UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA BOCA DEL RÍO, VERACRUZ. EXPERIENCIA EDUCATIVA VIBRACIONES MECÁNICAS
TEMAS
MOVIMIENTO OSCILATORIO VIBRACION LIBRE VIBRACION EXCITADA EXCITADA ARMONICAMENTE
ALUMNOS
CERQUEDA BRAVO FIDEL GASPAR GARCÍA TEJEDA JETRO MOLINA IBÁÑEZ AGUSTÍN ALT ALTAMIRANO GONZÁLEZ IGNACIO IGNACIO MANUEL MANUEL GARCÍA FRANCO JACOBO ANTONIO
21 DE NOVIEMBRE DEL 2017
1. Movimient Movimiento o oscilat oscilatorio orio
3. VIBRACION EXCITADA ARMONICAMENTE
Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuentes comunes de excitación armónica son el desbalance en máquinas rotatorias, fuerzas producidas por maquinas reciprocantes o el movimiento de la maquina misma. Estas excitaciones pueden ser indeseables para equipo cuya operación puede ser perturbada o, para la seguridad de la estructura si se desarrollan grandes amplitudes de vibración. La discusión de su comportamiento es de importancia para un uso inteligente.
3.1 VIBRACION ARMONICA FORZADA
La excitación armónica es frecuente en sistemas de ingeniería. Son comúnmente producidas por desbalance en maquinaria rotatoria. La excitación armónica puede ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema. Primero consideramos un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza armónica Fo sen wt.
La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria, que es la solución homogénea y la integral particular. La solución particular es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia w de la misma excitación.
En donde X es la amplitud de la oscilación y ɵ es la fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz. Expresaremos ahora las Ecs. en forma adimensional que permite una concisa representación gráfica de estos resultados.
Las expresiones de arriba pueden expresarse en términos de las cantidades siguientes:
Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan como:
El factor de amortiguación tiene gran influencia sobre la amplitud y el ángulo de fase, en la región de frecuencia próxima a resonancia. Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el diagrama de fuerzas. Para pequeños valores de w/wn << 1, tanto las fuerzas de inercia como las de amortiguamiento son pequeñas, lo que se traduce en un pequeño ángulo de fase ɵ. La magnitud de la fuerza global es entonces casi igual a la fuerza de resorte como se muestra en la Fig.
Para w/wn = 1 el ángulo de fase es 90° y el diagrama de fuerzas aparece como en la Fig.
A valores grandes de w/wn >> 1, ɵ se aproxima a 180° y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la gran fuerza de inercia como se muestra en la Fig.
En resumen, podemos escribir la ecuación diferencial y su solución completa, incluyendo el término transitorio como:
3.2 DESBALANCE ROTATORIO
El desbalance en máquinas rotatorias es una fuente común de excitación vibratoria. Consideramos aquí un sistema resorte – masa restringido a moverse en la dirección vertical y excitado por una maquina rotatoria no balanceada. El desbalance está representado por una masa excéntrica m con excentricidad e que rota con velocidad angular w. Sí X representa el desplazamiento de la masa no rotante (M-m), desde la posición de equilibrio, el desplazamiento de m es:
La ecuación del movimiento es:
Que puede escribirse como: En donde Fo ha sido remplazado por mew2 y, de aquí que la solución estacionaria de la sección puede ser remplazada por:
Esto puede reducirse a forma no dimensional:
La solución completa está dada por:
EJEMPLO Se utiliza un peso excéntrico excitador para producir oscilaciones forzadas en el sistema. Variando la velocidad de rotación, se registró una amplitud resonante de 0.60 cm. Cuando se aumentó la velocidad de rotación considerablemente, por encima de la frecuencia de resonancia, la amplitud mostro tendencia hacia un valor fijo de 0.08 cm. Determine el factor de amortiguamiento del sistema.
3.3 BALANCEO DE ROTORES
Es más probable que el desbalance de un rotor este distribuido en varios planos. Queremos distinguir entre dos tipos de desbalance rotatorio y mostrar cómo pueden corregirse. DESBALANCE ESTATICO Cuando las masas no balanceadas yacen en un plano singular, como en el caso de un rotor de disco delgado, el desbalance resultante es una fuerza radial. Como se muestra en la figura tal desbalance puede detectarse por medio de una prueba estática en la cual el conjunto eje – rueda es colocado sobre un par de rieles horizontales. Como tal desbalance puede detectarse sin necesidad de hacer girar la rueda, se llama desbalance estático.
DESBALANCE DINAMICO Cuando el desbalance aparece en más de un plano, la resultante es una fuerza y un momento de balanceo que constituyen el llamado desbalanceo dinámico. Como se describió previamente, una prueba estática puede detectar la fuerza resultante. El de 2 onzas – pulgadas en el centro es obviamente igual a 1 onza – pulgadas en los extremos. Combinando los dos desbalances en cada extremo, las correcciones son:
Extremo izquierdo: C1 = ( 12 + (2.25)2)1/2 =2.47 onzas – pulgada 1 = tan-1 1 / 2.25 = 24° 0´
ɵ
Extremo derecho: C2 = ( (3/4)2 + 12 )1/2 = 1.25 onzas – pulgada 2 = tan-1 1 / (3/4) = 53°
ɵ
3.4 CABECEO DE EJES ROTATORIOS
Características Los ejes rotatorios tienden a arquearse a ciertas velocidades y cabecear de una
manera complicada. Existe un método de rotación que es llamado: Whirling: Es la rotación del plano formado por el eje flexionado y la línea de centros de los cojinetes.
Es el resultado de varias causas como desbalance de masa, amortiguamiento de histéresis en el eje, fuerzas giroscópicas, fricción fluida en los cojinetes, etc.
El "cabeceo" del eje puede tener lugar en la misma dirección de rotación del eje o, en dirección contraria y la velocidad de cabeceo puede ser o no, igual a la velocidad de rotación.
El centro de masa G del disco está a una distancia del centro geométrico S del
disco.
La línea central de los cojinetes intersecta el plano del disco en O y el centro del árbol es deflectado en r = OS Para la ecuación de movimiento, podemos desarrollar la aceleración del centro de masa como: a_G=a_s+a_(G/s) a=es la aceleración de S aG;s =es la aceleración de G con respecto a S. El último término está dirigido de G a S puesto que w es constante
Descomponiendo a- en las direcciones radial y tangencial, tenemos
Por consiguiente nos quedarían representadas las siguientes funciones
Las ecuaciones de movimiento en las direcciones radial y tangencial se convierten en:
lo que puede ordenarse como
Cabeceo sincrónico Para el cabeceo sincrónico, la velocidad será Después de un poco de algebra la ecuación de la amplitud será:
En la siguiente figura se muestra un sistema disco-eje bajo tres condiciones diferentes de velocidad.
Ejemplo Las turbinas que operan por encima de la velocidad crítica deben pasar por la peligrosa velocidad de resonancia cada vez que arrancan o se detienen. Suponiendo que la velocidad crítica wn es alcanzada con amplitud r0, determine la ecuación para el incremento de amplitud con el tiempo. Suponga amortiguamiento nulo. Solución: Supondremos cabeceo sincrónico como antes, lo que hace ò= w = constante y ö = O. Sin
embargo, ¡; y i: deben ser retenidos a menos que se muestre que son nulos. Con c =O para el caso no amortiguado, las ecuaciones generales de movimiento se reducen a:
La ecuación con deflexión inicial (r0), qued a:
Diferenciando esta ecuación dos veces encontramos que r =O; así que la primera ecuación con la solución de arriba para r se convierte en:
Como el lado derecho de esta ecuación es constante, se satisface solamente si el coeficiente de t es cero.
El ángulo de fase es 7r /2 como antes para el caso amortiguado y, la amplitud se incrementa linealmente, de acuerdo con la ecuación mostrada figura .
3.5 MOVIMIENTO DE SOPORTE
Características El sistema dinámico es excitado por el movimiento Sea y el desplazamiento armónico del punto de soporte.
Fig. 3.5-1 Sistema excitado por el movimiento del punto de apoyo.
La ecuación diferencial de movimiento es : Sustituyendo:
Obtenemos: También puede escribirse:
La magnitud Y fase de estado estacionario de esta ecuación son :
O también puede ser:
A continuación se presentan las gráficas de los modelos matemáticos mostrados anteriormente.
3.6 AISLAMIENTO VIBRATORIO
Características La fuerzas vibratorias generadas por máquinas y motores son a menudo inevitables. Esto se puede evitar mediante aisladores. Las fuerzas emitidas a través de resortes y amortiguadores se puede dar con la siguiente ecuación:
Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de trasmiscibilidad se reduce a :
En donde, se entiende que el valor utilizado de w/wn es siempre mayor que Donde g = 9,81 m /s^2 y la deflexión estática en metros.
Ejemplo:
Una máquina de 100 kg de masa está soportada por resortes con rigidez total de 700 kn m y tiene un elemento rotatorio no balanceado que se traduce en una fuerza perturbadora de 350N A UNA VELOCIDAD DE 3 RPM. SUPONIENDO UN Factor de amortiguamiento de ç=0.20. Determine a) su amplitud de movimiento debida al desbalance b) la transmisibilidad y c) la fuerza transmitida.
Solución: La deflexión estática es
Y su frecuencia natura estada por:
A)Por lo tanto al sustituir, la amplitud de vibración seria:
B) La transmisibilidad de la ecuación estaría dada por:
C) La fuerza trasmitida es la fuerza perturbadora por la trasrnisibilidad.
3.7 Energía disipada por Amortiguamiento La energía en un sistema vibratorio es disipada en forma de calor o de radiación. Una pieza de metal que es flexionada hacia atrás y adelante durante un periodo experimenta una disipación de calor por consecuencia de un desgaste. Un objeto sometido a un fuerza externa periódica puede producir radiación en forma de sonido.
La perdida de energía en un sistema oscilatorio produce un decremento en la amplitud de la vibración libre. Sin embargo, en un estado estacionario de las vibraciones forzadas, las perdidas de energía son compensadas por la excitación externa que sufre el sistema. La disipación de energía es determinada comúnmente bajo condiciones de oscilaciones cíclicas y por el área de la curva fuerza-deslizamiento la cual se llama bucla de histéresis.
La perdida de energía por ciclo, debido a la fuerza de amortiguación �, se representa por: � �=
�� �
�y bajo condiciones Para el caso mas simple, resorte – masa con amortiguación viscosa �= � estacionarías � �=
�= ��2 �
�� �=
2
2 2 � = � � � � � �− � ��
� ) �(�
0
Sin embargo resulta de interés particular la energía disipada en vibración forzada a resonancia, de modo que: � =
� � �= 2�� � 2 ∴ = 2 ��� � �
La energía disipada por ciclo de la fuerza amortización puede representarse gráficamente, a partir de: (
�� �
2
) + ( )2 = 1
Energía disipada por amortiguamiento viscoso. La gráfica de la izquierda es representada por la última ecuación de la diapositiva pasada. La gráfica de la derecha se añadió la fuerza kx del resorte sin perdidas, ligada al modelo de Voight que consta de un cilindro-piston en paralelo con un resorte La energía disipada por ciclo esta dada por el área encerrada por la elipse
3.7 ENERGIA DISIPADA POR AMORTIGUAMIENTO Dependiendo del tipo de amortiguamiento la relación fuerza-desplazamiento cuando se grafica puede varias grandemente sin embargo la curva encerrara un are llamada bluca de histéresis que es proporcional a al energía perdida por ciclo. La energía perdida por ciclo debido a la fuerza por amortiguamiento Fd se calcula:
Wd dependerá de la temperatura, frecuencia o amplitud.
3.7 ENERGIA DISIPADA POR AMORTIGUAMIENTO La energía disipada por ciclo de la fuerza de amortiguamiento puede representarse gráficamente como sigue escribiendo la velocidad como:
La fuerza de amortiguación será:
3.7 ENERGIA DISIPADA POR AMORTIGUAMIENTO Reordenando la ecuación tenemos:
La reconocemos como la de una elipse Fd y X representados a lo largo de los ejes vertical y horizontal como en la figura 3.7.1-a. la energía disipada por ciclo esta representada por el área encerrada por la elipse. Si añadimos Kx del resorte sin perdidas la bucla de interés es rotada como se muestra en ña figura 3.7.1-b
3.7 ENERGIA DISIPADA POR AMORTIGUAMIENTO
3.7 ENERGIA DISIPADA POR AMORTIGUAMIENTO Las propiedades de amortiguamiento de los materiales están listadas de muchas maneras diferentes depende del área técnica. Aquí se enlistan dos unidades de energía relativa que tienen gran utilidad. La primera es la capacidad de amortiguamiento especifica definida como la perdida de energía por ciclo Wd dividida por la energía potencial U.
3.7 ENERGIA DISIPADA POR AMORTIGUAMIENTO La segunda cantidad es el coeficiente de perdida, definido como la razón de la perdida de amortiguamiento por radian dividida por el potencial pico o la energía de deformación
3.8 AMORTIGUAMIENTO VISCOSO EQUIVALENTE La principal influencia del amortiguamiento de sistemas oscilantes es la de limitar la amplitud de respuesta a resonancia. En el caso de amortiguamiento viscos, La amplitud a resonancia resulta ser:
3.8 AMORTIGUAMIENTO VISCOSO EQUIVALENTE Es posible acercarse a la amplitud de resonancia sustituyendo un amortiguamiento equivalente Ceq en la ecuación anterior. El amortiguamiento equivalente se calcula igualando la energía disipada por amortiguamiento viscoso a la fuerza no viscosa suponiendo un movimiento armónico:
En donde Wd `puede ser evaluada para el tipo particular de fuerza de amortiguación.
3.9 AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL Cuando los materiales son esforzados cíclicamente la anergia es disipada internamente en el material. Investigadores indican que para la mayoría de los metales estructurales la energía disipada por ciclo es independiente de la frecuencia sobre un gran rango de frecuencia y proporcional al cuadrado de la amplitud de vibración. El amortiguamiento interno que se ajusta a esta clasificación es llamado amortiguamiento solido y amortiguamiento estructural.
3.9 AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL La energía disipada por el amortiguamiento estructural puede escribirse como:
La ecuación diferencia de movimiento para un sistema con amortiguamiento estructural puede escribirse como:
3.9 AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL RIGIDEZ COMPLEJA. En el caso de las velocidades de aleteo de alas y colas de aeroplanos se utiliza el concepto de rigidez compleja, se llega a el suponiendo que las oscilaciones son armónicas.
Factorizando la rigidez K y dejando
la ecuación de arriba se convierte en:
3.9 AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL Utilizar el concepto de rigidez compleja para problemas en vibraciones estructurales es ventaja en tanto que solo se deben multiplicar los términos de rigidez en el sistema por Pe ro solo es para oscilaciones armónicas. Con la solución
la amplitud de estado estacionario se convierte en:
3.9 AMORTIGUAMIENTO ESTRUCTURAL La amplitud de resonancia es entonces
Comparando esto con la respuesta de resonancia de un sistema con amortiguación viscosa es
Concluimos que amplitudes iguales o resonancia el factor de amortiguamiento viscoso es igual es igual al doble del factor de amortiguamiento viscoso.
3. 10 Brusquedad de la resonancia En vibraciones forzadas la brusquedad de la resonancia es designada por Q y para ser calculada se supondrá un amortiguamiento viscoso y se considerará la ecuación: � 1 0
=
1−
Cuando
A
2 2
� �
+ 2
= 1, la amplitud de resonancia es � � � �= 0
� �
2
2��.
Se buscan las dos frecuencias a cada lado de la resonancia (bandas laterales), donde �= 0.707 � � �. Estos puntos son conocidos como puntos de media potencia, como se muestra � en la grafica.
Haciendo �= 0.707 � � �, elevando al � cuadrado la ecuación A y reacomodando:
4
− 2
��
Resolviendo para
��
2
�� 2
��
2
+ 1 − 8��2 = 0
:
= 1 − 2��2 ± 2 1 − ��2
Suponiendo que 2
1 − 2��2
≪ 1
, entonces:
� = 1 ± 2 � Llamando �1 y �2 las dos frecuencias correspondientes a las raíces de la ecuación anterior, obtenemos 2 2 �2 − � 2 − � 1 4 = ≅ 2 2 � 1 �
La cantidad Q es definida entonces como: = �2
� � 1 = = −� � 2 1 1 2 − �
De modo que para amortiguación equivalente, Q puede expresarse como: =
1
3.11 Respuesta a fuerzas periódicas Cualquier fuerza periódica puede descomponerse en una serie de componentes armónicas por análisis de Fourier. La fuerza periódica puede describirse como � � � �� � 1 �− �
� =
Si esta fuerza es aplicada a un sistema SDF, la respuesta estacionaria se convierte en la superposición de las componentes armónicas, una de las cuales es � � �� �− � � = � 2 2 2 + �� −� � La respuesta estacionaria entonces es ) � (�
�� =
A esto debe añadirse la vibración libre, que en general, desaparece debido al amortiguamiento.
3.12 Instrumentos medidores de vibraciones Dependiendo del rango de frecuencia utilizado, el desplazamiento, velocidad o aceleración están indicados por el movimiento relativo de la masa suspendida, con respecto a marco del dispositivo que se muestra a continuación Los principales parámetros involucrados son la razón de frecuencias amortiguamiento ��. y el factor de El tipo de instrumento esta determinado por el rango útil de frecuencias con respecto a la frecuencia natural � del instruento
Sismómetros – Instrumentos de baja frecuencia natural. Cuando frecuencia instrumento es baja con respecto a la frecuencia de vibraciónla� que se vanatural a medir,� la del razón �� es un número grande y el desplazamiento relativo Z se aproxima a Y, sin importar el valor del amortiguamiento. La masa m permanece entonces estacionaria mientras que la caja portante se mueve con el cuerpo vibrante. Una de las desventajas del sismómetros es su gran tamaño. El movimiento relativo de la masa sísmica debe ser del mismo orden de magnitud que el de la vibración que se va a medir
Acelerómetro - Instrumento de alta frecuencia natural. Cuando la frecuencia natural del instrumento es alta comparada con la de la vibración que se va a medir, el instrumento indica la aceleración Los acelerómetros de tipo electromagnéticos utilizan generalmente un factor de 0.7, que, no sólo extiende el rango de frecuencia útil sino que también evita distorsión de fase para ondas complejas. Por otra parte acelerómetros de cristal piezoeléctrico, tiene casi amortiguación nula y opera sin distorsión hasta frecuencias de 0.06 fn. Los acelerómetros de masa sísmica son utilizados para vibraciones de baja frecuencia y los resortes portantes pueden ser 4 extensómetros eléctricos conectados en un circuito-puente.
