POLIEDRO Poliedro.
Porció Por ciónn de esp espac acio io tot totalm alment entee limi limitad tadaa por porpol polígo ígonos nospla planos nos..
Elementosdelpoliedro. CARA ARISTA VÉRTICE DIAGONAL ÁNGULODIEDRO ÁNGULOPOLIEDRO CENTRO
Polígonosquelimitanyformanlasuperficiedelpoliedro. Cadaladodelascarasdelpoliedro. Puntocomúndeconcurrenciadevariasaristas. Rectaqueunendosvérticesnosituadosenunamismacara. Ángulo Áng ulofor formad madoo por pordos doscar caras as con consec secuti utivas vas.. Ánguloformadopormasdedoscarasdevérticecomún. Puntoqueequidistadecarasyaristas.Centrodesimetría.
FórmuladeEuler:: Vértices+Caras= FórmuladeEuler Vértices+Caras= Aristas+2 Clasificacióndepoliedros. R E G U L A R
Poliedro Polied ro for formad madoo con pol polígo ígonos nos reg regula ulares res del mis mismo mo tip tipoo y con concur currie riendo ndo el mismonúmerodeellosencadavértice. SEMIRREGULAR Poliedrocuyascarassonpolígonosregularesdetiposdistintos,peroencada vérticesejuntanelmismonúmerodecarasydelamismaforma. I R R E G U L A R Notienenlascarasoángulosiguales.
CONVEXO CÓNCAVO
Poliedr Polie droo si situ tuad adoo en un mi mism smoo se semi mies espa paci cioo co conn re rela laci ción ón al pl plan anoo en el qu quee se apoya apo ya cua cualqu lquier ieraa de su suss ca caras ras.. Poliedro dividido por el plano que contiene cualquiera de sus caras.
UNIFORME
Polied Pol iedro ro que tie tienen nen tod todas as las ari arista stass igu iguale aless y sus ca caras ras pol polígo ígonos nos reg regula ulares res..
CONJUGADO
Poliedr Polie droo cu cuyo yo nú núme mero ro de ca cara rass co coin inci cide de co conn el de vé vérti rtice cess de su co conj njug ugad ado. o. Loscentrosdelascarasdeunpoliedroregularsonvérticesdelconjugado.
Poliedross Regu Poliedro Regulare laress o Sólid Sólidos os Plató Platónicos nicos.. (5). Poliedrosuniformes,convexosyconelmismonúmero de po polígo lígonos nosreg regula ulares resigu iguale aless (ca (caras ras)) con concu currie rriendo ndoen en cad cadaa vér vértic tice. e. SólidosArquimedianos (13). Poliedros semirregulares, semirregulares, uniformes, convexos convexos y con el mismo número número depolígonosregularesdistintos(caras)concurriendoencadavértice. PoliedrosdeEugeneCatalan. Duales(conjugados)delosSólidosArquimedianos. Prismas y Antiprismas (infinitos). Ambos tienen dos caras poligonales iguales y paralelas (bases), unidas por paralelogramos que constituyen las caras laterales, en los Prismas, y con las bases, dispu dis pues estas tas en se senti ntido do co contr ntrari ario, o, un unida idass po porr tri trián ángu gulos los eq equil uiláte áteros ros en los Ant Antipr iprism ismas as.. PARALE ARALELEPÍP LEPÍPEDO, EDO,prisma prismade de base basess para paralelog lelogramos ramos.. Pirámides. Poliedrodebaseunpolígonoycaraslateralestriángulosconunvérticecomún. SólidosdeJohnson(92). Poliedrosconvexosconcaraspolígonosregularesdiferentes. Deltaedro(8). Poliedroformadoportriángulosequiláteros. Estrellados (Kepler/Poinsot) (4). Uniformes y cóncavos, dos de puntas piramidales pentagonales (gran y pequeño dodecaedro estrellado, 12 puntas) y dos de puntas piramidales triangulares (gran y pequeño peq ueñoicos icosaedro aedroestre estrellado llado,, 20 punt puntas). as).
DiagramadeSchlegel.
POLIEDROSREGULARESO SÓLIDOS DE PLATÓN TETRAEDRO. 4caras(triángulosequiláteros). 4vértices.Puntocomúndetrescaras. 6aristas.Concurrentresencadavértice. Ángulodiedrode70 o 32’.
HEXAEDROOCUBO. 6caras(cuadrados). 8vértices.Puntocomúndetrescaras. 12aristas.Concurrentresencadavértice. Ángulodiedrode90.o 4diagonales. Carascontiguasperpendicularesy opuestasparalelas.
OCTAEDRO. 8caras(triángulosequiláteros). 6vértices.Puntocomúndecuatrocaras. 12aristas.Concurrencuatroencadavértice. Ángulodiedrode109 o 28’. 3diagonales perpendicularesentresí. Carasopuestasparalelas.
DODECAEDRO. 12caras(pentágonosregulares). 20vértices.Puntocomúndetrescaras. 30aristas.Concurrentresencadavértice. Ángulodiedrode116o 34’. 10diagonalesmayores. Carasopuestasparalelas.
ICOSAEDRO. 20caras(triángulosequiláteros). 12vértices.Puntocomúndecincocaras. 30aristas.Concurrencincoencadavértice. 6diagonalesmayores. Ángulodiedrode138 o11’. Carasopuestasparalelas.
TETRAEDRO. D
Seccionesdeltetraedro. E
SECCIÓN PRINCIPAL.
FI A
B GH C
G FH I DB E
Producida por un plano que contiene una arista y es perpendicular a la opuestapasandoporsupuntomedio. Es un triángulo isósceles formado por la arista (lado desigual) y las alturasdedoscaras(ladosiguales). Aristas: AB, AD, AC = Altura de una cara: GD = Altura delvértice opuesto a una cara: BF = Centrodeltetraedroyortocentrodelasección: Radio de la esfera inscrita: IF = Radio de la esfera circunscrita: IB= Diámetro de la esfera tangente a las aristas: Ángulo formado por dos caras consecutivas:
BD GB DH I IH ID EG DGB P
Q
MN J
L
K
OÑ
SR
SECCIÓN EQUILÁTERA
SECCIÓN CUADRADA.
SECCIÓN RECTANGULAR
(JKL)
(MNÑO)
(PQRS)
Producida por un plano paralelo a una de las caras del tetraedro.
Producida por un plano paralelo a dos Producida por un plano aristas opuestas y trazado por el centro del paralelo al que da una tetraedro. sección cuadrada. Los vértices se encuentran en los puntos medios de las aristas que secciona el plano y los lados del cuadrado equivalen a la mitaddelaarista.
Desarrollodeltetraedro.
TETRAEDRO.1 Posicionesdel tetraedro. Tetraedroconunacaraenunplanodeproyección.
D2
La cara apoyada es un triángulo equilátero, con el cuarto vérticeenelcentroyunidoalosotrostres.
h A
2
B
C 2
2
La otra proyección tiene la cara apoyada en la línea de tierra y la altura (o el alejamiento) del cuarto vértice se obtiene construyendo la sección principal y hallando la altura sobre unodelosdosladosiguales.
B1
D1 h
También abatiendo la sección principal usando como eje la alturadelacaraqueestáapoyada.
C1 D0 A1
C2
Tetraedro con una arista en un plano de proyección y la opuestaparalelaadichoplano.
D2
h A2
B2 C1
h C0
B1
La arista dada y su opuesta se representan en verdadera magnitudalserparalelasalplanodeproyección. Además, se cruzan en el punto medio y son las diagonales de uncuadradoquecompletadichaproyección. Ladistanciaentreellasenlaotraproyecciónseobtieneen lasecciónprincipalyequivalealladodelcuadrado.
E
A1 FD1
Tetraedro con una de sus aristas perpendicular a un planodeproyección.
A2 C0
a
C2
D2
Situada la arista vertical, la opuesta se encuentra en un plano(horizontal) cruzándose perpendicularmente a aquella porsupuntomedio.
B2
D1 a
A1 B1
C1
La distancia desde ese punto medio, de la arista vertical, hasta los extremos de la arista situada en el plano horizontal es igual que la altura de una cara del tetraedro. Así pues, la proyección coincide conla sección principaldeltetraedro. Se trazará pues, con centro en la proyección horizontal de la arista dada y con radio la altura de una de las caras del tetraedro, una circunferencia sobre la que una cuerda de medidalaaristanosdarálosotrosdosvérticesdeltetraedro.
HEXAEDROOCUBO. A
B
Seccionesdelhexaedroocubo.
C
D
SECCIÓN PRINCIPAL.
I F
Producidaporunplanoquecontienedosaristasopuestas. Es un rectángulo de lado menor la arista del cubo y lado mayor la diagonaldeunacara.
EG H
A
Aristas:AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, BF, CG, DH= Diámetro(arista) dela esfera inscrita tangente a las caras: Diámetrodelaesferacircunscrita: EC, BH,FD= Diámetrodelaesferatangentea lasaristas: EG = Centro de las esferas del poliedro: Diagonal de una cara: EG =
C
I EG
A
MN
C L
AE AE AG AC I AC
J QÑ K P
H
O
SECCIÓN TRIANGULAREQUILÁTERA
SECCIÓNHEXAGONAL REGULAR
(JKL)-(ACH)
(MNÑOPQ)
Producida por un plano perpendicular a la d ia go na l d el c ub o y e n e l e sp ac io correspondiente al primer tercio de esta a partir desusextremos. En el límite de los tercio centrales la sección es untriánguloequiláteroquecontienetresvértices del hexaedro.
Hexagonal regular si el plano es perpendicular a la diagonal del cubo por su mitad, siendo los vértices del hexágono los puntos medios de las aristas no concurrentes en los extremos de la diagonal. El lado del hexágono equivale a la mitad de la diagonaldeunacara.
Desarrollodelhexaedroocubo.
HEXAEDROOCUBO.1 Posicionesdelhexaedroocubo. A2
D2
E2
H2
C2
Hexaedro o cubo con una cara en los planos de proyección.
F2 G2
La cara apoyada en el horizontal, proyección horizontal (o vertical del cubo), esuncuadradodeladola arista.
B2
a
F1 A1 E1
Laotraproyeccióntienecuatrovérticesenlalíneadetierray, perpendicularmente y respectivamente a ésta, los otros cuatro con una distancia de cota (o alejamiento) igual al de dichaaristadelhexaedro.
B1 aC1 G1 D1 H1
A2 2 / 1
D2
2 / 1
E2
H2
Hexaedro o cubo con la sección principal paralela a un planodeproyección.
B2
F2
C2
G2 H1
La otra proyección tiene los extremos de la arista apoyada en la línea de tierra y los de la arista paralela a una distancia igualaladiagonaldelacaradelcubo.
E1G1 D1 A1
Una proyección es el rectángulo de la sección principal con la arista apoyada y su opuesta coincidentes, paralelas a los ladosmenoresyporlamitaddedichorectángulo.
F1 C1 B1
Los cuatro vértices restantes se encuentran en la mitad de estadistancia.
Hexaedro o cubo con la diagonal perpendicular a un planodeproyección. Realizar aparte la sección principal de un cubo para obtener porsemejanzaladiagonaldeunadelascaras. Una proyección contiene la diagonal del cubo perpendicular alalíneadetierraydivididaentrespartesiguales.
A2 3 / 1
E2
D2
3 / 1
B2
F2
C2
H2
3 / 1
F1
G2
En esta circunferencia se inscribe un hexágono regular cuyos vértices al unirlos correspondientemente con el centro completaránlosdelcubo.
B1 E1
A1 C1 H1
G1 D1
La otra proyección se inicia trazando, desde el punto común de las proyecciones de la diagonal del cubo, una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de lado ladiagonaldelacaradelcubo.
Para terminar la primera proyección bastará con situar los vértices que correspondan en las paralelas a la línea de tierra, teniendoencuentalavisibilidaddelasaristasalunirlos.
OCTAEDRO. Seccionesdeloctaedro.
A
SECCIÓN PRINCIPAL.
HE DF BG
C H J A
I
K G
Producida por un plano perpendicular a dos aristas opuestas y por su puntomedio. Da como figura plana un rombo de diagonal mayor la distancia entre vértices opuestos (diagonal del octaedro) y diagonal menor la arista del octaedro. Aristas:AD,AE,AF, CD,CB, CE, CF, DB, BF, FE, ED = Diámetrode lacircunferencia circunscrita: DF, EB= CDiámetrode lacircunferencia tangente a las aristas: HG= Diámetro de la circunferencia inscrita: Centrodelascircunferenciasy deloctaedro: Ángulo entre dos caras:AGC =
AB AC AB JK I AHC
SECCIÓNCUADRADA. M
NL O
P
U T
Q RS
(LMNO) Producida por un plano perpendicular a cualquiera de las diagonales del octaedro. Cuando el plano pasa por el centro del octaedro se obtiene un cuadrado deladolaarista. SECCIÓNHEXAGONALREGULAR. . (PQRSTU) Hexagonal regular, producida por un plano paralelo a dos caras opuestas deloctaedroytrazadoporelcentrodeéste. Los vértices del hexágono están situados en los puntos medios de las aristas a las que el plano no es paralelo y el lado equivale a la mitad de la aristadeloctaedro.
Desarrollodeloctaedro.
OCTAEDRO.1 Posicionesdeloctaedro. A2
Octaedro con la diagonal perpendicular a un plano de proyección.
2 / 1
C2
D2
F2
E2
2 / 1
B2
Una proyección resulta ser un cuadrado de lado la arista y cuyas diagonales dan la situación de los otros dos vértices en elpuntodecorte. La otra proyección tiene la diagonal como distancia entre dos vértices estando los cuatro restantes situados en la mitad de dicha diagonal y unidoscon los extremos de ésta.
F1
C1 A1 B1 E1 D1
A2 2 / 1
B2
E2
F2
Octaedro con dos aristas perpendiculares a un plano de proyección. La sección principal es una de las proyecciones, la otra tiene dos vértices en la línea de tierra y otros dos a una distancia de ellosequivalentealaaristadeloctaedro.
2 / 1
D2 C2 A1 D1 F1 E1
Los dos que quedan se encuentran situados a una distancia equivalente a la mitad de una arista y unidos con los cuatro anteriores.
B1 C1
A 2
B 2
C 2
h D2
E2
Las dos caras (la apoyada y su opuesta, ya que en el octaedro son paralelas dos a dos) están situadas inversas una respecto de la otra, en verdadera magnitud (triángulos equiláteros) y formando con sus vértices un hexágono regular que correspondeaunaproyección.
F2
B1 F1 D1 A0 C1 A1 E1
Octaedro con una cara en uno de los planos de proyección.
La otra proyección sitúa una cara enla línea detierra y la otra a la distancia entre caras hallada en la sección principal, finalizando su construcción uniendo los vértices de una con losdelaotra.
ICOSAEDRO. M
N
E
C Q
D
E I
Ñ
D
A
H N
T
F
G
J
I
Ñ
M
P
O
K
B
C S
A
R
L B
H
F
Secciones del icosaedro. SECCIÓN PRINCIPAL. Producidaporunplanoquecontienedosaristasopuestasyparalelas. Es unexágono irregular con dos lados iguales a la arista y los cuatro restantes alturas de una cara. Aristas: AB, AG, AL, AN, AÑ, BH, BK, BL, BÑ, CH, CK, CJ, CD, CM, DG, DJ, DM, DN, HK, HM, HÑ,GJ,GL,GN,KJ,KL,JL,MN,MÑ,NÑ. Alturadeunacara:AE,ED,BF,...,FC. Diámetrodelaesferainscritatangentealascaras:QR,...,ST. Diagonal mayor y diámetro de la esfera circunscrita:AC, DB, GH, ÑJ, LM, KN. Diagonalmenorydiámetrodelaesferatangentealasaristas:AD,BC,...,OP. Centrodelasesferasdelpoliedro:I. Ánguloformadoentredoscarasconsecutivas:AED,...,BFC. A
SECCIÓN PENTAGONAL REGULAR Desarrollodelicosaedro.
E
(ABCDE)
B
D
C H
I
Producida por un plano perpendicular a la diagonal del icosaedro. La mayor coincide con las aristas, base de unapirámidepentagonalcuyovérticeesel extremo de la diagonal, el resto de secciones son paralelas a la base por cualquier medida de la altura de la pirámide descrita. SECCIÓN DECAGONAL REGULAR
G J
(FGHIJKLMNÑ) F
K
Ñ
L N
M
Producida por un plano perpendicular a la diagonal del icosaedro. El plano pasa por el centro del poliedro y por los puntos medios de las aristas; el ladodeldecágonoeslamitaddelaarista.
ICOSAEDRO.1 A2
L2
A3
H2
I2
K2
E2
H3
J2
G2
C2
B2 G1
L1
La proyección horizontal queda determinada por dos pentágonos regulares, de lado la arista, desfasados 36,o el decágono que une sus vértices ylossegmentosqueunenvérticesycentro. Los dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa eslaalturarealdeunacaradelpoliedroycatetos l a s p r oy ec ci o ne s d e d i ch a a l tu r a, respectivamente, dan las distancias en que se divide la diagonal para situar los vértices en la proyecciónvertical.
I1
A1 B1 E1
C1
E’0 K1
J1 D1
L2
K2
Icosaedroapoyadoenunacara. H2
D2 F2
I2 G2
E2 B2
A2
H’0 D1
I’1
L1 I1 C1 E1
J2 A1
H0
H1
B1 K1 G’1
F1
D3
Icosaedroconladiagonalvertical.
A0
C2
C3 B3
H1
J2
E3
F3 G3
D2
E0
K3
I3
F2
F1
J3
L3
H”0 G1
La proyección horizontal esta determinada por dos triángulos equiláteros desfasados 60 o y un hexágono regular, unidos los vértices de dichos polígonos correspondientemente. Para hallar la circunferencia circunscrita al hexágono y una de las alturas de la proyección vertical, se construye un triángulo rectángulo formado por la altura de la sección pentagonal (como hipotenusa), su proyección horizontal (uno de los catetos) y el otro cateto (altura buscada) que se obtiene al cortarse los arcos de radio una arista con el de la altura real de la pentagonal. La otra altura también se obtiene construyendo un triángulo rectángulo, de hipotenusa la altura de una cara del poliedro y cateto su proyección horizontal que determinan el otro cateto (altura buscada). El icosaedro apoyado en una arista (sección principal vertical) se observa y se puede deducir delosejemplosrepresentados.
DODECAEDRO. U
S T
R Y’ P
G
Q
H M
Ñ
U F I
I
K
H
V
J E
S
A O
N
O
Y
L
D
Z B
R
E X
X’
C
A B
V
Secciones del dodecaedro. SECCIÓN PRINCIPAL. Producidaporunplanoquecontienedosaristasopuestasyparalelas. Es unexágono irregular con dos lados iguales a la arista y los cuatro restantes alturas de una cara. Aristas:AB,AE,AH,BC,BJ,CD,CL,DN,DE,EF,FÑ,FG,HG,HI,JI,JK,LK,LM,NM,NÑ,GT,IP, KQ,MR,ÑS,TP,PQ,QR,RS,ST. Alturadeunacara:AU,US,RV,VR,...,IZ. Diámetrodelaesferainscritatangentealascaras:X’Y’,...,XY. Diagonalesmayoresydiámetrosdelaesferacircunscrita:AR,BS,CT,DP,QE,ÑJ,FK,GL,HM,IM. Diagonal menor y diámetro de la esfera tangente a las aristas:AS,..., BR. Centrodelasesferasdelpoliedro:O Ánguloformadoentredoscarasconsecutivas:AUS,...,BVR.
A
SECCIÓN PENTAGONAL REGULAR Desarrollododecaedro.
E
(ABCDE)
B D
C
I
SECCIÓN DECAGONAL REGULAR
J
H
(EFGHIJKLMN)
K L
G
F
M E
N
Producida por un plano paralelo a una caradeldodecaedro. Desde la cara del poliedro se suceden secciones pentagonales, regulares y paralelas a ella hasta coincidir con la mayor que tiene por lado la diagonal de unacara.
Producida por un plano paralelo a una cara delpoliedroyporelcentrodeeste. El plano pasa por el centro del poliedro y por los puntos medios de las aristas; siendo el lado del decágono la mitad de la arista.
DODECAEDRO.1 R2
S2 O2
P2 Q2
P3 O3
I2
G2
H2
J2
K2
Ñ2
M2
L2
N2
F2
Ñ3
F3
E2
H3 N3
H1
P1 N1
A1 D1 S1
T
Q1
I1
M1
C1
B1
B3 C3
La proyección horizontal queda determinada por dos pentágonos regulares, de lado la arista, o desfasados 36, un decágono y los segmentos que unen los vértices de este con los de aquellos respectivamente. Las alturas de los vértices en la proyección vertical se consigue construyendo triángulos rectángulos. Uno de hipotenusa la arista y cateto menor su proyección y otro de hipotenusa la altura de la cara del poliedro y cateto menor su proyección, siendo los catetos mayores las alturas buscadas.
E1
O1
L3 J3
Icosaedroapoyadoenunacara. Ñ1
G1
K3
C2 D2
F1
H0
S3 I3 M3
G3
E3 A3 D3 A2 B2
R3
Q3
R1
J1
L1 K0
K1
A2 E2
Dodecaedroconladiagonalvertical.
C2
D2 G2
F2
H2
I2
N2
J2
K2
P2 O2
Ñ2
M2
L2
S2 Q2
R2 B2 L1 M1
F1
E1
Q1
K1
G1
P1 B1 A1
R1
H1 N1
C1 O1 S1
D1 Ñ1
I1
J1
La proyección horizontal queda determinada por un decágono semirregular que tiene sus vértices en los cortes que dan el lado y la diagonal del poliedro, paralelos entre sí y perpendiculares a tres ejes isométricos, en una circunferencia de diámetro la distancia entre aristas opuestas del dodecaedro; los otros vértices pertenecen a dos triángulos equiláteros, de lado la diagonal de la cara del poliedro y o desfasados 60, unos y otros respectivamente unidosconformandichaproyecciónhorizontal. La proyección vertical tiene los vértices en correspondencia con los de la horizontal y según seis alturas que se obtiene de la sección principal. El dodecaedro apoyado en una arista (sección principal vertical) se observa y se puede deducir delosejemplosrepresentados.
