M" es el punto medio de AD tal que: AD=20 u. Por "A" y "B" se trazan paralelas a BM y CM respectivamente las cuales se intersecan en "N", calcular "AN". 5. Se tiene el romboide ABCD, tal que m BCD=80° . Hallar: m O1DO2 tal que "O 1" y "O 2" son incentros
de los triángulos ABD y BCD respectivamente.
GEOMETRÍA
Repaso (Evaluación mensual)
6. Calcular la suma de ángulos internos de un polígono,
Tarea domiciliaria 1. Hallar la longitud de la mediana del trapecio ABCD
en el cual el número de diagonales es igual a su número de lados.
Hallar: m QRS , si: m QPS=80° . B
B
14.Si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo
C
B
M
A
B
D
C
P
x° C
8u
x A
38°
A
8u
equilátero, calcular "x°".
x°
D
20.En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero. Calcular "x".
7. Si ABCD es un trapecio isósceles, calcular "x°".
(AB//CD) , si: AB=6 u y CD=8 u. A
13.Se tiene un trapecio isósceles PQRS (QR //PS) .
8. En la figura se muestran un cuadrado y un pentágono regular. Calcular:
21.Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AP y CD , sabiendo que: CD=4 u , AD=10 u.
C
D
2. Hallar la longitud de la mediana del trapecio. 15.En el trapecio ABC D, calcular: PQ; si: BC=4 u , AD=8 u y AP=PC.
4u
a
B
P
20u
b
M A
10. ¿En qué polígono el número de ángulos más el número
C
x
dos polígonos es 900°. ¿Qué pares de polígonos cumplen con dicha condición? de vértices es igual al número de diagonales? 11. El gráfico muestra el hexágono ABCDEF, hallar: m BAF .
N D
b + 10
B
C
4. Si ABCD es un cuadrado y BQPC es un romboide, calcular "°".
Q
A
16.Se tiene un cuadrilátero PQRS. Si m QPS = 70° , m PQR = m PSR = 90°; hallar la medida del ángulo exterior en "R". 17.En un cuadrado ABCD, interiormente se construye el triángulo equilátero ABR. Hallar: m RCD.
E
B
12. ABC DEF y PQR DS son pol ígon os equ ián gul os. Calcular "°".
C
120° R
C
B
x° A
P
C
5. Si ABCD es un trapecio isósceles, calcular "x°".
D
B P
Q
N
A
23.En el gráfico mostrado, calcular "EA", si: DC=8 2 u y DB=BA.
D
C
D
45°
Q D
40°
P
19. Si ABCD es un rombo y BM=MC, calcular "x°". A
C
18.Si ABCD es un romboide y AM=MB, PN=ND, además: AD=12 u y DC=4 u, calcular "MN".
D
M
B
22.Si ABCD es un rombo y PADQ es un cuadrado, calcular "x°".
D
F
D
A
P
Q
9. La suma de las medidas de los ángulos internos de
3. Siendo ABCD un trapecio, calcular "x", si además: AM=MC y BN =ND. B
A
C
C
a
P
B
S
E
B
M
C
D
82°
B
GEOMETRÍA 24.Si ABCD es un trapecio donde "P" y "Q" son puntos medios de AB y CD respectivamente, además: BC=2 u, AD=8 u y PR=4 u, calcular " x° ".
B
27.En un trapecio ABCD de bases AB y CD , se trazan las bisectrices de los ángulos "A" y "D" que se cortan en "R" y las bisectrices de los ángulos "B" y "C" que se cortan en "S". Calcular "RS", si: AB=4 u, CD=12 u, AD=7 u y BC=9 u.
TRILCE
CIRCUNFERENCIA
22
C A
B
x° Q
P
A
49°
D
D
Objetivo
C
Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en la capacidad de: 25.En el gráfico ABCD es un paralelogramo. Calcular "x°", si: BP=2(PQ).
28.Si BC // AD , AP=PB; BC=6 u, AD=12 u, calcular "PQ".
Q P
B
C
x°
A
B
Q D
B
C
A
• Arco: Es una porción cualquiera de la circunferencia
Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto de dicho plano denominado centro. A la distancia constante de estos puntos al centro se denomina radio de la circunferencia.
P
26.Si ABCD es un romboide, donde: BP=2(PD), calcular " x°".
Reconocer la circunferencia y cada uno de sus elementos. Diferenciar la circunferencia del círculo.
Definición C
-
D
29.La medida de un ángulo interior de un polígono re gular es de 135°. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?
A
30°
x°
equilátero, calcular: AE . B
L En la figura, se muestra una circunferencia de centro "O" y radio "R".
DF
D
C
Líneas asociadas a la circunferencia E
E
D
= 2.R
L : Longitud de la circunferencia R: Radio de la circunferencia
Propiedades fundamentales en toda circunferencia
F C
A
* Observación:
circunferencia, entonces se cumple:
30.Si ABCD es un cuadrado y ECF es un triángulo P
se denota: PQ .
El círculo, es la porción de plano que comprende la circunferencia y su región interior. El perímetro del círculo es igual a la longitud de la
R
O
determinada por dos puntos de la misma, denominados extremos del arco, en la figura, por ejemplo el a rco PQ
D
A
F
R B
O P
LT
1. La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia. LT
T Q
En la figura, se tiene la circunferencia de centro "O" y radio "R". Cuerda: CD
O
T
GEOMETRÍA
Circunferencia 2. Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda y a los arcos que subtiende.
5. Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior, son de igual longitud.
A H
M
O
B r
N
1. En el gráfico: "O" es centro y m APB = 28°. Calcular "x°"
O
A
P
P
A
B
r En la figura, MN : diámetro, si: MN AB
En la figura, PA y PB son tangentes a la circunferencia.
se cumple: AH = HB
Se cumple:
O
x° r
PA = PB
B
además: mAN = mNB y mAM = mMB 3. En una misma circunferencia o circunferencias congruentes, si dos arcos son de igual medida sus cuerdas correspondientes son de igual longitud,
Polígono circunscrito a una circunferencia I. B
además dichas cuerdas equidistan del centro. B
D
M A
C
A
H O
Triángulo ABC, circunscrito a la circunferencia. Circunferencia inscrita al triángulo ABC.
-
C
Rpta.:
II. En la figura, si: mAB = mCD
B
2. Calcular ""
C
se cumple: AB = CD y OM = OH B
4. En una circunferencia los arcos comprendidos entre dos cuerdas paralelas son de igual medida. A T
LT A
C
Recta tangente B
-
64°
D
Cuadrilátero ABCD, circunscrito a la circunferencia. Circunferencia inscrita en el cuadrilátero ABCD.
Teorema de Poncelet.- En todo triángulo rectá ngulo se cumple que la suma de las longitudes de sus catetos es igual a la suma de la longitud de su hipotenusa y el doble de la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo.
D A
En la figura, si: AB // CD
AB + BC = AC + 2r I
r
r: Inradio
A
D
C
GEOMETRÍA
Circunferencia
Bloque II
Practiquemos
3. Hallar "x°", si "P" es punto de tangencia.
A
Bloque I
A
1. Calcular "PA", si "A" y "B" son puntos de tangencia.
P x°
110°
O
1. Calcular "r", si: AB=3 u y BC=4 u.
A
O
40°
r
B
P
r
B
B
C
2. Calcular "BC", si: AE=3 u; AB=4 u; EC=7 u.
2. En el gráfico, si: PT = 4 u y AB = 6 u, calcular "x°". ("T": punto de tangencia) Rpta.:
T
x°
4 . S i: mAB = 42° . Hallar: m B
P
C
B
CED . A
E
B
O
E A
A
3. Calcular "°", si "T" es punto de tangencia.
C
3. Calcular "AM", si: AB=8 u, BC=7 u y AC=6 u. ("M": punto de tangencia)
T D
A
2
A
B
O
M
4. En la figura, calcular "x + y + z", si: AB=5 u, BC=6 u y AC=7 u.
B
C
Rpta.:
B y
5. Hallar "y°". si "T" es punto de tangencia; mTA = 70° y mAB = 120° .
4. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 u y 15 u, calcular la longitud de su inradio.
Q
P
5. Calcular "x°", si: TQ=QP. ("T" es punto de tangencia)
z A
T
x
R
C
5. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB , si: AB = 6 u y r = 5 u. y° A
O Q
P B
x°
P
GEOMETRÍA
Circunferencia 3. En un triángulo rectángulo las longitudes de la hipotenusa y el inradio suman 21 u. Calcular el
Bloque III 1. Calcular "x°", si: QN=7 u y R=3 u. ("P" y "T" son puntos de tangencia)
Q
x°
R
O
T
semiperímetro del triángulo rectángulo. 4. En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 16 u, inradio igual a 3 u, calcular la longitud de la hipotenusa.
6. Calcular: x + 8 u
Tarea domiciliaria 1. Calcular "°" ("T": Punto de tangencia) 8u
5. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita P
N
2. En una circunferencia de radio que mide 13 u se tiene una cuerda AB que mide 24 u. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB .
O x
T
a un triángulo rectángulo, si la diferencia entre el semiperímetro y la longitud de la hipotenusa es 4 u. O r
6. Dado un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia si un lado no paralelo mide 13 u, calcular la longitud de la mediana del trapecio. 7. Un trapecio rectángulo está circunscrito a una circunferencia. Si el radio de la circunferencia mide 2 u y uno de los lados no paralelos mide 5 u, calcular la longitud de la base menor.
C
15u
2
7. Si: AB=7 u y BC=24 u, calcular: r + 5u. A
2. Calcular la longitud del inradio del triángulo rectángulo, si: AB=48 u y BC=64 u. B
O r
C
B
C
A
8. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB ; si: R=13 u y AB=24 u.
3. En la figura PT es tangente, "O" centro de la circunferencia. Calcular la longitud del radio de la circunferencia, si: PT=12 u y PO=13 u.
A
B R
O
T
P
9. Si: PA = 8u y r = 5u, calcular "PT" O T
4. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB si: AB=8 u, R=5 u.
B r
O
A
P
B A
10.Si: AB=8 u, BC=7u y AC=5u, calcular "AM".
O R
A
5. Si: AQ=9 u y CT=13 u, calcular "AC". M
GEOMETRÍA
Circunferencia 11.Calcular "AM"; si: AB=13 u, BC=14 u y AC=15 u.
18.Calcular "AP", si: AB=6 u, BC=8 u y AC=12 u.
B B
25.En un cuadrilátero circunscriptible ABCD, AB=7 u, BC=5 u y CD=8 u. Calcular "AD". Q
P
24.Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 7 u y 11 u. Calcular el inradio más el circunradio.
26.Calcular "x°", tal que: QP=PS y AB=2AP.
27. En el gráfico: PM=6 u. Calcular el perímetro del triángulo PQR, si "A", "M" y "N" son puntos de tangencia. M
Q
S
A
C
M
A
12.Calcular la longitud del inradio de un triángulo rectángulo de catetos 2 u y 1,5 u.
C
R
19.Si: AB=6 u ; CD=8 u y AD=11u, calcular "BC". C
B
13.Calcular: "BC", si: AE=5 u ; AB=6 u y EC=8 u. C
A
D
B
20.Calcular: r , si: AB=8 u y BC=15 u. 3 A
E
A
14. En la figura, calcular el perímetro del cuadrilátero ABCD. C
r
B
C
B
17u 13u
21. En un trapecio isósceles AD = BC = 8 u; calcular la longitud de su mediana.
D
A
A
B
15.Calcular "x°". ("T" es punto de tangencia) T C
D
A
4x°
x° O
B
P
16.En un triángulo ABC recto en "B", calcular la longitud del inradio del triángulo si: AB=8u y BC=15u.
22. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 18 u y 24 u. Calcular la medida del inradio. 23.Calcular: AB + CD, si la mediana del trapecio ABCD mide 18 u. (BC //AD)
17. Calcular "x°" ("T": punto de tangencia) B
C
N
P
P
A R
Q x° A
30°
O
B
28. Los lados de un triángulo miden 9 u; 12 u y 15 u.
Calcular la longitud del inradio del triángulo.
Ángulos asociados a la circunferencia c. Formado por dos tangentes
TRILCE
ÁNGULOS LA
ASOCIADOS
A
23
CIRCUNFERENCIA
Observaciones: 1. En todo cuadrilátero inscrito los ángulos interiores opuestos son suplementarios.
B
C
B
x° 1. Ángulo
central
A
4. Ángulo interio r En la figura, A
x°
O
AOB: ángulo central
se cumple: x° = ° 2. Ángulo
2
además: x° + ° = 180°
se cumple:
ABCD: inscrito + = 180°
N
APB: ángulo interior
En la figura,
2. En todo cuadrilátero inscrito, sus diagonales determinan
con los lados opuestos ángulos de igual medida.
Definición
2
C
Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una
B
misma circunferencia.
5. Ángulo exterior
C
A
a. Formado por dos rectas secantes
x°
D
CUADRILÁTERO INSCRITO se cumple: x
inscrito
P
P
A
En la figura,
A
B
En la figura,
x°
P
APB: ángulo exterior
se cumple: x
M
B
A
Circunferencia circunscrita al ABCD
B
B B
En la figura, se cumple:
APB: ángulo inscrito x
x°
P
En la figura, "A", "B", "C" y "D", son puntos de la circunferencia entonces:
2 En la figura,
APB: ángulo exterior
se cumple: x
3. Ángulo seminscrito A
ABCD inscrito en la circunferencia
2
b. Formado por una recta secante y una tangente A
x° P
En la figura,
Recta tangente
B
B
APB: ángulo seminscrito
D
Recta tangente
T
En la figura se cumple:
C
A
A
D
x°
P
ABCD: inscrito =
D
GEOMETRÍA
Ángulos asociados a la circunferencia 3. Calcular "r", si: OP = 4 u.
1. Calcular "x", si: AP = r ("P" es punto de tangencia) O
B
P
r
x° A
O
P
A
r
Rpta.:
4. En el gráfico; "B", "C" y "T" son puntos de tangencia, tal que: AB = 16 u y r = 9u. Hallar "AP".
B r
Rpta.:
O
T
2. Si: AE = 24 u y R = 13 u; hallar la distancia de "O" a la cuerda AE P
A
C
E A O
R
Rpta.: 5. Siendo: O el centro y Q punto de tangencia. Hallar "x" si: m Q
x° A
O
B
P
BPQ = 26°
GEOMETRÍA
Practiquemos
Ángulos asociados a la circunferencia 3. Siendo ABCD un romboide, calcular "x°". ("B" y "D" son puntos de tangencia)
Bloque II
Bloque III
1. Si "P" y "Q" son puntos de tangencia, calcular "x°".
1. En la figura, calcular "x°". B
Bloque I
C
B
1. En el gráfico mostrado "P" y "T" son puntos de tangencia, calcular "x°".
70°
3x°
Q
2x°
P
A
x A
x°
15°
D
C
x°
P
2. En la figura "A" y "B" son puntos de tangencia.
Calcular "x°".
T
B
B
x°
4. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se traza la tangente PC y la secante PAB; en la prolongación de CA se ubica el punto "D". Si: m CPA + m CBA = 80°, hallar: m BAD .
2. Calcular "x°".
2. Calcular "x°".
5. En una circunferencia de centro "O", de radios OA y
140° B A
100° x°
D
A C
3. En la figura, calcular "x°", si "O" es centro de la circunferencia.
O
80° x°
O
3. Hallar: mAC , si: BA=AD..
30° B
A
4. En el gráfico, calcular "x°", si: °+ ° = 100° C
D
B
x°
4. Se tiene un trapecio ABCD inscrito en una circunferencia
(BC //AD) . Hallar m BDA , si: mBC + mAD = 100° .
5. En una circunferencia se trazan la cuerdas AB y CD ,
A
5. En la figura, calcular "x°".
las cuales se interceptan en "P". Calcular la medida del
ángulo APD, si: mAC = mBC y mBD = mAD . 120°
C
A
OB, sobre el menor arco AB , se toma el punto "F" tal que: m AFB=130° . Calcular " m AOB ".
H
x°
110° Z
C
GEOMETRÍA
Ángulos asociados a la circunferencia
6. Calcular "x°", si BC=CD.
12.Calcular " x°".
Tarea domiciliaria
C B
1. Calcular " x°".
17.Siendo ABCD un paralelogramo, hallar " m ABC", si: mBCD = 150° .
B
x° B
C
R
110°
x°
D
A 40°
2. Calcular " x°".
18.En la figura la recta "L" es tangente a la circunferencia de centro "O" en "A".
13.Calcular "x°", si: mAB = 90°.
Q
Calcular: mBC , si: m
NAB=50°.
P
A
x°
x°
N
C O
cuerda PA . Hallar: m
3. Calcular " x°". B
x°
50°
E
A
B
D
8. En una circunferencia se traza el diámetro PQ y la
O
B L
PAQ. 14.Del gráfico, calcular "x°". ("A" y "B" son puntos de tangencia)
9. Hallar: m APD, si: mBC = 60° .
C
x°
A
C E
R
7. Calcular "x°", si mPQ = 60°.
130°
D
A O
A
74° P
A
B
B
19.Hallar: m ALC , si: mBM = mMC ; m
x
MPC = 80° .
A
80° B
D 10.Hallar: m PQR, si: m ABC=20° .
Q
15.Hallar: m
PRQ
B
B Q
P
P
20.Hallar: m ABD , si: m
Además: L1
R R
110°
O
P
R
L1
A A
P
11. Calcular " x°". 40°
BAT=30° ; m DCT=20°.
L 2 . ("A" y "T" son puntos de tangencia)
130°
R
5. Calcular " x°". ("P" y "T" son puntos de tangencia)
x°
M
L
S
C
P
4. Calcular " mQS", si OPQR es un cuadrado..
Q
C
16. Del gráfico, calcular: "a° + b°". L2 D
a°
B C
T
GEOMETRÍA 21.En la figura se muestran dos circunferencias congruentes. Calcular: x°, si: AB=BC=CD. A
26.En la figura: mPB = mCD, calcular: mBD. ("A", "B", "C" y "D" son puntos de tangencia)
TRILCE
REPASO B
BIMESTRAL
A
x°
P
P
C
24
D
B
D
5. Calcular "x"
C
Practiquemos
22.En la figura si "O" es centro, calcular "r".
27.Hallar: m PLO , si "O" es centro y "T" es punto de tangencia. T
Bloque I
x+3
1. Calcular "x", si ABCD es un romboide.
A
T
38°
3
O
A
2
r
P
9u
L
28.En la figura si "A" y "B" son puntos de tangencia, calcular "x°". 23.Calcular: mPQ C
80°
30° Q
D
15u
1. En la figura, ° + ° = 140°; si "A" y "B" son puntos de tangencia, calcular "x°".
A
x°
B
B
2. Calcular "x°".
29.En la figura "N" y "F" son puntos de tangencia, hallar
mAB ; si: mCB = 40° y mEA = 35° .
O
A R
C
4x° 5x°
B F
E
100°
x°
N
D
Bloque II
x°
B
A
24.En la figura mostrada, calcular "x°".
8-2x
3. Calcular la longitud de la flecha de la cuerda AB, si: AB=24 u y R=13 u.
D
B
A
x
C
5
C
2. Calcular el perímetro de un romboide si las bisectrices de los ángulos A y D se cortan en un punto P de BC . Además: CD=8u.
A P
E
B
O
P
x2
B
4. Si: AB=9 u y BC=12 u, calcular "r". A
A
3. En la figura, "P", "Q" y "R" son puntos de tangencia. Hallar: mAB
25.Si: mBC = 120° , m AEB=40° , calcular "x°". ("A" es punto de tangencia) A
30. En la gráfica, mABE = mAF y mECD = mGD . Hallar: m APC . ("B" y "C" son puntos de tangencia)
P
O r
P
B
Q
C
A
GEOMETRÍA
Repaso bimestral 4. En el gráfico calcular "x°". ("T" y "D" son puntos de tangencia)
T
A
x°
40°
C
2. En un triángulo rectángulo un cateto mide 28 m y la suma de las longitudes de su inradio y circunradio es de 20 m. Calcular la longitud del otro cateto. 3. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazan la tangente PC y la secante PAB . En la prolongación de CA se ubica el punto "D". Si: m CPA + m CBA = 80° ; hallar " m BAD ".
Tarea domiciliaria 1. En un pentágono regular, ¿cuánto mide el ángulo central y el ángulo interno del polígono?
B
4. En la figura "A", "B" y "C" son puntos de tangencia.
5. Calcular "AM", si "M"; "N" y "Q" son puntos de tangencia, AB=5 u BC=7 u y AC=10 u.
9. En la figura mostrada "O" y "O1" son centros "P", "Q" y "T" son puntos de tangencia, calcular "x°".
2. En la figura BC// AD . Calcular: a° y b°.
40° D
8. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3 960°?
T
C
O
b°
2a° - 5°
Q
Hallar: mPAQ O1
P
Q
B
B N
A
M
Q
D
10.Hallar: m B + m C , si m BCP=40° y "C" es punto de tangencia.
3. Calcular la suma de las medidas de un ángulo interior
B
del hexágono y la medida de un ángulo exterior de un octógono.
S
P
70°
A
50° C
A
a°+5°
R
40°
A
C
5. Calcular "r", si: AB=5 u y BC=12 u. ("P", "Q" y "T" son puntos de tangencia)
4. En la figura, calcular "x°"; si "P" y "Q" son puntos de tangencia. B
Bloque III 1. En una circunferencia de radio que mide 13 m se tiene una cuerda AB que mide 24 m. Calcular la sagita de la cuerda AB.
C
P
11.Calcul ar "x", si "O" es centro, BC=30 m y r=17 m. C
P r
x
B Q T A
38°
P
O
C
B
O
r
x° A
Q
C
12.Calcular "r" 5. En un trapecio su mediana mide 6 u y su base mayor mide cuatro veces la longitud de la b ase menor. Hallar la longitud de la base mayor.
B
8
6
6. En el gráfico, calcular "x°", si: mAB = 80°.
O
A B
r C
A E
13.En la figura, calcular "r + 1". C
B
x° D
B
24
7 r
7. En la figura ABCD es un cuadrado y AP=AB. Hallar: m APL . C
A
C
Repaso bimestral 14.En la figura; si: b + r = 17 m, hallar el perímetro del
triángulo ABC.
19. En el trapecio isósceles (AB//DC) ; AD=BC=20 m. Calcular la longitud de la mediana.
B
A
B
a
c r
C
D C
A
b
15.En la figura "O" es centro de la circunferencia, si: BC=8 m, calcular "OP". A
O
20. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita determina el punto de tangencia "Q" en AC . Si: AB=10 u, BC=12 u y AC=18 u, calcular "AQ" 21.En la figura "O" es centro, AN = NB; AB=24 m; r=13 m. Calcular "MN"
P
B
M N
C
B
O
A
r
16.En la figura "M", "N" y "Q" son puntos de tangencia.
Calcular "x°". 22.Un cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia; si los lados opuestos miden 6 m y 8 m, hallar el
B
perímetro del cuadrilátero. N
M
x°
23.¿En qué polígono regular la medida de un ángulo
interno es el triple de la medid a de un ángulo externo? 130°
A
Q
24.¿Cuántos lados tiene el p olígono convexo cuyo número
C
de diagonales excede al número de vértices en 18?
17.En la figura; calcular " °", si "T" es punto de tangencia.
25.Calcular la medida del menor ángulo interior de un
octógono convexo, en donde las medidas de los ángulos internos están en progresión aritmética de razón 10°.
C
B
26. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono,
O 2 T
A
el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos. 27.En la figura "O" es centro, "P" es punto de tangencia,
calcular "x°".
18.En la figura: AB=7 m y CD=10 m. Calcular: BC
O
x° C
P D
