PROBABILIDADES E INFERENCIA ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA (pag. 33-43) 1.4.3 PERMUTACIÓN FACTORIAL DE UN NÚMERO. Sea n un número entero positivo, el factorial de n, se denota por "n!" 0 " |n" y se define como como el producto de todos todos los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive, es decir
$s%,
N!
= 1 x 2 x x.. x...x .xn n 1# 1# n = nn nn 1# 1# x.. x...x .x 2 x 1. 1.
&!
= & x ' x x 2 x 1 = 120
10! 10!
= 10 10 x ( x ) x * x + x & x ' x x 2 x 1 = +2) +2))0 )00 0
oserve -ue, n! = nn 1#! e este último, si n = 1, tenemos 1! = 1 x 0!. /ueo definimos convencionalmente convencionalmente 0! = 1. Suponamos, ahora -ue estamos interesados slo en el número de elementos -ue tiene, un espacio muestral cuyos, elementos son todas las ordenaciones o arrelos# posiles de un conunto de oetos. 3or eemplo, podemos estar interesados en saer, 4de cu5ntas formas posiles pueden sentarse ) personas alrededor de una mesa6, o podemos preuntarnos, 4de cu5ntas formas pueden adudicarse los luares de partida a los 10 participantes de una carrera automovil%stica6. /os diferentes arrelos se llaman permutaciones.
DEFINICIÓN 1.4.1 7na permutacin es un arrelo de todos o parte de de un conunto de oetos. Supona -ue tenemos un conunto de tres oetos, $ = 8a,,c9 y estamos interesados en el número de arrelos las posiles permutaciones#, con los elementos del conunto $. /as posiles permutaciones son: ac. ac, ac, ca, ca y ca vemos -ue hay + permutaciones distintas: Se puede llear a la misma respuesta sin tener -ue escriir todas las ordenaciones posiles, de la siuiente manera: los arrelos de los oetos es e-uivalente a disponerlos en celdas, as%
2
1
;ay formas posiles de llenar la primera celda, con cual-uiera de los tres: oetos a, y c< paca la seunda celda hay 2 formas posiles, cual-uiera de los dos oetos restantes despus de haer llenado la primera y solamente -ueda una forma de llenar la tercera. $plicando el principio de multiplicacin da un total de x 2 x 1 = + formas o permutaciones#. permutaciones#. >n eneral, suponamos -ue tenemos un conunto de n oetos, y estamos interesados en el número de permutaciones -ue se puede hacer con los n oetos, enerali?ando el proceso anterior tendremos, n casillas. n
n1 n2 n
.
.
.
.
2
1
/a primera casilla se puede llenar de n maneras< la seunda de n 1 maneras la tercera de n 2, etc. la última de solo una manera. $plicando $plicando el principio de multiplicacin se tiene. nn 1# n 2# n # ... 2 x 1 = n! permutaciones, -ue se denota por 3n o 3n, n# o Pnn . >s decir n3n o 3n, n# o Pnn = n!
n
la cual se lee as%: "número de permutaciones permutaciones de n oetos tomados de n a n" o simplemente número de permutaciones de n oetos diferentes. 3ara precisar meor damos el siuiente teorema.
TEOREMA 1.4.5 >l número de permutaciones de n oetos diferentes es n
Pn
= n3n = n!
EEMPLO !. 7n inspector visita + m5-uinas diferentes durante el d%a. $ fin de impedir a los operadores -ue sepan cuando inspeccionar5, var%a el orden de las visitas. 4e cu5ntas maneras puede hacerlo6
2
1
;ay formas posiles de llenar la primera celda, con cual-uiera de los tres: oetos a, y c< paca la seunda celda hay 2 formas posiles, cual-uiera de los dos oetos restantes despus de haer llenado la primera y solamente -ueda una forma de llenar la tercera. $plicando el principio de multiplicacin da un total de x 2 x 1 = + formas o permutaciones#. permutaciones#. >n eneral, suponamos -ue tenemos un conunto de n oetos, y estamos interesados en el número de permutaciones -ue se puede hacer con los n oetos, enerali?ando el proceso anterior tendremos, n casillas. n
n1 n2 n
.
.
.
.
2
1
/a primera casilla se puede llenar de n maneras< la seunda de n 1 maneras la tercera de n 2, etc. la última de solo una manera. $plicando $plicando el principio de multiplicacin se tiene. nn 1# n 2# n # ... 2 x 1 = n! permutaciones, -ue se denota por 3n o 3n, n# o Pnn . >s decir n3n o 3n, n# o Pnn = n!
n
la cual se lee as%: "número de permutaciones permutaciones de n oetos tomados de n a n" o simplemente número de permutaciones de n oetos diferentes. 3ara precisar meor damos el siuiente teorema.
TEOREMA 1.4.5 >l número de permutaciones de n oetos diferentes es n
Pn
= n3n = n!
EEMPLO !. 7n inspector visita + m5-uinas diferentes durante el d%a. $ fin de impedir a los operadores -ue sepan cuando inspeccionar5, var%a el orden de las visitas. 4e cu5ntas maneras puede hacerlo6
SOLUCIÓN. 3uesto -ue el inspector i nspector tiene -ue inspeccionar las + m5-uinas diferentes, el número de maneras, es el número de permutaciones de las + m5-uinas. >s decir 3+ = +! = + x & x ' x x 2 x 1 = *20 formas.
+
EEMPLO 1". >n una competencia automovil%stica intervienen '0 participantes. 4e cu5ntas formas distintas se pueden adudicar los luares de larada a los '0 competidores de la competencia6
SOLUCIÓN. Se desea saer de cu5ntas formas posiles se pueden ordenar los '0 competidores. >l número de tales ordenaciones posiles es 3'0 = '0!
'0
EEMPLO 11. 4e cu5ntas maneras se pueden colocar 10 chicas en una fila, de manera -ue dos chicas, en particular, no -ueden untas6
SOLUCIÓN. Separemos del rupo una de las l as chicas en cuestin, de manera -ue consideremos slo (. >stas se podr5n ordenar de (! formas. 3ara cada ordenacin de (, la chica separada puede uicarse en ) luares sin estar unto a la otra chica en cuestin. 3or lo tanto, de acuerdo con el principio de multiplicacin, el número total de formas diferentes es. ) x (!.
EEMPLO 1#. 4e cuantas maneras se pueden colocar 12 ni@os en una fila, de manera -ue cuatro ni@os, en particular, -ueden untos6.
SOLUCIÓN. Separemos los cuatro ni@os en cuestin, de manera -ue consideremos solamente ). >stos se podr5n ordenar de ) formas. 3ara cada ordenacin de ) los ' ni@os en cuestin pueden uicarse en ( luares. 3ara cada posicin, de los ' ni@os, estos pueden ordenarse de '! formas. 3or lo tanto, de acuerdo con el principio de multiplicacin, el número total de formas diferentes es '! A ( x )! = '! x (! . Suponamos ahora -ue tenemos un conunto con n oetos diferentes y deseamos permutar r de estos n oetos 0 B r B n. Ce Cendremos entonces r celdas. /a primera celda se puede llenar de n formas, la seunda de n 1 formas, etc. etc. y la rsima celda de n r 1# = n D r E 1 formas. n
n1 n2 n
.
.
.
1rE1
$plicando el principio de multiplicacin, el número número de permutaciones de los o oetos diferentes tomados r a r es nn 1#n 2#n # ... n r E1# lo cual se puede escriir
nn 1#n 2# ... n r E 1#
( n−r ) ! = n! ( n−r ) ! ( n −r ) !
Fue se denota por 3n,r#, n3r o Pnr . 7saremos
r
Pn
o n3r,
indistintamente.
TEOREMA 1.4.$. >l número de permutaciones de n oetos diferentes tomados r a r es
r
Pn=nPr =
n!
( n −r ) !
NOTA. ;emos visto -ue una permutacin es un arreloG de todos o parte de los elementos de un conunto -ue tiene oetos diferentes. $s%, si $ = 8a, , c9 se vio -ue las diferentes permutaciones son: ac, ac, ac, ca, ca, ca >s decir, el orden de los elementos es importante, Hserve, -ue estos elementos son comparales con las ternas ordenadas -ue se pueden formar con los elementos d dicho conunto sin repeticin de sus elementos< o sea no est5n las ternas a,a,a#,,,,# y c,c,c##. a,,c# , a,c,# , ,a,c# , ,c,a# , c,a,# , c,,a# >n eneral, si el conunto tiene n elementos. 7na permutacin de los n elementos, es una nupla ordenada.< ordenada.< y el número de permutaciones permutaciones de los n elementos es el número de nuplas ordenadas -ue se forman con los n elementos sin repeticin. /as permutaciones de los nelementos tomados r a r, son ruptas ordenadas, y el número de permutaciones de Cos n elementos tomados r a r, es el número de ruplas ordenadas -ue se pueden formar con los n elementos sin repeticin.
EEMPLO 13. 7n rupo est5 formado por & personas y desean formar una comisin interada por presidente y secretario. 4e cu5ntas maneras puede nomrarse esta comisin6
SOLUCIÓN. >l caro de presidente puede ser ocupada de & maneras diferentes y una ve? ocupado el caro de presidente, el caro de secretario puede ser ocupado de ' maneras diferentes< entonces la eleccin de la comisin se puede hacer de & x ' = 20 maneras diferentes o simplemente, número de permutaciones de & personas tomadas 2 a 2.
32 =
&
5!
( 5 −2 ) !
= & x ' = 20 maneras
NOTA. >l lector puede dar nomres a las personas, diamos $,I,J,,>. >ntonces, se usca todos los pares ordenados -ue se pueden formar con dichas letras, sin repeticin. $ , I# , $ , J# , $ , # , $ , ># I , $# , I , J# , I , # , I , ># J , $# , J , I# , J , # , J , ># , $#, , I# , , J# , , ># > , $#, > , I# , > , J# , > , # onde cada letra de la primera componente indica la persona -ue ocupa el caro de presidente, y la seunda, indica la persona -ue ocupa el caro de secretario. $s% J, I# indica -ue J result eleido presidente y I secretario. K es sin repeticin, ya -ue el par $ , $# no est5 en la permutacin, pues si estuviera sinificar%a -ue la persona $ ocupa el caro de presidente y secretario< lo cual no puede ser.
EEMPLO 14. >ncontrar el número, total de enteros positivos -ue pueden formarL se utili?ando los d%itos 81,2,,'9, si ninún d%ito ha de repetirse cuando se forma un número.
SOLUCIÓN. >l número total de enteros positivos es
'
31 E '32 E '3 E '3' =' E
4!
+
4!
( 4 −2 ) ! ( 4 −3 ) !
+4 !
= ' E 12 E 2' E 2' = +' números diferentes.
EEMPLO 15. Se va a colorear un mapa de cuatro pa%ses, con colores diferentes para cada pa%s. Si hay disponiles + colores diferentes. 4e cu5ntas maneras puede colorear el mapa6
SOLUCIÓN. Se necesita permutaciones de cuatro de un conunto de + elementos. >s decir,
3' =
+
6!
= + x & x ' x = +0 maneras.
( 6− 4) !
EEMPLO 1$. >n un mnius -ue posee * asientos en ocho filas de cuatro asientos cada una con un pasillo en el medio, y al final & asientos untos#, se desea uicar 2& pasaeros. a# 4e cu5ntas formas se pueden uicar6 # 4e cu5ntas formas se pueden uicar si deciden no ocupar los últimos & asientos6 c# 4e cu5ntas formas se pueden uicar si viaan cinco amios -ue deciden viaar untos en los últimos asientos6 d# 4e cu5ntas formas se pueden uicar si ocupan los 1) asientos -ue poseen ventanilla6 e# 4e cu5ntas formas se pueden uicar si 10 de los pasaeros est5n enfermos y deen viaar en asientos -ue poseen ventanilla6
SOLUCIÓN a# >n este Jaso se dee calcular el número de rupos de 2& asientos -ue se pueden formar de entre los * asientos considerando el orden, ya -ue en los asientos eleidos los pasaeros se pueden distriuir de diferentes formas y cada rupo de 2& asientos nos indicar5 cuales son los asientos eleidos por los pasaeros. >l número uscado es 32& =
*
37 !
( 37 −25 ) !
# >n este caso se considera slo 2 asientos. >l ra?onamiento es el mismo -ue en el caso anterior. >l número uscado es
2
32& =
32 !
( 32 −25 ) !
c# Jomo los cinco amios viaan untos en el último asiento, entonces los restantes 20 pasaeros se uicar5n en los 2 asientos -ue -uedan disponiles K ra?onando como antes, este número es
2
320 =
32 !
( 32 −20 ) !
$hora ien para cada una de estas uicaciones disponiles de los 20 pasaeros los & amios se uicar5n de &3& = &! formas distintas. /ueo, el número uscado es 32 !
320 . &3& =
2
( 32 −20 ) !
.5!
d# 3rimero veamos de cu5ntas formas pueden ocuparse los 1) asientos con ventanilla. Se trata de hallar el número de rupos de 1) pasaeros -ue se pueden formar con los 2& y considerando el orden. >l número es
2&
31) =
25 !
( 25 −18 ) !
.
25 ! 7!
3ara cada una de estas formas de ocupar los asientos con ventanilla, 4de cu5ntas formas se pueden uicar los * pasaeros restantes en los 1( asientos aún lires6. >s claro -ue es de 1(3* formas. K el número uscado es
31) . 1(3* =
2&
25 ! 19 ! 7!
.
12 !
e# Meamos antes de cuantas formas posiles se pueden uicar los 10 pasaeros enfermos en los 1) asientos con ventanilla. Se trata de hallar rupos de 10 asientos -ue se pueden formar de entre los 1) asientos, dichas formas posiles son
1)
310 =
18 !
( 18 −10 ) !
3ara cada una de estas uicaciones de los pasaeros enfermos< 4e cu5ntas formas se pueden uicar los 1& pasaeros restantes en los 2* asientos aún lires6. >s evidente -ue es 2*31& formas. 3or lo tanto, el número uscado es
310 . 2*31) =
1)
18 ! 27 ! . 8 ! 12 !
/as permutaciones -ue ocurren por arrelos de oetos formando o alrededor de un c%rculo# un c%rculo se llaman permutaciones circulares. >n estas arupaciones no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una l%nea cerrada. 3ara determinar el número de permutaciones circulares -ue pueden formarse con los n oetos distintos de un conunto, asta oservar -ue considerando fia la posicin de uno cual-uiera de ellos, los n 1 restantes podr5n camiar de luar, de n 1#! formas diferentes tomando todas las posiciones sore la circunferencia relativa al primer punto. Si camiamos ahora la posicin de este, los de los dem5s respecto de l ser5 seuro uno de los ya considerados. 3or lo tanto, el número de permutaciones circulares ser5. n D 1#! /a permutacin< circular se denota por 3
TEOREMA 1.4.%. >l número de permutaciones de n oetos distintos alrededor de un c%rculo es Pc =( n −1 ) ! n
EEMPLO 1%. 4e cu5ntas formas, diferentes pudieron .sentarse, en la última cena, alrededor de la mesa, esucristo y ,los 12 apstoles6
SOLUCIÓN a# Si la mesa fuera circular, tendremos la permutacin circular. >l número de formas es 13
Pc
= 1 1#! = 121
# Si la mesa no es circular, se tendr5 una permutacin de las 1 personas. >l número de formas es 31 = 1!
1
1.4.4 PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN ;asta ahora hemos permutado .oetos diferentes esto, es, se pueden distinuir#. Sin emaro, este no siempre es el caso. Suponamos por eemplo, -ue estamos interesados en el número de permutaciones distinuiles uno de otro, -ue se pueden formar con las letras de la palara "$O$P". Si us5ramos la palara "$OHP" en ve? de "$O$P", la permutacin estudiada es aplicale directamente y dar%a el número de permutaciones distinuiles '3' = '! = 2'. Sin emaro esperamos -ue, la respuesta al presente prolema sea menor -ue 2', pues tenemos letras, repetidas. $s%, la permutacin "O$HP" y "OH$P" corresponden a, las permutaciones: indistinuiles "O$$PQ y "O$$P" en nuestro prolema. /ueo, a cada permutacin de las letras, de "$O$P" le corresponde 232 permutaciones de "$OHP" -ue aparecen como permutaciones de las letras 8$,09, as% HO$P $OHP O$HP OH$P $HOP H$OP P$HO PH$O OPH$ OPRH OHP$ O$PH HPO$ $POH $PHO HP$O POH$ PO$H PHO$ P$OH HOP$ $OPH $HPO H$PO Peempla?ando $ por 0 vemos -ue cada uno de estos pares se vuelve indistinuile en el caso de la palara "$O$P". 3or lo tanto, hay 4 P 4 4 ! = 2 P 2 2 !
=
12 permutaciones distinuiles -ue se pueden hacer con la
palara "$O$P". 7n eemplo simple es el siuiente. Jonsideremos un conunto con cuatro elementos diferentes 8a,,c,d9. /ueo hay '! = 2' permutaciones distintas. Suponamos ahora -ue
a==x y c=d=y >ntonces, se puede listar slo las siuientes permutaciones distinuiles AAKK , AKAK , KAAK , KAKA , AKKA , KKAA es decir, tenemos
2!1!} 4 P 4 4! =¿ 2 P 22 P 2
= + permutaciones distinuiles.
Jonsideremos ahora el prolema de contar el número de permutaciones de las 1 letras de la palara "MSI/$". >n este caso la letra aparece & veces, la letra aparece veces, y cada una de las otras & aparecen exactamente, una ve?. 131 es el número de permutaciones de los elementos de un conunto -ue tiene 1 elementos tales como 8,$,M,>,S,,I,0,/,7,C,N,P9. enotemos por 3 el número desconocido# de permutaciones diferentes de las letra de MSI/$. Jorrespondiendo a cada uno de estas permutaciones, hay &3& . 3 permutaciones de las letras $M>SIH/7CNP. >ntonces ,T.
3 . &3& . 3 = 131 3 =
13 P 13 13 ! = 5 P 5.3 P 3 5 ! 3 !
TEOREMA 1.4.&. >l número de permutaciones distintas de n oetos de los cuales n1 son de una clase, n 2 de una seunda clase, ..., n U de una Usimo clase y todo los dem5s oetos de clase 1, se denota por Pnn ,n , … , n y est5 1
2
k
dado como
n1 ,n 2 , … , n k
Pn
=
n! n1 ! n 2 ! … n k !
EEMPLO 1&. 7n estante de una lirer%a tiene capacidad para 10 liros de Oatem5ticas -ue tiene pasta verde, ) de V%sica de pasta roa y * de Fu%mica de pasta a?ul. 4e cu5ntas maneras pueden colocarse los liros seún los colores6
SOLUCIÓN Jomo interesa slo los colores, entonces sea n 1 = 10, n2 = ), n = *. /ueo, el número de permutaciones distinuiles es
10,8,7
P25 =
25 ! =21,034,600 10 ! 8 ! 7 !
EEMPLO 1!. Supona -ue un d%a oscuro nacen en cierto hospital cuatro pares de melli?os, idnticos, dos pares de melli?as, idnticas, nueve ni@os y once ni@as. Se utili?a una tinta no indelele para escriir sus nomres. >l d%a siuiente aún oscuro# la tinta desaparece. 4e cu5ntas maneras es posile me?clar los ni@os6
SOLUCIÓN. $-u% n1 = 2 , n2 = 2 , n = 2 , n' = 2 para ni@os y n& = 2, n+ = 2 para ni@as. K el total de ni@os es n = 2, lueo
2,2,2,2,2
P 32
=
32 ! 2 ! 2 ! 2! 2 ! 2 ! 2!
=
32 !
(2 ! )6
1.4.5 PARTICIÓN DE UN CONUNTO $ menudo se necesita contar el número de formas de particionar un conunto de n oetos diferentes en r suconunto llamados celdas. /a particin se hace teniendo en cuenta los siuientes criterios: 1. /os r suconuntos son disuntos dos a dos. 2. /a unin de todos los suconuntos es iual al conunto oriinal. . >l orden de los elementos dentro de cada celda no tiene importancia. >mpe?aremos considerando un eemplo simple. Sea el conunto 8a,,c,d,e9. /as posiles particiones en dos celdas,G en las -ue la primera contena cuatro elementos y la seunda slo un elemento, son: 88a..c.d9 , 8e99 , 88a..c.e9 , 8d99 , 88a..d.e9 , 8c99 GG 88a.c.d.e9 , i99 , 88.c.d.e9 , 8a99 vemos -ue hay & formas distintas de hacer una particin de un conunto de cinco elementos en dos celdas o suconuntos# -ue contena cuatro
elementos en la primera y uno en la seunda. >l número de particiones para este eemplo se puede escriir as%, 5! =5 4!1!
Jonsideremos ahora el eemplo siuiente
EEMPLO #". Supona -ue un homre tiene ) onos financieros diferentes de ocho compa@%as distintas, y -ue piensa realarlos a sus hios de la siuiente manera: a su hio mayor, < a su seundo hio, < y al menor, 2. 4>n cu5ntas formas puede repartir los onos6
SOLUCIÓN. 7na de las formas ser%a tomar los onos, aline5ndolos y dar los tres primeros a su hio mayor, los siuientes tres al seundo y los dos últimos al menor.
Jomo existen )3) = )1 formas de alinearlos en la mesa, tamin son )! , las formas eh -ue pueden ser distriuidos. Sin emaro, no todas estas formas son diferentes. ;ay ! maneras de arrelar el orden de los onos para su primer hio, ! para los de su seundo hio, y 2! para los del tercero. 3or lo tanto, los onos pueden repartirse de 8! 3 !3 !2 !
= &+0 formas .
>ste arumento puede enerali?arse a un conunto con n elementos y a r suconuntos, tal -ue el primero tena n 1 elementos, el seundo, n 2, y el r simo suconunto n r elementos n1 E n2 E ... E nr = n#. >l número de divisiones posiles est5 dado por
n! n1 ! n 2 … , n r
-ue se denota as%
(
n n1 ,n 2 , … , nr
)
. onde el número superior representa
el número total de elementos del conunto y los números inferiores representan al número de elementos asinados a cada celda.
TEOREMA 1.4.!. >l número de formas posiles, -ue n oetos diferentes pueden dividirse en r rupos distinuiles conteniendo n 1, n2, W , nr oetos respectivamente donde n 1 E n2 E W E nr = n, es
(
)
n n! = n1 ,n 2 , … , nr n1 ! ,n 2 ! , … , nr !
P'g. 44-53 1.4.$ COMBINACIÓN >n muchos casos estaremos interesado en el número de formas de seleccionar r oetos de n, sin importar el orden. >stas selecciones se llaman Jominaciones
DEFINICIÓN 1.4.#. 7n suconunto de r elementos de un conunto -ue tiene n elementos diferentes, se llama una cominacin de los elementos n tomados r a r. eterminaremos ahora, el número de cominaciones de r elementos -ue se pueden formar con los n oetos diferentes de un conunto. >ste número se nota por r
C n o C ( n , r )
Jomen?aremos nuestra discusin considerando un conunto: de cuatro, elementos diferentes 8a,,c.d9. Cenemos los siuientes suconuntos no vac%os
8a9, 89, 8c# , 8d9 8a,9 , 8a,c9 , 8a.d9 , 8,c# , 8,d9 , 8c,d9 8a,,c9 , 8a,,d9 , 8a.c.d9 , 8.c.d9 , 8a,,c,d9 >xisten cuatro suconuntos de un elemento. >s decir el número de cominaciones d un elemento es ', o
1
C 4
= ', uno por cada elemento.
Camin hay seis suconuntos de 2 elementos< por lo tanto el número de cominaciones de ' elementos< tomados 2 a 2 es + o sea
2
C 4
= +. $s% mismo
hay cuatro suconuntos de elementos< es decir el número de cominaciones de ' elementos tomados a es ', o sea 3
C 4
= '< y hay slo un suconunto de cuatro elementos, por lo tanto el
número de cominaciones de ' elementos tomados ' a ' es uno o sea 1. >n eneral con un conunto -ue tiene n elementos se formar5: a# n cominaciones de un elemento cominaciones de los. n elementos
tomados. uno a uno#< es decir C 14 n . # n cominaciones de n 1 elementos cominaciones de los n elementos tomados de n 1 a n 1#< es decir n −1
C n
=n
c# 7na cominacin de n elementos cominaciones de los n elementos tomados n a n#< es decir n
C n
=1
/ueo, el prolema ser5, calcular el número de cominaciones de los n elementos tomados r a r, o sea
r
C n
, con
4
C 4
=
r X 1, n 1, n >n el eemplo discutido hemos otenido
2
C 4
= +. $dem5s se puede oservar,
-ue hay una conexin entre el prolema planteado y el prolema de permutaciones considerado en la seccin anterior. 3ara esto escriimos todas las cominaciones de ' elementos tomados 2 a 2 en una columna como muestra la siuiente tala y a su derecha sus respectivas permutaciones. 2
P2
{
{a , b } ( a , b) , {a , c } ( a , c ) , ( a ,d ) , 2 {a , d } ¿ C 4 {b , c } ( b , c ) , { b . d } ( b ,d ) , {c , d } ( c , d ) ,
( b , a) ( c , a) (d , a ) 2 ← P4 ( c , b) (d , b ) (d , c )
Note -ue, cada par ordenado de la derecha de la recta es una permutacin de 2 a 2 del conunto situado a la i?-uierda de la recta, en la misma fila. 3ara cada suconunto de dos elementos hay, pues
2
P2
permutaciones. >ntonces,
es el número de columnas a la derecha de la recta y
2
C 4
2
P2
es el número de
filas. $dem5s todos los elementos -ue est5@ala derecha dla recta es el número total de permutaciones de 2 a 2 -ue se puede formar con los elementos del conunto 8a..c.d9. >s decir, es P24 . 3or lo tanto, se tiene -ue 2
2
2
C 4 . P2= P 4 2
P4
4! =6 ó C = 2 = P 2 2 ! 2 ! 2 4
>n eneral, consideremos ahora un conunto con n elementos diferentes, denotar5 el número desconocido# de cominaciones de los n elementos
r
C n
tomados r a r. mainemos una tala en la cual cada una de las cominaciones de r elementos determina una fila. >n cada una de las filas escriiremos a su derecha las Prr , permutaciones de los r elementos del conunto -ue identifica la fila.
{
{} ⏟
|
rnúmero de columnas
Pr
r −elementos { … … … … … … } ( ...... ) ( ...... ) ( ...... ) { … … … … … … } r −uplasr −uplas r ¿ C n {… … … … … … } ¿ número de filas { … … … … … … } ¿ { … … … … … … } ( ...... ) ( ...... ) ( ...... ) { … … … … … … } r −uplasr −uplas
⏞
{} ⏟
r −elementos
>l número total de permutaciones de n elementos diferentes tomados r a r -ue se pueden formar con los n elementos del conunto es Prn . >s decir, el número total de elementos de la tala. /ueo, r
r
C n . Pr
= P
r n
n! r n r r
de donde, C r = P = ( n−1 ) ! = n P
r!
n! r ! ( n −r ) !
>ste número, en Oatem5tica tiene un s%molo especial.
() n r
=
n! r ! ( n −1 ) !
/lamados coeficiente Iinomial, por-ue aparece como coeficiente en el desarrollo del inomio aE# n.
Na* 7na cominacin de n elementos distintos tomados de a r, en realidad es una particin del conunto en dos suconuntos o celdas#, donde una de ellas contiene r oetos y la otra las n r restantes. 3or lo tanto, el número de tales cominaciones ser5 el número de particiones, es decir
(
)
n! n = =C rn r , n − 1 r ! ( n− r ) !
TEOREMA 1.4.1". >l número de cominaciones de n oetos diferentes tomados r a la ve?, es
r
C n
( )=
=
n!
n r
( −r ) !
r! n
EEMPLO #1. Se extraen dos cartas de una araa de &2 cartas. 4e cu5ntas maneras se puede hacer esto6
SOLUCIÓN. Se necesita slo suconuntos de dos cartas, sin importar el orden entonces, en número de forma de seleccionar estas dos cartas es
2
C 52=
52 ! 2 ! 50 !
=
52 x 51 2
=26 x 51 =1326
EEMPLO ##. 7n estudiante tiene -ue contestar ) de 10 preuntas en un examen. a# 4e cu5ntas maneras puede el estudiante escoer las ) preuntas6 # Si las tres primeras son oliatorias, 4de cu5ntas maneras puede escoer las preuntas6 c# Si tiene -ue contestar ' de las & primeras. 4e cu5ntas formas puede hacerlo6
SOLUCIÓN a# Jomo interesa suconuntos de ) preuntas de un conunto de 10 preuntas sin importar el orden, esto ser%a de
8
C 10=
10 ! = 45 formas 8!2!
# 3uesto -ue las tres primeras preuntas son oliatorias< las & restantes tendr5 -ue escoer de las * preuntas sorantes. /ueo, esto se hace de 5
1. C 7=
7! =21 formas 5 ! 2!
c# Si tiene -ue contestar ' de las & primeras, lo har%a de C 54=5 maneras. K las ' preuntas restantes seleccionar5 de las & preuntas finales, lo cual lo har%a de
4
C 5 =5
formas. >ntonces las ) preuntas se seleccionar5 de
4
4
C 5 . C 5=5 . 5 =25 formas
EEMPLO #3. 4e cu5ntas maneras puede seleccionarse una partida de ' o m5s personas, si hay 10 personas disponiles6
SOLUCIÓN. Nos interesa los suconuntos de ',&,+,*,),(, y 10 personas -ue se pueden formar con las 10 personas disponiles. >sto se har5 de 4
5
6
7
8
9
10
C 10 + C 10+ C 10+ C 10 + C 10 + C 10+ C 10=¿ 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! 10 ! + + + + + + =848 4 ! 6 ! 5 ! 5 ! 6 ! 4 ! 7 ! 3 ! 8 ! 2 ! 9 ! 1 ! 10 ! 10 !
EEMPLO #4. Supona -ue -ueremos formar comisiones de cuatro miemros de un rupo de ' homres P,S,C,7 y & mueres M,Y,A,K,Z. Si adem5s se especifica -ue P y S no pueden estar en la misma, comisin a menos -ue la comisin est formado por lo menos por una muer. 4Ju5l es el número de comisiones -ue se puede formar6
SOLUCIÓN. /os diferentes casos -ue se presentan en la solucin del prolema, se visuali?a es-uem5ticamente en el siuiente diarama:
Rest áenl acomi si ónySnoest á,ent oncesdel as9per sonasquedan7,ydeest os;7debensali rl a I g ualquee lc as oa nt e r i o r ,Ses t áy Rnoe s t á. NiRniSest ánenl acomi si ón,ent oncesdel os7debensal i rl os4del acomi si ón .RySest ánenl acomi si ón,ent onceshay f or masdees coge runamuj ery eselnúmer odef or mas I gualRySes t ánenl acomi si ónyhaydosmuj er ese nl acomi si ónl ocualsepuedehacerde f or mas
/ueo, el número total de comisiones aceptale es 3
4
1
1
2
2 C 7 + C 7 + C 5 . C 2 + C 5=125
Hserve -ue el prolema puede resolverse as%: ;ay
4
C 9
= 12+ comisiones
-ue se pueden formar con los ' homres y & mueres. K hay una comisin conformada por los cuatro homres P,S,C,7 no aceptale. /ueo, el número de comisiones aceptales es 12+ 1 = 12&.
EEMPLO #5. 4Ju5ntas comisiones interadas por un chico y una chica pueden formarse de cinco chicos y ocho chicas, si cierto chico rehúsa traaar con dos chicas6
SOLUCIÓN. Si llamamos P al chico -ue no -uiere traaar con dos chicas. /os diferentes casos se muestra en el diarama siuiente Rest áR enl acomi si ón,ent oncesdel as8chi casquedansol ament e6. Rnoe s t áe nl ac omi s i ó n,e nt o nc e sdel o s4r e s t a nt e sc hi c o ss al e1yo t r odel as8c hi c as R
3or lo tanto, el número total de comisiones aceptales ser5 1
1
1
C 6 + C 4 x C 8=6 + 32=38
Hserve, -ue el prolema puede resolverse as%: hay
1
1
C 6 C 5
= '0 comisiones,
en los cuales hay dos -ue no es aceptale. /ueo, hay '02=) comisiones aceptales.
EEMPLO #$. >l asta de andera de un arco tiene tres posiciones en las -ue puede colocarse una andera. Suponiendo -ue el arco lleva cuatro anderas diferentes# para hacer se@ales. a# 4Ju5ntas se@ales diferentes pueden hacerse con una andera6 se supone -ue la misma andera colocada en posiciones diferentes indica diferentes se@ales#. # 4Ju5ntas se@ales diferentes pueden hacerse con dos anderas6 c# 4Ju5ntas se@ales diferentes pueden hacerse con las anderas6
SOLUCIÓN a# Meamos primero de cu5ntas formas puede seleccionarse una andera, lo cual se puede hacer de C 14
formas. 3uesto -ue la misma andera,
colocada en posiciones diferentes indica se@ales diferentes, entonces por cada andera seleccionada hay P13 , se@ales diferentes. 3or lo tanto, el número total de se@ales -ue puede hacerse con una andera es 1
2
C 4 . P3= 4 x 3 =12
# >n este caso el número de maneras de escoer 2 anderas de entre los cuatro -ue lleva el arco es C 24 y por cada uno de estos suconuntos de dos anderas hay
2
P3
se@ales diferentes -ue se pueden formar es una
permutacin puesto -ue interesa la posicin donde se pone cada andera#. /ueo, el número de se@ales diferentes -ue pueden hacerse con 2 anderas es
2
2
C 4 . P 3
=
4! 2 ! 2!
.
3!
( 3 −2 ) !
=36
c# 3uesto -ue se dispone slo de astas, entonces escoeremos suconuntos de anderas de las ' existentes para se@ales. >sto se hace de C 34 formas y para cada uno de estas cominaciones hay P33 se@ales diferentes -ue pueden hacerse. >ntonces, el número de s5nales diferentes -ue se pueden hacer con todas las anderas es 3
3
C 4 . P3=
4! 3 ! 1!
.3 !
=24
EEMPLO #%. 7na oven tiene 1& amios. a# 4e cu5ntas maneras puede invitar a una cena a + de ellos6 # Si entre las 1& personas hay dos matrimonios y cada parea asisten untos a cual-uier reunin. 4e cu5ntas maneras puede invitar a + amios6 c# Si entre las 1& personas hay 2 -ue no pueden estar en la misma reunin. 4e cu5ntas formas puede invitar a + amios6
SOLUCIÓN. >n cada caso se dee extraer un conunto de + personas, entonces se trata de un prolema de cominaciones. a# >l número de maneras de eleir + personas de un rupo de 1& es 6
C 15
# Se puede presentar los siuientes casos: i# Ninuno de los dos matrimonios est5n en la cena, entonces de los 11 restantes dee eleirse +. >l número de formas de eleir + de 11 es 6
C 11
ii#
7no de los matrimonios asiste a. la reunin y los ' restantes deo eleirse de las otras 11 personas. 1
>l número de formas de eleir un matrimonio de los dos es número de maneras de escoer ' personas de 11 es 3or lo tanto, el número de formas de eleir los +, es iii#
4
C 11 1
C 2
y el
. 4
C 2 x C 11
/os dos matrimonios asisten a la cena. >l número de formas de eleir los dos matrimonios, es C 22
/as dos personas restantes se elie de los 11< y el número de maneras es C 211 . 3or lo tanto, el número de formas de eleir los &, es 2
2
C 2 x C 11
. Vinalmente, el número de maneras de invitar a + amios, es 6
1
4
2
2
Cc11+ C 2 x C 11+ C 2 x C 11
c# Se presentan los siuientes casos: i# Ninuna de las personas en cuestin est5n en la reunin, entonces las + personas se elien de las 1. >l número de maneras de escoer + de 1 es 5
C 13
ii#
7na de las personas en cuestin est5 en la reunin, entonces las & personas restantes se elien de las 1. >l número de maneras de escoer una de las dos personas en cuestin de
1
C 2
y el número de
formas de eleir & de 1 es C 511 . 3or lo tanto, el número de eleir las + personas, es C 12 x C 513 Vinalmente el número de maneras de eleir + amios en el caso c#, es 6
1
5
C 13 + C 2 x C 13
1.4.% NOTAS SOBRE MUESTREO CON + SIN REEMPLA,O Supona un conunto con n oetos. Jonsidere el prolema anterior de extraer r oetos de este conunto. 3uede no interesar el orden en -ue se extraen los oetos. Camin la extraccin se puede hacer con o sin reempla?amiento. Sore este último hemos dado una reve nota al pasar en 1.2. $-u% formali?aremos estos conceptos.
DEFINICIÓN 1.4.3. Si al extraer los r oetos del conunto de n oetos, se considera el orden en -ue son seleccionados los oetos< el conunto de los r oetos extra%dos, se llama una muestra ordenada de tama@o r.
DEFINICIÓN 1.4.4. Juando un oeto se extrae y se reempla?a antes de extraer el siuiente oeto, se dice -ue el muestreo es con reempla?amiento. Jalculemos ahora, el número de formas de extraer una muestra ordenada de tama@o r de un conunto de n oetos, si el muestreo es con reempla?amiento. /a primera extraccin ocurre de n formas, uno por cada oeto< la seún da extraccin tamin ocurre de n formas, ya -ue el muestreo es con reempla?amiento. >ntonces, el numero de formas de extraer dos oetos con reempla?amientos ser5 n.n = n 2. ualmente para la extraccin de oetos el número de formas es n2 . n = n y para cual-uier número r de extracciones, el número de formas ser5 n r .
DEFINICIÓN 1.4.5. Si al extraer un oeto no se reempla?a, para extraer el siuiente, se dice -ue el muestreo es sin reempla?amiento. >l número de formas de extraer muestras ordenadas de tama@o r de un conunto de n oetos, si el muestreo es sin reempla?amiento se otiene as% la primera extraccin ocurre de n formas, la seunda extraccin ocurre de n 1 formas. >ntonces, el número de formas de extraer dos oetos sin reempla?amiento es nn 1#. Similarmente para la tercera extraccin hay n 2 formas /ueo, el número de formas de extraer oetos es nn 1#n 2#. $s% sucesivamente, el número de formas de extraer una muestra de tama@o r, sin reempla?amiento es
n ( n−1 ) ( n −2 ) … ( n−r + 1 ) =
n!
( 1−r )
el cual es e-uivalente a Prn , número de permutaciones de n oetos tomados r a r. Si no interesa el orden en -ue se extraen los elementos de la muestra >l número de maneras de escoer r oetos de los n, est5 dado por
EEMPLO #&. Jonsidere las placas de automviles -ue tiene tres letras seuidas de tres d%itos. Si pueden emplearse todas las cominaciones posiles, 4cu5ntas placas diferentes pueden formarse6.
SOLUCIÓN. /as placas forman +uplas ordenadas< donde las tres primeras son letras y las tres siuientes d%itos. Jomo no hay restricciones respecto a las letras y números -ue se usan< es decir puede usarse letras y números iuales. >ntonces, hay 2+# formas ordenadas de extraer las tres letras y 10# formas de extraer los tres números. /ueo, el número de formas de formar placas con tres letras seuidas de tres d%itos es 2+# . 10# = 1*&*+10#
1.%.1 RELA DE MULTIPLICACIÓN e la definicin de proailidad condicional, otenemos una frmula para hallar la proailidad de la interseccin o producto# de los evento $ y I, esto es, de
P [ A ∨ B ]= P [ B| A ¿=
P [ A ∩ B ] P [ B ]
P [ A ∩ B ] P [ A ]
. P [ B ]>0
. P [ A ] > 0
Oultiplicando amos miemros de la expresin 1# por 3[I\ y por 3[$\ la expresin 2#, otenemos las ecuaciones 3[$ ∩ I\ =
3[)\ 3[$ ] I\ =
3[$I\
3[$ ∩ I\ = 3[$\ 3[I]$\ =
3[$I\
y ,
este resultado en teor%a de proailidad, se denomina RELA DE
MULTIPLICACIÓN o proailidad de la interseccin, tamin proailidad conunta#< expresa la proailidad de -ue ocurra los eventos $ y I
es iual a
la proailidad de la ocurrencia de uno de ellos multiplicado por la proailidad condicional -ue ocurra el seundo, dado -ue el primero ha ocurrido.
EEMPLO 13. 7na urna contiene & olas lancas y + neras< se extrae al a?ar sucesivamente y sin reposicin con reposicin# dos olas, 4cu5l es la proailidad -ue las dos resultan lancas6
SOLUCIÓN (a) Sin reposicin. PRIMERA FORMA. Sean los eventos: $1: "/a primera ola result lanca". $2: "/a seunda ola result lanca". > : "/as dos olas resultan lancas". >s claro -ue la proailidad pedida es la del evento > = $1
∩
$2 = $1 $2
>s decir, > es la interseccin de los dos eventos y la ocurrencia de $ 1 influye en la de $2. 0 sea 3[>\ =
3[$1 $2\ =
3[$1\ 3[$2 ] $1\
>n la urna hay 11 olas de los cuales & son lancas, entonces P [ A 1 ] =
5 11
espus de la ocurrencia del evento $lf -ueda 10 olas de las cuales ' son lancas, lueo
P [ A 2∨ A 1 ] =
4 10
3or lo tanto P [ E ] = P [ A 2∨ A 1 ] =
5 4 =2 x 11 10 11
7n es-uema -ue ayuda a visuali?ar la solucin de este prolema es
SEUNDA FORMA. >l prolema se puede enfocar de otra manera: Jomo existe & E + = 11 olas, el número de formas de seleccionar dos de ellas esta dado por
( ) y cada una de estas formas tienen iual proailidad de 11 2
ocurrir. >l número de sucesos favorales al evento >, la otenemos de la siuiente manera: como existen & olas lancas, podemos eleir dos de ellas de
( ) formas diferentes, lueo aplicando la definicin cl5sica es, 5 2
P [ E ] =
( )= ( ) 5
5!
2
2 !3 !
11
11 !
2
2 !9 !
=
2 11
# Jon reempla?o. >n este caso tamin el evento > se escrie como la interseccin de los eventos $ 1 y $2. H sea > = $1 $2. K la ocurrencia de $1 no afecta a la ocurrencia de $ 2. >n efecto: P [ A 1 ] =
5 11
3uesto -ue despus de la ocurrencia de $1 se devuelve la ola a la urna, tamin:
[
P A 2∨ A 1
5 ]= 11
>l es-uema siuiente ayuda a visuali?ar la solucin del prolema.
EEMPLO 14. >n el eemplo 1. 4Ju5l es la proailidad de otener una ola do cada color6
SOLUCIÓN a# Sin restitucin. PRIMERA FORMA. Sean los siuientes eventos: $1: "/a primera ola result lanca". $2: "/a seunda ola result lanca". I1: "/a primera ola result nera". I2: "/a seunda ola result nera". > : "Htener una ola de cada color". >n este caso la proailidad pedida, es, la del evento > formado por la unin de los eventos $1I2 y I1 $2, es decir, > = $1I2 7 I1 $2 y como dichos eventos son mutuamente excluyentes, tenemos 3[>\ = 3[$1I2\ E 3[I1 $2\ = 3[$1\ 3[I2]$1\ E 3[I1\ 3[$2 ] I1\
1#
/a ocurrencia del primer evento influye en la ocurrencia del seundo. 3ues lo -ue en la urna hay 11 olas de las cuales & son lancas, se tiene
P [ A 1 ] =
5 11
Similarmente 3[I1\ = +^11 espus de la ocurrencia de $ 1, -ueda 10 olsas de las cuales + son neras, entonces: 3[I2 ] $1\ = +^10 Similarmente 3[$2 ] I1\ = &^10. 3or lo tanto, reempla?ando estos resultados en 1# se otiene: P [ E ] =
5 6 6 5 6 + x = x 11 10 11 10 11
7n diarama -ue ayuda a visuali?ar estos prolemas en el llamado _$PIH/ > 3PHI$I/$ 3$P$ >A3>PO>NCHS S7J>SMHSQ y es como indica la fiura 1.*.)
Vi. 1.*.) Jada rama completa del diarama del 5rol, se llama una trayectoria y representa un posile resultado del experimento. >n cada semento -ue une la secuencia de experimentos se pone sus respectivas proailidades.
SEUNDA FORMA. >l número de formas de extraer dos olas de 11 es
( ) 11 2
Jada uno de estos son iualmente posiles.
( ) formas de eleir 5
Número de sucesos favorales al evento >: >xisten
una ola lanca y
1
( ) formas de eleir una ola nera, entonces aplicando 6 1
el principio de multiplicacin, el número de sucesos favorales a > est5 dado
() (), 5 1
6 1
y aplicando la definicin cl5sica es
P [ E
( )( ) = ]= ( ) 5 6 1 1 11 2
5 x 6 = 5 x 6 = 6 11 ! 11 x 5 11 2!9!
# Jon restitucin. Jomo en el caso anterior se pide calcular la proailidad del evento > = $1I2 7 I1 $2. >s evidente -ue 3[>\ = 3[$1I2\ E 3[I1 $2\ = 3[$1\ 3[I2]$1\ E 3[I1\ 3[$2 ] I1\ ¿
5 6 6 5 60 x x x = 11 11 11 11 121
EEMPLO 15. >n un sistema de alarma, la proailidad -ue se produ?ca peliro es 0.10. Si ste se produce la proailidad -ue la alarma funcione es de 0.(&. /a proailidad -ue funcione la alarma sin haer haG do peliro es 0.0. eterminar la proailidad -ue haya un peliro y 1 alarma no funcione.
SOLUCIÓN efinimos los siuientes eventos: 3 : "hay peliro", V : "la alarma funciona". >ntonces, V: "la alarma no funciona". /ueo, deemos determinar la proailidad del evento: 3
: "haya peliro y la alarma no funciona" 3[3 \ = 3[3\ p[
]3\
3[3\ = 0.10. Si ocurre el evento 3, 3[V ] 3\ = 0.(& pero 3[ ]3\= 13[V]3\= 1 0.(& = 0.0&.
teorema 1.*.2#
3or lo tanto, 3[3
\=
0.10# 0.0&#
=
0.00&.
Vi. 1.*.( Rrol de proailidades para el prolema 1&.
TEOREMA 1.%.5. Si $, I y J son eventos de `, tales -ue 3[$\ X 0 y 3[$∩I\ X 0, entonces P [ C | A ∩C ] = P [ A ] P [ C ∨ A ∩ B ]
DEMOSTRACIÓN. Jonsideremos dos eventos $ ∩ I y J< de la definicin de proailidad condicional A ∩ B
¿ P [ A ∩ B ] P [ B| A ] = P [ A ] P ¿ P [C ∩ A ∩ B ] P [ C | A ∩ B ] = ¿ P [ A ∩ B ] P [ A ∩ B∩ C ] P [ A ] P [ B| A ] P [ C | A ∩ B ] = P [ A ] x P [ A ] P [ A ∩ B ]
¿ P [ A ∩ B ∩ C ] >l siuiente teorema es una enerali?acin del teorema anterior.
TEOREMA 1.%.$ Si $1 , $2, ..., $n son eventos de un espacio muestral finito y 3[$1 $2 W$n\ X 0, entonces 3[$1 $2 W$n\ = 3[$1\ 3[$2]$1\ 3[$]$1$2\W. la demostracin -ueda como eercicio para el lector interesado.
EEMPLO 1$. os estalos $ y I tienen 1,000 cae?as de vacuno cada uno. >xiste una epidemia -ue afecta a los cascos y la oca del anado. /a
proporcin de anados afectados con
1 5
1 4
y
respectivamente por
estalo#. Se escoe un anado al a?ar. a# 4Ju5l es la proailidad -ue el anado escoido viene del rancho y tiene afeccin a los cascos y la oca6. # Si el *0b de los anados afectados tienen edad menor -ue un a@o, 4cu5l es la proailidad -ue el anado escoido vena del rancho I, tiene] afeccin y es mayor -ue un a@o de edad6
SOLUCIÓN. efinimos los siuientes eventos: $: "el anado escoido es del rancho $" I: "el anado escoido es del rancho I" >: "el anado tiene afeccin al casco y la oca" a# eemos calcular 3[$>\ = 3[$\ 3[>]$\ =
1000 1 1 x = 2000 5 10
# efinimos el evento V: la vaca escoida tena edad mayor -ue un a@o. >ntonces, 3[I>>\ = 3[I\ 3[>]I\ 3[V]I>#\ =
1000 1 75 1 1 3 3 = x x = x x 2000 4 250 2 4 10 80
ya -ue en el rancho I hay 2&0 anados afectados y de estos el 0b son mayores -ue un a@o de edad.
Vi. 1.*.10 Rrol de proailidad para el prolema 1+
EEMPLO 1%. 7n lote de 100 fusiles contiene 2 fusiles defectuosos. Si se pruean los fusiles uno por uno, 4cu5l es la proailidad -ue el último fusile defectuoso sea detectado en la tercera pruea6
SOLUCIÓN. efinimos los siuientes eventos. i: _el isimo defectuoso se otuvo en la extraccin i = 1,2 < = 1,2,Q Ii: _el isimo ueno se otuvo en la sima extraccin = 1,2, < = 1,2,Q >: _el último fusile defectuoso es detectado en la tercera prueaQ >n el diarama del 5rol de proailidades, podemos seuir slo por las ramas -ue cumplen las condiciones re-ueridas por el evento cuya proailidad se -uiere calcular en nuestro caso el evento ># y llear solamente a los resultados favorales a dicho evento. 3ara el prolema en cuestin, siuiendo este proceso se otiene el 5rol de proailidades de la fi. 1.*.12. e donde el evento > se escrie
> = 11 I12 2 7 I11 12 2 /ueo,
3[>\ = 3[11 I12 2\ E 3[11 I12 2\ = 3[11\ 3[I12]11\ 3[2 ] 11 I12\ E 3[I11\ 3[12]I11\ 3[2]I1112\ ¿
2
.
98
100 99
.
1 98
.+
98 100
.
2 99
.
1 98
EEMPLO 1&. 7n lote de 100 l5mparas contiene 10 pie?as defectuosas. Si se selecciona l5mparas aleatoriamente, 4cu5l es la proailidad -ue slo una sea defectuosa6
PRIMER MTODO. efinimos Cos siuientes eventos:
: "se selecciona una l5mpara defectuosa". N : "se selecciona una l5mpara no defectuosa". $ : "slo una sea defectuosa de las tres extra%das" Siuiendo el mismo proceso del eemplo anterior se otiene el diarama del 5rol de proailidades de la fi. 1.*.1. e donde $ = NN 7 NFN 7 HNN >ventos Vavorales a
Vi. 1.*.1 3[$\ = 3[NN\ E 3[NN\ E 3[NN\ ¿ ¿
90
.
89
100 99
.
10 98
.
90 100
.
10
.
89
99 98
+
10 100
.
90 99
.
89 98
89 89 89 267 + + = =0.2476 10 x 98 11 x 98 11 x 98 1078
SEUNDO MTODO. >l número de elementos del espacio muestral es
( ) . Jomo el evento $ contiene 1 defectuoso y 2 no defectuoso, entonces 100 3
$ tiene
( )( ) 10 90 1 2
elementos. /ueo, por la
definicin cl5sica es
P [ A ] =
( )( ) = ( ) 10
90
1
2
10 x
90 ! 88 ! 2 !
100
100 !
3
97 ! 3 !
=
3 x 89 11 x 98
=
267 1078
=0.2476
EEMPLO 1!. 7n rupo -ue consta de & homres y 10 mueres se divide al a?ar en cinco rupos de tres personas cada uno. Jalcular la proailidad -ue en cada rupo haya un homre.
SOLUCIÓN. efinimos los siuientes eventos: $i : "en el rupo 4 haya un homre i = 1,2,,',&#". $ : "en cada rupo de personas haya un homre". >l evento $ se escrie as%, $ = $1 $2 $ $' $& , /ueo, 3[$\ = 3[$1\ 3[$2 ] $1\ 3[$ ] $1 $2\ 3$' $1 $2 $\ 3[$& ] $1 $2 $ $'\ ¿
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) () 5 10 1 2 15 3
5!
¿
.
4!
x
4 1
15 ! 3 ! 12 !
.
12 3
10 ! 8!2!
8 2
4!
x
3!
x
3 6 1 2 12 3
.
8! 2! 6 !
12 !
2 4 1 2 6 3
3!
x
3!9!
2!
x
.
1 1
6! 2! 4 !
6! 3! 6!
2!x
x
4! 2! 2 !
6!
x 1
3!3 !
5
5 ! 10 ! 3 ¿ 15 !
=0.081
EEMPLO #". >n un can hay )0 tuos uenos y 20 malos< en un seundo can el 0b son malos y en un tercer can, el 2&b son malos. Se sae -ue ni número de tuos del tercer can es el triple de los -ue hay en el seúndo y en total hay 2+0 tuos. Se me?clan los tuos de las tres caas. a# $l extraer, al a?ar, un tuo< calcule la proailidad -ue sea malo, si se sae -ue pertenece al seundo can. # $l extraer, al a?ar, 2 tuos< calcule la proailidad -ue el primero y el seundo sean malos.
SOLUCIÓN. Sea x el número de tuos en el seundo can, o sea 100 E x E x = 2+0 , de donde x = '0 , y x = 120 . >ntonces, en la primera caa hay 100 tuos de los cuales )0 son uenos y 20 malos< en el seundo can hay '0 tuos de los cuales 2) son uenos y 12 malos< y en el tercer can hay 120 tuos de los cuales (0 son uenos y 0 malos. # Sea , el evento: "otener un tuo defectuoso" y J: "el tuo pertenece al seundo can". /ueo, 12 P [ AC ] 260 12 = = =0.3 P [ |C ] = P [ C ] 40 40 260
c# Sea , el evento: "otener el primer y el seundo tuo defectuoso. ">ntonces, = 12
[ ] [
P [ ]= P 1 P 2| 1
62 61 3782 = =0.056 x ]= 260 259 57340
EEMPLO #1. 7na caa contiene * taretas marcadas, "sin, premioG: y & con "premio mayor". >n un concurso, dos personas $ y I, extraen taretas de la caa en forma alternada hasta -ue una de ellas saca una marcada con el "premio mayor". Si $ selecciona la tareta en primer luar, 4cu5l es la proailidad -ue extraia una con "premio mayor"6
SOLUCIÓN. efinimos los siuientes eventos: $i : "el uador $ otiene la tareta con premio mayor en su isima uada". I : "el uador I otiene la tareta con premio mayor en su sima uada". $p : "el uador $ extrae una tareta con premio mayor".
>l evento $p se escrie, $p = $1 7 A 1
B
1
B
A 2
A
2
B
A 1
B
$2 7
1
A 1
B
1
A 2
B
$ 7
2
$'
/ueo, 3[$p\ = 3[$1\ 3[ 2
B
2
A
B
A 1
B
$2\ E 3[
1
A 1
B
1
A 2
B
$\ E 3[
2
A 1
B
1
A
$'\
¿
5 7 6 5 7 6 5 4 5 7 6 5 4 3 2 5 + . . + . . . . + . . . . . . 12 12 11 100 12 11 10 9 8 12 11 10 9 8 7 6
¿
248 62 = =0.63 12 x 11 x 3 99
>l diarama del 5rol de proailidad para este prolema se muestra en la fi. 1.*.1'.
Vi. 1.*.1'
EEMPLO ##. 7na urna contiene 10 olas, & marcadas con la letra $ y & olas marcadas con la letra I, os uadores, $ y I uean de la siuiente forma: comien?a el uador $ extrayendo una ola y a continuacin I reali?a tamin una extraccin, y as% alternadamente. /as extracciones se hacen sin reposicin. ana el primer uador -ue extraia una ola con su letra $ una ola $ y I una ola I#. a# 4Ju5l es la proailidad
-ue ane el uador $6 4Ju5l de I6
# 4Ju5l es la proailidad
-ue no ane ninuno de los dos6
SOLUCIÓN. efinimos los siuientes eventos< $ "ana el uador $" I "ana el uador I" N "no ana ninuno de los uadores" $ = 1,2,... #: ">n la sima extraccin se otiene una ola marcada con $" I = 1,2,... #: ">n la sima extraccin se otiene una ola nrar cada con I"
Jonsideremos el diarama del 5rol de proailidad de la fi. 1.*.1&
Vi. 1.*.1& a# e este diarama otenemos: 5 5 5 4 5 5 4 4 3 P [ " A ] = + x x + x x x x + 10
x
3 5
x
2 4
10
+
5 10
9
x
5 9
x
8
10
4
4
8
x
7
x
9
3 6
8
7
3
2
5
4
x x
x
6
2 3
x
1 2
5 5 4 4 3 x x x x 10 9 8 7 6
=
175 252
5 4 5 5 4 3 5 5 4 4 3 2 5 5 4 4 c x x x x x x x x x x x x x x [ ]= 10 9 10 9 8 7 10 9 8 7 6 5 40 9 8 7
P " B 3 6
x
3 5
x
2 4
x
1 3
=
76 252
# No ana ninuno de los uadores, cuando $ sa-ue todas las olas marca das con I y I todas las olas marcadas con $, o sea 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x x x x x x x x 1 = [ ] = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 252
P " #
ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRACIÓN / ECONOMÍA 4.1 E0p267 2g8a6 9 a6ga:; < p2=a=8
xperimentos, relas de conteo y asinacin de proailidades >n el contexto de la proailidad, un experimento es definido como un proceso -ue enera resultados definidos. K en cada una de las repeticiones del experimento, har5 uno y slo uno de los posiles resultados experimentales. $ continuacin se dan varios eemplos de experimentos con sus correspondientes resultados.
E0p2
R6>8a< 0p2a8
/an?ar una moneda
Jara, cru?
Comar una pie?a para inspeccionarla
Jon defecto, sin defecto
Peali?ar una llamada de ventas
;ay compra, no hay compra
/an?ar un dado
1, 2, , ', &, +
uar un partido de fútol
anar, perder, empatar
$l especificar todos los resultados experimentales posiles, est5 definiendo el espacio muestral de un experimento.
ESPACIO MUESTRAL >l espacio muestral de un experimento es el conunto de todos los resultados experimentales. $ un resultado experimental tamin se le llama punto muestral para identificarlo como un elemento del espacio muestral.
FIURA 4.1 PROBABILIDAD COMO MEDIDA NUMRICA DE LA POSIBILIDAD DE ?UE UN E+ENTO OCURRA
Jonsidere el primer experimento presentado en la tala anterior, lan?ar una moneda. /a cara de la moneda -ue caia hacia arria cara o cru? determina el resultado experimental puntos mustrales#. Si denota con S el espacio muestral, puede emplear la notacin siuiente para descriir el espacio muestral. S = 8Jara, cru?9 >n el seundo experimento de la tala tomar una pie?a para revisarla puede descriir el espacio muestral como siue: S = 8efectuosa, no defectuosa9 /os dos experimentos descritos tienen dos resultados experimentales puntos mustrales#. 3ero, oserve ahora el cuarto experimento enumerado en la tala, lan?ar un dado. /os resultados experimentales, definidos por el número de puntos del dado en la cara -ue cae hacia arria, son los seis puntos del espacio muestral de este experimento. S= 81,2,,',&,+9
Rg8a6 < :7 :=a:6 9 p2>a:6 $l asinar proailidades es necesario saer identificar y contar los resultados experimentales. $ continuacin tres relas de conteo -ue son muy utili?adas. >xperimentos de pasos múltiples /a primera rela de conteo sirve para experimentos de pasos múltiples. Jonsidere un experimento -ue consiste en lan?ar dos monedas. efina los resultados experimentales en trminos de las caras y cruces -ue se oservan en las dos monedas. 4Ju5ntos resultados experimentales tiene este experimento6 >l experimento de lan?ar dos monedas es un experimento de dos pasos: el paso 1 es lan?ar la primera moneda y el paso 2 es lan?ar la seunda moneda. Si se emplea ; para denotar cara y Cpara denotar cru?, ;, ;# ser5 el resultado experimental en el -ue se tiene cara en la primera moneda y cara en la seunda moneda. Si continúa con esta
notacin, el espacio muestral &# en este experimento del lan?amiento de monedas ser5 el siuiente: S = 8;, ;#, ;, C#, C, ;#, C, C#9 3or tanto, hay cuatro resultados experimentales. >n este caso es f5cil enumerar todos los resultados experimentales. /a rela de conteo para experimentos de pasos múltiples permite determinar el número de resultados experimentales sin tener -ue enumerarlos.
RELA DE CONTEO PARA E@PERIMENTOS DE PASOS MÚLTIPLES 7n experimento se descrie como una sucesin de U pasos en los -ue hay n 1 resultados posiles en el primer paso, n 2 resultados posiles en el seundo paso y as% en lo sucesivo, entonces el número total de resultados experimentales es n 1# n2#WnU#. Si considera el experimento del lan?amiento de dos monedas como la sucesin de lan?ar primero una moneda n 1 = 2# y despus lan?ar la otra n 2 = 2#, siuiendo la rela de conteo 2#2# = ', entonces hay cuatro resultados distintos. Jomo ya se mostr, estos resultados son S = 8;, ;#, ;, C#, C, ;#, C, C#9. >l número de resultados experimentales de seis monedas es 2#2#2# 2#2#2# = +'.
FIURA 4.# DIARAMA DE RBOL PARA EL LAN,AMIENTO DE DOS MONEDAS
7n diarama de 5rol es una representacin r5fica -ue permite visuali?ar un experimento de pasos múltiples. >n la fiura '.2 aparece un diarama de 5rol para el experimento del lan?amiento de dos monedas. /a secuencia de los pasos en el diarama va de i?-uierda a derecha. >l paso 1 corresponde al lan?amiento de la primera moneda, el paso 2 al de la seunda moneda. >n cada paso, los dos resultados posiles son cru? o cara. Hserve -ue a cada uno de los resultados posiles en el paso 1 pertenecen dos ramas por los dos posiles resultados en el paso 2. Jada uno de los puntos en el extremo derecho del 5rol representa un resultado experimental. Jada trayectoria a travs del 5rol desde el nodo m5s a la i?-uierda hasta uno de los nodos en el extremo derecho del 5rol, muestra una secuencia única de resultados. $hora una aplicacin de la rela de conteo para experimentos de pasos múltiples en el an5lisis de un proyecto de expansin de la empresa entucUy 3oger /iht 3/#. entucUy 3oger /iht ha empe?ado un proyecto -ue tiene como oetivo incrementar la capacidad de eneracin de una de sus plantas en el norte de entucUy. >l proyecto fue dividido en dos etapas o pasos sucesivos: etapa 1 dise@o# y etapa 2 construccin#. $ pesar de -ue cada etapa se planear5 y controlar5 con todo el cuidado posile, a los administrativos no les es posile pronosticar el tiempo exacto re-uerido en cada una de las etapas del proyecto. >n un an5lisis de proyectos de construccin similares encuentran -ue la posile duracin de la etapa de dise@o es de 2, , o ' meses y -ue la duracin de la construccin es de +, * u ) meses. $dem5s, deido a la necesidad urente de m5s ener%a elctrica, los administrativos han estalecido como meta 10 meses para la terminacin de todo el proyecto. Jomo hay tres posiles periodos para la etapa del dise@o paso 1# y tres para la etapa de la construccin paso 2# cae aplicar la rela de conteo para experimentos de pasos múltiples, entonces el total de resultados posiles es ## = (. 3ara descriir los resultados experimentales emplean una notacin de dos números< por eemplo, 2, +# sinifica -ue la etapa del dise@o durar5 2 meses y la etapa de la construccin +. >sto da como resultado una duracin de 2 E + = ) meses para todo el proyecto. >n la tala '.1 aparecen los nueve
resultados experimentales -ue hay para el prolema de 3/. >l diarama de 5rol de la fiura '. muestra como se presentan los nueve resultados puntos mustrales#. /a rela de conteo y el diarama de 5rol ayudan al administrador del proyecto a identificar los resultados experimentales y a determinar la posile duracin del proyecto.
TABLA 4.1 RESULTADOS E@PERIMENTALES (PUNTOS MUSTRALES) PARA EL PRO/ECTO PL D>2a:; (66) Eapa 1 Eapa #
Na:; pa2a 86
P29: :p8*
D6
C62>::;
26>8a<6
<>2a:; (66)
2
+
0p2a86 2, +#
)
2
*
2,*#
(
2
)
2,)#
10
+
,+#
(
*
,*#
10
)
,)#
11
'
+
'+#
10
'
*
',*#
11
'
)
',)#
12
FIURA 4.3 DIARAMA DE RBOL PARA EL PRO/ECTO PL
e acuerdo con la informacin de la fiura '., la duracin del proyecto es de ) a 12 meses, y seis de los nueve resultados experimentales tienen la duracin deseada de 10 meses o menos. $un cuando identificar los resultados experimentales ayuda, es necesario considerar cmo asinar los valores de proailidad a los resultados experimentales antes de evaluar la proailidad de -ue el proyecto dure los 10 meses deseados. Jominaciones Htra rela de conteo útil le permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar n oetos de un conunto usualmente mayor# de N oetos. sta es la rela de conteo para cominaciones.
RELA DE CONTEO PARA COMBINACIONES >l número de cominaciones de N oetos tomados de n en n es #
cn =
() # n
=
#! n! ( # −n ) !
donde
N!= NN 1#N 2# W 2#1# n! = nn 1#n 2# W 2#1#
y por definicin,
0! = 1
/a notacin ! sinifica factorial< por eemplo, & factorial es &! = &#'##2#1# =120. Jomo eemplo del uso de la rela de conteo para cominaciones, considere un procedimiento de control de calidad en el -ue un inspector selecciona al a?ar dos de cinco pie?as para proar -ue no tenan defectos. >n un conunto de cinco partes, 4cu5ntas cominaciones de dos partes pueden seleccionarse6 e acuerdo con la rela de conteo de la ecuacin '.1# es claro -ue con N & y n = 2 se tiene
5
()
C 2 =
5 2
=
5!
( −2 ) !
2! 5
=
( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) 120 = =10 ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) 12
e manera -ue hay 10 resultados posiles en este experimento de la seleccin aleatoria de dos partes de un conunto de cinco. Si eti-ueta dichas partes como $, I, J, y >, las 10 cominaciones o resultados experimentales ser5n $I, $J, $, $>, IJ, I, I>, J, J> y >. 3ara ver otro eemplo, considere la loter%a de Vlorida en la -ue se seleccionan seis números de un conunto de & números para determinar al anador de la semana. 3ara estalecer las distintas variales en la seleccin de seis enteros de un conunto de &, se usa la rela de conteo para cominaciones.
( ) 53 6
=
53 !
( −6 ) !
6 ! 53
=
53 ! 6 ! 47 !
=
( 53 ) (52 ) ( 51 ) (50 ) ( 49 ) ( 48 ) =22957480 ( 6 ) ( 5 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1)
/a rela de conteo para cominaciones arroa casi 2 millones de resultados experimentales en esta loter%a. Si una persona compra un illete de loter%a, tiene una en 22 (&* ')0 posiilidades de anar la loter%a.
P2>a:6. /a tercera rela de conteo -ue suele ser útil, es para permutaciones. icha rela permite calcular el número de r esultados experimentales cuando se seleccionan n oetos de un conunto de N oetos y el orden de seleccin es relevante. /os mismos n oetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente.
RELA DE CONTEO PARA PERMUTACIONES >l número de permutaciones de j oetos tomados de n en n est5 dado por #
Pn =n !
()
#! # = n ( # −n ) !
/a rela de conteo para permutaciones tiene relacin estrecha con la de cominaciones< sin emaro, con el mismo número de oetos, el número de permutaciones -ue se otiene en un experimento es mayor -ue el número de cominaciones, ya -ue cada seleccin de n oetos se ordena de n! maneras diferentes.
3ara ver un eemplo, reconsidere el proceso de control de calidad en el -ue un inspector selecciona dos de cinco pie?as para proar -ue no tienen defectos. 4Ju5ntas permutaciones puede seleccionar6 /a ecuacin '.2# indica -ue si N = & y n = 2, se tiene e manera -ue el experimento de seleccionar aleatoriamente dos pie?as de un conunto de cinco pie?as, teniendo en cuenta el orden en -ue se seleccionen, tiene 20 resultados. Si las pie?as se eti-uetan $, I, J, y >, las 20 permutaciones son $I, I $, $J, J$, $, $, $>, >$, IJ, JI, I, I, I>, >I, J, J, J>, >J, > y >.
A6ga:; < p2=a=8F7>PO>NCHS IRSJHS 3$P$ /$ $SN$JkN > 3PHI$I/$>S 1. /a proailidad asinada a cada resultado experimental dee estar entre 0 y 1, inclusive. Si denota con > T el isimo resultado experimental y con 3># su proailidad, entonces exprese este re-uerimiento como 0 3>T# 1 para toda i '.# 2. /a suma de las proailidades de los resultados experimentales dee ser iual a 1.0. 3ara resultados experimentales n escria este re-uerimiento como 3>i# E3>2# E W E 3>n# = 1
'.'#
>l mtodo cl5sico de asinacin de proailidades es apropiado cuando todos los resultados experimentales tienen la misma posiilidad. Si existen n resultados experimentales, la proailidad asinada a cada resultado
experimental es 7n. Juando emplee este mtodo, satisfar5 en autom5tico los dos re-uerimientos 5sicos de la asinacin de proailidades. 3or eemplo, considere el experimento del lan?amiento de una moneda, los dos resultados experimentales cru? o cara tienen la misma posiilidad. Jomo uno de los dos resultados iualmente posiles es cara, la proailidad de -ue caia cara es 1^2 o 0.&0. $simismo, la proailidad de -ue caia cru? tamin es 1^2 o 0.&0. Htro eemplo, considere el experimento de lan?ar un dado. >s ra?onale pensar -ue los seis resultados -ue pueden presentarse son iualmente posiles y, por tanto, la proailidad asinada a cada resultado es 1^+. Si 3l# denota la proailidad de -ue la cara del dado -ue caia hacia arria sea la -ue tiene un punto, entonces 3l# = 1^+. e manera similar 32# = 1^+, 3# = 1^+, 3'# = 1^+, 3&# = 1^+ y 3+# = 1^+. Hserve -ue dichas proailidades satisfacen los dos re-uerimientos 5sicos de las ecuaciones '.# y '.'#, por-ue cada una es mayor o iual -ue cero y untas suman 1.0. >l mtodo de frecuencia relativa para la asinacin de proailidades es el m5s conveniente cuando existen datos para estimar la proporcin de veces -ue se presentar5n los resultados si el experimento se repite muchas veces. Jonsidere, por eemplo un estudio sore los tiempos de espera en el departamento de rayos x de un hospital pe-ue@o. urante 20 d%as sucesivos un empleado reistra el número de personas -ue est5n esperando el servicio a las (:00 a.m.< los resultados son los siuientes.
N2 < p26a6 > 6p2a 0
N2 < 8a<6 < :>22:a 2
1
&
2
+
'
'
20
Cotal
>n estos datos aparece -ue 2 de los 20 d%as, ha%a cero pacientes esperando el servicio, & d%as ha%a un paciente en espera y as% sucesivamente. Jon el mtodo de la frecuencia relativa, la proailidad -ue se le asinar5 al resultado experimental cero pacientes esperan el servicio, ser5 2^20 = 0.10< al resultado experimental un paciente espera el servicio, &^20 = 0.2&< +^20 = 0.0 a dos pacientes esperan el servicio< '^20 = 0.20 a tres pacientes esperan el servicio y ^20 = 0.1& a cuatro pacientes esperan el servicio. Jomo sucede con el mtodo cl5sico, al usar el mtodo de frecuencia relativa se satisfacen en autom5tico los dos re-uerimientos 5sicos correspondientes a las ecuaciones '.# y '.'#. >l mtodo suetivo de asinacin de proailidades es el m5s indicado cuando no es factile suponer -ue todos los resultados de un experimento sean iualmente posiles y, adem5s, cuenta con pocos datos relevantes. >l mtodo suetivo de asinacin de proailidades a los resultados de un experimento, usa toda la informacin disponile, por eemplo, la propia experiencia o la intuicin. espus de considerar dicha informacin se asina un valor de proailidad -ue expresa el rado de confian?a en una escala de 0 a 1# -ue tiene acerca de -ue un resultado experimental ocurra. Jomo la proailidad suetiva expresa el rado de confian?a -ue tiene un individuo, es personal. Juando se usa el mtodo de proailidad suetiva, es de esperarse -ue personas distintas asinen proailidades diferentes a los mismos resultados de un experimento. >n el mtodo suetivo hay -ue tener cuidado de -ue se satisfaan los dos re-uerimientos 5sicos expresados en las ecuaciones '.# y '.'#. Sea cual sea el rado de confian?a -ue tena la persona, el valor de proailidad asinado a cada resultado experimental dee estar entre 0 y 1, inclusive, y la suma de las proailidades de todos los resultados experimentales dee ser 1.0. Jonsidere el caso en el -ue Com y udy >lsernd hacen una oferta para la compra de una casa. ;ay dos resultados posiles: >1 = su oferta ser5 aceptada >2 = su oferta no ser5 aceptada
udy cree -ue la proailidad de -ue su oferta sea aceptada es 0.)< por tanto, udy estalece -ue 3> 1# = 0.) y 3>2# = 0.2< Com, por su parte, cree -ue la proailidad de -ue su oferta sea aceptada es 0.+< por tanto, Com estalecer5 3>1# = 0.+ y 3>2# = 0.'. Hserve -ue la estimacin de proailidad de >x -ue hace Com reflea astante pesimismo de -ue su oferta sea aceptada. Canto udy como Com asinaron proailidades -ue satisfacen los dos re-uerimientos 5sicos. >l hecho de -ue sus proailidades sean diferentes suraya la naturale?a personal del mtodo suetivo. ncluso en situaciones de neocios en -ue es posile emplear el mtodo cl5sico o el de las proailidades relativas, los administradores suelen proporcionar estimaciones suetivas de una proailidad. >n tales casos, la meor estimacin de una proailidad suele otenerse cominando las estimaciones del mtodo cl5sico o del mtodo de las frecuencias relativas con las estimaciones suetivas de una proailidad.
P2=a=8ntonces deciden hacer un estudio sore la duracin de los proyectos similares reali?ados por 3/ en los últimos tres a@os. >n la tala '.2 se resume el resultado de este estudio considerando '0 proyectos similares. espus de anali?ar los resultados de este estudio, los administrativos deciden emplear el mtodo de frecuencia relativa para asinar las proailidades. /os administrativos podr%an haer aportado proailidades suetivas, pero se dieron cuenta de -ue el proyecto actual era muy similar a los '0 proyectos anteriores. $s%, consideraron -ue el mtodo de frecuencia relativa ser%a el meor. Si emplea la tala '.2 para calcular las proailidades, oservar5 -ue el resultado 2, +# duracin de la etapa 1, 2 meses, y duracin de la etapa 2, +
meses se encuentra seis veces en los '0 proyectos. Jon el mtodo de las frecuencias relativas, la proailidad sinada a este resultado es +^'0 = 0.1&. Camin el resultado 2, *# se encuentra seis veces en los '0 proyectos +^'0 = 0.1&. Jontinuando de esta manera, se otienen, para los puntos mustrales del proyecto de 3/, las asinaciones de proailidad -ue se muestran en la tala '.. Hserve -ue 32, +# representa la proailidad del punto muestral 2,+#, 32, *# representa la proailidad del punto muestral 2, *# y as% sucesivamente.
TABLA 4.# DURACIÓN DE 4" PRO/ECTOS DE PL D>2a:; (66) Eapa 1 Eapa #
Na:; pa2a 86
P29: :p8*
D6
C62>::;
26>8a<6
<>2a:; (66)
2
+
0p2a86 2, +#
+
2
*
2,*#
+
2
)
2,)#
2
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,+#
'
*
,*#
)
)
,)#
2
'
+
'+#
2
'
*
',*#
'
'
)
',)#
+ Cotal
'0
TABLA 4.3 ASINACIÓN DE PROBABILIDADES PARA EL PRO/ECTO PL7 EMPLEANDO EL MTODO DE LAS FRECUENCIAS RELATI+AS Punto muestral
Tiempo de terminación
Probabilidad del punto muestral
del proyecto
(2, 6)
8 meses
2.6)
8 meses
P(2,6) = 6/40= 0.15
(2,7)
9 meses
(2.7)
9 meses
P(2.7) = 6/40 = 0.15
(2,8)
10 meses
(2,8)
10 meses
P(2, 8) = 2/40= 0.05
(3,6)
9 meses
(3.6)
9 meses
P(3. 6) - 4/4Ü = 0.10
(3,7)
10 meses
(3.7)
10 meses
PO, 7) = 8/40 = 0.20
(3,8)
11 meses
(3.8)
11 meses
P(3,S) = 2/40= 0.05
4(6)
10 meses
(4. 6) 10 meses
P(4.6)= 2/40= 0.05
(4,7)
11 meses
(4.7)
11 meses
P(4,7) = 4/40= a 10
(4,8)
12 meses
(4.8)
12 meses
P(4. 8) = 6/40= 0.15 Total
1.00
NOTAS / COMENTARIOS 1. >n estad%stica la nocin de experimento difiere un poco del concepto de experimento de las ciencias f%sicas. >n las ciencias f%sicas, los investiadores suelen reali?ar los experimentos en laoratorios o en amientes controlados, con oeto de investiar causas y efectos. >n los experimentos estad%sticos, la proailidad determina los resultados. $un cuando un experimento se repita con exactitud, el resultado puede ser completamente diferente. eido a esta influencia -ue tiene la proailidad sore los resultados, a los experimentos en estad%stica tamin se les conoce como experimentos aleatorios. 2. Juando de una polacin de tama@o N se extrae una muestra aleatoria sin reempla?arla, se emplea la rela de conteo para cominaciones para calcular la cantidad de muestras de tama@o n -ue pueden seleccionarse.
BA/ES T2a < Ba96 >n el estudio de la proailidad condicional vio -ue revisar las proailidades cuando se otiene m5s informacin es parte importante del an5lisis de proailidades. 3or lo eneral, se suele iniciar el an5lisis con una estimacin de proailidad inicial o proailidad previa de los eventos -ue interesan. espus, de fuentes como una muestra, una informacin especial o una pruea del producto, se otiene m5s informacin sore estos eventos. ada esta nueva informacin, se modifican o revisan los valores de proailidad mediante el c5lculo de proailidades revisadas a las -ue se l es conoce como proailidades posteriores. >l teorema de Iayes es un medio para calcular
estas proailidades. >n la fiura '.( se presentan los pasos de este proceso de revisin de la proailidad.
FIURA 4.! RE+ISIÓN DE LA PROBABILIDAD USANDO EL TEOREMA DE BA/ES
TABLA 4.$ CALIDAD DE DOS PRO+EEDORES P2H<2 < pa6
P2:aJ < pa6
3roveedor 1
=>a6 ()
a8a6 2
3roveedor 2
(&
&
Jomo aplicacin del teorema de Iayes, considere una f5rica -ue compra pie?as de dos proveedores. Sea $ 1 el evento la pie?a proviene del proveedor 1 y $2 el evento la pie?a proviene del proveedor 2. e las pie?as -ue compra la f5rica, +&b proviene del proveedor 1 y &b restante proviene del proveedor 2. 3or tanto, si toma una pie?a aleatoriamente, le asinar5 las proailidades previas 3$1# = 0.+& y 3$2# = 0.&. /a calidad de las pie?as compradas var%a de acuerdo con el proveedor. 3or experiencia, sae -ue la calidad de los dos proveedores es como muestra la tala '.+. Si denota el evento la pie?a est5 uena y I denota el evento la pie?a est5 mala, la informacin de la tala '.+ proporciona los siuientes valores de proailidad condicional. 3 $# = 0.()
3I $1# = 0.02
3 $2# = 0.(&
3I $2# = 0.0&
>l diarama de 5rol de la fiura '.10 representa el proceso de reciir una pie?a, de uno de los dos proveedores, y despus determinar si la pie?a es uena o mala como experimento de dos pasos. Se oserva -ue existen cuatro resultados experimentales: dos corresponden a -ue la pie?a est uena y dos corresponden a -ue la pie?a est mala. Jada uno de los resultados experimentales es la interseccin de dos eventos, de manera -ue para calcular estas proailidades puede usar la le y de la multiplicacin. 3or eemplo, 3$1, # = 3$1 # = 3$1#3 $1#
FIURA 4.1"
DIARAMA DE RBOL PARA EL EEMPLO DE LOS DOS PRO+EEDORES
FIURA 4.11
RBOL DE PROBABILIDAD PARA EL EEMPLO DE LOS DOS PRO+EEDORES
>l proceso del c5lculo de estas proailidades conuntas se representa mediante un 5rol de proailidad fiura '.11#. e i?-uierda a derecha por el 5rol, las proailidades de cada una de las ramas del paso 1 son proailidades previas y las proailidades de cada una de las ramas del paso 2 son proailidades condicionales. 3ara hallar la proailidad de cada uno de los resultados experimentales, simplemente se multiplican las proailidades de las ramas -ue llevan a ese resultado. >n la fiura '.11 se muestra cada una de estas proailidades conuntas unto con las proailidades en cada rama. Supona ahora -ue las pie?as de los dos proveedores se emplean en el proceso de faricacin de esta empresa y -ue una m5-uina se descompone al tratar de procesar una pie?a mala. ada la informacin de -ue la pie?a est5 mala, 4cu5l es la proailidad de -ue sea del proveedor 1 y cu5l es la proailidad de -ue sea del proveedor 26 3ara responder estas preuntas apli-ue el teorema de Iayes usando la informacin del 5rol de proailidad fiura '.11#. Jomo I es el evento la parte est5 mala, lo -ue usca son las proailidades posteriores 38$1 I# y 3$2 I#. e acuerdo con la ley para la proailidad condicional
p ( A 1|B )=
el 5rol de proailidad
P ( A1 ∩B ) P ( B )
'.1'#
3$1I# = 3$1# 3I ] $1#
'.1&#
3ara hallar 3I#, se oserva -ue I slo puede presentarse de dos maneras: $1 I# y $1 I#. 3or tanto: 3I# = 3$1I# E 3 $2I# = 3$1# 3I ] $1# E 3$2# 3I ] $2#
'.1+#
Sustituyendo las ecuaciones '.1&# y '.1+# en la ecuacin '.1'# y expresando d manera similar 3$2]I# se otiene el teorema de Iayes para el caso de dos eventos. C>HP>O$ > I$K>S J$SH > HS >M>NCHS# P ( A 1∨ B )=
P ( A 2∨ B )=
P ( A1 ) P ( B∨ A 1)
'.1*#
P ( A 1 ) P ( B| A 1) + P ( A 2) P ( B∨ A 2)
P ( A2 ) P ( B∨ A 2) P ( A1 ) P ( B| A 1 )+ P ( A 2 ) P ( B∨ A 2)
'.1)#
$ partir de la ecuacin '.1*# y los valores de proailidad del eemplo, se tiene
P ( A 1∨ B )=
P ( A1 ) P ( B∨ A 1) P ( A 1 ) P ( B| A 1) + P ( A 2) P ( B∨ A 2)
¿
( 0.65 ) ( 0.02) 0.0130 = ( 0.65 )+ ( 0.35 ) (0.05 ) 0.0130 + 0.0175
¿
0.0130 =0.4262 0.0305
K usando la ecuacin '.1)# se encuentra 3$ 2 ] I#.
( 0.35 )( 0.05)
( | )= ( 0.65 ) ( 0.02 )+ ( 0.35 ) (0.05 )
P A 2 B
¿
0.0175
0.130
+ 0.0175
=
0.0175 0.0305
=05738
Hserve -ue al principio de este eemplo, la proailidad de seleccionar una pie?a y -ue fuera del proveedor 1 era 0.+&. Sin emaro, dada la informacin de -ue la pie?a est5 mala, la proailidad de -ue la pie?a provena del proveedor 1 a a 0.'2+2. >n efecto, si la pie?a est5 mala, la posiilidad de -ue sea del proveedor 2 es mayor -ue &0&0< es decir, 3$ 2]I# = 0.&*). >l teorema de Iayes es aplicale cuando los eventos para los -ue se -uiere calcular la proailidad revisada son mutuamente excluyentes y su unin es todo el espacio muestral. >n el caso de n eventos mutuamente excluyentes $ 1, $2,..., $n, cuya unin sea todo el espacio muestral, el teorema de Iayes aplica para calcular cual-uiera de las proailidades posteriores 3$ 1]I# como se muestra a continuacin
TEOREMA DE BA/ES P ( A i ) P ( B ∨ Ai ) P ( P i|B ) = P ( A 1) P ( B| A1 ) + P ( A2 ) P ( B| A 2 ) + … + P ( An ) P ( B| A n )
Jon las proailidades previas V$ 1#, 3$2#, ..., 3$n# y las proailidades condicionales adecuadas 3I ] $ 1#, 3I ] $2#,..., 3I ] $n#, se usa la ecuacin '.1(# para calcular la proailidad posterior de los eventos $1, $2,... $n
MK< a=>8a2 3ara reali?ar los c5lculos del teorema de Iayes es útil emplear un mtodo taular. >n la tala '.* se muestra este mtodo aplicado al prolema de las pie?as de los proveedores. /os c5lculos -ue se muestran ah% se reali?an mediante los pasos siuientes. 3aso 1.
Se har5n las columnas siuientes:
Jolumna 1: 3ara los eventos mutuamente excluyentes $, de los -ue -uiere tener la proailidad posterior Jolumna 2: 3ara las proailidades previas 3$ i# de los eventos Jolumna : 3ara las proailidades condicionales 3I ] $i# de la nueva informacin I dado cada evento 3aso 2.
>n la columna ' se calculan las proailidades conuntas 3$ i I#, de cada evento y la nueva informacin, empleando la ley de la multiplicacin. >stas proailidades conuntas se encuentran multiplicando las proailidades previas de la columna 2 por las correspondientes proailidades condicionales de la columna < es decir, 3$i I# = 3$i#3I ] $i#.
3aso .
Sume las proailidades de la columna '. >sta suma es la proailidad de la nueva informacin, 3I#. $s%, en la tala '.* se ve -ue la proailidad de -ue una pie?a sea del proveedor 1 y est mala es 0.010 y -ue la proailidad de -ue la pie?a sea del proveedor 2 y est mala es 0.01*&. Jomo stas son las únicas dos maneras de tener una pie?a mala, la suma 0.010 E 0.01*&, -ue es 0.00&, da la proailidad de hallar una pie?a mala en las pie?as reciidas de los dos proveedores.
3aso '.
>n la columna & se calculan las proailidades posteriores usando la relacin 5sica de la proailidad condicional.
( | )=
P A i B
(
P A i ∩ B
)
( )
P B
Hserve -ue las proailidades conuntas 3$T J I# est5n en la columna ' y -ue la proailidad 3I# es la suma de la columna '.
TABLA 4.% MTODO TABULAR PARA LOS CLCULOS DEL TEOREMA DE BA/ES APLICADO AL EEMPLO DE LOS DOS PRO+EEDORES 1#
2#
#
'#
&#
